Diapositiva - Desigualdades e inecuaciones Lineales y Cuadráticas.pdf

Desigualdades e inecuaciones Lineales y Cuadráticas, Desigualdades e inecuaciones Lineales y Cuadráticas Desigualdades e inecuaciones Lineales y Cuadráticas Desigualdades e inecuaciones Lineales y Cuadráticas Desigualdades e inecuaciones Lineales y Cuadráticas Desigualdades e inecuaciones Lineales y Cuadráticas Desigualdades e inecuaciones Lineales y Cuadráticas Desigualdades e inecuaciones Lineales y Cuadráticas Desigualdades e inecuaciones Lineales y Cuadráticas Desigualdades e inecuaciones Lineales y Cuadráticasv

1. ÁLGEBRA
DOCENTE :HUGO ESCOBEDO V.

2. DESIGUALDADES E
INECUACIONES

3. Observación :
A los signos de relación > o < se les da el nombre de signos simples mientras que a
≤ o ≥se les denomina signos dobles.
DESIGUALDADES
Definición
Se denomina desigualdad a la comparación que se establece entre dos expresiones
reales, mediante los signos de relación >, <; ≥ o ≤.
Ejemplo :
Siendo, a y b números reales :
a > b a mayor que b
a < b a menor que b
a ≥ b a mayor o igual que b
a ≤ b a menor o igual que b

4. Axiomas de la desigualdad

5. Intervalos
Los intervalos son subconjuntos de los números reales que se
pueden representar gráficamente en la recta numérica.
1.Intervalo abierto
Incluye a todos los reales comprendidos entre ayb,
sinincluir a “a”, ni“b”.
] a,b [= {x ЄIR/ a < x < b }
a b
-∞ +∞
Gráficamente:
Observación: ] a,b [ =(a,b)

6. 2.Intervalo cerrado
Incluye a todos los reales comprendidos entre ayb,
incluyendo a “a”y“b”.
[ a,b ]= {x ЄIR/ a ≤ x ≤ b }
a b
-∞ +∞
Gráficamente:

7. 3.Intervalo semi-abiertoo semi-cerrado
Incluye a todos los reales comprendidos entre ayb,
incluyendo a “a”pero no a“b”.
Gráficamente:
I. [ a,b [= {x ЄIR/ a ≤ x < b }
ba
-∞ +∞
Incluye a todos los reales comprendidos entre ayb,
noincluyendo a “a”,pero sí a“b”.
Gráficamente:
II. ] a,b ]= {x ЄIR/ a < x ≤ b }
ba
-∞ +∞

8. 4.Intervalos indeterminados
Incluye a todos los reales mayores o iguales que “a”
I. [ a,+∞ [= {x ЄIR/ x ≥ a }
a
-∞ +∞
Incluye a todos los reales mayores que “a”
II. ] a,+∞ [= {x ЄIR/ x > a }
a
-∞ +∞

9. Incluye a todos los reales menores o iguales que “b”
III. ]-∞, b ]= {x ЄIR/ x ≤ b }
b
-∞ +∞
IV. ]-∞, b [= {x ЄIR/ x < b }
Incluye a todos los reales menores que “b”
b
-∞ +∞

10. V. ]-∞, +∞ [= IR
+∞-∞
IR
El infinito nunca se incluye dentro de
un intervalo y además nunca se
escribe en la desigualdad.

11. Inecuación lineal
Corresponde a una desigualdad condicionada, es decir, se
busca el conjunto de valores que al reemplazarlos en la
variable, cumpla con la desigualdad.
Ejemplos:
a)
7
√5-x
La expresión representa un número real si:
5 -x > 0
5 > x
x es un número real menor que 5,
5
-∞ +∞
o bien, x Є] -∞, 5 [
Gráficamente:

12. x
2
6x -2
5
≥ 1- (Multiplicando por 10)
b)
6x -2
5
≥
x
2
-10 ∙ 1010 ∙
2(6x –2) ≥ 5x -10
12x –4 ≥ 5x -10
(Simplificando)
(Desarrollando)
12x –5x ≥ 4 -10
7
x ≥ -6
7x ≥ -6
,+∞o bien, x Є
7
-6
-∞ +∞
7
-6
Gráficamente:
Se cumple para todo x mayor o igual que
7
-6 ,

13. c)7x –8 ≥ 4x –16 + 3x + 4
7x –8 ≥ 7x -12
–8 ≥ -12
En este caso, la incógnita se ha eliminado. Sin embargo,
la desigualdad resultante es verdadera. Esto significa
que la inecuación se cumple para cualquier x en los
reales.
+∞-∞
IR
Gráficamente:

14. d)6x + 11
2
<3x / ∙ 2
6x + 11 < 6x
11 < 0
En este caso, la incógnita también se ha eliminado; pero
la desigualdad resultante es FALSA.
Esto significa que la desigualdad nose cumple, ya que NO
existe un xreal que satisfaga la inecuación.
El conjunto solución de la inecuación es el conjunto vacío:

15. 1.Si ??????∈ۦ2;ሿ5encontrar el intervalo de: 2??????−3
2<??????≤5
4<2??????≤10
1<2??????−3≤7
2??????−3∈ۦ1;ሿ7
SOLUCIÓN:
2.Si ??????∈ۦ−1;ሿ3encontrar el intervalo de: 3??????+2
−1<??????≤3
−3<3??????≤9
−1<3??????+2≤11
3??????+2∈ۦ−1;ሿ11
SOLUCIÓN:

16. 3.Si ??????∈ۦ0;ۧ1encontrar el intervalo de: ??????−
3
2
0<??????<1
−
3
2
<??????−
3
2
<1−
3
2
??????−
3
2
∈ൽ−
3
2
;ඁ−
1
2
SOLUCIÓN:
−
3
2
<??????−
3
2
<−
1
2
4.Si ??????∈ۦ1;ۧ3encontrar el intervalo de: ??????
2
−1
SOLUCIÓN:
1<??????<3
1<??????
2
<9
0<??????
2
−1<8
??????
2
−1∈ۦ0;ۧ8

17. 5.Si ??????∈ۦ−4;ۧ1encontrar el intervalo de: ??????
2
+1
SOLUCIÓN:
−4<??????<1
0≤??????
2
<16
1≤??????
2
+1<17
??????
2
+1∈ሾ1;ۧ17
6.Si ??????∈ۦ−2;ۧ1encontrar el intervalo de: ??????
2
+2
−2<??????<1
0≤??????
2
<4
2≤??????
2
+2<6
??????
2
+2∈ሾ2;ۧ6
SOLUCIÓN:

18. 8.Si ??????∈ۦ3;ۧ5encontrar el intervalo de:
3??????+2
??????+1
7.Si ??????∈ۦ−2;−ሿ1encontrar el intervalo de:
1
??????−1
−2<??????≤−1
−3<??????−1≤−2
−
1
2
≤
1
??????−1
<−
1
3
1
??????−1
∈൥−
1
2
;ඁ−
1
3
3<??????<5
SOLUCIÓN:
SOLUCIÓN:
4<??????+1<6
1
6
<
1
??????+1
<
1
4
−
1
4
<−
1
??????+1
<−
1
6
=3−
1
??????+1
−
1
4
+3<3−
1
??????+1
<−
1
6
+3
11
4
<
3??????+2
??????+1
<
17
6
3??????+2
??????+1
∈ൽ
11
4
;ඁ
17
6

19. Inecuaciones cuadráticas
Forma general:
&#3627408462;??????
2
+&#3627408463;??????+&#3627408464;>0 &#3627408462;??????
2
+&#3627408463;??????+&#3627408464;<0∨
CRITERIOS A SEGUIR PARA RESOLVER ESTE TIPO DE
INECUACIONES:
1.Elcoeficienteprincipaldebeserpositivoylainecuación
debeestarreducidademodoqueenelsegundomiembro
figureelcero.
2.Elprimermiembrodebeestarfactorizado,luegoseiguala
cadafactoracero,paradeestamaneraencontrarlospuntos
críticos.
3.Seubicandichospuntosencontradossobrelarecta
numérica(puntoscríticos).

20. 4.Seasignaelsigno(+)alúltimointervaloydespuésenlos
demásintervalosdevariaciónsealternanlossignos(-
);(+);(-);(+)…;dederechaaizquierda.
5.Lasolucióndelainecuaciónestarádadaporlaszonas
positivassielsentidodeladesigualdadesmayor(>)opor
laszonasnegativassielsentidodeladesigualdadesmenor
(<).RECUERDA O ()+
  ()−
 

21. Caso1:
Si=b
2
–4ac>0,entonces,P
(x)=ax
2
+bx+ctienedosraíces
realesydiferentes,porejemplox
1,x
2,conx
1x
2entonces:
P
(x)= ax
2
+ bx+ c = a (x –x
1)(x –x
2)
1. P
(x)= ax
2
+ bx+ c > 0 P
(x)= a(x –x
1)(x –x
2) > 0
a) Si a 0 x -∞ , x
1U x
2, +∞
b) Si a 0 x x
1; x
2
2. P
(x)= ax
2
+ bx+ c < 0 P
(x)= a(x –x
1)(x –x
2) < 0
a) Si a 0 x x
1, x
2
b) Si a 0 x -∞ , x
1U x
2, +∞

22. Caso 2:
Si = b
2
–4ac = 0, entonces P
(x)= ax
2
+bx+c, tiene dos raíces
reales e iguales, es decir: x
1= x
2, luego:Sea: ( )
2
2
(x) 1
P ax bx c a x x= + + = −
1.P(x)=ax
2
+ bx+ c 0 a (x –x
1)
2
0
a) Si a 0 x R –{x
1}
b) Si a 0 x 
2. P(x) = ax
2
+ bx+ c 0 a (x –x
1)
2
0
a) Si a 0 x 
b) Si a 0 x R –{x
1}
Caso 3:
Si = b
2
–4ac < 0 entonces P
(x)= ax
2
+bx+c, no tiene raíces reales
1. Si a 0 ax
2
+bx+ c 0, x R
2. Si a 0 ax
2
+ bx+ c 0 , x R

23. Ejemplo:
Resolver la inecuación:??????
2
−8??????+12>0
Resolución:
❑Factorizando la inecuación:
??????
2
−8??????+12>0
??????−6??????−2>0
❑Aplicamos el método de puntos críticos:
??????−6=0 ??????−2=0
??????=6 ??????=2
❑Ubicamos los valores en la recta numérica:
&#3627409360;&#3627409364;
++ −
−∞ +∞
&#3627408464;.??????.=<−∞;2>∪<6;+∞>

24. EJEMPLITOS

25. 1.Al resolver el sistema:
Indicar cuántos valores enteros lo verifican.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) No existe valor entero.
Solución
:
6(6??????−1)
2
+
6??????
1
<
6
3
18??????−3+6??????<2
24??????<5
??????<0,28333..
❑Multiplicando por 6 la ecuación (1)
……..(1)
……..(2)
6(2??????+5)
3
−
6
2
>
−6??????
1
4??????+10−3>−6??????
10??????>−7
??????>−0,7
❑Multiplicando por 6 la ecuación (2)
−0,7<??????<0,28...
??????={0}

26. Solución
:
2.Resolver:
3
7
2??????−14
<49
3−??????
a)<4;+> b)<-;3> c)<-;4> d)<5;+> e)<3;+>
3
7
2??????−14
<49
3−??????
7
2??????−14
3<7
23−??????
7
2??????−14
3<7
6−2??????
2??????−14
3
<6−2??????
2??????−14<18−6??????
8??????<32
??????<4

27. Solución
:
03. Resolver: x
2
-8x + 15 > 0
a) <-;5> b)<5;+> c)<3;5> d)<-;3> U<5;+> e)<-;5>U <-3;+>
x
2
−8x+15>0
?????? −&#3627409363;
?????? −&#3627409361;
x−5x−3>0
Puntos críticos
??????−&#3627409363;=&#3627409358;??????−&#3627409361;=&#3627409358;
??????=&#3627409363;??????=&#3627409361;
−∞ +∞
&#3627409361;&#3627409363;
++ −
∴&#3627408516;??????=−∞;&#3627409361;∪&#3627409363;;+∞

28. Solución
:
04. Resolver: x
2
-2x -8 < 0
a) <-4;2> b)<2;4> c)<-2;4> d)<-4;-2> e)<0;8>
??????
2
−2??????−8<0
?????? −4
?????? 2
??????−4??????+2<0
Puntos críticos
??????−&#3627409362;=&#3627409358;??????+&#3627409360;=&#3627409358;
??????=&#3627409362;??????=−&#3627409360;
−∞ +∞
−&#3627409360;&#3627409362;
++ −
∴&#3627408464;??????=−2;4

29. Solución
:
05. Resolver: x
2
+ 2x -1 < 0
a) <−2;2> b)<−1−2;1−2> c)<−1−2;1+2>
d)<−1−2;−1+2> e)<−2−2;2−2>
−∞ +∞
−&#3627409359;−&#3627409360;
++ −
∴&#3627408464;??????=−1−2;−1+2
??????
2
+2??????−1<0
Puntos críticos
??????=
−&#3627408515;±&#3627408515;
&#3627409360;
−&#3627409362;&#3627408514;&#3627408516;
&#3627409360;&#3627408514;
??????=
−&#3627409360;±&#3627409362;+&#3627409362;
&#3627409360;
??????=−&#3627409359;±&#3627409360;
−&#3627409359;+&#3627409360;
??????−−1−2??????−−1+2<0

30. Potenciando la capacidad
intelectual de los estudiantes...