Clase N° 2 - TP N° 2 - Sistemas de Fuerzas Distribuidas.pptx

Sistemas de Fuerzas Distribuidas

1. Clase N° 2 – TPN° 2 Sistemas de Fuerzas Distribuidas Curso de Estática y Resistencia de Materiales Ing. Gabriel Pujol Para las carreas de Ingeniería Industrial de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. Veamos algunos concepto preliminares Consideremos un conjunto de puntos A 1 , A 2 , A 3 , …, A i , cuyas coordenadas genéricas con respecto a una terna x , y , z son x i , y i , z ¡ y supongamos que cada punto posea una masa asociada m 1 ; m 2; m 3; m i . Al conjunto de puntos materiales A i de masa m i lo denominaremos conjunto discreto de masas . Definimos como momento estático o de primer orden de la masa m i respecto del plano xy , al producto de la masa m i por su distancia z ¡ al mismo, el decir:   … y análogamente:     Definimos como Centro de Masa (G) a un punto material cuya masa es igual a la suma de las masas que componen el sistema y cuyo momento estático respecto de cada uno de los tres planos xy , yz y zx es igual a la suma de los momentos estáticos respecto a dichos planos de las masas componentes del sistema, es decir:

3. Veamos algunos concepto preliminares Consideremos un conjunto de puntos A 1 , A 2 , A 3 , …, A i , cuyas coordenadas genéricas con respecto a una terna x , y , z son x i , y i , z ¡ y supongamos que cada punto posea una masa asociada m 1; m 2; m 3; m i . Al conjunto de puntos materiales A i de masa m i lo denominaremos conjunto discreto de masas . Definimos como momento estático o de primer orden de la masa m i respecto del plano xy , al producto de la masa m i por su distancia z ¡ al mismo, el decir:   … y análogamente:     Definimos como Centro de Masa (G) a un punto material cuya masa es igual a la suma de las masas que componen el sistema y cuyo momento estático respecto de cada uno de los tres planos xy , yz y zx es igual a la suma de los momentos estáticos respecto a dichos planos de las masas componentes del sistema, es decir:  

4. …dónde x G , y G , z G son las coordenadas respecto de los tres planos xy , yz y zx del Centro de Masa (G) y M la masa total del sistema. … si los planos con respecto a los cuales tomamos momentos estáticos pasan por dicho Centro de Masa , las distancias x G , y G y z G serán iguales a cero (0) .   …es decir, la suma de los momentos estáticos de un conjunto discreto de masas respecto de un planos cualquiera que pase por su centro de masas , es nulo. Si consideramos los cuerpos materiales como conjuntos continuos de masas elementales las masas m i se transforman en elementos diferenciales de masa dm   Al centro de gravedad se lo designa también como baricentro del sistema de masas, denominación que se extiende a los centros de masas , de superficies y líneas, aunque impropiamente.    

5.                 …cuando una figura plana o una línea plana poseen un eje de simetría , su baricentro pertenece al mismo. G G G Existen figuras que, si bien no poseen centro de simetría , admiten un centro de figura , centro geométrico o centroide . En tal caso, el baricentro coincide con este último. G b b B B         G                     G            

6. Estudiemos el caso del triángulo … …del cual nos interesa conocer a qué distancia de la línea base se encuentra ubicado su baricentro. Supongamos una faja de espesor dy y ancho b y , ubicada a una distancia y del vértice (faja que puede asimilarse a un rectángulo de superficie dF = b y . dy ). La distancia del baricentro G de la figura al eje z resulta definida por la expresión:   Pero por semejanza de triángulos resulta:   …y por lo tanto:   …y como:   F G y g ’

7. A D C B B’ A’ C’ D’ … en el caso de la siguiente figura, la superficie sombreada puede considerarse como diferencia de dos superficies: un rectángulo mayor de perímetro ABCD , de área F 1 y baricentro G 1 y otro menor, interior, de contorno A' B' C' D' , área F 2 y baricentro G 2 . El área de este segundo rectángulo es un área sustractiva ya que, restándola de la del rectángulo mayor, obtenemos el área de la figura sombreada. G 1 B’ A’ G 2 G 1 G 2 …se procede a dividir la figura en superficies parciales en forma tal que las figuras parciales resultantes sean asimilables a superficies cuyos baricentros sean de fácil determinación, para luego resolverlo como un sistema de masas discretas. G 3 Cuando se trata de hallar el baricentro de una figura de contorno irregular …

8. Apliquemos este concepto al caso del trapecio … …al cual podemos tratar como la composición de dos figuras:

9. …al cual podemos tratar como la composición de dos figuras: Apliquemos este concepto al caso del trapecio …

10. Veamos algunas conceptos preliminares Fuerzas Distribuidas Existen situaciones en las que un cuerpo puede estar sometido a una carga que se encuentra distribuida por toda su superficie. Por ejemplo , la presión del agua dentro de un tanque o en una presa . La presión ejercida sobre cada punto de la superficie indica la intensidad de la carga. Ésta se mide en unidades de presión, por ejemplo pascales Pa [o N/m 2 ] presión presa

11. Supongamos una superficie OABC… …sobre la que actúa una carga distribuida de intensidad constante a lo largo del eje “y” y variable según una ley q(x) en la dirección del eje “x” . …admitamos que la carga distribuida admite un eje de simetría “MN” y que el ancho de la misma sea “l” . …consideremos una faja de ancho “ ds ” , normal al eje de simetría y ubicada a una abscisa “x” cualquiera. A lo largo de dicha faja la intensidad de carga q(x ) = q(s) se mantendrá constante. …ubiquemos sobre la faja dos elemento de superficie dF = ds . d l simétricos respecto de “MN” . …la fuerza actuante sobre cada elemento de superficie tendrá una intensidad igual a:  

12. Por razones de simetría, la resultante… …de las dos fuerzas elementales actuará sobre el eje “MN” y su intensidad será:   …el razonamiento anterior puede aplicarse para cada par de elementos de superficie situados sobre la faja considerada y dispuestos simétricamente respecto de “MN” . La resultante total de las fuerzas elementales que actúan sobre la faja se encontrará aplicada en el punto “T” y su intensidad será:   … p(s) se define como la intensidad de carga en el punto “T” de una carga distribuida a lo largo de la línea “MN” .

13. …si una viga de ancho constante (b) está sometida a una carga de presión que actúa sólo a lo largo del eje x , esta carga se puede describir como una función p = p(x) en N/m 2 y se puede representar como una carga distribuida coplanar w(x ) y se cumple que: Por lo dicho… Fuerzas Distribuidas  

14. Fuerzas Distribuidas Este sistema de fuerzas paralelas se puede representar por una fuerza F R equivalente al área bajo el diagrama de carga que actúa en el centroide C del área bajo la curva     Por lo dicho…  

15. Fuerzas sobre Superficies Sumergidas La presión medida como fuerza por unidad de área depende del peso específico (  ) y la profundidad ( z i ) desde la superficie del líquido La resultante de la presión actúa en forma perpendicular al área superficial que se localiza en un punto especificado (P) llamado centro de presión . La fuerza resultante ejercida por efectos de la presión sobre cuerpos sumergidos se puede determinar con un procedimiento similar al de la sección anterior   w = carga de presión [ N/m 2 ] b = ancho de la placa [m] P = Presión hidrostática [ Pa ]

16. c/2 a/2 Procedemos en primera instancia a reemplazar las fuerzas distribuidas por sus correspondientes resultantes a las que llamaremos Q 1 y Q 2 de valores: Datos: p = 50 KN/m a b c q 1 q 2 p / a = 3 m / b = 7 m / c = 2 m   Q 1 Q 2 …actuando a un distancia a/2 y c/2 de los respectivos extremos de la barra A continuación hacemos lo propio con la carga distribuida p reemplazándola por su resultante P de valor:   … a b/3 y (2/3) b de b b/3 (2/3) b P = 175 [KN] Para el Sistemas de Fuerzas de la figura dado como dato, se pide equilibrarlo con las fuerzas distribuidas que se proponen q 1 y q 2 Ejemplo 1

17. c/2 a/2 a b c Q 2 b/3 (2/3) b Estamos ahora en condiciones de plantear las ecuaciones de equilibrio   Para ello elegimos un punto A respecto del cual vamos a plantear el equilibrio de momentos, y definimos las distancias de todas las fuerzas respecto de la vertical que pasa por él. La fuerzas Q 1 no genera momentos respecto de A . A Q 1 (a/2)+(b/3) = 3,833… [m] (a/2)+b+(c/2) = 9,5 [m] Adoptamos la siguiente convención para los signos: + + Planteamos las ecuaciones de equilibrio: Resolvemos el sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:   P = 175 [KN] Ejemplo 1

18. Veamos los siguientes casos… Carga hidrostática actuando sobre una puerta rectangular Para la puerta rectangular resulta: b h l = b = cte …y por lo tanto:   …es una función lineal en “z” z p(z) Ejemplo 2

19. Veamos los siguientes casos… Carga hidrostática actuando sobre una puerta triangular Para la puerta triangular resulta: b h l = f(z) ≠ cte …y por lo tanto:   …es una función cuadrática en “z” z p(z 2 ) l = f(z) z   Ejemplo 3

20. Veamos el siguiente ejemplo… En la figura se muestra una presa de gravedad de hormigón. Su coronamiento pesa “ q l ” . Hallar el nivel máximo de agua que puede soportar la presa sin que se voltee alrededor de A . Datos:  H 2 O = 1000 kg/m 3 ;  H° = 2300 kg/m 3 ; q l = 600 kg/m Ejemplo 4

21. Veamos el siguiente ejemplo… En la figura se muestra una presa de gravedad de hormigón. Su coronamiento pesa “ q l ” . Hallar el nivel máximo de agua que puede soportar la presa sin que se voltee alrededor de A . Datos:  H 2 O = 1000 kg/m 3 ;  H° = 2300 kg/m 3 ; q l = 600 kg/m Calculamos la presión que genera la masa de agua contenida por la represa (por unidad de longitud de pared)       Ejemplo 4

22.   Calculamos la presión que genera la masa de agua contenida por la represa (por unidad de longitud de pared)   La resultante de esta carga será una fuerza ( Empuje ) normal a la pared de la represa (horizontal) actuando a 1/3 del fondo (o a 2/3 dela superficie libre del agua). E 1/3 h max Calculamos ahora el peso que genera la masa de hormigón de la represa (por unidad de longitud de pared)       Esta fuerza ( Peso ) será vertical actuando a 2/3 del punto A ( 1,666… [m] ). P 1,666… [m]   Ejemplo 4

23. Q   E 1/3 h max   Ejemplo 4 P 1,666… [m] Calculamos la presión que genera la masa de agua contenida por la represa (por unidad de longitud de pared)   La resultante de esta carga será una fuerza ( Empuje ) normal a la pared de la represa (horizontal) actuando a 1/3 del fondo (o a 2/3 dela superficie libre del agua). Calculamos ahora el peso que genera la masa de hormigón de la represa (por unidad de longitud de pared)       Esta fuerza ( Peso ) será vertical actuando a 2/3 del punto A ( 1,666… [m] ). Calculamos la fuerza que genera el coronamiento(por unidad de longitud de pared)     Por lo tanto, el máximo nivel de agua capaz de soportar la presa sin que se voltee alrededor de A la calculamos planteando:    

24. Bibliografía Estabilidad I – Enrique Fliess Introducción a la Estática y Resistencia de Materiales – C. Raffo

25. Muchas Gracias