DEMYSTIFYING A 'BELL CURVE' aka 'NORMAL DISTRIBUTION'

An intuitive and an exploratory approach to arrive at the derivation of Gaussian/Normal distribution. Involves orientation to all variables used as a part of the formula.

1. DEMYSTIFYING GAUSSIAN DISTRIBUTION                 
  
The aim of this particular excursion is to explore and let explain from 
an intuitive standpoint, one of the most ubiquitous realities ever 
discovered by mankind. I will approach this subject in a logical yet 
random style by picking up aspects from various areas when and 
where required to help 
stimulate (hopefully) the interest of the 
reader in understanding the beauty of this concept. Though the 
treatment provided is intuitive(to my better ability) by breaking 
apart the mysterious and scary looking equation, there will be some 
mathematical rigor involved at times (which can be skipped over 
without any loss of detail)
 that can throw light for the 
mathematically(or rather curiously) inclined towards understanding 
the approach taken to arrive at the final output. Please be don’t 
scared looking at symbols like 
G,∞,√
,?,?,?,?,
??
??
,A…AP?.They have been adequately 
explained from an intuitive perspective. This is purely my 
interpretation of the subject and feedback most welcome. 
 
Gaussian distribution named after Carl Friedrich Gauss, considered 
the prince of mathematicians, is also known as Normal distribution, 
owing to the frequency with which natural phenomenon are 
replicated by 
it(hence normal) or a Bell curve since it forms the 
shape of a bell. 
What is the basic utility of any probability distribution? For that 
matter, what is probability? What is a distribution? How does it help 
us understand stuff? 

2. The word Probability is used when we are speaking of uncertainty 
.which is due to lack of clarity or what we refer to as noise. Noise 
owing to too many factors that are not in our direct control. Sun 
rising in the east is a certainty unlike an expectation of an
 immediate 
outcome of 6 of a thrown die which is a probability. Where there is 
no clarity, there is probability and where there is complete clarity of 
the outcome, it becomes a certainty.  
The outcome of a head or a tail was a probability for as long as the 
tossed 
coin was in transit and immediately after collapsing on the 
ground, it became a certainty (by either projecting a head or a 
tail).Mathematically assigning values, we can say that the possibility 
of an event not happening and happening lies between 0 % and 
100% which can be equated to all the
 values lying between 0 and 
1(including 0 and 1).So if the probability of an event happening is 
0.56,it is equivalent to 56% and if it  is 1,then it is 100%.The sum of 
all the probabilities of all possible scenarios in any event should sum 
up to 1.In the example of 
a coin, we have 2 outcomes, Heads or tails, 
hence the individual probability weight assigned is 1/(no. of possible 
states) which is ½ = 0.5.In the case of a die, there are 6 possible 
states and hence the individual probability weight age per scenario is 
1/6 = 0.16.which means, since there
 are 6 
scenarios(1,2,3,4,5,6),summing up each of the probability values, we 
get 0.16+0.16+016+0.16+0.16+0.16=1.This logic holds good for any 
event(there are more advanced concepts and interrelations which is 
beyond the scope of the present discussion). 
Since we got clarity of what probability is, let’s speak about a 
distribution. Distribution refers to assignment 
of values over any 
given area. Area? We refer to area as a space within which we can 
accommodate the occurrence of a particular event. Let’s drill it down 
using an example. 

3.  
         
 
 
In the above example, we see a snake (a jumping one!) which is 
about to cross a rectangular closed fence which we will equate to a 
closed area. Let’s equate this area to 1(which refers to the sum of all  
Individual probability values).which means, the probability if the 
snake falls 
into the fence is 1 and it is 0 if it falls outside the fence. 
                                        
 
 
  
.Now, within the area of 1, we have divided it into 3 equal parts. So 
now, if we want to assign the probability to individual boxes, based 
on the above logic, since there are
 3 boxes, its 1/3=0.33 which equals 
33.3%.which means the probability of the snake falling into any of 
the 3 boxes 1, 2 or 3 is 33.3%.Observe that as we are breaking down 
the box further, we are getting more information about the position 
of the snake. What is the probability 
of the snake falling in the area 
that includes box 1 and box 2.It is nothing but the sum of individual 
probabilities which is 0.33+0.33=0.66= 66.6%.this is what we refer to 
as cumulative probability (the overall probability arrived at by adding 
individual probabilities).what is the most common point from which 
it
 measures the same from both the extremities (first and third box)? 
It is nothing but the centre of the second box.  

4. When the snake puts its normal (natural) effort to jump, it will 
mostly land in the second box (Average snake)! Why? Since if it puts 
in an extra effort, it lands in box 3(excited snake) and with less effort, 
in box 1(Lazy snake!).We see that both box 1 and box 3
 are 
exceptions in snake’s performance where as its natural potential 
makes it land mostly in box 2.In a given number of chances, the 
maximum landings will be in box 2. 
This is what we refer to as a central tendency called Mean (or 
average).but in the above case, why is 
the probability equally divided 
among the three boxes? Since all the boxes created by dividing the 
rectangle are of equal size and hence equal area and hence equal 
probability weightages. Which means the snake is equally lazy, 
normal and excited if it falls into any of the 3 boxes! So let’s
 remodel 
the above example. 
                            
In the revised fence, we know the area covered by all the 3 boxes 1, 
2 and 3 are all not the same. We see that box 2 covers maximum 
area and boxes 1, 3 cover minimum areas and hence we see that the 
shapes are
 not uniform and hence the areas and the probabilities are 
not uniform. For the matter of convenience, let’s assume that box 2 
covers 50% of the area, which means that the probability of the 
snake falling into box 2 or rather being an average performer is 
0.5.so since the other 
2 boxes sum up to 50% which equals 25% 
each, the probability of the snake being lazy or excited is 0.25.Since 
most of the times, the snake falls in the centre of the fence, it 
becomes the average potential of the snake. 

5.  Any miss out from this center to either end (box 1 or 3) is considered 
a deviation in the snake’s performance. It becomes a positive 
deviation if the snake crosses the center and a negative deviation if 
the snake lags behind the center. There can be so many deviations 
depending 
on the number of grids (various potentials of a snake) that 
separate the boxes.  
 
In the above triangular fence, if we draw a central line from its peak 
as below, we get 2 perfectly symmetrical (mirror image) right angled 
triangles ∆ ABC and ∆ ACD. Which means the area is divided into 2
 
halves and hence each triangle has an area of 0.5  
                                           
If we have the ability to draw lines into each of the above 2 right 
angled triangles to divide them, if I can draw 9 lines in ∆ ABC with 
same spacing ,I can mirror image the same number of 
lines in ∆ ACD. 
Which means if I have 10 small boxed areas marked by 9 lines in one 
triangle, i get the same number of 10 small boxed areas in other 
triangle(since both are mirror images of each other).Since we have 
10 boxes on the left hand side of the central
 line AC, we refer to 
them as 10 negative deviations. Since there are 10 boxes on the right 
side of AC, we have 10 positive deviations. To refer to each of the 
deviations from a common perspective by neglecting the 
directionality, we use the terminology as standard deviation which 
refers 
to + and – of a set of deviations. If I say 2 standard deviations, 
it means 2 boxes to the left of AC and 2 boxes to the right of AC. 

6. In the above snake example, we only referred to a triangle with 3 
boxes. What if we are dividing the triangle into many boxes! We see 
that the area occupied by boxes will decrease as they reach towards 
either of the ends B or D. The boxes close to AC will
 cover maximum 
area and hence maximum probability unlike boxes far away from AC 
which cover small areas and hence less probability.  
Which means the chances of an event happening at the center is the 
highest (referred to as the maximum frequency) and it decreases 
gradually as it moves towards B 
and D. This is what we call as a 
distribution pattern. 
                                  
 
 
The spread of probabilities from 0 to 1 across the entire triangle is 
what is referred to as a probability distribution. Since the above one 
is a triangle, we call it a triangular probability distribution. In the 
same
 way, based on the type of shape a distribution acquires, we 
have many other distributions each having different properties. 
In the above triangle, we see that there is a steep and linear increase 
from B to A and again a steep decrease from A to D. But most of the 
real time events or occurrences do not follow this perfect linear 
trend as they are constantly and gradually evolving processes. This is 
where we need to discuss about one of more obscure friends “e”. 
Yes, the mathematical constant or rather the natural universal 
constant of growth ‘e’. 

7. ‘e’ refers to the exponential growth. But what is exponential? It 
refers to the base rate of growth that any naturally evolving entity 
can attain in a given time frame. 
Bacteria doubling their growth every 24 hours or money becomes 
double itself in a year, what’s basically happening is though the
 time 
frame is different (24 hours, 1 year, 1 sec...Etc), the original is 
replicating itself thereby creating 1 more.  
Which means 1(original) + 1(outcome of original) = 2 which is  
:1 E 100%;
?
 where n refers to the time period. 
But is it so that the growth is happening so discretely in linear steps? 
Is it so that suddenly after 24 hours I see that the bacteria got 
doubled or money became doubled suddenly after a year?  
No. It’s a very gradual and 
continuous process. Let’s dig in. If we look 
at money, say 100 Rs is yielding 100 Rs in 1 year which is double, if I 
am breaking up the time frame into 6 months each, my 100 Rs would 
have earned 50 Rs at the end of 6
th
 month which is  
:1 E 100%
5
6
;
6
=2.25 
Now these 50 Rs will start earning an additional interest of 100% 
which is 50 Rs in a year or 25 Rs in 6 months. These 25 Rs will start 
earning 25 Rs in a year or 12.5 Rs in 6 months and so on. This means 
that each of
 the outcomes from the original is continuously 
compounded. Let’s increase the timeframe from 2 periods (6 months 
each) to 365 periods (1 day each) which becomes 
:1 E
5
7:9
;
7:9
= 2.714 

8. If we go on slicing the time period to the maximum possible extent, 
we will arrive at a maximum compounded rate of return which is 
2.71456 which is referred to as ‘e’ which is 
A
?
L1E
?
5!
E
?
.
6!
E
?
/
7!
E?,F∞OTO∞  
So any natural rate of growth follows an exponential pattern, 
whether it is the bacterial growth, population growth, radioactive 
decay and many natural processes can be modelled using “A”. 
So A
?
 is defined as an exponential function that we will be dealing 
with to derive the normal distribution. 
What is a function by the way? A function shows a relationship 
between 2 entities, one is independent and the other dependent. 
Say if for example clouds cause rain, which means rain is 
an outcome 
of clouds and clouds were the cause of it. Since rain is dependent 
and cloud is independent (in the present framework of 2 entities), 
lets equate Cloud=x, rain=y, then x created y i.e.  Clouds created rain. 
In mathematical notation, we refer to it as y=f(x) or rain = f
 (clouds)   
we call it as rain is a function of clouds, 
Likewise misery = f (Desire).This means any change in constant 
T(desire) will have a direct impact on its outcome U (misery). 
So let’s consider the exponential function y = A
?
.Before we delve 
into what is the value x should take in this function, let’s get back to 
the basic normal distributions and their nature. 

9.   
If we look at the distributions above with Y showing the frequency of 
occurrence of a given variable and X showing the spread of the data 
values, we find that with respect to mean of 5, the data is closely 
concentrated between 0 an 10 unlike for the mean of 
20, where it is 
spread far across between 10 and 30.which means distribution 1 had 
less deviation and distribution 2 had more deviation from the mean 
thereby stretching the entire area under the curve. 
 Though Distribution 1 looks bigger than distribution 2, both actually 
cover the same area. It’s just 
that the distribution 2 is stretched 
across horizontally on both ends thereby increasing the spread of 
data points between 10 and 30.We can observe that the shape of the 
distribution depends on the increase and decrease of the 
mean(frequency of mean) on X axis and deviation on Y axis. Imagine 
blowing
 a balloon with a black spot on it and see how the area gets 
distorted on further blowing and comes back to normal on air 
release! 
In the same way as for dist 1, ?L5,?L5 and for Dist 2,?L
20,? L 10, there can be infinite number of distributions with infinite 
values 
for ? =J@ ?.To find out the area under each of these curves 
would be extremely laborious and non value added, hence we look 
at an approach where we can standardize by measuring each of 
these distributions on a common platform. 

10.  To do this, we consider the values ?L0  and ? =1.In the above 
case, distribution 1 was plotted with various values of x on X axis 
from 0 to 10.since we know the value for? =J@ ?, we can 
standardize it by subtracting the value of ? from x and then 
dividing 
the result by ?.It becomes 
                                                       Z = :T F ?;/? 
What we are doing is figuring out the distance of each point on the 
graph from its mean and then dividing it by its corresponding ? 
which generates a standard number for each value on X‐axis called 
the Z 
number. Once the values of X are been solved based on the 
above notation, they get transformed to values mostly ranging 
between ‐3 and 3(there will be values of z P 3  and z O ‐3 but they 
hardly contribute to 0.3% of the data points which will fall outside 
the normal
 distribution and will be considered as outliers and hence 
for the sake of clarity, we will define the range of z only between 
G3;with a mean of 0.This is what we call as a Z‐Transformation. A 
very important point to note here is that we are converting all the
 
normal patterns with varying values of ? and ?  into a standard 
normal pattern and for all non normal patterns, a different approach 
has to be taken(beyond the scope of this topic).As we discussed in 
the past, since we considered ? as 1 here,‐3 means 3 negative 
deviations from 0(left
 hand side).+3 means 3 positive deviations to 
the right hand side of 0.By ignoring the +/‐,we say that the 
transformed data lies between 3 standard deviations  with a 
transformed mean of 0. 
So which means that the entire area covered by the normal curve is 
divided into 6 parts,3 
on either end this we refer to as 3 standard 
deviations. This then transforms to a standard normal distribution 
with ? =0 and ?L1.  

11. The reason we emphasize only on these 2 parameters, ? and ? is 
that we can know the location of any point in the curve just by 
referring to mean ? as a central point of the curve and figure out 
how distant the point is from the central point by 
looking at the 
deviation zone that it is falling under. Just try relating it with the 
snake/fence analogy to get better clarity. 
 
                                                               
If we look at the curve on the left hand side, we see that the values 
range from F∞ PK E ∞.This means that all the values on the number
 
line, both on the positive and negative axis are accommodated by 
the curve. Also notice that both ends of the curve are not touching 
the positive and negative x axis as since the values are tending 
to G∞, they will never be able to touch the axis. 
Touching the axis 
implies that the values are finite. Once we apply a 
Z‐transformation, we are converting this range of (F∞ PK E ∞) to 
 ‐3 to +3.  
Now let’s try modelling a normal curve by using the function A
?
.Post 
transformation, the values of x will range from ‐3 to +3.So, we are 
modelling the growth function e using this range as we know that the 
transformed values lie between these 2 limits. 

12.  
 
When we substitute the values between ‐3 and +3 in the function  
F(x) =A
?
, we get the below graph.We can clearly see that the values 
go up exponentially from A
?7
to A
>7
 
                                     
 
Instead, if we use the functionA
??
, we get the below graph. This is 
nothing but the inverse of exponential function ranging from A
7
 to 
A
?7
  known as the logarithmic function (another interesting one).  
                                          
 
If we look at the above 2 graphs, we can infer that our normal curve 
is a combination of these 2 patterns, one which is an increasing 
function, reaches the climax at the mean and becomes a decreasing 
function. 

13. Let’s raise the power of x to 2 making it a quadratic exponential 
function. 
Now for F(x) =A
?
.
, we evaluate the range from A
:?7;
.

to A
:>7;
.
 which 
becomes minimum at A
4
 = 1 and maximum at A
=
 = 8103                   
(at T L G3,KJ AEPDAN OE@A KB 0;.The plot of the graph is shown 
below. 
                       
  3 
Based on the above graph, now we can easily replicate the normal 
curve by changing the orientation of the above graph by adding a 
minus sign. Let’s see how this works. 
For F(x) =A
??
.
, for the limits ‐3 and +3, the functions takes values 
from A
?:?7;
.

to A
?:>7;
.
  which becomes A
?=
 at x= ‐3 and A
4
 at x= 0 
and then again A
?=
 at x= +3 which gives us the pattern of the 
increasing and decreasing function. The graph looks as below which 
perfectly generates a normal or a bell shaped curve. 
                                                    

14.  
Actually, the above function F(x) = A
??
.
 should be rewritten as  
F(x) = A
??
.
 as all values from ‐3 to +3 are transformed values of x 
from (F∞ PK E ∞). 
So, For F(x) =A
??
.
, by substituting z =
:??;

 , we get 
                                             F(x) = A
?@
?7

A
.
 
                                             F(x) = A
?:??;
.
/
.
 
The width of the Bell curve, defined by ? is half the distance between 
its inflection points. An inflection point for a normal curve is a point 
at which the normal curve changes its shape from being outside 
concave to inside concave. 
 
?\ +JBHA?PEKJ LKEJP
?????? ??
?????? ???
 
 
We can clearly see above the point (circled) from which the direction 
of the curve is changing. Remember that for a normal curve, the 
inflection point (on either side of the mean) perfectly coincides 
(explanation beyond the scope of this discussion) with the first 
standard deviation of the curve. 
 
Here in this case it will be between the first standard deviation 
which is equal to 2 deviations, +and ‐.By dividing the value over the 
exponent by half, we adjust the width of the curve to 1 deviation 
point instead of 2. 

15. The equation then becomes 
                                      F(x) = A
?:??;
.
/6
.
 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ A 
This is the function that generates the normal curve. But as we 
discussed in the past, the present equation looks at a normal curve 
with any given value of ? =J@ ?.To standardize it, we have to 
substitute the values of ? PK 0 =J@ ? PK 1.then the equation gets 
transformed to 
                                                 F(x) = A
7?
.
.   
Same as the equation above with z except for the width adjustment. 
The above function is just a normal curve but not a normal 
probability distribution function. Since we know that the probability 
lies between 0 and 1, with 1 as the maximum which also is the range, 
we have 
to divide our function by its calculated area to arrive at a 
result of 1. If you remember the snake fence analogy, you would 
have remembered that we equated the entire area to 1 to evaluate 
probability.  
Say for example if the area of our fence is 50 units, to make
 it equal 
to 1, I need to divide it by 50 units so that
94
94
L1. This process of 
converting a normal function into a probability function is known as 
normalizing and the constant is known as a normalizing constant. 
In the same way, we will be evaluating the area of the above 
function (curve) within the limits :F??E?; and divide it by area to 
equate it to 1. 
i.e.                                     P(x) = F(x)/Area (F(x)) =1‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ B   
Where P(x) is the probability density function. 

16. We will integrate the above function between the limits G∞ to 
arrive at the area covered by the function 
                                             A = ?A
??
.
/6
>?
??
 
To resolve the above integral, let’s multiply the integral by itself with 
a variable y, then the equation becomes 
#
6
 = ?A
?:?
.
>?
.
;/6
@T @U
>?
??
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 1 
We use the Cartesian polar coordinate system which is used to 
derive the expression for any point on a 2 dimensional plane by 
relating it with the distance of the point from the origin and the 
angle traversed by it, 
We get two main expressions, xLrcos?  and y =
 Nsin? which by 
squaring and adding, we get the below expression 
NL?T
6
EU
6
 
By substituting it in Equation 1 and transforming the limits of the 
integral, we get 
#
6
L??A
?
?
.
.
6
4
?
4
 N@N @? ‐‐‐‐‐‐‐2    
(Where 0 to ∞ indicates the radius aspect of a particle and 0 to 2? 
indicates the total angle range traversed by the particle on the axis, 
dx and dy are replaced by dr and d? 
Let   
?
.
6
LQ ? 2N @N L 2 @Q ? N@N L @Q  
(After differentiating with respect to r and u) 
 
 

17. Substituting in Equation 2 
#
6
L??A
??
@Q @?
6
4
?
4
 
?#
6
L?A
??
@Q:@?;
4
6
?
4 
? #
6
L2??A
??
@Q
?
4
 
? #
6
L2? :FA
??
;
∞
0
 
?#
6
L2? :FA
??
EA
4
; 
?#
6
L2?:1F0; 
 
?#
6
L2?:1F0; 
?#L√2? 
 
The above result that we obtained is known as the normalizing 
constant for the exponential function that will convert it into a 
probability distribution function. Let’s substitute it in B, then it 
becomes 
2:T;L
A
??
.
/6
√2?
 
This is the formula for standard normal distribution. 
 

18.  The non transformed formula can be arrived at by dividing the 
constant with Equation A 
?2:T;L
A
?:??;
.
/6
.
?√2?
 
Where we multiply √2? with ?  to arrive at the area of any non 
standard normal distribution as ? is the measure of the distribution 
width.This is how a plotted Normal curve looks like. 
 
 
 
We can clearly see that beyond the z score of 3, there is an extremely 
small portion of area
 available and for all practical purposes, we 
mostly refer to z values from ‐3 to +3.Now that we have derived the 
Normal probability distribution, our next goal is to find out the area 
occupied by the curve which of course we know is equal to 1.But 
within in this curve, 
what if we want to find out how much area is 
present between the mean ? and first standard deviation ? ? Life 
would have been so easy if every distribution would have been so 
linear which is often not the case. Even then, it’s important to 
understand simplicity to get
 a hang of complexity. 

19.  
 Let’s take an example to understand this better. 
 
                            
Look at the above distribution pattern. It’s linear without any curves. 
Finding the area would be so easy as since we know it’s a rectangle 
with 6 divisions(deviations) and the total area should account to 1,so 
each box or rather in
 the above case, area between two deviation 
grid lines will be 1/6 = 0.16.So the probability that a given point will 
fall into any of the above grids is 0.16 or 16%.What if I don’t have a 
clarity of which grid it falls into but want to know what is 
the 
probability of the point falling in a box above 0?  
From the above, we know that there are 3 boxes after 0 and since 
each box carries a probability weightage of 0.16, for 3 boxes it will be 
3*0.16 = 0.5 or 50%. 
What is the probability that a given
 point will fall in the first standard 
deviation range. Remember from what we have discussed,1 standard 
deviation means 1 deviation on either side of the zero(since here it’s 
the first standard deviation) which is G1.From the above,we know 
that there are 2 boxes that are present between ‐1 and +1,hence
 the 
probability will be nothing but the area of 2 boxes which is 
0.16*2=0.33 or 33%. 

20. What is the probability of a point falling in 0.5 standard deviation? 
Tricky? Not really. Since we know that 0.5 ? means G 0.5?,which 
means 0.5 boxes on either side of 0 (since 1 deviation equals 1 box 
here), the area covered will be 0.5 boxes *2 = 1 Box = 
0.16 = 16%.Till 
now, we were only finding probabilities “in between”. What about 
“at”? Say I want to know the probability of the point lying at 1
st
 
standard deviation? Let’s think about how we define “area”. Area is 
always a product of 2 lines in simple terms. Whether we call it length 
or breadth or width is as per conventions involved which gives us the 
2‐dimensional picture of any object. The lines in the above case 
are 
any two lines in the distribution using which we arrive at the area. 
But what about a point? Does a point have any area? Let’s see below 
for some important insights. 
                                     
The first line we see is continuous and as it is breaking down further, 
it is becoming discontinuous
 or discrete. Now what are these new 
terminologies Continuous and Discrete? It’s inherent in the words 
themselves. When we say continuous, it’s without any break in the 
“Flow”. Break is any pause or obstruction that is not allowing a point 
to be continuous. Which means what? If we look at 
the fourth line 
above which is a dotted line, we see that there is a regular pause 
(gap or space) at every single instant because of which it demarcates 
and gives an identity to every single point out there. This is what we 
term as “Discrete”. Which means it can take
 one and only one value. 
We can see that this dotted discrete line as it is going up is increasing 
in size (with spaces) and finally when we eliminate the spaces or gaps 
between these spots, it becomes a “Continuous” line. 

21.  We cannot identify any unique point on a continuous line and the 
entire line is a single entity. But we know that this continuous line is 
made up of discrete dots which cease to be discrete after a 
threshold. But what is this threshold no one can actually quantify 
though 
we can define to an extent. Assume the above continuous 
line was made up of 100 points or dots which are discrete. Now my 
definition of a dot as discrete will cease to be so when I increase the 
magnification. The dot starts looking like a continuous line which 
further can
 be broken down into dots which when magnified will 
again look like a continuous line and the process will go on ad 
infinitum. You can get transported from a normal level to a micro, 
nano, pico, femto…. So on till you end up at the last atom (or rather 
the 
more fundamental quark) that made the line complete!! 
Remember how a gigantic star looks like a twinkling spot from the 
earth which itself is a negligible spot from the star’s perspective!! It’s 
all relative. This is why for the sake of approximation to overcome 
the granularity issues, the area of any
 given point on a continuous 
scale is 0. 
One very important insight here is that dots integrate to form a line 
or line differentiates to give a dot. Sounds like calculus isn’t?!! Drops 
integrate to form an ocean or an ocean differentiates to give a drop. 
We can use the 
below notations. 
?&NKLO L 1?A=J  And 
?
??
:1?A=J;L&NKL 
Integration (Elongated s) means “sum of” which sums up all the 
values in a given range. 
Differentiation means “differential of” which figures out the rate at 
which a dependent variable changes with respect to independent 
variable. 

22. Remember we arrived at the result of √2? by integrating (summing 
up) the area betweenG∞. 
From the above example, 
 ?&KP L .EJA
544
4
(Since we said 100 points make a line)  
Summation does not mean 1+2+3+.......+100.It means sum of a 
smallest fixed quantum “n” number of times which is 
@T E @T E @T ….J PEIAO L 1+1+1+.......100 times and 
?
??
:.EJA;L&KP(The basic possible elementary unit) 
Which means when you are trying to break 1 continuous line made 
of 100 discrete dots into its least possible discrete unit (here in this 
case its 1), we are differentiating it. And our normal distribution is a 
continuous distribution (remember the nature 
of exponential 
processes) and not discrete. Hence we need to always specify a 
search range (upper and lower limit) when it comes to finding the 
address of a point in the normal curve. This is the crux of figuring out 
probabilities for any probability distribution. 
The only challenge is that not
 all distributions are as straight forward 
as the above one. Since the above one is a rectangular distribution 
(with a straight line parallel to X‐axis), the frequency limit which is 
the height of a point on X axis to the horizontal line is always a 
constant unlike a distribution 
in which the frequency changes 
continuously owing to a continuously fluctuating line (curve) to 
which the distance of a point from X axis is continuously changing. 
We can no longer treat it as a regular polygon like a square or a 
rectangle and calculate its area but we need to resort
 to calculus.  

23. Ever remember what we do when we have to figure out the 
probabilities of a given variable T within a specified standard 
deviation of a normal distribution? 
 We are asked to look into the Z‐Table (at the appendix of any fat 
statistics book) which gives out the probabilities within 
any given 
range. I’ll show you how this is done. In order to find out the area 
within a normal curve we translate a given complex function to its 
equivalent polynomial form and calculate the probabilities 
accordingly. In this case, we use a Taylor polynomial expression 
which i will be deriving
 and will demonstrate an example as to how it 
is used to evaluate the area of the curve within a specified range. 
A Taylor series is particularly used to translate a given smooth 
curve(here in this case the bells curve) of a given centre(mean) 
represented by the complex function  
2:T;L
A
??
.
/6
√2?
 
Into its polynomial form which can be then used to calculate the 
cumulative (total) area occupied by the curve within any specified 
interval. The advantage of converting it into a Taylor polynomial is 
that the entire function gets converted into its equivalent numeric 
form which can be easily integrated over 
a given interval. But there is 
a slight error involved in converting a function to its equivalent 
Taylor form which is adjusted to arrive at a result. 
From the below expression 
2:T;L
A
??
.
/6
√2?
 
We know that √2? is used as a normalizing constant (which means it 
makes the entire function equate to 1). 

24. Let’s just look at the numerator which is A
??
.
/6
 which is of the form 
A
?
:where T L FV
6
/2;.Remember how we arrived at the value of 
the exponential function A
?
 ? For TL1, it becomes   A
5
= A = 2.718 
Now                  A
?
L1E
?
5!
E
?
.
6!
E
?
/
7!
E?, F∞OTO∞                             
(from the discussion on exponential function) 
By substituting TL1, we get 
A
5
L1E
5
5!
E
5
.
6!
E
5
/
7!
E? = 2.718 
Now for A
??
.
/6
 which is of the form A
?
 (where TLFV
6
/2) 
A
?
L1E
T
1!
E
T
6
2!E
T
7
3!E
T
8
4!E
T
9
5!E
T
:
6!E? 
L1E
T
1
E
T
6
2E
T
7
6E
T
8
24E
T
9
120E
T
:
720E?
By substituting TLFV
6
/2 
We get 
A
??
.
/6
L1F
V
6
2E
V
8
8F
V
:
48E
V
<
384F
V
54
3840E
V
56
46080F? 
Which is an alternate series of G"O 
Now for the example sake, lets figure out the area occupied by the 
above polynomial form within the range 0 to 1.Here 0 represents the 
mean which is the centre of the normal distribution and 1 represents 
the 1
st
 standard deviation from the mean (on either side of 0) 
E.A G1 since it is symmetrical curve (the shape on the left side of 
the mean is the mirror image of the shape on the right side of the 
mean and vice versa). 

25. As i have explained before, the purpose of integration is to sum up 
the area (represented by a function) within a given range. 
So we need to apply integration for the above function within the 
limits 0 and 1 which is 
?A
?
?
.
6
5
4
@V 
L?1F
V
6
2
E
V
8
8F
V
:
48E
V
<
384F
V
54
3840E
V
56
46080F?
5
4
 
LVF
V
7
6
E
V
9
40F
V
;
336E
V
=
3456F
V
55
42240
4
5
 
                                    Where       ( V
?
L
?
?6-
?>5
) (an integration operation) 
L1F
1
6
E
1
40
F
1
336
E
1
3456
F
1
42240
 
     (After substituting V L 1) 
N0.855623 
N IA=JO =LLNKTEI=PAHU 
There is even an error term N 0.000002 that is included in the above 
arrived value. 
This means  
?A
?
?
.
6
5
4
N 0.855623 
 
But we need to evaluate the above function by including the 
normalization constant which is   
5
√6
  

26. Hence      
1
√2?
H?A
?
?
.
6
5
4
 
L
1
√2 H 3.14
H?A
?
?
.
6
5
4
 
L 0.3989 H 0.855623 
L0.3413 
Which is nothing but the area covered by the curve from 0 to 1 which 
is the 1
st
 deviation on the right hand side. Since it is a symmetrical 
curve, the area covered by the curve from 0 to ‐1 on the left hand 
side will also be the same, hence the area covered by the 1
st
 
standard deviation will be 
 G1 L 0.3413 (Right hand side of 0)+0.3413(Left hand side of 0) 
= 0.6826N 68.26% 
Which means the first standard deviation of a normal curve covers 
68.26% of the total area of the curve (with 34.13% on each side of 
the curve). 
In the same way, if we 
calculate the integral of the curve within the 
limits 0 and 3 which is 3 deviations from 0, we get 
1
√2?
H?A
?
?
.
6
7
4
 
L0.5 (This is the area on the right hand side of the mean) 
Since it is a symmetrical one, even the area on the left side of the 
curve will be equal to 0.5, hence G3 N 0.5 E 0.5 1 
 

27. Hence 
1
√2?
H?A
?
?
.
6L0.997
7
?7
 
Remember almost all the data points (99.7%) fall into G3? but not 
all. There will be approximately 0.30% of data points (0.13% on 
either side of the mean) falling into the 4
th
 standard deviation. This 
means 
1
√2?
H?A
?
?
.
6L1
8
?8
 
                           
                    
We can see that the maximum height a standard normal curve can 
attain (at the center, mean) = 
5
√6
 = 0.398 0.4 
There can be much more that can be spoken about a normal 
distribution but my prime aim in this paper was to present the 
details of the genesis, evolution and utility of a normal curve in a 
simplified manner and I hope the same is achieved in 
this regard. 
Feedback most welcome at [email protected]
 
                                                                                         Regards 
                                                                                         Kalyan Sunkara