COMPOSICION DE FUNCIONES Y APLICACIONES.pdf
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Apr 13, 2024
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COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Y APLICACIONES
Slide Content
UPN, PASIÓN POR
TRANSFORMAR VIDAS
CURSO: MATEMATICA BASICA
TEMA: COMPOSICION DE FUNCIONES Y
APLICACIONES
Determinaciónde la regla de correspondencia.
Dominio de la función compuesta
Departamento de Ciencias
TRANSFORMAR VIDAS
CURSO: MATEMATICA BASICA
TEMA: COMPOSICION DE FUNCIONES Y
APLICACIONES
Determinaciónde la regla de correspondencia.
Dominio de la función compuesta
Departamento de Ciencias
SERÁ LO MISMO…..
Colocar piña
en una pizza
Colocar pizza
en una piña
Colocar piña
en una pizza
Colocar pizza
en una piña
RESPONDA LAS SIGUIENTES PREGUNTAS
¿Qué es una función?
¿Qué es el dominio de una
función?
De igual forma, ¿Qué es el rango de
una función?
¿Crees que se podrá construir una función
compuesta usando dos funciones?
¿Quésedebetenerencuentaparahallarlareglade
correspondenciadeunacomposicióndefunciones?
¿Qué es una función?
¿Qué es el dominio de una
función?
De igual forma, ¿Qué es el rango de
una función?
¿Crees que se podrá construir una función
compuesta usando dos funciones?
¿Quésedebetenerencuentaparahallarlareglade
correspondenciadeunacomposicióndefunciones?
LOGRO DE LA SESIÓN
Alfinalizarlasesión,elestudiante
resuelveejerciciosyproblemasde
contextorealrelacionadoasu
carreraprofesionalhaciendousode
lacomposicióndefunciones,de
formacorrecta.
Alfinalizarlasesión,elestudiante
resuelveejerciciosyproblemasde
contextorealrelacionadoasu
carreraprofesionalhaciendousode
lacomposicióndefunciones,de
formacorrecta.
CONTENIDOS
1.Composición de funciones.
2. Determinación de la regla de correspondencia de la
función
compuesta (f o g y g o f).
3. Dominio de la función compuesta
4. Aplicaciones de composición de funciones
5. Referencias bibliográficas
6. Metacognición
1.Composición de funciones.
2. Determinación de la regla de correspondencia de la
función
compuesta (f o g y g o f).
3. Dominio de la función compuesta
4. Aplicaciones de composición de funciones
5. Referencias bibliográficas
6. Metacognición
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
??????????????????�∘�=??????∕??????∈??????????????????�??????∩�??????∈??????????????????�(??????)
Lafuncióncompuestadedos
funciones�y�,quelo
escribiremos�??????�,sedefinedela
siguienteforma:
(�∘�)(??????)=�(�(??????))
Eldominiode�??????�eselconjuntode
todaslas�eneldominiode�,tales
que�(�)estéeneldominiode�.
??????????????????�∘�=??????∕??????∈??????????????????�??????∩�??????∈??????????????????�(??????)
Lafuncióncompuestadedos
funciones�y�,quelo
escribiremos�??????�,sedefinedela
siguienteforma:
(�∘�)(??????)=�(�(??????))
Eldominiode�??????�eselconjuntode
todaslas�eneldominiode�,tales
que�(�)estéeneldominiode�.
Sean las funciones:
��=�+2���=�
2
−4
Solución:
�??????��=�(��)
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Ejemplo 1
a)Lacomposicióndefconges
comosigue:
���=�(�
2
−4)
���=�
2
−4+2
���=�
2
−2
�??????��=�(��)
b) La composición de gcon fes
como sigue:
���=�(�+2)
���=(�+2)
2
−4
���=�
2
+4�+4−4
��2=(2)
2
+4(2)
c) La composición de gcon fes como
sigue:
���=�
2
+4�
��2=4+8
��2=12
�)(�??????�)��)(�??????�)�
�)(�??????�)2
Encuentre lo siguiente:
��=�+2���=�
2
−4
Solución:
�??????��=�(��)
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Ejemplo 1
a)Lacomposicióndefconges
comosigue:
���=�(�
2
−4)
���=�
2
−4+2
���=�
2
−2
�??????��=�(��)
b) La composición de gcon fes
como sigue:
���=�(�+2)
���=(�+2)
2
−4
���=�
2
+4�+4−4
��2=(2)
2
+4(2)
c) La composición de gcon fes como
sigue:
���=�
2
+4�
��2=4+8
��2=12
�)(�??????�)��)(�??????�)�
�)(�??????�)2
Encuentre lo siguiente:
��=
1
�−2
���=�
Solución:
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Ejemplo 2
��=�
�9=9
�9=3
��9=�3
��=
1
�−2
�3=
1
3−2
�3=1
a) �??????�9=��9
a) (fog)(9) b) (fog)(4)
c) (gof)(6) d) (gof)(1)
Evalúe donde sea posible:
Reemplazando en f(x):
Sean las funciones:
��=�
�4=4
�4=2
��4=�2
��=
1
�−2
�2=
1
2−2
�2=????????????��??????���
Reemplazando en f(x):
b) �??????�4=��4
Estonoestádefinido.Elvalordex=4no
pertenecealdominiode�??????�demodoque
�??????�4nopuededeterminarse.
1
�−2
���=�
Solución:
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Ejemplo 2
��=�
�9=9
�9=3
��9=�3
��=
1
�−2
�3=
1
3−2
�3=1
a) �??????�9=��9
a) (fog)(9) b) (fog)(4)
c) (gof)(6) d) (gof)(1)
Evalúe donde sea posible:
Reemplazando en f(x):
Sean las funciones:
��=�
�4=4
�4=2
��4=�2
��=
1
�−2
�2=
1
2−2
�2=????????????��??????���
Reemplazando en f(x):
b) �??????�4=��4
Estonoestádefinido.Elvalordex=4no
pertenecealdominiode�??????�demodoque
�??????�4nopuededeterminarse.
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
��=�
�1/4=1/4
�1/4=1/2
��6=�1/4
��=
1
�−2
�6=
1
6−2
c) �??????�6=��6
Reemplazando en g(x):
�6=
1
4
��=�
�−1=−1
�−1=????????????��??????���
��1=�−1
��=
1
�−2
�1=
1
1−2
d) �??????�1=��1
Reemplazando en g(x):
�1=
1
−1
�1=−1
Elcualnoesunnúmeroreal.Nopodemos
evaluar�??????�1porque1noperteneceal
dominiode�??????�.
��=�
�1/4=1/4
�1/4=1/2
��6=�1/4
��=
1
�−2
�6=
1
6−2
c) �??????�6=��6
Reemplazando en g(x):
�6=
1
4
��=�
�−1=−1
�−1=????????????��??????���
��1=�−1
��=
1
�−2
�1=
1
1−2
d) �??????�1=��1
Reemplazando en g(x):
�1=
1
−1
�1=−1
Elcualnoesunnúmeroreal.Nopodemos
evaluar�??????�1porque1noperteneceal
dominiode�??????�.
¡Recuerda, cada desafío es una oportunidad para aprender!
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
��=�
2
−1���=3�+5Sea:
Solución:
�∘��=�(��)
=�(3�+5)
=(3�+5)
2
−1
=9�
2
+30�+25−1
Determine�∘��yeldominiode�∘�Determine�∘��yeldominiode�∘�
Observación:
Cuandolasfuncionessonpolinomiales
eldominiode�∘��esigualaℝ
��=�
2
−1���=3�+5Sea:
Ejemplo 3: Ejemplo 4:
�∘��=�(��)
=�(�
2
−1)
=3(�
2
−1)+5
Solución:
Dominio de �∘��= ℝ
=9�
2
+30�+24
=3�
2
+2
=3�
2
−3+5
�∘��
�∘��
��=�
2
−1���=3�+5Sea:
Solución:
�∘��=�(��)
=�(3�+5)
=(3�+5)
2
−1
=9�
2
+30�+25−1
Determine�∘��yeldominiode�∘�Determine�∘��yeldominiode�∘�
Observación:
Cuandolasfuncionessonpolinomiales
eldominiode�∘��esigualaℝ
��=�
2
−1���=3�+5Sea:
Ejemplo 3: Ejemplo 4:
�∘��=�(��)
=�(�
2
−1)
=3(�
2
−1)+5
Solución:
Dominio de �∘��= ℝ
=9�
2
+30�+24
=3�
2
+2
=3�
2
−3+5
�∘��
�∘��
��=�−2���=�
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Sea:
Solución:
�∘��=�(��)
=�(�)
=�−2
Determine�∘��yeldominiode�∘�
��=�−2
��=�(�≥0)
�????????????�∘�=
Hallandolosdominiosdelasfunciones:
�????????????�=??????=<−∞,+∞>
�????????????�=ሾ0,ۧ+∞
ሾ0,ۧ+∞
�????????????�∘�=�/�∈�????????????���∈�????????????�
�∈ሾ0,ۧ+∞ �(�)∈??????
�≥0
�∈??????
�≥0
�≥0
�≥0
�∘��
Ejemplo 5:
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Sea:
Solución:
�∘��=�(��)
=�(�)
=�−2
Determine�∘��yeldominiode�∘�
��=�−2
��=�(�≥0)
�????????????�∘�=
Hallandolosdominiosdelasfunciones:
�????????????�=??????=<−∞,+∞>
�????????????�=ሾ0,ۧ+∞
ሾ0,ۧ+∞
�????????????�∘�=�/�∈�????????????���∈�????????????�
�∈ሾ0,ۧ+∞ �(�)∈??????
�≥0
�∈??????
�≥0
�≥0
�≥0
�∘��
Ejemplo 5:
��=����=2�−3
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Si f y g están definidos por:
Solución:
�∘��=�(��)
=�(2�−3)
2�−3
Determine�∘��yeldominiode�∘�
�????????????�=ሾ0,ۧ+∞��=�
��=2�−3
2�−3≥0
2�≥3
�≥
3
2
ሾ3/2,ۧ+∞
�????????????�∘�=
�????????????�=??????=<−∞,+∞>
�????????????�∘�=�/�∈�????????????���∈�????????????�
(�≥0)
�∈??????
�(�)∈ሾ0,ۧ+∞
2�−3∈ሾ0,ۧ+∞
�∈??????
�∈??????
Hallandolosdominiosdelasfunciones:
�∘��=
Ejemplo 6:
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Si f y g están definidos por:
Solución:
�∘��=�(��)
=�(2�−3)
2�−3
Determine�∘��yeldominiode�∘�
�????????????�=ሾ0,ۧ+∞��=�
��=2�−3
2�−3≥0
2�≥3
�≥
3
2
ሾ3/2,ۧ+∞
�????????????�∘�=
�????????????�=??????=<−∞,+∞>
�????????????�∘�=�/�∈�????????????���∈�????????????�
(�≥0)
�∈??????
�(�)∈ሾ0,ۧ+∞
2�−3∈ሾ0,ۧ+∞
�∈??????
�∈??????
Hallandolosdominiosdelasfunciones:
�∘��=
Ejemplo 6:
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Ejemplo 7:
Sean las funciones:
��=����=�−2
Hallar: Dom�∘��
0 2
-2
x
y
f (x)
g (x)
2
x
(fog)(x)
y
Dom(g)=ℝ
Dom(fog) = [2, ∞[
Dom(f) = [0, ∞[
Solución
Hallemos el�????????????�∘�=
�∘��=�(��)
=�(�−2)
�−2�∘��=
Analizando gráficamente tenemos lo siguiente:
�∈??????
�/�∈�????????????���∈�????????????�
�−2∈ሾ0,ۧ+∞
�−2≥0
�≥2
Dom(fog) = [2, ∞[
Ejemplo 7:
Sean las funciones:
��=����=�−2
Hallar: Dom�∘��
0 2
-2
x
y
f (x)
g (x)
2
x
(fog)(x)
y
Dom(g)=ℝ
Dom(fog) = [2, ∞[
Dom(f) = [0, ∞[
Solución
Hallemos el�????????????�∘�=
�∘��=�(��)
=�(�−2)
�−2�∘��=
Analizando gráficamente tenemos lo siguiente:
�∈??????
�/�∈�????????????���∈�????????????�
�−2∈ሾ0,ۧ+∞
�−2≥0
�≥2
Dom(fog) = [2, ∞[
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Ejemplo 8
Dadaslasfunciones: y
Halle:fogygof{( 2,0),( 1, 4),(3,1),(5,2)}= − − −f {( 2, 1),(0,3),(1,4),(2,0),(4,5)}g= − −
Solución:
Parahallarfog,debemosconocerpreviamenteelrangode“g”yeldominiode“f”,así:
Ran(g)={–1,0,3,4,5}yDom(f)={–2,–1,3,5},
entonces:
Buscamoslosparesde“g”y“f”quetengancomosegundasyprimerascomponentesa:–1,3,5,
respectivamente.Luego:
Porlotanto,tenemos:( ) ( ) { 1,3,5}Ran g Dom f = − ( 2, 1) ( 1, 4) ( 2, 4)
(0,3) (3,1) (0,1)
(4,5) (5,2) (4,2)
− − − − → − −
→
→
g f f g
g f f g
g f f g {( 2, 4),(0,1),(4,2)}fg= − −
Ejemplo 8
Dadaslasfunciones: y
Halle:fogygof{( 2,0),( 1, 4),(3,1),(5,2)}= − − −f {( 2, 1),(0,3),(1,4),(2,0),(4,5)}g= − −
Solución:
Parahallarfog,debemosconocerpreviamenteelrangode“g”yeldominiode“f”,así:
Ran(g)={–1,0,3,4,5}yDom(f)={–2,–1,3,5},
entonces:
Buscamoslosparesde“g”y“f”quetengancomosegundasyprimerascomponentesa:–1,3,5,
respectivamente.Luego:
Porlotanto,tenemos:( ) ( ) { 1,3,5}Ran g Dom f = − ( 2, 1) ( 1, 4) ( 2, 4)
(0,3) (3,1) (0,1)
(4,5) (5,2) (4,2)
− − − − → − −
→
→
g f f g
g f f g
g f f g {( 2, 4),(0,1),(4,2)}fg= − −
Parahallargofseanalizaenformasimilar
Paragof:Ran(f)={–4,0,1,2,}yDom(g)={–2,0,1,2,4}
entonces:
Luego:
Porlotanto,tenemos:( ) ( ) {0,1,2}Ran f Dom g= ( 2,0) (0,3) ( 2,3)
(3,1) (1,4) (3,4)
(5,2) (2,0) (5,0)
f g g f
f g g f
f g g f
− → −
→
→ {( 2,3),(3,4),(5,0)}gf=−
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Dadas las funciones: y
Halle:fogygof{( 2,0),( 1, 4),(3,1),(5,2)}= − − −f {( 2, 1),(0,3),(1,4),(2,0),(4,5)}g= − −
Ejemplo 9
Solución:
Paragof:Ran(f)={–4,0,1,2,}yDom(g)={–2,0,1,2,4}
entonces:
Luego:
Porlotanto,tenemos:( ) ( ) {0,1,2}Ran f Dom g= ( 2,0) (0,3) ( 2,3)
(3,1) (1,4) (3,4)
(5,2) (2,0) (5,0)
f g g f
f g g f
f g g f
− → −
→
→ {( 2,3),(3,4),(5,0)}gf=−
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Dadas las funciones: y
Halle:fogygof{( 2,0),( 1, 4),(3,1),(5,2)}= − − −f {( 2, 1),(0,3),(1,4),(2,0),(4,5)}g= − −
Ejemplo 9
Solución:
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Solución:
Delosdatostenemos:
f−1=6→��−1=�6=8→(−1;8)∈�∘�
g∘�={(−1,8),(3,9),(5,8)}
Dadoslosconjuntos:�=−1,3,5;�=6,7 �=8,9;ylasfunciones���
definidaspor:�−1=6;�3=7;�5=6;�6=8;�7=9.
Calcule:�∘�
f3=7→��3=�7=9→(3;9)∈�∘�
f5=6→��5=�6=8→(5;8)∈�∘�
�−1=6;�3=7;�5=6;�6=8;�7=9
Ejemplo 10
Solución:
Delosdatostenemos:
f−1=6→��−1=�6=8→(−1;8)∈�∘�
g∘�={(−1,8),(3,9),(5,8)}
Dadoslosconjuntos:�=−1,3,5;�=6,7 �=8,9;ylasfunciones���
definidaspor:�−1=6;�3=7;�5=6;�6=8;�7=9.
Calcule:�∘�
f3=7→��3=�7=9→(3;9)∈�∘�
f5=6→��5=�6=8→(5;8)∈�∘�
�−1=6;�3=7;�5=6;�6=8;�7=9
Ejemplo 10
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Determina �∘�(�)y también el dominio de �∘�(�), si las funciones son:
��=�
2
−3;�∈3;9
��=2�−1;�∈3;∞
Solución:
1°Hallemos el�????????????�∘�=�/�∈�????????????���∈�????????????�
�∈3;∞ 2�−1∈3;9
�>3 3≤2�−1≤9
4≤2�≤10
2≤�≤5Luego el�????????????�∘�= 3;5
�∘�(�)= ���
=�2�−1
�∘�(�)= 2�−1
2
−3
�∘�(�)=
4�
2
−4�+1−3
�∘�(�)=4�
2
−4�−2
Determina �∘�(�)y también el dominio de �∘�(�), si las funciones son:
��=�
2
−3;�∈3;9
��=2�−1;�∈3;∞
Solución:
1°Hallemos el�????????????�∘�=�/�∈�????????????���∈�????????????�
�∈3;∞ 2�−1∈3;9
�>3 3≤2�−1≤9
4≤2�≤10
2≤�≤5Luego el�????????????�∘�= 3;5
�∘�(�)= ���
=�2�−1
�∘�(�)= 2�−1
2
−3
�∘�(�)=
4�
2
−4�+1−3
�∘�(�)=4�
2
−4�−2
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Sean las funciones ��=�
2
y ��=�−3
a.Encuentra las funciones �∘�y �∘�y sus dominios.
b.Halla �∘�5y �∘�7.
Solución:
a. 1°Hallemos el�????????????�∘�=ℝ∧el�????????????�∘�=ℝ
�∘�(�)=�����−3=�−3
2
�
2
−6�+9
�∘�(�)=�����
2
=�
2
−3
�.�∘�5=5
2
−65+9=4
�∘�7=7
2
−3=46
Sean las funciones ��=�
2
y ��=�−3
a.Encuentra las funciones �∘�y �∘�y sus dominios.
b.Halla �∘�5y �∘�7.
Solución:
a. 1°Hallemos el�????????????�∘�=ℝ∧el�????????????�∘�=ℝ
�∘�(�)=�����−3=�−3
2
�
2
−6�+9
�∘�(�)=�����
2
=�
2
−3
�.�∘�5=5
2
−65+9=4
�∘�7=7
2
−3=46
PROBLEMA APLICATIVO DE
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Enunacompañíadecelulareselcostototaldeelaborar??????
unidadesduranteundíadetrabajoes�??????=2??????+50
dólares.Enundíatípicodetrabajo,durantelasprimeras�
horassefabrican??????�=30�unidades.Expreseelcostode
fabricacióntotalcomounafunciónde�ydetermineelgasto
enlaproduccióndecelularesalfinaldelaquintahora.
Solución:
�∘??????(�)=�??????(�) �30�=2(30�)+50 =60�+50
�∘??????(5)=60(5)+50=350
Los gastos en la producción de celulares al final de la quinta hora
es$350
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Enunacompañíadecelulareselcostototaldeelaborar??????
unidadesduranteundíadetrabajoes�??????=2??????+50
dólares.Enundíatípicodetrabajo,durantelasprimeras�
horassefabrican??????�=30�unidades.Expreseelcostode
fabricacióntotalcomounafunciónde�ydetermineelgasto
enlaproduccióndecelularesalfinaldelaquintahora.
Solución:
�∘??????(�)=�??????(�) �30�=2(30�)+50 =60�+50
�∘??????(5)=60(5)+50=350
Los gastos en la producción de celulares al final de la quinta hora
es$350
Problema sobre venta de escritorios
Solución:
Hallando el
El modelo matemático de
Resolviendo obtenemos:
Solución:
Hallando el
El modelo matemático de
Resolviendo obtenemos:
Problemas sobre costos
a) Determine e interprete
b) Encuentre el costo de las unidades producidas en 4 horas.
c)Encuentreeltiempoquedebetranscurrirafindequeel
costoseadeS/15000.
a) Determine e interprete
b) Encuentre el costo de las unidades producidas en 4 horas.
c)Encuentreeltiempoquedebetranscurrirafindequeel
costoseadeS/15000.
Problemas sobre costos
Solución:
a)Determineeinterprete. c)Encuentreeltiempoquedebe
transcurrirafindequeelcostosea
deS/15000.
Respuesta:Debentranscurrir5
añosaproximadamenteparaque
elcostoseadeS/15000.
b)Encuentreelcostodelasunidades
producidasen4horas.
Rpta:Lafunciónresultanteesel
costoenfuncióndeltiempo.
Solución:
a)Determineeinterprete. c)Encuentreeltiempoquedebe
transcurrirafindequeelcostosea
deS/15000.
Respuesta:Debentranscurrir5
añosaproximadamenteparaque
elcostoseadeS/15000.
b)Encuentreelcostodelasunidades
producidasen4horas.
Rpta:Lafunciónresultanteesel
costoenfuncióndeltiempo.
Problema sobre venta de zapatos
b)
b)
Aplicación 1
Solución:
Por lo tanto:
y
Solución:
Por lo tanto:
y
Aplicación 2
Solución:
El nivel de monóxido será 338,5ppm
Solución:
El nivel de monóxido será 338,5ppm
¡Recuerda, cada desafío es una oportunidad para aprender!
METACOGNICIÓN
1.¿Qué has aprendido en esta sesión?
2.¿Cuáles son los errores que has cometido en el desarrollo de esta
sesión? ¿Cómo lo has enfrentado y superado?
3.¿En qué aspectos de tu vida crees que corresponde aplicar esta
sesión de la composición de funciones?
4.La sesión de hoy día, ¿lo utilizarás en el futuro?
1.¿Qué has aprendido en esta sesión?
2.¿Cuáles son los errores que has cometido en el desarrollo de esta
sesión? ¿Cómo lo has enfrentado y superado?
3.¿En qué aspectos de tu vida crees que corresponde aplicar esta
sesión de la composición de funciones?
4.La sesión de hoy día, ¿lo utilizarás en el futuro?
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
•Arya, J. y Jardish,R. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración y
la economía(5.
a
ed.).
•Harshbarger, R. y Reynold, J. (2005). Matemáticas aplicadas a la
administración, economía y ciencias sociales(7.
a
ed.).
•Hoffmann, L., Bradley, G., Sobecki, D., Price, M. y Sandoval, S. (2014).
Matemáticas aplicadas a la administración y negocios(11.
a
ed.).
•Arya, J. y Jardish,R. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración y
la economía(5.
a
ed.).
•Harshbarger, R. y Reynold, J. (2005). Matemáticas aplicadas a la
administración, economía y ciencias sociales(7.
a
ed.).
•Hoffmann, L., Bradley, G., Sobecki, D., Price, M. y Sandoval, S. (2014).
Matemáticas aplicadas a la administración y negocios(11.
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