DCI_I0N3_PPT_Se_XAPZUJ.pdf- APUNTES 2024

APUNTES MATEMÁTICOS

1. Sesión 2: La recta y su ecuación. Ángulo y pendiente de una recta
MATEMÁTICA 2

2. ¡Fácil!
Inicio
¿Alguna duda de la sesión anterior?
LA RECTA EN R2: ECUACIONES DE LA RECTA
¿Recuerdas cómo se determina las
coordenadas del punto medio entre
estos puntos �−8,4y �(6,−
1
3
)?

3. LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante determina la ecuación de una
recta, a partir de dos puntos o la pendiente de la recta.

4. ¿Qué tanto conoces de la recta?
LA RECTA EN R2: ECUACIONES DE LA RECTA
¿Cómo
graficaríasuna
rectaenelplano
cartesiano?
¿Puedes mencionar
algunasecuacionesde
larecta?

5. Utilidad
¿Para qué me sirven?
Sirveparadeterminar,representarycalcularlaecuacióndeunarectareconociendosus
principalescaracterísticasynospermiteresolverdiferentessituacionesdelavidareal.
Podemos determinar las alturas de
diferentes objetos en referencias a
otras y sin necesidad de medirlas.
Se puede encontrar la ubicación de
un punto y calcular las distancias
entre diferentes puntos de un mapa.
LA RECTA EN R2: ECUACIONES DE LA RECTA
Sepuedeconstruircubiertasparaviviendascon
undeterminadogradodeinclinación.Los
materialesquelaconstituyenysuforma
obedecealasnecesidadesyalmedioambiente.

6. Datos/Observaciones
LA
RECTA
ECUACIONES
DE LA RECTA

7. Transformación
Altrazarunarectahorizontalacualquierrecta??????;seformaun
ángulo??????;elcualesllamadoángulodeinclinación.La
tangentededichoánguloseconocecomolapendientedela
recta.
LA RECTA EN R2: ECUACIONES DE LA RECTA
??????=??????????????????(??????)
Dados��
1,�
1y��
2,�
2,puntoscualesquieradeunarecta,
lapendiente??????sedeterminamediantelasiguienteformula:
??????=
�
�−�
�
�
�−�
�
??????=????????????????????????????????????(??????)
�??????��
�??????��
1Pendiente y ángulo de inclinación de una recta

8. LA RECTA EN R2: ECUACIONES DE LA RECTA
Determien la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta
que pasa por las coordenadas �−4,7y �(6,−5)
Ejemplo.
??????=
�
�−�
�
�
�−�
�
SOLUCIÓN:
??????=
−5−7
6−(−4)
??????=−
12
10
??????=−
6
5
Luego, como:
tan??????=??????
??????=arctan??????
??????=arctan−
6
5
??????=−50.19
°

9. Para hallar la ecuación de una recta, es necesario conocer un punto de paso
??????
��
�,�
�y la pendiente ??????de la recta.
LA RECTA EN R2: ECUACIONES DE LA RECTA
2La Recta
??????=
�
�−�
�
�
�−�
�

10. Ecuación Punto –Pendiente
LA RECTA EN R2: ECUACIONES DE LA RECTA
Ecuación General
Resulta de resolver la ecuación anterior.
3Formas de la ecuación de la recta
La ecuación de la recta ??????que pasa por el punto �
0�
0,�
0, cuya pendiente es ??????,
está definida por:
La ecuación punto
–pendiente,
también es llamada
Ecuación Ordinaria
de la recta
??????∶��+��+�=0
??????∶�−�
0=??????�−�
0

11. Ecuación Principal
LA RECTA EN R2: ECUACIONES DE LA RECTA
Ecuación Simétrica
Laecuacióndelarecta??????quecortaalosejescoordenadosenlospuntos�(�,0)y
�(0,�),estádefinidapor:
3Formas de la ecuación de la recta
Laecuacióndelarecta??????sedenominaprincipalcuandolavariableyesta
despejadacompletamenteyestádefinidapor:
??????∶�=??????�+�
??????∶
�
�
+
�
�
=1

12. GEOMETRÍA ANALÍTICA: LA RECTA EN R2
Ejemplo .
SOLUCIÓN:
Determinelaecuacióngeneraldelarectaquepasaporlos
puntos�(−1,2)y�(7,−4).Asítambién,hallelospuntosde
intersecciónconlosejescoordenados.
�−�
�=??????�−�
�
??????=
�
�−�
�
�
�−�
�
??????=
−4−2
7−−1
??????=
−6
8
=−
3
4
Ecuación punto -pendientePunto de paso:
�
0,�
0=−1,2
Pendiente:
�−2=−
3
4
�+1
4�−8=−3�−3
??????:3�+4�−5=0
Intersección con los ejes:
�=0⇒�=
5
4
�=0⇒�=
5
3

13. LA RECTA EN R2: PLANO CARTESIANO
ANÁLISIS DEL PUNTO DE PASO Y LA PENDIENTE EN
LA APLICACIÓN DESMOS
❑Dados �(−4,−5)y �(3,4), puntos en el plano cartesiano. Calcular el valor de la pendiente
de la recta que pasa por estos puntos
❑Ingresar al recurso Desmos: https://www.desmos.com/calculator/87c60w3egy
❑Con los deslizadores, ingresar las coordenadas de �y �
Responde:
❑¿Cuál es el valor de la pendiente de la recta que pasa por �y �?
❑¿Qué ocurre con la pendiente si en el punto �deslizamos la ordenada a 4?
❑¿Qué ocurre con la pendiente si en el punto �deslizamos la ordenada a 5?
❑¿Qué ocurre con la pendiente si consideramos A(3,−5)?
Actividad para la casa:
❑Verifique mediante cálculos algebraicos las respuestas obtenidas.

14. EJERCICIOS EXPLICATIVOS
LA RECTA EN R2: ECUACIONES DE LA RECTA
1.Hallar la ecuación general de la recta que pasa por los puntos �−
3
2
,5;�7,−
1
2
SOLUCIÓN:
??????=
�
�−�
�
�
�−�
�
??????=
−
1
2
−5
7+
3
2
=
−
11
2
17
2
??????=−
11
17
�−�
�=??????�−�
�
�−5=−
11
17
�+
3
2
17�−85=−11�−
33
2
??????:11�+17�−
137
2
=0
??????:22�+34�−137=0

15. EJERCICIOS EXPLICATIVOS
SOLUCIÓN:
2.Enunpasoadesnivelseobservaquealos3metrosdedesplazamientohorizontalestayatiene0.1mde
profundidadyalos5metrosdedesplazamientohorizontalestayatiene0.4mdeprofundidad.
a)Determineunaexpresiónqueexpreselaprofundidadenfuncióndeldesplazamientohorizontalsabiendoque
profundidadydesplazamientoserelacionandeformalineal.
LA RECTA EN R2: ECUACIONES DE LA RECTA
�3,−0.1;�(5,−0.4)�)
��,−�.�
�(�,−�.�)
�−�
�=??????�−�
�
�+0.1=−0.15�−3
�+0.1=−0.15�+0.45
�=−0.15�+0.35

16. EJERCICIOS EXPLICATIVOS
SOLUCIÓN:
2.Enunpasoadesnivelseobservaquealos3metrosdedesplazamientohorizontalestayatiene0.1mdeprofundidady
alos5metrosdedesplazamientohorizontalestayatiene0.4mdeprofundidad.
b)Sialos50metrosdedesplazamientohorizontalsehallaunpasopeatonalparacruzarlacalle,¿aquéprofundidadse
hallalapista?
LA RECTA EN R2: ECUACIONES DE LA RECTA
�)
��,−�.�
�(�,−�.�)
De a) tenemos:
Por lo tanto, la pista se encuentra a una
profundidad de 7.15 metros

17. EJERCICIOS EXPLICATIVOS
SOLUCIÓN:
3.Una recta de pendiente ??????=−
3
2
está pasando por los puntos �6,−2;��,�+2;�(�+6,�).
Determine la distancia entre �y �.
GEOMETRÍA ANALÍTICA: LA RECTA EN R2
−
3
2
=
�+2−(−2)
�−6
??????=
�
�−�
�
�
�−�
�
−3�−6=2(�+4)
−3�+18=2�+8
�=2
Para A y B: Para A y C:
−
3
2
=
�−(−2)
�+6−6
??????=
�
�−�
�
�
�−�
�
−3=�+2
−5=�
−
3
2
=
�+2
2
Luego �(2,4)y �8,−5,se tiene:
��,�=8−2
2
+−5−4
2
��,�=6
2
+−9
2
��,�=117
??????�,�=�
�−�
�
�
+�
�−�
�
�

18. APLICACIÓN EN CUBIERTAS DE VIVIENDA
PROYECTOS DE APLICACIÓN
Sedeseaconstruiruntechodeungrupodeviviendasdondeseconsideralascondicionesdelmedioambientedela
zona.Alemplearelconceptodependienteentérminosdeporcentaje,seclasificanlostechosdelasviviendasde
acuerdoconlascaracterísticasdelazona:
❑Silazonaesmuylluviosa,lapendientedelacubiertaesdel50%
❑Silazonaesmoderadamentelluviosa,lapendientedelacubiertaesdel30%
❑Silazonaessinlluvias,lapendientedelacubiertaesdel20%
Sesolicitaindicaracuálzonalecorrespondelacasatipo1queseencuentradescritaenlagráficaysupendienteen
porcentaje

19. RESOLUCIÓN:
LA RECTA EN R2: ECUACIONES DE LA RECTA
Analizandolacasadetipo1,seobservaquelavariaciónenYesde1
puntoylavariaciónenXesde5puntos,porlotanto,supendientees:
??????=
∆�
∆�
=
1
5
Lapendienteexpresadaenporcentajesestádeterminadapor:
??????=
∆�
∆�
×100
??????=
1
5
×100=20%
Portanto,sedeterminaquelacasadetipo1seconstruyeenzonadonde
nohaypresenciadelluvias,pueslapendientedesucubiertaesdel20%

20. INICIAMOS LOS EJERCICIOS RETO
¡Ahora es tu turno!
A desarrollar los ejercicios propuestos
Tiempo : 25 min
Práctica

21. EJERCICIOS RETO
1.Hallarlaecuacióngeneraldelarectaquepasaporlospuntos�−6,2;�7,−12ydeterminelospuntosde
intersecciónalosejescoordenados.
2.Dadaslascoordenadas�−3,0.75��(0.3,8).Determinelaecuacióndelarectaquepasapordichos
puntosyverifiquesilospuntos�(0.99,9.01)y�(2,15)pertenecenadicharecta.
3.ElpreciodeunalaptopCorei7esde4255soles,sisedepreciademaneralineal,detalmaneraque
despuésde3añosdeusosuprecioesde3645,hallarunaexpresiónparaelprecioenfuncióndelosaños
deusoeindiqueelvalordelequipoalcabode7añosdeuso.
4.Sean�−10,−1;�−3,7�??????(2,5)losvérticesdeuntriángulo��??????.Determinelaecuacióndelarectaque
contienealamedianaquesetrazadelvértice�alladoopuesto�??????
5.Setieneelpunto��,�queequidistadelospuntos�−2,3��(6,1);ademáslapendientedelarectaque
unedichopuntoa�(5,10)esde2unidades.Determinelascoordenadasde�.

22. RESPUESTAS
1.??????:14�+13�−54=0;�,0=3.85,0;0,�=(0,4.15)
2.??????:145�−66�+484.5=0
3.�=4255−
610
3
�;��=2831.7
4.??????:5�−�+22=0
5.�(�,�)=(3,6)
Cierre

23. No te quedes con
las dudas
Tiempo : 5 min
Notequedescontusdudas,siquieres
preguntarocomentaralgorespectoalo
quehemostrabajado,esmomentode
hacerloyasípoderayudarte.Sinotienes
preguntaselprofesorrealizaráalgunas

24. Datos/Observaciones
¿Qué hemos aprendido hoy?
1.¿Quénecesitamosparaencontrarlaecuacióndeuna
recta?
2.¿Cuálessonlasecuacionesdelarecta?
3.¿Quéentiendesporpendiente?

25. Datos/Observaciones
FINALMENTE
Excelente tu
participación
Los retos sacan lo mejor de ti.
Esta sesión quedará
grabada para tus
consultas.
??????
PARA TI
1. Realiza los ejercicios
propuestos de esta sesión y
práctica con la tarea .
2. Consulta en el FORO tus
dudas.

26. Datos/Observaciones
La Recta en R2