BISECTRIZ Y MEDIATRIZ DE UN TRIANGULO - GEOMETRIA ANALITICA
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Mar 04, 2015
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About This Presentation
HALLAR EL INCENTRO Y CIRCUNCENTRO Y LA ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA, INCLUYE GRAFICA, DE UN TRIANGULO DADOS SUS ECUACIONES DE LAS RECTAS
Slide Content
CUANDO EL DENOMINADOR VA NEGATIVO EN LA ECUACIÓN DE LA BISECTRIZ
��+��+�
±√�
�
+�
�
Debes tomar en cuenta los siguientes argumentos:
Cuando �≠0, �≠0 � �≠0, el signo del denominador va contrario al de C. Ejemplo:
3�−2�+8=0
En este caso C es positivo (C>0) el denominador va negativo y en caso de que C sea
negativo (C<0) el donominador es positivo
??????(??????,??????
1
)=
�ℎ+�??????+�
±√�
2
+�
2
=
3�−2�+8
−√3
2
+(−2)
2
Es por eso que en la ecuación 2�−3�+21=0 la ecuación de la bisectriz el
denominador va −√13 ya que “C” es positiva.
HALLA LA ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA INSCRITA EN EL TRIANGULO CUYOS LADOS SON
LAS RECTAS:
??????
1:2�−3�+21=0
??????
2:3�−2�−6=0
??????
3:2�+3�+9=0
??????(??????,??????
1
)=??????(??????,??????
2)
??????(??????,??????
1
)=
�ℎ+�??????+�
±√�
2
+�
2
=
2�−3�+21
−√2
2
+(−3)
2
=−
2�−3�+21
√13
??????(??????,??????
2
)=
�ℎ+�??????+�
±√�
2
+�
2
=
3�−2�−6
√3
2
+(−2)
2
=
3�−2�−6
√13
−
2�−3�+21
√13
=
3�−2�−6
√13
−2�+3�−21=3�−2�−6
3�+2�−2�−3�−6+21=0
5�−5�+15=0 (÷5)
�−�+�=�
??????(??????,??????
1
)=??????(??????,??????
3)
??????(??????,??????
1
)=
�ℎ+�??????+�
±√�
2
+�
2
=
2�−3�+21
−√2
2
+(−3)
2
=−
2�−3�+21
√13
??????(??????,??????
3
)=
�ℎ+�??????+�
±√�
2
+�
2
=
2�+3�+9
−√2
2
+(3)
2
=−
2�+3�+9
√13
−
2�−3�+21
√13
=−
2�+3�+9
√13
2�−3�+21=2�+3�+9
��+��+�
±√�
�
+�
�
Debes tomar en cuenta los siguientes argumentos:
Cuando �≠0, �≠0 � �≠0, el signo del denominador va contrario al de C. Ejemplo:
3�−2�+8=0
En este caso C es positivo (C>0) el denominador va negativo y en caso de que C sea
negativo (C<0) el donominador es positivo
??????(??????,??????
1
)=
�ℎ+�??????+�
±√�
2
+�
2
=
3�−2�+8
−√3
2
+(−2)
2
Es por eso que en la ecuación 2�−3�+21=0 la ecuación de la bisectriz el
denominador va −√13 ya que “C” es positiva.
HALLA LA ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA INSCRITA EN EL TRIANGULO CUYOS LADOS SON
LAS RECTAS:
??????
1:2�−3�+21=0
??????
2:3�−2�−6=0
??????
3:2�+3�+9=0
??????(??????,??????
1
)=??????(??????,??????
2)
??????(??????,??????
1
)=
�ℎ+�??????+�
±√�
2
+�
2
=
2�−3�+21
−√2
2
+(−3)
2
=−
2�−3�+21
√13
??????(??????,??????
2
)=
�ℎ+�??????+�
±√�
2
+�
2
=
3�−2�−6
√3
2
+(−2)
2
=
3�−2�−6
√13
−
2�−3�+21
√13
=
3�−2�−6
√13
−2�+3�−21=3�−2�−6
3�+2�−2�−3�−6+21=0
5�−5�+15=0 (÷5)
�−�+�=�
??????(??????,??????
1
)=??????(??????,??????
3)
??????(??????,??????
1
)=
�ℎ+�??????+�
±√�
2
+�
2
=
2�−3�+21
−√2
2
+(−3)
2
=−
2�−3�+21
√13
??????(??????,??????
3
)=
�ℎ+�??????+�
±√�
2
+�
2
=
2�+3�+9
−√2
2
+(3)
2
=−
2�+3�+9
√13
−
2�−3�+21
√13
=−
2�+3�+9
√13
2�−3�+21=2�+3�+9
2�−2�−3�−3�+21−9=0
−��+��=�
Realizo el sistema de ecuaciones, en la segunda ecuación solo debo despejar “y”
�+�−��=�
−��+��=�
−6�+12=0
−6�=−12
�=
−12
−6
=�
Reemplazo el valor de “y” en la otra ecuación para hallar “x”
�−�+�=�
�−(2)+3=0
�+1=0
�=−�
Coordenadas Incentro (-1,2)
ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA
(�−�)
�
+(�−�)
�
=??????
�
Hallamos el radio primero con cualquiera de las ecuaciones de bisectriz
??????(??????,??????
3
)=??????=
|�ℎ+�??????+�|
√�
2
+�
2
=
|2�+3�+9|
√13
??????=
|2(−1)+3(2)+9|
√13
=
|−2+6+9|
√13
=
13
√13
(�−�)
�
+(�−�)
�
=??????
�
ℎ=� ??????=�
(�−(−1))
2
+(�−(2))
2
=(
13
√13
)
2
(�+1)
2
+(�−2)
2
=
169
13
(�+�)
�
+(�−�)
�
=�� ??????�????????????��ó� �� �?????? ��??????�??????���??????����?????? ��??????�?????? ����????????????�
�
2
+2�+1+�
2
−4�+4=13
�
2
+2�+1+�
2
−4�+4−13=0
�
2
+2�+�
2
−4�−8=0
�
�
+�
�
+��−��−�=� ??????�????????????��ó� �� �?????? ��??????�??????���??????����??????
−��+��=�
Realizo el sistema de ecuaciones, en la segunda ecuación solo debo despejar “y”
�+�−��=�
−��+��=�
−6�+12=0
−6�=−12
�=
−12
−6
=�
Reemplazo el valor de “y” en la otra ecuación para hallar “x”
�−�+�=�
�−(2)+3=0
�+1=0
�=−�
Coordenadas Incentro (-1,2)
ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA
(�−�)
�
+(�−�)
�
=??????
�
Hallamos el radio primero con cualquiera de las ecuaciones de bisectriz
??????(??????,??????
3
)=??????=
|�ℎ+�??????+�|
√�
2
+�
2
=
|2�+3�+9|
√13
??????=
|2(−1)+3(2)+9|
√13
=
|−2+6+9|
√13
=
13
√13
(�−�)
�
+(�−�)
�
=??????
�
ℎ=� ??????=�
(�−(−1))
2
+(�−(2))
2
=(
13
√13
)
2
(�+1)
2
+(�−2)
2
=
169
13
(�+�)
�
+(�−�)
�
=�� ??????�????????????��ó� �� �?????? ��??????�??????���??????����?????? ��??????�?????? ����????????????�
�
2
+2�+1+�
2
−4�+4=13
�
2
+2�+1+�
2
−4�+4−13=0
�
2
+2�+�
2
−4�−8=0
�
�
+�
�
+��−��−�=� ??????�????????????��ó� �� �?????? ��??????�??????���??????����??????
HALLAR LA MEDIATRIZ Y LA ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA
??????
1:2�−3�+21=0
??????
2:3�−2�−6=0
??????
3:2�+3�+9=0
Hallamos el Vértice ente L1 y L2
??????
1:2�−3�+21=0 (×−3)
??????
2:3�−2�−6=0 (×2)
−6�+9�−63=0
6�−4�−12=0
0�+5�−75=0
5�−75=0
5�=75
�=
75
5
=��
Reemplazo en la ecuación L1 o L2
2�−3�+21=0
2�−3(15)+21=0
2�−45+21=0
2�=24
�=
24
2
=��
VL1L2(15,12)
Hallamos el Vértice ente L1 y L3
??????
1:2�−3�+21=0 (×−1)
??????
3:2�+3�+9=0
−2�+3�−21=0
2�+3�+9=0
0�+6�−12=0
6�−12=0
6�=12
�=
12
6
=�
Reemplazo en la ecuación L1 o L3
2�−3�+21=0
2�−3(2)+21=0
2�−6+21=0
2�=−15
�=
−15
2
=−
��
�
=−�.�
VL1L3(-15/2, 2)
??????
1:2�−3�+21=0
??????
2:3�−2�−6=0
??????
3:2�+3�+9=0
Hallamos el Vértice ente L1 y L2
??????
1:2�−3�+21=0 (×−3)
??????
2:3�−2�−6=0 (×2)
−6�+9�−63=0
6�−4�−12=0
0�+5�−75=0
5�−75=0
5�=75
�=
75
5
=��
Reemplazo en la ecuación L1 o L2
2�−3�+21=0
2�−3(15)+21=0
2�−45+21=0
2�=24
�=
24
2
=��
VL1L2(15,12)
Hallamos el Vértice ente L1 y L3
??????
1:2�−3�+21=0 (×−1)
??????
3:2�+3�+9=0
−2�+3�−21=0
2�+3�+9=0
0�+6�−12=0
6�−12=0
6�=12
�=
12
6
=�
Reemplazo en la ecuación L1 o L3
2�−3�+21=0
2�−3(2)+21=0
2�−6+21=0
2�=−15
�=
−15
2
=−
��
�
=−�.�
VL1L3(-15/2, 2)
Hallamos el Vértice ente L2 y L3
??????
2:3�−2�−6=0 (×−2)
??????
3:2�+3�+9=0 (×3)
−6�+4�+12=0
6�+9�+27=0
0�+13�+39=0
13�+39=0
13�=−39
�=
−39
13
=−�
Reemplazo en la ecuación L2 o L3
3�−2�−6=0
3�−2(−3)−6=0
3�+6−6=0
3�=0
�=
0
3
=�
VL2L3(0,-3)
Ahora hallamos la distancia entre los vértices y el Circuncentro P(h,k)
�
??????????????????
�
??????
�
=√(�−�
�)
�
+(�−�
�)
�
??????
??????????????????1??????2
=√(�−(15))
2
+(�−(12))
2
??????
??????????????????1??????2
=√(�−15)
2
+(�−12)
2
�
??????????????????
�
??????
�
=√(�−�
�)
�
+(�−�
�)
�
??????
??????????????????1??????3
=√(�−(2))
2
+(�−(−15/2))
2
??????
??????????????????1??????3
=√(�−2)
2
+(�+15/2)
2
�
??????????????????
�
??????
�
=√(�−�
�)
�
+(�−�
�)
�
??????
??????????????????2??????3
=√(�−(−3))
2
+(�−(0))
2
??????
??????????????????2??????3
=√(�+3)
2
+(�)
2
??????
2:3�−2�−6=0 (×−2)
??????
3:2�+3�+9=0 (×3)
−6�+4�+12=0
6�+9�+27=0
0�+13�+39=0
13�+39=0
13�=−39
�=
−39
13
=−�
Reemplazo en la ecuación L2 o L3
3�−2�−6=0
3�−2(−3)−6=0
3�+6−6=0
3�=0
�=
0
3
=�
VL2L3(0,-3)
Ahora hallamos la distancia entre los vértices y el Circuncentro P(h,k)
�
??????????????????
�
??????
�
=√(�−�
�)
�
+(�−�
�)
�
??????
??????????????????1??????2
=√(�−(15))
2
+(�−(12))
2
??????
??????????????????1??????2
=√(�−15)
2
+(�−12)
2
�
??????????????????
�
??????
�
=√(�−�
�)
�
+(�−�
�)
�
??????
??????????????????1??????3
=√(�−(2))
2
+(�−(−15/2))
2
??????
??????????????????1??????3
=√(�−2)
2
+(�+15/2)
2
�
??????????????????
�
??????
�
=√(�−�
�)
�
+(�−�
�)
�
??????
??????????????????2??????3
=√(�−(−3))
2
+(�−(0))
2
??????
??????????????????2??????3
=√(�+3)
2
+(�)
2
Igualamos las distancias ya que están son el radio
√(�−15)
2
+(�−12)
2
=√(�−2)
2
+(�+15/2)
2
(�−15)
2
+(�−12)
2
=(�−2)
2
+(�+15/2)
2
�
2
−30�+225+�
2
−24�+144=�
2
−4�+4+�
2
+15�+225/4
−24�−30�−15�+4�+225+144−4−
225
4
=0
−���−���+
����
�
=�
√(�−15)
2
+(�−12)
2
=√(�+3)
2
+(�)
2
(�−15)
2
+(�−12)
2
=(�+3)
2
+(�)
2
�
2
−30�+225+�
2
−24�+144=�
2
+6�+9+�
2
−24�−30�−6�+225+144−9=0
−24�−36�+360=0 (÷12)
−��−��+��=�
−39�−26�+
1235
4
=0 (×2)
−2�−3�+30=0 (×−39)
−78�−52�+
1235
2
=0
78�+117�−1170=0
0�+ 65�−
1105
2
=0
65�=
1105
2
�=
1105
2(65)
=
1105
130
=
��
�
=�.�
Reemplazo el valor de “y” en la siguiente ecuación:
−��−��+��=�
−2�−3(
17
2
)+30=0
−2�−
51
2
+30=0
−2�+
9
2
=0
−2�=−
9
2
�=
9
2(2)
=
�
�
=�.��
Coordenadas del circuncentro (9/4, 17/2)
√(�−15)
2
+(�−12)
2
=√(�−2)
2
+(�+15/2)
2
(�−15)
2
+(�−12)
2
=(�−2)
2
+(�+15/2)
2
�
2
−30�+225+�
2
−24�+144=�
2
−4�+4+�
2
+15�+225/4
−24�−30�−15�+4�+225+144−4−
225
4
=0
−���−���+
����
�
=�
√(�−15)
2
+(�−12)
2
=√(�+3)
2
+(�)
2
(�−15)
2
+(�−12)
2
=(�+3)
2
+(�)
2
�
2
−30�+225+�
2
−24�+144=�
2
+6�+9+�
2
−24�−30�−6�+225+144−9=0
−24�−36�+360=0 (÷12)
−��−��+��=�
−39�−26�+
1235
4
=0 (×2)
−2�−3�+30=0 (×−39)
−78�−52�+
1235
2
=0
78�+117�−1170=0
0�+ 65�−
1105
2
=0
65�=
1105
2
�=
1105
2(65)
=
1105
130
=
��
�
=�.�
Reemplazo el valor de “y” en la siguiente ecuación:
−��−��+��=�
−2�−3(
17
2
)+30=0
−2�−
51
2
+30=0
−2�+
9
2
=0
−2�=−
9
2
�=
9
2(2)
=
�
�
=�.��
Coordenadas del circuncentro (9/4, 17/2)
ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA
(�−�)
�
+(�−�)
�
=??????
�
Hallamos el radio primero con la fórmula de distancia entre 2 puntos entre un vértice y en circuncentro tomaremos los
siguientes puntos:
V(0,-3) y C(9/4, 17/2)
??????=??????=√(�
2−�
1
)
2
+(�
2−�
1
)
2
??????=√(
17
2
−(−3))
2
+(
9
4
−0)
2
??????=√(
17
2
+3)
2
+(
9
4
)
2
=√(
17+6
2
)
2
+(
9
4
)
2
=√(
23
2
)
2
+(
9
4
)
2
??????=√
529
4
+
81
16
=√
2197
16
(�−�)
�
+(�−�)
�
=??????
�
ℎ=� ??????=�
(�−(
9
4
))
2
+(�−(
17
2
))
2
=(√
2197
16
)
2
(�−
9
4
)
2
+(�−
17
2
)
2
=(√
2197
16
)
2
(�−
�
�
)
�
+(�−
��
�
)
�
=
����
��
??????�????????????��ó� �� �?????? ��??????�??????���??????����?????? ��??????�?????? ����????????????�
�
2
−
9
2
�+
81
16
+�
2
−17�+
289
4
=
2197
16
�
2
+�
2
−
9
2
�−17�+
81
16
+
289
4
−
2197
16
=0
�
�
+�
�
−
�
�
�−���−��=� ??????�????????????��ó� �� �?????? ��??????�??????���??????����??????
(�−�)
�
+(�−�)
�
=??????
�
Hallamos el radio primero con la fórmula de distancia entre 2 puntos entre un vértice y en circuncentro tomaremos los
siguientes puntos:
V(0,-3) y C(9/4, 17/2)
??????=??????=√(�
2−�
1
)
2
+(�
2−�
1
)
2
??????=√(
17
2
−(−3))
2
+(
9
4
−0)
2
??????=√(
17
2
+3)
2
+(
9
4
)
2
=√(
17+6
2
)
2
+(
9
4
)
2
=√(
23
2
)
2
+(
9
4
)
2
??????=√
529
4
+
81
16
=√
2197
16
(�−�)
�
+(�−�)
�
=??????
�
ℎ=� ??????=�
(�−(
9
4
))
2
+(�−(
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