Cálculo limites, derivadas e integrais

Calculo

1. Limites, derivadas e integrais -Formulário e exemplos

2. Caro leitor,
Este breve trabalho tem a finalidade de uxiliá-lo com a teoria en-
volvendo limites, derivadas e integrais, e para isso apresenta diversas ta-
belas que facilitarão os cálculos e a memorização de fórmulas. Obras mais
extensas há publicadas
(v. ref. [7]), porém estão dirigidas mais ao professor
ou ao matemático especializado e por isso se tornam às vezes pouco práti-
cas para consultas rápidas.
A fim de enriquecer o material ap resentado, introduzi u
m capítulo
contendo exemplos de exercícios re solvidos, uma vez que apenas a formu
-
lação teórica não seria suficientemente clara (v. p. ex. a formulação do método de
integração por partes no capítulo Técnicas de Integr
ação e a maneira como o método é aplicado
n
os exemplos) . Alguns dos exemplos foram extraídos das obras consultadas,
mas a maioria foi elaborada por mim, logo, qualquer erro peço ao leitor
qu
e mH indique p ara que u ma versão corrigida possa ser apresentada. As-
sim, todos os comentários e sugestões visando aperfeiçoá-lo e enr
iquecê-lo
serão bem-vindos.
Finalizando, acrescento que não sou matemático nem professor de
matemática, mas apenas um curioso que gosta dos números.
Gil Cleber
[email protected]
www.gilcleber.com.br

3. -1 -
Limites
 Propriedades
Sendolim ( )
xa
fx L

= e lim ( )
x
gx M
¥
=, então:
 Infinito
 Limites infinitos

1) lim
xa
cc

= 5) lim[( )( )] lim ( ) lim ( )
xa xa
xa
fgx fx gx LM


⋅= ⋅ =⋅

2) lim[ ( )] lim ( )
xa
xa
cfx c fx cL


⋅=⋅ =⋅
6) lim[( ) ( )] lim ( )
n
nn
xa
xa
fx fx L


éù
==
êú
ëû

3) lim[( )( )] lim ( ) lim ( )
xa xa
xa
fgx fx gx LM


+= + =+
lim ( )
7) lim ( ) ( 0)
lim ( )
xa
xa
xa
fx
fL
xM
ggxM



é ùæö
÷çêú÷== ¹ç÷êúç÷çèøêúë û

4) lim[( )( )] lim ( ) lim ( )
xa xa
xa
fgx fx gx LM


-= - =-
8) lim ( ) lim ( )
( * e 0, ou n é ímpar e 0)
n
n
n
xa
xa
fx fx L
nL L


==
γ £

() () ( )()lim , lim lim
xa xa xa
fx gx f g x
 
=¥ =¥  + =¥
() () ( )()
0
0
0
lim , lim lim
xa xa xa
b
fx gx b f g x
b
 
ìï+¥  >
ï
=+¥ = ¹  ⋅ = í
ï-¥  <
ïî

() () ( )()
0
0
0
lim , lim lim
xa xa xa
b
fx gx b f g x
b
 
ìï-¥  >
ï
=-¥ = ¹  ⋅ = í
ï+¥  <
ïî

() () ( )()lim , lim lim .
xa xa xa
fx gx fg x
 
=¥ =¥  =+¥
() () ( )()lim , lim lim .
xa xa xa
fx gx fg x
 
= +¥ = -¥  = -¥
()
()
1
0lim lim
xa xa
fx
fx

=¥  =
()
()
1
0lim lim
xa xa
fx
fx

= =+¥

4. -2 -
Não se estabelece lei para os seguintes casos:
 Limites no infinito
Todas as propriedades valem tanto para
lim
x+¥
quanto para lim
x-¥
.
Não se estabelece uma lei para os seguintes casos:

() () ( )()lim , lim lim ?
xa xa xa
fx gx f g x
 
=¥ =¥  - =
() () ( )()lim , lim lim ?
xa xa xa
fx gx f g x
 
=+¥ =-¥  + =
() () ( )() 0lim , lim lim . ?
xa xa xa
fx gx fg x

=¥ =  =
() () ()lim , lim lim ?
xa xa xa
f
fx gx x
g

 
æö
֍
÷=¥ = ¥  = ç÷ç÷çèø

() () ( )()lim , lim lim
xx x
fx gx f g x
¥ ¥ ¥
=¥ =¥  + =¥
() () ( )()
0
0
0
lim , lim lim
xx x
b
fx gx b f g x
b
¥ ¥ ¥
ìï+¥  >
ï
=+¥ = ¹  ⋅ = í
ï-¥  <
ïî

() () ( )()
0
0
0
lim , lim lim
xx x
b
fx gx b f g x
b
¥ ¥ ¥
ìï-¥  >
ï
=-¥ = ¹  ⋅ = í
ï+¥  <
ïî

() () ( )()lim , lim lim .
xx x
fx x fg x
¥ ¥ ¥
=¥ =¥  =¥
() () ( )()lim , lim lim
xx x
fx x f g x
¥ ¥ ¥
=+¥ =-¥  + =-¥
()
()
1
0lim lim
xx
fx
fx
¥ ¥
=¥  =
()
()
1
0lim lim
xx
fx
fx
¥ ¥
= =+¥
() () ( )()lim , lim lim ?
xx x
fx gx f g x
¥ ¥ ¥
=¥ =¥  - =
() () ( )()lim , lim lim ?
xx x
fx gx f g x
¥ ¥ ¥
=+¥ =-¥  + =
() () ( )() 0lim , lim lim . ?
xxx
fx gx fg x
¥ ¥ ¥
=¥ =  =
() () ()lim , lim lim ?
xx x
f
fx gx x
g
¥ ¥ ¥
=¥ =¥  =

5. -3-
 Limites trigonométricos
 Limite trigonométrico fundamental
0
sen
lim 1
x
x
x

=
 Limite de uma função polinomial
Seja ()
2
01 2 n
n
fx a ax ax ax=+ + ++ 
()()lim
xa
fx fa

=
 Função racional: ()
1
*11 0
+1
11 0
lim , ,
mm
mm
nn
x
nn
ax a x ax a
fx mn
bx b x bx b
-
-
-
¥
-
++++
=Î
++++ 


()
()
()
,lim
, lim
, lim 0
a
m
b
x n
x
x
mn fx
mn fx
mn fx
¥
¥
¥
ìï
==ï
ï
ï
ï
>=¥í
ï
ï
ï<=
ï
ïî
Esses limites são fundamentados no fato de que
lim 0
x
a
x
¥
= (v. ex. 1, 2 e 3).
 Limites exponenciais e logarítmicos
 Limites exponenciais
 Limite exponencial fundamental
lim sen sen
xa
xa

= lim cos cos
xa
xa

=
lim tg tg
xa
xa

= lim sec sec
xa
xa

=
0
lim 1
x
x
a

 lim
xb
xb
aa


lim , 1
x
x
aa

  lim 0, 1
x
x
aa

 
lim 0, 0 1
x
x
aa

 lim , 0 1
x
x
aa

  

com elim , 0 1 lim
fx
xb xb
ac a fxc

 
lim 1 , 1 0
2,7182818284...
x
n
x
n
ex ex
x
e


 



1
0
lim 1 , 1 0
x
x
xe x

 

6. -4-
 Limites logarítmicos
 Regra de L’Hôpital
Cálculo de limites nos casos indeterminados: ,, , ,,
¥¥
⋅¥ ¥-¥ ¥
¥
000
001
0
e
.
 Casos
,
0
0
¥
¥
Derivam-se independentemente o numerador e o denominador da função, até obter um caso de limite calculável pelas técnicas conheci-
das, com o numerador ou o denominador, ou ambos, diferentes de 0 ou de
¥. (v. ex. 4)
 Caso
0⋅¥
() ()lim
xa
fx gx

⋅ caso em que ()
lim
xa
fx

=¥ e ()lim
xa
gx

=0
Faz-se
()
()
1
fx
gx
ou
()
()
1
gx
fx
, o que tornar os cálculos mais simples reduzindo-se ao caso
0
0
ou
¥ ¥
. (v. ex. 5)
 Caso ¥-¥
() ()lim
xa
fx gx

- caso em que ()lim
xa
fx

=¥ e ()lim
xa
gx

=¥
Escreve-se
() ()fx gx- como
()
()
() ()
11
1
gx f xfxgx
-
⋅
, quociente que assume a forma do caso
0
0
, e se procede como nesse caso. (v. ex. 6)
 Casos
,
00
01
¥
¥e
Tem-se ()
()gx
fx , sendo que
()
()
()lim
lim
lim 0
0
xa
xa
xa
fx
gx
fx



ì =ï
ï
ï
=í
ï =¥
ï
ïî
; ou ()lim 1
xa
fx

= com o ()lim
xa
gx

=¥:
Nos três casos, deve-se calcular
()
()
() ()lim lim log
gx
xa xa
fx gx fx

=⋅ , aplicar a técnica utilizada na forma 0⋅¥ e fazer
()
() (
)()lim log
lim
xa
gx fxgx
xa
fx e

⋅

=
(v. ex. 7 a 9)
0
1
lim ln , 0
x
x
a
aa
x



0
lim ln , 0 1
x
xx

  

1
lim log 0
a
x
x

  lim log log , 0 1, 0
aa
xb
xbab

  
lim log , 1
a
x
xa

 
0
lim log , 1
a
x
xa


 
lim log , 0 1
a
x
xa

  
0
lim log , 0 1
a
x
xa


  
 lim log 0, com 0 1 e lim 1
a
xb xb
fx a fx

 
0
lim ln , 0 1
x
xx

  
 lim log , com 0 1 e lim
a
xb xb
fx c a fx c

 

7. -5 -
Derivadas
 Derivadas de operações entre funções — propriedades
Dadas duas funções () ()e fx gx , temos:
Seja

2
,yuuux :
Seja

3
,yuuux :
 Conseqüências das propriedades
Seja a
função
fx:

   ’’ ’fx gx f x gx
    ’’ g’fx gx f xgx fx x 
 ’’cfx cf x   ’=f’ ’fgx gx gx 


  

2
f’ g’
’
fx xgx fx x
gx g x
 
 



2
dy du
u
dx dx


2
2 2
2 2
22 2 2
d y d du d du du d u
uu u
dx dx dx dx dx dx dx  
   
  

22 2
.2 3
dy du du du
uu u u u u
dx dx dx dx



2
22
2
22
63
dy du du
uu
dx dx dx 
   

  
1
’’
kk
fx kfx f x








1
log ’ ’
ln
a
fx f x
fx a 



 
’ln’
fx fx
aaafx




 sen ’ cos ’fx fx f x 

  cos ’ sen ’fx fx f x  

 
2
tg ’ sec ’fx fx f x 




2
1
1
arccos ’ ’fx f x
fx

 





2
1
1
arc en ’ ’sfx fx
fx
 






2
1
1
arc tg ’ ’fx f x
fx 






 ’. ln’
gx gx
fx fx gx fx

 
  


8. -6 -
Sobre essa última derivada, tendo-se em vista que
’ln
xx
aaa , então
 Derivadas de algumas funções elementares




  

  


1
’ .ln ’ = lngx gx gx
fx fx gx fx fx gx fx gx fx
fx
 

  
 
  
 
''




  


1
ln
gx gx
fx gx fx gxfx fx

 ''
0’c


1
’
kk
xkx




1
ln ’x
x


 ’ln ’
xx xx
aaaee


1 log
log ’
ln
a
a
e
x
xa x


()
1
’
n
k
kn
nx
x
k
-
=
*
,parkk
+
Î f é derivável em (
)0,+¥
*
,ímparkk
+
Î f é derivável em {}0-
()
()
2
2 2
’
2
ax b
ax bx c
ax bx c
+
++ =
++

Ver exemplo 10.
De um modo geral, temos:
()()
()() () ()’’’
m mn
m
n nn
m
fx fx fx fx
n
-
é ùé ù
êúêú ==⋅
êúêú
ê úë ûë û

sen ’ cosxx

2
2sen ’ sen cosxxx
 cos ’ senxx
 
2
2cos ’ sen cosxxx

2
tg ’ secxx


2
2 2tg
tg ’
cos
x
x
x



2
cot ’ cos secxx


2
2 2cotg
cotg ’
sen
x
x
x


sec ’ sec tgxxx


22
3 2
2
sin
sec ’ tg sec
cos
x
xxx
x


 cossec ’ cossec cotxxx 


22
3 2
2
cos
cossec ’ cotg cossec
sen
x
xxx
x
 
1
cos ’ senxx 






2
cos ’ senxx

cos ’ senxx
()
()
()
()
()
()
2
2
senh senh ’ cosh
2
cosh cosh ’ senh
2
tgh tgh ’ sech
cotgh cotgh ’ cosech
2
sech sech ’ sech tgh
2
cosech cosech ’ cosech cotgh
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
xxx
ee
xxx
ee
xxx
ee
ee
xxx
ee
xxxx
ee
xxxx
ee
-
-
-
-
-
-
-
-
-
==
+
==
-
==
+
+
= =-
-
==-
+
= =-
-

9. -7 -


2
1
1
arc sen ’x
x




2
1
1
arccos ’x
x





2
1
1
arc tg ’x
x




2
1
1
arcctg ’x
x





2
1
1
arcsec ’x
xx 



2
1
1
arccossec ’x
xx




()
()
()
()
()
()
2
2
2
2
2
2
1
argsenh ’
1
1
argcosh ’
1
1
arg tgh ’
1
1
argcotgh ’
1
1
argsech ’
1
1
argcosech ’
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
=
+
=
-
=
-
=
+
=
-
=
+

10. -8 -
Técnicas de Integração
 A Integral Indefinida
 Identidades importantes para a resolução de alguns tipos de integrais
I)
22
1 sen cosxx
II) 2222
1tg sec tg sec 1xxxx  
III)
sen 2
sen 2 2(sen cos ) sen cos
2x
xxxxx
 IV)


22
22
2
2
22
2
2
22
11
cos cos
cos2 cos sen
cos 1 cos cos2
2cos 1 cos2
2
22
11
sen cos2
cos sen cos2
1sen sen cos2
2sen 1 s2
2
o
2
c
xxx
xxx
xx
xx x
xxx
xx
xx
xx
e:

  

 




  












Donde decorrem as identidades V, VI, VII e VIII
V)
2 1cos2
sen
2
x
x
-
=

VI)
2 1cos2
cos 2
2
x
x
+
=

VII)
2
211
cos cos2
22
1cos
cos
22 2
xx
xx
 

VIII)
2
211
sen cos2
22
1cos
sen
22 2
xx
xx
 

IX)
22
cos cos sen
22
xx
x

X)
 2sen cos sen senax bx a b x a b x 

XI)
 2cos cos cos cosax bx a b x a b x  

11. -9 -
XII)

2sen sen cos cosax bx a b x a b x

XIII)
2
2tg
2
sen
1tg
2
x
x
x



XIV)
2
2
1tg
2
cos
1tg
2
x
x
x




XV) 2
2
2
tg
sen
1tg
x
x
x


XVI)
2
2 1
cos
1tg
x
x



XVII)
2
2tg
tg 2
1tg
x
x
x



XVIII)
cosh senh
x
xxe+=
XIX)
cosh senh
x
xxe
-
-=
XX) senh2 2senh coshxxx=
XXI) 22
cosh2 cosh senhxxx=+
XXII) 2
cosh2 2senh 1xx=+
XXIII) 2
cosh2 2cosh 1xx=-
XXIV)
senh cosh 1
22xx -
=

XXV)
cosh cosh 1
22xx +
=

Neste caso não há o sinal ±, pois a imagem da função está contida no intervalo
[1, )+¥ .
 Integrais diversas
1
,1
1
ln , 1
x
xdx
x





+ìï
ï
¹-ïï
=í+
ï
ï =-
ï
ïî
ò

ln lnxdx x x x k=-+
ò

1
xx
edx e k


=+ò

ln
log
ln10 ln10
xx
x
xdx

=-
ò

ln
x
x
a
adx
a
=ò

22
1
arc sen ,
x
dx k x a
a
ax
=+<
-
ò

12. - 10 -
22
221
lndx x x a k
xa
=++

ò

22
11
arc tg
x
dx k
aaax
=+
+
ò

22
11
ln
2
xa
dx k
axaax
+
=+
--
ò

22
11
arc sec ,
x
dx k x a
aa
xx a
=+>
-
ò

 Integrais da forma ()() ()ò
fgx g xdx (substituição simples)
Neste tipo de integral, aparecem no integrando uma função composta  fgx e a derivada gx. Deve-se identificá-las e efetu-
ar-se a substituição.
Sendo
    
Fgx F gx g x f gx g x  
faz-se
ugx , du g x dx
donde:
()() () () () () ()==+=+òò
fg x g x dx f u du F u k F g x k .
(v. ex. 11 e 12)
 Integrais da forma
() ()ò

fxg xdx (integração por partes)
Neste tipo de integral, aparecem no integrando uma função
()=ufx e a derivada
dv g x .
Sendo
() () () () () () () () () () () ()éù éù=+  =
ëû ëû    
fxgx f xgx f xg x f xg x f xgx f xgx
então
() () () () () ()=-òò

fxg xdx f xgx f xgxdx .
Fazendo

   ,, ,u f x v g x du f x dx dv g x dx   ,
chega-se à forma usual de representar a regra:
=-
ò ò
udv uv vdu .
(v. ex. 13 a 15)
 Integração de funções trigonométricas, e de suas potências e produtos
cos
sen
sen
cos
ax
ax dx k
a
ax
ax dx k
a
-
=+
=+
ò
ò

2
2 sen2 sen cos
sen
24 2 2
sen2 sen cos
cos
242 2
xxxxx
xk
xxxxx
xk
⋅
=- =- +
⋅
=+ =+ +
ò ò
(ver identidades IV, VI e VII)
() ()
() ()
() ()
1
sen cos sen sen
2
1
cos cos cos cos
2
1
sen sen cos cos
2
ax bx dx a b x a b x dx
ax bx dx a b x a b x dx
ax bx dx a b x a b x dx
éù
=++-
êúëû
éù
=++-
êúëû
éù
=- ++ -
êúëû
òò
òò
òò
(ver identidades VIII, IX e X)
(v. ex. 16 e 17)

13. - 11 -
()
2
1
11
sec ln sec tg ln tg
24
1
sec tg
sec
sec tg sec sec tg 1
sec
sec tg
n
nn
ax
ax dx ax ax k k
aa
ax dx x k
a
ax
ax ax dx ax ax ax dx k n
na
ax
ax ax dx k
a
-
æö
֍
÷=++=++ ç ÷ç ÷çèø
=+
==+¹
⋅
=+
ò
ò
òò
ò


sec cosec ln tg ln sen ln cosxxdx xk x xk=+= - +ò

()
2
1
1
cosec ln cosec cotg
cosec cotg
cosec
cosec cotg cosec cosec cotg 1
cosec
cosec cotg
n
nn
ax dx ax ax k
a
ax dx ax k
ax
ax ax dx ax ax ax dx k n
na
x
ax ax dx k
a
-
=-+
=- +
-
==+¹
⋅
-
=+ò
ò
òò
ò

()
()
()
22
1
2
11
tg ln cos ln sec
tg
tg sec 1
tg
tg sec 1
1
n
n
ax dx ax k ax k
aa
ax
ax dx ax dx x k
a
ax
ax ax dx dx k n
an
+
=- + = +
=-=-+
=+¹
+ò
òò
ò

()
()
()
22
1
2
11
cotg ln sen ln cosec
cotg
cotg cosec 1
tg
cotg cosec 1
1
n
n
ax dx ax k ax k
aa
ax
ax dx ax dx x k
a
ax
ax ax dx dx k n
an
+
=+= +
-
=-=-+
=+¹
+ò
òò
ò

 Integração de funções trigonométricas inversas
22
arc sen arc sen
xx
dx x a x k
aa
=+-+ò

11
22
1
arc sen arc sen
11
mm
m
xx x x
xdx dx
am am
ax
++
=-
++
-òò

22
arc cos arccos
xx
dx x a x k
aa
=--+ò

11
22
1
arc cos arc cos
11
mm
m
xx x x
xdx dx
am am
ax
++
=+
++
-òò

()
22
arc tg arc tg ln
2
xxa
dx x x a k
aa
=-++ò

14. - 12 -
11
22
arc tg arc tg
11
mm
m
xx xax
xdx dx
am am ax
++
=-
++ +òò

()
22
arc cot arc cot ln
2
xxa
dx x x a k
aa
=+++ò

11
22
arc cot arc cot
11
mm
m
xx xax
xdx dx
am am ax
++
=+
++ +òò

()
()
22
22
arcsec ln , 0 arc sec
2
arc sec
arcsec ln , arc sec
2
xx
xaxxak
x
aa
dx
xxa
xaxxak
aa
p
p
p
ìï
ï
-+-+< <ï
ïï
=í
ï
ï ++-+< <ï
ïïî
ò

1
22
1
22
arcsec
,0 arcsec
11 2
arc sec
arcsec
, arc sec
11 2
m
m
m
m
m x
x
ax x
a
dx
mm ax
xa
xdx
xa
x
ax x
a
dx
mm a
xa
p
p
p
+
+
ìï
ï
ï
ï
ï -<<
ï
ï ++
ï -
=í
ï
ï
ï
ï
ï +<<
ï
ï ++
-ïî
ò
ò
ò

()
()
22
22
arc cosec ln , 0 arc cosec
2
arc cosec
arc cosec ln , arc cosec 0
2
xx
xaxxak
x
aa
dx
xxa
xaxxak
aa
p
p
ìï
ï
++-+< <ï
ïï
=í
ï
ï -+-+-< <ï
ïïî
ò

1
22
1
22
arc cosec
, 0 arc cosec
11 2
arc cosec
arc cosec
, arc cosec 0
11 2
m
m
m
m
m x
x
ax x
a
dx
mm ax
xa
xdx
xa
x
ax x
a
dx
mm a
xa
p
p
+
+
ìï
ï
ï
ï
ï +<<
ï
ï ++
ï -
=í
ï
ï
ï
ï
ï --<<
ï
ï ++
-ïî
ò
ò
ò

Observa-se que o cálculo das integrais com x
m
implica em utilizar o método das substituições trigonométricas, visto adiante.
 Integrais de funções hiperbólicas
senh coshxdx x k=+ò
cosh senhxdx x k=+
ò

2
sech tghxdx x k=+ò

2
cosech cotghxdx x k=- +ò

sech tgh sechxxdx xk=- +ò
cosech cotgh cosechxxdx xk=- +ò

 Os casos
n
xxcos sen2ò
e
n
xxcos cos2ò

Substitui-se, conforme o caso,
sen2x ou cos2x por seus valores conforme as identidades IV e V, efetuando-se a integração das
funções trigonométricas resultantes. Vejam-se os exemplos 18 e 19.

15. - 13 -
 Fórmulas de redução para
n
xdxsenò
,
n
xdxcos
ò
,sec
n
xdxò
,cos sec
n
xdxò
,
tg
n
xdxò
e cotg
n
xdxò

1211
cos
nn n n
sen x dx sen x x sen x dx
nn
-- -
=- +
òò

1211
cos cos cos
nn n n
xdx xsenx xdx
nn
-- -
=+
òò

121
tg tg tg
1
nnn
xdx x xdx
n
--
=-
-òò
121
cot cot cot
1
nnn
xdx x xdx
n
--
=- -
-òò
2212
sec sec tg sec
11
nn n n
xdx x x xdx
nn
-- -
=+
--
òò

2212
cosec cosec cot cosec
11
nn n n
xdx x x xdx
nn
-- -
=- +
--
òò

 O caso sen cos
nm
xxdx

Sugestão
n ímpar Transformam-se as potências de seno a co-seno (ident. I).
Faz-se a substituição
cos , senuxdu x . n par Transformam-se as potências de seno a co-seno (ident. I).
Faz-se a substituição
sen , cosuxdux . m e n pares Usam-se as identidades V e VI, o que resulta numa integral bastante trabalhosa, ou pode-se usar a identidade I
para transformar potências de seno a co-seno (ou vice-versa), aplicando-se em seguida as fórmulas de redução.
(v. ex. 20 e 21)
 O caso
n
xdx nsec , parò

Além da fórmula de redução, podem utilizar-se a identidade II e a derivada
()
2
tg ’ = secxx , seguindo-se substituição simples.
(v. ex. 22)
 O caso
nm
xxdxsec tgò

Sugestão Fórmula
m ímpar Faça
11
sec tg sec tg
nm
xxxxdx
--
ò

Use a fórmula xx
22
tg sec 1=-
para substituir em
1
tg
m
x


m par Expressar o integrando em potências de secx, e utili-
zar a fórmula de redução para
sec
n
x.
Mesma fórmula e mesmo procedimento.
(v. ex. 23 e 24)

16. - 14 -
 Substituição trigonométrica
 1º caso: ax
22

22
sen ,
22
cos ,
arc sen
cos
xa
dx a d x a a
x
a
ax a




 
 




 

 



Observe-se que
0se0
2
0se 0
2
x
x
p
q
p
q
££ ³
-£< <

Como
22 2
, cos 0 cos cos cos
22
ax a
pp
qq qq q-££ ³ \ =  - = .
 2º caso: ax
22


22
2
22222
22
tg ,
22
sec tg 1 tg sese c
arc tg
sec
c1tg
xa
dx a d x a x a a a a
x
a
ax a




  


 
 


    








Observe-se que
0se0
2
0se 0
2
x
x
p
q
p
q
££ ³
-£< <

Como
22 2
, sec 1 sec sec sec
22
ax a
pp
qq qq q-<< ³ \ =  + = .
 3º caso: xaxa
22
,
Usa-se a identidade III.
xa
dx a d x a a a a tg a
x
a
xa a
   




    







22 22 2 22
22
sec
sec tg sec tg
arc sec
tg


a
x
22
ax

a
x
22
ax

17. - 15 -
Observe-se que
0se
2
3
se
2
xa
xa
p
q
p
pq
£< ³
£< <-

Como
22 23
0ou ,tg0tgtg tg
22
xa a
pp
qpqq qq q<< £< ³ \ =  - =
.
Se
,sec 1e0 arcsec
2
xx
xa
aa
p
qqq³=³£<\= .
Se
3
,sec 1e
2
x
xa
a
p
qpq<- = ³- £ <
;
como
arcsec , quando 2 arcsec
2
xx
xa
aa
p
pq p<£ £-=- .

(v. ex. 25 a 27)
 Mudança de variável tg e tg
2
x
uux
Essa mudança de variável é feita quando o integrando é da forma
(
)sen , cosQxx , sendo (),Quv um quociente entre dois
polinômios nas variáveis u e v.
Utilizam-se as identidades XIII e XIV, fazendo-se a mudança de variável tg
2
xu :
2
2
sen
1
u
x
u


,
2
2
1
cos
1
u
x
u


e
2
2
1
dx du
u



Se as potências de sen x e cos x são pares, faz-se a substituição
tgxu=, usando-se as identidades XV, XVI e XVII.

a
x
22
xa
/2
-/2
3/2
2
 0

18. - 16 -
2
2 1
cos
1
x
u
=
+ ,
2
2
2
sen
1
u
x
u =
+ e
2
1
du
dx
u
=
+
(v. ex. 28 a 30)
 Integrais de funções racionais (integração por frações parciais)
 Integrais de funções racionais com numeradores do tipo
(
)
( )( )
Px
dx
xx--
ò


Se P(x) é um polinômio de grau igual ou maior que o numerador, divide-se P(x) pelo denominador, de forma que a nova integral tenha
como numerador o resto da divisão. Integra-se normalmente o quociente, e, em seguida, a nova fração. (v. ex. 31 a 35)
Seja o resto da divisão
ax
:

  

ax
AB
ax A x B x
xx x x
ax Ax A Bx B
AB a
AB
 
  



 
  
   


 


determinam-se os valores de A e B. O resultado da integração será:
()
()()
ln ln
Px
dx A x B x k
xx
=-+-+
--ò


Para integrandos do tipo
()
()
2
Px
dx
xa-
ò

faz-se a mudança de variável
xu
.
 Integrais de funções racionais com numeradores do tipo
()
()()()
Px
dx
xxx---
ò


O procedimento é similar (v. ex. 34):


  

   
22
Px
ABC
xxx x x x
Px
AB C
xx
xx x
   

 

   


 

19. - 17 -
 Integrais de funções racionais com numeradores do tipo
(
)
2
Px
dx
xbxc++
ò
,
sendo o denominador um trinômio não fatorável do segundo grau.
Converte-se o denominador numa soma de um número real com um binômio quadrado (v. ex. 35):

2
22222
xbxcxbxddc xbxcxd e  
em que
2
2
b
d
ecd






() ()
()
()
()
()
222
2
,
Px Px Px
dx dx dx
xbxc
xd e xd e
Px
uxddudx du
ue
==
++
++ ++
=+ = 
+
òòò
ò

integra-se fazendo a substituição do valor de x em P(x), e entendendo o denominador como uma função arco seno ou arco tangente.
Em particular, para integrais do tipo
2
Ax B
dx
ax bx c
+
++
ò
e
2
Ax B
dx
ax bx c
+
++
ò
utilizam-se as fórmulas:
22
2
2
2 2
21
22
21
22Ax B
dx
ax bx c
Ax B
dx
ax bx c
Aaxb Ab
dx B dx
aaax bx c ax bx c
Aaxb Ab
dx B dx
aa
ax bx c ax bx c
æö+ ÷ç
÷+-ç ÷ç ÷ç++ ++ èø
æö+ ÷ç
÷+-ç ÷ç ÷çèø
+
=
++
+
=
++ +++ +
ò
ò
òò
òò

Estas fórmulas são uma conseqüência do desenvolvimento observado no exemplo 31.
 Integrais de funções racionais com numeradores do tipo
()
( )( )
2
Px
dx
xex bxc+++
ò

sendo o trinômio do denominador não fatorável.
A fórmula dada é:
()
()
()
22
Px ABxC
dx dx
xe xbxcxex bxc
+
=+
+ +++++
òò

sendo que a segunda parcela da integral recai no caso anterior.
Similarmente, integrais do tipo
()
()( )
22
Px
dx
xexbxc+++
ò
, com P(x) de grau até 2:
()
()( )
22
Px
dx
xexbxc+++
ò
=
22
Ax B Cx D
dx
xexbxc
++
+
+++
ò

20. - 18 -
 Integral da função racional do tipo
()
1
22
1
n
dx
x
+
+
ò

,

(
) ( ) ( )
12
22 222 22
12 1 1
2
2
nnn
xn
dx dx
n
xnx x
+
-
=+
+++
òò

 

 Funções irracionais
 Integrais do tipo
abx
dx
cdx
+
+
ò


()
2
ax b ax b ax b ax b
dx dx dx
cx d cx d ax b acx ad cb x db
+++ +
==
+++ ++ +
òò ò

e prossegue-se com substituição trigonométrica, completando-se o quadrado na expressão sob o radical, se necessário. (v. ex. 36)
 Integrais com raízes de uma variável
Dado o integran
do que contém de uma variável
,
j mln
xx , a substituição é feita por xt
m
=, em que  é o denominador
comum dos expoentes dados em forma fracionária:
é o denominador comum entre ,,
l
j
l j
n
mn
m
xx
nl
xx
mj
m
=
= 


A integral obtida recai em casos já estudados. (v. ex. 37)
 Outras integrais
 Integrais do tipo
2
,xax bxcdx
æö
֍
÷++çò ÷ç ÷çèø

com substituição de Euler
1ª Substituição de Euler – se a > 0
2
222
22
2
22
ax bx c ax t
ax bx c ax ax t
tc tc
xdx
bta bta
++= +
++= + +
æö
-- ֍
÷== ç ÷ç ÷çèø--
'

2
2
2
tc
ax bx c ax t a t
bta
-
\++=+= +
-

2ª Substituição de Euler – se c > 0

21. - 19 -
2
222
22
2
2
2
22
2
ax bx c xt c
ax bx c x t t cx c
tc b t
tc b
axbxcxtc tc
at
cb
xdx
at at
++=
++= + +
æö
--÷ ç
÷ç== ÷ç ÷ç ÷-- ç
-
\++== +
-
èø
'

3ª Substituição de Euler – se a > 0 ou a < 0, com
 e  como raízes reais do trinômio
()
()()
()() ()
()()()
()()
()
2
2
2
2
2
2
2
2
22
22
ax bx c x t
ax bx c a x x
ax x x t
ax x x t
ax
at
ax bx
xt
at at
xtdx
at at
cx t t
at
a
ab
ab a
ab a
ba
ba
b
ba
a
a
aa
++=-
++= - -
--=-
--=-
-=-
æöæö
-- ÷÷çç
÷÷=-=çç ÷÷çç ÷÷çç--èø
æö
- ֍
÷\++=-= - ç ÷ç ÷ç-èø
èø
'

(v. ex. 38 a 40)
 Integração do binômio diferencial
()
p
mn
xabx dx+
ò

A integral do binômio diferencial
()
p
mn
xabx dx+
ò
pode ser reduzido à integral de uma função racional, se m, n e p são
racionais, e se:
– p é inteiro (positivo, negativo ou zero);
–
1m
n
+
é inteiro (positivo, negativo ou zero);
–
1m
p
n
+
+
é inteiro (positivo, negativo ou zero).
Procedimento:
Faz-se
11
1
1
,
nn
xzdx zdz
n
-
==
()
() ()
1
1
1
1
11
p pp
mn q n
n
x a bx dx z a bz dz z a bz dz
nn
qz
-
-
+= +=+
\=òòò

1
º CASO: p é inteiro, q racional,
r
q
s
=
.
,
r
s
Rz zdz
æö
֍
÷ç\ ÷ç÷÷çèø
ò

22. - 20 -
Substitui-se
r
s
z por t
s
.
2
º CASO:
1m
n
+
é inteiro, então q também é inteiro e p é racional, p=


.
(),
q
Rz a bz dz
éù
êú
\+
êú
êúëû
ò



Substitui-se
abz+ por t

.
3
º CASO:
1m
p
n
+
+
é inteiro, logo q + p é inteiro.
()
,
,
p
p
qqp
k
l
q
abz k
za bzdz z dzp
zl
abz
Rz dz
z
+
æö+÷ç
÷\+= = ç ÷ç ÷çèø
éù
êúæö+÷çêú ÷\ ç ÷çêú ÷çèø
êú
ëû
òò
ò

Substitui-se
abz
z
+
por t
l
.
(v. ex. 41 a 43)
 Metodos numéricos
Usam-se para calcular a aproximação de uma integral definida quando a integração da função é difícil de obter-se.
Seja uma função
:,fab
 . Divide-se o intervalo ,ab


em n subintervalos de comprimento
ba
h
n

.
Temos então:

01021
,,,,
n
ii
xaxxhxxh xb
yfx 
 

 1) Regra retangular
  
012 1
b
n
a
fxdx hy y y y

 

ou
  
123
b
n
a
fxdx hy y y y

 2) Regra dos trapézios

0
12 1
2
b
n
n
a yy
fxdx h h y y







 3) Fórmula de Simpson (ou Método das parábolas)

23. - 21 -
O número de subintervalos n deve ser par.

 
02 421 31
24
3
b
nn n
a h
fxdx y y y y y y y y

 



Os métodos são trabalhosos, sendo a Fórmula de Simpson a que oferece melhor aproximação.
Nos exemplos de nº 44 a 46 observa-se sua aplicação em uma integral simples, a título de comparação.
 Integrais impróprias
1) Se f é contínua para todo
xa, então
 lim
b
aa b
fxdx f xdx




se o limite existir.
2) Se f é contínua para todo
xb, então
  lim
bb
aa
fxdx f xdx
 


se o limite existir.
3) Se f é contínua para todo x, então
  
0
0
lim lim
b
aba
fxdx f xdx f xdx

  


se os limites existirem.
4) Se f é contínua para todo
,xab , então
 
0
lim
bb
aa
fxdx f xdx





se o limite existir. 5) Se f é contínua para todo
,xab , então
 
0
lim
bb
aa
fxdx f xdx







se o limite existir. 6) Se f é contínua para todo ,xab , exceto num ponto “c”, então
  
00
lim lim
bc b
aa c
fxdx f xdx f xdx





 

se os limites existirem.
Quando os limites existem, diz-se que a integral converge (para o ponto de limite). Caso contrário, diz-se que a integral diverge.
(v. ex. 47 a 51)

24. -22-
Exemplos:
o Limite da função racional
1. Exemplo a
4
234
234
4
4
4
4
42
3 311
311
2
2
20 2
lim lim
22 50522
55
23 1
lim
522
x xx
x
xxx
xxx
x
x
x
xx
xx
xx
x
 ¥ ¥ ¥
æö
֍
÷+++ç +
+++
+
++÷ç ÷ç +èø
====
æö +
÷ç +-÷+-ç
ç ÷è
-
÷
ç ø

2. Exemplo b
52
4
5
345
345
4
44
3
311
311
2
2
2
lim lim lim
22 522
55
23 1
lim
522
x xxx
x
xxx
xxx
xx
x
xxxx
xxx
xx
 ¥ ¥ ¥¥
æö
֍
÷+++ç +++÷ç ÷çèø
==⋅=⋅=¥
æö
÷ç +-÷+-ç ÷ç ÷çè
++
-
ø
+
+

3. Exemplo c
42
4
234
234
33
7
4747
73
311
311
2
23 1
lim
5
2
112
lim lim lim 0
22 522
55
22
xxxx
x
xxx
xxx
xx
x
xxx
x
x
xx
xx
¥ ¥¥ ¥
æö
֍
÷+++ç +++÷ç ÷çèø
==⋅=⋅=
æö
÷ç +-÷+-ç ÷ç ÷ç
++
+-
ø
+
è

o Limites - formas indeterminadas
4. As formas 0/0 e ¥/¥
Derivam-se independentemente o numerador e o denominador da função, até obter um caso de limite calculável pelas técnicas conheci-
das, com o numerador ou o denominador, ou ambos, diferentes de 0 ou de
¥.
O primeiro exemplo é o caso 0/0. O segundo, a forma ¥/¥.
()
()
()
()
3
1
1
1
32111
1’1ln’ 1
lim lim lim
663
1ln
l
2’
i
3 3
m
2 3’
x
x
xxxx
xx
xxx
xx
xx x -
-+
=
++
-+-+
===-
++ +

()
()
()
()
2
2
’ 2’ 2
lim ll iim m lim 0
’’
x
x
xxxxx x
x x
eee
x
e
¥ ¥¥ ¥
== ==
5. A forma 0.¥
Neste exemplo o método utilizado foi reduzir à forma 0/0 e proceder como nesse caso.
()
()
()
2322
3
2
36’ 31
li
1
lim 3 6
32
mlim
1293244 ’
xxx
x
x xx
x

-⋅ =
-
-
==
-
6. A forma ¥ — ¥
()
()
()
()

0
0
00 0
2
sin ’ 1 cos ’ sin 0
lim lim lim 0
2cos sin 2sin ’ si
11
lim
sin ncos’
xx xx
x
x
xx x
xx xxx xxxx
 
æö
֍
÷-=ç ÷ç ÷
--
==
ç
=
+èø
=
-
 

25. - 23 -
7. A forma 0
0

()
()
()
0
sen lim sen ln sen
sen
00
0
0
0 0
2
cos
ln sen ’
sen
lim sen ln sen lim lim sen 0 1 lim se
lim
n1
cos1
’
sense
sn
n
e
x
x
xx
x xx
x
xx
x
x
x
xx xe x
x
xx
xe

⋅


 
⋅= = =-==\ =
æö -
֍
֍
çç ø
=
÷
֏

8. A forma ¥
0

( )
()
()
() ()
()
()
()
2
2
2
2
4
1
l
2
2
1 42
3
22
221
im 4 ln
222
2
22
4
0
2
’
2
2
4’
ln ’ 816’
1416
lim 4 ln lim lim lim lim
244 24’ 24’
01
0
1
lim
1lim
4
2
2
x
x
xxxxx
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
xx
x
xx xx xx
x
x
e
e

-
æö
÷ç
-
-
÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ø
-

è-

éù
-êú
-+
-êúëû
-= = = =
-- --
æö
֍
÷== =\ ç ÷ç ÷ç-è
æö
֍
÷=ç ÷ç ÷ç
ø
-èø
()4
1
-
=

9. A forma 1
¥

()
( )
()
()
()
3
0
1 1
lim
3
12
3 03
00
ln 1
3
0
00
ln 1 ’
130
lim ln
lim 1
1 lim lim 0 1 lim 1 1
’311
x
x
xxx x
x
x x
x
x
x
xex
xxx
xe

 
⋅+

+
⋅+= = ===\ +
+=
=
+

o Derivação de radicandos
10. Exemplo
()
()
()
2
2
0
2
2121
’lm
21
i
x
f
x
x
x
f
x
xx
x
D
+D + - +
=
+
D
=

Neste ponto, racionaliza-se o numerador:
()
()
()
()
()
()
()
()
22
22
0 2
2
2
2
0 2
2
2
22
0 2
22
2 1212 121
’lim
2121
2121
lim
2121
24 121
lim
24 121
x
x
x
xx x xx x
fx
xxx x
xx x
xxx x
xxx x x
xx xx x x
D
D
D
æö æö
÷÷çç
+D + - + ÷ +D + + + ÷çç ÷÷çç ÷÷ççèø èø
=
æö
֍
D+D+++÷ç ÷ç ÷çèø
+D + - -
=
æö
֍
D+D+++÷ç ÷ç ÷ç èø
+D+D +- -
=
æö
֍
D+D+D+++ç
ççèø
÷
÷÷

26. - 24 -
Cancelam-se os opostos, igualam-se a zero as parcelas com
xD:
()
()
20 22
4 2
’lim
212 211
x
xx
fx
xx
x
x x
D
D
=
D+++ +
=

o Integração por substituição simples
11. Exemplo a
()
()
()
()
4
4
33
3
3
21, 2
2111
21 212
2288
21
u x du dx
xu
xdx x dx udu k k
xdx
=+ =
+
+= + = + +
+
==
ò
òò ò

12. Exemplo b
() ()
2
2
422
2
4
,2
12 11 1 1
arctan arctan
22221
1
11
uxdu xdx
xx
dx d
x
xduukxk
x
ux
dx
x
==
===+
+
=+
+
++
òò ò
ò

o Integração por partes
13. Exemplo a
,
senu
xx
xd d
dx
ux==
ò

sen , cos
sen cos cos cos sen
dv x dx v x
xxdx xx xdx xx xk
==-
=- + =- + +
òò

14. Exemplo b
Neste exemplo aplica-se duas vezes o método da integração por partes.
()
2
22
22
2
2
2
,2
,
2
2, 2
,
22
22
22
xx
xxx
xx
xxxx
xxx
x
x
uxdu xdx
dv e dx v e
xe dx xe xe
u x du dx
dv e dx v e
xe dx xe xe e dx
xe xe e k
xe
xxe
x
k
d
==
==
=-
==
==
=- +
=- ++
=-+ +
òò
òò
ò

15. Exemplo c
Neste exemplo aplica-se, em seguida, o método de substituição trigonométrica, que será visto adiante.

27. - 25 -
2
2
2
2
2
1
arcsen ,
1
,
arcsen arcsen
1
sen , cos
se
a
ncos
sen
cos
1
c
rcse
os 1
arcsen arcsen 1
n
u x du dx
x
dv dx v x
x
xdx x x dx
x
xdxd
x
dx d d
x
kx
xdx
xd
xx x
x
qqq
qq
qqq
q
q
==
-
==
=-
-
==
⋅
==
-
=- + =- +
=++
òò
ò
ò
òò
ò

o Integração de funções trigonométricas
 Os casos esen cos , cos cos sen senax bx dx ax bx dx ax bx dxòò ò

16. Exemplo a
()
()
cos 311cos7
sen( 3 ) sen 7sen
2237
cos 3 cos7
61
2cos( )
4
5
x x
xxdx k
x x
k
xxdx
é ù
--
êú
-+ = - + êú
êú
ëû
--
=-+
⋅- =
òò

Essas fórmulas servem para calcular integrais aparentemente mais complexas, mas que se reduzem às formas dadas, como neste:
17. Exemplo b
()
23 2
2
III
2
sen 4 sen 2 sen2 sen 4 sen2 1 cos 2
sen 4 sen2 sen 4 sen2 cos 2
1
I) sen
sen
4sen2 cos6 cos2
2
1
II) sen 4 sen2 cos 2 sen 4 sen2 1 c
2
4sen2 xxxdx xx xdx
xxdx xx xdx
x x dx x x dx
xx xdx
xxdx
xx
=⋅⋅=⋅-
=⋅-⋅⋅
⋅=-+
-⋅⋅ =-⋅⋅
⋅
+òò
òò
òò
ò
ò
   
()
Ident. VI
Ident. III
3
os4
111
sen 4 sen2 sen 4 cos 4 .sen2
222
11 1 1 sen8
cos6 cos2 sen2
22 2 2 2
111
sen 4 sen 2 cos6 cos2 cos6 cos2 cos10 cos6
248
1
co
4
xdx
xxdx xxxdx
x
xxdx xdx
xxdx xxdx xxdx xxdx
=- ⋅ - ⋅
=- ⋅ - + -
\
⋅=-+--++ -
=-ò
òò
òò
òò ò ò
  
  
1
s6 cos2 cos10 cos6
8
sen6 sen2 sen10 cos6
24 8 80 48
sen6 sen2 sen10
16 8 80
x x dx x x dx
xx xx
k
xx x
k
++ -
-
=++-+
-
=+++
òò

28. - 26 -
 Caso
ecos sen2 cos cos2
nn
xx xxòò

18. Exemplo a
()
()
23
44
23 3
2
cos 2sen cos 2 cos sen
cos , sen
cos
cos sen2 2 cos sen 2
co
2
se
2
sn2 xxxdx xxdx
uxdu xdx
ux
x x dx x x dx u du
xxd
kk
x==
==-
=- - =- =- + =- +òò
ò
ò
ò ò

Observamos neste caso que foi utilizado também o método de substituição simples.
19. Exemplo b
()
32 2 53 32
II I
cos cos cos sen cos coco ssens2 xx xdx xdxxdx xxxdx=-=- òòòò
  

Utiliza-se agora a fórmula de redução dada para cos
n
x.
()
54 3
42
42
32 3 2 3 514
I) cos cos sen cos
55
1412
cos sen cos sen cos
5533
14 8
cos sen cos sen sen
51515
II) cos sen cos 1 cos cos cos
xdx x x xdx
xx xx xdx
xx xx xk
x x dx x x dx x dx x dx
=+
æö
֍
÷=+ + ç ÷ç ÷çèø
=+ ++
=- - =- +
òò
ò
òò òò


Não apresento o desenvolvimento da solução por se tratar apenas da fórmula de redução dada. Vamos direto à resposta:
342 212
cos cos2 cos sen cos sen sen
555
x xdx xx xx xk=+++
ò

 Caso
sen cos
nm
xxdx

20. Exemplo a
Primeiro um
UexUemplo com potências ímpares:
()
52 5 2
57
68 6 8
3
57
5
75
sen cos cos sen 1 sen cos
sen cos sen cos
sen , cos
sen sen
sen c
sen c
os sen cos
6
o
6
s
88
xxxdx x xxdx
xx xxdx
uxdux
uu x
x
x
xx xxdx uudu k k
xdx =-
=-
==
-=-=- -+
=
+=òò
ò
ò
òò

Poder-se-ia ter feito também:
() ()
3
2
25 43 3
sen cos sen cos 1 cos sen
cos , s
sen co
en , etc.
s xxxdx x x xdx
uxdu x
xxdx == ---
==-òòò

21. Exemplo b
Um
UexUemplo com ambas as potências pares (ident. VI e VII):
()()
6
3
24
2
23
2 1cos2 1cos2
sen cos
2
se
2
ncosxx
xx
xxd dx xd x
æöæö-+ ÷÷çç
÷÷=çç ÷÷çç ÷÷ççèøè
=
ø
òòò

29. - 27 -
()()
() ( )
23
2 3
22231
1cos2 1cos2
8
1
1 2cos2 cos 2 1 3cos2 cos 2 2cos 2 cos 2 , etc
8
xxdx
xx xx xxdx
=- +
=- + + + + +
ò
ò

O integrando se transforma numa expressão polinomial bastante trabalhosa de integrar.
O mesmo
UexUemplo, utilizando-se porém a identidade I:
()
26 82 66
1cos cosen co scoscoss xxxxd dx x x dxx -=-=òò ò

Neste caso aplica-se a fórmula de redução para potências de co-seno.
 O caso
sec , par
n
xdx nò

22. Exemplo
()
22 2 22
22
4
2
33
22 2
3
4
sec 1 tg sec sec tg
tg sec tg
tg , sec
tg
sec tg
sec
33
tg
sec tg
3
x x dx xdx x xdx
xxxdx
uxdu xdx
ux
xxdx udu k k
xdx x k
xdx += +
=+
==
==+=+
\
=++
=òòò
ò
ò
ò
òò

 O caso
sec tg
nm
xxdxò

23. Exemplo a, m ímpar
()
() ()
2
24 2 2
22
22 22 642
753 7 5
35
3
sec tg sec tg sec sec 1 sec tg
sec , sec tg
sec sec 1 sec tg 1 2
2 sec 2sec sec
753
sec tg
753
x x xxdx x x xxdx
u x du x x dx
x x x x dx u u du u
xxdx
uudu
uuu x x x
kk
=-
==
-=-=-+
=- ++=
=
-++ò òò
òòò

24. Exemplo b, m par
()
2
323 7534
secsec sec 1 sec 2sec sectg xdxxdx xxxxdx-= - +=ò òò

E aplica-se a fórmula de redução correspondente.
o Integração - Substituição trigonométrica
25. 1º caso:
22
ax
22
7
7
41
14
2
2
44 1
2
4
4
7
x
x
x x
idx
x
x
dx dx
æö
÷ç æö÷ç ÷ç÷ç ÷- ÷ çç ÷÷ ç- ÷ç ÷ ç÷ç ÷ çèø ÷
ç÷÷çèø
+
==
+ +
=
-
ò òò

30. - 28 -
22
sen 4 cos
77
2
1sen
7
2
sen , sen , cos
2 7
114824
sen cos
2277 77
d
x
xdxd
idk
qqq
q
qqqq
qq qq
æö
֍
÷ç +÷ç ÷ç ÷èø
-
== =
==+=-++
òò

Usando-se o triângulo retângulo para retornar à variável x:

2
47 47
arcsen
277
x
ixk
-
=+-
\
26. 2º caso:
22
ax
2
22
2
2 2
2
21 2 21
4
3
681
1
8
4
64tg
tg , , se
3
c
4
8
6
21xx
dx
x
id dx
x
x
x
xdxd
x
x
q
qqq
--
==
æö
æö÷ç ÷÷ç
-
+ç ÷÷ çç+ ÷÷ç çèø ÷ç÷çèø
==
+
=
=
òòò

()
2
2
2
1
22 3
16 tg 4
21sec
62264tgsec4 6
sec
4sec 4 36 6
24 3
)seclnsectg
436
2646 163 163
) tg sec sec 1 sec sec sec
418 9 9
II I
d
id
Id k
II d d d
q
qq
q
qq
q
qq q q
qqq q qq q qq
æö
֍
÷´-ç ÷ç ÷ç èø
==-
-=-++
=-=-
òò
ò
òòò
 

3
216 3 16 3
ln sec tg sec
99
16 3 16 3 sec tg 1
ln sec tg sec
99 2 2
16 3 8 3 8 3
ln sec tg sec tg ln sec tg
999
16 3 8 3 8 3 3
ln sec tg sec tg ln sec tg ln sec tg
9993
d
d
k
i k
qq qq
qq
qq qq
qq qq qq
qq qq qq qq
=- + +
éù
êú=- + + +
êú
ëû
=- + + + + +
\
=- + + + + - + +
ò
ò

Usando-se o triângulo retângulo para retornar à variável x:

2
7x
2
47x

31. - 29 -

22
22
83383113383
ln
92 9
1113
38 ln383
39
22 22
xx x x
ik
xx x x k
\
+++
=-
+
+
=+- ++

27. 3º caso:
22
,xaxa
22
22
2
3
2
2
2
31 3
5
4 2
25 1 1
25 5
2 5sec 5sec tg
sec , ,
522
5sec 5sec tg
3
22
1253
sec sec
582
sec 1
3
425
II I
xx
dx dx
x x
x
xd
x
idx
xd
d
id
x
d
qqq
qq
qqq
q
qq qq
q
++
==
æö
æö÷ç ÷÷ç-ç ÷-÷ çç ÷÷ç ç÷çèø èø
== =
éù
æö
êú ÷ç
÷+çêú ÷ç ÷çèøêú
ëû
==+
+
-
-
=
òò
òò
ò
ò
    

1
3
2
33
) sec ln sec tg
22
25 25 sec tg 1 25 sec tg 1
) sec sec ln sec tg
8822822
25 49
sec tg ln sec tg
16 16
Id k
II d d k
ik
qq q q
qq qq
qq qq q q
qq q q=++
éùé ù
êúê ú=+=+++
êúê ú
ëûë û
\
=+++ò
òò

Usando-se o triângulo retângulo para retornar à variável x:

2
2
42549
ln 2 4 25
816
xx
ixxk
-
=+ -
\
+
o Mudança de variável
tg e tg
2
x
uux

28. Exemplo a
Algumas integrais de quociente de funções seno e co-seno podem ser resolvidas por substituição simples, como neste exemplo:

5
2x
2
425x-

22
3x
2
38x+

32. - 30 -
()
()
()
()
() ()
2 2
1
22
2
2
1
cos , sen
sen sen 1 1
2cos cos 2cos cos 2 2
1
2
22
21 11
,
0 22
11112cos
ln cos ln 2 cos ln
22 2 22
sen
2cos cos
uxdu xdx
xx
dx dx du du
xx xx uu uu
AB
ABu A
uuuu
A
AB
AB
x
du du x
x
xk
uuu
x
u
dx
x
==-
-
=- =- =-
+++ +
=+ = + +
++
ìï=
ï
\= =-í
ï+=
ïî
+
-=--=-+++=
+
++
òòòò
ò
ò
ò
cos
k
x
+

29. Exemplo b
Neste exemplo são feitas as substituições indicadas neste tópico:
2
1tg
2
2222
2tgtg tg 2 tg
2222
222
1tg 1tg 1tg
222
11
1
11
11
cos
x
dx
xxxx
xxx
dx dx dx xd
x
+
+++
=
-
===
--ò òòòò

2
v. ident. II
2
2
22
1tg
2
22 22
2tg tg
2 21
tg , 1 tg
22 2
2
21tg
2 1
12 11 1
21
x
dx
x x
xx
tdt dx
x
dt dx dt dx
t
t
dt dt k k
ttt u
éù
êú
ëû
+
æö
֍
÷==+ ç ÷ç ÷çèø
æö
֍
÷=+  =ç ÷ç ÷ç +èø
+
=⋅==-+=-+
+
òò ò

1cos22
cos coscos
2222
1cos22sen sen
sen 1 cos 1
22
222
cos
v. ident. V2
2
1
1 cos 1 cos sen
1cos 1cos 1cos
xx xx
xx
xx x
x
kk k k k
xxx
kkk
xxx
+
+
--
éù
êúëû
=- + =- + =- + =- + =- +
+--
=- + =- + = +
---


30. Exemplo c
Este método leva às vezes a operações trabalhosas, como neste exemplo:
2
2
22
2tg
2
1tg
2
2tg 1 tg
2
22
1tg 1tg
22
2
2
2tg
2
2tg 1 tg
22
12
tg , 1 tg
sen
sen co
22 2 1
s
x
x
xx
xx
x
x
d dx dx
xx
xx
tdt dx t
t
x
ddx
x
x
+
-
++
==
+-+
æö
֍
=
+
÷==+  = ç ÷ç ÷ç +èøò òò

33. - 31 -
() ()
() () () ()
() () ()
22 22
2
2222
22
2tg
22 4
2
21 1 21 1
2tg 1 tg
22
4
21 1 1 21
4( ) 21 1
x
tt
dx dt dt
xx ttt tt t
tAtBCtD
tt t t tt
tAtBt t CtDt
=⋅=
+- + -+ + +
+-
++
=+
-+ + + + -+ +
=+-++++ +
òòò

Desenvolvendo, ordenando e igualando os coeficientes, obtemos o sistema:
()( )( )()
() ()
32
2222
III
42 2
0
20
1, 1
24
0
411
12121 1
tACtABDtABCtBD
AC
AB D
ABC D
ABC
BD
ttt
dt dt dt
ttttt t
=- + + - + + + + + +
ìï-+ =
ï
ï
ï
-+=ï
ï
\=== =-í
ï++=
ï
ï
ï
+=ï
ïî
\
+-+
=+
+---+ + +
òòò


()
2
1222
2
12
2
222
2
2112 1 1
I) ln 1 arc tg
22111
11
ln 1 tg arc tg tg
22 21
11221
II) ln 2 1
2221 21
11
ln tg 2 tg 1
22221
tt
dt dt dt t t k
ttt
txx
dt k
t
tt
dt dt t t k
tt tt
txx
dt
tt
+
=+=+++
+++
æöæö+ ÷÷çç
÷÷\=++ + çç ÷÷çç ÷÷çç+ èøèø
-+ - - -
==--+
-- --
æ-+ -
ç
\=--
-- è
òòò
ò
òò
ò
2
k
ö
÷
÷+ç ÷ç ÷ç ø

Então:
2
tg
2
2
tg 2 tg
22
22
sen 1 1
ln 1 tg arc tg tg ln tg 2 tg 1
sen cos 2 2 2 2 2
11
ln arc tg tg
22 1
2
x
xx
xxxx x
dx k
x
k
x
x
-
æöæöæ ö
÷÷ ÷ççç
÷÷ ÷=++ - --+ççç ÷÷ ÷ççç ÷÷ ÷çç
æö+
֍
÷=++ ç÷ç÷ç- è
ç+ èø
ø
èø è ø
ò

É necessário agora obter a solução em termos de sen x e cos x:
2
2
2
2
sen
2
cos
2
sen sen
22
2
cos cos
22
1
sen
sen 1
2
ln arc tg
sen cos 2
cos1
2
x
x
xx
xx
x
x
dx k
xx x
-
æö
+ ֍
÷ç ÷ç ÷ç ÷=++ ç ÷
ç ÷+ ç ÷
÷ç- ÷çèø
ò

34. - 32 -
22
2
22
22
cos sen
22
cos
2
sen sen cos cos
2222
2
cos cos cos
22 2
22
22
2
sen
1
2
ln arc tg
2
cos
2
cos sen sen cos
1
22 22
ln arc tg
2
sen sen cos cos cos cos
2222 22
xx
x
xxxx
xx x
x
k
x
xx xx
xxxx xx
+
⋅
-
-
æö
֍
÷ç ÷ç ÷ç ÷=++ ç ÷
ç ÷
ç ÷
÷ç- ÷çèø
æö
֍
÷+ ç ÷ç ÷ç ÷=+⋅ ç ÷
ç ÷
ç ÷
⋅- ç
çèø
(V. ident. III)
2
22
(V. ident. VI)
(V. ident. IV) (V. ident. III)
sen cos
11
22
ln arc tg
2
cos
2
cos sen 2sen cos
22 22
k
xx
x
xx xx
+
÷
÷
æö
֍
÷ç ÷ç ÷ç ÷
ç ÷
ç ÷
ç ÷
=+ ֍
÷çæö ÷ç÷ç ÷ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ÷ ç ÷ç--+⋅ ÷ ç ÷ç ÷ çç ÷è ø
ç ÷
÷ç ÷çèø


    
sen
11
2
ln arc tg
2 cos sen 1 cos
2
1 1 sen
ln arc tg
2 cos sen 1 cos
x
k
k
x
k
xx
x
x
xx
+
÷
æö
֍
÷ç ÷ç- ÷ç ÷=++ ç ÷
ç ÷++ ç ÷
֍
÷çè
æö- ÷ç
÷=++ ç ÷ç ÷ç+èø
ø
+

o Frações parciais
31. Exemplo a
()
()
16 16
8 85 5
3 3
22 2
2
2
2
22
383 211 3
88 8451 451 451
385 1 1 3 1 1
ln 4 5 1
8888451 451 4
4
1
3
51
5
2x xx
dx dx dx
xx xx xx
x
dx dx x x dx
xx x
x
dx
xx
xxx
æö
֍
÷ç+÷ ++ -ç ÷çèø
+
==
++ ++ ++
+
=+=+++
+
+
=
++
+++ ++
òòò
òò
ò
ò

A integral no fim da expressão acima terá seu denominador fatorado da seguinte maneira:
()( )14 1xx++ , e será resolvida com
no exemplo b.
32. Exemplo b
()()
()()
()() ( )( )
3
3
2424
3423 42
3
42 0
24
xAB
xxxx
xAx Bx xxAB A B
A
x
dx
B
xx
B
A
=+
-+-+
=++-
-+
=++-
ìï+=
ï
í
ï-=
ïî
ò

Resolvendo-se o sistema, obtém-se
1e 2,AB==\
()()
312
ln 2 2ln 4
2424
x
dx x x k
xxxx
=+ =-+++
-+-+
òò

35. - 33 -
33. Exemplo c
()
()
()
2
22 2 2
1
2
5, 5,
25121 211 1 1
211
5
11
2ln 11 2ln
21
5
11 2ln 5
15
u x x u du dx
uxu
dx du du du du
uuu u
x
x
dx
u
uuduu kx k
x
x
-
-
=- =+ =
++++
===+
-
=+ =+ +=--+
--
+
-
òò ò
ò
òò
ò

34. Exemplo d
()( )
()( )
()()()()
()( )( )
2
22
2
2
32
18 (8)
18
32 8 1 8 1
16 7
32
18
64 8
xABC
xx
x
dx
xx
x
xx
xAx Bxx Cx
ABx A BCx A BC
+
=++
-+ +
-+
+= + + - + + -
=+ + + + +
+
-
-+
-
ò

Obtém-se o sistema:
0
16 7 3
64 8 2
AB
ABC
ABC
ìï+=
ï
ï
ï
++=í
ï
ï
--=ï
ïî

cuja solução é
()( ) ()
()
552 2
81 81 9
22
2
5522
,,
81 81 9
32
18
18 8
55221
ln 1 ln 8
81 81 9
8
AB C
x
dx dx
xx
xx x
xx dx
x
-
-
== =
\
+
=++
-+
-+ +
=--++
+
òòòò
ò

Na última integral faz-se
() ()
()( ) ()
1122
2
8,
22 1 22 1 22 22
999 98
8
32 5 5 22
ln 1 ln 8
81 81 98
18
u x du dx
dx du k k
uu x
x
x
dx x x k
x
xx
=+ =
--
==+=+
+
+
\
+
=--+- +
+
-+
òò
ò

35. Exemplo e
()
2
22
2
24
3
2114
4
1
2
3xx x
x
dx
x
xx
x-+=-+-+=-
+
-+
+
ò

36. - 34 -
()
()
() ()
22
2222
III
22
1122
33
24
13
1, 1 ,
34 4
333
13
12 1 1
I) ln 3 ln 4
22 233
xx
dx dx
xx
x
u x u x du dx
xuu
dx du du du
uuu
x
uu
du du u k x x k
uu
++
=
-+
-+
=- += =
++
==+
+++
-+
==++=-++
++
òò
òòòò
òò
   

()
()
2222
1
3
2
2
441 43 43 1
II) arc tg arc tg
331 33 33
1
31 43 1
ln 4 arc tg
2324 3
ux
du du k k
u
u
xx
dx x x k
xx -
==⋅+=+
+
+
\
+-
=-++ +
-+
òò
ò

o Funções irracionais
 Integrais do tipo
ax b
dx
cx d
+
+
ò

36. Exemplo
2
2
2
2
19
416
92
16
33 3
24 3 21
19
212
416
31 3
2
3
2
42
11
,,
44
3111
24 2
4
x
u
x
dx
x
xx x
dx dx
xx xx
xx x
xx
dx dx
x
x u x u dx du
xu
dx du
x
æö
֍
÷ç--÷ç÷÷çèø
-
-⋅ - -
==
+⋅ - --
éù
æö
êú÷ç
÷--= - -çêú÷ç ÷çèøêú
ëû
\
--
=
+
-= =+ =
--
=
+
-
+
òò
òò
ò
ò
ò

A integral na variável u se resolve pelo método de substituição trigonométrica.
 Integrais com raízes de uma variável
37. Exemplo
1
2
43
3
4
43
3
4
o den.comum é 4 ,4
1
xx
xtdx tdt
xx
x
dx
x
ìï
ï
=ï
ï
==í
ï
ï
=ï
ïî
=
+
ò

37. - 35 -
25 2
32
33 3
43
333
3
3
4433
44 4
11 11
413 44
4ln1
33 33 1
44
ln 1
33
xt t t
dx t dt dt t dt
tt tx
ttt
dt t k
t
xxk
===-
++ ++
=-⋅ =- ++
+
=- ++òò òò
ò

 Substituições de Euler
38. 1ª substitui
ção de Euler - exemplo
2 2
2
222
42
1
42 4
4xt x x x txt x x txt x
dx
xx+= ++  + + = ++  +
+
=
+
+
ò

()
()
()
() ()
()
()
22
2
22
2 22
4 2
21
2
1
2
4228
,
21
21
24 21 4
12
2
21
21 421
11 1
ln ln 4
22
t
t
t
t
ttt
xdx
t
t
tt t tt
Idt dtdt
t
tttt
dt t k x x x k
-
+
-
-
--+-
\= =
-
-
æö
֍--+ - -+
÷ç ÷ç==-=- ÷ç ÷
ç -÷
ç --+-÷çèø
=- =- - + =- + + - - +
òòò
ò

39. 2ª substituição de Euler - exemplo
()
()
()
2
2
22
2222
2
22
2
11 2
21
1
1
1
2
1
1
,
1xx xt
xx
dx
xxx
xx xt xt
tt
t
xdx
t
t++ = +  + = +
-+
-
\= =
-
-
++
-
++
ò

() ()()()()
()
()
22
22222
2
22 2
2
22
22 2
21
11
21 2 1121
1
21 21 21 121
1
11 1t
t
tt tt t t tt
t
dt
tt t tt t
t
tt t
I
éùìüéùïïæö
- êúïï ÷çïïêú÷ç-+íý êú÷çêú÷ -+ - + - - -+÷ïïç êúèø-êúïïëûïïîþ
êú
êú
éùæöæ öæö êú-- -÷÷÷ --çç çêú÷÷÷çç ç +êú÷÷÷çç çêú÷÷÷÷÷÷çç ç êúèøè øèø-- -êúëûëû
==ò
()()
2
2
2
2
11
22
2
2
1
11111
2ln 2 ln
1
11dt
tt
t
dt
t
txxxxx
tk k
tx
xx xx
=
-+ -
-
+ ++- +++-
=- + + =- + +
-
--+++
ò ò

38. - 36 -
40. 3ª substituição de Euler - exemplo
()() ()() ()
()()() ()
()
() ()
()
2
2
2
2
2
2
22
2
22
2
10
2
1
22
14
2
4
2
1
34 4 1 4 1 4
41 4 1 4
14 10
,
1
1
10 1
2
1
15
141
ln l
34
n
1 41
1
t
t
dt
t
t
xx x x x x xt
xx xtx xt
tt
xdxdt
t
t
tt
Idtdt
t
tt
dx
x
txx
xx
x
kk
t
-
æö
÷+ç
÷ç +÷ç ÷ç ÷÷ç-èø
+-=+ - + -=+
+ -=+ -=+
+
\= =
-
-
-
== =
-
-
+++-
+-
=+= +
- +- -
ò
ò
òò

o Integração do binômio diferencial ()
p
mn
xabx dx+ò

41. Exemplo a
()
() ()
2
1
2
22
2
1
2
2
2
2
2 5 567
678 3 3
4
12 12 ,
,
12 2 12 2 4 4
44 8
2
67 8 7 3
xxdxxxdx
xzxz
x x dx z z dz z z z dz
zzz xxx
kx k
æö
֍
÷ç+=+ ÷ç ÷÷çèø
==
\+ = +=++
æö
֍
÷=+++=+ ++ç ÷ç ÷çèøòò
òòò

42. Exemplo b
()
() ()
()
1
12
3
2
2
1
37
1
3
2
2
2
1
,2
1
1
21
1,1
xxdx
xzdx zdz
xxdxzzdz
zt z
xxdx
t
æö
֍
÷ç=+ ÷ç ÷÷çèø
==
\+
+
+
=+
=+=ò
ò
ò
ò

()
() ()
1
77
72
2
21 2 12 4 1,etczzdz tttdtttdt\+=- =-òòò

43. Exemplo c
()
1
11 2
3
23
1 1xx xx xxd d
æö
֍
÷ç+÷ç ÷÷çèø
+=ò ò

39. - 37 -
() ()
()
() ()
32
1 1
11 3 7 112 2
24
23 2 2 22
2
22
2
1
4
2
2
4
22 6
22
,3
1
113313
112
,
1
1
121 2
3,etc
33 1
11
xzdx zdz
z
x x dx z z z dz z z dz z dz
z
zdt
tz dz
z t
t
ztt
z dz t dt dt
z t
tt
==
æö æö+÷ç ÷ç÷ ÷ç+=+ = += ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç÷ç èøèø
+-
== =
-
-
æö æ ö+÷÷çç
÷÷\=- =-çç÷÷çç÷÷çç -èø è ø
--
òò òò
òò ò

o Integração numérica
Veremos uma integral que pode ser resolvida também por substituição trigonométrica.
Os cálculos, muito trabalhosos, só são viáveis com uma calculadora ou com um software de matemática. Foi utilizado o Derive 6:
()
3
2
1
2
x
fx
x
-
=
+
\

( )
3
3 ln 15 11 20 6 6 66 50
511
32
22
1
5,177312395
2
x
dx
x --+-
=- =
+
ò

Neste caso temos
a = 2, 3b= , e faremos 10 0,1nh=\= .
Para intervalos maiores, n deverá ser maior. Quanto maior n, melhor a aproximação.
44. Aplicando o método retangular:
()()()()()()()()()()()
3
3
2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9
22
7 6 8261 641 402 19 11167 1603 194 39 33 2072 219 18683 929 873 246 23389 1041
6 64100 475 2700 4850 44 5475 92900 2050 104100
1
0,1
2
0,1
4,9299482
ffffffffff
x
dx
x
+++++++++
æ ö
֍
÷ç ÷+++++++ ++ç ÷÷çè ø
-
»´
+
»´
»
ò
13

45. Aplicando o método dos trapézios:
()()()()()()()()()
0
3
3
2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9
2
22
7 6 26 11
8261 641 402 19 11167 1603 194 39 33 2072 219 18683 929 873 246 23389 1041611
2 64100 475 2700 4850 44 5475 92900 2050 10410
1
0,1
2
0,1
n
yy
fffffffffx
dx
x æ ö+ ÷ç
÷ç +++++++++ ÷ç ÷çè ø
+
+++++++ ++-
»´
+
»´
ò
0
5,179026059
æ ö
֍
÷ç ÷ç ÷ç ÷
ç ÷
ç ÷
֍
֍
÷ç ÷ç ÷çè ø
»

Observa-se com esse método uma aproximação bem melhor, em que duas casas decimais correspondem.
46. Aplicando a fórmula de Simpson:

 
02 421 31
24
3
b
nn n
a h
fxdx y y y y y y y y

 




40. - 38 -
()()()()()()()()()()()
3
3
2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9
22
7 6 26 11 402 19 1603 194 2072 219 873 246 8261 641 11167 39 33 18683 929 23389 1041
24
6 11 475 4850 5475 2050 64100 2700 44 92900 104
11
30
2
1
30
ff f f f f f f f f
x
dx
x
+++++++++
æö
֍
÷ç ÷++´ + + + +´ ++ + +ç ÷ç ÷÷çèø
-
»´
+
»´
ò
100
5,177312462
æ ö
÷æöç
÷÷ç ç ÷÷ç ç ÷÷ç ç ÷÷ç ç ÷÷÷ç ç ÷ç èøè ø
»
Obtivemos uma aproximação ainda melhor com este método, com seis casas decimais correspondentes.
o Integrais impróprias
47. Exemplo a
()
()
2
2
2
22 111111
lim lim 0
442422
4
1
4
aa a
a
dx
xa
x
dx
x
-¥ -- ¥¥
éù
êú==-=-=
êú
--
=
-
û-- ë
ò ò

A integral converge.
48. Exemplo b
22 22
0
0
0
lim lim lim lim lim lim
22 22
ob
b
ab ababa
a
x
xx ab
xdx xdxdx
-¥ +¥ -¥ +¥
¥
- -¥ +¥¥ 
éù éù
-
êú êú+=+=+
êú êú
ëûû
=
ë
òòò

Os limites não existem, logo a integral diverge. 49. Exemplo c
()
() ()
12
22
0100
12
00 0
0
2
2
0
0
11
1
11
lim lim
11
111 1
lim lim lim 1 lim 1
11
d dx dx
xx
x
x
xx
e
ded
e
ed ed
d
ed
++
++ ++
-
+
-
 
+
+=
--
éù éù-
êú êú=+=-+-
êú êú
-
=
-
ëû ëû
-òò ò

Os limites não existem, logo a integral diverge. 50. Exemplo d
1
222
1
00
1
1 0
1ln 1
lim ln lim ln limln
24 4244
xx
xxdx xxxdx
eee e
e
eee
++ +
 
éù
--
êú=-=-+=
êú
ëû
=
ò ò

A integral converge.
51. Exemplo e
0
222
0
0
0 11
lim lim
612 612
1313
lim arc tg lim arc tg
33 33
133
arc tg 3
1
arc tg arc tg arc tg 3
333
1331
arc t
612
garctg
233 33
b
ab a
b
ab
a
dx dx
xx xx
xx
ab
x
b
dx
x
a p
+¥
- -¥ +¥
-¥ +
¥
¥
+
++ ++
éùéù
++
êúêú=+
êúêú
ëûëû
éù
++
êú=-+-
êú
ëû
éù
++-
êú=- + =-
êú
ëû
=
++ò òò
2 3
pp
éùæöæö
÷÷ççêú÷÷+=çç÷÷êúçç÷÷ççèøèøê úë û

A integral converge.

41. - 39 -
o Cálculo de uma área curva
52. Exemplo
Achar a área sob a curva
2
yx= no intervalo [-1, 2].
Solução:
Temos
()
21 3
k
x
nn
--
==
, e x será substituído por
3
1
k
n
-+
.
Logo:
()
2
11
2
2
1
2
23
11 1
33
lim lim 1
693
lim 1
1
3 lim 18 lim 27 lim
11
3 1 18 27 3
23
nn
kk
nn
kk
n
n
k
nn n
nn n
kk k
k
Afxx
nn
kk
nnn
kk
n nn

¥ ¥
==
¥
=
¥ ¥ ¥
== =
æöæö
÷÷çç
÷÷==-+ çç ÷÷çç ÷÷ççèøèø
æö æö
÷÷ç ç÷÷=-+ ç ç÷÷ç ç÷÷çç èøèø
=- +
=´- ´ ´ =
åå
å
åå å

42. - 40 -
Apêndice
o A integral definida
()
b
a
fxdxò
é o valor da integral de f no intervalo [a,b]
Se
() ()
bb
aa
a b fxdx fxdx> =-òò

 Propriedades
Sejam
[],:, fg ab duas funções integráveis em [a,b]. Então:
i) Se
() [ ],,fx x ab0³Î , então ()
b
a
fxdx 0³ò

ii)
fa é integrável em [a,b], e ( )() () ()
bbb
aaa
f x dx f x dx f x dx==òòò
aaa
iii) f+g é integrável em [a,b], e
( )() () () () () ()
bb bb
aa aa
f g xdx fx gx dx fxdx gxdx+= += +òò òò

o Cálculo de uma área curva
Dada uma curva ()yfx= , calcule-se a área sob essa curva, limitada pelas retas
1
xa= e
2
xb= e pelo eixo dos x.
Seja n o número de partições (ou divisões) do intervalo [a, b], no qual
(
)fx é contínua. A área é dada por:
()
1
lim
n
kk
n
k
Afxx 
¥
=
=å

em que
:
k
ba
x
n

-
=

k é o número índice de cada partição,
e na função
()
k
fx substitui-se x por
k
akx
+
e

()
1
2
1
2
3
1
1
1
1
lim 1
1
lim
2
1
lim
3
1
lim
n
n
k
n
n
k
n
n
k
i
n
i
n
k
n
k
n
k
n
k
in
¥
=
¥
=
¥
=
-
¥
=
=
=
=
=å
å
å
å


(v. ex. 52)
o Teorema fundamental do Cálculo
Seja f uma função contínua no intevalo fechado [a, b ]. Então F é derivável e F’(x)=f(x).

43. - 41 -
O que o teorema nos diz é que se a derivada de F é igual a f(x), então F é a integral — ou anti-derivada — de f(x), isto é, que a
integração e a derivação são operações inversas uma da outra.
Seja f(x) contínua no intervalo [a,b]. Se a função G é derivável em [a,b], e
()G’ f x= , então

() () ()
b
a
fxdx Gb Ga=-ò

Observações:

i)
,,,ab a b n"Î<"³Î 1  , então

nn
b
n
a
ba
xdx
nn
++
=-
++ò
11
11

ii)
,,ab a b"Î< , então

cos sen sen
b
a
xdx b a=-ò
(Obs.: não se trata aqui do cálculo da área)
iii)
,,,ab a b n"Î<"³Î 1  , e seja p um polinônio qualquer. Então

() ()() () () ()
()
()
()()
11
11
nn
bb
n
aa
pb pa
p’ x p x dx f x dx G b G a
nn
++
==--=-
++òò

o Teorema de Weierstrass
Seja f uma função contínua no intevalo fechado [a, b ]. Então existem dois pontos x
1 e x
2 em [a, b] tais que, para todo x em
[a,b],
(
)()()
12
fx fx fx££ .
O teorema afirma que x
1 é o valor mínimo e x
2 o valor máximo no intervalo fechado [a, b].



44. - 42 -
o Teorema do anulamento (ou de Bolzano)

o Teorema do valor intermediário


Observe que o teorema do anulamento é um caso particular do teorema do valor intermediário.
Seja f uma função contínua no intevalo fechado [a, b ], sendo que f(a) e f(b) possuem sinais contrários. Então existe pelo
menos um c em [a, b] tal que
(
)0fc=.
Seja f uma função contínua no intevalo fechado [a, b ] e  um real contido entre f(a) e f(b). Então existe pelo menos um c em
[a, b] tal que f(c) =
.

45. - 43 -
o Teorema do valor médio (TVM)



o Teorema de Rolle

Seja f uma função contínua no intevalo fechado [a, b ] e derivável no intervalo aberto ]a, b[. Então existe pelo menos um c em
[a, b] tal que
() ()
()’
fb fa
fc
ba
-
=
-.
Seja f uma função contínua no intevalo fechado [a, b ] e derivável no intervalo aberto ]a, b[ com f(a) = f(b). Então existe pelo
menos um c em ]a, b[ tal que f’(c) = 0 .

46. - 44 -
o Teorema do valor médio de Cauchy
Note que se () ( )então, )1gx x g x=¢= , e temos a versão comum do TVM, que é um caso particular do Teorema do valor
médio de Cauchy.

Seja f e g funções contínuas no intevalo fechado [a, b] e deriváveis no intervalo aberto ]a, b[ com f(a) = f(b). Então existe pelo
menos um c em ]a, b[ tal que
() ()
() ()
()
()
’
’
fb fa f c
gb ga g c
-
=
-
.

47. - 45 -
Bibliografia:
[1] Guidorizzi, Hamilton Luiz — Um curso de Cálculo (LTC Editora, 2007)
[2] Leithold, Louis — O Cálculo com Geometria Analítica (Ed. Harbra, 1986)
[3] Olivero da Silva, Mário; Cardim, Nacy — Cálculo II (Consórcio CEDERJ, 2007)
[4] Ortiz, Fausto Cervantes — Métodos operativos del Cálculo Integral (Universidad Autónoma de la Ciudad de México, 2008)
[5] Piskunov, N — Cálculo diferencial e integral (Editora Mir, Moscou, 1969)
[6] Pombo Jr., Dinamérico Pereira; C. Gusmão, Paulo Henrique — Cálculo I (Consórcio CEDERJ, 2004)
[7] Spiegel, Murray R. — Manual de fórmulas e tabelas matemáticas (Ed. MC Graw-Hill do Brasil LTDA, 1977)
Este trabalho foi digitado e formatado no MS Word 2003.
Os gráficos de funções foram criados com o Advanced Grapher, da Alentun.
As fórmulas e funções foram criadas no MathType 6.0.
A capa foi desenvolvida no MS Word 2003 e ilustrada com gráficos criados pelo Advanced Grapher.