Dinamica hibbeler

INGENIERÍA MECÁNICA

DINÁMICA

DECIMOSEGUNDA EDICI

R. C. HIBBELER '

Ecuaciones fundamentales de dinámica
CINEMÁTICA
‘Movimiento rectilinco de una partícula

Variable a Consume a = 0
a
a at.
a
E sentait
ade = var wa B+ 2046-9)

‘Movimiento curvilínco de una partícula
¡Coordenadasx, y. 2 Coomenadasr =

un

av
ae
1 + pe
we
Movimiento rte

‘Movimiento de un cuerpo rígido con respecto a un
de fijo

Variable a Constante a = 5

aras
00 + ag + das?

er

‘Movimiento plano general relativo- ejestrasindantes
Meat Karate EEE
‘Movimiento plano general rlativo~ejestrasiadante
yrotatorio

Me Ya DX twat (Pdo

ay = a4 + OX tag FOX (OK ty) +
20% (Yardage + (ay

anénca
Momento de nera de masa! = [dm
Teorema del eje paralelo Lola + má?
Radio de giro eE

Ecuaciones de movimiento
Parle Ir = m

Guero ride, 35 ml)
Mortmioplano | 3, = mac),

SMç=loa © SMp=S(A)e
Principio de trabajo y energía

hea hi
eg ita
vt ie
Cuerpo rg
Meni pino | T = Ju + Hd
abajo
Route 0e frenos
Auen Ve = (Rnd) As
Peo Uy = Way
Rewone UG Pa
Moment depar Uy = 30
Potencia nca

„Ba a

Fes” Uae

"Teorema de conservación dela energía
RU RU

Berg potencial

VE VU donde Y,
Principio de impulso y cantidad de movimiento
linates

Punta |

amv et

mx raum
area | moon +2 frame

Conservación de la cantidad de movimiento lineal
Syst mv), = Sat my)»
Coeficiente de restitución

Principlo de impulso y cantidad de movimiento
angulares

ra on +3 fou =o
dane =n)
men Won +3 [Mod = oy

donde He = too

es
ton [=

onde Ho = Lo
Conservación de la cantidad de movimiento angular
Rit M) = St.

Mallo Forma exponencial Prefjo Simbolo St

1.000 000 000 10° den a
1.000.000 1° mega M
1000 10% Kio k

Submiltiplo

‘0001 10
000 001 10%
0000 000 001 10

Factores de conversión (FPS) a (SI)
Unidad de Unidades de
medición (EPS) Esiguala mediciôn (SI)

1 440 N

slug 14.5938 kg
pie 03048 m

Factores de conversién (FPS)

1 pie = 12 pulgadas
1 mi (milla) = 5280 pies
1 kip (Killibra) = 1000 1b

1 ton = 2000 1b

[INGENIERIA MECÁNICA

DINÁMICA

DECIMOSEGUNDA EDICIÓN

RUSSELL C. HIBBELER

TRADUCCIÓN
Rodolfo Navarro Salas.

Ingeniero Mecánico.

Universidad Nacional Autónoma de México

REVISIÓN TÉCNICA
Miguel Ángel Ríos Sánchez

Departamento de Ingenieria Mecánica y Mecatrónica
División de Ingeniera y Arquitectura (DIA)
Instituto Tecnológico yde Estudis Superiores

‘de Monterrey, Campus Estado de México

Prentice Hall

México» Amentina «Bras + Colombia» Costa Rica «Cl «Ecuador
pa Guatemala» Panamá «Per Puro Rico + Urupay - Venezuela

genia min: Dinámica
Decimoregunda ción
PEARSON EDUCACIÓN, México, 2010
ISBN 9787425604,
‘Ares: Ingeniera

Formate: 20285 cm Pian: 752

‘Authored rn roth Elah ange ein, ento Enpacera mahanis:Dpmamic 12 ede, by Rus. Hibbeler
published by Pranon Educa, In, publishing as PRENTICE HALL, INC, Copyright ©2010, lights reed

Tisch autorizada de a din en ion inglés alada Erginering mechanics: Dynamics, 2a ei, por Rue CHibbeler,
Prada por ann Educar, In, publica como PRENTICE HALL INC. Copyright © 210 Todoslosdescos serios.

Fata edison en epaitlesa ics autos

Eich en epi
Bator Le gl Ca Catto
malt biscrn@peanoped com
Biiordedesmolo: | Romaine Outer Hemánder
opor de produción: Enrique Trejo Mendes

DECIMOSEGUNDA EDICIÓN, 2010

.R.©2010por Pess Educació de Méxks, SA. de CV.
Adam $0030.90
Col na too
2519, Naucalpan de Jere, Estado de México

‘Cinura Nacional de a nds Eonia Mosca. Reg. od. 101

Resevados todos o derechos Nie aad parte de etapa pueden reproducirse o transine, por un sema
¿e rermpeaciónde inommacón. e niguna forma por tinge mei, ee Gti cde, (toque, mundi EGP.
por orcopia, gación cualquier oto sin permiso previo po sito delet.

El préstamo aller cualquier oa forma de ción deus de et eempla reger también a una del lor o de ss epre-

ISDN VERSIÓN IMPRESA: 747 40-5604
PRIMERA IMPRESIÓN

Impreso en México. Pred in Meo.
1231567890. Wail 10

Prentice Hall
es una marca de

PEARSON
‘wow pearsoneducacion.com ISBN: 978-607-442-560-4

Al estudiante

Con la esperanza de que este trabajo estimule
un interés en la ingeniería mecánica
y proporcione una guía aceptable para su comprensión.

PREFACIO

El propósito principal de este libro es proporcionar al estudiante una presentación
«lara y completa de la teoría y ls aplicaciones dela ingeniería mecánica Para akan-
zar dicho objetivo, la bra se ha enriquecido con los comentaros y las sugerencias de
«cientos de revisores que se dedican a la enseñanza, asi como muchos de los alumnos
del autor, Esta decimoscgunda edición ha sido mejorada significaivamente en rela-
«ión con la anterior por lo quese espera que tanto el profesor como el estudiante se
beneficien en gran medida de estas mejoras.

Características nuevas

Problemas fundamentales. Se localizan justo después de los problemas
de ejemplo. Ofrecen a los estudiantes aplicaciones simples de los conceptos y, por
ende, a oportunidad de desarrollarsus habilidades para resolver ciertas dificultades
antes de intentar solucionar algunos de los problemas estándar que siguen. Estos
problemas pueden considerarse como ejemplos extendidos puesto que odos tienen
soluciones parciales y respuestas enla parte final del libro, De manera adicional los
problemas fundamentales ofrecen a los estudiantes un excelente medio para repa-
sar antes de los exámenes; y pueden usarse también como una preparación para el
examen de cenificación en ingeniería, en Estados Unidos.

Modificaciones al contenido. Cada sección del texto se revisó con cuidado
y, en muchas áreas, el material se desarroll de nuevo a fin de explicar de mejor
‘manera los conceptos. Esto ha incluido agregar o cambiar varios de los ejemplos
para dar más énfasis a as aplicaciones de los conceptos importantes,

Problemas conceptuales. A lo largo del texto, por lo general al final de cada
capítulo, se incluye una serie de problemas que involucran situaciones oonceptun-
les relacionadas con la aplicación de los principios de mecánica vistos en el capftu-
lo. Estos problemas de análisis y diseño están planteados para que los estudiantes
razonen sobre una situación de la vida real, en donde una fotografia ejemplifica el
escenario. Los problemas pueden asignarse después de que los estudiantes hayan
desarrollado cierta experiencia en el tema,

Fotografias adicionales. Larelewancia de conocereltema estudiados rel»
j mediante Is aplicaciones en el mundo rel quese san en más de 60 ft
fas muevas y actuado alo arg del ro. Esas forografa se usan generalmen-
tepara explica mo se aplican ls principios de mecánican situaciones eles En
algunas scenes, ls fotogralías se tan para mostrar que los ingeneras deben
«rear primero un modelo Mealizado para su análisis y después proceder a dibujar
tm diagrama de curpo libre a part de é con lin de aplicara teoría

Problemas nuevos. En esta edición se han agregado aprotimadamente 850
problemas nuevos, 50% del total, incluyendo aplicaciones en biomecánica e inge-
nierfaaeroespacial y petrolera, Asimismo, esta nueva edición contiene alrededor de
17% más problemas que la edición anterior.

Caracteristicas particulares

“Además de las caractersticas nuevas que se acaban de mencionar, hay otras que
destacan el contenido del texto, entre ellas las siguientes.

Organización y enfoque. Cada capitulo está organizado en secciones bien
definidas que contienen una explicación de temas específicos, problemas de ejemplo
‘lustrativos y conjuntos de problemas de tarea. Los temas dentro de cada sección se
colocan en subgrupos definidos por títulos en letras negrita. El propósito de esto es
presentar un método estructurado para introducir cada nueva definición o concepto.
y convertir libro en una útil y práctica referencia en repasos posteriores,

Contenido del capítulo. Cada capítulo comienza con una ilustración que
muestra una aplicación del tema a tratar, y una lista con viñetas de los objetivos del
‘capitulo para proporcionar una visión general del material que se cubrirá.

Énfasis en los diagramas de cuerpo libre. Al resolver problemas, es
particularmente importante dibujar un diagrama de cuerpo libre, y por esa razón
este paso s enfatiza alo lago del libro. En particular, se dedican secciones y ejem-
plos especiales para mostrar cómo dibujar diagramas de cuerpo libre. También se
han agregado problemas de tarea específicos para desarrollar eta práctica.

Procedimientos para el análisis. Al final del primer capítulo, se presen-
ta un procedimiento general para analizar cualquier problema mecánico. Después,
‘este procedimiento se adapta para resolver problemas específicos a lo largo del
libro, Esta característica única proporciona al estudiante un método lógico y orde»
nado que puede seguir al aplicarla teoría. Los problemas de ejemplo se resuelven
utlizando este método esquemático a fin de clarificar su aplicación numérica. Sin
embargo, una vez que se tiene dominio de los principios relevantes y e ha obtenido
‘onfianza y juicio en el método,el estudiante puede desarrollar sus propios procedi-
mientos para la resolución de problemas,

Puntos importantes. Esta característica proporciona un repaso o resumen
de los conceptos mis importantes en cada sección y resalta los puntos que deben
"observarse al aplicar la teoría para la resolución de problemas,

Comprensión conceptual. Mediante el uso de ls otografas quese incluyen
lo largo del libro, se aplica la teoría de una manera simplificada, a Tin de ilustrar
algunas de sus características conceptuales más importantes e infundir el significado
físico de muchos de los términos que se usan en las ecuaciones, Estas aplicaciones
simplificadas aumentan el interés en el tema estudiado y preparan de mejor manera
al estudiante para entender ls ejemplos y resolver los problemas,

Problemas de tarea. Además delos problemas fundamentales y conceptuales.
‘que se mencionaron, el libro incluye problemas de otro tipo, como los que se descri
ben a continuación:

+ Problemas de diagrama de cuerpo libre. Algunas secciones del libro con-
tienen problemas introductorios que sólo requieren dibujar el diagrama de eu
po libre para una situación especifica, Estas asignaciones harán que el estudiante
conozca la importancia de dominar esta habilidad como un requisito para obtener
‘una solución completa de cualquier problema de equilibrio.

Paco

Peace

+ Problemas generales de análisis y diseño. La mayoría de los problemas pre-
sentan situaciones reales en la prictiea de la ingeniería. Algunos provienen de
‘productos reales usados en la industria. Se espera que este realismo estimule el
interés del estudiante enla ingoniería mecánica y ayudo a desarrollarla habilidad.
de reducir cualquier problema de este tipo desde su descripción física hasta un
modelo o representación simblica a a que se le puedan aplicarlos principios dela
mecánica.

A lo largo del libro existe un balance aproximado de problemas que utlizan unida-
des SI FPS, Además, en todas las series se ha hecho un esfuerzo por ordenar los
‘problemas de acuerdo con una dificultad creciente, excepto para los problemas de
repaso al final de cada capítulo, los cuales se presentan en orden aleatorio.

+ Problemas de computadora. Se ha hecho un esfuerzo por incluir algunos pro-
lemas que pueden resolverse usando un procedimiento numérico ejecutado en
una computadora de escritorio à bien en una calculadora de bolsll. La intención
cs ampliar la capacidad del estudiante para que utilice otras formas de anális
matemático sin sacrificar el tiempo, para enfocarse en la aplicación de Is princi
pips de la mecánica. Los problemas de este tipo, que pueden o deben resolverse
‘con procedimientos numéricos, se identifican mediante un símbolo “cuadrado” (a)
‘antes del número del probleme,

Al exist tantos problemas de tarea en esta nueva edición, se han clasificado entres
estegorías diferentes. Los problemas que se indican simplemente mediante un número
tienen una respuesta al final del Hbro. Sie número del problema está precedido por
una viñeta (+), además de la respuesta se proporciona una sugerencia, una ecuación
dave o un resultado numérico adicional, Por último, un asterisco (*) antes de cada
mimero de problema indica que ése no tiene respuesta.

Exactitud. Aligual que con las ediciones anteriores, la exactitud deltextoy delas
soluciones a los problemas ha sido verificada con profundidad por el autor y otros
cuatro colaboradores: Scott Hendricks, Virginia Polytechnic Institute and State
University; Karim Nohra, University of South Florida, Kurt Norlin, Laurel Tech
Integrated Publishing Services; y Kai Beng, un ingeniero practicante, quien además
de revisarla exactitud proporcionó sugerencias para el desarollo del contenido.

Contenido

Ellibro está dividido en 11 capítulos, en los que los principios se aplican primero en
ciones simples y luego en contextos más complicados.

La cinemática de una particula se estudia en el capitulo 12 yla cinética en los capt
los 13 (Ecuación de movimiento), 14 (Trabajo y energía) y 15 (Impulso y cantidad
de movimiento). Los conceptos de dinámica de una partícula contenidos en estos
‘euatro capítulos se resumen a continuación en una sección de repaso” yal estudiante
sele brinda a oportunidad de identifica y resolver varios problemas

plano de un cuempo rígido se presenta siguiendo una secuencia sim
(Cinemática plana), capítulo 17 (Ecuaciones de movimiento), capítulo 18 (Trabajo y
energía) y capítulo 19 (Impulso y cantidad de movimiento), seguidos por un resumen
y un conjunto de problemas de repaso de estos capítulos

Si el tiempo lo permite, en el curso se puede incluir una parte del material que impli-
‘evel movimiento de un cuerpo rígido tridimensional. La cinemática y cinética de este
‘movimiento se estudian en los capítulos 20 y 21, respectivamente, Se puede incl

‘el capitulo 22 (Vibraciones) siempre que el estudiante cuente con el conocimiento
matemático necesario. Lasseociones del libro que e consideran fuera del ámbito del
‘curso de dinámica básico se indican por medio de una estrella (+) y pueden omitirse.
Observe que este material también constituye una referencia apropiada de los prin-
pios básicos cuando se estudia en cursos más avanzados. Por último, el apéndice
A incluye una lista de fórmulas matemáticas necesarias para resolver los problemas:
«contenidos enel libro, El apéndice B proporciona un breve repaso del andisis vecto-
rial y el apéndice Crevisa a aplicación dela regla de la cadena,

Cobertura alternativa. A discreción del profesor, es posible estudiar los
«capítulos 12 a 19 en el orden siguiente sin perder continuidad: capítulos 12 y 16
(Cinemática), capítulos 13 y 17 (Ecuaciones de movimiento), capítulos 14 y 18
(Trabajo y energía) y capítulos 15 y 19 (Impulso y cantidad de movimiento),

Reconocimientos

tor se ha empeñado en escribi este libro de manera que resulte atractivo tanto
para el estudiante como para el profesor. A través de los años, muchas personas han
“ayudado en su desarrollo y siempre estaré agradecido por sus valiosos comentaros y
‘sugerencias. En especial, deseo agradecer a las siguientes personas sus comentarios
relativos ala preparación de esta decimosegunda edición.

Per Reinhall, University of Washington

Faissal A. Moslehy, University of Cental Florida

Richard R, Neptune, University of Texas at Austin

Robert Rennaker, University of Oklahoma

‘También quiero ofrecer un agradecimiento muy especial al profesor Will Liddell,
Jr, y a Henry Kahlman. Además, siento que hay otras personas que merecen un
reconocimiento particular. Vince O'Brien, director del equipo de administración del
proyecto en Pearson Education, y Rose Kernan, mi editora de producción durante
muchos años, me dieron su impulso y apoyo, Francamente, sin su ayuda, estacdición.
totalmente modificada y mejorada no hubier ido posible. Además, mi amigo y socio
‘por largo tiempo, Kai Beng Yap, me fue de gran ayuda al revisar todo el manuseri-
{oy ayudarme a preparar las soluciones para los problemas, A este respecto, tam»
bién ofrezco un agradecimiento especial a Kurt Norlan de Laurel Tech Integrated
Publishing Services. Agradezco la ayuda de mi esposa, Conny, y de mi hija, Mary
‘Ann, quienes durante el proceso de producción ayudaron con la lectura de pruebas.
yla escritura necesaria para preparar el manuscrito antes de su publicación.

Por último, extiendo mi agradecimiento a todos mis alumnos y alos miembros del
profesorado que se han tomado el tiempo de enviarme sus sugerencias y comentarios
por correo electrónico. Como esta ista es demasiado larga, espero que aquellos que
han proporcionado su ayuda de esta manera acepten este reconocimiento anónimo.

Estaré muy agradecido con ustedes si me envían algún comentario o sugerencia, 0
sime hacen saber la existencia de problemas de cualquier tipo en relación con esta
edición.

Russell Charles Hibbeler
[email protected]

Paco

x Recut en UNE nna Los poes

Recursos en linea para los profesores (en inglés)

+ Manual de soluciones para el profesor. Este suplemento proporciona soluciones completas apoyadas
por instrucciones y figuras de los problemas, EI manual de esta decimosegunda edición se modificó para
mejorar su legibilidad y su exactitud se verficótres veces.

+ Recursos para el profesor. Los recursos visuales para acompañar el texto se localizan en el sitio web:
www.pearsoneducacion.netíhibheler. Es necesario contar con un código y una contraseña para acceder a ete
sitio; contacte a su representante local de Pearson. Los recursos visuals incluyen todas las ilustraciones del
texto, disponibles en diapositivas de PowerPoint y en formato JPEG.

+ Soluciones en video. Las soluciones en video, desarrolladas por el profesor Edward Berger de la
University of Virginia, se localizan en el sitio Web de este texto y ofrecen guías de soluciones paso a paso.
para los problemas de tarea más representativos de cada sección del texto, Haga un uso eficiente delas horas.
¿e clase y oficina mostrando a sus estudiantes los métodos completos y concisos para resolver problemas,
2 los que pueden tener acceso en cualquier momento para estudiarlos a su propio ritmo. Los videos están
diseñados como un recurso flexible que puede usarse cada vez que el profesor y el estudiante lo decidan. Los
videos también son un valioso recurso para la autocvaluación del estudiante puesto que puede detenerlos o
repetilos hasta verificar su comprensión, y trabajar a lo largo del material, Puede encontrar estos videos en
'www.pearsoneducacion.neVhibbelersiguiendo los vínculos hasta Engineering Mechanics: Dynamics, Twelfth
Edition text,

| CONTENIDO

12 Tet
Cinemática de $
una particula 3 "la

Objetivos del capitulo 3
121 Introducción 3

122 Cinemática rectlinea: movimiento.
continuo 5

12.3 Cnemática rectlínea: movimiento.
errático 19

12.4 Movimiento cundiíneo general 32

125 Movimiento curviíneo: componentes.
rectangulares 34

126 Movimiento de un proyectil 39

127 Movimiento eunilineo: componentes.
normal y tangencial 53

12.8 Movimiento eunilineo: componentes
dlindricos 67

12.9. Análisis del movimiento depenciente
absoluto de dos partículas 81

12.10 Movimiento relativo de dos partículas
lutizar ojos trasladamtos 87

13
Cinética de una
partícula: fuerza y
aceleración 107

Objetivos del apítlo 107

13.1. Segunda ley del movimiento de
Newton 107

132 Ecuación de movimiento 110

133. Ecuación de movimiento de un
sistema de partículas 112

14
Cinética de una
partícula: trabajo y
energía 169

144
142
143

1.
145

146

15

Cinética de una partícula:
impulso y cantidad de
movimiento 221

151

152

Ecuacionos de movimiento: coordenadas
rectangulares 114

Ecuaciones de movimiento: coordenadas
normales y tangenciales 131

Ecuaciones de movimiento: coordenadas
líndricas 144

Movimiento de fuerza central y mecánica
espacial 155

Objetivos del capitulo 169
Trabajo de una fuerza 169
Principio de trabajo y energía 174

Principio de trabajo y energía
para un sistema de particulas 176

Potencia y eficiencia. 192

Fuerzas conservadoras y energía
potencial 201

Conservación de la energía 205

Objetivos del capítulo 221

Principio de impulso y cantidad de
movimiento lineal 221

Principio de impulso y cantidad de
movimiento linaalos para un sistema
de partículas 228

xii Course

15.3. Conservación de la cantidad de
movimiento lineal de un sistema
de partículas 236

15.4 Impacto 248

15.5 Cantidad de movimiento angular 262

15.6 Relación entre el momento de una
fuerza yla cantidad de movimiento
angular 263

15.7 Principio de impulso y cantidad de
movimiento angulares 266

15.8. Flujo continuo de una coriente de
fido 277

"15.9. Propulsióncon masa variable 282

Repaso

1. Cinemática y cinética de una
partícula 298

16

Cinemática plana de un Il

cuerpo rígido 311 ld
Objetivos del capítulo: 311

161. Movimiento plano de un cuerpo
figido 311

16.2 Tradación 313

16.3. Rotación alrededor de un eje fjo 314

16.4 Anélsis del movimiento absoluto 329

165 is de movimiento relativo:
velocidad 337

16.6 Cantro instantäneo de velocidad
caro 351

16.7. Anéisis del movimiento relativo:
aceleración 363

16.8 Análisis del movimiento relativo por
medio de ejes rotatorios 377

12
Cinética plana de un
cuerpo rigido: fuerza y

aceleración 395

Objetivos del capítulo 395
17.1. Momento de inercia de mass 395

17.2. Ecuaciones de movimiento de cinética
plana 409

17.3. Ecuaciones de movimiento:
traslación 412

17.4. Ecuaciones de movimiento; rotación
alrededor de un eje fo 425

17.5. Ecuaciones de movimiento: movimiento
plano general 440

18

Cinética plana de un
cuerpo rígido: trabajo y
energía ass

Objetivos del capítulo 455
18.1 Energia cinética 455

18.2 Trabajo de una fuerza 458

18.3 Trabajo de un momento de par 460
184. Principio de trabajo y energía 462
185 Conservación de la energía 477

19

Cinética plana de
un cuerpo rígido:
impulso y cantidad
de movimiento 495

Objetivos del capítulo 495

19.1. Cantidad de movimiento lineal y
angular 495

19.2 Principio de impulso y cantidad de
movimiento 501

19.3. Conservación de la cantidad de
movimiento 517

*19.4. Impacto excéntrico 521

Repaso
2. Cinemática yciátic plana de uncuerpo
PET

20
Cinemática
tridimensional de un
cuerpo rígido 549
Objetivos dl capítulo. 549
20.1 Rotación alrededor de un punto fijo 549

"20.2 Derivada con respecto al tiempo.
de un vector medido con respecto
aun sitema fio 0 à un sistema
vasladante-rotatorio 552

203 Movimiento general 557

20.4 Andlisis de movimiento relative
por medio de ejes trasladantes y
rotatorios 566

21

ética
tridimensional de un
cuerpo rígido 579

Objetivos del capítulo. 579
“211. Momantosy productos de inercia. 579
212. Cantided de movimiento angular 589
213. Energía cinética 592
«214. Ecuaciones de movimiento. 600

Como adi

421.5 Movimiento giroscépico 614

21.6 Movimiento sin par de torsión 620

22
Vibraciones 631

Objetivos del capitulo 631
4221 Vibración libre no amortiguada 631
22.2 Métodos de energía 645

22.3. Vibración forzada no amortiguada 651
3224. Vibración libre viscosa amortiguada 655

*22.5 Vibración forzada viscosa
amortiguada 658

"22.6 Anélogos de un circuito eléctrico 661

Ki

Apéndices
A. Expresones matemáticas 670
B. Andie vectorial 672
©. Regladelacadena 677

Problemas fundamentales
Soluciones parciales y
respuestas 680

Respuestas a problemas
seleccionados 699

Índice 725

Créditos

Capítulo 12, Los Ángeles Azules de la Armada de Estados Unidos actúan en un
«espectáculo aéreo como parte de la celebración de la San Francisco's Fleet Weck
(Semana de la Flota de San Francisco). © Roger Ressmeyer/CORBIS, Todos los dese=
chos reservados.

Capítulo 13, Fábrica de jugo de naranja, vista superior. Getty Images.

Capítulo 14, Montaña rusa del parque de diversiones Mukogaokayuen, Kanagawa.
“OYoshio Kosaka/CORBIS, Todos los derecho reservados,

Capitulo 15, Acercamiento de un palo de golf golpeando Ia pelota en el
salida, Alamy Images sin derechos de autor,

Capitulo 16, Molinos de viento en Livermore, parte de un extenso parque ei
<o, una fuente alternativa de energía eléctrica, California, Estados Unidos. Brent
‘Winebrenner/Lonely Planet Images/Foto 20-20

Capítulo 17, “Dragster” en la pista de carreras de Santa Pod, Inglaterra, Alamy
Images.

Capitulo 18, Plataforma de perforación. Getty Images.

Capítulo 19, Acoplamiento de un transbordador de la NASA con la Estacion Espacial
Internacional. Denis Hallinan/Alumy Images.

Capitulo 20, Robot soldador. ©Ted Horowite/CORBIS. Todos los derechos reser-
vados.

Capítulo21,El juego mecánico giratorio Calypso proporciona un trazo borroso de bri-
antes colores en el parque Weldameer yel Mundo Acuático en Eric, Pennsylva
Jim Cole/Alamy Images.

Capítulo 22, Una vía y una rueda de ferrocaril dan una gran perspectiva del tamaño
y poder del transporte ferroviario. Joe Belanger/Alamy Images.

Cubierta: 1, helicóptero Lightfight en vuelo, El helicóptero Lightflight es utilizado.
porel Hospital de la Stanford University del Centro Médico del Valle de Santa Clara.
‘{©CORBIS! Todos los derechos reservados.

Gubierta:2, Detalle delas aspas del rotor de cola de un
Shutterstock,

Las imágenes restantes fueron proporcionadas por el autor.

de

:öptero. Steve Mann!

[INGENIERÍA MECÁNICA

DINÁMICA

DECIMOSEGUNDA EDICIÓN

‘Aunque cada ino de etosawiones os bastante grande, istanca sumovimiorto

Cinematica de
una particula

OBJETIVOS DEL CAPITULO

+ Presentar los conceptos de posición, desplazamiento, velocidad y
aceleración

+ Estudiar el movimiento de una partícula alo largo de una linea
recta y representarlo gráficamente.

+ Investigar el movimiento de una partícula a lo largo de una trayec-
toria curva por medio de sistemas de coordenadas diferentes.

+ Analizar el movimiento dependiente de dos particules.

+ Examinar los principios de movimiento relativo de dos partículas
‘mediante ejes de traslación.

12.1 Introducción

La mecánica es una rama de las ciencias ficas que se ocupa del estado.
‘de reposo 0 movimiento de cuerpos sometidos ala ación de fuezas. La
ingeniería mecánica se divide en dos áreas de estudio, o sea, estática y
dinámica. La esérca se ocupa del equilibrio de un cuerpo que está en
reposo o que se muere con velocidad constante, Aquí consideraremos
la dinámica. la cualse ocupa del movimiento acelerado de un cuerpo. La
‘materia de dinámicas. presentará en dos partes: cinemática, lacual trata.
sólo los aspectos geométricos del movimiento, y cinética, que analiza las
fuerzas que provocan el movimiento, Para desarollar estos principios,
primero se analizará la dinámica de una partícula, y a continuación se
abordarán temas de dinámica de un cuerpo rígido en des y luego en tres
dimensiones

Carmo 12 Comsanca neun ero

Históricamente, ls principios de dinámica se desarrollaron cuando
‘ue posible medireltiempo.con precisión. Galileo Galilei (1564-1642) fue
‘mo de los primeros contribuyentes importantes a este campo, Su tra-
Tajo consistió en experimentos con péndulos y cuerpos en caída libre,
Sin embargo, las aportaciones más significativas en dinámica las realizó
Isaac Newton (1642-1727), quien se destacó por su formulación de las
tees eyes fundamentales del movimiento y la ley dela atracción grav
tatoria universal, Poco después de que se postularan estas leyes, Euler,
D'Alembert Lagrange y otros desarrollaron técnicas importantes para.
su aplicación.

En la ingeniería hay muchos otros problemas cuyas soluciones
requieren la aplicación de los principios de dinámica, Por lo común,
d diseño estructural de cualquier vehículo, ya sea un automóvil o
un avión, requiere considerar el movimiento al cual se somete, Esto
también és cierto para muchos dispositivos mecánicos como motores
‘déctrcos, bombas, herramientas móviles, manipuladores industriales y
maquinaria. Además, las predicciones de los movimientos de satélites
artificiales, proyectiles y naves espaciales están basadas en la teoría
de dinámica. Conforme se presenten más avances tecnológicos, habrá
incluso una mayor necesidad de saber cómo aplicar los principios de
sta materia

Solución de problemas. Se comidera que la dinámica dene
más que er que la estática, pucsto quese deben tomar cn cuenta las
fuerzas aplicadas tanto un cuerpo como su movimiento, Asimismo,
muchas aplicaciones requicren edt integral, más que sólo Algebra
yirigonometrn. En todo caso la forma más efectiva de aprender los
principios de dinámica es solver problemas. Para tener éxito en esta
tarea, es necesario presentar el trabajo de una manera lógica y ordena-
ds como lo sugiere la siguiente secuencia de pasos:

1. Lea el problema con cuidado y trat de corelacionar a sitación
‘ica real con la teoría que haya estudiado.

2. Trace todos ls diagramas necesario y table ls datos del po»
blema.

3. Estableca un sistema de coordenadas y aplique ls prinipios
perünentes, csi siempre en forma matemälic,

4. Resueva de manera algebraica las ccuncones necesarias hasta
donde sa práctico; luego, tic un conjunto consistente de unie
‘des y complete la solución numéricamente. Report a respuesta
Sin més Giras signfcavas que la poción de ls datos dados.

5. Estudi la respuesta con juicio Lenco y sentido comin para de
termina si perce 0 no razonable.

6. Una vez completadas las soluciones, repse el problema, Trate
dl pensar en tras formas de obtener la misma Solución.

AA aplicar este procedimiento general, realice el trabajo lo más impia-
‘mente posible. Por lo general, ser pulero estimula una forma de pensar
dara y ordenada, y viceversa.

122. Creusrea rennes nero como

12.2 Cinemática rectilinea: movimiento
continuo

Iniciaremos nuestro estudio de dinámica conel análisis dela cinemática
‘de una partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria rectilinea.
Recuerdo que una partícula iene masa pero su tamaño y forma son
insignificantes, Por consiguiente, limitaremos la aplicación a aquellos
objetos cuyas dimensiones no afecten el análisis del movimiento. En
la mayoría de los problemas nos interesarán los cuerpos de tamaño
finito, como cohete, proyectiles vehículos. Cada uno de estos objetos
puede considerarse como una partícula, en cuanto que el movimientose
«caracteriza por el movimiento de su centro de masa y se omite cualquier
rotación del cuerpo.

Cinemática rectilínea. La inemática de una partícula e carac-
terra al especias, en cualquier instante suposición, velocidad y ace
Jeración.

Posición. La trayectoria retilinea de una partícula se definirá por
medio de un solo eje de coordenadas s figura 12-1a El origen O enla
trayectoria es un punto fio, y a partir de I se utiliza la coordenada de
posición s para especificar la ubicación dela partícula en cualquier
tante dado. La magnitud de ses la distancia de O ala partícula, por lo.
general medida en metros (m) pies (1) ysusigno algebraic define el
sentido de su dirección. Aunque la selcción es arbitraria, en este aso.
«es positiva puesto que el eje de coordenadas es positivo a la derecha
¿el origen. Asimismo, es negativosila partícula está a la izquierda de ©.
“Tenga en cuenta que la posición es una cantidad vectorial puesto que
tiene tanto magnitud como dirección. En este caso, sin embargo, está
representada porel escalar algebraico s puesto que la dirección se man
tiene alo largo del eje de coordenadas

Desplazamiento. El desplazamiento de la partícula se define
‘como el cambio de su posición. Por ejemplo, si la partícula se mueve
eun punto a oto, figura 12-15, el desplazamiento es

ES

En este caso Ases positivo puesto que la posición final dela partícula
queda ala derecha de su posición inicial, es decir,’ >. Asimismo, si
la posición final quedara a la iaquierda de su posición inicial, As sera
negativo,

El desplazamiento de una partícula también es una cantidad vec=
trial, y deberá distinguiso de la distancia que recorre la partícula.
‘Fspecificamente, la distancia recorridaes un escalar posttivo que repre-
senta la longitud total de la trayectoria a lo largo de la cual viaja la
partícula,

Carmo 12 Comsanca neun ero

Veli
o

Velocidad. Si la partícula recorre una distancia As durante el

interralo Ai, su velocidad promedio durante ete intervalo es
as
Spon = À

Sitomamos valores de Arcada vez más pequenos, la magnitud de Asse
reduce cada vez más, Por consiguiente, la velocidad instaniánea es un
vector definido como v = Jin (As/A1). 0

5) vi an

Como Aro disiempre es positivo, elsigno utilizado para definir el sen
ido de la velocidad es el mismo que el de As 0 ds. Por ejemplo, sila
partícula se está moviendo hacia la derecha, figura 12-1c,la velocidad
es positiva; pero sise mueve hacia a izquierda, la velocidad es negati-
vu. (Esto se resalta aquí con la flecha que aparéce ala ixquierda de la
ecuación 12-1.) La magnitud dela velocidad se conoce como rapidez, y
en general se expresa en unidades de m/so pies/s.

De vez en cuando se utiliza el término “rapidez promedio”. La mpi-
dez promedio siempre es un escalar positivo y se define como la dis-
tancia total recorrida por una partícula, s, dividida entre el tiempo
transcurrido Ares decir,

CEA

or ejemplo La partícula en a figura 12-1d viaja o largo dela trayec-
toria de longitud sem el emp As, por lo que su rapidez promedio es
Can pon = 1/8 pero su velocidad promedio estoy = —As/A.

122. Creusrea rennes nero como

Aceleración. Siempre que se conoce la velocidad de la partícula
‘en dos puntos, su aceleración promedio durante el intervalo Ar se def

av
om = Ap
qui An represents I diferencia de ta velocidad durante el intervalo
tes dece,Av= u 0, figura 12 Le . _

La aceleración instantánea en elinstante es un vector que se determi-
‘mal toma valores cada vez más pequeños de Aryvalorescadavermis Of =

pequeños correspondientes de Av, de modo que a = ‚fm (Au/A4).0 7
Aceleración
©
dv
(4) u. (122)

Si sustituimos la ecuación 12-1 en este resultado, también podemos
escribir

ds

ES
(4) =

‘Tanto la aceleración promedio como a instantánea pueden sero posi
tivas o negativas, En particular, cuando la partícula afloja el paso, o su
rapidezse reduce yse dice quesoestá desacelerando. Eneste caso, Y enla
figura 12-1fes menor que v, de modo que Au = u —
«consiguiente, a ambiénserá negativa y por lo tano actuar ala zquierda, E
en el sentido opuesto av. Además, observe que cuando la velocidad es}

«constante. la aceleración es cero puesto que Av = — = 0. Las unidades —
‘que comúnmente se utilizan para expresar la magnitud dela aceleración

sonm/s y pies/s insu)
Por último, se puede obtener una importante relaciôn diferencial que o

implica el desplazamiento, la velocidad yl aceleración a lo largo dela
trayectoria iliminamos la diferencia de tiempo dt entre las ecuaciones
122 y 122,10 cual da

(+) ads = van (23)

Aunque ya obtuvimos tres ecuaciones cinemática importantes, hay
‘que tener en cuenta que la ecuación anterior no es independiente de
las ecuaciones 12-1 y 12-2,

será negativa, Por —

Carmo 12 Comsanca neun ero

Aceleracién constante, a=a.. Cuando la aceleración es
constante, se puede integrar cade una de las tres ecuaciones cinemá-
teas a; = du v= dde y a ds = v de para obtener fórmulas que
relacionen a, 0,53 £

Velocidad como una función del tiempo. Integre a, =
de/dk,con el supuesto de que inicialmente e = ty cuando t= 0.

[on fe

ota
iz Aceleración constante a

Posición como una función del tiempo. Integre e = ds/dt
= ty + as, alsuponer que inicialmente s = so cuando £=0.

(+) (25)

Velocidad como una función de posición. Despeje tenia
ecuación 124 y sustituya enla ecuación 12-5 o integre v de = ads, al
suponer que inicialmente » = ws cuando.

[ra focas

et 2ads ~ %)|
5 Aceleración constante | (a
La dirección positiva del je sindicada por la flecha que aparece ala

irquierda de cada ecuación determina los signos algebracos de so. ty
y da, utilizados en las tres ecuaciones anteriores. Recuerde que estas
cusciones son útiles sólo cuando a aceleración es constante y cuan-
do 1 = 0,5 = 50.0 = vo Un ejemplo ípico de movimiento acelerado
‘onstante ocurre cuando un everpo eae libremente hacia a tera, Sise
ignora la resistencia del ire y la distancia de cada es cota, entonces
la aceleración dirigida hacia abajo del cuerpo cuando se aproxima ala tra
csconstane y aproximadamente de 9.81 m/s" 0 322 pies. La compro-
ación de esto se da en el ejemplo 132.

122. Creusrea rennes nero como 9

Puntos importantes

La dinámicase ocupa de cuerpos que tienen movimiento acele-
rado,

La cinemática es un estudio de la geometría del movimiento.
La cinética es un estudio de as fuerzas que causan el movimiento,
La cinemática recilnca se refiee al movimiento cnlínca recta
‘La rapidez se refiere a la magnitud de la velocidad.

La rapidez promedio es la distancia total recorrida, dividida.
‘entre el tiempo total. Ésta es diferente de la velocidad prome-
io, la cual es el desplazamiento dividido entre el tiempo.

"Una partícula que reduce el paso está desacelerando.

“+ Una partícula puede tener una aceleración y al mismo tiempo
‘ma velocidad cero.

+ La relación ads = v do se deriva de a = du/dt y v= ds/dt, al
eliminar dí

Durane el empo on que ete obte expe
rimes movimiento retin su alta ex
función del Uempo puede medir y expre.
steve como s = a) Sa velocidad se deter
tina nono por yde, y ancré

par de a = def

Procedimiento para el análisis

Sistema de coordenadas.

+ Establezca una coordenada de posición sa lo largo de la trayectoria y especifique su origen io y direc-
ión positiva.

+ Como el movimiento sucede a lo largo de una linea recta, as cantidades vectoriales de posición, velo-
dad y aceleración se pueden representar como escalares algebraicas, Para trabajo analítico los signos
dsebraicos de s,vy ase definen entonces por sus signos algebraicos.

+ Una flecha mostrada al lado de cada ccuación cinemática indica el sentido positivo de cada uno de estos
escalares,

Ecuaciones cinomáticas

+ Sise conoce una relación entre dos de las cuatro variables,
tercera variable con una delas ecuaciones cinemáticas,
«ada ccuación relacion Ins tres variables

+ Siempre que se realice una integración, es importante que se conozcan la posición y la velocidad en un
instante dado para evaluar o la constante de integración ise utiliza una integra indefinida, olos límites
de integración si se utiliza una integral definida.

+ Recuerde que las ecuaciones 12-4 a 12-6 tienen sólo un uso limitado. Estas ecuaciones se aplican sólo
ando In aceleración es constante y as condiciones iniciales son s = 5, y y = tyeuando + = 0.

2, sy £,emtonces se puede obtener una
du, v = ds/dto a ds = v do, puesto que

En el apendie A se an algunas formulas de diernciaión e integración dur

Carmo 12 Comsanca neun ero

El automóvil de a figura 12-2sedesplaza enlínea recta de modo que
durante un corto tiempo su velocidad está definida por u = (A+ 2)
piess, donde ¡está ensegundos. Determine su posición y aceleración:
cuando = 35. Cuando 1 =0,

A

me

SOLUCIÓN
Sistema de coordenadas. La coordenada de posición se extien-
de desde el origen fijo O hasta el carro, positiva ala derecha.
Posición. Como v = f(),la posición del automóvil se determina
‘on v = s/d, puesto que esta ecuación relaciona v, sy 1. Observe
que s =0 cuando = 0, tenemos”

de
(4) ua
[er [orem
sapere
Guandor= 33,
+= 3) + G) = 36pies Resp.

Aceleración. Como » = f(0), la aceleración se determina con

a= deja puesto que esa unción relaciona 0.0 £
(+) E)
=0+2
cuando
a = 6(3) + 2 = 20pies/s?—> Rep.

NOTA: para resolver este problema no pueden utlizars ls fórmu-
las de aceleración constante, porque la aceleración es una función.
el tiempo.

5 puede obtener l mismo reads al esha un constante do integración ©
verde via es define integral, Por ejemplo, lear e = GF +

2) drenar = 2 + À + C.Com a ondicón de quo en = 0,1 =U, clones
er

122. Creusrea rennes nero como

EJEMPLO 122

Se dispara un pequeno proyecti jo en un
‘medio fluido con una velocidad inicial de 60 m/s. Debido a la resis-
tencia aerodinámica del fuido el proyectil experimenta una desace-
leración de a = (04 m/s donde v está en m/s Determine la
velocidad del proyectil y suposición 4s después de su disparo.

SOLUCIÓN Fe
Sistema de coordenadas. Como el movimiento es hacia abajo,

ln coordenada de posición es positiva hacia abajo, con su origen

Iocalizado en O, figura 123.

Velocidad. En este caso a = /(0)y por tanto debemos determi

ar velocidad como una función del empo con a = de/dlya que

«Staccuación relaciona ay . (¿Porqué nose ulliza = ty +42)

Alpen ks bd e ena ia edo ciendo y mona
se biene

ob

{ra}

En este caso se toma la raíz positiva, puesto que el proyectil conti
‘nuard moviéndose hacia abajo. Cuando 1 = 45,

D = 0559 m/s Rey.
Poskión. Con v = /(()conocida, podemos obtener la posición del
proyectil mediante w = ds/di ya que esta ecuación relaciona , vy 1.
“Al utilizarla condición inicials = 0, cuando 1 = 0, tenemos

es ve [1081

a= [lol
al)

caler) ae

43m Rep.

Cuando = 45,

12 Carmo 12 Comsanca neun ero

Durante una prueba un cohete asciende 75 m/s yeuando est a 40m
delsuelosumotor fall. Determine laltura máximas alcanzada por
cloohetey su velocidad justo antes de hocarconel suelo. Mientras
{Sti en movimiento cohete se ve sometido a una aceleración cons
"nte dirigida hacia abajo de 91 m/s debido a la gravedad. Ignore
‘resistencia del aire,

SOLUCIÓN
Sistema de coordenadas orion O de lacordenada de posi

ión s se considera al nivel de suelo con signo positivo haci
figura 12-4

‘Altura máxima. Como el cobete asciende, vy = +75 m/seuando
0, Ala altura máxima s = spa velocidad vp = 0, Durante todo el
‘movimiento, la aceleración es a, = „981 m/s" (negativa puesto que
actúa en el sentido opuesto a In velocidad positiva o desplazamien-
lo positivo). Como aes constante la posición del cohete se puede
relacionar con su velocidad en los dos puntos A y Bde a trayectoria
mediante la ecuación 12-6, es decir,

CH) hh + alse — 54)
0= (75 m/s)? + 2(-981 m) (ss - 40m)
sp = 327m Resp
Velocidad. Para obtener la velocidad del cohete justo antes de

que choque con el suelo, podemos aplicarla ecuación 12-6 entre los
puntos By C,figura 12-4,

(QU) = vb + 2adsc — sa)
0 + 2(-9.81 my/s!)(0 - 327 m)
‘ye = ~80.1 m/s = 801 m/s | Resp.

Se eligi la raíz negativa puesto que el cobete está descendiendo,
‘Del mismo modo, también se puede aplicarla ceuación 126 entre
bbs puntos A y C,es deci

Gt) we va + Za dsc — 4)
= (75 m/s)? + 2(-981 m/s*)(0 — 40m)
te = “Ba ms = im! Rep

NOTA: observe que el cohete está sujeto a una desaceleración de
Ay B de 981 m/s y luego de Ba Cse acelera este ritmo, Además,
un cuando el cobetese detiene momentáneamente en (bp = 0) ¡la
aceleración en Bsigue siendo de 981 ms dirigida hacia abajo!

122. Creusrea rennes nero como 13

EJEMPLO [124

Una partícula metálica e somete la inluenciade un campo magnét-
o a medida que desciende através e un ido quese extiende dela
placa A ala placa Ligua 125. ila partíulase libera del reposo en
+ punto medioC,s = 100 mm yla ccleración sa = (4) m/s onde
están metros, determine a velocidad de la partícula cuando llega a
la placa 3,5 = 200 mm y el tiempo quel leva perair de Ca B.

SOLUCIÓN

Sistema de coordenadas. Como se muestra en la figura 12-5,
ses positiva hacia abajo, medida a partir dela placa A.

Velocidad. Como a = f(5), la velocidad como una función de la
posición se obtiene con v dv = a ds. Habida cuenta que » = 0 en
3=01 m,tenemos

Gh vdo=ads
Keufeen

1 se,
72" Jun

2
v=? 001)” m/s w

Ens = 200 mm = 02m,
‘vp = 0346 m/s = 346 mm/s | Rep

Se escoge la raíz postiva porque la partícula está descendiendo, es
decir, enla dirección +.

Tiempo. El tiempo para que la partícula vaya de Ca Be obtiene
con y = ds/dt y la ecuación 1, donde s = 0.1 m cuando £ = 0, Del
apéndice A,

eb ds = vdt
28 - 001) ar

Lee fra
mom |, = 21
in(\/s? = 001 + 5) +2303 = 2

rias
pe ES e
a ey

ste ejemplo porque la aceleración cambia con la posición,
Zr

a
nam
2

1 Carmo 12 Comsanca neun ero

Lo (42,

‘Una partícula se desplaza a lo largo de una trayectoria horizontal
on una velocidad de y = (31° — 61) mis, donde res el tiempo en
segundos. Si inicialmente se encuentra en el origen O, determine
la distancia recorrida en 3.5 s yla velocidad promedio, asf como la
rapidez promedio de la partícula durante el intervalo.

SOLUCIÓN
Sistema de coordenadas. Aqui el movimiento positivo es hacia
12 605m In derecha, medido a partir del origen O, figura 12-6a.

Distancia recorrida. Como v = (0), Ie posición como una función
del tiempo se determina al integrar v = dsjdteon: = 0,5 =.

(4) ds = vdt
“ar pa

[ue [er-na

(P= 32)m w

Para determinar la distancia recorrida en 35, es necesario investi

sarl trayectoria del movimiento, Si consideramos una gráfica de la
vin) unción de velocidad, figura 12-6b,se ve que con 0<1<2 sla veloci-

dades negativa,lo que significa que la partícula se está desplazando.
hacia la izquierda, y con 1> 2 la velocidad es positiva y, por consi-
guiente, la partícula se esti desplazando hacia la derecha. Asimismo,
‘observe que y =Oeuandor = 2s. La posición dela partícula cuando.
1=0,1 = 25 y 1 = 354 se determina ahora con la ecuación 1. Ésta

M2 msultaen
o Slee =0 — sliar==40m slusss = 6125m
126 La trayectoria se muestra en la figura 12-62. De ahí que la distancia
recorrida en 3.5ses

Velocidad. Eldesplazamientode t= 0a1= 35505

As = sheasy ~ slo = 6125 m ~ 0 = 6125 m

por tant la velocidad promedio es

Lis. 6125 m

tren” Br” 358-0

La rapidez promedio se define en función de la distancia recorida
sn Este escalar positivo es

ar M125 m

Gl = = FET = 404m/s Rep

NOTA: en este problema, la aceleración es a = dujd = (61 — 6)
més, a cual no es constante.

=175m/s> Rep

122. Creusrea rennes nero como 15

PROBLEMAS FUNDAMENTALES

FIZ, Inicialmente, el automóvil visi lo largo de una
‘uretera recta a una rapidez de 35 m/s, ise aplican los
fonos y a rapidezdelautomévilsereduce a 10 msen 155,
determine sa desaceleración constante.

rn

ea

FIZ2, Se lama una bola verticalmente haci arriba con
una rapidez de 15 ms Determine el tempo de vuelo
‘undo repose suposición original.

FIZ3, Una partícula se desplaza à lo largo de una linea

recta a una velocidad de y = (U — 3°) mis, donde está

‘ensegundos. Determine la posición dela partícula cuando
= 0 cuando = 0.

rca se desplaza a largo de un linea
recta una rapide de = (05° — 8) ms donde resté en
segundos. Determine su aceleración cuando =2 8

ma

FI2S, Lafórmulas = (2 — & +6) m,dondo rest en
segundos, resulta a posición dela partícula. Determine el
"tiempo cuando su velocidad es ceo y la distancia ot! que
core cuando 1= 35

FI26. Una partícula viaja lo largo de una línea recta
‘on una aceleración dea = (10 - 029) my” donde sestá
‘medidaen metros. Determine su vlocidadeuandos = 10m
sin = $m/seuando s = 0

F127, Una partícula se desplaza al largo de una lines
cta de modo que suacclración es a = (4° — 2) m/s,
donde resté en segundos. Cuando ı =

‘2m ala izquierda delorigenyeuando ¢ =2s,.
Jngierda del eigen Determine suposición cuando = 4s,

ma

128. Una partícula viaja al largo de una linea recta
“una velocidad de y = (20 — 0086) m/s donde rests en
metros. Determine la aceleración de la partícula cuando
sais,

16 Carmo 12 Comsanca neun ero

+12. Un automóvil arranea del reposo y con acoora-
«ión constant alcanza una velocidad de 15 m/s cuando
rocorre una distancia de 20 m. Determine su aceleración
Y tiempo requerido.

122. Un ren parte delreposo en unacstación y iajacon
na aceleración constante de 1 js. Determino la veloci-
dad del tren cuando = 30% yla distancia recorrida duran-
le esto tempo.

123. Un elevador desciende del reposo con una ace-
Jeación de 5 pies/ hasta que alcanza una velocidad de
15 pies/s Determine el tiempo requerido y la distancia
record

“124, Un antomóvi viaja 15 m/s cuando el semáforo
SO madelante cambia a amarlo, Determine I desacoera-
«ón constante requeidayel tiempo necesario para que el
“utomóvise detenga en cl semáforo

«125. Una parla se desplaza alo largo de una lnea
recta con la aceleración a = (121 = 3%) pies, donde ¢
«stácnsegundo. Determine su velocidad y posición como
una función del tiempo, Cuando! = 0,» = Oy 5 = 15 pes.

126, Se suelta una bola desde el suelo de un elevador
und éste ascendo a una velocidad de 6 pes. Sila bola
‘choca con el suelo del oso del elevador en 35, determine
ha altura del clemdor con respecto al suelo del foso en el
sante en que se suelta la bola. Además, determine la
velocidad dela bola cuando choca con el suclo delos,

127. Larapier inicia de un automóviles de 25 mis ysu
desaceleración constate es de 3 m/s" Determine su velo-
dad cuando 1 = 4 ¿Cuál es su desplazamiento durante
«el intervalo de 45? ¿Cuáno tiempo se requiere para dete-
ero?

“128. Sila velocidad inicial de una partícula es de 1y =
12 pes/shaca la derecha cuando 5, =0, determine su posi-
ón cuando r= 10s, sia =2 pies” acia la iquirda

+123. Lascelraciónde una partícula que viaja o largo
de una Inen rectas a = AJedonde kes una constante. Si
$ 0,1 = tacunndo 1 = 0, determino su velocidad como
una función del tiempo +

DE

12:40. El automóvil À parte del reposo cuando £ = 0 y
‘aj al Largo de una carretera ect con una aceleración
comsante de 6 pies" hasta que alcanza una rapidez de
3D pis/s Después mantiene esta rapide. Adomás, cuando
10, el automóvil localizado a 600 pi del automóvil
A viaja hacia ste a una rapdez constante de 60 plays.
‘Determine la distancia recorida por el automóvil A cuan-
dove cruzan.

MAL. Una partícula vija al largo de una linea recta à
‘un velocidad v = (12 ~ 3°) m/s, donde rest en segun-
dos. Cuando 1 = 15, la partícula est 10m a a izquierda
delorigen. Determine la aceleracén cuando ? = 44,0ldes-
lazamiento desde 1=0 hasta = 105 yla distancia que li
articula recorre durant este intervalo.

+1242, Se lanza una esfra hacia abajo con una rapidez
inicial de 27 m/s Experimenta una desaceleración de a =
(=) mj’, donde rest en segundos; determine La ditan-
ia recorrida antes de que se deen

1243. Una partícula viaja alo lago de una tinea recta
&e modo qu en 2 se desplazado una posición nca 4 =
+05 m a una posición yy = —1.$ m, y luego en otros
segundos se desplaa de 5 a 5c = +25 m. Determine su
velocidad y rapide promedio durant el intervalo de 6.

12:14. Unapartícula viaja largo de una lnea recta de
modo que ens se desplaza de una posición nical 54
sm auna posición y= 43m, Luegoemottos Ssse des-
lara de sp. te =—6m Determine su velocidad y rapidos
remedio durante elinternlo de ds.

BAS. Proctas evelan que un conductor normal requiere
100507 antes de que pueda maceionarante una situación
para evita un choque. Se requiren unos 3 pura que un
‘Conductor con. ede aloholcnsusistena hagalo mismo.
Sitales condbetoes viajan por una arreter recta 30 mph
(pies) y ss automóviles pueden dsaclerar a2 pes,
determine I distancia de fresado más corta de cada uso à
parir del momento en quese ven os peatones. Moraleja:
he, por favor no mane!

*1246,_A medida que un ten acelera uniformemente
pasa por marcas de Kilómotr suesivas mientras viaja à
velocidades de 2 m/s lugo de 10my/ Determine su velo-
dad cuando pase por la siguente marc de kilómetro y el
tiempo que requiera para recorrr la distancia de 2 km.

«12-17, Se lanza una pelota con una velocidad dirigida
acia arriba de $ ms dedo la part superior de un edi
Fi de 10 m. Un segundo después se lanza otra pelota
verticalmente desde el suelo con una velocidad de 10 m/s
Determine la altura desde el suelo donde la dos pelotas

1248. Un automóvil arranca del reposo y se desplaza
‘on una aceleración constante de 1.5 m/s hasta que aean-
“a una velocidad de 25 my Entonces se desplaza a veloc
‘ad constante durante 60 segundos. Determine la rapide
promedio yla distancia total second,

1249. Hay que subir un automóvil por un elevador hasta
<eusito po de un estacionamiento, l cual está a 48 pios
‘el suelo. Si el levador puedo acclerars a0. less, des
aceerarse a 03 pis/ y alcanzar una velocidad máxima
¿e 8 pies determine el tempo más corto para izar el
cnomóvi, desde o repos inca hasta el roposo fina.

+1220. Una parículase desplaza alo largo de una linea
recta a una rapidez definida como = (~4s") m/s donde +
sen metros Sis =2 meuando = Q determine la vo.
dad y scleracón como funciones del iempo.

122. Creusrea rennes nero como 17

+41. Dos pareuls A y B parten del reposo en ori
fens = Oy se desplazan o largo de una loca recta de
modo que a4 = (60 — 3) pies y ag = (122 — 8) pies
¿onde tests cn segundos. Determine la distancia entre
ls cuando # = 4 yla distancia total que cada una reco=

1222. Uns partícula que se desplaza a lo largo de una
lina recta se someto a una desaceleración a= (~20")
m/s, donde v exon mjs.Sisu velocidades» = 8 m/s y su
posición es s = 10m euando = Q determine su velocidad
y posición cuando

1223. Uns partícula se desplaza a lo largo de una
línea recta de modo que su aceleración se define como
a = (20) má? donde west en meros por segundo, Si
= 20 m/scuando s = 0 1 =0, determine la posición,
velocidad y aceleración como tunciones del iempo.

+1224, Una particu sale del reposo y viaja alo largo
de una nen recia con una acclración a = (30 ~ 028)
pies, donde © es en pies. Determine el tiempo en
que la velocidad dela partícula es y = 30 pes.

+1225, Cuando una partícula se lanza vericalmene
hacia arriba con una velocidad inicial de a, experimenta
‘una aceleración a = —(g + kr), donde ges la acoleración
¿e la gravedad, kes una constant y ves la velocidad de
la partícula. Determine la altura máxima alcanzada por la
parus.

1226. La aceleración de una partícula que se desplaza
‘a largo de una lina recu es a = (0.020) m/0, donde ¢
sti on sogundos Si» = 0, = Ocuando ~0, determine
su velocidad y accloración cuando 5

1227. Una partícula se desplaza alo largo de una Inca
rectaconunaacceraciónde a= 3/91) + 8°) m/s donde
est en metros, Determine su velocidad cuando + = 2 m,
Sparte dereposocuandos~ Im. Use larega de Simpson
para evaluar la integra

12.28, Siso toman en cuenta os efectos de a esstencia
aimostérea, un everpo que cas tiens una aeleraciôn def
aida por la ecuaiôn a = 9.1(1 ~ #10") m/s", donde
"está en mé yla disección post es aci abajo Si el
uerpo se suela del reposo desde una gran alud, deter
‘mine (2), la velocidad cuando 1 = 5 y (0) la velocidad
‘terminal máxima alcanzabe (a medida que +20)

18 Carmo 12 Comsanca neun ero

1229. La posición de una particu alo largo de una
linea recta está dada pors = (1.5P — 135% + 22.9) pies
onde tetácnscgundos. Determine la posición de la par:
cul cuando: = 6s y a distancia total que recorre duran-
te clintervalo de 65. Sugerencia trace la trayectoria para
terminar la distancia tota record

1230, La velocidad de una partícula quese desplaza alo
largo de una linea recta es w = ey — Adonde Kesconstan-
te. Sis = 0 cuando = 0, determine la posición y acelera.
‘don de la partcula como una función del iempo.

1231. La acleación de una partícula a medida que e
muevo a 10 largo de una inca sect est dada por a = (2
ZI) mis donde rest en segundos Sis =1 my =2 m/s
cuando 1 =, determine la velocidad y posición de a par.
cul cuando = 65. También, determine la distancia total
que la partícula recorre durant st interval.

1232. La pelota A se lanza vetcalmonto hacia ara.
dado la azotea de un edificio de 30 m de altura con una
‘velocidad inicial de S m/s Al mismo tempo se lanza otra
pelota hacia arriba desdo el suelo con ua velocidad ini-
aldo 20 m/s Determine La altura desdee sco y el ice
po en ques cruzan

«1233, Una motociltn arranca desde elreposo cuando
1=0y viaja ao largo de una carretera recta a una velo
dd constante de 6pes/hastaque alcanza una rapidez de
SOpies/s Después mantiene eta rapidez. Además, cuando
= 0, un automovil situado a 600 pis de la motocictota
‘aja hacia ésta a un apidez constante de 30 pies. Der.
mine el tempo y la dstanearecorids por la motocicleta
cuando se cruzan.

1234. Una partis se desplaza alo lago de una línea
roca con una velocidad v = (200) mm/s donde sesté en
milímetros. Determine la aceleración dela partícula cuan:
do s = 2000 mm. ‚Cudato tiempo requiero la partícula
para alcanzar esta posición sis = 500 mu cunado 1= 0?

12.35. Larapidz iniciado una patcul es de 27 m/s. Si
‘experiments una dsacooración dea = (~6) mys’ donde
es en segundos, determine su velocidad después de que
ha recorrido 10m. ¿Cuánto tiempo require esto?

1296. La aceleración de una partícula que se desplaza
lo lago de una linea recta cx a = (8 — 25) m/s, donde +
Stk cn meros. Sie =0ctando $ =0, determine la veloc
nd del partcla cuando # =2 m yu posición cunado la
velocidad máxima.

1237. La pelota A se lanza verticalmente hacia arriba
«on una velocidad de y. La pelota se lanza verialmen-
o hacia ario desde el mismo punto con la misma veloc
ad 1segundos después. Determine el tiempo transcurrido
1<21y desde el instant en quese lanza la peota A hasta
‘undo las pelotas se crurn entro sí, y determino La velo
‘dad decada una en este instant.

1238. Cuando se arza un cuerpo a una ata att por
encima dea superficie dea Tierras debe tomar encuen:
va a variación dela aceleración de la gravedad con res
ecto a la att, Ignorando la resistencia del ir, esta
“coleracón se determina con la fórmula a = RAR AR +
DPI. donde g es la accloración de la gravedad constante
A vel del ma, Rs el radio de la Tierra yla dirección
posa se mido hacia ariba, Sigo = 9.81 mA y A = 6356
Jm, determine la velocidad inca! minima (velocidad de
«escape la quee debe disparar un proyectil verialmen-
te desde la superf terrestre de modo que no cala de
egreso a a Tera. Sugerencia esto requiere que v= 0 à
‘medida que ya.

12.39, Teniendo en cuenta la variación de l aceleración
ola gravedad acon especto ala aid y (vea el problema
1235) derive una ecuncion que relacione la velocidad de
una partícula que ca Hbremente asa su ai Suponga
que la partícula se sucka del reposo a una alta y dela
ph dela Terra ¿Congué velocdadeoca a particu.
la coo la Tiras sucta de reposo a un alt y = 500
m? Use los das numéricos del problema 12-8

1240. Cuando una partícula eae a través dl ir, su
aceleración inicial a = g 50 reduce hasta que es ceo, y
después cae a una velocidad constante 0 terminal y. Si
«sta variación de la aceleración puede expresarse como
a = (g/e JO, = +), determino el tiempo requerido p
ue la velocidad ss v= 1/2. Inicialmente la paru eae
el rposo.

+12-41, Una parveula se desplza alo argo de una tinea
eta de modo que su posición con respecto a un punto
jo ess = (12 ~ 15F + SP) m, donde rest en segundos.
Determine la distancia total recorrida por la partícula
desde f= Is hasta 1 = 3. También, determine la rapidos
promedio de la partícula durant este interval,

123 CrevArea semen: nova marco

12.3 Cinemática rectilinea: movimiento
errático

Cuando el movimiento de una partícula es errático o variable, su posi-
«ión, velocidad y aceleración no pueden describirse mediante una sola.
función matemática continua a lo largo de toda la trayectoria. En su.
lugar, se requericá una serie de funciones para especiicarel movimien-
toen diferentes intervalos, Por eso, conviene representar el movimiento
‘como una gráfica, Si se puedo trazar una gráfica del movimiento que
relacione dos de las variables s,v, 4,1, entonces esta gráfica puede uti
lizarse para construir gráficas subsecuentes que relacionen otras dos
variables, puesto que las variables están relacionadas por la relaciones
¿diferenciales v= ds/dt,a = do/dto a ds = vdv.Con frecuencia ocurren
varias situaciones.

Gráficas de st, vt y act. Para construirla gráfica de v4 dada
la gráfica de figura 12-70, deberá utilizarse la ecuación v = ds/d. ya
‘que relaciona las variables sy £con u Esta ecuación establece que

Las

a
pont na
la gráfica de st ~ en

Por ejemplo,si se mide a pendiente en la gráfica de s-reuando =,
la velocidad es m, lacualse traza enla figura 12-76, La gráfica de v-15e
«construye trazando ésta y otros valores en ada instante

La gráfica de ase construye a partir dela gráfica de v-rdel mismo
modo, figura 12-8 puesto que

de
#
pendiente de

haráfica de ya ~ *eacion

‘En la figura 12-8ase muestran ejemplos de varias mediciones y se gra
Sean enla figura 12-85.

Silacurva s+ correspondiente a cada intervalo de movimiento puede
«expresarse mediante una función matemática s = s(), entonces la eeus-
«ción de la gráfica de 1 correspondiente al mismo intervalo se biene.
“áferenciando esta función con respecto al tiempo puesto que v = dd,
Asimismo, la ecuación de la gráica de enel mismo intervalose deter-
minaal diferenciar v= x) puesto que a = dvjdt. Como ladiferenciación
reduce un polinomio de grado n a uno de grado n-l, en tal caso si la
gráfica de 5 es parabólica (una curva de segundo grado), la gráfica de
1serd una línea inclinada (una eurva de primer grado) yla gráfica de at
será una constante o una línea horizontal (una curva de grado ceo).

on fil,

ES
Sl,

19

20

Carmo 12 Comsanca neun ero

Zr —
©
mens

©
ig, 1210

Sise proporciona la gráfica de a, figura 12:9 la gráfica de v-15e cons-
uye por medio de a = dv/di, escrita como

v= fau

cambio de _ “área bajo la
velocidad“ grâce de a

Por consiguiente, para construirla gráfica de 0, comenzamos con la
velocidad inicial dela partícula voy luego agregamos a ésta pequeños
incrementos de área (Av) determinados a partir de la gráfica de as.
De este modo, e determinan puntos sucesivos, 2, = ty + An, etedter
para la gráfica de v4 figura 12-9b, Observe que la adición algebraica de
Los incrementos de área de la gráfica de ates neces
Arcas situadas por encima del eje corresponden a
(Grea “positiva”), mientras que las que quedan debajo del eje indican
una reducción de » (Area “negativa”).

Asimismo, si se presenta la gráfica de e+, figura 12-1
determinar la gráfica de s-tpor medio de y

as= fou

frea bajo la
desplazamiento = are tr

Como previamente se hizo, comenzamos con la posición inicial dela
atlas} agregamos a és (algebraicament) pequeños incremen-
As de rca As determinados a parir dela gráfica de, gua 12-10).

Sisegmentos dela ricado e pueden describirse mediante una serie
ecuaciones, entonces cada una stas puede ser negradapara obtener
cuaciones que describen ls segmentos correspondiente de la gráfica de
‘Del mismo modo, agria de ss obtiene al integrar as cuaciones
que describen los segmentos dela gráfica de Por consiguiente, la
‘aca de as incl (una curva de primer grado) la inración dará
na grfica de que es parabólica (una curva de segundo grado) y una
slic de + que es cúbica (una curva de tercer grado).

123 CrevArea semen: nova marco

Gráficas de ws y as. Sila gráfica de as puede construirse,
entonces los puntos en la gráfica de v-s se determinan por medio de
de = a ds. Si integramos esta ecuación entre los límites v = 0, con
Sy Um MONS» 5, tenemos,

dim [oa
fecabajola
pati ee

Por consiguiente, is determina el ren de color gris en la figu-
ta 12 H1a y se condos la velocidad inicial wp en so = 0, entonces
mi = (2/00 ds + ed), figura 12110. De esta manera so pueden.
"arar puntos sucesivos en la prác de vs.

Sis cono la prác de vs, la acceraiôn aen cualqier posición»
se determina por medio de ds = y de,exrita como

velocidad por
aceleración = la pendiente de la
gráfica de vs

Por tanto en cualquier punto (s ) de la figura 12-124, se mide la pen-
diente dujds dela gráfica de v-s. Entonces, con vy dvds conocidas, se
«calcula el valor de a figura 12-120,

La gráfica de v-s también se construye a partir de la gráfica de aso
viceversa, por aproximación de la gráfica conocida en varios intervalos
con funciones matemáticas, u =f(5)0.a = g(s)y luego por ads = v de
‘para obtener la ota gráfica.

Cy

as} tm)

o

o
Hg. aL

a

al Ge

= ts)

œ
Rn

a

a0)

o

16)

10)

‘Una bicicleta rueda a 10 largo de una carretera recta de modo que la
gráfica dela figura 12-13a describe suposición, Construya las gráfi-
fas de vy a-1en elintervalo 0<1=<305,

se)

SOLUCIÓN
Gráfica de vt. Como v = ddr, la gráfica de 1-1 se determina
dferenciendo las ecuaciones que definen la gráfica de s-, figura
12-134. Tenemos

0S1<105 = (ples v= t= (2) less
lOs <1=305 = (20 100)pies v= = Mpies/s

Los resultados se han trazado en la figura 12-130. También pode-
‘mos obtener valores especificos de val medir la pendiente de la grá-
ca des en un instante dado, Por ejemplo, con! = 20s, la pendien-
te dela gráfica de s-se determina a partir de a linea recta de 105
4305, decir,

As _ Spies — toopies _
1-28 o” 20 pies/s
Gráfica de at. Como a = do/d, la gráfica de ase determina si
1% diferencian las ecuaciones que definen la líneas dela gráfica de
4. Esto resulta

O=1< 10s v= (anpies/s a= = rps?
crane emo ed

Los resultados se grafican en figura 12-136.

NOTA: comprocbe que a = 2 pess* cuando 1 = Ss al medir la
pendiente de la gráfica de 4.

123 CrevArea semen: nova marco 23

EJEMPLO [4 [a

Elautomóvil de l figura 12-14a arranca del reposo y viaja alolargo am’)

de una pista recta de modo que acelera a 10 m/s durante 10 y <>
luego desacelera a2 m/s”. Trace las gráficas de vty s-ty determine

el tiempo 1’ necesario para detener el automóvil. ¿Qué distancia ha 10
recorrido el automóvil?

SOLUCIÓN:

Gráfica de vt. Como do = a dila gráfica -15e determina alinte- AO
rar los segmentos de línea recta de la gráfica de at. Con la con-

diciôn inicial y = cuando 1 = 0, tenemos

ea iio cin

Cuando 1 = 10, y = 10(10) = 100 m/s. Com esto como la condición.
inicial paral siguiente intervalo, tenemos.

woscratiancams fe don [ad 0=(=209 mm

(o
01 <10:

Cuando t= requerimos 1 = 0, Esto resulta, figura 12-14b,

a Rep mh)

{Una solución más directa para 1s posible se tiene encuenta que

El área bajo la gráfica de as igual al cambio de la velocidad del
automóvil, Requerimos Av =0 = Ay +47, figura 12-14a, Pr tanto

0=10m/8(105) + (-2m/)(0 — 105)

= 60s Resp.

Gráfica de st. Yaque ds = vai alintegar las ecuneiones dela

arica de 15 obienen las ecuaciones correspondientes de I ard-
fica de 1. Al usarla condición ncials = 0 cuando 1 =0, tenemos

ams fase [aa 60m
Cuando =105,5 = (10 =500m. Al usar sa condición inicial,
pocas [dem [cr mou
500 = -? + 120 - [-(10)? + 120(10)]
5 = (1? + 1201 — 600) m

Cuando =60s,laposición es

5 = (60)? + 120(60) — 600 = 3000 m Resp.
La gica de se muestra en figura 12-16
NOTA: una solución dret para ss posible cundo 1 = 60,
puesto que el área triangular bajo la gráfica de v-t resulta el despla-

zamiento As = s —0 desde ¢= Oar" = 60 Por consiguiente,
‘As = 160 (100 m/s) = 3000 m Resp

0=/=105 vo

Ws 5156)

sm)

2

Carmo 12 Comsanca neun ero

12.

(es)

ie)

La gráfica de vs que describe el movimiento de una motocideta se

‘muestra en la figura 12-1. Trace la gráfica de a-sdel movimiento

y determine el tiempo requerido para que la motocicleta alcance la
¡ón s = 400 pies.

SOLUCIÓN

Gráfica de a-s. Como se dan las ceuaciones de los segmentos de la
‘fica de vs la gráfica de a-sse determina con a ds = v de,

== open v= (025 + Wis
ao 4. :
ang, = (028+ 10) 9, (025 + 10) 0.045 +2
opies < 55 A pies; v=SOpiss

de d
a = off = (50) € (60) = 0

Los resultados se grafican en la figura 12-15.

Tiempo. Fi tiempo se obtiene con la gráfica v-sy v = ds/d, por
que esta ecuación relaciona , s ÿ 1. Para el primer segmento del
movimiento,s = 0 cuando {= 0, por tanto

ere Saeed
055 < Mopies; v= (025 + 10) pies/s; di =F = È
a
Le [ate
1=(SIn(02s + 10) ~ Sin 10)
Cuando s = 200 pies, = SI02(200) + 10] — Sn 10 = 805 . Por

consiguiente, utilizamos esta condiciones iniciales para el segundo
segmento del movimiento,

DO pies < 5 400 pies: = Spies di = E E

LL

aos de r= (Z+40s)s
For consiguiente cundo + = am ie,

400
t= Gt 405 = 1205 Resp.

NOTA: los resultados gráficos se comprueban en parte al calcular
lus pendientes Por ejemplo, cuando s = 0, a = #(dv/ds) = 10(50 —
10)/200 = 2 mys, Ademds, los resultados se comprucban en parte
por inspección. La gráfica de vs indica el incremente dela
velocidad (aceleración) seguido por velocidad constante (a = 0).

123 CrevArea semen: nova marco 25

PROBLEMAS FUNDAMENTALES

F129. La partícula viaja a lo largo de una pita recta de
modo que a gráfica de +1deseribe suposición. Trace la
rica de ot para el mismo intervalo,

se)

1212. Elauto deportivo viaja ao largo de una camete-
area, de modo que la grin describe suposición, Trace
lus gráficas de 64 ax durante el intervalo 0=1=104.

so)

ma

FIZA3, FA ragster” arranca del reposo con una acc
vación descta por la gráfica. Construya In gráfica de et
durant el intervalo 024 1 done Y es el tiempo que le
leva al auto detenerse

acme)

=

o 20

mas

FI2-14. El “dragster” arranca del reposo y su velocidad
sla descrita por la gráica Trace la gráca de durante
interval de tiempo 021 < 155, Tambien, determine la
stand total recorida durante est intervalo.

Ir)
a
150
vs, penises ms
5s) 5 0
mau mints

26 Carmo 12 Comsanca neun ero

DE

1242, La rapidez del tron durant el primer minuto se
gir como sigues

19) on 0 ©
(m4) own m

‘Trace I gráfica de vs que representa la curva de forma
“aproximada como segmentos de Inca recta entre los pun-
{bs dados. Determine la distancia total recorrida.

12-43. Se dispara verticalmente un mist de dos cupas
‘desde el reposo con la acoleración quese india. En 155
la primera etapa A se consume y e encende la segunda.
«tapa Trae las gráficas de v-1y 2 la cuales describen.
«e movimiento dels dos capas del mi durante el inter.
valo 0=1= 205.

aims)

1244, Untren de carga parte del repos y viaja con una
aceleración constante de 0.5 piess Después de un tem»
po mantiene una rapide constante de modo que cuando
1=160 ha recordo 200 pie, Determine el tempo Y y
‘race la gráfica de ts del movimiento,

21248. Sis=[2son(riS) +4] m, donde test en sepun-

os, define la posición de una partícula, trace las gráficas
de s1.01y ov duranteelintervaloO=1= 108,

1246. Un ren sale de In estación À y durant el primer
Kilómetro viaja con una aceleación uniforme. Luego,
¿durante los dos siguientes Kilómetros viaja con una velo
dad uniforme. Por último, ol ren descclera de maner

informe durante oro Kilómetro antes de detenerse en
la estación B, Sil tiempo de todo el record es de ses
‘minutos, tac la gráfica de v y determine la velocidad
“máxima del ren.

12-47, La partícula vsj ao largo de una tinea rta con
la velocidad deserita por la gráfica, Trace la gráfica dees

cms)

1248. Se proporciona ta gráfica de as de un "jeep"
que viaja lo largo de una carretera ect delos primeros
300 m de su movimiento, Trac I práca de Cuando
5=0.0=0.

20)

+1249. Una parca viaja a lago de una curva def
ida por a ccuación s= ($ — 30 + 2) m, donde ent en
segundos. Trace las gráficas des = 4» fy a — tela
partícula durante elintervalo 01 <3

1250. Un camión viaja lo largo de una ina roca con

una velocidad descrita por la gráfica. Trace la gráfica de
durante ol intervalo 0-8 = 1500 ice.

1281. Un automóvilarrana del reposo y viaje lo largo
‘de una carretera reta con una velocidad descrita por la
‘rica, Determine la distancia total corrida hasta que el
auomöyilse detiene, Trace las gráficas de sya

123 CrevArea semen: nova marco 27

12.52. Un automóvil sube una colina a la velocidad que
e muestra Determine Ia distancia total que recorre hasta
quese detiene ( = 6s). Trace Ingen de a.

vas)

+ 16)

Prob, 1252

+183. La moto de nieve se desplaza por un sendero
recto de acuerdo con la grfi de er. Trace las gráficas.
de #4 y a durante el mismo interao de $0 5. Cuando

a u

à

(os)

= 10)

Prob, 1253

1254. Un motociclista en A viaja a @ pis/s cuando
esca rebasar cl camión Tel cual vais a una velocidad
constante de 60 pies/s Para hace, el motociclista ace-
[Era 46 pies? hasta que akanza una velocidad máxima
8285 pes/ Si luego mantiene esta velocidad, determine
tempo que le eva gar a un punto situado a 100 pies
‘adelante el camión, Trace las gráfica wy el motoc
lista durante este tempo.

(oa) = Opens

(a= pie

28 Carmo 12 Comsanca neun ero

1258. Un aviónque wuclaa 70m/satcrrimen una pista SEAT, El “dragster” arranca delreposo y se desplaza a
de aterrizaje recta y su desaceleración está descrita por la. lo largo de una pista recta con una acleración-desacelera-
rica. Determine el iempo y la distancia que recore ón escrita por la gráfica. Trace la prfica de va durante
Para alcanzar una rapidez de 5 mA Trace las gráficas de elinteralo O2 = y determine la distancia Y secorida
ry 4 durante et intervalo, 0-31” antes de que el dragster se detenga de nuevo.

am)

Ku Le ES

16)

“1256, La gráfica describe la posición de un cit que

‘ja alo largo de una camera recta. Trace las gráficas

Kriyar. 12:8. Unauto deportio viajaa 1 argo de una carete-
‘recta con una aceleración desaceleración descrita por
la gráfica Sil automóvil arranca del reposo, determino la
distancia que recorre ames de detenerse, Trace la grit
a de e-santé elimervalo0=5=¥.

La aps)

mass rn

ins{

16)

1 E

123 CrevArea semen: nova marco 29

una pista recta durant 10 con la aceleración mostrada, — mientras viaja por una caretea, Trace las gráfica de st
‘Trace la gráfica de que describo el movimiento y deters y del movimiento,
ino la distancia corrida.

12:59. Un misil disparado del reposo visa a lo largo de 12-61, Se muestra la gráfica de e: de un automóvil a
1

7)
A _— RR)
Prob, 12.59 Prob, 1261

amv jeans 262 bot map Inc rc cn accés
so, Comoras ana derroto di or ad, tanec lo, ce

Laden dass rime ahd "la grâfica de res y determine la velocidad máxima del bote.
A A rate
movi dina dst criba los.

ee aint) =
oh geome
3
so
ls F

16)

30 Carmo 12 Comsanca neun ero

1263. La erica describe 1 aceleración del cohcte. Si 12465. La gráfica describe Ia acelración del bote que
parte del reposo race las gráficas de mt y mt del movie arranca delrepcso. Trace la gráfica de va.
miento durante el intervalo 05/3143.

pin)
aa)

10.

stp)

19

1264. El bte navega ao largo de una line recta la
velocidad descrita ora rc, Trace las ras y
Tambien, determino cempo requerido pra que elote

12-64 La motcidet de turbinas desplaza al Largo "Era un distancia x = 4 mi =Ocuando£=0.

una career recta con la velocidad desta por la gr

ea de a Trace gra de

oo =
|

123 CrevArea semen: nova marco a

12467. La gráfica des de un tren se determinó experi #129. El avión dspega con la aclración descrita por
mentalmente. Con los datos, race las gráficas de v4y af — la gráfica Si aranca del reposo y require una velocidad.
del movimiento. <6 90 mys para despegar, determine la longitud minima de
ista requerida y el tempo para despegar. Trace las gr
as de oy o

mie) a

©
10 y J

“1248. EI avión atera a 250 pies sobre una pista 1270, Se muestra la gráfica de ar del tren bla. Si el
recta deselera como se indica enla gráfica. Determine ten arranca del reposo, determine el tiempo transcurrido

dance Y vcd ates de ques rapidezscreduca au de detener OM la dema tl reco
225 pesé Tac La gr de 4 rame este intra Traces gies do 019

sie?) N mn

ne .
i) asa
al
a e
CRE)

32

Carmo 12 Comsanca neun ero

o
y
LS
Desplazamiento.
o

Me 126

12.4 Movimiento curvilineo general

El movimiento curvilneo ocurre cuando una partícula se desplaza a lo
largo de una trayectoria curva, Como esta trayectoria a menudo se des-
ibe en tes dimensiones, utilizaremos andlisis vectorial para formular
La posición, velocidad y aceleración de una partícula.* En esta sección
‘© analizan los aspectos generales del movimiento curvlineo y en sec-
ones subsiguientes consideraremos tres tipos de sstemas de coorde-
nadas que se usan con frecuencia para analizar sto movimiento,

Posición. Considere una partícula situada en un punto de una
curva espacial definida por la función de trayectoria s(), figura 12-164,
El vector de posición r = r() designará la posición de la partícula,
medida con respecto a un punto fio O. Observe que tanto la magnitud
omo la dirección de este vector cambiarán a medida que la partícula
se mueve alo largo de lacurva.

Desplazamiento. Suponga que durante un breve intervalo Arla
partícula se mueve una distancia As a lo lago de la curva a una nueva
posición, definida por r= + Ar, figura 12-165, El desplazamiento
Ar representa el cambio de posición de la partícula y se determina
‘mediante una resta vectorial, es decir Ar = —

Velocidad. Durante el tempo la velocidad promedio dela par-
feulaes

seat

mn
Lavelacidad instantáneas determina conesta ecucién cuando At-+0,
x por consiguiente la dirección de rende la ungente à I curva. Por
consiguiente, y = Jim (A1/ A0

de
a

(a

Como dr será tangente ala curva, la dirección de v también es tan-
gente a la curva, figura 12-16c. La magnitud de v, conocida como la
Impidez, se obtiene al tener en cuenta que la longitud del segmento de
Tinea recta Aren la figura 12-165 iende la longitud de arco Asa medida
que 31—>0,tenemos o = Im (Ar/är) = Jim (35/80),0

ds
e a)

Portanto, la rapidez & obtiene al diferenciar la función de la trayecto-
fia con respectoal tiempo.

“nl spé Bae prsete un reumen de algunos dels copos importantes
de sli ecto.

124. Moreno cum omens.

Aceleración. Sila velocidad de la partícula es ven elinstante1 y
Y = x + Avenel instante + A figura 12-16d, entonces la aceleración
“promedio dela partícula durante el intervalo Ares.

a md
a ay

‘donde Av = Y ~ y Paraestudiarlatasa de cambio en el tiempo, los dos
vectores de velocidad enla figura 12-16dse trazanen a figura 12-16e de
modo que sus colas queden en el punto fijo O'y sus cabezas de punta
lis
cuando se construye, describe el lugar geométrico de puntos.
‘ara la cabeza de punta de ficha del vector de velocidad, del mismo.
modo en que la trayectorias describe el lugar geométrico de puntos para
la cabeza de punta de flecha del vector de posición, figura 12-162.
Para obtenerla areleracióninstaniánea, hacemos que Ar — 0 en la
ecuación anterior. En el límite Av tenderá a gente a la hodógrafa y
portanto a = im (dy/81)0

de
7 2)

Si sustituimos la ecuación 12-7 en este resultado, también podemos
escribir

at
de

Por definición de la derivada, a acta tangente a a hodógrafa,figu-
ra 12-16f y, en general no es tangente ala trayectoria del movimiento,
‘figura 12-16g. Para aclarar este punto, tenga en cuenta que Av y por
«consiguiente a, deben responder el cambio unio de magnitud como de
¿dirección de la velocidad va medida que la partícula se mueve de un
‘punto al siguiente a lo largo de la trayectoria, figura 12-164 Sin embar-
80, para que la partícula siga cualquier trayectoria curva, el cambio
direccional siempre “cambia” el vector de velocidad hacia el “interior”
‘0“lado cóncavo” de Ia trayectoria, y por consiguiente a no puede pere
manecer tangente a la trayectori En suma, v siempre es tangente ala
trayectoria y asiempre es tangente a la hodógrafa.

o

©

Modógeta

Actlención
Tracia
©

ig. 1246 (cont)

33

34

Carmo 12 Comsanca neun ero

Pose
©

o
Fig.

sin

du”

f
À

nitro

12.5 Movimiento curvilineo:
componentes rectangulares

De vez en cuando el movimiento de una partícula puede describirse
mejor alo largo de una trayectoria que pueda expresarse en función
de sus coordenadas x, y, 2.

Posición. Sita partícula está en el punto (xy, 2) de la trayectoria
curva s mostrada en la figura 12-17a, entonces el vector de posición
define su posición

salt yt ck) 0210)
“Cuando la panícula se mueve los componentes x, y, de rserán fun-
ones del tiempo, es decir, x = a). y = y(Q, 2 = 2(0), de modo que

er),
En cualquier instante la ecuación C-3 del apéndice C define la mag-
ritud de ©

NAT ET]

Y la dirección de rse especfia por el vector unitario u, = r/r.

Velocidad. La primera derivada con respeto al tiempo de rpro-
porciona la velocidad de la partícula. Por consiguiente,

aid 4
vn at ge) + OÙ + Fk)

‘Cuando se toma esta derivada, es necesario tener en cuenta tanto la
magnitud como la dirección de cada uno delos componentes vectoria-
Les. Por ejemplo, la derivada del componente ide res

doy a 84 fl

a) al Far
segundo término del lado derecho es cero, siempre que el marco de
referencia x,y, 2est6 joy por consiguiente la dirección (y la magnitud)
de i no cambie con el tiempo. La diferenciación de los componentes
1y kse realiza de la misma manera, la cual proporciona el resultado.
final,

nd + vy) + vk (211)

donde

mene ay meme (212)

125. Moneio anv como rcranonanes 35

x= x), y =y(0,2 = 20), respectivamente.

La votación “de punto”, i, ÿ, ¿representa las primeras derivadas de a
2
La magnitud dela velocidad se determina como

el vector unitario u, = v/v específica su dirección. Como se vio enla
sección 12-4, esta dirección siempre es tangente a la trayectoria, como
‘se muestra enla figura 12-176,

Aceleración. La aceleración de la partícula se obtiene de la pri
mera derivadacon respecto al tiempo de la ecuación 12-11 (0a segun-
da derivada con respecto al tiempo de la ecuación 12-10). Tenemos

A a)

donde

(244)

‘Aqui, du ay a representan, respectivamente, as primeras derivadas
‘on respecto al tiempo de e, = e), 1, = e), 8,» (0) 0 las segun-
das derivadas con respecto al tiempo de lasfuncionesx =x), = (0.
za).
La nec

ne una magritud

avatar

y una dirección especificada por el vector unitario u, = a/a. Como a
representa el cambio tanto de la magnitud como de la dirección de
la velocidad, en general a no será tangente a la trayectoria, figura
1217.

36 Carmo 12 Comsanca neun ero

Puntos importantes

+ El movimiento curvilineo hace que cambie tanto la magnitud.
‘como la dirección delos vectores de posiciôn, velocidad y ace
keración.

El vector de velocidad siempre es umgente ala trayectoria.

+ En general, el vector de aceleración no es tangente a la trayec-
toria, sino que más bien es tangente a la hodögrfa.

+ Si el movimiento se describe mediante coordenadas rectangu-
lares, entonces los components a lo largo de cada uno de los
ejes no cambian de dirección, sólo su magnitud y sentido (signo.
algebraico) cambiarán,

+ Al considerar los movimientos de los componentes, el cambio
‘de magnitud y dirección de la posición y velocidad de la par-
cula se toman automáticamente en cuenta.

Procedimiento p: E

| Sistema de coordenadas.
| © Un sistema de coordenadas rectangulares puede usarse para

resolver problemas para los cuales el movimiento puede expre-
‘ase en términos de sus componentes x, y, 2.

Cantidades cinemáticas.

+ Como el movimiento recilneo ocurre a o largo de cada ee de
«coordenadas el movimiento lo argo de cada eje se determina
mediante v = ds/d y a = de/dk; o cuando el movimiento no
‘std expresado como una función del tiempo, puede utilizarse
la ecuación a ds = vdv.

La ecuación de la trayectoria y = f(x) puedo utilizarse en dos
“dimensiones, para relacionar los componentes xy yde la velo
‘dad y aceleraciónsi e aplica la regla de la cadena del cálculo,
Esto concepto se revisaen el apéndice C.

+ Una vez que se determinan los componentes x, y, , las mag-
ritudes de estos vectores se determinan con el teorema de
Pitágoras, ecuación B-3 y sus ángulos de dirección coorden
‘bs a partir de los componentes de sus vectores unitarios, ecua-
ones BA y BS.

125. Moneio anv como rcranonanes 37

EJEMPLO [129 [a

En valquier instante x = (8) pies, donde está en segundos, define
la posición horizontal del globo atmosférico de la figura 12-180. y

Sila ecuación de la trayectoria es y = 2/10, determina la magnitud
y dirección de la velocidad yla aceleración cuando t= 25,

SOLUCIÓN
Velocidad. El componente de velocidad en la dirección x es

ont = Sa) op

Para determinar la relación entre los componentes de velocidad uti
lizaremos la regla dela cadena del cálculo (vea el apéndice A para
‘una explicación completa).

4 68/10) = 233/10 = OO = 256pie/s 1

vn
‘Cuando 1 =25,la magnitud de la velocidad es por consiguiente

v= ViBpies/s) + 056 pies/s)* = 268 pies/s Rep.

La dirección es tangente a la trayectoria, figura 12-180, donde = 268 peat
1% 256 pe anne
Dt = 76 Resp. Des
Aceleración. Larelación entre los componentes de aceleración se ©

determina con la regla dela cadena (Vea el apéndice €) Tenemos

a
40-0

= Lain = too + Go

= 2(8)7/10 + 2(16)(0/10 = 128 pies? T
Por tanto,

a= VO) + (128) = 128 pies/s Resp.
La dirección de a, como se muestra en a figura 12-186 es

DES rey.

NOTA: también es posible obtener , y a, sise expresan primero
= f() = (80/10 = 64r y luego se toman derivadas con respecto
al tempo sucesivas,

38 Carmo 12 Comsanca neun ero

E EJEMPLO 12440)

Durante un breve lapso, y = (0.0012) m describe la trayectoria del
avión que se muestra en la figura 12-194, Si el avión se eleva con
‘ma velocidad constante de 10 m/s, determine las magnitudes de la
velocidad y aceleración del avión cuando esté a y = 100 m.

SOLUCIÓN
“Cuando y = 100 m, entonces 100 = 0.001320 x =3162 m. También,
como v, =10 m/s por tanto.

y= yf WOm=(om/syr = 10s

Velocidad. Siuilizamos a regla de la cadena (ven el apéndice C)
para determinar la relación entre los componentes de la velocidad,

renos
, 0, = 5 000) = Cook = 00m, (D
Portano
4-000
10 m/s = 000203162 m)(v,)
me] = 0, = 1581 m/s

La magnitud de la velocidad es, por consiguiente.

w

= Vor ru? = \/0581 m/s] + (10 m/s)? = 187 m/s Resp.

Aceleración. Con la regla de la cadena, la derivada con respecto
al tiempo de la ecuación (1) proporciona la relación entre los com
ponentes de la aceleración.

a, = à, = 0002%0, + AONE, = 000201 + xa,)

Cuando x = 3162m, 0, = 1581 m/s, dy = 4, = 0,

0 = 0002((15.81 m/s)? + 3162 mia)
a = 0791 m/s

‘La magnitud de la aceleración de avión es por consiguiente
o ahi VOM + Om

Fy 12.419 = 0791 m/e Resp.
Estos resultados se muestran en Ia figura 12-199.

124. Monero neu women. 39

12.6 Movimiento de un proyectil

El movimiento de vuelo libre de un proyectil menudo se estudia en
función de sus componentes rectangulares, Para ilustra el análisis cine
mâtico, considere un proyectil lanzado en el punto (se, y), con una
velocidad inicial de wo cuyas componentes son (x) y (vo), figura 12-20.
Cuando se hace caso omiso dela resistencia del aire, a única fuerza que
“cta en el proyectiles su peso, el cual hace que el proyectil tenga una
aceleración dirigida hacia abajo constante de aproximadamente

8 = 981 m/s 0 8 = 322 ples/

Fe 1220

Movimiento horizontal. Como a, = 0, la aplicación de las
ecuaciones de aceleración constante, 12-4 à 12.6, resulta

(4) a+. DIOR
(+) wey tne das 20 + (tot
(4) dada = (Oe

La primera y la última de las ecuaciones indican que el componen-
ze horizontal de la velocidad siempre permanece constante durante el
“movimiento.

Movimiento vertical. Comoel eje y positivo está dirigido hacia
arriba, entonces a, = —g. Al aplicarlas ecuaciones 124 à 12.6, obte-

ah vem tad; 0, = (00), — gt
GT) yt da Pm wt (oye dee
ED Play ad = (280 30)

Recuerde quela última ccuación puede formularse con base enla elimi-
nación del tiempo 1 de las dos primeras ecuaciones, y por consiguiente
sólo dos de las res ecuaciones anteriors son independientes entre s.

I supone que el campo revit terete o vara on a to

Cada imagen en sa ft se tomó dspués
“mimo teva, La bola nce del
opos, en tano que la bola dara recibo
‘a velocidad oral cundo e bea
‘Amis boas se acleran aca abajo la
isa raza y por lo aso pormaneten
la misma altura en todo momento Esta
sccerción esque la direc de ura
velas den Dols se incremente entre
fotos sucesivas. También, aburre que la
soca horizontal entr Lots susi
¿ela bosch entame puesto que la
add enla dicción horizontal per

40 Carmo 12 Comsanca neun ero

‘sta manera puede determinarse a ub
ación de la pila acumuladn Se ur
“condenadas rectangulares para el and
ds, puesto que la clean oe so
‘cl dtcctin veria

En resumen, los problemas que implican el movimiento de un pro-
seat pueden tener cuando mucho tres incógnita, puesto que sólo put
den escibise tres ecuaciones independientes, es decir, unaccuación en
la dirección horizontal y dos en a dirección vertical. Una vez obtenidas
vey Yy la velocidad resultante la cual siempre estangente ala trayec-
toria, se determina por medio de la suma vectorial como se muestra en
la figura 12-20,

‘Sistema de coordenadas.

+ Establezca el je de coordenadas, y. jo y trace la trayectoria
dela partícula. Etre ds puntos cualesquiera de la trayecto:
ria, especifique los datos dados del problema e identifique las.
tres incógnitas. En todos los casos la acciracón dela grave-
dad actúa hacia abajo y es igual a 981 m/s? 0 32.2 ples/s?. Las
velocidades inicial y final dela partícula se representarán en
función de sus componentes x y.

+ Recuerde que los componentes positives y negativos de la pat.
ción, velocidad y aceleración sempre actúan de acuerdo consus
direcciones coordenadas asociadas.

Ecuaciones cinemáticas.

+ Dependiendo de os datos conocidos y de loque seva a deter-
minar se decidirá cues rs de ls cuatro ceuaciones siguientes
se aplicará ente lo dos puntos dela trayectoria para obtener
la solución más directa del problema

Movimiento horizontal.

+ La velocidad en la dirección horizontal o x es constante, es
decir 0, = (00,9

zu mt (tet
Movimiento vertical.

+ En la dirección vertical o y, sólo dos de las tres ecunciones
guientes pueden uülizarse para la solución.

ty = (ey + aa
Ym + (tot da
2 = (eu) + aly — 26)

Por ejemplo, si no se requiere la velocidad final v, de la par-
‘icula la primera y tercera de stas ecuaciones no serán útiles

124. Monero neu women. a

EJEMPLO [12:44 E

Un saco se desiza por la rampa, como se ve enla figura 12221, con

‘una velocidad horizontal de 12 m/s. Si la altura de la rampa es de

6m determine el tiempo necesario para que el saco choque con el
AR donde los sacos comienzan a apilarse

Lams

„punto A, figura 12.21. La velocidad
inicial de un saco tiene los componentes (24), = 12 m/s (04), = 0.
Incluso, entre los puntos Ay Bla aceleraciónes de a, = 91 mA.
Envistadeque (op), = (04), = 12 m/s lastrsincógitasson (09), À
y el tempo de vuelo fan. En este caso no necesitamos determinar
(o

Movimiento vertical. Se conoce la distancia vertical de À a By
por consiguiente podemos obtener una solución directa para un
con ecuación

ad Yam vat (odas + Ja
6m = 0 + 04-981 m/s)
tan = tits hap:

Movimiento horizontal. Con taacalculado, Rse determina como
sigue:
> an = xa + (aan

R=0+ 12m/s(1115)

R=153m Resp.

NOTA: el cálculo de £4g también indica que si se soltara un saco.
desde elreposo en A, le llevara el mismo tiempo chocar con elsueto.
en G figura 1221.

La máquina desmenuzadora está diseñada para que lance virutas
de madera a my = 25 pies/s como se muestra en la figura 12-22.Siel
bo está orientado a 20” con respecto a la horizontal, determine a
qué h, las virutas chocan con la pla sien este instante caen en la pila
20 pie del tubo.

SOLUCIÓN
Sistema de coordenadas. Cuando se analiza el movimiento
entre los puntos O y A, ls tres incógnitas son la altura A, el tiempo
de vuelo lo, y elcomponente vertical de la velocidad (1,), [observe
que (va): = (vo)ı]. Con el origen de las coordenadas en O, figura
12-22, la velocidad inicial de una viruta tiene los componentes de

(vo), = (25 cos 30°) pies/s = 21.65 pies/s >
(00), = (25 sen 30") pies/s = 125 pies/st

Además, (04): = (ole = 21.65 pie ya, = -322 pie. Como
0 necesitamos determinar (VA), tenemos

‘Movimiento horizontal.
(53) zu = xo + (Vo)stoa
20pies = 0 + (21.65pies/s)tou
ton = 092385

Movimiento vertical. Si relacionamos fog con las elevaciones

inicial y final de una viruta, tenemos

ED raro Holas Heads

(h-Apies) =0+ (125 pis/s)(09238 5) + (322 pies/s'1092385)'
h=181pies Resp.

NOTA: podemos determinar (04), por medio de (14), = (0), +
ox

124. Monero neu women.

EJEMP

3

1

La pista para este evento de carreras se disenó para que los corre-
dores salten la pendiente a 30°, desde una altura de 1 m. Durante
una carrera se observó que el corredor de la figura 12-23a perma-
necfa en el are durante 1.5 5, Determine la rapidez ala cual estaba
saliendo de la rampa, la distancia horizontal que recorre antes de
chocar con el suelo y la altura máxima que alcanza. No tome en
cuenta el tamaño de la motocicleta ni al corredor.

w
SOLUCIÓN
Sistema de coordenadas. Comose muestra enla figura 12-236, c1
origen dela coordenadas se establece en A. Entre los puntos extre-
‘mos de la trayectoria AB las tes incógnitas son a velocidad inicia
‘a distancia Ry el componente vertical e la velocidad (2),
Movimiento vertical. Como el tiempo de vuelo y la distancia
vertical ent los extremos dela trayectoria se conocen podemos.
determinar 24.

CN ra (oa + ha
Am 04 ngsen30°(15s) + (981 m/8)(15 3)?
va” B38 m/s = 134m/s Resp.

Movimiento horizontal. Ahora podemos determinar a distancia R,
(e) xa at (Dan
R= 0 + 13.38 cos 30° m/s(1.5 s)
= 174m Resp.

Para determinar laura máxima h consideraremos la trayectoria
AC figura 12.23%, En este caso ls tes incóguts son el tiempo de
vuelo Fac, distancia horizontal de A a Cy la altura A. A a ltu-
a máxima (x), = 0 y como u, se conoce, podemos determinar h
direciamentesin considerar tac mediante lasiguieto ecuación
Cu = (005 + Zube = yal

0° = (13:38 sen 30° m/s)? + 2(-981 m/s*)[(h ~ Im) ~ 0]

h=328m Resp.
NOTA: demuestre que la motocicleta golpe el suelo en con una
velocidad cuyos componentes son

(Om); = 116m/s—, (m), = 802 m/sb

as

a Carmo 12 Comsanca neun ero

ZAS, Silos components x y yde la velocidad de una
para son es = (62) m/s y, = 8 más determine la
cumin dla trayectoria y= fa). x =0y y =0 cuando,
Fer

FI2-16, Una parcula se desplaza alo lago deta race
ori recta. Sisu posición al largo del je x esx = (4)
rm donde fests en segundos, determine la rapidez cuando
rae

12.17. Se hace que una partícula viaje a o largo de la
‘eayectoria Six = (Am, donde rest ensegundos deter
mine la magnitude la velocidad y aceleración de la par-
cal cuando f= 05 5

poe

om
mar

E PROBLEMAS FUNDAMENTALES

FIZ-A8. Una partícula viaja alo largo de una tayec-
toria de Nina reta y = 03%. Si] componente x de la
velocidad d la partícula ost; = 2) m/s donde rests en
segundos, determine la magnitud de la velocidad y acele-
ración dla partícula cuando = 45.

y

e

Foose

ros

1249. Una partícula viaja a Lo largo de una trayecto-
sa parabólica y = 0250 Six = (2°) m, donde res en
segundos, determine la magnitud de fa velocidad y aeele-
vación de Ta partícula cuando

y

fausse

mu

112.20, Laposcióndeunacaja que se desta haci abajo
por una trajectonn helical la scie r = [en (211 +
200811 = pis, donde then segundos y les argu-
‘ments delscnoy coseno extn en radianes. Determin Ia
Aloe y alració dla cejacuando! = 2

124. Monero neu women. as

velocidad inicial e, = 10 m/s Determine laaltura maxima var el muro cn B, determine la magnitud mínima de su
que akcanza velocidad inicial ve

12.22. La pelota es pateada desde el punto A con la
velocidad inicial 24 = 10 m/ Determine la distancia R y
Ja rapidez con que la pelota golpcact suck.

FIZ21. La pelota es patcada desde cl punto À con ln FI225, es 5
1

FIZ23, Determine la rapidez a que se debe lanzar el mas
alé de hasquetbol en À al ángulo de 30° de modo que
legue ala canasta en 3,

A 1226. Se dispara un proyectl con una velocidad inicial
D de. = 10 mb sde a azoten de un dif, Determine
la ditanciaRdonde golpea clsuclo en.

FIZ24, Se roca agua a un ángulo de 90 desde la pen-
‘este a 20 m/s Determine la distancia.

— ein

46 Carmo 12 Comsanca neun ero

1271, La posición de una partícula es # = {9 — 204
= (41 + pj + (3% — 7%) m, donde rest en segundos,
determine la magnitud de la velocidad y acclración dela
paru cunado = 24.

“12-72. La velocidad de una partícula es
(6= 2j) m/s donde rest en segundos. i

10, determine el desplazamiento dela partícula durante
limeralo de tiempo = Iaar=34

«12:73, Una partícula viaja alo largo de una trayectoria
parabole y = bx, Si su componente de velocidad a lo
largo del ej y es e, =e determine los componentes xy
y de la celeación de la partela, En ete caso by cson
constantes.

1274, La ecuación y = (1621 + 464 + (5 +2)K) m/s
ola velocidad de una partícula, donde está ensegundos.
Sila partícula eh en el rigen cuando {= 0, determine la
magnitud de la aceleración de la parcula cuando ? = 2.
‘También uf ela posción x,y, de la partul en eto
sante?

1275. Una parcula visa alo largo de una trayectoria
circulars? + yl sr. Slelcomponente y del velocidad de
ba partícula e 0, = 216082, determine los componentes x
y es aceleración en cualquior instante

112-76, La caja se desliza por la pendiente descrita por
I ccuación y = (0051) m, donde est en metros. Silos
‘componentcs x de la velocidad y aceleración de la caja son
t= 3 mA ya, = -15 m/s respectivamente, cuando
x= m, determine los componentes y de la velocidad y
‘ccleracn e la cajacnest instant,

PTE

Prob 12.76

DE

112-71. La posición de una partículas r = (Scos2ri +
“4xen rj} m, donde test en segundo y los argue
delscno y coseno esti en radianes. Determine las ma
tudes dela velocidad y aceleración de la partícula cuando
= Ts También, demuestre que la trayectoria dela par
‘ula es pt.

1228. Lasespigas Ay Best restringidas a moverse en
las ranurasclipicas por el movimiento del elaben ran:
do. Siest se mueve a una rapidz constante de 10 m/s,
determine la magnitud dela velocidad y aceleración dela
Spiga A cuando x = Im.

Prob, 1278

127. Una partícula viaja a o lago de la trayectoria
7 = Axa una rapidez constante de v = 4 m/s Determine
Tos componentes y y y de su velocidad y aceleración euan-
dam

“1240. La vagoncta viaja por la colina descrita por
y = (-15{109) + IS)pis. Si tene una rapier cons-
“ante de 75 pies, determino los componentes xy yde au
velocidad y aceleración cuando x = 50 pls.

pis

1281. Una partícula iaja ado largo de una trayecto
cular de À a Ben 1s Si requiere 3 para irde À aC,
determine au velocidad promedio cuando va de Ba €.

Prob 1281

1282. Un automóvil vaj al este 2 km durante 5 minu-
tos, go al norte 3 km durante 8 minutos y lego al este
4 km durante 10 minuto. Determine la distancia total
recorrida yla magnitud del desplazamiento del automóni
‘También, cuál ala magntud de la velocidad promedio y
1 rapiz promedio?

1283, Elcarro de la montaña rusa desconde por la tra-
sector helicoidal a velocidad constante de modo que
las ecuaciones paramétricas que definen su posición son
x = € sem ky y = € os da, 2 = À = bi donde €, À yb
‘Son constants, Detrmine as magnitude de su velocidad
yacceracin.

124. Monero neu women. 47

paru el componente dela velocidad al largo de je
Yes, = a, donde tanto ky con constantes. Determine
los componentes xy yde la aceleración cuando y = yo

+12484, Lacevación y = äkrdefine la trayectoria de una a
2

1248, Una partícula se muevo ao largo dela curva,
2 — (£/40), donde x y y están en pos. Si el componente
¿e velocidad nladieccón.xes e, "2 less y permanece
constante, determine las magnitudes de a velocidad y ace.
Leación cuando + = 20 pis

1286. La motociota viaja a rapidez constato tp a lo
largo de la trayetoria que, durante una cora distancia,
‘dopa la forma de una curva seno. Determine los com.
ponentes x yy de su velocidad en cualquier instant enla

Prob. 1246

1247. E patinador dejala rampa en A con una veloc
dd inicial un Angul de 30". Si golea elsuclo en B,
‘termine v4 el iempo de vuelo.

Prob. 1287

“1248. El “pitcher” lanza la bola horpontaimente a
una rapidez de 140 pies desde una atur de $ pis. Sie
bateador est 6 pis del lanzado, determine el tiempo
para que la bola gue al baoador y la altura ha a cual
pasapor 6.

48 Carmo 12 Comsanca neun ero

1249. Se lanza la pelota desde la roten del edificio.
Si golpes el suelo en Ben 35 determine la velocidad nie
al 4 y el ángulo de inciación 9, al cual fue lanzada,
“También, determine la magnitud dela velocidad de la bola
nd golpea el sucio.

1290. Se dispara un propecia una rapidez y = 60 m/s
en un ángulo de 60°, Luego se dispara un segundo proyee-
li cos la misma rapidez O's después. Determine el ingu-
lo 8delsegund proyect, de modo que los dos proyectiles
ehoquen. ¿En qué posición (1, y) sucederá eto?

12.51. HI bombero sostiene la manguera a un ángulo

9 =30*con!a horizontal y cl agua sale dela manguera À à
una velocidad de v4 = 40 pies. Si el chorro de agua gol
poa el icio en determino sus dos posibles distancias
el dich.

1292, De a manguera el agua ale a 40 pes/s Deter
‚mine los dos posibles ángulos a que el bombero puede
sostener a manguera, de modo que cl agua golpee ele.
So cn B. Considere ques =20 pes.

£1293, La máquina de lanzar se justa para que la
bol alga despedida con una rapier de e = 30 m/s. Si
la bola golpa el suelo en, determine los dos posibles
Angus 0, à que se lane,

1294, Se observa que el tiempo para que I bola gol-
pee elsucio en es de 25. Determine la rapide? e, y el
Angulo que se amojo.

1295. Sielmotociclit dejala rampa a 10 pie/s detr-
mine a altura que la rampa 8 debe tener de modo que la
motocicleta terio a salvo.

opis

124. Monero neu women. 49

+1236, Elbcibolista À batea la bola con 1 = 40 pis
y 0, = 60" Cuando la bolaest diretamente sobr el juga:
or 3 éste comienza a comer debajo de ella. Determine
la rapidez constante up yla distancia da I eval B debe
cover para hacerla atrapada ala misma altura aque fue
atcada.

«1297. Un niño lanza a aire una pelota desde O con una
rapidez va un Sagulo 0, Si luego lanza otra pelota ala
‘misma rapidez ua un ángulo 0 < 0, determine el iempo
entre los lanzamientos de modo que ls bolas choquen en
are en B.

Ds

sopla
Prob, 1295

a de goles golpeada en A con una api
der ey = 40 my dirigida a un Angulo de 30° con I har
natal como se muestra. Determine la distancia donde la
toa golpea la pendiente cn.

1299. ise pato el balón de futbol aun ángulo de 45,
“termino su velocidad inicial minima +, de modo que
pese sobre el poste de meta en C. ¿A qué distancias del
paste de meta olpeará el balón el suelo en B?

“12400. La velocidad del chorro de agua que sale por
oo se abtene con u = V2gh, donde h = 2m es
la altura del oii con espect a a superficie libre de
agua. Determine e tempo para que una partícula de agua
salga por el orificio y llegue al punto Bas como la istan-
a horizontal x donde golpee la supere

‘12101. ‘Se dispara un proyectil desde la plataforma en
1. Etiador dispara su arma desde el punto À a un ángulo
830". Determine la rapier de salida dela ala siimpacta
elproyectlen €.

12-102, Una pelota de gol es golpeada con una veloci-
‘dad de 0 pes como se muestra, Determine la distancia
‘donde aterrizar

124. Monero neu women. sı

+12:108. Elmuchacho parado en Aintentalanzarlapelo-
‘sobre tec de un granero conuna velocidad inicial de
4 = 15 más Determine el ángulo 0 al cual sc debe lan-
ica pelota de modo que akance su altura máxima en €.
‘También, determine la distancia d donde deberá pararse
«muchacho para hace lanzamiento,

12103. Se tien que patear el talón de futbol sobre et
‘poste de meta, el eual ine 15 pes de altura, Si su rap
er na es v4 = 0 pls/s determine si vita golpear el
‘poste, y silo hace, por cuanto, A.

“12404. Se pata el balón sobre el poste de meta con
una velocidad inicial de 1, = 80 pie como se muestra
Determine el punto (y) donde chocacon las gradas.

12106. El muchacho poradoena intenta lanzar un pelota
sobre echo de un granero aun ángulo), 4 Determine
la velocidad mínima rq ala cul debe lanzar la pelota para
que alcance su atra máxima cn C; También, determine la
¿distancia d donde el muchacho debe parao ara acer el
amant.

Wu:

HR

52 Carmo 12 Comsanca neun ero

12407. El bombero desea dirigir el Majo de agua de su 22109. Determine la velocidad horizontal 1, de una
manguera al fuego en B. Determine dos ängulos posbles pelota de tens en A para que apenas pase la red en 8.
‘hy ya loscuales puedo hacen eto. Elagua Muy dela También, determine a distancia donde a peta golpea

RSS E
E 2 pee]

Prob 12:07. Prob. 12-109

12408. Pequeños paquetes que se desplazan sobre la IZA1O. Se observa que el esquiador deja la rampa en A
‘banda tramportadora caen ene caro de carga de Tmde aundngulo0, =25"conla horizontal Sigepea el seloen
lago. Sila transportadora se desplaza a una rapidez cons. determine su tpids inicial, y tiempo de velo fay
tante de ve = 2 m/s determine la distancia más cota y

más larga À donde pueda colocarse el extremo A del caro

con pet à la ampordor para que los paquets

entren alcaro

127. Momo anvanec: couronne NORMAL Y ANGINAL

12.7 Movimiento curvilineo:
componentes normal y tangencial

Cuando se conoce a trayectoria a lo largo dela cual viaja una partieu-
la, entonces a menudo conviene describir el movimiento por medio de
los ejes de coordenadas n y 1, los cuales actúan de manera normal y
tangente ala trayectoria, respectivamente, yen instante considerado.
tienen su erigen localizado enla partícula.

into plano. Considere la partícula de la figura 12-240,
la cual se desplaza en un plano a lo largo de una curva fija, de modo
‘que en un instante dado está en la posición s, medida con respecto al
punto O. A continuación consideraremos un sistema de coordenadas
‘con suorigen en un punto fijo de la curva, y en el instante considerado.
‘este origen coincide con la ubicación de la partícula. Fl eje res tan-
gente ala curva en el punto yes positivo en la dirección de s reciente,
Designaremos esta dirección positiva con el vector unitario u, Sólo
‘puede haber una opción única para el eje normal ya que geomäirien-
mente la curva está formada por una serie de segmentos de arco dife-
rendales ds, figura 12-245. Cada segmento ds está formado por el arco
de un cielo asociado con un radio de curvatura p (sho) y centro de
«curvatura O”. El eje normal n es perpendicular aleje r con su sentido.
positivo dirigido Aucia el centro de curvatura O”, figura 12-24, Esta.
“dirección positiva, a cual siempre está en el lado cóncavo de la curva,
será designada porel vector unitaio u, plano que contiene los ejes
‘ny 1se conoce como plano abrazador u osculante y en este caso está
fijo en el plano del movimiento.*

Velocidad. Comolaparticulase mueve, ses una función deltiem-
po. Como se indica en la sección 124, la dirección de la velocidad y
de la partícula siempre es tangente a la trayectoria, figura 12-24e y su
magnitud se determina por la derivada con respecto al tiempo de la
función de la trayectoria s = s(), es decir, u = ds/dt (ecuación 12-8).
Por consiguiente

(215)

donde

[0-5] (12-16)

I plano xlador también e define como el plano que ten el mayor contacto.
«la cui en un punto, Esla posición tant de un plano que ih en ac con.
porto y con gent de feo de. Como vinos an plano oer Sempre
‘elie con una curva plans in embargo, cala uno dels puntos de una curva te
mon es un plano ur nn

ss

sa

Carmo 12 Comsanca neun ero

2

Aceleración. La aceleración de la partícula es el cambio de la
velocidad con respecto al tiempo. Por tanto,

anim dm + ve (12:17)

Para determinar la derivada con respecto al tiempo i, observe que a
medida que la partícula se desplaza lo largo del arco ds en el tiempo
dl, conserva su magnitud de la unidad, sin embargo, su drecciöncam-
ba y se vuelve u), figura 12-24d, Como se muestra en la figura 12-24e,
requerimos uj = 1, + du, En este caso dose extiende ente las puntas
de flecha de u,y was cuales quedan en un arco infinitesimal de radio
= 1. Por consiguiente, du, tiene una magnitud de du, = (140 y u,
define su dirección. En consecuencia, du din y por consiguient,
la derivada con respecto al tiempo se vuelve iy = du, Como ds = pdd,
figura 12-24d,entonces 0 = 3/p,y por tanto

Dee

"Al sustituir en la ecuación 12-17, ase escribe como la suma de sus dos
«componentes,

a= am + ast, | (2s)
donde
amv] o ads=udo | (12:19)
y
2
ane (2
ó 220)

Estos dos componentes mutuamente perpendiculares se muestran en
la figura 12-24/. Por consiguiente, la magnitud de la aceleración es el
valor positivo de

a Va +a (221)

127. Momo anvanec: couronne NORMAL Y ANGINAL

Para entender mejor estos resultados, considere los dos casos espe-
ales de movimiento,

1. Sila partícula se mueve a lo largo de una linea recta entonces.
p> coy según la ecuación 12-20, a, = 0. Por tanto a = a, = dy,
podemos concluir que la componente tangencial de la aceleración
representa el cambio en la magnitud de la velocidad.

partícula se mueve a lo largo de una curva con una ve-
locidad constante, entonces y a = au = v/p. Por
consiguiente, la componente normal de la aceleración representa
el cambio enla dirección dela velocidad. Como a, siempre actúa
hacia el centro de la curvatura, esta componente en ocasiones se
conoce como la aceleración centrípeta (o que busca el centro).
A consecuencia de estas representaciones, una partícula que se
mueve alo largo de una trayectoria curva en la figura 12-25 tendrá una
aceleración como se muestra.

Per

Fe. 1225

Movimiento tridimensional. Silapartícula se mueve a lolargo
de una curva espacial, figura 12-26 entonces en un instante dado, el
eje rqueda especificado de forma única; sin embargo, puede construir
e un número infinito de líneas rectas normales al ej tangente. Como,
enel caso de movimiento plano, clegiremos el eje n positivo dirigido.
hacia el centro de curvatura O” de la trayectoria, Est eje se conoce
‘como la normal principal ala curva. Con los ejes y rasf definidos, se
uilizan las ecuaciones 12-15 a 1221 para determinar vy a Como ty
u, siempre son perpendiculares entre s y quedan en el plano oscula-
dor, en el caso de movimiento espacial un tercer vector unitario, Us,
define el ge binormal bel cual e perpendicular à yu, figura 12-26.

‘Como los tres vectores unitarios están relacionados entre sí por el
producto cruz vectorial, por ejemplo, my = 1% ty figura 12-26, puedo.
‘ser posible utiliza esta relación par establecer la dirección de uno de
los ees,sise conocen as direcciones delos otros des. Por ejemplo, no
ocurre movimiento en la dirección my y esta dirección y use conocen,
entonces wy puede ser determinado, donde en este cat ty = ma X wa
figura 12-26, Recuerdo, sin embargo, que u, siempre está en el lado
‘eancavo dela curva,

ss

56 Carmo 12 Comsanca neun ero

Los automovilistas que run por ste
trebol enprimentan una acckzación
normal provocada por el eambio en a
‘Grecegn de au vobcidad Se present
una componente tangencial del ace
Tera cuado I tapados delos autos
ménica 1 increment reduce

Sistema de coordenadas.

+ Siempre que se conozca la eayectoria de la partícula, podre-
‘mas establecer un sistema de coordenadas ny ‘eon origen fo,
el cual coincide con la partícula en el instante considerado.

+ Eleje tangente positivo actúa en la dirección del movimiento y
el eje normal positivo está dirigido hacia el centro de curvatura.
dela trayectoria.

Velocidad.

La velocidad dea partícula siempre es tangente ala trayectoria.

© La magnitud de la velocidad se determina a partir dela deriva
da con respecto al tiempo de la función de trayectoria.

Aceloración tangencial.

+ La componente tangencial de aceleración es el resultado del
cambio de la magnitud de la velocidad. Esta componente actúa
en la dirección s positiva si a velocidad de la partícula se incre-
menta 0 en a dirección opuestasi la velocidad se reduce,

+ Las relaciones entre a, fy sn las mismas que las del movi-

miento retlíco, es decir,
a= i ads = do
+ Sigs constante, 4 = (a, cuando se integran las ecuaciones
anteriores resalta
s= 50 + Kale
vent (ads
rare)

Aceleración normal.

+ La componente normal de la aceleración es el resultado del
cambio enla dreción de a velocidad. Esta componente siem-
pre es drigida hacia el centro de curvatura de a trayectoria,
6 decir, alo largo del eje n positivo,

‘+ La magnitud de esta componente se determina como sigue

ae
aD

+ Silatrayecoria se expresa como y = f(x), elraio de curvatura p
‘en cualquier punto de la trayectoria se determina con la ecuacicn

ar?
Tejar

La derivación de este resultado aparece en cualquier texto
común de cálculo.

127. Momo anvanec: couronne NORMAL Y ANGINAL

EJE

PLO [1214

Cuando el esquiador llega al punto A a 1 largo de la trayectoria
parabólica en la figura 12-27 su rapidez es de 6 mí, la cual se
Herementa a 2 m/s. Determine la dirección de su velocidad y la
“rección y magnitud de su aceleración en est instant, Al hacer el
leo, pase por lt a estatura del esquidor,

SOLUCIÓN
Sistema de coordenadas. Aunque la trayectoria está expresada,
‘en función de sus coordenadas x y y, aún así podemos establecer el
rigen de los ejesn, fen el punto fijo A de la trayectoria y determi
me las componentes de y y ao largo de estos ejes, figura 12-276.

Velocidad. Pordefición avelocidadsiempreestangente altra
sectoria. Como y = 42°, dy/dx = |,x,entonees cuando x = 10 m,
‘y/di = 1.Porconsiguiente en A, vformaun éngulod =tan"!1 = 45
‘onel je x figura 12-27a, Por tanto,

mon 47 Resp.
La aceleración etá determinada por a = im; + (vY/pjus. Sin

‘embargo, primero se tiene que determinar e radio de curvatura de
Ue teayectoia en A(IOm, 5m), Como d’y/dx? = entonces

ao _ [t+ Gx?
2 exer!

La aceleración llega a ser

=2828m

nat
san ins Ea,
>
(mys)?
D
= (2m, + 12730)08

Como se muestra enla figura 12-27b,

= VE) + (273 mA = 237 mye

dut Zoos

Portanto, 45° + 90° + 57.5

180° = 12.5? de modoque,
a=237m/8 nr Resp.

NOTA: al utilizar las coordenadas nf, fimos capaces de resolver
‘on facilidad este problema por medio dela ecuación 12-18, puesto
“que toma en cuenta los distintos cambios de la magnitud y dirección
der.

o
m 1227

57

se Carmo 12 Comsanca neun ero

E EJEMPLO [1248

{Un auto de carreras circula alrededor de la pita circular horizontal
de 300 pies de radio, figura 12-28, Si el auto aumenta su velocidad
a un rilmo constante de 7 pies/?, a partir del reposo, determine,
dl tiempo que necesita para alcanzar una aceleración de 8 ples/s”
¿Cuáles su velocidad en este instante?

Fig 1228
SOLUCION
Sistema de coordenadas. Elorigen de los ejes ny tevincide con
dl auto en el instante considerado, El eje r está en a dirección del
‘movimiento y el ejen positivo está dirigido hacia el centro del circu-
Lo, Se selecciona este sistema de coordenadas puesto que se conoce
la trayectoria
Aceleración. La magnitud de la aceleración puede relacionarse
(on sus components por medio de a = \/a? + 6}, En este caso
,=7piesfs. Como a, = ep. primero debe determinarse la veloci-
ad como una función del tiempo.

Dt (aa

v=0+x

CUS =
an E ase pies

Eltiempo requerido para que la aceleración llegue aser de 8 pes?

& por consiguiente.
a=Varà

Spies? = V/(7pies/S) + MAGA

"Al resolver para el valor positivo de 1se obtiene
0.1630 = \/@ pies/s°F = (7 pies/sD
4875 Resp.

Velocidad. La rapidez en el instante 1 =4.87 ses

v= 11 = 7(487) = 341 pies/s Resp.

NOTA: recuerde que la velocidad siempre será tangente a la
yectoria,en tanto que la aceleración estará dirigida hacia dentro de
la curvatura de la trayectoria.

127. Momo anvanec: couronne NORMAL Y ANGINAL so

Las cajas en la figura 12-294 se desplazan a lo largo de la transpor-
tadora industrial. Si una caja como en la figura 12-29 comienza a
moverse del reposo en Ae incrementa surapidez de modo que a, =
(029 m/s", donde 1 está en segundos, determine la magnitud de su
aceleración cuando llegue al punto 3.

SOLUCIÓN
Sistema de coordenadas. La posición de la caja en cualquier ins-
tante se define con respecto al punto fijo A mediante la coordenada
de trayectoria o posición s, figura 12-295, Se tiene que determinar
la aceleración en # con el origen delos ejes, en este punto.

Aceleración. Para determinar los componentes dela aceleración
y a, = 4 /p, primero es necesario formular vy öde modo que.
puedan evaluarse en A. Como v4 = 0 cuando £= 0, entonces.

a i= 02%

[omo fona

En 0)

Eltiempo requerido pora que la caja legue al punto B se determi
a teniendo en cuenta que la posición de B es sp = 3 + 2n(2)/4 =
6142 m, figura 12-296 y como s, = O cuando

D
vet now

[rue Lowa

6142m = 00333
tn = 5.6908

Alsusttuiren las ecuaciones 1 y 2 se obtiene.

(aah = da = 02(5690) = 1.138 m/s?
va = CSG = 3238 m/s

En B, pq = 2m de modo que

à _ 62m
(as) = A 2m = 5.242 m/s?

La magnitud de ay figura 12-29¢, es por consiguiente

an = VI M + 5242 m/s) = S36m4t Resp. ig 1229

so Carmo 12 Comsanca neun ero

|| PROBLEMAS FUNDAMENTALES

FI227. Eltote navega lo largo dela trayectoria circa
lar una rapidez de y» (206245) m/s donde 1 st en
pre Deine a magi de selon con

+= 000s?

FI2-28. El automóvil viaja a Lo largo de la caretera a
una rapidez de v = (30/3) mA, donde s está en metros.
Determine la magnitud de su ccleración cuando = 3541
t= 0cuandos= 0.

F12.28, Sielautomóvi desacoera de manera uniforme à
lo argo delacarreteracurva de 28 m/s en À 15 mjsen C,

termine la aceleración del automóvil en 8.

1230, Cuando x = 10 pies la rapidez del embalaje es
8020 piesa cue incrementa 46 pija Determine la
‘Groce desu velocidad y la magnitud de su aceleración

FIDL, Sila desocoleración de la motocicleta es 4, =
(0.001) m/s y su rapidez en La posición Ao de 250,
determino la magnitd desu acclración cuando pase por
punto B.

1232. El automóvil sube la colina con una rapidez de
1 = (02s) m/s donde scstán metros, medida con respec»
o À. Determine la magnitud desu aceleración cuando
té en el punto. = Som, donde p= 500m,

127. Momo anvanec: couronne NORMAL Y ANGINAL a

PTromeMas

12-411. Cuando se dena la curva de una carretera se
require que los automóvil que viajen a una rapidez
‘onsiante de 25 m/s mo experimenten una aceleración de
más de 3 m/s. Determine el radio de curvatura mínimo
delacurva

+12:112, Ea un instante dado, un automóvil viaja a lo
largo de una carretera circular a una rapide de 20 m/s
mismo tiempo que reduce su rapier a farsa de 3 mi. Si
la magritud desu aceleración es de 5 m/s determine el
radio de curvatura de a carretera,

+IZA13. Determine la rapidez constante máxima que un
uo de carteras puede tener si su aceleración no puede
Sonder de 7.5 m/s mientras recorre una pla on radio
curvatura de 200.

12-114, Un automóvil toma una curva circular horizon-
val de 800 pes de radia. isu aceleración es de Spies,
determino la rapidez constante ala cual está viajando ei
omo

MAIS. Un automóvil viaja à lo lago de una earetera
«curva horizontal de 600 m de radio. Sila raider se ince
menta de manera uniforme razón de 2000 km, deser-
‘in la magnitud de la aceoración enel instante en que la
rapidez del automóvil sea de 60 km/h.

“12316, En el punto Alarapidz delautomóvile de 80
pies/syla magnitud de a acolracón de aes de 10 pics?
y actúa en la iseción mostrada. Determine el radio de
unatura de a trayectoria e el punto A y el componente
tangencial de la aceleración.

Prob 12:16.

«12117. Aparirdeque arranca, botes desplazaalre-
{edo de a tayecora circular p =SO ma una rapidez de
(081) m/s donde Fests en segundos. Dotormino las
magnitudes de la velocidad y aceleración del bote cuando
ha viajado 20m.
12118, A parti delreposo el boto e desplaza alrededor
de a tayectori circular, p = SO, auna rapidez de =
(028) m/s donde retá en segundos Determine las mag-
‘tudes dela velocidad y aceleración del bote e el instan:
term 3s.

Probe. a,

12119. Un automóvil core en vues alrededor de una
pista calar de 250 pes de radio y su rapide durante un
{orto intervalo 01223 esde e = 31 + 7) pes donde +
‘ten segundos. Determine a magnitud de la aceleración
‘el suromóvi cuando t= 2s, ¿Qué distancia recorrió en
128

“12428. El tome se desplaza alo lago de una ta
yectoria reular detal modo que su rapidez e incrementa
na, = (052) mf, donde ret en segundos. Determine
las magnitudes de su velocidad y aceleración después de
que harecorrdo + = 18m a parte dl reposo. No tome en
venta ls dimensiones del automóvil

Prob. 12-120

62 Carmo 12 Comsanca neun ero

to con una rapier de
05 m/s Determine la
magnitud & su aceleración en este punto.

12122. El ren pasa por el punto À con una rapidez de
30 ms la cual comienza educiso a un ritmo constante
de à = -025 m/s" Determine la magnitud de su acclra-
‘én cuando lega al punto B donde san =412m.

12123, EI automóvil pasa por el punto À con una rapi-
dez de 25 mis, después delo cual su velocidad se define
omo e = (25 0159) mi. Determine la magnitud de su
aceleración cuando le al punto B, donde «= S1.5 m.

“12424, Sol auton pas por el punto A con una
taper de 20 my comiera a nromenars a um and
Oman dea, = 05 m/s, dsermno la mapitud de su
sclención cuando = 100 m.

Probe 12420124

112428. Cuando el automóvil pasa por el punto À su
rapidez de25 mi Sie plan os renos, rapidez se
reduce en a = (LP ) ms Determine la magnitud dest
‘Beeracin poco antes de que llegue al punto €.

12126, Cuando el automévil pasa por el punto A su
rapidez es do 25 m/ Si se allan ls frenos, su rapidez se
duos en a, = (00015 ~ 1) m/s. Determine la magniud
su aceleración un poco ants de que que al punto C.

Probe. 12120126

Determine la magnitud de la aceleración del
avión, durante el viene. Vuela lo lago de una tayoc-
toria cicula horizontal AB en 40, al mismo tiempo que
mantiens una raider constante de 30 pes/s

"12124, Elaviónvuclaalolargode una trayectoricircu-
la borizontal AB en 60s. Si surapider en el punto Aes de
00 pies la ua e rece a razón de a, = (-010 pes),
‘determine la magnitud desu aceleración cuando llegue al
punto.

127. Momo anvanec: couronne NORMAL Y ANGINAL ss

#12129. Cuandola montana rusa pasa pore! punto su
rmpidez es de 25 m/s la cual se incrementa a a, = 3 m/s.
Determine La magnitud de su aceleración en este instante
yl Angulo que la dirección forma con el je ©

12130, Sila montana rus empieza del reposo en À y su
pide so incrementa en à = (6 ~ 0.063) as determine
à magatud de su aceleración cuando pasa por el punto B
dodo sy = 40m.

12-431. Fl automévlvija a una rapidez constante de
30 m/ Fl conductor al entonces ls frenos en À con
0 cualsu rapide se reduce a ran dea, = (0.80) m/s,
donde vestá en mys. Determine la acclración del auto
‘mv un poco antes de que pase por el punto Cela curva
«secular Se requoren 155 para que el automóvil recora la
tancia de AC.

“1132, El atom viaje auna rapier constante de
20 má El condor apes entones Is eon en A con
Do cal pers rue aaron de @ = (hm.
‘inde ren on segundos. Determine a clean dl
‘stout m pot nn de que pas por al puto Cd
ire en Se reg 15 para que el acá
vaca do Aa.

+133. Una partícula se desplaza a fo argo de una
curva iur de 20 m de radio Si o rapidez inicial es
& 20 mys y luego comienza a reducir a rain de q =
(0255) ms, determine la magnitud de su acclración
es segundos después

12-134, Un auto de carreras viaja a una rapidez constan
de 240 km/h alredsdor de una pista ep, Determine
la aceleración experimentada por el pto 0 A.

12135, El auto de carreras viaja a una rapidez constante
e 240 km alrededor de una pit liptiea. Determine la
Aceleración experimentada por el pto en

“124136. La posición de una partícula se define como
© = (2 sen (fyi + 260$) + 31k) m, donde está en
segundos. Determine las magnitudes dela velocidad y ace.
Veran en cualquier instant,

#124137, La posición de una partícula se define como
f= (PL+ 30] + Si) m, donde r está en segundos.
‘Determine las magnitudes de a velocidad y aceleración y
radio de curvatura dela trayectoria cuando = 25.

64 Carmo 12 Comsanca neun ero

12138, Elcarro gia de modo que su rapidez se incro-
ment en (aa = (05€) mf, donde exten segundos.
Si el aro parte del repose cuando 9 = 0, determine Is
magnitudes de su velocidad y aceleración cuando el brazo
(AB gira 0 2 07. Ignore el tamaño del ear.

12139. El caro B gira de modo que su velocidad se

incrementa en (a) = (56) ns”, dondo cesté en segun-

dos. Sil caro parte del reposo cuando @ = 0, determi

e las magnitudes de su velocidad y aceleración cuando
ús. Ignoro el tamano del carro.

“12-140, Fl camión viaja 41 largo de una carretera cire
alar de 0 m de radio a una rapidez de 4 mé. Durante
una cota distancia cuando s — 0, su rapidez se incremen-
a entonces en a = (0055) m/s" donde s st en metros
Determine su rapier y la magnitud de su aceleración
‘undo se ha modo = 10m.

1441. El camión viaja al largo de una carretera ci
‘ular de O m de radio a una rapidez de 4 m/s Durante
na corta distancia cuando 1 > 0,su rapidez se incremen-
ta entonces en 4, = (0.4) ms donde res en segundos.
Detrmis la rapidez yla mania de su acleración

Probe. 12.107141

12142, Dos citas A y B viajan en sentido contrario
“las manccilas del reloj alrededor de un pista cular a
una rapidez constante de $ pics/s en el instante mostra
do. Sila rapidez de A se incrementa a (a)4 = (64) Ps,
onde 3, está en pies, determine la distancia medida en
sentido Contrario à ls manecillas del lo x lo largo de
la pista de B aA entre los citas cuando = 14 ¿CUAL
la magnitud de la aceleración de cada ciclista en este
instante?

12-143, Un tobogán se desliza hacia abajo ao largo de
‘una curva, la cual pode sor representa deforma aprox
‘mada por la parábola y = 0012. Determino la magnitud
o su acleración cuando llega al punto A, donde su api
dez es 04 = 10 m/s y se incrementa a razón de (a)a
Sas.

127. Momo anvanec: couronne NORMAL Y ANGINAL

12.144, El avión de reacción vla a una rapidez de
"120 mfslacuals reduce 240 mf cuando lega al punto A
Determine la magnitud desu acelración cuando está en
‘te punto. También especfiue la dicccón del velo con
respecto aleje.

Prob 12-144

12-148. El avión de rección vuela a una rapide cons-
tante de 110 m/ a lo largo de una trayectoria cueva
‘Determine la magnitud de su aceleración cuando lega al
punto (7 =0).

on

ss

12146, El motociclista toma una curva a una velocidad
“constante de 30 pes Determine su aceleración cuando
tá enel punto A. Al hacer el celo ignore el tamaño
e la motocicleta yla estatura del motociclista

124147. La caja, cuyo tamaño no importa, se desiza
hacia abajo l largo de una trayectoria curva definida
por la parábola y = Or, Cuando está en À (x, = 2m,
Va = 16m), la rapidez os vy = 8 m/sy el incremento de
au rapidez es doajdt = 4 mys Determine la magnitud
dela aceleración dela caja en este instante,

66 Carmo 12 Comsanca neun ero

12.148, En vis de ferrocari o wa una curva de
transición espiral para conectar una parte recta de la via
con una curva, Sila ceuación y = (10 M define I exp
val donde xy yestinen pis, determine la magnitud de la
cciración de una máquina de tren quese desplaza a una
rapidez constante de 40 pics, cuando ck cn el punto
600 pes,

12480. Las paríulas A y B viajan alrededor de una
it circular una rapidez de 8 más en el instante que
se muestra. Sila rapido de B se incrementa en (a) =
4 mé y en el mismo instante À experimenta un inre-
mento de rapidez de (a), = Ur m/s, determine cuánto
tiempo se requiere para que ocura una colisión. ¿Cuáles
la mapnitud de la aceleración de cada partícula un poco
antes de que ocurra la colisión?

+449. Las partículas A y Bvijan en sentido contrario

de as manecillas del reo alrededor de una pista cireu-
lara una rapiezconstane de 8 m/s Sie el instante mos-
rado arapider de A comicnza a incrementarse en (a), =
(0.4) m/s, donde 5, std en metros, determine Ia dis-
tancia medida en sentido contrario al dels manecils del
reloj ao largo dela pista de Ba A euando = 1s. ¿Cuál
Sa magnitud de a accración de cad partícula cn sto
sante?

12481. El auto do carreras core alrededor de una pista
cular a una rapidez de 16 my, Cuando Niega al punto
“A incrementa surapidez aa, = Ge) m/s, donde w esté
a m/s Determine as magnitudes dela velocidad y aceo-
ción del automóvil cuando Hepa al punto 8, También,
udn tiempo se requiero para que viaje de Aa 87

Prob. 2-181

128. Mormero cavuneo: coworenmes cuencos. 67

“12152. Una partícula se desplaza alo largo de unatra- ESA. Las ceuaciones x = (2 + 8) my y = (dm.
sectoriny = a+ bx + cx donde a b,csonconstantes Si donde ¡estáemscgundos deinenclmovimiento de una par. EEE
ls rapide dela partícula cs constant, 1 = va determine ula, Determine ls componentes normal y tangencial de

los componentes x y yde la velocidad y cl componente ln elocdad yaceleracion de la partícula cuando = 2.

normal de I acciración cuando x = 0.

ASS, El motociclista vija alo Largo de La pita fica
12153. Elbalónes patcado con na apidez nil v, = auna velocidad constante v. Determine La magnitud máxi
m/s a un éngulo 8, = 40° con horizontal. Determine la ma dela aceleración si a>b.

‘cuacin del ryectoi, y = /() y lego las componen:

tes normales de aceleración cuando 10255,

12.8 Movimiento curvilineo:
componentes cilindricos

En ocasiones el movimiento de una partícula se limita a una trayectoria
‘que se describe mejor por medio de coordenadas cilíndricas. Si el mo
vimiento se limita al plano, entonces se utilizan coordenadas polares,

Coordenadas polares. Podemos especificar la ubicación de la A
partícula de la figura 12:30a por medio de una cuordenada radial»,

Incual se extiende hacia fuera del origen io O hastala partícula y una.
‘oordenada transversal la cuales el ángulo en sentido contrario al de

las manecillas del so] entre una Inca de referencia ja y ejer. EI
ángulo en genera se mide en grados o radianes, donde 1 rad = 180".

Los vectores unitarios wy uy dfinen las disecciones positivas de las &
‘coordenadas ry 0, respectivamente, En ste caso, weá en la diree- Posen
‘don der recente cuando Ose mantiene fay wp at en una dirección y
¿e Ocreciente cuando rse mantiene fa, Observe que estas direcciones

on perpendiculaes entre sf. mn

ss

Carmo 12 Comsanca neun ero

Posción
©

Velocidad

©
ig 1230 (cont)

Posición. En cualquier instante, figura 12-304, la posición de la
partícula está definida por el vector de posición.

en, (1222)
Velocidad. La velocidad instantánea vse obtiene al tomar la der

vada con respecto al tiempo der, Al usa un punto para representar la
derivada con respecto al tiempo, tenemos.

versa tai,

Para evaluar à, observe que u, sólo cambia su dirección con respecto
al tiempo, ya que por definición la magnitud de este vector siempre es
una unidad. Por consiguiente, durante el tiempo Av, un cambio de Ar
o cambiará la dirección de u,; no obstante, un cambio 40 hará que
1 cambie a u;,donde u; = w+ Au,, figura 12-305, El cambio de u,
es por tanto Au. Con ángulos pequeños AB la magnitud de ete vector es
Au, >1 (40) y actúa en la dirección up. Por consiguiente, Au, = 40m,
ypor tanto

FR
de go = (yong)

i, = Oy (1223)

AA sustituir en la ecuación anterior, la velocidad se eseribe en su forma
‘de componentes como

vu, + vu (1224)

=] 2

Estos componentes se muestran gráficamente en I figura 12-306,
La componente radial v, mide la tasa de incremento o decremento de
la longitud de la coordenada radial, e decir, 7; en tanto que la com-
ponente transversal v s interpreta como la lasa de movimiento a lo
largo de la circunferencia de un círculo de radio r. En particular, el
término = d9/dise conoce como velocidad angular, puesto que indica
cambio con respecto al tiempo del ángulo 8, Las unidades comunes
utlzadas para esta medición son rad.

‚Como +, y veson mutuamente perpendiculares, la magnitud de la
velocidad 0 rapidez es simplemente el valor postive de

v= VOR + CP (1226)

y la dirección de ves, desde luego, tangente a la trayectoria, figure
1230.

donde

128. Mormero cavuneo: coworenmes cuencos.

Aceleración. Sitomamos las derivadas de tiempo de la ecuación
12-24 y utilizamos las ecuaciones 12-25, obtenemos la aceleración ins
tantánea de la partícula,

am vm Fu, + Fi, + y + rin, + rly

Para evaluar iy lo único que se requiere es determinar elcambio dela
“irecciôn de my puesto que su magnitudsiempre esla unidad. Durante el
tiempo Ar, un cambio Arno cambiar la dirección de w, no obstante, un
‘cambio Aßhard que uyse convierta en uj, donde u; = ue + Auy, figura
12-204. El cambio de wy con el tiempo es Amy. Con ángulos pequeños la
magnitud de este vector es Auy==1(40)y acta nla dirección -u, es
decir, Auy = Aou, Por tanto,

E

(227)

Si sustituimos este resultado yla ecuación 1223 en la ecuación anterior
‘para a, escribimos In aceleración en su forma de componentes como

a= au, + ame 0228)

donde

(1229)

El término à = do = d/d(do/dt) se conoce como aceleración
angular puesto que mide cl cambio dela velocidad angular durante un
instante. Las unidades para eta medición son rad/s

Como a, y ay son siempre perpendiculares, la magnitud del acelera
«ión simplemente el valor postive de

am VER (230)

La dirección se determina mediante la adición vectorial de sus dos
componentes, En general, a no será tangente a la trayectoria, figura
12-306,

sm

A.

0

Aceleración
©

6

70 Carmo 12 Comsanca neun ero

El movimiento helicoidal de st mucha
cho puede ses por medio de compo
ene lado, Emenee core.
mada radial re constante, a coordenada
transversal remonta cone tempo
a media quel muchacho gia alrededor
dela vertical y suattad ss reduce com
tempo,

Coordenadas cilíndricas. Sila partícula se mueve a lo largo
de una curva espacial como se muestra enla figura 12-31, entonces su
Ubicacion se especifica por medio dela tres coordenadas cilíndricas,
9,2. La coordenada z es idéntiea a la que se utilizó para coordenadas
rectangulares, Como el vector unitario que define su dirección u. es
constante, as derivadas con respecto al iempo de este vector son esto,
y por consiguiente la posición, velocidad y aceleración dela partícula
‘© escriben en función de sus coordenadas cilíndricas como sigue

(231)

vo iu, + roy + da
a= (FP )u, + (rd + 270), + Eu, (12-32)

Derivadas con respecto al tiempo. Las ecuaciones ante-
riores requieren que oblengamos las derivadas con respecto al tiempo
5,8, y Opara evaluar las componentes ry Ode vy a, En general se
presentan dos tipos de problema:

1. Si las coordenadas polares se especifican como ecuaciones para-
métricas en función del tiempo, r = 1) y 0 = A), entonces la de.
ivadas con respecto al tiempo pueden calcularse directamente,

2. Sino se dan las ecuaciones paraméticas en función del tiempo, en-
tonces debe conocerse la trayectoria 7= f(0). Si utlizamos la regla
de la cadena del cálculo podemos encontrar entonces la relación
entre y y entre 7 y 0, Enel apéndice Cse explica la aplicación de
la regla de la cadena junto con algunos ejemplos.

‘ocedimiento p: anál

Sistema de coordenadas.

+ Las coordenadas polares son una opción adecuada para resol
ver problemas cuando se presenta el movimiento angular dela
coordenada radial para describir el movimiento dela partic
Asimismo, algunas trayectorias del movimiento pueden descri-
birse de forma conveniente en función de estas coordenadas

+ Para utilizar coordenadas polares, el origen se establece en un
punto fo yla linea radial se dirige hacia la partícula.

+ La coordenada transversal 9 se mide desde una línea de refe-
rencia ja hasta la linea radial.

Velocidad y aceleración.

+ Con ry las cuatro derivadas con respecto al tiempo 7, Y, ö, y à
evaluadas en el instante considerado, sus valores se sustituyen:
en las ecuaciones 12-25 y 12-29 para obtener las componentes
radial y transversal de vy a.

+ Si es necesario omar las derivadas con respecto al tiempo de
7 = f(), entonees debe vilizarse a regla dela cadena. Vea el
apéndies C.

+ El movimiento en tres dimensiones requiere una extensión
simple del procedimiento anterior para incluir y À

128. Mormero cavuneo: coworenmes cuencos.

EJEMPLO 14247

El juego mecánico que se muestra en a figure 12-32a consiste en
‘una sila que gira en una trayectoria circular horizontal de radio r,
de modo que la velocidad angular yla aceleración angular del brazo
‘OBson 4 y 6, respectivamente, Determine las componentes radial y
transversal de Ia velocidad y sceleración del pasajero, cuya estatura
20 se toma en cuenta en el cálculo.

o

SOLUCIÓN

Sistema de coordenadas. Como se reporta el movimiento angu-
lar del brazo,se eligen coordenadas polares para la solución, figura
12-324, En este caso no está relacionado con 1, puesto que el radio.
es constante para todos los ángulos 8.

Velocidad y aceleración. Primero es necesario especificar la pri
mera y segunda derivadas con respecto al tiempo de r y 8. Como r
es constante, tenemos.

Por tanto,

an
ai oP = 2
PER Tee

3383

Estos resultados se muestranen la figura 12-325,

NOTA: bosejes n, también se muestran en la figura 12-325, que
en este caso especial de movimiento circular son coíneales con los
ejes ry 9, respectivamente, Como Y = ty
comparación,

n

72

Carmo 12 Comsanca neun ero

12.

La barra OA en la figura 12-33a gira en el plano horizontal de modo
que = (P)rad. Al mismo tiempo, el collar se deslia hacia fuera
‘lo largo de OA de modo que r = (1007) mm. Si en ambos casos
1 está en segundos, determine la velocidad y aceleración del collar
candor = 1s.

SOLUCION

Sistema de coordenadas. Como se dan las ecuaciones paramé-
icas en función del tiempo de la trayectoria, no es necesario rela-

es er
= E Velocidad y aceleración. Si determinamos las derivadas con res-
pecto al tiempo y las evaluamos cuando. tenemos
r= 006 = 10mm 0-0) a tnd = 593°
o ES
= 2) =2M0mm/s 6=3%] = 3rad/s
= 20mm |, =o
Cone se mse en get 1233,

veiw, + rime
= 2000, + 100(3)u, = (2004, + 3000] man/s

La magnitud de ves
v= \/(200)F + (300)? = 361 mm/s Resp.

et nm

‘Como se muestra enla figura 12-336,

a= (ria + (5 + aide
LA nam? = OO 100(3) o, + [100(6) + 2(200)3Jos

= = {-700u, + 18001) mm/s*
o La magnitud de mes
o a = VOD + (1800)? = 1930 mm/s? Resp.
Fy, 1238 1800

ul) (8000) +573" = 16" Rep,
NOTA: ha velocidad es angente la tayecoi; sin embargo la
xeeleración st red hacia dentro de a curvatura de la necio:
An como espe,

128. Mormero cavuneo: coworenmes cuencos.

EJEMP

12.19

Fl aro buscador en la figura 12-34a emite un rayo de luz a o largo
de un muro situado a 100 m. Determine las magnitudes dela velo-
idad y aceleración a as cuals el rayo de luz parece viajar a través
del muro en el instante 9 = 45. El faro buscador gira a una veloci-
dad constante de 0 = 4 rad/s

SOLUCION

Sistema de coordenadas. Se uilizarín coordenadas polares
para resolver este problema puesto quese proporciona la velocidad
“angular del aro buscador. Para determinar ls derivadas con res-
pecto al tiempo necesarias, primero se tiene que relacionar rcon 0.
De acuerdo con la figura 12340,

7 = 100/0050 = 1005060
Velocidad y aceleración. Alullizarlaregladehcadenadelchleu-
ho y puesto que d(sec0) = see tan ds, y d(tan 8) = sec dd,
tenemos

À = 100(ec un 0)9
À = 100(sec tan 0)A(tan8)0 + 100 sec sec?)
+ 10 sec 8 tan (8)
= 100 see 6 tan? ()° + 100sec%9 (6)? + 100(sec tan 8)
Como’ = 4rad/s = constante entoncesó = Oylasceuaionesamte-
sores, cuando 0 = 45, se eonvirten en
1 = 100 sec 45° = 1414
7 = 400 sec 45° tan 45° = 5657
F= 1600 (se 45° tan 45° + sectas
Como se muestra en figura 12-340,
vio, + ria,
= 565.74, + 141.460),
= (56570, + 565.70) m/s

va Ved + Vom? + 665.7)?
= 800 m/s Resp.

(Como se muestra en a figura 123%,
ru, + (r + Zr)
= [67882 — 11a I + [141.4(0) + ASS

= (152550, + 4525509) m/s?

a= a+ ad (452557 + (452557

= 6400 mys? Rep.
NOTA: también es posible determinar a sin tener que calcular
Fo a). Como se muestra en la figura 12-344, como a) = 45255
ms. entonces mediante resolución vectorial, a = 4525 Sfos 45° =
6400 mys".

73

va Carmo 12 Comsanca neun ero

E EJEMPLO [12:20

Debido ala rotación de la barra ahorquillada, la bola enla figura
1054 noir 17.35 se mueve alrededor de una trayectoria anurada, una parte
de la cual ine la forma de un cardiide, 7 = 05(1 — cos 8 pies,
onde est en radianes. Sila velocidad de la bola es v= 4 pies y
su aceleración esa »=30plesfien el instante 0 = 180", determine la
velocidad angular Öy la aceleración angular Öde la horquilla.

SOLUCIÓN
Sistema de coordenadas. Esta trayectoria es muy rara, y mate-
máticamente se expresa mejor por medio de coordenadas polares,
¡omo se hace aquí, en lugar de coordenadas rectangulares, Tam
‘ign, como 0 y à deben determinarse, entonces las coordenadas 1,9
0 son una opción obvia,

Velocidad y aceleración. Las derivadas con respecto al tiempo
de ry Ose determinan con la regla dela cadena.

r=05(1 coso)
7 = 05(en0)
F = 05(cos0)6(6) + 0:S(senoyó

Si evaluamos estos resultados cuando 9 = 180°, tenemos

05

r=ipie #=0

Como v = 4 pies/s al utilizarla ccuación 12.26 para determinar à
æ obtiene

va VO +
4= Vor + a
à = 4rads io
‘Del mismo modo, Öse determina con a cuación 1230.

ENCORE
30 = V/I-os@? — un’? + 1 + ADO
GO = (247 + 8
8 =l8rad/S? Resp.

o En la figura 12-356 se muestran los vectores ay .

Me 1235 NOTA: en esta ubicación, los ejes 9 y £(tangenciales) coinciden. El
eje +7 (normal) está dirigido hacia la derecha, opuesto a +

128. Mormero cavuneo: coworenmes cuencos. 75

AN] PROBLEMAS FUNDAMENTALES

FI2-33. La rpider del automóvil es de 55 pies/s Deter
mine la velocidad angular @ de lala radial OA en este
insano,

mas

FIZ34. La plataforma gra en tono al ee vertical de
‘modo que en cualquier instante suposición angular es
9= (4 rad, donde rest en segundos Una bola rueda
hacia fura alo lago de La ranura radial de modo que
Su posición es 7 = (0.14) m, donde 1 está en segundos,
Determine Las magnitudes dela velocidad y aceleración de
la bola cuando r= 1.55.

ras

FIZAS. La espiga Pes propulsada por el eslabón ahor-
quildo OA a lo largo de la trayectoria curva desrita
por # = (28) pes. En el instante 8 = m4 ra, a veloc

y aceleración angulars del eslabón son 9 = 3rad/sy
‘rads, Determine la mugnitd dela acokración de

la espiga ente instante

12:36, La espiea Ps propulsada porel eslabin ahor-

lado OA a I largo de la trayectoria deserka por r =
Cuando @ = rad. la velocidad y aceleración angulo
‘ws del eslabón = 2 rads y à = ads Determine las
«componentes radial y transversal de la aceleración de la
Spiga encst instante,

muss

FI237, Los collares estén conectados por pasadores
en By pueden moverse libremente alo largo de la barra
(A yla gua curva OC ero la forma de un add,
{026 + c0s#)]m. Cuando à 30, la velocidad angular de

3 rad/s. Determine las magnitudes dela veloc
ad dels collares en esto punto.

238. En elinstante 9 = 45%,
‘una rapidez constante de 2 má Determine la velocidad

76 Carmo 12 Comsanca neun ero

“12486. Unapantcula e muere alo largo de una rayee-
tora circular de 300 mm de radio. Sisu velocidad angular
58 = (2£)rad/8 donde es en segundos. determine la
magnitud de I acolración de la partícula cuando y = 23.

+LAS7. Unapartiula se mueve alo largo de una tayee-
tora circular de 300 mm de radio. Sisu velocidad angular
es à = (GP) ud/a donde set en segundos, determine as
magnitudes do la velocidad y aceleración dela partcula
cuando 9 = 45". La partcula aranca del reposo cuando

12158, Una partícula se mueve a lo lago de una ta-
sector circular de 5 ies de radio. Si su posición es 0 =
(2) tad, donde rest cn segundos. Determine la magai-
td de la gcelración den partícula cuando D = 90".

AS). Las ccuacioncer = (P + 41-49 my0 = (rad,
Sonde esthen segundos, describen a posiciónde una par:
ula. Determine las magnitudes de la velocidad y acle-
ración nel instante =2 5.

rad, donde est ensegundos describen a posición de una
parut, Determine las magnitudes de a velocidad y ace
Kraciön dela partícula en el instante = 156.

AGL. Un avión vuela en inca recta a 200 my una
aceeraciôn de 3 me. Si el diámetro de la hélice es de
Spies y rota a una velocidad angular de 120 rad/s, deter
nine lis magnitudes de la velocidad y aceleración de una
particu siuadaen la puna dela hélice

12462. Una partícula se desplaza a lo lago de una ra
sector circular de 4 pulg de radio de modo que su pos
“ón en función del tiempo est dada por 8 = (cos 2) ad,
Sonde 1 está en segundos, Determine la magnitud de su
‘evita cuando 8 = 30°

12468. Una parícla se desplva alrededor de un
Himagon defnido por la ecuación y = b — a cos 9, donde
y Don constantes. Determine las componentes radial y
transersal dela velocidad y aceleración de la partícula en
‘inci de 93 sus derivadas con respeto al dmpo,

DE

12.164. Una partícula viaja alrededor de un Its, defi
ido por la ecuación 74) = a, donde a una constante.
‘Determine los componentes radial y transversal ola velo
dad y cloración de la partícula en función de @ y sus
erivadas con respecto al tiempo.

12468. Un automóvil viaja alo largo de una curva cr-
cular de radio = 30 pis. En el instante mostrado, su
velocidad angular de rotación es à = 04 rad/s, la cual se
‘nerementa a razón de = 02 tnd. Determine las mug-
‘tudes dela velocidad y aceeración del automóvilen este

à

enorme =
baad

Prob. 12-165

12-166, El brazoranurado 04 gira en sentido contrario
al de las manecillas del elo) alrededor de Oa una veloc
ad angular constant de 9. El movimiento del parador A
‘est limitado a a superficie cular Ga ÿ alo largo de la
‘anuraea OA. Determine las magaludos dela velocidad y
“coloración dl pasador como una funció de

12467. El brazo renurado OA gira en sentido contra
ño al de ls manccills dello alrededor de O de modo
que cuando # = 7/4 cl razo OA gira con ua velocidad
“angular de yuna aceleración angular de $. Determine as
magnitudes e la velocidad y acclracón del pasador Ben
‘ste instante. El movimiento del pasador B ct imitado a
la superficie circula fay alo lago de la ranura en OA,

Probe. 12166167

2a

“12168, El automóvil viaja bo lago de una curva crcu-
lar de radio r= 400 pies Em el instant que se muestra,
velocidad angular de rotación es 0 = 0025 rad/s la cual
2 reduce à tanón de 0 = 0008 rad/s Determine los
‘omponentesradialy transversal dela velocidad y acces
¿ón del automóvil en este instante y tácos ela curva,

+2169, El automóvil viaja a lo largo de una curva
alar de radio 7 = 400 pies a una velocidad constante de
{y= 30 pis/s Determine La velocidad angular de rotación
0 de la na radial» y a mag de la aceleración del
automöril,

rangs
un

Probe 12108169

170. Al arrancar del reposo, cl muchacho corte hacia
ua en dirección rada delcentro de la plataforma con
na acclración constate de OS my, Sila plataforma
ira a una velocidad constante 9 = 2 rad/s, determine
los componentes adial y transversal dela velocidad yace
raciôn del muchacho cuando 1-34. Ignore su estatua,

3 cone cuencos 77

ATL La pequeña rondana se desiza hacia abajo de
la cuerda OA. Cuando ests a la mita, su velocidad ca
de 200 min/s y su aceleración ex 10 mays? Expreso la
velocidad y aceleración dela rondana en este punto en
func de sus components líndrcos

“12.17. Si el brazo OA gira en sentido contrario al
e as manecillas del reloj con una velocidad angular de
5 = rad/s determine las magnitudes de la velocidad y
“cclracón de In espiga P cuando 9 = 30°. La espiga se
mueve en la ranura Ba definida por a lemniseta y a lo
largo de la ranura del brazo.

«12-473. La clavija se mueve en la ranura curva defini
da por la lemaseata y a través de la ranura en el brazo.
‘Quando @ = 30, la velocidad angular es = 2 rad/s yla
acceraida angular só = LS rad/s. Determine las mag
rudes dela velocidad y acclración de la clavija Pon sto

Probe. 472/73,

78 Carmo 12 Comsanca neun ero

BATE Elavión del juego mecánico se mueve alo largo
¿e una trayectoria detinida po las ccuacions 7 = dm,
= (029 rad y = (05 cos), donde rest en segundon.
Determine los componentes cllndrico de la velocidad y
accraciôn del avión cuando f= 65.

Prob, 12474

12175, El movimiento de a clavija Pest imitado por
ha ranura en forma de lemiscata en OB y por el brazo
arado OA. SÍ OA rota en sentido contrario al de las
manecillas del rl] con una velocidad angular constante
85 = 3rad/s determine las magnitudes de la velocidad
y aceleración de la clavija Peuando 8 = 0".

1276, Fl movimiento dela la Pestá limitado por
la ranura en forma de lemniscatn en OB y por el brazo
ranurado DA. Si OA gira en sentido contrario al de las
manecillas del reloj con una velocidad angular constante
de à = GP?) rads, donde st en segundos, determine
las magnitudes de La velocidad y aceleración e a clavija P

+I2A77. Elconductor del automóvil mantiene una rap-
dex constante de 40 m/s Determine la velocidad angular
de lacámara que sigue al automóvil cuando 9 = 15°.

12478, Cuando 9 = 15" la rapidez del automóvil es de
9 m/s a cal se incrementa 6 ms. Determine a volo-
dad angular de la cámara que sigue al auiomörilon este

= 0060528) m

Probe. LATIN

12.179, Sila leva gira en sentido horario una velocidad
angular constante de 0 = $rad/s, determine las magntu-
des dela velocidad y aceleración del seguidor AB en el
instant 2 = 30. La superficie dela leva tiene la forma de
magon definida por r= (200 + 10008) mm.

‘12.180, En el instante 9 =30*, la leva gira en sentido
e as manecillas del reloj con una velocidad angular de
à = rad/s y una aceleración angular de 8 =6rag/6.
Determine las magnitudes de la velocidad y aceleración
el seguidor AL en se instante La superficie de a leva
tiene la forma de un limagon, definida porr = (200 + 100
cos) am.

= 090 +100 90) min

28 Mowewocsvi

+¡2BL. EI automóvil desciende de un estacionamiento
porunarampa spialcindrica «uns rapier constante de
= LS my Sia rampa desciende una distancia de 12 m
por cada revolución complet, D = 2 rad, determine la
Ignited de la aceleración del alomóvil a medida que
desciende por la rampa, 7 = 10 m Sugerencia ara una
arte de la solución, observe que la tangente la rampa en

quier punto forma un ángulo $ = tan *(12/[2x(10))
= 1081” on la horizontal. Utiel para determinar las
‘omponentes de velocidad 1, y 1, que au vez so wlan
Para determinar 0 y 2.

12442. Lacajadosciondo porumarampa helicoidala una
rapidez constante dev = 2 m/s Determine la magnited de
aceleración, La rampa desciende una distancia vertical
de 1 m por cada revolución completa. El radio medio de la

LARS, La caja desciende por una rampa heividal def
sida por r = 0.5 m,0 = (0.0) rad, yz = (2 - 027) m,
‘onde Fest en suns. Determine las magnitudes dela
Velocidad y accleraión de la caj cn elinstante 0. 2 rad.

Cosmos cuencos 7

“12-184. La barra OA gira en sentido contrario al de
las manccila del roja una velocidad angular constante
ded = 6 rad/s Mediante conexiones mecánicas el colle
ón 2 se mueve a lo lago de la barra a una tapiz de
7 = (47) m/s, donde rest en segundos. Sir = 0 cuando
=, determine las magnitudes dela velocidad y acelera
“ión del cor cuando 10755.

#12485, Laburra 0 gira cosentido anthoraro comuna
velocidad angular ded = (2°) rad/s, Mediante conexiones

Probe, 12184185

12486, Fl brazo ranurado AB muere el pasador Ca ra
vés dela rar espiral desta por la cación = a Si
la velocidad angular se mantiene constants ad, determine
Jos componentes radial y transversal dela velocidad y aco-
Veran del pasador

12487. Elbraro ranurado A muere el pasador Ca
"vés dela ranura espiral descrita por la ecuación += (150)
pis, donde 0 esth en radians. Si cl brazo comienza à
moverse del reposo cuando D = 60° ys propulsado a una
velocidad angular ded = (4) rad/s, donde rest ensegun-
es, determine Is componentes radial ranstera de la
velocidad y aceleración dl pasador Catando!™ 15.

so Carmo 12 Comsanca neun ero

122188. La superficie parcial de lnleva esla de una spi
ra logaíimica y = (405% mm, donde Best em radian
fs. Sila eva gira a una velocidad angular constante de
= 4 radis, determine las magnitudes de la velocidad y
cclración de punto enla leva que est en contacto con
lseguidoren el instante 9 = 30
«12489, Reselva of probloma 12188, si la aociración
“angular de Lara es = 2 rad/s cuando su velocidad anga-
lures 6 = 4rad/scom = 30

Fran

Proba. 12.1010

12:90. Una partícula se muevo al aro de una espiral
arquimedeana de r = (80) pies, donde 0.034 en radianes,
SÍ 0 = 4 rad/s (consante), determine los components.
cial y transversal del velocidad y aceleración de la par.
la en el instante 0 = 7/2 rad. Trace la curva y muestre
‘bs components en la curva

12491. Resuela el problema 12-190 si la aceleración
angular de a partícula cs0 = S ras? cuando à = 4rad/s
Brei

re Gps

Probe. 124907101

“12192. El bote navega a lo largo de una trayectoria
definida por À = [10(10)c0520) pls, donde 0 ci en
“radianes. S10 = (042) rad, donde este segundos, deter
‘mine los componentes radial y transversal de la velocidad
y acceración del bote enclinstante f= 14.

Prob, 12192

12493. Un automóvil viaja por una carretera, la que en
una corta distancia está definida por » = (200/9) pis,
onde Des en tadines. Si mantiene una velocidad cons:
ante dee =35 ples/s determine los componentes radial y
vanswersal desu velocidad cuando 0 = #/3 rad,

12494 Durant un cosmo el van de rección
vacia én una trayectoria en forma de lemniscata, 7 =
{2500 cos 24) km”. En el instante 0 = 30", el deposi
vo rasreador del radar gira a Ó = SC10)rad/scon 6 =
2(10-?) rad/s. Determine los componentes radial y trans-
‘versal de la velocidad y aceleración del avión en este ins.

=

Prob. 12194

12.9 Aus oe wovaesro oerameNte amour De Dos MARFA a

12.9 Análisis del movimiento
dependiente absoluto de dos
partículas

En algunos tipos de problemas el movimiento de una partícula depen
derädel movimiento correspondiente de tra paricula Esta dependen-
ocurre por lo común ias partículas, en est aso representadas por
bloques, están interconectadas por medio de cuerdas no extensibles,
la cuales están enrolladas alrededor de poleas. Por ejemplo, el movi
iento de un bloque A hacia abajo dl plano inclinado en la figura
1236 provocará un movimiento correspondiente del bloque 3 hacia
arriba del oto plano inclinado, Podemos demostrar esto matemática
ment si primero especfcamos la ubicación de os ques por medio
e coordenadas de posición sy sp, Observe que cada uno delos ejes
‘nordenados (1) st medido a partir de un punto jo (0) ode unalinea
¿e referencia fl 2) está medido alo largo de ada plano inclinado
la direción del movimiento de cada bloque y (3) tiene un sentido
positivo de Ca À y de Da B. Sila longitud total e la cuerda es / las
os coordenadas de posición están relacionadas por la ecuación
24 + leo + sn Ir

neste caso. Ie esalongitd e la cuerda que pasasobre laren CD.
Sitomamos la derivada con respecto al tiempo de esta expresión. yene-
mos encuenta que Ic y permanecen constantes emtamto que 84 59
iden os segments de la cuerda que cambian de longitud, tenemos

da, din
data

JA signo negativo india que cuando el bloque A tiene una velocidad
<drigia hacia abajo, es decir, en la dirección de 5, positiva, provoca
una velocidad hacia arriba correspondiente del bloque B,es decir, se
mueve enla dirección sp negativa

‘Del mismo modo ladierenciciónconrespeat altiempo delas veoci-
aces tiene como resultado la relación ente las aceleraciones, e decir,

En a figura 12-374 se muestra un ejemplo más complicado, En este
caso, 3 especifica la posición del bloque À y sn define la posición del
‘exiremo de la cuerda del cual el bloque B está suspendido. Como pre-
vamente, elegimos coordenadas de posición(1) consu origen en puntos
os 0 cas de referencia (2) medias en a dicción del movimiento
de cadabloque y (3) positivas ala derecha para y positivas hacia bajo
para sp Durante el movimiento la longitud de ls segmentos de color
‘oul delacuerda enla figura 12-374 permanece constant Si representa
Infongiad total ela everda menos eto segmentos, eones as coor-
<denadas de posición pueden relacionarse por medio de la ecuación

Bu tht sam
Como! y h permanecen constantes durante el movimiento, as dos eri
vadas conrespecto al tempo resultan
Zum. am —a4

Bor consiguiente, cuando Be mueve hacia abajo (+31), bo hace ala
irquierda (14) con dos veces el movimiento.

0 0 =

crée Puno de
PT pleat

Mode, 4,

o
Fig 1237

82 Carmo 12 Comsanca neun ero

Este ejemplo también puede resolverse definiendo la posición del
"loque 8 con respecto al centro de la polea inferior (un punto fijo),
figura 12-37), Enestecaso

Als) thos,
La diferenciación con respecto al tiempo resulta

Depry anna
En este caso los signos som los mismos. ¿Por qué?

Procedimiento paı álisis

Po EI método anterior de relacionar el movimiento dependiente de
te una partícula con el de otra puede realizarse con escalaes alge
Ej ricos o coordenadas de posición siempre que cada partícula se
mueva en línea recta. Cuando éste es el caso, sólo las magnitudes

ig, 1297 (cont) de la velocidad y aceleración de las partículas cambiarán, pero no

‘linea de dirección.

Ecuación de coordenadas de posición.
+ Establezca cada coordenada de posición con un origen locali
zado en un punto io plano de referencia.

: No es necesarioque el origensenel mismo para cada una delas

‘oordenadas; sin embargo, es importante que cada eje de coor-
denadas seleccionado esté diigido a lo largo de la vayectoria
del movimiento de la particule.

+ Mediante geometría o trigonometría, relacione las coordena-
das de posición con la longitud total dela cuerda, J, 0 con la
porción de la cuerda, , la cual excluye los segmentos que no
cambian de longitud a medida que las partículas se muevan,
como los segmentos de arco enrollados sobre las poleas.

+ Siun problema implica un sistema de dos o más cuerdas enro-
ladas alrededor de las poleas, entonces la posición de un
punto en una cuerda debe ser relacionada con la posición de
un punto en otra cuerda por medio del procedimiento ante-
rior, Se escriben ecuaciones distintas para una longitud fija de
cada cuerda del sistema y las posiciones de las dos partícu-
las se relacionan entonces mediante estas ecuaciones (vea los
ejemplos 1222 y 12.23)

Derivadas con respecto al tiempo.
movimiento deoquecncstatorrede | * Dos derivadas con respecto al tiempo sucesivas de las ccua-

a een cones de coordenadas de posición ofrecen como resultado las
soler depende del mo

Memo del able conscido a mate ecuaciones de velocidad y aceleración requeridas, las cuales

quelo opera. Es importante ser car relacionan los movimientos de ls partículas.

de ¿raión ss morimienos Bee | 4 Los signes delos términos en estas ecuaciones serán consisten:

(Gn dl mate y la fuerza on el ble tes con los que especifican el sentido positivo y negativo delas

Sad por cur movimiento | opordenadas de posición.
acelerado. : Le

12.9 Aus oe wovaesro oerameNte amour De Dos MARFA 83

EJEMPLO [42,21

‘Determine la rapidez del bloque A que se muestra en la figura 12-38
sel bloque Bse mueve hacia arriba a una rapidez de 6 pies/s.

Big 1238

SOLUCION
Ecuación de coordenadas de posición. Hay una cuerdacn este
sistema que incluye segmentos que cambian de longitud, Se utliza
rán coordenadas de posición s, y sp puesto que cada una se mide
con respecto a un punto fijo (Co D) y se extiende a lo largo de L
trayectoria del movimiento del bloque. En particular, s está dirigi
da al punto E puesto que el movimiento de B y Ees el mismo.
Los segmentos de color azul de la cuerda en la figura 12-38 perma-
‘necen a una longitud constante y no tienen que ser considerados a
‘medida que los bloques se mueven. La longitud de la cuerda restan-
te, también es constante y está relacionada con las coordenadas
de posición cambiantes sys» por la ecuación

at Beet

Derivadas con respecto al tiempo. Al realizar Ia derivada con
respecto al tiempo se tiene

Dez

de modo que cuando y,

—6pies/s (hacia arriba),

Da = M8 pies/sl. Resp.

‘Determine Ia rapidez de A en la figura 12-39 si B tiene una rapidez
hacia arriba de 6 piess.

no
SOLUCIÓN .
Ecuación de coordenadas de posición. Como se muestra, u
Y aún la potions de lr oque A y E. Como el sats
Ecke der curd von serenos que camila de Log sort
caviar una tre condenada, ar lon con
12 Enclosing onu de una ds e pote pee
'surse en función de 5, y sc y la longitud de la otra puede expresarse
cance dsr

os uen color el dae das ea pra 129 np
en quoter code one anos or que ares bag
tudes de curds estamos por ejemplo ya ehemos

sat 2se=h sn (59-50) =

Derivada con respecto altiempo. Al tom:
pecto al tiempo de estas ecuaciones se obtiene

la derivada con res-

vat2e=0 2 ve = 0
Al eliminar ec se produce la relación entre el movimiento de cada
dlindro.

vat ayy = 0
‘de modo que cuando un = ~6 pies/s (hacia arriba)

Da = +24 pies/s = M pies/s | Resp.

12.9 Aus oe wovaesro oerameNte amour De Dos MARFA

as

EJEMPLO [12:23
Determine la rapidez del loque Bena gum 124 sel extremo
de la cuerda en A se jala hacia abajo con una rapidez de 2 m/s.

Se 2) nme,
er
AR

2

Me 1240

SOLUCIÓN
Ecuación de coordenadas de posición. La coordenadas, defi-
ne la posición del punto À y sn especifica la posición del bloque B
puesto que E en la polea tendrá el mismo movimiento que el blo-
que. Ambas coordenadas se miden con respecto a un plano de refe-
rencia horizontal que pasa por el pasador fio enla polea D. Como
el sistema se compone de dos cuerdas, las coordenadas 54 y
se pueden relacionar de forma directa. En cambio, si se establece
una tercera coordenada de posición, sc, ahora podemos expresar la
longitud de una de as cuerdas en función de sa y sy la longitud de
la otra en función de sy, 35 Y So

Sise excluyenlos segmentos de color azul delas cuerdas ena figu-
ra 12-40 las longitudes de cuerda constantes restantes I y / unto
con as dimensiones del gancho y el eslabón) se expresan como.

&<+sn=h
Ga = 50) + (Ge ~ Se) + se =

Derivada con respecto al tiempo. La derivada con respecto al
tiempo de cada ecuación resulta

uct op = 0
va = 200 + 209 = 0
Al eliminar vg obtenemos.
U4 + dg = 0
de modo que cuando v4 = 2 m/s (hacia abajo),

t= -05 m/s = 05m/st Resp,

86

EJEN

Carmo 12 Comsanca neun ero

PL:

dy
ar

12.24

=xts/ai)
tes + ey

{Un hombre parado en A ia una caja fuerte S como se muestra en
A figura 1241 al caminar hacia I derecha con una velocidad cons.
tante v4 = 05 ms. Determine la velocidad y aceleración de la caja
fuerte cuando alcance I altura de 10m. La cuerda de 30 mde argo
sa sobre una pequeña polea en D.
SOLUCIÓN
Ecuación de coordenadas de posición. Este problema difcre
delos ejemplos anteriores puesto que el segmento de cuerda DA
«cambia anio de dirección como de magnitud, Sin embargo, los extre-
mos de lacuerda que definen as posiciones de Sy A e epecifican
por medio de las coordenadas xy y puesto que estén medidas con
respecto a un punto Mo y dirigidas alo largo de ls trayectorias del
‘movimiento dels extremos de la cuerda

Las coordenadas x y y pueden relacionarse puesto que la cuerda
See na onu Ga 30 m cualen todo momento e igual
ala longiud del segmento DA más CD. Media
Fitágoras para determinar Ip, tenemos [ng = VS) + 2°; tam-
ign, Len =15 = y. Porconsiguiente,

12 log + Leo
30 = as? + AS y)
y=Vas+e-1s 0)

Derivadas con respecto altiempo. Conla derivada con respecto
tiempo y lregla dela cadena (veaclapéndice C),donde vs = dy/dr
y A = dx/di.se obtiene

S -+- 1 2 je

a |2vası Aa

Vas ie À @
muse termina cons cación 1, esdeci, = 20m.
Por consiguiente, a partir de la ecuación 2 con », = 0.5 m/s,

%
¿22 09) = 04m/s = 400mm/s Y

Vera i m

La aceleración se determina al tomar la derivada con respecto al
tiempo de la ecuación 2. Como 1, es constante, entonces a4 =
de de = 0,y tenemos.

fe [ee
Er lt me “was oy
Cuando x = 20 m, con v4 = 0.5 m/s, la aceleración es
E ne
ga = 00360 mé = 360mm)? Y Re
NOTA: la velocidad constante en À hace queel oto extremo C de
ha cuerdas acelere, puesto que cambia le dirección del sogmen-
10 DA y también su longitud,

12.410 Morano seas of 20s PATAS A mat Ex TASADANTES

12.10 Movimiento relativo de dos
partículas al utilizar ejes
trasladantes

A lo largo de todo este capítulo el movimiento absoluto de una partícu-
Hase ha determinado por medio de un marco de referencia fo. Existen
muchos casos, sin embargo, en los que la trayectoria del movimiento
de una partícula se complica, de modo que puede ser más fácil analizar
‘el movimiento en partes por medio de dos o más marcos de referencia
Por ejemplo, el movimiento de una partícula localizada en la punta de
la hélice de un avión, mientras éste está en vuelo, se describe mejor si
primero se observa el movimiento del avión desde una referencia fa
y luego se superpone (vectorialmente) el movimiento circular de la
partícula medido con respecto a una referencia fija al avión.

En esta sección se considerarán marcos de referencia trasladantes en
«el análisis. El análisis de movimiento relativo de partículas por medio.
‘de marcos rotatorios de referencia se tratará en las secciones 163 y
204, puesto que dicho análisis depende del conocimiento previo de la
“inemática de segmentos de líneas

Posición. Considere ls parículas À y Bla cuales e desplazan a
Lo largo de la trayectoria arbitrarias dela figura 12-42. La posición
absoluta de cada partícula, 4 y 1 st medida con respecto al origen
‘comin O del marco de referencia fijo x, y, 2. El orgen de un segundo
marco de referencia Y, y, se fa ay se mueve con la partícula A.
Se permite que ls ejes de este marco se malen silo cn respecto al
marco tj, El weior de posición relativa ro, denota la posición de B
medida con respecto a A. Por medio de Ia adición vectorial, ls res
vectores mostrados en la figura 12-42 pueden relacionarse mediante
In ecuación

CELA (12-38)

Velocidad. Sise toman las derivadas con respecto al tiempo de la
‘ceuscién anterior, se determina una ceuacién que relaciona las veloc!
“dades de as partículas; es decir,

o va Ha (239

Donde va = drafdt y va = dra/dtse refieren a velocidades absolutas,
‘puesto que se observan desde el marco fio; en tanto que la veloc
dad relativa vaya = denj/dtse observa desde el marco trasladante, Es
importante señalar que puesto que los ejes x, y” 7 se trasladan, los
“componentes de ty no cambiarán de dirección y por consiguiente la
“derivada con respecto al tiempo de stos componentes sólo tendrán que
responder del cambio de sus magnitudes. La ecuación 12-34 establece,
úporconsiguiente, que la velocidad de Bes igual ala velocidad de A más.
(wectorialmente) la velocidad de “8 con respecto a A", medida por el
“observador trasladante ip en el marco de referencia "y, 2.

87

ss

Carmo 12 Comsanca neun ero

Aceleración. La derivada con respecto al tiempo de la ecuación
1234 proporciona una relación vectorial similar entre las weleracio-
nes absoluta y relativa de as partículas A y B.

(1235)

“Aquí a, es la aceleración de B vista por el observador localizado en
‘AY que se traslada con el marco de referencia x, Y, 22

Procedimiento para el análisis

+ Cuando se aplican las ecuaciones de velocidad y aceleración
relativas, primero se tiene que especificar la partícula À que
5 el rigen de los ejes, y, 7 wasladantes, Por lo común, este
punto tiene una velocidad aceleración conocida,

+ Como la adición vectorial forma un triángulo, cuando mucho
puede haber dos incógnitas representadas por las magnitudes
y/o direcciones de las cantidades vectoriales,

+ Estas incógnitas se pueden resolver gráficamente por medio
de trigonometría (ley de os senos, ley de los cosenos), aldes-
componer cada uno de los tres vectores en componentes rec.
angulares o cartesianos, con lo cual se genera un sistema de
ecuaciones escalares

no

>

k

Los pilotos decatos aviones de propul-
sión que vuelan muy ere uno de tro
o deben perde de vita sus posicion:
Y velocidades reaias en todo momento
par citar una colisión.

Ua forms él de recordarla confurció e etsectaciones esoberarta "can.
ace" de andi À entr los des téminos por emo, ag = Ay a

12.410 Morano seas of 20s PATAS A mat Ex TASADANTES a

EJEMPLO [12:25

Un tren viaja a una rapidez constante de 60 mi/hy cruza una care.
tera como se muestra en la figura 12-432 Si el automóvil A viaja
2 45 mi/h por la carretera, determine la magnitud y dirección de
la velocidad del tren con respecto al automóvil

SOLUCIÓN 1
Análisis vectorial... La velocidad relativa vp, se mide con respec-
to alosejes x,y trasladantes fijos en el automóvil, figura 12-430, Se
‘determina a partir de la ecuación vr = va + vr. Como se conoce
‘unto la magnitud como la dirección de vz y va, ls incógnitas son
las componentes xy y de va. Si utilizamos los ejes x, yen la figura.
12-434, tenemos

ve va + va
= (AS cos 451 + 45 sen 45°ÿ) + va
va = (2821 ~ 31.89) mi/h Resp.
La magnitud de va e, por tanto,

aja] VIBRA CARS = 425 mija Resp.

A partirde la dircci6n.de cada componente, figura 12-436, dircc- ES
Gónde rre 7

(rado „28

(ale 22

0-05 = Resp.

Obserse que la suma vectorial mostrada enla figura 12-436 indien la ene

sentido correcto de v7. Esta figura anticipa la respuesta y puede
uilizarse para comprobarla.

uno =

o
SOLUCIÓN 11

Anélisi escalar. Las componentes desconocidas de v7, también

pueden determinarse con un análisis escalar, Supondremos que estas

“componentes actúan en las direcciones xy y positives. Por tanto,

we va + Va
[83%] [Ea] + [Onde] à [Oe]
Si descomponemos cada vector en sus componentes xy y obtenemos
(5) 60 = 4 c0s 45° + (op), + 0 tam A
en 0 = 45sen 45° + 0 + (aa),
Al resolver, obtenemos los resultados previos, >= Oni
(orde = 282 mifh = 282 mim + ©
Corps = 318 mie = 318 if | monas

Carmo 12 Comsanca neun ero

m

CRC PET

œ

El avión A en la figura 12-44a vuela lo lago de una línea recta,
mientras que el avión Blo hace ao largo de una trayectoria circular
que tiene un radio de curvatura pp = 400 km, Determine la veloc
dad y aceleración de B medidas por el piloto de A.

SOLUCIÓN
Velocidad. Elorigen delos jes xy y están en un punto fijo arbi-
trario, Como se tiene que determinar el movimiento con respecto al
plano A, el marco de referencia traladante x, ÿ se fija en él, figura
12-44 Al aplicar la ecuación de velocidad rlativaen forma es

ya que los vectores de la velocidad de ambos aviones son paralelos
en el instante mostrado, tenemos

Hh y= ta + va
600 km/h = 700 km/h + Ym

taa = ~10kmy = 100km/n | Resp.
La adición vectorial se muestra en la figura 12-4,
Aceleración. EI avión B iene componentes tanto tangenciaes
como normales de aceleración puesto que vuela a lo largo de una.
Fayectoria curva. De acuerdo con la ecuación 1-20, la magnitud
del componente normal es
ve _ (00 km/h)?

er km?

a =

"Al aplicarla ccuación de aceleración relativa se obtiene.
PTA
‘9005 — 1005 = 50ÿ +

Portanto,
‘anya = {9004 — 150j} key

‘De acuerdo con a figura 12-44c, la magnitud y dirección de ap son.

por consiguiente

e de
ana = Mm 0 = tan im 946 Resp.

NOTA: ha solución de este problema fue posible gracias al uso de
un marco de referencia trasladante, puesto que el piloto delavión A
se está “trasladando”. La observación del movimiento del avión
A con respecto al piloto del avión B, sin embargo, se obtiene por
medio de un sistema de ejes rotatorio fijo en el aión B. (Esto supo-
ne, desde luego, que el piloto de B está fijo en el marco rotatorio,
“sí que no tiene que mover sus ojos para seguir el movimiento de
A) Este caso se analiza en el ejemplo 1621.

12.410 Morano seas of 20s PATAS A mat Ex TASADANTES 9

E

PLO |

7

En el instante que se muestra en a figura 12-48a, los automóviles
Ay B viajan con una rapidez de 18 m/s y 12 m/s, respectivamente.
Asimismo, en este instante, A experimenta una desaceleración de

2 m/s y B tiene una aceleración de 3 m/s’. Determine la velocidad _
y aceleración de B con respecto a4.

SOLUCIÓN
Velocidad. Los ejes xy fijos se establecen en un punto arbitrario
en el suelo, y los ejes x, y trasladantes se fjan al carro A, figura
12-4$a ¿Por qué? La velocidad relativa se determina con va = va +
Ya. ¿Cuálesson ls dos incógnitas? Siutiizamos un análisis vecto-
rial cartesiano, tenemos

wart
12} = (18 cos 60 — 18 sen 603) + vara
vaya = (91 + 35889) m/s °

Por tanto,

va VOR + 588] = 969 m/s Resp,

Observemos que vaya tene componentes + y +], figura 12-456, su

direcciónes
tang = (ay _ 3588
Cue” 9 asim .
o-ar 2 oe 7
Aceleración. El automóvil B ene componentes tanto langen-
cles como normales de aceleración. ¿Por qué? La magnitud de la
componente normales mp
de _ am Led
CET = Moms?

Al aplicar la ccuación de la aceleración relativa se obtiene
A
(14401 — 3) = (2c0560'1 + 2sen60*3) + aa
ana = {-2440i ~ 47325) m/s?
Aquí aja tiene componentes —i y —j. Por tanto, con la figura
12-450, z

ana = VER + (AT) = 532 m/s" Rep.

tang = An „ 4732

Cana): 2340 tu — Baap?
ver? Resp. o
NOTA: ¿es posible obtenerla aceleración relativa ayy con ste mu

método? Vea el comentario al final del ejemplo 1226.

92 Carmo 12 Comsanca neun ero

E || PROBLEMAS FUNDAMENTALES

171239, Determine a rapidez delbloque Dsiclextremo FI2-tL. Determinelarapider dl bloque Asielentremo Fée
A do la cuerda so jaa hacia abajo con una rapidez de va = lacuordasejalahaca bojocon umaragidez de u, =3 má.
3m.

aso e

FIZ43, Determine la rapidez del caro A si el punto P
en cl cable tiene una rapide de 4 m/Scuando cl motor M
enrolla clcable.

12-40. Determine la rapide del bloque A si el extremo
Be la cuerda e jla hacia abajo con una rapidez de 6m/s.

IDL, Determine la rapidez delbloque Asiclextromo B
la eurda so ala hacia abajo con una api de 15 m/s.

ma

12.10. Moro RATIO DE 005 AREAS AL UTLZAREXS TASAS 9

FIZAS. Elautomévil A visa a una rapidez constante de FIZ47. Los botes Ay B navegan con una rapier cons-
0 km/hal norte, mientas que e automóvil vija a una tante de o, = 15 m/sy vp =10 m/s respectivamente cuan- EEE
mpider constante de 100 km/h al este. Determine la velo. do salen del mucle en O al mismo tiempo. Determine la
dad de automóvil Bon respect al automóvil A. ‘stanca entre ambos cuando = 45.

1243. En el instante que se present, los automóvil
1246. Dosaviones A yBwuclan alasvelocdadescons- 43 tin al rapier mostrada i Be acoerando

À 5 1200 ki mientras que À mantien una rapidez cons
‘antes mostradas. Determine la magnitud y direción dela
velocidad del avión B con respecto al avión A. ee y SEA 06/4 Son ro

mean.

mas

9 Carmo 12 Comsanca neun ero

E | [PROBLEMAS

12:95, Alcamro de minería Cl jalan hacia arriba del — 12498, Si cl extremo A de la cuerda desciende a una
‘plano incinado el motor M y la combinación de euerda rapide de S m/s determine larapiz del cido B.

y polea que se muestra, Determine la rapidez ala cual
punto Pen cl eable debo movors hacia el motor para
que el carro suba por el plano a una rapidez constante

Prob, 12-198

Pro 12
2. 12-199. Determine la rapidez del clevador si cada motor

1.196. Determine el desplazamiento del tronco si el Enollacicable a una rapidez constante de m/s.
‘amin en Cala el cable lesa la derech.

2g ge
5 ©
rob 12196
212497. Si el elindro hidráulico 1 jala hacia dentro
la barra BC a 2piess, determine la rapidez dela corro-
der A

=!

Prob. 12.199

12.410 Morano seas of 20s PATAS A mat Ex TASADANTES 9

“12200. Determine la rapidez del cinco A,silacuer- 12203. Determine la rapidez de B si A desciende con
da se ensola hacia el motor Ma una razón constante de una raider de 1, = 4 m/senel instante mostrado. 2
toms.

«12201. Sia eyrdase jala hacia el motor Ma una rapi-

dde = (7) ns donde et ensegands determi

‘be larapidoz del lindro A euando +

ll...

12202. ie extemo del cable en A se jala hein abajo
om uma rapidez de 2 m/s determine a rapide alacualse «12-264, La grise utiliza para zar La car. Silos moto-
“eva el bloque. os en A y B jalan cl cable a una rapidez de 2 less y

pie respectivamente, determine I rapidez de aes.

9% Carmo 12 Comsanca neun ero

112.205, Hl cable en Bs jla hacia abajo a4 pis y la “12-208. Siclextremo de cable en À se jala haci abajo
rapidez se reduce a 2 pies/ Determine la elocdad y comuna rapier de 2 m/ determine la rpidez ala cual se
‘sclera del bloque À cn ete instante evael bloque E.

Prob. 12208

"1220. sibs motors Ay Band os cables con una
aceleración de a = (0.21) m/s”, donde 1 esté en segundos,
etic ities bosses tne a

12206, Sc Vague A dene con um rpie de 4m, pared deep on = feo, eno

4 pies/s mientras C sube a 2 pies/s, determine la rapidez. we

Pr

12207. Sielbioque A bajna 6 pies/smientras que el blo-
‘que Chajaa 18 pes determine la rapider da bloque B.

Probe. 12206207

12.410 Morano seas of 20s PATAS A mat Ex TASADANTES

12210. El motor en C ala el able con una aceleración
constante ac = (36) m/s, donde 1 et en segundos. EI
‘motor en D jala su cable ap = Say. Si ambos moto-
res arrancan al miso tempo del reposo cuando d = 3,
‘determine (a) el tempo requerido para d = 0 y (0) ls
velocidades de ls bloques Ay cuando esto ocurre

(ass

Prob 12210,

12211. Fl movimiento del collar en A lo controla un
motor en 6, de modo que cuando cl collar está en a =
3 pies sube a 2 pies/sy su velocidad se reduce a 1 pi
‘Determine la velocidad y aceleración de un punto en el
cable a medida que se jla hacia el motor Ben est ins

2

Prob 12211

9

*I2212. El hombre jala la cucrda para subir al mucha-
cho hasta la rama del árbol Cretrocediendo a una rap
ex constante de 1.5 mx Determine La rapide an cual el
muchacho sube en elinstante x, = 4m. Ignore el tamaño
dela rama, Cuando x4 =0, yp = 8m, de modo que Ay
evincidan; es decir, lacuerda es de 16m de Largo

«12213, El hombre jala la cuerda al rorocedor para
Subir al muchacho hast rama del bol C.Sicomienzaa
‘etroreder del reposo cuando xa = 0 con una aceleración
‘onstante a, = 02 m/s determine La rapdez del mucha:
ho enel nstate yy = Am. Ignore el tamaño de la ama.
Cuando xa =0,yp =8m,de modo que A y Booinckan, cs
decir lacuerda er de 16m de largo.

12214. Si el camión viaja à una rapidez constante de
tr = 6 pis/s determine la rapkder del embala a cual-
‘hier siglo 0 de la cuerda, La cuerda es d 100 pies de
largo y pasa sobre una polea de tamaño insignificante en
A. Sugerencia: relacione ls coordenadas x; Y Ke con la
longitud dela cucrda y ovale la derivada con respeto al
lg. Lng ola ción monde sum

o

Prob 12214

9 Carmo 12 Comarca oe una merca.

BAIS. En el instante que se muestra, el automóvil A
‘aja a o largo de una parte recta dela carretera a una.
rapidez de 25 m/ En ete mismo instante cl automóvil
Baja alo lago dela pate cscula de la aretra a una.
velocidad de 15 ms Determine la velocidad dl automó-
vi Beon respecte al automóvil A.

12216, EI automóvil A viaja por una carretera recta
a una rapidez de 25 m/s mientras acelera a 15 m/e. En
ste mismo instateelautomóvilC viaja por una carretera
recta auna rapidez de 30 m/smientrasdesaclera a3 ms
Determine la velocidad y aceleración del automóvil À con
respecto al automóvil

*D217. El automóvil B viaja por una carretera curva
con una rapidez de 15 m/s mientas dsaceera à 2 mys
En sto mismo instante el automóvil C viaja por la carre
era recta con una rapidez de 30 m/s mientas desaclera
surapidez a3 m/s. Determine la velocidad y aceleración
{el automóvil Bon respeto al automóvil €.

2218, Eibarco navegan una rapier constante de u, =
20 m/s y el viento sopla a una rapidez de vg = 10 m/s,
«omo se muestra, Determine la magnitud y dirección dela
‘componente horizontal de la velocidad de humo que sale
¿e lachimenca, contemplado por un pasajero en barco.

12219. El automóvil viaja a una rapidez constante de
100 Ka Sila avia cuca 6 m/s en la diección mostrada,
‘determine la velocidad de La ava vita por el conductor

+12220, El hombre puede remar en bote en aguas tan-
ula con una rapidez de $ m/s Sil lo faye a 2 m/s
determine a rapidez del bote y el ángulo 0 al que debe
rg el bote de modo que vaya de A a

12.410 Morano seas of 20s PATAS A mat Ex TASADANTES 9

«12221. Enclinstnte mostrado os automóviles À y B
Siajan a una rapidez de 30 mih y 20 mh respecivamen-
te. Si Binerementa su rapidez a 120 mi, mientras que
A mantcnc una velocidad constant, determine la veloc
ad y aceleración de Bon respecto a A.

12222. Encl instante mostrado, los automóvils A y B
viajan a una rapidez de 30 mi/hy 20 mi/h respoeivamen-
te. Si incrementa su rapide a 400 mi mientras que la
rapidez de Bs reduce 450 mi, determine la velocidad
y acclración de Bconrespocto à À.

13228, Dos bots pan dea pl al io impo y
vegan en ls direcion que e muestran, Si,

PS an sp die vai dele A
‘on especto al bote B. ¿Cuánto tempo después de deja la
playa los botes estarán 00 ples uno de oo?

"12-224. Enclinstante mostrado, los automóviks A y B
viajan a una rapidez de 70 mi y SO mi ropectivamen-
Le: Si incrementa su rapidez à 1100 mi, mientras que
“A mantiene una rpidez constant, determine La velocidad
y aceleracion de B con respeto a A. El automóvil se
‘esplaza al larg de una curva que ene un radio de eur.
vana de 07 mi

12-226. En ctinstante mostrado los automóvil À y B
jan a una rapidez de 70 mi y 0 i rspecivames.
to. SIB rodoce su rapidez a 1400 mi, mientras que A
incrementa su rapidez a 800 mi, determine la acera
ón de B con respecto a A. El automóvil B se desplaza a
Lo largo de unacurva de un radio de cunaturade 07 mi

= 19

12226, Un portaaviones navega con una velocidad de
50 km/h. En el instante mostrado, el avión en A acaba
e despegar y ha alcanzado una tapidoz horizontal del
aire de 200 km, medida en aguas tranquilas. Si avión
en B se desplaza alo largo de I pista a 175 km/h enla
(üirsciön mostrada, determine la velocidad de A con rs
pecto.

Prob, 12.226
12227. Un automévi va al norte por una caretera
cta a 50 km/h. Un instrument en el automóvil indica
que el viento se dirige al este. Sia rapier del automóvil
{ede 80 km/h instrumento indica que el vento se diige
Al nore, Determine la velocidad y ireció del viento

100 Cwmio12 Coca ina mua

‘aon una velocidad de 30 ms y una aceleración de 2m/s* un viento de 20 km/h Si las gotas de Huvia cac vertical
por la careta. En cl mismo instante B crea por la mente 27 km/h en aie ranguilo, determine la dirección
Curva de intercambio en forma de trompeta con unarapi- I ual ls gotasparecen caer con respecto al hombre.
cz de 15 m/s la cual se reduce 203 m/s. Determine la Suponga que la rapier horizontal elas gotas de vin es
velocidad y acclración relativas de Boon respecto a Aen iguala ladel vento.

eins

E:: En el instante mostrado el automóvil A vija 12230. Um hombre camina aS km/h en a dirección de

mA

Prob. 12230

12231. Unhombre puede remarun bot a m/senaguas
+229. Dosciclitas Ay Fe desplazan la mismarapi- _ tanquilas, Desea cruzar un io de SO m de ancho hasta el
Gezconstante e Determine a velocidad de A con respesto — Punto B,situado a SO corriente abajo, Sie ro uye com
à A se desplaza ao lego de la pista cicular, mientras. una velocidad de 2 m/s determine I rapidez del bote y el
que Bo hace lo argo del devo del cheuo tiempo requerido para cruzarlo

12.10 Morannnonsamooe cos ovas m umoat ess manne 101

| [PROBLEMAS CONCEPTUALES UT Se

PI2A, Simide el tempo quete eva alclevador de cons-
trucción para ir de À a B, logo de Ba Cy luego de Ca D,
y también conoce la distancia entre cada uno delos pur
tos, ¿cómo podría determinar la velocidad y aceleración
promedio del elevador al ascender de À a D? Use valores
mies para explicar cómo se puede hacer esto.

mua

PIZ2, Si el tocador en À est a 1 m del suelo, ponga a
cal as medidas mscsarisomadas enla foto para deter.
minar la velocidad aproximada del choto de agua cuando
sale dela boquilla de rociado,

pa

PIZA. Selanzócltalón de basquethola un ángulo medi
do entr la horizontal y os braos extendidos del hombre.
Sila canasta est a 10 pis del suelo, haga Las mediciones

PI24. La ploto e dico la envergadura de su avión y su
rapidez de aire constante. ¿Cómo podria determinar la
‘ccleracién del avión en el momento mostrado? Uso valo
res mumércos y tome las mediciones necesarias a parti de
fotograf,

pra

Lacinomética recense rere al
movimiento al largo de una linea
recta. Una coordenada de posición:
Specific la ubicación dela artícu:
Inn la lea y el desplazamiento As
i eleambio & su posición.

Larapider promedio e unescalary
es distacia total recorrida, dvi.
a entre el tempo delrecorido.

Eltiempo, la posiin, la velocidad y
laaceleración esti relacionados por
tres ecuaconcs diferencias,

Si se sabe que la aceleración
constante, entonces se pueden in
grarlasecuacionsdicrencals que
relacionan el lempo, la posición, la
velocidad yla celeación.

nas
fee

ec en
sara tles
2a)

Soluciones gráficas
‘ict movimiento es eráico, entonces
puedo sr desert por una ¿rica Si
{presenta una de stas gráficas, en
ecasols ras puedenesabecerse
mediano ls raciones lerencales
entre a easy

ads odo

Remo oe cammo 103

larg de ls js xyz Se ul la
ecuxciôn de I trayectoria para rela
omar el movimiento alo largo de

Er
Movimiento de proyec

El movimiento de mul ia de | CD m (+ ad

Um pee ige una per.

parabolic. iene uma velocidad | C1) yo (Ws de
Constant en cel horwonta | (+1) = (W} + 2aly =)
ona trac cabos | (yy ey (no

ante de g = 981 m/ 0322 pies"
enla dirección vertical. Dos. ds eat
“quier dels tres ceuaions de ace
feración costa aplicanenla drec-
ción vertical, pero en la dirección
horizontal slo aplica una ecuación.

104 Cwmio12 Commarea neun macs

Movimiento carre», +
Siseuilzan js normaly tangencial
para el andlss,entonces y sempre
sá enla dirección posta

La aceleración iene dos componen:
ves El componente tangencial, yes
responsable dl cambio de mai
tud de la velocidad: una reducción
e la velocidad ocurre en a direc.
«ión 1 nogatic,y un incromeno de
velocidad enla direcció 1 positiva,
El componente normal a, responde.
por el cambio en la dirección de la
velocidad Esta componente siempre
ció en la dicción positiva

Movimiento curvo 7,0
Sila trayectoria del movimiento se
expresa en coordenadas polares,
‘ntonceslascomponentes de velos"
ad y aolración pedenrelaconar-
e con Tas derivadas con respecto
tiempo de ry 0.

Para aplicarlas derivadas conespec-
‘wal dempo, es necesario determinar
FF, 0 enelinstane comidera-
do. Si seda la trayectorta r= f(0),
entonos se debe utilizar la regla de
la cadena del cálculo para obtener
las derivadas con respect ltiempo,
(Vea elapéndice ©)

{Una ver queso sustituyen ls datos
«en las ecuscones, el signo algebra
«ode los resultados indicaráladiec-
ón de loscomponentes de vo aa lo
lago de cada e

ont
wen

ante
ayn ri 2

Reso va cam

105

Movimiento dependiente absoluto
de dos particles

El movimiento dependiente de blo
ques que estinsispendidos de poleas
y cables puede relacionarse por la
cometa del sistema. Para esto se
Stablecen primero coordenadas de
posición medidas de un origen Mo
‘cada bloque. La dirección e cada
‘nocdenada debe sr alo largo de la
línea del movimiento de un bloque.

Entonces, por medio de geometría
3/0 tigonometrt, las coordenadas
Ze relacionan con la longitud del
‘able par formular una ecuación de
‘oocdenadas de posición

La primera derivada con respect al
tiempo de eta ecuación proporciona
tuna relación entre las velocidades de
lee bloques y una segunda derivada
con respecto altiempodalarelackin
‘entre sn aceleraciones.

Dip thos

Andis dl movimiento relativo por
medio de ees trasadantes

Si dos partulas A y 2 experimen:
tan movimientos indepondicates,
‘elonces estos movimientos pueden
relacionarse consu movimiento rela-
tivo por medio de un sema de ees
‘rasladantes jo a una de as partcu-
las (A).

En ol caso de movimiento plano,
cada ecuación vectorial produce
dos ecuaciones escalares una o la
“rección x y la otra enla disección
y. Para lasolución, los vctors pue-
‘en expresarse en forma cresana,
‘bien, los componentes escalares x
y pueden escribis diretamente

va + voa
ran

El diseño de las bandas transportadoras de una planta embotelladora
require ol conocimiento de ls fueras que actóan en alla y la capacidad
de predecir el movimiento de ls botells que trensporan.

Cinética de
una particula:
fuerza y aceleración

OBJETIVOS DEL CAPÍTULO

+ Formular la segunda ley del movimiento de Newton y definir
masa y peso.

+ Analizar el movimiento acelerado de una panícua por medio dela
ecuación de movimiento con diferentes sistemas de coordenacis.

+ Investigar el movimiento de fuerza central y pliaro a problemas
de mecánica espacial

13.1 Segunda ley del movimiento
de Newton

La dnéticaes una rama dela dinámica que se ocupa dela relación entro
el cambio de movimiento de un cuerpo y las fuerzas que lo provocan.
La base de la cinética esla segunda ley de Newton, la cual establece.
‘que cuando una fuerza desbalanceada actúa en una partícula, ésta se
‘acelerard en a dirección de la fuerza con una magnitud que es propor
cional a ésta.

Esta ley puede verificarse experimentalmente al aplicar una fuerza F
‘desbalanceada a una partícula y luego medir la aceleración a Como la
fuerza y la aceleración son directamente proporcionales, la constante de
proporcionalidad, m, se determina a partir dela relación m = Fja. Esto.
‘scalar positivo mse conoce como masa de la particle. Al permanecer.
constante durante cualquier aceleración, m mide cuantitativamente
la resistencia de la partícula a cualquier cambio de su velocidad, es
decir de su inercia.

108

Curmn013 Cuenca ne una pica nz y accion

‘Sila masa de la partícula es m, la segunda ley del movimiento de
Newton se escribe en forma matemática como

P= ma

La ecuación anterior, conocida como la aus de movimiento, una
de las Fórmulas más importante en la mecánica.* Como previamente
se enuneié, su validez se basa sólo en videncia experimental. En 1905,
sin embargo, Albert Einstein desarrolló la teoría de la relatividad e
impuso limitacionesen el uso de la segunda ley de Newton para descri-
ir el movimiento general de una partícula, Mediante experimentos se
‘comprob6 que el tiempo no es una cantidad absoluta como lo supuso
"Newton y por consiguiente, la ecuación de movimiento no predice el
«comportamiento exacto de una partícula, sobre todo cuando su veloci-
dad se aproxima ala velocidad de la luz (03 Gm 9) Los desarrollos de
la teoría de la mecánicacuéntica por parte de Erwin Schrödinger y otros
indican además que las conclusiones derivadas del uso de esta ecuación
también carecen de validez cuando las partículasson del tamaño de un
‘tomo y se mueven muy cerca entre sí, En su mayoría, sin embargo,
estos requerimientos en relación con la rapidez y el tamaño de una
partícula no se presentan en problemas de ingeniería, por lo que sus
ectos no se consideraránen est libro.

Loy de la atracción gravitatoria de Newton. Poco tiem-
po después de formular sus tres leyes del movimiento, Newton postu-
1 una ley que rige la tracción mutua entre dos partículas, En forma
matemática esta ley se expresa como

ro (64)

donde

R = fuerza de atracción entre las dos partículas
G = constante de gravitación universal; de acuerdo con
‘pruebas experimentales G = 66.73(10"*)m'/(kgs*)
‘my, = masa de cada una delas dos partículas
stancia entre los centros delas dos partículas

Como mesconstants,¡ambénpodemoscsribir = dm) donde came
de movie Incl del parted Ens aso la ue buona que ci nl
[cls repo) al amo con respec al emp d a cama e movimiento
cel del parta

11 Seounma una Movietone Newon 109

En el caso de una partícula localizada en o cerca de la superficie

terrestre la única fuerza gravitatoria de magnitud considerable es la que

existe entre la Tierra y la partícula. Esta fuerza se denomina “peso” y,

Para nuestro propósito será la única fuerza gravitatoria considerada.
A partir de la ecuación 13-1, podemos desarrollar una expresión

general para determinar el peso W de una partícula de masa my = m.

Sea my = M,la masa de la Tierra y rla distancia entre el centro de la

= GM fr, tenemos

Por comparación con F = ma, denominamos g como la aceleración de
la gravedad, En la mayoría delos cálculos de ingeniería ges un punto
sobre la superficie terrestre al nivel del mar y a una latitud de 45°, el
‘cualse considera como el “lugar estándar”. Aquíse utilizarán los valo»
res = 981 m/s? = 322 pies/e en los cálculos,

Enel sistema ST la masa de un cuerpo se especifica en kilogramos y el
peso se calcula con la ecuación anterio, figura 13-1a. Por tanto,

wem) (8 =98Lm/8) (3.2)

jente, un cuerpo de 1 kg de masa pesa 9.81 N; un cuerpo de a
2g pesa 19.62 N:y as sucesivamente,

En el sistema FPS (pies-libras segundo) el peso de un cuerpo se
«especifica en Hbras. La masa se mide en slugs un término derivado de.

“sluggish” (tardo, perezoso) el cual se refiere ala inercia del cuerpo.
Secakula, figura 13-15, con m Fi)

ro)

m = ang) (8 = 22 pens) (3) |

wa

Por consiguiente, un cuerpo que pesa 322 Ib tiene una masa de slug: es
un cuerpo que pesa 64.4 Ib tiene una masa de 2slugs, y ai sucesi o
mente. wis

110 Cwmio13 Conca De un Ptc AERA YACRERACION

13.2 Ecuación de movimiento

(Cuando més de una fuerza actúan en una partícula, la fuerza resultante

& 2 tri or modi de una sa voca de ads se es
. “> dc, Fa = AR. En este caso general, la ecuación de movimiento se
en
%

EE
(o SF = ma (34)

Para ilustrar la aplicación de esta ecuación, considere la partícula
mostrada en la figura 13-22, con masa m y sometida ala acción de dos
fuerzas E, y F2 Gréficamente podemos tener en cuenta la magnitud y
St dirección de cada una de la fuerzas que actúan enla partícula traza-
mes el diagrama de cuerpo libre de la panícula, figura 13-26, Como la
resultante de stas fuerza produce el vector ma, su magnitud y dirección

ru Digne | represetan ráficamente enel dugramacinéico,que se mucsracn
serponbre otto | lafigura 13-2.” El signo igual escrito entre los diagramas simboliza la
equivalencia gráfica entre el diagrama de cuerpo libre y el diagrama

min nético,es decir, SF = mat En particular, observe que si Fe = 31
centonces la aceleración también es cero, de modo que la partícula bien
puede permanecer en reposo o moverse alo largo de una trayectoria de
Tinea recta a velocidad constante. Tales soa las condiciones de equilibrio
estático, la primera ley del movimiento de Newton.

Marco de referencia inercial. Cuando se aplica la ecuación
de movimiento, es importante que la aceleración de la partícula se
mida con respecto a un marco de referencia que sé fijo 0 se trasla-
de a una velocidad constante, De este modo, el observador no experi-
mentaré aceleración y las mediciones de la aceleración de la partícula
serán las mismas con cualquier referencia de este tipo. Tal marco de
referencia comúnmente se conoce como marco de referencia inercial o
‘Newtoniane, figura 133,

Cuando se estudian los movimientos de cohetes y satélite, se justa
considerar el marco de referencia inercial como fjo en las estrellas,
mientas que los problemas de dinámica que implican movimientos
en o cerca de la superficie terrestre pueden resolverse con un marco,
‘nerca que se supone ocn la Tierra. Aun cuando La Tierra gia tanto
sobre su propio eje como alrededor del Sol, ls aceleraciones creadas
porestasrotaciones son relativamente pequeñas y porlo tanto se pue-
den omiti en la mayoría de las aplicaciones.

“Racer que el drama de cuerpo be considera que La parla ive de sus
(WO70sEneundantesy muestra idas as fur que sti en ela El lpram enden
See al morinieno de la pura provocado por as fueras
"Ha ccuacón de movimiento tambien puede secscire ena form XP ma OF!
se eee a reir de a ra de Ir ee rata de la mien forma
eto de fer, rune el extad de "geh" rado se conoce como
‘ull dinámico xe mod de aplicación à mens conoce como prix de
D'Alember nombrado en honor del mutemdic ares Jen de Rond Alenben.

132 Eancovoevomemo 111

“Todos estamos famiaizado con ia rra sensación cuando nos sentamos on un utomóvisometio a una aceleración hacia
delate. A menudo persamos que esto cs provocado por una fuerza” que actúa en nosotros y que tiendo a empujarnos.
hacia atrás en elasieto sin embargo, no es ast. Esta sensación ocurre debido a muestra inercia 0 a reitenci de nuestra
masa alcambio de velocidad,

"Consideremos al paajeo sujet al asiento de un trineo de cohete ie trineo está en reposo o en movimiento a una
velocidad constante, nose ejerce ninguna fuerza sobre su espalda, como se muestra en el dagrama de cuerpo bre

pue, 3

Be |

te

Le

En repoo oa veloadconsante

“Cuando el empuj de motor de un cote acer cl tinco el asiento en el cual st sentado el pasajero cre una fuerza
sobre ly lo empuja hacia delante junto con el rico. Observe en la fotografía que a inrei de su cabeza texte este
cambio en el momie (1cceracón),y por tato éstas mueve hacia ates contra el anto, sara lncual noes rgida,
¡ende a distorsinarse hacia atrás

Acclension

A desacslerarse la fuerza del inturön del asiento F ende a tar do a everp para deteneno, pero su cabeza pierdo el
contaeo con el respaldo del sent y su car se distorsiona haci dent, de nuevo debido a u inercia o tendencia à con
ínuar en movimiento hacia delant, Ninguna fuerza tira de l hacia delante, aunque ésta sea la sensación que perebe.

112

Curmn013 Cuenca ne una pica nz y accion

13.3 Ecuación de movimiento de un
sistema de partículas

La ecuación del movimiento se ampliará abora para incluir un sistema
de partículas aislado dentro de una región errada del espacio,como se
muestra en a igura 13-4. En particular, no existe ninguna restriceidn
en cuanto ala forma en que las partículas están conectadas, por lo que
cl siguiente análisis se aplica igualmente bien al movimiento de un sis-
‘ema líquido, sólido 0 gaseoso.

Enel instante considerado, la partícula ¿ésima, de masa mse somete.
a un sistema de fuerzas internas y a una fuerza externa resultante, La
fuerza interna, representada simbólicamente como f, es la resultante
e todas las fuerzas que las demás partículas ejercen en la partícula
iésima. La uerza externa resultante E representa, por ejemplo, el efec-
lo de la fuerzas gravitatoria, eléctrica, magnética o de contacto entre
la partícula ¿sima y los cuerpos o partículas adyacentes no incluidas
dentro del sistema.

‘Los diagramas de cuerpo libre y cinético de la partícula ¿sima se
muestran en la figura 13-48, Al aplicar la ecuación de movimiento,

R= ma; Bila ma

‘Cuando se aplica la ecuación de movimiento a cada una de las demás
particulas del sistema, se obtienen ecuaciones similares. Y, si todas es-
las ecuaciones se suman vctorialmente, obtenemos

BR +34 = Ema,

Dignmade Diagram
Simmonds pS

@ o

133 Eamcownemovimnoceunssrennce mmrcuas 113

La suma de las fuerzas interna, si se realiza, es igual a cero, ya que
las fuerzas internas entre dos partículas ocurren en pares colineales
iguales pero opuestos. En consecuencia, sólo prevalecerá la suma de
las fuerzas externas, y por consiguiente la ecuación de movimiento
escrita para el sistema de partículas es

SF = Ema, (3s)

Sig es un vector de posición que localiza el centro de masa G de
las partículas, figura 13-4a,entonces por definición del centro de masa
mr = Smp, donde m = Emyesla masa total de toda la partículas. Al
diferenciar esta ecuación dos veces con respecto al tiempo y suponer
‘que ninguna masa entra a osale del sistema, se obtiene

mas = Sma,

‘Sisusttuimos este resultado en la ecuación 13-5, obtenemos.

EF = mag u)

Por tanto, la suma de las fuerzas externas que actúan en el sistema de
partículas es igual a la masa total de ls partículas por la aceleración
de su centro de masa G. Como en realidad todas las partículas deben
‘tener un tamaño finito para que posean masa, la ccuación 13-6justfic
la aplicación de la ecuación de movimiento a un cuerpo representado
‘como una partícula única.

Puntos importantes

= La ecuación de movimiento está basada en pruebas experi-
mentales y es válida sólo cuando se aplica dentro de un marco
de referencia inercial

+ La ecuación de movimiento establece que la fuerza desbalan-
‘ceada aplicada a una partícula la acelera.

+ Un marco de referencia inercial no gira, sino que más bien sus
ejes ose traladan a velocidad constante o están en reposo,

+ La masa es una propiedad de la materia que proporciona una.
medida cuantitativa de su resistencia a un cambio en la velo-
cidad, Es una cantidad absoluta y por tanto no cambia de un
"agar a otro.

‘= El peso es una fuerza provocada por la gravitación terrestre.
‘No es absoluta; más bien, depende de la ltitud de la masa con
respecto a la superficie terrestre.

114

Curmn013 Cuenca ne una pica nz y accion

13.4 Ecuaciones de movimiento:
coordenadas rectangulares

Cuando una partícula se muere con respecto aun mareo de referencia
inercial x,y,z, as fuerzas que actúan en la partícula, lo mismo que su
Acolración. pueden expresars en función de sus componentes, k,
figura 135. Al aplicarla cunción de movimiento, tenemos
A O)
Para que sta ceuación so satisfaga, los componentes, respectivos
del lado inquierdo debenser iguales alos componentes sorrspondien-
les del lado derecho, Por consiguiente, podemos escbir las tres ecua-
cones escalares siguientes

an

En particular, si a partícula está limitada a moverse sólo en el plano
2-y.entonces se utilizan las primeras dos de estas ecuaciones para espe-
ficar el movimiento.

Procedimiento par élisis

Las ocunciones de movimiento se utilizan para resolver problemas
que requieren una relación entre las fuerzas que actúan en una
partícula y el movimiento acelerado que ocasionan.

Diagrama de cuerpo libre.

+ Seleccione elsistema de coordenadas inercial Por lo general se
eligen coordenadas x,y, para analizar problemas en los cuales
la partícula tiene movimiento rectlineo.

+ Una vez que se establecen las coordenadas, trace el diagrama.
de cuerpo libre de la partícula. Trazar este diagrama es muy
importante puesto que proporciona una representación graf
ca que incluye todas las fuerzas (SF) que actúan en la partícu-
la y por lo tanto es posible descomponer estas fuerzas en sus
componentes x, y, 2.

+ La dirección y sentido de la aceleración a dela partícula tam-
bién debe exiablecerse, Si se desconoce el sentido, por conve-
riencia matemática suponga que el sentido de cada compo-
rente de aceleración actúa en la misma dirección que su eje de
pordenadas inercial positivo.

+ La aceleración puede representarse como el vector ma en el
dagrama cinético

+ entfique las incógnitas en el problema.

“Es ma comen en etx ear siempre el ingrama cafe como mila
eo, lado se dsamolan ls comprotaiones ora. a acerca de para
as components so mostrarán omo vectors de olor aul cra del dlagrama de
po Memos jp

134. Eomoonesoe vonun

| Ecuaciones de movimiento.

+ Si las fuerzas pueden descomponerse directamente con el
¿agrama de cuerpo libre, aplique las ecuaciones de movimien-
to en su forma de componentes escalares.

| © Sia geometría de problema parece complicada, lo que a menu-
dbocurre cn wes dimensions, puede utilizarse ani vecto-
Sal cartesiano para la solución.

+ Frcción, Siuna partcuk en movimiento se pone en contacto
(on una superficie spera, puede ser necesario utilizar In ces.
ción frcconal, la cua relaciona las fuerzas de fición y nor-
males E, y N que actúan en la superficie de contacto mediante
cl cocfiient de fricción cinética, es deci, = aN. Recuerde
que F siempre ac en el diagrama de cuerpo libre opuesta al
movimiento de la partícula con respeto a a superficie con la
que est en contacto. Sila partícula se encuentra al Borde del
movimiento relativo, entonces se utilizará el coeficiente de frc-
ónestáica

+ Resort. Sila partícula est conectada a un rt eésico de
‘mss insignificant, l fuerza F, del resort puede relacionarse
con su deformación por medio dela ecuación F, = ks: Aquí k
{la rigid del resorte medida como una fuerza por unidad de
longitud, y ses el alargamiento o compresión definida como la
diferencia entre la longitud deformada y la longitud no defor
mada foes decis = 1 de

Cinemática.

+ Sise tiene que determinar la velocidad o posición de la par-
‘cul, se deben aplicar las ecuaciones cinemáticas necesarias
una vez que se determina la aceleración de la partícula con
B= ma,

© Sila aceleración es una función del tiempo, use a = dv/dt y
= ds/d las cuales, cuando se integran, resultan la velocidad
y posición de la partícula, respectivamente.

+ Sila aceleración es una función del desplazamiento, integre
‘ads = v du para obtener a velocidad en función dela posición.

la aceleración es constante, use = vy + acts = 5) + te
+ la’, 0 = 0) + 204s — 5) para determinar la velocidad o
posición de la partícula.

+ S el problema implica el movimiento dependiente de varias
partículas, use el método descrito en Ia sección 129 para rela-
Sonar sus aceleraciones, En todos los casos, asegúrese de que
las direcciones de las coordenadas inerciales positivas sean las
mismas que las que se utilizaron para escribi las ecuaciones de
‘movimiento; de lo contrario, la solución simultánea delas ecua-
ones conducirá erores,

+ Sila solución para un componente vectorial desconocido da
un escalar negativo, elo indica que el componente actúa en la
“rección opuesta ala supuesta.

115

116

Curmn013 Cuenca ne una pica nz y accion

13.

o

El embalaje de S0 kg mostrado en la figura 13-6a descansa sobre una
superficie horizontal cuyo coeficiente de fricción cnéticaes u, = 0.3.
Si el embalaje se somete a una fuerza de tracción de 400 N como se
‘muestra, determine su velocidad en 35 a partir del punto de reposo,

SOLUCIÓN
S utilizamos las ecuaciones de movimiento, podemos relacionar la
aceleración del embalaje con la fuerza que ocasion el movimien-
to. La velocidad del embalaje se determina entonces por medio de
cinemática.

Diagrama de cuerpo libre. El peso del embalaj es W = mg =
50 kg (981 m/s!) = 490.5 N, Como se muestra en a figura 13-69,
la magnitud de la fuerza de fricción es F = jNcy acta hacia In
inguierda, puesto que se opone al movimiento del embalaje, Se
supone que la aceleración a ación horizontalmente, en la dire
ión x positiva. Existen dos incógnita, sea, Ney &

Ecuaciones de movimiento. Con los dates mostrados enel di
sama de cuerpo libre, tenemos

BER, = ma, 40060630 - DAN. = 50a (1)
HIER = may; Ne ~ 490$ + 400 sen 30° = 0 0)

Al resolver la ecuación 2 para Me y sustituir el resultado en la
‘cuacin 1, y al resolver para ase obtiene.

Ne=2905N
= 585 ms

Gineméties. Observe que la aceleración es constante, ya que la
fuerza aplicada P también lo es. Como la velocidad inicial es cero,
la velocidad del embalaje en 3s es

(+) v= wy + at = 0 + S185(3)
= 156 ms > Resp.

o

NOTA: también podemos utilizar el procedimiento alternativo de
razar el diagrama de cuerpo libre y el diagrama cinético del emba-
Inj, figura 13-66, antes de aplicar las ecuaciones de movimiento.

117

Se dispara verticalmente un proyectil de 10 kg desde el suelo, con
‘una velocidad inicial de SO m/s, figura 13-7a. Determine la altura
máxima ala que legará si (a) se ignora la resistencia atmosférica y
(0) la resistencia atmosférica se mide como Fo = (0.01%) N, donde.
‘ves la rapidez del proyectil en cualquier instante, medida en m/s.

SOLUCIÓN

En ambos casos la fuerza conocida que acta en el proyectil puede
relacionarse con su aceleración por medio de la ecuación de movi
miento, Puede utilizarse entonces la cinemática para relacionar la
Aceleración del proyectil con su posición,

Parto (a) Diagrama de cuerpo libre. Como se muestra en la
figura 13-76, el peso del proyectil es W = mg = 10081) = 98.1 N.
‘Supondremos que la aceleración a desconocida actúa hacia arriba
enla dirección z positiva.

Ecuación de movimiento.

HEEE, = ma; 981 = 10a, a= 981 m/s?
El resultado indica que el proyectil, como todo objeto que tiene movi

miento de vuelo libre cerca de la superficie terrestre, se ve sometido
“auna aceleración constante dirigida hacia abajo de 981 ms?

Cinemática. Inicialmente zu = Oy) = SO m/s y ala altura máxi
maz = h, D = 0, Come la aceleración es constante, entonces.

ed Pah + Dale ~ 2)
0 = (SD)? + 2(-981)(4 — 0)
heim Resp.

Parte (b) Diagrama de cuerpo libre. Como la fuera Fy =
0.019?) N tiende a retardar el movimiento hacia ariba del pro-
yoctil, tia hacia abajo como se muestra en el diagrama de cuerpo.
libre, figura 13-76.

Ecuación de movimiento.
HIER = mas 0010? — 98.1 = 102, a= (00e + 981)

Cinemática. Aguf la aceleración no es constante puesto que Fn
depende de la velocidad. Como a = f(x), podemos relacionar a con
la posición mediante

(ado = var, (00012? + 981) dz = vdo

Al separar las variables ¢integrarlas,y como inicialmente zp =0, ty
= 50 m/s (positiva hacia aribe), yen z = h,v = 0, tenemos

vdv
a ome,
ETES Resp.

NOTA: la respuesta indica una altura más baja que la obtenida enla.
parte (a) debido la resistencia atmostérica o resistencia al avance

o

las

o

A

sax
o
137

118

Curmn013 Cuenca ne una pica nz y accion

Hi furgón de equipajes A que se muestra en la foto pesa 900 1b y
remolea un carro B de 550 lb y un carro C de 325 Ib. Durante un
orto tiempo la fuerza de ficción desarrollada en ls ruedas del fur-
ón es Ey = (401) Ib, donde rest en segundos. Sie! furgón arranca
del punto de reposo, determine su rapidez en 2 segundos. También,
¿cuál es la fuerza horizontal que actúa en el acoplamiento entre el
furgón y el carro B en este instante? Ignore el tamaño del furgón y
delos carros.

ee El bala
E ib tb

SOLUCION

Diagrama de cuerpo libre. Como se muestra enla figura 13-80,
es la fuerza de fricción la que acelera tanto al furgón como a los
‘eurros, En este caso consideramos los tres vehículos como un solo
sistema

Ecuación de movimiento. Se tiene que considerar sólo el movi=

mientocn la dirección horizontal

0 + 550 + 395

diem ELE EE
BF, mas (MEER
a = 07256

Cinemática. Como Ia aceleración es una función del tiempo, la
velocidad del furgón se obtiene con a = ddr con la condición ini-
Gal de que to =Oen = 0, Tenemos

A soma eon

Diagrama de cuerpo bre. Para determina la fuera entre el

fargony el aro 8 consideraremos un dagrama de corpo re

te aa para que podamos “esponer” la fuerza de soplanien

lo Toomo exera al iagrama de cupo line, ura 13%

Ecuación de movimiento. Cuando =2s,entonces

a -r= (29)

ar mas 00) 7 = (Jus)

T=>340 Resp.

NOTA: pruebe y obtenga este mismo resultado al considerar un
diagrama de cuerpo libre de los carros B y Ccomo un solo sistema,

134. Eomoonesoe vonun

119

EJEMPLO [fl

{Un collar iso de 2 kg C, como se muestra en la figura 13:90, está
‘onectado a un resorte que tiene una rigidez de k = 3 N/m y una
longitud sin alargar de 075 m. Sie colla se suelta del reposo en A,
termine su aceleración yla fuerza normal de la barra en él enel

SOLUCIÓN
Diagrama de cuerpo libre. Fl diagrama de cuerpo libre del collar
¡ando está enla posición arbitraria y se muestra en la figura 13-9.
“Además, se supone que el colla se acelera de modo que “a” actúa
acia abajo en la direción y postiva, Existen cuatro incógnitas, a
ber, No, Fa ay 8.

Ecuaciones de movimiento.
SEE = mags Ne + Roos = 0 m
HER = may, 1962 Fysen0 = 2a o

magnitud yla dirección dela fuerza del resorte, La solución para Ne
y aes posible una vez que se conocen F,y 8.

La magnitud de la fuerza del resorte es una función del alar-
gamiento 5 del resorte; es decir, F, = As, En este cas la longitud
o alargada es AB = 075 m, figura 13-94, por consiguiente,

5 = CB AB = \/y" + (075) - 075. Comok = 3 N/m, entonces

B= ks = 3/9? + 0757 - 075) @

Por a figura 13-94,el ángulo D est relacionado con y por trigono-
metrin,
y

CE 0)

Al susttuir y = 1 men las ecuaciones 3 y 4 se obtiene E, = 1.50 N
y = 53.1% Al sustituir estos resultados en las ecuaciones 1 y 2,
¿tenemos

Ne = 0900 N Resp
a=921mp8L Resp.
NOTA: éste no es un caso de aceleración constante, puesto que

la fuerza del resorte cambia tanto de magnitud como de dirección
a medida que el collar se mueve hacia abajo.

> AW

Curmn013 Cuenca ne una pica nz y accion

El bloque A de 100 kg en la figura 13-10a se suelta del punto de
‘poso. Si no se toman en cuenta las masas delas poleas y la cuerda,
determine la rapidez del bloque B de 20 kg ens,

SOLUCIÓN
Diagramas de cuerpolibre. Como la masa delas poleas se ignora,
entonces para la polea C, ma =0 y podemos aplicar EF, = 0 como
se muestra en la figura 13-106. En la figura 13-10c y d se muestran
los diagramas de cuerpo libre de os bloques A y B,respectivamen-
te. Observe que para que A permanezca estacionario T = 490.5 N,
mientras que para que B permanerca estático T = 1962 N. De ahí
que À se moverá hacia abajo mientras que Bse mueve haci ar
Aunque éste es el caso, supondremos que ambos bloques se acele-
‘an hacia abajo, en la dirección de +54 Y +sp. Las tes incógnitas
son Tey Yan

Ecuaciones de movimiento. Bloque A,

HIER = may; 381 — 27 = 10004 D)
Bloque 8,
HER = me; 1962 - T = 2005 o

Cinemática. La tercera ecuación necesaria se obliene al relacio:
‘ar a, con ay por medio de un andlisi de movimiento dependiente,
analizado en la sección 129. Las coordenadas s4 y sp en la figura
13-10a miden las posiciones de A y Bcon respecto al plano de refe
encia fijo. Se ve que
zurmet
donde Les constante y representa la longitud vertical total de la
cuerda. Al diferenciar esta expresión dos veces con respecto al
iempose obtiene
Da = -an 6

‘Observe que cuando se eseribieron las ecuaciones 1 a 3, a direc»
ción postiva siempre se supuso hacia abajo. Es muy importante ser
consistentes en esta suposición, puesto que buscamos una solución
simultánea de las caciones. Los resultados son.

T=210N
am 3.27 m/s?
ag = Same

De ahí que cuando el bloque Ase acelra hacia abajo, bloque B

xo acelera hacia ariba como se esperaba. Como ay es constante, la

velocidad del bloque Ben 2 ses, portato,

eh v= mt an

= 0+ (-654)0)
Bm Resp.
signo negativo indica que el bloque se mueve hacia arrib

134. Eomoonesoe vonwenro: cores mena 121

PROBLEMAS FUNDAMENTALES

Fl, El malacateencolla el cable con una aceleración
constate de modo que el embalaje de 20 kg se muevo
una distancia = 6 m en3 sa partir del punto de reposo,
Determine la tosión desarrollada en el cable. El en.
en de en india ne el ema llano =
= 0:

FI3.2, Sielmotor Mejerce una fuerza F = (10? + 100)
‘en elcabo, donde está en segundo, determine la veloc!

de rccón estática y cinética entre el embalaje y el plano
son y, =03 y pu = 025, respectivamente, En un inkio el
«embalaje est en repos

PIB, Un resort de rigidez A = 500 N/mesté montado
contra el bloque de 10 kg, Sist se someto ala fuerza de
F = S00 N, determine su velocidad en s = 0 m, Cuando
‘5 = 0, bloque esd reposo y el resorte no está compri-
nido. La superficie de contacto sa

FI34. Al automóvil de 2 Mg lo remolca un malacat.
Siést jere una fuerza de T= (100) Neneleabe, donde
5 es el desplazamiento del automóvil en moros, deter
mine la rapide del automóvil cuando s = 10m, à partir
de pode ropas. Ie a sen rodamiento a
‘stoma

ma

FIRS, La rigidez del resorte cs = 200 N/m y no ests
estado cuando el bloque de 25 kg st en A. Determine
la aceleración del bloque cuando $= 04 m La superficie
de contacto entre el bloque yel plano cs ls.

Fi. Elbloque B descana sobre una superficie sa. Si
los coeficientes de tición cinc y estática entre Ay B
som, =04y uy = 0.3 respectivamente, determino La ace.
leración de cada bloque si? = 6b.

som

122. Cwmio13 Cremca De via Ptc AERA YACRERACION

| [PROBLEMAS

‘13:1, La pieza fundida tone una masa de 3 Mg. Sus-

pendia en una posición vertical iniialmenteenreposo,

e le imprime una rapidez de levantamiento de 200 mm/s

‘220.3 spor medio del gancho de una gra 4. Determine la

tes els bes AC yA drat ste interval st
aceleración es constante,

Prob 1341

132. Fltrende 160 Mg visa con una rapidez de 0 km/h
cuando comienza a subi la pendiente, Sila máquina ejer-
«e una fuerza de tracción F de 1/2) del peso del tren yla
resistencia al rodamiento E es igual a 1/00 dl peso del
tren, determine su desaceleración.

133. El ren de 160 Mg parte del punto de reposo y
«comienza a subir la pendiente como se muestra, Sila
máquina ejerce una fuerza de tracción F de 1/8 del peso
deltren determine s rapidez cuando haya recordo Y km
pendiente ariba. Ignore la restencia al rodamiento.

“134. Elcamién de 2Mg viaja 5 km/scuandose apli
can los fonos en todas las ruedas, lo que ace que pati
‘be una distancia de 10 m antes de detenerse. Determine
ls fuerza horizontal constante desarollada en el acopla:
miento Cy la fuerza de ci desarrollada entr las Lan-
vas delcamión la carretera durante este tiempo La masa
‘otal delbote y el remolque es de 1 Mg.

Prob 134

138. Silos bloques A y Bde 10 kg y 6 kg de masa, es-
pectivamente, se colocan sobre el plano inclinado y se
Scan, determine la furza desarrol cn el eslabón.
Los coeficientes de rición cinética entr los bloques y ei
plano inclinado son jg = 01 y ja = 02. Ignore la masa
Seleslatón.

Prob. 13S

134. Los motores Ay B tran del cable con las ace
ones mostradas. Determine la aleación del embalaje
Cde 3001 y la tensión desarrollada en el cable, Ignore la
masa delas poleas.

134. Eomoonesoe vorwewro: oomaumsmennanrs 123

187. La vagoneta visa a 20 km/h cuando el acopla-
resto del remolque en A fall S la mma del remolque
de 250 kg y recome 45m antes de detenene, determine
la fuerza horizontal constante Fercada por la cen de
rodamiento que hace que elremolgue se detenga.

Prob. 137

“138. Si el bloque A de 10h se desliz hacia abajo dí
plano a una velocidad constants cuando 9 = 30, determi-
e suaceleración cuando 9 = 45",

Prob. 138

139, La masa de cada una de Is tres barcazas os de
23 Mg, mientras que la del remolcador es de 12 Mg. Al
‘mele ls barczas a 4 m/Scon velocidad costae cite
‘moleador debe vencer la resistencia de rozamiento del
gua, a cual es de 2 EN para cada una de las barcazas, y
e LS AN para el remolcador Si el cable entre À y B se
rompo, determine la aceleración del remolador.

13:10. El embalaje line una masa de 80 kg y lo remol-
a una cadena dirigida siempre a 2 desde la horizontal,
omo se muestra, Sila magaited de Ps incrementa hasta
que la grúa comienza a deslizarse, determine la acl
ón inicial del embalaje siclcociciente de fricción ett
ees pa =05 yel de fcción cinética es ju = 03.

A ent ow wc 9 vus >
a,
ee
Éd
Re

que es P = (907?) N, donde f está en segundos.

13412, Determine a aceleración del stoma ya tension
en cada cable El plan inclinado slo y coeficiente de
eion cinética entre la superficie horizontal y el bloque
Ces (ue = 02

124 Cwmio13 Cnemca De via Ptc Rena YACRERACION

EIS. Los dos vagones A y pesan 20 0001 y 30 000
ho respectivamente. Sirucdan libremente pendiente aba
and se aplican los eno a odas ls ruedas del vagón À
bb que lo hace patina, determine la fuerza nel enganche
(Centre los dos caros. El coeficiente de riechen cmética
entr las ruedas de A y los icles esp = 05. Las ruedas.
del earro gran ibremene, Ignore su masa en leo.
Sugerencia: resucvaclproblcma por reecsentación de as
‘ucras normales resultantes nicas que acrdan en À y B,
respectivamente

*13:6, Elhombre empuja cl embalaje de 6 1 con una
fuerza F La direcció dela fuerza siempre es hacia bajo
330° de la horizontal como se muestra, y su magnitud se
incrementa hata que el embalaje comienza a desizan.
Determine su acclración inicial sel coeficiente de fricción
tica cs py = 06 y el de ricci indiens = 03.

eS

Prob 1513

13:14, El motor de 35 Mg ess suspendido de una viga
“AB cuya musa no se toma en cuenta y es ado por una
grúa que le imprime una aceleración de 4 m/s cuando su
Velocidad es de 2 mí. Determine la fuerza en Las cadenas.
CA y CB durant elizamiento.

12:15. El motor de AS Mg está suspendido de una viga
AB cuya musa no se toma en cuenta y es izado por una
rta, la cua ejrce una fuera de AO KN sobre el cable de
Famiento. Determine la distancia que el motores izado en
sa partir del punto de reposo,

Probe, LAS

‘1347, Se aplica una fuerza F = 15 Ib a la cuerda.
Determine qué tan allose eleva el bloque À de 301ben2
a partir del punto de reposo. Ignore el peso de las poleas
yla cuerda,

15-18, Determine a fuerza constante Eque debe aplicar-
se a la cuerda para que el bloque A de 30 Ib tenga una
‘per de 12 pless cuando se ha desplazado 3 pics hacia
“ariba a partir del punto de reposo. Ignore el peso delas
okesylacuerda.

134. Eomoonesoe vorwewro: oomaumsmennanrs 125

18:19. Elcano Bde 800k está enganchado alcarro Ade
50kg mediante un acoplamiento de resorte, Determine el
alargamiento en el resorte sia) las ruedas de ambos rue-
dan libremente y (b) se aplican los frenos a ls cuatro
ruedas del caro B, lo que hace que patinen, Considere
(dn 04 Ignore la masa de las ruedas.

1520. EX bloque Ade 10 hse desplaza hac In derecha
a A = 2 pes/sen estate mostrado Si lcoeficiente de
fricción cinética es ug — 0.2 entre la superficie y A, deter
‘mine la velocidad de A cuando Soha desplazado à pes. EL
‘logue pesa 201.

1321. Elbloque Biene una masa m y se le sucha des-
‘eel punt de reposo cuando están la part superior dela
‘arretilla A la ua tiene una masa de Determine laten»
Sinen a uerda CD necesaiaparaevitar quel carril
sc mueva mientras so desliza hacia abajo de A. Ignore
la rición

1322. El loque B ine una musa m y elo uc dedo cl
unto de reposo cuando está en la parte superior de la
‘urea A, la eal ono una masa de dm. Dotermio late:
sonen cuerda CD necesaria para evar que a carril
Bso mueva mientas so desiza hacia bajo de A. Elcocf-
ent door inca entre Ay es

1323. La fecha CA de 2 kg pasa através de una chu
‘cera len? Inicialmente, los resortes, que estén enro-
lados libremente alrededor dela ech, no lo stn cuando
o se aplica fuerza alguna a la fecha, En esta posción
4s = =250 mm yla fecha está onroporo ise aplica una
‘rea horizontal F = 5 KN, determine la rapidez de la
cha en el instant 5 = $0 mm, 5 = 450 mm. Los tre
mos de los resortes están sujetos lachumacera en By las
tapas en Cy A.

126 Cwmio13 Cnemca De via Ptc AERA YACRERACION

“1524, Silafuermdclmotor Mencleablese mucstrnen 1326, Un clevadorde care, incluida sucarga, one una

la gráfica determino la vlocdad del caro cuando = 3 masa de 500 ke, El rel y ls ruedas montadas cn sts cote

La carga y el caro tienen una masa de 200 kg y clcarro— tados vtan que gir. Cuando # = 25, el motor Menrolla

‘comienza amoverse desde el punto de reposo. cable con una rapidez de 6 m/s, medida con respecto al
evador. Si comienza a moverse desde el punto de repo-
0 determine la constante de acleración del levador y la
tension en el cable. [gore la masa de Las poleas, el motor
los cables.

re

1335, Siet motor enro cable comuna aclraciin 1347. Determine I masa requerida del bague A de

de ms dtomino ls eones enlossopores Ay B. modo que canto slo ssl dsd el nor muera el

La vigo un masa unirme de 30 ny elembaljs — oque de S Kg una duc de 075 m hac aba

una de 200 gr la masa el motor ls poleas dkiplanoincindo ne = 2 gore lamas de as poles
Fa cdas

134 Eonoonesoe vonuenro cores NAN

“1828. Losbloques A y B tienen una masa de ma y mp,
¿onde ma > mp Sia polea Clesimprime una aceleración
de a, determine la accleación de los bloques. Ignore la
‘masa dela polea.

1329. Se uta c tractor para levantar I carga Bde
150 kg con el sistema de una cuerda de 24 m de largo,
pluma y poles. Stel tractor se desplaza hacia La derecha à
na rapidez constante de 4 m/s determine In tensión en la
‘herda cuando sa = 5m. Cuando sa = 0,390.

1230. Se utlizacltrator para levantar la carga Bde 150
kg on el sistema de una cuerda de 24m de largo, pluma
y ole. Si el tacto se desplaza hacia la derecha con una
aceleración de 3 m/s y ten una velocidad de 4 m/s en el
instante cuando 5, = m, determine I tensiónen la cuer-
en este instante, Cuando 4 0,59 =0.

127

131. EI hombre de 75 kg sube por la cuerda con una
‘accleracin de 025 m/s}, medida con respecto ala cuer.
da. Determine la tensión cn la cucrda yla celeación del
bloque de BD kg.

*13:32, El motor M entolla cl cable con una aceleración
de pcs? medida on respect ala vagoneta de mina de
200 Ib. Determin la aceleración de la vagoneta y a te:
son en e ele. Ignore la masa de as potas,

Prob, 1332

128 Cwmio13 Cnemca De via Ptc Rena YAcRERACION

133. Elanilo de 2 I € ajuta Mojo en la Mecha lisa.
Sie resort no est alargado cuando s = Oy a anil se le
imprime una velocidad de 15 pie determine La veloci-
dd del nil cundos = 1 pe

BASH anil Cde 2kgse des libremente al largo
¿ela Mecha a AB. Determine I cceración del nilo ©
) la cha nose mueve, (0) el nilo el cual está jo
fen a cha AB, se mueve hacia la izquicrda a una veloc
¿dad constante a o largo dela guía horizontal y () el anilo
(A se somete a una aceleración de 2 mx cial squier.
a: En todos lo caos, el movimiento ocurre en el plano
vertical

1134, Enel tubo de rayos ctódicos, una fuente Seite
electrones de masa m y comienzan a desplazarse horizon

imente a una velocidad inicial ve Mientras pasan entre
lo placas dela rejilla a una distancia se someten à una
‘erm vertical de magnitud eV/w, donde esla carga de
un cletrôn, V el voltaje aplicado que ata a través de as
placas yw a distancia entr las plcas. Después de las pla-
as, los electrones viajan en líncas rectas y chocan con la
pantalla en A. Determine la delxión dde los clectronos
en unción de as dimensiones del voltaje de placa y tubo,
Ignoro la gravedad,lacual provoca una eve deiexión ver.
fal cuando el elecrón viaja desde Shasta la pantalla yla
Jove den entre ls placas.

1336. La masa delos bloques A y Bes m. Determine
la fuera horizontal P máxima que puedo aplicarse a B
e modo que A no se mueva con respecto a Todas las
superticis son lisas.

11337, La musa de los bloques y Bs m Determine la
fuerza borzonal P máxima que puedo aplicarse a B de
‘modo que Ano se des con respecto a B. El coeficiente
de tieiön esta enue Ay 8 sp Ignoro cualquier fi-
ón entre By €.

134. Eomoonesoe vonwewro: oomeumsmennanrs 129

1238. Si se aplica una fuerza F = 200 N a la careta
e 30 kg, demuestre que el bloque A de 20 kg se desizaré
sobre ella También determine cl tiempo para que el bo
‘que À se mueva sobre L carretilla LS m. Los coeficientes
¿e fein estática y cintia entre bloque yla crrtila
som 1 =03y ¡a =025, Tanto lacarrtilacomo cl bloque
parten del punto de reposo.

1339. Suponga que es posible perforar un túnel través
el Tierra desde la ciudad A asta una ciudad como se
muestra, Por la teoría de la gravitación, cualquier vehícu-
lo Cde masa m dentro del tünl se vera Sometid a una
fuera gravitatoria diiida siempre hacia el entro D de
la Tier. La magnitud de esta fuerza Fes directament
proporcional à su distancia ral centro de la Tierra. De ahí
‘ue, sel velo pesa W = mg cuando so encuentra sobre
la superficie terrestre, entonces en una posición arbitre
ia rla magntod de la uerza Fes F = (mg), donde
= 6328 km, el adi dela Tera Si el velcuo se svel-
ta desde el punto de reposo cuando está en By x = 5 =
2 Mm determine el tiempo requerido para que legue a À
yla velocidad máxima que alcanza. Ignore el efecto dela
Fotación dela Tera en cl leu y Suponga que la den-
dad de Esta es constante. Sugerencia escriba la ceuación
‘de movimiento enla dirección teniendo en cuenta que
176059 = x. negre, mediante la elación cinemática odo =
‘ds, ogo integro el resultado por medio de y = dd

"13-40, El embalaje de 30 Ib se ia con una acelera:
ción constante de 6 pies” Si el peso de La vga Untorme
«de 200 I, determine los components de recciön en el
“apoyo empotrado A. Ignore el tamaño y masa dela polea
Sugerencia: primero determine la tensión enel cabe y
luego analice as fuerzas enla vga mediante estática 5

1841. ise aplica una fuera horizontal P = 10 1 al
oq determine sean dog: noel
‘icin, Sugerencia demuestro que ay = da tan I

130 Cwmio13 Cnemca De via Ptc Rena YACRERACION

142. La masa de bloque A es m4 ÿ está unida a un
resorte de rgide k y longitud no alargada Si otro blo-
que de masa my se presiona contra À de modo que el
resorte se deforme una distancia d, determine La distancia
de deslizamiento de ambos bloques sobre la superficie isa
antes de que comiencen ascparane. ¿Cuáles su velocidad
neste instante?

1243. La maca del bloque A es m, y está unida a un
sort de rigidez ky longitud no alargada lo Stowo bloque
‘Bde masa maso presiona contra A de modo que el resor-
te deforme una distancia d, demuestro que para que o
separen es necsario que d > 2gugtma + me)/k.donde ja
(Sl eoeticinte de tii cinética entre los bloque y el
suelo. Además, ¿cuál esla distancia de deslizamiento de
bbs bloques sobre L superficie antes de separarse?

“144. El drgster" de 600 kg se desplaza a una velci-
dd de 125 m/s cuando el motor e apaga y el paracaídas
¿e uenado se despliega. ila resistncia de aie impuesta
enel “dragster” por el paracaídas es Fp = (6000 + 09°)
N. donde e ess en m/s determine cl tiempo requerido

11345, Lafuerza de Notación sobre et globo de 00 kges
F = 6 KN yla resistencia del air es Fp = (1001) N, donde
Les en ty Determine la velocidad terminal o máxima
lobos part de punto de reposo.

[mom

1346. El paracaidista de masa m cae a una velocidad de
sy en el instante en que abr el paracaídas. Sila resisten-
a del aire es Fp = Ct”, determino la voocidad máxima
[Velocidad tormina) durante ol descenso,

fore

Prob. 1346

15-47. El peso de una partícula vara con la alitud de
‘modo que W = mg donde rset radio de a Terra
y res la distancia de la partícula al entro de la Tera

Sila parícula se lanza verticalmente desde la superf
terrestre con una velocidad 1, determine su velocidad en
unción dela posición r. ¿Cudl e a velocidad mínima ve
requerida para escapar del campo gravitatorio terrestre,
‘lll 65 ray Y CUAL es el tempo requerido para alcanzar
cesta ad?

135 Eamcosesoe vonaeıro: commun roms recae 131

13.5 Ecuaciones de movimiento:
coordenadas normales y
tangenciales

Cuando una partícula se desplaza a lo largo de una trayectoria curva
‘conocida, su ecuación de movimiento puede escribirse en las direccio=
nes tangencial, normal y binormal, figura 13-11, Observe que la
ticula no se mueve en la dirección binormal, puesto que está limitada a
moverse ao largo de la trayectoria. Tenemos

SF, + SE, + EF,

Esta ecuación se satisface siempre que

035)

Recuerde que a (= de/df) representa el cambio con respecto al tiem»
poen la magnitud de a velocidad, Portantosi SF actúa enla dirección
‘del movimiento, larapidez dela partículas incrementará, mientras que
Siachda en a disección opuesta, la partícula se desacelerará, Asimismo.
A, (= v"/p) representa el cambio con respecto al tiempo de la dirección:
‘dela velocidad. Es provocada por ER, la que siempre set en la direc-
«ión n positiva, es deci, hacia el centro de curvatura de la trayectoria.
Poreso a menudo se conoce como fuerza cenripeta.

La cent s uz para someter a un pasajro una.
“aceleración normal muy grande, provocada pr la rotación
Fäpid, Tenga en cuentaquestu sclraciónes provocada
or la fort normal dealancada que el asemo de la
estaa jee sobre el pasajero.

132

Curmn013 Cuenca ne una pica nz y accion

Procedimiento para el análisis

‘Cuando un problema implica el movimiento de una partícula alo
largo de una trayectoria curva conocida,en el análisis se utilizarán
«coordenadas normales y tangenciales puesto que los componentes
‘de aceleración son fáciles de formular El método para aplicar la
ecuación de movimiento, la cual relaciona las fuerzas con las ace-
Jeraciones, se describió en el procedimiento explicado en la sec
‘ion 13.4, Especticamente, para las coordenadas tn, b se puede
formular como sigue:

Diagrama de cuerpo libre.

+ Establezca el sistema de coordenadas sn, inercial en la par-
ticula y trace el diagrama de cuerpo libre de ésta.

+ La aceleración normal de la partícula a, siempre actéa en la
¿rección n positiva.

+ Si la aceleración tangencial a, es desconocida, suponga que
seta en a dirección pos

+ No hay aceleración en la dirección b.

+ Mentifque las incógnitas en el problema

Ecuaciones de movimiento.

+ Aplique las ecuaciones de movimiento, ecuaciones 13-8,

Cinemática.

+ Formule los componentes normales ytangenciaes dela acele-
ración; es decir, a, = de/dto a, = vdvjdsy a, = %/p.

+ Sila trayectoria se define como y = f(x), e radio de curvature
en el punto donde la partícula está localizada se obtiene con
pall + (ara Pre yrarl.

135 Eamcoses De VOMITO conan romans TAME CAES

133

EJEMPLO [ft

Determine el ángulo de inclinación 9 de I pista para que ls Ilan
las de los autos de carreras mostrados en la figura 13-124 no de-
pendan de lafrición para que no se deslicen hacia arriba o hacia
abajo de la pista. Suponga que el tamaño de los automóviles es
insignificante, que su masa es m y que se desplazan alrededor de
la curva de radio pa una rapidez constante u.

SOLUCIÓN

‘Antes de analizar la siguiente solución, pensemos en por qué debe-
rá resolverse por medio de las coordenadas sn, .

Diagrama de cuerpo libre. Como se muestracn la figura 13-120
y como se emunció en el problema, en el automóvil no actúa ningu-
a fuerza de fricción, En este caso N representa la resultante del
suelo en las cuatro ruedas, Como a, puede calcularse, as incógnitas
son Ney 8.

Ecuaciones de movimiento. Con los ejes 1,6 mostrados,

2
Nesend = me o

o @

Nees 8 — ms

Al eliminar Ney m de estas ecuaciones mediante la división de la
ecuación 1 entre la ecuación 2, obtenemos.

Resp.

NOTA: el resultado es independiente de la masa del automóvil
“Además, una suma de fuerzas enla dirección tangencial no afecta la
solución. Sise hubiera considerado, entonces a, = de/di =0, puesto
que cl automóvil se desplaza a rapidez constante, Un análisis adicio-
‘nal de ete problema se aborda en el problema 21-47,

Feat

A

Curmn013 Cuenca ne una pica nz y accion

LO [13

be
Ss.
=
qua

FI disco D de 3 kg está sujeto al extremo de una cuerda como se
muestra en la figura 13-130, El otro extremo de la cuerda está sujeto.
a una articulación de rótula localizada en el centro de una plata
forma, Si ésta gira con rapidez y el disco se coloca sobre ella y se
le suelta desde el punto de reposo como se muestra, determine el
tiempo que le lleva alcanzar una rapidez lo bastante grande para
romper la cuerda, La tensión máxima que la cuerda puede soportar
«100 Ny el coeficiente de frición cinética entre el disco y la pla-
taforma es jy = 01

SOLUCIÓN
Diagrama de cuerpo libre. La magnitud de la fuerza de frición
es F = ¡uo = UN y su sentido de dirección se opone al movi»
miento relativo del disco respecto de la plataforma. Esta fuerza es
la que le imprime al disco un componente tangencial de aceleración
que hace que vse incremente, por lo que Tse incrementa hasta que
‘leanza 100 N. El peso del disco es W = 3(951) = 2943 N. Como a,
puede relacionarse con v, las incógnitas son Np, ay.

er
ae r(2) oo
EF, = mai 0.1Np = 3a, a
ER = 0 Nb 2943 = 0 10)

(Con T = 100 N, la ecuación 1 puede resolverse par la velocidad
arica ra del disco necesaria para romper la cuerda. Al resolver
todas las Ecuaciones, obtenemos

M=D:43N

= 0981 mé

da = S77 m/s
Cinemática. Como as constant, el tiempo requerido para rom
parla cuerdas

Me tat

577 = 0 + (0981)
15895 Resp.

185 Eamcosesoe vonaeıro: commu soma aceon 135

EJEMPLO [ft

Fl diseno de la rampa de salto de esquís que se muestra en La foto
requiere conocer el tipo de fuerzas que se ejercerán en la esquiadora
ys trayectoria aproximada. Si en este caso el salto se puede repre-
sentar de forma aproximada por la parábola de la figura 13-14a,
determine la fuerza normal en la esquiadora de 150 Iben el momen-
to en que llega al extremo dela rampa, punto À, donde su velocidad:
es de 65 pies/s. Además, ¿cul es su aceleración en este punto?

SOLUCIÓN

Por qué consideramos utilizar coordenadas n, para resolver este
problema?

Diagrama de cuerpo libre. Dado que dy/dx = x/100 |
la pendiente en A es horizontal. El diagrama de cuerpo libre de la
esquiadora cuando esté en A se muestra en la figura 13-140, Como
la trayectoria es curva, existen dos componentes de aceleración, a,
y a, Puesto que a, puede calcularse la incógnitas son q, y M.
Ecuaciones de movimiento.

o „150 ( (65)

HEnmm Na 150 2) &
o 150

EER = mas oa 0)

FE adi de curvatura p de la trayectoria debe determinarse en cl
punto À (0, 200 pies). Aquí y = sya? — 200, dy/de = gx,
JA = de modo que en x = 0,

„+ GP") + (pp?
yat lo” Hi
Sisustiimes este valor en la cación 1 y resolvemos AV, obtenemos

DER Resp.

= 100 pies

Cinemática. A partir de la ecuación?,

a=0
Por tanto,
COR 2
a ape
an = a, = 422pi0s/8 Rep.

NOTA: aplique le ecuación de movimiento en la dirección y y
demuestre que cuando la esquiadora está en el ire su aceleración
es de 322 pies/s.

136 Cwmio13 Conca De via ntc ua YACRERACION

FI patinador de 60 kg que aparece en la figura 13-150 se desliza
cuesta abajo de la pista circular movido sólo por la fuerza de la
gravedad. Si parte del punto de reposo cuando 0 = 0”, determine
la magnitud de a reacción normal que la pista ejerce en él cuando
9 60 Ignore su estatura en el cálculo,

e SOLUCIÓN

Diagrama de cuerpo libre. El diagrama de cuerpo libre del pati-
mdor cuando están una posición arbitraria 0 se muestra enla figu-
13-150. En 0 = 60° hay tres incógnitas, Ny, a, y dy (0).

wean Ecuaciones de movimiento.

HER, = may; Ns ~ [60(9.81)N] sen 8 = (60 kg)|
JER, = ma; [60(981)N] cos = (60g) a

(0)

a = 9810058

o Cinemática. Como a, está expresada en función de 8,
determinar la rapidez del patinador cuando 9 = 60° se uti
ecuación y du = a, ds. Con la relación geométrica s = 9r, donde
ds = r d9 = (4 mo, figura 13-15¢ y la condición inicial v = 0 en

vdo=a de

© [rw ir 981 cos (640)

1315

BR

À 0 = s924en 60 0)
Pose

Si sustituimos este resultado y 9 = 60° en la ecuación (1), tenemos

N, = 192923N = 153kN' Resp.

135 Eamoosesoe yowaenro: coma soma roces 137

PROBLEMAS FUNDAMENTALES

F13-1.| Elbloque descansa a una distancia de2mdelcen-
vo de la plataforma. Si el coeficiente de freción estática
‘nur el bloque yla plataforma es 4, = 03, determine la
‘elocdad máxima que el bloque puedo alcanzar antes de
qu comience a desizars. Suponga que el movimiento
“angular de disco se incrementa lentamente

>

F7

ISS, Determine La rapider máxima a que el jeep puede
‘ajar sobre la eresta de La colina sin qu pierda contacto
‘con ncametern

133. Un ploto esa 1501 y wea a una rapide cons-

tante 120 pies Determine ln fuerza normal que ejerce

‘en el asiento del avión cuando een io invertido en A,
ir tene un radio de curvatura de 400 pies.

13-10. El auto deportivo se desplaza a lo argo de una
‘tetera con una inclinación de 30 y cupo radio de eur.
vatur cs de p = 500 pies. Sil coofiiente de fic end.
ica entre las Hants y a carretera <p = 02, determine
la velocidad segura máxima sin que se deste. Ignore el
tama del atoms

p= Stop

papa

mao

3-11. Si la velocidad de La bola de 10 kg es de 3 m/s
cuando está en la posición 4, a lo largo de La trayectoria
vertical, determino a tensión en la cuerda ye ineremento
en su rapier en esta posición.

Saas

nm

13:12. Lamesadolmotociistacs de OS Mg ysuestata-
a 505 toma en cuenta, Pasa por el punto Aa una rapidez.
de 15 my la cual sc incrementa a un ritmo constante de
15 ms Determine la fuerza de fricción resultante ejerce
da por la arreter en Las Mantas en este instante

138 Cwmio13 Cnemca De via Ptc Rena YAcRERACION

LRQ

1848. El bloque Bde? key elciindro A de 15 kg están
“conectados a una cuerda que pasa por un agujero en el
‘xno de una mosa sa, 5 al bloque se ie imprime una
‘pier de v = 10 m/s determine el radio rola trayocto-
ia cicular ao largo del cual se desplaza,

11349. Elbloque Bde? key elciindro A de 15 kg están
‘onectados a una cuca que paa por un agujero cn el
centro de una mesa sa. Sil loque s desplaza ao lago
‘de una trayectoria circular de radio = 1.5 m, determino la
rapidos del bloque.

1850. Enelinstane mostrado, el proyect de 50 k viaja
‘enelplano vertical una rapide de y = 40 m/s Determine
«A componente tangencial de su aceleración y el radio de
‘urvaturapde su trayectoria en este instante,

1851. Enel instante mostrado, el radio de curvatura de
la trayectoria vertical del proyect de 50 kg es p= 200m.
Determine la rapide dl proyectil en st instante.

Probe 1350151

1882, Determine la masa del Sol, sabe que su di
tancia ala Tera es de 149: (10) Km. Sugerencia use la
cumin 132 para representa la fuerza de gravedad que
ten la Tierra.

13:53, La mesa del auto deportivo e de 1700 kg y viaja
horizontalmente alo largo de una pista incinada 20° la
cual e circular tiene un radio de curvatura p = 100 m.
S el ceticinto de fición esca entre ls llanas y la
pista es, = 02, determine la ape máxima constan a
la cual puede viaja el automóvi sn que se deslice cuesta
ata, Ignore el tamaño del auto.

1354, Con los datos del problema 13.53, determine la
mpidez minima a que el automóvil puedo circular alredo:
¿orde la pista sin que se desc cuesta abajo.

__ Ae

Probe. 15454

BAS. El dispos mostrado se utiliza para recrea
esperiencia de ingravidez en un pasajero cuando legs al
Puno A, = 94,11 argo de a trayctria, Sila masa el
passer es de 75 kg, determino la rapidez minima que
chers alcanzar cuando llegue À de modo que no ejerza
‘un resción normal en el asiento, La ala ets conecta:
da con un pusador al brazo BC de modo que siempre esté
sentado en posición recta Durante el movimiento su rap
ze mantine constant,

1846. Un hombre de 75 kg de masa se sienta en la
sila conectada por medio de un pasador al brazo BC. Si
«A hombre siempre et sentado en posición recta, deter.
mine ls reacciones horizontal y vertical de la sa en el
ombre en elinstante # = 5°. En eto instante su rapidoz
Sde 6s la cual e incrementa 0. m6.

135 Eamcosesoe vonaenro: commu sons roces 139

1389. Un acróbata posa 150 Ib y está sentado en una
sil encaramada en elextremo superior e un post, como
muestra Simediante una transmisión mecánica cl poste
ra hacia abajo a una razón constante desde 9 = 0, de
modo que e centro de masa Gdel acróbata mantenc una

Impidez constante de ty = 10 pes, determine el ángulo 5

‘1357, Determine atensiónencIcable CD exactamente
después de que Als cota. La masa dela plomada csm.

(al cual comienza a “volar” fuera de la sil. Ignore li
trición y suponga que la distancia del pivote Oa G es.
pS pies,

1858. Determine el tiempo para que el saéle complete
órbita alrededor de la Terra, Elradio de laórbita es la
“distancia del satélite al contro dela Tera, Las masas del
Smiley Tera son m, y M, respectivamente,

“1340. Un reson, con longitud no alrgada de 2 pies,
ene un extremo unido a la Bol de 10 1. Determine el
“ángulo del reste si bola inc una rapidez de 6 pies
gent ala trayectoria circular horizontal

140 Cwmio13 Cnemca De via Panic ua YACRERACION

15461. Sila bola iene una masa de 30 kg y una rapier

= 4 ms en el instante en que est en su punto más
bajo, 0 = 0, determine la tensión en la cuerda en exte
instante. Además, determino el ángulo 0 al cul la bola
oscila y momentáncamente se detiene. Ignore el tamaño
ela bola

1362. La bola tien una masa de 30 kg y una rapidez
Im/sen elinsante en que está ensu punto más bajo,
1 = 0” Determine la tensión en In everday el ritmo.
‘ual e reduce la rapidez de la bola en el insiante 0 = 20
Ignore eltamaño dela bola

1863. El vehículo est disonado para combinar la sen-
ación de una motosceta con la comodidad y seguridad
de un automóvil Si el vehículo viaja a una rapidez cons
tante de 80 km/h por una carretera cueva cscular de 100m
& radio, determine ol ángulo de inclinación 8 del vehicu-
lo, de modo que sólo una tersa normal producida porel
conductor. Ignore la estatura de dt

"1364, La masa dela bolas m yest unida a la cuerda
<longitud/ Ptextremo superior dela everda st tado a
un cn giratorio y alabolase le imprime una velocidad
y Demuestre que el ángulo Del cual forma la cuerda con
la vertical cuando la bola va alrededor dela trayectoria
cular debe satiacer la ecuación tan Ösen 0 = wl.
Ignore la resistencia del are y el tamaño de la bola.

11348, Elbloque lso B de 02 kg de masa, est unio al
vértice À del como ereularreto por medio de una uerd:
Sila rapidez del bloque es de O més alrededor del cono,
determine latensión en lacuerda yla reacción que elcono
ere ene loque. Ignore el tamaño del bloque.

135 Eamcoses oe vonmaeıro: compas roms moments 141

18466, Determine eleneiiente de fricción estática mie
mo entre las lantasy a superf de lacarrtera, de modo
que el automóvil de 15 M no se deslice cuando tome la
re a 3) kon Ignoro el tamaño de arc.

1357. Sieleoofkiente de fricción estática entre ls Lan-
tas yla suport dela cartera es y, 025, determine la
‘apis máxima del automóvil de LS Mg sin que se deslice
«ando tome lacuva. Ignore el tamano del automóvil

= mn ait

Probe, 13.6067

“1368. En olintante mostrado el automóvil de 3000 Ib
‘aja a una rapier de 75 pies la cual se incrementa a
‘atin de 6 pies, Determine la magnitud dela fuerza de
ción resultante que la carretera ores en ls lanas el
“automóvil Ignore el aman del automo.

p= oops M

Prob 13-68,

1349. Determine la rapidez máxima a que el auto-
móvil con masa m puedo pasar por el punto superior À
de a carretera curva vertical y seguis en contacto con la
‘arctera, Sil automóvi mantiene cata rapide, ¿cuál es
la reacción normal que la carretera cjerce en el automóvil
usado pasa por el punto inferior Jide la carretera?

13:70. Unavión de 5 Mg vuela a una rapidez constante
{6350 kmy/ lo largo de una trayectoria circula horizon
ai de radio, = SUN m. Determine la fuerza de elevacn
que aca enclavión y el ángulo de alabeo 4. Ignore el
amado del avión.

13T. Unavión de 5 Mg vuela a una rapidez constante
de km/h al largo de una trasctora cular horizon:
tal. Sicl ángulo de alabeo 9 = 15", determine la fuerza de
evaciôn L que ata en cl avión el radio de a wayec
‘ori cular. Ignore el tamano del avi.

«1-72. Un atomévil de 0 Mg vija sobre la colina que
tiene I forma de una parábola. Sil conductor mantiene
‘una rapidez constante de 9 m/s determine tanto la fuer
‘anormal resultante como la fuerza de fección resultante
que todas las ruedas de carro ejercen en la carretera en
lias cn que leg al uo A got lama de
‘atoms

113-73, Un atomévilde 0. Mg viaja sobre In colina que
tiene La forma de una parabola, Cuando el automóvil ests
nel punto A, viaja a una rapids de 9 m/s la ncremen-
La a 3 m/s? Determine tanto la fucra normal restante
‘imo la fucrza de fición resultante que todas las rue
as el automóvil ejercen en la caretera cn este instante
Ignore el tamaño del automóvil

142 Cwmio13 Cnemca De via tc AERA YACRERACION

1374, Elbloque de Gkgsólo puede moverse alo largo
de la trayectoria parabólica Ina, El resorte conectado
Emit el movimiento y, debido al guía de rodilo siem.
pre permancce horizontal cuando el bloque desciende.
Sila rigidez del resorte es & = 10 N/m y su longitud no
“alargada es de 05 m, determine I fuerza normal de la
trayectoria sobre el bloque en el instante + = 1, cuando
larapidez delbloque es de 4m/s. Además, zeus ein tsa
de incremento de la rapidez del bloque en este punto?
Ignore la masa del rodilo y e resort,

1875, Demuestre que siso suela el loque do punto de
roposo enel punto B de una wayectoria sa de forma arbi-
"varia, la rapidez que alcanza cuando Hega al punto A es
‘gual la rapidez que ae 18 cue Ibremento una.
distancia hes deci, — Vigh

Prob 1375

“1376, Un tobogán y su conductor de 90 kg de masa
‘otal e desizan cuesta abajo lo largo de una pendien-
Le (is) definida por la ccunción y = DORE Es instante
x= 10m la rapide del tobogánes de5 m/s Eneste punto,
termine la tasa de increment dela rapidez que la pen:
¿lente cjeree en el tobogán. Ignore el tamaño del tobogán
yla estatura de conductor en el cle.

10m |

Prob, 1876

113-71, La esquladora parte del punto de reposo en
AO m0) desciende la pendient sa, la cal puedo se

‘epresentada deforma apronimada por una parábola. su
masa sde $2 kg, determine la fuerza normal que el suelo
ere sobre la esquiadoa en el instante en que Llega al
Punto B. Ignore la estatura dela esquiadora. Sugerencia:

‘se el resultado del problema 13-75.

10m

185 Eamoosesoe one: commu soma moments 143

ea a 8 on me ln ee
ee Chase
re rt qe rer
N nn
D, Don per min ue dt np EP, Gl la sn sal de a
Dn coco dando po pat Tiger uma dl
al eee
Pe

Probe. 18.7879)

“140. La motocicleta de 800 kg viaja a una raider
constante de 90 km/h cuesta ariba. Determine a fuerza
Formal que la superficie ejer em sus ruedas cuando lega
‘punto A. Ignore su tamaño.

; 1345. EE ani de $ I se desiza sobre la area lisa de

modo que cuando están Asurapidezesde 10 pies Siel
‘retort al cal été concctdo tien una Loi ala
ada de pies yuna ger de K = 1 ie, determine la
‘rea normal cn el ail y la acleracin de te en este

“1381. Elautomóvilde 18 Mg vaa cuesta arriba a una
‘apiderconstante de 80 km/h. Determine la reacción nor-
mal de ln carrera en cl automóvil cuando llega al punto
‘A lgnores tamaño,

yore

sm — ¡apt —

Prob 1581 Prob. 1543

144

Curmn013 Cuenca ne una pica nz y accion

u

=. |
N

E

13.6 Ecuaciones de movimiento:
coordenadas cilíndricas

“Ovando todas las fuerzas que actúan en una partícula se descomponen
en componentes cilíndricos, e decir, lo largo de las direcciones de los
vectores unitarios u, uyy u, figura 13-16, la ecuación de movimiento
puede expresarse como

SF =m
SF, + Ei + Pan, majo, + ma + ma.

Para que esta ecuación se satisfaga, requerimos

ZE, = ma,
FF ma (055)
IF, = ma,

tonces sólo se uti
r el movimiento.

la partícula sólo puede moverse en e plano r-
Jizan las primeras dos ecuaciones 13-9 para espec

Fuerzas tangenciales y normales. EI tipo de problema
más directo que implica coordenadas cilíndricas requiere determinar
hs componentes de fuerza resultantes ZA, 3 EF; que hacen que
una partícula se mueva con una aceleración conocida. Si, no obstan-
te, el movimiento acelerado de la partícula no esté completamente
especificado en el instante dado, entonces se deberá tener calcular
algunos datos en relación con las direcciones o magnitudes de las
fuerzas que actúan en a partícula para resolverlas ecuaciones 13-9.
Por ejemplo, la fuerza P hace que la patíula de la figura 13-17ase
mueva a lo largo de una trayectoria r = /(0). La fuerza normal N
que la trayectoria ejerce en la partícula siempre es perpendicular a la
tungente dela trayectoriaen tanto que la fuerza de fricción Fsiempre
actúa al largo de la tangente cn la dirección opuesta del movimien-
lo. Las direcciones de N y F pueden especificarse eon respecto a la
coardenada radial con el ángulo Y (psi), figura 13-175, el cual se defi
e entr la ines radial extendida y la tangente a la curva.

10 10
Nene a
he
. >
A dd Î
© o

Pig 1847

12.6 Eancous or onu: commu cuencas

Este ángulo se obtiene al observar que cuando la partícula recorre
una distancia ds alo largo de la trayectria, figura 13-17, la compo-
ente del desplazamiento en la dirección radial es ry enla dirección
transversal esr 48. Como estas dos componente son mutuamente per-
úpendiculars, el ángulo se determina a partir de tan y = 7d0/dr,0
tnd = 77 (13:10)

Si se calcula como una cantidad positiva, entonces se mide de la
linea radial extendida ala tangente en sentido opuesto alas manecillas.
del reloj o en la dir a de 0. Si es negativo, se mide en la
“rección opuesta a la 0 posiiva. Por ejemplo, considere el cardioide
r= afl + cos 0), de la figura 13-18, Como dr/d0 = —asen D, enton-
‘es cuando 0 = 307, tan = all + cos 30°)/(—a sen 30°) = 3732, 0
= ~75*, medido en sentido delas manecillas del rel, opuesto a + 9
‘como se muestra en la figura,

l 'rocedimiento pi álisis

Las coordenadas cilíndricas o polares son una opción adecuada
para el análisis de un problema para el cual se dan datos con res-
pecto al movimiento angular de la linea radial r,0 en casos en los
que la trayectoria puede expresarse convenientemente en función
de estas coordenadas. Una vez que estas coordenadas se estable»
‘cen, las ecuaciones de movimiento pueden aplicarse entonces para
relacionar las fuerzas que actúan en la partieula con sus eompo-
entes de aceleración. El método para hacerlo se describió en el
procedimiento de andlisis dado en la secciôn 13.4, Lo siguiente es
‘un resumen de este procedimiento.

Diagrama de cupo oro.

+ Estblezcal sistema de coordenadas, , nec y trace el
diagrama de cuerpo bre de a parti

+ Soponga ques, a atan en ls recone pastis de,
a sn desconocidas

+ entitque todas as insignias en a problema

Ecuaciones de movimiento.

+ Aplique las ecuaciones de movimiento, ecuaciones 13-9.

Cinemática

+ Ute los métodos de la sesión 128 para determinar ry las
derivadas con respeeto al tempo F. dd. 29 luego vale
las components de acleración a, =~ 10% 4 = + 2H,

cualquiera de las componentes de aceleración se calcula

como una cantidad negaia, lo Inden que acta en la dre
(bade su condenada negativa.

Cuando se toman las deivadas con respecto al tiempo de r=
(6), es muy importante utilizar la regla de la cadena del cálcu-
do. cuate analiza al nal del pence €

10)

\rngente

©
Fig, 1317 (cont)

145

Curmn013 Cuenca ne una pica nz y accion

o
13419

anger

El doble anillo liso de 0.5 kg que se muestra en la figura 13-194
puede deslizarse libremente sobre el brazo A By la barra gua circu-
lar. Sil bravo gira a una velocidad angular constante de © = 31ad/s,
determine la fuerza que el brazo ejerce sobre el anillo enel instante
(= 45°, El movimiento ocurre en el plano horizontal.

SOLUCIÓN

Diagrama de cuerpo libre. La regcción normal N de la barra
‘guia cicular ÿ la fuerza F del brazo AB actúan en el anillo en el
plano del movimiento, figura 13-190, Observe que F actúa perpen-
“cular al eje del brazo AB, es deci, en la dirección del eje 8, en
tanto que Nc b hace perpendicular a la tangente de la trayectoria
rcular en 0 =45”, Las cuatro incógnitas son No, F, y ay

Ecuaciones de movimiento.
ASE, = ma; ~Necosds* = (05k), 0)
NEF, = may, F = Nesen 4S” = (25 ke) ae o

Cinemática. Con la regla de la cadena (vea el apéndice C), la
primera y segunda derivadas con respecto al tiempo de r cuando.
D= 45°, 0 = 3rad/s,0 = D,son

= 08 606 0 = 08 08 45° = 0.5657 m
= -08sen0 = ~08 sen 45°(3) = 16971 m/s

08 send 6605 04]
= —O8[sen 45°(0) +008 45°(3")] = -5091 m/s?

Tenemos
a = Fer = SI m/s — (05657 m)(3 rad/s)? = 10.18 m/s?

as = r+ 2 = (05657 NO) + 16971 m9 rad/s)
10.18 m/s?

S sustituimos estos resultados en las ecuaciones (1) y (2) y resolve
‘mos, obtenemos.

Ne =720N
F=0 Resp.

12.6 Eancous or onu: commu cuencas

EJEMP

13.11

Fl cilindro Cliso de 2 kg de la figura 13-208 tiene un pasador Pa
través de su centro el cual pasa pora ranura en el brazo OA. Si se
hace que el brazo gire en el plano verical a una razón constante
à = 0Srad/s, determine la fuerza que ejerce elbrazo sobre la clavi-
Ja en elinstante 0 = 60°

SOLUCION
Por qué es una buena idea utilizar coordenadas polares para resol-
ver este problema?

Diagrama de cuerpo llbre. El diagrama de cuerpo libre delcilin-
dro se muestra en Ia figura 13-20e. La fuerza en la clavija, Fp, acta
perpendicular ala ranura del brazo. Como siempre, se supone que
a, y a actúan en las direcciones de ry @ positivas, respectivamente,
Identifique las cuatro incógnitas.

Ecuaciones de movimiento. Con los datos en la figura 13-206,
tenemos.

WER, = mays 19@ sen0 — Nosend = 2a, mM

ANZ = mas; 1962 0089 + Fp — Necos0 = 2ay @

Cinemática. A partir de la figura 13-20a, puede relacionarse con
por medio de la ecuación
04

Freien)

Como dics 0) = (sc 0 ct 9) dB y de 8) = —(esc” OB, enton-
ces ry las derivadas con respecto al tiempo necesarias son
D=05 r=04ec0

ÿ=0 += -Alescoeorayi

02050 96018

0.2(-cse 0 cot 6) (4) cot @ — 02 ese A(-esc*0)Ó
= 01 ese (cof 0 +0)

‘Al evaluar estas fórmulas en 0 = 60°, obtenemos
o=05 r=0462

ÿ-0 +=-0133

=0192

= ri = 0.192 — 0462405) = 0.0770
ay = r+ 230 = 0 + 2(-0.133)(05) = -0133

susttuimos estos resultados en las ecuaciones 1 y2con 8 = 60" y
resolvemos, se obtiene.

No = SN Fp=-0356N Resp
Elsigno negativo indica que Ep actúa opuesta ala dirección mostra
da en la figura 13-200.

147

148

Curmn013 Cuenca ne una pica nz y accion

LO 1342

{Una lata Cde 05 kg de masa se mueve alo largo de una ranura hor
zontal que se muestra en la figura 13-21a La ranura tiene la forma,
de una espiral, a cual está definida por la ecuación r = (0.18)m,
donde Bestá en radianes. Si el brazo OA gira a una velocidad cons
tante à = 4rad/s en el plano horizontal, determine la fuerza que
jeroe en la lata en el instante 9 = rad. Ignore la fricción y el
tamano de la lat.

SOLUCIÓN
Diagrama de cuerpo libre. La fuerza impulsora Fe actúa per-
pendicular al brazo OA, en tanto que la fuerza normal a la pared
e la ranura en la laa, Nc; lo hace perpendicular a La tangente ala
¡curva en 0 = x rad, figura 13-216, Como siempre, se supone que a,
Fe y ay actúan en las direcciones positivas de r y 0, respectivamente.
} “Como la trayectoria está especificada, el ángulo 4que la linea radial
extendida r forma con la tangente, figura 13-21c, se determina con

la ecuación 13-10, Tenemos r = 0.10, de modo que dr/d0 = 01,
Ke por consiguiente: an ”

Cuando 0 = 7,9 = tan = 723°, de modo que $= 0 — = 17.7,
. ¡omo se muestra en la figura 13-216. Identifique las cuatro incógai
tas en la figura 13-216,

Ecuaciones de movimiento. Con & = 17.7" y los datos delafigu-
m 13-210, tenemos

ER = mai Neoos 177" = 050, w
+ ER = may; Fe = Ne sen 17.7" = 050, 16)
Cinemática. Las derivadas con respecto al tiempo de 7 y son

=arads r= 0.0
=0 7 = 01 = 010) = 04 m/s
F= 016 =0

N, Bnelinsante d= end,

a =F — ri = 0-01)? = ~503 mys?
ay = ri + 249 = 0 + 2(04)(4) = 320/52

Al sustituir estos resultades en las ecuaciones 1 y2y resolver, resulta
Ne = -264N
Fe = 0800N Resp.

¿Qué indica elsigno negativo de Ne?

136 Eaucoueroe none: coms cuencas 149

PROBLEMAS FUNDAMENTALES

1313. Determine la velocidad angular constante $ del
poso vertical del juego mecánico i $ = 48. Ignore la
‘masa de ls cables yla etarra delos pasajeros.

mas

13:14. La bolade02Kges impulsada por medio de ai
através del tubo circula vertical Is cuya forma et dei-
ida por = (063080), donde Dest en radiacs.Si0=
(=) rad, donde 1 está cn segundos, determine la mag-
ritud dela fuerza Fejrcid por el ventilador en la bola
cundo 1055.

IAS. El automóvil de 2 Mg toma la curva desrita
por y = (50e2) m, donde 0 est en radianes, S se colo:
auna cámara en A y gira con una velocidad angular de
= 005 rad/sy una aceleración angular de 9-00) rad/s?

fn ol instante 0 = rad, determine la fuerza de fricción
‘esultame desarrollada enue las Hans y la carter cn
sto instan.

mas

13-16, El pasador P de 02 kg solo puede moverse en
la ranura cueva lis, la cuales definida por la emniscata
= (0600820) m. brazo ranurado OA eleual ücne una
velocidad angular constant en sentido de las manccilas del
{Rlgjde à = ~3.ad/scontrolasu movimiento, Determine
la fuera que ejrce brazo OA en el pasador P cuando
9 = 0". Elmovimient se da en el plano vertical

150 Cwmio13 Cnemca De via ntc una YACRERACION

| [PROBLEMAS

“1384. La trayectoria del movimiento de una particu-
la de $ I en el plano horizontal se describe en función
e coordenadas polares como 7 = (24 + 1) pies y 0
(057 ~ 1) rad, donde rest en segundos. Determine la
‘magaltud de la fuerza resultante que actúa en la particu
cuando r= 23.

1345, termine a mig de aura rata
space e tm r een
En meno agan sacra ann dt:
rida por ls ecuaciones r = (214 10) my 8 = (1.03 ~ 6)
tre sp
1896, Ua pn de 2 nn ao de una vn
roa hone ota

A

(2)

ke)

onde r est en segundos. Determine as componentes
radial y transversal de la forza ejercida en la partícula
‘undo r= 25

1547, Una partícula de 2 kg viaja alo Largo de una ta
yoctria horizontal definida por

r=G+2m0

(ES

= (5 2) donde test en segundos. Determine as
‘omponentes 0, que la trayectoria ere en la parti
enelinstante r= a.

“1388, Si ol coeficiente de fricción estática entre el blo-
que de masa my la tornamesa es determine la veloc
ad angular constante máxima dela plataforma in que el
Bloque se dese.

1349. Elanilo Cde 0. k puede desire Hbremente
“lo ago deta bara lisa AA E un stant dado, la barra
AB gia con una yo angular 3 — 2 rad sy una ace.
Jeación angular = 2 ad/ Determine a fura normal
del barra AB y ares radial el placa Ben clan
en us sant. Ignoro lamas de la ra el tamano
lane

06m

Prob, 13.89

1290. La batra AB de kg sube y baja a medida que su
extremo se desa sobre la superfeie contomeada Isa de
Jalea, donder =01 my 2 = (002 sen0)m, Sila leva gira
a una velocidad angular constante de 5rad/s determine L
fuerza que la leva ejerce en el rodillo A cuando 0 = 90.
Ignore la rkeiön en cojinete Cy la masa delrodilo.

BAL, La barra AB do2kg sube y baja a medida que su
extremo se desiza sobre la superficie contorneada Isa de
leva donde =0.1 m y 2 = (092 5en0)m.Sila ova gira
una velocidad angular eonstane de 5 rad/s determine la
Auerza máxima y mínima que la eva ejerce en el rodillo en
‘A. Ignore la fricción en e cojinete Cy la masa dl rodillo.

nomas

Probe. 135091

12.6 Eancous or onu: commu cuencas

"1892, Si el coofcient de frición cstca entre la
superficie cónica el loque de masa mes, =02, deter
‘ine la velocidad angular constante misma öde modo
que el bloque noe deslice hacia abajo.

“193. Si ol coofciono de frición exten entre la

superficie cónica y el bloque cs y, = 02, determine la velo
‘dd angular constante máxima d de modo que el bloque

Probe, 139283

1394, Sila poskión del anillo C de 3 kg sobre la bara
sa AB se mantiene en r = 720 mu, determine la velo-
‘dad angular constante 6 ala cual gira el mecanismo en
torno aleje vertikal La longitud no alargada de resorte
«de 400 mm, Ignore la masa de la bara y el tamaño del
silo.

151

135. El mecanismo gira sobre cl ej vertical auna velo-
dad angular comtante de 0 = Grad/s. Sila barra AB es
lisa, determine la posición constant rel anillo Cde 3 Kg,
La longitod mo alargada del sore es de 400 mm, Ignore
la masa de la barr ye tamaño del nilo

“1-56. Debido larestricción, ollo Cde0.Sk viaja
“lo largo de la trayectoria descrita por # = (0.6 cos Om.
Si el brazo OA gra en sentido contrario al de Las manc-
«ls del reloj con una velocidad angular de à = 21ad/s
y una acolracón angular de $ = 08 rad/s enel instante
3 = 30, determine la fuerza ejrcida por el brazo en el
linde en este instant, El lindo est en contacto con
sólo un borde dela ranura y el movimiento ocure en el
plano horizontal.

152 Cwmio13 Conca De via Panic una YACRERACION

+1397, La lata fsa de 075 I es guiada lo argo de
la trayectoria circular porel bravo. Si ste gira con una
loved angular = 2 rad/s y una acclración angular
B= 04 rad en el instante 9 = 30% determine la fuerza
que ejerce a guía en la lta. El movimiento ocurre en el
Plano horizontal.

1898. Resuchael problema 1397 sel movimiento ocu-
me en el plano venal

spies
Probe. 129798

1399, Se utliza la horqila para mover la partícula de
2Ibalredodor dela trayectoria horizontal que eno La forma
de un limagon, y = (2+ cos ) pies. Si en todo momento
{= QS rad/s, determino la fuerza que cjeco la horquilla
en particule el instante 9 99". La horquilla yl tra
‘sector tocan la partícula en lo un lado.

MIA. Revel problem 1399cnel instante 0 = 6

“1101. Se utiliza la horquila para mover la partícula
de 2b alrededor dela trayectoria horizontal que tiene la
forma de un (2 = cos) pies. Si 8 = (05)
rad, donde y está en segundos, determino la fueraa que
ere la horquila sobre la partícula enel instante ¢ = 1.
La horquila y la trayectoria tocan la partícula en sólo
ntado.

&inida por r = (02.0 + 5) my 2 =( cos 0), deter
mine las componentes , 8 y 2 dela fuerza ejercida por el
siento cn elnito de 2 kg cuando 8 = 120"

Prob. 13-102

18.103, E avón ejecuta un rio vertical definido por
77 [610110 os 20] m?.Siel ploto mantiene una rapidez
constante e = 120 m/s alo largo de la trayectoria, dete
mine la fuera normal que cl asiento ejerce sobre él en el
instante = 0, La masa del poto cedo 75 KB.

(8100) con? qa

12.6 Eancous or onu: commu cuencas

“14104. Un muchacho fimemente parado Le da vuctas
“la muchacha sentada en un “plato” o tengo redondo en
na trayectoria circula de radio 7, = 3m de modo que
‘st velocidad angular esd = 01 rad/s Sin tra del cable
(OC hacia dentro de modo que la coordenada radial rcam-
bic con una velocidad constante # = ~0' m/s, determine
la tensión que ejer en el winco en el instante # = 2m.
La masa de la muchacha y el tin es de 50 kp Ignore
«el tamaño de a muchacha y el trineo y los efectos dela
sci etre el trineo y cl hilo. Sagerenca: primero
demuestre que la ceuaciôn de movimiento en adicción
0 resul ag = r + 25 = (1/0 djdri0) = 0. Al inte:
gran, PO = C,donde L constante Ca determina con los
‘tos de problem

Prob, 18404

18105. La masa de la partícula es de 80 g. Está unida
na cda elástica quese extiende de O a y debido al
eo ranurado se mueve a o lrgo dela rayecora circu-
larhorizomtal = (2 sen 8) m. Sila rigidez dela cuerda es
LK =20N/m su longitod no alargada e de 0.25 m,deter-
ina la fuerza que ejere e brazo enla partícula Cuando
D = 60°. El brazo gía tene Una velocidad angular cons-
ante à = Sradjs

12106, Resuelraelproblema 1305,10 21044 euan-
db Saadisy8

153

12107. El lindro C de LS kg se mueve alo largo de la
trayectoria descrita por y = (06 en 0) m. Sil brazo OA
‘Gra en senti contrario al e las manecillas del elo una
Velocidad angular constant 6 = 3rad/s, determin la fuer
2 ejercida por la ranura del brazo OA en el clio en el
instante 0 = 60". La rigidez del resorte es de 100 Nim y
0 está alargado cuando 9 = 30". Sólo un borde del brazo
‘anirado toca el lind, Ignore el tamaño del lindro. El
movimiento ocurre enel plano horizontal

+13:08, EI lindro Cde LS kg so desplaza al lago de
la wayoctora desrita por 7 = (06 sen 0) m Si el brazo
OA gira en sentido contrario ld las manecilas dl el a
‘ona velocidad angular de — 3mad/s determine I fuerza
ejercida por la ranura isa del brazo OA sobre el cilindro
enel instante 9 = 60. La riider del resorte es de 100 N/a
cuando 0 = 30" no está alargado. Sólo un borde del razo
‘anurado toca el nro, Ignore el tamaño del clindro EI
movimiento ocur en cl plano vertical

«13:09. Con presión neumática, se hace que una bola
de 0. ka se mueva a través del tubo instalado en el plano
horizontal y cuya forma es la de una espiral logarfimica.
Sila fuera tangencial ejercida en a boa por la presión
cumátca es de 6N, determine asa de incremento. la
‘pier de la bolacnel instante 9 = 2/2 Adomás, jenáles
languo gentre a coordenada radial ylalinca de acción
dela uerzade 6N?

154 Cwmio13 Cnemca De via Ptc Rena YACRERACION

1110. El tbo gira en el plano horizontal a una velci-
dad constante 0 = 4 rad/s Si una bola Bde 02 kgcomien-
ma monerc de reposo on elorigen Ocon una velocidad
‘adil inicial # = 15 m/sy se mueve hacia fuera a waves
‘el tubo, determine las components radial y transversal
‘de suvelocidad enel instante en que deja clextremoexter-
no C,r = 0.5m. Sugerencia demuestro que la ceuación de
movimiento en la direcciôn rex — 16r = 0. La solución
‘Gidea forma = Ae = Bel. Eval las constantes de
integración Ay B y determin eltempo feuando r = 0.5m,
Prosig para obtener y 4

Prob 18410

BALL. El piloto de un avi ejecuta un rizo vertical
«cual en parte sigue la trayectoria de un cardioie, r=
GO0CL + cos 8) pis. isu rapidez en À (0 = 07) os una
constante ep = 80 pes determine la fuerza vertical que
«cinturón de seguridad debe ejercer en él para mamtener-
ben su asiento cuando el avión hace un io invertido en.
A EI piloto pesa 1501.

134112. Elbrazo OA guía la bola de 05 Ib alo lago de
la trayectoria circular vertical y = 2%, cos 0 Sila veloc
dad angular del brazo es 0 = 04 rad/s y una aceleración
“angular à = ra en citant 0 = 30° determine la
fuerza del brazo en a bola. Ignore la fricción y el tamaño
el boa.Establezca , = 04 pies

«13:13, Elbrazo OA qua La bola de masa ma lo Largo
ds la trayectoria circular vertical = 2r,c058, Sia veloc
‘dad angular constante del brzo es determine el ángulo
9= 45° al cul la bola comienza à dejar la superficie del
semiclindro. Ignore la fición ye tamaño de a bola

Probe AAI

15-114, La masa do la bola os de 1 Kg y se muove sólo
1 largo de una ranura verikal debido a la rotación del
razo lo OA. Determine la fuerza del razo cn la bola y
la fuerza norma de la ranura en la bola cuando 9 = 30, El
‘ram gia a una velocidad angular constante à = 3rad/s.
¡oponga que solo un lado de a ranura toca a bola en todo

MAUS, Roselva el problema 13-114, s la velocidad

angular dol brazo es = 2188/5 cuando à = 3rad/s en
92%.

137 Momusroce meza coma y ecaca mace 185

*13.7 Movimiento de fuerza central y
mecánica espacial

Si una partícula se mueve sólo bajo la influencia de una fuerza cuya.
linea de ación siempre está dirigida hacia un punto fio, el movimiento
se llama movimiento de fuerza centra. Por lo común, este ipo de movi-
miento lo provocan fuerzas elecrostáticas y gravitatoras

Para analizar el movimiento, consideraremos a partícula Pde a figu-
ra 13-22a,de masa men la que actda soo la fuerza central F. El diagra-
ma de cuerpo libre dela partícula se muestra enla figura 13-226, Con
«ordenadas polares (1, 8), las ecuaciones de movimiento, ecuaciones.
139, se escriben

seme =) °
as)
rams tan fb tt)

La segunda de estas ecuaciones se escribe como

‘de modo que al integra se obtiene —

Aa em"
o
Aquí esl constante de integración.
En la figura 13220 observe que el área sombreada desert por el mena
radio r, a medida que rdeseribe un ángulo d9, es dA = br? do. Sila
velocidad ara! w define como
4A Ado

0313)

de

ar

entonces se ve que la velocidad areal de una partícula sometida a movi
miento centralizado es constante. Expresado de otra manera, la partícu-
la barrerá segmentos de área iguales por unidad de tiempo a medida
‘que se desplaza al largo dela trayectoria. Para obtener la rayectoria
del movimiento, r= (0), la variable independiente se elimina de las
‘cuaciones 13-11, Con la regla de la cadena del cáleuo y la ecuación
18-12, las derivadas con respecto al tiempo de las ecuaciones 13-11 se
pueden reemplazar por

de dedo de
aaa?

oa)"

a

156 Cwmio13 Cnemca De un Ptc Rena yacen

|

r

B
tone ct ti set
a
En

Sunciones desarrolladas en este ce.
ón

Tresor

ste
ry,
(es
154 pos

Fig, 13.23

Sisustituimos una nueva variable dependiente (xi) = 1/renlasegun-
de ecuación, tenemos

de

de
ae ge
“Además. eleuadrado de a ecuación 13-12 escribe
doy
(iy e

Al sustituir estas dos ecuaciones en la primera de las ecuaciones 13-11
fe tiene

welt _ pe. 4
de
et ane asa

Esta ecuación diferencial define la trayectoria por la que la partícula
viaja cuando se somete ala fuerza central F*

Para su aplicación, se considerará la fuerza gravitatoria. Algunos
ejemplos comunes de sistemas de fuerza central que dependen de la
ravitacién incluyen el movimiento de la Luna y satélites artificiales
alrededor de la Tierra, y el movimiento de los planetas alrededor del
Sol. Como un problema típico de mecónica espacial, considere la ra
sectoria de una satélite o vehículo espacial lanzado a una órbita de
“vuelo libre con una velocidad inicial vs figura 13-23. Se supondrá que
esta velocidad inicialmente es paralela a la tangente en la superficie
terrestre, como se muestra en la figura.t Un poco después de que el
satte vuela libremente, la única fuerza que acta en él es la fuerza
de gravitación dela Terra. (Las atracciones gravitatorias que implican
‘tras cuerpos como la Luna o el Sol se omitrán puesto que el caso de
árbitas cercanas ala Tierrasu efecto es mínimo comparado con gravi-
lación dela Tierra.) De acuerdo con a ley de la gravitación de Newton,
la fuerza Fsiempre actuará entre los centros de masa de Ia Tierra y el
satélite, figura 13-23, De acuerdo con la ecuación 13-1, la magnitud de
Sta fuerza de atracción es

Man

donde M, y m representan la masa de la Tierra y el satélite, respec-
"vamente, Ges la contante gravitacional y res Ia distancia entre los

r=6

“tata deivación Pa conser posta comdo está diria haci sl pont 0. SUP
sa pestameat dida e ado dec de a ean 1-14 Seder er negativo

“El as en que Wat un Gert ng iia on respect La tngene, puede
(bie mejo mediano comer e la camiad de mime angular (ven
po IS.

137 Momusroce meza coma y uecaca mace, 187

centros de masa. Para obtener la trayectoria orbital, establecemos
£ = 1/ren'a ecuación precedente y susttuimos el resultado enla ecua-
ón 13-14, Obtenemos

BE |, Me

Da

(3.45)

sta ccuación diferencial de segundo orden contiene coeficietes cons
tantes y es no homogénea. La solución es la suma de las soluciones
«complementarias y particulares proporcionadas por

= Coos — 4) + SMe

03-16)

Esta ecuación representa la trayectoria de vuelo bre del satélite. Es >
la ecuación de una sección cónica expresada en función de coordenadas caca
polares,

Una interpretación geométrica dela ecuación 13-16 requiere conocer
In ecuación de una secciôn cónica, Como se muestra en la figura 1324,
una sección cónica se define como el lugar geométrico de un punto x
P que se desplaza de modo que la relación de su distancia a un foco,
punto fijo Fa su distancia perpendicular a una línea fja DD llamada
directri es constante. Esta relación constante se denotará como ey se.
lama excentricidad, Por definición

a x
PA

Porla figura 1324,

FP =r=e(PA)=elp—reos(9— 4)

1 1
FE

“Al comparar esta ecuación con la ecuación 13-16, se ve que la distancia
fija del foco a la directriz es

(3.7)

Yin excentricidad de la sccción cónica de Ia trayectoria es

© Si a3.)

158

4
|

Curmn013 Cuenca ne una pica nz y accion

rece

ig 1324 (cont)

‘Siempre que el ángulo polar Ose mida con respecto aleje x (un je de
simetría puesto que es perpendicular a la directriz),el ángulo des cero,
figura 13-24, por consiguiente la ecuación 13-16 se reduce a

1 GM,
Le ccoso+
lc a (13-19)

Las constantes h y C'se determinan con los datos obtenidos para la
posición y velocidad del satélite al final dela rayectori de vuelo pro-
pulsado, Por ejemplo, sila altura. distancia inicial al vehículo espacial
es y, medida desde el centro de la Terra y su velocidad inicial es 0
A principio de su vuelo libre, figura 13-25, entonces I constante A se
obtiene con la ecuación 13-12, Cuando 0 = = 0°, la velocidad vo no
fiene componente radial por consiguiente, de acuerdo con la ecuación
12.25, y = rd), de modo que

de
dt

(1320)

Para determinar C, use la ecuación 13-19 con 0 =0*, = ray sustituya.
en la ecuación 13-20 para h;

a) (20

La ecuación de la trayectoria de vuelo libre es

211 eue à CM

Caro Er Le

El tipo de trayectoria recorrida por el satélite se determina con el
valor de la excentricidad de la sección cónica dada por la ecuación
TIS. Si

e = 0. latrayectoria de vuelo libre es un eireulo
e = 1 la trayectoria de vuelo libre es una parábola
€ <1. latrayectoria de vuelo libre es una elipse

€ > 1 latrayectoria de vuelo libre es una hipérbola.

(1325)

137. Momasro ne ra CAL Y MECA SACA

Trayectoria Cada una de estas trayectorias se muestran
‘en la figura 13-25. Por las curvas se ve que cuando el satélite sigue una
trayectoria parabólica, está “en el borde” de nunca regreso a su punto
de partida inicial. La velocidad de lanzamiento inicial, vy, requerida
para que el satéite siga una trayectoria parabólica se llama velocidad:
de escape, La rapidez ,se determina con In segunda de ls ecuaciones.
18-23, = 1, con las ecuaciones 13-18, 13-20 y 13-21. Se deja comocjer-
cio demostrar que

(13.24),

Órbita circular. La rapidez v, requerida para lanzar unsatélite a una
rbita circular se puedo determinar mediante la primera de las ecun-
iones 13-23, e = 0. Como e está relacionada con h y C, ecuación 13-
18, C debe ser cero para satisfacer esta ccuación (de acuerdo con la
«ciación 13:20, À no puede ser cero); y por consiguiente, mediante
In ecuación 1321, tenemos

(am,

me (625)

Siempre que representa una altura mínima de lanzamiento, enla cual
ln resistencia dela atmósfera se omite, as velocidades de lanzamiento,
amenores que a, harán que el satélite reingrese ala almösfera y o se
queme o stelle, figura 1325.

159

160 Cwmio13 Conca De via Ptc AERA YACRERACION

Fe. 13:26

Órbita eiptiea. Todas las trayectorias alcanzadas por les plantas
y la mayoría de los sts son efpia, Ggura 1326. Para la rt
da de unsaléit alrededor de la Tierra, la distancia minima dela órbita
al centro dela Terra O (el cual se encuentra Toaliado en uno delos
focos de la lipse) esr, y se determina con la cuación 1322 y 0 = 0°
Por consiguiente;

E=] om

tanto,

(Con referencia a la figura 13-26, la mitad del eje mayor de Ia elipse es

tr

(1328)

7

Por geometría analítica se puede demostrar que la mitad el eje menor
‘© determina con la ecuación

NA (1329)

En raid, terminología pro y sogas tee que versa con rias alee
dor dla Tra. Singer oo Ger eel e local en foco de un ri
‘ipa, ls ditandas mínimas y máximas Se concen tepcvamento como penis
popa ela

137 Momo er coma y mecaaca men 161

Además, mediante integración directa, el área de una elipse es

Blo + re) Vip (13:30)

La ecuación 13-13 defini la velocidad areal, dA/dr = h/2. ALintegear
se obtiene À = 7/2, donde Tesel periodo para realizar una revolución:
‘orbital. Según la ecuación 13:30, el periodo es

Te Er ver gai

“Además de predecir la trayectoria orbital de satéites terrestres, la
teoria desarrollada en esta sección es válida, hasta una aproximación.
sorprendentemente cercana, al predecir el movimiento real de los pla
ctas que viajan alrededor del Sol. En este caso, la masa del Sol, M,,se
Sebi sustituir por A, cuando se utilicen las fórmulas apropiadas,

El hecho de que los planetas sigan órbitas elípticas alrededor del
Sol fue descubierto porel astrónomo alemán Johannes Kepler a prin-
‘is del siglo xvw. Realizó su descubrimiento antes de que Newton
ubiera desarrollado las leyes del movimiento yl ley de la gravitación
y por tanto con el tiempo constituyó una importante comprobación de
In validez de estas leyes. Las leyes de Kepler, desarrolladas después
de 20 años de observacién planetaria, se resumen como sigue:

1. Todo planeta viaja en su órbita de tal suerte que la línea que lo
une con el centro del Sol barre áreas iguales a intervalos iguales,
cualquiera que sea la longitud de la línea.

2. La órbita de todo planeta es una elipse con el Sol colocado en
uno de sus focos.

3. El cuadrado del periodo de cualquier planeta es directamente
proporcional al cubo del eje mayor de su órbita.

Las ecuaciones 13-13 y 13-22 dan un enunciado matemático de la
primera y segunda leyes, respectivamente, La tercera ley puede com-
probarse con la ecuación 13-31 mediante las ecuaciones 13-19, 1325 y
13-29 (ven el problema 13-116).

162

Curmn013 Cuenca ne una pica nz y accion

13.13

Se ava un ste a 600 km da superficie eres, on una vt
ida nicl de 30 My que sta praia aa tangenteenlasuper-
Fi testo, figura 1327. Suponga que el ratio dela Tera es de
STE km y que su masa e de S97 10 ko, y determine () In excn-
cad dela tacna orbital y (1) la velocidad del tee en cl
apogeo.

SOLUCIÓN

Parte (a). La excentricidad de la rbitaso obtiene con la ecuación
13-18. Primero se determinan las constantes / y C con las ccua-
ciones 13-20 y 13-21. Como

« 17 = 10 = GST8 km + GDD km = 697810) m
0 = 30 Mm/h = 83333 m/s

entonces.
1h = ry = 6978(10)683333) = 58:1S(10”) ms

1(,_ OMe
E BAC “ =)
1 6 73(107° 5 976(10")]
ci | 78)?
Por eonsiguicate
EAN
“Gm.” sor

} = sm

= 0215 <1 Resp.

Por a ecuación 1323, 5e ve que la órbita es una elipse
Parte (b). Si el satélite hubiera sido lanzado en el apogeo A que
se muestra en la figura 1327, con una velocidad v,,Se mantendría
la mima órbita dempre que

hm ro = rave = 581510") m/s.
Por a ecuación 13-27, tenemos,

6978/10)

EE TN
A

$815(10")
7 1080410)

"NOTA: cuanto más se aleja el satlite de la Tierra, más lento se
mueve, lo que era de esperarse, puesto que hes constante,

= 5622 m/s = 194 Mm/h Resp.

137. Momasro ne ra CAL Y MECA SACA

163

A

En os siguientes problemas, excepto en los que se indi-
que lo contrario, suponga que cl radio de la Tierra es de
6878 km, que su masa es de 5976 (10°) ke, que a masa
del Sol es de 1.99 (10')k y que la constante gravitaco-
males G = 6673 (107%) me: 8),

“13:16. Compruche la tercera ky del movimiento de
Kepler. Sugerencia: use ls ecuaciones 13-19, 1328, 1329
sa

+17. EL explorador Viking se aproxima al planeta
Marte en una trayectoria parabólica como se muestra
Cuando lega al punto À su velocidad es de 10 Mm
Determine ray la velocidad requerida en A de modo que
‘pueda mantenerseentonces en una rbita cur como
se muestra. La masa de Marte es 0.1014 veces la masa de
la Tera

0 |

Prob 18417
BAI, El atélt describo una órbita clica alrededor

e a Terra como se muestra. Determine su velocidad en
e perigeo Pyen apogeo A el periodo del satelite.

Mo.

Prob LAS

12119. Fl sate se mueve en una Órbita cles con
na excentricidad e = 025, Determine su velocidad cuan-
do est en su distancia máxima A y distancia mínima Bde
la Tera.

Prob. 13-119

“1120. Sclanzacitrambordador espacial comuna velo-
dad de 17500 mifh paralea ala tangente de la super
«terrestre enel punto Py en seguida vij alrededor de
la órbita cíptica. Cuando lega al punto A, sus motores
se encienden y su velocidad se incrementa de repente.
Determine el incremento de velocidad requerido de modo,
que entre en la segunda órbita elíptica. Considere G =
34410 estab sf, = 409(10") sg y 7, = 3960 mi,
‘onde 5280 pes = mi

150 mi

om
Prob, 13120

‘18:21, Determineclinerement de vlocidaddettrans-
‘ordador espacial en el punto de modo que viaje desde
‘una órbita circular hasta una Orbita elta que pasa por
fl punto A. Además, calcul la api del ranshorda
ren A

164 Cwmio13 Cnemca De via Ptc Rena YACRERACION

13122. El cohete vucla ibremente alo largo de una
trayectoria elipticn AA. El planta no tiene atmésfera y
su masa es 06 voces la dela Tera, Sila órbita ene el
“pospsis y periapss mostrados, determine la velocidad
del cohete cuando est en el punto A. Considere G =
344010 üb + pie” Jslug”, M, = 409(107) slag, 1 mi =
AU ples,

12123. Siclcobote va saterrzar on el superficie del pla-
‘eta, determine la velocidad de vuelo bre que debe tenor
a À! de modo que aterce en B. ¿Qué tato tempo se
requiero para que el cohete aeric, a ir de A’ a 87 EI
planeta no tiene atmôsera y su masa es 06 veces la de
la Tera. Considere G = 344(10- JD pie VAE, My
OCIO") lg, 1 mi = 5280 pes

Proba. 1364220123,

*EB124. Se ene que colocar un sale de comunica-
ones en una Grbita circular ecustoral alrededor de la
‘Terra de modo que permanezca siempre sobr un punto
directo de la superficie errestre i esto require que el
Periode sea de 24 horas (aproximadamente) determine
«radio de La bts yla velocidad del satte,

8.128. La ocuación 1325 proporcional rapidez de un
‘aut anzado a un Grita cular alrededor do La Tier,
Determine la velocidad de un satte lanzado parallo sla
superf teresr, de modo que viaje en una órbita circa
Tr 90 kon de a superficie terrestre.

& a Tira al Sol es de 151.10) km, encuentre a qué
velocidad visa el cobcte cuando está a esta distancia
Determine laccuación en coordenadas polares que deter.
a La órbitade la Tier alrededor del So.

13127, Uncohctese encuentra cn una órbita lien de
‘wel libre alrededor de la Tierra de modo que la excen-
cidad de su órbita es ey su perigeo es 1 Determine el
incremento mínimo de rapkez que deberá tener para exa-
par del campo gravitacional dela Terra cuando est en
Ste punto alo largo de su órbita.

“1.12% Uncobate está en una órbita circular alrededor
ia Tera a una alud A = 4 Man, Determine el incre.
‘mento de rapidez que debe tener para que escape del
‘Smpo gravitacional dela Tierra.

+13:129. El cohete est en vuelo lore alo largo de una
‘eayectri elpuca 44. El planeta no tien atmósfera y su
masa es 0.70 veces La e a Tierra, Sielcohete tems apoap-
sis y peraps como se muestra en la figura, determine la
‘pier del cohete cuando et enel punto À.

8)

Prob, 13129

14130, Sielenheteva aatenizarenlasuperfce del pla.
cta, determine la velocidad de vueo bre requerida que
¿debe tener en A’ de modo que choque con ei planetaen A.
"Cuánto tempo requiere e cohete para aterrizar ali de
Aa Ba lo argo de una trayectoria elíptica? El planeta no
tiene atmósfera yu masa es 070 vecs la de la Tera.

u

MEIST. Se lama el sale paraelo ala tangente de la
pere terrestre con una velocidad de ry = 30 M
“desde una lito de 2 Min sobre el itl del mar como se
‘muestra, Demuestre que la órbita es elipia y determine
la velocidad del ati cuando llega al punto A

om A
| ra
hin“
Prob 13-131

12132. EI salto describo una debit elíptica cuya
‘eacontiidad ese = 015, Sisu velocidad en el perio es
<= 15 May determi la velocidad en elperigeo Ay el
perodo del suite

15Mmh *

te

Prob 18432

BABE Fl satélite describe una órbita eliptica, Cuando
‘ti nel pergeo Ps velocidad es y = 25 Mm/n y cuan-
¿o lega a punto A, su velocidad es v4 = 15 Mmjh y su
“ltd sobre la supcrice terestr ca 18 Mm. Determine
<A periodo det satte.

x
25Mam

18.

Prob 13:33,

Momo DE meza comas y mecuuca maca 165

HIG Se lanza un mél con una velocidad inicial
ty = 4000 km/h, paaleo a la superficie terrestre. Deter-
‘mine la alu requerids (o rango de altudes) sobre la
superficie teresre para lanzo sila trayectoria de vuelo
libre tne que ser (a) circular, () parabólica, (c) eliptica
Y (8) iperbólica

A lll
EEES
Pe
Se

Mn

2 sum 2

Prob, 13-135

1.136, Un sale de comunicaciones vija cn una debi
‘a crelar sobre Ia Terra do modo que sempre perma:
‘eee sob un punto diecto dela superf terrestre, En
‘onsocuonela, su periodo deb sor gual aa rotación do la
‘Tora, que es aproximadaments de 24 horas. Dotormine
la ald del sate A sobre la super terrestre y su
rapidez orbital

113.132. Determine a rapidez constante del satélite S
e modo que circunde la Tierra con una órbita de radio
= 15 Mm. Superenciaruse la ceuación 13-1.

166 Cwmio13 Conca De via Ptc Renn YACRERACION

PISA, Sila cajase suelta desde el punto de reporo en A,
ts valores numéricos para demostra cómo estimaria el
‘Gempo que eleva logar aA, Además, haga una Ita de
Tbs supuestosparasu ands

rua

P132. Elremoleador tone una mas conocida y su héli-
proporciona un empuje máximo conocido. Cuando el
remolcado marcha a toda máquina wed observa el iem-
po que lo eva alcanzar una velocidad de valor conocido a
pari el punto de reposo, Demuestre cómo podría deter
nar la masa de labarcaza. Ignore I resistencia del agua
nel remolcador. Use valore numéricos para explica su
respuesta

PL. Determine la rapidez mínima de cada carro A
y Bde modo que los pasajeros no pierdan el contacto
‘on el asiento mientras los brazos iran a una razón cons-
“anto. ¿Cuál es la fuerza normal maxima del asiento en
«ada pasajero? Use valores numéricos para explicar su
respuesta.

pra

PISA. Cada caro est concctado en sus extemos por
‘medio de un pasador al aro de la rucda, cual gira a una
raider constante. Con valores numérico demuestre cómo
se determina la fuerza resultante que el asiento ejerce en
dl pasajero localizado en la paro superior del caro A.
Los pasajeros van sentados hacia el centro de la rucd

Además, haga una ista delos supuestos parasu análisis

| [REPASO DEL CAPITUL

Cinética

Cinética es el estudio de la relación entre Las focezs y
la acleracion que provocan, Esa relación está basar
da en segunda le del movimiento de Newton, expre
da matemáticamente como 31
“Ante de aplica la ecuación de movimiento, es impor.
tante trazar primero el dagrama de cuerpo Hor dela
¡ula para tener en cuenta todas las fuerzas que
‘etian en el. Gráficamento, st ingrama es igual al
“diagrama indo, el cual muestra el resultado delas
fueras,estoes,el vector ma.

Rosso De emo 167

A

Diagrama de |
Se le

Sistema de coordenadas merci
‘Cuando se aplica la ccusción de movimiento, e impo
tant media aceleración de un sistema de ordenadas
inerel, Esto sistema dispone de ejs que no giran sino.
que o están fos ose trasladan a una velocidad constan:
to. Varios tipos de sitemas de coordenadas inociaos
eden utilizarse para aplicarla cuación SF = ma en
su forma de componentes.

Mae neal derer

Se utiIzan ejs rectamgulaesx, y, 2 para describe el
movimiento recto a 1 largo decada uno de estos
es.

BE, = may 3B, = may, 3F.= mo,

‘Con treeuencia so uilizancjes normalsytangeciales,
cuando se conoce a trayectoria, Recuerde que a, siem
pre est dirigida en I iocciôn +, India el cambio en
Inchreceiönde la velocidad. Asimismo recuerdo que yes
tangentea la trayectoria. Indica clcambio.n a magnitud
dela velocidad

Er, = may BF, = may, BF, = 0
a= dejar 0 0. vdujds

a. =p donde p

Las wordenadaselindrias son dls cuando se espect:
a el movimiento angular de la nca radial ro cuando
Ia trayectoria se puede describir de manera conveniente
Son Cs coordenadas

Movimiento de fuerza central

‘Cuando una fuerza sola actin en una partícula, como durante la trayectoria de vuco lire de un satt en un campo
_gavitacionalentonces l movimientos conoce como movimiento de fciza central. La rbita depende de a excenti-
‘dad ey porconsguiene la rayctoria puede sr circular, parabolica, epica hiperbolca.

i
Î
|

3
2

$

i
$
&
i
E
:
E
$
3
3
3
i
>

2
+
3
2
E
3
E
$

Para diseñar apropiadament

Cinética de
una particula:
trabajo y energia

OBJETIVOS DEL CAPITULO

+ Desarollel principio de trabajo y energía y aplicalo para resol
vor problemas que implican fuerza, velocidad y desplazamiento,

+ Estudiar problemas que implican potencia y oficiencia

+ Presentar el concepto de fuerza conservadora y aplicar el teore-
ma de la conservación de la energía para resolver problemas de
cnéti

14.1 Trabajo de una fuerza

En este capítulo analizaremos el movimiento de una partícula por
medio de los conceptos de tratajo y energía. La ecuación resultan-
te servirá para resolver problemas que impliquen fuerza, velocidad y
desplazamiento. Pero primero tenemos que definir el trabajo de una
fuerra. Específicamente, una fuerza Frealizaré rabojoen una partícula
sólo cuando ésta sufra un desplazamiento en la dirección de la fuerza.
Por ejemplo, s la fuerza Fen la figura 14-1 hace que la partícula se
mueva alolargo dela trayectoria sde la posición a una mueva posición
el desplazamiento es entonces de = #' — £. La magnitud de dr es ds,
In longitud del segmento diferencial a lo largo de la trayectoria. Si el
Angulo entre las colas de dr y F es 0, figura 14-1, entonces el trabajo
realizado por Fes una cantidad escalar, definida por

dy = Fdscoso

Dar

170

Fig

‘Coenen De UA maux manu y pena

Por definición del producto punto esta ecuación también puede escri
irse como.

dy = Fede

Este resultado puede interpretarse en una de dos maneras: o como
producto de Fy el componente de desplazamiento ds cos Ben la
“rección de la fuerza, o como el producto de ds por el componente
de fuerza, Fcos 8, en la dirección del desplazamiento, Observe que si
0° < 0 < 50°, entonces el componente de fuerza y el desplazamiento.
tienen el mismo sentido, de modo que el trabajo es positivo; en tan-
10 que si 00° <0 = 180", estos vectores tendrán sentido opuesto, y por
‘eonsiguiente el trabajo es negativo, Además, dU = 0 sila fuerza es
perpendicular al desplazamiento, puesto que cos 90° = 0,0 sila fuerza
“en un punto fio, en cuyo caso el desplazamiento es cero,

La unidad de trabajo en unidades SI es el joule (I) el cuales la canti
dad de trabajo realizada por una fuerza de un newton cuando recorre:
una distancia de un metro en In direción de la fuerza (13 = I N=m)
Enel sistema FPS, el trabajo se mide en unidades Hbra-pie (pie libra),
que es el trabajo realizado por una fuerza de una libra que actéa a lo
largo de una distancia de un pie en la dirección dela fuerza.

Trabajo de una fuerza variable. Sila partícula enla que
ación una fuerza Faure un desplazamiento fito lo largo de su
trayetoria der aro de a Meur 1429, cl trabajo de la fuerza
‘© determina mediante integración. Siempre que F y 9 puedanexpre-
‘arse en función de a posición, entonces

ca)

En ocasiones, esta relación se obtiene por medio de datos experi-
mentales para trazar la gráfica de Fcos 0s. s. Entonces, el dreabajo La
‘fica limitada por s ys: representa el trabajo total, figura 14-25.

Foose
o o
gr

Dor cen, ls nidades del momento de una fuera ar de Lori e eben
come Th «pies par dings de aquellas que aan Labs,

HA Teese uns ems

® o

Trabajo de una fuerza constante que se mueve a lo
largo de una línea recta. Sila magnitud de la fuerza Fe es
constante y actúa a un ángulo constante 8 con respecto a su trayec-
toria de línea recta, igura 14-30, entonces el componente de E, en la
¿dirección del desplazamiento siempre es Focos 9. El trabajo realizado.
por E, cuando la partícula se desplaza de 5, a 5, se determina con la
«ecuación 141, en cuyo caso.

dan tenet

= Fecos 8(s2 — 51) (2)

“Aquí E,representa el área del rectángulo enla figura 14-30,

Trabajo de un peso. . Considere una partícula de peso W,eleual
se desplaza à lo largo de la trayectoria mostrada en la aura 14-4 de la
posición sa 2 En un punto intermedio, el desplazamiento dr = dit +
di + de. Como W = Wal aplicarla ecusciön 14-1 tenemos

u

ae frre [mans at ras

= [way = W - 9)

Uma = Way (43)

Por tanto, el trabajo es independiente de la trayectoria yes igual ula
magnitud del peso de la partícula por el desplazamiento vertical. En el
caso mostrado en la figura 14- el trabajo es negativo, puesto que W
acta hacia abajo y A yes hacia arriba, Observe, sin embargo, que sia
partícula se desplaza hrcia abajo (A y), l trabajo del peso es positivo.
¿Porqué?

Fie 44

an

172 Cmioié Coenca ne via tea many ENG

odin sn que el sone
té aldo, + 0

panannpnniie >

Fremen
par

O

Trabajo de una fuerza de resorte. Siun resorte elásicose
larga una distancia dy figura 14-Sa. entonces el trabajo realizado por
kh fuerz que actúa en la partícula adjunta es dU = —Fyds = ~As de. El
trabajo es negarlo puesto que E, actúa en el sentido opuesto ads Sila
aticula se desplaza de sa, el trabajo de Fes por tanto

(Gest 2) ar)

Uae

Este trabajo representa el área trapezoidal bajo la linea F, = ks, figura
usb,

Para no cometer errores en el signo cuando se aplica esta ecuación,
bosta fijarse en la dirección de la fuerza de resorte que acta enla par
la y compararla con el sentido del desplazamiento de ésta; si ambos
actúan en el mismo sentido, el rabajo es positivo; silo hacen opuestos
entre sí, eltrabajo es negativo,

a

o

metes

Las fuerzas que aetéanen acarret-
lial olaa cuesta area una distan:
clay se muestran en su disgrama de
nero ire La fuera en el remot
SET ria rao posting

eos 4) el poo realizar
So manna Dam = en Oy
fur normal N no rai trabajo
posto queno se desplaza al lago
emule de acción.

141 Tusvoceua mena 173

El bloque de 10 kg de la figura 14-62 descansa sobre el plano incl
ado, Si el resorte originalmente está alargado 0.5 m, determine
el trabajo total realizado por todas las fuerzas que actúan en el
bloque cuando una fuerza horizontal P = 400 N lo empuja cuesta

arribar = 2m en
Some
denen
on EN

Primero se taza el diagrama de cuerpo libre del bloque con todas
las fuerzas que actúan en el bloque, figura 14.65,

Fuerza horizontal P. Como esta fuerza es constante, el trabajo. o
se determina con a ecuación 14-2, El resultado puede calcularse

‘como la fuerza por el componente del desplazamiento en Ia direc-

ción de la fuerza, es decir,

Up = 40 N (2 meos 30°) = 69285

el desplazamiento por el componente de fuerza en la dirección del
desplazamiento, es decir,

Ur = 400 N cos 30°(2m) = 69283

Fuerza del resorte F,. En la posición inicial el resorte está alar-
gado sı = 05 m y en la posición final está alargado m = 0.5 m +
2m = 25 m, Requerimos que el trabajo sea negativo puesto que la
fuerza y el desplazamiento se oponen entre sí. El trabajo de F, es
portanto

Un

(30 N/m)(25 m)? — ¿(30 N/m)(0.5 m)°]

Peso W. Como el peso actún en el sentido opuesto a su desplaza-
miento vertical el trabajo es negativo es deci

Uy = —(98:1N) (2 msn 30°) = 98.13

Observe que también es posible considerar el componente del peso
en la dirección del desplazamiento, es decir,

Un = (98,1 sen 30° N) (2m) = 98:13
Fuerza normal Np. Esta fuerza no re
siempre es perpendicular al desplazamiento.

Trabajo total. El traba de todas las fuerzas cuando el loque se
desplaza 2 mes por consiguiente

Ur = 692819039813 =505J Resp,

iza trabajo puesto que

174 Cmioté Conca ne via Pte manu y puc

14.2 Principio de trabajo y energía

Considere la partícula que aparece enla figura 147, localizada en la
"trayectoria definida con respecto aun sistema de coordenadas inercial
Sila partícula tiene una masa m y se somete a un sistema de fuerzas
externas, representado por la fuerza resultante F = ZF, entoncos la
ecuación de movimiento de la partícula en a dirección tangencial es
EF, = may Si aplicamos la ecuación cinemática a, = » de/ds e integra-
‘mos ambos lados y suponemos que inicialmente la partícula tiene una
posición 5 = s,y una rapidez o = by y después s = 5, y 1 =v, tenemos

[ra [mas

¿mej a

2 [de = {mi

En la figura 14-7, observe que DF, = IF eos By puesto que la ecun-
ión 14-1 define el trabajo, el resultado final se escribe como

SU à = 4m

i

us)

Esta ecuación representa el principio de trabajo y energíapara la par-
ul, El término del lado izquierdo es la suma del trabajo realizado
por todas las fuerzas que actéan en la partícula cuando ésta se mueve.
del punto Lal punto 2. Los dos términos del lado derecho, cuya forma
es T = Ema”, definen a energía cinética finale inicial, respectivamen-
la energía cinética es un escalar y sus uni
son joules (J) y Ib pie. Sin embargo, a diferencia del trabajo, que
puede ser o positivo o negativo, la energía cinética siempre es positiva,
Sin importar la dirección del movimiento de la partícula
‘Cuando se aplica la ecuación 146, a menudo se expresa como

Ti + Waste aa)

La cual establece que In energía cinética inicial de la partícula, más el
trabajo realizado por todas las fuerzas que actúan en ella cuando se
mueve de su posición inicial a su posición final, e igual a la energía
<inética final dela partícula.

‘Como se senalé en la derivación, el principio de trabajo y energía
representa una forma integrada de SF, = ma, con que se obtuvo por la
ezuación cinemática a, = vdo/ds. Por consiguiente, este principio cons-
fituye una susórución conveniente de EF, = ma, cuando se resuelven
problemas cinéticos que implican fuerza, velocidad y desplazamiento,
puesto que estas cantidades intervienen en la ecuación 14-7. Para su
Aplicación, se sugiere el siguiente procedimiento.

142 Pro or mawovevenca 175

Procedimiento par álisis

Trabajo (Diagrama de cuerpo libre).

‘© Establezca el sistema de coordenadas inercial y trace un
diagrama de cuerpo libre donde aparezcan todas las fuerzas
que realizan trabajo en la partícula cuando se mueve a lo largo
de su trayectoria

Principio de trabajo y energía.

+ Aplique el principio de trabajo y energía, T, + SU -2 = Ta

+ La energía cinética en os puntos inicial y final sempre es pote
da, puesto que implica la velocidad al cuadrado (7 = im).

+ Una fuerza realiza trabajo cuando se desplaza en la dirección
dela fuerza.

+ Eltrabajo es positivo cuando el componente de fuerza actún en.
«el mismo sentido de dirección como su desplazamiento, de lo
«ontrario es negativo,

“+ Las fuerzas que son funciones del desplazamiento deben inte
rare para obtener el trabajo. Gráficamente, el trabajo es igual
fal rea bajo la curva de fuerza-desplazamiento.

+ Fltrabajo de un peso es el producto de su magnitud por el des
plazamiento vertical, U = +Wy. Es positivo cuando el peso
se mueve hacia abajo.

+ Eltrabao de un resorte tiene la forma U, = 14, donde Kes la
rigidez del resorte y ses largamiento o compresión.

La aplicación numérica de este procedimiento se ilustra en los ejem-
los dados después de la sección 143,

un automóvil choca on esos barils de protecció, su energi cinética se
irarstomará cn rabo, lo que hace que los bres, y hasta certo grado ef
“automóvil, se deformen. S conocemos a camtidad de entre que pede ahorber
ada barr, s posible que dsehemos un parachoques como éste

176

Cannio 14 Cuenca De una runs mann NERA

14.3 Principio de trabajo y energía para
un sistema de partículas

IH principio de trabajo y energía puede ampliarse para incluir un siste-
ma de partículas aislado adentro de un espacio cerrado como se mues-
vea en la figura 148. Aquí la partícula ¿sima arbitraria, de masa m,,
st sometida a una fuerza externa resultante Ey a una fuerza interna
resultante f que todas las demás partículas ejercen en la partícula
ikésima. Siaplicamos el principio de trabajo y energía a ésta y a cade
una de las demás partículas que componen el sistema, entonces, puesto
que el trabajo yla energía son cantidades escalares, las ecuaciones se
suman algebraicamente, lo que da

ST, + 30,2 = 37 cas)

En este caso la energía cinética incl del sistema, además del trabajo
realizado por todas las fuerzas externas e internas que actúan en el
sistema, e iguala la energía cinética final del sistema.

Sielsistema representa un cuerpo rígido en movimiento, o una serie
de cuerpos en movimiento conectados, entonces todas las partículas de
“ada cuerpo experimentarán el mismo desplazamiento, Por consiguien-
te, el trabajo de todas ls fueras intenas tend lugar en pares colin
Tes iguales pero opuestos y por tanto se cancelan. Por otra parte, ise
supone que el cuerpo es no rígido, sus partículas pueden desplazarse a
lo largo de trayectorias diferentes, y una parte de la energía producida
por las interacciones de las fuerzas se disipará y perderá como calor
se almacenará en el cuerpo si ocurren deformaciones permanentes,
“Analizaremos estos efectos brevemente al final de esta sección y en
ha sección 154, A lo largo de este texto, sin embargo, se aplicará el
principio de trabajo y energía problemas en los que no se tienen que
considerar tales pérdidas de energía,

143 Pancrooe mano yenmaa msn unsermanemnnems 177

Trabajo de friccién originado por deslizamiento. Acon-
tinuación investigaremos una clase especial de problemas que requie~
1e una cuidadosa aplicación de la ecuación 14-8, Estos problemas
implican casos en los que un cuerpo se desliza sobre la superficie de
‘otro cuando hay fricción. Considere, por ejemplo, un bloque que se
‘waslada una distancia ssobre una superficie áspera como se muestra
en la figura 14.94. Sila fuerza aplicada P apenas balancea la fuerza
de fricción resultante puN, figura 14-9b, entonces, debido al equili-
brio, se mantiene una velocidad constante y y esperaríamos que se
aplicara la ecuación 14-8 como sigue:

Amd + Ps = pans = me

No obstante sta ccuación se satisface si P = Nisin embargo, como
se sabe por experiencia, el deslizamiento generará calor, una forma
¿e energía que parece no estar considerada enla ecuación de taba
jo-encrgí. Para explicar sta paradoja y de esa manera representar
‘Gon más precisión la naturaleza dela fricción, en realidad tendríamos
que modelar el bloque de modo que las superficies en contacto sean
deformables (0 rígidas) Recuerde que as pate ásperas en a parte
inferior del bloque actúan como “dientes” y cuando el bloque se desliza
estos dientes e deforman un poco y ose tompeno vbran al er jalados
por dientes” en a superficie de comtact, figura 14. e. Por consiuien-
te, la fuerza de ficción que actúan en el bloque en estos puntos se
<esplazan ligeramente a causa de las deformaciones localizadas y más
adelante las reemplazan otras fuerzas de frición cuando se forman
tros puntos de contacto. En todo momento, la resultante de todas
sas fueras de frición en esencia permanece constant, es decir,
Ju Visin embargo, debido alas muchas deformaciones localizadas, el
‘Sesplazamiento reals’ de N noes el mismo que el desplazamiento s
‘el fuerza aplicada P.E lugar de so, será menor que s(S <3),y
porconsiguiente el abajo extern realizado por la fuerza de fricción
resultante será ¿uN y no wiNs, La cantidad de trabajo restante
BANG — 4), se manifiesta como un incremento de la energía interna,
lacual hace en realidad quese eleve la temperatura del bloque.
Ensuma entonces, lactación 145se aplica aproblemas que implican
fücciôn producida por deslizamiento; sin embargo, hay que entender
que el trabajo de la fuerza de fricción resultante no está representada
Por pus antes bien, est término represent tno el trabajo extemo.
producido por feción (4, como el trabajo interno [uN — set
‘ual se convierte en varias formas de energia interna, como calor +

vea el capa 8 de gis Mecanica: Ends
Vea BA. Steewood y WH. Bemard, "Work and Hest Trader in the Prsene of
‘Shing Pico" Am 2 Ph 52101, 1984

©
Fig 149

178 Cwmioié Cnemca ne via rame mao y puc

abajo dela
carretera inclinada 10° a una rapidez de 20 pies/s Si el conductor
Aplica los frenos y hace que las ruedas se bloqueen, determine qué
distancias patinan las Hantas en la carretera. El coeficiente de fric-
in cinética entre las llantas yla carretera es 14 = 05,

SOLUCIÓN
Eto problema so sesvelwo per medio del principio de trabajo y
energía puesto que implica fuerza velocidad y desplazamiento,

o | Trabajo (Diagrama de cuerpo libre). Como se muestra co la

w E pa figura 14-105, la fuerza normal Na no realiza trabajo puesto que
LS munca se desplaza alo largo de su linea de acción. El peso, 3500 Ib,
vt se desplaza ssen 10° y realiza trabajo positivo, ¿Por qué? La fuerza
iy & frición Ky realiza tanto trabajo extemo como interno cuando
o experimenta un desplazamiento s Est trabajo es negativo puesto
que se opone al desplazamiento, Aplicamos la ccuación de equil-
Fe 1410 ‘rio normal à la carretera y tenemos
HREF= 0; Nq~350000810°Ib= 0 Ny = 3468lb
Portanto,

Fa= uy Na = 05 (3468 Ib) = 1723416

ini deta yer
T+." h
5 (SE ane? 30 beton mA)
Adonis
+= Spi
Nora sete problemas enc por mat de cmc

ento, se requieren dos pasos. Primero, según el

35001

BR = mas 350 sen 10° — 1723410 = Ds

a= -103pies/s
‘Segundo, como aes constante tenemos
(40) Pers ak
(0)? = (20 pies/s)? + 2(-103 pies/s*)(s - 0)
5 = 195 pies Resp.

143. Paco ot mano + Puma PARA unseren DE ARTA

179

EJEMP

1

Durant un reve emo la ra dea Agra 1410 vata a ign
de 2.50 Mg con una fuerza F = (28 + 31") KN, Determine I veloci-
‘dad dela viga cuando alcanza s = 3 m. También, ¿cuánto tiempo se
requiere para que alcance eta altura a partir del punto de reposo?

SOLUCIÓN
Podemos resolve una part del problema con el principio de trabajo
y energía puesto que implica fuerza, velocidad y desplazamiento.
Debe utilane cinemática para determinar el dempo. Observe
quecuando s = 0,F = 28(10)N> W =2S0(10X981)N, porto que
Abri movimiento

Trabajo (Diagrama de cuerpo libre). Como se muestra en el
rama de cuerpo libre, figura 14-10, la fuerza E realiza traba-
Jo poskivo, quese determina mediante integración puesto que esta
fuerza es variable. Además el peso es constate yralizaó trabajo
mali ya que el desplazamiento e hacia ariba,

Principios de trabajo y energía.

nr 2U
04 [asa as ESO = Les

2810): + 10) — 24525(10°)s = 125(00 2?
v= (2785 + 080) [03

“h

Cuando s = 3m,
v= 547 mis Resp.

Cinemática. Como podemos expresar la velocidad en función del
«desplazamiento, el tiempo se determina con u = ds. En este 150,

as
(278s + as =

fe de
(2.785 + 085)
La integración se realiza numéricamente con una calculadora de
bolsillo. El resultado es

1=179s Resp.
NOTA: la aceleración de la viga se determina al integrar la ecuación

(0) por medio de v dv = ads,o más directamente, al aplicarla ccua-
‘dn de movimiento SF = ma,

250 00,9808
>

Reis

Cannio 14 Cuenca De una runs mann NERA

14.

ro

©

La masa de a plataforma P dela figura 14-12a es insignificant y está
atada por abajo, de modo que las cuerdas de 04 m de largo man-
fienen comprimido 0,6 m un resorte de 1 m de largo cuando no hay
nada sobre la plataforma. Si se coloca un bloque de 2 kg sobre la pla
forma y se libera del punto de reposo después de que la plataforma
se empuja hacia abajo 0 m, figura 14-120, determine la altura méxi-
ma h que el bloque se eleva enel aire, medida desde el suelo.

a
E 4 a
"E =
bea am
de er
= w

Fe 412

SOLUCION

Trabajo (Diagrama de cuerpo Ibre). Como cl bloque se suelta
del punt de reposo y después alcanza su altura máxima, ls veloc.
‘des inicia y final son cero. El diagrama de cuerpo ire de lo.
ue cuando aún está en contacto con la plataforma & muestra en
|b figura 14-12c. Observe que el peso realiza trabajo negativo y la
fuerza del resorte trabajo positivo. ¿Por qué? En particular, la com-
presión inicialen el resort ess, = 0.6 m + Ol m = 0.7 m.Debido a
lis cuerdas, la compresión final del resorte ess, = 06 m (después de
que el bloque sae de la plataforma). La cara inferior del bloque se
eva desde una altra de (LA m — 0.1 m) = 03m hasta una altura
Anal.

Principio de trabajo y energía.

T+ Wash
Jmol + (Gol — 4h) — W Ay} = ¿mol

Observe que aqufsı = 0.7 m >, = 06m y por tanto el trabajo del

resorte determinado con la ecuación 14 será positivo una vez que
se realizan los cálculos. Por tanto,

© + {141200 N/m)(06m)? — 1200 N/m)(0:7 my")
~ (19.62 N)[h — (03 m)]} = 0
Al resolverse obtiene
f= 0963 m Resp.

143 Pnncrooe marmo yEnenca msn unsermane mans 181

EJEMPLO [fi

El muchacho de 40 kg enla figura 14-13ase desliza cuesta abajo del
tobogán acuático. Si parte del punto de reposo en A, determine su
rapidez cuando llega a By la reacción normal que el tobogán ejerce
en esta posición.

SOLUCIÓN
Trabajo (Diagrama de cuerpo libre). Como se muestra en el
diagrama de cuerpo libre, figura 14-130, dos fuerzas acılan en
‘el muchacho al descender por el tobogán. Observe que la fuerza
normal no realiza trabajo.
Principio de trabajo y energía.

Tat San Ta

0 + (40(981)N)(75 m) = {(40 ka)

bo = 213 m/s = 121 m/s Rep.

Ecuación de movimiento. Al referimos al diagrama de cuerpo.
libre cuando el muchacho está en B, figura 14-13c, a reacción nor-
mal Nase obtiene ahora al aplicarla ecuación de movimiento a lo
largo del je n. Aquí, el radio de curvatura de la trayectoria es i

6.667 m

Pens
|
LOT na Le —
Pat 77 vu 9 = |
Por tanto, Li
E
HER = mays DENT ERA Fees

Np = 12753N

L28kN

Cannio 14 Cuenca De una runs mann NERA

4 pta
Tooke
[alike
@

Der

La masa de los bloques A y B que se muestran en la figura 14-14a
6 de 10 kg y 100 ka, respectivamente, Determine la distancia que
4 se desplaza cuando se suelta desde el punto de reposo hasta el
punto donde su rapidez es de2 m/s.

SOLUCIÓN
Este problema se resuelve si se consideran los bloques por separa
dy se aplica el principio de trabajo y cnergía a cada bloque. Sin
embargo,el trabajo de latensión del cable (desconocida) se elimina
Silos bloques À y Bs consideran como un soo sistema.

Trabajo (Diagrama de cuerpo libre). Como se muestra en el
diagrama de cuerpo libre del sistema, figura 14-140, la fuerza del
cable Ty las reacciones Ry y Ra no realizan trabajo, ya que stas fur.
zas representan ls reacciones en los soportes y por consiuient no
se mueven mientras los bloques se desplazan, Los dos pesos realizan
trabajo posiv si suponemos que ambos se mueven hacia abajo enel
sido positivo de 5439.
Principio de trabajo y energía. S tenemos en cuenta que los
Hoques se sueltan del punto de reposo, tenemos

XT, + 34” XT,

Hat + dmna(un i} + {Wa Asa + Wa Asa) =
Emate + mon)
{0 + 0} + {981 N (A5) + 981 N (As) =

Go ke) (DE + $(100kg)(2 m/s)"} w
Cinemática. Al usarlos métodos de cinemática analizados enla
sección 12.9 nl figura 14-14 seve que la longitud total de todos
bbs segmentos verticales de cable pueden expresarse en función de
hs coordenadas de posición sy 5 como

std 1

Por consiguiente, un cambio de posición en la ceución de despa
“miento resulta en

Ar, +4 859 =0
Asa = 4 85m

Aquí vemos que un desplazamiento hacia abajo de un bloque pro
duc un desplazamiento hacia arriba del otro bloque. Observe que
As y Asa deben tener la misma convención de signos en las ecun.
ones 1 y2. Al considerar las derivadas con respecto al, tempo se
obtiene

vum

-42m/) = 8 m/s o

Al conservar e signo negativo en la ccuación 2 y susttuilo en la
ecuación 1 resulta
Asp = 0883 m4 Resp.

143 Pnncrooe marmo vEsenca usa unsermanemnrems 183

AN] PROBLEMAS FUNDAMENTALES

PLLA, Elresorte se coloca etre lapared y elbloque de FIA. El dragster de 18 Mg se desplar 125 m/scuan-
10 Kg. Si éste se somete a una fuerza P= 500 N, deter- doelmotor se apagayelparacatasseabre. Sila fuerza de
mino su velocidad cuando 5 = 0S m. Cuando s = 0, el fnado del pracakdas puede sor ropresomada de forma
bloque está en reposo y el resorte no está comprimido, — aproximada por la gráfica, determine la rapidez del draps-
Ta superficie de contact es sa, (er euando ha ecorride 400 m.

ES)

42. Sielmotor jerce una ferz constante de 300 en

late. determine la ropidez delembalje de 20 cuando

cures 1 maca artib de plan) a part delpunio was. Cuando s = 06 m, el resorte no cs compe:

de rposo-Elcouicinte de cn cintura enue clemba- nada y 1 me del poque de Io cede 3 nis Mec

Be yalplano es = 03. abajo del plano. Determine a distancia cuando Bloque
se detiene.

F143. Sie motor eee ma fuera F = (00 + 20) N

‘cl cable, termina iz el aye de 10 ke ;

Arr els a el tt Alcolrin de Ib ojl por un coed que pass

uandose lesa Sm nkiaimenteclembaie st deg de uns puta cuna en CS a cuerda se

‘mete una fro constata 101 learn ext

cn apor cundo ex en A, determine pier und
He a ignore a ción:

ples |

F108

184 Cwmioié Cnemca ne via Pte mao y puna

| [PROBLEMAS

21821. Un embalaje d 1500 1 se jalo largo del suelo
a uma rapidez constant durant una distancia de 25 pies.
por mao de un cab que forma un ángulo de 15° con la
Borizontal. Determine la tención en el cable y e trabajo
realizado por esta fuera. El cetiiente de fricción cing
«ante el suelo el embalaje es = 055.

142. E movimiento de un bote de 6500 1 es impedido
por un parachoques que proporcion una resistencia como
‘muestra en la gráfica, Determine la distancia máxima
que ol bote mella el parachoques s su rapidez de aprosi-
ación es de pie

#144. Cuando se dispara un proyectil de 7 kg con un
cañón de 2 m de longitu. la fuerza del explosivo eject
da cml royectlmienras esti en el canón varía como se
‘muestra. Determine la velocidad de salida aproximada del
proyectil enel momento en que sale del cañón. Ignore los
‘lector de cin en el interior del cañón y suponga que
cam est en posición horizontal

143. Eltapéa pesa201b y es empujado contra una seri
e ondanas de tesoro Beikvile de modo que la compre-
‘Sin enel resorte ee x= 008 pie, Sila fuerza del resorte
eneltapón es F = (34) Ib, donde sestá en pes, determi»
mea rapier del tapón después de que se lejadel resorte.
Ignore la fricción.

«145. El bloque de LS kg se dela a lo largo de un
plano lso y choca con un rsore no linealcon una rapidez
Ge = ds Elsesort se denomina "no Inca” porque su
resistencia es F, =k, donde k = 900 N/n°. Determine
la rapier de loque después de que comprime el resorte
s=02m.

143 Pancrooe mano yEsenca usa unsermanemnrems 185

146. Cuando el conductor aplica los frenos de una
“amioncta que viaj 10 km/h, stas desia 3 m antes de
detenerse. ¿Qué distancia patina la camiencta sis veloc
‘dad ese 80 kin/heuando se aplican los renos?

—_ EEE

Prob 14-6

14, El bloque de 6 1 se sucha del punto de seposo en
‘Ay o desia hacia abajo de la super parabólica a,
Determine la compresión máxima del resort.

Am

Prob 147

‘148, La longitud no alargada del resort dela pistola
de juguete es de 100 mm, so comprime y bloquea en la
posición mostrada. Cuando tra del patio, el resort se
‘Sescomprime 125 men y la bola de 20 mueve al largo
‘el cañón de la pistols. Determine la rapidez de la bola
‘undo sale de L pistol, Ignore la fricción

Sonn

kaum 15 om

Prob 148

«M3, Larigider de oëresotes AB y CD csk =300 N/m
YK = 200 N/m, rexpectvamente y la longitud no ar.
‘bd de ambos es de 600 rm. Si el anillo Ino de 2 Lg se
suelta del punto de reposo cuando ls resorts no estan
“alargados, determine La rapidez del al. cuando ha reeo-
‘ido 200 mm.

1410. La velocidad del automóvil es ©; = 100 kaa
cuando el conductor ve un obstáculo frente al automóvil
cuya masa s de 2 Mp Le toma 075 para rescconar y
aplicar os frenos, lo que hace que el automóvil pat

e; determine la distancia que el antomóv recorte antes
¿e deienene, El coeficiente de fee cinética entre las
Mantas y carretera es pu = 025,

MAL. Lavetocidad delautomóviles y = 10km/heuan-
o el conductor ve un obstáculo frente al automóvil eu

ya masa es de 2 Mp Le toma 0.78 paa reneconaryaplar
los frenos, lo que hace que el automóvil patine. Si cl au

omóvi se deien cuando ha recorrido una distancia de
15m, determine el eoefeente de fricción cinética entre
las ants y la careta.

186 Cwmioié Cnemca Deu tea mao y puc

14-12. El bloque de 101 e sucia del punto de reposo
en A.Determine la compresión de cada uno delos resor-
tes después de que el bloque choca con la plataforma y e
cien: nomentineamente. En un principio ambos reso
tes no sin alargados. Suponga que la masa de a platafor-
ma cs insignificante.

Soles

e = onu
y= ssp

Prob 1412

1413. Determine la velocidad del bloque A de 60 tb si
los dos bloques se sueltan del punto de reposo y el bloque
Bde db lose mucve pie acta arriba del plano inclinado.
El cocficinte de ficción cinética entre ambos bloques y
los planos inclinados sj = 010.

ar,

14:14. La magnitud de lafuerza Eque actin en una direc»
‘én constant en el bloque de 20 Kg varia con la posición»
¿e ste. Determine qué tanto se le el bloque ates de
que su velocidad sea de 5 m/s Cuando s = 0 el bloque se
‘Sti moviendo ala derecha a2 m/s Eleoefciente de frio
ón cinética entr el bloque yla superficie esp = 03,

1445, La magnitud de la fuerza F que actúa en una
¿rección constant en el loque de 20 kg varia on la post
«ión de ste. Determine a rapidez del bloque después de
que se desliza 3 m. Cuando # = Del bloque se muevo ala
<orecha a 2 m/s El cooiciene de fricción cinética entre el
‘logue yla supero es ju = 03.

ra

=

1446, Selanza verticalmente un cohete de masa desde
la superfic teresr, es decir en r= 7, Sisupone que no
se plrde masa cuando asciende, determine el trabajo que
eto realizar contr a gravedad para alcanzar una distan.
ciar; La feeza de la gravedad es F = GM amr? (ecuación
13-1), donde M, es la masa terrestre y la distancia entre
leohete ye contro dela Tier,

143 Pnncrooe mannoyenmaa msn unsermanemntems 187

‘14:17. El lindro posa 20 1b es empujado contra una
serie de rondanas de resorte Beleyile de modo que la
«compresión en el resrte es # = 0.05 pis. ila fuerza del
resorte en el dindro es F = (10051? )b, donde s est en
pios, determine la rapidez del eiindro cxactamente des-
pués de que se aejadel resorte, es decir, en s = 0.

Prob 1417

MAR, La musa del collaía os de 20kg y descansa sobre
na barr lo, Dos resorts están unidos al colarin y a
Jos extromos de la barra como se muestra. La longitud no
‘omprimida decada resort sde Im. Sie olan se des
plazas = 0 m ys suelta del punto de reposo, determine
Su velocidad en el momento en que regresa al puntos = 0

025m
Prob 1418

1449. Determine la altura de la rampa D ala que le-
Bar el caro do 200 kg dela montaña rusa, iso lana en
con una rapidez apenas sulcento para que Hegue à la
part superior del izo en C sinque pierda el contacto con
los ile. Eladio de curvatura en Ces pc = 25 m

Prob 1419

1420. Los paquetes que pesan 15 Ibe transfieren hor
mnalmente de una banda transportadora ala siguiente
por medio de una rampa cuyo cocficiente de nec ciné.
ea es = 0.15. La transportadora superior se muevo
“26 pcs y la separación entre los paquetes cs de 3 pies
Determine la rapidez de la transportadora inferior para
que los paquets nose deslicen cuando se ponen en con:
acto horizontalmente con lla. ¿CUÁL esla separación +
entre los paquets en la transportadora interior?

+HA1. La bola de OS kg cuyo tamaño no importa, se
lanza hacia arriba de la rampa circular vertical lisa por.
‘medio de un émbolo de resort, Este mantiene el resorte
comprimido 0.08 m cuando s = 0, Determine qué distancia
© ébe jalar sy solar de modo que a bola comience a
perder elcontactocon la rampa cuando 0 = 135",

188 Cwmioié Cnemca Deu rame mao y eves

1422. La caja de 21 se desta porlarampa circular isa.
Sila velocidad de nen cade 30 pies/sen A, determine su
velocidad yla fuerza normal que acta a a rampa cuando
I caja est en By €. Suponga que el radio de curvatura
dela trayectoria en C sigue siendo de Spies.

1423. Paquete que posanSOIb lleganal obogás ae
pios por medio de una banda transportadora Determine
su rapidez cuando Legan alos puntos B, Cy D. Además,
“cul la fuerza normal del tobogán en los paquetes en.
y C-lgnore la fricción y el tamano de los paquetes.

“1424. El Hogue de 2 Ib se desliza hacia abajo de 1
superficie praia lisa de modo que cuando está en A su
‘apr es de 10 pcs Determine la magnitud de la velo.
‘dad y accleraciin del bloque cuando llega al punto By la
tua máxima you que alcanza,

+1625, El esquiador parte del punto de reposo en A y
escendo por a tampa. Sila fei y resistencia del ire
pueden omits, determine su rapidez excuando lega A.
“Además, determine la distancia sdonde hac contacto con
suelo en C, s sata cunndo se desplaza horizotalmen-
Le en B. Ignore la estatua del esquiador, Su masa es de
mg.

Prob, 1425

1426, El embalaje, cua masa es de 100 kg se someto a
la scción de Las dos fuerzas Si orginalmemt ex en repo-
20. determine la distancia que se desliza para alcanzar una
Tapiz de 6 m/s El coofciee de trict end entre
«embalaje ylasuperfii sj = 02.
ane 1000
” cs

Prob, 1426

143 Pnncrooe mannoyenmaa msn unsermane nes 189

1427. Ellndrilo de 21 se desiza hacia abajo del echo
de modo que cuando esten A su velocidad ex de $ pies
Determine la rapidez del Indl justo antes de que deje
la super en B, a distancia d de la pared hasta donde
oca con el suelo ÿ la rapide ala cual golpea el suelo.

1428. Las momtañas rusas se diseñan de modo que los
uno no experimenten una fuerza normal de más de
35 vecs su peso contra el asiento del caro, Determine
radio de curvatura mínimo p dela rampa en su punto
másbajosilarapidez es de $ pless cn a cresta dela caída.
none laren.

+1429, Elhombre de 120 actón como bala de cañón
"humana al ser “disparado” con e cañón que es accionado
por el resorte que se muestra Sila acclración máxima
que puede experimentar cs a = 108 = 322 pies, deter
mine qué rigidez require el reste, e cual se compri-
me 2 pie enel momento del disparo, ¿Con qué velocidad
saldrá del candn, d = 8 pies, cuando el canon se dispare?
‘Quand el resorte se comprime «= 2 pies, entoces = 8
pls. Ignore la fricción y suponga que el hombre se mantic
e. una posición ida durant todo el movimiento.

1430. Sise va a dictara pista de modo que los paaje-
os de In montana rusa no experimenten una fuerza nor
mal iguala coro o más de 4 veces su peso, determine la.
altura Imltantesh, y Rede modo que eto no ocurra. La
"montaña rusa parte del punto de reposo en la posición.
Ignore La iin.

190 Cwmioié Cnemca Deu tea masivo y puc

1431. Las canicas de $ g de masa caen del punto de
reposo en Aa través del tubo de vidrio y se acumulan en
«tecpient en €. Determine la distancia del recipiente
“lextremo del tubo yl rapidez ala cual ls canicas cac
enclrecipiete. Ignore el tamaño de éste.

«1433, Si el coeficiente de fricción cinética entre el
«embalaje de 100 kg y el plano es pu = 02, determine la
compresión x del resort requerida para levar el embalaje
"momentáneamente al reposo. En un principio el resorte
0 st alargado y cl embalaje est en reposo.

1434, Siolcooficinto de fricción indica entre clemba-
laje de 100 kg y el plano es js = 0.25, determino la rapt
oz del embalaje enel momento en que la compresión del
sort osx = 15m. Inicialmente olresrte no está alarga:
do elembalaje están reposo,

“1432, La bola de 05 kg de masa se cuelga de una
Funda elstica que tiene una longitud no alargada de 1 m
una rigidez k= 50 N/m. Selapoyo en A alenalosujeta
sd a 2m del pio, determine la rapidez máxima que la
‘ola puedo tener en À de modo que no toque el suelo
cuando llegue a su punto más bajo B Ignoro el tamano
e la bola yla masa de la banda elástica.

1435. Un bloque de? Ib descansa sobre una superficie
semiciindrica, Una cuerda clátca que tene una righ
‘der & = 2 pe está atada al bloque en By a In basc
¿el semiclindro en el punto C.Sise suela el bloque del
punto de reposo en A(O = 0°), determine la longitud no
“alargada de la cuerda de modo que el bloque comience a
separarse del semiclindro en el instante 9 = 4°. Ignore
cl tamano del bloque.

143 Pnncrooe mannoyenmaa A

"1436. La rpider de In pidra de 50 kg ex #4 = 8 m/s
‘undo leg al punto A, Determine la fsrza normal que
ejerce en la pendiente cuando lega al punto 3. Ignore la
fricción y amado dela piedra

+1437, Siclembalaje de 75 kg parte del punto de reposo
ca A, determine su rapidez cuando llega al punto B. EI
‘ible se someto a una fuerza constante F = DON. Ignore
Ja ikeion yl tamaño de la polea.

1438. Si el embalaj de 75 kp comienza a movers del
Punto de reposo en Ay su rapidez es de 6 my/scuando pasa
porel punto 8, determine la fuerza constante Fejercidn en
cable, Ignore acción y el tamaño dela poca

1439. Siclesquador de 60 kg pasa porelpunto A auna
rapidez de $ m/s determine su rapidez cuando llega al
punto Además determine la fuera normal ejercida en
por la pendiente en este punto. Ignore la frccón.

Prob, 1439

114-40, El patinador de 1501 pasa por el punto À a una
rapidez de 6 plows Determine su raider cuando llega al
Punto y la fuerza normal ejercida en él por la pista en
‘te punto. Ignore la rein.

Prob. 1440

+MAL._ A una pequeña caja de masa m se le imprime
una rapidez de » = Vigr en a parte superior delsemici
indro lso. Determine el ángulo al cua a caja se separa
el etindro,

192 Cwmioié Crenca Deu tea mao y puc

La poteccia desalda de staocomotora
e trade fur de rca}

fora desarrollada en us ruedas. Esta
Sa fuerza que vence ln resistencia ala
Ficción delos raponcs remolcados y e
capaz de levar el paso del ren cu
sre

14.4 Potencia y eficiencia

Potencia. EI término “potencia” constituye una base Gil para

seleccionar el tipo de motor o máquina requerida para realizar una

¿rta cantidad de trabajo en un tiempo dado. Por ejemplo, cada una de

dos bombas puede vaciar un depósito si se le de tiempo suficiente; sin

embargo, la bomba de mayor potencia completará la tarea más rápido,

Por consiguiente, la potencia generada por una máquina o motor que
‘una cierta cantidad de trabajo dU dentro del intervalo de es

das)

(14:10)

De ahí que la potencia es un escalar, donde en esta fórmula vrepresenta
la velocidad de la parícula en la cual acta la fuerza F.

Las unidades básicas de potencia utilizadas en los sistemas SI y FPS.
son el watt (W) y el caballo de fuerza (hp), respectivamente, Estas
unidades se definen como

1W=13/s =1N=m/s
1hp = 550 pies-1b/s

Para la conversión entre los sistemas de unidades, hp = 746 W.

Eficiencia. La efctencia mecánica de una máquina se define como
ha relación de la salida de potencia útil producida por la máquina a la
entrada de potencia suministrada ala máquina. Por tanto,

_ Potencia desalida

potencia de entrada an

Sila energía suministrada ala máquina ocurre durante el mismo inter-
valo durant el cuales extraída, entonees la eficiencia también se expre-
sa en función dela relación

potencia de salida,
potencia de entrada

ca)

Como las máquinas se componen de una serie de piezas móviles,
siempre se desarrollarán fuerzas de fricción dentro de ellas y, por
«consiguiente, se requiere energía extra o potencia adicional para ven
‘er estas fuerzas, Por tanto, la potencia de salida será menor que la
potencia de entrada, de ahf que la eficiencia de una máquina siempre
S menor quel.

La potencia suministrada a un cuerpo se determina por el siguiente
procedimiento,

Procedimiento para el análisis

+ Primero determine la fuerza externa F que actúa en el cuer-

po y que provoca el movimiento. Esta fuerza casi siempre la
eaëra una máquina 0 un molor que se coloca dentro fuera
deleuerpo.

Si el cuerpo está en aceleración, podría requeri trazar su

agrama de cuerpo libre y aplicar la ecuación de movimiento

(SF = ma) para determinar E.

+ Una vez que se determina F y la velocidad v de la partícula
onde se aplica Ela potencia se determina al multiplicar la
magnitud de la fuerza por el componente de velocidad que
“cin en ladiección de Fes decir, P= R- y = Focos 0)

+ En algunos problemas la potencia la determina el cálculo del
trabajo realizado por F por unidad de tiempo (Pa = SUA

Les requerimientos de potenci de este
elevador dependen dealer vera
ue ciónen ly que hace que se desplace
sara. Sila velocidad decorador
8 » entonces a potencia de salda
Porn

MA Pormanvencacn

193

194

Cannio 14 Cuenca De una runs mann NERA

re

El hombre que aparece en la Aura 1-15 empuj el embalaje de
0 kg con una fuerza F = 150 N. Determine la potenciasuminstra-
da por el ombre cuando = 45, Eleoefkiente de (ii cinética
entre el piso y el embalajes 1, =02.En un principio, el embalaje
tien reposo,

SOLUCIÓN

Para determinar la potencia desarrollada por el hombre, primero.
debe calcularse la velocidad de la fuerza de 150 N. El diagrama de
¿cuerpo libre del embalaje se muestra en la figura 14-150, Al aplicar
la ecuación de movimiento,

4138, = may; N — ($)ISON — SSD N = 0
N =S80SN

LER, = may ($)150N — 02(5805N) = (50 kg)a
1078 mys?

Por consiguiente, la velocidad del embalaje cuando = 4 es

eo venta
v= 0 + O078m/ As) = 0312 m/s

La potencia suministrada al embalaje por el hombre cuando 1 = 48
por consiguiente

pare Fo (y

Jaso NXO312 ms)
=34W Resp.

MA Pormanvencacn

195

EJEMPLO [fi

FEI motor M del malacat en la figura 14-160 levanta el embalaje
LC de 75 Ib de modo que la aceleración del punto Ps de 4 pies.
Determine la potencia que debe suninistrars al motor en list

te en que velocidad de Pes de? pes/s.Ignore I masa dea polea
yelcable y considere e = 0.5.

SOLUCIÓN

Para determinar la potencia de salida del motor, primero es necesa-
rio determinar la tensión en el cable puesto que el motor desarrolla
esta fuerza,

‘A partir del diagrama de cuerpo libre, figura 14-160, tenemos

1
2piee (D,

+1 35 = may; He

La aceleración del embalaje puede calcularse por medio de cine
mática para relacionarla con la aceleración conocida del punto P,
figura 14-16a. Con los métodos de l sección 12.9, las coordenadas
Sc Y sp pueden relacionarse con una parte constante de la longitud
del cable / la cual cambia en las direcciones vertical y horizontal.
Tenemos 2x: + 5p = 1. Al tomar la segunda derivada con respecto
altiempo de esta ecuación, resulta

Zac = ar o
Como ap = +4 pies/s, entonces ac = -(4pies/s?)/2 = -2pies/?.
¿Qué indica el signo negativo? Al sustituir este resultado en la
ecuación 1 y conservar e signo negativo puesto que la aceleración
tanto en la ccuación 1 como en la ecuación 2 se consideró positiva
hacia abajo, tenemos

15% a
= IE

T=93831

La potencia de salida, medida en caballos de fuerza, requerida para
jala el cable a razón de 2 piesfses por consiguiente

P = Toy = (9831b)(2piesp)l hp/(SSO pies 10/5)]
= 01448 bp

Esta potencia de salida requiere que el motor proporcione una
potencia de entrada de

potencia de entrada = À potencia de said)

ps =
= 5 (01448 bp) = 0.70 hp Resp.

te, el requerimiento de potencia es instantáneo.

Puno de
mora

Puno de
rea

196

Carmo 14 Cuenca De una runs mann NERA

PROBLEMAS FUNDAMENTALES

FIT. Sila superficie de contacto entre el bloque de
20 key elsulo essa, determine la potencia de a fuerza F
‘eundo = 4s.En un prinipo, cl bloque está en reposo.

En

=

a7

F148. Si = (ION, donde sestäen metros la super
‘de de contacto entre el bloque y el suelo es ia, determine
Ta potencia de La fuerza cuando = Sm. En un principio,

«bloque de 20 kg está en reposo.
Ez won
mas

F148, Si el motor enrols el cable a una rpidez cons-
tant de v = 3 pies/s determine la potencia suminbtrada
al motor, La carga posa 10 by la eficiencia del motor es
€ 08 Ignore a mesa de as poleas.

4:10. Elcoefcinto de frccióncinrica entre el bloque

& 20 kg y el plano inclinado es u, = 02. Sil Bloque se

mueve hacia arriba de plano inclinado a velocidad cons-
m/s determine la potencia de a fuerza F.

ef. Si el motor Melea la carga A de 50 kg a una
velocidad constante de 15 má, determine la potencia de
da el motor, el eual opera con una eficiencia € = 04.

| liées

Fl412. En olinsamto mostrado, el punto Pen el cable
tine una velocidad ey = 12 m/s als st creme
rando a razón de ap = 6 mys. Determine la potencia de
entroda dol motor cn eto instante s opera on una fi
ciencia € = 08. La masa del bloque et de $0 Kg.

k |
sm
u

|

MA Porecavenceica 197

A

1442. La máquina diesel de un tren de 400 Mg incro-
ment su velocidad de manera uniforme a partir del punto
de reposo a 10 msen 100s alo largo de una ví horizon.
tal Determine la potencia romero desarrollada.

1443. Determine la potencia de entrada de un motor
secesavi para levantar 300 Ib a una randn constante de
Spies La eficiencia del motor cs = 0.5.

‘14-44. Un tranvía elécrico pesa 15 000 lb y acelera alo
largo de una carretera recta horizontal à partir del punto
de repos, de modo que la potencia siempre es de 100 hp,
Determine qué distancia deb recorer para aleanzar una
rapidez de 0 pies.

+1445, La Mikin Aircraft Co. fabrica un motor turbo
reactor ques instala nun avión que psa 130001b. Sil
motor desarrolla un empuje constants de 52001, determi
el potencia de salida del avión cundo est a punto de
despegar com una rapier de 600 mi

1446. El motor del automóvil de 3500 Ib genera una
potencia constante de SO hp mientras viaja cuesta arriba a
na rapidez constante Si el motor opera con una efiien-
ine = 08, determine la velocidad de automóvil nore la

Prob 14-46

14-47. Un camión corgado pesa 16(10 I y acelera de
maneta uniforme sobre una carotra plana desde Spiess
hasta 30 pios durante 4 Sila resistencia por ficción al
‘movimiento es de 305 Ib, determi la potencia máxima
que deseo suministrar a as ruedas.

“1448. Un automóvil que pesa 3500 Ib sube una pen-
lente de 7° a una rapidez constante dew = 40 pies Sise
ignoran a ci yla resistencia del vento, determine la
potencia desarolada por el motor dado que la eficiencia
mecánica del automóviles e = 065.

‘14419, Elpoldaño de una escalera eléctrica se mueve a
una rapidez constante de 0.6 js Silos escalones son de
125 mm de altura y de 23) mm de loma, determine la
potencia de un motor necesaria para levanar una masa
promedio de 150 kg por escalón, Hay 32 escalones.

1450. EI hombre que pesa 150 lb es capaz de subir un
amo de escalera de 15 pes de altura en 4. Determine
la potencia generada. ¿Cuánto tiempo tendría que estar
encendido un foco de 100 W para consumir a misma can
dad de energia? Conclusión: ¡por favor apagu ls luces.
‘indo no esténen uo!

yy |
r
—
EE
es
nn
marine

el motor M en este instante sopera con una eficiencia de
par

14-82. Lamasa total del elevador ya carga es de 800 kg
yla de contrapeso Ces de 130g Sila velocidad ascenden-
do del devadr aumenta de manera uniforme de OS mA à
15 m/sen 1.54, determine la potencia promedio generada
por el motor M durante ete tiempo, El motor opera con
na efiincia de = 08,

198 Cwmioié Cnemca ne via rame mao y puc

+1453, El automévil de 2 Mg incrementa su rapklez
wiformemente desde el punto de reposo hasta 25 m/s
a 30 cuesta arriba, Determine la potencia máxima que
& motor debe suministrar, el cual opera con una rien
ia de « = 08, Además, determine la potencia promedio
suministrada por el moto,

1454. Determine la velocidad del embalaje de 200 Ib
en 15 si el motor opera con una eficiencia de « = 08.
La potencia de entrada al motores de 2 hp. El coef-
dente de fricción cinética entre el embalaje y l plano es
m =02.

M5, Se suminitra una potencia constante de 1.5 hp
Al motor mientras opera con una eficiencia de € = 08.
Determine la velocidad del embalaje do 200 Ib en 15
segundos, a pate del punt de reposo, Ignoro a icin,

JAS

1456, Latransmisón hidráulica de un camión de 30.000
1h permite que el motor suministre una potencia constan-
te las sucdas traseras. Determine la distancia requerida
para que clcamién que viaja por una carretera plana icre-
mente su rapide de 35 pics 60 pies se suministran
30 hp a las ruedas traseras. Ignore la resistencia al avance
yal rodamiento.

+14ST. Si el motor de un automóvil de 1.5 Mg genera
una potencia constante de 15 KW, determino la rapidez
aol después de haber recorrido una distancia de
00 m en una carretera plan part del punt de reposo.
Ignore la rein

1488, Alavagoncta de mina de 12 Mglajla un malaca
o M montado en ella Sil malaato ejerce una eres de
= (15007) N en el able donde rest en segundos, deter
‘mine la potencia do salda del malacato cuando 1 = 55, 8
parti del punto de reposo.

lacate genera une poten
{ade salida constante de 30 KW, determine la rapidez
¿e la vagoncta em el instante en que ha recorrido una
distancia de 0 m, par del punto de reposo.

Probe 19

"14.60, Alavagoncta de minade 2 Mglajala un malaca-
Le Mmontado cn ella Si el malaate genera una potencia
e salia constante de 30 KW y la vagoneta comienza à
moverse desde el punto de repaso, determine su velocidad
aandor= ss.

Prob, 14-60

«1461. El motor M levanta cl embalaje de 50 lb. Si cl
embalaje comienza a moverse desde el punto de reposo
y con una aceleración constante alcanza una rapidez de 12
pica) después de alar = 10 pis, determine la potencia
{ve debo suministrar al motor ene instante s = 10 pes
Ta eficiencia del motor exe = 0.65. Ignore la masa de la
pola yelcabie

1462. Un motor levanta un embalaje de 60 kg a una
velocidad constante hasta una altura À = Sm en 2s. Si
I potencia indicada del motor es de 32 kW, determine Ia
encia del motor.

MA Poreavemenca 199

1463. Si lturborreacor del dragster genera un empu-
je constante de 7 = 20 kN, determine la potencia gene
ada por el turborreator en función del tempo. Ignore
la resistencia al avance y al rodamiento y la pérdida de
combustible, La masa del dragster es de 1 Mg y arranca
desde el punto de reposo,

MN
Po.

14.64, Desde el silo en À se descarga arena a I trans
portadora y se transporta a la plataforma de almace-
namiento a razón de 360000 Ih. Un motor eléctrico
conectado ala transportadora mantiene la rapidez de la
‘banda en 3 pis/s Determine la potencia promedio gene
‘da por el motor.

Prob, 1464

1465. El elevador de $00 kg comienza a subir desde el
‘punto de reposo y viaja hacia ariba con una aceleración
constante a; = 2 m/s. Determine la potencia de salida
‘el motor M euando ı = 3s, Ignore la masa de as poleas.
yeleable

Prob. 1465

200 Cwmnoté Cnenca ne una uncut meno ene

1466, Se lanza verticalmente desde el punto de reposo
vn cohete de 8 Mg de masa total Silos motores gene-
ran un empuje constante 7 = MOXN, determine la poten:
ade sain de los motores en unción del tiempo Ignore
«efecto de a resistencia al avance y la pérdida de com
busible y peso

To

Prob 1466

14467. La masa del embalaje cs de 150 kg y descansa
Sobre una supere cuyos coeficientes de fricción estática
y inétia son u, = 03 y q = 02, respectivamente Si el
motor M suministra una fuerza al cable de F = (88 + 20)
N. donde resté en segundos, determine La potencia de sali
e desacolada por el motor cuando = 96

Prob 14.67

“146%. Hogue de 01 dscns sobre una sport
ic tpora cay ¿ost econ cnt sp 202.
Una fre f= a à Di donde et empl oa on
{Rogue en I dicción mostrada Sen un princi ci
‘ort mex aan (e =0)y blog et en rep,
rm a poten desaroa pr a herr en ein
‘Batson que bogie ha plano s= 1 pi

1849. Con tos dts de a curva de potencia biomecáni-
a que se stra, determine la rapidez máxima alcanzada
Por el cesta y su bicieta los cuales tienen una masa
{olalde92 kg, a medida que el iia asciende la pendien-
ve de Ar apartir del punto de reposo.

Pw

= +

170. A1 embaljo de 50 kg lo jala hacia ariba en
plano incinado de 30" el sitema de pola y motor M. Si
embase comienza a moverse desde cl punto de reposo
y mediate una aceleración constante, alcanza una rap
ex de 4 m/s después de recorrer 8 m al largo del plano,
determine la potencia que debe suministrar al motor
en el instante en que el cabe se ha movido 8 m. Ignore
la ficiô alo largo del plano. La eficiencia del moto es
eo.

141, Resuclva el problema 1470 i el coefcente de
‘rien cinética entre el plano y el embalaje ej, 04.

145 Fuss coneenmanons¥ mescla orme

14.5 Fuerzas conservadoras y energía
potencial

Fuerza conservadora. Siel trabajo de una fuerza es indepen-
diente de la trayectoria y depende sólo de la posición inicial y final
enla trayectoria, entonces podemos elasificarla como una fuerza con-
servadora, Ejemplos de fuerzas conservadoras son el peso de una
partícula y la fuerza desarrollada por un resorte. El trabajo realizado
por el peso depende sólo del desplazamiento vertical del peso y el tra
bajo realizado por una fuerza de resorte depende sólo del dargamien-
100 compresión del resort,

En contraste con una fuerza conservadora, considere la fuerza de
Ktición ejercida en un objeto que se desiza por una superficie fija. EL
trabajo realizado por la fuerza de fricción depende de la trayectoria
—cuanto més larg sea la trayectoria, mayor será el trabajo. Por con-
siguiente, las fuerzas de fricción son no conservadoras. El trabajo se
dsipa del cuerpo en forma de calor,

Energia. La energía se define como la capacidad de realiza traba-
jo. Por ejemplo,siuna partícula originalmente está en reposo, entonces.
<lprincipio de trabajo y energía establece que ZU. = Ta Expresado.
‘de otra manera, la energía cinética es igual al trabajo que debe reali-
‘arse en la partícula para llevarla del estado de reposo al estado de
velocidad v. Por tanto, la energía cinética es una medida de la capa-
cidad de la partícula de realizar trabajo, la cual está asociada con el
movimiento de la parícula. Cuando la energía se deriva de la posición
‘dela partícula, medida con respecto aun plano de referencia, se llama
energía potencial. Por tanto, la energía potencial es una medida de la
cantidad de trabajo que una fuerza conservadora realizará cuando se
mueve de una posición dada al plano de referencia. En mecánica, la
«energía potencial creada por la gravedad (peso) o un resorte elástico
es importante,

Energía potencial gravitacional. _ Suna partícula e encuen-
tra a una distancia y por encima de un plano de referencia arbiraria-
mente seleccionado, como se muestra en la figura 14-17, el peso de
la partícula W tiene una energía potencial gravitacional positiva, V,
puesto que W iene la capacidad de realizar trabajo positivo cuandí
la partícula regresa al plano de referencia, Asimismo, sila partícula se
‘encuentra a una distancia y por debajo del plano de referencia, V, es
negativa puesto que el peso realiza trabajo negativo cuando la partlcu-
la regresa al plano de referencia. En el plano de referencia Y, =

En general, si yespositiva hacia arriba, la energía potencial gravita-
‘onal de la partícula de peso West

=Wy aaa)

quepan que pe es omstnteEtasupsiióneadocunda par dires
ious de dvi A. Si embargo. el camo do clvaca slats debe
tomate e cent a atc del poo on la clan (rene problema 1.1)

Energía potencial guviaconal

Fe 1427

201

202 Cwmnoté Crema ne una ecu Masao ene

Energía potencial el
sorte clásico una distan

Cuando se alarga o comprime un
‚sa partir de su posición no alargeda, en

dl resorte puede almacenarse energía potencial elástica V,. Esta ener-

CT

asta)

Aqui V siempre es posiva ya que, en la posición deformada, la fuerza
delresori tiene la aspacidado "potercial” de realizar siempre trabajo
en la partícula cuando el resorte regresa a su posición no alargada,

figura 14.18.

peso de ls sacos colocados sobre
forma produce energía potencial
ue se debe almacenar cn lo resorts
élsopore. A medida que o quí coda.
col pltalorma se der un poro peto.
una parte dela erg potential e
resorts se tamformará en un ner:
mento de a cerfs potencial raiach-
Fallos sacs estas. ste post
‘rl pra gro ago sin ener que
aos pare descargar

145 Fuss coneenmanons¥ mescla orme

Función potencial. En el caso general, si una partícula se some-
te tanto a fuerzas gravitacionales como elásticas, la energía potencial
de la partícula se expresa como una función potencial, la cual es la
suma algebraica.

A 015)

La medición de V depende dela ubicación de la partícula con respecto a
un plano, seleccionado de acuerdo con las ecuaciones 14-13 y 14-14,

La diferencia de esta función mide el trabajo realizado por una fuerza
«conservadora al mover una partícula de un punto a otro, es decir,

A 0416)

Por ejemplo, a función potencial de una partícula de peso W sus-
ppendida de un resorte puede expresarse en función de su posición, 5,
medida con respecto aun plano de referencia localizado en la longitud
no alargada del resorte, figura 14-19, Tenemos.

vv, +v,

= Ws + ke

Sila partícula se mueve des; a un posición más baja s, entonces al
Aplicar la ecuación 14-16se ve que el trabajo de W y F, es

+ Hat) = (Ia + tes)
= Win = a) = (ka 14)

Mano de
nera

203

204

Cannio 14 Cuenca De una runs mann NERA

Cuandoe! desplazamiento a lolargo dela trayectoria es infinitesimal,
«decir del punto (x,y, Jal (x + dt, y + dy,z + de) la ecuación 14-16
se escribe

AU =V(x,y,2) — V(x + dry + dy 2 + de)

aya an

Sirepresentamostanto la fuerza como su desplazamiento como vec-
tores cartesianos, entonces el trabajo también puede expresarse como.

AU = Bede = (F4 Ej + Fk) (dal + dyj + dk)
= Fede + Fydy + Pde

Alsustitur este resultado en a ecuación 14-17 y expresar la diferencial
AV, y, 2) en función de sus derivadas parciales se tiene

nacer ras (eau)

‘Como os cambios de x, yy zson independientes entre sí, esta ecuación
se satisface siempre que

Portanto,
w,_w,_w
ox ay! ur
--(d +2 Jr
an! * ay! * ae
x 419)

onde Y (dei) representa el operador vectorial Y = (4/32) + (2/2 9)
+ (aja 2h.

La ccuacién 14-19 relaciona una fuerza F con su función potencial V
por lo que constituye un criterio matemático para comprobar que Fes
conservadora, Por ejemplo, la función de potencial gravitacional de un
peso situado a una distancia y por encima de un plano de referencia es
V, = Wy. Para comprobar que W es conservador, es necesario demos-
lear que satisface la ecuación 14-18 ( la 14-19), en cuyo caso.

a,
ON

a
E one

Elsigno negativo indica que W actúa hacia abajo, opuesto ala distancia
y positiva, la cual es hacia ariba.

146 Cosemaconceiamnda 205

14.6 Conservación de la energía

Cuando en una partícula actúa un sistema ¡anto de fuerzas conserva
oras como no conservadoras, la parte del trabajo realizado por ls.
fuerzas conservadoras puede escribirse en función de la diferencia
‘de sus energías potenciales por medio de la ecuación 14-16, es decir,
(EU ,-dane = Vi — Va Por consiguiente, el principio de trabajo y ener.
gía se escribe como

TA VA (EU

hive (420)

‘Aqui (3U-2)m cm Fepresenta el trabajo de las fuerzas conservado-
ras que actúan en la partícula, Si las fuerzas conservadoras realizan
trabajo, entonces tenemos.

(21)

Esta ecuación se conoce como la conservación dela energía mecd-
ica o simplemente como la conservación de la energía. Expresa que
‘durante el movimiento la suma de la energías potencial y cinética de la
partícula permanece constante. Para que esto ocurra, la energía cinética
‘debe transformarse en energía potencial, y viceversa. Por ejemplo, si
se deja caer una bola de peso W desde una altura obre el suelo (plano.
de referencia), figura 14-20, su energía potencial es máxima antes de
dejarla caer, momento en el cual su energía cinética es cero, La encrgía
mecánica total dela bola en su posición inicial es por tanto.

E=T+y=04Wh= Wh

‘Cuando a bola ha cado una distancia h/2 su velocidad se determina
cono? = 1 + Daly — yy) lncualresula y = V/2g(4/2) = Veh. La
‘nerpia de a bol a I mind de a altura, por consiguiente,

al)

Baht

Exactamente antes de que la bola choque son el suelo, su energía
ppotencial es cero y su velocidad es » = V2gh. Aquí, de nuevo, la
‘energia total dela bola es

Erin

aH Vigh} + 0= Wh

Observe que cuando la bola entra en contacto con el suelo, se deforma
un poco y siempre que el suelo sea suficientemente duro, la bola rebo-
‘arden la superficie y alcanzará una nueva altura la cualserá menor
‘que la altura À desde la cual se sols por primera vez. Si ignoramos la
ficción del are, la diferencia de altura explica la pérdida de energía,
E = W(h — #), la cual ocurre durante la colisión. Porciones de est
pérdida producen ruido, una deformación localizada enla bola yen el
suelo, calor.

O Brea potent (nts)

ner nia (ce)

nora pandas

écran

Ener potencial (so)
‘@

eri nie)

Be 1420

206 Carmiotá Cnenca ne uns ecu meno ENERGIA

Sistema de partículas. Si un sistema de partículas se somete
sólo a fuerzas conservadoras, entonces puede escribirse una ecuación
Similar ala ecuación 14-21 para las partículas. Al aplicarlas ideas del
planteamiento precedente, la ecuación 14-8 (27, + Zur. = 37;)5e
Scribe

BT, + 21 = 37, + BV 422)

Aquí, la suma de as energías cinética y potencial iniciales del sistema
«iguala la suma de las energías cinética y potencial finales de iste-
ma. En otras palabras, 27 + 3V = const

Procedimiento para el análisis
La ecuación dela conservación de la energía puede utilizarse para
resolver problemas que implican ve/ocidad, desplazamiento y sis-
temas de fuerzas conservadoras. En general es más fácil de aplicar
que el principio del trabajo y energía porque esta ecuación requie-
re specilcarlas energía ciné y potencial de la partícula en sólo
dos puntos alo largo dela trayectoria, en lugar de determinar el
trabajo cuando la partícula experimenta un desplazamienio. Paro.
aplicación se sugiere el siguiente procedimiento,

Energía potencial.

(© Trace dos diagramas que muestren la partícula localizada en su
Punto inicial y final a bo largo de la trayectoria.

|.» Sita partícula se somete a un desplazamiento vertical, es
blexca el plano de referencia horizontal jo con respecto al

cual se vaa medi la energía potencial gravitacional Y, dela
particule

+ Los datos relacionados con Ia elevación yde a partícula con
respect al plano de referencia y con el alargamiento o com.
presión e cualesquier resorte de conexión pueden determi
"ans por la geometría asociada con los dos diagramas.

+ Recuerde que V, = Wy, donde yes posiiva hacia arriba del
plano de referencia y negativa hacia abajo; asimismo para un
resort, Y, = PK cual es postiva siempre.

Conservación de la energía.

+ Aplique la ecuación Ty + Vy = Ta + Vo,

+ Cuando determine la energía cinética, T = Jo”, recuerde
que La rapidez e la parcula debe medirse con respecto a un
Marco de referencia inercial,

146 Cosemaconoeiarnda 207

EJEMPLO [fi

El puente grúa mostrado en la fotografia se utiliza para probar
la respuesta de un avión al estrellarse. Como se muestra en a figura
14-21a, el avión, cuya masa es de 8 Mg, es izado hacia atrás hasta
que 8 = 60° y luego se suelta el cable AC cuando el avión está en
reposo. Determine In rapidez del avión justo antes de estrellarse
enelsuelo, = 15°. Además, ¿cuál esa tensión máxima desarrolla-
a en el cable de soporte durante el movimiento? Ignore el tamano.
del avión y el efecto de elevación provocado por las alas durante el
movimiento.

ino de

SOLUCION
‘Como la fuerza del cable no realiza abajo en el avión, debe obte-
nerse con la ecuación de movimiento. En primer lugar, sin embar-
80, debemos determinar la rapidez del avión en B.

Energía potencial. Por conveniencia, el plano de referencia so
estableció en el parte superior del puente gra, figura 14-210.

Conservación de la energía.

o
Feu

Ts + Va = Ta + Va
0 — 000 kg (9.81 m/s) (20 cos 60 m) =
8000 kg) ef — 8000 kg (9.81 m/s*)(20 cos 15° m)
t= 1352m/s = 135 m/s Resp.

Ecuación de movimiento. De acuerdo con el diagrama de cuer-
po libre, cuando el avión está en figura 14-216, tenemos

AN BE, = mag,

(1352 m/s?
T ~ (8000(9381) N) cos 15° = (9000 kg)

T= RN Resp.

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