Cours nombres reels

Cours nombres reels

1. Exo7
Les nombres réels
1 L'ensemble des nombres rationnels Q 2
1.1 Écriture décimale
1.2
p
2 n'est pas un nombre rationnel
1.3 Mini-exercices
2 Propriétés deR 4
2.1 Addition et multiplication
2.2 Ordre surR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Propriété d'Archimède
2.4 Valeur absolue
2.5 Mini-exercices
3 Densité deQdansR 7
3.1 Intervalle
3.2 Densité
3.3 Mini-exercices
4 Borne supérieure 9
4.1 Maximum, minimum
4.2 Majorants, minorants
4.3 Borne supérieure, borne inférieure
4.4 Mini-exercices
Fiche d'exercicesPropriétés deR
Motivation
Voici une introduction, non seulement à ce chapitre sur les nombres réels, mais aussi aux premiers
chapitres de ce cours d'analyse.
Aux temps des babyloniens (en Mésopotamie de 3000 à 600 avant J.C.) le système de numération était
en base 60, c'est-à-dire que tous les nombres étaient exprimés sous la formeaÅ
b
60
Å
c
60
2Å ¢¢¢. On peut
imaginer que pour les applications pratiques c'était largement sufsant (par exemple estimer la surface
d'un champ, le diviser en deux parties égales, calculer le rendement par unité de surface,...). En langage
moderne cela correspond à compter uniquement avec des nombres rationnelsQ.
Les pythagoriciens (vers 500 avant J.C. en Grèce) montrent que
p
2 n'entre pas ce cadre là. C'est-à-dire
que
p
2 ne peut s'écrire sous la forme
p
q
avecpetqdeux entiers. C'est un double saut conceptuel : d'une
part concevoir que
p
2 est de nature différente mais surtout d'en donner une démonstration.
Le l rouge de ce cours va être deux exemples très simples : les nombres
p
10 et 1,10
1/12
. Le premier
représente par exemple la diagonale d'un rectangle de base 3 et de hauteur 1 ; le second correspond
par exemple au taux d'intérêt mensuel d'un taux annuel de 10%. Dans ce premier chapitre vous allez
apprendre à montrer que
p
10 n'est pas un nombre rationnel mais aussi à encadrer
p
10 et 1,10
1/12
entre
deux entiers consécutifs.
1

2. Pour pouvoir calculer des décimales après la virgule, voire des centaines de décimales, nous aurons
besoin d'outils beaucoup plus sophistiqués :
–une construction solide des nombres réels,
–l'étude des suites et de leur limites,
–l'étude des fonctions continues et des fonctions dérivables.
Ces trois points sont liés et permettent de répondre à notre problème, car par exemple nous verrons en
étudiant la fonctionf(x)Æx
2
¡10 que la suite des rationnels (un) dénie paru0Æ3 etunÅ1Æ
1
2
³
unÅ
10
un
´
tend très vite vers
p
10. Cela nous permettra de calculer des centaines de décimales de
p
10 et de certier
quelles sont exactes :
p
10Æ3,1622776601683793319988935444327185337195551393252168 ...
1 Q
1.1
Par dénition, l'ensemble desnombres rationnelsest
QÆ
½
p
q
jp2Z,q2N
¤
¾
.
On a notéN
¤
ÆN\{0}.
Par exemple :
2
5
;
¡7
10
;
3
6
Æ
1
2
.
Les nombres décimaux, c'est-à-dire les nombres de la forme
a
10
n, aveca2Zetn2N, fournissent d'autres
exemples :
1,234Æ1234£10
¡3
Æ
1234
1000
0,00345Æ345£10
¡5
Æ
345
100000
.
Proposition 1.
Un nombre est rationnel si et seulement s'il admet une écriture décimale périodique ou nie.
Par exemple :
3
5
Æ0,6
1
3
Æ0,3333...1,179325
Ã!
325
Ã!
325
Ã!
...
Nous n'allons pas donner la démonstration mais le sens direct (Æ)) repose sur la division eucli-
dienne. Pour la réciproque ((Æ) voyons comment cela marche sur un exemple : Montrons quexÆ
12,342021
á!
2021
á!
...est un rationnel.
L'idée est d'abord de faire apparaître la partie périodique juste après la virgule. Ici la période commence
deux chiffres après la virgule donc on multiplie par 100 :
100xÆ1234,2021
á!
2021
á!
... (1)
Maintenant on va décaler tout vers la gauche de la longueur d'une période, donc ici on multiplie par
encore par 10000 pour décaler de 4 chiffres :
10000£100xÆ12342021,2021
á!
... (2)
Les parties après la virgule des deux lignes (1) et (2) sont les mêmes, donc si on les soustrait en faisant
(2)-(1) alors les parties décimales s'annulent :
10000£100x¡100xÆ12342021¡1234
donc 999900xÆ12340787 donc
xÆ
12340787
999900
.
Et donc bien sûrx2Q.
2

3. 1.2
p
2n'est pas un nombre rationnel
Il existe des nombres qui ne sont pas rationnels, lesirrationnels. Les nombres irrationnels appa-
raissent naturellement dans les gures géométriques : par exemple la diagonale d'un carré de côté 1 est
le nombre irrationnel
p
2 ; la circonférence d'un cercle de rayon
1
2
est¼qui est également un nombre
irrationnel. EnneÆexp(1) est aussi irrationnel.
1
p
2²
1
2
¼
Nous allons prouver que
p
2 n'est pas un nombre rationnel.
Proposition 2.
p
2ÝQ
Démonstration.Par l'absurde supposons que
p
2 soit un nombre rationnel. Alors il existe des entiers
p2Zetq2N
¤
tels que
p
2Æ
p
q
, de plus –ce sera important pour la suite– on suppose quepetqsont
premiers entre eux (c'est-à-dire que la fraction
p
q
est sous une écriture irréductible).
En élevant au carré, l'égalité
p
2Æ
p
q
devient 2q
2
Æp
2
. Cette dernière égalité est une égalité d'entiers.
L'entier de gauche est pair, donc on en déduit quep
2
est pair ; en terme de divisibilité 2 divisep
2
.
Mais si 2 divisep
2
alors 2 divisep(cela se prouve par facilement l'absurde). Donc il existe un entier
p
0
2Ztel quepÆ2p
0
.
Repartons de l'égalité 2q
2
Æp
2
et remplaçonsppar 2p
0
. Cela donne 2q
2
Æ4p
02
. Doncq
2
Æ2p
02
. Mainte-
nant cela entraîne que 2 diviseq
2
et comme avant alors 2 diviseq.
Nous avons prouvé que 2 divise à la foispetq. Cela rentre en contradiction avec le fait quepetqsont
premiers entre eux. Notre hypothèse de départ est donc fausse :
p
2 n'est pas un nombre rationnel.
Comme ce résultat est important en voici une deuxième démonstration, assez différente mais toujours
par l'absurde.
Autre démonstration.Par l'absurde, supposons
p
2Æ
p
q
, doncq
p
2Æp2N. Considérons l'ensemble
NÆ
©
n2N
¤
jn
p
22N
ª
.
Cet ensemble n'est pas vide car on vient de voir queq
p
2Æp2Ndoncq2N. AinsiNest une partie
non vide deN, elle admet donc un plus petit élémentn0ÆminN.
Posons
n1Æn0
p
2¡n0Æn0(
p
2¡1),
il découle de cette dernière égalité et de 1Ç
p
2Ç2 que 0Çn1Çn0.
De plusn1
p
2Æ(n0
p
2¡n0)
p
2Æ2n0¡n0
p
22N. Doncn12Netn1Çn0: on vient de trouver un élément
n1deNstrictement plus petit quen0qui était le minimum. C'est une contradiction.
Notre hypothèse de départ est fausse, donc
p
2ÝQ.
Exercice 1
Montrer que
p
10ÝQ.
3

4. On représente souvent les nombres réels sur une « droite numérique » :
¡3¡2¡1012345¼e
p
2
Il est bon de connaître les premières décimales de certains réels
p
2'1,4142...¼'3,14159265...
e'2,718...
Il est souvent pratique de rajouter les deux extrémités à la droite numérique.
Dénition 1.
RÆR[{¡1,1}
1.3
1.
nels est un rationnel. Montrer que l'inverse d'un rationnel non nul est un rationnel. Qu'en est-il
pour les irrationnels ?
2. ,1212 ; 0,1212
Ã!
...; 78,33456456
Ã!
...
3.
p
2ÝQ, montrer 2¡3
p
2ÝQ, 1¡
1
p
2
ÝQ.
4. Dl'ensemble des nombres de la forme
a
2
naveca2Zetn2N. Montrer que 3ÝD. Trouver
x2Dtel que 1234ÇxÇ1234,001.
5.
p
2
p
3
ÝQ.
6. ÝQ(log2 est le logarithme décimal de 2 : c'est le nombre réel tel que 10
log 2
Æ2).
2 R
2.1
Ce sont les propriétés que vous avez toujours pratiquées. Poura,b,c2Ron a :
aÅbÆbÅa a £bÆb£a
0ÅaÆa 1£aÆasia6Æ0
aÅbÆ0()aÆ ¡b ab Æ1()aÆ
1
b
(aÅb)ÅcÆaÅ(bÅc) ( a£b)£cÆa£(b£c)
a£(bÅc)Æa£bÅa£c
a£bÆ0()(aÆ0 oubÆ0)
On résume toutes ces propriétés en disant que :
Propriété(R1).(R,Å,£) est uncorps commutatif.
2.2 R
Nous allons voir que les réels sont ordonnés. La notion d'ordre est générale et nous allons dénir cette
notion sur un ensemble quelconque. Cependant gardez à l'esprit que pour nousEÆRetRÆÉ.
Dénition 2.SoitEun ensemble.
1. relationRsurEest un sous-ensemble de l'ensemble produitE£E. Pour (x,y)2E£E, on
dit quexest en relation avecyet on notexRypour dire que (x,y)2R.
2. Rest unerelation d'ordresi
–Restréexive: pour toutx2E,xRx,
–Restantisymétrique: pour toutx,y2E,(xRyetyRx)Æ)xÆy,
4

5. –Resttransitive: pour toutx,y,z2E,(xRyetyRz)Æ)xRz.
Dénition 3.Une relation d'ordreRsur un ensembleEesttotalesi pour toutx,y2Eon axRyouyRx.
On dit aussi que (E,R) est unensemble totalement ordonné.
Propriété(R2).La relationÉsurRest une relation d'ordre, et de plus, elle est totale.
Nous avons donc :
–pour toutx2R,xÉx,
–pour toutx,y2R, sixÉyetyÉxalorsxÆy,
–pour toutx,y,z2RsixÉyetyÉzalorsxÉz.
Remarque.Pour (x,y)2R
2
on a par dénition :
xÉy()y¡x2RÅ
xÇy()(xÉyetx6Æy).
Les opérations deRsont compatibles avec la relation d'ordreÉau sens suivant, pour des réelsa,b,c,d:
(aÉbetcÉd)Æ)aÅcÉbÅd
(aÉbetcÊ0)Æ)a£cÉb£c
(aÉbetcÉ0)Æ)a£cÊb£c.
On dénit le maximum de deux réelsaetbpar :
max(a,b)Æ
(
asiaÊb
bsibÈa.
Exercice 2
Comment dénir max(a,b,c), max(a1,a2,...,an) ? Et min(a,b) ?
2.3
Propriété(R3, Propriété d'Archimède).Restarchimédien, c'est-à-dire :
8x2R9n2NnÈx
« Pour tout réelx, il existe un entier naturelnstrictement plus grand quex. »
Cette propriété peut sembler évidente, elle est pourtant essentielle puisque elle permet de dénir la
partie entièred'un nombre réel :
Proposition 3.
Soitx2R, ilexisteununiqueentier relatif, lapartie entièrenotéeE(x), tel que :
E(x)ÉxÇE(x)Å1
Exemple 1. E(2,853)Æ2,E(¼)Æ3,E(¡3,5)Æ ¡4.
–E(x)Æ3()3ÉxÇ4.
Remarque. On note aussiE(x)Æ[x].
–Voici le graphe de la fonction partie entièrex7!E(x) :
5

6. xy101yÆE(x)2,853E(2,853)Æ2
Pour la démonstration de la proposition E(x)
existe et ensuite qu'il est unique.
Démonstration.Existence.SupposonsxÊ0, par la propriété d'Archimède (PropriétéR3) il existen2N
tel quenÈx. L'ensembleKÆ
©
k2NjkÉx
ª
est donc ni (car pour toutkdansK, on akÇn). Il
admet donc un plus grand élémentkmaxÆmaxK. On alorskmaxÉxcarkmax2K, etkmaxÅ1Èxcar
kmaxÅ1ÝK. DonckmaxÉxÇkmaxÅ1 et on prend doncE(x)Ækmax.
Unicité.Siket`sont deux entiers relatifs vériantkÉxÇkÅ1 et`ÉxÇ`Å1, on a donckÉxÇ`Å1,
donc par transitivitékÇ`Å1. En échangeant les rôles de`etk, on a aussi`ÇkÅ1. On en conclut que
`¡1ÇkÇ`Å1, mais il n'y a qu'un seul entier compris strictement entre`¡1 et`Å1, c'est`. Ainsi
kÆ`.
Exemple 2.Encadrons
p
10 et 1,1
1/12
par deux entiers consécutifs.
–Nous savons 3
2
Æ9Ç10 donc 3Æ
p
3
2
Ç
p
10 (la fonction racine carrée est croissante). De même
4
2
Æ16È10 donc 4Æ
p
4
2
È
p
10. Conclusion : 3Ç
p
10Ç4 ce qui impliqueE
¡p
10
¢
Æ3.
–On procède sur le même principe. 1
12
Ç1,10Ç2
12
donc en passant à la racine 12-ième (c'est-à-dire à
la puissance
1
12
) on obtient : 1Ç1,1
1/12
Ç2 et doncE
¡
1,1
1/12
¢
Æ1.
2.4
Pour un nombre réelx, on dénit lavaleur absoluedexpar :
jxj Æ
(
x sixÊ0
¡xsixÇ0
Voici le graphe de la fonctionx7! jxj:
xy101yÆ jxj
Proposition 4.1.jxj Ê0 ;j ¡xj Æ jxj;jxj È0()x6Æ0
6

7. 2.
p
x
2
Æ jxj
3.jxyj Æ jxjjyj
4.Inégalité triangulairejxÅyj É jxj Å jyj
5.Seconde inégalité triangulaire
¯
¯
jxj ¡ jyj
¯
¯
É jx¡yj
Démonstration des inégalités triangulaires.–¡jxj ÉxÉ jxjet¡jyj ÉyÉ jyj. En additionnant¡(jxj Å jyj)É
xÅyÉ jxj Å jyj, doncjxÅyj É jxj Å jyj.
–PuisquexÆ(x¡y)Åy, on a d'après la première inégalité :jxj Æ
¯
¯
(x¡y)Åy
¯
¯
ÆÉ jx¡yj Å jyj. Donc
jxj¡jyj É jx¡yj, et en intervertissant les rôles dexety, on a aussijyj¡jxj É jy¡xj. Commejy¡xj Æ jx¡yj
on a donc
¯
¯
jxj ¡ jyj
¯
¯
É jx¡yj.
Sur la droite numérique,jx¡yjreprésente la distance entre les réelsxety; en particulierjxjreprésente
la distance entre les réelsxet 0.
0xyjxjjx¡yjjjj
De plus on a :
–jx¡aj Çr()a¡rÇxÇaÅr.
–Ou encore comme on le verra bientôtjx¡aj Çr()x2]a¡r,aÅr[.
hi
aÅra¡raj//////////////
Exercice 3
Soita2R\{0}etx2Rtel quejx¡aj Ç jaj. Montrer que :
1.x6Æ0.
2.xest du signe dea.
2.5
1. P(R) des parties deRde la relationRdénie parARBsiA½B. Montrer
qu'il s'agit d'une relation d'ordre. Est-elle totale ?
2. x,ydeux réels. Montrer quejxj Ê
¯
¯
jxÅyj ¡ jyj
¯
¯
.
3. x1,...,xndes réels. Montrer quejx1Å¢¢¢Åxnj É jx1jÅ¢¢¢Åjxnj. Dans quel cas a-t-on égalité ?
4. x,yÈ0 des réels. ComparerE(xÅy) avecE(x)ÅE(y). ComparerE(x£y) etE(x)£E(y).
5. xÈ0 un réel. Encadrer
E(x)
x
. Quelle est la limite de
E(x)
x
lorsquex! Å1?
6. {x}Æx¡E(x) lapartie fractionnairedex, de sorte quexÆE(x)Å{x}. Représenter les
graphes des fonctionsx7!E(x),x7!{x},x7!E(x)¡{x}.
3 QdansR
3.1
Dénition 4.Unintervalle deRest un sous-ensembleIdeRvériant la propriété :
8a,b2I8x2R(aÉxÉbÆ)x2I)
7

8. Remarque. Par dénitionIÆ ;est un intervalle.
–IÆRest aussi un intervalle.
Dénition 5.Unintervalle ouvertest un sous-ensemble deRde la forme ]a,b[Æ
©
x2RjaÇxÇb
ª
, où
aetbsont des éléments deR.
Même si cela semble évident il faut justier qu'un intervalle ouvert est un intervalle ( !). En effet soient
a
0
,b
0
des éléments de ]a,b[ etx2Rtel quea
0
ÉxÉb
0
. Alors on aaÇa
0
ÉxÉb
0
Çb, doncx2]a,b[.
La notion de voisinage sera utile pour les limites.
Dénition 6.Soitaun réel,V½Run sous-ensemble. On dit queVest unvoisinagedeas'il existe un
intervalle ouvertItel quea2IetI½V.
[][][]aIjVV
3.2
Théorème 1.
1.QestdensedansR: tout intervalle ouvert (non vide) deRcontient une innité de rationnels.
2.R\Qest dense dansR: tout intervalle ouvert (non vide) deRcontient une innité d'irrationnels.
Démonstration.On commence par remarquer que tout intervalle ouvert non vide deRcontient un in-
tervalle du type ]a,b[. On peut donc supposer queIÆ]a,b[ par la suite.
1.Tout intervalle contient un rationnel.
On commence par montrer l'afrmation :
8a,b2R(aÇbÆ) 9r2QjaÇrÇb) (3)
Donnons d'abord l'idée de la preuve. Trouver un tel rationnelrÆ
p
q
, avecp2Zetq2N
¤
, revient
à trouver de tels entierspetqvériantqaÇpÇqb. Cela revient à trouver unq2N
¤
tel que
l'intervalle ouvert ]qa,qb[ contienne un entierp. Il suft pour cela que la longueurqb¡qaÆ
q(b¡a) de l'intervalle dépasse strictement 1, ce qui équivaut àqÈ
1
b¡a
.
Passons à la rédaction dénitive. D'après la propriété d'Archimède (propriétéR3), il existe un
entierqtel queqÈ
1
b¡a
. Commeb¡aÈ0, on aq2N
¤
. PosonspÆE(aq)Å1. Alorsp¡1ÉaqÇp.
On en déduit d'une partaÇ
p
q
, et d'autre part
p
q
¡
1
q
Éa, donc
p
q
ÉaÅ
1
q
ÇaÅb¡aÆb. Donc
p
q
2]a,b[.
On a montré l'afrmation (3).
2.Tout intervalle contient un irrationnel.
Partant dea,bréels tels queaÇb, on peut appliquer l'implication de l'afrmation (3) au couple
(a¡
p
2,b¡
p
2). On en déduit qu'il existe un rationnelrdans l'intervalle ]a¡
p
2,b¡
p
2[ et par
translationrÅ
p
22]a,b[. OrrÅ
p
2 est irrationnel, car sinon comme les rationnels sont stables
par somme,
p
2Æ ¡rÅrÅ
p
2 serait rationnel, ce qui est faux d'après la proposition. On a donc
montré que siaÇb, l'intervalle ]a,b[ contient aussi un irrationnel.
3.Tout intervalle contient une innité de rationnels et d'irrationnels.
On va déduire de l'existence d'un rationnel et d'un irrationnel dans tout intervalle ]a,b[ le fait
qu'il existe une innité de chaque dans un tel intervalle ouvert. En effet pour un entierNÊ1, on
considère l'ensemble deNsous-intervalles ouverts :
i
a,aÅ
b¡a
N
h
,
i
aÅ
b¡a
N
,aÅ
2(b¡a)
N
h
, ...
i
aÅ
(N¡1)(b¡a)
N
,b
h
.
Chaque sous-intervalle contient un rationnel et un irrationnel, donc ]a,b[ contient (au moins)N
rationnels etNirrationnels. Comme ceci est vrai pour tout entierNÊ1, l'intervalle ouvert ]a,b[
contient alors une innité de rationnels et une innité d'irrationnels.
8

9. 3.3
1.
une condition nécessaire et sufsante an que la réunion de deux intervalles soit un intervalle.
2.
a
10
n, avecn2Net
a2Z) est dense dansR.
3. ,001. Ensuite construire un irration-
nel. Sauriez-vous en construire une innité ? Et entre¼et¼Å0,001 ?
4. zÆe
i®
etz
0
Æe
i¯
sont deux nombres complexes de module 1, avec®Ç¯, il existe
un entiern2N
¤
et une racinen-ième de l'unitézÆe
i°
avec®Ç°Ç¯.
4
4.1
Dénition 7.SoitAune partie non vide deR. Un réel®est unplus grand élémentdeAsi :
®2Aet8x2A xÉ®.
S'il existe, le plus grand élément est unique, on le note alors maxA.
Leplus petit élémentdeA, noté minA, s'il existe est le réel®tel que®2Aet8x2A xÊ®.
Le plus grand élément s'appelle aussi lemaximumet le plus petit élément, leminimum. Il faut garder
à l'esprit que le plus grand élément ou le plus petit élément n'existent pas toujours.
Exemple 3. max[a,b]Æb, min[a,b]Æa.
–L'intervalle ]a,b[ n'a pas de plus grand élément, ni de plus petit élément.
–L'intervalle [0,1[ a pour plus petit élément 0 et n'a pas de plus grand élément.
Exemple 4.SoitAÆ
©
1¡
1
n
jn2N
¤
ª
.
NotonsunÆ1¡
1
n
pourn2N
¤
. AlorsAÆ
©
unjn2N
¤
ª
. Voici une représentation graphique deAsur la
droite numérique :
0Æu1
1
2
Æu21u3u4u5
1.An'a pas de plus grand élément : Supposons qu'il existe un plus grand élément®ÆmaxA. On
aurait alorsunÉ®, pour toutun. Ainsi 1¡
1
n
É®donc®Ê1¡
1
n
. À la limite lorsquen! Å1
cela implique®Ê1. Comme®est le plus grand élément deAalors®2A. Donc il existen0tel
que®Æun0
. Mais alors®Æ1¡
1
n0
Ç1. Ce qui est en contradiction avec®Ê1. DoncAn'a pas de
maximum.
2. AÆ0 : Il y a deux choses à vérier tout d'abord pournÆ1,u1Æ0 donc 02A. Ensuite pour
toutnÊ1,unÊ0. Ainsi minAÆ0.
4.2
Dénition 8.SoitAune partie non vide deR. Un réelMest unmajorantdeAsi8x2A xÉM.
Un réelmest unminorantdeAsi8x2A xÊm.
Exemple 5. 3 est un majorant de ]0,2[ ;
–¡7,¡¼,0 sont des minorants de ]0,Å1[ mais il n'y a pas de majorant.
Si un majorant (resp. un minorant) deAexiste on dit queAestmajorée(resp.minorée).
Comme pour le minimum et maximum il n'existe pas toujours de majorant ni de minorant, en plus on
n'a pas l'unicité.
Exemple 6.SoitAÆ[0,1[.
9

10. [0[1Aminorantsmajorants
1. Asont exactement les éléments de [1,Å1[,
2. Asont exactement les éléments de ]¡ 1,0].
4.3
Dénition 9.SoitAune partie non vide deRet®un réel.
1.®est laborne supérieuredeAsi®est un majorant deAet si c'est le plus petit des majorants.
S'il existe on le note supA.
2.®est laborne inférieuredeAsi®est un minorant deAet si c'est le plus grand des minorants.
S'il existe on le note infA.
Exemple 7. sup[a,b]Æb,
–inf[a,b]Æa,
–sup]a,b[Æb,
–]0,Å1[ n'admet pas de borne supérieure,
–inf]0,Å1[Æ0.
Exemple 8.SoitAÆ]0,1].
1. AÆ1 : en effet les majorants deAsont les éléments de [1,Å1[. Donc le plus petit des majo-
rants est 1.
2. AÆ0 : les minorants sont les éléments de ]¡ 1,0] donc le plus grand des minorants est 0.
Théorème 2 (R4).
Toute partie deRnon vide et majorée admet une borne supérieure.
De la même façon : Toute partie deRnon vide et minorée admet une borne inférieure.
Remarque.C'est tout l'intérêt de la borne supérieure par rapport à la notion de plus grand élément,
dès qu'une partie est bornée elle admet toujours une borne supérieure et une borne inférieure. Ce qui
n'est pas le cas pour le plus grand ou plus petit élément. Gardez à l'esprit l'exempleAÆ[0,1[.
Proposition 5 (Caractérisation de la borne supérieure).
SoitAune partie non vide et majorée deR. La borne supérieure deAest l'unique réel supAtel que
(i) x2A, alorsxÉsupA,
(ii) yÇsupA, il existex2Atel queyÇx.
Exemple 9.Reprenons l'exemple de la partieAÆ
©
1¡
1
n
jn2N
¤
ª
.
0Æu1
1
2
Æu21u3u4u5
1. AÆ0. Lorsque le plus petit élément d'une partie existe alors la borne
inférieure vaut ce plus petit élément : donc infAÆminAÆ0.
2.Première méthode poursupA.Montrons que supAÆ1 en utilisant la dénition de la borne su-
périeure. SoitMun majorant deAalorsMÊ1¡
1
n
, pour toutnÊ1. Donc à la limiteMÊ1.
Réciproquement siMÊ1 alorsMest un majorant deA. Donc les majorants sont les éléments de
[1,Å1[. Ainsi le plus petit des majorant est 1 et donc supAÆ1.
3.Deuxième méthode poursupA.Montrons que supAÆ1 en utilisant la caractérisation de la borne
supérieure.
(i) x2A, alorsxÉ1 (1 est bien un majorant deA) ;
10

11. (ii) yÇ1, il existex2Atel queyÇx: en effet prenonsnsufsamment grand tel que
0Ç
1
n
Ç1¡y. Alors on ayÇ1¡
1
n
Ç1. DoncxÆ1¡
1
n
2Aconvient.
Par la caractérisation de la borne supérieure, supAÆ1.
Démonstration.1. Avérie ces deux propriétés. La borne supérieure est en par-
ticulier un majorant, donc vérie la première propriété. Pour la seconde, xonsyÇsupA. Comme
supAest le plus petit des majorants deAalorsyn'est pas un majorant deA. Donc il existex2A
tel queyÇx. Autrement dit supAvérie également la seconde propriété.
2. ®vérie ces deux propriétés, il s'agit de supA. La
première propriété montre que®est un majorant deA. Supposons par l'absurde que®n'est pas
le plus petit des majorants. Il existe donc un autre majorantydeAvériantyÇx. La deuxième
propriété montre l'existence d'un élémentxdeAtel queyÇx, ce qui contredit le fait queyest un
majorant deA. Cette contradiction montre donc que®est bien le plus petit des majorants deA, à
savoir supA.
Remarques historiques
–Les propriétésR1,R2,R3 et le théorèmeR4 sont intrinsèques à la construction deR(que nous admet-
tons).
–Il y a un grand saut entreQetR: on peut donner un sens précis à l'assertion « il y a beaucoup plus
de nombres irrationnels que de nombres rationnels », bien que ces deux ensembles soient innis, et
même denses dansR.
D'autre part, la construction du corps des réelsRest beaucoup plus récente que celle deQdans
l'histoire des mathématiques.
–La construction deRdevient une nécessité après l'introduction du calcul innitésimal (Newton et
Leibniz vers 1670). Jusqu'alors l'existence d'une borne supérieure était considérée comme évidente et
souvent confondue avec le plus grand élément.
–Ce n'est pourtant que beaucoup plus tard, dans les années 1860-1870 (donc assez récemment dans
l'histoire des mathématiques) que deux constructions complètes deRsont données :
–Les coupures de Dedekind :Cest une coupure siC½Qet si8r2Con ar
0
ÇrÆ)r
0
2C.
–Le suites de Cauchy : ce sont les suites (un)n2Nvériant la propriété
8"È09N2Nj(mÊN,nÊN)Æ) jum¡unj É".
Les réels sont l'ensemble des suites de Cauchy (où l'on identie deux suites de Cauchy dont la
différence tend vers 0).
4.4
1. Aune partie deR. On note¡AÆ{¡xjx2A}. Montrer que minAÆ ¡max(¡A), c'est-à-dire que
si l'une des deux quantités a un sens, l'autre aussi, et on a égalité.
2. Aune partie deR. Montrer queAadmet un plus petit élément si et seulement siAadmet
une borne inférieure qui appartient àA.
3.
4. AÆ
©
(¡1)
nn
nÅ1
jn2N
ª
. Déterminer, s'ils existent, le plus grand élément, le plus petit élément,
les majorants, les minorants, la borne supérieure et la borne inférieure.
5. AÆ
©
1
1Åx
jx2[0,Å1[
ª
.
Auteurs
Arnaud Bodin
Niels Borne
Laura Desideri
11