Demonstração da equação de Bhaskara

Demonstração da Equação de Bhaskara de forma algebrica e geométrica

1. Equac~ao de Bhaskara
Rodrigo Thiago Passos Silva
[email protected]
Este artigo objetiva demonstrar algebrica e geometricamente a Equac~ao de Bhaskara, utilizada para resoluc~ao
de equac~oes do segundo grau.
Denic~ao de equac~ao do segundo grau: Sejama; b; c2R, coma6= 0, chamamos de equac~ao do segundo grau
uma equac~ao da forma
ax
2
+bx+c= 0: (1)
Demonstrac~ao algebrica
A demonstrac~ao utilizara o metodo de \completar quadrados", que consiste em reescrever uma equac~ao do
segundo grau, apresentada na forma da equac~ao (1), no formato (x+r)
2
=q, onder; q2R.
Para isso, relembremos uma importante identidade algebrica, um produto notavel:
(x+r)
2
=x
2
+ 2xr+r
2
: (2)
Em outras palavras, sendoxo primeiro termo ero segundo, dizemos que (x+r)
2
e igual ao quadrado do
primeiro termo, somado ao dobro do produto do primeiro e do segundo termo, somado ao quadrado do segundo
termo.
Assim, partindo da equac~aoax
2
+bx+c= 0, dividamos ambos os lados da igualdade pora
x
2
+
b
a
x+
c
a
= 0: (3)
Agora, isolemos o termo
c
a
do lado direito da equac~ao
x
2
+
b
a
x=
c
a
: (4)
Queremos escrever o lado esquerdo da equac~ao na forma (x+r)
2
. Para isso, precisamos determinar o valor de
r. Sabemos que emx
2
+
b
a
xo termo que temxcomo fator e dado pelo dobro do produto do primeiro e do
segundo termo. O primeiro termo, sabemos que ex. Assim, sendoro segundo termo temos
2xr=
b
a
x)r=
b
2a
: (5)
Assim, temos o seguinte produto notavel (e sua correspond^encia, utilizando a identidade da equac~ao (2))

x+
b
2a

2
=x
2
+ 2x
b
2a
+

b
2a

2
=x
2
+
b
a
x+
b
2
4a
2
: (6)
Retornando a equac~ao (4) podemos somar e subtrair do lado esquerdo o numero
b
2
4a
2(observe que essa operac~ao
n~ao modica a equac~ao)
x
2
+
b
a
x+
b
2
4a
2
| {z }
(x+
b
2a)
2

b
2
4a
2
=
c
a
: (7)
Portanto, a partir de manipulac~oes algebricas na equac~ao (1) obtemos a equac~ao (4), a qual, apos se \completar
quadrado" torna-se

x+
b
2a

2

b
2
4a
2
=
c
a

x+
b
2a

2
=
b
2
4a
2

c
a

x+
b
2a

2
=
b
2
4ac
4a
2
: (8)
1

2. Agora, basta manipular a equac~ao (8) para isolar a incognitaxe, nalmente, obter a equac~ao de Bhaskara.
Calculemos a raiz quadrado em ambos os lados da igualdade. Dai,
s

x+
b
2a

2
=
r
b
2
4ac
4a
2

x+
b
2a

=
p
b
2
4ac
2a
x=
b
2a

p
b
2
4ac
2a
Finalmente, obtem-se a equac~ao de Bhaskara
x=
b
p

2a
;onde =b
2
4ac. (9)
Demonstrac~ao geometrica
Olhando para o lado esquerdo da equac~ao (4) podemos observar que a primeira parcela e o calculo da area de
um quadrado de ladox(gura 1).
Figura 1: Quadrado de ladoxe areax
2
A segunda parcela corresponde ao calculo da area de um ret^angulo de ladosxe
b
a
, ou ent~ao, quatro ret^angulos
de ladosxe
b
4a
(gura 2).
Figura 2: Ret^angulo de ladosxe
b
a
e areax
b
a
e ret^angulos de ladoxe
b
4a
com a mesma area total
Assim, a area da gura 3, formada pelo quadrado da gura 1 e os quatro ret^angulos da gura 2 ex
2
+
b
a
x,
somada a area dos quadrados laterais (4Aq).
Figura 3: Quadrado e ret^angulos das guras 1 e 2
2

3. Observando a gura 3 podemos escrever a area do maior quadrado de duas maneiras:
(i) elevando ao quadrado o valor do lado, que e dado porx+
b
4a
+
b
4a
=x+
b
2a
A
=

x+
b
2a

2
(10)
(ii) somando-se os valores das areas dos quadrilateros que o comp~oe (o quadrado central, os quatro ret^angulos
e os quadrados das pontas). Assim,
A
=x
2
+ 4
b
4a
x+ 4Aq
A
=x
2
+
b
a
x+ 4

b
4a

2
A
=x
2
+
b
a
x
|{z}

c
a
+
b
2
4a
2
Mas, da equac~ao (4) obtemos (ou seja, sabemos que a area do quadrado central e dos quatro ret^angulos tem
que ser igual a
c
a
)
A
=
c
a
+
b
2
4a
2
=
b
2
4ac
4a
2
(11)
Igualando-se as equac~oes (10) e (11) obtemos

x+
b
2a

2
=
b
2
4ac
4a
2
(12)
donde o desenvolvimento algebrico segue id^entico ao efetuado a partir da equac~ao (8), resultando em
x=
b
p

2a
;onde =b
2
4ac. (13)
3

4. Ap^endice: sinal de mais ou menos na equac~ao de Bhaskara
Calcular a raiz quadrada em ambos os lados de uma equac~ao e uma operac~ao valida, pois equivale a elevar
ambos os lados da igualdade a
1
2
e esta operac~ao e permitida pois a implicac~ao
v=w()v
1
2=w
1
2
e verdadeira parav >0 ew >0 poisf(x) =x
1
2e uma func~ao bijetora denida emf:R+!R+.
Temos a seguinte equac~ao

x+
b
2a

2
|{z}
v
=
b
2
4ac
4a
2
|{z}
w
:
Podemos elevar ambos os lados a
1
2
sevewforem maiores ou iguais a zero. Obviamenteve maior ou igual a
zero, pois e o quadrado de um numero. Por outro lado,we positivo pois sabemos que 4a
2
>0 e queb
2
4ac0,
pois sen~ao a equac~ao n~ao teria soluc~oes reais.
Sabemos tambem uma importante propriedade de modulo
p
u
2
=jujparau2R:
Assim, a equac~ao acima pode ser reescrita como
s

x+
b
2a

2
=
r
b
2
4ac
4a
2
que implica em





x+
b
2a




=
r
b
2
4ac
4a
2
:
Da denic~ao de modulo, temos que





x+
b
2a




=
(
x+
b
2a

sex+
b
2a
0)x
b
2a


x+
b
2a

sex+
b
2a
<0)x <
b
2a
Assim, parax
b
2a
temos

x+
b
2a

=
r
b
2
4ac
4a
2
)x=
b
2a
+
r
b
2
4ac
4a
2
:
Observe, que, neste caso,xe sempre maior ou igual a
b
2a
, satisfazendo integralmente a condic~ao dada pelo
modulo.
E, parax <
b
2a
temos


x+
b
2a

=
r
b
2
4ac
4a
2
)x=
b
2a

r
b
2
4ac
4a
2
:
Novamente, a condic~ao dada pelo modulo e integralmente satisfeita pela equac~ao.
Portanto, para qualquer valor real dexas soluc~oes s~ao dadas por
x=
b
2a
+
r
b
2
4ac
4a
2
e
x=
b
2a

r
b
2
4ac
4a
2
:
Ou, ainda, escrevendo de forma compacta
x=
b
2a

r
b
2
4ac
4a
2
que equivale a
x=
b
p
b
2
4ac
2a
:
4