Calculo diferencial, Límites y Continuidad.

Límites y Continuidad.
Calculo Diferencial.

1. Límites y Continuidad.

2. Teorema Si “c” es un numero real en el dominio de una función trigonométrica indicada, se cumple las siguientes propiedades.

3. Propiedad de seno Ejemplos: Observe que en este caso el argumento es, por lo que en el denominador se necesita también la expresión de ahí que se lleve a cabo el siguiente procedimiento.

4. Demostración

5. Considérese que, un entorno reducido de 0,  Si dividimos todos los miembros por nos queda: Pero: Obtención del límite de sen x, cos x y (sen x)/x cuando x tiende a cero.

6. Invirtiendo cada miembro nos queda esta expresión que es totalmente indeterminada Si hallamos el de cada miembro, nos queda Y como: por Teorema del Emparedado nos queda que:

7. Definición de continuidad En  matemáticas , una  función   continua  es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es  discontinua . 

8. Ejemplo

9. Definición de límite por la derecha Se dice que  si y solo si para cada  existe  tal que si  entonces  es el límite por la derecha de  en " a ". Observe que no hay barras de valor absoluto alrededor de , pues  es mayor que cero ya que .

10. Definición de límite por la izquierda Se dice que  si y solo si para cada  existe  tal que si  entonces  es el límite por la izquierda de  en " a ". Note que la expresión  es mayor que cero, pues  por lo que . 

11. Determinar los límites, en los puntos de discontinuidad, de la función  definida por:  Primero hagamos la gráfica de la función : El punto de discontinuidad se presenta cuando   Luego:  y   Observe que el límite por la derecha (3), es diferente al límite por la izquierda (2). 

12. T eoremas sobre continuidad Teorema del valor intermedio Si y = f(x) es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] donde f(a) ¹ f(b) y k es un número real cualquiera comprendido entre f(a) y f(b), existe al menos un número real c perteneciente al intervalo (a, b) tal que f(c) = k.

13. Teorema de Bolzano Si y = f(x) es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y f(a) y f(b) tienen signos opuestos, entonces existe al menos un número real c perteneciente al intervalo (a, b) tal que f(c) = 0; es decir, c es una raíz de f(x). Las siguientes gráficas permiten ilustrar el teorema:

14. Asíntotas paralelas a los ejes coordenados En  matemática , se le llama  asíntota  a una línea recta que se aproxima continuamente a otra función o  curva ; es decir que la distancia entre las dos tiende a ser cero (0), a medida que se extienden indefinidamente . También se puede decir que es la curva la que se aproxima continuamente a la recta; o que ambas presentan un  comportamiento asintótico .