Clasificación y propiedades del triángulo

TRI

1. CLASIFICACIÓN Y PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS

2. 1.CONCEPTO: Triangulo es la figura geométrica formada por la unión de tres puntos no coloniales mediante segmentos. A B C Q a b m n s ELEMENTOS: Vértices: A, B, C Lados: AB, AC y BC Ángulos interiores: Ángulos exteriores: M, N y S

3. 2.CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS a) De acuerdo a sus lados: 60° 60° 60° Triángulo equilátero a b a Triángulo isósceles a b q Triángulo escaleno

4. b) De acuerdo a la medida de sus ángulos. a b q Triangulo obtusángulo Triángulo acutángulo a Triángulo rectángulo a > 90°

5. 3.PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LOS TRIÁNGULOS a b q La suma de los ángulos internos es igual a 180° . a b q x y z Un ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos exteriores no adyacentes a él.

6. x y z X + y + z = 360° La suma de loa ángulos exteriores es igual a 360° Aplicaciones : x a b q

7. a b q d a b x y

8. E jemplos En los gráficos encuentra el valor de «x» indicando la propiedad. 46° 78° x Desarrollo: Por ángulo exterior X = 78° + 46° = 124° 35° 20 ° x Desarrollo: Por ángulo exterior 35° = 20° + x X = 15°

9. 50° x Desarrollo: X = 80° El triángulo es isósceles x 100° Desarrollo: 50° x 100° 80° 80° El triángulo es isósceles X = 20°

10. 40° x A B C D E Desarrollo: 40° x A B C D E El triángulo A, B, C es equilátero . 60° 120° Suplemento de 60° = 120° En el triángulo E , C, D X + 40° + 120° = 180° X = 20°

11. X + 30° X + 20° X + 10° Desarrollo: X + 20 + x + 10 + x + 30 = 180 X = 40° x 70° 40° 30° Desarrollo: X = 30° + 70° + 40° X = 140°

12. x 70° 50° 80° X + 70° = 50° + 80° X = 60° Desarrollo: x 6 ° 7 0° 50° Desarrollo: X + 60° = 70° + 50° X = 60°

13. LÍNAEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO

14. LÍNEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO a) Bisectriz interior. q q La bisectriz interior divide al ángulo en dos ángulos congruentes. q q b b m m I Todo triángulo tres bisectrices interiores que concurren en un punto llamado incentro ( I )

15. a) Bisectriz exterior a a b b a a Dos bisectrices exteriores y una interior concurren en un punto llamado ex centro ( E ) E b) Altura . A B C H La altura es el segmento trazado desde un vértice, perpendicular al lado opuesto. BH es la altura.

16. A B C H Q La altura puede caer en prolongación del lado. A B C O H M N Todo triángulo tiene tres alturas que concurren en un punto llamado orto centro ( O )

17. d) Mediana A B C M La mediana es un segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto . AM es la mediana. G Las tres medianas concurren en un punto llamado baricentro ( G )

18. e) Ceviana A B C Q La ceviana es un segmento que une un vértice con su lado opuesto. f) mediatriz A B C La mediatriz es una recta que divide a uno de los lados de un triángulo en partes iguales formando un ángulo recto.

19. Los tres mediatrices concurren en el circuncentro ( M ) M

20. Ejemplos: 1.Encuentra el valor de «x» A B C R 70° 30° x a a Desarrollo: A B C R 70° 30° x 40° 40° En el triángulo ABC AR es bisectriz, por lo Tanto: a = 40° X = 110°

21. 2.Encuentra el valor de «x» . Si AH es altura. A B C H 70° x Desarrollo: AHB es un triángulo rectángulo por lo tanto : X + 70° = 90° X = 20° 3.En la figura encuentra el valor de «x» C A B R 20° X 50° Desarrollo: BRA es un triángulo rectángulo. Suplemento de 70° =110° Del triángulo ABC X = 20°

22. 4.Halla el valor de «x» si AB = 20m. A B C X + 5m M Desarrollo: MB = X + 5m AB = X + 5m + x + 5m 20m = 2x + 10m X = 5m

23. 5.En la figura, halla el valor de «x». Si AM es mediana. A B C M 15cm X + 2cm Desarrollo: 15cm = x + 2cm X = 13cm

24. PROPIEDADES DE LAS LÍNEAS NOTABLES

25. PROPIEDAD DE LA BISECTRIZ 1.Ángulo formado por dos bisectrices interiores . A B C a a b b q X 2.Ángulo formado por una bisectriz interior y exterior. A B C a a b b x q

26. 3.Angulo formado por dos bisectrices exteriores. q a a b b x ÁNGULO ENTRE LA ALTURA Y UNA BISECTRIZ EXTERIOR . A B C H M a a q b m

27. PROPIEDAD DE LAS MEDIANAS A B C M P G AM, CP medianas AG = 2 GM CG = 2 GP

28. PROPIEDAD DE LA MEDIATRIZ A B D L M N a a b b q q C AC = BC = CD L, M,N son mediatrices

29. Ejemplos. 1.Halla e l valor de «x» a a b b 20° x Desarrollo: 2.Halla el valor de «x» a a b b 25° x Desarrollo:

30. 3.Encuentra el valor de «x» a a b b 70° x Desarrollo: 4.Encuentra el valor de «x» a ° a b ° b ° 135° 90° = x

31. 5.Halla el valor de «x» 150 ° X° Desarrollo: a a b b 6.Halla el valor de «x» a ° a° b ° b ° 80° x Desarrollo: 20° = x

32. E jercicios de reforzamiento

33. 1.Del gráfico encuentra el valor de «x» 30° x a a b b 150° Desarrollo: Por: Nuevamente aplicando Reemplazando: X = 60° + 30° X = 90°

34. 2.En la figura, halla «x» x 2 a a q 2 q 70° Desarrollo: Por suma de los ángulos exteriores en un triángulo se tiene: 3( 70°) – x = 180 ° - X = 180° - 210° X = 30°

35. 3.En el triángulo ABC, Halla la medida que forman la altura y la bisectriz interior que parte de B . Desarrollo: A B C H M a a q Por propiedad

36. 4.En la figura , halla HP, Y BC = 20 m A B C H P 40° 20° Desarrollo: A B C H P 40° 20° 50° 70° Por dato: 70° 20m 20° Se observa: BP = PC = HP Los dos triángulos son isósceles. HP = 10 cm

37. 5.En un triángulo isósceles ABC ( AB = BC ), se traza la ceviana CN y sobre ella se ubica el punto R. sí BN = BR y , halla Desarrollo: A B C N R a a 36 ° q x q- x Triángulo BNR isósceles. Por dato Entonces: Por ángulo exterior del triángulo BCR y ACN se observa: Igualando las ecuaciones se tiene : X = 18 °

38. 6.En un triángulo ABC, . Sobre AC y BC se ubica Los puntos R y S, respectivamente. Sí AB = BS = SR y , halla Desarrollo: A B C 20° R S 40° x 6 0° 80° 60° 80° 20° 60° Por ángulo exterior : Triángulo BRS es equilátero. Triángulo ABR isósceles

39. 7.En la figura ABC es equilátero. Halla «x» A B C x x x 40° Desarrollo: A B C x x x 40° 60° 60° 100°- x 80° Por ángulo exterior: X = 100° - x + 60° X = 80°

40. 8.Halla el valor de «x» Desarrollo: a q a + q+ 40° A B C En el triángulo ABC : 50° + X + a + q+ 40 ° = 180 ° X = 170° - ( a- q) 9.En la figura, halla

41. Desarrollo: A Por ángulos formado por bisectrices exteriores En el triángulo APR: El ángulo pedido es: 10.Halla «x»

42. Desarrollo: X + b A B C D Por ángulo exterior : 2 b En el triángulo D BC Por Resolviendo: X = 30°

43. 11.Halla Desarrollo : A B C D E 90° - Q Por ángulo formado de las bisectrices exteriores ( ver fig ) 4 q q 90°- q Resolviendo: q = 22,5°

44. 12.Halla «x» Desarrollo: A B C D x Por ángulo formado por una bisectriz interior y exterior: E 4x 4x x Resolviendo: X = 20°

45. 13.Halla el valor de «x» Desarrollo: X + q a X + q 150° Se observa que: Resolviendo: X = 30° Luego:

46. 14.Halla «x», si PQ = PR Desarrollo : 5 0° 50° q 120° - q Entonces: X = 60°

47. 15.Halla « a » si . Desarrollo: 90°- ( a + q ) 90° + a - q De la condición: a = 32°