Calculo diferencial 1 UNIVERSIDAD UNPRG(1).pptx

Info de cálculo

1. CÁLCULO DIFERENCIAL

2. UNIDAD I: RELACIONES Y FUNCIONES DE R EN R

3. SOCIALIZACIÓN DEL SILABO

4. Relación de R en R

5. Relaciones de R en R PAR ORDENADO Definición: Es el conjunto de dos elementos que guardan un orden y que lo denotamos de la forma (a, b), donde: a, es la primera componente (representa el dominio) b, es la segunda componente (representa el rango)

6. Relaciones de R en R RELACIÓN BINARIA: Definición: Una relación binaria R es el subconjunto de los elementos del producto cartesiano x que cumplen una determinada condición: , , є x ᴧ , Ejm .  

7. Relaciones de R en R Dado el conjunto A = {a, e, i. o. u}, con la relación R = {(a, e), (e, i), (a, o), (e, u), (o, a), (u, e)}, entonces R queda determinada como R ⊂ A x A Una forma de representar el producto cartesiano es: R: A A R Gráficamente: A A a e i o u a e i o u

8. TAXONOMIA DE LAS RELACIONES BINARIAS

9. TAXONOMÍA DE LAS RELACIONES BINARIAS En el gráfico ilustrativo de la  taxonomía  de las relaciones binarias se pasa de las definiciones más generales a las más específicas siguiendo el sentido dependiente de las  flechas . La importancia en matemáticas de las relaciones binarias, se debe a que una gran parte de las asociaciones entre elementos de conjuntos, tanto numéricos como no numéricos, se hace de dos en dos elementos, tanto si son elementos de un único conjunto o de dos conjuntos distintos, en el esquema se puede ver algunas  estructuras algebraicas  o subtipos de relación binaria.

10. RELACIONES

11. Relaciones RELACIÓN: Definición: Dado los conjunto A y B (no vacíos), llamamos relación de A en B a cualquier subconjunto del producto cartesiano de A x B, que lo denotamos por R. Simbólicamente decimos: R es una relación de A en B R ⊂ A x B Al conjunto A lo llamamos conjunto de partida de la relación. Al conjunto B lo llamamos conjunto de llegada de la relación.

12. Relaciones NOTA: Dada una relación R de A en B, se puede establecer la propiedad o regla que vincula los elementos x de A con los elementos y de B, o viceversa dada una propiedad o regla que vincula los elementos x de A con los elementos y de B, se puede determinar la relación R de A en B. Ejm .

13. Relaciones Sean los conjuntos A = {1, 2, 3, 5 } y B = {2, 3. 4, 6 }. Determinar las relaciones: a) = { (x, y) є AxB / x = y} Solución Gráficamente: A B = { (2, 2), (3, 3)}   1 2 3 5 2 3 4 6

14. Relaciones b) = { (x, y) є AxB / x < y} A B = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6), (2, 3), (2, 4), (2, 6), (3, 4), (3, 6), (5, 6)}   1 2 3 5 2 3 4 6

15. Relaciones c) = { (x, y) є AxB / x > y} A B = { (3, 2), (5, 2), (5, 3), (5, 4)}   1 2 3 5 2 3 4 6

16. DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN

17. DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN DEFINICIÓN. Sea R una relación, establecida en los conjuntos de A en B, llamamos dominio de la relación R, al conjunto de los elementos del conjunto A que hacen de primeras componentes de los pares ordenados de la relación. Lo denotamos como D(R) DEFINICIÓN. Sea R una relación, establecida en los conjuntos de A en B, llamamos rango de la relación R, al conjunto de los elementos del conjunto B que hacen de segundas componentes de los pares ordenados de la relación. Lo denotamos como R(R)

18. DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN R A B D(R) = Dominio de la relación R(R) = Rango de la relación

19. DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN d) = { (x, y) є AxB / x + 1 = y} A B = { (1, 2), (2, 3), (3, 4), (5, 6)} D(R) = {1, 2, 3, 4}, R(R) = {2, 3, 4, 6}   1 2 3 5 2 3 4 6

20. DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN e) = { (x, y) є AxB / = y} A B = { (2, 4)}, D(R) = {2}, R(R) = {4}   1 2 3 5 2 3 4 6

21. DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN 2) Dado los conjuntos: A = {x є N / x es número primo menor que 15}. B = {x є N / x es número impar menor que 30} Solución A = {2, 3, 5, 7, 11, 13}, B = {1, 3, 5, 7, 9, 11,………….., 27. 29} A B   2 3 5 7 11 13 1 3 5 7 9…….. ..29

22. DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN a) = { (x, y) є AxB / 3x = y} Solución A = {2, 3, 5, 7, 11, 13}, B = {1, 3, 5, 7, 9, 11,………….., 27. 29} = { (x, y) є AxB / 3x = y} A B = { (3, 9), (5, 15), (7, 21)}, D(R) = {3, 5, 7}, R(R) = {9, 15, 21}   2 3 5 7 11 13 1 3…….. …9….. ...15... …21….. ..29

23. DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN b) = { (x, y) є AxB / x = y} A B = { (3, 3), (5, 5), (7, 7), (11, 11), (13, 13)} D(R) = {3, 5, 7, 11, 13}, R(R) = {3, 5, 7, 11, 13}   2 3 5 7 11 13 3 5 1 9 11 13…….. ..29

24. DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN c) = { (x, y) є AxB / x = } A B = { (3, 9), (5, 25)} D(R) = {3, 5}, R(R) = {9, 25}   3 5 1 9 7 11 13… ...25 27 ..29 2 3 5 7 11 13

25. DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN d) = { (x, y) є AxB / = y} A B = { (3, 27)} D(R) = {3}, R(R) = {27}   2 3 5 7 11 13 3 5 1 9 7 11 13… …27 29

26. DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN e) = { (x, y) є AxB / 3x + 1 = y} A B = {(2, 7)} D(R) = {2}, R(R) = {7}   2 3 5 7 11 13 1 3 5 7 9 11 13… …27 29

27. 3) Hallar el dominio y rango de: x + 1, x ≤ 1 R(x) = , x > 1 Solución. Hacemos D(R) en dos partes: D( ) = (- , 1], D( ) = (1, + ], luego D( ) U D( ) = (- , 1] U (1, + ) D(R) = R R(R) = R   DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN

28. GRÁFICA DE UNA RELACIÓN

29. Gráfica de una Relación Gráfica de una relación: Existen diversas clases de gráficas que nos permiten representar a las relaciones, entre las más usuales se tiene: -) Las circunferencias R A B R = {(1. u), (2, o), (3, i). (4, e), (5, a)} 1 2 3 4 5 a e i o u

30. Gráfica de una Relación Ejm. 1) Sean los conjuntos A = {a, b, c, d}, B = {p, q, r, s} y R = {(a, p), (b, p), (c, q), (c, r), (c, s), (d, r)}. Hallar . Solución A B A B D( ) = {p, q, r, s}, R( ) = {a, b, c, d},   a b c d p q r s a b c d p q r s

31. GRÁFICA DE UNA RELACIÓN EN EL PLANO CARTESIANO

32. Gráfica de una relación en el plano -) El plano cartesiano. -

33. Gráfica de una Relación en el plano 2) Sean: A = Números reales, B = Números reales y R = {(x, y) є AxB / 2x = y} Solución -

34. Gráfica de una Relación en el plano 3 ) Sean: A = Números reales, B = Números reales y R = {(x, y) є AxB / }. Hallar los valores de R, D(R), R(R) Solución y D(R) = R y R(R) = x R = {- ,…,(-16, 4),..,(-9, 3),…,(- 4, 2),...,(- , ),…, (0, 0), . . ,( , ), …,(2, 4),…, (3, 9),….., (4, 16),……, + }  

35. CLASES DE RELACIONES

36. RELACIÓN INVERSA

37. Relación Inversa Relación inversa: Sea R una relación definida de A en B, sea la relación definida de B en A, decimos que la relación es la relación inversa de la relación R si y sólo si está conformado por los elementos inversos de los elementos de R. Simbólicamente lo definimos: es inverso de R = {(y, x) є BxA / ( x,y ) є R}  

38. Relación Inversa 4) Sea la relación establecida de R en R tal que: R = {(x, y) є AxB / }. Hallar D(R), R(R), D( ) y R( ) Solución y 2 -2 2 x -2 Ordenamos la ecuación y tenemos: + = 4 D(R) = [- 2, 2] y R(R) = [- 2, 2] D( ) = [- 2, 2] y R( ) = [- 2, 2]   …..

39. Relación Inversa 5) Sea la relación establecida de R en R tal que: R = {(x, y) є AxB / }. Hallar D(R), R(R), D( ) y R( ) Solución y D(R) = [- , + ] = R R(R) = [- , + ] = R x D( ) = [- , + ] = R R( ) = [- , + ] = R  

40. Relación Inversa 5) Sea la relación establecida de R en R tal que: R = {(x, y) є AxB / y }. Hallar D(R), R(R), D( ) y R( ) Solución y D(R) = [- , + ] = R R(R) = [- , + ] = R x D( ) = [- , + ] = R R( ) = [- , + ] = R  

41. Relación Inversa 6) Si R = {(x, y) є RxR / xy = 1}. Hallar el dominio y el rango Solución. El dominio: xy = 1, entonces y = ; x = 0, luego Dom(R) = R - {0} El rango: xy = 1, entonces x = ; y = 0, luego Ran (R) = R - {0} 7) Si R = {(x, y) є / y - y + 4 = 0}. Hallar Dom(R) y Ran (R). Solución. El dominio: y - y + 4 = 0 y( - 1) + 4 = 0 y( - 1) = 4, , luego Dom(R) = R - {- 1, 1} El rango: y = y - 4 = , Ran (R) = {- , 0} U{4, + }  

42. RELACIÓN REFLEXIVA

43. Relación Reflexiva Relación Reflexiva. Sea R una relación establecida en un conjunto A (no vacío), decimos que R es una relación reflexiva en A todo elemento x de A, está relacionado consigo mismo en R. Simbólicamente: R es reflexiva en A (x, x) є R, ꓯ x є A Ejm .

44. Relación Reflexiva Sea A = {a, b, c}, R = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, b), (b, c), (c, c)}. ¿Es R una relación reflexiva? Solución Los pares de la forma (x, x) deben pertenecer a R En efecto: Los pares (a, a), (b, b), (c, c) pertenecen a R, luego R es reflexiva. 2) Si B = {0, 1, 5} con R = {(0, 0), (1, 1), (5, 5)} Solución Los pares (x, x) deben pertenecer a R En efecto: (0, 0), (1, 1), (5, 5) pertenecen a R, luego R es reflexiva

45. Relación Reflexiva 3) Sea C = {0, 1, 3, 5} y R = {(0, 0), 0, 1), (1, 1), (1, 3), (3, 3), (3, 5)}. ¿R es reflexiva? Solución En R deben estar los pares de la forma (x, x): (0, 0), (1, 1), (3, 3) están en R pero falta el par (5, 5). Entonces R no es reflexiva. 4) Sea D = {0, 1, 2, 4, 6} y R = {(0,1), (0, 0), (1, 2), (2, 4), (4, 6), (0, 6)}. ¿Es R reflexiva? Solución En R deben estar los pares de la forma (x, x): (0, 0) es el único par en R, entonces R no es reflexiva

46. RELACIÓN SIMÉTRICA

47. Relación Simétrica Relación Simétrica. Sea R una relación establecida en un conjunto A (no vacío), decimos que R es una relación simétrica en A todo elemento (x, y) en R, su respectivo inverso (y, x) también está en R. Simbólicamente. R es simétrica en A [(x, y) є R (y, x) є R] Ejm .

48. Relación Simétrica 1)Sea A = {1, 2, 3}, R = {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (2, 1), (3, 2), (2, 2), (3, 3)}. ¿Es R simétrica? Solución. Para que sea simétrica, los pares (x, y) є R, sus respectivos inversos (y, x) є R Si (1, 2) є R, su inverso (2, 1) є R y (2, 3) є R, su inverso (3, 2) є R, luego R es simétrica. 2) Si A = {1, 3, 5, 7 }, R = {(1, 5), (5, 1)} Solución. Para que sea simétrica, los pares (x, y) є R, sus respectivos inversos (y, x) є R Como (1, 5) y su inverso pertenece a R, entonces R es simétrico

49. Relación Simétrica 3)Si A = {0, 1, 2, 3, 4} y R = {(x, y) є AxA / x + y = 4}. ¿ Es R simétrico? Solución. 0 + 4 = 4 A A 1 + 3 = 4 4 + 0 = 4 3 + 1 = 4 2 + 2 = 4 R = {(0, 4), (1,3), (2, 2), (3, 1), (4, 0)} Como: (0, 4) y su inverso (4, 0) están en R (1,3) y su inverso (3, 1) están en R entonces R es simétrico 1 2 3 4 1 2 3 4

50. RELACIÓN ANTISIMÉTRICA

51. Relación Antisimétrica Relación Antisimétrica. Sea R una relación establecida en un conjunto A (no vacía). Decimos que R es una relación antisimétrica en A para todo (x, y) de R, x = y, entonces su inverso (y, x) no está presente en R. Simbólicamente. R es antisimétrica en A [(x, y) є R (y, x) є R] Ejm .

52. Relación Antisimétrica 1)Sea A = {1, 2, 3} con R = {(1, 2), (1, 1), (3, 3)} Solución. El par (1, 2) є R y su inverso (2, 1) є R, entonces R es antisimétrica 2) Si A = {0, 1, 2, 3, 4} y R = {(0, 0), (1, 2), (1, 3) (3, 4)} Solución. Los pares (1, 2), (1, 3) (3, 4) de R no tienen sus inversos en R, entonces R es antisimétrica 3) A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, R = {(0, 5)} Solución. (0, 5) es el único elemento de R por lo que R es antisimétrica

53. RELACIÓN TRANSITIVA

54. Relación Transitiva Relación Transitiva. Sea R una relación establecida en un conjunto A (no vacío), decimos que R es una relación transitiva en A el par (x, y) está en R y el par (y, z) está en R, entonces el par (x, z) también está en R. Simbólicamente. R es transitiva en A [(x, y) є R ᴧ (y, z) є R] (x, z) є R Ejm .

55. Relación Transitiva Sea A = {1, 2, 3} y R ={(1, 2), (1, 3), (2, 3)}, ¿Es R transitiva? Solución. R es transitiva en A [(x, y) є R ᴧ (y, z) є R] (x, z) є R Si (1, 2) є R ᴧ (2, 3) є R (1, 3)} є R, entonces R es transitiva Como se puede observar todos los elementos de R participan 2) Si A = {0, 1, 2, 3} y R = {(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1), (1, 2), (2, 3), (0, 3), (3, 0), (1, 3)}. ¿Es R transitiva? R Solución. A A (1, 0) є R ᴧ (0, 1) є R (1, 1) є R (1, 2) є R ᴧ (2, 3) є R (1, 3) є R (0, 3) є R ᴧ (3, 0) є R (0, 0) є R Por tanto R es transitiva 1 2 3 1 2 3

56. RELACIÓN DE EQUIVALENCIA Y CLASE DE EQUIVALENCIA

57. Relación de Equivalencia y Clase de Equivalencia Relación de Equivalencia. Sea una relación establecida en un conjunto A (no vacía), decimos que R es una relación de equivalencia R es reflexiva, simétrica y transitiva. Clase de Equivalencia. Sea R una relación de equivalencia, definida en un conjunto A (no vacía) y sea “a” elemento cualquiera de A. Se llama clase de equivalencia de “a”, o simplemente clase de “a”, al conjunto C(a) formado por todos los elementos de A que están relacionados, según R con el elemento “a”. Simbólicamente: c(a) = {x є A / (a, x) є R}

58. Relación de Equivalencia y Clase de Equivalencia Ejm . Sea A = {1, 2, 3}, R = {(1, 2), (1, 1), (2, 2), (2, 1), (3, 3)}. ¿Es R de equivalencia? Determine las clases de equivalencia de C(1), C(2), C(3). Solución. Es reflexiva, dado que los pares: (1, 1), (2, 2) y (3, 3) están en R Es simétrica, dado que los pares: (1, 2), (2, 1) están en R Es transitiva, dado que: Si (1, 2) є R ᴧ (2, 1) є R (1, 1) є R, (2, 2) є R ᴧ (2, 2) є R (2, 2) є R, (3, 3) є R ᴧ (3, 3) є R (3, 3) є R Al ser R es reflexiva, simétrica y transitiva, R es de equivalencia. Las clases de equivalencia serían: C(1) = {1, 2}, C(2) = {1, 2}, C(3) = {3}

59. Relación de Equivalencia y Clase de Equivalencia 2) Sea M = {a, b, c}, R = {(a, b), (a, a), (b, b), (b, a), (c, c)}. Hallar las clases se equivalencia de a, b, c. Solución. Es reflexiva, dado que: (a, a), (b, b), (c, c) están en R Es simétrica, dado que: (a, b) tiene su inversa (b, a) en R Es transitiva, dado que: Si (a, b) є R ᴧ (b, a) є R (a, a) є R y (a, a), (b, b), (c, c) están en R, no siendo necesario trabajarlos entre si mismos. Al ser R reflexiva, simétrica y transitiva, R es de equivalencia Las clases de equivalencia son: C(a) = {a, b}, C(b) = {a, b} y C(c) = {c}

60. RELACIÓN DE ORDEN

61. Relación de Orden Relación de Orden. Sea R una relación establecida en un conjunto A (no vacío), decimos que R es una relación de orden en A R es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Ejm .

62. Relación de Orden Sea A = {2, 3, 5}, R = {(2, 3), (2, 2), (3, 3), (5, 5)}. ¿Es R de orden? Solución. Es reflexiva, dado que, los pares de la forma (x, x) de A están en R. Es decir: (2, 2), (3, 3), (5, 5) están en R. Es antisimétrica, dado que, el par (2, 3) no tiene su inversa en R Es transitiva, dado que: (2, 3) є R ᴧ (3, 3) є R (2, 3) є R. Por tanto R es de orden.

63. Relación de Orden 2) Sea A = {1, 2, 3, 6} con R = {(x, y) є AxA / x divide a y}. ¿Es R de orden? Solución. R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 6), (2, 2), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (6, 6)} Es reflexiva, dado que, (1, 1), (2, 2), (3, 3), (6, 6) están en R Es antisimétrica, dado que, los pares (1, 2), (1, 3), (1, 6), (2, 3), (2, 6) y (3, 6) no tienen su inverso en R Es transitiva, dado que: (1, 2) є R ᴧ (2, 2) є R (1, 2) є R (3, 6) є R ᴧ (6, 6) є R (3, 6) є R (1, 3) є R ᴧ (3, 3) є R (1, 3) є R (1, 6) є R ᴧ (6, 6) є R (1, 6) є R (2, 3) є R ᴧ (3, 3) є R (2, 3) є R (2, 6) є R ᴧ (6, 6) є R (2, 6) є R Si R es reflexiva, antisimétrica y transitiva, por lo tanto R es de orden

64. FUNCIONES

65. Funciones Función. Dados los conjuntos A, B (no vacíos), se llama función de A en B a toda relación R (no vacía) que asocia cada elemento “x” de A con un único elemento “y” en B. Equivalentemente. Una relación R, no vacía es función de A en B, si y sólo sí: El dominio de f es todo el conjunto A y Cada par de diferentes elementos de R tienen distintas primeras componentes.

66. NOTACIÓN FUNCIONAL

67. Notación funcional Las funciones son denotas con letras minúsculas comenzando de f, g, h,… pero, también se usa letras mayúscula F, G, H, .. Para establecer una función de un conjunto A cualquiera (no vacío) hacia otro conjunto B cualquiera (no vacío) se usa el simbolismo, f: A B x f(x) = y que representa el diagrama: A f B x f(x)= y

68. Notación funcional 3) Siendo (x, y) de f, “y” se llama imagen del elemento “x”, a su vez, “x” se llama pre imagen del elemento “y”. 4) La expresión f(x) o “función de x”, nos servirá para denotar la imagen del elemento “x”. Ejm . f A B f cumple las condiciones de una función 1 3 5 2 4 6

69. Notación funcional f A B f no cumple con las condiciones de una función, un elemento de partida no puede tener más de un elemento de llegada, por lo que queda como una simple relación. 1 2 3 4 1 2 3 4 5

70. Relación de Orden 3) ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son funciones? a) A = {(1, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (3, 5), (1, 8)} b) B = {( ), ( ), ( ), ( ), ( )} c) C = {(0, 1), (1, 2), (2, 0), (3, 2), (4, 3)} d) D = {( , 0), ( , 1), ( , 2), (0, ), (1, )} e) E = {(0.2, 1.5), (1.3, 3.7), (0.3, 1.5), (2.3, 3.2), (0.4, 2.5), (0.5, 5)} f) F = {( ), ( , ), ( , ), (0, 0), (1, 1), (1, 0)}  

71. MUCHAS GRACIAS