Conjunto dos números complexos

Introdução aos números complexos.

1. CONJUNTO DOS
NÚMEROS
COMPLEXOS
PROFESSORA ROSÂNIA

6. Girolamo Cardano nasceu em Pavia, em 1501 e
faleceu em Roma, em 1576. Sua vida foi
marcada por contrastes e extremos. Sabe-se que
era excepcional cientista, mas que também era
violento, traidor, invejoso e outras qualificações
não muito edificantes. Foi autor do Liber de Ludo
Aleae, onde introduziu a ideia de probabilidade e
também ensinou maneiras de trapacear nos jogos.
Sua maior obra, entretanto, foi o Ars Magna,
publicada na Alemanha em 1545, que na época era
o maior compendio algébrico existente.

7. Nicolo Fontana, apelidado de Tartaglia, só tinha em
comum com Cardano a nacionalidade
italiana e o talento matemático. Nascido em Brescia
em 1500, na infância, pobre, foi gravemente
ferido por golpes de sabre e, por causa deste
incidente, com com profunda cicatriz na boca que
lhe provocou um permanente defeito na fala. Da ter
sido apelidado de Tartaglia, que significa
gago. Ao longo de sua vida publicou diversas obras
mas o que o colocou definitivamente nos anais
da Matemática foram suas disputas com Cardano.

8. Consta que, por volta de 1510, um matemático
italiano de nome Scipione del Ferro encontrou
uma forma geral de resolver equações do tipo
x³ + px + q = 0, mas morreu sem publicar sua
descoberta. Seu aluno Antonio Maria Fior
conhecia tal solução e tentou ganhar
notoriedade com
ela. Na época eram comuns os desafios entre
sábios.

9. Como Tartaglia era um nome que começava
a se destacar nos meios culturais da época, Fior
propôs a Tartaglia um desafio. Tartaglia, apesar
de não saber resolver ainda tais equações, aceitou o
desafio, confiando em seu potencial. Sabendo
que Fior conhecia a solução das equações acima
citadas, não só deduziu a resolução para este caso,
como também resolveu as equações do tipo x³ + px²
+ q = 0. O resultado deste desafio foi que
Fior saiu humilhado.

10. Nesta época Cardano, ao saber que Tartaglia achara a
solução geral
da equação de grau 3 pediu-lhe que a revelasse, para que
fosse publicada em seu próximo livro.
Tartaglia não concordou, alegando que ele mesmo iria
publicar sua descoberta. Cardano acusou-o
de mesquinho e egoísta, e não desistiu. Apos muitas
conversas e suplicas este, jurando não divulgar
tal descoberta, conseguiu que Tartaglia lhe revelasse a
solução. Conforme qualquer um poderia
prever, Cardano quebrou todas as promessas e, em 1545,
fez publicar na Ars Magna a formula de
Tartaglia. No final, como em muitos outros casos, a
posteridade não fez justica a Tartaglia: sua
formula e ate hoje conhecida como “Formula de Cardano."

13. Professora Rosânia

14. PARA COMPREENDER VAMOS RELEMBRAR OS
TIPOS DE CONJUNTOS
N
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ....}

15. Z IN
(naturais) N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ....}
(inteiros) Z = { ... -2, -1, 0, 1, 2, ....}

16. Q Q Z N
(naturais) N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ....}
(inteiros) Z = { ... -2, -1, 0, 1, 2, ....}
(racionais) Q = {podem ser escritos na forma de fração}
Os N, Z, dízimas periódicas.

17. Q Q Z N
(naturais) N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ....}
(inteiros) Z = { ... -2, -1, 0, 1, 2, ....}
(racionais) Q = {podem ser escritos na forma de fração}
Os N, Z, dízimas periódicas.
I
(irracionais) I = {não podem ser escritos na forma de
fração} ∏, � , �
�

18. Q

Z
N
I
Reais (R) = são todos os números exceto as
raízes quadradas nos números negativos

19. Q

Z
N
I
Complexos (C) = são todos os reais além das
raízes quadradas nos números negativos.

21. NÚMEROS COMPLEXOS-NÚMEROS
IMAGINÁRIOS
•Iremos representar
essa proposição
utilizando uma
unidade imaginária i,
assim poderemos
dizer que o quadrado
de um número é um
número negativo

•então i . i = - 1,
isto é, i² = - 1 .
Professora Rosânia

22. UNIDADE IMAGINÁRIA ( i )
−�= i
i² = -1
convenção

23. a = parte real
b = parte imaginária
FORMA ALGÉBRICA
Z = a + bi
a = 0 e b ≠ 0 .......... imaginário puro
b = 0 ....................... real puro

24. Professora Rosânia
z = 2 + 4i : Re(z) = 2 Im(z) = 4

z = 5 – 2i : Re (z) = 5 Im (z) = –2

25. Veja alguns exemplos de como identificar a parte real e a
parte imaginária de um número complexo:

z = - 3 + 5i
Re(z) = -3
Im(z) = 5

z = -5 + 10i
Re(z) = -5
Im(z) = 10

z = 1/2 + (1/3)i
Re(z) = 1/2
Im(z) = 1/3

Professora Rosânia

26. As coordenadas a e b podem assumir
qualquer valor real, dependendo do valor
que eles assumirem o número complexo irá
receber um nome diferente:

Quando a e b forem diferentes de zero dizemos
que o número complexo é imaginário:
z = 2 + 5i


Professora Rosânia

27. Quando o valor de a é igual a
zero e o de b é diferente de zero
dizemos que o número complexo
é imaginário puro:
z = 0 + 2i
z = 2i

Professora Rosânia

28. Quando a diferente de zero e b
igual a zero dizemos que o
número complexo será real.
z = 5 – 0i
z = 5


Professora Rosânia

29. Tornar um complexo real ou
imaginário puro
Z = (x – 3) + (x² - 25)i
REAL – TORNAR A PARTE IMAGINÁRIA NULA
(x² - 25) = 0

IMAGINÁRIO – TORNAR A PARTE REAL NULA
x – 3 = 0

30. CASO 1
A equação do 2º grau x² + 25 = 0 é impossível de
ser resolvida no conjunto dos números Reais, mas
pode ser resolvida dentro do conjunto dos
números Complexos, da seguinte forma:
x² + 81 = 0 (Equação incompleta do 2º grau)
x² = –81
x = ±√–81
Temos x = ±9i
Professora Rosânia
EQUAÇÕES EM C

31. CASO 2

2x² - 16x + 50 = 0 (Equação completa do 2º grau)
a = 2, b = -16, c = 50
∆ = b² - 4ac
∆ = (-16)² - 4 . 2 . 50
∆ = 256 – 400
∆ = -144

Temos (±12i)² = 144i² = 144.(-1) = -144.
x’ = 4 + 3i e x’’ = 4 – 3i
Professora Rosânia

32. EQUAÇÕES EM C
x² + 2x + 10 = 0
−�±�
�
−�.�.��
�.�


−�±�−��
�.


−�±− ��
�


−�±� ??????
�
=

x’ = - 1 + 3i

x’’ = - 1 – 3i

−�±�
2
−4��
2�

33. Potências de i
i
2
= -1
i
3
= i
2
. i = -1 . i = -i
i
0
= 1
i
1
= i
i
4
= i
2
. i
2
= (-1) . (-1) = 1
i
5
= i
4
. i = 1 . i = i
i
6
= i
4
. i
2
= 1 . (-1) = -1
i
7
= i
4
. i
3
= 1 (-i) = -i
Professora Rosânia
??????
??????
=??????
??????

34. Então, para simplificar
Ex: i
26

Professora Rosânia
??????
??????
=??????
??????

26 4
6 2
i² = -1

35. IGUALDADE DE COMPLEXOS
Z1 = (a + 1) + 3i e Z2 = 4 + ( 2- b)i
Real = Real
Imaginária = Imaginária

36. a + 1 = 4 2 – b = 3
a = 4 – 1 - b = 3 - 2
a = 3 - b = 1
b = -1

37. Aritmética dos números
complexos
Adição e Subtração
Professora Rosânia

38. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Adição
Para adicionarmos dois números
complexos, adicionamos as partes
reais e as partes imaginárias
Professora Rosânia

39. (3 + 4i) + (- 7 + 8i) =
(3 - 7) + (4 + 8) i = - 4 + 12i
Exemplos
(3 + 4i) + (-7 + 8i) =
Na prática temos:
Professora Rosânia

40. Subtração
(a + bi) - (c + di) =
(a – c) + (b – d)i
Para subtrairmos dois números
complexos, subtraímos as partes
reais e as partes imaginárias
Professora Rosânia

41. (- 5 + 6i) - (4 - 2i) =
(- 5 - 4) + [6 - (- 2)] i = - 9 + 8i
EXEMPLOS
NA PRATICA TEMOS:
Professora Rosânia

42. Multiplicação
(a + bi) . (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
Multiplicamos números
complexos como multiplicamos
binômios, usando i
2
= - 1
Exemplos
6 – 8i + 9i – 12i
2

6 + i – 12 . (-1) =
= 6 + i + 12
= 18 + i
Professora Rosânia

43. O conjugado e a divisão
Professora Rosânia
O conjugado de um número complexo a
+ bi é a - bi, e o conjugado de a - bi é a
+ bi.
Os números complexos a + bi e a - bi são
chamados complexos conjugados .
Para um número complexo z, seu
conjugado é representado com ; então,
se z = a + bi escrevemos = a - bi.

44. Dividindo dois números complexos

Para escrevermos o quociente
na forma a + bi:

multiplicamos o numerador e o
denominador pelo conjugado do
denominador
Professora Rosânia

45. Professora Rosânia
Exemplo:

48. BONS ESTUDOS!