Derivada como taxa de vari aca o

1. 1
A Derivada de uma função f pode ser
interpretada como:
1- Uma função cujo valor em x é a
Inclinação da Reta Tangente ao gráfico de
y = f(x) em x.
INTERPRETAÇÕES DO CONCEITO DE DERIVADA
x

2. 2
INTERPRETAÇÕES DO CONCEITO
DE DERIVADA
2- Uma função cujo
valor em x é a taxa
instantânea de
variação de y em
relação à x, no
ponto x.  x
 y
x

3. 3
A TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA DE:
y = f (x) em relação a x
x = x
1
, pode ser definida COMO:
O LIMITE DAS TAXAS MÉDIAS DE VARIAÇÃO SOBRE
INTERVALOS CADA VEZ MENORES.
SE O INTERVALO FOR [ x
1
, x
2
], ENTÃO A VARIAÇÃO EM x É:
 x = x
2
– x
1
, A VARIAÇÃO CORRESPONDENTE EM y é:
 y = f (x
2
) – f (x
1
)
TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA

= derivada de f em x
1 =
f ’ (x
1
)
2 1
2 1
0
2 1
( ) ( )
lim lim
x x x
fx fxy
x x x
D® ®
-D
=
D -

4. 4
x
 y
 x
TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO = INCLINAÇÃO DA RETA SECANTE
TAXA INSTANTÂNEA DE VARIAÇÃO = INCLINAÇÃO DA RETA TANGENTE

5. 5
Os intervalos entre x
2
e x
1
vão diminuindo
cada vez mais e calcula-se:
 x = x
2
– x
1

 y = f (x
2
) – f (x
1
)
2 1
2 1
0
2 1
( ) ( )
lim lim
x x x
f x f xy
x x x
D ® ®
-D
=
D -
= derivada de f em x
1

= f ’ (x
1
)

6. 6
A inclinação da reta tangente à curva y = f(x), no ponto x=a ,
foi definida como sendo:
Seja s(t) a função posição
de um objeto.
Pela def. acima a Velocidade
desse objeto no instante t=a
é:

Esse limite surge sempre quando
calculamos taxa de Variações
0
( ) ( )
( ) lim
h
f a h f a
v a
h
®
+ -
=
0
( ) ( )
lim
h
f a h f a
m
h
®
+ -
=

7. 7
Assim, se a posição (s) de um objeto for expressa como
uma função f(t) = s = v. t e, se existir a derivada
f’(t),
ela (a derivada) nos fornece a taxa de variação da
posição em relação ao tempo, a qual nada mais é
que a velocidade (Instantânea) com que o objeto
está se deslocando.
Portanto:
s = f(t) = função posição (também referido como
espaço)
s’ = f’(t) = v = função velocidade
A DERIVADA DO ESPAÇO DÁ A VELOCIDADE
d / dt ( s ) = v
Da Física sabe-se que: s = v.t

8. 8
v = v
0
+at
v’ = 0 + a = a
A DERIVADA DA
VELOCIDADE DÁ A
ACELERAÇÃO

9. 9
EXEMPLO 4 P. 159
STEWART
A POSIÇÃO DE UMA PARTÍCULA É DADA PELA EQUAÇÃO DO
MOVIMENTO (espaço)
s = f (t) = 1 / (1 +t), onde t é medido em
segundos e s em metros.
Encontre a velocidade e a rapidez (módulo da vel.) após 2 segundos ( t=2s).
Solução: A derivada de f em t é:
f ’(t ) = f ’(2) = lim f ( t + h ) – f ( t ) / h
h 0
Argumento é 2 +h, então:
f ’(2) = lim 1 / 1 + (2 +h) – 1 / 1 + 2
resolvendo, tem-se que: f ’(t) = -1/9.
Resp: A velocidade após 2 segundos é = – 1/9 e
a rapidez que é o módulo da velocidade é: mód. -1/9 = 1/9. m/s

10. 10
Exemplo
Para uma motocicleta viajando a uma
velocidade v milhas /h quando é freada,
a distância d (em pés) necessária para
parar a motocicleta pode ser
aproximada da fórmula d = 0,05v
2
+ v .
Encontre a taxa de variação
instantânea da distância em relação à
velocidade, quando a velocidade for 49
milhas/h.

11. 11
Resolução:
d = 0,05v
2

+v
a taxa de variação instantânea
da distância em relação à
velocidade = derivada =
d’= 2. (0,05) v +1 = 0,10. 49 + 1 =
5,9 milhas/h