Cálculo Diferencial e Integral, Tomo 1 (N. Piskunov)

N. PISKUNO
calcul
difere
e inte

tom

H.C, IMCKYHOB

AMODEPEHLMAJIBHOE U UHTETPAIBHOR
UCINCIEBVA

al

HSNATE JIBCTBO 4HAVKA» MOCKBA

N. PISKUNOV

CALCULO
DIFERENCIAL
E INTEGRAL

3° edición

TOMO

EDITORIAL MIR ㆍ MOSCU

Traducido del ruso por el ingeniero
K. MEDKOV

(va ücnancrou asuxe)

Impreso on la URSS

© Traducción al español. Editorial Mir. 1977

INDICE

PREFACIO

CAPITULO 1. NUMERO. VARIABLE. FUNCION

$ 1. Números reales. Representación de números reales por
medio de puntos en el eje numérico.
$ 2. Valor absoluto dol número real ||

$ 7. Formas do oxpresión de funcions
§ 8. Nunciones elementales fundamentale. Funciones de
mentales E

$ 9. Funciones algebraicas

$ 10. Sistema de coordenadas polares

Ejercicios para el capítulo I

CAPITULO II. LIMITE. CONTINUIDAD DE LA
FUNCION,

e ‘Venable ana
mente grande . >
$2. Limite de la función ・ u
§ 3. Función que tiende al infinito. Funciones acotadas
Y & Infintusimaie y sun principles propledede -

$ 5 Teoremas fondasentalos sobr limits

$ 6. Limite do la función 39

$ 7. Número e
$ 8. Logaritmos naturales

=, cuando == 0

ii

Indice

$ 9. Continuidad de las funciones s
$ 10. Algunes propiedades de las funciones continuas ・
$ 11. Comparación de las magnitudes infinitesimales
Ejercieios para el capitulo 11

CAPITULO III, DERIVADA Y DIPERENCIAL

4, Velocidad del movimiento.

2. Definicién do la derivada . a
3. Intorprotación geométrica do la derivada =|
4

5.

Derivación de las funciones
Dorivadas do las funciones elementales. Derivada de
la función y = 2", siendo n entero y positivo
$ 6. Dorivadas do las fanciones y
$ 7. Dorivadas do una magnitud constante, del producto do
una magnitud constante por una función, de una suma,
producto y cociente . Sa
48. Derivada do la funcién logarítmica 00 . -
$9. Derivada do la función compuesta =| ・・
$ 10. Derivadas de las funciones y= tg 2, y= colgs,
y= 띠지 eo à
$ 11. Función implícita y su derivación 00 :
$ 12. Derivadas de la función potencial con exponents
do la función exponencial y de la fun-
Hal compuesta -
$ 43. Función inversa y su derivación 00
$ 14. Funciones trigonométricas inversas y su derivación
8,85, able de las fórmulas fundamentale para la de-
rivación E 2
$18. Representación paramétrica de función . > ・
$ 17. Ecuaciones paramétricas do algunas curvas . 00
$ 1: Derivada de la unión duda eramdrcamene
3 19. Funciones hiporbólicas 3
$ 20. Diferenciat 000
3 21. Siguilicado geométrico de la diterenc
4 22. Derivadas do diversos órdenos
$ 23. Diforeneialen de diversos órdenes
$ 24. Derivadas de diversos órdenes de funciones impli-
citas y do funciones ropresentadas paramétricamento 0
425. Interpretación mecánica de la segunda derivada
4 28. Ecuaciones de la linea tangento y de la normal. Lon-
gitudes de la linea subtangente y de la subnormal
4 27. lnterpretaciôn geométrica do la derivada del radio
vector respecto al ángulo polar > E
Ejercicios para el copivulo 11)

BER

m
114
118
19
122

123
126

un

130

Indice

iii

CAPITULO IV. TEOREMAS SOBRE LAS FUNCIONES
DERIVABLES

$ 4. Toorema sobre las raíces de la derivada (Teorema
de Rolle).

$2. Teorema sobre los incrementos finitos (Teorema de
Lagrange).

$3. Teorema sobre la razón de los incrementos de dos
funciones (Teorema de Cauchy) ・

$ 4. Limite de la razón de dos iniciales “00010 de

límites indeterminados del tipo <p»)

$ 5. Limito do la rarón de dos mognitudes infinitamente
grandes («Cálculo de limites indoterminadas de la forma
$ 6. Fórmula de Taylor we
$ 7. Desarrollo de las funciones «*, sen x y cos x por la
fórmula de Taylor

Ejercicios para el capítulo IV

CAPITULO V. ANALISIS DE LA VARIACIÓN
DE LAS FUNCIONES

Generalidades &
Crocimiento y decrecimiento de una función
|. Máximo y mínimo de las funciones

Anúlisis del máximo y mínimo de une función deri-
vable mediante la primera deriva

$ 5. Anélisis del máximo y mínimo de una función me
diante la segunda derivada

$ 6. Valores máximo y mínimo de una función en un
segmento E

$ 7. Aplicación de la teoria de máximos y minimes de las
funciones a la solución de problemas . .

$ 8. Análisis do los valores miximo y minimo de una
función mediante la fórmula de Taylor.

$ 9. Convexidad y concavidad do la curva. Puntos de
fnflexiin . «

$ 10. Asintotas ： e
$ 11. Esquema general del análisis de funciones y de la
construcción de gráficas

$ 12. Análisis de las curvos da
Ejercicios para el capítulo V

en forma’ paramétrica

1
1

16

16

1

155

159

182
18
185

188
194

199

iv

Indice

CAPITULO VI. CURVATURA DE UNA CURVA

$ 1. Longitud del arco y su derivada 《
$2, Curvatora 0. a :
Y 3. Cálculo de la curvatura

$ 4. Cálculo do la curvatura de una curva dada en forma
paramétrien .

$ 5. Cileulo de la curvatura de una curva da
donadas palare . |
4.6. Radio y círculo de curvatura. Centro de curvatura.
Evoluta y ovolvente + à

$7. Propiedades de la ovoluta. |

$ 8, Cálculo aproximado do las raíces reales
ecuación. - E
Ejerctelos para el capitulo VI

CAPITULO VII. NUMBROS COMPLEJOS. POLINOMIOS

$ 1. Números complejos. Generalidades —.
$ 2. Operaciones fundamentales con números complejos
$3. Elevación a potencia y extracción de la raíz del né
mero compllo 。・

$ 4. Fanción exponencial ‘con exponente complejo y sus
propiedades

$5. Fórmula
complejo.
$ 6. Desarrollo del “polinomio en factores
$7. Raíces múltiplos del polínomi
$ 8. Factorización de un polinomio con raíces complejas
4 9, Interpleión, Formal del nterlació de Lagrange
$ 10. Fórmula do la interpolación de Newton

$ 11. Derivación numérica

$ 12. Optima aproximeción de las funciones por medio de
polinomios, Teoría de Chébishov .

Ejercicios para el capitulo VII

lo Euler. Forma exponencial del número

CAPITULO VIII, FUNCIONES DE VARIAS
VARIABLES

$ 1. Definiciôn de las funciones de varias variables.
#2, Reprenctación geomdricn de une función de dos
variables + . +

24
216
218

zu

2

3

3 00000 $

zu

Indice

$ 3. Incremento parcial y total de la función —.

$ 4. Continuidad do la función do varias variables

$ 5. Dorivadas parciales de la función de varias variables
$ G. Interpretación geométrica do las derivadas parcialos
de una función do dos variables =...

$ 7. Incremento total y diferencial total

$ 8. Aplicación de la diferencial total para cálculos
aproximados.

39. Utilización do la diferencial para ovaluar ol error
de cáleulo .

4 10. Derivada de una función compuesta. Derivada total
$ dt. Derivada de ue función detiside, implicitamonto
$ 42. Derivadas parciales de diferentes Órdenes

$ 13. Suporficies do nivel . as à
을 14. Derivada. siguiendo una dirección

5 diente

$ 16, Fórmula de Taylor para una función do dos variables
$ 17. Máximo y mínimo de una función do varias variables
$ 48. Máximo y mínimo do la función do varias variables
relacionadas mediante ecuaciones dadas (máximos y mi
mas condicionados). —. a
$ 19. Obtención de una función a baso do datos experimei
‘tales según el método de cuadrados minimos =. -
$ 20, Puntos singulares de una eurva +
Efercietos para el capitulo VIII

CAPITULO IX. APLICACIONES DEL CALCULO
DIFERENCIAL A LA GEOMETRIA DEL ESPACIO

$ 4. Ecuaciones de la curva en ol espacio .

$2, Limite y derivada do una función vectorial do un
argumento escalar. Ecuación do la tangente n una curva,
Ecuación del plano normal

5.3, Reglas de derivación do lo vectores (funciones
Vecioriales) 00 - A

Curvatura de la curva. Normal
principal. Velocidad y aceleración del punto durante el
‘movimiento curvilinoo dk, m

$ 5. Plano osculador. Binormsl. Torsión | .

56. Plano tangente y normal a una suporticio .
Ejercicios para el capítulo 1X

EEE}

euseusann E 88

18

33

8

ES]

30

$88

vi

Indice

CAPITULO X. INTEGRAL INDEFINIDA

$ 1. Función primitiva o integral indefinida. 。。 972
$2, Table de integrales . a
$3. Algunas propiedades de la integral indefinida . 377
$ 4. Integración por cambio do variable o por sustitución 379
$5. Integrales do ciertas funciones quo «contienen un

trinomio cuadrado . > だ . st
$ 6. Integración por partes , ㅜㅠ ~
$7, Fracciones racionales. Fracciones racionales ele-

mentales y su integración 388
$ 3. Descomposición de la fracción racional en fracciones

simplos . . m
$ 0. Integración de las fracciones racionales . | 307
$ 10. Método de Ostrogradski . a 400
$ 41. Integrales de las funciones irracionales =: 408

$ 12. Integrales del tipo SA (a VAT dé . 405

$ 13. Integración de los binomios diferenciales . 408
$ 14. Integración de ciertas clases de funciones ties

nométricas . ai
5 15. Integración do ciertas funciones irracionales con
ayuda de sustituciones trigonométricas. 0 416
$ 16. Funciones cuyas integrales no pueden expresarse
mediante los funciones elementales ㆍ ㆍ . 48

Ejercicios para el capitulo X

CAPITULO XI. INTEGRAL DEFINIDA

54, Plantes del problema. Sumas integrales inferior

y pea 이이 ， . 4
$2. Integral defi 430
$3. Propiedades fundamentalos de la integral definida 437
$4 Cálculo de la integral denia. mule de New.

ton-Leibniz . ss
$ 5. Sustitución de variable en una ie al definida AS
$ 6. Intograciön por partes 447
$7. Intograles impropias . 480
$ 8. Cáleulo aproximado de las integrales dolinidas . 458

59. Fórmula de Chébishov .
$ 10. Integrales dependientes de un parámetro.
$ 41, Integración de una función compleja de ur
10 real. a

Ejercitos para el capitulo XI

Indice

wi

CAPITULO XII. APLICACIONES GEOMETRICAS
Y MECANICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA

$ 1. Cileulos de áreas en coordenadas rectangulares ,
§ 2. Area do un sector curvilineo en coordenadas polares
§ 3. Longitud do un arco de curva. .

$ 4. Cálculo del volumen de un cuerpo en función de las
áreas de secciones paralelas +. + ，
$ 5. Volumen de un cuerpo de

$6. Area de un

$ 7. Cálculo del trabajo con ayuda de la integral definida
$ 8. Coordenadas del centro de gravedad . ・

$9, Cálculo del momento de inercia de una línea, de un
círculo y de uncilindro medianto la integral definida —.
Ejercicios para el capitulo X11. ~
Indice alfabético de materias

Indice

きき

388 ㅣ ,

PREFACIO

La presente obra es la primera versión al idioma español y lo
sirvo do baso la séptima edición on ruso,

En esta versión el autor introdujo. una serio de suplementos
y modificaciones que contribuyen a la mojor asimilación del curso.

‘Todo el curso está dividido en dos tomos: el primero incluye los
capítulos I-XII; el segundo, XILI-XIX.

Los dos primeros capítulos del tomo I, «Número, Variable,
Función» y «Limite, Continuidad de la funciöhs, están escritos on la
forma más breve posible. Algunos problemas que habitualmente
se analizan en relación con estas nociones, en el curso dado, si
perjudicar su comprensión, se oxaminan en capítulos posteriores.
Esto da la oportunidad de pasar, cuanto antes posible, al estudio
de la noción principal de cálculo diferencial, la derivada, lo que
requieren otras asignaturas de la enseñanza superior (la experiencia
pedagógica del autor dicta esta distribución del material).

Con el fin de facilitar a los estudiantes la obtención de los cono-
cimientos matomáticos necesarios para el estudio de las disciplinas
relacionadas con las máquinas calculadoras y sistemas automáticos
(que so estudian actualmente en los centros de enseñanza técnica
superior), en el segundo tomo están detalladamente expuestos
Jos siguientes temas: «Integración numérica de las ecuaciones dife-
renciales y de los sistemas de ecuaciones diferenciales», «Integración
de os sistemas de ecuaciones diferenciales lineales», «Noción de la
teoría de la estabilidad de Liapunov», «Operador de Hamilton»,
«Integral de Fourier», et

En particular, se ha aumentado el número de problemas que
se dan junto con sus soluciones; también se introdujeron varios
problemas de elevada dificultad cuya solución requiere el conoci-
miento más profundo sobre la materia. Los problemos y ejemplos,
‘como también sus soluciones, están elegidos para cada tema do tal
forma que contribuyan a la mejor comprensión del curso, circuns-
tancia que además hace el libro más cómodo para aquellas per-
sonas que quieren estudiar las matemáticas individualmente y, en
particular, para los estudiantes por correspondenc i

En conclusión, expreso mi profunda gratitud a la Editori
Mir por la traducción y publicación de esta mi obra.

N. PISKUNOV

CAPITULO 2

NUMERO. VARIABLE. FUNCION

$ 1. NUMEROS REALES. REPRESENTACIÓN
DE NUMEROS REALES POR MEDIO DE PUNTOS
EN EL EJE NUMERICO

Uno de los conceptos fundamentales de las matemáticas es ol
número. El concepto de número surgió en la antigüedad, ampliän-

dose y generalizändose con el tiempo.
Los números enteros y fraccionarios, tanto positivos como nega-
tivos, así como el número cero, so llaman números ractonales. El

número racional puedo expresarse como la razón 응 de dos números

enteros p y q. Por ejemplos
5 5
D 1425 ニテ

En particular, el númoro entero p se puede considerar como la
razón de dos némeros enteros 그 , por ejemplo:

8, 0
6=ti 0.

Los números racionales pueden ropresontarse por fracciones
periódicas finitas o por indefinidas. Los números en forma de frac-
ciones decimales indefinidas no periódicas, se denominan números
irracionales; por ejemplo, V2, 3, 5—V2, eto.

La reunión de los múmeros racionales e irracionales se denomina
conjunto de números reales. Estos se ordenan según su magnitud,
es decir, que para cualquier par de números reales z e y existe una
correlación, y sólo una, do las siguientes:

2<Y zeu テー

Los números reales se pueden expresar por medio de puntos en
el eje numérico, Se Hama eje numérico a una recta infinita en la cual
están determi

8 Namero. Vortable. Función

— un punto O que so denomina origen;

— una dirección positiya que se indica con una flecht

— una escala para medir longitudes.

En goneral dispondremos ol eje numérico en posición horizontal,
considerando positiva la dirección hagia la derecha del punto ひ
(Origen).

Si ol número zl es positivo, so representa por el punto M. Este
se situará a la dorecha del punto O a una distancia. OM, = 21; si al
húmero z。 es negativo, estará ropresontado por el punto M. Este
estará situado a la izquierda del punto O, a una distancia OM, =—za
(ig. 1). El punto O representa ol número cero, Es evidente quo cada

M8
T2

Fig. do

número real está representado por un punto en el ejo numérico. Dos
números reales diferentes están representados en el eje por dos puntos
distintos, Es decir, cada punto del eje numérico representa un solo
número real, ya sea racional o irracional,

Así pues, entre todos los números reales y puntos del eje numérico
existo una correspondencia biunfvoca; a cada número le corresponde
un solo punto que lo represonta en el eje numérico, y recíprocamente,
a cada punto corresponde un sólo número. Entonces, «número 23
y «punto の son sinónimos y así los utilizaremos en este manual.

Acoptemos, sin demostración, esta importante propiedad del
conjunto de números reales: entre dos números reales arbitrarios siem-
pre se pueden hallar números, tanto racionales como irracionales. En
Jonguaje geométrico esta propiedad se enunciará así: entre dos puntos
arbitrarios del eje numérico siempre podrán situarse puntos, tanto
racionales como irracionales,

Como conclusión, enunciaremos el siguiente teorema que nos
servirá, on algún sentido, de «puente entre la teoría y la prácticas:

Teorema, Todo número irracional « se puede ezpresar con cual»
quier grado de precisión por medio de números racionales.
En efecto, siondo el número irracional a >0, calenlemos a con

un error no mayor de + { por ejemplo, de 而 ,高， es).

Cualquiera que sea el número a, está comprendido entro dos
números enteros consecutivos N y N + 1. Dividamos el segmento
comprendido entre N y N +4 en n partes, entonces el número a

resultará comprendido entre los números racionales N + = y

Valor absoluto del número real 9

N + TH, Dado que la diferencia entro estos números es +, cada
uno do ellos expresa a con un grado de precisión predeterminado:

el primero por defecto, y el segundo por exceso,
eme: El número imacional Y Zo oxpresa por modi de números rcio
ps

daa de

4
1,41, y 1,42:con error no mayor de zig

4,414 y 1,415: con un error no mayor di

$ 2. VALOR ABSOLUTO DEL NUMERO REAL

Introduzcamos ol concepto de valor absoluto del número real.
Esto concepto es imprescindible para continuar adelante.
Definición. Un número real no negativo, que satisface las condi-

ciones:
Izl=2, si z>0;

ににまたさり
MA de ua ate real z (su notación
1z D.

Ejemplos: |2]=2: [-51=5: 101-0. ㆍ
De la dofinielön se deduce que para cualquier número z se verifica
la correlación z< | z |.
Examinemos algunas propiedades de los valores absolutos.
1. El valor absoluto de la suma algebraica de varios niimeros reales
no es mayor que la suma de los valores absolutos de los sumandos:

la+yl<izl+iyl
Demostración. Sea z + y > 0. Entonces:
lz+yl==+y<Iz1+Ilyl (ya que x<lzley< ly).
Supongamos ahora que z + y << 0. Entonces:
la+yl=-(4+9=(9+(9<I=1+ 1h

como se trataba de demostrar.
Esta domostración se puedo generalizar fácilmente para cual-
quier número de sumandos.

Ejemplos:

2 十 31<| 一 21 十 31 一 2 二 35 6 1<5;
ー51=!ー3+|ー5 り =9 十 5=8 u 828.

10 Nümero, Variable, Función

2. El valor absoluto de la diferencia de dos múmeros no es menor’
que la diferencia de los valores absolutos del minuendo y sustraer:do:

lz=-yl>lz=1—lyk

Demostración. Supongamos que z 2. Entonces z = y +2,
y según lo domostrado anteriormente, so tien

lal=ly+zl<lyl+l2l=lyl+l2—yl
do donde:

lzl—lyl<iz—yl
como se trataba de demostrar.

3, El valor absoluto del producto es igual al producto de los valores
absolutos de los factores -

Lay l=1=1 Uy 1121

4. El valor absolute del cociente ex igual al cociente de dividir el
valor absoluto del dividendo por el del divisor:

¿| del
vl" iv

Las dos últimas propiedades provienon directamente de la defi-
nición de valor absoluto,

$ 3. MAGNITUDES VARIABLES Y CONSTANTES

Al medic magnitudes físicas: tiempo, longitud, área, volumen,
masa, velocidad, presión, temperatura, etc., se obtienen sus valores
numéricos. Las matemáticas tratan del estudio de las magnitudes,
haciendo abstracción de su contenido concreto. Es por ello que, al
hablar de magnitudes, tondremos en cuenta, en lo sucesivo, ‘sus
valores numéricos. Hay fonómenos en que algunas magnitudes van
cambiando, es decir, alteran su valor numérico y otras lo mantienen
constante. Por ejemplo, en el movimiento uniforme de un punto
varían el tiempo y la distancia, mientras quo la velocidad permanece
constante.

Mognitud variable, o simplemente variable, es la que puede
adquirir - distintos valores muméricos. La magnitud, cuyo valor
numérico no so altera, se denomina constante. En adelante, las
variables so designarán con las letras, 2, y, 2, u... ., lo., y las
magnitudes constantes con las letras a, b, ¢.»., etc.

Observación. En matomáticas, la constante se considera con fre-
cuencia como un caso particular de una magnitud variable cuyos
valores numéricos son todos iguales,

Campo de_vartecién de la magnitud variable 브

Conviene tener en cuenta que, en condiciones físicas concretas,
una misma magnitud puede ser constante en un fenómeno y variable
en otro. Por ejemplo, la velocidad en el movimiento uniforme es una
magnitud constante y en el movimiento uniformemente acelerado,
una magnitud variable,

Las magnitudes cuyo valor numérico permanece invariable en
cualquier fenómeno se denominan constantes absolutas, Por ejomplo,
la razón de la longitud de la circunferencia y su diámetro es una
magnitud constante, llamada x = 3,14159,

Más adelante veremos que el concepto de variable es fundamental
en el cálculo diferencial o integral. Federico Engels escribo en «Dia-
léctica de la naturaleza»: «El punto de virajo de las matemáticas
fue la magnitud variable de Descartes. Esto introdujo on las matemá-
ticas el movimiento y, con él, la dialéctica y también, por tanto,
y necesariamente, el cálculo diferencial e integral».

$ 4. CAMPO DE VARIACION DE LA MAGNITUD VARIABLE

Una magnitud variable puedo tomar diversos valores numéricos,
Según el problema que se considero, ol conjunto de estos valores
puede ser también diferente. Por ojomplo, la temperatura del agua,
al calentarla en condiciones normales, variará desde 15-18" C

Fig. 2.

el punto de ebullición; es decir, hasta 100° C, La variable = cos a
puedo tomar todos los valores comprendidos ontre—1 y-+4.

Los valores de una magnitud variable so representan goométrica-
mente por medio de puntos en el eje numérico. Por ejemplo, los
valores de la variable > = cos a son represehtados por un conjunto
de puntos del segmento en el oje numérico, desde —1 hasta +1,
incluyendo estos puntos, para todos los valores de a (fig. 2).

Definición. El conjunto de todos los valores numéricos do la
magnitud variable se denomina campo de variación de la variable.

jeterminemos los siguientes campos de variación de la variable
que con frecuencia: aparecerán más adelante.

2 Numero, Variable. Función

Recibo el nombro de intervalo el conjunto de todos los valores
numéricos de = comprendidos entre dos números dados a y b (a <b),
a excepción de los extremos, es decir, a y b no entran en el conjunto
analizado de números, La notación del intervalo es: (a, 2) 0, mediun-
to las desigualdades, a < z < b.

El conjunto de todos los valores numéricos de z comprendidos
entre los números dados a y b, incluidos estos, es decir, a y 5 que
entran en el conjunto analizado se llama segmento. La notación del
segmento es: la, bl, o, mediante las desigualdades, a < z < b.
À Yecee el segmento recibe el nombre de intervalo cerrado.

En el caso do que uno do los números, a o & (a, por ejemplo),
so una al intervalo, y el otro no, se obtiene un intervalo semicerrado,
que puedo ser expresado por las desigualdades a < z < b y cuya
notación esla, 5). Si se une al intervalo el número b, excluyéndose a,
se obtiene el intervalo somicerrado (a, 6], que puede expresarse
por medio de las desigualdades

a<z<b.

Si la variable z adquiere todos los valores posibles, mayores que
a, el intorvalo so representa por (a, +00) y se determina por las
dbsigualdades convencionales

a<z< +o.

De esta misma manera so determinan los intervalos infinitos
y los infinitos semicerrados, que son dados por las desigualdades
convencionales:

aSi< +0 一 o でローo <td eo <r< +0.

Ejemplo: El campo de variación do la variable x = &os a, para cualesquiera
valores de cr es un segmento (—1, 1] que so determina por Ins desigualdades
A

Las definiciones arriba citadas pueden formularso también uti-
lizando el concepto apunto» en lugar del concepto «número». Por
ejemplo:

El conjunto do todos los puntos z comprendidos entre los puntos
dados a y b (extremos del segmento), cuando estos pertenecen al
conjunto considerado, se llama segmento.

sete
O

Fig. 3.

El intervalo arbitrario (a, 6) que contiene un punto dado zo,
es decir, el intervalo (a, b) cuyos extremos satisfacen la condición
a <% <b, se denomina vecindad de este punto. Con frecuencia

Vartable ordenada. Vartables crecientes y decrectentes, Variable acotede 13

ocurre que el intervalo (a, 5) es considerado como vecindad (a, 6)
del punto ze en que 2» es el centro. En este caso, el punto 20 recibe

el nombre de centro de la vecindad; la magnitud とーー so denomina

radio de la vecindad. La fig. 3 represonta la vecindad (20 — e, = + ©)
del punto zo, cuyo radio es 6.

$ 5. VARIABLE ORDENADA,
VARIABLES CRECIENTES Y DECRECIENTES.
VARIABLE ACOTADA

Por convención, una variable x es ordenada, si so conoce su campo
de variación y se puede precisar para cada par do sus valores, cuál
de ellos es anterior y cuál posterior. Aquí, los conceptos «anterior»
y «postoriors no so hallan relacionados con el tiempo, sirviendo sólo
como el método de ordenación de los valores de la variable, es decir,
el establecimiento de un cierto orden para los valores correspon:
dientes do esta variable,

La sucesión numérica 2, 2, zy... Za - - +, puede conside-
rarse como caso particular de una variable ordenada, donde, siendo
세 < 天 el valor zy es anterior y el valor x, posterior, sin dar impor-
tancia cuál de estos dos valores sea mayor. 2

Definición 1. La variable se denomina creciente, si cada su valor
posterior es mayor que ol anterior. Por el contrario, si cada valor
posterior es menor que él anterior, la variable se denomina decre-
ciente,

Las variables crecientes y decrecientes reciben el nombro de
monétonas.

Ejemplo: Al duplicar el número do lados de un polígono regular inscrito
ea un Scio, sl ro! do este pligono e una variable crono: Si duplica
el mao do lados de un poligono" regalar eitunserlo imdeior da un ciety
fru iron es una vatiablo decreciente. Obebrveso que no toda variable ha de sot
forzosamente reclente o dosreclente, Por ejemplo, la variable =~ sen a
no es monótona, slendo © una magnitud crecionto aa el sogmen
crete, al principio, do 0 a 1 y disminuye después 0071 a, —
recorde nuove de 一 a 0. x

Definición 2. La variable z se denomina magnitud acotada, si
existe un número constanto M > 0 tal que, a partir de cierto valor,
todos los posteriores satisfagan la condición.

—M<z< M, es decir, [2] < M.

Es decir, una variable se Nama acotada, si so puede indicar un-

mento (A, Af} tal que, a partir de cierto valor de la misma,
todos sus valores posteriores pertenezcan al segmento indicado.
Sin embargo, no hay que pensar que la variable tomo necesariamente
todos los valores del segmento (—M, MI. Por ojomplo, una variable

(0,20). Esta
+ Para luego

4 Namero, Variable. Función

que toma diferentes valores racionales en el segmento [—2, 21,
es acotada. Sin embargo, ésta no toma en este segmento valores
irracionales,

$ 6. FUNCION

Al estudiar diversos fenómenos de la naturaleza y resolver pro-
blemas técnicos, y, por consiguiente, matemáticos, surge la necesidad
de examinar la variación de una magnitud en dependencia de la
variación de otra. Por ojemplo, al estudiar el movimiento, el espacio
recorrido so considera como una variable que cambia en dependencia
de la variación del tiempo. Do este modo el espacio recorrido es
funcién'-del tiempo.

“Veamos otro ejemplo. Es sabido que el área de un círculo se
expresa po RY, Si el radio R toma diversos valores numéri-
cos, el área Q tomará también valores diferentes, Como vemos, la
variación de una magnitud causa la variación de la otra. En el
ejemplo citado, el área Q es función del radio A. Establezcamos el
concepto «función».

Definición 1. Si a cada valor de la variable z, pertencciente
a cierto campo, le corresponde un sólo valor determinado de otra
variable y, entonces ésta será función de x, y podemos escribir
simbólicamente:

ャー7⑨. リーャ (2), ote,

La variable z se denomina variable independiente 0 argumento,
La dopendencia que existe entre las variables z e y se llama fun-
cional. La letra «f» que entra en la notación simbólica de una depen-
dencia funcional y = f (2) significa que han de realizarse ciertas
‘operaciones con el valor z para obtener el de y. En lugar de y 一 4 (2),
u = q (2), etc., a veces so emplea y = y (2), u =u (2), etc., es
decir, las letras y, u, etc., representan tanto variable dependiente,
como símbolo del conjunto de operaciones que habrán de realizarso
con a.

La notación y = C, donde C es una constante, significa una
función, cuyo valor es constante e igual aC, cualesquiera que sean
los valores de =.

Definición 2. El conjunto de los valores de z para los cuales se

determinan los valores do la función y, en virtud de la ley f (2), se
Mama dominio de definición de la función.

Ejemplo 4. La función y 一 sen z está definida para todos los valores

do =. Por lo tanto, su dominio de definición será el Intervalo fnfinio:

ーの < テマ ee.

Observación 1. Si existe una dependencia. funcional entre dos

es e y = f (x) y si Éstas so consideran como variables orde-

Formas de expresión de funciones y 15

nadas, de los dos valores de la función y* = f (z*) e y** = / (29%).
correspondientes a dos valores del argumento 2* y 2**, será poste
rior el valor de la función que corresponda al valor posterior del
argumento. De aquí se deduco la siguiente definición.

Definición 3. La función y =f (2) se llama creciente, cuando
a un mayor valor del argumento z corresponde un mayor valor do la
función. De modo análogo se define la función decreciente.

Bjemplo 2, La función Q <= aN? es creciente cuendo 0 < A < + oo,
pa à tin Valor apart Ilo Sortspando un valor mayer 00:

Observación 2. A veces en la definición del concepto «función»
se admito que a cada valor de z, perteneciente a un determinado cam-
po, lo corresponde no un sólo valor de y, sino varios valores, e, inclu-
80 un número infinito de valores. En este caso la función se denomina
multiforme, a diferencia de la función definida anteriormento, y que
Neva el nombre de función uniforme. En lo sucesivo tendremos
en cuenta sólo las funciones uniformes. Si nos encontramos con
una función multiforme haremos una indicación especial.

$ 7. FORMAS DE EXPRESION DE FUNCIONES

I. Forma tabular

En este caso la anotación de los valores del argumento se efectúa
en cierto orden: z,, Za, .. . z,. De la misma manera se escriben los
valores correspondientes 00 la función Yı, Yes «+» Yo

De este tipo son las tablas de las funciones trigonométricas, las
do logaritmos,

Las tablas que soñalon la dependencia funcional que existe entre
magnitudes medidas pueden aparecer también, como resultado del
estudio experimental de fonómenos, Por ejemplo, en una estación
moteorológica, midiendo en un día determinado la temperatura
del aire, se obtieno la siguiente tabla:

8 Numero. Variable. Funetón

Valor de te temperature T (en grados) en unción del tiempo 1 on horas)
4 IDE 시 s Jo]r[o[*]
r o | | に =] 05] 1] o [as] 4 |

Esta tabla determina 7 como función de £

IL. Forma gráfica

Dado on el plano del sistema de coordenadas rectangulares o car-
tesianas un conjunto de los puntos M (z, y) tal que ningún par de
puntos se halla sobre una recta paralola al eje Oy, podemos decir

u tte)

Fig. 4.

que el conjunto mencionado determina una función uniforme
y =1(2). Las abscisas de los puntos constituyen los valores del
argumento y las ordenadas correspondientes, los de la función (fig. 4).

El conjunto de puntos del plano (z0y), cuyas abscisas representan
valores de la variable independiente y las ordenadas, los valores
correspondientes de la función, se llama gráfica de la función dada.

TIL. Forma analítica

. So entiendo por conjunto de opera-
ciones matemáticas no sólo las operaciones elementales (adición,
sustracción, extracción de raíz, otc.), sino también las que iremos
determinando a medida quo avancomos en el curso.

Ejemplos de expresión analítica son:
log —senz ,

ear デーリ 5 十 3z, eto.

Funeiones elementales fundamentales. Funstones elemental 1

Si la dependencia funcional y 一 f (x) es tal que f designa una
expresión analítica, se dice que la función y de z está expresada
analíticamente. Ejemplos de funciones expresadas analiticamente son:

Ducs D y= Hl gy ya VTT 9 veu a;
5) 0 = ne, etc.

Aquí, las funciones están expresadas analiticaimente por medio
de una fórmula (ee entiendo por fórmula la igualdad de dos expre-
siones analíticas). En estos casos podemos hablar
de dominio natural de definición de la función

El dominio natural de definición de una fun
ción expresada analíticamente se compone del
conjunto de valores de z para los cuales la ex-
prosión analítica, o segundo miembro de la igual.
dad, adquiero un valor determinado, Así, por
ejemplo, como dominio natural de delinición
de la función 0 28 —2 tendremos el inter-
valo infinito — < 2 < +00, ya que la función
está definida para todos los valores de z. La fun- 이
ción y = 24 está dofínida para todos los valo-
ros de z, monos para z =1, pues, este valor reduce
el donominador a coro. Para la función y = VI, el dominio
natural de dofinición está constituido porel segmento 一ご < <1, ete,

Observación. A veces surge la necesidad de examinar no todo
el dominio natural de definición de la función, sino parte de él.
Asi, la dependencia del área Q de un círculo de radio A so determina
por la función Q = aA?. Al considerar esta fórmula geométrica
aparece en calidad de domino de definición el intervalo infinito
이 < 자 < +00, mientras que el dominio natural de definición de la
funcién dada es el intervalo infinito 一 co < À < 4-00.

Si la función y = / (2) viene expresada analiticamente, puede
ropresontarso de manera gráfica on el pleno de coordenadas 20y.
Así, por ejemplo, la gräfica de la función y = 2* es la parábola repre:
sentada en la figura’ 5. 2

yy

Fig. 5.

$ 8, PUNCIONES ELEMENTALES FUNDAMENTAL
FUNCIONES ELEMENTALES
Las funciones elementales fundamentales expresadas analítica
mente son las siguientes:
Función potencial: y = 2, donde a.es un número real *

) Siendo a un número irracional, esta función se calcula, tomando loga=
ritmos y antilogaritmos: log y = a log 2, suponiendo => 0!

253

18 | Nämero. Variable. Función

UI. Función exponencial: y = a, en la que a es un número
positivo, diferente de la unidad.
111. Función logarítmica: y = log. z en la cual la base a es un
húmero positivo diferente do la unidad.
1V. Funciones trigonométricas:

y= sen 2, y = cos, y = tee,
LV cote 2, y= sec 2, y = oc.

V. Funciones trigonométricas inversas:
y = arcsen z, Y = 0100082, y = arctg z, E
y = arccotg z, y = arcsec z, y = arccosee x.

Examinemos los dominios de definición y las gráficas de las
funciones elementales fundamentales.

Función potencial. y = 2%

1. a es un número entero positivo. La función está defi
en el intervalo infinito 一 co < 2 < +09. En este caso, para ciertos

Y part
Y pa
hoe

x

Fig. 6 Fig. 7.

‘valores de « las gráficas de la función toman las formas que se expo-
en en las figuras 6 y 7.

2. @ es un número entero negativo. En este caso, la función está
definida para todos los valores de z, excepto para z = 0. Las gráficas
de Ja función para ciertos valores de a se exponen en las figuras 8 y 9.

En los figuras 10, 14, 12 tenemos las gráficas de la función poten-
cial cuyos valores de & son números racionales fraccionarios.

Función exponencial, y = 05. a > 0, a #1.
Esta función está definida para todos los valores de x, Su grá-
fica está represontada on las figuras 13 y 14.

Función logarítmica, y = logs 2, a >0, a#1.

Y
>
x
Fig. 10,
y
sg Ca
끼
ig. 13,

20 Número. Variable. Función

Esta función está definida para los valores de z > 0, Su gráfica
se muestra en la figura 15,

Funciones trigonométricas. En las fórmulas y = sen zu etc, la
variable independiente x se expresa en radianes. Todas las funciones
trigonométricas indicadas son poriódicas.

Y Su definición genoral es como sigue:
Definición 1. La función y =f (2)
시. Se denomina pertódica, si existe un nú-
mero constante C tel que, al sumarlo
(o restarlo) al argumento z, el valor de
x la fancién nosealtore, f («+ C) = f (a).
a る EL valor mínimo dé este número cons:
tante se donomina período de la fun-
ción; en lo sucesivo lo designaremos por
Kb 21, Según la dofinicién, la función y =
ig 15. sen z es periódica, cuyo período es
igual a Zu sen z — sen (2 + 2m). El
período de cos z es también igual a 2x. Del mismo modo, el período

de las funciones y = tg 2 0 y = cotg x es igual a x.

Las funciones y = son z o y = cos x están definidas para todos
los valores de z. Las funciones y = tg 7 © y = sec z están dotinidas

en todos los puntos, excepto 2 MA 22 5

las funciones y = cotg z o y = cosec z están definidas para todos
los valores de 2, excepto para z = kn (k = 0,

Las gráficas de las funciones trigonométricas se muestran en
las figuras 15-19. Más adolonte examinaremos detalladamente las
funciones trigonométricas inversas.

~

Funciones elementales fundamentales. Funciones elementales 24

Tntroduzcamos ahora el concepto de función de función. Si y es
una función de u y u depende, a su vez, de una variable z, entonces,
y también depende de z.

Fig. 18. Fig. 19.

Siy=F(u) y u = q (2), la función y de z será:
y=P (0.

Esta función se denomina función de función o función compuesta.

A eos ena te
nen

Observación. El dominio de definición de la función y = F [p (2)]
está constituido por todo el dominio de la función u = q (z), o bien
por la parte do éste en que se definen los valores de u que no salgan
fuera del dominio de la función F (u).

Ejemplo 2, El dine da fol = VEIT = VE à = à = 29
EL UE EN ans er la sca
Fe DR Ce a er ine seh Gus Sl ae
a ee en 내 gga e gt
A A not
a CT

La operación «función de función» puede efectuarse no sólo
una vez, sino cualquier número de veces. Por ejemplo, la función
y = In [sen (zz + 1)] so obtiene, efectuando las siguientes operacio-
nes (es decir, determinando las siguientes funciones):

vez4l,u
Definamos ahora el concepto de función elemental.

Definición 2. La función que puede sor dada por la fórmula de
la forma y =f (2), donde el segundo miembro de la igualdad está
compuesto de funelones elementales fundamentales y constantes,
mediante un número finito de operaciones de adición, sustracción,

seno, y= Inu,

로 Nümero. Variable. Punción

multiplicación, división y función de función, se llama función
elemental.

De está definición se deduce que las funciones expresadas analí-
ticamente son funciones elementales,

Ejemplos de las funciones elementales son:

py palentina,

Dip d oi noma:

Pepe a e mn a dema. date oe
O cde le,
A AS

Y

77
Fig. 20.
Observación. La función expuesta en la figura 20 es elemental
aunque viene expresada por dos fórmulas:
f(a) = 2,81 0<2<4 1()=2%-1,s11<2<2

Es posible demostrar que esta función puede expresarse con una
sola fórmula y = f(z), incluida entre las indicadas en la defini-
ción 2. (Véanse los ejemplos 139 al 144 de los ejercicios para el
capitnlo V).

4 9. FUNCIONES ALGEBRAICAS
Son funciones algebraicas las funciones elementales siguientes:
1. Función racional entera o polinomio

E os Ham

donde ap, ay, - . .. 4, Son números constantes que llamamos coefi-
cientes; 7 es un entero no negativo, llamado grado del polinomio.
Evidentemente, la función indicada está definida para todos los
valores de z, es decir, en un intervalo infinito.

Ejemples 1 as, es una función lineal St b= O. Le función
y= az expresa La dopendencia proporcional de y respecto a 7. SÍ
Y = 3, la función es constant

2) ym az + 62 + ees una función cuadrática.

Funciones algebraicas 2

cuadrática es una parábola (fig. 21).
lo studies detalladumente sul Suso de geo

Y aso Y 00 ㆍ
@ 0)
Fig. 21

11. Función racional fraceionaria. Esta función se expresa como
la razón de dos polinomios:

tar. an
BB e Om
Como ejemplo de una función racional fraccionaria puedo servir

y

网
Fig. 20

la función y = À, que expresa una dependencia inversamente pro-

porcional. Su gráfica se muestra en la figura 22. Es evidente que la
función racional fraccionaria está definida para todos los valores
de z, excepto para aquellos que reducen el denominador a cero.

TI, Función irracional. Si en el segundo miembro de la igualdad
y =J (2) se efectúan operaciones de adición, custracción, multi-
plicación, división y elevación a potencia, siendo los exponentes
números racionales, no enteros, la función de y en dependencia de
z se Hama irracional, Son irracionales las tr:icnes siguiente

E
res IV

2 Número, Variable, Función

Observación 1. No todas las funciones algobraicas están compren-
didas en tres tipos de funciones mencionadas. Se denomina función
algebraica cualquier función y = f (x) que satisfaga una ecuación
de la forma

なのがキリキー 구미 (a)
donde, Po (z), 26000, . P, (x) son ciertos polinomios de z.

Se puede demostrar que cada una de las funciones que perteneo
à los tres tipos mencionados satisface cierta ecuación do la forma (1);
pero no toda función que satisfaga esta ecuación pertenecerá a alguno
de los tres tipos denominados.

Observación 2. La función que no es algebraica se llama
transcendente. Son funciones transcendentes

y=cosz; y= 10%, eto,

$ 10. SISTEMA DE COORDENADAS POLARES

La posición de un punto en el plano se puede determinar por
medio del sistema de coordenadas polares.

Elijamos en el plano un punto O, que lamaremos polo y una
recta o eje polar, que tiene su origen en el punto O. La posición de

^

He

Fig. 28

un punto M en el plano se determina por dos números: p y g. El
primero indica la distancia del punto M al polo y el segundo, el
valor del ángulo formado por el segmento OM con el eje polar. Para
calcular el ángulo q se considera positiva la dirección contraria
al de las manecillas del reloj. Los números p y @ se denominan
eserdenadas polares del punto M (fig. 23).

El radio vector p so considera siempre no negativo, Si el ángulo
polar q varía en los límites O< y < 2x, a cada punto del plano,
A excepción del polo, le corresponde un par determinado de números
979, En el polo, 6 ~ 0 y 9 puede tenor cualquier valor

Determinomos la relación que existe entre las coordenadas pola-
Fes y las rectangulares o cartesianas. Supongamos que el origen de
coordenadas rectangulares coincide con el polo y la dirección positiva
del eje Oz, con el oje polar. Veamos ahora la relación que existe
entre los coordenadas cartesianas y las polares de un mismo punto.

Sistema de coordenodas polares 3

En Ia figura 24 se ve:
2 = pcos p, y = p sen ge inversamente p VITA med.

Observación, Determinando p hay que tenor en cuenta el cuadran-
te en que se halla el punto y tomar el valor correspondiente de q.

En el sistema de coordenadas polares la ecuación p = F (9)
determina una línea.

Ejemplo 1. En coordenadas polares la ecuación p = a, dondo a = const,
eterna? una’ circunterencia de radio 2 y centro en el polo. La concis

j を Y

eps

Pr

Fig. 24 Pig. 25

do la misma circunerencia (fig, 25) en ol sistoma de coordenadas rectangulares,
trazado on la forma expuesta en la figura 24, seró:

Ve 6 キー
Ejemplo 2.

pag, donde const.

Veamos la tabla de valores de p para algunos valores de y:

elo] 3] 3 和 | [l= | >

bn

3,14a| 9,4241

(2560

Fig. 26

2 Número. Variable. Función

La curva correspondiente se muestra en la figura 26 y se Home espiral
de Arquímedes. | 7

Ejemplo 3.
p=2a cos pa
Esta es la ecuación de una circunferencia de radio a y centro en el punto
po—a y 9=0, (fig. 27). Escribamos la ccuación de esta circunferencia en
coordenadas rectangulares, Poniendo en esta ecuación p=Y5Fy%, cos pus

mE » obtendremos: VET im 20 E 0 808, 234 y? deze.
Vere A
Efercicios para el capítulo 1
Dada la función 4 (2) = 234 Ge 4. Comprobar que 7 (0 = 3,
10) 238° meien f (2) sf probar que f (1)

à e, che ie
Uist trent O
Lona: e LB, Rep ol, Re
BIP. Rep al 2a? + 4. g) f (20). か Ae +1.

dE Bebe ke 00100 y (2) y zip. Au
re aa bar ae

“ 37% ' 90) 1-7"

Ayo) VERF 4. Eseribanse las expresiones (2x) y P(0) Respuesta:
yar=2 Y TEL y (0)=2. 210)

Fie Sa

8. o0e)=log {EE Comprobar la igualdad 9(2)+90)=9 (e J
7. £ (2) = log 2: q (2) >. Escribir las expresiones: a) fl Res

Ges Es) ae ai serine) LO i
i: pls Bi Reine eel Guo Best
rapist oda at

ao
9 Vi Respuesta: —1<2<44. b) VERIFY TA. Respuesta
302561. 9 VrrioY EH. Respuestas << to a LS.
pac a ee de
epee e ge Rapin: “ASE

en ieee

pues

10. vante Me pere id pai, 1 pot
ñ

1

4 y mL. 15. yarson2e, 16. y cose, 17. りーポーな二 6. 18. リー

dl og Lac eco:

00 ye (24). 0. ye (2
A AS

2. y 26. ym

Ejercieios para el capítulo Y a

mal pa yeh BL, pu, 32 y

Ls yal
9 기미 85. potegelel. 98. pmlog(t—s). 87. pas (nr).
de yonbeon(24-3) .
39. La función f(z) está dofinida en el segmento (—1; 1] del modo siguiente:
Majette pare —1<2<
(2 一 1 一 2z pars 0 てテマ 1
40. La función 7 (2) está definida en el segmento [0; 2] del modo siguiente:
Fast pura 0 る = で
1 加 = pama 1<zS2，
das por ccncions polares:

Construir las eu

4 (espiral hiperhdtica), 42, p=a® (espiral logarítmica). 43. p
=4 Go (lemniscata). 44. p=a (1—cos 9) (cardioido). 45. p=e sen 3p.

CAPITULO I

LIMITE. CONTINUIDAD DE LA FUNCION

6 1. LIMITE DE LA MAGNITUD VARIABLE,
VARIABLE INFINITAMENTE GRANDE

En esto párrafo trataremos de las magnitudes ordenadas quo
varían de un modo especial, determinado por la expresión «la varia-
ble tiende a un límite». A continvación el concepto de límite de la
varlablo desompeñará un papel fundamental ya que con él estén
relacionados los conceptos fundamentales del análisis matemáticos
derivada, integral, etc.

Definición 1. El número constonte a se denomina límite de la
variable x, si para cualquier número infinitesimal positivo e pre-
fijado, se puede indicar tal valor de la variable z, a partir del cual
todos los valores posteriores de la misma satisfacen la desigualdad

Iz—al<e

Si el número a es el limite de la variable z, se dice que z tiendo

al limite a; su notación es:

z>ablma=4,

En términos geométricos la definición de limite puede enunciarso
asi: el número constante a es el límite de la variable z, si para cual
quiera vecindad infinitesimal profijada de radio e y centro en el
punto a, existe un valor de x tal que todos los puntos correspondien~
des a los valores posteriores de la variable se encuentren dentro
de la misma vecindad (fig. 28), Examinemos algunos ejemplos
de variables que tiendon al limite,

Ejemplo 1. La variable + toma sucesivamente los valores zx 一 1 十各

AA gim
Comprobemos que esta variable tien por lmite la unid
Tenemos:

Inte] (144) 4-4.

Límite de la magnitud variable. Varlable infinitamente grande 29

Para cualquier e todos los valores posteriores de la variable, a partir de my
donde 4<e 6 n>, satisfacen la dosigualdad [zw 一人 <e que ee lo que
20 trataba de demostrar.

‘Observemos que, 00 este caso, la variablo tiendo al límite decreciendo
al mismo tiempo,

Ejemplo 2. La variable = toma sucesivamente los valores

1 £
ami a mios

le mettons 이

El límite de esta variable es la unidad. En efecto,
beetle] (Hm)

ES ile na steelh Rui:
warmer

4

4 à log
A ng.

todos 108 valores posteriores de = satisfarn la correlación
に IE3

En ol caso considerado, la variable tiendo al limite soscilando alrededor
de él, os decir, tomando valores unas voces mayores y otras, menores que éste.

TE

Fig. 28

Observación 4. En el capítulo 1, $ 3, se ha indicado que la
magnitud constante ¢ se considera frecuentemente como una Variable
cuyos valores son siempre iguales: z = c.

Es evidente que ol límite de la constante será igual a la mism
constante, dado que siempre se cumplo la desigualdad | x — e|

le —¿|=0< e, indopendientemonte del valor quo tenga e.

Observación 2. De la definición de limite so deduce que una
magnitud variable no puede tenor dos Jimites. En efecto, si im z
= a y lim z= 6 (a < 0), entonces z debe satisfacer las dos desi-
gualdades simultáneamente: [z —|a<ey|z—6|<e siendo e

arbitrariamente pequeño, pero esto es imposible, si e < 23% (fig. 29).

30 Lime. Continuidad de la función

Observación 3. No toda variable tiene límite. Supongamos que
la variable toma gucesivamento los siguientes valores:

4; Le sagen al de
amt: 기여한 오이 aegis dete
4
a

(fig, 30). Siendo k lo_suficientemento grande, el valor zu, y todos
Jos valores posteriores, de subíndices pares, se diferenciarán de la
unidad en una cantidad tan pequeña como se quiera, mientras que

an ia Pr
es 2 oo?
oe 7 の 7
を 2 SS
Le
Pie. 29 Fig. 30

el valor siguiente 2», +, y todos los valores posteriores de z, de subín-
dices impares, irán diferenciándose de cero en una cantidad tan
pequeña como se desee. Por tanto, la variable z no tiende al limite.

En la definición de límite se indica que si una variable tiende
al limite a, éste debe ser un número constante. Pero el concepto
«tiende» se usa también para caracterizar otro tipo de variación
de la variable, como veremos en la definición que sigue.

Definición 2. La variable x tiende al infinito, sí para cualquier
numero positivo M prefijado se puede elegir un valor de x tal que
a partir de 6l todos los valores posteriores de la variable satisfagan
la desigualdad |x | > M.

La variable z que tiendo al infinito, se denomina infinitamente
grande y esta tendencia se expresa asi: テー 00.

Ejemplo 3. La variable z que toma los valo
와 (0)

et nei nm

Se intutasante grande, ya que par cualquier valor de A > 0 todo las valoras
lo, a part

de 18 van "partir de uno do elles, Son mayores en valor absoluto que M;
La variable'z stiendo al infinito con signo más», 2 +00, si M
es un número positivo cualquiera de tal manera que, a partir de cierto
valor, todos los valores posteriores de Ja variable sastifagan la desi-
gualdad M < 2.
‘Como ejemplo de une variablo que tiendo al infinito con
servir la variable = que toma los Valores zl = 1, 22 = 2 >

Limite de la función EN

La variable = tiende al inifinito con signo emenass <-> — vo, al M cs un

amero positivo cunlquiere de tal manora que todos los vulone sucesivos

de lg variable, a partir de alguno de ells, entidagan la desigualdad = < — が
Bor la variable, que toma los valores =, == fy ーー

$2. LIMITE DE LA PUNCION

Examinemos algunos casos de variación de una función cuando
el argumento z tiendo a un límite a o al infinito.

Definición 1. Supongamos que la función y = f (2) está definida
en determinada vecindad del punto o en ciertos puntos do la misma,

La función y = f (2) tiende al límite b (y - 6) cuando z tienda a
a (テー- a), si para cada número positivo e, por pequeño que éste
es posible indicar un número positivo 6 tal que para todos los valoı
de z, diferentes de a, que satisfacen
la desigualdad* [2 — a |<, se
verificará la desigualdad:

Na-bi<e =

»

Si 6 es el límite de la función be
1 (@), cuando z+ a, su notación es:

dim 人一
© Dion f (2) 8, cuando 2» a.

Si FB, cuando テーの
entonces en la gráfica de la función Figs dí
y = 1 () esto se interpreta así (fig.

31): puesto que de la desigualdad

12—@1<8 se deduce |/ (2) 一 6 |<e, entonces, todos los puntos
M en la gráfica de la función y = f (2), correspondientes a los puntos
= que se encuentran a una distancia no mayor que 6 del punto a,
se localizarán dentro de una banda de ancho 2e, limitada por las
rectas y=b—e o y=b+e

Observación 1. El límite de la función f(z), cuando テーの
se puede definir también del modo siguiente.

Y
bre

의

이 Aquí se tienen en considoración aquollos valores de = que, satisfaciondo
ta actigutidad | 오그 2] pertenecen al dominio de tinción de la lan.
ción: En adelanto, consideraciones de este tipo las encontraremos con tecuen-
cia. Asi, al examinar la variación de una función, cuendo = oo, puodo ocurrit
que la función está defimión sólo para valores enteros y pentlilos de 2. Por
consiguiente, en este caso z tiende al infinito, tomando sólo valores enteros
positivos. En lo sucesivo prescindiromos de explicaciones de este tipo.

Limite. Continuidad de la functón

Supongamos que la variable z está ordenada de tal manera que si
12 —al>|2%* —al,

entonces, x** es valor posterior, y 2*, el anterior. Pero si

[a =P ~aly zat,
entonces 3** será el valor posterior y z*, el anterior.

En otras palabras, de los dos puntos en el eje numérico, será
posterior el que esté más cerca del punto a; si son equidistantes
será posterior el que se encuentre a la derecha del punto a.

Supongamos que la variable x, ordenada del modo indicado,
tiende al limite a [2 + a 6 lim z = 이.

Examinemos ahora la variable y = / (2); En este caso y en lo
¡sucesivo consideraremos que de dos valores de la función, poster
será el que corresponda al valor posterior del argumento.

*Si la variable y definida del modo indicado, tiende a un limite 6,
cuando z tiende u a, escribiremos:

lim fie)

En este coso diremos que la función y =f (2) tiende al límite 6,
cuando == a.

Es fácil demostrar que las dos definiciones de límite de la
función son equivalentes.

Observación 2. Si f(z) tiende al límite b,, cuando x tiende
a cierto número a de modo que x toma sólo valores inferioros a éste,
su notación es lim f(z) = bj, siendo

Y

by el límite de la función f (2) en el punto
a «por la izquierda». En caso de que
z tome sólo valores mayores que a,
1a notación será lim 7 (2) = by, siendo
b; el límite de la función en el punto
a «por la derecha» (fig. 32).

Se puede demostrar que, si los li-
mites «por la izquierda» y «por la
derecha» existen y son iguales, es decir,
re si by = ba = b, entonces 6 será el

límite de esta función en el punto a en
el sentido que acabamos de exponer. Y recíprocamente, si existe el
1tmite b de la función en el punto a, existen también límites de la
fanción punto a «por la derecha» y «por la izquierda» que
son iguales.

Limite de la función E

Ejemplo 1. Demostremos que lim, (Be + 1) = 7. En electo, supongamos

que está dado arbitra

mente e =Ó; para que so cumpla la desigualdad
[0407] <e,
jo que sean cumplidas las desigualdades siguientes:

ll lz-al< 生 ,一和 <z-2< 千

De este modo, cualquiera que sea e, para todos los valores de + que satisfa-
28. El valor de la función x + 1

gon lo desigualdad 1x — 2 |<
se diferencia de7 en uns magnitud menor que e. Estosignifica que 7 메이 Hi

te de la función eu

Observación 3, Para que exista el límite de la función, cuando
テー a, no es necesario que la función estó definida en el punto z = a.
Cuando se busca el límite, se examinan los valores de la función,
diferentes de a, en la vecindad del punto a. Examinemos el ejemplo
siguiente,

Ejemplo 2. Der

Aquí la funcio

Es necesario
se encontrará tel 8 4

está definida en el punto x

00

nde que | 一 21

6

lee 四
Así pues, siendo e arbitrario, la desigualdad (1) we verificar, st se cumplo
la desi ala (2) (aquí, $

mifica que la fu

ón dada tiene por limite el múmoro 4, cuando

Examinemos algunos casos de variación de la función, cuando

Definición 2. La Junción 7 (x) tiende al límite b cuando x + 00,
si para cualquier número positivo e arbitrariamente pequeño exist
un número positivo N tal que para todos los valores de z que sí
facon la desigualdad |x| > N, se cumpla la desigualdad

I —bl<e

mostremos que

En

Ejemplo 3.

= 0 ten

개 Limite, Continuidad de la función.

jo demostrar que siendo e un número arhitrario se 000-

|Ie39- 下 > a
«impo ue 1212, depndiado A d I ción de a

4 deigotóa G) es euiatnto a oles | | く que 00 ump
+ condición de que

den.

Bato 00010 qu tin (14) tie EE dg ay

Fig. 98

Conociendo el sentido de los símbolos z+ + y zoo, es
evidente el significado de las expresiones:

«f (2) tiendo a b cuando z 十 co y
시 (2) tiendo a b cuando テー —co»,
las cuales simbólicamente se escriben asi:

Im 四一 5 lim 1()

to

b.

$ 3. FUNCION QUE TIENDE AL INFINITO,
FUNCIONES ACOTADAS
Hemos examinado los casos en los que la función f (a) tiende
a cierto límite by cuando テー a 6 テー oo.
Examinemos ahora el caso cuando la fonción y = / (z) tiende
al infinito, para una determinada forma de variación del argumento.

Definición 1, La función 7 (2) tiendo al infinito cuando > a,
es decir, es una magnitud infinitamente grande cuando za, si
para cualquier número positivo M, por grande que sea, existo un
valor 6 > 0 tal que para todos los valores de x diferentes de a y que
satisfacen la condición |z—a|<6, se cumpla la desigualda
16) 1>M.

Función que tende_al_infinito. Funclones_acotadas. 35

Si f (2) tiende al infinito cuando = a, se escribe
lim f(2)= ©
61 (2) > © cuando z+ a.
Si f(z) tiendo al infinito, cuando = + a, tomando sólo valores
positivos, o bien sólo negativos, so escribo, respectivamente:
Mn f (2) = +00 6 lim f (2) = —o.

4 i
Ejemplo 4. Domestremos que lim ¡Log +00.

En ofecto, para cualquier Af >0 tenemos:
4

>
siempre que:
1 1
tac rs [te
SS
Le fonción qe tome sólo valores positivos (ig. 3).
Y
m
$
5 +
m
Fig. 85

Ejemplo 2. Domostemos que tin (—!
quier ガン 0 tenemos:

moo. En efecto, para cual-

1-44
siempre que:
[sia is—01< fms.

Aa (-4) >0 mm scoy (4) <0, para 220 (0.99. -
”

E Limite, Continuidad de la función

Si la función f (x) tiende al infinito cuando メー 00, se escribo:
lim f(z) = 00,

y, en particular, puede suceder:

Mm_f()=00, lim _f()= 00, Kim f(De— 0.

Por ejemplo,
Mm gas} 00, lim ste —t0, ote,

Observación 1. No es forzoso que la función y =f (2) ti
a un limite finito o al infinito, cuando 2 a 0 조아 00,

Ejemplo 3. La función y = sn =, definida en el intervalo ¡limitado
SRL wende! =, 20 md un Ute Hales sl al Amb

ig. 80).
{ yrsenx

Fig. 36

da

Ejanple 4 La fncón y= an À, did pra todos as alor de 2.

excopto = = 0, no tiendo à un limite finito ni tampoco al infinito, cuando
SOG? En geatien de eta función se expono on 보 lige 01

eng

Fig. 87

Definición 2. La función y = f(z) se denomina acotada en el
dominio dado de variación del argumento z, si existe un número
positivo M tal que para todos los valores de z pertenecientes al
dominio considerado se cumpla la desigualdad | f(z) | < M. Si
el número M no existe, se dice que la función f (2) no está acotada
el dominio dado.

Función que tiende el infinito. Functones acatadar, a

Ejemplo 5. La función y— sen, definida en el intervalo infinito
ー cp ニテー十 00, es una función acotada, dado que para todos los valores
de + se verifica:

[sone | <=.

Definición 3, La función f(z) so denomina acotada, cuando
호그 a, si existe una vecindad con centro en el punto a en la cual
dicha función está acotada

Definición 4. La función y = 7 (2) se denomina acofada, cuando
ェー co, si existe un número N > 0 tal quo para todos los valores
de z que satisfacen la desigualdad |z |> N, la función f (2) esté

acotada,
El problema del acotamiento de la función que tiende a un límite
se resuelvo por medio del siguiente teorema.

Teorema 1. Si Um f(z) = b, siendo b un número finito, la
función 7 (2) está acotada cuando x + a.
Demostración. Do la igualdad lim f (2) = 6 so deduco que para

cualquier e > 0 se encontrará un número 6 tal que en la vecindad
a—5<zZa+ 6 se cumpla la desigualdad

If@—bi<e
U@i<lolte

Esto significa quo la función / (2) está acotada, cuando テー a.
Observación 2. De la definición de función acotada 7(<) 60
deduce que si

o sea,

lim f(2)= 00 6 lim /(2)=00,

8 Limite. Continuidad de la función

es decir, si f (2) es infinitamente grande, esta función no ostá acotada,
La notación recíproca no es cierta; es decir, que una función no
acotada puedo no ser infinitamente grande.

Por ejemplo, la función y = z sen z, cuando テー-Co no está
acotada, ya que para cualquier M > 0 se pueden encontrar valores
do z tales que | z sen z | >-M. Pero la función y = z sen z no es
infinitamente grande, pues se reduce a cero, cuando z = 0, m, 23.
La gráfica de la función y = z sen z está expuesta en la fig. 38,

Teorema-2. Si limf (2) —b 0, la función y= 市 está
acotada, cuando => a.

Demostración. De la hipótesis del teorem: deduce que para
cualquier e > 0 arbitrario, en cierta vecindad del punto z=a
tondremos: 17 9 —b|<e 6 II/@l—loll<e, 6 —e<
<lf@l—lel<e 6 1b1—e<1/()1<1bI+e, De las
últimas desigualdades se deduce:

1 4 4
— > ・
lobe 7 lbl+e

Al tomar, por ejemplo,

451? I tenemos

4 10
CIEN

lo que significa que In función 77 esté acotada,

$ 4. INFINITESIMALES Y SUS PRINCIPALES PROPIEDADES

Examinemos en este párrafo las funciones que tienden a cero,
para cierto modo de variación del argumento.

Definición. La funcién c = a(z) se denomina infinitamente
pogicña, (infinitesimal), cumndo za 0 cumdo =, ai
lim a (2) = 0 6 lim a(z)=0.

"De la definición de limite se deduce que si, por ejemplo,
Yim a (2) = 0, esto significa que, para cualquier número po
© prefijado y arbitrariamente pequeño, se encontrará 6 >0 tal
que para todos los x que satisfacen la condición | 2 — a | <6, se
verifique Ja condición | a (2) |< e.
Ejemplo 4. La función a= (zt)? cs is
2 FIRING e tiga in TA i.

0

¡tamente pequeña, cuándo

Infinitemmales y sus principales propledades 39

jungle 2 La tamal aa pega
(tig, 40) (vénso el ejemplo 3 on el $ 2).

cuendo <> co

18

Fig. 99 Fig. 40

Tendrá mucha importancia en adolante la correlación siguiente:

Teorema 1. Si la función y = / (2) puede ser representada como
suma del número constante b y la magnitud infinitamente pequeña a:
y=d+a, 0
se tiene que
lim y = 5 (cuando z+ a 6 200).
Reciprocamente, si lim y = 0, se puede escribir y = b + a, donde a
es una magnitud infinitamente pequeña.

Demostración. De la igualdad (1) se deduce que | y — b | =
= | a |, Pero cuando e es arbitrario todos los valores de a, a partir
de uno de ellos, satisfacen la desigualdad | a | < e; entonces, para
todos los valores de y, a partir de alguno de ellos, so cumplirá la
desigualdad | y — b |< 8, lo que significa que lim y = b.

Recfprocamente: si lim y = 6, entonces, para e arbitrario para
todos los valores de y, a partir de uno de ollos, se verificará la desi-
gualdad [y — b | <e. Pero, si designamos y 一 à = a, entonces,
para todos los valores de a, a partir de alguno de ellos, tendremos
1 c |< e, lo que significa que a es una magnitud infinitamente
pequeña.

Ejemplo 3. Dada la funcién y=1+2 (fig. 40), 09 ovidente que
lim yd.

ES eciprocamento, al lim

sang del ted y la isis eae dde rei

, la variablo y puedo ser representada como

Teorema 2. Si a = a (2) tiende a cero, cuando テー a (o cuando
200), sin reductree a cero, se tendrá que y = À tiende al infinito.

40 Limite, Continuidad de la función

Demostración. Por grande que sea M > 0, se cumplirá la desi-
gld „4, > M, siompre que se cumpla 10 [< gg La última
desigualdad se cumplirá para todos los valores de a, a partir de
alguno de ellos, puesto que a (可一 0.

Teorema 3. La suma algebraica de dos, tres o un número determi-
nado de infinitesimales es una función infinitamente pequeña,

Pig. at

Demostración. Nos limitaremos a dos sumandos, ya que la
demostración es análoga para cualquier número de ellos,

Supongamos que u (2) =« (2) + $ (0, donde lim a (+) = 0
y lim $ (2) = 0. Demostremos que para cualquier e > Ö tan pequeño
como so quiera, se encontrará 6 > 0 tal que, al satisfacer la desigual-
dad |z —a |<6, se verifique |u |< e. Puesto que a (x) es una
magnitud infitamente pequeña se encontrará 6 tal que en la vecindad
de radio 6, y centro ubicado en el punto a, se verificará, también,

le@1< す・
Puesto que B (x) es una magnitud infinitamente pequeña, en
la vecindad del punto a de radio 5, tendremos | P (2) | 一 3

Tomemos 6 igual a la menor de las magnitudes 6, y 6. Entonces,
en la vecindad del punto a de radio 6 se cumplirán las desigualdades

IES 5: Por tanto, en esta vecindad tendromos:

1} =a @) +P) <a +1BO< 5 + 5 =%

es decir, Ju ]<e, lo que se trataba de demostrar.

Infinitesmales y sus principales propledades 내

De un modo análogo se demuestra ol cas
Vim a(2)=0, lim B (2) =0.

Observación. En lo sucesivo tendremos que examinar las sumas
gnitudes infinitamente pequeñas en las que, al ir disminuyendo
cada sumando, vaya creciendo el número de éstos. En esto caso el
teorema puede no ser válido.

Examinemos, por ejemplo,

1.4 4
rare to 00000 x

= mamadas
toma sólo valores onteros positivos (2=4,2,3,..., m...).
Es evidente que cada sumando, cuando メー- 00, es una magnitud
infinitamente pequeña, sin quo lo sea la suma u

Teorema 4. El producto de una función infinitamente pequeña
で = a (2) por una función acotada を = 2 (a), cuando z —» a (6 x — 00),
es una magnitud (función) infinitamente pegueña.

Demostración. Demostremos el teorema para el caso en que
2a. Dado un número M > 0, se encontrará tal vecindad dol
Punto 2 = a en la que se verificará la desigualdad | 2 | < M. Para
cualquier e > 0 se encontrará una vecindad on la que se cumplirá

la desigualdad | «|< zz. En la menor de estas dos vecindades so

cumplirá la desigualdad
las < far

Esto quiere decir que az es una magnitud infinitamente pequeña.
Para el caso de z-»0co, la demostración se efectúa de modo
análogo. Del teorema demostrado se deducen dos corolarios.

Corolario 1. Si im a =0 y lim ß =0,-entonces lim aß =0,
puesto que B (2) es una magnitud acotada. Esto se cumple para
cualquier número finito de factores,

Corolario 2, Si lima =0 y e = const, ontonces Jim ca = 0.

Teorema 5. El cociente 2 de la división de una magnitud

infinitamente pequeña 0 (2) por una junción, cuyo límite es diferente
de cero, es una magnitud infinitamente pequeña.

Demostración. Supongamos que lim a (2)
= à #0, Basándose en el teorema 2, $ 3 se deduce que 7

0 y limz() =
es una

4 Limite. Continuidad de la función

magnitud acotada. Por consiguiente, la fracción 2 =
es el producto de un
acotada, es decir, una infinitesimal,

5 5. TEOREMAS FUNDAMENTALES SOBRE LIMITES

En asto apartado, como on el anterior, vamos a examinar conjun-
tos de funciones que dependen de un mismo argumento =, cuando
=> a 0 cuando 조가 00.

Por ser análogas las demostraciones para ambos. casos nos limi-
taremos a uno sólo, omitiendo, incluso, las notaciones テー
でテー 00, que consideraremos sobreontendidas.

Teorema 1. El límite de la suma algebratca de dos, tres y, en general,
de un número finito de variables es igual a la suma algebraica de
los límites de estas variables:

Min (u + u +... +) = may +limu, +... + im uy.

Demostración. Puesto que la demostración es análoga para
cualquier número de sumandos, tomemos sólo dos.

Supongamos que lim u, = a, lim us = a, Basändonos en el
teorema 4 $ 4, podemos escribir:

ly = Oy 4 Oty de = 02 + a,

donde a; y a son magnitudes infinitesimales. Por tanto,
ty + a = (ay + 00 + (oi + 03). a

Puesto que (a, + a2) es una magnitud constante y (a, + da) es una

infinitesimal, entonces, de acuerdo con el teorema 1 $ 4, resultará que

Vim (uy ud) ay} a lim uy + Lim up.
Ejemplo 1.
A (142) to 14 tin Ret im Button

“Teorema 2. El límite del producto de dos, tres y, en general, de un
nümero finito de variables es Igual al producto de los límites de
estas vartables:

mpeg... Linux.

Demostración. Con el fin de abreviar, realicemos la demostra-
ción para dos factores. Supongamos que lim u = a, y lim u, = ar.
Por tanto,

mu lim ug

Uy a, Oy mater
vega = (ay + a) (m 0) = 0508 + a + ar + 0102.

: Teoremas fundamentales sobre límites 43

El producto aa; es una constante, Según los teoremas del $ 4,
la megnitud aa, + aza, + asas es infinitamente pequeña. Por
consiguiente, im uj, = aso, = ifm gi・1im za

Corolario. Un factor constente se puede sacar fuera del signo
de limite. En efecto, si lim u, = ay, e = const y, por tanto, lim e 一
= €, se tiene:

Tim (cus) = lim e-lim us = e lim u, quo es lo que se trataba de
demostrar.

Ejemplo 2.

Vim 59-5 lim 29 5.80 40,
= e

Teorema 3. El límite del cociente de dos variables es igual at
coctente de los límites de estas variables, slempre que el límite del deno-
minador sea distinto de cero:

Demostración. Supongamos que límu=a, lim v = b #0.
Entonces u = a + a, v=5-+ $, 00000 a y B son magnitudes
infinitamente pequeñas. Escribamos las identidades

A ee
> al +B 9) Ar"
am
2e cite,
v ARTE)
ab—Ba

OE
La fracción 5 es un número constante y ¿Ep (según los

teoremas 4 y 5, $ 4) es una variable infinitamente pequeña, puesto
que ab 一 Be es también una infinitesimal y el denominador 6 (6 + B)

A al " ua limu
tieno por límite b* 40, Por consiguiente, lim <= 5 = Inn -

Ha
PEE EPA
eE im (42) ¿lim 2 T2 5

piss er A

구아 a a ee eee tre

do coro, Pero, ai el Iimite del denominador es cero, no 50 puedo aplicar el Lcorema
ado. En esto Último coso hacen falta consideraciones speciale.

Ejemplo 4. Hollar Mn EI.

4 Limite. Continuidad de ta función

dd ea ai
sna met EE
me

Ps, (0640
FE 27

todos los valores de = diferentes do 2. Por
¡ón de limite, podemos escribir:

+2

Ejemplo 5. Hallar lim. Cuando %=»4, el denominador tionde

mientras que el dla unidad. Por consiguient
이 Wimite de la magnitud inversa os Coro, 48 decis, al
Mim (21)

Teorema 4. Si entre los valores correspondientes de las tres fun-
ciones u = u (2), 2 = x (2). v = v (2), se cumplen las desigualdades
u<z<»v, y, además, u (2) y v(2) tienden a un mismo límite 6,
cuando <-> a (9 cuando テー 00), entonces podemos afirmar que la
función z = z (2) también tiende a este mismo límite, cuando テー a
lo cuando za). .

Demostración. Para precisar las ideas, oxaminemos la variación
de las funciones, cuando za. De las desigualdades u < z <v

se infiere que:
EA

según las condiciones del teorema, tenemos:
Mm u = b, imp こと

Por tanto, para cualquier e > 0, so encontrará alguna vecindad
con centro en el punto a, en la que so verificará la desigualdad
Lu — b |< e; del mismo modo se encontrará también alguna vecin-
dad con contro on el punto a, en la que se verificará la desigualdad
lv—|<e, En la vecindad menor de las moucionadas so cum-
plirán las desigualdades:

e <u—b<eye<v=b<e

Teoremas fundomentales sobre limites ss

y, por tanto, también, se cumplirán las desigualdades
-e<ı-b<e
es decir,

lim =

Teorema 5. Si, cuando テーと (o cuando z-> co), la función
y, tomando valores no negativos (y > 0), tiende al límite b, ¿ste último
será un número no negativo, o sea b > 0.

Demostración. Supongamos que d < 0, entonces | y — à | >
> 15 |, es decir, el módulo de la diferencia | y — 5 | es mayor que
히 número positivo | | y, por tanto, no tiendo a cero, cuando
ター a. Pero, en este caso y no tiende a b, cuando x —+ a, lo que con-
tradico a la condición del teorema. Esto quiero decir que la hipótesis
de que b <0 no es cierta y, por tanto, b > 0.

De la misma manera se demuestra que lim y <0, si y 0.

Teorema 6. Si entre los valores correspondientes de dos funciones,
u=u(e) y v= (a), que tienden a sus límites respectivos, cuando
ミー a (0 cuando メー 00), se cumple la desigualdad v > u, también se
verificará que lim v > lim u.

Demostración. Dada la condición v — u > 0, y, de acuerdo con
el teorema 5, lim (v—u)>0 0 limv—limu>0, es decir,
Yim p > lim u.

Ejemplo 6. Demostremos quo lim, sen x = 0. Según la ig. 2, s 04 = 4
y =>0, tendromos AC = sen AB = 2, sen 2 < x. Es ovidonte que, siendo

Fig. 42

주 <0, tenemos | sen x | < | x |. Según los teoremas 5 y 6, podemos deducir
de sas des desigualdades que lim in 2'= 0° RARES
Biemplo 7. Domostronos que lig sen まこ

En electo, [sen [< sen}. Por tanto, Lim son z=0.

40 Limite, Continuidad de la función.

Ejemplo 8, Demostremos que lim con 1.

Siond con mnt noms, co (12 wat) =

En algunas invostigaciones respecto al límit de las variables es
necesario resolver dos problemas independientes:

4) demostrar que una variable tiene su limite y determinar Jos
confines dentro de los cuales se encuentra este límite.

2) calcular el límite dado con el grado de precisión necesaria.

À veces el primor problema se resuelvo mediante el siguiente
importante teorema.

Teorema 7. Si la magnitud variable v es creciente, es dectr, cada
valor postertor de la misma es mayor que el anterior, y st ésta es acotada,
o sea D < M, entonces dicha variable tiene como limite lim v = a,
donde a < M.

En ol caso de que la magaltud variable sea decreciente y aco-
tada, el teorema correspondiente se enuncia de un modo semejante.
No damos aquí.la demostración del teorema porque se basa en la
teoría de los números reales, que no se considera en el presente curso.

En los dos párrafos siguientes vamos a calcular los límites de
dos funciones que tienen gran aplicación en las matemáticas,

4 6. LIMITE DE LA FUNCION #22,
CUANDO m +0
La función PE no está definida para テー 0; puesto que tanto

el numerador, como el denominador de la fracción se reducen a coro.
de esta función, cuando z-»0.

の BA
Fig. 43

Consideremos una circunferencia de radio 1 (fig. 43); designemos
por z, el ángulo central MOB, siendo 0 ニッ = En la fig. 43 00

Limite de la función "2, cuando = 一 0 a

puede observar que: área A MOA < área del sector MOA < área
A COA. 00

Area à MOA =? OA MB a Gran = 5, sens.

1 3! 1
Area del sector MOA ==,04-4M = pires Le.

Area ACOA = $04-AC= 그라나 5 ige
Suprimiendo el factor 1/2, la desigualdad (1) se escribirá ast:
sen でで ga
Dividamos por sen z todos los miembros y tendremos:

<_<,
en cosz

』 > 쁘 므로

>cosz.

Hemos obtenido esta desigualdad, suponiendo que => 0.
sen(—2) _ sonz

Teniendo en cuenta que S72) = S22 y cos (a) = mn,
Y
té >
| > の >
Pig. da

concluimos que la desigualdad también es válida para z < 0, Pero,
Um cos == 1, lim 1 =. Por tanto, la variable “2= 6, halla

pe] 200
comprendida entre dos magnitudes que tienen 4 por límite, De este
modo, de acuerdo con el teorema 4 del párrafo precedente tenemos:

lím 2282

=

=1.

La gráfica de la función y = = se expone en la fig. 44.

48 Limite, Continuidad de 10 función

Am

4) Mig SEE in RE Eté PE It

los
0

son kz, sen (is
em
de

= = を . ここを
Moen pe eo en Bim be BT
(a=const, Bconst).

87. NUMERO e
Examinemos la magnitud variable

(+ 2) ，
dondo,n es una variable crociente que va tomando los valor
Raga ise
Teorema 1. La varlable ( + +) tiene su imite comprendido

entre los múmeros 2 y 3, cuando n + co.
"Demostración. Según el binomio de Newton, podomos escribir:

(Y

20-002. Rai)"
+ 4.2. (5) . a

on

Número e 49

Después de transformaciones algebraicas evidentes (1), obtene-
mos:

(1+4) iii ts

+

2 n—1
De (a. @

De la última igualdad se deduco que la variable (1 + 4) es

creciente, cuando crece n.
En efecto, cada uno de los sumandos crece al pasar del valor n
al n+ 4, es decir:

1 1) 1 ( 1 )
A(i-t)<4t(1- te, m
(<

un término más. Todos los términos del desarrollo son positivos.

12...

Demostremos que la vaable (1 + 4) está acotada, Teniendo en

cuenta que (1 -4) <4 (1 = 5 (1 ae ) < 1; ete,, de la expre-
sión (2) obtenemos la desigualdad

ay 4
(144) <t+i+ +

ee +

Considerando que $
4 E. 4 0 1
123 < pa = <=

podemos escribir
(1+ 1) 一 1+1 十各二去二

Los términos subrayados en el segundo miembro de esta desigual-
dad forman una progresión geométrica que tiene por razón 9 =

su

se Limite, Continuidad de la función
4 内
= FY por primer término, 0 = 1; por esto:

CEE +

=1+ 1+ =
=4 ュー
7
Por tanto, para todos n tenem
( + 4) <3.
De la igualdad (2) se deduce que
(1 me 4) >2.
y por tanto obtenemos las desigualdades
2< (: + 1) <3. 全

Así pues, queda establecido que la variable (i ep +) está acotada.

Como la variable (4 + 4) es creciente y acotada, tiene (según

el teorema 7, $ 5) pues, su límite. Este límite se designa con la

letra
Definición. Se denomina número e al limite*) de la variable

(: + 4) , cuando n — 00:
vain (144).

Conforme al teorema 6, $ 5, de la desigualdad (3) podemos dedu-
cir que el número e satisface la desigualdad 2 < e < 3.

El teorema queda, pues, demostrado,

El número e es irracional, Más adelante exponemos el método
para su cálculo con cualquier grado de precisión. Su valor, con diez

cifras decimales es:
e=2, 7182818284... -

are (144) "ende ar + mn nom
ie 0014.

una va

Número e st

Teorema 2. La función (e + 4) tiende al límite e cuando x tien-

de al infinito:
tim (14 £) me
Demostración. Homos establecido que 16 +1) 一 cuando

n— co, si n toma valores enteros y positivos. Supongamos ahora
que x tiende al infinito, tomando valores tanto fraccionarios como
negativos.
4) Supongamos que x —» + 00. Cada valor de x se halla compren-
dido entre dos números enteros positivos
n£i<n+t.
En este caso se cumplen las desigualdades:
1 4 4
CE +4"

otto,

(1+£)">(1+ Ya

Si z~ 00, es evidente que también n— co, Hallemos los limites
de las variables entre los cuales so encuentra la variable (1 + 4) :

ste (os) 00 (o E) (48)

lim CDR lim (14 Date,

note nate

ayer
(+54)
= lim 2th _

ne 1

„en

ie

se Límite. Continuidad de la función

Por tanto, según el teorema 4, $ 5, se tiene:

Mim (+4) =: @

2) Supongamos que テー一 oo. Introduzcamos una nueva variable
t= —@ + 1) o sea z= — (t+ 1). Cuando 6 +eo, tendremos
que => —co, Entonces

dl
(人

man (191) (eee

El teorema queda demostrado. La gráfica de la función y= (i + 4)
so expone en la fig. 45.

yn

Fig. 45

Si en la igualdad (4) introducimos + 一 a, entonces tenemos
a 0 (poro, a #0), cuando テー 00, y obtenemos:

4
Jim (+0)

Logaritmos _naturaler 53

Ejemplos:
a (el (Y on (ri)

xia (はに ee

(He (re) (e) (e)

4

in (14-2) 1m (19) im (14

Jene.

2

3 =e.

te (048) e (ir

pes

2 (E) (E (43

ale)

)'- m [ra met,

CSSS wit

am (+4

8 8. LOGARITMOS NATURALES

En el párrafo 8 dol capítulo primoro so ha definido la función
logarítmica y = loge z. Como se sabe, el nümero a es la base de
logaritmos. Si a = 10, entonces y se denomina logaritmo decimal
del número z e y se escribo y = log z. En la escuela secundaria se
estudian las tablas do logaritmos decimales, llamados también de
Briggs, nombre del sabio inglés quo los inventó (1556-1630).

Los logaritmos que tienen por base el número e = 2,1828...
se Haman naturales o neperianos, en honor del matemático Neper
(1550-1647), uno de los primeros inventores de las tablas de logarit-
mos. Por consiguiente, si ex = z, entonces y so denomina logaritmo
natural del número 2, y se escribo así: y = In z, en lugar de
log, z. (Véase las gráficas de las funciones y = Inz o y = Ig z
en la fig. 48). Determinemos ahora la correlacion que existe entre
logaritmos decimales y los naturales de un mismo número 2. Supon-
gamos que y = log z, o sea z= 10%

Tomemos los logaritmos naturales de los dos miembros de la
última ecuación, escogiendo e como base, y tendremos: In z =

= y ln 0, de donde y = [og In = Sustituyendo el valor de y ton-

EN Limite, Continuidad de la Junción

dremos:

1
dogs ins.
NEO]

Lo que quiere decir que, cuando se conoce el logaritmo natural
de un número +, se puede hallar su logaritmo decimal; multipli-

cándolo por el factor 20 = ¡y = 0,434294, valor que no depends

griega

Fig. 46
de x. A este factor M se le denomina módulo o factor de transición
de los logaritmos naturales a los decimales:

logz = Minz.

AL introducir en esta identitud z = e, hallaremos la expresión
del número M por medio de logaritmos decimales:

loge = Mlne=t), ~

Los logaritmos naturales se expresan en logaritmos decimales
de la manera siguiento:

donde 을 == 2,302585.

Observación. Existen tablas especiales para el cálculo de
logaritmos naturales.

$ 9. CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES
Supongamos que la función y == f(z) está definida para cierto
Yalor zo y en cierta vecindad de contro en el mismo punto.
Sea: Yo = f(z).
Si 2 recibe cierto incremento Az (positivo o negativo), y toma
el valor z= xp + Ax, la funcion y también resultará incrementada

Continuidad de les fúnctones 55

en Ay. El nuevo valor incrementado de la función será yo + Ay =
= [ (2 + Az) (fig. 47). El incremento de la función Ay se expresa
mediante la fórmula

Ay = À (xo + Az) — f (x).
Y ル
lay

『 oa 7 rr

Fig. 47

Definición 1. La función y = f (2) se considera continua, para
el valor de x = xo (0 en el punto zo), si está definida en cierta vecin-
dad del punto zo, (incluido el punto zo) y si:

a Geo u
0, 16 que es lo mismo,
‚lim (+ 42) — fed) = 名
La condición (2) se puede escribir así:
Jim fm 十 dz) = f (29)
3 たとの
e)

lim (2) =f (=).
xo
En lenguajo geométrico la continuidad de la función en el punto
dado significa que la diferencia de las ordenadas de la grâfic
y =f (2) en los puntos zo + Az y zo será, en valor absoluto, ar!
trariamente pequeña a condición de que | Az | sea lo suficientemente
pequeño,

Ejemplo £. Demostremos quo la función y = 2* es continua en el punto
Zo, arbiteariamento ologido. En efecto

mei vo+Ay=(s0+ A2), Ay=(20+42)1—2] 220824422,
„lim, Ay= lm, (ts 22) 22 1tm Ar Mm Ar lim Ar=0,
independiente del modo on quo Az tiendo a coro (fig. 48e y 0).

대 Limite, Continuidad de la función

Ejomplo 2, Comprobemes quo la función y = sen ee continue en cual-
quier punto arbitrario 2. En efecto,

Yor sen xb vob Ay sen (an),
Aymsen (50405) non AE cos (29 +5) .

x20, 8420 0277)

@ の

Fig. 48

Ya hemos visto que in, son SE 0 (cm 7,45) La función cs (24-82)

‚cotada. Por consiguiente,
lan Ay=0.
ame

Del mismo modo se puede demostrar que cualquier función
elemental fundamental es continua en cada punto en el que la fnn-
ción est6 defini

Demostremos el siguiente teorema,

Teorema 1. Siendo las funciones j, (2) y 72 (2) continuas en el
Punto zo, su suma w (x) = fx (2) + fa (2), también será función con-
tinua en el mismo punto Zo.

Demostración. Siendo continuas fı (2) y fz (2), de acuerdo con
Ja igualdad (20, podemos esc

lim 7100 = fy (eo),
a
m あのーな Gy

Según el teorema 1 sobre limites, tenemos:
lim [f,@) +1.(0)= lim 1,(2) + lim hd)
wen zen zen

flo) + fale) plz), es decir,
la suma 4 (2) = fs (2) + fa (2) es una función continua, como se
trataba do demostrar.
Como corolario, cbservemos que el teorema citado es válido
para cualquier número de sumandos.

Continuidad de las _funciones El

Basándoso en las propiedades de los límites, se puede demostrar
también los tooremas siguientes:

a) El producto de dos funciones continuas es una función con-
tinua.

b) El cociente de dos funciones continuas es una función conti-
nus, si el denominador no se reduce a cero en el punto considerado.

©) Si 4 = w (2) es una función continua para z= 2, y si f (u)
también es continua en el punto up = @ (20), la función compuesta
7 19 (2)] será continua en el punto zu.

Basándose en estos teoremas se puede formular el siguiente teo-
roma,

Teorema 2. Cualquier función elemental es continua en cada punto
en el cual la función está definida.

Observación. Dado que en la igualdad (2)
lim f(2)=f (a),

ome
t= lim z,
podemos escribirla asi: lig
lim f(z) ==f (lim 2), @
xm ve

es decir, que para hallar el límite de Ta función continua cuando
テー 20, basta sustituir el argumento < por su valor z en la expre-
sión de la función.

tombjemplo 3. La función y==" es continua en cualquier punto sa, y por

. 짜루
Ejemplo 5. La función y=e* es continua en cualquier punto y por
tanto; lím の Y Ú à pe

0 ，
Yo, BOE Lan bs) nt.

Ya que lim (140) "=e y la función In ex continua para ¿> y, por lo tanto,

El Limite. Continuidad de la función

para ze, se tiene

Ma tn (1 + ein dim + +)

Definición 2. Se dice que la función y = f (2) es continua sobre
el intervalo dado (a, 2), donde a <b, siempro que ésta sea continua
en cada uno de sus punios.

Si la función está definida también en el punto z= a siendo
lím 1 = f (a), se dice que en el punto a la función f (x) es

continua por la derecha, Siendo lim f (2) =f (0), se dice que en el

punto z 一 la función 7 (z) es continua por la izquierda,

Si la función 7 (2) es continua en cada punto del intervalo (a, 2),
y lo es al mismo tiempo en los extremos de éste (por la derecha y por
ia izquierda, respectivamente) se dice que la función f (2) es contínua.
en el intervalo o segmento cerrado la, bl.

Ejemplo 7. La fonción yı-z% os continua en cualquier segmento Ta, bi,
como he nen dal ejemplo Y nids

Si en algGn punto x = zo para la función y = f (2) no so cumple
por lo menos una de las condiciones de continuidad, es decir, si
para 2 = zp la función no está definida o no existe el limite Im f (2)

o bien lim (29) 7 (29) cuando テー zo do una manera “arbitra-
ria, a pesar de que existen las expresiones a la derecha y a la izquier-
da, entonces la función y = f (2) es discontinua, cuando z= zu.

El punto z = 20 se denomina, en este caso, punto de discontinuidad
de la función.

Elenglo & La función y= 0 dieontnen ie 20, En electo
cuando z=0, la función no está definida:
1

+ 주
sete! ur

de Ex fit demostrar que este función os continua para cualquier valor
lo 20.

1
Ejemplo 9. La fuación y=2% es discontinua on 2-0. En efecto,

lim = co, lim #0. La función no está dolinida on #=0 (fig. 49).
Eu 2020

Algunos propiedades de las funciones continuar so

Ejemplo 10. Examinemos la función = Siz<o, arm
para 2>0, per Por consiguiente,

oleate Tart n= Y, Fare

cuando 2-0, la función no está definida. Do esta manera hemos establecido
quelo función feb 에 discontina en +0 (ig. 5)

“~

as

F7 기
Fig. 49 Fig. 50

Bjenpte 49. La tus ymand examlonde en sa 4,43, en
alscontinna en 20.

Definición 3. Supongamos que la función 7 (<) tiene los límites

finitos: lim f (2) =f (2 +0) y lim f(e) = 7 (0 — 0), que son
“rent aa

desiguales, es decir: Lim f (2) #1 Te. o el valor de la función
J (2) no está definido, cuando z = zu. En este caso, el punto z = y
se denomina punto de discontinuidad de primer género. (Para la fun-
ción examinada en el ejemplo 10, el punto z = 0, es un punto de
discontinuidad de primer género).

$ 10. ALGUNAS PROPIEDADES
DE LAS FUNCIONES CONTINUAS

En este párrafo examinaremos algunas propiedades de las fun-
ciones continuas sobre un segmento. Estas propiedades las presen-
taremos como teoremas cuya demostración no so da en este libro.

Teorema 1. Si la función y = f (x) es continua sobre cierto segmen-
to la, Bl (0 속구 € b), siempre se encontrará en este segmento por lo
menos un punto x = x, tal que el valor de la función en dicho punto
satisfaga la correlación

Fed fe)

œ Limite, Continuidad de la función

en la que x es cualquier otro punto del segmento, y se encontrará tam-
bién por lo menos un punto za tal que el valor de la función en el mismo
satisfaga la relación

72 <t@.,

El valor de la función J (5) se lama valor ae de Ja función
7 6) em el segmento la, DI y ol dela función f(z) 99 denomina
valor mínimo de la función en el mismo segmento la, dl,

y

Fig. 51

Este teorema se enuncia brevemente asi: la función continua sobre
el segmento a < x < b alcanza, una ver por lo menos, su valor mézimo
M y su valor mínimo m.

La interprotaciön geométrica de este teorema so representa en
la fig. 51.

Observación. El teorema enunciado puede no ser cierto, debido
a que entro los valores de la función mencionada pueden no existir
los valores máximo y mínimo en el intervalo a < z <b. Si, por
ejemplo, examinamos la fanción y = z en el intervalo 0 <z<1
no hallamos entre sus valores el máximo, ni el mímimo. En realidad
esto debe ser asi, pues no existe el punto extremo izquierdo, ya
que sí tomamos cualquier punto-2* habrá siempre otro punto, por

ejemplo 을 , más a la izquierda que 2*, Por la misina razón no existe

el punto extremo derecho y, por tanto, no puede haber valor máximo
ni mínimo de la función y = z.

Teorema 2. St la función y = f(z) es continua en el segmento
a, b,}, tomando en tos extremos de éste valores de signos contrarios,
entre los puntoda y b se hallará por lo menos un punto x = c, en el
que la función se reduce a cero:

7 一 0 a<e<b.

Este teorema tiene una soncilla interpretación geométrica,
La gráfica de la función continua y = f (2), que une los puntos
M la, 7 01 y Ma lb, f (001, donde f (a) < 0 77 (6) > 0 (of (a) > 0
y 1 (0) <0), corta el eje Oz por lo menos en un punto (fig. 52).

Algunas propiedades de las funciones continuas 의

ap we etn par gs pe 2 ag =
sean ed tele Ieee (ro ee tat ws oe ed ee
Hate Celio A EA AA
dig. 53).

Fig. 58

Teorema 3. Sea y =f (2) una función definida y continua sobre
el segmento la, 이. St en los eztremos del segmento dado la función
toma valores diferentes 7 (a) = A, 7 (5) = B, siempre se encontrará

Y
써
Aa m E

Fig. 54 Fig. 65

un punto z = ¢, comprendido entre a y b, tal que 7 (0 = p, cualquiera
qué sea el numero u comprendido entre los valores À y B. is
Este teorema se interpreta claramente en la fig. 54, En el caso
dado, cualquier recta y = y cortará la gráfica de la función y = f (2).
Observación. El teoroma 2 es un caso particular del teorema 3,
ya que, teniendo À y B signos contrarios, podemos tomar el número 0

62 Limite, Continuided de 10 función.

como valor de y, y entonces h = 0 resultará comprendido entre los

números Á y

Corolario del teorema 3. Si la función y = f (2) es continua sobre
clerto intervalo, tomando los valores mázimo y mínimo, se puede deducir
que en el intervalo enunciado la función toma, por lo menos una vez,
cualquier valor comprendido entre sus valores extremos.

in efecto, supongamos que 1 (2) = M, f (2) = m. Según el
teorema 3, en el segmento Iz), 221 la función y = f (2) toma cual-
quier valor p, comprendido entro Af y m. Pero el segmento [z,, zel
se encuentra dentro del intervalo considerado, en el cual está defi-
nida la función f (2) (fig. 55).

$ 11. COMPARACION DE LAS MAGNITUDES
INFINITESIMALES

Supongamos que unas cuantas magnitudes infinitamente peque-
fas (infinitesimales) a, $, y, . . . son funciones de un mismo argu-
mento z, y tienden a cero cuando z tiende al limite a o al infinito.
Analicemos la tendencia de estas variables a cero, considerando la
razón de las mismas.*

En adelante usaremos las siguientes definiciones.

Definición1.Silarezón=, tiene un límite finito y distinto de
B 1

cero, es decir, que lim E 4

AO y, por tanto, lim 을
se dico quo las infinitesimales a y f son del mismo orden,

Ejemplo 1. Supóngase que a = x, B= sen 2e, donde 2+ 0. Las inf
nitasihal e Y 6 son del mismo orden, ya que

tim À lim SX,
eve +

Ejemplo 2. Cuando x -+ 0, las infinitesimalos z, sen 32, tg 2, 7 In (1 + 2)
son todas del mismo orden. La damostracién es análoga a la del ejemplo 1.

Definición 2. Si la razón 을 de dos infinitesimales tiende a cero,

es decir, si Img =0 (y imp = 00), entonces la infinitesimal B

se denomina infinitesimal del orden superior que Gi reciprocamen-
de, a será una infinitesimal de orden inferior que B.

+) Partimos de que la infinitesimal quo sirvo do denominador no se

reduce a coro en alguna vecindad del punto a.

Comparación de los magnitudes tnfinitesimates 63

Ejemplo 3. Supongamos que a=, À = zn, n> 4, #0. Le inifivite
simal Be de orden superior que la de puesto que

Mm Stim "1 =0,
E
Recíprocamente la infinitesimal a es do orden inferior que la B.

Definición 3. Se dice que $ es magnitud infinitamente pegueña
de orden k respecto a a, si B y a” son infinitesimales del mismo orden,

es decir, si lim À = 440.
e

Ejemplo 4. Sia = z, $ == 2%, cuendo +» 0, la infinitesimal $ es una
infinitesimal de tercer orden respecto a la infinitesimal a, puesto que:

m Bien Samt,
ap!

Definición 4. 61 la razón do dos infinitesimales À 40000 a In
unidad, es decir, si lim — 4, estas infinitesimales se denominan
oquivalentes: y se escriben asi: a ~ f.

Ejemplo 5. Supongamos que a = = y 0 = sun x, donde =… 0. Las infi-
nitesimales g y B son equivalentes, puesto que

Mim En,
20 =

Ejemplo 6. Su mos que a = z, B= In (1 + x), donde 20. Las.
iles a 3 on enla ya que 000

TE
=

(vénse ejemplo 6, $ 9). 2
Teorema 1. Si a y $ son infinitesimales equivalentes, su diferen-
ela a —B es una infinitesimal de orden superior que las a y ß.
Demostración. En efecto,

in Bim (12) 4 im

Teorema 2. (Recíproco del anterior). Si la diferencia de dos infi-
nitesimales a — B es una infinitesimal de orden superior que las:
a y B, éstas son infinitesimales equivalentes.

& Limite, Continuidad de lo función.

Demostración, Supongamos que lim “= = 0, entonces:

jm (1-2) =0, o ses, 1 im =0, obien, 1 = 1im£, es
る @ a
decir, a = 8.
si dm 2 = 0, se tiene lim (F— 4) = 0, o bien lim
es decir, a =p.

emplo 7. Sopeagamos me = 2 y 8 > 2 + 2, deta =

Eje
Las infinitesimales a ‘son equivalontes, ya que su diferencía — a =
了 RES

を

…

mn am 2 tim 20,
Bare nes

a oom
EN

Ejemplo 8. Cuando 2 co, las tnfinitesimales
ET:

equivalentes, puesto que su diferencia 08

sites. de orden superior que « y 6. El Lito de Ja reza a respcia

Observación. Si la razón & de dos infinitesimalesno tiene límite

y no tiendo al infinito, entonces $ y c no son comparables en el
sentido mencionado anteriormente.

Ejemplo 9. Supongamos que ar, P=zuent, donde z=r0. Las i

Se W a6 ma capis, ais que po a et
pp pl ep rer sed

： Ejercicios para el capítulo II
Cateula Jos límites siguientes:
1 in ERES. reset: 4.2 112 [Bones change). 3800

to: 2. 3. Um 32

VA

0.4. ln (244). ney

2.

Ejercicios para el capítulo 11 ss

wear +1

Respuesta: 1.

. somme 융 . 6

8. vig BEBE dt Res

+
Indicaciones. Expresomos la fórmula (k4-1)9-—4 9494-3441 paro

oO fy den

pal
HH;
DI 2d

in dond
Sumando miembro a miembro, se obtiene;
E E A
E A IN
de donde

CE ET

Ptz 1
% Mm SESE. Respuesta: co, 10, lim

A

1 그. Repuestos 8 44. lin

円 ¿re TEE, nap

E 오므
WL hahha tM
SS ame

ai :
E Es

+ Respuesta; 0. 48. Yim Respuesta:

+ Respuesta: n

(n es un número entero positivo). 21. Im VEA apuntes ete

Fr ae
Pan . . im si
ai y a Vat
A ay, Aa
VE. yg VETERE 2 te YES. homer

+ Respuesta: { cuando z -十 co —1 cuendo 2-+—co.

; VE
em VER

Soon

[개 Limite, Continuidad de la función

29, Yin (VI FIZ VAT) Respuesta: 0. 30. Mm 2 (VIT). Res
sonz

: À +00, 一の cuando = 一一 co BOE Res
puena: À cuando = 二 ce，一 co cuando SH. im SRE R

sont à
시 38, Tim GT. Respuesta: à.

aig 35. Mims cogs, Respuet

1. 32. tm SU

pue

CERTA

de
yes
2

36. in EE 00090 VS 37: m da) tg DE Respuesta: À
こま mw (sE)

= Im
a

2.09, Im Pe 土う一 wm (6 一 neg
ES) =

Respuesta:

pute: eve Nin EEG, Routes 4. 시 ln (me
f

pans oa 2 16m (に we

am te de (253) am
aye

+1

BEER: u

45, Mim {nn (+ Ian)

Respuestas 4. 40. Vim (cos), Respuestas 0% 47. Yim ten.

(>). Respuesta: 十 co cuando =+ +,

re
O cuando s=>—co. 54. lim ag" — 1). Reepuesta: Ina. 55. lim 으 5

Respueste: a—B. 56. lim mela: Respuesta: 4.
Determinar 300 puntos do discontinuidad de las funciones:
ve re => Respuesta: Discontínuidad para z= —2; 一
de vote gt aoe: ns para moy om; a

m

Eareteios para el capitulo 11 a

1
Hallar los puntos de discontinuidad de la función y= 1+2* y cons-
vrai? da gratin de et fancion, Respuesta: Discontioniad para 220 (y Ys
Enano FO, vor À cuando or 00.

(0. Entro las Infinitesimales (cuando 2-0) siguientes: aa VII,
sends, Drome iger, zei, olijeno los infinitenimalen del mismo orden
quo Ta Tamil, así como les de orden superar € inferior a 2. Hee
Attu Las Infinitesimäles del mismo orden son son 8? y ze, la de orden
Eopecior 22 y 2zcos Pipes y la infnitsimal de orden inferior es Y/z
Bi? Entre ls infinttesiates Indiens (und 우구 이 balla Ine dal

malos que son equivalentes a la infinitesimal 2: 20022, 금 620, = 一 ah，

VR, waits), tae Ras Lg 2-84, latte.
62. Demostrar quo, cuando z—» 4, las infinitesimales 1 一 z y 1— fx son dol
mismo orden, ¿Serán equivalentes 84000: Un ic, por on
siento, las afiltaimales son de un mimo orde, per no 802 equivalent.

5

CAPITULO In

DERIVADA Y DIFERENCIAL

$ 1. VELOCIDAD DEL MOVIMIENTO

Examínemos el movimiento rectilíneo de un cuerpo sólido,
por ejemplo, ol do una piedra lanzada verticalmente hacia arriba
o el de un pistón en el cilindro de un motor.

Haciendo abstracción de las dimensiones y configuración con-
cretas del cuerpo, imaginémoslo en adelante como un punto móvil M.
La distancia s del punto móvil, que se mide a partir de cierta posi
ción inicial Mo, dependerá del tiempo £, es decir, s será función de ¢:

s=1f(. 他

Supongamos que én un instanto dado® £, el punto móvil M se
encuentre a la distancia s de la posición inicial M, y unos instan-
tos después, £ 十 Af, so encontrará en la posición Mi, a la distancia
s+ As de la posición inicial (fig. 56). Por consiguiente, durante
el intervalo de tiempo A¢ el espacio recorrido s ha cambiado en una
magnitud As. Se dice que, en este caso, en el intervalo de tiempo
At la magnitud s adquirió el incremento As.

Consideromos la razón 숙은. Esta representa la velocidad media
del punto durante el tiempo At:

bs

ri a

Sin ombargo, la velocidad media no puede caracteriza
los casos, con la debida precisión, la rapidez del desplazamiento
del punto M en el momento t. Así, por ejemplo, si el cuerpo al co-
mienzo dol intervalo At se desplaza con rapidez, mientras que al final
de éste lo hace lentamento, la velocidad media no podrá reflejar
estas peculiaridades del movimiento del punto y darnos una idea
correcta do la velocidad real de su movimiento en el instante £.

% Aquí, y en adelanto, el valor concreto do una variable 10 designaremos
con th loma” otra que empleamos para le propia variable. 0.

Velocidad del_mouimiento 6

Para expresar la velocidad real con mayor precisión, sirviéndose de
la velocidad media, es necesario tomar un intervalo di
menor. El límite hacia el cual tiende la velocidad me
At 一 0, caracteriza de la manera más completa la velocidad del
punto en el instante ¢, Este limite se lama velocidad del movimiento
en el instante dado:

v= lim Y. &
ato 46
Asi, pues, la velocidad del movimiento en el instante dado so lama
limite de la razón del incremento del espacio recorrido As al incre-
mento de tiempo At, cuando éste último incremento
tiende a cero.
Desarrollemos la igualdad (3).

Como after
As=f(t+ A) —7(9 wf
obtenemos
164010 x
o= lim EE Ie (3 1“
RE at =

que será la velocidad del movimiento no uniforme, De Fir. 56
ésto moda vemos que el concepto de velocidad del mo-
vimiento no uniforme está estrechamente unido al de limite. Sólo
a través del concepto de límite se puede determinar la velocidad
del movimiento no uniform
Do la fórmula (3) se deduce que v no depende del incremento de
tiempo At sino del valor £ y del carácter de la función 7 (9.
Ejemplo. Hallar la velocidad dol movimiento uniformemento acelerado
en, un instante arbitrario £ y on ol 一 2'sog, al ol espacio recorrido en función
del tiempo se expresa por la fórmula siguiente

4 ya
en

Solución. En el instante 1 so tiene
tendremos:

ae rt

Phas FE Ante (4218040)

leem aber an Anh (05-2004 88) — gine ite ety te
be,
aries la resta Ai;

,
à nt

0 Derivado y diferencial

Según la definición do volocidad tenomos:

de 1
rai すすりー
dia, 을 mia, (mt en) =e

Au pue, la velocidad on un instant 4 onalgl
1

의 v= et, Cuando
2 tenemos (= ューg2ー98.2 王 e

$ 2. DEFINICION DB LA DERIVADA
Sea
v=i@ 00
una fancién definida en cierto intervalo. A cada valor del argu-
mento z en este intervalo corresponde un valor determinado de la
función y = f (2).

Admitamos que el argumento < tome un incremento Az, (posi-
tivo o negativo, no importa). Entonces, la función y tomará cierto
incremento Ay. Do este modo:

al valor del argumento z le corresponde y = f (2),

al valor del argumento z+ Az le corresponde y + Ay 一
= 7 6 + Az). Calculemos el incremento de la función Ay:

dy =f@+ 40) —1 (2). e
Vonmos la razón del incremento de la función al del argumento:
Ay _ 1640016
Ar Az " #

Hallomos el límite do esta razón, cuendo Ar—> 0. Si existe
esto limite se lama derivada de la función dada f (2) y se designa
por / (2). Según la definición tenemos:

= tim OY
7
0 ses,
= tim Let Ad ZI, w

armo Az

Por consiguiente, se llama derivada de la función dada y = f (a),
respecto al argumento z, el límite de la razón del incremento de
esta función Ay al incremento del argumento Az, cuando éste
tiende a coro de manera arbitraria,

Observemos que en el caso general, a cada valor de z le corres-
ponde un valor determinado de la derivada ア (2), es decir, la deri-
vada es también función de 2.

Definición de la derivada 건

Simultáneamente con la notación ア (+) para la derivada se
emplean también, otras designaciones, Por ejemplo:

ve te de

El valor concreto de la derivada, para z = designa por
100 Y lanas

La operación que tione por objeto hallar la derivada de la fun-
ción 7 (2), se Mama derivación de esta función (so usa también el
término «diferenciacióno).

Ejemplo 1. Dada la función

2. Hallar su derivada

1) en un punto cualquiera 2,
el valor del argumonto es
삐

2) para ze.
os ef Incremento de la

Solución. 1) Cuando al
Aye (e+ Bz) 24m za + (Ae).

Formemos la mmen 은:
PRET ase,

Pasando al límite, oncontraremos la derivada de la funclön:

ay
Yeti 을 ~ lm (Qe he) 028,
어 있으 he aay Ot ee

Así, pues, lo derivada de la funciéa y===* en un punto cualquiera se
‘expresaté por!
pre.
2) Para =ー8 obtendremos:
Y beng 236,

Eienplo 2.
: yo tne y
Stan, Como Lakmrie sao, drones
ri a
보어
as
aim

ER
Be Ostern!

au
im Bm =
MT anse BE dant LT

2 Derivada y diferenstal

Observación. En el párrafo anterior so estableció que, si el
espacio s recorrido por el punto móvil, en función del tiempo t,
viene dado por la fórmula

+0,

entonces la velocidad v en el instante + se expresará por la fórmul:

qua ~ Soe fm LIO
amo dt aro at

Por tanto,

v=sæf(,
es decir, la velocidad es igual a la derivada® del espacio respecto
al tiempo た

$ 3. INTERPRETACIÓN GEOMETRICA DE LA DERIVADA

Hemos llegado al concepto de derivada, examinando la veloci-
dad del movimiento de un cuerpo (punto), es decir, partiendo de

A
Fig. の Pig. 58

razonamientos puramento mecánicos. Ahora daremos a la derivada
otra interpretación, la geométrica, también muy importante.

Para ollo es necesario, ante todo, definir Ja tangente a una curv:
en un punto dado. .

Soa una curva y un punto fijo My en ella, Tomemos en la curva
otro punto M, y tracemos una secante MoM, (fig. 57). Si el punto
M, se aproxima ilimitadamente al punto Mo, desplazándose por
la curva, la secante MoM, ocupará las diverses posiciones MoM,
MoM;, etc. Si, con la aproximación ilimitada del punto M, por la
curva al punto Mo (independientemente del lado por el que se
aproxima), la secante tiende a ocupar la posición de una recta deter-

) Cuando decimos sdarivada rrpesto a so «derivada respoto al tiempo
ete., tenemos en cuenta que, al hallar la derivada, la variable = o 이
Uempo 시 etc., se consideran' como argumentos.

Interpretación geométrica de la derivada

minada MoT, esta última se llama tangente a la curva en el pun-
to Mo (ol concepto atiendo a ocupar» se precisará más adelanto).
Examinemos la función f(z) y la curva correspondiente,
v=1(m,
en ol sistema de coordenadas roctangulares (fig. 58). A cierto valor
de z le corresponde un valor de la función y = f (2). A los valores
dados de z o y les corresponde en la curva el punto Mo (z, y). Domos
al argumento z un incremento Az. Al nuevo valor del argumento
z+ Az le corresponde un valor «incrementado» do la función
y + Ay = j (2 + Az). A ésto último lo corresponde en la curva el
punto Mi (2 + Az, y + Ay). Tracemos la secante MoM, y desig-
memos por @ el ángulo formado por la secante y la dirección positi-

va dol eje Oz. Formemos la razón 22. De la figura 58 se deduce que:

A
. = te. a)

Cuando Az tiende a cero, el punto M, se desplazará a lo largo
de la curva, aproximándose al punto Mo. La secanto MoM, girará
alrededor del punto My y el ángulo y variará, al variar Az. Si,
para Az—>0, el ángulo y tiendo a cierto
límite a, la recta que pasa por el punto Mo 2
y quo forma con la dirección positiva del eje
de abscisas el ángulo a, será precisamente la que
tangento quo so busca. Sin dificultad hallare-
mos el coeficiente angular de esta tangente: m)

team Mm tee 一 lim An pe)
TA アロ
Por tanto,
1 @) = tea, a al
es decir, el valor de la derivada f' (x) correspondiente al valor dado
del argumento z, será igual a la tangente del ángulo formado por la
dirección positiva del eje Oz y la tangente a la curva de la función
1 (2) en el punto correspondiente Mo (x, y).
Eemplo. Hallar las tangeates do los ángulos de inclinación de la lines
tangent & la curva pes en los ponton

My (34); 4 0 08. 50»
es ym; entonces:

Solución. En virtud del ejemplo 1 $ 2, s0
Do an 2
os

a Derivada y diferenctal

$ 4. DERIVACIÓN DE LAS FUNCIONES
Definición, Si la función

了一全他
tiene derivada en el punto z 一 zp, es decir, si existe
im 2 im fest A2) — fle)
en dz > ®

se dice que para el valor dado z = 과 la función es derivable o, lo
que es lo mismo, tiene derivada,

Si la función es derivable en cada punto de un cierto segmen-
to la, 의 o intervalo (a, 5), se dice que la función es derivable sobre
el segmento la, bl o, respectivamente, en el intervalo (a, 5).

Teorema. Si la función y = f (2) es derivable en un punto x = zo
será continua en este punto,

En efecto, si
Ms
그 Fo,
se tiene:
Ai.
Re Tf +e

donde y es una magnitud que tiende a cero, cuando Az 0, Pero

en esto caso

Ay =f (so) Az 十 ?An
de dondo so deduce quo Ay — 0, cuando Az— 0, 10 que quiero decir
aus a función (9) 9 continua où of punto 00 (5600 $ Y del sep
tulo ID.

De este modo, en los puntos de discontinuidad la función no puede
tener derivada. La recíproca no es cierta, es decir, que do la continui-
dad de la función y = f (2) en cierto punto z 一 za no se deduce que
en este punto la función es necesariamente derivable: la función / (2)
puede no tener derivada en el punto zo. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo {. La función / (e) está dofínida on ol segmento (0, 2] do la manera
en me

Hama, cuando 0 で = で
7 ニー cuando 1<2<2,

Esta función no tieno dorivada en
esto punto,

, aunque es continus en

Derivación de las funciones 1

En efecto, cuando As >0, se tien:
70+40-700. Un 2G 寺 49 リー一人 1
dz 96

262
Im 282
asno OF

tim
asso

cuando As < 0, obtenemos:

tim LAN 40) im HAITI 16 AE,
a 2z amo OF azo Be

Es decir, que esto limite dgpendo del siguo de As, la quo significa, a su ver,
que en el Punto 2 = 4 da función no tne derivada”. Gooméiicamieno, este

y y
ÿ TR
" +

Fig. 60 Fig. 61

2,

Significa que en el punto = == 4 Ia «curva» dada no tieno tangonto dotorminado.
La continuidad de la función on el punto = = 1 so deduce de 10 siguiente:

Ay= Az, cuando Az <0,
Au= 24%, cuando Az >0.
Por tanto, en ambos casos Ay -=0, cuando Az -» 0.
¡Ejemplo 2: La función y= VE; cuya gräftense muestran a fi

이, est

detinide y es continua para ¡odos los valores de ln vai dt
Veamos, a este función (lene derivada en el punto = = 0. Mallemos los valores
devin funcion om 2 "= 0 y on 2 Oct Az. Chando == 이 tenemos y

Cuando 2 0 + As, y+ y= FOS
Por consiguiente, E
ave VUS.
Hallemos sl limite de la razón del incremento do la función al del
argumentor -
16 起 = tim PES,
Aras
Asi pues, la razón del incremento dela función al del argumento tiende al int

ito en el punto x = 0, cuando Az» 0, y, por tanto, no tiene limite. Por
consiguiente, esta función no es dorivablé on ol punto === 0. La tangente

+) 54060 I 00840 de dura, necro que Le rate SE tends

a un mismo limite, cuando Az -+ 0, indopondientemente de la manera en que
Az tiendo a 000.

10 Derivada y diferencial

ra en eta puto forma con 01 je de ass un ángulo E, us der,
coincido con el oje Oy.

3 5. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES.
DERIVADA DE LA FUNCION yy 一 on，
SIENDO » ENTERO Y POSITIVO
Para hallar la derivada de una función dada y = f(z), basán-
dose en la definición general de derivada, es necesario:
4) dar al argumento z un incremento Az y calcular el valor
incromentado de la función:
y+ dy =f (e+ Aa}
2) hallar el ineremento correspondiente de la función:
99 =f (2+ 69 7
3) formar la razón del incremento de la función al del argument
by 7 を 49 Il),
ES) な
4) calcular ol limite de la razón mencionada, cuando Az» 0:
外 re
ae

de 1.
axmoda axe

Este método general de cálculo de derivadas lo emplearemos para
obtener las derivadas de algunas funciones elementales.

Teorema. La derivada de la función y = 2" en la que n es un
número entero y positivo, es igual a nz", es decir,

siendo y—a", y =n" Mm
Demostración. Sea la función
ya.
4) Si z adquiere un incremento Ar, se tiene:
+= (+ Aa).
2) Segün el binomio de Newton tenemos:

+

wetter

ee がオートー

E (Aa.

Derivadas de las funciones elementales. Dertvad de la función y==" 17

3) Hallamos la razón:

dy en
= 十 (aa
4) El limite de esta expresión serás
= Im Yo
~
= tim [net =D ra 9 +a fen.

Por consiguiente, y = nz"-2, lo que se trataba de domóstrar.
Ejemplo 4.

Ejemplo 2. y= 2, y = fat, i
interpretación geométrica” muy sencilla: la línea tangente a la recta y= 2
coincido con esta recta, soa cual fueso el valor de 2, y, por tanto, forma con
la dirección positiva del ojo Oz un ángulo cuya tengento es igual’ a 1.
Observemos que la fórmula (I) es válida también, cuando n es
negativo o fraccionario, como comprobaremos en el $ 12,

Ejemplo 3. y=V/
Representemos esta función en forma de potencia

yá.
ln (1) (teniendo en cuenta la obsorvación quo acabamos

Según la !örmi
de hacer}, obtener

a4
vate

Bono de.

Reprosentemos y en forma do función potencial

Entonces,

e Derivada y diferencias

Y 0. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES y = sea 23
yoo
Teorema 1. La derivada de sen x es cos z, es decir,
si y =sen x, ÿ =008 2. a
Demostración. Demos al argumento z un incremento Az, enton-
ces:
4) y+ Ay= son (e+ Aa);

n (e+ Bz) —senz = 2 aan EEE 0

osz 士 Az 十 = 一
2

ater (er)

1 LER +4
04e in Sem din hm ler).

2
poro, puesto que
ae
sen At
lim —2 =1,
AT
2

so tiene:

cosz.

ザー lim cos (+

Esta igualdad se obtiene, teniendo en cuenta que cos z es una
función continua:

Teorema 2. La derivada de cos z eS 一 sn z, es decir,
sy=c0w2 y= son を um

Derivada de una magnitud constante 내

Demostracién: Demos al argumento z un incremento Az. Entonces:
y+ Ay=cos(e-+ Az);

stars eb Arte

Ay =cos(z + Az) —cosz = — 2sen

y, teniendo en cuenta que sen x es una función continua, finalmente
tenemos:

y = «nz

$ 7. DERIVADAS DE UNA MAGNITUD CONSTANTE,
DEL PRODUCTO DE UNA MAGNITUD CONSTANTE
POR UNA FUNCION, DE UNA SUMA, PRODUCTO Y COCIENTE

Teorema 1. La derivada de una constante es igual a cero, es decir,
siy=C y C = const, se tiene ÿ = 0. 00
Demostración, y = C es una función de z tal que todos sus
valores son iguales a C para cualquier x.
Por tanto, cualquiera que sea el valor de z, so tiene:
=H = の
Demos al argumento z un incremento Az (Az 5% 0). Como la
función y conserva el valor C para todos los valores del argumento,

se tiene
y+ dy =f (z+ A7)=C.

[개 Derivada y diferencial

Esto quiere decir que el incremento de la función es igual a cero:
dy=1(+ Am) —1 (2) =0.
La razón dol incremento de la función al del argumento es

y. por tanto,

y= lim Mo,
arse Az
es decir, y = 0.
Este resultado tiene una sencilla interpretación geométrica.
a gráfica de la función y = C es una recta paralela al ejo Oz. Por
tanto, la línea tangonto a la gráfica coincido con esta recta en cada
uno de sus puntos y, como consecuencia, forma con el eje Oz un
ángulo cuya tangonto y es igual a cero,

Teorema 2. El factor constante se puede escribir fuera del signo de
derivada, es decir,

si y=Cu(z), donde C=const, entonces y =Cu'(x). (N)

Demostración. Razonando como en el teorema anterior, tenemos:

y= Cu (a),
y+ Ay=Cule+ An),
Ay= Cu (e+ A2) — Cu (a) =Clu(e + 49 —u (2,
cut Az) —u(z)
eigen,
y = lim Mee lin LED EE, esdecir, 太一 Cu (a).

1
Ejemplo 4. ya.
Vi

sa)

Dertoada de una magnitud constante Bt

Teorema 3. La derivada de la suma de un número finito de las
Iunctones derivables es (gual a la suma de las derivadas de estas fun-
ciones).

Por ejemplo, qu' el caso de tres sumandos tenemos:

vue) +0 + (a) y = u ()4v (940 @. (VI)

Demostración: Para los valores del argumento z se tiene:

y=u+o+w
(para abreviar, omitimos z en la designación de la función).
Para el valor del argumento x + Az tenemos:
y + dy = (u Au) + (v + do) + (w+ Au);
donde Ay, Au, Av y Aw son incrementos de las funciones y, u, 0 y w,

que corresponden al incremento Az del argumento z. Por con-
siguiente,

Ay

Ay_Au | Av, Aw
Aud Av dv, AV Ay Av, Aw
SA 세 ast det As

sn MY Au Av Aw
Yim 22 = Jim 224 lim 22
Tes node artes dns ae

6
y =u ()+v @) +o (2).
Ejemplo 2. y=3—L
wma (3) ram
ae,

3. à

lan 十村一人-
ee rs 7;

Teorema 4. La derivada del producto de dos funciones derivables
es igual al producto de la derivada de la primera función por la segunda,
más el producto de la primera función por la derivada de la segunda, es
decir, si y = uv, entonces y = wu + w. 000

Demostración. De un modo análogo al teorema anterior, obte-

(u + Au) (+ Av) — uv = Auv + ud + Au Av,

이, Le sxpreslón y = u (2) — »(e) en idhntien ala expresión y = u @)
+ CS a © Mates ale prin v= (4
Y= WO Cr 04 tl (0 = 0 (a

6-54 2

Derivada y diferenetal

Ay_ Au. Av
Bea Motu 外二 Au

Av
¡= lim M tim Log lim zx 各二 lim ur 各一
x ing A

Av
=| lim 一 lim + lim Au Mm —
(am ae rn rm Sete 은

ya que u y v no dependon de Az,
Analicemos el último término del
lim ae lim 42,

Puesto que la función u (z) es derivable, será también continua.
Por tanto, tim Au = 0. Además
Av
Im Lo,
amor
Así, el término examinado es igual a cero y en dofinitiva tenemos:
y =uv+uY

Basándonos en el teorema demostrado se deduce fácilmente la regla
para la derivación del producto de cualquier número de funciones.

Si tenemos, por ejemplo, el producto de tres funciones

y= ww,

entoñces, representendo el segundo miembro como producto de
u y (ow) obtenemos: y = wi (ou) + u Qu) = uw + u (0 +
+ 000) = ep + ww + ww, Do la misma manera se deduce
una fórmula -análoga para la derivada del producto de cualquier
número (finito) de funciones. Es decir, si y ll... Un; tenemos:

Y 一 Ulla» à > Unes MU à à Uca 十， «FU woe ls

Ejemplo 3. Si 62300 2. so tiene

y'=(22)' sen 24-22 (sen 2)! = 2x son x-+2* 008 2,
Ejemplo 4.Siy=VZsenzcosz, so tiene:
v'=(V2) sen z cos z + Vz (son 2)’ cosz4+ 1/3 sen a (cos 2)! =
son x cons + VE cos 0092 4-V 3 en x (son 2)

aye
m7

A A 7S cos 25.

avr

Derivado de uno magnitud constante 8

Teorema 5. La derivada de una fracción (es decir, del cociente de
la división de una función por otra) es igual a otra fracción que tiene
por denominador el cuadrado del denominador de la fracción dada y por
numerador, la diferencia entre el producto del denominador por la
derivada del numerador y el producto del numerador por la derivada del
denominador; es decir st y =, se tiene y - GR. 0000

Demostración. Si Ay, Au y Av son los incrementos de las funcio-
nes y, u, v que corresponden al incremento Az del argumento =
entonces se tiene:

ut du
rer

u _vdu—udv

ッ pe+49「

Az v(v+Ay voran)"

Sey yey tim Au tim Ar
tim Mem tim ds 새기 larve az

VE toda ace oo 十 A9 pHm w+ 49
にと 0

Observando que Av—0, cuando Az 0*), obtenemos:

Ejemplo 8. 위 y E

ym econ (cons) Stems estos

Observación. Dada una función del tipo

+ tendremos:

en la que el denominador C es una constante, para derivar esta fun-
ción no hace falta recurrir a la fórmula (VIII); en este caso es més

"Nim Av = 0, ya que la función 0603 es derivable y, por consiguiente,
continua.
6

& Derivada y diferenctas

conveniente la fórmula (V):
(La) 1
5 T
Es obvio que este mismo resultado se obtiene, aplicando ‘la
formula (VIII).
Ejemplo 6. Si ーー tendremos:

人 es)" semz
ge

$3. DERIVADA DE LA FUNCION LOGARITMICA
Teorema. La derivada de la función loge zs igual a À 10800 es
Ligue. OX)

decir, si y = logax, se tiene y”

Demostración. Supongamos que Ay es el incremento de la fun-
log, x, correspondiente al incremento Ax del argumento 工

y+ Ay = log, (e+ Ax);

a+ bx
=

Ayzlog (e+ 82) — logs x == logs
A+ ( =),
nas トラ

Multiplicando y dividiendo por x el segundo miembro de la última
igualdad” obtendremos:

Designemos por a la magnitud 2 . Para un valor dado de z, a 이
si Az0, Por tanto

loge (+).

Ay
Az

Derivada de la función compuesta 85

Sin embargo, como se sabe, ($ 7, cap. Il),
im +0)" =e.
ano
la expresión que se halla bajo el signo de logaritmo tiende
al número e, el logaritmo de ésta tiende hacia log, e (en virtud de
는 00000 de la función logarítmica). Según esto, tendremos en
jefinitiva:

ザー lim 2 lim Lion (+0)

axe

Loge.

Considorando que logs e= 7.5, la fórmula ohtenida puede escribir-
se como sigue:

Veamos el siguiente caso particular, Si en esta fórmula a = 이
Ina = Ine = 1, es decir, cuando y = in z, se tiene

00

$ 9. DERIVADA DE LA FUNCION COMPUESTA

Supongamos y =f (2) una función compuesta, os decir, una
función tal que 00006 se representada on a forma eguiento
= F (u =p (2)
o y=Flo (a) (cup. 1, 68. La variablo 4 on la expresión y-=F (u)
se denomina argumento (variable) intermedio.
Establezcamos la regla de derivación de una función compuesta.

ㆍ Teorema. St en cierto punto z la función u = @ (2) tiene por

derigada ui = 9 (e) y la función y = F (u) liene por derivada ya =

세 (u) para el valor correspondiente de u, la función compuesta

y = F 19 (の ] en el punto dado x tendré también derivada, cuya expre-
sión será:

w= Fwy),

donde u debe ser sustituida por u = y (2). La fórmula obtenida se puede
ezpresar en forma abreviada, como sigue:

U Valle

El Derivada y diferencial

es decir que la derivada de una función compuesta es igual al producto
de la derivada de la función dada respecto al argumento intermedio u por
la derivada del argumento intermedio respecto a 2.

Demostración. Para un valor determinado de =, se tiene:
u=9()y=FW.
Para el valor incromentado del argumento z + Az, tenemos:
ut du =o (e+ da), y + Ay =F (ut Au).
Al incremento Az le corresponde el incremento Au, al que,

a su vez, corresponde el incremento Ay; adomás, cuando Ar ~ 0,
Au y Ay tenderán también a cero, Según la hipótesis:

Mo
tim My,
so

Según la definición de límite, obtendremos (para Au + 0):

May, +a 0
donde a +0, cuando Au~» 0. Escribamos la ecuación (1) en la forma:
Ay= a Au +o Au, o

Soa cual fueso a, la ecuación (2) se verifica también para Au = 0,
puesto que se convierte en identidad, 0 = 0. Cuando Au = 0,
suponemos que a = 0. Dividiendo por Az los dos miembros do la
ecuación (2), tonomos

Han a @
Según la hipótesis:

Pasando al límite en la ecuación (3), cuando Az — 0, hallarem:

的
Ejemplo 1. Dada la función y=son (at), hallar y¿- Intorprotemos la fun-

ción propuesta como función de función:
PP
Tenemos yu=c09u, 발머.

Derivada de la función compuesta 내

Por tanto, según la fórmula (4):
en monde
y sustituyendo u por su expresión, obtenemos en definitiv
Ven con (28).

Ejemplo 2. Dada la función 一 (ln aa hallar yz. Representemos la fun-
ción propuesta de la forma siguiont

yaw uml.

Tenemos

ms at

or consgsiente
oa 二 -an 二，
Si la función y= f (x) es tal que puede ser representada en la forma
y=F(u), Pe), v=Hlz),

su derivada yz se obtiene, aplicando sucesivamente el teorema anterior.
Sabemos que

Ya Vil
Aplicando el mismo teorema para hallar uz, tenemos:

y sustituyendo en la primera igualdad el factor uz por su expresión,
obtenemos:

5 Va pas 6)
Va = Fu (u) gs (0) va (2).

Ejemplo 3, Dada la función ye sen (la 2)9), hallar yz. Roprosentemos
la función propuesta en la forma

yannu, mot, veins,
Tenemos

lero ge
NE

Vene,

y finalmento:

v= eos (ln 2-8 daze 은 .

Hay que toner en ciente que la funció
cuando こと a =

caminada está definida sólo

88 Derivada y diferenctal

$ 10. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES y = tg 2,

ター eigen, y= nl | A
Teorema 1. La derivada de la función y = tgz es igual a =,
an

es decir, sl y = tax, y=

costa”
Demostración. Sea

sonz
cosa *

de la fórmula para derivar fracciones (véase fórmula (VIII), $ 7,
capítulo III), se tiene:
yo en Deosz —senz(cos2)' coszeos2 —sens(— seno _
coña cota
est _ 4
cost cose”

Teorema 2. La derivada de la función y = cotg zes igual の一ーー

es decir:
의 y=cotga, ザー . 000
Demostración. Sea
cosz
sen”
se tendrá
yy = 60930 sone —cos (senal | —senasenz —coszeosr _
id sx sena
se 十 cos 了

sen?

Ejemplo 1. Si y=tg VE,

Derivadas de las funclones y= tg i y= cotg ai ÿ = In iz] 89

Ejemplo 2. Si 612 cotg ,

Par sat (a) aan

is 2062 passes ~~ LÉ

Fig. 62

Teorema 3. La derivada de la función y = In | x | (fig. 62) es
igual a À, es decir,

= 미피 yes ID

Demostración. a) Si z>0, se tiene |z [= 2, In 121 = Inv,
y por tanto:
1
yap
b) Supongamos que 2<0. Entonces |z | =—z. Pero
In [21 = In (2),

(observemos, que si z<0, ~2>0).
Interpretemos la función y = In (—2) como función compuesta,
haciendo

Entonces,

Do este modo, para los valores negativos de x también se veri-
fica la igualdad

“ese

Por tanto, la formula (XIII) queda demostrada para cualquier valor
de 20 (para x = 0 la función In |z| no está definida).

0 Derivada y diferenctal

Y 11. FUNCION IMPLICITA Y SU DERIVACIÓN

¡Supongamos que los valores de dos variables, z e y, se encuentran
ligados mediante una ecuación que, simbólicamente, escribire-
mos a

Ft, y =0. (a)

Si la función y = f (2) definida en cierto intervalo (a, 6) os tal
quo, al sustituir y on la ecuación (1) por la expresión f (+), la ecuación

Y Y
Fig. 08 Fig. 64

se convierte on una identidad respecto a z, la función y = f (2)
recibo el nombro de función implícita determinada por la ecuación (1).
Por ejemplo, la ecuación

P+y—a=0 o

determina implícitamente las siguientes funciones elementales
(figuras 63 y 64):

ョーーテ o
ッーーがーテ ⑳

En ofecto, al sustituir y por sus oxprosiones en la ecuación (2),
la convertiremos en identidad, os decir

P+ (et 29 — a = 0.

Las expresiones (3) y (4) se han obtenido mediante la resolución
de la ecuación (2) respecto a y. Sin embargo, no toda función, dada
implícitamente puedo ser representada en forma explícita, es dectr,
en forma y= 7 (z)*, donde 7 (2) es una función elemental.

Si La función viene dada en la forma y = (2), o dico quo esté dada
en folma pie o que ‘at uaa ción 00066 Ot

Función implícita y su derivación El

Por ojemplo, las funciones dadas por las ecuaciones
ザーリーデー0

E
y—2—Lsony=0,

no pueden ser expresadas mediante funciones elementales; es decir,
no Pueden ser resuoltas respecto a y.

Observación 1. Es netesario señalar que los términos «función
explícita» y «función implícita» no caracterizan la naturaleza de
la función, sino la manera en que ésta viene dada,

‘Toda función explícita, y =f (2), puede sor representada también
en forma implícita, y ~ f(z) = 0.

Veamos cómo se obtiene la derivada de una función implícita,
sin transformarla en explícita, es decir, sin representarla en la
forma y = f (2).

Supongam:

que la función viene dada por la ecuación
P+ye=0
Si y es una función de z, determinada por la ecuación anterior,
ésta será una identidad.
Al derivar ambos miembros de la identidad respecto a 2, con-
siderando que y es una función de z, obtendremos (aplicando la

obtenemos:

es decir, ol mismo resultado.
Examinemos un ejemplo más de función implícita y en fun-

ción de 2:
ザーリーデー0.
Derivemos respecto a z
Oy — y — 22 = 0,

e Derivada y diferencial

y hallamos
e
一全
Observación 2, De los ojemplos citados se deduce que, si se trata
de hallar la derivada de une función implícita para un valor dado

del argumento z, es preciso conocer primeramente el valor de la
función y para el mismo valor dado de 2.

$ 12. DERIVADAS DE LA FUNCION POTENCIAL
CON EXPONENTE REAL CUALQUIERA,
DE LA PUNCION EXPONENCIAL
고 DE LA FUNCION EXPONENCIAL COMPUESTA
Teorema 1. La derivada de la función 2”, en la que n es un múmero
real cualquiera, es igual a nz"-, es decir,
si ya", se tiene y net 00
Demostración. Supongamos que z>0. Tomando logaritmos
de la función dada, tendromos
hy=nInz

Derivemos ambos miembros de la ecuación respecto a z, con-
siderando que y es función de

Ed
ym を

Introduciendo aquí el valor y = 2", obtenemos en definitiva:
yon,
Es fácil demostrar que esta fórmula es correcta también, cuando
2 <0, siempre que 2” tenga sentido*).
Teorema 2, La derivada de la función a%, en la que a>0, es
igual a a In a, es decir,
siya’, y-atlna 000

Demostración. Tomando logaritmos de la igualdad y = a*,
se tien

Wy=zle. -

인 Dicha fórmula ha sido ya demestrad (3 5, cop. HIN para el caso en
que » es un número entero y postttvo. Ahora la fórmula (1) queda generalizada.
para cualquier número constante n.

Derivadas de la función potencial con exponente real cualquiera 98

«Perivemos la igualdad obtenida, considerando y como fun-
ción de を

ty =Ina; y=ylna,
o sen

1, y obtenemos la fórmula:
000)

Si la base es

Ejemplo 4. Dada la fonción

yen,

Interpretómosla como función compuesta, introduciendo el argumento
intermedia u;

yet, unt
entonces,
yan”, umd.
vie ete eee,
La función en la que tanto la base como el exponente son funcio-
nes de z se Mama función exponencial compuesta. Por ejemplo,
(sen の 28%, 2%, (ln 2)* y, en general, toda función de la forma

yor mu)

Por tanto,

Teorema 3.
Si y=u”, entonces y = vu" "té +u°v Inu. (xy)
Demostración. Tomemos logaritmos de la función y:
ln y =v In w.
Derivando respecto a x la igualdad obtenida, tenemos:
OS $

de donde:

pif).

Introduciendo la expresión y = u”, obtenemos:
yw uo nu.
? Tal función se suelo lamar también exponencial potencial 0 potencit
exponencial.

& Derivada y diferencial

Ast, pues, la derivada de la funeiön exponencial compuesta
consta de dos términos que se obtienen del siguiente modo: el primer
sumando si, al derivar, suponemos quo u es función de z, mientras
que v es constante (u° so interpreta como función potencial); el
segundo, si suponemos que v es función de z, permaneciendo u cons
tante (u? se interprota como función exponencial)

Ejemplo 2. Si war yori) o,
TEN

Ejemplo 3. Si y=(sonz)”, tondromos

y 23 (son 29-1 (sen 2)! + (sen 2)** (et) In sen em
at (sen ay! cos +(sen 2)" 2 In son z.

El procedimiento, aplicado en este pärrafo para calcular deri-
vadas, consiste. en hallar primeramente la derivada del logaritmo
de la función dada. Este procedimiento se utiliza ampliamente en la
derivación de funciones, y, a veces, simplifica mucho los cálculos.

Ejemplo 4. Hallar la derivada do la función

Pl
ee
Solución. Tomando logaritmos, encontramos:
Da pin (et) nennt
bros do la igualdad:
ee ee ae
EI ES

Multiplicando por y, y sustituyendo y por

I rire
Hm Vad
ce Tresn- rl.

Observación. La expresión “<= (In y), que es la derivada

respecto a z del logaritmo natural de la función dada y = y (a),
so Mama derivada. logarítmica.

$ 13. FUNCION INVERSA Y SU DERIVACIÓN
Supongamos,
y=1() (a)

es una función creciento (fig. 65) o decreciente definida en cierto inter-
valo (a, à) (a <b) ($6, cap. 1). Hagamos f (의 = ㅇ y f(b) =d. Para
concretar, en adelante consideraremos sólo la función creciente,

Examinemos dos valores diferentes x, y za pertenecientes al
intervalo (a, 8). De la definición de función creciente se deduce
que, si 1a, y =f (2), Ye =f (22), entonces yy < Yo. Por
tanto, a dos valores z, y 2, les corresponden dos valores diferentes

Derivemes ambos mi

btenemos

Función inversa y su derivación »

ys e ve de la función. La recíproca también es cierta. Es decir, si

Y < Yer in = 7 (0 0 ya = f (22), entonces, de la definición de fun-
ción ereciente, se deduce que z, < 자, Deeste modo, entre los valores
de x y los correspondientes de y se establece una relación biunívoca.

Y

Dr ES
Fig. 65

Interpretando los valores de y como valores del argumento,

y los valores de x como. valores de la función, obtendremos z como
función de y:

=?) e

Esta función so denomina inversa de la función y = / (2).

Reciprocamente la función y = (2) es la over de la función
=? 0.

Razonando del mismo modo, se puede demostrar que una fun-
ción decreciento también tiene su inversa.

Observación 4. Indiquemos, sin demostración, que, st la función
creciente (decreciente) y =} (2) es continua en el segmento la, bl,
siendo f (a) = ¢ y f (0) = à, entonces la función inversa estará ‘deft
nida y será continua en el segmento le, dl.

Pig, 66 Fig. 67
Ejemplo 1. Sea la función y = 23. Esta función es crecionte en el intervalo
Infinito 一 co <z <-+ 00 y su inversa ea == 7/7 (Lig. 66)
Observemos que la función inversa < == p (y) se halla, resol-
viendo la ecuación y = f (z) respecto a =.

% Derivada y diferencial

Ejemplo 2. Sea la función y = ex. Esta función es creciento en el intervalo
infinito => ao ごェー oo; mu Invorsa 에 == In y. EI dominio de delinición
de ésta es 0 こッニナ (lg, 07).

Observación 2. Si la función y =f (2) no es creciente, ni decrecien-
te en cierto intervalo, ella puede tener varias funciones inversas*).

Ejemplo 3. La función ym za está definida on ol intervalo infinito
— 022.24 co. No és creclento, ni deereeiente, ni tampoco tieno función

love. E 의 avale 0 <= < ce dea

función es creciente y su inversa os z = Y.

Y En elintervalo = co テー0 la misma función

será decrociente y su inversa es x = — Vy
die. 68)

Observación 3. Siendo y = f(z) y テー
=@ (u) funciones recíprocamente inver-
sas, sus gráficas se representan. por una
misma curv

Pero, si designamos por z el argu-
mento de la función inversa y por y la
propia función, entonces las gráficas de

Fig. 68 Jas dos funciones serán ya distintas en un
miemo sistema de coordenadas.

Es fácil ver quo las gráficas serán simétricas con respecto a la
bisoctriz del primer ángulo de coordenadas,

Ejemplo 4, En la figura 67 están trazadas las gréficas de la función y = e*
(o deen gy y de a invers, y= laz, examinadas en el ejemplo 2

El siguiente teorema nos permitirá calcular la derivada de la
función y = f(z), conociendo la derivada de la función inversa.

Teorema: Si para la función

v-i@ 他
existe una funcién inversa

z= oy) @
tal que en un punto analizado y tiene derivada q (y), distinta de cero,
entonces la función y = f(z), en el punto correspondiente x, tiene

derivada Y (a), Iguala tay es decir, se verifica la fórmula

了四

(XVI)
Er) e

+) Insstimos que, al decie que ty es función de 2, entendemos quo y de-
pond de do 06. wer

Función inversa y su derioación 9

De este modo, la derivada de una de las dos funciones rocíproca-
mente inversas es igual a la unidad dividida por la derivada de la
segunda función, para los correspondientes valores de z e y*).

Demostración. Dando a y el incremento Ay, de la igualdad (2)

deducimos
Az = $ (y + Ay) — e (Y).

Como « (y) es una función monótona, se tiene Az 5% 0. Escribamos
la identidad

at
E
Ay

Por ser continua la función ç (y), Ar—0, cuando Ay -> 0.
Tomando el límite, cuando Ay-+ 0, en ambos miembros de la
última identidad obtenemos:

4

Kas,
a
o sea, ,
“ 1
7 のーーの

es decir, llegamos a la fórmula (XVI).

Observación. La fórmula (XVI) se puedo obtenor también, apli-
cando el teorema de derivación de funciones compuestas.

En efecto, derivemos los dos miembros de la igualdad (2) res-
pecto a z, considerando que y es función de z:

1=4WY
de donde:
4
TON

La interpretación geométrica es evidente. Examinemos la grá-
fica de la función y = f (2) (fig. 69). La,misma curva será la gráfica

*) Cuando escribimos f (0) oy, consideramos que, al caleula la derivada,
tomamos = como variable independiente. Cuando escribimos g' (y) o sy, conside
ramos que, al calcular la derivada, la variable independiente & y, Öbserveies
Que despubo de obtener la derivada respecto © y qu figura en el 2° miembro
ee neceario muse y por Y Gh

98 Derivada y diferencial

de la función z = @ (y) en la que z se considera como función e yy
como variable independiente. Consideremos un punto M 6, y)
do esta curva. Tracemos una tangente-a la misma en este punto.
Los ángulos formados pot la tangente mencionada y las direcciones
positivas de los ejes Oz y Oy los designaremos
Y yen) Box a y $ respectivamente. En virtud de los
resultados obtenidos en el $ 3, acerca del signi

ficado geométrico de la derivada, tenemos:

7⑨⑲ 王 tgg
a } 9

De la figura 69 se deduce que, si «a です +80

2 g =” ti
iene: A
Pig. 69 pers

Ahora bien, si a> 7, naturalmente 0 = = 一
Por consiguiente, on cualquier caso
“8 = cotga

de donde
tgatgp = tgacotga
of sea
1
wa=—.
aT)

Introduciendo aquí las expresiones de tg a y tgB de la fórmula (3),
obtenemos:

E 1

7⑨ ニーー・

ay)

$ 14. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS
Y SU DERIVACIÓN

4) Función: y = arcsen 2,

Examinemos la función

z=sen y “a

y construyamos su gráfica, dirigiendo el eje Oy verticalmente hacia
arriba (fig. 70). Esta función está definida en el invervalo infinito

ーーこりご Ba olsegmento—<y<, la función z=sen y

Funciones trigonométricas inversas y su derivación 的

es creciente, sus valores llenan el segmento 一 4 £ x < 1. Por eso
la función en y tiene su inversa, que se escribe así: y = arcson 2*).

Esta función está definida en el segmento —1<z<1, sus
valores llenan el segmento 一 5 <y <}- A

En lo figura 70 la gráfica de la función 4]
y = arcsen z va on línea gruesa.

Teorema 1. La derivada de la función déni
aresen z es iguala An, og deci, I 70
ne .
si y=aresen z, ee サーーーーー. (XVIII)
Ya CV 4
Demostración. Según la igualdad (1) ng
tenemos: Fig. 70
2 =008y,
y conforme a la regla para derivar la función inversa, será;
7 1 1
到一了一二一，
고 000
pero
cosy=V1 —seny=V1—2.
Entonces
he 4
NAF

La raíz leva el signo positivo, porque el valor de la función y =
= aresen z se encuentra en el segmento — À < < 중 de donde

cos 0,
Ki voue,

a 4 a
ya ya
Ejemplo 2. y= (ars)

+7 Observamos que la igualdad y = aresen = conocida del curso de
nometría, es otra forma do dscrible In Igualdad (1). Aquí (ludo y significa
alores de los ángulos, cuyo seno es Igual a.

”

400

Derivada y diferencial

2) Función: y — arceos 2.

construyamos su
Esta función est

+ co, En el segmento 0 y <x la función z

minemos la función
08 Ys

=

@

y dirijomos el eje Oy hacia arriba (fig, 71).
ida en el intervalo infinito 一 oo <y < +

defini
cos y es decrecien-
te y tiene su inversa designada ast:

y y = arccos を
” Esta función está definida en el segmento 一 1<
<z<1. Los valores de la función llenan el
y segmento x >y>0. En la figura 71 la gráfica
de la función y = arccos 2 va en línea gruesa.
er Teorema 2. La derivada de la función arccos
1 sg
4 ae 2 es Igual a — gg» 08 decis si y=arocosz,
= 1
se tiene yf =——_— + (XVII)
Fig. 1 Vi-2 0 D
Demostración, Según la igualdad (2) tenemos:
a —seny.
Por tanto,
Pero cos y

En la igualdad sen y = V1 — cos” y la raíz lleva el signo positi-

vo, porque los valores de la función y = arecos z se encuentran
en el segmento 0 ぐり mi por consiguiente sen y > 0.

Ejemplo 3. ywarccos (tg 2),

Ñ .
TE

3) Función:
Examinemos

arctg z.
función

Funciones trigonométricas inversas y tu derivación 101

y construyamos su gráfica (fig. 72). Esta función está definida para

todos los valores de y, excepto y= (2k+4) F-(E=0, +1, +2, ...)-

En el intervalo ーテ <<} la función z= tg y es creciente
y tiene su inversa;

y=arcigz
La función está definida en el intervalo 一 co <z< + 00 y sus
valores llenan el intervalo — 중 <y <> En la figura 72, la
gráfica de la función y = arctg z va en línea gruesa,
Teorema 3. La derivada de la función arctg x es igual a

Te
A Fa:
es decir, 0 y = 20066 a, se tone y = pat. (XIX)
Demostración, Según la igualdad (3) tenemos:
0000
Por tanto,
pero
Ejemplo 4. y (aretga)t,
y arety 2 (rete a)’ = (oretg a) Ez
4) Función: y = arccotg 2.
Examinemos la funcién .
z= cotg y. 4

Esta función está definida
y=kn(k=0, +1, +2). La gráfica de la función está representada

todos los valores de y, excepto

102 Derivado y diferencial

en la figura 73, En el intervalo 0<y<x la función z=cotgy
es decreciente y tiene su inversa, la cual se designa asi:
y = arccotg z.
La función, por tanto, está, definida en el intervalo infinito
一 <z< 十 co y sus valores llenan el intervalo x > y > 0.

Fig 78

Teorema 4, La derivada de la función arceotg x es igual a— ビュ 5

es decir,
1

si y=arecotgz, se ti +.
y tg, se tiene y 142 (xx)
Demostración: Según la igualdad (4):
1
Cay

Por consiguiente,
jen son? ——
= i 17000
Pero

Luego,

Tobla de las fórmulas fundamentales para la derivación 108

$ 15. TABLA DE LAS FORMULAS FUNDAMENTALES
PARA LA DERIVACION
Agrupamos ahora en una tabla todas las fórmulas fundamentales
y reglas de derivación, obtenidas en los párrafos anteriores.
Fórmulas fundamentales

y = const, y =

Función potencial:

y=2
en particular,
y=Vz
4
こと

Funciones trigonométricas:
y=senz, y=coz,
y=cosz, y =-—senz,

1
costa”

y=tez,

ッーcotgz ye.
sen

Funciones trigonométricas invérsas:

y=aresenz,
y=arecosz,
y=arctgz,

yourcotgs, Ver

Función exponen
a, yZatIna;

104 Derivada y diferenetal

en particular, +
yar, y=e.

Función logarítmica:

Pe
= loge, y =logae;

en particular,
+A
y=Inz, ザニーー・

Reglas generales de derivacié:

09. YY 一 cc C=
ute, ザーザキザー
youn 아피
=
E,

Ves fu lu) la,

you, ザー + uy Inu,
Si y=1(@), z = q (y), donde f y @ son funciones reciproca-
mente Ínversas, entonces:
1
1 (1) ==, donde y=/(2).
e 4

$ 16. REPRESENTACION PARAMETRICA DE FUNCION

Consideremos dos ecuaciones
==09(0,
0
var,
donde £ toma valores comprendidos en el segmonto [7,, Tal. A cada
valor de £ le corresponde los de z y de y (suponemos que @ y y son
funciones univocas). Considerando que los valores de = y de y son
Jas coordenadas de un punto en el plano Ozy, a cada valor de £ le
corresponderá un punto determinado del plano. Este punto deseri-
be cierta curva en el plano, cuando £ varía de 7, hasta 7;. Las
ecuaciones (1) se denominan ecuaciones paramélricas de esta cur
1 toma el nombro de parámetro y el método de dar la curva median
te las ecuaciones (1) se llama método paramétrico.

Representación paramétrica de función 105

Supongamos ahora quo la función z == q (0 tenga su inversa £ 一

— ® (2). Es evidente que y, en esto caso, es función de x;
ャニャ IO 001. @

De este modo, las ecuaciones (1) determinan y en función de x y se
dice que la función y de z viene representada paramétricamente.

La expresión y= f (2) quo muestra como y dependa directamente
de x, se obtieno eliminando ol parámetro £ de las ecuaciones (1).

EI método paramétrico de dar las curvas se usa ampliamente
en mecánica. Si en el plano Ozy so desplaza un punto material
y sé conocen las leyes del movimiento de sus proyecciones sobre
los ejes de coordenad

z=, } dé
y=, 9

dondo el parámetro tes el tiempo, las ecuaciones (1’) serán las ecua-
ciones paramétricas de la trayectoria del punto en movimiento,
Eliminando en estas ecuaciones el parámetro t,
obtendremos la ecuación de la trayectoria on la “| と
forma y =f (2) o en la forma F (x, y) =0.

Tlustremos esto.

Problema. Húllego la trayectoria y el punto de caida ©
de un 04000 ‘arrofada desde un avidn quo 00 desplar
horizontalmente a In altura ye con velocidad ve (eo puedo
preseindir do la tesistoncia del aire).

Solución. Tomomos el sistema de coordenadas que
muestra la figura 74, Suponemos que el cuerpo es arrojas Fig. 74
dea al nato on que avión cru ell 0 ED ut ,
lento que el desplazamiento horizontal del cuerpo. Será uniforme con la
Velocidad. constante ver

zeit.
La caída vortical del cuerpo por efecto de la gravedad se oxpresa mediante
la fórmula:

2

Por tanto, en cualquier instante, la distancia del cuerpo a la tiorra se expre-
sand por la lórmula:

Las igualdades

son las ocuaclones paramétricas de la trayoctoria. Para elimfoar el parémetro
£ hallamos de la ecuación primera su valor ¢= ~Z- y hacemosen la sogunda

406 Derivada y diferencial

ecuación la sustitución correspondiente, obteniendo entonces la ecuación
do la trayectoria.

ーー
Esta es Ja ecuación de la parábola, cuyo vértice se encuentra en el punto M (0, ye),
E scabs

Fe fat el gent OC: Designer por X sac
e ets val na ral
RUN

un

4) 쏟

$ 17. ECUACIONES PARAMETRICAS DE ALGUNAS CURVAS

Supongamos una cireunferoncia de radio r, con centro
coordenadas (tig. 75).

CL
KL

Fig. 75

de donde:

Cirounferer
en el origen de In

Designomos con tal ángulo formado por el radio trazado por el punto
ey el fe Os, Entoncs, les coordenadas 00 cual
qui lato d arate do Opreurn Por med dl arm # Como
signe:

arcos,

y=rsent,
Estas son ecuaciones paramétricas do la circunforencia, Si climinamos on estes
uaciones el parámetro 1, obtendremos la ecuación de la circunferencia que

contiene sólo 2-0 y. Blovando al cuadrado las ecuaciones paramétricas y su-
méndolas, tenem

} OS

A+ Par? (eo t+ sind
コキロー
Elipse. Escribamos la ecuación de una elipse:

Er o

Ecuaciones paramétricas de algunas curvar 107

ææacost. (20
Introduciendo esta exprosién en la ecuación (1), obtendremos
y=bs0n t. a)
ge
peer o

son eouaciones paraméticas do la liso.
Aclarenos ol significado goométice del parámotro £. Tracamos des cir
gunfarwelas do radios a y 8, con conto an el orign de coordenadas lg: 10).
Supongamos que sl punto Mr (es の oe halla en la

Sins Y ol panto 2, que Hao la pisa abotion que y
RON

radio. Desighemes con fof ángulo formado" por

radio OB y el oje Oz. De la figura so deduce e
2=0P e cont focuación (291, 2)
Com van. 7 >

En victud do la eeuaeien (2°) doducimos, que

GO = y, es deci, Insecta CAM le paralal a 9
(Ge, Pofoneiguleite, en lan aeuncionee (2), à repre:
Son el ángulo formádo por el radio OB yl ojo de
Has veto dl 0040 0 60006 ángulo
Ea se y meno fe man à
cueva descrita por un punto de la clreuntorenciee
cuando ésta rueda sin resbalar sobre una linen roota (tig. 77). Supongamos que
인 “punto AY de la eirgunferenela coincide, al peinciplo del movimiento, don
시 elgon de coordenadas. Detsrminemes Jas coordenadas del punto Af pn

y

Fig. 76

fat
de haber grade a clara, al 62610 6. Déni yore st 26810 de
人 on movimiento: Como a6 Yo où le figure 77,7
2=0Pm03— PB,
och i E
OB=MB=at, PB=MK:

2 sent.

108 Derivada y diferencial

Por tanto, 2=at-a sent=a (sont).
Luego,
y=MP=KB=0B—CK =0—a costura (も一 com の

Las expresiones
ame (sen),
y=e(t—eost),

son ccusciones paramótricas do In cicloide. Cuando £ varía de 0 a 2n, el pun-
to Mf describo un arco de la ciclofde.

Eliminando el parámotro £ en estas ecuaciones, obtenemos la forma en que
= diroctamonte depende de y. En ol segmento 0 < {<a la función y =
= < cos 4) tiene por inversa

Jo<i<im ®

u
marc tH

enaSustitovende € on la primera ccuncién del sistema (9) por su uspresin,

artem SILVER, para 0.52 <a.

De la figura so deduce que, si

ee

e Go <2na se tino:
entre (san VAR).
Désirs due a tación
za

tiens su inverea, pero dsta no so expresa mediante funciones olementales, Por
eso la función y => f(z) tampoco se expresa mediante funciones elementales,

Observación 1. En el ejemplo de la icloldo so vo quo en algunos casos las
ecuastones Peraméiricas son más cómodas un el análisis de funcione y CUEVAS,
‘Tuo la dependencia directa cntre 0 y.

Astroide. Se da el nombre de astroide a la curva representada por las
siguientes ccuaciones paramétricas:

sacs,
yaa sen 4,

} 0<r<2n. 44)
Elevando todos los términos de ambos miembros de los dos ecuaciones
a la potencia 2/3 y suméndolas, obtonemos la dependencia entre = e y:

3 2 2

Eo nat kosten),

o bien,

Derivada de la función dada paremétricamente tm

Más adelante (5,12, cap. Y) demostremos, quo dicha curva tiene la forma
«quo ae expone en la figura 76. Esta curva puedo intorprotarso como trayectoria

de un punto de la cireunferencia do radio 은 , quo rueda, sin resbalar, sobre otra
circunferencia de radio a, quedando siompre dentro de la mayor (tig. 78).

Fig. 78

Observación 2. Sofalemos quo la función y = / (+) no es la única que
se dotermina por las ecuaciones (4) y (5). Estas ecuaciones determinan en rea-
Hidad dos funciones continuas on ol segmento —a = < + a, una de las cuales
toma valores no negativos y la Otra, Valores no positivos.

$ 18. DERIVADA DE LA FUNCION
DADA PARAMETRICAMENTE

¿Eurongemos que la representación paramötrica de la función
y dez es

a

y que, además, estas funciones tienen derivadas y la función
2 = (9 tiene por inversa t= D(2) que, a su vez, también tiene
derivada. En este caso, la función y 一 (2), definida por las ecuacio-
nes paramétricas, puedo ser interpretada como función compuesta.

y=90,t=0().

Aquí. £ es el argumento intermedio.
Según la regla para derivar función compuesta, tenemos

Yi = Vi DL (a). 0)
Del teorema de derivación de función inversa tenemos:

AS

4
CT]

10 Derivada y diferenziel

Introduciendo esta expresión en la igualdad (2), obtenemos:

000)

Con la fórmula obtenida se puede calcular la derivada, y, de la

función dada paramétricamente, sin recurrir a la expresión de la
dependencia directa do y en función de z.

Ejemplo 1. La función y de = está dada por ecuaciones paramétricas
num Y oem

ター sent,

o sea,

sa dE:
Calcular la derivada 을:
4) para cualquier valor de 4:
2) para
Solución.

(e sen ty
De Geen

au,

mlo 2. Haller dl corficionto angular de la Linea tangente a la

nd, ymeG 一 ee の

en un punto arbitrario (0-<t<2m).
Solución. El cooficionte angular de In tangente en cada punto es igual
al valor de la derivada y, en este punto, es decir,

Pero

en rimas,
y. 0 ato nah
x asent a と a_t
sea EE mene mt ($4)

Por consiguiente, el coeficiente angular de la línea tangente a la cicloide
en coa un de sus puntos ee iguala tg (A), done ten ol valor del
perk ememdiee ena ponto Ena limo sgt me nl a
Se inclinación de ln ines tmden con reapesto a 080 2 0 igual a À
(era Les valores de ud entro 一 xy のの

pn clio d conicint angular Igual a 162, dnde sl falo

Funciones Mperdólicas a

$ 19. PUNCIONES HIPERBOLICAS
En muchas aplicaciones del análisis matemático se encuentran
combinaciones de las funciones exponenciales del tipo + ee)

y 글 (€ + 07). Estas combinaciones se consideran como funciones
nuevas y se designan:

snbr=Í = y cpm te

00

Fig. 79

La primera de estas funciones (1) se denomina seno hiperbélico
y la segunda, coseno hiperbólico. Con estas funciones se pueden defi-

i senhz
nir dos funciones més: tai h 2 = PRE

y coth a= RE, es decir,

デーと

dr

ㆍ tangente hiperbólica ]

a)
cothz=

cotangente hiperbölien. J

do inclinación do la tinea tangent respecte al je Os. Do aquí gas
10 (32) y a RL en 00000 valores de 4. para los culos
sat

5 ve halla 0000 O y x.

se Derivada y diferencial

Las funciones senh z, cosh x, tanh z tienen por dominio, eviden-
temente, todos los valores de z. La función coth z tiene el mismo
dominio, a excepción del punto z = 0,
Las gráficas de l: ee hiperbólicas están representadas en
los figuras 79, 80,
Des doinición de las funciones senh z y cosh = 16rmwles (01
se deducen correlaciones análogas a las conocidas entre las funciones
trigonométricas correspondientes:

cosh?'z—senh*z=1, 人
cosh (a-+0) = cosh a cosh d+
+senh a senh な ®
senh (a+ 0) senhacosh b+
+eoshasenh b. e)
En efecto,

cosh? z 一 senh* x=
(Hr) デー
«E

BER ad 2 Da

+2

Fig. 81

Considerando que

ee
cosh (at DE,

obtenemos:
cosh a cosh d-+sonh a senh b=

Late pet nes à

a 25 tre 3

LE GD 479 ott ee

4
’ eth ee

ーー

Del mismo modo se demuestra la fórmula (3).

=cosh(a+ b).

Funciones hiperbólicas 413

El nombre «función hiperbélicas se debe a que las funciones
senh £ y cosh £ desempeñan on la representación .paramétrica de
la hipérbola,

Popol
el mismo papel que las funciones trigonométricas sen £ y cos t en la
representaciôn paramétrica de la circunferencia
Py.
En efecto, eliminando el parámetro £ en las ecuaciones
22 009 ty = sont
obtendremos:

6
고 + y? = 1 (ecuación de la circunferencia).
Análogamento,
= cosh な

y = senh +
son ecuaciones paramétricas de la hipérbola,

24 y? = cost t+ sent et

>

nt

Fig. 62 Fig. 88

En efecto, elevando al cuadrado estas ecuaciones y restando la
segunda de la primera, obtendremos:

고 — y! = cosh* £ — senh* £.

Ya que la expresión del segundo miembro, según la (2), es igual
a la unidad, tenomos:
デーが

que es la ecuación de una hipérbola.

Examinemos la cirounferencia, dada por la ecuación 2° +- y? = 1
(fig. 82). En las ecuaciones = = cos 1, y = sen t, el parámotro £
equivalo numéricamente al ángulo central AOM o al área doble S
del sector AOM, ya que t = 25.

2594

ua Derivado y älferenstal

Señalemos sin demostración que en las ecuaciones paramétricas
de la hipérbola
2 = cosh #,
. y = senh t
el pardmetro £ es también numéricamente igual al área doble del
«sector hiperbölico» AOM (fig. 83).
__ Las derivadas de las funciones hiperbólicas se determinan por
las fórmulas:

人 enh 吉一 cosh «(tamhay =—* >
A 0000
(csh 一 sanka (cothaY ==,
que se obtienen de la propia definición de función hiperbólica;
por ejemplo, para la función senh テーニーニー。 se tiene:
ee

$ 20. DIFERENCIAL

Supongamos quo la función y =/(2) ee derivable sobre el
segmento (a, 5]. En un punto z del segmento fa, 5] la derivada de
esta función se determina por la igualdad

4

ウー
Im Zero.

Cp)

Cuando Az 一 0 la razón ¿Ltiondo a un número determinado

Y (2) y, por tanto, se diferencia de la derivada f (2) en una magni-
tud infinitamente pequeña:

Merete,

donde a+ 0, cuando Az + 0.
Multiplicando todos los términos de la última igualdad por
Az, obtenemos:
Ay=f' (2) Az +abz. Mm
Dado que en el caso general f/ (x) + 0, entonces, cuando z es
constante y Az -> 0, ol producto f (2) Ar es una magnitud infini-
tamente pequeña de primer orden respecto a Az. El producto cAz

Diferencial 115

es siempre una magnitud infinitamente pequeña de orden superior
a Az, ya que

ifs Sm in amt.

Así, pues, el incremento Ay de la función se compone de dos
sumandos, de los cuales el primero recibe el nombre [cuando /" (2) €
+ 0] de parte principal del incremento, que es lineal con relación
a Ar. 1 producto (z) Az se denomina diferencial de la función
y se designa por dy o df (2).

De modo que, si la función y = f (2) tiene derivada f” (<) en el
punto z, el producto de ésta por ol incremento Az, del argumento
se llama diferencial de la función y se designa con el símbolo dy, o sea,

dy = f (2) Az. @

Hallemos la diferencial de la función y = z. En este caso

f=@=1,
y, por tanto, dy = dz = Az o dz == Az. De este modo, la diferen-
cial dz de la variable independiente x coincide con su Incremento Az.
La igualdad dz = Ar podría considerada como definición de la
diferencial de una variable independiente, y, en este caso, ol ejemplo

examinado demostraría que ello no contradice a la definición de
diferoncial de la función. En cualquier caso la fórmula (2) so puede

escribir asf:
dy =f (2) dz.
Pero do esta correlación se desprende que
CEA

Por tanto, la derivada f (2) puede ser considerada como rasón
de la diferencial de la función respecto a la diferencial de la variable
independiente.
eniendo on cuenta la fórmula (2), escribamos la fórmula (1) asf:
Ay = dy + ade. ®
Así, pues, el incremento de la función difiere de la diferoncial
do ésta en una magnitud infinitamento pequeña, de orden superior
respecto a Az. Si ア (<) #0, aAz es una infinitesimal de orden
superior también respecto a dy, y, por tanto:
A abr
tim SY 14 lim E44 16
了

a6 Derivada y diferenctat

Esto nos pormite, a veces, utilizar en los cálculos aproximados la

igualdad aproxi

Ay = dy, 的
o, en su forma desarrollada,
(十 42) —1@ ペア (2) Az, @)

con lo cual se abrovian los cálculos,
Ejemplo 4, Calcular la diferencial dy y el incremento Ay de la función
voz
4} para valores arbitrarios de = y Az,
3} Para valores T= 20, As Ole
Solución: 1) Aym(s+ era 2587 A,
Ava) 62226.
2) Si 2=20 y Arm01 entonces:
Ay=2-20.0,8-+(0,5)8=4,01,
@y=2.28.04 0,

El error quo resulta de la sustitución do Ay por dy es igual a 0,01. En muchos
casos se To puedo despeciar, por consider poque en Comparación son

= hol.
Y El probleme oxaminado so ilustra en la figura 84.

En cálculos aproximados se usa también la
igualdad aproximada que so obtiene de la cout
ción (

1(+8)=J() +1 (942 ©
Ejemplo 2. Supongamos f(2J=sen 2, Entonces,
0000
En este caso, la igualdad aproximada (8) tomers la
Fig. 24 forma

son (2485) = sen 2-c08 85 o
Catcilemgó el valer aptoedo de 00240 Refesde emi,

tenemos

wat,

Pp te Ep
aan 2

Introduciendo on (7) los valores calculados, obtenemos
a

wa (Pt o) poo À À

os,

sa VE, Vis
sin = VE + VE nor +-0,7071-0,017

Diferencial 17

Ejemplo 8. Si en la fórmula (7) hacemos ==0 y Ara, obtendr
ha siguio igualdad aproximadas > dd

sara.

Ejemplo 4. Si f(z)—=tg2, sogún la fórmula (6), obtonemos la siguiente
ES (6), obton iguient

tet Ae) = tert airs A
cuando 2=0 y Az=a, obtenemos:
ana.
Ejemplo 5. Si /()= VS, la fórmula (6), nos di

VERTER Vito

Haciendo #1 y Az=a, obtenemos la igualdad aproxims

Visite

El cálculo de la diferencial de una función se reduce en realidad
al céleulo de la derivada, ya que, al multiplicar la última por la
diferencial de argumento, se obtieno la diferencial de la fun
Por tanto, la mayoría de los teoremas y fórmulas que se refieren
a las dorivadas, siguen siendo válidos también para las diferencia-
les. Por ejempl

‘La diferencial de la suma de dos funciones derivables u y v es igual
a la suma de las diferenciales de estas funciones:

duty = du + do.

La diferencial del producto de dos funciones derivables u y v se
determina por la fórmula d (uv) == udo + 004. Domostromos esta
última fórmula, Si y = uv, se tien

dy = y dz = (u/ + vu!) de = ude + wa

pero
vide = dv, wide = du,

luego,
dy = udv + v du.

Del mismo modo se demuestran las otras fórmulas; por ejemplo,
la que determina la diferencial de un cociente:

200
Ed

Veamos algunos ejemplos de cálculo de la diferencial de una función.

si y=Z, se tiane dy=

448 Derivada y difereneial

Ejemplo 6. pmtets, dpm tiga loz ae

Ejemplo 7. ym VIF TRE, dy E Las,

2Vipins =

Hallar la oxpresión de la diferencial de una función compuesta.
Supongamos

y=/(0),u= 9 (2), oy = flo (I.
Según la regla de derivación de función compuesta, se tione:
ay
de
dy = fa (u) Y (2) dz,
pero 9 (aldz = du, luego, dy 一了 (u) du.

Do modo que, la diferencial de una función compuesta tiene la
misma forma que ésta tendría en caso de que el argumento intermedio
u fuera la variable independiente. En otras palabras, la forma de la
diferencial no depende de que el argumento de la función sea variable
independiente o sea función de otro argumento. Esta importante pro-
piedad de la diferencial, que se conoco por invariancia de la forma
de la diferencial, la usaremos con frecuencia en lo sucesivo,

Ejemplo 8, Sn la función y een V3, Malla dy,

Solución. Interpretando esta función como función compuesta, 60 tienos

ron us Ve,

= fa (04 (a).
Por consiguiente,

de dondo

4
2Vz

pero como

dy=cosudu 6 dy=cos(V/3) (VA).

$ 21. SIGNIFICADO GEOMETRICO DE LA DIFERENCIAL
Examinemos la función
y=1()
y su correspondiente curva (fig. 85).

“Tomemos en la curva y =f (2) un punto arbitrario M (2, y),
tracemos una tangente a la curva en este punto y designemos por &
el ángulo” formado por la tangente y la dirección positiva del
ーー Suponiendo que la función / (+) tonga derivado finita on ol punto +,
PER

Derivadas de diversos órdenes 419

ejo Oz. Demos a la variable indopendionte un incremento Az;
entonces la función recibirá el incremento Ay = NM. A los valo-
res z+ Az, y + Ay corresponderá en la curva y =f (2) el punto
Mi @ + Az, y + Ay).
En el triángulo MNT encontramos:
NT = MN tga.

Como
tga =f (2), MN = Az,
tenemos
NT=f (Wa.
Pero, según la definición de diferencial, f (2) Az = dy.
Entonces, NT = dy.
s
4 y
ls
FRET > テ
Pig. 85 Pig. 86

Esta igualdad significa que la diferencial de la función f (a),
correspondiente a los valores dados de = y Az, es igual al incremento de
ordenada de la tangente a la curva y = f (2) en el punto dado 2.

En la figura 85 se ve que

MIT = by — dy.

Sogún lo domostrado antes, 7-0, cuando Az - 0.

No siempre Ay es mayor que dy.
Asi, como se deduce do la fig. 86,

Ay=MN, dy=NT, es decir, Ay<äy.

$ 22. DERIVADAS DE DIVERSOS ORDENES

Supongamos que la función y = f (2) es derivable en un segmento
a, bl. Los valores do la derivada /" (2) dependen de z, es decir, la
derivada 7" (2) también es función de z. Derivando esta última función,
obtendremos la llamada segunda derivada de la función 7 (2).

La derivada de la primera derivada se denomina
segundo orden o segunda derivada de la función primitiva y so designa

120 Derivada y diferenctal

por el símbolo y” o 7" (x):
= 07"
Por ejemplo, si y = x, se tiene
y =5x% y = (Sr) = 202.
La derivada de la segunda derivada se denomina derivada de
tercer orden o tercera derivada y designa por y”, o sea, f” (x).
En general, la derivada (de Pus orden) de la derivada del
orden (n—1) se denomina derivada de n—ésimo orden de la función
1 (2) y se designa por el símbolo WV o /0 (2):

yay =f),

(El orden de la derivada se pone entre paréntesis para no confundislo
con un exponente de potencia).

Las derivadas de cuarto, quinto, sexto, etc. órdenes pueden
designarse también por cifras roman: PV, y, y WI, . .. En este
caso el orden de la derivada se puede escribir sin paróntesis. Por
ejemplo, si y = 2, se tiene:
ザー52 y = 202, y = 60%, y = yl) = 1202, y” = yl =
Ati Ed
Pr ceo ze

AT ea Ras

E 6

加-

yoo (43)
msn (2425).
poema (494),

ass (2144),

voran (2402).

Del mismo modo se obtienen las fórmulas do las derivadas de
cualquier orden do otras funciones elementales,
Obtenga Vd., como ejercicio práctico, las fórmulas de las deri-
vada de メー ésimo orden de las funciones y = 24, y = cos =.
In z.
Las reglas indicadas en los teoremas 2 y 3, $ 7, se pueden general’
zar para cualquier orden de derivadas.

Derivadas de diversos_brdenes 121

En el caso dado, son evidentes las fórmulas:
A A

Demostromos la fórmula (Mamada do Leibniz) para calcular la
derivada de n—esimo orden del producto de dos funciones u (<) 2 (2).
Para obtener esta fórmula, hallemos primero varias derivadas
consecutivas y establezcamos después la ley general aplicable para
el cálculo de una derivada de cualquier orden:
uv,
we ae,
十 zz wu 2 + we",
wy buy $e be" Hu us” =
Sut Bud + Bo" +”,

My + buy’ + GUY + au" + uv",

Se ye que la ley de la obtención de las derivadas es válida para
derivadas de cualquier orden y es como sigue,

Se desarrolla la expresión (u + u)" por la fórmula del binomio
de Newton y en la serie obtenida se sustituyen los exponentes do
u y v por los indices del orden de las derivadas; además, los exponen-
tes cero (u° w = 1) que entran en los términos extremos del desa-
rrollo, se sustituyen por las propias funciones (es decir, por las
«derivadas del orden 00000:

Patino demi PE erg ru
Es decir, hemos obtenido la férmula de Leibniz.

En rigor, se pudo llegar también a esta fórmula por el método
de inducción matemática completa (es decir, demostrar de que,
siendo válida la fórmula para el n —ésimo' orden, es válida también
para el orden n ++ 1),

Elemplo 3. Dada la función y==e*%=*, Hallar la derivada y.

San ae :

ym eB na’

es decir,
vn mes a (a) a,

22 Derivada y diferenctal

$23. DIFERENCIALES DE DIVERSOS ORDENES

Supongamos la función y = f(z), donde z es una variable
independiente. La diferencial de esta función,

dy = f (2) dz,

es cierta función de x. Poro de z puede deponder sólo el primer fac-
tor f' (2), puesto que el segundo, (dz) es un incremento de la varia-
ble independiente z que no depende del valor do ésta, Como dy es
función de z, se puedo hablar de la diferencial de esta función.

La diferencial do la diferencial de una función se denomina
segunda diferencial o diferencial de segundo orden de esta función
y se designa por d'y:

200 = Py.

Hajlemos la expresión de egunda diferencial. En virtud de la
dofinición general de diferen: tenemos:
dy = If 095
Puesto que dz es independiente de z, al derivar, dz se escribe
fuera del signo de la derivada. Así, tendremos
Py = 7" (2) つか
En la potencia de la diferencial se omite el paréntesis. Por
ejemplo, en lugar de (dz)? se escribe dz*, sobreentendióndoso que

se trata del cuadrado de la expresión dr; (dz)? se escribirá dx y así
sucesivamente.

Se llama tercera diferencial o diferencial de tercer orden de una
función a la diferencial de la segunda diferencial de esta función:

Py = d(Py=lf" (9 02108 = fr (dr.
En general, se llama diferencial de n-ésimo orden a la primera dife-
rencial de la diferencial del orden (x — 1),
ay = da" y) =[f"- (a) dF de,
dy af” ar. @
Sirviéndonos de las diferenciales de diversos órdenes, la deri-

vada de un orden cualquiera puede ser expresada como la razón de
Jas diforenciales del orden correspondiente:

ro=%

Derivadas de dlvertos órdenes de funciones tmplicitos 123

Conviene anotar, sin ombargo, que las igualdades (1) y (2) (para
n > 1) son válidas sólo en el caso de que z sea una variable inde-
pendiente”).

$ 26. DERIVADAS DE DIVERSOS ORDENES
DE PUNCIONES IMPLICITAS Y DE FUNCIONES
REPRESENTADAS PARAMETRICAMENTE

4. Veamos con un ejemplo el método para obtener las deriva-
das de diversos órdenes de las funciones implícitas.
Supongamos que la función implícita y de z viene determinada
por Ja igualdad
로고

été
Derivando respecto a z todos los términos de esta igualdad

y teniendo en cuenta que y es funcién de z, resulta:

2y do,
OF de

1=0. (ty

de aquí hallamos
Br

7

(2)

Volvamos a derivar la última igualdad respecto a z (teniendo
en cuenta que y es función de 2):

a rl

PE
Sustituyendo aquí la derivada Z por su expresión en la igual-
dad (2), se obtiene:
Ye
«Ez
y witty
dé oe 007
) Sin embargo, la Igualdad (2) ls scribiramos también en el caso en que,
no we variable Independiente, pro enone, las expres Él. DE
20 deben considerar como ropeosontación simbólica do las de

124 Derivada y diferencial

y simplificando:
Pay + Bet)
ay

De la ecuación (1) se deduce
ay! + Bist = gt,
luego, la segunda derivada puede ser presentada en la forma:

À

a

a 7

Dorivando la última igualdad respecto a z, hallamos £4 y así

sucesivamente,
2. Veamos ahora el modo de hallar las derivadas de órdenes
superiores de la función representada paramétricamente.
Supongamos que la función y de z vieno dada paramétrica-
mente por

z=,

o, } BIST, o

y la función =p (0 en el segmento If, 7] tiene su inversa, +
t= OG).

Se ha demostrado en el $ 18 que en este caso la derivada SH so
determina por la igualdad

的

Re
SIRR ほ

Para hallar la segunda derivada zu derivemos respecto a z la
igualdad (4), teniendo en cuenta que £ es función de z:

dy
dt

SUR, 6)
de à

RS
NE

la).
a \ ae J at
de

Derivadas de diversos órdenes de funciones implicitas

125
pero
~, ae
a fia) a
“at \ a
at

Esta fórmula se puede escribir on forma compacta ast:
du _¢ Ov tt AU HUN

(Or
De la misma manera so puede hallar las derivadas
ENE
inci Aa hl dons ve ccoo arin
2m0cost, y=bsent,
haar ds aaas 을 . 을 -
Solution
쓰 :
Gran Bean:
ay, dy

Haven Tee sent

boost

E

dy. (a ven D (5 sen D —(b cost) (—a cost) b 4
Am

asno CEI

126 Derivada y diferenelat

$ 25, INTERPRETACIÓN MECANICA.
DE LA SEGUNDA DERIVADA

El espacio s recorrido por un cuerpo en movimiento de trasla-
ción en función del tiempo £, se expresa así:

.=1(0. 0

Como es sabido ($ 1, cap. 110, la velocidad v del cuerpo en un
instante dado es igual a la primera derivada del espacio recorrido
respecto al tiempo:

> a

Supongamos que en cierto instante # la velocidad del cuerpo
era v. Si el movimiento no es uniforme, en el intervalo de tiempo
At a partir de £, la velocidad variará, recibiendo el incremento Av.

Se denomina aceleración media en el tiempo At la razón. del
incremento de la velocidad Av respecto al del tiempo:

mer

Se denomina aceleración en un instante dado el límite do la razón
del incremento de la velocidad respecto al del tiempo, cuando
éste tiende a cero ・

Av
= in 22,
6

es decir, la acoloración (on el instante dado) es igual a la derivada
de la velocidad respecto al tiem]

pero como v= ES so tieno, por consiguiente:

Es

o sea que la aceleración del movimiento rectilíneo es igual a la segunda
derivada del espacio recorrido respecto al tiempo. De la igualdad (1)
tenemos

a=f (0.

Beuactones de 10 linea tangente y de la normal 427

Ejemplo. Hallar la velocidad » y la aceleración a de un cuerpo que cas
ibremiónte on al espacio por tie de la gravodad, el el espacio recorrido depen”
de del tiempo 1, según a sigulento formule:
ane eto, @
donde ¢=9,8 m/sog es la aceleración de la gravodad
Y toting, el valor de 이 cuendo t=0.
Solución. Derivando, hallamos:

cto @

Do esta fórmula se deduco ve = (0)
Derivando una vez más, hallamos:

zu
nn.
Reefprocamente, al la aceleración de cierto movimiento, permanece cons-
tanto y es igual n g, la volocidad se expresará por la igualdad (4), y el espacio
recorrido por la (3), a condición do quo (tms m 2% Y Gime = tu,

4 20. ECUACIONES DE LA LINEA TANGENTE Y DE LA NORMAL,
LONGITUDES DE LA LINEA SUBTANGENTE Y DE LA SUBNORMAL
Sea una curva cuya ecuación es

y=1(.
“Tomemos en esta curva un punto M (x, ys) (fig. 87) y escriba-

mos Ja ecuación de la tangente a la curva dada en ol punto M,
suponiendo quo esta tangente no sea paralela al eje de ordenadas.

Fig. 87
Le ecuación 00 una recta, del coeficiente angular k, que pase
por el punto M, es de la forma
Yy—N=k (22).
En el caso de la tangente ($ 3), E
k=f (2).

128 Derivada y diferencial

Por tanto, la ecuación de la tangente será:
yu =f @) (64).

Conjuntamente con la tangente a la curva en el punto dado,
surge con frecuencia la necesidad de estudiar la normal.

Definición. Se: denomina normal a la curva en un punto dado,
a la recta quo, pasando por éste, es perpendicular a la tangente
trazada por el mismo punto.

De la definición do normal se deduce quo su cooficiente angu-
lar kn está rolacionado con el coeficiente angular ke de la tangente
de la manera siguiente:

haat,
%
es decir,
ha Se
760

Por tanto, la ecuación de la normal a la curva y =f (2) en el
punto M (x), yı) tiene la forma

tangento y de la normal a Ja curva

Solución, Puesto que y” eficiente angular do la tangente
signal's (ant = 3. Por Consiga ecuación de la tangento sera
DAA 6 pode,
La ecuación de la normal os:

v zen
0 son,
ie
v4.
dig. 98).

La longitud 7 del segmento do la tangente QM (fig. 87) com-
prondido entre el punto de tangenciay el je Oz so denomina longitud
la tangente. La proyección del segmento indicado sobre el eje Oz,
es decir, el segmento QP, se llama subiangente y su longitud se
designa por Sp. La longitud N del segmento MR se llama longitud
de la mormal y la proyección RP del segmento RM sobre el eje Oz
toma el nombro de subnormal y su longitud se designa por Sy.

Ecuaciones de la línea tangente y de la normal 429

Hallemos los valores 7, Sy, N, Sy para la curva y = / (2)
y el punto M (xy, yy).
En la figura 87 podemos observar que
QP=ycoga= UM,
tea Y

por tanto,

al mismo tiempo esta figura muestra que

PR = 1 tee = Wis
y entonces

lu
N=Vi+ QG) = lus VA + vel.
Las fórmulas indicadas han sido obtenidas en el supuesto de que

1 주 이 y; > 0. Sin embargo, son válidas, también, para un caso
cualquier:

Fig. 88 Fig. 89

a fle tas alte LA re
é=acost, yabsni の
u), en el cual t= (fig. 89).
ecuaciones (1) deducimos
5 (4) =.
i ae), ae

e

en el punto M (
Solución. De
az

Ain ~atent;

9-54

190 Derivada y diferencial

Hallemos ahora las coordonadas del punto do tangencia Af:

= ab
mean OY
Ecuación do la tangente: > rt て osa bs+ay— ab VI=0.

Ecuación do la norms

ver a
vorge (en), os em Vicario.
Longitudes do la subtangente y de la subnormal:

Longitudos de la tangente y de la normal:

VEIA
Be

#27. INTERPRETACION GEOMETRICA
DE LA DERIVADA DEL RADIO VECTOR
RESPECTO AL ANGULO POLAR

Supongamos que tenemos una curva cuya ecuación en coorde-
nadas polaros os
e=f (6). a)

Escribamos las fórmulas para transformer las coordenadas
polares en cartesianas:
2 = pcos8, y = psend.
Sustituyondo p en estas ecuaciones por su expresión mediante 9
en le ecueción (1), tendremos:
== (0) c0s8, y =f (0) send. 他
Las ecuaciones (2) constituyen la representación paramétrica de
la curva dada, sirviendo de parámetro el ángulo polar 9 (ig. 50).
Designando por q el ángulo formado por la tangente a la curva
en cierto punto M (p, 6) con la dirección positiva del eje de abscisas,

Interpretación geométrica de la derivada del radio vector 내
he
。 ceci
LI os, tgp= ・全
opens

Designomos por u el ángulo formado por el radio vector y la
tangente, Evidentemente, à =p — 0
ge 一 Wee

4 填 tgwtg0

Sustituyendo tg q por su expresión (3) y haciendo las transfor
maciones correspondientes, obtenemos:

(6 sen 0-+ pcos 0) 005 8 — (pcos 0 — psen 0) sen 0 p

(pcos 0— psen 0)cos 0 + (p'sen 8 + pcos 0) seno pl

y ten

ten

o bien
Ampere 6

De modo que la derivada del radio vector respecto al ángulo
polar es igual al producto de la longitud del primero por la cotangen-

Fig. 90

te del digulo formado por el radio vector y la tangente a Ja curva
en el punto dado. 3
Ejemplo. 0
Cno iustración, demostrar que la tangento a la spiral Jogurmica
fp eo forme con el radio vector Un nulo édite.
Sotución. De la ecuación de la espiral deduces: 9 = ae. En v
do la 9908 (9, obtenemos: 000 MEER

cotgu= Dune, es decir, nmarecotga=const,

192 Derivada y diferencial

Ejeroiclos para el capítulo II

Partiendo do la dofinición de derivada, hallar las derivadis do las
funciones:

yaa Respuenta: 32, 2, y=Í. Respuesta: Sy. 8. ym VE. Respues-
1 1 1

ee
aya ye EXA

sen 200s, 6. ya2st—z, Respuesta: hz 一
Bsterminas fas. tangentes 9e éngulos 6 inclinación 00 los linaas tan
ntes a las curvas:
リー35. a) Cuando zei. Respuesta: 8, b) Cuando >—1. Respuesta: 3;
—4. b) Cuando

construir la gráfica. 8. y=_.. a) Cuando x=1/2. Respuest
; construir la gráfica. 9. y== YE cuando っ 2 Mes

Ea

A 0 ee
ne Vegan Respuesta: y= E
zp

ie 베어 det
2 Respuesta: y SEE, 14. yoo, Respuestas
2 二 $3
voten, 15. 二 825 十 4 十 25. Respuesta: y =2437 4:10:42. 16. =
Ys 4 きき。 +»
(CAR

し
272 ya E

My Respeto:

pues

13,

=VE+VI+Í. Respuena:

TN
Respuenos y SERED,

y

Respuestas y=
まき
rn

すす pete (422) Rome weist
Pr 2. peo e+ 办， Toapucata vor Gate.
Dr IO Rap ra pag eae

RETRO aie peo or!
A Br a 3.10

tap POSE. m LOGE, nam PO eng.

2 ne E
人

Ejercicios para el capitulo DI 193

ya PM) 2" per) |

20. ya(29—8)%. Resp. y Ball).

(amp

MM yom (at. Resp. yr=10r (244-08 32 y VFA Resp, ザー
= TE
= 88. pute AA TEE.

ya er YAMS Pen Y
Rup, m —+ a e pee Li -0
waves YA FA
36. yp PST. Resp. y — SH. 57. pli WE). Resp.
y AA Ve ET ver) AP.

Ps o Va Var Ve. Rap. アー

PEN ONE We
een 41, y= tg (ax+d). Resp.
We

Resp, y"=200822¢0532—8 son 2z son Be. Ah. ymcotgtdz. Re
ーー10cotg 5e cso? 2. 45. y=030n 1-COS. Resp. yet cost.

eap，矿一 sonat(S cos?t 一 sans 入，的 .yaY5505 下 Resp, 太一一

CA

CARTES

mmesont Y Resp. somero Los $ 0.9 dape

2econs-t sents (1g ects E)
wien Ecos. 위. y
Resp. y =—tgx, 38. yin igs. Resp. y"

Ey
£0, yee (ie 5) Ren y
Liga Rup. y migra, 52

Bisons. 5.

20062. 95. y= ET. Resp. y’msenz4-c05 2. 56,

Rep. == Se vint (+5): er. pal.
son (z+a)cos(z-+a), Resp. y'=c082(24a). 59. 1 ¡=sen(Inz). Resp.
rl, Go, f(2) mtg (In). Resp. rot 7 の =

00903. 0 f(a) —senzeas(eess). 02 riot.
arp, Lg 9g. | ey=teclg a? Heap. (mcg et 1.

(e+ り。 6 ares CAD. Rep
7. ッー1ogs (s?—sen 2).

に NO
= me

Resp. =.

사크 00
@ yon tS. Rep. ver. Oye

am e rio

me 2 テーcosr

van) in

min (e842). Resp. vH , 70. yu In (292245). Res
Rs

Resp.

134 Derivada y diferenetal

7. y=zlnz, Resp. y =lnz+A. = peinte, Resp. vd. 28. y=

œin(e+ VIFR). Re

+ Te yin (ns). Resp. v= ahs

in VAE
VAI
ep am 一 -全 .了 Ya inet VEE esp, y
AE m VAL np アー
EE. ye 一 -+ 二 me 二 Rep ve

ag 4+ 9003.
~, =

eye
mf TEE. Rep. Pelz: 76 7 の

20006 0

i

ar …

le Rup. yates. 82: 1

83. y=etsts, Resp. et 86. yoo”, Resp, 220% Ine, 85. y TO.

Resp. PT nr y= ar Resp. ャーー Ine.

A ANA E
; ne

+ Resp. y acer,

ーー

ent te El,
Mr Rep. VE . Rep. v= rtp

6008 son 2.
= (cotge +
teen (nz cos CROP

ap. ym (SSN) 10 pas.
Resp. y! =zl0 8-1 In 23. 102. y e Resp. y! =e* (t+ Ing) 2%, 103. y= (2/n)™.
von (E) (Lil E) - 6 pen Resp. sex

x (SBE +inzcoss) . 105. y=(oen 2). Resp. (sen 2) (ln sen xo cotg 2).

10, Va Ge ae, esp, ela, 107. VX
de 108. y=son VIE, Re

Resp. y == (Inz+4). 400. y=

1
Xp A ae ニー
„myizE 25162. 109. y=10%18%, Resp, y’= 10*18* In 10x

AY
xt):

Bjercicios para el capítulo 117 195

Calculo ls derivadas do ls funcions siguents, Mellado peviamente
ジェ FEN
sus logaritmos. 110. wi: Rep. vos FEED (L

ce 호 METI pes ON
+) RI me y u
a Ma ger Man ve
fet) Gert tie)
[Eee u
1224-4808 — 271 q
= MR ター > Rap ym
OTE VRR Ten ee E
RER 티지 Resp, y iS (ep a

18. ye

15. yo

(ei
X(a~ 22) (04-20: 1222). 41

= 1
maresen E. Resp. yr TA
a MU
y=(eresen mt, Resp. y'=! 18. yæarcig(e 4-4). Resp. の =
IT

Resp. ゲー

Fe 120, y arc (28).
let VIER oros 0)
AVIS

VITA Ax

areeen 금 . Resp. y =2 VETE, 16. y= VTA La arosen E. Resp.
1
Yi

ar:

Pap IH Heymarecos (tna. Resp. [=

Ha)=raresen VERE, Resp. アのーェ

本

4. 19. vo zarcschz. Resp. y

2Vi

er 00. 글. 10 yume, 4

SEE pp RE. ep vg. 198. yes,
Resp. y'=asresens seen + a) + 194, y=arcsen (sena): Resp, "=
mar Een 2 y de > 15 pe gas
Resp. Ve prise + 1 magia Y を・ don ve

106 Derivada y diferencial

203 DY 그
ーー
A Run 조그 9
atin Et 4 arg EA temp. vet

rata me E der wege Me >
win E arty FUE rep y=

Derivación de as fonos Implcts
due La | |

142. yi=4pz, Resp. FP

144. 6323 ay ab, Re

2a Fur,
A
2

=. em A A
AE 160. pce Reap, Bm
son (+ y) dy _ _1+yson (ev)

1 二 sin 十厅 a sen (zu)

+ 464. cos (zy) m2. Resp.

Hallur $4 de las funciones dadas paramétricamente:
4
る
의

A Bm cate. EA

ca eee
보노 ve Reap. JE

A. aaron, pataor Heap. Mm Bags 6 amaia; ve

186. =

O irene women oo SEA

cas pee as tangents do os ángulos de inclinación do los lfoeas tangen-

nt en ol punto x=, y= VETE. Construir la gré
fica, Respuesta: 1/ VI, 158, z=2cost, y=sont en el punto zwi, ym
= VIE. Construir la gráfica, Respuestas SVT. 460. re (isen th,

157, z=cost, の

Ejercictos para el capitulo HIT 187

ad 一 csb cuando tmn/2, Construlr la.griies, Respuesta: 1. 100.30
50001, 80026 002080 tm; Contras 14 gráic. Rare 一

151. Un cuerpo lanzado al espacio, formando con le horizontal un ángilo =,
dosiribo on el vacio, por acción de la gravodad, wan curva (parábola), cuyas

ecuaciones son: 2m yc al, Vent (gO 1/0). Sablondo que

Sapo 9080 miz. determiner la dirtción del movimiento, cuando:
25072)" 4 012, re) as

Hallar 19 diistoncites de Tin Tunciones siguientes: 162, y—(a?—24)%.
Respuesta: de —10z (8 一 zj4dz， 163. y= VIF. Respuesta: dy 一
A Respects: dymateds, 165. y=

ver
AE pinto) 900 dy ¿Et

Calcular los incrementos y diferenciales de las funciones:
466. y=223—z, cunndo z= 4, Az—0,01. Respuesta: Ay==0,0902, dy==0,03.
167. Dada y===-+2:, Hallar Ay y ay, cuando z= 1, Azq=0,02, Respuest

Ay=0,098808, dy=0.1. 168. Dada y--senz. Hallar dy, cuando 2-2/3,

Ax=a/18. Respuesta: dy Z-=0,00878. 169. Conociendo que son 60°=

= VER =0,866025; cos 60°24, hallar los valores aproximados de sen 60°"

y son 60°48", Comparár los resultados con datos tabulares, Respuesta: son 807% =
0.869451: sen 60°18" = 0,608043. 170. Hallar el valor aproximado de
1454700. Respuesta: 1.00262、 171. Conociendo quo Togo 200= 210103,
Millar el valor aproximado de logro 200,2, Nespuesta; 3,9014

Derivadas de divorsas Órdenes (72 yerari—2el.-5e—t. Haller y.

Rap: Mad. 18, ym VRE lary Mem. LS ve Ti

Mar yi, Rep, 81.198. vr. Malas Y Ron. oy
VEA, Hallar y". Resp. -—— LL. 177. y=2 VE. Hallar

AVES
JO Resp. ya 178. y=0:%+bs+e. Hallar y”. Resp. 0.179. /(2) ==

et
Kap. tente Wi. ele Mer tn， Hop. 2er:
182. (VE. Hallar #2). Resp. IDEE). 183. y=

Ez Har Ye). Resp. Ag 104. peter tat) 006 Han
ap das a+

Mar PE. Resp. cape à 185. yz (e te 5). Hallar De. esp

186. ÿcosaz, Mallas yo. Resp. a cos (ez na/2). 187. y=az. Hallar y.

Resp. (lna)Po%. 188. y=lo(1+2). Hallar yo, Resp. (- ㅡ 1007 Ea

198 Derivada y diferenztal

m. y E Ma yo, Rep tr gr 0. yee He

+ 770
ym Resp. estem. 30 potins, Hallar yO, Resp,
402. mens Hallar pt, Reap, —2-Les(Qetanid. 199. vins.
Haller y. Resp. zsen(z4nn/2)—neos(z+an/2) 19. Si “sens,

au 200. 195, das. Holla 2. Resp. 一

By , 09 be, sie

196, net patents, Hatton SE y BY reap, a Se or, ar
au

ps E
jute, Hatter Bh. rep. 을 198, nm 一 2=e tater SE,

Map. 0, 108. pmtgte-ter. Mall A

tp 이
tar el PEEP, a, ext seer Hala

EN

demostrar que y”

200. se q-cosp=

dense) a 2 ee late. cu
~ SEER) amp, yaad — tary = 0. Hotter FE erp
- z= a(t— son = a(t — cos: ator LL

pe m. @— sont), yad 一 ce0， Hallar DU.

ieee SER as

208 ame coat posant alas Lf. Rep. — ROME. 20. Danone

que (ont 2) —sonb 2; GET sons) 0h

Fousciones de lo tangente y de La normal.
Tongitudes de la sublangente y de la subnormal

207. Escribie las ocuaciones do la tangente y do la normal a le curva
2 SE Sen al punto dr (2). Respite: tangentets — y - 20 =
normal = + By 一 19 一

208. Hallar las écuacioncs do la tangonto y de la normal, las longitudes
de la subtangente y subnormal de la eircunfereneia 2% + y= r* on el punto
i yo. Respuesta: tangento zu, + yy 一 1% normal zy 一 ye = 0;

Hm
PH たに
| Demostrar_ que In subtangente correspondiente a un punto arbitrario

do la paisa = Spe ave ido gs See gn dp paren gai»
y que la subnormal es constante e igual a 2p. Construir la gráfica.

Mids RTS nd oat pose AU D 소르
eine dns. Repuestos ZH Med) A le hipérbola À

A
Lt. Reapues

= UL, at, Hallas 10 ecunción de la tangente

‘on el punto dondo =

y de la normal a la curva de Agnesi y=

的
TR
normal y=22—~3a,

Respuesta: tangente z 十 21 一

Ejercicios para el capítulo III 139

212 Domos que a normal a la curve te dde one
ute (も) pus or eigen delas riad.

243. Domostrar quo la tangente

sem (EJ) 22 en où

punto (0, の está dada por la ecuación £442,

214. Hallar la ecuación do la tangonte a la parábola y? 202 que forma
con ojo Oz un ángulo de 45%, Respuesta: yーテエ 5 [on ei punto (5, 10).

245. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia 72-+- yA == 52
paralelas a la recta 224 20 = 0, Respuesta: 2e 十 Sy 二 20 = 0.

246. Hallar las ecuaciones do las tangentes a la hipérbola 42? 一 9y* 一 36,
perpendiculares a la recta 20 十 Sz = 10. Respuesta: no existen tales tangentes.

217. Domostrar que el segmento do la tangente a la hipérbola zy = m,
comprendido ento los ejes de coordenadas, e divido porel punto de tangen
fen dos partes iguales.

22

218. Demostrar que el segmento de la tangonto a la astroido バー

= af, comprendido entro los ejes de coordenadas, tiene longitud constante.
9° Halle a à

lar sl ángulo a bajo ol cual se cortas las curvas yor o y==b%.

la subtangente, subnormal, tangente
9, va 연기 en el punto en que.

OF, Respuesta: spa; 재 에의 Tma VA No V2.
ZA, Hallar los valores sr zw. T y N para la bipocicloido = de cost,

qeda E da at,

ja sont, Respuesta: sr ニー4 son? cost;
TS

Problemas diversos

senz_ 1

和全

Calcular derivadas do las funcion +

1 1

ーーー
ーー

oros (on) aep y EHE. 26. y (ez)

(>, 550 Rep. Ver

24. vols Resp, ゲー
=. à
20. yoaresen VIFF. Resp. Vz:

에 PTT ASA

228, De, les fórmules para calcular cl volumen y L
ostra vo kart y 0409, so 000000 que Sr, Explicar 이
geométrica de este resultado. Hallar la corolaión análoga entr ol ren
jl circulo y la longitud de fa, circunforencie.

2%. En el triángulo ADC el lado a 20 expresa a través do los otros
dos lados D, € y el Angulo A, formado por estos últimos, mediante la Noe

superficie de la
dp

140 Derivado y diferencial

mula a= VF FBI A. Siendo invariables by c, a es una función
del Gngulo A. Demostrar que Em ha, donde ha as la altars dl régle

Interpretar el significado geométrico de este

, interpretar el origen de las
fórmulas: aproximados VARFE sat gr, VAP Let ger, dondo 101
es un número pequeño, en comparación con a.

251. El poriodo de oscilaciones de un péndulo vs Tera

influencia ejerce sobro el error, al calcular el valor del período 7, un error
dol 1% cometido al med
4) la longitud del péndulo 1; 2) la nceloraci6n de la fuerza de gravedad g?

798) 글 36: 2) ok Me

282. La tractriz tiene la propiedad de que en cada uno de sus puntos,
el segmento de la tangonte 7 es de longitud constante. Demostrar esto,

4) dada la ecuación de la trectriz:2=/ WTA. Han VEA @>9;

2) dadas las ecuaciones parainétricas

:
ene (Inte toot), ym sem

234, Demeter que a funció y= Cta tac la cación
ERSTE $e to m

Ya Suponiendo” qué me nom 3 20% cosz, demostrar que
. PERRET

225. Domosirar que la función ven marken) saisec 1 ame

a

236. Demostrar que, si (

a

CAPITULO 1

TEOREMAS
SOBRE LAS FUNCIONES DERIVABLES

$ 1. TEOREMA SOBRE LAS RAICES DE LA DERIVADA
(TEOREMA DE ROLLE)

Teorema de Rolle. Si una función 7 (2) es continua sobre el seg-
mento la, 이 y derivable en todos los puntos interiores de éste, reducien-
dose a cero en los extremos z = a yz = 0, If (a) = f (0) = Ol, enton-
ces, dentro del segmento 10, b] eziste por lo menos un punto, = = c,
@<e<b, en el que la derivada f (2) se reduce 0 cero, es decir,
了全一 0

Demostración. Puesto que la función f(z) es continua sobre el
segmento la, 5], debo tenor en éste su valor máximo M, y su valor
mínimo m. Si M = m, la función / (2) es constante, es decir, tiene
una valor constante / (2) = m para todos los valores de 2. Pero,
en este caso, en cualquier punto del segmento /" (x) = 0 y ol teore-
ma queda demostrado. Supongamos ahora quo M 96 m, Entonces,
por lo menos uno de estos números no es igual a céro.

Para concretar, supongamos que M > 0 y que la función toma
su valor máximo cuando x = c, ee decir, () = M. Observomos que
© es diferente de a y de 5 ya que, según la condición, f (a) =0,
4 (2) = 0. Sif 9 es el valor máximo de la función, entonces f (e +
+ Az) 一 7⑲⑨ <0, tanto para Az >0, como para Az < 0.

De aquí se deduce que:

7e 土 49ー7⑨

LOGO, cuando Ae >0; 00
ヵ CHAD EHO so, cuando Az<0, a

Ya que, según la hipótesis del teorema, existo la derivada en el
punto = = 6, entonces, pasando al límite, cuando Az + 0, obtene-

) El número e so denomine raíz de la función q (2), si @ (o) = 0

Me Teoremas sobre las funciones dertvables

mos:
lim LI; (950, cundo az
lim Het az "()>0, cuando Ar<0.

Poro las correlaciones f' (e) <0 y /" (e) >0 son compatibles
gólo para el caso en que () 쿠이 Por tanto, dentro del segmento
10, 한 hay un punto e, on el cual la derivada f (2) es cero,

El teorema sobre las raíces do la derivada tiene una interpreta-
ción geométrica muy sencilla, Si una curva continva, con tangente

2

=

4 ヶる 27 3 or ud

Fig. 91 Fig 92

en cada uno de sus puntos, corta ol eje Oz en los puntos de abscisas
a y b, entonces on esta curva existirá por lo menos un punto de absci-
sa c, a<c<b, en el cual la tangente es paralela al eje Oz,

Observación 1. El toorema demostrado es también válido para
una función derivable que on los extromos del segmento la, 2] no
se reduzca a cero, sino tome valores iguales: 7 (a) = f (8) (fig. 91).
La demostración es análoga a la anterior.

Observación 2.Si la función f (2) es tal que no tiene derivada en
todos los puntos del segmento la, dl, el teorema puede ser falso
(es decir, quo on este caso, en el segmento (a, 6] puede no existir
un punto c en el que la derivada f (2) se reduzca a cero).

Por ejemplo, la función

v=to=1-Ve
(tig. 92) es continua en el segmento [1,1] y so reduce a cero en Jos
extremos del mismo; sin embargo, la derivada

2
tE

Teorema sobre los incrementos finitos (Teorema de Lagrange) 143

no se reduce a cero dentro del segmento. Esto se debe a que dentro
del mismo hay un punto 2 = 0, en el cual no existe derivada (se
reduce al infinito).

La gráfica de la figura 93 nos da un ejemplo más de una fun-
ción, cuya derivada no se reduce a cero en el segmento 10, 2].

ザーイ 7 7
Fig. 88

Para esta función tampoco se eumplen las condiciones del teore-
ma de Rollo, puesto que la función no tiene derivada en el punto
PE

$ 2. TEOREMA SOBRE LOS INCREMENTOS FINITOS
(TEOREMA DE LAGRANGE)

Teorcma de Lagrange, SÍ Le función / (0) es continua sabre el
segmento la, bl y derivable en todos los puntos interiores del mismo,
dentro del segmento la, bl existirá por lo menos un punto c, a <<< b
en que

10) -1@ =F (0 6-0. の
Demostración. Designemos por Q el número LOL), os
decir,
っ 7@ ニ 7@ a
ba

y oxaminemos la función auxiliar F (z), determinada por la igualdad
Pl) =1(2)—1(0) —(= 00. 6)

Veamos el significado geométrico de la función F (2). Para
ello escribamos primero la ecuación de la cuerda AB (fig. 94), te-

niendo en cuenta que su coeficiente angular es igual aQ = 10-10 し
y que la cuerda pasa por el punto (a; f (a):
y—1(0)=0(-a);

de dondo,

v=1()+0(—0).

Me Teoremas sobre las funciones derivables

Pero F (2) =1 (2) — If (a) + Q (2 — a)l. Por tanto, para cada
valor de z, À (+) es igual a la diferencia entre las ordenadas de la
curva, y = f (2), y la cuerda y = f (a) + Q (2— a), para los puntos
do una misma abscisa z.

Es fácil ver que F (2) es continua sobre el segmento (a, b],
derivable en su interior y so reduce a cero en los extremos, es decir,

Fig. 94

F (a) = 0, F (b) = 0. Por eso, a la función F (2) so puedo aplicar
el teorema de Rolle, según el cual, dentro del segmento existe un
punto = = c, de tal manera que

F' (0 = 0.
Pero
| FP@=f@—e@
Es decir, Pe 10-0
0=/(0-0=
de donde d .
Q=f eo.
Sustituyendo el valor de Q en la igualdad (2), tendremos:
7 りー7⑨
mare, 00

de donde se deduce directamente la férmula (1). Asi, pues, 이 teorema
queda demostrado.

Con el fin de aclarar el significado geométrico del eres de

¡tua LOL)

Lagrange veamos la figura 94, En ésta, la magnitud LIE

representa la tangente del ángulo a de inclinación de la cuerda que

pasa por los puntos A y B de la gráfica y cuyas abscisas son a y 0.

Por otra parte, f’ (<) es la tangente del ángulo de inclinación:

de la línea tangente a la curva en el punto de abscisa c. De modo

que, el significado geométrico de la igualdad (1), equivalente

Teorema sobre la razón de lon Incrementos de des funciones 145

a la igualdad (1), es el siguiente: si por cada punto del arco AB

puede trazarse una tangente, existirá en este arco, entre A y B,

un punto C tal que en éste la línea tangente sea paralela a la cuerda

que une los puntos A y B.
Observemos, ahora, lo siguiente; puesto que el valor < satis-

face la condición a <c< bh, entonces, c—a<b—a, o sea,

c—a=0(b—a)
donde 9 es un múmero comprendido entre 0 y 1. es decir,

0<0<1.

Pero, en este caso,

c=a+0(—a
y la fórmula (1) puede tomar la forma que sigue:
I) Ka)=(b- a)fia+b—a)], 0<O< 4. wy

$ 3. TEOREMA SOBRE LA RAZON DE LOS INCREMENTOS
DE DOS FUNCIONES (TEOREMA DE CAUCHY)

Teorema de Cauchy. Siendo f (2) y @ (2) dos funciones continuas
sobre el segmento la, 5) y derivables dentro del mismo, y si, además,
4 (2) no se anula en el interior del segmento, entonces dentro de éste
existirá un punto xc, 0 < e < b tal que:

101010

A 0)
(0) — p (a) 9
Demostración. Definamos el número Q por la igualdad
ESTA o

EE '

Obsorvemos Jue q (0) — p (a) 주 이 ya que on el caso contra-
rio @ (6) sería igual a @ (a), y, según el teorema de Rolle, la deri-
vada 9 (2) se reduciría a cero dentro del segmento, lo que con-
tradice a la hipótesis del teorema.

Formemos una función auxiliar

FI — 1 (@ —Q le — HU.

Es evidente, que F (a) = 0 y F (b) = 0 (que se deduce de la
definición de la función F (x) y de la do Q). Teniendo en cuenta que
la función F (2) satisface en el segmento 10, b] todas las condiciones
del teorema de Rolle, deducimos que entre a y b existe un valor
a=ce(a<c<0) tal que F'() =0. Pero, F' (2) =f (2) 一

10 534

146 Teoremas sobre las funciones derivables

— Qe! (2) y entonces
Fl)=1()-04()=0,
de donde:

f
で本

Sustituyendo el valor de Q en la igualdad (2), obtendremos la
igualdad (D.

Observación. Contrariamente a lo que parece a primera vista,
el teorema de Cauchy no se puede demostrar aplicando el teorema
de Lagrange a los dos términos de la fracción

10-10
PU) — (a)

En efecto, en este caso obtendriamos (después de reducir la

fracción por b — a) la fórmula:

16) 10) _ fled

TT]
en la que ae <b, a << cz <b, Pero como, en el caso general,
이 cz, el resultado obtenido, no confirma, evidentemento, el
teorema de Cauchy.

44. LIMTE DE LA RAZON DE DOS INFINITESIMALES
(«CALCULO DE LIMITES INDETERIINADOS pgr mo 2»)

Supongamos que las funciones 7 (2) y @ (2) satisfacen las condi-
ciones del teorema de Cauchy en cierto segmento la, b] y se reducen
a cero en el punto x = a del mismo, es decir, f (a) yo (a) = 0,

La rozón LE} no está definida, cuando x = af pero tione, sin
embargo, un significado bien determinado para los valores de x + a.
Por tanto, se puede plantear el problema de hallar ol límite de esta
razón, cuando z =» a. El céleulo de los límites de esta indole se llama
habitualmente ecéleulo de limites indeterminados del tipo 2».

Nos hemos encontrado con problemas de este género cuando

PE y cuando hallábamos las

considerébamos, por ejemplo, lim

derivadas de las funciones elementales. La expresión 22% no

tiene sentido, cuando == 0, es decir, la función F (2) = LLE

Limite de la razón de dot infinitesimales 147

no está definida, cuando z = 0, pero hemos visto que el limite de la
expresión 24 , cuando 2=>0, existo y es igual at.

Teorema (Regla de L'Hospital). Supongamos que las funciones
7 (2) y 9 (2) satisfacen en cierto segmento la, b] las condiciones del
teorema de Cauchy y se reducen a cero en el punto z= a, es decir,

1 (a) = (a) = 0; entonces, si existe el límite de la razón LD

EN
cuando xa, existirá también im 和音 y además:

im FI tí LO.
Ol se

Demostración. Tomemos en el segmento la, DJ un punto 2% a.
Aplicando la fórmula de Cauchy, tendremos:

Jz) f(a) _ 10
var TOS

donde E se encuentra entre a y z. Según la condición, / (a) = q (a) =
= 0. Esto significa que:

了四 _10
PP a
CORTE] 4
Si za, también E-» a, ya que E está comprendida entre
2 y a. Al mismo tiempo, si im LE} = A, entonces existirá también
tim £9, igual a A. E

Está claro que:
tim LE. tim LO — ttm £ = im LO
map) all) tra g(§) rag)
y en definitiva:

dim [I tim LOL,
NT a Tr]

Observación 1. El teorema es válido también en el caso en que
las funciones / (2) 6 @ (2) no están definidas en z = a, porn

16)=0) lim ots)

Para reducir este caso al examinado anteriormente, es necesario

10°

18 Teoremas sobre las funciones dertvables

definir adicionalmente las funciones f (2) y q (2) en el punto x = a
de tal modo que éstas sean- continuas en dicho punto.
Para esto es suficiente poner

Ho lim f2)=0; 9 lim 9 四一

ya que, evidentemente, el límite de la razón L2-., cuando za,

no depende de que las funciones 7 (2) y q (2) estén o no definidas
en el punto z =a,

Observación 2. Sif’ (a) = @' (a) = 0 y las derivadas f (2)
y 9° (x) satisfacen las condiciones puestas sobre las funciones 7 (2)
y 9 (9 seua Ja Htpéeis del Lame, antens, aplicando I rege

de L’Hospital para la razón LE) e 5 , obtendromos la fórmula;

tim LEE im LE.
O ee"

ete.

Observación. 3. Sig’ (9 = 0, poro /" (2) #0, el teoroma so
aplica a la razón inversa ©), que tiende a cero, cuando zx -> a.

ON
Por tanto, la razón LE) tiendo al infinito. y
a)
ai dite 5
sent m 60059 py 5cos5z LS
나 be ie un Sd

Ejemplo 2.

MAA in
+ 5

LE im = R
Te sont se 1

En este caso fue necesario aplicar tres voces la regla de L'Hospital,
puesto que, para テー0。 las razones de las primeras, segundas y terceras

derivadas conducen a la indoterminación 음 ~

Observación 4. La regla de L'Hospital también puede ser aplica:
da, cuando

o.

lim f()=0 y met)

Limite de la rasón de dor magnitudes infinitamente grandes 149

a

En efecto, haciendo = ©, vemos que = 0, cuando テー 00,

y, por tanto:

:
a eels

Aplicando la misma regla de L'Hospital a la razón ( 7 |
of =
=

Jo que se trataba de demostrar.
Ejemplo 4,
上

= ee

$ 5. LIMITE DE LA RAZON DE DOS MAGNITUDES
INFINITAMENTE GRANDES

(«CALCULO DE LIMITES INDETERMINADOS DE LA FORMA E»)

Examinemos el problema acerca del límite de la razón de las dos
funciones f (2) y 9 (2), que tienden al infinito, cuando テーな
(o cuando 2 -> ©).

Teorema. Supongamos que 7 (2) y @ (x) son funciones continuas
y derwables, para todos los valores de x + a en la vecindad del punto
a, y que la derivada q! (2) no se reduce a cero. Supongamos también que:

lim f(2)= 00, lim @ (2)=0>

y que existe el límite
a)

450 Teoremas sobre las funciones derivables

Entonces existirá también el lin LE, o sea:

lim Be tim LO fe

人

Demostración. En la vecindad considerada del punto a elijamos
dos puntos a y 2 de tal modo que

a<z<a ba>z>a).
Según el teorema de Cauchy, tendremos:
i) -1@) _ 140

9 四一 ?四 Fa a

donde « < € < x. El primer miembro de la igualdad (3) lo transfor-
maremos asi:

了四一 fa

(CET 的

_1@
7 の 1
COTTON
9 四
De donde:
ela)

了四 _ FO 办、
9 6 1-10

(5)

De la condición (1) se deduco que para cualquier e > 0 arbitra-
riamonte pequeño, se puede elegir a tan próximo de a, «que para
todos los valores de z=c, donde a<e<a, so cumpla la
desigualdad

Limite de la rosón de dos magnitudes infinitamente grandes 45%

AnecLQcate ©
MO】

Examinemos, ahora, la fracción
ET)
om
ET]
Ha)
Fijemos a de tal manera 16 se cumpla la desigualdad (6),

y aproximemos x al valor a. Ya que f (2) + 00 y q (2) > 00, cuando
テー a, tendremos:

siente, para el valor de e > 0, prefijado anteriormente,

y, por con
iontemente próximo de a, tendremos:

Base
12)

@ (2)

112

1@

<e

1-20
—20 14. 四

Multiplicando. miembro a miembro las desigualdades (6) y (7),
obtenemos:

Elo]
(4-9-9 < LO 20 EPEET ENS
F0 3 fe

®

452 Teoremas sobre las funciones dertvables

o, en virtud de la igualdad (5):
ロー96ーリマイ 9 <a tro.
ee)
Puesto que e es un número arbitrariamente pequeño, cuando z se

encuentra lo suficientemente próximo de a, de las últimas desi-
gualdades se deduce:

o, según (1):
¡ym LE im LE
Ben

lo que se trataba de demostrar.

Observa 1. Si en (1), A
lin f(z)
ia ah

la igualdad (2) sigue siendo válida. En efecto, de la expresión anterior
se tiene

©, es decir,

¥@)
sve ft
Según el teorema demostrado:
tim 22 tim LE.
é ave f(z) cma f(z)
de donde, =

Observación 2. El teorema se puede generalizar fácilmente al
caso en que テー 09.

En el caso de que lim f(s) = oo, lim q (2) = co y existe

Le |

lim py: entonces:

im £2 tm LO.

JG eu

Limite de la rezg de dos magnitudes infinitamente grandee 453

Esto se demuestra haciendo la sustitución de == +, como se hizo
en condiciones análogas, al calcular los límites indeterminados del
tipo $ (véase $ 4, observación 4).

+ Ejemplo 1.

Am E tiem = tim E

sao TT TT

Observación 3. Insistamos una vez más en que las fórmulas (2)
y (8) so verifican sólo cuando exista el límite (finito o infinito) del
segundo miembro. Puede ocurrir que exista el límite del primer
miembro y el del segundo no, como ocurre en el caso siguiente:

Jim EESenz

Este limite existe y es igual a 1. En ofecto,
sonz )

Mm 218222 fm (t+
ose, tig eae >

Poro la razón de las derivadas

(e+ sena) _1+cosz
15) 1

mo tiende a ningún limite, cuando メー ©, sino que oscila entre
y2

一 1 十 cosz

empl を
Hin LE m dus.

Esemplo 의
dx

A A

上で Et

PE Tao: 2 +

ren 에트 yu ERE, Bande (0 CO

Ma Soa i O id OW ~

Blemplo 4.
ita 으

154 Teoremas sobre las funeiones derivables

En genen, para citguer número way >0
non
Los cálculos de los límites indeterminados, que simbólicamente
se representan así:
2) 0.00; D) 0% e) of; の 1»; e) 00009
se reducen a los casos ya examinados.
El significado de estos límites indeterminados es como si
a) Suponiendo lim f (z) = 0 y lim @ (x) = co, hal
Mn Um
Esta es una indeterminación de tipo 0:00.
Escribiendo esta expresión en la forma:
1
1

Jim [/ @) 9(0]= lin イー

9 四
o en la forma:

Mim [f (2) p(0]= lim EM
1)
obtendremos, para テー a, una indeterminación de la forma 2.
Ejemplo 5.

D) Sea:
lim f@=0, — limp()=0,

Mar

lin (FP,

o, como suele decirse, calcular el límite indeterminado de tipo 0°,
Poniendo
="
y tomando logaritmos en ambos miembros de la igualdad, tendremos
20 y= (2) Unfall.

Fórmula de Taylor 155

Si 2-3 a, obtenemos on el segundo miembro una indeterminacion
de tipo 0-co. Una vez calculado el lim In y, será fácil hallar el

lim y. Efectivamente, en virtud de Ta continuidad de la función
100 In lim y, y si ln lim y —b, resulta-

Togarítmica, se tiene lim ln y
rá, evidentomente, que lim

+00 6 b= —co,. entonces será, respectivamente, lim y
too 6 lim y = 0.

Ejemplo 6. Hallar lim 34. M
lim In gelée In (2%) Tn em

= Si, como caso particular, b

iendo y==", hallamos In Im y =

4

ln =
Ya ein 2) ig ME = Lim = — 오로
= =x
por tanto, In lim y=-0, de donde resulta quo Him y=e9==4, es decir,
im ss

De un modo análogo se calculan los límites en los demás casos,

$ 0. FORMULA DE TAYLOR

Supongamos qué la función y ~ / (2) tione todas las derivadas,
hasta la de orden (r + 1) inclusive, en cierto segmento que contiene
el punto z= a. Hallemos un polinomio y = P, (2) de grado no
superior a n, cuyo valor en el punto z = a sea igual al de la función
7 G) en el mismo punto, y los valores de sus derivadas hasta el
メー ésimo orden sean iguales en el punto z = a a los valores de las
derivadas correspondientes de la función / (2), en este punto:

Prta)=/(0), Prla)=f (a), Pita)

Pra.)
Es de suponer que este polinomio, en cierto aspecto, será «proximo»
a la función f (2).

Hallaremos este en forma de polinomio, siguiendo las potencias
de (x — a) con coeficientes indetermínados

Pa (a) = Co + Cr le — a) + Cs (x — + let...
+ nal". a

Los coeficientes indeterminados C,, Ca, . ..., Cy caloulemos de
tal modo que se cumplan las condiciones (1).

166 Teoremas sobre las funciones dertuables

Hallemos previamente las derivadas de Py (2):
Py =O, + Wale — a) +30 (a +. Hana
Pit) Het Nee |)
700 21-0,
Sustituyendo z por el valor de a en los dos miembros de los

igualdades (2 y (3) y sustituyendo, según (1), Pa (0) por 7 (0),
Pala) =f (a) die. > obtendremos:

ze 一

f= 2-1Cy
PO) 3236,

Pe
de donde resulta:

ee 一 9… 246,

Comte), C= F(a),

4)

Introduciendo en la fórmula (2 los valores hallados de
Ci Cas = «> Cay Obtonomos el polinomio buscado 7

Py (a) = f(a) +

6)

Designemos por R, (2) la diferencia entre los valores de la función
dada, f(z), y del polinomio calculado P, (+) (fig. 95):
Ba (2) = 1 (2) — Pa @s
de donde tenemos:
Ha) = Pa (DAR (2),

Fórmula de Taylor. 457

o, en forma desarrollada:

/四一 /四十 2 加十 “ara es

AGAR

El término R, (2) se conoce con el an de término comple-
mentario. Para aquellos valores de x en el que el término comple-
mentario Ry (z) es pequeño, el polinomio P, (2)
da un valor aproximado de la función f (2)

Asi. pues, la fórmula (6) permite sustitui
la función y =f (2) por el. polinomio y
=P, (2) con el grado correspondiente de preci
sión. igual al valor del término complemen-
tario Ha (2). J

Estimemos el valor del R (2) para diferen- 二
tes valores de z.

Escribamos el término complementario en
la forma

Re ⑦ Fig. 95

donde Q (2) es la función que debemos hallar. Escribamos de nuevo
Ja fórmula (6), del siguiente modo:

d+

1@)=1(@) +

aa)" fn). 他一由 6
ooo (6
+ + © En 00 的
Considerando fijos los valores de z y a, la función Q (2) tendrá
un valor determinado, que designamos por Q.
Veamos ahora la función auxiliar de £ (t está comprendido entre
aya

a
7 の =7⑨ 7 の一 =

が ⑲ 一・

= is 9 ㅡ OTE
LE mn LE 0

이 OST
donde el valor de Q viene determinadé por la correlacién (6), cuando
a y z son números determinados.

158 Teoremos sobre las funciones derivables

Hallemos la derivada 7 (0:
と

ro==ro+ro- rw Er 0 —

1
N ven en
LE png. E rg + BERT ory —
2 人如一人 ni
EN ney HD ED"
이 ae
y reduciendo:
とのニーテー py E, o
可 끼

Por consiguiente, la función F (0 tiene derivada en todos los puntos
1, próximos al punto de abscisa a. Observemos que, según la fórmu-

la (6'), se tiene:
Pl) =0, F()=0.

Por eso, a la función F (9 se le puede aplicar el teorema de Rolle
y. por tanto, ‘un valor £ = E, comprendido entre a y z, para
el cual F” (5) De aquí, en virtud de la correlación (8), obtene-
mos:

de

Yu

de donde
oan).
Introduciendo esta expresión en la fórmula (7), resulta:
EY fro
O
ae

Esta es la Hamada formula de Lagrange para el término comple-
menterio. 3

Como E está comprendido entre x y a, puede ser representado
en la forma

E=a+0(æ—c)

*) Véaso el final del $ 2 del presente capítulo,

Desarrollo de las funciones 03, ten e y cos + por la fórmula de Taylor 159

donde, 0 es un número comprendido entre 0 y 4, es decir, 0 一 6 < 1.
En este caso la fórmula del término complementario toma la forma:

EY un 2
加四一 AH fat 0 (2 — a)].
La fórmula;
oe テーのューしのユエ
10104 Sr + Er...
Do ER! EN
+ Por ET [ato(e—a] ⑨

se denomina Jórmula de Taylor para la función f (2).
Haciendo a = 0, la fórmula de Taylor se escribirá así:

10 704304 …

기
Bu 아구 ao
+ ¡o à (2, dm

donde, 8 está comprendido entre 0 y 1. En este caso particular, la
fórmula de Taylor toma también el nombre de fórmula de Maclaurin.

$7. DESARROLLO DE LAS FUNCIONES eS, sen y cos x

POR LA FORMULA DE TAYLOR

1. Desarrollo de la función f (2) = e,
Hallando las derivadas sucesivas de f (+), obtendremos:

e, 10) =1,

Introduciendo las expresiones obtenidas en la fórmula (40) $ 6,
tendremos:

mt,
HG 0. A
Ao 99 で 1

we Teoremas sobre tas funciones derivables

Si | z 1. 1, haciendo n = 8, habremos evalnado el término comple-
mentario®

<¢ 3.
Cuando 2 = 1, se obtiene la fórmula que pormite hallar el valor
aproximado del número e:

hi AA

realizando las operaciones sobre las fracciones decimales hasta el
quinto signo después de la coma hallamos:

e = 2,71827.
Aquí se toman como exactas las primeras cuatro cifras decimales,

ya que el error no es superior a ES a 0,0004. Tengamos en cuenta
que para cualquiera z el término complementario será
aro
Efectivamente, si 0 <4, y’z tiene un valor fijo, la magnitud
er está acotada (es menor que e, cuándo z > 0, y menor que 1,

$0, cuando noo.

evando 2< 0).
Demostremos que, para todo z fijo, se verifica:
A
2.0, cuando n->00.
Em
En efecto,
ett lage

ㅠ +401
Si x es un número fijo, se hallará un entero positivo N tal que
FE ば

Ponomos 网 4, Entonces, teniendo en cuenta que 0<4-<1,
siendo n= N +4, N +2, N + 3, ote., podemos escribir:

wm 14 2 3 ET TRS

I

=
1

Desarrollo de las funciones e*, sen x y cos x por la fórmuta de Taylor 164

puesto que
2

n+1

& kr

<a

[xo

es constante, es decir, no depende de n,

et

Pero la magnitud デー

mientras que の "13 tiende a cero, cuando n=» oo. Por tanto,
oe

lim = (1)

MED a

y entonces,
ant

Ry (2) +0, cuando n-»00.

(a+ 1!

De lo anterior se deduce que para todo valor de z se puede calcular
ex con cualquier grado de precisión, tomando el número suficiente

de términos.

2. Desarrollo de la función 7 (<) = sen z.
Hallemos les derivadas sucesivas de / (2) = sen x:

1) =senz, 10=0,
了四一 cosz 一 sen (e+ 3) ro
fle) ~snzasen(2424), ㆍ f0=0,

P= —cosz—ven(2 +35),

o(2444),

ogmanfe+a+n3]., A @=enfernrn§].

Introduciendo las expresiones halladas en la fórmula (10) $ 6,
obtenemos el desarrollo de la función 7 (<) == sen z según la fórmula

1534

162 Teoremas sobre las funciones derivables

de Taylor:

senz 一了一

고 x a
en Eire 3),

y puesto que [son [s+e: 9 <* se tendrá lim A, (2) = 0
para todos los valores de z.
Apliquemos la fórmula obtenida para el céleulo aproximado de

Fig. 96

sen 20”. Hagamos n — 3, es decir, nos limitaremos a los dos primeros
términos del desarrollo:

een (Bo
Evaluemos el error que resulta igual al término complementario:
1061 |(5) green + 2n|< (5) 4 00006 <noo1.

Por tanto, el error es inferior a 0,001, es decir, son 20° = 0,343,
con un error menor de 0,001.

a

Ejercicios para el capítulo IV 163

En la figura 96 están representadas las gráficas de la función
1 (a) = sen z y de las tres primeras aproximaciones:

2 EN
Sama Ses Ses RE

3. Desarrollo de la función f (2) = cos z.
Hallando los valores de las derivadas sucesivos de la función f (2) ==
= cos para z = 0 6 introduciéndolos en la fórmula de Maclaurin,
obtendremos el desarrollo:
e,

ara

CCE

cose:

15l<tel
Aqui también lim R, (2) = 0 para todos los valores de z.

Ejerctelos para el capitulo IV

Comprobar que el teorema do Rollo es válido para las funciones:
dy 2 3242 on el segmento (1, 2]. 2 サー 와가 823 — 60 an el oop.
PE a namen RU
ant 2 en el segmento [0, al. 6 La 90866 7 人 9 der at az
iodo por rajo 19e 1. Haar la rae do la derivada $ (3), estudiada en el teor
rema de Rolle, 6. Comprobar que entro las raíces do la función y= PER STE
대 balla la de mu derivada. 7. Comprobar quo el tootema de Kelle os válido

para la fonción y == cost en ol segmento | 一二 ,十法 | 8. La función y =

= 1 — VA so anula en los extremos del segmento {—1, 4]. Demostrar que
ie derivada de et Kuren nen aduce ee e nga PS NE
(0 11, 1]. Explicar por qué rdn mo es aplicablo en esto teoreme
de Koh à. di a Yormuln de Lagrange p selon y aan
© al segmento [zw 22) on

그 < < zz, 10. Coutprobar que lo fórmula de Lagrange es tdlk
Bo de Le eue y= es
ia tangento es paralola a la cuerda quo uno los puntas AM, ( O) y Ms (o, a?

Respuesta: en el punto do abscisa es. 12. ¿En qué punto de la curva

“cuerda que
ahocisa 2

= In = In tangente os porlola a 1
re, D? Respuesta: en'el punto à Sh

Aplicando ol 60009 de Lngrenge, demostrac ls desigualdades: 13, e
A O, ee ane ae
BEE Go. are Se: 17 Aplica la fSimula de Cauchy a fas Ihe
7

©) = 24, q (2) ==" en ol sogmento [£, 2] y hallar c. Respues

Jos puntos Ma (1,0)

164 Teoremas sobre las funciones derivables

AR A gp ch ee
Caleulor 10 Imites siguientes: 18, lim ET. Resp, 4. 19. lim SET.

Resp. 2 20. m EEE. Rap. 2 2. Um SH. Rep. 2.
er ne a a

2. RE. Resp. No existe el límite. (V2 para xz 一十 0, 一
U sg Mes. N isto el limite. (3 pars +0, -y2

ara 20, 2 a Reap, tt STE, ep,

A Le
ee … puy, à
eae A nn E ge
ee
in(t+4) nett A
Mn a Reh A
Ao ae 40; condo ac m. 1m SEES.

Insende ing
人

lm ーー Rep, 의 Wim te SF. Resp.
mz ES

2 af 4 oa

EE で

esp, =A 4. lim (ogg) Rep. 0. 42 Im [7

38. lim solg 22. Resp

sl]. no
1

‘
4.44. tim x, Resp. co. 45. lim 2
En sat

6. m VE Reap scan. (LE apte. im (145) one
1

] Rent 1 (RT,

49, lim (cog TE, Resp. À. m. Mim (cos 2)

4

eng 므 reap. 本 Desamllar on potencias

Ejercicios para el capitulo IV 16

de z—2el polinomio st 5:94-5:24. 2:42. Respuesta; 2—1 (22) (224
Axe Si Desarrollar en, potencies de SEE 人 polio
Respuestas (+14 2 6 す 23 ADO
55, Aplicar la fórmula do Taylor a la función y Vz, cuando amt, n=3.
NE
本
X140(2—1))7%, 0<0<1 56. Aplicar la fórmula de Maclaurin a la

función y=VTFZ, cuando n=2. Respueste: キュニュキオーーューデキ

に 57. Tomando los resul 1 ejemplo anterior,
pagar 0 く 6 ぐれ 57, Tomando los resultados dl ofp
4

e a,

tune ol error de Je ul aprsimada VTE t4
cuendo 2902. Royan menos dé oe

Eplicar 1a pocodnca do les Iguniddes aproximadas, válidos
pcia valores Uy aie Ob efter de a

a 2 2st
eh gene. 60. 0900 sas +. 61.
eg. Ha 8 ne Vs:

Aplicando la fórmula de Taylor, calcular los limites de las expresiones:
ww rg Un BE

rege ms

EEE le
vay PUE. 240. 4. 0. tf

=

—amm(192)]. *

ます

CAPITULO Y

ANALISIS DE LA VARIACION
DE LAS FUNCIONES

$ 1. GENERALIDADES

El estudio del aspecto cuantitativo de los diferontes fenómenos
de la naturaleza se reduce al establecimiento y análisis de la depen-
dencia funcional entre las magnitudes variables que participan en
cada fenómeno. Si so logra oxpresar tel dependencia funcional de
modo analítico, es decir, mediante una o varias fórmulas, podemos
explorar la dependencia mencionada, sirviéndonos de los métodos
del análisis matemático. Por ejemplo, ‘al estudiar el fenómeno del
movimiento de un proyectil en el vacío so obtiene la fórmula que
determina el alcance de caída R en función del ángulo de elevación
a y la velocidad inicial vo:

sen 2a
8
(donde g es la aceleración de la gravedad).

Con esta fórmula, podemos establecer a qué ángulo a, corresponde
el alcance A, máximo 0 mínimo, en qué condiciones el crecimiento
del ángulo a determina el aumento del alcance, etc.

Consideremos otro ejemplo. Como resultado del estudio de las
oscilaciones de una carga sobre una ballesta (de un vagón, de un
automóvil, etc.) se obtiene la fórmula do la desviación y de la carga,
respecto a la posición de equilibrio, en función de tiempo な

R

y =e"* (A cos ot + B sen ot).

Las magnitudes £, A, B, ©, quo intogran la fórmula, tienen un
valor determinado para un sistema oscilatorio dado (dependen de la
elasticidad de la ballesta, de la carga aplicada, ete., que no varían
son el tiempo の y, por eso, se consideran como constantes.

Con esta fórmula, se puedo establecer para qué valores de £ crece
la desviación y al aumentar 4 cómo varía la magnitud de la desvia-
ción máxima en función del tiempo, para qué valores de £ estas desvia-

Crecimiento y decrecimiento de una función 167

ciones son máximas, a qué valores de ¢ corresponden las velocidades
méximes del movimiento de la carga, etc.

‘Todos los problemas mencionados forman parte del concepto
«análisis de la variación de una función».Es evidente que será difícil
aclarar todas las cuestiones consideradas, calculando los valores
de la función en puntos aislados (como se ha hecho en ol capitulo 11).
La finalidad del presente capítulo consiste en establecer un método
general para el análisis de la variación de funciones.

$ 2. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION

En el $ 6 del capítulo primero hemos dado la definición de una
función creciente y decreciente. Apliquemos ahora el concepto de
derivada al análisis del crecimiento y decrecimiento de una función.

Teorema. 1) Si la función f (2), derivable en el segmento la, bl,

crece en este segmento, su derivada en éste no es negativa, es decir,
2 a 22. >
‘Si la función f (2) es continua en el segmento la, b y derivable

sobre el intervalo (a, b) cuando f (2) es positiva para a<z<b,
1200 función es creciente sobre el segmento 10. 이.

Demostración. Demostremos la primera parte del teorema.
Supongamos que f (z) crece sobre el segmento la, bl; domos al argu-
mento z un incremento Az y consideremos la razón

He + An) ~f (à

4
Como f (2) es una función creciente so tiene:
f@+Az)>f(z) pora Az>0
1(+A2)<f (2) para Az<0.

En ambos casos.
f@+ Az) ~ f(a)
Az

a

y

> a

y, por lo tanto, ：

im LE 4316)

Um AOS

と dz >
es decir, Y (2) > 0, lo que se trataba de demostrar. [Si fuera 7" (一
<0, entonces, para valores de Az suficientemento pequeños, la razón
(1) sería negativa, lo que contradico a la relación (2)).
Pasemos ahora a la segunda parte del teorema. Sea / (9) > 0

para todos los valores de z pertenecientes al intervalo (a, 5).

168 Análisis de la vortacién de las funciones

Consideremos dos valores arbitrarios, zi y 22, 24 <2, pertenecien-
tes al segmento la, bl.

Conforme al teorema do Lagrange sobre incrementos. finitos
tenemos:

了 (za) — 1) =f (5 一 20。みてもで
Puesto que (E) > 0, entonces f (22) 一 7 (21) > 0, lo que significa
que f (z) es una función creciente. Existe un teorema análogo para las
funciones decrecientes (si son derivables).

y y

7 7 기 >
(o 网
Fig. 97

‘Si la función 7 (2) decrece sobre el segmento la, bl, sobre el mismo
segmento la derivado f (2) < 0. Stf (2) sobre el intra (a. OR
la función f (x) decrece en el segmento la, b]. Se supone que la función
es también continua en cada punto del segmento [a, 6) y derivable
en todo el intervalo (a, 6).

Observación. El teorema demostrado tiene la siguiente interpro-
tación geométrica. Si la función f (2) es creciente sobre el segmento
la, bl, la línea tangente a la curva
y=/kle), en cada: punto del mismo,
forma con el eje Oz un ángulo agudo 9,
algunos puntos, puede ser paralela

‚a tangento de esto ángulo no es
Bt I 2) = te 9 > 0 (fig. 97, a).

Si la función f (2) es decreciente sobre
el segmento [a, 6] ol ángulo de inclinación
de la línea tangente será obtuso (en
algunos puntos la línea tangente puedo
ser paralela el eje Oz). La tangente del
ES ángulo no es positiva (tig. 97,0).

Fig. Del mismo modo so interpreta la

segunda parte del teorema, El teorema
permite juzgar sobre el crecimiento o decrecimiento de la función
por el signo de su derivada.

Méximo_y_minimo_de los funciones 169

Ejemplo: Determinense los dominios de erscimento y decrecimiento
Fw
past.

ザ 0 ee negativa, para = < 0, es decir, la función decrece (fig. 98).
$ 3. MAXIMO Y MINIMO DE LAS FUNCIONES

Definición de máximo, Se dice que la función f(z) tiene un
mázimo en el punto 2, si su valor es aquí mayor que en cualquier
otro punto z de cierto intervalo que comprende el punto 2. Es decir,
la función tiene un mázimo en z= 24, si f (x + Az) </ (20 para
todo valor de Az (positivo o negativo)
suficientemente pequeño en valor absoluto*. jy

Asi, por ejemplo, la función y = f (2), {
cuya gráfica se expone en la figura 99,
tiene máximo cuando z = 4.

Definición de mínimo. Se dice que
la función f(2) tiene un mínimo para

zon ai
Le + 82) > 1 (2) Wea EEE

para cualquier valor de Az (positivo o

negativo) suficientemente pequeño en valor Fig. 99

absoluto (fig. 99).

Por ejemplo, la función y = 24, examinada al final del párrafo
anterior (véase fig. 98) tiene un mínimo on z= 0, ya que y =0
cuando 2 = 0 o y > 0 para otros valores de z,

En relación con estas definiciones de máximo y de mínimo es
necesario prestar atención a lo siguiente:

1. La función definida en un segmento puedo alcanzar su valor
máximo o mínimo sólo en los puntos comprendidos dentro del seg-
mento considerado,

2. Sería un error suponer que el máximo y el mínimo de una
función son respectivamente el mayor y menor valor de la misma
en este segmento. En el punto del máximo, la función tiene el mayor
valor sólo en comparación con los valores que ésta tiene en los puntos

jentemente próximos al punto del máximo. En el punto del
mínimo, la función tiene el monor valor sólo en comparación con
los. valores que ésta tiene en los puntos suficientemente próximos
al punto del mínimo.

+) A voces, est definición so enuncia así: la función / (20 tiene un
máximo en el punto zh si existo una vecindad (a, B) del punto = (a <
sis al que para todos los puntos do la memo diatinton de m, 00
cumpla la desigualdad 7 (2) ご 7 (zn.

to Andliste de 10 variación de las funciones

En la fig. 100 se representa una función definida en el segmento
la, bl, que tiene:

máximo, cuando 2 =2, Y t= ty,
mínimo, cuando z= nm Y z= 24

pero el mínimo de la función en x = z, es mayor que el máximo en
고 = x, Para z= 6, ol valor de la función es mayor que cualquier
máximo de la fuución on el segmento
m considerado.
Los máximos y los mínimos se
Haman valores eztremos de la fanción.
Los valores extremos de la función y
su situación en el segmento la, 6] carac-
terizan en cierto modo la variación de
la fonción en dependencia de la varia-
ción del argumento,
Más adelanto indicaremos el modo
de calcular los valores extremos.

Teorema 1. (Condición necesaria para
existencia de un valor extremo).
St la función derivable y = f (2) tiene un mäzime o un mínimo
‘nl pando = m, es derivada en eu parte ee reduce a cero, es decir,
(2) == 0.
Demostración. Supongamos que en el punto z = zi la función
tiene un máximo. Entoncos, para los incrementos Az (Az + 0),
suficientemente pequeños en valor absoluto, se verificará:

(+ Aa) < ie)
Li + Az) —1 (2) <0.

Wey Am 7

Fig. 100

es decir,

Pero en este caso, el signo de la razón,
Ha + 49 fe)
그 ，

se determina por el de Az:
Let IE 0 cuando Az<0

MERE <9 curado 470.

Máximo y mínimo de las funciones am

Contorme a la dofinición de derivada, so tiene:

7 ゆー pig Let 89) ren,
el límite del segundo

Si la función 7 (2) tione dorivada en z 一
cero (permaneciendo

miembro no depende de como Az tiende
positivo o negativa).
Pero, si Az 一 0, siendo negativo, resulta:

F (2) >0.
Si Az 0, siendo positivo, se tieno:
f @)<0.

Puesto que f (x) es un número determinado que no depende
de la manera en que Az tiende a cero, las dos últimas desigualdades
serán compatibles únicamente cuando

faa

Del mismo modo se demuestra el teorema, cuando se trata del
mínimo de la función,

Este teorema tieneel siguiente significado geométrico: si en los
puntos de máximo o de mínimo la función 7 (2) tieno derivada, la
tangente a la curva y = f(z) en estos puntos será
paralela al ejo Oz. Efectivamento, si (2)=1g 9
donde q es ol ángulo formado por la tangento y el eje ya
Oz, se tiene que p = 0 (fig. 99).
le este teorema se deduce, que st la función 7 (2)
tiene derivada para todos los valores considerados del argu-
mento 3, ésta puede tener valores extremos (mázimo 7
o mínimo) únicamente en. los puntos en los que la
derivada se reduce a cero. La conclusión recíproca no
es cierta: una función puede no tener máximo ni
mínimo en el punto en que la derivada se anula, En
figura 99 so representa una fanción cuya derivada

0 reduce a cero cuando z =z,(la tangonto es horizon- Fig. 207
tal); sin embargo, la función no tiene en este punto

máximo ni mínimo. Anélogamente, la función y = 과 101)
tiene derivada igual a cero en x = 0:

(Yao = (B24) zo

Pero en este punto la función no tiene máximo ni mínimo. En efecto,
por muy cerca que se encuentre el punto = del punto O, siempre se
Yorificaré

<0 para 2<0

am Análisis de la variación de las funciones

2>0 para 2>0.

Hemos analizado] el caso en que la función tiene derivada en
todos los puntos del segmento. ¿Y qué ocurre en los puntos donde
no existe la derivada? En los ejemplos que siguen explicaremos.
‘que en los puntos donde la función no tione derivada puede haber
máximo o mínimo, pero puede ocurrir también que en éstos no
haya ni uno ni otro,

Ejemplo 4. La función y = |=|no tieno dorivada en el punto z = 0
(en esto punto la curva no Lane tangente determinada), pero en este punto

y
gn

Fig. 102

la función dada admito un mínimo; en efecto, y = 0 cuando z= 0, mientras
que para cualquier otro punto +, distinto de cero, tenemos y > 0 (tig. 102).

Fig. 108 Fig. 104

Ejemplo 2, La función y = (f= 2
ya que la bxpresién ーー 1ー人 9 2"Vs 03 igual al infinito cuando z = 0,
No obstante, en esto punto la función tieno máximo: 7 (0) =4, /(2) <1 para
고 diferente de cero (bg. 108).

Ejemplo, 3, La función y = VE no Meno derivada en = <0 (Y es
cuando 2 + 0). En esto punto la función no tiene ni máximo ni mínimo puesto
qu (0) = 0; 1) <0 para 20; yf (=) > 0 para = > 0 dig. 104).

Ya no tione derivada cuando = = 0,

Así pues, la función puede tener valores extremos solamente
en los puntos donde la derivada existe y es igual a cero, o bien en
aquellos donde no existo la derivada.

Observemos que si la derivada no existe en cierto punto, pero
existo en los cercanos a éste, entonces la derivada tiene discontinui-
dad en dicho punto.

Máximo y mínimo de las funciones 473

Los valores del argumento, en los que la derivada se reduce a cero
o tiene discontinuidad, se llaman valores o puntos críticos.

De lo anterior se deduce que no para todo valor crítico la función
tiene máximo o mínimo. Sin embargo, si en un punto la función
admite un máximo o mínimo, este punto es obligatoriamente crítico,
Por esp, para hallar los valores oxtremos de la función, se procedo
de la manera siguiente: hallamos todos los puntos críticos y después
estudiainos cada uno de ellos aclarando, si hay o no en éstos un máxi-
mo o mínimo de la función.

El análisis de la función en los puntos críticos está basado en los
teoremas siguientes.

Teorema 2. (Condiciones suficientes para la existencia de un
lor extremo). Supongamos que la función f (2) es continua sobre
cierto intervalo, al cual pertenece el puntocrítico 2,, y esderivable en cada
punto del mismo, (ezcepto, posiblemente, el mismo punto z,). Si, al pasar
por este punto de izquierda a derecha, el signo de la derivada cambia
de «más a «menos», entonces la función admite máximo en x = 2,
Si, al pasar por el punto 21, de izquierda a derecha, el signo de la
derivada cambia de «menose a «más», la función admite un mínimo en
este punto.

De modo que si:
AAA
f (2) <0 para => 21
en el punto zr la función tiene mázimo;
b) { F (2) <0 para z <a
r@>0 pard za

en el punto z la función tiene mínimo, Hay que tener on cuente quo
Jas condiciones a) y b) deben cumplirse para todos los valores de z,
suficientemente cercanos al valor z, es decir, deben cumplirse en
cade punto de la vecindad suficiontemente pequeña, del punto
orítico x.

Demostración. Veamos primero el caso en que el signo de la
derivada cambia de «más» a «monos», es decir que para todos los
puntos z, suficientemente próximos al punto z,, se tiene:

F()>0 para z<z
F(9<0 para 2>z2.
Aplicando el teorema de Lagrange a la diferencia f(z) — f (20,
obtenemos:
Ha) $ (0) =F Wan
donde E es un punto comprendido entre z y 2.

154 Análisis de la variación de las funciones

1) Sea > で zu entonces se tiene:
<a 10>0 Fm <0

+ por tanto:
” 了从一 fo <0,

7⑨ <7 6 w

2) Sea z > zu, entonces se tiene:
E>, F(E)<0 l'E) (—-=<0

o sea

y, por tanto:
1(2)—1()<0,

ta <f (a). a

Las correlaciones (1) y (2) muestran que para todos los valores
de z, suficientemento cercanos a z,, los valores de la función son
menores que el valor de ósta en el punto z,. Por consiguiente, en este
punto la función f (2) tiene un máximo.

o sea

7

ET YA 시 >
Fig. 105

Del modo análogo so demuestra la segunda parte del teore-
ma, es decir, la condición suficiente para el valor minimo.
La figura’ 105 nos ilustra claramente el sentido del teorema 2.
Supongamos que en el punto z = x tenemos (2) = 0, y que
en cada punto z, suficientemente cercano a 2, se cumplen las
desigualdades:
fF @)>0 para rca,
F (2)<0 para =>.

Entonces, cuando << z, la tangente a la curva forma con el
eje Oz un ángulo agudo, y la función crece; cuando z > xy, el ángulo
formado por la tangente y el eje Oz es obtuso, y la función decrece.
Cuando z= x,, la función creciente comienza a decrecer, es decir,
tiene un máximo.

Anäliste del máximo y minimo de uno funetön mediante primera derivado 123

Si onel punto ss tenemos f’ (z:) = 0 y para todos los valores de
+, suficientemente cercanos a za se cumplen las desigualdades:
F()<0 para 2<zp
F()>0 para 2> 2
entonces, cuando 2 < 2», la tangente a la curva forma con el eje
Oz un ángulo obtuso, y la función decrece; cuando z > za ol ángulo
formado por la tangente y el eje Oz es agudo y la función crece.
Cuando z= zp, la función decreciente pasa a ser creciente, es decir,

tiene un mínimo.

Si para z= zi tenemos /' (za = 0, y, para todos los. valores
de z, suficientemente cercanos a z se cumplen las desigualdades:
f' (2) >0 para 2<zy
P(9>0 para =>:
entonces, la función es creciente tanto para z < zi como para z >
> z,. Por lo tanto, para z= 2, la función no tiene ni máximo ni

mínimo.
Precisamente esto es el caso de la función y = 23, cuando x = 0,
En efecto, la derivada y = 32", por tanto:

Gao = 0,
Weco>0,
(Ws>o>0,

lo que significa que en z = 0 la función no tiene máximo ni mínimo
(fig. 100.

$ 4. ANALISIS DEL MAXIMO Y MINIMO DE UNA PUNCION DERIVABLE,
MEDIANTE LA PRIMERA DERIVADA

Basándonos en lo expuesto anteriormente podemos construir
el esquema para el análisis de máximos y mínimos de una fanción
derivable y = f (2):

1. Hallar la primera derivada f (<) do la función.

2. Hallar los valores críticos del argumento z, para lo cual es
necesario:

2) igualar a cero la primera derivada y encontrar las raíces reales
de la ecuación obtenida /" (2) = 0;

b) determinar los valores de z para los cuales la derivada / (x)
es discontinua.

3. Analizar el signo de la derivada a la izquierda y a la derecha
del punto crítico. Puesto que el signo de la derivada permaneco
invariable en el intervalo entre dos puntos críticos, entonces para

16. Análisis de la variación de las funciones

estudiar el signo de la derivada on ambos lados del punto crítico
(ze, por ejemplo) (fig. 105), será suficiente determinar el signo de la
derivada en los puntos a y (m4 <a< m 22 < 0 < zp donde
과 y Zs son dos puntos críticos más próximos).

4. Calcular los valores de la función f (2) par
del argumento.

De este modo, llegamos al siguiente esquema de casos posibles:

cada valor crítico

Nateratera del punto 01100

==]

+ [rene se ane] -— [pomo de mixin

= Jr (e006 e anti + |Punto de mínimo

rt

+ | te—0 6 es discontinue) + [No hn

re りこ 0 6 ee discontinua] — | No. bay máximo ni minime]
in a funeiön decrees)

CT
pan e

Solución. 1) Hallamos la primera derivado:

ゲーター人 3。
2) Caleulamos las raíces reales de la derivada:
AA
Por consiguiente,
ai, n=,

La derivada es continua an todos los puntos y por tanto no existen otros
Intos críticos.

PAR Analizamos los valores críticos y los resltados us evamos a la fig. 108.

El primer punto crítico es, 2, = 1. Como y! e» ( — 1) (2 — 3), resulta que:

pare + < 30 tione: y'=(—)

para z>4 se tiene: y (+)

Esto quiere decir que al pasar (de izquierda a derecha) por el punto xy = 1,

el signo de la derivada cambla de «más» a «menos». Por tanto, en z = 4 18 lane
ción tend un máximo:

ent

Análisis del máximo y mínimo de una función mediante primera dertvada 177

El segundo punto crítico es za 一 3
para 2<3 se tiene y =(+)(—=)< 0,
para =>3 so tiene y’=(+)-(+)>0.

ato significa quo al paar por el punto x= 3 el sign dole derivada cambia
de ano a nio: Pot tanto, cn = 3 la donción Gene minima:

Mete
Basindonos en esto análisis trazarnos la gráfica do la función (

Fig. 106 Fig. 107

Ejemplo 2. Analíconso los valores máximo y mínimo do la función
CEA
Solución. 1) Hallamos la primera derivada:

2) Calculamos los valores críticos dol argumento: a) encontramos los puntos
on los que la derivada so reduce acero:

b) encontramos los puntos en los cuales la deri
vada se reduco al infinito). Do tal punto sirvo,

pars
(Obsörveso quo cuando zz = 0, la función está definida y es continua).

discontinua (aquí la deri-
¡dentemente, el punto

12594

178 Análiste de la variación de las funciones

No existen més puntos críticos.
3) Analicemos la naturaleza de los puntos crticos obtenidos, 00000

primero al punto 24:4. Como
N 의 00. 2>%
Ww .2<0 W a>!

Antunes qu an z= a unin ine un mínimo. I aor 6010 one

Sea
HET

Veamos ahora el segundo punto crítico, z=0. Como
の ace>0 (axe <0

doducimos que en = = 0 la función tiene un méximo, siendo (の
gráfica de la función analizada 00 expone en la figura 107.

w_

$ 5. ANALISIS DEL MAXIMO Y MINIMO DE UNA FUNCION
MEDIANTE LA SEGUNDA DERIVADA

Supongamos.que en z = z, la derivada de la función y =

@
se reduce a cero, es decir, f(z) = 0. Admitamos, además que existe
Ja sogunda derivada, /" (2), y es continua sobre cierta vecindad del
punto z,. Para este caso es válido el siguiente teorema.

Teorema. Si f(x) = 0, entonces en z= 2, la función. tiene
mézimo cuando: f" (x) <0, y, un mínimo cuando }" (20 > 0,

Demostración. Consideremos la primera parte del teorema

Supongamos que /" (21) = 0 y f" (2) <0, como, según la hipó-
tesis, 7” (z) es continua en ciorta vecindad del punto > = 2, entonces
existirá evidentemente un segmento pequeño, que incluya el punto
2 = su en todos los puntos dol cual la segunda derivada / (7) es
negativa.

Puesto que f” (x) es la derivada de la primera derivada /* (x) =
= (Y (9)。 de la condición (f (2)/ < 0 se infiere que /" (2) decrece
en el segmento. quo contieno el punto == 2 ($ 2, cap. V). Pero
Y (20 = 0. Por consiguiente, en este segmento tenemos /' (z) > 0
cuando 2 < 21, y 7 (2) <0 cuando z > zh os decir, el signo de la
derivada f (2) cambia de «més» a «monos» al pasar por el punto
x= sy, 10 que ea que en el punto zl la función f(z) admito
un máximo. La primera parto del teorema queda demostrada.

Del mismo modo se demuestra la segunda parte: si f” (2) > 0,
entonces f” (+) > 0 en todos los puntos del segmento mencionado
que inelüye el punto zi pero, en este caso, on el segmento dado,

Análisis del máximo y mínimo de una función mediante segunda derivada 170

17 (2) = (f @Y >0 y, por tanto, f’ (2) crece, Como f (2) = 0,
al pasar por el punto 2, el signo de la derivada f’ (2) cambia de
«menos» a «más», es decir, la función f (2) tiene un mínimo cuando

Si en el punto crítico f" (20 = 0, entonces en este punto puede
ber un máximo o un mínimo, pero puedo ocurrir que no exista
ni uno ni otro. En este caso hay que realizar el análisis utilizando
el primer método (véase $ 4, cap. V).

El resultado del análisis de los valores extremos, mediante la
segunda derivada, puede ser representado por la tabla siguiente:

rey | rep Naturaleza dl punto erica
o E Punto del máximo
o + Punto del mínimo
o o Desconocido.

Ejemplo 1. Hallar el méximo y mínimo de 10 función
y=2500 stone.

Solución. Puesto que la función es periódica y tiene un período de 2a,
で suficiente estudierla où el segmento 10 20. 了 ai 5

1) Hallamos la derivada
vo Beane Been Be (be x—2 nn 25093) =2 coma (125003)

2) Calculamos los valores críticos del argumento.

2608 2 (12 sens)

v= — 2 son 24 008 25.
4) Analizamos la netutaleza de cada punto crítico:

ー8<0.

Bo 70 tato, en of punto sam tenemos el mim

Luego, .
W) 2144 4=2>0

FC

Análisis de la variación de las funciones

480

tenemos el mínimo

3
im
=

Por consiguiente, en el punto 23:
w,

da a punto aye SE tone

| git
WTO
=

or tani, pco Sym la (nn io ol mimos

Finalmente
Wa “2-4-0 > 0.
z

en A
nennen
:

izada se da en la fig. 408.

La gráfica de la función as
yodsenxecos2x

Mostremos ahora con ejemplos que si /' (2) = 0 y f" (x) = 0,
en cierto punto x = z, la función f (<) puedo tener un máximo o un
mínimo en el mismo; pero, puede no haber ni uno ni otro.

Ejemplo 2. Analizar el máximo y el mínimo de la función
ョーー

Análisis del máximo y mintmo de una función mediante segunda derivada 181

Solución. 4) Hallomos los puntos críticos:
0, 20.

y'en hes
2) Determinomos-el sigúo de la sogunda derivada cuando =0:
van Wem.

Por consiguiente, en este caso es imposible determinar la naturaleza
del punto eritico con ayuda del signo de la segunda dorivada.

gue

ö 끼 >

Fig, 700 Pig. 110

이 169840490 la atarale del punto 90460 utilizando 의 primer
> Were <0.
Por tanto, cuando #=0, la función tiene como máximos
(Deng =0.

La gráfica de la función examinada se muestra en la fig. 409.

Ejemplo 3. Analizar el méximo y el mínimo de la función

vom,
Solución. Mediante el segundo método, hallamos:
1) v'=6ss, Dvd, (ag.

Por consiguiento, el segundo método no da la respuesta. Recurriondo al
primer método, obtenemos:
(Weco<0, Waso>0.
ene un minimo (tig. 140).

Por tanto, cuando 2=0 10 función
Ejemplo 4. Analizar el máximo y ol mínimo de la función
リーピー
Solución. El segundo método
YD 34
bl) Wen

ret;

182 Andlisis de la variación de las funciones

En esto caso el segundo método no de la respuesta. Utilizando el primer
método, hallamos:

Wer? Wap 0
Por tanto, cuando s=4, la función no tiene máximo ni mínimo (tig. 111).
y

geo

Fig 111

$ 6. VALORES MAXIMO Y MINIMO DE UNA FUNCION
EN UN SEGMENTO

Soa y = / (2) una función continua on ol segmento 10, 2]. Enton-
ces en esto segmento la función alcanza su valor máximo ($ 10,
cap. 11). Supongamos que en el segmento dado la función f (2) tenga
un número finito de puntos críticos, Si el valor máximo se alcanza
dentro del segmento 10, dl, es evidente quo esto valor será uno de los
méximos de la función (의 hay varios máximos), o sea, el máximo
mayor. Pero puede ocurrir que el valor máximo es alcanzable en uno
de los extremos del segmento.

Así pues, en el segmento la, 6] la función adquiore su valor
máximo en uno de los extremos. del segmento dado, o bien en un
punto interior del mismo, el del valor máximo.

Lo mismo puede decirse sobre el valor mínimo de la función:
ésto es alcanzable en uno de los extremos del segmento, o en un punto
interior del mismo: en el punto del mínimo. De lo dicho se infiere la
siguiente regla: para hallar ol valor máximo de una fanción continua
en el segmento la, bl, es preciso:

1) hallar todos Jos máximos de la función en el segmento;

2) determinar los valores do la función en los extremos dol seg-
mento, es decir, calcular / (a) y / (D);

3) elegir el ‘mayor valor de todos los valores obtenidos de la
función. Este representará el valor máximo de la función en el seg-
mento. Del mismo modo se debo procoder al determinar el valor
mínimo do la función en el segmento,

Aplicación de la teoría de máximos y mínimos de las funciones 183

Ejemplo. Determinar los valores máximo y mínimo de la función

posts} on el segona [- 3].
Solución. 1) Hallomos los máximos y minimos de la función en
:
의 ann [- 2]: ss
yn 828, 8-3-0, zul, ot, i
Vise (Yan =0>0
Poe tato, en el iio amt bay oa mnie

Mt.
Luego 3
CCE La
Por lo tanto, on el punto = —1 hay un máximo:
[그게

2) Dotorminar los valores de la función en los
extremos del sogmonto;

Games 15

De este modo, ol valor máximo de la función oxami-
nada en el segmento [—3; 3] es (We, y el
valor mínimo es:

CES Fig. 118
La gráfica de la función ostá ropresontada en la fig. 142.

$7. APLICACION DE LA TEORIA DE MAXIMOS Y MINIMOS
DE LAS FUNCIONES A LA SOLUCION DE PROBLEMAS

La teoría de máximos y mínimos permite resolver varios proble-
mas de geomotría, mecánica, ete. Analicemos algunos de ellos.

Problema 1. La distancia A = OA (tig. 113) (en ol vacío) que
cubre un-proyectil, lanzado con velocidad inicial po desdo una pieza
de artillería quo tieno un ángulo 00 elovación q respecto al horizonte,
so determina según la f6rmul

184 Análisis de la variación de las funciones

(g es la aceleración de la gravedad). Determinar el ángulo q con el
cual la distancia R resultará máxima, dada la velocidad inicial vp.

Fig 118

Solución. La magnitud A es una función del ángulo variable q.
Analicemos el máximo de esta función en ol segmento 0 < 9 < 于

AR _ 2écos2e. 2000529 _ q,

dp ' € ：
ER _ 0 44902. (를

de ge | Nag?

valor crilico の

Por tanto, para p = = la función R tiene el máximo:

(R),

DIE

Los valores de la función A en los extremos del segmento [6 3]
son iguales

Med, (A,
De este modo, ol máximo hallado es precisamente el mayor
valor de R.
Problema 2.'2Que dimensiones debe tener un ci
sea mínima su área total S, dado el volumen 1?
Solución. Designando por r y h el radio de la base del cilindro
y su altura, respectivamente, tendromos:
S = Zur? + 2arh,
Si el volumen del cilindro es conocido, h se expresa en función -
de r segón la fórmula;
ッー 9,

¡dro para que

Análisis de los valores máximo y mínimo de una función 185

de dondo
is.
a
Sustituyendo la expresión de % en la fórmula para S, obtenemos:
=2ar + 2nr Y,
x

o sea
s=2(@+2).

Aqui, v es el número dado. Por consiguiente hemos representado
$ como función de una variable indopondiente r. Hallemos el valor
mínimo de esta función en el intervalo 0 < r < oo:

ds »
E 202),

2mr 一号一 0 な

F

COR CEE RS

Por consiguiente, la función $ tiene un mínimo en el punto
r = ri. Como lim S = 00 y lim 5 = co, es decir, cuando r tiendo

mo に
2 coro o al infinito, el área $ crece infinitamento, lo que atestigua
que la función $ tiene un valor mínimo en el punto r = 7.
lm o 5 af
Pero, si r= Y ga resulta: À >= VE 2.
Por tanto, para que el área total S son minima, dado el volumen
», la altura del cilindro debe ser igual al diámetro de ésto.

$ $. ANALISIS DE LOS VALORES MAXIMO Y MINIMO
DE UNA FUNCION MEDIANTE LA FORMULA DE TAYLOR

Como se ha indicado en el $ 5, capítulo V, si en algún punto
2 = a tenemos f (a) = 0 y /" (a) = 0, on éste puede haber un máxi
mo © un mínimo, o bien no haya ni uno, ni otro, Hemos señalado
que para resolver el problema en el.caso dado, so recomienda realizar

186 Análisis de la variación de las funciones

el análisis mediante el priiner método, es decir, estudiando el signo
de la primera derivada a la izquierda y a la derecha del punto z = a.
En este caso so puedo también realizar el estudio mediante la
fórmula de Taylor ($ 6, cap. IV).
Con el fin de generalizar el estudio supongamos que no sólo
1" (2), sino todas Jas derivadas de la función f(z), hasta ol orden
n — ésimo inclusive, se reducen a cero cuando z= a:

7 の = ニアのニー =/"(9=0, 0.

FW.
Supongamos también que f (2) tiene derivadas continuas hasta
el orden (n + 1) inclusive, en la vecindad del punto z = 0.
Escribamos la fórmula de Taylor para f (2), tomando en cuenta
las igualdades (1):
eat

7 公 nt, à
1104 IO a
donde E es un número comprendido entre a y z. Como f+!) (2)
es continua on la vecindad del punto a y f+ (a) 3% 0, existirá un
número positivo h tan pequeño que para todo z, me satisfaga la
desigualdad |z—a|<h, se tenga f+ (2) 0, Adomás, si
fort) (a) > 0, en todos los puntos del intervalo (a —h, a + h)
ser CT (2) > 이회) (a) < 0, on todos los puntos del intervalo
mencionado [64% (2) será negativa.
Escribamos la fórmula (2) en

=a)" nro
ウーのことーー
四一 /人 m ® m
y examinemos diferentes casos particulares.

Primer caso: n es un número impar.

a) Sea fit!) (a) <0. Entonces existirá tal intervalo (a —h,
a+-h), en cada punto del cua) la derivada de orden (n+1) es negativa.
Siendo z un punto do esto intervalo, & también se encontrará entre
a—hy a + h. Por consiguiente, fr» (£) < 0. Puesto que n + 1
es un número par, entonces (z — a)"+! > 0 cuando za, y, por
eso, el segundo miembro de la fórmula (27) es negativo.

Por consiguiente, cuando z + a en todos los puntos de
(a —h, a + h) tenemos: hi

7⑲ 一 7⑲ こ 0.
lo AS significa que la función tiene un máximo en el punto x = a.
) Sea が e+3 (a) > 0. Entonces, para un valor À suficientemente
pequeño tenemos f%+1) (E) > 0 en todos los puntos + del intervalo

mientras que

forma

intervalo,

Análiste de los valores máximo y mínimo de una función 187

(a — h, a +h). Por tanto, el segundo miembro de la fórmula (2)
será positivo, es decir, cuando z 7% a, en todos los puntos del inter-
valo indicado será:

1 (2) —1/ (0) >0,

lo que significa que la función tiene un mínimo en el punto x = a.

Segundo caso: nes un número par.

El número n + 4 sorá impar y la magnitud (z — の "HH tendrá
signos opuestos cuando z < a y z > a, Sih es suficientemente peque-
fio en valor absoluto, la derivada de orden (n 十 1) en todos los demás.
puntos del intervalo (a — h, a + Ah) conserva el mismo signo que
en el punto a. Por consiguiente, f (2) — f (a) tiene signos diferentes
para 2 <a, y para z>a. Esto significa que en el punto x= à
TO existo máximo, ni mínimo.

Observemos que, sin os par y {0+ (a) >0, entonces f (2) 一
<1 (a) para 2< a, y 1 (2) >f (a) para 2 > a, Pero sin es par
y fo (a) <0, entonces f(z) > (a) para z <a, y f (2) その
para 2 >

Se pu formular los resultados obtenidos del modo siguiente:
Cuando x = a, tenemos:

1 (@)=f" (a)... = 1 (a) =0
y la primera derivada f+) (a), que no se anula, es de orden par
entonces en el punto a la función f (2) tiene un mázimo, si が e+ (0) <
<0; la función f (2) tiene un mínimo, si es "+" (a) >0, Si la prime-
ra derivada f+) (a), que no se anula, es la de orden impar, en el
punto a la función no tiene máximo, ni mínimo. Además,

1 (2) crece, si 7PTD (a) > 0;

7 (2) decrece, si が "9 (a) < 0.

Ejemplo. Analizar el máximo y el mínimo de la función:

ea

Solución. Hallemos los valores

Fl) = 一 12c4- 上 12 ェー4ー4 (=

De la ecuación

Meat =
obtenemos ol único punto crítico:
eat

(va quo la scuneiön dada tieno sólo une rafz real), -
continuación estudiamos la naturaleza del punto crítico += 4;

Fl) $222 — Dix 12=0 para 2=1,
Ir) =24x24=0 para = 一全
VV ()=24>0 para todo = cualquiera,

Por consiguiente, cuando == 1, la función / (2) tiene un mínimo.

188 Análisis de le variación de las funciones

$ 9. CONVEXIDAD Y CONCAVIDAD DE LA CURVA.
5 PUNTOS DE INFLEXION

Sea una curva plena y = / (2) que representa la función / (20,
uniforme y derivabl

Definición. So dice que la curva es conveza hacia arriba en el
intervalo (a, 6), si todos los puntos de la misma están por debajo
de cualquier tangente a la curva en este intervalo.

Se dico que la curva es conveza hacia abajo en el intervalo (6, c),
si todos los puntos de la misma están situados por arriba de cualquier
tangente a la curva en este intervalo.

y

¡di

Fig. 114

La curva que tiono la convexidad hacia arriba se llama conveza,
igual que la curva que tiene la convexidad hacia abajo se denomina
cóncava,

En la figure 144 se muestra una curva convexa en el intervalo
(a, の y cóncava en el intervalo (b, 0).

La dirocción de la convexidad de la curva es una característi
importante de su forma. A continuación determinemos los criterios
según los cuales, durante el estudio de la función y = f (2), podemos
jnzgar'sobre la dirección de su convexidad en diferentes Intervalos.

Demostremos el siguiente teorema.

“Teorema 1. Si la segunda derivada de la función 7 (2) es negativa
en todos los puntos del intervalo (a, b), es decir, si f" (2) <0, la curva
ター (2) tiene su convezidad dirigida hacia arriba en este intervalo
(la curva es conveza).

Demostración. Tomemos en el intervalo (a, 5) un punto arbitra-
sio z = ze (fig. 414) y tracemos una tangente a la curva en el punto
cuya abscisa es 2 一 zo. El teorema quedará demostrado, si estable-
cemos que todos los puntos de la curva en el intervalo (a, 5) están
situados por debajo de la tangente, es decir, la ordenada de cualquier
punto de la curva y = f (z) es menor que la ordenada y de la tangen-
te, para un mismo valor de 2,

Convextdad y concavided de 10 curva, Puntos de inflexión 189

La ecuación de la curva es:
y=1() 0
La ecuación de la tangente a la curva en el punto = = z tiene
la forma:
DH xo) =f (a) (220)
o sea

Y =$ (ro) + F (a) (2 — a). 2)

De las ecuaciones (1) y (2) se deduce que para un mismo valor de
«la diferencia de las ordenadas de la curva y de la tangente es igual a:

vi) —f@d) Ten.

Aplicando el teorema de Lagrange a la diferencia f (2) — f (20),
obtenemos:

y—I=1 (9220) —1 (2) (2 — 29)
(donde © se encuentra entre zo y 2) 0 sea,
v—I=11(0—F (lle — 29.
Apliquemes de nuevo el teorema de Lagrange a la expresión del
corchete:
YI =F (en (e— 20 62) ®

(donde c, se encuentra entre z y c). i
Examinemos primero el caso, cuando z> x. Aquí: 2 <¢ <2,
puesto que
= ェータテー0 e-2>0;
además, según la condición:
re<o
de la ecuación (3) se deduce que y — ÿ <0,

Examinemos ahora el caso cuando z< zp. Por ahora: 2<e<
<a S toy Y Z— Zo <0, € — zo < 0. Puesto que, según la condi
ción,'f” (60 < 0, entonces de la igualdad (3) se deduce que:

y—ÿ<0.

Hemos comprobado que cualquier punto de la curva está situado
por debajo de la tangento a la misma, cualesquiera que sean los
valores de x y za en el intervalo (a, 6). Esto significa que la curva
es convexa. Queda así demostrado el teorema.

Del mismo modo se comprueba el teorem:

siguiente:

190, Análisis de la voriación de las funciones

Teorema 1”. St la segunda derivada de la función 7 (2) es positiva
en todos los puntos del intervalo (b, c), es decir, si f* (2) > 0, la curva
y = 7 (2) tiene su converidad dirigida hacia abajo en este intervalo
(la curva es cóncava).

Observación. El significado geométrico de los teoremas 1 y 4°
puedo ser interpretado de modo siguiente. Estudiemos la curva
y= J (2) que tiene su convexidad dirigida hacia arriba en el inter-
valo (a, 8) (fig. 115). La derivada /' (2) es igual a la tangente del

2

E
' 45 + ad
Fig. 118 Fig. 116

ángulo a formado por la linea tangente a la curva y el eje Oz en el
punto de abácisa 5, es dein, f (의 = tga, Por lo tanto f (0 =
= Ite aja

의 /" @ <0 para cualquier z en el intervalo (a, 8), esto quiere
decir que tg a decrece a medida que crece x. Desde el punto de vista
geométrico está claro que si tg u decrece a medida que crece z, enton-
ces la curva correspondiente será convexa, El teorema 1 es la
bación analítica de esta deducción, Del mismo modo se interpreta
goométricamente el teorema 1” (fig, 116).

Ejemplo 4. Determinar los intervalos de convexidad y de concavidad
do la curva dada por la ecuación:

vers,
Solución. La segunda dorivada os
ザーー2 く 0

ara cualquier valor do 2. Por consiguiente, la convoxi
Birigide bacta erriba en todos los puntos (lig. 117).

Ejemplo 2. Una curva está dada por la ecuación

yes,
Puesto que:
しとり

os cóncava en todos los puntos, es decir,
jo (tig. 118).

todos los valores de z, la cu
Su convexidad está dirigida hacia

Converidad y concavidad de la curva. Puntos de inflestén 19%

Ejemplo 3. Una curva está representada por la ecuación

ye.
Puesto que:
sto q ee
entonces y" <0 para = < 04.0 y” > 0 para と 0. Por consiguient.
Vexidad do in curva esti dttigida hast’ arriba cuando == 0 y haci
cuando 2>0 (ig. 19). =

14

Fig, UT Pig. 128 Fig. 119

Definicién 2. El punto que on una curva continua separa la
parto convexa do la cóncava, se llama punto de inflezión de la curva.

Fig. 120 Fig. 121

En las figuras 119, 120 y 124 los puntos O, A y B son los puntos
de inflexión.

Es evidente quo en el punto de inflexión la tangento corta a la
curva de modo que a un lado del punto la curva está situada por
debajo de la tangento, y al otro lado, por encima de ésta.

Establezcamos ahora las condiciones suficientes para que el
punto dado de la cueva sea el de inflexión.

Teorema 2. Sea y = f(z) la ecuación de una curva.

의 /" (a) =0, 0 7" (a) no existe, y la derivada f* (2) cambia de
signo al pasar por el valor x = a, entonces, el punto de la curva de
abselsa テー a es el punto de Inflezión,

102 Análisis de la vertación de las funciones

Demostración. 1) Sea f” (2) <0 cuando z<a, y 1'( >0,
cuando z > a. Entonces, para z < a la curva es convexa y para
>a es cóncava, Por tanto, el punto A de la curva, do abscisa
z= a, es el punto de inflexión (fig. 120),

2) Si /"() >0 cuando z< 6, y /” (2) <0, cuando z>b,
entonces para z << b la curva es cóncava y para z > b es convexa.
Por consiguiente el punto B de la curva de abscisa z = 6 es el punto
de inflexión (fig. 121).

Ejemplo 4. Determinar los puntos do inflexión y los intervalos de con-
vex Y de Eee do a Sarva .

ター (curva de Gauss).

Solución. 4) Hallomos las derivadas primera y segunda:

vemo”,
art (2st 4),

2) La derivada segunda oxisto en todos los puntos. Hallemos los valores

de 2 para los cuales U

ZN,
4

VE" vi
3) Analicemos los valores obtonidos:
para ェ = マー- 년 , tenemos y” > 0,

para ーー tenemos が

La segunda derivada cambia de signo al pasar por el punto 24, por tanto
pare sio ==; on la curva hay un punto de Snflexién, Sus coordenadas

ca
som (7,0)
Vi
para <p tonemos y"<O,
1
ca ラー tenemos >.
mw ザン

por msg, pra ーー on a crv tmbn 0014 1 puto
:
i 3 4 istenci
0 ins, ces 00008 sou: (Ego 3). ge da

“segundo do inflexión so deduce: también de la simotria de la curva
respecto al ajo Oy. に

Convextdad y concavided de 10 curva. Puntos de infleriôn 108

4) Do lo anterior so deduce que:

* para en <> la curva es 06008:

Y E
4 4
per aig Se < apg In curva es conven

4
para 1_<=<-+00 la curva es cóncava.
ví

5) De la expresión de la primera derivada
yaa
se deduce que:
siz<0, y'>0, es decir, la Función or
siz>0, y'<0, es dein, la función decrco;
emo, ザー

En este punto la función tione un máximo, o bien y,
Fasáldoso on el estudio realizado es facil construir In gráfica de la
curva (fig. 122).

vet

4 4 >

Fig. 122

Ejemplo 5. Analizar los puntos de inflexión de la curva
y
Soluelón: 1) Hallemos la segunda derivada.
vistas,

2) Determinemos los puntos para los cuales y”:

12420, 2=0.

3) Analicemos ol valor obtonido de 2=0:
si 2<0, y"2>0, la curva es cóncava;
si 250, y" > 0, la curva es cóncava.

Por sensiguionto, la curva no tiens puntos de inflesién (fig. 128)
sn nn Pod Est dede ent

fi
ャーー人 5
13-534

194 Análisis de la vartacién de las funciones

Solución. 1) Hallemos las dorivadas primera y segundi

ss) La segunda derivada no seduce acero on ningún punto, paro tamporo
ORNS) Analicemos el valor de = A: ~

si=<1, y>0, la curva es cóncava;

siz>1, y”<0, la curva es convexa.

Por tanto, hay un punto de inflexión en z= 1 que es punto (1;0).

y
q
aI
Pig. 128 Pig. 124
Observemos que の = co cuando == 4, es decir, la tangente a la curva

on esto punto es vertical (fig. 124).

$10. ASINTOTAS

Frecuentemente es preciso estudiar la forma de una curva y =
= {(@). y, por tanto, la variación de la función correspondiente
cuando la abscisa y la ordenada de un punto variable de la curv
juntas, o por separado tienden al infinito (según la magnitud absolu
ta). Aquí tiene especial importancia el caso en que la curva estu-
diada se aproxima indefinidamente a una recta, al tender el punto
desplazable de la curva hacia el infinito".

Definición. Si la distancia 6 entro una recta A y el punto despla-
zablo M de la curva tiende a cero, mientras que el punto M tiende
al infinito, esta recta recibe el nombre de asfntota de la curva
(figs. 125 y 126).

+) Se dice que el punto desplazable Af se mueve a lo lagro de una curva
IS
inant

Asintotas 195

Para estudios ulteriores vamos a distinguir las asíntotas verticales
(paralelas al eje de ordenadas), de las oblicuas (no paralelas al
do ordenadas).

1. Asíntotas verticales.

De la definición de asintots so deduce que si lim f (2) = co,
6 lim f (2) = co, 0 bien lim f (2) = 007 le secta x = a es la asíntota
de 16 curva y = / (2). Recíprocamente, si la recta z= a es una
asintota, se cumplo uva de estas igualdades,

Fig. 125 、 0

Por consiguiente, para determinar las asíntotas verticales es

preciso encontrar talés valores do z = a que, al aproximarse a los

mismos, la función tienda al infinito. En este caso la recta = = a
será asíntota vertical.

Eapol ta dura yore te
ue y 00 00030 25 (ie 1

aiatota vertical 2=5, puesto

vés

의

Fig. 197
Ejemplo 2. La curva y=tgs tiene infinidad do asintotas verticales:

PE: pit,
seat; cost, mt Bi...
ドコ

196 Andlisis de 10 variación de las funciones

Eso o deduce do quetg 00, ouanotiendoa los valores,

ates wore MM. gn,

ar,
2° 7

Fig. 128
4
Ejemplo 3, La curva yu=e* tieno une asfntota vertical #20, puesto

‘quo ltm Eco (lig. 128).
eto

Y)

Fig. 129 Fig. 180

IL. Asintotas oblicuas.
Supongamos que la curva y = / (2) tiene una asintota oblicua,
cuya couación es:
V=kr+e. | a

Doterminemos los números た y b (fig. 130). Sea M (z, y) un
punto de la curva yN (z, Y), un punto de la asintota. La longitud
del segmento MP es igual a la" distancia entre el punto M y la asin-
tota. Según la hipótesis

lím_MP=0. 10)

Asintotas 197

Designendo con y el ángulo formado por la asíntota y ol eje Oz,
del ANMP hallamos:
wp ニテ.
0059

Puesto que 9 es un ángulo invariable (diferente de 5): según

la igualdad anterior tenemos:
lim NM=0. (2

to

Reciprocamente, de la igualdad (2) se deduce la igualdad (2). Pero

NM =|QM —QN|=ly —31=11(2) — (kz + 391
la igualdad (2') toma la forma;
lim_[f(@) —kz—ó]=0, e)

Así ques si la recta (1) es una asíntota, so cumple la igualdad
(3): Reciprocamente, si para k y 5 constantes se cumple la igualdad
(8), Ja recta y = kr +b será asintota.

'Determinemos ahora k y b. Despej

do z en la igualdad (3),

obtenemos:
lim [2 2-2] =0.
we Le =
Puesto que 오그 + 00, debe cumplirse la igualdad
kim [e
Pier:

Cuando D es constante, lim À. = 0, Por tanto,

lim [2 - 지 =0

ele
o sea
k= lim LO. 0)
moro *

Conciendo k, hallamos à de la igualdad (3):
b= Mm 7⑨ 一 kai ©

198 Análisto de la variación de las funciones

De suerte que si la recta y = kz +b es una asintota, entonces
k y b so encuentran según las fórmulas (4) y (5). Reciprocamente,
si existen los límites (4) y (5), se cumple la igualdad (3) y la recta
= kz + bes una asintota. Si uno de los límites (4) y (5) no existe,
la curva no tiene asintota,
Observemos que hemos estudiado el problema referente a la
figura 130, cuando z ~ +00; sin embargo, todos los razonamientos
son válidos también para el caso cuando を一 oo-

Ejemplo 4. Hallar las asíntotas do la curva
METAN

Solución: 4) Hallamos las asintotes verticales:
cuando ーー0. リーの
cuendo #40, y=+—00..

Por consiguiente, la recta z=0 os una
2) Encontromos las asíntotas oblicuas

Y EXE
ke lim Le im Pri

Rare te
ae,
rn
suet
SA oy
= tim (A
o bi,

pu 28 in osent ra

P ıdiar la disposición mutua do la asíntota y do la curva, examinemos
La aiferonca de la ordónadas do la curva y de In asiora para UN mismo valor
de =:

La diforoneia es nogativa para =
cuando 2> 0, la curva está
encima de Ja esintota (fig.
Efemplo 5. Hallar las asintotas de la curva

“Foon zz.

0, y positiva para = <0; por tanto
Ge estate, y 60000 <<,

Esquema general del ansehe de_functones 190

Solución 1) Evidentemente po existon asíntotas verticales.
2) Las asíntotas oblicuas serán:
be Mm Le li EA [E a,
E > ES

b= lim [erxsenz 十 z 一可一 lim 6% son 20.
senz 十一可一 oem

Por consiguiente, la recta
pue

es uña asíntota oblicua para 2—»-+00. La curva dada no "tien asíatota

cuando» co. En posto, no exist lim, puesto que LF son st.

Fig. 131

(Aquí, ol primer gunando crece indolinidamente cuendo = 一一 oo， y, por
tanto, no tieno

$ 11. ESQUEMA GENERAL DEL ANALISIS DE FUNCIONES
i Y DE LA CONSTRUCCION DE GRAFICAS

El análisis de funcionossereduco generalmente a la determinación
de los siguientes elementos:
1) el dominio natural de definición de la función;
2) los puntos de discontinuidad de la fanción;
3) los intervalos de crecimiento y decrecimiento do la función;
4) los puntos de máximo y mínimo, así como los valores máximos
y mínimos do la función;

200 Análisis de la vartación de las Junelones

5) los dominios de convexidad y concavidad de la gráfica y los
puntos de inflexión;

6) las asíntotas de la gráfica de la función.

Este análisis permite construir la gráfica de la función (a veces
resulta más conveniente trazar los elomentos de la gráfica simultá-
noamente con el. análisis).

Observación 1. Si la función estudiada y = f (a) es par, es decir,
es tal que el valor de la función no varía cuando el argumento cambia
de signo, es decir, si:

1) =1@),

será suficiente analizar la función y construir su gráfica sólo para
los valores positivos del argumento, portenecientes al dominio de
definición de la función. Para los valores negativos del argumento
la gráfica de la función se construye teniendo en cuenta que una
función par tiene su gráfica simétrica respecto al eje de ordenada:

Ejemplo 1. La función y ==" es par, puesto que (-29 = (2)! (vénso

fig.
Ejemplo 2, La función y = cos z ee par, puesto que cos (—2) = cos (2)
parer y= cos x ee par, puesto q E 加

Observación 2. Si la función y = / (2) es impar, es decir, que
la función cambia de signo cuando varía el argumento, o sea, si:
7(-9 = ㅡ 760.
sorá suficiente analizar la función para los valores positivos del
argumento. La gráfica de una función impar es simétrica respecto

al origen de coordenadas.

¡Elomplo 3. La función y = 29 es impar, puesto que (09) = — 29 (via

Ejemplo 4. La función y = sen + es impar, puesto quo son (—=) =
o A Y e

Observación 3. Como el conocimiento do algunas propiedades
de una función permite hacer conclusiones sobre las otras, a veces
resulta conveniente elegir el orden del análisis partiendo de |
particularidades do la función dada. Por ejemplo, si determinamos
que la función dada es continua y derivable, y encontramos los pu
tos de máximo y mínimo de la misma, quedan doterminados también
los dominios de crecimiento y decrecimiento de la función.

Ejemplo 5. Analizar la función,

IFA
y construir su gráfica.

Esquema general del análicis de funchones 20

Solución, 4) El dominio de definición do la función es el intervalo
TEE at 9 16000. sanos que para = <0 10200
9 y para と >0 tenemos 9 > 0,
‚a función os continua en todos los pı
cata 9 Analicemos Jos máximos y mínimos de función partiendo de la seua
—

1
na

Hallamos los puntos críticos
一一和 mt.

Analicemos aliora la naturaleza de los puntos críticos:
cuando 24 <—4 tenemos y’ <0;
cuendo 21 >—1 tenemos 8" >0,

Por tanto, la función tiene un mínimo: cuendo += 一

Va = Deus 045:

De igual manera:
cuando =< 1 tenemos y'>0;
cuando =>1 tenemos の <0.

=1:

Por tánto, la función tiene un méximo cuando
Vote = (Was 0,5.
stint) Determinemos los camper da crcimiento y dcr dela fan
ㆍ 一 op 去 z< —1 tonemos y’< 0: la función decreco;
cuando { —1<2<1 tenemos y’ >0: la función 00000;
1 テマ foo tenemos y 0: la función decrece,
5) Determinemos los campos de convesidad y concavidad de la curva
y los puntos de ntlexiön ne on ecuación.
220-2)
arm

a=-V 290, = V3.
Estudiando y” como función de 2, encontramos que:
para 一 co<z< 一 VS tonemos y°< 0: la curva os convexa;
para —VI<=<0 tenemos y">0: la curva oa cónceva;
para 0 で = で 8 tenemos y"<O: la curva es convexa:
para VE << +00 tenemos y" >0: la curva 00 cóncava.

Vir Y, os ol de

Anflexión, lo mismo que los puntos (0, 0) y (V3, YA)

obtenemos:

Por tanto, el punto de coordenai

02 Análisis de la vartación de las functonet

6) Hallemos las asintotas de la curva:
para 一十 co tenemos アー
Dora & 一一 co ineinos y => 0.
Por consiguiente, la recta y = 0 es la única asíntota obliena. La curva
9 tine esímalas vedicles, puesto que no existe ningún valor finito de + ı
일 cual la fonción 00005 al Infinite,
La gráfica do la curva estudiada está expuesta on la figura 432,

Ejemplo 6. Analizar la función
Va TRES

y construir su gráfica.

Fig. 182

Solución, 4) La función está definida para todos los valores de z.
2) La función os continua en todos los puntos.
3) Analicemos los máximos y los mínimos de la función:

excopción de los siguiontes:
210 y 2q=2o,
“Analicemos los valores límites de la derivada pará z+ 0 y para 2» + 0:
の時 4 一 3

A ate SEV Gare TO

para z 一 0 tenemos y" <0, para z > 0 tenemos y” > 0.

or Tanto In Ride tae un ind cuando © = 0, El valor do la fu
ins ast pate eae ,

ln PER Ta fido en otro ante crios m = 24:81 a+ 28,

eo Dark
ricas prince abe asis al detec Co € ie aquaria dl
te es vite taal ce nope iva: Gn OS en ee punto a función
pant te cae" mat En posto 2 = das come tablón eh la ro
A tangata care nse pono or
Hi

Gun su In derivada 00 potes à Goro: Etudlomos la aaaraler
ste punto crítico. Analizando la expresión de la primera derivada,
A

para CE tonomos y' >0, paraz >“ tenemos y’<0.

Esquema' general del andlisis de funeiones 203

Por tanto a función tendrá un máximo para «ff:
n= e Pa.

4) Utilizando los resultados del análisis efectuado obtenemos Jos campos
de crecimionto y decrecimiento de la función:

per chat 0 la tesi does;
para <a € Mt función eee:

para Mec eo la anión dur.

5) Hallenos los compos de convexidad y concavidad do la curva
pumas" do Inionión: Te segunda derivada

Bat
La a

929 (2a—2)?

si se reduce a cero en ningún punto. Sin embargo existen À
ue le segunda dorivada onu Tos puntos 와 = D Y Sy

y

Fig. 158

Iavestiguemos el signe d la node derivado ta proximidad do cada
uno do estos puntos: cuándo = <<0 tenemos y < 0, y la curva ten u Cone
Yexidad dirigida hacia arriba; MM LA
cuando <> 0 tenomas 20, yla curva tone su convexidad airigida hacia

Julero decir que el punto de abscisa テー 0 no es el punto do inflexión

haciendo = <2a so 4006 y” <0, y la curva 4000 su convexidad dirigida

Cuando = > 2a 00 tiono y” >0, y la curva tiene su convoxidad dirigida
Quíere decir que el punto (2a; 0) do la curva es el de inflexión.

204 Análisis de la variación de las functones

©) Hallemos las asíntotas do la curva

の了
1 sta Le tig EZ im Y ia,

An, a

im at un lis シーニーニー -

IA A AZ
Por tanto, la recta =
ome

es una asíntota oblicua de la curva
y= Vit,
La gráfica do la función estudiada so da en la fig. 133.

$ 12. ANALISIS DE LAS CURVAS DADAS
EN FORMA PARAMETRICA

Sea la curva dada por eeusciones paramétricas
2230.)
vr. @

En este coso ol análisis y la construcción de la curva se efectúan
de manera análoga a la que ha sido utilizada para la curva dada por
la ccuación 007

y=1().

Primoramente calculamos las derivadas:

de
q =“

四
dy 4
ae

Para los puntos de la curva en la proximidad de los cuales 6sta
sirve de gráfica de la función y = f(z), calculamos la derivada

dy_ 20)
ge. @
a y
Encontremos los valores del parámetro t = fi, fa, . . . fx para
los cuales por lo menos una de las derivadas, (9 0 (0, se reduce
a cero 0 tiene discontinuidad. (Tales valores do £ los llamaremos
críticos). Según la fórmula (3), determinemos el signo de la derivada

U en cada uno de los intervalos (5 40 (to 185 + +i (ico 00

Análisis de las curvas 00000 en forma paremétrica 205

y, por tanto, en cada uno de los intervalos (21, zo); (23; 2); - - -
"Us (men zu) donde 2, = 9 (1). De esta manera quedan deter
minados los dominios de crecimiento y decrecimiento. Esto da la
posibilidad de determinar la naturaleza de los puntos que correspon-

den a los valores del parámetro #, ta, ..., ta. Luego calculamos:
#y_¥OCO-F OVO e
ae (Or

Esta fórmula nos permito determinar la dirección de la con-
vexidad en cada punto de la curva. Para hallar las asíntotas, enc
tramos tales valores de £, en cuya proximidad una de las variabl
z 0 y, tienda al infinito y tales valores de ten cuya proximidad x 0 y
tiendan al infinito. Después realizamos el estudio do la curva del
modo habitual. Mostremos con ejemplos algunas particularidade
del estudio de las curvas dadas en forma paremétrica.

Ejemplo 1. Analizar la curva dada por las ecuaciones

y=a sont. ay

Solución. Los valores = o y esti determinados para todos los valores
do 1, Siendo periódicas las funciones cost # y sent | de periodo, za, será sue
ciento considerar la varinción del parámotro £ en los limites de 0 hasta 22.

io de definición tanto para = como para y. Por
Hallemos ahore:

=
deta 00904 | =
H
estic

a ón
2 reducen a coro, cuando t=0, À, a, DE, on, Dee

Estas derive

winemos: A
iy _ 3a sont cost 로
4 6

“Tomando en consideración las fórmulas (27) y (3) componemos la tabla siguiente.

E vara. | sigo [enter
| | Tae,
ÉTÉ ae 215308
< くき 2>:>0 0<y<a ー | 00000
j<ı<a 0>z> 一 = a>y>0 + | 000
재무 | -aczco | o>v>a | - | 대며

Beecen | ocece ー<y<o | + | Greco

206 Análisis de la vartación de las funciones

sts tbl s Aus que es estat (1 dling, es fundan coins
fal tipo y =f (2s para "7 tonemos y > 0 (véonse dos primeros rengle-
fos AP table para m 7 <n tenemos y 0 (véanso los últimas renglón
ÉMIS D L'an be dames” © Camel Km rain

a
in flow

RE

a
E32

En estos puntos la tangente a la curva 00 vertical. Hallemos ahora:
del o de &| _
u EL 웅
En estos puntos la tangente a la curva es horizontal. Calculemos ahora:
a 4
+ Sa
Zo

Do aquí so deduce:
para O<t< 2, la curva es cóncava

Lo

para m <t<2x la curva es conver

z
る

Fig. 184

Los resultados obtenidos permiten construle una curva correspondiente
(ig. 18%. Esta curva so llama arrete. E
Ejemplo 2. Construir la curva dada por las ecuaciones (folio de Descartes)
den
TFR ay

En
e

Análisis de las curvas dadas en forma paramétrica 207

Solución. Estas dos funciones están dofinidas para todos los valores
do 4, a oxcepción do t= —1, además:

開 30
in TERA to, Im ym, Min eee

im roo, lim y= oo.
stg E rm +

Observémos ahora que
para t=O es 2220, y=0,
para っ oo es 20, y>0,
Para t—>—co os 20, y 0.

az av,
Hallemos 을 y SE :

a
aaa ae a
Para £ oblenomos los siguientes valores crítico
ニーも 1=0, soy “=
Hallemos ahora:
a
ay à tem
Y = @)

a
(a)
Utilizando las fórmulas e en (5) componemos la tabla,

De do yah
HH
er eno e | = | “ere
Ho<ı<-il o<z<+o | 0>y>o0 | — | Decrece
=1<1<0 | ~coczcd | +eosy>0 | 二 | 00000

O<t< pz | <r<eP4 | oeceyg | + | 000

A E A — | Due
72<%~+0| 073>=+0 | 074>0>0 | + | Crew

De la fórmula (3°) so deduce:

(총), =

208 Análists de la variación de las functonee

Por tanto, In curva pasa por el origen do coordenadas dos veces: una ver
con la tahgento paralola el ojo Oz ÿ la otra con la tangente paralela al

eje Oy.
해 :
en

に 2

En este punto la tangente a la curva es vertical.

dy
uy で
em
et)
En este punto Ja tangente a la curva es horizontal, Busquemos la asíotota:

y E Sat EH) |
사미 우모 00170

Bart Bat
in a, [de

aie, Le, ee

Por consigulento a recta y = — x — 0 es la asíatota
de une ram do la curva Para

Fig. 185 ターキオ oo。

De igual manera bailemos:
b= in Les

bem Im (yk

Ash la recta y= — 2 — a esla asintota también de la rama do la curva
pare ee
nade el análisis podemos construis la curva (ig. 13).
Re an fanden con el anise as rvs serán otndia-
dos adfeionaiaonte on al capitulo Vit, §20. Puntos singulares de una curves.

rl paa e mtelo Y
ils e cis de D tf 1, paa, Ma
Mapu reir

의 y =P 0M4 18749. Respuesta! Yngz =10 para <ーれ Man ニー22 para

7
ー Pre テー

Ejeretetor para el capítulo Y. 200

RS. he yr 64288, Respúesta: gmgxm pora Em, Unig =O para
. 5. vert 65042, Respuesta: Yan? para 2==0, Ugo > —14 para

テーキ 2. 6, yodo 1250421607. Respues

para 28 y 206. 7.

4
0 ya (047, Rap no ky máx al mi a pe TRE ,

Respuesta: mía para == V2, mex para = — VE. 10. „EDEN,

Repas máx yon cm 11 pe, aar as

42. p= 그는. Respues
<2<3). Rapa

boire para ee 12, vecu (—

A (—

2 Respuete: wbx para sd, min para E, post
tg, Respuenta: no hay mé, ni mín. 18. yore sons, Respiro; mín para

‚mix para = int In. 17. yost— 242, Respuen
para =ー0: dos mínimos para == —1 y 24, 18, y(e—2)9(2241). Respuet-
Vasa 8:24 para zug. 19, ym + Respuen

a A
pars se 4. 20. yaaa]. Respuenta: 66 ig para 2m; Gaga =

르

para 20 y pare sma, 0. yet +

=> Respuesta: máx para +

min pare, =

és 5 ES
5 2 VSL VINE, Respuesta: Un = para so

EVER <1). Respuett nag I

a =
para sm. 24. y=p Es. Respuestas mín para

Um À para ーー 23.

1, mie pare amt.
Basin. Respuesta
:
para cere À; min para #4. 27. y=lnz—arctgz, Respuesta: Función va
creciendo, 28. y=oone—Saen= Reepueta: mín para sm; máx para
In

SE ao

na ree) TE ARS

Despareige, Respuesta: no hay exromos. 30。 y=—sencosts,
Respuese: min para ==; dos mörimos: para saeos W/Z y para
areeos (— 1/7). sr wooresen (on 2) Rm máx para 2

EDT: min pera 22D,

1453

20 Análisis de la variaelön de las funciones

ínllar los valores móximos y mínimos de las funciones on los segmentos

indicados:
32. Yo — 3014601 (— 2G 22) Respuesta: 여고 para ze,

Vta ==—25 para zur 2.

A A pain 225,

18
Umint= —g para
24

ie JOA. Respuestas pages Para Em, tigen!

PA E A mis

q ne

86, Con una bol curada d ado e preciso cos un cajón abia
atm cea caldo e Au
setae re Du fora aloe ¿Cal Tbe se es

del lado do los cuadrados cortados?
Respuesta: a0.

に Demostrr que de todos los rectángulos que puedan inscribirso

on un ciroulo dado el cuadrado tieno el Arca méxima. Demostrar quo el cuadrado.

tended también el perimetro mist : “
38. Demostrar quo de ados los Himgules jseedle inseritos en un circulo
dado un tiingulo euulitee tendes el perimetro máxima,
od: Hala ings en lr io, coa biotin
es by Respuesta; la longitud do cada cateto ot igual ,b/V
“os Hallar la altua do un lindo. reno de volumen méximo inserto
en una ceux de radio Re za
Respuestas la altura 에 igual, a 28) VE
A tallar 1 altura do un cilindro recto qué tenga la superficie lateral mi
ima, oserito on una esfera de radio R Respuesta: la altura es iguala À VE
a. alla da altura do un cono resto de velumen minimo, elrcunseito
air de una esfera do radlo A. Respuetias la altura es igual a Af (A
Sollen del cono as Igual a dos voldmenes de ls esfera
자 BI Interior dE un rsiptent con 인 fondo 이
debe reretirse gon plomo. Si el volumen del rectpie
dabea ver sus dimegelones para que Sea mínima la cantidad do
puces la litre es 0-3 my 인 lado de la bese ea Un (a Sect,
de In Base debo ser dos veeas mayor quo la alturo)
Un techador quiero abrir un canalén abierto de capacidad máxima.
BL fondo y los costs del camalón deben ser do 10 can de ancho, además los
gta Nan de estar Igualment inclinados respecto al fondo. ¿CGál debe ser
ner del eanslén por ariba?
Heute, 50 en. a 、
Demestrar que un pabellón cónico do capacidad dada coquiero una
cantidad ménima do tele cuando su altura es YZ veces mayor que el radio dela

to por arriba, cuyas par

base,
“48. Haco falta fabricar un cilindro mede
y el fondo tengan un espesor dado. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del Silindro
Para que, dada la capacidad, sea mínima la cantidad do material utilizado?
"Respuesta: Si A es el tadlo Interior do la base y v, ol volumen interior.

del cilindro, entonces: R = Yo].

Ejercicios para el capitulo Y. att

41, pro abejas eer, composted elt y o nd
semicsféricos, con paredes de espesor constante, de modo que con al volumen
어려 a rea ae et co à

eet let tue te RS ce van ut em dl
rior R, igual a ÿ/3v/4x.

48. Constr Kar trapecio isdsceles que, dada cl área $, tenga un porimetro
nine a ste ie me Les an pt
DORE

“ia serbe en una esfera de radio R un prisma triangular regular de
mor =

Feet ltr dl pra sul 20/3

St, Cireumsrbir alrededor do une semiesera 48 radio A un cong de volu-
A de
RAR elt ms =

vea: a aly el ni e iguala A VE

Fab heine e on lina’ do Ko run cono rst do vol
ou ee ride a
EE lle ples ss da bs
ica E.

d2, Cites in remis de uña hole creer d plo, ate gueno
ana i a pide
Beier: el daguo esi dl muta goal ee VE
Si "ill el elf dal volumen xine ento todos lo logs ron
o Ge teen ne a ele
SR
mamo. Respete la altura de lindo es igual e VOR radio dal bese

es igual a a/V6.
"Sa! soc dado un punto cy gy quo so hula en cl primer cuadrante en si
tema ricingulr do nat Aaa? gor sa PUNO vou teen de
ame‘ Angol do sta ala ol os one pas de fs Os
catia
Respuesta: la recta corta en los ejes los segmentos: 22, y 206, es decir, tiene
00002 ¿Eo da

7

55. Son dado un punto, on el ojo de la parábola y? = 2pz a la distancia

uel Véro. nier Iran del punto de do curva! mia Pésimo al Punto
do.

Respuestas = ニュー

50: "La solider de ula barra de seción rectangular es drectamonte pro-
porsional a el ancho dela barro demüzhma
folder quo podria ser cortada de madera de 10 em do idmotr.

Berpuerbe: In anchure es igual a E e,

31. Un torpedoro so ensuéntra anclado a 9 lan del punto más próximo
de la'conte: Es preciso enviar un mensajero a un Campanita millar agudo
315 km del punto dela terra más próximo al torpodero, Cantando a lo argo dee
Senta meat, aan le ba ha yendo, à ku

En qué punto de la costa debo desembarcarse el mensajero para Hogar
al campamento en el tiompo minimo posible?

Ternera S'la e capa 개 배 ii

- "Un punto ee desplaga for un plano en un medio, ispuesto fuera
dela tinea A, Ie. 00900 y polla at, gn a rios

¿Que caminó debe pasar el puit pura deeplozarso dela posición A ala 2;
situada en la linea MN, en un tiempo minimo? Le distancia entro el pants

PO

212 Análisis de la variación de las funciones

A ya nea M es Igual ab: la distasts ontre Ta proyécclôn a del punto 4 sobre
du loa A, yal pinto Ba igual

Respuesta! St AGB es el trayosto del punto, tanómos:

Sn 0000 >, y 00 =aB, cuando p< EL.
58, Una cage o clove mediante una palanca.
a un extremo do ésta; el es de: ‘se encuentra
ina. Sl cargo ert colgado su of unto gu a
do apoyo y endo centimetre lineal de la palanca pesa v gramos ¿cuál debo ser
de Johto do a palanca parque Ta forza nuca pata eleva la carga su

Respuesta: = VEU em,

80. Ronlizadas n mediciones do una magnitud incógnita z, so han obtenido
las lecturas! ssp Sa; Demostrar que In guma, de los cuadrados de Los
errores (= — apt Ge it. GR — and será la minime, si oo toma
por gal aimee (따가 래그 : a : a

du pare demi canto sca ponible la frieión del guido contra Ins
paredes de un canal, el área mojada por el agua debe ser mínima. Demostrar
que la mejor forma del canal rectangular abierto do ároa dada de sección trans-
Seal. 0 aguda an que al ancho del canales, dos veces mayor que a ali,

Hallar fos puntos do infloxión, los intervalos de convexidad y concavidad

do las curvas.
82. y == 2. Respuesta: para z <0, la curva es convexa, es cóncava

para テン 0; hay punto de inflexión para = = 0.
#1 Respuesta: La curva es convexa on todos los puntos.
64: y =2—39—0x +9. Respuesta: hay punto de Inflexión: para

ant
G5. y=(— 8%. Respuesta: hay punto de inflexión pare 2 = b.
WINZER Renpuceta la curva es cóncava em todos ls Puntos.
©. venise nro: bay punto de inflenitn paa zs
2, Respuesta: hay punto de inflexión para = 一 mr-
は ay punto de Intlexión para ==,
hay punto de inflexión para = ニム
16. pare VDS, Respuesta: la curva no tiene el punto de Infloxiön.
al ls slots de las curvas nuits ,
. esta: ェーーリー eng. Respuesta: テー一
a pd. Th wma Ear Resets 2

ㆍ

ーーー Reape
ear 200, 7 っ 0 Resp
Peete 78, が Pet Faust pote. Th ニー Apaga

28. 90, Ye 20) 3900. Respuetta: 2— 24, yaa (240),
Fatal LE Tuneiones y constat sus 바에

ss : .
CE
ERE. ent

mn PFD, 2 yas PFT, ve

Ds res,

Ejeretelos para el capitulo V 213

95. y=0e". 96, yz—In(z+1). 97. In (z?-+4). 98: y =son 82.
D Barton es dad, comas. 10d ye hens. 108. yola.
Ins aes zen, ama (t—sent),
103, y. 104. { yet, 105 bes 10% { dest).
u ae |
zmaetens
= yat sent.

Problemas complementarios.
Hallar las asíntotas do las liness:

ロ
000 EE apie; set; galo 169. vastes Rap

vu. M0, ye Repuete: 2m —

Respueies hye. 182 qu

Rip; gue. 46. vas (ot). Aspar
1 1

28 son2. Respuesta: y=

:
A

puta
tie las funciones Y contrivance ss gráficas
147. yz). 148, y=l0|7). 149. y? =29—z, 120. y=(2 +1 (22). 124. ym

med el 122 y Ps, 128. yaa YEFL IM. y In, 185, y=

Line tak glo ton y teh pep BE, ta poto.

190. ym, 4 にャー1aeSr 492, y E, 498, yas rtp. 136. ys

=s—2ureigz. 185, y=el@sonde. 136, yarlsenzj+z. 197. yasınla).

10. yacortestamts, 199. ve tie. 10. pm EL, 46. ve

a (EE) nce. pm (Al) gel

(- 음 <=<1) . 1. ve feetien tt 14. y 000 + LEA 1H
b<r<n.

CAPITULO VI

CURVATURA DE UNA CURVA

$ 1. LONGITUD DEL ARCO Y SU DERIVADA

Supongamos que un arco de la curva MoM (fig. 136) sea la gräfi-
ca de la función y = / (2), definida en el intervalo (a, 3). Determine-
mos la longitud del arco de la curva. Tomemos en la curva AB los
puntos Mo, Mi, Mar... Miss Mu... Mac, M. Uniendo
con rectas los puntos tomados, obtenemos una línea quebrada

te

Fig. 188
MM Ms. MixMy ... MyM, inscrita en el arco MoM.
Designemos por Py la longitud de esta línea quebrad

El límite (lo indiquemos con s), al cual tiende la longitud de la
línea quebrada cuando tiendo a cero la longitud del segmento más
grande M,.M, se llama la longitud del arco MoM, si este límite
existe y no depende de la elección de los puntos en la línea quebrada
MMM; ... MM, ... MM. Observamos que la definición
de la longitud del arco de una curva arbitraria es análoga a la de
longitud de una circunferenci:

En el capítulo XIJ demostraremos que, si on el segmento la, b]
la función 7 (a) y su derivada /" (2) son continues el arco de la curva
y = f (2), comprendido entre los puntos la; f (a)] y 18; f (b)], tiene
una longitud bien determinada. En el mismo capítulo se demostrará
el modo de calcular esta longitud. También será establecido (como
corolario) que en las condiciones dadas la razón de la longitud de
cualquier arco de esta curva a la longitud de la cuerda respectiva

Longitud del arco y su derivado 215

tiende a 4, cuando la longitud de cuerda tiende a 0:

tim Jong. MoM
Most = long. MoM

Este teorema puede ser fácilmente comprobado para la ciroun-
ferencia®, sin embargo, en el caso general, lo tomaremos ahora sin
demostración.

Estudiemos el problema siguiente. Sea y = / (z).la ecuación de
una curva en un plano,

Sea Mo (zo, 00 un punto fijo de la curva, y M(x, y) un
punto desplazable de la misma. Designemos por s la longitud del
arco MoM (fig. 138).

=1.

DE

Fig. 197 Fig. 188

Al variar la abscisa x del punto M varia también la longitud
> a del arco, es decir, s es una función de z, Calculemos la derivada
$ con respecto a z.

Daremos a z un incremento Az. Entonces el arco s recibirá un

incremento Az=long. MM,. Sea MM, la cuerda de este arco. Para
determinar lim = ,procedamos de la manera siguiente: del triángulo
AMMQ encontramos:

MM; (023 + (Au).
Multipliquemos y dividamos por A el primer miembro:

(En) bP = (Aa) + (Au.

+) Gonsideremös ol arco AB, cuyo ángulo central es 7 (tig. 437).
wa BE a Seas tl LEE
y la de su cuerda es igual a 2A sena. Por esc
Jong. AB 200

Ya long. Abo 20006 7

A.

216 Curvatura de una curva

Dividemos por Az* todos los tórminos de la igualdad:
Ear

as ) Vaz) =

Encontremos los límites de los miembros primero y segundo cuan-
Ay
=1 y lim 22

rm
ur
PAT) o

Obtenemos la siguiente expresión para la diferencial de un arco:

ds y: + (He 10)

o bien*
ds= Var + di. (2)

Hemos obtenido la expresión de la diferencial de la longitud
de un arco cuando la curva se da por la ecuación y = f(z). Sin

embargo, la fórmula (2') es válida también cuando la curva se repre-
senta mediante ecuaciones paramétricas.
Si las ecuaciones paramétricas de la curva son:

== 9), ver,
az =o (at, dy =Y (0 at,
y la expresión (2') toma la forma ds = Vly" Wr +19 (OF de,

entonces:

$ 2. CURVATURA

Uno de los elementos que caracterizan la forma de una curva
es el grado de su curvatura. Supongamos que existe una curva qu
no se corta y tiene una tangente bien determinada en cada uno de
sus puntos. Tracomos las tangentes a la curva en dos puntos arbitra-
rios A y B, y designemos por a el ángulo formado por estas tangentes

+) Rezonando estrictamento, Ja fórmula (2°) ee válida sólo cuando de > 0.
Si de <0, entonces — 77020 003. Por eso, en general, sorá más justo
escribir esta fórmula dol modo siguiente: | de | = Var" + 063.

Curvature 20

© (con mayor exactitud), el ángulo de giro de la tangente cuando
ésta pasa del punto A al punto B (fig. 139). Este ángulo se lama
ángulo de contingencia del arco AB. De los dos arcos de una misma
longitud, será el más encorvado el que tiene mayor ángulo de
contingencia (fig. 139, 140)

Por otra parte, es evidente que no se puede determinar el grado
de curvatura de los arcos de diferente longitud considerando sólo

Fig. 189 Fig. 140 Fig. 141

sus ängulos de contingencia. Por consiguiente, la caracteristica
completa de la curvatura de una curva serä la razön del ängulo de
contingencia a la longitud del arco correspondiente.

Definición 1. La razón del ángulo de contingencia correspon-
diente a respecto a la longitud del arco se llama curvatura media
Koa del arco AB: Kea =.

AB

La curvatura media de diferentes arcos (partes) de una curva

Puede ser diferente. Así, por ejemplo, la curvatura media de los

arcos AB y A,B; de la curva expuesta en la figura 441 es diferento;
‘aunque las longitudes de estos arcos son iguales, Mas aún su grado
de curvatura varía de un punto al otro, Para caracterizar el grado de
curvatura de la curva dada on la proximidad inmediata del punto A,
introduzcamos la noción de curvatura de la curva en el punto dado.

Definición 2. El límite de la curvatura media del arco AB,
cuando la longitud del mismo tiendo a cero (es decir, cuando el
punto B se aproxima® al punto A) se llama curvatura K de la curva
en el punto dado A:

Ka= lim Kma= Hm Æ.
ona 222045

) Se supone que el valor del limite no dopendo de la dirección cn que
so toma en la curva el punto desplazable 3 respecto al punto A.

28 Curvatura de una curva.

Ejemplo, Para una circunferencia do radio r: 4) determinar IA curvatura

media del arco AB, correspondiento al éngulo central & (fig. 142); 2) deter-
minar ja curvatura en ol punto A.

Fig, 142

Solución: 1) Es evidento quo el ángulo de contingencia del arco AB es igual
aa y longitnd del areo ee ig ar. Por toner

Knet ar
o sea

Knea=>

2) La curvatura on ol punto À es igual a

Así pues, la curvatura media dol arco do una circunferencia de radio r
no depende de la longitud y posición dol arco; para todos los arcos 03

igual a La curvatura d la hewsiaenei on un punto cualquier tama
paco depende de la posición dl punto y es igual a 은 -

Observación. Notemos que la curvatura de una curva arbitraria
puedo, generalmente, varlar de un punto al otró, como lo veremos
más abajo,

$ 5. CALCULO DE LA CURVATURA

Deduzcamos la formula para calcular la curvatura de una curva
en cada uno de sus puntos M (z, y). Supongamos que la curva está
dada en el sistema de coordenadas rectangulares por la ecuación:
y=1@), 0
y que la función f (2) tione la segunda derivada continua,
"Tracemos las tangentes a la curva en los puntos M y My, cuyas
abscisas son z y z + Ax, respectivamente, y designemos con の
y o + Ag los ángulos formados por estas tangentes y el eje Oz
(fig. 143).

Cáleulo de la curvatura 249

Designemos por s la longitud del arco MM, calculado a partir
de un punto dado M. Entonces As = M,M, —MoM y j¡As| = MM.
Como se ve en la figura 143, el ángulo de contingencia que co-

responde al arco MM, es igual al valor absoluto* de la diferencia |
entre los ángulos y y q + Ag, es decir, es igual a | AP |.

Fig. 148

Conforme a la definición de la curvatura media de una curva en
el segmento MM, tenemos:

Para determinar la curvatura en el punto M es preciso hallar el

limite de esta expresión cuando la longitud del arco MM, tiende
a coro:

Puesto que q y s dependen de x (son funciones de 2), entonces,
se puede considerar como una función de s y suponer que esta
función se ha dado por las ecuaciones paramótricas mediante ol
parámetro z. En este caso

y, por tanto,

벤더 oa

dente que para la curva dada en la figura 143 | Ag 1 一 89;
puesto que Ag > 0.

20

Curvatura de una 04000

Para calcular SP utilicemos la fórmula de derivación de funciones
paramótricas:

dy

de _ ae.
as ds
z
de

qe 2 través de la función y = f (2),
observemos que 189 = 2 y, por tanto,

Para expresar la deriv:

oem,
Derivando la última igualdad con respecto a z tenemos:
du

He E
de y (ayy
は
Para la derivada %, homos encontrado en el $ 4, cap. VI,

Do donde

er °

Cálculo de la curvatura de una curva dada en forma paramétrica 221

Por consiguiente, en cualquier punto de la curva, donde existe
y es continua la segunda derivada 5.4 se puedo caloular la curvatura,
utilizando la fórmula (3). Observemos que calculando la curvatura
de una curva, conviene tomar sólo el valor aritmético (positivo) de
la raíz en el denominador puesto que, según la definición, la curva-
tura de una curva no puede ser negativa,

Ejemplo 1. Determinar la curvatura de la parábola = Apr:
Son un punto arbiter M (2 D
À) em ef punto af, (0. ON:
+) en ol punto are (2-
Solución. Hallar las di
vu Vie:

Ya
Poniendo las expresiones obtenidas en la fórmula (3), obtenemos:
그
daa
> art
2) Kena, post

>
1
9 を ie
En, von EV
Ejemplo 2. Determinar la curvatura de la rocía y = az + 6 en un punto

arbitrario (e,
Solución.

y =>, y=0
En virtud de la fórmula (3), obtonomos:
E=0.
Así la recta es una curva de scurvatura coro». El mismo resultado so puede
sacar inmediatamente de la definición de curvatura.

$ 4. CALCULO DE LA CURVATURA DE UNA CURVA DADA
EN FORMA PARAMETRICA

Sea una curva dada on forma paramétric
eM v=.

Entonces ($ 24, cap. IE
yy VO) dy wine,
E のの 9 de C2

222 Curvature de una curva

Introduciendo las expresiones obtenidas en lx fórmula (3) del
párrafo antecedente, tenemos:
MAN
A
Ejemplo: Determinar la curvatura de la cicloide
= 一 Ron yatt 一 cosg
en un punto arbitrario (2 1).

0

Solución
ae d a
Le mo (ico, Bram Hmasent, Smo cnt,

Introduciendo las expresiones obtonidas en 10 fórmula (3), obtenemos:
le cos acost—asentasont]_ leosf 一人 1 0
ye? 1 一 ea 1) a sent £7 PCE
1

rr | od

$ 5. CALCULO DE LA CURVATURA DE UN CURVA DADA
EN COORDENADAS POLARES
Sea la curva dada por la ecuación del tipo
e=1(0). a)
Escribamos las fórmulas de paso de las coordenadas polares

a las de Descartes:
pcos 0,
chan a

Si en estas fórmulas sustituimos p por su expresión en función

de 0, es decir, por f (8), obtenemos:

1(6)c0s 0, }

FO) sen 9. e
Estas ecuaciones se pueden considerar como ecuaciones para-

métricas de la curva (1), en las cuales 9 sirve de parámetro,
Entonces:

de_ de dy _ de
Fa Boose —pseno, Ha sen 0-+ pcos,
Er

= = SBeos0— 2% seno — pcos’,
dy de

0+ 2% c08 0 — pson 8.
aan 0 + 20 008 0 — pen

Cálculo de la curvatura de une curva dada en coordenadas poleres 223

Introduciendo las últimas expresiones en la fórmula (1) del párra-
fo anterior, obtenemos la fórmula para calcular la curvatura de
una curva en coordenadas polares:

@

Ejemplo. Doterminar la curvatura de la espiral de Arquímedes

29 (2 >0)
en un punto arbitrario (fig. 144).
À
le
Fig. 14%
Solución. ”
pp
aa Fo
Por tanto,
42
a

amo hservemos quo para valores grandes de 0 se cumplen las ecuaciones apro»
ima‘

02, 041 1
Seat Saw.
Por so, sustituyendo en la fórmula antecedente, 03 + 2
6%, obténemos la fórmula aproxima:

id ま 3
cee D

Do esto modo, la ospiral de Arquímedes para valores grandes de 9, tiene apro=
ximadamento la misma curvatura que una circunferencia de radio 00.

24 Curvature de una curva

3 6. RADIO Y CIRCULO DE CURVATURA.
CENTRO DE CURVATURA. EVOLUTA Y EVOLVENTE

Detinición, La magnitud R, recíproca a la curvatura X de una
curva en un punto dado M, se denomina radio de curvatura de la
‘curva en este punto de que se trata:

Ret. 0
= a
の

ee | m

. Tracemos por el punto M de la curva (fig. 145) la normal di-
rigida hacia le concavidad de aquella y marquemos en esta normal
un segmento MC igual al radio A de curvatura de la curva en ol
punto M.

> nun

“0

Fig. 145 Fig. 146

El punto € só llama centro de curvatura de esta curva en el punto
M; el círculo de radio A y centro en el punto C (que pasa por el
punto M), se denomina circulo de curvatura de la curva dada en el
unto M.
PD, la definición de ctrculo de curvatura se deduce que en el pun-
to dado la curvatura de la curva es igual a la del círculo decurvatura.
Obtengamos las fórmulas que determinan las coordenadas del
centro do curvatura,
Sea una curva dada por la ecuación

了一了加， ®

fijemos en la curva un punto M (z, y) y determinemos las coordena-
das a y ß del centro de curvatura correspondiente al punto elegido

Radio y circulo de curvature. Céntro de curvatura, Evoluta y evolvente 225

(fig. 146). Escribamos la ecuación de la normal a. la curva en el
punto M:

Y —-y=-——(X—2) L
Y (4)
(Aqui, X e Y son coordenadas corrientes de un punto de la normal).

Puesto que el punto C (a, ß) está situado en la norm
denadas deben satisfacer la ecuación (4):

5

Luego, la distancia entre el punto C (a, 6) y ol M (z, y) es igual
al radio À de curvatur

+ By Re 6)
Resolviendo juntamente las ecuaciones (5) y (6), hallamos a y B:

A

3 4
de donde: a = 2+ LR, poy FR, y, dado que:
ERSTE er
, tonomos: = CHU), pay pia,

Ty

decidir qué signos (superiores o inferiores) debemos tomar
en las últimas fórmulas, conviene examinar el caso: y" > Oy y" < 0.
Si y” > 0, la curva es cóncava en este punto y, por tanto, B>y
(tig. 146), por consiguiente, debemos tomar los signos inferiores
Tomando en cuenta que en este caso | y” | = y”, las fórmulas de las
coordenadas del centro de curvatura serán:

ams LOL
デー

ett, o
y

De modo análogo se puede demostrar que las fórmulas (7) se
verifican también en el caso de y" <0,

15-534

2 Curvature de una curva

Si la curva estä dada por ecuaciones paramétricas

2=90, Y= VO
las coordonadas del centro de curvatura so obtienen con facilidad
de las fórmulas (7), sustituyendo en éstas y’ e y” por sus expresiones
en función del pardmetı

yah, ET
a =
Entonces,
am LEA
PTE TE o
pay SEH
ーータツ

Ejemplo 1. Hallar las coordenadas del centro do curvatura de la pará!
pe
8) en un punto arbitrario M (x, y); b) en el punto Mo(0, 0); 이 on ol

igs 147):

D) para ===0 encontramos: a= p, f=

0822 2m tenemos am, 1.

Si la curvatura en el punto M (z, y) ua es igual a cero, al punto
mencionado lo corresponde un contro de curvatura bien determinado:
Ci (a, $). El conjunto de todos los centros de curvatura de la curva
dada forma una curva nueva, llamada evoluta de la curva estudiada.

Do este modo, el lugar geométrico do los centros de curvatura se
Nama evoluta de la curva. La curva estudiada, con relación a su evolu-
ta, so llama evolvente o involuta (o desarrollo).

Si la curva dada está representada por la ecuación y = / (2.
entonces las ecuaciones (7) se pueden considerar como ecuaciones
paramétricas de la ovoluta con ol parámetro z. Eliminando en las
ecuaciones dadas el parámetro z (siles posible), obtenemos la expre-
sión de la dopendencia directa éntre las coordenadas corrientes

=P

Radio y dreulo de curvatura. Centro de curvatura, Evoluta y evolvente 227

a y 0 de la evoluta. Si la curva está representada por las ecuaciones
paramétricas z = @ (0, y = y (9, las ecuaciones (7°) serán ecuaciones.

coy

Fig. 147 Pig. 148

paramétricas de la evoluta (puesto que los valores x, y, 2”, y's 2%, y”
son funciones de 1).
jemplo 2. Hallar la ecuación d la avoluta do la parábola
vm 2pe,
Sslalön. Ullirando las reultadon dl ejemplo 4, tamos para cade punto
(x, y) de la parábola:
mur
an
に 7

Eliminando en estas ccuaciones el parámetro = obtenemos:

8 ».
he Pr.

Esta co la couación do la parábola semisúbico (ig. 148).
Ejemplo 3: Hallar la ocuación de la ovolute’de una clipso dada por las
ecuaciones paramétri

zmacost, y=bsent,
Solución. Caleulämos las derivadas do = © y con respecto a £:
=—asont, y=bcost;
デーーccost y =—osent.
Poniendo las expresiones de las derivadas en las fórmulas (7) tenemos:
tema cos t= 2.2084 (02 sent 1-82 60880)
7 0090000+000006

150

228 = Curvatura de una curva

Así, pues,

Do modo análogo:

Eliminando el parámetro £, obtenemos la ecuación do la evoluta de la

elipse:
ae
Aquí, & y À son coordenadas corrientas de la ovoluta (tig. 449).

Fig. 149

Ejemplo 4. Hallar las ecuaciones paramétricas de la ovoluta de una ci-
cloide:
z=a(t-sond),

y=a(t—cost).

Solución,
了 af 一 cos 太一 son 和
st oo
Introduciendo las oxpresionos obtenidas on la fórmula (7) tenemos
ama(t+sen 0
07000
‘Transformiemes las variablos, haciondo:
astas,
NEC

Propiedades de la evoluta 29

Las ecusciones de la evoluta tomarón la forma:
Emo (en 9,
ーーか
Estes limes deman on las ecoles Ey una iio genera
x elmiano coule dead e. Do este modo, Inevoluia de una ciloide e am
Ina eieloide, pero desplazada en na por el eje Oz y en 2a, por el je Oy
ANN

Fig. 180

$ 7. PROPIEDADES DB La EVOLUTA

Teorema 1. La normal a la curva dada es tangente a su evoluta.

Demostración. El coeficiente angular de la tangente a la evoluta,
determinada por las ecuaciones paramétricas (7) del párrafo ante:
cedente, es igual

Notemos que len virtud de las mismas ecuaciones (7701

0 _ UU Y yy” “a
dz y? E
db By —

A ーーを四

Y
de donde obtenemos la correlación:

Pero y’ es el coeficiente angular de la tangente a la curva en el
punto correspondiente; por tanto, de la correlación obtenida se
deduce que la tangente a la curva es perpendicular a la tangente

230, Curvatura de uno curva

a la evoluta do esta curva en el punto correspondiente, es decir, la
normal a la curva es tangento a la evoluta de esta curva.

Teorema 2. Si el radio de curvatura varía uniformemente sobre
cierto segmento M,M de la curva (es decir, sólo crece o sólo decrece),
el incremento de la longitud del arco de la evoluta en este segmento
de la curva es igual (en valor absoluto) al incremento correspondiente
del radio de curvatura de esta curva.

Demostración. En virtud de la fórmula (2) $ 1 cap. VI, tenemos:

de = da? + dp”,
donde, ds es la anda ds la longi md del arco de la evoluta; de
ací se iones (을) (EJ + (E)
Introduciendo.en esta ecuación las expresiones (1) y (2), tenemos:

( a Je m YE CY

(5
Hallomos ahora (2%)*, Puesto que

aÿh en
at, u tom pe Hey,

Derivando ambos miembros de esta igualdad con respecto
a sp 개 ae iar correspondientes, obtenemos:
っ 20 ゲービーザーザ ) Dividiendo ambos

dz [(
miembros de la igualdad por an Ea, obtenemos: AR

A
Elevando al Cuadrado:

(Y auf

= BY, 的

Comparando las ecuaciones (3) y (4):

us.

de

Propiedades de la evoluta 234

de donde
aR ds
1 E, E

de de

Según la hipótesis, a no cambia de signo (R sólo creco, o decro-

co), por consiguiente, SE conserva su signo. Tomemos (para mayor

precisión dol razonamiento): À < 0, LE > 0 (lo que corresponde

de "
Jz Sean zı y 2, las abscisas

a la fig, 151). Por consiguiente, Le

de los puntos M, y Mz, Apliquemos el teorema de Cauchy para las
funciones s(z y R(z) en el segmento [zi zul:

de
ze _ (3)
Ra) RG) ( aR )
de Jame
donde, $ es un número comprendido entre 2 y zz (1; <E< za).
Introduzcamos las siguientes designaciones (fig. 151):
san ses, AG Ra RDS Re

Ses

Entonces, gg = — 4, 6 se — 4 = — (Ra — 40. Esto signi
fica que

nif

ls—81=1R:—Rl

Do la misma manera se demuestra esta ecuación cuando el radio
de curvatura crece,

Homos demostrado los teoremas 1 y 2 para el caso de la curva
dada por una ecuación explícita y = f (2). Estos teoremas son válidos
también cuando la curva está dada por ecuaciones paramétricas.
Su demostración es absolutamonte análoga,

Observación. Mostromos un procedimiento mecánico elemental
para construir la curva (evolvente) siguiendo su evoluta.

Sea una regla flexible encorvada en forma de la evoluta CoCs
(tig. 152). Imaginemos un hilo inextensiblo que contornea esta regla
y uno de los extremos del hilo está fijado en el punto Co. Si desen-
rollamos este hilo, manteniéndolo siempre bien tenso, su otro
extremo describirá una curva MyMo. que será la evolvente.

Curvature de una curva

232
La comprobación de que la curva obtenida es realmento una evolvente
puede ser realizada con ayuda de las propiedades de la evoluta,

arriba establecidas.

Sets

Fig 151 Fig. 152

Observemos que a una evoluta le corresponde una multitud
infinita de diferentes evolventes (fig. 152).
Ejemplo. So da una circunferencia de radio a (fig. 153), elijamos entre

las evalventes de esta circunferencia la quo paso por el punto Af, la, 0). Tomando

Fig. 158
at, será fócil obtener las ecuaciones de la evol-

en cuenta quo CM = 000,
vento do la circunferencia:
Op=z=a(osi+iseng),

PM =y=a (sent —t 608 t).
Sofialomus quo el perfil del diente do ue piñón tiene, en la mayoría de los

casos, la forma de evolvente de un círculo.

Céteuto aproximado de las ralces reales de una ecuación 258

$ 8. CALCULO APROXIMADO DE LAS RAICES REALES
DE UNA ECUACIÓN

Los métodos del análisis de la variación de funciones. permiten

calcular los valores aproximados de las raíces de la ecuación
1@=0,

Si ésta es una ecuación algebraica®) do primero, segundo, tercero
o cuarto grado, existen también las fórmulas quo permiten expresar
las raíces de la ecuación en función de sus coeficientes, mediante
un número finito de operaciones de adición, sustracción, multi-
plicación, división y extracción de raíces, Para las ecuaciones de
grado superior al cuarto las fórmulas de tal índole, en caso general,
no existen, Si los coeficientes de cualquier ecuación, algebraica
© no, (trascendente), son numéricos, sus raíces pueden ser aproxi-
madamente calculadas con cualquier grado de precisión. Observemos
que, incluso cuando las raíces de la ecuación algebraica so expresan
mediante radicales, en la práctica, es a veces más conveniente aplicar
métodos aproximados para resolver las ecuaciones. He aquí algunos
métodos del céleulo aproximado de las raíces de una ecuación.

1. Método de las cuerdas. Sea dada Ja ecuación

1(3=0, 0

donde f (x) es una función continua, derivada dos veces en el sogmen-
to fa, bl. Supongamos que analizando la función y = / (2) dentro
del segmento la, 이 definimos otro segmento [z,, ze] dentro del
cual la función es monótona (creciente o decreciente) y en los extre-
mos los valores f (x) y f (22) tienen signos contrarios. Para expresarse
con más precisión supongamos que 7 (20 <0, / (22) > 0 (fig. 154).
Puesto que la función y = / (2) es continua en el segmento [ey zal
su gráfica cortará el oje Or en un punto, situado entre zu y z=,

Tracemos la cuerda AB que une los extremos de la curva y = f (2),
correspondientes a las abscisas zl y z,. Entonces, la abscisa a, del
punto de intersección de la cuerda con el eje Oz será el valor aproxi-
mado de la raíz (fig. 155).

Para obtener este valor aproximado, escribamos la ecuación
de la recta AB, que pasa por los puntos dados A lzı, f (z)}

, YH le) 6
y Bln fedk Les = Puesto que y = 0 para z= ay,

por tanto: ae
=f) ans
・ f@)—f@) aa

DET:
eee $6,

ción

(2) =0 se llama algebratea, si f (2) es un polinomio

29 Curvatura de una curva,

de dondo

ante),
HOT)

Para determinar el valor más exacto de la raíz hallamos f (a;).

Si f(a) <0, repitimos' el mismo procedimiento, aplicando la
‘formula (2) al segmento [a,, 22]. Si f (as) > 0, aplicamos la fórmul

의

a

Fig. 154 Fig. 135

moncionada para el segmento [z,, as]. Utilizando este procedimiento
unas cuantas veces, obtenemos, evidentemente. los valores cada vez
más precisos do la raíz a, 3, etc.

Ejemplo 4. Hallar los valores aproximados de las raíces de la ecuación
1()=29—6242=0,

Solución, Hallomos anto todo los sogmontos en quo la fanción f(z) es monó-
ona. El resultado del cálculo de la derivada

FS,

muestra que ésta es positiva para = 一一 VE, negativa para — VE <= <
SH V2, y de nuovo positiva para z > 1/7 (ig. 150). Au, la función tiene
‘es seemenios de monotonía dentro do cada uno do los cuales se halla una raíz.
Para simplificar los cálculos ultorioros, haremos más estrechos estos segmentos.
do monotonía, pero de modo que en cada segmento siga permaneciendo la raíz
correspondiente. Para esto, variando al azar los valores de = en la expresión
de 7 (2), encontremos dontro de cada segmento de monotonía otros más peque-
ños, em cuyos extremos la función tenga signos contrarios:

Cálculo aprozimado de las raíces reales de una-ecuacion 235

ne AS
ae ones }

Pas 1 人一一 2
Per} soma)
De este modo, las raíces se encuentran on los intervalos:
A) (8 —2), (2 3).

Doterminemos ol valor

proximado do la raíz on el intorvalo (0; 1);
según la fórmula (2) tonomos:

Puesto que 1(04)=049—6:04-+2=> 0.20;

ap otro $
4 Aplicando de muevo la fórmula (2) para 이

Intervalo? obtenemos el siguionte valor aprozimad.

0 hallan los valores aproxima
dos de las tees eh otras Intervalos.

2. Método de tangentes (Método de New-
ton). Supongamos de nuevo que f (2) <0,
7 (2) >0, y que en el segmento [z,, za] la
primera derivada no cambia do signo. En esto
caso, en el intervalo (zu +) se halla una
raíz de la ecuación f (a) = 0. Supongamos,
además, que la segunda dorivada tampoco
cambia de signo en el segmonto [z,, zul, lo
que puede lograrse, reduciendo el intervalo que
contiene la raíz. El hecho de que la segunda
derivada no cambia el signo en el segmento Pe
(x, #2) significa que la curva es sólo convexa à

o cóncava en este segmento.

Tracemos una tangente a la curva en el punto B (tig. 157).
La abscisa a; del punto de intersección de la tangente con ol eje Oz
será el valor aproximado de la raíz buscada. Para encontrar esta
abscisa, escribamos la: ecuación de la tangento en el punto B:

— (a) =f (za) {z — 2).

si y =0, z= aj, obtenemos:

_7@
ae)” Ll

Tracemos luego una tangonto en el punto By y de modo análogo
obtengamos un valor más preciso de la raíz az, Ropitiendo esto pro

a

2 Curvature de una curva

codimiento unas cuantas veces, podemos calcular el valor aproximado
de la raíz con cualquier grado de precisión que se deseo.
Observemos la circunstancia siguiente. Si trazáramos la tangente
a la curva no en el punto B, sino en el A, podría resultar que el
punto de intersección de la tangente con el eje Oz se encontrara

Fig. 157

fuera del intervalo (x, 75). Se ve claramente en las figuras 157
y 158 que la tangente debe trazarse en aquel extremo del arco donde
coinciden los sígnos de la función y de su segunda derivada. Según
Ja hipótesis, la segunda derivada conserva su signo en el segmento

u 9

d Is
Fig. 158 Fig. 159

Izı, 2]. Por consiguiento los signos de la función y de la segunda
derivada coinciden obligatoriamente en uno de los extremos. Esta
regla es también válida para el caso on que /' (2) < 0. Si la tangento
se traza por el extremo izquierdo del intervalo, es preciso sustituir
% por z on Ja fórmula (3):

700
Te)
Si en el interior del intervalo (z,, z:) se encuentra un punto de

inflexién C, el método de tangentes puede dar un valor aproximado
de la raíz, situado fuera del intervalo (x,, 20) (fig. 159).

(8)

Céleulo aprasimado de las raices reales de una ecuación 207

Bjemplo 2. Apliquemos la fórmula (9 para calcula I ríe de la e
7 (9 ニー 6= 十 2 0, comprendida en el intorvalo (0; 1). Tenemos:

1 (0) 25 1" 0) =(82*—6) | zp =
Por eso, según la fórmula (3) obtenemos:

し 6
um $0,333,

3. Método combinado (fig. 160). Si en el segmento [zi，za)
aplicamos simultáneamente los métodos de las cuerdas y de las
tangentes, obtenemos dos puntos ay y ás, situados a ambos lados de la
raíz buscada a (puesto que f (as) y f (di) tienen signos contrarios).

y

Fig. 160

Luego aplicamos los métodos de cuerdas y de tangentes en el seg-
mento [&, &l. Como resultado obtenemos dos números, uz 了 de,
aún más próximos al valor de la raíz, Procedemos de esta manera
hasta que la diferencia entre los valores aproximados hallados sea
menor que el grado necesario de precisión.

Notemos que aplicando el método combinado, nos aproximamos
a la rafz buscada por los dos lados a la vez (es decir, encontramos
simultáneamente tanto el valor aproximado por exceso, como por
defecto).

Para ilustrar esta deducción on ol ejemplo 2 podemos convencernos, median
to la sustitución, quo / (0,383) > 0, # (0,842) <0. Por consiguiento, el valor
de la raíz está tomprendido ontro los. Valores aproximados:

0,893 < + < 0,802.

238 Curvature de una curva

Bjerelelos para el capítulo VE
Holler 1a gurvatura de las curvas en los puntos indicados: 1. 022-4
十 aaa 628% on los puntos (0, の y (a, 0). Respuesta: 글: enel punto (0, 0);

on el punto (a, 0). 2. zy=12 en el punto (3, 4). Respuesta: 24/125

3. y==> en ol punto (21, y). Respuesta: + 4. rm on

に 1
"で

3:5 ma on gl punto arbitrario,

이 punto (2,0). Respucst
de
Respuesta: 1/3 ey) i”

Haller el odio de curvatura do las curvas on los puntos indicados;
trarar cada’ curva y Construir ol eiseulo do curvatura correspondiente.
る rho en al pono (4 espero RERO YO. 7, st day enel punto
(6.0) asp Rda. À clama en el punto (eu). Respect:
Re CE, a, pins on el punto (4, 0). Respuesta: A=2 VE.

| para

yaa sen?

40. y=son= on el punto (1/2, 4). Respuesta: R=4. 14. ae

Respuesta: R=3a sen ty £08 #1.

zene

alar el radio de curvatora de Jas curvas: 12,7 gf para t=4,

Respuesta: R=6, 43, La circonferencia pmasend. Repas: Rea/2,
(or 09 9/2

14. La espiral de Arquímedes p=00. Respues EAR 15. La caro
VER. 16. La lompiscata =

a (10008). Respuesta: Am.

Respuesta: R=

ma? 29920. Respuestas Ru. 47. La parábola 9:
o

radio de curvatura tenga

at 2. 18 present ae Ro
Tal os puntos de 18 area ee os qu

1
un valor mínimo: 49. yon. Rerpuene: (VE, me). 2. ye.

(ma, YE). 2. VE+VT=V%. Rospuenas (4,4).
de (LE) ree po a) Ai

Hallar las coordonadas del contro do curvatura (a, 0) y las ecuaciones
de la evoluta para cada una de las curvas siguientes

2
CA
74

Respue
2

4. Respuesta:

Twa, Respuesta: ame
Fy 어시, pneu

any} ie

26. (Vans Respuesta:

pues as Fi

Eferetetoe para el capítulo VI 239

pews espana; ym GELB,

‘
gan Join

that
CCS

D (rene pong ma
Eu cto
LR az

eses
PTE Part
eue
ee dd od de de ta AO
ci Se aren ke ange le, a OO,
ie men
aed e grammed ret Sot

mg ee ge ane a 거
TREE PE à a ES

ey
Respuesta: x4 04.7, zo EL VE. 94, attr el valor aproximado.

de la rafr de la ecuacién ネーtg=ー0 comprendida entre 0 y ©. Respuesta:
4.4036. 85. Hallar la raíz aproximada de la ocuación senze=1—z con pro
cisión de 0,001. da bl
Indicación: Redúzcose la ecuación a la forma f(2)=0. Respuesta: 0,5110<
<< Ost,

Problemas

6. Demostrar que le curvature en cad, punto de a lemniett =»
alos 29 us proporcional al radio vector de esto punto.
37. Hallar el valor méximo det radio de curvatura de la curva p=
E apa Rei.

38, Haller las coordenadas del centro de curvatura do la curva yz ine
DDO

P Comprobar que para los puntos de js espiral de Arquímodos paa

원 valor do la diferencia entro el tadio vector y ol radio. 6 아레
Sendo’ 0, cuando すこの

40, Hallar ls parbole 00222 0 que tiens on ot punto (4%, 4)
una tangento y curvatura comunes con la, sinusoide yaenz， Coustrait
la gráfica. Respuesta: ye Zt,

41, La función y=/(z) está definida del modo sig
16)==2 on el Intervalo 一とそ 4
Homast-tbe+te on el intervalo 1< 2 € +00.

¿Cuáles deben ser a, 2, e pera quo la línea, y==/(=) tenga la curvatura
Gontinan en tados or pote Omieru a grita, Meses en, bed,
"iz. Demostrar que el radio de curvatura de una cicloido en cuales-
uiora de sus puntos 69 dos veces mayor que la normal an of mismo punto.
OS

hola y==2 en el punto (1, 4). Respuesta: (244924 ( 2.

20 Curvatura de una curva

44, Esoribir lu eciación de la cicontorencia de purvatura de le cum
v=tgz on a punto (2; 4). Respuesta: (Dr
45. Hallar la longitud total de la evoluia do Una elipse cuyos semiejes
son ¿guns 2.03 D fer
Hallar 100 valores a
con precisión do hasta 00 Mespuesta La suación tien la Una miz vn
47. Mallas Jos valores aproximados do las raíces de 1
‚508 con pression do hasta 001 Respuesta La ecuación €
tag Hallar los valores aproximados do las raíces do la ecuación
424 arcig ze=1 con precisión de basta 0,001. Respuesta: La ecuación tiene. la
dinien raie reals 2 2 1.000,

unciön = ln ze
14 la única raíz

CAPITULO vu

NUMEROS COMPLEJOS. POLINOMIOS

$ 4. NUMEROS COMPLEJOS, GENERALIDADES
So Mama número complejo a toda expresión de la forma
a+ bl, 00

donde, a y 6 son números reales; £ es la unidad llamada imaginaria,

dofinida por las ecuaciones:

a

a es la parto real y bi, parte imaginaria del número complejo. Dos
números complejos a + bi y a — bi que se diferencian sólo por el
signo de su parte imaginaria se llaman conjugados.

Si a=0, el número 0 + bi= bi, es un número puramente
imaginario; si b=0, se obtiene un número real a + 0-1 = a.

‘Aceptemos dos concepciones fundamentales:

4) dos números complejos, a; + but y az + dat se consideran
iguales, si:

a = az, by = bp

es decir, si son iguales sus partes reales e imaginarias por soparado;
2) un número complejo es igual a cero:
a+bi=0,
siompre que a= 0, b = 0.

1. Representación geométrica de tos números complejos. Todo
número complejo a + bi puedo ser representado sobre el plano Ozy
mediante un punto A (a, 2), de coordenadas a y 5 (fig. 164). Reci-
procamento, todo punto, M (a, 1) del plano Osy puede considorarse
como la imagen geométrica del número complejo a + bi.

Pero, si a todo punto A (a, 6) corresponde algún número
complejo a + bi, se puede decir, en particular, que a todo punto del
eje Oz le corresponde un número real (b = 0). Todo punto del eje Oy

16-53

2e Números complejos. Polinomios

representa un número puramente imaginario, puesto que en este caso
a = 0. Por eso, representando los números complejos sobre un plano,
el eje Oy so llama eje imaginario y el Oz, eje real.

Uniendo el punto A (a, 6) con el origen de coordenadas, obtone-
mos el vector DA. En algunos casos es muy conveniente considerar
el vector の 4 como la representación geométrica del número complejo
a+ bi,

2. Forma trigonométrica de los números complejos. Designemos
por 9 y r (r>0) las coordenadas polares del punto A (a, d),

Pig, 161

tomando por polo el origen do coordenadas y por eje polar, la direc-
ción positiva del eje Oz. En esto caso (fig. 161), tenemos las expresio-
nes siguientes:

a=rcsp b=rsng
y, por tanto, el número complojo puede ser representado en la forma:
a + bi = r (cos p + ¿sen 9). a

La expresión representada por el segundo miembro se llama
forma trigonométrica del número complejo a + bi. Las magnitudes
ry y so oxpresan en función de a y 6 mediante las fórmulas:

VETER, garni.

El número r se Mama médulo y y, argumento del número complejo
a dl.

El argumento de un número complejo, es decir, el ángulo 9,
es positivo, cuando se toma a partir de la dirección positiva del eje Oz
en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj, y es nega-
tivo, cuando se calcula en dirección opuesta. Es evidente que el

imento q no se determina do una manera unívoca, sino con preci-
sión igual al valor dol sumando 2nk; donde % es cualquier nümero
entero.

El módulo r del número complejo a + bi se designa a veces por
el símbolo | a + di |:

rolet oh.

Operaciones fundamentales con números complejos 243

Notemos que todo número real A también puede escribirse en la
forma (3), o bien:
A= 14 | (cos0 + £sen 0) cuando A > 0
4 = 14 | (cos x + ¿sen x) cuando À < 0.
El módulo del número complejo 0 es igual a cero: 10 | = 0.
Como argumento de cero se puede tomar caulquier ángulo p.
En efecto, para todo ángulo 中 tieno lugar la igualdad:

0 = 0-(cos @ + £ sen q).

$ 2. OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NUMEROS COMPLEJOS
4. Adición. La suma de dos números complejos, a; + byt
y az + bai, es un número complejo definido por la ecuación:
(as + Dui) + (ae + dat) (as + ao) + (BR DE (D
De la fórmula (1) so deduce que la adición de los números com-
plejos, representados en forma de vectores, se efectúa según la regla
de adición de vectores.

2. Sustracoión. La diferencia de dos números complejos, 02 十 dat
y, such bl, es un número complejo que, adicionado a as Bil,
la as + bala 5

(02 + bai) — (ay + buf) = (02 — 01) + (de — bi) la a
Observemos que el módulo de la diferencia de dos números

complejos V (a 一 az)* + (6, 一 b2)* es igual a la distancia entre
los puntos que representan estos números en el plano de la variable
compleja (fig. 162).

3. Multiplicación. El producto de los números complejos,
as + bii y gs + bai, multiplicados estos números como binomios,
según las reglas algebraicas, es un número complejo, Hay que tener

169

26 Números complejos. Polinomios

en cuenta que:
=P =()i=—h f=
= 14, ete.
y, en general, para た entero:
Pat Mog PA
En virtud de esta regla tenemos:
(as 十 but) (aa + Dat) es + brat + ada + 66625.

(as + dui) (a2 + Bat) = (0102 一 55) + (Orda + ab). (8)

Si los números complejos están expresados en forma trigonomé-
trica, tenemos:

ru (cos qu 十 isen qu) ra (cos qa 十 sen qa) =
= rıra [eos qu cos 9a + £ son qu cos qa +
+ ¿cos qu sen qa + é sen qu sen 921 =
= rıra lcos qu cos 9 一 sen qu sen G2) +
+ i (sen qu cos qa + 000 qu sen 9201 =
= 702 1008 (ou + G2) + à sen (qu + q).

DO=-=4=4

q oe

Así pues:

ra (cos qu + E sen qa) rz (cos qa + ¿sen qe) =
ra leos (qu + 99) + E sen (qa + 921, (3)
es decir, el producto de dos números complejos es un número complejo
cuyo médulo es igual al producto de los módulos de los factores y el
argumento es igual a la suma de argumentos de los factores.
Observación 1. En virtud de la fórmula (3), los números complejos
conjugados, a+ bi y a 一 bi, satisfacen a la igualdad:
(a + ib) (a — ib) = a + 8%,
es decir, el producto de dos números complejos conjugados es igual
a la suma de los cuadrados de sus módulos,
4. División. La división de dos números complejos es la opera-
ción inversa a su multiplicación. Si
이구 "
SE + gi
as + bei v

(donde Vai + 8,0), entonces x e y deben sor tales que se cumpla
la igualdad:
ay + bil = (a2 + bai) (2 + yb,

Operaciones fundamentales con números complejo 265

o se
01 + byl = (a2 — bay) + (eau + bye) La

Por consiguiente,
a= es by, by = bie tay,

de donde:
Mb y aa
EST ETS
y finalment
Mt bil _ met bb

이구 인 | ate

En la práctica, la división de los números complejos se efectúa
do Ja manera siguiente: para dividir a; + ib por as + ¿da, multipli-
camos, tanto el dividendo como el divisor, por un número complejo
conjugado de este último (es decir, por a, 一 iba). Entonces, el
divisor será un número real; al dividir por éste la parte real y la
imaginaria del dividendo, obtenemos:

ay but (aut bul) (as — di) _
p+ bab (ae bai) (as — bad)
es + baba) + (abi — ab) 1 09 + 이즈 , mbı — bo
a+ a+ a+

Si el número complejo está expresado en forma trigonométrica,
tendremos:

ri(cos e+ ison) _ re, u lees
A lo el

Para verificar esta igualdad, basta multiplicar el divisor por el
cociente:

re(Gos qa + Eson qa) “003 (pu — 44) + 1500 (m — a]

en lost — 9) + teen (gs + HO]
3

=r (cos qu + ¿sen q),

246 Nümeros complejos. Polinomios

Do tal modo, el módulo del cociente de dos números complejos
es igual al cociente de los módulos del dividendo y del divisor; el
argumento del cociente es igual a la diferencia entre los argumentos
del dividendo y del divisor.

Observactén 2. De las reglas de operaciones con números complejos
se deduce que la adición, sustracción, multiplicación y división de
los números complejos dan de nuevo un número complejo. Si las
reglas do operaciones con nümeros complejos son aplicadas a los
números reales (considerándolos como caso particular de los números
complejos), entonces estas reglas coinciden con las reglas ordinarias
do la aritmética,

Observación 3. Volviendo a la deficición de suma, diferencia,
producto y cociente de los números complejos, es fácil comprobar
que, si en estas expresiones son sustituidos los números complejos
por sus números conjugados correspondientes, los resultados de las
operaciones indicadas también son sustituidos por los números conju-
gados. De aquí, en particular, se deduce el teorema siguiente:

Teorema. Si en un polinomio con coeficientes reales
AGP + AR + one + An

sustitutmos z por el múmero a + bi, y, después, por el múmero conjugado
a — bi, los resultados obtenidos serán mutuamente conjugados.

$ 3. ELEVACION A POTENCIA Y EXTRACCIÓN DE LA RAIZ
DEL NUMERO COMPLEJO

1, Elovación a potencia. De la fórmula (3') del párrafo prece-
dento se deduce que si n es un número entero positivo, entonces:

[r (cos p + ¿sen g)]” =r" (cos np + isenng). 0)

Esta expresión es la fórmula de Moivre y muestra quo, al elevar
un número complejo a una potencia entera y positiva, el módulo de
este número se eleva a la misma potencia y el argumento se multiplica
por el exponente de esta potencia,

Consideremos ahora una aplicación más de la fórmula de Moivre.
Haciendo 7 = 1, obtenemos:

(cos q + ¿sen q)" 一 cosng + isenng.

Desarrollando el primer miembro según la fórmula del bino-
mio de Newton o igualando las partes reales o imaginarias, podremos
expresar son np y cos np en función do potencias de sen y cose.

Elevación a potencia y extracelén de'la 1012 del numero complejo 247

Asi, por ejemplo, si n = 3, obtenémos:
cos? ++ 13 cost p sen P—Bcos psen? g — ¿sen? P= cos dp + ison 3

Usando la Igualdad de estos números Complejos, tenemos:
cos3 = cos? w — 3cos psen *q, sen dp = 一 sen? p + 3cog pson p.

2. Extracción de la raíz. La raíz n—ésima de un número com-
plejo es otro múmero complejo quo, al ser elevado a la potencia n,
dará el número comprendido bajo el radical, es decir,

Vr(cos@+ 1900

P (os ÿ+ 18000,
Pr (cosmp + ison ny) =r(cos p + ¿sen q).

Como los módulos de los números complejos iguales han de ser
iguales y los argumentos pueden diferenciarse en un múltiplo de 2x,
tenemos:

phar, np=ot 2m

De aquí:

donde, た es un número entero arbitrario, /7"es el valor aritmético
(real y positivo) de la raíz del número positivo r. Por consiguiente,

Prose ton RR (a
»

Dando a & los valores 0, 1, 2 ..., n — 1, obtenemos n diferentes
valores de la raíz. Para otros valores de k los argumentos se dife-
renciarán de los obtenidos antes en un múltiplo de 2x2 y, por
tanto, se obtendrán los valores de la raíz que coinciden con los
estudiados,

Así pues, la raíz n—ésima de un número complejo tic
rentes valores.

La raíz n—ésima del número real A, distinto de cero, también
tiene n valores, puesto que el número real es un caso particular
del número complejo y puede ser representado en forma trigo-
om

e n dife-

A >, tenemos: A = | A | (cos 0 + i sen 0);
si 4 <0, tenemos: A = | À | (6064 + i sena).

Ejomplo 1. Hallar todos los valores de la raíz cúbica de la unidad.
Solución. Representemos la unidad en forma trigonométricas

4= 0030 }-1 son 0.

248 Nümeros complejos, Polinomios

Según la fórmula (2):
Tem Vs OF Tan De cos SFP y gen OEP |
Haciendo k igual a 0, 1, 2, obtenemos tres valores de la raie:

A E EN
ae ei a

oe
reste:
E PA

En la figura 163 los puntos A, B, © son las imágenos geométricas de las
raíces obtenidas.

Fig. 168
3. Solución de la ecuación binomia. La ecuación
P=A

se llama binomia, Hallomos las raíces de esta ecuación.
Si 4 es un número real positivo, tenemos:

2 VA (sos + 15002)
”

&=0, 1, 2,...,n—1)

La expresión encerrada on el paréntesis da todos los valores
de la raiz de n—ésima potencia de la 1.
Si A es un número real negativo, entonces:

eV EN

Función exponencial con exponente complejo y sus propiedades 249

La expresión entre paréntesis da todos los valores de la raíz
de n—ésima potencia de —1.
Si A es un número complejo, los valores de z so hallan sogún
la fórmula (2),
Ejemplo 2. Resolver la ecuación
Hot.
Solución.

4 260 26
a OSMA Ian Tri = cos +1 son DE,

Haciondo # igual a 0, 4, 2, 3, obtenemos:
im c080+ 130004,

er 2n
sacos ren LE,

fn.
somos E41 50n 年- 一

Sm ón
am cos rn Fe

$ 4. FUNCION EXPONENCIAL CON EXPONENTE COMPLEJO
Y SUS PROPIEDADES

Sea z = z + iy. Si z o y son variables reales, z es una variable
compleja, A cada valor de la variable compleja lo corresponde un
punto bien determinado (fig. 161) en el plano Ozy (plano de la
variable compleja.)

Definición. Si a able compleja z, perte-
neciente a cierto dominio dol plano de variables complejas, corres-
ponde un valor bien determinado de otra variable compleja 1, se
los au en función de la variable compleja 3: w = f (2)

w =v).

Bxisten las nociones dol limite, dela derivada, de la integral,
ete., de una función de variable compleja.

Estudiemos una función de la variable compleja, o
función exponencii

ïen, la

wad
o sea:
weet,
Los valores complejos de la función w se determinan dol modo
siguiente’
eV (cosy + iseny), a)

이 Dorstrarumos más adelante (24, cap. XII y $18 cap, XVI, tomo 11)
la convanieneia de esa definieiön de la SR

250 Nameros complejos. Polínomtos

es decir,
w(2) = & (cos y + ¿sen y). Oy

(rn) (VE VE).
a enor Finn),
(cos 14-1 sen 1)=0,54-+1-0,83,

4, 2:2 (2 es un múmero real), #49! 6% (cos 0-+(50n0)=e* gue es una
función exponencial ordinaria.

Propiedades de la función exponencial
1. Si z, y 2 son dos números complejos, entonces:

de, 8 @)

Ejemplos:
er

tated ・

의 라이 ot

ern,
Demostración. Sea

Ba Y 의 = 2 + ii
entonces

te ou

en

= ever [cos (us ++ ya) + ¿sem (Y + vd]. 10)

Por otra parte, en virtud del teorema sobre el producto de dos

números complejos expresados en forma trigonométrica, tenemos:
Ena ga tert er (cosy, + ¿sen ya) 0 (cos ya + ¿sen y) =

= e [cos (y, + ya + ¿sen (ya + va]. 6

Los segundos miembros de las igualdades (4) y (5) son iguales y, por
consiguiente, serán iguales también los primeros

P ight,

2, De modo análogo se demuestra la fórmula:
a

Mu, (6)
을 ©
Si m es un número entero, tenemos:

u, mM

Esta fórmula so obtiene fácilmente de (3), cuando m > 0.

Función exponencial con esponente complejo y sus propiedades 25%

La misma se obtiene a partir de las fórmulas (3) y (6) si m < 0.
4. Demostremos la identidad:

e, 四
En ofecto, según las fórmulas (3) y (1) tenomos
E EN & (cos 2x + ¿sen 2m)
De la identidad (8) se deduce que la función exponencial e
es una función periódica con período 2xt.
5. Estudiemos ahora la magnitud compleja
(2) + wv),
donde u (2) y v (<) son funciones reales de la variable real z. Es una

funcién compleja de la variable real.
a) Supongamos que existen los limites:
lim u()=u(); Hm v@)= v(x).
Py sx
Entonces, な (x) + iv (zo) = wy es el limite de la variable
compleja w.
b) Si existon las derivadas u’ (z) y v (2), la expresión
Wi =u (2) + iv (a) ®

es la derivada do una función compleja de variable real con respecto
al argumento real.
Estudiemos ahora la siguiente función exponencial:
wette a,
donde a y B son números constantes reales, y z es una variable
real. Es una función compleja de variable real que, conforme a la
fórmula (1), puede escribirse así:

" w= e** [eos fix + isen Bz] -
w=e"*cospr-+ ie sen Br.
Hallemos la derivada w%. Según la fórmula (9) tenemos:
(copa + à (6% son fa) =
=e (cos Bz — B son fa) + ie (a son iz + Boos Ba) =
= a[e%* (cos Bx + isenßz)] + iB [e** (cos Pz + ison Br)]=
=(a + if) [6° (eos Br + tson B2)] = (a + ip) de,
Así pues, si 一 60710, entonces: w’ = (a + ¿pels

ó
[oP Y= (a + ip) ee, ao)

252. Números complejos. Polinomios

De tal modo, si k es un número complejo (y, en particular, real)
y z es un número'real:
(ey ake. ®

Hemos obtenido la fórmula general para la derivación de una
función exponencial, También tenemos:

CECI EL CRE Le
y para n arbitrario:
(Ay are,
Utilizaremos estas fórmulas más adelante.

$ 5. FORMULA DE EULER.
FORMA EXPONENCIAL DEL NUMERO COMPLEJO.

Si hacemos z = 0 en la fórmula (1) del párrafo anterior, obtenemos:
€ =c08 y + ¿sen y. a
Esta es la formula de Euler y expresa la relación entre la fun-
ción exponencial con exponente imaginario y las funciones trigono-
métricas.
Sustituyendo y por — y en la fórmula (1), obtenemos:
cosy —isony. o)
De las igualdades (1) y (2) hallemos cosy y seny:

te

cosy =

u o

2”

sen y.

2

Las fórmulas (3) se usan, en particular, para expresas las poten-
cias de cos q y de sen q, así como también de sus productos, en fun-
ción del sono y del coseno de arcos múltiples.

Ejemplos:

en (PEE

Lct

smh eos 29-41 90 29)424(con2y tun 2 りー

we (2008 274-2) = 5 (1-408 29).

Desarrollo del polinomio en factores 253

ee

00! 4
rt:

Forma exponencial del número complejo. Escribamos un número
complejo z en forma trigonométrica:
2=r(cosp + iseng),
donde, r es el módulo y q, el argumento de este número complejo,
Según la fórmula de Euler:
cos p+ isong=e®.
Por consiguiente, todo número complejo puede ser representado
en la forma exponencial:
sore!
Elemplos. Escribir ls números 4, 4, —2, — en la forma exponencial.

A==cos 2kn son Zen = et,

tacos Et sen mer,

2m 2 (cost 1800 2) = 2",

Aroca er

$ 6. DESARROLLO DEL POLINOMIO EN FACTORES
Sabemos que la función
1) =A” HALL + A

en la que a es un número entero se llama polinomio o función racio-
nal entera de x. El número n es el grado del polinomio. Los coefi:
tes do, Ay... An son aquí números reales o complejos. La Varia.
ble independiente z puede tomar tanto ys reales cor
plejos. El valor de la variable z para el cual el polinomio
à cero es la raíz del polinomio.

'Teorema 1. (Teorema de Bezout). El resto de la división del poli-
nomio f (2) por la diferencia (2 一の es igual a 7 (0.

Demostración. El cociente de la división del polinomio f (2)
por (z — a) es un polinomio f, (z), de grado inferior.en una unidad

24 Numeros complejos. Polénomios

que 61 del polinomio f (2), el resto és un número constante R.
Entonces podemos éscribi
1@=@-a™h@+R (ty

Esta igualdad es válida para todos los valores de z distintos de a
(la división por z — a cuando z = a no tiene sentido).

Si z tiendo a a, el límite del primer miembro de la igualdad (1)
es { (a) y el limite del segundo miembro, es R. Como las funciones
7 (2) y セーの f,(@) + R son iguales para todos los valores de
2 < a, sus límites serán también iguales, cuando テー- gu es decir,
了四二已

Colorario. Si a es una raíz del polinomio, es decir, 7 (a) = 0,
entonces 7 (2) se divide por z — a sin resto alguno y, por tanto, se
representa como un producto:

了加一他一本有全，
donde f, (x) es un polinomio.

Ejemplo 4. El polinomio 7 (2) = 23
2m 1 en dect JU) 0 Por es el pol

pot

— 624+ 112 — 6 se anula cuando
omio dado se divide sin resto por

20 6% 118 TN
Estudiemos ahora las ecuaciones con una incógnita z.
‘Todo número (real o complejo) que sustituya a z en la ecuación

y la convierta en identidad, so llama raíz de la ecuacién.

Ejemplo 2. Los 26000 spa; rie SE melti. on ce

de la ecuación cos z=sen 2.

Si una ecuación tiene la forma P (z) = 0, donde P (2) es poli
nomio de grado n, so Hama ocuación algebratca de n—ésimo grado,
De la definición se deduce que las réfces de la ecuación algebraica
고 (과 = 0 son idénticas a las del polinomio P (2).

Naturalmente, surge la pregunta, si toda ecuación tiene raíces.
Para las ecuaciones no algebraicas la respuesta es negativa: existen
ecuaciones no algebraicas que no tienen raíces (reales, ni comple-
jas), como, por ejemplo, la ecuación ex = 0*

‘Sin embargo, para las ecuaciones algebraicas la respuesta es
positiva, lo que constituye el contenido del sigulente teorema
fundamental del älgebra.

) En efecto, si el múmero x = a + bi fuera la raíz de esta ceuación,
exists la Identidad 80。o (on vir dela formula do Euler) で 9 (os b +
“Risen b) = 0. Paro, eS no puede anularso cualquiera quo sea el número real a;
eo do ee ns
te iguol © VTT や GE とー 1 para cualquier). Per tanto, el. producto
Eo + toon 8,60. de, PAN O, lo que significa quo la tcuseieo

で 0 no tione 00100.

Desarrollo del polinomio en factores 255

Teorema 2. (Teorema fundamental del álgebra). Toda
función racional entera f(z) tiene por lo menos una raíz real o

compleja.
ste teorema se demuestra en el curso de álgebra superior.
Aquí lo admitiremos sin demostración.

Utilizando el teorema fundamental del álgebra es fácil demos-
trar el siguionte teorema.

Teorema 3. Todo polinomio de n—ésimo grado puede ser desarro
llado en n factores lineales de la forma テー y un factor igual al coe-
ficiente de 2".

Demostración. Sea / (2) un polinomio de grado

FQ) Agr" + Ag +... + An

En virtud del. teorema fundamental este polinomio tiene por lo
menos una raíz; designómosla por ay. Ahora bien, según el corola-
rio del teorema de Bezout podemos escril

1@ = @—a) fh),
donde, fı (z) es el polinomio de grado (n 一 1); fy (x) también tiene
una raíz que designemos por az. Entonces,
Hi (2) =42 — a) fy (2),
donde, fz (z) es el polinomio de grado (n — 2). De igual manera:
fe (@) = (22) fa (2).
Continuando este proceso, llegamos a la oxpresión:
Ina (2) = (2 — an) な
donde 7。es un polinomio de grado cero, es decir, f, es un número
fijo, Evidentemente, este’ número es igual al cocficiente de 2”,
es decir, fa = Ao.

En virtud de las igualdades obtenidas podemos escribir:

70 = Ao (8 — a) (24)... Km). a

Del desarrollo (2) se deduce que" los números ay, dz, ..., dy Son
las raíces del polinomio f(z), puesto que, realizada la sustitución

4) 2 = Gay ..., 2=> 47, el segundo miembro y, por consiguien-
te, el primero se reducen A cero.

Ejemplo 3. El polinomio f (2) = 23 — 023 + 11x — 0 30 reduce à coro,

rl, zb, 220.
Por consiguiente,
br) (22) (23).
Ningún valor x =a distinto de ay, az, ..., an puede ser raíz
del polinomio f (z), puesto que ningún factor del segundo miembro

256 Números complejos, Poltnomios

Ahora podemos expresar
el siguiente enunciado:
， Todo polinomio de grado n no puede tener más que n raíces dife-
rentes.
Pero, en este caso, obtenemos el teorema siguiente,
Teorema 4. St los valores de dos polinomios q, (2) y 92 (2) de gra:
do n coinciden para n + 1 valores diferentes ag, 01, dz, ».., by del
argumento z, los polinomios enunciados son idénticos.

Demostración, Designemos por f (2) la diferencia de estos poli-

nomi
于全一再全一加全

Según la hipótesis, f (2) es un polinomio de grado no superior
a n, que se reduce a cero en los puntos dq, ..-, An. Por tanto, ésto
puede ser representado en la forma:

700 = Ao (e—a) テーの … (2 — an)

Pero, según la hipótesis, f (x) se anula también en el punto ao.
Entonces, f (00) == 0, siendo distintos de cero todos los factores
lineales. Por eso, A, = 0, y de la igualdad (2) se deduce que el
polinomio f (<) es idénticamente igual a cero. Por consiguiente,
qu (a) — 92 ©) =O, 6 qu (2) = qa (a).

"Teorema 5. Si el polinomio

PQ) = Ag + Ag+ + Ant + An
es idénticamente igual a cero, todos sus coeficientes son iguales a cero.

Demostración. Escribamos el desarrollo de este polinomio en
factores según la fórmula (2):
PAR HA bd Ai Anm
= Ag(z— a) ... (mn) a
Si este polinomio es idénticamente igual a cero, también serä
igual a cero para un valor de z, distinto de 01, ・ Pero, en este
dien Ls factors = ay, ーーテー no 88 anulan yy por tanta,
Ay = 0.
* De igual manera se demuestra que Ay = 0, As = 0, ete.
Teorema 6. Los coeficientes correspondientes de dos polinomlos
idénticamente iguales son iguales.
Esto se deduce del hecho de que la diferencia entre los polino-
mios dados es un polinomio idénticamente igual a cero. Por tanto, en
virtud del teorema anterior, todos sus coeficientes son ceros.

jemplo 4. Si el polinomio az? + bz? 十 cz + d es idénticamente igual
ai role is, Entonces de D bats em send.

Retoes_miltipler_aet_polinomto 257

$ 7. RAICES MULTIPLES DEL POLINOMIO
Si ciertos factores lineales del desarrollo de un polinomio de
grado n
to) = Ag (e — a) (@ — a3)... (em) 0
son iguales, se puede agruparlos y luego, factorizar el polinomio
de la manera siguiente:
1(2) = 40 — a)" ray... (5 — an). co)

Beye kat owe bin =

En este caso se dice que a, es una raíz múltiple de orden kı, (kı, es
la multiplicidad de la raíz); a, es una raíz múltiple do orden ka, etc.

Plemple. El polinomio / (2) = =? — 52 + 8e — 4 se desarrolla en los
suguientes factores lineales:

1 (2)=(2—2) 6D EM.

Esto desarrollo puede escribirse ast:
10
= 4y una rafz simple.
Si el polinomio tiene una raíz múltiple a de orden な, consideremos
que el polinomio tiene k raíces-iguales, Entonces, del teorema del
desarrollo de un polinomio en factores lineales se deduce el teorema
siguiente.

Todo polinomio de grado m tiene exactamente n raices (reales
o complejas).

Observación. Todo lo que se ha dicho acerca de las raíces del
polinomio

Donde

es 2 es una raíz doble;

Te) Ag HASTE 十如
es igualmente cierto para las raíces de una ecuación algebraica:
AR + Ag" + A = 0.
Demostremos a continuación, el teorema siguiente:

Teorema. Si a, es una raíz múltiple de orden k > 1 para el poli-
nomio 7 (a), entonces a, será una raíz múltiple de orden k — 1 para
la derivada f (2).

Demostración. Si a; es una raíz múltiple de orden k, donde
시 >1 de la fórmula (17) se deduce:

1@)=(@—a)"9 (a),
17-584

258 Números complejos. Polinomios.

donde q (a) = (x —a;)"*...(2 — aq)" no se anula para z= a
es decir, @ (a) #0. Derivando, tenemos:

了四 IOE コ CD 全一
(c= a)" Late) + (a) GI.
Designemx
va =he@) + (ea) a (a.
Entonces,
了四一他一各个，
donde:

y (a) = la p (as) + (ay — aja" (00 = hip (a) #0,
es decir, z = a, es la raíz múltiple de orden k, — { del polinomio
/ (2). De la domostración so deduce que si ky =1, a, no es una
raíz de la dorivada f (2),
‘Del teorema demostrado se deduce que a, es una raíz múltiple
de orden de; 一 2, para la derivada f” (2), una raíz de orden ki — 3,
para la derivada /” (x) ..., una raíz de orden 1 (raíz simple),
para la derivada fi (2); y no es una raíz para la derivada f* (2),
es decir,

1@)=0, fa@)=0, Fla)=

$ (a) =0,

pero
1% (a) #0.

$ 8. FACTORIZACION DE UN POLINOMIO
CON RAICES COMPLEJAS

Las raíces ay, @3, . - «1 dq de la fórmula (1), $ 7, cap. VII pueden
ser tanto reales como complejas. Tiene lugar el teorema siguiente.

"Teorema. Si un polinomio { (2) con coeficientes reales tiene la raíz
compleja a +. bi, este polinomio tiene también una raíz conjugada a—bi.

Demostración. Si on el polinomio / (2) sustituimos x por el número
a+ bi, clevamos a unas potencias y agrupamos por separado los
términos que contienen y no contienen ¿, obtenemos:

1(a +0) =M+ Ni,
donde M y N son las expresiones que no contienen i.
Puesto que a + bi es la raíz del polinomio, tenemos;

14d) =M+Ni=0
M=0,N=0

de donde:

Interpolación, Fórmula de interpolación de Lagrange 259

Sustituimos ahora z en el polinomio por la-expresién a — bi. Enton-
ces (según la observación 3, $ 2), obtenemos un número conjugado
con M+ Ni, es decir,

fa — bi
Como M = 0, y N = 0, se tient
es una raíz del polinomio.

Por consiguiente, en la factorizaciön

7 (2) = Ay (2 — a) (2 — a)... (2 — an)
las raíces complejas se encuentran en pares conjugados.

Al multiplicar entre sí los factores lineales que corresponden
al par de raíces complejas conjugadas, obtenemos un trinomio de
segundo grado con cooficientes reales:
la — (a + 001 lz—= ag — bi) = Ke — fri Di) Ka, — a) + bil

y Pad a+ preg,
donde: p = —2a, q 一 or + が son los números reales.

Si el número a + bi es una raíz múltiple de orden X, el número
conjugado a — bi es también una raíz múltiple de orden k, de modo.
que, en la factorizacién de un polinomio entran tantos factores
lineales z — (a 十 bi) cuantos sean los factores lineales x 一 (a 一 bi).
Así, todo polinomio con coeficientes reales se desarrolla en factores con
coeficientes reales de primero y segundo grado de multiplicidad corres-
pondiente, es decir,

1 (2) = Ao (x — a)" (2— 0)
see ea (E+ pee bay... P+ Peta,
向十各十 … phe Op... +24

= ダーがに
(a — bi) = 0, es decir, a — bi

donde

$ 9. INTERPOLACION.
FORMULA DE LA INTERPOLACION DE LAGRANGE

Supongamos que al estudiar cierto fenómeno, fue demostrada
la existencia de una dependencia funcional entre las magnitudes
2.0 y, que caracteriza ol aspecto cuantitativo de esto fenómeno. La
función y = w (2) es desconocida, sin embargo, mediante una serie
de experiencias determinemos los valores de esta función: yoy vis
Va» ・・… Un para ciertos valores del argumento 29, 21 22; <=, Zn
pertenecientes al segmento (a, dl.

El problema consiste en hallar la función más simple, para
facilitar los cálculos (un polinomio, por ejemplo) que sen la expre-
sión- exacta o aproximada de la función desconocida y = @ (2)
el segmento la, b). En forma más abstracta el problema puede ser

17

200 Números complejos. Polinomtos

formulado de modo siguiente: los valores de una función desconocida

y =0 (2) se dan en n-+ 1 puntos diferentes: 9, Zu, +... 2, del
segmento la, dl:

% (Go) Ye = (24), in ai
es preciso hallar un polinomto P (z) del grado inferior o igual a n

que exprese aproximadamente la fanción 9 (2).

Para esto elijamos un polinomio cuyos valores en los puntos
Zo, Zur Ta, <<. Zu Colncidan con los correspondientes valores de
Vos Vis Yocom Un de la función 9 (2) (ig. 164). En este caso,

Fig. 164

el problema planteado, que so llama «problema de interpolación
de la función», se puede formular de modo siguiente: hallar para
una función dada q (2) un polinomio P (2) de grado < n, que tome
en los puntos dados zo Zi, - «+» Zn los valores
Yo = @ (to) Ys = P dy er Yn = Pl)
“Tomemos para esto un polinomio de n-simo grado y de la forma:
Pl) = Com (cm)... (Cm) +
+ Ci (e — 20) (& — 22) - . (22m) +
+ Ca (2 — 20) (2 — 2) (一到 “mt...
+ Cp (2 — 20) (2 — 211) +.» Ba) [0]
Doterminemos los coeficientes Co, Ci - . y Cy de tal manera que
se cumplan las condiciones:
P (2) = Yor Pi) = Yo +. Plan) = Yao 2
Hagamos z = zp en la fórmula (1); entonces, teniendo en cuenta
las igualdades (2), obtenemos:
Yo = Co (zn — 2) (20 — 2). (Zp — 2)

de donde
Yo

ae. ma"

Interpolación. Férmula de interpolación de Lagrange 201

Haciendo, luego, z = z,, obtenemos:

Y = C4 (2 — 29) (a — 2)... mm)
de dondo

to (a

De igual manera encontramos

G=

— o) (an — 24) (an — 이 (en — pa)
Poniendo les. valores aire 3 de los coeficientes en la
férmula (1), obtenemos:

06 2)
加
Gene... ee
CEE parer
=a) 2) 2)
G2) 2) en
(513 En
Gn
La fórmula enunciada se llama, fórmula de interpolación de
Lagrange.

‘Admitamos sin demostración que sj q (2) tiene una derivada do
{m + 1) — ésimo orden en el segmento la, 0], el error cometido,
al reemplazar la función @ (2) por el polinomio P ( cir, la
magnitud R (2) = q (a) — P (a) satisfaco a la desigualda:

IR@)1<i@—z) @—2) … な一 sy méx| qt (上

4
(ET

Observación. Del teorema 4, $ 6, se deduce que el polinomio
P (2) es el único que satisface a las condiciones del problema plan-
teado

202 Números complejos. Polinomios

ä Ejomplo. Como trs ae un Rene ka obtenido Le ile
sam U Tolle id ocpreslan agtozimadó do Ta hint y =) pot

Bielio del polinomio de segundo grado. Dun
Solución, Sogn la fórmula (3) tenemos (para n = 2}:

(DE 。」 060405) 4 DE,
13 (144) 人一分人 2 十分 AENA

けら

9+ ィ

000 바버
Te

$ 10. FORMULA DE LA INTERPOLACION DE NEWTON

Sean conocidos n + 1 valores de la función @ (2): Yo, vus
que corresponden a n-+1 valores del argumonto: 20, 24) :
siendo constante la diferencia entro los valores contiguos del argt
mento. Designemos por h esta diferencia, La tabla de valores de
la función desconocida y = @ (2) para los valores correspondientes
dol argumento tendrá la forma siguiente,

5 | senta | arms | ED

E = |.

Formemos un polinomio de grado no superior a n, que tomará

valores correspondientes a los de z. Este polinomio represent:

aproximadamente la función 9 (2)

Tntroduzcamos los designaciones:

Aye = Y — voi Ave = de — Uni Ave © 02 — Ya ec.

2 = Ya — 21 + yo = Ayı — Avo = (Ya — Y) — (Ya — Wo),

A = vs 86 + 301 — Yo = A — Bye © Ys — 2e + 00 ㅡ
Ws — Zu + vo)

Ave Ay Ye,

Estas son las llamadas diferencias de primero, segundo y n-ésimo
orden. Escribamos un polinomio que toma los valores
You Ys PALA Zo Y Za
Será un polinomio de primer grado

Prado Ayo 4)

Fórmula de la interpolación de Newton 203

En efecto,

h
Poker Prien =Yot Ava = Yo + (Ys — Yd) =H
Escribamos un polinomio que toma los valores
Vor Vas Ya para Go Zi, 2e
Será un polinomio de segundo grado:

Pata) = Yo + Ayo

Es evidente que
Pa | waxy =
Comprobemos ahora:

Paloma, ut dye 2+ an

El polinomio de tercer orden tendrá la forma;

El Sera ) ENTES
1 i
nah h ae E

la ee
(=).
( h h

El polinomio del orden n que asume los valores yo, 916 Yar + «+» Un

1) a] 的

Medianto una sustitución directa es fácil convencerse de que la
igualdad obtenida es correcta. Esta es la fórmula o el polinomio
de la interpolación de Newton.

En esencia, el polinomio de Lagrango y el de Newton para la
tabla dada de valores, son idónticos aunque escritos de modo di fo-
rente, Es decir, el polinomio de grado no superior a h, que tom a
n+ 1 valores dados para n + 1 valores de z, so halla de una sol a
manera,

Pata) = Yayo E

Pn(2) =Yo + Ayo:

204 Números complejos. Polinomtos

En muchos casos resulta más conveniente utilizar ol polinomio
de la interpolación de Newton que el de Lagrange. Su particulari-
dad consiste en que, al pasar del polinomio de grado な al polino-
mio de grado k +1, los primeros k +1 términos no cambian,
sino que se adiciona un término muevo que es igual a cero, para
todos los valores anteriores del argumento.

Observaciôn. Según las fórmulas de Lagrange (véase la fórmu-
la 3 § 10) y do Newton (fórmula 4) se determinan los valores de una
función en el segmento za <z< zx. Si estas fórmulas se usan
para determinar el valor de la función, cuando z< zo (lo que se
puedo hacer cuando |x 一 zu] es pequeño), se dice que se efectúa
la oxtrapolación de la tabla hacia atrás. Si se determina el valor de
la función para zo < z, se dice que se efectúa la extrapolación de la
tabla hacia adelante.

à 11. DERIVACIÓN NUMERICA

Supongamos que Jos valores de una función desconocida ① (3)
están dados por medio de la tabla que fue examinada anteriormente.
Es preciso detorminar aproximadamente la derivada de esta fun-
ción. Con este fin se forma el polinomio de interpolación de Lagrange
o de Newton y de este último se halla la derivada.

Puesto que más a menudo se analizan las tablas de Iguales dife-
rencias entre los valores vecinos del argumento, utilicemos la
fórmula de interpolación de Nowton. Sean dados tres valores de
la función: Yo, Vas yes que corresponden a los valores: zo, 71, % del
argumento. Entonces, escribamos el polinomio (2) y derivémoslo.
Obtenemos el valor aproximado de la derivada de la función en el
segmento % < 2, < Za

7 4 Ayo ef:

Pata 4. Avo 2: 65)
OG) Pi) + 5)
Cuando x = zo, tenemos:

。 ey ne
q (2) & Pola) = $ 2 (6)

Examinomos el polinomio de tercer orden (véase (3)), y derivän-
dolo, obtenemos la siguiente expresión para su derivada:

A
Varna er ne 4

内

“beet

2-34

Optima aproximación de las Janciones por medio de polinomios 265

En particular, cuando 2 = zp, tenemos:
A Ayo Ao, Aye
Pi) So, Lo 9
NN a

Al utilizar la fórmula (4), cuando z = 2, obtenemos la si-
guiente forma para la expresión aproximada de la derivada:

$) = Ph (=

Notemos que para una función que tieno derivadas, la diferencia
Ayo es una infinitesimal de primer orden respecto a hj A*yo, infini-
tesimal de segundo orden; A*yo, de tercer orden, etc.

$ 12. OPTIMA APROXIMACIÓN DE LAS PUNCIONES
POR MEDIO DE POLINOMIOS. TEORIA DE CHEBISHEV

Del problema examinado en el $ 9, se deduce, naturalmente,
iguiente: sea una función continua 9 (z) en el segmento la, b).
¿Se puede expresarla aproximadamente en forma de un polinomio
P (x) con cualquier grado de precisión previamente dado? Es decir,
¿será posible encontrar un polinomio P (z) tal que la diferencia
en valor absoluto, entre (z) y P (2), sea inferior en todos los puntos
del segmento [a, 6], que cualquier número positivo e previamente
dado? El teorema que sigue y que citamos aquí sin demostración,
nos da una respuesta afirmativa*.

Teorema de Weierstrass. Si la función q (x) es continua en el
segmento la, bl, entonces para todo & > 0 existe un polinomio P (x),
que en cada punto de este segmento se cumpla la igualdad:

げゆーア ⑲ 1 でと
S. N, Bernstein, notable matemático y académico soviético, nos ha
proporcionado el siguiente método racional para la formación
directa de polinomios aproximadamente iguales a la función conti-
nua q (x) en el'segmento dado.

Supongamos, por ejemplo, que la función, @ (x) es continua
en el segmento 10 1).

+) Notomos que el polinomio do la interpolación do Lagrange (véaso (9)
0 dela eut à est plantada, En os punta yom ve ou
fey alone de to polinomio on lidad 808 gue a on alfa ori

entes de la función, poro en otros puntos del segmento (a, 6] estos valores
pueden ditorencarso notablemente. 7

266 Números complejos. Polinomios

Formemos la expresión:

Br) > , (cr Aa”,

En esta expresión C8 son coeficientes binomiales; y (2) es el

valor de la función dada en el punto z =, La expresión B, (2)
P 대

es un polinomio de n-ósimo grado, llamado de Bernstein.

Para todo múmero arbitrario e > 0 positivo, se puede buscar
un polinomio de Bernstein tal (es decir, elegir su grado n) de manera
que para todos los valores de x en el segmento [0, 1] se cumpla la
desigualdad:

18.) 1<e

Observemos que el análisis del segmento [0, 11 en lugar del
segmento arbitrario (a, D] no limita esencialmento las leyes genera»
les puesto que mediante el cambio de variable: z = a + £(b — a),
se puede transformar cualquier segmento (a, 히 , en el segmonto 【0 11.
Esta transformación conserva el grado dei polinomio.

La teoría sobre la óptima aproximación de las funciones median-
te polinomios fue desarrollada por el célebre matemático ruso
P. L. Chébishev (1821-1894).

Los valiosos rosultados que obtuvo en este campo, han influen-
ciado decisivamente en los trabajos de matemáticos posteriores. El
punto de partida en la creación de esta teoría fue su trabajo en la
teoría de los mecanismos articulados que son de amplio uso en la
maquinaria. El estudio de tales mecanismos le condujo a la búsque-
da entre todos los polinomios de un grado n dado, cuyo coeficiente
de término mayor es igual a la unidad, de un polinomio tal que
so desvío de cero, en el segmento dado, mucho menor que todos los
demás polinomios. Este gran matemático logró a resolver el pro-
blema y los polinomios hallados por él fueron llamados polinomios
de Chébishev. Estos poseen muchas propiedades notables y son
actualmente un potente medio de investigaciones en numerosos
problemas matemáticos y técnicos.

Ejercicios para el capitulo VII

1. Hallar (94459 (4-0. Rerpuegas MA. 2. Mallar (04-410 (74-30.

9
qe 4 Haller

a. 4
SUT. 5, Hallar Vi. Respuesta: 4 LS
2

8904 e+ 3 Hallar とに。 Rays foo

UT Respues

Ejerciotos para el capítulo VIT 267

Mar VTT. Respuesta: a: (2 ㅡ 36). 7. Roducir à la forma trigonomtrica
las expresiones: 4) 1-1. Respuesta: V2 (cos 744800 J). 3) 1-1. Rem

puesta: VA (cos Ti 4150025). 8, Hellas YT, Respuene: VS; 一

{V5 o. Expresar en función de son z y 00002 las siguientes expresiones

ee
ET ae cdo do
desta; sentz, senta, sente, sentz, fl. Dividir 7(=)ー3ー der Be 1
244. Respuesta {ee hat ne 3 docir, cociente =:
가베 putts dada ft tees eet NT:
de ans Bor’ zT Respuesta: |= eH) (hea pay et

iG
a 새어 Mines neue
BEN EU ter Rete (ATE (E
ea do
Ni

= para 2,=0,
Ve=6 para mat,
Use 10 para 53m 2.

Expresar de, modo aproximado esta función mediante un polinomio de
segundo grado. Respuesta: 2.4244.

48. Hallar el polinomio de cuarto grado quo toma respectivamento los
valores 2,1,—1, 5,0, para z= 1, 2, 8, 4, 5. Respuesta:

A

49. Hallar el polinomio de grado posiblemento Inferior quo toma respecti-

vamente log valores 3, 1, 9, 19 para 3 = 2, 4, 3,10, Respuesta: 22 = I.
Zar dos pintas de ernten de riera, segundo, tiro

cuarto" grados para 18 función y=aen nz cn el segmento 11: Respuera:

De Dm (ie) BY ra By 2ym2et—2)x
x10V3-92-(2 /2-9)2+V2).