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apresentação equação 2 grau

1. EQUAÇÃO IRRACIONAL 9° Ano Prof. : Allysson

2. RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO IRRACIONAL          A resolução de uma equação irracional deve ser efetuada procurando transformá-la inicialmente numa equação racional, obtida ao elevarmos ambos os membros da equação a uma potência conveniente. Em seguida, resolvemos a equação racional encontrada e, finalmente, verificamos se as raízes da equação racional obtidas podem ou não ser aceitas como raízes da equação irracional dada ( verificar a igualdade ). É necessária essa verificação, pois, ao elevarmos os dois membros de uma equação a uma potência, podem aparecer na equação obtida raízes estranhas à equação dada. Observe alguns exemplos de resolução de equações irracionais no conjunto dos reais. Vejam:

3. Solução: Logo v={58}

4. Exemplo 1: Vamos encontrar a solução desta equação: Exemplo 2 : Equações irracionais podem aparecer na forma de uma  equação exponencial , ou seja, a variável encontra-se no índice de uma raiz. Seja a equação 

5. Exemplo 3 : Agora vamos obter a solução de  Podemos elevar ao quadrado os dois membros da igualdade, o que nos resulta em:

6. DETERMINAÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2°GRAU CONHECIDAS AS RAÍZES 9° Ano Prof. : Allysson

7. Há dois métodos para descobrir a equação do 2° grau a partir das raízes. 1° Método: Pela fórmula Considere a equação do 2º grau ax² + bx + c = 0. Dividindo todos os termos por a (a≠0), obtemos:

8. Exemplos: a) Componha a equação do 2º grau cujas raízes são - 2 e 7 Fórmula: x² - Sx + P Soma das raízes (S): - 2 + 7 = 5 Produto das raízes (P): (- 2) x 7 = - 14 Aplicando na fórmula: x² - Sx + P x² - 5x - 14

9. Caso queira confirmar se a equação encontrada está correta, é só desenvolvê- la e confirmar os valores das raízes!

10. Componha a equação do 2º grau cujas raízes são -4 e 5 Soma das raízes (S): -4 + 5 = 1 Produto das raízes (P): (-4) x 5 = - 20 Fórmula: x² - Sx + P = x² - x -20 = Componha a equação do 2º grau cujas raiz es -1 e -2/3. Soma das raízes (S): - 1 + − 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 ⇒ −𝟏 − ⇒ − 𝟓 𝟑 − 𝟐 = 𝟐 𝟑 𝟑 Produto das raízes (P): −𝟏 𝒙 Fórmula: x² - Sx + P = 𝑥 2 + 5𝑥 + 2 = ou 3 3

11. 2° Método: a) Componha a equação do 2º grau cujas raízes são -2 e 7 Para

12. b) Componha a equação do 2º grau cujas raízes são -9 e 9

13. c) Componha a equação do 2º grau cuja raíz é 5 (raiz única)

14. EXERCÍCIO

15. EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS 9° Ano Prof. : Allysson

16. Equação Fracionária A equação fracionária é aquela em que ao menos uma incógnita aparece no denominador de uma fração. A  equação fracionária  diferencia-se das demais equações pelo fato de que pelo menos um dos termos é uma fração algébrica, isto é, a incógnita aparece no denominador de uma fração. Uma fração jamais pode ter denominador zero (nulo), por isso, sempre que vamos resolver uma equação fracionária, devemos analisar os denominadores para verificar em quais casos a equação não é definida. Vejamos alguns exemplos : Exemplo 1: 2  =  x – 1 x     x + 2 Nesse caso, os denominadores devem ser diferentes de zero, portanto, podemos dizer que: Para resolver a equação fracionária, vamos encontrar o mínimo múltiplo comum entre os dois denominadores. Feito isso, vamos dividi-lo por cada denominador e multiplicá-lo pelo seu respectivo denominador : 2(x + 2)  =  x(x – 1) x(x + 2)    x(x +2)

17. Como ambos os denominadores são iguais, podemos desconsiderá-los, ficando apenas com: 2(x + 2) = x(x – 1) Aplicando a propriedade distributiva, temos: 2x + 4 = x 2  – x Colocando os termos em ordem de um mesmo lado da equação, teremos montada uma equação de segundo grau: x 2  – 3x – 4 = Essa equação possui coeficientes  a = 1 ,  b = – 3  e  c = – 4 . Vamos resolver a equação através da fórmula de Bhaskara : x =  –b ± √[b² – 4ac]             2a x =  –(–3) ± √[(–3)² – 4.1.(–4)]      2.1 x =  +3 ± √[9 + 16]      2 x =  3 ± √25       2 x =  3 ± 5        2

18. x' =  3 + 5  =  8  = 4    2       2 x'' =  3 – 5  =  – 2  = –1  2        2 Portanto, os resultados possíveis são:  x = 4  e  x = – 1 . Exemplo 2: 3  =  5  +  1 2    x     5 Para essa equação, em razão da presença do x no denominador, temos a restrição de que x ≠ 0. Para iniciarmos a resolução desse exemplo, devemos encontrar o mínimo múltiplo comum dos denominadores  2, 5  e  x , que é  10x.  Vamos então dividir esse termo por cada denominador e multiplicá-lo pelo respectivo numerador: 3.5x  =  10.5 + 2x.1 10x           10x      Como os denominadores são iguais, podemos desconsiderá-los, ficando apenas com: 3.5x = 10.5 + 2x.1

19. Resolvendo a equação, temos: 15x = 50 + 2x 15x – 2x = 50 13x = 50 x =  50      13 Portanto, o resultado da equação é  50 / 13 . Exemplo 3:    2     +     1     +      2     =      1       x        x–2        x+2       x 2 –4 Vejamos para quais valores de x a equação não está definida: x ≠ 0 x–2 ≠ 0 → x ≠ 2 x+2 ≠ 0 → x ≠ 2 x 2  – 4 ≠ 0 → x 2  ≠ 4 → x ≠  2 √4 → x ≠ ±2 Vamos fatorar o último denominador a fim de facilitar nossos cálculos posteriores :    2     +     1     +      2     =       1          x         x–2       x+2    (x+2)(x–2)

20. Agora é necessário encontrar o mínimo múltiplo comum dos denominadores e, em seguida, dividi-lo por cada denominador e multiplicá-lo pelo respectivo numerador: 2.(x+2).(x–2) + 1x.(x+2) + 2x.(x–2)  =         1x                        x(x+2)(x–2)                       x(x+2)(x–2) Como os denominadores são iguais, podemos desconsiderá-los, restando apenas: 2.(x+2).(x–2) + 1x.(x+2) + 2x.(x–2) = 1x 2(x 2 –4) +1x.(x+2) + 2x.(x–2) – x = 0 Aplicando a propriedade distributiva, temos: 2x 2  – 8 + x 2  + 2x + 2x 2  – 4x – x = 0 5x 2  – 3x – 8 = 0 Para resolver essa equação do segundo grau, utilizaremos a fórmula de Bhaskara , lembrando que os coeficientes dessa equação são:  a = 5 ,  b = – 3  e  c = – 8 . x =  –b ± √[b² – 4ac]       2a x =  –(–3) ± √[(–3)² – 4.5.(–8)]        2.5 x =  3 ± √[9 + 160]      10 x'=  3 ± √169       10 x =  3 ± 13      10

21. x' =  3 +13       10 x' =  16       10 x' = 1,6   x'' =  3 – 13        10 x'' =  – 10         10 x'' = – 1 Os resultados possiveis para x são: 1,6 e – 1