Derivada aplicada en la carrera de electrónica y automatización.

ELABORADO POR ARTEAGA MICHAELL Y ANDRANGO DANIELA

1. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
PARCIAL II
TALLER Nro. 2

TEMA: APLICACIONES DE LA DERIVADA EN
LA CARRERA DE ELECTRÓNICA Y
AUTOMATIZACIÓN.
Nombres:
1. ANDRANGO LIGÑA DANIELA XIOMARA.
2. ARTEAGA ROMAN MICHAEL STEVEN.
NRC: 3272.
Fecha: martes 27 de julio 2021
Período: mayo 2021 _ septiembre 2021

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ADMINISTRATIVAS
Dra. Lucía Castro Mgs.
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE

2. 1


Índice

Índice ....................................................................................................................................... 1
Introducción. ............................................................................................................................ 2
Objetivos .................................................................................................................................. 2
Fundamentación teórica ........................................................................................................... 3
Desarrollo ................................................................................................................................ 4
Conclusiones .......................................................................................................................... 11
Recomendaciones. ................................................................................................................. 12
Bibliografía (Normas APA)................................................................................................... 12

3. 2


TEMA: APLICACIONES DE LA DERIVADA EN
LA CARRERA DE ELECTRÓNICA Y
AUTOMATIZACIÓN.
Introducción.
La derivada permite conocer lo sensible que es al cambio una variable con respecto a
otra. Eso resulta muy útil en ciencias (velocidades, aceleraciones, distribuciones que dependen
del tiempo o de la cantidad de materia) en ingeniería para el cálculo de puntos máximos y
mínimos de las funciones. Matemáticamente, la derivada de una función en un punto es la
pendiente de la recta tangente a dicha recta en dicho punto. Dicho lo anterior, la derivada
aplicada en la carrera de electrónica u automatización se ve erradicada en la facilidad de ayudar a
un cambio sensible y correcto de una variable en los métodos y tecnologías que permiten la
automatización de sistemas, como la optimización de dispositivos que forman equipos
mayormente complejos.
Objetivos
• Aprender a calcular puntos máximos, mínimos de funciones.
• Identificar con que celeridad va cambiando el valor de la función en un punto
considerado, al igual si aumenta o disminuye.

4. 3


• Analizar el correcto proceso de una derivada aplicada en problemas de optimización.
• Comprender el manejo de GeoGebra para graficas de derivadas en aplicación de
problemas de optimización.
Fundamentación teórica
La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la pendiente de la
tangente a una curva en un punto. Se puede usar la derivada para estudiar tasas de
variación, valores máximos y mínimos de una función, concavidad y convexidad, etc.
(Jesús, 2009)
Por otro lado, los problemas de optimización se pueden definir como: “es un problema
que trata de calcular el valor máximo o mínimo de una función, en nuestro caso, de una
variable.” (Anónimo., s.f.)

5. 4


Desarrollo
Ejercicio 1.
Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una hoja de cartón de 16×8cm para ingresar un
circuito en dicha caja. Para ello, se corta un cuadrado de lado L en cada esquina y se dobla la hoja
levantando los cuatro laterales de la caja.
Determinar el lado L de la caja para que su volumen sea máximo bajo la condición de
que L sea 1≤L≤4. ¿Cuál será el volumen de la caja?
Solución
Al cortar las cuatro esquinas de lado L, dos de los lados miden 16−2L y los otros dos miden 8−2L:

El volumen de la caja es

??????(�)=�(8−2�)(16−2�)=4�
3
−48�
2
+128�

6. 5


Derivamos la función:
??????´(�)=12�
2
−96�+128
Calculamos los puntos críticos:
12�
2
−96�+128=0
3�
2
−24�+32=0
�=
24±√192
6
=4±
4√3
3




Como L debe ser 1≤L≤4, tenemos que estudiar la monotonía en los intervalos
[1,4−
4√3
3
[,]4−
4√3
3
,4]
Es decir, descartamos el segundo punto crítico.
Estudiamos el signo de la derivada:
??????´(1.1)=35.6>0
??????´(2)=−16<0

Por tanto, el punto crítico es un máximo.
El lado L debe medir

7. 6


&#3627408447;=4−
4√3
3
&#3627408464;??????
&#3627408447;≈1.691 &#3627408464;??????
El volumen de la caja es
??????(4−
4√3
3
)≈98.534&#3627408464;??????
3

Ejercicio 2.
Si se conecta una resistencia R ohms a través de una batería de E volts con resistencia interna r
ohms, entonces la potencia en la resistencia externa es
??????=
??????
2
??????
(??????+&#3627408479;)
2

Si E y r son fijos, pero R varia, ¿cuál es el valor máximo de la potencia?

8. 7



Encontraremos un valor de R tal que al sustituir encontremos un P máxima.
La ecuación es.
??????=
??????
2
??????
(??????+&#3627408479;)
2

9. 8


Derivamos.
E, r = constantes
R= variable.
??????´=
(??????+??????)
2
(??????
2
(1))−??????
2
??????(2)(??????+??????)´(1)
((??????+??????)
2
)
2

Acomodar términos e igualar a 0.
0=
??????
2
(??????+&#3627408479;)
2
−2??????
2
??????(??????+&#3627408479;)
(??????+&#3627408479;)
4
0=??????
2
(??????+&#3627408479;)
2
−2??????
2
??????(??????+&#3627408479;)
2??????
2
??????(??????+&#3627408479;)=??????
2
(??????+&#3627408479;)
2
2??????=??????+&#3627408479;
2??????−??????=&#3627408479;
??????=&#3627408479;


Cuando P máxima, R tiene que ser igual a r
Encontramos P máxima reemplazando R con r.

10. 9


??????=
??????
2
&#3627408479;
(&#3627408479;+&#3627408479;)
2
=
??????
2
&#3627408479;
(2&#3627408479;)
2
=
??????
2
&#3627408479;
4&#3627408479;
2
=
??????
2
4&#3627408479;

??????=
??????
2
4&#3627408479;


P es máxima cuando
??????
2
4??????
.
Ejercicio 3.
Una empresa de Software se requiere instalar la mayoría de ordenadores para el procesamiento de
datos, por ello contratan a un ingeniero que por su experiencia sabe que por cada 40 ordenadores
la velocidad de transmisión de datos es de 500 Kb/s, se sabe que por cada ordenador adicional se
disminuye la velocidad a 10 Kb/s.
1. ¿Cuantos ordenadores se puede añadir?
2. ¿Cuál es la velocidad máxima que se puede obtener?


??????=(&#3627409362;&#3627409358;+??????)(&#3627409363;&#3627409358;&#3627409358;−&#3627409359;&#3627409358;??????)
??????=20000−400??????+500??????−10??????
2

11. 10


??????=20000+100??????−10??????
2

??????=−10??????
2
+100??????+20000
Derivamos
??????´=−20??????+100
Igualamos a 0.
0=−20??????+100
−100=−20??????
??????=5

??????=−&#3627409359;&#3627409358;??????
&#3627409360;
+&#3627409359;&#3627409358;&#3627409358;??????+&#3627409360;&#3627409358;&#3627409358;&#3627409358;&#3627409358;
??????=−10(5)
2
+100(5)+20000
??????=20.250 &#3627408446;&#3627408463;/&#3627408480;

Se pueden añadir 5 ordenadores a una velocidad máxima de 20.250 Kb/s.

??????(??????)=−10??????
2
+100??????+20000 ( 15 , 20.250 )
??????
&#3627409359;
(??????)=−20??????+100 maximo
??????
????????????
(??????)=−20
??????
????????????
(&#3627409359;&#3627409363;)=−20 →minimo

12. 11













Conclusiones
En conclusión, las derivadas aplicadas en problemas de optimización, requieren de un
análisis exhaustivo para comprenderlas y poderlas desarrollar, debido a que estas no se
desarrollan de la misma manera, en virtud de que se deben tomar en cuenta variantes diferentes
en cada caso, por lo tanto, estos problemas deben ser apoyados por plataformas de gráficos como
GeoGebra, cabe destacar, que por medio de las derivadas aplicadas en problemas de
optimización podemos encontrar el valor mínimo o máximo de una variable.

13. 12


Recomendaciones.
Para desarrollar derivadas aplicadas en problemas de optimización en la carrera de electrónica y
automatización se recomienda tomar en cuenta:
• Que la función a optimizarse definir si se va hallar la maximización o la van a
minimizar.
• Debe verificar que este bien aplicada la derivada.
• Conocer, sin demostración, las reglas de derivación de la suma, resta, producto y
cociente de funciones, así como la regla de la cadena para la derivación de la función
compuesta.
Bibliografía (Normas APA)

Anónimo. (s.f.). Objetos.unam. Obtenido de
http://www.objetos.unam.mx/matematicas/matema/Daplica/da_aplicacion09_d.html
Jesús. (2009). Derivadas.es. Obtenido de https://www.derivadas.es/aplicaciones-de-la-derivada/

14. 13