Cambio de variableeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

cambio de variable

1. Cambio de variable SARA LIZETH MUÑOZ MARTINEZ

2. CALCULAR DERIVADA Para calcular la derivada de una función, en general, el problema es muy sencillo, pues solamente se requiere que identifiquemos el tipo de función para saber qué regla (fórmula) vamos a utilizar para derivarla. 

3. Cuando queremos calcular una integral no siempre existe una fórmula con la que podamos calcular la integral inmediatamente. Debido a esto se han creado algunos métodos para calcular las integrales de funciones que aparecen frecuentemente. De estos métodos, los más frecuentemente usados son: 1.  Cambio de variable 2.  Integración por partes 3.  Integración de potencias trigonométricas 4.  Sustitución trigonométrica 5.  Fracciones parciales

4. Algunas veces para poder integrar una función conviene utilizar un cambio de variable. Este método tiene su justificación en la regla de la cadena que utilizamos en cálculo diferencial: En palabras, si tenemos una función compuesta que queremos integrar, debemos verificar que la diferencial incluye a la derivada de la función             para que podamos integrar. Observa que el término               solamente sirve para completar la diferencial. No es parte de la función       que vamos a integrar, de manera que no aparece en el resultado final. Sin embargo, no debes olvidar verificar que este término se encuentre en el integrando como un factor, de otra manera, la integral estará incorrecta.

5. EJEMPLOS: Calcula la siguiente integral indefinida:                      Empezamos definiendo:                       , de donde:                       . Sustituyendo estos valores en la integral: Observa que hemos completado el diferencial multiplicando por           en el integrando. Ahora solamente aplicamos la regla ( iv ) de integración, y obtenemos: : O btenemos :

6. RESULTADO:

7. EJEMPLO 2 Calcula la integral:                                             Factorizando el término común, podemos representar esta integral como: :                              Ahora definimos:                                                                                             Entonces, la diferencial está completa, y podemos integrar haciendo el cambio de variable como se acaba de definir:

8. EJEMPLO 3 Calcula la integral indefinida:                Podemos calcular esta integral utilizando la regla ( iv ) de integración:                                   Pero para eso, debemos hacer las definiciones:                                                                           Sustituyendo estos valores en la regla de sustitución obtenemos:            

9. EJEMPLO 4 Calcula la siguiente integral:                      Observa que el integrando se puede reescribir como:                                         Y si definimos:                                                                                                                  que es precisamente el factor que tenemos en el numerador del integrando. Entonces, la diferencial está completa. Ahora podemos reescribir la integral como:                                                   

10. Y la podemos integrar inmediatamente: Este método será muy útil cuando tengamos una expresión irracional en el denominador del integrando que no se puede simplificar usando solamente las leyes de los exponentes. Para esto, nosotros vamos a definir una variable          de manera que nos permita simplificar el integrando, pero siempre teniendo en cuenta la regla para integrar por el método de cambio de variable. El truco para este tipo de integrales es definir          elevado a una potencia que sea igual al índice de la raíz e igualar esta potencia al radicando (que debe estar en función de          ). Los siguientes ejemplos muestran dos casos.