bo-de-on-thi-cuoi-hoc-ki-2-toan-12-chuan-cau-truc-moi-nam-2024-2025.pdf

hdjsa chắc là z đó mà cx không biết nữa jhfhsjnxm hduhfufah bshdvb hsbhbhb hsbhf hdsjbfjhfg ncnncncncncncncncncnncncncncn xnxxnxnnxxnxnnxnxnjdsjkdahfhu jshddjkjahjsjshdjdhdkjsjdhjsd sjahdhdjahdjshwiq quưuhvhcnxwbbhbhzbhbdsja djjajahkffuoiq884728919783578 ndsmfmfdshfjekskfcn hdfhajjruyiwpqpqo ieiwuiqjxmbxchdjisiwuer,xcnzmnvbjxhdyfruiekeierhbrrhw jsa chắc là z đó mà cx không biết nữa jhfhsjnxm hduhfufah bshdvb hsbhbhb hsbhf hdsjbfjhfg ncnncncncncncncncncnncncncncn xnxxnxnnxxnxnnxnxnjdsjkdahfhu jshddjkjahjsjshdjdhdkjsjdhjsd sjahdhdjahdjshwiq quưuhvhcnxwbbhbhzbhbdsja djjajahkffuoiq884728919783578 ndsmfmfdshfjekskfcn hdfhajjruyiwpqpqo ieiwuiqjxmbxchdjisiwuer,xcnzmnvbjxhdyfruiekeierhbrrhwjsa chắc là z đó mà cx không biết nữa jhfhsjnxm hduhfufah bshdvb hsbhbhb hsbhf hdsjbfjhfg ncnncncncncncncncncnncncncncn xnxxnxnnxxnxnnxnxnjdsjkdahfhu jshddjkjahjsjshdjdhdkjsjdhjsd sjahdhdjahdjshwiq quưuhvhcnxwbbhbhzbhbdsja djjajahkffuoiq884728919783578 ndsmfmfdshfjekskfcn hdfhajjruyiwpqpqo ieiwuiqjxmbxchdjisiwuer,xcnzmnvbjxhdyfruiekeierhbrrhwjsa chắc là z đó mà cx không biết nữa jhfhsjnxm hduhfufah bshdvb hsbhbhb hsbhf hdsjbfjhfg ncnncncncncncncncncnncncncncn xnxxnxnnxxnxnnxnxnjdsjkdahfhu jshddjkjahjsjshdjdhdkjsjdhjsd sjahdhdjahdjshwiq quưuhvhcnxwbbhbhzbhbdsja djjajahkffuoiq884728919783578 ndsmfmfdshfjekskfcn hdfhajjruyiwpqpqo ieiwuiqjxmbxchdjisiwuer,xcnzmnvbjxhdyfruiekeierhbrrhwjsa chắc là z đó mà cx không biết nữa jhfhsjnxm hduhfufah bshdvb hsbhbhb hsbhf hdsjbfjhfg ncnncncncncncncncncnncncncncn xnxxnxnnxxnxnnxnxnjdsjkdahfhu jshddjkjahjsjshdjdhdkjsjdhjsd sjahdhdjahdjshwiq quưuhvhcnxwbbhbhzbhbdsja djjajahkffuoiq884728919783578 ndsmfmfdshfjekskfcn hdfhajjruyiwpqpqo ieiwuiqjxmbxchdjisiwuer,xcnzmnvbjxhdyfruiekeierhbrrhwjsa chắc là z đó mà cx không biết nữa jhfhsjnxm hduhfufah bshdvb hsbhbhb hsbhf hdsjbfjhfg ncnncncncncncncncncnncncncncn xnxxnxnnxxnxnnxnxnjdsjkdahfhu jshddjkjahjsjshdjdhdkjsjdhjsd sjahdhdjahdjshwiq quưuhvhcnxwbbhbhzbhbdsja djjajahkffuoiq884728919783578 ndsmfmfdshfjekskfcn hdfhajjruyiwpqpqo ieiwuiqjxmbxchdjisiwuer,xcnzmnvbjxhdyfruiekeierhbrrhwjsa chắc là z đó mà cx không biết nữa jhfhsjnxm hduhfufah bshdvb hsbhbhb hsbhf hdsjbfjhfg ncnncncncncncncncncnncncncncn xnxxnxnnxxnxnnxnxnjdsjkdahfhu jshddjkjahjsjshdjdhdkjsjdhjsd sjahdhdjahdjshwiq quưuhvhcnxwbbhbhzbhbdsja djjajahkffuoiq884728919783578 ndsmfmfdshfjekskfcn hdfhajjruyiwpqpqo ieiwuiqjxmbxchdjisiwuer,xcnzmnvbjxhdyfruiekeierhbrrhwjsa chắc là z đó mà cx không biết nữa jhfhsjnxm hduhfufah bshdvb hsbhbhb hsbhf hdsjbfjhfg ncnncncncncncncncncnncncncncn xnxxnxnnxxnxnnxnxnjdsjkdahfhu jshddjkjahjsjshdjdhdkjsjdhjsd sjahdhdjahdjshwiq quưuhvhcnxwbbhbhzbhbdsja djjajahkffuoiq884728919783578 ndsmfmfdshfjekskfcn hdfhajjruyiwpqpqo ieiwuiqjxmbxchdjisiwuer,xcnzmnvbjxhdyfruiekeierhbrrhwjsa chắc là z đó mà cx không biết nữa jhfhsjnxm hduhfufah bshdvb hsbhbhb hsbhf hdsjbfjhfg ncnncncncncncncncncnncncncncn xnxxnxnnxxnxnnxnxnjdsjkdahfhu jshddjkjahjsjshdjdhdkjsjdhjsd sjahdhdjahdjshwiq quưuhvhcnxwbbhbhzbhbdsja djjajahkffuoi

1. SGD¡T TP. HÇ CH MINHTR×ÍNG THPT L– TRÅNG T‡NB˗ÆNTHIHK2CHU‰NC‡UTRÓCMÎITON12N‹MHÅC2024 ¡2025P(BjA)Æ
P(B)¢P(AjB)
P(A)
Håv t¶n:.......................Lîp: 12A . .RTH„CSžTONGIƒITCHNGUY™NHÚUCHUNGKI–NFFFFFFFFMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALMATHEMATICALTEAM
aÅb
2
¸
p
a¢b
¡
a
2
Åb
2
¢
¢
¡
c
2
Åd
2
¢
¸(a¢cÅb¢d)
2
OQ(0; 0; 30)P(0; 120; 30)M(90; 0; 30)N(90; 120; 30)K0K1AyzxT€ILI›UL×UH€NHNËIÀA

3. BË — ÆN THI HK2 TON 12N‹M HÅC 20242025Möc löcAA
· æn tªp sè 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
BB
· æn tªp sè 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
CC
· æn tªp sè 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
DD
· æn tªp sè 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
EE
· æn tªp sè 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
FF
· æn tªp sè 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
GG
· æn tªp sè 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
HH
· æn tªp sè 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
II
· æn tªp sè 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
JJ
· æn tªp sè 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
KK
· æn tªp sè 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
LL
· æn tªp sè 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
MM
· æn tªp sè 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41
NN
· æn tªp sè 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
OO
· æn tªp sè 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47
PP
· æn tªp sè 16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51
QQ
· æn tªp sè 17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54
RR
· æn tªp sè 18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57
SS
· æn tªp sè 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60
TT
· æn tªp sè 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
UU
B i tªp tü luªn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66
|D¤ng 1. Ùng döng cõa t½ch ph¥n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66
|D¤ng 2. Ph÷ìng tr¼nh m°t c¦u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71
|D¤ng 3. X¡c su§t câ i·u ki»n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73

4. ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NTrang2
B˗ÆNTHIHK2 TON12
A. — ÆN TŠP SÈ 1A1
B i tªp tr­c nghi»m bèn ph÷ìng ¡n lüa chån
C¥u 1.Di»n t½chScõa h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði ç thà c¡c h m sèy=xv y= e
x
, tröc tung v  ÷íng
th¯ngx= 1÷ñc t½nh theo cæng thùc
A.S=
1Z
0
(e
x
x) dx.B.S=
1Z
0
(xe
x
) dx.C.S=
1Z
1
je
x
xjdx.D.S=
1Z
0
je
x
1jdx.
C¥u 2.X¡c ànhmº m°t ph¯ng(P): 3x4y+ 2z+m= 0i qua iºmA(3; 1;2).
A.m=1. B.m= 1. C.m= 9. D.m=9.
C¥u 3.Trong khæng gian vîi h» tåa ëOxyz, cho hai iºmA(3; 0; 0)v B(0; 0; 1). Vectì n o d÷îi ¥y
l  mët vectì ch¿ ph÷ìng cõa ÷íng th¯ngAB?
A.
#
d= (1; 1; 2). B.
#
a= (3; 0; 1). C.
#
b= (3; 0; 1). D.
#
c= (1; 2; 2).
C¥u 4.÷íng th¯ng i qua iºmB(1; 3; 6)nhªn
#
u= (2;3; 8)l m vectì ch¿ ph÷ìng câ ph÷ìng
tr¼nh ch½nh t­c l 
A.
x1
2
=
y+ 3
3
=
z+ 6
8
. B.
x+ 1
2
=
y3
3
=
z6
8
.
C.
x+ 1
2
=
y3
3
=
z6
8
. D.
x+ 1
2
=
y3
3
=
z6
8
.
C¥u 5.Trong khæng gianOxyz, cho m°t c¦u(S) :x
2
+y
2
+z
2
2x+ 4y+ 2z3 = 0. Tåa ë t¥mI
v  b¡n k½nhRcõa(S)l¦n l÷ñt l 
A.I(1;2;1),R= 3. B.I(1; 2; 1),R= 9.
C.I(1; 2; 1),R= 3. D.I(1;2;1),R= 9.
C¥u 6.Cho iºmM(1;1; 3)v  m°t c¦u(S)câ ph÷ìng tr¼nh(x1)
2
+ (y+ 2)
2
+z
2
= 9. Kh¯ng ành
óng l 
A.Mn¬m ngo i(S). B.Mn¬m trong(S).
C.Mn¬m tr¶n(S). D.Mtròng vîi t¥m cõa(S).
C¥u 7.C¥u l¤c bë cí cõa nh  tr÷íng gçm35th nh vi¶n, méi th nh vi¶n bi¸t chìi ½t nh§t mët trong
hai mæn cí vua ho°c cí t÷îng. Bi¸t r¬ng câ25th nh vi¶n bi¸t chìi cí vua v 20th nh vi¶n bi¸t chìi
cí t÷îng. Chån ng¨u nhi¶n1th nh vi¶n cõa c¥u l¤c bë. T½nh x¡c su§t th nh vi¶n ÷ñc chån bi¸t chìi
cí vua, bi¸t r¬ng th nh vi¶n â bi¸t chìi cí t÷îng.
A.0;3. B.0;4. C.0;5. D.0;6.
C¥u 8.Cho hai bi¸n cèAv BcâP(A) = 0;8;P(B) = 0;5v P(AB) = 0;2. X¡c su§t cõa bi¸n cèA
vîi i·u ki»nBl 
A.0;4. B.0;5. C.0;25. D.0;625.
C¥u 9.ChoP(A) =
2
5
;P (BjA) =
1
3
;P

BjA

=
1
4
. Gi¡ trà cõaP(B)l 
A.
19
60
. B.
17
60
. C.
9
20
. D.
7
30
.
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

5. BË — ÆN THI HK2 TON 12N‹M HÅC 20242025ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–N3Trang
C¥u 10.ChoP(A) =
4
5
;P (BjA) =
2
3
;P

BjA

=
1
4
. Gi¡ trà cõaP(AjB)l 
A.
33
35
. B.
32
35
. C.
9
35
. D.
26
35
.
C¥u 11.Trong khæng gianOxyz, cho ÷íng th¯ngd:
x
1
=
y1
1
=
z2
1
, m°t ph¯ng(P): 2xz4 = 0
v  m°t ph¯ng(Q):x2y2 = 0. M°t c¦u(S)câ t¥m thuëc ÷íng th¯ngd, ti¸p xóc vîi hai m°t
ph¯ng(P)v (Q). B¡n k½nh cõa m°t c¦u(S)b¬ng
A.
p
3. B.5. C.3. D.
p
5.
C¥u 12.ChoP(A) =
2
5
;P

BjA

=
1
4
. Gi¡ trà cõaP

BA

l 
A.
1
7
. B.
4
19
. C.
4
21
. D.
3
20
.
A2
B i tªp tr­c nghi»m óng sai
C¥u 13.Cho hai ÷íng th¯ngd1:
x2
2
=
y+ 2
1
=
z3
1
;d2:
8
>
<
>
:
x= 1t
y= 1 + 2t
z=1 +t
v  iºmA(1; 2; 3). Gåi
l  ÷íng th¯ng i quaA, vuæng gâc vîid1v  c­td2.
Ph¡t biºu S
a)Hai ÷íng th¯ngd1,d1l¦n l÷ñt nhªn
#
u1= (2;1; 1),
#
u2= (1; 2; 1)l m vectì ch¿
ph֓ng.
b)÷íng th¯ngc­t ÷íng th¯ngd2t¤i iºm câ tåa ë(2;1; 2).
c)÷íng th¯ngcâ mët vectì ch¿ ph÷ìng câ tåa ë(1;3;5).
d)÷íng th¯ngcâ ph÷ìng tr¼nh l 
x
2
=
y+ 1
1
=
z1
1
.
C¥u 14.Trong khæng gianOxyz, cho hai iºmA(4; 6; 8)v B(2; 4; 4). Gåi(S)l  m°t c¦u ÷íng k½nh
AB.
Ph¡t biºu S
a)Trung iºm cõaABl  iºmI(3; 5; 6).
b)Tåa ë vectì
#
AB= (2; 2; 4).
c)M°t c¦u(S)câ b¡n k½nhR= 2
p
6.
d)Ph÷ìng tr¼nh m°t c¦u(S)l (x3)
2
+ (y5)
2
+ (z6)
2
= 6.
C¥u 15.K¸t qu£ kh£o s¡t nhúng b»nh nh¥n bà tai n¤n xe m¡y v· mèi li¶n h» giúa vi»c ëi mô b£o
hiºm v  kh£ n«ng bà ch§n th÷ìng vòng ¦u cho th§y
ÌT¿ l» b»nh nh¥n bà ch§n th÷ìng vòng ¦u khi g°p tai n¤n l 80%;
ÌT¿ l» b»nh nh¥n ëi mô b£o hiºm óng c¡ch khi g°p tai n¤n l 90%;
ÌT¿ l» b»nh nh¥n ëi mô b£o hiºm óng c¡ch bà ch§n th÷ìng vòng ¦u l 18%.
Gåi A l  bi¸n cè: B»nh nh¥n bà ch§n th÷ìng vòng ¦u khi g°p tai n¤n v  B l  bi¸n cè: B»nh nh¥n
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

6. ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NTrang4
ëi mô b£o hiºm óng c¡ch khi g°p tai n¤n.
Ph¡t biºu S
a)X¡c su§t º khi g°p tai n¤n, b»nh nh¥n ëi mô b£o hiºm óng c¡ch v  bà ch§n
th÷ìng vòng ¦u l 0;144.
b)X¡c su§t º khi g°p tai n¤n, b»nh nh¥n khæng ëi mô b£o hiºm óng c¡ch v  bà
ch§n th÷ìng vòng ¦u khi g°p tai n¤n l 0;65.
c)X¡c su§t º khi g°p tai n¤n, b»nh nh¥n khæng ëi mô b£o hiºm óng c¡ch bi¸t b»nh
nh¥n bà ch§n th÷ìng vòng ¦u l 0;82.
d)Vi»c ëi mô b£o hiºm óng c¡ch s³ l m gi£m kh£ n«ng ch§n th÷ìng vòng ¦u xuèng
kho£ng4;6l¦n.
C¥u 16.Mët thèng k¶ cho th§y t¿ l» d¥n sè m­c b»nh hiºm ngh±oYl 0;5%. B Ni x²t nghi»m b»nh
hiºm ngh±oYv  nhªn ÷ñc k¸t qu£ l  ¥m t½nh. Bi¸t r¬ng, n¸u m­c b»nh hiºm ngh±oYth¼ vîi x¡c
su§t0;94x²t nghi»m l  d÷ìng t½nh; n¸u khæng bà b»nh hiºm ngh±oYth¼ vîi x¡c su§t0;97x²t nghi»m
l  ¥m t½nh.
Ph¡t biºu S
a)Tr÷îc khi ti¸n h nh x²t nghi»m x¡c su§t khæng m­c b»nh hiºm ngh±oYcõa b  N
l 0;005.
b)X¡c su§t º b  N câ x²t nghi»m l  ¥m t½nh n¸u b  N khæng bà b»nhYl 0;97.
c)X¡c su§t º b  N câ x²t nghi»m l  ¥m t½nh n¸u b Nbà b»nhYl 0;94.
d)Sau khi x²t nghi»m cho k¸t qu£ ¥m t½nh, x¡c su§t khæng m­c b»nh hiºm ngh±oY
cõa b  N l 0;997.
A3
B i tªp tr­c nghi»m tr£ líi ng­n
C¥u 17.
Mët hoa v«n trang tr½ ÷ñc t¤o ra tø mët mi¸ng b¼a mäng h¼nh
vuæng c¤nh b¬ng10cm b¬ng c¡ch kho²t i bèn ph¦n b¬ng nhau
câ h¼nh d¤ng parabol nh÷ h¼nh b¶n. Bi¸tAB= 5cm,OH= 4cm.
T½nh di»n t½ch b· m°t hoa v«n â. (k¸t qu£ ÷ñc l m trán ¸n h ng
ph¦n m÷íi).
KQ:ABHO
C¥u 18.Trong khæng gian vîi h» tåa ëOxyz, cho iºmM(2; 1; 1). M°t ph¯ng(P):ax+by+czd= 0
i quaMv  c­t ba tiaOx,Oy,Ozl¦n l÷ñt t¤i c¡c iºmA,B,Ckh¡c gècOsao cho thº t½ch khèi tù
di»nOABCnhä nh§t. T½nhVmin.
KQ:
C¥u 19.Trong khæng gian vîi h» tåa ëOxyz, mët cabin c¡p treo xu§t ph¡t tø iºmA(10; 3; 0)v 
chuyºn ëng ·u theo ÷íng c¡p câ vectì ch¿ ph÷ìng l 
#
u= (2;2; 1)vîi tèc ë l 4;5m/s. Sau thíi
gian180gi¥y, Cabin døng ð iºmB. T¼m tung ë iºmB.
KQ:
C¥u 20.Tr¶n h» tröcOxyzcho tr÷îc (ìn và tr¶n tröc l  m²t), mët tr¤m thu ph¡t sâng 5G câ b¡n
k½nh vòng phõ sâng cõa tr¤m ð ng÷ïng600m ÷ñc °t ð và tr½I(200; 450; 60). Ng÷íi dòng i»n tho¤i
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

7. BË — ÆN THI HK2 TON 12N‹M HÅC 20242025ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–N5Trang
ang ð và tr½A(100; 50; 10)th¼ câ thº sû döng dàch vö cõa tr¤m n y. T¿ l» kho£ng c¡ch tø t¥m m¡y
ph¡t sâng ¸n và tr½ cõa ng÷íi n y l  bao nhi¶u ph¦n tr«m so vîi b¡n k½nh ng÷ïng ph¡t sâng?
KQ:
C¥u 21.Câ hai chuçng thä. Chuçng I câ5con thä en v 10con thä tr­ng. Chuçng II câ7con thä
en v 3con thä tr­ng. Tr÷îc ti¶n, tø chuçng II l§y ra ng¨u nhi¶n1con thä rçi cho v o chuçng I. Sau
â, tø chuçng I l§y ra ng¨u nhi¶n1con thä. T½nh x¡c su§t º con thä ÷ñc l§y ra l  con thä tr­ng (k¸t
qu£ l m trán ¸n h ng ph¦n tr«m).
KQ:
C¥u 22.Ng÷íi ta i·u tra th§y ð mët àa ph÷ìng nå câ2%t i x¸ sû döng i»n tho¤i di ëng khi l¡i
xe. Trong c¡c vö tai n¤n ð àa ph÷ìng â, ng÷íi ta nhªn th§y câ10%l  do t i x¸ câ sû döng i»n tho¤i
khi l¡i xe g¥y ra. Häi vi»c sû döng i»n tho¤i di ëng khi l¡i xe l m t«ng x¡c su§t g¥y tai n¤n l¶n bao
nhi¶u l¦n?
KQ: B. — ÆN TŠP SÈ 2A1
B i tªp tr­c nghi»m bèn ph÷ìng ¡n lüa chån
C¥u 1.Di»n t½chScõa h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði ç thà c¡c h m sèy=xv y=x
2
, tröc tung v  ÷íng
th¯ngx= 1÷ñc t½nh theo cæng thùc n o?
A.S=
1Z
0

xx
2

dx. B.S=
1Z
0

x
2
x

dx.
C.S=
1Z
0


x+x
2


dx. D.S=
1Z
0
jx1jdx.
C¥u 2.X¡c ànhmº m°t ph¯ng(P): 2x+ 5y3z+m= 0i qua iºmA(2;1; 3).
A.m=10. B.m= 1. C.m= 10. D.m=1.
C¥u 3.Trong khæng gian vîi h» tåa ëOxyz, cho ÷íng th¯ngd:
8
>
<
>
:
x= 1t
y= 2 + 2t
z= 3 + 4t
. Mët vectì ch¿ ph÷ìng
cõadl 
A.
#
a= (1; 2; 3). B.
#
b= (1; 2; 4). C.
#
c= (1;2; 4). D.
#
d= (1; 2;4).
C¥u 4.÷íng th¯ng i qua iºmA(2;1; 5)nhªn
#
v= (3; 4;7)l m vectì ch¿ ph÷ìng câ ph÷ìng tr¼nh
ch½nh t­c l 
A.
x2
3
=
y+ 1
4
=
z5
7
. B.
x+ 2
3
=
y1
4
=
z+ 5
7
.
C.
x2
3
=
y+ 1
4
=
z5
7
. D.
x2
3
=
y+ 1
4
=
z5
7
.
C¥u 5.Trong khæng gianOxyz, cho m°t c¦u(S):x
2
+y
2
+z
2
4x6y8z+ 13 = 0. Tåa ë t¥mI
v  b¡n k½nhRcõa(S)l¦n l÷ñt l 
A.I(2; 3; 4),R= 4. B.I(2;3;4),R= 9.
C.I(2; 3; 4),R= 4. D.I(2; 3;4),R= 9.
C¥u 6.Trong khæng gianOxyz, cho hai iºmA(1; 2;1),B(1;2; 3). Vi¸t ph÷ìng tr¼nh m°t c¦u(S)
nhªn o¤nABl m ÷íng k½nh.
A.x
2
+y
2
+ (z+ 1)
2
= 9. B.x
2
+y
2
+ (z1)
2
= 3.
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

8. ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NTrang6
C.x
2
+ (y2)
2
+ (z1)
2
= 9. D.x
2
+y
2
+ (z1)
2
= 9.
C¥u 7.Trong mët cuëc kh£o s¡t, câ60%ng÷íi tham gia l  nam. Trong sè nhúng ng÷íi nam â,70%
th½ch chìi thº thao. T½nh x¡c su§t º mët ng÷íi ÷ñc chån ng¨u nhi¶n tø to n bë ng÷íi tham gia kh£o
s¡t v  ng÷íi â l  nam th½ch chìi thº thao.
A.0;42. B.0;60. C.0;70. D.0;30.
C¥u 8.Trong mët lîp håc,40%håc sinh l  nam v 30%håc sinh nam th½ch håc to¡n. T½nh x¡c su§t
º mët håc sinh ÷ñc chån ng¨u nhi¶n l  nam v  th½ch håc to¡n.
A.0;12. B.0;30. C.0;40. D.0;70.
C¥u 9.ChoP(C) =
3
7
,P(DjC) =
2
5
v P(DjC) =
1
6
. T¼m gi¡ trà cõaP(D).
A.
4
15
. B.
11
42
. C.
8
35
. D.
17
60
.
C¥u 10.ChoP(A) =
3
4
,P(BjA) =
1
2
v P(BjA) =
3
5
. T½nh x¡c su§tP(AjB).
A.
15
23
. B.
9
17
. C.
3
8
. D.
12
17
.
C¥u 11.Trong khæng gianOxyz, vi¸t ph÷ìng tr¼nh m°t c¦u câ t¥mI(0; 1; 3)v  ti¸p xóc vîi m°t ph¯ng
(P):x+ 2yz+ 3 = 0.
A.x
2
+ (y1)
2
+ (z3)
2
=
2
3
. B.x
2
+ (y+ 1)
2
+ (z3)
2
=
1
6
.
C.x
2
+ (y1)
2
+ (z+ 3)
2
=
2
3
. D.x
2
+ (y+ 1)
2
+ (z+ 3)
2
=
1
6
.
C¥u 12.ChoP(A) =
2
5
;P

BjA

=
1
4
. Gi¡ trà cõaP

BA

l 
A.
1
7
. B.
4
19
. C.
4
21
. D.
3
20
.
A2
B i tªp tr­c nghi»m óng sai
C¥u 13.Trong khæng gianOxyz, cho iºmM(1; 3; 2)v  m°t ph¯ng(P):x2y+ 4z+ 1 = 0. ÷íng
th¯ngdi quaMv  vuæng gâc vîi(P).
Ph¡t biºu S
a)(P)câ mët vectì ph¡p tuy¸n l 
#
n= (1;2; 4).
b)Kho£ng c¡ch tøM¸n(P)b¬ng
2
p
21
.
c)iºm èi xùng cõaMqua m°t ph¯ngOxyl M
0
(1;3; 2).
d)d:
x+ 1
1
=
y3
2
=
z2
4
.
C¥u 14.Trong khæng gianOxyz, cho c¡c iºmA(3; 0; 1); B(0;2;3); C(0; 0; 3); D(3; 1; 1). Gåi(S)
l  m°t c¦u ngo¤i ti¸p tù di»nABCD. :
Ph¡t biºu S
a)H¼nh chi¸u vuæng gâc cõa t¥m m°t c¦u(S)l¶n tröcOyl  iºmH

0;
1
2
; 0
‹
.
b)Kho£ng c¡ch tø gèc tåa ë ¸n t¥m cõa m°t c¦u(S)b¬ng
1
2
.
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

9. BË — ÆN THI HK2 TON 12N‹M HÅC 20242025ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–N7Trang
Ph¡t biºu S
c)M°t c¦u(S)câ b¡n k½nh b¬ng
p
451
6
.
d)÷íng th¯ngd:
x1
2
=
y
1
=
z2
3
i qua t¥m cõa m°t c¦u(S).
C¥u 15.K¸t qu£ kh£o s¡t v· mèi li¶n h» giúa vi»c mang kh©u trang óng c¡ch v  kh£ n«ng nhi¹m
b»nh cõa nhúng ng÷íi ¸n b»nh vi»n cho th§y
ÌT¿ l» ng÷íi bà nhi¹m b»nh khi ¸n b»nh vi»n l 70%;
ÌT¿ l» ng÷íi mang kh©u trang óng c¡ch khi ¸n b»nh vi»n l 85%;
ÌT¿ l» ng÷íi mang kh©u trang óng c¡ch nh÷ng v¨n bà nhi¹m b»nh l 15%.
GåiAl  bi¸n cè Ng÷íi â bà nhi¹m b»nh khi ¸n b»nh vi»n v Bl  bi¸n cè Ng÷íi â mang kh©u
trang óng c¡ch khi ¸n b»nh vi»n.
Ph¡t biºu S
a)X¡c su§t º khi ¸n b»nh vi»n, ng÷íi â vøa mang kh©u trang óng c¡ch vøa bà
nhi¹m b»nh.
b)X¡c su§t º khi ¸n b»nh vi»n, ng÷íi â khæng mang kh©u trang óng c¡ch nh÷ng
v¨n bà nhi¹m b»nh.
c)X¡c su§t º khi bi¸t ng÷íi â bà nhi¹m b»nh, ng÷íi â ¢ khæng mang kh©u trang
óng c¡ch.
d)T l» gi£m kh£ n«ng nhi¹m b»nh n¸u mang kh©u trang óng c¡ch.
C¥u 16.Mët thèng k¶ cho th§y t¿ l» d¥n sè m­c b»nh nhi¹m tròngXl 0;8%. ÆngMi x²t nghi»m
b»nh nhi¹m tròngXv  nhªn ÷ñc k¸t qu£ l  d÷ìng t½nh. Bi¸t r¬ng, n¸u m­c b»nh nhi¹m tròngXth¼
vîi x¡c su§t0;92x²t nghi»m cho k¸t qu£ d÷ìng t½nh; n¸u khæng bà b»nh nhi¹m tròngXth¼ vîi x¡c
su§t0;96x²t nghi»m cho k¸t qu£ ¥m t½nh.
Ph¡t biºu S
a)Tr÷îc khi x²t nghi»m, x¡c su§t ængMkhæng m­c b»nh nhi¹m tròngXl 0;992.
b)X¡c su§t ængMcâ x²t nghi»m l  d÷ìng t½nh n¸u ængMbà b»nh nhi¹m tròngXl 
0;92.
c)X¡c su§t ængMcâ x²t nghi»m l  ¥m t½nh n¸u ængMbà b»nh nhi¹m tròngXl 
0;04.
d)Sau khi x²t nghi»m cho k¸t qu£ d÷ìng t½nh, x¡c su§t ængMm­c b»nh nhi¹m tròng
Xl 0;162.
A3
B i tªp tr­c nghi»m tr£ líi ng­n
C¥u 17.Trong khæng gianOxyz, cho hai iºmA(1; 2; 2),B(3; 2; 6). X²t hai iºmM,Nthay êi
thuëc m°t ph¯ng(Oxy)sao choMN= 16. Gi¡ trà nhä nh§t cõaAM+BNb¬ng bao nhi¶u? (L m
trán ¸n h ng ph¦n m÷íi).
KQ:
C¥u 18.Trong khæng gian vîi h» tåa ëOxyz, mët chi¸c m¡y bay c§t c¡nh tø iºmP(15;4; 2)v 
bay ·u theo h÷îng cõa vectì
#
d= (3; 1;2)vîi tèc ë5m/s. Sau thíi gian200gi¥y, m¡y bay ¸n
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

10. ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NTrang8
iºmQ. T¼m tung ë iºmQ(k¸t qu£ l m trán ¸n h ng ìn và).
KQ:
C¥u 19.
Mët vªt trang tr½ câ d¤ng mët khèi trán xoay ÷ñc
t¤o th nh khi quay mi·n(R)(ph¦n g¤ch ch²o trong
h¼nh v³) quanh tröcMN. Bi¸t r¬ngABCDl  h¼nh
chú nhªt vîiAB= 6cm,AD= 10cm.M,Nl¦n l÷ñt
l  trung iºm cõaAB,CD, hai ÷íng cong l  ÷íng
elip câ h¼nh chú nhªt cì sð l ABCDv  ÷íng trán
ti¸p xóc vîi hai c¤nhADv BC(tham kh£o h¼nh
v³). T½nh thº t½ch cõa vªt trang tr½ â (k¸t qu£ l m
trán ¸n h ng ph¦n chöc).
KQ:ABCDMN
C¥u 20.Tr¶n h» tröcOxyzcho tr÷îc (ìn và tr¶n tröc l  m²t), mët c¥y ph¡t i»n câ b¡n k½nh vòng bao
phõ i»n tø ng÷ïng600m ÷ñc °t t¤i và tr½I(200; 450; 60). Mët ng÷íi ang ð và tr½A(100; 50; 10)
câ thº nhªn ÷ñc t½n hi»u i»n tø. Häi kho£ng c¡ch tø c¥y ph¡t i»n ¸n ng÷íi â l  bao nhi¶u ph¦n
tr«m so vîi b¡n k½nh ng÷ïng bao phõ?
KQ:
C¥u 21.Câ hai hëp üng bâng. Hëp I câ4qu£ bâng m u xanh v 8qu£ bâng m u ä. Hëp II câ6
qu£ bâng m u xanh v 4qu£ bâng m u ä. Tr÷îc ti¶n, tø hëp II l§y ra ng¨u nhi¶n1qu£ bâng rçi cho
v o hëp I. Sau â, tø hëp I l§y ra ng¨u nhi¶n1qu£ bâng. T½nh x¡c su§t º qu£ bâng ÷ñc l§y ra tø
hëp I l  qu£ bâng m u ä. (K¸t qu£ l m trán ¸n h ng ph¦n tr«m)
KQ:
C¥u 22.Ð mët th nh phè, ng÷íi ta i·u tra th§y r¬ng câ1%sè ng÷íi i bë th÷íng xuy¶n sû döng tai
nghe khi qua ÷íng. Trong c¡c vö tai n¤n ð th nh phè, ng÷íi ta nhªn th§y8%l  do ng÷íi i bë câ sû
döng tai nghe khi qua ÷íng g¥y ra. Häi vi»c sû döng tai nghe khi qua ÷íng l m t«ng x¡c su§t g¥y
tai n¤n l¶n bao nhi¶u l¦n?
KQ: C. — ÆN TŠP SÈ 3A1
B i tªp tr­c nghi»m bèn ph÷ìng ¡n lüa chån
C¥u 1.Cho h m sèy=f(x)li¶n töc tr¶n[a;b]. Di»n t½ch h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði ç thà h m sè
y=f(x), tröc ho nh v  hai ÷íng th¯ngx=a,x=b÷ñc t½nh theo cæng thùc
A.S=
bZ
a
jf(x)jdx. B.S=
bZ
a
f(x) dx. C.S=
bZ
a
f(jxj) dx. D.S=




bZ
a
f(x) dx




.
C¥u 2.Mët vectì ch¿ ph÷ìng
#
ucõa ÷íng th¯ngd:
8
>
<
>
:
x= 13t
y= 1 +t
z= 3
l 
A.
#
u= (3;1; 0). B.
#
u= (1; 1; 3). C.
#
u= (3;1; 0). D.
#
u= (3; 1; 3).
C¥u 3.Trong khæng gianOxyz, m°t ph¯ng(P)quaA(1; 2; 1)v  chùa ÷íng th¯ng(d) :
x2
1
=
y+ 1
2
=
z1
2
, khi â m°t ph¯ng(P)câ ph÷ìng tr¼nh l 
A.2x+ 2yz3 = 0. B.2x+ 2yz+ 3 = 0.
C.2x+ 2y+z3 = 0. D.2x+ 2y+z+ 3 = 0.
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

11. BË — ÆN THI HK2 TON 12N‹M HÅC 20242025ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–N9Trang
C¥u 4.Ph÷ìng tr¼nh m°t c¦u câ t¥mI(7;3; 0), b¡n k½nhR= 8l 
A.(x7)
2
+ (y+ 3)
2
+z
2
= 64. B.(x7)
2
+ (y+ 3)
2
+z
2
= 16.
C.(x+ 7)
2
+ (y3)
2
+z
2
= 8. D.(x+ 7)
2
+ (y3)
2
+z
2
= 64.
C¥u 5.Cho m°t c¦u câ ph÷ìng tr¼nhx
2
+y
2
+z
2
+x+2y+3z
1
2
= 0. B¡n k½nh m°t c¦u n y b¬ng
A.R= 4. B.R=
p
2. C.R= 1. D.R= 2.
C¥u 6.Cho hai iºmA(1; 0; 0)v B(5; 0; 0). Bi¸t r¬ng iºmM(x; y; 2)thäa m¢n
#
MA
#
MB= 0th¼M
thuëc mët m°t c¦u(S). B¡n k½nh cõa(S)b¬ng
A.R= 4. B.R=
p
2. C.R= 1. D.R= 2.
C¥u 7.Trong khæng gianOxyz, cho iºmM(1; 2; 3)v  ÷íng th¯ng:
x2
2
=
y+ 2
1
=
z3
1
. M°t
ph¯ng i quaMv  vuæng gâc vîicâ ph÷ìng tr¼nh l 
A.2x2y+ 3z7 = 0. B.x+ 2y+ 3z3 = 0.
C.2xy+z+ 3 = 0. D.2xy+z3 = 0.
C¥u 8.Gieo mët con xóc s­c c¥n èi v  çng ch§t hai l¦n li¶n ti¸p. T½nh x¡c su§t º têng sè ch§m hai
l¦n gieo lîn hìn8, bi¸t l¦n thù nh§t xu§t hi»n m°t4ch§m.
A.
1
2
. B.
1
6
. C.
2
3
. D.
1
3
.
C¥u 9.Cho hai bi¸n cèAv B, vîiP (A) = 0;6,P (B) = 0;7,P (A\B) = 0;3. Khi âP

A\B

b¬ng
A.
4
7
. B.
1
2
. C.
2
5
. D.
1
7
.
C¥u 10.Cho hai bi¸n cèA,B. Bi¸t r¬ngP(B) = 0;4;P(AjB) = 0;8v P(AjB) = 0;5; t½nhP(A).
A.0;4. B.0;62. C.0;68. D.0;48.
C¥u 11.Mët m£nh §t chia th nh hai khu v÷ín. Khu A câ300c¥y «n qu£, khu B câ400c¥y «n qu£.
Trong â, sè c¥y cam ð khu A v  khu B l¦n l÷ñt l 200c¥y v 300c¥y. Chån ng¨u nhi¶n mët c¥y trong
m£nh §t. X¡c su§t º c¥y ÷ñc chån l  c¥y cam, bi¸t r¬ng c¥y â ð khu B l 
A.
5
14
. B.
5
8
. C.
5
9
. D.
1
2
.
C¥u 12.Gi£ sû t¿ l» ng÷íi d¥n cõa t¿nh Kh¡nh Háa nghi»n thuèc l¡ l 20%; t¿ l» ng÷íi bà b»nh phêi
trong sè ng÷íi nghi»n thuèc l¡ l 70%, trong sè ng÷íi khæng nghi»n thuèc l¡ l 15%. Häi khi ta g°p
ng¨u nhi¶n mët ng÷íi d¥n cõa t¿nh Kh¡nh Háa th¼ kh£ n«ng m  ng÷íi â bà b»nh phêi l 
A.15%. B.29%. C.31%. D.26%.
A2
B i tªp tr­c nghi»m óng sai
C¥u 13.Trong khæng gianOxyz, cho c¡c iºm:A(2; 3;0),B(2; 1; 0),C(3; 0;2),D(2; 3; 0). Gåi(S)
l  m°t c¦u ngo¤i ti¸p tù di»nABCD. Trong c¡c m»nh · d÷îi ¥y, m»nh · n o óng, m»nh · n o
sai?
Ph¡t biºu S
a)M°t ph¯ng(P) :x+ 3y+z3 = 0i qua t¥m cõa(S).
b)H¼nh chi¸u t¥m m°t c¦u(S)l¶n(Oxy)l H(1;2; 0).
c)Ph÷ìng tr¼nh cõa(S)l :x
2
+ (y2)
2
+ (z+ 3)
2
= 14.
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

12. ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NTrang10
Ph¡t biºu S
d)(S)i qua iºmM(1;2; 3).
C¥u 14.Trong hëp câ3vi¶n bi m u tr­ng v 7vi¶n bi m u ä. L§y l¦n l÷ñt méi l¦n mët vi¶n theo
c¡ch l§y khæng tr£ l¤i. GåiAl  bi¸n cè vi¶n bi l§y l¦n thù nh§t l  m u ä.
GåiBl  bi¸n cè vi¶n bi l§y l¦n thù hai l  m u ä.
Ph¡t biºu S
a)P(A) = 0;7.
b)P(AB) =
7
15
.
Ph¡t biºu S
c)P(B) = 0;8.
d)P(AB) =
10
21
.
C¥u 15.Mët cæng ty d÷ñc ph©m giîi thi»u mët döng cö kiºm tra sîm b»nh sèt xu§t huy¸t. V· kiºm
ành ch§t l÷ñng cõa s£n ph©m, hå cho bi¸t nh÷ sau: Sè ng÷íi ÷ñc thû l 10 000ng÷íi, trong sè â câ
2 000ng÷íi ¢ bà nhi¹m b»nh sèt xu§t huy¸t v  câ8 000ng÷íi khæng bà nhi¹m b»nh sèt xu§t huy¸t.
Khi thû b¬ng döng cö cõa cæng ty, trong2 000ng÷íi ¢ bà nhi¹m b»nh sèt xu§t huy¸t, câ75%sè ng÷íi
â cho k¸t qu£ d÷ìng t½nh, cán l¤i cho k¸t qu£ ¥m t½nh. M°t kh¡c, trong8 000ng÷íi khæng bà nhi¹m
b»nh sèt xu§t huy¸t, câ5%sè ng÷íi â cho k¸t qu£ d÷ìng t½nh, cán l¤i cho k¸t qu£ ¥m t½nh khi kiºm
tra. Chån ng¨u nhi¶n mët ng÷íi trong sè nhúng ng÷íi thû nghi»m. GåiAl  bi¸n cè Ng÷íi ÷ñc chån
nhi¹m sèt xu§t huy¸t,Bl  bi¸n cè Ng÷íi ÷ñc chån ¥m t½nh vîi döng cö thû.
Ph¡t biºu S
a)P(A) =
2 000
10 000
= 0;4.
b)P(BjA) = 0;25.
c)X¡c su§t º ng÷íi ÷ñc chån ¥m t½nh vîi döng cö l 0;62.
d)Bi¸t r¬ng ng÷íi â câ k¸t qu£ thû nghi»m ¥m t½nh, x¡c su§t º ng÷íi ÷ñc chån ra
bà nhi¹m b»nh sèt xu§t huy¸t b¬ng0;062(k¸t qu£ l m trán k¸t qu£ ¸n h ng ph¦n
ngh¼n).
C¥u 16.Trong khæng gianOxyz, cho ÷íng th¯ng(d):
x1
2
=
y
3
=
z+ 1
1
v  hai iºmA(1; 2; 7),
B(0; 4; 4).
Ph¡t biºu S
a)Mët m°t ph¯ng(P)vuæng gâc vîi ÷íng th¯ng(d)câ mët v²ctì ph¡p tuy¸n l 
#
a= (2; 3; 1).
b)Mët v²ctì ch¿ ph÷ìng cõa ÷íng th¯ngABl 
#
u= (1;2; 3).
c)Ph÷ìng tr¼nh tham sè cõa ÷íng th¯ngABl 
8
>
<
>
:
x=1 +t
y= 2 + 2t
z= 73t
.
d)÷íng th¯ngABv (d)l  hai ÷íng th¯ng ch²o nhau v  vuæng gâc vîi nhau.
A3
B i tªp tr­c nghi»m tr£ líi ng­n
C¥u 17.Mët cæng ty b£o hiºm nhªn th§y câ48%sè ng÷íi mua b£o hiºm æ tæ l  phö nú v  câ36%sè
ng÷íi mua b£o hiºm æ tæ l  phö nú tr¶n45tuêi. Bi¸t mët ng÷íi mua b£o hiºm æ tæ l  phö nú, t½nh x¡c
su§t ng÷íi â tr¶n45tuêi.
KQ: BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

13. BË — ÆN THI HK2 TON 12N‹M HÅC 20242025ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–N11Trang
C¥u 18.Câ hai chuçng nuæi g , chuçng I câ3con g  trèng v 7con g  m¡i; chuçng II câ4con g 
trèng v 5con g  m¡i. Quan s¡t th§y câ1con g  nh£y tø chuçng I sang chuçng II; sau â câ1con g 
tø chuçng II nh£y ra ngo i. T½nh x¡c su§t º con g  tø chuçng II ra nh£y ra ngo i l  con g  trèng.
KQ:
C¥u 19.
Mët con l­c lá xo dao ëng i·u háa theo ph÷ìng ngang tr¶n
m°t ph¯ng khæng ma s¡t nh÷ h¼nh b¶n d÷îi, câ vªn tèc tùc
thíi cho bðiv(t) = 2 cost, trong âtt½nh b¬ng gi¥y v v(t)
t½nh b¬ng cm/s. T¤i thíi iºmt= 0, con l­c ð và tr½ c¥n
b¬ng. T½nh qu¢ng ÷íng m  con l­c lá xo di chuyºn ÷ñc
sau1gi¥y kº tø và tr½ c¥n b¬ng theo ìn và centimet (l m
trán ¸n h ng ph¦n tr«m).
KQ:Ox(t)Và tr½ c¥n b¬ngx
C¥u 20.Trong khæng gianOxyz, cho iºmH(1; 2; 1). Gåi(P)l  m°t ph¯ng quaHv  c­t c¡c tröc tåa
ë l¦n l÷ñt t¤iA,B,Csao choHl  trüc t¥m cõa tam gi¡cABC. Bi¸t m°t ph¯ng(P)câ ph÷ìng tr¼nh
l ax+by+z+c= 0. T½nh gi¡ trà cõa:a+b+c.
KQ:
C¥u 21.
Tr¶n m°t §t ph¯ng, ng÷íi ta düng mët c¥y cët th¯ng cao6m vuæng
gâc vîi m°t §t, câ ch¥n cët °t t¤i và tr½Otr¶n m°t §t, ¿nh cët l 
iºmA. T¤i mët thíi iºm, d÷îi ¡nh n­ng m°t tríi, bâng cõa ¿nh cët
d÷îi m°t §t c¡ch ch¥n cët3m v· h÷îngS60

E(h÷îng t¤o vîi h÷îng
nam gâc60

v  t¤o vîi h÷îng æng gâc30

). Chån h» tröcOxyzcâ
gèc tåa ë l O, tiaOxch¿ h÷îng nam, tiaOych¿ h÷îng æng, tiaOz
chùa c¥y cët, ìn và o l  m²t. Mët vectì ch¿ ph÷ìng cõa tia n­ng chùa
÷íng th¯ngal 
#
u= (3;b;c). T½nhb+c?
KQ:yzxA
0
AOSEA
0
30

60

C¥u 22.
Khi c­t mët vªt thº h¼nh chi¸c n¶m bði m°t ph¯ng vuæng gâc vîi tröcOx
t¤i iºm câ ho nh ëx(vîi2x2), m°t c­t l  tam gi¡c vuæng câ mët
gâc b¬ng45

v  ë d i mët c¤nh gâc vuæng l 
p
4x
2
(dm). ÷ñc mæ t£
nh÷ h¼nh v³ b¶n. Bi¸t thº t½ch cõa vªt thº câ d¤ngV=
a
b
(dm
3
) (vîia,b
l  c¡c sè nguy¶n d÷ìng v 
a
b
tèi gi£n. T½nh gi¡ trà cõa biºu thùcT=a
b
.
KQ:O
p
4x
2
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

14. ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NTrang12 D. — ÆN TŠP SÈ 4A1
B i tªp tr­c nghi»m bèn ph÷ìng ¡n lüa chån
C¥u 1.Di»n t½ch cõa h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði ç thà cõa hai h m sèy=x
3
; y=xv  hai ÷íng th¯ng
x= 0,x= 2b¬ng
A.2. B.
5
2
. C.
9
4
. D.
1
4
.
C¥u 2.Ph÷ìng tr¼nh n o d÷îi ¥y l  ph÷ìng tr¼nh m°t ph¯ng i qua iºmM(1; 2;3)v  câ vectì
ph¡p tuy¸n
#
n= (1;2; 3).
A.x2y+ 3z12 = 0. B.x2y3z+ 6 = 0.
C.x2y+ 3z+ 12 = 0. D.x2y3z6 = 0.
C¥u 3.Cho ÷íng th¯ngd:
x2
1
=
y1
2
=
z+ 3
1
. Vectì n o d÷îi ¥y l  vectì ch¿ ph÷ìng cõad.
A.
#
u1= (2; 1;3). B.
#
u2= (2;1; 3). C.
#
u3= (1; 2; 1). D.
#
u4= (1; 2;1).
C¥u 4.Ph÷ìng tr¼nh n o d÷îi ¥y l  ph÷ìng tr¼nh ch½nh t­c cõa ÷íng th¯ngd:
8
>
<
>
:
x= 1 + 2t
y= 3t
z=2 +t
?
A.
x+ 1
2
=
y
3
=
z2
1
. B.
x1
2
=
y
3
=
z+ 2
1
.
C.
x+ 1
2
=
y
3
=
z2
2
. D.
x1
1
=
y
3
=
z+ 2
2
.
C¥u 5.Trong khæng gianOxyz, ph÷ìng tr¼nh n o sau ¥y l  ph÷ìng tr¼nh cõa m°t c¦u câ t¥m
I(7; 6;5)v  b¡n k½nh9.
A.(x+ 7)
2
+ (y+ 6)
2
+ (z5)
2
= 81. B.(x+ 7)
2
+ (y+ 6)
2
+ (z5)
2
= 9.
C.(x7)
2
+ (y6)
2
+ (z+ 5)
2
= 81. D.(x7)
2
+ (y6)
2
+ (z+ 5)
2
= 9.
C¥u 6.Cho m°t c¦u(S): (x+ 1)
2
+ (y2)
2
+ (z1)
2
= 9. To¤ t¥mIv  b¡n k½nhRcõa(S)l 
A.I(1; 2; 1)v R= 3. B.I(1;2;1)v R= 3.
C.I(1; 2; 1)v R= 9. D.I(1;2;1)v R= 9.
C¥u 7.Trong khæng gianOxyz, cho m°t c¦u(S)câ t¥mI(0; 0;3)v  i qua iºmM(4; 0; 0). Ph÷ìng
tr¼nh cõa(S)l 
A.x
2
+y
2
+ (z+ 3)
2
= 25. B.x
2
+y
2
+ (z+ 3)
2
= 5.
C.x
2
+y
2
+ (z3)
2
= 25. D.x
2
+y
2
+ (z3)
2
= 5.
C¥u 8.Cho hai bi¸n cèAv Bl  hai bi¸n cè ëc lªp, vîiP(A) = 0;2024;P(B) = 0;2025. T½nh
P(AjB).
A.0;7976. B.0;7975. C.0;2025. D.0;2024.
C¥u 9.Cho hai bi¸n cèAv B, vîiP(A) = 0;6;P(B) = 0;7;P(A\B) = 0;3. T½nhP(A\B).
A.
2
5
. B.
1
2
. C.
6
7
. D.
1
7
.
C¥u 10.Mët phö nú sinh hai ng÷íi con. X¡c su§t º c£ hai l  con trai b¬ng bao nhi¶u bi¸t r¬ng ng÷íi
phö nú â câ ½t nh§t mët ng÷íi con trai.
A.
2
3
. B.
1
3
. C.
1
2
. D.
3
4
.
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

15. BË — ÆN THI HK2 TON 12N‹M HÅC 20242025ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–N13Trang
C¥u 11.Cho hai bi¸n cèAv B, vîiP(B)>0. Cæng thùc n o sau ¥y l  óng.
A.P(AjB) =
P(A)P(BjA)
P(B)P(AjB) +P(A)P(BjA)
.
B.P(AjB) =
P(A)P(BjA)
P(A)P(BjA) +P(A)P(BjA)
.
C.P(AjB) =
P(B)P(AjB)
P(A)P(BjA) +P(A)P(BjA)
.
D.P(AjB) =
P(B)P(AjB)
P(B)P(AjB) +P(A)P(BjA)
.
C¥u 12.Cho hai bi¸n cèA,BvîiP(B) = 0;6;P(AjB) = 0;7v P(AjB) = 0;4. Khi â,P(A)
b¬ng
A.0;58. B.0;4. C.0;7. D.0;52.
A2
B i tªp tr­c nghi»m óng sai
C¥u 13.Cho ÷íng th¯ngd1i qua iºmA(2;1; 3)v  câ vectì ch¿ ph÷ìng
#
u1= (3; 4;2),d2i qua
iºmB(0; 1;1)v  câ vectì ch¿ ph÷ìng
#
u2= (2; 1; 5). C¡c kh¯ng ành sau óng hay sai?
Ph¡t biºu S
a)iºmB(1; 2; 3)thuëc ÷íng th¯ngd1.
b)[
#
u1;
#
u2] = (22;11; 11).
c)d1v d2ch²o nhau.
d)d1v d2khæng vuæng gâc.
C¥u 14.Trong khæng gian vîi h» tåa ëOxyz, cho m°t c¦u t¥mI(2; 1; 5)b¡n k½nh3. Cho c¡c iºm
A(10; 1; 2),B(0; 1; 4),C(0; 3; 4).
Ph¡t biºu S
a)Ph÷ìng tr¼nh m°t c¦u(S)l (x+ 2)
2
+ (y1)
2
+ (z5)
2
= 3.
b)iºmAngo i m°t c¦u(S).
c)÷íng th¯ngABc­t m°t c¦u(S).
d)M°t ph¯ng(ABC)c­t(S)theo giao tuy¸n l  ÷íng trán câ b¡n k½nh b¬ng3.
C¥u 15.K¸t qu£ kh£o s¡t nhúng b»nh nh¥n bà tai n¤n xe m¡y v· mèi li¶n h» giúa vi»c ëi mô b£o
hiºm v  kh£ n«ng bà ch§n th÷ìng vòng ¦u cho th§y
ÌT¿ l» b»nh nh¥n bà ch§n th÷ìng vòng ¦u khi g°p tai n¤n l 80%;
ÌT¿ l» b»nh nh¥n ëi mô b£o hiºm óng c¡ch khi g°p tai n¤n l 90%;
ÌT¿ l» b»nh nh¥n ëi mô b£o hiºm óng c¡ch bà ch§n th÷ìng vòng ¦u l 18%
Gåi A l  bi¸n cè: B»nh nh¥n bà ch§n th÷ìng vòng ¦u khi g°p tai n¤n v  B l  bi¸n cè: B»nh nh¥n
ëi mô b£o hiºm óng c¡ch khi g°p tai n¤n.
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

16. ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NTrang14
Ph¡t biºu S
a)X¡c su§t º khi g°p tai n¤n, b»nh nh¥n ëi mô b£o hiºm óng c¡ch v  bà ch§n
th÷ìng vòng ¦u l 0;144.
b)X¡c su§t º khi g°p tai n¤n, b»nh nh¥n khæng ëi mô b£o hiºm óng c¡ch v  bà
ch§n th÷ìng vòng ¦u khi g°p tai n¤n l 0;65.
c)X¡c su§t º khi g°p tai n¤n, b»nh nh¥n khæng ëi mô b£o hiºm óng c¡ch bi¸t b»nh
nh¥n bà ch§n th÷ìng vòng ¦u l 0;82.
d)Vi»c ëi mô b£o hiºm óng c¡ch s³ l m gi£m kh£ n«ng ch§n th÷ìng vòng ¦u xuèng
kho£ng4;6l¦n.
C¥u 16.Trong mët tr÷íng håc, t¿ l» håc sinh nú l 52%. T¿ l» håc sinh nú v  t¿ l» håc sinh nam tham
gia c¥u l¤c bë ngh» thuªt l¦n l÷ñt l 18%v 15%. G°p ng¨u nhi¶n 1 håc sinh cõa tr÷íng.
Ph¡t biºu S
a)X¡c su§t håc sinh â tham gia c¥u l¤c bë ngh» thuªt n¸u l  håc sinh nú l 0;18.
b)X¡c su§t håc sinh â tham gia c¥u l¤c bë ngh» thuªt n¸u l  håc sinh nam l 0;15.
c)X¡c su§t håc sinh â câ tham gia c¥u l¤c bë ngh» thuªt l 0;1656.
d)Bi¸t r¬ng håc sinh câ tham gia c¥u l¤c bë ngh» thuªt. X¡c su§t håc sinh â l  nam
l 
13
23
.
A3
B i tªp tr­c nghi»m tr£ líi ng­n
C¥u 17.
Cho h m sèy=f(x) =ax
3
+bx
2
+cx+d;(a,b,c,d2R,a6= 0)câ ç
thà(C). Bi¸t r¬ng ç thà(C)ti¸p xóc vîi ÷íng th¯ngy= 4t¤i iºm câ
ho nh ë ¥m v  ç thà cõa h m sèy=f
0
(x)cho bði h¼nh v³ b¶n. T½nh thº
t½ch vªt thº trán xoay ÷ñc t¤o th nh khi quay h¼nh ph¯ngHgiîi h¤n bði
ç thà(C)v  tröc ho nh khi quay xung quanh tröcOx. (K¸t qu£ l m trán
¸n h ng ph¦n m÷íi)
KQ:xyO113y=f
0
(x)
C¥u 18.Trong khæng gianOxyz, cho hai iºmA(2; 4; 1),B(1; 1; 3)v  m°t ph¯ng(P):x3y+
2z5 = 0. M°t ph¯ng(Q)i qua hai iºmA,Bv  vuæng gâc vîi m°t ph¯ng(P)câ ph÷ìng tr¼nh
ax+by+cz11 = 0. T½nhT=a+b+c.
KQ:
C¥u 19.T¤i mët nót giao thæng câ hai con ÷íng. Tr¶n thi¸t k¸, trong khæng gianOxyz, hai con ÷íng
â thuëc hai ÷íng th¯ng l¦n l÷ñt câ ph÷ìng tr¼nh l d1:
8
>
<
>
:
x= 1 +at
y=t
z=1 + 2t
v d2:
x1
1
=
y2
2
=
z3
1
.
T¼maº nót giao thæng tr¶n l  nót giao thæng còng mùc.
KQ: BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

17. BË — ÆN THI HK2 TON 12N‹M HÅC 20242025ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–N15Trang
C¥u 20.Mët vä kem èc qu¸ l  mët lo¤i b¡nh khæ, h¼nh nân(N)trong khæng gianOxyz, th÷íng ÷ñc
l m b¬ng mët chi¸c b¡nh xèp dòng º °t kem v o v  c¦m «n m  khæng c¦n b¡t ho°c muéng. Ng÷íi
ta th£ v o vä kem(N)mët vi¶n kem vani h¼nh c¦u câ ½nh hai vi¶n socola nhä t¤i hai và tr½A(2; 1; 3)
v B(6; 5; 5)sao cho ÷íng k½nhABcâBl  t¥m ÷íng trán ¡y khèi nân. Khi thº t½ch cõa khèi nân
(N)nhä nh§t th¼ m°t ph¯ng qua ¿nhScõa khèi nân(N)v  song song vîi m°t ph¯ng chùa ÷íng
trán ¡y cõa(N)câ ph÷ìng tr¼nh2x+by+cz+d= 0. T½nh gi¡ trà cõa biºu thùcT=b+c+d.
KQ:
C¥u 21.Mët cæng ty §u th¦u hai dü ¡n. Kh£ n«ng th­ng th¦u cõa c¡c dü ¡n1l 0;4v  dü ¡n2l 
0;5. Kh£ n«ng th­ng th¦u cõa c£ hai dü ¡n l 0;3. T½nh x¡c xu§t º cæng ty th­ng dü ¡n2bi¸t cæng
ty khæng th­ng th¦u dü ¡n1(l m trán k¸t qu£ ¸n h ng ph¦n tr«m).
KQ:
C¥u 22.Anh Nam h¬ng ng y i l m b¬ng xe m¡y ho°c xe buþt. N¸u hæm nay anh i l m b¬ng xe buþt
th¼ x¡c su§t º hæm sau anh i l m b¬ng xe m¡y l 0;3. N¸u hæm nay anh i l m b¬ng xe m¡y th¼ x¡c
su§t º hæm sau anh i l m b¬ng xe buþt l 0;6. X²t mët tu¦n m  thù Hai anh Nam i l m b¬ng xe buþt.
X¡c su§t º thù T÷ trong tu¦n â, anh Nam i l m b¬ng xe m¡y l  bao nhi¶u?
KQ: E. — ÆN TŠP SÈ 5A1
B i tªp tr­c nghi»m bèn ph÷ìng ¡n lüa chån
C¥u 1.
Cæng thùc n o sau ¥y º t½nh di»n t½ch h¼nh ph¯ngS(ph¦n
tæ ªm trong h¼nh v³)
A.S=
bZ
a
f(x) dx
bZ
a
g(x) dx.
B.S=
bZ
a
f(x) dx+
bZ
a
g(x) dx.
C.S=






bZ
a
g(x) dx













bZ
a
f(x) dx






.
D.S=
bZ
a
g(x) dx
bZ
a
f(x) dx.
Oxyf(x)g(x)ab
C¥u 2.Ph÷ìng tr¼nh n o d÷îi ¥y l  ph÷ìng tr¼nh cõa m°t ph¯ng(Oyz)?
A.y= 0. B.x= 0. C.yz= 0. D.z= 0.
C¥u 3.÷íng th¯ngd:
x2
3
=
y3
6
=
z1
9
câ mët vectì ch¿ ph÷ìng l 
A.
#
u1= (2; 3; 1). B.
#
u2= (6; 3; 9). C.
#
u3= (3; 9; 6). D.
#
u4= (1; 2; 3).
C¥u 4.Cho ÷íng th¯ngi qua iºmM(2; 0;1)v  câ vectì ch¿ ph÷ìng
#
a= (2;3; 1). Ph֓ng
tr¼nh tham sè cõa ÷íng th¯ngl 
A.
8
>
<
>
:
x=2 + 4t
y=6t
z= 1 + 2t
(t2R). B.
8
>
<
>
:
x= 2 + 2t
y=3t
z=1 +t
(t2R).
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

18. ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NTrang16
C.
8
>
<
>
:
x= 2 + 2t
y=3
z=1 +t
(t2R). D.
8
>
<
>
:
x= 2 + 2t
y=3t
z= 1 +t
(t2R).
C¥u 5.M°t c¦u t¥mI(3; 0; 4)v  i qua iºmA(3; 0; 0)câ ph÷ìng tr¼nh l 
A.(x3)
2
+y
2
+ (z+ 4)
2
= 4. B.(x3)
2
y
2
+ (z+ 4)
2
= 16.
C.(x+ 3)
2
+y
2
+ (z4)
2
= 16. D.(x+ 3)
2
+y
2
+ (z4)
2
= 4.
C¥u 6.M°t c¦u(S): (x11)
2
+ (y12)
2
+ (z13)
2
= 100câ b¡n k½nh l 
A.10. B.11. C.12. D.13.
C¥u 7.Gieo l¦n l÷ñt hai con xóc x­c c¥n èi v  çng ch§t. T½nh x¡c su§t º têng sè ch§m xu§t hi»n
tr¶n hai con xóc x­c b¬ng 6. Bi¸t r¬ng con xóc x­c thù nh§t xu§t hi»n m°t 4 ch§m.
A.
2
6
. B.
1
2
. C.
1
6
. D.
5
6
.
C¥u 8.Cho hai bi¸n cèAv Bl  hai bi¸n cè ëc lªp, vîiP(A) = 0;2024,P(B) = 0;2025. T½nh
P(AjB).
A.0;7976. B.0;7975. C.0;2025. D.0;2024.
C¥u 9.T½nh x¡c su§t m  ng÷íi â l  nghi»n thuèc l¡ khi bi¸t bà b»nh phêi.
A.
7
13
. B.
6
13
. C.
4
13
. D.
9
13
.
C¥u 10.
Cho sì ç h¼nh c¥y nh÷ h¼nh b¶n. X¡c su§t cõa bi¸n cèBl 
A.0;42. B.0;62. C.0;28. D.0;48.
A0,20,8A0,7BB0,3B0,6B0,4
C¥u 11.Mët cæng ty x¥y düng §u th¦u2dü ¡n ëc lªp. Kh£ n«ng th­ng th¦u cõa c¡c dü ¡n1l 0;6
v  dü ¡n2l 0;7. T¼m x¡c su§t cæng ty th­ng th¦u óng1dü ¡n.
A.0;28. B.0;7. C.0;46. D.0;18.
C¥u 12.Kho£ng c¡ch tø t¥mIcõa m°t c¦u(S) :x
2
+y
2
+z
2
2x2y2z22 = 0¸n m°t ph¯ng
(): 3x2y+ 6z+ 14 = 0b¬ng
A.1. B.2. C.3. D.4.
A2
B i tªp tr­c nghi»m óng sai
C¥u 13.Trong khæng gianOxyz, cho hai ÷íng th¯ng1:
x
1
=
y3
1
=
z+ 3
2
,2:
x+ 4
2
=
y+ 2
1
=
z4
1
. X²t c¡c vectì
#
u1= (1;1; 2)v 
#
u2= (2; 1;1).
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

19. BË — ÆN THI HK2 TON 12N‹M HÅC 20242025ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–N17Trang
Ph¡t biºu S
a)÷íng th¯ng1i qua iºmM1(0; 3;3)v  câ
#
u1= (1;1; 2)l  mët vectì ch¿
ph֓ng.
b)÷íng th¯ng2i qua iºmM2(4;2; 4)v  câ
#
u2= (2; 1;1)l  mët vectì ch¿
ph֓ng.
c)[
#
u1;
#
u2] = (1;5;3).
d)Hai ÷íng th¯ng1v 2ch²o nhau.
C¥u 14.Trong khæng gian vîi h» tåa ëOxyz, cho m°t c¦u(S)câ t¥mI(1; 4;5)v  i qua iºm
M(3; 1; 2). Méi k¸t qu£ sau ¥y óng hay sai?
Ph¡t biºu S
a)(S): (x+ 1)
2
+ (y4)
2
+ (z+ 5)
2
= 74.
b)(S): (x+ 1)
2
+ (y4)
2
+ (z+ 5)
2
=
p
74.
c)R= 74.
d)R=
p
74.
C¥u 15.Mët cæng ty truy·n thæng §u th¦u2dü ¡n. Kh£ n«ng th­ng th¦u cõa dü ¡n1l 0;5v  dü
¡n2l 0;6. Kh£ n«ng th­ng th¦u cõa c£2dü ¡n l 0;4. GåiA,Bl¦n l÷ñt l  bi¸n cè th­ng th¦u dü ¡n
1v  dü ¡n2.
Ph¡t biºu S
a)Av Bl  hai bi¸n cè khæng ëc lªp.
b)X¡c su§t cæng ty th­ng th¦u óng1dü ¡n l 0;3.
c)Bi¸t cæng ty th­ng th¦u dü ¡n1, x¡c su§t cæng ty th­ng th¦u dü ¡n2l 0;4.
d)Bi¸t cæng ty khæng th­ng th¦u dü ¡n1, x¡c su§t cæng ty th­ng th¦u dü ¡n2l 0;8.
C¥u 16.Mët thèng k¶ cho th§t t¿ l» d¥n sè m­c b»nh hiºm ngh±oYl 0;5%. B  N i x²t nghi»m b»nh
hiºm ngh±oYv  nhªn ÷ñc k¸t qu£ ¥m t½nh. Bi¸t r¬ng, n¸u m­c b»nh hiºm ngh±oYth¼ vîi x¡c su§t
0;94x²t nghi»m d÷ìng t½nh; n¸u khæng bà b»nh hiºm ngh±oYth¼ vîi x¡c su§t0;97x²t nghi»m l  ¥m
t½nh. Kh¯ng ành n o sau ¥y óng?
Ph¡t biºu S
a)Tr÷îc khi ti¸n h nh x²t nghi»m, x¡c su§t khæng m­c b»nh hiºm ngh±oYcõa b N
l 0;995.
b)X¡c su§t º b  N câ x²t nghi»m l  ¥m t½nh n¸u b Nbà b»nhYl 0;03.
c)X¡c su§t º b  N câ x²t nghi»m ¥m t½nh l 0;9.
d)Sau khi x²t nghi»m cho k¸t qu£ ¥m t½nh, x¡c su§t khæng m­c b»nh hiºm ngh±oY
cõa b Nl 99;97%.
A3
B i tªp tr­c nghi»m tr£ líi ng­n
C¥u 17.Cho hai iºmA(0; 0;3)v B(2; 0;1)v  m°t ph¯ng(P): 3x8y+7z1 = 0. GåiC(a;b;c)
l  iºm câ tåa ë nguy¶n thuëc(P)sao cho tam gi¡cABC·u. T½nha+b+c?
KQ: BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

20. ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NTrang18
C¥u 18.
Cho h¼nh(H)giîi h¤n bði ç thà h m sèy=
p
3
9
x
3
, cung trán câ
ph÷ìng tr¼nhy=
p
4x
2
(vîi0x2)v  tröc ho nh (ph¦n tæ ªm
trong h¼nh v³). Bi¸t thº t½ch cõa khèi trán xoay t¤o th nh khi quay(H)
quanh tröc ho nh l V=


a
b
p
3 +
c
d

, trong âa,b,c,d2N

v 
a
b
,
c
d
l  c¡c ph¥n sè tèi gi£n. T½nhP=a+b+c+d.
KQ:xyO2222
C¥u 19.Cho ÷íng th¯ngd:
x1
1
=
y+ 2
1
=
z
2
v  hai iºmA(0; 1; 1),B(5; 0; 5). iºmMthuëcd
sao cho



#
MA3
#
MB


câ gi¡ trà nhä nh§t. T½nh gi¡ trà nhä nh§t â. (L m trán ¸n h ng ph¦n chöc)
KQ:
C¥u 20.Trong khæng gian vîi h» tåa ëOxyz, cho c¡c iºmA(0;1; 3),B(2;8;4),C(2;1; 1)
v  m°t c¦u(S): (x1)
2
+ (y2)
2
+ (z3)
2
= 14. GåiM(xM;yM;zM)l  iºm tr¶n(S)sao cho biºu
thùc


3
#
MA2
#
MB+
#
MC


¤t gi¡ trà nhä nh§t. T½nhP=xM+yM.
KQ:
C¥u 21.Méi b¤n håc sinh trong lîp cõa Minh lüa chån mët trong hai ngo¤i ngú l  ti¸ng Anh ho°c
ti¸ng Nhªt. X¡c su§t chån ti¸ng Anh cõa méi b¤n håc sinh nú l 0;6v  cõa méi b¤n håc sinh nam l 
0;7. Lîp cõa Minh câ25b¤n nú v 20b¤n nam. Chån ra ng¨u nhi¶n mët b¤n trong lîp. T½nh têng x¡c
su§t cõa c¡c bi¸n cè A:B¤n ÷ñc chån l  nam v  håc ti¸ng Nhªt; B:B¤n ÷ñc chån l  nú v  håc ti¸ng
Anh. (L m trán ¸n h ng ph¦n tr«m).
KQ:
C¥u 22.Câ hai ëi thi §u mæn B­n sóng. ëiIcâ5vªn ëng vi¶n, ëiIIcâ7vªn ëng vi¶n. X¡c
su§t ¤t huy ch÷ìng v ng cõa méi vªn ëng vi¶n ëiIv  ëiIIt÷ìng ùng l 0;65v 0;55. Chån ng¨u
nhi¶n mët vªn ëng vi¶n. Gi£ sû vªn ëng vi¶n ÷ñc chån ¤t huy ch÷ìng v ng. T½nh x¡c su§t º vªn
ëng vi¶n n y thuëc ëiI. (L m tráng ¸n h ng ph¦n tr«m).
KQ: F. — ÆN TŠP SÈ 6A1
B i tªp tr­c nghi»m bèn ph÷ìng ¡n lüa chån
C¥u 1.
GåiSl  di»n t½ch h¼nh ph¯ng(H)giîi h¤n bði c¡c ÷íngy=f(x),
tröc ho nh v  hai ÷íng th¯ngx=3,x= 2. °ta=
1Z
3
f(x) dx,
b=
2Z
1
f(x) dx(nh÷ h¼nh v³ b¶n). M»nh · n o sau ¥y óng?
xyO321
A.S=a+b. B.S=ab. C.S=ab. D.S=ba.
C¥u 2.Trong khæng gianOxyz, ph÷ìng tr¼nh n o d÷îi ¥y l  ph÷ìng tr¼nh m°t ph¯ng i qua iºm
M(1; 2;3)v  câ mët vectì ph¡p tuy¸n
#
n= (1;2; 3).
A.x2y+ 3z+ 12 = 0. B.x2y3z6 = 0.
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

21. BË — ÆN THI HK2 TON 12N‹M HÅC 20242025ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–N19Trang
C.x2y+ 3z12 = 0. D.x2y3z+ 6 = 0.
C¥u 3.÷íng th¯ng i qua iºmB(1; 3; 6)nhªn
#
u= (2;3; 8)l m vectì ch¿ ph÷ìng câ ph÷ìng
tr¼nh ch½nh t­c l 
A.
x1
2
=
y+ 3
3
=
z+ 6
8
. B.
x+ 1
2
=
y3
3
=
z6
8
.
C.
x+ 1
2
=
y3
3
=
z6
8
. D.
x+ 1
2
=
y3
3
=
z6
8
.
C¥u 4.Trong khæng gianOxyz, cho ba iºm khæng th¯ng h ngA(1; 3; 1),B(0; 3; 2)v C(1; 2; 2).
÷íng th¯ng(d)vuæng gâc vîi m°t ph¯ng(ABC)câ vectì ch¿ ph÷ìng l 
A.
#
u= (1; 2;3). B.
#
u= (1; 1; 1). C.
#
u= (1;2; 3). D.
#
u= (1; 1;1).
C¥u 5.Trong khæng gian vîi h» tröc tåa ëOxyz, ph÷ìng tr¼nh n o sau ¥y l  ph÷ìng tr¼nh m°t
c¦u
A.x
2
+y
2
+z
2
2x= 0. B.x
2
+y
2
z
2
+ 2xy+ 1 = 0.
C.2x
2
+ 2y
2
= (x+y)
2
z
2
+ 2x1. D.(x+y)
2
= 2xyz
2
1.
C¥u 6.Trong khæng gian vîi h» tröc tåa ëOxyz, m°t c¦u(S) (x1)
2
+y
2
+ (z+ 3)
2
= 16câ t¥m
l 
A.I(1; 0; 3). B.I(1; 0;3). C.I(1; 0;3). D.I(1; 2;3).
C¥u 7.Cho hai bi¸n cèA,Bcâ x¡c su§tP(A) = 0;4,P(B) = 0;6,P(AB) = 0;2. T½nh x¡c su§t
P(AjB).
A.
1
3
. B.
1
2
. C.0;3. D.0;25.
C¥u 8.Cho hai bi¸n cèA,Bcâ x¡c su§tP(A) = 0;4,P(B) = 0;3,P(AjB) = 0;25. T½nh x¡c su§t
P(BjA).
A.0;1875. B.0;48. C.0;333. D.0;95.
C¥u 9.Cho hai bi¸n cèAv Bvîi0< P(B)<1. Khi â cæng thùc x¡c su§t to n ph¦n cho bi¸n cèA
l 
A.P(A) = P(B)P(AjB) + P(B)P(AjB). B.P(A) = P(A)P(AjB) + P(A)P(AjB).
C.P(A) = P(B)P(AjB) + P(B)P(AjB). D.P(B) = P(B)P(AjB) + P(B)P(BjB).
C¥u 10.Cho hai bi¸n cèA=A1+A2v  bi¸n cèB=B1+B2biºu di¹n theo ç Ven nh÷ sau
A2A1B1B2
T½nh x¡c xu§t cõaP(A).
A.P(A) = P(B1)P(A1jB1) + P(B2)P(A1jB2).B.P(A) = P(B1)P(AjB1) + P(B2)P(AjB2).
C.P(A) = P(B)P(A1jB1) + P(B)P(A2jB2). D.P(A) = P(A1)P(AjB1) + P(B2)P(AjB2).
C¥u 11.Ph÷ìng tr¼nh m°t c¦u(S)câ t¥mO, ti¸p xóc vîi m°t ph¯ng() : 16x15y12z+ 75 = 0
l 
A.x
2
+y
2
+z
2
3x= 9. B.x
2
+y
2
+z
2
= 3.
C.x
2
+y
2
+z
2
= 81. D.x
2
+y
2
+z
2
= 9.
C¥u 12.Mët nhâm50håc sinh câ23b¤n bi¸t chìi c¦u læng m  khæng bi¸t chìi bâng ¡ v 21b¤n bi¸t
chìi bâng ¡ m  khæng bi¸t chìi c¦u læng. Bi¸t r¬ng méi håc sinh trong nhâm n y bi¸t chìi bâng ¡
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

22. ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NTrang20
ho°c c¦u læng. Chån ng¨u nhi¶n mët håc sinh trong nhâm. T½nh x¡c su§t håc sinh n y bi¸t chìi bâng
¡, bi¸t r¬ng b¤n §y bi¸t chìi c¦u læng.
A.
23
29
. B.
6
29
. C.
21
29
. D.
6
23
.
A2
B i tªp tr­c nghi»m óng sai
C¥u 13.Trong khæng gianOxyz, cho m°t ph¯ng():x+yz+ 6 = 0v  ÷íng th¯ngd:
x1
2
=
y+ 4
3
=
z
5
.
Ph¡t biºu S
a)M°t ph¯ng()câ vectì ph¡p tuy¸n
#
n= (1; 1;1).
b)d ().
c)÷íng th¯ng i quaAv  vuæng gâc vîi()câ ph÷ìng tr¼nh
8
>
<
>
:
x= 1 +t
y=4 +t
z=t
(t2R).
d)H¼nh chi¸u vuæng gâc cõadl¶n()câ ph÷ìng tr¼nh l 
x
2
=
y+ 5
3
=
z+ 1
5
.
C¥u 14.Cho(S) :x
2
+y
2
+z
2
2x4y+ 6z67 = 0.
Ph¡t biºu S
a)M°t c¦u(S)câ t¥mI(1; 2; 3).
b)B¡n k½nh m°t c¦u(S)l R= 9.
c)Cho m°t ph¯ng(P) : 2x2y+z13 = 0. Khi â(P)ti¸p xóc vîi(S).
d)Cho ÷íng th¯ng() :
8
>
<
>
:
x= 1 +t
y= 2
z=4 + 7t
. Khi â()v (S)c­t nhau t¤i hai iºm.
C¥u 15.Mët lîp håc câ17håc sinh nam v 24håc sinh nú. Cæ gi¡o gåi ng¨u nhi¶n l¦n l÷ñt2håc sinh
(câ thù tü) l¶n tr£ líi c¥u häi. X²t c¡c bi¸n cèA: L¦n thù nh§t cæ gi¡o gåi1håc sinh nam;B: L¦n
thù hai cæ gi¡o gåi1håc sinh nú. X²t t½nh óng sai cõa c¡c kh¯ng ành sau?
Ph¡t biºu S
a)P(BjA) = 0;575.
b)P(BjA) = 0;6.
Ph¡t biºu S
c)P(BjA) = 0;425.
d)P(BjA) = 0;4.
C¥u 16.K¸t qu£ kh£o s¡t t¤i mët x¢ cho th§y câ20%c÷ d¥n hót thuèc l¡. T¿ l» c÷ d¥n th÷íng xuy¶n
g°p c¡c v§n · sùc kho´ v· ÷íng hæ h§p trong sè nhúng ng÷íi hót thuèc l¡ v  khæng hót thuèc l¡ l¦n
l÷ñt l 70%,15%. Gi£ sû ta g°p mët c÷ d¥n cõa x¢, gåiAl  bi¸n cè Ng÷íi â câ hót thuèc l¡ v B
l  bi¸n cè Ng÷íi â th÷íng xuy¶n g°p c¡c v§n · sùc kho´ v· ÷íng hæ h§p.
Ph¡t biºu S
a)P(AB) = 0;13.
b)P(AB) = 0;14.
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

23. BË — ÆN THI HK2 TON 12N‹M HÅC 20242025ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–N21Trang
Ph¡t biºu S
c)N¸u ta g°p mët c÷ d¥n cõa x¢ th¼ x¡c su§t ng÷íi â th÷íng xuy¶n g°p c¡c v§n ·
sùc kho´ v· ÷íng hæ h§p l 0;26.
d)N¸u ta g°p mët c÷ d¥n cõa x¢ th÷íng xuy¶n g°p c¡c v§n · sùc kho´ v· ÷íng hæ
h§p th¼ x¡c su§t ng÷íi â câ hót thuèc l¡ x§p x¿54%.
A3
B i tªp tr­c nghi»m tr£ líi ng­n
C¥u 17.Trong khæng gianOxyz, cho h¼nh hëpABCD:A
0
B
0
C
0
D
0
câA(1; 0; 1),B(2; 1; 2),D(1;1; 1),
C
0
(4; 5;5). Chi·u cao cõa h¼nh hëpABCD:A
0
B
0
C
0
D
0
l 
a
p
b
2
. Gi¡ trà cõaabb¬ng bao nhi¶u?
KQ:
C¥u 18.Trong khæng gianOxyz, cho iºmA(1;1; 2), m°t ph¯ng(P):x+y2z+ 5 = 0v  ÷íng
th¯ngd:
x+ 1
2
=
y
1
=
z2
1
. ÷íng th¯ngc­tdv (P)l¦n l÷ñt t¤iMv Nsao choAl  trung iºm
cõa o¤n th¯ngMN. Ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ngcâ d¤ng
x+ 9
a
=
yy0
3
=
zz0
b
vîiab6= 0.
T½nha
2
+b
2
+y
2
0+z
2
0.
KQ:
C¥u 19.Mët c¡i cêng câ k½ch th÷îc nh÷ H¼nh a. Vám cêng câ h¼nh d¤ng mët parabol câ ¿nhI(0; 2)
v  i qua iºmB

5
2
;
3
2
‹
nh÷ H¼nh b. T½nh di»n t½ch hai c¡nh cûa cêng.(K¸t qu£ l m trán ¸n h ng
ph¦n tr«m)
KQ:5 m2 m
3
2
ma)xyO
5
2
5
2
3
2
AB2IDCb)
C¥u 20.Trong khæng gianOxyz, cho c¡c iºmM(2; 1; 4),N(5; 0; 0),P(1;3; 1). GåiI(a;b;c)l  t¥m
cõa m°t c¦u ti¸p xóc vîi m°t ph¯ng(Oyz)çng thíi i qua c¡c iºmM; N; P. Bi¸t r¬nga+b+c <5.
Khi âcb¬ng bao nhi¶u?
KQ:
C¥u 21.Hëp thù nh§t câ4vi¶n bi xanh v 6vi¶n bi ä. Hëp thù hai câ5vi¶n bi xanh v 4vi¶n bi
ä. C¡c vi¶n bi câ còng k½ch th÷îc v  khèi l÷ñng. L§y ra ng¨u nhi¶n1vi¶n bi tø hëp thù nh§t chuyºn
sang hëp thù hai. Sau â l¤i l§y ra ng¨u nhi¶n1vi¶n bi tø hëp thù hai. Sû döng sì ç h¼nh c¥y, t½nh
x¡c su§t cõa bi¸n cèB:Hai vi¶n bi l§y ra câ còng m u.
KQ:
C¥u 22.Trong1¡m æng, sè ng÷íi nam b¬ng sè ng÷íi nú. X¡c su§t m­c cªn thà cõa nam l 0;4v 
nú l 0;6. Chån ng¨u nhi¶n1ng÷íi. X¡c su§t chån ÷ñc nam khæng cªn thà. (L m trán ¸n k¸t qu£
h ng ph¦n tr«m)
KQ: BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

24. ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NTrang22 G. — ÆN TŠP SÈ 7A1
B i tªp tr­c nghi»m bèn ph÷ìng ¡n lüa chån
C¥u 1.
T½nh di»n t½chScõa h¼nh ph¯ng (ph¦n g¤ch såc) trong
h¼nh b¶n
A.S=
8
3
. B.S=
10
3
.
C.S=
11
3
. D.S=
7
3
.
xyg(x) =x2f(x) =
p
xO24
C¥u 2.Trong khæng gianOxyz, cho hai iºmA(1; 2; 3)v B(3; 2; 1). Ph÷ìng tr¼nh m°t ph¯ng trung
trüc cõa o¤n th¯ngABl 
A.x+yz2 = 0.B.yz= 0. C.xy= 0. D.zx= 0.
C¥u 3.Ph÷ìng tr¼nh tham sè cõa ÷íng th¯ngdi quaM(2; 0; 1)v  câ vectì ch¿ ph÷ìng
#
u= (4;6; 2)
câ ph÷ìng tr¼nh l 
A.d:
8
>
<
>
:
x= 2 + 2t
y=3t
z= 1 +t
. B.d:
8
>
<
>
:
x= 2 + 2t
y=3t
z=1 +t
. C.d:
8
>
<
>
:
x= 4 + 2t
y=63t
z= 2 +t
.D.d:
8
>
<
>
:
x=2 + 4t
y=6t
z= 1 + 2t
.
C¥u 4.H¼nh chi¸u vuæng gâc cõa iºmM(0;1;2)tr¶n m°t ph¯ng():xy+z2 = 0l 
M
0
(x0;y0;z0). T½nhx0+y0+z0.
A.x0+y0+z0= 0. B.x0+y0+z0=2.C.x0+y0+z0= 4. D.x0+y0+z0=4.
C¥u 5.Trong khæng gianOxyz, cho iºmM(1;2; 3). GåiIl  h¼nh chi¸u vuæng gâc cõaMtr¶n tröc
Ox. Ph÷ìng tr¼nh n o sau ¥y l  ph÷ìng tr¼nh cõa m°t c¦u t¥mIb¡n k½nhIM?
A.(x1)
2
+y
2
+z
2
=
p
13. B.(x1)
2
+y
2
+z
2
= 13.
C.(x+ 1)
2
+y
2
+z
2
= 13. D.(x+ 1)
2
+y
2
+z
2
= 17.
C¥u 6.Trong khæng gianOxyz, cho m°t c¦u(S)câ ph÷ìng tr¼nh:x
2
+y
2
+z
2
2x4y+ 6z2 = 0.
Tåa ë t¥mIv  b¡n k½nhRcõa m°t c¦u(S)l 
A.I(1; 2;3)v R= 4. B.I(1;2;3)v R= 2
p
3.
C.I(1;2;3)v R= 2
p
3. D.I(1;2; 3)v R= 4.
C¥u 7.Trong khæng gian vîi h» tåa ëOxyz, cho c¡c iºmA(1; 2; 1),B(2; 0;1),C(1; 3; 4),D(0;2; 2).
Bi¸t r¬ng tªp hñp c¡c iºmMthäa m¢nMA
2
+MB
2
+MC
2
= 4MD
2
l  mët m°t c¦u. T¼m b¡n k½nh
cõa m°t c¦u â.
A.
p
46. B.
p
33. C.
p
125. D.
p
206.
C¥u 8.ChoP(A) =
2
5
;P

BjA

=
1
4
. Gi¡ trà cõaP

BA

l 
A.
1
7
. B.
4
19
. C.
4
21
. D.
3
20
.
C¥u 9.Cho hai bi¸n cèAv BcâP(A) = 0,8;P(B) = 0,5v P(AB) = 0,2. X¡c su§t bi¸n cèBkhæng
x£y ra vîi i·u ki»n bi¸n cèAx£y ra l 
A.0,6. B.0,5. C.0,75. D.0,25.
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

25. BË — ÆN THI HK2 TON 12N‹M HÅC 20242025ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–N23Trang
C¥u 10.Trong mët khu phè câ100nh , t¤i â câ60nh  g­n biºn sè ch®n v 40nh  g­n biºn sè l´.
B¶n c¤nh â, câ50nh  g­n biºn sè ch®n v 20nh  g­n biºn sè l´ ·u câ æ tæ. Chån ng¨u nhi¶n mët
nh  trong khu phè â. T½nh x¡c su§t nh  ÷ñc chån câ æ tæ, bi¸t r¬ng nh  â câ g­n biºn sè ch®n.
A.
7
10
. B.
1
2
. C.
3
5
. D.
5
6
.
C¥u 11.Cho hai bi¸n cèA,BvîiP(B) = 0;6;P(AjB) = 0;7v P

AjB

= 0;4. Khi â,P(A)
b¬ng
A.0;7. B.0;4. C.0;58. D.0;52.
C¥u 12.ChoP(A) =
4
5
;P (BjA) =
2
3
;P

BjA

=
1
4
. Gi¡ trà cõaP(AjB)l 
A.
33
35
. B.
32
35
. C.
9
35
. D.
26
35
.
A2
B i tªp tr­c nghi»m óng sai
C¥u 13.Cho iºmA(1; 1; 2)v  ÷íng th¯ng:
x2
2
=
y+ 2
1
=
z3
1
:
Ph¡t biºu S
a)iºmAkhæng thuëc.
b)Mët vectì ch¿ ph÷ìng cõal 
#
v= (2; 1;1).
c)H¼nh chi¸u cõaAtr¶nl H(0;1; 2).
d)iºm èi xùng vîiAqual A
0
(1; 3;2).
C¥u 14.Trong khæng gianOxyz, vi¸t ph÷ìng tr¼nh cõa m°t c¦u(S)câ t¥mI(0; 3;1)v  câ b¡n k½nh
b¬ng kho£ng c¡ch tøI¸n m°t ph¯ng(P) : 3x+ 2yz= 0.
Ph¡t biºu S
a)M°t ph¯ng(P)câ mët vectì ph¡p tuy¸n l 
#
n= (3; 2; 1).
b)OI= 2
p
2.
c)d(I;(P)) =
p
14
2
.
d)(S):x
2
+ (y3)
2
+ (x+ 1)
2
=
7
2
.
C¥u 15.
º thû nghi»m t¡c döng i·u trà b»nh m§t ngõ cõa hai lo¤i
thuècXv Y, ng÷íi ta ti¸n h nh thû nghi»m tr¶n4000ng÷íi
b»nh t¼nh nguy»n. K¸t qu£ ÷ñc cho trong b£ng thèng k¶ b¶n.
Chån ng¨u nhi¶n 1 ng÷íi b»nh tham gia t¼nh nguy»n thû nghi»m
thuèc.
K¸t qu£ dòng thuècX Y
Khäi b»nh 1 6001 200
Khæng khäi b»nh800400
GåiAl  bi¸n cè Ng÷íi ÷ñc chån khäi b»nh;Bl  bi¸n cè Ng÷íi ÷ñc chån uèng thuècX;Cl  bi¸n
cè Ng÷íi ÷ñc chån uèng thuècY.
Ph¡t biºu S
a)X¡c su§t ng÷íi ÷ñc chån khäi b»nh l 
3
5
.
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

26. ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NTrang24
Ph¡t biºu S
b)X¡c su§t º ng÷íi ÷ñc chån khäi b»nh bi¸t ng÷íi â uèng thuècXl 
2
3
.
c)Sè ng÷íi uèng thuècYv  khäi b»nh l 1 200.
d)X¡c su§t ng÷íi ÷ñc chån uèng thuècYbi¸t ng÷íi â khäi b»nh l 
3
7
.
C¥u 16.Mët thèng k¶ cho th§y t¿ l» d¥n sè m­c b»nh hiºm ngh±oYl 0;5%. B  N i x²t nghi»m b»nh
hiºm ngh±oYv  nhªn ÷ñc k¸t qu£ ¥m t½nh. Bi¸t r¬ng, n¸u m­c b»nh hiºm ngh±oYth¼ vîi x¡c su§t
0;94x²t nghi»m d÷ìng t½nh; n¸u khæng bà b»nh hiºm ngh±oYth¼ vîi x¡c su§t0;97x²t nghi»m l  ¥m
t½nh. Kh¯ng ành n o sau ¥y óng?
Ph¡t biºu S
a)Tr÷îc khi ti¸n h nh x²t nghi»m, x¡c su§t khæng m­c b»nh hiºm ngh±oYcõa b N
l 0;995.
b)X¡c su§t º b  N câ x²t nghi»m l  ¥m t½nh n¸u b Nbà b»nhYl 0;03.
c)X¡c su§t º b  N câ x²t nghi»m ¥m t½nh l 0;9.
d)Sau khi x²t nghi»m cho k¸t qu£ ¥m t½nh, x¡c su§t khæng m­c b»nh hiºm ngh±oY
cõa b Nl 99;97%.
A3
B i tªp tr­c nghi»m tr£ líi ng­n
C¥u 17.
Trong khæng gian vîi h» tåa ëOxyz(ìn và tr¶n
méi tröc to¤ ë l  km), mët m¡y bay ang ð và
tr½A(3;2;5; 0;5)v  s³ h¤ c¡nh ð và tr½B(3; 7;5; 0)
tr¶n ÷íng b«ng (h¼nh b¶n). Câ mët lîp m¥y ÷ñc
mæ phäng bði mët m°t ph¯ng()i qua ba iºm
M(9; 0; 0),N(0;9; 0),P(0; 0; 0;9). T½nh ë cao
cõa m¡y bay khi m¡y bay xuy¶n qua ¡m m¥y º
h¤ c¡nh.
KQ:xOyzNP90;99MCAB
C¥u 18.
Trong khæng gian vîi h» tåa ëOxyz, mët cabin c¡p
treo xu§t ph¡t tø iºmA(10; 3; 0)v  chuyºn ëng ·u
theo ÷íng c¡p câ vectì ch¿ ph÷ìng l 
#
u= (2;2; 1)
vîi tèc ë l 4;5m/s (ìn và tr¶n méi tröc tåa ë l 
m²t). Sau thíi gian180gi¥y, Cabin døng ð iºmB.
T¼m tung ë iºmB.
KQ:xyzB550xBO310A(10; 3; 0)
#
uM"H¼nh 35 BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

27. BË — ÆN THI HK2 TON 12N‹M HÅC 20242025ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–N25Trang
C¥u 19.Mët t u häa ang ch¤y vîi vªn tèc200m/s th¼ ng÷íi l¡i t u ¤p phanh, tø â t u chuyºn
ëng chªm d¦n ·u vîi vªn tècv(t) = 20020t(m/s). Häi thíi gian t u i ÷ñc qu¢ng ÷íng750m
(kº tø lóc b­t ¦u ¤p phanh) ½t hìn bao nhi¶u gi¥y so vîi lóc t u døng h¯n?
KQ:
C¥u 20.B¤n B¼nh è b¤n Nam t¼m ÷ñc ÷íng k½nh cõa qu£ bâng rê, bi¸t r¬ng n¸u °t qu£ bâng ð
mët gâc c«n pháng h¼nh hëp chú nhªt, sao cho qu£ bâng ch¤m (ti¸p xóc) vîi hai bùc t÷íng v  n·n nh 
cõa c«n pháng â (khi â kho£ng c¡ch tø t¥m qu£ bâng ¸n hai bùc t÷íng v  n·n nh  ·u b¬ng b¡n
k½nh cõa qu£ bâng) th¼ câ mët iºmMtr¶n qu£ bâng vîi kho£ng c¡ch l¦n l÷ñt ¸n hai bùc t÷íng v 
n·n nh  l 17cm,18cm v 21cm. H¢y gióp Nam x¡c ành ÷íng k½nh cõa qu£ bâng rê â. Bi¸t r¬ng
lo¤i bâng rê ti¶u chu©n câ ÷íng k½nh tø23cm ¸n24;5cm. (L m trán ¸n 1 chú sè thªp ph¥n)
KQ:
C¥u 21.Trong cuëc kh£o s¡t300gia ¼nh ð mët khu vüc, ng÷íi ta nhªn th§y r¬ng câ90%gia ¼nh
câ tivi v 60%gia ¼nh câ m¡y t½nh b n. Méi gia ¼nh ·u câ ½t nh§t mët trong hai thi¸t bà n y. Chån
ng¨u nhi¶n mët gia ¼nh. T½nh d÷îi d¤ng ph¦n tr«m x¡c su§t gia ¼nh câ m¡y t½nh b n trong nhâm
c¡c gia ¼nh câ tivi (l m trán ¸n h ng ph¦n chöc).
KQ:
C¥u 22.Ð mët khu røng nå câ7chó lòn, trong â câ4chó luæn nâi thªt,3chó cán l¤i nâi thªt vîi
x¡c su§t0;5. B¤n Tuy¸t g°p ng¨u nhi¶n mët chó lòn. GåiAl  bi¸n cè Chó lòn â luæn nâi thªt v B
l  bi¸n cè Chó lòn â tü nhªn m¼nh luæn nâi thªt. T½nh x¡c su§t cõa bi¸n cèB. (L m trán ¸n h ng
ph¦n tr«m.)
KQ: H. — ÆN TŠP SÈ 8A1
B i tªp tr­c nghi»m bèn ph÷ìng ¡n lüa chån
C¥u 1.Di»n t½ch h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði ç thà cõa h m sèy=x
2
, tröc ho nh v  hai ÷íng th¯ng
x= 0v x= 3l 
A.S=
3Z
0


x
2


dx. B.S=
3Z
0
x
2
dx. C.S=
3Z
0
x
2
dx. D.S=
3Z
0
x
4
dx.
C¥u 2.Trong khæng gian vîi h» tröc tåa ëOxyz, cho m°t ph¯ng(P)câ ph÷ìng tr¼nh2x+yz+6 = 0.
Vectì n o sau ¥y l  mët vectì ph¡p tuy¸n cõa m°t ph¯ng(P)?
A.
#
n1= (1;1; 6). B.
#
n2= (2; 1;1). C.
#
n3= (2; 1; 6). D.
#
n4= (2;1; 6).
C¥u 3.Trong khæng gian vîi h» tröc tåa ëOxyz, ph÷ìng tr¼nh cõa ÷íng th¯ng i qua iºm
M(1; 3;2)v  câ mët vectì ch¿ ph÷ìng
#
u= (2;1; 1)l 
A.
x+ 1
2
=
y+ 3
1
=
z+ 2
1
. B.
x+ 1
2
=
y+ 3
1
=
z2
1
.
C.
x1
2
=
y3
1
=
z+ 2
1
. D.
x1
2
=
y+ 3
1
=
z+ 2
1
.
C¥u 4.Trong khæng gian vîi h» tröc tåa ëOxyz, cho ÷íng th¯ng:
8
>
<
>
:
x= 2 + 3t
y= 3
z=2t
:H¢y ch¿ ra mët
vectì ch¿ ph÷ìng cõa.
A.
#
u1= (2; 0;2). B.
#
u2= (2; 3;2). C.
#
u3= (3; 3;2). D.
#
u4= (3; 0;2).
C¥u 5.Cho
2Z
0
f(x) dx= 4v 
2Z
0
g(x) dx= 2. T½nh
2Z
0
[3f(x)2g(x)] dx
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

28. ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NTrang26
A.
2Z
0
[3f(x)2g(x)] dx=2. B.
2Z
0
[3f(x)2g(x)] dx= 16.
C.
2Z
0
[3f(x)2g(x)] dx= 8. D.
2Z
0
[3f(x)2g(x)] dx= 2.
C¥u 6.Trong khæng gianOxyz, cho m°t c¦u(S): (x2)
2
+ (y+ 7)
2
+ (z+ 9)
2
= 50. Tåa ë t¥mI
cõa m°t c¦u(S)l 
A.I(2; 7; 9). B.I(2; 7;9). C.I(2;7;9). D.I(2;7;9).
C¥u 7.Trong khæng gianOxyz, m°t c¦u(S)t¥mI(7;3; 0)v  b¡n k½nhR= 3
p
7câ ph÷ìng tr¼nh
l 
A.(x+ 7)
2
+ (y+ 3)
2
+z
2
= 252. B.(x7)
2
+ (y3)
2
+z
2
= 63.
C.(x7)
2
+ (y3)
2
+z
2
= 3
p
7. D.(x+ 7)
2
+ (y+ 3)
2
+z
2
= 63.
C¥u 8.ChoAv Bl  hai bi¸n cè ëc lªp. Bi¸tP(A) = 0;2024v P(B) = 0;2025. T½nhP(AjB).
A.0;2024. B.0;2025. C.0;040986. D.0;4049.
C¥u 9.ChoAv Bl  hai bi¸n cè. Bi¸tP(A) = 0;7v P(BjA) = 0;9. T½nhP(AB).
A.0;9. B.0;63. C.0;2. D.0;16.
C¥u 10.Cho hai bi¸n cèAv Bvîi0<P(B)<1. Chån kh¯ng ành óng.
A.P(A) = P(B)P(AjB) + P(B)P(AjB). B.P(A) = P(A)P(AjB) + P(B)P(AjB).
C.P(A) = P(B)P(AjB) + P(A)P(AjB). D.P(A) = P(B)P(AjB) + P(B)P(AjB).
C¥u 11.Cho hai bi¸n cè ng¨u nhi¶nAv BthäaP(A)>0v 0<P(B)<1. Chån kh¯ng ành
óng.
A.P(BjA) =
P(B)P(AjB)
P(B)P(AjB) + P(B)P(AjB)
.B.P(BjA) =
P(A)P(AjB)
P(B)P(AjB) + P(B)P(AjB)
.
C.P(BjA) =
P(B)P(AjB)
P(B)P(AjB) + P(B)P(AjB)
.D.P(BjA) =
P(B)P(BjA)
P(B)P(AjB) + P(B)P(AjB)
.
C¥u 12.Cho hai bi¸n cèAv BvîiP(B) = 0;6;P(AjB) = 0;7v P(AjB) = 0;4. Khi âP(A)
b¬ng
A.0;7. B.0;4. C.0;58. D.0;52.
A2
B i tªp tr­c nghi»m óng sai
C¥u 13.Trong khæng gian vîi h» tröc tåa ëOxyz, cho m°t ph¯ng()câ ph÷ìng tr¼nhx3y+2z+7 =
0. Khi â
Ph¡t biºu S
a)M°t ph¯ng()nhªn
#
n= (1;3; 2)l m mët vectì ph¡p tuy¸n.
b)
#
m= (2;6; 4)công l  mët vectì ph¡p tuy¸n cõa m°t ph¯ng().
c)iºmA(2; 3; 1)2().
d)Cho m°t ph¯ng()câ ph÷ìng tr¼nhx3y+ 2z+ 2 = 0. Khi â hai m°t ph¯ng()
v ()song song vîi nhau.
C¥u 14.Trong khæng gian vîi h» tröc tåa ëOxyz, cho iºmA(2;3; 4),
#
u= (1;1; 2). Khi â
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

29. BË — ÆN THI HK2 TON 12N‹M HÅC 20242025ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–N27Trang
Ph¡t biºu S
a)Ph÷ìng tr¼nh tham sè cõa ÷íng th¯ngdi quaA(2;3; 4)v  câ vectì ch¿ ph÷ìng
#
u= (1;1; 2)l 
8
>
<
>
:
x= 2 +t
y=3t
z= 4 + 2t
.
b)Ph÷ìng tr¼nh ch½nh t­c cõa ÷íng th¯ngdi quaA(2;3; 4)v  câ vectì ch¿ ph÷ìng
#
u= (1;1; 2)l 
x+ 2
1
=
y3
1
=
z+ 4
2
.
c)÷íng th¯ngdvuæng gâc vîi ÷íng th¯nga, bi¸tacâ ph÷ìng tr¼nh
8
>
<
>
:
x= 1 +t
y= 5 +t
z=1 + 2t
.
d)Mët vectì ph¡p tuy¸n cõa m°t ph¯ng(P)l 
#
n(p)= (1;1; 2), bi¸t ÷íng th¯ngd
vuæng gâc vîi(P).
C¥u 15.Trong khæng gianOxyz, cho m°t c¦u(S):x
2
+y
2
+z
2
+ 2x4y6z= 0v  m°t ph¯ng
(P): 2x2y+z+ 12 = 0.
Ph¡t biºu S
a)M°t c¦u(S)câ t¥m l  iºmM(1; 2; 3).
b)M°t c¦u(S)câ b¡n k½nh b¬ng 14.
c)Kho£ng c¡ch tø t¥mMcõa m°t c¦u(S)¸n m°t ph¯ng(P): 2x2y+z+ 12 = 0
b¬ng 3.
d)M°t ph¯ng(P)ti¸p xóc vîi m°t c¦u(S).
C¥u 16.Mët cæng ty truy·n thæng §u th¦u 2 dü ¡n. Kh£ n«ng th­ng th¦u cõa dü ¡n 1 l 0;5v  dü
¡n 2 l 0;6. Kh£ n«ng th­ng th¦u cõa c£ 2 dü ¡n l 0;4. GåiA; Bl¦n l÷ñt l  bi¸n cè th­ng th¦u dü ¡n
1 v  dü ¡n 2, khi â
Ph¡t biºu S
a)Av Bl  hai bi¸n cè ëc lªp.
b)X¡c su§t cæng ty th­ng th¦u óng 1 dü ¡n l 0;3.
c)Bi¸t cæng ty th­ng th¦u dü ¡n 1, x¡c su§t cæng ty th­ng th¦u dü ¡n 2 l 0;4.
d)Bi¸t cæng ty khæng th­ng th¦u dü ¡n 1, x¡c su§t cæng ty th­ng th¦u dü ¡n 2 l 0;8.
A3
B i tªp tr­c nghi»m tr£ líi ng­n
C¥u 17.Mët ch§t iºmAxu§t ph¡t tøOchuyºn ëng th¯ng vîi vªn tèc bi¸n thi¶n theo thíi gian bði
quy luªtv(t) =
1
150
t
2
+
59
75
t(m/s), trong ât(gi¥y) l  kho£ng thíi gian t½nh tø lócab­t ¦u chuyºn
ëng. Tø tr¤ng th¡i ngh¿, mët ch§t iºmBcông xu§t ph¡t tøO, chuyºn ëng th¯ng còng h÷îng vîi
Anh÷ng chªm hìn3gi¥y so vîiAv  câ gia tèc b¬nga(m/s
2
) (al  h¬ng sè). Sau khiBxu§t ph¡t
÷ñc 12 gi¥y th¼ uêi kàpA. T½nh vªn tèc cõaBt¤i thíi iºm uêi kàpA.
KQ:
C¥u 18.Cho m°t ph¯ng():xy+2z1 = 0v  hai iºmA(0;1; 1),B(1; 1;2). Bi¸tM(a;b;c)2()
sao choMA+MB¤t gi¡ trà nhä nh§t. T½nh gi¡ trà cõa biºu thùcA=a+b+c.
KQ: BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

30. ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NTrang28
C¥u 19.Cho ÷íng th¯ngd:
x
1
=
y1
1
=
z+ 2
2
v  ba iºmA(1; 3;2),B(0; 4;5),C(1; 2;4). Bi¸t
iºmM(a;b;c)thuëc ÷íng th¯ngdsao choMA
2
+MB
2
+ 2MC
2
¤t gi¡ trà nhä nh§t. Khi â T½nh
gi¡ trà biºu thùcT= 2a+ 3b+c.
KQ:
C¥u 20.Trong khæng gianOxyz(ìn và c¡c tröc tåa ë l  m²t), mët qu£ bâng h¼nh c¦u câ ph÷ìng
tr¼nh b· m°t(S): (x3)
2
+ (x4)
2
+ (x2)
2
=
1
625
bà rìi xuèng bº bìi. Do ch§t li»u °c bi»t n¶n
ph¥n nûa qu£ bâng n¬m b¶n d÷îi m°t n÷îc, ph¥n nûa cán l¤i ð tr¶n. T½nh ë cao müc n÷îc bi¸t ¡y
bº thuëc m°t ph¯ng(Oxy).
KQ:
C¥u 21.Gieo hai con xóc x­c c¥n èi, çng ch§t. T½nh x¡c su§t º têng sè ch§m xu§t hi»n tr¶n hai
con xóc s­c lîn hìn ho°c b¬ng10, n¸u bi¸t r¬ng câ ½t nh§t mët con xóc s­c ¢ ra m°t5ch§m (l m
trán k¸t qu£ ¸n h ng ph¦n tr«m).
KQ:
C¥u 22.Mët ëi v«n ngh» gçmnb¤n nam v  7 b¤n nú. Chån ra ng¨u nhi¶n 2 b¤n º biºu di¹n mët
ti¸t möc. GåiAl  bi¸n cè: Câ ½t nh§t mët b¤n nú trong 2 b¤n ÷ñc chån,Bl  bi¸n cè: Hai b¤n ÷ñc
chån câ còng giîi t½nh. Bi¸t x¡c su§t cõa bi¸n cèAvîi i·u ki»nBb¬ng
21
31
, t¼m sè b¤n namncõa
ëi v«n ngh».
KQ: I. — ÆN TŠP SÈ 9A1
B i tªp tr­c nghi»m bèn ph÷ìng ¡n lüa chån
C¥u 1.Bi¸tI=
1Z
0
2x+ 3
x+ 2
dx=aln
3
2
+b, (a; b2Q). Khi âa+ 2bb¬ng
A.0. B.2. C.3. D.7.
C¥u 2.Cæng thùc t½nh di»n t½ch h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði hai ÷íng th¯ngx= 0,x=ç thà h m sè
y= cosxv  tröcOxl 
A.S=
Z
0
cos
2
xdx. B.S=
Z
0
jcosxjdx.
C.S=
Z
0
jcosxjdx. D.S=
Z
0
cosxdx.
C¥u 3.Trong khæng gianOxyz, m°t ph¯ng(P):x+ 2y+ 3z5 = 0câ mët v²c-tì ph¡p tuy¸n l 
A.
#
n1= (3; 2; 1). B.
#
n3= (1; 2; 3). C.
#
n4= (1; 2;3). D.
#
n2= (1; 2; 3).
C¥u 4.÷íng th¯ng i qua iºmB(1; 3; 6)nhªn
#
u= (2;3; 8)l m v²c-tì ch¿ ph÷ìng câ ph÷ìng
tr¼nh ch½nh t­c l 
A.
x1
2
=
y+ 3
3
=
z+ 6
8
. B.
x+ 1
2
=
y3
3
=
z6
8
.
C.
x+ 1
2
=
y3
3
=
z6
8
. D.
x+ 1
2
=
y3
3
=
z6
8
.
C¥u 5.Trong khæng gianOxyz, chod1:
8
>
<
>
:
x= 1 + 2t
y= 2 + 3t
z= 3 + 4t
v d2:
8
>
<
>
:
x= 3 + 4t
y= 5 + 6t
z= 7 + 8t
. X²t và tr½ t÷ìng èi giúad1
v d2.
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

31. BË — ÆN THI HK2 TON 12N‹M HÅC 20242025ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–N29Trang
A.Ch²o nhau. B.Song song vîi nhau.C.Tròng nhau. D.C­t nhau.
C¥u 6.Trong khæng gianOxyz, vi¸t ph÷ìng tr¼nh m°t c¦u câ t¥m l  iºmI(1; 2; 4)v  ti¸p xóc vîi
m°t ph¯ng(P): 2x+ 2y+z1 = 0:
A.(x1)
2
+ (y2)
2
+ (z4)
2
= 4. B.(x1)
2
+ (y+ 2)
2
+ (z4)
2
= 4.
C.(x1)
2
+ (y2)
2
+ (z4)
2
= 9. D.(x+ 1)
2
+ (y+ 2)
2
+ (z+ 4)
2
= 4.
C¥u 7.Cho m°t c¦u(S):x
2
+ (y2)
2
+ (z+ 1)
2
= 6. ÷íng k½nh cõa(S)b¬ng
A.3. B.
p
6. C.2
p
6. D.12.
C¥u 8.Hëp thù nh§t chùa2vi¶n bi xanh v 1vi¶n bi ä. Hëp thù hai chùa2vi¶n bi xanh v 3vi¶n
bi ä. C¡c vi¶n bi câ còng k½ch th÷îc v  khèi l÷ñng. B¤n Thanh l§y ra ng¨u nhi¶n1vi¶n bi tø hëp thù
nh§t bä v o hëp thù hai, sau â l¤i l§y ra ng¨u nhi¶n1vi¶n bi tø hëp thù hai. T½nh x¡c su§t º vi¶n
bi l§y ra ð l¦n thù hai l  vi¶n bi ä, bi¸t vi¶n bi l§y ra ð l¦n thù nh§t l  vi¶n bi xanh.
A.
1
2
. B.
1
3
. C.
4
9
. D.
3
4
.
C¥u 9.ChoA,Bl  c¡c bi¸n cè cõa mët ph²p thûT. Bi¸t r¬ngP(B)>0, x¡c su§t cõa bi¸n cèAvîi
i·u ki»n bi¸n cèB¢ x£y ra ÷ñc t½nh theo cæng thùc n o sau ¥y?
A.P(AjB) =
P(A)
P(B)
. B.P(AjB) =
P(A)
P(AB)
.
C.P(AjB) =
P(AB)
P(B)
. D.P(AjB) =
P(AB)
P(A)P(B)
.
C¥u 10.ChoP(A) =
2
5
;P (BjA) =
1
3
;P

BjA

=
1
4
. Gi¡ trà cõaP(B)l 
A.
19
60
. B.
17
60
. C.
9
20
. D.
7
30
.
C¥u 11.ChoP(A) =
4
5
;P (BjA) =
2
3
;P

BjA

=
1
4
. Gi¡ trà cõaP(AjB)l 
A.
33
35
. B.
32
35
. C.
9
35
. D.
26
35
.
C¥u 12.Mët nh  m¡y câ hai ph¥n x÷ðng I v  II. Ph¥n x÷ðng I s£n xu§t40%sè s£n ph©m v  ph¥n
x÷ðng II s£n xu§t60%sè s£n ph©m. T¿ l» s£n ph©m bà léi cõa ph¥n x÷ðng I l 2%v  cõa ph¥n x÷ðng
II l 1%. Kiºm tra ng¨u nhi¶n 1 s£n ph©m cõa nh  m¡y v  x¡c su§t º s£n ph©m â bà léi l 
A.0;02. B.0;6. C.0;014. D.0;01.
A2
B i tªp tr­c nghi»m óng sai
C¥u 13.Cho ba iºmA(4; 1; 0),B(2; 1; 4). Gåi(P)l  m°t ph¯ng trung trüc cõa o¤nAB. Khi â
Ph¡t biºu S
a)I(3; 0; 2)l  trung iºm cõa o¤nAB.
b)(P)câ mët v²c-tì ph¡p tuy¸n l 
#
n= (2; 2; 4).
c)(P)câ ph÷ìng tr¼nh l 3x2z+ 1 = 0.
d)iºmM(3; 5; 5)n¬m tr¶n(P).
C¥u 14.Cho iºmA(1; 1; 2)v  ÷íng th¯ng:
x2
2
=
y+ 2
1
=
z3
1
. Khi â
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

32. ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NTrang30
Ph¡t biºu S
a)iºmAkhæng thuëc.
b)Mët v²c-tì ch¿ ph÷ìng cõal 
#
v= (2; 1;1).
c)H¼nh chi¸u cõaAtr¶nl H(0;1; 2).
d)iºm èi xùng vîiAqual A
0
(1; 3;2).
C¥u 15.Trong h» tåa ëOxyzchoI(1; 1; 1)v  m°t ph¯ng(P): 2x+y+ 2z+ 4 = 0. M°t c¦u(S)t¥m
Ic­t(P)theo mët ÷íng trán câ b¡n k½nhr= 4. GåiHl  h¼nh chi¸u cõaIl¶n(P). Khi â
Ph¡t biºu S
a)IH=
p
3.
b)B¡n k½nh m°t c¦u(S)l R= 5.
c)Tåa ë iºmH(1; 2; 3).
d)Ph÷ìng tr¼nh m°t c¦u(S)l (x1)
2
+ (y1)
2
+ (z1)
2
= 25.
C¥u 16.Gieo hai con xóc x­c c¥n èi, çng ch§t. GåiAl  bi¸n cè Têng sè ch§m xu§t hi»n tr¶n hai
con xóc s­c b¬ng7;Bl  bi¸n cè: Câ ½t nh§t mët con xóc s­c xu§t hi»n m°t 5 ch§m. Khi â
Ph¡t biºu S
a)X¡c su§t º bi¸n cèBx£y ra l 
1
3
.
b)X¡c su§t º têng sè ch§m xu§t hi»n tr¶n hai con xóc s­c b¬ng 7 n¸u bi¸t r¬ng ½t
nh§t câ mët con xóc s­c xu§t hi»n m°t 5 ch§m l 
1
6
.
c)Sè k¸t qu£ thuªn lñi cõa bi¸n cèAl 6.
d)X¡c su§t º câ ½t nh§t câ mët con xóc s­c xu§t hi»n m°t5ch§m n¸u bi¸t r¬ng têng
sè ch§m xu§t hi»n tr¶n hai con xóc s­c b¬ng7l 
1
18
.
A3
B i tªp tr­c nghi»m tr£ líi ng­n
C¥u 17.
Ng÷íi ta dü ành l­p k½nh cho cûa cõa mët vám câ d¤ng parabol. H¢y t½nh
di»n t½ch m°t k½nh (theo ìn và m
2
) c¦n l­p v o, bi¸t r¬ng vám cûa cao21m
v  rëng70m.
KQ:70m21m
C¥u 18.M°t ph¯ng():Ax+By+Cz+ 1 = 0c­tOx,Oy,Ozl¦n l÷ñt t¤i ba iºmA,B,Csao cho
G(1; 2; 2)l  trång t¥m tam gi¡cABC. T½nhA+ 2B+ 3C.
KQ:
C¥u 19.Trong mët tói câ mët sè chi¸c kµo còng lo¤i, ch¿ kh¡c m u, trong â câ 6 c¡i kµo m u cam,
cán l¤i l  kµo m u v ng. H  l§y ng¨u nhi¶n mët c¡i kµo tø trong tói, khæng tr£ l¤i. Sau â H  l¤i l§y
ng¨u nhi¶n th¶m mët c¡i kµo kh¡c tø trong tói. Bi¸t r¬ng x¡c su§t H  l§y ÷ñc c£ hai c¡i kµo m u cam
l 
1
3
. Häi ban ¦u trong tói câ bao nhi¶u c¡i kµo?
KQ: BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

33. BË — ÆN THI HK2 TON 12N‹M HÅC 20242025ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–N31Trang
C¥u 20.Câ hai ëi thi §u mæn B­n sóng. ëiIcâ5vªn ëng vi¶n, ëiIIcâ7vªn ëng vi¶n. X¡c
su§t ¤t huy ch÷ìng v ng cõa méi vªn ëng vi¶n ëiIv  ëiIIt÷ìng ùng l 0;65v 0;55. Chån ng¨u
nhi¶n mët vªn ëng vi¶n. Gi£ sû vªn ëng vi¶n ÷ñc chån ¤t huy ch÷ìng v ng. T½nh x¡c su§t º vªn
ëng vi¶n n y thuëc ëiI(l m trán hai chú sè thªp ph¥n).
KQ:
C¥u 21.Mët ng÷íi ùng ð m°t §t i·u khiºn hai flycam º phöc vö mët ch÷ìng tr¼nh cõa  i truy·n
h¼nh. FlycamIð và tr½Ac¡ch và tr½ i·u khiºn150 mv· ph½a nam v 200 mv· ph½a æng, çng thíi c¡ch
m°t §t50 m. FlycamIIð và tr½Bc¡ch và tr½ i·u khiºn180 mv· ph½a b­c v 240 mv· ph½a t¥y, çng
thíi c¡ch m°t §t60 m. Chån h» tröc to¤ ëOxyzvîi gècOl  và tr½ ng÷íi i·u khiºn, m°t ph¯ng(Oxy)
tròng vîi m°t §t, tröcOxcâ h÷îng tròng vîi h÷îng nam, tröcOycâ h÷îng tròng vîi h÷îng æng,
tröcOzvuæng gâc vîi m°t §t h÷îng l¶n b¦u tríi, ìn và tr¶n méi tröc t½nh theo m²t. Kho£ng c¡ch
giúa hai flycam â b¬ng bao nhi¶u m²t (l m trán k¸t qu£ ¸n h ng ìn và)?
KQ:
C¥u 22.
Trong khæng gian vîi h» tåa ëOxyz,  i
kiºm so¡t khæng l÷u s¥n bay câ tåa ë
O(0; 0; 0), méi ìn và tr¶n tröc ùng vîi1km.
M¡y bay bay trong ph¤m vi c¡ch  i kiºm
so¡t417km s³ hiºn thà tr¶n m n h¼nh ra a.
Mët m¡y bay ang ð và tr½A(688;185; 8),
chuyºn ëng theo ÷íng th¯ngdcâ v²c-tì
ch¿ ph÷ìng l 
#
u= (91; 75; 0)v  h÷îng v·
 i kiºm so¡t khæng l÷u. T½nh kho£ng c¡ch
(km) g¦n nh§t giúa m¡y bay v   i kiºm so¡t
khæng l÷u (l m trán k¸t qu£ ¸n h ng ìn và).
OABCdzyxKQ: J. — ÆN TŠP SÈ 10A1
B i tªp tr­c nghi»m bèn ph÷ìng ¡n lüa chån
C¥u 1.Cho
1Z
2
f(x)dx= 3. T½nh t½ch ph¥nI=
1Z
2
[2f(x)1]dx.
A.9. B.3. C.3. D.5.
C¥u 2.
GåiSl  di»n t½ch mi·n h¼nh ph¯ng ÷ñc tæ ªm trong h¼nh v³ b¶n.
Cæng thùc t½nhSl 
A.S=
1Z
1
f(x) dx+
2Z
1
f(x) dx.B.S=
1Z
1
f(x) dx
2Z
1
f(x) dx.
C.S=
2Z
1
f(x) dx. D.S=
2Z
1
f(x) dx.
121Oxy
C¥u 3.Trong khæng gianOxyz, m°t ph¯ng(P):x2y+ 2z6 = 0câ mët vectì ph¡p tuy¸n l 
A.
#
n1= (2;2; 1). B.
#
n3= (1; 2;2). C.
#
n4= (1; 2; 2). D.
#
n2= (1;2; 2).
C¥u 4.Trong khæng gianOxyz, ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng i qua hai iºmP(1; 1;1)v Q(2; 3; 2)
l 
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

34. ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NTrang32
A.
x1
2
=
y1
3
=
z+ 1
2
. B.
x1
1
=
y1
2
=
z+ 1
3
.
C.
x1
1
=
y2
1
=
z3
1
. D.
x+ 2
1
=
y+ 3
2
=
z+ 2
3
.
C¥u 5.Trong khæng gian vîi h» to¤ ëOxyz, cho hai ÷íng th¯ngd1:
x1
1
=
y+ 3
2
=
z+ 3
3
v 
d2:
8
>
<
>
:
x= 3t
y=1 + 2t
z= 0
. M»nh · n o ÷îi ¥y óng?
A.d1v d2tròng nhau. B.d1v d2c­t nhau.
C.d1v d2song song. D.d1v d2ch²o nhau.
C¥u 6.Trong khæng gianOxyz, m°t c¦u(S)câ t¥m câ t¥mI(1;3; 2)v  i qua iºmA(5;1; 4)l 
A.(x1)
2
+ (y+ 3)
2
+ (z2)
2
=
p
24. B.(x+ 1)
2
+ (y3)
2
+ (z+ 2)
2
=
p
24.
C.(x+ 1)
2
+ (y3)
2
+ (z+ 2)
2
= 24. D.(x1)
2
+ (y+ 3)
2
+ (z2)
2
= 24.
C¥u 7.Trong khæng gianOxyz, m°t c¦u(S):x
2
+y
2
+z
2
4x+ 2z+ 4 = 0câ t¥m v  b¡n k½nh l¦n
l÷ñt l 
A.I(2; 0;1); R= 3.B.I(4; 0;2); R= 3.C.I(2; 0; 1); R= 1.D.I(2; 0;1); R= 1.
C¥u 8.Mët hëp câ5vi¶n bi còng k½ch th÷îc v  khèi l÷ñng, trong â câ3vi¶n bi m u ä v 2vi¶n bi
m u xanh. L§y ng¨u nhi¶n l¦n l÷ñt2vi¶n bi v  khæng ho n l¤i. X¡c su§t º l§y ÷ñc vi¶n bi thù hai
câ m u xanh, bi¸t r¬ng vi¶n bi thù nh§t câ m u ä l 
A.
1
2
. B.
1
3
. C.
4
9
. D.
3
4
.
C¥u 9.Cho hai bi¸n ëc lªpA; BvîiP(A) = 0;8. Khi âP(AjB)b¬ng
A.0;2. B.0;8. C.0;25. D.0;75.
C¥u 10.Cho hai bi¸n cèA,BvîiP(B) = 0;6;P(AjB) = 0;7v P

AjB

= 0;4. Khi â,P(A)b¬ng
A.0;7. B.0;4. C.0;58. D.0;52.
C¥u 11.ChoA,Bl  c¡c bi¸n cè thäa m¢nP

AB

= 0;35,P(A) = 0;25,P (BjA) = 0;8. Gi¡ trà cõa
P(B)b¬ng
A.
1
5
. B.
3
5
. C.
7
15
. D.
2
3
.
C¥u 12.K¸t qu£ kh£o s¡t t¤i mët x¢ cho th§y câ20%c÷ d¥n hót thuèc l¡. T¿ l» c÷ d¥n th÷íng xuy¶n
g°p c¡c v§n · sùc kho´ v· ÷íng hæ h§p trong sè nhúng ng÷íi hót thuèc l¡ v  khæng hót thuèc l¡ l¦n
l÷ñt l 70%,15%. T¿ l» g°p mët c÷ d¥n cõa x¢ th¼ x¡c su§t ng÷íi â th÷íng xuy¶n g°p c¡c v§n · sùc
kho´ v· ÷íng hæ h§p l  bao nhi¶u ph¦n tr«m?
A.26%. B.12%. C.68%. D.24%.
A2
B i tªp tr­c nghi»m óng sai
C¥u 13.Cho ba iºmA(3; 0; 0),B(2; 1; 4),C(0;3; 0). Méi kh¯ng ành d÷îi ¥y óng hay sai?
Ph¡t biºu S
a)A,B,Cl  ba ¿nh cõa mët tam gi¡c.
b)(ABC)câ mët vectì ph¡p tuy¸n l 
#
n= (1; 1; 1).
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

35. BË — ÆN THI HK2 TON 12N‹M HÅC 20242025ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–N33Trang
Ph¡t biºu S
c)D(5;2; 4)l  iºm thäa m¢n i·u ki»n tù gi¡cABDCl  h¼nh b¼nh h nh.
d)Bèn iºmA,B,C,Eçng ph¯ng, bi¸tE(2;1; 0).
C¥u 14.Trong khæng gianOxyz, cho iºmM(2; 1; 0)v  ÷íng th¯ngd:
x1
2
=
y+ 1
1
=
z
1
. Gåi
l  ÷íng th¯ng i qua iºmMc­t v  vuæng gâc vîi ÷íng th¯ngd. Méi kh¯ng ành d÷îi ¥y óng
hay sai?
Ph¡t biºu S
a)iºmMthuëc ÷íng th¯ngd.
b)÷íng th¯ngi qua iºmA(1;1; 0)v  nhªn
#
ud= (2; 1;1)l m vectì ch¿
ph֓ng.
c)nhªn vectì
#
u= (1;4;2)l m vectì ch¿ ph÷ìng.
d)÷íng th¯ngcâ ph÷ìng tr¼nh l 
x2
2
=
y1
4
=
z
1
.
C¥u 15.Trong khæng gian vîi h» tåa ëOxyz, cho m°t c¦u t¥mI(2; 1; 5)b¡n k½nh3. Cho c¡c iºm
A(10; 1; 2),B(0; 1; 4),C(0; 3; 4). Méi kh¯ng ành d÷îi ¥y óng hay sai?
Ph¡t biºu S
a)Ph÷ìng tr¼nh m°t c¦u(S)l (x+ 2)
2
+ (y1)
2
+ (z5)
2
= 3.
b)iºmAngo i m°t c¦u(S).
c)÷íng th¯ngABc­t m°t c¦u(S).
d)M°t ph¯ng(ABC)c­t m°t c¦u(S)theo giao tuy¸n l  ÷íng trán câ b¡n k½nh b¬ng
3.
C¥u 16.Mët nhâm câ25håc sinh, trong â14håc sinh håc kh¡ mæn To¡n,16håc sinh håc kh¡ mæn
Vªt l½,1em khæng håc kh¡ c£ hai mæn To¡n v  Vªt l½. Chån ng¨u nhi¶n mët håc sinh.
Ph¡t biºu S
a)X¡c su§t º håc sinh â håc kh¡ mæn To¡n, çng thíi håc kh¡ mæn Vªt l½ l 
6
25
.
b)X¡c su§t º håc sinh â håc kh¡ mæn To¡n, nh÷ng khæng håc kh¡ mæn Vªt l½
14
25
.
c)X¡c su§t º håc sinh â håc kh¡ mæn To¡n, bi¸t r¬ng håc sinh â håc kh¡ mæn Vªt
l½ l 
3
8
.
d)X¡c su§t º håc sinh â håc kh¡ mæn Vªt l½, bi¸t r¬ng håc sinh â khæng håc kh¡
mæn To¡n l 
2
5
.
A3
B i tªp tr­c nghi»m tr£ líi ng­n
C¥u 17.Trong khæng gian vîi h» tåa ëOxyz, cho m°t ph¯ng(P): 2yz+ 3 = 0v  iºmA(2; 0; 0).
M°t ph¯ng()i quaA, vuæng gâc vîi(P), c¡ch gèc tåa ëOmët kho£ng b¬ng
4
3
v  c­t c¡c tia
Oy; Ozl¦n l÷ñt t¤i c¡c iºmB; Ckh¡cO. Thº t½ch khèi tù di»nOABCb¬ng
a
b
, vîi
a
b
l  ph¥n sè tèi
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

36. ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NTrang34
gi£n. T½nha+ 3b.
KQ:
C¥u 18.Cûa vám l§y ¡nh s¡ng cõa mët to  nh  ÷ñc thi¸t k¸ vîi k½ch th÷îc nh÷ h¼nh a). Cûa câ h¼nh
d¤ng mët parabol câ ¿nhIv  i qua hai iºmA,Bnh÷ h¼nh b). Ng÷íi ta dü ành l­p k½nh mët lîp
cho cûa n y. Méi m²t vuæng k½nh câ gi¡1tri»u çng v  bä qua gi¡ ti·n khung cûa. Sè ti·n ph£i tr£ khi
l m cûa k½nh l atri»u çng. T¼ma.
KQ:3 m
9
4
ma)xyO
3
2
3
2
1112
9
4
IABb)
C¥u 19.Khi g­n h» tröc tåa ëOxyz(ìn và tr¶n méi tröc t½nh theo m²t) v o mët c«n nh  sao cho
n·n nh  thuëc m°t ph¯ng(Oxy), ng÷íi ta coi méi m¡i nh  l  mët ph¦n cõa m°t ph¯ng v  th§y ba và
triA; B; Cð m¡i nh  b¶n ph£i l¦n l÷ñt câ tåa ë(2; 0; 4);(4; 0; 3)v (4; 9; 3). Gâc giúa m¡i nh  b¶n
ph£i v  n·n nh  b¬ng bao nhi¶u ë (l m trán k¸t qu£ ¸n h ng ìn và)?
KQ:
C¥u 20.B¤n B¼nh è b¤n Nam t¼m ÷ñc ÷íng k½nh cõa qu£ bâng rê, bi¸t r¬ng n¸u °t qu£ bâng ð
mët gâc c«n pháng h¼nh hëp chú nhªt, sao cho qu£ bâng ch¤m (ti¸p xóc) vîi hai bùc t÷íng v  n·n nh 
cõa c«n pháng â (khi â kho£ng c¡ch tø t¥m qu£ bâng ¸n hai bùc t÷íng v  n·n nh  ·u b¬ng b¡n
k½nh cõa qu£ bâng) th¼ câ mët iºmMtr¶n qu£ bâng vîi kho£ng c¡ch l¦n l÷ñt ¸n hai bùc t÷íng v 
n·n nh  l 17cm,18cm v 21cm. H¢y gióp Nam x¡c ành ÷íng k½nh cõa qu£ bâng rê â. Bi¸t r¬ng
lo¤i bâng rê ti¶u chu©n câ ÷íng k½nh tø23cm ¸n24;5cm (l m trán ¸n 1 chú sè thªp ph¥n).
KQ:
C¥u 21.B¤n Nam chu©n bà i tham quan mët hán £o trong hai ng y thù B£y v  Chõ nhªt. Ð hán
£o â, méi ng y ch¿ câ n­ng ho°c m÷a, n¸u mët ng y l  n­ng th¼ kh£ n«ng x£y ra m÷a ð ng y ti¸p
theo l 10%, cán n¸u mët ng y l  m÷a th¼ kh£ n«ng ng y hæm sau v¨n m÷a l 40%. Theo dü b¡o thíi
ti¸t, x¡c su§t tríi s³ n­ng v o thù B£y l 0;7. T½nh x¡c su§t tríi m÷a c£ hai ng y thù B£y v  Chõ nhªt.
KQ:
C¥u 22.Mët b»nh vi»n câ hai pháng kh¡m l  pháng A v  pháng B vîi kh£ n«ng lüa chån cõa b»nh
nh¥n l  nh÷ nhau. T¿ l» b»nh nh¥n nam câ ð pháng A v  pháng B l¦n l÷ñt l 60%v 40%. Mët ng÷íi
b»nh ÷ñc chån ng¨u nhi¶u tø hai pháng kh¡m v  bi¸t ng÷íi n y l  nam, t½nh x¡c su§t º ng÷íi b»nh
÷ñc chån ¸n tø pháng A.
KQ: BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

37. BË — ÆN THI HK2 TON 12N‹M HÅC 20242025ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–N35Trang K. — ÆN TŠP SÈ 11A1
B i tªp tr­c nghi»m bèn ph÷ìng ¡n lüa chån
C¥u 1.Cho h m sèy=f(x)li¶n töc, khæng ¥m tr¶n o¤n[a;b]
nh÷ h¼nh v³. H¼nh ph¯ng(H)giîi h¤n bði ç thà h m sèy=f(x),
tröc ho nh v  hai ÷íng th¯ngx=a,x=bquay quanh tröcOx
t¤o th nh mët khèi trán xoay câ thº t½ch b¬ng
A.V=
aZ
b
f
2
(x)dx. B.V=
bZ
a
jf(x)jdx.
C.V=
bZ
a
f
2
(x)dx. D.V=
bZ
a
f
2
(x)dx.
xyOy=f(x)ab
C¥u 2.Cho h m sèf(x)tho£ m¢nf(0) = 4v f
0
(x) = 2 sin
2
x+ 3;8x2R. T½nh

4Z
0
f(x) dx.
A.

2
2
8
. B.

2
+ 88
8
. C.

2
+ 82
8
. D.
3
2
+ 23
8
.
C¥u 3.Trong khæng gian vîi h» tåa ëOxyz, ph÷ìng tr¼nh n o sau ¥y l  ph÷ìng tr¼nh têng qu¡t cõa
mët m°t ph¯ng?
A.x
2
+ 2y
2
3z
2
+ 1 = 0. B.
1
x
+
2
y
+
3
z
+ 2 = 0.
C.xy+ 1 = 0. D.xy+ 5 = 0.
C¥u 4.Trong khæng gian vîi h» tåa ëOxyz, ÷íng th¯ngd:
x2
3
=
y3
2
=
z4
3
i qua iºm n o
d÷îi ¥y?
A.Q(3;2; 3). B.M(2;3;4). C.P(2; 3; 4). D.N(3; 2;3).
C¥u 5.Trong khæng gian vîi h» tåa ëOxyz, cho iºmA(1; 2; 3)v  m°t ph¯ng(P): 4x+3y7z+1 = 0.
T¼m ph÷ìng tr¼nh cõa ÷íng th¯ng i quaAv  vuæng gâc vîi(P).
A.
x1
4
=
y2
3
=
z3
7
. B.
x1
3
=
y2
4
=
z3
7
.
C.
x+ 1
4
=
y+ 2
3
=
z+ 3
7
. D.
x+ 1
8
=
y+ 2
6
=
z+ 3
14
.
C¥u 6.Trong khæng gian vîi h» tåa ëOxyz, cho m°t c¦u(S): (x6)
2
+ (y+ 7)
2
+ (z8)
2
= 9
2
.
T¥m cõa m°t c¦u(S)câ tåa ë l 
A.(6;7; 8). B.(6; 7; 8). C.(6; 7;8). D.(6; 7; 8).
C¥u 7.Trong khæng gian vîi h» tåa ëOxyz, cho m°t c¦u(S): (x+ 1)
2
+ (y2)
2
+z
2
= 9. B¡n k½nh
cõa(S)b¬ng
A.81. B.6. C.9. D.3.
C¥u 8.Cho hai bi¸n cèAv BthäaP(A) = 0;4;P(B) = 0;6;P (A\B) = 0;2. T½nhP (AjB).
A.
1
3
. B.
1
2
. C.
1
6
. D.
1
4
.
C¥u 9.Cho hai bi¸n cèAv B. Bi¸t r¬ng x¡c su§t cõa bi¸n cèAb¬ng0;6; x¡c su§t cõa bi¸n cè bi¸n
cèBtrong i·u ki»n bi¸n cèA¢ x£y ra b¬ng0;2. T½nh x¡c su§t cõaAv B·u x£y ra.
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

38. ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NTrang36
A.
3
25
. B.
3
10
. C.
1
3
. D.
2
3
.
C¥u 10.Gi£ sû hai bi¸n cèAv Bng¨u nhi¶n thäa m¢nP(A)>0vîi0<P(B)<1. Khi â cæng
thùcBayesl 
A.P(AjB) =
P(B)P(AjB)
P(B)P(AjB) + P(B)P(AjB)
.
B.P(BjA) =
P(A)P(AjB)
P(B)P(AjB) + P(B)P(AjB)
.
C.P(BjA) =
P(B)P(AjB)
P(B)P(AjB) + P(B)P(AjB)
.
D.P(BjA) =
P(B)P(BjA)
P(B)P(AjB) + P(B)P(AjB)
.
C¥u 11.N¸u hai bi¸n cèA,Bthäa m¢nP(B) = 0;4;P(AjB) = 0;5;P(AjB) = 0;3th¼P(A)b¬ng
A.0;38. B.0;8. C.0;2. D.0;18.
C¥u 12.Theo k¸t qu£ tø tr¤m nghi¶n cùu kh½ hªu t¤i mët àa ph÷ìng, x¡c su§t º mët ng y câ giâ l 
0;6. N¸u ng y â câ giâ th¼ x¡c su§t câ m÷a l 0;4. T½nh x¡c su§t º tríi câ giâ nh÷ng khæng câ m÷a ð
àa ph÷ìng â trong mët ng y.
A.0;6. B.0;36. C.0;24. D.0;16.
A2
B i tªp tr­c nghi»m óng sai
C¥u 13.
Kim tü th¡p Kheops ð Ai Cªp câ d¤ng h¼nh châpS:ABCD, câ ¡y
l  h¼nh vuæng vîi c¤nh d i230m, c¡c c¤nh b¶n b¬ng nhau v  d i
214m. Chån h» tröc to¤ ëOxyzsao cho t¥mOcõa h¼nh vuæng
ABCDl  gèc to¤ ë, c¡c iºmA,B,Sl¦n l÷ñt thuëc c¡c tiaOx,
Oy,Oz. Khi â
Ph¡t biºu S
a)A
€
115
p
2; 0; 0
Š
,B
€
0; 115
p
2; 0
Š
,S(0; 0; 139).
b)M°t ph¯ng(SAB)câ hai vectì ch¿ ph÷ìng l 
#
SA=
€
115
p
2; 0;139
Š
,
#
BS=
€
0;115
p
2; 139
Š
.
c)M°t ph¯ng(SBC)câ mët vectì ph¡p tuy¸n l 
#
n(SBC)=
€
139115
p
2; 139115
p
2; 115
p
2
Š
.
d)Gâc giúa hai m°t ph¯ng(SAB)v (SBC)b¬ng34

(l m trán ¸n h ng ìn và).
C¥u 14.Trong khæng gian vîi h» to¤ ëOxyz, cho m°t ph¯ng(P):x+y+z3 = 0v  ÷íng th¯ng
d:
x
1
=
y+ 1
2
=
z2
1
.
Ph¡t biºu S
a)÷íng th¯ngdcâ v²c-tì ch¿ ph÷ìng l 
#
u= (1; 2; 1).
b)÷íng th¯ngdvuæng gâc vîi m°t ph¯ng(P).
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

39. BË — ÆN THI HK2 TON 12N‹M HÅC 20242025ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–N37Trang
Ph¡t biºu S
c)÷íng th¯ngdc­t m°t ph¯ng(P)t¤i iºmM(1; 1; 1).
d)H¼nh chi¸u cõadtr¶n(P)câ ph÷ìng tr¼nh l 
x1
1
=
y1
4
=
z1
5
.
C¥u 15.Trong khæng gianOxyz, cho m°t c¦u(S):x
2
+y
2
+z
2
+ 4x2y+ 8z1 = 0.
Ph¡t biºu S
a)B¡n k½nh cõa m°t c¦u(S)l R= 22.
b)Ph÷ìng tr¼nh m°t ph¯ng(P):x3y+z4 = 0ti¸p xóc vîi m°t c¦u(S).
c)T¥m cõa m°t c¦u(S)l I(2; 1;4).
d)iºmA(0; 0; 2)thuëc m°t c¦u(S).
C¥u 16.Lîp12A câ40håc sinh, trong â câ25håc sinh tham gia c¥u l¤c bë Ti¸ng Anh,16håc sinh
tham gia c¥u l¤c bë To¡n,12håc sinh vøa tham gia c¥u l¤c bë ti¸ng Anh vøa tham gia c¥u l¤c bë
To¡n. Chån ng¨u nhi¶n1håc sinh. X²t c¡c bi¸n cè sau:
Al  bi¸n cè Håc sinh ÷ñc chån tham gia c¥u l¤c bë Ti¸ng Anh v Bl  bi¸n cè Håc sinh ÷ñc chån
tham gia c¥u l¤c bë To¡n.
Ph¡t biºu S
a)P(A) = 0;4.
b)P(B) = 0;625.
Ph¡t biºu S
c)P(AjB) = 0;75.
d)P(BjA) = 0;48.
A3
B i tªp tr­c nghi»m tr£ líi ng­n
C¥u 17.
H¼nh b¶n v³ minh ho¤ m¡i hi¶nABCDsong song vîi
m¡i nh PQRStrong khæng gian vîi h» to¤ ëOxyz
(m¡i hi¶n v  m¡i nh  ·u ph¯ng) câQ(10; 0; 200),
P(490; 0; 200),R(0; 1600; 0),A(0; 0;65). M°t ph¯ng
(ABCD)câ ph÷ìng tr¼nhy+az+ 65a= 0. T¼m gi¡ trà
cõaa.
KQ:QPSRBADCxyzO
C¥u 18.Trong khæng gianOxyz, giao iºm cõa m°t ph¯ng(P): 3x+ 5yz2 = 0v  ÷íng th¯ng
:
x12
4
=
y9
3
=
z1
1
l  iºmM(x0;y0;z0). T½nh gi¡ trà cõa têngx0+y0+z0.
KQ:
C¥u 19.Trong h» tröc tåa ëOxyzcho tr÷îc (ìn và tr¶n tröc l  m²t), mët tr¤m thu ph¡t sâng5G
câ b¡n k½nh vòng phõ sâng cõa tr¤m ð ng÷ïng600m ÷ñc °t ð và tr½I(200; 450; 60). Mët ng÷íi ang
dòng i»n tho¤i ang ð và tr½M(a;a; 60). Häi câ bao nhi¶u và tr½ iºmMº ng÷íi dòng i»n tho¤i câ
thº n¬m trong vòng phõ sâng cõa tr¤m dàch vö n y. Bi¸tMcâ tåa ë l  nhúng sè nguy¶n d÷ìng.
KQ:
C¥u 20.
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

40. ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NTrang38
Mët c¡i m n chöp câ d¤ng nh÷ h¼nh v³ b¶n. Bi¸t r¬ng m°t c­t cõa c¡i m n
theo m°t ph¯ng song song vîi m°t ph¯ng ¡y v  c¡ch m°t ¡y mët kho£ng
x(m),0x2, l  mët h¼nh vuæng c¤nh b¬ng
p
4x
2
(m). Thº t½ch cõa
c¡i m n l  bao nhi¶u m²t khèi (l m trán k¸t qu£ ¸n h ng ph¦n m÷íi)?
KQ:
p
4x
2
C¥u 21.Mët s£n ph©m xu§t kh©u sang Mÿ ph£i qua2l¦n kiºm tra, n¸u c£2l¦n ·u ¤t th¼ s£n ph©m
â mîi õ ti¶u chu©n xu§t kh©u. Bi¸t r¬ng b¼nh qu¥n98%s£n ph©m l m ra qua ÷ñc l¦n kiºm tra thù
nh§t v 95%sè s£n ph©m qua l¦n kiºm tra ¦u ti¶n s³ ti¸p töc qua ÷ñc l¦n kiºm tra thù hai. X¡c
su§t º s£n ph©m â õ ti¶u chu©n xu§t kh©u l 
a
b
(vîia,bl  c¡c sè nguy¶n d÷ìng v 
a
b
l  ph¥n sè
tèi gi£n). Gi¡ trà cõabab¬ng bao nhi¶u?
KQ:
C¥u 22.Trong mët khoa c§p cùu cõa b»nh vi»n, ng÷íi ta thèng k¶ r¬ng60%b»nh nh¥n bà ch§n th÷ìng
¦u l  do tai n¤n giao thæng v  cán l¤i l  do tai n¤n kh¡c. Lo¤i ch§n th÷ìng ¦u do tai n¤n giao thæng
g¥y tû vong b»nh nh¥n chi¸m50%v  lo¤i ch§n th÷ìng do tai n¤n kh¡c g¥y tû vong b»nh nh¥n chi¸m
30%. X¡c su§t mët b»nh ¡n cõa b»nh nh¥n tû vong ð khoa c§p cùu â b¬ng bao nhi¶u?
KQ: L. — ÆN TŠP SÈ 12A1
B i tªp tr­c nghi»m bèn ph÷ìng ¡n lüa chån
C¥u 1.Di»n t½ch h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði ç thà c¡c h m sèy= 2x
2
+x+ 1v y=x
2
+ 3b¬ng
A.
9
2
. B.
5
2
. C.4. D.2.
C¥u 2.Trong khæng gianOxyz, ph÷ìng tr¼nh m°t ph¯ng i qua iºmM(2; 1;3)v  nhªn
#
n=
(1; 2;2)l m vectì ph¡p tuy¸n l 
A.2x+y3z10 = 0. B.x+ 2y2z+ 2 = 0.
C.2x+y3z14 = 0. D.x+ 2y2z10 = 0.
C¥u 3.Trong khæng gian Oxyz, cho ÷íng th¯ngd:
x2
1
=
y1
2
=
z+ 3
1
. Vectì n o d÷îi ¥y l 
mët vectì ch¿ ph÷ìng cõad?
A.
#
u1= (2; 1; 1). B.
#
u2= (1; 2;3). C.
#
u3= (1;2;1). D.
#
u4= (2; 1;3).
C¥u 4.Trong khæng gianOxyz, cho m°t ph¯ng() :x+ 2y2z+ 3 = 0. Ph÷ìng tr¼nh tham sè cõa
÷íng th¯ng i qua iºmA(2; 1;5)v  vuæng gâc vîi m°t ph¯ng()l 
A.
8
>
<
>
:
x=2 +t
y=1 + 2t
z= 52t
. B.
8
>
<
>
:
x= 1 + 2t
y= 2 +t
z=25t
. C.
8
>
<
>
:
x= 2 +t
y= 1 + 2t
z=52t
. D.
8
>
<
>
:
x= 2t
y= 1 + 2t
z=52t
.
C¥u 5.Trong khæng gianOxyz, m°t c¦u(S): (x1)
2
+y
2
+ (z+ 3)
2
= 16câ b¡n k½nh b¬ng
A.16. B.4. C.32. D.9.
C¥u 6.M°t c¦u(S)câ t¥mI(1; 2; 1)v  ti¸p xóc vîi m°t ph¯ng(P) :x2y2z2 = 0câ ph÷ìng
tr¼nh l 
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

41. BË — ÆN THI HK2 TON 12N‹M HÅC 20242025ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–N39Trang
A.(x+ 1)
2
+ (y2)
2
+ (z1)
2
= 3. B.(x+ 1)
2
+ (y2)
2
+ (z1)
2
= 9.
C.(x+ 1)
2
+ (y2)
2
+ (z+ 1)
2
= 3. D.(x+ 1)
2
+ (y2)
2
+ (z+ 1)
2
= 9.
C¥u 7.Tø mët hëp câ 4 t§m th´ còng lo¤i ÷ñc ghi sè l¦n l÷ñt tø1¸n4. B¤n Ti¶n l§y ra mët c¡ch
ng¨u nhi¶n mët th´ tø hëp, bä th´ â ra ngo i v  l¤i l§y ra mët c¡ch ng¨u nhi¶n th¶m mët th´ núa.
X²t bi¸n cèAl  th´ l§y ra l¦n thù nh§t ghi sè1. Sè c¡c k¸t qu£ thuªn lñi cõa bi¸n cèAl 
A.1. B.4. C.3. D.2.
C¥u 8.Cho hai bi¸n cèAv BcâP(A) = 0,8;P(B) = 0,5v P(AB) = 0,2. X¡c su§t cõa bi¸n cèA
vîi i·u ki»nBl 
A.0,4. B.0,5. C.0,25. D.0,625.
C¥u 9.ChoP(A) =
2
5
;P (BjA) =
1
3
;P

BjA

=
1
4
. Gi¡ trà cõaP(B)l 
A.
19
60
. B.
17
60
. C.
9
20
. D.
7
30
.
C¥u 10.ChoA,Bl  c¡c bi¸n cè thäa m¢nP

AB

= 0;35,P(A) = 0;25,P (BjA) = 0;8. Gi¡ trà cõa
P(B)b¬ng
A.
1
5
. B.
3
5
. C.
7
15
. D.
2
3
.
C¥u 11.Cho h m sèf(x)bi¸tf(0) = 1,f
0
(x)li¶n töc tr¶n[0; 3]v 
3Z
0
f
0
(x) dx= 9. T½nhf(3).
A.f(3) = 9. B.f(3) = 10. C.f(3) = 8. D.f(3) = 7.
C¥u 12.Mët nh  m¡y câ hai ph¥n x÷ðngIv II. Ph¥n x÷ðngIs£n xu§t40%sè s£n ph©m v  ph¥n
x÷ðngIIs£n xu§t60%sè s£n ph©m. T¿ l» s£n ph©m bà léi cõa ph¦n x÷ðngIl 2%v  cõa ph¥n x÷ðng
IIl 1%. Kiºm tra ng¨u nhi¶n1s£n ph©m cõa nh  m¡y v  x¡c su§t º s£n ph©m â bà léi l 
A.0;02. B.0;6. C.0;014. D.0;01.
A2
B i tªp tr­c nghi»m óng sai
C¥u 13.Cho ba iºmA(4; 1; 0),B(2; 1; 4). Gåi(P)l  m°t ph¯ng trung trüc cõa o¤nAB. Méi kh¯ng
ành d÷îi ¥y óng hay sai?
Ph¡t biºu S
a)I(3; 0; 2)l  trung iºm cõa o¤nAB.
b)(P)câ mët v²c-tì ph¡p tuy¸n l 
#
n= (2; 2; 4).
c)(P)câ ph÷ìng tr¼nh l 3x2z+ 1 = 0.
d)iºmM(3; 5; 5)n¬m tr¶n(P).
C¥u 14.Cho hai ÷íng th¯ngd1:
x2
2
=
y+ 2
1
=
z3
1
;d2:
8
>
<
>
:
x= 1t
y= 1 + 2t
z=1 +t
v  iºmA(1; 2; 3). Gåi
l  ÷íng th¯ng i quaA, vuæng gâc vîid1v  c­td2. Chån kh¯ng ành óng, kh¯ng ành sai trong c¡c
kh¯ng ành d÷îi ¥y.
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

42. ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NTrang40
Ph¡t biºu S
a)Hai ÷íng th¯ngd1,d1l¦n l÷ñt nhªn
#
u1= (2;1; 1),
#
u2= (1; 2; 1)l m v²c-tì ch¿
ph֓ng.
b)÷íng th¯ngc­t ÷íng th¯ngd2t¤i iºm câ tåa ë(2;1; 2).
c)÷íng th¯ngcâ mët v²c-tì ch¿ ph÷ìng câ tåa ë(1;3;5).
d)÷íng th¯ngcâ ph÷ìng tr¼nh l 
x
2
=
y+ 1
1
=
z1
1
.
C¥u 15.Trong khæng gianOxyz, cho hai iºmA(4; 6; 8)v B(2; 4; 4). Gåi(S)l  m°t c¦u ÷íng k½nh
AB. Méi k¸t qu£ d÷îi ¥y óng hay sai?
Ph¡t biºu S
a)Trung iºm cõaABl  iºmI(3; 5; 6).
b)Tåa ë v²c-tì
#
AB= (2; 2; 4).
c)M°t c¦u(S)câ b¡n k½nhR= 2
p
6.
d)Ph÷ìng tr¼nh m°t c¦u(S)l (x3)
2
+ (y5)
2
+ (z6)
2
= 6.
C¥u 16.Cho hai con xóc x­c c¥n èi v  çng ch§t. Gieo l¦n l÷ñt tøng xóc x­c trong hai xóc x­c â.
Méi ph¡t biºu d÷îi ¥y óng hay sai?
Ph¡t biºu S
a)X¡c su§t xóc s­c thù nh§t xu§t hi»n m°t4ch§m l 
4
6
.
b)X¡c su§t têng sè ch§m xu§t hi»n tr¶n hai xóc s­c b¬ng6l 
1
6
.
c)X¡c su§t têng sè ch§m xu§t hi»n tr¶n hai xóc x­c b¬ng6, bi¸t r¬ng xóc x­c thù
nh§t xu§t hi»n m°t4ch§m l 
1
36
.
d)X¡c su§t têng sè ch§m xu§t hi»n tr¶n hai xóc x­c l  sè ch®n, bi¸t r¬ng xóc x­c thù
nh§t xu§t hi»n m°t4ch§m l 
1
12
.
A3
B i tªp tr­c nghi»m tr£ líi ng­n
C¥u 17.T¤i mët nh  m¡y, gåiC(x)l  têng chi ph½ (t½nh theo tri»u çng) º s£n xu§txt§n s£n ph©m
Atrong mët th¡ng. Khi â, ¤o h mC
0
(x), gåi l  chi ph½ cªn bi¶n, cho bi¸t tèc ë t«ng têng chi ph½
theo l÷ñng s£n ph©m ÷ñc s£n xu§t. Gi£ sû chi ph½ cªn bi¶n (t½nh theo tri»u çng tr¶n t§n) cõa nh 
m¡y ÷ñc ÷îc l÷ñng bði cæng thùcC
0
(x) = 50;06x+ 0;00072x
2
vîi0x150:Bi¸t r¬ngC(0) = 30
tri»u çng, gåi l  chi ph½ cè ành. T½nh têng chi ph½ (ìn và tri»u çng) khi nh  m¡y s£n xu§t100t§n
s£n ph©m A trong th¡ng.
KQ:
C¥u 18.Khi g­n h» tröc tåa ëOxyz(ìn và tr¶n méi tröc t½nh theo kilom²t) v o mët s¥n bay, m°t
ph¯ng(Oxy)tròng vîi m°t s¥n bay. Mët m¡y bay bay theo ÷íng th¯ng tø và tr½A(5; 0; 5)¸n và tr½
B(10; 10; 3)v  h¤ c¡nh t¤i và tr½C(a;b; 0). Gi¡ trà cõaa+bb¬ng bao nhi¶u (vi¸t k¸t qu£ d÷îi d¤ng
sè thªp ph¥n)?
KQ:
C¥u 19.Khi g­n h» tröc tåa ëOxyz(ìn và tr¶n méi tröc t½nh theo kilom²t) v o mët s¥n bay, m°t
ph¯ng(Oxy)tròng vîi m°t s¥n bay. Mët m¡y bay ð và tr½A(3; 2;3)s³ h¤ c¡nh tîi và tr½B(8; 8; 0).
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

43. BË — ÆN THI HK2 TON 12N‹M HÅC 20242025ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–N41Trang
Gâc giúa ÷íng bay (mët ph¦n cõa ÷íng th¯ngAB) v  s¥n bay (mët ph¦n cõa m°t ph¯ng(Oxy))
b¬ng bao nhi¶u ë (l m trán k¸t qu£ ¸n h ng ìn và)?
KQ:
C¥u 20.B¤n B¼nh è b¤n Nam t¼m ÷ñc ÷íng k½nh cõa qu£ bâng rê, bi¸t r¬ng n¸u °t qu£ bâng ð
mët gâc c«n pháng h¼nh hëp chú nhªt, sao cho qu£ bâng ch¤m (ti¸p xóc) vîi hai bùc t÷íng v  n·n nh 
cõa c«n pháng â (khi â kho£ng c¡ch tø t¥m qu£ bâng ¸n hai bùc t÷íng v  n·n nh  ·u b¬ng b¡n
k½nh cõa qu£ bâng) th¼ câ mët iºmMtr¶n qu£ bâng vîi kho£ng c¡ch l¦n l÷ñt ¸n hai bùc t÷íng v 
n·n nh  l 17cm,18cm v 21cm. H¢y gióp Nam x¡c ành ÷íng k½nh cõa qu£ bâng rê â. Bi¸t r¬ng
lo¤i bâng rê ti¶u chu©n câ ÷íng k½nh tø23cm ¸n24;5cm.
KQ:
C¥u 21.Mët hëp câ20vi¶n bi tr­ng v 10vi¶n bi en, c¡c vi¶n bi câ còng k½ch th÷îc v  khèi l÷ñng.
B¤n B¼nh l§y ng¨u nhi¶n mët vi¶n bi trong hëp, khæng tr£ l¤i. Sau â b¤n An l§y ng¨u nhi¶n mët vi¶n
bi trong hëp â. GåiAl  bi¸n cè: An l§y ÷ñc vi¶n bi tr­ng;Bl  bi¸n cè: B¼nh l§y ÷ñc vi¶n bi
tr­ng. T½nhP(AjB)ð d¤ng thªp ph¥n v  l m trán ¸n h ng ph¦n tr«m.
KQ:
C¥u 22.T¿ l» ng÷íi d¥n ¢ ti¶m v­c xin pháng b»nhXð mët àa ph÷ìng l 65%. Trong sè nhúng
ng÷íi ¢ ti¶m pháng, t¿ l» m­c b»nhXl 5%cán trong sè nhúng ng÷íi ch÷a ti¶m, t¿ l» m­c b»nhX
l 17%. G°p ng¨u nhi¶n mët ng÷íi ð àa ph÷ìng â. Bi¸t r¬ng ng÷íi â m­c b»nhX. Khi â x¡c su§t
ng÷íi â khæng ti¶m v­c xin pháng b»nhXcâ d¤ng
a
b
. Gi¡ tràbal ?
KQ: M. — ÆN TŠP SÈ 13A1
B i tªp tr­c nghi»m bèn ph÷ìng ¡n lüa chån
C¥u 1.Cho
5Z
0
f(x) dx= 3. Gi¡ trà
5Z
0
f(x) dx+ 3l 
A.8. B.12. C.6. D.30.
C¥u 2.T½nh di»n t½ch h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði ç thà h m sèy= e
x
, tröc ho nh v  hai ÷íng th¯ng
x= 0v x= 3.
A.e
3
. B.e
3
1. C.e
2
1. D.e (e
2
1).
C¥u 3.Trong khæng gianOxyz, mët v²ctì ph¡p tuy¸n cõa m°t ph¯ng
x
2
+
y
1
+
z
3
= 1l 
A.
#
n= (3; 6;2). B.
#
n= (2;1; 3). C.
#
n= (3;6;2).D.
#
n= (2;1; 3).
C¥u 4.Trong khæng gianOxyz, cho ÷íng th¯ngd:
x3
2
=
y4
5
=
z+ 1
3
. Vectì n o d÷îi ¥y l 
mët vectì ch¿ ph÷ìng cõad?
A.
#
u2= (2; 4;1). B.
#
u1= (2;5; 3). C.
#
u3= (2; 5; 3). D.
#
u4= (3; 4; 1).
C¥u 5.Trong khæng gian vîi h» tåa ëOxyz, cho hai iºmA(1; 1; 0)v B(0; 1; 2). V²c-tì n o d÷îi ¥y
l  mët v²c-tì ch¿ ph÷ìng cõa ÷íng th¯ngAB.
A.
#
d= (1; 1; 2). B.
#
a= (1; 0;2). C.
#
b= (1; 0; 2). D.
#
c= (1; 2; 2).
C¥u 6.Trong khæng gian vîi h» tåa ëOxyz, trong c¡c m°t c¦u d÷îi ¥y, m°t c¦u n o câ b¡n k½nh
R= 2?
A.(S):x
2
+y
2
+z
2
4x+ 2y+ 2z3 = 0. B.(S):x
2
+y
2
+z
2
4x+ 2y+ 2z10 = 0.
C.(S):x
2
+y
2
+z
2
4x+ 2y+ 2z+ 2 = 0. D.(S):x
2
+y
2
+z
2
4x+ 2y+ 2z+ 5 = 0.
C¥u 7.Trong khæng gian vîi h» tåa ëOxyz, cho m°t c¦u câ ph÷ìng tr¼nh(x1)
2
+(y+2)
2
+(z3)
2
= 2.
T¼m tåa ë t¥mIv  b¡n k½nhRcõa m°t c¦u â.
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

44. ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NTrang42
A.I(1; 2;3);R= 2. B.I(1; 2;3);R= 4.
C.I(1;2; 3);R=
p
2. D.I(1;2; 3);R= 4.
C¥u 8.Cho hai bi¸n cè A v  B b§t k¼, vîiP(B)>0. Kh¯ng ành n o sau ¥y óng?
A.P(AjB) =
P(AB)
P(B)
. B.P(AjB) =
P(AB)
P(A)
.
C.P(AjB) =
P(B)
P(AB)
. D.P(AjB) =
P(A)
P(AB)
.
C¥u 9.Cho hai bi¸n cèAv B, vîiP(B) = 0;8,P(AjB) = 0;7,P(Aj

B) = 0;45. T½nhP(BjA).
A.
56
65
. B.
12
19
. C.
6
13
. D.
22
157
.
C¥u 10.Cho 2 bi¸n cèAv B. Cæng thùc x¡c su§t to n ph¦n n o sau ¥y óng?
A.P(A) = P(B)P(AjB) + P(

B)P(Aj

B). B.P(A) = P(

B)P(

AjB) + P(B)P(Aj

B).
C.P(A) = P(B)P(Aj

B) + P(

B)P(

AjB). D.P(A) = P(B)P(AjB) + P(

B)P(

AjB).
C¥u 11.Mët hëp câ5vi¶n bi xanh v 3vi¶n bi ä. Rót ng¨u nhi¶n2vi¶n bi tø hëp m  khæng tr£ l¤i.
T½nh x¡c su§t º vi¶n bi thù hai l  bi ä, vîi i·u ki»n r¬ng vi¶n bi thù nh§t l  bi xanh.
A.
3
7
. B.
1
3
. C.
2
7
. D.
12
25
.
C¥u 12.Cho hai bi¸n cèAv B. X¡c su§t cõa bi¸n cèAvîi i·u ki»n cõa bi¸n cèB¢ x£y ra ÷ñc
gåi l  x¡c su§t cõaAvîi i·u ki»nB, kþ hi»u l P(AjB). Ph¡t biºu n o sau ¥y óng?
A.N¸uP(A)>0th¼P(AjB) =
P(AB)
P(A)
. B.N¸uP(B)>0th¼P(AjB) =
P(AB)
P(B)
.
C.N¸uP(AB)>0th¼P(AB) =
P(A)
P(AB)
. D.N¸uP(AB)>0th¼P(AB) =
P(B)
P(AB)
.
A2
B i tªp tr­c nghi»m óng sai
C¥u 13.Trong khæng gianOxyz, cho m°t ph¯ng(P): 2x+ 3y+z2024 = 0. Khi â
Ph¡t biºu S
a)M°t ph¯ng(P)câ mët v²ctì ph¡p tuy¸n l 
#
n= (2; 3; 1).
b)M°t ph¯ng(P)i qua iºmO(0; 0; 0).
c)M°t ph¯ng(P)câ v²ctì ph¡p tuy¸n l 
#
n= (4;6;2).
d)iºmM(0; 0; 2024)khæng thuëc m°t ph¯ng(P).
C¥u 14.Trong khæng gianOxyz, cho ba iºmA(1; 2; 0),B(1; 1; 2)v C(2; 3; 1). Khi â
Ph¡t biºu S
a)÷íng th¯ng i quaAv  song song vîiBCcâ ph÷ìng tr¼nh l 
x1
1
=
y2
2
=
z
1
.
b)÷íng th¯ng i qua hai iºmB,Ccâ ph÷ìng tr¼nh l 
x1
1
=
y1
2
=
z2
1
.
c)iºmM(2; 3; 2)khæng thuëc ÷íng th¯ngBC.
d)iºmN(3; 5; 0)khæng thuëc ÷íng th¯ngBC.
C¥u 15.Trong khæng gian vîi h» tröc tåa ëOxyz, cho iºmA(1; 1; 2),B(3; 2;3). M°t c¦u(S)câ
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

45. BË — ÆN THI HK2 TON 12N‹M HÅC 20242025ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–N43Trang
t¥mIthuëcOxv  i qua hai iºmA,B. Khi â
Ph¡t biºu S
a)Tåa ë t¥m(I)cõa m°t c¦u(S)l I(4; 0; 0).
b)B¡n k½nhRcõa m°t c¦u(S)l R= 14.
c)M°t c¦u(S)câ ph÷ìng tr¼nhx
2
+y
2
+z
2
8x+ 2 = 0.
d)M°t c¦u(S)câ ph÷ìng tr¼nhx
2
+y
2
+z
2
8x2 = 0.
C¥u 16.Lîp 12A câ30håc sinh, trong â câ17b¤n nú, cán l¤i l  nam. Câ3b¤n t¶n Hi·n, trong â
câ1b¤n nú v 2b¤n nam. Th¦y gi¡o gåi ng¨u nhi¶n1b¤n l¶n b£ng.
Ph¡t biºu S
a)X¡c su§t º b¤n l¶n b£ng câ t¶n Hi·n l 
1
10
.
b)X¡c su§t º b¤n l¶n b£ng câ t¶n Hi·n, nh÷ng vîi i·u ki»n b¤n â nú l 
3
17
.
c)X¡c su§t º b¤n l¶n b£ng câ t¶n Hi·n, nh÷ng vîi i·u ki»n b¤n â nam l 
2
13
.
d)N¸u th¦y gi¡o gåi mët b¤n nú l¶n b£ng, th¼ x¡c su§t º b¤n â câ t¶n l  Hi·n l 
1
17
.
A3
B i tªp tr­c nghi»m tr£ líi ng­n
C¥u 17.Cho h¼nh ph¯ngDgiîi h¤n bði ç thà h m sèy=
p
5x; x5, tröc tung, tröc ho nh. T½nh
thº t½ch khèi trán xoay t¤o th nh khi quayDquanh tröcOx. (K¸t qu£ l m trán tîi h ng ph¦n chöc)
KQ:
C¥u 18.Trong khæng gianOxyz, cho hai iºmA(2; 4; 1); B(1; 1; 3)v  m°t ph¯ng(P):x3y+2z5 =
0. Lªp ph÷ìng tr¼nh m°t ph¯ng(Q)i qua hai iºmA; Bv  vuæng gâc vîi m°t ph¯ng(P), bi¸t
(Q):ax+by+cz11 = 0. T½nha+b+c.
KQ:
C¥u 19.Trong mët ñt x£ lô, nh  m¡y thõy i»n ¢ x£ lô trong váng40phót vîi l÷u l÷ñng dáng n÷îc
t¤i thíi iºmtgi¥y l v(t) = 10t+ 500m
3
/s. Häi sau thíi gian x£ lô tr¶n th¼ hç tho¡t n÷îc cõa nh 
m¡y ¢ tho¡t i bao nhi¶u tri»u m
3
n֔c?
KQ:
C¥u 20.Trong khæng gian, câ mët chi¸c m¡y bay khæng ng÷íi l¡i t¤i iºmM(3;1; 4). Cho bi¸t quÿ
¤o bay cõa chi¸c m¡y bay n y l  ÷íng th¯ng()câ v²c-tì ch¿ ph÷ìng(1;b;c)v  bi¸t r¬ng quÿ ¤o
ph£i song song vîi m°t §t (m°t ph¯ng(Oxy)) çng thíi vuæng gâc vîi h÷îng cõa mët chi¸c m¡y bay
kh¡c ang bay theo ÷íng th¯ng(d) :
x+ 1
2
=
y
1
=
z3
3
. T½nhb+c.
KQ:
C¥u 21.Mët cæng ty câ4nh¥n vi¶n ð pháng K¸ to¡n v 6nh¥n vi¶n ð pháng Nh¥n sü. Cæng ty c¦n
chån ng¨u nhi¶n2nh¥n vi¶n º tham gia mët dü ¡n. T½nh x¡c su§t º nh¥n vi¶n thù hai ÷ñc chån
thuëc pháng Nh¥n sü, vîi i·u ki»n r¬ng nh¥n vi¶n ¦u ti¶n ÷ñc chån thuëc pháng K¸ to¡n. (K¸t qu£
l m trán tîi h ng ph¦n tr«m)
KQ:
C¥u 22.Trong mët b»nh vi»n, câ ba b¡c s¾ trüc trong ca ¶m: b¡c s¾ A, b¡c s¾ B, v  b¡c s¾ C. X¡c su§t
º méi b¡c s¾ nhªn mët ca b»nh trong ¶m l  kh¡c nhau:
ÌX¡c su§t b¡c s¾ A nhªn ca b»nh l 0;5.
ÌX¡c su§t b¡c s¾ B nhªn ca b»nh l 0;3.
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

46. ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NTrang44
ÌX¡c su§t b¡c s¾ C nhªn ca b»nh l 0;2.
Ngo i ra, x¡c su§t mët b»nh nh¥n ÷ñc chúa khäi khi ÷ñc méi b¡c s¾ i·u trà công kh¡c nhau:
ÌVîi b¡c s¾ A, x¡c su§t chúa khäi l 0;9.
ÌVîi b¡c s¾ B, x¡c su§t chúa khäi l 0;8.
ÌVîi b¡c s¾ C, x¡c su§t chúa khäi l 0;6.
Gi£ sû mët b»nh nh¥n ¢ ÷ñc chúa khäi trong ca ¶m â. T½nh x¡c su§t º b»nh nh¥n n y ÷ñc b¡c
s¾ A i·u trà. (K¸t qu£ l m trán tîi h ng ph¦n tr«m)
KQ: N. — ÆN TŠP SÈ 14A1
B i tªp tr­c nghi»m bèn ph÷ìng ¡n lüa chån
C¥u 1.Nguy¶n h m cõa h m sèf(x) =a
x
l 
A.
a
x+1
x+ 1
+C. B.a
x
lna+C. C.
a
x
lna
+C. D.xa
x1
+C.
C¥u 2.Cho
bZ
a
f(x) dx=2v 
bZ
a
g(x) dx= 3. T½nhI=
bZ
a
[2f(x)3g(x)] dx.
A.I=13. B.I= 13. C.I=5. D.I= 5.
C¥u 3.H¼nh ph¯ng giîi h¤n bði ç thà h m sèy=f(x)li¶n töc tr¶n o¤n[1; 3], tröcOxv  hai ÷íng
th¯ngx= 1,x= 3câ di»n t½ch l 
A.S=
3Z
1
f(x) dx. B.S=
3Z
1
jf(x)jdx. C.S=
1Z
3
f(x) dx. D.S=
1Z
3
jf(x)jdx.
C¥u 4.Trong khæng gian vîi h» tröc tåa ëOxyz, cho hai iºmA(1; 0; 1),B(2; 1; 1). Ph÷ìng tr¼nh
m°t ph¯ng trung trüc cõa o¤nABl 
A.x+y+ 2 = 0. B.xy+ 1 = 0. C.xy2 = 0. D.xy+ 2 = 0.
C¥u 5.Trong khæng gian vîi h» tröc tåa ëOxyz, cho ÷íng th¯ngd:
x2
3
=
y3
1
=
z+ 5
4
:Vectì
ch¿ ph÷ìng
#
ucõadv  iºmMthuëc ÷íng th¯ngdl 
A.
#
u= (6;2; 8); M(3;1; 4). B.
#
u= (2; 3;5); M(3;1; 4).
C.
#
u= (3;1; 4); M(1; 3;4). D.
#
u= (6;2; 8); M(2; 3;5).
C¥u 6.Trong khæng gian vîi h» tåa ëOxyz, cho hai v²c-tì
#
a= (2; 1; 0),
#
b= (1; 0; 2). T½nh
cos
€
#
a ;
#
b
Š
:
A.cos
€
#
a ;
#
b
Š
=
2
25
. B.cos
€
#
a ;
#
b
Š
=
2
25
.C.cos
€
#
a ;
#
b
Š
=
2
5
.D.cos
€
#
a ;
#
b
Š
=
2
5
.
C¥u 7.Gâc giúa 2 m°t ph¯ng(P): 8x4y8z11 = 0v (Q):
p
2x
p
2y+ 7 = 0b¬ng
A.90

. B.30

. C.45

. D.60

.
C¥u 8.Trong khæng gianOxyz. M°t c¦u câ ph÷ìng tr¼nh(x3)
2
+ (y1)
2
+ (z+ 4)
2
= 4câ to¤ ë
t¥mIv  b¡n k½nhRl 
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

47. BË — ÆN THI HK2 TON 12N‹M HÅC 20242025ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–N45Trang
A.I(3; 1;4); R= 2. B.I(3;1; 4); R= 2.
C.I(3; 1;4); R= 4. D.I(3;1; 4); R= 4.
C¥u 9.Cho hai bi¸n cèXv Y. Bi¸t r¬ng x¡c su§t x£y ra cõa bi¸n cèXb¬ng0;8, x¡c su§t cõa bi¸n
cè bi¸n cèYtrong i·u ki»n bi¸n cèX¢ x£y ra b¬ng0;2. T½nh x¡c su§t cõaXv Y·u x£y ra.
A.
4
25
. B.
3
25
. C.
1
4
. D.
2
25
.
C¥u 10.Cho hai bi¸n cèAv B. X¡c su§t cõa bi¸n cèA, t½nh trong i·u ki»n bi¸t r¬ng bi¸n cèB¢
x£y ra, ÷ñc gåi l  x¡c su§t cõaAvîi i·u ki»nBk½ hi»u l 
A.P (AjB). B.P (BjA). C.P (AB). D.P (B).
C¥u 11.Cho hai bi¸n cè ng¨u nhi¶nAv B. Bi¸t r¬ngP (AjB) =
1
3
P (BjA)v P (AB)6= 0. T½nh t¿
sè
P (A)
P (B)
.
A.
3
2
. B.
2
3
. C.
1
3
. D.
1
2
.
C¥u 12.Cho hai bi¸n cè ng¨u nhi¶nAv B. Bi¸t r¬ngP (A) =
4
5
,P (BjA) =
1
4
v P

BjA

=
1
8
.
T½nhP (B).
A.
1
4
. B.
9
40
. C.
1
40
. D.
1
5
.
A2
B i tªp tr­c nghi»m óng sai
C¥u 13.Trong khæng gianOxyz, cho hai iºmA(2;1; 5),B(1; 0;2)v  m°t ph¯ng(P): 2xy+z4 =
0.
Ph¡t biºu S
a)M°t ph¯ng(P)câ mët vectì ph¡p tuy¸n l 
#
n= (2;1; 1).
b)Kho£ng c¡ch tø iºmA¸n m°t ph¯ng(P)b¬ng1.
c)Ph÷ìng tr¼nh tham sè cõa ÷íng th¯ngdquaAv  vuæng gâc vîi(P)l 
d:
8
>
<
>
:
x= 2 + 2t
y=1t
z= 5 +t
.
d)Ph÷ìng tr¼nh ch½nh t­c cõa ÷íng th¯ngquaB, vuæng gâc vîi ÷íng th¯ngAB
v  song song vîi m°t ph¯ng(P)l :
x1
8
=
y
5
=
z+ 1
1
.
C¥u 14.Trong khæng gianOxyz, cho hai iºmA(1; 0; 2)v B(3; 4;2). Khi â
Ph¡t biºu S
a)M°t c¦u t¥mAv  b¡n k½nh2câ ph÷ìng tr¼nh(x1)
2
+y
2
+ (z2)
2
= 4.
b)M°t c¦u ÷íng k½nhABcâ t¥mI(2; 2; 0).
c)B¡n k½nh cõa m°t c¦u ÷íng k½nhABl 2
p
5.
d)M°t ph¯ng(P)song song vîi m°t ph¯ng(Oxz)v  ti¸p xóc vîi m°t c¦u ÷íng k½nh
ABcâ ph÷ìng tr¼nh l y= 2.
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

48. ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NTrang46
C¥u 15.Mët cæng ty §u th¦u2dü ¡n. Kh£ n«ng th­ng th¦u cõa dü ¡n1l 0;5v  kh£ n«ng th­ng
th¦u cõa dü ¡n2l 0;6. Kh£ n«ng th­ng th¦u c£2dü ¡n l 0;3. GåiAl  bi¸n cè Th­ng th¦u dü ¡n
1;Bl  bi¸n cè Th­ng th¦u dü ¡n2.
Ph¡t biºu S
a)Av Bl  hai bi¸n cè ëc lªp.
b)X¡c su§t º cæng ty th­ng th¦u óng1dü ¡n b¬ng0;5.
c)X¡c su§t º cæng ty th­ng th¦u dü ¡n2bi¸t cæng ty th­ng th¦u dü ¡n1l 0;4.
d)X¡c su§t º cæng ty th­ng th¦u dü ¡n2bi¸t cæng ty khæng th­ng th¦u dü ¡n1l 
0;4.
C¥u 16.Kh£o s¡t thà lüc100håc sinh gçm60håc sinh nam v 40håc sinh nú. Trong â håc sinh nam
câ tªt khóc x¤ l 18håc sinh, håc sinh nú câ tªt khóc x¤ l 12håc sinh. Chån ng¨u nhi¶n1b¤n trong
100håc sinh tr¶n. GåiAl  bi¸n cè Håc sinh ÷ñc chån bà tªt khóc x¤;Bl  bi¸n cè Håc sinh ÷ñc
chån l  nam.
Ph¡t biºu S
a)X¡c xu§t håc sinh ÷ñc chån l  nú b¬ng0;4.
b)X¡c xu§t håc sinh ÷ñc chån bà tªt khóc x¤ b¬ng0;3.
c)Bi¸t r¬ng b¤n â l  nú, x¡c xu§t º håc sinh â bà tªt khóc x¤ b¬ng0;4.
d)Bi¸t r¬ng b¤n â bà tªt khóc x¤, x¡c xu§t º håc sinh â l  nam b¬ng0;6.
A3
B i tªp tr­c nghi»m tr£ líi ng­n
C¥u 17.Trong khæng gianOxyz, cho hai iºmP(3; 1; 0),Q(2; 3; 0)v  iºmNdi ëng tr¶n tröcOz.
GåiE,Fl¦n l÷ñt l  h¼nh chi¸u vuæng gâc cõaPl¶nOQv NQ. ÷íng th¯ngEFc­t tröcOz
t¤i iºmT. Khi thº t½ch khèi tù di»nPQNTnhä nh§t th¼ ph÷ìng tr¼nh m°t ph¯ng(PEF)câ d¤ng
ax+by+cz9 = 0. T½nha+b+c.
KQ:
C¥u 18.Trong khæng gian vîi h» tåa ëOxyz, cho iºmA(2;3; 3)v  hai ÷íng th¯ngd1:
x1
2
=
y+ 1
3
=
z2
1
,d2:
x3
1
=
y+ 2
2
=
z1
1
. ÷íng th¯ngdi quaA, c­td2v  vuæng gâc vîid1. M°t
ph¯ng(P)i qua gèc tåa ë v  chùa ÷íng th¯ngd. Bi¸t m°t ph¯ng(P)câ mët vectì ph¡p tuy¸n l 
#
n= (a;b; 1). T½nhT=a+b+ 1.
KQ:
C¥u 19.Mët nh  kho ÷ñc minh håa nh÷ h¼nh b¶n, trong khæng gian
Oxyz(ìn và tr¶n méi tröc l  m²t), bi¸t kho câ chi·u cao b¬ng8m,
hai m¡iEFIK,HGIKl  hai h¼nh chú nhªt b¬ng nhau, c¡c bùc t÷íng
t¤o th nh h¼nh hëp chú nhªtABCD:EFGH ,AB= 10m,AD=
24m,AE= 7m. Khi â gâc giúa hai m¡i nh  b¬ng bao nhi¶u ë?
KQ:xyzOABCDEFGHIK BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

49. BË — ÆN THI HK2 TON 12N‹M HÅC 20242025ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–N47Trang
C¥u 20.Trong khæng gian h» tröc tåa ëOxyx(ìn và tr¶n méi tröc l  kilæm²t) mët tr¤m ph¡t sâng
raa ð và tr½O(0; 0; 0)v  ÷ñc thi¸t k¸ ph¡t hi»n m¡y bay ð kho£ng c¡ch tèi a500km. Mët m¡y
bay cõa ang chuyºn ëng theo ÷íng th¯ngd:
8
>
<
>
:
x=1000 + 100t
y=200 + 80t
z= 10
v  h÷îng v· ph½a tr¤m ph¡t sâng
raa. T½nh kho£ng c¡ch ng­n nh§t giúa m¡y bay vîi tr¤m kiºm so¡t raa (k¸t qu£ l m trán ¸n h ng
ìn và).
KQ:OABdzyx
C¥u 21.Lîp 12B câ35håc sinh, trong â câ20b¤n nú v 15b¤n nam. Câ4b¤n t¶n Minh gçm ba
b¤n nú v  mët b¤n nam. Th¦y gi¡o chån ng¨u nhi¶n mët b¤n l¶n b£ng l m b i tªp. T½nh x¡c su§t º
chån óng b¤n t¶n Minh l  b¤n nú (k¸t qu£ l m trán ¸n h ng ph¦n tr«m).
KQ:
C¥u 22.Kh£o s¡t sü y¶u th½ch mæn Vªt lþ cõa hai lîp 12 cõa mët tr÷íng. Lîp 12B1 câ 45 håc sinh v 
câ85%håc sinh th½ch mæn Vªt lþ, lîp 12B2 câ 35 håc sinh v  câ70%håc sinh th½ch mæn Vªt lþ. Chån
ng¨u nhi¶n mët håc sinh. Bi¸t r¬ng b¤n â y¶u th½ch mæn Vªt lþ, t½nh x¡c su§t b¤n â håc lîp 12B1
(k¸t qu£ l m trán ¸n h ng ph¦n tr«m).
KQ: O. — ÆN TŠP SÈ 15A1
B i tªp tr­c nghi»m bèn ph÷ìng ¡n lüa chån
C¥u 1.T¼m nguy¶n h m cõa h m sèf(x) = 7
x
.
A.
Z
7
x
dx=
7
x
ln 7
+C. B.
Z
7
x
dx= 7
x+1
+C.
C.
Z
7
x
dx=
7
x+1
x+ 1
+C. D.
Z
7
x
dx= 7
x
ln 7 +C.
C¥u 2.T½nh t½ch ph¥n
Z
0
sin 3xdx.
A.
1
3
. B.
1
3
. C.
2
3
. D.
2
3
.
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

50. ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NTrang48
C¥u 3.
Cho h m sèy=f(x)li¶n töc, khæng ¥m tr¶n o¤n[a;b]nh÷ h¼nh
v³. H¼nh ph¯ng(H)giîi h¤n bði ç thà h m sèy=f(x), tröc
ho nh v  hai ÷íng th¯ngx=a,x=bquay quanh tröcOxt¤o
th nh mët khèi trán xoay câ thº t½ch b¬ng
A.V=
aZ
b
f
2
(x)dx. B.V=
bZ
a
jf(x)jdx.
C.V=
bZ
a
f
2
(x)dx. D.V=
bZ
a
f
2
(x)dx.
xyOy=f(x)ab
C¥u 4.Trong khæng gianOxyz, ÷íng th¯ng i qua iºmA(12; 13;14)v  câ vectì ch¿ ph÷ìng
#
u(17;18;19)câ ph÷ìng tr¼nh ch½nh t­c l 
A.
x+ 12
17
=
y13
18
=
z+ 14
19
. B.
x+ 12
17
=
y13
18
=
z+ 14
19
.
C.
x+ 12
17
=
y13
18
=
x+ 14
19
. D.
x+ 12
17
=
y13
18
=
z+ 14
19
.
C¥u 5.Trong khæng gianOxyz, cæ-sin cõa gâc giúa ÷íng th¯ng chùa tröcOyv  m°t ph¯ng(P): 4x
3y+
p
2z7 = 0b¬ng
A.
p
2
p
3
. B.
2
p
3
. C.
1
p
3
. D.
4
p
3
.
C¥u 6.Trong khæng gianOxyz, m°t c¦u t¥mI(6;9; 15)v  ÷íng k½nh b¬ng10câ ph÷ìng tr¼nh
l 
A.(x+ 6)
2
+ (y+ 9)
2
+ (z15)
2
= 100. B.(x+ 6)
2
+ (y+ 9)
2
+ (z15)
2
= 25.
C.(x6)
2
+ (y9)
2
+ (z+ 15)
2
= 100. D.(x6)
2
+ (y9)
2
+ (z+ 15)
2
= 25.
C¥u 7.Trong khæng gianOxyz, m°t ph¯ng i qua iºmK(1; 1; 1)nhªn
#
u= (1; 0; 1),
#
v= (1; 1; 0)l 
c°p vectì ch¿ ph÷ìng câ ph÷ìng tr¼nh têng qu¡t l 
A.x+y+z3 = 0.B.xy+z1 = 0.C.x+yz1 = 0.D.x+y+z1 = 0.
C¥u 8.Trong khæng gianOxyz, cho ÷íng th¯ng:
x1
1
=
y2
2
=
z
2
v  m°t ph¯ng(P): 2xy+
2z3 = 0. Gåil  gâc giúa ÷íng th¯ngv  m°t ph¯ng(P). Kh¯ng ành n o sau ¥y l  óng?
A.sin=
4
9
. B.cos=
4
9
. C.sin=
4
9
. D.cos=
4
9
.
C¥u 9.Cho hai bi¸n cèAv BthäaP(A) = 0;4;P(B) = 0;6;P (A\B) = 0;2. T½nhP (AjB).
A.
1
3
. B.
1
2
. C.
1
6
. D.
1
4
.
C¥u 10.Cho hai bi¸n cèA,BvîiP(B) = 0;6;P(AjB) = 0;7v P(AjB) = 0;4. Khi â,P(A)b¬ng
A.0;7. B.0;4. C.0;58. D.0;52.
C¥u 11.Mët m£nh §t chia th nh2khu v÷ín: Khu A câ300c¥y «n qu£, khu B câ400c¥y «n qu£.
Trong â, sè c¥y cam ð khu A v  khu B l¦n l÷ñt l 200c¥y v 250c¥y. Chån ng¨u nhi¶n1c¥y trong
m£nh §t. X¡c su§t c¥y ÷ñc chån l  c¥y cam, bi¸t r¬ng c¥y â ð khu B, l :
A.
5
14
. B.
5
9
. C.
5
8
. D.
1
2
.
C¥u 12.T¿ l» ng÷íi d¥n ¢ ti¶m v­c xin pháng b»nh A ð mët àa ph÷ìng l 65%. Trong sè nhúng ng÷íi
¢ ti¶m pháng, t¿ l» m­c b»nh A l 5%cán trong sè nhúng ng÷íi ch÷a ti¶m, t¿ l» m­c b»nh A l 17%.
G°p ng¨u nhi¶n mët ng÷íi ð àa ph÷ìng â. X¡c su§t ng÷íi â m­c b»nh A l 
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

51. BË — ÆN THI HK2 TON 12N‹M HÅC 20242025ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–N49Trang
A.0;0325. B.0;018. C.0;092. D.0;0525.
A2
B i tªp tr­c nghi»m óng sai
C¥u 13.Trong khæng gianOxyz, cho ÷íng th¯ng:
x2024
2
=
y
1
=
z+ 2025
2
v  m°t ph¯ng
(P): 2x+ 2yz+ 1 = 0. X²t c¡c vectì
#
u= (2; 1;2),
#
n= (2; 2;1)
Ph¡t biºu S
a)
#
ul  mët vectì ch¿ ph÷ìng cõa ÷íng th¯ng.
b)
#
nl  mët vectì ph¡p tuy¸n cõa m°t ph¯ng(P).
c)cos (;(P)) =
8
9
.
d)Gâc giúa ÷íng th¯ngv  m°t ph¯ng(P)b¬ng63

(l m trán ¸n h ng ìn và cõa
ë).
C¥u 14.Lîp 12A câ40håc sinh, trong â câ25håc sinh tham gia c¥u l¤c bë Ti¸ng Anh,16håc sinh
tham gia c¥u l¤c bë To¡n,12håc sinh vøa tham gia c¥u l¤c bë Ti¸ng Anh vøa tham gia c¥u l¤c bë
To¡n. Chån ng¨u nhi¶n1håc sinh. X²t c¡c bi¸n cè sau:
A: Håc sinh ÷ñc chån tham gia c¥u l¤c bë Ti¸ng Anh;
B: Håc sinh ÷ñc chån tham gia c¥u l¤c bë To¡n.
Ph¡t biºu S
a)P(A) = 0;4.
b)P(B) = 0;625.
Ph¡t biºu S
c)P(AjB) = 0;75.
d)P(BjA) = 0;48.
C¥u 15.N«m2001, Cëng çng Ch¥u …u câ l m mët ñt kiºm tra r§t rëng r¢i c¡c con bá º ph¡t hi»n
nhúng con bà b»nh bá i¶n. Ng÷íi ta ti¸n h nh mët lo¤i x²t nghi»m v  cho k¸t qu£ nh÷ sau: Khi con
bá bà b»nh bá i¶n th¼ x¡c su§t º ra ph£n ùng d÷ìng t½nh trong x²t nghi»m l 70%; cán khi con bá
khæng bà b»nh th¼ x¡c su§t º x£y ra ph£n ùng d÷ìng t½nh trong x²t nghi»m â l 10%. Bi¸t r¬ng t¿ l»
bá bà m­c b»nh bá i¶n ð H  Lan l 1;3con tr¶n100 000con. GåiXl  bi¸n cè mët con bá bà b»nh bá
i¶n,Yl  bi¸n cè mët con bá ph£n ùng d÷ìng t½nh vîi x²t nghi»m.
Ph¡t biºu S
a)P(X) = 1310
6
.
b)P(YjX) = 0;07.
Ph¡t biºu S
c)P

YjX

= 0;1.
d)P(Y\X) = 9110
8
.
C¥u 16.Trong khæng gianOxyz(ìn và tr¶n méi tröc t½nh theo kilæm²t), mët tr¤m thu ph¡t sâng
i»n tho¤i di ëng ÷ñc °t ð và tr½I(1; 3; 7). Tr¤m thu ph¡t sâng â ÷ñc thi¸t k¸ vîi b¡n k½nh phõ
sâng l 3 km.
Ph¡t biºu S
a)Ph÷ìng tr¼nh m°t c¦u(S)º mæ t£ ranh giîi b¶n ngo i cõa vòng phõ sâng trong
khæng gian l (x+ 1)
2
+ (y+ 3)
2
+ (z+ 7)
2
= 9.
b)iºmA(2; 2; 7)n¬m ngo i m°t c¦u(S).
c)N¸u ng÷íi dòng i»n tho¤i ð và tr½ câ tåa ë(2; 2; 7)th¼ câ thº sû döng dàch vö cõa
tr¤m thu ph¡t sâng â.
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

52. ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NTrang50
Ph¡t biºu S
d)N¸u ng÷íi dòng i»n tho¤i ð và tr½ câ tåa ë(5; 6; 7)th¼ câ thº sû döng dàch vö cõa
tr¤m thu ph¡t sâng â.
A3
B i tªp tr­c nghi»m tr£ líi ng­n
C¥u 17.Ng÷íi ta muèn thi¸t k¸ mët bçn chùa kh½ ho¡ läng h¼nh c¦u b¬ng ph¦n m·m 3D. Cho bi¸t
ph÷ìng tr¼nh b· m°t cõa bçn chùa l (S): (x6)
2
+ (y6)
2
+ (z6)
2
= 25. Ph÷ìng tr¼nh m°t ph¯ng
chùa n­p l (P):z= 10. T½nh kho£ng c¡ch tø t¥m bçn chùa ¸n m°t ph¯ng chùa n­p.
KQ:
C¥u 18.Trong mët khung l÷îi æ vuæng gçm c¡c h¼nh lªp ph÷ìng, ng÷íi ta ÷a ra mët c¡ch kiºm tra
bèn nót l÷îi (¿nh h¼nh lªp ph÷ìng) b§t k¼ câ çng ph¯ng hay khæng b¬ng c¡ch g­n h» tröc to¤ ë
Oxyzv o khung l÷îi æ vuæng v  lªp ph÷ìng tr¼nh m°t ph¯ng i qua ba nót l÷îi trong bèn nót l÷îi ¢
cho. Gi£ sû câ ba nót l÷îi m  to¤ ë l¦n l÷ñt l (1; 1; 10),(4; 3; 1),(3; 2; 5)v  m°t ph¯ng i qua ba nót
l÷îi â câ ph÷ìng tr¼nhx+my+nz+p= 0. Gi¡ trà cõam+n+pl  bao nhi¶u?
KQ:
C¥u 19.C¥u l¤c bë v«n ngh» cõa tr÷íng Gi£i Phâng câ40b¤n ·u bi¸t chìi ½t nh§t mët trong hai
lo¤i  n l  organ v  guitar, trong â câ27b¤n bi¸t chìi  n organ,25b¤n bi¸t chìi  n guitar. Chån
ng¨u nhi¶n1b¤n. X¡c su§t chån ÷ñc b¤n bi¸t chìi  n organ, bi¸t b¤n â chìi ÷ñc  n guitar, l 
bao nhi¶u?
KQ:
C¥u 20.Mët cæng ty d÷ñc ph©m giîi thi»u mët döng cö º kiºm tra sîm b»nh sèt xu§t huy¸t. V· b¡o
c¡o kiºm ành ch§t l÷ñng cõa s£n ph©m, hå cho bi¸t nh÷ sau: Sè ng÷íi ÷ñc thû l 8 000, trong sè â
câ1 200ng÷íi ¢ bà nhi¹m b»nh sèt xu§t huy¸t v  câ6 800ng÷íi khæng bà nhi¹m b»nh sèt xu§t huy¸t.
Nh÷ng khi kiºm tra l¤i b¬ng döng cö cõa cæng ty, trong1 200ng÷íi ¢ bà nhi¹m b»nh sèt xu§t huy¸t,
câ70%sè ng÷íi â cho k¸t qu£ d÷ìng t½nh, cán l¤i cho k¸t qu£ ¥m t½nh. Trong6 800ng÷íi khæng bà
nhi¹m b»nh sèt xu§t huy¸t, câ5%sè ng÷íi â cho k¸t qu£ d÷ìng t½nh, cán l¤i cho k¸t qu£ ¥m t½nh.
X¡c su§t m  mët b»nh nh¥n vîi k¸t qu£ kiºm tra d÷ìng t½nh l  bà nhi¹m b»nh sèt xu§t huy¸t b¬ng
bao nhi¶u (vi¸t k¸t qu£ d÷îi d¤ng sè thªp ph¥n v  l m trán ¸n h ng ph¦n tr«m)?
KQ:
C¥u 21.
Mët ngæi nh  câ n·n nh  l  h¼nh vuæng, c¤nh l 7m²t.
C¡c v¡ch t÷íng h¼nh vuæng v  và tr½ cao nh§t tr¶n m¡i
nh  c¡ch s n nh 8m²t. Bi¸t r¬ng hai m¡i nh  l  hai
h¼nh chú nhªt b¬ng nhau. Khi g­n h» tröc tåa ëOxyz
(ìn và tr¶n méi tröc t½nh theo m²t) v o mët c«n nh 
sao cho n·n nh  thuëc m°t ph¯ng(Oxy), ng÷íi ta coi
méi m¡i nh  l  mët ph¦n cõa m°t ph¯ng. Gâc giúa
m¡i nh  b¶n ph£i v  n·n nh  b¬ng bao nhi¶u ë (l m
trán k¸t qu£ ¸n h ng ìn và)?
KQ:O(0; 0; 0)CAB(7; 7; 0)HE(0; 0; 7)FGQ

7
2
; 7; 8
‹
yzx
C¥u 22.Trong khæng gian vîi h» tåa ëOxyz, cho iºmA(2; 4; 1);B(1; 1; 3)v  m°t ph¯ng(P):x
3y+ 2z5 = 0. Mët m°t ph¯ng(Q)i qua hai iºmA,Bv  vuæng gâc vîi m°t ph¯ng(P)câ d¤ng
ax+by+cz11 = 0. T½nha+b+c=?
KQ: BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

53. BË — ÆN THI HK2 TON 12N‹M HÅC 20242025ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–N51Trang P. — ÆN TŠP SÈ 16A1
B i tªp tr­c nghi»m bèn ph÷ìng ¡n lüa chån
C¥u 1.Hå t§t c£ c¡c nguy¶n h m cõa h m sèf(x) = e
5x
l 
A.e
5x
ln 5. B.
1
5
e
5x
+C. C.5e
5x
+C. D.e
5x
.
C¥u 2.T½nh t½ch ph¥nI=
3Z
0
dx
x+ 2
.
A.I=
4581
5000
. B.I= log
5
2
. C.I= ln
5
2
. D.I=
21
100
.
C¥u 3.Cho h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði ç thà cõa h m sèy=f(x)li¶n töc v  khæng ¥m tr¶n o¤n[1; 3],
tröcOxv  hai ÷íng th¯ngx= 1,x= 3quay quanh tröcOx, ta ÷ñc khèi trán xoay. Thº t½ch cõa
khèi trán xoay n y ÷ñc t½nh theo cæng thùc n o d÷îi ¥y?
A.V=
3Z
1
f(x) dx. B.V=
3Z
1
[f(x)]
2
dx.
C.V=
3Z
1
f(x) dx. D.V=
3Z
1
[f(x)]
2
dx.
C¥u 4.M°t ph¯ng(P)i qua iºmA(2; 3;5)v  chùa tröcOxcâ ph÷ìng tr¼nh l 
A.y= 0. B.3y5z= 0. C.5y+ 3z= 0. D.yz= 0.
C¥u 5.Trong khæng gianOxyz, ÷íng th¯ngd:
8
>
<
>
:
x= 2t
y= 1 + 2t
z= 3 +t
câ mët vectì ch¿ ph÷ìng l 
A.
#
u1= (1; 2; 3). B.
#
u3= (2; 1; 3). C.
#
u4= (1; 2; 1). D.
#
u2= (2; 1; 1).
C¥u 6.Trong khæng gian vîi h» to¤ ëOxyz, cho ÷íng th¯ng:
x
2
=
y
1
=
z
2
:T½nh cæsin cõa gâc
giúa ÷íng th¯ngv  tröcOx.
A.
2
3
. B.
2
3
. C.
1
3
. D.0.
C¥u 7.Trong khæng gian vîi h» tåa ëOxyzcho m°t ph¯ng(P): 3x+ 4y+ 5z+ 8 = 0v  ÷íng th¯ng
dl  giao tuy¸n cõa hai m°t ph¯ng():x2y+ 1 = 0v ():x2z3 = 0. T½nh gâc'giúadv 
(P)
A.'= 30

. B.'= 45

. C.'= 60

. D.'= 90

.
C¥u 8.Trong khæng gian vîi h» tröc tåa ëOxyz, ph÷ìng tr¼nh m°t c¦u câ t¥mI(3; 1; 2), b¡n k½nh
R= 3l 
A.(x+ 3)
2
+ (y1)
2
+ (z+ 2)
2
= 3. B.(x1)
2
+ (y+ 3)
2
+ (z2)
2
= 9.
C.(x3)
2
+ (y+ 1)
2
+ (z+ 2)
2
= 9. D.(x+ 3)
2
+ (y1)
2
+ (z2)
2
= 9.
C¥u 9.Cho hai bi¸n ëc lªpA; BvîiP(A) = 0;8,P(B) = 0;25. Khi â,P(AjB)b¬ng
A.0;2. B.0;8. C.0;25. D.0;75.
C¥u 10.Cho hai bi¸n cèAv BthäaP(A) = 0;4;P(B) = 0;6;P (A\B) = 0;2. T½nhP (AjB).
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

54. ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NTrang52
A.
1
3
. B.
1
2
. C.
1
6
. D.
1
4
.
C¥u 11.Cho hai bi¸n cèA,BvîiP(B) = 0;6;P(AjB) = 0;7v P(AjB) = 0;4. Khi â,P(A)
b¬ng
A.0;7. B.0;4. C.0;58. D.0;52.
C¥u 12.ChoP(A) =
4
5
;P(BjA) =
2
3
;P(BjA) =
1
4
. Gi¡ trà cõaP(AjB)l 
A.
33
35
. B.
32
35
. C.
9
35
. D.
26
35
.
A2
B i tªp tr­c nghi»m óng sai
C¥u 13.Trong khæng gianOxyz, cho ÷íng th¯ngd:
x+ 1
1
=
y+ 3
2
=
z+ 2
2
v  iºmA(3; 2; 0). Khi
â
Ph¡t biºu S
a)M(1;3;2)2d.
b)
#
u= (1; 2; 2)l  vectì ch¿ ph÷ìng cõad.
c)To¤ ë h¼nh chi¸u cõaAl¶n ÷íng th¯ngdl H(2; 2; 1).
d)iºm èi xùng cõa iºmAqua ÷íng th¯ngdcâ tåa ë l A
0
(1; 0; 4).
C¥u 14.Trong khæng gianOxyzcho ba iºmA(1; 0; 0)B(0; 2; 0)C(0; 0; 3)v  ph÷ìng tr¼nh m°t c¦u
(S) : (x3)
2
+ (y+ 2)
2
+ (z1)
2
= 9. Khi â
Ph¡t biºu S
a)Thº t½ch cõa(S)l V= 36.
b)Ph÷ìng tr¼nh m°t c¦u nhªnABl m ÷íng k½nh câ t¥m l I

1
2
; 1;
3
2
‹
.
c)GåiKl  t¥m cõa(S), khi âd (K; (ABC)) =
9
7
.
d)Tªp hñp c¡c iºmMthäa m¢nMA
2
=MB
2
+MC
2
l  m°t c¦u câ b¡n k½nh b¬ng
2.
C¥u 15.Mët x¤ thõ b­n v o bia sè1v  bia sè2. X¡c su§t º x¤ thõ â b­n tróng bia sè1, bia sè2
l¦n l÷ñt l 0;8;0;9. X¡c su§t º x¤ thõ â b­n tróng c£ hai bia l 0;8. X²t hai bi¸n cè
ÌA: X¤ thõ â b­n tróng bia sè1;
ÌB: X¤ thõ â b­n tróng bia sè2.
X²t t½nh óng sai cõa c¡c kh¯ng ành sau?
Ph¡t biºu S
a)Hai bi¸n cèAv Bcâ ëc lªp.
b)Bi¸t x¤ thõ â b­n tróng bia sè1th¼ x¡c su§t x¤ thõ â b­n tróng bia sè2l 0;72.
c)Bi¸t x¤ thõ â khæng b­n tróng bia sè1, th¼ x¡c su§t x¤ thõ â b­n tróng bia sè2
b¬ng0;9.
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

55. BË — ÆN THI HK2 TON 12N‹M HÅC 20242025ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–N53Trang
Ph¡t biºu S
d)Bi¸t x¤ thõ â khæng b­n tróng bia sè1th¼ x¡c su§t x¤ thõ â b­n khæng tróng bia
sè2b¬ng0;9.
C¥u 16.T¿ l» ng÷íi d¥n ¢ ti¶m v­c xin pháng b»nhAð mët àa ph÷ìng l 75%. Trong sè nhúng
ng÷íi ¢ ti¶m pháng, t¿ l» m­c b»nhAl 10%; trong sè nhúng ng÷íi ch÷a ti¶m pháng, t¿ l» m­c b»nh
Al 32%. Chån ng¨u nhi¶n mët ng÷íi ð àa ph÷ìng â. GåiAl  bi¸n cè: Ng÷íi ÷ñc chån ¢ ti¶m
v­c xin pháng b»nh v Bl  bi¸n cè: Ng÷íi ÷ñc chån m­c b»nhA.
Ph¡t biºu S
a)P(A) = 0;25.
b)P (BjA) = 0;1.
Ph¡t biºu S
c)P

BjA

= 0;32.
d)P

AjB

=
16
31
.
A3
B i tªp tr­c nghi»m tr£ líi ng­n
C¥u 17.
H¼nh b¶n minh håa mët nh  kho trong khæng gian vîi h» tröc
tåa ëOxyz(ìn và tr¶n méi tröc l  m²t) v  hai m¡iEFIK,
HGIKcâ k½ch th÷îc b¬ng nhau. Bi¸t r¬ng chi·u cao cõa nh  kho
l 9m v  c¡c bùc t÷íng cõa nh  kho t¤o th nh h¼nh hëp chú nhªt
ABCD:EFGH vîiAB= 10m,AC= 24m,AE= 7m. M°t
ph¯ng(EFIK)câ ph÷ìng tr¼nhax+y+bz+c= 0. T¼m gi¡ trà
cõaabc.
KQ:zxyBCDHGFEIKAO
C¥u 18.
Khi g­n h» tåa ëOxyz(ìn và tr¶n méi tröc t½nh
theo m²t) v o mët c«n nh  sao cho n·n nh  thuëc
m°t ph¯ng(Oxy), ng÷íi ta coi méi m¡i nh  l 
mët ph¦n cõa m°t ph¯ng v  th§y ba và tr½A,B,
Cð m¡i nh  b¶n ph£i l¦n l÷ñt câ tåa ë(2; 0; 1),
(4; 0; 2)v (4; 5; 3). Gâc giúa m¡i nh  b¶n ph£i v 
n·n nh  b¬ng bao nhi¶u ë (l m trán k¸t qu£ ¸n
h ng ìn và)?
KQ:OxyzC(4; 5; 3)B(4; 0; 2)A(2; 0; 1)
C¥u 19.Trong khæng gianOxyz, cho m°t ph¯ng(P): 2xy+z2 = 0, ÷íng th¯ngd:
8
>
<
>
:
x= 1t
y= 2 + 3t
z=1 +t
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

56. ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NTrang54
v  iºmA(2;1; 1). Bi¸t r¬ng iºmB(a;b;c)thuëc(P)sao cho ÷íng th¯ngABsong song vîi ÷íng
th¯ngd. T½nh gi¡ trà cõa2a+b
2
+c
2
.
KQ:
C¥u 20.T¤i mët khu phè câ100c«n nh , trong â câ40c«n nh  g­n biºn sè l´. Bi¸t r¬ng câ25c«n
nh  g­n biºn sè l´ v 15nh  g­n biºn sè ch®n câ æ tæ. Chån ng¨u nhi¶n mët nh  trong khu phè â.
T½nh x¡c su§t nh  ÷ñc chån g­n biºn sè l´, bi¸t r¬ng nh  â khæng câ æ tæ.
KQ:
C¥u 21.Câ hai chuçng thä. Chuçng I câ5con thä en v 10con thä tr­ng. Chuçng II câ7con thä
en v 3con thä tr­ng. Tr÷îc ti¶n, tø chuçng II l§y ra ng¨u nhi¶n1con thä rçi cho v o chuçng I. Sau
â, tø chuçng I l§y ra ng¨u nhi¶n1con thä. T½nh x¡c su§t º con thä ÷ñc l§y ra l  con thä tr­ng (l m
trán ¸n h ng ph¦n tr«m).
KQ:
C¥u 22.
Hai qu£ bâng d¤ng h¼nh c¦u câ k½ch th÷îc kh¡c nhau l¦n l÷ñt
°t v o gâc mët c«n nh  h¼nh hëp chú nhªt sao cho qu£ bâng
ti¸p xóc vîi hai bùc t÷íng v  n·n nh  cõa c«n nh  â. Tr¶n b·
m°t cõa méi qu£ bâng, tçn t¤i mët iºm câ kho£ng c¡ch ¸n
hai bùc t÷íng qu£ bâng ti¸p xóc v  ¸n n·n nh  l¦n l÷ñt l 2;
3;1. T½nh têng ë d i c¡c ÷íng k½nh cõa hai qu£ bâng â.
KQ:xz y Q. — ÆN TŠP SÈ 17A1
B i tªp tr­c nghi»m bèn ph÷ìng ¡n lüa chån
C¥u 1.Nguy¶n h m cõa h m sèf(x) = 1sinxl 
A.xcosx+C. B.x+ cosx+C. C.1cosx+C. D.1 + cosx+C.
C¥u 2.Cho h m sèf(x)câ ¤o h mf
0
(x)li¶n töc tr¶nRv f(2) = 3,f(5) = 2. T½nh
5Z
2
f
0
(x) dx?
A.1. B.1. C.5. D.6.
C¥u 3.Cho h m sèy=f(x)li¶n töc tr¶n[0; 4]. Di»n t½ch h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði ç thà h m sè
y=f(x), tröc ho nh v  c¡c ÷íng th¯ngx= 0,x= 4l 
A.S=
4Z
0
jf(x)jdx. B.S=
4Z
0
f(x) dx. C.S=
4Z
0
f(x) dx. D.S=
0Z
4
jf(x)jdx.
C¥u 4.Trong khæng gianOxyz, cho ba iºmA(2;1; 3),B(4; 0; 1),C(10; 5; 3). Mët c°p vectì ch¿
ph÷ìng cõa m°t ph¯ng(ABC)l 
A.
#
AB= (2; 1;2);
#
AC= (12; 6; 0). B.
#
AB= (2; 1; 2);
#
AC= (12; 6; 0).
C.
#
AB= (2; 1; 2);
#
AC= (12; 6; 0). D.
#
AB= (2; 1;2);
#
AC= (12; 6; 3).
C¥u 5.Trong khæng gianOxyz, cho ÷íng th¯ng:
8
>
<
>
:
x= 1 +t
y=2 + 2t
z= 3t
. Vectì n o sau ¥y l  mët vectì
ch¿ ph÷ìng cõa ÷íng th¯ng?
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

57. BË — ÆN THI HK2 TON 12N‹M HÅC 20242025ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–N55Trang
A.
#
u1= (1;2; 3). B.
#
u2= (1; 2;1). C.
#
u3= (1; 2; 1). D.
#
u4= (2; 0; 2).
C¥u 6.Trong khæng gianOxyz, cho ÷íng th¯ngd:
x4
2
=
y7
1
=
z3
4
v  m°t ph¯ng(P): 3x
2y+z6 = 0. Gi¡ trà cõasin(d;(P))b¬ng
A.
4
p
6
7
. B.
p
6
42
. C.
4
p
6
21
. D.
p
6
3
.
C¥u 7.Trong khæng gianOxyz, cho hai m°t ph¯ng(): 2x+ 2y+z= 0v ():x+z+
p
3 = 0. Gâc
giúa hai m°t ph¯ng()v ()l 
A.30

. B.90

. C.45

. D.60

.
C¥u 8.Trong khæng gianOxyz, cho m°t c¦u(S):x
2
+y
2
+z
2
2x+ 2z1 = 0. T¥m cõa(S)câ tåa
ë l 
A.(1; 0; 1). B.(1; 0;1). C.(1; 1; 0). D.(1;1; 0).
C¥u 9.Cho hai bi¸n cè ng¨u nhi¶nAv BcâP(A) = 0;5;P(B) = 0;7;P(AB) = 0;3. X¡c su§t cõaB
vîi i·u ki»nAl 
A.0;6. B.0;3. C.0;4. D.
3
7
.
C¥u 10.Cho hai bi¸n cè ng¨u nhi¶nAv BcâP(A) = 0;3;P(B) = 0;6;P(AjB) = 0;5. X¡c su§t cõa
bi¸n cèA[Bl 
A.0;9. B.0;18. C.0;3. D.0;6.
C¥u 11.Cho hai bi¸n cè ng¨u nhi¶nAv BcâP(AjB) = P(A). T¿ sè
P(B)
P(BjA)
l 
A.1. B.
1
2
. C.0. D.2.
C¥u 12.Cho hai bi¸n cè ng¨u nhi¶nAv BcâP(A) = 0;3;P(B) = 0;6;P(AjB) = 0;5. X¡c su§t cõa
Bvîi i·u ki»nAl 
A.0;3. B.
3
5
. C.
1
2
. D.1.
A2
B i tªp tr­c nghi»m óng sai
C¥u 13.Mët cûa h ng câ hai lo¤i bâng ±n Led, trong â câ65%bâng ±n Led l  m u tr­ng v 35%
bâng ±n Led l  m u xanh, c¡c bâng ±n câ k½ch th÷îc nh÷ nhau. C¡c bâng ±n Led m u tr­ng câ t¿ l»
häng l 2%v  c¡c bâng ±n Led m u xanh câ t¿ l» häng l 3%. Mët kh¡ch h ng chån mua ng¨u nhi¶n
1bâng ±n Led tø cûa h ng. X²t c¡c bi¸n cèA: Kh¡ch h ng chån ÷ñc bâng ±n Led m u tr­ng;B:
Kh¡ch h ng chån ÷ñc bâng ±n Led khæng häng. Khi â
Ph¡t biºu S
a)P(A) = 0;65.
b)P(BjA) = 0;02.
Ph¡t biºu S
c)P(BjA) = 0;3.
d)P(B) = 0;9 765.
C¥u 14.Cho hai bi¸n cèAv BcâP(B) = 0;5;P(AjB) =P(AjB) = 0;4. Khi â
Ph¡t biºu S
a)X¡c su§t cõa bi¸n cèABl 0;02.
b)X¡c su§t cõa bi¸n cèABl 0;2.
Ph¡t biºu S
c)X¡c su§t cõa bi¸n cèAl 0;8.
d)Av Bl  hai bi¸n cè ëc lªp.
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

58. ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NTrang56
C¥u 15.Trong khæng gianOxyz, cho tam gi¡cABCcâA(1; 0; 3),B(0; 1;1),C(3;2; 5). Khi â
Ph¡t biºu S
a)÷íng th¯ng i qua iºmBv  trung iºmIcõa o¤n th¯ngACcâ vectì ch¿ ph÷ìng
l 
#
BI= (2;2; 3).
b)÷íng th¯ngBCcâ mët vectì ch¿ ph÷ìng l 
#
a= (1;1; 2).
c)Gâc giúa hai ÷íng th¯ngABv ACl  gâcAcõa tam gi¡cABC.
d)Tåa ë cõa iºmHl  ch¥n ÷íng cao k´ tøAcõa tam gi¡cABCl H

5
3
;
2
3
;
7
3
‹
.
C¥u 16.Cho h¼nh hëp chú nhªtABCD:A
0
B
0
C
0
D
0
câAB= 3; AD= 4; AA
0
= 5:Chån h» tröc tåa ë
Oxyzsao cho ¿nhAtròng vîi gèc tåa ëO, ¿nhBthuëc tiaOx;¿nhDthuëc tiaOz:GåiIl  trung
iºm cõaCA
0
. Khi â
Ph¡t biºu S
a)Tåa ë cõa ¿nhB(3; 0; 0).
b)C¡c ¿nh cõa h¼nh hëp chú nhªt thuëc m°t c¦u t¥mI.
c)Tåa ë cõa iºmI

3
2
;
5
2
; 2
‹
.
d)Ph÷ìng tr¼nh cõa m°t c¦u t¥mI,R=IBl 

x
3
2
‹
2
+

y
5
2
‹
2
+(z2)
2
=
25
2
.
A3
B i tªp tr­c nghi»m tr£ líi ng­n
C¥u 17.Cho h¼nh châpSABCcâ ¡y l  tam gi¡c ·u c¤nh4v  c¤nh b¶nSAvuæng gâc vîi ¡y. Gåi
Ml  trung iºm cõaSBv  iºmNn¬m tr¶n c¤nhSCsao cho
#
NS+ 2
#
NC=
#
0. Bi¸t gâc t¤o bði hai
m°t ph¯ng(ABC)v (AMN)l 'v  câcos'=
1
p
5
. H¢y x¡c ành thº t½ch khèi châpSABC.K¸t qu£
÷ñc l m trán v  l§y mët chú sè sau d§u ph©y.
KQ:
C¥u 18.
Câ mët chi¸c lçng b¬ng s­t d¤ng h¼nh hëp chú nhªtABCD:A
0
B
0
C
0
D
0
câ
AB= 2m,AD= 3m,AA
0
= 1m. Ng÷íi thñ h n muèn h n mët thanh s­t
MNnèi hai åanADv BD
0
(H¼nh11). T½nh chi·u d i ng­n nh§t cõa o¤n
thanh s­tMN.L m trán k¸t qu£ ¸n h ng ph¦n tr«m cõam²t.
KQ:ABCDA
0
B
0
C
0
D
0
MNH¼nh 11
C¥u 19.Mët khu d¥n c÷ câ60%c¡c hë gia ¼nh câ khæng qu¡4th nh vi¶n. Trong c¡c gia ¼nh câ
khæng qu¡4th nh vi¶n, câ20%gia ¼nh câ ba th¸ h» còng chung sèng; trong c¡c gia ¼nh câ tr¶n4
th nh vi¶n, câ70%gia ¼nh câ ba th¸ h» còng chung sèng. Chån ng¨u nhi¶n1hë gia ¼nh trong khu
d¥n c÷. Bi¸t r¬ng gia ¼nh â câ ba th¸ h» còng chung sèng, t½nh x¡c su§t º gia ¼nh â câ tr¶n4
th nh vi¶n.
KQ:
C¥u 20.Hai b¤n T i v  ùc méi ng÷íi thüc hi»n mët th½ nghi»m mët c¡ch ëc lªp vîi nhau. X¡c su§t
thüc hi»n th nh cæng th½ nghi»m cõa T i v  ùc l¦n l÷ñt l 0;6v 0;7. Bi¸t r¬ng câ ½t nh§t mët ng÷íi
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

59. BË — ÆN THI HK2 TON 12N‹M HÅC 20242025ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–N57Trang
thüc hi»n th nh cæng th½ nghi»m, t½nh x¡c su§t cõa bi¸n cè câ óng mët trong hai ng÷íi thüc hi»n
th nh cæng th½ nghi»m (l m trán k¸t qu£ ¸n h ng ph¦n tr«m).
KQ:
C¥u 21.Cho h¼nh l«ng trö ùngABC:A
0
B
0
C
0
câ ¡y l  tam gi¡c vuæng t¤iAv  câAA
0
=AB,AC=a.
GåiM,Nl¦n l÷ñt l  trung iºm cõa c¡c c¤nhAB,CC
0
. Bi¸t gi¡ trà cosin gîc giúa hai m°t ph¯ng
(A
0
MN)v (ABC)b¬ng
2
5
. Bi¸t th· t½ch khèi l«ng tröABC:A
0
B
0
C
0
b¬ngxa
3
. H¢y x¡c ành gi¡ trà
cõax(K¸t qu£ ÷ñc l m trán v  l§y mët chú sè sau d§u ph©y)
KQ:
C¥u 22.
Mët ph¦n thi¸t k¸ cõa mët cæng tr¼nh ang x¥y düng câ d¤ng nh÷
h¼nh b¶n, trong âABCDl  h¼nh vuæng c¤nh6m,AM,BN,DP
còng vuæng gâc vîi(ABCD),AM= 4m,BN= 3m v DP= 2
m. Gâc giúa hai m°t ph¯ng(ABCD)v (MNP)l n

(l m trán
k¸t qu£ ¸n h ng ìn và cõa ë,nl  sè nguy¶n d÷ìng). Gi¡ trà cõa
nl  bao nhi¶u?
KQ:ABCDMNP R. — ÆN TŠP SÈ 18A1
B i tªp tr­c nghi»m bèn ph÷ìng ¡n lüa chån
C¥u 1.Hå t§t c£ c¡c nguy¶n h m cõa h m sèf(x) = e
5x
l 
A.e
5x
ln 5. B.
1
5
e
5x
+C. C.5e
5x
+C. D.e
5x
.
C¥u 2.T½nh t½ch ph¥nI=
3Z
0
dx
x+ 2
.
A.I=
4581
5000
. B.I= log
5
2
. C.I= ln
5
2
. D.I=
21
100
.
C¥u 3.Cho h m sèy=f(x)v y=g(x)li¶n töc tr¶n o¤n[a;b]. Di»n t½chScõa h¼nh ph¯ng giîi h¤n
bði ç thà hai h m sèy=f(x),y=g(x)v  c¡c ÷íng th¯ngx=a,x=b÷ñc t½nh bði cæng thùc
A.S=
bZ
a
jf(x)g(x)jdx. B.S=






bZ
a
[f(x)g(x)]dx






.
C.S=
bZ
a
jf(x) +g(x)jdx. D.S=
bZ
a
jf(x)jdx+
bZ
a
jg(x)jdx.
C¥u 4.Trong khæng gian vîi h» tröc tåa ëOxyz, cho m°t ph¯ng(P): 2xy2z1 = 0. M°t ph¯ng
(Q)i qua gèc tåa ëOv  song song vîi(P)l 
A.2x+y2z= 0. B.2xy2z= 0.
C.2xy2z+ 1 = 0. D.2x+ 2yz= 0.
C¥u 5.Trong khæng gianOxyz, mët vectì ch¿ ph÷ìng cõa ÷íng th¯ngd:
x+ 2
3
=
y+ 1
2
=
z3
1
l 
A.
#
u1= (2; 1;3). B.
#
u2= (3; 2; 1). C.
#
u3= (3;2; 1). D.
#
u4= (2; 1; 3).
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

60. ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NTrang58
C¥u 6.Trong h» tåa ëOxyz, gâc giúa ÷íng th¯ngOzv  m°t ph¯ng(Oxy)l 
A.0

. B.90

. C.3

. D.45

.
C¥u 7.Cho hai ÷íng th¯ng1:
x1
3
=
y
2
=
z+ 1
1
;2:
x
1
=
y2
2
=
z3
1
:Gâc giúa1v 2
b¬ng
A.0

. B.90

. C.3

. D.45

.
C¥u 8.Trong khæng gianOxyz, m°t c¦u(S) : (x1)
2
+y
2
+ (z+ 3)
2
= 16câ t¥m l 
A.I(1; 0; 3). B.I(1; 0;3). C.I(1; 0;3). D.I(1; 2;3).
C¥u 9.Cho hai bi¸n cèAv BthäaP(A) = 0;4;P(B) = 0;6;P (A\B) = 0;2. T½nhP (AjB).
A.
1
3
. B.
1
2
. C.
1
6
. D.
1
4
.
C¥u 10.Cho hai bi¸n cèA,Bxung kh­c vîi nhau thäaP(A) = 0;2;P(B) = 0;4. Khi âP (AjB)
b¬ng
A.0;5. B.0;2. C.0;4. D.0.
C¥u 11.Cho hai bi¸n cèAv Bvîi0< P(B)<1. Khi â cæng thùc x¡c su§t to n ph¦n cho bi¸n cè
Al 
A.P(A) = P(B)P(AjB) + P(B)P(AjB). B.P(A) = P(A)P(AjB) + P(A)P(AjB).
C.P(A) = P(B)P(AjB) + P(B)P(AjB). D.P(B) = P(B)P(AjB) + P(B)P(BjB).
C¥u 12.ChoP(A) =
2
5
;P(BjA) =
1
3
;P(BjA) =
1
4
. Gi¡ trà cõaP(B)l 
A.
19
60
. B.
17
60
. C.
9
20
. D.
7
30
.
A2
B i tªp tr­c nghi»m óng sai
C¥u 13.Trong khæng gian vîi h» tåa ëOxyz, cho m°t ph¯ng(P):xy+ 2z+ 1 = 0v  ÷íng th¯ng
d:
x1
1
=
y
2
=
z+ 1
1
. Khi â
Ph¡t biºu S
a)(1; 1;2)l  vectì ph¡p tuy¸n cõa(P).
b)Gâc giúa(P)v (d)l  mët gâc nhån.
c)(d;(P)) = 30

.
d)Gâc giúa tröcOxv d(l m trán ¸n h ng ìn và cõa ë) b¬ng50

.
C¥u 14.Cho(S) :x
2
+y
2
+z
2
2x4y+ 6z67 = 0. Khi â
Ph¡t biºu S
a)M°t c¦u(S)câ t¥mI(1; 2; 3).
b)B¡n k½nh m°t c¦u(S)l R= 9.
c)Cho m°t ph¯ng(P) : 2x2y+z13 = 0. Khi â(P)ti¸p xóc vîi(S).
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

61. BË — ÆN THI HK2 TON 12N‹M HÅC 20242025ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–N59Trang
Ph¡t biºu S
d)Cho ÷íng th¯ng() :
8
>
<
>
:
x= 1 +t
y= 2
z=4 + 7t
. Khi â()v (S)c­t nhau t¤i hai iºm.
C¥u 15.Lîp12Acâ40håc sinh, trong â câ25håc sinh tham gia c¥u l¤c bë Ti¸ng Anh,16håc sinh
tham gia c¥u l¤c bë To¡n,12håc sinh vøa tham gia c¥u l¤c bë ti¸ng Anh vøa tham gia c¥u l¤c bë
To¡n. Chån ng¨u nhi¶n1håc sinh. X²t c¡c bi¸n cèA:Håc sinh ÷ñc chån tham gia c¥u l¤c bë Ti¸ng
Anh;B:Håc sinh ÷ñc chån tham gia c¥u l¤c bë To¡n. Khi â
Ph¡t biºu S
a)P(A) = 0;4.
b)P(B) = 0;625.
Ph¡t biºu S
c)P(AjB) = 0;75.
d)P(BjA) = 0;48.
C¥u 16.Ng÷íi ta kh£o s¡t kh£ n«ng chìi nh¤c cö cõa mët nhâm håc sinh t¤i tr÷íngX. Nhâm n y câ
60%håc sinh l  nam. K¸t qu£ kh£o s¡t cho th§y câ20%håc sinh nam v 15%håc sinh nú bi¸t chìi
½t nh§t mët nh¤c cö. Chån ng¨u nhi¶n mët håc sinh trong nhâm n y. GåiAl  bi¸n cè Chån ÷ñc
mët håc sinh bi¸t chìi ½t nh§t mët nh¤c cö v B,Bl¦n l÷ñt l  c¡c bi¸n cè Chån ÷ñc mët håc sinh
nam v  Chån ÷ñc mët håc sinh nú. Khi â
Ph¡t biºu S
a)X¡c su§tP(B) = 60% = 0;6.
b)P(AjB) = 0;8.
c)P(AjB) = 0;15.
d)X¡c su§t º chån ÷ñc håc sinh bi¸t chìi ½t nh§t mët nh¤c cö l 18%.
A3
B i tªp tr­c nghi»m tr£ líi ng­n
C¥u 17.Khi g­n h» tröc to¤ ëOxyz(ìn và tr¶n méi tröc to¤ ë l  de-xi-m²t) v o mët ngæi nh  1
t¦ng, ng÷íi ta th§y r¬ng m°t tr¶n v  m°t d÷îi cõa m¡i nh  thuëc c¡c m°t ph¯ng vuæng gâc vîi tröc
Oz. Bi¸t r¬ng c¡c và tr½A(3; 4; 33),D(9; 8; 35)l¦n l÷ñt thuëc m°t d÷îi, m°t tr¶n cõa m¡i nh . ë d y
cõa m¡i nh  ÷ñc t½nh b¬ng kho£ng c¡ch giúa m°t tr¶n v  m°t d÷îi cõa m¡i nh  â. H¢y cho bi¸t ë
d y cõa m¡i nh  â l  bao nhi¶u de-xi-m²t?
KQ:
C¥u 18.Cho h¼nh lªp ph÷ìngABCD:A
0
B
0
C
0
D
0
câ c¤nh b¬nga. GåiMl  trung iºm cõaABv N
l  iºm n¬m tr¶n c¤nhA
0
Csao choNA
0
= 3NC. H¢y x¡c ành cosin gâc giúa hai m°t ph¯ng(MA
0
C
0
)
v (NC
0
D)(K¸t qu£ ÷ñc l m trán v  l§y hai chú sè sau d§u ph©y).
KQ:
C¥u 19.Th÷ vi¶n tr÷íng THPT Chuy¶n Quèc Hoc câ60%têng sè s¡ch l  s¡ch V«n hoc,18%têng sè
s¡ch l  s¡ch tiºu thux¸t y  l  s¡ch V«n håc. Chån ng¨u nhi¶n mët cuèn s¡ch cõa th÷ vi»n. T½nh x¡c
su§t º quyºn s¡ch ÷ñc chån l  s¡ch tiºu thuy¸t, bi¸t r¬ng â l  quvºn s¡ch v· V«n håc.
KQ:
C¥u 20.Trong mët ñt nghi¶n cùu t l» ung th÷ do hót thuèc l¡ g¥y n¶n, ng÷íi ta th§y r¬ng t¤i t¿nh
H  Nam t¿ l» ng÷íi d¥n cõa t¿nh nghi»n thuèc l¡ l 20%; t¿ l» ng÷íi bà b»nh ung th÷ trong sè ng÷íi
nghi»n thuèc l¡ l 70%, trong sè ng÷íi khæng nghi»n thuèc l¡ l 15%. Häi khi g°p mët ng÷íi bà b»nh
ung th÷ t¤i t¿nh n y th¼ x¡c su§t ng÷íi â nghi»n thuèc l¡ l  bao nhi¶u (k¸t qu£ l m trán ¸n h ng
ph¦n tr«m)?
KQ: BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

62. ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NTrang60
C¥u 21.
G­n h» tröc to¤ ëOxyzv o khæng gian bi·n, vîi gècOl 
trung t¥m cõa mët gi n khoan tr¶n biºn, m°t ph¯ng(Oxy)
tròng vîi m°t biºn, tröcOxh÷îng dåc v· t¥y, tröcOyh÷îng
dåc v· nam, tröcOzh÷îng th¯ng ùng l¶n tr¶n, ìn và d i
tr¶n méi tröc tåa ë l 10km . Ð mët thíi iºm radar °t t¤i
Oph¡t hi»n ÷ñc mët t u ng¦m ð c¡chOl 80;1km v  ang
câ ho nh ë v  tung ë l¦n l÷ñt l 6;24v 5;022. H¢y x¡c ành
ë s¥u so vîi m°t biºn cõa t u ng¦m â theo ìn và m²t (L m
trán k¸t qu£ ¸n h ng ìn và)
KQ: yxzO
C¥u 22.
Khi g­n h» to¤ ëOxyz(ìn và tr¶n méi tröc t½nh theo kilæm²t)
v o mët s¥n bay, m°t ph¯ng(Oxy)tròng vîi m°t s¥n bay. Mët
m¡y bay ð và tr½A(3;2; 3)s³ h¤ c¡nh tîi và tr½B(8; 8; 0). Gâc
giúa ÷íng bay (mët ph¦n cõa ÷íng th¯ngAB) v  s¥n bay
(mët ph¦n cõa m°t ph¯ng(Oxy)) b¬ng bao nhi¶u ë (l m trán
k¸t qu£ ¸n h ng ìn và)?
KQ:xOyzAB S. — ÆN TŠP SÈ 19A1
B i tªp tr­c nghi»m bèn ph÷ìng ¡n lüa chån
C¥u 1.Hå t§t c£ c¡c nguy¶n h m cõa h m sèf(x) = e
3x
l 
A.e
3x
ln 3. B.
1
3
e
3x
+C. C.3e
3x
+C. D.e
3x
.
C¥u 2.T½nh t½ch ph¥nI=
4Z
1
dx
x+ 3
.
A.I=
1234
5678
. B.I= log
7
4
. C.I= ln
7
4
. D.I=
34
78
.
C¥u 3.Cho h m sèy=f(x)v y=g(x)li¶n töc tr¶n o¤n[c;d]. Di»n t½chScõa h¼nh ph¯ng giîi h¤n
bði ç thà hai h m sèy=f(x),y=g(x)v  c¡c ÷íng th¯ngx=c,x=d÷ñc t½nh bði cæng thùc
A.S=
dZ
c
jf(x)g(x)jdx. B.S=






dZ
c
[f(x)g(x)]dx






.
C.S=
dZ
c
jf(x) +g(x)jdx. D.S=
dZ
c
jf(x)jdx+
dZ
c
jg(x)jdx.
C¥u 4.Trong khæng gian vîi h» tröc tåa ëOxyz, cho m°t ph¯ng(P): 3xy3z2 = 0. M°t ph¯ng
(Q)i qua gèc tåa ëOv  song song vîi(P)l 
A.3x+y3z= 0. B.3xy3z= 0.
C.3xy3z+ 2 = 0. D.3x+ 3yz= 0.
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

63. BË — ÆN THI HK2 TON 12N‹M HÅC 20242025ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–N61Trang
C¥u 5.Trong khæng gianOxyz, mët vectì ch¿ ph÷ìng cõa ÷íng th¯ngd:
x+ 3
2
=
y1
3
=
z+ 4
2
l 
A.
#
u1= (3; 2;4). B.
#
u2= (2; 3; 2). C.
#
u3= (2;3; 2). D.
#
u4= (3; 2; 4).
C¥u 6.Trong h» tåa ëOxyz, gâc giúa ÷íng th¯ngOyv  m°t ph¯ng(Oxz)l 
A.0

. B.90

. C.5

. D.30

.
C¥u 7.Cho hai ÷íng th¯ng1:
x+ 2
2
=
y1
1
=
z+ 3
4
;2:
x1
1
=
y+ 1
3
=
z2
2
:Gâc giúa1
v 2b¬ng
A.0

. B.90

. C.30

. D.60

.
C¥u 8.Trong khæng gianOxyz, cho m°t c¦u(S):x
2
+y
2
+z
2
+ 2x+ 4y2z3 = 0. B¡n k½nh cõa
m°t c¦u ¢ cho b¬ng
A.R = 3
p
3. B.R = 9. C.R =
p
6. D.R = 3.
C¥u 9.Cho hai bi¸n cèCv DthäaP(C) = 0;5;P(D) = 0;7;P (C\D) = 0;35. T½nhP (CjD).
A.
1
2
. B.
1
3
. C.
1
5
. D.
1
4
.
C¥u 10.Cho hai bi¸n cèE,Fxung kh­c vîi nhau thäaP(E) = 0;3;P(F) = 0;5. Khi âP (EjF)
b¬ng
A.0;4. B.0;3. C.0;5. D.0.
C¥u 11.Cho hai bi¸n cèCv Dvîi0< P(D)<1. Khi â cæng thùc x¡c su§t to n ph¦n cho bi¸n cè
Cl 
A.P(C) = P(D)P(CjD) + P(D)P(CjD). B.P(C) = P(C)P(CjD) + P(C)P(CjD).
C.P(C) = P(D)P(CjD) + P(D)P(CjD). D.P(D) = P(D)P(CjD) + P(D)P(DjD).
C¥u 12.ChoP(E) =
3
5
;P(FjE) =
2
5
;P(FjE) =
1
3
. Gi¡ trà cõaP(F)l 
A.
37
75
. B.
28
75
. C.
13
75
. D.
8
25
.
A2
B i tªp tr­c nghi»m óng sai
C¥u 13.Trong khæng gian vîi h» tåa ëOxyz, cho m°t ph¯ng(Q): 2xy+3z5 = 0v  ÷íng th¯ng
d:
x+ 2
2
=
y1
1
=
z+ 3
1
. Khi â
Ph¡t biºu S
a)(2;1; 3)l  vectì ph¡p tuy¸n cõa(Q).
b)Gâc giúa(Q)v dl  mët gâc vuæng.
c)(d;(Q)) = 45

.
d)Gâc giúa tröcOyv d(l m trán ¸n h ng ìn và cõa ë) b¬ng60

.
C¥u 14.Cho(T) :x
2
+y
2
+z
2
+ 4x6y8z20 = 0. Khi â
Ph¡t biºu S
a)M°t c¦u(T)câ t¥mJ(2; 3;4).
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

64. ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NTrang62
Ph¡t biºu S
b)B¡n k½nh m°t c¦u(T)l R= 7.
c)Cho m°t ph¯ng(Q): 3xy+ 4z20 = 0. Khi â(Q)ti¸p xóc vîi(T).
d)Cho ÷íng th¯ngl:
8
>
<
>
:
x= 1 + 2t
y=3
z=2 + 5t
. Khi âlv (T)c­t nhau t¤i hai iºm.
C¥u 15.Lîp12Bcâ45håc sinh, trong â câ28håc sinh tham gia c¥u l¤c bë Thº thao,18håc sinh
tham gia c¥u l¤c bë V«n håc,10håc sinh vøa tham gia c¥u l¤c bë Thº thao vøa tham gia c¥u l¤c bë
V«n håc. Chån ng¨u nhi¶n1håc sinh. X²t c¡c bi¸n cè sauA:Håc sinh ÷ñc chån tham gia c¥u l¤c
bë Thº thao;B:Håc sinh ÷ñc chån tham gia c¥u l¤c bë V«n håc. Khi â
Ph¡t biºu S
a)P(A) = 0;5.
b)P(B) = 0;55.
Ph¡t biºu S
c)P(AjB) = 0;56.
d)P(BjA) = 0;36.
C¥u 16.Mët kh£o s¡t v· kh£ n«ng v³ tranh cõa håc sinh t¤i mët tr÷íngYcho th§y70%håc sinh l 
nú. Trong â30%håc sinh nú v 20%håc sinh nam bi¸t v³. Chån ng¨u nhi¶n mët håc sinh trong nhâm
n y. GåiCl  bi¸n cè Chån ÷ñc mët håc sinh bi¸t v³ v D,Dl¦n l÷ñt l  c¡c bi¸n cè Chån ÷ñc
mët håc sinh nú, Chån ÷ñc mët håc sinh nam. Khi â
Ph¡t biºu S
a)P(D) = 70% = 0;7.
b)P(CjD) = 0;6.
c)P(CjD) = 0;2.
d)X¡c su§t º chån ÷ñc håc sinh bi¸t v³ l 27%.
A3
B i tªp tr­c nghi»m tr£ líi ng­n
C¥u 17.Khi g­n h» tröc tåa ëOxyz(ìn và tr¶n méi tröc tåa ë l  decim²t) v o mët to  nh  2 t¦ng,
ng÷íi ta th§y r¬ng m°t tr¶n v  m°t d÷îi cõa m¡i nh  thuëc c¡c m°t ph¯ng vuæng gâc vîi tröcOz.
Bi¸t r¬ng c¡c và tr½A(5; 7; 40),D(12; 11; 42)l¦n l÷ñt thuëc m°t d÷îi, m°t tr¶n cõa m¡i nh . ë d y
cõa m¡i nh  ÷ñc t½nh b¬ng kho£ng c¡ch giúa m°t tr¶n v  m°t d÷îi cõa m¡i nh  â. H¢y cho bi¸t ë
d y cõa m¡i nh  â l  bao nhi¶u ·-ci-m²t?
KQ:
C¥u 18.Trong khæng gianOxyz, cho hai m°t ph¯ng l (P): 2x+y2z3 = 0v (Q): 2x+y2z+9 = 0.
M°t c¦u(S)ti¸p xóc vîi c£ hai m°t ph¯ng(P)v (Q), çng thíi i qua hai iºmA(1; 1; 2); B(3;1; 2).
Bi¸t t¥m cõa m°t c¦u(S)l I(a;b;c)câ c¡c th nh ph¦na; b; cl  nhúng sè nguy¶n. H¢y t½nh gi¡ trà
cõa biºu thùcT=a+b+c?
KQ:
C¥u 19.Cho h¼nh châpS:ABCDcâ ¡yABCDl  h¼nh chú nhªt, c¤nh b¶nSAvuæng gâc vîi ¡y
(ABCD)v SA=AB= 2AD. GåiMl  trung iºm cõaSBv Nn¬m tr¶n c¤nhSDsao cho
2NS=ND. H¢y x¡c ành sin cõa gâc t¤o bíiSCv  m°t ph¯ng(CMN)(L m trán k¸t qu£ ¸n h ng
ph¦n tr«m)
KQ:
C¥u 20.Mët cæng ty b£o hiºm nhªn th§y câ56%sè ng÷íi mua b£o hiºm sùc khäe l  phö nú v  câ45%
sè ng÷íi mua b£o hiºm sùc khäe l  phö nú tr¶n50tuêi. T½nh t¿ l» ng÷íi tr¶n50tuêi trong sè nhúng
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

65. BË — ÆN THI HK2 TON 12N‹M HÅC 20242025ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–N63Trang
ng÷íi phö nú mua b£o hiºm sùc khäe. (K¸t qu£ l m trán ¸n h ng ph¦n m÷íi)
KQ:
C¥u 21.Trong mët ñt kh£o s¡t v· nguy cì m­c b»nh tim m¤ch, ng÷íi ta th§y r¬ng t¤i th nh phè X,
t l» ng÷íi d¥n câ lèi sèng ½t vªn ëng l 25%; t l» ng÷íi bà b»nh tim trong sè ng÷íi ½t vªn ëng l 
60%, trong sè ng÷íi câ lèi sèng t½ch cüc l 10%. Häi khi g°p mët ng÷íi bà b»nh tim t¤i th nh phè n y
th¼ x¡c su§t ng÷íi â câ lèi sèng ½t vªn ëng l  bao nhi¶u (k¸t qu£ l m trán ¸n h ng ph¦n tr«m)?
KQ:
C¥u 22.
Cho hai chi¸c khinh kh½ c¦u bay l¶n tø còng mët iºm ta gåi l 
O. V o mët thíi iºm ta thu ÷ñc và tr½ chi¸c thù nh§t: c¡ch
iºmO3km v· ph½a nam,2km v· ph½a æng, c¡ch m°t §t
0;7km; chi¸c thù hai: c¡ch iºmO4km v· ph½a nam,1km v·
ph½a t¥y, c¡ch m°t §t0;5km. H¢y x¡c ành kho£ng c¡ch giúa
hai khinh kh½ c¦u ð thíi iºm â theo ìn và kilæm²t? (L m
trán k¸t qu¡ ¸n h ng ph¦n tr«m)
KQ:xNamyængzO T. — ÆN TŠP SÈ 20A1
B i tªp tr­c nghi»m bèn ph÷ìng ¡n lüa chån
C¥u 1.T¼m
Z
(2x+ 1) dx.
A.2x+ 1 +C. B.x
2
+x. C.x
2
+x+C. D.2 +C.
C¥u 2.N¸uF(x)l  nguy¶n h m cõa h m sèf(x), th¼ t½ch ph¥n cõaf(x)tr¶n o¤n[a;b]÷ñc t½nh
nh÷ th¸ n o?
A.F(b)F(a). B.F(a)F(b). C.
F(b)
F(a)
. D.
F(a)
F(b)
.
C¥u 3.Gi£ sûs(t)l  ph÷ìng tr¼nh qu¢ng ÷íng chuyºn ëng cõa mët vªt theo thíi giant(gi¥y) v 
v(t)l  ph÷ìng tr¼nh vªn tèc cõa chuyºn ëng â theo thíi giant(gi¥y). Vîi2sè d÷ìnga; bta câ
A.
bZ
a
v(t) dt=v(a)v(b). B.
bZ
a
v(t) dt=s(a)s(b).
C.
bZ
a
v(t) dt=v(b)v(a). D.
bZ
a
v(t) dt=s(b)s(a).
C¥u 4.Cho ÷íng th¯ngd:
x2
1
=
y1
2
=
z+ 3
1
. Vectì n o d÷îi ¥y l  vectì ch¿ ph÷ìng cõa ÷íng
th¯ngd
A.
#
u1= (2; 1;3). B.
#
u2= (2;1; 3). C.
#
u3= (1; 2; 1). D.
#
u4= (1; 2;1).
C¥u 5.Trong khæng gianOxyz, kho£ng c¡ch tø iºmM(x0;y0;z0)¸n m°t ph¯ng(P) :ax+by+cz+d=
0b¬ng:
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

66. ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NTrang64
A.
jax0+by0+cj
p
a
2
+b
2
. B.
jax0+by0+cz0+dj
p
a
2
+b
2
+c
2
.
C.
p
a
2
+b
2
+c
2
jax0+by0+cz0+dj
. D.
jax0+by0+cz0+dj
a
2
+b
2
+c
2
.
C¥u 6.Trong khæng gianOxyz, m°t c¦u t¥mI(x0;y0;z0)b¡n k½nhRcâ ph÷ìng tr¼nh l 
A.(xx0)
2
+ (yy0)
2
+ (zz0)
2
=R
2
. B.(xx0)
2
+ (yy0)
2
(zz0)
2
=R
2
.
C.(xx0)
2
(yy0)
2
+ (zz0)
2
=R
2
. D.(xx0)
2
+ (yy0)
2
+ (zz0)
2
=R
2
.
C¥u 7.Cho hai bi¸n cèAv B, vîiP(A) = 0;8,P(B) = 0;65,P(A\B) = 0;55. T½nhP(A\B).
A.0;25. B.0;1. C.0;15. D.0;35.
C¥u 8.Cho hai bi¸n cèAv B, vîiP(A) = 0;6,P(B) = 0;7,P(A\B) = 0;3. T½nhP(A\B).
A.
4
7
. B.
1
2
. C.
2
5
. D.
1
7
.
C¥u 9.Cho hai bi¸n cèAv B, vîiP(B) = 0;8;P(AjB) = 0;7;P(AjB) = 0;45.
A.0;25. B.0;65. C.0;55. D.0;5.
C¥u 10.Cho hai bi¸n cèAv B, vîiP(B) = 0;8;P(AjB) = 0;7;P(AjB) = 0;45.
A.0;25. B.0;65. C.
56
65
. D.0;5.
C¥u 11.Cho m°t ph¯ng(P): 3x+ 4y+ 2z+ 4 = 0v  iºmA(1;2; 3). Kho£ng c¡ch tøA¸n(P)
b¬ng
A.
5
p
29
. B.
5
29
. C.
p
5
3
. D.
5
9
.
C¥u 12.Cho hai m°t ph¯ng(P): 2xyz3 = 0v (Q):xz2 = 0. Gâc giúa hai m°t ph¯ng
(P)v (Q)b¬ng
A.30

. B.45

. C.60

. D.90

.
A2
B i tªp tr­c nghi»m óng sai
C¥u 13.Trong khæng gianOxyz, cho hai ÷íng th¯ng1:
x1
3
=
y+ 2
1
=
z3
2
,2:
x+ 2
1
=
y1
2
=
z+ 1
1
. X²t c¡c vectì
#
u1= (3;1; 2)v 
#
u2= (1; 2; 1).
Ph¡t biºu S
a)÷íng th¯ng1i qua iºmM1(1;2; 3)v  câ
#
u1= (3;1; 2)l  mët vectì ch¿
ph֓ng.
b)÷íng th¯ng2i qua iºmM2(2; 1;1)v  câ
#
u2= (1; 2; 1)l  mët vectì ch¿
ph֓ng.
c)[
#
u1;
#
u2] = (1; 7;5).
d)Hai ÷íng th¯ng1v 2ch²o nhau.
C¥u 14.Mët cæng ty truy·n thæng §u th¦u2dü ¡n. Kh£ n«ng th­ng th¦u cõa dü ¡n1l 0;5v  dü
¡n 2 l 0;6. Kh£ n«ng th­ng th¦u cõa c£ 2 dü ¡n l 0;4. GåiA,Bl¦n l÷ñt l  bi¸n cè th­ng th¦u dü ¡n
1v  dü ¡n2.
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

67. BË — ÆN THI HK2 TON 12N‹M HÅC 20242025ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–N65Trang
Ph¡t biºu S
a)Av Bl  hai bi¸n cè ëc lªp.
b)X¡c su§t cæng ty th­ng th¦u óng1dü ¡n l 0;3.
c)Bi¸t cæng ty th­ng th¦u dü ¡n1, x¡c su§t cæng ty th­ng th¦u dü ¡n2l 0;4.
d)Bi¸t cæng ty khæng th­ng th¦u dü ¡n1, x¡c su§t cæng ty th­ng th¦u dü ¡n2l 0;8.
C¥u 15.Trong khæng gian vîi h» tåa ëOxyz, cho m°t c¦u(S): (x2)
2
+ (y3)
2
+ (z+ 4)
2
= 16.
Méi k¸t qu£ sau ¥y óng hay sai?
Ph¡t biºu S
a)(S)câ t¥mI(2;3; 4).
b)(S)câ t¥mI(2; 3;4).
Ph¡t biºu S
c)(S)câR= 4.
d)(S)câR= 16.
C¥u 16.
Cho sì ç h¼nh c¥y nh÷ h¼nh b¶n. GåiP(B)l  x¡c su§t cõa bi¸n cèB,
P(B)l  x¡c su§t cõa bi¸n cè èi cõa bi¸n cèB, khi â
Ph¡t biºu S
a)P(B) = 0,42.
b)P(B) = 0,62.
Ph¡t biºu S
c)P(B) = 0,28.
d)P(B) = 0,38.
A0,20,8A0,7BB0,3B0,6B0,4A3
B i tªp tr­c nghi»m tr£ líi ng­n
C¥u 17.
Mët s¥n vªn ëng ÷ñc x¥y düng theo mæ h¼nh l  h¼nh châp
cötOABC:O1A1B1C1câ hai ¡y song song vîi nhau. M°t
s¥nOABCl  h¼nh chú nhªt v  ÷ñc g­n h» tröcOxyznh÷
h¼nh v³ (ìn và tr¶n méi tröc tåa ë l  m²t). M°t s¥nOABC
câ chi·u d iOA= 100m, chi·u rëngOC= 60mv  tåa ë
iºmO1(10; 10; 8). Gi£ sû ph÷ìng tr¼nh têng qu¡t cõa m°t
ph¯ng(OAA1O1)câ d¤ngax+y+cz+d= 0. T½nh gi¡ trà
biºu thùca+c+d.
KQ:OxyzABCO1A1B1C1
C¥u 18.Trong khæng gianOxyz, mët vi¶n ¤n ÷ñc b­n ra tø iºmA(1; 2; 3)v  trong 3 gi¥y, ¦u ¤n
i vîi vªn tèc khæng êi; v²ctì vªn tèc (tr¶n gi¥y) l 
#
v= (2; 1; 5). Khi vi¶n ¤n tróng möc ti¶u t¤i
iºmB(5;a;b)th¼ gi¡ trà cõa biºu thùcb
a
b¬ng bao nhi¶u? (K¸t qu£ l m trán ¸n h ng ph¦n chöc)
KQ:
C¥u 19.Khi g­n h» tåa ëOxyz(ìn và tr¶n méi tröc t½nh theo kilæm²t) v o mët s¥n bay, m°t ph¯ng
(Oxy)tròng vîi m°t s¥n bay. Mët m¡y bay bay theo ÷íng th¯ng tø và tr½A(2;1; 3)¸n và tr½
B(8; 7; 1). Gâc giúa ÷íng bay (mët ph¦n cõa ÷íng th¯ngAB) v  s¥n bay (mët ph¦n cõa m°t ph¯ng
(Oxy)) b¬ng bao nhi¶u ë (l m trán k¸t qu£ ¸n h ng ìn và)?
KQ: BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

68. ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NTrang66
C¥u 20.H» thèng ành và to n c¦u GPS l  mët h» thèng cho ph²p x¡c ành ch½nh x¡c và tr½ cõa mët
vªt trong khæng gian. C¡ch thùc ho¤t ëng cõa GPS nh÷ sau: Trong còng mët thíi iºm, và tr½M
cõa mët vªt s³ ÷ñc x¡c ành b¬ng 4 v» tinh cho tr÷îc. C¡c v» tinh n y câ g­n m¡y thu t½n hi»u,
b¬ng c¡ch so s¡nh thíi gian tø lóc t½n hi»u ÷ñc ph¡t i vîi thíi gian nhªn t½n hi»u ph£n hçi, kho£ng
c¡ch tø c¡c v» tinh ¸n và tr½Ms³ ÷ñc x¡c ành. Nh÷ vªy, và tr½Ml  giao iºm cõa 4 m°t c¦u câ
t¥m l  4 v» tinh ¢ cho. Gi£ sû trong khæng gianOxyz, cho iºmM(a;b;c)v  4 v» tinh câ tåa ë:
A(1; 6; 3); B(4; 8; 1); C(9; 6; 7); D(15; 18; 7). T½nh gi¡ tràP=a
2
+b
2
+c
2
, bi¸t kho£ng c¡ch tøM¸n
c¡c v» tinh l¦n l÷ñt l MA= 6; MB= 7; MC= 12; MD= 24.
KQ:
C¥u 21.Mët nhâm câ5håc sinh nam v 4håc sinh nú tham gia lao ëng tr¶n s¥n tr÷íng. Cæ gi¡o
chån ng¨u nhi¶n çng thíi hai b¤n trong nhâm i t÷îi c¥y. T½nh x¡c su§t º hai b¤n ÷ñc chån câ còng
giîi t½nh, bi¸t r¬ng câ ½t nh§t mët b¤n nam ÷ñc chån. (K¸t qu£ l m trán ¸n hai chú sè thªp ph¥n).
KQ:
C¥u 22.Thèng k¶ hç sì250håc sinh khèi 10, trong â câ150håc sinh nú v 100håc sinh nam. Sau
khi thèng k¶, k¸t qu£ câ60%håc sinh nú l  o n vi¶n,50%håc sinh nam l  o n vi¶n; nhúng håc sinh
cán l¤i khæng l  o n vi¶n. Chån ng¨u nhi¶n mët håc sinh trong250håc sinh khèi 10. T½nh x¡c su§t
º håc sinh ÷ñc chån l  o n vi¶n.
KQ: U. B€I TŠP TÜ LUŠN1D„NG Ùng döng cõa t½ch ph¥n
a) giîi h¤n bði ç thà h m sèy=f(x), tröc ho nhOxv  hai ÷íng
th¯ngx=a,x=bl 
S=
bZ
a
jf(x)jdx:
Di»n t½ch h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði ç thà cõa hai h m sèy=f(x),y=g(x)v  hai ÷íng
th¯ngx=a,x=bl 
S=
bZ
a
jf(x)g(x)jdx:
b)
Trong khæng gian, cho mët vªt thº n¬m
trong kho£ng khæng gian giúa hai m°t
ph¯ng(P)v (Q)còng vuæng gâc vîi
tröcOxt¤i c¡c iºmav b. M°t ph¯ng
vuæng gâc vîi tröcOxt¤i iºm câ ho nh
ëx(axb)c­t vªt thº theo m°t
c­t câ di»n t½chS(x). Khi â, n¸uS(x)
l  h m sè li¶n töc tr¶n[a;b]th¼ thº t½ch
cõa vªt thº ÷ñc t½nh b¬ng cæng thùc:
V=
bZ
a
S(x) dx:
xabxPQOS(x) BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

69. BË — ÆN THI HK2 TON 12N‹M HÅC 20242025ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–N67Trang
c) sinh bði h¼nh ph¯ngDgiîi h¤n bði ç thà h m sèy=f(x), tröc
ho nh v  hai ÷íng th¯ngx=a,x=bkhi quay xung quanh tröcOxl 
V=
bZ
a
f
2
(x) dx:
Thº t½ch khèi trán xoay sinh bði h¼nh ph¯ngDgiîi h¤n bði ç thàhaih m sèy=f(x),
y=g(x)v  hai ÷íng th¯ngx=a,x=bkhi quay xung quanh tröcOxl 
V=
bZ
a


f
2
(x)g
2
(x)


dx:
B i 1.T½nh di»n t½ch h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði ç thà cõa hai h m sèy=x
3
3x,y=xv  hai ÷íng
th¯ngx=1,x= 3.
B i 2.T½nh di»n t½ch h¼nh ph¯ng ÷ñc giîi h¤n bði c¡c ÷íngy=x
2
+x1v y=x
4
+x1.
B i 3.T½nh thº t½ch khèi trán xoay ÷ñc t¤o bði h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði ç thà h m sèy= 3xx
2
v  tröc ho nh khi quay quanh tröc ho nh.
B i 4.
Mët vi¶n g¤ch hoa h¼nh vuæng c¤nh40cm. Ng÷íi thi¸t k¸ ¢ sû döng bèn
÷íng parabol câ chung ¿nh t¤i t¥m vi¶n g¤ch º t¤o ra bèn c¡nh hoa (÷ñc
tæ m u s¨m nh÷ h¼nh v³ b¶n). T½nh di»n t½ch méi c¡nh hoa cõa vi¶n g¤ch?
B i 5.
Mët bùc t÷íng lîn k½ch thùc8m8m tr÷îc ¤i s£nh cõa mët táa bi»t
thü ÷ñc sìn c¡c lo¤i sìn °c bi»t. Ng÷íi ta v³ hai nûa ÷íng trán
÷íng k½nhAD,ABc­t nhau t¤iH; ÷íng trán t¥mD, b¡n k½nhAD,
c­t nûa ÷íng trán ÷íng k½nhABt¤iK. Bi¸t tam gi¡c congAHK
÷ñc sìn m u xanh v  c¡c ph¦n cán l¤i ÷ñc sìn m u tr­ng (nh÷ h¼nh
v³) v  mët m²t vuæng sìn tr­ng, sìn xanh l¦n l÷ñt câ gi¡ l 1tri»u
çng v 1;5tri»u çng. T½nh sè ti·n ph£i tr£?
88ABCDHK
B i 6.T½nh di»n t½chScõa h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði ç thà hai h m sèy=x
3
v y=x
2
2x?
B i 7.T½nh di»n t½ch cõa h¼nh ph¯ng(H)giîi h¤n bði c¡c ÷íngy=
p
x,y=x2v  tröc ho nh.
B i 8.Cho h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði c¡c ÷íngy=
p
x2,y= 0v x= 9quay xung quanh tröcOx.
T½nh thº t½ch khèi trán xoay t¤o th nh.
B i 9.GåiDl  h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði c¡c ÷íngy= e
x
,y= 0,x= 0v x= 1. T½nh thº t½ch cõa
khèi trán xoay t¤o th nh khi quayDquanh tröcOx?
B i 10.Mët t²c n÷îc h¼nh trö, ang chùa n÷îc ÷ñc °t n¬m ngang, câ chi·u d i3m v  ÷íng k½nh
¡y1m. Hi»n t¤i m°t n÷îc trong t²c c¡ch ph½a tr¶n ¿nh cõa t²c0;25m (xem h¼nh v³). T½nh thº t½ch
cõa n÷îc trong t²c?
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

70. ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NTrang681m3m0;25m
B i 11.
Mët c¡i cèc câ h¼nh d¤ng trán xoay v  k½ch th÷îc nh÷ h¼nh v³, thi¸t
di»n dåc cõa m°t b¶n trong cèc (bê dåc cèc th nh2ph¦n b¬ng nhau)
l  mët ÷íng Parabol. T½nh thº t½ch tèi a m  cèc câ thº chùa ÷ñc.
10cm8cmParabol
B i 12.
Cho h m sèy=ax
4
+bx
2
+ccâ ç thà(C), bi¸t r¬ng(C)i qua iºm
A(1; 0), ti¸p tuy¸ndt¤iAcõa(C), c­t(C)t¤i hai iºm câ ho nh ë l¦n
l÷ñt l 0v 2. Di»n t½ch h¼nh ph¯ng giîi h¤n bðid, ç thà(C)v  hai ÷íng
th¯ngx= 0;x= 2câ di»n t½ch b¬ng
28
5
(ph¦n g¤ch såc trong h¼nh v³).
T½nh di»n t½ch h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði(C), tröc ho nh v  hai ÷íng th¯ng
x=1;x= 0.
xyO12
B i 13.
Mët khuæn vi¶n d¤ng nûa h¼nh trán câ ÷íng k½nh b¬ng4
p
5(m).
Tr¶n â ng÷íi thi¸t k¸ hai ph¦n º trçng hoa câ d¤ng cõa mët c¡nh
hoa h¼nh parabol câ ¿nh tròng vîi t¥m nûa h¼nh trán v  hai ¦u mót
cõa c¡nh hoa n¬m tr¶n nûa ÷íng trán (ph¦n g¤ch såc), c¡ch nhau
mët kho£ng b¬ng4 m, ph¦n cán l¤i cõa khuæn vi¶n (ph¦n khæng g¤ch
såc) d nh º trang tr½ cä nh¥n t¤o. Bi¸t c¡c k½ch th÷îc cho nh÷ h¼nh
v³ v  kinh ph½ cä nh¥n t¤o l 100 000çng/m
2
. Häi c¦n bao nhi¶u
ti·n º trang tr½ cä tr¶n ph¦n §t â?
4m4m
B i 14.T½nh di»n t½chScõa h¼nh ph¯ng(H)giîi h¤n bði ÷íng congy=x
3
+ 12xv y=x
2
.
B i 15.T½nh thº t½chVcõa vªt thº n¬m giúa hai m°t ph¯ngx= 0v x=, bi¸t thi¸t di»n cõa vªt
thº khi c­t bði m°t ph¯ng vuæng gâc vîi tröcOxt¤i iºm câ ho nh ëx(x2[0;])l  tam gi¡c ·u
câ c¤nh b¬ng2
p
sinx.
B i 16.T½nh thº t½ch cõa khèi trán xoay t¤o th nh khi quay h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði ç thà h m sè
y=
p
tanx, tröc ho nh v  c¡c ÷íng th¯ngx= 0,x=

4
quanh tröc ho nh?
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

71. BË — ÆN THI HK2 TON 12N‹M HÅC 20242025ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–N69Trang
B i 17.B¡c N«m l m mët c¡i cûa nh  h¼nh parabol câ chi·u cao tø m°t §t ¸n ¿nh l 2;25m²t,
chi·u rëng ti¸p gi¡p vîi m°t §t l 3m²t. N¸u chi ph½ l m méi m²t vuæng cûa l 1;5tri»u çng th¼ sè
ti·n b¡c N«m ph£i tr£ l  bao nhi¶u?
B i 18.
T½nh di»n t½ch h¼nh ph¯ng ÷ñc g¤ch ch²o trong h¼nh b¶n?
xyy=x
2
2x+ 3y=x
2
112
B i 19.
Æng B¼nh muèn l m mët cêng s­t câ h¼nh d¤ng v 
k½ch th÷îc gièng h¼nh v³, bi¸t ÷íng cong ph½a tr¶n
l  mët parabol. N¸u gi¡ mët m²t vuæng cêng s­t l 
1 200 000çng th¼ æng B¼nh ph£i tr£ bao nhi¶u ti·n
º l m cêng s­t nh÷ vªy?
5m1;5m2m
B i 20.
Cho parabol(P1):y=
x
2
2
,(P2):y=
x
2
2
v  ÷íng trán(C)
câ t¥m l  gèc tåa ë, b¡n k½nh b¬ng
p
8. T½nh di»n t½ch h¼nh
ph¯ng giîi h¤n bði(P1),(P2)v (C).
xyO2233321123
B i 21.GåiHl  h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði ç thà h m sèy=
1
x
, tröc ho nh v  hai ÷íng th¯ng
x= 1; x= 4. T½nh thº t½chVcõa khèi trán xoay t¤o th nh khi cho h¼nh ph¯ngHquay quanh truc
Ox?
B i 22.GåiDl  h¼nh ph¯ng giîi h¤n bði ç thà h m sèy=sinx, tröc ho nh v  hai ÷íng th¯ng
x= 0,x=. T½nh thº t½chVcõa khèi trán xoay t¤o th nh khi cho h¼nh ph¯ngDquay xung quanh
tröcOx?
B i 23.
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

72. ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NTrang70
T½nh di»n t½ch ph¦n h¼nh ph¯ng g¤ch ch²o trong h¼nh v³ b¶n?
xyO315y=x+ 5y=
p
1x
B i 24.
Cho h m sèy=x
4
mx
2
câ ç thà(Cm)vîim >0. H¼nh ph¯ng t¤o bði
(Cm)v  tröcOxgçm hai ph¦n câ di»n t½chS1v S2nh÷ h¼nh v³. T¼m
mºS1+S2=
16
p
2
15
.
xyOS1S2
B i 25.
Mët khu v÷ín h¼nh b¡n nguy»t câ b¡n k½nhR= 4m, ð giúa khu
v÷ín ng÷íi ta muèn t¤o mët c¡i bº c¡ câ ÷íng bi¶n l  mët parabol
câ ph÷ìng tr¼nhy=
p
3
4
x
2
+
p
3(nh÷ h¼nh v³), ph¦n cán l¤i s³ trçng
hoa. Bi¸t chi ph½ x¥y bº c¡ l 400 000çng/m
2
, chi ph½ x¥y khu trçng
hoa l 200 000çng/m
2
. Khi â chi ph½ x¥y düng to n bë khu v÷ín
h¸t bao nhi¶u ti·n?
B i 26.
Trong ñt hëi tr¤i Khi tæi 18 ÷ñc tê chùc t¤i tr÷íng THPT X, o n
tr÷íng câ thüc hi»n mët dü ¡n £nh tr÷ng b y tr¶n mët pano câ d¤ng
parabol nh÷ h¼nh v³. Bi¸t r¬ng o n tr÷íng s³ y¶u c¦u c¡c lîp gûi
h¼nh dü thi v  d¡n l¶n khu vüc h¼nh chú nhªtABCD, ph¦n cán l¤i s³
÷ñc trang tr½ hoa v«n cho phò hñp. Häi di»n t½ch ph¦n trang tr½ hoa
v«n b² nh§t l  bao nhi¶u?
BACD4m4m
B i 27.
Cho ç thà h m sèy= 2
x
2v  h¼nh ph¯ng ÷ñc tæ m u nh÷ h¼nh b¶n. T½nh
di»n t½ch h¼nh ph¯ng â?
212xyOy= 2
x
2 BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

73. BË — ÆN THI HK2 TON 12N‹M HÅC 20242025ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–N71Trang
B i 28.
T½nh di»n t½ch h¼nh ph¯ng ÷ñc tæ m u nh÷ h¼nh b¶n.
xyO1311y= cosxy=x
B i 29.
T½nh thº t½ch cõa khèi trán xoay ÷ñc t¤o th nh bði h¼nh ph¯ng cho ð h¼nh b¶n
khi quay quanh tröcOx.
x1yOy=
p
x2D„NG Ph÷ìng tr¼nh m°t c¦u
ÌTrong khæng gianOxyz, m°t c¦u(S)t¥mI(a;b;c), b¡n k½nhRcâ ph÷ìng tr¼nh l 
(xa)
2
+ (yb)
2
+ (zc)
2
=R
2
:
ÌPh÷ìng tr¼nhx
2
+y
2
+z
2
2ax2by2cz+d= 0vîia
2
+b
2
+c
2
d >0l  ph÷ìng tr¼nh
cõa m°t c¦u t¥mI(a;b;c), b¡n k½nhR=
p
a
2
+b
2
+c
2
d.
B i 30.Vi¸t ph÷ìng tr¼nh m°t c¦u(S)bi¸t
a)(S)câ t¥mI(3; 2; 0)v  i qua iºmM(2; 4;1).
b)(S)câ ÷íng k½nh l  o¤n th¯ngABvîiA(1; 2; 0)v B(1; 0; 4).
B i 31.Trong khæng gianOxyz, cho iºmI(3; 4; 2). Vi¸t ph÷ìng tr¼nh m°t c¦u t¥mIv  ti¸p xóc vîi
tröcOz.
B i 32.Trong khæng gianOxyz, cho(S):x
2
+y
2
+z
2
4x2y+ 10z14 = 0. M°t ph¯ng(P):
x+ 4z+ 5 = 0c­t m°t c¦u(S)theo mët ÷íng trán(C). T¼m to¤ ë t¥mHcõa(C)?
B i 33.Trong khæng gianOxyzcho ÷íng th¯ngd:
x2
1
=
y
1
=
z+ 1
2
. Vi¸t ph÷ìng tr¼nh m°t c¦u
(S)câ b¡n k½nhR= 5, t¥mIthuëc ÷íng th¯ngdv  ti¸p xóc vîi tröcOy.
B i 34.Trong khæng gianOxyz, cho tù di»nOABCcâ tåa ë ¿nhA(m;m; 0),B(0;m;m),C(m; 0;m).
Bi¸t tù di»nOABCcâ b¡n k½nh m°t c¦u(S)nëi ti¸p b¬ng
p
3
3
. Vi¸t ph÷ìng tr¼nh m°t c¦u(S)?
B i 35.Trong khæng gianOxyzcho h¼nh hëp chú nhªtOABC:O
0
A
0
B
0
C
0
vîiOl  gèc tåa ë,A(2; 0; 0),
C(0; 3; 0),O
0
(0; 0; 4). Vi¸t ph÷ìng tr¼nh m°t c¦u i qua c¡c ¿nh cõa h¼nh hëp?
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

74. ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NTrang72
B i 36.Trong khæng gianOxyz, cho ÷íng th¯ngd:x=
y1
2
=
z2
1
v  m°t ph¯ng(P): 3x+y
z5 = 0. Vi¸t ph÷ìng tr¼nh m°t c¦u(S)câ t¥mIthuëc ÷íng th¯ngdv  c­t m°t ph¯ng(P)theo
giao tuy¸n l  ÷íng trán lîn nh§t câ b¡n k½nhr= 5.
B i 37.Trong khæng gianOxy, t½nh têng t§t c£ c¡c sè tü nhi¶n cõa tham sèmº ph÷ìng tr¼nh
x
2
+y
2
+z
2
+ 2(m2)y2(m+ 3)z+ 3m
2
+ 7 = 0l  ph÷ìng tr¼nh cõa mët m°t c¦u.
B i 38.Trong khæng gianOxyz, cho ba iºmA(1; 2;4),B(1;3; 1),C(2; 2; 3). T½nh ÷íng k½nh`
cõa m°t c¦u(S)i qua ba iºm tr¶n v  câ t¥m n¬m tr¶n m°t ph¯ng(Oxy)?
B i 39.Trong khæng gianOxyz, cho iºmI(1;2; 3). Gåi(S)l  m°t c¦u câ t¥mIv  c­t tröcOxt¤i hai
iºmAv Bsao choAB= 2
p
3. Khi â, ph÷ìng tr¼nh m°t c¦u(S)câ d¤ng l (xa)
2
+(yb)
2
+(zc)
2
=
R
2
, t½nh gi¡ trà cõaP=
abc
R
.
B i 40.Trong khæng gianOxyz, cho c¡c iºmA(2; 4; 1),B(2; 0; 3)v  ÷íng th¯ngd:
8
>
<
>
:
x= 1 +t
y= 1 + 2t
z=2 +t:
Gåi(S)l  m°t c¦u i quaA,Bv  câ t¥m thuëc ÷íng th¯ngd. B¡n k½nh cõa m°t c¦u(S)l R=a
p
b,
t½nh gi¡ trà cõaP=a+b.
B i 41.Trong khæng gianOxyz, cho ÷íng th¯ng:
x1
2
=
y
2
=
z2
1
v  m°t ph¯ng(P): 2xy+
z3 = 0. Gåi(S)l  m°t c¦u câ t¥mI(a;b;c)2v  ti¸p xóc vîi(P)t¤iH(1;1; 0). T½nha
2
+b
2
+c
2
?
B i 42.Trong khæng gianOxyz, cho ÷íng th¯ng:
x2
3
=
y1
2
=
z1
2
v  hai m°t ph¯ng
(P):x+ 2y2z2 = 0,(Q):x+ 2y2z+ 4 = 0. Vi¸t ph÷ìng tr¼nh m°t c¦uScâ t¥mIthuëcv 
ti¸p xóc vîi(P),(Q).
B i 43.Mët qu£ bâng rê ÷ñc °t ð mët gâc cõa c«n pháng h¼nh hëp chú nhªt sao cho qu£ bâng ch¤m
v  ti¸p xóc vîi hai bùc t÷íng v  n·n nh  cõa c«n pháng â th¼ câ mët iºm tr¶n qu£ bâng câ kho£ng
c¡ch l¦n l÷ñt ¸n hai bùc t÷íng v  n·n nh 17cm,18cm,21cm (tham kh£o h¼nh minh håa). Häi ë
d i ÷íng k½nh cõa qu£ bâng b¬ng bao nhi¶u cm bi¸t r¬ng qu£ bâng rê ti¶u chu©n câ ÷íng k½nh tø23
cm ¸n24;5cm?
M171821MABC
B i 44.Trong khæng gianOxyz, t¼m b¡n k½nh m°t c¦u qua 2 iºmA(3;1; 2),B(1; 1;2)v  câ t¥m
Ithuëc:
x
2
=
y1
1
=
z
1
.
B i 45.Trong khæng gianOxyz, vi¸t ph÷ìng tr¼nh m°t c¦u i qua3iºmA(2; 3; 3),B(1; 1; 2),
C(4; 2; 2)v  câ t¥m thuëc m°t ph¯ng(Oyz).
B i 46.Trong khæng gianOxyz, t¼m t¥m m°t c¦u i qua iºmB(1; 3; 0)v  ti¸p xóc vîi(Oyz)t¤i
M(0; 3;2).
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

75. BË — ÆN THI HK2 TON 12N‹M HÅC 20242025ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–N73Trang
B i 47.Trong khæng gianOxyz, cho ba iºmA(1;2;4),B(2; 3; 4),C(3; 5; 7). T¼m ph÷ìng tr¼nh m°t
c¦u câ t¥m l Av  ti¸p xóc vîiBC.
B i 48.Trong khæng gian vîi h» tröc tåa ëOxyz, cho ba iºmA(1; 2;4); B(1;3; 1); C(2; 2; 3). Vi¸t
ph÷ìng tr¼nh m°t c¦u(S)i qua ba iºm tr¶n v  câ t¥m n¬m tr¶n m°t ph¯ng(Oxy).
B i 49.Trong khæng gianOxyz, cho iºmI(2; 4; 1)v (P):x+y+z4 = 0. T¼m ph÷ìng tr¼nh m°t
c¦u(S)t¥mIsao cho(S)c­t(P)theo ÷íng trán câ ÷íng k½nh b¬ng2.
B i 50.Trong khæng gianOxyz, cho m°t c¦u(S)câ t¥mI(1;1; 2)v  ÷íng th¯ngd:
x1
1
=
y
1
=
z
1
. ÷íng th¯ngdc­t m°t c¦u(S)t¤i hai iºmAv BvîiAB= 10. Vi¸t ph÷ìng tr¼nh cõa m°t c¦u
(S).
B i 51.Cho4iºmA(1; 2;4),B(1;3; 1),C(2; 2; 3),D(1; 0; 4). Vi¸t ph÷ìng tr¼nh m°t c¦u(S)qua
2iºmAv Bv  câ t¥m thuëc ÷íng th¯ngCD?
B i 52.Trong khæng gianOxyz, cho ba iºmA(1; 2;4),B(1;3; 1),C(2; 2; 3). Vi¸t ph÷ìng tr¼nh m°t
c¦u(S)i qua ba iºmA,B,Cv  câ t¥m n¬m tr¶n m°t ph¯ng(Oxy).
B i 53.Trong khæng gian vîi h» tröc tåa ëOxyz, cho ba iºmA(1; 0; 0); C(0; 0; 3); B(0; 2; 0). Tªp hñp
c¡c iºmMthäa m¢nMA
2
=MB
2
+MC
2
l  mët m°t c¦u, t½nh b¡n k½nh m°t c¦u â.
B i 54.Trong khæng gianOxyz, gåiI(a;b;c)l  t¥m m°t c¦u i qua iºmA(1;1; 4)v  ti¸p xóc vîi
t§t c£ c¡c m°t ph¯ng tåa ë. T½nhP=ab+c.
B i 55.Trong khæng gianOxyz, vi¸t ph÷ìng tr¼nh m°t c¦u(S)câ t¥m thuëc ÷íng th¯ngd:
x2
1
=
y1
3
=
z+ 1
1
v  i qua2iºmA(2; 1;1),B(0; 1; 1).
B i 56.Cho c¡c iºmA(2; 0; 0),B(0; 4; 0),C(0; 0; 4). Vi¸t ph÷ìng tr¼nh m°t c¦u ngo¤i ti¸p tù di»n
OABC(Ol  gèc tåa ë).
B i 57.Trong khæng gianOxyz, vi¸t ph÷ìng tr¼nh m°t c¦u câ t¥m n¬m tr¶n tröcOy, i qua hai iºm
A(1; 2;2)v B(3; 1;1).
3D„NG X¡c su§t câ i·u ki»n
a) Cho hai bi¸n cèAv Bb§t k¼, vîiP(B)>0. Khi â
P(AjB) =
P(AB)
P(B)
:
b) Vîi hai bi¸n cèAv Bb§t k¼, ta câ
P(AB) = P(B)P(AjB):
o
V¼AB=BAn¶n vîi hai bi¸n cèAv Bb§t k¼, ta công câ
P(AB) = P(A)P(BjA).o
N¸uAv Bl  hai bi¸n cè ëc lªp th¼
P(AB) = P(A)P(B):
c) Cho hai bi¸n cèAv Bl  hai bi¸n cè tòy þ. Khi â
P(A) = P(B)P(AjB) + P(B)P(AjB):
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

76. ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NTrang74
d) Cho hai bi¸n cèAv BvîiP(A)>0. Khi â
P (BjA) =
P(B)P (AjB)
P(A)
:
ho°c
P(BjA) =
P(B)P(AjB)
P(B)P(AjB) + P

B

P

AjB
:
B i 58.Mët cæng ty x¥y düng §u th¦u2dü ¡n ëc lªp. Kh£ n«ng th­ng th¦u cõa c¡c dü ¡n1l 0;6
v  dü ¡n2l 0;7. T¼m x¡c su§t cæng ty th­ng th¦u óng1dü ¡n.
B i 59.Mët b¼nh üng9vi¶n bi xanh v 7vi¶n bi ä. L¦n l÷ñt l§y ng¨u nhi¶n ra2bi, méi l¦n l§y1
bi khæng ho n l¤i. T½nh x¡c su§t º bi thù2m u xanh n¸u bi¸t bi thù nh§t m u ä?
B i 60.o sì mi An Ph÷îc tr÷îc khi xu§t kh©u sang Mÿ ph£i qua2l¦n kiºm tra, n¸u c£ hai l¦n ·u
¤t th¼ chi¸c ¡o â mîi õ ti¶u chu©n xu§t kh©u. Bi¸t r¬ng b¼nh qu¥n98%s£n ph©m l m ra qua ÷ñc
l¦n kiºm tra thù nh§t, v 95%s£n ph©m qua ÷ñc l¦n kiºm tra ¦u s³ ti¸p töc qua ÷ñc l¦n kiºm tra
thù hai. T¼m x¡c su§t º1chi¸c ¡o sì mi õ ti¶u chu©n xu§t kh©u.
B i 61.Mët hëp chùa8bi tr­ng,2bi ä. L¦n l÷ñt bèc tøng bi. Gi£ sû l¦n ¦u ti¶n bèc ÷ñc bi tr­ng.
X¡c ành x¡c su§t l¦n thù2bèc ÷ñc bi ä.
B i 62.Mët cuëc thi khoa håc câ36bë c¥u häi, trong â câ20bë c¥u häi v· chõ · tü nhi¶n v 16bë
c¥u häi v· chõ · x¢ hëi. B¤n An l§y ng¨u nhi¶n1bë c¥u häi (l§y khæng ho n l¤i), sau â b¤n B¼nh
l§y ng¨u nhi¶n1bë c¥u häi. T½nh x¡c su§t b¤n B¼nh l§y ÷ñc bë c¥u häi v· chõ · x¢ hëi?
B i 63.Lîp12Acâ37håc sinh, trong â câ15håc sinh th½ch mæn Tin håc,20håc sinh th½ch mæn
Ti¸ng Anh,10håc sinh khæng th½ch mæn n o trong hai mæn tr¶n. Chån ng¨u nhi¶n1håc sinh. X¡c
su§t chån ÷ñc håc sinh th½ch mæn Tin håc, bi¸t håc sinh â th½ch mæn Ti¸ng Anh, l  bao nhi¶u?
B i 64.Mët gia ¼nh câ2ùa tr´. Bi¸t r¬ng câ ½t nh§t1ùa tr´ l  con g¡i. Häi x¡c su§t2ùa tr´ ·u
l  con g¡i l  bao nhi¶u, bi¸t x¡c su§t º mët ùa tr´ l  trai ho°c g¡i l  b¬ng nhau?
B i 65.Mët s£n ph©m xu§t kh©u sang Mÿ ph£i qua2l¦n kiºm tra, n¸u c£2l¦n ·u ¤t th¼ s£n ph©m
â mîi õ ti¶u chu©n xu§t kh©u. Bi¸t r¬ng b¼nh qu¥n98%s£n ph©m l m ra qua ÷ñc l¦n kiºm tra thù
nh§t v 95%sè s£n ph©m qua l¦n kiºm tra ¦u ti¶n s³ ti¸p töc qua ÷ñc l¦n kiºm tra thù hai. T½nh
x¡c su§t º s£n ph©m â õ ti¶u chu©n xu§t kh©u?
B i 66.Mët doanh nghi»p xu§t kh©u qu£ s¦u ri¶ng sau khi thu mua t¤i c¡c nh  v÷ín ¤t c¡c ti¶u
chu©n v· v» sinh an to n thüc ph©m s³ ti¸p töc thüc hi»n hai l¦n kiºm tra ch§t l÷ñng s£n ph©m, n¸u
c£ hai l¦n kiºm tra ·u ¤t th¼ tr¡i s¦u ri¶ng â mîi ¤t ti¶u chu©n xu§t kh©u. Bi¸t r¬ng b¼nh qu¥n
97%s£n ph©m qua ÷ñc l¦n kiºm tra thù nh§t v 94%s£n ph©m ¢ qua ÷ñc l¦n kiºm tra thù nh§t
qua ÷ñc l¦n kiºm tra thù hai. T½nh x¡c su§t º mët qu£ s¦u ri¶ng õ ti¶u chu©n xu§t kh©u.
B i 67.Mët cæng ty §u th¦u hai dü ¡n. Kh£ n«ng th­ng th¦u cõa c¡c dü ¡n1l 0;4v  dü ¡n2l 
0;5. Kh£ n«ng th­ng th¦u cõa c£ hai dü ¡n l 0;3. T½nh x¡c xu§t º cæng ty th­ng dü ¡n2bi¸t cæng
ty khæng th­ng th¦u dü ¡n1.
B i 68.B¤n Minh l m hai b i tªp k¸ ti¸p. X¡c su§t Minh l m óng b i thù nh§t l 0;7. N¸u Minh l m
óng b i thù nh§t th¼ kh£ n«ng l m óng b i thù hai l 0;8nh÷ng n¸u Minh l m sai b i thù nh§t th¼
kh£ n«ng l m óng b i thù hai l 0;2. T½nh x¡c su§t º Minh l m óng b i thù nh§t bi¸t r¬ng Minh
l m óng b i thù hai.
B i 69.Mët nh  m¡y s£n xu§t bâng ±n câ95% s£n ph©m ¤t ti¶u chu©n kÿ thuªt. Trong qu¡ tr¼nh
kiºm nghi»m, x¡c su§t º ch§p nhªn mët s£n ph©m ¤t ti¶u chu©n kÿ thuªt l 98% v  kh£ n«ng ch§p
nhªn mët s£n ph©m khæng ¤t ti¶u chu©n kÿ thuªt l 4%. T½nh x¡c su§t º mët s£n ph©m qua kiºm
nghi»m ÷ñc ch§p nhªn l  s£n ph©m ¤t ti¶u chu©n kÿ thuªt.
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

77. BË — ÆN THI HK2 TON 12N‹M HÅC 20242025ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–N75Trang
B i 70.Mët lo¤i x²t nghi»m nhanh SARS-CoV-2 cho k¸t qu£ d÷ìng t½nh vîi81;2% c¡c ca thüc sü
nhi¹m virus v  k¸t qu£ ¥m t½nh vîi98;4% c¡c ca thüc sü khæng nhi¹m virus. Gi£ sû t¿ l» ng÷íi nhi¹m
virus SARS-CoV-2 trong cëng çng l 2%. Mët ng÷íi trong cëng çng â l m x²t nghi»m v  nhªn ÷ñc
k¸t qu£ d÷ìng t½nh. T½nh x¡c su§t ng÷íi â thüc sü nhi¹m virus.
B i 71.Cho sì ç h¼nh c¥y nh÷ sau. T½nhP(B).
Gèc0;30;7AA0;250;750;20;8BBBBK¸t qu£ABABABABX¡c su§t0;0750;2250;140;56
B i 72.Cho sì ç h¼nh c¥y sau. T½nhP(AjB).
Gèc0;40;6AA0;150;850;30;7BBBBK¸t qu£ABABABABX¡c su§t0;060;340;180;42
B i 73.Gi£ sû câ hai hëp, hëp thù nh§t chùa3bâng ä v 1bâng xanh; hëp thù hai chùa1bâng ä
v 2bâng xanh. L§y ng¨u nhi¶n mët hëp rçi l§y mët qu£ bâng, bi¸t r¬ng l§y ÷ñc qu£ bâng m u ä,
t½nh x¡c su§t º qu£ bâng â ð hëp thù nh§t.
B i 74.Khi nghi¶n cùu c¡c hç sì b»nh ¡n trong mët B»nh Vi»n Bäng nhªn th§y câ70% sè ca b»nh l 
do bäng nhi»t v 30% sè ca l  bäng hâa ch§t; t¿ l» b»nh nh¥n bà bi¸n chùng khi bà bäng nhi»t l 30%
v  t¿ l» b»nh nh¥n bà bi¸n chùng khi bà bäng hâa ch§t l 50%. Rót ng¨u nhi¶n mët b»nh ¡n, t½nh x¡c
su§t b»nh nh¥n bà bäng nhi»t.
B i 75.Mët nh  m¡y câ2ph¥n x÷ðng s£n xu§t. T¿ l» s£n ph©m cõa ph¥n x÷ðng I v  II l¦n l÷ñt l 
40% v 60%. T¿ l» ch½nh ph©m cõa ph¥n x÷ðng I l 97% v  t¿ l» ch½nh ph©m cõa ph¥n x÷ðng II l 98%.
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

78. ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–NTrang76
Mua ng¨u nhi¶n mët s£n ph©m cõa nh  m¡y, bi¸t s£n ph©m mua ÷ñc l  ch½nh ph©m, t½nh x¡c su§t º
s£n ph©m â do ph¥n x÷ðng I s£n xu§t.
B i 76.Tø mët hëp câ50qu£ c¦u tr­ng v 100qu£ c¦u en. Ng÷íi ta rót ng¨u nhi¶n khæng ho n l¤i
tøng qu£ mët v  rót hai l¦n. T½nh x¡c su§t º l¦n ¦u rót ÷ñc qu£ tr­ng bi¸t l¦n thù hai công rót
÷ñc qu£ tr­ng.
B i 77.V o méi buêi s¡ng ð tuy¸n phè T, x¡c su§t x£y ra t­c ÷íng khi tríi m÷a v  khæng m÷a l¦n
l÷ñt l 0;75v 0;23.X¡c su§t câ m÷a v o mët buêi s¡ng l 0;1. T½nh x¡c su§t º s¡ng â tuy¸n phè T
bà t­c ÷íng.
B i 78.Cho hai bi¸n cè ng¨u nhi¶nAv B. Bi¸t r¬ngP(AjB) = 2P(BjA)v P(AB)6= 0. T½nh t¿
sè
P(A)
P(B)
.
B i 79.Tr÷íng H¤nh Phóc câ20% håc sinh tham gia c¥u l¤c bë ¥m nh¤c, trong sè håc sinh â câ85%
håc sinh bi¸t chìi  n guitar. Ngo i ra, câ10% sè håc sinh khæng tham c¥u l¤c bë ¥m nh¤c công bi¸t
chìi  n guitar. Chån ng¨u nhi¶n1håc sinh cõa tr÷íng. Gi£ sû håc sinh â bi¸t chìi  n guitar. t½nh
x¡c su§t chån ÷ñc håc sinh thuëc c¥u l¤c bë ¥m nh¤c?
B i 80.T§t c£ c¡c håc sinh cõa tr÷íng H¤nh Phóc ·u tham gia c¥u l¤c bë bâng chuy·n ho°c bâng rê,
méi håc sinh ch¿ tham gia óng1c¥u l¤c bë. Câ60% håc sinh cõa tr÷íng tham gia c¥u l¤c bë bâng
chuy·n v 40% håc sinh cõa tr÷íng tham gia c¥u l¤c bë bâng rê. Sè håc sinh nú chi¸m65% trong c¥u
l¤c bë bâng chuy·n v 25% trong c¥u l¤c bë bâng rê. Chån ng¨u nhi¶n1håc sinh. T½nh x¡c su§t chån
÷ñc håc sinh nú?
B i 81.Æng An h¬ng ng y i l m b¬ng xe m¡y ho°c xe buþt. N¸u hæm nay æng i l m b¬ng xe buþt
th¼ x¡c su§t º hæm sau æng i l m b¬ng xe m¡y l 0;4. N¸u hæm nay æng i l m b¬ng xe m¡y th¼ x¡c
su§t º hæm sau æng i l m b¬ng xe buþt l 0;7. X²t mët tu¦n m  thù Hai æng An i l m b¬ng xe
buþt. T½nh x¡c su§t º thù T÷ trong tu¦n æng An i l m b¬ng xe m¡y.
B i 82.Trong mët ñt kiºm tra sùc khäe, câ mët lo¤i b»nhXm  t¿ l» ng÷íi m­c b»nh l 0;2% v  mët
lo¤i x²t nghi»mYm  ai m­c b»nhXkhi x²t nghi»mYcông câ ph£n ùng d÷ìng t½nh. Tuy nhi¶n, câ
6% nhúng ng÷íi khæng bà b»nhXl¤i câ ph£n ùng d÷ìng t½nh vîi x²t nghi»mY. Chån ng¨u nhi¶n1
ng÷íi trong ñt kiºm tra sùc kho´ â. Gi£ sû ng÷íi â câ ph£n ùng d÷ìng t½nh vîi x²t nghi»mY. T½nh
x¡c su§t ng÷íi â bà m­c b»nhX?
B i 83.Câ hai hëp thuèc. Hëp I câ2v¿ thuèc ngo¤i v 5v¿ thuèc nëi. Hëp II câ3v¿ thuèc ngo¤i v 6
v¿ thuèc nëi. Tø hëp I v  hëp II l¦n l÷ñt l§y ra2v¿ thuèc v 1v¿ thuèc. Tø3v¿ thuèc â l¤i l§y ra1
v¿. T½nh x¡c su§t º l§y ra sau còng v¿ thuèc ngo¤i.
B i 84.Mët cuëc thi khoa håc câ36bë c¥u häi, trong â câ20bë c¥u häi v· chõ · tü nhi¶n v 16bë
c¥u häi v· chõ · x¢ hëi. B¤n An l§y ng¨u nhi¶n1bë c¥u häi (l§y khæng ho n l¤i), sau â b¤n B¼nh
l§y ng¨u nhi¶n1bë c¥u häi. T½nh x¡c su§t b¤n B¼nh l§y ÷ñc bë c¥u häi v· chõ · x¢ hëi.
B i 85.Mët thòng câ60qu£ s¦u ri¶ng,40qu£ m½t; c¡c qu£ câ khèi l÷ñng nh÷ nhau. Sau khi thèng k¶
ng÷íi ta th§y câ50%sè qu£ s¦u ri¶ng câ d¡n tem xu§t kh©u v 75%sè qu£ m½t câ d¡n tem xu§t kh©u;
nhúng qu£ cán l¤i khæng d¡n tem xu§t kh©u. L§y ng¨u nhi¶n trong thòng mët qu£, t½nh x¡c su§t º
qu£ l§y ra câ d¡n tem xu§t kh©u?
B i 86.Câ hai chuçng g  gièng. Chuçng I câ15con, trong â câ3con g  trèng. Chuçng II câ20con,
trong â câ4con g  trèng. Mët con tø chuçng II nh£y sang chuçng I. Tø chuçng I b­t ng¨u nhi¶n1
con. T½nh x¡c su§t º con g  b­t ÷ñc l  g  trèng?
B i 87.Mët nh  m¡y câ2x÷ðng s£n xu§t. X÷ðng I chi¸m65%têng s£n ph©m. X÷ðng II chi¸m35%
têng s£n ph©m. Bi¸t r¬ng t l» ¤t s£n ph©m ch§t l÷ñng tèt cõa hai x÷ðng l¦n l÷ñt l 90%v 85%. L§y
ng¨u nhi¶n1s£n ph©m cõa nh  m¡y, t½nh x¡c su§t º s£n ph©m â ¤t ch§t l÷ñng tèt.
B i 88.Trong k¼ thi tèt nghi»p trung håc phê thæng, tr÷íng THPT X câ60%håc sinh lüa chån khèi
D º x²t tuyºn ¤i håc. Bi¸t r¬ng, n¸u mët håc sinh lüa chån khèi D th¼ x¡c su§t º håc sinh â é
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12

79. BË — ÆN THI HK2 TON 12N‹M HÅC 20242025ThS TON GIƒI TCH NGUY™N HÚU CHUNG KI–N77Trang
¤i håc l 0;7cán n¸u håc sinh khæng lüa chån khèi D th¼ x¡c su§t º håc sinh â é ¤i håc l 0;8.
Chån ng¨u nhi¶n mët håc sinh cõa tr÷íng THPT X ¢ tèt nghi»p trong k¼ thi tr¶n. T½nh x¡c su§t º
håc sinh â chån khèi D bi¸t håc sinh n y ¢ é ¤i håc.
B i 89.Mët nh  m¡y câ hai ph¥n x÷ðng I v  II. Ph¥n x÷ðng I s£n xu§t40%sè s£n ph©m v  ph¥n
x÷ðngIIs£n xu§t60%sè s£n ph©m. T¿ l» s£n ph©m bà léi cõa ph¦n x÷ðngIl 3%v  cõa ph¥n x÷ðng
II l 2%. Kiºm tra ng¨u nhi¶n 1 s£n ph©m cõa nh  m¡y v  t½nh x¡c su§t º s£n ph©m â bà léi l 
t
100
.
Khi âtb¬ng bao nhi¶u?
B i 90.Tr÷íng Phan ¼nh Phòng câ20%håc sinh tham gia c¥u l¤c bë thº thao, trong sè håc sinh â
câ85%håc sinh bi¸t chìi bâng ¡. Ngo i ra, câ10%sè håc sinh khæng tham gia c¥u l¤c bë thº thao
công bi¸t chìi bâng ¡. Chån ng¨u nhi¶n1håc sinh cõa tr÷íng. Gi£ sû håc sinh â bi¸t chìi bâng ¡.
T½nh x¡c su§t chån ÷ñc håc sinh thuëc c¥u l¤c bë thº thao?
B i 91.Mët cuëc thi khoa håc câ36bë c¥u häi, trong â câ20bë c¥u häi v· chõ · tü nhi¶n v 16bë
c¥u häi v· chõ · x¢ hëi. B¤n An l§y ng¨u nhi¶n1bë c¥u häi (l§y khæng ho n l¤i), sau â b¤n B¼nh
l§y ng¨u nhi¶n1bë c¥u häi. T½nh x¡c su§t b¤n B¼nh l§y ÷ñc bë c¥u häi v· chõ · x¢ hëi?
B i 92.Mët hëp k½n üng9vi¶n ph§n m u tr­ng v 3vi¶n ph§n m u ä (c¡c vi¶n ph§n câ còng khèi
l÷ñng). B¤n Nam l§y ng¨u nhi¶n mët vi¶n ph§n trong hëp v  khæng tr£ l¤i. Sau â b¤n T¥m l§y ng¨u
nhi¶n mët vi¶n ph§n trong sè ph§n cán l¤i. T½nh x¡c su§t º Nam l§y ÷ñc ph§n ä v  T¥m l§y ÷ñc
ph§n tr­ng.
B i 93.Mët cæng ty i»n tû câ hai ph¥n x÷ðng còng s£n xu§t mët lo¤i linh ki»n, trong â câ56%linh
ki»n ð ph¥n x÷ðng I v 44%linh ki»n ð ph¥n x÷ðng II. T¤i ph¥n x÷ðng I câ75%linh ki»n lo¤i1v  t¤i
ph¥n x÷ðng II câ68%linh ki»n lo¤i1. Chån ng¨u nhi¶n mët linh ki»n. T½nh x¡c su§t chån ÷ñc linh
ki»n lo¤i1?
B i 94.Gi£ sû t¿ l» ng÷íi d¥n cõa t¿nh Kh¡nh Háa nghi»n thuèc l¡ l 20%; t¿ l» ng÷íi bà b»nh phêi
trong sè ng÷íi nghi»n thuèc l¡ l 70%, trong sè ng÷íi khæng nghi»n thuèc l¡ l 15%. Häi khi ta g°p
ng¨u nhi¶n mët ng÷íi d¥n cõa t¿nh Kh¡nh Háa th¼ kh£ n«ng m  â bà b»nh phêi l  bao nhi¶u%?
B i 95.Gieo l¦n l÷ñt hai con xóc x­c c¥n èi v  çng ch§t. T½nh x¡c su§t º têng sè ch§m xu§t hi»n
tr¶n hai con xóc x­c b¬ng6. Bi¸t r¬ng con xóc x­c thù nh§t xu§t hi»n m°t4ch§m.
B i 96.Mët cæng ty x¥y düng §u th¦u2dü ¡n ëc lªp. Kh£ n«ng th­ng th¦u cõa c¡c dü ¡n1l 0;6
v  dü ¡n2l 0;7. T¼m x¡c su§t cæng ty th­ng th¦u óng1dü ¡n.
B i 97.Mët c«n b»nh câ1%d¥n sè m­c ph£i. Mët ph÷ìng ph¡p ch©n o¡n ÷ñc ph¡t triºn câ t l»
ch½nh x¡c l 99%. Vîi nhúng ng÷íi bà b»nh, ph÷ìng ph¡p n y s³ ÷a ra k¸t qu£ d÷ìng t½nh99%sè
tr÷íng hñp. Vîi ng÷íi khæng m­c b»nh, ph÷ìng ph¡p n y công chu©n o¡n óng99trong100tr÷íng
hñp. N¸u mët ng÷íi kiºm tra v  k¸t qu£ l  d÷ìng t½nh (bà b»nh), t½nh x¡c su§t º ng÷íi â thüc sü bà
b»nh?
B i 98.Gieo hai con xóc x­c c¥n èi, çng ch§t. T½nh x¡c su§t º têng sè ch§m xu§t hi»n tr¶n hai con
xóc x­c lîn hìn ho°c b¬ng10, n¸u bi¸t r¬ng câ ½t nh§t mët con ¢ ra m°t5ch§m.
B i 99.Mët lîp håc câ40håc sinh, méi håc sinh giäi ½t nh§t mët trong hai mæn V«n ho°c mæn To¡n.
Bi¸t r¬ng câ30håc sinh giäi mæn To¡n v 15håc sinh giäi mæn V«n. Chån ng¨u nhi¶n mët håc sinh.
T½nh x¡c su§t º håc sinh â håc giäi mæn To¡n, bi¸t r¬ng håc sinh â giäi mæn V«n.
B i 100.Mët læ c¡c s£n ph©m do hai nh  m¡y s£n xu§t, bi¸t r¬ng sè s£n ph©m cõa nh  m¡y thù nh§t
g§p ba l¦n sè s£n ph©m cõa nh  m¡y thù hai. T¿ l» s£n ph©m tèt cõa nh  m§y thù nh§t l 0;8v  nh 
m§y thù hai l 0;7. L§y ng¨u nhi¶n ra mët s£n ph©m. T½nh x¡c su§t º s£n ph©m l§y ra l  tèt.
B i 101.Câ hai hëp chùa bi, hëp thù nh§t chùa2bi tr­ng v 8bi en, hëp thù hai chùa9bi tr­ng v 
1bi en. L§y ng¨u nhi¶n hai vi¶n bi tø hëp thù nh§t bä sang hëp thù hai, sau â l§y ng¨u nhi¶n ba
vi¶n bi tø hëp thù hai. T½nh x¡c su§t º trong ba vi¶n bi l§y ra tø hëp thù hai câ2vi¶n bi tr­ng.
BË — ÆN TŠP HK2 TON 12