Calculo Integral - Conceito de primitiva e técnicas de primitivação
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Nov 17, 2018
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About This Presentation
Em qualquer curso superior do tipo científico, é inevitável o cálculo integral, em particular, a introdução do conceito de primitiva.
Este trabalho visa consolidar os conhecimentos sobre a questão da primitivação.
Further reading:
Calculus, Early Transcendentals, James Stewart
Analise...
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1
CÁLCULO INTEGRAL
MIGUEL FERNANDES
MOTIVAÇÃO
Dada a expressão que define a velocidade de um corpo num instante �, como obter
a lei ??????(�) do movimento?
Para dar resposta à pergunta enunciada, importa introduzir um conceito
imprescindível no domínio do Cálculo Integral: o conceito de primitiva (ou
antiderivada).
NOÇÃO DE PRIMITIVA
Dado �⊆ℝ, dizemos que �∶�⟶ ℝ é uma primitiva de uma função �∶�⟶ ℝ se
tivermos a igualdade:
�
′
(??????)=�(??????),∀??????∈�
No contexto das derivadas, sabemos que, dado ??????∈ℝ, [�(??????)+??????]
′
=�
′
(??????)=�(??????).
Deste modo, podemos falar numa família de primitivas de uma única função �.
Por outro lado, considerando duas primitivas de � em �, �
1 e �
2, tem-se:
(�
1−�
2
)
′
=�
1
′
−�
2
′
=�−�=0
E, portanto, �
1−�
2 é uma função constante em � (porquê?).
Ao conjunto de todas as primitivas de � chamamos integral indefinida de � em
relação a ??????. Denota-se
∫�(??????) �??????
Exemplos:
1. A função �∶ℝ⟶ ℝ definida por �(??????)=?????? é uma primitiva da função �∶ℝ⟶ ℝ
definida por �(??????)=1 (porquê?).
2. A função �∶[0,2]⟶ ℝ definida por
�(??????)={
1 se 0≤??????≤1
0 se 1<??????≤2
não é primitivável em [0,2].
Se fosse primitivável, então existiria uma função � cuja expressão da derivada
seria igual a �(??????). Mas então, �
′
(1
+
)=
1
�′
�=0 e �
′
(1
−
)=�′
�=1 derivadas
laterais com valores diferentes, o que contradiz �′(1) existir.
1
É um resultado do Cálculo Diferencial o facto de a derivada lateral num ponto existir se o limite da função
derivada no mesmo ponto existir.
3. Qual a primitiva da função ℎ∶ℝ⟶ ℝ definida por ℎ(??????)=??????
2
cujo gráfico contém
o ponto de coordenadas (1,3)?
Trata-se de um problema de valor inicial.
Todas as funções da forma �(??????)=
??????
3
3
+??????, com ??????∈ℝ, são primitivas da função ℎ
(porquê?).
Porquê?
CÁLCULO INTEGRAL
MIGUEL FERNANDES
MOTIVAÇÃO
Dada a expressão que define a velocidade de um corpo num instante �, como obter
a lei ??????(�) do movimento?
Para dar resposta à pergunta enunciada, importa introduzir um conceito
imprescindível no domínio do Cálculo Integral: o conceito de primitiva (ou
antiderivada).
NOÇÃO DE PRIMITIVA
Dado �⊆ℝ, dizemos que �∶�⟶ ℝ é uma primitiva de uma função �∶�⟶ ℝ se
tivermos a igualdade:
�
′
(??????)=�(??????),∀??????∈�
No contexto das derivadas, sabemos que, dado ??????∈ℝ, [�(??????)+??????]
′
=�
′
(??????)=�(??????).
Deste modo, podemos falar numa família de primitivas de uma única função �.
Por outro lado, considerando duas primitivas de � em �, �
1 e �
2, tem-se:
(�
1−�
2
)
′
=�
1
′
−�
2
′
=�−�=0
E, portanto, �
1−�
2 é uma função constante em � (porquê?).
Ao conjunto de todas as primitivas de � chamamos integral indefinida de � em
relação a ??????. Denota-se
∫�(??????) �??????
Exemplos:
1. A função �∶ℝ⟶ ℝ definida por �(??????)=?????? é uma primitiva da função �∶ℝ⟶ ℝ
definida por �(??????)=1 (porquê?).
2. A função �∶[0,2]⟶ ℝ definida por
�(??????)={
1 se 0≤??????≤1
0 se 1<??????≤2
não é primitivável em [0,2].
Se fosse primitivável, então existiria uma função � cuja expressão da derivada
seria igual a �(??????). Mas então, �
′
(1
+
)=
1
�′
�=0 e �
′
(1
−
)=�′
�=1 derivadas
laterais com valores diferentes, o que contradiz �′(1) existir.
1
É um resultado do Cálculo Diferencial o facto de a derivada lateral num ponto existir se o limite da função
derivada no mesmo ponto existir.
3. Qual a primitiva da função ℎ∶ℝ⟶ ℝ definida por ℎ(??????)=??????
2
cujo gráfico contém
o ponto de coordenadas (1,3)?
Trata-se de um problema de valor inicial.
Todas as funções da forma �(??????)=
??????
3
3
+??????, com ??????∈ℝ, são primitivas da função ℎ
(porquê?).
Porquê?
2
�(1)=3, porque o ponto de coordenadas (1,3) pertence ao gráfico da primitiva
que procuramos. Ora,
�(1)=3⇔
1
3
3
+??????=3⇔??????=3−
1
3
=
8
3
Assim, �(??????)=
??????
3
3
+
8
3
.
Exercício:
Recorra ao seu conhecimento sobre derivadas para primitivar mentalmente as
seguintes funções (em intervalos a determinar):
1. 3??????
2
2. −sen ??????
3. cos ??????
4. 2cos (2??????)
PROPRIEDADES DOS INTEGRAIS INDEFINIDOS: ADITIVIDADE E LINEARIDADE
Multiplicação por uma constante: dado ??????∈ℝ independente da variável ??????, tem-se:
∫??????�(??????) �??????=??????∫�(??????) �??????
Caso particular: ??????=−1
∫−�(??????) �??????=−∫�(??????) �??????
Soma e diferença:
∫[�(??????)±�(??????)] �??????=∫�(??????) �??????±∫�(??????) �??????
demonstração: a cargo do aluno
Exemplo:
1. ∫8??????
3
+2?????? �??????=∫2×4??????
3
�??????+∫2?????? �??????=2∫4??????
3
�??????+∫2?????? �??????
=2??????
4
+??????
1+??????
2
+??????
2, ??????
1,??????
2∈ℝ
No entanto, por uma questão de simplificação, podemos combinar ??????
1 e ??????
2 numa
única constante, fazendo ??????=??????
1+??????
2.
Assim, teremos ∫8??????
3
+2?????? �??????=2??????
4
+??????
2
+??????, ??????∈ℝ.
PRIMITIVAS IMEDIATAS
São primitivas que se deduzem a partir da inversão das fórmulas de derivação:
∫�′�
??????
�??????=
�
??????+1
??????+1
+?????? ??????∈ℝ\{−1}
∫�
′
sen � �??????=−cos�+??????
∫�
′
cos � �??????=sen�+??????
∫�
′
sec
2
� �??????=tg �+??????
∫�
′
cosec
2
� �??????=−cotg �+??????
∫�
′
sec�tg � �??????=sec �+??????
∫�
′
cosec � cotg � �??????=−cosec �+??????
∫�
′
�
??????
�??????=�
??????
+??????
∫
�′
1+�
2
�??????=arctg �+??????=−arccotg �+??????
∫
�′
�√�
2
−1
�??????=arcsec �+??????=−arccosec �+??????
∫�
′
�
??????
�??????=
1
ln�
�
??????
+?????? �∈ℝ
+
∫�
′
senh � �??????=cosh�+??????
∫�
′
cosh � �??????=senh�+??????
∫�
′
cosech
2
� �??????=−cotgh�+??????
�(1)=3, porque o ponto de coordenadas (1,3) pertence ao gráfico da primitiva
que procuramos. Ora,
�(1)=3⇔
1
3
3
+??????=3⇔??????=3−
1
3
=
8
3
Assim, �(??????)=
??????
3
3
+
8
3
.
Exercício:
Recorra ao seu conhecimento sobre derivadas para primitivar mentalmente as
seguintes funções (em intervalos a determinar):
1. 3??????
2
2. −sen ??????
3. cos ??????
4. 2cos (2??????)
PROPRIEDADES DOS INTEGRAIS INDEFINIDOS: ADITIVIDADE E LINEARIDADE
Multiplicação por uma constante: dado ??????∈ℝ independente da variável ??????, tem-se:
∫??????�(??????) �??????=??????∫�(??????) �??????
Caso particular: ??????=−1
∫−�(??????) �??????=−∫�(??????) �??????
Soma e diferença:
∫[�(??????)±�(??????)] �??????=∫�(??????) �??????±∫�(??????) �??????
demonstração: a cargo do aluno
Exemplo:
1. ∫8??????
3
+2?????? �??????=∫2×4??????
3
�??????+∫2?????? �??????=2∫4??????
3
�??????+∫2?????? �??????
=2??????
4
+??????
1+??????
2
+??????
2, ??????
1,??????
2∈ℝ
No entanto, por uma questão de simplificação, podemos combinar ??????
1 e ??????
2 numa
única constante, fazendo ??????=??????
1+??????
2.
Assim, teremos ∫8??????
3
+2?????? �??????=2??????
4
+??????
2
+??????, ??????∈ℝ.
PRIMITIVAS IMEDIATAS
São primitivas que se deduzem a partir da inversão das fórmulas de derivação:
∫�′�
??????
�??????=
�
??????+1
??????+1
+?????? ??????∈ℝ\{−1}
∫�
′
sen � �??????=−cos�+??????
∫�
′
cos � �??????=sen�+??????
∫�
′
sec
2
� �??????=tg �+??????
∫�
′
cosec
2
� �??????=−cotg �+??????
∫�
′
sec�tg � �??????=sec �+??????
∫�
′
cosec � cotg � �??????=−cosec �+??????
∫�
′
�
??????
�??????=�
??????
+??????
∫
�′
1+�
2
�??????=arctg �+??????=−arccotg �+??????
∫
�′
�√�
2
−1
�??????=arcsec �+??????=−arccosec �+??????
∫�
′
�
??????
�??????=
1
ln�
�
??????
+?????? �∈ℝ
+
∫�
′
senh � �??????=cosh�+??????
∫�
′
cosh � �??????=senh�+??????
∫�
′
cosech
2
� �??????=−cotgh�+??????
3
∫
�′
�
�??????=ln |�|+??????
∫
�′
√1−�
2
�??????=arcsen �+??????=−arccos�+??????
Tabela 1: algumas primitivas
imediatas
TÉCNICAS DE PRIMITIVAÇÃO
Primitivação por partes
Sejam �,�∶�⟶ℝ funções deriváveis.
Tem-se:
∫�
′
(??????)�(??????) �??????=�(??????)�(??????)−∫�(??????)�′(??????) �??????
Demonstração:
Basta atender à fórmula de derivação do produto:
(�(??????)�(??????))
′
=�
′
(??????)�(??????)+�(??????)�
′
(??????)⇔�′(??????)�(??????)=(�(??????)�(??????))
′
−�(??????)�′(??????)
E, primitivando ambos os lados da igualdade, fica:
∫�
′
(??????)�(??????) �??????=∫(�(??????)�(??????))
′
�??????−∫�(??????)�
′
(??????) �??????⇔
⇔∫�
′
(??????)�(??????) �??????=�(??????)�(??????)−∫�(??????)�
′
(??????) �??????
(dadas as propriedades dos integrais indefinidos).
Exemplo:
1. ∫?????? sen ?????? �??????
Faça-se:
�
′
(??????)=sen ??????⇒�(??????)=−cos??????
�(??????)=??????⇒�
′
(??????)=1
Resulta que:
∫?????? sen ?????? �??????=−??????cos??????+∫cos??????�??????=−??????cos??????+sen ??????+??????, ??????∈ℝ.
Exercício:
Calcular:
1. ∫�
??????
sen ?????? �??????
2. ∫ln?????? �??????
3. Mostrar que, para ??????∈ℕ∩[2,+∞[, ∫cos
??????
� �� é calculado, recursivamente,
através da fórmula:
∫cos
??????
� ��=
1
??????
sen � cos
??????−1
�+
??????−1
??????
∫cos
??????−2
� �� em �=ℝ
4. Nas mesmas condições do exercício anterior, mostrar que ∫sen
??????
� �� é calculado
como se segue:
∫sen
??????
� ��=−
1
??????
cos � sen
??????−1
�+
??????−1
??????
∫sen
??????−2
� �� em �=ℝ
∫
�′
�
�??????=ln |�|+??????
∫
�′
√1−�
2
�??????=arcsen �+??????=−arccos�+??????
Tabela 1: algumas primitivas
imediatas
TÉCNICAS DE PRIMITIVAÇÃO
Primitivação por partes
Sejam �,�∶�⟶ℝ funções deriváveis.
Tem-se:
∫�
′
(??????)�(??????) �??????=�(??????)�(??????)−∫�(??????)�′(??????) �??????
Demonstração:
Basta atender à fórmula de derivação do produto:
(�(??????)�(??????))
′
=�
′
(??????)�(??????)+�(??????)�
′
(??????)⇔�′(??????)�(??????)=(�(??????)�(??????))
′
−�(??????)�′(??????)
E, primitivando ambos os lados da igualdade, fica:
∫�
′
(??????)�(??????) �??????=∫(�(??????)�(??????))
′
�??????−∫�(??????)�
′
(??????) �??????⇔
⇔∫�
′
(??????)�(??????) �??????=�(??????)�(??????)−∫�(??????)�
′
(??????) �??????
(dadas as propriedades dos integrais indefinidos).
Exemplo:
1. ∫?????? sen ?????? �??????
Faça-se:
�
′
(??????)=sen ??????⇒�(??????)=−cos??????
�(??????)=??????⇒�
′
(??????)=1
Resulta que:
∫?????? sen ?????? �??????=−??????cos??????+∫cos??????�??????=−??????cos??????+sen ??????+??????, ??????∈ℝ.
Exercício:
Calcular:
1. ∫�
??????
sen ?????? �??????
2. ∫ln?????? �??????
3. Mostrar que, para ??????∈ℕ∩[2,+∞[, ∫cos
??????
� �� é calculado, recursivamente,
através da fórmula:
∫cos
??????
� ��=
1
??????
sen � cos
??????−1
�+
??????−1
??????
∫cos
??????−2
� �� em �=ℝ
4. Nas mesmas condições do exercício anterior, mostrar que ∫sen
??????
� �� é calculado
como se segue:
∫sen
??????
� ��=−
1
??????
cos � sen
??????−1
�+
??????−1
??????
∫sen
??????−2
� �� em �=ℝ
4
Primitivação por substituição
Sejam � e � dois intervalos reais, �∶�⟶ℝ primitivável em � e �∶�⟶� uma função
bijetiva diferenciável.
Então, se ?????? designar uma primitiva de (�∘�)�′ em �, tem-se (??????∘�
−1
)
′
=� em � e,
portanto, ??????∘�
−1
é uma primitiva de �.
Demonstração:
Seja � uma primitiva de � em �.
Então,
(�∘�)
′
=(�
′
∘�)�
′
=(�∘�)�
′
=??????′
em � e, portanto, (�∘�−??????)
′
=0 em � e, consequentemente, �∘�−?????? é uma função
constante nesse intervalo.
Mas
(�∘�−??????)∘�
−1
=�−??????∘�
−1
é também constante em � (porquê?)
Ou seja, ??????∘�
−1
difere de uma primitiva de � por uma constante, donde se conclui
que ??????∘�
−1
é também uma primitiva de �.
Casos particulares
Vejamos como utilizar esta técnica de primitivação em alguns casos particulares:
CASO 1
∫√??????
�
−??????
�
????????????, |??????|≤??????
Utiliza-se a substituição ??????=�sen � ou ??????=acos�
CASO 2
∫√??????
�
+??????
�
????????????
Utiliza-se a substituição ??????=�tg �, ??????=�cotg � ou ??????=�senh �
CASO 3
∫√??????
�
−??????
�
????????????,|??????|≥??????
Utiliza-se a substituição ??????=�sec �, ??????=�cosec � ou ??????=�cosh�
Exemplo:
1. ∫√4−??????
2
�??????, ??????∈[−4,4] (Caso 1)
Seja �∶[−
??????
2
,
??????
2
]⟶[−2,2] definida por �(�)=2 sen �
(a ideia é fazer uma substituição que seja vantajosa!)
∫√4−??????
2
�??????=∫√4−(2sen �)
2
.2cos���=∫√4−4 sen
2
�.2cos���=
=∫2√1−sen
2
�.2cos���=∫4√cos
2
�cos���=
∗
4∫cos
2
� ��=
=4∫
1 + cos (2�)
2
��=4∫
1
2
+
cos (2�)
2
��=4(
1
2
�+
1
4
sen(2�))=
=2arcsen(
??????
2
)+sen(2arcsen (
??????
2
))=
∗
2 arcsen(
??????
2
)+
??????√4−??????
2
2
+??????, ??????∈ℝ.
Exercício:
1. Calcular:
∫?????? √1+?????? �??????
∫
�??????
�
??????
+1
∫√??????
2
+4 �??????
*Porquê?
Voltando à variável inicial
Primitivação por substituição
Sejam � e � dois intervalos reais, �∶�⟶ℝ primitivável em � e �∶�⟶� uma função
bijetiva diferenciável.
Então, se ?????? designar uma primitiva de (�∘�)�′ em �, tem-se (??????∘�
−1
)
′
=� em � e,
portanto, ??????∘�
−1
é uma primitiva de �.
Demonstração:
Seja � uma primitiva de � em �.
Então,
(�∘�)
′
=(�
′
∘�)�
′
=(�∘�)�
′
=??????′
em � e, portanto, (�∘�−??????)
′
=0 em � e, consequentemente, �∘�−?????? é uma função
constante nesse intervalo.
Mas
(�∘�−??????)∘�
−1
=�−??????∘�
−1
é também constante em � (porquê?)
Ou seja, ??????∘�
−1
difere de uma primitiva de � por uma constante, donde se conclui
que ??????∘�
−1
é também uma primitiva de �.
Casos particulares
Vejamos como utilizar esta técnica de primitivação em alguns casos particulares:
CASO 1
∫√??????
�
−??????
�
????????????, |??????|≤??????
Utiliza-se a substituição ??????=�sen � ou ??????=acos�
CASO 2
∫√??????
�
+??????
�
????????????
Utiliza-se a substituição ??????=�tg �, ??????=�cotg � ou ??????=�senh �
CASO 3
∫√??????
�
−??????
�
????????????,|??????|≥??????
Utiliza-se a substituição ??????=�sec �, ??????=�cosec � ou ??????=�cosh�
Exemplo:
1. ∫√4−??????
2
�??????, ??????∈[−4,4] (Caso 1)
Seja �∶[−
??????
2
,
??????
2
]⟶[−2,2] definida por �(�)=2 sen �
(a ideia é fazer uma substituição que seja vantajosa!)
∫√4−??????
2
�??????=∫√4−(2sen �)
2
.2cos���=∫√4−4 sen
2
�.2cos���=
=∫2√1−sen
2
�.2cos���=∫4√cos
2
�cos���=
∗
4∫cos
2
� ��=
=4∫
1 + cos (2�)
2
��=4∫
1
2
+
cos (2�)
2
��=4(
1
2
�+
1
4
sen(2�))=
=2arcsen(
??????
2
)+sen(2arcsen (
??????
2
))=
∗
2 arcsen(
??????
2
)+
??????√4−??????
2
2
+??????, ??????∈ℝ.
Exercício:
1. Calcular:
∫?????? √1+?????? �??????
∫
�??????
�
??????
+1
∫√??????
2
+4 �??????
*Porquê?
Voltando à variável inicial
5
Primitivação de funções racionais
Frações simples
Chama-se fração simples a toda fração racional da forma:
�
(??????−�)
�
ou
�??????+�
[(??????−�)
2
+ �
2]
�
�,�∈ℕ e �,�,�,�,�,�∈ℝ
CASO 1
O cálculo de uma primitiva de
�
(??????−�)
�
faz-se em dependência do número �:
�=�
Tem-se ∫
�
??????−�
�??????=�∫
1
??????−�
�??????=�ln|??????−�|+??????,??????∈ℝ
em qualquer intervalo � real tal que �∉�.
�≠�
∫
�
(??????−�)
� �??????=�∫(??????−�)
−�
�??????=�
(??????−�)
−�+1
−�+1
+??????,??????∈ℝ
em qualquer intervalo nas condições anteriores.
CASO 2
O cálculo de uma primitiva de
�??????+�
[(??????−�)
2
+�
2]
�
, �∈ℝ
+
, utilizamos a primitivação por
substituição: �∶]−
??????
2
,
??????
2
[⟶ℝ definida por �(�)=�+�tg �, donde:
∫
�(�+�tg �)+�
[(�+�tg �−�)
2
+ �
2
]
��sec
2
� ��=∫
��+�+��tg �
(�
2
tg
2
� + �
2
)
��sec
2
� ��=∫
��+�+��tg �
(�
2
sec
2
�)
��sec
2
� ��
Segue que:
�=�
Tem-se ∫
��+�+��tg �
�
2
sec
2
�
�sec
2
� ��=∫
��+�+��tg �
�
��=∫
��+�
�
+
��tg �
�
��=
=∫
��+�
�
��+∫�tg � ��=∫
��+�
�
��+�∫
sen �
cos�
��=
��+�
�
�−�ln |cos�|=
=
��+�
�
arctg (
??????−�
�
)−�ln
1
√1+??????
2
+??????,??????∈ℝ
(porquê?)
�≠�
∫
��+�+��tg �
(�
2
sec
2
�)
��sec
2
� ��=∫
��+�+��tg �
�
2�−1
cos
2??????−2
� ��=
=
��+�
�
2�−1∫cos
2??????−2
� ��+
�
�
2�−2∫
sen �
cos�
cos
2??????−2
� ��=
=
��+�
�
2�−1∫cos
2??????−2
� ��+
�
�
2�−2∫sen �.cos
2??????−3
� ��=
=
��+�
�
2�−1∫cos
2??????−2
� ��−
�
�
2�−2
cos
2�−2
2�−2
Primitivação de funções racionais
Frações simples
Chama-se fração simples a toda fração racional da forma:
�
(??????−�)
�
ou
�??????+�
[(??????−�)
2
+ �
2]
�
�,�∈ℕ e �,�,�,�,�,�∈ℝ
CASO 1
O cálculo de uma primitiva de
�
(??????−�)
�
faz-se em dependência do número �:
�=�
Tem-se ∫
�
??????−�
�??????=�∫
1
??????−�
�??????=�ln|??????−�|+??????,??????∈ℝ
em qualquer intervalo � real tal que �∉�.
�≠�
∫
�
(??????−�)
� �??????=�∫(??????−�)
−�
�??????=�
(??????−�)
−�+1
−�+1
+??????,??????∈ℝ
em qualquer intervalo nas condições anteriores.
CASO 2
O cálculo de uma primitiva de
�??????+�
[(??????−�)
2
+�
2]
�
, �∈ℝ
+
, utilizamos a primitivação por
substituição: �∶]−
??????
2
,
??????
2
[⟶ℝ definida por �(�)=�+�tg �, donde:
∫
�(�+�tg �)+�
[(�+�tg �−�)
2
+ �
2
]
��sec
2
� ��=∫
��+�+��tg �
(�
2
tg
2
� + �
2
)
��sec
2
� ��=∫
��+�+��tg �
(�
2
sec
2
�)
��sec
2
� ��
Segue que:
�=�
Tem-se ∫
��+�+��tg �
�
2
sec
2
�
�sec
2
� ��=∫
��+�+��tg �
�
��=∫
��+�
�
+
��tg �
�
��=
=∫
��+�
�
��+∫�tg � ��=∫
��+�
�
��+�∫
sen �
cos�
��=
��+�
�
�−�ln |cos�|=
=
��+�
�
arctg (
??????−�
�
)−�ln
1
√1+??????
2
+??????,??????∈ℝ
(porquê?)
�≠�
∫
��+�+��tg �
(�
2
sec
2
�)
��sec
2
� ��=∫
��+�+��tg �
�
2�−1
cos
2??????−2
� ��=
=
��+�
�
2�−1∫cos
2??????−2
� ��+
�
�
2�−2∫
sen �
cos�
cos
2??????−2
� ��=
=
��+�
�
2�−1∫cos
2??????−2
� ��+
�
�
2�−2∫sen �.cos
2??????−3
� ��=
=
��+�
�
2�−1∫cos
2??????−2
� ��−
�
�
2�−2
cos
2�−2
2�−2
6
O cálculo de ∫cos
2�−2
� �� pode ser feito dado o resultado já visto:
∫cos
??????
� ��=
1
??????
sen � cos
??????−1
�+
??????−1
??????
∫cos
??????−2
� �� em �=ℝ
Finalmente, procede-se à substituição de � por arctg (
??????−�
�
).
Decomposição de uma fração racional
Toda a fração racional pode ser decomposta na soma de frações simples.
PRÉ-REQUISITOS
Antes de avançarmos neste tópico, é fundamental a recuperação de algumas
ideias sobre polinómios…
Divisão de polinómios
Para efetuar a divisão de polinómios, pode usar-se o algoritmo da divisão, a regra
de Ruffini ou o método dos coeficientes indeterminados.
Exemplo
1. Efetuar a divisão de ??????
2
+3??????−4 por ??????−1.
Pela regra de Ruffini, tem-se:
E, assim, o polinómio ??????
2
+3??????−4 é divisível por ??????−1 e o quociente da
divisão é ??????+4.
1
1 3
1
–4
4
1 4 0
Exercício
1. Efetuar a divisão de ??????
4
+2??????
2
+2??????+1 por ??????
2
+1 pelo:
1.1.
1.2.
Algoritmo da divisão;
Método dos coeficientes indeterminados.
Fatorização/zeros de um polinómio
Dado um polinómio �:
1. de grau ??????, o mesmo tem ?????? zeros (reais e/ou complexos).
Os zeros complexos aparecem sempre aos pares de conjugados (se �+�??????
é zero, então �−�?????? também será).
2. cada um dos seus zeros pode ser simples ou múltiplo.
A multiplicidade de um zero – ?????? – de � relaciona-se com o facto de o mesmo
zero anular � e todas as derivadas até à ordem ??????−1 e não anular a derivada
de ordem ??????. Nesse caso, na fatorização de �, o fator (??????−�) ocorre ?????? vezes
(� é o zero). Analogamente, se � possuir um par de zeros complexos, �+�??????
e �−�??????, com multiplicidade ??????≥1, então, na factorização do mesmo, o fator
(??????−�)
2
+�
2
ocorre exatamente ?????? vezes.
O cálculo de ∫cos
2�−2
� �� pode ser feito dado o resultado já visto:
∫cos
??????
� ��=
1
??????
sen � cos
??????−1
�+
??????−1
??????
∫cos
??????−2
� �� em �=ℝ
Finalmente, procede-se à substituição de � por arctg (
??????−�
�
).
Decomposição de uma fração racional
Toda a fração racional pode ser decomposta na soma de frações simples.
PRÉ-REQUISITOS
Antes de avançarmos neste tópico, é fundamental a recuperação de algumas
ideias sobre polinómios…
Divisão de polinómios
Para efetuar a divisão de polinómios, pode usar-se o algoritmo da divisão, a regra
de Ruffini ou o método dos coeficientes indeterminados.
Exemplo
1. Efetuar a divisão de ??????
2
+3??????−4 por ??????−1.
Pela regra de Ruffini, tem-se:
E, assim, o polinómio ??????
2
+3??????−4 é divisível por ??????−1 e o quociente da
divisão é ??????+4.
1
1 3
1
–4
4
1 4 0
Exercício
1. Efetuar a divisão de ??????
4
+2??????
2
+2??????+1 por ??????
2
+1 pelo:
1.1.
1.2.
Algoritmo da divisão;
Método dos coeficientes indeterminados.
Fatorização/zeros de um polinómio
Dado um polinómio �:
1. de grau ??????, o mesmo tem ?????? zeros (reais e/ou complexos).
Os zeros complexos aparecem sempre aos pares de conjugados (se �+�??????
é zero, então �−�?????? também será).
2. cada um dos seus zeros pode ser simples ou múltiplo.
A multiplicidade de um zero – ?????? – de � relaciona-se com o facto de o mesmo
zero anular � e todas as derivadas até à ordem ??????−1 e não anular a derivada
de ordem ??????. Nesse caso, na fatorização de �, o fator (??????−�) ocorre ?????? vezes
(� é o zero). Analogamente, se � possuir um par de zeros complexos, �+�??????
e �−�??????, com multiplicidade ??????≥1, então, na factorização do mesmo, o fator
(??????−�)
2
+�
2
ocorre exatamente ?????? vezes.
7
Exercício
1. Fatorizar o polinómio ??????
2
+2??????+1 e indicar a multiplicidade das raízes.
Comecemos por considerar dois polinómios, � e �, e a fração racional
�(??????)
�(??????)
.
1.ª Étapa
Caso o grau do polinómio � seja superior ao do polinómio �.
Neste caso, devemos efetuar a divisão de � por �. Resulta:
�(??????)
�(??????)
=�(??????)+
�(??????)
�(??????)
onde � é o quociente da divisão e � é o resto, ambos polinómios, e o grau de � é
menor do que o grau de �.
Se o problema do grau do numerador em relação ao do denominador não se
impor, podemos avançar diretamente para a etapa que se segue:
2.ª Étapa
Se o grau do denominador for superior ao grau do numerador, a
decomposição na soma de frações simples faz-se da seguinte maneira:
1. Cada raiz real � de �(??????) de multiplicidade ?????? origina uma soma de ?????? frações
simples como se segue:
�1
??????−�
+
�2
(??????−�)
2
+⋯+
�
??????
(??????−�)
??????
2. Cada par de raízes complexas �±�??????, �>0, de multiplicidade ?????? origina uma
soma de ?????? frações simples como se segue:
�1??????+??????1
(??????−�)
2
+�
2
+
�2??????+??????2
[(??????−�)
2
+�
2]
2
+⋯+
�
????????????+??????
??????
[(??????−�)
2
+�
2]
??????
Finalmente, as constantes �
1,�
2,…,�
??????, �
1,�
2,…,�
?????? e ??????
1,??????,…,??????
?????? podem ser
determinadas pelo método dos coeficientes indeterminados.
Exemplo
1. Calcular:
∫
??????
5
??????
2
−1
�??????
Dado que o grau do numerador é superior ao grau do denominador, devemos
efetuar a divisão dos polinómios. Utilize-se o método dos coeficientes
indeterminados (aplicado à divisão de polinómios):
??????
5
=(??????
2
−1)(�??????
3
+�??????
2
+�??????+�)+(�??????+�)⇔
⇔??????
5
=�??????
5
+�??????
4
+�??????
3
+�??????
2
−�??????
3
−�??????
2
−�??????−�+�??????+�⇔
⇔??????
5
=�??????
5
+�??????
4
+(�−�)??????
3
+(�−�)??????
2
+(�−�)??????+(�−�)
Resulta
{
�=1
�=0
�−�=0
�−�=0
�−�=0
�−�=0
⇔
{
�=1
�=0
�=1
�=0
�=1
�=0
Exercício
1. Fatorizar o polinómio ??????
2
+2??????+1 e indicar a multiplicidade das raízes.
Comecemos por considerar dois polinómios, � e �, e a fração racional
�(??????)
�(??????)
.
1.ª Étapa
Caso o grau do polinómio � seja superior ao do polinómio �.
Neste caso, devemos efetuar a divisão de � por �. Resulta:
�(??????)
�(??????)
=�(??????)+
�(??????)
�(??????)
onde � é o quociente da divisão e � é o resto, ambos polinómios, e o grau de � é
menor do que o grau de �.
Se o problema do grau do numerador em relação ao do denominador não se
impor, podemos avançar diretamente para a etapa que se segue:
2.ª Étapa
Se o grau do denominador for superior ao grau do numerador, a
decomposição na soma de frações simples faz-se da seguinte maneira:
1. Cada raiz real � de �(??????) de multiplicidade ?????? origina uma soma de ?????? frações
simples como se segue:
�1
??????−�
+
�2
(??????−�)
2
+⋯+
�
??????
(??????−�)
??????
2. Cada par de raízes complexas �±�??????, �>0, de multiplicidade ?????? origina uma
soma de ?????? frações simples como se segue:
�1??????+??????1
(??????−�)
2
+�
2
+
�2??????+??????2
[(??????−�)
2
+�
2]
2
+⋯+
�
????????????+??????
??????
[(??????−�)
2
+�
2]
??????
Finalmente, as constantes �
1,�
2,…,�
??????, �
1,�
2,…,�
?????? e ??????
1,??????,…,??????
?????? podem ser
determinadas pelo método dos coeficientes indeterminados.
Exemplo
1. Calcular:
∫
??????
5
??????
2
−1
�??????
Dado que o grau do numerador é superior ao grau do denominador, devemos
efetuar a divisão dos polinómios. Utilize-se o método dos coeficientes
indeterminados (aplicado à divisão de polinómios):
??????
5
=(??????
2
−1)(�??????
3
+�??????
2
+�??????+�)+(�??????+�)⇔
⇔??????
5
=�??????
5
+�??????
4
+�??????
3
+�??????
2
−�??????
3
−�??????
2
−�??????−�+�??????+�⇔
⇔??????
5
=�??????
5
+�??????
4
+(�−�)??????
3
+(�−�)??????
2
+(�−�)??????+(�−�)
Resulta
{
�=1
�=0
�−�=0
�−�=0
�−�=0
�−�=0
⇔
{
�=1
�=0
�=1
�=0
�=1
�=0
8
Portanto,
??????
5
??????
2
−1
=(??????
3
+??????)+
??????
??????
2
−1
(1) e:
??????
??????
2
−1
=
�1
??????−1
+
�2
??????+1
⇔
??????
??????
2
−1
=
�1??????+�1+�2??????−�2
??????
2
−1
⇔
??????
??????
2
−1
=
(�1+�2)??????+(�1−�2)
??????
2
−1
Resulta:
{
�
1+�
2=1
�
1−�
2=0
⇔{
�
1=
1
2
⁄
�
2=
1
2
⁄
(2)
E, finalmente, por (1) e (2):
∫
??????
5
??????
2
−1
�??????=∫??????
3
�??????+∫??????�??????+
1
2
∫
1
??????−1
�??????+
1
2
∫
1
??????+1
�??????=
=
??????
4
4
+
??????
2
2
+
ln|??????−1|
2
+
ln|??????+1|
2
+??????,??????∈ℝ
Exercício
1. Calcular:
∫
2??????−3
(??????
2
+1)
2
�??????
FIM
Portanto,
??????
5
??????
2
−1
=(??????
3
+??????)+
??????
??????
2
−1
(1) e:
??????
??????
2
−1
=
�1
??????−1
+
�2
??????+1
⇔
??????
??????
2
−1
=
�1??????+�1+�2??????−�2
??????
2
−1
⇔
??????
??????
2
−1
=
(�1+�2)??????+(�1−�2)
??????
2
−1
Resulta:
{
�
1+�
2=1
�
1−�
2=0
⇔{
�
1=
1
2
⁄
�
2=
1
2
⁄
(2)
E, finalmente, por (1) e (2):
∫
??????
5
??????
2
−1
�??????=∫??????
3
�??????+∫??????�??????+
1
2
∫
1
??????−1
�??????+
1
2
∫
1
??????+1
�??????=
=
??????
4
4
+
??????
2
2
+
ln|??????−1|
2
+
ln|??????+1|
2
+??????,??????∈ℝ
Exercício
1. Calcular:
∫
2??????−3
(??????
2
+1)
2
�??????
FIM
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