DEFINICIÓN DE DERIVADA

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

1. PREPARADO POR: ERIC RODRIGUEZ

2. La Derivada
Razón de Cambio
En geometría analítica se define la pendiente m de una recta como la tangente de
un ángulo de inclinación, ó en forma equivalente, como la razón del cambio en la
distancia vertical con respecto a la distancia horizontal.
2 1
2 1
tan
y y y
m
x x x
q
- D
= = =
- D
2 1
y y yD = -
2 1
x x xD = -
x
2
y
2
(x
2
,y
2
)
x
1
y
1
(x
1
,y
1
)
q

3. El problema de la recta tangente
El desarrollo del cálculo surgió de cuatro grandes problemas que ocupaban a los
Matemáticos europeos en el siglo XVII.
1.El problema de la tangente.
2.El problema de la velocidad y la aceleración.
3.El problema de máximos y mínimos.
4.El problema del área.
Cada uno involucra la noción de límite y sirvió para introducir el calculo.
Por su naturaleza geométrica trataremos el problema de la tangente.
Esencialmente, el problema de hallar la recta tangente en un punto P se
reduce a hallar su pendiente.

4. El problema de la recta tangente
Una manera de aproximar la pendiente m
tan
consiste en determinar las pendientes
de rectas secantes que pasen por el punto fijo p y el punto móvil Q.
xD
( ) ( )y f x x f xD = +D -
Sí P y Q son puntos de una
función continua
La razón es la
pendiente de la recta
secante PQ.
( )y f x=
tan
y
m
x
D
=
D
x
( )f x
P
( )f x x+D
x x+D
Q

5. El problema de la recta tangente
sec
( ) ( )y f x x f x
m
x x
D +D -
= =
D D
Supóngase que el punto móvil Q se mueve a lo largo de la curva, hacia el
punto P, la recta PQ gira alrededor de P y por lo general tiende a una
posición límite PT. Esta recta PT es la recta tangente a la curva en P.
p
Q
Por consiguiente
tan
0
tan
0
lim
( ) ( )
lim
x
x
y
m
x
f x x f x
m
x
D ®
D ®
D
=
D
+D -
=
D

6. Ejemplo:Encontrar la pendiente de la recta
tangente a la curva en el punto (1,3).
2
( ) 2f x x x= +
tan
0
( ) ( )
lim
x
f x x f x
m
x
D ®
+D -
=
D
( ) ( )( )
2
2
tan
0
2 2
lim
x
x x x x x x
m
x
D ®
+D + +D - +
=
D
( )
2
2 2
tan
0
2 2 2 2
lim
x
x x x x x x x x
m
x
D ®
+ D + D + + D - -
=
D
( )
2
tan
0
2 2
lim
x
x x x x
m
x
D ®
D + D + D
=
D

7. ( )( )
( )( )
tan
0
tan
0
tan
2 2
lim
lim 2 2
2 2
x
x
x x x
m
x
m x x
m x
D ®
D ®
D + D +
=
D
= + D +
= +
Tomando x = 1, obtenemos que la pendiente tiene un valor de:
tan
tan
2(1) 2
4
m
m
= +
=

8. (1,3)
2
( ) 2f x x x= +
tan
2 2m x= +
tan
4m=

9. La Derivada De Una Función
Consideremos la función: ( )y f x=
Dando a x un incremento la función tomará el incremento tal que:xD yD
( )y y f x x+D = +D
Este incremento tiene por valor:
( ) ( )y f x x f xD = +D -
Dividiendo por y tomando límite, resulta:xD
0 0
( ) ( )
lim lim
x x
y f x x f x
x x
D ® D ®
D +D -
=
D D

10. La Derivada De Una Función
Sí el límite existe, será, en general, una función de x.
llamando a este límite se tendrá:( )f x¢
0
( ) ( )
( ) lim
x
f x x f x
f x
x
D ®
+D -
¢=
D
y a este valor se le llama función derivada de la función primitiva
. Por tanto, la definición rigurosa es:
( )f x¢
LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN ES EL LÍMITE DEL INCREMENTO
DE LA FUNCIÓN ENTRE EL INCREMENTO DE LA VARIBLE CUANDO
ESTE ÚLTIMO TIENDE HACIA CERO.
( )f x

11. Regla para encontrar derivadas
•Sea la función:
•La derivada de esta función es:
=)x(f cx
n
=
dx
df 1-n
cnx

12. Derivadas especiales
•Sea la función:
•La derivada de esta función es:
=)x(f cx
1
=
dx
df 0
cx
c
dx
df
=

13. Derivadas especiales
•Sea la función:
•La derivada de esta función es:
cxf=)(
0=
dx
df

14. Derivada de una suma y
diferencia de funciones
•Sea la función:
•La derivada de la suma o diferencia es:
)()()( xhxgxf ±=
dx
dh
dx
dg
dx
df
±=

15. Derivada de un producto de
funciones
•Si la función que voy a derivar f(x) es el
producto de las funciones g(x) y h(x),
existe una regla para encontrar la
derivada de esta función.
)x(h)x(g)x(f=
dx
dh
xgxh
dx
dg
dx
df
)()(+=

16. Derivadas
•Si la función que voy a derivar f(x) es un
cociente de funciones g(x) y h(x), existe
una regla para encontrar la derivada de
esta función.
)x(h
)x(g
)x(f=
[ ]
2
)(
)(
xh
dx
dh
gxh
dx
dg
dx
df
-
=

17. Derivadas
•Si la función que voy a derivar f(x) es una
h(x), que está elevada a una potencia n,
existe una regla para encontrar la
derivada de esta función.
[ ]
n
xhxf )()(=
[ ] ÷
ø
ö
ç
è
æ
=
-
dx
dh
xhn
dx
df n1
)(

18. Bibliografía
Calculo Diferencial Un Enfoque Moderno;
Toribio Cruz Sánchez, EDIMAT