Capitulo 2_MUESTREO_SEGUNDA PARTE 2T2024.pptx

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1. CAPÍTULO 2_PARTE 2 Muestreo y Alias SEGUNDO TÉRMINO 2024

2. 2.4. El concepto de Alias

3. Una simple inspección de la palabra alias podría envolver algo como: dos nombres para la misma persona o cosa. Cambiamos ahora a la pregunta de como surge el alias en un tratamiento matemático de señales de tiempo discreto, específicamente para sinusoides de tiempo discreto. La sinusoide es la fórmula matemática, así que este es uno de los nombres que identifica la señal.

4. Ahora considere otra sinusoide: Aparentemente con una frecuencia diferente. Para ver como luce una gráfica de la ecuación anterior , invocamos la identidad trigonométrica simple: Para obtener:

5. Espectro de una señal de tiempo discreto. tiempo ¿Cómo graficar el espectro de una señal de discreto? El Alias resuelve esta problemática porque una secuencia senoidal de tiempo discreto puede corresponder a un número infinito de frecuencias diferentes.

6. explícitamente se muestra que aquí hay muchas diferentes sinusoides que tienen las mismas muestras. La siguiente figura hacemos dibujando la representación muestra que esto lo del espectro del principal alias con más variedad de otros alias. Se incluye una representación del alias principal: Y dos de los alias:

7. es componentes a representado por los y es representado por los componentes negros a Y así sucesivamente. Otra forma de construir la gráfica es que el consiste de componentes a espectro del alias principal de la señal que fueron movidos por 2π, es decir el espectro fue cambiado por múltiplos enteros de 2π.

8. 2.5. Teorema del Muestreo

9. Teorema del muestreo de Shannon Una señal de tiempo continuo x(t) con frecuencias no mayores que fmax pueden ser reconstruidas exactamente desde sus muestras. Si las muestras son tomadas a una tasa de la cual es mayor que 2fmax.

10. Note que el teorema del muestreo envuelve primero dos cuestiones: .- habla acerca de reconstruir la señal a partir de sus muestras, además hacer este especifica el algoritmo para esta reconstrucción, segundo, proporciona una tasa de muestreo mínima la cual depende de la frecuencia de x(t) de la señal de tiempo continua. La tasa mínima de muestreo de 2fmax es llamada la tasa de Nyquist. El teorema de Shannon especifica que la reconstrucción de una sinusoide es posible si tenemos al final dos muestras por periodo.

11. Reconstrucción Ideal El teorema de muestreo sugiere que un proceso para reconstruir una señal de tiempo continuo desde sus muestras. Este proceso de reconstrucción puede deshacer la conversión C-to- D, así que también se conoce como conversión D- to-C. El convertidor ideal D- to- C es representado en la siguiente figura:

12. ideal esta definido por proceso de muestreo del la Ya que el convertidor sustitución como en la ecuación: Podríamos esperar la misma relación para dominar el convertidor ideal D- to- C, es decir: Pero esta sustitución es solo cierta cuando y(t) es una suma de sinusoides.

13. En el caso especial donde y[n] consiste en una o más señales de tiempo discreto, tales como: Podemos usar la sustitución en: a la para producir salida D- to-C.

14. Pero si números solo tenemos para y[n] que una secuencia de fue obtenido por muestreo y no conocemos la fórmula para y[n] o no es una fórmula simple para una señal , las cosas no son tan simples. Un convertidor D- to- A actual envuelve más que una sustitución, porque también llena los valores de la señal entre las muestras de tiempo

15. correctamente para Si el convertidor ideal una C- to- D señal trabaja coseno muestreada . Entonces podemos describir su operación como ajuste de la frecuencia. Para y[n], la frecuencia de tiempo discreto es y la frecuencia de tiempo continuo de y(t) es Entonces, la relación parece ser:

16. ¿Qué frecuencia de usada en la ecuación tiempo discreto será ? La regla de selección es arbitraria, pero el convertidor ideal C- to- D siempre selecciona los menores componentes de frecuencia posibles del alias principal. Estas frecuencias son garantizadas para posicionar en el rango así cuando convirtamos de a la frecuencia analógica, la frecuencia de salida siempre se posiciona entre

17. Trazar el espectro de la señal de tiempo continuo EJEMPLO # 11:

18. SOLUCIÒN EJEMPLO # 11:

19. EJEMPLO # 12:

20. SOLUCIÒN EJEMPLO # 12:       ω            

21. Como wo=250 pi es el número más grande que divide 750 pi, 1000 pi, 1250 pi, concluimos que wo=250 pi es la frecuencia fundamental (rad/seg). Esta señal es periódica con periodo To= 2pi/wo=2pi/250pi= 8 mseg. SOLUCIÒN EJEMPLO # 12:

22. EJEMPLO # 13:

23. SOLUCIÓN EJEMPLO # 13 :

24. 2.6 Vista del espectro de Muestreo y Reconstrucción

25. Espectro de una señal de tiempo discreto obtenida por muestreo. Si una sinusoide de tiempo discreto es obtenida por muestreo, su frecuencia esta dada por:

26. Si nosotros incluimos todos los alias como los previstos por la ecuación Esto es necesario para graficar un infinito número de líneas del espectro para tener una representación completa del mismo. Claro, nosotros podemos graficar pocos de ellos y talvez estos indiquen que existen más fuera de nuestro rango de la gráfica.

27. Suponer que empezamos con una sinusoide de tiempo continuo Cuyo espectro consiste de dos líneas de espectro a con amplitudes complejas de La señal muestreada de tiempo discreto también tiene dos líneas del espectro a

28. Pero este también debe contener todos los alias para las siguientes frecuencias de tiempo discreto: Esto ilustra el hecho importante de que cuando una sinusoide de tiempo discreto es derivada por muestreo, las frecuencias alias están basadas en el valor normalizado de la frecuencia de la señal de tiempo continuo.

29. Las frecuencias alias son obtenidas añadiendo múltiplos de 2π radianes para el valor de la frecuencia normalizada. En las siguientes secciones muestran un conjunto de ejemplos de muestrear una sinusoide de tiempo continuo a 100 HZ de la forma La frecuencia de muestreo es variada para mostrar que ocurre a diferentes tasas de muestreo

30. Los ejemplos en las siguientes figuras muestran el espectro de tiempo discreto para esta arriba o diferentes casos donde abajo de la tasa de Nyquist. Muestreo de una sinusoide de 100 Hz a una fs = 500 muestras / seg.

31. El gráfico de espectro muestra los componentes de especificación con alias, así como los componentes de frecuencia positiva y negativa de la sinusoide original en ῷ = ± 0,4 π rad El gráfico del dominio del tiempo muestra las muestras x [n] como puntos grises, la señal original x (t) como una línea naranja continua y la señal reconstruida y (t) como una línea negra discontinua

32. QUE ES EL EFECTO ALIAS ? Si la tasa de muestreo es demasiado baja temenos un problema denominado efecto ALIAS Supongamos que queremos convertir esta onda analógica a digital y la muestreamos de la siguiente forma (segunda gráfica): Si unimos los puntos en la tercera gráfica vamos a tener la señal de color rojo que tiene una frecuencia diferente de la señal original por lo tanto no podemos recuperar la señal original entonces debemos a tener que elevar la tasa de muestreo. Esto se observa en nuestra última gráfica

33. GRAFICA FRECUENCIA RECONSTRUIDA vs FRECUENCIA ORIGINAL. Vamos a suponer que la frecuencia de muestreo fs= 1 Khz En el siguiente gráfico se muestra que lo ideal es que la frecuencia reconstruida sea igual a la frecuencia original y esto se indica por medio de la línea de color verde. Esto se cumple en cierto rango en este caso desde el inicio hasta 500 Hz, después de esto si seguimos aumentamos la frecuencia de la señal original vamos a empezar a reconstruir frecuencias más bajas esto significa que no estamos obteniendo la información correcta. Después de los 1000 Hz la frecuencia reconstruida comienza a subir de nuevo, pero está muy debajo de la frecuencia que debería haber sido.

34. GRAFICA FRECUENCIA RECONSTRUIDA vs FRECUENCIA ORIGINAL. Un caso interesante es cuando tenemos una frecuencia original de 1000 Hz y una taza de muestreo de 1000 Hz entonces tenemos una frecuencia reconstruida de Hz. Cuando tenemos una frecuencia original igual a la taza de muestreo entonces estamos tomando una muestra por ciclo por lo tanto estamos reconstruyendo una línea horizontal que es considerada una señal de Hz, tal como se observa en la última gráfica.

35. GRAFICA FRECUENCIA RECONSTRUIDA vs FRECUENCIA ORIGINAL. Si tenemos una frecuencia original de 500 Hz y una taza de muestreo de 1000 Hz. Estaríamos tomando dos muestras por ciclo lo que nos dá una señal triangular, aunque es cierto que es una señal diferente por lo menos tiene una frecuencia correcta. Por lo tanto, con una taza de muestreo de 1000 Hz, la frecuencia de 500 Hz es la máxima frecuencia que se necesitaría para no producir el efecto ALIAS.

36. GRAFICA FRECUENCIA RECONSTRUIDA vs FRECUENCIA ORIGINAL. Todo este comportamiento lo podemos describir si escribimos la frecuencia original como múltiplos de la taza de muestreo, tal como se observa en la gráfica siguiente. El único rango donde podemos reconstruir las frecuencias correctas está desde el inicio hasta 0,5 fs. Después de esto tenemos el efecto ALIAS.

37. GRAFICA FRECUENCIA RECONSTRUIDA vs FRECUENCIA ORIGINAL. Este importante hecho es conocido como el TEOREMA DE NYQUIST , dónde 0,5 fs es conocida como la FRECUENCIA DE NYQUIST ., la cual es diferente dependiendo del valor de la frecuencia de muestreo,

38. EJEMPLO # 14:

39. SOLUCIÓN EJEMPLO # 14 :

40. SOLUCIÓN EJEMPLO # 14:

41. SOLUCIÓN EJEMPLO # 14: Con l=-1, entonces =0,75 π -2 π =-1,25 π       =   = 250 Hz <400 Hz, entonces cumple    

42. EJEMPLO # 15 : RESPUESTA: f RECUERDEN:

43. SOLUCIÓN EJEMPLO # 15: RESPUESTA: g fmax=2000 Hz RESPUESTA: b

44. Sobre Muestreo

45. Estamos muestreando dos y una mitad de tiempo más rápida que el mínimo requerido por el teorema de muestreo. Las gráficas del dominio del tiempo y la se muestran en la gráfica frecuencia siguiente. muestras x [n] como puntos grises, la señal original x (t) como una línea naranja continua y la señal reconstruida y (t) como una línea negra discontinua El panel de la figura siguiente muestra x(t), x[n] y y(t) juntas, pero mantiene el eje horizontal como tiempo en milisegundos. El gráfico del dominio del tiempo muestra las

46. La grafica de abajo contiene el espectro de la señal de tiempo discreto versus la frecuencia normalizada De acuerdo a la ecuación de ajuste de la analógica frecuencia, la entrada de frecuencia de 100 HZ describe un mapa a : así graficamos las líneas del espectro a ῷ = ± 0,4 π rad Entonces además dibujamos todos los alias

47. a : El convertidor D- to- C transforma el espectro de tiempo discreto al espectro de salida de tiempo continuo, pero aquí hay una complicación, el convertidor D- to- C debería seleccionar solo un par de líneas del espectro de todas las posibilidades dadas por la ecuación:

48. La regla de selección es arbitraria, pero en orden será consistente con la operación del convertidor. Deberíamos afirmar que el convertidor ideal D- to- C siempre selecciona la menor frecuencia posible para cada conjunto de alias, a estos los llamamos frecuencias de alias principales y estas son los componentes de frecuencia que caen dentro de

49. Ellos satisfacen la relación a la Y las líneas espectrales para la salida serán siempre posicionadas entre y cuando son convertidos desde frecuencia analógica, el resultado es: Con fs=500 muestras/seg

50. sobre muestreo En resumen, para el caso de donde la frecuencia original es menor que será original la de la forma de onda En el presente reconstruida exactamente. ejemplo así que la condición de Nyquist del teorema de muestreo es satisfecha, y la salida y(t) es igual a la entrada x(t) como se muestra en la gráfica siguiente: El gráfico del dominio del tiempo muestra las muestras x [n] como puntos grises, la señal original x (t) como una línea naranja continua y la señal reconstruida y (t) como una línea negra discontinua

51. Alias esperado para Bajo muestreo la señal esta bajo muestreo, por Cuando ejemplo, si Podemos mostrar que la distorsión del alias ocurre.

52. En el parte superior se muestra el espectro de la señal de entrada analógica x (t), junto con una línea discontinua que indica la frecuencia de muestreo en fs = 80 Hz. El espectro de la señal de tiempo discreto contiene línea en según lo predicho por la ecuación de discreto también escala de frecuencia para completar el espectro de tiempo debemos dibujar todos los alias en:

53. En este gráfico, la sinusoide de 100 Hz (línea roja continua) se muestrea con demasiada frecuencia como para ser reconocida como la sinusoide original de 100 Hz. Cuando examinamos el proceso D- to- C para este caso, usamos las líneas de espectro de baja frecuencia para formar el espectro de tiempo discreto

54. Estos están en así que calculamos las líneas del espectro de salida en Otra forma de establecer este resultado es observar que se habrían obtenido las mismas muestras de una sinusoide de 20 Hz. Como dato fs=80 Hz

55. La señal reconstruida es que la sinusoide de 20 Hz se muestra como la línea discontinua del gràfico que se muestra en esta diapositiva. Observe que la frecuencia de alias de 20 Hz se puede encontrar restando fs de 100 Hz. Comprender este punto es la clave del alias .

56. la frecuencia de muestreo y la frecuencia de sinusoide son las mismas Las figuras siguientes muestran el caso donde la . Claramente, lo que dominio sucede es que las muestras son siempre tomadas en el mismo lugar en la forma de onda, por lo que obtenemos el equivalente de muestrear un nivel DC constante, que es lo mismo que una sinusoide con frecuencia cero, podemos justificar este resultado en el de la frecuencia observando que la señal de tiempo discreto debe contener líneas de espectro en y también en las líneas separadas por 2pil. Por lo tanto, uno de los alias aterriza en w = 0, y ese es el reconstruido por el convertidor D a C

57. Muestreo de una sinusoide de 100 Hz a fs = 100 muestras / seg. El gráfico del dominio del tiempo muestra las muestras como puntos grises. La sinusoide original x (t) como una línea roja continua y la señal reconstruida y (t) como una línea negra discontinua. El espectro de tiempo discreto contiene solo líneas en

58. Alias esperado para Sub muestreo La siguiente figura muestra el caso en que el submuestreo conduce al plegamiento: aquí la frecuencia de muestreo es fs = 125 muestras / seg. Una vez más, se muestra el espectro de la señal de tiempo continuo con líneas de espectro.

59. La señal de entrada (línea naranja continua) desciende en t = 0, mientras que la salida reconstruída asciende (línea discontinua negra) El espectro de tiempo discreto se construye asignando a las dos líneas de espectro en y luego incluye todos los alias para obtener líneas en

60. En este caso, sucede algo interesante. Los dos componentes de frecuencia entre xxxx son xxx, pero el salida reconstruida será de xxxx es un alias de xxxx. Este es un ejemplo de plegado . La frecuencia analógica de la cambiará. Si la sinusoide original de 100 Hz tenía una fase de xxxx, entonces las fases del componente en xxxxx serían xxx y se deduce que la fase del componente con alias en xxx también sería xxxx. Después de la reconstrucción, la fase de y (t) sería xxxx.

61. Esto significa que cuando se muestrea una sinusoide de 100 Hz a una velocidad de muestreo de 125 muestras / seg, obtenemos las mismas muestras que hubiéramos obtenido al muestrear una sinusoide de 25 Hz pero con fase opuesta .

62. Sobre Muestreo Sub Muestreo Bajo Muestreo EN RESUMEN:

63. EJERCICIOS PARA EL FINAL DE LA UNIDAD : MUESTREO

64. EJEMPLO # 16 :

65. SOLUCIÓN EJEMPLO # 16 :

66. SOLUCIÓN EJEMPLO # 16 :

67. SOLUCIÓN EJEMPLO # 16 :

68. EJEMPLO # 17:

69. CONTINUACIÓN EJEMPLO # 17 :

70.   =275 <   POR LO TANTO:

71. EJEMPLO # 18 :

72. SOLUCIÓN EJEMPLO # 18:

73. EJEMPLO # 19 : Considere el siguiente sistema:

74. SOLUCIÓN EJEMPLO # 19: Considere el siguiente sistema:

75. EJEMPLO # 20:

76. SOLUCIÓN EJEMPLO # 20: