DINAM ESTRUC - ESPAÑA.pdf wertyj werthj sdfg

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1. Din¶amica Estructural GMC
An¶alisis S¶³smico de Estructuras:
Din¶amica Estructural
Jos¶e M.
aGoicolea
Depto. Mec¶anica de Medios Continuos
y Teor¶³a de Estructuras
17/03/03
J.M. Goicolea An¶alisis S¶³smico de Estructuras

2. Din¶amica Estructural
I. SISTEMAS LINEALES CON 1 G.D.L.
Oscilador Arm¶onico Simple sin
Amortiguamientok
m
x
mÄx=fk(x)
fk(x) =¡kx)V(x) =
1
2
kx
2
Conservaci¶on energ¶³a:
E=T+V=
1
2
m_x
2
+
1
2
kx
2
=
1
2
kA
2
(1)
dondeAes la amplitud m¶axima( _x= 0).
J.M. Goicolea An¶alisis S¶³smico de Estructuras

3. Din¶amica Estructural
Integraci¶on de la ecuaci¶on
Despejando_xen (1):
_x=
r
k
m
(A
2
¡x
2
))
r
k
m
dt=
dx
p
A
2
¡x
2
;
Integrando, denominando!0
def
=
p
k=m, y tomando como
condici¶on inicialx= 0parat= 0,
!0t= arc sen
³
x
A
´
)x(t) =Asen(!0t):
En un caso general (condiciones iniciales gen¶ericasx0,_x0):
x(t) =Asen(!0t+Á):
J.M. Goicolea An¶alisis S¶³smico de Estructuras

4. Din¶amica Estructural
Oscilador con Amortiguamientok
x
c
m
fc=¡c_x)mÄx+c_x+kx= 0
Sic < ccrit= 2
p
km,
x(t) =Ae
¡
c
2m
t
sen(!Dt+Á)
siendo!D
def
=!0
p
1¡³
2
;c= 2³!0m. Alternativamente:
Äx+ 2³!0_x+!
2
0x= 0 (2)
x(t) =Ae
¡³!0t
sen(!Dt+Á) (3)
Las constantes(A; Á)se calculan mediante las condiciones
iniciales(x0;_x0).
J.M. Goicolea An¶alisis S¶³smico de Estructuras

5. Din¶amica Estructural
Amortiguamiento
²Medida del amortiguamiento: decremento logar¶³tmico (±),
logaritmo del cociente de amplitudes m¶aximas en dos ciclos
sucesivos.
²Amplitud cicloi:ui=Ae
¡³!0ti
.
ti+1=ti+
2¼
!D
)±= ln
µ
ui
ui+1
¶
=
2¼³
p
1¡³
2
¼2¼³
(su¯cientemente aproximado si³·20 %).
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6. Din¶amica Estructural
Oscilaciones Forzadas
ÄEcuaci¶on:
mÄx+c_x+kx=p(t), Äx+ 2³!0_x+!
2
0x=
p(t)
m
:(4)
ÄSoluci¶on:
x(t) =xh(t) +xp(t);
8
<
:
xh(t) =Ae
¡³!0t
sen(!Dt+Á);
xp(t) :soluci¶on particular.
(5)
ÄExcitaci¶on arm¶onica
p(t) =p0sen!t,xp(t) =x0sen(!t¡Áp) (6)
x0=
p0
p
(k¡m!
2
)
2
+c
2
!
2
=
p0=k
p
(1¡¯
2
)
2
+ 4³
2
¯
2
: (7)
siendo¯
def
=!=!0.
J.M. Goicolea An¶alisis S¶³smico de Estructuras

7. Din¶amica Estructural
Factor de Ampli¯caci¶on Din¶amica
~Deformaci¶on est¶atica:xest=
p0
k
.
~Factor de Ampli¯caci¶on Din¶amica:
x0=Adxest; Ad=
1
p
(1¡¯
2
)
2
+ 4³
2
¯
2
: (8)
1.¯=
!
!0
À1:Ad!0;x0¼
p0
m!
2
. (controlado porm).
2.¯=
!
!0
¿1:Ad!1;x0¼xest=
p0
k
. (controlado pork).
3.¯=
!
!0
¼1:Adm¶aximo (Resonancia);
x0;r=
p0
c!0
;!r=!0
p
1¡2³
2
. (controlado porc).
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8. Din¶amica Estructural
Factor de Ampli¯caci¶on Din¶amica0
1
2
3
4
5
6
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
F
actor
de
respuesta
en
desplaz.,
A
d
!=!0
³=0:01
³=0:05
³=0:10
³=0:20
³=0:70
J.M. Goicolea An¶alisis S¶³smico de Estructuras

9. Din¶amica Estructural
Resonancia. Espectro de Respuesta.
|Despreciando la soluci¶on de la homog¶eneaxh(t)!0,
x(t) =
p0
k
Ad(¯) sen(!t¡Áp); (9)
_x(t) =
p0
p
km
Av(¯) cos(!t¡Áp); (10)
Äx(t) =¡
p0
m
Aa(¯) sen(!t¡Áp): (11)
DondeAv=
!
!0
Ad;Aa=
!
!0
Av=
³
!
!0
´
2
Ad.
|En gr¶a¯ca(ln(!=!0);lnAv):
²Ad=cte.:lnAv= ln(!=!0) + lnAd, recta pendiente+45
±
²Aa=cte.:lnAv=¡ln(!=!0) + lnAa, recta pendiente¡45
±
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10. Din¶amica Estructural0.1
1
10
0.1 1 10
F
actor
de
respuesta
en
v
elo
cidades,
A
v
!=!0
³=0:01
³=0:05
³=0:10
³=0:20
³=0:70
escalamedidaAd escalamedidaAa
Aa=constante; Ad=constante;
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11. Din¶amica Estructural
J.M. Goicolea An¶alisis S¶³smico de Estructuras

12. Din¶amica Estructural
Excitaci¶on en la base. Ecuacionesu(t)
m
ub(t)
uT(t) =ub(t) +u(t)
mÄuT=f(t) =¡ku(t)¡c_u(t)
mÄu+c_u+ku=¡mÄub(t)
}Excitaci¶on arm¶onica:
ub(t) =ub0sen(!t)
Äub=¡!
2
ub0sen(!t):
}Equivale a fuerza aplicada (fuerza inercial, ¯cticia):
p(t) =p0sen!t;p0=mub0!
2
:
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13. Din¶amica Estructural
Excitaci¶on en la base. Ecuaciones (2)
}Desplazamientos relativos
u(t) =
m!
2
ub0
k
Adsen(!t¡Áp) =ub0(!=!0)
2
Adsen(!t¡Áp)
Son los que generan los esfuerzos estructurales
}Desplazamientos totales
uT=ub+u=ub0sen(!t) +ub0(!=!0)
2
Adsen(!t¡Áp)
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14. Din¶amica Estructural
Excitaci¶on en la base. Transmisibilidad.
}Sea movimiento en la baseÄub(t) = Äub0sen!t. Aceleraciones:
ÄuT(t) = Äub+ Äu= Äub0
£
sen(!t) +¯
2
Adsen(!t¡Áp)
¤
;¯
def
=
!
!0
:
}Se de¯ne la Transmisibilidad comoT R
def
=
ÄuT0
Äub0
;
Qmax,base=m¢T R; T R=
s
1 + 4³
2
¯
2
(1¡¯
2
)
2
+ 4³
2
¯
2
²¯=
!
!0
!0:T R!1,ÄuT0¼Äub0.
²¯=
!
!0
! 1:T R!0,ÄuT0¼0.
²Si¯=
!
!0
>
p
2,<amortiguamiento aumenta respuesta!
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15. Din¶amica Estructural
Excitaci¶on en la base. Transmisibilidad.0.1
1
10
100
0.1 1 10
T
ransmisibilidad,
T
R
=
Äu
T
0
Äu
g
0
!=!0
³=0:01
³=0:05
³=0:10
³=0:20
³=0:70
J.M. Goicolea An¶alisis S¶³smico de Estructuras

16. Din¶amica Estructural
Impulso Instant¶aneo:±de Dirac
|Ent=¿, se de¯ne mediante:
8
<
:
±(t) = 0 8t6=¿
l¶³mt!¿±(t) =1;
R
+1
¡1
±(t¡¿) dt= 1
(12)¿
1=²
t t
¿
1
²!0
²²
f(t)
|Prop. fundamental:
R
+1
¡1
g(t)±(t¡¿) dt=g(¿)
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17. Din¶amica Estructural
Respuesta a funci¶on impulso.
|Impulso de una fuerza:I
def
=
R
t1
t0
f(t)dt=m(v1¡v0) =m¢v.
|Fuerza impulsiva o impulso instant¶aneo:fI(t) =I±(t¡¿)
|Sistema inicialmente en reposo(v
¡
0
= 0): impulso
instant¶aneo equivale a velocidad inicialv
+
0
= ¢v0=I=m,
seguida de vibraci¶on libre.
|Para impulso unidad(I= 1)ent=¿, sustituyendo en
vibraci¶on libre (3) las C.I.(x0= 0;_x0= 1=m)resulta
A=
1
m!D
; Á= 0:
h(t¡¿) =
1
m!D
e
¡³!0(t¡¿)
sen(!D(t¡¿))(8t > ¿) (13)
(funci¶on elemental de respuesta a un impulso unidad)
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18. Din¶amica Estructural
Respuesta en el tiempo: Convoluci¶onf(t)
¿ ¿t
f(¿)d¿
²Efecto def(¿)cualquiera:
superposici¶on lineal de impul-
sos elementales,dI=f(¿) d¿;
²Respuesta (en el instantet)
a un impulso elemental (en el
instante¿):h(t¡¿)f(¿) d¿
²Respuesta af(¿)cualquiera: suma de impulsos elementales,
x(t) =
Z
t
¡1
h(t¡¿)f(¿) d¿
=
Z
t
¡1
f(¿)
m!D
e
¡³!0(t¡¿)
sen(!D(t¡¿)) d¿
(14)
²Incluye respuesta en r¶egimen transitorio
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19. Din¶amica Estructural
Ciclo de hist¶eresis en amortiguamiento viscoso
~Energ¶³a disipada por las fuerzas internas:(fint=¡ku¡c_u)
en un ciclo del r¶egimen permanente,u(t) =u0sen(!t¡Áp):
ED=
Z
2¼=!
0
fint_udt
=¡c!u
2
0
Z
2¼=!
0
[cos
2
(!t¡Áp)
+
1
2
sen(2!t¡2Áp)] dt
=¡¼c!u
2
0=¡2¼³
!
!0
ku
2
0¡ku0
f
ku0
u¡u0 u0
~El resorte(fk=¡ku)no desarrolla trabajo.
~<EDdepende de la frecuencia!!
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20. Din¶amica Estructural
Amortiguamiento Hister¶etico
|BuscamosEDindependiente de!, m¶as acorde con
resultados experimentales en vibraciones estructurales.
|Tomamosc
0
=
´k
!
!fD=¡
´k
!
_u:
ED=¡¼´ku
2
0=¡2¼´ES0
(siendoES0
=
1
2
ku
2
0) (15)
|M¶as realista para materiales estructurales, pero m¶as
inc¶omodo para resolver anal¶³ticamente.
|Amortiguamiento viscoso equivalente:centrado en!=!0,
³=
c
2m!0
=
´
2¯
; ¯= 1)³eq=
´
2
(16)
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21. Din¶amica Estructural
Funci¶on de Respuesta Compleja (I)
ÄCarga de¯nida como funci¶on compleja:
p(t) =p0e
i!t
=p0(cos(!t) +isen(!t)) (17)
(s¶olo tiene validez f¶³sica la parte real,p0cos(!t))
ÄRespuesta:u(t) =u0e
i!t
=u0(cos(!t) +isen(!t)), conu02C.
ÄDerivando:_u=i!u;Äu=¡!
2
u, luego:
mÄu+c_u+ku=p(t))u0e
i!t
(¡m!
2
+ic!+k)
| {z }
=Z(!);impedancia
=p0e
i!t
(18)
ÄOtra forma de expresarZ(!):
Z(!) =
£
(1¡¯
2
) + 2i³¯
¤
k;
µ
¯=
!
!0
¶
: (19)
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22. Din¶amica Estructural
Funci¶on de Respuesta Compleja (II)
ÄFunci¶on de Respuesta ComplejaoAdmitancia:H(!)2C,
u0Z(!) =p0)u0=
1
Z(!)
p0=H(!)p0
H(!) =
1=k
(1¡¯
2
) + 2i³¯
(20)
ÄEl m¶odulo de¯ne la amplitud de la respuesta:
jH(!)j=
1=k
p
(1¡¯
2
)
2
+ 4³
2
¯
2
=Ad
1
k
(21)
J.M. Goicolea An¶alisis S¶³smico de Estructuras

23. Din¶amica Estructural
Rigidez Compleja
}Sistema con amortiguamiento hister¶etico,c
0
=´k=!.
En notaci¶on compleja,
mÄu+
µ
´k
!
¶_u
z}|{
i!u+ku=p0e
i!t
mÄu+k(1 +i´)
|{z}
k
u=p0e
i!t
(22)
}Rigidez compleja:k=k(1 +i´)
}En este caso, la funci¶on de respuesta compleja es:
H(!) =
1
k(1 +i´) +m!
2
=
1=k
(1¡¯)
2
+i´
(23)
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24. Din¶amica Estructural
Sistemas conNG.D.L.: Ecuaciones
[M]fÄug+ [C]f_ug+ [K]fug=fp(t)g
mipÄup+cip_up+kipup=fi; i; p= 1; : : : N
Ejemplo:
k2; c2
m2
k1; c1
m1
k3; c3
m3
u1 u2 u3
[M] =
³
m10 0
0m20
0 0 m3
´
; [C] =
³
c1+c2¡c20
¡c2c2+c3¡c3
0 ¡c3c3
´
; [K] =
µ
k1+k2¡k20
¡k2k2+k3¡k3
0 ¡k3k3
¶
J.M. Goicolea An¶alisis S¶³smico de Estructuras

25. Din¶amica Estructural
Sistemas conNG.D.L.: Propiedades
[M]: matriz de masa; sim¶etrica y>0.
[C]: matriz de amortiguamiento viscoso;¸0.
[K]: matriz de rigidez; sim¶etrica y>0.
|Linealidad: sifu1gsoluci¶on deff1g,fu2gsoluci¶on deff2g,
entonces:
®fu1g+¯fu2gsoluci¶on de®ff1g+¯ff2g
J.M. Goicolea An¶alisis S¶³smico de Estructuras

26. Din¶amica Estructural
Vibraciones libres sin amortiguamiento
|Ecuaciones del movimiento (acopladas):
[M]fÄug+ [K]fug=f0g
mipÄup+kipup= 0; i; p= 1; : : : N
Buscamos soluci¶on del tipofu(t)g=<
¡
fagCe
i!t
¢
.
8
>
>
<
>
>
:
fag 2R
N
;
C2C; C=D+Ei;(D; E2R);
e
i!t
= cos(!t) +isen(!t):
<
¡
Ce
i!t
¢
=Dcos(!t)¡Esen(!t)) =Bcos(!t¡±)
J.M. Goicolea An¶alisis S¶³smico de Estructuras

27. Din¶amica Estructural
An¶alisis modal
Sustituyendo en la ecuaci¶on:
f_ug=i!fagCe
i!t
;fÄug=¡!
2
fagCe
i!t
;
¡
¡!
2
[M] + [K]
¢
fagCe
i!t
=f0g
Para que exista esta soluci¶on,fagy!deben cumplir:
¡
¡!
2
[M] + [K]
¢
fag=f0g
Se plantea unproblema de autovalores generalizado, en
funci¶on de¸=!
2
:
[K]fag=¸[M]fag
(Podr¶³a convertirse en un problema de autovaloresest¶andar,
del tipo[A]fag=¸fag, mediante[A] = [M]
¡1
[K], pero esto
llevar¶³a a perder la propiedad de simetr¶³a.)
J.M. Goicolea An¶alisis S¶³smico de Estructuras

28. Din¶amica Estructural
An¶alisis modal (2)
Condici¶on para la existencia de soluci¶on no trivial(fag 6=f0g)
(ecuaci¶on caracter¶³stica):
det
¡
¡!
2
[M] + [K]
¢
= 0
|Polinomio de gradoNen¸. Al ser[M]y[K]sim¶etricas y
>0, se obtienenNautovalores reales y positivos.
|Para cada autovalor¸k, resolviendo el problema de
autovalores, se obtiene un autovector asociadofakg. Este
queda de¯nido a falta de una constante (sifakges
autovector,¹fakgtambi¶en lo es).
|Se denomina:
!k=
p
¸k:frecuencia propia;
fakg:modo normal de vibraci¶on.
J.M. Goicolea An¶alisis S¶³smico de Estructuras

29. Din¶amica Estructural
An¶alisis modal (3)
|Soluci¶on general combinaci¶on lineal de losNmodos:
fu(t)g=
N
X
k=1
fakgBkcos(!kt¡±k);
donde(Bk; ±k)son2Nconstantes que se obtienen con las2N
condiciones iniciales(fu0g;f_u0g).
ÄOrtogonalidadde los modos normales de vibraci¶on:
((Modos correspondientes a frecuencias propias distintas son
ortogonalesrespecto de la matriz de masa))
fakg
T
[M]falg= 0sik6=l:
ÄMasa modal:
Mk
def
=fakg
T
[M]fakg 6= 0 (= 1 : ((normalizados)))
J.M. Goicolea An¶alisis S¶³smico de Estructuras

30. Din¶amica Estructural
An¶alisis modal (4)
ÄDe¯nimos lamatriz modalcomo aquella que tiene por ¯las
los modos normales de vibraci¶on:
[A] =
2
6
6
6
6
6
4
fa1g
T
fa2g
T
¢ ¢ ¢
faNg
T
3
7
7
7
7
7
5
= [aij]
ÄLa matriz modal diagonaliza simult¶aneamente a las
matrices de masa y rigidez:
[A][M][A]
T
= diag(M1; M2; : : : MN)
[A][K][A]
T
= diag(!
2
1M1; !
2
2M2; : : : !
2
NMN)
J.M. Goicolea An¶alisis S¶³smico de Estructuras

31. Din¶amica Estructural
An¶alisis modal (5)
ÄLa matriz modal permite un cambio de variables, de las
coordenadasgeom¶etricas(fug)a las coordenadasnormales
(fxg). Estas no son m¶as que las amplitudes, variables con el
tiempo, de los modos de vibraci¶on:
fu(t)g=fa1gx1(t) +fa2gx2(t) +: : :+faNgxN(t) = [A]
T
fxg:
ÄCambiando a las coordenadas normales y premultiplicando
por[A], las ecuaciones quedan desacopladas:
MkÄxk+!
2
kMkxk= 0; k= 1; : : : N
J.M. Goicolea An¶alisis S¶³smico de Estructuras

32. Din¶amica Estructural
An¶alisis modal (6)
ÄDescomposici¶on modal espectral deM;K
M=
N
X
k=1
1
Mk
(Mak)(a
T
kM); K=
N
X
k=1
!
2
k
Mk
(Mak)(a
T
kM)
ÄDescomposici¶on modal espectral deM
¡1
;K
¡1
M
¡1
=
N
X
k=1
1
Mk
aka
T
k; K
¡1
=
N
X
k=1
1
!
2
k
Mk
aka
T
k
J.M. Goicolea An¶alisis S¶³smico de Estructuras

33. Din¶amica Estructural
Oscilaciones libres con amortiguamiento
}Sistema de ecuaciones (acopladas):
[M]fÄug+ [C]f_ug+ [K]fug=f0g
mipÄup+cip_up+kipup= 0; i; p= 1; : : : N
}SiAmortiguamiento de Rayleigh ([C] =®[M] +¯[K]):
[A][C][A]
T
= diag(2³1!1M1;2³2!2M2; : : :2³N!NMN)
}Haciendo el cambio a coordenadas normales, ecuaciones
desacopladas:
MkÄxk+ 2³k!kMk_xk+!
2
kMkxk= 0; k= 1; : : : N
}Soluci¶on general:
fu(t)g=
N
X
k=1
fakgBke
¡³k!kt
cos(!D;kt¡±k):
J.M. Goicolea An¶alisis S¶³smico de Estructuras

34. Din¶amica Estructural
Vibraciones forzadas
~Sistema de ecuaciones (acopladas):
[M]fÄug+ [C]f_ug+ [K]fug=fp(t)g
mipÄup+cip_up+kipup=pi(t); i; p= 1; : : : N
~Soluci¶on general: sol. general homog¶enea + sol. particular
completa:
fu(t)g=fuh(t)g+fup(t)g
~Sistema con amortiguamiento:l¶³mt!1fuh(t)g= 0.
~R¶egimen permanente(para excitaci¶on peri¶odica):
l¶³mt!1fup(t)g
J.M. Goicolea An¶alisis S¶³smico de Estructuras

35. Din¶amica Estructural
Vibraciones forzadas (2)
~Suponemos excitaci¶on de¯nida como
fp(t)g=fsgp(t)
(fsgvector de excitaci¶on;p(t)variaci¶on temporal de la
excitaci¶on)
~Realizando la descomposici¶on modal:
fug= [A]
T
fxg=
N
X
k=1
fakgxk(t);
[A][M][A]
T
fÄxg+ [A][C][A]
T
f_xg+ [A][K][A]
T
fxg= [A]fsgp(t)
J.M. Goicolea An¶alisis S¶³smico de Estructuras

36. Din¶amica Estructural
Vibraciones forzadas (3)
}resultanNecuaciones desacopladas,
MkÄxk+ 2³k!kMk_xk+!
2
kMkxk=akpspp(t)
|{z}
Pk(t)
k= 1; : : : N
}Dividiendo por las masas modalesMk,
Äxk+ 2³k!k_xk+!
2
kxk=
1
Mk
akpsp
|{z}
¡k
p(t)k= 1; : : : N(24)
}Pk(t)se denominanfuerzas modales, y los t¶erminos
¡k=
1
Mk
fakg
T
fsgse denominancoe¯cientes de participaci¶on
modal(Coe¯cientes de las fuerzas modales por ud. de masa
modal). Determinan las amplitudes modales xk(t). No ofrecen
una de¯nici¶on intr¶³nseca,dependen del tipo de normalizaci¶on
elegida para los modos de vibraci¶on.
J.M. Goicolea An¶alisis S¶³smico de Estructuras

37. Din¶amica Estructural
Descomposici¶on modal de la excitaci¶on
ÄEl vector de excitaci¶onfsgse puede descomponer como
suma
fsg=
N
X
n=1
fsng=
N
X
n=1
¡n[M]fang;
ÄEs inmediato comprobar que la componente fsngs¶olo
produce respuesta para el modon(por la ortogonalidad
modal,famg
T
fsng= 0sim6=n).
ÄLa descomposici¶on en las componentes modales fsngno
depende de la normalizaci¶on elegida, esintr¶³nseca.
ÄLa componente del modo nde la excitaci¶on produce la
componente modal ndel desplazamiento respuesta:
fsngp(t) = ¡n[M]fangp(t) =) fun(t)g=fangxn(t)
J.M. Goicolea An¶alisis S¶³smico de Estructuras

38. Din¶amica Estructural
Descomposici¶on modal de la excitaci¶on (2)
~Fuerzas est¶aticas equivalentes:aplicadas de forma est¶atica
a la estructura, producen los mismos esfuerzos que la
excitaci¶on din¶amica
ffn(t)g= [K]fung= [K]fangxn(t)
=!
2
n[M]fangxn(t)
=
!
2
n
¡n
fsngxn(t)
(25)
~Los valores de las amplitudes modalesxn(t)se calculan de
las ecuaciones modales de 1 G.D.L. (24):
Äxn+ 2³n!n_xn+!
2
nxn= ¡np(t)n= 1; : : : N
J.M. Goicolea An¶alisis S¶³smico de Estructuras

39. Din¶amica Estructural
Descomposici¶on modal de la excitaci¶on (3)
|El m¶aximo desplazamiento obtenido de estas ecuaciones
modales, como se vi¶o en (8), puede determinarse como:
xn;0=x
est
nAd(!n) (26)
|Sip0= m¶ax[p(t)], el desplazamiento est¶atico es:x
est
n=
¡np0
!
2
n
|El factor de ampli¯caci¶on din¶amicoAd(!n)depende de la
variaci¶on temporal de la excitaci¶onp(t)y de la frecuencia
propia del modo considerado,!n. Para el caso particular de
una excitaci¶on arm¶onica pura de frecuencia!, vimos que su
valor es (en funci¶on de¯=!=!n):
Ad=
1
p
(1¡¯
2
)
2
+ 4³
2
¯
2
:
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40. Din¶amica Estructural
Descomposici¶on modal de la excitaci¶on (4)
}Suponemos ahora una determinada componente de la
respuesta que interesa determinar,r(t)(p. ej. un esfuerzo
cortante, un °ector, el desplazamiento de un punto
determinado, etc.).
}El valor der(t)podr¶a ser determinado a partir de las
fuerzas est¶aticas equivalentes (25) (con dependencia lineal de
las mismas). La componente de r(t)debida a la componente
nde la excitaci¶on |es decir,fsngp(t)| esrn(t), siendo
r(t) =
P
N
n=1
rn(t). Sear
est
n
la respuesta est¶atica (debida a
fsng). Considerando (25)3y la linealidad de la respuesta, se
veri¯ca:
rn(t) =r
est
n
!
2
n
¡n
xn(t) (27)
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41. Din¶amica Estructural
Descomposici¶on modal de la excitaci¶on (5)
ÄSearn;0el m¶aximo valor de la respuesta debida al modon,
que provendr¶a de la m¶axima amplitud modalxn;0(26).
Sustituyendo en la ecuaci¶on (27),
rn;0=r
est
n
!
2
n
¡n
µ
¡np0
!
2
n
Ad(!n)
¶
| {z }
xn;0=x
est
nAd(!n)
=r
est
np0Ad(!n): (28)
ÄLa respuesta m¶axima queda de¯nida como producto de:
El factor constantep0(m¶aximo dep(t));
r
est
n
, respuesta est¶atica a la componentefsng;
Ad(!n), ampli¯caci¶on din¶amica del modon;
esta ampli¯caci¶on ser¶a¼1para!naltos,À1para!n
resonantes, y¼0para!nbajos.
J.M. Goicolea An¶alisis S¶³smico de Estructuras

42. Din¶amica Estructural
Descomposici¶on modal de la excitaci¶on (6)
~Teniendo en cuenta la respuesta est¶atica total
r
est
=
P
N
n=1
r
est
n
, cabe de¯nir unosfactores de contribuci¶on
modal(Chopra, 1995):
¹rn=
r
est
n
r
est
: (29)
~Estos factores de contribuci¶on modal¹rnde¯nen la
contribuci¶on est¶atica de cada modo en la respuesta
estructural para la componente que se pretende calcular,r(t).
A diferencia de los denominadosfactores de participaci¶on
modal¡n, no dependen de la normalizaci¶on que se haya
llevado a cabo en los modos. Su suma es la unidad,
P
N
n=1
¹rn= 1.
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43. Din¶amica Estructural
Vibraciones por movimiento de la base
ÄDescomposici¶on mov. base + mov. rela-
tivo:
fuTg=fubg+fug
fubg=f¶gub(t)
Äf¶g:(vector de in°uencia).
En este caso (2D),
f¶g=f¶
x
g= (1;0;1;0;1;0;1;0)
T
ÄLas ecuaciones resultan:
u
m4
ub(t)
m3
m2
m1
[M]fÄug+ [C]f_ug+ [K]fug=¡[M]f¶gÄub(t)
mipÄup+cip_up+kipup=¡mip¶pÄub(t); i; p= 1; : : : n
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44. Din¶amica Estructural
Vibraciones por movimiento de la base (2)
ÄVectores de in°uencia:
Desplazamientos est¶aticos en cada
GDL para un movimiento unitario de la
base. Si el apoyo isost¶atico, son
simplemente los desplazamientos
cinem¶aticos.
ub(t)
u2
u3u4
u1
f¶
x
g
T
= (1;1;0;0)
µb(t)
m1
m2
m3
m4
f¶
µ
g
T
= (y1; y2; y3; y4)
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45. Din¶amica Estructural
Vibraciones por movimiento de la base (3)
|Vectores de in°uencia en caso general (3D, con 6 GDL por
nodo): para cada nodoI,
f¶
x
Ig
T
=
³
1 0 0 0 0 0
´
f¶
y
I
g
T
=
³
0 1 0 0 0 0
´
f¶
z
Ig
T
=
³
0 0 1 0 0 0
´
f¶
µx
I
g
T
=
³
0¡zIyI1 0 0
´
f¶
µy
I
g
T
=
³
zI0¡xI0 1 0
´
f¶
µz
I
g
T
=
³
¡yIxI0 0 0 1
´
(siendo(xI; yI; zI)las coordenadas relativas del nodoI
respecto a la base).
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46. Din¶amica Estructural
Vibraciones por movimiento de la base (4)
ÄCortanteQxen la base, como respuesta a un movimiento
impuesto (s¶³smico) en direcci¶onxde la misma: se obtiene
tambi¶en mediante el vector de in°uenciaf¶
x
g:
Qx=fsg
T
f¶
x
g (30)
ÄComponente modal nde cortanteQx:
Qx;n=fsng
T
f¶
x
g= ¡
x
nfang
T
[M]f¶
x
g; (31)
teniendo en cuenta la de¯nici¶on de¡
x
n
, para la excitaci¶on que
nos concierne:¡
x
n=
1
Mn
fang
T
fsg=
1
Mn
fang
T
[M]f¶
x
g, resulta
Qx;n= ¡
x
n(¡
x
nMn)
2
=(¡
x
n)
2
Mn
def
=M
x
e®;n: (32)
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47. Din¶amica Estructural
Vibraciones por movimiento de la base (5)
}LaMasa efectivadel modonen direcci¶onx,M
x
e®;n
, de¯ne
la contribuci¶on de dicho modo al cortante en la base en dicha
direcci¶on, para una aceleraci¶on unitaria de la base.
}La de¯nici¶on realizada de masa efectiva esintr¶³nseca,
independiente de c¶omo se hayan normalizado los modos.
}La suma de las masas efectivas para todos los modos es la
masa total de la estructura (salvo la masa asignada a los
nodos de la base):
N
X
n=1
M
x
e®;n=M
x
:
}Por tanto, si el cortante en la base es una variable
relevante, el n¶umero de modos deber¶a ser tal que su masa
efectiva sea su¯cientemente pr¶oxima a la total (p.ej. 90 %).
J.M. Goicolea An¶alisis S¶³smico de Estructuras

48. Din¶amica Estructural
Vibraciones por movimiento de la base (6)
|Momento en la baseMµ(caso 2D), debido a movimientox
de la base(fsg= [M]f¶
x
g):
Mµ=fsg
T
f¶
µ
g
|La componente debida al modo nes
Mµ;n=fsng
T
f¶
µ
g= ¡
x
nfang
T
[M]f¶
µ
g
=
1
Mn
¡
fang
T
fsg
¢
fang
T
[M]f¶
µ
g
=
1
Mn
¡
fang
T
[M]f¶
x
g
¢ ¡
fang
T
[M]f¶
µ
g
¢
=Mn¡
x
n¡
µ
n
|Altura efectiva modon:he®;n
def
=
Mµ;n
Qx;n
=
¡
µ
n
¡
x
n
:
J.M. Goicolea An¶alisis S¶³smico de Estructuras

49. Din¶amica Estructural
Excitaci¶on en apoyos m¶ultiples
}Suponemos excitaci¶on s¶³smica distinta enNbapoyos:
fubg= (ub;1; ub;2; : : : ub;Nb
)
Tub;1
ub;2 ub;3
ub;4
}Particionamos vector de desplazamientos:
8
<
:
u
T
ub
9
=
;
,
siendou
T
los desplazamientos (totales) en losNg.d.l.
estructurales, yublosNbdesplazamientos s¶³smicos impuestos.
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50. Din¶amica Estructural
Excitaci¶on en apoyos m¶ultiples (2)
ÄEcuaci¶on matricial (particionada):
2
4
M M b
M
T
b
Mbb
3
5
8
<
:
Äu
T
Äub
9
=
;
+
2
4
C C b
C
T
b
Cbb
3
5
8
<
:
_u
T
_ub
9
=
;
+
2
4
K K b
K
T
b
Kbb
3
5
8
<
:
u
T
ub
9
=
;
=
8
<
:
0
pb(t)
9
=
;
(33)
ÄDescomposici¶on de desplazamientos est¶aticos + din¶amicos:
8
<
:
u
T
ub
9
=
;
=
8
<
:
u
s
ub
9
=
;
+
8
<
:
u
0
9
=
;
J.M. Goicolea An¶alisis S¶³smico de Estructuras

51. Din¶amica Estructural
Excitaci¶on en apoyos m¶ultiples (3)
|u
s
: desplaz. est¶aticos en estructura debidos a mov.
impuestoub(t). Deben veri¯car:
2
4
K K b
K
T
b
Kbb
3
5
8
<
:
u
s
ub
9
=
;
=
8
<
:
0
p
s
b
9
=
;
(34)
(p
s
b
=0si los apoyos son isost¶aticos).
|Desarrollando primera ¯la de expresi¶on matricial anterior:
Ku
s
+Kbub=0)u
s
=¡K
¡1
Kbub=¶ub: (35)
|Matriz de in°uencia¶(N£Nb): una columna por cada
grado de libertad impuesto,[¶] = [¶1j¶2j: : :j¶Nb
]:
u
s
(t) =
NbX
l=1
¶lub;l(t) =¶ub(t): (36)
J.M. Goicolea An¶alisis S¶³smico de Estructuras

52. Din¶amica Estructural
Excitaci¶on en apoyos m¶ultiples (4)
~Desarrollando primera ¯la de expresi¶on matricial (33):
MÄu+C _u+Ku
=¡(MÄu
s
+MbÄub)¡(C _u
s
+Cb_ub)
| {z }
=pe®(t)
¡(Ku
s
+Kbub
|{z}
=0
)(37)
~Teniendo en cuenta que las fuerzas de amortiguamiento
son (generalmente) peque~nas, y que la masa asociada a los
nodos de las bases m¶oviles es peque~na, la fuerza s¶³smica
efectiva puede simpli¯carse:
pe®(t) =¡MÄu
s
=¡M¶Äub(t) =¡
NbX
l=1
M¶lÄub;l(t): (38)
J.M. Goicolea An¶alisis S¶³smico de Estructuras