Coordenadas Polares

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1. Coordenadas Polares Estudiante: José Mujica

2. ¿Que Es Sistema Polar? El   sistema  de coordenadas  polares  es un  sistema  coordenado bidimensional en el cual cada punto (posición) en el plano esta determinado por un ángulo y una distancia. Este  sistema  es especialmente útil en situaciones donde la relación entre dos puntos es más fácil de expresar en términos de ángulos y distancias. ¿Como Se Forma? Para formar el sistema de coordenadas polares en el plano , se fija un punto O , llamado polo (u origen), ya a partir de O, se traza un rayo inicial llamado eje polar, como se muestra en la figura. A continuación, a cada punto P en el plano se le asignan coordenadas polares (r, Ѳ ), como sigue:

3. Es Importante Saber Que:   Ѳ es positivo cuando se mide en sentido contrario de las agujas del reloj y negativo cuando se mide en sentido de las manecillas • El ángulo asociado con el punto no es único. • Pueden tener valores r negativos. Algunos ejemplos de coordenadas polares: ¿como trazar coordenadas polares?

4. Diferencia Entre Coordenadas Polares Y Cartesianas Coordenadas Cartesianas Con coordenadas cartesianas señalas un punto diciendo la distancia de lado y la distancia vertical: Coordenadas Polares Con coordenadas polares señalas un punto diciendo la distancia y el ángulo que se forma:

5. Conversión De Polar A Cartesiana De Cartesiana A Polar Si tienes un punto en coordenadas cartesianas ( x,y ) y lo quieres en coordenadas polares ( r,θ ), necesitas resolver un triángulo del que conoces dos lados. Ejemplo: ¿qué es (12,5) en coordenadas polares? Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el lado largo (la hipotenusa): r2 = 122 + 52 r = √ (122 + 52) r = √ (144 + 25) = √ (169) = 13 Usa la función tangente para calcular el ángulo: tan( θ ) = 5 / 12 θ = atan( 5 / 12 ) = 22.6° Así que las fórmulas para convertir coordenadas cartesianas ( x,y ) a polares ( r,θ ) son: r = √ (x2 + y2) θ = atan( y / x ) Si tienes un punto en coordenadas polares (r, θ) y lo quieres en coordenadas cartesianas ( x,y ) necesitas resolver un triángulo del que conoces el lado largo y un ángulo: Ejemplo: ¿qué es (13, 23 °) en coordenadas cartesianas? Usamos la función coseno para x: cos ( 23 °) = x / 13 Cambiamos de orden y resolvemos: x = 13 × cos ( 23 °) = 13 × 0.921 = 11.98 Usamos la función seno para y: sin( 23 °) = y / 13 Cambiamos de orden y resolvemos: y = 13 × sin( 23 °) = 13 × 0.391 = 5.08 Así que las fórmulas para convertir coordenadas polares ( r,θ ) a cartesianas ( x,y ) son: x = r × cos ( θ ) y = r × sin( θ )

6. Trazo de graficas en coordenadas polares Dibujar la grafica de r= 2 cos 3 Ѳ NOTA: una forma de bosquejar la grafica de r= 2 cos 3 Ѳ a mano, es elaborar una tabla de valores

7. Graficas Especiales Varios tipos importantes de gráficas tienen ecuaciones que son más simples en forma polar que en forma cartesiana. Por ejemplo, la ecuación polar de un círculo de radio a y centro en el origen es simplemente r= a .

8. Graficas Especiales

9. Graficas Especiales

10. Graficas Especiales

11. PLANO r Ѳ

12. Áreas En Coordenadas Polares Obsérvese que el área de un sector circular de radio r está dada por siempre que esté dado en radianes.   Considérese la función dada por r=f donde es f continua y no negativa en el intervalo dado por . La región limitada por la gráfica f de y las rectas radiales.   A continuación aproximamos el área de la región por la suma de las mismas de los n sectores, Luego de haber notado el teorema anterior, podemos decir que usar la fórmula para hallar el área de una región limitada por la gráfica de una función continua no negativa. Sin embargo, no es necesariamente válida si f toma valores positivos y negativos en el intervalo [ a , b ]

13. Fin.