Bab 2_Akar Persamaan (Pertemuan__3).pptx

Mata Kuliah Metode Numerik

1. METODE NUMERIK AKAR-AKAR PERSAMAAN (BAGIAN 2) OLEH : DWI HARTINI TEKNIK DIRGANTARA ITDA TD036

2. Metode Regula F alsi (False Position) Yang membedakan antara metode Regula F alsi dan Bisection dalam menentukan sebuah akar dari suatu fungsi adalah dalam menentukan besarnya x r . Penentuan pergantian besarnya subinterval tetap dipengaruhi oleh f(x i ) . f(x r ). 𝑟 𝑥 r = 𝑥 u 𝑢 𝑓 𝑥 𝑢 𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑢 − 𝑓 𝑥 𝑖 − 𝑓 𝑥 𝑢

3. Metode Regula F alsi (False Position)

4. Metode Regula F alsi (False Position)

5. Metode Regula F alsi (Ex.) Tentukan salah satu akar dari metode Regula F alsi dalam suatu fungsi f(x) = e x – 2 – x 2 , dimana x i = 0,5; x u = 1,5;  s = 1% !

6. Langkah 1 1. x i = 0,5; x u = 1,5; f(x i ) = f(0,5) =  0,60128; f(x u ) = f(1,5) = 0,23169 2. 3. f(x r ) = f(1,2219) =  0,09941 f(x i ) . f(x r ) = (  0,60128) . (  0,09941) > maka x i baru = x r = 1,2219 ; f(x i ) = f( x r ) =  0,09941 4. 5. r x   , 6012 8    , 2316 9    1 , 5    , 2316 9   0, 5  1 , 5   1 , 2219   , 0994 1    , 2316 9    1,5    0,23169  1,2219  1,5   1,3054 x r 1 , 3054  1 , 3054  1 , 2219  10 %  6 , 39 7 % a    Metode Regula F alsi (Ex.)

7. Langkah 2: 1 . f(x ) = f(1,3054) =  0,014905 r f(x i ) . f(x r ) = (  0,09941) . (  0,014905) > maka x i baru = x r = 1,3054 ; f(x i ) = f( x r ) =  0,014905 2 . 3 . 1,31716  1 , 3 1 7 1 6  1 , 3 54  1 %  , 8 9 2 8 % a    ( x i = 1,2219 , x r = 1,3054, f(x i ) =  0,09941 ) Metode Regula F alsi (Ex.)

8. Metode Regula F alsi (Ex.) Iterasi x r  a % 1 1,2219  2 1,3054 6,397 3 1,31716 0,8928 Dari hasil ini ternyata metode Regula F alsi lebih cepat konvergen , daripada Bisection, tetapi belum tentu teliti . Hal ini dibuktikan dengan  a dari kedua metode. Untuk x r = 1,3203;  a = 0,59 pada metode Bisection , sedangkan pada metode Regula F alsi x r = 1,31716;  a = 0,8928 (  a Bisection <  a Regula F alsi )

9. Metode Terbuka Hanya membutuhkan sebuah harga tunggal dari x untuk harga awalnya atau 2 harga x tetapi tidak perlu harus mengurung akar. Metode ini berbeda dengan metode tertutup yang memerlukan 2 harga awal dan harus dalam posisi mengapit atau mengurung akar .

10. Metode Newton-Raphson Tentukan harga awal x i . Garis singgung terhadap f(x i ) akan diekstrapolasikan ke bawah pada sumbu x untuk memberikan sebuah taksiran akar pada x i+1 , sehingga x i+1 dirumuskan: i i f   x   f  x i  x  x i  1

11. Metode Newton-Raphson

12. Kelemahan Newton-Raphson Harus menentukan turunan dari f(x) Karena kita menentukan titik awal hanya 1, maka sering didapatkan/ditemukan akar yang divergen . Hal ini disebabkan karena Dalam menentukan x i yang sembarang ternyata dekat dengan titik belok sehingga f(x i ) dekat m e n j a d i ti d ak t e r h in g g a / tak t e n t u s e hi n gga x i +1 semakin menjauhi akar yang sebenarnya i dengan 0, akibatnya x f   x   f  x i   x i  1 i

13. Kelemahan Newton-Raphson Kalau x i dekat dengan titik ekstrim/puncak maka turunannya dekat dengan 0, akibatnya x i+1 akan semakin menjauhi akar sebenarnya . Kadang  kadang fungsi tersebut tidak punya akar tetapi ada penentuan harga awal, sehingga sampai kapanpun tidak akan pernah ditemukan akarnya.

14. Sar a n Disarankan sebelum menentukan titik awal dilakukan sketsa grafik terlebih dahulu. Konvergen  kesalahan semakin lama semakin kecil Divergen  kesalahan semakin lama semakin besar

15. Metode Newton-Raphson (Ex.) Hitung salah satu akar dari f(x) = e x – 2 – x 2 pada titik awal 1,5;  s = 1 %

16. Metode Newton-Raphson (Ex.) Langkah 1 1. x i = 1 , 5 ; f(x i ) = 0,23169 f’(x i ) = e x – 2x  f’(1 , 5) = 1 , 4817 1 , 3 4 3 6 1 , 4 8 1 7  1 , 5  , 2 3 1 6 9  1 , 3 4 3 6 a i  1 2. x 3 .   1 , 3 4 3 6  1 , 5  1 %  1 1 , 6 4 %  

17. Metode Newton-Raphson (Ex.) Langkah 2 1. x i = 1 , 3436 ; f(x i ) = 0,027556 f’(x i ) = e x – 2x  f’(1 , 3436) = 1 , 145617 1 , 3 1 95 4 7 1 , 1 4 56 1 7  1,319547  1,3436  100%  1,8228% a i  1 2. x  1,3436  0,027556  1,319547 3.   

18. Metode Newton-Raphson (Ex.) Langkah 3 1. x i = 1 , 319547 ; f(x i ) = , 0085217 f’(x i ) = e x – 2x  f’(1 , 319547) = 1 , 102632 1 , 3 1 9 7 4 1 , 1 2 6 3 2  1 , 3 1 9 7 4  1 , 3 1 9 5 4 7  1 %  , 3 6 %  1,319547  0,0085217  1,319074 a i  1 2 . x 3.   

19. Metode Newton-Raphson (Ex.) Iterasi x i+1  a % 1 1 , 3436 11 , 64 2 1 , 319547 1 , 8228 3 1 , 319074 , 036 Jadi akar dari f(x) = e x – 2 – x 2 adalah x = 1,319074

20. Metode Secant Kelemahan dari metode Newton Raphson adalah evaluasi nilai turunan dari f(x), karena tidak semua f(x) mudah dicari turunannya. Suatu saat mungkin saja ditemukan suatu fungsi yang sukar dicari turunannya. Untuk menghindari hal tersebut diperkenalkan metode Secant.

21. Metode Secant Metode Secant memerlukan 2 tebakan awal yang tidak harus mengurung /mengapit akar. Yang membedakan antara metode Secant dan Newton-Raphson dalam menentukan sebuah akar dari suatu fungsi adalah dalam menentukan besarnya x i+1 . 𝑥 𝑖+1 = 𝑥 𝑖 − 𝑓 𝑥 𝑖 𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 𝑓 𝑥 𝑖 − 𝑓 𝑥 𝑖−1

22. Metode Secant Tidak semua fungsi mudah dicari turunannya terutama fungsi yang bentuknya rumit . Turunan fungsi dapat dihilangkan dengan cara menggantikannya dengan bentuk lain yang ekivalen . Modifikasi metode Newton Raphson dinamakan metode Secant. x i  1  x x i i i f ' ( x ) f ( x i ) x  x i  1 i i  1 f ( x i )  f ( x i  1 ) f ( x i ) ( x i  x i  1 ) x  x f ' ( x )   y  f ( x i )  f ( x i  1 )  

23. Metode Secant (Ex.) Hitung salah satu akar dari f(x) = e x – 2 – x 2 dengan tebakan awal 1 , 4 dan 1 , 5;  s = 1 %

24. Metode Secant (Ex.) Langkah 1 1. x i-1 = 1,4  f(x i-1 ) = 0,0952 x i = 1 , 5 ; f(x i ) = 0,2317 2. f(x i+1 ) = 0,0125  1 , 3303  , 231 7    , 095 2   , 231 7   1 , 5  1 , 4  x i  1  1 , 5  1 , 33 3  1 , 33 3  1 , 4  10 %  5 , 2 4 % a 3.   

25. Metode Secant (Ex.) Langkah 2 1. x i-1 = 1 , 5  f(x i-1 ) = 0,2317 x i = 1,3303  f(x i ) = 0,0125 2. x  , 012 5    , 231 7   1 , 3303   , 0125  1 , 3303  1 , 5   1 , 3206 i  1 1,3206  1 , 320 6  1 , 330 3  10 %  , 7 % a 3.   

26. Metode Secant (Ex.) Iterasi x i+1  a % 1 1 , 3303 5 , 24 2 1 , 3206 , 7 Jika dibandingkan dengan Newton Raphson dengan akar = 1,3191 dan  a = 0,03%, maka metode Secant lebih cepat, tapi tingkat kesalahannya lebih besar .