CALCULO DIFERENCIAL APLICADO ECUACIONES 1

ECUACIONES

1. I.- DERIVADA I.I.- DEFINICIÓN DE DERIVADA. La derivada de una función f es otra función f´ (léase “f prima”). Formula:

2. EJEMPLOS DE DERIVADAS Ejemplo 1: Obtener la derivada de f (x) = 3x + 2 Primer paso: copiar 3x + 2; y en lugar de X hacer un paréntesis y volver a colocar la operación; f (x + h) = = 3 (x + h) + 2 f (x + h) = 3 (x + h) + 2 Ejemplo 2: Obtener la derivada de f (x) = 2x ₂ -3x+5 Primer paso: copiar 2x ₂ -3x+5 ; y en lugar de X hacer un paréntesis y volver a colocar la operación; f (x + h)= = 2 (x + h) 2 – 3 (x + h) + 5 f (x + h)= 2 (x + h) 2 – 3 (x + h) + 5

3. FACTORIZAR LA h Ejemplo 3: Obtener 3xh + h 2 Primer paso: lo que resulte de dividir 3xh + h 2 entre h 3xh h 2 h h SE OBTIENE EL SIGUIENTE RESULTADO = h ( 3X + h) https://www.youtube.com/watch?v=pMYdSjgzrys NOTA: LAS h´s SE ELIMINAN POR QUE SE DIVIDEN ENTRE SÍ 3xh h 2 h h

4. RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES DE ACUERDO A LO ANTERIOR. f (x) = x 2 f (x) = x + 3 f(x)= x 3 + 5 f (x + h) = f (x + h ) = f (x + h) = Factorizar h Factorizar h Factorizar h 5x 2 h + 3xh + 2h 2 xh + h 3xh + 6h 2 + 8h 3

5. I.I.I.- INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA . Tenemos la formula: f (x) = x 2 Si x = 2 , cuanto valdrá “ y” en la grafica. De acuerdo a la formula se hace lo siguiente: y = (2) 2 y = 4 Significa exponencial (equis cuadrada)

6. I.I.I.- INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA . Si x = 2 , cuanto valdrá “ y” en la grafica. De acuerdo a la formula se hace lo siguiente: y = (2) 2 y = 4 en la gráfica:

7. I.I.I.- INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA . Si x = 3 , cuanto valdrá “ y” en la grafica. De acuerdo a la formula se hace lo siguiente: y = (3) 2 y = 9 en la gráfica: 3 9

8. RESOLVER LAS SIGUIENTES Y GRAFICAR DE ACUERDO A LO ANTERIOR. x y -5   -4   -3   -2   -1     1   2   3   4   5  

9. I.I.2.- INTERPRETACIÓN FÍSICA. La velocidad: se define como la razón entre la distancia total recorrida por el cuerpo y el tiempo total que tarda en recorrer dicha distancia; se mide en m/s o kms./hr. FORMULA: v = d / t La aceleración: es el cambio velocidad aplicada al cuerpo. v = d 2 – d 1 t 2 – t 1

10. I.I.2.- INTERPRETACIÓN FÍSICA. La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es e(t)= 2t 2 . ¿calcula la velocidad media entre t1 y t3 y la velocidad instantánea en t1? FUNCIÓN: e(t)= 2t 2 SUSTITUCIÓN: VELOCIDAD INSTANTANEA: Velocidad media v = d f – d i = 18 - 2 = 16 = 8 e´(t )= 2t 2 DATOS: t f – t i 3 - 1 2 DERIVAR: t 2 = 3s 2t 2 = 4t t 1 = 1s v(t) = 4t e 2 = e(t)= 2t 2 = 2(3) 2 = 18 m/s velocidad en t 1 e 1 = e(t)= 2t 2 = 2(1) 2 = 2 m/s v(t) = 4 (1) = 4 m/s

11. I.I.2.- INTERPRETACIÓN FÍSICA. Gráfica de velocidad constante. En la gráfica la velocidad “v” permanece constante, el área de la región sombreada representa la distancia “d” recorrida por le móvil en un tiempo “t”.

12. I.I.2.- INTERPRETACIÓN FÍSICA. Gráfica de distancia contra tiempo: La gráfica muestra la distancia “d” recorrida por un cuerpo en un tiempo “t”, la pendiente de la recta representa la velocidad con que se mueve dicho cuerpo-

13. I.I.2.- INTERPRETACIÓN FÍSICA. Gráfica de distancia contra tiempo: La gráfica muestra la distancia “d” recorrida por un cuerpo en un tiempo “t”, la pendiente de la recta representa la velocidad con que se mueve dicho cuerpo.

14. I.I.2.- INTERPRETACIÓN FÍSICA. Completar la siguiente tabla y graficar

15. 2.- LÍMITES Y CONTINUIDAD 2.I.- DE FINICIÓN DE LÍMITES El cálculo es el estudio de los límites . Decir el , significa que cuando x está cerca pero diferente de c , entonces f(x) está cerca de L. https:// www.youtube.com/watch?v=svAINAEpL8U https://www.youtube.com/watch?v=LDkdAr6m0gg https://www.youtube.com/watch?v=onyOpZBC8Rk https://www.youtube.com/watch?v=8a7hjaPOCaU

16. 2.2.- TEOREMAS DE LÍMITES Y LÍMITES LATERALES. Límite de una función constante Sea f(x)=k , donde k es una constante. A continuación se muestra el límite de f(x) cuando x tiende a a , para a=4. Habrás notado que independientemente del valor del número a y de la constante k , el límite es siempre k . Por lo tanto proponemos el siguiente teorema:

17. 2.2.- TEOREMAS DE LÍMITES Y LÍMITES LATERALES.

18. 2.2.- TEOREMAS DE LÍMITES Y LÍMITES LATERALES. Límite de f(x)=x cuando x tiende a a Sea f(x)=x . A continuación se muestra el límite de f(x) cuando x tiende a a , para a=4 . La tabla anterior sugiere el siguiente teorema:  

19. 2.3.- LÍMITES DE FUNCIONES TRASCENDENTALES. no puede ser representada por una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios, en comparación una función algebraica sí satisface tal tipo de ecuación. Es decir una función de una variable es trascendente si es independiente en un sentido algebraico de dicha variable .

20. 2.4.- FUNCIONES CONTINUAS. Intuitivamente una función f es continua si su gráfica no tiene interrupciones ni saltos, ni oscilaciones indefinidas, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.

21. Ejemplo. Que el limite de la función f(x) cuando nos acercamos por la izquierda de ese punto es igual al límite de esa misma f(x ). Cuando nos acercamos por la derecha de ese punto. Cuando estos dos límites son iguales al punto para ese valor de “ x ”

22. Ejemplo. Será continua si al calcular el límite de la función por la izquierda; es un número más pequeño que el 7 (6.9, 6.99, 6.999); nos da que el límite también es 6. ( 6.9, 6.99, 6.999 )

23. Ejemplo. Y si calculamos el límite por la derecha de 7 (7.01, 7.001, 7.0001), también nos debe de dar 6 ( 7.01, 7.001, 7.0001 )

24. Ejemplo. Cuando los tres resultados coinciden en la función, decimos que es continua en el punto de x = 7 Ejercicio Tenemos la siguiente función: https://www.youtube.com/watch?v=svAINAEpL8U

25. Ejemplo. Cuando los tres resultados coinciden en la función, decimos que es continua en el punto de x = 7 Ejercicio Tenemos la siguiente función: