Criterio del Cociente.pdf

Explicación del criterio del cociente para series infinitas

1. CRITERIO DE LACOCIENTE O DE LARAZ´ON PARA
SERIESINFINITAS

2. CONTENIDO
1
INTRODUCCI´ON
2
CRITERIO DE LARAZ´ON

3. IN T RO D U C C I´O N
Introducci´on
En el estudio de las series infinitas, es importante determinar si
una serie converge o diverge. Una herramienta´util para hacer esto
es elCriterio del Cociente, tambi´en conocido como elCriterio
de la Raz´on.
Este criterio nos permite analizar el comportamiento de una serie
bas´andonos en el cociente entre t´erminos sucesivos.

4. CR I T E R I O D E L ARA Z´O N
CriteriodelaRaz´on
Dada la serie
∞
∑
n=1
an
1
si l´ım
n→∞




an+1
an




=L<1, entonces la
∞
∑
n=1
anes Convergente.
2
si l´ım
n→∞




an+1
an




=L>1, entonces la
∞
∑
n=1
anes Divergente.
3
si l´ım
n→∞




an+1
an




=1, el criterio del cociente no es concluyente.

5. CR I T E R I O D E L ARA Z´O N
Ejemplo
Dada la serie
∞
∑
n=1
ȷ
n
3
3
n
ff
Determine si es o no Convergente

6. CR I T E R I O D E L ARA Z´O N
Soluci´on
l´ım
n→∞




an+1
an




=l´ım
n→∞






(−1)
n+1
(n+1)
3
3
n+1
(−1)
n
n
3
3
n






=l´ım
n→∞
ȷ
(n+1)
3
3
n+1
ff
•
ȷ
3
n
n
3
ff
=l´ım
n→∞
1
3
ȷ
n+1
n
ff
3
=
1
3
<1

7. CR I T E R I O D E L ARA Z´O N
Luego la serie
∞
∑
n=1
ȷ
n
3
3
n
ff
es Convergente

8. CR I T E R I O D E L ARA Z´O N
Ejemplo
Dada la serie
∞
∑
n=1
ȷ
n
n
n!
ff
Determine si es o no Convergente

9. CR I T E R I O D E L ARA Z´O N
Soluci´on
l´ım
n→∞




an+1
an




=l´ım
n→∞






(n+1)
n+1
(n+1)!
n
n
n!






=l´ım
n→∞
ȷ
(n+1)
n+1
(n+1)!
ff
•
ȷ
n!
n
n
ff
=l´ım
n→∞
ȷ
n+1
n
ff
n
=l´ım
n→∞
ȷ
1+
1
n
ff
n
=e>1

10. CR I T E R I O D E L ARA Z´O N
Luego la serie
∞
∑
n=1
ȷ
n
n
n!
ff
es Divergente