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funciones polinimiales

1. BLOQUE 2 FUNCIONES POLINOMIALES

2. Modelo algebraico general de funciones polinomiales. ¿Qué es el modelo algebraico general? Los modelos algebraicos son una herramienta que nos ayuda a solucionar problemas cotidianos, cuando no contamos con dos datos o más. ¿Cómo se representa una función polinomial? Su representación gráfica es una recta paralela al eje de abscisas. Funciones polinómicas de primer grado o de grado 1: son funciones que están compuestas por un escalar que multiplica a la variable independiente más una constante. Su mayor exponente es x elevado a 1.

3. Una función polinomial se obtiene aplicando a la función constante y a la función identidad: sumas, restas, productos y potencias. Las siguientes expresiones son ejemplos de funciones polinomiales. En todas, el grado está determinado por el máximo exponente en la incógnita. Generalmente las funciones polinomiales tienen la siguiente notación: FUNCIONES POLINOMIALES

4. Tipos de funciones polinómicas Función constante Función lineal Función cuadrática Función cúbica

5. FUNCION LINEAL ¿Que es la función lineal? La  función lineal  se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx + b llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y. Por ejemplo, son  funciones lineales  f(x) = 3x + 2 g(x) = - x + 7 h(x) = 4 (en esta m = 0 por lo  que  0x no se pone en la ecuación). ¿Cómo se representa una función lineal? Una función lineal es una función polinómica de primer grado,  en un gráfica se representa como una línea recta y se escribe: f(x) = mx + b.  Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada a la primera potencia, cuando la potencia es 1 normalmente no se escribe.

6. FUNCION LINEAL Recuerde que a toda función lineal le corresponde gráficamente una línea recta, y, su ecuación general la escribimos: F (x) = mx + b o bien y = mx + b Si y = mx + b es la ecuación de la recta, el numero real b se llama intersección y nos indica el punto donde la recta interseca al eje "y" .

7. TIPOS DE FUNCIONES LINEALES

8. FUNCIONES CUADRATICAS Una función cuadrática (o función de segundo grado) es una función polinómica de grado 2, es decir, el mayor exponente del polinomio es x elevado a 2 (x2). Su forma estándar es: =a +b +c Siendo a  

9. Representación grafica Si el escalar a > 0, la parábola se abre hacia arriba y el vértice es el mínimo de la función. En cambio, si a < 0, la parábola se abre hacia abajo y el vértice es el máximo de la función.

10. Raíces Raíces (raíz 1 yraíz 2): las raíces o ceros de la función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0. Gráficamente, las raíces corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje x. Podemos determinar las raíces de una función cuadrática igualando a cero la función f(x) = 0, y así obtendremos la siguiente ecuación cuadrática: ax2 + bx +c = 0 Para calcular las raíces se utiliza la siguiente fórmula:  

11. Se puede también expresar la ecuación cuadrática, en función de sus raíces y del escalar a, de esta manera, por factorización:

12. Discriminante Nos permite determinar si las raíces de la ecuación son reales o imaginarias. D= b²-4ac 1 si D>0, son raíces reales y diferentes 2 si D=0, son raíces reales e iguales 3 si D<0, son raíces imaginarias(complejas)

13. Formas de expresar las ecuaciones cuadráticas POLINOMICA + +c Y= C=6 Ordenada al origen   CANONICA = +3 V=(2;3) vértice   FACTORIZADA X1=2 x2=3 raíces  

14. EJEMPLO

15. RAICES: TEOREMA DEL RESIDUO Si se divide la función polinomial ƒ(x) entre el binomio x - a donde a es un número real, el residuo es igual a ƒ(a). El teorema del residuo indica que el resultado de evaluar numéricamente una función polinomial para un valor a es igual al residuo de dividir el polinomio entre x – a. Una conclusión muy importante del teorema del residuo es se puede evaluar numéricamente una función polinomial usando la división sintética. A partir de lo anterior, si ƒ(a) = 0, entonces x - a es un factor del polinomio porque el residuo es cero. Cuando se encuentra un valor de x para el cual ƒ(x) = 0 se ha encontrado una raíz del polinomio, en el supuesto anterior, a es una raíz del polinomio. El Teorema del Residuo (en álgebra) se emplea para conocer el residuo que se obtiene al dividir un polinomio por un binomio de la forma x-a (siendo "a" un valor numérico conocido) sin necesidad de efectuar la división. Para ello basta sustituir el valor de a en el polinomio haciendo x=a Ejemplo: x³ + 2x² - 3x + 5 entre x - 2 En este caso, a=2 y por lo tanto sustituimos "a" en el polinomio: (2)³ + 2(2)² - 3(2) + 5 = 8 + 8 - 6 + 5 = 15 El residuo es entonces 15.

16. Teorema del factor Si a es una raíz de ƒ(x), entonces x - a es un factor del polinomio, donde a es un número real. Aquí podemos observar la importancia de conocer el valor del residuo, ya que si éste es igual a cero, nos va a indicar que hemos encontrado un factor del polinomio y con él, una raíz del polinomio (una solución a la ecuación polinomial ƒ(x) = 0). 1.-(x 3  − 5x − 1) tiene por factor (x − 3) (x 3  − 5x −1) es divisible por (x − 3) si y sólo si P(x = 3) = 0. P(3) = 3 3  − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0 (x − 3) no es un factor. 2.-(x 6  − 1) tiene por factor (x + 1) (x 6  − 1) es divisible por (x + 1) si y sólo si P(x = − 1) = 0. P(−1) = (−1) 6  − 1 = 0 (x + 1) es un factor.