Chern Simons Gauge Theory 20 Years After Jørgen E. Andersen

Chern Simons Gauge Theory 20 Years After Jørgen
E. Andersen download
https://ebookgate.com/product/chern-simons-gauge-theory-20-years-
after-jorgen-e-andersen/
Get Instant Ebook Downloads – Browse at https://ebookgate.com

Get Your Digital Files Instantly: PDF, ePub, MOBI and More
Quick Digital Downloads: PDF, ePub, MOBI and Other Formats
Chern on Dispute Boards 3rd Edition Cyril Chern
https://ebookgate.com/product/chern-on-dispute-boards-3rd-
edition-cyril-chern/
Methods of Contemporary Gauge Theory 1st Edition Yuri
Makeenko
https://ebookgate.com/product/methods-of-contemporary-gauge-
theory-1st-edition-yuri-makeenko/
20 Years after the Collapse of Communism Expectations
achievements and disillusions of 1989 Interdisciplinary
Studies on Central and Eastern Europe Nicolas Hayoz
(Editor)
https://ebookgate.com/product/20-years-after-the-collapse-of-
communism-expectations-achievements-and-disillusions-
of-1989-interdisciplinary-studies-on-central-and-eastern-europe-
nicolas-hayoz-editor/
Scattering Amplitudes in Gauge Theory and Gravity 1st
Edition Henriette Elvang
https://ebookgate.com/product/scattering-amplitudes-in-gauge-
theory-and-gravity-1st-edition-henriette-elvang/

20 Years of Guided Bone Regeneration in Implant
Dentistry 2nd Edition Daniel Buser
https://ebookgate.com/product/20-years-of-guided-bone-
regeneration-in-implant-dentistry-2nd-edition-daniel-buser/
Political Theory after Deleuze Nathan Widder
https://ebookgate.com/product/political-theory-after-deleuze-
nathan-widder/
The Marshall Plan Fifty Years After 1st Edition Martin
Schain (Eds.)
https://ebookgate.com/product/the-marshall-plan-fifty-years-
after-1st-edition-martin-schain-eds/
Barbra Christopher Andersen
https://ebookgate.com/product/barbra-christopher-andersen/
The Novel After Theory 1st Edition Judith Ryan
https://ebookgate.com/product/the-novel-after-theory-1st-edition-
judith-ryan/

Advanced

S.-T. Yau, Editor

Jørgen E. Andersen
Hans U. Boden
Atle Hahn
Benjamin Himpel
Editors
Chern-Simons
Gauge Theory:
20 Years After

Chern-Simons
Gauge Theory:
20 Years After

Chern-Simons
Gauge Theory:
20 Years After
Jørgen E. Andersen
Hans U. Boden
Atle Hahn
Benjamin Himpel
Editors
Studies in
Advanced
Mathematics
AMS/IP
Volume 50
American Mathematical Society • International Presshttps://doi.org/10.1090/amsip/050

Shing-Tung Yau, General Editor
2000Mathematics Subject Classiﬁcation. Primary 11F23, 14E20, 16S10, 19L10, 20C20,
20F99, 20L05, 30F60, 32G15, 46E25, 53C50, 53D20, 53D99, 54C40, 55R80, 57M25,
57M27, 57M60, 57M50, 57N05, 57N10, 57R56, 58D27, 58D30, 58E09, 58J28, 58J30,
58J52, 58Z05, 70S15, 81T08, 81T13, 81T25, 81T30, 81T45, 83C80.
Library of Congress Cataloging-in-Publication Data
Chern-Simons gauge theory: 20 years after / Jørgen E. Andersen...[et al.], editors.
p. cm. (AMS/IP studies in advanced mathematics ; v. 50)
Proceedings of a workshop held at the Max Planck Institute for Mathematics in Bonn,
Aug. 3–7, 2009.
Includes bibliographical references.
ISBN 978-0-8218-5353-5 (alk. paper)
1. Number theory—Congresses. 2. Algebraic topology—Congresses. 3. Associative rings—
Congresses. 4. K-theory—Congresses. 5. Group theory—Congresses. I. Andersen, Jørgen E.
1965–
QA241.C6355 2010
514
∞
.74—dc22
2011012166
Copying and reprinting.Material in this book may be reproduced by any means for edu-
cational and scientiﬁc purposes without fee or permission with the exception of reproduction by
services that collect fees for delivery of documents and provided that the customary acknowledg-
ment of the source is given. This consent does not extend to other kinds of copying for general
distribution, for advertising or promotional purposes, or for resale. Requests for permission for
commercial use of material should be addressed to the Acquisitions Department, American Math-
ematical Society, 201 Charles Street, Providence, Rhode Island 02904-2294, USA. Requests can
also be made by e-mail [email protected].
Excluded from these provisions is material in articles for which the author holds copyright. In
such cases, requests for permission to use or reprint should be addressed directly to the author(s).
(Copyright ownership is indicated in the notice in the lower right-hand corner of the ﬁrst page of
each article.)
c∞2011 by the American Mathematical Society and International Press. All rights reserved.
The American Mathematical Society and International Press retain all rights
except those granted to the United States Government.
Printed in the United States of America.
∞∞The paper used in this book is acid-free and falls within the guidelines
established to ensure permanence and durability.
Visit the AMS home page athttp://www.ams.org/
Visit the International Press home page athttp://www.intlpress.com/
1098765432 16151413

Contents
Preface ix
Remarks on Wilson Loops and Seifert Loops in Chern-Simons Theory 1
Chris Beasley
Quantum Field Theory and the Volume Conjecture 19
Tudor DimofteandSergei Gukov
Computational Aspects in Reidemeister Torsion and Chern–Simons Theories 43
J´erˆome Dubois
Functional Integration and Abelian Link Invariants 65
Enore Guadagnini
Chern-Simons Invariants, SO(3) Instantons, andZ/2 Homology Cobordism 83
Matthew Hedden andPaul Kirk
Extending theSU(3) Casson Invariant to Rational Homology 3-Spheres 115
Christopher M. Herald
Decomposition of Witten–Reshetikhin–Turaev Invariant:
Linking Pairing and Modular Forms 131
Kazuhiro Hikami
Representations and the Colored Jones Polynomial of a Torus Knot 153
Kazuhiro HikamiandHitoshi Murakami
Eta-Invariants and Anomalies inU(1) Chern-Simons Theory 173
Lisa JeffreyandBrendan McLellan
Delta-Groupoids and Ideal Triangulations 201
Rinat M. Kashaev
Invariants of Knots and 3–Manifolds Derived from the
Equivariant Linking Pairing 217
Christine Lescop
Chern–Simons Theory, the 1/NExpansion, and String Theory 243
Marcos Mari˜no
v

vi Contents
Global Lorentzian Geometry from Lightlike Geodesics:
What Does an Observer in (2+1)-Gravity See? 261
Catherine Meusburger
Spin Foam State Sums and Chern-Simons Theory 277
Aleksandar Mikovi´candJoao Faria Martins
Representations of the Ptolemy Groupoid, Johnson Homomorphisms,
and Finite Type Invariants 285
Robert C. Penner
Yang-Mills in Two Dimensions and Chern-Simons in Three 307
Ambar N. Sengupta
Intersection Pairings on Spaces of Connections and Chern-Simons
Theory on Seifert Manifolds 317
George Thompson
Fermionization and Convergent Perturbation Expansions in
Chern-Simons Gauge Theory 331
Jonathan Weitsman
Analytic Continuation of Chern-Simons Theory 347
Edward Witten

Preface
The workshopChern-Simons gauge theory: 20 years afterwasheldatthe
Max-Planck-Institute for Mathematics in Bonn from August 3 until August 7,
2009. It brought together mathematicians and physicists from many countries, in-
cluding Austria, Brazil, Canada, Denmark, France, Germany, Japan, Korea, Lux-
embourg, Netherlands, Poland, Portugal, Romania, Spain, Sweden, Switzerland,
United Kingdom and the United States of America, to discuss their research pro-
grams in geometric topology, stochastic analysis and mathematical physics. What
was shared by this diverse group was a strong interest in Chern-Simons theory, and
this is reﬂected in the talks of the conference as well as in the papers in this volume.
Witten introduced Quantum Chern-Simons theory to knot theory in 1989, when
he described the Jones polynomial of a link inS
3
as a certain (non-rigorous) Feyn-
man path integral, more speciﬁcally as the quantum ﬁeld theory whose action is a
multiple of the Chern-Simons function. He interpreted these invariants using the
axioms of topological quantum ﬁeld theory (TQFT) as well as via an asymptotic
expansion.
Since then, there have been several advances in understanding both approaches
to Chern-Simons theory, starting with the ﬁrst rigorous construction of the TQFT
version by Reshetikhin and Turaev. This gave rise to quantum topology, a vibrant
ﬁeld which is currently moving in a number of directions including:
•categoriﬁcation,
•modular forms, making contact with number theory,
•Gromov-Witten theory via LargeNduality, and
•asymptotic analysis making contact with ﬁnite type invariants and hy-
perbolic geometry, for example via the volume conjecture and the AJ-
conjecture.
Many of these topics were touched upon in the talks delivered at the conference
and are discussed further in the papers of this volume.
One of the outstanding open problems in Chern-Simons theory is to provide a
mathematically rigorous treatment for the Feynman path integral, and the diﬃculty
has to do with the problem of constructing a suitable gauge-invariant measure on
the inﬁnite dimensional space of all connections. A new approach to this diﬃcult
problem is provided by stochastical analysis, and this approach was also discussed
at the conference and is the focus for several papers in this volume.
Another important aspect of Chern-Simons gauge theory that was featured at
the conference has to do with Floer homology theory and related invariants for
3-manifolds. The starting point is Taubes’ result from 1989 which allows one to
interpret the Casson invariant as the Euler characteristic of the instanton homology
deﬁned by Floer, and some new directions of research in Floer homology and Casson
invariants are presented in the papers of this volume.
ix

xPreface
In addition to its many scientiﬁc activities, the conference featured a num-
ber of pleasant social activities, including a boat ride on the Rhine, a hike up the
Drachenfels, a visit to the Biergarten in the Rheinau, and a fun wine and pretzel
party at the Hausdorﬀ Institute with musical performances in classical, jazz, and
rock music by a number of talented individuals, including Dana Fine, Chris Her-
ald, Ben Himpel, Diane and Louis Kauﬀman, Paul Kirk, Markus Land, Cristina
Martinez, Justin Roberts, Roland van der Veen and Lucy Zhang. We are especially
grateful to Matthias Kreck for making the Hausdorﬀ Institute available to us for
this memorable evening.
There were many people who helped to make the conference a success, and we
would like to take this opportunity to recognize their contributions. To begin, the
conference received funding through the Hausdorﬀ Center for Mathematics in Bonn
and the ITGP network of the European Science Foundation, and we would like to
thank all the staﬀ at the Hausdorﬀ Institute and the Max-Planck-Institute in Bonn
for their friendly assistance during the conference. The editors would also like to
thank Arthur Greenspoon for his sage advice and Debbie Iscoe for her expertise
in preparing the ﬁnal versions of the manuscripts. Finally, we would like to thank
all the authors who contributed their work to this volume, and especially Edward
Witten, who delivered an inspirational lecture at the conference and contributed
another monumental paper that is sure to stimulate further activity in this and
related ﬁelds.
Jørgen E. Andersen, Hans U. Boden, Atle Hahn, and Benjamin Himpel
November 2010

List of Speakers
Dave Auckly: Gauge-string duality and the structure of large
rank Chern-Simons invariants
Dror Bar-Natan: Convolutions on Lie groups and Lie algebras and
ribbon 2-knots
Dave Auckly: Gauge-string duality and the structure of large
rank Chern-Simons invariants
Dror Bar-Natan: Convolutions on Lie groups and Lie algebras and
ribbon 2-knots
Chris Beasley: Localization for Wilson loops in Chern-Simons
theory
Dana Fine: A geometric alternative to gauge ﬁxing in Chern-
Simons theory onS
1
×Σ
Stavros Garoufalidis: Chern-Simons theory and arithmetic
Enore Guadagnini: Functional integration and abelian link invariants
Sergei Gukov: Exact results for perturbative Chern-Simons the-
ory with complex gauge group
Christopher M. Herald: AnSU(3)Casson invariant for rational homology
spheres
Kazuhiro Hikami: WRT invariants and modular forms
Rinat M. Kashaev: On rings associated with ideal triangulations of
knot complements
Louis H. Kauffman: Khovanov homology and the Potts model
Mikhail Khovanov: Categoriﬁcation of quantum groups
Paul Kirk: Non-abelian representations, homology 3-spheres,
and knot concordance
Albrecht Klemm: Chern-Simons theory and topological string the-
ory on non-compact Calabi-Yau manifolds
Christine Lescop: On the cube of the equivariant linking pairing for
closed 3-manifolds of rank one
Marcos Mari˜no: Chern-Simons theory, the1/Nexpansion, and
string theory
Gregor Masbaum: Integral structures in TQFT and the mapping
class group
Catherine Meusburger: Getting physics from 3d gravity: What does an
observer in 3d gravity see?
Aleksandar Mikovi´c: Invariants of spin networks embedded in 3-
manifolds
xi

xii List of Speakers
Hitoshi Murakami: SL(2,C)-representations and asymptotic behav-
iors of the colored Jones polynomial of a knot
Robert C. Penner: Fatgraphs and ﬁnite type invariants
Albert Schwarz: Generalizations of Chern-Simons theory
Ambar N. Sengupta: Functional integrals in low-dimensional gauge the-
ories
George Thompson: Chern-Simons theory on Seifert 3-manifolds
Jonathan Weitsman: Fermionization and convergent perturbation ex-
pansions in Chern-Simons gauge theory
Edward Witten: Branes and quantization

List of Participants
Sergio Albeverio, University of Bonn
Jørgen E. Andersen, University of Aarhus
Dave Auckly, Kansas State University
Dror Bar-Natan, University of Toronto
Stefan Bauer, University of Bielefeld
Chris Beasley, Stony Brook University
Stefan Behrens, University of Bonn
Adara Blaga, West University of Timisoara
Hans U. Boden, McMaster University
Francesco Costantino, IRMA, University of Strasbourg
Tien Cuong Dinh, Professor at Paris 6 University
J´erome Dubois, Universit´e Paris 7, Denis Diderot
Magnus Engenhorst, Institut f¨ur Mathematik, Universit¨at Augsburg
Jo˜ao Faria Martins, Centro de Matem´atica da Universidade do Porto
Alexander Felshtyn, University of Szczecin and MPIM, Bonn
Dana Fine, University of Massachusetts
Stavros Garoufalidis, Georgia Institute of Technology
Masha Gordina, University of Connecticut/University of Bielefeld
Enore Guadagnini, University of Pisa
Sergei Gukov, California Institute of Technology
Atle Hahn, Universidade de Lisboa
Luiz Hartmann, USP - Universidade de S˜ao Paulo
Andriy Haydys, University of Bielefeld
Chris Herald, University of Nevada
Michael Heusener, Universit´e Blaise Pascal Clermont II
Kazuhiro Hikami, University of Tokyo
Benjamin Himpel, University of Bonn
Iulia Elena Hirica, University of Bucharest
Fuji Hiroyuki, Nagoya University
Lotte Hollands, University of Amsterdam
Saeid Jafari, College of Vestsjaelland South (VUC)
Franck Jedrzejewski, CEA (French Atomic Commission)
Alexander Kahle, University of G¨ottingen
Uwe Kaiser, Boise State University
Rinat Kashaev, University of Geneva
Louis H. Kauﬀman, Math Dept, University of Illinois at Chicago
Gerald Kelnhofer, University of Wien
Mikhail Khovanov, Columbia University
Hoil Kim, Kyungpook National University
Paul Kirk, Indiana University
xiii

xiv List of Participants
Albrecht Klemm, University of Bonn
Valentin Krasontovitsch, University of Bonn (Math student)
Markus Land, University of Bonn
Jonatan Lenells, Cambridge University
Christine Lescop, University of Grenoble I
Poon Chuan Adrian Lim, University of Luxembourg
Christoph Luedeling, University of Bonn
Marcos Mari˜no, University of Geneva
Cristina Martinez, Autonoma University of Barcelona
Gregor Masbaum, Universit´e Paris 7
Gwenael Massuyeau, CNRS, University of Strasbourg
Andrew McIntyre, Bennington College
Catherine Meusburger, University of Hamburg
Jouko Mickelsson, University of Helsinki and Royal Inst. of Technology
Aleksandar Mikovic, Universidade Lusofona, Lisbon
Hitoshi Murakami, Tokyo Institute of Technology
Chiara Nappi, Institute for Advanced Study
Robert Penner, University of California, Los Angeles
Arturo Prat-Waldron, University of California, Berkeley and MPIM Bonn
Justin Roberts, University of California, San Diego
Nobuya Sato, Rikkyo University
Albert Schwarz, UCDavis/MPIM
Ambar Sengupta, Louisiana State University
Jan Swoboda, MPIM, Bonn
George Thompson, International Centre for Theoretical Physics ICTP
Giorgio Trentinaglia, Georg-August-Universit¨at G¨ottingen
Alessandro Valentino, University of G¨ottingen
Roland van der Veen, University of Amsterdam
Jonathan Weitsman, Northeastern University
Edward Witten, Institute for Advanced Study
Don Zagier, Max-Planck-Institute for Mathematics
Jos´e Miguel Zapata Rol´on, University of Bonn
Lucy Liuxuan Zhang, University of Toronto

AMS/IP Studies in Advanced Mathematics
Volume 50, 2011
Remarks on Wilson Loops and Seifert Loops in
Chern-Simons Theory
Chris Beasley
Abstract.As noted long ago by Atiyah and Bott, the classical Yang-Mills
action on a Riemann surface admits a beautiful symplectic interpretation as
the norm-square of a moment map associated to the Hamiltonian action by
gauge transformations on the aﬃne space of connections. Here I will explain
how certain Wilson loop observables in Chern-Simons gauge theory on a Seifert
three-manifold can be given an analogous symplectic description. Among other
results, this symplectic description implies that the stationary-phase approx-
imation to the Wilson loop path integral is exact for torus knots, an em-
pirical observation made previously by Lawrence and Rozansky. This article
reviews selected material from the larger work “Localization for Wilson Loops
in Chern-Simons Theory,”arXiv:0911.2687.
1. Introduction
This brief article is intended as an introduction to the study of Chern-Simons
gauge theory via non-abelian localization [4, 5]. I will not attempt to give here
a comprehensive overview of the subject. Instead, my goal is to highlight two
very beautiful ideas, one old and one new, which enter the story of non-abelian
localization in an essential way and which may have applications elsewhere. See
also [6, 15] for alternative approaches to path integral localization in Chern-Simons
theory.
To set the stage, we consider Chern-Simons theory on a compact, oriented three-
manifoldMwith gauge groupG. By assumptionGwill be a compact, connected,
simply-connected, and simple Lie group. For instance,Gcould beSU(N) for any
N>1. These assumptions onGensure that any principalG-bundlePoverMis
topologically trivial, a technical convenience. The gauge ﬁeldAof Chern-Simons
theory is then a connection onP.
Let me now introduce the Wilson loop operators in Chern-Simons theory. Quite
generally, a Wilson loop operatorW
R(C) in any gauge theory on a manifoldMis
described by the data of an oriented, closed curveCwhich is smoothly
1
embedded
2010Mathematics Subject Classiﬁcation.Primary 81T45; Secondary 53D20 57M27.
1
The condition thatCbe smoothly embedded inMis merely for convenience and is not
strictly required to deﬁneW
R(C) as a sensible operator in gauge theory. Indeed, the Wilson loop
expectation value in Chern-Simons theory can be computed exactly even for the case thatCis
an arbitrary closed graph [25]inM.
cΣ2011 American Mathematical Society and International Press
1https://doi.org/10.1090/amsip/050/01

2 CHRIS BEASLEY
inMand which is decorated by an irreducible representationRof the gauge group
G. As a classical functional of the connectionA, the Wilson loop operatorW
R(C)
is then given simply by the trace inRof the holonomy ofAaroundC,
W
R(C)=Tr RHolC(A),
=Tr
RPexp
Σ
−
α
C
A
Σ
.
(1.1)
Following the standard practice in physics, we describe the holonomy Hol
C(A)inthe
second line of (1.1) in terms of a path-ordered exponentialPexp(−
→
C
A), which
describes solutions to the ﬁrst-order diﬀerential equation for parallel transport
2
alongC.
With the Wilson loop operator in hand, we ﬁnally introduce the absolutely-
normalized Wilson loop path integral
(1.2) Z(k;C, R)=
1
Vol(G)
√
A
DAW R(C)exp
⊗
i
k
4π
CS(A)
ω
.
Here CS(A) is the Chern-Simons action,
(1.3) CS( A)=
√
M
Tr
Σ
A∧dA+
2
3
A∧A∧A
Σ
,
and ‘Tr’ denotes a suitably-normalized, negative-deﬁnite, invariant quadratic form
on the Lie algebragofG. For instance, ifGisSU(N), the quadratic form ‘Tr’ is
given concretely by the trace in the fundamentalN-dimensional representation of
SU(N).
For later use, let me recall three essential properties of the Chern-Simons action.
First, the Chern-Simons action is purely topological, insofar as it depends only on
the choice of an orientation, not a metric, onM. Second, the critical points of the
Chern-Simons action are precisely the ﬂat connections onM, for which
(1.4) F
A=dA+A∧A=0.
Finally, even though the Chern-Simons action is not manifestly gauge-invariant —
and indeed the Chern-Simons action isnotgauge-invariant — the Chern-Simons
action is almost gauge-invariant, in the sense that it is invariant under homotopi-
cally trivial gauge transformations. Under homotopically nontrivial gauge trans-
formations, the functional CS(A) shifts by integral multiples of 8π
2
,wherethe
relevant integer is determined by the homotopy class of the gauge transformation
as a map fromMtoG. So long as the Chern-Simons levelk∈Zis quantized to
be an integer, the exponential of the Chern-Simons action in (1.2) is then honestly
gauge-invariant.
Otherwise, we presentZ(k;C, R) as an integral over the inﬁnite-dimensional
aﬃne spaceAof connections onM. As usual in gauge theory, we divide that integral
by the volume of the inﬁnite-dimensional groupGof gauge transformations acting
onA.
Before proceeding, let me make one elementary remark. WhenRis the trivial
representation, the Wilson loop operatorW
R(C) is the identity operator, and the
2
Because we work in conventions for whichd A=d+Ais the covariant derivative, a minus
sign appears in the argument of the path-ordered exponential.

REMARKS ON WILSON LOOPS AND SEIFERT LOOPS IN CHERN-SIMONS THEORY 3
absolutely-normalized Wilson loop path integral reduces immediately to the path
integral which describes the Chern-Simons partition functionZ(k)onM,
(1.5) Z(k)=
1
Vol(G)
√
A
DAexp
⊗
i
k
4π
CS(A)
ω
.
In terms ofZ(k)andZ(k;C, R), the Wilson loop expectation value

W
R(C)

is
then given by the ratio
(1.6)

W
R(C)

=
Z(k;C, R)
Z(k)
.
Though the Wilson loop expectation value is very convenient to consider for certain
purposes, we work exclusively withZ(k;C, R)today.
As it stands, the Wilson loop path integral in (1.2) is a purely formal expres-
sion. Nonetheless, over twenty years ago Witten [24] gave a completely precise
prescription to deﬁne the observableZ(k;C, R), based upon the canonical quanti-
zation of Chern-Simons theory in the Hamiltonian formalism. This formalism leads
to a well-known algebraic description [23]ofZ(k;C, R) in terms of a presentation
ofMvia surgery onS
3
, combined with data about certain modular representations
associated to two-dimensional rational conformal ﬁeld theories.
Beyond providing a rigorous means to deﬁne the observableZ(k;C, R), the
Hamiltonian formalism is also very powerful, insofar as it can be used to perform
explicit, exact calculations in Chern-Simons theory. For instance, among the clas-
sic results in [24], Witten computed the unknot observableZ

k;Σ,j

for Chern-
Simons theory onS
3
with gauge groupSU(2),
(1.7)Z

k;Σ,j

=

2
k+2
sin
Σ
πj
k+2
Σ
,j =1,...,k+1.
Herejis the irreducible representation ofSU(2) with dimensionj, and as indicated,
jruns without loss over the ﬁnite set of representations which are integrable in the
aﬃne Lie algebra forSU(2) at levelk.
Yet despite its computability, the algebraic deﬁnition ofZ(k;C, R)inthe
Hamiltonian formalism obscures many features which are manifest in the preceding
path integral (1.2) and which one would like to understand more deeply. As a simple
example, in the semi-classical limit thatkis large, a naive stationary-phase approx-
imation can be applied to the path integral describing the Chern-Simons partition
function, and this approximation implies asymptotic behavior forZ(k)thatisfar
from evident in the complicated, exact expressions that arise from conformal ﬁeld
theory. Nonetheless, the predicted asymptotic behavior can be checked in exam-
ples, as was done early on by Freed and Gompf [10], Jeﬀrey [13], and Garoufalidis
[11]. See for instance§7of[20] for a survey of continuing work in this area.
This article concerns a very special and very beautiful situation in which the
stationary-phase approximation to the Wilson loop path integral is actually exact.
Namely, the three-manifoldMis a Seifert manifold, equipped with a distinguished
locally-freeU(1) action, and the curveCis a Seifert ﬁber ofM. By deﬁnition,
a locally-freeU(1) action is one for which the generating vector ﬁeld is nowhere
vanishing. Equivalently, all stabilizers under a locally-freeU(1) action are proper,
necessarily discrete, subgroups ofU(1).
Let me introduce a bit of terminology. The existence of a locally-freeU(1)
action implies that the Seifert manifoldMdecomposes geometrically as the total

4 CHRIS BEASLEY
space of a nontrivial circle bundle over a Riemann surface Σ,
(1.8)
S
1
−→M
⏐

π
Σ
.
Here Σ is allowed to have orbifold points, and the circle bundle is allowed to be a
corresponding orbifold bundle, so long asMitself is smooth.
Each Seifert manifold carries a distinguished set of Wilson loop operators which
respect theU(1) action by rotations in the ﬁber of (1.8). For these Wilson loops,
the curveCis an orbit of the givenU(1) action, andCappears geometrically inM
as theS
1
ﬁber over a basepointσ∈Σ. Assuming thatσis a smooth (non-orbifold)
point of Σ, the topology ofCinMdoes not depend upon the choice ofσ,so
such Wilson loops are determined entirely by the choice of the representationR.
Henceforth, we refer to these special Wilson loop operators which wrap the generic
Seifert ﬁbers ofMas “Seifert loop operators” to distinguish them from general
Wilson loops inM, about which we will also have some things to say.
As a concrete example,S
3
admits countably-many locally-freeU(1) actions,
each associated to a distinct Seifert presentation. According to a basic result of
Moser [19], the corresponding knots which can be realized as Seifert ﬁbers inS
3
are precisely the torus knots. So the Seifert loop operators inS
3
are just the Wilson
loop operators which wrap torus knots.
Some Experimental Evidence
The exactness of the stationary-phase approximation to the Seifert loop path
integral was discovered by Lawrence and Rozansky [16] on an empirical basis,
through a detailed analysis of the explicitly-known formulae forZ(k;C, R)inthe
caseG=SU(2).
3
Speciﬁcally, after a rather involved series of algebraic manip-
ulations, Lawrence and Rozansky were able to rewriteZ(k;C, R) very compactly
as a ﬁnite sum of analytic expressions, each being either a contour integral or the
residue of a meromorphic function. These summands inZ(k;C, R)couldthenbe
associated in a one-to-one fashion with the connected components in the moduli
space of ﬂat connections onM. Since the ﬂat connections onMare the critical
points of the Chern-Simons action, such a form forZ(k;C, R) strongly suggests
that the stationary-phase approximation to the Seifert loop path integral is exact.
By way of illustration, Lawrence and Rozansky would rewrite the exact formula
for the unknot observableZ

k;Σ,j

in (1.7) as
Z

k;Σ,j

=
1
2πi
e
−
iπ(1+j
2
)
2(k+2)
√
+∞
−∞
dxch
j
Σ
e
iπ
4
x
2
Σ
sinh
2

e
iπ4
x
2

exp
Σ
−
(k+2)
8π
x
2
Σ
.
(1.9)
Here ch
jis the character ofSU(2) associated to the representationj,
(1.10) ch
j(y)=
sinh(jy)
sinh(y)
=e
(j−1)y
+e
(j−3)y
+···+e
−(j−3)y
+e
−(j−1)y
,
and the equality between the expressions in (1.7) and (1.9) follows by evaluating
(1.9) as a sum of elementary Gaussian integrals.
3
See [12, 17] for the generalization to other gauge groupsG.

REMARKS ON WILSON LOOPS AND SEIFERT LOOPS IN CHERN-SIMONS THEORY 5
Of course, the only ﬂat connection onS
3
is the trivial connection. As a result,
the aforementioned sum inZ

k;Σ,j) contains only a single term, given by the
integral over the real variablexin (1.9). According to Lawrence and Rozansky,
this integral is to be interpreted as the stationary-phase contribution from the
trivial connection to the full Wilson loop path integral in (1.2).
One of the main results in [4, 5] is to make the semi-classical interpretation
of formulae such as (1.9) completely precise. Brieﬂy, the contour integral overx
arises geometrically as an integral over the Cartan subalgebra ofSU(2), regarded
as the group of constant gauge transformations onS
3
. The constant gauge trans-
formations are the stabilizer of the trivial connection in the groupGof all gauge
transformations, and the presence of this stabilizer group plays an important role
in the semi-classical analysis of the Wilson loop path integral. Moreover, all de-
pendence on theSU(2) representationjenters the integrand of (1.9) through the
character ch
j. As a result, the character ch
jcan be naturally interpreted the avatar
of the unknot Wilson loop operator itself when the path integral in (1.2) is reduced
to the contour integral in (1.9).
As an aside, let me mention two interesting generalizations of the semi-classical
formula forZ

k;Σ,j

in (1.9). First, this formula extends directly to gauge groups
Gother thanSU(2), in which case the unknot Wilson loop operator for any irre-
ducible representationRofGreduces naturally to the corresponding character ch
R.
Moreover, the semi-classical formula in (1.9) generalizes in a surprisingly simple way
to the arbitrary (p,q)-torus knotK
p,qinS
3
,
Z

k;K
p,q,j

=
1
2πi
1
√
pq
exp
⊗
−
iπ
2(k+2)
Σ
p
q
+
q
p
+pq(j
2
−1)

×
×
√
+∞
−∞
dxch
j

e
iπ
4
x
2

sinh
Σ
e
iπ
4
x
2p
Σ
sinh
Σ
e
iπ
4
x
2q
Σ
exp
⊗
−
(k+2)
8π
Σ
x
2
pq

.
(1.11)
Modulo a rather subtle overall phase, the integrand in (1.11) merely acquires de-
nominators proportional topandq. From the semi-classical perspective, these
denominators are associated to theU(1) stabilizers of the exceptional Seifert ﬁbers
inS
3
. I refer the interested reader to§7.2in[4] for a detailed discussion of (1.11).
Non-Abelian Localization
My goal here is to explain a second, more conceptual way to understand the
exactness of the stationary-phase approximation to the Seifert loop path integral.
In this approach, we apply non-abelian localization, as introduced by Witten in
[26], to study Chern-Simons theory on a Seifert manifold.
Very brieﬂy, non-abelian localization provides a cohomological interpretation
for a special class of symplectic integrals which are intimately related to symmetries.
These integrals take the canonical form
(1.12) Z(Σ)=
√
X
exp
⊗
Ω−
1
2Σ
(μ, μ)
ω
.
HereXis an arbitrary symplectic manifold with symplectic form Ω. We assume that
a Lie groupHacts onXin a Hamiltonian fashion with moment mapμ:X→h
∗
,
whereh
∗
is the dual of the Lie algebrahofH. We also introduce an invariant

6 CHRIS BEASLEY
quadratic form (·,·)onhand dually onh
∗
to deﬁne the functionS=
1
2
(μ, μ)
appearing in the integrand ofZ(Σ). Finally,Σ∈Ris a coupling parameter.
4
The symplectic integral in (1.12) has a number of important properties, which
for sake of brevity I merely state. See [21, 26] for proofs of the following statements.
First, the integrand of (1.12) admits an interpretation in terms of theH-equivariant
cohomology ring ofX. Using this interpretation, one can then show that the
symplectic integral itself localizes onto the critical points of the invariant function
S=
1
2
(μ, μ)onX. Moreover, a non-abelian localization formula, roughly analogous
to the Duistermaat-Heckman formula [9], exists to describe the contributions from
the critical locus ofS. In a smooth situation, these contributions are given by
the integrals of certain de Rham cohomology classes over the critical loci. See§6
of [4] for a precise statement of the non-abelian localization formula applicable to
Chern-Simons theory.
Example: Two-Dimensional Yang-Mills Theory
Given the special form ofZ(Σ), one should not be surprised that this integral
has special properties. But why consider such an integral in the ﬁrst place? One
answer, following Witten [26], is that the path integral of two-dimensional Yang-
Mills theory assumes precisely the canonical symplectic form in (1.12).
To explain the latter observation, I will simply exhibit the counterparts of
X,Ω,H,andμrelevant to describe Yang-Mills theory on a Riemann surface Σ.
The Yang-Mills path integral is formally an integral over the aﬃne spaceAof
connections on a ﬁxed principalG-bundlePover Σ, so clearly we must set
(1.13) X=A.
The aﬃne spaceAalso possesses a natural symplectic form Ω given by the inter-
section pairing on Σ,
(1.14) Ω = −
√
Σ
Tr

δA∧δA

.
Hereδdenotes the exterior derivative acting onA.SinceAserves as a coordinate
onA,δAis a one-form onA, and Ω is a two-form onAwhich is manifestly non-
degenerate and closed. Of course on Σ itself,δAtransforms as a section of the
bundle Ω
1
Σ
⊗ad(P) of adjoint-valued one-forms.
The obvious group which acts onAis the groupGof gauge transformations.
As shown long ago by Atiyah and Bott [2], the action ofGonAis Hamiltonian
with moment map given by the curvatureF
A=dA+A∧A. That is, since elements
in the Lie algebra ofGappear on Σ as sections of the adjoint bundle ad(P), the
curvatureF
A, as a section of Ω
2
Σ
⊗ad(P), can naturally be considered as a function
onAtaking values in the dual of the Lie algebra ofG.Thus,
(1.15) H=G,μ =F
A.
Finally, the Lie algebra ofGadmits an invariant form given by
(1.16) ( φ, φ)=−
√
Σ
Tr

φ∧⊗√

.
4
To make sense of the measure onXin (1.12), we expand the exponential exp(Ω) in its
Taylor series and pick out the term
1
n!
Ω
n
of proper degree to integrate overX. Hence exp(Ω)
conveniently describes the symplectic measure onX.

REMARKS ON WILSON LOOPS AND SEIFERT LOOPS IN CHERN-SIMONS THEORY 7
Hereφis an element of the Lie algebra ofG, transforming on Σ as a section of ad(P).
With the quadratic form in (1.16), the invariant functionS=
1
2
(μ, μ) appearing
in the canonical symplectic integral overAimmediately becomes the Yang-Mills
action,
(1.17) S=
1
2
(μ, μ)=−
1
2
√
Σ
Tr

F A∧⊗FA

.
The metric on Lie(G) in (1.16) is deﬁned using a duality operator⊗on Σ. For
two-dimensional Yang-Mills theory,⊗relates zero-forms to two-forms, and to obtain
such an operator, we only require a symplectic structure, as opposed to a metric,
on Σ. Given a symplectic formωon Σ, we deﬁne⊗by the condition⊗1=ω.The
symplectic formωis invariant under all area-preserving diﬀeomorphisms of Σ, and
this large group acts as a symmetry of two-dimensional Yang-Mills theory. As a
result, two-dimensional Yang-Mills theory is essentially a topological gauge theory.
In the remainder of this article, I want to explain how to recast the Seifert
loop path integral (1.2) as a symplectic integral of the canonical form (1.12). Once
this step is accomplished, the general arguments in [26] imply that the Seifert
loop path integral localizes onto critical points of the classical actionS=
1
2
(μ, μ).
Furthermore, using the non-abelian localization formula, one can perform exact
computations of the Seifert loop path integral and thus obtain a cohomological
description for the Seifert loop operator itself. Speciﬁcally, as demonstrated in§7.3
of [4], the Seifert loop operator reduces naturally to the Chern character of an
associated universal bundle over the moduli space of ﬂat connections onM.
Two key ideas are required to obtain a symplectic description of the Seifert
loop path integral. The ﬁrst idea, which appears in§3of[5], pertains to the basic
Chern-Simons path integral in (1.5) and really has nothing to do with the Wilson
loop operator. In contrast, the second idea concerns the Wilson loop operator itself
and really has nothing to do with Chern-Simons theory. Nonetheless, both of these
ideas ﬁt together in a very elegant way.
2. The symplectic geometry of Chern-Simons theory
The path integral which describes the partition function of two-dimensional
Yang-Mills theory automatically assumes the canonical symplectic form in (1.12).
As a special case of our general study ofZ(k;C, R), I now want to review how the
path integral (1.5) which describes the partition functionZ(k) of Chern-Simons
theory on a Seifert manifoldMcan also be cast as such a symplectic integral.
In order to obtain a symplectic interpretation of the two-dimensional Yang-
Mills path integral, we found it necessary to introduce a symplectic structure on
Σ. To obtain a corresponding symplectic interpretation for the Chern-Simons path
integral, we must introduce the analogous geometric structure on the three-manifold
M– namely, a contact structure.
Globally, a contact structure onMis described by an ordinary one-formκ,a
section of Ω
1
M
, which at each point ofMsatisﬁes the contact condition
(2.1) κ∧dκω =0.
By a classic theorem of Martinet [18], any compact, orientable
5
three-manifold
admits a contact structure, so we do not necessarily assumeMto be Seifert at
5
Any three-manifold admitting a contact structure must be orientable, since the nowhere
vanishing three-formκ∧dκdeﬁnes an orientation.

8 CHRIS BEASLEY
this stage. However, ifMis a Seifert manifold, then we certainly want the contact
formκto respect theU(1) action onM. Such a contact form can be exhibited as
follows.
We recall that the Seifert manifoldMis the total space of anS
1
-bundle of
degreenover Σ,
(2.2)
S
1
n
−→M
⏐

π
Σ
,
or an orbifold version thereof. For simplicity, I will phrase the following construc-
tion ofκin the language of smooth manifolds, but the orbifold generalization is
immediate.
RegardingMas the total space of a principalU(1)-bundle, we takeκto be a
U(1)-connection on this bundle which satisﬁes
(2.3) dκ=nπ
∗
(ω).
Hereωis any unit-area symplectic form on Σ, and we recall that aU(1)-connection
on Σ appears upstairs onMas an ordinary one-form. Becausedκrepresents the
Euler class of theS
1
-bundle over Σ, the degreennecessarily appears in (2.3). As
an abelian connection,κis automatically invariant under theU(1)-action onM.
Also, since the pullback ofκto eachS
1
ﬁber is non-vanishing, the contact condition
in (2.1) is satisﬁed so long asnω = 0 and the bundle is non-trivial, as we assume.
Chern-Simons theory is often considered to be an intrinsically three-dimensional
gauge theory. However, one of the more interesting results in [5, 4] is to show that
Chern-Simons theory isnot quitea three-dimensional gauge theory, since one of the
three components ofAcan be completely decoupled from all topological observables.
In order to decouple one component ofAfrom the Chern-Simons path integral,
we introduce a new, inﬁnite-dimensional “shift” symmetrySwhich acts onAas
(2.4) δA=σκ.
Hereσis an arbitrary adjoint-valued scalar, a section of Ω
1
M
⊗g, that parametrizes
the action ofSonA.
Of course, the Chern-Simons action CS(·)doesnotrespecttheshiftofAin
(2.4), so we must play a little path integral trick, of the sort familiar from path
integral derivations ofT-duality or abelianS-duality. See§8in[27] for a nice
review of the path integral derivations of these dualities.
We ﬁrst introduce a new ﬁeld Φ which transforms likeσas an adjoint-valued
scalar, a section of Ω
1
M
⊗g, and which is completely gauge-trivial underS.Thus
Sacts on Φ as
(2.5) δΦ=σ.
Next, we consider a new, shift-invariant actionS(A,Φ) incorporating bothA
and Φ such that, if Φ is set identically to zero via (2.5), thenS(A,Φ) reduces to
the Chern-Simons action forA. This condition ﬁxesS(A,Φ) to be
S(A,Φ) = CS(A−κΦ),
=CS(A)−
√
M

2κ∧Tr(ΦF
A)−κ∧dκTr(Φ
2
)

.(2.6)

REMARKS ON WILSON LOOPS AND SEIFERT LOOPS IN CHERN-SIMONS THEORY 9
Finally, using (2.6) we introduce anapriorinew path integral
6
over bothA
and Φ,
(2.7)

Z(k)=
√
DADΦexp
⊗
i
k
4π
S(A,Φ)
ω
.
On one hand, if we set Φ≡0 using the shift-symmetry in (2.5),

Z(k) immediately
reduces
7
to the usual Chern-Simons partition functionZ(k). Hence,
(2.8)

Z(k)=Z(k).
On the other hand, due to the elementary fact thatκ∧κ= 0, the ﬁeld Φ appears
only quadratically inS(A,Φ). So we can simply perform the Gaussian integral over
Φ in (2.7) to obtain a new path integral description of the Chern-Simons partition
function,
(2.9) Z(k)=
√
DAexp
⊗
i
k
4π
S(A)
ω
,
where
(2.10) S(A)=CS(A)−
√
M
1
κ∧dκ
Tr

(κ∧F
A)
2

.
In performing the Gaussian integral over Φ, we use the contact condition onκin
(2.1), since this condition ensures that quadratic term for Φ in (2.6) is everywhere
non-degenerate onM. In particular, the inverse “1/κ∧dκ” appearing in (2.10) is
deﬁned as follows. Becauseκ∧dκis everywhere non-vanishing, we can always write
κ∧F
A=ϕκ∧dκfor some sectionϕof Ω
0
M
⊗g. Thus, we setκ∧F A/κ∧dκ=ϕ,and
the second term inS(A) becomes

M
κ∧Tr(F Aϕ).
By construction,S(A) is invariant under the shift ofAin (2.4), as can be
checked directly. Thus, we have obtained a new description of the Chern-Simons
partition function for which one component ofAcompletely decouples from the path
integral. Further, we have yet to use the condition thatMbe a Seifert manifold,
so the reformulation ofZ(k) via the shift-invariant action in (2.10) holds for any
three-manifoldMendowed with a contact structure. See [14] for a detailed analysis
of the shift-invariant reformulation ofZ(k) in the special case that the gauge group
isU(1).
Symplectic Data
IfMis a Seifert manifold, an additional miracle occurs, and the path integral
in (2.9) becomes an integral of the canonical symplectic form to which non-abelian
localization applies. For sake of time, let me merely summarize the symplectic data
associated to (2.9).
First, the space over which we integrate in (2.9) and which must play the role
ofXis the quotient of the aﬃne spaceAby the groupS,
(2.11) X=A/S.
In three dimensions, the aﬃne spaceAis not symplectic. However, once we take
the quotient bySin (2.11), the spaceA/Scarries a natural symplectic form Ω
6
I will not be very careful about the overall normalizations for the path integrals that appear
here, but see§3of[5] for a detailed accounting of formal normalization factors.
7
We note that the Jacobian associated to the gauge-ﬁxing condition Φ≡0forSis trivial.

10 CHRIS BEASLEY
given by
(2.12) Ω = −
√
M
κ∧Tr(δA∧δA).
Clearly Ω is both gauge-invariant and shift-invariant, and Ω descends to a non-
degenerate symplectic form onA/S.
We must now ﬁnd a Hamiltonian group acting onA/Ssuch that the shift-
invariant actionS(A) is the square of the corresponding moment map. As an
initial guess, motivated by the example of two-dimensional Yang-Mills theory, one
might consider the groupGof gauge transformations. However, this guess cannot be
correct. By construction, the square of the moment map for the action ofGonA/S
would be invariant underG. However,S(A) is plainly not invariant underG,since
the Chern-Simons term appearing in (2.10) is not invariant under the large gauge
transformations inG(while the remaining term in (2.10) is manifestly invariant
underG).
As a second guess, one might replaceGwith its identity componentG
0,which
does preserve the shift-invariant actionS(A). However, one can show thatG
0is
obstructed from acting in a Hamiltonian fashion onA/Sby a non-trivial Lie algebra
cocyclec,
(2.13) c(φ, ψ)=−
√
M
dκ∧Tr(φdψ).
HereφandψareelementsoftheLiealgebraofG
0, transforming as sections of
Ω
0
M
⊗gonM. Parenthetically, this cocycle is closely related to a cocycle that
appears in the theory of loop groups [22], which also provides useful background
for the identiﬁcation ofHbelow.
To remedy the situation, we consider the central extension
8
G
0ofG0determined
byc(φ, ψ),
(2.14) U(1)
Z
c−→

G 0−→ G0.
Here we use the subscript ‘Z’ to emphasize thatU(1)
Zis central in

G 0. The natural
action ofG
0onA/Sextends to an action by

G 0, for whichU(1) Zacts trivially. By
construction, the action of

G
0onA/Sis then Hamiltonian.
However,

G
0is still not the group which is to play the role of the Hamiltonian
groupH! In order to deﬁne the canonical symplectic integral in (1.12), the Lie
algebra ofHmust carry a non-degenerate, invariant quadratic form (·,·). But
the Lie algebra of

G
0does not admit such a form, essentially because we have no
generator to pair with the generator of the centralU(1)
Z.
However, we have also yet to apply the Seifert condition onM.Wedoso
now. To avoid confusion, let me denote the SeifertU(1) acting onMbyU(1)
R,
to distinguish it from the centralU(1)
Z. The action byU(1) RonMinduces a
corresponding action on both

G
0andA/S, and we ﬁnally takeHto be the semi-
direct product
(2.15) H=U(1)
RΣ

G0.
8
A Lie algebra two-cocycle always determines acentral extension of algebras. Provided that
the cocycle is properly quantized, as is the cocycle in (2.13), the central extension of algebras lifts
to a corresponding central extension of groups.

REMARKS ON WILSON LOOPS AND SEIFERT LOOPS IN CHERN-SIMONS THEORY 11
The Lie algebra ofHdoes admit a non-degenerate, invariant quadratic form
(·,·), under which the generators ofU(1)
RandU(1) Zare paired. Furthermore,
the action ofHonA/Sis Hamiltonian with moment mapμ(for which a completely
explicit though perhaps not so illuminating formula exists), and the corresponding
invariant functionS=
1
2
(μ, μ)onA/Sis preciselyS(A). Given the amount of
symmetry respected by both
1
2
(μ, μ)andS(A), the latter result could hardly have
been otherwise.
The presentation here is a regrettably quick sketch of a fairly miraculous result,
and I refer the reader to§3of[5] for a complete discussion.
3. Inclusion of Wilson loop operators
I now want to explain how the prior statements concerning the Chern-Simons
partition function can be generalized to allow for insertions of Wilson loop opera-
tors. (See§4of[4] for an expanded version of the material here.) As it happens,
only one new idea is required.
We clearly need a new idea, because a naive attempt to reapply the previous
path integral manipulations to the Wilson loop path integral in (1.2) runs immedi-
ately aground. To illustrate the diﬃculty with the direct approach, let us consider
the obvious way to rewrite the Wilson loop path integral in a shift-invariant form,
(3.1) Z(k;C, R)=
√
DADΦW
R(C)exp
⊗
i
k
4π
CS(A−κΦ)
ω
.
HereW
R(C) denotes the generalized Wilson loop operator deﬁned not usingAbut
using the shift-invariant combinationA−κΦ, so that
(3.2) W
R(C)=Tr RPexp
⊗
−
∈
C

A−κΦ

ω
.
Exactly as for our discussion of (2.7), we can use the shift symmetry to ﬁx Φ≡0,
after which the path integral in (3.1) reduces trivially to the standard Wilson loop
path integral in (1.2).
However, to learn something useful from (3.1) we must perform the path inte-
gral over Φ, and as it stands, this integral is not easy to do. Because the generalized
Wilson loop operatorW
R(C) is expressed in (3.2) as a complicated, non-local func-
tional of Φ, the path integral over Φ in (3.1) is not a Gaussian integral that we can
trivially evaluate as we did for (2.7).
A more fundamental perspective on our problem is the following. Let us return
to the description of the ordinary Wilson loop operatorW
R(C) as the trace in the
representationRof the holonomy ofAaroundC,
(3.3) W
R(C)=Tr RPexp
Σ
−
∈
C
A
Σ
.
As observed by Witten in one of the small gems of [24], this description ofW
R(C)
should be regarded as intrinsically quantum mechanical, for the simple reason that
W
R(C) can be naturally interpreted in (3.3) as the partition function of an auxiliary
quantum system attached to the curveC. Brieﬂy, the representationRis to be
identiﬁed with the Hilbert space of this system, the holonomy ofAis to be identiﬁed
with the time-evolution operator aroundC, and the trace overRis the usual
trace over the Hilbert space that deﬁnes the partition function in the Hamiltonian
formalism.

12 CHRIS BEASLEY
Because the notion of tracing over a Hilbert space is inherently quantum me-
chanical, any attempts to perform essentially classical path integral manipulations
involving the expressions in (3.2) or (3.3) are misguided at best. Rather, if we hope
to generalize the semi-classical path integral manipulations which we used to study
the Chern-Simons partition function, we need to use an alternative, semi-classical
description for the Wilson loop operator itself.
More precisely, we want to replace the quantum mechanical trace overRin (3.3)
by a path integral over an auxiliary bosonic ﬁeldUwhich is attached to the curve
Cand coupled to the connectionAas a background ﬁeld, so that schematically
(3.4) W
R(C)=
√
DUexp

ics α

U;A|
C

.
Here cs
α

U;A|
C

is an action, depending upon the representationRthrough its
highest weightα, which is a local, gauge-invariant, and indeed topological functional
of the defect ﬁeldUand the restriction ofAtoC. Not surprisingly, this semi-
classical description (3.4) ofW
R(C) turns out to be the key ingredient required to
reformulate the Wilson loop path integral in a shift-invariant fashion.
The idea of representing the Wilson loop operator by a path integral as in
(3.4) is a very old and very general piece of gauge theory lore. In the context
of four-dimensional Yang-Mills theory, this idea goes back (at least) to work of
Balachandran, Borchardt, and Stern [3] in the 1970’s. See also [8]and§7.7in[27]
for other appearances of the path integral in (3.4).
The basic idea behind the path integral description (3.4) of the Wilson loop
operator is very simple. We interpret the closed curveCasaperiodic“time”forthe
ﬁeldU, and we apply the Hamiltonian formalism to rewrite the path integral overU
axiomatically as the quantum mechanical trace of the corresponding time-evolution
operator aroundC,
(3.5) W
R(C)=Tr HPexp
Σ
−i
α
C
H
Σ
.
HereHis the Hilbert space obtained by quantizingU,andHis the Hamiltonian
which acts onHto generate inﬁnitesimal translations alongC.
Comparing the conventional description of the Wilson loop operator in (3.3) to
the axiomatic expression in (3.5), we see that the two agree if we identify
9
R←→H,
Pexp
Σ
−
α
C
A
Σ
←→Pexp
Σ
−i
α
C
H
Σ
.(3.6)
Hence to make the Wilson loop path integral in (3.4) precise, we need only exhibit
a classical theory onC, for which the gauge groupGacts as a symmetry, such that
upon quantization we obtain a Hilbert spaceHisomorphic toRand for which
the time-evolution operator aroundCis given by the holonomy ofA, acting as an
element ofGonR.
9
We follow the standard physical deﬁnition according to whichHis a hermitian operator,
accounting for the ‘−i’ in (3.5). We also recall that the gauge ﬁeldAis valued in the Lie algebra
g,soAis anti-hermitian and no ‘i’ appears in the holonomy.

REMARKS ON WILSON LOOPS AND SEIFERT LOOPS IN CHERN-SIMONS THEORY 13
A Semi-Classical Description of the Wilson Loop Operator
Let me now tell you what classical theory to place onCto realize the quantum
identiﬁcations in (3.6).
Of the two identiﬁcations in (3.6), the more fundamental by far is the identi-
ﬁcation of the irreducible representationRwith a Hilbert spaceH, obtained by
quantizing some classical phase space upon whichGacts as a symmetry. So before
we even consider what classical theory must live onCto describe the Wilson loop
operator, we can ask the simpler and more basic question — what classical phase
spacemustwequantizetoobtainRas a Hilbert space?
As well-known, this question is beautifully answered by the Borel-Weil-Bott
theorem [7]. In order to recall this theorem, let me ﬁrst ﬁx a maximal torus
T⊂G, for whicht⊂gis the associated Cartan subalgebra. Given the irreducible
representationRand some choice of positive roots forG, I also introduce the
associated highest weightα. Canonically, the weightαlies in the dualt
∗
oft, but
given the invariant form ‘Tr’ ong, we are free to identifyt
∗∼
=tand hence to regard
αas an element oft,
(3.7) α∈t
∗∼
=t.
Though mathematically unnatural, the convention in (3.7) proves to be convenient
later.
The Borel-Weil-Bott theorem concerns the geometry of the orbitO
α⊂gwhich
passes throughαunder the adjoint action ofG. Equivalently, the adjoint orbit
O
αcan be realized as a quotientG/G α,whereG αis the stabilizer ofαunder the
adjoint action ofG. Explicitly, the identiﬁcation betweenG/G
αandO αis given
by the map
(3.8) gG
α −→gαg
−1
,g ∈G.
As will be essential in a moment,O
αis a compact complex manifold which admits
a natural K¨ahler structure invariant underG. For instance, ifG=SU(2) andαis
any non-zero
10
weight, thenO α=SU(2)/U(1) can be identiﬁed asCP
1
endowed
with the round, Fubini-Study metric.
In a nutshell, the Borel-Weil-Bott theorem states that the irreducible represen-
tationRcan be realized geometrically as the space of holomorphic sections of a
certain unitary line bundleL(α)overO
α.Thatis,
(3.9) R
∼
=H
0
∂

O
α,L(α)

,
where the action ofGon the sections ofL(α) is induced from its action onO
α.
As a unitary line bundle over a K¨ahler manifold,L(α) carries a natural unitary
connection Θ
αwhich is also invariant underG. The connection Θ αenters the
path integral description of the Wilson loop operator, so let me exhibit it explicitly.
When pulled back toG, the line bundleL(α) trivializes, and the connection Θ
α
appears as the following left-invariant one-form onG,
(3.10) Θ
α=Tr

α·g
−1
dg

.
I have introduced the connection Θ
αbecause its curvatureν α=dΘ αis precisely
the K¨ahler form onO
α. As a result,L(α) is a prequantum line bundle overO α,and
the Borel-Weil-Bott isomorphism in (3.9) identiﬁesRas the Hilbert space obtained
by K¨ahler quantization ofO
α.
10
Of course, ifα=0,thenO αis merely a point.

14 CHRIS BEASLEY
Perhaps more physically, the Borel-Weil-Bott theorem can be interpreted as
identifying the space of groundstates for a charged particle moving onO
αin the
presence of a background magnetic ﬁeld given byν
α. Brieﬂy, because of the non-zero
magnetic ﬁeld, the wavefunctions which describe this particle transform onO
αnot
as functions but as sections of the line bundleL(α). As standard, the Hamiltonian
which describes free propagation onO
αis proportional to the Laplacian⏐acting
on sections ofL(α), and by Hodge theory, the kernel of⏐can be identiﬁed as the
space of holomorphic sections ofL(α). Hence the role of (3.9) is to realize the
representationRin terms of groundstates onO
α.
Given the previous quantum mechanical interpretation forR, the corresponding
path integral description (3.4) for the Wilson loop operator follows immediately.
Ignoring the coupling toAfor a moment, if we simply wish to describe the low-
energy eﬀective dynamics of an electron moving onO
αin the background magnetic
ﬁeldν
α, we consider a one-dimensional sigma model of maps
(3.11) U:C−→ O
α,
with sigma model action
(3.12) cs
α(U)=
∈
C
U
∗
(Θα)=
∈
C
Tr(α·g
−1
dg).
HereU
∗
(Θα) denotes the pullback of Θαto a connection overC.IfUis lifted as
amaptoO
α=G/G αby a corresponding map
(3.13) g:C−→G,
then the pullback of Θ
αappears explicitly as in (3.12). As a word of warning, I
will freely switch between writing formulae in terms ofUorgas convenient.
From a physical perspective, the ﬁrst-order action cs
αsimply describes the
minimal coupling of the charged particle onO
αto the background magnetic ﬁeld
speciﬁed by Θ
α, and we have omitted the second-order kinetic terms forUas
being irrelevant at low energies. From a more geometric perspective, cs
αis a one-
dimensional Chern-Simons action for the abelian connectionU
∗
(Θα)overC.As
such, the quantization of the parameterα∈tas a weight ofGfollows just as for
the quantization of the Chern-Simons levelk. More physically, the quantization of
αfollows from the quantization of magnetic ﬂux on a compact space.
This sigma model onCclearly respects the action ofGonO
αas a global
symmetry. To couple the sigma model to the restriction of the bulk gauge ﬁeldA,
we simply promote the global action ofGonO
αto a gauge symmetry. That is, we
consider the covariant version of (3.12),
cs
α(U;A| C)=
∈
C
U
∗
(Θα(A)) =
∈
C
Tr(α·g
−1
dAg),
d
Ag=dg+A| C·g.(3.14)
In the second line, we indicate the action of the covariant derivatived
Aong.The
action byd
Aongdescends to a corresponding covariant action byd AonUas well.
I now claim that the quantization of the gauged sigma model onCwith action
cs
α(U;A| C) leads to the identiﬁcations in (3.6) required to describe the Wilson
loop operator. First, the classical equation of motion forUsimply asserts thatU
is covariantly constant,
(3.15) d
AU=0.

REMARKS ON WILSON LOOPS AND SEIFERT LOOPS IN CHERN-SIMONS THEORY 15
As a result, the classical phase space forUcan be identiﬁed with the orbitO α,
and by the Borel-Weil-Bott isomorphism in (3.9), the corresponding Hilbert space
HforUis identiﬁed as the representationR. Similarly, since the classical time-
evolution forUis given by parallel transport, the quantum time-evolution operator
aroundCis immediately given by the holonomy ofA, acting as an element ofG
onR.
The Shift-Invariant Wilson Loop in Chern-Simons Theory
BecauseAonly enters as a background ﬁeld in (3.14), the path integral de-
scription (3.4) ofW
R(C) is completely general and applies to any gauge theory in
any dimension. Nonetheless, this description of the Wilson loop operator is pre-
cisely what we need to obtain a shift-invariant formulation of the Wilson loop path
integral in Chern-Simons theory.
Let us ﬁrst apply (3.4) to rewrite the Wilson loop path integral in (1.2) as a
path integral over bothAandU,
(3.16)Z(k;C, R)=
1
Vol(G)
√
A×LO α
DADUexp
⊗
i
k
4π
CS(A)+ics
α(U;A| C)
ω
.
Here we introduce the free loopspaceLO
αofO αto parametrize conﬁgurations of
U.
Once we introduce the defect ﬁeldUcoupling toAin (3.16), the classical
equation of motion forAbecomes
(3.17) F
A
def=F A+
2π
k
U·δ
C=0.
Hereδ
Cis a two-form with delta-function support onCwhich represents the
Poincar´e dual of the curve. Usingδ
C, we rewrite csα(U;A| C)asabulkintegral
overM,
(3.18) cs
α

U;A|
C

=
α
C
Tr

α·g
−1
dAg

=
√
M
δC∧Tr

α·g
−1
dAg

,
from which (3.17) follows.
As we see from (3.17), in the presence of the operatorW
R(C), classical conﬁg-
urations forAare given by connections which are ﬂat on the knot complement
(3.19) M
o
=M−C,
and otherwise have delta-function curvature alongC. The singularity inAalong
Cmanifests itself onM
o
as a non-trivial monodromy of the connection around a
transverse circle linkingC. Though I will not have time to say more, the moduli
space of such ﬂat connections with monodromies is the space onto which the Seifert
loop path integral localizes. This space is directly related to the moduli space of
representations of the knot group ofCinGand, in suitable circumstances, ﬁbers
over the moduli space of (non-singular) ﬂat connections onM.
At the cost of introducing defect degrees-of-freedom alongC, we have managed
to describeW
R(C) in terms of a completely local — and indeed linear — functional
ofA. Consequently, the same path integral trick that we used to decouple one
component ofAfrom the Chern-Simons partition function applies immediately to
(3.16). We simply replaceAin (3.16) by the shift-invariant
11
combinationA−κΦ,
11
The shift-symmetrySacts trivially onU.

16 CHRIS BEASLEY
and we then perform the Gaussian integral over Φ. In the process, the only new
ingredient is that we obtain an extra term linear in Φ from the coupling ofAtoU.
Without discussing any more details, let me present the resulting shift-invariant
formulation for the Wilson loop path integral,
(3.20) Z(k;C, R)=
1
Vol(G)
√
A/S×LO α
DADUexp
⊗
i
k
4π
S(A, U)
ω
,
where
(3.21) S(A, U)=CS(A)+
4π
k
cs
α(U;A| C)−
√
M
1
κ∧dκ
Tr

(κ∧F
A)
2

.
The shift-invariant actionS(A, U) appears much as the shift-invariant action (2.10)
forAalone, with the replacement therein ofF
Aby the generalized curvatureF A.
Thus for an arbitrary Wilson loop (or link) operator in Chern-Simons theory, the
path integral can be rewritten such that one component ofAcompletely decouples.
Moreover, ifMis a Seifert manifold andCis a Seifert ﬁber ofM,theshift-
invariant Seifert loop path integral is again an integral of the canonical symplectic
form in (1.12). The relevant symplectic spaceXis just the product
(3.22) X=A/S×LO
α,
where the loopspaceLO
αcarries a natural symplectic (and indeed K¨ahler) form
inherited from the K¨ahler formν
αonO α. The Hamiltonian groupHwhich acts
onXis the same group that appears in (2.15). In fact, the loopspaceLO
αcan
be interpreted formally as an inﬁnite-dimensional coadjoint orbit ofH. Finally,
the square of the moment map for the diagonal action ofHonXis precisely the
shift-invariant actionS(A, U) appearing in (3.21).
For a last bit of furious hand-waving, let me remark that the description of the
Seifert loop operator as a character follows quite naturally from the appearance of
the loopspaceLO
αin (3.20). In essence, non-abelian localization onLO αis related
to index theory onO
α, and index theory onO αprovides a classic derivation [1]of
the famous Weyl character formula. See§7.2in[4] for a complete discussion.
Acknowledgments.I take pleasure in thanking the organizers and participants
of the Bonn workshop “Chern-Simons Gauge Theory: 20 Years After,” where this
article was presented. I especially thank Edward Witten, both for our prior collab-
oration on the subject and for posing the question which sparked this work.
References
[1] M. Atiyah and R. Bott,A Lefschetz ﬁxed point formula for elliptic complexes, II, Ann. Math.
88(1968), 451–491.
[2]
,Yang-Mills equations over Riemann surfaces, Phil. Trans. R. Soc. Lond.A308
(1982), 523–615.
[3] A. Balachandran, S. Borchardt, and A. Stern,Lagrangian and Hamiltonian descriptions of
Yang-Mills particles,Phys.Rev.D17(1978), 3247–3256.
[4] C. Beasley,Localization for Wilson loops in Chern-Simons theory,arXiv:0911.2687
[hep-th].
[5] C. Beasley and E. Witten,Non-abelian localization for Chern-Simons theory,J.Diﬀ.Geom.
70(2005), 183–323,hep-th/0503126.
[6] M. Blau and G. Thompson,Chern-Simons theory onS
1
-bundles: Abelianisation and q-
deformed Yang-Mills theory,JHEP0605(2006), 003,arXiv:hep-th/0601068.
[7] R. Bott,Homogeneous vector bundles, Ann. of Math.66(1957), 203–248.

REMARKS ON WILSON LOOPS AND SEIFERT LOOPS IN CHERN-SIMONS THEORY 17
[8] D. Diakonov and V. Y. Petrov,A formula for the Wilson loop, Phys. Lett. B224(1989),
131–135.
[9] J. J. Duistermaat and G. J. Heckman,On the variation in the cohomology of the symplectic
form of the reduced phase space, Invent. Math.69(1982), 259–268; Addendum, Invent. Math.
72(1983), 153–158.
[10] D. Freed and R. Gompf,Computer calculation of Witten’s 3-manifold invariant, Commun.
Math. Phys.141(1991), 79–117.
[11] S. Garoufalidis,Relations among3-manifold invariants, Ph.D. thesis, University of Chicago,
1992.
[12] S. Hansen and T. Takata,Reshetikhin-Turaev invariants of Seifert three-manifolds for clas-
sical simple Lie algebras and their asymptotic expansions, J. Knot Theory Ramiﬁcations13
(2004), 617–668,math.GT/0209403.
[13] L. Jeﬀrey,Chern-Simons-Witten invariants of lens spaces and torus bundles, and the semi-
classical approximation, Commun. Math. Phys.147(1992), 563–604.
[14] L. Jeﬀrey and B. McLellan,Eta-invariants and anomalies inU(1)Chern-Simons theory,
arXiv:1004.2913 [math.SG].
[15] A. Kapustin, B. Willett, and I. Yaakov,Exact results for Wilson loops in superconformal
Chern-Simons theories with matter,arXiv:0909.4559 [hep-th].
[16] R. Lawrence and L. Rozansky,Witten-Reshetikhin-Turaev invariants of Seifert manifolds,
Commun. Math. Phys.205(1999), 287–314.
[17] M. Mari˜no,Chern-Simons theory, matrix integrals, and perturbative three-manifold invari-
ants, Commun. Math. Phys.253(2004), 25–49,hep-th/0207096.
[18] J. Martinet,Formes de contact sur les variet´et´es de dimension 3, Springer Lecture Notes in
Math209(1971), 142–163.
[19] L. Moser,Elementary surgery along a torus knot,PaciﬁcJ.Math38(1971), 737–745.
[20]Problems on Invariants of Knots and 3-Manifolds, Ed. by T. Ohtsuki with an introduction
by J. Roberts, inInvariants of Knots and 3-Manifolds (Kyoto, 2001), pp. 377–572, Geom.
Topol. Monogr. 4, Geom. Topol. Publ., Coventry, 2002,math.GT/0406190.
[21] P.-E. Paradan,The moment map and equivariant cohomology with generalized coeﬃcients,
Topology39(2000), 401–444.
[22] A. Pressley and G. Segal,Loop Groups, Clarendon Press, Oxford, 1986.
[23] N. Reshetikhin and V. Turaev,Invariants of 3-manifolds via link polynomials and quantum
groups, Invent. Math.103(1991), 547–597.
[24] E. Witten,Quantum ﬁeld theory and the Jones polynomial, Commun. Math. Phys.121
(1989), 351–399.
[25]
,Gauge theories and integrable lattice models,Nucl.Phys.B322(1989), 629–697.
[26] , “Two-dimensional Gauge Theories Revisited,” J. Geom. Phys.9(1992), 303–368,
hep-th/9204083.
[27] ,Dynamics of quantum ﬁeld theory,inQuantum Fields and Strings: A Course for
Mathematicians, Vol. 2, Ed. by P. Deligne et al., American Mathematical Society, Providence,
Rhode Island, 1999.
Simons Center for Geometry and Physics, Stony Brook University, Stony Brook,
New York 11794-3636
E-mail address:[email protected]

AMS/IP Studies in Advanced Mathematics
Volume 50, 2011
Quantum Field Theory and the Volume Conjecture
Tudor Dimofte and Sergei Gukov
Abstract.The volume conjecture states that for a hyperbolic knotKin the three-
sphereS
3
the asymptotic growth of thecolored Jones polynomial ofKis governed by
the hyperbolic volume of the knot complementS
3
\K. The conjecture relates two topo-
logical invariants, one combinatorial and onegeometric, in a very nonobvious, nontrivial
manner. The goal of the present lectures is to review the original statement of the vol-
ume conjecture and its recent extensions and generalizations, and to show how, in the
most general context, the conjecture can be understood in terms of topological quantum
ﬁeld theory. In particular, we consider:a) generalization of the volume conjecture to
families of incomplete hyperbolic metrics;b) generalization that involves not only the
leading (volume) term, but the entire asymptotic expansion in 1/N;c) generalization to
quantum group invariants for groups of higher rank; andd) generalization to arbitrary
links in arbitrary three-manifolds.
1. Preliminaries
LetKbe an oriented knot (or link) in the three-sphereS
3
. The original volume con-
jecture [24, 29] relates theN-colored Jones polynomial ofKto the hyperbolic volume of
the knot complementS
3
\K:
(1.1)
N-colored Jones poly ofK ←→ hyperbolic volume ofS
3
\K
(combinatorial, rep. theory) (geometric) .
We begin by reviewing some of the deﬁnitions and ingredients that enter on the two sides
here in order to make this statement more precise, and to serve as a precursor for its
subsequent generalization.
Jones polynomials.The (non-colored) Jones polynomialJ(K;q) of a knot or link can
be deﬁned combinatorially via the skein relation
(1.2) qJ(
)−q
−1
J()=(q
1
2−q
−
1
2)J(),
along with the normalization
1
(1.3) J(
)=q
1
2+q
−
1
2 for= unknot,
2010Mathematics Subject Classiﬁcation.Primary 58J28, 81T45; Secondary 58Z05, 57M27.
The work of SG is supported in part by DOE Grant DE-FG03-92-ER40701, in part by NSF Grant
PHY-0757647, and in part by the Alfred P. Sloan Foundation. Opinions and conclusions expressed here are
those of the authors and do not necessarily reﬂect the views of funding agencies.
1
The most common normalization for the unknot seen in the mathematics literature isJ(
)=1. For
the connection with topological quantum ﬁeld theory, however, (1.3) is much more natural.
cΣ2011 American Mathematical Society and International Press
19https://doi.org/10.1090/amsip/050/02

20 TUDOR DIMOFTE AND SERGEI GUKOV
and the rule
(1.4) J(K
1⊗K2)=J(K 1)J(K 2)
for any disjoint union of knots or links. Thus, for example, the (right-handed) trefoil and
ﬁgure-eight knots have Jones polynomials
J(3
1)=q
−
1
2+q
−
3
2+q
−
5
2−q
−
9
2,
J(4
1)=q
5
2+q
−
5
2.
In general,J(K, q)isaLaurentpolynomial,J(K, q)∈Z[q
1
2,q
−
1
2].
The combinatorial construction of the Jones polynomial is intimately related to repre-
sentation theory ofSU(2) — or the closely related representation theories of the quantum
groupU
q(su(2)) or the aﬃne Lie algebra
Σ
su(2). In particular, the classical Jones polyno-
mial above is obtained by “coloring” the knot (or link)KinS
3
with the 2-dimensional
representation ofSU(2). More generally, such a knot or link can be colored with any ﬁnite-
dimensional representationRofSU(2), leading to a colored Jones polynomialJ
R(K, q).
TheN-coloredJones polynomialJ
N(K, q)takesRto be the irreducibleN-dimensional rep-
resentation [40, 36, 25]. The colored Jones polynomial can again be computed in a purely
algebraic/combinatorial manner, by using the two rules
(1.5a) J
⊕iRi
(K;q)=
Σ
i
JRi
(K;q)
and
(1.5b) J
R(K
n
;q)=J
R
⊗n(K;q),
together with
(1.6) J
R(K1⊗K2)=J R(K1)JR(K2),
and the fact thatJ
1(K;q)=J R=Γ(K;q)≡1. The ﬁrst rule says that ifRis reducible, then
J
Rsplits as a sum over irreducible components. The second rule says that theR-colored
Jones polynomial for then-cabling of a knot (formed by takingncopies of the knot or link,
slightly displaced away from one another
2
) is equal to the colored Jones polynomial of the
original knot but in representationR
⊗n
.
For example, from (1.5a-b) and the fact thatJ
N=2(K, q)=J(K, q), it is easy to see
that
(1.7) J
N(
)=
q
N
2−q
−
N
2
q
1
2−q
−
1
2
.
More generally, for any knotK, relations (1.5) can be used to reduceJ
N(K;q) to ordinary
Jones polynomials ofKand its cablings. We have
J
1(K;q)=1,
J
2(K;q)=J(K;q),
J
3(K;q)=J(K
2
;q)−1,
J
4(K;q)=J(K
3
;q)−2J(K;q),
...,
where the expressions forJ
3,J4, etc. follow from the rules for decomposing representations
ofSU(2):2
⊗2
=1⊕3,2
⊗3
=(1⊕3)⊗2=2⊕2⊕4,etc. SinceJ(K;q)∈Z[q
1
2,q
−
1
2]
for anyK, it is clear that the colored Jones polynomialsJ
N(K;q) will also be elements of
Z[q
1
2,q
−
1
2].
2
This displacement must be done in a way that produces zero linking number between the various
copies.

QUANTUM FIELD THEORY AND THE VOLUME CONJECTURE 21
We have explained the left side of (1.1), completely, if somewhat tersely, in terms of
algebra and combinatorics. The right side has a very diﬀerent interpretation.
Hyperbolic volumes.It was conjectured by Thurston [37] (and is now proved [34]) that
every three-manifold may be decomposed into pieces that admit exactly one of eight diﬀerent
geometric structures. The most common structure by far is hyperbolic. Indeed, in the case
of knot complements inS
3
this statement can be made exact: a knot complement has a
hyperbolic structure if and only if it is not a torus or satellite knot [37]. By deﬁnition, a
“hyperbolic structure” refers to a geodesically-complete metric of constant curvature−1. If
a hyperbolic structure does exist on a manifoldM, then it is unique, and the corresponding
hyperbolic volume Vol(M) is a well-deﬁned topological invariant.
In fact, there also exists a natural complexiﬁcation of the hyperbolic volume of a three-
manifoldM, obtained as
(1.8) Vol( M)+iCS(M),
where CS(M) is the so-called Chern-Simons invariant ofM. To understand this, suppose
thatMallows a spin structure (as all knot/link complements inS
3
do) and consider ﬂat
SL(2,C) connections onMin place of hyperbolic metrics.
3
There exists a ﬂat connection
Awhose real and imaginary parts can be interpreted, respectively, as the vielbein and spin
connection of the hyperbolic metric. The real part of the quantity
(1.9)
i
2
I
CS(A)=
i
2
Γ
M
Tr
⊗
A∧dA+
2
3
A∧A∧A
∈
then reproduces Vol(M), while the imaginary part deﬁnes CS(M). The expressionI
CS(A)
is the so-called Chern-Simons functional ofA. Further details can be founde.g.in [38, 39]
or [19, 10]. Under gauge transformations acting onA, the functionalI
CS(A)isonly
well-deﬁned up to shifts of 8π
2
, leading to an ambiguity of 4π
2
in the deﬁnition of CS(M).
Because of this, it is often convenient to exponentiate the complexiﬁed volume (1.8), writing
it in the unambiguous form
(1.10) Z(M)=e
i
4π
ICS(A)
=e
1
2π
≡
Vo l (M)+iCS(M)
⊕
.
For hyperbolic knot complements, the full complexiﬁed volumeZ(M) can be eﬃciently
computed in terms of ideal hyperbolic triangulations,cf.[8, 32, 44].
TheVolumeConjecture.We have not said much yet about the variableqappearing in
the Jones polynomials. Strictly speaking, this variable should be a root of unity
4
(1.11) q=e
2πi
k,k ∈Z +.
At the special valuek=N, all Jones polynomialsJ
N(K;q) vanish, but the ratio
(1.12) V
N(K, q)=
J
N(K;q)
JN(;q)
remains ﬁnite. The original volume conjecture [24, 29] then states that
(1.13) lim
N→∞
2πlog
⊗
⊗V N(K;q=e
2πi
N)
⊗
⊗
N
=Vol(M).
3
Recall that a “G-connection” on a principalG-bundleE→Mcanbewrittenlocallyasa g-valued
one-formA. The bundleEis typically taken to be trivial in the present context,E=G×M. A gauge
transformation (a change of coordinates onE) induced by an elementg∈Γ(E) acts locally on the connection
asA⊗ →g
−1
Ag+g
−1
dg.
4
In terms of representation theory, the integerkis identiﬁed as the level of the aﬃne Lie algebra
Γ
su(2)
k
.
The representation theory of the quantum groupU
q(su(2)) also (crucially) simpliﬁes greatly whenqis a root
of unity, becoming essentially equivalent to the representation theory of
Γ
su(2)
k
. See also Sections 3.3.1-3.3.2.

22 TUDOR DIMOFTE AND SERGEI GUKOV
It is also possible to remove the absolute value and exponentiate to obtain the complexiﬁed
generalization (cf.[30])
(1.14) VN(K;q=e
2πi
N)
N→∞
∼Z(M)
N
=e
N
2π
≡
Vo l (M)+iCS(M)
⊕
.
Figure 1.The ﬁgure-eight knot,4 1.
As an example, consider the ﬁgure-eight knot(Figure 1), the simplest hyperbolic knot.
The colored Jones polynomial (seee.g.[24]or[22]) is
(1.15)V
N(41;q=e
2πi
N)=
N−1
Σ
m=0
(q)m(q
−1
)m,(x) m:= (1−x)(1−x
2
)···(1−x
m
).
The hyperbolic volume of the ﬁgure-eight knot complement is
(1.16) Vol( S
3
\41)=2Vol(Δ)=2.02988... ,
where Vol(Δ) = Im Li
2(e
i
π
3) denotes the volume of a regular hyperbolic ideal tetrahedron.
The Chern-Simons invariant CS(S
3
\41) vanishes. It is fairly straightforward (and an infor-
mative exercise
5
) to show that in the limitN→∞one has, as expected,
(1.17) lim
N→∞
2πlogV N(41;e
2πi
N)
N
=Vol(S
3
\41).
2. The many dimensions of the volume conjecture
There are several natural ways in which one might try to generalize the basic volume
conjecture (1.14). One possibility is to consider not justk=N(orq=e
2πi
N), but arbitrary
values ofk(orq). Another option would be to ask what happens to subleading terms in the
asymptotic expansion ofV
N(K;q)asN→∞. It might also be interesting to consider not
just hyperbolic knots inS
3
but arbitrary links in more complicated three-manifolds. It turns
out that all these generalizations make sense, and can be nicely combined and interpreted
in terms of Chern-Simons theory with complex gauge group [19]. In this section, we detail
each of them (and one additional generalization) in turn, and begin to explain what kind
of new objects one should expect on the right-hand-side of (1.14). Then, in section 3, our
goal will be to explain where such generalizations come from.
5
One method involves analytically continuing the summand as a ratio of quantum dilogarithm functions
(cf.[13, 10]), approximating the sum by an integral, and evaluating it at its saddle point.

QUANTUM FIELD THEORY AND THE VOLUME CONJECTURE 23
2.1. Parametrized VC.The original volume conjecture only held for a special root
of unityq=e
2πi
N. In order to generalize to arbitraryq=e
2πi
k, the appropriate limit to
consider is
(2.1) k→∞,N →∞,u :=iπ
N
k
ﬁxed
(orq→1,q
N
=e
2u
ﬁxed). The question, then, is how to understand
(2.2) lim
k,N→∞
JN(K;q)
1/k
?
The answer, described in [19], uses the fact that in correspondence with the “defor-
mation” in the colored Jones polynomial, there exists a one-parameter deformation of the
hyperbolic structure on a knot complementS
3
\K. To understand this, letμbe a small
loop linking the excised knotK, as in Figure 2a. In terms of ﬂatSL(2,C) connections, the
geodesically complete hyperbolic metric has a parabolicSL(2,C) holonomy aroundμ,
(2.3) Hol( μ,complete) =±

11
01

,
whereas the incomplete,u-deformed hyperbolic metric/SL(2,C) connection is deﬁned to
have a holonomy conjugate to
(2.4) Hol( μ, u)=

e
u
1
0e
−u

.
(As long ase
u
=e
−u
, this deformed holonomy is also conjugate to the purely diagonal
matrix diag(e
u
,e
−u
).) The resulting metric is not complete. For example, whenuis purely
imaginary, theu-deformed metric has a conical cusp of angle 2Im(u)attheknotK.
The complexiﬁed hyperbolic volume for this one-parameter family of metrics can again
be deﬁned in terms of the Chern-Simons functionalI
CS(A) appearing in (1.9). Now, how-
ever,A=A(u) should be a ﬂatSL(2,C) connection with prescribed holonomy (2.4). The
”parametrized” volume conjecture then takes the form [19]
(2.5)
JN(K;q)
k,N→∞
∼e
−
k
4πi
ICS(A(u))
.
Figure 2.a) The “longitude”λand “meridian”μholonomy paths in the
knot complementS
3
\K. b) Integration on the A-polynomial curve to ﬁnd
the deformed complex volume.
The quantityI
CS(A(u)) can be described very explicitly. Indeed, suppose that we
require a hyperbolic metric (expressed in terms of a ﬂatSL(2,C) connection) to have
holonomies conjugate to diag(e
u
,e
−u
) and diag(e
v
,e
−v
), respectively, along the meridian

24 TUDOR DIMOFTE AND SERGEI GUKOV
and longitude loops depicted in Figure 2a. Such a metric exists if and only if the so-called
A-polynomial ofKvanishes [7],
(2.6) A(⊗, m)=0 for ⊗=e
v
,m=e
u
.
Given a ﬁxede
u
∈C
∗
, exactly one of the solutionsv=v
hyp
(u) of this equation corresponds
to theu-deformed hyperbolic metric. The Chern-Simons functional evaluated at the ﬂat
connectionA(u) can then be written as
(2.7) I
CS(A(u)) =I CS(A(iπ)) + 4
Γ
γ
θ,
whereA(iπ) is the non-deformed hyperbolic ﬂat connection,
(2.8) θ=−(v
⊗
+iπ)du
⊗
is a one-form on the curveA(e
v
Γ
,e
u
Γ
) = 0, andγis a path on this curve that connects
the complete hyperbolic structure at (e
v
Γ
,e
u
Γ
)=(−1,±1) to theu-deformed metric at
(e
v
Γ
,e
u
Γ
)=(e
v
hyp
(u)
,e
u
), as in Figure 2b.
6
As our recurrent example, consider again the ﬁgure-eight knot. The complete colored
Jones polynomial,cf.[22], is
(2.10) J
N(41;q)=
q
N
2−q
−
N
2
q
1
2−q
−
1
2
N−1
Σ
j=0
q
Nj
j

k=1
(1−q
k−N
)(1−q
−k−N
).
The A-polynomial of the ﬁgure-eight knot is
(2.11) A(⊗, m)=(⊗−1)(m
4
⊗
2
−(1−m
2
−2m
4
−m
6
+m
8
)⊗+m
4
⊗
2
),
and from (2.7) and (1.16), it results (after some algebra) that the Chern-Simons functional
can be written as
(2.12) I
CS(A(u)) = 2Li 2(e
−p−u
)−2Li 2(e
p−u
)+8(p−iπ)(u−iπ),
wherex=e
p
is the solution tom
3
x
2
+(1−m
2
−m
4
)x+m
3
= 0 with smallest negative
imaginary part. For irrationalu/iπin a neighborhood ofu=iπit can then be shown (cf.
[27, 31]) that the proposed asymptotics (2.5) indeed hold.
The necessity for takingu/iπirrational here may appear a little strange at ﬁrst glance.
It stems fundamentally from the fact that the Jones polynomialsJ
N(K;q=e
2πi
k) are really
only deﬁned forN,k∈Z. A subtle analytic continuation in eitherNorkis necessary to
achieveu/iπ=N/k /∈Q. As anticipated in [19] and explained recently in [41], it is this
continuation that causes the growth of the colored Jones polynomial to be exponential. We
will remark on this further in Section 3.3.2.
In light of this argument, one might ask now why the original volume conjecture at
the rational valuek=Noru=iπheld in the ﬁrst place. Recall thatJ
N(K;q) actually
vanished atk=N, so it was necessary to divide byJ
N(
;q) to obtain the non-vanishing
ratioV
N(K;q). ExaminingV N(K;q)atu→0 is equivalent to considering thederivativeof
J
N(K;q)atu=iπ, which of course knows about analytic continuation.
7
6
The actual complexiﬁed volume that appears in the literature on hyperbolic geometry (cf.[33, 43, 23])
is related toI
CS(A(u)) as
(2.9) Vol( S
3
\K;u)+iCS(S
3
\K;u)=
i
2
I
CS(A(u)) + 2iv(u)Re(u)−2πu+2π
2
i.
Note thatI
CS(A(u)) is analytic inu,whereasVol(u)+iCS(u)isnot.
7
We thank E. Witten for useful observations on this subject.

QUANTUM FIELD THEORY AND THE VOLUME CONJECTURE 25
2.2. Quantum VC.The second option for generalizing the volume conjecture (1.14)
is to ask for higher-order terms in the asymptotic expansion of the colored Jones polynomial.
Let us deﬁne a new “quantum” parameter⊗as
(2.13) ⊗=
iπ
k
,
so that
(2.14) q=e
2Σ
.
The two parametersNandkof the colored Jones polynomial can be traded for⊗andu,
and the limit (2.1) is simply⊗→0. Atu=iπ, higher-order asymptotics are then predicted
[19]tohavetheform
(2.15)
V
N(K;q=e
2πi
N)
N→∞
∼exp

1
2⊗
(Vol +iCS)−
3
2
log⊗+
1
2
log
−iπT
K
4
+
∞
Σ
n=2
˜
S
n⊗
n−1

.
Here, for example,T
Kis the Ray-Singer torsion of the knot complementS
3
\K.Itcanbe
deﬁned after putting any background metric onS
3
\K[35]as
(2.16) T(M)=exp

−
1
2
3
Σ
n=0
n(−1)
n
log det
⊗
Δn

=
(det
⊗
Δ0)
3
2
(det
⊗
Δ1)
1
2
,
where Δ
nis the Laplacian acting onn-forms.
It is fairly straightforward to combine the present quantum deformation with the parametriza-
tion of the volume conjecture inu. The expectation is that
(2.17) JN(K;q)
N,k→∞
∼exp

−
1
4⊗
I
CS(A(u))−
3
2
log⊗+
1
2
log
iT
K(u)
4π
+
∞
Σ
n=2
Sn(u)⊗
n−1

.
Here,T
K(u)isau-deformed torsion, and is related to the Alexander polynomial ofK
[16, 28]. The higher-order coeﬃcients in (2.15) are related to those in (2.17) as
(2.18)
Σ
n≥2
˜
S
n⊗
n−1
=
Σ
n≥2
Sn(iπ)⊗
n−1
−log
sinh⊗
⊗
.
For the ﬁgure-eight knot, the quantum volume conjecture (2.17) was tested to ﬁrst
subleading order in [20](seealso[1]), using the Ray-Singer torsion
(2.19) T
41
(u)=
4π
2
√
−m
−4
+2m
−2
+1+2m
2
−m
4
.
Higher-order coeﬃcientsS
n(u) can also be computed [10]. For example,
S
2(u)=
−i(T
41
)
3
12(4π
2
)
3
m
6
≡
1−m
2
−2m
4
+15m
6
−2m
8
−m
10
+m
12
⊕
,(2.20)
S
3(u)=
−2(T
41
)
6
(4π
2
)
6
m
6
≡
1−m
2
−2m
4
+5m
6
−2m
8
−m
10
+m
12
⊕
−
1
6
.(2.21)
These expressions appear to be new, unexplored knot invariants with distinctive number-
theoretic properties. Needless to say, it would be interesting to test the quantum volume
conjecture (2.17) for other hyperbolic knots and/or to higher order in the⊗-expansion.
Just as the generalization of the volume conjecture tou = 0 was interpreted in terms
of theSL(2,C) Chern-Simons functional, there is also a Chern-Simons interpretation of the
quantum volume conjecture. One must consider how the functionalI
CS(A) behaves when

26 TUDOR DIMOFTE AND SERGEI GUKOV
the connectionAundergoes “quantum ﬂuctuations” away from the ﬂat connectionA(u).
This is accomplished in physics via perturbative quantum ﬁeld theory. Symbolically, we can
writeA=A(u)+A
⊗
,whereA
⊗
contains the ﬂuctuations away from ﬂatness, and deﬁne a
perturbative “partition function” via the path integral
(2.22) Z(S
3
\K;u;⊗) pert=
Γ
DA
⊗
e
−
1
4Σ
ICS(A(u)+A
Γ
)
.
The exponent in the integrand has a critical point atA
⊗
= 0, and a saddle point expansion
around this point yields the right-hand-side of (2.17). (To be very precise,J
N(K;q)∼
Z(S
3
\K;⊗;u)/Z(S
3
;⊗), whereZ(S
3
;⊗)=
⊂
2/ksin(π/k) is the partition function of the
three-sphereS
3
.)
2.3. Groups and representations.So far, we have considered two continuous de-
formations of the volume conjecture, inuand⊗, as drawn schematically in Figure 3. In
addition, there are two discrete generalizations that we can make.
Figure 3.Continuous and discrete generalizations of the volume conjecture.
The ﬁrst such generalization involves the “gauge groups” and representations that deﬁne
colored Jones polynomials. Recall from Section 1 that theN-colored Jones polynomial is
a quantumSU(2) invariant that corresponds to coloring a knot with theN-dimensional
representation ofSU(2). More generally, one can consider “quantumSU(n) invariants,”
or in fact invariants for any compact Lie groupG. Knots or links should then be colored
by ﬁnite-dimensional representationsRofG. For semisimpleGand irreducibleR,the
representation can be labelled by a highest weightλin the weight lattice Λ
wt⊂g
∗
,where
g= Lie(G). The resulting quantum polynomial invariant of a knot inS
3
may be denoted
(2.23) P
G
R
λ
(K;q).
Just like the colored Jones polynomial,P
G
R
(K;q) depends on a root of unityq=e
2πi
k.
Also like the colored Jones, these invariants satisfy
(2.24) P
G
⊕
iRi
(K;q)=
Σ
i
P
G
R
i
(K;q),and P
G
R
⊗n(K;q)=P
G
R
(K
n
;q).
More general tensor products can also be produced by cabling a knot or link and coloring
each component of the cable with a diﬀerent representation. WhenG=SU(n)andRis the
fundamental representation (or any of its conjugates), the polynomialP
G
R
(K;q)satisﬁesa
skein relation similar to (1.2).

QUANTUM FIELD THEORY AND THE VOLUME CONJECTURE 27
Using the positive nondegenerate trace form−Tr :g×g→R,theweightλcan be
identiﬁed with its dual elementλ
∗
int, the Cartan subalgebra ofg. Let us also deﬁneρ
to be half the sum of positive roots, andρ
∗
∈t⊂gits dual. Then the interesting limit to
consider forP
G
R
λ
(K, q)is
(2.25) k→∞,λ
∗
→∞,u :=
iπ
k
(λ
∗
+ρ
∗
)ﬁxed,
or
(2.26) q=e
2Σ
=e
2πi
k→1(⊗→0),q
λ
∗
+ρ
∗
=e
2u
ﬁxed.
The parameteruhas now become a diagonal matrix, an element oft
C. Coming back to the
case ofSU(2) and anN-dimensional representation, in this notation we have
(2.27)λ
∗
=

N−10
0 −(N−1)

,ρ
∗
=

10
0−1

,u =iπ

N
k
0
0−
N
k

.
The asymptotics of the invariantP
G
R
(K;q) should look very similar to those of the
colored Jones polynomial, namely
(2.28)
P
G
R
λ
(K;q)
Σ→0
∼exp

−
1
4⊗
I
CS(u)−
δ
2
log⊗+
1
2
log
iT(u)
4π
+
∞
Σ
n=2
Sn(u)⊗
n−1

.
The leading termI
CS(u) is now the Chern-Simons functional (1.9) evaluated at a ﬂatG C
connectionA(u) — in other words, a connection taking values in the complexiﬁed Lie algebra
g
C— whose holonomy around the meridian of the knot as in Figure 2a is
(2.29) Hol( μ)=m=e
u
.
For genericu, this holonomy is an element of the complexiﬁed maximal torusT
C⊂G C.
Again,I
CS(u) can be expressed as
(2.30) I
CS(u)=const.+4
Γ
γ(u)
θ,
whereθ∼−
∪
r
i=1
vidui+ exact is a diﬀerential on anr-dimensional complex variety cut
out byrequationsA
j(e
v
,e
u
)=0,withr=rank(G). The equationsA j(e
v
,e
u
) = 0 describe
the moduli space of ﬂatG
Cconnections onS
3
\K.
Subleading terms on the right side of (2.28) also have a geometric interpretation. The
functionT(u) is the Ray–Singer torsion of the knot complement twisted by the ﬂat con-
nectionA(u), and the numberδis a ﬁxed integer which can be computed in terms of
cohomology ofS
3
\Kwith coeﬃcients in the associated ﬂat bundle, with structure group
G
Cand connectionA(u)(cf.[4, 10]). More generally, the full asymptotic expansion can
be written as a perturbative path integral just like (2.22), which takes into account the
quantum ﬂuctuations of a ﬂatG
Cconnection.
2.4. Links and 3-manifolds.The ﬁnal generalization of the volume conjecture that
we consider is to arbitrary links in arbitrary three-manifolds. Here we really begin to
require a true TQFT description of the “quantumG-invariants” of knots and links. This
was supplied by quantum Chern-Simons theory with compact gauge groupGin [40], and
reinterpreted via quantum groups and R-matrices in [36]. Using either of these approaches,
one may deﬁne a quantum partition function
(2.31) Z
G
(M,L;{R a};⊗)

28 TUDOR DIMOFTE AND SERGEI GUKOV
for a linkLin any three-manifoldM, where each component of the link is colored with a
diﬀerent representationR
a. The “polynomial”P
G
R
is obtained from this after normalizing
by the partition function of an empty manifold (a manifold with no link),
(2.32) P
G
{R
a}
(M,L;q)=
Z
G
(M,L;{R a};⊗)
Z
G
(M;⊗)
,(q=e
2Σ
).
Thus, in the case of the colored Jones polynomial,
(2.33) J
N(K;q)=
Z
SU(2)
(S
3
,K;R N;⊗)
Z
SU(2)
(S
3
;⊗)
.
The integerk(appearing inq=e
2Σ
=e
2πi
k) is identiﬁed with the “level” or coupling
constant of the compact Chern-Simons theory.
8
The partition function (2.31) supplies the left-hand-side of the volume conjecture. We
then want to understand the asymptotics ofZ
G
(M,L;{R a};⊗) in the limit⊗→0, with a
parameteru
a=⊗(λ
∗
a
+ρ
∗
) held ﬁxed for each separate link component. The answer should
be given by perturbative, quantum Chern-Simons theory withcomplexgauge groupG
C,
evaluated on the link complementM\L, in the background of a ﬂat connection with ﬁxed
holonomy
(2.34) m
a=exp(u a)
around the meridian of each excised link component. Denoting this perturbative Chern-
Simons partition function by
(2.35) Z
GC
pert(M\L;{u a};⊗)=exp

−
1
4⊗
I
CS({ua})−
δ
2
log⊗+...

,
we expect that
(2.36) Z
G
(M,L;{R a};⊗)
Σ→0
∼Z
GC
pert(M\L;{u a};⊗).
This discussion can also be rephrased in a somewhat more symmetric manner, using link
complements on both sides of the volume conjecture. It turns out that in compact Chern-
Simons theory the partition function of a knot (or link)K⊂Mcolored by representation
R
λis equivalent to the partition function of the knot complementM\Kwith ﬁxed meridian
holonomy
(2.37) m=exp

iπ
λ
∗
+ρ
∗
k

=exp(⊗(λ
∗
+ρ
∗
)) = exp(u).
For the compactGtheory to make sense, the eigenvalues of the matrixu/iπmust clearly
be rational. However, interesting asymptotics — potentially with exponential growth as
in (2.36) — occur whenuisanalytically continuedaway from such rational values. This
process of analytic continuation naturally lands one in the regime of Chern-Simons theory
with complex gauge groupG
C[10].
After so many generalizations, it may be unclear that the volume conjecture has any-
thing to do with volumes anymore. Indeed, for higher-rank gauge groupsG, “volume”
should not be a hyperbolic volume but rather the “volume” of a holonomy representation
(2.38) :π
1(M\K)→G C.
EveninthecaseofG=SU(2) and knots in the three-sphere, one may run across cases
of non-hyperbolic knot complements. It was clear from the initial days of the volume
8
To be completely precise, the integerkused throughout these lectures is the sum of the Chern-Simons
level and the dual Coxeter number ofG.

QUANTUM FIELD THEORY AND THE VOLUME CONJECTURE 29
conjecture [29] that even in these cases the asymptotics ofJ N(K;q) could still be given by
an appropriate ﬂat (but non-hyperbolic/non-metric)SL(2,C) structure.
3. TQFT
We have just seen that the volume conjecture admits a multitude of generalizations,
all of which seem to be related to Chern-Simons quantum ﬁeld theory. The most complete
statement of the volume conjecture (2.36) involves Chern-Simons theory with compact gauge
groupGon the left-hand side and Chern-Simons theory with complex gauge groupG
Con
the right:
(3.1)
combinatorics/rep. theory
geometry
quantumG-invariants volumes of representations
J
N(K;q),P
G
R
λ
(K;q), ←→ :π 1(M\K)→G C,
Z
G
(M,K;u;⊗),etc. Z
GC
pert(M\K;u;⊗),etc.
q=e
2πi
k=e
2Σ
,u=iπ
λ
∗
+ρ
∗
k
.
Chern-Simons theory is a topological quantum ﬁeld theory (TQFT). In addition to the
basic implication that partition functions such asZ
G
(M,K;u;⊗)orZ
GC
pert(M\K;u;⊗)are
topological invariants of colored knots and links in three-manifolds, the structure of TQFT
provides powerful methods for actually computing them in multiple ways. It also shows why
a general correspondence like (3.1) might be expected to hold.
3.1. Cutting and gluing.In its more mathematical incarnation, a 3-dimensional
TQFT can be thought of as a functorZthat assigns
(3.2)
closed 3-manifoldM Σ numberZ(M)
closed 2-manifold ΣΣ vector spaceZ(Σ)
closed 1-manifoldS
1
Σ categoryZ(S
1
)
pointp Σ 2-categoryZ(p).
For our applications to Chern-Simons theory, we will really only need the top two lev-
elsZ(M)andZ(Σ). The ﬁner structure of categories and 2-categories has recently been
explored ine.g.[14].
Figure 4.Hilbert space assigned to a surface Σ and partition function
assigned to a three-manifoldMin TQFT.
If a 3-manifoldMhas a boundary Σ =∂M, the objectZ(M)isnolongeranumber,
but an element of the vector spaceZ(Σ) assigned to the boundary, as shown in Figure 4.
This vector space is in fact a Hilbert space, so let us denote it asH
Σ=Z(Σ). At the top
two levels, the TQFT must then satisfy the following axioms of Atiyah and Segal (cf.[2]).
(1) A change of orientation Σ→−Σ dualizes the Hilbert space,H
−Σ=H
∗
Σ
.
(2) For a boundary consisting of multiplet disjoint components,H
Σ1Σ2
=HΣ1
⊗HΣ2
.

30 TUDOR DIMOFTE AND SERGEI GUKOV
(3) Using the ﬁrst two axioms, we see that for a manifoldMwith∂M=(−Σ 1)⊗Σ 2
one obtains a mapZ(M):H Σ1
→HΣ2
. Then, given a 3-manifoldNthat can be
written asN=M
1∪Σ2
M2, with∂M 1=(−Σ 1)⊗Σ 2and∂M 2=(−Σ 2)⊗Σ 3as
illustrated below, the functoriality propertyZ(N)=Z(M
2)◦Z(M 1) must hold.
(4) For the empty boundary,H Σ=Γ=C.
(5) ForM=Σ×I,themapZ(M):H
Σ
id→HΣis just the identity.
Using these axioms, the partition functionZ(M) of any three-manifold, with or without
boundary, may be constructed by cutting the manifold into pieces and taking inner products
in boundary Hilbert spaces to glue the pieces back together. For this purpose, it is often
convenient to know how the mapping class group of a surface Σ acts onH
Σ,inorderto
properly identify the Hilbert spaces on two sides of a gluing.
There are many examples of three-dimensional TQFT, diﬀering essentially in the def-
initions of the boundary Hilbert spacesH(Σ), as well as the action of the mapping class
groups on these spaces. In the case of Chern-Simons theory with gauge groupG(whether
compact or complex),H
Σis a quantization of the spaceM ﬂat(G;Σ) of ﬂatG-connections
on Σ:
(3.3)M
ﬂat(G;Σ)=
◦
connectionsAon principal
FA=0
G-bundle over Σ

gauge equivalence.
(Recall that a connection is ﬂat if the curvatureF
A=dA+A∧Avanishes.) The precise
meaning of the quantization used to obtainH
ΣfromM ﬂat(G; Σ) will be the subject of
Section 3.2. It depends on the levelk=iπ⊗
−1
(or coupling constant) of Chern-Simons
theory, the only adjustable parameter in the TQFT.
In Chern-Simons theory, one is also interested in colored knots or links embedded in
3-manifolds. Suppose for the moment that we have compact Chern-Simons theory with
gauge groupGand levelk∈Z. The intersection of a knot and a boundary surface Σ shows
up as a puncture on Σ and TQFT would assign the boundaryS
1
surrounding this puncture
in Σ the category of representations of the aﬃne Lie algebrag
k,
(3.4) Z(S
1
)∼reps ofg k.
The deﬁnition of the Hilbert spaceH(Σ) of a multiple-punctured Σ would then have to
be altered to include the space of homomorphisms between such representations. For our
purposes, however, the complication of knots can be conveniently avoided byexcising the
knots and trading representations that color the knots for boundary conditions on knot com-
plements.
This trick was already mentioned in Section 2.4. In the language of TQFT, it can be
described the following way. Suppose that we have a knotKcolored by representationR
λ
inside the closed manifoldM. We cut out a tubular neighborhoodN Kof the knot, so that
(3.5) M=(M\N
K)∪
T
2NK,N KD
2
×S
1
.

Other documents randomly have
different content

AZ EXEQUÁLHATATLAN.
X. gróf egy szép kis hétezer holdas birtok ura a Bánságban. A
birtok primae classis, s el van látva minden szükséges gazdasági
épületekkel.
X. gróf e birtokocskától 14 év óta még nem fizetett adót.
No – adót nem fizetni még nem virtus; azt próbálta más is;
hanem aztán a státus megvette rajta, exequálták.
Igen, de X. grófot tizennégy évi adójáért még csak nem is
exequálták. Ez a valami.
Hogy lehet ez? Hát úgy lehet, hogy tizennégy év óta sem egy
kapavágást nem tétetett a földein, sem azokat haszonbérbe nem
adta; ott állnak azok parlagon, ugaron, a végrehajtó hatalom nem
talál azokon egyebet papsajtnál, a mi tudvalévő legsoványabb sajt a
világon. Ő maga tőkepénzéből él, instrukczióit eladta s jószágain
csak vadászat végett szokott megjelenni, s e czélra van két
vadászosan bútorozott szobája roppant kastélyában.
Egyszer azonban az állam éber őrei, a finánczok, megsejtvén a
nemes úr megérkeztét kastélyában, mielőtt ismét odább
kocsikázhatott volna, ott lepték szerencsésen.
Volt pedig öt szép hámos lova, a miken idejött, a mi adóbehajtók
között is megért hatezer pengőt. Ezt lefoglalták, elkobozták, a státus
nevében lebiróizárolták s az odavitt községi jegyzőt felelőssé tették
érte, hogy a lovak ott maradjanak, s azoknak netaláni elvitelét
minden erőhatalommal megakadályozza. Tizennegyed napra pedig
kitűzték a törvényes határidőt az elkótyavetyélésre.

X. gróf teljesen megnyugodott az állam rendelkezéseiben, s e
végrehajtási tény után, hogy annál biztosabb legyen a státus a lovak
el nem vitetése felől, rájuk zárta az akolajtót, zsebébe tette a kulcsot
és elment szalonkát vadászni. Csak tizennégy nap mulva jött vissza.
Az öt ló az alatt persze megdöglött éhen; a kótyavetyére megjelenők
a bőrét sem használhatták többé. Még azokat is a státusnak kellett
eltakaríttatni.
De már ez több volt az elégnél!
A dolog a pénzügyminiszter úr tudomására jutott, s X. gróf
parancsot kapott «ad audiendum verbum», a miniszter úr előtt
megjelenni.
X. gróf a párisi boulevardon sem szokta a tulipános szűrt mással
felcserélni; hanem a jelen esetben átlátta, hogy az illem és a tisztelet
úgy kívánják, miszerint a helyzet változatosságához képest neki is át
kell alakítania viseletét, hogy megjelenése kifogástalan legyen.
Csináltatott magának egy frakkot, melynek dereka hónaljig,
szárnya hegyei pedig sarkáig értek; ahhoz sárga mellényt, csípőn
alúl nyúlót, csattos czipőket és egy másfélláb magosságú
czilinderkalapot; így állított be a parancsolt helyre.
A mint a várakozási terembe lépett, a bejelentők siettek tudatni a
miniszter úrral, hogy itt van X. úr, de nagyon furcsán van
kosztümirozva.
A miniszter úr nem szereti a tréfát; X. úrnak azt az izenetet
hozták vissza, hogy az ügyér úr nincsen ide haza.
– Jól van: felele X. úr, jelmezéhez illő nyugalommal. Tehát várni
fogok, míg haza jön.
S ott várt négy óra hosszat rendületlenűl, rőfös czilinderét térdei
közt tartva.
Ekkor azt a hírt hozták ki neki, hogy a miniszter úr beteg, nem
lehet vele beszélni.

– Jól van, felelte barátunk, kenetteljes pietással, ő exczellencziája
azt parancsolta nekem, hogy idejöjjek, mert szólni akar velem. Ha
beteg, itt fogok várni, míg meggyógyúl.
Ez már még is túlmegy minden emberi türelmen! «Jöjjön hát
be!» hangzott a harmadik parancs.
X. gróf, karja alá kanyarítva czilinderét, besasirozott az elfogadási
terembe, s így szólt:
«Exczellenciás uram, tekintse szomorú állapotomat.»
A miniszter úr igen bölcsen, alaposan fejtegeté előtte, hogy az
állam nem nélkülözheti az állampolgárok földeire vetett adót, hogy
ez eljárás mennyi kárt okoz magának X. úrnak. Mennyivel okosabban
tenné, ha már maga fizetni nem akar: hogyha bérbe adná jószágait
s a bérnökre bízná, hogy az fizesse az adót; de X. gróf mindezekre
nem felelt egyebet, mint azt: hogy «exczellencziád, tekintse szomorú
állapotomat.»
A miniszter úr igen szépen beszélt vele.
Bíztatta, hogy ha terhesnek találja az adóhátralékát, hát fizesse
meg legalább felét.
«Exczellencziád, tekintse szomorú állapotomat.»
– No hát fizesse meg egy negyedét.
«Exczellencziád, tekintse szomorú állapotomat.»
– De hát akármit, azt; de valami adót csak fizessen az államnak.
«Exczellencziád, tekintse szomorú állapotomat.»
– Menjen hát a mennydörgő menykőbe! Ne fizessen semmit;
csak nekem hagyjon békét.
X. gróf maig is szűzvállú nemes ember.

A PÁRISI DIVAT.
Mihály bácsi három hétig volt Párisban; az alatt megtanulta, hogy
a cselédekkel udvariasan kell bánni.
Akár mit kér az ember tőlük, hozzá kell tenni «s’il vous plait», (ha
úgy tetszik) s azután, ha megvan: «merci!» (köszönöm).
Itthon mindjárt gyakorlatba is vette az új divatot.
Egy szolgálója volt, a kit így kezdett megbecsülni:
«Ma chére Chári (olvasd Sári), jöjjön be, ha úgy tetszik. S hozzon
nekem egy pohár vizet, s’il vous plait.»
Sári röhögött, hozott neki egy pohár vizet, a víz meleg volt; de az
ellen kifogást tenni Párisban nem illik. Mihály bácsi megitta melegen,
s azt mondta rá: «merci Chári, köszönöm.»
Sári kiment s odakinn elmondta a szomszéd szakácsnénak, hogy
az ura meggubahodott, először kéri a vizet azután pedig
megköszöni.
Másnap megint szól Mihály bácsi:
«Ma chére Chári, ha úgy tetszik, hozzon nekem egy pohár vizet;
de ne legyen meleg, s’il vous plait; mert tegnap meleg volt; mille
pardons!»
Sári röhögött, hozott vizet, az már nem volt meleg, de csak úgy
úszkált benne a mindenféle szemét.
Ez ellen észrevételeket tenni csak barbár mexikóiak szoktak,
(azért is mennek őket a francziák czivilizálni), a ki Párisban járt igy

szól rá: «merci Chári, köszönöm.» Mihály bácsi megitta szemetestül.
Megint másnap újra felhívá Sárit egész decentiával.
«Ma chére Chári, hozzon nekem egy pohár vizet, s’il vous plait,
de ha lehetséges, ne legyen se meleg, se szemetes, je vous prie.»
Sári hozott neki vizet, a mi nem volt se meleg, se ronda, hanem a
pohár volt olyan piszkos, hogy a karimáján meglátszott a zsiros
szájak helye, a kik belőle ittak.
Ilyesmiért neheztelni grönlandi népszokások közé tartozik. Mívelt
ember azzal meg nem bélyegezheti magát. Mihály bácsi keresett a
pohár szélén olyan helyet, a mely nem volt piszkos s ivott onnan.
«Merci Chári.»
Azután való nap megint folyamodást intézett Sárihoz.
«Ma chére Chári; s’il vous plait, hozzon nekem vizet, de kérem
nagyon, je vous prie, ne legyen se piszkos, se meleg, se zsiros
pohárban adva; ezer bocsánat Sári.»
Sári kiment és nevetett: «majd én sokat teketóriázok neked, a ki
olyan szépen kérsz és köszönsz! Jó lesz neked a mosogató
dézsából.»
Vitt aztán neki piszkos pohárban piszkos vizet, meleg vizet.
Mihály bácsi pedig fogá a poharat és monda:
«Ma chére Sári, ilyen adta teremtette lusta disznója: most
mindjárt megmosd ezt a poharat és tiszta vizet hozz, kutyaáldotta!
mert úgy vágom a fejedhez, s’il vous plait, hogy mindjárt itt
veszekedel meg: merci!»
Sári aztán hozott is mindent, a hogy kivánni lehetett, mondván e
képen:
– Hát mért nem beszél úgy, a hogy kell?

EGY ÚJ SZÍNPAD.
A melynek előadásait reggeltől estig nézi minden ember és
újságíró, de még eddig egy sem referált róla.
Ez a színpad a Marschall vendéglőjének a kirakata.
Valóban érdekes előadások! Itt láthatja a laikus ember mindazon
titkos nagyságokat, azon művészi remekeket, miket a nagy urak
szoktak – enni.
A napnak minden órájában el van foglalva minden hely az ablak
előtt; ott állnak a delnők messze kirúgó krinolinnal, a puttonyos
asszonyok, hátukra vett paholylyal, kis diákok, alúl fúrva helyet fejeik
számára s kiváncsi dandyk, a publikum fején túl nyújtogatva
nyakaikat.
Valódi szellemi élvezet: a mennyiben az ennivalókat csak az
ablakon keresztül lehet élvezni.
Első nap a színpad elejét elfoglalja egy óriási tengeri hal; nem
tudom én, czápa, vagy micsoda: én tudom, hogy meg nem enném,
ha csak az meg nem enne engem; de uraknak jó, olyan lapos, mint
egy trancsirtányér, s csakúgy ragad a fényességtől, mellette két
ismeretlen madár, olyan drága madár, a minek még a guanója is
csemege! a háttérben valami átlátszó kocsonyából épült czitadella,
mely körűl rózsaszín trikóba öltözött páros lábú kűlföldi kolbászkák
készülnek ballétot járni. A kulisszák erdőt ábrázolnak óriási
kártifiolákból, miknek darabja egy tallér, s a világítás különféle szinű
palaczkok által eszközöltetik, mik közűl egy e merész föliratot viseli
nyakán: «Kétszáz esztendős khinai likőr, ára 100 forint.»

Valaki vállamra üt; – egyike azon barátaimnak, a kik nem tudják
kimondani a «r» betűt.
«Se’vus, jó’eggel ba’átom! Mit ke’essz itt.
«Bámulok, mert ingyen bámulhatok.»
«Má’ az igaz. Me’t mostanság aká’ hová fo’dul az embe’
mindenütt megadóztatják. Én nem é’tem, ez az ö’ökös alföldi inség.
Ma a bazá’ba kellene ötven fo’int, holnap a kenyé’ osztóknak tíz
fo’int, holnap után a műkedvelő p’odukczió’a ötven fo’int, azután
levesosztóknak húsz fo’int. Minthogy mindegyiknek nem adhatok,
tehát egyiknek sem adok. Qu’est que cela, a mit itt bámulnak?»
«Egy messzeljes palaczk van ott kétszáz esztendős khinai likőrrel;
ára száz forint.»
«Diable! Ah. Impossible. So was ist noch nicht da gewesen! De
má’ ezt meg kell vennem. Se’vus jó’eggelt!»
A mesés vénségű palaczk percz mulva lelép a színpadról.
A következő előadáson egy óriási rák foglalja el a színpad elejét,
mely úgy látszik, egészen az ő számára van átalakítva. Előtte
testőrséget képez egy sor, hegyével szuronyszegezve álló – retek. Ha
borsószemek volnának a fejeik, igen nagy borsóknak nevezhetnők;
de a mi érdekessé teszi őket, az aláírás: «római retkek». Valósággal
ama szentelt földből érkezett retkek! Merode generális napi parancsa
folytán ültetett retkek! csodaerővel felruházott retkek! Képzelem, a ki
ezekből ehetik, hogy megkönnyebbűl tőle – az erszénye: a gyomra
ugyan nem terhelődik meg általuk. Hátrább rejtelmes articsókák
vannak gruppirozva, vajjon hogy kell azokat megenni? A láttávolban
egy fellegvár látszik pástétomból; mellette egy üteg Montebello;
tudniillik, hogy ez nem az a franczia tábornagy, hanem az a franczia
pezsgős palaczk.
A proscenium elején áll a tekintélyes rák; még eleven, és szokás
szerint fekete. Csendesen mozgatja két tapogató szarvát, a miről a
köznép azt hiszi, hogy az bajusz; pedig hát az egy olyan extra

orgánum, a mi a rákon kívül csak a szerkesztőknek van még, ez által
tudják meg, hogy mihez kell az ollóval hozzányulni! Néha
megemelinti óriási ollóját, s nagyot tátint vele a levegőben; e
mozdulatra egy a nézők közül megiramodik. Tartóztatják, hogy ne
féljen. Az menti magát, hogy látni se szereti az ilyet. A rák megint
úgy tesz, mintha csendesen nyugalomba helyezné ollóját, azonban
alattomban azon mesterkedik, hogy egy keze ügyében eső
koppasztott demagog pulykának, a ki egész vakmerően ott
sansculotteoskodik mellette, a nadrágtalan czombjába
csikkenthessen vele egyet.
Másnap ugyanezt a rákot látjuk, de már megfőve. Most már
egészen vörös. Az emberek bámulnak rajta: tegnap még fekete volt
és ma már vörös; pedig hiszen megszokhatták volna ezt már a
rákoknál. Ez úttal ki is van ragasztva a hátára, hogy mennyiért
adják? Tizenkét forint! A szegény magyar «solo krebs» beéri tíz
krajczárral, ez már tizenkét forintra tartja magát! mint valami külföldi
ballettánczos. Hanem azért ennek is akadt gazdája, mert másnap
már nem volt látható a színpadon.
Én egy indítványt teszek Marschall úrnak: csináltassunk helyeket
a kirakat előtt s fizettessünk belépti díjt a közönséggel, s osztozzunk
meg a bevételen. Mikor tengeri pókokat és khinai fecskefészkeket
fogunk felléptetni, akkor felemeljük a néző helyek árait, s én majd
előre hirdetem a híres vendégszereplők megérkezését az
újságokban. Mind a ketten meggazdagszunk utána.

VÁMBÉRY EGY ESTÉLYEN.
A kiadóm meghítt estélyre.
Az mondja az alkorán: (azaz, hogy nem az alkorán, hanem én
mondom; benne vagyok már a török czitátumokban) hogy «jól esik
az embernek a maga borát ihatni, de sokkal jobban esik a más borát
ihatni; ámde legeslegjobban esik a kiadója borát ihatni.» A mi a
kiadó sajtója alól került ki, de még sem hírlap.
Aztán Vámbéry is ott lesz.
Az a magyar tudós, ki Közép-Ázsia rengeteg pusztáit bejárta,
mint kolduló dervís, húsz darab hasonló szent koldus társaságában,
(mely koldus szerep élethű felfogásában a magyar akadémia
segélyezése által is gyámolíttatott;) s visszatérve aztán, úti
tapasztalataiért egy angol kiadótól 20 ezer forint tiszteletdíjt kapott,
herczegekkel, koronaörökösökkel együtt áldomásozott, rendjelet
érdemelt ki; egy szóval megint egyike azoknak, a kik egy csomó
dicsőséget koldultak össze a – nagy akadémia-palotájú, kevés
dohányú – jaj már minekünk kopasz fejünknek!
Szerencsére három szép asszony is volt a társaságban, azok
aztán kikérdezték a messze földön járt utazót: nekünk csak hallgatni
kellett.
– Hogy jött ön arra az ötletre, hogy mint koldus induljon útnak?
– Elődeim szerencsétlenségén okulva; abban az útban két angolt
megöltek; egyiket egy kullancscsal tölt verembe vetettek, s ott
hagyták, míg a férgek elemészték Az európait megölik ott, azért
mert európai.

– Hát aztán milyen ruhája volt önnek?
– Ruhám? semilyen. Hanem egy pár darab nemezrongy, varrás
nélkül, a testen átvetve! a lyukain kidugtam a karjaimat, aztán egy
nagy turbán harminczöt rőf szövetből, a fejemen körül csavargatva.
– Harminczöt rőf! Hisz az egy egész vég.
– Mohamed rendelése szerint minden igazhivő muzulmán tartozik
halotti lepedőjét magával hordani, még pedig a feje körül csavarva, s
ennek hét rőfnek kell lenni. A nagyon kegyesek azonban háromszor
hetet vesznek; a ki pedig igen szent hírben akar állani, az ötször
hetet hord a feje körül.
– Hogyan találták meg önök az utat abban a nagy pusztában?
– Bizony ott mérföldmutatók nincsenek; hanem a helyett jelölik
az utat az elébb azon járt és elhullott emberek, és teherhordó állatok
csontjai. Minden karaván kötelezve van, az útban talált csontokat
halomra hordani. Ezek az útbaigazítók.
– Már én csak inkább gőzhajón utazom, a hol a csirke csontokon
kívül mást nem kell összetakarítani. S mit ettek önök az úton?
– Lisztből csináltunk pogácsát. A hol este letelepedtünk, össze
gyűjtöttük a teve trágyát, abból tüzet csináltunk, a pogácsát bele
dugtuk. Ha hajnalig megsült, nagyon jó volt, ha nem sült meg, úgy
is jó volt. Én egyébiránt nyolcz hónapig soha sem vacsoráltam,
nehogy álmomban beszélni találjak s társaim megtudják, hogy
idegen nyelven beszélek.
– Az igaz, szólt egy fiatal könyvárus, ha én későn vacsorálok, én
is mindig idegen nyelven beszélek, hanem azt nem érti senki.
– Isznak-e ott bort? ezt egy poéta kérdezte.
– Azt nem, hanem kumiszt. Ezt lótejből, tevetejből készítik, a mít
bőr tömlőben addig lötyfölnek lóháton míg megsavanyodik; aztán
elteszik: van hat hónapos ó-kumisz is. Könyvemben látható a képen

a kimérés módja. Az asszony, a ki a kumiszt árulja lóháton ül, a
tömlő a fején van, a tatár, a ki inni akar, nyújtja neki a pénzt, a
mennyi árút meg akar inni. Azzal hátra hajtja a derekát, eltátja a
száját, a csaplárné megnyitja a tömlő csapját, s ereszt a torkába a
magasról, a mennyit kivánt. Nincs rá eset, hogy a csaplárné
eltéveszsze a férfi torkát, vagy az ivó eltéveszsze a szájába lőtt
kumiszsugárt.
– Aztán jó az?
– Ittam belőle, de még a fülem czimpáját is hasogatta.
– Hát theát isznak-e ott?
– Az északon lakó népek igen.
– Rummal? téjjel? czukorral?
– Nem. Sóval és faggyúval. (Nagyon jó lehet!)
– Szépek-e a keleti asszonyok?
– Képzeljen magának nagysád hölgyeket, a kiknek arczszinét a
vastag festéktől nem látni soha. S minthogy naponkint fésülködni
restek, ha egyszer nagy mesterséggel bevan fonva a hajuk, akkor
valami mézgával, mely közé fekete festék van keverve, egészen
bemázolják a fejüket, úgy hogy azon valóságos pánczél támad. Most
azután tessék azt a jazmin és hyaczint illatot elképzelni, a miről az
európai költők énekelnek keleti dalaikban, mikor az ilyen
gyantakenetre a harminczkét fokú hő nap rá mosolyog.
– Hát költők vannak-e még keleten? Ezt már egy rivális versíró
szerette volna megtudni.
– Nagyon mesterséges költők. Egy negyvenlapos arab könyvből
hoztam egy lapnyi leiratot, melyben, ha a betűket jobbról balra
olvassuk soronkint: találunk benne egy szerelmes történetet, ha
ugyanazokat a betűket alulról fölfelé olvassuk jobbról, akkor az

földleírás, ha pedig balrul olvassuk fölfelé, akkor történetírás, s ez
negyven lapon át folyik így.
– De már ezt magam is megpróbálom az Üstökösben!
Egy szerelmes történet, mely rendesen olvasva, az; a mi felfelé
olvasva más valami, lefelé olvasva pedig egészen más valami. Ilyen
még nem volt! Ez is meglesz a jövő évben; majd talán a nyáron.
Vámbérynek igen élénk és szellemdús előadása van, hamis
lelkesüléstől és szükségtelen kérkedéstől ment; hanem, a mit
elmond, az élénk képzelettel van előadva, hogy szinte szemmel
láthatóvá tesz minden legrendkívülibb helyzetet. A mohamedán
megnyugvását, ki a pusztán szemközt rohanó porfelleg közeledtét
nyugton várja, előre szegzett lándzsával: a melyik a másiktól azt
kérdené, mi baj? elárulná vele, hogy idegen; míg húsz lépésnyi
közelben kitűnik, hogy a közeledő tábor egy roppant czebra csorda.
A vad idegen népszokásokat, a vallási czerimóniákat a nép között
élve tanulta el, nem úgy, mint a kik a czivilizált Európa tudósai közül
hazánkon végig vasutazva, csodás badarságokat összeírnak.

KAKAS MÁRTON VÁLOGATOTT
LEVELEI.
A VASÁRNAPI UJSÁG SZERKESZTŐSÉGÉHEZ.
Tekintetes szerkesztő úr!
Az én nevem Kakas Márton. Ezt azért bocsátom legeslegelőre,
hogy egyszerre mindenki hevenyében elmondhassa rá a maga
megjegyzéseit, élczeit és mókáit s többet ne bajoskodjunk vele. Majd
fogják mondani: «Bizony kendnek is jobb volna otthon kukorítani,
mint itten», vagy pedig: «minden kakas kaparjon a maga
szemetjén». Fogják azt is mondani, hogy ime ez az a kakas, a ki a
nóta szerint «fejét hagyta a tudósoknak, torkát hagyta az
énekeseknek, lábát hagyta a tánczosoknak;» majd ha megharagszik
valaki, így is fog szólani: «bizony ez a kakas annyit ért a dologhoz,
mint tyúk az ábéczéhez». Legtöbb ember pedig azzal fog üdvözölni,
hogy «de már megvírrad, mert a kakas is elkezdett kukorikolni a
Vasárnapi Ujságban.»
Én pedig mindezzel nem törődöm, hanem megkezdem a magam
munkáját, s nem haragszom meg minden tréfáért, sőt még magam
is segítek ott nevetni, a hol mások is nevetnek.
Nem kevesebb az én szándékom, mint a «Vasárnapi Ujság»-hoz
állandó szinházi tudósítónak beszegődni. Igaz ugyan, hogy én most
jöttem a faluról, s tegnap láttam először szindarabot (nem
mondhatom, hogy hallottam is – mert néma darabot adtak, –
hihetőleg süketek kedveért), hanem hiszen ezzel a bevezetéssel más
színbiráló is nyitott már be tudtomra, s nem mondok vele semmi
újat. Annyi képzettségem már van, hogy nem kiáltok rá a

szinésznőre, hogy «lássuk már azt a medvét, ifjasszony;» nem is
rontok fel a szinpadra, mikor valakit meg akarnak ölni, a többit pedig
majd megtanulom a többi hírlapoktól.
Azután én igen kellemetes ember leszek; nekem nem kell sem
tiszteletdíj, sem ingyen zártszék, sem hírlappéldány, sem nyájas
mosolygások s egyéb mellékes akczidenczíák, sőt nem mondom,
hogy egy-egy döböz túróval is nem kedveskedem azért, hogy
leveleimet felvegyék; továbbá, párbajt nem vívok; (jó is volna! azt
mondanák: «kakas viadal») és senkibe sem leszek szerelmes.
Ennyi jó tulajdonságom mellett ön merőben vétene saját maga
ellen, ha leveleimet a «mondanivalók» keserű nyaktilója alá vetve, a
többi kifogyhatatlan irodalmi szecska közé aprítaná.
I. SZERELMES AZ ÖRDÖG.
(Ballet öt felvonásban.)
Gyöngébbek kedveért, kivált falusi emberek számára meg kell
magyaráznom, mi az a ballet? külömben nem tudják. Ez egy olyan
színdarab, a hol minden ember a lábával beszél, a fejét nem
használja semmire. Itt a játszó személyeknek arcza világért sem
mozdul, haragot, jókedvet avagy meglepetést nem szabad neki
mutatni, ezt mind lábbal kell kifejezni. Hm. Hiszen haragot csak
könnyű kifejezni lábbal, úgy hogy az ember jól megrúg valakit, de
örömet? Ez ám a mesterség.
Előjön egy nagy úr, egyet lép jobbra, egyet balra, ez azt jelenti,
hogy most az inasát keresi. A lábát megrázza, ez csengetés volt: az
inas meghallotta, bejött. Az úr felemeli a ballábát: ezzel azt kérdezte
hogy hol van a kávé? Az inas hátrafelé nyújtja a lábát, a mivel azt
mondja, hogy nem adnak addig a kávéházban, míg a régi kontót ki
nem fizetik. Az úr erre kinyújtott lábbal megpördül, mint az orsó, a
mi annyit tesz, hogy: de mikor a kerek világon sehol sincs olyan

pénzverő intézet, a hol az ő számára nyomtatnák a bankót. Az inas
erre eltávozik, a mi azt jelenti, hogy nincs rá több szükség. Az úrnak
ekkor eszébe jut, hogy van még valahol egy nagyságos úr, a ki
szokott kamatra adni pénzt, köznyelven úgy híjják, hogy «ördög.»
Fog egy nagy könyvet, mutatja, hogy milyen jó volna, ha tudna
belőle olvasni. Mérgében földhöz csapja, aztán kap egy kardot, azzal
karikát csinál a földön: nem veszi észre, hogy a kard vége
czindhelczli, a kard elsül, s ő ijedtében elesik a földre, a mi annyit
jelent, hogy elájult. Erre a szóra kinyílik a pinczeajtó, s előjön egy
veres köpönyeges úr, egy nagy kályhafűtő villával, meg egy veres
szoknyás kisasszony. Az egyik az ördög, a másik a leánya. Az ördög
mutatja nagyon érthetően a leányának, hogy ezt a frátert majd
azután szépszerivel el kell vinni a legalsó emeletbe, a minek a neve
pokol. Az ördög eltűnik, ott marad a leánya, a piros rokolya lehull
róla, s imé egy nyalka gyerek áll a felocsúdó gavallér előtt. De lelkem
adta: ekkor már nem a szerelmes ördögöt, hanem a szerelmes
kritikust játszszák; ifjú ember, öreg ember elkezd tapsolni a csinos
ördögnek, csak az a hülye ott a színpadon ijed meg tőle, s ijedtében
majd a bőgös instrumentumába bújik. Mégis megvigasztalódik
azáltal, hogy az ördögöcske pénzt hozott neki, ez kiengeszteli:
összeüti a bokáit a levegőben s ezzel vége a felvonásnak. A második
felvonásban van a grófnak egy szeretője, a kitől ez a kis nőördög el
akarja őt csábítani. Most már mind a két kisasszony leányruhában
jár, (közbevetőleg mondva: nagyon megsajnáltam szegényeket, most
is azt a ruhát viselik, a mit kis leány korukban; pedig nagyon
kinőttek már belőle). Nagyon szép az, a hogy ez a csábítás végbe
megy; az egyik leány leguggol, a másik a lába hegyére emelkedik;
mikor az egyik hátrahajlik, a másik a levegőbe szökik; majd mind a
ketten a csillagokat mutogatják lábaik hegyével, a szegény embert
megfogják, jobbra húzzák, balra húzzák; az csak tűri egy darab ideig
a dolgot, utóljára megharagszik, kinyújtja a lábát, egyet kerít vele
maga körül, megpördül ötször-hatszor a sarkán, a mivel nyilván azt
akarta mondani: hogy közel ne menjen hozzá senki, mert leüti a
lábáról. A dolog azután abban marad. Hanem valami kóbor tengeri
betyár időközben ellopja a gróf kedvesét. (Mellékesen mondva furcsa
ország lehet az, a hol a leányokat lopják, nálunk ráfizetnek, mégis

alig viszik.) Denique a tengeri rabló eladja az ártatlant egy nagy
szakálú török basának. (Hogyan is lehetne a török basát képzelni
nagy szakál nélkül.) A gróf utána szalad, gyalog annyi tengeren
keresztül, kéri vissza s igéri a töröknek cserébe az ördögöt. Az érzi a
salétrom-illatot, s csak rázza a szakállát, hanem ekkor elkezd neki az
ördög tánczolni. Az egyik lábával felrúgja őt a hetedik
mennyországba, a másikkal kirázza belőle a lelket, utoljára a lába
hegyén jár előtte, a mi ördögnek nem mesterség; ezt már nem
állhatja ki a jámbor basa, megveszi az ördögöt minden áron, s kiadja
a gróf úr menyasszonyát. Persze, hogy nem marad neki egyéb az
ördögből, mint a szarvai. Hanem már most a szegény ördög lesz
szerelmes a grófba; de persze a szülők az ilyen házasságba bele nem
egyezhetnek; az ördög exczellencziás úr, a gróf pedig csak
méltóságos, a viszonyból nem lesz semmi. Az ördög kisasszonyt haza
kergetik a pokolba, a ki azután boszúból összetépi a kontraktust, a
mit a gróf adott neki, s így az is szerencsésen megszabadul. A vén
ördög azért nem ad most senki lelkére pénzt többet, hogy akkor az
egyszer olyan csúful rászedték. Ezzel aztán nagyot ütnek az öreg
dobra, a színpad lángtengerbe borúl, s a közönség siet haza
vacsorálni.
Mellettem egy alkalmatlan öreg úr ült, a ki az egész előadáson
mindazon dohogott, hogy hát ez a czélja a nemzeti színháznak, hogy
az egész estét lábfintorgatásokkal töltsék be? hogy hát mit
gyarapodik ezzel a nemzeti irodalom, művészet és hazai nyelv? Hogy
az ilyen üres látványságok mi szolgálatot tesznek a nép erkölcsi
mívelődésére, jó érzelmeinek kifejtésére s izlésére? Pedig hogy ezek
volnának egy olyan intézet czéljai, minő a pesti országos nemzeti
színház, és nem a közönség fásult érzékeinek felcsiklandozása s több
efféle.
Nem birtam elhallgattatni, utoljára azt mondtam neki, hogy ha
sokat lármáz, feladom a jegyszedőnek, s nem kap több belépti
jegyet. Úgy-e jól tettem?
No a majd jövő héten másról írok.

II. TÖRÖK JÁNOS.
(Dráma.)
Szerkesztő úr? Én, és mellettem még egy pár becsületes ember,
azzal a hiszemmel mentünk a szinházba, hogy mi ott a derék Török
János hazánkfiáról, a «Magyar Sajtó» nagyérdemű szerkesztőjéről
fogunk valamit hallani, a ki bizonyára nagyon megérdemlené, hogy
valaki egy szép drámát irjon róla; s képzelje mit láttunk? előjön egy
dühös vadember, a ki a feleségét azért, mert egy parasztlegénynyel
együtt találta a kertben, minden proczeszus nélkül, rögtönitéletileg
lenyakaztatja. Pedig ő sem jobb a diákné vásznánál, mert ő kigyelme
meg a szomszédasszonyba szerelmes, a miért a testvéröcscse is, a ki
igen jeles ember, eléggé elpirongatja, de a mi nem használ semmit.
De még az az asszony is gyámoltalan egy teremtés; a mint rajta
kapják, csak engedi magát szidatni, noha nem is ő érte volt a
parasztlegény, hanem a leányáért; nem menti az magát sehogy. Úgy
rágtam volna már a szót a szájába, hogy mit mondjon? csakhogy rá
nem kiáltottam: «ne hagyja magát hugomasszony! mondja annak a
mérges embernek, hogy ez a legény a kertész; azt kérdezte tőle,
hogy kel-e már a petrezselyem? azért térdelt le a földre!» Ezzel
kivághatta volna magát. De persze nem jutott neki eszébe s
lenyakazták, mint a ludat. Török János uram csak azután tudja meg
hát, hogy nem a feleségébe szerelmes a parasztlegény, hanem a
leányába. Nosza futtat hevenyében a felesége után, hogy ne
bántsák, de biz az már akkor régen haza ment vacsorálni, s Török
János ebbeli kétségbeesésében nem tudja, hogy hova legyen?
hogyan ölje el magát? az ablakon ugranék ki; de nem szabad, mert
az csak festve van, karddal vágná el a torkát, de az nincs
kiköszörülve; a súgólyukba ölné magát, de ott ül a súgó, az elkapja;
már kezemben volt egy hatos, hogy felhajítom neki: ihol hat krajczár,
vegyen rajta spárgát s kösse magát oda a karos gyertyatartóra; a
mint szerencsére meghallja a szükséget egy török rab a börtön
fenekén, az keresztül ássa magát a falon, fegyverengedélyt kerít
valahol, puskaport, srétet vesz, bejön és ledurrantja Török Jánost,

mint a harkályt. Hogy mi történt azután? azt nem tudom, mert a
függönyt leeresztették, s a szinészek hazamentek.
Nem így kellett volna ezt az egész darabot csinálni. János urat
mindjárt az elején főbe kellett volna lövetni azzal a tatárral, a
feleségét azután hozzáadni ahoz a másik becsületes Törökhöz, a
parasztlegényt pedig a helyett, hogy annyi veszedelmet kiáll, hogy
egy nemes kisasszonyt elvehessen, ha már csakugyan szerették
egymást, fel kellett volna küldeni a Nyirbe, hogy keressen magának
nemes atyafiakat: talált volna a mennyi csak kell, s senki sem
háborgatta volna többet.
Így azonban tanúság az egészből az: hogy kedves felebarátaim!
senki le ne vágja közületek a felesége nyakát minden színre, szóra
mert azt azután többé oda ragasztani nem lehet, s nem minden
ember lehet olyan szerencsés, mint Török János, a kit az ilyen
gyilkosságért nem csak hogy el nem fognak, de sőt a közönség a
darab végén elő is híja, mintegy bizonyságául annak, hogy lám
kutyába sem vette az egész főbelövést.
A «Hölgyfutárban» olvastam épen most egy derék és okos ember
több rendbeli indítványát, minő például az, hogy gyümölcsözésre
sokkal alkalmatosabbak a fiatal szinészek és szinésznők, mint az
öregek, hadd álljon ez az indítványom is a sok között: ha valaki
egyszer meghalt a színpadon, azt a közönségnek ne legyen szabad
előtapsolni, mert ez nagyon rontja a csalódást, sőt ha valaki sokáig
szinpadon játszván, bizonyos számú halálozásokat betöltött, az
többé olyan szerepre ne alkalmaztassék, a melyben meg kell halni;
mert már nem hiszi el neki az ember.
No úgy-e, hogy nem vagyok én olyan együgyű ember, mint a
milyennek gondolt.
III. TELL VILMOS.

(Opera Rossini-től.)
Nagyon, nagyon kérem a szinházi pénztárnok urat, ne adjon
annak az öreg zúgolodó páczinaczitának mindig mellettem való
zártszéket. Ő az oka, hogy ennek az operának csak az első
felvonását hallgathattam meg. S most a szerkesztő úrnak egy
ötödrész operáról referálok.
Jól tudom, hogy falusi embereknek beszélek, s így mindent az
elején kell kezdenem. Megmagyarázom tehát, hogy mi az az opera?
Opera az, keresztyén atyámfiai, mikor az ember ezt a rövid
mondást: «hozz nekem egy ital bort!?» ilyenformán ereszti ki a
torkából: «hó-ha-hi-ha hozz ne-e-e-ke-e-em e-e-egy ihahu-tahahul
bololololort.» Továbbá, mikor a hős szerelmet vall: «Szivem
elraboltatott» először ő mondja egyedül, azután mondják ketten,
hárman, végre valamennyi inas, közkatona, paraszt és a silbakon álló
strázsa is mind egyszerre énekli ugyanazt az érzékeny mondást: ez
így tart mintegy öt perczig. S mikor vége van, megint újra kezdik:
«Szivem elraboltatott.» Azután kettő, három, a ki jobban bizik a
hangjához, előlép a súgólyukig, s gyönyörű nótákat énekel minden
elképzelhető húzó és fúvó és ütő muzsika közremüködése mellett. A
szöveget sem a hallgatónak, sem az éneklőnek nem mulhatatlan
feladata tudni. Hanem ezek nem olyan énekesek ám édes atyámfiai,
mint talán a diákok kántusa. Először vannak közöttük, olyan hangú
asszonyszemélyek, hogy mikor megszólalnak, az ember azt gondolja
a mennyországból hallja a hangokat: azok a leírhatatlan játékok a
hang minden kifejezéseivel még a fülemülénél is furcsábbak. Az sem
csekély mesterség, hogy annyiféle ember, a ki mind más szerepet
énekel, a taktus szerint összevágó módon tudjon felelgetni,
egyszerre belekapni a másik szavába. A midőn a legrettentőbb
módon ütik az öreg dobot, fújják az üres fát, negyven ember úgy
harsogtatja az éneket, hogy reng a föld bele; a karmester egyet int
egy akkora kis pálczával, mint a plajbász s csitt! egyszerre
elhallgatott öreg dob, klarinet, furulya és negyven torok; azután újra
int a plajbászszal, s akkor meg oly halkal zendül meg az ének és

zene, mintha távoli szélzúgás volna, melybe harangszó és búcsújárók
éneke vegyül, ábrándozó pacsirta dalával.
No hát ilyenforma az opera!
Zártszékembe ülve, mint már említém, egyfelől az én zúgolódó
öreg uram jutott mellém, másfelől egy ifjú lovag (de gyalog)
hátrafésült hajjal, a kinek három szemüvege volt, egy négyszegletű
solo, egy ablakos az orrán és egy dupla távcső.
A sok szemüveges ifjú nagyon barátságos volt hozzám. Látta,
hogy falusi ember vagyok, örült, hogy már vidékiek is kezdenek az
operába szokni; figyelmeztetett, hogy ez a legszebb operák egyike;
különösen gyönyörű benne a festés: én azt gondoltam a színfalakat
érti s kérdezém, hogy ezt is Telepi festette-e? Az ifjú lovag még egy
negyedik szemüveget keresett elő, hogy jobban megnézhessen.
Látta, hogy együgyüségből szóltam, nem gonoszkodásból s nem
restelt kegyesen megtanítani rá, hogy a zenével is lehet festeni. Ez
már régen ki van mondva. Mindegyik hangszer külön színt képvisel:
a hegedűk az eleven pirosat, a fuvolák a csendes égszínkéket, a
trombiták a ragyogó sárgát, a fagótok a zöldet, a bőgők a feketét s
végre az öreg dob maga a szivárványt, mert annak a hangjában
minden szín megvan, s ezen színekkel festeni tudni, a zeneművészet
titka. Elszédültem e titok mélysége előtt, melybe mélyebben
elmerülhetni módom lett, a rögtön megzendülő nyitány alkalmával.
Ez a nyitány igazán remek valami. Bátran kimondom, hogy még egy
szép csárdással is kiállja a versenyt. A pásztorkürt zenéje különösen
gyönyörű benne. «No hallja ön? szólt lelkesült szomszédom, ez fejezi
ki a zenében a legmélyebb, átlátszóbb lilaszínt.» (Pompás!)
Következett azután a nyitány vége, a mikor minden zenész azon
törekszik, hogy megmutathassa, miszerint az ő hangszere a
legerősebb. Ez nagyszerű. Én tudtam, hogy engemet nem bántanak,
de mégis megszeppentem. Hasonlított Szebasztopol ostromához.
Tetszett is a közönségnek: ismételtetni kivánta, a mi rendkívüli
dolog. A karmester bírt annyi ethnografiai ismerettel, hogy onnét
kezdve ismételtette a nyitányt, a hol a csindaratta-bummaratta!
kezdődik, mely ismét megtette hatását. Miután felrepült a függöny,

kezdődött a játék, az én szemüveges szomszédom elhallgatott,
hanem a helyett elkezdett dohogni mellettem a túlnanülő vén
besenyő: «micsoda szörnyűség ez? nem elég, hogy az opera a
drámai szinészetet mindig lejebb szorítja a színpadról, de
apródonkint még a drámai irodalom tollát is kitépi. Egyenkint zenére
teszik leghírhedtebb darabjainkat: «Macbethet,» «Tellt,» «Ernanit»
stb., és a mint egyszer opera formában került valamelyik a
színpadra, soha többet az mint dráma meg nem jelenhet a
műsorozatban. A közönség azt mondaná: az igazgató rászedte: zene
nélkül adatja az operaszöveget; pezsgős palaczkba tölteti a kútvízet.
Ez a leggonoszabb neme a gyujtogatásnak: a világhírű drámákat
operaszövegekké dolgozni át» stb. stb. stb. Uram, ez így ment az
egész felvonáson végig, úgy hogy én nem értettem az egész
operából semmit. Hallottam, hogy valaki énekelt, de nem tudom,
hogy mit? Gyanítom, hogy kergettek valakit, de nem tudom, hogy
miért? és sejtem, hogy tizennyolcz kisasszony igen díszes öltözetben
fonogatott guzsalyon, de nem tudom, hogyan? Egyetlen
gyönyörűségem volt egy szép imaének, mely nekem igazán tetszett.
Gondoltam, hogy jól cselekszem, ha ennek tapsolok. Egyedül
maradtam a tapssal, mindenki rám nézett; senki sem követvén
példámat. Persze, itt nem szólt az öreg dob, meg a réztányér. Ezen
való szégyenletemben, hogy annyira nem értek a dologhoz, alig
vártam, hogy leereszszék a függönyt, keresztűltörtem magamat az
előttem ülő egész sor kalapon és abroncsszoknyán s szöktem a
színházból, eszembe jutván azon aranymondás: hogy a míg az
ember úszni nem tud, ne menjen a vízbe.
IV. CARRION.
(Olasz dalművész föllépte.)
Signore serchesto! Engedje meg kérem, hogy az elején egy
kicsinyt érzékeny legyek. Milyen csodálatos az, hogy a hatalmas
Olaszország, mely egykor a félvilágot meghódítá fegyverével, most

az egész világot meghódítja énekével. Ez buzdító példa ránk nézve.
A dicső hunfajzat, mely egykor a félvilágot elözönlé táboraival,
egyszer megint elfogja azt özönleni valami mással (talán
kalendáriummal?) Ah questa figura! Ah questo borzasztó tenore!
sóhajtozék mellettem egy túlmagasztalt ifjú oroszlán: sempre bene,
solo bravo! Ez az igazi lángész! Ingenio crasso! Mígnem végre
figyelmezteté valaki, hogy a kit most lát és hall, az még nem signore
Carrion, és nem is tenor, hanem signore Vangelio és bariton. Az
oroszlán úgy elment onnan, hogy rá nem találtam többet.
Megvallom az igazat, mio caro serchesto, hogy én minden szép
és gyönyörű ének mellett is csudálatosnak találtam azt a furcsa
találmányt, hogy ugyanazon színpadon egyszerre egyik ember
magyarúl, másik olaszúl beszéljen: «Ah dio, mio, adio!» – «Van dió
uram, egész zsákkal.» – «Questa cosa?» – «Behozzam? itt van az
ajtóban.» – «Audiate allo diabolo, hallunco, infame!» – «Csókolom a
kezeit, köszönöm alássan, majd máskor is hozok.»
Ha a «Vasárnapi Ujság» olvasói erre azt mondják, hogy nem
értik, vigasztalódjanak, mert én sem értem, a közönség sem érti,
hanem azért fölségesen mulattunk. Az olasz gyönyörűen énekel; a ki
pedig a szöveget akarja érteni, vegye meg a librettot. Az olasz
művész mellett kitűntették még magukat signora Bodia (olvasd:
Bogya kisasszony) és signore Fiuretti (olvasd: Füredi Mihály).
Maradok azonban ad rivedere (olvasd: rövid időre) önnek mio
caro serchesto, servitore umilissimo.
Martino Gallo (olvasd: M. K.)
V. ÖZVEGY ÉS PROLETÁR.
(Beőthy László-tól)
és

MEGCSALTAK A KOMÉDIÁSOK.
(Szerdahelyi-től.)
Ismerem ezt a taktikát. A körültekintő rendezőség jól sejti, hogy
most a beközelgő nyolcz versenymű előadására valamennyi bíráló
kést, tollat köszörűl, kalamárist tölt, úgy várja a csatát, jónak látta
azért egy kis népfelkelést küldeni előre ágyútöltelékül. Nem szednek
rá bennünket a dilletáns huszárokkal. Daczból is kedvem volna
megdicsérni ezt a két darabot.
Az első egy fiatal párisi proletár, a ki már annyira jutott, hogy
nem hiteleznek neki többé, sem a Beleznay-kertben, sem a
Privorszkynál (ilyes nevű kerteknek és kávéházaknak okvetlenül kell
lenni Párisban). Ez a derék ember a megfagyásig élhetetlen, az
asztal alá búvásig gyáva, a telhetetlenségig falánk, és mégis annyira
szerencsés, hogy utoljára kap egy szép özvegyasszonyt meg
százezer dollárt. Szerzőnek könnyű lett volna őt megjavítani: egy kis
szivet kellett volna csak neki adni (de nem úgy, a hogy a fiók-
baglyokat szokás szívvel megtömni), így nem látunk egyebet benne,
mint a gyomrát és a hátát. Prózai alkatrészek. Főbűne ennek a fiatal
proletárnak az, hogy szerzővel elhitette, miszerint ő valami jó fiú! Ne
higyjen neki, fiatal barátom! Ez egy korhely, naplopó. Ön talán nem
is tudja, hogy ez idegen hölgyek naplójában kutat, hogy pénzért
szeret; saját bűneit másra fogja: szemtelenül dicsekszik, és kedvese
testvérét elárulja, hogy magát megmentse? Őrizkedjék ön ezen
ember társaságától; a ki annyival veszedelmesebb, mert mindezen
gonosz tetteket olyan mulatságos módon viszi végbe, hogy az ember
nem tud reá haragudni. Különösen pedig azt ne higyje ön el neki,
hogy ő Párisban lakik és franczia. Nem is látta Párist, valamint az a
becsületes öreg úr sem, a ki azt állítja, hogy ő Párisban prókátor,
még pedig tabuláris. S maga hordja az irományokat a kliensek után.
Kisül az időjártával, hogy ez is valami józsefvárosi pervesztő: még
tán diplomája sincs. Szerzőnek szép talentuma van vígjáték-iráshoz,
de figyelmeztetjük rá, hogy ne társalkodjék olyan emberekkel, a
kiket nem ismer.

A proletárt az ifjú Szerdahelyi remekül személyesítette. Egy
tisztelt hazafi, a ki mellettem ült, aggodalmasan mondá, miszerint
fél, hogy ez a fiatal tehetséges szinész, ki oly szépen halad évről-
évre saját pályáján, elrontja a termetét a vígjáték írással. Ha
Szerdahelyinek a most következő darabja meglehetős tetszésben
talál részesűlni, ez az ifjú is úgy jár, miként előtte mások többen,
hogy egyszerre két pályát akarva megfutni, mind a kettőnek a
közepén marad. Bár csak ne tetszenék a darabja!
Felgördült azonban a függöny, előjött egy gazdag öreg úr, a ki
azért, mert térdig érő kaputban jár, nem akarja másforma emberhez
adni a leányát, mint valami híres művészhez vagy íróhoz. Hol lakik ez
a derék ember, ifjú szerző, mely városrészben és sub numero hány?
hiszen ha csak hír kell! Itt van Kakas Márton; a szerkesztő
nemsokára kiadja az arczképemet. Elveszem azt a leányt én. Az ifjú
szinész azonban, a ki szerelmes a leánykába, nem tud hírre kapni,
mert három kritikus Hunyori, Kunyori, és Gunyori mindig ócsárolja a
lapokban. (No iszen, a kit még a mi lapjainkban is ócsárolnak, az
azután el is mehet zabot hegyezni Árvavármegyébe.) Jó barátja, a
vén szinész ekkor azt tanácsolja neki, hogy ha hírre akar kapni,
előbb haljon meg. Úgy tesznek. Feleki lefekszik az ágyba, s ott
marad a darab végeig fekve. Ebből a szerepből bámulatos keveset
lehet csinálni, főfeladata az levén a művésznek, hogy ne szuszogjon
és el ne találjon aludni.
A vén szinész azonban Mózsival, a színházszolgával egyetértve,
belármázza a várost, hogy meghalt az ifjú talentum, mérget ivott!
Erre a hirre jön a három kritikus: Hunyori, Gunyori, és Kunyori, s
első dolguk nem az, hogy a szerencsétlen halottat megnézzék, a
mikor mindjárt észrevennék, hogy az csak teszi magát, hanem
előfogják az inast s egyik egy forintot, másik kettőt, harmadik négyet
igér neki, ha ez esetet elmondja előttük kapós újdonságúl. De édes
barátom, lopni szoktuk mi az újdonságot, nem négy forintért venni.
Szegény kritikusnak egész havi bére négy forint, meg egy pár fejelés
csizma, sok szinésznek kellene addig mérget inni, mig azért az
újdondászok négy forintot adnának ki. A vén szinész, a ki

természetesen Egressy, azután mindenféle alakban visszajön, majd
mint tót házmester, majd mint mészároslegény, majd mint zsidó
szenzál, s remek alakoskodásaival rászedi a kritikusokat; azok
megsiratják, feldicsérik a megboldogultat, aztán előjön a gazdag úr
is, minthogy a szinész most már nagy hírre kapott, Felekit felköltik,
kedves egészségére kivánják az éjszakai nyugodalmat, s hozzáadják
a gazdag kisasszonyt; a kit meg is érdemelt; mert nem bolondság
ám az embernek másfél óra hosszat az ágyon feküdni és még a
legyet sem hajthatni el az orráról. A kritikusok pedig méltó
bűnhődésül átadatnak a közvélemény ostorának.
Két érdeme elvitázhatlan az ifjú szerzőnek; egyik az, hogy
darabjában nem dalokra és tánczokra építette a hatás reményét,
hanem egyedül a drámai művészet alakító erejére; másik meg az,
hogy nem írt benne magának czímszerepet, a mi külömben szokás.
Harmadik meg az, hogy nagyon megkivántatta az emberrel a
vacsorát.
Mikor vége volt a játéknak, kérdezém szomszédomtól:
– Hát remélhető-e, hogy lesz Szerdahelyiből jó szinész?
– De már lesz. Felelt ő egész megnyugodva.
Magam is azt hiszem.
VI. VILÁG URA.
(Dráma Szigligeti-től.)
Miután tőlem már azt várja a közönség, hogy mindig mulattató
dolgokat írjak, a miken jól lehet nevetni, tehát tessék utánam jönni.
A színpadon egy derék új darab előadása foly, melyben nem
találhatunk semmi tréfálózásra alkalmat. Nagy Konstantin és egész
familiája rangjukhoz illő szép jambusokban beszélik el a világtörténet
legnagyobbszerűbb jeleneteit, miket a szerző igazi költői ihlettel

fogott fel. Itt tehát nincs mit keresnünk, gyerünk a színpadra fel,
talán a színfalak között vígabb dolgokat találunk: a színfalak titkai
nagyon mulatságosak szoktak lenni.
A szavalás foly odakünn, a szereplők hangja csattog, a közönség
tapsvihara fel-felmennydörög rá: ez olympusi zaj alatt belép a
színfalak közé egy magas halavány alak, arczán a művészet lelke,
bár vonásaival a szenvedések, nem az évek bántak kegyetlenül; a
rossz szolga, a test, elhagyta az ő urát, a lelket, és megtört mikor
még a szellem az ifjúság örök tüzétől hevül. E szomorú alak Lendvay.
Még oly közel, tán csak tegnap, bálványa a közönségnek, kinek
megjelenését ragályos lelkesülés fogadta, és ma megtört árnyék, ki
azon nap sugaraiban nem melegedhetik, mely őt oly nagyra növelte.
Belépett, hallgatta az előadást; ezt a darabot is jól ismerte ő, hiszen
hat év előtt, midőn a költő azt megirta, ő lebegett szemei előtt, mint
a mű legnagyobb hőse. Még most is emlékezik minden szóra abból,
még most is érzi a lelkesülést, melylyel azt adni tudná; a
szenvedélyes jelenetek most is megrázzák szivét, lelkét és kedve
volna felvenni azt a bibor palástot és azzal az ismeretes csengő
szóval elmondani: «én vagyok az, a kit mindenki szeret»… és a
hűtelen szolga, a roskatag test, azt mondja neki: «ne nézz oda
többé. Menjünk aludni Lendvay.»
A beteg művész szemeiből kicsordult a könyű; nem tudott szólni,
oda borult művésztársai nyakába, kik boldogok még, mert lélekzetet
vehetnek azon magas világban, a hol ő már csak jövevény; és a
színvilág többi hősei, a Nagy Konstantinok, Priskusok, római
matrónák és bölcsek, együtt sirtak nagy zokogva ott a festett
színfalak mögött, a lesújtott művésztárssal; kinek napja nem várta
meg, hogy lemenjen a föld alá; még az égen elsötétült. Ilyen tréfás
jelenetek történnek a színfalak mögött.
No tisztelt közönség, nevethettél eleget, már most gyerünk
odább.

Welcome to Our Bookstore - The Ultimate Destination for Book Lovers
Are you passionate about books and eager to explore new worlds of
knowledge? At our website, we offer a vast collection of books that
cater to every interest and age group. From classic literature to
specialized publications, self-help books, and children’s stories, we
have it all! Each book is a gateway to new adventures, helping you
expand your knowledge and nourish your soul
Experience Convenient and Enjoyable Book Shopping Our website is more
than just an online bookstore—it’s a bridge connecting readers to the
timeless values of culture and wisdom. With a sleek and user-friendly
interface and a smart search system, you can find your favorite books
quickly and easily. Enjoy special promotions, fast home delivery, and
a seamless shopping experience that saves you time and enhances your
love for reading.
Let us accompany you on the journey of exploring knowledge and
personal growth!
ebookgate.com

Chern Simons Gauge Theory 20 Years After Jørgen E. Andersen

About This Presentation

Slide Content

Tags

Categories

Download

Quick Actions

Statistics

Related Slideshows

Chern Simons Gauge Theory 20 Years After Jørgen E. Andersen

About This Presentation

Slide Content

Slide 1

Slide 2

Slide 3

Slide 4

Slide 5

Slide 7

Slide 8

Slide 9

Slide 10

Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18

Slide 19

Slide 20

Slide 21

Slide 22

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28

Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35

Slide 37

Slide 38

Slide 39

Slide 40

Slide 41

Slide 42

Slide 43

Slide 44

Slide 45

Slide 46

Slide 47

Slide 48

Slide 49

Slide 50

Slide 51

Slide 52

Slide 54

Slide 55

Slide 58

Slide 59

Slide 60

Slide 62

Slide 63

Slide 64

Slide 65

Slide 67

Slide 68

Slide 69

Slide 70

Slide 71

Slide 72

Slide 73

Slide 74

Slide 75

Slide 76

Slide 77

Slide 78

Slide 79

Slide 80

Slide 81

Tags

Categories

Download

Quick Actions

Statistics