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clase 2

1. Investigación de Operaciones Docente:

2. Unidad 1. Análisis de Redes Unidad 2. Programación no lineal Unidad 3. Teoría de Inventarios Unidad 4. Líneas de espera. Investigación de Operaciones

3. La investigación de operaciones es una disciplina que consiste en la aplicación de métodos analíticos avanzados con el propósito de apoyar el proceso de toma de decisiones. Un elemento principal de la investigación de operaciones es el modelado matemático. Aunque la solución del modelo matemático establece una base para tomar una decisión, se deben tener en cuenta factores intangibles o no cuantificables, por ejemplo el comportamiento humano, para poder llegar a una decisión final. El modelo de investigación de operaciones se suele sintetizar de la siguiente manera: Maximizar o minimizar la función objetivo sujeta a restricciones. Se dice que una solución del modelo es factible si satisface todas las restricciones. Es óptima si, además de ser factible, produce el mejor valor (máximo o mínimo) de la función objetivo. Las técnicas de investigación de operaciones es que en general las soluciones no se obtienen en formas cerradas, es decir, parecidas a fórmulas. En lugar de ello, se determinan mediante algoritmos. Un algoritmo proporciona reglas fijas de cómputo que se aplican en forma repetitiva al problema, y cada repetición (llamada iteración) obtiene una solución cada vez más cercana a la óptima Investigación de operaciones. Clase 1.

4. La técnica más importante de investigación de operaciones es la programación lineal. Se diseña para modelos con funciones objetivo y restricciones estrictamente lineales. Hay otras técnicas, como la programación entera, en la que las variables toman valores enteros; la programación dinámica, en la que el modelo original se puede descomponer en subproblemas más pequeños; la programación de red , en la que el problema se puede modelar como una red, y la programación no lineal, en la que las funciones del modelo son no lineales. Las técnicas mencionadas no son más que una lista parcial de la gran cantidad de herramientas disponibles en la investigación de operaciones.

5. Modelos matemáticos. Son representaciones de un sistema de forma numérica, sus elementos son variables, restricciones y función objetivo. Se emplean cuando las funciones objetivo y las restricciones del modelo se pueden expresar en forma cuantitativa o matemática como funciones de las variables de decisión.

6. Modelo de transporte. Se funda en la necesidad de llevar unidades de un punto específico llamado fuente u origen hacia otro punto específico llamado destino. Los principales objetivos de un modelo de transporte son la satisfacción de todos los requerimientos establecidos por los destinos, y claro está, la minimización de los costos relacionados con el plan determinado por las rutas escogidas. Los problemas de transporte o distribución son unos de los mas aplicados en la economía actual. El procedimiento de resolución de un modelo de transporte se puede llevar a cabo mediante los métodos: 1. Método de la esquina noroeste (superior, izquierda). 2. Método del costo mínimo. 3. Método de aproximación de Vogel. Unidades de oferta Unidades de demanda Un modelo general de transporte con m fuentes y n destinos tiene m + n ecuaciones de restricción, una para cada fuente y cada destino. Sin embargo, como el modelo de transporte siempre está balanceado (suma de la oferta = suma de la demanda), una de esas ecuaciones es redundante. Entonces, el modelo tiene m + n - 1 ecuaciones independientes de restricción, lo que quiere decir que la solución básica de inicio consiste en m + n - 1 variables básicas. En el ejemplo, la solución de inicio tiene : 3 + 4 - 1 = 6 variables básicas.

7. Los tres métodos difieren de la calidad de la solución básica, el peor es el de la esquina noreste y el mejor es el de Vogel. Método de la esquina noreste Comienza en la celda (ruta) correspondiente a la esquina noroeste, o superior izquierda, de la tabla (variable ). A continuación una descripción de los pasos: Paso 1: Asignar todo lo posible a la celda seleccionada y ajustar las cantidades asociadas de oferta y demanda restando la cantidad asignada. Paso 2: Salir de la fila o la columna cuando se alcance oferta o demanda cero, y tacharlo, para indicar que no se pueden hacer más asignaciones a esa fila o columna. Si una fila y una columna dan cero al mismo tiempo, tachar sólo uno (la fila o columna) y dejar una oferta (demanda) cero en la fila (columna) que no se tachó. Paso 3: Si queda exactamente una fila o columna sin tachar, detenerse. En caso contrario, avanzar a la celda de la derecha si se acaba de tachar una columna, o a la de abajo si se tachó un reglón. Seguir con el Paso 1.

8. Ejemplo: consideremos el siguiente problema balanceado de transporte que considera 3 silos productos (oferta) que satisfacen las necesidades de 4 molinos (demanda). El algoritmo de transporte se basa en la hipótesis que el modelo está balanceado, es decir, que la demanda total es igual a la oferta total (si el modelo no está balanceado siempre se podrá aumentar con una fuente ficticia o un destino ficticio para restaurar el equilibrio o balance).

9. Método del costo mínimo. Este método determina una mejor solución de inicio, porque se concentra en las rutas menos costosas. Se inicia asignando todo lo posible a la celda que tenga el mínimo costo unitario (los empates se rompen en forma arbitraria). A continuación, el renglón o la columna ya satisfechos se tacha, y las cantidades de oferta y demanda se ajustan en consecuencia. Si se satisfacen en forma simultánea un renglón y una columna al mismo tiempo, sólo se tacha uno de los dos, igual que en el método de la esquina noroeste. A continuación se busca la celda no tachada con el costo unitario mínimo y se repite el proceso hasta que queda sin tachar exactamente un renglón o una columna.

10. Mismo ejemplo: consideremos el siguiente problema balanceado de transporte que considera 3 silos productos (oferta) que satisfacen las necesidades de 4 molinos (demanda). El algoritmo de transporte se basa en la hipótesis que el modelo está balanceado, es decir, que la demanda total es igual a la oferta total (si el modelo no está balanceado siempre se podrá aumentar con una fuente ficticia o un destino ficticio para restaurar el equilibrio o balance).

11. Método de aproximación de Vogel. Es una versión mejorada del método del costo mínimo, que en general produce mejores soluciones de inicio. Paso 1. Determinar para cada renglón (columna) una medida de penalización restando el elemento de costo unitario mínimo en el renglón (columna) del elemento con costo unitario siguiente al mínimo del mismo renglón (columna). Paso 2. Identificar el renglón o columna con la mayor penalización. Romper los empates en forma arbitraria. Asignar todo lo posible a la variable que tenga el mínimo costo unitario del renglón o columna seleccionado. Ajustar la oferta y la demanda y tachar el renglón o la columna ya satisfechos. Si se satisfacen un renglón y una columna en forma simultánea, sólo se tacha uno de los dos y al que queda se le asigna oferta o demanda cero. Paso 3. a) Si queda sin tachar exactamente un reglón o columna con cero oferta o demanda, detenerse. b) Si queda sin tachar un renglón (columna) con oferta (demanda) positiva, determinar las variables básicas en el renglón (columna) con el método de costo mínimo. Detenerse. c) Si todos los renglones y columnas que no se tacharon tienen cero oferta y demanda (restante), determinar las variables básicas cero por el método del costo mínimo. Detenerse. d) En cualquier otro caso, seguir en el paso 1.

12. Mismo ejemplo: consideremos el siguiente problema balanceado de transporte que considera 3 silos productos (oferta) que satisfacen las necesidades de 4 molinos (demanda). El algoritmo de transporte se basa en la hipótesis que el modelo está balanceado, es decir, que la demanda total es igual a la oferta total (si el modelo no está balanceado siempre se podrá aumentar con una fuente ficticia o un destino ficticio para restaurar el equilibrio o balance).

13. Ejercicio: Sean las empresas A, B, C y D Y los clientes 1, 2. 3 y 4.

14. Una red consiste en una serie de nodos enlazados con arcos (o ramas). La notación para describir una red es (N, A), donde N es el conjunto de nodos y A es el conjunto de arcos. Por ejemplo, la red de la figura 6.1 se describe como sigue: Con cada red se asocia algún tipo de flujo (por ejemplo, flujo de productos petroleros en un oleoducto y flujos de tráfico de automóviles en carreteras). En general, el flujo en una red está limitado por la capacidad de sus arcos, que pueden ser finitos o infinitos. Se dice que un arco es dirigido u orientado si permite un flujo positivo en una dirección, y flujo cero en la dirección opuesta. Una red dirigida tiene todos sus arcos dirigidos. Una ruta es una sucesión de arcos distintos que unen dos nodos pasando por otros nodos, independientemente de la dirección de flujo en cada arco. Una ruta forma un ciclo si conecta un nodo consigo mismo, pasando por otros nodos. Una red conectada es aquella en que cada dos nodos distintos están enlazados al menos por una ruta. Un árbol es una red conectada que puede consistir sólo en un subconjunto de todos los nodos en ella, donde no se permiten ciclos y un árbol de expansión es un árbol que enlaza todos los nodos de la red, también sin permitir ciclos. REDES

15. MÉTODOS CPM Y PERT Los métodos CPM (método de la ruta crítica o del camino crítico, critical path method ) y PERT (técnica de evaluación y revisión de programa, program evaluation and review technique ) se basan en redes, y tienen por objeto auxiliar en la planeación, programación y control de proyectos. Se define un proyecto como conjunto de actividades interrelacionadas, en la que cada actividad consume tiempo y recursos. El objetivo del CPM y del PERT es contar con un método analítico para programar las actividades.