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1. CAPÍTULO IV CIRCUITOS MAGNÉTICOS

2. CIRCUITOS MAGNETICOS Los circuitos magnéticos tienen gran importancia en las máquinas eléctricas, pues ellos son los “conductores” del flujo magnético necesario para que realicen los fenómenos electromagnéticos que permiten el funcionamiento de los generadores, motores y transformadores. El análisis de los circuitos magnéticos encuentra la dificultad de que estos circuitos a diferencia de los eléctricos no son lineales y debido a eso se han tenido que desarrollar métodos especiales de solución que vamos a analizar más adelante. En cuanto a los circuitos, éstos pueden dividirse en la siguiente forma: Circuitos serie rectangulares sin entrehierro, de sección uniforme. Circuitos serie rectángulos sin entrehierro de diferentes secciones. Circuitos serie rectangulares con entrehierro de sección uniforme. Circuitos serie rectangulares con entrehierro de diferentes secciones. Circuitos serie-paralelo con entrehierro y sin entrehierro. Circuitos serie y serie-paralelo con entrehierro de diferentes formas (máquinas rotativas).

3. En el primer caso veremos un circuito magnético lineal compuesto de un material no ferro magnético, circuito que si bien no tiene mucha aplicación práctica, resulta de utilidad para poner en evidencia determinadas relaciones entre las magnitudes que entran en juego en los circuitos magnéticos. 2. EL TOROIDE DE NUCLEO DE AIRE Un caso muy sencillo del circuito magnético lineal, es el del toroide con núcleo de aire

4. La bobina de N espiras producirá una fuerza magneto motriz de NI amperes-espiras y se generara en el núcleo un flujo Para facilitar la solución del problema podemos suponer que la densidad de flujo es uniforme en toda la sección AA’ e igual al valor que tiene en su punto medio. También se desprecia toda dispersión de flujo fuera del toroide. Aplicando la ley de la circulación: Además sabemos que:

5. Reemplazando: Por otro lado: Despejando : En esta ecuación se define el término como “permeancia P” del circuito magnético y a su inversa como la “reluctancia R” del circuito, por analogía con la fórmula de la resistencia de los circuitos eléctricos.

6. La expresión toma entonces la siguiente forma: Este resultado es muy semejante a la ley de Ohm y por esa razón se le denomina a veces “ley de Ohm de los circuitos magnéticos. Podemos observar que las cantidades correlativas entre circuitos magnéticos y eléctricos en este caso son: CIRCUITOS ELÉCTRICOS CIRCUITOS MAGNÉTICOS Corriente I f.e.m E Resistencia R Conductancia C Conductividad Flujo f.m.m NI Reluctancia R Permeancia P Permeabilidad La expresión nos indica también la razón por la cual no son lineales los circuitos magnéticos. Observando la fórmula de la reluctancia, podemos ver que éste depende del del material que solamente es constante en los materiales no , lo cual impide poder usar la ferromagnetismo. Para estos últimos en cambio, depende del flujo expresión en estos circuitos.

7. 3. CIRCUITOS FERROMAGNETICOS SERIE RECTANGULARES SIN ENTREHIERRO, DE SECCION UNIFORME Este caso es muy simple y se puede resolver por cálculo directo, usando la curva B-H del material. En general la solución de un circuito magnético puede consistir en la determinación del flujo o en la determinación de los (NI) de la bobina. En los circuitos de sección uniforme, ambas soluciones se determinan directamente por el siguiente procedimiento: DATO DATO (NI) 1. Se calcula 1. Se calcula 2. De la curva 2. De la curva 3. Ley de la circuitación 3.

8. Generalmente los nucleas son laminados y en ese caso hay que introducir un factor de laminación (f), cuyo valor oscila entre 0.8-0.95, para tomar en cuenta la disminución del área útil del hierro debido al aislamiento que recubre las láminas. El área útil se obtiene así:

9. EJEMPLO 4.1 Determinar el flujo magnético producido por la bobina de magnetización cuando es recorrida por una corriente de 10 amperios. Espesor = 2” Factor de laminación: 0.9 Material = acero silicio para transformadores N= 100 espiras I= 10 amperios SOLUCIÓN La longitud del circuito magnético será: La sección útil:

10. La bobina produce una fuerza electromotriz ( f.m.m ) de: Aplicando la ley de la circuitención : De la curva B-H del material obtenemos: Entonces:

11. 4. CIRCUITOS FERROMAGNETICOS RECTANGULARES SERIE ENTREHIERRO DE DIFERENTES SECCIONES. En este caso la determinación de los NI no implica dificultad alguna y se procede en forma similar al caso anterior. Si las longitudes y las secciones útiles de los diferentes tramos son: podemos calcular las densidades de flujo correspondientes: ; y en las curvas B-H de los materiales hallamos los diferentes valores del campo H:

12. Finalmente los amperes-espiras, serán Si en cambio se conoce los (NI) y se desea calcular el flujo, el procedimiento es más complicado, ya que la ley de circuitación en este caso no nos permite calcular los diferentes valores de H. Hay que proceder por tanteo suponiendo sucesivamente varios valores de y efectuando los cálculos de la solución anterior hasta hacer coincidir los amperes-espiras que se obtienen con los datos del problema. EJEMPLO 4.2 1. Determinar los (NI) de la bobina de magnetización para producir un flujo de 100.000 Maxwell. 2. Calcular el número de espiras de la bobina si I=10 A. 3. Calcular la inductancia de la bobina. SOLUCIÓN: Las secciones útiles serán:

13. Las densidades de flujo serán: DATOS: Espesor = 5cm F=0.9 Material: acero al níquel-cromo Con estos valores obtenemos de la curva B-H Las longitudes de los tramos de igual secci ó n ser á n:

14. 1. Aplicando la ley de la circuitación :

15. 5. CIRCUITOS FERROMAGNETICOS SERIE CON ENTREHIERRO Y NUCLEO DE SECCION CONSTANTE 5.1 Determinaci ó n de la fuerza magneto motriz ( f.m.m. ) Este es un tipo de circuito muy utilizado en la pr á ctica, pues la mayor í a de los circuitos tienen entrehierro. El problema de calcular los (NI), conociendo el flujo es muy sencillo y se resuelve por el m é todo directo, siguiendo el procedimiento ya descrito anteriormente. Hay que tomar solamente en cuenta la dispersi ó n de las l í neas de flujo en el entrehierro, aumentando la secci ó n del entrehierro con respecto a la del hierro de acuerdo con la f ó rmula emp í rica:

16. El c á lculo se realiza de la siguiente forma: Se tiene: En la curva B-H se determinan ; mientras que se obtiene mediante la Entonces: expresi ó n:

17. EJEMPLO 4.4 a). Determinar los Amper-vueltas de la bobina para obtener un flujo de 100.000 Maxwell. Secci ó n uniforme del n ú cleo. Factor de laminaci ó n = 0.9 Material: fierro fundido Calcular el del material magn é tico y la inductancia de la bobina, Á rea del entrehierro suponiendo N= 1000 espiras. SOLUCION: Áreas

18. Densidades de flujo Intensidades de campo H. La intensidad en el hierro se obtiene de la curva B-H de la figura: La intensidad en el aire se obtiene de la siguiente expresi ó n: Fuerza magneto motriz ( f.m.m ) Aplicando la ley de la circuitaci ó n :

19. 5.2 Determinaci ó n del flujo La soluci ó n inversa en cambio es m á s complicada y se puede usar el m é todo por tanteos, que resulta bastante largo o el m é todo gr á fico que vamos a describir a continuaci ó n. 5.2.1 M é todo gr á fico de soluci ó n de circuitos magn é ticos Supongamos que tenemos un circuito magn é tico serie-con entrehierro y que deseamos determinar el flujo Á rea transversal del circuito: , producido por los Amper-vueltas de la bobina.

20. Á rea transversal ú til: Á rea del entrehierro: Las condiciones que debe satisfacer el circuito son las siguientes: La soluci ó n grafica consiste en trazar en el plano cartesiano dos curvas: Ordenadas abscisas a) La curva flujo con b) La recta flujo con

21. La curva se traza utilizando la curva B-H del material, multiplicando las ordenadas por y las abscisas por Para trazar la recta en cambio hay que ubicar dos puntos. Esto se hace de la siguiente forma:

22. Sabemos que: Por lo tanto: Por consiguiente: Y finalmente: Esta ser á la ecuaci ó n de la recta . Podemos observar que sus Intersecci ó n con el eje y: intersecciones con los ejes coordenados ser á n: Intersecci ó n con el eje x:

23. Adem á s se puede determinar la pendiente de la recta o preferible la tangente α 5.2.1.1. Empleo de la curva B-H – Recta modificada Resulta m á s c ó modo emplear directamente la curva , en lugar de construir la curva Para eso bastara dividir las ordenadas por y las abscisas por La ecuaci ó n de la recta se transformara entonces de: En:

24. Esta ser á la ecuaci ó n de la recta y sus intersecciones ser á n: Con el eje y: Con ele eje x: Y la nueva pendiente ser á :

25. EJEMPLO 4.5 Determinar el flujo magn é tico en el circuito serie indicado en la figura si la bobina de magnetizaci ó n de 800 espiras es recorrida por una corriente de 1.57 amperios. Espesor= 2 ” F= 1 Material= hierro fundido SOLUCION: La soluci ó n m á s r á pida se obtiene por el m é todo grafico, usando la recta de pendiente modificada. Las intersecciones de la recta con los ejes cartesianos ser á n:

26. En el c á lculo anterior se ha usad el valor de que corresponde el sistema de unidades inglesas empleado en este problema. Graficamos la recta y obtenemos: El punto M de intersecci ó n de la recta y la curva B-H, nos proporciona el valor , luego el flujo ser á : 6. CIRCUITOS RECTANGULARES DE DIFERENTES SECCIONES CON ENTREHIERRO En estos circuitos la determinaci ó n de los (NI), se realiza f á cilmente por el m é todo directo. En cambio, la determinaci ó n del flujo , requiere emplear el m é todo de los tanteos, puesto que es imposible aqu í emplear el m é todo grafico.

27. 7. CIRCUITOS RECTANGULARES PARALELO Y SERIE-PARALELO CON Y SIN ENTREHIERRO Para resolver estos circuitos es necesario aplicar las leyes de kirchoff de los circuitos, magn é ticos que nos dan, por analog í a con los circuitos el é ctricos. I-en cada punto del circuito: En cada circuito cerrado:

28. EJEMPLO 4.6 En el circuito magn é tico de la figura determinar en direcci ó n y magnitud la corriente que deber á circular en cada bobina para que se produzcan los siguientes flujos: Material: acero silicio para transformadores f=0.9 Espesor = 4 ” Soluci ó n: Secci ó n neta del n ú cleo= El flujo

29. Las densidades de flujo y sus correspondientes valores de H ser á n: Aplicando la ley de la circuitaci ó n : La direcci ó n est á marcada en la figura, determinada de acuerdo con la regla de la mano derecha.

30. 8. CIRCUITOS MAGNETICOS UTILIZADOS EN LAS MAQUINAS ELECTRICAS Las m á quinas el é ctricas tales como dinamos, motores, alternadores, etc. Utilizan circuitos magn é ticos que no son rectangulares. La soluci ó n de estos circuitos presenta ciertas dificultades que se pueden resolver idealizando el problema. Un caso muy importante es el circuito magn é tico de un generador de corriente continua tetra polar.

31. Este circuito se puede dividir en las siguientes partes: a) El yugo del estator , hecho generalmente de hierro fundido o acero sin laminar. b) Los polos , hechos de acero laminado que llevan las bobinas de magnetizaci ó n. c) El rotor , hecho de acero laminado. d) Los dientes del rotor , necesarios para poder alojar en las correspondientes ranuras los conductores. e) El entrehierro de aire , que permite el movimiento del rotor 8.1 Distribuci ó n del flujo magn é tico. Para resolver el circuito hay que ver, en primer lugar, la distribuci ó n del flujo magn é tico en las diferentes partes del circuito. La relaci ó n entre el flujo en el polo y el flujo en el entrehierro, nos da el llamado coeficiente de dispersi ó n , cuyo valor oscila entre 1.15 y 1.35 seg ú n el tama ñ o de la m á quina, es decir: Si asumimos un flujo en el entrehierro entonces tendremos en los otros tramos los siguientes flujos:

32. Yugo: Dientes: Rotor: Polo: 8.2 Dimensiones de las diferentes partes La determinaci ó n correcta de la longitud y de la secci ó n de cada tramo es muy importante y revista cierta dificultad. Veamos cada parte separadamente comenzando por las m á s f á ciles de calcular: 8.2.1. El yugo La longitud total del yugo es 2 aunque para los c á lculos se emplea solamente y as í se obtiene los amperes piras correspondiente a un la mitad, es decir polo (en el circuito magn é tico completo figuran dos polos). La secci ó n ser á Ay= a.1 siendo l ” la longitud axial del yugo.

33. 8.2.2. Polo La longitud del polo ser á y la secci ó n siendo l ’ la longitud y para la secci ó n se toma con Siendo l la longitud axial del rotor axial del polo. 8.2.3 Rotor La longitud del rotor a considerarse en suficiente aproximaci ó n: los c á lculos 8.2.4 Entrehierro El c á lculo de las dimensiones del entrehierro es bastante complicado en este caso, por la presencia de los dientes. En a figura puede verse una ampliaci ó n de un diente en el cual se ha dibujado las l í neas de flujo. Es evidente que el entrehierro a considerarse en los c á lculos debe ser mayor que y para determinar su verdadero valor se utilizan las siguientes f ó rmulas obtenidas por F.W. Carter:

34. Y para determinar el coeficiente se emplea: Esta ecuaci ó n ha sido graficada para los valores usuales de Finalmente para c á lculos menos precisos se puede utilizar la siguiente expresi ó n aproximada: La determinaci ó n de la secci ó n del entrehierro requiere tambi é n un estudio aparte. La longitud de la cara polar y se puede determinar f á cilmente conociendo el n ú mero de polos p y el di á metro D del rotor: Siendo

35. siendo un coeficiente generalmente 0.7 que toma en cuenta la zona muerta entre polo y polo. Para c á lculos m á s precisos esta longitud se corrige para tomar en cuenta la distribuci ó n de la densidad de flujo en el entrehierro que tiene la siguiente forma:

36. El á rea ser á entonces: 8.2.5. Dientes El problema de determinar la densidad de flujo en los dientes es bastante arduo. La dificultad mayor consiste en que generalmente el diente est á saturado y como consecuencia parte del flujo pasa por la ranura. La densidad de de los dientes que est á n frente al. flujo real en el diente resulta ser entonces inferior al valor te ó rico que se obtiene considerando solamente el á rea Polo. Para c á lculos aproximados puede suponerse que el diente no est á saturado y calcular la densidad de flujo con: La longitud del diente ser á siempre

37. EJEMPLO 4.10 Utilizando las dimensiones dadas, determinar los ampervueltas de la excitaci ó n de cada polo para producir un flujo de 1200 kilo l í neas en el entrehierro. Considerar un factor de dispersi ó n de 1.2. los dientes tienen las siguientes dimensiones t= 1 ” , , Se conoce tambi é n: longitud axial del rotor= 4.5 “ . Longitud axial del polo = 4 ” . Longitud axial del yugo=6 ” Soluci ó n: Las operaciones se pueden tabular de la siguiente forma:

38. Tramo Material Flujo Área ( B (KL/ H AV/pulg Longit L(pulg) NI=HL AV YUGO Acero Curva 5 720 15 48 11 8 88 POLO Ac. Silicio Curva 2 1440 162 89 21 5 105 ROTOR Ac silicio Curva 2 600 645 93 33 2 66 DIENTES Ac silicio Curva 2 1200 11 109 170 1 170 ENTRE- HIERRO Aire Curva 7 1200 25.5 47 14700 0.0075 1100   1529

39. FLUJOS Entrehierro y dientes: Rotor : =600 KL Yugo : Polo : Longitud del entrehierro: en la figura: De la expresi ó n:

40. Y entonces: AREAS Yugo: Polo: Rotor: Dientes: Donde Entrehierro: Efectuando los c á lculos que figuran en la tabla se obtiene como resultado una f.m.m. de 1529 A.V. El problema inmediato seria ahora determinar el numero (N) de espiras que debe tener la bobina y la secci ó n (S) del alambre de cobre a utilizarse. Para esto disponemos e los siguientes datos:

41. NI= f.m.m. necesaria (amperes piras) = longitud media de cada espira(m) =resistividad del alambre a la temperatura de trabajo V= tensi ó n de alimentaci ó n de la bobina (volt) J= Densidad de corriente m á xima admisible (A/ ) S= secci ó n del alambre ( ) Para determinar la secci ó n bastara aplicar la ley de Ohm: De donde deducimos:

42. Esta expresi ó n nos proporciona la secci ó n S Para determinar el n ú mero de espiras, utilizamos la densidad de corriente: Reemplazando esta expresi ó n en Y despejando N: 9. LA REFRACCION DE LAS LINEAS DE FLUJO Cuando una l í nea de flujo pasa de un material ferro magn é tico al aire o viceversa, se produce una variaci ó n de su direcci ó n a no ser que atraviese la superficie normalmente. A este fen ó meno se le denomina “ refracci ó n ” porque siguen una ley semejante a las que siguen los rayos luminosos cuando se refractan. Supongamos que tenemos dos medios con y que una l í nea de flujo atraviesa la superficie de separaci ó n AA ’ con un á ngulo de incidencia OC1. Podemos entonces ubicar los vectores

43. y sus componentes normales y tangenciales a la superficie de la siguiente manera: El problema consiste en determinar el á ngulo en funci ó n de y de las permeabilidades relativas Para esto hay que tener presente que: (la densidad de flujo normal debe ser igual en ambos medios) (esta igualdad se demuestra aplicando la ley de la circuitaci ó n alrededor del punto P

44. Entonces: Y de:

45. Por otro lado: El á ngulo de refracci ó n es igual a: En cuanto a se determina f á cilmente con la EJEMPLO 4.11 Supongamos que tenemos u circuito magn é tico serie con un entrehierro oblicuo. La secci ó n es de 25 ” x 4 ” y el flujo en el entrehierro debe ser de 100,000 l í neas. Para determinar aplicamos Donde

46. Ahora bien lo podemos determinar de la siguiente manera: y considerando un factor de laminaci ó n unitario, con los datos num é ricos obtenemos:

47. Entonces: y Entonces: Este resultado se puede generalizar y decir que las l í neas de fuerza abandonan siempre el material ferro magn é tico a 90 º grados en los entrehierros. En cuanto a la intensidad del campo en el aire tenemos:

48. Comprobaci ó n: Que pr á cticamente coincide con el valor hallado anteriormente Finalmente: