CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN RLC.pdf

CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN RLC.

1. CIRCUITOSDESEGUNDOORDENRCL
INGENIERIA INDUSTRIAL
GRUPO 6A
ELECTRICIDAD Y ELECTRONICA
FIS: ISIDRO ISAAC YUCRA CCAMA
UAC 2022-I

2. CIRCUITOSDESEGUNDOORDEN(RLCEnserie,sinFuente)
Si derivamosy ordenamosnos queda
Ecuacióndiferencial
desegundo orden
��(0)=??????0
�
2
����
�
��
2
+�
��
+
�
=0
Proponemos como
soluciónunafunción
exponencial
�=��
��
��
��
=���
��
�
2
�
��
2
=���
2��
1
2�����
�
����+����+
�
��=0
Parapoderresolverestaecuaciónesnecesario
(0)
conocerel valordeiydesuprimerderivada
��(0)
��
→�(0)=??????0
de(1)tenemos
��1
−∞
�
�.??????.�→��+�
��
+
�
���=0 (1)
(0)
��+�
�
i(0)
��
0+??????=0
��(0)
→
-��
1
=-
�
(�(0)�+Vo)
•Paraestasituaciónvamosadeterminarla
corrienteenelinductor.
Io
-
R L
1 2
i(t) CVo
+
Figura1
��(0)=??????0

3. CIRCUITOSDESEGUNDOORDEN(RLCEnserie,sinFuente)
�
�
2
�+��+
1
=0
a bc
�1−2=
−�±�
2
−4��
2�
→ �1−2=
−�±�
2
−4�/�
2�
→�1−2=
−�
2�±
Ecuacióncaracterística��
��
�
�
2
�+��+
1
=0→
2�
�1=−
�
+
0
�1=−α+??????
2
−??????
2
0
�2=−α−??????
2
−??????
2
α=
�
2�
0;??????=
1
��
�
2
4??????
2
−
4??????
4????????????
2
�
2
4??????
2
−
1
????????????
�
2=−
�
2??????
−
�
2
4??????
2
−
1
????????????

4. CIRCUITOSDESEGUNDOORDEN(RLCEnserie,sinFuente)
Losdosvaloresde“S ”,indicanquehay
dos posibles valoresparalacorriente.
Respuestanaturaldelcircuito
??????(�ሻ=??????�??????
���
+??????�??????
���
0
�1−2=−α±??????
2
−??????
2
α=
2�
0;??????=
�1
��
??????���������������������������medida en (Np/s)
segundo.
??????0sela conoce comofrecuenciaresonanteo frecuencianatural
noamortiguadamedida en (rad/s)
1 2
SySsedenominan frecuencias naturalesen (Np/s)porquese
asocianalasrespuestas naturalesdelcircuito.
Discriminante

5. CIRCUITOSDESEGUNDOORDEN(RLCEnserie,sinFuente)
Analizando el
Discriminante
RESPUESTASOBREAMORTIGUADA
Discriminante
*SielDiscriminanteesmayorque cero,se
tienedosraícesrealesydistintas.
α>??????0
�1−2=
−�
2�
0
±??????
2
−??????
2
??????(�ሻ=??????�??????
���
+??????�??????
���

6. CIRCUITOSDESEGUNDOORDEN(RLCEnserie,sinFuente)
RESPUESTACRITICAMENTE
AMORTIGUADA
* Si el Discriminante es igual a cero, se
tienendosraícesreales,igualesynegativas.
α=??????0
i(t)(AAt)e
t
1 2
Analizando el
Discriminante
�1−2=
−�
2�
0
±??????
2
−??????
2
Discriminante
Nota:determinar�(�)tenerpresenteque paraeste caso,la
propuestadeunafunciónexponenciales incorrecta.

7. CIRCUITOSDESEGUNDOORDEN(RLCEnserie,sinFuente)
RESPUESTASUBAMORTIGUADA
* Si el Discriminante es menor a cero, se
obtienendosraícescomplejasconjugadas.
α<??????0
d
i(t)Ae
t
sen(t)
&#3627408470;&#3627408481;=&#3627408466;
−??????&#3627408481;
(&#3627408437;1&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;&#3627408484;&#3627408465;&#3627408481;+ &#3627408437;2&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;&#3627408484;&#3627408465;&#3627408481;)
Analizando el
Discriminante
&#3627408454;1−2=
−&#3627408453;
2&#3627408447;
0
±??????
2
−??????
2
Discriminante

8. CIRCUITOSDESEGUNDOORDEN(RLCEnserie,sinFuente)
CasoSubamortiguado
??????&#3627408465;frecuencianaturalamortiguada
α<??????0
&#3627408453;
α=
2&#3627408447;
; 0??????=
1
&#3627408447;&#3627408438;
&#3627408454;1=−α+
0
−??????
2
−??????
2=−α +&#3627408471;??????&#3627408465;
&#3627408454;2=−α−
0
−??????
2
−??????
2=−α−&#3627408471;??????&#3627408465;
0
paralocual&#3627408471;=−1&#3627408486;??????&#3627408465;=??????
2
−??????
2
&#3627408454;1−2=−α±&#3627408471;??????&#3627408465;&#3627408479;&#3627408466;&#3627408466;&#3627408474;&#3627408477;&#3627408473;&#3627408462;&#3627408487;&#3627408462;&#3627408475;&#3627408465;&#3627408476;&#3627408466;&#3627408475;??????(&#3627408533;ሻ=??????&#3627409359;??????
&#3627408532;&#3627409359;&#3627408533;
+??????&#3627409360;??????
&#3627408532;&#3627409360;&#3627408533;
&#3627408470;
(&#3627408481;ሻ=&#3627408436;
1&#3627408466;
(−α+ &#3627408471;??????&#3627408465;&#3627408481;
+ &#3627408436;
2&#3627408466;
−α− &#3627408471;??????&#3627408465;&#3627408481;
&#3627408470;
(&#3627408481;ሻ
=&#3627408466;
−α&#3627408481;
(&#3627408436;
1&#3627408466;
(&#3627408471;??????&#3627408465;&#3627408481;
+ &#3627408436;
2&#3627408466;
−&#3627408471;??????&#3627408465;&#3627408481;
)
FormuladeEuler
&#3627408466;
−&#3627408471;??????
= cos??????−&#3627408471;sin??????
&#3627408466;
&#3627408471;??????
= cos??????+ &#3627408471;sin??????
&#3627408470;
(&#3627408481;ሻ
=&#3627408466;
−α&#3627408481;
&#3627408436;1cos??????&#3627408465;&#3627408481;+&#3627408471;sin??????&#3627408465;&#3627408481;+&#3627408436;
2cos??????&#3627408465;&#3627408481;−&#3627408471;sin??????&#3627408465;&#3627408481;
&#3627408470;
(&#3627408481;ሻ=&#3627408466;
−α&#3627408481;
&#3627408470;
(&#3627408481;ሻ=&#3627408466;
−α&#3627408481;
(&#3627408436;1cos??????&#3627408465;&#3627408481;+&#3627408436;2cos??????&#3627408465;&#3627408481;)+(&#3627408436;1&#3627408471;sin??????&#3627408465;&#3627408481;−&#3627408436;2&#3627408471;sin??????&#3627408465;&#3627408481;)
(&#3627408436;1+&#3627408436;2) cos??????&#3627408465;&#3627408481;+(&#3627408436;1−&#3627408436;2) jSin??????&#3627408465;&#3627408481;
&#3627408437;1 &#3627408437;2
&#3627408465;&#3627408476;&#3627408475;&#3627408465;&#3627408466;&#3627408437;1y&#3627408437;2,&#3627408465;&#3627408476;&#3627408480;&#3627408464;&#3627408476;&#3627408475;&#3627408480;&#3627408481;&#3627408462;&#3627408475;&#3627408481;&#3627408466;&#3627408480;&#3627408462;&#3627408479;&#3627408463;&#3627408470;&#3627408481;&#3627408479;&#3627408462;&#3627408479;&#3627408470;a&#3627408480;&#3627408486;&#3627408478;&#3627408482;&#3627408466;&#3627408462;&#3627408465;&#3627408466;&#3627408474;&#3627408462;&#3627408480;
&#3627408480;&#3627408476;&#3627408475;&#3627408475;&#3627408482;&#3627408474;&#3627408466;&#3627408479;&#3627408476;&#3627408480;&#3627408479;&#3627408466;&#3627408462;&#3627408473;&#3627408466;&#3627408480;&#3627408477;&#3627408476;&#3627408479;&#3627408478;&#3627408482;&#3627408466;&#3627408473;&#3627408462;??????&#3627408533;&#3627408466;&#3627408480;&#3627408479;&#3627408466;&#3627408462;&#3627408473;&#3627408466;&#3627408485;&#3627408470;&#3627408480;&#3627408481;&#3627408466;,&#3627408477;&#3627408476;&#3627408465;&#3627408466;&#3627408474;&#3627408476;&#3627408480;
escribirlosiguiente:

9. CIRCUITOSDESEGUNDOORDEN(RLCEnserie
,sinFuente)
CasoSubamortiguado

10. CIRCUITO RLC CONECTADOS EN PARALELO

11. CIRCUITOSDESEGUNDOORDEN(RLC Enparalelo,sinFuente)

12. CIRCUITOSDESEGUNDOORDEN(RLC Enparalelo,sinFuente)

13. Ejemplo8.1

14. Ejemplo
8.1
Interruptor cerrado mucho
tiempoantesde t=0
Interruptorabiertoen
eltiempot=0
+
Parat> 0,t→∞

15. Ejemplo8.1,Problemadepráctica

16. C2
0.4
Req
10
L1
2
1
2
+
-
+
-
+
-

18. •Condicionesiniciales, Circuito1
&#3627408470;&#3627408447;(0ሻ=??????0=0&#3627408436;&#3627408483;&#3627408464;(0ሻ=??????0=10 ??????
•ParaelCircuito2
CircuitosdeSegundoordensinfuentes
i(t)
Circuito1,enestadoestable
parat<0,S1estacerrado
yS2abierto.
Circuito2,ent=0,S1
seabreyS2secierra.
Ahoraanalizamosparat>0
S2
-
Io
Vo
S1
R
i(t)
R=4Ohm
aaa
L
1 2
R1
1k
-
L=1H
1
2
++
t=0
1 21
aaa
V
10Vdc
CC=1/3 F
t=0
2
&#3627408465;&#3627408470;1
−∞
&#3627408481;
&#3627408447;.??????.&#3627408446;→&#3627408470;&#3627408453;+&#3627408447;
&#3627408465;&#3627408481;
+
&#3627408464;
න&#3627408470;&#3627408465;&#3627408481;=0
&#3627408465;
2
&#3627408470;&#3627408465;&#3627408470;&#3627408470;
&#3627408447;
&#3627408465;&#3627408481;
2
+&#3627408453;
&#3627408465;&#3627408481;
+
&#3627408438;
=0
2&#3627408480;&#3627408481;&#3627408480;
&#3627408481;
1
&#3627408480;
&#3627408481;
&#3627408447;&#3627408480;&#3627408436;&#3627408466;+&#3627408453;&#3627408480;&#3627408436;&#3627408466;+
&#3627408464;
&#3627408436;&#3627408466;=0
Ecuacióndiferencial
desegundo orden

19. →&#3627408454;1−2=
−&#3627408453;
2&#3627408447;2&#3627408447;
±(
&#3627408453;
ሻ
2
−
4&#3627408447;
4&#3627408438;&#3627408473;
2
&#3627408454;1=−α+
0
??????
2
−??????
2
=−1
&#3627408454;2=−α−
2
??????
2
−??????
0 =−3
α=
&#3627408453;
2&#3627408447;
=2; 0??????=
1
&#3627408447;&#3627408438;
=3
&#3627408438;
&#3627408480;
2
&#3627408447;+&#3627408480;&#3627408453;+
1
=0
•Determinolas raícesy el tipoderespuesta
α>??????0&#3627408453;&#3627408466;&#3627408477;&#3627408482;&#3627408466;&#3627408480;&#3627408481;&#3627408462;&#3627408480;&#3627408476;&#3627408463;&#3627408479;&#3627408466;&#3627408462;&#3627408474;&#3627408476;&#3627408481;&#3627408470;&#3627408468;&#3627408482;&#3627408462;&#3627408465;&#3627408462;
•La respuestaenestecaso decorrientees
+&#3627408436;2&#3627408466;
−3&#3627408481;
&#3627408470;(&#3627408481;ሻ=&#3627408436;1&#3627408466;
−&#3627408481;
(1)
•Paradeterminarlasconstante,partimosdelacondicióninicialyevaluamoslafunciónent=0
&#3627408470;(0ሻ=0=&#3627408436;1&#3627408466;
0
+ &#3627408436;2&#3627408466;
0
&#3627408466;&#3627408475;&#3627408481;&#3627408476;&#3627408475;&#3627408464;&#3627408466;&#3627408480;→0=&#3627408436;
1+&#3627408436;
2(2)
•Derivo laecuación(1)
&#3627408465;&#3627408470;
=−&#3627408436;1&#3627408466;
−&#3627408481;
-3&#3627408436;2&#3627408466;
−3&#3627408481;
(3)
&#3627408465;&#3627408481;

20. •Derivo laecuación(1)
&#3627408465;
&#3627408481;
&#3627408465;&#3627408470;
=−&#3627408436;1&#3627408466;
−&#3627408481;
-3&#3627408436;2&#3627408466;
−3&#3627408481;
(3)
&#3627408465;&#3627408470;(0ሻ 1
→
&#3627408465;&#3627408481;
=−
&#3627408447;
(&#3627408470;
(0ሻ 0&#3627408453;+ ??????ሻ=10 VReemplazoen(3)yevaluamosparat=0•Determino
10=−&#3627408436;1&#3627408466;
0
-3&#3627408436;2&#3627408466;
0
→ 10=−A
1 -3A
2 (4)
•Teniendoencuentalas ecuaciones(2)y (4),determinolosvaloresdelasconstantes
0=&#3627408436;
1+&#3627408436;
2(2)
10=−A
1-3A
2(4)
&#3627408436;
1=5 , &#3627408436;
2=−5
&#3627408470;(&#3627408481;ሻ=5&#3627408466;
−&#3627408481;-5&#3627408466;
−3&#3627408481;•Respuesta

21. &#3627408470;(&#3627408481;ሻ=5&#3627408466;
−&#3627408481;-5&#3627408466;
−3&#3627408481;

22. •Condicionesiniciales, Circuito1
&#3627408470;&#3627408447;(0ሻ=??????0=0&#3627408436;&#3627408483;&#3627408464;(0ሻ=??????0=10 ??????
•ParaelCircuito2
CircuitosdeSegundoordensinfuentes
&#3627408465;&#3627408470;1
−∞
&#3627408481;
&#3627408447;.??????.&#3627408446;→&#3627408470;&#3627408453;+&#3627408447;
&#3627408465;&#3627408481;
+
&#3627408464;
න&#3627408470;&#3627408465;&#3627408481;=0
&#3627408465;
2
&#3627408470;&#3627408465;&#3627408470;&#3627408470;
&#3627408447;
&#3627408465;&#3627408481;
2
+&#3627408453;
&#3627408465;&#3627408481;
+
&#3627408438;
=0
1
2&#3627408480;&#3627408481;&#3627408480;&#3627408481;&#3627408480;
&#3627408481;
&#3627408447;&#3627408480;&#3627408436;&#3627408466;+&#3627408453;&#3627408480;&#3627408436;&#3627408466;+
&#3627408464;
&#3627408436;&#3627408466;=0
Ecuacióndiferencial
desegundo orden
Circuito2,ent=0,S1
seabreyS2secierra.
Ahoraanalizamosparat>0
R
S1
L
1 2
Io
Vo
i(t)i(t)
C
-
+
-
Circuito1,enestadoestable
parat<0,S1estacerrado
yS2abierto.
+
V
10Vdc
C=1/17F
R1
1k
R=2Ohm
L=1H
1
2
S2
t=0
1 21
t=0
2

23. →&#3627408454;
1−2
=
−&#3627408453;
2&#3627408447;2&#3627408447;
±(
&#3627408453;
ሻ
2
−
4&#3627408447;
4&#3627408438;&#3627408473;
2
α=
&#3627408453;
2&#3627408447;
=1; 0??????=
1
&#3627408447;&#3627408438;
=17
&#3627408438;
&#3627408480;
2
&#3627408447;+&#3627408480;&#3627408453;+
1
=0
•Determinolas raícesy el tipoderespuesta
α<??????0&#3627408453;&#3627408466;&#3627408477;&#3627408482;&#3627408466;&#3627408480;&#3627408481;&#3627408462;&#3627408480;&#3627408482;&#3627408463;&#3627408462;&#3627408474;&#3627408476;&#3627408481;&#3627408470;&#3627408468;&#3627408482;&#3627408462;&#3627408465;&#3627408462;
•La respuestaenestecaso decorrientees
•Paradeterminarlasconstante,partimosdelacondicióninicialyevaluamoslafunciónent=0
&#3627408470;0=0=&#3627408436;&#3627408466;
−0
sin(4∗0 +??????) &#3627408466;&#3627408475;&#3627408481;&#3627408476;&#3627408475;&#3627408464;&#3627408466;&#3627408480;→0=&#3627408436;&#3627408480;&#3627408470;&#3627408475;(??????)(2)
A≠0 → &#3627408480;&#3627408470;&#3627408475;(??????)=0 →
&#3627408454;1=−α+
0
−??????
2
−??????
2=−α +&#3627408471;??????&#3627408465;
&#3627408454;2=−α−
0
−??????
2
−??????
2=−α−&#3627408471;??????&#3627408465;
paralocual&#3627408471;=−1&#3627408486;??????
&#3627408465;0
=??????
2
−??????
2
&#3627408454;1−2=−α±&#3627408471;??????&#3627408465;=−1±&#3627408471;4
&#3627408470;(&#3627408481;ሻ=&#3627408436;&#3627408466;
−&#3627408481;
&#3627408480;&#3627408470;&#3627408475;(4&#3627408481;+θ)(1)
??????=0

24. •Derivo laecuación(1)
&#3627408465;
&#3627408481;
&#3627408465;&#3627408470;
=&#3627408436;&#3627408466;
−&#3627408481;
&#3627408480;&#3627408470;&#3627408475;(4&#3627408481;+θ)= −&#3627408436;&#3627408466;
−&#3627408481;
&#3627408480;&#3627408470;&#3627408475;(4&#3627408481;+θ)+&#3627408436;&#3627408466;
−&#3627408481;
4&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;(4&#3627408481;+θ)
&#3627408465;&#3627408470;(0ሻ 1
→
&#3627408465;&#3627408481;
=−
&#3627408447;
(&#3627408470;
(0ሻ 0&#3627408453;+ ??????ሻ=10 VReemplazoen (1)yevaluamosparat=0•Determino Es-??????0
10=−&#3627408436;&#3627408466;
−0
&#3627408480;&#3627408470;&#3627408475;(4∗0+0)+&#3627408436;&#3627408466;
−0
4&#3627408464;&#3627408476;&#3627408480;(4∗0+0)=0 +4&#3627408436;→10=4&#3627408436;A=
5
2
2
&#3627408470;(&#3627408481;ሻ=
5
&#3627408466;
−&#3627408481;
&#3627408480;&#3627408470;&#3627408475;(4&#3627408481;)•Respuesta
&#3627408470;(&#3627408481;ሻ=&#3627408436;&#3627408466;
−&#3627408481;
&#3627408480;&#3627408470;&#3627408475;(4&#3627408481;+θ)(1)

25. RespuestacompletaCD
•La respuestacompletaen un circuito,es la sumade larespuestaForzadamáslaNatural
•RespuestaForzada:Eslaque perduraeneltiempo.
CircuitoRL
i(t)
L
1
2
1 2
S1
TCLOSE=0
R
Corrienteatravésdel
Inductor
V
aa
V v(t)
R
Tensiónabornesdel
capacitor
1 2
S1
TCLOSE=0
CircuitoRC
+
-
C1
&#3627408470;
&#3627408467;
=
??????
&#3627408453;
&#3627408483;&#3627408467;=??????

26. R1=10
V1
20Vdc
S2
TOPEN=0
1 2
aa
V1
20Vdc
L3
2
1
2
S1
TCLOSE=0
1 2
aa
V3
10Vdc
Io Io
R1=10
L3
2
1
2
i(t)
R3
5
Ejemplo
Determinarlarespuestacompleta&#3627408470;(&#3627408481;ሻ=&#3627408470;&#3627408467;+&#3627408470;&#3627408475;)
0??????=
3??????10
&#3627408453;35
= =2&#3627408436;
•Parat=0,S
1secierrayS
2seabre
&#3627408465;&#3627408470;
&#3627408470;&#3627408453;+ &#3627408447;
&#3627408465;&#3627408481;
=0
&#3627408467;&#3627408470;=
??????1
=
20
=2 &#3627408436;
L3
2
1
2
i(t)
Io
aa
R1=10
&#3627408453;
&#3627408453;110 &#3627408470;&#3627408475;=&#3627408436;&#3627408466;
−
&#3627408447;
&#3627408481;
=&#3627408436;&#3627408466;
−5&#3627408481;
•Completa
&#3627408470;(&#3627408481;ሻ=&#3627408470;&#3627408467;+&#3627408470;&#3627408475;=2+&#3627408436;&#3627408466;
−5&#3627408481;
&#3627408477;&#3627408462;&#3627408479;&#3627408462;&#3627408465;&#3627408466;&#3627408481;&#3627408466;&#3627408479;&#3627408474;&#3627408470;&#3627408475;&#3627408462;&#3627408479;&#3627408473;&#3627408462;&#3627408464;&#3627408476;&#3627408475;&#3627408480;&#3627408481;&#3627408462;&#3627408475;&#3627408481;&#3627408466;"A" &#3627408466;&#3627408483;&#3627408462;&#3627408473;&#3627408482;&#3627408462;&#3627408474;&#3627408476;&#3627408480;&#3627408466;&#3627408475;&#3627408481;=0
&#3627408470;(0ሻ=−2=2+&#3627408436;→&#3627408436;=−4
•Forzada
•Natural
&#3627408470;(&#3627408481;ሻ=2−4&#3627408466;
−5&#3627408481;

27. PeriodoTransitorio EstadoEstable
&#3627408479;=
1
&#3627408454;
1
=
5
=0,2&#3627408480;
&#3627408470;(&#3627408481;ሻ=2−4&#3627408466;
−5&#3627408481;