Calculo de matriz inversa ( Gauss Jordán )

métodos para calcular ecuaciones

1. MÉTODO DE GAUSS JORDAN POR CALCULO DE MATRIZ
INVERSA.

Nombre: Juan Bernardo García Aguirre

Grupo: 1°

Sección: “C”

Materia: Matemáticas

Nombre del profesor: Edgar Gerardo Mata Ortiz

2. Matriz inversa
Matriz inversa (método de Gauss):

Recordarás que al estudiar por vez primera la matriz inversa dijimos que más
adelante volveríamos a estudiarla introduciendo una pequeña variante debido a
Carlos Federico Gauss un prodigio de inteligencia desde su más tierna infancia
que vivió entre los años 1775 al 1855 en Alemania.
Dada una matriz cuadrada A de orden n, si existe otra matriz de orden n tal que al
multiplicarla por A de la matriz identidad, diremos que ésta es la inversa de A y la
indicaremos A-1.
A·A-1=A-1·A=In
Vamos a hacer el cálculo de la matriz inversa sirviéndonos del método de Gauss.

Como ya hemos estudiado, tenemos que calcular una matriz A
-1
que multiplicada
por la matriz A obtengamos el resultado:

Haciendo uso del método de Gauss escribimos la matriz original del modo
siguiente:

Le hemos agregado los elementos del resultado que nos tiene que dar.

A la derecha de la raya roja la matriz identidad, a la izquierda la matriz propuesta.
Hemos de conseguir que a la izquierda de la vertical de color rojo aparezca la
matriz identidad y a la derecha los elementos de la matriz inversa:

3. Cuando a la matriz propuesta la hayamos transformado en matriz identidad, los
elementos que ocuparán su lugar original será el valor de la matriz inversa (x, y, u,
v).


El 2 que ocupa el lugar (1 2) debe darnos un 0 y para ello realizo las siguientes
operaciones: F1 = 2F1 – F2:


El 3 que ocupa el lugar (1 2) nos interesa vamos a convertirlo en 1, para ello
tendremos que dividir a todos los elementos de la fila entre 3:


Multiplicamos por – 1 a todos los términos de la primera fila:


El valor del elemento (2 1) debe tener el valor 0 y para ello realizo la operación:
F2 = F2 – F1:


Necesitamos que el valor del lugar (2 2) sea igual a 1 y para ello multiplico a cada
uno de los elementos de la fila por 3/4:

4. Ya hemos concluido, la matriz inversa es lo que se halla a la derecha de la matriz
identidad:


Es decir:

Estos valores corresponden a x, y, u, v.


Comprobamos:

No es complicado calcular la matriz inversa, lo malo es el tiempo que hay que
utilizar en resolver y lo fácil que es equivocarse