calculo en fenómenos naturales y procesos sociales

modulo 15 calculo prepa abierta plan 22 modulos

2. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 79

4) ¿Cuál es el resultado de la siguiente integral?



A)
B)
C)
D)

5) Encuentra el valor de esta integral indefinida


A)
B)
C)
D)

6) Si se tiene que , ¿cuál es su integral indefinida?


A)
B)
C)
D)

=+dx7)(3x3x
2 c7)(3x
232
++ c
3
7)(3x
2
23
2
+
+ c
2
7)(3x
3
23
2
+
+ c
3
7)(3x
23
2
+
+ =−++
)dx23x(5x1)(5x
32 c2)3x2(5x
3/23
+−+ c2)3x(5x
3/23
+−+ c2)3x(5x
9
2
3/23
+−+ c2)3x(5x
9
2
1/23
+−+ 
=
+
dy
52y
3y
2 c5)(2y
2
3
1/22
++ c5)(2y
3
2
1/22
++ c5)(2y
2
3
3/22
++ c5)(2y
1/22
++

3. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 80

7) Observa cada una de las gráficas de las funciones dadas y menciona para cuál(es) de las
funciones dadas se cumple que el límite cuando x tiende a cero existe.

f(x) = 1/x
(1

g(x) = (x
2
- 4)/(x - 2)
(2

h(x) = |x|
(3


A) Sólo para 1
B) 2 y 3
C) 1 y 3
D) Sólo para 2

4. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 81

8) ¿Cuál es el resultado de resolver el siguiente límite?



A) No está definida
B) 0
C) 2
D) No existe

9) Calcula e identifica la opción que NO corresponde con el valor de la integral



A)
B)
C)
D)

10) ¿Cuál es el resultado de la integral indefinida ?


A)
B)
C)
D)
f(x)lim
2x
+→ 
=+dy4y)(y
22 ( )c80
4
30y
5
3y
15
1
+++ cy
3
32
4yy
5
2
345
+++ cy
3
16
2yy
5
1
345
+++ c
3
y
3
14
y
4
15
y +++ 
+)dxx(x
3 cxx
234
++ cx
2
1
3x
2/1
2
++
− cx
2
3
x
4
1
3/23
++ cx
3
2
x
4
1
3/24
++

5. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 82

11) ¿Cuál es el resultado de calcular la integral indefinida ?


A)
B) 2x − 2 + x + c
C)
D) x
3
− x
2
− x + c

12) Determina la antiderivada general de la función:

A)
B)
C)
D)

13) ¿Cuál es la antiderivada general f(x) + c de ?

A)
B)
C)
D)

=
+−
dx
x
12xx
2
34 cxxx
3
1
23
+−− c
x
1
xx
3
1
23
+−− 45
x
3
x
4
f(x)−= c12x20xf(x)
34
++−=
−− c4x5xf(x)
34
++−=
−− 34
xxf(x)
−−
−= cxxf(x)
34
++−=
−− 73
x
6
x
1
f(x)+= c42x3x
84
+−−
−− cxx
2
1
63
+−−
−− cxx
2
1
62
+−−
−− cxx
2
1
72
+−−
−−

6. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 83

14) ¿Cuál es la antiderivada de la función siguiente?


A)
B)
C)
D)

15) Al obtener la integral o antiderivada se obtiene:


A)
B)
C)
D)

16) ¿Cuál es el valor de la integral ?


A)
B)
C)
D)
2
23
x
13x2x
f(x)
+−
= c
2
x
x
2
3
2
x
2
+−− cx3xx
12
+−−
− cxx
2
3
x
22
+−−
− c
x
1
3xx
2
1
2
+−− 
=−3)dy(yy
22 c6yy
5
1
f(y)
5
+−= c2yy
5
1
f(y)
25
+−= cyy
5
1
f(y)
35
+−= c6y4yf(y)
3
+−= 
=
+−
dx
x
13xx
23 c2xx
5
6
x
7
2
1/25/27/2
++− c2xx
5
2
x
7
2
1/25/27/2
++− cxx
5
6
x
7
2
1/25/27/2
++− cx
2
1
x
2
5
x
2
7
1/25/27/2
++−

7. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 84

17) Resuelve la integral y seleciona la opción que contiene su resultado.

A)
B) 4x
3
+ 4x + c
C)
D)

18) Calcula la siguiente integral:


A)
B) 6x
5
− 2x + c
C) x
7
− x
3
+ c
D) 7x
7
− 3x
3
+ c

19) Resuelve la integral definida con las condiciones dadas.

A)
B)
C)
D)

20) ¿Cuál es el resultado de utilizando el teorema fundamental del cálculo?


A)
B)
C)
D)

=+dx1)(x
22 cxxx
5
1
35
+++ cxx
3
2
x
5
1
35
+++ cxx
3
2
x
35
+++ 
−dx1)x(x
24 cx
3
1
x
7
1
37
+− =+−
−
2
1
2
3)dx2x(3x 53x]x[x
2
1
23
=+−
− 6
573x]
2
x
3
x
[
2
23
1=+−
− 153x]x[x
2
1
23
=+−
− 182][6x
2
1=−
− 
=+
2
1
3
7)dx(4x 227x][x
2
1
4
=+ 4
43
7x]x
4
1
[
2
1
4
=+ 36][12x
2
1
2
= 387x][x
2
1
4
=+

8. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 85

21) ¿Cuál es el valor de la integral ?

A)
B)
C) 8x
3
− 6x = 2
D)

22) Dadas las siguientes relaciones, identifica cuales representan a una función:

R1 = [(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)]
R2 = [(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16), (5, 25)
R3 = [(1, - 1), (1, 1) (4, - 2), (4, 2), (9, - 3), (9, 3)]
R4 = [(1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3)]
R5 = [(1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7)]

A) R3, R4 y R5
B) R2 y R5
C) R1 y R3
D) R1, R2 y R4

23) Encuentra el valor de F(2), en la función F(x) = 2x
2
+ 4x + 2.


A) 14
B) -2
C) 18
D) 2

24) El costo mensual C, en pesos, para llamadas locales en cierta compañía de teléfonos
celulares está dado por la función
C(x) = 0.25x + 10, donde x es el número de minutos usados.

Si dispones de $47, ¿cuántas horas puedes usar el celular?


A) 2.47
B) 3.80
C) 3.08
D) 4.93

=+−
1
0
24
5)dx3x(2x 3
20
5xx
3
1
2x
35
=+− 5
22
5xxx
5
2
35
=+− 5
32
5xxx
5
2
35
=+−

9. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 86

25) El volumen V de un cono circular recto de radio R y altura H está dado por la fórmula V =
2R
2
H.
Se pide expresar la altura H como una función de V y R y evaluar H, para R = 1 cm y V = 3 cm
3
.

A) H = V/(2R
2
) , H = 1.5 cm
B) H = V+2R
2
, H = 5.0 cm
C) H = V-2R
2
, H = 1.0 cm
D) H = 2VR
2
, H = 6.0 cm

26) ¿Cuál es el límite de la función f(x) = 4, cuando el límite de x→0?

A) 4
B) 2x
C) 1
D) 2

27) Con ayuda de la gráfica encuentra .




A) 1
B) 2
C) 3
D) 0
f(x)lim
-1 x→

10. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 87

28) De acuerdo con los datos mostrados en la gráfica, encuentra la función f(x).



A)
B)
C)
D)

29) ¿Cuál es el resultado del siguiente límite?

lim (5 + x
2
)
x → 9


A) 
B) 81
C) 86
D) - 76






=
=
=
11 si 3-
1 xsi 1-
1 xsi 2
f(x) 





=

=
1 xsi 3-
1 xsi 1-
1 xsi 2
f(x) 





=

=
x1 si 3-
1 xsi 1-
1 xsi 2
f(x) 




=
11 si 3-
1 xsi 2
f(x)

11. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 88

30) ¿Cuánto vale el límite que se te presenta? indica las operaciones.

lim(x
3
- 3x
2
+ 2x - 3)
x → 0


A) No existe porque la función no es factorizable.
B) Derivando: (0)
2
- 3(0)
1
+ 2 = 2
C) (0)
3
- 3(0)
2
+ 2(0) - 3 = - 3
D) (0)
3
- 3(0)
2
+ 2(0) - 3 = 3

31) Encuentra el siguiente límite:




A) -2
B) 2
C) No existe
D) 0

32) Realiza los cálculos necesarios y determina el límite de:




A) 1
B) 3
C) 5
D) -3

33) Calcula el siguiente límite:




A) - 4
B) No existe porque la función no es factorizable
C) 4
D) 0
33
8xxlim
0x
−−
→ 1x
1x
lim
2
2x −
−
→ )2(
2
lim x
x
+
−→

12. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 89

34) ¿Cuál es el resultado al resolver este límite?



A) 
B) -4
C) 0
D) 4

35) Encuentra el resultado de

A) 5
B) 3
C) 2
D) 4

36) Determina el siguiente límite y justifica la respuesta:



A)
B)  No existe
C)
D)

37) Selecciona la opción que completa el siguiente enunciado:
"Puede f ser una función definida en un intervalo cerrado [a,b], por lo tanto la función f será
continua en [a, b], si también lo es en (a, b) y además si se cumplen las condiciones,
________________ y ________________."


A) 
B) 
C) 
D) 
()4lim
0x→ )2x(3lim
2x
−+
→ 33
8xxlim
0x
−−
→ 0==−=−−
→
33333
0008xxlim
0x 333
88xxlim
0x
−=−−
→ 2=−=−−=−−
→
33333
88008xxlim
0x 2−=−=−−=−−
→
33333
88008xxlim
0x ()()afxflim
ax
=
+
→ ()()bfxf
bx
=
−
→
lim ()Lxflim
0x
=
→ ()()bfxflim
ax
=
−
→ ()()afxflim
ax
=
+
→ ()Lxflim
0x
=
→ ()()afxflim
ax
=
+
→ ()()bfxf
bx
=
−
→
lim

13. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 90

38) ¿Qué tipo de discontinuidad tiene la función f(x) = 1/x?

A) De segunda especie
B) Evitable
C) De salto finito
D) No evitable

39) La f(x) = x
2
+ 2x + 1 es una función polinomial. Encuentra su límite cuando x tiene a 2 y
determina si es continua en este punto.

A) 9, no es continua.
B) 7, sí es continua.
C) 9, sí es continua.
D) 7, no es continua.

40) Si se tienen las funciones continuas f(x) = x + 4 y g(x) = x + 1, encuentra el siguiente límite:



A) 2
B) -2
C) -0.66
D) -6

41) A continuación se te presentan las funciones continuas
f(x) = 2x + 3 y g(x) = x + 1.
Tómalas en cuenta y encuentra el límite de .

A) 7, el límite existe
B) 3, el límite existe
C) 1, no existe límite
D) 5, no existe límite

42) ¿Cuál de las siguientes funciones es continua en x = 3?


A)
B)
C)
D) g(x) = x - 3
()
()xg
xf
lim
2x→ ()() xgxf lim
1x
+
→ 3x
3)(x
h(x)
2
−
−
= 3x
1
k(x)
−
= 9x
3x
f(x)
2
−
+
=

14. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 91

43) Determina cuales son los puntos de discontinuidad de la función .

A) 4, 2
B) -2,-4
C) 1, 4
D) 2, -2

44) La recta que pasa por un punto P y tiene una pendiente m(x1) y está dada por __________.


A)
B)
C)
D)

45) ¿Cuál es el punto P[2, f(2)] según la función f(x) = x
2
+ 2x + 3?

A) P(2, 9)
B) P(2,11)
C) P(2, 5)
D) P(2, 3)

46) ¿Cuál es el punto P según la función f(x) = 2x
2
+ 3x?

A) P
B) P
C) P
D) P
4x
1
f(x)
2
−
= ()
x
1x1
Δ
)f(x)Δf(x
lim
0Δx
++
→
xm ()
x
1x1
Δ
)f(x)Δf(x
lim
0Δx
−+
=
→
xm ()
1
1x1
x
)f(x)Δf(x
xlimm
0Δx
−+
=
→ ()
)f(x
)f(x)Δf(x
xm
1
1x1
lim
0Δx
−+
=
→

15. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 92

47) Identifica la ecuación de la recta tangente a la gráfica que se muestra a continuación:



A) y - 3 = 0
B) y = x
C) -y = 3
D) y - 4 = 0

48) Si se tiene que y= v(t) es una función de velocidad de un automóvil al tiempo t, ¿cuál es la
razón media de variación de v(t) con respecto a t, en el intervalo
[t, t + h]?


A)
B)
C)
D)

49) Encuentra la pendiente de la recta que es tangente a la función f(x) = x
2
+ 1 que pasa por el
punto (-1, 2).


A) 1
B) 2
C) -1
D) -2

16. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 93

50) El valor de la pendiente de la recta tangente en el punto (2,1) según la función f(x) = 2x – 5
es:

A) -2
B) 0
C) 2
D) -5

51) Si se deja caer un objeto desde un globo a 300 ft de altura sobre el suelo, entonces su altura
a los t segundos es 300-16t
2
. Encuentra la velocidad en ft/s en t = 3 segundos.


A) -96
B) -48
C) -144
D) 48

52) El volumen de un cubo de lado s es V = s
3
. Localiza el ritmo de cambio del volumen con
respecto a s cuando s = 4 centímetros.

A) 48
B) 64
C) 16
D) 12

53) Observa la siguiente función y = 3x
2
– 5x + 4 y determina la razón de cambio de y con respecto
a x.

A) - 6x + 5
B) 6x + 3h - 5, h  0
C) 6x - 5
D) No existe dicha tasa

54) Como parte de tus ejercicios de práctica se te pide que dejes caer una bola desde lo alto de
un edificio con una velocidad inicial de 384 pies/s y tienes que calcular su velocidad en m/s tras
5 segundos.
¿Cuál es la velocidad que posee la bola en ese momento?


A) 68
B) 166
C) 277
D) 335

17. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 94

55) ¿Cuál es la fórmula que determina la derivada de una función?

A)
B)
C)
D)

56) ¿A qué es igual la derivada de una función f(x) evaluada en el punto a, de una recta que es
tangente a la función f(x) en el punto (a, b)?

A) El mismo punto (a, b)
B) La variable independiente
C) Pendiente de la recta
D) La función f(x)

57) Identifica la derivada de f(x) = k
2
, donde k es una constante.

A) 1
B) 2k
C) 0
D) k
3
/3

58) ¿Cuál es la fórmula correcta para calcular la derivada de
f(x) = x
3/5
?


A)
B)
C)
D)

59) ¿Cuál es la derivada de f(x) = -x
3
?

A) -3x
2

B) -2x
2

C) -3x
3

D) 3x
2

Δx
f(x)Δx)f(x
(x)f
lim
0Δx
−+
=
→ f(x)Δx)f(x(x)f
lim
0Δx
−+=
→ Δx
f(x)Δx)f(x
(x)f
lim
0Δx
++
=
→ Δx
f(x)Δx)f(x
(x)f
lim
0Δx
−−
=
→ nx
dx
dx
1−=n
n nx
dx
dx
1+=n
n nx
dx
dx
n
n
= x
dx
dx
n
n
=

18. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 95

60) ¿Cuál de los siguientes enunciados define a la derivada de una función f?
Es la pendiente de la ____________ a la gráfica de la función.

A) perpendicular a la secante
B) recta tangente
C) recta perpendicular
D) recta secante

61) La pendiente de una línea tangente que toca a una curva en un punto cualquiera es igual a
la __________.

A) función
B) derivada
C) integral
D) recta

62) El incremento de una variable resulta de la __________ entre el valor final y el inicial de la
misma variable.

A) suma
B) multiplicación
C) diferencia
D) división

63) La derivada en cualquier punto de la curva es la __________ de la tangente de la curva en
ese punto.

A) pendiente
B) diferencia
C) resultante
D) línea

64) Deriva la función f(x) = 2x
5
– 7x
6
+ 5x
4
– 9x + 1 y selecciona la opción que contiene el resultado
f'(x) =


A) 10x
4
– 42x
5
+ 20x
3
– 9
B) 10x
4
– 42x
5
+ 20x
3
– 8
C) 10x
4
+ 42x
5
+ 20x
3
– 9
D) 30x
4
- 42x
5
- 9

65) Calcula la derivada de f(x) = x (x
2
- 3

)


A) 3x
2
- 3x - 3
B) 3x
2

C) 3x
2
- 3
D) 4x - 3

19. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 96

66) Determina la derivada de la función

f(x) = 3
(2x²-5x+1)

A) f'() = 3
(2x²-5x+1)
ln(3) (4x+5)
B) f'(x) = 4x - 5(ln3) 3
(2x²-5x+1)

C) f'() = 3
(2x²-5x+1)
ln(3)(4x-5)
D) f'(x) = 3
(2x²-5x+1)
(4x-5)

67) ¿Cuál es la derivada de f(x) = cos (2x
3
- 3x)?


A) (6x
2
- 3) cos (2x
3
- 3x)
B) - cos (2x
3
- 3x) 6x
2
- 3
C) - (6x
2
- 3) sen (2x
3
- 3x)
D) - 6x
2
- 3 sen (2x
3
- 3x)

68) Deriva y selecciona la opción que representa su resultado.

A)
B) f'(x) = −2x
3/2

C) f'(x) = −2x
−
3/2
D)

69) ¿Cuál es la derivada de la función ?


A) +4
B)
C)
D) 2
x
1
f(x)= 3/2
x
2
1
(x)f−= 3/2
x
2
1
(x)f
−
−= 4 x f(x)+=

20. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 97

70) ¿Cuál es la derivada de la función f(x) = cos (x
3
+ 5x)?

A) - 3x
2
+ 5 sen (x
3
+ 5x)
B) - (3x
2
+ 5) sen (x
3
+ 5x)
C) (3x
2
+ 5) cos (x
3
+ 5x)
D) - cos (x
3
+ 5x) 3x
2
+ 5

71) ¿Cuál es la derivada de ?


A)
B)
C)
D)

72) ¿Cuál es la derivada de ?


A) f'(x) = 2x
B)
C)
D)

73) Identifica la derivada de f(x) = tan (x
2
− 5x + 9)


A) f'(x) = −(2x − 5)sec
2
(x
2
− 5x + 9)
B) f'(x) = 2x − 5sec
2
(x
2
− 5x + 9)
C) f'(x) = tan (2x − 5)
D) f'(x) = (2x − 5)sec
2
(x
2
− 5x + 9)
33/2
xf(x)= x
1 x2
1 2
x x
2 1x
x
(x) f
2
+
= 2
2
1)(x
2xx-
(x)f
+
−
= 2
2
1)(x
2xx
(x)f
+
+
= 2
2
1)(x
2-2xx
(x)f
+
+
=

21. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 98

74) Encuentra la derivada de f(x) = (3x + 4) (5x - 9)

A) 30x - 47
B) 30x + 47
C) 30x
D) 30x - 7

75) ¿Cuál es la derivada de f'(x) = e
(x²+5x-1)
?


A) f'(x) = (2x+5)e
(x²+5x-1)

B) f'(x) = e
(2x+5)

C) f'(x) = 2x+5e
(x²+5x-1)

D) f'(x) = (2x+5-0)e
(x²+5x-1)
= (7x)e
(x²+5x-1)


76) ¿Cuál es la derivada de f(x) = log3 (x
2
+ x), en donde (x + x
2
) > 0?

A)
B)
C)
D)

77) ¿Cuál es el valor del incremento de la función que se requiere para que la derivada resultante
sea cero?

A) x = 1
B) y = 1
C) y = 0
D) x = 0

78) ¿Cuál es la derivada de f(x) = (3x - 8)
2/3
?


A) 2(3x - 8)
1/3

B) 2(3x)
-1/3

C) 2(3x - 8)
-1/3

D) [6(3x - 8)
-1/3]
/9
12x
x)ln3(x
1
(x)f
2
+
+
= 1)(2x
x)ln3(x
1
(x)f
2
+
+
= 1)(2x
ln3x x
1
(x)f
2
+
+
= 12x
ln3x x
1
(x)f
2
+
+
=

22. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 99

79) Deriva


A)
B)
C)
D)

80) ¿Cuál es la derivada de f(x) = x
3/5
?


A)
B)
C)
D)

81) ¿Cuál es el resultado de derivar la función f(x) = sen (x
2
)?

A) - cos (2x)
B) - 2x cos (x
2
)
C) (2x) cos (x
2
)
D) cos (2x)

82) ¿Qué opción corresponde a la derivada de f(x) = x (x+1) (x
2
– 3)?

A) 4x
3
+ 3x
2
- 6x
B) 4x
3
+ 3x
2
+ 6x - 3
C) 4x
3
+ 3x
2
– 6x – 3
D) 4x
3
- 3x
2
- 3
1x
x
f(x)
2
−
= 22
2
1)(x
1x
(x)f
−
+
−= 2x
1
(x)f= 2
1)(x
1
(x)f
−
−= 22
2
1)(x
1x
(x)f
−
+
= 2/5
5x
3
(x)f= 3/4
x
5
3
(x)f= 2/4
x
5
3
(x)f= 2/5
x
5
3
(x)f=

23. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 100

83) ¿Cuál es la derivada de f(x) = x
3
– 2x
2
+ x – 9?


A) 3x
2
+ 4x + 1
B) 3x
2
– 4x - 8
C) 3x
2
– 4x + 1
D) -x
2
+ 1

84) Si n es un número entero positivo y f(x) = x
n
, de acuerdo con la regla de diferenciación para
potencias con exponentes enteros positivos indica a que es igual su derivada.


A) f'(x) = nx
n-1

B) f'(x) = nx
n+1

C) f'(x) = (n-1)x
n

D) f'(x) = (n-1)x
n-1


85) ¿Cuál es la regla para derivar la función h(x) donde h(x) es el producto de f(x) y g(x) y éstas
últimas son funciones derivables?


A) h'(x) = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)
B)
C) h'(x) = f(x)g'(x) - g(x)f'(x)
D) h'(x) = f'(x)g'(x) + g(x)f(x)

86) Observa la siguiente f(x) = x
3
y g(x) = x
5
y encuentra la derivada de h(x) que representa la
suma de las funciones f(x) y g(x).


A) h'(x) = 3x
2
+ 5x
4

B) h'(x) = 8(x
2
+x
4
)
C) h'(x) = 8x
6

D) h'(x) = 3x
2
- 5x
4


87) ¿Cuál es la diferencial dy de y = 5x
2
-8?


A) 5x + dx
B) 5xdx
C) 10xdx
D) 10x + dy
2
(g(x))
(x)g(x)f' - (x)f(x)g'
(x)h'=

24. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 101

88) ¿Cuál es la diferencial de la suma de las dos funciones diferenciables u(x) y v(x)?


A) u+v
B)
C)
D)

89) ¿En cuál de las siguientes opciones aparece y
si y = f(x) y x es un incremento de x?


A)
B)
C) f(f(x) + x) - x
D) f(x + x) - f(x)

90) Si y = f(x) es una función derivable y x es un incremento de x, la diferencial de la variable
dependiente y es ____________.


A) dy = y x
B) dy = f'(x) x
C) dy = f(x + x) + f(x)
D) dy = y + f'(x)

91) Si y= 2x, y' = 2 y x es un incremento de x, la diferencial de la variable dependiente y es
_________.


A) dy = 2x x
B) dy = 2 x
C)
D) dy = 2 y x

92) El valor del incremento debe aproximarse a _______ para que se pueda calcular la
derivada.


A) Dy
B) cero
C) uno
D) infinito
Δx
f(x)Δx)f(x
0Δx
lim
−+
→ Δx
f(x)Δx)f(x
0Δx
lim
−−
→ 2
Δx
dy= x

25. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 102

93) ¿Cuál es la derivada de ?

A) f´(x) =
B) f(x)´ =
C) f(x)´ =
D) f(x)´ =

94) Tomando en cuenta que f(x) = x
2
y g(x) = x, encuentra la derivada de h(x) utilizando la derivada
de un producto de las funciones f(x) y g(x).


A) h'(x) = x
3
+ 2x
2

B) h'(x) = 2x + x
3

C) h'(x) = 3x
2

D) h'(x) = -x
2


95) Tomando en cuenta que la f(x) = (x
2
+2)y g(x) = (x-1) encuentra la derivada de h(x) donde h(x)
es el producto de f(x) con g(x).


A) 3x
2
- 2x +2
B) -x
2
+ 2x +2
C) x
3
+ 2x
2

D) -2x
2
- 2x +2

96) Si f(x) = (x
2
) y g(x) = (x), ¿cuál es la derivada de h(x) al usar la derivada de un cociente de las
funciones ?


A) h'(x) = 3
B) h'(x) = 1
C) h'(x) = -x
2

D) h'(x) = -x
()xxf= x2
1 2
1
x2
1
− x2
1 2
1
x2
1
− )x(g
)x(f

26. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 103

97) La derivada de la función es:

A) -5
B) x
C) 1
D) 5x
4


98) De la siguiente lista selecciona la primera y segunda derivadas respectivamente para la
función f(x) = x
3
+ 2x
2
+ 2.

[1] f'(x) = 3x
2
+ 4x
[2] f'(x) = 3x
2
+ 4x + x
-1

[3] f''(x) = 6x + 4 - x
-2
[4] f''(x) = 5x + 5
[5] f''(x) = 6x + 4

A) [2] y [3]
B) [1] y [4]
C) [2] y [4]
D) [1] y [5]

99) ¿En cuál de los siguientes intervalos es decreciente la función de posición al tiempo t dada
por s(t) = -0.05t
2
+ t?

A) [0, 10]
B) [5, 15]
C) [0, 20]
D) [10, 20]

100) ¿Cuál es la velocidad y la aceleración en función del tiempo de la siguiente función que
representa la posición de un cuerpo que tiene un movimiento rectilíneo en donde d(t) = 2t
2
+ t
metros?

A) v(t) = 4t + 1 m/s ; a(t) = 4 m/s
2

B) v(t) = 4t + t m/s ; a(t) = 4 m/s
2

C) v(t) = 4t + 1 m/s ; a(t) = 4t m/s
2

D) v(t) = 4t - 1 m/s ; a(t) = 4 m/s
2


101) ¿Cuál es la aceleración de un cuerpo en movimiento que tiene una velocidad en función del
tiempo de v(t) = 3t
2
+ t m?

A) a(t) = 6t + t m/s
2

B) a(t) = 6t + 1 m/s
2

C) a(t) = 5t + t m/s
2

D) a(t) = 6t + -1 m/s
2

2
3
x
x
f(x)=

27. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 104

102) Una partícula se desplaza a lo largo de una línea horizontal y su desplazamiento está
definido por la ecuación d(t) = t
2
- 4t m., con estos datos, ¿cuál es la ecuación en función del
tiempo que describe su velocidad y el tiempo en el cual la velocidad instantánea es cero?

A) v(t) = 2t - 4 m/s y t = 2 segundos
B) v(t) = 2t - 4t m/s y t = 2 segundos
C) v(t) = 2t - 4 m/s y t = -2 segundos
D) v(t) = 2t + 4t m/s y t = -2 segundos

103) Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 10m/s. Considera
su movimiento hacia arriba positivo, t representa los segundos que transcurren hasta que la
pelota alcanza su altura máxima y su ecuación que describe su desplazamiento es d(t) = -9.81 t
2

+ 10t m.

¿Cuál es la ecuación que describe la velocidad y el tiempo donde la pelota alcanza su punto
más alto?


A) v(t) = -7.62 t + 10 m/s y t = 1.31 segundos
B) v(t) = -19.62 t + 10 m/s y t = 0.5 segundos
C) v(t) = -7.62 t +10 m/s y t = -0.5 segundos
D) v(t) = -19.62 t + 10t m/s y t = 0.5 segundos

104) Selecciona la opción que completa la siguiente frase:
Una función F(x) es una antiderivada de otra función f(x) si se cumple que __________.


A) F(x) = f'(x)
B) F'(x) = f(x)
C) F(x) = f(x)
D) F'(x) = f'(x)

105) ¿Cuál de las siguientes formulas se utiliza para encontrar la antiderivada de una función
f(x) = x
n
donde n y p son números racionales?


A) (x
n
)(x
p
)
B) (x
n
)
p

C)
D) nx
n-1

1n
x
1n
+
+

28. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 105

106) ¿Cuál es la antiderivada de la función f(x) = x
5
?


A) F(x) = x
6
+ C
B) F(x) = 6x
6
+ C
C)
D)

107) ¿Cuál es la antiderivada de f(x) = ?

A)
B)
C)
D)

108) Si deseas calcular la antiderivada general de la función
f(x) = 2x
3
- 1
¿Cuál de las siguientes fórmulas de integración es la que debes usar para iniciar el proceso?


A)
B)
C)
D)
C
6
x
F(x)
6
+= C
6
x
F(x)
6
+−= 43
x Cx
7
4
F(x)
7
4
+= Cx
7
4
F(x)
4
7
+= Cx
4
7
F(x)
4
7
+= Cx
7
4
F(x)
4
7
+−=  
=uduccudu 
+= ckxkdx c
1n
u
duu
1n
n
+
+
=
+ 
++=++ wdxvdxudxw)dxv(u

29. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 106

109) Para calcular la antiderivada más general de la función f(x) = (x-5)
9
, ¿cuál fórmula de
integración debes utilizar para iniciar el proceso?

A)
B)
C)
D)

110) ¿Qué fórmula de integración debes utilizar para calcular la antiderivada la función
?


A)
B)
C)
D)

111) ¿Cuál es la constante por la que debes multiplicar la integral para completarla al
emplear la fórmula
donde u = 2x-1 y du = 2dx?


A)
B)
C) 2
2

D) 2
c
1n
x
dux
1n
n
+
+
=
+ 
−=− vdxudxv)dx(u 
++=++ wdxvdxudxw)dxv(u c
1n
u
duu
1n
n
+
+
=
+ 82xf(x) += c
1n
x
dux
1n
n
+
+
=
+ 
++=++ wdxvdxudxw)dxv(u c
1n
u
duu
1n
n
+
+
=
+  
−=− dxvdxudxv)(u
nnn 
−12x
dx 
u
du 2
2 2
1

30. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 107

112) La operación inversa de la derivada es la _____________.

A) pendiente
B) tangente
C) diferencial
D) integral

113) ¿Cuál es la antiderivada de la función f(x) = ?

A)
B)
C)
D)

114) ¿Cuál es la antiderivada de [F(x) + G(x)] si f(x) = x
2
y g(x) = 2x?

A)
B)
C)
D)

115) Determina la antiderivada de la función f(x) = x
4
+ x
3
+ 2x
2
+ x


A)
B)
C)
D)
3
x
1 C
2x
1
F(x)
2
+−= C
2x
1
F(x)
2
+−=
− C
2x
1
F(x)
2
+= C
4x
1
F(x)
2
+−= Cxx
3
1
G(x)][F(x)
23
++=+ Cxx
3
1
G(x)][F(x)
23
+−=+ Cxx
3
1
G(x)][F(x)
23
++−=+ Cx
2
1
x
3
1
G(x)][F(x)
23
++=+ Cx
2
1
x
3
2
x
4
1
x
5
1
F(x)
2345
++++= Cxx
3
2
x
4
1
x
5
1
F(x)
2345
++++= Cx
2
1
3xx
4
1
x
5
1
F(x)
2345
++++= Cx
2
1
x
3
2
x
4
1
5xF(x)
2345
++++=

31. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 108

116) ¿Cuál es la antiderivada de la función f(x) = (x+2)
2
?


A)
B)
C)
D)

117) ¿Cuál es la antiderivada más general de f(x) = (x - 1)
2
?


A) 3(x − 1)
3
+ c
B)
C)
D) 2(x − 1) + c

118) ¿Cuál es el resultado de calcular ?


A) 2 + C
B) x
2
+ x + C
C) 2x
2
+ x + C
D) x
2
+ C

119) ¿Cuál es el resultado de ?


A) 1 + C
B) ln x + ln5 + C
C) x + 5 + C
D) ln (x + 5 )+ C
C2x2xx
3
1
F(x)
23
+++= C4xxx
3
1
F(x)
23
+++= C4x2xx
3
1
F(x)
23
+++= C4x2xx
3
1
F(x)
23
++−= cxx
3
1
3
+− c1)(x
3
1
3
+− 
+1)dx(2x 
+5x
dx

32. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 109

120) Determinar el valor de .


A)
B) 4x
4
− 2x
2
+ c
C)
D) 3x
2
− 2 + c

121) ¿Cuál es el valor de calcular la integral como se indica en ?


A)
B)
C) (3x − 1)
4
+ c
D)

122) A partir del teorema fundamental del cálculo, encuentra el valor de .


A) F(x) = 60
B) F(x) = 4.75
C) F(x) = 3.75
D) F(x) = -3.75

123) ¿Cuál es el valor de ?


A) F(x) = 1.33
B) F(x) = 0.66
C) F(x) = -0.66
D) F(x) = -1.33

−2x)dx(x
3 cx
4
x
2
4
+− cx2
4
x
2
4
+− 
−dx1)(3x
3 cxx
4
27
3
+− c1)(3x
12
1
4
+− c
4
1)(3x
4
+
− dxx
2
1
3
 
+
1
0
2
1)dx(x

33. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 110

124) Ale tiene que hacer una tarea donde le piden investigar sobre Teorema fundamental del
cálculo. En lugar de consultar el libro de texto Ale tuvo la idea de entrar a un foro de tareas en
Internet denominado "MiTarea . com". Después de plantear su pregunta obtiene varias
respuestas que deberá analizar antes de tomarlas como aceptables.

Esta es la secuencia de su diálogo:


Ale

Hola todos: Alguien me puede decir ¿Cuál teorema debes utilizar para
calcular el área de una curva descrita por una función?
Enviado hace 2 horas
Juan

Creo que va por el teorema fundamental del cálculo.
Una persona la calificó como buena
Miguel

Es el teorema de la integral indefinida.
Una persona la calificó como buena
Ismy

Seguramente es el teorema del valor medio para integrales.
Una persona la calificó como buena
Jonás

Ps, yo me inclino + por el teorema de las sumas de Riemann.
Una persona la calificó como buena
Ale

Gracias a todos, sus opiniones son interesantes, pero creo que solo
hay uno que acertó.

Enviado hace 1 hora

¿Quién dio una respuesta correcta a la pregunta de Ale?


A) Jonás
B) Juan
C) Ismy
D) Miguel

34. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 111

125) ¿Cuál es la expresión usada para calcular el área del espacio en blanco si A es el área
bajo la curva en el intervalo [a,b]?




A)
B)
C)
D)

126) Si se aplica el teorema fundamental del cálculo, ¿cuál es el valor de ?


A) F(x) = 1.66
B) F(x) = -1.66
C) F(x) = -0.6
D) F(x) = 0.6

127) ¿Cuál es el valor de después de ser calculado?


A) F(x) = 4.66
B) F(x) = 8.66
C) F(x) = 3.33
D) F(x) = -0.66
A-x )g(zA
n
i
ib
1
 =
= x )g(zAA
n
i
ib
1
 −=
= x )g(z limAA
n
1 i
ib
0x
 −=
=→ −=
=
n
ib
1 i
)g(zAA 
0
1
3
2
dxx 
++
2
0
23
x)dxx(x

35. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 112

128) Determina cual es el valor de .


A) F(x) = 11.68
B) F(x) = 7.91
C) F(x) = -7.91
D) F(x) = 17.80

129) Calcula la integral y selecciona la opción que contenga su resultado.


A) 8
B) 11/6
C) 2
D) 5/6

130) Al realizar los cálculos, ¿cuál es el valor de ?


A) -5
B) 0
C) 6
D) -6

131) Identifica el resultado de .


A) -37/3
B) 37/3
C) 111
D) -55/3

132) Si f(x) es una función derivable en un intervalo abierto que contiene a x = c, determina de
que manera se puede verificar si:

[C1] Es cóncava hacia arriba
[C2] Es cóncava hacia abajo


A) [C1- si f'(c) < 0] [C2- si f'(c) > 0]
B) [C1- si f"(c) > 0] [C2- si f"(c) < 0]
C) [C1- si f"(c) < 0] [C2- si f"(c) > 0]
D) [C1- si f'(c) > 0] [C2- si f'(c) < 0]

+
2
0
2
2)dx(x2x 
−+
1
0
2
1)dx3x(x 
−
1
1-
3)dx(x 
4
3
2
dxx

36. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 113

133) Realiza los cálculos necesarios y encuentra el valor de .


A) 1.36
B) 0.60
C) 2.42
D) 1.27

134) Si se conoce el desplazamiento que tiene un cuerpo en movimiento rectilíneo y se desea
encontrar la aceleración que lleva en un tiempo dado.

¿Qué concepto se debe usar para encontrar su aceleración?


A) Segunda derivada
B) Primera derivada
C) Integral definida
D) Tercera derivada

135) Si una partícula se desplaza a lo largo de una recta horizontal y se desea encontrar la
velocidad en un punto dado, ¿qué derivada es necesaria para encontrar su velocidad?

1. Primera derivada.
2. Segunda derivada.
3. Tercera derivada.


A) Solo 3
B) 1 y 2
C) Solo 1
D) 2 y 3

136) ¿Cómo se representa la tasa de variación instantánea de "y" por unidad de variación de
"x" en y = f(x)?


A)
B)
C)
D)

+=
1
0
2
dx1)(xxf(x) dx
dy 4
4
dx
yd 3
3
dx
yd 2
2
dx
yd

37. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 114

137) Si y = f(x), la razón instantánea de cambio de "y" con respecto a "x" en un intervalo de [x,
x + x] se representa por __________.


A)
B)
C)
D)

138) La corriente eléctrica en un circuito es I (Ampere) está dada por donde V = 50 volts
y R=25 Ohm, encuentra la tasa de cambio o variación de la corriente I con respecto a R.


A) ampere/ohm
B) ampere/ohm
C) ampere/ohm
D) ampere/ohm

139) Si $ C´(x) representa el costo marginal en pesos por la fabricación de zapatos de una fábrica
y x representa el número de zapatos, encuentra el costo marginal cuando se fabrican 10 zapatos,
tomando en cuenta que C(x) = 10 + 5x + 2x
2
.


A) $C'(x) = C'(10) = 405 pesos
B) $C'(x) = C'(10) = 90 pesos
C) $C'(x) = C'(10) = 55 pesos
D) $C'(x) = C'(10) = 45 pesos
x
Δ
x
Δ)
x
Δf(x −+ x
Δ
f(x))
x
Δf(x −+ x
Δ
f(x))
x
Δf(x ++ x
Δ
f(x))
x
Δf(x −− R
V
I= 2
dR
dI
−= 0.08
dR
dI
= 2
dR
dI
= 0.08
dR
dI
−=

38. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 115

140) Una fábrica de productos electrodomésticos determina que el costo marginal por producir
x extractores de jugo para el hogar esta dado por $ C(x) = 5 + 2x + 10x
2
. Calcular el costo marginal
por producir 20 extractores de jugo.


A) $C'(x) = C'(20) = 407 pesos
B) $C'(x) = C'(20) = 8002 pesos
C) $C'(x) = C'(20) = 440 pesos
D) $C'(x) = C'(20) = 402 pesos

141) Si C (x) = 5x
2
+1 es la función de costo al producir x unidades de algún bien de consumo,
¿cuál es la razón instantánea de cambio del costo C (x) con respecto a x?


A) C'(x) = 10x
B)
C) C(x + h) − C(x) = 5x
2
+ 10xh + 5h
2
+ 1
D)

142) Calcula el valor de .


A)
B) 4x
3
+ 4x + c
C)
D) 5x
5
+ 6x
3
+ x + c

143) El volumen V de un lago durante la temporada de lluvias esta dado por V(t)=10(t+1)
2
m
3
.
Donde t esta dado en semanas que toma valores de t=0, 1, 2 y 3 semanas.
Determina el volumen de agua que llega al lago cuando t=2 semanas


A) 90m
3

B) 70m
3

C) 80m
3

D) 43m
3

x
1
5x
x
C(x)
+= h
15h10xh5x
h
(x) Ch)(x C
22
+++
=
−+ ()dx1x
2
2

+ cx
3
2x
5
x
35
+++ c1)(x
6
1
32
++

39. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 116

144) La temperatura T(°C) de una mezcla de un proceso químico en función de t, está dada por
T(t) = 10 + 30t + 2, donde t esta dado en minutos.
Calcula la tasa de variación o cambios de T(t) con respecto a t.


A) 30t + 4t minutos
B) 40 + 4t minutos
C) 30 + 4t
2
minutos
D) 30 + 4t minutos

145) Si m(x) es la pendiente de la recta tangente a la curva
y = x
3
+ x
2
+ 1, ¿cuál es la tasa de variación instantánea de la pendiente m con respecto a x, y
su valor para el punto (1, 2)?


A) [y'' = 5x + 2x] [y'' = 8]
B) [y'' = 6x + 2] [y'' = 8]
C) [y'' = 5x + 2] [y'' = 7]
D) [y'' = 6x + 2] [y'' = 14]

146) La temperatura de una persona en grados centígrados después de sufrir una enfermedad
durante 3 días está dada por
f(t) = 35 + 10t-0.1t
2
.
Encuentra la ecuación de la tasa de variación de la temperatura con respecto al tiempo y la
tasa de variación de la temperatura cuando t = 3 días.


A) [f'(t) = 10 + 0.2t] [f'(3) = 10.6 °C]
B) [f'(t) = 10 - 0.2t] [f'(3) = 6.8 °C]
C) [f'(t) = 10 + 0.2t] [f'(3) = 12.8 °C]
D) [f'(t) = 10 - 0.2t] [f'(3) = 9.4 °C]

147) Un automóvil baja por una pendiente y la distancia que recorren en el tiempo esta dada
por d(t) = 220t-10t
2
, donde t está en segundos.

Calcula la velocidad del automóvil en t = 5 segundos y
en t = 10 segundos.


A) v(t = 5) = 120m/seg y v(t = 10) = 20m/seg
B) v(t = 5) = 120m/seg y v(t = 10) = 420m/seg
C) v(t = 5) = 320m/seg y v(t = 10) = 420m/seg
D) v(t = 5) = 195m/seg y v(t = 10) = 20m/seg

40. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 117

148) Se define y=f(x) que establece el consumo de fertilizante en toneladas en función del
número x de hectáreas.
¿Cuál de las siguientes gráficas representa una razón de cambio de +2 toneladas/hectárea?


A)
B)
C)

41. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 118

D)

149) Resuelve el siguiente problema:





A)
B)
C)
D)
s/cm47.4
dt
dy
yx
y
dt
dD
22
=
+
= s/cm22.0
dt
dy
yx
1
dt
dD
22
=
+
= s/cm13.4472
dt
dy
yxy2
dt
dD
22
=+= s/cm12.0
yx2
dt
dy
dt
dD
22
=
+
=

42. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 119

150) Determinar el intervalo en que está definida la función y sus puntos máximos y mínimos:



A)
B) ; Máximo absoluto en P(0,0)

C) ; Mínimo absoluto en P(0,0)
D)

151) La tabla presenta la tasa de crecimiento poblacional en México entre 1895 y 1975. Con
ayuda de EXCEL se obtuvo una expresión aproximada que permite calcular la tasa de
crecimiento en función del año, es decir y = f(X), donde X=0 corresponde a 1895 y el año 1935
corresponde con X=4.



Determina la velocidad de crecimiento poblacional (V) en 1935.



A) V = -0.066 X
2
+ 0.55 X - 0.57 = 0.57
B) V = -0.022 X
2
+ 0.55 X = 1.85
C) V = -0.066 X
2
+ 0.275 X = 0.04
D) V = -0.022 X
3
+ 0.275 X
2
- 0.57 X + 1.37 = 2.08
2
x916y −−= 3
4
xenmínimo,
3
4
xenMáximo;x +=−= 





+−
3
4
,
3
4
x 





+−
3
4
,
3
4
x 3
4
xenmáximo,
3
4
xenMínimo;x +=−=

43. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 120

152) Se desea integrar

Indica la fórmula que permite resolverla y proporciona el resultado.





A) F2 : 6 (x+1)
-2
+ C
B) F4 : 6 ln(x+1) + C
C) F1: 6 (x+1)
-1
+ C
D) F3 : 6 (x+1)
-1
+ C

153) .¿Cuál es la sustitución de variable apropiada para realizar estas integrales?

P1:
P2:


A) [P1: u = − x
2
] [P2: u = sen 2x ]
B) [P1: u = 1 − x
2
] [P2: u = 4 + sen 2x ]
C) [P1: u = (1 − x
2
)
3
] [P2: u = (4 + sen 2x)
2
]
D) [P1: u = 3x

] [P2: u = cos 2x ]

+
dx
1x
6 
− dx)x1(x3
32 
+
dx
xsen
x
2
)24(
2cos

44. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 121

154) Utiliza la regla general de la potencia para determinar la integral:





A)
B)
C)
D)
dx
3x
x
53
2

− 5
4
4
)x3x
4
1
(
3
5
− C)3x(
5
4
5
1
3
+−−
− C)3x(
5
4
3
+−
− C)3x(
12
5
5
4
3
+−

45. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 122

155) Determina la expresión que permite calcular el área entre las funciones:

y = −x
2
+ 3x + 6
y = 3 − x

cuya gráfica se presenta en la figura:


A)
B)
C)
D)

156) .¿Cuánta energía W se requiere emplear para comprimir 10 cm un resorte de constante k =
1000N/m?

Información física:
1) La fuerza necesaria para deformar un resorte está dada por la ley de Hooke: F = kx, donde k es la
constante del resorte, x es el cambio de longitud.

2) La energía requerida es igual al trabajo de deformación del resorte: W = Fx, donde F es la fuerza
aplicada, x es el incremento en la distancia recorrida por el resorte al aplicar dicha fuerza.


A)
B)
C)
D) 
−
−
−−=
1
3
2
dx)3x4x(A 
−
−
−−=
1
3
2
dx)6x3x(A 
−
−
+−−=
1
3
2
dx)3x3x(A 
−
−
−
−
−+++−=
3
1
1
3
2
dx)x3(dx)6x3x(A 
==
10
0
Nm10000xdx1000W 
==
1.0
0
Nm5xdx1000W 
==
1.0
0
Nm50xdx1000W 
==
1.0
0
2
Nm33.0dxx1000W

46. M15. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales 123


157) El precio al público por año de un producto agrícola se reporta en la hoja de cálculo
mostrada EN MILES DE PESOS.



¿Cuál es el total recibido entre 2002 y 2006 en miles de pesos?


A)
B)
C)
D)




=
−
=
−
=
2006
2002
2006
2002
2
40.2$
20
)1998x(
dx
10
1998x
T 
=−=
−
=
−
2006
2002
2006
2002
2
47.0$)1998x(10xdx
1998x
10
T 
=−=
−
=
2006
2002
2006
2002
93.6$)1998xln(10dx
1998x
10
T 
=−=
−
=
−
2006
2002
2006
2002
2
94.0$)1998x(20dx
1998x
10
T