Diseno_y_analisis_de_experimentos_Dougla (1).pdf

diseño y analisis de experimentos
libro y apuntes

1. DISEÑOY
ANÁLISISDE
EXPERIMENTOS

3. ¡W
DISENOY
~
ANALISISDE
EXPERIMENTOS
segundaedición
Douglas
c.Montgomery
UNIVERSIDADESTATALDEARIZONA~LIMUSA WILEY@

4. .MPflA-PlI~C::c7Al­
Al'PAC¡¡;JRA­
1c~5
r::!,1'[114-11'iriRl
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¿I/It(]""'r"I
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VERSiÓNAUTORIZADA ENESPAÑOLDELAOBRA
PUBLICADA
ENINGLESCONELTiTULO:
DESIGNANOANALYSISOFEXPERIMENTS
©JOHNWILEY&SONS,INC., NEWYORK,CHICHESTER,
BRISBANE,SINGAPORE,TORONTO
ANOWEINHEIM.
COLABORADOR
ENLATRADUCCiÓN:
RODOLFO PIÑAGARCíA
REVISiÓN:
ALMAROSAGRISELDAZETINAVÉLEZ
INGENIERAOUiMICA PORLAFACULTADDEQUiMICADELA
UNIVERSIDADNACIONALAUTÓNOMA DEMEXICO.DOCENTE
ENMATEMÁTICAS.JEFADELDEPARTAMENTO DEESTADis­
TICA
DELAUNIDAD DEADMINISTRACiÓN DELPOSGRADO
DGAE-UNAM. PROFESORA ENLAESCUELA DECIEN­
CIASQUíMICAS DELAUNIVERSIDADLASALLE.
LAPRESENTACiÓNYDISPOSICiÓNENCONJUNTODE
DISEÑOYANÁliSISDEEXPERIMENTOS
SONPROPIEDADDELEDITOR.NINGUNAPARTEDEESTAOBRA
PUEDESERREPRODUCIDAOTRANSMITIDA,MEDIANTENINGÚN
SISTEMAOMETODO, ELECTRÓNICOOMECÁNICO(INCLUYENDO
ELFOTOCOPIADO, LAGRABACiÓNOCUALOUIERSISTEMADE
RECUPERACiÓN YALMACENAMIENTO DEINFORMACiÓN),SIN
CONSENTIMIENTO PORESCRITODELEDITOR.
DERECHOS RESERVADOS:
©2004,EDITORIALL1MUSA,SADEC.V.
GRUPONORIEGAEDITORES
BALDERAS95,MEXICO,D.F.
C.P.06040
'iIff285038050
01(800)7069100
~55122903
'¡¡[email protected]
~¡~www.noriega.com.mx
CANIEMNÚM.121
SEGUNDA REIMPRESiÓN
DELASEGUNDAEDICiÓN
HECHOENMEXICO
ISBN968-18-6156-6

5. Prefacio
El presentelibroesuntextodeintroducciónqueabordaeldiseñoyanálisisdeexperimentos.Tienecomo
baseloscursossobrediseñodeexperimentosqueheimpartidodurantemásde
25añosenlaUniversidad
EstataldeATizona,laUniversidaddeWashingtonyelInstitutodeTecnologíadeGeorgia.Reflejaasimis­
molosmétodosqueheencontradoútiles
enmipropiaprácticaprofesionalcomoconsultoreningeniería
yestadística
enlasáreasgeneralesdedisenodeproductosyprocesos,mejoramientodeprocesoseinge­
nieríadecontroldecalidad.
Ellibroestádestinadoaestudiantesque
hanllevadounprimercursodemétodosestadísticos.Este
cursopreviodebeincluir
porlomenosalgunasdelastécnicasdeestadísticadescriptiva,ladistribución
normaly
unaintroducciónalosconceptosbásicosdelosintervalosdeconfianzaylapruebadehipótesis
paramediasyvarianzas.Loscapítulos10y 11requierenunmanejoelementaldeálgebramatricial.
Comolosrequisitosparallevarestecursosonrelativamentemodestos,estelibropuedeusarsetam­
bién
enunsegundocursodeestadísticaenfocadoeneldiseñoestadísticodeexperimentos paraestudian­
tesdelicenciaturadeingeniería,física,cienciasfísicasyquímicas,matemáticasyotroscamposdelas
ciencias.
Durantevariosañosheimpartido uncursobasado enestelibroenelprimerañodeestudiosde
posgradodeingeniería.Losestudiantesdeestecursoprovienendeloscampostradicionalesdeingenie­
ría,física,química,matemáticas,investigacióndeoperacionesyestadística.Tambiénheusadoestelibro
comobasede
uncursobreve paraelsectorindustrialsobrediseñodeexperimentos paratécnicosenejer­
ciciocon
unaampliadiversidadensuformaciónprofesional.Seincluyennumerososejemplosqueilustran
todaslastécnicasdediseñoyanálisis.Estosejemplosse
basanenaplicacionesdeldiseñoexperimental
enelmundoreal,ysehantomadodediferentescamposdelaingenieríaylasciencias.Estollevaalterreno
delasaplicacionesa
uncursoacadémico paraingenierosycientíficosyhacedeestelibro unaútilherra­
mientadereferenciaparaexperimentadoresde
unaampliagamadedisciplinas.
ACERCADELLIBRO
Lapresenteediciónconstituye unarevisiónsustancialdellibro. Heprocuradomantenerelequilibrioen­
trelostópicosdediseñoyanálisis;sinembargo,hayvariostemasyejemplosnuevos;asimismohereorga­
nizadogranpartedelmaterial.
Enlapresenteediciónseresaltamáselusodelacomputadora. Durante
losúltimosaños hansurgidovariosproductosdesoftwareexcelentesqueauxilianalexperimentador en
lasfasesdeldiseñoyelanálisis paraestamateria.Heincluidolassalidasdedosdeestosproductos,Mini­
taby
Design-Expe/1,envariaspartesdeltexto.Minitabes unpaquetedesoftwaredeestadísticadecarác­
tergeneralampliamentedisponible,quecuentaconútilesherramientasdeanálisisdedatosyquemaneja
bastantebienelanálisisdeexperimentostantoconfactoresfijoscomoaleatorios(incluyendoelmodelo
mixto).
Design-Expe/1esunpaquetequeseenfocaexclusivamenteeneldiseñoexperimental.Tienemu­
chasherramientas
paralaconstrucciónyevaluacióndediseños,asícomomúltiplescaracterísticasdeaná­
lisis.
Enelsitiowebdeestelibropuedeobtenerse unaversiónparaestudiantesde Design-Expe/1,ysehace
unaampliarecomendación parausarlo.Exhortoatodoslosprofesoresqueusenestelibro paraqueincor­
porensoftwaredecomputadoraensuscursos. Enmicasoparticular,llevoatodasmisclases unacompu-
v

6. vi PREFACIO
tadoralaptopyunmonitor,ytodoslosdiseñosotópicosdelanálisistratados enclaseseilustranconla
computadora.
Enestaedicióndestacoaúnmáslaconexiónentreelexperimentoyelmodeloquepuededesarrollar
elexperimentadorapartirdelosresultadosdelexperimento.Losingenieros
(yengranmedidaloscientí­
ficos
dt::lafísicaylaquímica)aprendenlosmecanismosfísicosysusmodelosmecanicistasfundamentales
alprincipiodesuformaciónacadémica,pero
enlamayorpartedesuscarrerasprofesionalestendránque
trabajarconestosmodelos.Losexperimentosdiseñadosestadísticamenteofrecenalingenierounabase
válida
paradesarrollarun modeloempírico delsistemabajoestudio.Despuésestemodeloempíricopue­
demanipularse(talvezutilizando
unasuperficiederespuestao unagráficadecontorno,oquizámatemá­
ticamente)comocualquierotromodelodeingeniería.Alolargodemuchosañosdedocenciahe
descubiertoqueesteenfoque
esmuyeficazparadespertarelentusiasmo porlosexperimentosdiseñados
estadísticamente
enlacomunidaddeingeniería. Enconsecuencia,aliniciodellibroplanteolanociónde
unmodeloempíricofundamental
paraelexperimentoylassuperficiesderespuestaydestacolaimpor­
tanciadelmismo.
Tambiénmeheesforzadoporpresentarmuchomásrápidolospuntoscríticosenlosqueintervienen
losdiseñosfactoriales.Parafacilitaresteobjetivo,condensé
enunsolocapítulo(el3)elmaterialintro­
ductoriosobrelosexperimentoscompletamentealeatorizadosconunsolofactoryelanálisisdevarianza.
Heampliadoelmaterialsobrelosdiseñosfactorialesyfactorialesfraccionados(capítulos5a19) enunes­
fuerzoporhacerqueelmaterialfluyaconmayoreficiencia
enlaperspectivatantodellectorcomodel
profesoryporhacermayorhincapié
enelmodeloempírico.Elcapítulosobrelassuperficiesderespuesta
(el11)sigueinmediatamentealmaterialsobrediseñosfactoriales
yfactorialesfraccionadosymodelado
deregresiones.
Heampliadoestecapítulo,agregandonuevomaterialsobrediseñosóptimosalfabéticos,
experimentosconmezclasyelproblemade
undiseñoparamétricorobusto. Enloscapítulos12y 13se
analizanexperimentosqueincluyenefectosaleatorios,asícomoalgunasaplicacionesdeestosconceptos
endiseñosanidadosyparcelassubdivididas.Elcapítulo14es unadescripcióngeneraldetemasimportan­
tesdediseñoyanálisis:larespuestanonormal,elmétododeBox-Cox
paraseleccionarlaformadeuna
transformación,yotrasalternativas;experimentosfactorialesnobalanceados;elanálisisdecovarianza,
incluyendocovariables
enundiseñofactorialymedicionesrepetidas.
Alolargodellibrohedestacadolaimportanciadeldiseñoexperimentalcomo
unaherramientaque
elingeniero
enejerciciopuedeusar eneldiseñoydesarrollodeproductos,asícomo eneldesarrolloyme­
joramientodeprocesos.Seilustraelusodeldiseñoexperimental
eneldesarrollodeproductosquesean
robustosafactoresambientales
yaotrasfuentesdevariabilidad.Considero queelusodeldiseñoexperi­
mental
enlasfasesinicialesdelciclodeunproductopuedereducirsustancialmenteeltiempoyelcostode
conducirlo,redundandoenprocesosyproductosconunmejordesempeño
encampoyunamayorconfia­
bilidadquelosque
sedesarrollanutilizandootros
enfoques~
Ellibrocontienemásmaterialdelquepuedecubrirsesinprisas enunsolocurso,porloqueespero
quelosprofesorespuedanvariarelcontenidodecadacursoobienestudiarmásafondoalgunostemas,
dependiendodelosinteresesdelaclase.Alfinaldecadacapítulohayungrupodeproblemas(excepto en
el1).Elalcancedeestosproblemasvaríadesdeejerciciosdecálculo,destinadosaconsolidarlosfunda­
mentos,hastalaampliacióndeprincipiosbásicos.
Micursoenlauniversidadloenfocoprincipalmente
enlosdiseñosfactorialesyfactorialesfracciona­
dos.
Enconsecuencia,porlogeneralcubroelcapítulo 1,elcapítulo2(muyrápido),lamayorpartedelca­
pítulo
3,elcapítulo4(sinincluirelmaterialsobrebloquesincompletosymencionandosólobrevemente
loscuadradoslatinos),ytrato
endetalleloscapítulos5a18sobrediseñosfactorialescondosnivelesydi­
señosfactorialesfraccionados.Paraconcluirelcurso,introduzcolametodologíadesuperficiesderes­
puesta(capítulo11)Yhagounrepasogeneraldelosmodelosconefectosaleatorios(capítulo12)ylos
diseñosanidadosyenparcelassubdivididas(capítulo13).Siemprepidoalosestudiantesquerealicenun

7. PREFACIO VÜ
proyectosemestralqueconsisteendiseñar,conducirypresentarlosresultadosdeunexperimentodise­
ñadoestadísticamente.Lespidoquetrabajenenequipos,pues
eslamaneraenqueserealizalamayor
partedelaexperimentaciónindustrial. Debenhacerlapresentacióndelosresultadosdesuproyectode
maneraoraly porescrito.
MATERIALSUPLEMENTARIO DELTEXTO
Conestaediciónhepreparado unsuplementoparacadacapítulodellibro. Enestematerialsuplementa­
riosedesarrollantemasquenopudierontratarseconmayordetalleenellibro.Tambiénpresentoalgunos
temasquenoaparecenexpresamente
enellibro,peroque paraalgunosestudiantesyprofesionistas en
ejerciciopodríaresultardeutilidad unaintroduccióndelosmismos.Elnivelmatemáticode partedeeste
materialesmáselevadoqueeldeltexto.Estoyconscientedequelosprofesoresusanestelibrocon
una
ampliavariedaddeaudiencias,yesposiblequealgunoscursosdediseñomásavanzados puedanbenefi­
ciarsealincluirvariosdelostemasdelmaterialsuplementariodeltexto.Estematerialestá
enformato
electrónicoenelCD/ROMdelprofesor(disponiblesólo
eninglés)yseencuentraenelsitio webdeeste
libro.
SITIOWEB
Enelsitiowebhttp://www.wiley.com/legacy/college/engin/montgomery316490/student/student.htmlestá
disponibleelmaterialdeapoyoparaprofesoresyestudiantes.
Estesitioseusará paracomunicarinforma­
ciónacercadeinnovacionesyrecomendaciones
paraelusoeficazdeestetexto.Elmaterialsuplementa­
riodeltextopuedeencontrarse
enestesitio,juntoconversioneselectrónicasdelasseriesdedatos
utilizadas
enlosejemplosylosproblemasdetarea, unplandeestudiosdelcursoyproyectossemestrales
delcurso
enlaUniversidadEstataldeArizona.
RECONOCIMIENTOS
Expresomiagradecimientoalosmuchosestudiantes,profesoresycolegasque hanusadoantesestelibro
yquienes
mehanhechollegarútilessugerencias paraestarevisión.Lascontribucionesdelosdoctores
RayrnondH.Myers,G.GeoffreyVining,Dennis
Un,JohnRamberg,JosephPignatiello,Lloyd S.Nelson,
AndreK.huri,PeterNelson,John A.Comell,George C.Runger,BertKeats,DwayneRollier,Norma Hu­
bele,CynthiaLowry,RussellG.Heikes,HarrisonM.Wadsworth,WilliamWHines,ArvindShah,Jane
Arnmons,DianeSchaub,PatSpagonyWilliamDuMouche,ylosseñores
MarkAndersonyPatWhitcomb
fueronparticularmenteinvaluables.MiJefedeDepartamento,eldoctorGaryHogg,
haproporcionado
unambienteintelectualmenteestimulante enelcualtrabajar.
Lascontribucionesdelosprofesionistas
enactivoconquieneshetrabajado hansidoinvaluables.Es
imposiblemencionarlosatodos,peroalgunosdelosprincipalesson
DanMcCarvilleyLisaCusterdeMo­
torola;RichardPostdeIntel;TomBingham,DickVaughn,JulianAnderson,RichardAlkireyChase
NeilsondeBoeingCompany;MikeGoza,
DonWalton,KarenMadison,JeffStevensyBobKohmde
Alcoa;JayGardiner,JohnButora,
DanaLesher,LollyMarwah,PaulTobiasy LeanMasandeIBM;Eli­
zabeth
A.Peckde TheCoca-ColaCompany;SadriK.halessiyFranzWagnerdeSignetics;Robert V.Bax­
leydeMonsantoChemicals;HarryPeterson-NedryyRussellBoylesdePrecisionCastpartsCorporation;
BillN
ewyRandySchmiddeAllied-SignalAerospace;J ohnM.Fluke,hijo,deJohnFlukeManufacturing

8. viiiPREFACIO
Company;LarryNewtonyKipHowlettdeGeorgia-Pacific,y ErnestoRamosdeBBNSoftwareProducts
Corporation.
MeencuentroendeudaconelprofesorE.S.Pearsony conBiometlika,JohnWiley&Sons,Prenti­
ce-Hall,
TheAmericanStatisticalAssociation, TheInstituteofMathematicalStatisticsyloseditores de
Biometlicsporelpermisoparausarmaterialprotegido porderechosdeautor.LisaCusterrealizó unex­
celentetrabajodepresentacióndelassolucionesqueaparecen
en
elCD/ROMdelprofesor,yladoctora
CherylJenningsrealizó
unacorreccióndeestiloeficazyde sumautilidad.Estoyagradecidocon laOffice
ofNavalResearch, laNationalScienceFoundation,lascompañíasintegrantesdeNSF/Industry/Univer­
sityCooperativeResearch
CenterinQualityandReliabilityEngineeringdelaUniversidadEstatal de
Arizona,e IBMCorporationporapoyargran partedemisinvestigacionesdeestadísticaydiseñoexperi­
mentaldeingeniería.
DouglasC.Montgomery
Tempe,
Alizona

9. Contenido
Capítulo1.Introducción 1
1-1Estrategiadeexperimentación 1
1-2Algunasaplicacionestípicasdeldiseñoexperimental 8
1-3Principiosbásicos 11
1-4Pautasgeneralesparadiseñarexperimentos 13
1-5Brevehistoriadeldiseñoestadístico 17
1-6Resumen:usodetécnicasestadísticasenlaexperimentación 19
Capítulo2.Experimentoscomparativossimples 21
2-1Introducción 21
2-2Conceptosestadísticosbásicos 22
2-3Muestreoydistribucionesdemuestreo 26
2-4Inferenciasacercadelasdiferenciasenlasmedias,diseñosaleatorizados 33
2-4.1Pruebadehipótesis 33
2-4.2Eleccióndeltamañodelamuestra 40
2-4.3Intervalosdeconfianza 42
2-4.4Casoenque
a;;éa; 44
2-4.5Casoenqueseconocena;ya; 44
2-4.6Comparacióndeunasolamediaconunvalorespecificado 45
2-4.7Resumen 46
2-5Inferenciasacercadelasdiferenciasenlasmedias,diseñosdecomparacionespareadas 47
2-5.1Elproblemadelascomparacionespareadas 47
2-5.2Ventajasdeldiseñodecomparacionespareadas 50
2-6Inferenciasacercadelasvarianzasdedistribucionesnormales 51
2-7Problemas 54
Capítulo3.Experimentosconunsolo factor:elanálisisdevarianza 60
3-1Unejemplo 60
3-2Elanálisisdevarianza 63
3-3Análisisdelmodeloconefectosfijos 65
3-3.1Descomposicióndelasumadecuadradostotal 66
3-3.2Análisisestadístico 69
3-3.3Estimaciónde losparámetrosdelmodelo 74
3-3.4Datosnobalanceados 75
ix

10. x CONTENIDO
3-4Verificación delaadecuacióndelmodelo 76
3-4.1Elsupuestodenormalidad 77
3-4.2Gráficadelosresidualesensecuenciaeneltiempo 79
3-4.3Gráficadelosresidualescontralosvaloresajustados 80
3-4.4Gráficasdelosresidualescontraotrasvariables 86
3-5Interpretaciónprácticadelosresultados 86
3-5.1Unmodeloderegresión 87
3-5.2Comparacionesentrelasmediasdelostratamientos 88
3-5.3Comparacionesgráficasdemedias 89
3-5.4Contrastes 90
3-5.5Contrastesortogonales 93
3-5.6MétododeSchefféparacomparartodosloscontrastes 95
3-5.7Comparacióndeparesdemediasdetratamientos 96
3-5.8Comparacióndemediasdetratamientoscon uncontrol 103
3-6Muestradesalidadecomputadora 104
3-7Determinacióndeltamañodelamuestra 107
3-7.1Curvasdeoperacióncaracterística 107
3-7.2Especificaciónde unincrementodeladesviaciónestándar 109
3-7.3Métodoparaestimarelintervalodeconfianza 110
3-8Identificacióndeefectosdedispersión 110
3-9Elenfoquederegresiónparaelanálisisdevarianza 112
3-9.1Estimacióndemínimoscuadradosdelosparámetrosdelmodelo 112
3-9.2Pruebageneraldesignificacióndelaregresión 114
3-10Métodosnoparamétricosenelanálisisdevarianza 116
3-10.1LapruebadeKruskal-Wallis 116
3-10.2Comentariosgeneralessobrelatransformaciónderangos 118
3-11Problemas 119
Capítulo4.Bloquesaleatorizados,cuadradoslatinos ydiseñosrelacionados 126
4-1Diseñodebloquescompletosaleatorizados 126
4-1.1Análisisestadísticodeldiseñodebloquescompletosaleatorizados 127
4-1.2Verificacióndelaadecuacióndelmodelo 135
4-1.3Otrosaspectosdeldiseñodebloquescompletosaleatorizados 136
4-1.4Estimacióndelosparámetrosdelmodelo ylapruebageneralde
significacióndelaregresión
141
4-2Diseñodecuadradolatino 144
4-3Diseñodecuadradogrecolatino 151
4-4Diseñosdebloquesincompletosbalanceados 154
4-4.1Análisisestadísticodeldiseñodebloquesincompletosbalanceados 155
4-4.2Estimacióndemínimoscuadradosdelosparámetros 159
4-4.3Recuperacióndeinformacióninterbloqueseneldiseñodebloques
incompletosbalanceados
161
4-5Problemas 164

11. Capítulo5.
5-1
5-2
5-3
5-4
5-5
5-6
5-7
Capítulo6.
6-1
6-2
6-3
6-4
6-5
6-6
6-7
Capítulo7.
7-1
7-2
7-3
7-4
7-5
7-6
7-7
7-8
Capítulo8.
8-1
8-2
8-3
8-4
8-5
8-6
8-7
8-8
Introducciónalosdiseñosfactoriales
Definicionesyprincipiosbásicos
Laventajadelosdiseñosfactoriales
Diseñofactorialdedosfactores
5-3.1
Unejemplo
5-3.2Análisisestadísticodelmodeloconefectosfijos
5-3.3Verificación delaadecuacióndelmodelo
5-3.4Estimacióndelosparámetrosdelmodelo
5-3.5Eleccióndeltamañodelamuestra
5-3.6Elsupuestodenointeracciónen
unmodelodedosfactores
5-3.7Unaobservaciónporcelda
Diseñofactorialgeneral
Ajustedecurvas
ysuperficiesderespuesta
Formacióndebloquesenundiseñofactorial
Problemas
Diseñofactorial 2
k
Introducción
Eldiseño2
2
Eldiseño2
3
Eldiseñogeneral 2
k
Unasolaréplicadeldiseño 2
k
Adicióndepuntoscentrales eneldiseño2
k
Problemas
Formacióndebloques yconfusióneneldiseñofactorial 2
k
Introducción
Formacióndebloquesde
undiseñofactorial 2
k
conréplicas
Confusióndeldiseñofactorial
2
k
Confusióndeldiseñofactorial 2
k
endosbloques
Confusióndeldiseñofactorial
2
k
encuatrobloques
Confusióndeldiseñofactorial
~en'l!bloques
Confusiónparcial
Problemas
Diseñosfactorialesfraccionadosdedosniveles
Introducción
Lafracciónunmediodeldiseño 2
k
Lafracciónuncuartodeldiseño 2
k
Eldiseñofactorialfraccionado 2
k
-p
general
Diseñosderesolución
III
DiseñosderesoluciónIV yV
Resumen
Problemas
CONTENIDO xi
170
170
174
175
175
177
185
185
189
190
191
194
201
207
211
218
218
219
228
242
244
271
276
287
287
287
288
289
296
297
299
301
303
303
304
317
326
337
347
349
350

12. xiiCONTENIDO
Capítulo9.
9-1
9-2
9-3
9-4
9-5
Capítulo10.
10-1
10-2
10-3
10-4
10-5
10-6
10-7
10-8
10-9
Capítulo11.
11-1
11-2
11-3
Diseñosfactorialesyfactorialesfraccionadoscontresnivelesyconnivelesmixtos
Diseñofactorial 3
k
9-1.1Notaciónymotivacióndeldiseño 3
k
9-1.2Eldiseño3
2
9-1.3Eldiseño3
3
9-1.4Eldiseñogenera13
k
Confusióneneldiseñofactorial 3
k
9-2.1Eldiseñofactoria13
k
entresbloques
9-2.2Eldiseñofactoria13
k
ennuevebloques
9-2.3Eldiseñofactoria13
k
en3
P
bloques
Réplicasfraccionadasdeldiseñofactorial
3
k
9-3.1Lafracciónunterciodeldiseñofactoria13
k
9-3.2Otrosdiseñosfactorialesfraccionados 3
k
-p
Diseñosfactorialesconnivelesmixtos
9-4.1Factorescondos ytresniveles
9-4.2Factorescondos
ycuatroniveles
Problemas
Ajustede modelosderegresión
Introducción
Modelosderegresiónlineal
Estimacióndelosparámetrosenmodelosderegresiónlineal
Pruebadehipótesisenlaregresiónmúltiple
10-4.1Pruebadesignificacióndelaregresión
10-4.2Pruebasdeloscoeficientesderegresiónindividuales
ydegruposdecoeficientes
Intervalosdeconfianzaenregresionesmúltiples
10-5.1Intervalosdeconfianzaparaloscoeficientesderegresiónindividuales
10-5.2Intervalodeconfianzaparalarespuestamedia
Prediccióndenuevasobservacionesdelarespuesta
Diagnósticosdelmodeloderegresión
10-7.1Residualesescalados yPRESS
10-7.2Diagnósticosdeinfluencia
Pruebadefaltadeajuste
Problemas
Métodosdesuperficiesde respuestayotrosenfoquesparalaoptimizaciónde
procesos
Introducciónalametodologíadesuperficiesderespuesta
Métododelascensomáspronunciado
Análisisdeunasuperficiederespuestadesegundoorden
11-3.1Localizacióndelpuntoestacionario
11-3.2Caracterizacióndelasuperficiederespuesta
11-3.3Sistemasdecordilleras
363
363
363
365
367
372
373
373
377
378
379
379
382
383
384
385
387
392
392
393
394
409
409
412
415
415
416
416
416
417
420
421
422
427
427
430
436
436
440
447

13. 11-4
11-5
11-6
11-7
11-8
11-3.4Respuestasmúltiples
Diseñosexperimentalesparaajustarsuperficiesderespuesta
11-4.1Diseñosparaajustar elmodelodeprimerorden
11-4.2Diseñosparaajustarelmodelodesegundoorden
11-4.3Formacióndebloquesenlosdiseñosdesuperficiederespuesta
11-4.4Diseños(óptimos)generados
porcomputadora
Experimentosconmezclas
Operaciónevolutiva
Diseñorobusto
11-7.1Antecedentes
11-7.2Elenfoquedelasuperficiederespuestapara
eldiseñorobusto
Problemas
CONTENIDO xiii
448
455
455
456
462
466
472
484
488
488
492
500
Capítulo12.
12-1
12-2
12-3
12-4
12-5
12-6
12-7
12-8
Capítulo13.
13-1
13-2
13-3
13-4
13-5
13-6
Capítulo14.
14-1
Experimentosconfactoresaleatorios
Modeloconefectosaleatorios
Diseñofactorialdedosfactoresaleatorios
Modelomixtocondosfactores
Determinacióndeltamañodelamuestraconefectosaleatorios
Reglasparaloscuadradosmediosesperados
Pruebas
Faproximadas
Algunostemasadicionalessobrelaestimacióndeloscomponentesdela
varianza
12-7.1Intervalosdeconfianzaaproximados paraloscomponentesdelavarianza
12-7.2Métododegrandesmuestrasmodificado
12-7.3Estimacióndemáximaverosimilituddecomponentesdelavarianza
Problemas
Diseñosanidados yenparcelassubdivididas
Diseñoanidadodedosetapas
13-1.1Análisisestadístico
13-1.2Verificacióndeldiagnóstico
13-1.3Componentesdelavarianza
13-1.4Diseñosanidadosporetapas
Diseñoanidadogeneralde
111etapas
Diseñosconfactoresanidados
yfactoriales
Diseñodeparcelassubdivididas
Otrasvariantesdeldiseñodeparcelassubdivididas
13-5.1Diseñodeparcelassubdivididasconmásdedosfactores
13-5.2Diseñodeparcelascondoblesubdivisión
13-5.3Diseñodeparcelassubdivididasenfranjas
Problemas
Otrostópicosdediseño yanálisis
Respuestasytransformacionesnonormales
511
511
517
522
529
531
535
543
543
545
547
552
557
557
558
563
565
566
566
569
573
578
578
580
583
584
590
590

14. xivCONTENIDO
14-1.1Seleccióndeunatransformación:el métododeBox-Cox
14-1.2Modelolinealgeneralizado
14-2Datosnobalanceados
enundiseñofactorial
14-2.1Datosproporcionales:
uncasosencillo
14-2.2Métodosaproximados
14-2.3Métodoexacto
14-3Análisisdecovarianza
14-3.1Descripcióndelprocedimiento
14-3.2Solución
porcomputadora
14-3.3Desarrollomediantela
pruebageneraldesignificacióndelaregresión
14-3.4Experimentosfactorialesconcovariables
14-4Medicionesrepetidas
14-5Problemas
Bibliografía
590
594
600
600
601
604
604
605
614
616
619
624
627
630
Apéndice
Tablal.
Tabla11.
TablaI1I.
Tabla
Iv.
TablaV.
TablaVI.
TablaVII.
TablaVIII.
Tabla
IX.
TablaX.
TablaXI.
TablaXII.
TablaXIII.
Índice
637
Distribuciónnormalestándaracumulada 638
Puntosporcentualesdeladistribución
t 640
Puntosporcentualesdeladistribuciónx2 641
PuntosporcentualesdeladistribuciónF 642
Curvasdeoperacióncaracterística
paraelanálisisdevarianzadelmodeloconefectosfijos647
Curvas
deoperacióncaracterística paraelanálisisdevarianzadelmodeloconefectos
aleatorios
651
Rangossignificativos paralapruebadelrangomúltiple deDuncan 655
Puntosporcentualesdelestadísticodelrangostudentizado 656
Valorescríticos
paralapruebade Dunnettparacomparartratamientoscon uncontrol 658
Coeficientesdepolinomiosortogonales
661
Númerosaleatorios 662
Relacionesdealias
paradiseñosfactorialesfraccionados 2
k
-P
conle
:515Yn:564 663
Glosario
paraelusode DesignExpelt 680
681

15. Introducción
1..1ESTRATEGIADEEXPERIMENTACIÓN
Investigadoresdeprácticamentetodosloscamposdeestudiollevanacaboexperimentos,porlogeneral
paradescubriralgoacercadeunprocesoosistemaparticular. Enunsentidoliteral,unexperimentoes
unaprueba.Enunaperspectivamásformal,unexperimentopuededefinirsecomounapruebaoseriede
pruebasenlasquesehacencambiosdeliberadosenlasvariablesdeentradadeunprocesoosistemapara
observareidentificarlasrazonesdeloscambiosquepudieranobservarseenlarespuestadesalida.
Estelibrotratadelaplaneaciónyrealizacióndeexperimentosydelanálisisdelosdatosresultantesa
findeobtenerconclusionesválidasyobjetivas.Laatenciónsecentraenlosexperimentosdeingenieríay
lascienciasfísicasyquímicas.
Eningeniería,laexperimentacióndesempeñaunpapelimportanteeneldi­
señodeproductosnuevos,eldesarrollodeprocesosdemanufacturayelmejoramientodeprocesos.El
objetivoenmuchoscasosseríadesarrollarunprocesorobusto,esdecir,unprocesoqueseaafectadoen
formamínimaporfuentesdevariabilidadexternas.
Comoejemplodeunexperimento,supongaqueuningenierometalúrgicotieneinterésenestudiarel
efectodedosprocesosdiferentesdeendurecimiento,eltempladoenaceitey
eltempladoenaguasalada,
sobreunaaleacióndealuminio.Elobjetivodelexperimentador
esdeterminarcuáldelasdossoluciones
detempladoproduceladurezamáximaparaestaaleaciónparticular.Elingenierodecidesometervarios
ejemplaresomuestrasparaensayodelaaleaciónacadamediodetempladoymedirladurezadelos
ejemplaresdespuésdeltemplado.Paradeterminarcuáldelassoluciones
eslamejor,seusaráladureza
promediodelosejemplarestratadosencadasolucióndetemplado.
Alexaminarestesencilloexperimentosalenarelucirvariascuestionesimportantes:
1.¿Estasdossolucionessonlosúnicosmediosdetempladodeinteréspotencial?
2.¿Hayenesteexperimentootrosfactoresquepodríanafectarladurezayquedeberíaninvestigar­
seocontrolarse?
3.¿Cuántasmuestrasparaensayodelaaleacióndeberánprobarseencadasolucióndetemplado?
4.¿Cómodeberánasignarselasmuestrasparaensayodepruebaalassolucionesdetempladoyen
quéordendeberáncolectarselosdatos?
1

16. 2 CAPÍTULO1INTRODUCCIÓN
5.¿Quémétododeanálisisdedatosdeberáusarse?
6.¿Quédiferenciaenladurezapromedioobservada entrelosdosmediosde templadoseconside­
raráimportante?
Todasestaspreguntas,ytalvezmuchasmás,tendránquerespondersesatisfactoriamenteantesdellevara
caboelexperimento.
Encualquierexperimento,losresultadosylasconclusionesque puedansacarsedependen engran
medidadela
maneraenqueserecabaronlosdatos. Parailustrarestepunto,supongaqueelingeniero
metalúrgicodelexperimentoanteriorutilizóejemplaresde
unahornadaparaeltempladoenaceitey
ejemplaresde
unasegundahornadaparaeltemplado enaguasalada.Entonces,cuandocompareladure­
zapromedio,elingenierono
podrásaberqué partedeladiferenciaobservadaesresultadodelasolución
detempladoyqué
parteeselresultadodediferenciasinherentesentrelashornadas.
1
Porlotanto,elmé­
todoutilizado
pararecabarlosdatos haafectadode maneraadversalasconclusionesque puedensacarse
delexperimento.
Engeneral,losexperimentosseusan paraestudiareldesempeñodeprocesosysistemas.Elprocesoo
sistemapuederepresentarseconelmodeloilustrado
enlafigura1-1. Elprocesopuede porlogeneralvi­
sualizarsecomo
unacombinacióndemáquinas,métodos,personasuotrosrecursosquetransformancier­
taentrada(confrecuenciaunmaterial) enunasalidaquetiene unaomásrespuestasobservables.
Algunasvariablesdelprocesoxl,x2,
...,x
psoncontrolables,mientrasque otrasz
1,z2,...,Zqsonnocontrola­
bles(aunque
puedenserloparalosfinesde unaprueba).Losobjetivosdelexperimentopodríancom­
prenderlossiguientes:
1.Determinarcuálessonlasvariablesquetienenmayorinfluenciasobrelarespuesta y.
2.Determinarcuáleselajustedelasxquetienemayorinfluencia paraquey
estécasisiemprecerca
delvalornominaldeseado.
3.Determinarcuáleselajustedelas
xquetienemayorinfluencia paraquelavariabilidadde ysea
reducida.
4.Determinarcuáleselajustedelasxquetienemayorinfluencia paraquelosefectosdelasvaria­
blesnocontrolables
Zl'Z2,...,Zqseanmínimos.
Comosepuedeverporelanálisisanterior,losexperimentosincluyenmuchasvecesvariosfactores.
Habitualmente,unodelosobjetivosdelapersonaquerealiza
unexperimento,llamadaelexperimenta­
dor,
esdeterminarlainfluenciaquetienenestosfactoressobrelarespuestadesalidadelsistema.Alenfo-
Factorescontrolables
x,X
2
Entradas
Proceso
Z,Z2 Zq
Factoresnocontrolabies
Salida
y
Figura1-1Modelogeneralde unpro­
cesoosistema.
1Unespecialistaendiseñoexperimentaldiríaquelosefectosdelosmediosdetemplado ylashornadasseconfundieron;esdecir,los
efectosdeestosdosfactoresnopuedensepararse. .

17. /
!
f
1-1ESTRATEGIADEEXPERIMENTACIÓN 3
quegeneralparaplanearyllevaracaboelexperimentoselellamaestrategiadeexperimentación.Existen
variasestrategiasquepodríausarunexperimentador.Seilustraránalgunasdeellasconunejemplomuy
sencillo.
Alautorlegustamuchojugargolf.Desafortunadamente,noleagradapracticar, porloquesiempre
buscala
maneramássencillaparabajarsupuntuación.Algunosdelosfactoresqueélconsideraimpor­
tantes,oquepodríaninfluirensupuntuación,sonlossiguientes:
1.Eltipodepalousado(grandeonormal).
2.Eltipodepelotausada(degomadebalataodetrespiezas).
3.Caminarcargandolospalosdegolfohacerelrecorridoenuncarrito.
4.Beberaguaocervezaduranteeljuego.
s.Jugarenlamañanaoenlatarde.
6.Jugarcuandohacefríoocuandohacecalor.
7.Eltipodespikesusados enloszapatosdegolf(metálicosodehule).
8.Jugaren
undíaconvientooenunoapacible.
Evidentemente,haymuchosotrosfactoresquepodríanconsiderarse,perosupongamosqueéstossonlos
deinterésprimario.Además,teniendoencuentasulargaexperienciaeneljuego,elautordecidequelos
factores5a18puedenignorarse;
esdecir,estosfactoresnosonimportantesporquesusefectossontanpe­
queñosquecarecendevalorpráctico.Losingenierosylosinvestigadoresdebentomaramenudoestetipo
dedecisionesacercadealgunosdelosfactoresqueexaminanenexperimentosreales.
Consideremosahoracómopodríanprobarseexperimentalmentelosfactores
1al4paradeterminar
suefectosobrelapuntuacióndelautor.Supongaque
enelcursodelexperimento puedenjugarseunmá­
ximodeochorondasdegolf.
Unenfoqueconsistiría enseleccionarunacombinaciónarbitrariadeestos
factores,probarlosyverquéocurre.Porejemplo,supongaqueseseleccionalacombinacióndelpalo
grande,lapelotadegomadebalata,elcarritoy
elagua,yquelapuntuaciónresultantees 87.Sinembargo,
durantelarondaelautornotóvariostirosdescontroladosconelpalogrande(enelgolf,grandenosiem­
preessinónimodebueno) y,enconsecuencia,decidejugar otrarondaconelpalonormal,manteniendo
losdemásfactoresenlosmismosnivelesusados
anteriorm~nte. Esteenfoquepodríacontinuardemane­
racasiindefinida,cambiandolosnivelesdeuno (oquizádos)delosfactores paralapruebasiguiente,con
base
enelresultadodelaprueba encurso.Estaestrategiadeexperimentación,conocidacomoenfoquede
lamejorconjetura,escomúnentreingenierosycientíficos.Funcionademaneraadecuada silosexperi­
mentadorescuentancon
unagrancantidaddeconocimientostécnicosoteóricosdelsistemaqueestánes­
tudiando,asícomoampliaexperienciapráctica.Sinembargo,elenfoquedelamejorconjeturapresenta
almenosdosdesventajas.Primera,supóngasequelamejorconjeturainicialnoproducelosresultadosde­
seados.Entonceselexperimentadortienequehacerotraconjeturaacercadelacombinacióncorrectade
losnivelesdelosfactores.Estopodríacontinuar
pormuchotiempo,singarantíaalgunadeéxito.Segun­
da,supóngasequelamejorconjeturainicialproduce
unresultadosatisfactorio.Entonces,elexperimen­
tadorsevetentadoasuspenderlaspruebas,auncuandonohayningunagarantíadequese
haencontrado
lamejorsolución.
Otraestrategiadeexperimentaciónmuycomúnenlaprácticaeselenfoquede unfactorala vez.Este
métodoconsisteenseleccionar
unpuntodepartida,olíneabasedelosniveles, paracadafactor,parades­
puésvariarsucesivamentecada factorensurango,manteniendoconstanteslosfactoresrestantesenelni­
velbase.Despuésdehaberrealizadotodaslaspruebas,seconstruye
porlogeneralunaseriedegráficas
enlasquesemuestralaformaenquelavariablederespuestaesafectadaalvariarcadafactormantenien­
dolosdemásfactoresconstantes.
Enlafigura1-2sepresentaunaseriedegráficas paraelexperimento
delgolf,utilizandocomolíneabaselosnivelesdeloscuatrofactores:elpalogrande,lapelotadegomade

18. 4 CAPÍTULO1INTRODUCCIÓN
e~e~e~el:
:§----:g :g~ :g
::l -----... ro•• ro ro
e ~ ~ ~
::J ::J ::J :J
a.. a.. a.. a..
G(grande)N(normal) GB(goma TP(tres C(caminando) EC(en A(agua)C(cerveza)
Palo debalata) piezas) carrito)
Pelota Maneradedesplazarse Bebida
Figura1-2Resultadosdelaestrategiadeunfactoralavezparaelexperimentodegolf.
balata,caminarybeberagua.Lainterpretacióndeestagráficaesdirecta; porejemplo,debidoaquela
pendientedelacurvadelamaneradedesplazarseesnegativa,seconcluiríaquehacerelrecorridoenel
carritomejoralapuntuación.Conbaseenestasgráficasde
unfactoralavez,lacombinaciónóptimaque
seseleccionaríaseríaelpalonormal,desplazarse
enelcarritoy beberagua.Eltipodepelotadegolfapa­
rentementecarecedeimportancia.
Ladesventajaprincipaldelaestrategiade unfactoralavezesquenopuedetomarenconsideración
cualquierposible
interacciónentrelosfactores.Hay unainteraccióncuando unodelosfactoresnopro­
duceelmismoefectoenlarespuestaconnivelesdiferentesdeotrofactor.
Enlafigura1-3semuestrauna
interacciónentrelosfactoresdeltipodepaloylabebida paraelexperimentodelgolf.Observeque siel
autorutilizaelpalonormal,eltipodebebidaconsumidaprácticamentenotieneefectoalgunosobresu
puntuación,pero
siutilizaelpalogrande,seobtienenresultadosmuchomejorescuandobebeaguaenlu­
gardecerveza.Lasinteraccionesentrefactoressonmuycomunes
y,encasodeexistir,laestrategiade un
factoralavezcasisiempreproduciráresultadosdeficientes.Muchaspersonasnopercibenesto y,en
consecuencia,losexperimentosde unfactoralavezsoncomunes enlapráctica.(Dehecho,algunas
personaspiensanqueestaestrategiaserelacionaconel
métodocientíficooquees unprincipio"sólido"
deingeniería.)Losexperimentosde
unfactoralavezsiempresonmenoseficientesqueotrosmétodos
basadosen
unenfoqueestadísticodeldiseñoexperimental. Eltemaseanalizaráconmayordetalleenel
capítulo
5.
Elenfoquecorrecto paratrabajarconvariosfactoresesconducir unexperimentofactorial.Setrata
deunaestrategiaexperimental enlaquelosfactoressehacenvariar enconjunto,enlugarde unoalavez.
e
'0
'0
~
~
A(agua) C(cerveza)
Tipodebebida
Figura1-3Interacciónentreel
tipodepaloyeltipodebebidapara
elexperimentodelgolf.
TP(tres
piezas)
GB
(gomade
balata)
L.-_..J- :---'-__
G(grande) N(normal)
Tipodepalo
Figura1-4Experimentofactorialdedos
factoresqueincluyeeltipodepaloyeltipo
depelota.

19. 1-1E5TRATEGIADEEXPERIMENTACIÓN 5
Elconceptodediseñoexperimentalfactorialesdesumaimportancia, yvarioscapítulosdeestelibrose
dedicanapresentarexperimentosfactorialesbásicos,asícomoalgunasvariantesycasosespecialesútiles.
Parailustrarlaformaenque
sellevaacabounexperimentofactorial,considereelexperimentode
golfysupongaquesólodosdelosfactoressondeinterés,eltipodepaloyeltipodepelota.
Enlafigura
1-4semuestraunexperimentofactorial
paraestudiarlosefectosconjuntosdeestosdosfactoressobrela
puntuacióndegolfdelautor.Observequeenesteexperimentofactorialambosfactorestienendosnive­
lesyque
eneldiseñoseusantodaslascombinacionesposiblesdelosnivelesdeambosfactores.Geomé­
tricamente,lascuatrocorridasformanlosvérticesdeuncuadrado.Aestetipoparticulardeexperimento
factorialselellama
diseñofactorial2
2
(dosfactores,cadaunocondosniveles).Debidoaqueelautor
considerarazonablesuponerquejugaráochorondasdegolf
parainvestigarestosfactores,unplanfacti­
bleseríajugardosrondasdegolfconcadacombinacióndelosnivelesdelosfactores,comosemuestraen
lafigura1-4.
Undiseñadordeexperimentosdiríaquese hanhechodos réplicasdeldiseño.Estediseño
experimentalpermitiríaalexperimentadorinvestigarlosefectosindividuales(olosefectos
principales)
decadafactor ydeterminarsiexistealgunainteracciónentrelosfactores.
Enlafigura1-5asepresentanlosresultadosobtenidosalrealizarelexperimentofactorialdelafigura
1-4.Enlosvérticesdelcuadradoseindicanlaspuntuacionesdecadarondadegolfjugadaconlascuatro
combinacionesdeprueba.Observequehaycuatrorondasdegolfqueproporcionaninformaciónacerca
delusodelpalonormalycuatrorondasqueproporcionaninformaciónsobreelusodelpalogrande.Al
encontrarladiferenciapromediodelaspuntuacionesqueestán
enlosladosderechoeizquierdodel
cuadrado(comoenlafigura
1-5b),setieneunamedidadelefectodecambiardelpalogrande alpalonormal,o
92+94+93+91
Efectodelpalo = 4
88+91+88+90=325
4 .
92,94
--~---
TP(tres88,91
piezas)
i5
"!
Ol
"O
8.
F
88,90
G(grande) N(normal)
Tipodepalo
b)Comparacióndelaspuntuaciones
queconducenalefectodelpalo
,ª!9
0..2
e.Ol
Fe.
TP(tres
piezas)
GB(goma
debalata)
L...-.L-. '---
G(grande) N(normal)
Tipodepalo
d)Comparacióndelaspuntuaciones
queconducen
alefectode la
interacciónpelota-palo
IDl
Oleo
"O~
0..2
e.Ol
Fe.
G(grande) N(normal)
Tipodepalo
e)Comparacióndelaspuntuaciones
queconducenalefectode
lapelota
TP(tres
piezas)
GB(goma
debalata)
GB(goma
debalata)
1....-..1..-. -'-_
G(grande) N(normal)
Tipodepalo
a)Puntuacionesdelexperimentodegolf
o
:(El
~~
0..2
e.Ol
Fe.
TP(tres
piezas)
GB(goma
debalata)
1....-..1...-_--'---
Figura1·5 Puntuacionesdelexperimentodelgolfdelafigura1-4ycálculodelosefectosdelosfactores.

20. 6 CAPÍTULO1INTRODUCCIÓN
Esdecir,enpromedio,alcambiardelpalograndealnormal lapuntuaciónseincrementa3.25golpes por
ronda.Demanerasimilar,ladiferenciapromediodelas cuatropuntuacionesdela partesuperiordelcua­
dradoydelascuatropuntuacionesde laparteinferiormidenelefectodeltipodepelotausado(verla fi­
gura1-5e):
88+91+92+94
Efectodela
pelota=---4---
88+90+93+91=075
4 .
Porúltimo,puedeobtenerseunamedidadelefectode lainteracciónentreeltipodepelotayeltipode
palorestandolapuntuaciónpromedio
enladiagonaldeizquierdaa derechadelcuadradodelapuntua­
ciónpromediodeladiagonaldederechaaizquierda(verlafigura
1-5d),cuyoresultadoes
Ef d l
·
.,1 1 92+94+88+90
ectoe a mteraCClOnpeota-pao =---4---
88+91:93+91=0.25
Losresultadosdeesteexperimentofactorialindican
queelefectodelpaloesmayorqueelefectode
la
pelotaoqueeldelainteracción.Podríanusarsepruebasestadísticasparadeterminarsicualquiera
deestosefectosdifieredecero. Dehecho,elcasoesquehayevidenciaestadísticarazonablementesólida
dequeelefectodelpalodifieredeceroydeque
noeselcaso paralosotrosdosefectos. Porlotanto,tal
vezel
autordeberíajugarsiempreconelpalogrande.
Enestesencilloejemplose ponedemanifiestounacaracterísticamuyimportantedelexperimento
factorial:
enlosdiseñosfactorialessehaceelusomáseficientedelosdatosexperimentales. Notequeeste
experimentoincluyóochoobservaciones,yquelasochoobservacionesseusan
paracalcularlosefectos
delpalo,de
lapelotayde lainteracción.Ninguna otraestrategiadeexperimentaciónhace unusotanefi­
cientedelosdatos.
Éstaesunacaracterísticaimportanteyútildelosdiseñosfactoriales.
Elconceptodeexperimentofactorial puedeextenderseatresfactores.Supongaqueel autordesea
estudiarlosefectosdeltipodepalo,eltipode
pelotayeltipode bebidaconsumidasobresupuntuación
degolf.Suponiendoquelostresfactorestienendosniveles,
puedeestablecerseundiseñofactorialcomo
elquesemuestra
enlafigura1-6.Observequehayochocombinacionesde pruebadeestostresfactores
conlosdosnivelesdecadaunodeellosyqueestosochoensayos
puedenrepresentarsegeométricamente
comolosvérticesde
uncubo.Se tratadeunejemplode undiseñofactorial2
3
•
Comoelautorsólodesea
jugarochorondasdegolf,esteexperimentorequeriría quesejuegueunarondaconcadaunadelascom­
binacionesdelosfactoresrepresentadas
porlosochovérticesdelcubodelafigura1-6.Sinembargo,al
compararestasituaciónconeldiseñofactorialdedosfactoresde lafigura1-4,eldiseñofactorial2
3
pro­
duciría
lamismainformaciónacercadelosefectosdelosfactores. Porejemplo,enambosdiseñoshay
cuatropruebasqueproporcionaninformaciónacercadelpalonormalycuatropruebasqueproporcionan
I
I
I
I
...-.J--
...-...-"'-
Palo
Figura1-6Experimentofactorialdetresfactoresque
incluyeeltipodepalo,eltipodepelotayeltipodebebi­
da.
.\

21. 1-1ESTRATEGIADEEXPERIMENTACIÓN 7
Maneradedesplazarse
;1'"-----"'-----'1\
Caminando
I
I
I
/-/~----
Encarrito
[
[
I
L-----
///
Palo
Figura1-7Experimentofactorialdecuatrofactoresqueincluye eltipode
palo,eltipodepelota,eltipodebebidaylamaneradedesplazarse.
informaciónacercadelpalogrande,suponiendoqueserepitedosveces cadacorridadeldiseño dedos
factores
delafigura1-4.
Enlafigura1-7seilustralaforma enquepodríaninvestigarseloscuatrofactores -elpalo,lapelota,
la
bebidaylamaneradedesplazarse(caminandoo encarrito)-enundiseñofactorial2
4
•
Comoencual­
quierdiseñofactorial,seusantodaslascombinacionesposiblesdelosniveles
delosfactores.Puestoque
loscuatrofactores
tienendosniveles,siguesiendoposible hacerlarepresentacióngeométrica deestedi­
señoexperimentalmediante
uncubo(enrealidadunhipercubo).
Engeneral,sihay kfactores,cada unocondosniveles,eldiseñofactorialrequeriría 2
k
corridas.Por
ejemplo,elexperimentodelafigura1-7 requiere16corridas.Evidentemente,cuandoel númerodefacto­
resde
interésaumenta,elnúmerodecorridasrequeridasseincrementaconrapidez;porejemplo,un
experimentocon10factoresenelquetodoslosfactores tienendosnivelesrequeriría1024corridas.Esto
prontosevuelveimpracticable enloqueserefierealtiempoylosrecursos.Enelexperimentodelgolf,
el
autorsólopuedejugarochorondas, porloqueincluso elexperimentodelafigura1-7resultademasia­
dolargo.
Porfortuna,cuandosetrabajaconcuatro,cincoomásfactores, porlogeneralnoesnecesario probar
todaslascombinacionesposiblesdelosnivelesdelosfactores. Unexperimentofactorialfraccionadoes
unavariacióndeldiseñofactorialbásico enlaquesóloserealiza unsubconjuntodelascorridas. Enlafi­
gura1-8seilustra undiseñofactorialfraccionado paralaversióndecuatrofactoresdelexperimentodel
golf.
Estediseñorequieresólo8corridas enlugardelas16originalesysellamaríafracciónunmedio.Siel
autorsólopuedejugarochorondasdegolf,éstees unexcelentediseño enelcualestudiarloscuatrofacto­
res.
Proporcionaráinformaciónadecuadaacercadelosefectos principalesdeloscuatrofactores,así
como
ciertainformaciónacercadela formaenqueinteractúanestosfactores.
Losdiseñosfactorialesfraccionadossonmuycomunes
enlainvestigaciónyeldesarrolloindustrial,
asícomo
enelmejoramientodeprocesos.Estosdiseñosseanalizarán enelcapítulo8.
Maneradedesplazarse
;f"" --"A --'l\
Caminando
I'
I
I
_,,,.-;L----
Encarrito
I I
I
..@-----
//
Palo
Figura1-8Experimentofactorialfraccionadodecuatrofactoresqueincluye
eltipodepalo,eltipodepelota,eltipodebebidaylamaneradedesplazarse.

22. 8 CAPÍTULO1INTRODUCCIÓN
1~2ALGUNASAPLICACIONESTÍPICAS DELDISEÑOEXPERIMENTAL
Losmétodosdeldiseñoexperimental hanencontradoampliaaplicación endiversasdisciplinas. Dehe­
cho,laexperimentación
puedeconsiderarsepartedelprocesocientíficoy unodelosmedios paraconocer
elfuncionamientodesistemasyprocesos.
Engeneral,elaprendizajeocurreatravésde unaseriedeacti­
vidades
enlasquesehacenconjeturasacercade unproceso,sellevanacaboexperimentos paragenerar
datosdelprocesoydespuésseusa
lainformacióndelexperimento paraestablecernuevasconjeturas,lo
quellevaanuevosexperimentos,yasísucesivamente.
Eldiseñoexperimentales unaherramientadeimportanciafundamental enelámbitodelaingeniería
paramejorareldesempeñode unprocesodemanufactura.Tambiéntienemúltiplesaplicaciones enelde­
sarrollodeprocesosnuevos.
Laaplicacióndelastécnicasdeldiseñoexperimental enlasfasesinicialesdel
desarrollode
unprocesopuederedundaren
1.Mejorasenelrendimientodelproceso.
2.Variabilidadreducidayconformidadmáscercanaconlosrequerimientosnominalesoproyectados.
3.Reduccióndeltiempodedesarrollo.
4.Reduccióndeloscostosglobales.
Losmétodosdeldiseñoexperimentaldesempeñan
tambiénunpapelimportanteenlasactividades
del
diseñodeingeniería, dondesedesarrollanproductosnuevosyse hacenmejoramientosenlosproduc­
tosexistentes.
Entrelasaplicacionesdeldiseñoexperimental eneldiseñodeingenieríaseencuentran:
1.Laevaluaciónycomparacióndeconfiguracionesdediseñosbásicos.
2.Laevaluacióndematerialesalternativos.
3.Laseleccióndelosparámetrosdeldiseño paraqueelproductotengaunbuenfuncionamientoen
unaampliavariedaddecondicionesdecampo,esdecir, paraqueelproductosea robusto.
4.Ladeterminacióndelosparámetrosclavedeldiseñodel productoqueafectaneldesempeñodel
mismo.
Elusodeldiseñoexperimental enestasáreas puederedundarenproductoscuyafabricaciónseamássen­
cilla,
enproductosquetenganundesempeñoyconfiabilidaddecampomejorados, encostosdeproduc­
ciónmásbajosy
entiemposmáscortos paraeldiseñoydesarrollodelproducto.Acontinuaciónse
presentanvariosejemplosqueilustranalgunasdeestasideas.
EJEMPLO1
~1 .
Caracterizacióndeunproceso
Enelprocesodefabricacióndetarjetasdecircuitosimpresosseutiliza unamáquinadesoldaduralíquida.
Lamáquinalimpialastarjetas enunfundente,lassometea unprocesodeprecalentamientoydespuéslas
hace
pasarporunaondadesoldaduralíquidamediante unatransportadora.Enesteprocesodesoldadu­
rasehacenlasconexioneseléctricasymecánicasdeloscomponentesrecubiertosdeplomo enlatarjeta.
Elprocesooperaactualmentecon unniveldedefectosaproximadode1%.Esdecir,cercade1%de
lasjuntasdesoldadurade
unatarjetasondefectuosasy requierencorrecciónmanual.Sinembargo,debi­
doaque
latarjetadecircuitosimpresospromediocontienemásde2000juntasdesoldadura,incluso un
niveldedefectosde1 %representaunnúmerodemasiadoaltodejuntasdesoldaduraquerequierenco­
rrección.Alingenieroresponsabledelproceso
enestaárealegustaríausar unexperimentodiseñado
paradeterminarcuálessonlosparámetrosdelamáquina queinfluyenenlaocurrenciadelosdefectosde
soldadurayquéajustesdeberíanhacerse
endichasvariables parareducirlosdefectosdesoldadura.

23. 1-2ALGUNASAPLICACIONESTÍPICAS DELDISEÑOEXPERIMENTAL 9
Enlamáquinadesoldaduralíquidahaydiversasvariablesquepuedencontrolarse.Éstasincluyen:
1.Latemperaturadelasoldadura.
2.Latemperaturadelprecalentamiento.
3.Lavelocidaddelatransportadora.
4.Eltipodefundente.
s.Lagravedadespecíficadelfundente.
6.Laprofundidaddelaondadesoldadura.
7.Elángulodelatransportadora.
Ademásdeestosfactorescontrolables,hayotrosquenoessencillomanejarduranteelprocesodefabri­
cación,aunquepodríancontrolarseparalosfinesde
unaprueba.Éstosson:
1.Elespesordelatarjetadecircuitosimpresos.
2.Eltipodecomponentesusadosenlatarjeta.
3.Ladisposicióndeloscomponentesenlatarjeta.
4.Eloperador.
s.Larapidezdeproducción.
Enestasituación,elinterésdelingenieroes caracterizarlamáquinadesoldaduralíquida;esdecir,
quieredeterminarlosfactores(tantoloscontrolablescomolosnocontrolables)queafectanlaocurrencia
dedefectosenlastarjetasdecircuitosimpresos.Paraellopuedediseñar
unexperimentoquelepermitirá
estimar
lamagnitudydireccióndelosefectosdelosfactores;esdecir,cuántocambialavariablederes­
puesta(defectos
porunidad)cuandosemodificacadafactor,ysilamodificacióndelosfactoresencon­
juntoproduceresultadosdiferentesquelosobtenidosmedianteelajusteindividualdelosfactores;es
decir,¿existeinteracciónentrelosfactores?
Enocasionesa unexperimentocomoéstese lellamaexperi­
mentotamizodeexploración
exhaustiva.Demaneratípica,losexperimentostamizincluyenelusodedi­
señosfactorialesfraccionados,comoenelejemplodelgolfdelafigura1-8.
Lainformaciónobtenidadeesteexperimentotamizseusará paraidentificarlosfactorescríticosdel
proceso
ydeterminarladireccióndelajustededichosfactoresa findeconseguirunareducciónadicional
delnúmerodedefectos
porunidad.Elexperimentotambiénpuedeproporcionarinformaciónacercade
losfactoresquedeberíancontrolarseconmayoratenciónduranteelprocesodefabricaciónafindeevi­
tarlosniveleselevadosdedefectosyeldesempeñoerráticodelproceso.Porlotanto, unaconsecuencia
delexperimentopodríaserlaaplicacióndetécnicascomolascartasdecontrolaunaomásdelas
varia­
blesdelproceso
(latemperaturadelasoldadura, porejemplo),aunadasalascartasdecontroldelapro­
duccióndelproceso.Coneltiempo,
siseconsigueunamejoríasensibledelproceso,quizáseaposible
basarlamayorpartedelprogramadecontroldelmismoenelcontroldelasvariablesdeentradadelpro­
cesoenlugardeaplicarcartasdecontrolalaproducción.
EJEMPLO1
~2.•...........................•.....•.............•....•...•.
Optimizaciónde unproceso
Enunexperimentodecaracterización,elinteréssuelecentrarseendeterminarlasvariablesdelproceso
queafectanlarespuesta.Elsiguientepasológicoeslaoptimización,esdecir,determinarlaregióndelos
factoresimportantesqueconduzcaalamejorrespuestaposible.Porejemplo,
silarespuestaeselrendi-

24. 10 CAPÍTULO1INTRODUCCIÓN
miento,sebuscaríalaregióndelrendimientomáximo,mientrasquesilarespuestaeslavariabilidadde
unadimensióncríticadelproducto,sebuscaríaunaregióndevariabilidadmínima.
Supongamosqueelinterés
secentraenmejorarelrendimientodeunprocesoquímico.Porlosresul­
tadosdeunexperimentodecaracterización
sesabequelasdosvariablesmásimportantesdelprocesoque
influyenenelrendimientosonlatemperaturadeoperaciónyeltiempodereacción.
Elprocesooperaac­
tualmentea145°Fycon
2.1horasdetiempodereacción,produciendorendimientosdecercade SO%.En
lafigura1-9semuestraunavistadesdearribadelaregióntiempo-temperatura. Enestagráficalaslíneas
derendimientoconstanteseunen
paraformarloscontornosderespuesta,ysemuestranlaslíneasdecon­
tornopararendimientosde 60,70,SO,90Y95porciento.Estoscontornossonlasproyeccionesenlare­
gióntiempo-temperaturadelasseccionestransversalesdelasuperficiedelrendimientocorrespondiente
alosrendimientosporcentualesarribamencionados.Aestasuperficieselellamaenocasionessuperficie
derespnesta.Elpersonaldelprocesonoconocelaverdaderasuperficiederespuestadelafigura1-9,por
loquesenecesitaránmétodosexperimentalesparaoptimizarelrendimientoconrespectoaltiempoyla
temperatura.
Paralocalizarelrendimientoóptimo,
esnecesariollevaracabounexperimentoenelquesehagan
variarconjuntamenteeltiempoylatemperatura,
esdecir,unexperimentofactorial. Enlafigura1-9se
muestranlosresultadosdeunexperimentofactorialinicialrealizadocondosnivelestantodeltiempo
comodelatemperatura.Lasrespuestasqueseobservan
enloscuatrovérticesdelcuadradoindicanque,
paraincrementarelrendimiento,loscambiosdeberíanhacerseenladireccióngeneraldelaumentodela
Segundoexperimentodeoptimización
200
190
180
E
~
:J
"§170
Q)
o.
E
Q)
1-
160
150
140
Condiciones
deoperación
actuales
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
Tiempo(horas)
Figura1-9Gráficadecontornodelrendimientocomounafun­
cióndeltiempodereacción
ylatemperaturadereacción,lacual
ilustralaexperimentaciónparaoptimizar
unproceso.

25. 1-3PRINCIPIOSBÁSICOS 11
temperaturaylareduccióndeltiempodereacción.Serealizaríanalgunascorridasadicionales enestadi­
rección,yestaexperimentaciónadicionalllevaríaalaregióndelrendimientomáximo.
Unavezquesehaencontradolaregióndelrendimientoóptimo,elsiguientepasotípicoseríarealizar
unsegundoexperimento.Elobjetivodeestesegundoexperimento esdesarrollarunmodeloempíricodel
procesoyobtenerunaestimaciónmásprecisadelascondicionesdeoperaciónóptimas
paraeltiempoyla
temperatura.Aesteenfoque
paralaoptimizaciónde unprocesoselellamala metodologíadesuperficies
derespuesta,
lacualseexaminaendetalleenelcapítulo11.Elsegundodiseñoilustrado enlafigura1-9es
un
diseñocentralcompuesto, unodelosdiseñosexperimentalesmásimportantesqueseusan enlosestu­
diosdeoptimizacióndeprocesos.
EJEMPLO
1,3 .
Ilustracióndeldiseñodeunproducto
Confrecuencialosmétodosdediseñoexperimentalpuedenaplicarse enelprocesodediseñodeunpro­
ducto.Parailustraresto,supongaqueungrupodeingenierosestádiseñandoelgoznedelapuertadeun
automóvil.
Lacaracterísticadecalidaddelproductoquelesinteresaeselesfuerzoamortiguador,esde­
cir,lacapacidadderetencióndeltopequeimpidequelapuertasecierrecuandoelvehículo
seestaciona
enunapendiente.Elmecanismoamortiguadorconstade unresortedehojasyuncilindro.Cuandola
puertaseabre,elcilindro sedesplazaporunarcoquehacequeelresortedehojassecomprima.Parace­
rrarlapuertaesnecesariovencerlafuerzadelresorte,lacualproduceelesfuerzoamortiguador.Elequi­
podeingenierosconsideraqueelesfuerzoamortiguadores unafuncióndelossiguientesfactores:
1.Ladistanciaquesedesplazaelcilindro.
2.Laalturadelresortedelpivotealabase.
3.Ladistanciahorizontaldelpivotealresorte.
4.Laalturalibredelresorteauxiliar.
5.Laalturalibredelresorteprincipal.
Losingenierospuedenconstruirunprototipodelmecanismodelgozneenelqueesposiblevariarto­
dosestosfactoresdentrodeciertosrangos.
Unavezquesehanidentificadolosnivelesapropiadosdees­
toscincofactores,puedediseñarseunexperimentoqueconstedevariascombinacionesdelosnivelesde
losfactores,yelprototipodelgoznepuedeprobarseconestascombinaciones.Seobtendráasíinforma­
ciónrespectodelosfactoresquetienenunamayorinfluenciasobreelesfuerzoamortiguadordeltope
y,
medianteelanálisisdeestainformación,podrámejorarseeldiseñodeltope.
1,3PRINCIPIOSBÁSICOS
,
Siquierellevarseacabounexperimentocomolosdescritos enlosejemplos1-1al1-3conlamayorefi-
cienciaposible,
esnecesarioutilizarunenfoquecientífico paraplanearlo.El diseñoestadísticodeexperi­
mentos
serefierealproceso paraplanearelexperimentodetalformaqueserecabendatosadecuados
quepuedananalizarse conmétodosestadísticosquellevaránaconclusionesválidasyobjetivas.Elenfo­
queestadísticodeldiseñoexperimentalesnecesariosisequierensacarconclusionessignificativasdelos
datos.Cuandoelproblemaincluyedatosqueestánsujetosaerroresexperimentales,lametodologíaesta­
dísticaeselúnicoenfoqueobjetivodeanálisis.Porlotanto,cualquierproblemaexperimentalincluyedos

26. 12 CAPÍTULO1INTRODUCCIÓN
aspectos:eldiseñodelexperimentoyelanálisisestadísticodelosdatos.Estosdosaspectos seencuentran
íntimamenterelacionadosporqueelmétododeanálisisdependedirectamentedeldiseñoempleado.
Ambostemassetratanenestelibro.
Lostresprincipiosbásicosdeldiseñoexperimentalsonlarealizaciónderéplicas,laaleatorizacióny
laformacióndebloques.Porrealizaciónderéplicasseentiendelarepeticióndelexperimentobásico.
En
elexperimentometalúrgicoanalizadoenlasección1-1, unaréplicaconsistiría eneltratamientodeuna
muestraconeltempladoenaceiteyeltratamientode
unamuestraconeltemplado enaguasalada.Porlo
tanto,sisetratancincoejemplares
encadamediodetemplado,sedicequesehanobtenidocincorépli­
cas.
Larealizaciónderéplicasposeedospropiedadesimportantes.Primera,permitealexperimentador
obtenerunaestimacióndelerrorexperimental.Estaestimacióndelerrorseconvierte
enunaunidadde
mediciónbásica
paradeterminarsilasdiferenciasobservadas enlosdatosson enrealidadestadísticamen­
te
diferentes.Segunda, siseusalamediamuestral(porejemplo,
Y)paraestimarelefectodeunfactor en
elexperimento,larealizaciónderéplicaspermitealexperimentadorobtenerunaestimaciónmásprecisa
deesteefecto.Porejemplo,sicreslavarianzade unaobservaciónindividualyhay nréplicas,lavarianza
delamediamuestral
es
Laconsecuenciaprácticadeloanterior esquesisehicieronn=1réplicasyseobservó Yl=145(tem­
plado
enaceite)YY2=147(templadoenaguasalada),probablementenopodránhacerseinferenciassatis­
factoriasacercadelefectodelmediodetemplado;esdecir,ladiferenciaobservadapodríaserresultadodel
errorexperimental.Porotraparte,
sinfuerazonablementegrandey elerrorexperimentalfuelosuficiente­
mentepequeño,yseobservó
Yl<Y2'podríaconcluirsecon unacertezarazonablequeeltemplado enagua
saladaproduceunadurezamayor
enestaaleacióndealuminioparticularqueeltemplado enaceite.
Hay
unadiferenciaimportanteentreréplicasymedicionesrepetidas.Porejemplo,supongaqueuna
obleadesiliciosegrabaconunprocesode grabadoquímicoconplasma
paraobleaúnica,yquesehacen
tresmedicionesdeunadimensióncríticadeestaoblea.Estasmedicionesnosonréplicas;son
unaforma
demedicionesrepetidas
y,enestecaso,lavariabilidadobservada enlastresmedicionesrepetidas esreflejo
directodelavariabilidadinherentedelsistemaoinstrumentodemedición.Comootroejemplo,suponga
que,comopartedeunexperimento
enlamanufacturadesemiconductores,seprocesansimultáneamente
cuatroobleas
enunhornodeoxidacióncon unavelocidaddelflujodegasy untiempoparticularesyque
sehacedespués
unamedicióndelespesordelóxido encadaoblea.Denuevacuenta,lamedicióndelas
cuatroobleasnosonréplicassinomedicionesrepetidas.
Enestecasoreflejanlasdiferenciasentrelas
obleasyotrasfuentesdevariabilidaddentrodeesaoperacióndehorneadoparticular.
Enlasréplicasse
reflejanlasfuentesdevariabilidadtantoentrelascorridascomo(potencialmente)dentrodelasmismas.
Laaleatorizacióneslapiedraangularenla quesefundamentaelusodelosmétodosestadísticos en
eldiseñoexperimental.Poraleatorizaciónseentiendequetantolaasignacióndelmaterialexperimental
comoelorden
enqueserealizaránlascorridasoensayosindividualesdelexperimentosedeterminanal
azar.
Unodelosrequisitosdelosmétodosestadísticosesquelasobservaciones(oloserrores)seanvaria­
blesaleatoriascondistribucionesindependientes.
Laaleatorizaciónhace porlogeneralqueestesupues­
toseaválido.
Laaleatorizacióncorrectadelexperimentoayudatambiéna"sacardelpromedio"los
efectosdefactoresextrañosquepudieranestarpresentes.Porejemplo,supongaquelosejemplaresdel
experimentodescritoantespresentansóloligerasdiferencias
enelespesoryquelaefectividaddelmedio
detempladopuedeserafectadopor
elespesordelejemplar.Sitodoslosejemplaressometidosaltempla­
do
enaceitesonmásgruesosquelossometidosaltemplado enaguasalada,quizáseestéintroduciendo
unsesgosistemático
enlosresultadosexperimentales.Estesesgoestorba enunodelosmediosdetempla-

27. 1-4PAUTASGENERALESPARADISEÑAR EXPERIMENTOS 13
doy,enconsecuencia,invalidalosresultadosobtenidos.Alhacerlaasignaciónaleatoriadelosejempla­
resalmediodetempladoesteproblemasealigera
enparte.
Esmuycomúnelusodeprogramasdecomputadora
paraauxiliaralosexperimentadoresaseleccio­
naryconstruirdiseñosexperimentales.Estosprogramaspresentanamenudolascorridasdeldiseño
ex­
perimentaldemaneraaleatoria.Porlogeneralestemodoaleatoriosecreautilizandoungeneradorde
númerosaleatorios.Inclusoconestosprogramasdecomputadora,confrecuenciaseguirásiendonecesa­
rioqueelexperimentadorhagalaasignacióndelmaterialexperimental(comolasobleasenlosejemplos
desemiconductoresmencionadosantes),delosoperadores,delosinstrumentosoherramientasdemedi­
ción,etc.,queseutilizaránenelexperimento.Puederecurrirseatablasdenúmerosaleatoriosparaase­
gurarquelasasignacionessehacenalazar.
Enocasioneslosexperimentadoresseencuentranconsituacionesenlasquelaaleatorizacióndeun
aspectodelexperimentoescomplicada.Porejemplo,
enunprocesoquímico,latemperaturapuedeser
unavariablemuydifícildemodificar,haciendocasiimposiblelaaleatorizacióncompletadeestefactor.
Existenmétodosdediseñoestadísticopararesolverlasrestriccionessobrelaaleatorización.Algunosde
estosenfoquesserevisaránencapítulossubsecuentes(ver
enparticularelcapítulo13).
Laformacióndebloquesesunatécnicadediseñoqueseutiliza paramejorarlaprecisióndelascom­
paracionesquesehacenentrelosfactoresdeinterés.Muchasveceslaformacióndebloquesseemplea·
parareduciroeliminarlavariabilidadtransmitida porfactoresperturbadores;esdecir,aquellosfactores
quepuedeninfluir
enlarespuestaexperimentalpero enlosquenohayuninterésespecífico.Porejemplo,
enunexperimentodeunprocesoquímicopuedenrequerirsedoslotesdemateriaprima pararealizarto­
daslascorridasnecesarias.Sinembargo,podríahaberdiferenciasentreloslotesdebidoa
lavariabilidad
deunproveedoraotro
y,encasodenohaber uninterésespecífico enesteefecto,loslotesdemateriapri­
maseconsideraríanunfactorperturbador. Engeneral,unbloquees unconjuntodecondicionesexperi­
mentalesrelativamentehomogéneas.
Enelejemplodelprocesoquímico,cadalotedemateriaprima
formaría
unbloque,yaqueesdeesperarseque lavariabilidaddentrode unloteseamenorquelavariabi­
lidadentrelotes.
Demaneratípica,como en
esteejemplo,cadaniveldelfactorperturbadorpasaaser un
bloque.Entonceselexperimentadordividelasobservacionesdeldiseñoestadístico engruposqueseco­
rrenencadabloque.Envariaspartesdeltextoseestudia endetallelaformacióndebloques,incluyendo
loscapítulos
4,5,7,8,9,11Y13.Enelcapítulo2,sección2-5.1,sepresenta unejemplosencillo parailus­
trarlaestructurabásicadelaformacióndebloques.
Lostresprincipiosbásicosdeldiseñoexperimental,
laaleatorización,larealizaciónderéplicasyla
formacióndebloquessonpartedecadaunodelosexperimentos.Seilustrarányresaltaránrepetidamen­
tealolargodeestelibro.
1~4PAUTASGENERALESPARADISEÑAREXPERIMENTOS
Paraaplicarelenfoqueestadísticoeneldiseñoyanálisisdeunexperimento,esnecesarioquetodoslos
queparticipan
enelmismotengandesdeelprincipio unaideaclaradequéesexactamenteloquevaaes­
tudiarse,cómovanacolectarselosdatos,yalmenos
unacomprensióncualitativadelaforma enquevana
analizarseestosdatos.
Enlatabla1-1semuestraunesquemageneraldelprocedimientorecomendado.A
continuaciónsepresentaunabreveexplicacióndeesteesquemayseelaboranalgunosdelospuntoscla­
ve.Paramayoresdetalles,verColemanyMontgomery[27],asícomolasreferenciasalfinaldellibro.
Tambiénesútilelmaterialcomplementario
paraestecapítulo.
1.Identificaciónyenunciacióndelproblema. Estepuntopodríaparecermuyobvio,peroescomúnque
enlaprácticanoseasencillodarsecuentadequeexiste unproblemaquerequiereexperimentación,y

28. 14 CAPÍTULO INTRODUCCIÓN
Tabla1-1Pautasgeneralesparadiseñar unexperimento
1.Identificaciónyexposicióndelproblema.
2.Eleccióndelosfactores,losniveles ylosrangos."
3.Seleccióndelavariablederespuesta."
4.Eleccióndeldiseñoexperimental.
5.Realizacióndelexperimento.
6.Análisisestadísticodelosdatos.
7.Conclusionesyrecomendaciones.
]
Planeaciónprevia
alexperimento
"Enlapráctica,lospasos2y3suelenhacersesimultáneamenteoenelordeninverso.
tampocoesfácildesarrollar unaenunciaciónclara,conla quetodosesténdeacuerdo,deesteproblema.
Esnecesariodesarrollartodaslasideasacercadelosobjetivosdelexperimento.Generalmente,esimpor­
tantesolicitaraportacionesdetodaslasáreasinvolucradas:ingeniería,aseguramientodecalidad,manu­
factura,mercadotecnia,administración,elclienteyelpersonaldeoperación(elcual
porlogeneral
conoceafondoelprocesoyalquecondemasiadafrecuenciaseignora).
Porestarazón,serecomienda un
enfoquedeequipo paradiseñarexperimentos.
Enlamayoríadeloscasosesconvenientehacer unalistadelosproblemasolaspreguntasespecíficas
quevanaabordarse enelexperimento.Unaenunciaciónclaradel problemacontribuyesustancialmente
a
menudoparaalcanzarunamejorcomprensióndelosfenómenosbajoestudioylasoluciónfinaldelpro­
blema.Tambiénesimportante
tenerpresenteelobjetivoglobal; porejemplo,¿se tratadeunprocesoo
sistemanuevo
(encuyocasoelobjetivoinicialposiblemente serálacaracterizaciónotamizadodelosfac­
tares)osetratadeunsistemamaduroqueseconoceconprofundidadrazonableyquese hacaracterizado
conanterioridad(encuyocasoelobjetivo
puedeserlaoptimización)? Enunexperimentopuedehaber
muchosobjetivosposibles,incluyendolaconfirmación(¿elsistemase comportadelamismamaneraaho­
raqueenelpasado?),eldescubrimiento(¿quéocurresiseexplorannuevosmateriales,variables,condi­
cionesdeoperación,etc.?)ylaestabilidad(¿bajoquécondicioneslasvariablesderespuestadeinterés
sufren
unadegradaciónseria?).Obviamente,lascuestionesespecíficas quehabrándeabordarseenelex­
perimentoserelacionande
maneradirectaconlosobjetivosglobales. Confrecuenciaenestaetapadela
formulacióndelproblemamuchosingenierosycientíficosse
percatandequenoesposibleque unexperi­
mentocomprensivoextenso respondalascuestionesclaveydeque unenfoquesecuencial enelqueseuti­
lice
unaseriedeexperimentosmáspequeñoses unaestrategiamásadecuada.
2.Eleccióndelosfactores,losnivelesylosrangos.(Comoseindica enlatabla1-1,lospasos2 y 3mu­
chasvecessehacensimultáneamenteo
enordeninverso.)Cuandoseconsideranlosfactoresque pueden
influireneldesempeñode unprocesoosistema,el expelimentadorsueledescubrirqueestosfactores
puedenclasificarsecomofactorespotencialesdeldiseñoo biencomofactoresperturbadores.Losfacto­
respotencialesdeldiseñosonaquellosqueelexperimentadorposiblementequierahacervariar
enelex­
perimento.Esfrecuenteencontrarquehaymuchosfactorespotencialesdeldiseño,
porloquees
conveniente
contarconalgunaclasificaciónadicionaldelosmismos.Algunasclasificacionesútilesson
factoresdeldiseño,factoresquesemantienenconstantes
yfactoresalosquesepermitevariar.Losfacto­
resdeldiseñosonlosqueseseleccionanrealmente
paraestudiarlosenelexperimento.Losfactores que
semantienenconstantessonvariablesque puedentenerciertoefectosobrelarespuesta, peroquepara
losfinesdelexperimento encursonosondeinterés, porloquesemantendránfijosenunnivelespecífico.
Porejemplo,enunexperimentodegrabadoquímico enlaindustriadelossemiconductores puedehaber
unefecto,queesúnico,delaherramientaespecífica paraelgrabadoquímicoconplasmaqueseutiliza en
elexperimento.Sinembargo,seríamuydifícilvariarestefactor enunexperimento,porloqueelexperi­
mentadorpuededecidirllevaracabotodaslascorridasexperimentales enungrabadorquímicoparticu­
lar(idealmente"típico").
Deestemodo,estefactorse mantieneconstante.Como unejemplodefactores

29. 1-4PAUTASGENERALESPARADISEÑAREXPERIMENTOS 15
alosquesepermitevariar,lasunidadesexperimentalesolos"materiales"alosqueseaplicanlosfactores
deldiseño
nosonhomogéneos porlogeneral,noobstantelocualconfrecuenciaseignoraestavariabili­
daddeunaunidada otrayseconfíaenlaaleatorizaciónparacompensarcualquierefectodelmaterialola
unidadexperimental.Muchasvecessetrabajaráconelsupuesto
dequelosefectosdelosfactores quese
mantienenconstantesydelosfactoresalosquese permitevariarsonrelativamentepequeños.
Porotraparte,losfactoresperturbadorespueden tenerefectosconsiderablesquedebentomarseen
consideración,apesardequenohayainterés
enellosenelcontextodelexperimento encurso.Losfactores
perturbadoressuelenclasificarsecomofactorescontrolables,nocontrolablesoderuido.
Unfactorpertur­
badorcontrolableesaquelcuyosnivelespuedenserajustados porelexperimentador.Porejemplo,elexpe­
rimentadorpuedeseleccionarlotesdiferentesdemateriaprimaodiversosdíasdelasemana
paracondUcir
elexperimento.
Laestructurabásicadelaformacióndebloques,comentada enlasecciónanterior,sueleser
útil
paratrabajarconfactoresperturbadorescontrolables.Si unfactorperturbadornoescontrolable enel
experimento,peropuedemedirse,muchasveces
puedeusarseelprocedimientodeanálisisdenominado
análisisdecovarianza
paracompensaresteefecto.Porejemplo, lahumedadrelativaenelmedioambiente
delprocesopuedeafectareldesempeñodelproceso,y
silahumedadnopuedecontrolarse,probablemente
podrámedirseytratarsecomo unacovariable.Cuando unfactorquevaríade maneranaturalynocontrola­
ble
enelprocesopuedecontrolarse paralosfinesde unexperimento,confrecuenciaselellamafactorde
ruido.
Entalessituaciones,escomúnque elobjetivoseaencontrarlosajustesdelosfactorescontrolables
deldiseñoqueminimicenlavariabilidadtransmitida
porlosfactoresderuido. Enocasionesaestoselella­
maelestudioderobustezdelprocesooelproblemaderobustezdeldiseño. Laformacióndebloques,el
análisisdecovarianzaylosestudiosderobustezdelprocesosecomentanmásadelante.
Unavezqueelexperimentador haseleccionadolosfactoresdeldiseño,debeelegirlosrangos enlos
que
harávariarestosfactores,asícomolosnivelesespecíficosconlosqueserealizaránlascorridas.Tam­
biéndeberápensarsecómovanacontrolarseestosfactores
enlosvaloresdeseadosycómovanamedirse.
Porejemplo,
enelexperimentodelasoldaduralíquida,elingeniero hadefinido12variablesque pueden
afectarlaocurrenciadedefectosdesoldadura. Elingenierotambiéntendráquetomarunadecisiónen
cuantoalaregióndeinterés paracadavariable(esdecir,el rangoenelqueseharávariarcadafactor)y
encuantoalnúmerodenivelesdecadavariablequeusará. Paraelloserequieredelconocimientodelproce­
so.Esteconocimientodelprocesosueleser
unacombinación deexperienciaprácticayconocimientosteóri­
cos.Esimportanteinvestigartodoslosfactoresque
puedenserdeimportanciaynodejarseinfluir
demasiado
porlaexperienciapasada, enparticularcuandounoseencuentra enlasfasesinicialesdelaexpe­
rimentaciónocuandoelprocesonoestádeltodomaduro.
Cuandoelobjetivodelexperimentoeseltamizadodelosfactoresocaracterizacióndelproceso,
porlo
generalesmejormantenerreducidoelnúmerodenivelesdelosfactores.
Engeneral,dosnivelesfuncionan
bastantebien
enlosestudiosdetamizadodefactores.Elegirlaregióndeinteréstambiénesimportante. Enel
tamizadodefactores,laregióndeinterésdeberáserrelativamentegrande;esdecir,elrango
enelqueseha­
cenvariarlosfactoresdeberáseramplio.Conformesesepamásacercadelasvariablesquesonimportantesy
delosnivelesqueproducenlosmejoresresultados,laregióndeinterésse
haráporlogeneralmásestrecha.
3.Selecciónde lavariablederespuesta. Paraseleccionarlavariablederespuesta,elexperimentadorde­
berátenerlacertezadequeestavariableproporciona enrealidadinformaciónútilacercadelprocesobajo
estudio.
Enlamayoríadeloscasos,elpromediooladesviaciónestándar(oambos)delacaracterísticame­
didaserálavariablederespuesta.Nosonlaexcepciónlasrespuestasmúltiples.
Laeficienciadelosinstru­
mentosdemedición(oerrordemedición)tambiénes
unfactorimportante. Silaeficienciadelos
instrumentosdemediciónesinadecuada,elexperimentadorsólodetectarálosefectosrelativamentegran­
desdelosfactoresoquizáseannecesariasréplicasadicionales.
Enalgunassituaciones enquelaeficiencia
delosinstrumentosdemediciónespobre,elexperimentador
puededecidirmedirvariasvecescadaunidad

30. 16 CAPÍTULO1INTRODUCCIÓN
experimentalyusarelpromediodelasmedicionesrepetidascomorespuestaobservada.Sueleserdeimpor­
tanciadeterminanteidentificarlosaspectosrelacionadosconladefinicióndelasrespuestasdeinterésycómo
vanamedirseantesdellevaracaboelexperimento.Enocasiones
seempleanexperimentosdiseñadospara
estudiarymejorareldesempeñode
lossistemasdemedición.Paraunejemplo,verelcapítulo 12.
Sereiteralocrucialqueesexponertodoslospuntosdevistaylainformacióndelproceso enlospasos
1al3anteriores.Sehacereferenciaaestocomoplaneaciónpreviaalexperimento.ColemanyMontgo­
mery
[27]proporcionanhojasdetrabajoquepuedenserútiles enlaplaneaciónpreviaalexperimento.
Véasetambiénlainformacióncomplementariadeltexto
paramásdetallesyunejemplodelusodeestas
hojasdetrabajo.
Enmuchassituaciones,no esposibleque unasolapersonaposeatodoslosconocimien­
tosrequeridos
parahacerestoadecuadamente.Porlotanto,sehace unaampliarecomendaciónparael
trabajoenequipodurantelaplaneacióndelexperimento.
Lamayorpartedeléxitogravitaráentornoa
qué
tanbiensehayahecholaplaneaciónpreviadelexperimento.
4.Eleccióndeldiseñoexperimental. Silasactividadesdeplaneaciónpreviasalexperimentoserealizan
comoesdebido,estepaso
esrelativamentesencillo. Laeleccióndeldiseñoimplicalaconsideracióndel
tamañodelamuestra(númeroderéplicas),laselecciónde
unordendecorridasadecuado paralosensa­
yosexperimentalesyladeterminaciónde
sientranenjuegoonolaformacióndebloquesuotrasrestric­
cionessobrelaaleatorización.
Enestelibroserevisanalgunosdelostiposmásimportantesdediseños
experimentales,ypuedeusarseenúltimainstanciacomo
uncatálogoparaseleccionareldiseñoexperi­
mentalapropiado
paraunaampliavariedaddeproblemas.
Existentambiénvariospaquetesinteractivosdesoftwaredeestadísticaquesoportanestafasedeldi­
señoexperimental.Elexperimentadorpuedeintroducirlainformacióndelnúmerodefactores,losnive­
lesylosrangos,yestosprogramaspresentaránalaconsideracióndelexperimentadorunaselecciónde
diseñosorecomendaránundiseñoparticular.(Nosotrospreferimosvervariasalternativas
enlugarde
confiar
enlarecomendacióndelacomputadora enlamayoríadeloscasos.)Estosprogramasproporcio­
nantambiénporlogeneralunahojadetrabajo(conelordenaleatorizadodelascorridas)queseusará
en
laconduccióndelexperimento.
Alseleccionareldiseño,esimportantetener
enmentelosobjetivosexperimentales. Enmuchosex­
perimentosdeingenieríasesabedeantemanoquealgunosdelosnivelesdelosfactoresproduciránvalo­
resdiferentesdelarespuesta.
Enconsecuencia,elinteréssecentra enidentificarquéfactorescausanesta
diferencia
yenestimarla magnituddelcambiodelarespuesta. Enotrassituacionespodríahabermásin­
terésenverificarlauniformidad.Porejemplo,puedencompararsedoscondicionesdeproducción
AyB,
dondeA eselestándary Besunaalternativaconunaeficienciadecostosmayor.Elexperimentadoresta­
ráinteresadoentoncesendemostrarque,porejemplo,nohayningunadiferenciaenelrendimientoentre
lasdoscondiciones.
5.Realizacióndelexperimento. Cuandosellevaacaboelexperimentoesvitalmonitorearconatenciónel
procesoafindeasegurarsedequetodo
seestéhaciendoconformealaplaneación.Loserroresenelproce­
dimientoexperimentalenestaetapadestruiránporlogenerallavalidezexperimental.Ponerenunprimer
planolaplaneaciónescrucialparaeléxito.Esfácilsubestimarlosaspectosdelogísticayplaneacióncuando
secorreunexperimentodiseñadoenunambientecomplejodemanufacturaodeinvestigaciónydesarrollo.
ColemanyMontgomery
[27]sugierenqueantesdellevaracaboelexperimento, esconvenienteen
muchasocasionesrealizaralgunascorridaspilotoodeprueba.Estascorridasproporcionaninforma­
ciónacercadelaconsistenciadelmaterialexperimental,
unacomprobacióndelsistemademedición,
unaideaaproximadadelerrorexperimentalylaoportunidaddeponerenprácticalatécnicaexperi­
mentalglobal.Estoofrecetambién
unaoportunidadpararevisar,desernecesario,lasdecisionestoma­
dasenlospasos1al
4.

31. 1-5BREVEHISTORIADELDISEÑOESTADÍSTICO 17
6.Análisisestadístico delosdatos.Deberánusarsemétodosestadísticos paraanalizarlosdatosafinde
quelosresultadosylasconclusionesseanobjetivosynodecarácterapreciativo.
Sielexperimentose ha
diseñadocorrectamentey sisehallevadoacabodeacuerdoconeldiseño,losmétodosestadísticosnece­
sariosnodebensercomplicados.Existenvariospaquetesdesoftwareexcelentesdiseñados
paraauxiliar
enelanálisisdedatos,ymuchosdelosprogramasusados
enelpaso4 paraseleccionareldiseñocuentan
con
unainterfasedirecta paraelanálisisestadístico.Confrecuenciaseencuentraquelosmétodosgráfi­
cossimplesdesempeñanunpapelimportanteenelanálisiseinterpretacióndedatos.Debidoaquemu­
chasdelaspreguntasqueelexperimentadorquiereresponder
puedeninsertarseenelmarcodelaprueba
dehipótesis,losprocedimientosparaprobarhipótesisyestimarintervalos
deconfianzasonmuyútilesen
elanálisisdedatosde
unexperimentodiseñado.Muchasvecesesmuyútiltambiénpresentarlosresulta­
dosdevariosexperimentos
entérminosde unmodeloempírico,esdecir,medianteunaecuaciónderivada
delosdatosqueexpresalarelaciónentrelarespuestaylosfactoresimportantesdeldiseño.Elanálisisre­
sidualylaverificacióndelaadecuacióndelmodelosontambiéntécnicasdeanálisisimportantes.Más
adelanteserevisaránendetalleestostemas.
Recuerdequelosmétodosestadísticosno
puedendemostrarqueunfactor(ofactores)poseeun
efectoparticular,sóloproporcionanpautasgenerales
encuantoalaconfiabilidadylavalidezdelosresul­
tados.Aplicadosenformacorrecta,losmétodosestadísticosnopermitenlademostraciónexperimental
denada,perosísirven
paramedirelerrorposible enunaconclusiónoasignar unniveldeconfianzaaun
enunciado.
Laventajaprincipaldelosmétodosestadísticosesqueagreganobjetividadalprocesode
tomadedecisiones.Lastécnicasestadísticas,aunadasa unabuenaingenieríaoconocimientodelproceso
yelsentidocomún,llevarán
porlogeneralaconclusionessólidas.
7.Conclusionesyrecomendaciones.Unavezquesehananalizadolosdatos,elexperimentadordebesacar
conclusiones
prácticasacercadelosresultadosyrecomendar uncursodeacción.Losmétodosgráficossue­
lenserútilesenestaetapa,enparticularparapresentarlosresultados.Tambiéndeberánrealizarsecorridas
deseguimientoopruebasdeconfirmación
paravalidarlasconclusionesdelexperimento.
Alolargodelprocesocompletoesimportante
tenerpresentequelaexperimentación esunaparte
esencialdelprocesodeaprendizaje,enlaqueseformulanhipótesistentativasacercade unsistema,se
realizanexperimentos
parainvestigarestashipótesisyseformulannuevashipótesisconbaseenlosresul­
tados,yasísucesivamente.Estosugierequelaexperimentaciónesiterativa.Porlogeneral
esungran'
errordiseñarunsoloexperimentocomprensivoyextensoalprincipiode unestudio.Unexperimentoexi­
tosorequiereconocerlosfactoresimportantes,losrangos
enlosquedeberánhacersevariarestosfacto­
res,elnúmeroapropiadodenivelesquedeberánusarseylasunidadesdemediciónapropiadas
paraestas
variables.
Engeneral,noseconocenlasrespuestasprecisas deestascuestiones,peroseaprendeacercade
ellassobrelamarcha.Amedidaqueavanza
unprogramaexperimental,escomúnabandonaralgunasva­
riablesde
entradaeincorporarotras,modificarlaregióndeexploracióndealgunosfactoresoincorporar
nuevasvariablesderespuesta.Porconsiguiente,generalmentelaexperimentaciónsehaceenformase­
cuencial
y,comoreglageneral,nodeberáinvertirsemásde25%delosrecursosdisponiblesenelprimer
experimento.Conestoseaseguraráquesecontaráconlosrecursossuficientes
pararealizarlascorridas
deconfirmaciónyquesealcanzaráenúltimainstanciaelobjetivofinaldelexperimento.
1~5BREVEHISTORIADELDISEÑOESTADÍSTICO
Hahabidocuatroerasdeldesarrollomodernodeldiseñoexperimentalestadístico. Laeraagrícolafue
encabezada
poreltrabajopionerodeSirRonaldA.Fisher enlosaños1920yprincipiosdeladécadade
1930.
Enesteperiodo,FisherfueelresponsabledelasestadísticasyelanálisisdedatosenlaEstación

32. 18 CAPÍTULO1INTRODUCCIÓN
AgrícolaExperimentaldeRothamstedenlascercaníasdeLondres,Inglaterra.Fishersepercatódeque
las fallas
enlaformaenquesellevabaacaboelexperimentoquegenerabalosdatosobstaculizabancon
frecuenciaelanálisisdelosdatosdelossistemas(enestecasosistemasagrícolas).Mediantelainterac­
ciónconmúltiplescientíficoseinvestigadoresdediversoscampos,Fisherdesarrollólasideasquelleva­
ronalostresprincipiosbásicosdeldiseñoexperimentalqueserevisan enlasección1-3:laaleatorización,
larealizaciónderéplicasylaformacióndebloques.Fisherincorporóde
manerasistemática
~lpensa­
mientoylosprincipiosestadísticos
eneldiseñodelasinvestigacionesexperimentales,incluyendoelcon­
ceptodediseñofactorialyelanálisisdevarianza.Suslibros[44a,
b]tuvieronprofundainfluenciaeneluso
delaestadística,particularmenteenlaagriculturaylascienciasbiológicasrelacionadas.
Paraunaexce­
lentebiografíadeFisher,verBox[21].
Sibienesciertoquelaaplicacióndeldiseñoestadístico enambientesindustrialesseinicióenladéca­
dade1930,elcatalizadordelasegundaera,o eraindustrial,fueeldesarrollodelametodologíadesuper­
ficiesderespuesta(MSR)
porpartedeBoxyWilson[20].Estosautoressepercataronyexplotaronel
hechodequemuchosexperimentosindustrialessonfundamentalmentediferentesdesuscontrapartes
agrícolasendossentidos:1)lavariablederespuesta
puedeobservarseporlogeneral(casi)deinmediato,
y2)elexperimentadorpuedeobtenerprontoinformacióncrucialde
unpequeñogrupodecorridasque
puedeusarse
paraplanearelsiguienteexperimento.Box[12f]denomina inmediatezysecuencialidadaes­
tasdoscaracterísticasdelosexperimentosindustriales.
Enlos30añossiguientes,laMSRyotrastécnicas
dediseñosegeneralizaronenlasindustriasquímicaydeproceso,sobretodo
eneltrabajodeinvestiga­
ciónydesarrollo.GeorgeBoxfueellíderintelectualdeestemovimiento.Sinembargo,laaplicacióndel
diseñoestadísticoaniveldeplantasoprocesosdemanufacturatodavíanoestabamuygeneralizada.
Algunasdelasrazonesdeelloincluyenlacapacitacióninadecuadadeingenierosyotrosespecialistasen
procesos
enlosconceptosylosmétodosestadísticosbásicos,asícomolafaltaderecursosdecomputación
ysoftwaredeestadísticaquefueranfácilesdeusar
paraapoyarlaaplicacióndeexperimentosdiseñados
estadísticamente.
Elinteréscrecientedelaindustriaoccidental
enelmejoramientodecalidad queempezóafinesdela
décadade1970anunciólatercera
eradeldiseñoestadístico.EltrabajodeGenichiTaguchi(TaguchiyWu
[109],Kackar
[62]yTaguchi[108a,b])tuvo unimpactosignificativoenelaumentodelinterésyelusode
losexperimentosdiseñados.Taguchipropugnaba
porelusodeexperimentosdiseñadosparaloquedeno­
minóeldiseñoparamétricorobusto,
esdecir,
1.Hacerprocesosinsensiblesalosfactoresambientalesode otraíndolequesondifícilesdecon­
trolar.
2.Fabricarproductosinsensiblesalavariacióntransmitida porloscomponentes.
3.Encontrarlosnivelesdelasvariablesdelprocesoqueobliguenalamediaa unvalordeseado
mientrasquealmismotiemposereduzcalavariabilidad
entornoaestevalor.
Taguchipropusodiseñosfactorialesaltamentefraccionadosyotrosarreglosortogonalesjuntoconalgu­
nosmétodosestadísticosnuevospararesolverestosproblemas.
Lametodologíaresultantegenerómu­
chasdiscusionesycontroversias.Partedelacontroversiasurgióporque
enOccidentelametodologíade
Taguchifuedefendidaalprincipio
(ysobretodo) porempresarios,ynosehabíahecholarevisiónescruta­
doraadecuadadelacienciaestadísticafundamental.
Parafinesdeladécadade1980,losresultadosde
estarevisiónindicaronqueauncuandolosconceptosylosobjetivosenfocados
enlaingenieríadeTaguchi
teníanbasessólidas,existíanproblemassustancialesconsuestrategiaexperimentalysusmétodos
parael
análisisdelosdatos.Paradetallesespecíficosdeestascuestiones,verBox[12d],Box,BisgaardyFung
[14],
Hunter[59a,b],MyersyMontgomery[85a]yPignatielloyRamberg[94]. Granpartedeestaspreo-

33. 1-6RESUMEN:USODETÉCNICASESTADÍSTICASENLAEXPERIMENTACIÓN 19
cupacionesseresumentambiénenelampliopaneldediscusióndelnúmerodemayode1992de Teehno­
meDies
(verNair, etal.[86]).
Huboalmenostresresultadospositivosdelacontroversiadesatada porTaguchi.Primero,elusode
losexperimentosdiseñadossehizomásgeneralizado
enlasindustriasconpiezasdiscretas,incluyendola
industriademanufacturasautomotricesyaeroespaciales,deelectrónicaysemiconductores,ymuchas
otras,queanteriormentehacíanpocousodeestatécnica.Segundo,seiniciólacuarta
eradeldiseñoesta­
dístico.
Estaerahaincluidounrenovadointerésgeneraltanto porpartedeinvestigadorescomodeprofe­
sionalesenejercicio
eneldiseñoestadísticoyeldesarrollodevariosenfoquesnuevosyútiles paralos
problemasexperimentalesenelmundoindustrial,incluyendoalternativasalosmétodostécnicosde
Th­
guchiquepermitenquesusconceptosdeingenieríasellevenalaprácticademaneraeficazyeficiente.
Algunasdeestasalternativasserevisaráneilustrarán
encapítulossubsecuentes, enparticularenelcapí­
tulo
11.Tercero,laeducaciónformalendiseñoexperimentalestadísticoseestáhaciendopartedelospro­
gramasdeingenieríaenlasuniversidades,tantoaniveldelicenciaturacomodeposgrado.
Laintegración
exitosade
unabuenaprácticadeldiseñoexperimental enlaingenieríaylascienciasesunfactorclaveen
lacompetitividadindustrialfutura.
1~6RESUMEN:USODETÉCNICASESTADÍSTICASEN LA
EXPERIMENTACIÓN
Granpartedelainvestigaciónenlaingeniería,lascienciasylaindustriaesempíricayhaceunusoextensi­
vadelaexperimentación.Losmétodosestadísticos
puedenincrementarengranmedidalaeficienciade
estosexperimentosyconfrecuenciapuedenfortalecerlasconclusionesasíobtenidas.Elusocorrectode
lastécnicasestadísticasenlaexperimentaciónrequierequeelexperimentadortengapresenteslospuntos
siguientes:
1.Usodeconocimientosnoestadísticosdelproblema. Losexperimentadoressuelenposeerampliosco­
nocimientosdesusrespectivoscampos.Porejemplo,
uningenierocivilquetrabajaen unproblemadehi­
drologíacuentademaneratípicaconconsiderableexperienciaprácticaycapacitaciónacadémicaformal
enestaárea.
Enalgunoscamposexisteuncuerpoenormedeteoríafísica enelcualindagar paraexplicar
lasrelacionesentrelosfactoresylasrespuestas.Estetipodeconocimientosnoestadísticosesinvaluable
paraelegirlosfactores,determinarlosnivelesdelosfactores,decidircuántasréplicascorrer,interpretar
losresultadosdelanálisis,etc.Elusodelaestadísticanoessustitutodelareflexiónsobreelproblema.
2.Mantenereldiseñoyelanálisistansimplecomoseaposible. Esnecesarionoexagerarenelusode
técnicasestadísticascomplejasysofisticadas.Losmétodosdediseñoyanálisisrelativamentesimplesson
siemprelosmejores.
Enestepuntocabehacerhincapiénuevamente enelpaso4delprocedimientoreco­
mendado
enlasección1-4. Siundiseñosehacedemaneracuidadosaycorrecta,elanálisiscasisiempre
serárelativamentedirecto.Sinembargo,sieldiseñoseestropeagrandemente
porineptitud,noesposible
queinclusolaestadísticamáscomplejayelegantesalvelasituación.
3.Tenerpresenteladiferenciaentresignificaciónprácticaysignificaciónestadística. Debidojustamen­
teaquedoscondicionesexperimentalesproducenrespuestasmedias quesonestadísticamentediferen­
tes,noexisteningunaseguridaddequeestadiferenciaseadelamagnitudsuficientecomo
paratener
algúnvalor
práctico.Porejemplo,uningenieropuededeterminarqueunamodificaciónenelsistemade
inyeccióndecombustibledeunautomóvilpuedeproducir
unmejoramientopromediorealenelrendi­
mientodelcombustiblede
0.1mi/gal.Ésteesunresultadoestadísticamentesignificativo.Sinembargo,si

34. 20 CAPÍTULO1INTRODUCCIÓN
elcostodelamodificaciónesde$1000,ladiferenciade 0.1mi/galprobablementeserámuy pequeñapara
poseeralgúnvalorpráctico.
4.Losexperimentossongeneralmenteiterativos. Recuerdeque enlamayoríadelassituacionesnoes
convenientediseñar
unexperimentodemasiadocomprensivoalprincipiode unestudio.Undiseñoexito­
sorequiereconocerlosfactoresimportantes,losrangos
enlosqueestosfactoresseharánvariar,elnúme­
roaprOpiadodeniveles
paracadafactorylosmétodosylasunidadesdemediciónadecuadosparacada
factoryrespuesta.
Engeneral,ningúnexperimentadorestá enposiciónderesponderestascuestionesal
principiodelexperimento,sinoquelasrespuestasaparecensobrelamarcha.Estohabla
enfavordelen­
foque
iterativoosecuencialanalizadoanteriormente.Desdeluego,haysituaciones enlasqueunexperi­
mentocomprensivoestotalmenteapropiadopero,comoreglageneral,lamayoríadelosexperimentos
deberánseriterativos.Porconsiguiente,nodeberáinvertirsemásde25%delosrecursos
paralaexperi­
mentación(corridas,presupuesto,tiempo,etc.)enelexperimentoinicial.Confrecuenciaestosesfuerzos
inicialesconstituyensóloexperienciasdeaprendizaje,yesnecesariocontarconrecursossuficientes
para
alcanzarlosobjetivosfinalesdelexperimento.

35. Experimentos
comparativossimples
Enestecapítuloseexaminanlosexperimentos paracomparardos condiciones(llamadasenocasiones
tratamientos),alascualesescomúndenominar experimentoscomparativossimples. Seempiezaconel
ejemplode unexperimentoqueserealiza paradeterminarsidosformulacionesdiferentesde unproduc­
toproducenresultadosequivalentes.
Elestudiollevaarevisarvariosconceptosbásicosde laestadística,
comovariablesaleatorias,distribucionesdeprobabilidad,muestrasaleatorias,distribucionesdemues­
treoypruebasdehipótesis.
2..1INTRODUCCIÓN
Lafuerzade latensióndeadhesióndelmorterodecementoportlandes unacaracterísticaimportantedel
producto.
Uningenieroestáinteresado encompararlafuerzade unaformulaciónmodificada enlaquese han
agregadoemulsionesdelátexdepolímerosduranteelmezclado,conlafuerzadelmorterosinmodificar.El
experimentador
hareunido10observacionesdelafuerzadelaformulaciónmodificadayotras 10observacio­
nesdelaformulaciónsin
modificar.Losdatossemuestran enlatabla2-1.Podríahacersereferenciaalasdos
formulacionesdiferentescomodos
tratamientosocomodos nivelesdelfactorformulaciones.
Enlafigura2-1segraficanlosdatosdeesteexperimento.A estarepresentaciónselellama diagrama
depuntos.
Delexamenvisualdeestosdatosseobtiene laimpresióninmediatadequelafuerzadelmorte­
rosinmodificaresmayorquelafuerzadelmorteromodificado.
Estaimpresiónseconfirmaalcomparar
lasfuerzasdelatensiónde
adhesiónpromedio'Yl=16.76kgf/cm
2
paraelmorteromodificado
YY2=17.92
kgf/cm
2
paraelmorterosinmodificar.Lasfuerzasde latensióndeadhesiónpromediodeestasdosmues­
trasdifieren
enloquepareceser unacantidadnotrivial.Sinembargo,noesevidentequeestadiferencia
seade
lamagnitudsuficiente paraimplicarquelasdosformulaciones sonenrealidaddiferentes.Quizás
estadiferenciaobservada
enlasfuerzaspromedio seaelresultadodefluctuacionesdelmuestreoylasdos
formulacionesseanidénticas
enrealidad.Posiblementeotrasdosmuestrasproduzcanelresultadocon­
trario,con
lafuerzadelmorteromodificadoexcediendo ladelaformulaciónsinmodificar.
Puedeusarseunatécnicade lainferenciaestadísticallamada pruebadehipótesis (algunosautores
prefiereneltérmino
pruebadesignificación) paraauxiliaralexperimentador enlacomparacióndeestas
21

36. 22 CAPÍTULO2EXPERIMENTOSCOMPARATIVOS SIMPLES
Tabla2.1Datosdelafuerzadelatensiónde
adhesióndelexperimento
dela
formulacióndelcementoportland
Mortero Morterosin
modificadomodificar
j
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Y1j
16.85
16.40
17.21
16.35
16.52
17.04
16.96
17.15
16.59
16.57
17.50
17.63
18.25
18.00
17.86
17.75
18.22
17.90
17.96
18.15
dosformulaciones.Lapruebadehipótesispermitequelacomparacióndelasdosformulacionessehaga
entérminosobjetivos,conelconocimientodelosriesgosasociados sisellegaaunaconclusiónequivoca­
da.Antesdepresentarlosprocedimientosdelapruebadehipótesisenexperimentoscomparativossim­
ples,seharáunabreverevisióndealgunosconceptoselementalesde
laestadística.
2.2CONCEPTOSESTADÍSTICOSBÁSICOS
Acadaunadelasobservacionesdelexperimentodelcementoportlandcitadoanteriormenteselellama­
ría
unacorrida.Observequelascorridasindividualesdifieren, porloqueexistenfluctuaciones,oruido,
enlosresultados.Escomúnllamaraesteruidoel
errorexperimeutalosimplementeelerror. Setratade
unerrorestadístico,locualsignificaqueseorigina porlavariaciónquenoestábajocontrolyquegene­
ralmente
esinevitable.Lapresenciadelerrororuidoimplicaquelavariablederespuesta,lafuerzadela
tensióndeadhesión,esunavariablealeatoria.Unavariablealeatoriapuedeserdiscretaocoutinua.
Siel
conjuntodetodoslosvaloresposiblesdelavariablealeatoriaesfinitoocontablementeinfinito,entonces
lavariablealeatoriaesdiscreta,mientrasque
sielconjuntodetodoslosvaloresposiblesdelavariable
aleatoria
esunintervalo,entonceslavariablealeatoriaescontinua.
Descripcióngráficade lavariabilidad
Esfrecuenteusarmétodosgráficossimplescomoayuda
paraanalizarlosdatosdeunexperimento.El
diagrama
depuntos,ilustradoenlafigura 2-1,esunrecursomuyútil pararepresentaruncuerporeduci­
do.dedatos(digamoshastaunas 20observaciones).Eldiagramadepuntoslepermite alexperimentador
verdeinmediatolalocalizaciónotendenciacentraldelasobservacionesysudispersión.Porejemplo,en
elexperimentodelafuerzadetensión
déadhesióndelcementoportland,eldiagramadepuntosrevela
15 16
ee_eeIeeeo 00
oro!>000
1
171
18
Fuerza
(kgf/cm
2
)
y,~16.76 Y2~17.92
19
20
e
~Morteromodificado
o~Morterosinmodificar
Figura2-1Diagramadepuntosde losdatosdelafuerza delatensióndeadhesióndelatabla 2-1.

37. 2-2CONCEPTOSESTADÍSTICOSBÁSICOS 23
0.15 30
ro
0.10 20
'E
ro
ro
~
.¡¡
ro
c:
ID.¡¡
::J
c:
"
ID
~
::J
"
"-
ID
.t0.05 10
0.00
60 65 70
75
Recuperacióndemetal(rendimiento)
Figura2-2Histogramade 200observacionesdelarecuperacióndemetal(rendimiento)en
unprocesodefundición.
queprobablementelasdosformulacionesdifieranenlafuerzapromedio,peroqueambasproducen
aproximadamentelamismavariaciónenlafuerza.
Cuandolosdatossonmuynumerósos,
esdifícildistinguirlasobservacionesgraficadasenundiagra­
madepuntos,yentalcasoseríapreferible
unhistograma.Enlafigura2-2sepresentaelhistogramade
200observacionesdelarecuperacióndemetal(orendimiento)enunprocesodefundición.Elhistogra­
mamuestralatendenciacentral,ladispersiónylaformageneraldeladistribucióndelosdatos.Recuerde
que
unhistogramaseconstruyedividiendoelejehorizontalenintervalos(generalmentedelongitud
igual)ytrazandounrectángulosobreelintervalo
j-ésimoconeláreadelrectánguloproporcionala l1
j
,el
númerodeobservacionesincluidaseneseintervalo.
El
diagramadecaja(odiagramadecaja ybigotes)esunamaneramuyútilderepresentargráfica­
mentelosdatos.
Enundiagramadecajasemuestraelmínimo,elmáximo,loscuartilesinferiorysuperior
(elpercentil25yelpercentil
75,respectivamente)ylamediana(elpercentil50)enunacajarectangular
alineadahorizontaloverticalmente.Lacajaseextiendedelcuartilinferior
alcuartilsuperiorysetraza
unalíneaporlamedianaqueatraviesalacaja.Setrazandoslíneas(obigotes)queseextiendendelos
ex­
tremosdelacajahasta(demaneratípica)losvaloresmínimoymáximo.(Existendiversasvariantesdelos
diagramasdecajaquetienenreglasdiferentesparadenotarlospuntosmuestralesextremos.VerMontgo­
meryyRunger
[83d]paramásdetalles.)
Enlafigura2-3semuestranlosdiagramasdecajadelasdosmuestrasdelafuerzadelatensiónde
adhesiónenelexperimentodelmorterodecementoportland.
Enestarepresentaciónserevelacontoda
claridadladiferenciaenlafuerzapromedioentrelasdosformulaciones.Indicaasimismoqueambasfor­
mulacionesproducendistribucionesdelafuerzarazonablementesimétricasconunavariabilidadodis­
persiónsimilar.
Losdiagramasdepuntos,loshistogramasylosdiagramasdecajasonútilespararesumirla informa­
cióndeuna
muestradedatos.Paradescribirconmayordetallelasobservacionesquepodríanpresentarse
enunamuestra,seusaelconceptodedistribucióndeprobabilidad.
Distribucionesdeprobabilidad
Laestructuradelaprobabilidaddeunavariablealeatoria, porejemploy,sedescribemediantesu distri­
bucióndeprobabilidad.
Cuandoyesdiscreta,escomúnhacerreferenciaasudistribucióndeprobabili-

38. 24 CAPÍTULO2 EXPERIMENTOSCOMPARATIVOSSIMPLES
Diagramasde cajaybigotes
¡;¡-
E18.41-
1 1 -
u
$
¡¡,
Cl
~
181- -
"-o
.¡¡;
w
17.6- -.I::
"O
ro
w
17.2- -
"O
$
"
'0
.¡¡;
-
"
16.8-
2l
.!!!
w16.4- -
"O
ro
~
w16- 1 I -
:J
LL
Modificado Sinmodificar
Formulacióndelmortero
Figura2-3Diagramasdecajadelexperimeutodelafuerzadelaten-
sióndeadhesióndelcementoportland.
dad,porejemplop(y),comolafuncióndeprobabilidad dey.Cuandoyescontinua,escomúnhacer
referenciaasudistribucióndeprobabilidad,
porejemplof(y),comolafuncióndedensidaddeprobabili­
dadde
y.
Enlafigura2-4seilustrandosdistribucionesdeprobabilidadhipotéticas, unadiscretaylaotraconti­
nua.Observeque
enladistribucióndeprobabilidaddiscretaeslaalturadelafunción p(Yj)laquerepre­
sentalaprobabilidad,mientrasqueenelcasocontinuo,esel
áreabajolacurva f(y)asociadacon un
L..----..LI~..L__.I__I_..I.-L-.L......L--'---LI__'_I _ Yj
Y1 Y3 Ya Y7 Yg Y11 Y13
Y2 Y4 Ya Ya Y10 Y12 Y14
a}Unadistribucióndiscreta
b-----=--Y
b)Unadistribucióncontinua
Figura2·4Distribucionesdeprobabilidaddiscreta ycontinua.

39. 2-2CONCEPTOSESTADÍSTICOSBÁSICOS 25
intervalodadolaquerepresentalaprobabilidad. Unresumencuantitativodelaspropiedadesdelasdis­
tribucionesdeprobabilidadseríaelsiguiente:
ydiscreta:
ycontinua:
0:5p(Yj):51
P(y=Yj)=p(Y
j
)
Lp(yJ=1
todoslos
valoresdeyj
0:5f(Y)
P(a:5y:5b)=f:f(y)dy
f:",f(y)dy=1
todoslosvaloresde Yj
todoslosvaloresde Yj
Media,varianza yvaloresesperados
Lamedia,¡,t,deunadistribucióndeprobabilidades unamedidadesutendenciacentralolocalización.
Matemáticamente,lamediasedefinecomo
{
f:ooyf(y)dy
¡,t-
-LYP(Y)
today
ycontinua
ydiscreta
(2-1)
Lamediatambiénpuedeexpresarseentérminosdelvaloresperadoovalorpromedioalalargadelava­
riablealeatoria
ycomo
{
J:ooyf(y)dy
¡,t=E(y)=~
LJYP(Y)
today
ycontinua
ydiscreta
(2-2)
dondeEdenotaeloperadordelvaloresperado.
Lavariabilidadodispersióndeunadistribucióndeprobabilidadpuedemedirseconlavarianza,la
cualsedefinecomo
ycontinua
ydiscreta
(2-3)
Observeque lavarianzapuedeexpresarseexclusivamente entérminosdelvaloresperadodebidoaque
(2-4)
Porúltimo,elusodelavarianzaestanfrecuentequeresultaconvenientedefinir unoperadorde lava­
rianza
Vtalque
V(y)
=E[(y_¡,t)2]=0
2
(2-5)

40. 26 CAPÍTULO2EXPERIMENTOSCOMPARATIVOS SIMPLES
Losconceptosdevaloresperadoyvarianzaseusanconstantementealolargodeestelibro,ypuede
serútilrevisarvariosresultadoselementalesrelacionadosconestosoperadores.
Siyesunavariablealea­
toriaconmedia
flyvarianzaify cesunaconstante,entonces
1.E(c)=c
2.E(y)=fl
3.E(cy)=cE(y)=cfl
4.V(c)=O_
5.V(y)=a
2
6.V(cy)=c
2V(y)=c
2
a
2
Sihaydosvariablesaleatorias, porejemplo'Y1con E(Y1)=
fl1yV(Y1)=a;YY2conE(Y2)=fl2yV(Y2)=
a;,setiene
7.E(Y1+y2)=E(Y1)+E(y2)=fl1+fl2
Esposibledemostrarque
8.V(Y1+y2)=V(Y1)+V(y2)+2COV(Y1'Y2)
donde
(2-6)
eslacovarianzadelasvariablesaleatorias Y1yY2.Lacovarianzaes unamedidadelaasociaciónlinealen­
treY1yY2"Másespecíficamente,puededemostrarse quesiY1yY2sonindependientes,
1
entonces
COV(y1'Y2)=O.Tambiénpuededemostrarseque
9.V(Y1-Y2) =V(Y1)+V(y2)-2Cov(yl'Y2)
SiY1YY2sonindependientes,setiene
10.V(Y1±Y2)=V(Y1)+V(y2)=a¡+a;
y
Sinembargo,observeque, engeneral,
12.
sinimp01tarsiY1yY2sonindependientesono.
2,3MUESTREOYDISTRIBUCIONESDEMUESTREO
Muestrasaleatorias,mediamuestral yvarianzamuestral
Elobjetivodelainferenciaestadística essacarconclusionesacercade unapoblaciónutilizando una
muestradelamisma. Lamayoríadelosmétodosqueseestudiaránaquíincluyenelsupuestodequese
¡Observequeelrecíproconoesnecesariamenteverdadero;esdecir, puedetenerseCovÚ'¡,Y2)=OYnoobstanteesto noimplicaque
lasvariablesseanindependientes. Paraunejemplo,verHines yMontgomery([55]pp.128-129).

41. 2-3MUESTREOYDISTRIBUCIONESDEMUESTREO 27
usanmuestrasaleatorias.Esdecir, silapoblacióncontiene Nelementosyvaaseleccionarseunamuestra
de
ndeellos,ysicadaunadelas N!/(N
-n)!n!muestrasposiblestiene unaprobabilidadigualdeseresco­
gida,entonces
alprocedimientoempleadoselellamamuestreoaleatorio. Enlapráctica,enocasioneses
difícilobtenermuestrasaleatorias,paralocualpuedenserútileslastablasdenúmerosaleatorios,como
latabla
XIdelapéndice.
Enlainferenciaestadísticaseutilizanprofusamentecantidadescalculadasapartirdelasobservacio­
nesdelamuestra.
Unestadísticosedefinecomocualquierfuncióndelasobservacionesdeunamuestra
quenocontieneparámetrosdesconocidos.Porejemplo,suponga
queY¡'Y2'...,Ynrepresentaunamuestra.
Entonceslamediamuestral
ylavarianzamuestral
!(Yi"':'y)2
S2=-""i=::.:1'--_
n-1
(2-7)
(2-8)
sonestadísticos.Estascantidadessonmedidasdelatendenciacentral
yladispersióndelamuestra,res­
pectivamente.
EnocasionesseusaS=
-JS2,llamadaladesviación estándarmuestral,comomedidade
dispersión.Losingenierossuelenpreferirelusodeladesviaciónestándar
paramedirladispersióndebi­
doaqueseexpresaenlasmismasunidadesquelavariabledeinterés
y.
Propiedadesdelamedia ylavarianzamuestrales
Lamedia
muestralji"esunestimadorpuntualdelamediapoblacional,u, ylavarianzamuestral S2esunes­
timadorpuntualdelavarianzapoblacionalrJ2.Engeneral,unestimadordeunparámetrodesconocidoes
unestadísticoquecorrespondecondichoparámetro.Observeque
unestimadorpuntualesunavariable
aleatoria.Alvalornuméricoparticulardeunestimador,calculadoapartirdelosdatosmuestrales,sele
llama
unaestimaciÓn.Porejemplo,supongaquequiereestimarselamedia ylavarianzadelaresistenciaa
larupturade
untipoparticulardefibratextil.Seprueba unamuestraaleatoriaden =25ejemplaresde
pruebadelafibra
yseregistralaresistenciadecadaunodeellos.Lamedia ylavarianzamuestralessecal­
culandeacuerdoconlasecuaciones2-7
y2-8,respectivamente,obteniéndose
ji"=18.6Y S2=1.20.Porlo
tanto,laestimaciónde,uesji"=18.6YlaestimaciónderJ2esS2=1.20.
Unbuenestimadorpuntualdebetenervariaspropiedades.Dosdelasmásimportantessonlas si­
guientes:
1.Elestimadorpuntualdeberáserinsesgado.Esdecir,elparámetroque seestáestimandodeberá
serelpromedioovaloresperadoalalargadelestimadorpuntual.Auncuandolaausenciadeses-
goesdeseable,estapropiedad porsísolanosiemprehacequeunestimadorseaadecuado.'
2.Unestimadorinsesgadodeberátenerlavarianzamínima.Estapropiedadestablecequeelesti­
madorpuntualdevarianzamínimatiene
unavarianzaqueesmenorquelavarianzadecualquier
otroestimadordelparámetroencuestión.

42. 28 CAPÍTULO2EXPERIMENTOSCOMPARATIVOS SIMPLES
EssencillodemostrarqueyyS2sonestimadoresinsesgadosde¡,tyer,respectivamente.Considere
primeroy.Alutilizarlaspropiedadesdelvaloresperado,setiene
=~E(~ Yi)
1n
=-2:E(Yi)
ni=l
1n
=-2:¡,t
ni=l
=¡,t
porqueelvaloresperadodecadaobservación Yies¡,t.Porlotanto,yesunestimadorinsesgadode¡,t.
Considereahoralavarianzamuestral S2.Setiene
!(Yi-Y)2]
E(S2)=E.:.::i=:=...l _
n-1
=n~1E[~(Yi-y)2]
=_1_E(SS)
n-1
dondeSS=L~=l(Yi-y)2eslasumadecuadradoscorregida delasobservaciones Yi'Entonces
E(SS)=E[~(Yi-y)2]
=E[~Yi_n
y2
]
n
=2:(¡,t2+a
2
)-n(¡,t2+a
2
In)
i=l
=(n-1)a
2
Porlotanto,
E(S2)=_1_E(SS)
n-1
=a
2
yseobservaque S2esunestimadorinsesgadodeer.
(2-9)
(2-10)

43. 2-3MUESTREOYDISTRIBUCIONESDEMUESTREO 29
Gradosdelibertad
Alacantidadn-1delaecuación2-10selellamael númerodegradosdelibertadde lasumadecuadra­
dos
SS.Setratadeunresultadomuygeneral;esdecir,si yesunavariablealeatoriaconvarianza
ify
SS
=
L(Yi-y)2tienevgradosdelibertad,entonces
(2-11)
Elnúmerodegradosdelibertadde unasumadecuadradosesigualalnúmerodeelementosindependien­
tes
endichasumadecuadrados.Porejemplo,SS =
L7=1(Yi-y)2enlaecuación2-9consiste enlasumade
loscuadradosdelos
nelementosYI-
y,Y2-y,...,Y
n
-y.Notodosestoselementos sonindependientes
porqueL7=1(Yi-y)=O;dehecho,sólo n-1deellossonindependientes,locualimplicaqueSStiene n-1
gradosdelibertad.
(2-12)
-oo<y<oo
Ladistribuciónnormal yotrasdistribucionesdemuestreo
Enmuchasocasiones ladistribucióndeprobabilidadde unestadísticoparticularpuededeterminarsesise
conoce
ladistribucióndeprobabilidaddelapoblaciónde laquesetomó lamuestra.A ladistribuciónde
probabilidaddeunestadísticoselellama
ladistribucióndemuestreo.Acontinuaciónserevisanbreve­
mentevariasdistribucionesdemuestreoútiles.
Unadelasdistribucionesdemuestreomásimportanteses ladistribuciónnormal. Siyesunavariable
aleatorianormal,
ladistribucióndeprobabilidadde yes
f(y)=
_1_
e
-(1I2)[(Y-I')lu]'
a.J2ii
donde-00<fJ.<00eslamediadeladistribuciónyif>Oeslavarianza.Enlafigura2-5seilustra ladistri­
buciónnormal.
Debidoaquelascorridasmuestralesquedifierencomoresultadodel
errorexperimentalamenudo
se
encuentrandescritasadecuadamente enladistribuciónnormal,éstadesempeña unpapelfundamental
enelanálisisdelosdatosdeexperimentosdiseñados.Tambiénesposibledefinirmuchasdistribuciones
demuestreoimportantes
entérminosdevariablesaleatoriasnormales.Confrecuenciaseusa lanotación
y
-N(¡t,if)paradenotarque ysigueunadistribuciónnormalconmediafJ.yvarianzaif.
Uncasoespecialimportantede ladistribuciónnormales ladistribuciónnormalestándar;esdecir,
fJ.=Oyif=1.Seobservaque siy-N(¡t,if),lavariablealeatoria
Y-fJ.
z=--
a
(2-13)
fJ.
Figura2-5 Ladistribuciónnormal.

44. 30 CAPÍTULO2EXPERIMENTOSCOMPARATIVOS SIMPLES
sigueladistribuciónnormalestándar,denotada z-N(O,1).Alaoperaciónilustradaenlaecuación 2-13
suelellamárselela estandarizacióndelavariablealeatorianormaly. EnlatablaIdelapéndicesepresen­
taladistribuciónnormalestándaracumulada.
Enmuchastécnicasestadísticassesuponequelavariablealeatoriasigueunadistribuciónnormal.El
teoremadellímitecentral
esconfrecuenciaunajustificacióndelanormalidadaproximada.
TEOREMA2..1 .
Elteoremaclellímitecentral
SiYI'Y2'·..,Ynesunasucesiónde nvariablesaleatoriasindependientesquetienen unadistribuciónidéntica
con
E(Yi)=
¡tyV(Yi)=rT(ambasfinitas)y x=YI+Y2+'"+Ymentonces
x-n¡t
z=--
n ,------:¡
vna-
tieneunadistribuciónN(O,1)aproximadaen elsentidodeque,siFn(z)eslafunciónde ladistribu­
ción
deZny
cI>(z)eslafuncióndeladistribucióndelavariablealeatoria N(O,1),entonceslím
n
-+",[Fn(z)1
cI>(z)]=1.
Esteresultadoestableceenesenciaquelasumade nvariablesaleatoriasindependientesquetienen una
distribuciónidénticasigueunadistribuciónaproximadamentenormal. Enmuchoscasosestaaproxima­
ciónesadecuadaparavaloresmuypequeñosde
n,digamosn<10,mientrasqueenotroscasossenecesi­
taunvalorgrandede n,digamosn>100.Frecuentementeseconsideraqueelerrordeunexperimento
surgede
unamaneraaditivadevariasfuentesindependientes; porconsiguiente,ladistribuciónnormalse
convierteen
unmodelorecomendableparaelerrorexperimentalcombinado.
Unaimportantedistribucióndemuestreoquepuededefinirseentérminosdevariablesaleatorias
normalesesla
distribuciónX
2
oji-cuadrada.SiZI'Z2'...,Zksonvariablesaleatoriasquetienenunadistri­
buciónnormaleindependienteconmedia
°yvarianza1,cuyaabreviaturaesNID(O,1),entonceslavaria­
blealeatoria
sigueladistribuciónji-cuadradacon
kgradosdelibertad. Lafuncióndedensidaddeladistribución
ji-cuadradaes
x>O (2-14)
Enlafigura2-6seilustranvariasdistribucionesji-cuadrada. Ladistribuciónesasimétrica,osesgada,
conmedia
yvarianza
¡l=k
a
2
=2k
respectivamente.EnlatablaIIIdelapéndicesepresentanlospuntosporcentualesdeladistribución
ji-cuadrada.

45. 2-3MUESTREOYDISTRIBUCIONESDEMUESTREO 31
Figura2·6Variasdistribucionesji-cuadrada.
Comounejemplode unavariablealeatoriaquesigueladistribuciónji-cuadrada,supongaque YI'
Y2,...,Ynesunamuestraaleatoriade unadistribuciónN(¡t,02).Entonces
n
SSL
(Yi-y)2
i=l 2
a
2
a
2 -Xn-I (2-15)
Esdecir,SS/o2sigueunadistribuciónji-cuadradaconn-1gradosdelibertad.
Muchasdelastécnicasutilizadasenestelibrorequierenelcálculo
ylamanipulacióndesumasde
cuadrados.
Elresultadodadoenlaecuación 2-15esdesumaimportancia yapareceenmúltiplesocasio­
nes;cuando
unasumadecuadradosdevariablesaleatoriasnormalessedivide por
02sigueladistribución
ji-cuadrada.
Alexaminarlaecuación
2-8,seobservaquelavarianzamuestralpuedeescribirsecomo
(2-16)
Silasobservacionesdelamuestrason
NID(¡t,02),entoncesladistribuciónde S2es[o2/(n-1)]X~_I' Porlo
tanto,ladistribucióndemuestreodelavarianzamuestrales unaconstantemultiplicada porladistribu­
ciónji-cuadrada
silapoblacióntiene unadistribuciónnormal.
SizyX
~sonvariablesaleatoriasindependientesnormalestándar yji-cuadrada,respectivamente,la
variablealeatoria
z
t=
---===
k~XUk
sigueladistribución tconkgradosdelibertad,denotadaticLafuncióndedensidadde tes
(2-17)
r[(k+1)/2] 1
f(t)=.Jkiir(k/2)[(t
2/k)+1r
k
+
I
)/2
-oo<t<oo (2-18)
ylamediaylavarianzade tson.u=OY02=k/(k-2)parak>2,respectivamente.Enlafigura2-7seilus­
tranvariasdistribucionest.Observeque sik=00,ladistribucióntseconvierteenladistribuciónnormal

46. 32 CAPÍTULO2EXPERIMENTOSCOMPARATNOS SIMPLES
o
k=~(normal)
Figura2-7Variasdistribuciones t.
estándar.EnlatablaIIdelapéndicesepresentanlospuntosporcentualesdeladistribución t.Siy¡,yz,...,
Ynesunamuestraaleatoriade unadistribuciónN{fl,a2),entonceslacantidad
y-f1
t=SI.Jn (2-19)
sedistribuyecomo tconn-1gradosdelibertad.
Laúltimadistribucióndemuestreoqueconsideraremosesla distribuciónF.SiX;,YX~sondosvaria­
blesaleatoriasji-cuadradaindependientescon
uyvgradosdelibertad,respectivamente,entonceselco­
ciente
(2-21)o<x<oo
X;,lu
F=-- (2-20)
II,V X~Iv
sigueladistribución Fconugradosdelibertadenel numeradoryvgradosdelibertadenel denominador.
SixesunavariablealeatoriaFcon ugradosdelibertadenel numeradoryvgradosdelibertadeneldeno­
minador,entoncesladistribucióndeprobabilidadde
xes
hx_
r(T)(;f
Z
x(u/Z)-l
()-r(~)r(~)[(;;~+1rh)"
- - - -u =4,u=10
---u=4,u=30
-------u=10,u=10
--u=10,v=30
0.8
-o
tU
-o
:B0.6
tU
.o
e
c.
~0.4
-o
tU
-o
.~0.2
ID
D
o 4
x
6 8
Figura2-8Variasdistribuciones F.

47. 2-4INFERENCIASACERCADELASDIFERENCIASENLASMEDIAS,DISEÑOSALEATORlZADOS 33
Enlafigura2-8seilustranvariasdistribuciones F.Estadistribuciónesmuyimportanteenelanálisisesta­
dístico
deexperimentosdiseñados. EnlatablaIVdelapéndicesepresentanlospuntosporcentualesdela
distribución
F.
Comounejemplode unestadísticoquesigue unadistribuciónF,supongaquesetienendospoblacio­
nesnormalesindependientesconvarianzacomún
cJ2.SiYn,Ylz,000'Yln¡esunamuestraaleatoriade nIob­
servacionesdelaprimerapoblaciónySiYZl,Y2z,..o,YZ
nz
esunamuestraaleatoriade nzobservacionesdela
segunda,entonces
(2-22)
dondeSI
Z
y
S;sonlasdosvarianzasmuestrales.Esteresultadosesiguedirectamentedelasecuaciones
2-15y2-20.
2,4INFERENCIASACERCADELASDIFERENCIAS ENLASMEDIAS,
DISEÑOSALEATORIZADOS
Estamospreparadosahora paravolveralproblemadelmorterodecementoportlanddelasección2-1.
Recuerdequeseestabaninvestigandodosformulacionesdiferentes
paradeterminarsidifieren enla
fuerzadelatensióndeadhesión.
Enestasecciónseexaminacómo puedenanalizarselosdatosdeeste ex­
perimentocomparativosimpleutilizandoprocedimientosde pruebadehipótesiseintervalosdeconfian­
za
paracompararlasmediasdedostratamientos.
Alolargodeestasecciónsesuponequeseusa
undiseñoexperimentalcompletamentealeatorizado.
Enestediseño,losdatosseconsiderancomosifueran unamuestraaleatoriade unadistribuciónnormal.
2,4.1Pruebadehipótesis
Seretomaahoraelexperimentodelcementoportlandintroducidoenlasección2-1.Recuerdequeelin­
terésseencuentraencompararlafuerzadedosformulacionesdiferentes:
unadelmorterosinmodificary
unadelmorteromodificado. Engeneral,estasdosformulaciones puedenconsiderarsecomodosniveles
delfactor"formulaciones".SeaqueYn'Y12'
.oo,Yln¡representelas nIobservacionesdelprimerniveldel
factoryque
YZl,Yzz,...,Y2nzrepresentelasnzobservacionesdelsegundoniveldelfactor.Sesuponeque
lasmuestrassesacanalazardedospoblacionesnormalesindependientes.
Enlafigura2-9seilustrala
situación.
Nivel1delfactor Nivel2delfactor
Figura2-9Lasituacióndelmuestreoparalaprueba tdedosmuestras.

48. 34 CAPÍTULO2EXPERIMENTOSCOMPARATIVOS SIMPLES
Unmodelodelosdatos
Confrecuencialosresultadosdeunexperimentosedescribenconunmodelo.
Unmodeloestadísticosim­
plequedescribelosdatosdeunexperimentocomoelqueacabadedescribirsees
{
i
=1 2
Yij=fl¡+cij)'=1'2 n
,,•..,i
(2-23)
donde
Yijeslaobservaciónj-ésimadelnivel idelfactor,
fl¡eslamediadelarespuestaparaelniveli-ésimo
delfactor,ycijesunavariablealeatorianormalasociadaconlaobservaciónij-ésima. SesuponequelasCij
sonNlD(O,a¡),i=1,2.Seacostumbrahacerreferenciaacqcomoelcomponentedel erroraleatoriodel
modelo.Puestoquelasmediasfl1yfl2sonconstantes,seobservadirectamenteapartirdelmodeloquelas
YijsonNID(,u¡,a¡),i=1,2,comoseacabadesuponerarriba.Paramásinformaciónacercadelosmodelos
delosdatos,referirsealmaterialsuplementariodeltexto.
Hipótesisestadísticas.
Unahipótesisestadísticaesunenunciadooafirmaciónyaseaacercadelosparámetrosde unadistribu­
cióndeprobabilidadodelosparámetrosdeunmodelo.
Lahipótesisreflejaalgunaconjeturaacercadela
situacióndelproblema.Porejemplo,enelexperimentodelcementoportland,puedepensarsequelas
fuerzasdelatensióndeadhesiónpromediodelasdosformulacionesdelmorterosoniguales.Estopuede
enunciarseformalmentecomo
Ha:fl1=fl2
H
1
:fl1:;z!:fl2
dondefl1eslafuerzadelatensióndeadhesiónpromediodelmorteromodificadoyfl2eslafuerzadeten­
sióndeenlacepromediodelmorterosinmodificar.AlenunciadoHa
:fl1=fl2selellamalahipótesisnulay
aH
1
:fl1:;z!:fl2selellamalahipótesisalternativa.Alahipótesisalternativaqueseespecificaaquíselellama
hipótesisalternativadedoscolasporqueseríaverdadera
si
fl1<fl2osifl1>fl2'
Paraprobarunahipótesisseproyecta unprocedimientoparatomarunamuestraaleatoria,calcular
unestadísticodepruebaapropiadoparadespuésrechazaronoestarenposiciónderechazar
lahipótesis
nula
Ha.Partedeesteprocedimientoconsisteenespecificarelconjuntodevaloresdelestadísticode
pruebaquellevan
alrechazode Ha.Aesteconjuntodevaloresselellamalaregión
c~íticaoregióndere~
chazodelaprueba.
Puedencometersedostiposdeerrorescuandosepruebanhipótesis.
Silahipótesisnulaserechaza
cuandoesverdadera,
haocurridounerrortipo I.Silahipótesisnula noserechazacuandoesfalsa,se ha
cometidounerrortipoII.Lasprobabilidadesdeestosdoserroresseexpresanconsímbolosespeciales:
a=P(errortipo l)=P(rechazarHaIHaesverdadera)
f3=P(errortipoII) =P(dejarderechazar HaIHaesfalsa)
En
ocasi5>nesesmásconvenientetrabajarconlapotenciadelaprueba,donde
Potencia
=1-f3=P(rechazarHaIHaesfalsa)
Elprocedimientogeneralenlapruebadehipótesisesespecificar
unvalorde laprobabilidadadelerror
tipol,llamadaconfrecuenciaelniveldesignificacióndelaprueba,ydespuésdiseñarelprocedimiento
depruebadetalmodoquelaprobabilidadf3delerrortipo
IItengaunvalorconvenientementepequeño.

49. 2-4INFERENCIASACERCADELASDIFERENCIASENLASMEDIAS,DISEÑOSALEATORIZADOS 35
Lapruebatdedosmuestras
Considerequepuedesuponersequelasvarianzasdelasfuerzas delatensióndeadhesión fueronidénti­
cas
paraambasformulacionesdelmortero. Entonceselestadísticodepruebaquedeberáusarsepara
compararlasmediasdedostratamientos eneldiseñocompletamentealeatorizadoes
Y
-
-v
t= 1 - Z
oJFfl
S-+-
plZllZz
(2-24)
(2-25)
dondeYl
YYzsonlasmediasmuestrales, lZlYlZzsonlostamañosdelasmuestras,S~esunaestimacióndela
varianza
común
ai=a;=a
Z
calculadaa partirde
SZ=(lZl-1)SI
Z
+(lZz-1)Si
p nI+n
z
-2
ys¡ysisonlasdosvarianzasmuestra1esindividuales. ParadeterminarsideberárechazarseHo:¡ll=#z,
secompararíatoconladistribución tconlZl+lZz-2gradosdelibertad.Si ItoI>talZ,lI1+1I2-
Z
'donde
talZ,lI1+112-zesel puntoporcentuala/2superiordeladistribución tconnI+nz-2gradosdelibertad,en­
toncesserechazadaHoYseconcluiríaquelasfuerzas promediodelasdosformulacionesdel morterode
cementoportlanddifieren.Aesteprocedimiento depruebaselellama generalmentelapruebatdedos
muestras.
Esteprocedimientopuedejustificarsedelasiguientemanera.Sielmuestreoseestáhaciendo dedis­
tribucionesnormalesindependientes,entonces
ladistribuciónde
Yl-YzesN[ul-#z,er(l/n1+l/nz)].Por
lotanto,siseconocieraer,ysiHO:#1=¡lzfueraverdadera,ladistribuciónde
(2-26)
seríaN(O,1).Sinembargo,alsustituir aconSpenlaecuación2-26,ladistribucióndeZocambiadelanor­
mal
estándaraladistribucióntconnI+lZz- 2gradosdelibertad.Ahorabien,si H
oesverdadera,t
odela
ecuación
2-24sedistribuyecomo t
ll
¡+1I2-
Z
y,porconsiguiente,se esperaríaque100(I-a)porcientodelos
valores
detoesténentre-talZ,II¡+112-ZYtalZ,II¡+112-Z'Unamuestraqueprodujeraunvalorde toqueestuviera
fueradeestoslímitesseríainusualsi lahipótesisnulafueraverdaderayesevidenciadeque Hodeberáre­
chazarse.
Porlotanto,ladistribucióntconnI+nz
-2gradosde libertadesladistribucióndereferencia
apropiadaparaelestadísticode pruebatooEsdecir,describe elcomportamientode tocuandolahipótesis
nulaesverdadera.Observe
queaeslaprobabilidaddel errortipo1delaprueba.
Enalgunosproblemasquizá quierarechazarseHoúnicamentesiunadelasmediasesmayor quela
otra.
Porlotanto,seespecificaría unahipótesisalternativadeunacolaH
1
:#1>#zYHosóloserechazaría
si
to>ta,lI¡+112-z·SisedesearechazarHosólosi
#1esmenorque#2'entonceslahipótesisalternativaes
H1:#1<¡lz,YHoserechazaríasi to<-t
a
,II¡+1I2-
Z
'
Parailustrarelprocedimiento,considerelosdatosdel cementoportlanddelatabla2-1.Paraestos
datos,se
encuentraque
Morteromodificado
5'1=16.76kgf/cm
z
S1
2
=Q.100
SI=0.316
11¡=10
Morterosinmodificar
5'z=17.92kgf/cm
Z
si=0.061
Sz=0.247
12
z=10

50. 36 CAPÍTULO2EXPERIMENTOSCOMPARATNOS SIMPLES
Puestoquelasdesviacionesestándarmuestralessonrazonablementesimilares,noesimprocedentecon­
cluirquelasdesviacionesestándar(olasvarianzas)poblacionalessoniguales.Porlotanto,puedeusarse
laecuación
2-24paraprobarlashipótesis
Ho:fl1=fl2
H
1
:fl1:;z!:fl2
Además,11
1+11
2
-2 =10+ 10-2 =18,Ysiseeligea=0.05,entoncesHo
:fl1=fl2serechazaríasielvalor
numéricodelestadísticodeprueba
to>t
O
.025
,18=2.101,osito<-t
O
.025
,18=-2.101.Estoslímitesdelare­
gióncríticaseilustranenladistribucióndereferencia
(tcon18gradosdelibertad)dela figur:a2-10.
Alutilizarlaecuación 2-25seencuentraque
S2=(11
1
-l)S{+(11
2-l)S;
p 11
1
+11
2
-2
=9(0.100)+9(0.061)
10+10-2
=0.081
Sp=0.284
yelestadísticodeprueba es
t=
Y1-Y2
oR1
Sp-+-
11
1
11
2
16.76-17.92
-O.284Jfa-+fa­
=-9.13
Puestoque to=-9.13<-t
O
.025
,18=-2.101,serechazaríaHoyseconcluiríaquelasfuerzasdelatensiónde
adhesiónpromediodelasdosformulacionesdelmorterodecementoportlandsondiferentes.
42-4-6
"'C
:20.3
:B
1l
~
~0.2
"'C
"'C
ro
"'C
'iñ
ij¡
0.1
o
o
to
Figura2-10Ladistribucióntcon18gradosdelibertadconlaregióncrítica
±t
O
•025
•18=±2.1Dl.

51. 2-4INFERENCIASACERCADELASDIFERENCIASENLASMEDIAS,DISEÑOSALEATORIZADOS 37
ElusodevaloresP enlapruebadehipótesis
Unamaneradereportarlosresultadosde unapruebadehipótesisesestableciendoquelahipótesisnula
fuerechazadaonopara
unvalordeaoniveldesignificaciónespecífico.Porejemplo,enelexperimento
delmorterodecementoportlandanteriorpuededecirseque
HO:f-l1=f-l2serechazóconelniveldesignifi­
cación
0.05.Estaenunciacióndelasconclusionesesconfrecuenciainadecuadaporquenoleofrecealres­
ponsabledelatomadedecisionesideaalgunade
sielvalorcalculadodelestadísticodepruebaapenas
rebasólaregiónderechazoo
siseadentróbastante enlamisma.Además,aldarselosresultadosdeesta
maneraselesimponeaotrosusuariosdelainformaciónelniveldesignificaciónpredefinido.Esteenfo­
quepuedeserinsatisfactorioporquealgunosresponsablesdelatomadedecisionespodríansentirseincó­
modosconlosriesgosqueimplicaelvalor
a=0.05.
Paraevitarestasdificultades, enlaprácticase haadoptadoextensivamenteelenfoquedelvalor P.El
valor
Peslaprobabilidaddequeelestadísticode pruebaasumaunvalorqueseaalmenostanextremo
comoelvalorobservadodelestadísticocuandolahipótesisnula
Haesverdadera.Porlotanto,unvalor P
transmitemuchainformaciónacercadelpesodelaevidencia encontrade Hay,porconsiguiente,elres­
ponsabledelatomadedecisionespuedellegara
unaconclusiónconcualquierniveldesignificaciónespe­
cificado.
Entérminosmásformales,elvalor Psedefinecomoelniveldesignificaciónmenorquellevaría
arechazarlahipótesisnula
Ha.
Seacostumbradecirqueelestadísticodeprueba (ylosdatos)essignificativocuandoserechazalahi­
pótesisnula;
porlotanto,elvalor Ppuedeconsiderarsecomoel menornivelaenelquelosdatossonsig­
nificativos.
Unavezqueseconoceelvalor P,elresponsabledelatomadedecisionespuededeterminarla
medida
enquelosdatossonsignificativossinqueelanalistadelosdatosimpongaformalmente unnivel
designificaciónpreseleccionado.
Nosiempre
essencillocalcularelvalor Pexactode unaprueba.Sinembargolamayoríadelosprogra­
masdecomputaciónmodernos
pararealizaranálisisestadísticosreportanvalores P,ypuedenobtenerse
también
enalgunascalculadorasportátiles.Acontinuaciónseindicarácómoobtener unaaproximación
delvalor
Pparaelexperimentodelmorterodecementoportland.Porlatabla IIdelapéndice,parauna
distribuciónlcon18gradosdelibertad,laprobabilidad menoreneláreadelacolaes0.0005, paralacual
lO.0005,18=3.922.Ahorabien,IloI=9.13>3.922,dedonde,yaquelahipótesisalternativaesdedoscolas,
sesabequeelvalor
Pdebeser menorque2(0.0005)=0.001.Algunascalculadorasportátilestienenlaca­
pacidad
paracalcularvalores P.UnadeellaseslaHP-48.Utilizandoestacalculadoraseobtieneelvalor P
paraelvalorlo=-9.13delexperimentodelaformulacióndelmorterodecementoportlandcomo
P=3.68X10-
8
•
Porlotanto,lahipótesisnula
Ho:f-l1=f-l2serechazaríaconcualquierniveldesignificación
a2::3.68X10-8.
Soluciónporcomputadora
Haymuchospaquetesdesoftware deestadísticaquecuentanconlacapacidad paraprobarhipótesisesta­
dísticas.
Enlatabla2-2sepresentalasalidadelprocedimiento paralapruebaldedosmuestrasdeMini­
tabaplicadoalexperimentodelaformulación delmorterodecementoportland.Observequelasalida
incluyealgunosestadísticosconcisosacercadelasdosmuestras(laabreviatura"SEMean"["SEmedia"]
serefiereal
errorestándardelamedia,s /
J1i.),asícomoalgunainformaciónsobrelosintervalosdecon­
fianza
paraladiferenciaenlasdosmedias(loscualesserevisan enlassecciones2-4.3y2-6). Elprograma
también
pruebalahipótesisdeinterés,permitiendoqueelanalistaespecifiquelanaturalezadelahipóte­
sisalternativa("not
="["no="]significa
H1:f-l1:t:f-l2)Ylaelecciónde a(a=0.05enestecaso).
Lasalidaincluyeelvalorcalculadode lo,elvalorP(llamadoelniveldesignificación)yladecisiónque
deberíatomarsedadoelvalorespecificadode
a.Observequeelvalorcalculadodelestadístico ldifiereli­
geramentedelvalorquesecalculómanualmenteaquíyqueelvalor
PquesereportaesP=0.0000.Mu-

52. 38 CAPÍTULO2EXPERIMENTOSCOMPARATIVOS SIMPLES
Tabla2-2PruebatdedosmuestrasusandoMinitabparaelexperimentodelmorterodecementoportland
Prueba
tdedosmuestraseintervalodeconfianza
TwosampleTforModifiedvsUnmod
Modi·fied
Unmod
N
10
10
Mean
16.774
17.922
StDev
0.309
0.248
SEMean
0.098
0.078
95%elformuModified
t-TestmuModified=mu
p=0.0000DF=18
BothusePooledStDev=
muUnmod:(-1.411,-0.885)
Unmod(vsnot=):T=-9.16
0.280
chospaquetesdesoftwarenoreportarán unvalorPrealmenorque0.0001yensulugarpresentan un
valor"poromisión".Ésteeselcasoaquí.
Verificacióndelossupuestos enlapruebat
Parautilizarelprocedimientodelaprueba tseestablecenlossupuestosdequeambasmuestrassetoman
depoblacionesindependientesquepuedendescribirsecon
unadistribuciónnormal,quelasdesviaciones
estándarolasvarianzasdeambaspoblacionessoniguales,yquelasobservacionessonvariablesaleato­
riasindependientes.Elsupuestodeindependencia
escrítico,perosielordendelascorridasestáaleatori­
zado
(y,deserapropiado,seseleccionanalazarotrasunidadesymaterialesexperimentales),este
supuesto
porlogeneralsesatisfará.Lossupuestosdelaigualdaddelasvarianzasylanormalidadsonfáci­
lesdeverificarutilizandouna
gráficadeprobabilidadnormal.
Engeneral,lagraficacióndeprobabilidadeses unatécnicaparadeterminarsilosdatosmuestralesse
ajustana
unadistribuciónhipotetizadaconbase enunexamenvisualsubjetivodelosdatos. Elprocedi­
mientogeneral
esmuysimpleypuederealizarserápidamenteconlamayoríadelospaquetesdesoftware
deestadística.
Enelmaterialsuplementariodeltextoseanalizalaconstrucciónmanualdelasgráficasde
probabilidadnormal.
Paraconstruir
unagráficadeprobabilidad,primerose ordenandemenoramayorlasobservaciones
delamuestra.Esdecir,la
muestraYl,Yz,...,Ynseordenacomo Y(1)'Y(2)'...,Y(n)'dondeY(1)eslaobservación
menor'Y(2)eslasegundaobservaciónmenor,yasísucesivamente, conY(Il)lamayor.Lasobservacionesor­
denadas
Y(í)segraficanentoncescontrasusrespectivasfrecuenciasacumuladasobservadas (j
-0.5)/n.La
escaladelafrecuenciaacumuladase hadispuestodetalmodoque siladistribuciónhipotetizadadescribe
demaneraadecuadalosdatos,lospuntosgraficadosestaránaproximadamentesobre
unalínearecta; si
lospuntosgraficadosmuestran unadesviaciónsignificativade unarecta,elmodelohipotetizadonoes
apropiado.Generalmente,determinar
silosdatosgraficadospertenecenonoa unarectaesunadecisión
subjetiva.
Parailustrarelprocedimiento,supongaquequiereverificarseelsupuestodequelafuerzadelaten­
sióndeadhesión
enelexperimentodelaformulacióndelmorterodecementoportlandsigue unadistri­
buciónnormal.Inicialmentesóloseconsideranlasobservacionesdelaformulacióndelmorterosin
modificar.
Enlafigura2-11aseilustraunagráficadeprobabilidadnormalgenerada porcomputadora.La
mayoríadelasgráficasdeprobabilidadnormalmuestran 100(j
-O.5)/nenlaescalaverticalizquierda (yen
ocasionessemuestra 100[1-(j-O.5)/n]enlaescalaverticalderecha),conelvalordelavariablegraficado
enlaescalahorizontal.Algunasgráficasdeprobabilidadnormalconviertenlafrecuenciaacumulada en
unvalorznormalizado.Unalínearecta,elegidade manerasubjetiva,se hatrazadoenmediodelospun-

53. 2-4INFERENCIASACERCADELASDIFERENCIASENLASMEDIAS,DISEÑOSALEATORIZADOS 39
99.9
o
~
99
~
ro
95"O
ro
:i
E
80
:o
u
ro
ro50
E
o
20
c:
"O
ro
532
:a
ro
.o
~
O-
0.1
Fuerzadelatensióndeadhesión
a)Morterosinmodificar
95
80
50
20
5
•
0.1
16.3 16.5 16.7 16.9
Fuerzade latensióndeadhesión
_99.9r-r--,--,--,--,--,--,--,--,--,--,----r---r---r---r---r--¡--¡--¡--,--,¡-,
o
o
ro
"O
ro
:i
E
:o
u
ro
ro
E
o
c:
"O
ro
~
:c
ro
.o
o
c::
~99
b)Morteromodificado
Figura2-11Gráficasdeprobabilidadnormaldelafuerzadelatensiónde
adhesión
euelexperimentodelcementoportland.
tosgraficados.Altrazarlalínearecta,unodeberáguiarsemás porlospuntosdelapartemediadelagráfi­
caque
porlospuntosextremos. Unabuenareglaempíricaestrazarlarectaaproximadamenteentrelos
puntosdeloscuartiles
25y75.Asísedeterminólarectadelafigura 2-11a.Paraevaluarla"proximidad"
delospuntosalalínearecta,imagine
unlápizgruesocolocadosobrelarecta. Siestelápizimaginariocu­
bretodoslospuntos,entonces
unadistribuciónnormaldescribedemaneraadecuadalosdatos.Puesto
quelospuntosdelafigura
2-11apasaríanla pruebadellápizgrueso,seconcluyequeladistribuciónnor­
males
unmodeloapropiado paralafuerzadelatensióndeadhesióndelmorterosinmodificar. Enlafi­
gura2-11bsepresentalagráficadeprobabilidadnormal
paralas10observacionesdelafuerzadela
tensióndeadhesióndelmorteromodificado.
Denuevacuenta,seconcluiríaqueesrazonableelsupuesto
de
unadistribuciónnormal.
Esposibleobtener
unaestimacióndelamediayladesviaciónestándardirectamentedelagráficade
probabilidadnormal.
Lamediaseestimacomoelpercentil50delagráficadeprobabilidadyladesviación
estándarseestimacomoladiferenciaentrelospercentiles
84y50.Estosignificaqueelsupuestodela
igualdaddelasvarianzaspoblacionalesenelexperimentodelcementoportlandpuedeverificarsecompa­
randolaspendientesdelasdosrectasdelasfiguras
2-llay2-llb.Ambasrectastienenpendientesmuysi-

54. 40 CAPÍTULO2EXPERIMENTOSCOMPARATIVOS SIMPLES
milares,porloqueelsupuestodelaigualdaddelasvarianzas esrazonable.Siseviolaestesupuesto,
deberáusarselaversióndelaprueba
tquesedescribeenlasección2-4.4. Enelmaterialsuplementario
deltextohaymásinformaciónacercadelaverificacióndelossupuestosdelaprueba
t.
Cuandoocurrenviolacionesimportantesdelossupuestos,seafectaráeldesempeñode
h.pruebat.
Engeneral,lasviolacionesdepequeñasamoderadasnosonmotivodepreocupaciónparticular,perono
deberáignorarse
cualquierfalladelsupuestodeindependencia,asícomolosindiciosclarosdequenose
satisfaceelsupuestodenormalidad.Tantoelniveldesignificacióndelapruebacomolacapacidadpara
detectardiferenciasentrelasmediasseránafectadosadversamente
porelincumplimientodeestossu­
puestos.
Unrecursopararesolveresteproblemasonlastransformaciones.Estetema seanaliza conma­
yor detalleenelcapítulo
3.Tambiénesposibleutilizarprocedimientosnoparamétricosparalapruebade
hipótesiscuandolasobservacionesprovienendepoblacionesnonormales.ReferirseaMontgomeryy
Runger
[83d]paramásdetalles.
Unajustificaciónalternativadela pruebat
Lapruebatdedosmuestrasqueacabadepresentarsedependeenteoríadelsupuestofundamentalde
quelasdospoblacionesdelasqueseseleccionaronlasmuestras
alazarsonnormales.Auncuandoelsu­
puestodenormalidadesnecesario
paradesarrollarformalmenteelprocedimientodeprueba,comoya
semencionó,lasdesviacionesmoderadasdelanormalidadnoafectaránseriamentelosresultados.Puede
argumentarse(porejemplo,verBox,
HunteryHunter[18])queelusode undiseñoaleatorizado
permiteprobarhipótesissin
ningúnsupuestorespectodelaformadeladistribución. Enresumen,elrazo­
namientoeselsiguiente.
Silostratamientosnotienenningúnefecto,todaslas[20!/(1O!l0!)] =184,756
formasposiblesen
quepodríanocurrirlas 20observacionessonigualmenteposibles.Hayunvalorde to
paracadaunodeestos184,756posiblesarreglos. Sielvalorde toqueseobtieneenrealidaddelosdatoses
inusualmentegrandeoinusualmentepequeñoconreferenciaalconjuntodelos184,756valoresposibles,
es
unaindicacióndeque
#1:;é#2'
Aestetipodeprocedimientoselellamapruebadealeatorización.Puededemostrarsequelaprueba
tesunabuenaaproximacióndelapruebadealeatorización. Porlotanto,seusaránaquípruebas t(yotros
procedimientosquepuedenconsiderarseaproximacionesdepruebasdealeatorización)sinprestarde­
masiadaatención
alsupuestodenormalidad.Éstaes unadelasrazones porlasqueunprocedimiento
simple,comolasgráficasdeprobabilidadnormal,esadecuado
paraverificarelsupuestodenormalidad.
2~4.2 Eleccióndel tamañodelamuestra
Laeleccióndeuntamañodelamuestraapropiado esunodelosaspectosmásimportantesdecualquier
problemadediseñoexperimental.Laeleccióndeltamañodelamuestraylaprobabilidad/3delerrortipo
11guardanunaestrecharelación.Supongaqueseestánprobandolashipótesis
HO:#1=#2
H1:#1:;é#2
Yquelasmediasnosoniguales,porloqueo=#1-#2'PuestoqueHO:#1=#2noesverdadera,lapreocupa­
ciónprincipalescometerlaequivocacióndenorechazar
H
o
.Laprobabilidaddelerrortipo 11dependede
laverdaderadiferenciaenlasmedias
o.Aunagráficade/3contraoparauntamañoparticulardelamues­
traselellamalacurvadeoperacióncaracterística,ocurvaOC,delaprueba.Elerrorf3tambiénes una
funcióndeltamañodelamuestra. Engeneral,paraunvalordadodeo,elerror/3sereducecuandoelta­
mañodelamuestraseincrementa.Esdecir,esmásfácildetectar unadiferenciaespecificadaenlasme­
dias
paratamañosgrandesdelamuestraqueparalostamañospequeños.

55. 2-4INFERENCIASACERCADELASDIFERENCIASENLASMEDIAS,DISEÑOSALEATORIZADOS 41
Enlafigura2-12semuestra unjuegodecurvasdeoperacióncaracterística paralashipótesis
Ho:fll=fl2
H1:fll:;éfl2
paraelcasoenquelasdosvarianzaspoblacionaleso~yo;sondesconocidasperoiguales(o~=o;=0
2
)
Yparaunniveldesignificaciónde a=0.05.Lascurvastambién partendelsupuestodequelostamañosde
lasmuestrasdelasdospoblacionessoniguales;esdecir,
nI=n2=n.Elparámetrodelejehorizontaldela
figura2-12es d)fll-fl21=~
20 20
Ladivisiónde1<3Ipor20permitealexperimentador usarelmismojuegodecurvas,independientemente
delvalorde
lavarianza(ladiferencia enlasmediasseexpresa enunidadesdedesviaciónestándar).Por
otraparte,eltamañodelamuestrausado paraconstruirlascurvases enrealidad
n*=211-1.
Alexaminarestascurvas,seobservalosiguiente:
1.Entremásgrandesealadiferencia enlasmedias,/11-1.(,20menorserálaprobabilidaddelerrortipo TI
parauntamañodelamuestrayunvalorde adados.Esdecir,parauntamañodelamuestrayunvalor
de
aespecificados,lapruebadetectaráconmayorfacilidadlasdiferenciasgrandesquelaspequeñas.
2.Cuandoeltamañodelamuestrasehacemásgrande,laprobabilidaddelerrortipo TIsehacemáspe­
queñaparaunadiferencia
enlasmediasyunvalorde adados.Esdecir,paradetectar unadiferencia
<3especificada,puedeaumentarselapotenciade lapruebaincrementandoeltamañodelamuestra.
Lascurvasdeoperacióncaracterísticasonconfrecuenciaútiles
paraseleccionareltamañode la
muestraquedebeusarse enunexperimento.Porejemplo,considereelproblemadelmorterodecemento
portlandcomentadoantes.Supongaquesilasdosformulacionesdifieren enlafuerzapromediohasta en
0.5kgf/cm
2
,
seríadeseabledetectarlocon unaprobabilidadalta. Porlotanto,puestoque
fll-fl2=
1.0.------r-----¡-------r---~--....---__¡
0.8
lO
E.
~0.6
lO
al
"C
"C
lO
"C
:5O.4I--Hffi-t\-t--\--\--.,.-t~.--t--~d----¡
13
J:
0.21--IrH!H\---\-\----*--:-~_+~...---p...-----+_--_¡
d
Figura2·12Curvasdeoperacióncaracterísticaparalaprueba tdedos
colascon
a=0.05.(Reproducidaconpermisode"OperatingCharacte­
risticsCurvesfortheCommonStatisticalTestsofSignificance",
c.L.Fe­
rris,
EE.GrubbsyC.L.Weaver, AnnalsofMathematicalStatistics.)

56. 42 CAPÍTULO2EXPERIMENTOSCOMPARATIVOS SIMPLES
0.5kgf/cm
2 esladiferencia"crítica"enlasmediasquequieredetectarse,seencuentraque d,elparámetro
delejehorizontaldelacurvadeoperacióncaracterísticadelafigura2-12,es
d=
If
ll-fl21=0.5=0.25
2a 2a a
Desafortunadamente,dincluyealparámetrodesconocido a.Sinembargo,supongaqueconbaseenlaex­
perienciapreviasepiensaqueesaltamenteimprobablequeladesviaciónestándardecualquieradelas
observacionesdelafuerzaexceda0.25kgf/cm
2
.Entoncesalusar
a=0.25enlaexpresiónanterior parad
seobtiened=1.Siquiererechazarselahipótesisnula95%delasveces
cuandofll-fl2=0.5,entoncesf3=
0.05,
Yenlafigura2-12conf3=0.05 Yd= 1seobtiene n*=16,aproximadamente.Porlotanto,puesto
que
n*=2n-1,eltamañodelamuestrarequeridoes
n=n*+l=16+1=8.5=9
2 2
yseusaríanlostamañosdelasmuestras
n
1=n
2=n=9.
Enelejemploquese havenidoconsiderando,elexperimentadorutilizó enrealidaduntamañodela
muestrade
10.Quizáselexperimentadordecidióincrementarligeramenteeltamañodelamuestraafin
deprevenirlaposibilidaddequelaestimaciónpreviadeladesviaciónestándarcomún
ahayasidodema­
siadoconservadorayquizáfuera
unpocomayorque0.25.
Lascurvasdeoperacióncaracterísticadesempeñanconfrecuencia
unpapelimportante enlaelec­
cióndeltamañodelamuestraenlosproblemasdediseñoexperimental.Suutilizaciónaesterespectose
revisaencapítulossubsecuentes.Para
unanálisisdelosusos delascurvasdeoperacióncaracterística en
otrosexperimentoscomparativossimplessimilaresala pruebatdedosmuestras,véaseMontgomeryy
Runger[83d].
2~4.3 Intervalosdeconfianza
Auncuandolapruebadehipótesises
unprocedimientoútil, enocasionesnocuentalahistoriacompleta.
Muchasvecesespreferibleproporcionar
unintervalodentrodelcualcabríaesperarqueestaríaincluido
elvalordelparámetroolosparámetros
encuestión.Alasdeclaracionesdeestosintervalosselesllama in­
tervalosdeconfianza.
En
m~chosexperimentosdeingenieríaeindustriales,elexperimentadorsabede
antemanoquelasmediasfllyfl2difieren;porconsiguiente,la pruebadelahipótesisfll=fl2esdeescaso
interés.Porlogeneralelexperimentadorestaríamásinteresadoen
unintervalodeconfianza paraladife­
renciaenlasmedias
fll-fl2'
Paradefinirunintervalodeconfianza,supongaqueeesunparámetrodesconocido.Paraobtener
unaestimacióndelintervalode e,esnecesarioencontrardosestadísticosLyUtalesqueladeclaraciónde
probabilidad
seaverdadera.Alintervalo
P(L::5e::5U)=1-a (2-27)
(2-28)
selellama
intervalodeconfianzade 100(1-a)porcientoparaelparámetroe.Lainterpretacióndeeste
intervaloesque
si,enmuestreosaleatoriosrepetidos,seconstruyegrannúmerodeestosintervalos,100(1
-a)porcientodeelloscontendránelverdaderovalorde e.AlosestadísticosLy Uselesllamalos límites

57. 2-4INFERENCIASACERCADELASDIFERENCIASENLASMEDIAS,DISEÑOSALEATORIZADOS 43
deconfianzainferior ysuperior,respectivamente,y a 1-aselellamael coeficientedeconfianza. Sia==
0.05,alaecuación2-28selellamaintervalodeconfianzade 95%parae.Observequelosintervalosde
confianzatienenunainterpretacióndefrecuencia;esdecir,nosesabe
siladeclaraciónesverdaderapara
estamuestraespecífica,perosísesabequeelmétodousadoparagenerarelintervalodeconfianzaprodu­
cedeclaracionescorrectasen 100(1- a)porcientodelasveces.
Supongaquequiereencontrarseunintervalodeconfianzade
100(1- a)porcientoparalaverdadera
diferenciadelasmedias
f.-lI-f.-lzenelproblemadelcementoportland.Elintervalopuedededucirsedela
siguientemanera.Elestadístico
sedistribuyecomo
t/11+112-Z'Porlotanto,
==1-a
(2-29)
(2-30)
esunintervalodeconfianzade 100(1- a)porcientopara
f.-lI-f.-lz.
Laestimaciónrealdelintervalodeconfianzade 95%paraladiferenCiaenlafuerzadelatensiónde
adhesiónpromediodelasformulacionesdelmorterodecementoportlandseencuentrahaciendola
si­
guientesustituciónenlaecuación 2-30:
16.76-17.92-
(2.101)0.284~fa-+fa- '5.f.-lI-f.-lz
'5.16.76-17.92+(2.101)0.284~fa- +fa­
-1.16-0.27'5.f.-lI-f.-lZ'5.-1.16+0.27
-1.43'5.
f.-lI
-f.-lz'5.-0.89
Porlotanto,elintervalodeconfianzade 95%estimadoparaladiferenciaenlasmediasseextiendede
-1.43kgf/cm
z
a-0.89kgf/cm
z
.
Expresadoenotrostérminos,elintervalodeconfianzaes
f.-lI-f.-lz==-1.16
kgf/cm
z
±0.27
kgflcm
z
,
oladiferenciaenlasfuerzaspromedioes -1.16kgf/cm
z
,
ylaprecisióndeestaesti­
maciónesde
±0.27kgf/cm
z
.
Observequecomo
f.-lI-f.-lz==Onoestáincluidaenesteintervalo,losdatosno
apoyanlahipótesisdequef.-lI==f.-lzconelniveldesignificaciónde 5%.Esprobablequelafuerzamediade
laformulaciónsinmodificarexcedalafuerzamediadelaformulaciónmodificada.Observequeenlata-

58. (2-31)
44 CAPÍTULO2EXPERIMENTOSCOMPARATIVOS SIMPLES
bla2-2Minitabtambiénreportóesteintervalodeconfianzacuandosellevóacaboelprocedimientodela
pruebadehipótesis.
2~4.4 Casoenquea¡:;z!:a;
Siseestáprobando
Ho:/11=/12
H
1
:/11:;z!:/12
ynohaybases parasuponerquelasvarianzasa~ya;soniguales,entoncesesnecesariohacerligerasmo­
dificaciones
enlapruebatdedosmuestras. Enestecasoelestadísticodeprueba es
J\-Y2
S2S;
_1_+_-
nIn2
Esteestadísticonosedistribuyeexactamentecomo t.Noobstante,tesunabuenaaproximacióndeladis­
tribuciónde
tosiseusa
(2-32)
paralosgradosdelibertad. Unaindicaciónclaradeladesigualdaddelasvarianzas enunagráficadepro­
babilidadnormalsería
unasituaciónquerequeriríaestaversióndela pruebat.Ellectornodeberáencon­
trarproblemasparadesarrollarunaecuaciónparaencontrareseintervalodeconfianza paraladiferencia
enlasmediasenelcasodevarianzasdesiguales.
2~4.5 Casoenqueseconocena¡ya;
Silasvarianzasdeambaspoblaciones seconocen,entonceslashipótesis
Ho:/11=/12
H
1
:/11:;z!:/12
puedenprobarseutilizandoelestadístico
z -
0-
Y1-Y2
a
2
a
2
_1+_2
nIn2
(2-33)
Siambaspoblacionessonnormales,osilostamañosdelasmuestrassonlosuficientementegrandes para
aplicarelteoremadellímitecentral,ladistribuciónde ZoesN(O,1)silahipótesisnula esverdadera.Por
lotanto,laregióncríticaseencontraríautilizandoladistribuciónnormal
enlugardeladistribución t.
Específicamente,Hoserechazaríasi IZoI>Za12'dondeZal2eselpuntoporcentual a/2superiordeladis­
tribuciónnormalestándar.

59. r
1:
l:
1.
i:
2-4INFERENCIASACERCADELASDIFERENCIASENLASMEDIAS,DISEÑOSALEATORIZADOS 45
Adiferenciadelaprueba tdelasseccionesanteriores, enlapruebadelasmediasconvarianzascono­
cidasnoserequiereelsupuestodequeelmuestreosehagadepoblacionesnormales.Puedeaplicarseel
teoremadellímitecentral
parajustificarunadistribuciónnormalaproximada paraladiferenciaenlas
mediasmuestrales
Yl-YZ.
Elintervalodeconfianzade 100(1-a)porcientopara#l-#Zcuandolasvarianzasseconocenes
(2-34)
Comoyaseseñaló,elintervalodeconfianza esconfrecuenciauncomplementoútildelprocedimientode
pruebadehipótesis.
2,4.6Comparacióndeunasolamediaconunvalorespecificado
Algunosexperimentosincluyenlacomparacióndelamedia#deunasolapoblacióncon unvalorespecifi­
cado,
porejemplo
#0.Lashipótesisson
Ho:#=#0
H
1:W:;é.#0
Silapoblaciónesnormalconvarianzaconocida,o silapoblaciónnoesnormalperoeltamañodelamues­
traeslosuficientementegrande paraaplicarel teoremadellímitecentral,entonceslahipótesispuede
probarseutilizando
unaaplicacióndirectadeladistribuciónnormal. Elestadísticode pruebaes
Z -
Y-#o
0-a/.Jii
(2-35)
SiHo:#=#0esverdadera,entoncesladistribuciónde ZoesN(O,1).Porlotanto,laregladedecisión para
Ho:#=#0esrechazarlahipótesisnula siIZoI>ZaIZ.Elvalordelamedia#0especificadoenlahipótesis
nulasedetermina
porlogeneralmediante unadelastresformassiguientes.Puedeserresultadodeevi­
dencia,conocimientosoexperimentaciónprevios.
Puedeserresultadodealgunateoríaomodeloque
describelasituaciónbajoestudio.
Porúltimo,puedeserresultadodeespecificacionescontractuales.
Elintervalodeconfianzade100(1-
a)porcientoparalaverdaderamediapoblacionales
Y-ZalZa/.Jii:5#:5y+ZalZa/.Jii (2-36)
EJEMPLO2,1 .
Unproveedorofrecelotesdetelaa unfabricantedetextiles. Elfabricantedeseasabersilaresistenciaa la
rupturapromedioexcede200psi. Deserasí,elfabricanteaceptaráellote. Laexperienciapasadaindica
que
unvalorrazonable paralavarianzadelaresistenciaa larupturaes
100(psifLashipótesisquedebe­
ránprobarseson
HO:Jl=200
H
1
:#>200
Observequese
tratadeunahipótesisalternativade unacola.Porlotanto,elloteseaceptaríasólo silahi­
pótesisnula
Ho:#=200pudierarechazarse(esdecir,si Zo>Za).

60. 46 CAPÍTULO2EXPERIMENTOSCOMPARATIVOS SIMPLES
Seseleccionancuatroejemplaresaleatoriamente,ylaresistenciaalarupturapromedioobservadaes
ji=214psi.Elvalordelestadísticodepruebaes
Z=y-f10=214-200=2.80
oa/.Jii10/..J4
Siseespecificaunerrortipo1de a=0.05,enlatabla1delapéndiceseencuentraque Za=ZO.05=1.645.
Porlotanto, Hoserechazayseconcluyequelaresistenciaalarupturapromediodelloteexcede 200psi.
Cuandonoseconocelavarianzadelapoblación,esnecesarioestablecerelsupuestoadicionaldeque
lapoblaciónsigueunadistribuciónnormal,aunquelasdesviacionesmoderadasdelanormalidadnoafec­
taránseriamentelosresultados.
ParaprobarHo:f1=f10enelcasodelavarianzadesconocida,seusalavarianzamuestral 52paraesti­
marif.Alsustituiracon5enlaecuación 2-35,seobtieneelestadísticodeprueba
t_Y-f1o
0-5/.Jii
(2-37)
Lahipótesisnula Ho:1-1=f10serechazaríasiItoI>ta/2
,1l-1'dondeta/2,1l-1denotaelpuntoporcentual a/2
superiordeladistribución tconn-1gradosdelibertad.Elintervalodeconfianzade 100(1-a)porciento
esenestecaso
(2-38)
2~4.7 Resumen
Enlastablas2-3y2-4seresumenlosprocedimientosdepruebaestudiadosaquíparalasmediasmuestra­
les.Semuestranlasregionescríticasparahipótesisalternativatantode
unacomodedoscolas.
Tabla
2-3Pruebasparamedias convarianzaconocida
Hipótesis
HO:#=#0
H¡:#~#0
Ho:#=#0
H¡:Jl<#0
Ho:#=#0
H¡:#>#0
Ho:#¡=Jlz
H¡:#z~#z
Ho:#¡=#z
H¡:Jl¡<#z
Ho
:#¡
=#z
H¡:#¡>Jlz
EstadísticodepruebaCriteriosderechazo
Z -y-#0 Zo<-Za
o-a/.Jñ

61. r
2-5INFERENCIASACERCADELASDIFERENCIASENLASMEDIAS,DISEÑOSDECOMPARACIONES PAREADAS 47
Tabla2-4Pruebasparamediasdedistribucionesnormales,
varianzadesconocida
Hipótesis
Ho:/-l=/-lo
H¡:/-l~/-lo
Ho:/-l=/-lo
H¡:/-l</-lo
Ho:fl=/-lo
H¡:/-l>/-lo
EstadísticodepruebaCriteriosderechazo
t-Ji-/-lo t<t
o -S /.Jii o-a,n-¡
Ho:/-l¡=flz
H¡:fl¡
~/-lz
Ho:/-l¡
=flz
H¡:/-l¡<flz
Ho:/-l¡=/-lz
H¡:/-l¡>/-lz
t=y¡-yz
oR1
S-+-
pIl¡/2z
V=Il¡+/2z-2
v=(S;/Il¡f+(Si//2z)Z
Il¡-1 /2z-1
2,5INFERENCIASACERCADELASDIFERENCIAS ENLASMEDIAS,
DISEÑOSDECOMPARACIONES PAREADAS
2,5.1Elproblemadelascomparacionespareadas
Enalgunosexperimentoscomparativossimplespuedeconseguirse unmejoramientosignificativodela
precisiónhaciendocomparacionesdeobservacionespareadasdelmaterialexperimental.Porejemplo,
considere
unamáquinaparaprobarladurezaquepresiona unabarracon unapuntaafiladasobreun
ejemplardepruebademetalcon
unafuerzaconocida.Almedirlaprofundidaddeladepresiónproducida
porlapunta,sedeterminaladurezadelejemplardeprueba.
Enestamáquinapuedeninstalarsedospun­
tasdiferentes
yauncuandolaprecisión(la variabilidad)delasmedicioneshechasconlasdospuntaspa­
receserlamisma,sesospechaqueunadelaspuntasproducediferenteslecturasdeladurezaquelaotra.
Seríaposiblerealizarunexperimentodelasiguientemanera.Podríanseleccionarsealazarvarios
ejemplaresdepruebadelmetal(porejemplo,20).Lamitaddeestosejemplaresdepruebapodríanpro­
barseconlapunta1
ylaotramitadconlapunta 2.Laasignaciónexactadelosejemplaresalaspuntasse
determinaríademaneraaleatoria.Puestoquesetratade
undiseñocompletamentealeatorizado,ladure­
zapromediodelasdosmuestraspodríacompararseutilizandolaprueba
tdescritaenlasección 2-4.
Alreflexionarunpoco alrespecto,sedescubriría unaseriadesventajadeldiseñocompletamente
aleatorizadoenesteproblema.Supongaquelosejemplaresdepruebadelmetalsecortarondebarrasdi-

62. (2-39)
48 CAPÍTULO2EXPERIMENTOSCOMPARATIVOS SIMPLES
ferentesquesefabricaronatemperaturasdiferentesoque nofueranexactamentehomogéneos encual­
quier
otraformaque pudieraafectarladureza. Estafaltadehomogeneidad entrelosejemplares
contribuiráalavariabilidaddelasmedicionesdela
durezaytenderáainflarel errorexperimental,ha­
ciendomásdifícildetectar
unadiferenciarealentrelaspuntas.
Paraprotegersedeestaposibilidad,considere undiseñoexperimentalalternativo.Suponga quecada
ejemplarde pruebatieneel tamañosuficienteparaquepuedanhacerseenéldosdeterminacionesde la
dureza.Estediseñoalternativoconsistiría endividircadaejemplarde pruebaendossecciones,parades­
puésasignarde
maneraaleatoriaunapuntaauna
mitaddecadaejemplarde pruebaylaotrapuntaala
otramitad.Elordenenquesepruebanlaspuntasenunejemplarde pruebaparticularseseleccionaríaal
azar.
Elexperimento,cuandosellevóacabodeacuerdoconestediseñocon 10ejemplaresdeprueba,
produjolosdatos(codificados) quesemuestranenlatabla2-5.
Unmodeloestadístico quedescribelosdatosdeesteexperimento puedeexpresarsecomo
{
i
=1 2
Yij=/1¡+{3j+sijj=1:2,oo.,10
dondeYijeslaobservacióndeladureza paralapuntaienelejemplardepruebaj,/1¡eslaverdaderadureza
promediode
lapuntai-ésima,{3jes unefectosobreladurezadebidoalejemplardepruebaj-ésimo, y
sijes
el
errorexperimentalaleatoriocon mediaceroyvarianza
a¡.Esdecir,a;eslavarianzadelasmediciones
de
ladurezahechascon lapunta1
ya;eslavarianzadelasmedicionesde ladurezahechascon lapunta2.
Observeque sisecalculaladiferencia pareadaj-ésima
dj=Y1j-Y2j j=1,2,oo.,10 (2-40)
elvaloresperadodeestadiferenciaes
/1d=E(d
j
)
=E(Y1j-Y2j)
=E(Y1j)-E(Y2j)
=/11+{3j-(/12+{3j )
=/11-/12
Esdecir,puedenhacerseinferenciasacercadeladiferencia enlaslecturasde ladurezapromediodelas
dospuntas/11-/12haciendoinferenciasacercade lamediadelasdiferencias/1d'Observequeelefectoadi-
Tabla2-5Datosdelexperimento de
lapruebadeladureza
EjemplardepruebaPunta1Punta2
176
233
3 3 5
443
588
632
724
8 9 9
954
10 4 5

63. 2-5INFERENCIASACERCADELASDIFERENCIASENLASMEDIAS,DISEÑOSDECOMPARACIONES PAREADAS 49
tivodelas f3jdelosejemplaresdepruebasecancelacuandolasobservacionesestánpareadasdeestama­
nera.
ProbarHo:/11=/1zesequivalenteaprobar
Ho:/1d=O
H1:/1d
#O
Elestadísticodepruebaparaestahipótesises
donde
eslamediamuestraldelasdiferencias y r
t
(dj_d)z]l/Z[!d:-!(!dj)Z]l/
Z
}-1 }=1 n}=1
Sd= n-1 = n-1
(2-41)
(2-43)
d
6
=3-2=1
d
7
=2-4=-2
d
s=9-9=0
d
g=5-4=1
d
lO
=4-5=-1
esladesviaciónestándarmuestraldelasdiferencias. Ho:
/1d=OserechazaríasiItoI>talZ,n-l'Debidoa
quelasobservacionesdelosnivelesdelfactorestán"pareadas"encadaunidadexperimental,aestepro­
cedimientosuelellamársele
pruebatpareada.
Porlosdatosdelatabla 2-5,seencuentra
d
1
=7-6=1
dz=3-3=O
d
3
=3-5=-2
d
4
=4-3=1
d
s
=8-8=O
Porlotanto,
_ 1 11 1
d=-
2:d
j=-(-1)=-0.10
nj=l 10
_[
~d;-~(~ di1']1IZ[13-.1..(-l)Z]1IZ
Sd- = 10 =1.20
n-1 10-1
Supongaqueseelige a=0.05.Entonces,paratomar unadecisiónsecalcularía toYHoserechazaríasiItoI
>tO.025,9=2.262.
Elvalorcalculadodelestadísticodeprueba
tpareadaes
d
t=-----;=
oSd/.Jii
-0.10
=
1.20/.JIO
=-0.26

64. 50 CAPÍTULO2EXPERIMENTOSCOMPARATIVOS SIMPLES
"C
~0.3
:s
jg
o
~0.2
"C
"C
<ti
"C
'¡ji
:¡¡
0.1
Cl
-6 -4
ycomoItaI=0.261>t
O
.025
,9=2.262,lahipótesisHo:fld=Onopuederechazarse.Esdecir,nohayevidencia
queindiquequelasdospuntasproducenlecturasdeladurezadiferentes.
Enlafigura2-13semuestrala
distribuciónde
tocon9gradosdelibertad,ladistribucióndereferencia paraestaprueba,conelvalorde to
indicadoenrelaciónconlaregióncrítica.
Enlatabla2-6semuestralasalidadecomputadoradelprocedimientoparalaprueba tpareadade
Minitabparaesteproblema.ObservequeelvalorPparaestapruebaesP=O.SO,locualimplicaqueno
puederechazarselahipótesisnulacon
ningúnniveldesignificaciónrazonable.
2~5.2 Ventajasdeldiseñodecomparacionespareadas
Aldiseñoqueseutilizóenrealidadparaesteexperimentoselellamadiseñodecomparacionespareadas,
elcualilustraelprincipiodelaformación debloquescomentadoenlasección1-3.
Dehecho,esuncaso
especialdeuntipodediseñomásgeneralllamadodiseñodebloquesaleatorizados.Eltérmino
bloquese
refierea
unaunidadexperimentalrelativamentehomogénea (enelcasotratadoaquí,losejemplares
depruebadelmetalsonlosbloques),yelbloquerepresenta
unarestricciónsobrelaaleatorizacióncom­
pletadebidoaquelascombinacionesdelostratamientossólosealeatorizandentrodelbloque.
Enelca­
pítulo4seexaminaestetipodediseños.
Endichocapítuloelmodelomatemáticodeldiseño,laecuación
2-39,seescribeenunaformaligeramentediferente.
Tabla
2-6ResultadosdeMinitabdelaprueba tpareadapara elejemplodelapruebadeladureza
Prueba
tpareadaeintervalodeconfianza
Pair~d TforTip1 -Tip2
Tip1
Tip2
Difference
N
10
10
10
Mean
4.800
4.900
-0.100
StDev
2.394
2.234
1.197
SEMean
0.757
0.706
0.379
95%elformeandifference:(-0.956,0.756)
t-Testofmeandifference=O(vsnot=O):
T-Value=-0.26P-Value=0.798

65. 2-6INFERENCIASACERCADELASVARIANZASDEDISTRIBUCIONESNORMALES 51
Antesdedejaresteexperimento,esnecesariodestacarvariospuntos.Observeque,auncuandose
hanhecho2n=2(10)=20observaciones,secuentaúnicamentecon n-1=9gradosdelibertad parael
estadístico
t.(Sesabequeconformeseincrementanlosgradosdelibertad parat,lapruebasehacemás
sensible.)Alhacerlaformacióndebloquesopareo,se
han"perdido"en.realidadn-1gradosdelibertad,
peroseesperahaberganado
unmejorconocimientodelasituaciónaleliminar unafuenteadicionalde
variabilidad(ladiferenciaentrelosejemplaresdeprueba).
Puedeobtenerse
unaindicacióndelacalidad
delainformaciónproducidaporeldiseñopareadocomparandoladesviaciónestándar Sddelasdiferen­
ciasconladesviaciónestándarcombinada
Spquehabríaresultadosielexperimentosehubieraconducido
de
maneracompletamentealeatorizadaysehubieranobtenidolosdatos delatabla2-5.Alutilizarlosda­
tosdelatabla2-5comodosmuestrasindependientes,ladesviaciónestándarcombinadaquesecalcula
conlaecuación2-25es
Sp=2.32.Alcompararestevalorcon Sd=1.20,seobservaquelaformaciónde
bloqueso
pareohareducidolaestimacióndelavariabilidad encercade50%. Estainformacióntambién
puedeexpresarse
entérminosde unintervalodeconfianza
para,ul-flz.Utilizandolosdatospareados, un
intervalodeconfianzade95%para,ul-,uzes
-0.10±(2.262)(1.20)/.JIO
-0.1O±0.86
Recíprocamente,alutilizarelanálisiscombinadooindependiente,
unintervalodeconfianzade95%
para,ul-,uzes
4.80-4.90±(2.101)(2.32)~to+to
-0.10±2.18
Elintervalodeconfianzabasado enelanálisispareadotiene unaanchurasensiblemente menorqueelin­
tervalodeconfianzadelanálisisindependiente.Estoilustralapropiedadde
reduccióndelruido delafor­
macióndebloques.
Laformacióndebloquesnoessiemprelamejorestrategiadediseño.Silavariabilidaddentrodelos
bloqueses
lamismaquelavariabilidadentrelosbloques,lavarianzade
Yl-Yzserálamismaindependien­
tementedeldiseñoqueseuse.
Dehecho,laformación debloquesenestasituaciónsería unaelecciónde
diseñopobreporquelaformación
debloquesproduce lapérdidaden-1gradosdelibertadyllevará en
realidada unintervalodeconfianzacon unaanchuramayor
para,ul-,uz.Enelcapítulo4seofrece unare­
visiónmásampliadelaformacióndebloques.
2~6INFERENCIASACERCADELASVARIANZAS
DEDISTRIBUCIONESNORMALES
Enmuchosexperimentos,elinterésseencuentra enlasposiblesdiferencias enlarespuestamediadedos
tratamientos.Sinembargo,enalgunosexperimentoseslacomparacióndelavariabilidadenlosdatoslo
queesimportante.
Enlaindustriadealimentosybebidas, porejemplo,esimportantequelavariabilidad
delequipodellenadoseapequeña
paraquetodoslosempaquesesténcercadelpesonetonominaloel

66. 52 CAPÍTULO2EXPERIMENTOSCOMPARATNOS SIMPLES
volumendelcontenidonetonominal. Enloslaboratoriosquímicos,talvezquieracompararselavariabili­
daddedosmétodosdeanálisis.Acontinuaciónseexaminanbrevementelaspruebasdehipótesisylosin­
tervalosdeconfianzaparalasvarianzasdedistribucionesnormales.Adiferenciadelaspruebasparalas
medias,losprocedimientosparalaspruebasdevarianzassonbastantemássensibles
alsupuestodenor­
malidad.
Enelapéndice2AdeDavies [36]hayunbuenanálisisdelsupuestodenormalidad.
Supongaquequiereprobarselahipótesisdequelavarianzade
unapoblaciónnormalesigualauna
constante,porejemplo,
o~.Expresadoentérminosformales,quiereprobarse
H
O
:0
2
=o~
H
1
:0
2
;éo~
Elestadísticodepruebaparalaecuación2-44es
(2-44)
(2-45)
(2-46)
donde
SS=
2:7=1(y¡-y)2eslasumadecuadradoscorregidadelasobservacionesmuestrales. Ladistribu­
cióndereferenciaapropiada
paraX
~esladistribuciónji-cuadradacon 12-1gradosdelibertad. Lahipóte­
sisnulaserechaza siX~>X~/2,n-losiX~<X~-(a/2),n-1' dondeX~/2,n-lyXL(a/2),n-lsonlospuntosporcentua­
les
a/2superiory 1 -(a/2)inferiordeladistribuciónji-cuadradacon 12-1gradosdelibertad,
respectivamente.
Enlatabla2-7sepresentanlasregionescríticas paralashipótesisalternativasde una
cola.Elintervalodeconfianzade 100(1-a)porcientopara
ifes
(12-1)S2
<2<(12-1)S2
?-o_ ?
X~/2,1l-1 Xi"-(a/2),1l-1
Considereahoralapruebadelaigualdaddelasvarianzasdedospoblacionesnormales. Sisetoman
muestrasaleatoriasindependientesdetamaño
12
1y12
2delaspoblaciones 1y2,respectivamente,elestadís­
ticodepruebapara
eselcocientedelasvarianzasmuestrales
H'02-0
2
O'1 - 2
H
? ?
l:°i";é°í
(2-47)
(2-48)
Ladistribucióndereferenciaapropiadapara FaesladistribuciónFcon 12
1-1gradosdelibertadenelnu­
meradory
122-1gradosdelibertadeneldenominador. Lahipótesisnulaserechazaría siFa>F
a/2
,1l1-1,n2-
1
OsiFa<F1-(a/2),Il¡-1,1l2-
1
'dondeF
a/2
,n¡-1,1l2-
1YF
1
-(a/2),Il¡-1,n2-
1denotanlospuntosporcentuales a/2superior
y
1-(a/2)inferiordeladistribuciónFcon 12
1
-1Y12
2-1gradosdelibertad. EnlatablaIVdelapéndice
sóloaparecenlospuntosporcentualesparalacolasuperiorde
F;sinembargo,lospuntosdelascolassu­
perioreinferior
serelacionanpor
1
F:=---
l-a,vl'V2F
a,v2,v]
(2-49)

67. r
I
¡
¡
!
¡
2-6INFERENCIASACERCADELASVARIANZASDEDISTRIBUCIONESNORMALES
Tabla2-7Pruebasparalasvarianzasdedistribucionesnormales
Hipótesis Estadísticodeprueba Criteriosderechazo
H
o
:a
2
=a
0
2
? ?
X(j>X~/2,fI-¡o
H¡:a
2
:;éa~ X~<X:-a/2,fI-¡
53
Ho:a
2
=a~
H¡:a
2
<a~
Ho:a
2
=a~
H¡:a
2
>a~
Ho:a:=a;
H¡:a::;éa;
Ho:a:=a;
H¡:a:<a;
Ho:a:=a;
H¡:a:>a;
2en-1)S2
Xo= a2
o
R=S¡2
osi
s;
Ro=~
s-
I
X~<X:-a,fI-¡
X~>X~'fI-¡
Fa>~/2'fll-¡''''-¡ o
Fa<F;-aI2,'1l-¡,fI,-¡
Enelcapítulo3,sección3-4.3,seanalizanlosprocedimientosde pruebaparamásdedosvarianzas.Sere­
visarátambiénelusodelavarianzaoladesviación
estándarcomovariablederespuesta ensituacionesex­
perimentalesmásgenerales.
EJEMPLO
2~2 .
Uningenieroquímicoinvestigalavariabilidad inherentededostiposdeequipode pruebaquepueden
usarseparamonitorearlaproducciónde unproceso.Elingenierosospechaqueelequipoantiguo,tipo 1,
tieneunavarianzamayorqueladelequiponuevo. Porlotanto,quiere probarlashipótesis
H'a2=a
2
a'1 2
H
1:a;>a;
Setomandosmuestrasaleatoriasde 11
1=12Y 11
2=10observaciones,ylasvarianzasmuestralesson S1
2
=
14.5Ysi=10.8.Elestadísticodepruebaes
F=S1
2
=14.5=1.34
asi10.8
EnlatablaIVdelapéndiceseencuentra queFa,os,11,9=3.10,porloquenopuederechazarselahipótesis
nula.Esdecir,se
haencontradoevidenciaestadísticainsuficiente paraconcluirquelavarianzadelequipo
antiguo
seamayorquelavarianzadelequiponuevo.
.......................................... .
Elintervalodeconfianzade100(1- a)porcientoparaelcocientede
lasvarianzaspoblacionales
a;/a;es
(2-50)

68. ,:
54 CAPÍTULO2EXPERIMENTOSCOMPARATNOS SIMPLES
Parailustrarelusodelaecuación2-50, elintervalodeconfianza de95%paraelcocientedelasvarianzas
o;/o;delejemplo2-2es,utilizando FO.025
,9,11=3.59Y F
O
.975,9,l1=1/FO.025,l1,9=1/3.92=0.255,
14.5
(0.255):5o~:514.5(3.59)
10.8 O
210.8
0
2
0.34:5---+-:54.81
o;
2~7PROBLEMAS
2-1.Serequierequelaresistenciaalarupturadeunafibraseade porlomenos150psi.Laexperienciapasadain­
dicaqueladesviaciónestándardelaresistenciaalarupturaes
o=3psi.Sepruebaunamuestraaleatoriade
cuatroejemplaresdeprueba,ylosresultadosson
Y¡=145,Yz=153,Y3=150YY4=147.
a)Enunciarlashipótesisqueellectorconsiderequedeberíanprobarseenesteexperimento.
b)Probarestashipótesisutilizando a=0.05.¿Aquéconclusionessellega?
e)Encontrarelvalor
Pparalapruebadelinciso b.
d)Construirunintervalodeconfianzade95% paralaresistenciaalarupturapromedio.
2-2.Supuestamente,laviscosidaddeundetergentelíquidodebepromediar800centistokesa
25°C.Secolecta
unamuestraaleatoriade 16lotesdeldetergente,ylaviscosidadpromedioes 812.Supongaquesesabequela
desviaciónestándardelaviscosidades
a=25centistokes.
a)Enunciarlashipótesisquedeberánprobarse.
b)Probarestashipótesisutilizando a=0.05.¿Aquéconclusionessellega?
e)¿Cuál
eselvalorPparalaprueba?
d)Encontrarunintervalodeconfianzade95% paralamedia.
2-3.Losdiámetrosdelasflechasdeaceroproducidasenciertoprocesodemanufacturadeberántener
unprome­
diode0.255pulgadas.Sesabequeeldiámetrotiene
unadesviaciónestándarde a=0.0001pulgadas. Una
muestraaleatoriade 10flechastieneundiámetropromediode0.2545pulgadas.
a)Establecerlashipótesisapropiadasparalamedia
!L.
b)Probarestashipótesisutilizando a=0.05.¿Aquéconclusionessellega?
e)Encontrar
elvalorPparaestaprueba.
d)Construirunintervalodeconfianzade95% parael
diá,metropromediodelasflechas.
2-4.
Unavariablealeatoriacon unadistribuciónnormaltiene unamedia
desconocida!Lyvarianzaa
2
=9.Encon­
trareltamañodelamuestraquesenecesita
paraconstruirunintervalodeconfianzade95% paralamedia,
cuyaanchuratotalseade1.0.
2-5.Lavidadeanaqueldeunabebidacarbonatadaesmotivodeinterés.Seseleccionan 10botellasalazaryse
prueban,obteniéndoselossiguientesresultados:
Días
108 138
124 163
124 159
106
134
115 139
a)Quieredemostrarsequelavidamediadeanaquelexcedelos120días.Establecerlashipótesisapropia­
dasparainvestigarestaafirmación.
b)Probarestashipótesisutilizando a=0.01.¿Aquéconclusionessellega?

69. 2-7PROBLEMAS 55
e)EncontrarelvalorPparalaplUebadelinciso b.
d)ConstlUirunintervalodeconfianzade99% paralavidamediadeanaquel.
2-6.Considerelosdatosdelavidadeanaqueldelproblema2-5.¿Lavidadeanaquelpuededescribirseomode­
larseadecuadamenteconunadistribuciónnormal?¿Quéefectotendríalaviolacióndeestesupuestosobre
elprocedimientodeplUebausadopararesolverelproblema2-5?
2-7.EltiempopararepararuninstlUmentoelectrónicoes unavariablealeatoriamedidaenhorasquesigueuna
distribuciónnormal.Eltiempodereparaciónde
16deestosinstlUmentoselegidosalazareselsiguiente:
Horas
159
224
222
149
280
379
362
260
101
179
168
485
212
264
250
170
a)Quieresaberse sieltiempodereparaciónpromedioexcede 225horas.Establecerlashipótesisapropia-
das
parainvestigarestacuestión.
b)Probarlashipótesisqueseformularonenelinciso a.¿Aquéconclusionessellega?Utilizara =0.05.
e)Encontrarelvalor
PparalaplUeba.
d)ConstlUirunintervalodeconfianzade95% paraeltiempodereparaciónpromedio.
2-8.Considerenuevamentelosdatosdeltiempodereparacióndelproblema 2-7.Enopinióndellector,¿eltiem­
podereparaciónpuedemodelarsedemaneraadecuadaconunadistribuciónnormal?
2-9.Seutilizandosmáquinasparallenarbotellasdeplásticoconunvolumennetode16.0onzas.Puede
supon~
sequeelprocesodellenadoesnormal,condesviacionesestándarde al=0.015yaz=0.018.Eldepartamen­
todeingenieríadecalidadsospechaqueambasmáquinasllenanelmismovolumenneto,sinimportar
sieste
volumenes16.0onzasono.Serealizaunexperimentotomandounamuestraaleatoriadelaproducciónde
cadamáquina.
Máquina1
16.03
16.01
16.04 15.96
16.05 15.98
16.05
16.02
16.02 15.99
Máquina2
16.02
15.97
15.96
16.01
15.99
16.03
16.04
16.02
16.01
16.00
a)Enunciarlashipótesisquedeberánprobarseenesteexperimento.
b)Probarestashipótesisutilizando a=0.05.¿Aquéconclusionessellega?
e)Encontrarelvalor
PparaestaplUeba.
d)Encontrarunintervalodeconfianzade 95%paraladiferenciaenelvolumendellenadopromediodelas
dosmáquinas.
2-10.Unfabricantedecalculadoraselectrónicaspuedeusardostiposdeplástico. Laresistenciaalarupturade
esteplásticoesimportante.Sesabeque
al=az=1.0psi.Demuestrasaleatoriasde nI=10Ynz=12seobtie­
ne
YI=162.5YYz=155.0.Lacompañíanoemplearáelplástico1 amenosquesuresistenciaalalUptura ex­
cedaladelplástico2 poralmenos10psi.Conbaseenlainformaciónmuestral,¿deberáusarseelplástico1?
Pararesponderestapreguntasedebenestablecer
yprobarlashipótesisapropiadasutilizando a=0.01.
ConstlUirunintervalodeconfianzade99%
paralaverdaderadiferenciamediaenlaresistenciaalalUptura.

70. 56 CAPÍTULO2EXPERIMENTOSCOMPARATIVOS SIMPLES
2-11.Acontinuaciónsepresentaeltiempodecombustióndedoscohetesquímicosconformulacionesdiferentes.
Losingenierosdediseñoseinteresantantoenlamediacomo
enlavarianzadeltiempodecombustión.
Tipo
1 Tipo2
65 82 64 56
81 67 71 69
57 59
83 74
66 75 59 82
82
70 65 79
a)Probarlahipótesisdequelasdosvarianzassoniguales.Utilizar a=0.05.
b)Utilizandolosresultadosdelinciso a,probarlahipótesisde quelostiemposdecombustiónpromedio
soniguales.Utilizara
=0.05.¿Cuáleselvalor Pparaestaprueba?
e)Comentarelpapeldelsupuestodenormalidad
enesteproblema.Verificarelsupuestodenormalidad
paraambostiposdecohetes.
2-12.Enunartículode SolidStateTechnology, "Diseñoortogonal paraoptimizacióndeprocesos ysuaplicaciónen
elgrabadoquímicoconplasma"deG.Z.Yin
yD.W.Jillie,sedescribe unexperimentoparadeterminarel
efectodelavelocidaddelflujodeC
ZF
6sobrelauniformidaddelgrabado enunaobleadesiliciousadaenla
fabricacióndecircuitosintegrados.Losdatosdelavelocidaddelflujosonlossiguientes:
Flujode
Observacióndelauniformidad
C
ZF
6 1 2 3 4 5 6
125 2.7 4.6 2.6 3.0 3.2 3.8
200 4.6 3.4 2.9 3.5 4.1 5.1
a)¿LavelocidaddelflujodeC
ZF
6afectalauniformidaddelgrabadopromedio?Utilizara =0.05.
b)¿Cuáleselvalor Pparalapruebadelinciso a?
e)¿LavelocidaddelflujodeC
ZF
6afectalavariabilidadde unaobleaaotraenlauniformidaddelgrabado?
Utilizar
a=0.05.
d)Trazardiagramasdecajaqueayudenainterpretarlosdatosdeesteexperimento.
2-13.Seinstalaunnuevodispositivodefiltradoenunaunidadquímica.Antesdeinstalarlo,deunamuestraalea­
toriaseobtuvolasiguienteinformaciónsobreelporcentajedeimpurezas:)l1
=12.5,Slz=101.17Y nI=8.
Despuésdeinstalarlo,deunamuestraaleatoriaseobtuvo
)lz=10.2,si=94.73,nz=9.
a)¿Puedeconcluirsequelasdosvarianzassoniguales?Utilizar a=0.05.
b)¿Eldispositivodefiltrado hareducidodemanerasignificativaelporcentajedeimpurezas?Utilizar a=
0.05.
2-14.
Sehacen20observacionesdelauniformidaddelgrabado enobleasdesiliciodurante unexperimentodeeva­
luacióndeungrabadordeplasma.Losdatossonlossiguientes:
5.34
6.00
5.97
5.25
6.65
7.55
7.35
6.35
4.76
5.54
5.44
4.61
5.98
5.62
4.39
6.00
7.25
6.21
4.98
5.32
a)Construirunaestimacióncon unintervalodeconfianzade 95%dea
Z
•
b)Probarlahipótesisdeque a
Z=1.0.Utilizara =0.05.¿Aquéconclusionessellega?

71. 2-7PROBLEMAS 57
e)Comentarelsupuestodenormalidadysupapelenesteproblema.
d)Verificarlanormalidadconstruyendo unagráficadeprobabilidadnormal. ¿Aquéconclusionesse
llega?
2-15.Doceinspectoresmidieroneldiámetrodeuncojinetedebolas,utilizandocadaunodostiposdiferentesde
calibradores.Losresultadosfueron
InspectorCalibrador1 Calibrador2
1 0.265 0.264
2
0.265 0.265
3 0.266 0.264
4 0.267 0.266
5 0.267 0.267
6 0.265 0.268
7 0.267 0.264
8 0.267 0.265
9 0.265 0.265
10 0.268 0.267
11 0.268 0.268
12 0.265 0.269
a)¿Existeunadiferenciasignificativaentrelasmediasdelapoblacióndemedicionesdelasque seseleccio­
naronlasdosmuestras?Utilizar
a=0.05.
b)Encontrarelvalor Pparalapruebadelinciso a.
e)Construirunintervalodeconfianzade 95%paraladiferenciaenlasmedicionesdelosdiámetrosprome­
dio
paralosdostiposdecalibradores.
2-16.Enunartículode JoumalofStrainAnalysis(vol.18,no.2)secomparanvariosprocedimientos parapredecir
laresistencia
alcortedevigasdéplacasdeacero.Losdatos paranuevevigasenlaformadelcocientedela
cargapredichaylaobservadaparadosdeestosprocedimientos,losmétodosKarlsruheyLehigh,sonlos
si­
guientes
Viga MétodoKarlsruhe MétodoLehigh
Sl/l 1.186 1.061
S2/1 1.151 0.992
S3/1 1.322 1.063
S4/1 1.339 1.062
S5/1 1.200 1.065
S2/1 1.402 1.178
S2/2 1.365 1.037
S2/3 1.537 1.086
S2/4 1.559 1.052
a)¿Existealgunaevidenciaqueapoyelaafirmacióndequehayunadiferenciaeneldes.empeñopromedio
entrelosdosmétodos?Utilizar
a=0.05.
b)¿Cuáles elvalorPparalapruebadelinciso a?
e)Construirunintervalodeconfianzade95% paraladiferenciaenlacargapromediopredichaylaobser-
vada.
d)Investigarelsupuestodenormalidadenambasmuestras.
e)Investigar
elsupuestodenormalidad paraladiferenciaenloscocientesparalosdosmétodos.
/)Comentarelpapeldelsupuestodenormalidadenlaprueba tpareada.

72. 58 CAPÍTULO2EXPERIMENTOSCOMPARATIVOS SIMPLES
2-17.Seestudialatemperaturadedeflexiónbajocargadedosformulacionesdiferentesdeuntubodeplástico
ABS.Dosmuestrasde
12observacionescadauna,sepreparanutilizandocada'formulaciónylastemperatu­
rasdedeflexión(en°F)sepresentanabajo:
Formulación1 Formulación2
206
188
205
187
193
207
185
189
192
210
194
178
177
197
206
201
176
185
200
197
198
188
189 203
a)Construirlasgráficasdeprobabilidadnormalparaambasmuestras.¿Estasgráficasapoyanlossupuestos
denormalidady
delaigualdaddelavarianzadeambasmuestras?
b)¿Losdatosapoyanlaafirmacióndequelatemperaturapromediodedeflexiónbajocargadelaformula­
ción1excedeladelaformulación
2?Utilizara=0.05.
e)¿Cuáleselvalor
Pparalapruebadelinciso a?
2-18.Referirsealosdatosdelproblema 2-17.¿Losdatosapoyanlaafirmacióndequelatemperaturapromediode
deflexiónbajocargadelaformulación1excedeladelaformulación2enalmenos3°F?
2-19.
Enlafabricacióndesemiconductoresescomúnelusodelgrabadoquímicohúmedoparaeliminarelsilicio
delaparteposteriordelasobleasantesdelametalización.
Larapidezdelgrabadoesunacaracterísticaim­
portantedeesteproceso.Seestánevaluandodossolucionesdegrabadodiferentes.Segrabaronochoobleas
seleccionadas
alazarencadasolución,ylascifrasdelarapidezdelgrabadoobservada(enmilésimasdepul­
gada/min)semuestranabajo
Solución1 Solución2
9.9 10.610.2 10.6
9.4 10.310.0 10.2
10.0
9.310.7 10.4
10.3 9.810.5 10.3
a)¿Losdatosindicanquelaafirmacióndequeambassolucionestienenlamismarapidezdegrabadopro­
medio
esverdadera?Utilizar a=0.05ysuponerlaigualdaddelasvarianzas.
b)Encontrarunintervalodeconfianzade95%paraladiferenciaenlarapidezdegrabadopromedio.
e)Usargráficasdeprobabilidadnormalparainvestigarlaadecuacióndelossupuestosdenormalidade
igualdaddelasvarianzas.
2-20.Seestáncomparandodospopularesanalgésicosconbaseenlarapidezdeabsorcióndelcuerpo.Específica­
mente,seafirmaquelatableta1
seabsorbeconeldoblederapidezquelatableta 2.Suponerque
a;ya~se
conocen.Desarrollarunestadísticodeprueba
para
Ho:2f.l¡=f.l2
H¡:2f.l¡:;f:.f.l2
2-21.Supongaqueseestáprobando
Ho:f.l¡=f.l2
H¡:f.l¡
:;f:.f.l2
dondea;ya~seconocen.Losrecursos parahacerelmuestreosonlimitados,porloque n¡+n
2=N.¿Cómo
deberánasignarselas
Nobservacionesentrelasdospoblaciones paraobtenerlapruebaconlapotenciamás
alta?
2-22.Desarrollarlaecuación2-46
paraunintervalodeconfianzade 100(1-a)porcientoparalavarianzadeuna
distribuciónnormal.

73. í
2-7PROBLEMAS 59
2-23.Desarrollarlaecuación2-50 paraunintervalodeconfianzade 100(1-a)porcientoparaelcocienteai/a;,
dondeaiya;sonlasvarianzasdedosdistribucionesnormales.
2-24.Desarrollarunaecuación
paraencontrarunintervalodeconfianza de100(1-a)porcientoparaladiferen­
cia
enlasmediasdedosdistribucionesnormalesdonde
ai;t:a;.Aplicarlaecuacióndesarrolladaalosdatos
delexperimentodelcementoportland,yencontrar
unintervalodeconfianzade95%.
2-25..Construir
unconjuntodedatos paralosqueelestadísticode pruebatpareadaseamuygrande, peroparael
cualelestadísticodeprueba
tdedosmuestrasocombinadausualseapequeño. Engeneral,describircómose
crearonlosdatos.¿Ledaestoallectoralguna
idearespectodecómofuncionala pruebatpareada?

74. Experimentosconunsolo
factor:elanálisisdevarianza
Enelcapítulo2seanalizaronlosmétodos paracomparardoscondicionesotratamientos.Porejemplo,el
experimentodelafuerzadelatensióndeadhesióndelcementoportlandincluyó
dosformulacionesdife­
rentesdelmortero.
Otraformadedescribiresteexperimentoescomo unexperimentocon unsolofactor,
condosnivelesdelfactor,dondeelfactor eslaformulacióndelmorteroylosdosnivelessonlosdosméto­
dosdiferentes
parahacerlaformulación.Muchosexperimentosdeestetipoinvolucranmásdedosnive­
lesdelfactor.
Enestecapítulosepresentanlosmétodos paraeldiseñoyelanálisisdelosexperimentos
con
unsolofactorconanivelesdelmismo(oatratamientos).Sesupondráqueelexperimentose haalea­
torizadocompletamente.
3~1UNEJEMPLO
Uningenierodedesarrollodeproductostieneinteréseninvestigarlaresistenciaalatensiónde unafibra
sintéticanuevaqueseusará
parahacerteladecamisas paracaballero.Elingenierosabe porexperiencia
previaquelaresistenciaalatensiónseafecta
porelpesoporcentualdelalgodónutilizadoenlamezclade
materialesdelafibra.Además,sospechaquealaumentarelcontenidodealgodónseincrementarálare­
sistencia,almenosen
unprincipio.Sabeasimismoqueelcontenidodealgodóndeberávariarentre10y
40
porcientoparaqueelproductofinaltengaotrascaracterísticasdecalidadquese desean(comola
capacidaddesersometidoa
untratamientodeplanchadopermanente). Elingenierodecideprobarejem­
plaresencinco nivelesdelpesoporcentualdelalgodón:15,20,25,30Y
35porciento.Tambiéndecidepro­
barcincoejemplares encadaniveldelcontenidodealgodón.
Se
tratadeunejemplode unexperimentocon unsolofactorcona =5nivelesdelfactoryn =5répli­
cas.Las
25corridasdeberánrealizarsede maneraaleatoria.Parailustrarcómopuedealeatorizarseelor­
dendelascorridas,supongaquelascorridasse
numerandelasiguientemanera:
60

75. 3-1UNEJEMPLO 61
Peso
porcentual
delalgodón Númerodecorridaexperimental
15 1 2 3 4 5
20 6 7 8 9 10
25 11 12 13 14 15
30 16 17 18 19 20
35 21 22 23 24 25
Ahoraseseleccionaunnúmeroaleatorioentre1 y25.Supongaqueestenúmeroes 8.Entonceslaobser­
vaciónnúmero8(20%dealgodón)secorreprimero.Esteprocesoserepetiríahastaquelas
25observa­
cionestenganasignadaunaposiciónenlasecuenciadeprueba.
1
Muchospaquetesdesoftwarede
computadora
paraayudaralosexperimentadoresaseleccionar yconstruirundiseño,aleatorizanelor­
dendelascorridasutilizandonúmerosaleatoriosdeestamanera.
Supongaquelasecuenciadepruebaobtenidaes
Secuenciade prueba
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Númerodecorrida
8
18
10
23
17
5
14
6
15
20
9
4
12
7
1
24
21
11
2
13
22
16
25
19
3
Peso
porcentualdelalgodón
20
30
20
35
30
15
25
20
25
30
20
15
25
20
15
35
35
25
15
25
35
30
35
30
15
Estasecuenciadepruebaaleatorizada esnecesariaparaevitarquelosefectosdevariablesperturbadoras
desconocidas
-lascualesquizávaríenfueradecontrolduranteelexperimento--contaminenlosresulta­
dos.Parailustraresto,supongaquelas
25corridasdepruebatuvieranquerealizarseenelordenoriginal
noaleatorizado(esdecir,primerosepruebanloscincoejemplarescon15%dealgodón,despuésseprue-
1Laúnicarestricciónsobre laaleatorizaciónenestecaso,es quesisesacadenuevoelmismo número(esdecir,8),sedescarta.Setra­
tadeunarestricciónsecundaria yseignora.

76. 62 CAPÍTULO3EXPERIMENTOSCONUNSOLOFACTOR: ELANÁLISISDEVARIANZA
Tabla3-1Datos(enlb/pulgada
Z
)delexperimentodelaresistenciaalatensión
Peso
porcentual
Observaciones
delalgodón 1 2 3 4 5 Total Promedio
15 7 7 15 11 9 49 9.8
20 12 17 12 18 18 77 15.4
25 14 18 18 19 19 88 17.6
30 19
25 22 19 23 108 21.6
35 7 10 11 15 11 54 10.8
---
376 15.04
banloscincoejemplarescon20%dealgodón,etc.).Silamáquinaempleada paraprobarlaresistenciaala
tensiónpresenta
unefectodecalentamientotalqueentremástiempoestéfuncionandoseanmenoreslas
lecturasdelaresistenciaalatensiónobservadas,elefectodelcalentamientocontaminarápotencialmen­
telosdatosdelaresistenciaalatensiónydestruirálavalidezdelexperimento.
Supongaqueelingenierocorrelaprueba
enelordenaleatorioquese hadeterminado.Enlatabla3-1
semuestranlasobservacionesqueobtiene
paralaresistenciaalatensión.
Siempre
esunabuenaideaexaminargráficamentelosdatosexperimentales. Enlafigura3-1semues­
tranlosdiagramasdecaja paralaresistenciaalatensiónconcadaniveldelpesoporcentualdealgodón,y
enlafigura3-2seilustra úndiagramadedispersióndelaresistenciaalatensióncontraelpesoporcen­
tualdelalgodón.
Enlafigura3-2,lospuntosrellenossonlasobservacionesindividualesyloscírculoshue­
cossonlospromediosdelaresistenciaalatensiónobservada.Ambasgráficasindicanquelaresistenciaa
latensiónseincrementacuandoelcontenidodealgodónseincrementa,hastacercade30%dealgodón.
Despuésde30%dealgodón,hay
unmarcadodescensodelaresistenciaalatensión.Nohayevidenciasó­
lidaquesugieraquelavariabilidaddelaresistenciaalatensiónalrededordelpromediodependadelpeso
porcentualdelalgodón.Conbase
enesteanálisisgráficosimple,setienenfirmessospechasdeque1)el
contenidodealgodónafectalaresistenciaalatensióny2)alrededorde30%dealgodónproducelaresis­
tenciamáxima.
Supongaquesequieresermásobjetivo
enelanálisisdelosdatos.Específicamente,imagineque
quierenprobarselasdiferenciasentrelasresistenciasalatensiónpromediocontodoslosniveles
a
=5del
30
'b;
:;
~
c:20
'0
.¡¡;
c:
l!l
..!!!
ro
ro
'ü
ij¡
10
tí
.¡¡;
ID
a:
oL-_--L__-I-__...l-__l-_-..l.__-'
15 20 25 30
Pesoporcentualdelalgodón
Figura3-1Diagramasdecajadelaresistenciaalatensión
contra
elpesoporcentualdelalgodón.

77. 3-2ELANÁLISISDEVARIANZA 63
30
•
"b; •
•:;
O
~20
••••
c: ••••
-o •
O
'iñ
•
O
•
c:
! •
..!!! ••
ro • Vro10 O
'¡;
•c:
~ •• •
'iñ
Q)
a:
OL---I.---'----'----'------'
Peseeercentualdelalcedón
Figura3-2Diagramadedispersióndelaresistencia
alatensióncontraelpesoporcentualdelalgodón.
pesoporcentualdelalgodón.Porlotanto,elinteréssecentra enprobarlaigualdaddelascincomedias.Pu­
diera
parecerqueesteproblemaseresolveríarealizando unapruebatparatodoslos paresdemedias
posibles.Sinembargo,noeséstalamejorsolucióndeesteproblema,porquellevaríaa
unadistorsióncon­
siderable
enelerrortipo1.Porejemplo,supongaquequiereprobarselaigualdaddelascincomedias
usandocomparaciones
porpares.Hay10paresposibles,ysilaprobabilidaddeaceptarcorrectamentela
hipótesisnula
encadapruebaindividualesde1 - a=0.95,laprobabilidaddeaceptarcorrectamentela
hipótesisnula
enlas10pruebasesde (0.95)10=0.60silaspruebassonindependientes. Porlotanto,ha
ocurridounincrementosustancialenel errortipol.
Elprocedimientocorrecto paraprobarlaigualdad devariasmediasesel análisisdevarianza. Sin
embargo,elanálisisdevarianzatiene
unrangodeaplicacionesmuchomásamplioqueelproblemaante­
rior.Probablementesealatécnicamásútil
enelcampodelainferenciaestadística.
3..2ELANÁLISISDEVARIANZA
Supongaquesetienen atratamientosoniveles diferentesde unsolofactorquequierencompararse. La
respuestaobservadadecadauno delosatratamientoses unavariablealeatoria.Losdatosaparecerían
como
enlatabla3-2. Unaentradadelatabla3-2(porejemplo, Yij)representalaobservaciónj-ésimato-
Tabla
3-2Datostípicos de unexperimentode unsolofactor
'Itatamiento
(nivel) Observaciones TotalesPromedios
1fu fu ~ h ~,
2 h h ~ h h
a Ya! Ya2 Yan
y,. 5'..

78. 64 CAPÍTULO3EXPERIMENTOSCONUNSOLOFACTOR: ELANÁLISISDEVARIANZA
madabajoelniveldelfactorotratamiento i.Habrá,engeneral,}1observacionesbajoeltratamientoi-ési­
mo.Observequelatabla3-2eselcasogeneral
delosdatosdelexperimento delaresistenciaalatensión
delatabla3-1.
Modelosparalosdatos
Seencontraráútildescribirlasobservacionesde unexperimentoconunmodelo.Unamaneradeescribir
estemodeloes
{
i=l,2,,aYij=fl¡+cij}=1,2,,11
(3-1)
dondeYijeslaobservaciónij-ésima,¡t¡eslamediadelniveldelfactoro tratamientoi-ésimo,ycijesuncom­
ponentedelerroraleatorioqueincorporatodaslasdemásfuentesdevariabilidaddelexperimento,inclu­
yendolasmediciones,lavariabilidadquesurgedefactores nocontrolados,lasdiferencias entrelas
unidadesexperimentales(comolosmateriales
deprueba,etc.)alasqueseaplicanlostratamientos,yel
ruidodefondogeneral
enelproceso(ya seanlavariabilidadconeltiempo,losefectosdevariablesam­
bientales,etc.).
Esconvenienteconsiderarquelos errorestienenmediacero,detalmodoqueE(yij)=
fl¡.
Alaecuación3-1selellamaelmodelode lasmedias.Unaformaalternativadeescribirunmodelode
losdatosesdefiniendo
i
=1,2,...,a
detalmodoquelaecuación3-1seconvierte en
{
i=l,2,...,a
y..=
fl+í.+1'..
IJ 1 IJj=1,2,...,11
(3-2)
Enestaformadelmodelo,flesunparámetrocomúnatodoslos tratamientosalquesellamala mediaglo­
bal,y
í¡esunparámetroúnicodeltratamientoi-ésimoal queselellamaelefectodel tratamientoi-ésimo.
A
laecuación3-2selellama porlogeneralelmodelo delosefectos.
Tantoelmodelodelasmediascomoeldelosefectos
sonmodelosestadísticoslineales;esdecir,lava­
riable
derespuestaYijes unafunciónlinealdelos parámetrosdelmodelo.Auncuandoambasformasdel
modelosonútiles,elmodelodelosefectosse encuentraconmayorfrecuencia enlaliteraturadeldiseño
experimental.Tieneciertoatractivointuitivo
porcuanto
flesunaconstanteylosefectosdelostratamien­
tos
í¡representandesviacionesdeestaconstante cuandoseaplicanlostratamientosespecíficos.
A
laecuación3-2(oa la3-1)selellama tambiénelmodelodelanálisisde varianzasimpleode un
solofactor(odirección),porqueúnicamenteseinvestiga unfactor.Además, seráunrequisitoqueelex­
perimentoselleveacabo enordenaleatorioparaqueelambienteenelqueseapliquenlostratamientos
(llamados
confrecuenciaunidadesexperimentales)sealomásuniformeposible. Porlotanto,eldiseño
experimentales
undiseñocompletamentealeatorizado.Losobjetivos seránprobarlashipótesisapropia­
dasacercadelasmediasdelostratamientosyestimarlas.
Paraprobarlashipótesis,sesupone quelos
erroresdelmodelosonvariablesaleatoriasquesiguen unadistribuciónnormaleindependienteconme­
diaceroyvarianza
el.Sesuponeasimismoquelavarianzaelesconstanteparatodoslosnivelesdelfactor.
Estoimplicaquelasobservaciones
y
quelasobservacionesson mutuamenteindependientes.

79. 3-3ANÁLISISDELMODELOCONEFECTOSFIJOS 65
¿Factorfijooaleatorio?
Elmodeloestadístico(ecuación 3-2)describedossituacionesdiferentesconrespectoalosefectosdelos
tratamientos.Primera,los
atratamientospudieronserelegidosexpresamente porelexperimentador.En
estasituaciónquierenprobarsehipótesisacercadelasmediasdelostratamientos,ylasconclusionesse
aplicaránúnicamentealosnivelesdelfactorconsiderados
enelanálisis.Lasconclusionesno puedenex­
tenderseatratamientossimilaresquenofueronconsideradosexplícitamente.Tambiénsepodríaquerer
estimarlosparámetrosdelmodelo
(p"Ti'02).Aésteselellamael modeloconefectosfijos. Demaneraal­
ternativa,los
atratamientospodríanser unamuestraaleatoria deunapoblaciónmásgrandedetrata­
mientos.
Enestasituaciónseríadeseablepoderextenderlasconclusiones(lascualessebasanenla
muestradelostratamientos)alatotalidaddelostratamientosdelapoblación,seaquesehayanconside­
radoexplícitamenteenelanálisisono.Aquílas
Tisonvariablesaleatorias,yelconocimientodelasTipar­
ticularesqueseinvestigaronesrelativamenteinútil.Másbien,sepruebanhipótesisacercadela
variabilidad
delas
Tiyseintentaestimarsuvariabilidad.Aésteselellamael modeloconefectosaleatorios
omodelodeloscomponentesde lavarianza.Larevisióndeexperimentosconfactoresaleatoriossepos­
pondráhastaelcapítulo
12.
3~3ANÁLISISDELMODELOCONEFECTOSFIJOS
Enestasecciónsedesarrollaelanálisisdevarianzade unsolofactorparaelmodeloconefectosfijos.Re­
cuerdeque
Yi.representaeltotaldelasobservacionesbajoeltratamientoi-ésimo.Seaque
Yi.representeel
promediodelasobservacionesbajoeltratamientoi-ésimo.
Demanerasimilar,seaqueY ..representeel
grantotaldetodaslasobservacionesyque
Y..representeelgranpromediodetodaslasobservaciones.
Expresadosimbólicamente,
Yi.=}:
j=l
Y..=}:}:Y¡jY..=Y../N
¡=lj=l
i=1,2,oo.,a
(3-3)
dondeN=aneselnúmerototaldeobservaciones.Se notaqueelsubíndice"punto"implicalaoperación
sumasobreelsubíndicequereemplaza.
Elinterésseencuentraenprobarlaigualdadde
lasamediasdelostratamientos; es
decir,E(y¡J=fl+
T¡=fli'i=1,2,OO"a.Lashipótesisapropiadasson
Ho:fll=fl2=oo.=fla
H
1
:fli;éfljparaalmenos unpar(i,j)
Enelmodelodelosefectos,lamediaflideltratamientoi-ésimosedescompone endoscomponentestales
quefli=fl+Ti'Porlogeneral,flseconsideracomo unamediaglobal,detálmodoque
~fli
i=l
--=fl
a
Estadefiniciónimplicaque
~T¡=O
i=l

80. 66 CAPÍTULO3EXPERIMENTOSCONUNSOLOFACTOR: ELANÁLISISDEVARIANZA
Esdecir,losefectosdeltratamientoofactorpuedenconsiderarsecomodesviacionesdelamediaglobaI.z
Porconsiguiente,unaformaequivalentedeescribirlashipótesisanterioresesentérminosdelosefectos
delostratamientosTi>porejemplo
Ho:T
1=T
2=···T
a=O
H
1
:Ti':¡!;Oparaalmenos unai
Por10tanto,sehabladeprobarlaigualdaddelasmediasdelostratamientosodeprobarquelosefectos
delostratamientos(lasTi)soncero.Elprocedimientoapropiado paraprobarlaigualdaddelasmediasde
los
atratamientoseselanálisisdevarianza.
3~3.1 Descomposicióndelasumadecuadradostotal
Elnombreanálisisdevarianza sederivadelaparticióndelavariabilidadtotalensuspartescomponen­
tes.
Lasumadecuadradostotalcorregida
seusacomo
unamedidadelavariabilidadglobaldelosdatos.Intuitivamente,esto esrazonableporque,
siSSTtuvieraquedividirse porelnúmeroapropiadodegradosdelibertad(enestecaso,an -1=N-1),se
obtendríala
varianzamuestral delasy.Lavarianzamuestrales,desdeluego, unamedidaestándardeva­
riabilidad.
Observequelasumadecuadradostotalcorregida
SSTsepuedeescribircomo
o
~~( _ -)2_~(-_ -)2+~~( _-)2
L.JL.JYijY.-nL.JYi.Y..L.JL.JYijYi.
i=lj=l i=l i=lj=l
a n
+2""(y-,-Y-)(y..-y-,)
L".,L"., ~... lJ t.
i=lj=l
Sinembargo,eltérminodelproductocruzadodelaecuación 3-5escero,yaque
~(y..-y-.)=y.-ny-.=y.-n(y./n)=O
L"., lJ l. t. l. l. l.
j=l
Setiene,por 10tanto,
~~( _ -)2_~(-_ -)2+~~( _-)2
L.JL.JYijY.-nL.JYi.y..L.JL.JYijYi.
i=lj=l i=l i=lj=l
(3-4)
(3-5)
(3-6)
Laecuación3-6establecequepuedehacerselaparticióndelavariabilidadtotaldelosdatos,medidapor
lasumadecuadradostotalcorregida,enunasumadecuadradosdelasdiferencias
eutrelospromediosde
lostratamientosyelgranpromedio,másunasumadecuadradosdelasdiferenciasdelasobservaciones
dentrodelostratamientosyelpromediodelostratamientos.Entonces,ladiferenciaentrelospromedios
2Paramásinformaciónsobreestetema,referirsealmaterialsuplementariodeltextodelcapítulo 3.

81. r
J
3-3ANÁLISISDELMODELO CONEFECTOSFI]OS 67
delostratamientosobservadosyelgranpromedioes unamedidadelasdiferenciasentrelasmediasde
lostratamientos,mientrasquelasdiferencias
delasobservacionesdentrode untratamientoyelprome­
diodeltratamiento,puedendeberseúnicamenteal
erroraleatorio.Porlotanto,laecuación3-6puedees­
cribirsesimbólicamentecomo
SST=SSTratamientns+SSE
dondea
SSnatamientosselellamalasumadecuadradosdebidaalostratamientos(esdecir,entrelostrata­
mientos),y a
SSEselellamalasumadecuadradosdebidaal error(esdecir,dentrodelostratamientos).
Hayan=Nobservacionesentotal; porlotanto,SSTtieneN
-1gradosdelibertad. Hayanivelesdelfac­
tor
(ymediasde atratamientos),dedonde SSnatamientostienea
-1gradosdelibertad.Porúltimo,dentrode
cualquiertratamientohaynréplicasqueproporcionann-1gradosdelibertadconloscualesestimarel
errorexperimental.Puestoque
hayatratamientos,setienena (n
-1)=an-a=N-agradosdelibertad
paraelerror.
Esútilexaminarexplícitamentelosdostérminosdelladoderechodelaidentidadfundamentaldel
análisisdevarianza(ecuación3-6).Considerelasumadecuadradosdel
error
Enestaformaesfácilverqueeltérminoentrecorchetes,sisedivide porn
-1,eslavarianzamuestraldel
tratamientoi-ésimo,o
!
S~=..:..j=_I _
, n-1
i=1,2,oo.,a
.Ahorapuedencombinarseavarianzasmuestrales paraobtenerunasolaestimacióndelavarianzapobla­
cionalcomúndelasiguientemanera:
? 2 2
L,.__a
1
[LJ'~_1(Yif-Ji.)2]
(n-1)SI-+(n-1)S2+.oo+(n-1)Sa
=_---=.'-------=
(n-1)+(n-1)+...+(n-1) ~
L.J(n-1)
i=l
SSE
(N-a)
Porlotanto,SSEI(N -a)esunaestimacióncombinadadelavarianzacomúndentrodecada unodelosa
tratamientos.
Demanerasimilar,si nohubieradiferenciasentrelasmediasdelos atratamientos,podríausarsela
variacióndelospromediosdelostratamientosyelgranpromedio
paraestimar
cr.Específicamente
SSTratamientos
a-1
i=l
a-1
esunaestimacióndecrsilasmediasdelostratamientossoniguales. Larazóndeestopuedeversedema­
neraintuitivadelasiguientemanera.
Lacantidad
k~=l<Yi.-yY/(a-1)estimacrin,lavarianzadelospro-

82. 68 CAPÍTULO3EXPERIMENTOS CONUNSOLOFACTOR: ELANÁLISISDEVARIANZA
mediosdelostratamientos,dedondenL~=1(jIi.---YY/(a-1)debeestimarcJlsinohaydiferencias enlas
mediasdelostratamientos.
Seobservaquelaidentidaddelanálisisdevarianza(ecuación3-6)nosproporcionadosestimaciones
decJl:unabasadaenlavariabilidadinherentedentrodelostratamientos yunabasadaenlavariabilidad
entrelostratamientos.Sinohaydiferenciasenlasmediasdelostratamientos,estasdosestimacionesde­
beránsermuysimilares,ysinoloson,sesospechaqueladiferenciaobservadapuedesercausadapordi­
ferencias
enlasmediasdelostratamientos.Auncuandose hausadounrazonamientointuitivo para
desarrollaresteresultado,puedeadoptarseunenfoque untantomásformal.
Alascantidades
MS =SSTratamientos
Tratamientos
a-1
y
SSE
MS=-­
EN-a
selesllamacuadradosmedios.Seexaminaránahoralosvaloresesperadosdeestoscuadradosmedios.
Considere
(
SS) 1[an ]
E(MSE)=E~ =-_-ELL(Yij-Yi.)2
NaNa i=1j=1
1[an ]
=-E""(y~-2y ..y-.+Y~)
N
LJLJ lj ljl. l.
- a ;=1j=1
1[an
=N_a
E
~#
=_1E[!I
N-a ;=1j=1
Alsustituirelmodelo(ecuación3-1)enestaecuaciónseobtiene
Entonces,alelevaralcuadradoytomarelvaloresperadodelacantidadentrecorchetes,seobservaque
lostérminosqueincluyenac~yc~sonreemplazadosporcJlyncJl,respectivamente,debidoaque E(cij)=
O.Además,todoslosproductoscruzadosqueincluyenacijtienenvaloresperadocero.Porlotanto,des­
puésdeelevaralcuadradoytomarelvaloresperado,laúltimaecuaciónseconvierte
en
1[aa]
E(MSE)=N-a
N,u2+n~ r:+Na2-N,u2-n~ r:-aa
2
o

83. 3·3ANÁLISISDELMODELO CONEFECTOSFIJOS 69
Aplicandounenfoquesimilar puededemostrarsetambiénque
3
n!'í;
(
MS
o
¡=I
E Tratamientos)=a-+-a--"--l-
Porlotanto,comoseargumentóheurísticamente, MSE=SSE/(N-a) estimadly,sinohaydiferenciasen
lasmediasdelostratamientos(locualimplicaque'í¡=O),MSnatamientos=SSTratamientoJ(a-1)tambiénesti­
madl.Sinembargo,observequesilasmediasdelos tratamientosdifieren,elvaloresperadodelcuadrado
mediodelostratamientosesmayorquedl.
Parececlaroqueesposiblerealizar unapruebadelahipótesisdequenohaydiferenciasenlasmedias
delostratamientoscomparando
MSnatamientosyMS
E
•Seconsideraahoracómopuedehacerseestacompa­
ración.
3,3.2Análisisestadístico
Seinvestigaahoracómopuedellevarseacabo unapruebaformaldelahipótesisdequenohaydiferen­
cias
enlasmediasdelostratamientos
(HO:f.l1=f.l2=o"=Ila,odemaneraequivalente,HO:'í
1='í
2=o.''í
a=
O).PuestoquesehasupuestoqueloserroresBijsiguenunadistribuciónnormaleindependienteconme­
diaceroyvarianzadl,lasobservacionesYijtienenunadistribuciónnormaleindependienteconmediaf.l+
'í¡yvarianzadl.Porlotanto,SSTesunasumadecuadradosdevariablesaleatorias conunadistribución
normal;
porconsiguiente,puededemostrarseque
SST/rJ2tieneunadistribuciónji-cuadradacon N-1gra­
dos
delibertad.Además, puededemostrarseque
SSE/dlesunavariableji-cuadradacon N-agradosdeli­
bertadyqueSSnatamientoJdlesunavariableji-cuadrada cona-1gradosdelibertadsi lahipótesisnulaHo:'í¡
=Oesverdadera.Sinembargo,lastressumasde cuadradosnosonnecesariamenteindependientes, ya
quelasumadeSSnatamientosYSSEesSS,!,Elsiguienteteorema,queesunaformaespecial deunteorema
atribuidoaWilliamCochran,esútil paraestablecerla independenciadeSSEYSSnatamientos'
TEOREMA3,1 .
TeoremadeCochran
SeaZ¡igualaNID(O,1) parai=1,2,o••,vy
íZ¡2=QI+Q2+...+Q,
;=1
dondes:5v,YQ¡tieneVigradosdelibertad(i=1,2,.",s).EntoncesQl'Q2'oo.,Q,sonvariablesaleatorias
ji-cuadradaindependientescon
VI'V
2
,oo.,
V,gradosdelibertad,respectivamente,siysólosi
v=VI+V2+...+v,
.........................................................................
Puestoquelosgradosdelibertad deSSnatamientosYSSEsumanN-1,elnúmerototaldegradosdeliber­
tad,el
teoremadeCochranimplicaque
SSnatamiento,/dlYSSE/dlsonvariablesaleatoriasji-cuadrada con
3Referirsealmaterialsuplementariodeltextodelcapítulo3 o

84. 7O CAPÍTULO3EXPERIMENTOSCONUNSOLOFACTOR: ELANÁLISISDEVARIANZA
Tabla3-3Tabladeanálisisdevarianzapara elmodelocon unsolofactoryefectosfijos
Sumade Gradosde Cuadrado
Fuentedevariación cuadrados libertad medio
Entrelostratamientos
Error(dentrodelos
tratamientos)
Total
a
SSTrntamientos=n
2:(Yi.-Y.J
i=l
SSE=SST-SSTrntamicntos
SST=~~ (Yij-y.}
i=l1'=1
a-l
N-a
N-l
MSTratamicntos
F:=MSTrntamientos
O MS
E
(3-7)
unadistribuciónindependiente. Porlotanto,silahipótesisnuladequenohaydiferenciasenlasmedias
delostratamientosesverdadera,elcociente
F.=SSTratamientosI(a-1)=MSTratamieotos
o SSEI(N-a) MS
E
sedistribuyecomo
Fcona
-1yN-agradosdelibertad. Laecuación3-7esel estadísticodeprueba para
lahipótesisdequenohaydiferenciasenlasmediasdelostratamientos.
Porloscuadradosmediosesperados
seobservaque,engeneral, MSEesunestimadorinsesgadode
el-.
Asimismo,bajolahipótesisnula, MSTratamientosesunestimadorinsesgadodeel-.Sinembargo,silahipótesis
nulaesfalsa,elvaloresperadode
MSTIatamientosesmayorque
el-.Porlotanto,bajolahipótesisalternativa,el
valoresperadodelnumeradordelestadísticodeprueba(ecuación
3-7)esmayorqueelvaloresperadodel
denominador,y
Hadeberárechazarseparavaloresdelestadísticodepruebaquesonmuygrandes.Esto
implica
unaregióncríticade unasolacolasuperior.Porlotanto, Hadeberárechazarseyconcluirseque
haydiferenciasenlasmediasdelostratamientos
si
Fa>Fa,a-l,N-a
dondeFasecalculaconlaecuación 3-7.Demaneraalternativa,podríausarseelenfoquedelvalor Ppara
tomarunadecisión.
Esposibleobtenerfórmulasparacalcularestassumasdecuadradosreescribiendoy
simplifican~o las
definicionesde
SSTratamientosYSSyenlaecuación 3-6.Seobtieneasí
2
2Y.
Yij-N (3-8)
y
1a 2
SS
" 2Y.
Tratamientos=-;;Lo,Yi.-N
1=1
Lasumadecuadradosdelerrorse'obtiene porsustraccióncomo
.SSE=SSy- SSTratamientos
(3-9)
(3-10)
Elprocedimientodepruebaseresumeenlatabla 3-3.Seleconocecomo tabladelanálisisdevarianza.
EJEMPLO
3,1 " .
Elexperimentodelaresistenciaalatensión
Parailustrarelanálisisdevarianza,seretoma alejemploqueempezóacomentarseenlasección 3-1.Re­
cuerdeque
alingenierodedesarrollodeproductosleinteresadeterminar sielpesoporcentualdelalgo-

85. 3-3ANÁLISISDELMODELO CONEFECTOSFIJOS 71
dónenunafibrasintéticaafectalaresistenciaalatensión,y hallevadoacabounexperimento
completamentealeatorizadoconcinconivelesdelpesoporcentualdelalgodónycincoréplicas.
Porcon­
veniencia,acontinuación
serepitenlosdatosdelatabla 3-1:
Peso
Resistenciaalatensiónobservada
porcentual
(lb/pulg
2
)
Totales Promedios
-
delalgodón 1 2 3 4 5 Yi Yi.
15 7 7 15 11 9 49 9.8
20 12 17 12 18 18
77 15.4
25 14 18 18 19 19 88 17.6
30
19 25 22 19 23 108 21.6
35 7 10 11 15 11 54 10.8
Y..=376
Y..=15.04
SeusaráelanálisisdevarianzaparaprobarHo
:fl1=fl2=fl3=fl4=fl5contralahipótesisalternativa
H
1
:
algunasmediassondiferentes.Lassumasdecuadradosrequeridassecalculancomosigue:
5 5 2
SST=2:2: Y~-~
;=1j=l
(376)2
=(7)2+(7)2+(15)2+...+(15)2+(11)2------zs-=636.96
1 2
SS " 2Y.
Tratamientos= -.LJYi.-N
n;=1
1? ?(376)2
=5[(49)-+...+(54)-]------zs-=475.76
SSE=SST-SSTratamientos
=636.96-475.76=161.20
Generalmenteestoscálculosserealizaríanenunacomputadora,utilizandopaquetesdesoftwareconla
capacidaddeanalizardatosdeexperimentosdiseñados.
Enlatabla3-4seresumeelanálisisdevarianza.Observequeelcuadradomedioentrelostratamien­
tos
(118.94)esvariasvecesmayorqueelcuadradomediodentrodelostratamientosocuadradomedio
delerror
(8.06).Estoindicaquénoesposiblequelasmediasdelostratamientosseaniguales. Entérmi­
nosmásformales,puedecalcularseelcociente
F,Fa=118.94/8.06=14.76,Ycompararestevalorconun
puntoporcentualapropiadodelacolasuperiordeladistribución
F
4
,20'Supongaqueelexperimentador
haseleccionadoa=0.05.EnlatablaIVdelapéndiceseencuentraque Fo.
05
,
4,20=2.87.Puestoque Fa=
14.76>2.87,serechazaHayseconcluyequelasmediasdelostratamientosdifieren;esdecir,elpesopor­
centualdelalgodónen
lafibraafectademanerasignificativalaresistenciaalatensiónmedia.También
Tabla
3-4Análisisdevarianzadelosdatosdelaresistenciaalatensión
Sumade Gradosde Cuadrado
Fuentedevariación cuadrados libertad medio
Fo ValorP
Pesoporcentualdelalgodón 475.76 4 118.94 Fo=14.76 <0.01
Error 161.20 20 8.06
Total 636.96 24

86. 72 CAPÍTULO3EXPERIMENTOSCONUNSOLOFACTOR: ELANÁLISISDEVARIANZA
"O
:Q0.6
:s
E
E!
c.0.4
ID
"O
"O
ro
"O
.¡¡;
:¡¡
0.2
o
Figura3-3Ladistribución dereferencia(F
4
,20)paraelestadísticode
pruebaF
oenelejemplo3-1.
podríacalcularse unvalorPparaesteestadísticodeprueba. Enlafigura3-3semuesttaladistribuciónde
referencia
(F
4
,20)paraelestadísticode pruebaFa.Evidentemente,elvalor Pesmuypequeñoenestecaso.
Puestoque
F0.G1,4,20=4.43YFa>4.43,puedeconcluirseque unlímitesuperiordelvalor Pes0.01;esdecir,
P<0.01(elvalor Pexactoes P=9.11X10-
6
) •
.........................................................................
Cálculosmanuales
Posiblementeellectorhayanotadoquelasumadecuadradossedefinió entérminosdepromedios;esde­
cir,
porlaecuación3-6,
a
SSTratamientos=n
2:(jii.-)1..)2
i=l
perolasfórmulasdecálculosedesarrollaronutilizandolostotales. Porejemplo,paracalcularSSnatamientoS'
seusaríalaecuación3-9:
1a 2
SS~ 2Y..
Tratamientos=-;;LJYi.-N
i=1
Larazónprincipaldeestoes porconveniencia;además,lostotales Yi.yY..estánmenossujetosalerrorde
redondeoquelospromediosYi.yY..'
Engeneral,nodeberáprestarsedemasiadaatenciónaloscálculos,yaquesecuentacon unaamplia
variedaddeprogramasdecomputadora
pararealizarlos.Estosprogramasdecomputadorasontambién
útiles
pararealizarmuchosotrosanálisisasociadosconeldiseñoexperimental(comoelanálisisresidualy
laverificacióndelaadecuacióndelmodelo).
Enmuchoscasos,estosprogramastambiénayudarán alex­
perimentadoraestablecereldiseño.
Cuandoesnecesariorealizarloscálculosmanualmente,
enocasionesesútilcodificarlasobservacio­
nes.Estoseilustraenelejemplosiguiente.
EJEMPLO3..2 .
Codificacióndeobservaciones
Loscálculosdelanálisisdevarianza puedenhacerseconfrecuenciade maneramásprecisaosimplificada
codificandolasobservaciones.Porejemplo,considerelosdatosdelaresistenciaalatensióndelejemplo

87. 3-3ANÁLISISDELMODELO CONEFECTOSFIJOS 73
Tabla3-5Datoscodificadosdelaresistenciaalatensióndelejemplo3·2
Peso Observaciones
porcentual
1 2 3 4 5
Totales
delalgodón
Yi
15 -8 -8 O -4 -6 -26
20
-3 2 -3 3 3 2
25 -1 3 3 4 4 13
30 4 10 7 4 8 33
35 -8 -5 -4 O -4 -21
3-1.Supongaqueseresta 15decadaobservación.Losdatoscodificadossemuestranenlatabla 3-5.Es
sencilloverificarque
SST=(-8)2+(_8)2+..,+(_4)2
_(~2=636.96
SS.
=(-26)2+(2)2+.,.+(-21)2(1)2=4576
TratamIentos 5 25 7 .
y
SSE=161.20
Alcompararestassumasdecuadradosconlasqueseobtuvieronenelejemplo 3-1,seobservaquealres­
tarunaconstantedelosdatosoriginaleslassumasdecuadradosnosemodifican.
Supongaahoraquecadaunadelasobservacionesdelejemplo
3-1semultiplicapor2.Essencilloveri­
ficarquelassumasdecuadradosdelosdatostransformadosson
SST=2547.84,SSnatamientos=1903.04Y
SSE=644.80.Estassumasdecuadradosparecendiferirconsiderablementedelasqueseobtuvieronenel
ejemplo
3-1.Sinembargo,sisedividenpor 4(esdecir,2
2
),losresultadossonidénticos.Porejemplo, para
lasumadecuadradosdelostratamientos, 1903.04/4=475.76.Asimismo,paralosdatoscodificados,el
cociente
FesF=(1903.04/4)/(644.80/20)=14.76,queesidénticoalcociente Fdelosdatosoriginales.
Porlotanto,losanálisisdevarianzasonequivalentes.
Pruebasdealeatorización yanálisisdevarianza
Eneldesarrollodelanálisisdevarianzaconlaprueba F,sehautilizadoelsupuestodequeloserrores
aleatorios
sijsonvariablesaleatoriasquesiguen unadistribuciónnormaleindependiente.Thmbiénespo­
siblejustificarla
pruebaFcomolaaproximaciónde unapruebadealeatorizacióu. Parailustraresto,
su~
pongaquesetienencincoobservacionesdecadaunodedostratamientos yquequiereprobarsela
igualdaddelasmediasdelostratamientos.Losdatosaparecerían
así:
1J:atamiento11J:atamiento2
Yl1 Y21
Y12 Y22
Y13 Y23
Y14 Y24
Y15 Y25
Podríausarseelanálisisdevarianzaconla pruebaFparaprobar
HO:#l=#2'Demaneraalternativa,po­
dríarecurrirseaunenfoqueuntantodiferente.Supongaqueseconsiderantodaslasformasposiblesde

88. 74 CAPÍTULO3EXPERIMENTOS CONUNSOLOFACTOR: ELANÁLISISDEVARIANZA
asignarlos10númerosdela muestraanterioralosdostratamientos. Hay10!/5151=252arreglosposibles
delas10observaciones:Si
nohayningunadiferencia enlasmediasdelostratamientos,los252arreglos
sonigualmenteposibles. Paracadaunodelos252arreglos,secalcula elvalordelestadístico Fusandola
ecuación3-7.A ladistribucióndeestosvalores Fselellamadistribucióndealeatorización,y unvalor
grandede
Findicaquelosdatos nosonconsistentescon lahipótesis
Ho:fil=fiz.Porejemplo,sielvalorde
Fqueseobservórealmentefueexcedidosólo por5delosvaloresde ladistribucióndealeatorización,esto
corresponderíaconelrechazodeHo:¡ll=fizconunniveldesignificaciónde a=5/252=0.0198(o
1.98%).Observeque
noesnecesarioningúnsupuestodenormalidad enesteenfoque.
Ladificultadconesteenfoqueesque,incluso enproblemasrelativamentepequeños,loscálculosre­
queridoshaceninviable
laenumeraciónde ladistribucióndealeatorizaciónexacta.Sinembargo,nume­
rososestudios
handemostradoqueladistribución Fcomúndelateoríanormales unabuena
aproximaciónde ladistribucióndealeatorizaciónexacta. Porlotanto,inclusosinelsupuestodenormali­
dad,la
pruebaFpuedeconsiderarsecomo unaaproximaciónde lapruebadealeatorización.Paramásde­
tallessobrelaspruebasdealeatorización
enelanálisisdevarianza, verBox,HunteryHunter[18].
3~3.3 Estimacióndelosparámetrosdelmodelo
Sepresentanahoralosestimadoresdelosparámetrosdelmodelocon unsolofactor
ylosintervalosdeconfianza
paralasmediasdelostratamientos.Másadelantesedemostrará queestima­
doresrazonablesde
lamediaglobalydelosefectosdelostratamientosestándados por
{t=Y..
fi=Yi.-Y..,i=1,2,...,a
(3-11)
(3-12)
(3-13)
Estosestimadores poseenunconsiderableatractivointuitivo;observeque lamediaglobalseestimacon
el
granpromediodelasobservacionesy queelefectodecualquiertratamiento noessinoladiferenciaen­
treelpromediodeltratamientoyelgranpromedio.
Esposibledeterminarconfacilidad
unaestimacióndelintervalodeconfianzadela mediadeltrata­
mientoi-ésimo.
Lamediadeltratamientoi-ésimoes
Unestimadorpuntual
defi¡sería{t¡={t+f¡=Y¡.'Ahorabien,sisesuponequeloserroressiguen unadis­
tribuciónnormal,
cadaY¡.esuna
NID(u¡,cJ2/n).Porlotanto,sicJ2fueraconocida,podríausarseladistribu­
ciónnormal
paradefinirelintervalodeconfianza. AlutilizarMS
Ecomoestimadorde
cJ2,elintervalode
confianzasebasaría
enladistribuciónt.Porlotanto,unintervalodeconfianzade 100(1-a)por.ciento
.
paralamediafiideltratamientoi-ésimoes
~
s ~MS- _ __E_<<-+ __E_
Y¡.ta/Z.N-an-fi¡ -Y¡.ta/Z.N-an
Unintervalodeconfianzade 100(1-a)porcientoparaladiferenciaenlasmediasdedostratamientos
cualesquiera,
porejemplo
fii-fij'sería
_ _ J2MSE _ _ ~2MSE
Yi,-Yj.-ta/Z
•
N
-a--n-:::;¡li-fij:::;Y¡.-Yj.+ta/Z•
N
-a--n-

89. 3-3ANÁLISISDELMODELO CONEFECTOSFIJOS 75
EJEMPLO3~3••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••.••••••••••••••••••
Utilizandolosdatosdelejemplo 3-1puedenencontrarselasestimacionesdelamediaglobalydelosefec­
tosdelostratamientoscomof1,=376/25=15.04Y
~1=Yl-Ji..=9.80-15.04=-5.24
f2=Y2.-Y..=15.40-15.04=+0.36
f3=h-Y..=17.60-15.04= -2.56
f4=Y4.-Y..=21.60-15.04=+6.56
~5=Ys.-:-Y..=10.80-15.04= -4.24
Unintervalodeconfianzade 95%paralamediadeltratamiento 4(30%dealgodón)secalculaconla
ecuación
3-12como
~8.06 ~8.06
21.60-2.086-5-$fl4$21.60+2.086-5-
o
21.60-2.65$fl4$21.60+2.65
Porlotanto,elintervalodeconfianzade 95%deseadoes 18.95$fl4$24.25.
Intervalosdeconfianzasimultáneos
Lasexpresionesparalosintervalosdeconfianzadados enlasecuaciones3-12y3-13sonintervalosdecon­
fianza
unoala vez.Esdecir,elniveldeconfianza 1-asóloseaplicaa unaestimaciónparticular.Sinem­
bargo,
enmuchosproblemas,elexperimentadortalvezquieracalcularvariosintervalosdeconfianza,
uno
paracadaunadevariasmediasodiferenciasentremedias. Sihayinterésen rdeestosintervalosde
confianzade
100(1-a)porciento,laprobabilidaddequelos rintervalosseancorrectos simultáneamen­
te
esalmenos1-ra.Alaprobabilidadraselellamaconfrecuencia índicedeerrorenelmododelexperi-
,mento
ocoeficientedeconfianzaglobal.Elnúmerodeintervalos rnotienequesermuygrandeantesde
queelconjuntodeintervalosdeconfianzasevuelvarelativamentefaltodeinformación.Porejemplo,si
hay
r= 5intervalosy a=0.05(unaeleccióntípica),elnivel deconfianzasimultáneo paraelconjuntode
loscincointervalosdeconfianza
esdealmenos 0.75,ysir=10Ya=0.05,elniveldeconfianzasimultá­
neoesdealmenos
0.50.
Unenfoqueparaasegurarsedequeelniveldeconfianzasimultáneonoseademasiadopequeñoes
sustituira/2cona/(2r)
enlasecuaciones3-12y3-13delintervalodeconfianzaunoalavez.Aésteselella­
mael
métododeBonferroni, ylepermitealexperimentadorconstruir unconjuntode rintervalosdecon­
fianzasimultáneos
paralasmediasdelostratamientosolasdiferencias enlasmediasdelostratamientos
paralosqueelniveldeconfianzaglobalesdealmenos
100(1-a)porciento.Cuandornoesmuygrande,
éstees
unmétodomuyatinadoqueproduceintervalosdeconfianzarazonablementecortos.Paramásin­
formación,referirsealmaterialsuplementariodeltextodelcapítulo
3.
3~3.4 Datosnobalanceados
Enalgunosexperimentoscon unsolofactor,puedeserdiferenteelnúmerodeobservacionesqueseha­
cendentrodecadatratamiento.Sediceentoncesqueeldiseñoes
nobalanceado.Siguesiendoposible
aplicarelanálisisdevarianzadescritoarriba,
perodebenhacerseligerasmodificaciones enlasfórmulas

90. 76 CAPÍTULO3EXPERIMENTOS CONUNSOLOFACTOR: ELANÁLISISDEVARIANZA
delassumasdecuadrados.Seaque sehaganniobservacionesbajoeltratamiento i(i=1,2,...,a)yque
N=L~=ln¡.Lasfórmulasparacalcularmanualmente SSTySSTratamientosquedancomo
y
a 2 2
SS~2:'L_L
Tratamientos=.LJ N
i=ln¡
(3-14)
(3-15)
Noserequierenmáscambiosenelanálisisdevarianza.
Haydosventajas
alelegirundiseñobalanceado.Primera,elestadísticodepruebaesrelativamente
insensiblealasdesviacionespequeñasdelsupuestodelaigualdaddelasvarianzasdelos
atratamientos
cuandolostamañosdelasmuestrassoniguales.Noesésteelcasocuandolostamañosdelasmuestrasson
diferentes.Segunda,lapotenciadelapruebasemaximizacuandolasmuestrastienenelmismotamaño.
3~4VERIFICACIÓN DE LAADECUACIÓN DELMODELO
Ladescomposicióndelavariabilidadpresenteenlasobservacionesmediantelaidentidaddelanálisisde
varianza(ecuación3-6)esunarelaciónpuramentealgebraica.Sinembargo,elusodelaparticiónpara
probarformalmentequenohaydiferenciasenlasmediasdelostratamientosrequierequesesatisfagan
ciertossupuestos.Específicamente,estossupuestossonqueelmodelo
Yij=
f1+r:i+sij
describedemaneraadecuadalasobservaciones,yqueloserroressiguen unadistribuciónnormaleinde­
pendienteconmediaceroyvarianzacrconstanteperodesconocida. Siestossupuestossesatisfacen,el
procedimientodelanálisisdevarianzaes
unapruebaexactadelahipótesisdequenohaydiferenciasen
lasmediasdelostratamientos.
Sinembargo,escomúnqueenlaprácticaestossupuestosnosesatisfaganexactamente.Porconsi­
guiente,
engeneralnoesprudenteconfiarenelanálisisdevarianzahastahaberverificadoestossupues­
tos.Lasviolacionesdelossupuestosbásicosylaadecuacióndelmodelopuedeninvestigarseconfacilidad
medianteelexamendelos
residuales.Elresidualdelaobservaciónj-ésimaeneltratamientoi-ésimose
definecomo
donde
Yijesunaestimacióndelaobservación Yijcorrespondientequeseobtienecomosigue:
Yij=jl+i¡
-+(--)=Y..Y¡.-Y..
=Yi.
(3-16)
(3-17)
Laecuación3-17daelresultadointuitivamenteclarodequelaestimacióndecualquierobservaciónenel
tratamientoi-ésimonoessinoelpromediodeltratamientocorrespondiente.
Elexamendelosresidualesdeberáserunaparteautomáticadecualquieranálisisdevarianza.
Siel
modeloesadecuado,losresidualesdeberánestar
sinestructura;esdecir,nodeberáncontenerpatrones
obvios.Atravésdeunestudiodelosresiduales,puedendescubrirsemuchostiposdeinadecuacionesdel
modeloyviolacionesdelossupuestossubyacentes.
Enestasecciónseindicacómopuedehacerseconfa­
cilidadlaverificacióndediagnósticodelmodelomedianteelanálisisgráficodelosresidualesycómore­
solvervariasanormalidadesqueocurrencomúnmente.

91. 3-4VERIFICACIÓNDELAADECUACIÓN DELMODELO 77
3~4.1 Elsupuestodenormalidad
Laverificacióndelsupuestode normalidadpodríahacersegraficandounhistogramadelosresiduales.Si
sesatisfaceelsupuesto
deNID(O,0
2
)
paraloserrores,estagráficadeberáaparecercomounamuestrade
unadistribuciónnormalconcentroencero.Desafortunadamente,cuandosetrabajaconmuestras pe­
queñas,suelenocurrirfluctuacionessignificativas, porloquelaapariciónde unadesviaciónmoderadade
lanormalidadnoimplicanecesariamente unaviolaciónseria delossupuestos.Lasdesviacionesmarcadas
de
lanormalidadsonpotencialmenteseriasy requierenanálisisadicional.
Unprocedimientoenextremoútilesconstruir unagráficadeprobabilidadnormaldelosresiduales.
Recuerdequeenelcapítulo2seutilizó unagráficade probabilidadnormaldelosdatosoriginales para
verificarelsupuestode normalidadcuandoseusó lapruebat.Enelanálisisdevarianza,porlogenerales
máseficaz(ydirecto)
hacerlomismoconlosresiduales.Si ladistribuciónfundamentaldeloserroreses
normal,
estagráficatendrálaaparienciade unalínearecta.Paravisualizarlalínearecta,deberáprestarse
másatenciónalosvalorescentralesde lagráficaquealosvaloresextremos.
Enlatabla3-6semuestranlosdatosoriginalesylosresidualesdelos datosdelaresistenciaa laten­
sióndelejemplo3- i.Lagráficadeprobabilidad normalsemuestraenlafigura3-4. Laimpresióngeneral
quesurgealexaminar estarepresentaciónesqueladistribucióndelos errorespuedetenerunligeroses­
go,con
lacoladerechasiendomáslarga quelaizquierda.Latendenciadelagráficadeprobabilidadnor­
malacurvarsehaciaabajoligeramentedel
ladoizquierdo,implica quelacolaizquierdadeladistribución
delos
erroresseauntantomásdelgadadeloqueseanticiparíaconunadistribuciónnormal;esdecir,los
residualesnegativos
nosontangrandes(envalorabsoluto) comoseesperaba.Sinembargo, estagráfica
no
muestraunadesviaciónmarcadadeladistribuciónnormal.
Engeneral,lasdesviacionesmoderadasde lanormalidadnosonmotivodegranpreocupación enel
análisisdevarianza
deefectosfijos(recuerdeelanálisisdelas pruebasdealeatorizaciónde lasección3-3.2).
Unadistribucióndeloserrores quetienecolasconsiderablementemásgruesasodelgadas queladistribu­
ción
normalesmotivodemayorpreocupación queunadistribuciónsesgada.Puesto quelapruebaFsólose
afectaligeramente,sedice
queelanálisisdevarianza(ylosprocedimientosrelacionadoscomolascompa­
racionesmúltiples)es
robustoconrespectoalsupuesto denormalidad.Lasdesviacionesdelanormalidad
hacen
porlogeneralque tantoelverdaderoniveldesignificación comolaverdaderapotenciadifieranlige­
ramente
delosvaloresanunciados,con lapotenciasiendo generalmentemásbaja.Elmodelodelosefectos
aleatorios
queserevisaráenelcapítulo12seafecta enformamásseveraporlanonormalidad.
Tabla
3-6Datosyresidualesdelejemplo3-1 a
Peso
porcentual
delalgodón 2
Observaciones
(j)
3 4 5
LosreSIduales
semdlcanenelrecuadrodecadacelda.Losnumerosentreparenteslsmdlcanelorden enqueserecolectaronlosdatos.
1-2.8 1-2.8 I5.2 I1.2 1-0.8
15 7(15) 7(19) 15(25) 11(12) 9(6) 9.8
1-3.4 I1.6 1-3.4 12.6 I2.6
20
12(8) 17(14) 12(1) 18(11) 19(3) 15.4
1-3.6I0.4 10.4 11.4 I1.4
25 14(18) 18(13) 18(20) 19(7) 19(9) 17.6
1-2.6 I3.4 10.4 1-2.6 I1.4
30
19(22) 25(5) 22(2) 19(24) 23(10) 21.6
1-3.8 1-0.8 10.2 14.2 I0.2
35 7(17) 10(21) 11(4) 15(16) 11(23) 10.8
. . .

92. 78 CAPÍTULO3EXPERIMENTOSCONUNSOLO FACTOR:ELANÁLISISDEVARIANZA
99
95
90
SO
ro
E70
o
t:
"C
ro
3150
:5
ro
.c
e
30o.
Ql
"C
::!<
20
o
10
5
¡g¡m
~.;:i'
-3.8 -1.55 0.7
Residual
2.95 5.2
Figura3-4Gráficadeprobabilidadnormaldelosresidualesdelejemplo3-1.
Unaanomalíamuycomúnquesueleponersedemanifiesto enlasgráficasdeprobabilidadnormales
unresidualqueesmuchomásgrandequecualquierotro.A unresidualasíselellamaconfrecuencia pun­
toatípico.Lapresenciadeunoomáspuntosatípicos puedeintroducirseriasdistorsiones enelanálisisde
varianza,
porloquecuandoselocaliza unpuntoatípicopotencial,serequiere unainvestigaciónatenta.
Enmuchasocasiones, lacausadel puntoatípicoes unerrorenloscálculoso unerroralcodificarocopiar
losdatos.Si
noeséstalacausa,lascircunstanciasexperimentales querodeanestacorridaparticularde­
benestudiarseconatención.Si larespuestaatípica ocurreenunvalorparticularmentedeseable(altare­
sistencia,costobajo,etc.),el
puntoatípicopuedesermásinformativoqueelrestodelosdatos. Deberá
tenersecuidadode norechazarodescartar unaobservaciónatípicaamenos quesetenganrazonesnoes­
tadísticasdepeso
parahacerlo.Enelpeordeloscasos, puedeterminarsecondosanálisis; unoconelpun­
toatípicoy unosinél.
Existenvariosprocedimientosestadísticosformales
paradetectarpuntosatípicos (porejemplo,ver
BarnettyLewis[8],JohnYPrescott[60]YStefansky[107]). Puedehacerseunaverificaciónaproximadade
lospuntosatípicosexaminandolosresiduales
estandarizados
e..
d=__
9- (318)
ij.JMS
E
-

93. 3-4VERIFICACIÓNDELAADECUACIÓN DELMODELO 79
SiloserrorescijsonN(O,02),losresidualesestandarizadosdeberánseraproximadamentenormalescon
mediaceroyvarianzaunitaria.Porlotanto,cercade68%delosresidualesestandarizadosdeberánestar
incluidosdentrodeloslímites±1,cercade95%deellosdeberánestarincluidosdentrode
±2yvirtual­
mentetodosellosdeberánestarincluidosdentrode±3.
Unresidualmayorque3 o 4desviacionesestán­
darapartirdeceroes
unpuntoatípicopotencial.
Paralosdatosdelaresistenciaalatensióndelejemplo3-1,
lagráficadeprobabilidadnormalnopro­
duceindicioalgunodepuntosatípicos.Además,elresidualestandarizadomayores
d
13
=~=~= 5.2=1.83
.JMS
E
.J8.062.84
elcualnodeberásermotivodepreocupación.
3~4.2 Gráficadelosresidualesensecuenciaeneltiempo
Lagraficacióndelosresidualesenelordentemporaldelarecoleccióndelosdatosesútilparadetectar
correlacionesentrelosresiduales.
Unatendenciaa tenercorridasderesidualespositivosynegativosindi­
ca
unacorrelaciónpositiva.Estoimplicaríaqueelsupuestodeindependenciadeloserrores hasidoviola­
do.Se
tratadeunproblemapotencialmenteserioycuyasoluciónesdifícil, porloquedeserposiblees
importanteevitarelproblemacuandosecolectenlosdatos.
Laaleatorizaciónadecuadadelexperimento
esunpasoimportante paraconseguirlaindependencia.
Enocasioneslashabilidadesdelexperimentador(olossujetos) puedencambiarconformeelexperi­
mentoavanza,oelprocesobajoestudiopuede"vagarsinrumbo"ovolversemáserrático.Estoproducirá
confrecuencia
uncambioenlavarianzadel errorconeltiempo. Estacondiciónsuelellevara unagráfica
delosresidualescontraeltiempoquemuestra
unadispersiónmayorenunodesusextremosque enel
otro.
Unavarianzanoconstante esunproblemapotencialmenteserio. Enlassecciones3-4.3y3-4.4se
abundarásobreeltema.
Enlatabla3-6semuestranlosresidualesylasecuencia eneltiempodelarecoleccióndelosdatos
paraelexperimentodelaresistenciaalatensión.
Enlafigura3-5sepresenta unagráficadeestosresidua-
•
•
6
5
4
3
•
2
:::;.
1..
ro
•:J
o
:2
'"
ID
a:
-1
-2
-3
•
-4
-5
-6
•
5
•
•
•
•
•••
•
15
Tiempo
•
••
•
20
•
•
•
•
Figura3·5Gráficadelosresidualescontra eltiempo.

94. 80 CAPÍTULO3EXPERIMENTOSCONUNSOLOFACTOR: ELANÁLISISDEVARIANZA
lescontraeltiempo.Nohayrazón parasospecharcualquierviolacióndelossupuestosdeindependencia
ode
unavarianzaconstante.
3,4.3Gráficadelosresidualescontralosvaloresajustados
Sielmodeloescorrectoysesatisfacenlossupuestos,losresidualesdeberánestarsinestructura; enpar­
ticular,nodeberánestarrelacionadosconninguna
otravariable,incluyendo larespuestapredicha. Una
verificaciónsimpleesgraficarlosresidualescontralosvaloresajustados
Y¡j'(Paraelmodelode unexperi­
mentoconunsolofactor,recuerdequeYij=Yi.>elpromediodeltratamientoi-ésimo.)Estagráficanode­
berámostrarningúnpatrónobvio. Enlafigura3-6segraficanlosresidualescontralosvaloresajustados
paralosdatosdelaresistenciaalatensióndelejemplo3-1.Noesevidenteningunaestructurainusual.
Undefectoquesalearelucir enocasionesenestagráficaes unavarianzanoconstante. Enocasionesla
varianzadelasobservacionesseincrementacuandolamagnituddelaobservaciónseincrementa.Éstesería
elcaso
sielerrororuidodefondodelexperimentofuera unporcentajeconstantedelamagnituddelaob­
servación.(Estoocurrecomúnmenteconmuchosinstrumentosdemedición;elerrores
unporcentajedela
escalademedición.)
Siéstefueraelcaso,losresidualesseharíanmayoresconforme Yijsehicieramásgran­
de,y
lagráficadelosresidualescontra Yijseveríacomo unembudoo unmegáfonoconlabocahaciaafuera.
Unavarianzanoconstantetambiénsurge enloscasosenquelosdatossiguen unadistribuciónnonormal,
sesgada,porque
enlasdistribucionessesgadaslavarianzatiendeaser unafuncióndelamedia.
Siseviolaelsupuestode lahomogeneidaddelasvarianzas, lapruebaFsóloresultaafectadaligera­
menteenelmodelobalanceado(elmismotamañode lamuestraentodoslostratamientos)conefectos fi­
jos.Sinembargo, endiseñosnobalanceadoso encasosenqueunadelasvarianzasesconsiderablemente
másgrandequelasdemás,elproblemaesmásgrave.Específicamente,silosnivelesdelfactorquetienen
lasvarianzasmayorescorrespondentambiénconlostamañosdelasmuestrasmáspequeños,·elíndicede
errortipo1realesmayorqueloprevisto(olosintervalosdeconfianzatienennivelesdeconfianzareales
másbajosquelosquefueronespecificados).Recíprocamente,silosnivelesdelfactorconlasvarianzas
mayorestienentambiénlostamañosdelasmuestrasmayores,losnivelesdesignificaciónsonmuchome­
noresqueloanticipado(losnivelesdeconfianzasonmásaltos).
Éstaesunabuenarazónparaescogerta­
mañosdelas
muestrasigualessiemprequeseaposible. Paralosmodelosconefectosaleatorios,las
6
•
•
•
-
•-
••
-
•
5 10 15 20 25
• •
Yij
• •
•••-4
5
4
3
-2
-3
ri.>::;O
ro
-EOl-----'----J..:.----'----L.----l..-
'¡¡;
al
c:r:-1
2
-5
-6
Figura3·6Gráficadelosresidualescontralosvaloresajustados.

95. 3-4VERIFICACIÓNDELAADECUACIÓN DELMODELO 81
varianzasdel errordiferentespuedenintroduciralteracionessignificativas enlasinferenciassobrelos
componentesdelavarianza,inclusocuandose usandiseñosbalanceados.
Elenfoqueusualparaabordarelproblemadeunavarianzanoconstantequeocurreporlasrazones
expuestasantesconsiste
enaplicarunatransformaciónparaestabilizarlavarianzaparacorrerdespués
elanálisis
devarianzaenlosdatostransformados. Enesteenfoque,deberátenersepresentequelascon­
clusionesdelanálisisdevarianza
seaplicanalaspoblaciones trans!01madas.
Sehandedicadoconsiderablesesfuerzos deinvestigacióna laseleccióndeunatransformaciónade­
cuada.Silosexperimentadoresconocen
ladistribuciónteóricadelasobservaciones,puedenhacerusode
estainformaciónparaelegirlatransformación.Porejemplo,silasobservacionessiguen ladistribuciónde
poisson,
seusaríalatransformacióndelaraízcuadrada
Y~=¡y;;oY~=~1+Yij'Silosdatossiguen la
distribuciónlognormal, latransformaciónlogarítmicaY~=logYijesadecuada.Paradatosbinomialesex­
presados
comofracciones,latransformación
arcseny~=arcsenJY;;esútil.Cuandonohayunatransfor­
maciónobvia,el
experimentadorrealizaráporlogenerallabúsquedaempíricadeunatransformación
queiguale
lavarianzaindependientementedelvalordelamedia.Alfinaldeestasecciónseofrecenalgu­
nosconsejosalrespecto.
Enlosexperimentosfactoriales,loscualesse introducenenelcapítulo5, otro
enfoqueesseleccionarunatransformaciónqueminimiceel cuadradomediodelasinteracciones,siendo
elresultado
unexperimentocuya interpretaciónesmássencilla. Enelcapítulo14serevisanconmayor
detallelos
métodosparaseleccionaranalíticamente laformadelatransformación.Lastransformaciones
quese
hacenparaladesigualdaddelavarianzaafectan tambiénlaformadeladistribucióndelerror. En
lamayoríadeloscasos,latransformaciónhaceque ladistribucióndel errorestémáscercade ladistribu­
ciónnormal.
Paramásdetallessobrelastransformaciones,referirsea Bartlett[7],BoxyCox[15],Dolby
[38]yDraperyHunter[39].
Pruebasestadísticas paralaigualdaddelavarianza
Auncuandoesfrecuenteelusodelasgráficasresiduales paradiagnosticarladesigualdaddelavarianza,
se
hanpropuestotambiénvariaspruebasestadísticas.Estaspruebaspuedenconsiderarse comopruebas
formalesdelashipótesis
Ho:o¡=o~="'=0;
H
1
:
elenunciadoanterior noesverdaderoparaalmenosunao¡
Unprocedimientomuyutilizadoes lapruebadeBartlett.Elprocedimientoincluyeelcálculo deun
estadísticocuyadistribuciónde muestreoestáaproximadamuydecercaporladistribuciónji-cuadrada
cona-1gradosde libertadcuandolasamuestrasaleatorias sondepoblacionesnormales independien­
tes.Elestadísticodepruebaes
x~=2.30261
c
donde
q=(N-a)logloS~-!(ni-1)10glOSi
2
i=l
c=1+1(!(n¡-1r1-(N-ar1)
3(a-1)i=l
a
2:(n¡-1)S;
S2=..o.i=-"l _
P N-a
yS¡2eslavarianzamuestraldelapoblacióni-ésima.
(3-19)

96. 82 CAPÍTULO3EXPERIMENTOSCONUNSOLOFACTOR: ELANÁLISISDEVARIANZA
Lacantidadqesgrandecuandoladiferenciaentrelasvarianzasmuestrales Si
2
esconsiderablemente
grande,y
esigualacerocuandotodaslasS
¡soniguales.Porlotanto,Hodeberárechazarse paralosvalo­
resdeX~queseanmuygrandes; esdecir,serechaza Hosólocuando
X
2
>X2o a,a-l
dondeX
~.a-leselpuntoporcentual asuperiordeladistribuciónji-cuadradacon a-1gradosdelibertad.
Tambiénpodríausarseelenfoquedelvalor
Pparatomarunadecisión.
LapruebadeBartlettesmuysensiblealsupuestodenormalidad.Porconsiguiente,cuandolavalidez
deestesupuestoestá
enduda,nodeberáusarsela pruebadeBartlett.
EJEMPLO3
-4 .
Yaqueelsupuestodenormalidadnoestá enentredicho,lapruebadeBartlettpuedeaplicarsealosdatos
delaresistenciaalatensióndelexperimentodelpesoporcentualdealgodóndelejemplo3-1.Secalculan
primerolasvarianzasmuestralesdecadatratamientoyseencuentraque
S12=11.2,
S~=9.8,si=4.3,si
=6.8YS;=8.2.Entonces
S2=4(11.2)+4(9.8)+4(4.3)+4(6.8)+4(8.2)=8.06
p 20
q=2010glO(8.06)-4[10glO11.2+10glO9.8+10glO4.3+loglo6.8+10glO8.2]=0.45
c=1+3(1
4
)(%-;0)=1.10
yelestadísticodepruebaes
X
2
=2.3026(0.45)=0.93
o (1.10)
Puestoque
X
~.05.4=9.49,nopuederechazarselahipótesisnulayseconcluyequelascincovarianzasson
iguales.
Setratadelamismaconclusiónalaquesellegóalanalizarlagráficadelosresidualescontralos
valoresajustados.
DebidoaquelapruebadeBartlettessensiblealsupuestodenormalidad,puedehabersituaciones
en
lasqueseríaútil unprocedimientoalternativo.AndersonyMcLean [2]presentanunaatinadarevisiónde
algunaspruebasestadísticasdelaigualdaddelavarianza.
Lapruebade Levenemodificada(verLevene
[72]yConover,JohnsonyJohnson[31])es unprocedimientomuyútilqueesrobustoencuantoalasdes­
viacionesdelanormalidad.Paraprobarlahipótesisdequelasvarianzassoniguales
entodoslostrata­
mientos,lapruebadeLevenemodificadautiliza
ladesviaciónabsolutadelasobservaciones Yijdecada
tratamientodelamedianadelostratamientos,
porejemplo
y;.Seaqueestasdesviacionessedenoten por
_{i=1,2,...,a
d¡j=IYij- YilJ"=1 2l'
,,...,"i
LapruebadeLevenemodificadaevalúaentoncessilamediadeestasdesviacionesesigualónoparato­
doslostratamientos.Cuandolasdesviacionesmediassoniguales,lasvarianzasdelasobservacionesde

97. 3-4VERIFICACIÓNDELAADECUACIÓN DELMODELO 83
Tabla3-7Datosdeladescargapico
Observaciones
Método
de
estimación
1
2
3
4
0.34
0.91
6.31
17.15
0.12
2.94
8.37
11.82
1.23
2.14
9.75
10.95
0.70
2.36
6.09
17.20
1.75
2.86
9.82
14.35
0.12
4.55
7.24
16.82
Y¡. Ji; s¡
0.71 0.520 0.66
2.63 2.610 1.09
7.93 7.805 1.66
14.72 15.59 2.77
Métodode
estimación
1
2
3
4
Desviacionesd¡¡paralapruebadeLevenemodificada
0.18 0.40
0.71 0.18 1.23 0.40
1.70
0.33 0.47 0.25 0.25 1.94
1.495 0.565 1.945 1.715 2.015 0.565
1.56 3.77 4.64 1.61 1.24 1.23
todoslostratamientosserániguales.Elestadísticode pruebaparalapruebadeLeveneessimplementeel
estadísticoF
ANOVAusualparaprobarlaigualdaddelasmediasqueseaplicaalasdesviacionesabsolutas.
EJEMPLO
3
~5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Uningenierocivilestáinteresado endeterminarsicuatrométodosdiferentes paraestimarlafrecuencia
delasinundacionesproducenestimacionesequivalentesdeladescargapicocuandoseaplicanalamisma
cuenca.
Cadaprocedimientoseusaseisveces enlacuenca,ylosdatos delasdescargasresultantes (en
piescúbicosporsegundo)semuestranenla partesuperiordelatabla3-7. Elanálisisdevarianzadelos
datos,elcualseresume
enlatabla3-8,implicaquehay unadiferenciaenlasestimacionesdeladescarga
picopromedioobtenidas
enloscuatroprocedimientos. Lagráficadelosresidualescontralosvalores
ajustados,
lacualsemuestraenlafigura3-7,espreocupante porquelaformadeembudocon labocaha­
ciaafueraindicaque
nosesatisfaceelsupuestode unavarianzaconstante.
Seaplicará
lapruebadeLevenemodificadaalosdatos deladescargapico. Lapartesuperiorde lata­
bla3-7contienelasmedianasdelostratamientos
Ji;ylaparteinferiorcontienelasdesviaciones dijalrede­
dordelasmedianas.
LapruebadeLeveneconsisteenrealizar unanálisisdevarianzaestándar enlasdijo
Elestadísticode pruebaFqueresultaenestecasoes Fa=4.55,paraelcualelvalor PesP=0.0137.Porlo
tanto,la
pruebadeLevenerechazalahipótesisnuladequelasvarianzassoniguales,coincidiendo en
esenciaconeldiagnósticoquesehizoapartirdelexamenvisualdelafigura3-7.Losdatosdeladescarga
picoson
unbuencandidatoparaunatransformacióndedatos.
Selecciónempíricade unatransformación
Seseñalóyaquesilosexperimentadoresconocieranlarelación entrelavarianzadelasobservacionesyla
media,podríanusarestainformacióncomoguía
paralaseleccióndelaformadelatransformación.Se
Tabla
3-8Análisisdevarianzadelosdatosdeladescargapico
Fuentede Sumade Gradosde
variación cuadrados libertad
Cuadrado
medio Valor
P
Métodos
Error
Total
708.3471
62.0811
770.4282
3
20
23
236.1157
3.1041
76.07 <0.001

98. 84 CAPÍTULO3
4
3
2
••
•
a •::::-
o
'" I•
• •-1
• •
-2 •
-3
-4
o 5
EXPERIMENTOSCONUNSOLOFACTOR: ELANÁLISISDEVARIANZA
••
•
•
•
Figura3·7Gráficadelosresidualescontra
Yijparael
ejemplo
3-5.
desarrollaahoraestepunto ysepresentaunmétodoparaseleccionarempíricamentelaformadelatrans­
formaciónrequeridadelosdatos.
SeaE(y)=
¡tIamediadey,ysupongaqueladesviaciónestándar deyesproporcionala unapotencia
delamediade
ytalque
Quiereencontrarse
unatransformaciónde yqueproduzcaunavarianzaconstante.Supongaquelatrans­
formaciónes
unapotenciadelosdatosoriginales, porejemplo
Puededemostrarseentoncesque
i'=yA
aoc11A+a-l
y't'"
(3-20)
(3-21)
Evidentemente,sisehace
A=1 -a,lavarianzadelosdatostransformados y*esconstante.
Enlatabla3-9seresumenvariasdelastransformacionescomunesanalizadasanteriormente.Obser­
vequeA=Oimplicalatransformaciónlogarítmica.Estastransformacionesseenlistan enelordende
fuerzacreciente.Porfuerzade unatransformaciónseentiendelacantidaddecurvaturaqueinduce. Una
transformaciónsuaveaplicadaadatosqueseextienden enunrangoestrechotieneescasoefectosobreel
Tabla3-9Transformacionesparaestabilizarlavarianza
Relaciónentre
OyYfl a
o
1/2
1
3/2
2
A=l-a
1
1/2
O
-1/2
-1
Transformación
Sintransformación
Raíz
cuadrada
Log
Raízcuadradarecíproca
Recíproco
Comentario
Datos(números)
dePoisson

99. 3-4VERIFICACIÓNDELAADECUACIÓN DELMODELO 85
1.5
1.0
•
•
0.5
CIj-
O>
E
•
O
-0.5 •
-1
Figura3-8Gráficadelag Sicontralogy,.paralosdatosde
ladescargapicodelejemplo
3-5.
análisis,mientrasque unatransformaciónfuerteaplicada enunrangoampliopuedetenerresultadosdra­
máticos.Confrecuencialastransformacionestienenescasoefectoamenosqueelcociente
YrnáJ/Yrnínsea
mayorque2 o
3.
Enmuchassituacionesdediseñoexperimental enlasqueseusanréplicas, apuedeestimarseempíri­
camenteapartirdelosdatos.Puestoquelacombinacióni-ésimodelostratamientos
aYiex:
fl~=8,u~,
donde8 esunaconstantedeproporcionalidad, puedentomarselogaritmos paraobtener
logaYi=10g8+alog,ui (3-22)
Porlotanto,
unagráficadelag aYicontra
log,uiseríaunalínearectaconpendiente a.Puestoquenoseco­
nocen
aYi
y,u¡,puedensustituirseestimacionesrazonablesdeellos enlaecuación3-22Yusarlapendiente
delajustedelalínearectaresultantecomoestimaciónde
a.Demaneratípica,seusaríaladesviaciónes­
tándar
Siyelpromedio
y¡.deltratamientoi-ésimo(o,entérminosmásgenerales,lacombinacióni-ésima
delostratamientosoconjuntodecondicionesexperimentales)
paraestimaraYiy
,u¡.
Parainvestigarlaposibilidaddeusar unatransformaciónparaestabilizarlavarianzaenlosdatosde
ladescargapicodelejemplo3-5,enlafigura
3-8segraficalag S¡contra
logy¡..Lapendientedelarectaque
pasa
porestoscuatropuntosestácercade1/2 y,porlatabla3-9,estoimplicaquelatransformacióndela
raízcuadradapuedeserapropiada.
Elanálisisdevarianzadelosdatos transformadosy* =
vysepresenta
enlatabla
3-10,yenlafigura 3-9semuestraunagráficadelosresidualescontralarespuestapredicha.
Estagráficaresidualmuestra
unamejoríasensible encomparaciónconlafigura3-7, porloqueseconcIu-
Tabla
3·10Análisisdevarianzadelosdatostransformadosdeladescargapico, y*=yY
Fuentede Sumade Gradosde Cuadrado
variación cuadrados libertad medio ValorP
Métodos
Error
Thtal
32.6842
2.6884
35.3726 3
19
22
10.8947
0.1415
76.99 <0.001

100. 86
1.00
0.75
0.50
0.25
,iJ::'O
-0.25
-0.50 -0.75
-1.00
O
CAPÍTULO3EXPERIMENTOSCONUNSOLOFACTOR: ELANÁLISISDEVARIANZA
••
• •
I
••
110
• •
•
••
•
• •
•
•
ti
•
Figura3-9Gráficadelosresidualesdelosdatostransfor­
madoscontrayijparalosdatosdeladescargapicodelejem­
plo3-5.
yequelatransformacióndelaraízcuadrada hasidoútil.Observeque enlatabla3-10sehanreducidolos
gradosdelibertaddelerror
en1paratomarenconsideraciónelusodelosdatos paraestimarelparáme­
trodelatransformación
a.
Enlapráctica, muchosexperimentadoresseleccionan laformadelatransformaciónprobandovarias
alternativasyobservandoelefectodecadatransformación
enlagráficadelosresidualescontra lares­
puestapredicha.Entoncesseseleccionalatransformaciónqueprodujolagráficaresidualmássatisfactoria.
3~4.4 Gráficasdelosresidualescontraotrasvariables
Sisehánrecolectadodatos decualesquieraotrasvariablesqueposiblementepudieranafectarlarespues­
ta,losresidualesdeberángraficarsecontraestasvariables.
Porejemplo,enelexperimentodelaresisten­
ciaalatensióndelejemplo
3-1,laresistenciapuedeserafectadade manera
significativaporelespesorde
lafibra,
porloquelosresidualesdeberángraficarsecontra elespesordelafibra. Siseusarondiferentes
máquinasde
pruebapararecolectarlosdatos,losresidualesdeberángraficarsecontralasmáquinas.Los
patrones
entalesgráficasresidualesimplicanquelavariableafecta larespuesta.Estosugierequelavaria­
bledeberíacontrolarseconmayoratención
enexperimentosfuturosoquedeberíaincluirse enelanálisis.
3~5INTERPRETACIÓN PRÁCTICADELOSRESULTADOS
Despuésderealizarelexperimento,llevaracaboelanálisisestadísticoeinvestigarlossupuestosfunda­
mentales,elexperimentadorestálisto
parasacarconclusionesprácticasacercadelproblemabajoestu­
dio.Muchasvecesesto
esrelativamentefácil,yciertamente enlosexperimentossencillosque s.ehan
consideradohastaestepunto,estopodríahacersede manerauntantoinformal,talvezmediantelains­
peccióndelasrepresentacionesgráficas,comolosdiagramasdecajayeldiagramadedispersióndelasfi­
guras
3-1y3-2.Sinembargo, enalgunoscasos esnecesarioaplicartécnicasmásformales. Enestasección
sepresentaránalgunasdeellas.

101. 3-5INTERPRETACIÓN PRÁCTICADELOSRESULTADOS 87
3~5.1 Unmodeloderegresión
Losfactoresqueintervienen
enunexperimentopuedensercuantitativosocualitativos. Unfactorcuan­
titativoesaquelcuyosniveles
puedenasociarseconpuntos enunaescalanumérica,comolatemperatura,
lapresiónoeltiempo.Losfactorescualitativos,
porotraparte,sonaquelloscuyosnivelesno puedenor­
denarse
pormagnitud.Losoperadores,loslotesdemateriaprimayloscambiosde tumosonfactores
cualitativostípicos,yaquenoexisteningunarazón
paraordenarlosbajoalgúncriterionuméricoparticular.
Enloqueserefierealdiseñoinicialyalanálisisdelexperimento,ambostiposdefactoressetratande
maneraidéntica.
Elexperimentadorestáinteresado endeterminarlasdiferencias,encasodehaberlas,
entrelosnivelesdelosfactores.
Sielfactorescualitativo,comolosoperadores,notienesentidoconside­
rarlarespuestade unacorridasubsecuente enunnivelintermediodelfactor.Sinembargo,con unfactor
cuantitativocomoeltiempo,elexperimentadortieneinterés
porlogeneralenelrangocompletodelos
valoresusados,particularmentelarespuestade
unacorridasubsecuentecon unnivelintermediodelfac­
tor.Esdecir,siseusanlosniveles1.0,2.0Y3.0
enelexperimento,talvezquierapredecirlarespuestade
2.5horas.Porlotanto,elexperimentadortieneconfrecuenciainterés endesarrollarunaecuacióndein­
terpolación
paralavariablederespuestadelexperimento. Estaecuaciónes unmodeloempíricodelpro­
cesoquese
haestudiado.
Alenfoquegeneral
paraajustarmodelosempíricosselellamaanálisisderegresión,elcualseanaliza
endetalleenelcapítulo
10.Véase tambiénelmaterialsuplementariodeltextoparaestecapítulo. Enesta
secciónseilustrabrevementelatécnicautilizandolosdatosdelaresistenciaalatensióndelejemplo
3-1.
Enlafigura3-10sepresentaeldiagramadedispersióndelaresistenciaalatensión ycontraelpeso
porcentualdelalgodón
xenlatelaparael
~xperimento delejemplo3-1.Loscírculoshuecosdelagráfica
sonlasresistenciasdetensiónpromedio
paracadavalorxdelpesoporcentualdelalgodón.Apartirdel
examendeldiagramadedispersión,
esevidenteque larelaciónentrelaresistenciaalatensiónyelpeso
25 •
•
~
20
",-X
'"¿
'o
.¡¡;15
c:
:!l
.!!!
ro
ro
~
'0
c:
10
:!l
~.!!!
11I
al
a:: .. •
5 •
Figura3-10Diagramadedispersiónparalosdatos
delaresistenciaalatensióndelejemplo3-1.

102. 88 CAPÍTULO3EXPERIMENTOSCONUNSOLOFACTOR: ELANÁLISISDEVARIANZA
porcentualdelalgodónnoeslineal.Como unaprimeraaproximación,podríaintentarseajustar unmode­
locuadráticoparalosdatos,
porejemplo
donde/3o,/31y/32sonparámetrosdesconocidosquedeberánestimarsey[;esuntérminodelerroraleatorio.
Elmétodoqueseusaconmayorfrecuencia paraestimarlosparámetros enunmodelocomoésteeselmé­
tododemínimoscuadrados.Ésteconsisteenelegirestimacionesdelas/3talesqueminimicenlasumade
cuadradosdeloserrores(las[;).Elajustedemínimoscuadrados enelejemploqueseconsideraaquíes
y=-39.9886+4.596x-0.0886x
2
(Siellectornoestáfamiliarizadoconlosmétodosderegresión,veael'capítulo 10yelmaterialsuplemen­
tariodeltexto
paraestecapítulo.)
Enlafigura3-10semuestraestemodelocuadrático.Noparecemuysatisfactorio,yaquesubestima
demaneradrásticalasrespuestas
parax=30%dealgodónysobrestimalasrespuestas parax=25%.
Quizápuedalograrseunmejoramientoagregando untérminocúbico enx.Elajusteconelmodelocúbico
resultanteesy=62.6114-9.0114x+0.4814x
2
-
0.0076x
3
Esteajustecúbicoseilustratambiénenlafigura 3-10.Elmodelocúbicoparecemejorqueelcuadrático
porqueproporciona
unajustemejor parax=25Yx=30%dealgodón.
Engeneral,seríapreferiblehacerelajusteconelpolinomiodeordenmenorquedescribaadecuada­
menteelsistemaoproceso.
Enesteejemplo,elpolinomiocúbicoparece unmejorajustequeelcuadráti­
co,
porloquelacomplejidadadicionaldelmodelocúbicosejustifica.Sinembargo,seleccionarelorden
delpolinomiodeaproximaciónnosiempreesfácil,yesrelativamentesencilloexcederse
enelajuste,es
decir,agregarpolinomiosdeordensuperiorquenomejoran enrealidadelajusteperoqueincrementan
lacomplejidaddelmodeloyconfrecuenciademeritansuutilidadcomopredictoroecuacióndeinterpo­
lación.
Enesteejemplo,.elmodeloempíricopodríausarse parapredecirlaresistenciaalatensiónmedia
paralosvaloresdelpesoporcentualdelalgodóndentrodelaregióndeexperimentación. Enotroscasos,
elmodeloempíricopodríausarseparalaoptimizacióndelproceso,esdecir,
paraencontrarlosnivelesde
lasvariablesdeldiseñoquedancomoresultadolosmejoresvaloresdelarespuesta.Másadelanteseana­
lizaráneilustrarán
endetalleestosproblemas.
3~5.2 Comparacionesentrelasmediasdelostratamientos
Supongaquealhacerelanálisisdevarianzaenelmodeloconefectosfijosserechazalahipótesisnula.Por
lotanto,haydiferenciasentrelasmediasdelostratamientos,
peronoseespecificaexactamente cuáles
mediasdifieren. Enocasionespuedenserdeutilidad enestasituaciónlascomparacionesylos
anáUsis
adicionalesentregruposdelasmediasdelostratamientos. Lamediadeltratamientoi-ésimosedefine
comofl.¡=fl.+ti'yfl.¡seestimacony¡..Lascomparacionesentrelasmediasdelostratamientossehacenya
sea
entérminosdelostotalesdelostratamientos
{y¡'}obiendelospromediosdelostratamientos{jIJ.Es
comúnllamaralosprocedimientos
parahacerestascomparacionesmétodosdecomparacionesmúlti­
ples.
Envariasdelasseccionessiguientesseanalizanlosmétodos parahacercomparacionesentrelasme­
diasdelostratamientosindividualesodegruposdeestasmedias.

103. 3-5INTERPRETACIÓN PRÁCTICADELOSRESULTADOS 89
3..5.3Comparacionesgráficasdemedias
Esmuysencillodesarrollar unprocedimientográfico paralacomparacióndelasmediasdespuésde un
análisisdevarianza.Supongaqueelfactordeinteréstiene anivelesyqueY1.'Y2.,...,Ya.sonlospromedios
delostratamientos.Siseconoce
a,elpromediodecualquiertratamientotendría unadesviaciónestándaraNli.Porconsiguiente,sitodaslasmediasdelosnivelesdelfactorsonidénticas,lasmediasmuestrales
observadasY¡.secomportaríancomo unconjuntodeobservacionestomadasalazarde unadistribución
normalconmediaY..ydesviaciónestándara/..[ii.Visualiceunadistribuciónnormalconlacapacidaddeser
deslizadasobre
unejeabajodelcualestángraficadasY1.'Y2.,...
,Ya..Sitodaslasmediasdelostratamientos
soniguales,deberáhaberunaposicióndeestadistribuciónquehagaevidentequelosvaloresy¡.sesacaron
delamismadistribución.
Sinoesésteelcaso,losvalores
Y¡.quenoparecenhabersesacadodeestadistri­
buciónseasocianconlosnivelesdelfactorqueproducenrespuestasmediasdiferentes.
Laúnicafalla enestalógicaesque aesdesconocida.Sinembargo, puedesustituirseacon.JMSEdel
análisisdevarianzayusar
unadistribucióntcQnunfactordeescalación.J MSE/nenlugardeladistribu­
ción·normal.
Enlafigura3-11semuestraestearreglo paralosdatosdelaresistenciaalatensióndelejem­
plo
3-1.
Paratrazarladistribución tdelafigura3-11,simplementesemultiplicaelvalordelaabscisa tporel
factordeescalación
.JMS
E
/n=.J8.06/5=1.27
ysegraficacontralaordenadade
tenesepunto. Dadalagransimilitudentreladistribución tylanormal,
exceptoporquelaprimera
esunpocomásplanacercadelcentro ytienecolasmáslargas, porlogeneral
estetrazoseconstruyefácilmenteaojo.Siquiereobtenersemayorprecisión,
enBox,HunteryHunter
[18]seincluyeunatabladelosvaloresdelasabscisas tylasordenadascorrespondientes. Ladistribución
puede
tenerunorigenarbitrario,auncuando porlogeneralesmejorunoqueesté enlaregióndelosvalo­
res
Y¡.quevanacompararse. Enlafigura3-11,elorigenes 15lb/pulg
2
•
Visualiceahoraeldesplazamientodeladistribución tdelafigura3-11sobreelejehorizontalyexami­
nelascincomediasgraficadas
enlafigura.Observequenohayningunaposicióndeladistribucióntalque
loscincopromediospuedanconsiderarsecomoobservacionestípicasseleccionadas
alazardeladistribu­
ción.Estoimplicaquelascincomediasnosoniguales;
porlotanto,lafiguraes unarepresentacióngráfica
delosresultadosdelanálisisdevarianza.
Lafiguraindicaque30%dealgodónproduceresistenciasala
tensiónmuchomásaltasque
20o25porcientodealgodón(lascualessonaproximadamenteiguales),y
que
15o35porcientodealgodón(lascualessonaproximadamenteiguales)produciríanresistenciasala
tensión
aúnmásbajas.
5 10 15
25
•
20
30
•
25
Resistenciaa latensiónpromedio
(lb/pulg
2
)
Figura3-11Promediodelaresistenciaalatensióndelexperimentodelpeso
porcentualdelalgodónenrelacióncon
unadistribucióntconunfactordees­
calación
.JMS
E
/
n=.JS.D6/5=127.

104. 90 CAPÍTULO3EXPERIMENTOSCONUNSOLOFACTOR: ELANÁLISISDEVARIANZA
Esteprocedimientosimple esunatécnicaaproximadaperoeficazenmuchosproblemasdecompara­
cionesmúltiples.Sinembargo,existenmétodosmásformales.Acontinuaciónsepresentaunabreverevi­
sióndealgunosdeestosprocedimientos.
3..5.4Contrastes
Muchosmétodosdecomparacionesmúltiplesutilizan elconceptodecontraste.Considereelproblema
delapruebadelafibrasintéticadelejemplo
3-1.Puestoqueserechazólahipótesisnula,sesabequealgu­
nospesosporcentualesdelalgodónproducenresistenciasalatensióndiferentesqueotros,pero,¿cuáles
sonlosquecausanenrealidadestadiferencia?Alprincipiodelexperimentopodríasospecharsequelos
niveles4
y5delpesoporcentualdelalgodón(30 y35porciento)producen lamismaresistenciaalaten­
sión,locualimplicaríaquelahipótesis
porprobarsería
Ho:
fl4=fls
H
l:fl4;éfls
o,demaneraequivalente,
Ho:¡l4-fls=O
H
l:fl4-fls;é0
(3-23)
Sidesdeelprincipiodelexperimentosehubierasospechadoqueel promediodelosnivelesmásbajosdel
pesoporcentualdelalgodón
(1y2)nodiferíadel promediodelosnivelesmásaltosdelpesoporcentual
delalgodón(4Y5),entonceslahipótesishabríasido -
Ho:fll+flz=fl4+fls
Hl:fll+flz;éfl4+fls
o
Ho:fll+flz-fl4-fls=O
Hl:fll+flz-fl4-fls=O
Engeneral,un contrasteesunacombinaciónlinealdeparámetrosdelaforma
(3-24)
dondelas constantesdeloscontrastes c
l
, Cz,oo.,casumancero;esdecir,
L~=lc¡=O.Lasdoshipótesisante­
riorespuedenexpresarseentérminosdecontrastes:
H
o:!c¡fl¡=O
¡=1
H
l:!C¡fl¡;éO
i=1
(3-25)

105. 3-5INTERPRETACIÓN PRÁCTICADELOSRESULTADOS 91
Laspruebasdehipótesisqueincluyencontrastespuedenhacersededosmanerasbásicas. Enelpri­
mermétodoseutilizalaprueba
t.Elcontrastedeinterésseescribeentérminosdelos totalesdelostrata­
mientos,
obteniéndose c=!
• i=l
LavarianzadeCes
a
V(C)=n0
22:c;
¡=1
(3-26)
cuandolostamañosdelasmuestrasdecadatratamientosoniguales.
Silahipótesisnuladelaecuación
3-25esverdadera,elcociente
i=1
tieneladistribuciónN(O,1).Entonces sesustituiríalavarianzadesconocida
a2consuestimación,elerror
cuadráticomedio
MSE'yseutilizaríaelestadístico
(3-27)
paraprobarlashipótesisdelaecuación3-25.
Lahipótesisnulaserechazaría siItoIdelaecuación3-27 ex­
cedetal2,N-a'
Enelsegundoenfoqueseutilizalaprueba F.Entonces,elcuadradodeunavariablealeatoria tconv
gradosdelibertades unavariablealeatoriaFconungradodelibertadenelnumeradory vgradosdeli­
bertadeneldenominador.Porlotanto,puedeobtenerse
(!C
iy¡.)2
F.=t2=1=1 (3-28)
o o a
nMS
E2:C;
i=1
comounestadísticoFparaprobarlaecuación3-25. Lahipótesisnulaserechazaría siFo>F
a
,1,N-a'Estees­
tadísticodepruebadelaecuación
3-28puedeescribirsecomo
MScSSc
/1
Fo=MS=MS
E E
dondelasumadecuadradosdeloscontrastesconunsologradodelibertad es(!C¡Yi.)2
SS= ...:..:....1=~1__-'---
Cn!C¡2
i=1
(3-29)

106. 92 CAPÍTULO3EXPERIMENTOSCONUNSOLOFACTOR: ELANÁLISISDEVARIANZA
Intervalodeconfianzapara uncontraste
Enlugardeprobarhipótesisacercadeuncontraste,puedesermásútilconstruir unintervalodeconfian­
za.Entonceselcontrastesueleexpresarse
entérminosdelospromediosdelostratamientos
Yi.Suponga
queelcontrastedeinteréses
r=}:
i=1
Alsustituirlasmediasdelostratamientosconlospromediosdelostratamientosseobtiene
y
2a
V(C)=~Lc;
ni=1
cuandolostamañosdelasmuestrassoniguales. SiseusaMS
EparaestimarcJ2,elintervalodeconfianzade
100(1-a)porcientoparaelcontraste"L~=1cdti es
(3-30)
Evidentemente,
siesteintervalodeconfianzaincluyealcero,nopodríarechazarselahipótesisnulaen fa
ecuación3-25. -
Contrasteestandarizado
Cuandohayinterésenmásdeuncontraste,confrecuenciaesútilevaluarlosenlamismaescala.
Una
for­
madehacerestoesestandarizandoelcontraste paraquesuvarianzasea a
2
•
Sielcontraste
"L~=1Cif.1i se
expresaentérminosdelostotalesdelostratamientoscomo"L~=1CiYi.,aldividirlopor~n"L~=1c;seobtendrá
uncontrasteestandarizadoconvarianzacJ2.Entonceselcontrasteestandarizadoesenrealidad
donde
Tamaños
delasmuestrasdesiguales
Cuandolostamañosdelasmuestrasdecadatratamientosondiferentes,seintroducenmodificaciones
menoresenlosresultadosanteriores.Primero,observequeladefiniciónde
uncontrasterequiereahora
que
a
~n.c.=0
L.J ~.l
i=1

107. 3-5INTERPRETACIÓN PRÁCTICADELOSRESULTADOS 93
Otroscambiosrequeridossondirectos.Porejem'plo,elestadísticotdelaecuación3-27quedacomo
ylasumadecuadradosdeloscontrastesdelaecuación3-29quedacomo
3~5.5 Contrastesortogonales
Uncasoespecialútildelprocedimientodelasección 3-5.4eseldelos contrastesortogonales. Doscon­
trastesconcoeficientes{cJy{dJsonortogonalessi
!c¡d¡=O
¡=1
o,paraundiseñonobalanceado, si
!n¡c¡d¡=0
¡=1
Paraatratamientos,elconjuntode a-1contrastesortogonaleshacelaparticióndelasumadecuadrados
debidaalostratamientosen
a
-1componentesindependientescon unsologradodelibertad.Porlotan­
to,laspruebasqueserealizanenloscontrastesortogonalessonindependientes.
Existenvariasmanerasdeelegirloscoeficientesdeloscontrastesortogonalespara
unconjuntode
tratamientos.
Engeneral,algúnelementoenlanaturalezadelexperimentodeberásugerirlascompara­
cionesquesondeinterés.Porejemplo,
sihaya=3tratamientos,dondeeltratamiento1esdecontrol y
dondelosnivelesdelfactorenlostratamientos2y 3sondeinterés paraelexperimentador,loscontrastes
ortogonalesapropiadospodríanserlossiguientes:
Tratamiento
Coeficientesdelos
contrastesortogonales
1(control)
2(nivel1)
3(nivel2)
-2
1
1
o
-1
1
Observequeelcontraste1con c¡=-2,1,1comparaelefectopromediodelfactorconelcontrol,mientras
queelcontraste2con
di=O,-1,1comparalosdosnivelesdelfactordeinterés.
Engeneral,elmétododecontrastes(odecontrastesortogonales)esútilparaloquesellama compa­
racionespreplaneadas.
Esdecir,loscontrastesseespecificanantesdellevaracabo elexperimentoyde
examinarlosdatos.
Larazóndeestoesque, silascomparacionesseseleccionandespuésdeexaminarlos
I!i!
·
'··1'·..1.
1,
¡
:i
~ii
li:
li

108. 94 CAPÍTULO3EXPERIMENTOSCONUNSOLOFACTOR: ELANÁLISISDEVARIANZA
datos,lamayoríadelosexperimentadoresconstruiríanpruebasquecorresponderíanconlasdiferencias
grandesobservadasenlasmedias.Estasdiferenciasgrandespodríanserelresultadodelapresenciade
efectosrealesopodríanserelresultadodelerroraleatorio.Silosexperimentadores
seinclinanconsisten­
tementeaescogerlasdiferenciasmásgrandes
parahacerlascomparaciones,inflaránelerrortipo1dela
pruebaporqueesprobableque,
enunporcentajeinusualmenteelevadodelascomparacionesselecciona­
das,lasdiferenciasobservadasseránelresultadodelerror.Alexamendelosdatos
paraseleccionarlas
comparacionesdeinteréspotencialselellamaconfrecuenciacurioseoosondeodedatos.
Elmétodode
Scheffé
paratodaslascomparaciones,elcualsecomenta enlasecciónsiguiente,permiteelcurioseoo
sondeodedatos.
EJEMPLO3
..6 ..
Considerelosdatosdelejemplo 3-1.Haycincomediasdelostratamientosycuatrogradosdelibertaden­
treestostratamientos.Supongaqueantesdecorrerelexperimentoseespecificó lasiguienteseriede
comparacionesentrelasmediasdelostratamientos
(ysuscontrastesasociados):
Hipótesis
HO:f.l4=f.l5
Ho:f.ll+f.l3=f.l4+f.l5
Ho:f.ll=f.l3
Ho
:4f.l2
=f.ll+f.l3+f.l4+f.l5
Contraste
C¡= -Y4+Y5.
C2=Y!. +Y3.-Y4.-Y5.
C3=YI. -Y3.
C4=-Y!.+4Y2.-Y3.-Y4.-Y5.
Observequeloscoeficientesdeloscontrastessonortogonales.Utilizandolosdatosdelatabla 3-4,seen­
cuentraquelosvaloresnuméricosdeloscontrastesydelassumasdecuadnidossonlossiguientes:
C
4
=-1(49)+4(77)-1(88)-1(108)-1(54)= 9
-1(108)+1(54)= -54
[phone](54)= -25
c=
1
C
2=+1(49)
C
3=+1(49) -1(88) =-39
ss=(-54)2=291.60
C
l5(2)
SS=(-25)231.25
C
2
5(4)
SS=(-39)2= 152.10
c,5(2)
(
9)2
SS=--=0.81
c,5(20)
Tabla
3-11Análisisdevarianzadelosdatosdelaresistenciaalatensión
Fuentede
variación
Pesoporcentualdelalgodón
contrastesortogonales
C¡:f.l4=f.l5
C2:f.l1+f.l3=f.l4+f.l5
C3:f.l1=f.l3
C4:4f.l2=f.ll+f.l3+f.l4+f.l5
Error
Total
Sumade Gradosde Cuadrado
cuadrados libertad medio
Fo ValorP
475.76 4 118.94 14.76 <0.001
(291.60) 1 291.60 36.18 <0.001
(31.25) 1 31.25 3.88 0.06
(152.10) 1 152.10 18.87 <0.001
(0.81) 1 0.81 0.10 0.76
161.20 20 8.06
636.96 24

109. 3-5INTERPRETACIÓN PRÁCTICADELOSRESULTADOS 95
Estassumasdecuadradosdeloscontrasteshacen laparticióncompletade lasumadecuadradosdelos
tratamientos.Laspruebasdeestoscontrastesortogonalesse
incorporanporlogeneralenelanálisisde
varianza,comosemuestra
enlatabla3-11. PorlosvaloresPseconcluyequehaydiferenciassignificativas
entrelosniveles4 y 5 Y1 Y3delpesoporcentualdelalgodón,
peroqueelpromediodelosniveles1 y 3no
difieredel
promediodelosniveles4 y 5conelnivel a=0.05,Y queelnivel2 nodifieredelpromediodelos
otroscuatroniveles.
• • • • • • • • • • • • • • • • •
(1••••••1Il .
3~5.6 MétododeSchefféparacomparartodosloscontrastes
Enmuchassituaciones,losexperimentadores puedennoconocerde antemanocuálessonloscontrastes
quequierencomparar,o
puedentenerinterésenmásde a-1posiblescomparaciones. Enmuchosexperi­
mentosdeexploración,lascomparacionesdeinteréssólosedescubrendespuésdelexamenpreliminarde
losdatos.Scheffé[98a]
hapropuestounmétodoparacomparartodosy cadaunodeloscontrastesposi­
bles
entrelasmediasdelostratamientos. EnelmétododeScheffé,el errortipo1esalosumo aparacual­
quieradelascomparacionesposibles.
Suponga
quesehadeterminadounconjuntode mcontrastes
u=l,2,...,m (3-31)
enlasmediasdelostratamientosdeinterés. Elcontrastecorrespondientedelospromediosdelostrata­
mientos
Yi.es
u=l,2,...,mCu=c1uJ\+C2"Y2.+o"+cauYa.
yelerrorestándar deestecontrastees
SCu=MsEI(c~Ini)
i=1
(3-32)
(3-33)
donde
nieselnúmerodeobservacioneseneltratamientoi-ésimo. Puededemostrarsequeelvalorcrítico
contraelque
deberácompararseC"es
Sa,u=SCu.J(a-1)Fa,a-1.N-a (3-34)
Paraprobarlahipótesisdequeelcontraste r"difierede manerasignificativadecero,se comparaC"con
elvalorcrítico.Si
IC"I>
Sa,",serechazalahipótesis dequeelcontraster"esigualacero.
ElprocedimientodeScheffé puedeusarsetambién paraformarintervalosdeconfianza paratodos
loscontrastesposibles
entrelasmediasdelostratamientos.Losintervalosresultantes, porejemploC
u
­
Sa.u::5r"::5Cu+Sa,u,sonintervalosdeconfianzasimultáneos porcuantolaprobabilidadde quetodos
ellos
seanverdaderossimultáneamenteesalmenos1
-a.
Parailustrarelprocedimiento,considerelosdatosdelejemplo3-1 ysupongaqueloscontrastesdein­
terésson
y
r2=¡,t1-¡,t4
Losvaloresnuméricosdeestoscontrastesson
C--+--)i--
1 -Yih_4.Ys.
=9.80+17.60-21.60-10.80
=5.00

110. 96 CAPÍTULO3EXPERIMENTOSCONUNSOLOFACTOR: ELANÁLISISDEVARIANZA
y
Cz=Yr-Y4.
=9.80-21.60
=-11.80
yloserroresestándarseencuentrancon laecuación3-33como
5
Sc!=MSEL (c~/ni)=~8.06(1+1+1+1)/5=2.54
¡=l
y
5
SC,=MSEL(C;Z/ni)=~8.06(1+1)/5=1.80
i=l
Porlaecuación3-34,losvalorescríticosde 1%son
SO.Ol,l=Sc¡~(a-1)Fo.Ol,a-l,N-a =2.54~4(4.43)=10.69
y
SO,Ol,Z=Sc,~(a-1)FO.Ol,a-l,N-a=1.80~4(4.43)=7.58
Puesto
queICll<SO.Ol,l'seconcluyequeelcontraste r
l=
fll+fl3-fl4-fl5esigualacero;esdecir,no
existeevidenciasólida
paraconcluirquelasmediasdelostratamientos1 y 3comogrupodifierendelas
mediasdelostratamientos4 y 5comogrupo.Sinembargo,como
ICzl>SO.Ol,Z'seconcluyequeelcontras­
terz=
fll-fl4noesigualacero;esdecir,lasresistenciasmediasdelostratamientos1y 4difierensignifi­
cativamente.
Enmuchassituaciones prácticas,querráncompararsesólo paresdemedias.Frecuentemente,espo­
sibledeterminarcuálessonlasmedias
quedifierenprobandolasdiferenciasentretodoslosparesdeme­
diasdelostratamientos.
Por10tanto,elinterésse encuentraenloscontrastesde laformar=
fli-fljpara
todai:¡éj.AuncuandoelmétododeScheffépodríaaplicarsefácilmenteaesteproblema, noeselprocedi­
mientomássensible
paratalescomparaciones.Se pasaahoraalaconsideracióndelosmétodosdiseñados
específicamente
paralascomparacionesporparesentretodaslas amediaspoblacionales.
3~5.7Comparacióndeparesdemediasdetratamientos
Supongaqueelinterésseencuentra encomparartodoslosparesde amediasdetratamientosyquelas hi­
pótesisnulasquequierenprobarsesonHo:fl¡=fljparatodai:¡éj.Acontinuaciónse presentancuatromé­
todos
parahacerestascomparaciones.
PruebadeTukey
Supongaque,despuésde
unanálisisdevarianza enelquese harechazadolahipótesisnuladelaigualdad
delasmediasdelostratamientos,quierenprobarsetodaslascomparacionesdelasmedias
porpares:
Ho:fli=flj
Hl:ft¡:¡éflj
paratodai:¡éj.Tukey[ll1d]propusounprocedimientoparaprobarhipótesisparalasqueelniveldesig­
nificaciónglobalesexactamente
acuandolostamañosdelasmuestras sonigualesyesa 10sumoacuando

111. 3-5INTERPRETACIÓN PRÁCTICADELOSRESULTADOS 97
lostamañosdelasmuestrasnosoniguales.Esteprocedimientopuedeusarsetambiénparacontraerlos
intervalosdeconfianzaparalasdiferenciasentodoslosparesdemedias.
Paraestosintervalos,elnivelde
confianzasimultáneoesde
100(1- a)porcientocuandolostamañosdelasmuestrassonigualesyde al
menos100(1-a)porcientocuandolostamañosdelasmuestrasnosoniguales.Setratadeunprocedi­
mientoexcelente
paracuriosearsobrelosdatoscuandoelinteréssecentraenparesdemedias.
ElprocedimientodeTukeyhaceusodeladistribucióndelestadísticodelrangostudentizado
Ymáx-Ymio
q=----'~~M.====S:::::E=/ n=-
dondeYmáxYYrnínsonlasmediasmuestralesmayorymenor,respectivamente,sacadasdeungrupode pme­
diasmuestrales.
LatablaVIIIdelapéndicecontienelosvaloresde
qaCp,j),lospuntosporcentuales asu­
perioresde
q,dondefeselnúmerodegradosdelibertadasociadoscon MS
E
•Paratamañosdelas
muestrasiguales,lapruebadeTukeydeclaraquedosmediassonsignificativamentediferentes
sielvalor
absolutodesusdiferenciasmuestralesexcede
(3-35)
Demaneraequivalente,podríaconstruirseunaseriedeintervalosdeconfianzade 100(1-a)porciento
paratodoslosparesdemediasdelasiguientemanera:
i
;éj. (3-36)
Cuandolostamañosdelasmuestrasnosoniguales,lasecuaciones
3-35y3-36quedancomo
y
(3-37)
respectivamente.Alaversiónparatamañosdelasmuestrasdiferentesselellamaenocasioneselprocedi­
mientoTukey-Kramer.
EJEMPLO3
..7 ' .
ParailustrarlapruebadeTukey,seusanlosdatosdelexperimentodelpesoporcentualdelalgodóndel
ejemplo
3-1.Cona=0.05yf=20gradosdelibertadparaelerror,enlatablaVIIIdelapéndiceseobtie­
ne
tio.os(S,20)=4.23.Porlotanto,por laecuación3-35,
~MSE ~8.06
To.os=qo.os(5,20)--n-=4.23-5-=5.37

112. 98 CAPÍTULO3EXPERIMENTOSCONUNSOLOFACTOR: ELANÁLISISDEVARIANZA
5',.
9.8
Ys.
10.8
Figura3-12ResultadosdelapruebadeTukey.
Porlotanto,cualquierpardepromediosdelostratamientosquedifieranenvalorabsolutopormásde
5.37implicaríaqueelparcorrespondientedemediaspoblacionalessonsignificativamentediferentes.
Loscincopromediosdelostratamientosson
Y
i=9.8Yz.=15.4 Y3.=17.6 Y4.=21.6 Ys.=10.8.
ylasdiferenciasenlospromediosson
Yi-Yz.=9.8-15.4= - 5.6*
Yi-Y3.=9.8-17.6= -7.8*
Yi-Y4.=9.8-21.6= -11.8*
Yi-Ys.=9.8-10.8=-1.0
Yz.-h=15.4-17.6=-2.2
Yz.-Y4.=15.4-21.6= -6.2*
Yz.-Ys.=15.4-10.8=4.6
Y3.-Y4.=17.6-21.6=-4.0
Y3.-Ys.=17.6-10.8=6.8*
Y4.-Ys.=21.6-10.8=10.8*
Losvaloresmarcadosconasteriscoindicanpare¡;demediasquesonsignificativamentediferentes.Suele
serútiltrazarunagráfica,comoladelafigura
3-12,dondesesubrayaalosparesdemediasquenodifie­
rensignificativamente.Estagráficada unaindicacióndequelasmediasdelostratamientosformantres
grupos:
fi1yfis,fizYfi3'Yfi4'Sinembargo,lapertenenciaaestosgruposnoesdeltodoclara.
Cuandoseutilizacualquieradelosprocedimientos
paraprobarlasmediasporpares,ocasionalmen­
teseencuentraquela
pruebaFglobaldelanálisisdevarianzaessignificativa,perolacomparacióndelas
mediasporparesfallapararevelarcualquierdiferenciasignificativa.Estasituaciónocurreporquela
prueba
Fconsiderasimultáneamentetodosloscontrastesposiblesenlosqueintervienenlasmediasde
lostratamientos,nosólolascomparaciones
porpares.Esdecir,enlosdatosalamano,quizáno todoslos
contrastessignificativosseandelaforma
fii-fij'
Algunospaquetesdesoftwaredecomputadorapresentancomparaciones porparesconintervalosde
confianza.ParaelprocedimientodeTukey,estosintervalossecalcularíanconlaecuación
3-36ola3-38,
dependiendode silostamañosdelasmuestrassonigualesono.
LadeduccióndelintervalodeconfianzadeTukeydelaecuación
3-36paratamañosdelasmuestras
igualesesdirecta.Paraelestadísticodelrangostudentizadoqsetiene
p(
má:x(Yi.-
fii)-min(Yi.-fii)< (f))=1-
J -qaa, a
MSE/n

113. (3-39)
3-5INTERPRETACIÓN PRÁCTICADELOSRESULTADOS 99
Simáx(Y¡.-f1.¡)-mín(Y¡.-f1.¡)esmenoroigualqueqaCa,f).JMSE/11,debeserverdaderoque I(Y¡.-f1.¡)-(yj.­
f1.j)I:::;qa(a,f).JMSE/11paracadapardemedias.Porlotanto,
(~
SE__ ~SE)
P-q(a,f)--:::;y.-y.-(f1..-f1.. ):::;q(a,f)--=1-a
. a 11 l. J. 1 J a 11
Alreordenarestaexpresiónparaaislarf1.¡-f1.jentrelasdesigualdadessellegaráalconjuntodeintervalos
deconfianzasimultáneosde
100(1
-a)porcientodadoenlaecuación3-38.
Elmétododeladiferenciasignificativamínima (LSD)deFisher
EnesteprocedimientoseutilizaelestadísticoF paraprobarHo:f1.¡=f1.j
Y¡.-Yj.
to=¡:::==;======¡=
MSE(~+~)
11¡ 11
j
Suponiendounahipótesisalternativadedoscolas,los paresdemediasf.t¡yf1.jsedeclararíansignificativa­
mentediferentes
si
I)I¡.-)lj.1>t
a
/ZN-a~MSE(1/11¡+1/11j).Alacantidad
LSD
=ta/Z,N-a
MSE(~+~) (3-40)
11¡11
j
selellama diferenciasignificativamínima. Sieldiseñoesbalanceado, 11
1=11z=...=11
a=11,Y
~2MSE
LSD=t
a
/ZN-a-- (3-41)
, 11
ParausarelprocedimientoLSDdeFisher,simplementese comparaladiferenciaobservada entre
cadapardepromediosconlaLSDcorrespondiente.SiI)I¡.-)lj.1>LSD,seconcluyequelasmediaspobla­
cionalesf1.¡yf1.jdifieren.
EJEMPLO 3~8 .
Parailustrarelprocedimiento, siseusanlosdatosdelexperimentodelejemplo 3-1,laLSDcon a=0.05es
~2MSE ~2(8.06)
LSD=t.
025,zo-11-=2.0865 = 3.75
Porlotanto,cualquier pardepromediosdelostratamientos quedifieradelvalorabsoluto pormásde
3.75implicaríaqueelparcorrespondientedemedias poblacionalesessignificativamentediferente.Las
diferencias
enlospromedios sonYl-Yz.=9.8-15.4= -5.6*
Yl-J\=9.8-17.6= -7.8*
Yl-Y4.=9.8-21.6=-11.8*
Yl-)15.=9.8-10.8=-1.0
Yz.-)13.=15.4-17.6= -2.2
)lz.-)14.=15.4-21.6= -6.2*
)lz.-)15.=15.4-10.8=4.6*
)13.-)14.=17.6-21.6= -4.0*
)13.-)15.=17.6-10.8=6.8*
)14.-)15.=21.6-10.8=10.8*
,1
~¡
li
!i

114. 100 CAPÍTULO3EXPERIMENTOSCONUNSOLOFACTOR: ELANÁLISISDEVARIANZA
Y,.
9.8
Ys.
10.8
Figura3-13Resultadosdelprocedimiento LSD.
Losvaloresmarcadosconasteriscoindicanparesdemediasquesonsignificativamentediferentes.
Enlafigura3-13seresumenlosresultados.Evidentemente,losúnicosparesdemediasquenodifieren
significativamenteson1y5 Y2 Y3,Yeltratamiento4produce unaresistenciaalatensiónsignificativa­
mentemayorquelosotrostratamientos.
Observequeelriesgoglobal
apuedeinflarsede maneraconsiderablealutilizarestemétodo.Especí­
ficamente,cuando
asehacemás grande,elerrortipoIdelexperimento(elcocientedelnúmerodeexpe­
rimentos
enlosquesecometealmenos unerrortipoI yelnúmerototaldeexperimentos)sehacegrande.
Pruebadelrangomúltiplede Duncan
Unprocedimientomuyutilizado paracomparartodoslosparesdemediasesla pruebadelrangomúltiple
desarrolladaporDuncan[41].Paraaplicarla pruebadelrangomúltipledeDuncancuandolostamaños
delasmuestrassoniguales,los
apromediosdelostratamientossearreglanenordenascendente,yel
errorestándardecadapromediosedeterminacomo
~MSE
S-=--
Yi. n
(3-42)
Paratamañosdelasmuestrasdesiguales,sesustituye nenlaecuación3-42conlamediaarmónica n¡,del
{ni}'donde
a
n
h
=-a----
L(l/ni)
i=l
(3-43)
Observeque
sinI=nz=oo.=na,nh=n.Enlatablade Duncandelosrangossignificativos(tabla VII
delapéndice)seobtienenlosvalores ra(p,j)parap=2,3,oo.,a,dondeaeselniveldesignificaciónyfesel
númerodegradosdelibertaddelerror.Estosrangosseconvierten
enunconjuntode a-1rangosmíni­
mosdesignificación(porejemplo,R
p
)parap=2,3,...,acalculando
parap=2,3,oo.,a (3-44)
Entonces,sepruebanlasdiferenciasobservadasentrelasmedias,empezandoconlamásgrandecontrala
menor,lacualsecompararíaconelrango mínimodesignificaciónR
a
•Despuéssecalculaladiferenciade
lamayorylasegundamenorysecomparaconelrangomínimodesignificación
R
a
-1'Estascomparacio­
nessecontinúanhastaquetodaslasmediasse
hancomparadoconlamediamayor.Porúltimo,secalcula
ladiferenciaentrelasegundamediamayorylamenorysecomparaconelrango mínimodesignificación
R
a
-1'Esteprocesosecontinúahastaquese hanconsideradolasdiferenciasentretodoslos a(a-1)/2pa­
resdemediasposibles.Si
unadiferenciaobservadaesmayorqueelrangodesignificaciónmínimacorres­
pondiente,seconcluyequeel
pardemediasencuestiónessignificativamentediferente. Paraevitar

115. 3-5INTERPRETACIÓN PRÁCTICADELOSRESULTADOS 101
contradicciones,ningunadelasdiferenciasentre unpardemediasseconsiderasignificativasilasdosme­
diasencuestiónselocalizanentreotrasdosmediasquenodifierensignificativamente.
EJEMPLO
3~9 0•••••••••••••••••••••••••••••••••••••0••••••••••••••••
LapruebadelrangomúltipledeDuncanpuedeaplicarsealexperimentodelejemplo3-1.Recuerdeque
MS
E=8.06,N=25,12=5,Yhay20gradosdelibertaddelerror.Alarreglarlospromediosdelostrata­
mientos
enordenascendente,setiene
Yl=9.8
Ys.=10.8
Yz.=15.4
Y3.=17.6
h=21.6
Elerrorestándardecada promedioes8Yi.=v'8.TI075=1.27.Enelconjuntoderangossignificativosdela
tabla
VIIdelapéndicepara20gradosdelibertady a=0.05,seobtiene 'o.os(2,20)=2.95,'o.os(3,20)=
3.10,'o.os(4,20)=3.18Y 'o.os(5,20)=3.25.Porlotanto,losrangosdesignificaciónmínimason
Rz='o.os(2,20)Syi.=(2.95)(1.27)=3.75
R
3='o.os(3,20)S
Yi.=(3.10)(1.27)=3.94
R
4='0.05(4,20)8Yi.=(3.18)(1.27)=4.04
Rs='0.05(5,20)SYi.=(3.25)(1.27)=4.13
Losresultadosdelascomparacionesserían
4
vs.1:21.6
-9.8=11.8>4.13(Rs)
4vs.5:21.6-10.8=10.8>4.04(R
4
)
4vs.2:21.6-15.4=6.2>3.94(R
3
)
4vs.3:21.6-17.6=4.0>3.75(R z)
3vs.1:17.6-9.8=7.8>4.04(R
4
)
3vs.5:17.6-10.8=6.8>3.95(R
3
)
3vs.2:17.6-15.4=2.2<3.75(Rz)
2vs.1:15.4-9.8=5.6>3.94(R
3
)
2vs.5:15.4-10.8=4.6>3.75(R z)
5VS.1:10.8-9.8=1.0<3.75(R z)
Porelanálisisseobservaquehaydiferenciassignificativas entretodoslosparesdemediasconexcepción
dela3yla2yla5 yla 1.Enlafigura3-14semuestra unagráficaenlaqueesasmediasquenosonsignifica­
tivamentediferentesaparecensubrayadas.Observeque
enesteejemplola pruebadelrangomúltiplede
DuncanyelmétodoLSDllevanaconclusionesidénticas.
.........................................................................
Y,.
9.8
Ys.
10.8
Ya.
17.6
Figura3-14ResultadosdelapruebaderangomúltipledeDuncan.

116. ~
!
102 CAPÍTULO3EXPERIMENTOS CONUNSOLOFACTOR: ELANÁLISISDEVARIANZA
Enlapruebadelrango múltipledeDuncanserequiere unadiferenciaobservadamásgrande parade­
tectarparessignificativamentediferentesdemedias,cuandoelnúmerodemediasincluidas
enelgrupo
aumenta.
Deestaforma,enelejemploanterior R
2=3.75(dosmedias)mientras queR
3=3.94(tresme­
dias).Paradosmedias,elvalorcrítico
R
2seráexactamenteigualalvalorLSDdelaprueba t.Losvalores
ra(p,f)delatabla VIIdelapéndiceseeligendetal modoqueseobtengaunniveldeprotecciónespecifi­
cado.Esdecir,cuandosecomparandosmediasqueestán
ppasosaparte,el niveldeprotecciónes
(1-a
y-\dondeaeselniveldesignificaciónespecificado paradosmediasadyacentes.Porlotanto,elín­
dicede
errordereportaralmenos unadiferenciasignificativaincorrectaentredosmediases 1-
(1-aY-1,
cuandoeltamañodelgrupoes p.Porejemplo,sia=0.05,entonces1-(1-0.05)1=0.05eselniveldesig­
nificaciónparacompararel
pardemediasadyacentes,1
-(1-0.05?=0.10eselniveldesignificación
paramediasqueestán unpasoaparte,yasísucesivamente.
Engeneral,sielniveldeprotecciónes a,laspruebasdelasmediastienen unniveldesignificación
queesmayoroigualque
a.Porconsiguiente,elprocedimientodeDuncantiene unagranpotencia;esde­
cir,esmuyeficazparadetectardiferenciasentremediascuandoexistendiferenciasreales.Porestarazón,
lapruebadelrango múltipledeDuncanesmuypopular.
LapruebadeN
ewman-Keuls
EstapruebafuecreadaporNewman[90].Debidoaque uninterésrenovado enlapruebadeNewmanfue
generádo
porKeuls[64],alprocedimientoselellamala pruebadeNewman-Keuls.Operacionalmente,el
procedimientoessimilaralapruebadelrangomúltipledeDuncan,salvoporquelasdiferenciascríticas
entrelasmediassecalculan
enunaformauntantodiferente.Específicamente,secalcula unaseriedeva­
lorescríticos
K
p=qa(P,f)SYi.P=2,3,...,a (3-45)
dondeqa(P,f)eselpuntoporcentual asuperiordelrangostudentizado paragruposdemediasdetamaño
pycon!gradosdelibertaddelerror. Unavezquesecalculanlosvalores K
p
conlaecuación3-45,lospares
demediasextremosenlosgruposdetamaño
psecomparanconK
pexactamenteigualqueenla pruebadel
rangomúltiple
deDuncan.
¿Quémétododecomparaciónporparesdebeusarse?
Ciertamente,unapreguntalógicaenestepunto esquémétododecomparación porparesdebeusarse.
Desafortunadamente,nohay
unarespuestaprecisa paraestapregunta,ylosespecialistas enestadística
estánconfrecuencia
endesacuerdoencuantoalautilidaddelosdiferentesprocedimientos.Carmery
Swanson
[24]hanrealizadoestudiosdesimulaciónMontecarloconvariosprocedimientosdecompara­
cionesmúltiples,incluyendoalgunosquenosehanconsideradoaquí.Estosautoresreportanqueelmé­
tododeladiferenciasignificativamínimaes
unapruebamuyeficaz paradetectardiferenciasreales enlas
mediassiseaplica
sólodespués dequelaprueba Fenelanálisisdevarianzaseasignificativaen5 %.Re­
portanasimismounbuendesempeño enladeteccióndediferenciasrealesconlapruebadelrangomúlti­
pledeDuncan.Estonoesmotivodesorpresa,yaqueestosdosmétodossonlosmáspoderosos
delosque
se
hancomentadoaquí.Sinembargo,estosmétodosnoincluyenelíndicede errorenelmododelexperi­
mento.DebidoaqueelmétododeTukeyefectúa
uncontrolsobreelíndicedeerrorglobal,muchosexpe­
rimentadores prefierensuuso.
LapruebadeNewman-Keulsesmásconservadoraquela pruebadelrangomúltipledeDuncan por
cuantoaqueelíndicede errortipo1esmenor.Específicamente,el errortipo1delexperimentoes apara
todaslaspruebasqueincluyenelmismonúmerodemedias.Porconsiguiente,debidoaque aesporloge­
neralbajo,lapotenciadela
pruebadeNewman-Keulscasisiemprees menorqueladela pruebadelran­
gomúltipledeDuncan.ParademostrarqueelprocedimientodeNewman-Keulsllevaa
unapruebacon
menorpotenciaquela
pruebadelrangomúltipledeDuncan,seobserva porunacomparacióndelasta-

117. 3-5INTERPRETACIÓN PRÁCTICADELOSRESULTADOS 103
bIasVIIYVIII delapéndiceque parap>2setieneqa(P,f)>ra(P'[).Esdecir,es"másdifícil"declarárque
unpardemediasessignificativamentediferentealutilizar lapruebadeNewman-Ketilsquecuandose
usaelprocedimientodeDuncan.
Estoseilustraacontinuación paraelcasoenquea=0.01,a= 8Yf=20:
p 2 3 4 5 6 7 8
4.02
4.02
4.22,
4.64
4.33
5.02
4.40 5.29
4.47
5.51
4.53 5.69
4.58
5.84
Comoseseñalóantes,existenotrosprocedimientos decomparacionesmúltiples.Algunosartículos
quedescribenestosmétodossonlos
deMiller[78],O'Neill yWetherill[91]YNelson[89].Tambiénsere­
comienda
ellibrodeMiller [77].
3~5.8 Comparacióndemediasdetratamientosconuncontrol
(3-46)
'-)-'\
2¡l(C
LahipótesisnulaHo:p¡=Ilaserechazautilizando uníndiceadeerrortipoIsi
j..:i'
1/() ¡ ,...,J,-F~'
IY·-Ya.I>da(~-l,f) MS
E~+l... e'd'\¡l~"
l. n¡na IV'
14-1
parai=1,2,.oo,a-1.Elprocedimientode Dunnettesunamodificaciónde lapruebatcomún.Paracada
hipótesissecalculanlasdiferenciasobservadas enlasmediasmuestrales
/1,-r
i=1,2,oo.,a-1
Enmuchosexperimentos, unodelostratamientoses uncontrol,yelanalistase interesaencomparar
cadaunadelasmedias delosa-1tratamientosrestantes conelcontrol.Porlotanto,sóloesnecesarioha­
cer
a-lcomparaciones.Unprocedimientoparahacerestascomparaciones hasidodesarrolladopor
Dunnett[42].Supongaqueel tratamientoaeselcontroly quequierenprobarselashipótesis
Ho:p¡=Pa¡;
H1:p¡:;z!:Pa ~
dondelaconstante daCa-1,!)sedaenlatablaIXdelapéndice.(Puedenhacersepruebas tantodeuna
comodedoscolas.)Observeque aeselniveldesignificaciónconjuntoasociado conlasa-1pruebas.
EJEMPLO3~lO........................................•...................
ParailustrarlapruebadeDunnett,considereelexperimentodelejemplo3-1,asumiendoque eltrata­
miento5eselcontrol.
Enesteejemplo,a=5,a-1=4,[=20Y ni=
n=5.Conelnivelde5%, enlatabla
IXdelapéndicese encuentraquedo.os(4,20)=2.65. Porlotanto,ladiferenciacríticaes
~2MS E ~2(8.06)
do.os(4,20)--n-=2.655 =4.76
(Observequese
tratadeunasimplificación
delaecuación3-46queresulta deundiseñobalanceado.) Por
lotanto,cualquier mediadelostratamientosquedifieradelcontrol pormásde4.76sedeclararíasignifi­
cativamentediferente.Lasdiferenciasobservadasson
1vs.5:
YI.-Ys.=
2vs.5:Y2.-Ys.=
3vs.5:Y3.-Ys.=
4vs.5:Y4.-Ys.=
9.8- 10.8=-1.0
15.4- 10.8=4.6
17.6-
10.8=6.8
21.6-
10.8=10.8

118. 104 CAPÍTULO3EXPERIMENTOSCONUNSOLOFACTOR: ELANÁLISISDEVARIANZA
Sólolasdiferencias)13.-)15.Y)l4.-)15.indicanalgunadiferenciasignificativacuandosecomparanconelcon­
trol;
porlotanto,seconcluyeque
/13~/15Y/14~/15'
Cuandosehacelacomparacióndelostratamientoscon uncontrol,unabuenaideaesusarmásobser­
vaciones
paraeltratamientodecontrol(porejemplo, na)queparalosdemástratamientos
(porejemplo,
n),suponiendounnúmeroigualdeobservaciones paralosa-1tratamientosrestantes.Elcociente naln
deberáelegirsedetalmodoqueseaaproximadamenteigualalaraízcuadradadelnúmerototaldetrata­
mientos.Esdecir,seelige
naln=
,¡¡¡
· ~ .
3~6MUESTRADESALIDADÉCOMPUTADORA
Hayunagrancantidaddeprogramasdecomputadora paraapoyareldiseñoexperimentalylarealización
deanálisisdevarianza.
Enlafigura3-15semuestralasalidade unodeestosprogramas, Design-Expert,
utilizandolosdatosdelexperimentoconunsolofactordelejemplo 3-1.Lasumadecuadradoscorrespondien­
teal"Modelo"("Model")
eslaSSnatamientosusualdeundiseñocon unsolofactor.Esafuenteseidentificaadi­
cionalmentecomo
''A''.Cuandohaymásde unfactorenelexperimento,lasumadecuadrados("Sumof
Squares")delmodelosedescompondrá
envariasfuentes (A,B,etc.).Observequeelresumendelanálisis
devarianzadelapartesuperiordelasalidadecomputadoracontienelassumasdecuadrados,losgradosde
libertad("DF",degreesoffreedom),loscuadradosmedios("MeanSquare")yelestadísticode
pruebaFo
("FValue")acostumbrados. Lacolumna"Prob >F"eselvalorP(dehecho,ellímitesuperiordelvalor p,
yaquealasprobabilidadesmenoresque0.0001selesasignaelvalor poromisión0.0001).
Ademásdelanálisisdevarianzabásico,elprograma
presentainformaciónadicionalútil. Lacantidad
"Rcuadrada"("R-Squared")sedefinecomo
R2=SSModelo475.76=0.746923
SSTotaI636.96
yseinterpreta
entérminosgeneralescomolaproporción delavariabilidadenlosdatos"explicada" porel
modelodelanálisisdevarianza.Por
10tanto,enlosdatosparaprobarlaresistenciadelafibrasintética,el
factor"pesoporcentualdelalgodón"explicacercade74.69%delavariabilidad
enlaresistenciaalaten­
sión.Evidentemente,debetenerse
O
:5R
2
:51,siendomásdeseableslosvaloresmásgrandes. Enlasalida
sepresentantambiénotrosestadísticos
enR
2
•
R
2
"ajustada"(''AdjR-Squared")es unavariantedelesta­
dístico
R
2
comúnquereflejaelnúmerodefactorespresentes enelmodelo.Puedeser unestadísticoútil
enexperimentosmáscomplejosenlosqueintervienenvariosfactores eneldiseño,cuandoquiereeva­
luarseelimpactodeaumentarodisminuirelnúmero
detérminosdelmodelo."Desviaciónestándar"
("Std.Dev.")eslaraízcuadradadelcuadradomedio delerror,
v'8.060=2.839,y"C.V:"eselcoeficiente
devariación,definidocomo
(..JMSEIy)100.Elcoeficientedevariaciónmidelavariabilidadnoexplicada
oresidualdelosdatoscomo
unporcentajedelamedia("Mean") delavariablederespuesta."PRESS"
sonlassiglasde
PredictionEITorSum01Squares(sumadecuadradosdelerrordepredicción)yes uname­
didadelaadecuaciónconqueesposiblequeelmodelodelexperimentopredecirálasrespuestas
enun
nuevoexperimento.SondeseablesvalorespequeñosdePRESS.Alternativamente,puedecalcularse una
R
2
paraprediccionesconbaseenPRESS(másadelanteseindicarácómohaceresto). Esta
R;red("Pred
R-Squared")
paraelproblematratadoaquíes0.6046,elcualnoesirrazonable,considerandoqueelmo­
deloexplicacercade75%delavariabilidaddelexperimento
encurso.Elestadístico"Predicciónadecua­
da"(''AdeqPrecision")secalculadividiendoladiferenciaentre
larespuestapredichamáximayla
respuestapredichamínima
porladesviaciónestándarpromediodetodaslasrespuestaspredichas.Son
deseablesvaloresgrandesdeestacantidad,ylosvaloresqueexcedencuatroindican
porlogeneralqueel
modelo
tendráundesempeñorazonableenlapredicción.

119. PO'
Utiliceelmouseparaposicionarse enunacelday sudefinición.
"Precisiónadecuada"mide
larelaciónde laseñalaruido. Esdeseableunarelación mayorque4.
Larelaciónde 9.294indicaunaseñaladecuadaparausarestemodeloparanavegar elespacio
deldiseño.
La"Rcuadradapredicha"de 0.6046concuerdarazonablementecon la"Rcuadradaajustada"de
0.6963.Unadiferenciamayorque0.20entrela"Rcuadradapredicha"y la"Rcuadradaajustada"
indicaunposibleproblemacon
elmodeloy/olosdatos.
Response:Strengthinpsi
ANOVAforSelectedFactorialModel
Analysisofvariancetable[Partialsumofsquares]
significativo
0.7469
0.6963
0.6046
9.294R-Squared
AdjR-Squared
PredR-Squared
AdeqPrecision
2.84
15.04
18.88
251.88Std.Dev.
Mean
C.V.
PRESS
TreatmentMeans(Adjusted, IfNecessary)
Estimated Standard
Mean Error
9.80 1.27
15.40 1.27
17.60 1.27
21.60 1.27
10.80 1.27
Sumof Mean F
Source Squares DF Square Value Prob>F
Model 475.76 4 118.94 14.76 <0.0001
A 475.76 4 118.94 14.76 <0.0001
Residual 161.20 20 8.06
LackofFit 0.000 O
PureError 161.20 20 8.06
CorTotal 636.96 24
1-15
2-20
3-25
4-30
5-35
ElvalorFdelModelode 14.76implicaque elmodeloessignificativo.Sólohayunaprobabilidadde
0.01%dequeun'ValorFdelModelo"deestamagnitudpudieraocurrirdebidoaruido.
Losvaloresde"Prob >F"menoresque 0.0500indicanquelostérminosdelmodelo sonsignificativos.
Enestecaso Asontérminossignificativosdelmodelo.
Losvaloresmayoresque 0.1000indicanquelostérminosdelmodelo nosonsignificativos.
Sihaymuchostérminosdelmodelonosignificativos(sincontarlosquesenecesitanparaapoyar
lajerarquización),lareduccióndelmodelopuedemejorarlo.
Losvaloresde"Prob >Itl"menoresque 0.0500indicanque ladiferenciaenlasmediasdelos
dostratamientos
essignificativa.
Losvaloresde"Prob >I
ti"mayoresque 0.1000indicanque ladiferenciaenlasmediasdelos
dostratamientos
noessignificativa.
Figura
3·15SalidadecomputadoradeDesign-Expel1paraelejemplo 3-1.
Treatment
1vs2
1vs3
1vs4
1
vs5
2vs3
2vs4
2vs5
3vs4
3vs5
4vs5
Mean
Difference
-5.60
-7.80
-11.80
-1.00
-2.20
-6.20
4.60
-4.00
6.80
10.80
DF
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Standard
Error
1.80
1.80
1.80
1.80
1.80
1.80
1.80
1.80
1.80
1.80
tforH o
Coeff=O
-3.12
-4.34
-6.57
-0.56
-1.23
-3.45
2.56
-2.23
3.79
6.01
Prob>Itl
0.0054
0.0003
<0.0001
0.5838
0.2347
0.0025
Ome6
0.0375
0.0012
<0.0001

120. 106.CAPÍTULO3EXPERIMENTOSCONUNSOLOFACTOR: ELANÁLISISDEVARIANZA
DiagnosticCaseStatistics
StandardActualPredicted Student.Cook's
Order Value Value ResidualLeverageResidualDistanceOutliert
1 7.00 9.80 -2.80 0.200-1.1030.061-1.109
2 7.00 9.80 -2.80 0.200-1.1030.061-1.109
3 15.00 9.80 5.20 0.200 2.0480.210 2.245
4 11.00 9.80 1.20 0.200 0.4730.011 0.463
5 9.00 9.80
-0.80 0.200-0.3150.005-0.308
6 12.0015.40 -3.40 0.200-1.3390.090-1.368
7 17.0015.40 1.60 0.200 0.630 0.020 0.620
8 12.00 15.40
-3.40 0.200-1.3390.090-1.368
9 18.0015.40 2.60 0.200 1.0240.052 1.025
10 18.00 15.40 2.60 0.200 1.0240.052 1.025
11 14.00 17.60 -3.60 0.200-1.4180.100-1.457
12 18.0017.60 0.40 0.200 0.158 0.001 0.154
13 18.0017.60 0.40 0.200 0.1580.001 0.154
14 19.0017.60 1.40 0.200
0.5510.015 0.542
15 19.00 17.60 1.40 0.200 0.5510.015 0.542
16 19.0021.60 -2.60 0.200-1.0240.052-1.025
17 25.0021.60 3.40 0.200 1.3390.090 1.368
18 22.00 21.60 0.40 0.200 0.1580.001 0.154
19 19.0021.60 -2.60 0.200-1.0240.052-1.025
20 23.00 21.60 1.40 0.200 0.5510.015 0.542
21 7.0010.80 -3.80 0.200-1.4960.112-1.548
22 10.00 10.80 -0.80 0.200-0.3150.005-0.308
23 11.00 10.80 0.20 0.200 0.0790.000 0.077
24 15.00 10.80 4.20 0.200 1.6540.137 1.735
25 11.00 10.80 0.20 0.200 0.0790.000 0.077
Procederconlasgráficasdediagnóstico (eliconosiguiente enprogresión).Asegurarsedeexaminar:
1)
Lagráficadeprobabilidadnormaldelosresidualesstudentizadosparaverificar lanormalidad
delosresiduales.
2)Losresidualesstudentizadoscontralosvalorespredichosparaverificar
laconstantedelerror.
3)Lospuntosatípicostcontra
elordendelascorridasparabuscarpuntosatípicos,
esdecir,valoresinfluyentesoimportantes
4)
LagráficadeBox-Coxparalastransformacionesdepotencia.
Sitodoslosestadísticosdelmodeloylasgráficasdediagnósticoestáncorrectos,finalizarcon elicono
ModelGraphs(GráficasdelModelo).
Figura3-15 (Continuación.)
Sehacelaestimacióndelasmedias("Estimated Mean")delostratamientosyse muestraelerrores­
tándar("StandardError")(odesviaciónestándarmuestralde lamediadecadatratamiento,
.JMSE/n).
Lasdiferenciasentreparesdemedias ("MeanDifference")delostratamientosseinvestiganutilizandoel
métodoLSDdeFisherdescrito enlasección3-5.7.
Elprogramadecomputadoratambiéncalculaydespliegalosresiduales,segúnsedefinen enlaecua­
ción3-16.
Elprogramaproducirátambiéntodaslasgráficasdelosresiduales quesecomentaronenlasec­
ción3-4.
Enlasalidase muestranasimismovariosdiagnósticosresidualesmás.Algunosdeellosse
revisaránmásadelante.
Porúltimo,observequeel programadecomputadoraincluyetambiénalgunasguías parahacerlain­
terpretación.
Estainformación"aconsejable"esmuy comúnenmuchospaquetesdeestadísticapara
computadoraspersonales. Alleerestasguías,recuerde queestánescritasentérminosmuygenerales,y
quizá
noseajustenexactamentealosrequerimientos deredaccióndel reportedeunexperimentadorpar­
ticular.Estasalidaaconsejable puedesereliminadaporelusuario.

121. (3-47)
3-7DETERMINACIÓN DEL TAMAÑODELAMUESTRA 107
3~7DETERMINACIÓN DELTAMAÑODÉLAMUESTRA
Encualquierproblema dediseñoexperimental, unadecisióncríticaeslaeleccióndeltamañodelamues­
tra;
esdecir,determinarelnúmeroderéplicasquedebencorrerse. Engeneral,sielexperimentadortiene
interés
endetectarefectospequeños,senecesitanmásréplicasquecuandoelexperimentadorseinteresa
endetectarefectosgrandes.
Enestasecciónseanalizanvariosenfoques paradeterminareltamañodela
muestra.
Auncuandolarevisiónsecentra enundiseñocon unsolofactor,lamayoríadelosmétodospue­
denusarse
ensituacionesexperimentalesmáscomplejas.
3~7.1 Curvasdeoperacióncaracterística
Recuerdeque unacurvadeoperacióncaracterísticaes unagráficadelaprobabilidaddelerrortipo IIde
unapruebaestadística
parauntamañodelamuestraparticularcontra unparámetroquereflejalamedi­
daenquelahipótesisnula
esfalsa.Elexperimentador puedeusarestascurvascomoguía enlaselección
delnúmero
deréplicasparaqueeldiseñoseasensibleadiferenciaspotencialesimportantesenlostrata­
mientos.
Seconsideralaprobabilidaddelerrortipo
IIdelmodeloconefectosfijos paraelcasoenqueseusael
mismotamañodelasmuestrasencadatratamiento,
porejemplo
f3=1-p{RechazarH
oIH
o
esfalsa}
=1-p{Fo>F
a
,a-l,N-alHoesfalsa}
Paraevaluarelenunciadodeprobabilidaddelaecuación3-47,esnecesarioconocercuálesladistribu­
cióndelestadísticode
pruebaFo silahipótesisnulaesfalsa. Puededemostrarseque, siHoesfalsa,elesta­
dístico
Fo=MSTralamienloJMSEsedistribuyecomo unavariablealeatoria Fnocentralcon a-1 YN-a
gradosdelibertadyparámetrodenocentralidad
15.Si15=O,ladistribuciónFnocentralseconvierte enla
distribución
F(central)común.
Lascurvasdeoperacióncaracterísticaquesepresentan
enlaparteVdelapéndiceseusan paraeva­
luarelenunciadodeprobabilidaddelaecuación3-47.
Enestascurvassegraficalaprobabilidaddelerror
tipo
II(/3)contraunparámetro
<1>,donde
n!T¡
<1>2=----,-i=-'C1-::-_
aa
2
(3-48)
Lacantidad<lJ2estárelacionadaconelparámetrodenocentralidad15.Secuentaconcurvas paraa=0.05
Ya=0.01Yunrangodegradosdelibertad paraelnumeradoryeldenominador.
Alusarlascurvasdeoperacióncaracterística,elexperimentadordebeespecificarelparámetro<1>.
Confrecuenciaesdifícilhaceresto enlapráctica.Unamaneradedeterminar<1>eselegirlosvaloresreales
delasmediasdelostratamientos paralosquequerríarechazarselahipótesisnulacon unaaltaprobabili­
dad.Porlotanto,si/-l1'/-l2'.oo,/-lasonlasmediasdelostratamientosespecificadas,laTidelaecuación3-48
seencuentracomoTi=/-li-¡¡,donde¡¡=(l/a)~ :=1=lf-lieselpromediodelasmediasdelostratamientos
individuales.Serequiereasimismo
unaestimaciónde
02.Enocasionessecuentaconestevalor porexpe­
rienciaprevia,
unexperimentoanteriorouna pruebapreliminar(comosesugirióenelcapítulo1),o por
unaestimacióndiscrecional.Cuando nosetienelaseguridadacercadelvalorde
02,lostamañosdelas
muestraspodríandeterminarse
paraunrangodevaloresposibles de
02,afindeestudiarelefectodeeste
Parámetrosobreeltamañodelamuestrarequerido,antesdehacer
laelecciónfinal.

122. 108 CAPÍTULO3EXPERIMENTOS CONUNSOLOFACTOR: ELANÁLISISDEVARIANZA
EJEMPLO3~11 .
Considereelexperimentode laresistenciaa latensióndescrito enelejemplo3-1.Supongaqueelexperi­
mentadorestáinteresadoenrechazarlahipótesisnulaconunaprobabilidaddealmenos0.90silasme­
diasdeloscincotratamientosson
,u1=11,uz=12,u3=15,u4=18y,us=19
Planeautilizara=0.01.Enestecaso,puesto que"Li=1,u¡=75,setieneji=(1/5)75=15Y
'l'1=,u1-;U=11-15=-4
'l'2=,u2-;U=12-15=-3
'l'3=,u3 -;U=15-15=O
'l'4=,u4-;U=18-15=3
'l's=,u5-;U=19-15=4
Porlotanto,"Li=1'l';=50.Supongaque elexperimentadorpiensa queladesviaciónestándarde laresis­
tenciaa
latensiónconcualquiernivelparticulardelpeso porcentualdelalgodónnoserámayorque 0=3
psi.Entonces,alutilizar laecuación3-48,setiene
Se
usalacurvadeoperacióncaracterística paraa
-1=5-1=4conN-a=a(n~1)=5(n-1)gradosde
libertaddel
errorya=0.01(verlaparteVdelapéndice).Como primeraconjeturaparaeltamañodela
muestrarequerido,se pruebaconn=4réplicas.Estoproduce
ep2=1.11(4)=4.44,ep=2.11Y5(3)=15
gradosdelibertaddelerror. Porconsiguiente,enlaparteVseencuentraquefJ=0.30.Porlotanto,lapo­
tenciade
lapruebaesaproximadamente1-
fJ=1-0.30=0.70,queesmenorqueel0.90requerido,por
loqueseconcluyequen=4réplicasnosonsuficientes.Procediendode manerasimilar,puedeconstruir­
se
lasiguientetabla:
n
4
5
6
«I>2
4.44
5.55
6.66
2.11
2.36
2.58
a(n-1)
15
20
25
0.30
0.15
0.04
Potencia(1-
[3)
0.70
0.85
0.96
(3-49)
Porlotanto,debenrealizarsealmenos n=6réplicasparaobtenerunapruebaconlapotenciarequerida.
Elúnicoproblemaconesteenfoque parausarlascurvasdeoperacióncaracterísticaes queporlogeneral
esdifícilseleccionarelconjuntodelasmediasdelostratamientos
enelquesebasaráladecisióndeltama­
ñodelamuestra.Unenfoquealternativoesseleccionar untamañodelamuestratalquesiladiferencia
entrelasmediasdedostratamientoscualesquieraexcede unvalorespecificado,lahipótesis nuladeberá
rechazarse.Si ladiferenciaentrelasmediasdedostratamientoscualesquieraes tangrandecomo D,pue­
dedemostrarsequeelvalormínimode
ep2es
ep2=nD
2
2a0
2

123. 3-7DETERMINACIÓN DELTAMAÑO DELAMUESTRA 109
puestoqueéstees unvalormínimode<1>2,eltamañode lamuestracorrespondientequeseobtienede la
curvadeoperacióncaracterísticaes unvalorconservador;esdecir,proporciona unapotenciaalmenos
tangrandecomo
laqueespecificóelexperimentador.
Parailustraresteenfoque,supongaque eneLexperimentode laresistenciaa latensióndelejemplo
3-1,elexperimentadorquisierarechazar
lahipótesisnulaconunaprobabilidaddealmenos0.90 silasme­
diasdedostratamientoscualesquieradifieren
hastaen10psi.Entonces,suponiendoque o=3psi,seen­
cuentraqueelvalormínimode
<1>2es
<1>2=n(10)2=1.11n
2(5)(3
2
)
y,porelanálisisdelejemplo3-11,seconcluyequesenecesitan n=6réplicasparaobtenerlasensibilidad
deseadacuando
a=0.01.
3,7.2Especificaciónde unincrementodeladesviaciónestándar
Esteenfoqueesútil enocasionesparaelegireltamañode lamuestra.Silasmediasdelostratamientosno
difieren,
ladesviaciónestándarde unaobservaciónelegidaalazares o.Sinembargo,silasmediasdelos
tratamientossondiferentes,
ladesviaciónestándarde unaobservaciónelegidaalazares
SiseescogeunporcentajePparaelincrementode ladesviaciónestándardeunaobservación,másalládel
cualquierarechazarse
lahipótesisdequelasmediasdetodoslostratamientossoniguales,estoesequiva­
lenteaescoger
0
2
+(t7:¡/a)
1=1 =1+O.01P(P=porciento)
o
o
dedonde
!7:¡/a
<1>=--'--'-'i=1=--------::~= ~(1+0.01P)2-1(..Jn)
o/..Jn
(3-50)
Porlotanto,
paraunvalorespecificadode P,
<1>puedecalcularsecon laecuación3-50 ydespuésusarlas
curvasdeoperacióncaracterísticade
laparteVdelapéndice paradeterminareltamañodelamuestrare­
querido.

124. 110 CAPÍTULO3EXPERIMENTOSCON UNSOLOFACTOR: ELANÁLISISDEVARIANZA
Porejemplo,enelexperimentode laresistenciaa latensióndelejemplo3-1,supongaquesedesea
detectarunincrementode ladesviaciónestándarde20%con unaprobabilidaddealmenos0.90 ya=
0.05.Entonces
cI>=~(1.2)2-1(.Jii)=0.66.Jii
Lareferenciaalascurvasdeoperacióncaracterísticaindicaque'senecesita n=9paraobtenerlasensibi­
lidaddeseada.
3~7.3 Métodoparaestimarelintervalodeconfianza
Enesteenfoquesesupone queelexperimentadorquiereexpresarlosresultadosfinales entérminosde
intervalosdeconfianza
yqueestádispuestoaespecificar poranticipadocuáleselanchoquedesea para
estosintervalosdeconfianza.Porejemplo,suponga queenelexperimentode laresistenciaa latensión
delejemplo3-1sequiere
queunintervalodeconfianzade95% paraladiferenciaenlaresistenciaa la
tensiónmediadedospesosporcentualesdelalgodóncualesquierasea ±5psiyunaestimaciónpreviade a
es3.Entonces,alutilizar laecuación3-13,se encuentraquelaprecisióndelintervalodeconfianzaes
±t
~2MSE
a/2,N-an
Supongaquese pruebaconn=5réplicas.Entonces,al usara2=3
2
=9comounaestimaciónde MS
E
,la
precisióndelintervalodeconfianzaes
±2.086~2~) =±3.96
queesmásprecisoqueelrequerimiento.Al probarconn=4seobtiene
±2.132~2~) =±4.52
Al
probarconn=3seobtiene ±2.22~2~) =±5.46
Evidentemente,
n=4esel tamañodelamuestramenorquellevaráa laprecisióndeseada.
Elniveldesignificaciónconsignado enelejemploanteriorseaplicaa unsolointervalodeconfianza.
Sinembargo,
puedeusarseelmismoenfoquegeneralsielexperimentadordeseaespecificardeantemano
unconjuntodeintervalosdeconfianzaacercadelcualsehace unenunciadodeconfianzasimultáneoo
conjunto(verloscomentariosacercadelosintervalosdeconfianzasimultáneosdelasección3-3.3).Ade­
más,losintervalosdeconfianzapodríanconstruirseconrespectoacontrastesmásgenerales
enlasme­
diasdelostratamientos,quelacomparación
porparesilustradaantes.
3~8IDENTIFICACIÓNDEEFECTOSDEDISPERSIÓN
Noshemosenfocadoaquí enelusodelanálisisdevarianza ydeotrosmétodosrelacionados paradetermi­
n.arlosnivelesdelfactorqueresultan
endiferenciasentrelasmediasdelostratamientosolosnivelesdel
factor.Seacostumbrareferirseaestosefectoscomoefectosdelocalización.Cuandoocurrióladesigual-

125. 3-8IDENTIFICACIÓNDEEFECTOSDEDISPERSIÓN 111
Tabla3-12Datosdelexperimento defundición
Algoritmopara Observaciones
controlar
la
1 2 3 4 5 6
proporción
1 4.93(0.05)4.86(0.04)4.75(0.05) 4.95(0.06)4.79(0.03)4.88(0.05)
2 4.85(0.04)4.91(0.02)4.79(0.03) 4.85(0.05)4.75(0.03)4.85(0.02)
3 4.83(0.09)4.88(0.13)4.90(0.11) 4.75(0.15) 4.82(0.08) 4.90(0.12)
4 4.89(0.03) 4.77(0.04) 4.94(0.05) 4.86(0.05)4.79(0.03) 4.76(0.02)
daddelavarianzaconlosdiferentesnivelesdelfactor,seutilizarontransformaciones paraestabilizarla
varianzaymejorarasílasinferenciashechassobrelosefectosdelocalización.Sinembargo,
enalgunos
problemaselinteréssecentra
endescubrirsilosdiferentesnivelesdelfactorafectanla variabilidad;es
decir,elinterésestáendescubrir
efectosdedispersión potenciales.Estoocurrirásiemprequeladesvia­
ciónestándar,lavarianzaocualquierotramedidadelavariabilidadseusecomovariablederespuesta.
Parailustrarestosconceptos,considerelosdatosdelatabla3-12,loscualesseobtuvierondeunexpe­
rimentodiseñadoen
unafundicióndealuminio.Elaluminioseproducecombinandoalúminaconotros
ingredientes
enunaceldadereacciónyaplicandocaloralhacerpasar unacorrienteeléctricaatravésde
lacelda.
Laalúminaseagrega demaneracontinuaalacelda paramantenerlaproporciónapropiadadela
mismaconrespectoalosotrosingredientes.
Enesteexperimentoseinvestigaroncuatroalgoritmos para
controlarlaproporción.Lasvariablesderespuestaestudiadasserelacionaronconelvoltajedelacelda.
Específicamente,
unsensor registraelvoltajedelaceldavariasvecescadasegundo,produciendomiles de
medicionesdelvoltajedurantecadacorridadelexperimento.Losingenierosdelprocesodecidieronusar
comovariablesderespuestaelvoltajepromedioyladesviaciónestándardelvoltajedelacelda(indicado
entreparéntesis)enlacorridaexperimental.Elvoltajepromedioesimportanteporqueafectalatempe­
raturadelacelda,yladesviaciónestándardelvoltaje(llamada"ruidodelcrisol"
porlosingenierosdel
proceso)esimportanteporqueafectalaeficienciaglobaldelacelda.
Sellevóacabo
unanálisisdevarianza paradeterminarsilosdiferentesalgoritmos paracontrolarla
proporciónafectanelvoltajepromediodelacelda.Ésterevelóqueelalgoritmo
paracontrolarlapropor­
ciónnotuvoningún
efectodelocalización; esdecir,alcambiarlosalgoritmos paracontrolarlapropor­
ciónnohuboningúncambio
enelvoltajepromediodelacelda.(Referirsealproblema3-28.).
Parainvestigarlosefectosdedispersión,lomejorsueleserutilizar
log(s)o
log(s2)
comovariablederespuesta,yaquelatransformaciónlogarítmicaeseficaz paraestabilizarlavariabilidad
enladistribucióndeladesviaciónestándarmuestral.Puestoquetodaslasdesviacionesestándardelvol­
tajedelcrisolsonmenoresquelaunidad,seusará
y=-ln(s)
comolavariablederespuesta. Enlatabla3-13sepresentaelanálisisdevarianza paraestarespuesta,el
logaritmonaturaldel"ruidodelcrisol".Observequelaelecciónde
unalgoritmoparacontrolarlapro­
porciónafectaelruidodelcrisol;esdecir,elalgoritmo
paracontrolarlaproporcióntiene unefectodedis-
Tabla
3-13Análisisdevarianzadellogaritmonaturaldelruidodelcrisol
Fuentedevariación
Sumade Gradosde
cuadrados libertad
Cuadrado medio ValorP
Algoritmoparacontrolarlaproporción
Error
Thtal
6.166
1.872
8.038 3
20
23
2.055
0.094
21.96 <0.001

126. 112 CAPÍTULO3EXPERIMENTOSCON UNSOLOFACTOR: ELANÁLISISDEVARIANZA
2.00
3
•
I~
3.00
4 2
••
4.00
Ruidodelcrisollogarítmícopromedio[-1n(5)]
Figura3-16Ruidodelcrisollogarítmicopromedio [-ln(s)]de
cuatroalgoritmosparacontrolarlaproporciónenrelacióncon
una
distribucióntescaladaconfactordeescalamiento
~MSE/II=
,",,0.094/6=0.125.
persión.Laspruebas estándaresdelaadecuacióndelmodelo,incluyendolasgráficasdeprobabilidad
normaldelosresiduales,indicanquenohayproblemasconlavalidezdelexperimento.(Referirsealpro­
blema3-29.)
Enlafigura3-16segraficaellogaritmopromediodelruidodelcrisoldecadaalgoritmoparacontrolar
laproporciónysepresentatambiénunadistribución
tescaladaqueseusacomo distribucióndereferencia
paradiscriminarentrelosalgoritmosdelaproporción.Estagráficarevelacontodaclaridadqueelalgorit­
mo3paracontrolarlaproporciónproducemásruidodelcrisolo
unadesviaciónestándardelvoltajedela
celdamayorquelosotrosalgoritmos.Noparecehabergrandiferenciaentrelosalgoritmos
1,2 Y4.
3..9ELENFOQUEDEREGRESIÓN PARAELANÁLISISDEVARIANZA
Sehaofrecidoundesarrollointuitivooheurísticodelanálisisdevarianza.Sinembargo,esposiblepre­
sentar
undesarrollomásformal.Elmétodoserádeutilidadmásadelante paraentenderlosfundamentos
delanálisisestadísticodediseñosmáscomplejos.Llamadala
pruebageneraldesignificaciónde laregre­
sión,
elprocedimientoconsisteenesenciaenencontrar lareducciónenlasumadecuadradostotalpara
ajustarelmodelocontodoslosparámetrosincluidosy
lareducciónenlasumadecuadradoscuandoel
modeloserestringealahipótesisnula.Ladiferenciaentreestasdossumasdecuadradoseslasumade
cuadradosdelostratamientosconlaquepuederealizarselapruebadelahipótesisnula.Elprocedimien­
torequierelosestimadoresdemínimoscuadradosdelosparámetrosenelmodelodelanálisisdevarian­
za.
Sedieronya(enlasección3-3.3)lasestimacionesdeestosparámetros;sinembargo,ahorasepresenta
undesarrolloformal.
3..9.1Estimacióndemínimoscuadradosdelos parámetrosdelmodelo
Sedesarrollanahoralosestimadoresdelosparámetrosenelmodelocon
unsolofactor
utilizandoelmétododemínimoscuadrados.Paraencontrarlosestimadoresdemínimoscuadradosde
fly
'C¡,primeroseformalasumadecuadradosdeloserrores
(3-51)
;=1j=l ¡=1j=l

127. i=1,2,...,a
3-9ELENFOQUEDEREGRESIÓNPARAELANÁLISISDEVARIANZA 113
yseeligendespuéslosvaloresde¡,tYí¡,porejemploílyf¡,queminimicenL.Losvaloresadecuadosserían
lassolucionesdelas a+1ecuacionessimultáneas-
aLI=0
a¡,t••.
¡.t,T¡
aLI=O
aí¡..
fl.T:¡
Alderivarlaecuación 3-51conrespectoa¡,tyí
iYaligualarconceroseobtiene
-2!!(Yij-íl-f¡)=O
¡=1j=1
y
-2!(Yij-íl-f¡)=O
j=1
i=1,2,...,a
delaque,despuésdesimplificar,seobtiene
Níl+nf
1+nfz+..,+nf
a=Y..
níl+nf
1 =Yi
níl +nrz =Yz. (3-52)
níl +nfa=Ya.
Alasa+1ecuaciones(ecuación3-52)con a+1incógnitasselesllamalasecuacionesnormalesde
mínimoscuadrados.Observeque
sisesumanlaúltimas aecuacionesnormales,seobtienelaprimera
ecuaciónnormal.Porlotanto,lasecuacionesnormalesnosonlinealmenteindependientes,ynoexisteuna
soluciónúnica
para¡,t,í
1
,...,í
a
•Estadificultadpuedesuperarsemediantevariosmétodos.Puestoquelos
efectosdelostratamientossehandefinidocomodesviacionesdelamediaglobal,parecerazonableapli­
carlarestricción
!f¡=O
¡=1
Utilizandoestarestricción,seobtienecomosolucióndelasecuacionesnormales
(3-53)
íl=Y..
f¡=Y¡.-Y..i=1,2,...,a
(3-54)
Evidentemente,estasoluciónnoesúnicaydependedelarestricción(ecuación3-53)quese
haelegi­
do.Alprincipioestopuedeparecerdesafortunadoporquedosexperimentadoresdiferentespodríanana­
lizarlosmismosdatosyobtenerresultadosdiferentes
siaplicanrestriccionesdiferentes.Sinembargo,
ciertasfuncionesdelparámetrodelmodelo
sonestimadasdemaneraúnica,independientementedela
restricción.Algunosejemplosson
í¡-í
J
.,queseestimaríaconr.-f.=y.-y..,ylamediadeltratamien-
1 ) l. J.
toi-ésimo¡,ti=¡,t+í¡,queseestimaríaconíl¡ =íl+f¡ =y¡..
Puestoqueelinterésseencuentrageneralmenteenlasdiferenciasentrelosefectosdelostratamien­
tosynoensusvaloresreales,noproducepreocupaciónalgunaqueí¡nopuedaestimarsedemaneraúni-

128. 114 CAPÍTULO3EXPERIMENTOSCONUNSOLOFACTOR: ELANÁLISISDEVARIANZA
ca.Engeneral,cualquierfuncióndelosparámetrosdelmodeloquesea unacombinaciónlinealdel
miembrodelladoizquierdodelasecuacionesnormales(ecuaciones3-52)puedeestimarsedemanera
única.Alasfuncionesqueseestimandemaneraúnicaindependientementedelarestricciónqueseusese
lesllamafuncionesestimables.Paramásinformación,verelmaterialsuplementariodeltextodeesteca­
pítulo.Nosencontramoslistosparausarestasestimacionesdelosparámetrosen
undesarrollogenerál
delanálisisdevarianza.3~9.2 Pruebageneraldesignificacióndelaregresión
Unapartefundamentaldeesteprocedimientoesescribirlasecuacionesnormalesdelmodelo.Estas
ecuacionessiemprepodránobtenerseformandolafuncióndemínimoscuadradosyderivándolaconres­
pectoacadaparámetrodesconocido,comosehizoenlasección3-9.1.Sinembargo,secuentacon
unmé­
todomássencillo.Lasreglassiguientespermitenescribirdirectamentelasecuacionesnormalesdel
modelode
cualquierdiseñoexperimental:
REGLA1.Hayunaecuaciónnormalparacadaparámetrodelmodeloquevaaestimarse.
REGLA2.Elmiembroderechodecualquierecuaciónnormalessólolasumadetodaslasobserva­
cionesquecontienenelparámetroasociadoconesaecuaciónnormalparticular.
Parailustrarestaregla,considereelmodelocon
unsolofactor.Laprimeraecuaciónnormal
corresponde
alparámetro
fl;porlotanto,elmiembroderechoes y..,yaquetodaslasobservacio­
nesincluyenafl.
REGLA3.Elmiembroizquierdodecualquierecuaciónnormaleslasumadetodoslosparámetros
delmodelo,dondecadaparámetroestámultiplicado
porelnúmerodevecesqueapareceenel
totaldelmiembroderecho.Losparámetrosseescribenconunacentocircunflejo
(A)paraindicar
queson
estimadoresynolosverdaderosvaloresdelosparámetros.
Porejemplo,considerelaprimeraecuaciónnormal
enunexperimentoconunsolofactor. Deacuer­
doconlasreglasanteriores,éstasería
Nfi,+ni1+ni2+...+nia=Y..
porqueflapareceenlas Nobservaciones,r1sóloapareceenlas nobservacioneshechasbajoelprimertra­
tamiento,r
2aparecesóloenlas nobservacionestomadasbajoelsegundotratamiento,etc.Porlaecua­
ción3-52severificaquelaecuaciónpresentadaarribaescorrecta.
Lasegundaecuaciónnormal
corresponderíaa
r1yes
nfi,+ni
1=YL
porquesólolasobservacionesdelprimertratamientocontienenar1(estodaYLcomomiembroderecho),
flYr1aparecenexactamente nvecesenYL,ytodaslasdemásr
iaparecenceroveces. Engeneral,elmiem­
broizquierdodecualquierecuaciónnormal
eselvaloresperadodelmiembroderecho.
Ahorabien,considereencontrarlareducciónen
lasumadecuadradosajustandounmodeloparticu­
laralosdatos.Alajustar
unmodeloalosdatosse"explica"partedelavariabilidad;esdecir,lavariabili­
dadnoexplicadasereduceenciertacantidad.
Lareducciónenlavariabilidadnoexplicadaessiemprela
sumadelasestimacionesdelosparámetros,cada
unadeellasmultiplicada porelsegundomiembrodela

129. 3-9ELENFOQUEDEREGRESIÓNPARA ELANÁLISISDEVARIANZA 115
ecuaciónnormalquecorrespondealparámetroespecífico. Porejemplo,en unexperimentocon unsolo
factor,lareduccióndebida
alajustedelmodelocompleto Yij=
fl+7:¡+cijes
a
=í1y+"f.y.r"...L.,1l.
1=1
(3-55)
LanotaciónR(¡1"7:)significalareducciónenlasumadecuadradosapartirdelajustedelmodeloquecon­
tieneaflY{7:¡}.AR(¡1"7:)selellamaenocasioneslasumadecuadrados"deregresión"delmodelocom­
pleto
Y¡j=
fl+7:¡+cij.Elnúmerodegradosdelibertadasociadocon unareducciónenlasumade
cuadrados,talcomoR(¡1"7:),siempreesigualalnúmerodeecuacionesnormaleslinealmenteindepen­
dientes.
Elrestodelavariabilidadnoexplicada porelmodeloseencuentracon
SSE=
~}: Y~-R(fl,7:)
i=lj=l
(3-56)
Estacantidadseusaeneldenominadordelestadísticode
pruebade
H
O:7:
1=7:
2=...=7:
a=O.
Acontinuaciónseilustralapruebageneraldesignificaciónde laregresiónparaunexperimentocon
unsolofactor
ysedemuestraqueproduceelanálisisdevarianzade unsolofactorcomún.Elmodeloes
Yij=
fl+7:¡+cij'ylasecuacionesnormalesseencuentranconlasreglasanteriorescomo
Nft+nf
1+nf
2+...+nf
a=Y.
nft+nf
1 =Yl
nft +nf
2 =h
nft
Compareestasecuacionesnormalesconlasqueseobtuvieron enlaecuación3-52.
Alaplicarlarestricción2:~=1f1=O,losestimadoresdefly7:
ison
ft=Y.. i=l,2,...,a
Lareducciónenlasumadecuadradosdebidaalajustedeestemodelocompletoseencuentraconlaecua­
ción
3-55como
R(fl,7:)=fty..+~fiYi.
i=l
;=1
2 a a
=~+¿Yi.Yi.-Y..¿Yi.
;=1 ;=1
a 2
=¿
Yi.
i=l
n

130. 116 CAPÍTULO3EXPERIMENTOSCONUNSOLOFACTOR: ELANÁLISISDEVARIANZA
quetiene,a,gradosdelibertad porquehayaecuacionesnormales:linealmenteindependientes. Lasumade
cuadradosl:del
errores,porlaecuación3-56,
SSE=
!:!Y~-R(Jl,7:)
¡=;1j=l
ytieneN-agradosdelibertad.
Paraencontrarla.sumadecuadradosqueresultadelosefectosdelostratamientos(el{7:¡}),seconsi­
deraqueelmodeloserestringeala,hipótesisnula;esdecir,7:¡=Oparatodai.Elmodeloreducido eSYij=
Jl+f.ij'Hay,unasola,ecuaciónnormalparaestemodelo:
NA=Y..
yelestimadorde¡lesA=y...Porlotanto,lareducciónenlasumadecuadradosqueresultadeajustarel
modelo,reducidoquesólocontieneaJles
2
R(')-(-)'()-L
Jl-Y.·Y.·-
N
Puestoquehayunasolaecu<;leiónnormalparaestemodeloreducido,R(¡t)tieneungradodelibertad.La
sumadecuadradosdebidaal\ü"¡},dadoqueJlyaestáincluida enelmodelo,es ladiferenciaentreR(¡t,7:)Y
R(¡t),quees
R(rlJl)=R.(¡l,r)-R(Jl)
,=R(ModeloCompleto)-R(ModeloReducido)
1,: ?y
2
=;;¿Yi.-N
1=1
cona-1.gradosdelibertad,queporlaecuación3-9seidentificacomo SS1tatamientos'Estableciendoelsu­
puestode
normqlidadusual,elestadísticoapropiado paraprobarHo:
7:
1=r
2=...=r
a=Oes
F= R(rIJl)/(a-l)
o'[a 11 ]
~# Y~-R(Jl,7:)I(N-a)
quesedistribuyecomoFa~l,N-abajolahipótesisnula.Setrata,desdeluego,delestadísticode pruebapara
elanálisisdevarianzade unsolofactor.
3..10MÉTODOSNOPARAMÉTRICOS EN ELANÁLISISDEVARIANZA
3..10.1Laprueba deKruskal..Wallis
Ensituacionesenlasqueelsupuestodenormalidad noestájustificado,elexperimentadorquizáquiera
usar
unprocedimientoalternativodelanálisisdevarianzacon lapruebaFquenodependadeestesu-

131. 3-10MÉTODOSNOPARAMÉTRICOS ENELANÁLISISDEVARIANZA 117
puesto.KruskalyWallis[68] handesarrolladoesteprocedimiento. LapruebadeKruskal-Wallisse usa
paraprobarlahipótesisnuladequelos atratamientossonidénticos contralahipótesisalternativa deque
algunosdelostratamientosgeneranobservacionesquesonmayoresqueotras.Debidoaqueelprocedi­
mientoestádiseñadoparasersensibleal probarlasdiferenciasenlasmedias,enocasionesesconveniente
considerarla
pruebadeKruskal-Walliscomo unapruebadelaigualdaddelasmediasdelostratamientos.
LapruebadeKruskal-Wallises
unaalternativanoparamétricadelanálisisdevarianzausual.
PararealizarlapruebadeKruskal-Wallis,primerosehacelaclasificaciónenrangosde lasYijobserva­
ciones
enordenascendentey cadaobservaciónse reemplazaconsurango,porejemploRij'asignándolea
laobservación
menorelrango1.Enelcasodeempates(observacionesque tienenelmismovalor),se
asignaelrangopromedioa
cadaunadelasobservacionesempatadas.SeaR¡.lasumadelosrangosdeltra­
tamientoi-ésimo.
Elestadísticode.pruebaes
(3-57)
donde
nieselnúmerodeobservacionesdel tratamientoi-ésimo,Neselnúmerototaldeobservacionesy
S2=
-l-[I~ R~_N(N+1)2]
N-1i=lj=l 4
(3-58)
Observeque
S2essólolavarianzadelosrangos.Si nohayempates,S2=N(N+1)/12,yelestadístico de
pruebasesimplificaa
12
aR
2
H=
"_i.-3(N+1)
N(N+1)f:tn¡
(3-59)
Cuandoel
númerodeempateses moderado,habrápequeñasdiferenciasentrelasecuaciones3-57y3-59,
Ypuedeusarse
laformamássimple(ecuación3-59).Silas nisonrazonablementegrandes,porejemplo
n¡
;:::5,HsedistribuyeaproximadamentecomoX;-lbajolahipótesisnula. Porlotanto,si
H> 2
Xa,a-l
lahipótesisnulaser~chaza. Tambiénpodríausarseel enfoquedelvalor P.
EJEMPLO3".12 .
Enlatabla3-14se muestranlosdatosdelejemplo3-1ysusrangoscorrespondientes. Puestoquehayun
númerobastantegrandedeempates,laecuación3-57se usacomoelestadísticodeprueba.· Porlaecua­
ción3-58se
encuentra
S2=
-l-[I~ R~_N(N+1)2]
N-1¡=lj=l 4
=~[5497.79- 25(26)2]
24 4
=53.03

132. 118 CAPÍTULO3EXPERIMENTOSCONUNSOLOFACTOR: ELANÁLISISDEVARIANZA
Tabla3-14Datosyrangosparaelexperimento delaresistenciaalatensióndelejemplo3-1
Pesoporcentualdelalgodón
15 20 25 30 35
Ylj Rlj
Y2¡ R2¡ Y3j
R
3j
Y4j R4j YSj
R Sj
7 2.0 12 9.5 14 11.0 19 20.5 7 2.0
7 2.0 17 14.0 18 16.5
25 25.0 10 5.0
15 12.5 12 9.5 18 16.5 22 23.0 11 7.0
11 7.0 18 16.5 19 20.5 19 20.5 15 12.5
9 4.0
18 16.5 19 20.5 23 24.0 11 7.0
R¡. 27.5 66.0 85.0 113.0 33.5
yelestadísticodeprueba es
1[a
Ri~N(N+1)2]
H= -L- ------'---''--
S2i=lni 4
=_1_[5245.0-25(26)2]
53.03 4
=19.25
Puestoque
H>
X~.01,4'4=13.28,serechazaríalahipótesisnulayseconcluiríaquelostratamientosdifie­
ren.(Elvalor
PparaH=19.25esP=0.0002.)Se tratadelamismaconclusiónobtenida porelanálisisde
varianzausualconlaprueba
F.
3~10.2 Comentariosgeneralessobrelatransformaciónderangos
Alprocedimientoutilizado enlasecciónanteriordereemplazarlasobservacionesconsusrangosselella­
malatransformaciónderangos.Es unatécnicamuypoderosayútil.Siseaplicarala pruebaFcomúna
losrangos
enlugardealosdatosoriginales,seobtendría
H/(a-1)
Fa=-(
N---1------'-H)-/(--'-N---a-)
(3-60)
comoelestadísticode
prueba(verConover[20], p.337).Observequecuandoelestadístico HdeKrus­
kal-Wallisseincrementaodecrementa,
Fatambiénseincrementaodecrementa, porloquela pruebade
Kruskal-Wallisesequivalenteaaplicarelanálisis
devarianzacomúnalosrangos.
Latransformaciónderangostiene unaampliaaplicabilidad enlosproblemasdediseñoexperimental
paralosquenoexisteningunaalternativanoparamétrica paraelanálisisdevarianza.Estoincluyemu­
chosdelosdiseñosdecapítulossubsecuentesdeestelibro.
Silosdatosestán enrangosyseaplicalaprue­
baFcomún,elresultadoes unprocedimientoaproximadoquetienebuenaspropiedadesestadísticas(ver
ConoverelInan[30a,b
D.Cuandoexistepreocupaciónacercadelsupuestodenormalidado porelefecto
depuntosatípicosovalores"absurdos",serecomiendaqueelanálisisdevarianzacomúnserealicetanto
enlosdatosoriginalescomo enlosrangos.Cuandoambosprocedimientosproducenresultadossimilares,
probablementelossupuestosdelanálisisdevarianzasesatisfacenrazonablemente,yelanálisisestándar
essatisfactorio.Cuandolosdosprocedimientosdifieren,deberádarsepreferenciaalatransformaciónde
rangos,yaqueesmenosposiblequeseadistorsionada
porunacondicióndenonormalidadolapresencia
deobservacionesinusuales.
Entalescasos,talvezelexperimentadorquierainvestigarelusodetransfor-
)1
.il
:¡
j

133. 3-11PROBLEMAS 119
macionesparalafaItadenormalidadyexaminarlosdatosyelprocedimientoexperimentalafindedeter­
minar
sihaypuntosatípicosy porquéhanocurrido.
3~11PROBLEMAS
3-1.Seestudialaresistenciaalatensióndelcementoportland. Puedenusarseeconómicamentecuatrodiferentes
técnicasdemezclado.Se
hancolectadolossiguientesdatos:
Técnicademezclado
1
2
3
4
3129
3200
2800
2600
Resistenciaalatensión(lb/pulg
2
)
3000 2865
3300 2975
2900 2985
2700 2600
2890
3150
3050
2765
a)Probarlahipótesisdequelastécnicasdemezcladoafectan laresistenciadelcemento.Utilizar a=0.05.
b)Construirunarepresentacióngráficacomosedescribió enlasección3-5.3 paracompararlasresistencias
alatensiónpromediodelascuatrotécnicasdemezclado.
¿Aquéconclusionessellega?
e)
UsarelmétodoLSDdeFishercon a=0.05parahacercomparacionesentreparesdemedias.
d)Construirunagráficadeprobabilidadnormaldelosresiduales.¿Quéconclusionessesacaríanacercade
lavalidez.delsupuestodenormalidad?
e)Graficarlosresidualescontralaresistenciaalatensiónpredicha.Comentar lagráfica.
/)Hacerundiagramadedispersióndelosresultadoscomoayuda paralainterpretacióndelosresultados
deesteexperimento.
3-2.a)Resolverdenuevoelincisobdelproblema
3-1utilizandolapruebadelrangomúltipledeDuncancona
=0.05.¿Hayalgunadiferenciaenlasconclusiones?
b)Resolverdenuevoelinciso bdelproblema3-1utilizandola pruebadeTukeycon a=0.05.¿Sellegaalas
.mismasconclusionesconlapruebadeTukeyquelasobtenidasconelprocedimientográficoy/ocon
la
pruebadelrangomúltipledeDuncan?
e)ExplicarladiferenciaentrelosprocedimientosdeDuncanydeTukey.
3-3.Considerenuevamenteelproblema3-1.Encontrar unintervalodeconfianzade 95%paralaresistenciaa la
tensiónmediadelcementoportlandqueproducecada unadelascuatrotécnicasdemezclado.Encontrar
también
unintervalodeconfianzade95% paraladiferenciaenlasmediasdelastécnicas1 y 3.¿Sirveestode
ayuda
parainterpretarlosresultadosdelexperimento?
3-4.Sellevóacabo unexperimentoafindedeterminar sicuatrotemperaturasdecocciónespecíficasafectanla
densidaddeciertotipodeladrillo.Elexperimentoprodujolossiguientesdatos:
Temperatura Densidad
100 21.8 21.9 21.7 21.6 21.7
125 21.7 21.4 21.5 21.4
150 21.9 21.8 21.8 21.6 21.5
175 21.9 21.7 21.8 21.4
a)¿Latemperaturadecocciónafectaladensidaddelosladrillos?Utilizar a=0.05.
b)¿Esapropiadocompararlasmediasutilizandola pruebadelrangomúltipledeDuncan(porejemplo)en
esteexperimento?
e)Analizarlosresidualesdeesteexperimento.¿Sesatisfacenlossupuestosdelanálisis
devarianza?
d)Construirunarepresentacióngráficadelostratamientoscomosedescribióenlasección3-5.3.¿Esta
gráficaresumeadecuadamentelosresultadosdelanálisisdevarianzadelinciso
a?

134. 120 CAPÍTULO3EXPERIMENTOSCONUNSOLOFACTOR: ELANÁLISISDEVARIANZA
3-5.Resolverdenuevoelinciso ddelproblema3-4utilizandoelmétodoLSDdeFisher.¿Aquéconclusionesse
llega?Explicarendetallecómo
semodificólatécnica paratomarencuentalostamañosdelasmuestrasdesi­
guales.
3-6.
Unfabricantedetelevisoresestáinteresadoen elefectodecuatrotiposdiferentesderecubrimientosparacines­
copiasdecolorsobrelaconductividaddeuncinescopio.Seobtienenlossiguientesdatosdelaconductividad:
Tipoderecubrimiento Conductividad
1
143 141 150 146
2 152 149 137 143
3 134 136 132 127
4 129 127 132 129
a)¿Hayalgunadiferenciaenlaconductividaddebidaaltipoderecubrimiento?Utilizar a=0.05.
b)Estimarlamediaglobalylosefectosdelostratamientos.
e)Calcularlaestimacióndeunintervalodeconfianzade95%
paralamediadeltipoderecubrimiento 4.
Calcularlaestimacióndeunintervalodeconfianzade99% paraladiferenciamediaentrelostiposdere­
cubrimiento1 y
4.
d)ProbartodoslosparesdemediasutilizandoelmétodoLSDdeFishercon a=0.05.
e)Usarelmétodográficocomentadoenlasección3-5.3 paracompararlasmedias.¿Cuáleseltip9derecu­
brimientoqueproducelaconductividadmásalta?
f)Suponiendoqueelrecubrimientotipo4eselqueseestáusandoactualmente,¿quéserecomendaría al
fabricante?Quiereminimizarselaconductividad.
3-7.Considerenuevamenteelexperimentodelproblema3-6.Analizarlosresidualesysacarconclusionesacerca
delaadecuacióndelmodelo.
3-8.
EnunartículodeACIMatelialsJaumal(vol.84,pp.213-216)sedescribenvariosexperimentos parainvesti­
garelvarilladodelconcretoparaeiiminarelaireatrapado.Seusóuncilindrode3 x 6pulgadas;yelnúmero
devecesqueesta
barraseutilizóeslavariabledeldiseño. Laresistenciaalacompresiónresultantedela
muestradeconcretoeslarespuesta.Losdatossemuestranenlatablasiguiente:
Niveldevarillado Resistenciaalacompresión
10 1530 1530 1440
15 1610 1650 1500
20 1560 1730 1530
25 1500 1490 1510
a)¿Hayalgunadiferenciaenlaresistenciaalacompresióndebidaalniveldevarillado?Utilizar a=0.05.
b)Encontrarelvalor Pparaelestadístico Fdelincisoa.
e)Analizarlosresidualesdeesteexperimento.¿Quéconclusionespuedensacarseacercadelossupuestos
fundamentalesdelmodelo?
d)Construirunarepresentacióngráficaparacompararlasmediasdelostratamientos,comosedescribió
enlasección3-5.3.
3-9.
Enunartículode EnvironmentIntematianal (vol.18,no. 4)sedescribeunexperimentoenelqueseinvestigó
lacantidadderadónliberadoenlasduchas.Seusóaguaenriquecidaconradónenelexperimento,ysepro­
baronseisdiámetrosdiferentesdelosorificiosdelasregaderas.Losdatosdelexperimentosemuestranenla
.•.~
siguientetabla: "
j

135. Tipodecircuito Tiempoderespuesta
1 9 12
10 8 15
2 20 21 23 17 30
3 6 5 8 16 7
Tipodefluido Vida(enhoras)con
35kVdecarga
1
17.6 18.9 16.3 17.4 20.1 21.6
2
16.9 15.3 18.6 17.1 19.5 20.3
3 21.4 23.6 19.4 18.5 20.5 22.3
4
19.3 21.1 16.9 17.5 18.3 19.8
a)¿Eltamañodelosorificiosafectaelporcentajepromediodel
radónliberad6?.utilizara=0.05.
b)Encontrarelvalor PparaelestadísticoFdelincisoa..
e)Analizarlosresidualesdeesteexperimento.
d)Encontrarunintervalodeconfianzade95% paraelporcentajepromedioderadónliberadocuando el
diámetrodelosorificioses1.40.
e)Construirunarepresentacióngráfica paracompararlasmediasdelostratamientds;comosedescribió
enlasección3-5.3.¿Quéconclusionespuedensacarse?
3-10.Sedeterminóeltiempoderespuestaenmilisegundosparatresdiferentestiposdecircuitos quepo­
dríanusarseenunmecanismodedesconexiónautomática.Losresultadosse muestranenlasiguiente
tabla:
85"
79¡
77:
74
69'
66
3-Ü:PROBLEMAS 121
Radónliberado(%)
80 83 83
75 75 79
74 73 76
67 72 74
62 62 67
60
61' 64
0.37
0.51
0.71
1.02
1.40
1.99
Diámetrode
losorificios
a)Probarlahipótesisdequelostrestiposde circuitostienen'dmismotiempoderespuesta.Utilizar
a
=0.01.
b)UsarlapruebadeTukey paracompararparesdemediasdelostratamientos.'Utilizar a=0.01.
e)Usarelprocedimientográficodelasección3-5.3 paracompararlasmediasdelostratamientos.¿Qué
conclusionespuedensacarse?¿Cómosecomparanconlasconclusionesdelinciso
b?
d)Construirunconjuntodecontrastesortogonales,suponiendoque alprincipiodelexperimento sesospe­
chabaque
eltiempoderespuestadelcircuitotipo2 eradiferentedeldelosotrosdos.
e)Siellectorfueraelingenierodediseñoyquisieraminimizareltiempoderespuesta,¿quétipodecircuito
seleccionaría?
f)Analizarlosresidualesdeesteexperimento.¿Sesatisfacenlossupuestosdelanálisisdevarianzabá­
sico?
3-11.Seestudialavidaefectivadelosfluidosaislantesenunacargaaceleradade 35kV.Sehanobtenido datosde
unapruebaparacuatrotiposdefluidos.Losresultadosfueronlossiguientes:

136. 122 CAPÍTULO3EXPERIMENTOSCONUNSOLOFACTOR: ELANÁLISISDEVARIANZA
a)¿Hayalgúnindiciodequelosfluidosdifieran?Utilizar a=0.05.
b)¿Cuálfluidoseleccionaríaellector,dadoqueelobjetivoesconseguirlavidaefectivamáslarga?
e)Analizarlosresidualesdeesteexperimento.¿Sesatisfacenlossupuestosdelanálisisdevarianzabásico?
3-12.Seestudiancuatrodiferentestiposdediseñosde
uncircuitodigitaldecomputadoraparacompararlacanti­
dadderuidopresente.Seobtienenlossiguientesdatos:
Diseñodelcircuito Ruidoobservado
1
2
3
4
19
80
47
95
20
61
26
46
19
73
25
83
30
56
35
78
8
80
50
97
a)¿Lacantidadderuidopresenteeslamisma paraloscuatrodiseños?Utilizar a=0.05.
b)Analizarlosresidualesdeesteexperimento.¿Sesatisfacenlossupuestos
delanálisisdevarianza?
e)¿Quédiseñodelcircuitoseseleccionaría
parausarlo?Elruidobajo esmejor.
3-13.Sepideacuatroquímicosquedeterminenelporcentajedealcoholmetílicoenciertocompuestoquímico.
Cadaquímicohacetresdeterminaciones,
ylosresultadossonlossiguientes:
Químico
1
2
3
4
Porcentajedealcoholmetílico
84.99 84.04 84.38
85.15 85.13 84.88
84.72 84.48 85.16
84.20 84.10 84.55
a)¿Losquímicosdifierensignificativamente?Utilizar a=0.05.
b)Analizarlosresidualesdeesteexperimento.
e)Sielquímico2
esunempleadonuevo,construir unconjuntorazonablede
eX>ntrastesortogonalesque
podríahaberseusadoalprincipiodelexperimento.
3-14.Sesometenaestudiotresmarcasdebaterías.Sesospechaquelasvidas(ensemanas)delastresmarcasson
diferentes.Sepruebancincobateríasdecadamarcaconlosresultadossiguientes:
Semanasdevida
Marca1 Marca2 Marca3
100
76 108
96 80 100
92 75 96
96
84 98
92 82 100
a)¿Lasvidasdeestastresmarcassondiferentes?
b)Analizarlosresidualesdeesteexperimento.
e)Construirlaestimacióndeunintervalodeconfianzade95%
paralavidamediadelabateríamarca 2.
Construirlaestimacióndelintervalodeconfianzade99% paraladiferenciamediaentrelasvidasdelas
bateríasmarcas2 y
3.

137. 3-11PROBLEMAS 123
d)¿Quémarcaseleccionaríaellector parausarla?Sielfabricantereemplazarasincargocualquierbatería
queduremenosde85semanas,¿quéporcentajeesperaríareemplazarlacompañía?
3-15.Seestáninvestigandocuatrocatalizadoresque
puedenafectarlaconcentraciónde uncomponenteen una
mezclalíquidadetrescomponentes.Seobtienenlas-siguientesconcentraciones:
Catalizador
1
58.2
57.2
58.4
55.8
54.9
2
56.3
54.5
57.0
55.3
3
50.1
54.2
55.4
4
52.9
49.9
50.0
51.7
a)¿Loscuatrocatalizadorestienenelmismoefectosobre laconcentración?
b)Analizarlosresidualesdeesteexperimento.
e)Construir
laestimaciónde unintervalodeconfianzade99% paralarespuestamediadelcatalizador 1.
3-16.Sellevóacabo unexperimentoparainvestigarlaeficaciadecincomaterialesaislantes.Seprobaroncuatro
muestrasdecadamaterialconunnivelelevadodevoltaje
paraacelerareltiempodefalla.Lostiemposdefa­
lla(enminutos)semuestranabajo:
Material Tiempodefalla(minutos)
1
110 157 194 178
2 1 2 4 18
3 880 1256 5276 4355
4 495 7040 5307 10,050
5 7 5
29 2
a)¿Loscincomaterialestienenelmismoefectosobreeltiempodefalla?
b)Graficarlosresidualescontra larespuestapredicha.Construir unagráficadeprobabilidadnormaldelos
residuales.¿Quéinformacióntransmitenestasgráficas?
e)Conbase
enlarespuestadelinciso b,realizarotroanálisisdelosdatosdeltiempo defallaysacarlascon­
clusionesapropiadas.
3-17.Unfabricantedesemiconductores hadesarrolladotresmétodosdiferentes parareducirelconteodepartícu­
las
enlasobleas.Lostresmétodosseprueban encincoobleasyseobtieneelconteodepartículasdespuésdel
tratamiento.Losdatossemuestranabajo:
..
Método
1
2
3
31
62
53
10
40
27
Conteo
21
24
120
4
30
97
1
35
68
a)¿Todoslosmétodostienenelmismoefectosobreelconteopromediodepartículas?
b)Graficarlosresidualescontra larespuestapredicha.Construir unagráficadeprobabilidadnormaldelos
residuales.¿Haymotivodepreocupaciónpotencialacercade
lavalidezdelossupuestos?
e)Conbase
enlarespuestadelinciso b,realizarotroanálisis delosdatosdelconteodepartículasysacarlas
conclusionesapropiadas.

138. 124 CAPÍTULO3EXPERIMENTOSCONUNSOLOFACTOR:ELANÁLISrSDEVARIANZA
3-18.Considerelapruebadelaigualdaddelasmediasdedospoblacionesnormales,dondelasvarianzassondes­
conocidaspero
sesuponeniguales.Elprocedimientodepruebaapropiadoeslaprueba tagrupadaocombi­
nada.Demostrarquelaprueba
tcombinadaesequivalente alanálisisdevarianzadeunsolofactor.
3-19.Demostrarquelavarianzadelacombinaciónlineal
~:=¡CiYi.esa2~:=¡nici2.
3-20.Enunexperimentoconefectosfijos,supongaquehay nobservacionesparacadaunodecuatrotratamientos.
Sean(42,Qi,Q;loscomponentescon unsologradodelibertaddeloscontrastesortogonales.Demostrarque
SSTratamientos=Q¡2+Qi+Q;.
3-21.UtilizarlapruebadeBartlettparadeterminar sielsupuestodelaigualdaddelasvarianzassesatisfaceen el
problema3-14.Utilizar a=0.05.¿Sellegóalamismaconclusiónrespectodelaigualdaddelasvarianzascon
elexamendelasgráficasdelosresiduales?
3-22.UtilizarlapruebadeLevenemodificadaparadeterminarsielsupuestodelasvarianzasigualessesatisface
enelproblema3-14.Utilizar
a=0.05.¿Sellegóalamisma conclusiónrespectodelaigualdaddelasvarian­
zasconelexamendelasgráficasdelosresiduales?
3-23.Referirse
alproblema3-10. Siquieredetectarse unadiferenciamáximaenlostiemposderespuestaprome­
diode
10milisegundosconunaprobabilidaddealmenos0.90,¿quétamañodelamuestradeberáusarse?
¿Cómoseobtendríaunaestimaciónpreliminarde
a
2
?
3-24.Referirsealproblema3-14.
a)Siquieredetectarseunadiferenciamáxima enlavidadelasbateríasde 10horasconunaprobabilidadde
almenos0.90,¿quétamañodelamuestradeberáusarse?Comentarcómoseobtendríaunaestimación
preliminarde
a
2pararesponderestapregunta.
b)Siladiferenciaentrelasmarcaseslosuficientementegrande paraqueladesviaciónestándardeunaob­
servaciónseincrementeen25%,¿quétamañodelamuestradeberáusarsesiquieredetectarseestocon
unaprobabilidaddealmenos0.90?
3-25.Considereelexperimentodelproblema3-14.
Siquiereconstruirseunintervalodeconfianzade95%parala
diferenciaenlasvidasmediasdedosbateríasquetengaunaprecisiónde
±2semanas,¿cuántasbateríasde
cadamarcadebenprobarse?
3-26.Supongaquecuatropoblacionesnormalestienen
medias,u¡=50,,u2=60,,u3=50y,u4=60.¿Cuántasobser­
vacionesdeberánhacerseencadapoblación
paraquelaprobabilidadderechazarlahipótesisnuladela
igualdaddelasmediaspoblacionalesseaalmenos0.90?Suponerque
a=0.05yqueunaestimaciónrazona­
bledelavarianzadeerrores
a
2
=25.
3-27.Referirsealproblema3-26.
a)¿Enquéformacambiaríalarespuestasiunaestimaciónrazonabledelavarianzadelerrorexperimental
fuera
a
2
=36?
b)¿Enquéformacambiaríalarespuestasiunaestimaciónrazonabledelavarianzadelerrorexperimental
fuera
a
2
=49?
e)¿Puedesacarsealgunaconclusiónacercadelasensibilidaddelarespuestadadaen estasituación
particularacercadecómoafectalaestimaciónde
aladecisiónreferentealtamañodelamuestra?
d)¿Puedehacersealgunarecomendaciónacercadecómodeberíausarseesteenfoquegeneral paraelegirn
enlapráctica?
3-28.Referirsealexperimentodelafundicióndealuminiodescritoenlasección3-8.Verificarquelosmétodos
paracontrolarlaproporcióndealúminanoafectanelvoltajepromediodelacelda.Construirunagráficade
probabilidadnormaldelosresiduales.Graficarlosresidualescontralosvalorespredichos.¿Existealgúnin­
diciodequeseviolanalgunosdelossupuestosfundamentales?
3-29.Referirsealexperimentodelafundicióndealuminiodelasección3-8.Verificar
elanálisisdevarianzadel
ruidodelcrisolqueseresumeenlatabla3-13.Examinarlasgráficasdelosresidualesusualesycomentarla
validezdelexperimento.
3-30.Seinvestigaroncuatrodiferentesvelocidadesdealimentaciónen
unexperimentocon unamáquinaCNCque
produceunapiezaqueseusaenlaunidaddepotenciaauxiliardeunavión.Elingenierodemanufacturaa
cargodelexperimentosabequeunadimensióncríticadelapiezadeinteréspuedeserafectada
porlaveloci­
daddealimentación.Sinembargo,laexperienciapreviaindicaqueesprobablequesóloesténpresentes

139. 3-11PROBLEMAS 125
efectosdedispersión.Esdecir,alcambiarselavelocidaddealimentaciónnoseafectaladimensión prome­
dio,peropodríaafectarselavariabilidaddimensional.Elingenierorealizacincocorridasdeproduccióncon
cadavelocidaddealimentaciónyobtieneladesviaciónestándardeladimensióncrítica(en10-
3
mm).Losda­
tossemuestranabajo.Suponerquetodaslascorridassehicieronenordenaleatorio.
Velocidaddealimentación
(pulgadas/minuto)
10
12
14
16
1
0.09
0.06
0.11
0.19
Corridadeproducción
2 3 4
0.10 0.13 0.08
0.09 0.12 0.07
0.08
0.08 0.05
0.13 0.15 0.20
5
0.07
0.12
0.06
0.11
a)¿Lavelocidaddealimentacióntienealgúnefectosobreladesviaciónestándardeestadimensióncrítica?
b)Usarlosresidualesdeesteexperimento parainvestigarlaadecuacióndelmodelo.¿Hayalgúnproblema
conlavalidezexperimental?
3-31.Considerelosdatosdelproblema3-10.
a)Escribirlasecuacionesnormalesdemínimoscuadrados paraesteproblemayresolverlaspara
ityTi'uti­
lizandolarestricciónusualC~:¡=1Ti=O).EstimarT1-
T
2
•
b)Resolverlasecuacionesdelinciso autilizandolarestriccióni3=O.¿LosestimadoresiiYitsonlosmis­
mosqueseencontraronen
elincisoa?¿Porqué?Estimarahora
T
1-T
2Ycompararlarespuestaconladel
inciso
a.¿Quéafirmaciónpuedehacerserespectodeestimarloscontrastesenlas
Ti?
e)Estimarfl+T¡,2T
1
-T2-T
3
,Yfl+T1+T
2utilizandolasdossolucionesdelasecuacionesnormales.Com­
pararlosresultadosobtenidosencadacaso.
3-32.Aplicarlapruebageneraldesignificación delaregresiónenelexperimentodelejemplo3-1.Demostrarque
elprocedimientoproducelosmismosresultadosqueelanálisisdevarianzausual.
3-33.UsarlapruebadeKruskal-Wallisenelexperimentodelproblema3-11.Compararlasconclusionesobtenidas
conlasdelanálisisdevarianzausual.
3-34.UsarlapruebadeKruskal-Wallisenelexperimentodelproblema3-12.¿Losresultadossoncomparablescon
losencontrados
porelanálisisdevarianzausual?
3-35.Considere
elexperimentodelejemplo3-1.Supongaquelaobservaciónmayordelaresistenciaalatensión se
registróincorrectamentecomo 50.¿Quéefectotieneestosobreelanálisisdevarianzausual?¿Quéefecto
tienesobrelapruebadeKruskal-Wallis?

140. Bloquesaleatorizados,
cuadradoslatinos
ydiseños
relacionados
4~1DISEÑODEBLOQUESCOMPLETOS ALEATORIZADOS
Encualquierexperimento,lavariabilidadquesurgede unfactorperturbadorpuedeafectarlosresulta­
dos.
Engeneral,unfactorperturbador puededefinirsecomo unfactordeldiseño
queprobablemente
tenga
unefectosobrelarespuesta,pero enelquenoexiste uninterésespecífico. Enocasionesunfactor
perturbador
esdesconocidoynocontrolable;esdecir,sedesconocelaexistenciadeesefactoreincluso
puedetenernivelesvariablesmientrasseestárealizandoelexperimento.
Laaleatorizacióneslatécnica
dediseñoqueseutiliza
paraprotegersecontraestosfactoresperturbadores"queestánalacecho". En
otroscasos,elfactorperturbador esconocidoperonocontrolable. Siporlomenospuedeobservarseel
valorqueasumeelfactorperturbador
encadacorridadelexperimento,esposiblehacerlacompensación
correspondiente
enelanálisisestadísticomedianteelusodel análisisdecovarianza, unatécnicaquese
revisará
enelcapítulo14.Cuandolafuentedevariabilidad perturbadoraesconocidaycontrolable,pue­
deusarse
unatécnicadediseñollamada formacióndebloques paraeliminardemanerasistemáticasu
efectosobrelascomparacionesestadísticasentrelostratamientos.
Laformacióndebloques esunatécni­
cadediseñoenextremoimportantequeseutilizaampliamente
enlaexperimentaciónindustrial,yesla
materiadeestecapítulo.
Parailustrarlaideageneral,supongaquequieredeterminarse
sicuatropuntasdiferentesproduceno
nolecturasdiferentes
enunamáquinaparaprobarladureza. Unexperimentocomoéstepodríaserparte
de
unestudiodelaaptitud enlacalibracióndelosinstrumentos. Lamáquinafuncionapresionandola
puntaenunejemplarde pruebademetal,yporlaprofundidaddeladepresiónresultantepuededetermi­
narseladurezadelejemplar.
Elexperimentadorhadecididoobtener
cuatroobservacionesparacada
punta.Hay
unsolo
factor---'-eltipodepunta-,yundiseñocompletamentealeatorizadode unsolofactor
consistiría
enasignaralazarcada unadelas4 X4=16corridasa unaunidadexperimental, esdecir,a un
ejemplardepruebademetal,yobservarquéresultadelalecturadeladureza.Porlotanto,senecesita­
rían16ejemplaresdepruebademetal
enesteexperimento,uno porcadacorridadeldiseño.
Existe
unproblemapotencialmenteseriocon unexperimentoporcompletoaleatorizado enestasi­
tuacióndediseño.
Silosejemplaresdepruebademetaldifierenligeramente ensusdurezas,comopodría
126

141. 4-1DISEÑODEBLOQUESCOMPLETOSALEATORIZADOS 127
Tabla4-1Diseñodebloquescompletos aleatorizadosparael
experimento
delapruebadeladureza
Ejemplardeprueba
Tipodepunta 1 2 3 4
1
9.3 9.4 9.6 10.0
2 9.4 9.3 9.8 9.9
3 9.2 9.4 9.5 9.7
4 9.7 9.6 10.0 10.2
ocurrirsisetomarandelingotesqueseprodujeroncontemperaturasdiferentes,lasunidadesexperimen­
tales(losejemplaresdeprueba)contribuiránalavariabilidadobservada
enlosdatosdeladureza.Como
resultado,elerrorexperimentalreflejará
tantoelerroraleatorio comolavariabilidadentrelosejempla­
resdeprueba.
Elobjetivoseríahacerelerrorexperimental
tanpequeñocomofueraposible; esdecir,querríaelimi­
narsedelerrorexperimentallavariabilidadentrelosejemplaresdeprueba.
Undiseñoparalograresto
requierequeelexperimentadorpruebecada
puntaunavezencadaunodeloscuatroejemplaresdeprue­
ba.Aestediseño,quesemuestra
enlatabla4-1,selellamadiseñodebloquescompletosaleatorizados
(ReBD,randomizedcompleteblockdesign). Larespuestaobservadaesladureza enlaescalaCdeRockwell
menos
40.Lapalabra"completos"indicaquecadabloque(ejemplardeprueba)contienetodoslostratamien­
tos(puntas).Alutilizarestediseño,losbloquesoejemplares
depruebaformanunaunidadexperimental
máshomogéneaenlacualcompararlaspuntas.
Dehecho,estaestrategiadediseñomejora laprecisión
delascomparacionesentrelaspuntasaleliminarlavariabilidadentrelosejemplaresdeprueba.Dentrode
unbloque,elordenenquesepruebanlascuatropuntassedeterminaaleatoriamente.Observelasimili­
tuddeesteproblemadediseñoconeldelasección2-5,dondeseanalizó
laprueba
t:pareada.Eldiseñode
bloquescompletosaleatorizadoses
unageneralizacióndeeseconcepto.
ElRCBDesunodelosdiseñosexperimentalesmásutilizados.Sonnumerosaslassituaciones
enlas
queelRCBDesapropiado.Lasunidadesdeequipoomaquinariade
pruebasonconfrecuenciadiferen­
tes
ensuscaracterísticasdeoperaciónyserían unfactordeformacióndebloquestípico.Lotesdemateria
prima,personasyeltiempotambiénsonfuentesdevariabilidad
perturbadoracomunesenunexperimen­
toque
puedencontrolarsede manerasistemáticamediantelaformacióndebloques.
Laformacióndebloquestambiénpuedeserútil ensituacionesque noincluyennecesariamentefac­
toresperturbadores.
Porejemplo,supongaque uningenieroquímicoestáinteresado enelefectodelave­
locidaddealimentacióndelcatalizadorsobrelaviscosidadde
unpolímero.Sabequehayvariosfactores,
comolafuentedelamateriaprima,latemperatura,el
operadoryla purezadelamateriaprima,queson
muydifícilesdecontrolar enprocesoengranescala. Porlotanto,decideprobar enbloqueslavelocidad
dealimentacióndelcatalizador,dondecadabloqueconsiste enalgunacombinacióndeestosfactores no
controlables.Dehecho,estáutilizandolosbloques paraprobarlarobustezdesuvariabledeproceso(la
velocidaddealimentación)
paralascondicionesqueno puedecontrolarconfacilidad.Para unanálisis
másampliodeestepunto,verColemanyMontgomery[27].
4-1.1Análisis estadísticodeldiseño debloquescompletosaleatorlzados
Supongaquesetienen,
engeneral,atratamientosquevanacompararsey bbloques.Eldiseñodebloques
completosaleatorizadossemuestra
enlafigura4-1.Hay unaobservaciónportratamientoencadablo­
que,yel
ordenenquesecorrenlostratamientosdentrodecadabloquesedeterminaalazar.Debidoa

142. r']'
I
128 CAPÍTULO4BLOQUESALEATORIZADOS,CUADRADOS LATINOSYDISEÑOSRELACIONADOS
Bloque1 Bloque2 Bloqueb
Yab
Figura4·1EldiseñodebloquescompletosaIeatorizados.
quelaúnicaaleatorizacióndelostratamientossehacedentrodelosbloques,confrecuenciasediceque
losbloquesrepresentan
unarestricciónsobrelaaleatorización.
ElmodeloestadísticodelRCBDpuedeescribirsedevariasmaneras.
Eltradicionaleselmodelode
losefectos:
{
i=l,2,...,a
Yij=fl+T¡+f3j+8ij'=12b
)"...,
(4-1)
dondefleslamediaglobal,T¡eselefectodeltratamientoi-ésimo,f3jeselefectodelbloquej-ésimo, y8ijes
eltérminodelerrorNID(O,02)usual.Seconsideraráinicialmentequelostratamientos ylosbloquesson
factoresfijos.Comoenelmodelodeldiseñoexperimentalcon
unsolofactordelcapítulo3,elmodelode
losefectos
paraelRCBD esunmodelosobreespecificado. Enconsecuencia,losefectosdelostratamien­
tos
ylosbloquesseconsideran porlogeneralcomodesviacionesdelamediaglobal, porloque
Tambiénesposibleusar
unmodelodelasmedias paraelRCBD, porejemplo
{
i=l,2,...,a
Yij=flij+8ij)'=12b
,'o..,
dondefl¡j=fl+T¡+f3j.Sinembargo,enestecapítuloseusaráelmodelodelosefectosdelaecuación4-1.
EnunexperimentoenelqueseuseelRCBD,elinterésseencuentraenprobarlaigualdaddelasme­
diasdelostratamientos.Porlotanto,lashipótesisdeinterésson
Ho:
fll=fl
2=...=fla
H
1
:
almenosuna
fl¡:;éflj
Puestoquelamediadeltratamientoi-ésimoesfl¡=(l/b)L~=l(¡J.+T¡+f3j)=fl+T¡,unamaneraequivalen­
tedeescribirlashipótesisanteriores esentérminosdelosefectosdelostratamientos, porejemplo
H
o
:T
1
=T
2
='''=T
a
=O
H
1
:T¡:;éOparaalmenos unai
Seay¡.eltotaldeobservacioneshechasbajoeltratamiento i'YJeltotaldeobservacionesdelbloquej,y'.
elgrantotaldelasobservaciones
yN=abelnúmerototaldeobservaciones.Expresadomatemáticamente,

143. 4-1DISEÑODEBLOQUESCOMPLETOSALEATORIZADOS 129
b
Yi.=2:Yij
j=1
Yj=~Yij
i=1
i=1,2,...,a
j=1,.2,..., b
(4-2)
(4-3)
y
ab
~ b
Y..=2:LYij=LYi.=LYj
i=1j=1 i=1 j=1
-(4-4)
Demanerasimilar'Yi.esel promediodelasobservacioneshechasbajoeltratamientoi,YJeselpromedio
delasobservaciones delbloquej,Y..eselgranpromediodetodaslasobservaciones.Esdecir,
Yi.=Yi./b Y.j=Y.j/aY../N
Lasumadecuadradostotalcorregidapuedeexpresarsecomo
ab ab
LL(Yij-y..)2=LL[(Yi.-Y..)+(Y.j-Y..)+(Yij-Yi.-Y.j+Y..)]2
i=1j=1 i=1j=1
Aldesarrollarelmiembrodelladoderechodelaecuación4-6se obtiene
a b a b
""( _ -)2=b"(-_-)2+"(-_ -)2
LJLJYijY. LJYi.Y. aLJYjY ..
(4-5)
(4-6)
i=1j=1 i=1 j=1
ab ab
+
""( _ - _ - + -)2+ 2""(-_ -)(-_ - )
LJLJYijYi.Y.jY.. LJLJYi.Y..Y.jY ..
i=1j=1 i=1j=1
a b
+2""(---)(- - - -+ - )LJLJYjY..YijYi.YjY ..
i=1j=1
ab
+2""(---)(----+-)
LJLJ Yi.Y..YijYi.Y.jY..
i=1j=1
Medianteprocedimientosalgebraicossimples, perolaboriosos,se pruebaquelostresproductoscruzados
soncero.
Porlotanto,
a b a b ""( _ -)2=b"(-_ -)2+"(-_ -)2
LJLJYijY. LJYi.Y.. aLJYjY.
;=1j=1 ;=1 j=1
a b
+""( - - +- )2LJLJYij-Y.j-Yi.Y..
i=1j=1
(4-7)
representaunaparticióndelasumadecuadradostotal.Alexpresarsimbólicamentelassumas decuadra­
dosdelaecuación4-7,se tiene
SST=SSTratamientos+SSBloques+SSE (4-8)
PuestoquehayNobservaciones,SSTtieneN-1gradosdelibertad.Hayatratamientosybbloques,
de
donde
SSltatamientosySSBloquestienena-1yb-1gradosdelibertad,respectivamente.Lasumadecuadra-

144. 130 CAPÍTULO4BLOQUESALEATORIZADOS,CUADRADOS LATINOSYDISEÑOSRELACIONADOS
dosdelerror essólolasumadecuadradosentrelasceldasmenoslasumadecuadradosdelostratamien­
tosylosbloques.
Hayabceldasconab-1gradosdelibertadentreellas,dedondeSSEtiene ab
-1-(a-1)
-(b-1)=(a-l)(b-1)gradosdelibertad.Además,lasumadelosgradosdelibertaddelladoderechode
laecuación
4-8esigualaltotaldelladoizquierdo; porlotanto,alestablecerlossupuestosdenormalidad
usuales
paraloserrores,puedeusarseelteorema 3-1parademostrarque
SSTratamiento/if,SSBloque/ify
SSE/ifsonvariablesaleatoriasji-cuadradacondistribucionesindependientes.Cadasumadecuadrados
dividida
porsusgradosdelibertad esuncuadradomedio. Puededemostrarsequeelvaloresperadodelos
cuadradosmedios,
silostratamientosylosbloquessonfijos,es
a
b
L7:7
E(
MS )
2 i=l
Tratamientos=a+
--'-a--'---l-
b
aLf3~
2 1'=1
E(MSBloques)=a+b-1
E(MS
E
)=a
2
Porlotanto,paraprobarlaigualdaddelasmediasdelostratamientos,seusaríaelestadísticode prueba
F.=MSTratamientos
o MS
E
quesedistribuyecomo F
a
_
1
,(a-1j(b-1)silahipótesisnulaesverdadera. Laregióncríticaeslacolasuperiorde
ladistribución
F,yHoserechazaríasi Fo>Fa,a-1,(a-l)(b-1)'
Tambiénpodríahaberinterés encompararlasmediasdelosbloquesporque, encasodeque ladife­
renciaentreestasmediasnoseaconsiderable,quizá
noseanecesarialaformacióndebloques enexperi­
mentosfuturos.Porloscuadradosmediosesperados,aparentementelahipótesis
Ho:f31'=Opuede
probarsecomparandoelestadístico Fo=MSBloque/MSEconFa,b-1,(a-1)(b-1)'Sinembargo,recuerdequela
aleatorizaciónsólose
haaplicadoalostratamientos dentrodelosbloques;esdecir,losbloquesrepresen­
tanunarestricciónsobrelaaleatorización. ¿Quéefectotieneestosobreelestadístico Fo=MSBlo_
que/MSE?Existendiferentespuntosdevista paraabordar estacuestión.Porejemplo,Box, HunteryHun­
ter[18]señalanquela pruebaFdelanálisisdevarianzacomún puedejustificarseexclusivamenteconbase
enlaaleatorización,1sinelusodirectodelsupuestodenormalidad.Agreganqueenla pruebaparacom­
pararlasmediasdelosbloquesnopuederecurrirseadichajustificacióndebidoalarestricciónsobrela
aleatorización;perosiloserroressonNID(O,if),puedeusarseelestadístico Fo=MSBloque/MSEpara
compararlasmediasdelosbloques.Por otraparte,AndersonyMcLean [2]argumentanquelarestric­
ciónsobrelaaleatorizaciónimpidequeesteestadísticosea
unapruebasignificativaparacompararlas
mediasdelosbloquesyqueestecociente
Fesenrealidadunapruebadelaigualdaddelasmediasdelos
bloquesmáslarestricciónsobrelaaleatorización
(alaquellamanel errordelarestricción;verAnderson
yMcLean
[2]paradetallesadicionales).
Entonces,¿quésehace
enlapráctica?Debidoaqueconfrecuenciaelsupuestodenormalidades
cuestionable,considerar
Fo=MSBloque/MSEcomounapruebaFexactaparalaigualdaddelasmediasde
losbloquesno
esunabuenaprácticageneral.Poresarazón,esta pruebaFnoseincluyeenlatabladel
análisisdevarianza.Sinembargo,como
unprocedimientoaproximado parainvestigarel
efectodelava­
riableformacióndebloques,examinarelcociente
MSBloque/MSEesmuyrazonable. Siestecocienteesmuy
1Dehecho,ladistribuciónFdelateoríanormales unaaproximación-deladistribucióndealeatorizacióngeneradaalcalcularFoa
partirdecadaasignaciónposible delasrespuestasalostratamientos.

145. ~
F'o..
Tabla4-2
4-1DISEÑODEBLOQUESCOMPLETOSALEATORIZADOS 131
Análisisdevarianzadeundiseño debloquescompletosaleatorizados
Fuentede
variación
'Itatamientos
Sumadecuadrados
SS1i:atamientos
Gradosde
libertad
a-1
Cuadradomedio
S
STrntamientos
a-1
MSTratamientos
Bloques SSBloques
b-1 SSBloques
b-1
Error SSE (a-l)(b-1) SSE
(a-1)(b-1)
Total SST N-1
grande,implicaqueelfactorformacióndebloquestiene unefectoconsiderable yquelareduccióndel
ruidoobtenida
porlaformacióndebloques probablementefueútilparamejorarlaprecisiónde lacom­
paracióndelasmediasdelostratamientos.
Elprocedimientosueleresumirse enunesquemadeanálisisdevarianza,comoel quesemuestraen
latabla4-2. Engeneral,loscálculosserealizaríancon unpaquetedesoftwaredeestadística.Sinembar­
go,esposible
obtenerfórmulasdecálculo manualdelassumas decuadradosparaloselementosde la
ecuación4-7expresándolos entérminosdelostotalesdelostratamientos ylosbloques.Estasfórmulasde
cálculo
son
a b 2
SST=
LLY~-~
i=1j=1
1a 2 y.~
SSTratamientos=b?Yi.-N
1=1
1b 2y.~
SSBloques=-;;?Y.j-N
J=1
ylasumadecuadradosdel errorseobtieneporsustraccióncomo
SSE=SST-SSTratamientos-SSBloques
(4-9)
(4-10)
(4-11)
(4-12)
EJEMPLO4 1 .
Considereelexperimentode lapruebadeladurezadelasección4-1. Haycuatropuntasycuatroejempla­
resde
pruebademetal.Cadapuntasepruebaunavezencadaejemplar,resultando undiseñodebloques
completosaleatorizados.Losdatosobtenidosse
repitenporconvenienciaenlatabla4-3.Recuerde que
elordenenqueseprobaronlaspuntasenunejemplarparticularsedeterminóalazar. Parasimplificarlos
Tabla
4-3Diseñodebloquescompletosaleatorizadosparael
experimentodelapruebadeladureza
Ejemplardeprueba(bloque)
~~p~ 1 2 3 4
1 9.3 9.4 9.6 10.0
2 9.4
9.3 9.8 9.9
3 9.2 9.4 9.5 9.7
4 9.7 9.6 10.0 10.2

146. 132 CAPÍTULO4BLOQUESALEATORIZADOS,CUADRADOS LATINOSYDISEÑOSRELACIONADOS
Yi.Tipodepunta
Tabla4-4Datoscodificadosdelexperimento delapruebadeladureza
Ejemplar
deprueba(bloque)
1
234
1
2
3
4
-2
-1 1 5
-1 -2 3 4
-3 -1 O 2
2 1 5 7
3
4
-2
15
-4 -3 9 18 20 =Y..
cálculos,losdatosoriginalessecodificanrestando 9.5decadaobservaciónymultiplicandoelresultado
por10.Seobtienenasílosdatosdelatabla 4-4.Lassumasdecuadradosseobtienendelasiguientemanera:
4 4 2
SST=LLy~_L
i=1j=1 N
=154.00-(22t=129.00
14 2 Y.~
SSTratamientos=bLYi.-N
1=1
=1.[(3)2+(4)2+(_2)2+(15)2]-(20)2=38.50
4 16
14 2
l
SSBloqnes=-Ly'j-N
aj=1
=1.[(_4)2+(_3)2+(9)2 +(18)2]-(20)2=82.50
4 16
SSE=SST-SSTratamientos-SSBJoqUes
=129.00-38.50-82.50=8.00
Enlatabla4-5sepresentaelanálisisdevarianza.Utilizando a=0.05,elvalorcríticode FesF
O
•05
,3.9=
3.86.Puestoque14.44 >3.86,seconcluyequeeltipode puntaafectalalecturadeladurezamedia.Elva­
lor
Pparalapruebatambiénesmuypequeño.Además,alparecerlosejemplares(bloques)difierende
manerasignificativa,yaqueelcuadradomediodelosbloquesesgrande enrelaciónconelerror.
Esinteresanteobservarlosresultadosquesehabríanobtenidosinosehubieratenidoconocimiento
delosdiseñosdebloquesaleatorizados.Supongaqueseusarancuatroejemplares,asignandoalazarlas
puntasacadaunodeellos,yqueresultara(porcasualidad)elmismodiseñoqueeldelatabla4-3.Elaná­
lisisincorrectodeestosdatoscomo
undiseñocompletamentealeatorizadode unsolofactorsepresenta
enlatabla4-6.
Tabla
4-5Análisisdevarianzadelexperimentode lapruebadeladureza
Fuentede Suma de Gradosde
variación cuadrados libertad
Cuadrado
medio Valor
P
Tratamientos(tipo
depunta)
Bloques(ejemplares)
Error
Total
38.50
82.50
8.00
129.00
3
3
9
15
12.83
27.50
0.89 14.44 0.0009

147. 4-1DISEÑODEBLOQUESCOMPLETOSALEATORIZADOS 133
Tabla4-6Análisisincorrectodelexperimentodelapruebadeladureza
comoundiseñocompletamentealeatorizado
Fuentede Sumade GradosdeCuadrado
variación cuadradoslibertad medio
Tipodepunta
Error
Total
38.50
90.50
129.00
3
12
15
12.83
7.54
1.70
Puestoque F
O
.05,3,l2=3.49,nopuederechazarselahipótesisdelaigualdaddelasmedicionesdeladureza
mediadelascuatropuntas.Porlotanto,eldiseñodebloquesaleatorizadosreducelosuficientelacanti­
dadderuido
enlosdatosparaquelasdiferenciasentrelascuatropuntasseandetectadas.Estoilustra un
puntomuyimportante.Si unexperimentadorno.recurrealaformacióndebloquescuandodeberíaha­
berlohecho,elefectopuedeserinflarelerrorexperimentalatalgradoquelasdiferenciasimportantes
entrelasmediasdelostratamientosseanindetectables.
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • e .••••••••••••
Muestradesalidade computadora
Enlafigura4-2semuestralasalidadecomputadoracondensadaobtenidacon Design-Expertparalosda­
tosdela
pruebadeladurezadelejemplo 4-1.Recuerdeque enelanálisisoriginaldelatabla 4-5seutiliza­
rondatos
codificados.(Lasrespuestasoriginalessecodificaronrestando 9.5Ymultiplicandoelresultado
por10.)
Elanálisisdecomputadorautilizólasrespuestasoriginales.Porconsiguiente,lassumasdecua­
dradosdelafigura4-2sonigualesalasdelatabla
4-5divididasentre100(observeque Design-Expe/1ha
redondeadolassumasdecuadradoscondoscifrasdecimales).
Losresidualesse
enlisüinenlaparteinferiordelasalidadecomputadora.Éstossecalculan como
eij=Yij-Yij
y,comosedemostrarámásadelante,losvaloresajustadossonYij=Yi.+YJ-Y..,dedonde
eij=Yij-Yi.-Y.j+Y.. (4-13)
Enlasecciónsiguienteseindicarácómoseusanlosresidualesenlaverificación delaadecuacióndelmodelo.
Comparacionesmúltiples
Silostratamientosen unRCBDsonfijos,yelanálisisindica unadiferenciasignificativaenlasmediasde
lostratamientos,alexperimentadorleinteresarán
porlogeneralcomparacionesmúltiples paradescubrir
cuálessonlostratamientoscuyasmediasdifieren.Paraello puedeutilizarsecualquieradelosprocedi­
mientosdecomparacionesmúltiplesdelcapítulo3(sección3-5).Simplementesesustituyeenlasfórmu­
lasdelasección3-5elnúmeroderéplicas
(n)eneldiseñocompletamentealeatorizadode unsolofactor
conelnúmerodebloques
(b).Asimismo,esnecesariorecordarusarelnúmerodegradosdelibertaddel
error
paraelbloquealeatorizado [(a-l)(b-1)]enlugardelosgradosdelibertaddeldiseñocompleta­
mentealeatorizado
[a(n-1)].
Enlasalidade Design-Expertdelafigura4-2seilustraelprocedimientoLSDdeFisher.Observeque
siseusaa=0.05,seconcluiríaque
f.-l2=f.-l3'Ahorabien,puestoqueY3.:5Yl.:5Y2.(esdecir,lasmediasY2.y
Y3.abarcanalgunasdelasmediasrestantes), unaconclusióninmediataseríaque¡.tl=¡.t2=¡.t3'Además,f.-l4
esdiferentedelasotrastresmedias.Seconcluye porlotantoquela puntatipo4produceunadurezame­
diaqueessignificativamentemásaltaquelaslecturasdeladurezamediadelosotrostrestiposdepuntas.

148. 134 CAPÍTULO4BLOQUESALEATORIZADOS, CUADRADOS LATINOSYDISEÑOSRELACIONADOS
Response:Hardness inRockwellC
ANOVAforSelectedFactorialModel
Analysisofvariancetable[Partialsumofsquaresl
Sumof Mean F
Source Squares DF Square Value Prob>F
Block 0.82 3 0.27
Model 0.38 3 0.13 14.44 0.0009 significant
A 0.38 3 0.13 14.44 0.0009
Residual 0.080 9 8.889E-003
Cor 1.29 15
Total
Std.Dev. 0.094 R-Squared 0.8280
Mean 9.63 AdjR-Squared 0.7706
C.V. 0.98 PredR-Squared 0.4563
PRESS 0.25 AdeqPrecision 15.635
TreatmentMeans(Adjusted,IfNecessary)
EstimatedStandard
Mean Error
1-A1 9.57 0.47
2-A2 9.60 0.47
3-A3 9.45 0.47
4-A4 9.88 0.47
Mean Standard tforH o
Treatment Difference DF Error Coeff=O Prob>Itl
1vs2 -0.025 1 0.067 -0.38 0.7163
1
vs3 0.13 1 0.067 1.87 0.0935
1
vs4 -0.30 1 0.067 -4.50 0.0015
2
vs3 0.15 1 0.067 2.25 0.0510
2
vs4 -0.27 1 0.067 -4.12 0.0026
3
vs4 -0.43 1 0.067 -6.37 0.0001
DiagnosticsCaseStatistics
StandardActualPredicted Student Cook's Outlier
Order Value Value ResidualLeverageResidualDistance
t
1 9.30 9.35 -0.050 0.438 -0.707 0.056-0.6.86
2 9.40 9.38 0.025 0.438 0.354 0.014 0.336
3 9.60 9.67
-0.075 0.437 -1.061 0.125-1.069
4 10.00 9.90 0.100 0.438 1.414 0.222 1.512
5 9.40 9.38 0.025 0.438 0.354 0.014 0.336
6 9.30 9.40
-0.100 0.437 -1.414 0.222-1.512
7 9.80 9.70 0.100 0.437 1.414 0.222 1.512
8 9.90 9.93
-0.025 0.437 -0.354 0.014-0.336
9 9.20 9.22 -0.025 0.438 -0.354 0.014-0.336
10 9.40 9.25 0.150 0.437 2.121 0.500 2.828
11 9.50 9.55 -0.050 0.437 -0.707 0.056-0.686
12 9.70 9.78 -0.075 0.437 -1.061 0.125-1.069
13 9.70 9.65 0.050 0.438 0.707 0.056 0.686
14 9.60 9.68
-0.075 0.437 -1.061 0.125-1.069
15 10.00 9.97 0.025 0.437 0.354 0.014 0.336
16 10.20 10.20 0.000 0.437 0.000 0.000 0.000
Figura4-2Salidade Design-Expe/1(condensada)paraelejemplo4-1.

149. 4-1DISEÑODEBLOQUESCOMPLETOSALEATORIZADOS 135
-1
Punta
3
•
o
Punta Punta
1 2
• •
2
Durezapromedio(codificada)
3
Punta
4
• I
4
Figura4-3Lasmediasdeltipodepuntaenrelaciónconunadistribución tesca­
ladacon
unfactordeescaIación ,JMS
E
/b
=.J0.89/4=0.47.
Thmbiénpuedeusarseelprocedimientográficodelcapítulo3(sección3-5.1) paracompararlasme­
diasdeltipodepunta.
Enlafigura4-3segraficanlascuatromediasdeltipodepuntadelejemplo 4-1en
relacióncon unadistribucióntescaladacon unfactordeescalación.J MSE/b=.Jo.89
1-4=0.47.Estagrá­
ficaindicaquelaspuntas
1,2 Y3producenprobablementemedicionesdeladurezapromedioidénticas,
peroquela
punta4produceunadurezamediamuchomásalta. Estafiguraconfirmalosresultadosdela
pruebaLSDdeFisherincluida
enlasalidade Design-Expertdelafigura4-2.
4~1.2Verificacióndelaadecuacióndelmodelo
Sehacomentadoyalaimportanciadeverificarlaadecuacióndelmodelosupuesto. Engeneral,deberá
estarsealertaalosproblemaspotencialesconelsupuestodenormalidad,conladesigualdaddelavarian­
za
portratamientoobloque,yconlainteracciónbloque-tratamiento.Como eneldiseñocompletamente
aleatorizado,elanálisisresidual
eslaherramientaprincipalqueseutiliza enestosdiagnósticosdeverifi­
cación.
Enlaparteinferiordelasalidade Design-Expel1delafigura4-2seenlistanlosresidualesdeldise­
ñodebloquesaleatorizados.Losresidualescodificadosseencontraríanmultiplicandoestosresiduales
por
10.Lasobservaciones,losvaloresajustadosylosresidualesdelosdatoscodificadosdelapruebadela
durezadelejemplo
4-1sonlossiguientes:
Yij
Yij eij
-2.00 -1.50-0.50
-1.00 -1.25 0.25
1.00
1.75-0.75
5.00 4.00 1.00
-1.00 -1.25 0.25
-2.00 -1.00-1.00
3.00 2.00 1.00
4.00 4.25-0.25
-3.00 -2.75-0.25
-1.00 -2.50 1.50
0.00 0.50-0.50
2.00 2.75-0.75
2.00 1.50 0.50
1.00 1.75 -0.75
5.00
4.75 0.25
7.00 7.00 0.00
Enlafigura4-4semuestralagráficadeprobabilidadnormalyeldiagramadepuntosdeestosresi­
duales.Nohayindiciosmarcadosdenonormalidadytampocohayevidenciaqueapuntealaposiblepre­
senciadepuntosatípicos.
Enlafigura4-5semuestranlasgráficasdelosresiduales portipode puntao

150. 136 CAPÍTULO4BLOQUESALEATORIZADOS,CUADRADOS LATINOSYDISEÑOSRELACIONADOS
-0.1 -0.0375 0.025
Residuales
0.0875 0.15
Figura4·4Gráficadeprobabilidadnormaldelosresidualesdelejemplo4-1.
tratamientoyporejemplardepruebaobloque.Estasgráficaspodríanser,potencialmente,muyinforma­
tivas.
Sihayunadispersiónmayorenlosresidualesde unapuntaparticular,estopodríaindicarquedicha
puntaproducelecturasdeladurezamáserráticasquelasotras.
Unadispersiónmayor enlosresidualesde
unejemplardepruebaparticularpodríaindicarqueladurezadelejemplarnoesuniforme.Sinembargo,
enelejemplotratadoaquí,lafigura
4-5noofreceindiciosdedesigualdaddelavarianzaportratamientoo
porbloque.Enlafigura4-6segraficanlosresidualescontralosvaloresajustados
Yij'Nodeberáhaberre­
laciónentre
eltamañodelosresidualesylosvaloresajustados
Yij'Enestagráficanoseobservanadade
interésextraordinario.
Enocasioneslagráficadelosresidualescontra
Yijtieneunaformacurvilínea; porejemplo,puedeha­
berunatendenciaparaqueocurranresidualesnegativosconvaloresbajosdeYij'residualespositivoscon
valoresintermediosdeYijyresidualesnegativosconvaloresaltosdeYij'Estetipodepatrónsugierela
existenciade
unainteracciónentrelosbloquesylostratamientos.Cuandosepresenteestepatrón,debe­
ráusarseunatransformaciónen unesfuerzoporeliminarominimizarlainteracción. Enelcapítulo5
(sección5-3.7)sedescribeunapruebaestadísticaquepuedeutilizarse
paradetectarlapresenciadein­
teracciónen
undiseñodebloquesaleatorizados.
4~1.3Otrosaspectosdeldiseñodebloquescompletosaleatorlzados
Aditividaddelmodelodebloquesaleatorlzados
Elmodeloestadísticolinealquese hausadoparaeldiseñodebloquesaleatorizados
Yij=#+T:¡+f3
j+cij.

151. 4-1DISEÑODEBLOQUESCOMPLETOSALEATORIZADOS 137
2.0
•
1.0••
•
';''''0.0
•••
• •
• ••
-1.0 •
2 3 4
-2.0
Tipodepunta
a)
e
ü
contratratamiento
•
Ejemplardeprueba
b)
eijcontrabloque
••
4
•
•
3
•
••
•
2
2.0
1.0
•
';''''0.0
•
•
-1.0
-2.0
Figura4-5Gráficadelosresiduales portipodepunta(trata­
miento)
yporejemplardeprueba(bloque)paraelejemplo4-1.
escompletamenteaditivo.Estoquieredecirque, porejemplo,sielprimertratamientohacequelares­
puesta
esperadaseincrementecincounidades
(í
1=5)Ysielprimerbloqueincrementalarespuesta
esperada2unidades
(/31=2),elincrementoesperadoen larespuestatantodeltratamiento1 comodel
1.50 •
1.00 ••
0.50 •..
•
';''''0.00
-4 -2o 2 4 6 8
• Yij•
•-0.50
••
••
-1.00
•
-1.50
Figura4-6GráficadelosresidualescontraYijparaelejemplo4-1.

152. 138 CAPÍTULO4BLOQUESALEATORIZADOS,CUADRADOS LATINOSYDISEÑOSRELACIONADOS
bloque1enconjunto esE(Yll)=f-l+'iI+f3I=It+5+2=f-l+7.Engeneral,eltratamiento1incrementa
siemprelarespuestaesperada5unidadessobrelasumadelamediaglobalydelefectodelbloque.
Auncuandoestemodeloaditivosimplemuchasvecesesútil,haysituacionesenlasqueresultainade­
cuado.Suponga,porejemplo,que
seestáncomparandocuatroformulacionesdeunproductoquímico
utilizandoseislotesdemateriaprima;los
lotesdemateriaprimaseconsideranbloques. Siunaimpureza
enellote2afectademaneraadversalaformulación
2,dandocomoresultadounrendimientoinusual­
mentebajo,peronoafectalasdemásformulaciones,
haocurridounainteracciónentrelasformulaciones
(otratamientos)yloslotes(obloques).
Demanerasimilar,puedenocurririnteraccionesentrelostrata­
mientosylosbloquescuandolarespuestasemideenlaescalaincorrecta.Porlotanto,unarelaciónquees
multiplicativaenlasunidadesoriginales,porejemplo
eslinealoaditivaenunaescalalogarítmica,yaque,
porejemplo,
o
Auncuandoestetipodeinteracciónpuedeeliminarsecon unatransformación,notodaslasinteracciones
puedentratarsecontantafacilidad.Porejemplo,
unatransformaciónnoeliminala-interacciónformula­
ción-lotequeseseñalóantes.Elanálisisresidualyotrosprocedimientosdediagnósticodeverificación
puedenserútilesparadetectarlanoaditividad.
Siunainteracciónestápresente,puedeafectarseriamenteelanálisisdevarianzayposiblementelo
invalide.
Engeneral,lapresenciadeunainteraccióninflaelcuadradomediodelerrorypuedeafectarad­
versamentelacomparacióndelasmediasdelostratamientos.
Ensituacionesenlasqueambosfactores,
asícomosuposibleinteracción,sondeinterés,debenusarse
diseñosfactoriales. Estosdiseñosseanali­
zanendetalleenloscapítulos5al
9.
Tratamientosybloquesaleatorios
Auncuandoelprocedimientodepruebase hadescritoconsiderandolostratamientosylosbloquescomo
factoresfijos,seutilizaelmismoprocedimientodeanálisis
silostratamientosolosbloques(oambos)son
aleatorios.Sinembargo,hayalgunasmodificacionesenlainterpretacióndelosresultados.Porejemplo,
silosbloquessonaleatorios,comoesconmuchafrecuenciaelcaso,seesperaquelascomparacionesen­
trelostratamientosseanlasmismasalolargodela
poblacióndebloques delacualseseleccionaronalea­
toriamente
pararealizarelexperímento.Estántambiénlasmodificacionescorrespondientesenlos
cuadradosmediosesperados.Porejemplo,
silosbloquessonvariablesaleatoriasindependientesconva­
rianzacomún,entonces
E(MSBIOqUes)=
if+aa~,dondea~eselcomponentedelavarianzadelosefectos
delosbloques.
Encualquiersituación, E(MSnatamientos)siempreestálibredecualquierefectodebloque,y
elestadísticodepruebaparalavariabilidadentrelostratamientossiemprees
Fo=MSnatamientoJMSE'
Ensituacionesenlasquelosbloques sonaleatorios, siestápresenteunainteraccióntratamien­
to-bloque,laspruebasparalasmediasdelostratamientosnoestánafectadasporlainteracción.
Larazón
deelloesque
loscuadradosmediosesperadosdelostratamientosydelerrorcontienen amboselefecto
delainteracción;porconsiguiente,lapruebadelasdiferenciasenlasmediasdelostratamientospuede
realizarsecomodecostumbrecomparandoelcuadradomediodelostratamientosconelcuadradomedio
delerror.Esteprocedimientonoproporcionaningunainformaciónacercadelainteracción.

153. 4-1DISEÑODEBLOQUESCOMPLETOSALEATORIZADOS 139
Eleccióndel tamañodelamuestra
Laeleccióndel tamañodelamuestra,onúmerodebloques quedebencorrerse, esunadecisiónimpor­
tantecuandoseusa
unRCBD.Alincrementarelnúmerodebloques,seincrementaelnúmeroderéplicas
yelnúmerodegradosdelibertaddelerror,conlocualseaumenta
lasensibilidaddeldiseño.Cualquiera
delastécnicasdéscritasenelcapítulo
3(sección3-7)paraseleccionarelnúmeroderéplicasquedeben
correrse
enunexperimentocompletamentealeatorizadocon unsolofactorpuedeaplicarsedeformadi­
rectaalRCBD.Paraelcasode
unfactorfijo,lascurvasdeoperacióncaracterísticadela parteVdelapén­
dice
puedenusarsecon
b
Il"7
<])2=~
aa
2
(4-14)
dondehaya-1gradosdelibertad enelnumeradory (a-1)(b-1)gradosdelibertad eneldenominador.
EJEMPLO4..2 .
Considereelproblemadelapruebadeladurezadelejemplo4-1.Supongaquequieredeterminarseelnú­
meroapropiadodebloquesquedebencorrersesielinterésseencuentra
endetectarunadiferenciamáxi­
mareal
enlaslecturasdeladurezamediade 0.4conunaaltaprobabilidad,y unaestimaciónrazonable
deladesviaciónestándardeloserrores esa=0.1.(Estosvaloressedanenlasunidades originales;recuerde
queelanálisisdevarianza
serealizóusandodatos codificados.)Porlaecuación3-49,elvalormínimo
de<])2es(escribiendob,elnúmerodebloques, enlugarde n)
<])2=bD
2
2aa
2
dondeDesladiferenciamáximaquequieredetectarse. Porlotanto,
<])2=b(0.4)2=2.0b
2(4)(0.1)2
Siseusanb= 3bloques,entonces<])="';2.0b="';2.0(3)=2.45,Yhay(a-1)(b-1)=3(2)= 6gradosdeli­
bertaddelerror.
LaparteVdelapéndicecon V¡=a
-1= 3Ya=0.05indicaqueelriesgo f3deestediseño
esaproximadamente0.10(potencia=1-f3=0.90).Siseusanb= 4bloques,<])="';2.0b="';2.0(4)=2.83,
con(a-l)(b-1)=3(3)=9gradosdelibertaddelerror,yelriesgo f3correspondienteesaproximada­
mente
0.03(potencia=1-f3=0.97).Tresocuatrobloques daráncomoresultado undiseñocon unaalta
probabilidaddedetectarladiferenciaentrelaslecturasde
ladurezamediaconsideradasimportantes.
Debidoaquelosejemplaresde
prueba(bloques)sonbaratosyestán endisponibilidadyelcostodela
pruebaesbajo,elexperimentadordecideusarcuatrobloques.
.........................................................................
Estimacióndevaloresfaltantes
CuandoseusaelRCBD,enocasionesfalta unaobservaciónenunodelosbloques.Estopuedeocurrirde­
bidoadescuidooerroro
porrazonesfueradelcontroldelexperimentador,talcomo undañoinevitablea
unaunidadexperimental.
Unaobservaciónfaltanteintroduce unnuevoproblemaenelanálisisdebidoa
quelostratamientosdejandeser
ortogonalesalosbloques; esdecir,noocurrentodoslostratamientos en

154. 140 CAPÍTULO4BLOQUESALEATORIZADOS,CUADRADOS LATINOSYDISEÑOSRELACIONADOS
Tabla4-7Diseñodebloquescompletosaleatorizadosparael
experimentodelapruebadedurezacon
unvalorfaltante
Ejemplardeprueba(bloque)
Tipodepunta 1 2 3 4
1 -2 -1 1 5
2
-1 -2 x 4
3 -3 -1 O 2
4 2 1 5 7
cadaunodelosbloques.Existendosenfoquesgeneralesparaelproblemadelosvaloresfaltantes.Elpri­
meroes
unanálisisaproximado, enelcuallaobservaciónfaltanteseestimaysellevaacaboelanálisisde
varianzausualcomo
silaobservaciónestimadafuera undatoreal,conlosgradosdelibertaddelerrorre­
ducidosen
1.Esteanálisisaproximadoesmateriadeestasección.Elsegundoesun análisisexacto, elcual
serevisaenlasección4-1.4.
SupongaquefaltalaobservaciónYijdeltratamiento
ienelbloque j.Laobservaciónfaltantesedenota
comox.Comounailustración,supongaqueenelexperimentodelapruebadedurezadelejemplo 4-1el
ejemplardeprueba3serompiómientrasseprobabalapunta2 yquenopudoobtenerseeldatoparaesa
punta.Losdatosapareceríancomoenlatabla
4-7.
Engeneral,seharáque
irepresenteelgrantotalcon unaobservaciónfaltante,que y;.representeel
totaldeltratamientoconunaobservaciónfaltante,yqueY.~seaeltotaldelbloqueconunaobservación
faltante.Supongaquequiereestimarse
laobservaciónfaltante xdetalmodoque xtengaunaparticipa­
ciónmínimaenlasumadecuadradosdelerror.Puestoque
SSE=
L~=lL~=l(Yij -Yi.-Y.j+y..)2,estoes
equivalenteaelegir xparaminimizar
ab 1a(b ]21b(a )21(ab ]2
SSE=i;~Y:-¡;i;~Yij-~~i;Yij+abi;~ Yij
o
1 1 1
SS=X
2
--(y~+X)2__(y'.+X)2+-(y'+X)2+R
E b l.a')ab"
(4-15)
dondeRincluyetodoslostérminosenlosquenointerviene x.Apartirde dSSE/dx=O,seobtiene
a'+b' _ '
x=Yi.Y.jY. (4-16)
(a-1)(b-1)
comolaestimacióndelaobservaciónfaltante.
Paralosdatosdelatabla
4-7,seencuentraque
y;.=1,Y.'3=6YY.~=17.Porlotanto,porlaecuación
4-16,
x==4(1)+4(6)-17=1.22
Y23 (3)(3)
Ahorapuederealizarseelanálisisdevarianzacomúnutilizando
Y23=1.22Yreduciendolosgradosde li­
bertaddelerroren 1.Elanálisisdevarianzasemuestraenlatabla 4-8.Comparelosresultadosdeeste
análisisaproximadoconlosresultadosobtenidos
paraelconjuntodedatoscompleto(tabla 4-5).

155. 4-1DISEÑODEBLOQUESCOMPLETOSALEATORIZADOS 141
Tabla4~8Análisisdevarianzaaproximadodelejemplo4-1conunvalorfaltante
Sumade Gradosde Cuadrado
Fuentedevariación cuadrados libertad medio
ValorP
Tipodepunta
Ejemplaresdeprueba(bloques)
Error
'Ibtal 39.98
79.53
6.22
125.73 3
3
8
14
13.33
26.51
0.78
17.12 0.0008
(4-17)
Sisonvariaslasobservacionesfaltantes, puedenestimarseescribiendolasumadecuadradosdel
errorcomounafunción
delosvaloresfaltantes,derivandoconrespectoacadavalorfaltante,igualando
losresultadosconceroyresolviendolasecuacionesresultantes.
Demaneraalternativa,puedeusarsela
ecuación4-16demaneraiterativa
paraestimarlosvaloresfaltantes. Parailustrarelenfoqueiterativo,su­
pongaquefaltandosvalores.Seestimaarbitrariamenteel
primervalorfaltanteydespuésseusaesteva­
lorjuntoconlosdatosrealesylaecuación4-16
paraestimarelsegundo.Entoncespuedeusarsela
ecuación4-16
paravolveraestimarelprimervalorfaltante,ydespuésdeesto, puedevolveraestimarseel
segundo.Esteprocesosecontinúahastaqueseobtienelaconvergencia.
Encualquierproblemaconvalo­
resfaltantes,losgradosdelibertaddelerrorsereducen
enunaunidadporcadaobservaciónfaltante.
4-1.4Estimacióndelosparámetrosdelmodeloylapruebageneral
designificacióndelaregresión
Sitantolostratamientoscomolosbloquessonfijos,losparámetrosdelRCBD puedenestimarsepormí­
nimoscuadrados.Recuerdequeelmodeloestadísticolineales
{
i=1'2,...,a
Yij=fl+7:¡+(3j+sij'=12b
J " ...,
Alaplicarlasreglasdelasección3-9.2paraencontrarlasecuacionesnormalesdelmodelode undiseño
experimental,seobtiene
fl:abjl+blt1+br2+
oo'+bra+aPl+aP2+...+a'A=Y.
7:
1
:bjl
+blt1 +PI+132+...+'A=YI.
7:
2
:bjl
+M
2 +PI+132+...+Pb=Y2.
7:a:bjl +bfa+131+132+...+
Pb=Ya. (4-18)
(31:ajl+r
1+f
2+ +ra+aPl =Yl
(32:ajl+í\+r
2+ +fa +aP2 =Y2
(3b:ajl+r
1+r
2+...
+fa +aPb=Yb
Observequelasumadelasegundaala (a+1)-ésimaecuacionesde laecuación4-18eslaprimera
,ecuaciónnormal,comotambiéneselcasodelas
búltimasecuaciones. Porlotanto,haydosdependencias

156. 142 CAPÍTULO4BLOQUESALEATORIZADOS,CUADRADOS LATINOSYDISEÑOSRELACIONADOS
linealesenlasecuacionesnormales,locualimplicaquedebenimponersedosrestriccionespararesolver
laecuación4-18.Lasrestriccionesusualesson
!ri=O
i=l
(4-19)
Alutilizarestasrestricciones,lasecuacionesnormalessesimplificanconsiderablemente. Dehecho,que­
dancomo
cuyasoluciónes
abJt=Y.
bJt+bf.=y.
aJt+af=;'.
J .J
Jt=Y..
Ji=Yi.-Y..
{3j=Y.j-Y..
i=l,2,,a
j=1,2,,b
i=l,2,,a
j=1,2,,b
(4-20)
(4-21)
_ y
2
YjYj- ab
Alutilizarlasolucióndelaecuaciónnormaldelaecuación4-21,puedeencontrarseelvalorestimadoo
ajustadode
Yijcomo
Yij=Jt+ri+(Jj
=-+(-- -)+(---)
Y.Yi.Y.YjY.
=Yi.+Y.j-Y..
Esteresultadoseusóanteriormenteenlaecuación 4-13paracalcularlosresidualesdeundiseñodeblo­
quesaleatorizados.
LapruebageneraldesignificacióndelaregresiónpuedeusarSeparadesarrollarelanálisisdevarian­
zadeldiseñodebloquescompletosaleatorizados.Alutilizarlasolucióndelasecuacionesnormalesdada
porlaecuación4-21,lareducciónenlasumadecuadrados paraajustarelmodelocompletoes
a b
R(j-l,7:,{3)=Jty.+LriYi.+L(JjYj
i=l j=l
a b
=-+~(---)+~(-- - )
Y. Y.LJYi.Y.Yi.LJYjY.Yj
i=l j=l
2 a 2 b
=~'b+LYi.Yi.-~'b+L
1=1 J=l
ay2by2y2
=L_l.+L_.J--"
i=lbj=laab
cona+b-1gradosdelibertad,ylasumadecuadradosdelerrores
ab
SSE=LL Y~-R(j-l,7:,{3)
i=lj=1
a b a 2 b
=LLY~-L~-L
i=1j=1 i=1b j=1
l. 2
_'_J+L
aab
~~( - -+-)2
=LJLJYij-Yi.-YjY ..
i=1j=1

157. 4-1DlSEÑODEBLOQUESCOMPLETDSALEATORIZADOS 143
con(a-l)(b-1)gradosdelibertad.Compareestaúltimaecuacióncon SSEenlaecuación4-7.
ParaprobarlahipótesisHo:í
i=0,elmodeloreducidoes
Yij=
¡,t+(3j+Bij
queesunanálisisdevarianzadeunsolofactor.Poranalogíaconlaecuación 3-5,lareducciónenlasuma
decuadradosparaajustarelmodeloreducidoes
b 2
R(¡,t,(3)=2.:~
j=la
quetienebgradosdelibertad. Porlotanto,la sumadecuadradosdebidaa{íJdespuésdeajustar¡,ty
{(3)es
R(íl¡,t,(3)=R(¡,t,í,(3)-R(¡,t,(3)
=R(Modelocompleto)-R(Modeloreducido)
a 2 b 2 2 b 2
=2.:11:..+2.:Yj_L_2.:Yj
i=lbj=laab j=la
a 2 2
=2.:Y;-~b
i=1
expresiónqueseidentificacomolasumadecuadradosdelostratamientoscon a-1gradosdelibertad
(ecuación4-10).
Lasumadecuadradosdelosbloquesseobtieneajustandoelmodeloreducido
Yij=
¡,t+í
i+Bij
quetambiénes unanálisisde unsolofactor.Denuevacuenta, poranalogíaconlaecuación 3-5,lareduc­
ciónenlasumadecuadrados
paraajustarestemodeloes
a 2R(¡,t,í)=2.:~.
i=l
conagradosdelibertad. Lasumadecuadradosdelosbloques {(3j}despuésdeajustar¡,ty{íJes
R((31¡,t,í)=R(¡,t,í,(3)-R(¡,t,í)
=~
;=1
b
=2:
j=l
2 b
Yi.+2.:
bj=l
2 2
Y.jY.
---
aab
conb-1gradosdelibertad,lacualsehabíadadoanteriormentecomolaecuación4-11.
Se
handesarrolladolassumasdecuadradosdelostratamientos,delosbloques ydelerroreneldise­
ñodebloquescompletosaleatorizadosutilizandola
pruebageneraldesignificacióndelaregresión. Aun
cuandola pruebageneraldesignificacióndelaregresión noseusaríaordinariamente parahacerelanáli­
sisrealdelosdatos enunbloquecompletoaleatorizado, enocasioneselprocedimientoresultaútil endi­
señosdebloquesaleatorizadosmásgenerales,comolosqueserevisan
enlasección4-4.

158. 144 CAPÍTULO4BLOQUESALEATORIZADOS,CUADRADOS LATINOSYDISEÑOSRELACIONADOS
Análisisexactodel problemadelvalorfaltante
Enlasección4-1.3sepresentóunprocedimientoaproximado parasolucionarlasobservacionesfaltantes
en
elRCBD.Esteanálisisaproximadoconsisteenestimarelvalorfaltantedetalmodoqueseminimiceel
cuadradomediodelerror.Puededemostrarsequeelanálisisaproximadoproduce
uncuadradomedio
sesgadodelostratamientosenelsentidodeque
E(MSnatamientos)esmayorque
E(M8E)silahipótesisnula
esverdadera.Porconsiguiente,sereportandemasiadosresultadossignificativos.
Elproblemadelvalorfaltantepuedeanalizarseexactamenteutilizandolapruebageneralde
significacióndelaregresión.Elvalorfaltantehacequeeldiseñosea
nobalanceado,ydadoqueno todos
lostratamientosocurrenentodoslosbloques,sedicequelostratamientosylosbloquesnoson
ortogona­
les.
Estemétododeanálisistambiénseusa entiposmásgeneralesdediseñosdebloquesaleatorizados;el
temaseanalizaconmayoramplitudenlasección
4-4.Enelproblema4-26selepide allectorquerealice
elanálisisexacto paraundiseñodebloquescompletosaleatorizadoscon unvalorfaltante.
4~2DISEÑODECUADRADO LATINO
Enlasección4-1seintrodujoeldiseñodebloquescompletosaleatorizadoscomo undiseñoparareducir
elerrorresidualdeunexperimentoaleliminarlavariabilidaddebidaa
unavariableperturbadoraconoci­
daycontrolable.Hayotrostiposdediseñosqueutilizanelprincipiodelaformacióndebloques.Por
ejemplo,supongaqueunexperimentadorestudialosefectosquetienencincoformulacionesdiferentes
delacargapropulsorautilizadaenlossistemasdeexpulsióndelatripulacióndeunaviónbasadoenlara­
pidezdecombustión.Cadaformulaciónsehaceconunlotedemateriaprimaquesóloalcanzaparapro­
barcincoformulaciones.Además,lasformulacionessonpreparadasporvariosoperadores,ypuede
haberdiferenciassustancialesenlashabilidadesyexperienciadelosoperadores.Porlotanto,
alparecer
haydosfactoresperturbadoresqueserán"calculadosenpromedio"eneldiseño:loslotesdemateriapri­
maylosoperadores.Eldiseñoapropiado paraesteproblemaconsisteenprobarcadaformulaciónexac­
tamente
unavezconcadaunodeloscincooperadores.Aldiseñoresultante,ilustradoenlatabla 4-9,sele
llama
diseñodecuadradolatino. Observequeeldiseñoes unarreglocuadradoyquelascincoformula­
ciones(otratamientos)sedenotanporlasletraslatinas
A,B,C,DYE;deahíelnombredecuadradolati­
no.Seobservaquetantoloslotesdemateriaprima(renglones)comolosoperadores(columnas)son
ortogonalesalostratamientos.
Eldiseñodecuadradolatinoseusaparaeliminardosfuentesdevariabilidadperturbadora;esdecir,
permitehacerlaformacióndebloquessistemáticaendosdirecciones.Porlotanto,losrenglonesylasco­
lumnasrepresentanenrealidad
dosrestriccionessobrelaaleatorización.Engeneral,uncuadradolatino
parapfactores,ocuadradolatino pXp,esuncuadradocon prenglonesy pcolumnas.Cada unadelasp2
Tabla
4-9Diseñodelcuadradolat!noparaelproblemadelacargapropulsora
Lotesdemateria Operadores
prima 1 2 3
1
A=~ B=W c=~
2 B=17 C=24 D=30
3 C =18 D=38 E=26
4 D =26 E=31 A=26
5 E =22 A=30 B=20
4
D=24
E=27
A=27
B=23
C=29
5
E=24
A=36
B=21
C=22
D=31

159. 4-2DISEÑODECUADRADO LATINO 145
celdasresultantescontiene unadelaspletrasquecorrespondealostratamientos,ycadaletraocurre una
ysólounavezencadarenglónycolumna.Algunosejemplos decuadradoslatinosson
donde
Yijkeslaobservaciónenelrenglóni-ésimoylacolumnak-ésima paraeltratamientoj-ésimo,
flesla
mediaglobal,
a¡eselefectodelrenglóni-ésimo,
t'jeselefectodeltratamientoj-ésimo, f3keselefectodela
columnak-ésima,ySijkeselerroraleatorio.Observequese tratadeunmodelodelosefectos. Elmodeloes
completamente
aditivo;esdecir,nohayinteracciónentrerenglones,columnasytratamientos.Puesto
quehay
unasolaobservaciónencadacelda,sólosenecesitandosdelostressubíndices i,jykparadenotar
unaobservaciónparticular.Porejemplo,conreferenciaalproblemadelacargapropulsoradelatabla
4-9,sii=2 Yk=3,seencuentraautomáticamenteque j=4(formulaciónD),ysii=1 Yj=3(formula­
ción
C),seencuentraque k=3.Éstaes unaconsecuenciadequecadatratamientoaparezca unavezexac­
tamente
encadarenglónycolumna.
Elanálisisdevarianzaconsisteenhacerlaparticióndelasumadecuadradostotaldelas
N=p2ob­
servacionesenloscomponentesdelosrenglones,lascolumnas,lostratamientosyelerror,
porejemplo,
{
i=l'2,,P
Yijk=fl+a¡+t'j+f3k+Sijkj:1,2,,p
k-1,2,,p
Elmodeloestadístico deuncuadradolatinoes
(4-22)
ADCEBF
BAECFD
CEDFAB
DCFBEA
FBADCE
EFBADC
6x65x5
ADBEC
DACBE
CBEDA
BEACD
ECDAB
4x4
ABDC
BCAD
CDBA
DACB
SST=SSRenglones+SSColnmnas+SSTratamientos+SSE (4-23)
conlosrespectivosgradosdelibertad
p2-1=p-1+p-1+p-1+(p-2)(p-1)
Bajoelsupuestousualdeque
SijkesNID(O,o2),cadasumadecuadradosdelladoderechodelaecuación
4-23es,aldividirpor02,unavariablealeatoriaji-cuadradacon unadistribuciónindependiente.Elesta­
dísticoapropiado
paraprobarquenohaydiferenciasenlasmediasdelostratamientoses
F.=MSTratamientos
O MS
E
quesedistribuyecomo F
p
_
1
,
(p-2)(P-l)bajolahipótesisnula.También puedeprobarselaausenciadeefectos
delosrenglonesolaausenciadeefectosdelascolumnasformandoelcocientede
MSRengloneSoMSColumnas
conMSE'Sinembargo,puestoquelosrenglonesylascolumnasrepresentanrestriccionessobrelaaleato­
rización,estaspruebasquizánoseanapropiadas.
Enlatabla4-10sepresentaelprocedimientodecálculo paraelanálisisdevarianza.Porlasfórmulas
decálculo
paralassumasdecuadrados,seobservaqueelanálisises unaextensiónsimpledelRCBD,con
lasumadecuadradosresultantedelosrenglonesobtenidaapartirdelostotalesdelosrenglones.

160. 146 CAPÍTULO4BLOQUESALEATORIZADOS,CUADRADOS LATINOSYDISEÑOSRELACIONADOS
Tabla4-10Análisisdevarianzadeldiseñodelcuadradolatino
Fuentede Gradosde
variación Sumadecuadrados libertad
1i2y.
2
.
Tratamientos SSTratamientns=
p.Y.j.-N p-1
J=l
1P 2
Renglones
SS 2:2Y...
p-1Renglnnes=p.Yi..-N
1=1
1P 2
Columnas SS=-2:y
2
_L. p-1
_Cnlumnasp ..kN
k=l
Error SSE(porsustracción) (p-2)(P-1)
?
Total SST=2:2::fY~k-Yj¡ p2-1
1J
Cuadradomedio
SSTratamientns
p"":l
SSRenglnnes
p:-1
SSColumnas
p-l
SSE
(p-2)(p-1)
F=MSTratamientns
o MS
E
EJEMPLO 4~3 '~ .
Considereelproblemadelacargapropulsoradescritopreviamente,dondetantoloslotesdemateriapri­
macomolosoperadoresrepresentanrestriccionessobrelaa1eatorización.Eldiseño paraesteexperi­
mento,elcualsemuestra
enlatabla4-9,es uncuadradolatino5 x 5.Despuésdecodificarlosdatos
restando
25decadaobservación,seobtienenlosdatosdelatabla4-11.Lassumasdecuadradosdeltotal
deloslotes(renglones)
ylosoperadores(columnas)secalculande lasiguientemanera:
2
SST=
LLL Y:k-~
ijk
(10)2
=
680---=676.00
25
1P 2
SS=
_"2 _Y...
Lotesp~Yi..N
=2:.[(-14)2+9
2
+5
2
+3
2
+7
2
]_(10)2= 6800
5 25 .
1P 2
SS-_"2_~
Operadores- pLJY.kN
k=l
=2:.[(-18)2+18
2+(_4)2+5
2
+9
2
]_(10)2=150.00
5
25
Tabla
4-11Datoscodificadospara elproblemadelacargapropulsora
Lotesde
Operadores
materiaprima
1 2 3 4 5 Yi..
1 A=-1 B=-5 C=-6 D=-l E=-1 -14
2 B =-8 C=-l D=5 E=2 A=11 9
3 C=-7 D=13 E=1 A=2 B=-4 5
4 D=1 E=6 A=1 B=-2 C=-3 3
5 E=-3 A=5 B=-5 c=4 D=6 7
Y..k -18 18 -4 5 9 10=Y..

161. 4-2DISEÑO DECUADRADO LATINO 147
Tabla4-12Análisisdevarianzadelexperimentodelacargapropulsora
Fuentedevariación
Formulaciones
Lotesdemateria'prima
Operadores
Error
Total
Sumade Gradosde Cuadrado
cuadrados libertad medio
330.00 4 82.50
68.00 4 17.00
150.00 4 37.50
128.00
12 10.67
676.00 24
7.73
ValorP
0.0025
Lostotalesparalostratamientos(lasletraslatinas)son
Letralatina
A
B
e
D
E
Totaldeltratamiento
y.!.=18
Y.2.=-24
Y.3.=-13
YA.=24
Y.s.=5
Lasumadecuadradosqueresultadelasformulacionessecalculaapartirdeestostotalescomo
1P 2
SS
-_"2_~
Formulaciones- p~Yj.N
J=l
=18
2
+(-24)2+(_13)2+24
2
+5
2
5
(10)2=330.00
25
La sumadecuadradosdelerrorseencuentra porsustracción:
SSE=SST-SSLotes-SSOperadores-SSFormulacioncs
=676.00-68.00-150.00-330.00=128.00
Elanálisisdevarianzaseresumeenlatabla4-12.Seconcluyequehay
unadiferenciasignificativaen
larapidezdecombustiónmediagenerada
porlasdiferentesformulaciones de'lacargapropulsora.Tam­
biénhayindiciosdeque
haydiferenciasentrelosoperadores, porloquelaformacióndebloquesdeeste
factorfue
unabuenaprecaución.Nohayevidenciasólidade unadiferenciaentreloslotesdemateriapri­
ma,
porloquealparecerenesteexperimentoparticularhubo unapreocupacióninnecesariaenestafuen­
tedevariabilidad.Sinembargo,laformación debloquesdeloslotesdemateriaprimaes
porlogeneral
unabuenaidea.
.........................................................................
Comoencualquierproblemadediseño,elexperimentadordeberíainvestigarlaadecuacióndelmo­
deloinspeccionandoygraficandolosresiduales.Parauncuadradolatino,losresidualesestándados
por
eijk=Yijk-
Yijk
- ---+T
-Yijk-Yi..-Yj.-Y.kY..
Ellectordeberáencontrarlosresidualesdelejemplo4-4yconstruirlasgráficasapropiadas.
\

162. CuadradoslatinosestándaresYnúmerodecuadradoslatinosdevariostamaños·
Thmaño 3x34x4 5x5 6x6 7x7 pxp
ABC P
BCD A
CDE B
PAB...(P-l)
94085641
ABC ABCD ABCDE ABCDEF ABCDEFG
BCA BCDA BAECD BCFADE BCDEFGA
CAB CDAB CDAEB CFBEAD CDEFGAB
DABC DEBAC DEABFC DEFGABC
ECDBA EADFCB EFGABCD
FDECBA FGABCDE
GABCDEF
16,942,080
Ejemplosde
cuadradosestándares
Númerodecuadrados
estándares
Númerototalde
cuadradoslatinos
12 576 161,280 818,851,200 61,479,419,904,000 p!(P-1)!x
(númerode
cuadradosestándares)
"Partedelainformacióndeestatablaseencuentra enStatisticalTablesforBiological,
Agn"cul/llralandMedicalResearc1J,4a.edición,deR.AFisheryEYates,Oliver &Boyd,
Edimburgo.
Espocoloquesesabedelaspropiedades deloscuadradoslatinosmásgrandes que7 x7.
Auncuadradolatino enelqueelprimerrenglón ylaprimeracolumnaconstandeletrasescritas en
ordenalfabéticoselellama cuadradolatinoestándar, queeseldiseño queseutilizóenelejemplo4-3.
Siempreesposible
obteneruncuadradolatino estándarescribiendoelprimerrenglónenordenalfabéti­
coyescribiendodespuéscadarenglónsucesivocomo
lasucesióndeletras queestánjustoarriba,recorri­
das
unlugaralaizquierda. Enlatabla4-13seresumenvarioshechosimportantesacercadeloscuadrados
latinosydeloscuadradoslatinosestándares.
Comoconcualquierdiseñoexperimental,lasobservacionesdelcuadradolatino
deberántomarsede
maneraaleatoria.Elprocedimientodealeatorizacióncorrectoesseleccionandoalazarelcuadradoem­
pleado.Comoseobserva
enlatabla4-13,hay ungrannúmerodecuadradoslatinosde untamañoparticu­
lar,
porloqueesimposible enumerartodosloscuadradosyseleccionar unoalazar.Elprocedimiento
usualesseleccionar
uncuadradolatinode unatabladeestosdiseños,como enFisheryYates[45], Ydes­
puésarreglaralazarel
ordendelosrenglones,lascolumnasylasletras. Estoseanalizaconmayordetalle
enFisheryYates[45].
Ocasionalmente,falta
unaobservaciónenuncuadradolatino.Parauncuadradolatino pxp,elvalor
faltante
puedeestimarsecon
(
~+'.+ ')-2 'Py,..Y¡.Y..k Y..
Yijk=(p_2)(p-l)
(4-24)
dondelasprimasindicanlostotalesdelrenglón,lacolumnayeltratamientoconelvalorfaltante,yY:.es
elgrantotalconelvalorfaltante.
Loscuadradoslatinos
puedenserútilesensituacionesenlasquelosrenglonesylascolumnasrepre­
sentanlosfactoresqueelexperimentador enrealidadquiereestudiar yenlasquenohayrestriccionesso­
brelaaleatorización.Porlotanto,lostresfactores(renglones,columnasyletras),cada unoconpniveles,
puedeninvestigarseensólop2corridas.Enestediseñosesupone quenoexisteinteracción entrelosfacto­
res.Se
abundarámásadelantesobreel temadelainteracción.
Réplicasdecuadradoslatinos
Unadesventajadeloscuadradoslatinospequeñoses queproporcionanunnúmerorelativamentepeque­
ñodegradosdelibertaddelerror.Porejemplo,
uncuadradolatino3 x 3sólotienedosgradosdelibertad
delerror,
uncuadradolatino4 x 4'sólotieneseisgradosdelibertaddelerror,etc.Cuandose usancua­
dradoslatinospequeños,confrecuenciaesdeseable
hacerréplicasdelosmismos paraincrementarlos
gradosdelibertaddelerror.

163. 4-2DISEÑODECUADRADO LATINO 149
Tabla4-14Análisisdevarianzadeuncuadradolatinoconréplicas, caso1
Fuentede Gradosde
variación Sumadecuadrados libertad Cuadradomedio
Tratamientos
Renglones
Columnas
Réplicas
Error
Total
1P 2
" 2y....
n'PL...Y.j..-Ji
)~1
1P 2
" 2y....
n'PL...Yi."-Ji
l=l
1P 2
" 2y....
n'PL...Y..k.-Ji
k~l
1tI 2
" 2y....
P
2L...Y...l-Ji
1=1
Sustracción
p-1
p-1
p-1
n-1
(p-l)[n(p+1)-3]
np2-1
SSTratamientos
p-1
SSRenglones
p-1
SSColumnas
p-1
SSRéPlicas
n-1
SSE
(p-1)[n(p+1)-3]
MSTratamiemos
MS
E
Existenvariasmanerasdehacerréplicasde uncuadradolatino.Parailustrarestepunto,supongaque
sehacen
nréplicasdelcuadradolatino5 x 5utilizado enelejemplo4-3.Estopodríahabersehechodela
manerasiguiente:
1.Usandolosmismoslotesyoperadores encadaréplica.
2.Usandolosmismoslotesperooperadoresdiferentesencadaréplica(o,demaneraequivalente,
usandolosmismosoperadoresperolotesdiferentes).
3.Usandodiferenteslotesydiferentesoperadores.
Elanálisisdevarianzadependedelmétodoutilizado
parahacerlasréplicas.
Considereelcaso
1,dondeencadaréplicaseusanlosmismosnivelesdelosfactoresparalaformación
debloquesenlosrenglonesylascolumnas.Sea Yijkllaobservacióndelrenglón i,eltratamientoj,lacolumna
kylaréplical.Hayentotal N=np2observaciones.Elanálisisdevarianzaseresume enlatabla4-14.
Considereahoraelcaso2 ysupongaque
encadaréplicaseusannuevoslotesdemateriaprimapero
losmismosoperadores.Porlotanto,hayahoracinconuevosrenglones(engeneral,pnuevosrenglones)
Tabla
4-15Análisisdevarianzadeuncuadradolatinoconréplicas,caso2
Fuentede
variación
Tratamientos
Renglones
Columnas
Réplicas
Error
Total
Sumadecuadrados
1P 2
" 2y....
n'PL...Y.j..-Ji
)=1
1~~ ?~ Y~..
Pf;tf;tYi~.l-f;tp2
1P 2
" 2y....
n'PL...Y..k.-Ji
k=1
1~ 2 Y.~..
P
2L...Y...l-Ji
1=1
Sustracción
Gradosde
libertad
p-1
n(p-1)
p-1
n-l
(p-l)(np-1)
np2-1
Cuadradomedio
SSTratamientos
p-1
sSRenglones
n(p
-1)
SSColumnas
p-1
SSRéPlieas
n-1
SSE
(p-l)(np-1)
MSTratamientos

164. 150 CAPÍTULO4BLOQUESALEATORIZADOS, CUADRADOS LATINOSYDISEÑOSRELACIONADOS
Tabla4-16Análisisdevarianzadeuncuadradolatinoconréplicas,caso3
Fuentede Gradosde
variación Sumadecuadrados libertad
1p 2
Tratamientos
L 2y....
p-1
np.Y·j··-N
J~1
1nP ., 11
?
Renglones···-LLYi~./-L
r.l
n(p':"'1)?
P/=1i=1 /~1
p.
1nP lJ
Y=./
Columnas p~~ y.
2
H-~
7
n(p-1)
1n 2
Réplicas
L 2y....
n-1
p2Y"'/-N
1~1
Error Sustracción (p-l)[n(p-1)-1]
?
Total LLLLY~H-r .. np2-1
ijk/ N
Cuadradomedio
SSTratamientos
p-1
SSReng¡Ones
n(p-1)
SSColuronas
n(p-1)
SSRéPliCas
n-1
SSE
(p-l)[n(p-1)-1]
A1STratamientos
MS
E
dentrodecadaréplica. Elanálisisdevarianzaseresume enlatabla4-15.Observequelafuentedevaria­
cióndelosrenglonesmide
enrealidadlavariación entrelosrenglonesdentrodelas nréplicas.
Porúltimo,considereelcaso3,dondeseusannuevoslotesdemateriaprimaynuevosoperadores
en
cadaréplica.Ahoralavariaciónqueresultatantodelosrenglonescomodelascolumnasmidelavaria­
ciónqueresultadeestosfactoresdentrodelasréplicas.
Elanálisis.devarianzaseresume enlatabla4-16.
Hayotrosenfoques
paraanalizarcuadradoslatinosconréplicasquepermiten lapresenciadealgu­
nasinteraccionesentretratamientosycuadrados(referirsealproblema4-19).
Diseñosalternadosydiseñosbalanceados paraefectosresiduales
Ocasionalmenteaparece unproblemaenelquelosperiodosson unodelosfactoresdelexperimento. En
general,hay ptratamientosquedebenprobarseen pperiodosutilizando npunidadesexperimentales. Por
ejemplo,unanalistadeldesempeñohumanoestáestudiandoelefectodedosfluidosderestitución para
ladeshidrataciónen20sujetos.Enelprimerperiodo,a lamitaddelossujetos(elegidosalazar)se lead­
ministraelfluido
Ay alaotramitadelfluido B.Altérminodelperiodosemidelarespuesta,ysedeja
transcurrir
unlapsoenelqueseeliminacualquierefectofisiológico delosfluidos.Despuéselexperimen­
tadorhacequelossujetosquetomaronelfluido AtomenelfluidoByaquellosquetomaronelfluido Bto­
menelfluidoA.Aestediseñoselellamadiseñoalternadooentrecruzado.Seanalizacomo unconjunto
de10cuadradoslatinoscondosrenglones(losperiodos)ydostratamientos(lostiposdefluido).Lasdos
columnas
encadaunodelos10cuadradoscorrespondenalossujetos.
Enlafigura4-7semuestra ladisposicióndeestediseño.Observequelosrenglonesdelcuadradolati­
norepresentanalosperiodosyquelascolumnasrepresentanalossujetos.Los10sujetosquereCibieron
primeroelfluido
A(1,4,6,7,9,12, 13,15,17Y19)sedeterminaronalazar.
Cuadradoslatinos
I Il ID IV V VI Vil VID IX X
------------------
Sujeto 12 34 5 6 78 9 10Il121314151617 181920
Periodo1 ABB ABAA BAB B AA BABABAB
Periodo2 BAA BAB B ABA A B B ABABABA
Figura4·7 Undiseñoalternado.

165. 4-3DISEÑODECUADRADO GRECOLATINO 151
Tabla4-17Análisisdevarianza
deldiseñoalternado
dela
figura4-7
Fuentede
variación
Sujetos(columnas)
Periodos(renglones)
Fluidos(letras)
Error
Total
Gradosde
libertad
19
1
1
18
39
Enlatabla4-17seresumeunanálisisdevarianza. Lasumadecuadradosdelossujetossecalcula
comolasumadecuadradosentrelostotales delos
20sujetoscorregida,lasumadecuadradosdelospe­
riodoseslasumadecuadradosentrelosrenglonescorregida,
ylasumadecuadradosdelosfluidossecal­
culacomolasumadecuadradosentrelostotalesdelasletrascorregida.Paramásdetallesdelanálisis
estadísticodeestosdiseños,verCochran
yCox[26],John[61d] yAndersonyMcLean[2].
Tambiénesposibleempleardiseñostipocuadradolatino paraexperimentosenlosquelostratamien­
tostienenun
efectoresidual; esdecir,porejemplo, silosdatosdelfluido Benelperiodo2siguenreflejan­
doalgúnefectodelfluido Atomadoenelperiodo 1.EnCochranyCox[26]yJohn[61d]seestudianen
detallelosdiseñosbalanceadosparaefectosresiduales.
.
4~3DISEÑODECUADRADO GRECOLATINO
Considereuncuadradolatino pxpalcualselesuperponeunsegundocuadradolatino pxpenelque
lostratamientossedenotanconletrasgriegas. Sicuandosehacelasuperposiciónlosdoscuadradostie­
nenlapropiedaddequecadaletragriegaapareceuna
ysólounavezconcadaletralatina,sedicequelos
doscuadradoslatinosson 011ogonales,yaldiseñoobtenidoselellama cuadradogrecolatino. Enlatabla
4-18semuestraunejemplodeuncuadradogrecolatino4 x 4.
Eldiseñodecuadradogrecolatinopuedeusarse paracontrolarsistemáticamentetresfuentesdeva­
riabilidadextraña,esdecir,parahacerlaformacióndebloquesen
tresdirecciones.Eldiseñopermitela
investigacióndecuatrofactores(renglones,columnas,letraslatinas
yletrasgriegas),cadauna conpnive­
lesensólo
p2corridas.Existencuadradosgrecolatinos paratodap
::::3,exceptop=6.
Tabla4-18Diseñodelcuadradogrecolatino4 X4
Columna
Renglón
1 2 3 4
1 Aa Bf3 Cy
Do
2 Ba Ay Df3 Ca
3 Cf3 Da Aa By
4 Dy Ca Ba Af3

166. ~"l
I
152 CAPÍTULO4BLOQUESALEATORIZADOS,CUADRADOS LATINOSYDISEÑOSRELACIONADOS
Tabla4-19Análisisdevarianzadeundiseñodelcuadradogrecolatino
Fuentedevariación Sumadecuadrados Gradosdelibertad
Tratamientosconletraslatinas
Tratamientosconletrasgriegas
Renglones
Columnas
Error
Total
1P 2
SS
=-"2_~
LpL..Y.
j
••N
j~l
1P 2
SS=-"2_~
GpL..Y..k.N
k~l
1P 2
SS" 2y....
Renglones=-pL..h..-¡:¡
1=1
1P 2
SS--"2_~
Columnas-pL..Y.../ N
/~l
SSE(porsustracción),
SS"" ~"2r..T=L..L..L..L..Yijk/-¡:¡
/ j kI
p-l
p-l
p-l
p-l
(P-3)(P-l)
Elmodeloestadístico paraeldiseñodecuadradogrecolatinoes
{
i
=1,2,,P
j=1,2,,P
Yijk/=j-l+e¡+T¡+Wk+\jI/+8ijklk=l2
. , , ,P
l=1,2,,P
(4-25)
dondeYijkleslaobservacióndelrenglón iylacolumnalparalaletralatinajylaletragriegak,e¡eselefecto
delrenglóni-ésimo,T¡eselefectodeltratamientode letralatinaj,W
keselefectodeltratamientode letra
griegak,'PIeselefectodelacolumna l,y8ijklesuncomponenteNID(O,0"')delerroraleatorio.Sóloson
necesariosdosdeloscuatrosubíndices
paraidentificarcompletamente unaobservación.
Elanálisisdevarianzaesmuyparecidoalde uncuadradolatino.Puestoquelasletrasgriegasapare­
cenexactamente
unavezencadarenglónycolumna,yexactamente unavezconcadaletralatina,elfactor
representado
porlasletrasgriegasesortogonalalosrenglones,lascolumnasylostratamientosdeletras
latinas.
Porlotanto,puedecalcularseunasumadecuadradosdebidaalfactordelasletras
gtiegasapartir
delostotalesdelasletrasgriegasyel errorexperimentalsereduceadicionalmente enestacantidad.Enla
tabla4-19
seilustranlosdetallesdeloscálculos. Lahipótesisnuladelaigualdaddetratamieñtosderen­
glones,columnas,letraslatinasyletrasgriegas,se
probaríadividiendoelcuadradomediocorrespondien­
teporelcuadradomediodelerror. Laregiónderechazoeslacolasuperiordel puntodeladistribución
Fp_1,(P-3)(P-l)'
EJEMPLO
4,4 .
Supongaque enelexperimentode lacargapropulsoradelejemplo4-3 unfactoradicional,losmontajes
deprueba,
podríaserimportante.Seaquehayacincomontajesde pruebadenotadosporlasletrasgriegas
a,{3,y,
oY8.Enlatabla4-20semuestraeldiseñodecuadradogrecolatino5 x 5resultante.
Observeque,debidoaquelostotalesdeloslotesde
materiaprima(renglones),losoperadores(co­
lumnas)ylasformulaciones(letraslatinas)sonidénticosalosdelejemplo4-3,setiene
SSLotes=68.00 SSOperadores=150.00y
SSFormula~iones =330.00

167. 4-3DISEÑODECUADRADO GRECOLATINO 153
Tabla4-20Diseñodelcuadradogrecolatinopara elproblemadelacargapropulsora
Lotesde
Operadores
materiaprima 1 2 3
4 5
Yi...
1 Aa=-1 By=-5 Cs=-6 Df3=-1 Ea=-1 -14
2 Bf3=-8 Ca=-1 Da=5 Ey=2 As=11 9
3 Cy=-7 De=13 Ef3=1 Aa=2 Ba=--4 5
4 Do=1 Ea 6 Ay=1 Be=-2 Cf3=-3 3
5 Ee=-3 Af3=5 Ba=-5 Ca= 4 Dy=6 7
Y.../ -18 18 --4 5 9 10=Y....
Lostotalesdelosmontajesde prueba(lasletrasgriegas)son
Letragriega
a
f3
y
o
Totaldelapruebadeensamblaje
Y..1.=10
Y..2.= -6
Y..3.= -3
Y.A.=-4
Y..s.=13
Porlotanto, lasumadecuadradosdebidaalosmontajesde pruebaes
1P 2
SS-_"2_~
Ensamblajes- pLJY.k.N
k=l
1 (10)2
=-[10
2
+(_6)2+(_3)2+(_4)2+13
2
]---=62.00
5 25
Enlatabla4-21seresumeelanálisisdevarianzacompleto.Lasformulacionessondiferentessignificati­
vamente
en1%.Alcompararlastablas4-21y4-12,seobservaquealsacarlavariabilidaddebidaalos
montajesdeprueba,el
errorexperimentaldisminuye.Sinembargo,aldisminuirel errorexperimental,se
hanreducidotambiénlosgradosdelibertadde12(en
eldiseñodelcuadradolatinodelejemplo4-3)a 8.
Porlotanto, laestimacióndel errortienemenosgradosdelibertad,y lapruebapuedesermenossensible.
Tabla
4-21Análisisdevarianzadelproblema delacargapropulsora
Fuentedevariación
Sumade Gradosde
cuadrados libertad
Cuadrado
medio Valor
P
Formulaciones
Lotesdemateriaprima
Operadores
Montajesde
laprueba
Error
Total
330.00
68.00
150.00
62.00
66.00
676.00
4
4
4
4 8
24
82.50
17.00
37.50
15.50
8.25
10.00 0.0033

168. r
154 CAPÍTULO4BLOQUESALEATORIZADOS,CUADRADOSLATINOSYDISEÑOSRELACIONADOS
Puedehacerseciertaampliacióndelconceptodelosparesortogonalesdecuadradoslatinosquefor­
manuncuadradogrecolatino.
Unhipercuadradopxpesundiseñoenelquesesuperponentresomás
cuadradoslatinosortogonales
pxp.Engeneral,hasta p+1factorespodríanestudiarse sisedisponede
unconjuntocompletode p
-1cuadradoslatinosortogonales. Enestediseñoseutilizaríantodoslos (p+
1)(P-1)=p2-1gradosdelibertad, porloquesenecesita unaestimaciónindependientedelavarianza
delerror.Desdeluego,nodebehaberinteraccionesentrelosfactorescuandoseusanhipercuadrados.
4~4DISEÑOSDEBLOQUESINCOMPLETOSBALANCEADOS
Enciertosexperimentosenlosqueseutilizandiseñosdebloquesaleatorizadosquizánoseaposibleco­
rrertodaslascombinacionesdelostratamientosencadabloque.Situacionescomoéstaocurrengeneral­
mente
porlimitacionesdelaparatoexperimentalodelasinstalacioneso poreltamañofísicodelbloque.
Porejemplo,enelexperimentodelapruebadeladureza(ejemplo4-1),supongaquedebidoasusdimen­
sionescadaejemplardepruebasólopuedeusarse
paraprobartrespuntas.Porlotanto,noesposiblepro­
bartodaslaspuntasencadaunodelosejemplares.Paraestetipodeproblemaesposibleutilizardiseños
debloquesaleatorizadosenlosquecadatratamientonoestápresenteencadabloque.Estosdiseñosse
conocencomodiseñosdebloquesincompletosaleatorizados.
Cuandolascomparacionesdetodoslostratamientossonigualmenteimportantes,lascombinaciones·
delostratamientosusadasencadabloquedeberánseleccionarseenunaformabalanceada,esdecir,de
talmaneraquecualquierpardetratamientosocurraconjuntamenteelmismonúmerodevecesquecual­
quierotropar.Porlotanto,undiseñodebloquesincompletosbalanceados(BIBD,
balancedincomplete
blockdesign)
esundiseñodebloquesincompletosenelquedostratamientoscualesquieraaparecencon­
juntamenteelmismonúmerodeveces.Supongaque
hayatratamientosyquecadabloquepuedeconte­
nerexactamente
k(k<a)tratamientos.Undiseñodebloquesincompletosbalanceadospuede
construirsetomando
(~)bloquesyasignandounacombinacióndetratamientosdiferenteacadabloque.
Confrecuencia,sinembargo,puedeobtenerseundiseñobalanceadoconmenosde(~)bloques.Tablasde
BIBDseproporcionanenFisheryYates
[45],Davies[36]yCochranyCox [26].
Comounejemplo,supongaqueuningenieroquímicopiensaqueeltiempodereacciónde unproceso
químicoesunafuncióndeltipodecatalizadorempleado.Seestáninvestigandocuatrocatalizadores.El
procedimientoexperimentalconsisteenseleccionar
unlotedemateriaprima,cargar
l~plantapiloto,
aplicarcadacatalizadorenunacorridaseparadadelaplantapilotoyobservareltiempodereacción.De­
bidoaquelasvariacionesenloslotesdemateriaprimapuedenafectareldesempeñodeloscatalizadores,
elingenierodecideusarloslotesdemateriaprimacomobloques.Sinembargo,cadaloteesapenaslosu­
ficientementegrandeparapermitirquesepruebentrescatalizadores.Porlotanto,debeusarseundiseño
Tabla
4-22Diseñodebloquesincompletosbalanceadosparael
experimentodelcatalizador
TratamientoBloque(lotedemateriaprima)
(catalizador)1 2 3 4
Yi.
1 73 74 71 218
2 75 67 72 214
3 73 75 68 216
4 75 72 75 222
221 224 207 218 870=y..

169. 4-4DISEÑOSDEBLOQUESINCOMPLETOS BALANCEADOS 155
debloquesincompletosaleatorizados.Eldiseñodebloquesincompletosbalanceadosparaesteexperi­
mento,juntoconlasobservacionesregistradas,semuestran
enlatabla4-22.Elordenenquesecorrenlos
catalizadoresencadabloqueestáaleatorizado.
4~4:1Análisisestadísticodeldiseñodebloques incompletosbalanceados
Comodecostumbre,sesuponeque
hayatratamientosy bbloques.Además,sesuponequecadabloque
contiene
ktratamientos,quecadatratamientoocurre rveceseneldiseño(oquesehacen rréplicasdel
mismo),yquehay
N=ar=bkobservacionesentotal.Asimismo,elnúmerodevecesquecadapardetra­
tamientosapareceenelmismobloquees
A=r(k-1)
a-1
Sia=b,sedicequeeldiseñoessimétrico.
ElparámetroAdebeser unentero.ParadeducirlarelaciónparaA,considerecualquiertratamiento,
porejemploeltratamiento
1.Puestoqueeltratamiento 1apareceen rbloquesyhayotros k-1tratamien­
tosencadaunodeesosbloques,hay
r(k-1)observacionesenunbloquequecontiene altratamiento1.
Estasr(k-1)observacionestambiéntienenquerepresentaralos a-1tratamientosrestantes
Aveces.Por
lotanto,A(a-1)=r(k-1).
ElmodeloestadísticodelBIBDes
Yij=
/1+7:;+/3j+eij (4-26)
dondeYijeslaobservacióni-ésimaenelbloquej-ésimo,/1eslamediaglobal,7:¡eselefectodeltratamiento
i-ésimo,/3jeselefectodelbloquej-ésimo,yeijeselcomponenteNID(O,02)delerroraleatorio. Lavariabi­
lidadtotal
enlosdatosseexpresaporlasumadecuadradostotalescorregida:
(4-27)
Puedehacerselaparticióndelavariabilidadtotalen
SST=SSTratamientos(ajustados)+SSBIoques+SSE
dondelasumadecuadradosdelostratamientosestáajustada parasepararlosefectosdelostratamientos
ydelosbloques.Esteajusteesnecesarioporquecadatratamientoestárepresentadoen
unconjuntodife­
rentederbloques.Porlotanto,lasdiferenciasentrelostotalesdelostratamientosno
ajustadosyl.oY2.0oo.,
Ya.tambiénsonafectadasporlasdiferenciasentrelosbloques.
Lasumadecuadradosdelosbloques
es
1b 2
l
SSBloques=kLY.j-N
J=1
(4-28)
donde
Yjeseltotaldelbloquej-ésimo. SSBloqueStieneb-1gradosdelibertad. Lasumadecuadradosdelos
tratamientosajustadaes
SS
;=1
Tratamientos(ajustados)=
--'--'A'---a-- (4-29)

170. 156 CAPÍTULO4BLOQUESALEATORIZADOS,CUADRADOS LATINOSYDISEÑOSRELACIONADOS
Tabla4-23Análisisdevarianzadeldiseñodebloquesincompletosbalanceados
Fuentede Gradosde
variación Sumadecuadrados libertad Cuadradomedio
Tratamientos k¿(J2
a-l
SSTratamientoS(3jUstadOS)
(ajustados)
Aa a-l
1 2
SSBloques
Bloques k¿Y~-~
b-l
b-1
Error SSE(porsustracción)N-a-b+1
SSE
N-a-b+l
?
Total ¿¿Y~-~ N-l
dondeQ¡eseltotalajustadodeltratamientoi-ésimo,elcualsecalculacomo
1b
Q¡=Yí.-y¿Lnijy.¡i=1,2,...,a
¡=1
E=MSTratamieotoS(.just.dOS)
o MS
E
(4-30)
conn
í
¡=1sieltratamiento iapareceenelbloquejynij=Oencasocontrario.Lostotales delostratamien­
tosajustadossiempre
sumaráncero.SS1tatamientos(ajustados)tienea-1gradosdelibertad. Lasumadecuadra­
dosdel
errorsecalculaporsustraccióncomo
SSE=SST-SSTratamientos(njustados)- SSBloques
ytieneN-a-b+1gradosdelibertad.
Elestadísticoapropiado paraprobarlaigualdaddelosefectosdelostratamientoses
F.=MSTratamientos(ajustadOS)
o MS
E
Enlatabla4-23seresumeelanálisisdevarianza.
(4-31)
EJEMPLO
4~5 .
Considerelosdatosdelatabla4-22 paraelexperimentodelcatalizador.Se tratadeunBIBDcona=4,
b=4,k=3,r=3,A=2 YN=12.Elanálisisdeestosdatoseselsiguiente. Lasumadecuadradostotales
?
SST=L¡Y~-~.;
1 J
=63156-(870)2=81.00
, 12
Lasumadecuadradosdelosbloquesse encuentraconlaecuación4-28como
14 2
SS =
-"2_2:'::...
Bloques3.L.JY.¡12
J=l

171. 4-4DISEÑOSDEBLOQUESINCOMPLETOS BALANCEADOS 157
Tabla4-24Análisisdevarianzadelejemplo4-5
Fuentedevariación
natamientos(ajustados
paralosbloques)
Bloques
Error
lbtal
Sumade
cuadrados
22.75
55.00
3.25
81.00
Gradosde Cuadrado
libertad medio
Fo ValorP
3 7.58 11.66 0.0107
3
5 0.65
11
22.75
Paracalcularlasumadecuadradosdelostratamientosajustados paralosbloques,primerosedeterminan
lostotales delostratamientosajustadosutilizandolaecuación4-30como
Q1=(218)-
+(221+224+218)=-9/3
Q2=(214)-+(207+224+218)=-7/3
Q3=(216)-+(221+207+224)=-4/3
Q4=(222)-+(221+207+218)=20/3
Lasumadecuadradosdelostratamientosajustadossecalculaconlaecuación4-29como
4
k¿Q;
SSTratamientos(ajustlldOS)=---"i==~-a-
3[(-9/3)2+(-7/3)2+(-4/3)2+(20/3)2]
(2)(4)
Lasumadecuadradosdelerrorseobtieneporsustraccióncomo
SSE=SST-SSTratamientos(aju~tados) -SSBloques
=81.00-22.75-55.00=3.25
Enlatabla4-24semuestraelanálisisdevarianza.Puestoqueelvalor Pespequeño,seconcluyequeelca­
talizadorempleadotieneunefectosignificativosobreeltiempodereacción.
Sielfactorbajoestudio esfijo,laspruebasparalasmediasdetratamientosindividualespuedenser
deinterés.Siseempleancontrastesortogonales,loscontrastesdebenhacersesobrelostotalesdelostra­
tamientosajnstados,las
{Q)enlugardelas{Ji¡).Lasumadecuadradosdeloscontrastes es
k(!C
iQ
i)2
SSe=---,-_1=_1---'--
Aa!c;
i=l
donde{c)sonloscoeficientesdeloscontrastes.Puedenusarseotrosmétodosdecomparaciónmúltiple

172. 158 CAPÍTULO4BLOQUESALEATORIZADOS,CUADRADOS LATINOSYDISEÑOSRELACIONADOS
paracomparartodoslosparesdeefectosdelostratamientosajustados(sección4-4.2),loscualesseesti­
mancon:i¡=kQJ(Aa).Elerrorestándardelefectode untratamientoajustado es
s=~kMSE
Aa (4-32)
Enelanálisisqueacabadedescribirse,se hahecholaparticióndelasumadecuadradostotalenuna
sumadecuadradosdelostratamientosajustados,
unasumadecuadradosdelosbloquessinajuste yuna
sumadecuadradosdelerror.
Enocasioneshabríainterésenevaluarlosefectosdelosbloques.Paraello
serequierehacer
unaparticiónalternativade
SSnesdecir,
SST=SSTratamientos+SSBloqnes(ajustados)+SSE
Aquí,SS1tatamientosestásinajuste. Sieldiseñoessimétrico,esdecir, sia=b,puedeobtenerseunafórmula
simplepara
SSBloques(ajustadOS)'Lostotalesdelosbloquesajustadosson
y
1a
Q~=y·--Ln ..y.
J .J r;=1 lJl.
j=1,2,...,b (4-33)
y
SS -"-i=_1 _
Bloques(ajustados)= Ab
ElBIBDdelejemplo 4-5essimétricoporque a=b=4.Porlotanto,
Q;=(221)-+(218+216+222)=7/3
Q~=(224)-+(218+214+216)=24/3
Q~=(207)-+(214+216+222)= -31/3
Q~=(218)-+(218+214+222)=O
ss. =3[(7/3)2+(24/3)2+(-31/3?+(0)2]=6608
Bloques(aJustados) (2)(4) .
(4-34)
Asimismo,
ss =(218)2+(214)2+(216)2+(222)2_(870)2_
Tratamientos 3 12-11.67
Tabla
4-25Análisisdevarianzadelejemplo4-5,incluyendotantolostratamientoscomo losbloques
Fuentedevariación
Sumade Gradosde Cuadrado
cuadrados libertad medio Valor P
Tratamientos(ajustados) 22.75 3 7.58
ltatamientos(sinajuste) 11.67 3
Bloques(sinajuste) 55.00 3
Bloques(ajustados) 66.08 3 22.03
Error 3.25 5 0.65
Total 81.0 11
11.66
33.90
0.0107
0.0010

173. 4-4DISEÑOSDEBLOQUESINCOMPLETOS BALANCEADOS 159
Enlatabla4-25se presentaunresumendelanálisisdevarianzadelBIBDsimétrico.Observequelas
sumasdecuadradosasociadasconloscuadradosmediosdelatabla4-25noproducenlasumadecuadra­
dostotal,esdecir,
SST:;z!:SSTratamientoS(ajUstados)+SSBIOqueS(ajustadOS)+SSE
Estoes consecuenciadelcarácternoortogonaldelostratamientosylosbloques.
Salidadecomputadora
Existenvarios paquetesdecomputadoraquerealizaránelanálisisdeundiseñodebloquesincompletos
balanceados.ElprocedimientodeModelosLinealesGenerales(GeneralLinearModels)delSAS esuno
deellos,y Minitab,unpaquetedeestadísticaparacomputadoraspersonalesdeusogeneralizado,es otro.
Lapartesuperiordelatabla4-26es lasalidadelprocedimientodeModelosLinealesGeneralesdeMini­
tab
paraelejemplo4-5.Alcompararlastablas4-26y4-25, seobservaqueMinitabhacalculadolasuma
decuadradosdelostratamientosajustadosy lasumadecuadradosdelosbloquesajustados(enlasalida
de
Minitabselesllama''AdjSS''oSSajustada).
Laparteinferiordelatabla4-26es unanálisisdecomparacionesmúltiples,enelqueseutilizael mé­
tododeTukey.Sepresentanlosintervalosdeconfianzaparalasdiferenciasdetodoslosparesdemediasy
la
pruebadeTukey.ObservequeelmétododeTukeyllevaríaa laconclusióndequeelcatalizador4esdi­
ferentedelosotrostres.
4~4.2 Estimacióndemínimoscuadradosdelos parámetros
ConsiderelaestimacióndelosefectosdelostratamientosenelmodeloBIBD.Lasecuacionesnormales
demínimoscuadradosson
a b
fl:Nft+r~i¡+kLPj=Y..
¡~1 j~l
b
í¡:rft+ri¡+~nijPj=Y¡.
j~l
!3j:kft+íniji¡+kPj=Y.j
i=1
i=1,2,...,a
j=1,2,...,b
(4-35)
AlimponerlasrestriccionesLi¡=LPj=O,seencuentraqueft=Y...Además,alutilizarlas ecuaciones
para{fJj}paraeliminarlosefectosdelosbloquesdelasecuacionespara{í¡},seobtiene
ba b
rki¡-ri¡-~~nijnpjip=ky¡.-~nijy.j
j~l p~l j~l
p~i
(4-36)
Observe
queelmiembrodelladoderechodelaecuación4-36es kQ¡,dondeQ¡eseltotaldeltratamiento
ajustadoi-ésimo (ver laecuación4-29).Entonces,puestoque
L~~ln¡ppj=..tsip:;z!:iyn~j=npj(yaquenpj=
Oo1),laecuación4-36puedereescribirsecomo
r(k-1)i¡-..tíip=kQ¡
p~l
p~i
i=l,2,...,a (4-37)

174. ,C'.
Tabla4-26AnálisisdeMinitab(ModeloLinealGeneral)paraelejemplo4-5
ModeloLinealGeneral
Factor TypeLeveLsVaLues
CataLystfixed 4 1 2 3 4
BLock fixed 4 1 2 3 4
AnaLysisofVarianceforTime,usingAdjustedSSforTests
Source
CataLyst
BLock
Error
TotaL
DF
3
3
5
11
SeqSS
11.667
66.083
3.250
81.000
AdjSS
22.750
66.083
3.250
AdjMS
7.583
22.028
0.650
F
11.67
33.89
P
0.011
0.001
Tukey95.0%SimuLtaneousConfidenceIntervaLs
ResponseVariabLeTime
ALLPairwiseComparisonsamongLeveLsofCataLyst
CataLyst=1subtractedfrom:
CataLyst
2
3
4
Lower
-2.327
-1.952
1.048
Center
0.2500
0.6250
3.6250
Upper
2.827
3.202
6.202
----------+---------+---------+-----­
(---------*---------)
.(----------*---------)
(----------*---------)
----------+---------+---------+------
0.0 2.5 5.0
CataLyst=2subtractedfrom:
CataLyst
3
4
Lower
-2.202
0.798
Center
0.3750
3.3750
Upper
2.952
5.952
----------+---------+---------+-----­
(---------*---------)
(----------*---------)
----------+---------+---------+------
0.0 2.5 5.0
CataLyst 3subtractedfrom:
CataLyst
4
Lower
0.4228
Center
3.000
Upper ----------+---------+---------+----~-
5.577 (---------*~--------)
----------+---------+---------+------
0.0 2.5 5.0
TukeySimuLtaneousTests
ResponseVariabLeTime
ALLPairwiseComparisonsamongLeveLsofCataLyst
CataLyst
=1subtractedfrom:
LeveL
CataLyst
2
3
4
Difference
ofMeans
0.2500
0.6250
3.6250
SEof
Difference
0.6982
0.6982
0.6982
T-VaLue
0.3581
0.8951
5.1918
Adjusted
P-VaLue
0.9825
0.8085
0.0130
CataLyst2subtractedfrom:
LeveL
CataLyst
3
4
Difference
ofMeans
0.3750
3.3750
SEof
Difference
0.6982
0.6982
T-VaLue
0.5371
4.8338
Adjusted
P-VaLue
0.9462
0.0175
CataLyst=3subtractedfrom:
LeveL
CataLyst
4
Difference
ofMeans
3.000
SEof
DifferenceT-VaLue
0.6982 4.297
Adjusted
P-VaLue
0.0281

175. 4-4DISEÑOSDEBLOQUESINCOMPLETOS BALANCEADOS 161
porúltimo,observequelarestricciónL~=1f¡=oimplicaqueL~=1f p=-f¡yrecuerdeque r(k-1)=A(a-
1),dedondeseobtiene p",¡
Aaf¡=kQ¡ i=l,2,...,a (4-38)
porlotanto,losestimadoresdemínimoscuadradosdelosefectosdelostratamientosenelmodelode
bloquesincompletosbalanceadosson
i=1,2,...,a (4-39)
Como
unailustración,considereelBIBDdelejemplo4-5.Puestoque Q1=-9/3,Q2=-7/3,Q3=-4/3
YQ4=20/3,seobtiene
f=3(-9/3)=_9/8
1(2)(4)
f=3(-4/3)=_4/8
3(2)(4)
f=3(-
7
/
3)- 7 / 8
2(2)(4)
f=3(20/3)=20/8
4(2)(4)
comoseencontróenlasección4-4.1.
4~4.3 Recuperacióndeinformacióninterbloqueseneldiseño
.debloquesincompletosbalanceados
AlanálisisdelBIBDpresentadoenlasección4-4.1suelellamárseleelanálisisintrabloquesporquelas
diferenciasdelosbloquesseeliminan
ytodosloscontrastesdelosefectosdelostratamientospueden ex­
presarsecomocomparacionesentrelasobservacionesdelmismobloque.Esteanálisisesapropiadoinde­
pendientementedesilosbloquessonfijosoaleatmios.Yates[1l3c]señalóque
silosefectosdelos
bloquessonvariablesaleatoriasnocorrelacionadasconmediascero
yvarianza
a~,esposibleobtenerin­
formaciónadicionalacercadelosefectosdelostratamientos'ti'Yatesllamóanálisisinterbloquesalmé­
todo
paraobtenerestainformaciónadicional.
Considerelostotalesdelos
b10quesYjcomounacolecciónde bobservaciones.Elmodelo paraestas
observaciones(siguiendoaJohn[61d])
es
Y.j=
k¡,t+~l1ij't¡+(k,Bj+~Sij) (4-40)
dondeeltérminoentreparéntesispuedeconsiderarsecomoelerror.Losestimadoresinterb10quesde¡,ty
'tiseencuentranminimizandolafuncióndemínimoscuadrados
b( a)2
L=~Y.j-k¡,t-~l1ij't¡
Seobtienenasílassiguientesecuacionesnormalesdemínimoscuadrados:
(4-41)
i=l,2'00"a
¡,t:Nfi+r!T¡=Y..
¡=1
a b
't¡:kr¡1+rf¡+..1.LTp=Ll1ijY.j
p=1 j=1
p;t:.i

176. 162 CAPÍTULO4BLOQUESALEATORIZADOS,CUADRADOS LATINOSYDISEÑOSRELACIONADOS
dondeííyTidenotanlosestimadoresinterbloques. Alimponerlarestricción:2::=1Ti=O,seobtienenlas
soluciones
delasecuaciones4-41como
íí=Y..
b
~n..y.-J,ay­
LJl}.} ..
j=l
T¡=~-r---..l-- i=l,2,...,a
(4-42)
(4-43)
Esposibledemostrarquelosestimadoresinterbloques
{i¡}Ylosestimadoresintrabloques{Ti}noestán
correlacionados.
Losestimadoresinterbloques{i1}puedendiferirdelosestimadoresintrabloques{Ti}.Porejemplo,
losestimadoresinterbloques
paraelBIDDdelejemplo 4-5secalculandelasiguientemanera:
i=663-(3)(3)(72.50)=10.50
1 3-2
i=649-(3)(3)(72.50)-3.50
Z 3-2
f=652-(3)(3)(72.50)-0.50
3 3-2
7:=646-(3)(3)(72.50)=-6.50
4 3-2
Observequelosvaloresde:2:~=1nijY.jseusaronenlapágina157paracalcularlostotales delostratamien­
tosajustadosenelanálisisintrabloques.
Suponga
ahoraquequierencombinarselosestimadoresinterbloqueseintrabloques paraobtener
unasolaestimacióndelavarianzamínimainsesgada decada
Ti'EsposibledemostrarqueT¡Yf1soninses­
gados
ytambiénque
y
V(~)=k(a-1)Z
Ti ..laza
(intrabloques)
(intrabloques)
Seusaunacombinaciónlineal delosdosestimadores, porejemplo
(4-44)
paraestimar
T¡.Enestemétododeestimación,el estimadorcombinadoinsesgadode lavarianzamínima
T;deberátenerlasponderacionesal=U1/(U1+uz)yaz=UZ/(u1+uz),dondeU1=
l/V(T
i
)YUz=l/V(f
i
).
Porlotanto,lasponderacionesóptimas soninversamenteproporcionalesalasvarianzas deTiYfi .Esto
implicaqueel mejorestimadorcombinadoes
T.k(a-1)(az+kaz)+7:.k(a-1)aZ
Ia(r-..l) fJ 1..la
z
T;=--:-':--...,-!------:::-:---,;-:-------
k(a-1)zk(a-1)(zkz)
~~~a + a+a
..la
z
a(r-..l) fJ
i=l,2'00"a

177. 4-4DISEÑOSDEBLOQUESINCOMPLETOS BALANCEADOS 163
quepuedesimplificarsecomo
kQi(a
2
+ka~)+(±llijY.j-lay..)a
2
* J=l
Ti= (1'-A)a
2
+Aa(a
2
+ka~)
i=l,2,...,a (4-45)
Desafortunadamente,laecuación
4-45nopuedeusarseparaestimar
Tiporquenoseconocenlasva­
rianzasa2ya~.Elenfoquecomún esestimara2ya~apartirdelosdatosysustituirestosparámetrosdela
ecuación
4-45conlasestimaciones.Laestimaciónquesueletomarse para
a2eselcuadradomediodel
errordelanálisisdevarianzaintrabloques,oel
errorintrabloques. Porlotanto,
fJ2=MS
E
Laestimacióndea~seencuentraapartirdelcuadradomediodelosbloquesajustadosparalostrata­
mientos.
Engeneral,para undiseñodebloquesincompletosbalanceados,estecuadradomedioes
k~Q2
LJ i by
2
a 2
i=l+2_.J-2Yi.
Aa j=lk i=ll'
MSBloqUeS(ajustadOS)=-'-----(b---1-)------'- (4-46)
ysuvaloresperado(cuyadeducción
sehaceenGraybill[50]) es
2a(r-1)2
E[MSBloques(ajustados)] =a+b_1afJ
Porlotanto, siMSBloqueS(ajustadOS)>MSE,laestimaciónde
fJ~es
A2 [MSBloqUeS(ajustados)- MSE](b-1)
a=------'----.:...=.-----'--------
fJ a(r-1)
(4-47)
Por
lotanto,puedensustituirse
fJ2=0.65yfJ~=8.02enlaecuación4-48a paraobtenerlasestimaciones
combinadasqueseenlistanenseguida.Porconveniencia,tambiénsepresentanlasestimacionesintrablo-
Acontinuaciónsecalculanlasestimacionescombinadasparalosdatosdelejemplo
4-5.Porlatabla
4-25seobtiene
fJ2=MSE=0.65YMSBIOques(ajustadOS)=22.03.(Observeque paracalcularMSBloqueS(ajustadOS)se
haceusodelhechodequeéste
esundiseñosimétrico. Engeneral,debeusarselaecuación4-46.)Puesto
que
MSBloques(ajustados)>MS
E
,seusalaecuación4-47paraestimar
a~como
A2(22.03-0.65)(3)
a= 8.02
fJ 4(3-1)
(4-48b)
(4-48a)
l'
T*­
i-
ysiMSBloques(ajustadOS)S;MS
E
,sehacefJ~=O.Estoresultaenelestimadorcombinado
kQ,(I)'+M;)+(~n,Y.¡-kry.JI)'
(r-A)fJ
2
+Aa(fJ
2
+kfJ~)
Yi.-(l/a)y.

178. 1'''',
164 CAPÍTULO4BLOQUESALEATORIZADOS,CUADRADOS LATINOSYDISEÑOSRELACIONADOS
queseinterbloques.Enesteejemplo,lasestimacionescombinadasestánpróximasalasestimacionesin­
trabloquesdebidoaque lavarianzadelasestimacionesinterbloques
esrelativamentegrande.
ParámetroEstimaciónintrabloques
-1.12
-0.88
-0.50
2.50
Estimacióninterbloques
10.50
-3.50
-0.50
-6.50
Estimacióncombinada
-1.09
-0.88
-0.50
2.47
4~5PROBLEMAS
4-1.Unquímicoquiere probarelefectodecuatroagentesquímicossobrelaresistenciade untipoparticularde
tela.Debidoaquepodríahabervariabilidadde
unrollodetelaaotro,elquímicodecideusar undiseñodeblo­
quesaleatorizados,conlosrollosdetelaconsideradoscomobloques.Seleccionacincorollosyaplicalos
cuatroagentesquímicosdemaneraaleatoriaacadarollo.Acontinuaciónsepresentanlasresistenciasala
tensiónresultantes.Analizarlosdatosdeesteexperimento(utilizar
a=0.05)Ysacarlasconclusiones
apropiadas.
Agente
Rollo
químico 1
2 3 4 5
1 73 68 74 71 67
2 7367 75 72 70
3 75 68 78 73 68
4 73 71 75 75 69
4-2.Seestáncomparandotressolucionesdelavadodiferentesafindeestudiarsuefectividad pararetardarel
crecimientodebacterias
encontenedoresdelechede5galones. Elanálisissehaceen unlaboratorioysólo
puedenrealizarsetresensayosen
undía.Puestoque
19sdíaspodrían representarunafuentepotencialdeva­
riabilidad,elexperimentadordecideusar
undiseñodebloquesaleatorizados.Sehacenobservacionesen
cuatrodías,cuyosdatossemuestranenseguida.Analizarlosdatosdeesteexperimento(utilizar
a=0.05)Y
sacarlasconclusionesapropiadas.
Días
Solución
1 2 3 4
1
13 22 18 39
2 16 24 17 44
3 5 4 1 22
4-3.Graficarlasresistenciasalatensiónmediasobservadas paracadatipodeagentequímicoenelproblema 4-1
ycompararlascon unadistribucióntconlaescalaciónapropiada.¿Quéconclusionessesacaríanapartirde
estarepresentacióngráfica?
4-4.Graficarlosconteosdebacteriaspromedioparacadasolución enelproblema4-2ycompararloscon unadis­
tribucióntescalada.¿Quéconclusionespuedensacarse?
4-5.Enunartículode FireSafetyJoumal("Elefectodeldiseñodeboquillas enlaestabilidadyeldesempeñode
surtidoresdeaguaturbulenta",vol.
4)sedescribeunexperimentoenelquesedeterminó unfactordelafor­
ma
paravariosdiseñosdiferentesdeboquillasconseisnivelesdelavelocidaddelflujodesalidadelsurtidor.

179. 4-5PROBLEMAS 165
Elinteréssecentró enlasdiferenciaspotenciales entrelosdiseñosdelasboquillas,conlavelocidadconside­
radacomounavariableperturbadora.Losdatosse presentanacontinuación.
Diseñodela
boquilla
1
2
3
4
5
Velocidaddelflujo
desalidadelsurtidor(m/s)
11.7314.3716.5920.4323.4628.74
0.780.80 0.81 0.75 0.77 0.78
0.85 0.85 0.92 0.86 0.81 0.83
0.930.92 0.95 0.89 0.89 0.83
1.14-0.97 0.98 0.88 0.86 0.83
0.97 0.86 0.78 0.76 0.76 0.75
a)¿Eldiseñodelaboquillaafectaelfactor delaforma?Compararlasboquillascon undiagramadedisper­
sión
yconunanálisisdevarianza,utilizando a=0.05.
b)Analizarlosresidualesdeesteexperimento.
c)
¿Quédiseñosdelasboquillassondiferentescon respectoalfactordelaforma?Trazar unagráficadel
factor
delaformapromedio paracadatipo deboquillaycompararlaconunadistribucióntescalada.
Compararlasconclusionesquesesacarona partirdeestagráficaconlas delapruebadelrangomúltiple
deDuncan.
4-6.Considereelexperimentodelalgoritmo
paracontrolarla proporcióndealúminadelcapítulo 3,sección3-8.
Elexperimentosellevóacabo enrealidadcomo undiseñodebloquesaleatorizados, enelqueseselecciona­
ronseisperiodoscomobloques, yseprobaronloscuatroalgoritmos paracontrolarlaproporción encadape­
riodo.
Elvoltajepromediodelacelda yladesviaciónestándardelvoltaje(indicadaentreparéntesis) para
cadaceldasonlossiguientes:
Algoritmo Tiempo
paracontrolar
laproporción 1 2 3 4 5 6
1 4.93(0.05)4.86(0.04)4.75(0.05)4.95(0.06)4.79(0.03)4.88(0.05)
2 4.85(0.04)4.91(0.02)4.79(0.03)4.85(0.05)4.75(0.03)4.85(0.02)
3 4.83(0.09)4.88(0.13)4.90(0.11)4.75(0.15)4.82(0.08)4.90(0.12)
4 4.89(0.03)4.77(0.04)4.94(0.05)4.86(0.05)4.79(0.03)4.76(0.02)
a)Analizarlosdatosdelvoltajepromediodelasceldas.(Utilizar a=0.05.)¿Laeleccióndelalgoritmo para
controlarlaproporciónafectaelvoltaje promediodelasceldas?
b)Realizarelanálisisapropiado deladesviaciónestándardelvoltaje.(Recuerde queaésteselellamó"rui­
dodelcrisol".)
¿Laeleccióndelalgoritmo paracontrolarlaproporciónafectaelruidodelcrisol?
c)Realizarlosanálisisresidualesqueparezcanapropiados.
d)¿Quéalgoritmoparacontrolarlaproporcióndeberíaseleccionarsesielobjetivoesreducirtantoelvol­
tajepromediodelasceldas
comoelruidodelcrisol?
4-7.
Elfabricantedeunaaleaciónmaestradealuminioproducerefinadoresdetexturaenformadelingotes. La
compañíaproduceelproductoencuatrohornos.Sesabe quecadahornotienesuspropias
características
únicasdeoperación,porloqueencualquierexperimento quesecorraenlafundiciónenelqueseusemásde
unhorno,loshornosseconsideraráncomo unavariableperturbadora.Losingenierosdelprocesosospechan
que
lavelocidaddeagitaciónafectalamedidadelatexturadelproducto. Cadahornopuedeoperarsecon

180. f1
I
166 CAPÍTULO4BLOQUESALEATORIZADOS,CUADRADOS LATINOSYDISEÑOSRELACIONADOS
cuatrodiferentesvelocidadesdeagitación.Sellevaacaboundiseñodebloquesaleatorizadosparaunrefina­
dorparticular
ylosdatosresultantesdelamedidadelatexturasemuestranacontinuación:
Horno
Velocidaddeagitación(rpm) 1234
5 845
6
10 14 56 9
15 1469 2
20 17936
a)¿Existeevidenciadequelavelocidaddeagitaciónafectalamedidadelatextura?
b)Representarlosresidualesdeesteexperimentoenunagráficadeprobabilidadnormal.Interpretaresta gráfica.
e)Graficarlosresidualescontra elhornoylavelocidaddeagitación.¿Estagráficaproporcionaalgunain­
formaciónútil?
d)¿Cuálseríalarecomendacióndelosingenierosdelprocesoconrespectoalaeleccióndelavelocidadde
agitación
ydelhornoparaesterefinador detexturaparticular siesdeseableunamedidadelatexturape­
queña?
4-8.Analizarlosdatosdelproblema4-2utilizandola pruebageneraldesignificacióndelaregresión.
4-9.Suponiendoquelostiposdeagentesquímicos
ylosrollosdetelasonfijos,estimarlosparámetrosdelmodelo
Tiy{Jidelproblema4-1.
4-10.Trazarunacurvadeoperacióncaracterísticapara eldiseñodelproblema 4-2.¿Lapruebaparecesersensible
alasdiferenciaspequeñasenlosefectosdelostratamientos?
4-11.Supongaquefaltalaobservacióndelagentequímico2
yelrollo3enelproblema 4-1.Analizarelproblema
estimandoelvalorfaltante.Realizarelanálisisexacto
ycompararlosresultados.
4-12.Dosvaloresfaltantesen unbloquealeatorizado. Supongaqueenelproblema 4-1faltanlasobservacionesdel
agentequímicotipo2
yelrollo3 ydelagentequímicotipo4 yelrollo4.
a)Analizareldiseñohaciendolaestimacióniterativadelosvaloresfaltantes,como sedescribeenlasec­
ción4-1.3.
b)DerivarSS Econrespectoalosdosvaloresfaltantes,igualarlosresultadosconcero yresolverlasecuacio­
nesparalasestimacionesdelosvaloresfaltantes.Analizareldiseñoutilizandoestasdosestimaciones
de
losvaloresfaltantes.
e)Deducirlasfórmulasgenerales
paraestimardosvaloresfaltantescuandolasobservacionesestánenblo­
ques
diferentes.
d)Deducirlasfórmulasgeneralesparaestimardosvaloresfaltantescuandolasobservacionesestánen el
mismobloque.
4-13.
Uningenieroindustrialestárealizandounexperimentosobreeltiempodeenfoquedelojo.Seinteresaen el
efectodeladistanciadelobjetoalojosobre eltiempodeenfoque.Cuatrodistanciasdiferentessondeinte­
rés.Cuentaconcincosujetosparaelexperimento.Debidoaquepuedehaberdiferenciasentrelosindivi­
duos,elingenierodeciderealizarelexperimentoen
undiseñodebloquesaleatorizados.Losdatosobtenidos
sepresentanacontinuación.Analizarlosdatosdeesteexperimento(utilizar
a=0.05)Ysacarlasconclusio­
nesapropiadas.
Sujeto
Distancia(pies)1 2 3 4 5
4
10 6 6 6 6
6
7 6 6 16
8 5 3 3 25
10 6 4 4 2 3

181. 4-5PROBLEMAS 167
1
i=1,2,,p
j=1,2,,p
Yijkh=!l+Ph+a¡(h)+-rj+f3k(h)+(-rp)ji.+8ijid.k=1 2
, , ,P
h=1,2,,n
B=8
A=8
D=9
C=14
4
Operador
D=14A=7
C=18D=11
B=10C=11
A=10B=12
2 3
C=lO
B=7
A=S
D=10
1
1
2
3
4
Ordende
ensamblaje
Día
Lote 1 2 3 4 S
1
A= 8 B=7 D= 1 C=7 E=3
2 C=11 E=2 A=7 D=3 B=8
3 B=4 A=9 C=10 E=1 D=S
4 D= 6 C=8 E=6 B=6 A=lO
S E=4 D=2 B= 3 A= 8 C=8
4-1S.Uningenieroindustrialinvestigaelefecto decuatrométodosdeensamblaje(A,B,C yD)sobreeltiempo de
ensamblajedeuncomponentedetelevisoresacolor.Seseleccionancuatrooperadores paraelestudio.Ade­
más,elingenierosabequetodoslosmétodos
deensamblajeproducenfatiga,detalmodoqueeltiempore­
querido
paraelúltimoensamblaje puedesermayor queparaelprimero,independientementedelmétodo.
Esdecir,sedesarrolla unatendenciaeneltiempodeensamblajerequerido. Paratomarencuentaestafuente
devariabilidad,elingenieroempleaeldiseñodel cuadradolatinoquesepresentaacontinuación.Analizar
losdatos
deesteexperimento (a=O.OS)ysacarlasconclusionesapropiadas.
4-16.Supongaque enelproblema4-14faltalaobservacióndellote3 eneldía4.Estimarelvalorfaltanteconla
ecuación4-24,yrealizarelanálisisutilizandoestevalor.
4-17.Considereuncuadradolatino pxpconrenglones(a¡),columnas
(A)ytratamientos(iJfijos.Obteneresti­
maciones
demínimoscuadradosdelos parámetrosdelmodeloa¡,fJky
T
j
.
4-18.Deducirlafórmuladelvalorfaltante(ecuación4-24) paraeldiseñodelcuadradolatino.
4-19.Diseñosqueincluyenvarioscuadradoslatinos. (VerCochranyCox[26]y John[61d].)Elcuadradolatino pxp
contieneúnicamente pobservacionesparacadatratamiento.Paraobtenermásréplicas,elexperimentador
puedeusarvarioscuadrados, porejemplon.Noesrelevantesiloscuadradosusadossonelmismoosondife­
rentes.
Elmodeloapropiadoes
4-14.Seestudiaelefecto
decincoingredientesdiferentes (A,B,C,DyE)sobreeltiempo dereaccióndeunproce­
soquímico.
Cadalotedematerial
nuevDsóloalcanzaparapermitirlarealizacióndecincocorridas.Además,
cadacorridarequiereaproximadamente1
1
/
2horas,porloquesólopuedenrealizarsecincocorridas enun
día.Elexperimentadordeciderealizarelexperimentocomo uncuadradolatinoparaquelosefectosdeldíay
el
lotepuedancontrolarsesistemáticamente. Obtienelosdatosquesemuestranenseguida.Analizarlosda­
tos
deesteexperimento(utilizar a=O.OS)ysacarconclusiones.

182. ¡
....
'.:'"-
168 CAPÍTULO4BLOQUESALEATORIZADOS, CUADRADOS LATINOSYDISEÑOSRELACIONADOS
dondeY¡jkheslaobservacióndeltratamientojenelrenglón iylacolumnakdelcuadradoh-ésimo.Observe
que
a¡(h)Yf3k(h)sonlosefectosdelrenglón ylacolumnaenelcuadradoh-ésimo,
Pheselefectodelcuadrado
h-ésimoy(r:P)jheslainteracciónentrelostratamientos yloscuadrados.
a)Establecerlasecuacionesnormalesparaestemodelo yresolverlasparalasestimacionesdelosparáme­
trosdelmodelo.SupongaquelascondicionesauxiliaresapropiadasdelosparámetrossonLhPh=O,
L¡a¡(h)=OYLkf3k(h)=Oparacada h,L/r
j=O,L/ip)j1¡=OparacadahyLh(ip)j11=Oparacadaj.
b)Desarrollarlatabladelanálisisdevarianza paraestediseño.
4-20.Comentarlaformaenquepuedenutilizarselascurvasdeoperacióncaracterísticadelapéndicecóneldiseño
delcuadradolatino.
4-21.Supongaqueenelproblema4-14losdatostornados
eneldía5seanalizaronincorrectamente yfuenecesario
descartarlos.Desarrollarunanálisisapropiado
paralosdatosrestantes.
4-22.
Elrendimientode unprocesoquímicosemidióutilizandocincolotesdemateriaprima,cincoconcentracio­
nesdelácido,cincotiemposdeprocesamiento
(A,B,C,DyE)Ycincoconcentracionesdelcatalizador (a,13,
y,
o,e).Seusóelcuadradogrecolatinosiguiente.Analizarlosdatosdeesteexperimento(utilizar a=0.05)Y
sacarconclusiones.
Concentracióndelácido
Lote 1 2 3 4 5
1
Aa=26 Bf3=16 Cy=19
Do=16 &=13
2 By=18 Ca=21 De=18 Ea=11 Af3=21
3 Ce=20 Da=12 Ef3=16 Ay=25 Bo=13
4 Df3=15 Ey=15 Aa=22 Be=14 Ca=17
5 Ea=10 Ae=24 Ba=17 Cf3=17 Dy=14
4-23.Supongaqueenelproblema 4-15elingenierosospechaquelossitiosdetrabajousados porloscuatroopera­
dorespuedenrepresentar
unafuenteadicionaldevariación.Esposibleintroducir uncuartofactor,elsitiode
trabajo
(a,13,y,
o),yrealizarotroexperimento,dedonderesultaelcuadradogrecolatinosiguiente.Analizar
losdatosdeesteexperimento(utilizar
a=0.05)Ysacarconclusiones.
Ordende
ensamblaje
1
2
3
4
1
Cf3=11
Ba=8
Aa=9
Dy=9
Operador
2 3
By=10Do=14
CA=12Ay=10
Da=11Bf3=7
Af3=8Ca=18
4
Aa=8
Df3=12
Cy=15
Bo=6
4-24.Construir unhipercuadrado5 x5paraestudiarlosefectosdecincofactores.Desarrollarlatabladelanálisis
devarianzaparaestediseño.
4-25.Considerelosdatosdelosproblemas
4-15y4-23.Despuésdeeliminarlasletrasgriegasdelproblema4-23,
analizarlosdatosutilizandoelmétododesarrollado
enelproblema4-19.
4-26.Considereeldiseñodebloquesaleatorizadoscon
unvalorfaltanteenlatabla4-7.Analizarlosdatosutilizan­
doelanálisisexactodelproblemadelvalorfaltanterevisado
enlasección4-1.4.Compararlosresultadoscon
elanálisisaproximadodeestosdatosquesepresenta
enlatabla4-8.
4-27.
Uningenieroestudialascaracterísticasdelrendimientodecombustibledecincotiposdeaditivosdegasoli­
na.
En
lapruebadecarreteraelingenierodeseausarlosautomóvilescornobloques;sinembargo,debidoa

183. 4-5PROBLEMAS 169
unarestriccióndetiempo,debeutilizar undiseñodebloquesincompletos.Realizaeldiseñobalanceadocon
loscincobloquessiguientes.Analizarlosdatosdeesteexperimento(utilizar
a=0.05)Ysacarconclusiones.
Automóvil
Aditivo
1 2 3 4 5
1 17 14
13 12
2 14 14
13 10
3 12
13 12 9
4
13 11 11 12
5
11 12 10 8
4-28.
Construirunconjuntodecontrastesortogonales paralosdatosdelproblema 4-27.Calcularlasumadecua­
drados
paracadacontraste.
4-29.Seestudiansieteconcentracionesdiferentesdemadera duraparadeterminarsuefectosobre laresistencia
del
papelproducido.Sinembargo,enlaplantapilotosólo puedenhacersetrescorridasdeproducciónpor
día.
Dadoquelosdías puedendiferir,elanalistautilizaeldiseñodebloquesincompletosbalanceadosquese
muestraabajo.Analizarlosdatosdeesteexperimento(utilizar
a=0.05)Ysacarconclusiones.
Concentraciónde
Días
maderadura
(%) 1 2 3 4 5 6 7
2 114 120 117
4 126 120 119
6 137 117 134
8
141 129 149
10 145 150 143
12 120 118
123
14 136 130 127
4-30.Analizarlosdatosdelejemplo 4-6utilizandolapruebageneraldesignificaciónde laregresión.
4-31.Demostrarque
k'2.~=lQ!/(Aa)eslasumadecuadradosajustada delostratamientosenunBIBD.
4-32.Unexperimentadorquierecompararcuatrotratamientos enbloquesdedoscorridas.Encontrar unBIBD
paraesteexperimentoconseisbloques.
4-33.Unexperimentadorquierecompararochotratamientos enbloquesdecuatrocorridas.Encontrar unBIBD
con
14bloquesy
..1.=3.
4-34.Realizarelanálisisinterbloquesdeldiseñodelproblema 4-27.
4-35.Realizarelanálisisinterbloquesdeldiseñodelproblema 4-29.
4-36.Comprobarquenoexiste unBIBDconparámetros a=8,r=8,k=4Yb=16.
4-37.Demostrarque lavarianzadelosestimadoresintrabloques{iJesk(a-1)a
2
/(..1.a
2
).
4-38.Diseñosertendidos debloquesincompletos. Ocasionalmente,eltamañodelbloquecumplecon larelacióna<k
<2a.Undiseñoextendidodebloquesincompletosconsiste enunasolaréplicadecadatratamientoencada
bloque
juntoconundiseñodebloquesincompletoscon k*=k-a.Enelcasobalanceado,eldiseñodeblo­
quesincompletos
tendrálosparámetrosk*=k-a,r*=r-
by..1.*.Desarrollarelanálisisestadístico. (Suge­
rencia:eneldiseñoextendido debloquesincompletos,setiene..1.=2r-b+..1.*.)

184. Introducción
alosdiseños
factoriales
5~1DEFINICIONESYPRINCIPIOSBÁSICOS
Enmuchosexperimentosintervieneelestudiodelosefectosdedosomásfactores. Engeneral,los dise·
ñosfactoriales
sonlosmáseficientes paraestetipodeexperimentos.Pordiseñofactorialseentiendeque
encadaensayooréplicacompletadelexperimentoseinvestigantodaslascombinacionesposiblesdelos
niveles·delosfactores.Porejemplo,sielfactor
Atieneanivelesyelfactor Btienebniveles,cadaréplica
contienetodaslas
abcombinacionesdelostratamientos.Cuandolosfactoresestánincluidos enundise­
ñofactorial,
escomúndecirqueestán cruzados.
Elefectode unfactorsedefinecomoelcambio enlarespuestaproducido poruncambioenelnivel
delfactor.Confrecuenciaselellama
efectoprincipal porqueserefierealosfactoresdeinterésprimario
enelexperimento.Porejemplo,considereelexperimentosencillodelafigura5-1.Se tratadeunexperi­
mentofactorialdedosfactores
enelquelosdosfactoresdeldiseñotienendosniveles.Aestosnivelesse
les
hadenominado"bajo"y"alto"ysedenotancomo "-"y"+",respectivamente.Elefectoprincipaldel
factor
Adeestediseñodedosnivelespuedevisualizarsecomoladiferenciaentrelarespuestapromedio
conelnivelbajode
Aylarespuestapromedioconelnivelalto deA.Numéricamente,estoes
A=40+52
_20+30=21
2 2
Esdecir,cuandoelfactor Aseincrementadelnivelbajoalnivelaltoseproduce unincrementodelares­
puestapromedio
de21unidades.Demanerasimilar,elefectoprincipalde Bes
B=30+52_20+40=11
2 2
Cuandolosfactorestienenmásdedosniveles,esnecesariomodificarelprocedimientoanterior,yaque
existenotrasformasdedefinirelefectode
unfactor.Estepuntoseestudiaconmayorprofundidadmás
adelante.
Enalgunosexperimentospuedeencontrarsequeladiferencia enlarespuestaentrelosnivelesde un
factornoeslamisma paratodoslosnivelesdelosotrosfactores.Cuandoestoocurre,existe unainterac-
170

185. 5-1DEFINICIONESYPRINCIPIOSBÁSICOS 171
+
30 52
+
40 12
(Alto)
D
(Alto)
D
l:l:1 l:l:1
...
o
~ ti
co co
u. u.
(Bajo)(Bajo)
20 40 20 50
+ +
(Bajo) (Alto) (Bajo) (Alto)
Factor
A
Figura5·1Experimentofactorialdedos
factoresconlarespuesta
(y)indicadaenlos
vértices.
FactorA
Figura5-2Experimentofactorialdedos
factoresconinteracción.
ciónentrelosfactores. Porejemplo,considereelexperimentofactorialdedosfactoresqueseilustra enla
figura
5-2.Conelnivelbajodelfactor B(oB-),elefectode Aes
A=50-20=30
yconelnivelaltodelfactor B(oB+),elefectode Aes
A=12-40=-28
Puestoqueelefecto deAdependedelnivelqueseelige parael factorB,seobservaqueexiste unainterac­
ciónentre
AyB.Lamagnituddelefectodelainteracciónesla diferenciapromediodeestosdosefectosde
A,oAB=(-28-30)/2
=-29.Evidentemente,enesteexperimentolainteracción esgrande.
Estasideaspuedenilustrarsegráficamente.
Enlafigura5-3segraficanlosdatosdelasrespuestasde
lafigura5-1contraelfactorA
paraambosnivelesdelfactor B.Observequelas rectasB-yB+sonaproxi­
madamenteparalelas,locualindicalaausenciadeinteracciónentrelosfactores
AyB.Demanerasimi­
lar,
enlafigura5-4segraficanlosdatosdelasrespuestasdelafigura5-2. Enestecasoseobservaquelas
rectas
B-yB+nosonparalelas.Estoindica unainteracciónentrelosfactores AyB.Gráficascomoéstas
sondegranayuda
parainterpretarlasinteraccionessignificativasy parareportarlosresultadosalperso­
nalsinpreparaciónestadística.Sinembargo,nodeberánutilizarsecomolaúnicatécnica
paraelanálisis
dedatos,yaquesuinterpretaciónessubjetivaysuaparienciaconfrecuenciaesengañosa.
60 B+
60 B-
co50
~-
50
co
m40 m40
::1 ::1
¡¡¡.30 ¡¡¡.30
al al
a:20 a:20
10
B-
10
+ +
FactorA FactorA
Figura5-3Experimentofactorialsinin- Figura5-4Experimentofactorialconinter-
teracción. acción.

186. 172 CAPÍTULO5INTRODUCCIÓN A LOSDISEÑOSFACTORIALES
Elconceptodeinteracciónpuedeilustrarsedeotramanera.Supongaquelosdosfactoresdeldiseño
tratadosoncuantitativos(temperatura,presión,tiempo,etc.).Entoncesunarepresentacióncon
unmo­
deloderegresióndelexperimentofactorialdedosfactorespodríaescribirsecomo
y=/30+/31X1+/32X2+/312X1X2
+e
dondeyeslarespuesta,las /3sonparámetroscuyosvaloresdebendeterminarse, Xlesunavariablequere­
presenta
alfactorA,x
2esunavariablequerepresenta alfactorB,y
eesuntérminodelerroraleat.orio.Las
variables
XlyX
2sedefinenenunaescalacodificadade -1a+1(losnivelesbajoyalto deAyB),Y X
1
X
2re­
presentalainteracciónentre
XlyX
2
•
Lasestimacionesdelosparámetrosenestemodeloderegresiónresultanestarrelacionadasconlas
estimacionesdelosefectos.Paraelexperimentoilustradoenlafigura
5-1seencuentraquelosefectos
principales
deAyBsanA=21YB= 11.Lasestimacionesde /31y/32sonlamitaddelvalordelefectoprin­
cipalcorrespondiente;
porlotanto,
~1=21/2=10.5Y~2 =11/2=5.5.Elefectodelainteraccióndela
figura
5-1esAB=1,porloqueelvalordelcoeficientedelainteracciónenelmodeloderegresión es~12=1/2=0.5.Elparámetro /30seestimaconelpromediodelascuatrorespuestas,o
~o=(20+40+30+52)/4=35.5.Porlotanto,elmodeloderegresiónajustado es
)7=35.5+10.5x
1
+5.5x
2
+0.5x
1
x
2
49
y39
29
-0.2
0.2
0.6
alLasuperficiederespuesta
b)Lagráficadecontorno
Figura5-5Lasuperficiederespuesta ylagráficadecontorno paraelmode­
loy=35.5+lO.5x
1+5.5xz.

187. 5-1DEFINICIONESYPRINCIPIOSBÁSICOS 173
Lasestimacionesdelosparámetrosobtenidasdeestamanera paraeldiseñofactorialenelquetodoslos
factorestienendosniveles
(-y+)resultanserestimacionesdemínimoscuadrados(seabundarásobreel
temamásadelante).
Elcoeficiente
~el~interacción(/312=O.S)espequeñoencomparaciónconloscoeficientesdelos
efectosprincipales
/31
y/32'Lainterpretaciónquese harádeestehechoesquelainteracciónespequeña y
puedeignorarse.Porlotanto, aleliminareltérmino 0,Sx,x
2seobtieneelmodeloy=3S.S+10,Sx
l
+S,Sx
2
Enlafigura S-Ssemuestranlasrepresentacionesgráficasdeestemodelo. EnlafiguraS-Sasetieneuna
gráficadelplanodelosvaloresdeygenerados
porlasdiferentescombinacionesde XlyX
2
•Aestagráfica
tridimensionalselellamagráficadesuperficiederespuesta.
EnlafiguraS-Sbsemuestranlaslíneasde
contornoparalasrespuestasconstantes
yenelplano Xl'x
2
•Observequecomolasuperficiederespuestaes
unplano,lagráficadecontornocontienelíneasrectasparalelas.
Supongaahoraquelacontribucióndelainteracción
enelexperimentonofuerainsignificante;esde­
cir,queelcoeficiente /312nofuerapequeño. EnlafiguraS-6sepresentalasuperficiederespuesta ylagrá­
ficadecontornodelmodelo
x,
0.2
0.6
alLasuperficiederespuesta
0.6
0.2
~
-0.2
-0.6
-1
blLagráficadecontorno
Figura5·6Lasuperficiederespuesta ylagráficadecontornoparaelmo­
deloy=35.5+lD.5x¡+5.5x
2+8x¡x
2
•

188. 174 CAPÍTULO5INTRODUCCIÓNA LOSDISEÑOSFACTORIALES
(Sehahechoqueelefectodelainteracciónseaelpromediodelosdosefectosprincipales.)Observeque
elefectosignificativodelainteracciónprovocael"torcimiento"delplanodelafigura
S-6a.Estetorci­
mientodelasuperficiederespuestaproducelíneasdecontornocurvasparalasrespuestasconstantesen
elplanox
1,x
2
,comosemuestraenlafigura S-6b.Porlotanto, unainteracciónesunaformadecurvatura
enelmodelodesuperficiederespuestafundamentaldelexperimento.
Elmodelodesuperficiederespuestade
unexperimentoesdegranimportanciayutilidad.Eltemase
ampliaráenlasección
5-5yencapítulosposteriores.
Engeneral,cuandounainteracciónesgrande,losefectosprincipalescorrespondientestienenescaso
significadopráctico.
Enelexperimentodelafigura5-2,laestimacióndelefectoprincipal deAsería
A=50+12_ 20+40=1
2 2
queesmuypequeño,ysellegaríaaconcluirquenohayningúnefectodebidoa A.Sinembargo,cuandose
examinanlosefectos
deAconnivelesdiferentesdelfactor E,seobservaquenoesésteelcaso.ElfactorA
tieneunefecto,pero
dependedelniveldelfactorE. Esdecir,elconocimientodelainteracciónABesmás
útilqueelconocimientodelefectoprincipal.
Unainteracciónsignificativasueleenmascararlasignifica­
cióndelosefectosprincipales.Estospuntosseponendemanifiestoconclaridadenlagráficadelainter­
accióndelafigura5-4.
Enpresenciade unainteracciónsignificativa,elexperimentadordeberá porlo
generalexaminarlosnivelesdeunodelosfactores,
porejemplodelfactor A,manteniendofijoslosnive­
lesdelosotrosfactoresparasacarconclusionesacercadelefectoprincipalde
A.
5~2LAVENTAJADELOSDISEÑOSFACTORIALES
Essencilloilustrarlaventajadelosdiseñosfactoriales.Supongaquesetienendosfactores AyE,cada
unocondosniveles.Losnivelesdelosfactoressedenotan
porA-,A+,E-yE+.Podríaobtenerseinforma­
ciónacercadeambosfactoreshaciéndolosvariarunoalavez,comosemuestraenlafigura5-7.Elefecto
decambiarelfactor
Aestádadopor A+E--A-E-,yelefectodecambiarelfactor Eestádadopor A-E+
­
A-E-.Debidoaqueestápresenteelerror-experimental,esdeseablerealizardosobservaciones,porejem­
plo,paracadacombinacióndetratamientosyestimarlosefectosdelosfactoresutilizandolasrespuestas
promedio.Porlotanto,senecesitauntotaldeseisobservaciones.
Sisehubieraefectuadounexperimentofactorial,sehabríaregistrado unacombinaciónadicional
delostratamientos,
A+E+.Ahora,utilizandosólo cuatroobservaciones,puedenhacersedosestimacio­
nesdelefecto
deA:A+E--A-E-yA+E+-A-E+. Demanerasimilar,puedenhacersedosestimacionesdel
A-B+
+
c:¡
~
~
ca
u.
A-B- A+B-
+
FactorA
Figura5·7Experimentoconunfactoralavez.

189. 5-3DISEÑOFACTORIALDEDOSFACTORES 175
4.0
3.5
ro,.
3.0'';:¡
~
ro
2.5
'0
lO
III
'0
¡¡::
2.0
UJ
1.5
1.0
2 3 4 5
6
Númerodefactores
Figura5·8Eficienciarelativadeundiseñofactorialcon
respectoaunexperimentode
unfactoralavez(dosniveles
delfactor).
efectode B.Estasdosestimacionesdecadaefectoprincipalpodríanpromediarseparaproducirefectos
principalespromedioquetienenla
mismaprecisión quelasestimacionesdelexperimentoconunsolo
factor,perosóloserequierencuatroobservacionesentotal,ynosotrosdiríamosquelaeficienciarelati­
vadeldiseñofactorialconrespectoalexperimentode unfactoralavezesde(6/4) =1.5.Engeneral,
estaeficienciarelativaaumentaráconformeseincremente
elnúmerodefactores,comosemuestraen
lafigura5-8.
Supongaahoraqueestápresenteunainteracción.
Sieldiseñode unfactora lavezindicaraqueA-B+
yA+B-dieronmejoresrespuestas queA-B-,unaconclusiónlógicaseríaque A+B+seríatodavíamejor.Sin
embargo,
si
estápresenteunainteracción,estaconclusiónpuedeser unaequivocacióngrave. Paraun
ejemplo,referirse
alexperimentodelafigura5-2.
Enresumen,observequelosdiseñosJactorialesofrecenvariasventajas.Sonmáseficientesquelos
experimentosde
unfactorala vez.Además,undiseñofactorialesnecesariocuandopuedehaberinterac­
cionespresentesafindeevitarllegaraconclusionesincorrectas.Porúltimo,losdiseñosfactorialespermi­
tenlaestimacióndelosefectosdeunfactorconvariosnivelesdelosfactoresrestantes,produciendo
conclusionesquesonválidasparaunrangodecondicionesexperimentales.
5~3DISEÑOFACTORIALDEDOSFACTORES
5~3.1 Unejemplo
Lostiposmássimplesdediseñosfactorialesincluyenúnicamentedosfactoresoconjuntosdetratamien­
tos.
HayanivelesdelfactorAy bnivelesdelfactor B,loscualessedisponenenundiseñofactorial; esde­
cir,cadaréplicadelexperimentocontienetodaslas abcombinacionesdelostratamientos. Engeneral,
haynréplicas.
Comoejemplodeundiseñofactorialenelqueintervienendosfactores,uningenieroestádiseñando
unabateríaqueseusaráenundispositivoquesesometeráavariacionesdetemperaturaextremas.Elúni­
coparámetrodeldiseñoquepuedeseleccionarenestepuntoeselmaterialdelaplacaoánododelabate­
ría,ytienetreseleccionesposibles.Cuandoeldispositivoestéfabricadoyseenvíe
alcampo,elingeniero
notendrácontrolsobrelastemperaturasextremasenlasqueoperaráeldispositivo,perosabeporexpe-

190. r··"'··
i :
,"'.
176 CAPÍTULO5INTRODUCCIÓNA LOSDISEÑOSFACTORIALES
Tabla5-1Datosdelavida(enhoras)paraelejemplodeldiseño delabatería
Tipode
Temperatura
(OF)
material 15 70 125
1 130
155 34 40 20 70
74 180 80 75 82 58
2 150 188 136 122
25 70
159 126 106 115 58
45
3 138 110 174 120 96 104
168 160 150 139 82
60
rienciaquelatemperaturaprobablementeafectarálavidaefectivadelabatería.Sinembargo,latempe­
raturapuedecontrolarseenellaboratoriodondesedesarrollaelproductoparafinesdeprueba.
Elingenierodecideprobarlostresmaterialesdelaplacacontresnivelesdetemperatura
-15,70Y
12S
o
P-,yaqueestosnivelesdetemperaturasonconsistentesconelmedioambientedondeseusaráfinal­
menteelproducto.
Sepruebancuatrobateríasconcadacombinacióndelmaterialdelaplaca ylatempe­
ratura,
ylas36pruebassecorrendemaneraaleatoria. Enlatabla5-1sepresentanlosdatosdel
experimento
ydelavidaobservadadelabatería.
Enesteproblema,elingenieroquiereresponderlaspreguntassiguientes:
1.¿Quéefectostieneneltipodematerial ylatemperaturasobrelavidadelabatería?
2.¿Existealgunaeleccióndelmaterialqueproduzca demaneraregularunavida largadelabatería
independientementede latemperatura?
Lasegundapreguntaesdeparticularimportancia.Quizáseaposibleencontrarunaalternativadelmate­
rialquenoresulteafectadaconsiderablementeporlatemperatura.
Deserésteelcaso,elingenieropuede
hacerquelabateríasea
robustaparalavariacióndelatemperaturaenelcampo. Setratadeunejemplo
delaaplicacióndeldiseñoexperimentalestadísticoenel
diseñodeproductosrobustos, unproblemade
ingenieríamuyimportante.
Elanterioresunejemploespecíficodelcasogeneralde
undiseñofactorialdedosfactores.Parapa­
saralcasogeneral,sea
Yijklarespuestaobservadacuandoelfactor Atieneelniveli-ésimo (i=1,2,oo.,a)y
e1factor
Btieneelnivelj-ésimo (j=1,2,.oo,b)enlaréplicak-ésima(k=1,2,oo.,n).Engeneral,elexperi­
mentofactorialdedosfactoresaparecerácomoenlatabla
5-2.Elordenenquesehacenlas abnobserva­
cionesseseleccionaalazar,por
loqueestediseñoes undiseñocompletamentealeatorizado.
Tabla
5-2Arreglogeneral deundiseñofactorialdedosfactores
Factor
B
1 2 b
1
Ylll,Y1l2,
Yl2loYl22, Ylbl,Ylb2,
···,Yl1n "·'YI2J. ""Ylbn
FactorA 2
Y2ll,Y212, Y221,Y222' Y2bI,Y2b2,
""Y2In ···'Y22J1 ""Y2bn
a
Ya11'Ya12, Ya21,Ya22, Yabl,Yab2,
..·,Yaln ···,Ya2n •..,Yabn
I

191. 5-3DISEÑOFACTORIALDEDOSFACTORES 177
dondelamediadelaceldaij-ésima es
(5-1)
(5-2a)
(5-2b)
Lasobservacionesdeunexperimentofactorialpuedendescribirsecon unmodelo.Hayvariasformas
deescribirelmodelodeunexperimentofactorial.Elmodelodelosefectos
es
{
i=l,2,,a
Yijk
=/l+T¡+f3j+(Tf3)ij+Cijkj=l,2,,b
k=1,2,,n
donde/leselefectopromedioglobal,T¡eselefectodelniveli-ésimodelfactor Adelosrenglones, f3jesel
efectodelnivelj-ésimodelfactor
Bdelascolumnas,
(Tf3)ijeselefectodelainteracciónentreT¡yf3j,YC¡jkes
uncomponentedelerroraleatorio. Sesuponequeambosfactoressonfijos,ylosefectosdelostratamien­
tossedefinencomolasdesviacionesdelamediaglobal,
porloque
2:~=1T¡=Oy2:~=1f3j=O.Demanerasi­
milar,losefectosdelasinteraccionessonfijosysedefinendetalmodoque2:~=l(Tf3)ij=2:~=l(Tf3)ij=O.
Puestoquehay nréplicasdelexperimento,hay abnobservacionesentotal.
Otromodeloposiblede
unexperimentofactorialeselmodelodelasmedias
{
i.:1,2,,a
Yijk=
/lij+cijk]-1,2,,b
k=1,2,,n
ydelaigualdaddelosefectosdelostratamientosdelascolumnas, porejemplo,
Ha:f31=f32=...=f3b=O
H
1
:
almenosuna f3j
:;éO
/lij=/l+T¡+f3j+(Tf3)ij
Thmbiénpodríausarse unmodeloderegresióncomoenlasección5-1.Losmodelosderegresiónresultan
particularmenteútilescuandounoomásdelosfactoresdelexperimentosoncuantitativos.
Enlamayor
partedeestecapítuloseusaráelmodelodelosefectos(ecuación5-1)conreferencia
almodeloderegre­
siónenlasección5-5.
Eneldiseñofactorialdedosfactores,losfactores(otratamientos)delosrenglonesylascolumnas, A
yB,sondeigualinterés.Específicamente,elinterésseencuentraen probarhipótesisacerca
d~laigual­
daddelosefectosdelostratamientosdelosrenglones,
porejemplo,
Ha:
TI=T2=...=Ta=O
H
1
:
almenosuna
T¡:;éO
(5-2c)
Tambiénexisteinterésendeterminar silostratamientosdelosrenglonesylascolumnas interactúan.Por
lotanto,tambiénquerríaprobarse
Ha:(Tf3)ij=Oparatodaslas i,j
H
1
:
almenosuna
(Tf3)ij:;éO
Acontinuaciónseindicacómosepruebanestashipótesisutilizandounanálisisdevarianzadedosfactores.
5-3.2Análisisestadísticodelmodelo conefectosfijos
Seaque
Yi..denoteeltotaldeobservacionesbajoelniveli-ésimodelfactor A,queyJ.denoteeltotalde
observacionesbajoelnivelj-ésimodelfactor
B,queYij.denoteeltotaldeobservacionesdelacelda

192. fi"\'l'
178 CAPÍTULO5INTRODUCCIÓN A LOSDISEÑOSFACTORIALES
ij-ésima,yque Y...denoteelgrantotaldetodaslasobservaciones.SedefinenYi ..,Y'¡.,Yij.YY...comolospro­
medioscorrespondientesdelosrenglones,lascolumnas,lasceldasyelgranpromedio.Expresadoma­
temáticamente,
bn
Yi..=
LLYijk
j=lk=l
Yj.=í!Yijk
i=lk=l
abn
Y..=LLLYijk
i=lj=lk~l
- Yi..
Yi..=bn
_Yj.
y.=-
.J.an
-Y..
Y..=abn
i=l,2,...,a
j=1,2,...,b
i=1,2,,a
j=1,2,,b
(5-3)
Lasumadecuadradostotalcorregidapuedeescribirsecomo
a b n a b n
LLL(Yijk_y...)2=LLL[(Yi..-Y...)+(Y.j.-Y...)
i=lj=lk=l i=lj=lk=l
+(Y-..-y-o-Y-.+Y-)+(Y..k-Y-..)]2
lJ· l.. .J. '" lJo lJ.
a b
b~(--)2+~(--)2
=nLJYi..-Y..anLJYj.-Y..
i=l j=l
a b
+~~(-_ -......- +-)2
nLJLJYij.Yi..Yj.Y..
i=lj=l
abn
+LLL(Yijk-YijY
i=lj=lk=l
(5-4)
yaquelosseisproductoscruzadosdelladoderechodelaigualdadsoncero.Observequese
hahechola
particióndelasumadecuadradostotalen
unasumadecuadradosdebidaa"losrenglones",ofactor A
(SSA);unasumadecuadradosdebidaa"lascolumnas",ofactor B(SSB);unasumadecuadradosdebidaa
lainteracciónentre
AyB(SSAB);yuna
sumadecuadradosdebidaalerror(SS E).Porelúltimocomponen­
tedelladoderechodelaigualdaddelaecuación5-4,seobservaquedebehaberpor
lomenosdosréplicas(n;::::2)paraobtenerunasumadecuadradosdelerror.
Laecuación5-4puedeescribirsesimbólicamentecomo
SST=SSA+SSB +SSAB+SSE
Elnúmerodegradosdelibertadasociadoconcadasumadecuadradoses (5-5)
Efecto
A
B
Interacción
AB
Error
Total
Grados
delibertad
a-l
b-l
(a-l)(b-l)
aben-1)
abn-l

193. 5-3DISEÑOFACTORIALDEDOSFACTORES 179
Estaasignacióndelos abn- 1gradosdelibertadtotalesalassumasdecuadradospuedejustificarsedela
siguientemanera:losefectosprincipalesAy
Btienenaybniveles,respectivamente; porlotanto,tienen a
-1yb-1gradosdelibertad,comoseindica.Losgradosdelibertaddelainteracciónsonsóloelnúmero
degradosdelibertaddelasceldas(que esab-1)menoselnúmerodegradosdelibertaddelosdosefec­
tosprincipales
AyB;esdecir,ab-1-(a
-1)-(b-1)=(a-1)(b-1).Dentrodecadaunadelasabceldas
hay
n-1gradosdelibertadentrelas nréplicas;porlotantohay aben-1)gradosdelibertad paraelerror.
Observequelasumadelnúmerodegradosdelibertadenelladoderechodelaecuación
5-5esigualalnú­
merototaldegradosdelibertad.
Cadasumadecuadradosdivididaporsusgradosdelibertades
uncuadradomedio.Losvaloresespe­
radosdeloscuadradosmediosson
(
SS)
bn~ 7:7
E(MSA)=E-
A
-
=a2+ .=1
a-1 a-1
b
anL f3~
E(MS
B
)=E(SSB)=a
2+ j=1
b-1 b-1
ab
n
LL (7:f3)~
E(MS=E(SSAB)=a2+.=1j=1
AB) (a-1)(b-1) (a-1)(b-1)
y
(
SSE) 2
E(MSE)=Eab(n-1)=a
Observequesiesverdaderalahipótesisnuladequenohayefectos delostratamientosdelosrenglones,
nidelostratamientosdelascolumnas, niinteracción,entonces MSA,MSB,MSAByMSEsontodasestima­
cionesdeaZ.Sine,mbargo,sihaydiferenciasentrelosefectos delostratamientosdelosrenglones, por
ejemplo,entonces MSAserámayorqueMS
E
•Demanerasimilar,siestánpresentesefectosdelostrata­
mientosdelascolumnasodelainteracción,entoncesloscuadradosmedioscorrespondientesseránma­
yoresque
MSE'Porlotanto, paraprobarlasignificacióndelosdosefectosprincipalesysuinteracción,
simplementesedivideelcuadradomediocorrespondiente
porelcuadradomediodelerror.Losvalores
grandesdeestecocienteimplicanquelosdatosnoapoyan
lahipótesisnula.
Sisesuponequeelmodelo(ecuación5-1)esadecuadoyquelostérminosdelerror
Cijktienenunadis­
tribuciónnormaleindependienteconvarianzaaZconstante,entoncescada unodeloscocientesdecua­
dradosmedios
MSA/MSE, MSB/MSEyMSAB/MSEsedistribuyen
con;1üFcona-1,b-1Y(a-l)(b-1)
gradosdelibertad enelnumerador,respectivamente,y aben-1)gradosdelibertad eneldenominador,
1
y
laregióncríticaseríalacolasuperiordeladistribución
F.Elprocedimientode pruebasueleresumirseen
unatabladelauálisisdevarianza,comosemuestraenlatabla5-3.
Enloquealoscálculosserefiere, porlogeneralseemplea unpaquetedesoftwaredeestadística para
realizarelanálisisdevarianza.Sinembargo,noescomplicadoobtenerfórmulas paracalcularmanual-
1Laprueba
Fpuedeconsiderarsecomo unaaproximacióndeunapruebadealeatorización,comoseseñalóanteriormente.

194. 180 CAPÍTULO5INTRODUCCIÓN A LOSDISEÑOSFACTORIALES
Tabla5-3Latabladelanálisisdevarianzaparaeldiseñofactorialdedosfactores,modelo conefectosfijos
Fuentede
variación
Sumade Gradosde
cuadrados libertad Cuadradomedio
TratamientosB
SSB b-1 MS=SSB
Bb-1
Interacción SSAB (a-1)(b-1)
M _ SSAB
SAB-(a-1)(b-1)
Error SSE aben-1) MS=SSE
Eaben-1)
Total SSr abn-1
'ITatamientosA F:=MSA
oMS
E
F:=MSB
oMS
E
F:=MSAB
oMS
E
mentelassumasdecuadradosdelaecuación5-5. Lasumadecuadradostotalsecalculacomodecostum­
brecon
abn 2
y.~
SST=LLLYijk-b
i~l j~l k~l a n
Lassumasdecuadradosdelosefectosprincipalesson
1a 2
SS=-"i-
L
Abnf:tl..abn
(5-6)
(5-7)
y
(5-8)
2
y
2
_L
.J.abn
SSB=~±
anj~l
Esconvenienteobtener SSABendospasos.Secalculaprimerolasumadecuadradosentrelostotales de
lasabceldas,alaquesedenominalasumadecuadradosdebidaalos"subtotales":
1
ab
2y.~
SSSublotales=;;LLyij.-abn
,~1 J~l
Estasumadecuadradostambiéncontienea SSAySSB'Por10tanto,elsegundopasoconsiste encalcular
SSABcomO
SSAB=SSSubtotales- SSA-SSB
Puedecalcularse SSEporsustraccióncomo
SS
E
=SST-SSAB-SSA-SSB
(5-9)
(5-10)
o
SSE=SST-SSSubtotales
EJEMPLO 5~1 .
Elexperimentodeldiseñodelabatería
Enlatabla5-4seprese1}talavidaefectiva(enhoras)observada enelejemplodeldiseñodelabateríaque
sedescribióenlasección5-3.1.Lostotalesdelosrenglones
ylascolumnasseindican enlosmárgenesde
latablaylosnúmerosencerrados enuncírculosonlostotalesdelasceldas.

195. 5-3DISEÑOFACTORIALDEDOSFACTORES 181
Tabla5-4Datosdelavida(enhoras)delexperimentodeldiseñodelabatería
Tipode
Thmperatura("F)
material 15 70 125
YL.
1 130 155
0
34 40
@
20 70
@ 998
74 180 80 75 82 58
2 150 188
ª
136 122
@
25 70
@ 1300
159 126 106 115 58 45
3 138 110
@)
174 120
@
96 104
@ 1501
168 160 150 139 82 60
Ji.
1738 1291 770 3799=Y...
Lassumasdecuadradossecalculandelasiguientemanera:
elbn 2
SS=~~~ Y~-~
TLJLJLJ gkb
i=1j=1k=1 a n
(3799)2
=(130)2+(155)2+(74)2+...+(60)2-36=77,646.97
1a 2
SS
=_~ 2_~
Materia!bnLJYi..abn
1=1
=(3)1(4)[(998)2+(1300)2 +(1501)2]-(37::)2=10,683.72
1b 2
SS~ 21...
Temperatura=anLJY.j.-abn
)=1
=(3)1(4)[(1738)2+(1291)2 +(770)2]-(37::)2=39,118.72
1
ab
2 Y.~
SSInteracción=-LLYij.--b-SSMaterial- SSTemperatura
n;=1j=1 a n
=¡[(539)2+(229)2+... +(342)2]-(37::)210,683.72
-39,118.72=9613.78
y
SSE=SST-SSMaterial- SSTemperatura- SSInteracción
=77,646.97-10,683.72-39,118.72-9613.78=18,230.75
Enlatabla5-5semuestraelanálisisdevarianza.PuestoqueF
a.a5,4,27=2.73,seconcluyequehay unain­
teracciónsignificativaentrelostiposdelmaterialylatemperatura.Además,F
a.a5,2,27=3.35,porloquelos
efectosprincipalesdeltipodematerialylatemperaturatambiénsonsignificativos.
Enlatabla5-5tam­
biénsemuestranlosvalores
Pparalosestadísticosdelaprueba.
Comoayuda
parainterpretarlosresultadosdeesteexperimento,esconvenienteconstruir unagráfi­
cadelasrespuestaspromedioparacadacombinacióndelostratamientos. Estagráficasemuestraen lafi­
gura5-9.Elhechodequelasrectasnoseanparalelasindicaquelainteracciónessignificativa.
Engeneral,
seconsigueunavidamáslargacon unatemperaturabaja,independientementedeltipodematerial.Al
cambiarde
unatemperaturabajaa unaintermedia,lavidadelabateríaconelmaterialtipo3 tieneunin-

196. 182 CAPÍTULO5INTRODUCCIÓN A LOSDISEÑOSFACTORIALES
Tabla5-5Análisisdevarianzade losdatosdelavidadelabatería
Fuentede Sumade Gradosde
variación cuadrados libertad
Cuadrado
medio Valor
P
Tiposdematerial
Temperatura
Interacción
Error
Total
10,683.72
39,118.72
9,613.78
18,230.75
77,646.97 2
2
4
27
35
5,341.86
19,559.36
2,403.44
675.21
7.91
28.97
3.56
0.0020
0.0001
0.0186
crementoreal,mientrasqueconlosmaterialestipos1 y 2disminuye.Con unatemperaturadeintermedia
aalta,lavidadelabateríadisminuyeparalosmaterialestipos2 y 3 ysemantieneenesenciasincambio
páraelmaterialtipo 1.Elmaterialtipo3pareceproducirlosmejoresresultadossisequiere unapérdida
menordelavidaefectivacuandolatemperaturacambia.
Comparacionesmúltiples
Cuandoelanálisisdevarianzaindicaquelasmediasdelosrenglonesolascolumnasdifieren, porlogene­
ralesdeinteréshacercomparacionesentrelasmediasindividualesdelosrenglonesolascolumnas
para
descubrirdiferenciasespecíficas.Losmétodosdecomparacionesmúltiplesrevisadosenelcapítulo3son
útilesaeste'respecto.
SeilustraahoraelusodelapruebadeTukeyconlosdatosde
lavidadelabateríadelejemploS-l.
Observeque
enesteexperimento,lainteracciónessignificativa.Cuandolainteracciónessignificativa,las
comparacionesentrelasmediasdeunodelosfactores(porejemplo,
A)puedenseroscurecidasporlain­
teracciónAB.
Unaformadeabordarestacuestiónconsiste enfijarelfactorB enunnivelespecíficoyapli­
carla
pruebadeTukeyalasmediasdelfactorAconesenivel. Parailustrar,supongaqueenelejemplo S-l
elinterésseencuentra endetectarlasdiferencias entrelasmediasdelostrestiposdematerial.Puesto
quelainteracciónessignificativa,estacomparaciónsehacecon
unsoloniveldelatemperatura, por
ejemploelnivel2(70°F).Sesuponequelamejorestimación delavarianzadel erroresMSEdelatabladel
análisisdevarianza,utilizandoelsupuestodequelavarianzadel
errorexperimentaleslamisma parato­
daslascombinacionesdetratamientos.
175
150
1';':$125
o
:g100
E
e
o.75
ro
-o
:>50
25
Materialtipo3
....----..;;¡~ Materialtipo1
Materialtipo2
0'-----:'::-----::':-------:-:-::-----
Temperatura(DFI
Figura5-9Gráficatipodematerial-temperaturaparaelejem­
plo
5-1.

197. 5-3DISEÑOFACTORIALDEDOSFACTORES 183
Lospromediosdelostrestiposdemateriala70°Fdispuestos enordenascendenteson
y
Y12.=57.25
Y22.=119.75
Y32.=145.75
(materialtipo1)
(materialtipo2)
(materialtipo3)
~MSE
T
O
.05=qo05(3,27)--
. 11
=3.50~67~21
=45.47
donde
qo.05(3,27)=3.50seobtiene porinterpolaciónenlatablaVIIIdelapéndice.Lascomparaciones por
paresdancomoresultado
3vs.1:.
3vs.2:
2vs.1:
145.75-57.25 =88.50>T
O
.05=45.47
145.75-119.75
=26.00<T
O
•05=45.47
119.75-57.25
=62.50>T
O
•05=45.47
Esteanálisisindicaqueconelniveldetemperaturade70°F,lavidamediadelabateríaeslamisma
paralosmaterialestipos2 y3,Y quelavidamediadelabateríaparaelmaterialtipo1essignificativa­
mentemenor.
Silainteracciónessignificativa,elexperimentador podríacompararlasmediasdetodaslasahceldas
paradeterminarcuálesdifierensignificativamente. Enesteanálisis,lasdiferencias entrelasmediasdelas
celdasincluyenlosefectosde
lainteracción,asícomoambosefectosprincipales. Enelejemplo5-1,esto
daría36comparaciones
entretodoslos paresposiblesdelasnuevemediasdelasceldas.
Saüdadecomputadora
Enlafigura5-10se presentalasalidade computadoradeDesign-Expertparalosdatosde lavidade laba­
teríadelejemplo5-1.Observeque
SS
Modelo=SSMaterial+SSTemperatura+SSInteracción
=10,683.72+39,118.72+9613.78
=59,416.22
yque
59,416.22
=0.7652
77,646.97
Esdecir,cerca
de77%delavariabilidaddelavidadela bateríaesexplicadaporelmaterialdelaplacade
labatería,
latemperaturaylainteracciónentreeltipodematerialylatemperatura.Enlasalidadecom­
putadorasemuestrantambiénlosresidualesdelmodeloajustado.Acontinuaciónseindica cómousares­
tosresiduales
paraverificarlaadecuacióndelmodelo.

198. ~I
184 CAPÍTULO5INTRODUCCIÓNA LOSDISEÑOSFACTORIALES
Response:Life inhours
ANOVAforSelectedFactorialModel
Analysis
ofvariancetable[Partialsumofsquares]
Sumof Mean
F
Source Squares DF Square Value Prob>F
Model 59416.22 8 7427.03 11.00 <0.0001 significant
A 10683.72 2 5341.86 7.91 0.0020
B 39118.72 2 19559.36 28.97 <0.0001
AB 9613.78 4 2403.44 3.56 0.0186
Residual 18230.75 27 675.21
LackofFit 0.000 O
PureError 18230.75 27 675.21
CorTotal 77646.97 35
Std.Dev. 25.98 R-Squared 0.7652
Mean 105.53 AdjR-Squared 0.6956
C.V. 24.62 PredR-Squared 0.5826
PRESS 32410.22 AdeqPrecision 8.178
DiagnosticsCaseStatistics
StandardActualPredicted Student Cook's Outlier
Order Value Value ResidualLeverageResidualDistance
t
1 130.00 134.75 -4.75 0.250 -0.211 0.002-0.207
2 74.00134.75 -60.75 0.250 -2.700 0.270-3.100
3 155.00 134.75 20.25 0.250 0.900 0.030 0.897
4 180.00134.75 45.25 0.250 2.011 0.150 2.140
5 150.00155.75
-5.75 0.250 -0.256 0.002-0.251
6 159.00155.75 3.25 0.250 0.144 0.001 0.142
7 188.00155.75 32.25 0.250 1.433 0.076 1.463
8 126.00155.75
-29.75 0.250 -1.322 0.065-1.341
9 138.00 144.00 -6.00 0.250 -0.267 0.003-0.262
10 168.00 144.00 24.00 0.250 1.066 0.042 1.069
11 110.00144.00 -34.00 0.250 -1.511 0.085-1.550
12 160.00144.00 16.00 0.250 0.711 0.019 0.704
13 34.00 57.25
-23.25 0.250 -1.033 0.040-1.035
14 80.00 57.25 ·22.75 0.250 1.011 0.038 1.011
15 40.00 57.25
-17.25 0.250 -0.767 0.022-0.761
16 75.00 57.25 17.75 0.250 0.789 0.023 0.783
17 136.00119.75 16.25 0.250 0.722 0.019 0.716
18 106.00119.75
-13.75 0.250 -0.611 0.014-0.604
19 122.00119.75 2.25 0.250 0.100 0.000 0.098
20 115.00119.75
-4.75 0.250 -0.211 0.002-0.207
21 174.00145.75 28.25 0.250 1.255 0.058 1.269
22 150.00145.75 4.25 0.250 0.189 0.001 0.185
23 120.00145.75
-25.75 0.250 -1.144 0.048-1.151
24 139.00145.75 -6.75 0.250 -0.300 0.003-0.295
25 20.00 57.50 -37.50 0.250 -1.666 0.103-1.726
26 82.00 57.50 24.50 0.250 1.089 0.044 1.093
27 70.00 57.50 12.50 0.250 0.555 0.011 0.548
28 58.00 57.50 0.50 0.250 0.022 0.000 0.022
29 25.00 49.50
-24.50 0.250 -1.089 0.044-1.093
30 58.00 49.50 8.50 0.250 0.378 0.005 0.372
31 70.00 49.50 20.50 0.250 0.911 0.031 0.908
32 45.00 49.50
-4.50 0.250 -0.200 0.001-0.196
33 96.00 85.50 10.50 0.250 0.467 0.008 0.460
34 82.00 85.50 -3.50 0.250 -0.156 0.001-0.153
35 104.00 85.50 18.50 0.250 0.822 0.025 0.817
36 60.00 85.50
-25.50 0.250 -1.133 0.048-1.139
Figura5·10Salida
deDesign-Expertparaelejemplo 5-1.

199. 5-3DISEÑOFACTORIALDEDOSFACTORES 185
·5,3.3Verificacióndela adecuacióndelmodelo
(5-11)
(5-12)
Antesdeadoptarlasconclusionesdelanálisisdevarianza,
deberáverificarselaadecuacióndelmodelo
fundamental.Comoanteriormente,laherramientaprimariadediagnósticoeselanálisisresidual.Los
residualesdelmodelofactorialdedosfactoresson
Enlasalidadecomputadorade Design-Expert(figura5-10)y enlatabla5-6semuestranlosresiduales
delosdatosdelavidadelabateríadelejemplo5-1.
Lagráficadeprobabilidadnormaldeestosresidua­
les(figura5-11)norevelanadaparticularmenteproblemático,auncuandoelresidualnegativomásgran­
de(-60.75con15°Fparaelmaterialtipo
1)seapartaunpocodelosdemás. Elvalorestandarizadodeeste
residuales
-60.751'1675.21=-2.34,Y eselúnicoresidualcuyovalorabsoluto esmayorque 2.
Enlafigura5-12segraficanlosresidualescontralosvaloresajustados
Yijk'Estagráficaindica unali­
geratendenciadelavarianzadelosresidualesaincrementarsecuandolavidadelabateríaseincrementa.
Enlasfiguras5-13y5-14segraficanlosresidualescontralostiposdelmaterialylatemperatura,respecti­
vamente.Ambasgráficasindican
unaligeradesigualdaddelavarianza,conlacombinacióndeltrata­
miento15°Fymaterialtipo
1,teniendoposiblemente unavarianzamayorquelas demás.
Enlatabla5-6seobservaquelacelda15°F-materialtipo1contienelosdosresidualesextremos
(-60.75y45.25).Estosdosresidualessonlosprincipalesresponsablesdeladesigualdaddelavarianzade­
tectada
enlasfiguras5-12a5-14.Alexaminarsenuevamentelosdatosnoseobservaningúnproblemaob­
vio,talcomounerroralregistrarlosdatos, porloqueestasrespuestasseaceptancomolegítimas.Es
posiblequeestacombinacióndetratamientosparticularproduzca
unavidadelabateríaligeramentemás
erráticaquelasdemás.Sinembargo,elproblemanoeslosuficientementegravecomopara
tenerunim­
pactodramáticoenelanálisisylasconclusiones.
ypuestoqueelvalorajustado
Yijk=)lij,(elpromediodelasobservacionesdelaceldaij-ésima),laecua­
ción5-11quedacomo
5,3.4Estimacióndelosparámetrosdelmodelo
Tabla5-6Residualesdelejemplo 5-1
Tipode
Temperatura(OF)
material 15 70 125
1 -4.75 20.25 -23.25 -17.25
-37.50 12.50
-60.75 45.25 22.75 17.75 24.50 0.50
2 -5.75 32.25 16.25 2.25
-24.50 20.50
3.25 -29.75 -13.75 -4.75 8.50
-4.50
3 -6.00 -34.00 28.25 -25.75 10.50 18.50
24.00 16.00 4.25
-6.75 -3.50 -25.50
Losparámetrosdelmodelodelosefectos paraeldiseñofactorialdedosfactores
Yijk=
fl+í¡+f3j+(íf3)ij+8ijk (5-13)

200. 186 CAPÍTULO5INTRODUCCIÓN A LOSDISEÑOSFACTORIALES
99
ro
E
o
c:
-o
ro
;g
:c
ro
..c
o
o.
'"
-o
::Ro
-60.75 -34.25 -7.75 18.75 45.25
Residuál
Figura5-11Gráficadeprobabilidadnormaldelosresidualesdelejemplo5-1.
puedenestimarsepormínimoscuadrados.Puestoqueelmodelotiene1 +a+abparámetrosquedeben
estimarse,hay1
+a+b+abecuacionesnormales.Alutilizarelmétododelasección3-9,no esdifícilde­
mostrarquelasecuacionesnormalesson
a b ab A
tt:abn{t+bnLtri+anL~j +nLL(rf3)ij=Y...
i=l j=l i=lj=l
80
60
•
40
•., ••
20 •
•• •
• ••
~O
'" ·50 100· 200
• •-20
••
Yijk
•
•••
-40 •
-60
•
-80
Figura5-12GráficadelosresidualescontraYijkparaelejemplo5-1.
(5-14a)

201. 5-3DISEÑOFACTORIALDEDOSFACTORES 187
60
•
40
•
I •
I
20
• • I
• ••
~O.,
·1 '12 63
•l1podemateriaI
-20 •
• • •
"
•
-40 •
-60
•
-130
Figura5·13Gráficadelosresidualescontraeltipodemate­
rialparaelejemplo5-1.
i=1,2,0..,a
j=1,2,000'b
{
i
o
:
1,2,o oo,a
}-1,2'000'b
(5-14b)
(5-14c)
(5-14d)
Porconveniencia,elparámetroquecorrespondeacadaecuaciónnormalseindicaalaizquierdadelas
ecuaciones5-14.
60
•
40
20
-20
-40
-60
-130
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
:125
Temperatura(OF)
•
•
Figura5-14Gráficadelosresidualescontralatemperatura
paraelejemplo5-1.

202. 188
CAPÍTULo5INTRODUCCIÓN A LOSDISEÑOSFACTORIALES
Elmodelodelosefectos(ecuación5-13)estásobreparametrizado.Observequelasumadelas a
ecuacionesdelaecuación5-14besigualalaecuación5-14ayquelasumadelas becuacionesdelaecua­
ción5-14cesigualalaecuación5-14a.Asimismo,laoperaciónsuma delaecuación5-14dsobre jparauna
iparticulardarálaecuación5-l4b,ylaoperaciónsumadelaecuación5-14dsobre iparaunajparticular
darálaecuación5-14c.Porlotanto,
haya+b+1dependenciaslineales enestesistemadeecuacionesy
noexistiráningunasoluciónúnica.Afindeobtener unasolución,seimponenlasrestricciones
aLf¡=O (S-ISa)
¡=1
b
Lfij= O (5-15b)
j=1
a
/1
L
(r:(3)ij= O j=1,.2,...,b (5-15c)
¡=1
y
b
/1
L
(r:(3)ij= Oi=1,2,...,a (5-15d)
j=1
LasecuacionesS-ISay5-15bconstituyendosrestricciones,mientrasquelasecuaciones5-15cy5-15dfor­
mana+b-1restriccionesindependientes.Porlotanto,setienen entotala+b+1restricciones,elnú­
meroqueserequiere.
Alaplicarestasrestricciones,lasecuacionesnormales(ecuaciones5-14)sesimplificanconsiderable­
mente,yseobtienelasoluciónjl=Y...
h _ _
r:¡=Yi..-Y..i=1,2,...,a
fij=Y.
j
.-Ji...j=1,2,...,b
/1 _ _ _ _ {i=1'2,oo.,a
(r:(3)ij=Yij.-Y¡..-Yj.+Y...j=1,2,oo.,b (5-16)
Observeelgranatractivointuitivodeestasolucióndelasecuacionesnormales.Losefectosdelostrata­
mientosdelosrenglonesseestimanconelpromediodelrenglónmenoselgranpromedio;lostratamien­
tosdelascolumnasseestimanconelpromediodelacolumnamenoselgranpromedio,ylainteracción
ij-ésimaseestimaconelpromediodelaceldaij-ésimamenoselgranpromedio,elefectodelrenglóni-ési-
moyelefectodelacolumnaj-ésima. '
Alutilizarlaecuación5-16,el valorajustado Y¡jkpuedeencontrarsecomo
h /1
Yijk=jl+f¡+(3j+(r:(3h
-+(--)+(--)=Y...Y¡..-Y..Yj.-Y..
+(
- --+- )
Yij,-Y¡..-Yj.Y..
=Yij.
Esdecir,laobservaciónk-ésimadelaceldaij-ésimaseestimaconelpromediodelas nobservacionesde
esacelda.Esteresultadoseusó
enlaecuación5-12 paraobtenerlosresidualesdelmodelofactorialde
dosfactores.
Puestoquese
hanusadorestricciones(ecuaciones5-15) pararesolverlasecuacionesnormales,los
parámetrosdelmodelonotienenestimacionesúnicas.Sinembargo,ciertas
funcionesimportantesde
losparámetrosdelmodelo
sonestimables,esdecir,tienen unaestimaciónúnicaindependientementede
lasrestriccioneselegidas.
Unejemploes
r:¡-r:
u+(r:(3)i.-(r:(3)".,quepodríaconsiderarsecomola"verdade-

203. 5-3DISEÑOFACTORIALDEDOSFACTORES 189
ra"diferenciaentrelosnivelesi-ésimoyu-ésimodelfactorA.Observequelaverdaderadiferenciaentre
losnivelesdecualquierefectoprincipalincluye
unefectodelainteracción"promedio".Esesteresultado
elqueperturbalaspruebasdelosefectosprincipales enpresenciade unainteracción,comoseseñalóan­
teriormente.
Engeneral,cualquierfuncióndelosparámetrosdelmodeloquesea unacombinaciónlineal
delmiembroizquierdodelasecuacionesnormalesesestimable.
Estapropiedadtambiénsehizonotar en
elcapítulo3cuandoseestudióelmodelode unsolofactor.Paramayoresdetalles,verelmaterialsuple­
mentariodeltextodeestecapítulo.
5-3.5Eleccióndeltamañodelamuestra
Paradeterminaruntamañodelamuestra(elnúmeroderéplicas, n)apropiadoen undiseñofactorialde
dosfactores,elexperimentadorpuedeapoyarse enlascurvasdeoperacióncaracterísticaqueaparecen en
laparteVdelapéndice. EnlatablaS-7semuestraelvalorapropiadodelparámetro<1>2,asícomolosgra­
dosdelibertaddelnumeradoryeldenominador.
Unaformamuyeficazdeemplearestascurvasconsiste enencontrarelvalor menorde<1>2quecorres­
pondea
unadiferenciaespecificadaentrelasmediasdedostratamientoscualesquiera.Porejemplo, sila
diferencia
enlasmediasdedosrenglonescualesquieraes D,entonceselvalormínimode
<1>2es
<1>2=nbD
2
(S-17)
2aa
2
mientrasquesiladiferencia enlasmediasdedoscolumnascualesquieraes D,entonceselvalormínimo
de<1>2es
. 2
<1>2=naD (S-18)
2ba
2
Porúltimo,elvalormínimode<1>2quecorrespondea unadiferenciaDentredosefectosdeinteracción
cualesquieraes
nD
2
<1>2=--,------_
2a
2
[(a-1)(b-1)+1]
(S-19)
Parailustrarelusodeestasecuaciones,considerelosdatosdelavidadelabateríadelejemplo
S-1.
Supongaqueantesdecorrerelexperimentosedecidequelahipótesisnuladeberárechazarsecon unaalta
Tabla
5-7ParámetrosdelacurvadeoperacióncaracterísticadelaparteVdelapéndicepara eldiseñofactorial
dedosfactores,modeloconefectos
fijos
Factor
A
B
AB
abn¿Ti
i=l
aa
2
b
an¿ f3~
j=l
ab
n¿¿ (Tf3)~
i=lj=l
a
2
[(a-1)(b-1)+1]
Gradosdelibertad
delnumerador
a-1
b-1
(a-1)(b-1)
Gradosdelibertad
deldenominador
aben-1)
aben-1)
aben-1)

204. (5-20)
r
""
,,¡T
190 CAPÍTULO5INTRODUCCIÓN A LOSDISEÑOSFACTORIALES
probabilidadsi ladiferenciaenlavidamediadelabateríaentredostemperaturascualesquieraes hasta
de40horas.PorlotantoD=40,Ysisesuponeque ladesviaciónestándardelavidadela bateríaesapro­
ximadamente25,entonces
porlaecuación5-18se obtiene
<1>2=naD
2
2ba
2
n(3)(40)2
2(3)(25)2
=1.28n
comoelvalormínimo de<1>2.Suponiendoque a=0.05,ahorapuedeusarsela parteVdelapéndice para
construirlatablasiguiente:
VI=Gradosde v
2
=Gradosde
n <1>2 <1> libertaddelnumerador libertaddelerror f3
2 2.56 1.60 2 9 0.45
3 3.84 1.96 2 18 0.18
4 5.12 2.26 2 27 0.06
Observequecon n=4réplicasseobtiene unriesgof3decercade 0.06,ounaprobabilidadaproxima­
dade94%,derechazarlahipótesisnulasiladiferencia enlavidamediadelabateríacondosnivelesde
temperaturacualesquieraes hastade40horas.Porlotanto,seconcluyequecuatroréplicas bastanpara
proporcionarlasensitividaddeseadasiemprey cuandolaestimaciónusada paraladesviaciónestándarde
lavidade labateríanotengaunerrorgrave.Encasodeduda,elexperimentador podríarepetirelproce­
dimientoanteriorconotrosvalores
deaparadeterminarelefectoquetendríaunaestimaciónequivocada
deesteparámetrosobrelasensitividaddeldiseño.5~3.6 Elsupuestod.enointeracciónenunmodelodedosfactores
Ocasionalmente,unexperimentadorsientequees apropiadounmodelodedosfactoressininteracción,
porejemplo
{
'.:1,2,..., a
J-1,2,oo.,b
k=1,2,oo.,n
Sinembargo,se deberásermuycuidadosoal hacercasoomiso delostérminosdeinteracción,yaquela
presenciade
unainteracciónsignificativa puedetenerunimpactodramáticosobre lainterpretaciónde
losdatos.
Elanálisisestadísticode unmodelofactorialdedosfactoressininteracciónesdirecto. Enlatabla5-8
se
presentaelanálisisdelosdatosdelavidadela bateríadelejemplo5-1,suponiendoqueesválidoelmo-
Tabla
5-8Análisisdevarianzade losdatosdelavidadelabateríasuponiendoquenohayinteracción
Fuentede Sumade Gradosde Cuadrado
variación cuadrados libertad medio
Tiposdematerial
Temperatura
Error
Total
10,683.72
39,118.72
27,844.52
77,646.96 2
2
31
35
5,341.86
19,559.36
898.21
5.95
21.78

205. 5-3DISEÑOFACTORIALDEDOSFACTORES 191
delosininteracción(ecuación5-20).Comoyaseseñaló,losdosefectosprincipalessonsignificativos.Sin
embargo,
tanprontocomoseefectúaelanálisisresidualdeestosdatos,seponedemanifiestoqueelmo­
delosininteracción
esinadecuado.Paraelmodelodedosfactoressininteracción,losvaloresajustados
son
J¡jk=)li..+yj.-y....Enlafigura5-15sepresenta lagráficadeYij.-J¡jk(lospromediosdelasceldasmenos
elvalorajustadodeesacelda)contraelvalorajustadoYijk.AhoralascantidadesYij.-Yijkpuedenconside­
rarsecomolasdiferenciasentrelasmediasdelasceldasobservadasylasmediasdelasceldasestimadas
suponiendoquenohayinteracción.Cualquier
patrónenestascantidadessugierelapresenciade unain­
teracción.
Enlafigura5-15seobserva unpatrónclarocuandolascantidades
Yij.-Yijkpasandepositivoa
negativo,ydespuésdenuevoapositivoy anegativo.
Estaestructuraeselresultadodelainteracciónentre
lostiposdelmaterialylatemperatura.
5.3.7Unaobservaciónporcelda
Enocasionesseencuentranexperimentosdedosfactorescon
unasolaréplica,esdecir,enlosquesólo
hay
unaobservaciónporcelda.Cuandohaydosfactoresy unasolaobservaciónporcelda,elmodelode
losefectoses
{
i.:1,2,,a
J-1,2,,b
(5-21)
Elanálisisdevarianza
paraestasituaciónsepresenta enlatabla5-9,suponiendoqueambosfactoresson
fijos.
Alexaminarloscuadradosmediosesperados,seobservaquelavarianzadel
error
eresnoestimable;
esdecir,queelefectodelainteraccióndelosdosfactores(rf3)ijyelerrorexperimentalnopuedensepa­
rarsedealgunamaneraobvia.
Porconsiguiente,nosecuentaconpruebasparalosefectosprincipalesa
menosqueelefectodelainteracciónseacero.Sinohay
unainteracciónpresente,entonces
(rf3)ij=Opara
todaiyj,yunmodeloplausiblees
{
i.:1,2,,a
J-1,2,,b
(5-22)
Sielmodelo(ecuación5-22)esapropiado,entonceselcuadradomediodelosresidualesdelatabla5-9es
unestimadorinsesgadodeer,ylosefectosprincipales puedenprobarsecomparando MS
AyMS
Bcon
MSResidUa¡'
30
30
•
•
10
•
•
•
(~
Io
I~ 50 100 150 200
-10
Yijk
•
-20
•
•
-30
Figura5-15Gráficade
Yij.-JijkcontraJijkparalosdatosdelavida
delabatería.

206. I!f'",.
192 CAPÍTULO5INTRODUCCIÓN A LOSDISEÑOSFACTORIALES
Tabla5-9Análisisdevarianzade unmodelode dosfactores,unaobservaciónporcelda
Fuentede Sumade Gradosde Cuadrado
variación cuadrados libertad medio
a ? ?
Renglones(A)
L
Yi~_r
a-1 MS
A
i=l
bab
b
?
?
Columnas(B)L
Y.j_r
b-1 MS
B
j~laab
Residualo AB Sustracción (a-l)(b-1) MSResidunl
Total
ab ?
LLYi~-Y~ ab-1
i~l j~l ab
Cuadradomedio
esperado
bL!2
(J2+-_'
a-1
aL,B~
(J2+__1
b-1
?+LL(!,B)~
(J-
(a-1)(b-1)
Unapruebadesarrollada porTukey[111a]esútil paradeterminarsiestápresente unainteracción.
Enelprocedimientosesuponequeeltérminodelainteraccióntiene unaformaparticularmentesimple,
asaber,
('ífJ)ij=Y'íifJj
dondeyesunaconstantedesconocida.Aldefinirasíeltérminodelainteracción,puedeusarseunenfo­
quederegresiónparaprobarlasignificacióndeltérminodelainteracción.
Enlapruebasehacelaparti­
cióndelasumadecuadradosdelosresiduales
enuncomponenteconunsologradodelibertaddebidoa
lanaaditividad(interacción) yuncomponentedelerrorcon (a-l)(b
-1)-1gradosdelibertad. Enloque
aloscálculosserefiere,setiene
(5-23)
con
ungradodelibertad,y
SSError=SSResidunl-SSN (5-24)
con
(a
-l)(b-1)-1gradosdelibertad.Paraprobarlapresenciadeunainteracción,secalcula
SSN
F= (5-25)
oSSError/[(a-1)(b-1)-1]
SiFo>Fa,1,(u_1)(b_1)_bdeberechazarselahipótesisdequenohayningunainteracción.
EJEMPLO5 2 .
Lasimpurezaspresentesen unproductoquímicosonafectadas pordosfactores,lapresiónylatempera­
tura.
Enlatabla5-10semuestranlosdatosdeunasolaréplicadeunexperimentofactorial.Lassumasde
cuadradosson

207. Tabla5-10Datosdelasimpurezasdelejemplo 5-2
'Thmperatura
("F) 25 30
100 5 4
125 3 1
150 1 1
5-3DISEÑOFACTORIALDEDOSFACTORES 193
Presión
35 40 45
YL
6 3 5 23
4 2 3 13
3 1 2 8
13 6 10 44=1..69y'j
1b 2
SS=-"y
2
_
L...B aL.J.Jab
J=1
",;~[92+6
2
+13
2
+6
2
+102]_~= 11.60
3 (3)(5)
a b 2
SST=
LLy~-L...
i=1j=1 ab
=166-129.07=36.93
y
SSResidual=SST-SSA-SSB
=36.96-23.33-11.60=2.00
Lasumadecuadradosdelanoaditividadsecalculaconlaecuación5-23delasiguientemanera:
abLLYijY¡.Y.j=(5)(23)(9)+(4)(23)(6)+..+(2)(8)(10)=7236
i=1j=1
[~~y,Y;Yn(SSA+SS,+;:)J
SS--=--------------~--=--
N- abSSASSB
[7236-(44)(23.33+11.60+129.07)]2
=.:o......._---''---'-'- _'_=__
(3)(5)(23.33)(11.60)
=[20.00]2=0.0985
4059.42
ylasumadecuadradosdelerrores,
porlaecuación5-24,
SSError=SSResidual-SSN
=2.00-0.0985=1.9015
Elanálisisdevarianzacompletoseresumeenlatabla5-11.
Elestadísticode pruebaparalanoaditivi­
dades
Fa=0.0985/0.2716=0.36,dedondeseconcluyequenohayevidenciadeinteracciónenestosda­
tos.Losefectosprincipalesdelatemperatura
ylapresiónsonsignificativos.
Paraconcluirestasección,sehace
notarqueelmodelofactorialdedosfactorescon unaobservación
porcelda(ecuación5-22)luceexactamenteigualqueelmodelodebloquescompletosaleatorizados

208. 194 CAPÍTULO5INTRODUCCIÓNA LOSDISEÑOSFACTORIALES
Tabla5-11Análisisde varianzadelejemplo5·2
Fuentede Sumade Gradosde Cuadrado
variación cuadrados libertad medio
Fo ValorP
Temperatura 23.33 2 11.67 42.97 0.0001
Presión 11.60 4 2.90 10.68 0.0042
Noaditividad 0.0985 1 0.0985 0.36 0.5674
Error 1.9015 7 0.2716
Total 36.93 14
(ecuación4-1). Dehecho,lapruebadeTukeycon unsologradodelibertadparalanoaditividadpuede
aplicarsedirectamenteparaprobarlapresenciade
unainteracciónenelmodelodebloquesaleatoriza­
dos.Sinembargo,
esnecesariorecordarquelas situacionesexperimentales quellevanalmodelodeblo­
quesaleatorizadosyalmodelofactorialsonmuydiferentes.
Enelmodelofactorial, todaslasabcorridas
sehacendemaneraaleatoria,mientrasqueenelmodelo
debloquesaleatorizadoslaaleatorizaciónsólo
ocurre
dentrodelbloque. Losbloquesconstituyen unarestricciónsobrelaaleatorización. Porlotanto,la
maneraenque
secorrenlosexperimentos,asícomolainterpretacióndelosdosmodelos, esmuydiferente.
5..4DISEÑOFACTORIAL GENERAL
Losresultadosdeldiseñofactorialdedosfactorespuedenampliarsealcasogeneralenque hayaniveles
delfactor
A,bnivelesdelfactor B,enivelesdelfactor e,etc.,dispuestosen unexperimentofactorial. En
general,habrá abe...n observacionestotales sisehacennréplicasdelexperimentocompleto. Denueva
cuenta,observequeesnecesariounmínimodedosréplicas
(n
~2)paradeterminarunasumadecuadra­
dosdebidaalerror
sitodaslasinteraccionesposiblesestánincluidasenelmodelo.
Cuandotodoslosfactoresdelexperimentosonfijos,essencilloformularyprobarhipótesisacercade
losefectosprincipalesylasinteracciones.Paraunmodeloconefectosfijos,losestadísticosdeprueba
paracadaefectoprincipaleinteracciónpuedenconstruirsedividiendoelcuadradomediocorrespondien­
tedelefectoointeracción porelcuadradomediodelerror.Todasestaspruebas Fserándeunacolasupe­
rior.Elnúmerodegradosdelibertaddecualquierefectoprincipaleselnúmerodenivelesdelfactor
menosuno,yelnúmerodegradosdelibertadde
unainteraccióneselproductodelnúmerodegradosde
libertadasociadosconloscomponentesindividualesde
lainteracción.
Porejemplo,considereel
modelodelanálisisdevarianzadetresfactores:
Yijkl
=¡,t+r:i+f3j+yk+(r:f3)ij+(r:y)ik+(f3y)jk
{
i.::1,2,oo.,a
(f3) ] - 1,2,.oo,b
+r:yijk+Sijklk=1,2,oo.,e
l=1,2,oo.,n
(5-26)
Suponiendo
queA,B yesonfijos,la tabladelanálisisdevarianza sepresentaenlatabla5-12.Lasprue­
bas
Fparalosefectosprincipalesylasinteraccionessesiguendirectamentedeloscuadradosmedioses­
perados.

209. 1-'
\O
U1
Tabla5-12Latabladelanálisis devarianzadelmodelo detresfactoresconefectos fijos
FuentedevariaciónSumadecuadrados Grados delibertad Cuadradomedio Cuadradomedioesperado Fo
A SSA a-1 MS
A
ben2:Ti R_MSA
a+a-1
0-MS
E
7aen2:f3~
MSB
B SSB b-'-l MS
B
a-+b-1
Fa=MS
E
7abn2:y~
MSc
C SSc
e-1 MSc
R=--
a-+ oMS
Ee-1
a2+en2:2: (Tf3)~
MSAB
AB SSAB (a-l)(b-1) MS
AB
R---
(a-1)(b-1)
0-MS
E
AC SSAC (a-l)(e-1) MS
AC
a2+bn2:2:(ry)~
R_MSAC
(a-1)(e-1)
0-MS
E
2an
2:2:(f3y)~k
MSBC
BC SSBC (b-1)(e-1) MS
BC
R=--
a+ oMS
E
(b-l)(e-1)
ABC SSABC (a-l)(b-l)(e-1) MSABC
a2+n2:2:2: (Tf3Y)~k
R-MS ABC
(a-1)(b-l)(e-1)
0-MS
E
Error
SSE abe(n-1) MSE
7
a-
Total SST aben-1

210. 196 CAPÍTULO5INTRODUCCIÓNA LOSDISEÑOSFACTORIALES
Engeneral,loscálculosdelanálisisdevarianzaseefectuaríanutilizando unpaquetedesoftwarede
estadística.Sinembargo,
enocasionesresultanútileslasfórmulas paracalcularmanualmentelassumas
decuadradosdelatabla5-12.
Lasumadecuadrados totalseencuentradelamaneraacostumbradacomo
aben 2
y.~.
SST=2:2:2:2:Yijkl--b
i=lj=lk=l1=1 aen
(5-27)
Lassumasdecuadradosdelosefectosprincipalesse
encuentranapartirdelostotalesdelosfactores
A(yiJ,B(y
JJYC(Y..k)delasiguientemanera:
1a 2
SS=-"y
2
-~
AbenLJi...aben
1=1
ss=_1_~y2_ y.~.
BaenLJ .J..aben
J=l
SS=_1~y2_ y.~.
CabnLJ ..k.aben
k=l
(5-28)
(5-29)
(5-30)
Paracalcularlassumasdecuadradosdelasinteraccionesdedosfactores,senecesitanlostotalesdelas
celdasAx
B,AxCyBxC.Confrecuenciaesútildesplegar latabladelosdatosoriginales entrestablas
dedosvías
paracalcularestascantidades.Lassumasdecuadradosseencuentrancon
1ab 2
SS=-
""l-~-SS -SSAB LJLJ g..b A B
en1=1j=l aen
=SSSubtotaleS(AB)-SSA-SSB (5-31)
1ae 2
SSAC=-b2:2:yZk.-Y
b····-SSA-SSCni=lk=l aen
=SSSubtotales(AC)- SSA-SSc (5-32)
y
2
l·-~-SS -SSc
.Jk.aben B
1b e
SSBC=-2:2:
anj=lk=l
=SSSubtotaleS(BC)- SSB-SSc (5-33)
Observequelassumasdecuadradosdelossubtotalesdedosfactoresseencuentranapartirdelostotales
decadatabladedosvías.
Lasumadecuadradosdelainteraccióndelostresfactoressecalculaa partirde
lostotalesdelasceldas
(yijddetresvíascomo
1a b e 2y.~.
SSABC=-2:2:2:Yijk.----SSA-SSB-SSc- SSAB-SSAC-SSBC (5-34a)
ni=lj=lk=l aben
=SSSubtotaleS(ABC)-SSA-SSB-SSc-SSAB-SSAC-SSBC (5-34b)
Lasumadecuadradosdel errorpuedeencontrarserestando lasumadecuadradosdecadaefectoprinci­
paleinteraccióndelasumadecuadradostotalocon
SSE=SST-SSSubtotaleS(ABC) (5-35)

211. 5-4DISEÑOFACTORIALGENERAL 197
EJEMPLO5..3ó••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Elproblemadelembotelladodeunrefresco
Unaempresaembotelladoraderefrescosestáinteresada enobteneralturasdellenadomásuniformes en
lasbotellasquesefabrican ensuprocesodemanufactura.Teóricamente,lamáquinadellenadollenacada
botellaalaalturaobjetivocorrecta,
peroenlapráctica,existevariación entornoaesteobjetivo, yalaembo­
telladoralegustaríaentendermejorlasfuentesdeestavariabilidad
y,enúltimainstancia,reducirla.
Elingenierodelproceso puedecontrolartresvariables duranteelprocesode llenado:elporcentaje
decarbonatación
(A),la presióndeoperación enelllenador(B)ylasbotellasproducidas porminutoora­
pidezdelínea
(e).Essencillocontrolar lapresiónylarapidez,peroelporcentajedecarbonataciónes
másdifícildecontrolardurantelamanufacturarealdebidoa
quevaríaconlatemperatura.Sinembargo,
paralosfinesde
unexperimento,elingeniero puedecontrolarlacarbonataciónentresniveles:10, 12Y14
porciento.Eligedosniveles parala presión(25 y30psi)Ydosniveles paralarapidezdelínea(200 y250
bpm).
Elingenierodecidecorrerdosréplicasde undiseñofactorialconestostresfactores,haciendolas
24corridasde maneraaleatoria.Lavariablederespuestaobservadaesladesviaciónpromediodelaaltu­
radelllenadoobjetivoqueseobserva enunacorridadeproduccióndebotellascon cadaconjuntodecon­
diciones.
Enlatabla5-13se muestranlosdatosqueresultarondeesteexperimento.Lasdesviaciones
positivassonalturasdellenadoarribadelobjetivo,mientras
quelasdesviacionesnegativassonalturasde
llenadoabajodelobjetivo.Losnúmerosencerrados
encírculosdelatabla5-13 sonlostotalesdelascel­
dasdetresvías
Yijk.'
Lasumadecuadradostotalcorregida queseencuentraconlaecuación5-27es
aben 2
y'~.
SST=~~~~ Yijki- aben
=
571-(75)2,=336.625
24
Tabla
5-13Datosdeladesviación delaalturadellenadodelejemplo5-3
Presióndeoperación (B)
Porcentajede
carbonatación
(A)
10
12
14
TotalesBx C Y.jk.
Y.j..
25psi
Rapidezdelínea(C)
200 250
-3
Gj:\ -1C[\
-1'0 Oc.v
~CDi®
¡® ~@
6 15
21
TbtalesAx B
Yij..
B
A 25 30
10-5 1
12 4
16
14
22 37
30psi
Rapidezdelínea
(C)
200 250
-1
C[\ 1
Oc.v 1
2'5' 6
3 \:!.../5
7 fí6\ 10
9~ 11
20 34
54
TotalesAx C
Yi.k.
C
A 200250
10 -5 1
12 6 14
14 25 34
(3) -4
@ 20
@ 59
75=Y....
1
1
1\
I

212. 198 CAPÍTULO5INTRODUCCIÓN A LOSDISEÑOSFACTORIALES
ylassumasdecuadradosdelosefectosprincipalesquesecalculanconlasecuaciones5-28,5-29Y5-30son
1a 2
SS=-~ 2_~
Carbonataciónben-f::;Yi...aben
=~[(_4)2+(20)2+(59)2]-(7;{=252.750
1b 2
SS=_~ 2_~
PresiónaenLJy.j..aben
]=1
=1
1
2[(21)2+(54)2]-(7;{=45.375
y
1 e 2
SS.=_Vy
2
-~
RapidezabnL.J..k.aben
k=1
=1
1
2[(26)2+(49)2
]_
(7;{=22.042
Paracalcularlassumasdecuadradosdelasinteraccionesdedosfactores,sedebenencontrarlostota­
lesdelasceldasdedosvías.Porejemplo,
paraencontrarlacarbonatación-presiónointeracciónAB, se
necesitanlostotalesdelasceldas AxB{Yij.)quesemuestran enlatabla5-13.Utilizandolaecuación
5-31,seencuentraquelassumasdecuadradosson
1a b 2
SS=-
~~ Y~-~-SS -SS
ABen~LJ y..aben A B
¡=1]=1
1 (75)2
=-[(_5)2+(1)2+(4)2+(16)2+(22)2+(37)2 ]----252.750-45.375
4. ~
=5.250
Paralacarbonatación-rapidezointeracciónACseusanlostotalesdelasceldasAx C{YUe}quesemues­
tran
enlatabla5-13 ylaecuación5-32:
1ae 2
SSAC=-b
LL Y~k.-yb····-SSA-SSC
ni=1k=l aen
=¡[(_5)2+(1)2+(6)2+(14)2+(25)2 +(34)2]-(7;{-252.750-22.042
=0.583
Lapresión-rapidezointeracción BCseencuentraconlostotalesdelasceldasBx C {yJk}quesemues­
tranenlatabla5-13 ylaecuación5-33:
1be 2
SSBC=~LL Y.~k.-~-SSB -SSC
anj=1k=1 aben
=i[(6)2+(15)2+(20)2 +(34)2]-(7;{-45.375-22.042
=1.042

213. 5-4DISEÑOFACTORIALGENERAL 199
1abe 2Y.~.
SSABC= -LLLYijk.----SSA-SSB-SSC-SSAB-SSAC-SSBC
n;=1j=lk=l aben
Lasumadecuadradosdelainteraccióndelostresfactoresseencuentraconlostotalesdelasceldas
.Á.XBXe{Yijk.},loscualesestánencerrados enuncírculoenlatabla5-13. Porlaecuación5-34aseen­
cuentra
1? ? ? ? 2(75)2
=-[(-4)-+(-1)-+(-1)-+···+(16)-+(21)]--
2 24
-252.750-45.375- 22.042-5.250-0.583-1.042
=1.083
porúltimo,alobservarque
1a b e
SSsublotaleS(ABC)=
-;;LLL
;=1j=lk=l
setiene
2
2 y...328125
Y¡ik--b-=.
,.aen
SSE=SST-SSSubtotales(ABC)
=336.625-328.125
=8.500
Enlatabla5-14seresumeelanálisisdevarianza.Seobservaqueelporcentajedecarbonatación,la
presióndeoperación
ylarapidezdelíneaafectansignificativamenteelvolumendellenado.Elcociente F
delainteraccióncarbonatación-presióntiene unvalorPde0.0558,locualindicaciertainteracciónentre
estosfactores.
Elsiguientepasodeberáser
unanálisisdelosresidualesdeesteexperimento.Sedejacomoejercicio
paraellector,
peroseseñalaquelagráficadeprobabilidadnormaldelosresiduales ylosdemásdiagnós­
ticosusualesnoindicanningúnmotivodepreocupaciónimportante.
Comoayudaparalainterpretaciónprácticadeesteexperimento,enlafigura5-16segraficanlostres
efectosprincipales
ylainteracciónAB(carbonatación-presión).Lasrepresentacionesdelosefectosprinci­
palessonsólográficasdelospromediosdelasrespuestasmarginalesparalosnivelesdelostresfactores.
Observequelastresvariablestienenefectosprincipales
positivos;esdecir,elincrementodelavariable
muevehaciaarribaladesviaciónpromediodell1enadoobjetivo.
Lainteracciónentrelacabonatación yla
presión
esbastantepequeña,comoloindicalaformasimilardelasdoscurvasdelafigura 5-16d.
Puestoquelaempresaquierequeladesviaciónpromediodelllenadoobjetivoestécercadecero,el
ingenierodeciderecomendarelnivelbajodelapresióndeoperación(25psi)
yelnivelaltodelarapidez
delínea(250bpm,quemaximizarálarapidezdeproducción). Enlafigura5-17segraficaladesviación
Tabla
5-14Análisisdevarianzadelejemplo5-3
Sumade Gradosde Cuadrado
Fuentedevariación cuadrados libertad medio
Fa ValorP
Porcentajedecarbonatación(A) 252.750 2 126.375 178.412 <0.0001
Presióndeoperación(B) 45.375 1 45.375 64:059 <0.0001
Rapidezdelínea(C) 22.042 1 22.042 31.118 0.0001
AB 5.250 2 2.625 3.706 0.0558
AC 0.583 2 0.292 0.412 0.6713
BC 1.042 1 1.042 1.471 0.2485
ABC 1.083 2 0.542 0.765 0.4867
Error 8.500 12 0.708
Total 336.625 23
;·'1
I

214. 200 CAPÍTULO5INTRODUCCIÓNA LOSDISEÑOSFACTORIALES
o8 8
-o
co
1::
ª
6 6
Qi
-o
/
o
4 4'O
"E
~
2 2o.
1::
-o
o¡¡
coO Oo;;
lI)
"o
A B-2 -2
101214 25
Porcentajedecarbonatación(Al Presión(B)
al bl
10
o
8-o
co
1::
ªQi6 6
-o
o
'O
4
/
4
"E
~
o.
2 2
1::
00
o¡¡
co
O O
o;;
lI)
"o
-2 C -2 A
200 250 1012 14
Rapidezdelinea (Cl Interacción
el
carbonatación-presión
dI
Figura5-16Gráficasdelosefectosprincipales ylainteraccióndel
ejemplo
5-30a)Porcentajedecarbonatación (A),b)presión(B),e)ra­
pidezdelínea
(e),d)interaccióncarbonatación-presióno
promedioobservadadelaalturadellenadoobjetivoconlostresdiferentesnivelesdecarbonataciónpara
esteconjuntodecondicionesdeoperación.Ahora,elniveldelacarbonataciónnopuedeactualmente
controlarseperfectamente
enelprocesodemanufactura, yladistribuciónnormalindicadaconla línea
continuadelafigura5-17es
unaaproximacióndelavariabilidaddelosnivelesdecarbonataciónquese
o
8
-o
co
1::
"=co
"0-
6-oE
~I:: Distribuciónmejoradadel
:::loa
~'Cii porcentajedecarbonatación
co"
4JEa
,,>
-oco
o""0-co
2
~lii
E-o
00-
~o.
o.~
O
1::1::
:Qo
uu
co
o;;
lI)
-2
"o 10 12 14
Porcentajedecarbonatación (Al
Figura5·17Desviaciónpromediodelaalturadellenado
conrapidezalta
ypresiónbaja paradiferentesnivelesde
carbonatacióno

215. 5-5AJUSTEDECURVASYSUPERFICIESDERESPUESTA 201
registranactualmente.Comoelprocesoesimpactado porlosvaloresdelniveldecarbonataciónsacado
deestadistribución,lafluctuacióndelasalturasdellenado seráconsiderable.Estavariabilidaddelasal­
turasdellenadopodríareducirse siladistribucióndelosvaloresdelniveldecarbonataciónsiguieranla
distribuciónnormalindicadaconlalíneapunteadadelafigura5-17.
Lareduccióndeladesviaciónestán­
dardeladistribucióndelniveldecarbonataciónseconsiguiófinalmentemejorandoelcontroldelatem­
peraturadurantelamanufactura.
.........................................................................
Seseñalóyaque sitodoslosfactoresde unexperimentofactorialsonfijos,laconstruccióndelesta­
dísticode
pruebaesdirecta.Elestadísticoparaprobarcualquierefectoprincipalointeracciónseforma
siempredividiendoelcuadradomediodelefectoprincipalolainteracción
porelcuadradomediodel
error.Sinembargo,
sielexperimentofactorialincluyeunoomás factoresaleatorios, laconstruccióndel
estadísticode
pruebanosiempresehacedeestamanera.Esnecesarioexaminarloscuadradosmedioses­
perados
paradeterminarlaspruebascorrectas. Larevisióncompletadelosexperimentosconfactores
aleatoriosseposponehastaelcapítulo
12.
5~5AJUSTEDECURVASySUPERFICIESDERESPUESTA
Sehavistoquepuederesultarútilajustar unacurvaderespuesta alosnivelesde unfactorcuantitativo
paraqueelexperimentadorcuentecon
unaecuaciónquerelacionelarespuestaconelfactor. Estaecua­
ciónpodríautilizarse
parahacerinterpolaciones,esdecir, parapredecirlarespuestaennivelesinterme­
diosentrelosfactores,respectodelosqueseutilizaronrealmenteenelexperimento.Cuandoalmenos
dosdelosfactoressoncuantitativos,puedeajustarse unasuperficiederespuesta parapredeciryconva­
riascombinacionesdelosfactoresdeldiseño.
Engeneral,seusan métodosderegresiónlineal paraajus­
tarestosmodelosalosdatosexperimentales.Esteprocedimientoseilustra
enlasección3-5.1para un
experimentocon unsolofactor.Acontinuaciónsepresentandosejemplosqueincluyenexperimentos
factoriales.Seutilizará
unpaquetedesoftwaredecomputadora paragenerarlosmodelosderegresión.
Paramayorinformaciónacercadelanálisisderegresión,referirsealcapítulo10yalmaterialsuplementa­
riodeltextodeestecapítulo.
EJEMPLO
5~4 .
Considereelexperimentoquesedescribeenelejemplo5-1.Elfactortemperaturaescuantitativoyeltipo
dematerialescualitativo.Además,haytresnivelesdelatemperatura.Porconsiguiente,puedecalcularse
unefectodelatemperaturalinealyunocuadrático
paraestudiarlaforma enquelatemperaturaafectala
vidadelabatería.
Enlatabla5-15sepresentalasalidacondensadade Design-Expert paraesteexperimen­
to,dondesesuponequelatemperaturaescuantitativayeltipodematerial
escualitativo.
Elanálisisdevarianzadelatabla5-15indicaquelafuentedevariabilidad"modelo"se
hasubdividi­
doenvarioscomponentes.Loscomponentes "A"Y"A2"representanlosefectoslinealycuadrático de
latemperatura,y "B"representaelefecto principaldelfactortipodematerial.Recuerdequeeltipodema­
terial
esunfactorcualitativocontresniveles.Lostérminos "AB"y"A2B"sonlasinteraccionesdelfactortem­
peraturalinealycuadráticoconeltipodematerial.
Losvalores
PindicanqueA
2
yABnosonsignificativos,mientrasqueel términoA
2
Bessignificativo.
Confrecuenciasepiensaeneliminarlostérminosofactoresnosignificativosdelmodelo,peroeneste

216. P"
"
Tabla5-15SalidadeDesign-Expertparaelejemplo5-4
significant
Prob>F
<0.0001
<0.0001
0.0020
0.7398
0.1991
0.0106
F
Value
11.00
57.82
7.91
0.11
1.71
5.40
675.21
Source
Model
A
a
A
2
Aa
Na
Residual
LackofFit
PureError
CorTotal
Response:Life inhr
ANOVAforResponseSurfaceReducedCubicModel
Analysisofvariancetable[Partialsumofsquares]
Sumof Mean
Squares
DF Square
59416.22 8 7427.03
39042.67 1 39042.67
10683.72
2 5341.86
76.06 1 76.06
2315.08
2 1157.54
7298.69 2 3649.35
18230.75 27 675.21
0.000 O
18230.75
27
77646.97 35
Std.Dev. 25.98 R-Squared
Mean 105.53 AdjR-Squared
C.V. 24.62 Pred R-Squared
PRESS 32410.22 AdeqPrecision
Coefticient Standard
Term Estimate
DF Error
Intercept 107.58 1 7.50
A-Temp
-40.33 1 5.30
B[1] -50.33 1 10.61
B[2] 12.17 1 10.61
N -3.08 1 9.19
AB[1] 1.71 1 7.50
AB[2]
-12.79 1 7.50
NB[1] 41.96 1 12.99
NB[2] -14.04 1 12.99
0.7652
0.6956
0.5826
8.178
95%CI
Low
92.19
-51.22
-72.10
-9.60
-21.93
-13.68
-28.18
15.30
-40.70
95%CI
High
122.97
-29.45
-28.57
33.93
15.77
17.10
2.60
68.62
12.62
VIF
1.00
1.00
FinalEquation
inTermsofCodedFactors:
Life=
+107.58
-40.33*A
-50.33*B[1]
+12.17*B[2]
-3.08
*N
+1.71*AB[1]
-12.79*AB[2]
+41.96*NB[1]
-14.04*NB[2]
FinalEquation inTermsofActualFactors:
Material
Type 1
Life
=
+169.38017
-2.48860*Temp
+0.012851*T emp2
MaterialType 2
Life
=
+159.62397
-0.17901*Temp
+0.41627*T emp2
MaterialType 3
Life=
+132.76240
+0.89264*Temp
-0.43218*Temp2

217. 5-5AJUSTEDECURVASYSUPERFICIESDERESPUESTA 203
casoeliminarA
2
YABYconservarA2Bresultaráen unmodeloquenoes jerárquico.Elpriucipiodejerar­
quía
estableceque siunmodelocontiene untérminode ordensuperior(tal comoA
2
B),deberácontener
tambiéntodoslostérminosdeordeninferiorquelocomponen
(A
2
yABenestecaso).Lajerarquíapro­
mueve
untipodeconsistenciainterna enunmodelo,ymuchosconstructoresdemodelosestadísticossi­
guenrigurosamenteesteprincipio.Sinembargo,lajerarquíano
essiempreunabuenaidea,ymuchos
modelos
enrealidadfuncionanmejorcomoecuacionesdepredicciónquenoincluyenlostérminosnosig­
nificativosqueproponelajerarquía.Paramayorinformación,verelmaterialsuplementariodeltextode
estecapítulo.
Lasalidadecomputadoraincluyetambiénestimacionesdeloscoeficientesdelmodeloy unaecua­
ción
paralapredicciónfinaldelavidadelabatería entérminosdefactorescodificados. Enestaecuación,
losnivelesdelatemperatura sanA=
-1,0,+1,respectivamente,cuandolatemperaturaestáenlosnive­
lesbajo,intermedioyalto(15,70,125°F).Lasvariables B[l]YB[2]sonvariablesiudicadoras codificadas
quesedefinendelasiguientemanera:
---------,-----
Tipodematerial
123
B[l]1 O -1
B[2]O 1 -1
Haytambiénecuaciones paralaprediccióndelavidadela bateríaentérminosdelosnivelesdelosfacto­
resreales.Observequecomoeltipodemateriales
unfactorcualitativo,hay unaecuaciónparalavida
predichacomo
unafuncióndelatemperatura paracadatipodematerial. Enlafigura5-18semuestran
188•
•
•
146
~104
62
20 •
•
15.00 42.50 70.00
Temperatura
97.50 125.00
Figura5-18 Lavidapredichacomo unafuncióndelatemperaturaparalostresti­
posdematerial,ejemplo5-4.

218. ffr""!
204 CAPÍTULO5INTRODUCCIÓN A LOSDISEÑOSFACTORIALES
lascurvasderespuestageneradas porestastresecuacionesdepredicción.Compárenseconlagráficade
lainteraccióndedosfactoresparaesteexperimentodelafigura5-9.
Sivariosdelosfactoresde unexperimentofactorialsoncuantitativos,puedeusarse unasuperficiede
respuesta
paramodelarlarelaciónentre yylosfactoresdeldiseño.Además,losefectosdelosfactores
cuantitativospuedenrepresentarseconefectospolinomialescon
unsologradodelibertad. Demanerasi­
milar,esposiblehacerlaparticióndelasinteraccionesdefactorescuantitativosencomponentesdeinter­
accióncon
unsologradodelibertad.Estoseilustra enelejemplosiguiente.
EJEMPLO
5~5 .
Sepiensaquelavidaefectivade unaherramientadecorteinstalada enunamáquinacontroladanuméri­
camenteseafecta
porlavelocidaddecorteyelángulodelaherramienta.Seseleccionantresvelocidades
ytresángulos,ysellevaacabo
unexperimentofactorialcondosréplicas. Enlatabla5-16semuestranlos
datoscodificados.Losnúmerosdelasceldasencerrados
encírculossonlostotalesdelasceldas{yij)'
Enlatabla5-17sepresentalasalidacondensadadeDesign-Expen paraesteejemplo.LostérminosA
y
A
2
sonlosefectoslinealycuadráticodelángulodelaherramienta,y ByB
2
sonlosefectoslinealycua­
dráticodelavelocidad.Los
términosAB,A
2
B,AB
2
yA
2
B
2
representanlos componenteslinealxlineal,
cuadráticoxlineal,linealxcuadráticoycuadráticoxcuadráticodelainteraccióndedosfactores.Aun
cuandohayalgunosvalores
Pgrandes,se hanconservadotodoslostérminosdelmodelo pararespetarla
jerarquía.
Enlaecuacióndepredicciónexpresadaenfactorescodificadosseutilizanlosniveles -1,OY+1
deAyBpararepresentarlosnivelesbajo,intermedioyalto,respectivamente,deestosfactores.
Enlafigura5-19sepresentala gráficadecontorno delasuperficiegenerada porlaecuacióndepre­
diccióndelavidadelaherramienta.Elexamendeesta
superficiederespuesta indicaquelavidamáxima
delaherramientaseconsigueconvelocidadesdecortedealrededorde150rpmyángulosdelaherra­
mientade
25°.Lagráficadelasuperficiederespuestatridimensionaldelafigura5-20proporcionaen
esencialamismainformación,peroofrece
unaperspectivadiferente,y enocasionesmásútil,delasuper­
ficiederespuestadelavidadelaherramienta.
Laexploracióndelassuperficiesderespuesta esunaspec­
tomuyimportantedeldiseñoexperimental,elcualseestudiará
endetalleenelcapítulo11.
Tabla
5-16Datosdelexperimento delavidadelaherramientadecorte
Ángulo
delaherramienta
Velocidad
decorte(pulg/min)
(grados) 125 150 175
Yi..
15 -2
@
-3
@
2
0) -1
-1
O 3
20 O (1)
1
G)
4
@ 16
2
3 6
25 -1 @
5
@
O
@ 9
O 6 -1
Y.j. -2 12 14 24 =Y...

219. s-sAJUSTEDECURVASYSUPERFICIESDERESPUESTA 205
Tabla5-17SalidadeDesign-ExpertparaelejemploS-S
significant
Prob>F
0.0013
0.0003
0.0088
1.0000
0.3618
0.0431
0.2073
0.0004
0.0431
F
Value
9.61
33.92
11.08
0.000
0.92
5.54
1.85
29.54
5.54
1.44
Source
Model
A
B
A
2
B
2
AB
NB
AB
2
A
2
B
2
Residual
LackofFit
Pure
Error
CorTotal
Response:Life inHours
ANOVAforResponseSurfaceReducedOrder4Model
Analysisofvariancetable[Partialsumofsquares]
Sumof Mean
Squares
DF Square
111.00 8 13.87
49.00 1 49.00
16.00 1 16.00
0.000
1
0.00r:!
1.33 1 1.33
8.00 1 8.00
2.67 1 2.67
42.67 1 42.67
8.00
1 8.00
13.00 9 1.44
0.000 O
13.00 9
124.00 17
Std.Dev. 1.20 R-Squared
Mean 1.33 AdjR-Squared
C.V. 90.14 PredR-Squared
PRESS 52.00 AdeqPrecision
Coefficient Standard
Factor Estimate
DF Error
Intercept 2.00 1 0.85
A-Too
1Angle 3.50 1 0.60
B-Speed 2.00 1 0.60
A
2
0.000 1 1.04
B
2
1.00 1 1.04
AB -1.00 1 0.42
NB -1.00 1 0.74
A8
2
-4.00 1 0.74
NB
2
-3.00 1 1.27
FinalEquation
inTermsofCodedFactors:
Life=
+2.00
+3.50
*A
+2.00*8
+0.000
*N
+1.00*8
2
-1.00*A*8
-1.00*N*8
-4.00*A*8
2
-3.00*A
2
*8
2
FinalEquation inTermsofActualFactors:
Life=
-1068.00000
+136.30000*ToolAngle
+14.48000
*Speed
-4.08000*ToolAngle
2
.-0.049600*Speed
2
-1.86400*ToolAngle *Speed
+0.056000*ToolAngle
2
*Speed
+6.40000E-003*ToolAngle *Speed
2
-1.92000E-004*ToolAngle
2
*Speed
2
0.8952
0.8020
0.5806
8.237
95%CI
Low
0.078
2.14
0.64
-2.35
-1.35
-1.96
-2.66
-5.66
-5.88
95%CI
High
3.92
4.86
3.36
2.35
3.35
-0.039
0.66
-2.34
-0.12
VIF
3.00
3.00
3.00
3.00
1.00
3.00
3.00
5.00

220. 222
175.00•......,...------...::--------.....f----..,---__--'<;;:==:;--..
22.5020.0017.50
2
125.00._-L --l...~"__ ~t- .L__"""'" ~
15.00
162.50
137.50
1:l
ro
1:l
'C:;
o
ID
>
Ángulodelaherramienta
Figura5·19 Gráficadecontornobidimensionaldelasuperficiederespuestadelavidade
laherramientadelejemplo5-5.
5.5
ro
1:l
:>
Velocidad
Ángulo
delaherramienta
125.0015.00
Figura5·20 Superficiederespuestatridimensionaldelavidadelaherramientadel
ejemplo5-5.
206

221. (5-36)
(5-37)
5,6FORMACIÓNDEBLOQUESEN UNDISEÑOFACTORIAL
5-6FORMACIÓN DEBLOQUESENUNDISEÑOFACTORIAL 207
{
i
=1,2,o••,a
Yijk=
p,+7:¡+f3j+(7:f3)ij+cijkj=1,2,, b
k=1,2,,11
donde7:¡,f3jY(7:f3)ijrepresentanlosefectosdelosfactores A,BylainteracciónAB,respectivamente.Su­
pongaahoraque
pararealizaresteexperimentosenecesita unamateriaprimaparticular.Estamateria
primaestádisponible
enlotescuyotamañonoessuficiente parapermitirquesecorran todaslasabllcom­
binacionesdelostratamientosconel
mismolote.Sinembargo,si unlotecontienematerialsuficiente
parahacer
abobservaciones,entoncesundiseñoalternativoescorrercada unadelas11réplicasutilizando
unloteseparadodemateriaprima.Porconsiguiente,loslotesdemateriaprimarepresentan
unarestric­
ciónsobrelaaleatorizaciónounbloque,ysecorreunasolaréplicadeunexperimentofactorialcompleto
dentrodecadabloque.
Elmodelo delosefectos paraestenuevodiseñoes
{
i
o
:
1,2,,a
Yijk=
p,+7:¡+f3j+(7:f3)ij+Ok+cijkJ-1,2,,b
k=1,2,,11
dondeOkeselefectodelbloquek-ésimo.Desdeluego,dentrode unbloqueelorden enquesecorrenlas
combinacionesdelostratamientosestácompletamentealeatorizado.
Enelmodelo(ecuación5-37)sesuponequelainteracciónentrelosbloquesylostratamientosesin­
significante.Anteriormenteseestablecióelmismosupuesto
enelanálisisdediseñosdebloquesaleatori­
zados.
Siestasinteraccionesexisten,nopuedensepararsedelcomponentedelerror. Dehecho,el
términodelerror
enestemodelosecompone enrealidaddelasinteracciones
(7:0)¡k'(f30)jky(7:f30)ijk'Enla
tabla5-18sedescribeelanálisisdevarianza. Ladisposicióntiene ungranparecidoconlade undiseño
factorial,conlasumadecuadradosdelerrorreducida
porlasumadecuadradosdelosbloques. Enloque
aloscálculosserefiere,lasumadecuadradosdelosbloquesseencuentracomolasumadecuadradosen­
trelostotalesdelos
nbloques{Yook}'
Enelejemploanterior,laaleatorizaciónserestringióalinteriorde unlotedemateriaprima. Enla
práctica,
unadiversidaddefenómenospuedenproducirrestriccionessobrelaaleatorización,comoel
tiempo,losoperadores,etc.Porejemplo,
sielexperimentofactorialcompleto nopudocorrerseenundía,
entonceselexperimentadorpodríacorrerunaréplicacompletaeldía
1,unasegundaréplicaeldía 2,etc.
Porconsiguiente,cadadíaseríaunbloque.
Sehanrevisadolosdiseñosfactorialesenelcontextodeunexperimentocompletamentealeatorizado. En
ocasionesnoesfactibleoprácticohacerlaaleatorizacióncompletadetodaslascorridasdeundiseñofac­
torial.Porejemplo,lapresenciadeunfactorperturbadorpuedehacernecesarioqueelexperimentose
corraenbloques.Losconceptosbásicosdelaformacióndebloquesseanalizaronenelcapítulo4
enel
contextode
unexperimentoconunsolofactor.Ahoraseindicalaforma enquelaformacióndebloques
puedeincorporarseenundiseñofactorial.Otrosaspectosdelaformacióndebloquesendiseñosfactoria­
lessepresentanenloscapítulos7, 8,9 Y13.
Considereunexperimentofactorialcondosfactores
(AyB)Y11réplicas.Elmodeloestadísticolineal
deestediseñoes
EJEMPLO
5,6 .
.Uningenieroestudialosmétodos paramejorarlacapacidad paradetectarobjetivosenelcampodeac­
cióndeunradar.Dosfactoresqueelingenieroconsideraimportantessonlacantidadderuidodefondo,
. o"desordendeterreno",
enelcampodeaccióndelradaryeltipodefiltrocolocadosobrela pantalla.Se

222. 208 CAPÍTULO5INTRODUCCIÓN A LOSDISEÑOSFACTORIALES
Tabla5-18
Fuentede
variación
Análisis
devarianzadeundiseñofactorial dedosfactoresenbloquescompletosaleatorizados
Sumade Gradosde Cuadrado
cuadrados libertad medioesperado
Bloques
A
B
AB
Error
Total
1 2
_"y
2
-~
abL.J..kabn
k
1 2
_"y2_~
bn.L2L.abn
1 2
_"y2_~
anL.J.j.abn
)
1 2
-""y~-~-SS -SS
nL.JL.J'J.abn A B
,}
Sustracción
"""2 y~.
L.JL.JL.JYijk-abn
, } k
n-1
a-1
b-1
(a-l)(b-1)
(ab-l)(n-1)
abn-1
(/+aba~
MS
A
MS
E
MS
B
MS
E
MS
AB
MS
E
diseñaunexperimentoutilizandotresnivelesdel desordendeterrenoydostiposdefiltro.Estosfactores
seconsideraránfijos.
Elexperimentosellevaacaboseleccionandoalazar unacombinacióndelostrata­
mientos(niveldel
desordendeterrenoytipodefiltro)eintroduciendodespués unaseñalque representa
el objetivoenelcampodeaccióndelradar. Laintensidaddeesteobjetivose incrementahastaqueelope­
radorloobserva.Entoncessemideelniveldeintensidad enelmomentodeladeteccióncomolavariable
derespuesta.
Debidoaladisponibilidaddelos operadores,
esconvenienteseleccionar unoperadory
mantenerloenelsistemahastaquesehanrealizadotodaslascorridasnecesarias.Además,losoperado­
resdifieren
ensuhabilidadycapacidadparaoperarelsistema.Porconsiguiente,parecelógicousarlos
operadorescomobloques.Seseleccionancuatro operadoresalazar.Unavezquese haelegidoa unope­
rador,el
ordenenquesecorrenlasseiscombinaciones delostratamientossedeterminaaleatoriamente.
Porlotanto,setiene unacorridade unexperimentofactorial3 X2enunbloquecompletoaleatorizado.
Losdatosse
presentanenlatabla5-19.
Elmodelolineal paraesteexperimentoes
¡
fi=1,2,3
Yijk=
fl+r:¡+f3j+(r:f3)ij+Ok+cijkj=1,2
k=1,2,3,4
donder:¡representaelefectodeldesordende terreno,f3jrepresentaelefectodeltipodefiltro,(r:f3)ijesla
interacción,Okeselefectodelbloque yC¡jkeselcomponenteNID(O,cr)delerror.Lassumasdecuadrados
del
desordendeterreno,deltipodefiltro ydesuinteracciónsecalculande lamanerausual.Lasumade
Tabla
5-19Niveldeintensidadaldetectarseelobjetivo
Operadores(bloques)
1 2 3 4
Tipodefiltro 1 2 1 2 1 2 1 2
Desordendeterreno
Bajo
90 86 96 84 100 92 92 81
Intermedio 102 87 106 90 105 97 96 80
Alto 114 93 112 91 108 95 98 83

223. 5-6FORMACIÓN DEBLOQUESENUNDISEÑOFACTORIAL 209
Tabla5-20Análisisdevarianzadelejemplo5-6
Fuentedevariación
r>esordendeterreno(G)
Tipodefiltro (F)
GF
Bloques
Error
Total
Sumade
cuadrados
335.58
1066.67
71.08
402.17
166.33
2047.83
Gradosde Cuadrado
libertad medio
Fa ValorP
2 167.79 15.13 0.0003
1 1066.67 96.19 <0.0001
2 38.54 3.48 0.0573
3 134.06
15 11.09
23
cuadradosdebidaalosbloquesseencuentraapartirdelostotalesdelosoperadores {Y..k}delasiguiente
manera:
1 11 2
SS
-_~ 2_~
, Bloques-abL.,¡Y..kabn
k=l
=(3)1(2)[(572)2+(579)2+(597)2 +(530)2]-(~~~~~~:)
=402.17
Enlatabla5-20seresumeelanálisisdevarianzacompletodeesteexperimento. Lapresentaciónde
latabla5-20indicaquetodoslosefectosse
probarondividiendosuscuadradosmedios porelcuadrado
mediodelerror.Tantoeldesordende
terrenocomoeltipodefiltrosonsignificativos enelnivelde1 %,
mientrasquesuinteracciónsóloessignificativa enelnivelde10%. Porlotanto,seconcluyeque tanto
elniveldeldesordende terrenocomoeltipodefiltrodecampousado enlapantallaafectanlahabili­
daddeloperador
paradetectarelobjetivo,yexisteciertaevidenciade unaligerainteracciónentreambos
factores.
Enelcasodedosrestriccionessobrelaaleatorización,cada unaconpniveles,sielnúmerodecombi­
nacionesdelostratamientosen
undiseñofactorialdekfactoresesexactamenteigualalnúmerodenive­
lesdelarestricción,esdecir, sip=ab...m,entonceseldiseñofactorial puedecorrerseenuncuadrado
latino
pxp.Porejemplo,considere unamodificacióndelexperimentode ladeteccióndelobjetivo enel
radardelejemplo5-6.Losfactoresdeesteexperimentosoneltipodefiltro(dosniveles)yeldesordende
terreno(tresniveles),ylosoperadoresseconsiderancomobloques.Supongaahoraquedebidoalimita­
cionesdetiempo,sólopuedenhacerseseiscorridas
pordía.Porlotanto,losdíasseconvierten enunase­
gundarestricción
sobrelaaleatorización,locual resultaenundiseñodel cuadradolatino6 x 6,como
semuestraenlatabla5-21. Enestatablasehanusadolasletras
minúsculas!;ygjpararepresentarlosnive­
lesi-ésimoyj-ésimodeltipodefiltroydeldesordendeterreno,respectivamente.Es
decir,f
¡gzrepresenta
elfiltrotipo1 y undesordendeterrenointermedio.Observequesenecesitanahoraseisoperadores,en
lugardeloscuatrodelexperimentooriginal,
porloqueelnúmerodecombinacionesdetratamientos en
eldiseñofactorial3 x 2 esexactamenteigualalnúmero denivelesderestricción.Además, enestediseño
cadaoperadorseusaría
unasolavezencadadía.Lasletraslatinas A,B,C,D,EYFrepresentanlas3 x 2
=6combinacionesdetratamientosdeldiseñofactorialcomosigue:A =
f¡gl,B=f¡gz,C=f¡g3,D=f'l!Sl'E
::::f'l!SzyF=f'l!S3'

224. (5-38)
210 CAPÍTULO5INTRODUCCIÓN ALOSDISEÑOSFACTORIALES
Tabla5-21Elexperimentodeladeteccióndelradarrealizadoenuncuadradolatino 6X6
Operador
Día
1 2 3 4 5 6
1
A(flgl=90)B(flgz=106)C(flg3=108)
D(fzgl=81)F(fzg3=90)E(fzgz=88)
2
C(flg3=114)A(flgl=96)B(flgZ=105)
F(fzg3=83)E(fzgz=86)D(fzgl=84)
3
B(flgZ=102)
E(fzgz=90)F(fzg3=95) A(flgl=92)D(fzgl=85)C(f¡g3=104)
4 E(fzgz=887)D(fzg¡=84)A(f¡g¡=100)B(flgz=96)C(flg3=110)F(fzg3=91)
5 F(fzg3=93)C(flg3=112)D(fzg¡=92) E(fzgz=80)A(flgl=90)B(f¡gz=98)
6 D(fzgl=86)F(fzg3=91)E(fzgz=97) C(f¡g3=98)B(flgz=100)A(flgl=92)
Loscincogrados delibertadentrelasseisletraslatinascorrespondenalosefectosprincipales deltipo
defiltro(ungradodelibertad),eldesordendeterreno(dosgradosdelibertad)ysuinteracción(dosgra­
dos
delibertad).Elmodeloestadísticolineal deestediseñoes
{
i.:1,2,..., 6
J-1,2,3
Yijkl=
¡,t+a¡+'l"j+fJk+('l"fJ)jk+el+cijkJk=1,2
1=1,2,...,6
donde'l"jYfJksonlosefectosdeldesordendeterrenoydeltipodefiltro,respectivamente,ya¡yelrepresen­
tanlasrestriccionessobrelaaleatorizacióndelosdíasylosoperadores,respectivamente.Paracalcularlas
sumasdecuadrados,lasiguientetabladedosvíasdelostotalesdelostratamientosesútil:
Desordendeterreno Filtrotipo
1 Filtrotipo 2 Y.j..
Bajo 560 512 1072
Intermedio 607 528 1135
Alto 646 543 1189
-- ----
Y..k. 1813 1583 3396=Y....
Además,lostotalesdelosrenglonesylascolumnasson
Renglones(Y.j/d):563 568 568 568 565 564
Columnas(yijk.):572 579 597 530 561 557
Enlatabla5-22seresumeelanálisisdevarianza.Sehaagregadounacolumnaaestatablaqueindica
cómosedeterminaelnúmerodegradosdelibertaddecadasumadecuadrados.
Tabla
5-22Análisisdevarianzadelexperimentodeladetecciónen elradarrealizadocomoundiseñofactorial3X2enun
cuadradolatino
Fórmulageneral
Fuentede SumadeGradosde paralosgrados Cuadrado
variación cuadradoslibertad delibertad medio
Fo ValorP
Desordendeterreno,G
571.50 2 a-1 285.75 28.86<0.0001
Tipodefiltro, F 1469.44 1 b-1 1469.44 148.43<0.0001
GF 126.73 2 (a-l)(b-1) 63.37 6.40 0.0071
Días(renglones) 4.33 5 ab-1 0.87
Operadores 428.00 5 ab-1 85.60
(columnas)
Error
198.00 20 (ab-l)(ab-2) 9.90
Total 2798.00 36 (ab)Z-l

225. 5~7PROBLEMAS
5-7PROBLEMAS 211
\
!
...".'i.,
'.'i
I
5-1.Seestudiaelrendimientodeunprocesoquímico.Sepiensaquelasdosvariablesmásimportantessonlapre­
sión
ylatemperatura.Seseleccionantresnivelesdecadafactor ysellevaacabounexperimentofactorialcon
dosréplicas.Losdatosdelrendimientoson:
Presión(psig)
Temperatura
(OC) 200 215 230
150 90.4 90.7 90.2
90.2 90.6 90.4
160 90.1 90.5 89.9
90.3 90.6 90.1
170 90.5 90.8 90.4
90.7 90.9 90.1
5-2.
a)Analizarlosdatosysacarconclusiones.Utilizar a=0.05.
b)Construirlasgráficasdelosresidualesapropiadas ycomentarlaadecuacióndelmodelo.
e)¿Bajoquécondicionesdeberíaoperarseesteproceso?
Uningenierosospechaqueelacabadosuperficialdeunapiezametálicaseafectaporlavelocidaddealimen­
tación
ylaprofundidaddecorte.Seleccionatresvelocidadesdealimentación ycuatroprofundidadesdecor­
te.Despuésrealizaunexperimentofactorial
yobtienelossiguientesdatos:
Velocidaddealimentación
(pulg/min)
0.20
0.25
0.30
Profundiaddecorte(pulg)
0.15 0.180.20 0.25
74 79 82 99
64 68 88 104
60 73 92 96
92 98 99 104
86 104 108 110
88 88 95 99
99 104 108 114
98 99 110 111
102 95 99 107
5-3.
5-4.
a)Analizarlosdatos ysacarconclusiones.Utilizar a=0.05.
b)Construirlasgráficasdelosresidualesapropiadas ycomentarlaadecuacióndelmodelo.
e)Obtenerestimacionespuntualesdelacabadosuperficialpromedioconcadavelocidaddealimentación.
d)Encontrarlosvalores Pparalaspruebasdelinciso a.
Paralosdatosdelproblema5-2,calcularlaestimaciónde unintervalodeconfianzade95%deladiferencia
mediaenlarespuestaparavelocidadesdealimentaciónde0.20
y0.25pulg/min.
Enunartículode IndustrialQualityControl sedescribeunexperimento parainvestigarelefectodeltipode
cristal
ydeltipodefósforosobrelabrillantezdeuncinescopio. Lavariablederespuestaeslacorriente(en
microamperes)necesaria
paraobtenerunniveldebrillantezespecífico.Losdatossonlossiguientes:

226. 212 CAPÍTULO5INTRODUCCIÓN A LOSDISEÑOSFACTORIALES
Tipode
cristal
1
2
Tipodefósforo
123
280 300 290
290 310 285
285 295 290
230 260 220
235
240 225
240 235 230
a)¿Existealgúnindiciodequealgunodelosdosfactoresinfluyeenlabrillantez?Utilizar a=0.05.
b)¿Losdosfactoresinteractúan?Utilizar a=0.05.
e)Analizarlosresidualesdeesteexperimento.
5-5.JohnsonyLeone (StatistiesandExpelimentalDesigninEngineelingandthePhysiealScienees, JohnWiley)
describenunexperimentorealizadoparainvestigarlatorcedura deplacasdecobre.Losdosfactoresestudia­
dosfueronlatemperaturay
elcontenidodecobredelasplacas. Lavariablederespuestafueunamedidade
lacantidaddetorcedura.Losdatosfueronlossiguientes:
Contenidodecobre
(%)
Temperatura(OC)
50
75
100
125
40
17,20
12,9
16,12
21,17
60 80
16,21 24,22
18,13 17,12
18,21 25,23
23,21 23,22
100
28,27
27,31
30,23
29,31
a)¿Existealgúnindiciodequealgunodelosdosfactoresafectalacantidaddetorcedura?¿Hayalgunain­
teracciónentrelosfactores?Utilizar
a=0.05.
b)Analizarlosresidualesdeesteexperimento.
e)Graficarlatorcedurapromedioconcadaniveldelcontenidodecobreycompararlasconunadistribu­
ción
tconlaescalaapropiada.Describirlasdiferenciasenlosefectosdelosdiversosnivelesdelconteni­
dodecobresobrelatorcedura.
Siesdeseableunatorcedurabaja,¿quéniveldelcontenidodecobre
deberíaespecificarse?
d)Supongaqueno essencillocontrolarlatemperaturaenelmedioambientedondevanausarselasplacas
decobre.¿Estehechomodificalarespuestaquesedio
paraelincisoe?
5-6.Seestudianlosfactoresqueinfluyenenlaresistenciaalarupturadeunafibrasintética.Seeligencuatromá­
quinasdeproducciónytresoperadoresysecorreunexperimentofactorialutilizandofibradelmismolote
de
producción.Losresultadossonlossiguientes:
Máquina
Operador 1 2 3 4
1
109 110 108 110
110 115 109 108
2 110 110 111 114
112 111 109 112
3 116 112 114 120
114 115 119 117

227. ..
5-7PROBLEMAS 213
a)Analizarlosdatosysacarconclusiones.Utilizar a=0.05.
b)Construirlasgráficasdelosresidualesapropiadasycomentarlaadecuacióndelmodelo.
5-7.
Uningenieromecánicoestudialafuerzadeempujedesarrollada porunataladradora.Sospechaquelavelo­
cidaddetaladradoylavelocidaddealimentacióndelmaterialsonlosfactoresmásimportantes.Selecciona
cuatrovelocidadesdealimentaciónyusaunavelocidaddetaladradoaltayotrabajaelegidaspararepresen­
tarlascondicionesdeoperaciónextremas.Obtienelossiguientesresultados.Analizarlosdatosysacarcon­
clusiones.Utilizar
a=0.05.
Velocidaddealimentación
Velocidaddetaladrado 0.0150.0300.0450.060
125 2.70 2.452.60 2.75
2.78 2.492.72 2.86
200 2.83 2.852.86 2.94
2.86 2.802.87
2.88
5-8.Serealiza unexperimentoparaestudiarlainfluenciadelatemperaturadeoperaciónytrestiposdeplacasde
recubrimientodecristal,enlasalidaluminosadeuntubodeosciloscopio.Seregistraronlossiguientesdatos:
Tipode
Temperatura
cristal
100 125 150
580 1090 1392
1
568 1087 1380
570 1085 1386
550 1070 1328
2
530 1035 1312
579 1000 1299
546 1045
867
3 575 1053 904
599 1066 889
a)Utilizara=0.05enelanálisis.¿Existe unefectodeinteracciónsignificativo?¿Eltipodecristalolatem­
peraturaafectanlarespuesta?¿Aquéconclusionessellega?
b)Ajustarunmodeloapropiadoquerelacionelasalidaluminosaconeltipodecristalylatemperatura.
e)Analizarlosresidualesdeesteexperimento.Comentarlaadecuacióndelosmodelosquesehayanconsi­
derado.
5-9.Considereelexperimentodelproblema5-1.Ajustar
unmodeloapropiadoalosdatosdelarespuesta.Usar
estemodelocomoguía
paralascondicionesdeoperacióndelproceso.
5-10.UsarlapruebadeTukeyparadeterminarlosnivelesdelfactorpresiónquesonsignificativamentediferentes
paralosdatosdelproblema5-1.

228. 214
5-11.
5-12.
5-13.
CAPÍTULO5INTRODUCCIÓN A LOSDISEÑOSFACTORIALES
Sellevóacabounexperimentoparadeterminar silatemperaturadecocciónolaposiciónenelhornoafec­
tabanelespesordelendurecimientodeunánododecarbono.Losdatossepresentanacontinuación:
Temperatura("C)
Posición 800 825 850
570 1063 565
1 565 1080 510
583 1043 590
528 988 526
2 547 1026 538
521 1004 532
Supongaqueseconsideraquenoexisteningunainteracción.Desarrollar
elmodeloestadístico.Realizarel
análisisdevarianzayprobarlashipótesissobrelosefectosprincipales.¿Quéconclusionespuedensacarse?
Comentarlaadecuacióndelmodelo.
Deducirloscuadradosmediosesperados
paraunanálisisdevarianzadedosfactoresconunaobservación
porcelda,suponiendoqueambosfactoressonfijos.
Considerelossiguientesdatosdeunexperimento factorialdedosfactores.Analizarlosdatosysacarconclu­
siones.Realizarunapruebadenoaditividad.Utilizar
a=0.05.
Factordelacolumna
Factordelrenglón 1 2 3 4
1
36 39 36 32
2 18 20 22 20
3 30 37 33 34
,
.1
5-14.Sepiensaquelaresistenciaalcortedeunadhesivoseafecta porlapresióndeaplicaciónylatemperatura. Se
realizaunexperimentofactorialenelqueambosfactoressesuponenfijos.Analizarlosdatosysacarconclu­
siones.Realizarunapruebadenoaditividad.
Presión
(lb/pulg
2
)
120
130
140
150
5-15.Considereelmodelodetresfactores
Temperatura
("F)
250 260 270
9.60 11.28 9.00
9.69 10.10 9.57
8.43 11.01 9.03
9.98
10.44 9.80
{
i.
:1,2,oo.,a
Yijk=¡,t+7:¡+f3j+Yk+(7:f3)q+(f3Y)jk+cijkJ-1,2,oo.,b
k=1,2,oo.,e
Observequehayunasolaréplica.Suponiendoquelostresfactoressonfijos,desarrollarlatabladelanálisis
devarianza,incluyendoloscuadradosmediosesperados.¿Quéseusaríacomo"errorexperimental"para
probarlashipótesis?

229. ..
5-7PROBLEMAS 215
5-16.Elporcentajedelaconcentracióndemaderadur&enlapulpabruta,lapresióndelacubayeltiempodecoc­
ciónde
lapulpaseinvestiganencuantoasusefectossobre laresistenciadelpapel.Seseleccionantresniveles
de
laconcentracióndemaderadura,tresnivelesdelapresiónydostiemposdecocción.Sellevaacabo unex­
perimentofactorialcondosréplicas,obteniéndoselossiguientesdatos:
Porcentajedela
Tiempodecocción3.0horas Tiempodecocción4.0horas
concentraciónde
Presión Presión
maderadura 400 500 650 400 500 650
2 196.6 197.7 199.8 198.4 199.6 200.6
196.0 196.0 199.4 198.6 200.4 200.9
4 198.5 196.0 198.4 197.5 198.7 199.6
I!
197.2 196.9 197.6 198.1 198.0 199.0
8 197.5 195.6 197.4 197.6 197.0 198.5
196.6 196.2 198.1 198.4 197.8 199.8
a)Analizarlosdatosysacarconclusiones.Utilizar a=0.05.
b)Construirlasgráficasdelosresidualesapropiadasycomentar laadecuacióndelmodelo.
e)
¿B&joquéconjuntodecondicionesdeberí&operárseesteproceso?¿Porqué?
5-17._Eldep&rtamentodecontroldecalidadde unaplantadeacabadostextilesestudiaelefectodevariosfactores
sobreelteñidode
unateladealgodóny
fibr&ssintéticasutilizada parafabricarcamisas paracaballero.Sese­
leccionarontresoperadores,tresduracionesdelcicloydostemperaturas,ysetiñerontresejemplarespeque­
ñosdelatelab&jocadaconjuntodecondiciones. Latelaterminadasecomparóconunpatrón,yseleasignó
unaevaluaciónnumérica.Losdatossepresentanenseguida.Analizarlosdatosysacarconclusiones.Comen­
tarlaadecuacióndelmodelo.
Thmperatura
300
0
350
0
Operador Operador
Dumcióndelciclo1 2 3 1 2 3
23 27 31 24 38 34
40 24 28 32 23 36 36
25 26 29 28 35 39
36
34 33 37 34 34
50 35 38 34 39 38 36
36 39 35
35 36 31
28 35 26 26 36 28
60 24 35 27 29 37 26
27
34 25 25 34 24
5-18.Supongaqueenelproblema 5-1quiererechazarselahipótesisnulacon unaaltaprobabilidadsiladiferencia
entreelverdaderorendimientopromediocondospresionescualesquieraesmayorque0.5.
Siuna
estim&­
ciónpreviarazonabledeladesviaciónestándardelrendimientoes0.1,¿cuántasréplicasdeberáncorrerse?
5-19.Seestudiaelrendimientodeunprocesoquímico.Losdosfactoresdeinteréssonlatemperaturaylapresión.
Seseleccionantresnivelesdecadafactor;sinembargo,sóloesposiblehacernuevecorridasenundía.El
ex-

230. 216 CAPÍTULO5INTRODUCCIÓN A LOSDISEÑOSFACTORIALES
perimentadorcorre unaréplicacompletaencadadía.Losdatossemuestranenlatablasiguiente.Analizar
losdatos,suponiendoquelosdíassonbloques.
Día1 Día2
Presión Presión
Temperatura
250 260 270 250 260 270
Baja 86.3 84.0 85.8 86.1 85.2 87.3
Intermedia 88.5 87.3 89.0 89.4 89.9 90.3
Alta 89.1 90.2 91.3 91.7 93.2 93.7
5-20.Considerelosdatosdelproblema5-5.Analizarlosdatos,suponiendoquelasréplicassonbloques.
5-21.Considerelosdatosdelproblema5-6.Analizarlosdatos,suponiendoquelasréplicassonbloques.
5-22.
Enunartículode JOllrnalofTestingandEvalllation (vol.16,no. 2,pp.508-515)seinvestigaronlosefectosde
lafrecuenciadecargacíclica
ydelascondicionesambientalessobreelcrecimientodelasfisuras porfatiga
conunesfuerzoconstantede
22MPapara unmaterialparticular.Losdatosdelexperimentosepresentan
abajo(larespuesta
eselíndicedecrecimientodelasfisuras porfatiga):
Medioambiente
FrecuenciaAire
HzOHzO salada
2.29 2.06 1.90
2.47 2.05 1.93
10 2.48 2.23 1.75
2.12 2.03 2.06
2.65 3.20 3.10
1
2.68 3.18 3.24
2.06 3.96 3.98
2.38 3.64 3.24
2.2411.00 9.96
0.1 2.7111.00 10.01
2.81 9.06 9.36
2.0811.30 10.40
a)Analizarlosdatosdeesteexperimento(utilizar a=0.05).
b)Analizarlosresiduales.
e)Repetirlosanálisisdelosincisos
aybutilizandoln(y)comolarespuesta.Comentarlosresultados.
5-23.
Enunartículode IEEETransactionsonElectronDevices sedescribeunestudiosobreeldopadodelpolisili­
cia.Elexperimentoquesemuestraacontinuaciónes
unavariantededichoestudio.Lavariablederespuesta
eslacorrientefundamental.
Dopadodel
polisilicio(iones)
1XlO
zo
2X10
z0
Temperaturaderevenido
("C)
900 950 1000
4.60 10.15 11.01
4.40 10.20 10.58
3.20 9.38 10.81
3.50 10.02 10.60

231. 5-7PROBLEMAS 217
a)¿Existeevidencia (cona=0.05)queindiquequeelniveldedopadodelpolisilicioolatemperaturade fi-
jaciónafectenlacorrientefundamental?
b)Construirrepresentacionesgráficascomoayuda parainterpretaresteexperimento.
e)Analizarlosresidualesycomentarlaadecuacióndelmodelo.
d)
mImodelo
y=/30+/31xl+/32x2+/322xi+/312xlx2+8
estáapoyado poresteexperimento (Xl=niveldedopado, X
2=temperatura)?Estimarlosparámetrosde
estemodeloygraficarlasuperficiederespuesta.

232. Diseñofactorial 2
k
'.
\~
:K
,:
"
6~1INTRODUCCIÓN
Losdiseñosfactorialesseusanampliamente enexperimentosqueincluyenvariosfactorescuando esne­
cesarioestudiarelefectoconjuntodelosfactoressobre
unarespuesta.Enelcapítulo5sepresentaronlos
métodosgenerales
paraelanálisisdelosdiseñosfactoriales.Sinembargo,hayvarios
casosespecialesdel
diseñofactorialgeneralquesonimportantesdebidoasuusogeneralizado
eneltrabajodeinvestigación y
porqueconstituyenlasbasesdeotrosdiseñosdegranvalorpráctico.
Elmásimportantedeestoscasosespeciales
eseldekfactores,cadaunoconsólodosniveles.Estos
niveles
puedensercuantitativos,comodosvaloresdetemperatura,presiónotiempo,obiencualitativos,
comodosmáquinas,dosoperadores,losniveles"alto"y"bajo"de
unfactor,oquizálapresenciaoausen­
ciadeunfactor.Unaréplicacompletadeestediseñorequiere2 x 2 x...x 2 =2
k
observacionesysele
llamadiseñofactorial
2
k
•
Estecapítuloseenfoca enestaclaseenextremoimportantedediseños.Alolargodelcapítulosesu­
poneque1)losfactoressonfijos,
2)losdiseñossoncompletamentealeatorizadosy3)sesatisfacenlossu­
puestosdenormalidadusuales.
Eldiseño
2
k
esdeparticular
utilidadenlasetapasinicialesdeltrabajoexperimental,cuandoproba­
blementeseesténinvestigandomuchosfactores.Estediseñoproporcionaelmenornúmerodecorridas
conlasque
puedenestudiarsekfactoresen undiseñofactorialcompleto.Porconsiguiente,estosdiseños
seusanampliamenteenlosexperimentosdetamizadooseleccióndefactores.
Puestoquesólohaydosniveles
paracadafactor,sesuponequelarespuestaesaproximadamente
li­
nealenelrangoelegido paralosnivelesdelosfactores. Enmuchos experimentosdetamizadodefacto­
res,cuandoseacabadeiniciarelestudiodelprocesoosistema,estesupuestosueleserrazonable. Enla
sección
6-6sepresentaráunmétodosimple paraverificarestesupuesto,yseanalizaránlasaccionesque
deberánemprenderse
encasodequeseviole.
218

233. Figura6·1Combinacionesdelostratamientoseneldi­
seño2
2
,
Concentración
delreactivo,
A
Elprimerdiseñodelaserie 2
k
eselquesólotienedosfactores, porejemplo,Ay B;cadaunosecorreados
niveles.Aestediseñoselellamadiseñofactorial2
2
•
Losnivelesdelosfactores puedendenominarsearbi­
trariamente"bajo"y"alto".Como
unejemplo,considerelainvestigacióndelefectodelaconcentración
delreactivoydelacantidaddelcatalizadorsobrelaconversión(rendimiento)de
unprocesoquímico.Sea
laconcentracióndelreactivoelfactor
A,ysean15y25porcientolosdosnivelesdeinterés. Elcatalizador
eselfactorB,conelnivelaltodenotandoelusode2librasdelcatalizadoryelnivelbajodenotandoeluso
de1libra.Sehacentresréplicasdelexperimento,ylosdatossonlossiguientes:
I
I
I
2196-2ELDISEÑO
22
+
Alto
(25%)
ab=90
(31+30+29)
a=100
(36+32+32)
I
..
Bajo
(15%)
Factor
Combinaciónde
Réplica
A B tratamientos 1 II IIITotal
Abajo,Bbajo 28 25 27 80
+ Aalto,Bbajo 36 32 32100
+ Abajo,Balto 18 19 23 60
++ Aalto,Balto 31 30 29 90
(1)=80
(28+25+27)
I
Bajo_
(1libra)
b=60
Alto+(18+19+23)
(2libras)
6,2ELDISEÑO2
2
Lascombinacionesdelostratamientosseilustrangráficamente enlafigura6-1.Porconvención,el
efectode
unfactorsedenotacon unaletramayúsculalatina. Por10tanto,"A"serefierealefectodelfac­
torA,"B" alefectodelfactor B,y"AB"alainteracciónAB.Eneldiseño2
2
,
losnivelesbajoyaltodeAyB
sedenotanpor
"-"y"+",respectivamente,enlosejesAy B.Porlotanto,-enelejeArepresentaelnivel
bajodelaconcentración(15%),mientrasque
+representaelnivelalto(25%),Y
-enelejeBrepresenta
elnivelbajodelcatalizador,mientrasque +denotaelnivelalto.
Lascuatrocombinacionesdetratamientossuelenrepresentarseconletrasminúsculas,comose
muestra
enlafigura6-1.Porlafiguraseobservaqueelnivelaltodecualquieradelosfactores enunacom­
binacióndetratamientossedenota
porlaletraminúsculacorrespondienteyqueelnivelbajode unfactor
.enunacombinacióndetratamientossedenota porlaausenciadelaletrarespectiva.Porlotanto, arepre-

234. "'1"
L,
220 CAPÍTULO6DISEÑOFACTORIAL 21<
sentalacombinacióndetratamientos conAenelnivelalto yBenelnivelbajo, brepresentaAenelnivel
bajo
yBenelnivelalto, yabrepresentaambosfactores enelnivelalto. Porconvención,seusa(1) parade­
notarqueambosfactoresestán enelnivelbajo. Estanotaciónseutilizaentodaslasseries 2
k
•
Enundiseñofactorialcondosniveles,elefectopromediode unfactorpuededefinirsecomoelcam­
bio
enlarespuestaproducido poruncambioenelniveldeesefactorpromediadoparalosnivelesdelotro
factor.Asimismo,lossímbolos(1),
a,byabrepresentanahorael totaldelasnréplicashechasconlacom­
binacióndelostratamientos,comoseilustraenla figura6-1.
AhoraelefectodeAenelnivelbajo deBes
[a-(1)]/nyelefectodeAconelnivelaltode Bes[ab-b]/n.Alpromediarseestasdoscantidadesseobtie­
neelefectoprincipalde A:
1
A=-([ab-b]+[a-(l)]}
2n
1
=-[ab+a-b-(1)]
2n
(6-1)
Elefectoprincipalpromedio
deBseencuentraapartirdelefecto deBconelnivelbajo deA(esdecir,
[b-(l)]/n)y conelnivelaltode A(osea,[ab-a]/n)como
1
B=-{[ab-a]+[b-(l)]}
2n
1
=-[ab+b-a-(1)]
2n
(6-2)
(6-3)
Elefectode lainteracciónABsedefinecomo ladiferenciapromedioentreelefecto deAconelnivel
altode
Byelefectode Aconelnivelbajode B.Porlotanto,
1
AB=2n([ab-b]-[a-(l)]}
1
=2n[ab+(l)-a-b]
Demaneraalternativa,ABpuededefinirsecomo ladiferenciapromedioentreelefectode Bconel
nivelaltodeA
yelefectodeBconelnivelbajode A.Estollevarátambiéna laecuación6-3.
Lasfórmulasdelosefectos
deA,ByABpuedendeducirseconotrométodo.Elefecto deApuedeen­
contrarsecomoladiferencia
enlarespuestapromediodelasdoscombinacionesdetratamientossituadas
aladerechadelcuadradodelafigura
6-1(aestepromediosele
llamay>,porqueeslarespuestaprome­
dioconlascombinacionesdetratamientosdondeAestá
enelnivelalto) ylasdoscombinacionesdetrata­
mientossituadasalaizquierdadelcuadradode
lafigura6-1(o
YA-).Esdecir,
A=Y
A
+-Y
A
­
ab+a_ b+(l)
2n 2n
1
=-[ab+a-b-(l)]
2n
Setrataexactamentedelmismoresultadoqueelde laecuación6-1.Elefectode B,ecuación6-2,se
encuentracomoladiferenciaentreelpromediodelasdoscombinacionesdetratamientosdelapartesu-

235. ..
6-2ELDISEÑO2
2221
periordelcuadrado(YB+)yelpromediodelasdoscombinacionesdetratamientosdelaparteinferior
(JB-),o
B=Y
B
+-Y
B
-
=ab+b_ a+(l)
2n 2n
1
=2n[ab+b-a-(1)]
Porúltimo,elefectodelainteracciónAB eselpromediodelascombinacionesdetratamientosdeladia­
gonaldederechaaizquierdadelcuadrado
[aby(1)]menoselpromediodelascombinacionesdetrata­
mientosdeladiagonaldeizquierdaaderecha
(ayb),o
AB=ab+(l)a+b
2n 2n
1
=-[ab+(l)-a-b]
2n
resultadoqueesidénticoalaecuación 6-3.
Utilizandoelexperimentodelafigura 6-1,losefectospromediopuedenestimarsecomo
1
A=2(3)(90+100~60-80)=8.33
1
B=2(3)(90+60-100-80)=-5.00
1
AB=2(3)(90+80-100-60)=1.67
Elefectode A(concentracióndelreactivo)espositivo;estosugierequealincrementar Adelnivelbajo
(15%)alnivelalto(25%),elrendimientoseincrementará.
Elefectode B(catalizador)esnegativo;esto
sugierequealincrementar
lacantidaddelcatalizadorqueseagregaalprocesosereduciráelrendimien­
to.Elefectode
lainteracciónpareceserpequeñoencomparaciónconlosdosefectosprincipales.
Enmuchos experimentosqueincluyendiseños
2\seexaminarála magnitudyladireccióndelosefec­
tosdelosfactoresa
findedeterminarlasvariablesquesondeposibleimportancia. Enlamayoríadelos
casospuedeusarseelanálisisdevarianza
paraconfirmarestainterpretación.Hayvariospaquetesdesofí­
waredeestadísticaexcelentesquesonútiles
paraestableceryanalizardiseños 2
k
•
Secuentatambiéncon
métodosespecialesqueahorrantiempocuandoloscálculossehacenmanualmente.
Considerelassumasdecuadrados
deA,ByAB.Observe,porlaecuación6-1,queseusóun contraste
paraestimarA,asaber
,..
¡';olr
'o••
ID
l'
"
I
!
ContrasteA=ab+a-b-(1) (6-4)
Aestecontrastesuelel1amárseleel efectototal deA.Apartirdelasecuaciones6-2y 6-3,seobservaque
tambiénseusancontrastesparaestimar
ByAB.Además,estostrescontrastesson ortogonales.Lasuma
decuadradosdecualquiercontrastepuedecalcularseconlaecuación3-29,
lacualestablecequelasuma
decuadradosdelcontrasteesigual
alcuadradodelcontrastedivididoporelnúmerodeobservacionesen

236. 222 CAPÍTULO6DISEÑOFACTORIAL 2
k
cadatotaldelcontrastemultiplicado porlasumadecuadradosdeloscoeficientesdelcontraste. PorCon­
siguiente,setienen
y
ss=[ab+a-b-(1)]2
A 4n
SS
=[ab+b-a-(1)]2
B 4n
s _[ab+(1)-a-b]2
SAB
- 4n
(6-5)
(6-6)
(6-7)
comolassumasdecuadradosde
A,BYAB.
A!utilizarelexperimentode lafigura6-1,lassumasdecuadradosdelasecuaciones6-5,6-6Y6-7pue­
denencontrarsecomo
Engeneral,SSTtiene4n-1gradosdelibertad. Lasumadecuadradosdelerror,con 4(n-1)gradosde li­
bertad,suelecalcularse porsustraccióncomo
ss=(50)2=20833
A4(3) .
(-30)2
SSB=4(3)=75.00
y
ss=(10)2=8.33
AB4(3)
Lasumadecuadradostotalseencuentracomode
costumbre,esdecir,
22n 2y'~
SST=2:2:2:Yijk-4
i=1j=1k=1 n
SSE=SST-SSA-SSB-SSAB
Paraelexperimentode lafigura6-1,seobtiene
2 2
3 2
SST=
t;#~ Y~k-~'3)
=9398.00-9075.00=323.00
y
SSE=SST-SSA-SSB-SSAB
=323.00-208.33-75.00-8.33
=31.34
(6-8)
(6-9)
(6-10)
alutilizar
SSA'SSBySSABdelaecuación6-8. Enlatabla6-1seresumeelanálisisdevarianzacompleto.
ConbaseenlosvaloresP,seconcluyequelosefectosprincipalessonestadísticamentesignificativosyque
nohayinteracciónentreestosfactores.Estoconfirmalainterpretacióndelosdatosquesehizooriginal­
menteconbase enlasmagnitudesdelosefectosdelosfactores.
Confrecuenciaresultaconvenienteescribirlascombinacionesdelostratamientos
enelorden(1),a,

237. b,aboSehacereferenciaaestocomoelorden estándar(uordendeYates,porelDr.FrankYates).Al
utilizareste
ordenestándar,seobservaqueloscoeficientes deloscontrastesusados paraestimarlos
efectosson
6-2ELDISEÑO2
2223
Tabla
6-1Análisisdevarianzadelexperimentode lafigura6-1
Fuentede Sumade Gradosde Cuadrado
variación cuadrados libertad medio
Fo ValorP
A
208.33 1 208.33 53.15 0.0001
B
75.00 1 75.00 19.13 0.0024
AB
8.33 1 8.33 2.13 0.1826
Error 31.34 8 3.92
Total 323.00
11
ab
+1
+1
+1
b
-1
+1
-1
a
+l
-1
-1
-1
-1
+1
(1)
A:
B:
AB:
Efectos
Observequeloscoeficientesdeloscontrastes paraestimarelefectodelainteracciónsonsóloelproducto
deloscoeficientescorrespondientesdelosdosefectosprincipales. Elcoeficientede uncontrasteessiem­
pre
+1 o-1,ypuedeusarseunatabladesignospositivos ynegativoscomolatabla6-2paradeterminarel
signocorrecto
paracadacombinacióndetratamientos.Losencabezados delascolumnasdelatabla6-2
sonlosefectosprincipales
(AyB),lainteracciónABe J,querepresentaeltotalopromediodelexperi­
mentocompleto.Observequelacolumnaquecorrespondea
Jincluyeúnicamentesignospositivos.Las
etiquetasdelosrenglonessonlascombinacionesdelostratamientos.Paraencontrarelcontrasteparaes­
timarcualquierefecto,simplementesemultiplicanlossignosdelacolumnaapropiadadelatabla
porla
combinacióndetratamientoscorrespondienteysehacelasuma.Porejemplo,
paraestimarA,elcontras­
te
es-(1)+a
-b+ab,queconcuerdaconlaecuación6-1.
Elmodeloderegresión
Enundiseñofactorial2
k
essencilloexpresarlosresultadosdelexperimento entérminosde unmodelode
regresión.Puestoque
2
k
estansólo undiseñofactorial,podríausarseunmodelodelosefectosodelas
medias,peroelenfoquedelmodeloderegresiónesmuchomásnaturaleintuitivo.Paraelexperimento
delprocesoquímicodelafigura6-1,elmodeloderegresiónes
y={Jo+{JIXI+{J2X2
+.s
dondeXlesunavariablecodificadaquerepresentalaconcentracióndelreactivoy x
2esunavariablecodi­
ficadaquerepresentalacantidaddelcatalizadorylas{Jsonloscoeficientesdéregresión.La,relaciónen-
Tabla6-2Signosalgebraicosparacalcular los
efectosen eldiseño2
2
Combinaciónde
Efectofactorial
tratamientos
1 A BAB
(1) + +
a ++
b + +
ab ++ + +

238. 224 CAPÍTULO6DISEÑOFACTORIAL2
k
trelasvariablesnaturales -laconcentracióndelreactivo ylacantidadde catalizador-ylasvariables
codificadas
es
Concentración-(Concentración baa+Concentraciónalta)/2
X= J
1 (Concentraciónalta-Concentraciónbaja)/2
y
Catalizador
-(Catalizador
bajo
+Catalizador
alto
) /2
x
2=
(Catalizador
alto-Catalizador
bajo
) /2
Cuandolasvariablesnaturalessólotienendosniveles,estacodificaciónproducirálafamiliarnota­
ción
±1paralosnivelesdelasvariablescodificadas.Parailustrarestoenelejemplotratado,observeque
Concentración-
(15+25)/ 2
x=
1 (25-15)/2
Concentración- 20
=
5
Porlotanto, silaconcentraciónestáenelnivelalto(Concentración =25%),entonces Xl=+1;silacon­
centraciónestáenelnivelbajo(Concentración
=15%),entonces Xl=-1.Además,
Catalizador-
(1+2)/2
X=
-----~--<---
2 (2-1)/2
Catalizador-1.5
0.5
Porlotanto, sielcatalizadorestáenelnivelalto(Catalizador =2libras),entoncesx
2=+1;sielcataliza­
dorestáenelnivelbajo(Catalizador
=1libra),entonces X
2=-1.
Elmodeloderegresiónajustadoes
(
8.33)
(-5.00)
y=27.5+2 Xl+-2-x2
dondelaordenada alorigeneselgranpromediodelas12observaciones, yloscoeficientesderegresión'/31
y'/32sonlamitaddelasestimacionesdelosefectosdelosfactorescorrespondientes.Larazóndeque el
coeficientederegresiónsealamitaddelaestimacióndelefectoesque uncoeficientederegresiónmide el
efectode uncambiounitario enxsobrelamediade y,ylaestimacióndelefectosebasaenuncambiode
dosunidades(de
-1a +1).Sedemostrarámásadelantequeestemétodosimpleparaestimarloscoefi­
cientesderegresiónconsisteenproducirlasestimacionesdemínimoscuadradosdelosparámetros.Ver
tambiénelmaterialsuplementariodeestecapítulo.
Residualesyadecuacióndelmodelo
Elmodeloderegresiónpuedeusarseparaobtenerelvalorpredichooajustadode yenloscuatropuntos
deldiseño.Losresidualessonlasdiferenciasentreelvalorobservado
yelvalorajustadode y.Porejem­
plo,cuandolaconcentracióndelreactivoestáenelnivelbajo
(Xl=-1)Yelcatalizadorestáenelnivelbajo
(x
2=-1),elrendimientopredicho es
(
8.33)
(-5.00)
y=27.5+2(-1)+-2-(-1)
=25.835

239. y
y
2256-2ELDISEÑO2
2
Haytresobservacionesenestacombinacióndetratamientos,ylosresidualesson
el=28-25.835=2.165
e
2
=25-25.835=-0.835
e
3
=27-25.835=1.165
(
8.33)
(-5.00)
y=27.5+-2-(-1)+-2-(+1)
=
20.835
Paraelnivelbajodelaconcentracióndelreactivoyelnivelaltodelcatalizador,
Losvalorespredichosylosresidualesrestantessecalculande
manerasimilar.Paraelnivelaltodelacon­
centracióndelreactivoyelnivelbajodelcatalizador,
(
8.33)
(-5.00)
y=27.5+-2-(+1)+-2-(-1)
=34.165
e
4
=36-34.165=1.835
es=32-34.165=-2.165
e
6
=32-34.165=-2.165
e
7
=18-20.835=-2.835
es=19-20.835=-1.835
e
g=23-20.835=2.165
Porúltimo,paraelnivelaltodeambosfactores,
(
8.33)
(-5.00)
y=27.5+-2-(+1)+-2-(+1)
=
29.165
y
e
lO
=31-29.165=1.835
en=
30-29.165=0.835
e
l2
=29-29.165=-0.165
Enlafigura6-2sepresentaunagráficadeprobabilidadnormaldeestosresidualesy unagráficadelosre­
sidualescontraelrendimientopredicho.Estasgráficasparecensersatisfactorias,
porloquenohayrazón
parasospecharproblemasconlavalidezdelasconclusiones.
Lasuperficiederespuesta
Elmodeloderegresión
(
8.33)
(-5.00)
y=27.5+-2-Xl+-2-x
2

240. 226 CAPÍTULO6DISEÑOFACTORIAL2
k
99.-......--;----r--.....--,..----,..---,--,
95
90
~80
o70
c:
-o
;g50
:c
J!l30
.t20
10
5+
+
alGráficadeprobabilidadnormal
-
~
I
IX
I I I I_
2.167
X X
1.333- -
X
X
X
i:
0.500- -
'"/:
w
ro
X
",¡
.g-0.333f-- -
.:~r
'00
w
Xce
;;~; -1.167f-- -
EL:;
....1
:2
X
-2.000f- -
X
-2.833
"-~ -
I I I I I I
20.8323.06 25.28 27.5029.7231.94 34.17
Rendimientopredicho
b)Residualescontra elrendimientopredicho
Figura6-2Gráficas delosresidualesparaelexperimentodelproce-
soquímico.
puedeusarseparagenerargráficasdesuperficiederespuesta. Sisedeseaconstruirestasgráficas entérminos
delosnivelesdelosfactoresnaturales,entoncessimplementelasrelacionesentrelasvariablesnaturalesy
las
codificadasquesedieronanteriormentesesustituyen enelmodeloderegresión,dedondeseobtiene
y=27.5+(8;3)(Concentr;ción-20)+(-5~OO)(Cataliz~.~or-1.5)
=18.33+O.8333Concentración-5.00Catalizador
Enlafigura6-3asepresentalagráficadesuperficiederespuestatridimensionaldelrendimientode
estemodelo,y
lafigura6-3beslagráficadecontorno.Puestoqueelmodeloesde primerorden(esdecir,
contieneúnicamentelosefectosprincipales),
lasuperficiederespuestaajustadaes unplano.Alexaminar

241. ..
29.72
,
i
I
1
1
:i
i
ii
j;;
,.j~~
1'1
,'1,
, I
'r
1]
li!
,:1
2276-2ELDISEÑO2
2
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
25.00
23.00
21.00 ',.jo
19.00 ~~B'l>C'S
17.00 ࡲⶰ
B
15.00 CBr-'l.~'l>C
Co~
a)Superficiederespuesta
2.000
1.800
0.;''''''1.600
I~O'Ql1.400
$C'~!~¡"1.200
1'>~O'or 1.000
20.83
y
25.28
34.17
2.000r------:r-----,-----r-----rl
25.0023.3321.6720.00
1.000'--_---I.'-'-__--l.-L.__L-_-L....l-__-L.L-_---l
15.00 18.33
1.833
1.167
(;
"O
.~
~
al
"O
"O
ro
:g
á
1.333
Concentracióndelreactivo
b)Gráficadecontorno
Figura6-3Gráficadelasuperficiederespuestaygráficadecontornodel
experimentodelprocesoquímico.
lagráficadecontornoseobservaqueelrendimientoaumentacuandolaconcentracióndelreactivosein­
crementaylacantidaddecatalizadordisminuye.Frecuentementeseusa
unasuperficieajustadacomo
éstaparaencontrarladireccióndelmejoramientopotencialde
unproceso.Unamaneraformaldehacer
esto,llamadamétododelascensomáspronunciado,sepresentaráenelcapítulo
11cuandoseestudienlos
métodospararealizarlaexploraciónsistemáticadelassuperficiesderespuesta.

242. 228 CAPÍTULO6DISEÑOFACTORIAL 2
k
6~3ELDISEÑO2
3
Supongaquetresfactores,A, ByC,cadaunocondosniveles,sondeinterés.Aldiseñoselellama diseño
factorial2
3
,
yenestecasolarepresentacióngeométricadelasochocombinacionesdetratamientospuede
hacersecon
uncubo,comosemuestraenlafigura 6-4a.Utilizandola notación"+"y"-"pararepresentar
losnivelesaltoybajodelosfactores,lasochocorridasdeldiseño2
3
puedenenlistarsecomoenlafigura
6-4b.Seleconoceenocasionescomola matrizdeldiseño. Haciendounaampliacióndelanotacióndelas
etiquetasrevisadaenlasección6-2,lascombinacionesdelostratamientos
enelordenestándarse escri­
bencomo(1), a,b,ab,c,ac,bcyabc.Recuerdequeestossímbolosrepresentantambiénel totaldelas
n
observacioneshechasconesacombinacióndetratamientosparticular.
Existen
enrealidadtresnotacionesdiferentes paralascorridasdeldiseño2
3
quesondeusogeneral.
Laprimeraeslanotación+y-,llamadaconfrecuencia notacióngeométrica. Lasegundaeselusodelas
etiquetas
enletrasminúsculas paraidentificarlascombinacionesdelostratamientos. Latercerayúltima
notaciónutiliza1 y O
paradenotarlosnivelesaltoybajo,respectivamente,delosfactores, enlugarde
+y-.Estasdiferentesnotacionesseilustranenseguida paraeldiseño2
3
:
CorridaA BeEtiquetasA Be
1 (1) oo o
2 + a 1 O O
3 + b O 1 O
4 + + ab 1 1 O
5 + e O O 1
6 + + ae 1 O 1
7
+ + be O 1 1
8 ++ + abe 1 1 1
Haysietegradosdelibertadentrelasochocombinacionesdetratamientosdeldiseño2
3
•
Tresgrados
delibertadseasocianconlosefectosprincipalesdeA,
ByC.Cuatrogradosdelibertadseasocianconlas
interacciones;unoconcada
unadelasinteracciones AB,ACyBCyunoconlainteracción ABe.
Considerelaestimacióndelosefectosprincipales.Primero,considerelaestimacióndelefectoprinci­
palA.ElefectodeAcuandoBy Cestánenelnivelbajoes [a-(l)]/n.Demanerasimilar,elefecto deA
be abe
I
I
Alto
+1e :ae
~ ,,}J---
Z
--ab+Alto
~" ~
// ~~o
Bajo- " -Bajo <e
(1) a
I I
+
Bajo Alto
Factor
A
a)Vistageométrica
Factor
CorridaA Be
1
2 +
3 +
4 + +
5 +
6 + +
7
+ +
B + + +
b)Lamatrizdeldiseño
Figura6·4 Eldiseñofactorial2
3
•

243. 6-3ELDISEÑO2
3229
(6-11)
(l)+b+e+be
4n
C
A=Y
A
+-Y
A
­
a+ab+ae+abe
=
4n
B
alEfectosprincipales
A
cuandoBestá enelnivelalto yCestáenelnivelbajoes [ab-bl/noElefectodeAcuandoC.está enelnivel
altoyBestáenelnivelbajoes [ae-el/noPorúltimo, elefecto deAcuandotantoBcomoCestán enelni­
velaltoes[abe-be]/n.Porlotanto,elefectopromedio deAessóloelpromediodeestoscuatroefectos,o
1
A=-[a-(l)+ab-b+ae-e+abe-be]
4n
Estaecuacióntambién puededesarrollarsecomo uncontrasteentrelascuatrocombinacionesdetra­
tamientosdelacaraderechadelcubodelafigura
6-5a(dondeAestáenelnivelalto) ylascuatrodela
caraizquierda
(dondeAestáenelnivelbajo).Esdecir,elefecto deAessóloelpromediodelascuatroco­
rridasdonde
Aestáenelnivelalto
(YA+ )menoselpromediodelascuatrocorridas dondeAestáenelnivel
bajo(Y[),o
Estaecuación
puedereescribirse como
1
A=-[a+ab+ae+abe-(1)-b-e -be]
4n
queesidénticaalaecuación6-11.
AB AC
b)Interaccióndedosfactores
BCCfL
A
• =corridas+
O=corridas-
ABC
clInteraccióndelostres factores
Figura6-5Representacióngeométricadeloscontrastesquecorrespondena
losefectosprincipales
ylasinteraccionesdeldiseño2
3
,

244. (6-12)
230 CAPÍTULO6DISEÑOFACTORIAL 2
k
Demanerasimilar,elefectode Besladiferenciaenlospromediosentrelascuatrocombinacionesde
tratamientosdelacarafrontaldelcubo
ylascuatrodelacaraposterior.Seobtieneasí
B=
Y
B
+-Y
B
-
1
=-[b+ab+be+abe-(l)-a-e-ae]
4n
ElefectodeC esladiferenciaenlospromediosentrelascuatrocombinacionesdetratamientosdelacara
superiordelcubo
ylascuatrodelacarainferior,esdecir,
C=
Y
e
+-Yc­
1
=-[e+ae+be+abe-(l)-a-b-ab]
411
(6-13)
Losefectosdelainteraccióndedosfactorespuedencalcularseconfacilidad. Unamedidadelain­
teracciónABesladiferenciaentrelosefectospromedio
deAconlosdosnivelesde B.Porconvención,ala
mitaddeestadiferenciaselellamalainteracción
AB.Utilizandosímbolos,
Puestoquelainteracción
ABeslamitaddeestadiferencia,
B
Alto(+)
Bajo(-)
Diferencia
Efectopromediode A
[(abe-be)+(ab-b)]
2n
{(ae
-e)+[a-(1)]}
2n
[abe-be +ab-b-ae +e -a+(1)]
2n
AB=-"--[a_b_c_-_b_e_+_ab_-_b_-_a_e_+_e_-_a_+_(.o...l~)]
4n
Laecuación6-14puedeescribirsedelasiguientemanera:
(6-14)
AB=abe+ab+e+(l)
411
be+b+ae+a
411
(6-15)
Enestaforma,resultafácilverque lainteracciónABesladiferencia enlospromediosentrelascorridas
dedosplanosdiagonalesdelcubodelafigura
6-5b.Utilizandounrazonamientológicosimilar yconrefe­
renciaalafigura
6-5b,lasinteraccionesACyBCson
1
!
AC=-[(l)-a+b-ab-e+ae-be-liabe]
4n
y
1
BC=-[(1)+a-b-ab- e-ae+be+abe]
4n (6-16)

245. 6-3ELDISEÑO2
3231
LainteracciónABCsedefinecomoladiferenciapromedioentrelainteracciónABparalosdosdife­
rentesnivelesde
C.Porlotanto,
1
ABC=-{[abc-bc]-[ac-c]-[ab-b]+[a-(1)]}
4n
1
=-[abc-bc-ac+c-ab+b+a-(1)]
4n
(6-17)
Comoantes,lainteracciónABCpuedeconsiderarsecomoladiferenciadedospromedios.
Siseaíslanlas
corridasdelosdospromedios,éstasdefinenlosvérticesdelosdostetraedrosquecomponenelcubodela
figura
6-Sc.
Enlasecuaciones6-11a6-17,lascantidadesentrecorchetessoncontrastesdelascombinacionesde
lostratamientos.Esposibledesarrollar
unatabladesignospositivosynegativosapartirdeloscontrastes,
lacualsemuestra
enlatabla6-3.LossignosdelosefectosprinCipalessedeterminanasociando unsigno
positivoconelnivelaltoy
unsignonegativoconelnivelbajo. Unavezquese hanestablecidolossignosde
losefectosprincipales,lossignosdelascolumnasrestantes
puedenobtenersemultiplicandolascolumnas
precedentesapropiadas,renglón
porrenglón.Porejemplo,lossignosdelacolumnaABsonelproducto
delossignosdelacolumnaAylacolumna Bencadarenglón.Elcontrastedecualquierefectopuedeob­
tenersefácilmenteconestatabla.
Latabla6-3tienevariaspropiedadesinteresantes:1)Conexcepcióndelacolumna J,cadaunadelas
columnastienenelmismonúmerodesignospositivosynegativos.2)
Lasumadelosproductosdelossig­
nosdedoscolumnascualesquieraescero.3)
LacolumnaJmultiplicadaporcualquieradelascolumnas
dejalacolumnasincambio.Esdecir,
Jesunelementoidentidad.4)Elproductodedoscolumnascuales­
quieraproduce
unacolumnadelatabla.Porejemplo, AxB=AB,Y
ABxB=AB
2
=A
Seobservaquelosexponentesdelosproductosseformanutilizandolaaritméticamódulo 2.(Esdecir,el
.exponentesólopuedeserOo 1;siesmayorque 1,sereduceconmúltiplosde2hastaqueesOo1.)Todas
estaspropiedadessederivandelaortogonalidaddeloscontrastesusadosparaestimarlosefectos.
.Lassumasdecuadradosdelosefectossecalculanconfacilidad,yaquecadaefectotiene uncontraste
correspondientecon
unsologradodelibertad. Eneldiseño2
3
connréplicas,lasumadecuadradosde
cualquierefectoes
+
+ +
ss=(Contraste)2
8n
Tabla
6·3Signosalgebraicosparacalcular losefectosdeldiseño2
3
Combinaciónde Efectofactorial
tratamientos
1 A B AB C AC
(1) + + +
a + +
b + + +
ab + + + +
e + + +
ae + + + +
be + + +
abe + + + + + +
BC
+
+
(6-18)
ABC
+
+
+

246. 232 CAPÍTULO6DISEÑOFACTORIAL 2
k
EJEMPLO6~1 .
Recuerdeelejemplo 5-3,dondesepresentóunestudiodelefectodelporcentajedecarbonatación,lapre­
sióndeoperación
ylavelocidaddelíneasobrelaalturadellenadode unabebidacarbonatada.Suponga
quesóloseusandosnivelesdecarbonatación,detalmodoqueelexperimento
esundiseñofactorial2
3
condosréplicas.Losdatos(esdecir,lasdesviacionesdelaalturade llenadodeespecificación)semues­
tranenlatabla
6-4,yenlafigura 6-6sepresentalarepresentacióngeométricadeldiseño.
Alutilizarlostotalesbajolascombinacionesdelostratamientosque
semuestranenlatabla6-4,los
efectosdelosfactorespuedenestimarsedelasiguientemanera:
1
A=-[a-(l)+ab-b+ac-c+abc-bc]
411
1
=
8[1-(-4)+5-(-1)+3-(-1)+11-2]
1
=8[24]=3.00
1
B=411[b+ab+bc+abc-(1)-a-c-ac]
1
=8[-1+5+2+11-(-4)-1-(-1)-3]
1
=8[18]=2.25
1
C=-[c+ac+bc+abc-(l)-a-b-ab]
411
1
=8[-1+3+2+11-(-4)-1-(-1)-5]
1
=-[14]=175
8 .
1
AB=411[ab-a-b+(l)+abc-bc-ac+c]
1
=8[5-1-(-1)+(-4)+11-2-3+(-1)]
1
=-[6]=075
8 .
Tabla6-4Elexperimentodelaalturadellenado,ejemplo6·1
Desviacióndela
Factorescodificados alturadellenado Nivelesdelfactor
Corrida
A B e Réplica1 Réplica2Bajo(-1) Alto (+1)
1
-1 -1 -1 -3 -1 A(psi)10 12
2 1 -1 -1 O 1 B(psi) 25 30
3
-1 1
-1 -1 O e(b/min)200 250
4 1 1 -1 2 3
5
-1 -1 1 -1 O
6 1 -1 1 2 1
7
-1 1 1 1 1
8 1 1 1 6 5

247. 6-3ELDISEÑO2
3233
abe=11be=2
e=-1
250bpm +~--"""I--""
I
I
I
",,,,).2:.-2..-7730PSi
200bpm_11)=-4a=1~. Presión(B)
'-- --l+1 25psi
10% 12%
Carbonatación
(A)
Velocidad(e)
Figura6·6Eldiseño2
3
paraelexperimentodeladesviaciónde
laalturadellenadodelejemplo
6-1.
1
AC=-[(1)-a+b-ab-c+ac-bc+abc]
411
1
=-[-4-1+(-1)-5-(-1)+3-2+11]
8
1
=-[2]=025
2 .
1
BC=-[(1)+a-b-ab-c-ac+bc+abc]
411
1
=-[-4+1-(-1)-5-(-1)-3+2+11]
8
1
=-[4]=050
8 .
y
1
AEC=411[abc-bc-ac+c-ab+b+a-(1)]
1
=
8[11-2-3+(-1)-5+(-1)+1-(-4)]
1
=-[4]=050
8 .
Losefectosmásgrandesson
paralacarbonatación(A=3.00),lapresión(B=2.25),lavelocidad(C =
1.75)Ylainteraccióncarbonatación-presión (AE=0.75),sibienelefecto delainteracciónnoparecete­
ner
unimpactotangrandesobreladesviacióndelaalturadellenadocomolosefectosprincipales.
Lassumasdecuadradossecalculanconlaecuación
6-18delasiguientemanera:
SS=(24)2=36.00
A 16
SS=(18)2=20.25
B 16
SS=(14)2=12.25
e 16

248. 234 CAPÍTULO6DISEÑOFACTORIAL 2"
Tabla6-5
Factor
Resumen
delaestimacióndelosefectosdelejemplo 6-1
Estimación Sumas de
delefecto cuadrados
Contribución
porcentual
A
B
C
AB
AC
BC
ABC
Errorpuro
Total
3.00
2.25
1.75
0.75
0.25
0.50
0.50
36.00
20.25
12.25
2.25
0.25
1.00
1.00
5.00
78.00
ss= (6)2 =2.25
AB 16
SS=(2)2=0.25
AC 16
SS=(4)2=1.00
BC 16
46.1538
25.9615
15.7051
2.88462
0.320513
1.28205
1.28205
6.41026
y
SS=(4)2=1.00
ABC 16
Lasumadecuadradostotales SST=78.00,Y porsustracción,SSE=5.00.Enlatabla6-5seresumenlas
estimacionesdelosefectosylassumasdecuadrados.
Lacolumnaetiquetada"contribuciónporcentual"
midelacontribuciónporcentualdecadaunodelostérminosdelmodeloalasumadecuadradostotal.La
contribuciónporcentual
esconfrecuenciaunaguíaaproximada peroefectivadelaimportanciarelativa
decadatérminodelmodelo.Observequelosefectosprincipalesdominanenrealidadesteproceso,expli­
candomásde87%delavariabilidadtotal,mientrasquelainteracción
ABexplicamenosde3%.
Elanálisisdevarianzadelatabla6-6puedeusarse
paraconfirmarlamagnituddeestosefectos.Porla
tabla6-6seobservaquelosefectosprincipalessonaltamentesignificativos(todostienenvalores
Pmuy
Tabla
6-6Análisisdevarianzade losdatosdelaalturadellenado
Fuentede Sumade Gradosde Cuadrado
variación cuadrados libertad medio
Fa ValorP
Porcentajedecarbonatación(A) 36.00 1 36.00 57.60 <0.0001
Presión
(B) 20.25 1 20.25 32.40 0.0005
Velocidaddelínea(C) 12.25 1 12.25 19.60 0.0022
AB 2.25 1 2.25 3.60 0.0943
AC 0.25 1 0.25 0.40 0.5447
BC 1.00 1 1.00 1.60 0.2415
ABC 1.00 1 1.00 1.60 0.2415
Error 5.00 8 0.625
Total 78.00
15

249. ti
6-3ELDISEÑO2
3235
pequeños).LainteracciónABessignificativaconunnivelaproximadode 10%;parlotanto,existe unali­
gerainteracciónentrelacarbonataciónylapresión.
Quizá
ellectorquierareferirsealejemplo 5-3paralainterpretaciónprácticadeesteexperimento.
Losresponsablesdelprocesodecidieroncorrerloconpresiónbajayvelocidaddelíneaalta,yreducirla
variabilidaddelacarbonatacióncontrolandoconmayorprecisión
latemperatura.Seconsiguióasíuna
reducciónsustancialenladesviacióndelaalturadellenadodelvalorobjetivo.
.........................................................................
Elmodeloderegresión ylasuperficiederespuesta
Elmodeloderegresiónparapredecirladesviacióndelaalturadellenadoes
y=~a+~lX1 +~2X2 +~3X3 +~12X1X2
(
3.00)(2.25)(1.75)(0.75)=1.00+-2-Xl+-2-x2+
2 X3+2 X1X2,
dondelasvariablescodificadas Xl'X
2YX
3representana A,BYe,respectivamente.Eltérmino X
1
X
2eslain­
teracciónAB.Losresidualespuedenobtenersecomoladiferenciaentrelasdesviacionesdelaalturade
llenadoobservadaylapredicha.Elanálisisdeestosresidualessedejacomoejercicioparaellector.
Enlafigura6-7semuestralasuperficiederespuestaylagráficadecontornoparaladesviacióndela
alturadellenadoobtenidacon
elmodeloderegresión,suponiendoquelavelocidaddelíneaestáenelni­
velalto(x
3=1).Observequecomo elmodelocontienelainteracción,laslíneasdecontornodeladesvia­
cióndelasalturasdellenadoconstantessoncurvas(olasuperficiederespuestaesunplano"torcido").
Esdeseableoperaresteprocesodellenadodetalmodoque ladesviacióndelllenadoestétancercade
cerocomoseaposible.
Lagráficadecontornoindicaque silavelocidaddelíneaestáenelnivelalto,en­
tonceshayvariascombinacionesdelosnivelesdelacarbonataciónylapresiónquesatisfaránesteobjeti­
vo.Sinembargo,seránecesarioejercer uncontrolprecisodeestasdosvariables.
Soluciónporcomputadora
Haymuchospaquetesdesoftwaredeestadísticaqueestablecerányanalizarándiseñosfactorialescondos
niveles.
Lasalidadeunodeestosprogramasdecomputadora, Design-Expelt,semuestraenlatabla 6-7.
Enlapartesuperiordelatablasepresentaelanálisisdevarianzadelmodelocompleto.Elformatode
estapresentaciónesuntantodiferentedelosresultadosdadosenlatabla
6-6.Observequeelprimerren­
glóndelanálisisdevarianza
esunresumenglobaldelmodelocompleto(todoslosefectosprincipalesylas
interacciones),ylasumadecuadradosdelmodelo
es
.SSModelo=SSA+SSB+SSc+SSAB+SSAC+SSBC+SSABC
=73.0
Porlotanto,elestadístico
F.=
_M_S----::.:M.::.;:od;;;.:el.:...o
a MS
E
10.43=16.69
0.63
estáprobandolashipótesis
Ha:/31=/32=/33=/312=/313=/323=/3123=°
H
1
:almenosuna /3~°

250. í
236 CAPÍTULO6DISEÑOFACTORIAL2
k
4.875
y
1.375
-0.3750
30.00
29.00
28.00
,o"27.00
"'''''61¡26.00
25.00
"
"
"
"
"
"
12.00
11.60
11.20
10.80尧佣࠼ⱜ
O
0<'\'0
10.4 C'O~
10.00
alLasuperficiederespuesta
30.00~-~-'---or-r---r---"'-~--.-~--"
29.17
c:
-o
.¡¡;27.50
~
a.
26.67
25.00L..-----:-~:__---L=--~":_:_-__:'":":'::____:'"::":=_-_='
10.00 12.00
Carbonatación
b)Lagráficadecontorno
Figura6-7 Superficiederespuesta ygráficadecontornodeladesvia­
cióndelaalturadellenado,conlavelocidad
enelnivelalto(250bpm),
ejemplo6-1.

251. Std.Dev. 0.79 R-Squared 0.9359
Mean 1.00
AdjR-Squared 0.8798
C.V. 79.06 PredR-Squared 0.7436
PRESS 20.00 AdeqPrecision 13.416
Coefficient
Standard 950/0
Cl 95%CI
Factor Estimate DF Error Low High
Intercept 1.00 1 0.20 0.54 1.46
A-Carbonation 1.50 1 0.20 1.04 1.96
B-Pressure 1.13 1 0.20 0.67 1.58
C-Speed 0.88 1 0.20 0.42 1.33
AB 0.38 1 0.20 -0.081 0.83
AC 0.13 1 0.20 -0.33 0.58
BC 0.25 1 0.20 -0.21 0.71
ABC 0.25 1 0.20 -0.21 0.71
VIF
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
significant
Prob>F
0.0003
<0.0001
0.0005
0.0022
0.0943
0.5447
0.2415
0.2415
F
Value
16.69
57.60
32.40
19.60
3.60
0.40
1.60
1.60
0.63
Source
Model
A
B
C
AB
AC
BC
ABC
Residual
LackofFit
Pure
Error
CorTotal
FinalEquationin
TermsofCodedFactors:
FiIIDeviation=
+1.00
+1.50
*A
+1.13*8
+0.88*C
+0.38*A*8
+0.13
*A*C
+0.25*8*C
+0.25*A*8*C
FinalEquationinTermsofActualFactors:
FiIIDeviation=
-225.50000
+21.00000*Carbonation
+7.80000*Pressure
+1.08000*Speed
-0.75000*Carbonation*Pressure
-0.10500*Carbonation*Speed
-0.040000*Pressure*Speed
+4.00000E-00:*Carbonation*Pressure*Speed
Tabla
6-7Salidade Design-Expertparaelejemplo6-1
Response:FiIIDeviationinHeight
ANOVAforSelectedFactorialModel
Analysisofvariance
table[Partialsumofsquares]
Sumof Mean
Squares DF Square
73.00 7 10.43
36.00 1 36.002~25 1 2~25
12.25 1 12.25
2.25 1 2.25
0.25 1 0.25
1.00
1 1.00
1.00
1 1.00
5.00 8 0.63
0.000 O
5.00 8
78.00 15
ReducedModel:
Response:
FiIIDeviationinHeight
ANOVAforSelectedFactorialModel
Analysisofvariance
table[Partialsumofsquares]
237

252. Tabla6-7(continuación)
Sumof Mean F
Source SquaresDFSquareValueProb>F
Model 70.754 17.6926.84<0.0001significant
A 36.00 1 36.0054.62<0.0001
B 20.25
1 20.2530.72 0.0002
e 12.251 12.2518.59 0.0012
AB 2.251 2.253.41 0.0917
Residual 7.25 11 0.66
LackofFit 2.253 0.75 1.20 0.3700 notsignificant
PureError 5.008 0.63
CorTotal 78.0015
Std.Dev.
0.81 R-Squared 0.9071
Mean 1.00 AdjR-Squared 0.8733
C.V. 81.18 PredR-Squared 0.8033
PRESS 15.34 AdeqPrecision 15.424
Coefficient
Standard 95%CI 95%CI
Factor Estimate DF Error Low High VIF
Intercept 1.00 1 0.20 0.55 1.45
A-Carbonation 1.50 1 0.20 1.05 1.95 1.00
B-Pressure 1.13 1 0.20 0.68 1.57 1.00
C-Speed 0.88 1 0.20 0.43 1.32 1.00
AB 0.38 1 0.20 -0.072 0.82 1.00
Final
EquationinTermsofCodedFactors:
FiIIDeviation=
'.~';
+1.00w'
;:1 +1.50*A
+1.13*B
;'~:':j1
+0.88*C
:~~~
+0.38*A *B
~~:~ FinalEquationinTermsofActualFactors:
I;~:-;:
FiIIDeviation=
j~: +9.62500
-2.62500*Carbonation
-1.20000*Pressure
+0.035000*Speed
+0.15000*Carbonation *Pressure
DiagnosticsCaseStatistics
StandardActualPredicted StudentCook'sOutlier
OrderValue ValueResidualLeverageResidualDistance t
1
-3.00 -2.13 -0.88 0.313-1.300 0.154-1.347
2 -1.00 -2.13 1.13 0.313 1.671 0.2541.845
3 0.000 0.12
-0.12 0.313-0.186 0.003-0.177
4 1.00 0.12 0.88 0.313 1.300 0.1541.347
5
-1.00 -0.63 -0.38 0.313-0.557 0.028-0.539
6 0.000 -0.63 0.63 0.313 0.928 0.078 0.922
7 2.00 3.13
-1.13 0.313-1.671 0.254-1.845
8 3.00 3.13 -0.13 0.313-0.186 0.003-0.177
9 -1.00 -0.37 -0.63 0.313-0.928 0.078-0.922
10 0.000 -0.37 0.37 0.313 0.557 0.028 0.539
11 2.00 1.88 0.13 0.313 0.186 0.0030.177
12 1.00 1.88 -0.88 0.313-1.300 0.154-1.347
13 1.00 1.13 -0.13 0.313-0.186 0.003-0.177
14 1.00 1.13 -0.13 0.313-0.186 0.003-0.177
15 6.00 4.88 1.13 0.313 1.671 0.2541.845
16 5.00 4.88 0.13 0.313 0.186 0.0030.177
238

253. "
6-3ELDISEÑO2
3239
puestoque Foesgrande,seconcluiríaquealmenos unadelasvariablestiene unefectodiferentedecero.
Entoncesse
pruebalasignificacióndecadaefectofactorialindividualutilizandoelestadístico F.Estosre­
sultadosconcuerdanconlatabla6-6.
AbajodelanálisisdevarianzadelmodelocompletosepresentanvariosestadísticosR
2
•
LaR
2
ordina­
riaes
R2=SSModelo=73.00=0.9359
SSTotal78.00
ymidelaproporcióndelavariabilidadtotalexplicada
porelmodelo.Unproblemapotencialconestees­
tadísticoesquesiempreseincrementacuandoseagreganfactoresalmodelo,inclusocuandoestosfacto­
resnosonsignificativos.ElestadísticoR
2
ajustada,definidocomo
R2.=1-SSEldfE=1-5.00/8=08798
Ajustada SSTotal1dfTotal78.00/15'
esunestadísticoqueestáajustado parael"tamaño"delmodelo;esdecir, paraelnúmerodefactores. La
R
2
ajustadapuededecrecer enrealidadsiseagregantérminosnosignificativosalmodelo.Elestadístico
PRESSes
unamedidadequétanbien predecirádatosnuevoselmodelo(PRESSesenrealidadelacróni­
modePredictionEn'or SumofSquares
-sumadecuadradosdel errordepredicción-,ysecalculaapartir
deloserroresdepredicciónobtenidosalpredecirelpuntoi-ésimodelosdatoscon unmodeloqueincluye
todaslasobservaciones,
exceptolai-ésima).Unmodelocon unvalorpequeñodePRESSindicaqueespo­
siblequeelmodelosea
unbuenpredictor.Elestadístico"R
2
depredicción"secalculacomo
R
2
..•=1-PRESS=1-20.00=0.7436
Predlcclon SS 7800
Total •
Estoindicaqueseesperaríaqueelmodelocompletoexpliquecercade74%delavariabilidaddelosdatos
nuevos.
Lasiguienteseccióndelasalidapresentaelcoeficientederegresióndecadatérminodelmodeloyel
errorestándar (se,standarderror) decadacoeficiente,definidocomo
A~ ~MSE ~O.625
se(f3)=VV(f3)= - = - = 0.20
n2
k
2(8)
Losintervalosdeconfianzade95%paracadacoeficientederegresiónsecalculanapartirde
~-tO.025.N_pse(~):o:; f3:O:;~+tO.025.N-pse(~)
dondelosgradosdelibertadde teselnúmerodegradosdelibertaddelerror; esdecir,Neselnúmeroto­
taldecorridas
enelexperimento(16),y peselnúmerodeparámetrosdelmodelo(8).Thmbiénsepresen­
taelmodelocompletoentérminosdelasvariablescodificadas
ydelasvariablesnaturales.
Enlaúltimaseccióndelatabla6-7seilustralasalidadespuésdeeliminarlostérminosdelasinterac­
cionesnosignificativas.
Estemodeloreducidocontiene ahorasólolosefectosprincipales A,ByC,yla
interacciónAB.
Lasumadecuadradosdelos residualesodelerrorsecomponeahoradeuncomponen­
tedel
errorpuro ("PureError")quesurgedelasréplicasdelosochovérticesdelcubo, yuncomponen­
tede
faltadeajuste ("LackofPit"),compuesto porlassumasdecuadradosdelasinteraccionesquese
eliminarondelmodelo
(Be,ACyABC).Denuevacuenta,larepresentacióndelmodeloderegresión
delosresultadosexperimentalesse presentaentérminosdelasvariablescodificadasylasvariablesna-

254. 240 CAPÍTULO6DISEÑOFACTORIAL2
k
turales.Laproporcióndelavariabilidadtotaldeládesviacióndelaalturadelllenadoqueseexplicapor
estemodeloes
R2=SSModelo=70.75=0.9071
SSTotal78.00
queesmenorque
laR
2
delmodelocompleto.Observe,sinembargo,que laR
2
ajustadadelmodeloreduci­
doapenas
hacambiadoligeramenterespectode laR
2
ajustadadelmodelocompleto,yPRESSdelmode­
loreducido
esconsiderablementemenor, locualproduce unvalormásgrandede
R;rediccióodelmodelo
reducido.Evidentemente,laeliminacióndelostérminosnosignificativosdelmodelocompleto
haprodu­
cidounmodelofinalqueposiblementefuncionaráconmayoreficienciacomopredictordedatosnuevos.
Observequelosintervalosdeconfianza
paraloscoeficientesderegresióndelmodeloreducidosonlige­
ramentemáscortosquelosintervalosdeconfianzacorrespondientes
enelmodelocompleto.
Enlaúltimaseccióndelasalidasepresentanlosresidualesdelmodeloreducido. Design-Expel1tam­
biénconstruirátodaslasgráficasdelosresidualesqueseestudiaronanteriormente.
Otrosmétodosparaevaluarlasignificacióndelosefectos
Elanálisisdevarianzaes unamaneraformaldedeterminarcuálessonlosefectosdelosfactoresqueson
diferentesdecero.Existenvariosmétodosmásquesonútiles.Acontinuaciónseindicacómocalcularel
errorestándardelosefectosycómousarloserroresestándar paraconstruirintervalosdeconfianzapara
losefectos.Otrométodo,queseilustraráenlasección6-5,utilizagráficasdeprobabilidadnormal para
valorarlaimportanciadelosefectos.
Essencilloencontrarelerrorestándardeunefecto.Sisesuponequehay
nréplicasencadaunadelas
2
k
corridasdeldiseño,y siYi!'Yi2'...,Yinsonlasobservacionesdelacorridai-ésima,entonces
i=1,2,...,2
k
esunaestimacióndelavarianzadelacorridai-ésima.Lasestimacionesdelavarianzadeldiseño 2
k
pue­
dencombinarse
paradarunaestimacióndelavarianzaglobal:
(6-19)
Ésta
estambiénlaestimacióndelavarianzadada porelcuadradomediodelerrorenelanálisisdevarian­
za.
Lavarianzadelaestimacióndecadaefectoes
V(Efecto)=V
(c:n;~~lste )
1
k-l?V(Contraste)
(n2)-
Cadacontrasteesunacombinaciónlinealdelos 2
k
totalesdelostratamientos,ycadatotalconstade nob­
servaciones.Porlotanto,
V(Contraste)
=n2
k
0
2

255. ylavarianzade unefectoes
"
6-3ELDISEÑO2
3241
V(Efecto):=::-12n2
k
a
2
(n2)
1 ?
:=:--a-
n2
k
-
2
2a
:=:
.Jn2
k
Elerrorestándarestimadoseencontraríasacandolaraízcuadradadeestaúltimaexpresiónysustituyen-
do¿consuestimación S2:.
2S
se(Efecto):=:.J. (6-20)
n2
k
Observequeelerrorestándarde unefectoeseldobledel errorestándarde uncoeficientederegre­
siónestimado
enelmodeloderegresióndeldiseño 2
k
(verlasalidadecomputadorade Design-Expel1del
ejemplo6-1).
Losintervalosdeconfianzade100(1-
a)porcientoparalosefectossecalculanapartirdeEfecto ±
t
a
/2
.N_pSe(Efecto),
dondelosgradosdelibertadde tsonsólolosgradosdelibertaddelosresidualesodel
error
(N-p
:=:númerototaldecorridas-númerodeparámetrosdelmodelo).
Parailustrarestemétodo,considereelexperimentodeladesviaciónde
laalturadellenadodelejem­
plo6-1.Elcuadradomediodelerror
esMS
E:=:0.625.Porlotanto,el errorestándardecadaefecto es(uti­
lizando
S2
:=:MSE)
2S
se(Efecto):=:~
vn2
k
2.JOJ?E
:=:
~2(23)
:=:0.40
Entonces,
tO.025.8
:=:2.31y t
O
.
025
•gSe(Efecto):=:2.31(0.40):=:0.92,dedondelosintervalosdeconfianzade
95%aproximados
paralosefectosdelosfactoresson
A:3.00±0.92
B:2.25±0.92
C:1.75±0.92
AB:0.75±0.92
AC:0.25±0.92
BC:0.50±0.92
ABC:0.50±0.92
Esteanálisisindica
queA,ByCsonfactoresimportantes,porquesonlasúnicasestimacionesdelosefec­
tosdelosfactores
paralasquelosintervalosdeconfianzade95%aproximadosnoincluyenalcero.
Efectosdedispersión
Elingenierodeprocesoquetrabajóenelcasodelllenadotambiénseinteresó enlosefectosdedisper­
sión;esdecir,¿algunodelosfactoresafectalavariabilidadde
ladesviacióndelaalturadellenadode una

256. R=1R=O
CAPÍTULO6DISEÑOFACTORIAL 2
k
250bpm
R=1
+~--~I--""
I
I
I
R=ll__ R=1,,"~-7730psi
200
bpmR
=_2F-" R_=~1....~_, Presión(B)
+ 25psi
.~!,..--------:-:"
10% 12%
Carbonatación(A)
Velocidad(e)
242
Figura6-8Rangosdeladesviacióndelaalturadellenadodel
ejemplo
6-1.
corridaa otra?Unamaneraderesponderestapreguntaesexaminandoelrangodelasdesviacionesdela
alturadellenadoparacadaunadelasochocorridasdeldiseño2
3
•
Estosrangossegrafican enelcubodela
figura6-8.Observequelosrangossonaproximadamenteiguales
paralasochocorridasdeldiseño. Por
consiguiente,nohayevidenciasólidaqueindique quealgunadelasvariablesdelprocesoafectedirecta­
mentelavariabilidaddeladesviacióndelaalturadellenadoenelproceso.
6~4ELDISEÑOGENERAL 2
k
Losmétodosdeanálisisquese hanpresentadohastaestepuntopuedengeneralizarseparaelcasodeun
diseñofactorial2k,esdecir,undiseñocon kfactoresquetfenendosnivelescadauno.Elmodeloestadísti­
co
paraundiseño2
k
incluiríakefectosprincipales,
(~)interaccionesdedosfactores,(~)interaccionesde
tresfactores,
oo.,yunainteracciónde kfactores.Esdecir,paraundiseño2
k
elmodelocompletoconten­
dría2
k
-1efectos.Thmbiénse usaaquílanotación introducidaanteriormenteparalascombinacionesde
.
lostratamientos.Porejemplo,enundiseño2
5
,
abddenotalacombinacióndetratamientosconlosfacto­
resA,ByDenelnivelaltoylosfactores eyEenelnivelbajo.Lascombinacionesdelostratamientos
puedenescribirseenordenestándarintroduciendolosfactores unoalavezycombinandosucesivamente
cadanuevofactor conlosquelopreceden. Porejemplo,elordenestándardeundiseño2
4
es(1),a,b,ab,
e,ae,be,abe,d,ad,bd,abd,ed,aed,bed yabed.
Elenfoquegeneral paraelanálisisestadísticodeldiseño 2
k
seresumeenlatabla6-8.Comoseseñaló
anteriormente,sueleemplearse
unpaquetedesoftwaredecomputadoraenesteprocesodeanálisis.
Aestasalturas,lasecuencia
depasosdelatabla6-8 deberesultarfamiliar.Elprimerpasoesestimar
losefectosdelosfactoresyexaminarsussignosymagnitudes.
Deestemodoelexperimentadorobtienein-
Tabla
6-8Procedimientodeanálisis
paraundiseño2"
1.Estimarlosefectosdelosfactores
2.Formarelmodeloinicial
3.Realizarlaspruebasestadísticas
4.Refinarelmodelo
5.Analizarlosresiduales
6.Interpretarlosresultados

257. ti
6-4ELDISEÑOGENERAL 2k243
formaciónpreliminarrespectodelosfactoresylasinteraccionesque puedenserimportantes,y enquédi­
reccionesdeberánajustarseestosfactores
para
mejonrrlarespuesta.Paraformarelmodeloinicialdel
experimento,
porlogeneralseeligeel modelocompleto, esdecir,todoslosefectosprincipalesylasinterac­
ciones,siemprequesehayahecho
unaréplicadealmenos unodelospuntosdeldiseño(en lasecciónsi­
guienteserevisa
unamodificacióndeestepaso).Después, enelpaso3seusaelanálisisdevarianza para
probarformalmentelasignificacióndelosefectosprincipalesylasinteracciones. Enlatabla6-9sepresenta
laformageneral
deunanálisisdevarianza paraundiseñofactorial 2kcon11réplicas.Elpaso 4,refinarel
modelo,sueleconsistir
enlaeliminacióndelasvariablesnosignificativasdelmodelocompleto. Elpaso5es
elanálisisresidualusual paraverificarlaadecuacióndelmodeloylossupuestos. Enocasionesocurrirá una
refinacióndelmodelodespuésdelanálisisresidual,sise encuentraqueelmodeloesinadecuadooquehay
violacionesseriasdelossupuestos.Elúltimopasoconsistegeneralmente
enelanálisisgráfico:gráficasde
losefectosprincipalesolasinteracciones,osuperficiesderespuestaygráficasdecontorno.
Auncuandoloscálculosdescritosserealizan porlogeneralcon unacomputadora,enocasionesesne­
cesariocalcularmanualmentelaestimaciónde
unefectoola sumadecuadradosde unefecto.Paraestimar
unefectoocalcularlasumadecuadradosde
unefecto,primerodebedeterminarseelcontrasteasociado
coneseefecto.
Estopuedehacersesiempreutilizando unatabladesignospositivosynegativos,comolata­
bla6-2o6-3.Sinembargo,
paravaloresgrandesde kestoresultalaborioso,y puedeusarseunmétodoalter­
nativo.
Engeneral,elcontrastedelefecto
AB"Ksedeterminaexpandiendoelmiembroderechode
Contraste
AB...K=(a±l)(b±1)···(k±1) (6-21)
Tabla
6-9Análisisdevarianzadeundiseño2
k
Fuentede Sumade Gradosde
variación cuadrados libertad
kefectosprincipales
A SSA 1
B SSB 1
K SSK 1
(~)interaccionesdedosfactores
AB SSAB 1
AC SSAC 1
JK SSJK 1
(;)interaccionesdetresfactores
ABC SSABC 1
ABD SSABD 1
IJK SSIJK 1
(Z)=1interaccióndekfactores
ABC···K
SSABC...K 1
Error
SSE 2
k
(n-1)
Total
SST n2
k
-1

258. 11'i
244 CAPÍTULO6DISEÑOFACTORIAL2
k
Paraexpandirlaecuación6-21seusaelálgebra ordinariareemplazando"1"con(1)enlaexpresiónfinal.
Elsignode cadagrupodeparéntesisesnegativosielfactor estáincluidoenelefectoyespositivosielfac­
tornoestáincluido.
Parailustrarelusodelaecuación6-21,considere undiseñofactorial2
3
•
ElcontrastedeABsería
Contraste
AB=(a-1)(b-1)(e+1)
=abe+ab+e+(1)-ae-be-a-b
Comounejemplomás, enundiseño2
5
,
elcontrastede ABCDsería
ContrasteABCD=(a-1)(b-1)(e-1)(d-1)(e+1)
=abede+ede+bde+ade+bee
+aee
+abe+e+abed+ed+bd
+ad+be+ae+ab+(l)-a-b-e
-abe-d-abd-aed-bed-ae
-be-
ce-abee-de-abde-aede-bede
respectivamente,dondendenotaelnúmeroderéplicas.Se cuentatambiénconunalgoritmotabularde­
bidoal
Dr.FrankYatesque enocasionespuedeserútilparaelcálculomanualdelasestimacionesdelos
efectosylassumasdecuadrados.Referirsealmaterialsuplementariodeltextodeestecapítulo.
Unavezquese hancalculadoloscontrastesdelosefectos, puedenestimarselosefectosycalcularlas
sumas
decuadradosdeacuerdocon
2
AB..· K=n2
k
(ContrasteAB...K) (6-22)
y
1 2
SSAB'..K=n2
k(ContrasteAB...K ) (6-23)
6~5UNASOLARÉPLICADELDISEÑO2
k
Inclusoparaunnúmeromoderadodefactores,el númerototalde combinaciones detratamientos enun
diseñofactoria12
k
esgrande.Porejemplo,undiseño2
5
tiene32combinacionesdetratamientos,undise­
ño2
6
tiene64combinaciones detratamientos,etc. Debidoaqueporlogenerallosrecursos sonlimitados,
el
númeroderéplicasqueelexperimentador puedeemplearquizásestérestringido. Confrecuencia,los
recursosdisponibles
permitenhacerúnicamenteunasolaréplicadeldiseño,amenosqueelexperimen­
tadorestédispuestoaomitiralgunosdelosfactoresoriginales.
Unriesgoobviocuandoserealiza unexperimentoque tieneunasolacorridaparacadacombinación
depruebaesqueelmodelo puedeajustarsealruido. Esdecir,sila respuestayessumamentevariable,
puedenresultarconclusionesengañosasdelexperimento. Lasituaciónseilustra enlafigura6-9a.Enesta
figura,
lalínearectarepresentaelverdaderoefectodelfactor.Sinembargo,debidoa lavariabilidadalea­
toriapresenteenlavariablederespuesta(representadaporlafranjasombreada),elexperimentadorob­
tiene
enrealidadlasdosrespuestasmedidas representadasporlospuntosnegros.Porconsiguiente,el
efectodelfactorestimado
estácercadeceroyel experimentadorhallegadoa unaconclusiónerróneares­
pecto
deestefactor.Ahorabien,sihaymenosvariabilidad enlarespuesta,laposibilidaddeunaconclu­
sión
erróneaserámásreducida.Otraformadeasegurarsedequeseobtienenestimacionesconfiablesde
losefectosesincrementandoladistancia
entrelosnivelesbajo (-)yalto( +)delfactor,comoseilustraen

259. Efectoestimado
delfactor
Verdadero
efecto
delfactor
6-5UNASOLARÉPLICADELDISEÑO 2k245
Efectoestimado
delfactor
+
Factor,x
alDistanciapequeñaentrelosnivelesdelfactor
Verdadero
efecto
delfactor
+
Factor,x
blSeparaciónagresivadelosnivelesdelfactor
Figura6-9Elimpactodelaeleccióndelosnivelesdelfactorenundiseño
noreplicado.
lafigura6-9b.Observequeenestafiguraladistanciaincrementadaentrelosnivelesbajoyaltodelfactor
resultaenunaestimaciónrazonabledelverdaderoefectodelfactor.
Elusodelaestrategiadeunasolaréplica
escomúnenlosexperimentosdeexploracióncuandohay
unnúmerorelativamentegrandedefactoresbajoconsideración.Debidoaqueenestoscasosnuncapue­
detenerselacertezaabsolutadequeelerrorexperimentalespequeño,unabuenaprácticaenestetipode
experimentosessepararlosnivelesdelosfactoresdemaneraagresiva.Quizás
ellectorencuentreútilre­
leerlaspautasgeneralesparaelegirlosnivelesdelosfactoresdelcapítulo
1.
Unasolaréplicadeundiseño 2
k
sedenominaenocasionesdiseñofactorialnoreplicado.Con una
solaréplica,nosecuentaconningunaestimacióninternadelerror(o"errorpuro"). Unaformadeabor­
daresteanálisisdeundiseñofactorialnoreplicadoconsisteensuponerquealgunasinteraccionesdeor­
densuperiorsoninsignificantesycombinarsuscuadradosmedios
paraestimarelerror.Esto esuna
apelaciónalprincipiodeefectosesparcidos;esdecir,lamayoríadelossistemasestándominadosporal­
gunosdelosefectosprincipalesylasinteraccionesdeordeninferior,ylamayorpartedelasinteracciones
deordensuperiorsoninsignificantes.

260. 246 CAPÍTULO6DISEÑOFACTORIAL2
k
lF;
11"
Cuandoseanalizandatos dediseñosfactoriales noreplicados,ocasionalmente ocurreninteracciones
deordensuperiorreales.Elusodeuncuadradomediodelerrorqueseobtieneagrupandolasinteraccio­
nes
deordensuperiornoesapropiadoenestoscasos.Unmétododeanálisisatribuidoa Daniel[35a]pro­
porcionaunaformasimplederesolvereste problema.Danielsugiereexaminar unagráficade
probabilidad
normaldelasestimacionesdelosefectos. Losefectosquesoninsignificantessiguen una
distribuciónnormal,con mediaceroyvarianza
cT,ytenderánalocalizarsesobre unalínearectaenesta
gráfica,
mientrasquelosefectossignificativos tendránmediasdiferentesdeceroy noselocalizaránsobre
lalínearecta.Porlotanto,elmodelopreliminarseespecificarádetalmodoquecontengaaquellosefec­
tos
queaparentementesondiferentesdecero,con baseenlagráficadeprobabilidadnormal.Losefectos
aparentementeinsignificantessecombinancomo unaestimacióndel error.
EJEMPLO
6~2 .
Unasolaréplicadeldiseño 2
4
Unproductoquímicosefabrica enunenvasepresurizado.Sellevaacabo unexperimentofactorial enla
plantapilotoparaestudiarlosfactores quesepiensainfluyenenelíndicedefiltracióndeesteproducto.
Loscuatrofactoressonlatemperatura(A),lapresión(B),laconcentracióndelformaldehído(C)ylave­
locidaddeagitación
(D).Cadafactorestápresentecondosniveles.Lamatrizdeldiseñoylosdatos dela
respuestaobtenidosde unasolaréplicadelexperimento2
4
semuestranenlatabla6-10y enlafigura6-10.
Las16corridasse hacendemaneraaleatoria.Elingenierodel procesoestáinteresadoenmaximizarelín­
dicedefiltración.Lascondicionesactualesdelproceso
produceníndicesdefiltración dealrededorde75
gal/h.Asimismo, enelprocesoactual laconcentracióndeformaldehído,factorC,se usaenelnivelalto.
Alingenierolegustaríareducirlaconcentracióndeformaldehídolomásposible, peronohapodidoha­
cerlo
porquesiempreproduceíndicesdefiltración másbajos.
Elanálisisdeestosdatosseiniciaráconstruyendo unagráficadeprobabilidad normaldelasestima­
ciones
delosefectos.Laformacióndesignospositivosynegativos paralasconstantesdeloscontrastes
Tabla
6-10Experimentodelíndice defiltraciónen laplantapiloto
Número
Factor
Etiquetade Índice
de
de
corrida A B e D lacorrida filtración(gal/h)
1 (1) 45
2 + a 71
3 + b 48
4 + + ab 65
5 + e 68
6 + + ae 60
7 + + be 80
8 + + + abe 65
9 + d 43
10 + + ad 100
11 + + bd 45
12 + + + abd 104
13 + + ed 75
14 + + + acd 86
15 + + + bed 70
16 + + + + abed 96

261. "
6·5UNASOLARÉPLICA DELDISEÑO2
k247
D
+
r----I
ctL
A
Figura6-10Datosdelexperimentodelíndicedefiltraciónenla
plantapilotoparaelejemplo
6-2.
deldiseño2
4
semuestraenlatabla6-11.Apartirdeestoscontrastespuedenestimarse 15efectosfactoria­
les,ylassumasdecuadradossepresentanenlatabla
6-12.
Enlafigura6-11semuestralagráficadeprobabilidadnormaldeestosefectos.Todoslosefectosque
caensobrelarectasoninsignificantes,mientrasquelosefectosgrandesestánapartadosdeella.Losefec­
tosimportantesquesurgendeesteanálisissonlosefectosprincipalesde
A,C yDYlasinteracciones
ACyAD.
Losefectosprincipalesde A,C yDsegraficanenlafigura6-12a.Lostresefectossonpositivos,y si
sóloseconsideraranestosefectosprincipales,lostresfactoressecorreríanenelnivelaltoafindemaxi­
mizarelíndicedefiltración.Sinembargo,siempre
esnecesarioexaminarcualquierinteracciónquesea
importante.Recuerdequelosefectosprincipalesnotienenmuchosignificadocuandoestánpresentesen
interaccionessignificativas.
LasinteraccionesACy
ADsegraficanenlafigura 6-12b.Estasinteraccionessonlaclave pararesol­
verelproblema.Observe,
porlainteracciónAC,queelefectodelatemperatura esmuypequeñocuando
laconcentraciónestá
enelnivelaltoymuygrandecuandolaconcentraciónestá enelnivelbajo,obte­
niéndoselosmejoresresultadoscon
laconcentraciónbajay latemperaturaalta. LainteracciónADindica
quelavelocidaddeagitaciónDtiene
unefectoreducidocon unatemperaturabaja,perounefectopositi­
vograndeconlatemperaturaalta.Porlotanto,losmejoresíndicesdefiltraciónpareceríanobtenerse
cuandoAy
Destánenelnivelaltoy Cestáenelnivelbajo.Estopermitiríalareduccióndelaconcentra­
cióndeformaldehídoa
unnivelmásbajo,otrodelosobjetivosdelexperimentador.
Proyecciónde undiseño
Esposiblehacer otrainterpretacióndelosefectosdelafigura 6-11.Puestoque B(presión)no essignifi­
cativaytodaslasinteracciones
enlasqueinterviene Bsoninsignificantes,Bpuededescartarsedel experi­
mento,detalmodoqueeldiseñoseconvierteen
unfactorial2
3
enA,C y Dcondosréplicas.Esto esfácil
deverexaminandoúnicamentelascolumnas A,C yDenlamatrizdeldiseñoquesemuestraenlatabla
6-10yobservandoqueesascolumnasformandosréplicasde undiseño2
3
•
Enlatabla6-13seresumeel
análisisdevarianzadelosdatosutilizandoestesupuestodesimplificación.Lasconclusionesquesesaca­
ríandeesteanálisissemantienen
enesenciasincambiosrespectodelasdelejemplo 6-2.Observequeal
hacerlaproyeccióndelaréplicaúnicadeldiseño2
4
enundiseño2
3
condosréplicas,setieneahoratanto
unaestimacióndelainteracciónACDcomo
unaestimacióndel errorbasadaenloqueenocasionessede­
nominaréplicaoculta.

262. N
..¡:,.
00
nfg'nr~~~n~; 1(1n~~n~\~Ll~~7.~
Tabla6-11Constantesdeloscontrastesdeldiseño 24
A B AB C AC BC ABC D AD BD ABD CD ACD BCD ABCD
(1) - - + - + + - - + + - + - - +
a + - - - - + + - - + + + +
b - + - - + - + - + - + + - +
ab + + + - - - - - - - - + + + +
c - - + + - - + - + + - - + +
ac + - - + + - - - - + + - - + +
bc - + - + - +
- - + - +
- +
- +
abc + + + + + + +
d - - + - + + - + - - +- + +
ad + - - - - + + + + - - - - + +
bd - + - - + - + + - + -- + - +
abd + + +
- - - - + + + +
cd - - + + - - + + - - + +- - +
acd + - - + + - - + + - - + +
bcd - + - + - + - + - + - + - +
abcd + + + + + + + + + + + + + + +
"~~

263. ti
6-5UNASOLARÉPLICADELDISEÑO 2k249
Tabla6-12Estimacionesde losefectosde losfactoresysumasde
cuadradosdeldiseñofactorial2
4delejemplo
6-2
TérminodelEstimación Sumade Contribución
modelo delefecto
cuadrados porcentual
A 21.625 1870.56 32.6397
B 3.125 39.0625 0.681608
C 9.875 390.062 6.80626
D 14.625 855.563 14.9288
AB 0.125 0.0625 0.00109057
AC -18.125 1314.06 22.9293
AD 16.625 1105.56 19.2911
BC 2.375 22.5625 0.393696
BD -0.375 0.5625 0.00981515
CD -1.125 5.0625 0.0883363
ABC 1.875 14.0625 0.245379
ABD 4.125 68.0625 1.18763
ACD -1.625 10.5625 0.184307
BCD -2.625 27.5625 0.480942
ABCD 1.375 7.5625 0.131959
99
A•95
AO
90
o-
ro
80
C
•E •
o
70c:
1J
ro
~
50:¡;
ro
.c
e
30o.
"
1J
20
~o
10
5
AC
111
21.62
Efecto
Figura6-11Gráficadeprobabilidadnormaldelosefectospara eldiseñofactorial
2
4
delejemplo6-2.

264. 250 CAPÍTULO6DISEÑOFACTORIAL2 k
~
ro90 90 90
.9
o
1j80
/
80 80
E
/
e
/
o.
70e70 70
'0
'13
~
60 60 60
ii=
al
"C
al
50 SO SO
tJ
'5
.E A C D
alGráficasdelosefectosprincipales
b)Gráficasdelas'interacciones
Figura6·12Gráficasdelosefectosprincipalesylasinteracciones paraelejem­
plo
6-2.
100 100§
InteracciónAC
ro
.990 90
o C=-
'5
al
80E 80
e
o.
e
70 70'0
'13
~
~
60 60
al
"C
al
tJ
'5SO SO
.E
40 40
+
A A
Tabla6-13Análisisdevarianzadelexperimentodelíndicefiltración enlaplantapilotoenA,C y D
Fuentede
variación
Sumade Gradosde Cuadrado
cuadrados libertad medio Valor
P
A
C
n
AC
AD
cn
ACn
Error
Total
1870.56
390.06
855.56
1314.06
1105.56
5.06
10.56
179.52
5730.94 1
1
1
1
1
1
1
8
15
1870.56
390.06
855.56
1314.06
1105.56
5.06
10.56
22.44
83.36
17.38
38.13
58.56
49.27
<1
<1
<0.0001
<0.0001
<0.0001
<0.0001
<0.0001

265. donde70.06eslarespuestapromedio ylasvariablescodificadas Xl'X
3
,X4asumenvaloresentre -1y+1.El
índicedefiltraciónpredicho
paralacorrida(1) es
2516-5UNASOLARÉPLICADELDISEÑO 2k
"
y
y e=y-y
(1) 45 46.22 -1.22
a 71 69.39 1.61
b 48 46.22 1.78
ab 65 69.39 -4.39
e 68 74.23 -6.23
ae 60 61.14 -1.14
be 80 74.23 5.77
abe 65 61.14 3.86
d 43 44.22-1.22
ad 100 100.65 -0.65
bd 45 44.22 0.78
abd 104 100.65 3.35
ed 75 72.23 2.77
aed 86 92.40 -6.40
bed 70 72.23 -2.23
abed 96 92.40 3.60
y=70.06+(21.~25) (-1)+(9.~75) (_1)+(14.~25) (-1)
_(18~25)(-1)(-1)+(16.~25)(-1)(-1)
=46.22
Verificacióndediagnóstico
Deberánaplicarselasverificacionesdediagnósticousualesalosresidualesde undiseño2
k
•
Elanálisis
realizado
indicaquelosúnicosefectossignificativos sanA=21.625,C=9.875,D·=14.625,AC =-18.125
YAD=16.625.Siestoescorrecto,losíndicesdefiltraciónestimadosestándados por
Elconceptodeproyectar undiseñofactorialnoreplicado enundiseñofactorialconréplicas enme­
noSfactoresesmuyútil. Engeneral,sisetiene unasolaréplicadeldiseño
2\ysih(h<k)factoressonin­
significantesypuedendescartarse,entonceslosdatosoriginalescorrespondena
undiseñofactorial
completocondosnivelesenlosk
-hfactoresrestantescon2"réplicas.
Puestoqueelvalorobservado
es45,elresiduales e=y-
y=45-46.22=-1.22.Acontinuaciónsepre­
sentanlosvaloresde
y,
yye=y-yparalas 16observaciones.
Enlafigura6-13semuestralagráficadeprobabilidadnormaldelosresiduales.Lospuntosdeestagráfica
selocalizanrazonablementepróximosaunalínearecta,brindandoapoyoalaconclusiónde queA,C,D,
ACyADsonlosúnicosefectossignificativosyquesesatisfacenlossupuestosfundamentalesdelanálisis.

266. 1'11'1
1;
252 CAPÍTULO6DISEÑOFACTORIAL2
k
99
ro80
E
o70
c:
-o
ro
;g
50
:o
ro
.n
e
c.
Q)
-o
<Ji.
10
5
Figura6·13Gráficadeprobabilidadnormaldelosresidualesdelejemplo6-2.
Lasuperficiederespuesta
Lasgráficasdelasinteraccionesdelafigura 6-12seutilizaronparaofrecerunainterpretaciónprácticade
losresultadosdeesteexperimento.
Enocasionesesútil emplearlasuperficiederespuestaparaestefin.
Lasuperficiederespuestase generaporelmodeloderegresión
A=7006(21.625)(9.875)(14.625)
Y . + 2 Xl+ 2 x3+ 2 x4
(
18.125) (16.625)
--2-X
I
X
3+-2-XIX4
-6.375 -3.34375 -0.3125
Residual
2.71875 5.75
Enlafigura6-14asemuestralagráficadecontornodelasuperficiederespuestacuandolavelocidaddeagita­
ciónestáenelnivelalto(esdecir,
X
4=1).Loscontornossegeneranapartirdel
modeloanteriorconx
4=1,o
(
38.25)(9.875)(18.125)
y=77.3725+-2-Xl+-2-x
3
--2-X
I
X
3
Observequeloscontornos sonlíneascurvas porqueelmodelocontieneuntérminodeinteracción.
Lafigura6-14beslagráficadecontorno delasuperficiederespuestacuandolatemperaturaestáen
elnivelalto(esdecir,
Xl=1).CuandosehaceXl=1enelmodeloderegresiónse obtiene
A (8.25)(31.25)
y=80.8725-2 X
3+-2-x
4

267. 1.000,..----,...------,-...-----r----r---.,.....,---,
90.00
-0.667
C..l
¿
o()
.~0.000
e
Q)
"c:
8-0.333
_
1'
0.333
a)Gráficadecontornocon lavelocidaddeagitación (D),x4=1
6-5UNASOLARÉPLICADELDISEÑO 2k253
-0.667
1.000
Estoscontornossonrectasparalelas porqueelmodelocontieneúnicamentelosefectosprincipalesdelos
factores
e(x
3
)yD(x
4
).
Ambasgráficasdecontornoindicanquesisequieremaximizarelíndicedefiltración,lasvariables A
(Xl)yD(x
4
)deberánestar enelnivelaltoyqueelprocesoesrelativamenterobusto paralaconcentración
C.Seobtuvieronconclusionessimilaresapartirdelasgráficasdelasinteracciones.
Lamitaddegráficanormaldelosefectos
Unaalternativaparalagráficadeprobabilidadnormaldelosefectosdelosfactoreseslamitaddegráfica
normal.Es
unagráficadelvalorabsolutodelasestimacionesdelosefectoscontrasusprobabilidadesnor­
malesacumuladas.
Enlafigura6-15semuestralamitaddegráficanormaldelosefectos paraelejemplo
6-2.Lalínearectadelamitaddegráficanormalsiemprepasa porelorigenydeberápasartambiéncercadel
valordelosdatosdelpercentilcincuenta.Muchosanalistassientenqueesmásfácilinterpretarlamitadde
1
C¡
¿
'O
'13
.~
el
ro
Q)
-c
'C
ro
il-0.333
o
ID
>
0.667
-1.0001oo:::::==-_l...-_----lL....-_--1_......:::..J.__-I-__.....J
-1.000-0.667-0.3330.000 0.333 0.667
Concentración,e(x3)
b)Gráficadecontornoconlatemperatura(A),x,=1
Figura6-14Gráficasdecontornodelíndicedefiltración,ejemplo 6-2.
-1.000l.----l_l...----ll-...J__L...J.__.L...l__.LL__.....J
-1.000-0.667-0.3330.000 0.333 0.6671.000
Temperatura,A(x,)

268. 254 CAPÍTULO6.DISEÑOFACTORIAL2"
Figura6-15Mitad degráficanormal delosefectosdelosfactoresdelejemplo6-2.
gráficanormal,enparticularsisólosecuentaconpocasestimacionesdelosefectos,comocuandoelexperi­
mentador
hausadoundiseñodeochocorridas.Algunospaquetesdesoftwareconstruiránambasgráficas.
A
ISJ
21.63
AC
~
16.22
D
~
10.81
Efecto
5.41
99
97
~95
19
'E
Ci90
c.
ro
E85
Ci
c:
80
~
lO
;g
70:c
lO
oC
e60
c.
ID
~
'ift.
40
20
o
0.00
Otrosmétodosparaanalizardiseñosfactoriales noreplicados
Elprocedimientodeanálisisestándar paraundiseñofactorialdedosfactoresnoreplicado eslagráfica
normal
(Omitaddegráficanormal)delosefectosestimadosdelosfactores.Sinembargo,losdiseñosno
replicadossontanusadosenlaprácticaquesehanpropuestomuchosprocedimientosformalesdeanáli­
sis
pararesolverlasubjetividaddelagráficadeprobabilidadnormal. RamadayBalakrishnan[52]com­
pararonalgunosdeestosmétodos.Encontraronqueelmétodopropuesto
porLenth[70]tieneuna
potencia adecuada
paradetectarefectossignificativos.Tambiénesfácildeimplementar y,comoresulta­
do,estáempezandoaaparecer
enalgunospaquetesdesoftware paraanalizardatosdediseñosfactoriales
noreplicados.Seofrece
unabrevedescripcióndelmétododeLenth.
Supongaquesetienen
mcontrastesdeinterés, porejemploel'C
2
,...,Cm'Sieldiseñoes unfactoria12
k
noreplicado,estoscontrastescorrespondenalas m=2
k
-1estimacionesdelosefectosdelosfactores.La
basedelmétododeLenthesestimarlavarianzade
uncontrasteapartirdelasestimacionesmáspeque­
ñas(envalorabsoluto)deloscontrastes.Sean
So=1.5xmediana(Icji)
y

269. ...
6-5UNASOLARÉPLICADELDISEÑO 2
k255
PSEdenotael"pseudoerrorestándar",yLenthdemuestraqueesunestimadorrazonabledelavarianza
delcontrastecuandonohaymuchosefectosactivos(significativos). EIPSEseusaparajuzgarlasignifica­
cióndeloscontrastes.Uncontrasteindividualpuedecompararseconelmargende error(ME,margin of
error)
ME=t
O
.025
,dxP8E
dondelosgradosdelibertadsedefinencomo d=m13.Parahacerinferenciassobreungrupodecontras­
tes,Lenthsugiereusarelmargende
errorsimultáneo(8ME,simultaneousmargin oferror)
SME=
t)',dxPSE
dondeelpuntoporcentualdeladistribución tqueseusaes y=1-(1+0.951/
m
)/2.
ParailustrarelmétododeLenth,considereelexperimento 2
4
delejemplo6-2.Loscálculosdancomo
resultado
So=1.5x1-2.6251=3.9375Y2.5 x3.9375=9.84375, dedonde
PSE=1.5x
11.751=2.625
ME=2.571x2.625=6.75
SME=5.219x2.625=13.70
Considereahoralasestimacionesdelosefectosdelatabla 6-12.ElcriterioSMEindicaríaqueloscuatro
efectosmásgrandes(enmagnitud)sonsignificativos,yaquelasestimacionesdesusefectosexceden
SME.ElefectoprincipaldeC essignificativodeacuerdoconelcriterio ME,peronoconrespectoal SME.
Sinembargo,puestoqueesevidentequelainteracciónACesimportante,probablementeCseincluiría
enlalistadeefectossignificativos.ObservequeenesteejemploelmétododeLenthprodujolamisma
respuestaquelaobtenidaanteriormenteconelexamende
lagráficadeprobabilidadnormaldelos
efectos.
Variosautores(verRamadayBalakrishnan
[52],Loughin[73],LoughinyNoble [74]yLarntzyWhit­
comb[69])hanhechonotarqueelmétododeLenthfalla paracontrolarlosíndicesdelerrortipo I,yque
puedenusarsemétodosdesimulaciónparacalibrarsuprocedimiento.LarntzyWhitcomb
[69]sugieren
reemplazarlosmultiplicadores
MEySMEconmultiplicadoresajustadosdelasiguientemanera:
Númerodecontrastes 7 15 31
MEoriginal 3.764 2.5712.218
MEajustado 2.295 2.140 2.082
SMEoriginal 9.008 5.2194.218
SMEajustado 4.891 4.1634.030
Estosresultadoscoincidenengranmedidaconlosde YeyRamada[114].
Engeneral,elmétododeLenthesunprocedimientoingeniosoyútil.Sinembargo,recomendamos
utilizarlocomocomplementodelagráficadeprobabilidadnormalusualdelosefectos,nocomosususti­
tuto.
Bisgaard
[10]haproporcionadounasutiltécnicagráfica,llamada cartadeinferenciacondicional,
comoayudaparainterpretarlagráficadeprobabilidadnormal. Lafinalidaddeestagráfica esayudaral
experimentadorajuzgarlosefectossignificativos.Estoseríarelativamentesencillo siseconocieralades­
viaciónestándar
0,osipudieraestimarseapartirdelosdatos. Endiseñosnoreplicados,nosecuentacon
ningunaestimacióninternade
0,por10quela cartadeinferenciacondicionalestádiseñadaparaayudar
alexperimentadoraevaluarlamagnituddelosefectos paraunrangodevaloresdeladesviaciónestándar.

270. 256 CAPÍTULO6DISEÑOFACTORIAL 21<
Bisgaardfundamentalagráficaenelresultadodequeelerrorestándardeunefecto,enundiseñode dos
nivelesconNcorridas(para undiseñofactorialnoreplicado,N =2
k
),es
2a
.JN
dondeaesladesviaciónestándardeunaobservaciónindividual.Entonces ±2veceselerrorestándar de
unefectoes
4a
+--
-.JN
Unavezqueseestimanlosefectos,sehace unagráficacomolaquesemuestraenlafigura6-16,conlas
estimacionesdelosefectosgraficadasenelejevertical,oeje
y.Enestafigurasehanusadolasestimacio­
nesdelosefectosdelejemplo
6-2.Elejehorizontal, OX,delafigura6-16 eslaescaladeladesviación es­
tándar(a).Lasdosrectasestánen
4a 4a
y=+-yy=--
.JN .JN
Enelejemplotratadoaquí, N=16,porloquelasrectasestáneny=+ayy=-a.Porlotanto, paracual­
quiervalordadodeladesviaciónestándar
a,ladistanciaentreestasdosrectaspuedeleersecomounin­
tervalodeconfianzade95%aproximado
paralosefectosinsignificantes.
Enlafigura6-16seobservaque sielexperimentadorpiensaqueladesviaciónestándarestáentre4 y
8,entonceslosfactores A,C,DylasinteraccionesACyADsonsignificativos.Sielexperimentadorpiensa
queladesviaciónestándartieneunvalordehasta10,elfactorCquizánoseasignificativo.Esdecir,para
A22.
18
AD •
D14.
-14
-18
AC•
-22
Figura6-16Cartadeinferenciacondicionalparael
ejemplo
6-2.

271. D
+--,
6·5UNASOLARÉPLICADELDISEÑO 2
k257
c~
A
)..ll5---=:)6.30
4.09-¡--4.53
7.L-'-9.43
" ~.-/
2.07---2.44
9.97---9.07
/1 .-/
3.24--t-
3
.44
,.L_1-5.70
" ~.-/
1.68-1.98
.Figura6·17Datosdelexperimentodeperforacióndelejemplo6-3.
Estimacióndelefecto
Figura6-18Gráficadeprobabilidadnormaldelosefectosdelejemplo6·3.
7
99
B
•
95
90
80
70
o
o
50
';
¡;¡;''''
30
20
10
5
5
o
~10
x
R:'20
1
~
30
-¡¡¡
E50
o
c:
"C
70
'";g
:c80
'".o
e
90o.
95
•
99
o
cualquiersupuestodadoacercadelamagnitudde a,elexperimentadorpuedeconstruir una"cintademe­
dir"
parajuzgarlasignificaciónaproximadadelosefectos. Lacartatambiénpuedeusarseensentidoin­
verso.
Porejemplo,supongaqueestuviera endudasielfactoreessignificativoono.Entoncesel
experimentadorpodríapreguntar
siesrazonableesperarque apudieraser tangrandecomo 10omás.Si
esimprobableque aseatangrandecomo10,entonces puedeconcluirseque eessignificativo.
Sepresentanahoratresilustrativosejemplosdediseñosfactoriales
2
k
noreplicados.
EJEMPLO
6~3 .
1J:ansformacióndedatosen undiseñofactorial
Daniel[35b]describeundiseñofactorial2
4
utilizadoparaestudiarlarapidezdeavancedeunaperforadora
comounafuncióndecuatrofactores:lacargadelaperforadora(A),larapidezdeflujo (B),lavelocidadderota­
ción(C)yeltipodelododeperforaciónusado (D).Losdatosdelexperimentosepresentanenlafigura 6-17.
Enlafigura6-18semuestra lagráficadeprobabilidadnormaldelasestimacionesdelosefectosde
esteexperimento.Conbase
enestagráfica,losfactores B,e yD,juntoconlasinteracciones BeyBD,
requiereninterpretación.Lafigura6-19es lagráficade probabilidadnormaldelosresiduales ylafi-

272. •
gura6-20es lagráficadelosresidualescontralavelocidaddeavancepredichaapartirdelmodeloque
contienelosfactoresidentificados.Hayproblemasevidentescon
lanormalidadylaigualdadde lavarian­
za.Confrecuenciaseusa
unatransformacióndelosdatos paraabordarestosproblemas.Puesto quelava­
riablederespuesta esunarazóndecambio,latransformaciónlogarítmicaparece uncandidatorazonable.
258
CAPÍTULO6DISEÑOFACTORIAL2
k
99
•
5 95
o
90o10
.....
x
;;:-.20 80
I
30 70
S
o
ro
o
E50 50';
o ¡¡';-'
c:
."
70 30
'";g
80 20
J3
'".a
e
90 10
"-
95 5
•
99
-2 -1 o 2
Residuales
Figura6-19Gráficadeprobabilidadnormaldelosresidualesdelejemplo 6-3.
2
Ul
•al
ro
:J
•
."
•
•¡¡;
al
oc::
•
•
•
-1
•
•
•
•
•
2 5 8
Velocidaddeavancepredicha
Figura6-20Gráficadelosresidualescontralavelocidaddeavance
predichaenelejemplo
6-3.

273. .
J~i
,'
I
259
o
o
10
5
50~
¡i,'"
80
70
95
90
30
20
1.2
0.2
99
B
•
95
90
80
70
o
o
50
~
¡i,'"
30
20
10
5
0.9
0.1o
Residuales
0.6
Estimacióndelefecto
-0.1
o
99
5
o
o
10...
x
¡;:;...20
I
::::
30
ro
E
50
o
c:
"O
70
";g
80:c
"
oC
~90
•
95
•
99
-0.2
99
•
95
6-5UNASOLARÉPLICADELDISEÑO 2'
5
g10
...
x
¡;:;~20
~30
ii1
E50
o
c:
1670
"O
:B80
~90
Enlafigura6-21sepresentalagráficadeprobabilidadnormaldelasestimacionesdelosefectosdes­
puésdehacer
latransformacióny*=lny.Observequeal parecerahoraesposible unainterpretación
muchomássimple,yaquesólolosfactores
B,eyDestánactivos.Esdecir,expresarlosdatos enlamétri­
cacorrecta
hasimplificadosuestructurahastaelpuntodequelasdosinteracciones handejadodereque­
rirse
enelmodeloexplicatorio.
Figura6·22Gráficadeprobabilidadnormaldelosresidualesdelejemplo 6-3
despuésdelatransformaciónlogarítmica.
Figura6·21Gráficadeprobabilidadnormaldelosefectosdelejemplo
6-3des­
puésdelatransformaciónlogarítmica.

274. 260 CAPÍTULO6DISEÑOFACTORIAL 2
k
•
0.2
•
•
0.1
Ul
al
ro
::;¡
"O
.¡;;
O
al
oc
•
-0.1
•
• •
•
•
•
•
O 0.5 1.5
Velocidaddeavancelogarftmicapredicha
•
ValorP
Figura6·23Gráficadelosresidualescontralavelocidadpredicha
para
elejemplo6-3despuésdelatransformaciónlogarítmica.
Enlasfiguras6-22y6-23sepresentan,respectivamente, unagráficadeprobabilidadnormaldelos
residualesy
unagráficadelosresidualescontralarapidezdeavancepredicha paraelmodeloenlaescala
logarítmicaquecontienea
B,eyD.Ahoraestasgráficassonsatisfactorias.Seconcluyequeelmodelo
y*
=lnysólorequierelosfactores B,eyDparaunainterpretaciónadecuada. Enlatabla6-14seresume
elanálisisdevarianzadeestemodelo.
Lasumadecuadradosdelmodelo es
SSModelo=SSB+SSc+SSD
=5.345+1.339+0.431
=7.115
YR
2
=SSModelo/SST=7.11517.288=0.98,porloqueelmodeloexplicacercade98%delavariabilidaddela
rapidezdeavancedelaperforadora.
EJEMPLO
6~4 .
Efectosdelocalización ydispersiónenundiseñofactorialnoreplicado
Secorrióundiseño2
4
enunprocesodemanufacturadepaneleslateralesyventanasde unavióncomer­
cial.Lospanelessehacen
enunaprensa,ybajolascondicionesactualesesdemasiadoelevadoelnúmero
Tabla
6-14Análisisdevarianzadelejemplo6·3despuésdelatransformaciónlogarítmica
Fuentede SumadeGradosdeCuadrado
variación cuadradoslibertadmedio
B(Flujo)
e(Velocidad)
D(Lodo)
Error
Total
5.345
1.339
0.431
0.173
7.288 1
1
1
12
15
5.345
1.339
0.431
0.014
381.79
95.64
30.79
<0.0001
<0.0001
<0.0001

275. 6-5UNASOLARÉPLICADELDISEÑO 2k261
105
CtL:
A
Alto(+)
325
9
20
30
O
Efectosdelosfactores
5 5
Bajo(-)
295
7
10
15
-5-10
D
Factores
ji""=Temperatura(OF)
B=Tiempodesujeción(min)
e=Flujoderesina
D=Tiempodecierre(s)
99
eA
5 95
10 90
o
80
~20
x
70
¡;;--.30
I
S
50 50g
¡¡;
E x
o70 30¡:¡';-'
c:
"C
"
80 20
~
:c
"90 10.c
e
ll.
595
Ce
99
"
Figura6·24Datosdelexperimentodelprocesodelospaneles
delejemplo6·4.
promediodedefectos porpanelenunaoperacióndeprensado.(Elpromedioactualdelprocesoes5.5de­
fectos
porpanel.)Seinvestigancuatrofactoresutilizando unasolaréplicade undiseño
2\enelquecada
réplicacorrespondea
unasolaoperacióndeprensado.Losfactoressonla temperatura(A),eltiempode
sujeción(B),elflujoderesina(C)yeltiempodecierre
enelprensado(D).Enlafigura6-24semuestran
losdatosdeesteexperimento.
Enlafigura6-25semuestralagráficadeprobabilidad normaldelosefectosdelosfactores.Esevi­
dentequelosdosefectosmásgrandes
sanA=5.75YC=-4.25.Ningúnefectodelosotrosfactorespare­
cesertangrande,y AYCexplicancercade77%de lavariabilidadtotal, porloqueseconcluyeque la
temperatura(A)bajayelflujoderesina(C)alíoreducirían laincidenciadedefectos enlospaneles.
Elanálisisresidualcuidadosoes
unaspectoimportantedecualquierexperimento. Lagráficadepro­
babilidadnormaldelosresidualesnoindicóanomalías,
perocuandoelexperimentadorgraficólosresi-
Figura6·25Gráficadeprobabilidadnormaldelosefectosdelosfactores para
elexperimentodelprocesodelospanelesdelejemplo 6-4.
1.5 9.5
/¡8/
0.5I
)5-+7'
5~ 11

276. W!l!
I
262 CAPÍTULO6DISEÑOFACTORIAL2"
5
e
e
ee
e
Ul
QJ
<ti.gOf--- ----J. _
.~ eee eB =Tiempodesujeción
ce e
e
eee
-5
Figura6·26Gráficadelosresidualescontra eltiempodesuje­
ción
paraelejemplo6-4.
dualescontracadaunodelosfactoresA aD,lagráficadelosresiduales contraB(tiempodesujeción)
presentóel
patróndelafigura6-26.Estefactor,quecarecede importancia enloqueserefierealnúmero
promediodedefectos
porpanel,esmuyimportante ensuefectosobre lavariabilidaddelproceso,conel
tiempodesujeciónbajodandocomoresultado
unavariabilidadmenorenelnúmeropromediodedefec­
tos
porpanelenunaoperacióndeprensado.
Elefectodedispersióndeltiempodesujecióntambiénesmuyevidente enlagráficadecubo delafi·
gura6·27,dondesegraficaelnúmeropromediodedefectos porpanelyelrangodelnúmerodedefectos
encadapuntodelcubodefinido porlosfactoresA,Byc.Elrangopromediocuando Bestáenelnivelalto
(lacaraposteriordelcubode
lafigura6-27)
esR
B
+=4.75,y cuandoBestáenelnivelbajoesR
B
-=1.25.
Comoresultadodeesteexperimento,elingenierodecidió
operarelprocesoconla temperaturabaja
yelflujoderesinaalto
parareducirelnúmeropromediodedefectos,coneltiempodesujeciónbajopara
reducirlavariabilidad
enelnúmerodedefectos porpanel,yconeltiempodecierre enelprensadobajo
(elcualnotuvoningúnefectonisobrelalocalizaciónnisobre
ladispersión).Elnuevoajustedelascondi­
cionesdeoperaciónprodujo
unnuevopromediodelprocesodemenosde undefectoporpanel.
Los residualesdeundiseño
2
k
proporcionanmuchainformaciónacercadelproblemabajoestudio.Pues­
toquelosresidualespuedenconsiderarsecomolosvaloresobservadosdelruidooerror,confrecuenciaofre­
ceninformaciónacercadelavariabilidaddelproceso.Puedehacerseelexamensistemáticodelosresiduales
de
undiseño2
k
noreplicadoparaproporcionarinformaciónacercadelavariabilidaddelproceso.
R=6.5
10
R=3.5 R=4.5
3.25-----7.25
20
R=O.V"¡R=2/
0.75 I 7.0
I
I
I
IR=4.5
",?75---~12.~9
R=1'"'" R_=7 B=Tiempodesujeción(min)
5.5' 11.75 7
I I
295 325
A=Temperatura
(OF)
c=Flujoderesina
Figura6·27Gráficadecubodelatemperatura,eltiempodesujeción yelflujode
resinaparaelejemplo
6-4.

277. N
0\
\,,¡J
Tabla6-15Cálculodelosefectosdedispersiónpara elejemplo6-4
CorridaA B AB C AC BC ABC D AD BD ABD CD ACD BCD ABCD Residual
1
- + + + - + + +
- - + -0.94
2+ - - - + + - + + + + - -0.69
3 + - +- + + - + + - + -2.44 •
4+ + + -- - - - - + + + + -2.69
5 - + + - + - + + -- + + - -1.19
6+ - - + + - - - - + + - - + + 0.56
7
- + + - + - + - + + - + -0.19
8+ + + + + + + - - - - - - - 2.06
9
- + - + + + - - + + +
- 0.06
10+ - - - + + + + - - - + + 0.81
11 - + - + - + + - + - + + 2.06
12+ + + - -- + + + + - - - 3.81
13 - + + - + + - + + - + -0.69
14+ - + + - + + - + + - -1.44
15 - + + - + + - +- + - + - 3.31
16+ + + + + + + + + + + + + + + -2.44
SV)2.252.722.21 1.91 1.81 1.80 1.802.242.05 2.28 1.971.93 1.522.09 1.61
s(1-)1.850.831.86 2.20 2.24 2.26 2.24 1.551.93 1.61 2.111.58 2.161.89 2.33
F*0.392.370.34 -0.28-0.43-0.46-0.440.740.120.70 -0.140.40-0.700.28-0.74
I

278. 264 CAPÍTULO6DISEÑOFACTORIAL 2
k
(6-24)
Considerelagráficadelosresidualesdelafigura6-26.
Ladesviaciónestándardelosochoresiduales
donde
Bestáenelnivelbajoes S(B-)=0.83,Yladesviaciónestándardelosochoresidualesdonde Bestá
enelnivelalto esS(B+)=2.72.Elestadístico
F*=ln
S2
(B:)
B S2(B-)
tieneunadistribuciónaproximadamentenormalcuandolasdosvarianzas
if(B+)yif(B-)soniguales.
Parailustrarloscálculos,elvalor
de
F;es
S2(B+)
F*=In---'----'-
B S2(B-)
=In(2.72)2
(0.83)2
=2.37
Enlatabla6-15sepresentaelconjuntocompletodecontrastes paraeldiseño2
4
juntoconlosresi­
duales
paracadacorridadelexperimentodelprocesodelospanelesdelejemplo 6-4.Cadacolumnade
estatablacontieneelmismonúmerodesignospositivos
ynegativos,yesposiblecalcularladesviaciónes­
tándardelosresidualesdecadagrupodesignos encadacolumna, porejemplo,
SW)ySen,i=1,2,;..,15.
Entonces
S2(i+)
F.*=In i=1,2,...,15 (6-25)
1 S2(i-)
esunestadísticoquepuedeusarse paraevaluarlamagnituddelos efectosdedispersión delexperimento.
Silavarianzadelosresidualesdelascorridasdondeelfactor iespositivoesigualalavarianzadelosresi­
dualesdelascorridasdondeel factor
iesnegativo,entonces
F;*tieneunadistribuciónaproximadamente
normal.LosvaloresdeF;*sepresentanalfinaldecadacolumnadelatabla6-15.
Lafigura6-28eslagráfica deprobabilidadnormal delosefectosdedispersiónF;*.Evidentemente,B
esunfactorimportante enloqueserefierealadispersióndelproceso.Para unestudiomásampliode
0.1 99.9 /
99
o
o
~
95
x
ii:;-'
I 80
s
o
ro
o
50
~
E
x
o ~...
c:
"O
20ro
;g
:.c
ro
5.n
e
"-
0.1
0.2 1.2 2.2
r
1
Figura6·28Gráficadeprobabilidadnormaldelosefectosdedispersión
F¡'delejemplo6-4.

279. ti
6-5UNASOLARÉPLICADELDISEÑO2
k265
esteprocedimiento,verBoxyMeyer [19]yMyersyMontgomery[85a].Asimismo, paraquelosresiduales
delmodeloofrezcan
lainformaciónapropiadaacercadelosefectosdedispersión,esnecesarioespecifi­
carcorrectamenteelmodelodelocalización.Referirsealmaterialsuplementariodeltextodeestecapítu­
loparamayoresdetallesyunejemplo.
EJEMPLO
6~5.....•...••...........•.............•.....•....•.............
Medicionesduplicadasdelarespuesta
Unequipodeingenieros enunafábricadesemiconductoresrealizaron undiseñofactorial2
4
enunhorno
deoxidaciónvertical.Se"apilan"cuatroobleas
enelhorno,y lavariablederespuestadeinteréseseles­
pesordelóxido
enlasobleas.Loscuatrofactoresdeldiseñoson latemperatura(A),eltiempo(B),lapre­
.sión(e)yelflujodegas (D).Elexperimentosellevaacabocargandocuatroobleas enelhorno,ajustando
lasvariablesdelproceso
enlascondicionesde pruebarequeridasporeldiseñoexperimental,procesando
lasobleasymidiendodespuéselespesordelóxido enlascuatroobleas. Enlatabla6-16sepresentaneldi­
señoylasmedicionesdelespesorresultantes.
Enestatabla,lascuatrocolumnasbajoelencabezado
"Espesor"contienenlasmedicionesdelespesordelóxidodecadaobleaindividual,ylasdosúltimasco­
lumnascontienenelpromediomuestraly
lavarianzamuestraldelasmedicionesdelespesorenlascuatro
obleasdecadacorrida.
Lamaneraapropiadadeanalizaresteexperimentoesconsiderarlasmedicionesdelespesordelas
obleasindividualescomomedicionesduplicadas,yno
comoréplicas.Si fueranenrealidadréplicas,
cadaobleasehabríaprocesadoindividualmente
enunasolacorridadelhorno.Sinembargo,debidoaque
lascuatroobleasseprocesaron
enconjunto,recibieronlosfactoresdelostratamientos(esdecir,losnive­
lesdelasvariables
d~ldiseño)simultáneamente, porloquehaymuchomenosvariabilidad enlasmedicio­
nesdelespesordelasobleasindividualesquelaquese
habríaobservadosicadaoblea fuera unaréplica.
Porlotanto,elpromediodelasmedicionesdelespesores
lavariablederespuestacorrectaquedeberá
considerarseinicialmente.
Enlatabla6-17semuestranlasestimacionesdelosefectosdeesteexperimento,utilizandoelespesor
delóxidopromedio
ycomolavariablederespuesta.Observequelos factoresAyBYlainteracciónABtie­
nenefectosgrandesqueexplican
enconjuntocercade90% delavariabilidaddelespesorpromediodel
Tabla
6-16Elexperimentodelespesordelóxido
Orden Ordende
\
estándarlacorridaA B e D Espesor y
S2
1 10 -1 -1 -1 -1 378 376 379 379 378 2
2 7 1 -1 -1
-1 415 416 416 417 416 0.67
3 3 -1 1 -1 -1 380 379 382 383 381 3.33
4 9 1 1 -1 -1 450 446 449 447 448 3.33
5 6 -1 -1 1 -1 375 371 373 369 372 6.67
6 2 1 -1 1 -1 391 390 388 391 390 2
7 5 -1 1 1 -1
384 385 386 385 385 0.67
8 4 1 1 1 -1 426 433 430 431 430 8.67
9 12 -1 -1 -1 1 381 381 375 383 380 12.00
10 16 1 -1 -1 1 416 420 412 412 415 14.67
11 8 -1 1 -1 1 371 372 371 370 371 0.67
12 1 1 1 -1 1 445 448 443 448 446 6
13 14 -1 -1 1 1 377 377 379 379 378 1.33
14 15 1 -1 1 1 391 391 386 400 392 34
15 11 -1 1 1 1 375 376 376 377 376 0.67
16 13 1 1 1 1 430 430 428 428 429 1.33

280. ,rlt
266 CAPÍTULO6DISEÑOFACTORIAL2
k
Tabla6-17Estimacionesde losefectosdelejemplo6-5,lavariablede
respuesta
eselespesorpromediodel óxido
Términodel Estimación Sumade
modelo delefecto cuadrados
Contribución
porcentual
A
B
C
D
AB
AC
AD
BC
BD
CD
ABC
ABD
ACD
BCD
ABCD
43.125
18.125
-10.375
-1.625
16.875
-10.625
1.125
3.875
-3.875
1.125
-0.375
2.875
-0.125
-0.625
0.125
7439.06
1314.06
430.562
10.5625
1139.06
451.563
5.0625
60.0625
60.0625
5.0625
0.5625
33.0625
0.0625
1.5625
0.0625
67.9339
12.0001
3.93192
0.0964573
10.402
4.12369
0.046231
0.548494
0.548494
0.046231
0.00513678
0.301929
0.000570753
0.0142688
0.000570753
óxido.Lafigura6-29 esunagráficadeprobabilidadnormaldelosefectos.Alexaminarestarepresenta­
ción,seconcluiríaquelosfactores
A,ByC ylasinteraccionesAB yACsonimportantes.Enlatabla6-18
semuestraelanálisisdevarianzadeestemodelo.
Elmodeloparapredecirelespesorpromediodelóxidoes
y=399.19+21.56x
1
+9.06x
z
-5.19x
3
+8.44x
1
x
Z
-5.31x
1
X
3
Elanálisisresidualdeestemodelo essatisfactorio.
Losexperimentadoresestáninteresadosenobtener
unespesorpromediodelóxidode400 A,ylases­
pecificacionesdelproductorequierenqueelespesorseadeentre390y410
A.Enlafigura6-30sepresen­
tandosgráficasdecontornodelespesorpromedio, unaconelfactorC(ox
3
),lapresión,enelnivelbajo
(esdecir,
X
3=-1)YlaotraconC(ox
3
)enelnivelalto(esdecir, X
3=+1).Alexaminarestasgráficasde
contorno,esevidentequehaymuchascombinacionesdeltiempoylatemperatura(factores
AyB)que
produciránresultadosaceptables.Sinembargo,
silapresiónsemantieneconstanteenelnivelbajo,la
"ventana"deoperaciónsecorrehaciaelextremoizquierdo,omásbajo,delejedeltiempo,indicandoque
senecesitaránduracionesdelciclomáscortas
paraconseguirelespesordelóxidodeseado.
Esinteresanteobservarlosresultadosquesehubieranobtenido
silasmedicionesdelespesordel óxi­
dodelasobleassehubieranconsiderado incorrectamentecomoréplicas.Enlatabla6-19sepresentael
análisisdevarianzadelmodelocompletobasadoen
tratarelexperimentocomoundiseñofactoria12
4
con
réplicas.Observequehaymuchosfactoressignificativos
enesteanálisis,locualsugiere unmodelomucho
máscomplejodelqueseencontrócuandoseutilizóelespesorpromediodelóxidocomolarespuesta.La
razóndeesto
esquelaestimacióndelavarianzadel errordelatabla6-19esmuypequeña
(a
z
=6.12).El
cuadradomediodelosresidualesdelatabla6-19reflejalavariabilidadentrelasobleas
dentrodeunaco­
rrida
ylavariabilidadentrelascorridas.Laestimacióndel errorqueseobtiene enlatabla6-18esmucho
más grande,
a
Z
=17.61,Y esprincipalmenteunamedidadelavariabilidadentrelascorridas. Éstaesla
mejorestimacióndelerrorquedeberáusarse
parajuzgarlasignificacióndelasvariablesdelprocesoque
semodificande
unacorridaaotra.
Unapreguntalógicaquepodríaplantearsees:¿quédañocausaidentificardemasiadosfactorescomo
importantes?,comociertamenteseríaelcaso
enelanálisisincorrectodelatabla6-19. Larespuestaesque

281. A
~
.,
43.1329.69
6-5UNASOLARÉPLICADELDISEÑO 2k267
s
~
AS
~
Efecto
Figura6-29Gráficadeprobabilidadnormaldelosefectosparalarespuestadeles­
pesorpromediodelóxido,ejemplo
6-5.
Tabla
6-18Análisisdevarianza(de Design-Expert)paralarespuestaespesorpromediodelóxido,
ejemplo6-5
Sumof Mean F
Source Squares DF Square Value Prob>F
Model 10774.31 5 2154.86 122.35 <0.000
A 7439.06 1 7439.06 422.37 <0.000
B 1314.06 1 1314.06 74.61 <0.000
C 430.56 1 430.56 24.45 0.0006
AB 1139.06 1 1139.06 64.67 <0.000
AC 451.56 1 451.56 25.64 0.0005
Residual 176.12 10 17.61
CorTotal 10950.44 15
Std.Dev. 4.20 R-Squared 0.9839
Mean 399.19 Adj.R-Squared 0.9759
C.V. 1.05 Pred.R-Squared 0.9588
PRESS 450.88 Adeq.Precision 27.967
Coefficient Standard 95% CI 95%CI
Factor Estimate DF Error Low High
Intercept 399.19 1 1.05 396.85 401.53
A-Time 21.56 1 1.05 19.22 23.90
B-Temp 9.06 1 1.05 6.72 11.40
C-Pressure -5.19 1 1.05 -7.53 -2.85
AB 8.44 1 1.05 6.10 10.78
AC -5.31 1 1.05 -7.65 -2.97

282. 268 CAPÍTULO6DISEÑOFACTORIAL 21<
1.00,....--,---.------;;----r--....-----,
0.50
~
.a
~
~0.00380
E
~
-0.50
-1.00L--L.__-l._-1-__...l-_---\...__L-_~-__l
-1.00 -0.50
Tiempo
(a)x
3
=-1
1.00,...,------¡----,----.------,¡----,
0.50
~
:J
'§
al
~0.00
~
-0.50
_1.00L----2--..l.----....I-----.l...-...:::...----:-!
-1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00
Tiempo
lb)x
3
=+1
Figura6-30Gráficasdecontornodelespesorpromediodelóxidocon
lapresión
(x
3
)mantenidaconstante.
intentarmanipularuoptimizarlosfactoresquenosonimportantessería undesperdiéioderecursos,ypo­
dríaresultar
enagregarvariabilidadinnecesariaa otrasrespuestasdeinterés.
Cuandosehacenmedicionesduplicadasdelarespuesta,casisiemprehayinformaciónútilacercade
algúnaspectodelavariabilidaddelprocesocontenida
enestasobservaciones.Porejemplo,silasmedi­
cionesduplicadassonpruebasmúltipleshechascon
uninstrumentodemedición enlamismaunidad ex-

283. "
6-5UNASOLARÉPLICADELDISEÑO 2k269
Tabla6-19Análisisdevarianza(de Design-Expert)delarespuestaindividualdelespesordelóxidode
lasobleas
Surnof Mean F
Source Squares DF Square Value Prob>F
Model 43801.75 15 2920.12 476.75 <0.0001
A
29756.25 1 29756.25 4858.16 <0.0001
B
5256.25 1 5256.25 858.16 <0.0001
C 1722.25 1 1722.25 281.18 <0.0001
O
42.25 1 42.25 6.90 0.0115
AB 4556.25 1 4556.25 743.88 <0.0001
AC 1806.25 1 1806.25 294.90 <0.0001
AO 20.25 1 20.25 3.31 0.0753
BC 240.25 1 240.25 39.22 <0.0001
BO 240.25 1 240.25 39.22 <0.0001
CO 20.25 1 20.25 3.31 0.0753
ABO 132.25 1 132.25 21.59 <0.0001
ABC 2.25 1 2.25 0.37 0.5473
ACO 0.25 1 0.25 0.041 0.8407
BCD 6.25 1 6.25 1.02 0.3175
ASCO 0.25 1 0.25 0.041 0.8407
Residual 294.00 48 6.12
LackofFit 0.000 O
PureError 294.00 48 6.13
CoroTotal 44095.75 63
perimental,entonceslasmedicionesduplicadas proporcionanciertainformaciónacerca delaeficiencia
delinstrumentodemedición.Silasmedicionesduplicadasse
hacenendiferenteslugares dentrodeuna
unidadexperimental, puedenbrindarciertainformación acercadelauniformidaddelavariablederes­
puesta
enesaunidad.Enelejemplotratadoaquí,yaquesetieneunaobservaciónencadaunadecuatro
unidadesexperimentales
quesehansometidoa unprocesamientoconjunto,se tieneciertainformación
acerca
delavariabilidaddentrodelascorridas delproceso.Estainformaciónse encuentracontenidaenla
varianzadelasmedicionesdelespesordelóxido delascuatroobleasdecadacorrida.Sería deinterésde­
terminarsialguna
delasvariablesdelprocesoinfluye enlavariabilidadal interiordelascorridas.
Lafigura6-31es unagráficadeprobabilidadnormaldelasestimacionesdelosefectosobtenidasuti­
lizandoln(s2)
comolarespuesta.Recuerdequeenelcapítulo3seindicóquelatransformaciónlogarítmi­
caes
porlogeneralapropiadaparamodelarlavariabilidad.Nohayningúnefectoindividualfuerte, pero
elfactorAylainteracciónBDsonlosmásgrandes.Siseincluyen tambiénlosefectosprincipales deByD
paraobtenerunmodelojerárquico,entoncesel modelodeln(S2)es
/i--
ln(s)=1.08+0Alx
1
-OAOx
2
+0.20x
4
-0.56x
2x
4
Elmodeloexplicaapenas pocomenosdelamitaddelavariabilidadenlarespuestaln(S2),locualdesde
luego
noesnadaespectacularparaunmodeloempírico, peroconfrecuenciaesdifícil obtenermodelos
excepcionalmentebuenos
delasvarianzas.
Lafigura6-32es unagráficadecontornodelavarianzapredicha(nodellogaritmo delavarianzapre­
dicha)conlapresiónx3enelnivelbajo(recuerdeque conestoseminimiza laduracióndelciclo)y elflujo
degasx
4enelnivelalto. Estaeleccióndelflujodegas producelosvaloresmínimos delavarianzapredicha
enlaregión delagráficadecontorno.
Enestecaso,losexperimentadoresseenfocaron enseleccionarvaloresdelas variablesdediseñoquedie­
ranunespesormediodelóxidodentrodelasespecificacionesdelprocesoy
tancercade400
Ácomofuerapo­
sible,haciendoalmismotiempoquelavariabilidaddentrodelascorridasseapequeña, porejemploS2:::;2.,

284. 270 CAPÍTULO6DISEÑOFACTORIAL 2
k
99
A
illJl
95
90
ro
80
E
o
70c:
"C
ro
:!2
50:a
ro
.n
e
c.
al
"C
?f'
Figura6-31 Gráficadeprobabilidadnormaldelosefectosutilizando In(S2)como
larespuesta,ejemplo6-5.
0.820.34
Efecto
-0.15-0.64-1.12
1.00..--------""7'---------:;;...._.
e
::l
1§
15.0.00
E
~
-1.00L------"::::..---L----...J.--""'O:::'-"--.l,-----:-'
-1.00 -0.50 1.00
Tiempo
Figura6-32 Gráficadecontornode S2(variabilidaddentrodelasco­
rridas)conlapresiónenelnivelbajo
yelflujodegasenelnivelalto.

285. 6-6ADICIÓNDEPUNTOSCENTRALESENELDISEÑO2k271
0.50-0.50
-1.00
-1.00
1.000.00
Tiempo
Figura6·33Superposicióndelespesorpromediodelóxidoylasres­
puestasS2conlapresiónenelnivelbajoyelflujodegasenelnivelalto.
-0.50
0.50
l!!
~
(1)
e0.00
{!!.
Unamaneraposibledeencontrar unconjuntodecondicionesadecuadoessuperponiendolasgráficasde
contornodelasfiguras6-30y6-32.
Lagráficadelasuperposiciónsemuestra enlafigura6-33,conlases­
pecificacionesdelespesormediodelóxidoylarestricción
S2
:52indicadascomocontornos. Enestagráfi­
ca,lapresiónsemantieneconstante enelnivelbajoyelflujodegassemantieneconstanteenelnivelalto.
Laregiónno sombreadacercadelapartecentralizquierdadelagráficaidentifica
unaregiónfactible
paralasvariablestiempoytemperatura.
Éstees
unejemplosimpledelusodelasgráficasdecontorno paraestudiardosrespuestassimultá­
neamente.
Esteproblemaseanalizaráconmayordetalleenelcapítulo 11.
6~6ADICIÓNDEPUNTOSCENTRALESEN ELDISEÑO2
k
Unapreocupaciónpotencial enelusodediseñosfactorialesdedosniveleseselsupuestodela linealidad
delosefectosdelosfactores.Desdeluego,noesnecesarialalinealidadperfecta,yelsistema 2
k
funciona­
rábastantebieninclusocuandoelsupuestodelinealidadseaválidosólodemaneramuyaproximada.
De
hecho,se haseñaladoyaque siseagreganlos términosdeinteracción aunmodelodelosefectosprinci­
palesodeprimerorden,dedondeseobtiene
k
Y=f30+
Lf3jXj+LLf3ijX¡Xj+c
j=l ¡<j
(6-26)
entoncessetiene
unmodeloconlacapacidadderepresentarciertacurvatura enlafunciónderespuesta.
Estacurvatura,desdeluego,
esresultadodeltorcimientodelplanoinducido porlostérminosdeinterac­
ción
f3
¡l'iXj'

286. (6-28)
272 CAPÍTULO6DISEÑOFACTORIAL2h
Habrásituacionesenquelacurvaturadelafunciónderespuestanoestémodeladaadecuadamente
porlaecuación6-26.Entalescasos,unmodelológico porconsiderares
k k
y={30+2:{3jXj+2:2:{3ijXiXj+2:{3jjXJ+8 (6-27)
j=l i<j j=l
dondelas {3jjrepresentanefectoscuadráticosodesegundoordenpuros.Alaecuación 6-27selellamamo­
delodesuperficiederespuestadesegundoorden.
Cuandoserealizaunexperimentofactorialdedosniveles,
porlogeneralseanticipaelajustedelmo­
delodeprimerordendelaecuación
6-26,perodeberáestarsealertaantelaposibilidaddequeelmodelo
desegundoordendelaecuación6-27seaenrealidadmásapropiado.Existeunmétodoparahacerunaré­
plicadeciertospuntosdeundiseñofactorial2
k
queofreceráproteccióncontralacurvaturadelosefectos
desegundoordenalavezquepermitiráunaestimaciónindependientedelerrorquevaaobtenerse.El
métodoconsisteenagregarpuntoscentraleseneldiseño
2
k
•
Éstosconsisten ennréplicasquesecorren
enlospuntos
Xi=O(i=1,2,oo.,k).Unarazónimportante paraagregarréplicasdelascorridasenelcen­
trodeldiseño
esquelospuntoscentralesnoafectanlasestimacionesusualesdelosefectosenundiseño
2
k
•
Cuandoseagreganpuntoscentrales,sesuponequelos kfactoressoncuantitativos.
Parailustraresteenfoque,considereundiseño2
2
conunaobservaciónencadaunodelospuntosfac­
toriales(-,
-),(+,-),(-,+)y(+,+),yneobservacionesenelpuntocentral (O,O).Enlafigura6-34 seilus­
tralasituación.Sea
YFelpromediodelascuatrocorridasenloscuatropuntosfactorialesyseaYeel
promediodelas
necorridasenelpuntocentral. SiladiferenciaYF
-Yeespequeña,entonceslospuntos
centralescaenenelplano(ocercadeél)quepasa
porlospuntosfactoriales,ynohaycurvaturacuadráti­
ca.Porotraparte,
si
YF-Yeesgrande,entoncesestápresente unacurvaturacuadrática. Lasumadecua·
dradosde
lacurvaturacuadráticapuraconunsologradodelibertadestádadapor
nFne
(JiF-Ye)2
SSCuadráticapura =---.:...----=--'-'---'------'-=---=--
n
F
+ne
donde,engeneral, n
Feselnúmerodepuntosdeldiseñofactorial.Estacantidadpuedecompararseconel
cuadradomediodelerrorparaprobarlacurvaturacuadráticapura.Másespecíficamente,cuando
se
y
I
-1
Figura6-34Diseño2
2
conpuntoscentrales.

287. !Ir
- I
6-6ADICIÓNDEPUNTOSCENTRALES ENELDISEÑO2k273
agreganpuntos
enelcentrodeldiseño
2\conlapruebadelacurvatura(utilizando laecuación6-28)en
realidadse pruebanlashipótesis
k
HO:2.:fijj=O
j=l
k
H
1
:2.:fi
jj;z!:'0
j=l
Además,silospuntosfactorialesdeldiseño notienenréplicas,puedenusarselos Hepuntoscentrales para
construirunaestimacióndel errorconHe-1gradosdelibertad.
EJEMPLO6~6 .
Uningenieroquímicoestudiaelrendimientode unproceso.Haydosvariablesdeinterés,eltiempode
reaccióny
latemperaturadereacción.Debidoa quenosetiene laseguridadsobreelsupuestodelineali­
dad
enlaregióndeexploración,elingenierodeciderealizar undiseñofactorial2
2
(conunasolaréplicade
cada
corridafactorial)aumentandoconcincopuntoscentrales.Eldiseñoylosdatosdelrendimiento
semuestranenlafigura6-35.
Enlatabla6-20seresumeelanálisisdevarianzadeesteexperimento. Elcuadradomediodel errorse
calculaa
partirdelospuntoscentralesde lasiguientemanera:
MS=SSE
E
12-1
e
(6-29)
=.o..Pu""n""tos'-"ce""ntr:;::al::::;es'---_
Porlotanto, porlatabla6-20,
5
2.:(Yi-40.46)2
MS=-"i=""l _
E 4
0.1720
=
4
=0.0430
40.0 41.5
160
E
r'
E
:J 40.5
~155o •40.7
c.
40.2
E
~
40.6
11
I:l:l
-1
39.3 40.9
150
I I I
-1 o +1
I I I
30 35 40
A=Tiempodereacción(min)
Figura6-35Eldiseño2
2concincopuntos
centralesparaelejemplo
6-6.

288. 274 CAPÍTULO6DISEÑOFACTORIAL2 k
Tabla6-20Análisisdevarianzadelejemplo 6-6
Fuentede Sumade
variación cuadrados
Gradosde
libertad
Cuadrado
medio
Valorp
A(Tiempo)
B(Temperatura)
AB
Cuadráticapura
Error
Total
2.4025
0.4225
0.0025
0.0027
0.1720
3.0022
1
1
1
1
4
8
2.4025
0.4225
0.0025
0.0027
0.0430
55.87
9.83
0.06
0.06
0.0017
0.0350 0.8185
0.8185
,.
,
"
Elpromediodelospuntosdela partefactorialdeldiseñoesyp=40.425,Y elpromediodelospuntos si­
tuadosenelcentroeSYe=40.46.LadiferenciaYp-Ye=40.425-40.46=-0.035pareceserpequeña. La
sumadecuadradosdelacurvaturacuadrática puradelatabladelanálisisdevarianzasecalculaconla
ecuación
6-28delasiguientemanera:
SS
=
1lp1le(rp-re)2
Cuadráticapura 1l+1l
p e
=(4)(5)(-0.035)2
4+5
=0.0027
Elanálisisdevarianzaindicaqueambosfactorestienenefectosprincipalessignificativos,quenoexiste
interacción,yquenohayevidenciadecurvaturadesegundo
ordenenlarespuestaenlaregióndeexplora­
ción.Esdecir,lahipótesisnula
Ho:fJn+fJ22=Onopuederechazarse.
Enelejemplo6-6sellegóalaconclusióndequenohabíaindiciosdeefectoscuadráticos;esdecir,un
modelodeprimerorden
y=fJo+fJlxl +fJ2x2+fJ
12
x
1
x2
+8
esapropiado(auncuandoprobablementenosenecesiteeltérminodelainteracción). Habrásituaciones
enlasquesenecesitaránlostérminoscuadráticos.Esdecir,se tendráquesuponerentonces unmodelode
segundoordentalcomo
y=fJo+fJlxl +fJ2x2+fJ12xlx2
+fJnx~ +fJ22X~+8
Desafortunadamente,losparámetrosdesconocidos(las fJ)deestemodelonopuedenestimarse,yaque
hayseisparámetros
porestimaryeldiseño 2
2máslospuntoscentralesdelafigura 6-35sólotienencinco
corridasindependientes.
Unasoluciónsimpleydegranefectividaddeesteproblemaesaumentareldiseño2
2
concuatrocorri­
dasaxiales,
comoseilustra enlafigura6-36a.Eldiseñoresultante,llamado diseñocentralcompuesto,
puedeusarseentonces paraajustarelmodelodesegundoorden. Enlafigura6-36bsemuestraundiseño
centralcompuesto
parak=3factores.Estediseñotiene14 +
1lecorridas(generalmente3:51l
e:55),Yes
undiseñomuyeficiente paraajustarelmodelodesegundo ordencon10parámetrosenk =3factores.
Losdiseñoscompuestoscentralesseusanampliamente
paraconstruirmodelosdesuperficiederes­
puestadesegundoorden.Estosdiseñosseestudiaránconmayordetalle
enelcapítulo11.

289. ..
6-6ADICIÓNDEPUNTOSCENTRALES ENELDISEÑO2k275
_-f---+---f---X1
a.)Dosfactores b)Tresfactores
Figura6·36Diseñoscentralescompuestos.
Seconcluyeestasecciónconalgunassugerenciasyobservacionesadicionalesútilesreferentesaluso
depuntoscentrales.
1.Cuandounexperimentofactorialsellevaacabo enunprocesoenmarcha,considereutilizarlas
condicionesdeoperaciónactuales(odereceta)comoelpuntocentraldeldiseño.Estoconfre­
cuencialeaseguraalpersonaldeoperaciónquealmenosunapartedelascorridasdelexperimento
vanarealizarsebajocondicionesfamiliares,yporlotantoesimprobablequelosresultadosobteni­
dos(porlomenosparaestascorridas)seanpeoresquelosqueseobtienentípicamente.
2.Cuandoelpuntocentralde unexperimentofactorialcorrespondeconlascondicionesdeopera­
ciónactuales,elexperimentadorpuedeusarlasrespuestasobservadas
enelpuntocentral para
proporcionarunaverificaciónaproximadade sialgo"inusual"ocurrióduranteelexperimento.
Esdecir,lasrespuestasdelpuntocentraldeberánsermuysimilaresalasrespuestasobservadas
históricamente
enlaoperaciónrutinariadelproceso.Confrecuenciaelpersonaldeoperación
llevará
unacartadecontrol paramonitoreareldesempeñodelproceso. Enocasioneslasres­
puestasdelospuntoscentrales
puedengraficarsedirectamente enlacartadecontrolcomo una
verificaciónde laformaenqueestuvooperandoelprocesoduranteelexperimento.
3.Considerecorrerlasréplicasdelpuntocentral enordennoaleatorio.Específicamente,deberán
correrseunoodospuntoscentrales
enocercadelprincipiodelexperimento,uno odascercade
la
partemedia,yunoodoscercadelfinal.Alsepararlospuntoscentrales eneltiempo,elexperi­
mentadortiene
unaverificaciónaproximadade laestabilidaddelprocesoduranteelexperimen­
to.Porejemplo,si
haocurridounatendenciaenlarespuestamientrasserealizabael
experimento,graficarlasrespuestasdelospuntoscentralescontraeltiempopuede
ponerdema­
nifiestoestasituación.
4.Enocasioneslosexperimentostienenquerealizarse ensituacionesenlasquelainformaciónpre­
viaacercadelavariabilidaddelproceso
esescasaonula. Enestoscasos,correrdosotrespuntos
centralescomolasprimerascorridasenelexperimentopuedeserdesumautilidad.Estascorridas
puedenproporcionar
unaestimaciónpreliminardelavariabilidad. Silamagnituddelavariabili­
dadparecerazonable,secontinúa;porotraparte,
silavariabilidadobservada esmayorquelaanti­
cipada(ioquelarazonable!),habráquedetenerse.Confrecuencia
esmuyprovechosoestudiarla
cuestióndeporqué
estangrandelavariabilidadantesdeprocederconelrestodelexperimento.
s.Generalmente,seutilizanpuntoscentralescuandotodoslosfactoresdeldiseñoson cuantitati·
vos.Sinembargo,enocasioneshabrá unaomásvariablescualitativasocategóricasyvariascuan-

290. CAPÍTULO6DISEÑOFACTORIAL 21<~.
,.••:•....,.!....•.i
~, .
'-1
'1
¡I¡
:¡'¡ 276
"""'----=---+-:---....------
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
o I o
I
I
1
I
I
I
I
I
I
I
--~--------------- --------
...--_....-
EbI"\\e~"O
~
Tipode
catalizador
Figura6-37 Undiseño2
3
conunfactorcualitativo ypuntos
centrales.
titativas.Siguesiendoposibleemplearlospuntoscentralesenestoscasos. Parailustrareste
punto,considereunexperimentocondosfactorescuantitativos,eltiempoylatemperatura,cada
unocondosniveles,y
unsolofactorcualitativo,eltipodecatalizador,tambiéncondosniveles
(orgánicoeinorgánico).
Enlafigura6-37semuestraeldiseño2
3
paraestosfactores.Observe
quelospuntoscentralessecolocanenlascarasopuestasdelcuboqueincluyenlosfactorescuan­
titativos.
Enotraspalabras,lospuntoscentrales puedencorrerseconlascombinacionesdelos
tratamientos
enlosnivelesaltoybajodelosfactorescualitativos,siempreycuandoesossubespa­
ciosincluyanúnicamentefactorescuantitativos.
6~7PROBLEMAS
6-1.Uningenieroestáinteresadoenlosefectosdelavelocidaddecorte(A),lageometríadelaherramienta (B)y
elángulodecorte
(C)sobrelavida(enhoras)de unamáquinaherramienta.Seeligendosnivelesdecada
factorysecorrentresréplicasdeundiseñofactorial2
3
•
Losresultadosfueronlossiguientes:
Combinaciónde
Réplica
A B C tratamientos I IIIII
(1) 22 31 25
+ a 32 43 29
+ b 35 34 50
++ ab 55 47 46
+ e 44 45 38
+ + ae 40 37 36
+ + be 60 50 54
++ + abe 39 41 47
a)Estimarlosefectosdelosfactores.¿Quéefectosparecensergrandes?
b)Usarelanálisis devarianzaparaconfirmarlasconclusionesdelinciso a.
e)Escribirunmodeloderegresión parapredecirlavidade laherramienta(enhoras)conbaseenlosresul­
tadosdeesteexperimento.
d)Analizarlosresiduales.¿Hayalgúnproblemaevidente?
e)Conbaseenelanálisisdelasgráficasdelosefectosprincipalesylasinteracciones,¿cuálesseríanlosni­
velesde
A,BY Cqueserecomendaríautilizar?
6-2.Considerenuevamenteelincisoedelproblema6-1.Utilizarelmodeloderegresión
paragenerarlasgráficas
delasuperficiederespuestaydecontornodelarespuesta,
lavidadelaherramienta.Interpretarestasgráfi­
cas.¿Ofrecenalguna
idearespectodelascondicionesdeoperacióndeseablesparaesteproceso?

291. 6-7PROBLEMAS 277
6-3.Encontrarelerrorestándardelosefectosdelosfactoresyaproximarloslímitesdeconfianzade95%paralos
efectosdelosfactoresenelproblema
6-1.¿Losresultadosdeesteanálisisconcuerdanconlasconclusiones
delanálisisdevarianza?
6-4.Representarlosefectosdelosfactoresdelproblema 6-1enunagráficarelativaa unadistribucióntescalada
apropiadamente.¿Enestarepresentacióngráficaseidentificandemaneraadecuadalosfactoresimportan­
tes?Compararlasconclusionesdeestagráficaconlosresultadosdelanálisisdevarianza.
6-5.Seusaunamáquinaparahacerranurasdelocalización enunatarjetadecircuitosimpresos.Elniveldevibra­
ción
enlasuperficiedelatarjetacuandosehacenlasranurasseconsidera unafuenteprincipaldevariación
dimensionaldelasranuras.
Sepiensaquedosfactoresinfluyen enlavibración:eltamañodelasranuras (A)Y
lavelocidaddecorte
(E).Seseleccionandostamañosdelasranuras
(kytdepulgada)ydosvelocidades(40Y
90rpm),ysehacenranurasencuatrotarjetasconcadaconjuntodecondicionesquesemuestranabajo.La
variablederespuesta
eslavibraciónmedidacomoelvectorresultantedetresacelerómetros (x,yyz)encada
tarjetadeprueba.
Combinaciónde
Réplica
A
Etratamientos I IIIIIIV
(1) 18.2 18.9 12.9 14.4
+ a 27.2 24.0 22.4 22.5
+ b 15.9 14.5 15.1 14.2
++ ab 41.043.936.339.9
a)Analizarlosdatosdeesteexperimento.
b)Construirunagráficadeprobabilidadnormaldelosresiduales,ygraficarlosresidualescontraelnivelde
vibraciónpredicho.Interpretarestasgráficas.
e)HacerlagráficadelainteracciónAE.Interpretarestagráfica.¿Quénivelesdeltamañodelasranuras
y
lavelocidadserecomendaríanparalaoperaciónrutinaria?
6-6.Considerenuevamenteelexperimentodescritoenelproblema 6-1.Supongaqueelexperimentadorefectuó
únicamenteochoensayosdelaréplica
1.Además,corriócuatropuntoscentralesyobtuvolossiguientesvalo­
resdelarespuesta:
36,40,43,45.
a)Estimarlosefectosdelosfactores.¿Quéefectossongrandes?
b)Efectuarunanálisisdevarianza,incluyendo unaverificacióndelacurvaturacuadráticapura.¿Aqué
conclusionessellega?
e)Escribirunmodeloapropiadoparapredecirlavidadelaherramienta,conbase
enlosresultadosdeeste
experimento.¿Estemodelodifiereenalgunaformasustancialdelmodelodelproblema
6-1,incisoe?
d)Analizarlosresiduales.
e)¿Aquéconclusionessellegaríaacercadelascondicionesdeoperaciónapropiadasparaesteproceso?
6-7.Sellevóacabo unexperimentoparamejorarelrendimientodeunprocesoquímico.Seseleccionaroncuatro
factoresysecorrierondosréplicasdeunexperimentocompletamentealeatorizado.Losresultadossepre­
sentan
enlatablasiguiente:
Combinación
Réplica
Combinación
Réplica
detratamientosI
IIdetratamientosI II
(1) 90 93 d 98 95
a 7478 ad 72 76
b 81 85 bd 87 83
ab 83 80 abd 85 86
e 77 78 ed 99 90
ae 81 80 aed 79 75
be 88 82 bed 8784
abe 73 70 abed 80 80
\\~
1
1
1,
1:,

292. 278 CAPÍTULO6DISEÑOFACTORIAL2k
a)Estimarlosefectosdelosfactores.
b)Construirlatabladelanálisisdevarianza ydeterminarcuálesfactoressonimportantesparaexplicar el
rendimiento.
e)Escribirunmodeloderegresiónparapredecirelrendimiento,suponiendoqueloscuatrcfactoresse
hi­
cieronvariarenelrangode -1a+1(enunidadescodificadas).
d)Graficarlosresidualescontraelrendimientopredicho yenunaescaladeprobabilidadnormal.¿Elanáli­
sisresidualparecesersatisfactorio?
e)Dosinteraccionesdetres factores,ABCyABD,aparentementetienenefectosgrandes.Trazarunagráfi­
cadecuboenlosfactores
A,ByCconlosrendimientospromedioindicadosencadavértice.Repetir lo
anteriorutilizandolosfactores A,ByD.¿Estasdosgráficasayudanenlainterpretacióndelosdatos?
¿Dóndeserecomendaríaquesecorrieraelprocesoconrespectoalascuatrovariables?
6-8.Unbacteriólogoestáinteresadoenlosefectosdedosmediosdecultivodiferentes ydostiemposdiferentes
sobreelcrecimientode
unvirusparticular.Realizaseisréplicasde undiseño2
2
,
haciendolascorridasde ma­
neraaleatoria.Analizarlosdatosdelcrecimientoviralquesepresentanenseguida ysacarlasconclusiones
apropiadas.Analizarlosresiduales
ycomentarlaadecuacióndelmodelo.
Mediodecultivo
Tiempo,h 1 2
21 22 25 26
12 23 28 24 25
20 26 29 27
37
39 31 34
18 38 3829 33
35
36 30 35
6-9.Uningenieroindustrialempleado porunacompañíarefresqueraestáinteresadoenlosefectosdedosdife­
rentestiposdebotellasde32onzassobreeltiempodeentregadecajasde12botellasdelproducto.Losdos
tiposdebotellassondevidrio
ydeplástico.Seusandosempleados pararealizarunatareaqueconsisteen
mover
40cajasdelproducto 50piesenunaplataformadecargaestándar yacomodarlasen unestantedeven­
ta.Sehacencuatroréplicasde
undiseñofactorial2
2
ylostiemposobservadosseenlistan enlasiguientetabla.
Analizarlosdatos
ysacarlasconclusionesapropiadas.Analizarlosresiduales ycomentarlaadecuacióndel
modelo.
Empleado
Tipodebotella 1 2
Vidrio 5.12 4.89
6.65 6.24
4.98 5.00 5.49
5.55
Plástico 4.95 4.95 5.28 4.91
4.27 4.25 4.75 4.71
6-10.Enelproblema6-9,elingenierotambiénestuvointeresadoenlasdiferenciasenlafatigapotencialqueresul­
tadelostiposdebotellas.Como unamedidadelacantidaddeesfuerzorequerido,midióelaumentodelrit­
mocardiaco(pulso)inducidoporlatarea.Losresultadossepresentanacontinuación.Analizarlosdatos
y
sacarconclusiones.Analizarlosresiduales ycomentarlaadecuacióndelmodelo.

293. 6-7PROBLEMAS 279
Empleado
Tipodebotella 1 2
Vidrio
39 45 20 13
58 35 16 11
Plástico 44 35 13 10
42 21 16 15
6-11.Calcularloslímitesdeconfianzaaproximadosparalosefectosdelosfactoresdelproblema 6-10.¿Losresul­
tadosdeesteanálisisconcuerdancon
elanálisisdevarianzarealizadoenelproblema6-10?
6-12.EnunartículodeAT&TTechnicalJoumal (vol.65,pp.39-50)sedescribelaaplicacióndediseñosfactoriales
dedosnivelesenlafabricacióndecircuitosintegrados.
Unpasobásico delprocesamientoeshacercrecer
unacapaepitaxialsobreobleasdesiliciopulidas.Lasobleassemontanenunsusceptor,
secolocanen elinte­
riordeunacampanadecristalyseintroducenvaporesquímicos.Elsusceptor
sehacegirary seaplicacalor
hastaquelacapaepitaxialtieneelespesorsuficiente.
Secorrióunexperimentoutilizandodosfactores:rapi­
dezdeflujodearsénico
(A)ytiempodedeposición (B).Secorrieroncuatroréplicasysemidióelespesorde
lacapaepitaxial(en
!lm).Losdatossemuestranacontinuación:
Réplica Nivelesdefactores
A B 1 II III IV Bajo(-) Alto(+)
14.037 16.165 13.972 13.907 A 55% 59%
+ 13.880 13.860 14.032 13.914
+ 14.821 14.757 14.843 14.878B Corto Largo
+ + 14.888 14.921 14.415 14.932 (10min) (15min)
a)Estimarlosefectosdelosfactores.
b)Conducirunanálisisdevarianza.¿Quéfactoressonimportantes?
e)Escribirunaecuaciónderegresiónquepodríausarse
parapredecirelespesordelacapaepitaxialenla
regióndelavelocidaddeflujodelarsénicoy
eltiempodedeposiciónutilizadoenesteexperimento.
d)Analizarlosresiduales.¿Seobservaalgúnresidualquedebieracausarpreocupación?
e)Comentarlaformaenquesepodríaresolverelpuntoatípicopotencialencontradoen elincisod.
6-13.Continuacióndelproblema 6-12.Usarelmodeloderegresióndelincisoedelproblema6-12parageneraruna
gráficadecontornodelasuperficiederespuestaparaelespesorepitaxial.Supongaqueesdeimportancia
críticaobtenerunespesordelacapade
14.5
!lm.¿Quéajustesdelavelocidaddeflujodelarsénicoydeltiem­
podedeposiciónserecomendarían?
6-14.Continuacióndelproblema 6-13.¿Enquéformacambiaríalarespuestadadaenelproblema 6-13silaveloci­
daddeflujodelarsénicofueramásdifícildecontrolarenelprocesoqueeltiempodedeposición?
6-15.Seutilizaunaaleacióndeníquelytitanioparafabricarcomponentesdelosmotoresdeturbinadeaviones.
Laformacióndefisuras esunproblemapotencialmenteseriodelaspiezasterminadas,yaquepuedenprovo­
carfallasirreversibles.
Serealizaunapruebadelaspiezas paradeterminarelefectodecuatrofactoressobre
lasfisuras.Loscuatrofactoressonlatemperaturadevaciado(A),elcontenidodetitanio
(B),elmétodode
tratamientotérmico
(C)ylacantidadderefinadordegranousada (D).Sehacendosréplicasdeundiseño2
4
ysemidelalongituddelasfisuras(enmmx10-
2
)inducidasenunejemplardepruebademuestrasometidoa
unapruebaestándar.Losdatossemuestranenlasiguientetabla:

294. ff¡W'I'
'1,
\"~
I
':\!,
I
280 CAPÍTULO6DISEÑOFACTORIAL 2
k
Combinaciónde
Réplica
A BC D tratamientos I II
(1) 7.037 6.376
+ a 14.707 15.219
+ b 11.635 12.089
+ + ab 17.273 17.815
+ e 10.403 10.151
+ + ae 4.368 4.098
+ + be 9.360 9.253
+ + + abe 13.440 12.923
+ d 8.561 8.951
+ + ad 16.867 17.052
+ + bd 13.876 13.658
+ + + abd 19.824 19.639
+ + ed 11.846 12.337
+ + + aed 6.125 5.904
+ + + bed 11.190 10.935
+ + + + abed 15.653 15.053
a)Estimarlosefectosdelosfactores.¿Quéefectosdelosfactoresparecensergrandes?
b)Conducirunanálisisdevarianza.¿Algunodelosfactoresafectalaformacióndefisuras?Utilizar a
=
0.05.
e)Escribirunmodeloderegresiónque puedausarseparapredecirlalongituddelasfisurascomo unafun-
cióndelosefectosprincipalesylasinteraccionessignificativasquese
hanidentificadoenelincisob.
d)Analizarlosresidualesdeesteexperimento.
e)¿Hayalgúnindiciodequealgunodelosfactoresafectelavariabilidaddelaformacióndefisuras?f)¿Quérecomendacionesseharíanrespectodelasoperacionesdelproceso?Utilizargráficasdelasinte­
raccionesy/odelosefectosprincipalescomoayuda
parasacarconclusiones..
6-16.Continuacióndelproblema 6-15.Unadelasvariablesdelexperimentodescritoenelproblema 6-15,elmétodo
detratamientotérmico(C),esunavariablecategórica.Supongaquelosdemásfactoressoncontinuos.
a)Escribirdosmodelosderegresiónparapredecirlalongituddelasfisuras, unoparacadanivel delavaria­
blemétododetratamientotérmico.¿Quédiferencias,encasodehaberlas,seobservanenestas
dos
ecuaciones?
b)Generarlasgráficasdecontornoapropiadasdelasuperficiederespuestaparalosdosmodelosde
re,gre-
sióndelinciso a. .
e)¿Quéconjuntodecondicionesserecomendaría paralosfactoresA,ByDsiseutilizaelmétododetrata­
mientotérmicoC=+?
d)RepetirelincisoesuponiendoquequiereusarseelmétododetratamientotérmicoC=-.
6-17.Unexperimentadorcorreunasolaréplicade undiseño2
4
•Secalcularonlassiguientesestimacionesde los
efectos:
A
=76.95
B=-67.52
C=-7.84
D=-18.73
AB=-51.32
AC=11.69
AD=9.78
BC=20.78
BD=14.74
CD=1.27
ABC=-2.82
ABD=-6.50
ACD=10.20
BCD=-7.98
ABCD=-6.25
a)Construirunagráficadeprobabilidadnormaldeestosefectos.
b)Identificarunmodelotentativo, conbaseen lagráficadelosefectosdelinciso a.

295. EnunartículodeSolidStateTechnology ("Diseñoortogonal paraoptimizacióndeprocesosysuaplicaciónen
elgrabadoquímicoconplasma")sedescribelaaplicación
dediseñosfactoriales eneldesarrollodeunproce­
so
degrabadoquímicoconnitruros enundispositivodegrabadoquímicoconplasma paraunasolaoblea.El
procesousa
~F6comogas dereacción.Cuatrofactoressondeinterés:elentrehierroánodo-cátodo (A),la
presiónenlacámaradelreactor (B),elflujodelgasC
2F
6(C)ylapotenciaaplicadaalcátodo (D).Larespues­
tadeinteréseslarapidez degrabadoparaelnitrurodesilicio.Se correunasolaréplicadeundiseño2
4
;
los
datosse
muestranenseguida:
Número
deOrdenrealde Rapidez degrabado
Nivelesdelosfactores
corrida lacorridaA
B C D (Álrnin) Bajo (-) Alto(+)
1 13 550 A(cm) 0.80 1.20
2 8
+ 669 B(mTorr)450 550
3 12
+ 604 C(SCCM)125 200
4 9
+ + 650 D(W) 275 325
5 4 + 633
6
15 + + 642
7 16
+ + 601
8 3
+ + + 635
9 1
+ 1037
10 14
+ + 749
11 5 + + 1052
12 10
+ + + 868
13 11 + + 1075
14 2
+ + + 860
15 7 + + + 1063
16 6
+ + + + 729
a)Estimarlosefectosdelosfactores.Considere unagráficadeprobabilidadnormal delosefectosdelos
factores.
¿Quéefectosparecensergrandes?
b)Efectuarunanálisisdevarianzaparaconfirmarlosresultadosobtenidos enelincisoa.
e)¿Cuálesel.modeloderegresiónquerelaciona larapidezdegrabadoconlasvariablessignificativasdel
proceso?
d)Analizarlosresiduales deesteexperimento. Comentarlaadecuacióndelmodelo.
e)Sinotodoslosfactoressonimportantes, hacerlaproyeccióndeldiseño2
4enundiseño2
k
conle<4 y
conducirelanálisisdevarianza.
-
f)Trazargráficas parainterpretarcualquierinteracciónsignificativa.
g)Graficarlosresidualescontrael
ordenrealdelascorridas.¿Quéproblemaspodríanponersedemani-
fiesto
enestagráfica?
Continuacióndelproblema 6-18.Considereelmodelo deregresiónobtenido enelincisoedelproblema6-18.
a)Construirlasgráficas decontornodelarapidezdegrabadoutilizandoestemodelo.
b)Supongaquefueranecesario operaresteprocesocon unarapidezde800
Álmin.¿Cuálesseríanlosajus-
tes
delasvariablesdelprocesoqueserecomendarían?
Considerelaréplicaúnicadeldiseño2
4
delejemplo6-2.Suponga quesedecidióarbitrariamenteanalizarlos
datossuponiendo
quelasinteraccionesdetresycuatrofactores eraninsignificantes.Conduciresteanálisisy
compararlosresultadosconlos queseobtuvieronenelejemplo.¿Piensaellector queesunabuenaideasu­
ponerdemaneraarbitrariaquelasinteracciones soninsignificantesinclusocuandoseande ordenrelativa­
mentealto?
Serealizó
unexperimentoenunafábricadesemiconductoresenunesfuerzoparaincrementarelrendimien­
to.Seestudiaroncincofactores,cada
unocondosniveles.Losfactores (ylosniveles)fueron:A =ajustede
apertura(pequeña,grande), B=tiempodeexposición(20%abajodelnominal,20%arribadelnominal),
2816-7PROBLEMAS
"
6-18.
6-19.
6-20.
6-21.

296. 282 CAPÍTULO6DISEÑOFACTORIAL2
k
e=tiempodedesarrollo (30s,45s),D=tamañodelamáscara(pequeña,grande)y E=tiempodegrabado
(14.5min,15.5min).Secorrióeldiseño 2
5
noreplicadoquesemuestraacontinuación.
(1)=7 d=8 e=8 de=6
a=9 ad=10 ae=12 ade=10
b=34 bd=32 be=35 bde=30
ab=55 abd=50 abe=52 abde=53
e=16 cd=18 ce=15 cde=15
ac=20 aed=21 aee=22 aede=20
be=40 bed=44 bee=45 bede=41
abe=60 abed =61 abee=65 abcde=63
a)Construirunagráficadeprobabilidadnormaldelasestimacionesdelosefectos. ¿Quéefectosparecen
sergrandes?
b)Efectuarunanálisisdevarianza para
confirmarlosresultadosobtenidos enelincisoa.
e)Escribirelmodeloderegresiónquerelacioneelrendimientoconlasvariablessignificativasdelproceso.
d)Graficarlosresiduales enpapelprobabilidadnormal. ¿Lagráficaessatisfactoria?
e)Graficarlosresidualescontralosrendimientospredichosycontra cadaunodeloscincofactores. Co-
mentarlasgráficas.
1)Interpretarcualquierinteracciónsignificativa.
g)¿Quérecomendacionesseharíanrespectodelascondicionesdeoperacióndelproceso?
11)Hacerlaproyeccióndeldiseño2
5deesteproblemaenundiseño2
k
enlosfactoresimportantes.Esque­
matizareldiseñoeindicarelpromedioyelrango
delosrendimientosencadacorrida.¿Esdeayudaeste
esquema
parainterpretarlosresultadosdeesteexperimento?
6-22.Continuacióndelproblema 6-21.Supongaqueelexperimentadorcorriócuatropuntoscentralesademásdelos
32ensayosdelexperimentooriginal.Losrendimientosobtenidos enlascorridasdelospuntoscentralesfue­
ron68, 74,76y70.
a)Analizardenuevoelexperimento,incluyendo unapruebaparalacurvaturacuadráticapura.
b)Comentarcuálseríaelsiguientepaso.
6-23.Seestudiaroncuatrofactores,cadaunocondosniveles, enunestudiodelrendimientode unproceso:el
tiempo(A),laconcentración(B),lapresión(C)yla temperatura(D).Secorrióunasolaréplicade undiseño
2
4
ylosdatosobtenidossemuestran enlasiguientetabla:
Númerode
Ordenrealde Rendimiento
Nivelesdelosfactores
corrida lacorridaA
Be D (lbs) BajoH Alto(+)
1 5 12 A(h) 2.5 3
2 9
+ 18 B(%) 14 18
3 8 + 13 e(psi)60 80
4 13 + + 16
DCC) 225 250
5 3
+ 17
6 7
+ + 15
7 14
+ + 20
8 1
+ + + 15
9 6 + 10
10
11 + + 25
11 2 + + 13
12 15 + + + 24
13 4 + + 19
14
16 + + + 21
15 10 + + + 17
16 12 + + + + 23

297. a)Analizarlosdatosdeesteexperimentocomo sisetrataradeochoréplicasde undiseño2
3
•
Comentarlos
resultados.
Lavariablederespuestafuelaexquisitez, unamedidasubjetivaderivadade uncuestionarioaplicadoalos
sujetosquehicieronelmuestreodecadalotedebrownies.(Estecuestionarioincluíaaspectoscomoelsabor,
laapariencia,laconsistencia,elaroma,etc.)
Unpanelde pruebaintegradoporochopersonashizoelmues­
treodecadaloteyllenóelcuestionario.
Lamatrizdeldiseñoylosdatosde larespuestasepresentanaconti­
nuación:
2836-7PROBLEMAS
Alto(+)
Aluminio
Batidora
Barata
Vidrio
Cuchara
Cara
BajoH
ti
Factor
A
:=:materialdelmolde
B:=:métododebatido
e:=:marcadelaharina
Lotede
Resultadosdelpaneldeprueba
brownies
A Be 1 2 3 4 5 6 7 8
1
11 9 10 10 11 10- 8 9
2 + 15 10 16 14 12 9 6 15
3 + 9 12 11 11 11 11 11 12
4 + + 16 17 15 12 13 13 11 11
5 + 10 11 15 8 6 8 9 14
6 + + 12 13 14 13 9 13 14 9
7 + + 10 12 13 10 7 7 17 13
8 + + + 15 12 15 13 12 12 9 14
a)Construiruna
gr~ficadeprobabilidadnormaldelasestimacionesdelosefectos. ¿Quéfactoresparecen
tenerefectosgrandes?
b)Efectuarunanálisisdevarianzautilizandolagráficadeprobabilidadnormaldelincisoacomoguía para
formareltérminodelerror.¿Aquéconclusionessellega?
e)Escribir
unmodeloderegresiónquerelacioneelrendimientoconlasvariablesimportantesdelproceso.
d)Analizarlosresidualesdeesteexperimento.¿Elanálisisindicaalgúnproblemapotencial?
e)¿Esposibleplegarestediseñoa undiseño2
3condosréplicas? Deserasí,esquematizareldiseñoconel
promedioyelrangodelrendimientoindicados
encadapuntodelcubo.Interpretarlosresultados.
6-24.Continuacióndelproblema 6-23.Usarelmodeloderegresióndelincisoedelproblema6-23 parageneraruna
gráficadecontornodelasuperficiederespuestadelrendimiento.Analizarelvalorprácticodeestagráfica
desuperficiederespuesta.
6-25.Elexperimentodelbrownie(pastelito)exquisito. Elautores uningenierohechoenlaprácticay unfirmecreyen­
tedeaprenderhaciendolascosas.Durantemuchosaños
haimpartidoelcursodediseñoexperimentala una
ampliavariedaddeaudienciasysiempreasigna laplaneación,realizaciónyanálisisde unexperimentoreala
losparticipantesdelaclase.Losparticipantesparecendisfrutarestaexperienciaprácticaysiempre
aprendenmuchodeella.
Enesteproblemaseutilizanlosresultadosde unexperimentorealizado porGret­
chenKrueger
enlaUniversidadEstataldeArizona.
Existenmuchasformasdiferentesdehornearbrownies.Elpropósitodeesteexperimentofuedeterminar
laformaenqueelmaterialdelmolde,lamarcadelaharina
parabrowniesyelmétododebatidoafectanla
exquisitezdelosbrownies.Losnivelesdelosfactoresfueron:

298. 284 CAPÍTULO6DISEÑOFACTORIAL2
k
b)¿Elanálisisdelinciso aeselenfoquecorrecto?Hayúnicamenteocholotes;¿setienenenrealidadocho
réplicasdeundiseñofactorial2
3?
e)Analizarelpromedioy
ladesviaciónestándardelpuntajede laexquisitez.Comentarlosresultados.
¿Esteanálisisesmásapropiadoqueeldelinciso
a?¿Porquésíono?
6·26.Secondujo
unexperimentoen unprocesoquímico paraproducirunpolímero.Loscuatrofactoresestudia­
dosfueron
latemperatura(A), laconcentracióndelcatalizador(B),eltiempo (C)ylapresión(D).Seobser­
varondosrespuestas,elpesomolecularylaviscosidad.
Lamatrizdeldiseñoylosdatosdelarespuesta se
presentanacontinuación:
NúmeroOrdenrealde Peso
Nivelesdelosfactores
decorridalascorridas
ABCD molecularViscosidad Bajo (-) Alto(+)
1 18 2400 1400 A(oC)100 120
2 9 + 2410 1500 B(%) 4 8
3
13 + 2315 1520 C(min) 20 30
4 8 + + 2510 1630 D(psi)60 75
5 3 + 2615 1380
J~!~~:
6 11 + + 2625 1525
7
14 ++ 2400 1500
~!~¡~~
8 17 + + + 2750 1620
~:~:'::;l
·jl:::~!~
9 6 + 2400 1400".";1'
JI,:..
10 7 + + 2390 1525~::.:'
ji:;:: 11 2 + + 2300 1500
::~!' 12 10 + + + 2520 1500
n.
13 4 + + 2625 1420
l::
:1-
14 19 + + + 2630 1490:::
ji;·
15 15 + + + 2500 1500
:3
16 20 + + + + 2710 1600
17 1 O O O O 2515 1500
18 5 O O O O 2500 1460
19 16 O O O O 2400 1525
20 12 O O O O 2475 1500
a)Considereúnicamente larespuestadelpesomolecular.Graficarlasestimacionesdelosefectos enuna
escaladeprobabilidadnormal.¿Quéefectosparecenserimportantes?
b)Usarunanálisisdevarianza paraconfirmarlosresultadosdelinciso a.¿Hayalgúnindiciodecurvatura?
e)Escribir
unmodeloderegresión parapredecirelpesomolecularcomo unafuncióndelasvariablesim­
portantes.
d)Analizarlosresiduosycomentarlaadecuacióndelmodelo.
e)Repetirlosincisos a-dutilizandolarespuesta delaviscosidad.
6-27.Continuacióndelproblema 6-26.Utilizarlosmodelosderegresióndelpesomolecularylaviscosidad parares·
ponderlaspreguntassiguientes.
a)Construirunagráficadecontornodelasuperficiederespuesta paraelpesomolecular. ¿Enquédirec­
ciónseajustaríanlasvariablesdelprocesoafin
deincrementarelpesomolecular?
b)Construirunagráficadecontornodelasuperficiederespuesta paralaviscosidad.¿Enquédirecciónse
ajustaríanlasvariablesdelproceso
paradisminuirlaviscosidad?

299. a)Estimarlosefectosdelosfactores.Representarlasefectosdelosfactores enunagráficadeprobabilidad
normalyseleccionarunmodelotentativo.
b)Ajustarelmodeloidentificado enelincisoayanalizarlosresiduales.¿Hayalgúnindiciodequeelmode­
lonoseaadecuado?
e)Repetirelanálisisdelosincisos
aybutilizandol/ycomolavariablederespuesta.¿Hayalgúnindiciode
quelatransformaciónhasidoútil?
d)Ajustarunmodeloentérminosdelasvariablescodificadasque puedausarseparapredecirlarugosidad
superficial.Convertirestaecuacióndepredicción
enunmodeloenlasvariablesnaturales.
6-31.Laresistividadde unaobleadesilicioestáinfluidaporvariosfactores.Losresultadosdeunexperimentofac­
torial2
4
realizadodurante unpasocríticodelprocesamientosemuestranenlatabla
~iguiente:
2856-7PROBLEMAS
Corrida A BeDRugosidadsuperficial
1 0.00340
2
+ 0.00362
3
+ 0.00301
4
++ 0.00182
5
+ 0.00280
11
6 + + 0.00290
1ft
,.
7 ++ 0.00252
:(
I~
8 + + + 0.00160 ,I~
9 + 0.00336
i.!$
10 + + 0.00344 1.4
,¡
11 + + 0.00308 "~ji
12 ++ + 0.00184
13 + + 0.00269
14 + + + 0.00284
15 ++ + 0.00253
16 + + + + 0.00163
e)
¿Quécondicionesdeoperaciónserecomendarían sifueranecesarioproducir unproductoconpesomo­
lecularentre2400y2500,Yconlaviscosidadmásbajaposible?
6-28.Considereunasolaréplicadeldiseño2
4
delejemplo6-2.Supongaquesehicieroncincocorridasdepuntosen
elcentro
(O,O, O,O)Yqueseobservaronlasrespuestassiguientes:73, 75, 71, 69Y76.Probarlacurvatura en
esteexperimento.Interpretarlosresultados.
6-29.Unvalorfaltallteellll1ldiseñofactoria12
k
•
Noesraroencontrarquefalta unadelasobservacionesdeundiseño
2
k
debidoaunequipodemedicióndefectuoso, unapruebafallida,oalgunaotrarazón. Sieldiseñosehace
con
nréplicas(n>1),puedeemplearsealgunadelastécnicasestudiadas enelcapítulo5.Sinembargo,para
undiseñofactorialsinréplicas (n=1)debeusarseotrométodo. Unenfoquelógicoesestimarelvalorfaltan­
tecon
unnúmeroquehagaceroelcontrastedelainteraccióndeordenmásalto.Aplicarestatécnica alexpe­
rimentodelejemplo
6-2,suponiendoquefaltalacorrida aboComparelosresultadosobtenidosconlosdel
ejemplo
6-2.
Uningenierorealizóunexperimentoparaestudiarelefectodecuatrofactoressobrelaasperezasuperficial
de
unapiezamaquinada.Losfactores (ysusniveles)sanA=ángulodelaherramienta(12,15°), B=viscosi-
daddelfluidodecorte(300,400),
e=velocidaddealimentación(10, 15pulg/min)y D=enfriadordelfluido
decorteusado(no,sí).Losdatosdeesteexperimento(conlosfactorescodificados
enlosnivelesusuales -1,
+1)semuestranacontinuación.

300. ~
i
1
286 CAPÍTULO6DISEÑOFACTORIAL 2
k
Corrida A BeD Resistividad
1 1.92
2
+ 11.28
3
+ 1.09
4
+ + 5.75
5 + 2.13
6 + + 9.53
7 ++ 1.03
8 ++ + 5.35
9 + 1.60
10 + + 11.73
11 + + 1.16
12 + + + 4.68
13 + + 2.16
14 + ++ 9.11
15 + + + 1.07
16 + + + + 5.30
a)Estimarlosefectosdelosfactores.Representarlasefectosdelosfactoresenunagráficadeprobabilidad
normalyseleccionarunmodelotentativo.
b)Ajustarelmodeloidentificadoenelinciso ayanalizarlosresiduales.¿Hayalgúnindiciodequeelmode­
lonoseaadecuado?
e)Repetirelanálisisdelosincisos
aybutilizandoIn(y)comolavariablederespuesta.¿Hayalgúnindicio
dequelatransformaciónhayasidoútil?
d)Ajustarunmodeloentérminosdelasvariablescodificadasquepuedausarseparapredecirlaresistivi­
dad.
6-32.Continuacióndelproblema 6-31.Supongaque elexperimentadorcorriótambiéncuatropuntoscentralesjun­
toconlas
16corridasdelproblema 6-31.Lasmedicionesdelaresistividadenlospuntoscentralesson: 8.15,
7.63,8.95y6.48.Analizardenuevo elexperimentoincorporandolospuntoscentrales.¿Quéconclusiones
puedensacarseahora?
6-33.Esfrecuenteusarelmodeloderegresiónajustadodeundiseñofactoria12
kparahacerprediccionesenpun­
tosdeinterésdelespaciodeldiseño.
a)Encontrarlavarianzadelarespuestapredicha
yenunpunto Xl'Xz,.••,Xk delespaciodeldiseño. Sugeren­
cia:recuerdequelasxestáncodificadas,ysupongaundiseño 2
k
conelmismonúmeroderéplicas nen
cadapuntodeldiseño,detalmodoquelavarianzadeuncoeficientederegresión/3seaa
Z
/(n2
k
)yquela
covarianzaentrecualquierpardecoeficientesderegresiónseacero.
b)Usarelresultadodelinciso aparaencontrarlaecuacióndeunintervalodeconfianzade 100(1-a)por
cientoparalaverdaderarespuestamediaen
elpuntoXl'Xz,.••, Xkdelespaciodeldiseño.
6-34.Modelosjerárquicos. Sehausadovariasveces elprincipiodejerarquíaparaseleccionarunmodelo; esdecir,
sehanincluidotérminosdeordeninferiornosignificativosenunmodeloporqueeranfactoresqueestaban
incluidosentérminosdeordensuperiorsignificativos.Ciertamente,lajerarquíano
esunprincipioabsoluto
quedebaseguirseentodosloscasos.Parailustraresto,considereelmodeloqueresultóenelproblema
6-1,
elcualrequirióque seincluyeraunefectoprincipalnosignificativopararespetarlajerarquía.Utilizarlosda­
tosdelproblema
6-1.
a)Ajustarelmodelojerárquicoy elmodelonojerárquico.
b)CalcularelestadísticoPRESS,la RZajustadayelcuadradomediodelerrorparaambosmodelos.
e)Encontrarunintervalodeconfianzade 95%paralaestimacióndelarespuestamediaenelvérticedeun
cubo
(Xl=X
z=x
3=±1).Sugerencia:usarlosresultadosdelproblema 6-33.
d)Conbaseenlosanálisisquesehanrealizado,¿quémodelopreferiríaellector?

301. Tabla7-1Experimentodelprocesoquímico entresbloques
7,1INTRODUCCIÓN
287
Bloque3
(1)
=27
a=32
b=23
ab=29
B
3=111
Bloque2
(1)=25
a=32
b=19
ab=30
B
2=106
Bloque1
(1)
=28
a=36
b=18
ab=31
B
l=113
Formaciónde
eneldiseño
factorial2k
bloquesyconfusión
Totalesdelosbloques
7,2FORMACIÓN DEBLOQUESDE UNDISEÑOFACTORIAL2
k
CONRÉPLICAS
Haymúltiplessituaciones enlasqueesimposibleefectuartodaslascorridasde unexperimentofactorial
2
k
bajocondicioneshomogéneas.Porejemplo,unlotedemateriaprimapodríanosersuficiente para
ha­
certodaslascorridasrequeridas. Enotroscasos,podríaserconvenientemodificardeliberadamentelas
condicionesexperimentales
paraasegurarquelostratamientostenganlamismaefectividad(esdecir,que
seanrobustos)
endiversassituacionesqueesposibleencontrar enlapráctica.Porejemplo,uningeniero
químicopuedecorrer
unexperimentoenunaplantapilotoconvarioslotesdemateriaprimaporquesabe
que
enelprocesorealagranescalaposiblementeseusarándiferenteslotesdemateriaprimacondiversos
gradosdecalidad.
Latécnicadediseñoutilizadaenestassituacionesesla formacióndebloques. Estecapítuloseenfoca
enalgunastécnicasespeciales
parasepararenbloquesundiseñofactorial 2
k
•
Supongaquesehancorrido nréplicasdeldiseñofactoria12
k
•
Estasituaciónesidénticaala queseestudió
enelcapítulo
5,dondeseindicócómocorrerundiseñofactorialgeneral enbloques.Sihaynréplicas,
en­
toncescadaconjuntodecondicionesnohomogéneasdefineunbloque,ycadaréplicasecorre enunode
losbloques.Lascorridasdecadabloque(oréplica)seharíandemaneraaleatoria.Elanálisisdeldiseño

302. 288 CAPÍTULO7FORMACIÓN DEBLOQUESYCONFUSIÓNEN ELDISEÑOFACTORIAL21<
Tabla7-2Análisisdevarianzadelexperimentodelprocesoquímico entresbloques
Sumade Gradosde Cuadrado
Fuentedevariación cuadrados libertad medio
Bloques 6.50 2 3.25
A(concentración) 208.33 1 208.33
B(catalizador) 75.00 1 75.00
AB 8.33 1 8.33
Error 24.84 6 4.14
Total 323.00
11
ValorP
50.32 0.0004
18.12
0.0053
2.01 0.2060
essimilaraldecualquierexperimentofactorialseparado enbloques;porejemplo,véaselarevisióndela
sección5-6.
Haydosgradosdelibertadentrelostresbloques.
Latabla7-2indicaquelasconclusionesdeesteanálisis,
sieldiseñosehubieracorrido enbloques,sonidénticasalasde lasección6-2yqueelefectodelosblo­
quesesrelativamentepequeño.
EJEMPLO7
~1 .
Considereelexperimentodelprocesoquímicoquesedescribió enlasección6-2.Supongaquesólopue­
denhacersecuatroensayosexperimentalescon unsololotede materiaprima.Porlotanto,senecesitarán
treslotesdemateriaprima
paracorrerlastresréplicasdeestediseño. Enlatabla7-1semuestraeldiseño
dondecadalotedemateriaprimacorrespondea
unbloque.
Enlatabla7-2semuestraelanálisisdevarianzadeestediseñoseparado enbloques.Todaslassumas
decuadradossecalculanexactamenteigualque
enundiseño2
k
estándarsinformacióndebloques.La
sumadecuadradosdelosbloquessecalculaapartirdelostotalesdelosbloques.Seaque
Bl>B
2YB
3
re­
presentenlostotalesdelosbloques(verlatabla7-1).Entonces
3B¡2
y.~
SSBloques=L4-12
1=1
=(113)2+(106)2+(111)2
4
=6.50
(330)2
12
7
~3CONFUSIÓN DELDISEÑOFACTORIAL 2
k
Haymuchosproblemas enlosqueesimposiblerealizar unaréplicacompletadeundiseñofactorial enun
bloque.
Laconfusión(omezclado)esunatécnicadediseñomediantelacual unexperimentofactorial
completosedistribuye
enbloques,dondeeltamañodelbloque
esmenorqueelnúmerodecombinacio­
nesdelostratamientosde
unaréplica.Latécnicahaceque lainformaciónacercadeciertos efectosde los
tratamientos(porlogenerallasinteraccionesde ordensuperior)sea indistinguibledelosbloques oesté
confundidaconlosbloques. Enestecapítulolaatenciónsecentra enlossistemasdeconfusión(omezcla­
do)
paraeldiseñofactorial 2
k
•
Observequeauncuandolosdiseñosquesepresentansondiseñosdeblo­
quesincompletos,yaquecadabloquenocontienetodoslostratamientosolascombinacionesdelos
tratamientos,laestructuraespecialdelsistemafactorial2
k
permiteunmétododeanálisissimplificado.
Seconsideralaconstrucciónyelanálisisdeldiseñofactorial
2
k
en2
P
bloquesincompletos,donde 1
p<k.Porconsiguiente,estosdiseños puedencorrerseendosbloques,encuatrobloques, enochoblo­
ques,etcétera.

303. 7·4CONFUSIÓNDELDISEÑOFACTORIAL2
k
ENDOSBLOQUES 289
CONFUSIÓN DELDISEÑOFACTORIAL 2'<ENDOSBLOQUES
supongaquequierecorrerse unasolaréplicadeldiseño2
2
•
Cadaunadelas2
2
=4combinacionesdelos
tratamientos
requiereunacantidadde materiaprima,porejemplo,y cadalotedemateriaprimasóloal­
canza
paraprobardoscombinacionesdetratamientos.Porlotanto,senecesitandoslotesde materiapri­
ma.Siloslotesde
materiaprimaseconsiderancomobloques,entonces debenasignarsea cadabloque
dosdelascuatrocombinacionesdetratamientos.
Enlafigura7-1se muestraunodelosdiseñosposibles paraesteproblema.Lavistageométrica,figu­
ra
7-1a,indicaquelascombinacionesdetratamientoslocalizadas endiagonalesopuestasseasignanablo­
quesdiferentes.Observe,
porlafigura7-1b,queel bloque1contienelascombinacionesdelos
tratamientos(1)Y
abyqueelbloque2contiene-ay b.Desdeluego,el ordenenquesecorrenlascombina­
cionesdelostratamientosdentro
deunbloquese determinaaleatoriamente.Thmbiénsedecidiráaleato­
fiamentecuáldelosbloquesse correráprimero.Supongaquelosefectosprincipales deAyBseestiman
comosi
nosehubierahecholaformacióndebloques. Porlasecuaciones6-1y6-2seobtiene
A=
t[ab+a-b-(1)]
B=t[ab+b-a-(1)]
ObservequeniAniBsonafectadosporlaformacióndebloques,debidoaque encadaestimaciónhay
unacombinaciónde
untratamientopositivoy unonegativode cadabloque.Esdecir,cualquierdiferencia
entreel
bloque1 yelbloque2secancela.
Considere
ahoralainteracciónAB
AB=Hab+(l)-a-b]
Puestoquelasdoscombinacionesdetratamientos consignopositivo [aby(1)]están enelbloque1 ylas
dosconsignonegativo (ayb)estánenelbloque2,elefecto delosbloquesylainteracciónABsonidénti­
cos.Esdecir,ABestáconfundido(omezclado)conlosbloques.
Larazóndeestoesevidente enlatabladesignospositivosynegativosdeldiseño2
2
•
Sepresentóorigi­
nalmente
enlatabla6-2,pero porconvenienciaserepitecomo latabla7-3.Apartirdeestatablaseobserva
quetodaslascombinacionesdetratamientosquetienensignopositivo
paraABseasignanalbloque 1,
+0------.
I
i!
B
•
~Corridaenelbloque1
O~Corridaenelbloque2
+
A
a)Vistageométrica
Bloque1
rml
L:J
Bloque2
[JJ
b)Asignacióndelascuatro
corridas
endosbloques
Figura7-1Diseño2
2endosbloques.

304. 290 CAPÍTULO7FORMACIÓN DEBLOQUESYCONFUSIÓNEN ELDISEÑOFACTORIAL 2"
Tabla7-3Tabladesignospositivosynegativosparaeldiseño2
2
Combinaciónde
Efectofactorial
tratamientos
1 A B AB
(1) + +
a + +
b + +
ab + + + +
mientrasquetodaslascombinacionesdetratamientosquetienensignonegativopara ABseasignanal
bloque2.Esteenfoquepuedeusarseparaconfundiromezclarcualquierefecto (A,BoAB)conlosblo­
ques.Porejemplo,
si(1)Ybsehubieranasignadoalbloque1 yayabalbloque2,elefectoprincipal deA
sehabríaconfundidoconlosbloques.Laprácticausualesconfundirlainteraccióndeordenmásaltocon
losbloques.
Esteesquemapuedeusarse
paraconfundiromezclarcualquierdiseño 2
k
endosbloques.Comoun
segundoejemplo,considereundiseño2
3
quesecorre endosbloques.Supongaquesequiereconfundirla
interaccióndelostresfactoresABCconlosbloques.Porlaformacióndesignospositivos
ynegativosdela
tabla7-4,lascombinacionesdetratamientosquesonnegativas
paraABCseasignanalbloque1 ylasque
sonpositivas
paraABCalbloque2.Eldiseñoresultantesemuestra enlafigura7-2.Denuevacuenta se
resaltaquelascombinacionesdetratamientos dentrodeunbloquesecorrendemaneraaleatoria.
Otrosmétodosparaconstruirbloques
Secuentaconotrométodo paraconstruirestosdiseños. Elmétodoutilizalacombinaciónlineal
(7-1)
dondex¡eselniveldelfactori-ésimoqueaparece
enunacombinacióndetratamientosparticular ya¡esel
exponentequeaparece
enelfactori-ésimo paraelefectoquevaaconfundirse.Paraelsistema
2\setiene
a¡=O01yx¡=O(nivelbajo) ox¡=1(nivelalto). Alaecuación7-1selellamaladefinicióndecontrastes.
Lascombinacionesdetratamientosqueproducenelmismovalorde L(mod2)secolocarán enelmismo
bloque.Puestoquelosúnicosvaloresposibles
deL(mod2)son Oy1,conestolas 2
k
combinacionesdetra­
tamientosseasignaránaexactamentedosbloques.
Tabla
7-4Tabladesignospositivos ynegativosparaeldiseño2
3
Combinaciónde Efectofactorial
tratamientos
1 A B AB C AC BC ABC
(1) + + + +
a + + + +
b + + + +
ab + + + +
e + + + +
ae + + + +
be + + + +
abe + + + + + + + +

305. "
7-4CONFUSIÓNDELDISEÑOFACTORIAL2
kENDOSBLOQUES 291
• =Corridaenelbloque1
O =Corridaenelbloque2
I
I
Iel¿
&---
/
/
/
A
alVistageométrica
Bloque1 Bloque2
(1)
a
ab b
ae e
be abe
b)Asignacióndelas ocho
corridasendosbloques
Figura7-2 Eldiseño2
3
en
do~bloquesconABCconfun­
dido.
Parailustraresteenfoque,considere undiseño2
3
conABCconfundidoconlosbloques. Enestecaso,
XlcorrespondeaA,xzaB,x
3aCyal=a
z=a
3=1.Porlotanto,ladefinicióndelcontrastecorrespondien-
te
aABCes
¡\I
L=Xl+xz+x
3
Lacombinacióndetratamientos (1)seescribe000enlanotación(O,1);porlotanto,
L=1(0)+1(0)+1(0)=0=O(mod2)
Demanerasimilar,lacombinacióndetratamientos aes100,obteniéndose
L=1(1)+1(0)+1(0)=1=1(mod2)
Porlotanto,(1) yasecorreríanenbloquesdiferentes. Paraelrestodelascombinacionesdetratamientos
setiene
b:L=1(0)+1(1)+1(0)=1=1(mod2)
ab:L=1(1)+1(1)+1(0)=2=O(mod2)
e:L=1(0)+1(0)+1(1)= 1 = 1 (mod2)
ae:L=1(1)+1(0)+1(1)=2=O(mod2).
be:L=1(0)+1(1)+1(1)=2=O(mod2)
abe:L=1(1)+1(1)+1(1)=3=1(mod2)
Porlotanto,(1), ab,aeybesecorrenenelbloque1 ya,b,eyabesecorrenenelbloque2.Setratadelmis­
modiseñoqueseilustró enlafigura7-2,elcualsegenerócon latabladesignospositivos ynegativos.
Puedeusarseotrométodo
paraconstruirestosdiseños.Albloquequecontienelacombinaciónde
tratamientos(1)selellamael
bloqueprincipal. Lascombinacionesdelostratamientosincluidas eneste
bloqueposeen
unaútilpropiedaddelateoríadegrupos;asaber,forman ungrupoconrespectoalamu1ti-

306. I
1
292 CAPÍTULO7FORMACIÓN DEBLOQUESYCONFUSIÓNEN ELDISEÑOFACTORIAL 2"
plicaciónmódulo 2.Estoimplicaquecualquierelemento[conexcepciónde(1)]delbloqueprincipalpue.
degenerarsemultiplicandootrosdoselementosdelbloqueprincipalmódulo
2.Porejemplo,considere el
bloqueprincipaldeldiseño2
3
conABCconfundido,comosemuestraenlafigura 7-2.Observeque
ab'ae=a
2
be=be
ab.be
=ab2e=ae
ae.be=abe2=ab
Lascombinacionesdetratamientosdelotrobloque(obloques)puedengenerarsemultiplicandounode
loselementosdelnuevobloque
porcadaunodeloselementosdelbloqueprincipalmódulo 2.Paraeldi·
seña2
3
conABCconfundido,puestoqueelbloqueprincipales(1), ab,aeybe,sesabeque bestáenelotro
bloque.Porlotanto,loselementosdeestesegundobloqueson
b'(l)=b
b'ab=ab
2
=a
b'ae =abe
b'be=b
2
e=e
Estosresultadosconcuerdanconlosque seobtuvieronanteriormente.
Estimacióndelerror
Cuandoelnúmerodevariablesespequeño,porejemplo
k
=2 o3,porlogeneralesnecesariohacerrépli­
casdelexperimentoafindeobtenerunaestimacióndelerror.Porejemplo,supongaque
undiseñofacto­
rial2
3
debecorrerseendosbloquescon ABCconfundido,yelexperimentadordecidehacercuatro
réplicasdeldiseño.Eldiseñoresultantepodríaversecomoeldelafigura7-3.Observe
queABCestácon­
fundidoencadaréplica.
Enlatabla7-Ssemuestraelanálisisdevarianzadeestediseño.Hay32observacionesy 31gradosde
libertad.Además,puestoquehayochobloques,sietegradosdelibertaddebenasociarseconestosblo­
ques.
Enlatabla7-Ssepresentaladescomposicióndeesossietegradosdelibertad. Lasumadecuadra­
dosdelerrorsecomponeenrealidaddelasinteraccionesdedosfactoresentrelasréplicas,ycadauno
de
losefectos(A,B,C,AB,AC,BC). Porlogeneralesseguroconsiderar quelasinteraccionessonceroytra­
tarelcuadradomedioresultantecomounaestimacióndelerror.Losefectosprincipalesylasinteraccio­
nesdedosfactoressepruebancontraelcuadradomediodelerror.Cochrany
COX[2Sb]hacennotarque
elcuadradomediodelbloque
oABCpodríacompararseconelerrordelcuadrado medioABC,queesen
realidadréplicasxbloques.Estapruebasueletener
unasensibilidadmuybaja.
Sisecuentaconrecursossuficientes parahacerréplicasde undiseñoconfundido, porlogenerales
mejorusarunmétodoligeramentediferente paradiseñarlosbloques encadaréplica.Esteenfoquecon­
sisteenconfundirunefectodiferenteencadaréplica
paraobtenerciertainformaciónsobretodos los
Réplica[
Bloque1Bloque2
Réplica1I
Bloque1 Bloque2
Réplica[[[
Bloque1 Bloque2
RéplicaIV
Bloque1 Bloque2
(1) abe (1) abe (1) abe (1) abe
ae a ae a ae a ae a
ab b ab b ab b ab b
be be
e be e be e
Figura7-3Cuatroréplicasdeldiseño2
3conABeconfundido.

307. 7-4CONFUSIÓNDELDISEÑOFACTORIAL 2"ENDOSBLOQUES 293
Tabla7-5Análisisdevarianzadecuatroréplicas deun
diseño2
3
conABeconfundido
Gradosde
libertadFuentedevariación
Réplicas
Bloques
(ABC)
ErrordeABC(réplicasxbloques)
A
B
C
AB
AC
BC
Error(oréplicasxefectos)
Total
3
1
3
1
1
1
1
1
1
18
31
efectos.Aesteprocedimientoselellama confusión(omezclado)parcial, yseestudiaenlasección7-7.Si
k
esmoderadamentegrande, porejemplok
;::4,confrecuenciasóloesposiblehacerunaréplica.Elexpe­
rimentadorsuelesuponerquelasinteraccionesdeórdenessuperioressoninsignificantesycombinasus
sumasdecuadradoscomoelerror.
Lagráficadeprobabilidadnormaldelosefectosdelosfactorespuede
sermuyútilaesterespecto.
EJEMPLO
7,2 .
Considerelasituacióndescritaenelejemplo 6-2.Recuerdequeseestudiancuatro factores-latempera­
tura(A),lapresión(B),laconcentracióndeformaldehído(C)ylavelocidaddeagitación
(D)-enuna
plantapiloto paradeterminarsuefectosobreelíndicedefiltracióndelproducto.Seusaráesteexperi­
mento
parailustrarlasideasdelaformacióndebloquesylaconfusiónen undiseñonoreplicado.Sein­
troducirándosmodificacionesalexperimentooriginal.Primera,supongaqueno
esposiblecorrerlas
2
4
=16combinacionesdetratamientosutilizando unsololotedemateriaprima.Elexperimentador
puedecorrerochocombinacionesdelostratamientoscon
unsololotedematerial, porloqueundiseño
2
4
confundidoendosbloquespareceapropiado.Eslógicoconfundirlainteraccióndeordenmásalto
ABCDconlosbloques. Ladefinicióndelcontrastees
.
I
rt
1.'-
j
·1,
li
I
I
yessencilloverificarqueeldiseño escomoelqueseilustra enlafigura7-4. Demaneraalternativa,puede
examinarselatabla6-12yobservarquelascombinacionesdelostratamientosqueson
+enlacolumna
ABCDseasignanalbloque1 yquelasqueson- enlacolumnaABCD,estánenelbloque 2.
Lasegundamodificaciónqueseharáesintroducir unefectodelosbloques paraquepuedademos­
trarselautilidaddelaformacióndebloques.Supongaquecuandoseseleccionanlosdoslotesdemateria
primaquesenecesitan
paracorrerelexperimento,unodeellos esdecalidadmuchomásbaja y,comore­
sultado,todaslasrespuestasserán
20unidadesmenores enestelotedematerialque enelotro.Ellotede
calidadmenorseconvierteenelbloque1yellotedebuenacalidadseconvierteenelbloque2(noesrele­
vanteacuáldelosdoslotesselellamabloque1 obloque2).Entoncestodaslaspruebasdelbloque1se
realizanprimero(lasochocorridasdelbloquesehacen,desdeluego,demaneraaleatoria),perolasres­
puestasson
20unidadesmásbajasquelasquesehabríanobtenido sisehubierausadoelmaterialdebue­
nacalidad.
Enlafigura7-4bsemuestranlasrespuestasresultantes;observequeéstassehanencontrado

308. "
.......•.
....•..r
'.:'
r~
294 CAPÍTULO7FORMACIÓN DEBLOQUESYCONFUSIÓNEN ELDISEÑOFACTORIAL21<
D
+
•=Corridasenelbloque1
o=Corridasenelbloque2
a)Vistageométrica
eL¿
A
b)Asignacióndelas16corridas
enlosdosbloques
Figura7·4 Eldiseño2
4
endosbloquesparaelejemplo7-2.
Bloque1
(1)
=25
ab=45
ae=40
bc=60
ad=80
bd=25
ed=55
abed=76
Bloque2
a=71
b=48
e=68
d=43
abe=65
bed=70
aed=86
abd=104
restandoelefectodelbloquedelasobservacionesoriginalesdadas enelejemplo6-2. Esdecir,larespues­
taoriginalde lacombinacióndetratamientos(1)fue45,Y enlafigura7 -4bseconsignacomo(1)==25(==
45-20).Lasdemásrespuestasdeestebloqueseobtienende manerasimilar.Despuésdequeserealizan
laspruebasdelbloque
1,seprosigueconlasochopruebasdelbloque 2.Nohayningúnproblemaconla
materiaprimadeestelote,
porloquelasrespuestassonexactamentecomofueronoriginalmente enel
ejemplo6-2.
Enlatabla7-6semuestranlasestimacionesdelosefectos paraestaversión"modificada"delejemplo
6-2.Observequelasestimacionesdeloscuatroefectosprincipales,delasseisinteraccionesdedosfacto­
resydelascuatrointeraccionesdetresfactoressonidénticasalasestimacionesdelosefectosobtenidas
enelejemplo6-2,dondenohubo ningúnefectodebloques. Cuandoseconstruye unagráficadeprobabili­
dadnormaldeestasestimacionesdelosefectos,losfactoresA, C,DylasinteraccionesACy ADaparecen
comolosefectosimportantes,justocomo
enelexperimentooriginal.(Ellectordeberáverificaresto.)
¿Quépuededecirsedelefectodela interacciónABCD?Laestimacióndeesteefectoenelexperi­
mentooriginal(ejemplo6-2)
fueABCD
==1.375.Enelpresenteejemplo,laestimacióndelefectode lain­
teracciónABCD
esABCD
==-18.625.Puesto queABCDestáconfundidoconlosbloques, lainteracción
ABCDestimael efectode lainteracciónoriginal (1.375)másel efectodebloque (-20),de dondeABCD==
1.375+(-20)==-18.625.(¿Puedeellectorver porquéelefectodelbloquees -20?)Elefectodelbloque

309. "
7-4CONFUSIÓNDELDISEÑOFACTORIAL2
kENDOSBLOQUES 295
Tabla7-6Estimacionesde losefectosparaeldiseño2
4
separadoenbloquesdel
ejemplo7-2
TérminodelCoeficienteEstimaciónSumadeContribución
modelo deregresióndelefectocuadradosporcentual
A 10.81 21.625 1870.5625 26.30
B 1.56 3.125 39.0625 0.55
C 4.94 9.875 390.0625 5.49
D 7.31 14.625 855.5625 12.03
AB 0.062 0.125 0.0625 <0.01
AC -9.06 -18.125 1314.0625 18.48
AD 8.31 16.625 1105.5625 15.55
BC 1.19 2.375 22.5625 0.32
BD -0.19 -0.375 0.5625 <0.01
CD -0.56 -1.125 5.0625 0.07
ABC 0.94 1.875 14.0625 0.20
ABD 2.06 4.125 68.0625 0.96
ACD -0.81 -1.625 10.5625 0.15
BCD -1.31 -2.625 27.5625 0.39
Bloques(ABCD) -18.625 1387.5625 19.51
tambiénpuedecalcularsedirectamentecomoladiferencia enlarespuestapromedioentrelosdosblo­
ques,o
Efectodelbloque
=YBloque1 -YBloque2
406555
---
8 8
-149
8
=-18.625
Desdeluego,esteefecto esenrealidadlaestimacióndeBloques +ABCD.
Enlatabla7-7seresumeelanálisisdevarianzadeesteexperimento.Losefectosquetienenestima­
cionesgrandesestánincluidosenelmodelo,
ylasumadecuadradosdelosbloqueses
ss=(406)2+(555)2
(961)2 =1387.5625
Bloques
8 16
Tabla
7-7Análisisdevarianzadelejemplo7-2
Fuentede Sumade Gradosde Cuadrado
variación cuadrados libertad medio Fo ValorP
Bloques(ABCD) 1387.5625 1
A 1870.5625 1 1870.5625 89.76 <0.0001
C 390.0625 1 390.0625 18.72 0.0019
D 855.5625 1 855.5625 41.05 0.0001
AC 1314.0625 1 1314.0625 63.05 <0.0001
AD 1105.5625 1 1105.5625 53.05 <0.0001
Error 187.5625 9 20.8403
Total 7111.4375 15

310. ~T
I
,..,'....
...~.,
;".1
.\
296 CAPÍTULO7FORMACIÓN DEBLOQUESYCONFUSIÓN ENELDISEÑOFACTORIAL 2
k
Lasconclusionesdeesteexperimentocoincidenexactamenteconlasdelejemplo6-2,dondenoestuvo
presenteningúnefectodebloques.Observeque sielexperimentonosehubieracorrido enbloques,y si
unefectodemagnitud -20hubieraafectadolos 8primerosensayos(loscualessehabríanseleccionadode
maneraaleatoria,yaquelos 16ensayossehabríancorrido enordenaleatorioenundiseñosinformación
debloques),losresultadospudieron
habersidomuydiferentes.
.........................................................................
7~5CONFUSIÓN DELDISEÑOFACTORIAL 2"ENCUATROBLOQUES
Esposibleconstruirdiseñosfactoriales 2
k
confundidosencuatrobloquescon 2
k
-
zobservacionescada
uno.Estosdiseñossonparticularmenteútiles
ensituacionesenlasqueel númerodefactoresesmodera­
damentegrande,
porejemplok
2:4,Yeltamañodelosbloquesesrelativamentepequeño.
Como
unejemplo,considereeldiseño2
s
.
Sicadabloqueincluiráúnicamenteochocorridas,entonces
deberánusarsecuatrobloques. Laconstruccióndeestediseñoesrelativamentedirecta.Seseleccionan
dosefectosparaconfundirlosconlosbloques, porejemploADEyBCE.Estosefectos tienenlasdosdefi­
nicionesdecontrastes
L¡=x¡+x
4+xs
L
z=X
z+x
3+x
s
(1),ad,be,abed,abe,aee,!ede,bde
a,d,abe,bed,be,abde,ee,aede
b,abd,e,aed,ae,
de,abee,bede
e,ade,bee,abede,ab,bd,ae,ed
para
para
para
para
asociadasconellos.Entoncescadacombinacióndetratamientosproducirá unparparticulardevalores
deL¡(mod2)yLz(mod2),esdecir,.cualquierade (L¡,L z)=(O,O),(O,1),(1,O)obien(1,1).Lascombina­
cionesdetratamientosqueproducenlosmismosvaloresde
(L¡,Lz)seasignanalmismobloque. Enel
ejemplo
tratadoaquíse encuentra
L¡=O,L
z=O
T=1L=0
.L.J¡'Z
L¡=O,L
z=1
L¡=1,L
z=1
Estascombinacionesdetratamientosseasignaríanabloquesdiferentes. Enlafigura7-5semuestraeldi­
señocompleto.
Conunpocodereflexión,nosdamoscuentade queotroefectoademás deADEyBCEdebeconfun­
dirseconlosbloques.Puestoquehaycuatrobloques
contresgradosdelibertadentreellos,ypuestoque
ADEyBCEtienenunsologradodelibertadcadauna,esevidentelanecesidaddeconfundir unefecto
adicionalcon
ungradodelibertad.Esteefectoesla interaccióngeneralizada deADEyBCE,lacualse
Bloque1 Bloque2 Bloque3 Bloque4
L,=0 L=1 L,=O L,=1,.
L
2=O L
2=O L
2=1 L
2=1
(1)
abe abe babee eabede
adace dabde abdae ade bd
beede abe ce ebede beeae
abedbde bedaede aedde ab
ed
Figura7·5Eldiseño2
5
encuatrobloques conADE,
BCEyABCDconfundidos.

311. 7-6CONFUSIÓNDELDISEÑOFACTORIAL2
k
EN2»BLOQUES 297
7·6CONFUSIÓNDELDISEÑOFACTORIAL 2
k
EN2
PBLOQUES
+
+
b'abed=ab
2
ed=aed
+
+
Signode BCESignodeABCD
+
+
SignodeADE
b'ad=abd
Bloque1
Bloque2
Bloque3
Bloque4
Combinacionesdelos
tratamientosenel
b·(1)=b
Losmétodosdescritosantespuedenextendersea laconstruccióndeundiseñofactoria12
k
confundido(o
mezclado)
en2
Pbloques(p<k),dondecadabloquecontieneexactamente 2
k
-p
corridas.Seseleccionan p
efectosindependientesquevanaconfundirse,donde por"independientes"seentiendequeningunode
losefectoselegidoseslainteraccióngeneralizadadelosdemás.Losbloquespuedengenerarsemediante
etcétera,loqueproducirálasochocombinacionesdetratamientos
delbloque3.Enlapráctica,elbloque
principal
puedeobtenerseapartirdeladefinicióndecontrastesydelapropiedaddelateoríadegrupos,y
losdemásbloquespuedendeterminarseapartirdeestascombinacionesdelostratamientosaplicandoel
métodoquesepresentóanteriormente.
Elprocedimientogeneral
paraconstruirundiseño2
k
confundidoencuatrobloquesconsisteenelegir
dosefectosparagenerarlosbloques,confundiéndoseautomáticamente untercerefectoque eslainterac­
cióngeneralizadadelasdosprimeras.Despuésseconstruyeeldiseñoutilizandolasdosdefinicionesde
contrastes
(L
1
,L
2
)Ylaspropiedadesdelateoríadegruposdelbloqueprincipal.Alseleccionarlosefectos
quevanaconfundirseconlosbloques,debetenersecuidadodeobtener
undiseñoenelquenoesténcon­
fundidosefectosquepuedenserdeinterés.Porejemplo,
enundiseño2
5
podríaelegirseconfundir
ABCDEyABD,conlocualseconfundeautomáticamente CE,unefectoque esdeposibleinterés. Una
mejorelecciónesconfundir ADEyBCE,conlocualseconfunde automáticamenteABCD.Espreferible
sacrificarinformaciónenlasinteraccionesdetres
factoresADEyBCEenlugardelainteraccióndedos
factores
CE.
etcétera.Paraconstruirotrobloqueseselecciona unacombinacióndetratamientosquenoestéenelblo­
queprincipal(porejemplo
b),Ybsemultiplicaportodaslascombinacionesdetratamientosdelbloque
principal.Seobtieneasí
definecomoelproducto
deADEyBCEmódulo2.Porlotanto,enelejemplotratadoaquílainteracción
generalizada
(ADE)(BCE)=ABCDE
2
=ABCDtambiénestáconfundidoconlosbloques.Essencillove­
rificarestorefiriéndosealatabladesignospositivosynegativosdeldiseño2
5
,
comoenDavies[36].La
inspeccióndeestatablarevelaquelascombinacionesdelostratamientosseasignanalosbloquesdelasi­
guientemanera:
Observequeelproductodelossignosdedosefectoscualesquierade
unbloqueparticular(porejemplo
ADEyBCE)produceelsignodelotroefectodeesebloque(enestecaso, ABCD).Porlotanto, ADE,
BCE
yABCDestánconfundidosconlosbloques.
Laspropiedadesdelateoríadegruposdelbloqueprincipalmencionadas
enlasección7-4siguen
siendoválidas.Porejemplo,seobservaqueelproductodedoscombinacionesdetratamientosdelbloque
principalproduceotroelementodelbloqueprincipal.Esdecir,
ad.be=abedyabe'bde=ab2de2=ad

312. V1Y.tn~Pt'íff:L:TI. ~.{Iiiltfji:HuKIñ
- - - .....'!i!'o...S'lIut.lM~)~ ~
---·H;:;'!"'l:;¡
...~
---------
N
\O
C1J
Tabla7-8Disposicionesde losbloquessugeridasparaeldiseñofactorial21<
NúmerodeNúmerode Tamañodel Efectoselegidospara
factores,k bloques,2P bloque,2
k
-p generarlosbloques
3 2 4 ABC
4 2 AB,AC
4 2 8 ABCD
4 4 ABC,ACD
8 2 AB,Be,CD
5 2 16 ABCDE
4 8 ABC,CDE
8 4 ABE,BCE,CDE
16 2 AB,AC, CD,DE
6 2 32 ABCDEF
4 16 ABCF,CDEF
8 8 ABEF,ABCD, ACE
16 4 ABF,ACF,BDF, DEF
32 2 AB,Be,CD,DE,EF
7 2 64 ABCDEFG
4 32 ABCFG,CDEFG
8 16 ABC,DEF, AFG
16 8 ABCD,EFG,CDE, ADG
32 4 ABG,BCG,CDG,DEG, EFG
64 2 AB,Be,CD,DE,EF,FG
Interaccionesconfundidas conlosbloques
ABC
AB,AC,BC
ABCD
ABC,ACD,BD
AB,BC,CD,AC,BD,AD,ABCD
ABCDE
ABC,CDE, ABDE
ABE,BCE,CDE,AC,ABCD, BD,ADE
Todaslasinteracciones dedosycuatrofactores(15efectos)
ABCDEF
ABCF,CDEF,ABDE
ABEF,ABCD,ACE, BCF,BDE,CDEF,ADF
ABE,ACF,BDF,DEF,BC,ABCD,ABDE,AD,ACDE, CE,BDF,
BCDEF,ABCEF,AEF,
BE
Todaslasinteracciones dedos,cuatroyseisfactores(31efectos)
ABCDEFG
ABCFG,CDEFG, ABDE
ABC,DEF,AFG,ABCDEF,BCFG,ADEG,BCDEG
ABCD,EFG,CDE,
ADG,ABCDEFG,ABE,BCG,CDFG,ADEF,
ACEG,ABFG,BCEF,BDEG,ACF,
BDF
ABG,BCG,CDG,DEG,EFG,AC,BD, CE,DF,AE,BE,ABCD,
ABDE,ABEF,BCDE,BCEF,
CDEF,ABCDEFG,ADG,ACDEG,
ACEFG,ABDFG,ABCEG,BEG,BDEFG,
CFG,ADEF,ACDF,
ABCF,AFG
Todaslasinteracciones dedos,cuatroyseisfactores(63efectos)

313. 7-7CONFUSIÓNPARCIAL 299
elusodelas pdefinicionesdecontrastes L
1
,L
2
,•••,L
pasociadasconestosefectos.Asimismo,seconfundi­
.ránotros
2
P
-
P-1efectosconlosbloques,siendoéstoslasinteraccionesgeneralizadasdelos pefectosin­
dependienteselegidosinicialmente.
Deberátenersecuidadoalseleccionarlosefectosquevana
confundirse
paraquenosesacrifiqueinformaciónsobrelosefectosque puedenserdeinteréspotencial.
Elanálisisestadísticodeestosdiseñosesdirecto.Lassumasdecuadradosdetodoslosefectosse
calculancomo
sinosehubierahecholaformacióndebloques.Después,lasumadecuadradosdelosblo­
quesseencuentrasumandolassumasdecuadradosdetodoslosefectosconfundidosconlosbloques.
Obviamente,laeleccióndelos
pefectosusados paragenerarelbloqueescrítica,yaquelaestructura
delaconfusión(omezclado)deldiseñodependedirectamentedeellos. Enlatabla7-8sepresentauna
listadediseñosútiles.Parailustrarelusodeestatabla,supongaquequiereconstruirse undiseño2
6
con­
fundidoen2
3
=8bloquescon2
3
=8corridascadauno. Latabla7-8indicaqueseelegiríanABEF, ABCD
.yACEcomolos p=3efectosindependientes paragenerarlosbloques.Los
2f'-p-1=2
3
-3-1=4efec­
tosrestantesqueestánconfundidossonlasinteraccionesgeneralizadasdeestostres;
esdecir,
(ABEF)(ABCD)=A
2
B
2
CDEF=CDEF
(ABEF)(ACE)=A
2
BCE
2
F=BCF
(ABCD)(ACE)=A
2
BC
2
ED=BDE
(ABEF)(ABCD)(ACE)=A
3
B
2
C
2
DE
2
F=ADF
Enelproblema7-11selepideallectorquegenerelosochobloquesdeestediseño.
7.7CONFUSIÓNPARCIAL
Enlasección7-4sesubrayóque,amenosquelosexperimentadorescuentencon unaestimaciónprevia
delerroroqueesténdispuestosasuponerqueciertasinteraccionessoninsignificantes,debenhacerré­
plicasdeldiseñoparaobtener
unaestimacióndelerror. Enlafigura7-3semuestraundiseñofactorial2
3
endosbloques conABCconfundido,concuatroréplicas. Porelanálisisdevarianzadeestediseño,elcual
sepresentaenlatabla7-5,seobservaquenopuedesacarseinformaciónacercadelainteraccióllABCde­
bidoa
queABCestáconfundidoconlosbloques entodaslasréplicas. Sedicequeestediseñoestá comple­
tamenteconfundido(omezclado).
Considerelaalternativaquesepresentaenlafigura7-6. Denuevacuentahaycuatroréplicasdeldi­
seño2
3
,
peroencadaréplicase haconfundidounainteraccióndiferente.Esdecir,ABCestáconfundidoen
laréplica
I,ABestáconfundidoenlaréplican,BCestáconfundidoenlaréplicanIyACestáconfundido
enlaréplica
IV:Comoresultadopuedeobtenerseinformación deABCapartirdelosdatosdelasréplicas
n,InyIV;informacióndeABpuedeobtenersedelasréplicas I,nIyIV;informacióndeACpuedeobte-
RéplicaID
BCConfundido
RéplicaIV
ACConfundido
RéplicaI Réplica
U
ABeConfundido ABConfundido
(1) a (1) a
ab b
e b
ae e ab ae
be abe abe be
Figura7·6Confusiónparcialeneldiseño2
3
•
(1)
a
be
abe
b
e
ab
ae
(1)
b
ae
abe
a
e
ab
be

314. II
n
~l'.·1
::?!'
¡¡;
~:
1"
r.:.
¡¡;.
:5
300 CAPÍTULO7FORMACIÓN DEBLOQUESYCONFUSIÓNEN ELDISEÑOFACTORIAL2"
Tabla7-9Análisisdevarianzadeundiseño2
3parcialmenteconfundido
Gradosde
Fuentedevariación libertad
Réplicas 3
Bloquesdentroderéplicas
[oABC(rép.1)+AB(rép.II)
+BC(rép.III)+AC(rép.IV)] 4
A 1
B 1
C 1
AB(delasréplicas 1,IIIYIV) 1
AC(delasréplicas 1,IIYIII) 1
BC(delasréplicas 1,IIYIV) 1
ABC(delasréplicas 1,IIIYIV) 1
Error 17
Total 31
nersedelasréplicas I,IIYIII;einformaciónde BCpuedeobtenersedelasréplicas I,IIYIV.Sediceque
puedenobtenersetrescuartaspartesdelainformacióndelasinteraccionesporquenoestánconfundidas
ensólotresréplicas.Yates[l13b]llamaalarelación3/4la
informaciónrelativadelosefectosconfundi·
dos.
Sedicequeestediseñoestá parcialmenteconfundido( omezclado).
Enlatabla7-9semuestraelanálisisdevarianzadeestediseño.Paracalcularlassumasdecuadrados
delasinteracciones,sólo
seusanlosdatosdelasréplicasenlasquenoestáconfundidaunainteracción.
Lasumadecuadradosdelerrorconstadelassumasdecuadradosderéplicasxsumasdecuadradosde
efectoprincipal,máslassumasdecuadradosderéplicasxsumasdecuadradosdeinteracciónparacada
réplicaenlaqueesainteracciónnoestáconfundida(porejemplo,réplicasx
ABCparalasréplicasII, III
YIV).Además,haysietegradosdelibertadentrelosochobloques.Escomúnhacerlaparticióndetres
gradosdelibertadparalasréplicasycuatrogradosdelibertad
paralosbloquesdentrodelasréplicas.La
composicióndelasumadecuadradosdelosbloquessemuestraenlatabla
7-9ysesiguedirectamentede
laeleccióndel
ef~ctoconfundidoencadaréplica.
EJEMPLO7,3 .
Undiseño2
3
conconfusiónparcial
Considereelejemplo 6-1,enelqueserealizó unestudioparadeterminarelefectodelporcentajedecar­
bonatación
(A),lapresióndeoperación (B)ylavelocidaddelínea (C)sobrelaalturadellenadodeuna
bebidacarbonatada.Supongaquecadalotedejarabealcanzasólo
paraprobarcuatrocombinacionesde
tratamientos.Porlotanto,cadaréplicadeldiseño2
3
debecorrerseendosbloques.Secorrendosréplicas,
con
ABCconfundidoenlaréplicaI y ABconfundidoenlaréplicaII.Losdatossonlossiguientes:
Réplica1
ABCconfundido
RéplicaII ABconfundido
(1)=-3
ab=2
ae=2
be=1
a=O
b=-1
e=-1
abe=6
(1)=-1
e=O
ab=3
abe=5
a=1
b=O
ae
="l
be=1

315. "
7-8PROBLEMAS 301
,
Tabla7-10Análisisdevarianzadelejemplo 7-3
Fuentede Sumade Gradosde Cuadrado
variación cuadrados libertad medio
Fa ValorP
Réplicas 1.00 1 1.00
Bloquesdentrodelasréplicas 2.50 2 1.25
A
36.00 1 36.00 48.00 0.0001
B
20.25 1 20.25 27.00 0.0035
C 12.25 1 12.25 16.33 0.0099
AB(sóloenlaréplica1) 0.50 1 0.50 0.67 0.4503
AC 0.25 1 0.25 0.33 0.5905
BC 1.00 1 1.00 1.33 0.3009
ABC(sóloenlaréplica11) 0.50 1 0.50 0.67 0.4503
Error 3.75 5 0.75
.'Ibtal 78.00 15
Lassumasdecuadrados deA,B,C,ACyBCpuedencalcularsedela manerausual,utilizandolas 16
observaciones.Sinembargo, SSABCdebeencontrarseutilizandoúnicamentelosdatosdelaréplica n y
SSAButilizandoúnicamentelosdatosdelaréplica1delasiguientemanera:
[a+b+c+abc-ab-ac-bc-(1)]2
SSABC= k
n2
=[1+0+0+5-3-1-1-(-1)f=0.50
(1)(8)
S=[(l)+abc-ac+c-a-b+ab-bcf
AB n2k
[-3+6-2+(-1)-0-(-1)+2-1]2=0.50
(1)(8)
Lasumadecuadradosdelasréplicases,engeneral,
nR2 2
SS
="_h_I::-
RepLJ2kN
h=l
\1'
(16)2=foo
16
dondeR
heseltotaldelasobservaciones enlaréplicah-ésima. Lasumadecuadradosdelosbloques esla
sumade
SSABCdelaréplica1 ySSABdelaréplican,oSSBloques=2.50.
Enlatabla7-10seresumeelanálisisdevarianza.Lostresefectosprincipalessonimportantes.
7.8PROBLEMAS
7-1.Considereelexperimentodescrito enelproblema6-1.Analizaresteexperimentosuponiendoquecadaré­
plicarepresenta
unbloquede unsoloturnodeproducción.
7-2.Considereelexperimentodescrito
enelproblema6-5.Analizaresteexperimentosuponiendoquecada una
delascuatroréplicasrepresenta unbloque.
7-3.Considereelexperimentodelaformacióndefisuras
enlaaleacióndeníquel ytitaniodescrito enelproblema
6-15.Supongaquesólopudieronhacerse16corridas
enunsolodía,porloquecadaréplicase tratócomoun
bloque.Analizarelexperimento ysacarconclusiones.

316. 302 CAPÍTULO7FORlviACIÓNDEBLOQUESYCONFUSIÓNEN ELDISEÑOFACTORIAL 2
k
7-4.
7-5.
7-6.
7-7.
7-8.
7-9.
7-10.
7-11.
7-12.
7-13.
7-14.
7-15.
7-16.
7-17.
Considerelosdatosdelaprimeraréplicadelproblema6-1.Supongaquenofueposiblecorrertodasestasob.
servacionesutilizandobarrasdelmismolote.Establecer
undiseñoparacorrerestasobservacionesen dos
bloquesdecuatroobservacionescadaunocon ABCconfundido.Analizarlosdatos.
Considerelosdatosdelaprimeraréplicadelproblema6-7.Construirundiseñocondosbloquesdeochoob.
servacionescadaunocon
ABCDconfundido.Analizarlosdatos.
Repetirelproblema
7-5suponiendoqueserequierencuatrobloques.Confundir ABDyABC(yporconsi­
guiente
CD)conlosbloques.
Utilizandolosdatosdeldiseño2
5
delproblema6-21,construiryanalizarundiseñoendosbloquescon
ABCDEconfundidoconlosbloques.
Repetirelproblema
7-7suponiendoquesenecesitancuatrobloques.Sugerirunesquemadeconfusión (o
mezclado)razonable.
Considerelosdatosdeldiseño2
5delproblema6-21.Supongaquefuenecesariocorrerestediseñoencuatro
bloquescon
ACDEyBCD(yporconsiguienteABE)confundidos.Analizarlosdatosdeestediseño.
Diseñarunexperimentoparaconfundirundiseñofactorial2
6
encuatrobloques.Sugerirunesquemadecon­
fusiónapropiado,diferentedelqueseilustróenlatabla7-8.
Considereeldiseño2
6
enochobloquesconochocorridascadauno conABCD,ACEyABEFcomolosefec­
tosindependienteselegidos
paraconfundirlosconlosbloques.Generareldiseño.Encontrarlosdemásefec­
tosconfundidosconlosbloques.
Considere
eldiseño2
2
endosbloques conABconfundido.Hacerlademostraciónalgebraicadeque SSAB=
SSmoques'
Considerelosdatosdelejemplo 7-2.Supongaquetodaslasobservacionesdelbloque2seincrementanen 20.
Analizarlosdatosqueresultarían.Estimarelefectodebloque.¿Puedeellectorexplicarsumagnitud?¿Los
bloquesparecenserahoraunfactorimportante?¿Hayotrasestimacionesdelosefectosquesufranelimpac­
todeestecambiohechoenlosdatos?
Supongaqueenelproblema
6-1seconfundióABCenlaréplica I,ABenlaréplica 11yBCenlaréplica 111.
Calcularlasestimacionesdelosefectos.Construirlatabladelanálisisdevarianza.
Repetirelproblema
6-1suponiendoque ABCseconfundióconlosbloquesentodaslasréplicas.
Supongaqueenelproblema
6-7ABCDseconfundióenlaréplicaI yABCseconfundióenlaréplica 11.Reali­
zarelanálisisestadísticodeestediseño.
Construirundiseño2
3
conABCconfundidoenlasdosprimerasréplicasy BCconfundidoenlatercerarépli­
ca.Delinearelanálisisdevarianzaycomentarlainformaciónobtenida.

317. "
Diseñosfactoriales
fraccionadosdedosniveles
8.1INTRODUCCIÓN
Cuandoelnúmerodefactoresde undiseñofactorial 2
k
seincrementa,elnúmerodecorridasnecesarias
pararealizar
unaréplicacompletadeldiseñorebasaconrapidezlosrecursosdelamayoríadelosexperi­
mentadores.
Porejemplo,unaréplicacompletade undiseño2
6
requiere64corridas. Enestediseño,sólo
6delos
63gradosdelibertadcorrespondenalosefectosprincipales,ysólo 15alasinteraccionesdedos
factores.Los42gradosdelibertadrestantesseasocianconlasinteraccionesdetresomásfactores.
Sielexperimentadorpuedesuponerrazonablementequeciertasinteraccionesdeordensuperiorson
insignificantes,esposibleobtenerinformacióndelosefectosprincipalesylasinteraccionesdeordeninfe­
riorcorriendoúnicamente
unafraccióndelexperimentofactorialcompleto.
Estosdiseñosfactoriales
fraccionadosseencuentranentrelostiposdediseñosdeusomásgeneralizado
eneldiseñodeproductosy
procesosy
enelmejoramientodeprocesos.
Unadelasprincipalesaplicacionesdelosdiseñosfactorialesfraccionadoses enlosexperimentosde
tamizadooexploración.Se
tratadeexperimentosenlosqueseconsideranmuchosfactoresyelobjetivo
esidentificaraquellosfactores (encasodehaberlos)quetienenefectosgrandes.Losexperimentosdeta­
mizadosuelenrealizarse
enlasetapasinicialesde unproyecto,cuandoesposiblequemuchosdelosfac­
toresconsiderados
enunprincipiotengan unefectoreducidoonulosobrelarespuesta.Entonceslos
factoresqueseidentificancomoimportantesseinvestiganconmayordetalle
enexperimentossubsecuentes.
Elusoexitosodelosdiseñosfactorialesfraccionadossebasa entresideasclave:
1.Elprincipiodeefectosesparcidos oescasezdeefectos. Cuandohayvariasvariables,esposiblequeel
sistemaoprocesoestédominado principalmente
poralgunosdelosefectosprincipalesylasin­
teraccionesdeordeninferior.
2.Lapropiedaddeproyección.Losdiseñosfactorialesfraccionados puedenproyectarseendiseños
másfuertes(másgrandes)
enelsubconjuntodelosfactoressignificativos.
3.Experimentación.secuencial.Esposiblecombinarlascorridasdedos(omás)diseñosfactoriales
fraccionados
paraensamblarsecuencialmente undiseñomásgrande paraestimarlosefectosde
los'factoresylasinteraccionesdeinterés.
303
ro
1:'
~:
r:
t,~
1
JI

318. 304 CAPÍTULO8DISEÑOSFACTORIALESFRACCIONADOS DEDOSNIVELES
Estecapítuloseenfoca enestosprincipios,loscualesseilustranconvariosejemplos.
8~2LAFRACCIÓN UNMEDIODELDISEÑO 2
k
Considereunasituaciónenlaquetresfactores,cada unocondosniveles,sondeinterés,perolosexperi­
mentadoresnoestán
enposicióndecorrerlas2
3
=8combinacionesdetratamientos.Sinembargo,pue­
denllevaracabocuatrocorridas.Estosugiereunafracciónunmediodeundiseño2
3
•
Puestoque el
diseñocontiene2
3
-
1
=4combinacionesdetratamientos,escomúnllamar diseño2
3
-1aunafracciónun
mediodeldiseño2
3
•
Enlatabla8-1semuestralaagrupacióndesignospositivos ynegativosdeldiseño2
3
•
Supongaque se
seleccionanlascuatrocombinacionesdetratamientos a,b,eyabecomolafracciónunmedioconlaque se
trabajará.Estascorridassemuestranenlapartesuperiordelatabla 8-1yenlafigura 8-1a.
Observe
queeldiseño2
3
-
1
seformaseleccionandosólolascombinacionesdetratamientosquetienen
signopositivoenlacolumnaABC.Porlotanto,
aABCselellamael generadordeestafracciónparticular.
Enocasionesseharáreferenciaaungenerador, porejemploABC,comouna palabra.Además,lacolum­
naidentidad1tambiénessiemprepositiva,porloquea
I=ABC
selellamala relacióndedefinición deldiseño.Engeneral,larelacióndedefinicióndeundiseñofactorial
fraccionadoserásiempreelconjuntodetodaslascolumnasquesonigualesalacolumnaidentidad!.
Lascombinacionesdetratamientosdeldiseño2
3
-
1
producentresgradosdelibertadquepuedenusar­
se
paraestimarlosefectosprincipales.Conreferenciaalatabla8-1,seobservaquelascombinaciones li­
nealesdelasobservacionesusadas paraestimarlosefectosprincipalesde A,BYCson
eA=Ha-b-e+abe)
eB=H-a+b-e+abe)
fc=H-a-b+e+abe)
Tambiénessencilloverificarquelascombinacioneslinealesdelasobservacionesusadas paraestimarlas
interaccionesdedosfactoresson
fBC=Ha-b-e+abe)
eAC=H-a+b-e+abe)
eAB=H-a-b+e+abe)
Tabla8-1Signospositivos ynegativosdeldiseñofactorial2
3
Combinaciónde
Efectofactorial
tratamientos
1 A B C AB AC BC ABC
a + + + +
b + + + +
C + + + +
abc + + + + + + + +
ab + + + +
ae + + + +
be + + + +
(1) + + + +

319. ab
be
./
./
./
a)Lafracciónprincipal, 1;+ABC
I
I
I
..
J~--
./
./
./
a
8-2LAFRACCIÓNUNMEDIO DELDISEÑO2
k305
abe
(1)
b)Lafracciónalterna, 1;-ABC
Figura8-1Lasdosfraccionesunmediodeldi­
seño2
3
,
Porlotanto,
R
A=R
BoR
B=R
ACYRc=RAE;porconsiguiente,esimposiblediferenciarentre AyBC,entreB,Y
ACyentreC y AB.Dehecho,cuandoseestimanA, ByC,seestánestimando enrealidadA+BC,B+AC
yC+AB.Adosomásefectosquetienenestapropiedadselesllamaalias. Enelejemplotratadoaquí,Ay
BCsonalias,ByACsonaliasyCyABsonalias.EstoseindicaconlanotacióneA~A+BC,R
B
~B+ACy
Rc
~C+AB.
Laestructuradelosaliasparaestediseñopuededeterminarseconfacilidadutilizandolarelaciónde
definición
J=ABC.Almultiplicarcualquiercolumna(oefecto) porlarelacióndedefiniciónseobtienen
losaliasdeesacolumna(oefecto). Enelejemplotratadoaquíseencuentraqueelaliasde Aes
A'J=A·ABC=A2BC
o,puestoqueelcuadradodecualquiercolumnaeslaidentidad J,
A=BC
Demanerasimilar,seencuentraquelosaliasde By Cson
B·J=B·ABC
B=AB
2
C=AC
y
C'J=C'ABC
C=ABC
2
=AB
Aestafracciónunmedio,con J=+ABC,suelellamárselelafracción principal.
Supongaahoraqueseeligióla otrafracciónunmedio,esdecir,lascombinacionesdetratamientosde
latabla
8-1asociadasconlossignosnegativosdelacolumnaABC.Estafracciónunmedioalternaocom-

320. 306 CAPÍTULO8DISEÑOSFACTORIALESFRACCIONADOS DEDOSNIVELES
plementaria(lacualsecomponedelascorridas(1), ab,aeybe)seilustraenlafigura 8-1b.Larelaciónde
definicióndeestediseño es
I=-ABC
Delacombinaciónlinealdelasobservaciones,porejemploJ!'A'P'BYJ!'CJdelafracciónalternaseobtiene
P~...;.A-BC
P~...;.B-AC
e~...;.c-AB
Porlotanto,cuandoseestiman A,BYCconestafracciónparticular,enrealidadseestánestimando
A-BC,B-ACyC-AB.
Enlapráctica,noimportacuáldelasfraccionesseusa.Ambasfraccionespertenecenalamismafa.
milia;esdecir,lasdosfraccionesunmedioforman
undiseño2
3
completo.Estopuedeobservarsecon fa­
cilidadconreferenciaalosincisos aybdelafigura8-1.
Supongaquedespuésdecorrerunadelasfracciones
unmediodeldiseño
23,tambiénsecorrió la
otra.Porlotanto,secuentaahoracon lasochocorridasasociadasconeldiseño2
3
completo.Puedenob­
tenerseentonceslasestimacionessinaliasdetodoslosefectosanalizandolasochocorridascomoundise­
ño2
3
completoendosbloquesdecuatrocorridascadauno.Estotambiénpodríahacersesumando y
restandolacombinaciónlinealdelosefectosdelasdosfraccionesindividuales.Porejemplo,considere
PA...;.A+BCyJ!'A...;.A-Be.Estoimplicaque
tUA+P~)=hA+BC+A-BC)...;.A
yque
tUA-P~)=hA+BC-A+BC)...;.BC
Porlotanto,paralostresparesdecombinacioneslinealesseobtendríalosiguiente:
A
B
e
A
B
e
Be
Ae
AB
Resolucióndeldiseño
Aldiseño2
3
-
1
precedenteselellamadiseñoderesolución ill.Enestediseño,losefectosprincipalesson
aliasdelasinteraccionesdedosfactores.
Undiseñoesderesolución Rcuandoningúnefectodelfactor p
esaliasdeotroefectoquecontienemenosde R-Pfactores.Por
~ seempleaunsubíndiceconun
numeralromanoparadenotarlaresolucióndeldiseño;
porlotanto,lafracciónunmediodeldiseño2
3
conlarelacióndedefinición 1=ABC(o1=-ABC)esundiseño
2~1.
Losdiseñosderesolución 111,IVYVsonparticularmenteimportantes.Acontinuaciónsepresentan
lasdefinicionesdeestosdiseños
yunejemplodecadauno:
1.DiseñosderesoluciónJI!.Setratadediseñosenlosqueningunodelosefectosprincipaleses alias
deningúnotroefectoprincipal,perolosefectos principalessonaliasdelasinteraccionesdedos
factores,
yalgunasdelasinteraccionesdedosfactorespuedenseraliasentre sí.Eldiseño2
3
-
1
de
latabla8-1esundiseñoderesolución 111
(2~1).
2.DiseñosderesoluciónIv.Setratadediseñosenlosqueningunodelosefectosprincipalesesalias
deningúnotroefectoprincipal
nidelasinteraccionesdedosfactores,perolasinteraccionesde

321. 8-2LAFRACCIÓNUNMEDIODELDISEÑO 2k307
dosfactoressonaliasentresí. Undiseño24-1con1=ABCDesundiseñoderesolución IV
(2~1).
3.DiseñosderesoluciónV.Setratadediseñosenlosqueningunodelosefectosprincipalesnidelas
interaccionesdedosfactoressonaliasdeotroefectoprincipalointeraccióndedosfactores,pero
lasinteraccionesdedosfactoressonaliasdelasinteraccionesdetresfactores.
Undiseño2
5
-1
con
1=ABCDEesundiseñoderesoluciónV
(2~-1).
Engeneral,laresoluciónde undiseñofactorialfraccionadodedosnivelesesigualalmenornúmero
deletrasencualquierpalabradelarelacióndedefinición.Porconsiguiente,losdiseñosprecedentespo­
dríandenominarsediseñosdetres,cuatro
ycincoletras,respectivamente. Porlocomún,espreferibleem­
pleardiseñosfraccionadosquetenganlaresoluciónmásaltaposiblequeseaconsistenteconelgradode
fraccionamientorequerido.
Entremásaltasea laresolución,menosrestrictivosseránlossupuestosque
serequierenrespectodecuálesdelasinteraccionessoninsignificantes paraobtenerunainterpretación
únicadelosdatos.
Construccióndefracciones unmedio
Unafracciónunmediodeldiseño 2
k
delaresoluciónmásalta puedeconstruirseapuntandoeldiseñobá­
sico,queconstadelascorridasde
undiseñofactorial2
k
-1
completo,yagregándoledespuéselfactork-ési­
moidentificandosusnivelespositivo ynegativoconlossignospositivo ynegativodelainteracciónABC o••
(K-1)delordenmásalto.Porlotanto,eldiseñofactorialfraccionado
2~1seobtieneapuntandoeldise­
ño2
2
completocomodiseñobásicoeigualandodespuéselfactorCconlainteracciónAB. Lafracciónal­
ternaseobtendríaigualandoelfactorCconlainteracción
-AB.Esteenfoqueseilustraenlatabla8-2.
Observequeeldiseñobásicosiempretieneelnúmerocorrectodecorridas(renglones),perolefalta
una
columna.Elgenerador1=ABC...Kseresuelveentonces paralacolumnafaltante(K),detalmodoque K
=ABC...(K-1)defineelproductodelossignospositivos ynegativosquedeberáusarse encadarenglón
paraproducirlosnivelesdelfactork-ésimo.
Observequepodríausarse
cualquierefectodeinteracción paragenerarlacolumnadelfactork-ési­
mo.Sinembargo,alutilizarsecualquierefectoquenoseaABC ...(K-1),noseproduciráeldiseñoconla
resoluciónmásaltaposible.
_________
Otraformadevisualizarlaconstrucciónde unafracciónunmedioesmediantelaparticióndelasco­
rridasendosbloquesconlainteraccióndeordenmás
altoABC...Kconfundida.Cadabloquees undise­
ñofactorialfraccionado 2
k
-
1
conlaresoluciónmásalta.
Proyeccióndefracciones endiseñosfactoriales
Cualquierdiseñofactorialfraccionadoderesolución Rcontienediseñosfactorialescompletos(posible­
mentediseñosfactorialesconréplicas)encualquiersubconjuntode
R-1factores.Éstees unconcepto
importante
yútil.Porejemplo,siunexperimentadortienevariosfactoresdeinteréspotencialperopiensa
Tabla
8-2Lasdosfraccionesunmediodeldiseño2
3
Diseñofactorial
2
2
completo
(diseño
2~1,I=ABC 2~\I=-ABCbásico)
Corrida
A B A B C=AB A B C=-AB
1 +
2 + + + +
3 + + + +
4 + + + + + + +

322. 308 CAPÍTULO8DISEÑOSFACTORIALESFRACCIONADOS DEDOSNNELES
I I I I
I I I I
_V~~V
/ /
/
/
/ /
/ /
b /
/
-/j
/'
I
/
Iabe
/
I"/L..-
..J___
/
-7r--/a
e
1
~B
I
I
I
I
I
~
-----1-
-.----1-
1­
/
---7--
/
--7--
/
/
/
/;?C
Figura8-2Proyeccióndeundiseño
2i;;!entresdiseños2
2
•
quesóloR-1deellostienenefectosimportantes,entonces undiseñofactorialfraccionadoderesolución
Reslaeleccióndediseñoapropiada. Sielexperimentadorestáenlocorrecto,eldiseñofactorialfraccio­
nadoderesoluciónRseproyectaráenundiseñofactorialcompleto enlosR-1factoressignificativos.
Esteprocesoseilustra enlafigura8-2paraeldiseño2::;;1,elcualseproyecta enundiseño2
2
encadasub-
conjuntodedosfactores. .~
Puestoquelamáximaresoluciónposiblede unafracciónunmediodeldiseño 2
k
esR=k,todoslos di­
seños~-1seproyectaránenunfactorialcompleto en(k-1)cualqieradelos kfactoresoriginales.Además,
undiseño2
k
-
1
puedeproyectarse endosréplicasde unfactorialca.pleto encualquiersubconjuntode le-2
factores,cuatroréplicasde
unfactorialcompleto encualquiersubconjuntode k
-3factores,etcétera.
EJEMPLO8~1 , .
Considereelexperimentodelíndicedefiltracióndelejemplo6-2. Eldiseñooriginal,ilustrado enlatabla
6-10,es
unasolaréplicadeldiseño2
4
•
Eneseejemploseencontróquelosefectosprincipales deA,C yDY
lasinteraccionesAC
yADerandiferentesdecero.Se retomaahoraesteexperimentoysesimulaloque
habríaocurrido
sisehubieracorrido unafracciónunmediodeldiseño2
4
envezdeldiseñofactorialcom­
pleto.
Seusaráeldiseño
24-1con!=ABCD,yaqueestaeleccióndelgenerador darácomoresultado undi­
señoconlaresoluciónmásaltaposible(IV). Paraconstruireldiseño,primeroseapuntaeldiseñobásico,
elcuales
undiseño2
3
,
comosemuestra enlastresprimerascolumnasde latabla8-3.Estediseñobásico
tieneelnúmeronecesariodecorridas(ocho)
perosólotrescolumnas(factores).Paraencontrarlosnive­
lesdelcuartofactor,se
resuelve!=ABCDparaD,oD=ABC.Porlotanto,elnivel deDdecadacorrida
Tabla
8-3Eldiseño2;':;1conlarelación dedefiniciónI=ABCD
Diseñobásico
Combinaciónde Índicede
Corrida
A B C D=ABC tratamientos filtración
1 (1) 45
2 + + ad 100
3 + + bd 45
4 + + ab 65
5 + + ed 75
6 + + ae 60
7 + + be 80
8 + + + + abed 96

323. 309
8-2LAFRACCIÓNUNMEDIODELDISEÑO 2k
abed=96
ad=100
+
I
I
I
bd=
45,L....__
./
./
./
./
ed=75
D
ab=65
be=80
I
I
I
I
./
./
./
,L----"1r-----.;,ae
=60
(1)=45
Figura8-3 Eldiseño2~1paraelexperimentodelíndicedefiltracióndelejemplo8-1.
eselproductodelossignospositivosynegativosdelascolumnas A,ByC.Elprocesoseilustra enlatabla
8-3.PuestoqueelgeneradorABCDespositivo,estediseño2~1eslafracciónprincipal. Eldiseñoseilus­
tragráficamente
enlafigura8-3.
Utilizando
larelacióndedefinición,seobservaquecada unodelosefectosprincipalesesaliasde una
interaccióndetresfactores;esdecir,A =A
2
BCD=BCD,B=AB
2
CD=ACD,C=ABC
2
D=ABDyD=
ABCD
2
=ABC.Además,cadainteraccióndedosfactoresesaliasde otrainteraccióndedosfactores.
EstasrelacionesdelosaliassonAB
=CD,AC=BDYBC=AD.Loscuatroefectosprincipalesmáslos
tresparesdealiasdeinteraccionesdedosfactoresrepresentanlossietegradosdelibertaddeldiseño.
Enestepunto,normalmentesealeatorizaríanlasochocorridasysellevaríaacaboelexperimento.
Puestoquese
hacorridoyaeldiseño2
4
completo,simplementeseseleccionanlosochoíndicesdefiltra­
ciónobservadosdelejemplo6-2quecorrespondenalascorridasdeldiseño
2~1.Estasobservacionesse
muestran
enlaúltimacolumnade latabla8-3,asícomo enlafigura8-3.
Enlatabla8-4semuestranlasestimacionesdelosefectosobtenidasdeestediseño
2~1.Parailustrar
loscálculos,lacombinaciónlinealdelasobservacionesasociadasconelefectode Aes
f!.A=t(-45+100-45+65-75+60-80+96)=19.00......A+BCD
mientrasque paraelefectoABseobtendría
f!.AB=t(45-100-45+65+75-60-80+96)=-1.00......AB+CD
Porlainspeccióndelainformacióndelatabla 8-4,noesirrazonableconcluirquelosefectosprincipales
deA,C y
Dsongrandes.Además,siA,C y Dsonlosefectosprincipalesimportantes,entonceseslógico
concluirquelasdoscadenasdealiasdeinteraccionesAC
+BDyAD+BCtienenefectosgrandes,yaque
Tabla
8-4Estimacionesdelosefectos
ylosaliasdelejemplo8-1a
EstimaciónEstructuradelosalias
f!A 19.00 f!AA+BCD
f!B 1.50 f!BB+ACD
f!c14.00e
cC+ABD
f!D 16.50 f!DD+ABC
eAB -1.00 f!ABAB+CD
f!AC=-18.50 f!ACAC+BD
f!,w=19.00 f!ADAD+BC
aLasefectossignificativos seindicanennegritas.

324. 310 CAPÍTULO8DISEÑOSFACTORIALESFRACCIONADOS DEDOSNIVELES
r
I~("
i
75 96
60
I
I
I
I
I
1
45
.-*----
/
/
/
/'
/
/
/
/
80
100
--
-7~'O:::aad
~ Ud~v:gitación)
~-------..- Baja
45, /65
y
BajaA(temperatura)Alta
c
'0
'13
~
10
l!l
U
c:
o
2
\J
Alta
Baja
Figura8-4Proyeccióndeldiseño2::~;Jenundiseño2
3
enA,e
yDparaelejemplo8-1.
lasinteraccionesACy ADtambiénsonsignificativas. Enotraspalabras,siA,C y Dsonsignificativos,en­
tonceslomásposibleesquelasinteraccionessignificativas
seanACyAD.Setratadeunaaplicacióndela
navajadeOckham(enhonordeGuillermodeOckham),
unprincipiocientíficoqueestablecequecuan­
dounoseconfrontaconvariasinterpretacionesposiblesde
unfenómeno,lainterpretaciónmássimple
sueleserlacorrecta.Observequeestainterpretaciónconcuerdaconlasconclusionesdelanálisisdeldise­
ño2
4
completodelejemplo6-2.
Puestoqueelfactor
Bnoessignificativo,puedesacarsedeconsideración.Porconsiguiente,estedise­
ño
2::;¡puedeproyectarse enunasolaréplicadeldiseño2
3
enlosfactoresA,CyD,comosemuestraenla
figura8-4.Elexamenvisualdeestagráficadecubonoshacesentirnosmáscómodosconlasconclusiones
alasquesellegóantes.Observeque
silatemperatura(A)estáenelnivelbajo,laconcentración(C)tiene
unefectopositivogrande,mientrasque silatemperaturaestáenelnivelalto,laconcentracióntieneun
efectomuypequeño.Estosedebeprobablementea
unainteracciÓnAC.Además, silatemperaturaestá
enelnivelbajo,elefectodelavelocidaddeagitación
(D)esinsignificante,mientrasquesilatemperatura
estáenelnivelalto,lavelocidaddeagitacióntiene
unefectopositivogrande.Estosedebeprobablemente
alainteracción
ADqueseidentificódemaneratentativaunospárrafosantes.
Conbaseenelanálisisanterior,puedeobtenerseahora
unmodeloparapredecirelíndicedefiltra­
ciónenlaregiónexperimentaLEstemodelo
es
y=lJo+lJ¡x¡+lJ3X3+lJ4X4+lJ13X¡X3+lJ14X¡X4
dondeXl'X3YX4sonvariablescodificadas (-1
:::;Xi:::;+1)querepresentanaA,C yD,YlaslJsoncoeficien­
tesderegresiónquepuedenobtenerseapartirdelasestimacionesdelosefectoscomosehizoanterior­
mente.Porlotanto,laecuacióndepredicciónes
RecuerdequelaordenadaalorigenlJoeselpromediodetodaslasrespuestas enlasochocorridasdeldi­
seño.Estemodeloesmuysimilaralqueresultódeldiseñofactorial
2
k
completodelejemplo6-2.

325. 8-2LAFRACCIÓNUNMEDIO DELDISEÑO2 k311
EJEMPLO8~2.•••.•••.••..••••••••••.••.••••••••••••••....••.....••.•.••..
Undiseño2
5
-
1
usadoparamejorarunproceso
Seinvestigaroncincofactores enunprocesodemanufacturade uncircuitointegradoenundiseño2
5
-
1
conelobjetivodemejorarelrendimientodelproceso.LoscincofactoresfueronA =ajustedeapertura
(pequeña,grande),
B=tiempodeexposición(20%abajodelnominal,20%arribadelnominal),C =
tiempodedesarrollo(30 s,45s),D=tamañodelamáscara(pequeña,grande)y E=tiempode grabado
(14.5min,15.5min). Enlatabla8-5semuestralaconstruccióndeldiseño2
5
-
1
•
Observequeeldiseño se
construyóapuntandoeldiseñobásicoquetiene 16corridas(undiseño2
4
enA,B,C yD),seleccionando
ABCDEcomogenerador,yajustandodespuéslosnivelesdelquintofactor E=ABCD.Enlafigura8-5se
presentaunarepresentacióngeométricadeldiseño.
Larelacióndedefinicióndeldiseño es1=ABCDE.Porconsiguiente,todoslosefectosprincipales
sonaliasde
unainteraccióndecuatrofactores(porejemplo, eA
...,...A+BCDE),ycadaunadelasinterac­
cionesdedosfactoressonaliasde
unainteraccióndetresfactores(porejemplo, i!AB
...,...AB+CDE).Porlo
tanto,eldiseñoesderes'oluciónVSeesperaríaqueestediseño2
5
-
1
proporcionaraexcelenteinformación
respectodelosefectosprincipalesylasinteraccionesdedosfactores.
Latabla8-6contienelasestimacionesdelosefectos,lassumasdecuadradosyloscoeficientesdel
modelo deregresiónparalos
15efectosdeesteexperimento. Enlafigura8-6sepresentalagráficade
probabilidadnormaldelasestimacionesdelosefectosdeesteexperimento.Losefectosprincipales
deA,
ByC ylainteracciónABsongrandes.Recuerdeque,debido
alosalias,estosefectossonenrealidad A+
BeDE,B +ACDE,C+ABDEyAB+CDE.Sinembargo,puestoquepareceplausiblequelasinterac­
cionesdetresfactores
ydeórdenessuperioresseaninsignificantes,unosienteseguridadenconcluirque
sólo
A,B,C YABsonlosefectosimportantes.
Enlatabla8-7seresumeelanálisisdevarianzadeesteexperimento. Lasumadecuadradosdel
modeloesSS
Modelo=SSA+SSB+SSc+SSAB=5747.25,Yestoexplicamásde99%de lavariabilidad
totaldelrendimiento.
Enlafigura8-7se presentalagráficadeprobabilidadnormaldelosresiduales
Tabla
8-5Undiseño2
5
-
1paraelejemplo8·2
Diseñobásico
Combinación
de
Corrida A B C D E=ABCD tratamientos Rendimiento
1 + e 8
2 + a 9
3 + b 34
4 + + + abe 52
5 + e 16
6 + + + aee 22
7 + + + bee 45
8 + + + abe 60
9 + d 6
10 + + + ade 10
11 + + + bde 30
12 + + + abd 50
13!
+ + + ede 15
14 + + + aed 21
15 + + + bed 44
16 + + + + + abede 63
I
,.
t
"1I

326. 312 CAPÍTULO8DISEÑOSFACTORIALESFRACCIONADOS DEDOSNIVELES
D
+
bce=45 abede =63
ede
=15
+./
./
./
abe=52
I
I
I
~--
././bde=30
./
./
e=8 ade=10
E
abe=60 beb=44
Variable Nombre Nivel-1
Tabla8-6Efectos,coeficientesderegresión ysumasdecuadradosdelejemplo8·2
a=9 d=6
Nivel+1
abd=50
./
./
./
I
I
I
b=34~__
./
./
./
./
cͿB
A
FiguraS-SEldiseño2~-1delejemplo8-2.
A
B
C
D
E
Apertura
Tiempodedesarrollo
Tiempodeexposición
Thmañodelamáscara
Tiempodegrabado -1.000
-1.000
-1.000
-1.000
-1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
Variable Coeficientederegresión Efectoestimado Sumadecuadrados
Promedioglobal
A
B
C
D
E
AB
AC
AD
AE
BC
BD
BE
CD
CE
DE
30.3125
5.5625
16.9375
5.4375
-0.4375
0.3125
3.4375
0.1875
0.5625
0.5625
0.3125
-0.0625
-0.0625
0.4375
0.1875
-0.6875
11.1250
33.8750
10.8750
-0.8750
0.6250
6.8750
0.3750
1.1250
1.1250
0.6250
-0.1250
-0.1250
0.8750
0.3750
-1.3750
495.062
4590.062
473.062
3.063
1.563
189.063
0.563
5.063
5.063
1.563
0.063
0.063
3.063
0.563
7.563

327. 30252015105o
99
•
5
B95
Cl
10 90Cl
....
x
2"~20 80
I
30 70
S o
¡ij
o
E
50 50:
o
~..,
c:
-o
70 30ro
:g
80 20
:5
ro
.c
e
90 10
"-
95 5
99
Estimacionesdelosefectos
Figura8-6Gráficadeprobabilidadnormaldelosefectosdelejemplo8-2.
Tabla8-7Análisisdevarianzadelejemplo8-2
Sumade
Fuentedevariación cuadrados
A(Apertura)
B(Tiempodeexposición)
e(Tiempodedesarrollo)
AB
Error
'Ibtal
495.0625
4590.0625
473.0625
189.0625
28.1875
5775.4375
Gradosde Cuadrado
libertad medio
Fo ValorP
1 495.0625 193.20 <0.0001
1 4590.0625 1791.24 <0.0001
1
. 473.0625 184.61 <0.0001
1 189.0625 73.78 <0.0001
11 2.5625
15
99
•
95
90
80
70
o
o
50:
~..,
30
20
10
5
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Residuales
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:o80
ro
.c
e
90"-
95
99
-3 -2
Figura8-7Gráficadeprobabilidadnormaldelosresidualesdelejemplo8-2.
313

328. Ir'"
!':"I
~
314
2•
CAPÍTULO8DISEÑOSFACTORIALESFRACCIONADOS DEDOSNIVELES
•
Ul
al
•ro
o •::J
el
"O
.¡¡;
al
a:
•
-1
•
•
-2
•
••
•
•
•
•
e
-3L-_...L-__-'-__--' -'---__..L-__-'-__
10 20 30 40 50 60
Rendimientopredicho
Figura8-8Gráficadelosresidualescontraelrendimientopredicho
paraelejemplo8-2.
ylafigura8-8es unagráficadelosresidualescontralosvalorespredichos.Ambasgráficassonsatis­
factorias.
LostresfactoresA,
Byetienenefectospositivosgrandes. Lainteracciónapertura-tiempodeexposi­
ción
oABsegraficaenlafigura 8-9.Estagráficaconfirmaqueelrendimientoesmásaltocuandotanto A
comoBestánenelnivelalto.
63
~
al
'E B+
15
c:
al
a:
..B-
B--
6
A
Bajo Alto
Figura8-9Interacciónapertura-tiempo deexposicióndelejemplo 8-2.

329. .........................................................................
8-2LAFRACCIÓNUNMEDIODELDISEÑO2
k315
61.5
A
44.5
+~.~--J...I---'-51.0
I
I
115.5 21.5/(¡------7/'
L-,¡~----- ..9.5~ r.;
L I
+
B
Figura8-10Proyeccióndeldiseño2~-1del
-ejemplo8-2
endosréplicasdeundiseño2
3
en
losfactoresA,B YC.
Secuenciasdediseñosfactorialesfraccionados
Elusodelosdiseñosfactorialesfraccionadosllevaconfrecuenciaa unagraneconomíayeficiencia enla
experimentación,enparticularsilascorridaspuedenhacersesecuencialmente.Porejemplo,suponga
queseestáninvestigando
k=4factores(2
4
=16corridas).Casisiempreespreferiblecorrer undiseño
fraccionado
2~1(ochocorridas),analizarlosresultadosydespuésdecidircuáles lamejorseriedecorri-
odasquedeberácorrersedespués. Siesnecesarioresolverambigüedades,siempre puedecorrerselafrac­
ciónalternaycompletar
eldiseño2
4
•
Cuandoseusaeste métodoparacompletareldiseño,ambas
fracciones
unmediorepresentanbloquesdeldiseñocompletoconlasinteraccionesdeordensuperior
confundidasconlosbloques(eneste
casoABCDestaríaconfundida).Porlotanto, laexperimentaciónse­
cuencialtienecomoresultadolapérdidadeinformaciónsólo
enlainteracciónde ordenmásalto.Suven-
.
tajaesque enmuchoscasossesacainformaciónsuficientede lafracciónunmedioparaprocederala
siguiente
etapadelaexperimentación,locualpodríaimplicar laincorporaciónoeliminacióndefactores,
elcambiodelasrespuestas,o lavariacióndealgunosdelosfactores ennuevosrangos.Algunasdeestas
posibilidadesseilustrangráficamente
enlafigura8-11.
EJEMPLO
8~3 .
Considerenuevamenteelexperimentodelejemplo8-1.Se hausadoundiseño2~1ysehahecholaidenti­
ficacióntentativadelostresefectosprincipalesgrandes:
A,CyD.Haydosefectosgrandesasociadoscon
interaccionesdedosfactores,AC
+BDyAD+BC.Enelejemplo8-2seutilizóelhechodequeelefecto
principalde
Berainsignificanteparaconcluirde maneratentativaquelasinteraccionesimportantes eran
Eldiseño2
5
-
1
sereduciráadosréplicasde undiseño2
3
entrescualesquieradeloscincofactoresorigi­
nales.(Observar
lafigura8-5ayudaavisualizaresto.) Lafigura8-10es unagráficadecubo enlosfactores
A,ByCconlosrendimientospromediosuperpuestos enlosochovértices.Esevidente porlainspección
delagráficadecuboquelosrendimientosmásaltosseconsiguen conA,ByCenelnivelalto.Losfactores
DyEtienenunefectopequeñosobreelrendimientopromediodelprocesoy puedenajustarseenlosva­
loresqueoptimicenotrosobjetivos(comoelcosto).

330. I •
}-------
/
/
clReescalaralgunosfactores
porquepuedenhaberse
hechovariar
enlos
rangosinapropiados
I
I·0
I
)----
/
/
b)Agregarotrafracción
pararesolverlas
ambigüedadesde
la
fracciónoriginal
Diseñoinicial
t
e
-o
-¡¡;
~
c..
a)Moverseaunanueva
localizaciónparaexplorar
unatendencia
aparentea
larespuesta
f)Hacerunaumentopara
modelar
lacurvatura
aparente
316 CAPÍTULO8DISEÑOSFACTORIALESFRACCIONADOS DEDOSNNELES
d)Eliminaryagregar
factoresporqueelfactor
originalcorrespondiente
a
lavelocidaddealimentación
delcstalizador
esinsignificante
•
I
I
I
)----/
/ S-<f
"-----.,~~
Temperatura~
t
e
-o
-¡¡;
~
c...)~~-Q.
e)Hacerunaréplicaparamejorar
lasestimacionesdelosefectoso
porquealgunascorridas
se
hicieronincorrectamente
Figura8-11Posibilidadesparaelseguimientodelaexperimentacióndespuésde un
experimentofactoria!fraccionado[adaptadodeBox("SequentialExperimentationand
SequentialAssembly
ofDesigns")conpermisodeleditor]_
ACyAD.Enocasioneselexperimentadortendráqueprocesarconocimientosque puedanayudarlea dis­
criminarentrelasinteraccionesque
probablC?menteseanimportantes.Sinembargo,siempreesposible
aislarlainteracciónsignificativacorriendolafracciónalterna,
dadaporI=-ABCD.Esdirectalademos­
tracióndequeeldiseño
ylasrespuestassonlossiguientes:
Diseñobásico
Combinaciónde Índicede
Corrida
A B C D=-ABC tratamientos filtración
1 + d 43
2 + a 71
3 + b 48
4 + + + abd 104
5 + e 68
6 + + + aed 86
7 + + + bed 70
8 + + + abe 65

331. -2.63~BeD
-1.63~AeD
4.13~ABD
1.88~ABe
-1.13~eD
-0.38~BD
2.38~Be
21.63~A
3.13~B
9.88~e
14.63~D
0.13~AB
-18.13~Ae
16.63~AD
A
B
e
D
AB
Ae
AD
:estasestimacionespuedencombinarseconlasqueseobtuvieronde lafracciónunmediooriginal para
obtenerlassiguientesestimacionesdelosefectos:
8-3LAFRACCIÓNUNCUARTODELDISEÑO2
k317
Estasestimacionesconcuerdanexactamenteconlasdelanálisisoriginal delosdatoscomo unasolarépli­
cadeundiseñofactorial2\comoseconsigna enelejemplo6-2.Evidentemente,sonlasinteraccionesAC
yADlasquesongrandes.
Agregar
lafracciónalternaalafracciónprincipal puedeconsiderarsecomo untipode experimento
deconfirmación,porcuantoproporcionainformaciónquepermitiráfortalecerlasconclusionesiniciales
acercadelosefectosde
lainteraccióndedosfactores. Enlasección8-5seinvestigaránotrosaspectosde
lacombinacióndediseñosfactorialesfraccionados
paraaislarlasinteracciones. Enocasionesunexperi­
mentodeconfirmaciónnoestanelaboradocomoéste.
Porejemplo,podríausarselaecuacióndelmodelo
parapredecirlarespuesta
enunpuntodeinterésdentrodelespaciodeldiseño(no unodelospuntosdel
diseñoactual),correrdespuésrealmenteeseensayo(quizávariasveces)yusarlacomparaciónentre
la
respuestapredichaylaobservada paraconfirmarlosresultados.
Lascombinacioneslinealesdelasobservacionesobtenidasapartirdeestafracciónalternason
.e~ 24.25A-BCD
.e~ 4.75B-ACD
.e~ 5.75C-ABD
.e~ 12.75D-ABC
.e~=1.25AB-CD
.e~c=-17.75AC-BD
e~=14.25AD-BC
8~3LAFRACCIÓN UNCUARTODELDISEÑO2"
Paraunnúmeromoderadamentegrandedefactores,confrecuenciasonútilesfraccionesmenoresdeldi­
seño2
k
•
Considereunafracciónuncuartodeldiseño2
k
•
Estediseñocontiene2
k
-
2
corridasyescomúnlla­
marlo
diseñofactorialfraccionado 2
k
-
2
•
Eldiseño2
k
-
2
puedeconstruirseapuntandoprimero undiseñobásico compuestoporlascorridasaso­
ciadascon
undiseñofactorialcompletoenk- 2factoresyasociandodespuéslasdoscolumnasadiciona­
les'conlasinteraccioneselegidasapropiadamentequeincluyanlosprimerosk- 2factores.Porlotanto,

332. 318 CAPÍTULO8DISEÑOSFACTORIALESFRACCIONADOS DEDOSNIVELES
unafracciónuncuartodeldiseño 2
k
tienedosgeneradores.Si PYQrepresentanlosgeneradoresescogi_
dos,entoncesa
I=PeI=Qselesllamalasrelaciones generadorasdeldiseño.Lossignosde Py Q (+
o
-)determinancuáldelasfracciones uncuartoseproduce.Las cuatrofraccionesasociadasconlaelec­
ción
delosgeneradores±Py±Qpertenecenalamismafamilia.LafracciónparalaquetantoPcomoQ
sonpositivaseslafracciónprincipal.
Larelacióndedefinicióncompletadeldiseño estácompuestaportodaslascolumnasquesoniguales
alacolumna
identidadI.Éstasconstaránde P,Q ysuinteraccióngeneralizadaPQ;esdecir,larelaciónde
definiciónes
I=P=Q=PQ.Aloselementos P,Q yPQdelarelacióndedefiniciónseles denomina
pa.
labras.Losaliasdecualquierefectose obtienenmediantelamultiplicacióndelacolumnadeeseefecto
porcadapalabradelarelacióndedefinición.Evidentemente,cadaefectotiene tresalias.Elexperimenta­
dordeberáestaratentoalelegirlosgeneradores paraquelosefectospotencialmenteimportantesno
seanaliasentresí.
Como
unejemplo,considereeldiseño2
6
-
2
•
SupongaqueseescogenI=ABCEeI=BCDFcomolos
generadoresdeldiseño.
Entonceslainteraccióngeneralizada delosgeneradoresABCEyBCDFes
ADEF;porlotanto,larelación dedefinicióncompletadeestediseñoes
I=ABCE=BCDF=ADEF
Porconsiguiente,se tratadeundiseñoderesolución IV.Paraencontrarlosaliasdecualquierefecto(por
ejemplo
deA),semultiplicaeseefecto porcadapalabradelarelacióndedefinición. ParaA,estoproduce
A=BCE=ABCDF=DEF
.Essencilloverificar quetodoslosefectosprincipales sonaliasdeinteraccionesdetresycincofactores,
mientras
quelas
interacdonesdedosfactoressonalias entresíydeinteraccionesdeórdenessuperiores.
Porlotanto,cuandoseestimaA, porejemplo,enrealidadse estáestimandoA+BCE+DEF+ABCDF.
EnlatablaS-Ssemuestralaestructuracompleta delosaliasdeestediseño.Silasinteraccionesdetres
factoresy
deórdenessuperioressoninsignificantes,estediseño produceestimacionesclarasdelosefec­
tosprincipales.
Paraconstruirestediseñose anotaprimeroeldiseñobásico,elcualconsiste enlas16corridaspara
undiseñocompleto
26--2=2
4
enA,B,CyD.Despuésse añadenlosdosfactoresEyF,asociandosusnive­
lesmásymenosconlossignosmásymenosdela
interacciónABCyBCD,respectivamente.Esteprocedi­
mientosemuestraenlatablaS-9.
Otraformadeconstruirestediseñoesdeduciendolos cuatrobloquesdeldiseño2
6
conABCEy
BCDFconfundidasyeligiendodespuéselbloque conlascombinacionesdetratamientos quesonpositi­
vas
paraABCEyBCDF.Setrataríadeundiseñofactorialfraccionado2
6
-
2
conrelacionesgeneradoras I=
ABCEeI=BCDF,ypuestoquelosdos generadoresABCEyBCDFsonpositivos,se tratadelafracción
principal.
Tabla
8-8Estructuradelosaliasdeldis~ño 2~;2
conI =ABCE=BCDF=ADEF
A=BCE=DEF=ABCDF
B=ACE=CDF=ABDEF
e=ABE=BDF=ACDEF
D=BCF=AEF=ABCDE
E=ABC=ADF=BCDEF
F
=BCD=ADE=ABCEF
ABD=CDE=ACF=BEF
ACD=BDE=ABF=CEF
AB=CE=ACDF=BDEF
AC=BE=ABDF=CDEF
AD=EF=BCDE=ABCF
AE=BC=DF
,;ABCDEF
AF=DE=BCEF=ABCD
BD=CF=ACDE=ABEF
BF=CD=ACEF=ABDE

333. "
8-3LAFRACCIÓN UNCUARTODELDISEÑO2 k319
Tabla8-9Construccióndeldiseño2~;2conlosgeneradores1 =ABCEe 1=BCDP
Diseñobásico
Corrida
A B C D E=ABC F=BCD
1
2
+ +
3 + + +
4 + + +
5 + + +
6 + + +
7 + +
8 + + + +
9 + +
10 + + + +
·11 + + +
12 + + +
13 + + +
14 + + +
15 + + + +
16 + + + + + +
Hay,desdeluego,tres fraccionesalternas deestediseño
2~2particular.Se tratadelasfracciones
conlasrelacionesgeneradoras
1=ABCEe1=-BCDF;1=-ABCEel=BCDF;el=-ABCEel=
-BCDF.Essencilloconstruirestasfraccionesconelmétodoquesemuestraenlatabla 8-9.Porejemplo,
siquiereencontrarselafracción paralaque1=ABCEel=-BCDF,entoncesenlaúltimacolumnadela
tabla
8-9sehaceF=-BCD,Ylacolumnadelosnivelesdelfactor Fquedacomo
++----++--++++--
Larelacióndedefinicióncompletadeestafracciónalternaes 1=ABCE=-BCDF=-ADEF.Ahora
ciertossignos enlaestructuradelosaliasdelatabla 8-9sehancambiado;porejemplo,losalias deAson
A=BCE=-DEF=
-ABCDF.Porlotanto,lacombinaciónlinealdelasobservacioneseAestimaenreali­
dad
A+BCE-DEF-ABCDF.
Porúltimo,observequeeldiseñofactorialfraccionado
2~2seproyectaráen unasolaréplicade un
diseño2
4
encualquiersubconjuntodecuatrofactoresquenosea unapalabradelarelacióndedefinición.
Tambiénsepliegaenunafracción
unmediocon unaréplicade undiseño2
4
encualquiersubconjuntode
cuatrofactoresqueseaunapalabradelarelacióndedefinición.
Porlotanto,eldiseñodelatabla 8-9se
convierte
endosréplicasde undiseño24-1enlosfactoresABCE, BCDFyADEF,porqueéstassonlaspa­
labrasdelarelacióndedefinición.Hayotras12combinacionesdelosseisfactores,
comoABCD,ABCF,
etc.,paralasqueeldiseñoseproyectaen unasolaréplicadeldiseño2
4
•
Estediseñotambiénsepliegaen
dosréplicasde undiseño2
3
encualquiersubconjuntodetresdelosseisfactoreso encuatroréplicasde un
diseño2
2
encualquiersubconjuntodedosfactores.
Engeneral,cualquierdiseñofactorialfraccionado 2
k
-
2
puedeplegarseenundiseñofactorialcomple­
toobienenundiseñofactorialfraccionado enalgúnsubconjuntode r
:5.k- 2delosfactoresoriginales.
Estossubconjuntosdevariablesqueformandiseñosfactorialescompletosnosonpalabrasdelarelación
dedefinicióncompleta.
EJEMPLO
8~4 .
Laspiezasfabricadas enunprocesodemoldeo porinyecciónestánpresentando unacontracciónexcesi­
va.Estoestáocasionandoproblemas enlasoperacionesdeensamblajequeserealizandespuésdelmol­
deo
porinyección.Unequipodemejoramientodecalidad ha
deeididollevaracabo unexperimento

334. 320 CAPÍTULO8DISEÑOSFACTORIALESFRACCIONADOS DEDOSNIVELES
diseñadoparaestudiarelprocesodemoldeoporinyecciónafinde poderreducirlacontracción.Elequi­
podecideinvestigarseisfactores
-latemperaturademoldeo (A),lavelocidaddelenroscado (B),el
tiempoderetención (C),laduracióndelciclo (D),eltamañodelvaciadero (E)ylapresióndelaretención
(F)-condosnivelescadauno,conelfindesabercómoseafectalacontraccióndebidoacadafactor, así
comoparaobtenerinformaciónpreliminaracercadelaforma enquelosfactoresinteractúan.
Elequipodecideusareldiseñofactorialfraccionadode
16corridascondosnivelesdelatabla 8-9.El
diseñosemuestradenuevo
enlatabla8-10,juntoconlacontracciónobservada (x10)enlapiezade
pruebaproducida encadaunadelas 16corridasdeldiseño. Enlatabla8-11semuestranlasestimaciones
delosefectos,lassumasdecuadradosyloscoeficientesderegresióndeesteexperimento.
Enlafigura8-12sepresentalagráficadeprobabilidadnormaldelasestimacionesdelosefectosde
esteexperimento.Losúnicosefectosgrandes
sanA(temperaturademoldeo), B(velocidaddelenrosca­
do)ylainteracciónAB.Alaluzdelasrelacionesdelosaliasdelatabla8-8,parecerazonableadoptar
es­
tasconclusionesdemaneratentativa. Lagráficadelainteracción ABdelafigura 8-13indicaque el
procesomuestraunaaltainsensibilidadalatemperaturasilavelocidaddelenroscadoestá enelnivel
bajo,peroque
esmuysensiblealatemperatura silavelocidaddelenroscadoestá enelnivelalto.Conla
velocidaddelenroscado
enelnivelbajo,elprocesodeberáproducir unacontracciónpromediodealrede­
dorde10%,independientementedelniveldetemperaturaelegido.
Conbaseenesteanálisisinicial,elequipodecidehacerelajustedelatemperaturademoldeoylave­
locidaddelenroscadoenelnivelbajo.Esteconjuntodecondicionesreducirálacontracción
mediadelas
piezas
enalrededorde10%.Sinembargo,lavariabilidaddelacontracciónde unapiezaaotrasiguesien­
dounproblemapotencial.
Dehecho,lacontracciónmediapuedereducirseadecuadamentemediantelas
modificacionesanteriores;sinembargo,lavariabilidaddelacontracciónde
unapiezaaotra enunacorri­
dadeproducciónpodríaseguircausandoproblemas
enelensamblaje.Unamaneradeabordarestacues­
tiónesinvestigando
sialgunodelosfactoresdelprocesoafectala variabilidaddelacontraccióndelas
piezas.
Enlafigura8-14sepresentalagráficadeprobabilidadnormaldelosresiduales.Estagráficaparece
sersatisfactoria.Seconstruyerondespuéslasgráficasdelosresidualescontracadafactor.
Enlafigura
~
Tabla8-10Undiseño2~';zparaelexperimentodelmoldeoporinyeccióndelejemplo8-4
Diseñobásico
Contracción
Corrida A B C D E=ABC F=BCD observada(x10)
1 6
2
+ + 10
3 + + + 32
4 + + + 60
5 + + + 4
6
+ + + 15
7 + + 26
8 + + + + 60
9 + + 8
10 + + + + 12
11 + + + 34
12 + + + 60
13 + + + 16
14 + + + 5
15 + + + + 37
16 + + + + + + 52

335. 8-3LAFRACCIÓNUNCUARTODELDISEÑO2"
1
1
I
321
770.062
5076.562
3.063
7.563
0.563
0.563
564.063
10.562
115.562
14.063
1.563
0.063
0.063
0.063
95.063
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
Nivel+1
Sumadecuadrados
13.8750
35.6250
-0.8750
1.3750
0.3750
0.3750
11.8750
-1.6250
-5.3750
-1.8750
0.6250
-0.1250
-0.1250
0.1250
--4.8750
27.3125
6.9375
17.8125
-0.4375
0.6875
0.1875 0.1875
5.9375
-0.8125
-2.6875
-0.9375
0.3125
-0.0625
-0.0625
0.0625
-2.4375
Coeficientederegresión Efectoestimado
10 15 20 25 30 35 40
Estimacionesdelosefectos
5o
A temperatura_moldeo -1.000
B velocidadenroscado -1.000
C duraciónretención -1.000
D duración-ciclo -1.000
E tamaño_vaciadero -1.000
F presiónJetención -1.000
-5
99
99
B
•
5 95
o
A
o
10 •
90
~
AB
x
•
¡Z..,20 80
I
30 70
S
o
ro
o
E50
50';
o R.,-'
c:
~70
30
:a80 20
ro
J:l
e
90 10
a.
95 5
Variable"
Tabla8-11Efectos,sumasdecuadradosycoeficientesderegresióndelejemplo8-4
Variable Nombre Nivel-1
'Promedioglobal
A
B
C
D
E
F
AB+CE
AC+BE
AD+EF
AE+BC+DF
AF+DE
BD+CF
BF+CDABD
ABF
Figura8-12 Gráficadeprobabilidadnormaldelosefectosdelejemplo 8-4.
"Sólolosefectosprincipales ylasinteraccionesdedosfactores.

336. r
l
I
322 CAPÍTULO8DISEÑOSFACTORIALESFRACCIONADOS DEDOSNNELES
60
5"
~
"
'0
'13
B+u
~
"o
U
B+
..
_----------...B-
B"
4'-- _
Baja
Temperaturademoldeo,
A
Alta
1:
l'e:
r
~,
,
JI
Figura8·13GráficadelainteracciónAB(temperaturademol­
deo-velocidaddelenroscado)paraelejemplo8-4.
8-15semuestra unadeestasgráficas,ladelosresiduales contraelfactore(tiempoderetención). Lagrá­
ficarevelaquehay
unadispersiónsensiblemente menorenlosresidualesconeltiempoderetenciónbajo
queconeltiempoderetenciónalto.Estosresidualesseobtuvierondela
manerausualapartirdelmodelo
de
lacontracciónpredicha:
y=Po+P1
X
l+P2
X2+P12
X1
X2
=27.3125+6.9375x
1+17.8125x
2+5.9375x
1
X
2
5
o
o10...
x
¡;:..,20
I
30
~
ro
E50
o
""tl
70ro
;g
:c80
ro
.n
e
90c..
95
•
99
-6 -3 o
Residuales
3 6
99
•
95
90
80
70
o o
50';;
~..,
30
20
10
5
Figura8-14Gráficadeprobabilidadnormaldelosresidualesdelejemplo8-4.

337. -2
I
01----------------,-----
1
¡
I!
!'
•
•
•
:
Alta
Tiempoderetención (e)
•
Baja
2
4
6
-4
dondeXl'X
2YX
I
X
2sonlasvariablescodificadasquecorrespondenalosfactores AyBYalainteracciónAB.
Entonceslosresidualesson
8-3LAFRACCIÓN UNCUARTODELDISEÑO2
k323
e=
y-y
Elmodeloderegresiónusadoparaproducirlosresidualeselimina, enesencia,losefectosdelocalización
deA,
ByABdelosdatos; porlotanto,losresidualescontieneninformaciónacercadelavariabilidadno
explicada.
Lafigura8-15indicaqueexiste unpatrónenlavariabilidadyquelavariabilidaddelacontrac­
cióndelaspiezaspuedesermenorcuandoeltiempoderetenciónestáenelnivelbajo(recuerdequeenel
capítulo6seseñalóquelosresidualessólotransmiteninformaciónacercadelosefectosdedispersión
cuandoescorrectoelmodelodelocalizaciónolamedia).
Loanteriorseobservaconmayorclaridadenelanálisisdelosresidualesquesepresenta
enlatabla
8-12.Enestatabla,losresidualesseordenanenlosnivelesbajo (-)yalto( +)decadafactor,yse hacalcu­
ladoladesviaciónestándardelosresidualesenlosnivelesbajoyaltodecadafactor.Observequelades­
viaciónestándardelosresidualesconC
enelnivelbajo [S(C-)=1.63]esconsiderablementemenorquela
desviaciónestándardelosresidualesconCenelnivelalto
[S(C+)=5.70].
Enelúltimorenglóndelatabla8-12sepresentaelestadístico
S2('+)
F.*=1n l
1 S2(i-)
Recuerdequesilasvarianzasdelosresidualesenlosnivelesalto( +)ybajo(-)delfactorisoniguales,en­
toncesestecocientesigue
unadistribuciónaproximadamentenormalconmediacero,ypuedeusarse
paraevaluarladiferenciaenlavariabilidad
delarespuestaenlosdosnivelesdelfactor i.Puestoqueel
cociente
F~esrelativamentegrande,seconcluiríaquelaaparentedispersiónoefectodevariabilidadob­
servado
enlafigura8-15esreal.Porlotanto,ajustareltiempoderetención ensunivelbajocontribuiríaa
reducirlavariabilidadde
unapiezaa otraduranteunacorridadeproducción. Enlafigura8-16sepresen-
Figura8-15Residualescontraeltiempoderetención (e)parael
ejemplo
8-4.
•

338. W
N
~
-•."-""__----"<.•._••=......"-"'...."-"-"'t.--O="-=---"
----.'o..j:~~j~I;f~\~~
~~!':~~ !-~"':.!~=~=-
Tabla8-12Cálculodelosefectosdedispersióndelejemplo8-4
CorridaA B AB=CE CAC=BEAE=BC=DF E D AD=EFBD=CE ABDBF=CD ACD FAF=DEResidual
1 - -
+
- + + - - + + - +- - + -2.50
2
+
- - - - + + - - + + + + - - -0.50
3 -
+ - +
- + - + - + + -+ -0.25
4
++ +
- - - - - - - + + + + 2.00
5 -
- + + -
- + - + + -- + + - -4.50
6
+ - - + + -
- - - + + - -+ + 4.50
7
-+
- + - + - - + - + - + - + -6.25
8++ + + + + + - - - -- - - 2.00
9
- - + - + + -+ - - +
- + + - -0.50
10+ - - - - + + + + -- - -+ + 1.50
11 -+ - - + - ++ - +- - + - + 1.75
12+ + + - - - -+ + + + - - - - 2.00
13 - - + + - - ++ - - + + - - + 7.50
14+- - + + - - + + - - + + -- -5.50
15 -+ - + - + -+ - + - + -+ - 4.75
16+ + + + + + ++ + + + + + + + -6.00
S(i+)3.804.01 4.33 5.70 3.68 3.85 4.174.643.39 4.014.72 4.71 3.50 3.88 4.87
S(i-)4.604.414.101.63 4.53 4.33 4.253.592.75 4.413.51 3.65 3.124.523.40
F'-0.38 -0.190.112.50-0.42 -0.23 -0.04 0.510.42 -0.190.59 0.51 0.23-0.310.72
I
..~~
-=

339. Figura8-16GráficadeprobabilidadnormaldelosefectosdedispersiónF'¡-delejemplo8·4.
99
95
20
o
o
~
50x
¡¡:,~
5
so
-99.9
2.6
8·3LAFRACCIÓNUN CUARTODELDISEÑO 2"325
c.
2.11.61.1
r
1
0.6
:Ji~10.0
R~11 _
~:'Od' ""0016"
:Ji~60.0
R~O
1:Ji~31.5
IR~11
I
I
......----------,ey~56.0
R~S
0.1
- y +
A,temperaturademoldeo
.01
"~5
x
¡;:;~
I20
08+
1l
Ul
e
c:
"
~
"C
:E
"o
]
rtl
Figura8·17Contracciónpromedioyrangodelacontracciónenlos
factores
A,BYeparaelejemplo
8·4.
¡¡¡
.E50
o
c:
-g
"C
~
~
taunagráficadeprobabilidad normaldelosvaloresF¡*delatabla8-12;éstatambiénindicaqueelfactor
etieneunefectodedispersióngrande.
Enlafigura8-17se muestranlosdatosdeesteexperimentoproyectados enuncuboenlosfactoresA,
ByC.Lacontracciónpromedioobservadayelrangode lacontracciónobservadaseindicanencadavérti­
cedelcubo.
Porlainspecciónde lafiguraseobserva quecorrerelprocesocon lavelocidaddelenroscado
(B)enelnivelbajoeslaclaveparareducirlacontracciónpromediodelaspiezas.SiBestáenelnivelbajo,
virtualmentecualquiercombinaciónde
latemperatura(A)Yeltiempoderetención(C)resultaráenvalo­
resbajosde
lacontracciónpromediodelaspiezas.Sinembargo,alexaminarlosrangosdelosvaloresde
lacontracción
encadavérticedelcubo,esclarode inmediatoqueajustarel tiempoderetención(C)enel
nivelbajoes
laúnicaelecciónrazonablesise quieremantenerbajalavariabilidadde lacontracciónde
.unapiezaa otraenunacorridadeproducción.

340. 326 CAPÍTULO8DISEÑOSFACTORIALESFRACCIONADOS DEDOSNIVELES
.'
>
¡::
"1"
",
<::
8..4ELDISEÑOFACTORIALFRACCIONADO 2"-PGENERAL
Aundiseñofactorialfraccionado 2
k
quecontiene2
k
-p
corridasselellamafracción
1/2!deldiseño2
k
o,de
maneramássimple, diseñofactorialfraccionado 2
k
-p.Enestosdiseñosdebenseleccionarse pgeneradores
independientes.Larelacióndedefinicióndeestediseñosecomponedelos
pgeneradoreselegidos ini­
cialmenteysus
2!-p-1interaccionesgeneralizadas. Enlapresentesecciónseestudialaconstruccióny el
análisisdeestosdiseños.
Laestructuradelosaliaspuedeencontrarsemultiplicandolacolumnadecadaefectoporlarelación
dedefinición.Deberáprestarseatenciónalelegirlosgeneradores
paraquelosefectosdeinteréspoten­
cialnoseanaliasentre
sí.Cadaefectotiene 2
P-1alias.Paravaloresmoderadamentegrandesde k,esco­
múnsuponerquelasinteraccionesdeórdenessuperiores(porejemplo,deterceroycuartoordeny
superiores)soninsignificantes,conlocualsesimplifica
engranmedidalaestructuradelosalias.
Esimportanteseleccionarlos
pgeneradoresdeun
dise~ofactorialfraccionado2
k
-p
detalmodoque
seobtenganlasmejoresrelacionesdelosaliasposibles.
Uncriteriorazonable esseleccionarlosgenera­
dores
paraqueeldiseño 2
k
-p
resultantetengala resoluciónmásaltaposible.Parailustrar,considereel di­
seño
2C;:;2delatabla8-9,dondeseusaronlosgeneradores E=ABCyF=BCD,conlocualseproduceun
diseñoderesolución
IVÉsteeseldiseñoconlaresoluciónmásalta. Sisehubieranseleccionado E
==
ABCyF=ABCD,larelacióndedefinicióncompletahubierasido 1=ABCE=ABCDF=DEF,Yeldise­
ñohabríasidoderesolución
III.Setrata,evidentemente,deunaeleccióninferiorporquesacrificadema­
nerainnecesariainformaciónacercadelasinteracciones.
Enocasioneslaresoluciónporsísolano essuficienteparadistinguirentrelosdiseños.Porejemplo,
considerelostresdiseños
2~2delatabla8-13.Todosestosdiseñossonderesolución IV,perotienen es­
tructurasdelosaliasmuydiferentes(se hasupuestoquelasinteraccionesdetresfactores ylasdeórdenes
superioressoninsignificantes)conrespectoalasinteraccionesdedosfactores.Evidentemente,eldiseño
A
eselquetienemásaliasyeldiseñoCelquetienemenos, porloqueeldiseñoCseríaunabuenaelección
paraundiseño
2~2.
LastrespalabrasdeldiseñoAtienenlongitud
4;esdecir,el patróndelalongituddelaspalabras es
{4,4,4}.Paraeldiseño Bes{4,4,6}YparaeldiseñoCes{ 4,5,5}.Observequelarelacióndedefinición
deldiseñoCtieneunasolapalabradecuatroletras,mientrasquelosdemásdiseñostienendosotres.Por
lotanto,eldiseñoCminimizaelnúmerodepalabrasdelarelacióndedefiniciónquesondelongitud
mí­
nima.Aundiseñocomoésteselellama diseñodeaberraciónmínima. Minimizarlaaberraciónenun di­
señoderesoluciónRaseguraqueeldiseñotieneelnúmeromínimodeefectosprincipalesquesonalias de
Tabla,8-13Treseleccionesdegeneradorespara eldiseño
2~2
GeneradoresdeldiseñoA: Generadoresdeldiseño B:
F==ABC,G==BCD F==ABc,G==ADE
1==ABCF==BCDG ==ADFG 1=ABCF=ADEG=BCDEFG
Generadoresdeldiseño C:
F=ABCD,G=ABDE
1=ABCDF=ABDEG==CEFG
Alias(interaccionesdedosfactores)
AB==CF
AC=BF
AD==FG
AG=DF
BD=CG
BG=CD
AF=BC=DG
Alias(interaccionesdedosfactores)
AB=CFAC==BF
AD=EG
AE=DG
AF=BC
AG==DE
Alias(interaccionesdedosfactores)
CE==FG
CF=EG
CG==EF

341. 8-4ELDISEÑOFACTORIALFRACCIONADO zk-PGENERAL 327
EJEMPLO 8~5 .
Parailustrarelusodelatabla8-14,supongaquesetienensietefactoresyqueelinterésseencuentra en
estimarlossieteefectosprincipalesyhacerseunaideaaproximadadelasinteraccionesdedosfactores.
Estamosdispuestosasuponerquelasinteraccionesdetresfactoresydeórdenessuperioressoninsignifi­
cantes.Estainformaciónsugierequeundiseñoderesolución
IVseríaapropiado.
Latabla8-14muestraquesecuentacondosfraccionesderesolución
IV:la
2~2con32corridasyla
2~3con16corridas.LatablaXIIdelapéndicecontienelasrelacionesdelosaliascompletas paraestos
dosdiseños.Losalias paraeldiseño2~3de16corridasseencuentran enlatablaXII(i)delapéndice.
Observequelossieteefectosprincipalessonaliasdeinteraccionesdetresfactores.Lasinteracciones
dedosfactoressonaliasengruposdetres.Porlotanto,estediseñosatisfarálosobjetivosdelproblema;
esdecir,permitirálaestimacióndelosefectosprincipalesydaráciertaidearespectodelasinteracciones
dedosfactores.No esnecesariocorrereldiseño
2~2,elcualrequeriría32corridas. LatablaXII(j)del
apéndiceindicaqueestediseñopermitiríalaestimacióndelossieteefectosprincipalesyque
15delas21
interaccionesdedosfactorestambiénpodríanestimarsedemaneraúnica.(Recuerdequelasinteraccio­
nesdetresfactoresydeórdenessuperioressoninsignificantes.)Éstaesmásdelainformaciónnecesaria
acercadelasinteracciones.Eldiseñocompletosemuestra
enlatabla8-15.Observeque seconstruyóem­
pezandoconlacorrida
16deldiseño2
4
enA,B,C yDcomoeldiseñobásicoyagregandodespuéslastres
columnas
E=ABC,F=BCDYG =ACD.Losgeneradoresson1= ABCE,I=BCDFe1=ACDG(tabla
8-14).Larelaciónde definicióncompletaesI=ABCE=BCDF=ADEF=ACDG=BDEG=CEFG=
ABFG.
interaccionesdeorden R-1,elnúmeromínimodeinteraccionesdedosfactoresquesonaliasdeinterac­
'donesdeordenR-2,etcétera.ReferirseaFriesy Hunter[46]paramayoresdetalles.
Enlatabla8-14 sepresentaunaseleccióndediseñosfactorialesfraccionados 2
k
-p
parak
:515factores
yhastan:5128corridas.Losgeneradoressugeridosenestatablaresultaránenundiseñoconlaresolu­
ciónmásaltaposible.Sontambiénlosdiseñosconaberraciónmínima.
Lasrelacionesdelosalias
paratodoslosdiseñosdelatabla8-14 paralosquen
:564sepresentanen
latablaXII(a-w)delapéndice.Lasrelacionesdelosaliasincluidas enestatablaseenfocanenlosefectos
principalesYlasinteraccionesdedosytresfactores.Sedalarelacióndedefinicióncompleta
paracadadi­
seño.Estatabladelapéndicehacemuysencilloseleccionarundiseñoconlaresoluciónsuficiente
para
asegurarquecualesquierainteraccionesdeinteréspotencialpuedanestimarse.
Análisisdelosdiseñosfactorialesfraccionados 2
k
-p
Hayvariosprogramasdecomputadoraquepuedenusarse paraanalizareldiseñofactorialfraccionado
2
k
-p
•
Porejemplo,elprograma Design-Expel1ilustradoenelcapítulo6tieneestacapacidad.
Eldiseñotambiénpuedeanalizarserecurriendoalosprincipiosbásicos;elefectoi-ésimo
seestimacon
2(Contraste¡)Contraste¡
J!¡= N =(N/2)
dondeelContraste¡ seencuentrautilizandolossignospositivosynegativosdelacolumna iydonde
N=2
k
-p
eselnúmerototaldeobservaciones.Eldiseño 2
k
-p
sólopermitelaestimaciónde 2
k
-p
-1efectos(y
susalias).

342. f,re,
~t:
,1
Tabla8-14Diseñosfactorialesfraccionados21<-1'seleccionados
Númerode Númerode Generadores
factores,k Fracción corridas deldiseño
3 2
3
-
1
4 C=±AB
ID
4 2
4
-
1
8 D=±ABC
IV
5 2
5
-
1
16 E=±ABCD
v
2
5
-
2
8 D=±AB
ID
E=±AC
6 26-
1
32 F=±ABCDE
VI
26-
2
16 E=±ABC
IV
F=±BCD26-~
8 D=±AB
III
E=±AC
F=±BC
7 2
7
-
1
64 G=±ABCDEF
VII
2
7
-
2
32 F=±ABCD
IV
G=±ABDE
2
7
-
3
16 E=±ABC
ID
F=±BCD
G=±ACD
2
7
-
4
8 D=±AB
ID
U~
E=±AC
:ir
'.
F=±BC
~:!
¡ G=±ABC
8 2
8
-
2
64 G=±ABCD
V
H=±ABEF
2
8
-
3
32 F=±ABC
It
IV
1" G=±ABD
<:
H=±BCDE..
r" 2
8
-
4
16 E=±BCD
t.:
IV
" F=±ACD
ji
G=±ABC
H=±ABD
9 2
9
-
2
128 H=±ACDFG
VI
J=±BCEFG
2
9
-
3
64 G=±ABCD
IV
H=±ACEF
J=±CDEF
2
9
-
4
32 F=±BCDE
IV
G=±ACDE
H=±ABDE
J=±ABCE
2
9
-
5
16 E=±ABC
ID
F=±BCD
G =±ACD
H=±ABD
J=±ABCD
10 2
10
-
3 128 H=±ABCG
V
J=±ACDE
K=±ACDF
328

343. 11
Tabla8-14(continuación)
Númerode Númerode Generadores
factores,
k Fracción corridas deldiseño
2
10
-
4
64 G=±BCDF
N
H=±ACDF
J=±ABDE
K=±ABCE
2
10
-
5 32 F=±ABCD
N
G=±ABCE
H=±ABDE
J=±ACDE
K=±BCDE
2
10
-
6
16 E=±ABC
III
F=±BCD
G =±ACD
H=±ABD
J=±ABCD
K=±AB
11 2
11
-
5 64 G=±CDE
N
H=±ABCD 1'1
I
J=±ABF m
~
K=±BDEF
",/!t
,I!."
L=±ADEF ::4~i
2
11
-
6
32 F=±ABC ,:?~
N
II,,~
G=±BCD :~.l:~
H=±CDE
W¡:::i
'rr
J=±ACD
,I.¡j
"1'"
K=±ADE
::1,;[:
L=±BDE
~I..,,~
~~:-;
2
11
-
7
16 E=±ABC
-I"'-j
III
1['~
F=±BCD r~
m:;;w
G=±ACD ll~
"
H=±ABD
'ji
J=±ABCD
I
i
K=±AB !
L=±AC
12 2
12
-
8
16 E=±ABC
III
F=±ABD
G=±ACD
H=±BCD
J=±ABCD
K=±AB
L=±AC
M=±AD
13 2
13
-
9 16 E=±ABC
III
F=±ABD
G=±ACD
H=±BCD
J=±ABCD
K=±AB
329

344. r
330 CAPÍTULO8DISEÑOSFACTORIALESFRACCIONADOS DEDOSNIVELES
Tabla8-14(continuación)
Númerode Númerode Generadores
factores,k Fracción corridas deldiseño
L=±AC
M=±AD
N=±BC
14 2
14
-
10
16 E=±ABC
111
F=±ABD
G=±ACD
H=±BCD
J=±ABCD
K=±AB
L=±AC
M=±AD
N=±BC
0=±BD
15 2
15
-
11
16 E=±ABC
111
F=±ABD
~¡: G =±ACD
:ir
H=±BCD
'.f,' J=±ABCD
¡:
K=±AB
L=±AC
M=±AD
lt N=±BC
l'
0=±BD
<:
-.. p=±CD
r'
l."
"o
"~
j¡
Tabla8-15Undiseñofactorialfraccionadoziv
3
Diseñobásico
Corrida
A B C D E=ABC F=BCD G=ACD
1
2
+ + +
3 + + +
4 + + + +
5 + + + +
6 + + +
7 + + +
8 + + + +
9 + + +
10 + + + +
11 + + + +
12 + + +
13 + + +
14 + + + +
15 + + + +
16 + + + + + + +

345. 8-4ELDISEÑOFACTORIALFRACCIONADO z"-PGENERAL 331
Proyeccióndeldiseñofactorialfraccionado 2
k
-p
Eldiseño2
k
-p
sereducea unfactorialcompletoobiena unfactorialfraccionado encualquiersubconjunto
der
:::;k-pdelosfactoresoriginales.Esossubconjuntosdefactoresqueproducendiseñosfactoriales
fraccionadossonsubconjuntosqueaparecencomopalabras
enlarelacióndedefinicióncompleta.Esto
resultadeparticularutilidadenlosexperimentosdetamizadocuandosesospechadesdeelprincipiodel
experimentoquelamayoríadelosfactoresoriginales
tendránefectospequeños.Eldiseñofactorialfrac­
cionado
2
k
-p
puedeproyectarseentoncesenunfactorialcompleto, porejemplo,enlosfactoresdemayor
interés.Lasconclusionesaqueselleguecondiseñosdeestetipodeberánconsiderarsetentativasysome­
terseaanálisisadicional.Porlogeneralesposibleencontrarexplicacionesalternativasdelosdatosque
intervienen
eninteraccionesdeórdenessuperiores.
Como
unejemplo,considereeldiseño
2~3delejemplo8-5.Se tratadeundiseñocon16corridas en
elqueintervienensietefactores.Seproyectará enunfactorialcompleto encuatrocualesquieradelossie­
tefactoresoriginalesquenoseanunapalabradelarelación dedefinición.Hay 35subconjuntosdecuatro
factores,siete
deloscualesaparecen enlarelacióndedefinicióncompleta(verlatabla8-15).Porlotanto,
hay28subconjuntosdecuatrofactoresqueformaríandiseños2
4
•
Unacombinaciónque esobviaalins­
peccionarlatabla8-15es
A,B,C YD.
Parailustrarapropiadamentelautilidaddeestaproyección,supongaqueserealiza unexperimento
paramejorarlaeficienciade
unmolinodebolasylossietefactoressonlossiguientes:
1.Velocidaddelmotor
2.Muesca
3.Modo dealimentación
4.Tamañodelaalimentación
5.Tipodematerial
6.Ángulodelacriba
7.Niveldevibracióndelacriba
Setieneunacertezarazonabledequelavelocidaddelmotor,eltamañodelaalimentaciónyeltipode
materialafectaránlaeficienciayqueademásestosfactores
puedeninteractuar.Sesabemenosdelpapel
delosotrostresfactores,peroesprobablequeseaninsignificantes. Unaestrategiarazonableseríaasig­
narlavelocidaddelmotor,elmododealimentación,eltamañodelaalimentaciónyeltipodemateriala
lascolumnasA,B,CyD,respectivamente,delatabla8-15. Lamuesca,elángulodelacribayelnivelde
vibracióndelacribaseasignaríanalascolumnas
E,FYG,respectivamente.Siseestáenlocorrectoylas
"variablesmenores"
E,FyGsoninsignificantes,quedará undiseño2
4
completoenlasvariablesclavedel
proceso.
Separaciónenbloquesdediseñosfactorialesfraccionados
Ocasionalmente,undiseñofactorialfraccionadorequieretantascorridasqueno esposiblerealizarlasto­
dasbajocondicioneshomogéneas. Enestassituaciones,losdiseñosfactorialesfraccionados puedencon­
fundirse omezclarseenbloques.
LatablaXIIdelapéndicecontienelosarreglosrecomendados parala
separación
enbloquesdevariosdelosdiseñosfactorialesfraccionadosdelatabla8-14.Eltamañomíni­
modelosbloques paraestosdiseños esdeochocorridas.
Parailustrarelprocedimientogeneral,considereeldiseñofactorialfraccionado
2~2conlarelación
dedefinición!=ABCE=BCDF=ADEFquesemuestra enlatabla8-10.Estediseñofraccionadocon­
tiene
16combinacionesdetratamientos.Supongaquequierecorrerseestediseñoendosbloquescon
ochocombinacionesdetratamientoscadauno.Alseleccionar
unainteracciónparaconfundirlaconlos
bloques,seobserva
porelexamendelaestructuradelosaliasdelatablaXII(f)delapéndicequehaydos

346. /
(1) ae
abf aef
eef bef
abee be
abef df
bde abd
aed ede
bedf abedef
Figura8-18 Eldiseño2~2
endosbloquescon ABDcon­
fundida.
Bloque2
CAPÍTULO8DISEÑOSFACTORIALESFRACCIONADOS DEDOSNIVELES
Bloque1
seriesdealiasqueincluyenúnicamenteinteraccionesdetresfactores. Latablasugiereseleccionar ABD
(ysusalias)paraconfundirlaconlosbloques.Seobtendríanasílosdosbloquesquesemuestran enlafi­
gura8-18.Observequeelbloqueprincipalcontienelascombinacionesdetratamientosquetienenunnú­
meroigualdeletrasencomún
conABD.Sontambiénlascombinacionesdetratamientos paralasque
L=Xl+X2+X4=O(mod2).
332
rn
,nI
I
I
I
EJEMPLO8 ..6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
SeusaunamáquinaCNCdecincoejes paramaquinarunpropulsorutilizado enunmotordeturbina.Los
perfilesdelosálabesson
unacaracterísticaimportante delacalidad.Específicamente,esdeinterésla
desviacióndelperfildelálabedelperfilespecificado
enelplanodeingeniería.Secorre unexperimento
paradeterminarcuálessonlosparámetrosdelamáquinaqueafectanladesviacióndelperfil.Losocho
factoresseleccionados
eneldiseñosonlossiguientes:
Factor
A=desviaciónenelejex(0.001pulg)
B=desviaciónenelejey(0.001pulg)
e=desviaciónenelejez(0.001pulg)
D=fabricantedelaherramienta
E=desviacióndeleje a(0.001grados)
F=velocidaddelareómetro (%)
G=alturade laplantillasujetadora(0.001pulg)
H=velocidaddealimentación (%)
Nivelbajo (-)
o
O
O
1
O
90
O
90
Nivelalto( +)
15
15
15
2
30
lio
15
110
Seseleccionaunálabedeprueba encadapiezaparainspeccionarlo.Ladesviacióndelperfilsemideutili­
zando
unamáquinademedicióncoordenada,yladesviaciónestándardeladiferenciaentreelperfilrealy
elperfilespecificadoseusacomolavariablederespuesta.
Lamáquinatienecuatroareómetros.Puestoque puedehaberdiferenciasenlosareómetros,losin­
genierosdelprocesopiensanqueéstosdeberántratarsecomobloques.
Losingenierossesientenconfiadosdequelasinteraccionesdetresomásfactoresnosonmuyimpor­
tantes,peroestánrenuentesaignorarlasinteraccionesdedosfactores.Porlatabla8-14,inicialmente
dos

347. ,diseñosparecenserapropiados:eldiseño2~4con16corridasyeldiseño2~3con32corridas.Latabla
Xn(l)delapéndiceindicaque siseusaeldiseñocon 16corridas,habráunnúmeroconsiderabledealias
coninteraccionesdedosfactores.Además,estediseñonopuedecorrerse encuatrobloquessinconfundir
cuatrointeraccionesdedosfactoresconlosbloques.
Porlotanto,losexperimentadoresdecidenusarel
diseño
2~3encuatrobloques. Enestediseñoseconfundenconlosbloquesunacadenadealiasde in­
teraccionesdetresfactoresyunainteraccióndedosfactores(EH)ysusaliasdeinteraccionesdetresfac­
tores.Lainteracción
EHeslainteracciónentreladesviacióndeleje aylavelocidaddealimentación,ylos
ingenierosconsideranqueunainteracciónentreestas dosvariablesesaltamenteimprobable.
Latabla8-16contieneeldiseñoylasrespuestasresultantes
entérminosdedesviaciónestándarx 10
3
pulg.Puestoquelavariablederespuesta esunadesviaciónestándar,confrecuenciaesmejorefectuarel
análisisdespuésdeunatransformaciónlogarítmica.
Enlatabla8-17semuestranlasestimacionesdelos
.efectos.
Lafigura8-19esunagráficadeprobabilidadnormaldelasestimacionesdelosefectos,utilizando
In(desviaciónestándarx 10
3
)
comolavariablederespuesta.Losúnicosefectosgrandes sonA
==desvia­
cióndelejex,E==desviacióndelejey,ylacadenadealiasqueincluyeAD +EG.Ahora bien,ADeslain-
8-4ELDISEÑOFACTORIALFRACCIONADO Zk-pGENERAL 333
Tabla8-16Eldiseño28-3encuatrobloquesdelejemplo8-6 .•
Diseñobásico
OrdenrealDesviaciónestándar
ji:
11::
CorridaABCDEF=ABCG=ABDH=BCDE Bloquedelascorridas (x10
3
pulg) I,'-~
,~,
1 + 3 18 2.76
¡;~¡
II,"¡
2+ + + + 2 16 6.18
~:¡;~
"
3 4 29 2.43
~.,,,..
+ + +
1..~
4+ + 1 4 4.01
r.r
5 + + 1 6 2.48
¡.:S
jJ!=
6+ + + 4 26 5.91
7
++ + + 2 14 2.39
1::~
8+ + + + + 3 22 3.35r:~,"
9 + + 1 8 4.40
10+ + + 4 32 4.10
11i
11 + + + + 2 15 3.22
I~
12+ + + + + 3 19 3.78
11
13 ++ + + + 3 24 5.32
I
14+ + + + 2 11 3.87
15 + + + 4 27 3.03
16
+ + + + + + 1 3 2.95
17 + 2 10 2.64
18+ + + + 3 21 5.50
19
+ + + + + 1 7 2.24
20
+ + + + 4 28 4.28
21 + + + + 4 30 2.57
22
+ + + + + 1 2 5.37
23 + + + + 3 17 2.11
24
+ + + + + 2 13 4.18
25 + + + + 4 25 3.96
26
+ + + + + 1 1 3.27
27
+ + + + 3 23 3.41
28++ + + + 2 12 4.30
29
++ + + + 2 9 4.44
30
+ + + + 3 20 3.65
31
+ + + + + 1 5 4.41
32
+ + + + + + + + 4 31 3.40

348. 334 CAPÍTULO8DISEÑOSFACTORIALESFRACCIONADOS DEDOSNNELES
Tabla8-17Estimacionesdelosefectos,coeficientes deregresiónysumasdecuadradosdelejemplo 8-6
Variable Nombre Nivel-1 Nivel+1
A Desviacióndelejex O 15
B Desviacióndel ejey O 15
C Desviacióndelejez O 15
D Fabricantedelaherramienta 1 2
E Desviacióndelejea O 30
F Velocidaddelareómetro 90 110
G Alturadelaplantillasujetadora O 15
H Velocidaddealimentación 90 110
0.674020
0.321729
0.005310
0.093540
2.050E-06
0.011988
0.107799
0.001606
2.767E-04
0.030815
1.119705
5.170E-04
0.016214
0.022370
0.020339
0.077627
0.001371
0.009535
0.012685
0.001721
0.029568
0.002334
0.001969
0.002616
0.023078
0.009993
0.006308
1.914E-04
0.008874
0.001273
0.023617
0.29026
-0.20054
-0.02576
0.10813
-5.063E-04
-0.03871
0.11608
0.01417
-0.00588
-0.06206
-0.37412
0.00804
-0.04502
0.05288
-0.05042
0.09851
0.01309
0.03452
0.03982
-0.01467
0.06080
0.01708
0.01569
-0.01808
-0.05371
-0.03534
-0.02808
0.00489
0.03331
-0.01261
-0.05433
Variable" Coeficientederegresión Efectoestimado Sumade
cuadrad;
Promedioglobal 1.28007
A 0.14513
B -0.10027
C -0.01288
D 0.05407
E -2.531E-04
F -0.01936
G 0.05804
H 0.00708
AB+CF+DG -0.00294
AC+BF -0.03103
AD+BG -0.18706
AE 0.00402
AF+BC -0.02251
AG+BD 0.02644
AH -0.02521
BE 0.04925
BH 0.00654
CD+FG 0.01726
CE
0.01991
CG+DF -0.00733
CH 0.03040
DE 0.00854
DH 0.00784
EF -0.00904
EG -0.02685
EH -0.01767
FH -0.01404
GH 0.00245
ABE 0.01665
ABH -0.00631
ACD -0.02717
"Sólolosefectosprincipalesylasinteraccionesdedosfactores.

349. Figura8-19 Gráficadeprobabilidadnormaldelasestimaciones delosefectos
delejemplo8-6.
'~~l'
'i
l
..~
',1
.30
A 99
•
95
90
80
70
o
o
50';
~....
30
20
10
5
.20
8-4
ELDISEÑOFACTORIALFRACCIONADO
z"-PGENERAL 335
.10o
Estimacionesdelosefectos
5
10
teraccióndesviacióndelejex-fabricantedelaherramienta,y BGeslainteraccióndesviacióndeleje
y-alturadelaplantillasujetadora,ycomoestasdosinteraccionessonaliasesimposiblesepararlascon
baseenlosdatosdelexperimento
encurso.Puestoqueambasinteraccionesincluyenunefectoprincipal
grande,tambiénesdifícilaplicarcualquiersimplificaciónlógica"obvia"enestasituación.
Sisecontara
conalgúnconocimientodeingenieríaodelprocesoquearrojaraluzsobrelasituación,entoncesquizápo­
dríahacerse
unaelecciónentrelasdosinteracciones;encasocontrario,senecesitaránmásdatos parase­
pararestosdosefectos(elproblemadeagregarcorridas
enundiseñofactorialfraccionado paraseparar
losaliasdelasinteracciones,seestudiaenlasección 8-5yenelmaterialsuplementariodeestecapítulo).
SupongaqueelconocimientodelprocesosugierequeposiblementelainteracciónapropiadaseaAD.
Latabla8-18eselanálisisdevarianzaresultante
paraelmodeloconlosfactores A,B,DyAD(elfactorD
seincluyóparapreservarelprincipiodejerarquía).Observequeelefectodelbloque espequeño,locual
sugierequelosareómetrosdelamáquinanosonmuydiferentes.
Lafigura
8·20esunagráficadeprobabilidadnormaldelosresidualesdeesteexperimento. Estagrá­
ficasugierelapresenciadecolasligeramentemásgruesasquelasnormales, porloqueposiblementede-
Tabla8.18Análisisdevarianzadelejemplo 8-6
Sumade Gradosde Cuadrado
Fuentedevariación cuadrados libertad medio Fo ValorP
A
0.6740 1 0.6740 39.42 <0.0001
B 0.3217 1 0.3217 18.81 0.0002
D 0.0935 1 0.0935 5.47 0.0280
AD 1.1197 1 1.1197 65.48 <0.0001
Bloques 0.0201 3 0.0067
Error 0.4099 24 0.0171
Thtal 2.6389 31
¡¡¡
E
50
o
""C
70lU
"C
:a80
.lU
J:J
e
90[1.
95
AD
•
99
-040-.30 -.20 -.10

350. 336 CAPÍTULO8DISEÑOSFACTORIALESFRACCIONADOS DEDOSNIVELES
5
o
o10
x
o::~20
1
S
30
ro
E50
o
c:
"D
70ro
;g
:c80
ro
..D
e
90a..
95
99
-0.25 o
Residuales
0.25
•
99
95
90
80
70
o
o
50';;
..;~
30
20
10
5
Figura8·20 Gráficadeprobabilidadnormaldelosresidualesdelejemplo8-6.
1.825
M
o
~
X
ro
"'E
~'E
ro
Ol
.2
~
ro
"D
c:
'ro
iñ
"c:
'O
'¡;
ro
.~
"o
D-
0.75
Baja
Desviacióndeleje
x(Al
Alta
Figura8-21 Gráficadelainteracción ADparaelejemplo8-6,

351. 8~5DISEÑOSDERESOLUCIÓN III
8-5DISEÑOSDERESOLUCIÓNIII 337
1.2731.247
~--"""I------f( 1.370
1
I
I
11.504 1.3"10
/~:;::'--'~~5-~;::;~~~D
I I 1
O +15
Desviacióndeleje x,A
O
0.8280
+15
Desviacióndeleje y,B
Figura8-22Eldiseño
2~3delejemplo8-6proyectadoencuatro
réplicasdeundiseño2
3
enlosfactores A,BYD.
Comoseseñalóanteriormente,elusosecuencialdelosdiseñosfactorialesfraccionados esmuyútil,lle­
vandoconfrecuenciaa
unagraneconomíayeficienciadelaexperimentación.Seilustranahoraestas
ideasutilizandolaclasedelosdiseñosderesolución
lIl.
Esposibleconstruirdiseñosderesolución IIIparainvestigarhasta le=N-1factoresensólo Ncorri­
das,donde
Nesunmúltiplode 4.Confrecuenciaestosdiseñossonútilesenlaexperimentaciónindus­
trial.Losdiseños
enlosqueNesunapotenciade 2puedenconstruirseconlosmétodospresentados
anteriormente
enestecapítulo,yéstossepresentanprimero. Departicularimportanciasonlosdiseños
querequieren4corridas
parahasta3factores,8corridas parahasta7factoresy 16corridasparahasta15
factores.Sile=N-1,sedicequeeldiseñofactorialfraccionadoestásaturado.
Undiseñoparaanalizarhastatresfactoresencuatrocorridaseseldiseño
2:;;1,elcualsepresentó en
lasección8-2.Otrodiseñofactorialfraccionadosaturadomuyútileseldiseño paraestudiarsietefactores
enochocorridas,
esdecir,eldiseño
2i;¡4.Estediseño esunafracciónundieciseisavo deldiseño 2
7
•
Puede
construirseapuntandoprimerolosnivelespositivosynegativosde
undiseño2
3
completoen A,BY C
comoeldiseñobásico,yasociandodespuéslosnivelesdecuatrofactoresadicionalesconlasinteracciones
delostresfactoresoriginalesdelasiguientemanera: D=AB,E=AC,F=BCYG=ABC.Porlotanto,
losgeneradoresdeestediseño
sonl=ABD,I=ACE,I=BCFel=ABCG.Eldiseñosemuestraenlata-
bla8-19.
.
banconsiderarseotrastransformaciones.LagráficadelainteracciónADsepresenta enlafigura8-21.
Observequeelfabricantede laherramienta(D)ylamagnituddeladesviacióndel ejex(A)tienenunim­
pactoprofundo
enlavariabilidad,delperfildelálabe,delasespecificacionesdediseño. CarrerAenelni­
velbajo(Odesviación)ycomprarlasherramientasalfabricante 1producelosmejoresresultados. Enla
figura
8-22semuestralaproyeccióndeestediseño
2~3encuatroréplicasde undiseño2
3
enlosfactores
A,ByD.Lamejorcombinacióndelascondicionesdeoperación esAenelnivelbajo (Odesviación),Ben
elnivelalto(0.015endesviación)y Denelnivelbajo(fabricantedeherramientas1).

352. rr
r.:
i
1
338 CAPÍTULO8DISEÑOSFACTORIALESFRACCIONADOS DEDOSNIVELES
Tabla8-19Eldiseño2~-4conlosgeneradores1 =ABD,1=ACE,1 =BCFe 1 =ABCG
Diseñobásico
Corrida
1
2
3
4
5
6
7
8
A B C D=AB E=AC
+ +
+
+ +
+ + +
+ +
+ + +
+ +
+ + + + +
F=BC
+
+
+
+
G=ABC
def
+ afg
+ beg
abd
+ edg
aee
bef
+ abedefg
Larelacióndedefinicióncompletadeestediseñoseobtienemultiplicandoentresíloscuatrogenera­
doresABD,ACE, BCFyABCGdedosendos,detres entresyloscuatroalavez,dedonde
seobtiene
I=ABD=ACE=BCF=ABCG=BCDE=ACDF=CDG
=
ABEF=BEG=AFG=DEF=ADEG=CEFG=BDFG=ABCDEFG
Paraencontrarlosaliasdecualquierefecto,simplementesemultiplicaelefecto porcadapalabradela
re"----.
lacióndedefinición.Porejemplo,losaliasde Bson
B=AD=ABCE=CF=ACG=CDE=ABCDF=BCDG=AEF=EG
=ABFG=BDEF=ABDEG=BCEFG=DFG=ACDEFG
Estediseño esunafracciónundieciseisavo,ycomolossignoselegidos paralosgeneradoressonposi­
tivos,se
tratadelafracciónprincipal.Estambiénderesolución IIIporqueelnúmeromenordeletras de
cualquierpalabradeladefinicióndecontrasteestres.Cualquieradelos16diferentesdiseños
2;;4deesta
familiapodríaconstruirseutilizandolosgeneradorescon1delos16arreglosposiblesdelossignosen
I=±ABD,I =±ACE,I =±BCF,I =±ABCG.
Lossietegradosdelibertaddeestediseño puedenusarseparaestimarlossieteefectosprincipales.
Cadaunodeestosefectostiene
15alias;sinembargo,sisesuponequelasinteraccionesdetresomásfac­
toressoninsignificantes,seconsigueentonces
unasimplificaciónconsiderable enlaestructuradelosalias.
Estableciendoestesupuesto,cada
unadelascombinacioneslinealesasociadasconlossieteefectos
principalesdeestediseñoes
enrealidadunaestimacióndelefectoprincipal ylastresinteraccionesdedos
factores:
RA-;.A+BD+CE +FG
RE-;.B+AD+CF+EG
ee-;.C+AE+BF+DG
R
n
-;.D+AB+CG+EF
RE-;.E+AC+BG+DF
R
F
-;.F+BC+AG+DE
R
G
-;.G+CD+BE+AF
(8-1)
Estosaliasseencuentran enlatablaXII(h)delapéndice,ignorandolasinteraccionesdetresfactores yde
órdenessuperiores.

353. 8-5DISEÑOSDERESOLUCIÓNIII339
Eldiseñosaturado2;;4delatabla8-19 puedeusarseparaobtenerdiseñosderesolución nIparaes­
tudiarmenosdesietefactores
enochocorridas.Porejemplo, paragenerarundiseñoparaseisfactoresen
ochocorridas,simplementeseeliminacualquieradelascolumnasde latabla8-19,digamoslaG.Seobtie­
neasíeldiseñoquesemuestra
enlatabla8-20.
Essencilloverificarqueestediseñoestambiénderesolución
In;dehechoesundiseño
2~;3,ouna
fracciónunoctavo,deldiseño 2
6
•
Larelacióndedefinicióndeldiseño
2~Ii3esiguala larelacióndedefini­
cióndeldiseño2;ri
4
original,conlaspalabrasqueincluyen laletraGeliminadas.Porlotanto, larelación
dedefinicióndelnuevodiseñoei5/.
1=ABD=ACE=BCF=BCDE=ACDF=ABEF=DEF
.Engeneral,cuandoseeliminan dfactoresparaproducirunnuevodiseño,lanuevarelacióndedefinición
seobtienedelaspalabrasdelarelacióndedefiniciónoriginalquenocontienenningunadelasletraseli­
minadas.Cuandoseconstruyendiseñosconestemétodo,
deberáprestarseatención paraobtenerelme­
jorarregloposible.
Siseeliminanlascolumnas B,D,FYGdelatabla8-19,seobtiene undiseñoparatres
factores
enochocorridas,noobstantequelascombinacionesdetratamientoscorrespondenadosrépli­
casde
undiseño2
3
.
Probablementeelexperimentadorpreferiría correr undiseño2
3
completoenA,C yE.
Tambiénesposibleobtener undiseñoderesolución Inparaestudiarhasta 15factoresen16corridas.
Estediseño
2~~-1lsaturadopuedegenerarseapuntandoprimerolas16combinacionesdetratamientos
asociadascon
undiseño2
4
enA,B,CyDeigualandodespués 11nuevosfactoresconlasinteraccionesde
dos,tresycuatrofactoresdeloscuatrofactoresoriginales.
Enestediseño,cadaunodelos 15efectosprin­
cipalesesaliasdesieteinteraccionesdedosfactores.
Puedeusarseunprocedimientosimilar paraeldise­
ño
2i~-26,locualpermiteelestudiodehasta 31factoresen32corridas.
Ensamblajesecuencialdefraccionesparasepararefectos
Mediantelacombinacióndediseñosfactorialesfraccionados enlosquesehanintercambiadociertossig­
nos,esposibleaislarde
manerasistemáticalosefectosdeinteréspotencial.Aestetipodeexperimento
secuencialselellama
doblezOplegadoifoldover)deldiseñooriginal. Laestructuradelosaliasdecual­
quierfracciónconlossignosdeunoomásdelosfactoresinvertidosseobtienehaciendoelcambiodesig­
noapropiado
enlosfactoresde laestructuradelosalias delafracciónoriginal.
Tabla
8-20Eldiseño2;3conlosgeneradores1 =ABD,1=ACEe 1=BCF
Diseñobásico
Corrida A B C D=AB E=AC F=BC
1 + + + def
2 + + af
3 + + be
4 + + + abd
5 + + ed
6 + + + aee
7 + + + bef
8 + + + + + + abedef
::1
111

354. ~'
340 CAPÍTULO8DISEÑOSFACTORIALESFRACCIONADOS DE DOSNIVELES
Considereeldiseño2iI~4delatabla8-19.Supongaquejuntoconestafracciónprincipalsecorretam­
biénunsegundodiseñofraccionadoconlossignosinvertidosenlacolumnadelfactor
D.Esdecir,la co­
lumnade Ddelasegundafracción es
-++--++-
Losefectosquepuedenestimarseapartirdelaprimerafracciónsemuestranenlaecuación 8-1,y apartir
delasegundafracciónseobtiene
esdecir,
J!~~A-BD+CE+FG
e~~B-AD+CF+EG
J!~~C+AE+BF-DG
J!~~D-AB-CG-EF
J!~D~-D+AB+CG+EF
J!~~E+AC+BG-DF
e~~F+BC+AG-DE
e~~G-CD+BE+AF
(8-2)
suponiendoquenosonsignificativaslasinteraccionesdetresfactoresydeórdenessuperiores.Ahora
bien,apartirdelasdoscombinacioneslinealesdelosefectost(J!¡+J!'¡)yt(J!¡-J!'¡)seobtiene
,.
Det((+.e;) Det((-.e;)
li A A +CE+FG BD
l'
B B+CF+EG AD
.5:, C C+AE+BF DG
1'"
AB+CG+EF" D D
1""
(:; E E+AC+BG DF
"
F F+BC+AG DE
n,
G G+BE+AF CDl."'
"
~]
.r;
Porlotanto,se haaisladoelefectoprincipalde Dytodassusinteraccionesdedosfactores. Engene­
ral,
siaundiseñofraccionadoderesolución IIIomayorseleagrega unafracciónadicionalconlossignos
de
unsolofactor invertidos,entonceseldiseñocombinadoproducirálasestimacionesdelefectoprincipal
deesefactorysusinteraccionesdedosfactores.
Supongaahoraqueaundiseñofraccionadoderesolución
IIIseleagregaunasegundafracciónenla
quelos
signosdetodoslosfactoresestáninveltidos.Estetipodedoblez(llamadoenocasiones doblezcomo
pletooreflexión)rompelosvínculosdealiasentrelosefectos principalesylasinteraccionesdedosfacto­
res.Esdecir,puedeusarseel
diseñocombinado paraestimartodoslosefectosprincipalesquitadosde
todaslasinteraccionesdedosfactores.
Enelsiguienteejemploseilustralatécnica.
EJEMPLO
8~7..................•......•........................•.•........
Unanalistadedesempeñohumanoconduceunexperimentoparaestudiareltiempodeenfoquedelojoy
haconstruidounaparatoenelquepuedencontrolarsevariosfactoresdurantelaprueba.Losfactores
queconsideraimportantesinicialmentesonlaagudezaoclaridadvisual
(A),ladistanciadelobjetivo al
ojo(B),laformadelobjetivo (C),elniveldeiluminación (D),eltamañodelobjetivo (E),ladensidaddel
objetivo
(F)yelsujeto(G).Seconsiderandosnivelesde
c;adafactor.Elanalistasospechaquesóloalgu­
nosdeestossietefactoressondeimportanciaprincipalyquepuedenomitirselasinteraccionesdeórde-

355. 8-5DISEÑOSDERESOLUCIÓNIII341
Tabla8-21Diseño2{11
4
paraelexperimentodeltiempodeenfoquedelojo
Diseñobásico
Corrida
A B C
D=AB E=AC F=BC G=ABC Tiempo
1 + + + def 85.5
2
+ + + afg 75.1
3
+ + + beg 93.2
4
+ + + abd 145.4
5
+ + + edg 83.7
6 + + + aee 77.6
7 + + + bef 95.0
8
+ + + + + + + abedefg141.8
nessuperioresentrelosfactores.Conbaseenestesupuesto,elanalistadecidecorrer unexperimentode
tamizado
paraidentificarlosfactoresmásimportantes paradespuésenfocarelestudioenlosmismos.
Paraexplorarestossietefactores,elexperimentadorcorrelascombinacionesdetratamientosdeldiseño
2i;¡4delatabla8-19demaneraaleatoria,obteniendolostiemposdeenfoqueenmilisegundos,comose
muestra
enlatabla8-21.
Apartirdeestosdatospuedenestimarsesieteefectosprincipalesysusalias.Porlaecuación
8-1se
observaquelosefectosysusaliasson
fA==20.63~A+BD+CE+FG
fE==38.38~B+AD+CF+EG
fe==-0.28~C+AE+BF+DG
fn==28.88~D+AB+CG+EF
fE==-0.28~E+AC+BG+DF
f
F==-0.63~F+BC+AG+DE
ea==-2.43~G+CD+BE+AF
Porejemplo,
fA==H-85.5+75.1-93.2+145.4-83.7+77.6-95.0+141.8)==20.63
LostresefectosmásgrandessonfA'fEyen'Lainterpretaciónmássimpledelosdatos esquelosefectos
principales
deA,ByDsontodossignificativos.Sinembargo,estainterpretaciónnoesúnica,yaque otra
conclusiónlógicasería queA,BylainteracciónAB,oquizáB, DylainteracciónBD,otalvezA,Dylain­
teracción
ADsonlosverdaderosefectos.
Observe
queABDesunapalabraenlarelacióndedefinicióndeestediseño.Porlotanto,estediseño
2i;¡4noseproyectaen unfactorial2
3
enABD;encambio,seproyectaendosréplicasde undiseño2
3
-1,
comoseilustra enlafigura8-23.Puestoqueeldiseño2
3
-
1
esderesoluciónIII,Aseráaliasde BD,B será
alias
deADyDseráaliasdeAB,porloqueno esposiblesepararlasinteraccionesdelosefectosprincipa­
les.
Enestecaso,quizáelanalistahayatenidomalasuerte. Sihubieraasignadoelniveldeiluminacióna C
enlugarde
aD,eldiseñosehabríaproyectadoen undiseño2
3
completo,ylainterpretaciónpodríahaber
sidomássencilla.
Parasepararlosefectosprincipalesylasinteraccionesdedosfactores,secorre
unasegundafracción
contodoslossignosinvertidos.Estedoblezdeldiseñosemuestra
enlatabla8-22,juntoconlasrespuestas
observadas.Notequecuandosehaceeldoblezde
undiseñoderesolución IIIdeestamanera,dehechose

356. 342 CAPÍTULO8DISEÑOSFACTORIALESFRACCIONADOS DEDOSNIVELES
+r-.I"-----r----('
Alcombinarestasegundafracciónconlaoriginalse obtienenlassiguientesestimaciones delosefectos:
Figura8-23Eldiseño2i,~4proyectadoen
dosréplicasdeundiseño2;;;'enA,ByD.
cambianlossignosdelos generadoresquetienenunnúmeroimpardeletras.Losefectosestimados por
estafracciónson
+
A
e~=-17.68-?oA-BD-CE-FG
e~=37.73-?oB-AD-CF-EG
te= -3.33-?oC-AE-BF-DG
E~=29.88-?oD-AB-CG-EF
E~=0.53-?oE-AC-BG-DF
E~=1.63-?oF-BC-AG-DE
E/o=2.68-?oG-CD-BE-AF
I
I
I
I
//----0<
D
"'.",
r'
:r.::
....,'
Il:::.
1""
(~:
,'1'
.....,,
A
B
C
D
E
F
G
A=1.48
B
=38.05
C
=-1.80
D=29.38
E=0.13
F=0.50
G=0.13
BD+CE+FG=19.15
AD+CF+EG=0.33
AE+BF+DG=1.53
AB+CG+EF=-0.50
AC+BG+DF=-0.40
BC+AG+DE=-1.53
CD+BE+AF=-2.55
Tabla
8-22Undoblezdeldiseño2;¡¡4enelexperimentodeltiempodeenfoquedelojo
Diseñobásico
CorridaA B C D=-AB E=-AC F=-BC G=ABC Tiempo
1 + + + + abcg 91.3
2
+ + + + bcde 136.7
3
+ + + + acdf 82.4
4
+ + + + cefg 73.4
5
+ + + + abef 94.1
6
+ + + + bdfg 143.8
7
+ + + + adeg 87.3
8 (1) 71.9

357. S-5DISEÑOSDERESOLUCIÓNIII 343
Losdosefectosmásgrandesson ByD.Además,eltercerefecto másgrandees BD+CE+FG,porlo
queparecerazonableatribuirestoalainteracciónBD.
Elanalistausólosdosfactores,distancia (B)yni­
veldeiluminación(D),enexperimentossubsecuentesconlosdemásfactores A,C,EyFenajustesestán­
dar,yverificólosresultadosobtenidosaquí.Decidióusarlossujetoscomobloques
enestosnuevos
experimentos
enlugardeignorarelefectopotencialdelsujetodebidoaquefuenecesarioutilizarvarios
sujetosdiferentes
paracompletarelexperimento.
.........................................................................
Larelacióndedefinición paraundiseñodedoblez
Lacombinacióndediseñosfactorialesfraccionados pormediode undoblez,comolaquesehizo enel
ejemplo8-7,es
unatécnicamuyútil.Confrecuenciaesdeinterésconocerlarelacióndedefinicióndeldi­
señocombinado.Puededeterminarseconfacilidad.Cadafracciónseparada
tendráL+Upalabrasusa­
dascomogeneradores:
Lpalabrasconelmismosignoy Upalabrasconsignosdiferentes. Eneldiseño
combinadose
usaránL+U-1palabrascomogeneradores.Éstasserán lasLpalabrasconelmismosigno
ylasU
-1palabrasqueconstandeproductosparesindependientesdelaspalabrasquetienensignosdife­
rentes.(Losproductosparessonlaspalabrastomadasdedos
endos,decuatro encuatro,etcétera.)
Parailustraresteprocedimiento,considereeldiseñodelejemplo8-7.Paralaprimerafracción,losge­
neradoresson
I=ABD,I=ACE,I=BCFeI=ABCG
yparalasegundafracciónson
I=-AB~ I=-AC~ I=-BCFeI=ABCG
r'l'l
Observeque enlasegundafracciónse hanintercambiadolossignosdelosgeneradorescon unnúmero
impardeletras.Asimismo,observe
queL+U=1+3=4.Eldiseñocombinado tendráI=ABCG(lapa­
labraconelmismosigno)comogeneradorydospalabras
quesonproductosparesindependientesdelas
palabrasconsignosdiferentes.Porejemplo,tómese
I=ABDeI=ACE;entoncesI=(ABD)(ACE)=
BCDE
esungeneradordeldiseñocombinado.Asimismo,tómese I=ABDeI=BCF;entonces
I=(ABD)(BCF)=ACDFesungeneradordeldiseñocombinado. Larelacióndedefinicióncompleta
paraeldiseñocombinadoes
I=ABCG=BCDE=ACDF=ADEG=BDFG=ABEF=CEFG
DiseñosdePlackett- Burman
Estosdiseños,atribuidosaPlackettyBurman,sondiseñosfactorialesfraccionadosdedosniveles paraes­
tudiar
k=N
-1variablesenNcorridas,donde Nesunmúltiplode 4.SiNesunapotenciade 2,estosdise­
ñossonidénticosalosquesepresentaronanteriormente
enestasección.Sinembargo, paraN=12,20,
24,28Y36,losdiseñosdePlackett-Burman
enocasionessondeinterés.Puestoqueestosdiseñosnopue­
denrepresentarsecomocubos,
enocasionesselesllamadiseñosnogeométricos.
Enlamitadsuperiorde latabla8-23sepresentanlosrenglonesdesignospositivosynegativosquese
usan
paraconstruirlosdiseñosdePlackett-Burman paraN=12,20,24Y36,mientrasque enlamitadin­
feriordelatablasepresentanlosbloquesdesignospositivosynegativos
paraconstruireldiseño paraN=
28.LosdiseñosparaN=12,20,24Y 36seobtienenescribiendoelrenglónapropiadode latabla8-23
como
unacolumna(orenglón).Entoncessegenera unasegundacolumna(orenglón)apartirde lapri­
meramoviendoloselementosde
lacolumna(orenglón)haciaabajo(ohacia laderecha)unaposicióny
colocandoelúltimoelemento
enlaprimeraposición. Unaterceracolumna(orenglón)seproduceapar­
tirde
lasegundademanerasimilar,yelprocesosecontinúa hastaquesegeneralacolumna(orenglón) k.
1¡
i
I

358. 344 CAPÍTULO8DISEÑOSFACTORIALESFRACCIONADOS DEDOSNIVELES
Tabla8-23SignospositivosynegativosparalosdiseñosdePlackett-Burman
le=11,N=12++-+++---+-
le=19,N=20++--++++-+-+----++-
le=23,N=24+++++-+-++--++--+-+----
le=35,N=36-+-+++---+++++-+++--+----+-+-++--+-
le=27,N=28
+-++++--­
++-+++--­
-+++++---
---+-++++
---++~+++
----+++++
+++---+-+
+++---++­
+++----++
-+---+--+
--++--+--
+---+--+­
--+-+---+
+----++-­
-+-+---+-
--+--+-+-
+--+----+
-+--+-+--
++-+-++-+
-++++-++­
+-+-++-++
+-+++-+-+
++--++++­
-+++-+-++
+-++-+++­
++-++--++
-++-+++-+
I
"111
1'"
",
1",
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1'-,
l••,
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l'"
'"
:'.
""".
r::
1::'
)1
1"
Despuésseagregaunrenglóndesignosnegativos,completándoseasíeldiseño. ParaN=28,lostresblo­
quesX;YYZseapuntan enelorden
XYZ
ZXy
YZX
yseagregaunrenglóndesignosnegativosaestos 27renglones.EldiseñoparaN=12corridasy k=11
.factoressemuestraenlatabla8-24.
LosdiseñosnogeométricosdePlackett-Burman
paraN=12,20,24,28Y36tienenestructurasde los
aliasmuyintrincadas.Porejemplo, eneldiseñode 12corridas,todoslosefectosprincipalessonaliaspar­
cialesdecadaunadelasinteraccionesdedosfactores
enlosquenoestánincluidos.Porejemplo,lain­
teracción
ABesaliasdelosnueveefectosprincipales e,D,...,K.Además,cadaunodelosefectos,
principalessonaliasparcialesde
45interaccionesdedosfactores. Endiseñosmásgrandes,lasituación es
todavíamáscompleja.Serecomiendaalexperimentadorusarestosdiseñoscon muchocuidado.
Tabla
8-24DiseñodePlackett-BurmanparaN =12,k=11
Corrida A B e D E F G H 1 J K
1 + + + + + +
2 + + + + + +
3 + + + + + +
4 + + + + + +
5 + + + + + +
6 + + + + + +
7 + + + + + +
8 + + + + + +
9 + + + + + +
10 + + + + + +
11 + + + + + +
12

359. •
I
I
I
././~--.
./
8-5DISEÑOSDERESOLUCIÓNIII 345
•
a)Proyecciónentresfactores
+
Figura8-24ProyeccióndeldiseñodePlackeU-Burmande12corridas
endiseñosdetresycuatrofactores.
EJEMPLO
8~8 .
SeilustraránalgunasdelasdificultadespotencialesasociadasconlosdiseñosdePlackett-Burmanutili­
zandoeldiseñode
11variablescon12corridasy unconjuntodedatossimulados.Sesupondráqueelpro­
cesotienetresefectosprincipalessignificativos
(A,B,D)Ydosinteraccionessignificativasdedosfactores
(AByAD).Elmodeloes
y=200+8x¡+10x
2
+12x
4
-12x¡x
2
+9x¡x
4
+e
dondecadax¡es unavariablecodificadadefinida enelintervalo-1,+1yeesuntérminoNID(O,9)del
erroraleatorio.Porlotanto,tresdelos
k=11factoressongrandes,yhaydosinteraccionesgrandes;lasi­
tuaciónno
estáfueraderazón.
Enlatabla8-25sepresentaeldiseñodePlackett-Burmancon12corridasylasrespuestassimuladas.
Estediseñolucediferentealdiseñode12corridasde
latabla8-24 porqueseconstruyóutilizandoelren-
./
./
./
b)Proyecciónencuatrofactores
I
I
I
~--
./
./
./
LaspropiedadesproyectivasdelosdiseñosnogeométricosdePlackett-Burmannosonavasalladora­
menteatractivas.Porejemplo,considereeldiseñode12corridasdelatabla8-24.Estediseñoseproyecta­
rá
entresréplicasde undiseño2
2
completoendoscualesquieradelos 11factoresoriginales.Sinembargo,
entresfactores,eldiseñoproyectadoes
undiseño2
3
completomás unfactorialfraccionado
2~¡(verlafi­
gura
8-24a).Porlotanto,eldiseñodePlackett-Burmanderesolución IIItieneproyectividad3,locualsig­
nificaqueseplegará
enundiseñofactorialcompleto encualquiersubconjuntodetresfactores. Eldiseño
2;Psólotieneproyectividad 2.Lasproyeccionesdecuatrodimensionessemuestran enlafigura8-24b.
Observequeestasproyeccionesdetresycuatrofactoresnosondiseñosbalanceados.

360. 346 CAPÍTULO8DISEÑOSFACTORIALESFRACCIONADOSDEDOSNIVELES
Tabla8-25DiseñodePlackett-Burmanparaelejemplo S-S
Corrida A Be D E F G H J K LRespu;sta
1 -+ + + + + + 231
2
+ + + + + + 207
3
+ + + + + + 230
4
+ + + + + + 217
5
+ + + + + + 175
6
+ + + + + + 176
7
+ + + + + + 183
8
+ + + + + + 185
9
+ + + + + + 181
10 + + + + + + 220
11 + + + + + + 229
12 168
glóndesignospara k=11,N=12delatabla8-23comorenglón. Enlatabla8-26semuestranlasestima­
cionesdelosefectos.Observequehaysieteefectosgrandes:
A,B,C,D,E,JYK(y,desdeluego,susalias).
Noesevidentedeinmediatoquealgunosdeestosefectospodríanserinteracciones.Partedeestaambi­
güedadpodríaresolversehaciendoeldoblezdeldiseño.Conesto
por10generalseresolveránlosefectos
principales,
peroconfrecuenciasiguedejandoalexperimentadorconlaincertidumbreacercadelosefec­
tosdelasinteracciones.
LadificultadparainterpretarundiseñodePlackett-Burman,ilustradaenelejemploanterior,ocurre
conmuchafrecuenciaenlapráctica.
Silaelecciónestá entreundiseñogeométrico
2~i~7con16corridaso
undiseñodePlackett-Burmancon12corridasquequizátengaquedoblarse(para 10cualserequerirían
24corridas),eldiseñogeométricopuederesultar
unamejorelección. ParamayoresdetallesverMontgo­
mery,
BorraryStanley[81].Bajociertascondiciones,losaliasde undiseñonogeométricodePlac-
Tabla
8-26Estimacionesde losefectos,coeficientesderegresión ysumasdecuadradosdelejemplo 8-S
481.333
533.333
560.333
3468.000
560.333
3.000
16.333
27.000
481.333
408.333
0.333
12.667
13.333
12.667
34.000
13.667
1.000
-2.333
3.000
-12.667
-11.667
-0.333
Variable" Coeficientederegresión Efectoestimado Sumadecuadrados
Promedioglobal 200.167
A
. 6.333
B 6.667
e 6.833
D 17.000
E 6.833
F 0.500
G -1.167
H 1.500
J -6.333
K -5.833
L -0.167
aTadoslosefectosprincipalessonaliasparcialesde 45interaccionesdedosfactores.

361. Tabla8.27Diseño2i;1obtenidopordoblez
8-6DISEÑOSDERESOLUCIÓNIVY V
3478-6DISEÑOSDERESOLUCIÓNIVY V
kett-Burmanpuedendesenredarseutilizandotécnicasdeconstruccióndemodelosderegresión.Estose
analizaen
HamadayWu[53].
+ +
+ +
+ +
+ + + +
Segundodiseño
2~1conlossignosintercambiados
+ +
+ +
+ +
D
1 A B e
Diseño
2~1orginalcon 1=ABe
Undiseñofactorialfraccionado 2
k
-p
esderesoluciónIVsilosefectosprincipalesestánseparadosdelas
interaccionesdedosfactoresyalgunasinteraccionesdedosfactoressonaliasentre
sí.Porlotanto,sise
suprimenlasinteraccionesdetresfactoresydeórdenessuperiores,losefectosprincipales
puedenesti­
marsedirectamenteen
undiseño
2~p.Unejemploeseldiseño2~2delatabla8-10.Además,lasdos
fraccionescombinadasdeldiseño2~4delejemplo8-7producen undiseño2~3.
Cualquierdiseño2~Pdebeincluiralmenos 2kcorridas.Alosdiseñosderesolución IVquecontie­
nenexactamente
2kcorridasselesllamadiseñosmínimos.Losdiseños deresoluciónIVpuedenobte­
nersea
partirdediseñosderesoluciónIIIporelprocesodedoblado.Recuerdeque parahacereldoblez
deundiseño
2~?,simplementeseagregaalafracciónoriginal unasegundafraccióncontodoslossig­
nosinvertidos.Entonceslossignospositivos
enlacolumnaidentidad1delaprimerafracciónpodrían
intercambiarse
enlasegundafracción,yelfactor (k+1)-ésimopodríaasociarseconestacolumna.El
resultadoes
undiseñofactorialfraccionado
2~1-P.Elprocesose muestraenlatabla8-27 paraeldiseño
2~1.Essencilloverificarqueeldiseñoresultantees undiseño2~1conlarelacióndedefinición
1=ABCD.
Tambiénesposiblehacereldoblezdediseñosderesolución IVparasepararlasinteraccionesdedos
factoresquesonaliasentre
sí.MontgomeryyRunger [83c]hacennotarqueunexperimentadorpuedete­
nervariosobjetivosalhacereldoblezde
undiseñoderesolución IV,como1)rompertantascadenasde
aliasdeinteraccionesdedosfactorescomoseaposible,
2)romperlasinteraccionesdedosfactoresen una
cadenadealiasespecífica,o3)romperlasinteraccionesdedosfactoresqueincluyen unfactorespecífico.
Unamaneradehacereldoblezde
undiseñoderesolución IVescorriendounasegundafracción enlaque
seinvierteelsignodetodoslosgeneradoresdeldiseñoquetienen unnúmeroimpardeletras.Parailus­
trar,considereeldiseño
2~2usadoenelexperimentodelmoldeo porinyeccióndelejemplo8-4.Losge­
neradoresdeldiseñodelatabla8-10son
1=ABCEel=BCDF.Lasegundafracciónusaríalos

362. '1
~
,'~
,,'
I~
348 CAPÍTULO8DISEÑOSFACTORIALESFRACCIONADOS DEDOSNIVELES
generadoresI=-ABCEeI=-BCDF,yelgeneradorúnico paraeldiseñocombinadosería I=ADEF.
Porlotanto,eldiseñocombinadosiguesiendoundiseñofactorialfraccionadoderesoluciónN.Sinem­
bargo,lasrelacionesdelosaliasseránmuchomássencillasqueeneldiseño2~2original.Dehecho,las
únicasinteraccionesdedosfactoresque tendránaliassonAD=EF,AE=DFyAF=DE.Todaslas de­
másinteraccionesdedosfactorespuedenestimarseapartirdeldiseñocombinado.
Comootroejemplo,considereeldiseño2~3con32corridas. Latabla8-14indicaqueelmejorcon.
juntodegeneradores
paraestediseñoesI=ABCF,I =ABDGeI=BCDEH.EnlatablaXII(m)del
apéndicesemuestranlosalias paraestediseño.Observequehayseisparesdeinteraccionesdedosfacto­
resy
ungrupodetresinteraccionesdedosfactoresquesonalias. Sisehaceeldoblezdeestediseño,la se­
gundafraccióntendríalos generadoresI=-ABCF,I=-ABDGeI=BCDEH.Eldiseñocombinadotiene
losgeneradores
I=CDFGeI=BCDEH,ylarelacióndedefinicióncompletaes
I=CDFG=BCDEH =BEFGH
Eldiseñocombinadoesderesolución IV,perolasúnicasinteraccionesdedosfactoresquesiguentenien­
doaliasson
CD=FG,CF=DGYCG=DF.Setratadeunasimplificaciónconsiderabledelosaliasdela
fracciónoriginal.
Observequecuandoseempiezacon
undiseñoderesolución III,elprocedimientodedoblezgaranti­
zaqueeldiseñocombinadoseráderesolución
Iv,conlocualseaseguraquetodoslosefectosprincipales
puedensepararsedesusalias eninteraccionesdedosfactores.Cuandosehaceeldoblezde undiseñode
resoluciónIV,nonecesariamentesesepararán todaslasinteraccionesdedosfactores. Dehecho,sila
fracción
originaltieneunaestructuradelosaliasconmásdedosinteraccionesdedosfactoresencual­
quiercadenadealias,eldoblez nosepararácompletamentetodaslasinteraccionesdedosfactores.
Ambosejemplosanteriores,
e12~2yel2~3,tienenalmenos unadetalescadenasdealiasdeinteraccio­
nesdedosfactores.MontgomeryyRunger
[83c]danunatabladediseñoshechosdoblezrecomendados
parafraccionesderesolución
Ncon6:5le:510factores.
LosdiseñosderesoluciónVsonfactorialesfraccionados
enlosquelosefectosprincipalesylasin­
teraccionesdedosfactoresnotienencomoaliasotrosefectosprincipalesuotrasinteraccionesdedosfac­
tores.Estosdiseñossonmuypoderosos,permitiendolaestimaciónúnicadetodoslosefectosprincipales
ylasinteraccionesdedosfactores,siemprequetodaslasinteraccionesdetresfactoresydeórdenessupe­
rioresseaninsignificantes.
Lapalabramáspequeñadelarelacióndedefinicióndetaldiseñodebetener
cincoletras.
Eldiseño2
5
-
1
conlarelacióndedefinición I=ABCDEesderesolución
v:Otroejemploesel
diseño2~-2conlasrelacionesdedefinición I=ABCDGeI=ABEFH.Ejemplosadicionalesdeestos di­
señossepresentanenBoxy Hunter[17c].
DebidoaquelosdiseñosestándarderesoluciónVsondiseñosgrandescuandoelnúmerodefactores
esmoderadamentegrande,existeciertointeréspráctico
enlosdiseñosfactorialesfraccionadosirregula­
resderesolución
V.Secuentacondiseñosútiles para
4:51e:59factores.Eldiseñode 24corridaspara
le=5factoressemuestra enlatabla8-28.Puestoquese tratadeundiseñoderesolución V;esposibleesti­
marloscincoefectosprincipalesylas 10interaccionesdedosfactores,suponiendoquelasinteracciones
detresfactoresyórdenessuperioressoninsignificantes.
Eldiseñoparale=4factorestiene12corridasy
secomenta
enelproblema8-22.Para le=6,7 Y8,estosdiseñostienen 48corridas,yeldiseñodenueve
factorestiene
96corridas.Elpaquetedesoftware Design-Expertcontienetodosestosdiseños.
Porúltimo,cabeseñalarque
undoblezcompletode undiseñoderesolución IVo Vsueleserinnece­
sario.
Engeneral,sólohay unaodos(omuypocas)interaccionesconaliasquesondeinteréspotencial.
Losaliasdeestasinteracciones
puedenporlogeneralsepararseagregando unnúmeropequeñodecorri-

363. dasalafracciónoriginal. Estatécnicasedenomina enocasionesdoblezparcial. Paraformarseunaidea
decómosehaceesto,referirsealejemplo10-5yalmaterialsuplementariodeltextodeestecapítulo,
8~7RESUMEN
Enestecapítuloseintrodujoeldiseñofactorialfraccionado 2
k
-p
•
Sehahechohincapié enelusodeestos
diseños
enexperimentosdetamizadoparaidentificarde manerarápidayeficazelsubconjuntodefacto­
resqueestánactivos,asícomo
paraproporcionarciertainformaciónsobrelasinteracciones, Lapropie­
daddeproyeccióndeestosdiseñoshaceposible
enmuchoscasosexaminarlosfactoresactivosconmayor
detalle.Elensamblajesecuencialdeestosdiseños
pormediodeundoblezes unamaneramuyeficazde
obtenerinformaciónadicionalacercadelasinteraccionesque
puedenidentificarsecomodeposibleim­
portanciaen
unexperimentoinicial.
Enlapráctica,losdiseñosfactorialesfraccionados 2
k
-pconN=4,8,16Y32corridassonmuyútiles.
Enlatabla8-29seresumenestosdiseños,identificandocuántosfactores puedenusarseconcadadiseño
paraobtenerdiferentestiposdeexperimentosdetamizado.
Porejemplo,eldiseñode16corridases un
factorialcompleto para4factores,unafracciónunmedio
para5factores,unafracciónderesolución IV
para6 u 8factoresy unafracciónderesoluciónIII para9 a15factores.Todosestosdiseños puedencons~
truirseutilizandolosmétodosexplicados enestecapítulo,ymuchasdesusestructurasdelosaliasse
muestran
enlatablaXIIdelapéndice. -
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364. li
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350 CAPÍTULO8DISEÑOSFACTORIALESFRACCIONADOS DEDOSNIVELES
Tabla8-29Diseñosfactoriales yfactorialesfraccionadosútilesdel
sistema2
h
-p,Losnúmerosenlasceldassonelnúmero
de'factoresdelexperimento
Númerodecorridas
Tipodediseño
4 8 16 32
Factorialcompleto 2 3 4 5
Fracciónunmedio 3 4 5 6
FracciónderesoluciónIV 4 6-87-16
FracciónderesoluciónIII 3 5-7 9-1517-31
8~8PROBLEMAS
8-1.Supongaqueenelexperimentodeldesarrollodelprocesoquímicodescritoenelproblema 6-7sólopudo co­
rrerseunafracciónunmediodeldiseño2
4
•Construireldiseño yllevaracaboelanálisisestadísticoutilizando
losdatosdelaréplica
I.
8-2.Supongaqueenelproblema 6-15sólopudocorrerseunafracciónunmediodeldiseño 2
4
•
Construireldiseño
yllevaracaboelanálisisutilizandolosdatosdelaréplica I.
8-3.Considereelexperimentodelgrabadoconplasmadelproblema 6-18.Supongaquesólopudocorrerseuna
fracciónunmediodeldiseño.Establecereldiseño
yanalizarlosdatos.
8-4.Enelproblema6-21sedescribeelestudioparamejorarunprocesodurantelamanufacturadeuncircuito in­
tegrado.Supongaquesólopudieronhacerseochocorridasdeesteproceso.Establecerundiseño2
5
-
2
apro­
piado
yencontrarlaestructuradelosalias.Utilizarlasobservacionesapropiadasdelproblema 6-21comolas
observacionesdeestediseño yestimarlosefectosdelosfactores.¿Quéconclusionespuedensacarse?
8-5.Continuacióndelproblema 8-4.Supongaquehahecholasochocorridasdeldiseño2
5
-
2
delproblema8-4.
¿Quécorridasadicionalessenecesitaríanparaidentificarlosefectosdelosfactoresquesondeinterés?
¿Cuálessonlasrelacionesdelosaliaseneldiseñocombinado?
8-6.R.D.Snee("Experimentaciónconunnúmerograndedevariables",en Experimentsin
Industry:Design,
Analysis
andInte¡pretation01Results, deR.D.Snee,L.B. RareyJ.B.Trout,editores,ASQC)describeun ex­
perimentoen elqueseusóundiseño2
5
-
1con1=ABCDEparainvestigarlosefectosdecincofactoressobre
elcolordeunproductoquímico.Losfactores
sanA=solvente/reactivo,B=catalizador/reactivo,C =tem­
peratura,
D=purezadelreactivo yE=pHdelreactivo.LosresultadosobterJdosfueronlossiguientes:
e=-0.63
a=2.51
b=-2.68
abe=1.66
e
=2.06
aee=1.22
bee=-2.09
abe=1.93
d=6.79
ade=5.47
bde=3.45
abd=5.68
ede=5.22
aed=4.38
bed=4.30
abede=4.05
a)Construirunagráficadeprobabilidadnormaldelosefectos.¿Quéefectosparecenestaractivos?
b)Calcularlosresiduales.Construirunagráficadeprobabilidadnormaldelosresiduales ygraficarlosresi­
dualescontralosvaloresajustados.Comentarlasgráficas.
e)
Sialgunosdelosfactoressoninsignificantes,plegareldiseño2
5
-
1
aundiseñofactorialcompletoenlos
factoresactivos.Comentareldiseñoresultanteeinterpretarlosresultados.
8-7.Enunartículode 1.1.Pignatiello,Jr. yJ.S.Ramberg delJoumal01QualityTeehnology (vol.17,pp.198-206)se
describeelusodeundiseñofactorialfraccionadoconréplicasparainvestigar elefectodecincofactores so­
brelaalturalibredelosresortesdehojasutilizadosen unaaplicaciónautomotriz.Losfactores sanA=tem-

365. liI 1\r
8-8PROBLEMAS 351
peraturadelhorno, B=tiempodecalentamiento,C=tiempodetransferencia, D=tiempoderetención y
E=temperaturadelaceitedetemplado.Losdatossepresentanacontinuación:
A B C D E Alturalibre
7.78
7.78 7.81
+ + 8.15 8.18 7.88
+ + 7.50 7.56 7.50
+ + 7.59 7.56 7.75
+ + 7.54 8.00 7.88
+ + 7.69 8.09 8.06
+ + 7.56 7.52 7.44
+ + + + 7.56 7.81 7.69
+ 7.50 7.25 7.12
+ + + 7.88 7.88 7.44
+ + + 7.50 7.56 7.50
+ + + 7.63 7.75 7.56
+ + + 7.32 7.44 7.44
+ + + 7.56 7.69 7.62
+ + + 7.18 7.18 7.25
+ + + + + 7.81 7.50 7.59
a)Escribirlaestructuradelosaliasdeestediseño.¿Quéresolucióntieneestediseño?
b)Analizarlosdatos.¿Quéfactoresinfluyenenlaalturalibrepromedio?
e)Calcularelrangoyladesviaciónestándardelaalturalibre
paracadacorrida.¿Hayalgúnindiciodeque
cualquieradeestosfactoresafectalavariabilidaddelaalturalibre?
d)Analizarlosresidualesdeesteexperimentoycomentarlosresultados.
e)¿Estediseño eselmejorposibleparacincofactores en16corridas?Específicamente,¿esposibleencon­
trarundiseñofraccionado paracincofactoresen 16corridascon unaresoluciónmásaltaqueladeeste
diseño?
8-8.
Enunartículode IndustrialandEngineeringChemistry ("Informaciónadicionalacercadelaplaneaciónde
experimentosparaaumentarlaeficienciadelainvestigación")seutiliza
undiseño2
5
-
2
parainvestigarelefec­
to
deA
=temperaturadecondensación, B=cantidaddelmaterial 1,C=volumendelsolvente, D=tiempo
decondensacióny
E
=cantidaddelmaterial2sobreelrendimiento.Losresultadosobtenidossonlos si­
guientes:
e=23.2
ab=15.5
ad=16.9 be=16.2
ed
=23.8
aee=23.4
bde=16.8
abede=18.1
a)
Verificarquelosgeneradoresqueseutilizaron eneldiseñofueron I
=ACEeI=BDE.
b)Apuntarlarelacióndedefinicióncompletaylosaliasdeestediseño.
e)Estimarlosefectosprincipales.
d)Elaborarlatabladelanálisisdevarianza.VerificarquelasinteraccionesABy ADestándisponiblespara
usarlascomoerror.
e)Graficarlosresidualescontralosvaloresajustados.Construirtambiénlagráficadeprobabilidadnormal
delosresiduales.Comentarlosresultados.
8-9.Considereelexperimentoconelresortedehojasdelproblema8-7.Supongaqueelfactor
E(temperaturadel
aceitedetemplado)
esmuydifícildecontrolardurantelamanufactura.¿Cuálseríaelajustedelosfactores
A,B,C YDparareducirlavariabilidaddelaalturalibretantocomoseaposible,independientementedela
temperaturadelaceitedetempladousada?
8-10.Construir
undiseño2
7
-
2seleccionandodosinteraccionesdedosfactorescomolosgeneradoresindependien­
tes.
Apuntarlaestructuradelosaliascompletadeestediseño.Delinearlatabladelanálisisdevarianza.
¿Cuáleslaresolucióndeestediseño?

366. i
I
.¡
CAPÍTULO8DISEÑOSFACTORIALESFRACCIONADOS DEDOSNIVELES
Considereeldiseño2
5delproblema6-21.Supongaquesólopudocorrerse unafracciónunmedio.Además
serequirierondosdías
parahacerlas 16observaciones,yfuenecesarioconfundireldiseño2
5
-
1
endosblo­
ques.Construireldiseñoyanalizarlosdatos.
Analizarlosdatosdelproblema
6-23comosiprovinierande undiseño
2~1conI=ABCD.Proyectareldise­
ñoenunfactorialcompleto
enelsubconjuntodeloscuatrofactoresoriginalesqueparecensersignificativos.
Repetirelproblema8-12utilizando
I=-ABCD.¿Elusodelafracciónalternamodificalainterpretaciónde
losdatos?
Proyectareldiseño
2~1delejemplo8-1endosréplicasdeundiseño2
2
enlosfactores AyB.Analizarlosda­
tosysacarconclusiones.
Construirundiseño2~3.Determinarlosefectosquepuedenestimarse sisecorreunasegundafracciónde
estediseñocontodoslossignosinvertidos.
Considereeldiseño2~3qelproblema8-15.Determinarlosefectosquepuedenestimarse sisecorreunase­
gundafraccióndeestediseñoconlossignosdelfactorAinvertidos.
Hacereldoblezdeldiseño2~4delatabla8-19paraproducir undiseñodeochofactores.Verificarqueel di­
señoresultantesea2~4.¿Setratadeundiseñomínimo?
Hacereldoblezde
undiseño
2i;?paraproducirundiseñodeseisfactores.Verificarqueeldiseñoresultante
sea2~2.Compararestediseñoconeldiseño2~2delatabla8-10.
Uningenieroindustrialrealiza unexperimentoutilizando unmodelodesimulaciónMontecarlodeunsiste­
madeinventario.Lasvariablesindependientesdesumodelosonlacantidaddelpedido
(A),elpuntodeun
nuevopedido
(B),elcostodeorganización (C),elcostodelrefrendodepedidos (D)ylatarifadetransporta­
ción
(E).Lavariablederespuesta eselcostoanualpromedio.Paraahorrartiempodecomputadora,elinge­
nierodecideinvestigarestosfactoresutilizandoundiseño
2;;;2conI=ABDeI=.BCE.Losresultadosque
obtieneson
de=95,ae=134,b=158,abd=190,ed=92,ae=187,bee=155Yabede=185.
a)Verificarquelascombinacionesdetratamientosdadasseancorrectas.Estimarlosefectossuponiendo
quelasinteraccionesdetresfactoresydeórdenessuperioressoninsignificantes.
b)Supongaqueseagregaunasegundafracciónalaprimera, porejemplo,ade=136,e=93,ab=187,bd=
153,aed
=139,e=99,abee·=191Ybede=150.¿Cómoseobtuvoestasegundafracción?Incorporares­
tosdatosalafracciónoriginalyestimarlosefectos.
e)Supongaquesecorriólafracción
abe=189,ce=96,bed=154,aede=135,abe=193,bde=152,ad=
137Y(1) =98.¿Cómoseobtuvoestafracción?Incorporarestosdatosenlafracciónoriginalyestimar
losefectos.
Construir
undiseño2
5
-
1
•Indicarcómopuedecorrerseeldiseñoendosbloquesdeochoobservacionescada
uno.¿Algunodelosefectosprincipalesodelasinteraccionesdedosfactoresestánconfundidosconlosblo­
ques?
Construirundiseño2
7
-
2
•Indicarcómopuedecorrerseeldiseño encuatrobloquesdeochoobservaciones
cadauno.¿Algunodelosefectosprincipalesodelasinteraccionesdedosfactoresestánconfundidosconlos
bloques?
Fraccionesirregularesdeldiseño2
k(John[61dJ). Considereundiseño2
4
•Tienenqueestimarseloscuatroefec­
tosprincipalesylasseisinteraccionesdedosfactores,peronopuedecorrerseelfactorial2
4completo.Elta-
mañodelbloquemásgrandeposiblecontiene
12corridas.Estas 12corridaspuedenobtenersedelascuatro
réplicasuncuartodefinidaspor
I=±AB=±ACD=±BCDomitiendolafracciónprincipal.Indicarcómo
puedencombinarselastresfracciones
24-2restantesparaestimarlosefectosrequeridos,suponiendoquelas
interaccionesdetresfactoresydeórdenessuperioressoninsignificantes.
Estediseñopodríaconsiderarse
como
unafraccióntrescuartos.
8-23.Losánodosdecarbonoutilizadosen
unprocesodefundiciónsefabricanenunhornoanular.Secorreun ex­
perimentoenelhornoparadeterminarcuálessonlosfactoresqueinfluyenenelpesodelmaterialdeempa­
que queseadhierealosánodosdespuésdelacocción.Seisvariablessondeinterés,cadaunacondosniveles:
A=relaciónpaso/finos(0.45,0.55), B=tipodematerialdeempaque(1,2),C =temperaturadelmaterialde
empaque(ambiente,325°C),D
=localizacióndelachimenea(adentro,afuera),E =temperaturadelfoso
(ambiente,195°C)y
F=tiempoderetrasoantesdelempaque(cero,24horas).Secorreundiseño2
6
-3
yse
~
I.'el
:',',1
,!"
1,,:
'1
352
!
8-11.
i/
I 8-12.
I
I
8-l3.
8-14.
8-15.
8-16.
8-17.
8-18.
8-19.
;1
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r",:1
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'Ir'
~"I
¡1'1
::11
8-20.
8-21.
8-22.

367. 8-8PROBLEMAS 353
obtienentresréplicas encadaunodelospuntosdeldiseño. Elpesodelmaterialdeempaqueadheridoalos
ánodossemide
engramos.Losdatosenel ordendelascorridassonlossiguientes:abd =(984,826,936);
abedef=(1275,976,1457);be =(1217,1201,890);af=(1474,1164,1541); def=(1320,1156,913);ed=
(765,705,821);aee
=(1338,1254,1294)Y bef=(1325,1299,1253).Sedeseaminimizar lacantidaddemate­
rialdeempaqueadherido.
a)Verificarquelasochocorridascorrespondana undiseño
2~3.¿Cuáleslaestructura"delosalias?
b)Usarelpesopromediocomorespuesta. ¿Quéfactoresparecentenerinfluencia?
e)Usarelrangodelospesoscomorespuesta.
¿Quéfactoresparecentenerinfluencia?
d)¿Quérecomendacionespodríanhacersealosingenierosdelproceso?
8-24.Secorrió
unexperimentode 16corridasenunaplantademanufacturadesemiconductores paraestudiarlos
efectosdeseisfactoressobrelacurvaturaocombaduradelosdispositivosdelsustratoproducidos.Lasseis
variables
ysusnivelessepresentanacontinuación:
Duración Puntode
TemperaturadeTiempode PresióndeThmperaturadelciclode rocíode
laminación laminaciónlaminación decocción cocción lacocción
Corrida
CC) (s) (tn) (oC) (h)CC)
1 55 10 5 1580 17.5 20
~¡2 75 10 5 1580 29 26
3 55 25 5 1580 29 20:::
"
4 75 25 5 1580 17.5 26
"".
~~t,
5 55 10 10 1580 29 26
-1""
6 75 10 10 1580 17.5 20
mí,
7 55 25 10 1580 17.5 26-,
8 75 25 10 1580 29 20 ;t"T'
9 55 10 5 1620 17.5 261;:;
10 75 10 5 1620 29 20 ::1
11 55 25 5 1620 29 26
12 75 25 5 1620 17.5 20
)1
·61
13 55 10 10 1620 29 20 '~I
14 75 10 10 1620 17.5 26
";l¡1
io'
15 55 25 10 1620 17.5 20rjlh
16 75 25 10 1620 29 26
I
1,
Sehicieroncuatroréplicasdecadacorrida, ysehizounamedicióndelacombaduradelsustrato.Losdatosse
presentanenseguida:
Combadura
porréplica(pulg/pulg)
Total Media Desviación
Corrida 1 2 3 4
(10-4pulg/pulg)(10-4pulg/pulg)estándar
1 0.01670.01280.01490.0185 629 157.25 24.418
2 0.00620.00660.0044 0.0020 192 48.00 20.976
3 0.0041 0.0043 0.00420.0050 176 44.00 4.083
4 0.00730.00810.0039 0.0030
223 55.75 25.025
5 0.00470.00470.0040 0.0089
223 55.75 22.410
6 0.02190.02580.01470.0296
920 230.00 63.639
7 0.01210.00900.00920.0086 389 97.25 16.029
8 0.02550.02500.02260.0169 900 225.00 39.42
9 0.00320.00230.00770.0069
201 50.25 26.725
10 0.00780.0158 0.0060 0.0045 341 85.25 50.341

368. ",.,.
1
','"
354 CAPÍTULO8DISEÑOSFACTORIALESFRACCIONADOS DEDOSNIVELES
L¡'
'~'i
;¡.j
Combaduraporréplica(pulg/pulg)
Total Media Desviación
Corrida 1 2 3 4
(10-4pulg/pulg)(10-4pulg/pulg)estándar
¡1~
:j
11 0.00430.00270.00280.0028 126 31.50 7.681 Ij
12 0.01860.01370.01580.0159 640 160.00 20.083
13 0.0110 0.0086 0.01010.0158 455 113.75 31.12
14 0.0065 0.0109 0.0126 0.0071 371 92.75 29.51
15 0.01550.01580.01450.0145 603 150.75 6.75
16 0.00930.01240.01100.0133 460 115.00
17.45
a)¿Quétipodediseñoutilizaronlosexperimentadores?
b)¿Cuálessonlasrelacionesdelosalias
enestediseño?
e)¿Algunadelasvariablesdelprocesoafectala combadurapromedio?
d)¿Algunadelasvariablesdelprocesoafectalavariabilidaddelasmedicionesdelacombadura?
Tabla
8-30Datospara elproblema8-25
A B e D E F Espesordelrecubrimientoprotector
CorridaVolumenLoteTiempo,sVelocidadAceleraciónCubierta
Izq.Centro
DeI.Prom.Rango
1 5 Lote2 14 7350 5 Sin45314531 45154525.716
2 5 Lote1 6 7350 5 Sin4446 4464 44284446 36
3 3 Lote1 6 6650 5 Sin44524490 44524464.7
38
1I
~
4 3 Lote2 14 7350 20 Sin.4316 4328 43084317.320
1:
~" 5 3 Lote1 14 7350 5 Sin4307429542894297 18
e:,
6 5 Lote1 6 6650 20 Sin4470 449244954485.7 25
~~II
7 3 Lote1 6 7350 5 Con 4496 450244824493.320
~:::
".
8 5 Lote2 14 6650 20 Sin4542 454745384542.39
~~~: 9 5 Lote1 14 6650 5 Sin4621 4643 4613 4625.730
~:!!,
10 3 Lote1 14 6650 5 Con 4653 467046454656 25
;:;
11 3 Lote2 14 6650 20 Con 4480 4486 4470 4478.716
¡:
)!: 12 3 Lote1 6 7350 20 Sin4221 423342174223.716
1::' 13 5 Lote1 6 6650 5 Con 4620464146194626.722
;11'
14 3 Lote1 6 6650 20 Con 4455 4480 4466 4467 25
15 5 Lote2 14 7350 20 Con 4255428842434262 45
16 5 Lote2 6 7350 5 Con 4490453445234515.744
17 3
Lote2 14 7350 5 Con 4514455145404535 37
18 3 Lote1 14 6650 20 Sin4494450344964497.79
19 5 Lote2 6 7350 20 Sin4293430643024300.3 13
20 3 Lote2 6 7350 5 Sin4534454545124530.3 33
21 5 Lote1 14 6650 20 Con 446044574436 4451 24
22 3
Lote2 6 6650 5 Con 4650 4688 4656 4664.7 38
23 5 Lote1 14 7350 20 Sin4231424442304235 14
24 3
Lote2 6 7350 20 Con 42254228 42084220.320
25 5 Lote1 14 7350 5 Con 4381 439143764382.7 15
26 3 Lote2 6 6650 20 Sin4533452145114521.722
27 3 Lote1 14 7350 20 Con 4194 423041724198.758
28 5 Lote2 6 6650 5 Sin4666469546724677.729
29 5
Lote1 6 7350 20 Con 4180421341974196.733
30 5 Lote2 6 6650 20 Con 4465449644634474.7
33
31
5 Lote2 14 6650 5 Con 4653468546654667.732
32 3
.Lote2 14 6650 5 Sin4683471246774690.7 35

369. e)Siesimportantereducirlacombaduratantocomoseaposible,¿quérecomendacionesseharían?
8-25.Seusa
unrevestimientoporcentrifugadoparaaplicarunrecubrimientofotoprotector enunaobleadesilicio
natural.
Estaoperación
suelehacerseenlasfasesinicialesdelprocesodefabricacióndesemiconductores,y
elespesorpromediodelrecubrimientoprotectorylavariabilidaddelespesordelmismotienen
unimpacto
importante
enlospasossubsecuentesdemanufactura.Seisvariablesseusan enelexperimento.Lasvaria­
blesysusnivelesaltoybajosepresentanacontinuación:
Factor
Velocidaddecentrifugadofinal
Índicedeaceleración
Volumenderecubrimientoprotectoraplicado
Tiempodelcentrifugado
Variacióndellotedelrecubrimientoprotector
Presióndedescarga
Nivelbajo
7350
rpm
5
3cc
14
s
Lote1
Sincubierta
8-8PROBLEMAS
Nivelalto
6650rpm
20
5cc
6s
Lote2
Concubierta
355
f
I
Elexperimentadordecideusar undiseño26-1yhacertreslecturasdelespesordelrecubrimiento protectoren
cadaobleadeprueba.Losdatossemuestran enlatabla8-30.
a)Verificarquese tratadeundiseño2
6
-1
.Discutirlasrelacionesdelosaliasdeestediseño.
b)¿Quéfactoresparecenafectarelespesorpromediodelrecubrimientoprotector?
e)Considerandoqueelvolumendelrecubrimiento
protectoraplicadotiene unefectoreducidosobreeles­
pesorpromedio,¿tieneestoalgunaimplicaciónpráctica
im~ortante paralosingenierosdelproceso?
d)Proyectarestediseñoen undiseñomenorqueincluyaúnicamentelosfactoressignificativos.Presentar
losresultadosgráficamente.¿Ayudaesto
enlainterpretación?
e)Usarelrangodelespesordelrecubrimiento protectorcomovariablederespuesta.¿Hayalgúnindiciode
quealgunodeestosfactoresafectelavariabilidaddelespesordelrecubrimientoprotector?
f)¿Dóndeserecomendaríaquecorrieranelprocesolosingenieros?
8-26.HarryyJudyPeterson-Nedry(dosamigosdelautor)sonpropietariosde
unviñedoy unafábricavinícola en
Newberg,Oregon.Cultivanvariasvariedadesdeuvasyfabricanvino. HarryyJudyhanusadodiseñosfacto­
riales
paraeldesarrollodeprocesosyproductos enelsegmentodefabricaciónvinícoladesunegocio.Este
problemadescribeelexperimentorealizado
parasuPinotNoir1985.Originalmenteseestudiaronochova­
riables,lascualessemuestran
enesteexperimento:
Variable
A
=ClandePinotNoir
B
=Tipoderoble
e=Edaddelabarrica
D=Levadura/contactoconlapiel
E=Vapores
F=Tostadodelasbarricas
G
=Racimoscompletos
H
=Temperaturadefermentación
Nivelbajo
(-)
Pornmard
Allier
Vieja
Champagne
Ninguno
Ligero
Ninguno
Baja(75°Fmáx.)
Nivelalto(
+)
Wadenswil
Tron<;;ais
Nueva
Montrachet
Todos
Medio
10%
Alta(92°Fmáx.)
HarryyJudydecidieronusar
undiseño
2~4con16corridas.Elvinofuecatado porunpaneldeexpertose18
demarzode1986.
Cadaexpertocalificólas16muestrasdevinocatadas,siendolacalificación llamejor.El
diseñoylosresultadosdelpaneldecatadoressemuestra
enlatabla8-31.
a)¿Cuálessonlasrelaciones delosaliaseneldiseñoseleccionado porHarryyJudy?
b)Usarlascalificacionespromedio
6i)comovariablederespuesta.Analizarlosdatosysacarconclusiones.
Seencontraráútilexaminar
unagráficadeprobabilidadnormaldelasestimacionesdelosefectos.

370. \,jJ
\J1
0\
,---~~; ..-=:~¡¡-
Tabla8-31Diseñoyresultadosdelexperimentodelapruebadelvino
Variable CaIificacionesdel
panel Resumen
Corrida A B e D E F G H HPNJPNCALDCMRGB
Ji s
1 - - - - - . - - - 12 6 1310 7 9.6 3.05
2
+ - - - - + + + 10 7 1414 9 10.8 3.11
3
- +
- - + - + + 14 13 1011 15 12.6 2.07
4
+ + - - + +
- - 9 9 7 9 12 9.2 1.79
5
- - +
- + + + - 8 8 11 8 10 9.0 1.41
6
+
- + - + - - + 16 12 15 16 16 15.0 1.73
7
- + + - - + - + 6 5 6 5 3 5.0 1.22
8
+ + + - - - + - 15 16 1615 14 15.2 0.84
9
-
- - + + + - + 1 2 3 3 2 2.2 0.84
10
+
- - + + - + - 7 11 4 7 6 7.0 2.55
11
- +
- + - + + - 13 3 812 8 8.8 3.96
12
+ + - + - - - + 3 1 5 1 4 2.8 1.79
13 -
- + + - - + + 2 10 2 4 5 9.6 3.29
14
+ - + + - +
- - 4 4 1 2 1 2.4 1.52
15 - + + + + - - - 5 15 9 6 11 9.2 4.02
16
+ + + + + + + + 11 14 12 13 13 12.6 1.14

371. Kilgorealizóelexperimentofactorialfraccionadocon 16corridasquesemuestraacontinuación.
A, B, C, D, E,
Nivel presión temperatura humedad flujo tamañodelas
codificado (bar)CC) (%porpeso) (litros/min)partículas(mm)
-1 415 25 5 40 1.28
1 550
95 15 60 4.05
In
3578-8PROBLEMAS
A B C D E Y
415 25 5 40 1.28 63
550 25 5 40 4.05 21
415 95 5 40 4.05 36
550 95 5 40 1.28 99
415 25 15 40 4.05 24
550 25 15 40 1.28 66
415 95 15 40 1.28 71
550 95 15 40 4.05 54
415 25 5 60 4.05 23
550 25 5 60 1.28 74
415 95 5 60 1.28 80
550 95 5 60 4.05 33
415 25 15 60 1.28 63
550 25 15 60 4.05 21
415 95 15 60 4.05 44
550 95 15 60 1.28 96
c)Usarladesviaciónestándardelascalificaciones(oalgunatransformaciónapropiadatalcomolags)
comovariablederespuesta.¿Quéconclusiones
puedensacarseacercadelosefectosdelasochovaria­
blessobrelavariabilidaddelacalidaddelvino?
d)Despuésdemirarlosresultados,HarryyJudycoincidieronenqueunodelosmiembrosdelpanel
(DCM)sabíamásdecervezaquedevino,
porloquedecidieroneliminarsucalificación.¿Quéefecto
tendríaestoenlosresultadosylasconclusionesdelosincisos
byc?
e)Supongaquejustoantesdeempezarelexperimento,HarryyJudyseenterarondequelasochonuevas
barricasqueordenarondeFrancia
parausarlasenelexperimentonollegaríanatiempo,yquelas 16co­
rridastendríanquehacerseconlasbarricasviejas.Si
HarryyJudysimplementeeliminanlacolumnaC
desudiseño,¿quéocurreconlasrelacionesdelosalias?¿Esnecesarioqueempiecendenuevoycons­
truyanotrodiseño?
f)HarryyJudysaben porexperienciaqueesimprobable quealgunasdelascombinacionesdetratamientos
produzcanbuenosresultados.Porejemplo,
lacorridaconlasochovariablesenelnivelaltogeneralmen­
teresultaenunvinoconunacalificaciónbaja.Estoseconfirmóe18demarzode1986enla pruebadel
vino.Quierenestablecer
unnuevodiseño parasuPinotNoir1986utilizandoestasmismasochovaria­
bles,peronoquierencorrerelexperimentoconlosochofactoresenelnivelalto.¿Quédiseñosugeriría
ellector?
8-27.
Enunartículode QualityEngineering ("Unaaplicacióndelosdiseñosexperimentalesfactorialesfracciona­
dos",vol.
1,pp.19-23)M.B.Kilgodescribe unexperimentoparadeterminarelefectodelapresióndel COz
(A),latemperaturadel COz(B),lahumedaddelcacahuate (C),lavelocidaddeflujodel COz(D)Yeltamaño
delaspartículasdecacahuate
(E)sobreelrendimientototaldelaceite porlotedecacahuates (y).Losniveles
queusó
paraestosfactoressonlossiguientes:

372. 358 CAPÍTULO8DISEÑOSFACTORIALESFRACCIONADOS DEDOSNIVELES
a)¿Quétipodediseñose hautilizado?Identificarlarelacióndedefiniciónylasrelacionesdelosalias.
b)Estimarlosefectosdelosfactoresyusarunagráficadeprobabilidadnormalparahacerlaidentificación
tentativadelosfactoresimportantes.
e)Efectuar
elanálisisestadísticoapropiado paraprobarlashipótesisdequelosfactoresidentificadosen el
incisobanteriortienenunefectosignificativosobreelrendimientodelaceitedecacahuate.
d)Ajustarunmodeloquepuedausarseparapredecirelrendimientodelaceitedecacahuateentérminos
delosfactoresquesehanidentificadocomoimportantes.
e)Analizarlosresidualesdeesteexperimentoycomentar laadecuacióndelmodelo.
8-28.LosingenierosdelaplantaEssexAluminumdeFordMotorCompanyllevaronacabounexperimentofacto­
rialfraccionadoen
10factorescon 16corridasparaelvaciadoenarenadetubosmúltiplesparamotor,elcual
sedescribeen
elartículo"Estudiodelprocesodevaciadoevaporativo paramúltiplesdeadmisiónde3.0 li­
tros'PoorSandfill"',deD.Becknell (FoUlthSymposiumOllTaguchiMethods, AmericanSupplierInstitute,.
Dearborn,MI,pp.120-130).Elobjetivofuedeterminarcuálesdelos
10factorestienenunefectosobrela
proporcióndevaciadosdefectuosos.Eldiseñoylaproporciónresultantedevaciadosnodefectuosos
pque
seobservaronencadacorridasepresentanenseguida.Setratadeunafracciónderesolución
111congenera­
dores
E=CD,F=BD, G=BC,H=AC,J=AByK=ABC. Supongaque elnúmerodevaciadoshechosen
cadacorridadeldiseño
es1000. arcsenJP
Modificación
: CorridaA B C D E F G H J KP deF&T
Ir
1 ++ + ++ 0.9581.364 1.363
("
!~:: 2 + ++ + + 1.0001.571 1.555
t:;
3 + + + + 0.9771.419 1.417
..~¡;I
4 0.7751.077 1.076
l:::: + + + +
!"j 5 + + + +0.9581.364 1.363
.~:~:~ 6 + + + + 0.9581.364 1.363
11;:]1;
7 + + 0.8131.124 1.1231":·" +
~~:~~
8 +++ + + + + 0.9061.259 1.259
r"\1'" 9 + + + + 0.679 0.969 0.968
(".."
1'"r
10 + + + + 0.7811.081 1.083~~~il
.(;11/
11 + + + + + 1.0001.571 1.556
12 + + + + + 0.8961.241 1.242
13 + + + + + 0.9581.364 1.363
14 + + + + + 0.8181.130 1.130
15 ++ + + + + 0.8411.161 1.160
16 + + + + + + + + + + 0.9551.357 1.356
a)Encontrarlarelacióndedefiniciónylasrelacionesdelosaliasdeestediseño.
b)Estimarlosefectosdelosfactoresyusarunagráficadeprobabilidadnormal parahacerlaidentificación
tentativadelosfactoresimportantes.
e)Ajustarelmodeloapropiadoutilizandolosfactoresidentificadosenelinciso
banterior.
d)Graficarlosresidualesdeestemodelocontralaproporciónpredichadevaciadosnodefectuosos.Cons­
truirtambiénunagráficadeprobabilidadnormaldelosresiduales.Comentarlaadecuacióndeestasgrá­
ficas.
e)Ellectorhabránotadoen elincisodunindiciodequelavarianzadelarespuestanoesconstante(con si­
.derandoquelarespuesta esunaproporción,estodeberíahaberseanticipado).Latablaanteriortambién
muestraunatransformacióndep,arcsendelaraízcuadradadep,queesdeusogeneralizadocomo
tralls!onnacióllparaestabilizarlavmiallzadelosdatosdelaproporción(referirsealadiscusióndelas
transformacionesparaestabilizarlavarianzadelcapítulo3).Repetirlosincisos
aaldanterioresutilizan-

373. s-sPROBLEMAS 359
dolarespuestatransformadaycomentarlosresultados.Específicamente,¿sonmejoresahoralasgráfi­
casdelosresiduales?
f)Hayunamodificacióndelatransformaciónarcsendelaraízcuadrada,propuestaporFreemanyTukey
("Transformacionesrelacionadasconángulosylaraízcuadrada",
AnnalsofMathematicalStatistics, vol.
21,pp.607-611)quemejorasudesempeñoenlascolas. LamodificacióndeF&T es:
[arcsen.Jnp1(n+1)+arcsen.J(np+1)1(n+1)]/2
Resolverdenuevolosincisos aaldutilizandoestatransformaciónycomentarlosresultados.(Parauna
interesantediscusiónyanálisisdeesteexperimento,referirsea''Análisisdeexperimentosfactorialescon
defectosopartesdefectuosascomorespuesta",de
S.BisgaardyH.T.Fuller, QualityEngineering, vol.7,
pp.429-443.)
8-29.
Unexperimentofactorialfraccionadoennuevefactoresy 16corridasfueconducidoporeldepartamento
ChryslerMotorsEngineeringysedescribeenelartículo"Mejoramientodelprocesocompuestodemoldeo
deplanchas",de
P.I.HsiehyD.E.Goodwin (FowthSymposium onTaguchiMethods, AmericanSupplier
Institute,Dearborn,MI,pp.13-21).Elobjetivoerareducirelnúmerodedefectos
enelacabadoderejillasde
planchasmoldeadasderecuadrosabiertos.Eldiseñoyelnúmeroresultantededefectos,
e,observadosen
cadacorridasemuestranacontinuación.Setratade
unafracciónderesoluciónIIIcongeneradores E=BD,
F
=BCD,G=AC,H =ACDyJ=AB.
Modificación
Corrida
A B C D E F G H J e
..fC deF&T
1 + + + 56 7.48 7.52
2
+ + + 17 4.12 4.18
3 + ++ 2 1.41 1.57
4
+ + + ++ 4 2.00 2.12
5 + ++ ++ 3 1.73 1.87
6
+ + ++ + 4 2.00 2.12
7 + + + 50 7.07 7.12
8 +++ + + 2 1.41 1.57
9
+ + + + + 1 1.00 1.21
10 + + + O 0.00 0.50
11 + + + + + 3 1.73 1.87
12
+ + + + + 12 3.46 3.54
13 ++ + 3 1.73 1.87
14
+ + + + + 4 2.00 2.12
15 ++ + ++ O 0.00 0.50
16 + + + + + + + + + O 0.00 0.50
a)Encontrarlarelacióndedefiniciónylasrelacionesdelosaliasdeestediseño.
b)Estimarlosefectosdelosfactoresyusar unagráficadeprobabilidadnormalparahacerlaidentificación
tentativadelosfactoresimportantes.
e)Ajustar
un'modeloapropiadoutilizandolosfactoresidentificadosenelinciso banterior.
d)Graficarlosresidualesdeestemodelocontraelnúmeropredichodedefectos.Asimismo,construiruna
gráficadeprobabilidadnormaldelosresiduales.Comentarlaadecuacióndeestasgráficas.

374. 360 CAPÍTULO8DISEÑOSFACTORIALESFRACCIONADOS DEDOSNNELES
e)Ellectorhabránotadoen elincisodunindiciodeque lavarianzadelarespuestano esconstante(consi­
derandoquelarespuesta
esunconteo,estodeberíahaberseanticipado). Latablaanteriortambiénin­
cluyeunatransformaciónde
c,laraízcuadrada,que esunatransfonnaciónparaestabilizarlavarianza de
usogeneralizadocondatosdeconteos(referirsealaexposicióndelastransformacionesparaestabilizar
lavarianzadelcapítulo3).Repetirlosincisos
aaldutilizandolarespuestatransformadaycomentar los
resultados.Específicamente,¿hanmejoradoahoralasgráficasdelosresiduales?
f)Hayunamodificacióndelatransformacióndelaraízcuadrada,propuesta porFreemany Tukey.
("Transformacionesrelacionadasconángulosyraízcuadrada", AnnalsofMathematicalStatistics,vol.
21,pp.607-611)quemejorasudesempeño.
Lamodificaciónde F&Tdelatransformacióndelaraíz
cuadrada
es:
~;:'
,.,,,'
1','"
::::1
1~1I1
I'~~,
1"".,
"1,
.,
::1,
1'1
Resolverdenuevolosincisos aaldutilizandoestatransformaciónycomentarlosresultados.(Parauna
interesantediscusiónyanálisisdeesteexperimento,referirsea'1álisisdeexperimentosfactorialescon
defectosopartesdefectuosascomorespuesta",de
S.Bisgaardy H.T.Puller,QualityEngineering, vol.7,
pp.429-443.)
8-30.Secorreunexperimentoenunafábricadesemiconductores
parainvestigarelefectodeseisfactoressobrela
amplificacióndeltransistor.Eldiseñoseleccionadoesel
2~2quesemuestraacontinuación:
OrdenOrdende
estándarlascorridas
ABeD E FAmplificación
1 2
1455
2 8 + + - 1511
3 5 + + + 1487
4 9
+ +- - + 1596
5 3 + ++ 1430
6
14 + + + 1481
7 11 ++ 1458
8 10 + + + + 1549
9 15 -+-+ 1454
10 13 +- + + + 1517
11 1 -+ + + 1487
12 6 ++ + 1596
13
12 + ++ - 1446
14 4
+ + + 1473
15 7 -+++ -+ 1461
16 16 + + + + + + 1563
a)Usarunagráficanormaldelosefectos paraidentificarlosfactoressignificativos.
b)Conducirlaspruebasestadísticasapropiadas paraelmodeloidentificadoenelinciso a.
c)Analizarlosresidualesycomentarlosresultados.
d)¿Esposibleencontrarunconjuntodecondicionesdeoperaciónqueproduzcaunaamplificaciónde1500
±25?
8-31.Eltratamientotérmicoesdeusocomún
paracarbonizarpiezasmetálicas,comoengranes.Elespesordela
capacarbonizada
esunavariabledesalidacríticadeesteproceso,ysuelemedirserealizandounanálisisde
carbonodelpasodelengrane(lacarasuperiordeldientedelengrane).Seestudiaronseisfactoresenundise­
ño
2~2:A=temperaturadelhorno, B=duracióndelciclo, e=concentracióndecarbono,D =duracióndel

375. 11
8-8PROBLEMAS 361
ciclodecarbonización, E=concentracióndecarbonodelciclodifuso yF=duracióndelciclodifuso. Elex-
p'erimentosepresentaacontinuación:
Orden Ordende
estándarlascorridas
ABeD E F Paso
1 5
74
2 7 + + 190
3 8 + + + 133
4 2 + + + 127
5 10 + + + 115
6 12 + + + 101
7 16 ++ 54
8 1 ++ + + 144
9 6
+ + 121
10 9 + + + + 188
11 14 + + + 135
12 13 + + + 170
13 11 + + + 126
14 3 + + + 175
15 15 ++ + + 126
16 4 + + + + + + 193
a)Estimarlosefectosdelosfactores yrepresentarlosenunagráficadeprobabilidadnormal.Seleccionar
unmodelotentativo.
b)Efectuarlaspruebasestadísticasapropiadasenelmodelo.
e)Analizarlosresiduales
ycomentarlaadecuacióndelmodelo.
d)Interpretarlosresultadosdeesteexperimento.Suponerqueesdeseable unespesordelacapadeentre
140
y160.
8-32.Seestudiancincofactores
eneldiseñofactorialfraccionadoirregularderesoluciónVmostradoenseguida:
OrdenOrdende
estándarlascorridas
A BeD E Y
1 1 16.33
2
10 + 18.43
3 5
++ 27.07
4 4
+ 16.95
5
15 + + 14.58
6
19 + + 19.12
7
16 + 18.96
8 7
+ + 23.56
9 8
+ + + 29.15
10 3 + ++ 15.74
11 13 + + + 20.73
12 11 ++ + + 21.52
13 12 +15.58
14 20 + + 21.03
15 9 + + + 26.78
li
11
~.
I~
I
I

376. ~
.".'
362 CAPÍTULO8DISEÑOSFACTORIALESFRACCIONADOS DEDOS NNELES
OrdenOrdende
estándarlascorridas
A BeD E Y
16 22 + + + 13.39
17
21 + + + 18.63
18 6 + + + + 19.01
19
23 ++ 17.96
20 18 + + + 20.49
21 24 + + + + 29.31
22 17
+ + + 17.62
23 2 + +++ 16.03
24
14 + + ++ 21.42
a)Analizarlosdatosdeesteexperimento.¿Quéfactoresinfluyenenlarespuesta y?
b)Analizarlosresiduales.Comentarlaadecuacióndelmodelo.
r.::,:!:::
"'"''''
¡:;:JI;::
'11-.""
..'....'1
"1"""
·1'~"
~~·~"I.·
"I¡''f','
....."'1
~::i;¡
r.;/!I'l,.

377. "
Diseñosfactoriales.y
factorialesfraccionados
contresnivelesy con
nivelesmixtos
Lasseriescondosnivelesdelosdiseñosfactorialesyfactorialesfraccionadosquesecomentaron enlos
capítulos
6,7 Y8sondeusogeneralizado enlainvestigaciónyeldesarrolloindustrial.Hayalgunasexten­
sionesyvariantesdeestosdiseñosque
enocasionessonútiles,comolosdiseños paraloscasosenqueto­
doslosfactoresestánpresentescontresniveles.Estosdiseños
3
k
seanalizanenestecapítulo.Se
consideran
tambiénloscasosenquealgunosdelosfactores tienendosnivelesyotrosfactorestienenya
seatresocuatroniveles.
m~~
~i::i!'
....~tj1
ro\f>.~
9.1DISEÑOFACTORIAL 3
k
ft~
F",,~..
>"~t';1
r-..f-'::r
9·1.1Notaciónymotivacióndeldiseño3
k
t')~i~;
~~ ~gf;
Seestudiaahoraeldiseñofactorial 3
k
;
esdecir,unarreglofactorialde kfactoresquetienentres
nivelfff.K~
cadauno.Seusaránletrasmayúsculas paradenotarlosfactoresylasinteracciones.Se haráreferencia~)%l
lostresnivelesdelosfactorescomobajo,intermedioyalto. HayvariasnotacionesdiferentesqueseusaJ?~§,
pararepresentarestosnivelesdelosfactores; unaposibilidades representarlosnivelesdelosfactores
conlosdígitosO(bajo),1(intermedio)y 2(alto).
Cadacombinacióndetratamientosdeldiseño 3
k
sede­
notará
porkdígitos,dondeelprimerdígitoindicaelniveldelfactor A,elsegundodígitoindicaelniveldel
factor
B,oo.,yeldígitok-ésimoindicaelniveldelfactor K.Porejemplo,enundiseño3
2
,
00denotalacom­
binacióndetratamientoscorrespondiente
aAyBambosenelnivelbajo,y 01denotalacombinaciónde
tratamientoscorrespondiente
aAenelnivelbajoy Benelnivelintermedio. Enlasfiguras9-1y9-2se
muestra
larepresentacióngeométricadelosdiseños3
2
y 3
3
,
respectivamente,utilizandoestanotación.
Estesistemadenotaciónpudohaberseusado enlosdiseños2
k
presentadosanteriormente,utilizando
Oy 1
enlugardel1negativoy el1positivo,respectivamente. Eneldiseño2
k
seprefiriólanotación ±1por­
quefacilita
lavistageométricadeldiseñoy porquepuedeaplicarsedirectamentealmodeladoderegre­
sión,laseparación
enbloquesy laconstruccióndefactorialesfraccionados.
Enelsistemadelosdiseños
3\cuandolosfactoresson cuantitativos,escomúndenotarlosniveles
bajo,intermedioyaltocon-1,OY+1,respectivamente.Conestosefacilita elajuste de unmodelodere·
363

378. Figura9-1Combinacionesdetratamientosen un
diseño3
2
•
FactorA
CAPÍTULO9DISEÑOSFACTORIALESYFACTORIALESFRACCIONADOS CONTRESNNELES
2
12 2202
'Q
B
u 01 11 21
ro
u-
O
00 10 20
364
111
gresiónquerelacionalarespuestaconlosnivelesdelosfactores. Porejemplo,considereeldiseño3
2
dela
figura9-1,
yseaque XlrepresentealfactorA yquex
2representealfactor B.Unmodeloderegresiónque
relacionalarespuestaycon
XlyX
2quesebasa enestediseñoes
(9-1)
Observeque
laadiciónde untercerniveldelosfactorespermiteque larelaciónentrelarespuesta ylos
factoresdeldiseñosemodelecomounmodelocuadrático.
Eldiseño3
k
esciertamenteunaelección posible paraunexperimentadorquesepreocupa porlacur­
vatura
enlafunciónderespuesta.Sinembargo,esnecesariotomar enconsideracióndospuntos:
1.Eldiseño3
k
noeslaformamáseficientedemodelar unarelacióncuadrática;losdiseñosdesu­
perficiederespuestaqueseexponen
enelcapítulo11sonalternativassuperiores.
222
...----~':"::"::----::;o'220
O 1
FactorA
Figura9-2Combinacionesdetratamientosen undiseño3
3
.

379. 9-1DISEÑOFACTORIAL3
k365
Figura9-3Totalesdelascombinacionesdelostratamientosdelejemplo5-5
condoscuadradoslatinossuperpuestos.
2
b)
FactorB
1o
Q
G
RG
S0
S0
Q8
RG
RG
SG
Q
8
2
o
2
FactorB
1
a)
o
Q
G
RG
S0
R0
S8
Q
G
S8
Q
G
RG
2
o
9,1.2Eldiseño3
2
Eldiseñomássimpledelsistema3
k
eseldiseño3
2
,
elcualtienedosfactores,cadaunocontresniveles.Las
combinacionesdetratamientosdeestediseñosemostraron
enlafigura9-1.Puestoqueestánpresentes
3
2=9combinacionesdetratamientos,hayochogradosdelibertadentreestascombinacionesdetrata­
mientos.Losefectosprincipales
deAyBtienendosgrados delibertadcadauno,ylainteracciónABtiene
cuatrogradosdelibertad.
Sihaynréplicas,habrán3
2
-1gradosdelibertadtotalesy3
2
(n-1)gradosdeli­
bertaddelerror.
Lassumasdecuadradosde
A,BYABpuedencalcularsemediantelosmétodosusualesparalosdise­
ñosfactorialesanalizadosenelcapítulo
S.Cadaefectoprincipal puederepresentarsecon uncomponente
linealyunocuadrático,cadaunocon
unsologradodelibertad,comoseobserva enlaecuación9-1.Desde
luego,estosólotienesentidosielfactor
escuantitativo.
Laparticióndelainteraccióndedosfactores ABpuedehacersededosmaneras. Elprimermétodo
consiste
ensubdividirABenloscuatrocomponentescon unsologradodelibertadquecorrespondena
ABLx
UABLxQ,ABQ xLYABQxQ'Estopuedehacerseajustandolostérminos/3l'iX¡X2'/312iXIX~, /3112X¡X2y
f31122X¡x~,respectivamente,comoseindicó enelejemploS-S.Paralosdatosdelavidadelaherramienta
deeseejemploseobtiene
SSABLxL=8.00,SSABLxQ=42.67,SSABQXL=2.67ySSABQxQ=8.00.Puestoque
setratadeunaparticiónortogonal deAB,observeque SSAB=SSABLxL+SSABLxQ+SSABQxL+SSABQXQ
=61.34.
Elsegundométodosebasa enloscuadradoslatinosortogonales.Considerelostotalesdelascombi­
nacionesdelostratamientos
paralosdatosdelejemplo S-S.Estostotalessemuestran enlafigura9-3
comolosnúmerosencerrados encírculosdentrodeloscuadrados.LosdosfactoresA yBcorrespondena
losrenglonesylascolumnas,respectivamente,de
uncuadradolatino3 x3.Enlafigura9-3semuestran
doscuadradoslatinos3
x3particulares,superpuestos enlostotalesdelasceldas.
Estosdoscuadradoslatinossonortogonales;esdecir,si
unodeloscuadradossesuperpone enelotro,
cadaletradelprimercuadradoapareceráexactamente
unavezconcadaletradelsegundocuadrado.Los
totalesdelasletras
enelcuadradoasonQ=18,R=-2YS=8,Ylasumadecuadradosentreestostotales
2.Eldiseño2
k
aumentadoconlospuntoscentrales,comoseanalizó enelcapítulo6,esunaforma
excelentedeobtener
unaindicacióndelacurvatura.Permiteconservarreducidoeltamañoyla
complejidaddeldiseñoy
almismotiempopermite obtenerciertaproteccióncontralacurvatura.
Entonces,silacurvatura
esimportante,eldiseñodedosnivelespuedeaumentarseconcorridas
axiales
paraobtenerundiseñocentralcompuesto,comoseilustra enlafigura6-36. Estaestrate­
giasecuencialdeexperimentaciónesmáseficiente,
pormucho,quecorrer undiseñofactoria13
k
confactorescuantitativos.

380. 366 CAPÍTULO9DISEÑOSFACTORIALESYFACTORIALESFRACCIONADOS CONTRESNIVELES
es[18
2
+(_2)2+ 8
2
]/(3)(2)-[24
2
/(9)(2)] =33.34,condosgradosdelibertad. Demanerasimilar,lostota­
lesdelasletrasenelcuadrado
bsonQ=O,R=6YS=18,Ylasumadecuadradosentreestostotaleses [0
2
+ 6
2
+18
2
]/(3)(2)-[24
2
/(9)(2)] =28.00,condosgradosdelibertad.Observequelasumadeestos dos
componenteses
33.34+28.00=61.34=SS
ÁB
con2+2=4gradosdelibertad.
Engeneral,alasumadecuadradoscalculadaconelcuadrado aselellamael componenteABde lain·
teracción,
y alasumadecuadradoscalculadaconelcuadrado bselellamael componenteAB
2
delainte·
racción.
Cadaunodeloscomponentes AByAB
2
tienedosgradosdelibertad.Seusaestaterminología
porque
silosniveles(O,1,2)deAyBsedenotanporXlyX
2
,respectivamente,entoncesseencuentraque
lasletrasocupanceldasdeacuerdoconelsiguientepatrón:
Porejemplo,enelcuadrado
bseobservaquelaceldadeenmediocorresponde aX
I=1YX
2=1;porlo
tanto,xl +2x2=1 +(2)(1)=3=O(mod3),yQocuparíalaceldadeenmedio.Cuandoseconsideran ex­
presionesdela formaAPBq,seestablecelaconvencióndequeelúnicoexponentepermitidoenlaprimera
letraes
1.Sielexponentedelaprimeraletrano es1,laexpresióncompletaseeleva alcuadradoylos ex­
ponentessereducen almódulo3.Porejemplo,A
2
Beslomismoque AB
2
porque
Cuadradoa
Q:Xl+X
2=O(mad3)
R:x
l
+x
2
=1(mad3)
S:Xl+x
2=2(mad3)
Cuadradob
Q:Xl+2X
2=O(mad3)
S:Xl+2x
2
=1(mad3)
R:
Xl+2x
2=2(mad3)
LoscomponentesABy AB
2
delainteracciónABnotienensignificadorealy porlogeneralnosein­
cluyenenlatabladelanálisisdevarianza.Sinembargo,estaparticiónengran medidaarbitrariadela
interacciónABendoscomponentesortogonalescondosgradosdelibertad
esmuyútilparaconstruir di­
señosmáscomplicados.Además,nohayrelaciónentreloscomponentesABy AB
2
delainteracciónylas
sumasdecuadradosde
ABLx
LoAB
L
xQ'ABQxLYABQxQ'
LoscomponentesABy AB
2
delainteracciónpuedencalcularsedeotramanera.Considerelostotales
delascombinacionesdelostratamientosencualquieradeloscuadradosdelafigura
9-3.Sisehacela
sumadelosdatosenlasdiagonaleshaciaabajodeizquierdaaderecha,seobtienenlostotales
-3+4-1=
O,-3+10-1=6 Y5+11+ 2=18.Lasumadecuadradosentreestostotaleses 28.00(AB
2
).Enformasi­
milar,lostotalesdeladiagonalhaciaabajodederechaaizquierdason5 +4-1=8,-3+2-1=
-2Y-3+
11+10=18.Lasumadecuadradosentreestostotaleses 33.34(AB).Yatesllamóaestoscomponentes
delainteracciónlos
componentes1yJdelainteracción,respectivamente.Seusaránaquíindistintamente
lasdosnotaciones;esdecir,
I(AB)=AB
2
J(AB)=AB

381. 9-1DISEÑOFACTORIAL3k 367
9~1.3Eldiseño3
3
Supongaahoraquehaytresfactores (A,BYC)bajoestudio,y quecadafactortienetresnivelesdispuestos
en
unexperimentofactorial.Se tratadeundiseñofactorial3
3
,
yladisposiciónexperimentalylanotación
delascombinacionesdelostratamientosse
presentaronanteriormenteenlafigura9-2.Las27combina­
cionesdetratamientostienen26gradosdelibertad.
Cadaefectoprincipaltiene2gradosdelibertad,cada
interaccióndedosfactorestiene4gradosdelibertady
lainteraccióndetresfactorestiene8gradosdeli­
bertad.Sisehacen
11réplicas,hay 113
3
-1gradosdelibertadtotalesy 3
3
(11-1)gradosdelibertaddelerror.
Lassumasdecuadrados
puedencalcularseutilizandolosmétodosestándares paralosdiseñosfacto­
riales.Además,silosfactoressoncuantitativos,esposible
hacerlaparticióndelosefectosprincipales en
uncomponentelinealy unocuadrático,cada unoconunsologradodelibertad.Lasinteraccionesdedos
factores
puedendescomponerseenefectoslinealxlineal,linealxcuadrático,cuadráticoxlinealycua­
dráticoxcuadrático.
Porúltimo,puedehacerselaparticiónde lainteraccióndetres factoresABCen
ochocomponentescon unsologradodelibertad quecorrespondenalinealxlinealxlineal,linealxli­
nealxcuadrático,etcétera.
Estadescomposiciónde lainteraccióndetresfactoresnoes porlogeneralde
granutilidad.
Tambiénesposiblehacerlaparticióndelasinteraccionesdedosfactores
ensuscomponentes1yJ.
Éstossedesignarían AB,AB
2
,
AC,AC
2
,
BCYBC
2
,
ycadacomponentetendríadosgradosdelibertad.
Como
eneldiseño3
2
,
estoscomponentesno tienensignificaciónfísica.
Esposiblehacerlaparticióndelainteraccióndetres
factoresABCencuatrocomponentesortogona­
lescondosgradosdelibertad,alosquesueledenominarseloscomponentes
¡:,v,X;yy Zdelainteracción.
Thmbiénsehacereferenciaaelloscomoloscomponentes
AB
2
C
2
,
AB
2
C,ABC
2
YABCdelainteracción
ABC,respectivamente.Lasdosnotacionesseusanindistintamente;esdecir,
W(ABC)=AB
2
C
2
X(ABC)=AB
2
C
Y(ABC)=ABC
2
Z(ABC)=ABC
Observequeningunadelasprimerasletras puedetenerunexponentediferentede 1.Aligualquelos
componentes
1yJ,loscomponentes
¡:,v,X;yy Znotienenningunainterpretaciónpráctica.Sinembargo,
sonútiles
paraconstruirdiseñosmáscomplejos.
EJEMPLO
9~1 .
Seusaunamáquinaparallenarcontenedoresmetálicosde5galonescon jarabeparaunabebidagaseosa.
Lavari.abledeinteréses lacantidaddejarabeperdidadebidoalespumeo.Sepiensaquetresfactoresin­
fluyen
enelespumeo:eldiseñodelaboquilla (A),lavelocidaddelllenado (B)yla presióndeoperación
(C).Seseleccionantresboquillas,tresvelocidadesdellenadoytrespresiones,ysecorrendosréplicasde
unexperimentofactorial3
3
•
Enlatabla9-1semuestranlosdatoscodificados.
Elanálisisdevarianzadelosdatosde lapérdidadejarabesemuestraenlatabla9-2.Lassumasde
cuadradossecalcularonconlosmétodosusuales.Seobserva
quelavelocidaddellenadoy lapresiónde
operaciónsonestadísticamentesignificativas.Lastresinteraccionesdedosfactorestambiénsonsignifi­
cativas.
Enlafigura9-4seanalizangráficamentelasinteraccionesdedosfactores. Elnivelintermediode
lavelocidadproduceelmejordesempeño,mientrasquelasboquillastipo2 y
3,yla presiónbaja(10psi)o
bienalta(20psi)
parecenserlasmásefectivas parareducirlapérdidadejarabe.
.........................................................................

382. n·
·.···:··
1
.
•'•.
!
f''.
i:
"I
368
Tabla9-1
CAPÍTULO9DISEÑOSFACTORIALESYFACTORIALESFRACCIONADOS CONTRESNIVELES
Datosdelapérdidadejarabedelejemplo9-1(lasunidadessoncentímetroscúbicos- 70)
Tipodeboquilla (A)
Presión(enpsi) (C)
10
15
20
100
-35
-25
110
75
4
5
1
120
-45
-60
-10
30
-40
-30
140
-40
15
80
54
31
36
2
Velocidad(enrpm) (E)
100 120 140
17
-65 20
24
-58 4
55
-55110
120
-4444
-23-64-20
-5-62-31
3
100120140
-39-55 15
-35-67-30
90-28110
113
-26135
-30-6154
-55-52 4
Elejemplo9-1ilustraunasituaciónenlaqueeldiseñodetresnivelessueleencontrarciertaaplica­
ción;unoomásdelosfactores
escualitativo,asumiendodesdeluegotresniveles,ylosdemásfactoresson
cuantitativos.
Enesteejemplo,supongaquesólohaytresdiseñosdelaboquillaquesondeinterés.Setra­
taevidentemente,entonces,de unfactorcualitativoquerequieretresniveles. Lavelocidaddellenadoyla
presióndeoperaciónsonfactorescuantitativos.
Porlotanto,podríaajustarseunmodelocuadrático
comoeldelaecuación
9-1enlosdosfactores,velocidadypresión,concadaniveldelfactorboquilla.
Enlatabla9-3semuestranestosmodelosderegresióncuadráticos.Las f3deestosmodelosseestima­
ronusandounprogramadecomputadoraderegresiónlinealestándar. (Enelcapítulo10seanalizarácon
mayordetallelaregresióndemínimoscuadrados.)
Enestosmodelos,lasvariables XlYX
2estáncodificadas
enlosniveles
-1,0,+1,comoseestudióanteriormente,ysesupusieronlossiguientesnivelesnaturales
paralapresiónylavelocidad:
~::::
'~.,..
NivelcodificadoVelocidad(rpm)
-1 100
O 120
+1 140
Presión(psi)
10
15
20
Enlatabla9-3sepresentanestosmodelostantoentérminosdeestasvariablescodificadascomo entér­
minosdelosnivelesnaturalesdelavelocidadylapresión.
Tabla
9-2Análisisdevarianzadelosdatosdelapérdidadejarabe
Fuentede Sumade Gradosde Cuadrado
variación cuadrados libertad medio Valor
P
A,boquilla
E,velocidad
C,presión
AB
AC
EC
ABC
Error
Total
993.77
61,190.33
69,105.33
6,300.90
7,513.90
12,854.34
4,628.76
11,515.50
174,102.83
2
2
2
4
4
4
8
27
53
496.89
30,595.17
34,552.67
1,575.22
1,878.47
3,213.58
578.60
426.50 1.17
71.74
81.01
3.69
4.40
7.53
1.36
0.3256
<0.0001
<0.0001
0.0383
0.0222
0.0025
0.2737

383. -400'-':---'----'-----
r
I
X¡=velocidad(S),x
2=Presión(P)enunidadescodificadas
y=22.1+3.5x¡+16.3x2 +51.7x¡2
-71.8x~+2.9x¡x2
y=1217.3-31.256S+86.017P+O.12917S
2 -2.8733p
2
+O.02875SP
e=15
C=20
C=10
9-1DISEÑOFACTORIAL3" 369
-400'-':---'----'-----
2 3
Tipodeboquilla (Al
b)
400
O~C=15
x200
~
en
ro
'"C
Qi
!O'"A. C=20
~-200~C=10
~
o
en
ro
'"C
Qi
u
.rg
"
'"C
¡jJ
~-200
~8_12C
1
400
100 120 140
Velocidadenrpm(B)
400
-400
I-.l:---:--....L----
O
x200
CQ
600
al
el
~200~B=140
i(J
"C
íiO B=100
.rg
"
"C
en
"-¡¡¡-200
~
Figura9-4 Interaccionesdedosfactoresdelejemplo 9-1.
Tipodeboquilla
Tabla9-3Modelosderegresiónpara elejemplo9-1
2
y=25.6-22.8x¡-12.3x
2+14.1x¡2-56.9x~-O.7x¡x
2
y=180.1-9.475S+66.75P+Q.035S
2
-2.2767p
2
-O.0075SP
3
y=15.1+20.3x¡+5.9x2+75.8x¡2-
94.9x~+10.sx¡x2
y=194Q.1-40.058S+102.48P+Q.18958S
2
-3.7967p
2
+0.105SP

384. r
!e
"
.,'
.'
,.'
.,
370 CAPÍTULO9DISEÑOSFACTORIALESYFACTORIALESFRACCIONADOS CONTRESNNELES
Enlafigura9-5semuestranlasgráficasdecontornodelassuperficiesderespuestadelapérdida de
jarabeconstánte,como unafuncióndelavelocidadylapresión paracadatipodeboquilla.Estasgráficas
revelaninformacióndeconsiderableutilidadacercadeldesempeñodeestesistemadellenado.Puesto
queelobjetivoesminimizarlapérdidadejarabe,sepreferiríalaboquillatipo
3,yaqueloscontornosob­
servadosmáspequeños
(-60)sóloaparecenenestagráfica. Deberánusarselavelocidaddellenadocerca
delnivelintermediode120rpmyelniveldepresiónyaseabajooalto.
Cuandoseconstruyengráficasdecontorno
paraunexperimentoquetiene unamezcladefactores
cuantitativosycualitativos,noesraroencontrarquelasformasdelassuperficiesderespuestadelosfac­
torescuantitativossonmuydiferentesencadaniveldelosfactorescualitativos.Estopuedeobservarseen
ciertamedida
enlafigura9-5,dondelaformadelasuperficie paralaboquillatipo2esconsiderablemente
alargada
encomparaciónconlassuperficiesdelasboquillastipo1 y3.Cuandoestoocurre,implicaque
lascondicionesdeoperaciónóptimas
(yotrasconclusionesimportantes)entérminosdelosfactores
cuantitativossonmuydiferentesencadaniveldelosfactorescualitativos.
EssencillomostrarlaparticiónnuméricadelainteracciónABC
ensuscuatrocomponentesortogo­
nalescondosgradosdelibertadutilizandolosdatosdelejemplo9-1.
Elprocedimientogeneral hasido
descrito
porCochranyCox [26]yDavies[36].Primeroseseleccionandoscualesquieradelostresfacto­
res,
porejemploAB,ysecalculanlostotales IyJdelainteracciónAB encadaniveldeltercerfactor C.
Estoscálculossepresentanacontinuación:
A Totales
e B 1 2 3 I J
100 -60 41-74 -198-222
10120 -105 -123-122 -106-79
140 -25 24-15 -155-158
100 185 175 203 331238
15120 20-99-54 255440
140 134 154 245 377285
100 9-28 -85 -59 -144
20120 -70-126-113 -74-40
140 67 -5158 -206 -155
Después,lostotales I(AB)yJ(AB)searreglanen unatabladedosvíasconelfactor C,ysecalculanlosto­
talesdelasdiagonales
IyJdeestanuevadisposición:
Thtales Totales
e I(AE) I J e J(AE) I J
10 -198-106-155-149 41 10-222-79 -158 63 138
15 331255 377 212 19 15 238440 285 62 4
20 -59 -74 -206 102 105 20-144-40 -155 40 23
Lostotalesdelasdiagonales IyJcalculadosarribason enrealidadlostotalesquerepresentanlascantida­
des
I[I(AB)XC]=AB
2
C
2
,
1[I(AB)XC]=AB
2
C,I[J(AB)xC]=ABC
2
y1[J(AB)xC]=ABC,olos
componentes
U{X,YyZdeABC.Lassumasdecuadradosseencuentrandelamanerausual; esdecir,

385. 20.00
18.33
16.67
c:
'0
'iñ
15.00
al
¡1:
13.33
11.67
10.00
100.0106.7
alBoquillatipo1
9-1DISEÑOFACTORIAL3k 371
c:
oQ
'iñ
e:
a..
c:
'0
'iñ
e:
a..
-40.00
-20.00
0.000
20.00
0.000
-20.00
106.7113.3
1120.0126.7 133.3 140.0
Velocidad
b)Boquillatipo2
Figura9-5 Contornosdelapérdidadejarabeconstante
(unidades:
cc-70)comounafuncióndelavelocidad yla
presiónparalasboquillastipo
1,2 Y3,ejemplo9-1.

386. (165)2=18.77
54
(165)2
=584.11
54
(165/=221.77
54
(165)2
=3804.11
54
I[I(AB)xC]=AB
2
C
2
=W(ABC)
_(-149)2+(212)2+(102)2
-
18
J[I(AB)xC]=AB
2
C=X(ABC)
(41)2+(19)2+(105)2
18
I[J(AB)xC]=ABC
2
=Y(ABC)
=(63)2+(62)2 +(40)2
18
J[J(AB)xC]=ABC=Z(ABC)
(138)2+(4)2+(23)2
18
372 CAPÍTULO9DISEÑOSFACTORIALESYFACTORIALESFRACCIONADOS CONTRESNNELES
Auncuandose tratadeunaparticiónortogonalde SSABC'seseñaladenuevo quenoseacostumbrapre­
sentarla
enlatabladelanálisisdevarianza. Enseccionessubsecuentesseanaliza lanecesidadocasional
decalcular
unoomásdeestoscomponentes.
;ii
•.,
''''1
7"
¡".,,,,
i:J
9..1.4Eldiseñogeneral3
k
Losconceptosutilizados enlosdiseños3
2
y 3
3
puedenextendersedeinmediatoalcasode kfactores,cada
unocontresniveles,esdecir,a undiseñofactoria13
k
•
Seemplealanotacióndigitalusual paralascombi­
nacionesdetratamientos,
porloque0120 representaunacombinacióndetratamientos enundiseño3
4
conAyDenlosnivelesbajos, Benelnivelintermedio yCenelnivelalto. Hay3
k
combinacionesdetrata­
mientos,con
3
k
-
1gradosde libertadentreellas.Estascombinacionesde tratamientospermitendeter­
minarlassumasdecuadradosde kefectosprincipales, cadaunocondosgradosdelibertad;
(;)
interaccionesdedosfactores, cadaunaconcuatrogradosdelibertad;...; y unainteracciónde kfactores
con2
k
gradosdelibertad. Engeneral,unainteraccióndehfactorestiene2/zgradosdelibertad.Siseha­
cennréplicas,hay n3
k
-
1gradosdelibertadtotalesy 3
k
(n-1)gradosdelibertaddelerror.
Lassumasdecuadradosdelosefectosylasinteraccionessecalculan
conlosmétodosusuales paralos
diseñosfactoriales.
Demaneratípica,nosehaceningunadescomposiciónadicionaldelasinteracciones
detresfactoresydeórdenessuperiores.Sinembargo,cualquierinteracciónde
hfactorestiene 2/z-
1
com­
ponentesortogonalescondosgradosdelibertad.
Porejemplo,lainteraccióndecuatrofactoresABCD
tiene
24-1=8componentesortogonalescondosgrados delibertad,denotados porABCD
2
,
ABCD,
AB
2
CD,ABCD, ABC
2
D
2
,
AB
2
C
2
D,AB
2
CD
2
yAB
2
C
2
D
2
•
Alescribirseestoscomponentes,observequeel
únicoexponentepermitido
enlaprimeraletraes1.Sielexponentede laprimeraletranoes1,entoncesla
expresióncompletadebeelevarsealcuadradoylosexponentes
debenreducirsealmódulo 3.Parailustrar
loanterior,considere
Estoscomponentesdelainteracciónnotienenningunainterpretaciónfísica,
perosonútilesparacons­
truirdiseñosmáscomplejos.
Eltamañodeldiseñoseincrementarápidamente conk.Porejemplo,undiseño3
3
tiene27combina­
cionesdetratamientos
porréplica,undiseño3
4
tiene81, undiseño3
5
tiene243,etcétera. Porlotanto,con I
frecuenciasóloseconsidera unasolaréplicadeldiseño
3\ylasinteraccionesdeórdenessuperioresse
combinan
paraproporcionarunaestimacióndelerror.Como unailustración,silasinteraccionesdetres

387. 9-2CONFUSIÓNEN ELDISEÑOFACTORIAL 3"373
factoresYdeórdenessuperioressoninsignificantes,entonces unasolaréplicadeldiseño3
3
proporciona8
gradosdelibertaddelerror,yunasolaréplicadeldiseño3
4
proporciona48gradosdelibertaddelerror.
Estosdiseñossiguen siendograndespara
k
~3y,porconsiguiente,sondeescasautilidad.
9-2CONFUSIÓNEN ELDISEÑOFACTORIAL 3
k
Inclusocuandoseconsideraunasolaréplicadeldiseño3\éstarequieretantascorridasque esimproba­
blequepuedanhacerselas
3
k
corridasbajocondicionesuniformes.Porlotanto,confrecuencia esnecesa­
riohacerlaconfusión(omezclado)enbloques.Eldiseño
3
k
puedeconfundirseen
Y'bloques
incompletos,donde
p<k.Porlotanto,estosdiseñospuedenconfundirseentresbloques,nuevebloques,
etcétera.
9-2.1Eldiseñofactorial3
k
entresbloques
Supongaquesequiereconfundireldiseño
3
k
entresbloquesincompletos.Estostresbloquestienendos
gradosdelibertadentreellos;
porlotanto,debehaberdosgradosdelibertadconfundidosconlosblo­
ques.Recuerdequeenlaseriefactorial
3
k
cadaefectoprincipaltienedosgradosdelibertad.Además,
cadainteraccióndedosfactorestienecuatrogradosdelibertadypuededescomponerseendoscompo­
nentesdelainteracción(porejemplo,
AByAB
2
),cadaunocondosgradosdelibertad;cadainteracción
detresfactorestieneochogradosdelibertadypuededescomponerseencuatrocomponentesdelain­
teracción(porejemplo,
ABC,ABC
2
,
AB
2
CyAB
2
C
2
),cadaunocondosgradosdelibertad;yasísucesiva­
mente.Porlotanto,
esconvenienteconfundiruncomponentedeinteracciónconlosbloques.
Elprocedimientogeneralconsisteenconstruiruna
definicióndecontrastes
(9-2)
dondea¡representaelexponentedelfactori-ésimoenelefectoquevaaconfundirsey X¡eselniveldelfac­
tori-ésimoenunacombinacióndetratamientosparticular.Paralaserie
3
k
setienea¡=O,1 o2,dondela
primera
a¡diferentedecero eslaunidad,y x¡= O(nivelbajo),1(nivelintermedio)o 2(nivelalto).Las
combinacionesdetratamientosdeldiseño
3
k
seasignanalosbloquesconbaseenelvalorde L(mod3).
Puestoque
L(mod3)sólopuedeasumirlosvalores O,1o2,tresbloquesestándefinidosdemaneraúnica.
Lascombinacionesdetratamientosquesatisfacen
L= O(mod3)constituyenel bloqueprincipal. Este
bloqueincluirásiemprelacombinacióndetratamientos
00...0.
Porejemplo,supongaquequiereconstruirseundiseñofactorial 32entresbloques.Cualquieradelos
componentesdelainteracciónAB,AB
oAB
2
,
puedeconfundirseconlosbloques. Alelegirarbitrariamen­
te
AB
2
,
seobtieneladefinicióndecontrastes
Elvalorde
L(mod3)decadacombinacióndetratamientospuedeencontrarsedelasiguientemanera:
00:L=1(0)+2(0)=0=0(mod3) 11:L=1(1)+2(1)=3=O(mod3)
01:L=1(0)+2(1)=2=2(mod3) 21:L=1(2)+2(1)=4=1(mod3)
02:L=1(0)+2(2)=4=1(mod3)12:L=1(1)+2(2)=5=2(mod3)
10:L=1(1)+2(0)=1=1(mod3) 22:L=1(2)+2(2)=6=0(mod3)
20:L=1(2)+2(0)=2=2(mod3)
Enlafigura9-6semuestranlosbloques.
FI
1
;¡I¡
,l'
~I
~
11
j'

388. .'.
1"
."I.¡.,
:J
374 CAPÍTULO9DISEÑOSFACTORIALESYFACTORIALESFRACCIONADOS CONTRESNIVELES
Bloque1 Bloque2 Bloque3
888
~L:JL:J
a)Asignaciónde lascombinaciones
detratamientoalosbloques
2
02 12 22
ex:¡
B1
01 11 21
u
ro
Ll.. • =Bloque1
O
=Bloque2
O
()=Bloque3
00 10 20
O
FactorA
b)Vistageométrica
Figura9-6Eldiseño3
2
entresbloquesconAB2con-
fundida.
Loselementosdelbloqueprincipalforman ungrupoconrespectoa laadiciónmódulo 3.Conrefe­
renciaalafigura9-6,seobservaque
11+11
==22Y11+22==OO.Lascombinacionesdetratamientosde
losotrosdosbloques
puedengenerarsesumando, enmódulo3,cualquierelementodelnuevobloquecon
loselementosdelbloqueprincipal.Porlotanto,
paraelbloque2seusa10 paraobtener10+00==1010+11==21Y10+22==02
Paragenerarelbloque 3,alutilizar01,seencuentra
01+00==01 01+11==12Y01+22==20
EJEMPLO 9~2............................•....•...................•......•
Elanálisisestadísticodeldiseño3
2
confundidoentresbloquesseilustraempleandolosdatossiguientes,
loscualesprovienendelaréplicaúnicadeldiseño3
2
quesemuestra enlafigura9-6.
Bloque1
00=4
11=-4
22
=O
Totales
delosbloques
= O
Bloque2
10=-2
21
=1
02=8
7
Bloque3
01
=5
12=-5
20=O
O
Alaplicarlosmétodosconvencionales paraelanálisisdefactoriales,seencuentraque SSA==131.56Y
SSB==0.22.

389. 9-2CONFUSIÓNENELDISEÑOFACTORIAL 3"375
Tabla9-4Análisisdevarianzadelosdatosdel
ejemplo9-2
Fuentede Sumade Gradosde
variación cuadrados libertad
Bloques(AE") 10.89 2
A 131.56 2
B 0.22 2
AE 2.89 2
Total 145.56 8
Seencuentratambiénque
ss =(0)2+(7)2+(0)2_(7)2=10.89
Bloques 3 9
Sinembargo,SSBloquesesexactamenteigual alcomponenteAB
2
delainteracción.Paraveresto,lasobser­
vacionesseescribendelasiguientemanera:
FactorB
O 1 2
O 4 5 8
FactorA 1-2 -4 -5
2 O 1 O
Recuerde,porlasección9-1.2,queel componente!oAB
2
delainteracciónABpuedeencontrarsecalcu­
landolasumadecuadradosentrelostotalesdeladiagonaldeizquierdaaderechadelarepresentación
anterior.
Seobtieneasí
;Ji
11
11
1
(0)2+(0)2+(7)2
SSAB
2= 3
(7)2=1089
9 .
valorqueesidénticoa SSBloques.
Elanálisisdevarianzasepresentaenlatabla9-4.Puestoquehayunasolaréplica,nopuedehacerse
unapruebaformal.No
esunabuenaideautilizarelcomponenteABdelainteraccióncomounaestima­
cióndelerror.
Essencilloverificarquelascombinacionesdetratamientos000,
012Y101seencuentranenelbloque
principal.Lascorridasrestantesdelbloqueprincipalsegenerandelasiguientemanera:
Seconsideraahoraundiseñounpocomáscomplicado;undiseñofactorial3
3
confundidoentresblo­
quesconnuevecorridascadauno.ElcomponenteAB
2
C
2
delainteraccióndetresfactoresseconfundirá
conlosbloques.Ladefinicióndecontrasteses
(7)
101+021=122
(8)
012+202=211
(9)021+202=220
(1)000(4)101+101=202
(2)012(5)012+012=021
(3)101(6)101+012=110

390. 376 CAPÍTULO9DISEÑOSFACTORIALESYFACTORIALESFRACCIONADOS CONTRESNIVELES
Paraencontrarlascorridasdeotrobloqueseobservaquelacombinacióndetratamientos200noestáen
elbloqueprincipal.Porlotanto,loselementosdelbloque2son
(1)
200+000=200
(2)200+012=212
(3)200+
101=001
(4)200+202=102
(5)200+021=
221
(6)200+110=010
(7)
200+122=022
(8)200+211=
111
(9)200+220=120
ObservequetodasestascorridassatisfacenL
=2(mod3). Elúltimobloqueseencuentraobservandoque
100nopertenecealbloque1ni
albloque2.Alusar100comoarriba,seobtiene
(1)
100+000=100
(2)
100+012=112
(3)100+
101=201
(4)100+202=002
(5)100+021= 121
(6)100+110=210
(7)100+122=222
(8)100+211=
011
(9)100+220= 020
Losbloquesseilustran enlafigura9-7.
I¡:
",r.
ri
,,,,,
"
Bloque1 Bloque 2 Bloque3
000 200 100
012 212 112
101 001 201
202 102 002
021 221 121
110 010 210
122 022 222
211 111 011
220 120 020
a)Asignacióndelascombinacionesde
tratamientosalosbloques
.;Bloque1
022 122 222
o;Bloque2
CJ;Bloque3 CJ112
2 002
221
C,)
~ 0111
~
ca
u.1
201
220
~í'>
020
",,-o1
.110«0'
O O
000 100 200
O 1
FactorA
b)Vistageométrica
Figura9·7 Eldiseño3
3
entresbloquesconAB'C'confundida.;

391. 9-2CONFUSIÓNEN ELDISEÑOFACTORIAL3k 377
Tabla9-5Análisisdevarianzadeundiseño3
3
conAB
2
C
2confundida
1
l'
2
2
2
2
4
4
4
6
26
Gradosde
libertadFuentedevariación
Bloques
(AB2C2)
A
B
C
AB
AC
BC
Error(ABC+AB2C+ABC2)
Total
Enlatabla9-5sepresentaelanálisisdevarianzadeestediseño.Alutilizaresteesquemadeconfusión
(omezclado),secuentaconinformación acercadetodoslosefectos principales ylasinteraccionesdedos
factores.Loscomponentesrestantesdelainteraccióndetresfactores
(ABC,ABzCyABC
z
)
secombinan
como
unaestimacióndelerror. Lasumadecuadradosdeesostrescomponentespodríaobtenersepor
sustracción.
Engeneral,paraeldiseño3
k
entresbloquesseseleccionaríasiempre uncomponentedela
interaccióndeordenmásalto
paraconfundirloconlosbloques.Losdemáscomponentesdeestainterac­
ciónquenoestánconfundidospuedenobtenersecalculando
lainteracciónde kfactoresdelamanera
usual
yrestandodeestacantidadlasumadecuadradosdelosbloques.
9~2.2 Eldiseñofactorial3
k
ennuevebloques.
Enalgunassituacionesexperimentalespuedesernecesarioconfundir eldiseño3
k
ennuevebloques.Por
lotanto,ochogradosdelibertadseconfundiránconlosbloques.Paraconstruirestosdiseñosseeligen dos
componentesdeinteracción y,comoresultado,dosmásseconfundiránautomáticamente,produciendo
losochogradosdelibertadrequeridos.Estosdossonlasinteraccionesgeneralizadasdelosdosefectos
elegidosoriginalmente.
Enelsistema
3\lasinteraccionesgeneralizadasdedosefectos(esdecir, PyQ)se
definencomo
PQyPQz(opZQ).
Losdoscomponentesdeinteracciónelegidosinicialmenteproducen dosdefinicionesdecontrastes
donde
{a¡}y{f3j}sonlosexponentesdelaprimera ylasegundainteraccionesgeneralizadas,respectiva­
mente,conlaconvencióndequelasprimeras
a¡yf3jdiferentesdecerosonlaunidad.Lasdefinicionesde
contrastesdelaecuación
9-3implicannueveecuacionessimultáneasespecificadasporelpardevalores
paraL
1yLz.Lascombinacionesdetratamientosquetienenelmismopardevalores para(L1,Lz)seasig­
nanalmismobloque.
ElbloqueprincipalconstadelascombinacionesdetratamientosquesatisfacenL
1=Lz=°(mod3).
Loselementosdeestebloqueformanungrupoconrespectoalaadiciónmódulo
3;porlotanto,elesque­
mapresentadoenlasección9-2.1puedeusarseparagenerarlosbloques.
L¡=a1x
1+azx
z++akx
k=u(mod3)u=0,1,2
L
z=f31
X
1
+f3
z
x
z++f3kxk=h(mod3)h=0,1,2
(9-3)

392. 378 CAPÍTULO9DISEÑOSFACTORIALESYFACTORIALESFRACCIONADOS CONTRESNIVELES_
Comounejemplo,considereeldiseñofactorial3
4
confundidoennuevebloquesconnuevecorridas
cadauno.Supongaqueseeligeconfundir
ABCyAB
2
D
2
.
Susinteraccionesgeneralizadas
(ABC)(AB
2
D
2
)
=A
2
B
3
CD
2
=(A
2
B3
CD
2
)2=AC
2
D
(ABC)(AB
2
D
2
)2=A
3
B
5
CD
4
=B
2
CD=(B
2
CD)2
=BC
2
D
2
tambiénestánconfundidasconlosbloques. Lasdefinicionesdecontrastesde ABCyAB
2
D
2
son
L
l=Xl+X
2
+X
3
L
2=Xl+2x
2+2x
4
(9-4)
Losnuevebloquespuedenconstruirseutilizandolasdefinicionesdecontrastes(ecuación9-4)Ylapropie­
daddelateoríadegruposdelbloqueprincipal.
Eldiseñosemuestraenlafigura 9-8.
Paraeldiseño 3
k
ennuevebloqueshabrácuatrocomponentesdeinteracciónconfundidos.Losdemás
componentesdeestasinteraccionesquenoestánconfundidospuedendeterminarserestandolasuma
de
cuadradosdelcomponenteconfundidodelasumadecuadradosdelainteraccióncompleta.Elmétodo
descrito
enlasección9-1.3puedeserútil paracalcularloscomponentesdeinteracción.
9~2.3 Eldiseñofactorial3
ken3pbloques
Eldiseñofactorial 3
k
puedeconfundirseenY'bloquescon 3
k
-p
observacionescadauno,donde p<k.El
procedimientoconsisteenseleccionar
pefectosindependientesquehabrándeconfundirseconlosblo­
ques.Comoresultado,exactamenteotros
(Y'-2p-1)/2efectosseconfundendemaneraautomática.
Estosefectossonlasinteraccionesgeneralizadasdelosefectoselegidosoriginalmente.
Comounailustración,considereundiseño3
7
quevaaconfundirseen27bloques.Puestoque p=3,se
seleccionaríantrescomponentesdeinteracciónindependientes yseconfundiríanautomáticamenteotros
[3
3
-2(3)-1]/2=10.Supongaque seeligenABC
2
DG,BCE
2
F
2
GyBDEFG.Apartirdeestosefectospue-
Bloque1Bloque2 Bloque3Bloque4Bloque5Bloque6Bloque7Bloque8Bloque9
0000
0001 2000 0200 0020 0010 1000 0100 0002
0122 0120 2122 0022 0112 0102 1122 0222
0121
0211 0212 2211 0111 0201 0221 1211 0011 0210
1021 1022 0021 0221 1011 1001 2021 1121 1020
1110
1111 0110 1010 1100 1120 2110 1210 1112
1202 1200 0202 1102 1222 1212 2202 1002 1201
2012 2010 1012 2212 2002 2022 0012 2112 2011
2101
2012 1101 2001 2121 2111 0101 2201 2100
2220
2221 1220 2120 2210 2200 0220 2020 2222
(L"L
z
)
=(0,0) (0,1) (2,2) (2,0) (2,1) (1,2) (1,1) (1,0) (0,2)
Figura9-8Eldiseño3
4
ennuevebloquescon ABC,AB2D2,AC2Dy BC2D2confundidas.

393. 9-3RÉPLICASFRACCIONADAS DELDISEÑOFACTORIAL3 k379
denconstruirsetresdefinicionesdecontrastes,ylos 27bloquespuedengenerarseconlosmétodosdescri­
tosanteriormente.Losotros
10efectosconfundidosconlosbloquesson
(ABC
2
DG)(BCE
2
F
2
G)=AB
2
DE
2
F
2
G
2
(ABC
2
DG)(BCE
2
F
2
G)2
=AB
3
C
4
DE
4
F
4
G
3
=ACDEF
(ABC
2
DG)(BDEFG)
=AB
2
C
2
D
2
EFG
2
(ABC
2
DG)(BDEFG) 2
=AB
3
C
2
D
3
E
2
F
2
G
3
=Ac
2
E
2
F
2
(BCE
2
F
2
G)(BDEFG)
=B
2
CDE
3
F
3
G
2=BC
2
D
2
G
(BCE
2
F
2
G)(BDEFG)2
=B
3
CD
2
E4
F
4
G
3=CD
2EF
(ABC
2
DG)(BCE
2
F
2
G)(BDEFG)
=AB
3
C
3
D
2
E
3
F
3
G
3
=AD
2
(ABC
2
DG)2(BCE
2
F2
G)(BDEFG)=A
2
B
4
C
5
D
3
G
4=AB
2
CG
2
(ABC
2
DG)(BCE
2
F
2
G)2(BDEFG) =ABCD
2
E
2
F
2
G
(ABC
2
DG)(BCE
2
F
2
G)(BDEFG)2
=ABC
3
D
3
E
4
F
4
G
4
=ABEFG
Setratadeundiseñoenormequerequiere3
7
=2187observacionesdispuestasen 27bloquescon 81ob­
servacionescadauno.
9-3RÉPLICASFRACCIONADAS DELDISEÑOFACTORIAL3
k
Elconceptoderéplicafraccionadapuedeextendersealosdiseñosfactoriales 3
k
•
Debidoaqueunaréplica
completadeldiseño
3
k
puederequerirunnúmero bastantegrandedecorridasinclusoparavaloresmode­
radosde
k,lasréplicasfraccionadasdeestosdiseñossondeinterés.Sinembargo,comoseverámásade­
lante,algunosdeestosdiseñostienenestructurasdealiascomplicadas.
9-3.1Lafracciónunterciodeldiseñofactoria13
k
Lafracciónmásgrandedeldiseño 3
k
eslafracciónuntercioquecontiene 3
k
-
1
corridas.Porconsiguiente,
sehacereferenciaaélcomoeldiseñofactorialfraccionado 3
k
-
1
•
Paraconstruirundiseñofactorialfraccio­
nado
3
k
-
1
seselecciona
uncomponentedeinteraccióncondosgradosdelibertad(generalmente,lain­
teraccióndeordenmásalto)ysehacelaparticióndeldiseño
3
k
completoentresbloques.Cadaunodelos
tresbloquesresultantesesundiseñofraccionado
3
k
-
1
ypuedeseleccionarsecualquieradelosbloques
parausarlo.
SiAB
a
2Ca,...Kakeselcomponentedeinteracciónutilizado paradefinirlosbloques,enton­
ces
al
=AB
a
2ca,'"Kakselellamala relacióndedefinición deldiseñofactorialfraccionado.Cadaefec­
to principalocomponentedeinteracciónestimadoapartirdeldiseño
3
k
-
1
tienedosalias,loscuales
puedenencontrarsemultiplicandoelefecto
tantopor1comopor
Pmódulo3.
Comounejemplo,considere unafracciónunterciodeldiseño3
3
•
Puedeseleccionarsecualquierade
loscomponentesdelainteracciónABC
paraconstruireldiseño,es decir,ABC,AB
2
C,ABC
2
oAB
2
C2
•
Por
lotanto,hayenrealidad
12fraccionesuntercio diferentesdeldiseño3
3
definidaspor
Xl+a
2x
2+a
3x
3
=u(mod3)
dondea=102 yu=O,102.Supongaqueseseleccionaelcomponente deAB
2
C
2
•
Cadafraccióndeldise­
ño3
3
-
1
resultantecontendráexactamente3
2
=9combinacionesdetratamientosquedebensatisfacer

394. 380 CAPÍTULO9DISEÑOSFACTORIALESYFACTORIALESFRACCIONADOS CONTRESNIVELES
dondeu=0,1 o2.Essencilloverificarquelastresfracciones unterciosonlasquesemuestranenlafigu­
ra9-9.
Sisecorrecualquieradelosdiseños3
3
-
1
delafigura9-9,laestructuradelosaliasresultante es
A=A(AB2C2)=A2B2C2 =ABC
A=A(AB
2
C
2
)2=A
3
B
4
C
4
=BC
B=B(AB
2
C
2
)=AB
3
C
2=AC
2
B=B(AB
2
C
2
)2=A
2
B5
C
4
=ABC
2
C=C(AB
2
C2
)=AB
2
C
3
=AB
2
C=C(AB
2
C
2)2=A
2
B
4
C
5
=AB
2
C
AB=AB(AB
2
C
2
)=A
2
B
3
C
2
=AC
AB=AB(AB
2
C2
)2=A
3
B
5
C
4
=BC
2
Porconsiguiente,loscuatroefectosque
enrealidadseestimanapartirdelosochogradosdelibertad
deldiseño
sanA+BC+ABC,B+AC
2
+ABC
2
,C
+AB
2
+AB
2
CyAB+AC+BC
2
•
Estediseñosólo
tendríavalorpráctico
sitodaslasinteraccionesfueranpequeñas encomparaciónconlosefectosprincipa­
les.Puestoquelosefectosprincipalessonaliasdelasinteraccionesdedosfactores,se
tratadeundiseño
deresolución
lII.Observelocomplejasquesonlasrelacionesdelosalias enestediseño.Cadaefecto
principalesaliasde
uncomponentedeinteracción.Si, porejemplo,lainteraccióndedosfactores BCes
grande,estodistorsionarápotencialmentelaestimacióndelefectoprincipalde Ayharáqueseamuy
complicadalainterpretacióndelefecto
deAB+AC+BC
2
•
Esmuydificilvercómoestediseñopodríaser
deutilidad,amenosquesesupongaquetodaslasinteraccionessoninsignificantes.
Diseño1
u=o
000
012
101
202
021
110
122
211
220
Diseño1
u=1
100
112
201
002
121
210
222
011
020
Diseño1
u=2
200
212
001
102
221
010
022
111
120
e
~A )----
'"'".
'"
u=o
alCombinacionesdetratamientos
".---
'"
'"
'"
u=1
b)Vistageométrica
)---
'"
e'
'"
u=2
Figura9-9Lastresfraccionesunterciodeldiseño3
3
conlarelacióndedefinición1 =AB
2
C
2
•

395. Antesdedejareldiseño3~1,observeque paraeldiseñoconu=O(verlafigura9-9),sisehace queA
denoteelrenglóny Blacolumna,entonceseldiseño puedeescribirsecomo
000 012021
101110122
202211220
9-3RÉPLICASFRACCIONADAS DELDISEÑOFACTORIAL3
k
381
ir
1\
l'
queesuncuadradolatino3 x3.Elsupuestodelasinteraccionesinsignificantesrequerido paralainter­
pretaciónúnicadeldiseño3t~1tienesuparalelo eneldiseñodel cuadradolatino.Sinembargo,losdosdi­
señossurgen
pormotivosdiferentes, unocomoconsecuencia delaréplicafraccionadayel otrodelas
restriccionessobre
laaleatorización.Porlatabla4-13seobservaquesólohay3 x3cuadradoslatinosy
.que
cadaunocorrespondea unodelosdocediferentesdiseñosfactorialesfraccionados3
3
-
1
.
Lascombinacionesdetratamientos
enundiséño3
k
-
1
conlarelación dedefinición
1=AB
a
2Ca,...Kakpuedenconstruirseutilizando unmétodosimilaral queseempleóenlaserie2
k
-p
•
Primeroseescribenlas 3
k
-
1
corridasparaundiseñofactorial detresnivelescompleto enk
-1factores,con
la
notacióncomúnO,1,2.Ésteeseldiseñobásico enlaterminologíadelcapítulo 8.Despuésseintroduce
elfactork-ésimoigualandosus
Xknivelesconelcomponenteapropiadodelainteracciónde ordenmás
alto,
porejemploAB
a
2Ca,···(K
-lt
k
-
1
,mediantelarelación
(9-5)
donde/3¡
=(3-ak)a¡(mod3)para
1:5i:5k-l.Seobtieneasíundiseñoconlaresoluciónmásaltaposible.
Como
unailustración,se usaestemétodoparagenerareldiseño
3~1conlarelacióndedefinición
1=AB
2
CDquesemuestraenlatabla9-6.Essencilloverificar quelostresprimerosdígitos decadacom­
binación
detratamientosde estatablasonlas27corridas deundiseño3
3
completo.Se tratadeldiseñobá­
sico.
ParaAB
2
CDsetiene
al=a3=a4=1ya2=2.Estoimplicaque/31=(3-1)a1(mod3)=(3-1)(1)=
2,/32=(3-1)a
2(mod3)=(3-1)(2)=4=1(mod3)Y/33=(3-1)a
3(mod3)=(3-1)(1)=2.Parlotan­
to,laecuación9-5 quedacomo
l..."
1
""
"-
1"'
:,:~
:J
"
(9-6)
Losnivelesdel
cuartofactorsatisfacen laecuación9-6. Porejemplo,se tiene2(0)+1(0)+2(0)=0,2(0)
+1(1)+2(0)=1,2(1)+1(1)+2(0)=3=O,etcétera.
Eldiseño
3~1resultantetiene26gradosdelibertad quepuedenusarseparacalcularlassumas de
cuadradosdelos13efectosprincipalesyloscomponentesdelasinteracciones(ysusalias). Losalias
Tabla9-6Undiseño3;';;1con
I=AB
2
CD
0000 0012 2221
0101 0110 0021
1100 0211 0122
1002 1011 0220
0202
1112 1020
1201 1210 1121
2001 2010 1222
2102 2111 2022
2200 2212 2120

396. j'!¡,
;:,
:)
382 CAPÍTULO9DISEÑOSFACTORIALESYFACTORIALESFRACCIONADOS CONTRESNIVELES
decualquierefectoseencuentrandelamanerausual; porejemplo,losaliasde AsonA(AB
2
CD)==
ABC
2
D
2
yA(AB
2
CD)2=BC
2
D
2
.
Puedeverificarsequeloscuatroefectosprincipalesestánseparadosde
cualquiercomponentedeinteraccionesdedosfactores,peroquealgunoscomponentesdeinteracciones
dedosfactoressonaliasentre
sí.Unavezmásseobservalacomplejidaddelaestructuradelosalias. Si
cualquieradelasinteraccionesdedosfactoresesgrande,probablementeserámuydifícilaislarlaconeste
diseño.
Elanálisisestadísticodeundiseño
3
k
-¡sellevaacaboconlosprocedimientosusualesdelanálisisde
varianza
paraexperimentosfactoriales.Lassumasdecuadradosdeloscomponentesdeinteracciones
puedencalcularsecomo
enlasección9-1.Cuandointerpretelosresultados,recuerdequeloscomponen­
tesdelasinteraccionesnotienenningunainterpretaciónpráctica.
9~3.2 Otrosdiseñosfactorialesfraccionados3
k
-p
Paramoderarlosvaloresgrandesde k,esdeseableunfraccionamientotodavíamayordeldiseño 3
k
•
En
general,puedeconstruirseunafracción
(irdeldiseño3
k
parap<k,dondelafraccióncontiene 3
k
-p
corri­
das.Aestediseñoselellamaeldiseñofactorialfraccionado
3
k
-p
•
Porlotanto,undiseño 3
k
-
2
esunafrac­
ciónunnoveno,undiseño
3
k
-
3
esunafracciónunveintisieteavo,etcétera.
Elprocedimientoparaconstruirundiseñofactorialfraccionado
3
k
-pconsisteenseleccionarpcompo­
nentesdeinteraccionesyusarestosefectos
parahacerlaparticióndelas 3
k
combinacionesdetratamien­
tosen
Ybloques.Entoncescadabloque esundiseñofactorialfraccionado 3
k
-p
•
LarelacióndedefiniciónI
decualquierfracciónconstadelos
pefectoselegidosinicialmenteysus
(Y-2p-1)/2interaccionesgene­
ralizadas.Elaliasdecualquierefectoprincipalocomponentedeinteracciónseobtieneconlamultiplica­
ciónmódulo3delefectopor
Ie
P.
Lascorridasquedefinenundiseñofactorialfraccionado 3
k
-p
tambiénpuedengenerarseanotando
primerolascombinacionesdetratamientosdeundiseñofactorial3
k
-p
completoeintroduciendodespués
los
pfactoresadicionalesigualándolosconloscomponentesdelasinteracciones,comosehizo enlasec­
ción9-3.1.
Elprocedimientoseilustraráconstruyendoundiseño
34-2,esdecir,unafracciónunnovenodeldise­
ño3
4
•
SeanAB
2
C
yBCDlosdoscomponentesdeinteraccioneselegidos paraconstruireldiseño.Susin­
teraccionesgeneralizadasson
(AB
2
C)(BCD) =AC
2
D
y(AB
2
C)(BCD)2=ABD
2
.
Porlotanto,larelación
dedefinicióndeestediseño
esI=AB
2
C
=BCD=AC
2
D
=ABD
2
,
YeldiseñoesderesoluciónlII.Las
nuevecombinacionesdetratamientosdeldiseñoseencuentranapuntandoundiseño3
2
enlosfactores
A
yB,Yagregandodespuésdosnuevosfactoreshaciendo
X
3=2x¡+X
2
X
4=2x
2+2x
3
Tabla
9-7Undiseño3ri~2
con1=AB
2
C
e 1=BCD
0000 0111 0222
1021 1102 1210
2012 2120 2201

397. 9-4DISEÑOSFACTORIALESCONNNELESMIXTOS 383
Tabla9-8Estructuradelosaliasdeldiseño3~~2delatabla9-7
Efecto Alias
, ! 1.
2
A ABC
2
ABCDACD
2
AB
2
D BC
2
AB
2
C
2
D
2
CD
2
BD
2
B AC BC
2
D
2
ABC
2
DAB
2
D
2
ABC CD AB
2
C
2
DAD
2
C AB
2
C
2
BC
2
DAD ABCD
2
AB
2
BD ACD ABC
2
D
2
D
AB
2
CDBCD
2
AC
2
D
2
AB AB
2
CD
2
BC AC
2
ABD
Estoesequivalenteausar AB
2
CyBCDparahacerlaparticióndeldiseño3
4
completoennuevebloquesy
luegoseleccionarunodeestosbloquescomolafraccióndeseada.
Eldiseñocompletosemuestraenlata­
bla9-7.
Estediseñotieneochogradosdelibertadque puedenusarseparaestimarcuatroefectosprincipa­
lesysusalias.Losaliasdecualquierefecto
puedenencontrarsemultiplicandoelefectomódulo3 por
AB
2
C,BCD,AC
2
D,ABD
2
ysuscuadrados.Enlatabla9-8sepresentalaestructuradelosaliascompleta
deldiseño.
Porlaestructuradelosaliasseobservaqueestediseñosóloesútil
enausenciadeinteracciones.Ade­
más,
siAdenotalosrenglonesy Blascolumnas,entoncesalexaminarlatabla9-7seobservaqueeldiseño
3~~2tambiénes uncuadradogrecolatino.
ElescritodeConnoryZelen [28]contieneunaextensaseleccióndediseñospara4:5k:510.Esteescri­
toseelaboróparalaNationalBureauofStandardsy
eslatablamáscompletadisponibledelosplanes3
k
-p
•
Enestasecciónsehahechonotarenvariasocasioneslacomplejidaddelasrelacionesdelosaliasde
losdiseñosfactorialesfraccionados3
k
-p
•
Engeneral,sikesmoderadamentegrande, porejemplok
~4 o
5,eltamañodeldiseño3
k
llevaráamuchosexperimentadoresaconsiderarfraccionesbastantepequeñas.
Desafortunadamente,estosdiseñostienenrelacionesdealiasqueincluyen
aliasparcialesdecomponen­
tesdeinteraccionescondosgradosdelibertad.Esto,asuvez,resultaen
undiseñocuyainterpretación
serádifícil,
sinoimposible,silasinteraccionesnosoninsignificantes.Además,nohayesquemasdeau­
mentosimples(comoeldoblez)quepuedanusarse
paracombinardosomásfraccionesafindeaislarlas
interaccionessignificativas.Elusodeldiseño
3
k
suelesugerirsecuandohaycurvaturapresente.Sinem­
bargo,hayalternativasmás
eficientgs(verelcapítulo11). Porestasrazones,sepuedeconcluirquelosdi­
señosfactorialesfraccionados
3
k
-p
sonsolucionesquecausanproblemas;noson,engeneral,buenos
diseños.
9,4DISEÑOSFACTORIALESCONNIVELESMIXTOS
Sehanresaltadolosdiseñosfactorialesyfactorialesfraccionados enlosquetodoslosfactorestienenel
mismonúmerodeniveles.Elsistemacondosnivelesrevisado
enloscapítulos6,7y 8esdeparticularutili­
dad.Elsistemadetresnivelespresentadoenestecapítuloesdeutilidadmuchomenordebidoaquelos
diseñossonrelativamentegrandesincluso
paraunnúmeromodestodefactores,ylamayoríadelasfrac­
cionespequeñastienenrelacionesdealiascomplejasquerequeriríansupuestosmuyrestrictivosrespecto
delasinteracciones
paraserútiles.
Estamosconvencidosdequelosdiseñosfactorialesyfactorialesfraccionadosdedosnivelesdeberán
serlapiedraangulardelaexperimentaciónindustrial
paraeldesarrollodeproductosyprocesos,detec­
cióndedefectosymejoramiento.Sinembargo,existensituaciones
enlasqueesnecesarioincluir un
fac~
tor(oalgunosfactores)quetienemásdedosniveles.Estosueleocurrircuandohayfactorestanto
cuantitativoscomocualitativos
enelexperimento,yelfactorcualitativotiene(porejemplo)tresniveles.
i
1:1:
11
I
I1
,1
ii¡
I1
11
:I
l'
, I
11
I[
Ii
11

398. 384 CAPÍTULO9DISEÑOSFACTORIALESYFACTORIALESFRACCIONADOS CONTRESNIVELES
Tabla9-9Usodefactorescon dosnivelesparaformar
unfactorcontresniveles
FactorescondosnivelesFactorescontresniveles
B
+
+
C
+
+
x
'1
~"
Sitodoslosfactoressoncuantitativos,entonces deberánusarsediseñosdedosnivelesconpuntoscentra­
les.
Enestasecciónseindicacómo puedenincorporarsefactorescontres ycuatroniveles enundiseño2
k
•
9~4.1 Factorescondosy tresniveles
Losdiseños
enlosquealgunosfactores tienendosnivelesyotrostresniveles puedenderivarsedelatabla
designospositivos
ynegativosdeldiseño 2
k
usual.Elprocedimientogeneralseilustramejorcon unejem­
plo.Supongaquesetienendosvariables,
dondeAtienedosniveles yXtres.Considerelatabladesignos
positivos
ynegativosdeldiseño2
3
usualconochocorridas.Lossignosdelascolumnas By etienenelpa­
trónquesemuestra enelladoizquierdodelatabla 9-9.Seaquelosniveles deXesténrepresentadospor
Xl'X
2Yx
3
·Enelladoderechode latabla9-9semuestracómosecombinanlospatronesdelossignosde
13y
eparaformarlosnivelesdelfactorcontresniveles.
Entonceselfactor
Xtienedosgradosdelibertad, ysielfactorescuantitativo,esposiblehacersupar­
tición
enuncomponentelineal yunocuadrático,con cadacomponenteteniendoungradodelibertad. En
latabla9-10semuestraundiseño2
3
conlascolumnasrotuladas paraindicarlosefectosreales queesti­
man,
dondeXLyX
Qdenotanlosefectoslineal ycuadrático,respectivamente, deX.Observequeelefecto
lineal
deXeslasumadelasestimacionesdelosdosefectoscalculadasa partirdelascolumnasasociadas
generalmente
conBye,yqueelefecto deAsólopuedecalcularsea partirdelascorridasdonde Xestáen
elnivelbajoobien
enelalto,esdecir,lascorridas 1,2,7 Y8.Demanerasimilar,elefecto AxXLesla
sumadelosdosefectosquesehabríancalculadoa
partirdelascolumnasrotuladasgeneralmente ABy
Tabla
9-10Unfactorcon dosnivelesyunfactorcontresnivelesen undiseño2
3
Combinacionesde
A XL XL AxXLAxXL X Q
AxX
Qtratalnientosreales
Corrida A B C AB AC BC ABC A X
1 + + + Bajo Bajo
2 + + + Alto Bajo
3
+ + + Bajo Intermedio
4 + + + Alto Intermedio
5 + + + Bajo Intermedio
6
+ + + Alto Intermedio
7
+ + + Bajo Alto
8 + + + + + + + Alto Alto

399. 9-4DISEÑOSFACTORIALES CONNIVELESMIXTOS 385
Tabla9-11Análisisdevarianzadeldiseñodelatabla9-10
Fuentede SumadeGradosdeCuadrado
variación cuadradoslibertadmedio
A SSA 1 MSA
X(XL+X
Q
) SSx 2 MS
B
AX(AxXL+AxX
Q
) SSAX 2 MSAX
Error(apartirdelascorridas3 y5SSE 2 MSE
ydelascorridas4 y6)
Total SST 7
AC.Además,observequelascorridas3 y 5 sonréplicas.Por10tanto,puedehacerseunaestimacióndel
errorconungradodelibertaddelerrorutilizandoestasdoscorridas. Demanerasimilar,lascorridas4 y 6
sonréplicas,yestollevaríaa
unasegundaestimacióndel errorconungradodelibertad.Lavarianzapro­
mediodeestosdos paresdecorridaspodríausarsecomo cuadradomediodelerrorcondosgrados deli­
bertad.
Enlatabla9-11seresumeelanálisis devarianzacompleto.
Sise
estádispuestoa suponerquelasinteraccionesdedosfactoresy deórdenessuperioressoninsig­
nificantes,eldiseñode
latabla9-10 puedeconvertirseenunafracciónderesoluciónIIIconhastacuatro
factores
condosnivelesyunsolofactorcon tresniveles.Estoseconseguiríaasociandolosfactoresdedos
niveles
conlascolumnasA,AB,ACyABe.LacolumnaBCnopuedeusarseparaunfactordedosniveles
porque
contieneelefectocuadráticodelfactorX detresniveles.
Puedeaplicarseelmismoprocedimiento enlosdiseños2
k
de16,32Y64corridas. Para16corridases
posibleconstruirfactorialesfraccionadosderesoluciónV
condosfactoresdedosnivelesycondoso tres
factoresdetresniveles.También puedeobtenerseunafraccióncon16corridasderesoluciónV con3fac­
tores
dedosnivelesy unfactordetresniveles.Siseincluyen cuatrofactoresdedosnivelesy unsolofactor
detresniveles
en16corridas,eldiseño seráderesoluciónIII. Losdiseñosde32y64corridas permiten
arreglossimilares. Paraunestudioadicionaldealgunos deestosdiseños, verAddleman[lb].
9~4.2 Factorescondosycuatroniveles
Esmuysencillo incorporarunfactorconcuatronivelesenundiseño2
k
•
Elprocedimientoparahacerlo
implicael
usodedosfactorescondosniveles pararepresentarelfactorconcuatroniveles.Porejemplo,
suponga
queAesunfactordecuatronivelesconlosniveles al'az,a3ya4.Consideredoscolumnasde lata­
blausualdesignospositivosynegativos,
porejemplolascolumnas PyQ.Elpatróndelossignos deestas
doscolumnasse
muestraenelladoizquierdode latabla9-12. Elladoderechodeestatablamuestracómo
estos
cuatropatronesdesignoscorresponderíanconloscuatronivelesdel factorA.Losefectosrepresen-
Tabla
9-12ElfactorAconcuatronivelesexpresadocomo dos
factorescon dosniveles
FactorescondosnivelesFactoresconcuatroniveles
Corrida
P Q A
1 al
2 + az
3 + a3
4 + + a4

400. w
00
0\
·- fj!~-'g~AV! ~t:!C ~U ~~H~l~~JiJ~n
Tabla9-13Unfactorconcuatroniveles y2factorescondosniveles en16corridas
Corrida (A B)=x C D AB AC BCABC AD BDABD CDACDBCDABCD
1- Xl - - + + + + + + - - +
2 + - Xz -- - - + +- + + + +
3 - + X
3 - - - + - + + - + + - +
4 + + x
4
- + -- - - - + + + +
5- Xl + - + - - + + + - + +
6 + - Xz + - - + - - - + + - - + +
7 - + x
3 + - - + - +- + - + +
8 + + x
4 + - + + + +
9 - - Xl - + + + +- - - + - + +
10 + - Xz + - - + + + - - - + +
11 - + x
3
- + - + - + - + - - + - +
12 + + X
4 - + +
- - + + +
13 - - Xl + + + - - + - + + - - +
14 + - Xz + + + - - +- - + +
15 + X
3 + +
- + - + - + - +
16 + + X
4 + + + + + + + + + + + + +
.._._~~::!II

401. 9-5PROBLEMAS 387
tadosporlascolumnasPyQ ylainteracciónPQson mutuamenteortogonalesycorrespondenalefectode
Acontresgradosdelibertad.
Parai~ustrarestaideaconmayordetalle,supongaquesetiene unfactordecuatronivelesydosfacto­
resdedosnivelesyqueesnecesarioestimartodoslosefectosprincipalesylasinteracciones
enlasquein­
tervienenestosfactores.Estopuedehacersecon
undiseñode16corridas. Enlatabla9-13sepresentala
tablausualdesignospositivosynegativosdeldiseño2
4
con16corridas,dondelascolumnas AyBseusan
paraformarelfactordecuatroniveles,
porejemploX,conlosniveles Xl'X
2
, X
3YX
4
.Secalcularíanlassumas
decuadradosdecadacolumnaA,
B,...,ABCDexactamenteigualque enelsistema2
k
usual.Despuéslas
sumasdecuadradosdetodoslosfactores
X,C,Dysusinteraccionesseformandelamanerasiguiente:
Aestediseñopodríallamársele4 x 2
2
•
Siunoestádispuestoaignorarlasinteraccionesdedosfactores,
puedenasociarsehastanuevefactoresadicionalesdedosnivelesconlacolumnadelainteraccióndedos
factores
(exceptoAB),lacolumnadelainteraccióndetresfactoresy lacolumnadelainteraccióndecua­
trofactores.
SSx=SSA+SSB+SSAB
SSc=SSc
SSD=SSD
SSCD=SSCD
SSxc=SSAC+SSBC+SSABC
SSXD=SSAD+SSBD+SSABD
SSXCD=SSACD+SSBCD+SSABCD
(3gradosdelibertad)
(1gradodelibertad)
(1gradodelibertad)
(1gradodelibertad)
(3gradosdelibertad)
(3gradosdelibertad)
(3gradosdelibertad)
9-5PROBLEMAS
9-1.Se estudianlosefectosde lafuerzadelrevelador (A)Yeltiempoderevelado(B)sobreladensidadde lapelí­
culadeplacafotográfica.Se
usantresfuerzasytrestiempos,ysecorrencuatroréplicas deunexperimento
factorial3
2
•
Losdatosdeesteexperimentose presentanacontinuación.Analizarlosdatosutilizandolosmé­
todos
estándaresparaexperimentosfactoriales.
Tiempo
derevelado(minutos)
Fuerzadelrevelador
10 14 18
1 O 2 1 3 2 5
5
4 4 2 4 6
2 4 6 6 8 9 10
7 5 7 7 8 5
3 7 10 10 10 12 10
8 7 8 7 9 8
9-2.Calcularloscomponentes
1yJdelainteraccióndedosfactoresdel problema9-1.
9-3.Sellevóacabo
unexperimentoparaestudiarelefecto detrestiposdiferentesdebotellas de32onzas(A)y
trestiposdiferentesde aparadoresdeventa(B)-anaquelespermanenteslisos,aparadoresalfinaldelpasi­
lloconanaqueles
emejadosyrefrigeradorespararefrescos-sobreeltiempoquetomaacomodardiezcajas
de12botellasenlosaparadores.Se usarontresempleados(factorC) enelexperimento,ysecorrierondos
réplicas
deundiseñofactorial3
3
•Losdatosdeltiempoobservadose muestranenlatablasiguiente.Analizar
losdatos
ysacarconclusiones.

402. "'l..
~n
388 CAPÍTULO9DISEÑOSFACTORIALESYFACTORIALESFRACCIONADOS CONTRESNIVELES
Réplica1 Réplica II
Tipode Finaldel Finaldel
Empleado botellaPermanentepasilloRefrigeradorPermanentepasilloRefrigerador
Plástico 3.45 4.14 5.80 3.36 4.19 5.23
1Vidriode
28mm 4.07 4.38 5.48 3.52 4.26 4.85
Vidriode 38mm 4.20 4.26 5.67 3.68 4.37 5.58
Plástico 4.80 5.22
6.21 4.40 4.70 5.88
2Vidriode
28mm 4.52 5.15 6.25 4.44 4.65 6.20
Vidriode 38mm 4.96 5.17 6.03 4.39 4.75 6.38
Plástico 4.08 3.94 5.14 3.65 4.08 4.49
3Vidriode
28mm 4.30 4.53 4.99 4.04 4.08 4.59
Vidriode
38mm 4.17 4.86 4.85 3.88 4.48 4.90
9-4.
Uninvestigadormédicoestudiaelefectodelalidocaínasobreelniveldeenzimasenelmúsculocardiacode
perrosbeagle.
Enelexperimentoseusantresmarcascomercialesdelidocaína(A),tresdosis(B)ytresperros
(C),ysecorrendosréplicasdeundiseñofactorial3
3
•
Losnivelesdeenzimasobservadossepresentanaconti­
nuación.Analizarlosdatosdeesteexperimento.
Réplica1 Réplica
II
Marcade Fuerzade
Perro Perro
lidocaína ladosis 1 2 3 1 2 3
1
96 84 85 84 85 86
1 2 94 99 98 95 97 90
3 101 106 98 105 104 103
1 85 84 86 80 82 84
2 2 95 98 97 93 99 95
3 108 114 109 110 102 100
1 84 83 81 83 80 79
3 2 95 97 93 92 96 93
3 105 100 106 102 111 108
9-5.Calcularloscomponentes 1yJdelasinteraccionesdedosfactoresdelejemplo10-1.
9-6.Serealiza
unexperimentoenunprocesoquímicoutilizando undiseñofactorial3
2
•
Losfactoresdeldiseño
sonlatemperaturaylapresión,ylavariablederespuestaeselrendimiento.Losdatosqueresultandeeste
experimentosepresentanacontinuación:
Temperatura,
oC
80
90
100
100
47.58,48.77
51.86,82.43
71.18,92.77
Presión,psig
120
64.97,69.22
88.47,84.23
96.57,88.72
140
80.92,72.60
93.95,88.54
76.58,83.04
a)Analizarlosdatosdeesteexperimentoconduciendo unanálisisdevarianza.¿Quéconclusionespueden
sacarse?
b)Analizargráficamentelosresiduales.¿Hayalgúnmotivodepreocupaciónrespectodelossupuestossub­
yacentesodelaadecuacióndelmodelo?

403. y=-1335.63+18.56T+8.59P-ü.ünT
2
-
ü.ü196p
2
-
ü.ü384TP
ir
l
l'
I
3899-5PROBLEMAS
e)Verificarque sisehacequelosnivelesbajo,intermedioyaltodeambosfactoresdeestediseñoasuman
losniveles
-1,OY+1,entoncesunajustedemínimoscuadradosdeunmodelodesegundoordendelren­
dimientoes
d)Confirmarqueelmodelodelinciso epuedeescribirseentérminosdelasvariablesnaturales -latempe­
ratura(T)ylapresión (P)-como
e)Construirunagráficadecontornodelrendimientocomo unafuncióndelapresiónylatemperatura.
Conbaseenelexamendeestagráfica,¿dóndeserecomendaríaoperaresteproceso?
a)Confundirundiseño3
3entresbloquesutilizandoel componenteABC2delainteraccióndetresfactores.
Compararlosresultadosobtenidosconeldiseñodelafigura9-7.
b)Confundirundiseño3
3entresbloquesutilizandoel componenteAB2Cdelainteraccióndetresfactores.
Compararlosresultadosconeldiseñodelafigura9-7.
e)Confundir
undiseño3
3
entresbloquesutilizandoel componenteABCdelainteraccióndetresfactores.
Compararlosresultadosobtenidosconeldiseñodelafigura9-7.
d)Despuésdeobservarlosdiseñosdelosincisos a,byeylafigura9-7,¿quéconclusionespuedensacarse?
Confundirundiseño3
4entresbloquesutilizandoel componenteAB2CDdelainteraccióndecuatrofactores.
Considerelosdatosdelaprimeraréplicadelproblema9-3.Suponiendoquenofueposiblehacerlas
27ob­
servacioneselmismodía,establecerundiseño
paraconducirelexperimentoentresdías conAB2Cconfundi­
daconlosbloques.Analizarlosdatos.
Delinear
latabladelanálisisdevarianzadeldiseño3
4
ennuevebloques.¿Se tratadeundiseñopráctico?
Considerelosdatosdelproblema9-3.
SiABCestáconfundidaenlaréplica1yABC2estáconfundidaenlaré­
plicaII,realizarelanálisisdevarianza.
Considerelosdatosdelaréplica
1delproblema9-3.Supongaquesólosecorre unafracciónunterciodeeste
diseñocon
l=ABe.Construireldiseño,determinarlaestructuradelosaliasyanalizarlosdatos.
Porelexamendelafigura9-9,¿quétipodediseñoquedaríasidespuésdecompletarlasnueveprimerasco­
rridaspudieraeliminarseunodelostresfactores?
Construirundiseño
3i;;1conl=ABCD.Escribirlaestructuradelosaliasdeestediseño.
Verificarqueeldiseñodelproblema9-14esundiseñoderesolución
IV
Construirundiseño3
5
-
2
conl=ABCel=CDE.Escribirlaestructuradelosaliasdeestediseño.¿Cuálesla
resolucióndeestediseño?
Construirundiseño3
9
-
6
yverificarquees undiseñoderesoluciónIII.
Construirundiseño4x2
3confundidoendosbloquescon16observacionescadauno.Delinearelanálisisde
varianzadeestediseño.
Delinearlatabladelanálisisdevarianzadeundiseñofactorial2
2
3
2
•
Comentarlamaneraenqueestediseño
puedeconfundirseenbloques.
Empezandoconundiseño2
4
de16corridas,indicarcómo puedenincorporarsedosfactoresdetresniveles
enesteexperimento.¿Cuántosfactoresdedosniveles
puedenincluirsesisequiereciertainformaciónsobre
lasinteraccionesdedosfactores?
Empezandoconundiseño2
4
de16corridas,indicarcómo puedenincorporarseunfactorcontresnivelesy
tresfactorescondosniveles,detalmodoquesigasiendoposible
laestimacióndelasinteraccionesdedos
factores.
Enelproblema8-26ellectorconocióaHarryyJudyPeterson-Nedry,dosamigosdelautorquesonpropieta­
riosde
unviñedoyunafábricavinícolaenNewberg,Oregon. Eneseproblemasedescribiólaaplicaciónde
diseñosfactorialesfraccionadosdedosnivelesensuproductoPinotNoir1985.
En1987quisieronconducir
otroexperimentoPinotNoir.Lasvariablesdeesteexperimentofueron
9-8.
9-9.
9-22.
9-7.
9-13.
9-21.
9-10.
9-11.
9-20.
9-14.
9-15.
9-16.
9-17.
9-18.
9-19.
9-12.

404. CAPÍTULO9DISEÑOSFACTORIALESYFACTORIALESFRACCIONADOS CONTRESNIVELES
~'
• 1
390
Variable
ClandePinotNoir
Tamañode lauva
Temperaturadefermentación
Uvacompleta
Tiempodemaceración
Tipo
delevadura
Tipoderoble
Niveles
Wadenswil,
Pommard
Pequeño,grande
80
o
P,85°P,90/80
o
P,90
0
P
Ninguno,10%
10días,
21días
Assmanhau,ChampagneTron«ais,Allier
HarryyJudydecidieron usarundiseñofactorialfraccionado dedosnivelescon16corridas, tratandoloscua­
tronivelesdelatemperaturadefermentacióncomodosvariables dedosniveles.Como enelproblema8-26,
utilizaronlascalificacionesde
unpaneldecatadorescomovariable derespuesta.Eldiseñoylascalificacio­
nespromedioresultantesse presentanenseguida:
TamañoTemperatura
deUva TiempodeTipode TipodeCalificación
Corrida
Clandelauvafermentación completamaceraciónlevadura roblepromedio
q"1.1iI1 1 4
''''',
2+ + + + 10;::~¡,:
ni" 3 + + + + 6
{""l'~
4+ + + + 9'.."
~:''':::
5 + + + + 11'''~''''''
,::.::::1
6+ + + + 1
.~~:¡:~~'
:::;1
'
7 + + + + 15
'n 8+ + + + 5
::!'J 9 + + + + 12
"Ji:)' 10+ + + + 2
Sil
11 + + + + 16
..~. 12+ + + + 3
111 13 + + + + 8
·"~I
14+ + + + 14
::~.
li":l 15 + + + + 7
16+ + + + + + + + 13
a)Describirlosaliasdeestediseño.
b)Analizarlosdatosysacarconclusiones.
e)
¿Quécomparacionespuedenhacerseentreesteexperimento yelexperimentodel PinotNoir1985del
problema8-26?
9-23.
EnunartículodeWD.Batenpublicadoenelvolumende1956deIndustlialQualityContl'Ol sedescribeun
experimento
paraestudiarelefecto detresfactoressobrelalongituddeunasbarrasdeacero.Cadabarrase
sometióa
unodedosprocesosdetratamientotérmicoysecortóenunadecuatromáquinas enunadetres
horas
duranteeldía(8a.m.,11a.m.o 3p.m.).Losdatosdelalongitudcodificadasonlossiguientes:
Horadel
día
8a.m.
Procesode
Máquina
tratamientotérmico 1 2 3 4
1
6 9
7 9 1 2 6 6
1 3 5 5
O 4 7 3
2
4 6 6 5
-1O 4 5
O 1 3 4 O 1 5 4

405. .,
9-5PROBLEMAS 391
Horadel Proceso de
Máquina
día tratamientotérmico 1 2 3 4
1
6 3 8 7 3 2 7 9
1 -1 4 8 1O 11 6
11a.m. 2
3 1 6 4 2O 9 4
1 -2 1 3-11 6 3
1
5 4 10 11-12 10 5
9 6 6 4 6 1 4 8
3p.m.
2
6 O 8 7 O-2 4 3
3 7
10 O 4-4 7 O
a)Analizarlosdatosdeesteexperimento suponiendoquelascuatroobservacionesde cadaceldasonrépli­
cas.
b)Analizarlosresidualesdeesteexperimento.¿Existealgúnindiciode quehayunpuntoatípicoenunade
lasceldas?Sise
encuentraunpuntoatípico,eliminarloy repetirelanálisisdelinciso a.¿Aquéconclusio­
nessellega?
e)Suponga
quelasobservacionesdelasceldassonlaslongitudes(codificadas)de barrasqueseprocesaron
conjuntamenteeneltratamientotérmicoydespuésse cortaronsecuencialmente(esdecir, enorden)en
lascuatromáquinas.Analizarlosdatosy determinarlosefectosdelostresfactoressobre lalongitudpro­
medio.
d)Calcularlavarianzalogarítmicadelasobservaciones decadacelda.Analizar estarespuesta.¿Quécon­
clusiones
puedensacarse?
e)Supongaquelahoraenquesecortaunabarraenrealidadnopuedecontrolarsedurantelaproducción
rutinaria.Analizar
lalongitudpromedioylavarianzalogarítmicade lalongituddecadaunadelas12ba­
rrascortadas
encadacombinaciónmáquina/proceso detratamientotérmico.¿Quéconclusionespueden
sacarse?

406. Ajustede
modelosde
.
"'
regreslon
10~1INTRODUCCIÓN
Enmuchosproblemashaydosomásvariablesrelacionadas,yelinteréssecentra enmodelaryexplorar
estarelación.Porejemplo,en
unprocesoquímicoelrendimientodelproducto estárelacionadoconla
temperaturadeoperación.Quizáelingenieroquímicoquieraconstruir
unmodeloquerelacioneelrendi­
mientocon
latemperaturaparausarlodespuéscomoherramienta depredicciónobiendeoptimizacióno
controldelproceso.
Engeneral,supongaquehayunasolavariabledependienteoderespuesta yquedependedekvaria­
blesindependientesoregresores,
porejemplo,Xl'X
2
,•••,X
k
• Larelaciónqueexisteentreestasvariablesse
caracteriza
porunmodelomatemáticollamadomodeloderegresión.Dichomodeloseajustaa uncon­
juntodedatosmuestrales.
Enocasioneselexperimentadorconocelaformaexactadelaverdaderarela­
ciónfuncional
entreyyx
üx
2
,.•.,X
k
,porejemploy=
r/J(X
I,X
2
,
•••,x
k
).Sinembargo,enlamayoríadeloscasos
noseconocelaverdaderarelaciónfuncional,yelexperimentadorelige
unafunciónapropiada paraapro­
ximar
r/J.Losmodelospolinomialesdeordeninferiorsondeusogeneralizadocomofuncionesdeaproxi­
mación.
Existe
unafuerterelaciónrecíprocaentreeldiseñodeexperimentosyelanálisisderegresión.A lo
largodeestelibrose hadestacadolaimportanciadeexpresarcuantitativamentelosresultadosde unex­
perimento,entérminosdelmodeloempírico,afindefacilitarsucomprensión,interpretacióneimple­
mentación.Losmodelosderegresiónconstituyenlabase
paraconseguirlo.Se hapresentadoenmúltiples
ocasioneselmodeloderegresiónquerepresentabalosresultadosde
unexperimento.Enestecapítulose
presentanalgunosaspectosdelajustedeestosmodelos.Presentacionesmáscompletasdelaregresiónse
encuentranenMontgomeryyPeck
[82]yMyers[84].
Losmétodosderegresiónseutilizanconfrecuencia
paraanalizardatos deexperimentosnoplanea­
dos,comopodríaserelcasodelaobservacióndefenómenosnocontroladosoderegistroshistóricos.Los
métodosderegresióntambiénsonmuyútilesenexperimentosdiseñadoscuandoalgo"saliómal".
En
estecapítuloseilustranalgunasdeestassituaciones.
392

407. 10-2MODELOSDEREGRESIÓNLINEAL393
(10-2)
(10-1)
selellamamodeloderegresiónlinealmúltipleconkregresares.Alosparámetros /3j,j=O,1,...,kseleslla­
malos
coeficientesderegresión.Estemodelodescribe unhiperplanoenelespaciode kdimensionesdelos
regresares
{x
j
}.Elparámetro/3jrepresentaelcambioesperado enlarespuestayparauncambiounitario
enx
j
cuandolasvariablesindependientesrestantes Xi(i
:t:-j)semantienenconstantes.
Confrecuencialosmodeloscuyaaparienciaesmáscomplejaquelaecuación
10-2puedentambién
analizarsemediantetécnicasderegresiónlinealmúltiple.
Porejemplo,considerelaincorporaciónde un
términodeinteracción enelmodelodeprimerorden endosvariables,porejemplo
10-2MODELOSDEREGRESIÓNLINEAL
Laatenciónsecentrará enelajustedemodelosderegresiónlineal.Parailustrar,supongaquequierede­
sarrollarse
unmodeloempíricoquerelacionelaviscosidadde unpolímeroconlatemperaturaylaveloci­
daddealimentacióndelcatalizador.
Unmodeloquepodríadescribirestarelaciónes
donde
yrepresentalaviscosidad, Xllatemperaturay X
2lavelocidaddealimentacióndelcatalizador.Se
tratade
unmodeloderegresiónlinealmúltiplecondosvariablesindependientes.Escomúnllamaralas
variablesindependientesvariablespredictorasoregresores(variablesderegresión).Seutilizaeltérmi­
no
linealporquelaecuación 10-1esunafunciónlinealdelosparámetrosdesconocidos /30'/31y/32'Elmo­
delodescribeunplanoenelespaciobidimensional Xl'X
2
.Elparámetro/30definelainterseccióndelplano
conelejedelasordenadas.
Enocasiones/31y/32sedenominanlos coeficientesderegresiónparcial,porque
(31mideelcambioesperadoen yparacadacambiounitariode XlcuandoX
2semantieneconstante,y /32
mideelcambioesperado enyparacadacambiounitariode X
2cuandoXlsemantieneconstante.
Engeneral,lavariablederespuesta ypuederelacionarseconkregresares.Almodelo
(10-3)
Sisehace X3=
XrX2Y/33=/312'entonceslaecuación 10-3puedeescribirsecomo
y=/30+/31x1+/32x
2+/33x3+s (10-4)
queesunmodeloderegresiónlinealmúltipleestándarcontresregresares.Recuerdeque enalgunos
ejemplosdeloscapítulos
6,7Y8sepresentaronvariosmodelosempíricossimilaresalasecuaciones 10-2y
10-4paraexpresarcuantitativamentelosresultadosde undiseñofactorialdedosniveles.Comootro
ejemplo,considereelmodelodesuperficiederespuesta
desegundoordenendosvariables:
y=/30+/31x1+/32x2+
/3ux;+/322X~+/312x1x2+s (10-5)
Sisehacex3=x;'X4=x~,Xs=X1X2,/33=/3u,/34=/322Y/3s=/312'entoncesestaexpresiónquedacomo
(10-6)
queesunmodeioderegresiónlineal.Estemodelose havistotambiénenejemplosanterioresdeesteli­
bro.
Engeneral,cualquiermodeloderegresiónqueeslineal enlosparámetros(losvalores /3)esunmode­
loderegresiónlineal,independientementedelaformadelasuperficiederespuestaquegenera.
Enestecapítuloseresumiránlosmétodos paraestimarlosparámetrosdelosmodelosderegresiónli­
nealmúltiple.Aesteprocedimientosuelellamárseleelajustedelmodelo.Seanalizarántambiénlosmé­
todos
paraprobarhipótesis yparaconstruirintervalosdeconfianza paraestosmodelos,asícomo para

408. 394 CAPÍTULO10AJUSTEDEMODELOS DEREGRESIÓN
(10-7)
(10-8)
(10-9a)
L=!e~
¡=l
Y¡=f30+f3IX
il+f32X¡2+...+f3kX¡k+e¡
k
=f3o+Lf3jXij+e¡i=1,2,...,n
j=l
LafunciónL debeminimizarseconrespectoa f3o,f31,...,f3k'Losestimadoresdemínimoscuadrados, por
ejemplo~o' ~1'...,~k'debensatisfacer
Elmétododemínimoscuadradosconsiste enelegirlas f3delaecuación10-7detalmodoquelasumade
cuadrados
deloserrores,
e¡,seminimice.Lafuncióndemínimoscuadradoses
Elmétododemínimoscuadradosseusade maneratípicaparaestimarloscoeficientesderegresióndeun
modeloderegresiónlinealmúltiple.Suponga quesecuentaconn>kobservacionesdelavariablederes­
puesta,
porejemplo,YI,
Yz,...,Yn-Juntoconcadarespuestaobservaday¡se tendráunaobservacióndecada
unodelosregresares,y seaquexijdenote laobservaciónoniveli-ésimo delavariablex
j
.Losdatosapare­
ceráncomoenlatabla10-1.Sesuponequeeltérminodel erroredelmodelotieneE(e)=OYV(e)=,j2y
quelas{e¡}sonvariablesaleatorias nocorrelacionadas.
Laecuacióndelmodelo(ecuación10-2) puedeescribirseentérminosdelasobservacionesde latabla
10-1como
10~3 ESTIMACIÓN DELOSPARÁMETROS ENMODELOS
DEREGRESIÓNLINEAL
verificarlaadecuacióndelajustedelmodelo. Laatenciónse centraenlosaspectosdelanálisisderegre­
siónquesonútiles
enlosexperimentosdiseñados. Parapresentacionesmáscompletasdelaregresión,re­
ferirseaMontgomeryyPeck[82]yMyers[84].
"U
,,'
'H
¡:II..
iJ¡
ji"
..."
''''1
y
(10-%)
Tabla10-1Datosdeunaregresiónlinealmúltiple
y Xl X
2 Xk
YI XJl X
12
X
lk
Y2
X
21
X
22
X
2k
YtI XIII
X
Il2
X
llk

409. (10-10)
i=1
n
+...+~kL X¡k
i=1
.[1x
ll
x
12
",x
Ik
]
1X
2I
X
22
..,X
2k
X=::::'
....
1x
nI
x
n2
•••x
nk
+~2~ X¡2
;=1
n n n
+~2LXilXi2+...+~kLXilXik=LXilY¡
;=1 ;=1 ;=1
[
YI]
Y2
y=;n'
n~o+~I~ Xil
;=1
Alsimplificarlaecuación 10-9,seobtiene
donde
y=
Xp+e
Estasecuacionessedenominan ecuacionesnormalesdemínimoscuadrados. Observequehay p=k+1
ecuacionesnormales,unaparacadaunodeloscoeficientesderegresióndesconocidos.
Lasolucióndelas
ecuacionesnormalesseránlosestimadoresdemínimoscuadradosdeloscoeficientesderegresión~o, ~1"..,~k'
Esmássencilloresolverlasecuacionesnormales siseexpresanenlanotaciónmatricial. Acontinua­
ciónsepresentaeldesarrollomatricialdelasecuacionesnormalesqueesanálogo
aldesarrollodela
ecuación
10-10.Elmodeloentérminosdelasobservaciones,ecuación 10-7,puedeescribirseennotación
matricialcomo
10-3ESTIMACIÓNDELOSPARÁMETROSENMODELOSDEREGRESIÓNLINEAL395
y
yaquep'X'yesunamatriz (1x1),ounescalar,ysutranspuesta(/J'X'y)' =y'XPeselmismoescalar.Los
estimadoresdemínimoscuadradosdebensatisfacer
Engeneral,yesunvector (nX1)delasobservaciones,Xes unamatriz(nXp)delosnivelesdelasvaria­
blesindependientes,
pesunvector(pxl)deloscoeficientesderegresión,yeesunvector (nXl)delos
erroresaleatorios.
Quiereencontrarseelvectordelosestimadoresdemínimoscuadrado~, jJ,queminimice
L=~s;=e'e=(y-Xp)'(y-xP)
;=1
Observeque Lpuedeexpresarsecomo
L=y'y-P'X'y-y'XP+P'X'XP
=y'y-2P'X'y+P'X'XP
(10-11)

410. 396 CAPÍTULO10AJUSTEDEMODELOSDEREGRESIÓN
::;1'
I"H
;:¡
:.1
aL/=-2X'y+2X'xjJ=o
apÍ3
cuyasimplificaciónes
X'xjJ=X'y (10-12)
Laecuación10-12eslaformamatricialdelasecuacionesnormalesdemínimoscuadrados.Esidénticaa
laecuación10-10.Pararesolverlasecuacionesnormales,ambosmiembrosdelaecuación10-12semulti­
plican
porlainversadeX'X.Porlotanto,elestimadordemínimoscuadradosde
pes
p=(X'Xr
I
X'y (10-13)
Essencilloverque laformamatricialdelasecuacionesnormalesesidénticaa laformaescalar.Alde­
sarrollar
endetallelaecuación10-12,seobtiene
n n n
{Jo
n
nL
XilL
X
i2L
X
ik L
Y¡
;=1 i=1 i=1 ;=1
n n n n
{JI
n
L
Xil2:
Xi;L
X
il
X
i2L
X
iI
X
ikL
XilY¡
=
;=1 i=l i=1 ;=1 ;=1
n n n n n
L
X¡kL
XikXilL
X
ik
X
i2L
2
L
XikY¡X
ik
{Jk;=1 ;=1 i=1 i=1 ;=1
Siseefectúalamultiplicaciónmatricialindicada,se obtendrálaformaescalardelasecuacionesnormales
(esdecir,laecuación10-10).
Enestaformaessencillo verqueX'Xesunamatrizsimétrica (pXp)yque
X'yesunvectorcolumna (pX1).Observelaestructuraespecialde lamatrizX'X.Loselementosdela
diagonalde
X'Xsonlassumasdecuadradosdeloselementosdelascolumnasde X,yloselementosque
noestánenladiagonalsonlassumasdelosproductoscruzadosdeloselementosdelascolumnasde X.
Además,observequeloselementosdeX/ysonlassumasdelosproductoscruzadosdelascolumnasdeXy
lasobservaciones
{y¡}.
Elmodeloderegresión ajustadoes
y=xjJ
Ennotaciónescalar,elmodeloajustadoes
k
Ji={Jo+L{JjXij
;=1
i=1,2,.oo,n
(10-14)
Ladiferenciaentre laobservaciónreal YiyelvalorajustadocorrespondienteJieselresidual,esdecir,
e
i=Yi-
Ji'Elvector(nX1)delosresidualesse denotapor
e=y -y (10-15)
Estimaciónde a
2
PorlogeneraltambiénesnecesarioestimarrT.Paradesarrollarunestimadordeesteparámetro,conside­
relasumadecuadradosdelosresiduales, porejemplo
SS
E=
I(Yi-Ji)2
i=1
=Ie¡2
;=1
=e'e

411. Alaecuación10-16selellamala sumadecuadradosresidualodelerror,ytiene n-pgradosdelibertad
asociadosconella.
Puededemostrarseque
397
(10-16)
(10-17)SSE=y'y-
P'X'y
SSE=(y-xjJ)(y-xjJ)
=y'y-P'X'y-y'xjJ+P'X'xjJ
=y'y-2P'X'y+P'X'xjJ
puestoqueX'xjJ=X'y,estaúltimaecuación quedacomo
10-3ESTIMACIÓNDELOSPARÁMETROSENMODELOSDEREGRESIÓNLINEAL
Alsustituire =y -y=y-Xp,setiene
porloque
unestimadorinsesgadode
crestádado por
~2 SSE
a=--
n-p
Propiedadesdelosestimadores
Elmétododemínimoscuadradosproduce unestimadorinsesgadodel parámetropdelmodeloderegre­
siónlineal.Esto
puededemostrarsefácilmentetomando elvaloresperadode
Pdelasiguientemanera:
E(P)=E[(X'XrIX'y]
=E[(X'X)-I(xp+S)]
=E[(X'Xr
l
X'xp+(X'Xr
l
X's]
=p
yaqueE(s)=OY(X'xtIX'X=l.Porlotanto,pesunestimadorinsesgadode p.
Lapropiedaddelavarianzadepseexpresaenlamatrizdecovarianza:
Cov(P)==E{[P-E(P)][P-E(P)]'} (10-18)
quees
unamatrizsimétricacuyoelementoi-ésimode ladiagonalprincipales lavarianzadelcoeficiente
deregresiópindividual
Pi'Ycuyoelemento(ij)-ésimoes lacovarianzaentrePiYp
j
•Lamatrizdecova­
rianzadepes
(10-19)
EJEMPLO
10,1.....................................................•......
Enlatabla10-2semuestran16observacionesdelaviscosidadde unpolímero(y)ydosvariablesdelpro­
ceso:
latemperaturadereacción(Xl)ylavelocidaddealimentacióndelcatalizador (x
2
).Seajustaráelmo­
deloderegresiónlinealmúltiple

412. 11Ih"
'111""
rll,,-'-
::II~:
'ji"'
"'''41
,,'
''':j'
::::lr aestosdatos. LamatrizX yelvectoryson
:~::
';1'
"11
1808 2256
;¡
) 1939 2340
110010 2426
18212 2293
19011 2330
:!' 1998 2368
1818 2250
19610 2409
X=
19412
y=
2364
19311 2379
19713 2440
19511 2364
11008 2404
18512 2317
1869 2309
18712 2328
LamatrizX'Xes
x'x~H
1 1
l
80
l~j
93 87
93
9 12
87
398 CAPÍTULO10AJUSTEDEMODELOS DEREGRESIÓN
Tabla10-2Datosdelaviscosidaddelejemplo10-1(viscosidaden
centistokes
@100°C)
8 2256
9 2340
10 2426
12 2293
11 2330
8 2368
8 2250
10 2409
12 2364
11 2379
13 2440
11 2364
8 2404
12 2317
9 2309
12 2328
Velocidaddealimentación
delcatalizador
(xz,lb/h)Viscosidad
1
80
2 93
3 100
4 82
5 90
6 99
7 81
8 96
9 94
10 93
11 97
12 95
13 100
14 85
15 86
16 87
Temperatura
Observación
(Xl'oC)
MI'I,'
'I!

413. 1[2256]
87]2~40
122328
-0.223453 ][37,577]
-4.763947x10-
5
3,429,550
2.222381x10-
2
385,562
1458164]
133,56014,946
14,9461,726
[
37,577]
=3,429,550
385,562
[
16
=1458
164
1D-3ESTIMACIÓNDELOSPARÁMETROSENMODELOSDEREGRESIÓNLINEAL399
r
14.176004-0.129746
lJ=-0.1297461.429184x10-
3
-0.223453
-4.763947x10-
5
[
1566.07777]
=7.62129
8.58485
yelvectorX'yes
Laestimacióndemínimoscuadradosde
Pes
o
Elajustedemínimoscuadrados,conloscoeficientesderegresiónexpresadoscondoscifrasdecimales,es
Tabla10-3Valorespredichos,residuales yotrosdiagnósticosdelejemplo10-1
Observación ValorpredichoResidual Residual
i Yi Ji e¡ hu studentizado DiR-student
1 2256 2244.5 11.5 0.350 0.87 0.137 0.87
2 2340 2352.1 -12.1 0.102 -0.78 0.023 -0.77
3 2426 2414.1 11.9 0.177 0.80 0.046 0.79
4 2293 2294.0
-1.0 0.251 -0.07 0.001 -0.07
5 2330 2346.4 -16.4 0.077 -1.05 0.030 -1.05
6 2368 2389.3 -21.3 0.265
-1.52 0.277 -1.61
7 .2250 2252.1 -2.1 0.319 -0.15 0.004 -0.15
8 2409 2383.6 25.4 0.098 1.64 0.097 1.76
9 2364 2385.5 -21.5 0.142 -1.42 0.111 -1.48
10 2379 2369.3 9.7 0.080 0.62 0.011 0.60
11 2440 2416.9 23.1 0.278 1.66 0.354 1.80
12 2364 2384.5 -20.5 0.096
-1.32 0.062 -1.36
13 2404 2396.9 7.1 0.289 0.52 0.036 0.50
14 2317 2316.9
0.1 0.185 0.01 0.000<0.01
15 2309 2298.8 10.2 0.134 0.67 0.023 0.66
16 2328 2332.1
-4.1 0.156 -0.28 0.005 -0.27

414. ~
'j
i
'1Il""
,.".h
::1I¡;
'd
t1
400 CAPÍTULO10AJUSTEDEMODELOSDEREGRESIÓN
99
_95
390
e
'"e80
o
c.70
ro
E
550
e
~30
:B20
ro
e10
ll..5
Figura10-1Gráficadeprobabilidadnormaldelosresi­
duales,ejemplo10-1.'
Y==1566.08+7.62x
I+8.5Sx
2
Enlastresprimerascolumnasdelatabla10-3se presentanlasobservacionesreales Yi'losvalorespre­
dichosoajustadosYiylosresiduales.Lafigura10-1es unagráficadeprobabilidadnormaldelosresidua­
les.
Lasgráficasdelosresidualescontralosvalorespredichos
Jiycontralasdosvariables XlyX
2se
muestranenlasfiguras10-2,10-3Y10-4,respectivamente. Comoenlosexperimentosdiseñados,lagrafi­
cación
delosresidualesformaparteintegraldelaconstruccióndemodelosderegresión.Estasgráficas
indicanqueenlavarianzadelaviscosidadobservadaexisteunatendenciaaincrementarseconlamagni­
tuddelaviscosidad.Lafigura10-3sugiere quelavariabilidaddelaviscosidadaumentacuandoseincre­
mentalatemperatura.
25.43
-'
,
I 1 1 +1 1-
+
17.61-
-
+
+
9.79
- + + -
+
Ul
'"ro
-;;;¡
1.97-
"C
+
'¡ji
+
'"
+
cr:
+
-5.85- -
+
-13.68- -
+
-21.50-, 1,
I 1 1ft,-
22442273 230223312359 2388 2417
Viscosidadpredicha encentistokes
Figura10-2Gráficadelosresidualescontralaviscosidad
predicha,ejemplo
10-1.

415. 10-3ESTIMACIÓNDELOSPARÁMETROSENMODELOSDEREGRESIÓNLINEAL401
25.43P
1 I I 1
+1 L
+
17.61f- -
+
+
9.79
f-
+
+ -
'"
+
Ql
ro
"
1.97f- -
'O +
.~
++
a:
+
-5.85f- -
+
-13.68f- -
+
-21.50h 1 I 1
1+
+
1
+
1-
80.083.386.790.093.396.7100.0
x"temperatura
Figura10-3Gráficadelosresidualescontrax t(temperatu-
ra),ejemplo10-1.
Usodelacomputadora
Elajustedelosmodelosderegresióncasisiempresehace pormediode unpaquetedesoftwaredeesta­
dística.
Enlatabla10-4semuestra lasalidaobtenidacuandoseusaelprogramaMinitab paraajustarel
modeloderegresiónde
laviscosidaddelejemplo10-1.Muchasdelascantidadesdeestasalidadeberán
serfamiliares,
ya.quesussignificadossonsimilaresalascantidadesdelassalidasdecomputadora parael
análisisdedatosdeexperimentosdiseñados.Se
hanvistoyamuchassalidasdecomputadoracomoésta en
estelibro.Enseccionessubsecuentesserevisará endetalleelanálisisdevarianzaylainformacióndela
prueba
tdelatabla10-4yseindicaráde manerapormenorizadacómosecalcularonestascantidades.
25.431-
1 1 1 +1 1 1 1-
+
17.61
f- -
+ +
9.79
f- + + -
'"
+
Ql
ro
"
1.97f- -
'O
:\:
.¡¡;
Ql
+
el:
+
-5.85f- -
+
-13.68f- -
+
-21.50f-t I
+
1
+1 1-I I
8.008.839.6710.5011.3312.17 13.00
x2'velocidaddealimentacióndelcatalizador
Figura10·4Gráficadelosresidualescontra X
2(velocidad
dealimentación),ejemplo10-1.

416. 402 CAPÍTULO10AJUSTEDEMODELOSDEREGRESIÓN
Tabla10-4SalidadeMinitabparaelmodeloderegresióndelaviscosidad,ejemplo10-1
Análisisderegresión
Theregress;onequat;on;s
V;scos;ty=1566+7.62Temp+8.58FeedRate
Pred;ctor Coef StDev T P
Constant 1566.08 61.59 25.43 0.000
Temp 7.6213 0.6184 12.32 0.000
FeedRat 8.585 2.439 3.52 0.004
S=16.36 R-Sq=92.7% R-Sq<adj)=91.6%
Analys;sofVar;ance
Source DF SS MS F P
Regress;on 2 44157 22079 82.50 0.000
Res;dualError 13 3479 268
Total 15 47636
Source DF SeqSS
Temp 1 40841
FeedRat 1 3316
57 68
36
I
I
I
I
....-
,,"57
"
"32
46
Variablesdelproceso Variablescodificadas
Rendimiento,
CorridaTemperatura
(OC)Presión(psigiConcentración(gil) x, x, x, y
1 120 40
15 -1 -1 -1 32
2 160 40 15 1 -1
-1 46
3 120 80 15 -1 1 -1 57
4 160 80
15 1 1 -1 65
5 120 40 30 -1 -1 1 36
6 160 40 30 1
-1 1 48
7 120 80 30 -1 1 1 57
8 160 80 30 1 1 1 68
9 140 60 22.5 O O O 50
10 140 60 22.5
O O O 44
11 140 60 22.5 O O O 53
12 140 60 22.5
O O O 56
Temperatura-140 Presión-60 Concentración-225
x,= 20 •x,=~. x,=
7.5
Figura10-5 Diseñoexperimentaldelejemplo10-2.

417. 10-3ESTIMACIÓNDELOSPARÁMETROSENMODELOSDEREGRESIÓNLINEAL403
Ajustedemodelosderegresión enexperimentosdiseñados
Sehausadoconfrecuencia unmodeloderegresión parapresentarlosresultadosde unexperimentodise­
ñado
enunaformacuantitativa.Seofreceahora unejemplocompletodondeseindicacómosehaceesto.
Sepresentanenseguidaotrostresejemplosbrevesqueilustranotrasaplicaciones útilesdelanálisisdere­
gresión
enlosexperimentosdiseñados.
32
46
57
65
36
48
y=57
68
50
44
53
56
Paraestemodelo, lamatrizXyelvectoryson
1-1-1-1
1 1-1-1
1-11-1
1 11-1
1-1 -1 1
1 1
-11
X=1-1 1 1
1 1 1 1
1 O O O
1 O O O
1 O O O
1 O O O
EJEMPLO
10-2 .
.Análisisderegresióndeundiseñofactorial 2
3
Uningenieroquímicoestáinvestigandoelrendimientode unproceso.Tresdelasvariablesdelproceso
sondeinterés:
latemperatura,lapresiónylaconcentracióndelcatalizador. Cadavariablepuedecorrerse
en
unnivelbajoyunoalto,yelingenierodecidecorrer undiseño2
3
concuatropuntoscentrales. Enlafi­
gura
10-5semuestraeldiseñoylosrendimientosresultantes, dondesepresentantantolosnivelesnatura­
lesdeldiseñocomolanotacióndevariablescodificadas
+1,-1queseutilizanormalmente enlosdiseños
factoriales
2
k
pararepresentarlosnivelesdelosfactores.
Supongaqueelingenierodecideajustarunmodeloquesóloincluyelosefectosprincipales,porejemplo
y=/30+/31xl+/32X2+/33X3
+8
Essencillodemostrarque
[
12O OO]
X'X-O 8 O O
- O O 8 O
O O O 8
[
612]
X'y=
¿g
O O][612][51.000]O O45 5.625
1/8O85=10.625
O
1/89 1.125
Puestoque X'Xesdiagonal,elinversoqueserequieretambiénesdiagonal,ylasestimacionesdemínimos
cuadradosdeloscoeficientesderegresiónson
[
1/12O
p=(X'Xr
1
X'y= ~1/~
Elmodeloderegresiónajustadoes
y=51.000+5.625x
1
+10.625x
2
+1.125x
3

418. 404 CAPÍTULO10AJUSTEDEMODELOSDEREGRESIÓN
Comose hahechousodeellos enmuchasocasiones,loscoeficientesderegresiónguardan unaestre­
charelaciónconlasestimacionesdelosefectosqueseobtendrían porelanálisisusualde undiseño2
3
•
Por
ejemplo,elefectode
latemperaturaes(referirsea lafigura10-5)T=)ir-)ir
=56.75-45.50
=11.25
Observequeelcoeficientederegresiónde
Xles
(11.25)/2
=5.625
Esdecir,elcoeficientederegresiónesexactamente lamitaddelaestimaciónusualdelefecto.Estosiem­
presecumpliráparaundiseño2
k
•
Comoseseñalóantes, enloscapítulos6al8seempleóesteresultado
paraproducirmodelosderegresión,valoresajustados yresidualesenvariosexperimentosdedosniveles.
Esteejemplodemuestraquelasestimacionesdelosefectosde
undiseño2
k
sonestimacionesdemínimos
cuadrados.
.........................................................................
Enelejemplo10-2essencilloobtener lamatrizinversa porqueX'Xesdiagonal.Intuitivamente,esto
pareceofrecerventajas,nosóloporqueloscálculossesimplificansinotambiénporquelosestimadoresde
todosloscoeficientesderegresiónnoestáncorrelacionados,esdecir,
COV(~i' ~j)=O.Silosnivelesdelas
variables
Xpuedenelegirseantesderecabarlosdatos,quizáseadeseablediseñarelexperimentodetal
modoqueresulte
unaX'Xdiagonal.
Enlaprácticapuedeserrelativamentesencilloconseguiresto.SesabequeloselementosdeX'Xque
estánfuerade
ladiagonalsonlassumasdelosproductoscruzadosdelascolumnas enX.Porlotanto,es
necesariohacerqueelproductointeriordelascolumnas deXseanigualesacero;esdecir,estascolumnas
debenser
ortogonales.Alosdiseñosexperimentalesque poseenestapropiedad paraajustarunmodelo
deregresiónselesllama
diseñosortogonales. Engeneral,eldiseñofactorial 2
k
esundiseñoortogonal
paraajustarelmodeloderegresiónlinealmúltiple.
Losmétodosderegresiónson
enextremoútilescuandoalgo"salemal" enunexperimentodiseñado.
Estoseilustra
enlosdosejemplossiguientes.
EJEMPLO
10~3 .
Undiseñofactorial2
3
conunaobservaciónfaitante
Considereeldiseñofactorial2
3
concuatropuntoscentralesdelejemplo10-2.Supongaquecuandoserea­
lizóesteexperimento,faltó
lacorridacontodaslasvariables enelnivelalto(lacorrida8de lafigura10-5).
Esto
puedeocurrirporvariasrazones:elsistemademedición puedeproducirunalecturaincorrecta,la
combinacióndelosniveles
'delosfactoresquizánosea laapropiada,launidadexperimental puedeestar
dañada,etcétera.
Seajustaráelmodelodelosefectosprincipales
y=
[Jo+[JlXl+[J2X2+[J3X3+8
utilizandolas 11observacionesrestantes. LamatrizXyelvectoryson

419. Paraestimarlosparámetrosdelmodeloseforman
1.92307XlO-
Z
]
[544]
2.88462xlO-
z
-23
2.88462x10-
z 17
0.15385 -59
1.92307XlO-
z
2.88462XlO-
z
0.15385
2.88462xlO-
z
~~ =~ =:1X'y=r=~j
-1-17 -59
1-1 -1-1 32
1 1-1-1 46
1-11-1 57
11 1
-1 65
1-1 -1 1 36
X=11 -11y=48
1
-111 57
1
O O O 50
1
O O O 44
1
O O O 53
1O O O 56
1.92307XlO-
z
0.15385
2.88462xlO-
z
2.88462x10-
z
[
11
-1
X'X=-1
-1
10-3ESTIMACIÓNDELOSPARÁMETROSENMODELOSDEREGRESIÓNLINEAL405
yentonces
jJ=(X'X)-1X'y
[
9.61538X10-z
1.92307x10-
z
=1.92307XlO-
z
1.92307XlO-
z
=
[:~:;~]
1.25
Porlotanto,elmodeloajustadoes
)1=51.25+5.75x
1
+10.75x
z +1.25x
3
Compareestemodeloconelqueseobtuvo enelejemplo10-2,dondeseusaronlas12observaciones.Los
coeficientesderegresiónsonmuysimilares.Debidoalaestrecharelaciónentreloscoeficientesderegre­
siónylosefectosdelosfactores,lasconclusionesnosufrirían
unaalteraciónsustancial porlaobservación
faltante.Sinembargo,observequelasestimacionesdelosefectos
handejadodeserortogonales,yaque
(X'X)ysuinversayanosondiagonales.
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••e_e•••••••••••••••••••••••••
EJEMPLO1
O~4 .
Nivelesimprecisosdelosfactoresdeldiseño
Cuandose correunexperimentodiseñado, enocasionesesdifícilalcanzary mantenerlosnivelespreci­
sosdelosfactoresrequeridos
poreldiseño.Lasdiscrepancias pequeñasnosonimportantes,perolas
grandessonmotivodepreocupaciónpotencial.Los
métodosderegresiónsonútiles enelanálisisde un

420. 406 CAPÍTULO10AJUSTEDEMODELOSDEREGRESIÓN
TablalO-SDiseñoexperimentaldelejemplo10-4
Variablesdelproceso Variablescodificadas
Temperatura Presión Concentración Rendimiento
Corrida CC) (psig) (g/l)
X¡ X
2
X
3 y
1 125 41 14 -0.75 -0.95-1.133 32
2 158 40 15 0.90-1 -1 46
3 121 82 15 -0.951.1-1 57
4 160 80 15 1 1 -1 65
5 118 39 33 -1.10-1.05 1.14 36
6 163 40 30 1.15-1 1 48
7 122 80 30 -0.901 1 57
8 165 83 30 1.25 1.15 1 68
9 140 60 22.5 O O O 50
10 140 60 22.5 O O O 44
11 140 60 22.5 O O O 53
12 140 60 22.5O· O O 56
experimentodiseñadocuandoelexperimentadorno hapodidoobtenerlosnivelesrequeridosdelos
factores.
Parailustrar,elexperimentodelatabla10-5presentaunavariacióndeldiseño2
3
delejemplo10-2,
dondemuchasdelascombinacionesdepruebanosonexactamentelasqueseespecificaneneldiseño.
Lasdificultadesparecenhaberocurridosobretodoconlavariabletemperatura.
Seajustaráelmodelodelosefectosprincipales
Y=
f30+f3¡x¡+f32x
2+f33x3
+8
LamatrizX yelvectoryson
1-0.75-0.95-1.133
32
10.90-1 -1 46
1-0.95 1.1-1 57
1 1 1 -1 65
1-1.10-1.051.4 36
X=
11.15-1 1 48
1-0.901 1
y=
57
11.251.151 68
1 O O O
.50
1 O O O 44
1 O O O 53
1 O O O 56
Paraestimarlosparámetrosdelmodelosenecesitan
[
12 0.60
X'X-0.60 8.18
-0.25 0.31
0.2670-0.1403
0.25 0.2670]
0.31-0.1403
8.5375-0.3437
-0.34379.2437
[
612]
I 77.55
Xy=161.50
19.144

421. 10-3ESTIMACIÓNDELOSPARÁMETROSENMODELOSDEREGRESIÓNLINEAL407
Entonces
[
8.37447x10-2
_-6.09871xlO-
3
--2.33542xlO-
3
-2.59833xlO-
3
[
50.36496]
5.41932
=10.16672
1.07653
-6.09871
x10-
3
0.12289
-4.20766x10-
3
1.88490x10-
3
-2.33542x10-
3
-4.20766X10-
3
0.11753
4.37851x
10-
3
-2.59833
X
10-
3
]
[612]
1.88490x10-
3
77.55
4.37851x10-
3
161.50
0.10845 19.144
Elmodeloderegresiónajustado,conloscoeficientesreportadoscondoscifrasdecimales,es
51=50.36+2x
1
+10.17x2+1.0Sx3
Alcompararesteresultadoconelmodelooriginaldelejemplo10-2,dondelosnivelesdelosfactoresfue­
ronexactamentelosqueseespecificaron
eneldiseño,seobservamuypocadiferencia. Lainterpretación
prácticadelosresultadosdeesteexperimentonosufriríaalteracionessustanciales
porlaincapacidaddel
experimentador
paraalcanzarexactamentelosnivelesdeseadosdelosfactores.
.........................................................................
EJEMPLO
10-5 .
Separacióndealiasdeinteraccionesenundiseñofactorialfraccionado
Enelcapítulo8seseñalólaposibilidaddesepararlosaliasdelasinteraccionesdeundiseñofactorial
fraccionadomedianteelprocesollamadodoblezoplegado.
ParaundiseñoderesoluciónIII, unplegado
completoseconstruyecorriendo'
unasegundafracción enlaquelossignosestáninvertidosrespectode
lossignosde
lafracciónoriginal. Entonceseldiseñocombinado puedeusarseparasepararlosaliasdeto­
doslosefectosprincipalesdelasinteraccionesdedosfactores.
Unadificultadconelplegadoesquerequiere unsegundogrupodecorridasdetamañoidénticoaldel
diseñooriginal.Porlogeneralesposiblesepararlosaliasdeciertasinteraccionesdeinterésaumentando
eldiseñooriginalcon
unnúmerodecorridas menorquelasqueserequieren enunplegadocompleto.Los
métodosderegresiónson
unaformafácildeformularesteproblemaydevercómopuederesolverse.
Parailustrar,supongaquese hacorridoundiseño
2~1.Enlatabla8-3semuestralafracciónprinci­
paldeestediseño,
enlaque1=AECD.Supongaquedespuésdequeseobservaronlosdatosdelosocho
primerosensayos,losefectosmásgrandesfueron
A,E,C,D(seignoranlasinteraccionesdetresfactores
quesonaliasdeestosefectosprincipales),y
lacadenadealiasAE +CD.Lasotrasdoscadenasdealias
puedenignorarse,
peroesclaroqueAEoCDoambasinteraccionesdedosfactoressongrandes.Paradi­
lucidarcuálessonlasinteraccionesimportantespodría,desdeluego,correrselafracciónalterna,paralo
cualserequeriríanotrosochoensayos.Entonceslas
16corridaspodríanusarse paraestimarlosefectos
principalesylasinteraccionesdedosfactores.
EsposiblesepararlosaliasdeABy
CDenunnúmerodeensayosadicionalesmenorqueocho.Supon­
gaquequiereajustarseelmodelo
y=130+f31x
1+f32x2+f33x3+f34x4+f312X
IX2+f334
x3x4
+10

422. 408 CAPÍTULO10AJUSTEDEMODELOSDEREGRESIÓN
dondex¡,x2,x3yx4sonlasvariablescodificadasque representanaA,B,CyD.Utilizandoeldiseñode lata­
bla8-3,lamatrizX deestemodeloes
X¡X2X
3X4X¡X2X~4
1-1-1 -1 -111
1 1
-1-11-1-1
1-11-11-1-1
X==
1 1 1 -1 -111
1
-1 -11 1 1 1
11
-11-1 -1 -1
1-11 1-1-1 -1
1 1 1 1 1 1 1
dondesehananotadolasvariablesarriba delascolumnasafin defacilitarlacomprensión,Observequela
columnax¡x2esidénticaala
columnax~4 (comoseanticipaba,yaqueABox¡x2esaliasdeCDOX~4)'
locualimplica unadependencialinealenlascolumnasdeX.Porlotanto,nopuedenestimarsetanto(3¡2
como(334enelmodelo.Sinembargo,supongaqueseagrega lacorridaúnicax¡==-1,x2==-1,x
3==-1Yx4==
1delafracciónalternaalasochocorridasoriginales. EntonceslamatrizXdelmodeloquedacomo
,",,,,O'
IT.,,"-
x¡x2x
3x4X
1X2X~4::u¡:¡
"~;""I
1-1-1 -1-111
''''~,
1 1-1-11-1-1"':jl
:::lo
1-11-11-1-1
!\~ 111 -1-1 11
~ll X==1-1 -11 1 11
'H
1 1-11-1-1-1
1
1-11 1-1-1 -1
11 1 1 1 11
1-1 -1 -111 -1
Observequeahoralascolumnasx¡x2YX~4yanosonidénticas,yel modelopuedeajustarseincluyendoa
lasdosinteraccionesx¡x2
(AE)y
X~4(CD).Lasmagnitudesdeloscoeficientesderegresión brindaránin­
formaciónrespectoacuáles
sonlasinteraccionesimportantes.
AuncuandoalagregarunasolacorridasesepararánlosaliasdelasinteraccionesAEyCD,esteenfo­
quetieneunadesventaja.Supongaqueexisteunefectodetiempo(ounefectodebloque)entrelasocho
primerascorridasy laúltimacorridaqueseagregóarriba. AlagregarseunacolumnaalamatrizX paralos
bloques,se
obtienelosiguiente:
X¡X2X3X4 X¡X2
X~4bloques
1-1-1 -1-111-1
11 -1 -11-1-1 -1
1-11-11-1-1-1
11 1 -1 -11 1 -1
X==1-1 -111 1 1-1
11 -11-1-1-1-1
1-11 1-1-1 -1-1
11 1 1 1 11-1
1-1 -1 -11 1-1 1

423. 10-4PRUEBADEHIPÓTESISENLAREGRESIÓNMÚLTIPLE409
Sehasupuestoqueelfactordelbloqueestaba enelnivelbajoo "-"durantelasochoprimerascorridas,y
enelnivelaltoo "+"durantelanovenacorrida.Essencilloverquelasumadelosproductoscruzadosde
cadacolumnaconlacolumnadelbloquenoescero,locualsignificaquelosbloqueshandejadodeseror­
togonales
paralostratamientos,oqueelefectodelbloqueafectaahoraalasestimaciones
deloscoefi­
cientesderegresióndelmodelo.Paraconseguirlaortogonalidaddelosbloques,debeagregarseun
número
pardecorridas.Porejemplo,conlascuatrocorridas
X¡ X2 X3 X4
-1 -1 -1 1
1 -1 -1 -1
-1 1 1 1
1 1 1 -1
sesepararánlosalias deABdeCDypermitiránquelosbloquesseanortogonales(estopuedeversedesa­
rrollandolamatrizXcomosehizoanteriormente).
Engeneral,sueleserdirectoelexamendelamatrizXdelmodeloreducidoqueseobtienede undise­
ñofactorialfraccionado,asícomoladeterminacióndecuálessonlascorridasquehabrándeaumentarse
eneldiseñooriginalparaseparar
losaliasdelasinteraccionesdeinteréspotencial.Además,elimpactode
lasestrategiasespecíficas
paraaumentareldiseño puedeevaluarseutilizandolosresultadosgenerales
delosmodelosderegresiónquesepresentanmásadelante
enestecapítulo.Secuentatambiénconméto­
dosbasadosencomputadoraparaconstruirdiseñosque puedenserútilesenelaumentodeldiseño para
separarlosaliasdelosefectos.Estosdiseñosgenerados porcomputadoraserevisarán enelcapítulosi­
guiente.
10..4PRUEBADEffiPÓTESISENLAREGRESIÓNMÚLTIPLE
Enlosproblemasderegresiónlinealmúltiple,ciertaspruebasdehipótesisacercadelosparámetrosdel
modeloson
unaayudaparamedirlautilidaddelmodelo. Enestasecciónsedescribenvariosprocedi­
mientosdepruebadehipótesisimportantes.Estos procedimientosrequierenqueloserrores
8
idelmode­
losiganunadistribuciónnormaleindependienteconmediaceroyvarianzaer,locualseabrevia
8-NID(O,er).Comoresultadodeestesupuesto,lasobservaciones Yitienenunadistribuciónnormalein­
dependienteconmedia/30+2:.~=¡/3jX;jyvarianzaer.
10..4.1Pruebadesignificacióndelaregresión
Lapruebadesignificacióndelaregresión esunprocedimientoparadeterminarsiexisteunarelaciónli­
nealentrelavariablederespuestayyunsubconjuntodelosregresores
Xl'X
2
,.••,X
k
• Lashipótesisapropia­
dasson
Ho:/3¡
=/32=···=/3k=0
H¡:/3j:;z!:Oparaalmenosuna j
(10-20)
Elrechazo
deHodelaecuación10-20implicaque almenasunodelosregresoresx¡,x
2
,
••"Xkcontribuyede
manerasignificativaalmodelo.
Elprocedimientodepruebaincluye unanálisisdevarianza enelquese

424. 410 CAPÍTULO10AJUSTEDEMODELOSDEREGRESIÓN
hacelaparticióndelasumadecuadradostotalSS Tenunasumadecuadradosdebidaalmodelo(oalare.
gresión)y
unasumadecuadradosdebidaalosresiduales(oalerror),esdecir,
(10-21)
''';JI
Ahorabien,si lahipótesisnulaHo:¡31==132==...==¡3k==Oesverdadera,entoncesSSRkrsedistribuyecomo
X~,dondeelnúmerodegradosdelibertadparax2esigualal númeroderegresoresdelmodelo.Asimis­
mo,
puededemostrarseque
SSE/crsedistribuyecomoX~-k-lyqueSSEySSRsonindependientes.Elpro­
cedimientode
pruebapara
HO:¡31==132==...==¡3k==Oconsisteencalcular
SSR/k MSR
Fo==SSE/(n-k-1)MS
E (10-22)
yenrechazarHosiFoexcedeaF
a
,k,lI-k-l'Demaneraalternativa,podríausarseelenfoquedelvalor Ppara
lapruebadehipótesisy,porlotanto,rechazar HosielvalorPdelestadísticoFoesmenorquea.Porloge­
neralla
pruebaseresumeenunatabladelanálisisdevarianzacomo latabla10-6.
Essencilloencontrar unafórmulaparacalcularSSR'Enlaecuación10-16seestablecióunafórmula
paracalcularSSE;esdecir,
SSE
==y'y-/J'X'y
Ahorabien,puestoque SST==L7=1l-(L;'=lYi)2/ n==y'y-(L7=1Yi)2/ n,laecuaciónanteriorpuede
reescribirsecomo
o
Porlotanto,lasumadecuadradosderegresiónes
(!Yi)2
SS==/J'X'Y_...:.:i,--,=1=------,----
R n
mientraslasumadecuadradosdel errores
SSE==y'y-/J'X'y
Tabla10-6Análisisdevarianzadelasignificacióndelaregresión enunaregresiónmúltiple
Fuentedevariación Sumadecuadrados Gradosdelibertad Cuadradomedio
Regresión
SSR le MSR
Errororesidual SSE n-le-1 MSE
Total SST n
-1
(10-23)
(10-24)

425. 10-4PRUEBADEHIPÓTESISENLAREGRESIÓNMÚLTIPLE 411
Engeneral,elestadístico
R
Z
ajustadanosiempreseincrementarácuandoseagreguenvariables almode­
lo.
Dehecho,siseagregantérminosinnecesarios,elvalorde
R~ustndnsedecrementaráconfrecuencia.
Porejemplo,considereelmodeloderegresióndelaviscosidad.
LaR
2
ajustadaparaelmodelose
muestraenlatabla
10-4.Secalculacomo
(10-25)
(10-27)
(IYi)2
SS=Y'y_-,-,-i=-=--l--'--
T n
ylasumadecuadradostotal es
Comoenlosexperimentosdiseñados, R
2
esunamedidadelacantidaddereducciónenlavariabilidadde y
queseobtienealutilizarlasvariablesderegresión Xl'xz,...,X
kenelmodelo.Sinembargo,comoseseñaló
antes,unvalorgrandede
R
2
noimplicanecesariamentequeelmodeloderegresiónseaadecuado.Siem­
prequeseagregue
unavariablealmodelo,R
2
seincrementará,independientementedequelavariable
adicionalseaestadísticamentesignificativaono.Porlotanto,esposiblequelosmodelosquetienenvalo­
resgrandesde
R
Z
produzcanprediccionespobresdenuevasobservacionesoestimacionespobresdela
respuestamedia.
Puestoque
R
2
siempreseincrementacuandoseagregantérminos almodelo,algunosconstructores
demodelosderegresiónprefierenusarel estadísticoR
2
ajustadadefinidocomo
R2=1_SSEI(n-p)=1_(n-1)(1_R2)
aJustnda SSTI(n-1) n-p
Estoscálculoscasisiempreserealizanconsoftwarederegresión.Porejemplo,enlatabla10-4se
muestra
unapartedelasalidadeMinitabparaelmodeloderegresióndelaviscosidaddelejemplo lO-lo
Lasecciónsuperiordeestapresentación eselanálisisdevarianzadelmodelo. Lapruebadesignificación
delaregresiónenesteejemploincluyelashipótesis
H
O:/3
l=/3
2=O
H
l
:/3j
:j:.Opara almenosunaj
ElvalorPdelatabla10-4paraelestadístico F(ecuación10-22)esmuypequeño,porloqueseconcluiría
quealmenos
unadelasdosvariables -latemperatura(Xl)ylavelocidaddealimentación (xz)-tieneun
coeficientederegresióndiferentedecero.
Enlatabla10-4sepresentatambiénelcoeficientededeterminaciónmúltiple R
2
,
donde
2SSR SSE
R=-=1-- (10-26)
SST SST
Z (n-1) 2
RajUstnda=1-n-p(1-R)
=1-
G~)(l-0.92697)
=0.915735
queestámuycercadela
R
Z
ordinaria.Cuandoladiferenciaentre R
Z
Y
R~ustndaesconsiderable,existeun
buenriesgodeque
sehayanincluidoenelmodelotérminosnosignificativos.

426. 412 CAPÍTULO10AJUSTEDEMODELOSDEREGRESIÓN
10~4.2 Pruebasdeloscoeficientesde regresiónindividuales
ydegruposdecoeficientes
Muchasveceselinteréssecentraenprobarhipótesissobreloscoeficientesderegresiónindividuales.
Estaspruebasseríanútiles
paradeterminarelvalordecada unodelosregresaresdelmodeloderegre­
sión.Porejemplo,elmodelopodríasermáseficazconlainclusióndevariablesadicionalesoquizáconla
eliminaciónde
unaomásdelasvariablesqueestánya enelmodelo.
Agregar
unavariablealmodeloderegresiónocasionasiemprequelasumadecuadradosderegre­
siónseincrementeyquelasumadecuadradosdelerrorsedecremente.Esnecesariodecidirsielincre­
mentodelasumadecuadradosderegresión
essuficienteparagarantizarelusodelavariableadicional
enelmodelo.Además,agregar unavariablenoimportantealmodelo enrealidadpuedeincrementarel
cuadradomediodelerror,reduciéndoseasílautilidaddelmodelo.
Lashipótesis
paraprobarlasignificacióndecualquiercoeficientederegresiónindividual, porejem­
plo
f3
j
,son
Ho:f3j=O
H
1
:f3j:;i:O
SiHo:f3j=Onoserechaza,entoncesestoindica quexjpuedeeliminarsedelmodelo. Elestadísticodeprue­
baparaestahipótesises
dondeCjjeselelementodeladiagonalde(X'xt
1
correspondientea13j'Lahipótesisnula Ho:f3j=Osere­
chazasi
ItoI>t
a
/2
,n-k-l'Observequesetrata enrealidaddeunapruebaparcialomarginal,yaqueelcoefi­
cientederegresión
13jdependedetodoslosdemásregresares Xi(i:;i:j)queestánenelmodelo.
Aldenominadordelaecuación
10-28,
~a2C..,selellamaconfrecuencia errorestándar(se)delcoe-
A »
ficientederegresión f3j'Esdecir,
(10-28)
(10-29)
13·
t= J
or:;;z-c
VAL-jj
"~O
,,-
Porlotanto,unamaneraequivalentedeescribirelestadísticode pruebadelaecuación 10-28es
13j
t
o=-A- (10-30)
se(f3j )
Lamayoríadelosprogramasdecomputadoraderegresiónproporcionanlaprueba tparacadapará­
metrodelmodelo.Porejemplo,considerelatabla
10-4,lacualcontienelasalidadeMinitab paraelejem­
plo
10-1.Enlasecciónsuperiordeestatablase dalaestimacióndemínimoscuadradosdecada
parámetro,elerrorestándar,elestadístico
tyelvalorPcorrespondiente.Seconcluiríaqueambasvaria­
bles,latemperaturaylavelocidaddealimentación,contribuyende
manerasignificativaenelmodelo.
Tambiénpuedeexaminarsedirectamentelacontribuciónde
unavariableparticular, porejemplox
j
,a
lasumadecuadradosderegresión,dadoqueotras
Xivariables(i
:;i:j)estánincluidasenelmodelo.Elpro­
cedimiento
parahacerestoeslapruebageneraldelasignificaciónde laregresióno,comosedenomina
confrecuencia,elmétodode
sumadecuadradosextra. Esteprocedimientotambiénpuedeusarse para
investigarlacontribuciónde unsubconjuntodelosregresoresalmodelo.Considereelmodeloderegre­
sióncon
kregresores:
y=
Xf3+e

427. i~
(10-31)
(10-32)
dondePIes (rx1)yP2es[(p-r)X1].Quierenprobarselashipótesis
HO:Pl=O
Hl:Pl
:;t=O
Elmodelopuedeescribirsecomo
MS=y'y-/JX'y
En-p
y
dondeyes (nxl),Xes(nxp),pes(pxl),ees(nxl)yp=k+1.Querríadeterminarse sielsubcon­
juntoderegresares
Xl'X
2
,•••,
X
r(r<k)contribuyesignificativamente almodeloderegresión.Seaquese
hagalaparticióndelvectordeloscoeficientesderegresióndelasiguientemanera:
P= [;:J
10-4PRUEBADEHIPÓTESISENLAREGRESIÓNMÚLTIPLE 413
dondeXlrepresentalascolumnasdeXasociadasconPIy X2representalascolumnasdeXasociadas
conpo.
P;raelmodelocompleto (incluyendotanto aPlcomoap2)sesabeque/J=(X'xtlX'y.Además,la
sumadecuadradosderegresiónparatodaslasvariablesincluyendolaordenada
alorigenes
SSR(P)=
/J'X'y(pgradosdelibertad)
A
SS
R(/J)selellamalasumadecuadradosderegresióndebida ap.Paraencontrarlacontribucióndelos
términos
enPlalaregresión,seajustaelmodelosuponiendoquelahipótesisnulaHo:fJl =Oesverdadera.
El
modeloreducido seencuentraapartirdelaecuación 10-32conPI=O:
y=X
2
P2
+e (10-33)
Elestimadordemínimoscuadradosde P2es/J2=(X'2X2t
lX
'2Y,y
(10-34)
Estasumadecuadradostiene rgradosdelibertad.Esla"sumadecuadradosextra"debida aPl'Observe
que
SSR(/JIIP2)eselincrementoenlasumadecuadradosderegresióndebidoalainclusióndelasvaria­
bles
Xl'X
2
,
...,X
renelmodelo.
Ahorabien,
SSR(/JIIP2)esindependientede MSE,ylahipótesisnulaPl =Opuedeprobarseconeles­
tadístico
LasumadecuadradosderegresióndebidaaPIdadoque
P2estáyaenelmodeloes
SSR(PIIP2)=SSR(P)-SSR(P2) (10-35)
(10-36)
SiFo>Fa,r,n-p,serechazaHo, yseconcluyeque almenosunodelosparámetros enPlesdiferentedecero
y,porconsiguiente,almenosunadelasvariablesx
hx
2
,""X
renXlcontribuyesignificativamentealmodelo
deregresión.Algunosautoresllamanalapruebadelaecuación
10-36lapruebaFparcial.

428. 414 CAPÍTULO10AJUSTEDEMODELOSDEREGRESIÓN
LapruebaFparcialesmuyútil.Puedeusarseparamedirlacontribución dex
jcomosifueralaúltima
variablequeseagregóalmodelo,calculando
SSR(/3jl/3o,
/31'...,/3j-1'/3j+1'oo.,/3k)
Ésteeselincrementoenlasumadecuadradosderegresióndebidoaqueseagregax
jaunmodeloque ya
contieneax
1
,oo.,xj_1,xj +l'oo.,xk.Observequelaprueba Fparcialdeunasolavariable xjesequivalenteala
prueba
tdelaecuación 10-28.Sinembargo,laprueba Fparcialesunprocedimientomásgeneralpor
cuantopuedemedirelefectodeconjuntosdevariables.
EJEMPLO1
O~6.•••••••••.•••••••...•••••••••••.••••..•••••••••••••.•••••••
Considerelosdatosdelaviscosidaddelejemplo 10-1.Supongaquesequiereinvestigarlacontribuciónde
lavariablex
2(velocidaddealimentación) almodelo.Esdecir,lashipótesisquequierenprobarseson
H
O:/32=0
H1:/32
:;t:.O
Estorequerirálasumadecuadradosextradebidaa
/32'o
SSR(/321/31'(30)=SSR(/30'
/31'(32)-SSR(/30'(31)
=SSR(/31'/321(30)-SSR(/321/30)
Entonces,porlatabla10-4,dondeseprobólasignificacióndelaregresión,setiene
SSR(/31'/321(30)=44,157.1
alaquesellamóenlatablalasumadecuadradosdelmodelo.Estasumadecuadradostienedosgrados
delibertad.
Elmodeloreducido
es
Y=/30+/31X1
+10
Elajustedemínimoscuadradosdeestemodeloes
y=1652.3955+7.6397x
1
ylasumadecuadradosderegresiónparaestemodelo(con ungradodelibertad) es
SSR(/311(30)=40,840.8
Observeque SSR(J311/30)semuestraenlaparteinferiordelasalidadeMinitabdelatabla 10-4bajoelen­
cabezado"SeqSS".Porlotanto,
SSR(/321/30'(31)=44,157.1-40,840.8
=3316.3
con2
-1=1gradodelibertad.Éste eselincrementoenlasumadecuadradosderegresiónqueresultade
agregar
X
2aunmodeloqueconteníaya
axloYsemuestraenlaparteinferiordelasalidadeMinitabenla
tabla
10-4.Paraprobar H
O:/32=O,porelestadísticodepruebaseobtiene
F.=SSR(/321/30'(31)/13316.3/1 =12.3926
o MS 267.604
E
Observequeeneldenominador deFoseusaMS
Edelmodelocompleto(tabla 10-4).Entonces,puestoque
Fo.os,1,13=1.67,serechazaríaH
O:/32=Oyseconcluiríaquex
2(velocidaddealimentación)contribuyesigni­
ficativamente
almodelo.

429. 10-5INTERVALOSDECONFIANZAENREGRESIONESMÚLTIPLES 415
DebidoaqueestapruebaFparcialincluye unsoloregresor,esequivalentea lapruebatporqueel
cuadrado
deunavariablealeatoria tconvgradosdelibertadesunavariablealeatoriaFcon1yvgrados
delibertad.
Paraveresto,observe,porlatabla10-4,queelestadísticotparaHO:f32=Odiocomoresultado
t
o
==3.5203y que
t~=(3.5203?==12.3925=Fo•
.........................................................................
10-5INTERVALOSDECONFIANZAENREGRESIONESMÚLTIPLES
Confrecuenciaesnecesarioconstruirestimaciones deintervalosdeconfianza paraloscoeficientesdere­
gresión{(3)yparaotrascantidadesdeinterésdel modeloderegresión.Eldesarrollode unprocedimien­
to
paraobtenerestosintervalosdeconfianza requieresuponerqueloserrores
{s¡}tienenuna
distribuciónnormaleindependienteconmediaceroyvarianzaaZ,elmismosupuesto queseestablecióen
lasecciónsobrelapruebadehipótesisdelasección10-4.
10-5.1Intervalosdeconfianzaparalosc()eficientesderegresiónindividuales
.PuestoqueelestimadordemínimoscuadradosjJesunacombinaciónlineal delasobservaciones,sesigue
quejJtieneunadistribuciónnormalconvectormedioPymatrizdecovarianzaaZ(X'xt
I
•Entoncescada
unodelosestadísticos
~¡-f3¡
~O'2e¡¡
j=0,1,...,k (10-37)
sedistribuye
comotconn-pgradosdelibertad, dondee¡¡eselelemento(jj)-ésimode lamatriz
(X'xt\y
0'2eslaestimaciónde lavarianzadelerror, obtenidaconlaecuación10-17. Porlotanto,unintervalode
confianza
de100(1-a)porcientoparaelcoeficientederegresiónf3¡,j==O,1,...,k,es
~¡-ta/2.n_p~O'2e¡¡ ~f3j ~~j+ta/2.n_p~O'2ejj (10-38)
Observequeesteintervalodeconfianza tambiénpodríaescribirsecomo
~j -ta/2.n_pse(~j)~f3j~~j+ta/2.n_pse(~ j)
EJEMPLO10-7 .
Seconstruiráunintervalodeconfianzade95% paraelparámetrof3Idelejemplo10-1. Ahorabien,~I=
7.62129,y puestoque0'2=267.604yen==1.429184x10-
3
,se encuentraque
~I-tO.025,13.¡¡;zc;::~f3I ~~I +tO.025.13~O'2ell
7.62129-2.16~(267.604)(1.429184X10 3)~f3I
~7.62129+2.16~(267.604)(1.429184XlO-3)
7.62129-2.16(0.6184)~f3I~7.62129+2.16(0.6184)
y
elintervalodeconfianzade95% paraf3Ies
6.2855
~f3I~8.9570

430. 416 CAPÍTULO10AJUSTEDEMODELOSDEREGRESIÓN
1O~5.2 Intervalodeconfianza paralarespuestamedia
Tambiénpuedeobtenerseunintervalodeconfianzaparalarespuestamediaenunpuntoparticular,por
ejemplo,
XOI'X
02
,•••,X
Ok
•Sedefineprimeroelvector
x10l]
X
o=X02
X
Ok
Esteestimador esinsesgado,yaque E[5{xo)]=
E(x~jJ) ~x~p=Jlylxo'YlavarianzadeY(xo)es
V[y(x
o
)]=a2x~(X'Xr
I
X
o (10-40)
Porlotanto,unintervalodeconfianzade 100(1-a)porciento paralarespuestamediaenel puntox
Ol,x
02
,
...,XOkes
::1
')'
II
I
Larespuestamediaenestepuntoes
J.lYl
xo=(30+(3IXOl+(32X02+...+(3kXOk=x~p
Larespuestamediaestimadaeneste pU'1toes
Y(xo)=x~jJ (10-39
(10-41)
(10-42)
1O~6 PREDICCIÓN DE NUEVASOBSERVACIONES DELA RESPUESTA
Esposibleusarunmodeloderegresiónparapredecirobservacionesfuturasdelarespuesta yquecorres­
pondenavaloresparticularesdelosregresores,porejemplox
Ol,x
02
,•••,X
Ok
•Six'o=[1,X
OI
'X
02
'•••,X
Ok
]'enton­
ces
unaestimaciónpuntualdelaobservaciónfutura yoenelpunto X
OI
, X
02
,••.,X
Oksecalculaconlaecuación
10-39:
Y(XO)=x~jJ
Unintervalodepredicción de100(1-a)porcientoparaestaobservaciónfutura es
Y(xo)-f
al2
,lI-p~a2(1+x~(X'XrIxo)S;Yo
S;Y(xo
)+f
aI2,"-p~a2(1+x~(X'XrIxo)
Cuandosepredicennuevasobservacionesyseestimalarespuestamediaenunpuntodadox
ol,x
02
,•••,
X
Ok
,esnecesariotenercuidadoparanohacerunaextrapolaciónfueradelaregiónquecontienelasobser­
vacionesoriginales.Esmuyposiblequeunmodeloqueseajustebienenlaregióndelosdatosoriginales
dejedehacerlofueradeesaregión.
1O~7 DIAGNÓSTICOS DELMODELODEREGRESIÓN
Comosedestacóenlosexperimentosdiseñados,la verificacióndelaadecuacióndelmodelo esunaparte
importanteenelprocedimientodelanálisisdedatos.Esdeigualimportanciaenlaconstruccióndemo­
delosderegresión
y,comoseilustróenelejemplo 10-1,enunmodeloderegresióndeberánexaminarse

431. 10-7DIAGNÓSTICOS DELMODELODEREGRESIÓN 417
1O~7.1Residualesescaladosy PRESS
(10-43)
(10-45)i=1,2,...,12
d.=2
¡fj
dondeporlogeneralseusafj=~MSEenloscálculos.Estosresidualesestandarizadostienenmediacero
yvarianzaaproximadamenteunitaria;porconsiguiente,sonmuyútiles
parabuscarpuntosatípicos. La
mayoríadelosresidualesestandarizadosdeberánlocalizarse enelintervalo-3
:5di:53,ycualquierob­
servacióncon
unresidualestandarizadoqueestéfueradeesteintervaloespotencialmenteinusualcon
respectoasurespuestaobservada.Estospuntosatípicosdeberánexaminarseconatención,yaquepue­
denrepresentaralgotansimplecomo
unerroralregistrarlosdatosoalgoqueseamotivodemayorpreo­
cupación,como
unaregióndelespaciodelregresor,dondeelmodeloajustadoes unaaproximación
pobredelaverdaderasuperficiederespuesta.
Elprocesodeestandarizacióndelaecuación
10-43escalalosresidualesaldividirlos porsudesvia­
ciónestándarpromedioaproximada.
Enalgunosconjuntosdedatos,losresidualespuedentenerdesvia­
cionesestándarquedifierenconsiderablemente.Acontinuaciónse
presentaunaescalaciónquetomaen
consideraciónestasituación.
Elvectordelosvaloresajustados
)Jiquecorrespondenalosvaloresobservados Yies
y=xP
=X(X'X)-¡X'y (10-44)
=Hy
Alamatriz 12x12,H =X(X'xt1X'selellamageneralmentelamatriz"gorro"porquemapeaelvectorde
losvaloresobservadosen
unvectordelosvaloresajustados. Lamatrizgorroysuspropiedadesdesempe­
ñan
unpapelcentralenelanálisisderegresión.
Losresidualesdelmodeloajustadopuedenescribirseconvenientementeenlanotaciónmatricial
como
siemprelasgráficasdelosresidualesqueseusaron
enlosexperimentosdiseñados. Engeneral,siempre
esnecesario:1)examinarelmodeloajustadoparaasegurarsedequeproporciona unaaproximaciónade­
cuadadelverdaderosistemay
2)verificarquenoseinfringeningunodelossupuestosdelaregresiónde
mínimoscuadrados.Elmodeloderegresiónprobablementeproduciráresultadospobresoequivocadosa
menosquesea
unajusteadecuado.
Ademásdelasgráficasdelosresiduales,existenotrosdiagnósticosdelmodeloqueconfrecuencia
sonútiles
enlaregresión.Enestasecciónsepresenta unbreveresumendeestosprocedimientos.Para
análisismáscompletos,verMontgomeryyPeck
[82]yMyers[84].
Residualesestandarizados ystudentizados
Muchosconstructoresdemodelosprefierentrabajarconresidualesescaladosenlugardelosresiduales
demínimoscuadradosordinarios.Estosresidualesescaladostransmitenconfrecuenciamásinformación
quelosresidualesordinarios.
Untipoderesidualescalado eselresidualestandarizado:
e=y -
y
yresultaquelamatrizdecovarianzadelosresidualeses
Cov(e)=
a
2
(I-H)
Lamatriz1- Hno esporlogeneraldiagonal, porloquelosresidualestienenvarianzasdiferentesyestán
correlacionados.
I
i

432. 418 CAPÍTULO10AJUSTEDEMODELOS DEREGRESIÓN
Porlotanto,lavarianzadelresiduali-ésimoes
V(ei)=a
2
(1-h¡i) (10-46)
dondehueselelementoi-ésimodeladiagonaldeH.PuestoqueO~h¡¡~1,alutilizarelcuadradomedio
residual
MSEparaestimarlavarianzadelosresiduales enrealidadseestásobreestimando V(e¡).Además,
puestoque
huesunamedidadelocalizacióndelpuntoi-ésimo enelespaciox,lavarianzade e¡dependede
dóndeestéelpunto Xi'Engeneral,losresidualessituadoscercadelcentrodelespacio xtienenvarianzas
másgrandesquelosresidualessituadosenlugaresmásapartados.Lasviolacionesdelossupuestosdel
modelosonmásprobablesenlospuntosremotos,yestasviolaciones
puedenserdifícilesdedetectarpor
lainspecciónde e¡(o
d¡)porquesusresidualesserán porlogeneralmáspequeños.
Serecomiendatomarenconsideraciónestadesigualdaddelavarianzacuandoseescalenlosresidua­
les.Sesugieregraficarlos
residualesstudentizados:
r.= e¡ i=1,2,..., 11 (10-47)
I
~(j2(1-hi¡)
con(j2=MSEenlugarde e¡(od¡).Losresidualesstudentizadostienenvarianzaconstante V(r¡)=1inde­
pendientementedelalocalizaciónde
X¡cuandolaformadelmodeloescorrecta. Enmuchassituacionesla
varianzadelosresidualesseestabiliza,
enparticularparaconjuntosdedatosgrandes. Enestoscasospue­
dehaberpocadiferenciaentrelosresidualesestandarizadosylosstudentizados.Porlotanto,losresidua­
lesestandarizadosystudentizadostransmitenconfrecuenciainformaciónequivalente.Sinembargo,
ya
quecualquierpuntoconunresidualgrandey unahugrandetiene unainfluenciapotencialmenteconside­
rablesobreelajustedemínimoscuadrados,suelerecomendarseelexamendelosresidualesstudentiza­
dos.
Enlatabla10-3sepresentanlasdiagonalesgorro huYlosresidualesstudentizados paraelmodelode
regresióndelaviscosidaddelejemplo10-1.
ResidualesPRESS
Lasumadecuadradosdelerrordepredicción(PRESS,delinglésPrediction ErrorSumofSquares)pro­
porciona
unaútilescalacióndelosresiduales.ParacalcularlaPRESSseseleccionaunaobservación,por
ejemplola
i.Seajustaelmodeloderegresiónalas 11-1observacionesrestantesyseusaestaecuación
parapredecirlaobservaciónqueseapartó Yi'Aldenotarestevalorpredicho
Y(i)'puedeencontrarse el
errordeprediccióndelpunto icomoe(i)=Y¡=Y(i)'Alerrordepredicciónsuelellamárseleelresidual
PRESSi-ésimo.Esteprocedimientoserepite
paracadaobservacióni=1,2,...,11,produciéndoseuncon­
juntode
11residualesPRESS e(l)'e(2)'oo.,e(n)'EntonceselestadísticoPRESSsedefinecomolasumade
cuadradosdelos
11residualesPRESScomo en
PRESS=
!e~¡)=![Yi-Y(i)]2
i=l i=l
(10-48)
Porlotanto,laPRESSutilizacadasubconjuntoposiblede 11-1observacionescomo unconjuntodedatos
deestimación,yseutiliza
unaobservaciónalavez paraformarunconjuntodedatosdepredicción.
Inicialmente,pareceríaque
paracalcularlaPRESSesnecesarioajustar 11regresionesdiferentes.Sin
embargo,
laPRESSpuedecalcularseapartirdelosresultadosde unsoloajustedemínimoscuadradosa
las
11observacionestotales.ResultaqueelresidualPRESSi-ésimoes
e¡
e(i)=1-h.. (10-49)
11
Porlotanto,yaquelaPRESS estansólolasumadecuadradosdelosresidualesPRESS, unafórmulade
cálculosimple
es
PRESS=
!(~¡h)2
i=l1u
(10-50)

433. 10-7DIAGNÓSTICOS DELMODELODEREGRESIÓN 419
Esteestadísticoofrececiertoindiciodelacapacidadpredictivadelmodeloderegresión.Paraelmodelo
deregresióndelaviscosidaddelejemplo10-1,losresidualesPRESSpuedencalcularseutilizandolosre­
sidualesordinariosyelvalorde
huencontradoenlatabla 10-3.Elvalorcorrespondientedelestadístico
PRESSesPRESS
=5207.7.Entonces
(10-51)
? . PRESS
RprediccióD=1-S
JY
porlaecuación 10-49essencilloverqueelresidualPRESSessóloelresidualordinarioponderadode
acuerdoconloselementosdeladiagonaldelamatrizgorro
hu.Lospuntosdelosdatosparalosque hues
grande
tendránresidualesPRESSgrandes.Estasobservacionesseránporlogeneralpuntosde altain­
fluencia.
Engeneral,unadiferenciagrandeentreelresidualordinarioylosresidualesPRESSindicará un
puntodondeelmodeloseajustabienalosdatos,perounmodeloconstruidosindichopuntoproducirá
prediccionespobres.
Enlasiguientesecciónseestudiaránotrasmedidasdeinfluencia.
Porúltimo,cabeseñalarquelaPRESSpuedeusarse
paracalcularuna R
2
aproximadadepredicción,
porejemplo
Porlotanto,podríaesperarsequeestemodelo"explique"cercade
89%delavariabilidadalpredecir
nuevasobservaciones,encomparaciónconelaproximadamente
93%delavariabilidadenlosdatosorigi­
nalesqueexplicaelajustedemínimoscuadrados.
Lacapacidadpredictivaglobaldelmodelobasado en
estecriterioparecesermuysatisfactoria.
R-student
Escomúnconsideraralresidualstudentizado T¡comentadoantescomoeldiagnósticode unpuntoatípi­
co.Seacostumbrausar MSEcomounaestimaciónde
crenelcálculode T¡.Sehacereferenciaaesteenfo­
quecomolaescalacióninternadelresidual,yaque
MS
Eesunaestimaciónde
crgeneradainternamente
queseobtienedelajustedelmodeloalas
nobservaciones.Otroenfoqueseríausarunaestimaciónde
cr
basadaenunconjuntodedatos enelqueseeliminalaobservacióni-ésima. Laestimacióndecrasíobteni­
dasedenota
porS
t¡).Puededemostrarseque
2(n-p)MS
E
_e¡2/(l-h¡¡)
S(i)= n-p-1 (10-52)
Laestimacióndecrdelaecuación 10-52seusaenlugarde MS
Eparaproducirunresidualstudentizado
externamente,alqueescomúnllamar
R-student,dadopor
e.
t.= 1 i=1,2,...,n (10-53)
1
~sti)(1-h¡¡)
2 PRESS
RprediccióD=1-S
JY
=1-5207.7
47,635.9
=0.8907
Enmuchassituacioneshabráunaligeradiferenciaentre t¡yelresidualstudentizado ri'Sinembargo,
silaobservacióni-ésimaesinfluyente,entoncesS
ti)puedediferirsignificativamentede MSE,yporlotan­
tola
R-studentserámássensibleaestepunto.Además,bajolossupuestosusuales, titieneunadistribu­
ción
t
ll
-
p
-1
'Porlotanto,la R-studentofreceunprocedimientomásformalparadetectarpuntosatípicosa
travésdelapruebadehipótesis.
Enlatabla10-3semuestranlosvaloresdelaR-student paraelmodelo de
regresióndelaviscosidaddelejemplo
10-1.Ningunodeesosvalores esinusualmentegrande.

434. r
420 CAPÍTULO10AJUSTEDEMODELOSDEREGRESIÓN
1O~7.2 Diagnósticosde influencia
Enocasionesseencuentraqueunsubconjuntopequeñodelosdatosejerce unainfluenciadesproporcio_
nadasobreelmodeloderegresiónajustado.Esdecir,lasestimacionesoprediccionesdelosparámetros
puedendependermásdelsubconjuntoinfluyentequede
lamayoríadelosdatos.Seríaconvenienteloca­
lizarestospuntosinfluyentesyvalorarsuimpacto
enelmodelo.Siestospuntosinfluyentessonvalores
"malos",deberáneliminarse.Porotraparte,quizánohayanadamaloconestospuntos.Pero
sicontrolan
propiedadesclavedelmodelo,seríadeseablesaberlo,yaquepodríaafectarelusodelmodelo.
Enesta
secciónsedescribeneilustranalgunasmedidasútiles.deinfluencia.
Puntosdeaccióndepalanca
Lalocalizacióndelospuntosenelespacio xesimportanteparadeterminarlaspropiedadesdelmodelo.En
particular,lasobservacionesapartadastienenpotencialmenteaccionesobrazosdepalancadesproporcio­
nadossobrelasestimacionesde
losparámetros,losvalorespredichosylosestadísticosderesumenusuales.
LamatrizgorroH
:=:X(X'Xt1X'esmuyútil paraidentificarlasobservacionesinfluyentes.Como ya
seseñaló,Hdeterminalasvarianzasycovarianzasdeyye,yaqueV(Y):=:a2HyV(e):=:a2(I-H).Losele­
mentos
hudeHpuedeninterpretarsecomolacantidaddeaccióndepalancaejercida porYjsobre
J¡.Porlo
tanto,lainspeccióndeloselementosdeHpuede.revelarpuntosquesonpotencialmenteinfluyentes en
virtuddesulocalizaciónenelespacio x.Laatenciónsuelecentrarse enloselementosdeladiagonal h¡¡.
PuestoqueL;~lh¡¡:=:rango(H):=:rango(X):=:p,eltamañopromediodeloselementosdeladiagonaldela
matrizH
espln.Comoguíaaproximada,entonces,si unelementoh¡¡deladiagonal esmayorque 2pln,la
observación
iesunpuntoconaccióndepalancaalta. Paraaplicarloanterioralmodelodelaviscosidad
delejemplo10-1,observeque
2pln
:=:2(3)/16:=:0.375.Enlatabla10-3sedanlasdiagonalesgorro h¡¡para
elmodelodeprimerorden;puestoqueningunadelas
h¡¡excede0.375,seconcluiríaquenohaypuntos de
accióndepalancaenestosdatos.
Influenciasobreloscoeficientesderegresión
Lasdiagonalesgorroidentificaránlospuntospotencialmenteinfluyentesdebidoasulocalizaciónen el
espaciox.Esdeseableconsiderarlalocalizacióndelpuntoylavariablederespuestacuandosemidelain­
fluencia.Cook[32a,b]
hasugeridoelusodeunamedida
Pdelcuadradodeladistanciaentrelaestima­
cióndemínimoscuadrado~, basadaentodoslosnpuntosylaestimaciónobtenidaaleliminarelpunto i,
porejemploP(i)'Estamedidadeladistanciapuedeexpresarsecomo
D.:=:(Pu)-P)'X'x(jJU)-P)
, pMS
E
i:=:1,2,OO"n (10-54)
UnvalordereferenciarazonableparaD¡ eslaunidad.Esdecir,engenerallasobservacionesparalasque
D¡>1seconsideraninfluyentes.
Elestadístico
D¡secalculaenrealidadapartirde
Observeque,apartedelaconstante
p,D¡eselproductodelcuadradodelresidualstudentizadoi-ésimoy
hu/(l-h¡¡).Puededemostrarsequeestecocienteesladistanciadelvector X¡alcentroidedelosdatosres­
tantes.Porlotanto,
D¡estácompuesto poruncomponentequereflejalamedidaenqueelmodeloajusta
D.
:=:r/V[Y(x¡)]r/h¡¡
, pV(e¡)p(l-h¡¡)
i:=:1,2,.oo,11 (10-55)

435. lO-SPRUEBADEFALTADEAJUSTE421
laobservacióni-ésimaYiyuncomponentequemidequé tanalejadoestáesepuntodelrestodelosdatos.
Cualquieradeloscomponentes(oambos)puedecontribuira
unvalorgrandede Di'
Enlatabla10-3semuestranlosvaloresde Diparaelajustedelmodeloderegresiónalosdatosdela
viscosidaddelejemplo
10-1.Ningunodeestosvaloresde Diexcede1,por10quenohayevidenciasólida
deobservacionesinfluyentesenestosdatos.
10-8PRUEBADEFALTADEAJUSTE
Enlasección6-6seindicócómoagregarpuntoscentralesaundiseñofactorial 2"lepermitealexperimen­
tadorobtenerunaestimacióndelerrorexperimentalpuro.Estopermitehacerlaparticióndelasumade
cuadradosdelosresiduales
SSEendoscomponentes;esdecir,
SSE=SSpE+SSWF
dondeSS PEeslasumadecuadradosdebidaal
~rrorpuroySS LOFeslasumadecuadradosdebidaalafalta
deajuste.
Puedepresentarseundesarrollogeneraldeestapartición
enelcontextodeunmodeloderegresión.
Supongaquesetienen
niobservacionesdelarespuesta enelniveli-ésimodelosregresores Xi'i=1,2,...,
m.SeaqueYijdenotalaobservaciónj-ésimade1arespuestaen Xi'i=1,2,...,myj=1,2,...,ni'Hayn=
2:;':1
niobservacionesentotal.Elresidual(ij)-ésimopuedeescribirsecomo
(lO-56)
dondejiieselpromediodelas niobservacionesen Xi'Alelevaralcuadradoambosmiembrosdelaecua­
ción10-56yhacerlaoperaciónsumasobre
iy jseobtiene
(10-57)
Elprimermiembrodelaecuación10-57eslasumadecuadradosdelosresidualesordinaria.Losdos
componentesdelsegundomiembromidenelerrorpuroylafaltadeajuste.Seobservaque lasumade
cuadradosdelerrorpuro
(10-58)
seobtienecalculandolasumadecuadradoscorregidadelasobservacionesrepetidasencadanivelde Xy
haciendodespuéslaagrupación
enlosmnivelesde x.Sisesatisfaceelsupuestodelavarianzaconstante,
éstaes
unamedidaindependientedelmodelo delerrorpuro,yaque paracalcularSS PEsóloseusalavaria­
bilidaddelasy
encadanivel Xi'Puestoquehay ni
-1gradosdelibertaddelerrorpuroencadanivel Xi'el
númerototaldegradosdelibertadasociadosconlasumadecuadradosdelerrorpuroes
~(n¡-l)=n-m
i=l
Lasumadecuadradosdelafaltadeajuste
SSWF=~n¡(Yi-)Ji)2
i=1
(10-59)
(10-60)

436. 422 CAPÍTULO10AJUSTEDEMODELOSDEREGRESIÓN
esunasumaponderadadeloscuadradosdelasdesviacionesentrelarespuestamediaYiencadanivelXiy
elvalorajustadocorrespondiente. Silosvaloresajustados)Jiestáncercadelasrespuestaspromedio)í;co­
rrespondientes,entonceshayunfuerteindiciodeque lafunciónderegresióneslineal. Silasv¡sedesvían
muchodelasy¡,entonces
esprobableque lafunciónderegresiónnosealineal.Hay m-p
grajosdeliber­
tadasociadoscon SSLOFporquehay mnivelesde x,ysepierdenpgradosdelibertadporquedebenesti­
marse
pparámetrosparaelmodelo.Enloquealoscálculos serefiere,porlogeneral SSLOFseobtiene
restando
SSPEdeSSE'
Elestadísticodepruebaparalafaltadeajustees
SSWFI(m-p)MSWF
F- - -- (10-61)
a -SSPEI(n-m)-MS
pE
Elvaloresperadode MSPEes
er,yelvaloresperadode MSLOFes
(10-62)
Silaverdaderafunciónderegresión
eslineal,entonces E(Yi)=
f3a+2:.J=If3jXij'yelsegundotérminodela
ecuación10-62escero,dandocomoresultado
E(MSLOF)=
er.Sinembargo,silaverdaderafuncióndere­
gresiónno
eslineal,entonces E(Yi)
:;t:f3a+2:.J=If3jXijyE(MSLOF)>er.Además,silaverdaderafunciónde
regresióneslineal,entonceselestadístico Fasigueladistribución Fm-p,n-m'Porlotanto,paraprobarlafalta
deajuste,secalcularíaelestadísticodeprueba
Fayseconcluiríaquelafunciónderegresiónnoeslineal si
Fa>Fa,m-p,n-m'
Essencilloincorporaresteprocedimientodeprueba enelanálisisdevarianza. Siseconcluyequela
funciónderegresiónnoeslineal,entonceselmodelotentativohabrádeabandonarsey
deberánhacerse
intentos
paraencontrarunaecuaciónmásapropiada. Demaneraalternativa,si FanoexcedeFa,m-p,n-m'no
existeevidenciasólidadefaltadeajustey
MS
PEyMSLOFsecombinanconfrecuencia paraestimar
er.El
ejemplo
6-6esunailustraciónmuycompletadeesteprocedimiento,dondelasréplicasdelascorridasson
puntoscentralesdeundiseñofactorial2
2
•
10~9 PROBLEMAS
10-1.Laresistenciaalatensióndeunproductodepapelserelacionaconlacantidaddemaderaduraenlapulpa.
Seproducen
10muestrasenlaplantapiloto ylosdatosobtenidossepresentanenlasiguientetabla.
Resistencia
160
171
175
182
184
Porcentajedemaderadura
10
15
15
20
20
Resistencia
181
188
193
195
200
Porcentajedemaderadura
20
25
25
28
30
a)Ajustarunmodeloderegresiónlinealquerelacionelaresistenciaconelporcentajedemaderadura.
b)Probarelmodelodelinciso aparalasignificacióndelaregresión.
e)Encontrarunintervalodeconfianzade95%
paraelparámetro{31'
10-2.Enunaplantasedestilaairelíquidoparaproduciroxígeno,nitrógeno yargón.Sepiensaqueelporcentaje de
impurezaseneloxígenoserelacionalinealmenteconlacantidaddeimpurezasen elaire,medidapor el

437. "conteodecontaminación"enpartespormillón(ppm). Unamuestradelosdatosdeoperacióndelaplanta
sepresentaacontinuación:
Pureza(%)
93.3 92.0 92.4 91.7 94.0 94.6 93.6
Conteodecontaminación(ppm) 1.10
1.45 1.36 1.59 1.08 0.75 1.20
93.1 93.2 92.9 92.2 91.3 90.1 91.6 91.9
0.99 0.83 1.22 1.47 1.81 2.03 1.75 1.68
Il'rrnm
i"
1
i
42310-9PROBLEMAS
a)Ajustarunmodeloderegresiónlinealalosdatos.
b)Probarlasignificacióndelaregresión.
e)Encontrarunintervalodeconfianzade95%para
13¡.
10-3.Graficarlosresidualesdelproblema 10-1ycomentarlaadecuacióndelmodelo.
10-4.Graficarlosresidualesdelproblema10-2 ycomentarlaadecuacióndelmodelo.
10-5.Utilizandolosresultadosdelproblema10-1,probarelmodeloderegresiónparalafaltadeajuste.
10-6.Serealizóunestudiosobreeldesgaste ydeuncojinete ysurelaciónconx¡ =viscosidaddelaceite yX
2=car-
ga.
Seobtuvieronlossiguientesdatos:
y x¡ X
2
193 1.6 851
230 15.5 816
172 22.0 1058
91 43.0 1201
113 33.0 1357
125 40.0 1115
a)Ajustarunmodeloderegresiónlinealmúltiplealosdatos.
b)Probarlasignificacióndelaregresión.
e)Calcularelestadístico
tparacadaparámetrodelmodelo.¿Quéconclusionespuedensacarse?
10-7.Sepiensaquelapotencia
alfrenodesarrolladaporelmotorde unautomóvilen undinamómetroesunafun­
cióndelarapidezdelmotorenrevolucionesporminuto(rpm),eloctanajedelcombustible
ylacompresión
delmotor.Sellevóacabo
unexperimentoenellaboratorio ylosdatoscolectadosfueron:
Potencia
alfreno rpm Octanaje Compresión
225 2000 90 100
212 1800 94 95
229 2400 88 110
222 1900 91 96
219 1600 86 100
278 2500 96 110
246 3000 94 98
237 3200 90 100
233 2800 88 105
224 3400 86 97
223 1800 90 100
230 2500 89 104

438. 424 CAPÍTULO10AJUSTEDEMODELOSDEREGRESIÓN
a)Ajustarunmodeloderegresiónmúltipleaestosdatos.
b)Probarlasignificacióndelaregresión.¿Quéconclusionespuedensacarse?
e)Conbaseenlaspruebas
t,¿sonnecesarioslostresregresares enelmodelo?
10-8.Analizarlosresidualesdelmodeloderegresióndelproblema10-7.Comentarlaadecuacióndelmodelo.
10-9.Elrendimientode
unprocesoquímicoserelacionaconlaconcentracióndelreactivoylatemperaturade
operación.
Serealizaunexperimentoconlossiguientesresultados:
RendimientoConcentraciónTemperatura
81 1.00 150
89 1.00 180
83 2.00 150
91 2.00 180
79 1.00 150
87 1.00 180
84 2.00 150
90 2.00 180
a)Supongaquequiereajustarseunmodelodelosefectosprincipalesaestosdatos.Establecerlamatriz
X'Xutilizandolosdatosexactamentecomoaparecen
enlatabla.
b)¿Lamatrizqueseobtuvoenelinciso aesdiagonal?Comentarlarespuesta.
e)Supongaqueelmodeloseescribeentérminosdelasvariablescodificadas"usuales"
0.5
Concentración-1.5
x=
I
Temperatura-165
x
2=
15
EstablecerlamatrizX'Xparaelmodeloentérminosdeestasvariablescodificadas.¿Estamatriz esdia­
gonal?Comentarlarespuesta.
d)Definirunnuevoconjuntodevariablescodificadas
Concentración- 1.O
XI=--------
1.0
Temperatura- 150
X
=------''----------
2 30
EstablecerlamatrizX'Xparaelmodeloentérminosdeesteconjuntodevariablescodificadas.¿Esta
matriz
esdiagonal?Comentarlarespuesta.
e)Resumirloquesehayaaprendidoacercadelacodificacióndevariablesconesteproblema.
10-10.Considereelexperimentofactaria12
4
delejemplo
6-2.Supongaquefaltalaúltimaobservación.Volveraana­
lizarlosdatosysacarconclusiones.¿Cómosecomparanestasconclusionesconlasdelejemplooriginal?
10-11.Considereelexperimentofactorial2
4
delejemplo6-2.Supongaquefaltanlasdosúltimasobservaciones.
Volveraanalizarlosdatosysacarconclusiones.¿Cuáleselresultadodelacomparacióndeestasconclusio­
nesconlasdelejemplooriginal?
10-12.Dadoslosdatossiguientes,ajustarelmodeloderegresiónpolinomialdesegundoorden

439. 10-9PROBLEMAS 425
y x¡ X
2
26 1.0 1.0
24 1.0 1.0
175 1.5 4.0
160
1.5 4.0
163 1.5 4.0
55 0.5 2.0
62 1.5 2.0
100 0.5 3.0
26 1.0 1.5
30 0.5 1.5
70 1.0 2.5
71 1.5 2.5
Despuésdequesehayaajustadoelmodelo,
probarlasignificacióndelaregresión.
10-13.
a)Considereelmodeloderegresióncuadráticodel problema10-12.Calcularlosestadísticos tdecadauno
delosparámetrosdelmodeloycomentarlasconclusionesaquesellegaapartirdeestascantidades.
b)Usarelmétododelasumadecuadradosextra paraevaluarelvalordelostérminoscuadráticos X¡2,
x~y
X¡X
2delmodelo.
10-14.Relaciónentre elanálisisaevarianzayelanálisisderegresión.Cualquiermodelodelanálisisdevarianza puede
expresarseentérminosdelmodelolinealgeneraly =xfJ+e,dondelamatrizXsecomponedecerosyunos.
Demostrarqueelmodelocon unsolofactorYij=1-1+T¡+cij,i=1,2,3,j=1,2,3,4puedeescribirseenlafor­
madelmodelolinealgeneral.Después
a)Escribirlasecuacionesnormales(X'X)jJ=X'yycompararlasconlasecuacionesnormalesqueseencon­
traronenelcapítulo3 paraestemodelo.
b)
EncontrarelrangodeX'X.¿Esposible obtener(X'X)-¡?
e)Suponga
ql1eseeliminalaprimeraecuaciónnormalyseagregalarestricción~;~¡ni¡=o.¿Tienesolu­
ciónelsisteriladeecuacionesresultante? Deserasí,encontrarla.Hallarlasumadecuadradosderegre­
siónjJ'X'yycompararlaconlasumadecuadradosdelostratamientosdelmodelocon unsolofactor.
10-15.Supongaqueseestáhaciendoelajustede
unalínearectaysedesea hacerlavarianzade
/3¡tanpequeñacomo
seaposible.Altrabajarconlarestricciónde
unnúmeropardepuntosexperimentales,¿dóndedeberáncolo­
carseestospuntos
paraminimizar
V(/3¡)?(Nota:usareldiseñoquesepide enesteejerciciocon sumocuida­
do,yaque,auncuandominimizaV(/3¡),tienepropiedadesindeseables;ver, porejemplo,Myersy
Montgomery[85a].Únicamentesisetiene
una
granseglllidaddequelaverdaderarelaciónfuncionalesli­
neal
deberáconsiderarseelusodeestediseño.)
10-16.Mínimoscuadradosponderados. Supongaqueseestáajustando lalínearecta Y=130+
f3¡x+c,perolavarianza
delas
ydependeahoradelnivelde x;esdecir, ?
a-
V(ylx.)=a
2
=-
1 l w¡
i=1,2,...,11
dondelas W¡sonconstantesdesconocidas,llamadasconfrecuenciaponderaciones.Demostrarquesiseeli­
genlasestimacionesdeloscoeficientesderegresión
paraminimizarlasumadecuadradosdeloserrores
ponderadosdada
por.±w¡(y¡-130-f3¡x¡)2,lasecuacionesnormalesdemínimoscuadradosresultantesson
1=1
n n n
~02: w¡+~¡2: w¡x¡=2:w¡Y¡
i=l i=1 ;=1
~o! W¡x¡+~¡! W¡X;=!W¡X¡Y¡
;=1 ;=1 ;=1

440. ~'''1
426 CAPÍTULO10AJUSTEDEMODELOS DEREGRESIÓN
10-17.Considereeldiseño2i;:/analizadoenelejemplo10-5.
a)Supongaqueseopta poraumentareldiseñoconlacorridaúnicaseleccionadaeneseejemplo.Encontrar
lasvarianzasylascovarianzasdeloscoeficientesderegresióndelmodelo(ignorandolosbloques):
y=130+f3¡x¡+f32x2+f33x3+f34x4
+f312X¡X2+f334X3X4
+e
b)¿Hayotrascorridasdelafracciónalternaquesepararíanlosalias ABdeCD?
e)Supongaqueeldiseñoseaumentaconlascuatrocorridassugeridas enelejemplo10-5.Encontrarlas va­
rianzasylascovarianzasdeloscoeficientesderegresión(ignorandolosbloques)paraelmodelo del
incisoa.
d)Considerandolosincisos aye,¿quéestrategiadeaumentosepreferiríayporqué?
10-18.Considereundiseño2;;tSupongaquedespuésdecorrerelexperimento,losefectosobservadosmásgran­
des
sanA+BD,B +ADyD+AB.Quiereaumentarseeldiseñooriginalconungrupodecuatrocorridas
parasepararlosaliasdeestosefectos.
a)¿Cuálessonlascuatrocorridasqueseharían?
b)Encontrarlasvarianzasylascovarianzasdeloscoeficientesderegresióndelmodelo
y=130+f3¡x¡+f32X2+f34x4+f312X¡X2+f3¡4X¡X4
:::1 +13 +
24X2X4
e
~:J
"¡
:11 e)¿Esposiblesepararlosaliasdeestosefectosconmenosdecuatrocorridasadicionales?,

441. Métodosdesuperficies
derespuesta
yotros
enfoquesparala
optimizaciónde
procesos
11~1 INTRODUCCIÓN ALAMETODOLOGÍA DESUPERFICIESDERESPUESTA
Lametodologíadesuperficiesderespuesta,o MSR,esunacoleccióndetécnicasmatemáticasyestadísti­
casútilesenelmodeladoyelanálisisdeproblemasenlosque unarespuestadeinterésrecibelainfluencia
dediversasvariablesydondeelobjetivoesoptimizarestarespuesta.Porejemplo,supongaqueuninge­
nieroquímicoquiereencontrarlosnivelesdetemperatura
(Xl)ypresión(x2)quemaximicenelrendimien­
to
(y)deunproceso.Elrendimientodelproceso esunafuncióndelosnivelesdelatemperaturayla
presión,porejemplo,
y=¡(xp
X
2
)+8
donde8representaelruidooerrorobservadoenlarespuestay. Silarespuestaesperadasedenotapor
E(y)=¡(Xl'X2) =r¡,entoncesalasuperficierepresentada por
r¡=¡(XpX2)
selellama·superficiederespuesta.
Por10generallasuperficiederespuestaserepresentagráficamentecomoenlafigura11-1,donde r¡
segraficacontralosnivelesde X¡yX
2
•Sehanvistoyagráficasdesuperficiederespuestacomoésta,parti­
cularmenteenloscapítulossobrediseñosfactoriales.Paraayudaravisualizarlaformadeunasuperficie
derespuesta,confrecuenciasegraficanloscontornosde
lasuperficiederespuesta,comosemuestraen
lafigura11-2.
Enlagráficadecontornosetrazanlaslíneasderespuestaconstanteenelplano Xl'X
2
•Cada
contornocorrespondea
unaalturaparticulardelasuperficiederespuesta.Tambiénse havistoantes
lautilidaddelasgráficasdecontorno.
EnlamayoríadelosproblemasMSR,laformadelarelaciónentrelarespuestaylasvariablesinde­
pendientes
esdesconocida.Por 10tanto,elprimerpasodelaMSR esencontrarunaaproximaciónade­
cuadadelaverdaderarelaciónfuncionalentre
yyelconjuntodevariablesindependientes.Por 10general
seempleaunpolinomiodeordeninferiorenalgunaregióndelasvariablesindependientes. Silarespues­
taestábienmodeladaporunafunciónlinealdelasvariablesindependientes,entonceslafuncióndeapro­
ximaciónesel
modelodeprimerorden
y=130+f3¡x¡+f32X2+...+f3kX
k
+8 (11-1)
427

442. '1
428 CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFICIES DERESPUESTA
70
¡::-
11
:b
60
""
o
"O
~
Ql
o.
50CIl
Ql
o
e
Ql
'E
'C40
e
Ql
OC
100
X,~Temperatura(oC)
160
10
20 X
2~
Presión(psi)
Figura11-1 Superficiederespuestatridimensionaldondeseindicaelrendi­
mientoesperado
(1])comounafuncióndelatemperatura (Xl)ylapresión(x2).
70
¡::-
11
:b60
""o
"O
~
Ql
o.
50
CIl
Ql
El
e
Ql
'E
'C40
e
Ql
OC
X,~Temperatura(oC)
10
X
2~
Presión(psi)
Figura11-2 Gráficadecontornode unasuperficiederespuesta.

443. 11-1INTRODUCCIÓN ALAMETODOLOGÍA DESUPERFICIESDERESPUESTA 429
Sihaycurvaturaenelsistema,entoncesdebeusarse unpolinomiode ordensuperior,talcomoelmodelo
desegundoorden
(11-2)
k k
y=130+
Lf3¡X¡+Lf3¡¡X;+LLf3ijX¡X
j+10
i=l i=1 i<}
EncasitodoslosproblemasMSRseusaunodeestosmodelos,oambos.Desdeluego,esprobablequeunmo­
delopolinomialsea
unaaproximaciónrazonabledelaverdaderarelaciónfuncionalenelespaciocompletode
lasvariablesindependientes,peropara unaregiónrdativamentepequeñasuelenfuncionarbastantebien.
Elmétododemínimoscuadrados,estudiado enelcapítulo10,seusa paraestimarlosparámetrosde
lospolinomiosdeaproximación.Despuésserealizaelanálisisde
lasuperficiederespuestautilizandola
superficieajustada.
Silasuperficieajustadaes unaaproximaciónadecuadade laverdaderafuncióndela
respuesta,entonceselanálisisdelasuperficieajustadaserá
unequivalenteaproximadodelanálisisdel
sistemareal.Losparámetrosdelmodelo
puedenestimarsede maneramáseficientecuandoseemplean
losdiseñosexperimentalesapropiados
pararecolectarlosdatos.Losdiseños paraajustarsuperficiesde
respuestasedenominandiseñosdesuperficiederespuesta.Estosdiseñosserevisan
enlasección11-4.
LaMSResunprocedimientosecuencial.Muchasveces,cuandose estáenunpuntodelasuperficie
derespuestaqueestáapartadodelóptimo,como
enelcasodelascondicionesdeoperaciónactualesdela
figura11-3,elsistemapresenta
unacurvaturamoderadayelmodelodeprimer ordenseráapropiado.El
objetivo
enestecasoesllevaralexperimentadorde manerarápidayeficiente porla trayectoriadelmejo­
ramientohasta
lavecindadgeneraldelóptimo. Unavezquese haencontradolaregióndelóptimo,puede
emplearse
unmodelomáselaborado,comoeldesegundoorden,yllevarseacabo unanálisisparalocali­
zarelóptimo.
Enlafigura11-3se puedeverqueelanálisisde unasuperficiederespuestapuedeconside­
rarsecomo"elascensoa
unacolina",dondelacimadeéstarepresentael puntodelarespuestamáxima.
Sielverdaderoóptimoes unpuntoderespuestamínima,entonceslasituación puedeconsiderarsecomo
"eldescensoa
unvalle".
Elobjetivoúltimodela MSResdeterminarlascondicionesdeoperaciónóptimasdelsistemaode­
terminar
unaregióndelespaciodelosfactores enlaquesesatisfaganlosrequerimientosdeoperación.
Región
del
óptimo
)
"""""---Regiónde la
operabilidad
delproceso
/
r/E--~-- Contornos
/ derespuesta
/l!ayectoriadel constante
85 _ mejor~miento¡:
//80/75 70
////
/'
/'
Figura11·3 ElcaráctersecuencialdelaMSR.

444. r
,
430 CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFICIESDERESPUESTA 1
~..,
AnálisismásdetalladosdelaMSRseencuentran enMyersyMontgomery[85a],KhuriyCornell [67]y
Boxy
Draper[16b].
11~2 MÉTODODELASCENSO MÁsPRONUNCIADO
Frecuentementelaestimacióninicialdelascondicionesdeoperaciónóptimasdelsistemaestaránlejos
delóptimoreal.
Entalescircunstancias,elobjetivodelexperimentadorespasarconrapidezalavecindad
generaldelóptimo.Paraellodeseausarse
unprocedimientoexperimentaleconómicoyeficiente.Cuan­
doseestámuylejosdelóptimo,
porlogeneralsesuponeque unmodelodeprimerordenes unaaproxi­
maciónadecuadadelaverdaderasuperficieen
unaregiónpequeñadelasx.
Elmétododelascenso máspronunciadoes unprocedimientoparamoversesecuencialmentesobrela
trayectoriadelascensomáspronunciado,
esdecir,enladireccióndelincrementomáximodelarespuesta.
Desdeluego,
siloquesepretende esunaminimización,entoncesestatécnicasellamamétododeldeseen.
somáspronunciado.Elmodeloajustadodeprimer
ordenes
k
y=~o+L~iXi (11-3)
i=l
ylasuperficiederespuestadeprimerorden,esdecir,los·contornosdey,esunaseriedelíneasparalelas
comolasquesemuestran
enlafigura11-4. Ladireccióndelascensomáspronunciadoesaquella enlaqueyseincrementaconmayorrapidez.Estadirecciónesparalelaalanormaldelasuperficiederespuesta
ajustada.Porlogeneralsetomacomolatrayectoriadelascensomáspronunciadoalarectaquepasapor
elcentrodelaregióndeinterésyqueesnormalalasuperficieajustada.Porlotanto,lospasossobrela
~i~rli'"
derespuestadeprimer
ordenajustada
y=10 y=20
X
1
Trayectoriadelascenso
m.",,,\
y=50
Figura11·4Superficiederespuestadeprimerordenytrayecto­
riadelascensomáspronunciado.

445. y=40.44+0.775x
1
+0.325x
2
Tabla11-1Datosdelprocesoparaajustarelmodelode
primerorden
39.3
40.0
40.9
41.5
40.3
40.5
40.7
40.2
40.6
Respuesta
y
;0-155
x2=-5
X
2
-1
1
-1
1
O
O
O
O
O
y
Xl
-1
-1
1
1
O
O
O
O
O
150
160
150
160
155
155
155
155
155
;1-35
x=---
1 5
Variables Variables
naturales codificadas
30
30
40
40
35
35
35
35
35
11-2MÉTODODELASCENSO MÁsPRONUNCIADO 431
trayectoriasonproporcionalesaloscoeficientesderegresión{~¡}.Eltamañorealdelpasolodetermina
elexperimentadorconbaseenelconocimientodelprocesoodeotrasconsideracionesprácticas.
Seconducenexperimentossobrelatrayectoriadelascensomáspronunciadohastaquedejadeobser­
varse
unincrementoadicional enlarespuesta.Entonces puedeajustarseunnuevomodelodeprimeror­
den,determinarse
unanuevatrayectoriadelascensomáspronunciadoyelprocedimientocontinúa. En
últimainstancia,elexperimentadorllegaráalavecindaddelóptimo. Engeneral,lafaltade ajustedelmo­
delodeprimer
ordenindicaquese hallegadoaella. Enestemomentoserealizanexperimentosadiciona­
les
paraobtenerunaestimaciónmásprecisadelóptimo.
EJEMPLO
11~1 .
Uningenieroquímicoestáinteresado endeterminarlascondicionesdeoperaciónquemaximizanelren­
dimientode
unproceso.Dosvariablescontrolablesinfluyen enelrendimientodelproceso:eltiempode
reacciónyla
temperaturadereacción.Elingenierooperaactualmenteelprocesocon untiempodereac­
ciónde35minutosy
unatemperaturade155°F,quedancomoresultadorendimientosdecercade40%.
Puestoqueesimprobablequeestaregióncontengaelóptimo,elingenieroajusta
unmodelodeprimer
ordenyaplicaelmétododelascensomáspronunciado.
Elingenierodecide quelaregióndeexploración paraajustarelmodelodeprimer ordendeberáser
(30,40)minutosdetiempodereaccióny(150,
160tEParasimplificarloscálculos,lasvariablesindepen­
dientessecodificarán
enelintervalousual (-1,1).Porlotanto,
si;ldenotalavariablenatural tiempoy;2
lavariablenatural temperatura,entonceslas variablescodificadas son
Eldiseñoexperimentalsemuestra
enlatabla11-1.Observe queeldiseñousado pararecabarestosdatos
esunfactorial2
2
aumentadoconcincopuntoscentrales. Lasréplicasdelcentrose usanparaestimarel
errorexperimentalypermitir
laverificaciónde laadecuacióndelmodelo deprimerorden.Además,eldi­
señoestácentradoalrededordelascondicionesde
operaciónactualesdelproceso.
Esposibleajustar unmodelode primerordenaestosdatos porelprocedimientodemínimoscuadra­
dos.Aplicandolosmétodos
paradiseñosdedosnivelesseobtieneelsiguientemodelo enlasvariablesco­
dificadas:

446. 432 CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFICIESDERESPUESTA
::1
:J
'1
11
,
Antesdeexplorara lolargodelatrayectoriadelascensomáspronunciado,deberáinvestigarse la
adecuacióndelmodelodeprimerorden.Eldiseño2
2
conpuntoscentralespermitealexperimentador
1.Obtenerunaestimacióndelerror.
2.Verificarlasinteracciones(otérminosdeproductoscruzados)delmodelo.
3.Verificarlosefectoscuadráticos(curvatura).
Lasréplicasdelcentropuedenusarseparacalcularunaestimacióndelerrordelasiguientemanera:
A2(40.3)2+(40.5)2+(40.7)2+(40.2)2+(40.6)2-(202.3)2 /5
a=-'--"'----------'----'---'----<----'-----''----------'----'-----'------'---
4
=0.0430
Enelmodelodeprimerordensesuponequelasvariablesx¡y X
2tienenun efectoaditivo sobrelarespues­
ta.
Lainteracciónentrelasvariablesserepresentaría porelcoeficiente/312deltérminodeunproducto
cruzadox¡x2sumado
almodelo.Laestimacióndemínimoscuadradosdeestecoeficiente essimplemente
lamitaddelefectodelainteracciónquesecalculacomoenundiseñofactorial2
2
ordinario,o
~¡2=t[(lx39.3)+(lx41.5)+(-lx40.0)+(-lx40.9)]
=t(-0.1)
=-0.025
Lasumadecuadradosdelainteracciónconunsologradodelibertad es
(-0.1)2
SSInteracción= 4
=0.0025
Alcomparar
SSInteraccióncon
&2seobtieneelestadístico paralafaltadeajuste
F=SSInteracción
&2
0.0025
0.0430
=0.058
queespequeño,locualindicaquelainterácciónesinsignificante.
Otraverificacióndelaadecuacióndelmodelodelínearectaseobtieneaplicandolaverificacióndel
efectodecurvaturacuadráticapuradelasección
6-6.Recuerdequeéstaconsisteencompararlarespues­
tapromedioenloscuatropuntosdelaporciónfactorialdeldiseño, porejemplo
YF=40.425,conlares­
puestapromedioenelcentrodeldiseño,porejemploYe=40.46.Siexistecurvaturacuadráticaenla
verdaderafuncióndelarespuesta,entoncesyF-yeesunamedidadeestacurvatura. Si/311y/322sonloscoe­
ficientesdelostérminos"cuadráticospuros"x¡yx~,entoncesYF-Yeesunaestimación de/311+/322'Enel
ejemplotratadoaquí,unaestimacióndeltérminocuadráticopuro
es
~11+~22=YF-Ye
=40.425-40.46
=-0.035

447. 11-2MÉTODODELASCENSOMÁSPRONUNCIADO 433
Tabla11-2Análisisdevarianzadelmodelodeprimerorden
Sumade Gradosde Cuadrado
Fuentedevariación cuadrados libertad medio
FoValorP
Modelo(/31'/32) 2.8250 2 1.4125 47.830.0002
Residual 0.1772 6
(Interacción) (0.0025) 1 0.0025 0.0580.8215
(Cuadráticopuro) (0.0027) 1 0.0027 0.0630.8142
(Errorpuro) (0.1720) 4 0.0430
Total 3.0022 8
Lasumadecuadradoscon unsologradodelibertadasociadaconlahipótesisnula, Ho:/3u+/322=O,es
/1F
/1
e
(rF-re)2
SSCuadráticapura = +/'
/1F'e
=(4)(5)(-0.035)2
4+5
=0.0027
donde/1
FY/1esonelnúmerodepuntosdelaporciónfactorialyelnúmerodepuntoscentrales,respectiva­
mente.Puestoque
F=SSCuadráticapura8'2
0.0027
=
0.0430
=0.063
espequeño,nohayindiciosde unefectocuadráticopuro.
Enlatabla11-2seresumeelanálisisdevarianzadeestemodelo.Lasverificacionesdelainteracción
ylacurvaturanosonsignificativas,mientrasquelaprueba
Fdelaregresiónglobal essignificativa.Ade­
más,el
errorestándarde
131y132es
se(13i)=~M:E =P;=~0.0:30 =0.10i=1,2
Amboscoeficientesderegresión131y132songrandesencomparaciónconsuserroresestándar. Eneste
puntonohayrazón
paracuestionarlaadecuacióndelmodelodeprimerorden.
Paraapartarsedelcentrodeldiseño
-elpunto(Xl=0,x
2=0)-sobrelatrayectoriadelascenso más
pronunciado,seharía
unmovimientode 0.775unidadesenladirecciónXlporcada0.325unidadesenla
direcciónx
2
•Porlotanto,latrayectoriadelascenso máspronunciadopasa porelpunto(Xl=0,x
2=O)Y
tienependiente
0.325/0.775.Elingenierodecideusar 5minutosdetiempodereaccióncomotamañobási­
codelpaso.Alutilizarlarelaciónentre
SlyXl'seobservaque5minutosdetiempodereacciónesequiva­
lentea
unpasoenlavariable codificadaXlde
&1=1.Porlotanto,lospasossobrelatrayectoriadel
ascensomáspronunciadoson&1=1.0000Y&2=(0.325/0.775)&1=0.42.
Elingenierocalculapuntossobreestatrayectoriayobservalosrendimientosenlosmismoshastaque
se
notaundecrementoenlarespuesta.Enlatabla11-3semuestranlosresultadostantoenvariablescodi­
ficadascomonaturales.Auncuandolamanipulaciónmatemáticadelasvariablescodificadas
esmássen­
cilla,debenusarselasvariablesnaturales cuandosecorreelproceso.
Enlafigura11-5segraficael

448. ::1
".
:¡
'1
Ii
,
434 CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFICIESDERESPUESTA
Tabla11-3Experimentodelascenso máspronunciadoparaelejemplo 11-1
Variablescodificadas Variablesnaturales
Respuesta
Pasos
x X
2
';1 ';2 y1
Origen O O 35 155
~ 1.00 0.42 5 2
Origen
+
~ 1.00 0.42 40 157 41.0
Origen
+
2~ 2.00 0.84 45 159 42.9
Origen
+
3~ 3.00 1.26 50 161 47.1
Origen
+
4~ 4.00 1.68 55 163 49.7
Origen
+
5~ 5.00 2.10 60 165 53.8
Origen
+
M 6.00 2.52 65 167 59.9
Origen
+
7~ 7.00 2.94 70 169 65.0
Origen
+
S~ S.OO 3.36 75 171 70.4
Origen
+
9~ 9.00 3.78 SO 173 77.6
Origen
+
10~ 10.00 4.20 85 175 80.3
Origen+1l~ 11.00 4.62 90 179 76.2
Origen
+
12~ 12.00 5.04 95 181 75.1
rendimientoencadapasodelatrayectoriadelascensomáspronunciado.Seobservanincrementosdela
respuestahastaeldécimopaso;sinembargo,todoslospasosdespuésdeeste
puntoresultanenundecre­
mentodelrendimiento.Porlotanto,deberáajustarseotromodelode primer ordenenlavecindadgene­
raldel
punto
(~l=85,~2=175).
Seajusta
unnuevomodelode primer ordenalrededordel punto
(~l=85,~2=175).Laregiónde ex­
ploraciónpara~1es[80,90]Y para~2es[170,180]. Porlotanto,lasvariablescodificadas son
~l-85
x=---
1 5
90
80
70
E
e
Ql
'E
'C
e
~60
50
2 3 4 5 6 7 8 9 10
1112
Pasos
Figura11-5Rendimientocontrapasossobrelatrayectoria
delascenso
máspronunciadopara elejemplo11-1.
y
~2-175
x=
2 5

449. 11-2MÉTODODELASCENSO MÁsPRONUNCIADO 435
Tabla11-4Datosparaelsegundomodelodeprimer
orden
FaValorP
4.720.0955
201.090.0001
Cuadrado
medio
0.2500
10.6580
0.0530
2
6
1
1
4
8
5.00
11.1200
(0.2500)
(10.6580)
(0.2120)
16.1200
Variables Variables
naturales codificadas
Respuesta
~l ~2 Xl Xz y
80 170 -1 -1 76.5
80 180
-1 1 no
90 170 1 -1 78.0
90 180 1 1 79.5
85 175 o o 79.9
85 175 o o 80.3
85 175 o o 80.0
85 175 o o 79.7
85
175 o o 79.8
Sumade Gradosde
Fuentedevariación cuadrados libertad
Essencillodar unalgoritmogeneral paradeterminarlascoordenadasde unpuntosobrelatrayectoriadel
ascensomáspronunciado.Supongaqueelpunto
Xl=X
2=...=Xk=Oeslabaseopuntoorigen.Entonces
1.Seeligeeltamañodelpaso enunadelasvariablesdelproceso, porejemplo
D.x
j
•Engeneral,sese­
leccionaríalavariabledelaquesetengamayorinformación,oseseleccionaríalavariableque
tieneelcoeficientederegresiónabsoluto
I
~jImásgrande.
Porelejemplo11-1seobservaquela
trayectoriadelascenso máspronunciadoesproporcionalalos
sig~
nosymagnitudesdeloscoeficientesderegresión delmodeloajustadodeprimerorden
k
Y=~a+L~iXi
i=l
Denuevacuentaseusaundiseño2
2
concincopuntoscentrales.Eldiseñoexperimentalsemuestraenla
tabla
11-4.
Elajustedelmodelodeprimerordenalasvariablescodificadasdelatabla11-4 esy=78.97+1.00x
l
+O.SOx
2
Enlatabla11-5sepresentaelanálisisdevarianzadeestemodelo,incluyendolasverificacionesdela
interacciónydeltérminocuadráticopuro.Lasverificacionesde
lainteracciónydeltérminocuadrático
puroimplicanqueelmodelodeprimerordennoes
unaaproximaciónadecuada.Estacurvaturaenlaver­
daderasuperficiepuedeindicarqueelexperimentadorseencuentracercadelóptimo.
Enestepuntoes
necesariohaceranálisisadicionalesparalocalizarelóptimoconmayorprecisión.
Regresión
Residual
(Interacción)
(Cuadráticopuro)
(Errorpuro)
Total
Tabla
11-5Análisisdevarianzadelsegundomodelodeprimerorden

450. 436 CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFICIESDERESPUESTA
2.Eltamañodelpasodelasotrasvariableses
A"'=A ~¡ .12 k z'-+J'L.U Z= , ,...,; .,....
1f3j/&j
3.Seconviertenlas&¡devariablescodificadasavariablesnaturales.
Parailustrar,considerelatrayectoriadelascensomáspronunciadocalculadaenelejemplo
11-1.
Puestoquex
Itieneelcoeficientederegresiónmásgrande,seseleccionaeltiempodereaccióncomola va­
riabledelpaso1delprocedimientoanterior.Cincominutosdetiempodereaccióneseltamañodelpaso
(conbaseenelconocimientodelproceso).
Entérminosdelasvariablescodificadas,éste es
&1=1.0.Por
lotanto,
porellineamiento2,eltamañodelpasodela temperaturaes
&= ~2=0.325=0.42
2~I/&1(0.77511.0)
y
quedancomoresultado
Paraconvertirlostamañosdelospasoscodificados
(&1=1.0Y&2=0.42)alasunidadesnaturalesde
tiempoytemperatura,seusanlasrelaciones
~Sl
&=-
1 5
y
~S2=&2(5)=0.42(5)=2°P
11~3ANÁLISISDE UNASUPERFICIEDERESPUESTADESEGUNDOORDEN
Cuandoelexperimentadorseencuentrarelativamentecercadelóptimo, porlogeneralserequiereun
modeloqueincorporelacurvatura
paraaproximarlarespuesta. Enlamayoríadeloscasos,elmodelode
segundoorden
k k
y=
130+2:f3¡x¡+2:f3¡¡x:+2:2:f3ijx¡Xj+8 (11-4)
i=1 i=1 i<j
esadecuado.Enestasecciónseindicarácómousarestemodeloajustado paraencontrarelconjuntoópti­
modecondicionesdeoperación
paralasx,asícomo paracaracterizarlanaturalezadelasuperficiederes­
puesta.
11~3.1 Localizacióndelpuntoestacionario
Supongaquequierenencontrarselosnivelesdex¡,x
2
,
""X
kqueoptimizanlarespuestapredicha.Estepun­
to,encasodeexistir,seráelconjuntodelas
XI'X2,...,Xkparalasquelasderivadasparciales
ay/aXI=
ay/aX2
=...=ay/aX
k
=O.Aestepunto, porejemplox¡,,,x2,,,""Xk,.,selellama puntoestacionario.Elpun­
toestacionariopodríarepresentar1)
unpuntoderespuestamáxima,2) unpuntoderespuestamínima,o
3)
unpuntosilla.Estastresposibilidadesseilustran enlasfiguras11-6a11-8.
Lasgráficasdecontornodesempeñan
unpapelmuyimportante enelestudiodelassuperficiesde
respuesta.Mediantelageneracióndegráficasdecontornoutilizandosoftware
decomputadoraparael

451. 1.000.500.00-0.50
b)Gráficadecontorno
_1.00e- -L L- ===-...L__...-!!.::..---..
-1.00
1.00
59
"
0.50
x,
11-3ANÁLISISDEUNASUPERFICIEDERESPUESTADESEGUNDOORDEN 437
1.00_---..---r------cr-----......---------.
a)Superficiederespuesta
-0.50
81.02
70.01
92.03
103.04
l-(N0.00
Figura11-6 Superficiederespuesta ygráficadecontornoqueilustran unasuperficiecon unmáximo.

452. 438 CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFICIESDERESPUESTA
1.00,-----;::=:;:;;:;;....-----.:::;;;::-----"'--~-__.¡¡:_____,
0.50
;..:N0.00
1.000.500.00
x,
b)Gráficadecontorno
-0.50
-0.50
-1.00..-------''''------l..--...L..---l..--'-----'.--.
-1.00
Figura11-7 Superficiederespuesta ygráficadecontornoqueilustran unasuperficiecon unmínimo.

453. 11-3ANÁLlSISDEUNASUPERFICIEDERESPUESTADESEGUNDOORDEN 439
x,
1.00_---.----,.----¡,..-----¡-----r-----.
b)Gráficadecontorno
x,
1.000.500.00-0.50
_1.00..-.__L-_-L ...L..J ~...l___..L___4I
-1.00
-0.50
Figura11-8 Superficiederespuestaygráficadecontornoqueilustranunasuperficieconunpuntosilla(ominimax).

454. I!
t\"
[,
440 CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFICIESDERESPUESTA
análisisdesuperficiederespuesta,elexperimentadorpuedeporlogeneralcaracterizarlaformadela su­
perficieylocalizarelóptimoconunaprecisiónrazonable.
Esposibleobtenerunasoluciónmatemáticageneral paralalocalizacióndelpuntoestacionario. Al
escribirelmodelodesegundoordenennotaciónmatricial,setiene
y=lJo+x'b+x'Bx (11-5)
[
lJn'lJ12J2,...,~lk/2]
B= f322,·:·,f32k/
2
simétrica lJkk
y
donde
Esdecir, b
esunvector(kXl)deloscoeficientesderegresióndeprimerordeny B esunamatrizsimé­
trica
(kxk)cuyoselementosde ladiagonalprincipalsonloscoeficientescuadráticos puros
(lJi!)ycu­
yos
elementosqueestánfueradeladiagonalsonlamitaddeloscoeficientescuadráticosmixtos(lJij'i:;t:j).LaderivadadeyconrespectoaloselementosdelvectorxigualadaconOes
ay
- =b+2Bx=O (11-6)
ax
Elpuntoestacionarioeslasolucióndelaecuación11-6,o
x,=-tB-Ib (11-7)
Además,alsustituirlaecuación11-7enla11-5,larespuestapredicha
enelpuntoestacionariopuedeen­
contrarsecomo
~ f3~l'b
y,=o+ix, (11-8)
11~3.2 Caracterizacióndelasuperficiederespuesta
(11-9)
Unavezquesehaencontradoelpuntoestacionario,generalmente esnecesariocaracterizarlasuperficie
derespuestaenlavecindadinmediatadeestepunto.Porcaracterizarseentiendedeterminar
sielpunto
estacionarioeselpuntodeunarespuestamáxima,mínimaounpuntosilla.Porlogeneraltambiénsede­
seaestudiarlasensibilidadrelativadelarespuestaalasvariables
Xl'X
2
,oo.,Xk'
Comoyaseseñaló,laformamásdirectadehacerestoesexaminandounagráficadecontornodel
modeloajustado.
Sisólohaydosotresvariables enelproceso(las x),laconstruccióneinterpretaciónde
estagráficadecontornoesrelativamentesencilla.Sinembargo,inclusocuandohayunnúmerorelativa­
mentereducidodevariables,unanálisismásformal,llamadoanálisiscanónico,puedeserútil.
Esconvenientetransformarprimeroelmodeloenunnuevosistemadecoordenadasconelorigenen
elpuntoestacionario
x,ydespuéshacerlarotacióndelosejesdeestesistemahastaqueseanparalelosa
losejesprincipalesde
lasuperficiederespuestaajustada. Estatransformaciónseilustraenlafigura11-9.
Puededemostrarsequeseobtieneasíelmodeloajustado
~ ~+1 21? 1 2
y=y,ILIW
I
+1L
2
W;:+oo.+lLkW
k
dondelas{w¡}sonlasvariablesindependientestransformadasylas{A¡}sonconstantes.Alaecuación
11-9selellamalaformacanónicadelmodelo.Además,las{A¡}sonsóloeigenvaloresoraícescaracterís­
ticasdelamatriz
B.

455. 11-3ANÁLISISDEUNASUPERFICIEDERESPUESTADESEGUNDOORDEN 441
X2
Figura11-9Formacanónicadelmodelodesegundo
orden.
Lanaturalezadelasuperficiederespuesta puededeterminarsea partirdelpuntoestacionarioyde
los
signosymagnitudesdelas
{A¡}.Primerosuponga queelpuntoestacionarioestádentrode laregiónde
exploración
paraajustarelmodelodesegundoorden.Sitodaslas
{A¡}sonpositivas,X
sesunpuntoderes­
puestamínima;sitodaslas{A¡}sonnegativas,X
sesunpuntoderespuestamáxima;y silas{A¡}tienensig­
nosdiferentes,
X
sesunpuntosilla.Además,lasuperficie presentaunainclinaciónmayor enladirección
w¡paralaque\
A¡Ieselmáximo. Porejemplo,lafigura11-9describe unsistemaparaelqueX
sesunmáxi­
mo(Aly,.1.2sonnegativas)con1,.1.1\>1,.1.2\'
EJEMPLO 11~2•••••••.•••.••••••••••.••••••••.•••••.•••..•••••••.••.••••.•
Secontinuaráelanálisisdelprocesoquímicodelejemplo11-1. Noesposibleajustar unmodelodesegun­
do
ordenenlasvariablesXlyX
2utilizandoeldiseñode latabla11-4. Elexperimentadordecide aumentar
estediseñoconpuntossuficientes paraajustarunmodelodesegundoorden.
1
Obtienecuatroobservacio­
nes
en(Xl=0,x
2=±1.414)Y (Xl=±1.414,x
2=O).Elexperimentocompletosemuestra enlatabla11-6,y
eldiseñoseilustra
enlafigura11-10.Aestediseñoselellamadiseño centralcompuesto(oDCC),elcual
seestudiaráconmayordetalle
enlasección11-4.2. Enestasegundafasedelestudio,dosrespuestasadi­
cionales
fuerondeinterés,laviscosidadyelpesomoleculardelproducto.Lasrespuestastambiénse
muestranenlatabla11-6.
Laatenciónsecentrará enelajuste deunmodelocuadrático paralarespuestarendimiento Y1(las
otrasrespuestasseanalizarán
enlasección11-3.4). Porlogeneralseutilizasoftwaredecomputadora
paraajustarunasuperficiederespuestayconstruirlasgráficasdecontorno. Latabla11-7contienelasali­
dadeDesign-Expel1.Alexaminarlatablaseobservaqueeste paquetedesoftwarecalculaprimerolas"su­
masdecuadradosextraosecuenciales"delostérminoslineales,cuadráticosycúbicosdelmodelo(hay
un
mensajedeadvertenciareferentealosaliasdelmodelocúbico, yaqueelDCCnocontienecorridassufi­
cientes
paraapoyarunmodelocúbicocompleto). ConbaseenelvalorPpequeñodelostérminoscuadrá-
1Elingenierocorriólascuatroobservacionesadicionalesaproximadanlente enelmismoperiodo enquecorriólasnueveobservacio­
nesoriginales.Sihubieratranscurrido
unlapsograndeentrelasdosseriesdecorridas,habríasidonecesarialaseparación enbloques.
Laseparaciónenbloquesenlosdiseñosdesuperficiederespuestaserevisa enlasección11-4.3.

456. 442 CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFICIESDERESPUESTA
Tabla11-6Diseñocentralcompuestopara elejmplo11-2
Respuestas
Variablesnaturales Variablescodificadas
Y¡ Y2 Y3
~¡ ~2 X¡ X
2 (rendimiento)(viscosidad)(pesomolecular)
80 170 -1-1 76.5 62 2940
80 180 -1 1 77.0 60 3470
90 170 1-1 78.0 66 3680
90 180 1 1 79.5 59 3890
85 175 O O 79.9 72 3480
85 175 O O 80.3 69 3200
85 175 O O 80.0 68 3410
85 175 O O 79.7 70 3290
85 175 O O 79.8 71 3500
92.07 175 1.414 O 78.4 68 3360
77.93 175 -1.414 O 75.6 71 3020
85 182.07 O 1.414 78:5 58 3630
85 167.93 O -1.414 77.0 57 3150
ticos,sedecideajustarunmodelodesegundoordenalarespuestarendimiento.Lasalidade
computadoramuestraelmodelofinalentérminostantodelasvariablescodificadascomodelosniveles
naturalesorealesdelosfactores.
Enlafigura11-11semuestralagráficadelasuperficiederespuestatridimensionalylagráficade
contornoparalarespuestarendimientoentérminosdelasvariablesdelprocesotiempoytemperatura.
Esrelativamentesencillover
porelexamendeestasfigurasqueelóptimoseencuentramuycercade
175°Py
85minutosdetiempodereacciónyquelarespuestaestáen unmáximoenestepunto.Porelexa­
mendelagráficadecontornoseobservaqueelprocesopuedeserligeramentemássensiblealoscambios
eneltiempodereacciónquealoscambiosenlatemperatura.
+21-
(0,1.414)
(-1,1) (1,1)
I I
-2(-1.414,O) (0,0) (1.414, O)+2
(-1,-1) (1,-1)
(O,-1.414)
-2-
x,
Figura11·10Diseñocentralcompuestopara elejemplo11-2.

457. 11-3ANÁLISISDEUNASUPERFICIEDERESPUESTADESEGUNDOORDEN 443
Tabla11-7SalidadecomputadoradeDesign-Expertparaajustarunmodeloala respuesta
rendimientodelejemplo11-2
Response:yield
***WARNING:TheCubicModel isAliased!***
SequentialModelSurnofSquares
Surnof Mean
F
Source Squares DF Square Value Prob>F
Mean 80062.16 1 80062.16
Linear 10.04 2 5.02 2.69 0.1166
2FI 0.25 1 0.25 0.12 0.7350
Ouadratic 17.95 2 8.98 126.88 <0.0001 Suggested
Cubic 2.042E-003 2 1.021E-003 0.010 0.9897 Aliased
Residual 0.49 5 0.099
Total 80090.90 13 6160.84
"Sumadecuadradosdelmodelosecuenciar': seseleccionaelpolinomiodeordenmásalto
cuandolostérminosadicionales
sonsignificativos.
LackofFitTests
Surnof Mean
F
Source Squares DF Square Value Prob>F
Linear 18.49 6 3.08 58.14 0.0008
2FI 18.24 5 3.65 68.82 0.0006
Ouadratic 0.28 3 0.094 1.78 0.2897 Suggested
Cubic 0.28 1 0.28 5.31 0.0826 Aliased
PureError 0.21 4 0.053
Suggested
Aliased
PRESS
29.99
36.59
2.35
18.33
Predicted
R-Squared
-0.0435
-0.2730
0.9184
0.3622
Adjusted
R-Squared
0.2193
0.1441
0.9705
0.9588
R-Squared
0.3494
0.3581
0.9828
0.9828
Source
Linear
2FI
Ouadratic
Cubic
"p'ru~!?as.defaltadeajuste": sequiereque elIliodeloseleécionadonotengafalta deajuste
significativa.
ModelSurnrnaryStatistics
Std.
Dev.
1.37
1.43
0.27
0.31
"Estadísticosderesumendelmodelo": seenfocanenelmodeloqueminimiza "PRESS"o,de
maneraequivalente,quemaximiza la"RCUADRADADEPREDICCION".
Source
Model
A
B
N
B
2
AB
Residual
LackofFit
PureError
CorTotal
Response:yield
ANOVAforResponseSurfaceQuadraticModel
Analysisofvariancetable[Partial
surnofsquares]
Surnof Mean
Squares
DF Square
28.25 5 5.65
7.92 1 7.92
2.12 1
2.12
13.18 1 13.18
6.97 1 6.97
a~ 1 a~
0.50 7 0.071
0.28 3 0.094
0.21
4 0.053
28.74 12
F
Value
79.85
111.93
30.01
186.22
98.56
3.53
1.78
Prob>F
<0.0001
<0.0001
0.0009
<0.0001
<0.0001
0.1022
0.2897
Std.Dev.
Mean
C.V.
PRESS
0.27
78.48
0.34
2.35
R-Squared
AdjR-Squared
PredR-Squared
AdeqPrecision
0.9828
0.9705
0.9184
23.018

458. ~
I
I
444 CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFICIESDERESPUESTA
Tabla11·7
Factor
Intercept
A-time
B-temp
A
2
B
2
AB
(continuación)
Coefficient Standard 95%CI 95%CI
Estimate DF Error Low High VIF
79.94 1 0.12 79.66 80.22
0.99 1 0.094 0.77 1.22 1.00
0.52 1 0.094 0.29 0.74 1.00
-1.38 1 0.10 -1.61 -1.14 1.02
-1.00 1 0.10 -1.24
-0.76 1.02
0.25 1 0.13
-0.064 0.56 1.00
FinalEquationin TermsofCodedFactors:
yield=
+79.94
+0.99*A
+0.52*B
-1.38*A
2
-1.00*B
2
+0.25*A*B
FinalEquation inTermsofActualFactors:
yield=
.-1430.52285
+7.80749*time
+13.27053*temp
-0.055050
~time
2
-0.040050*temp2
+0.010000*time*temp
Run
Order
8
6
9
11
12
10
7
1
5
3
13
2
4
DiagnosticsCaseStatistics
StandardActualPredicted
OrderValue Value
176.50 76.30
278.00 77.79
377.00 76.83
479.50 79.32
575.60 75.78
678.40 78.59
777.00 77.21
878.50 78.67
979.90
79.94
1080.30 79.94
1180.00 79.94
1279.70 79.94
1379.80 79.94
Residual
0.20
0.21
0.17
0.18
-0.18
-0.19
-0.21
-0.17
-0.040
0.36
0.060
-0.24
-0.14
Leverage
0.625
0.625
0.625
0.625
0.625
0.625
0.625
0.625
0.200
0.200
0.200
0.200
0.200
Student
Residual
1.213
1.275
1.027
1.089
-1.107
-1.195
-1.283
-1.019
-0.168
1.513
0.252
-1.009
-0.588
Cook's
Distance
0.409
0.452
0.293
0.329
0.341
0.396
0.457
0.289
0.001
0.095
0.003
0.042
0.014
Outlier
t
1.264
1.347
1.032
1.106
-1.129
-1.240
-1.358
-1.023
-0.156
1.708
0.235
-1.010
-0.559
Lalocalizacióndelpuntoestacionariotambiénpodríaencontrarseutilizandolasolucióngeneralde
laecuación
11-7.Observeque[0.995] [-1.3760.1250]
b
=0.515B=0.1250-1.001
y,porlaecuación11-7,elpuntoestacionario es
xs=-tB-1b
__1.[-0.7345-0.0917][0.995]_[0.389]
- 2-0.0917-1.0096 0.515-0.306

459. "
92.07
92.07
89.24
86.41
83.59 ~o
80.76 ~\e~
77.93
a)Lagráficadecontorno
80.29 82.64 85.00 87.36
Tiempo
11-3ANÁLISISDEUNASUPERFICIEDERESPUESTADESEGUNDOORDEN 445
182.1
179.2
):176.4
&/}¡,o173.6
&I'~
~(¡I'" 170.8
167.9
80.21
77.99
E
<::
"'E
'ti
<::
"a:
73.55
b)Lagráficadesuperficiederespuesta
Figura11-11Gráficasdecontorno ydesuperficiederespuestade
larespuestarendimiento,ejemplo11-2.
Esdecir,Xl,s=0.389YX
2,s=0.306.Entérminosdelasvariablesnaturales,elpuntoestacionarioes
f:-85 f:-175
0.389=_"1__ 0.306=-,-"-,,--2__
S 5
dedondeseobtienes
1=86.95=87minutosdetiempodereacciónYs2=176.53=176,SOFEstevalorestá
muycercadelpuntoestacionarioqueseencontró
porexamenvisual enlagráficadecontornodelafigura
11-11.Alutilizarlaecuación11-8,larespuestapredicha
enelpuntoestacionariopuedeencontrarse
como
Ys=80.21.

460. 446 CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFICIESDERESPUESTA
Elanálisiscanónicoquesedescribe enestaseccióntambién puedeusarseparacaracterizarlaSuper­
ficiederespuesta.Primeroesnecesarioexpresarelmodeloajustado
enlaformacanónica(ecuación
11-9).Loseigenvalores
AlyAzsonlasraícesde laecuacióndedeterminantes
IB-AII==O
\
-1.376-A0.12501-
0
0.1250
-1.001-
A-
quesereducea
A
Z
+2.3788A+1.3639==O
LasraícesdeestaecuacióncuadráticasonA
I==-0.9641YAz==-1.4147.Porlotanto,laformacanónicadel
modeloajustadoes
y==80.21-0.9641w;-1.4147wi
PuestoquetantoAlcomoAzsonnegativasyelpuntoestacionarioestá enlaregióndeexploración,secon­
cluyeque
elpuntoestacionarioes unmáximo.
.........................................................................
Enalgunosproblemas MSRpuedesernecesarioencontrar larelaciónentrelas variablescanónicas{w¡}ylasvariablesdeldiseño{x¡}.Estoesparticularmenteciertocuandoesimposible operarelproceso
enelpuntoestacionario.Como unailustración,supongaque enelejemplo11-2elprocesonopudoope­
rarse
en
~l==87minutosy~z==176SFdebidoaqueestacombinacióndefactoresresulta enuncostoex­
cesivo.Sequiere"regresar"ahoradelpuntoestacionarioa unpuntoconuncostomenorsinincurriren
pérdidasconsiderables
enelrendimiento.Laformacanónicadelmodeloindicaquelasuperficieesme­
nossensiblealapérdidaderendimiento
enladirecciónw
l
.Laexploraciónde laformacanónicarequiere
convertirlospuntosdelespacio
(w
l
,wz)enpuntosdelespacio (Xl'Xz).
Engeneral,lasvariables xserelacionanconlasvariablescanónicas wpor
w==M'(x-x
s
)
dondeMesunamatrizortogonal (kxk).Lascolumnasde Msonloseigenvectoresnormalizadosasocia­
doscon
{A
i
}.Esdecir,simieslacolumnai-ésimadeM,entonces mieslasoluciónde
(B-A¡I)m¡==O (11-10)
paralaqueLJ=lm~ ==1.
Elprocedimientoseilustrausandoelmodelodesegundo ordenajustadodelejemplo11-2.ParaA
I==
-0.9641,laecuación11-10quedacomo
[
(-1.376+0.9641) 0.1250][mn]_[OJ
0.1250 (-1.001+0.9641)m
ZI
-O
o
-0.4129m
n
+0.1250m zl==O
0.1250m
n
-0.0377m
ZI==O
Quiereobtenerse
lasoluciónnormalizadadeestasecuaciones,esdecir,aquella paralaquem
l
z
l
+
mil==1.
Noexisteunasoluciónúnica paraestasecuaciones,porloquelomásconvenienteesasignar unvalorar-

461. 11-3ANÁLISISDEUNASUPERFICIEDERESPUESTADESEGUNDOORDEN 447
bitrarioa unadelasincógnitas,resolverelsistemaynormalizar lasolución.Alhacerm;l=1,seencuentra
m;l=0.3027.Paranormalizarestasolución,m;lYm;lsedividenentre
Seobtieneasí lasoluciónnormalizada
m=~=0.3027=0.2897
111.04481.0448
y
m~l 1
m=---=--=0.9571
211.04481.0448
quees
laprimeracolumnadelamatrizM.
Utilizando
A
2=-1.4147puederepetirseelprocedimientoanterior,obteniéndose m
12=-0.9574Y
m22=0.2888como lasegundacolumnadeM.Porlotanto,setiene
M-[0.2897-O.9574J
-0.95710.2888
Larelaciónentrelasvariableswy xes
[
W1
]=[0.28970.9571][Xl-0.389]
w
2
-0.95740.2888x
2
-
0.306
o
W
1=0.2897(x
1
-0.389)+0.9571(x
2
- 0.306)
w2=-0.9574(x
1
-
0.389)+0.2888(x2- 0.306)
Siquisieraexplorarselasuperficiederespuesta enlavecindaddel puntoestacionario,podríandetermi­
narselospuntosapropiados
enloscualeshacerlasobservaciones enelespacio(W1'w
2
)Yusardespués la
relaciónanterior paraconvertirestospuntos enelespacio(X
1
,X
2
)paraquepuedanrealizarselascorridas.
11
~3.3Sistemasdecordilleras
Noesraro encontrarvariacionesdelassuperficiesderespuestaconmáximosomínimospurosoconpun­
tossillaestudiadas enlasecciónanterior.Lossistemasdecordilleras, enparticular,sonmuycomunes.
Considere
laformacanónicadelmodelodesegundo ordenpresentadoanteriormente enlaecuación
11-9:
Y=Ys+A
1W;+A2W~+oo.+AkW~
Supongaahoraqueelpuntoestacionario X
sestádentrode laregióndeexperimentación;además,seaque
unaomásdelasA¡seanmuypequeñas(porejemplo,A¡=O).Entonceslavariablederespuestaesmuyin­
sensiblealasvariables
W¡multiplicadasporlas
A¡pequeñas.
Enlafigura11-12sepresentaunagráficadecontorno enlaqueseilustraestasituación parak=2va­
riablescanAl=O.(Enlapráctica,Alestaríacercadecero peronoseríaexactamenteigualacero.) Enteo­
ría,elmodelocanónico
paraestasuperficiederespuestaes A A 1 ?
y=Ys+A2
Wí

462. 448 CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFICIESDERESPUESTA
L- x,
65
65
60
60
L.- x,
Figura11·12Gráficadecontornodeunsistema
decordillerasestacionarias.
Figura11·13Gráficadecontornodeunsistema de
cordillerascrecientes.
conAznegativa.Observequeelmarcadoestiramiento enladirecciónW
1haresultadoenunalíneadecen­
tros
en
y=70Yelóptimo puedetomarseencualquierlugaralolargodeestalínea.Aestetipodesuperfi­
ciederespuestaselellamasistemadecordillerasestacionarias.
Siel
puntoestacionarioestámuyapartadodelaregióndeexploración paraelajustedelmodelode
segundo
ordeny
unaA¡(omás)estácercadecero,entonces lasuperficiepuedeserunsistemadecordille·
rascrecientes.Enlafigura11-13seilustra unacordilleracreciente parak=2variablesconAlcercade
ceroYAznegativa.Enestetipodesistemadecordilleras nopuedenhacerseinferenciasacercade laverda­
derasuperficieodel puntoestacionarioporqueX
sestáfueradelaregióndondesehaajustadoelmodelo.
Sinembargo,
laexploraciónadicionalestágarantizada enladirecciónw
1
•
Siíl.zhubierasidopositiva,este
sistemasehabríallamadocordilleradescendente.
11~3.4 Respuestasmúltiples
Muchosproblemasdesuperficiesderespuestaincluyenelanálisisdevariasrespuestas,como enelejem­
plo11-2,dondeelexperimentadormidiótres.
Endichoejemplo,elprocesoseoptimizóúnicamentecon
respectoa
larespuestarendimiento Y1'
Laconsideraciónsimultáneaderespuestasmúltiples requiereconstruirprimero unmodelodesuper­
ficiederespuestaapropiado
paracadarespuestaydespués intentarencontrarunconjuntodecondicio­
nesdeoperaciónqueoptimice
enciertosentidotodaslasrespuestaso quealmenoslasmantenga enlos
rangosdeseados.
Unestudiocompletodelproblemadelasrespuestasmúltiplesseofrece enMyersy
Montgomery[85a].
Enelejemplo11-2 puedenobtenersemodelos paralasrespuestasviscosidadypesomolecular (yzYY3'
respectivamente)delasiguientemanera:
yz=70.00-0.16x
1
-
0.95x
z
-
0.69x;-6.69x;-1.25x
1
x
z
Y3=3386.2+205.lx
14-17.4xz
Entérminosdelosnivelesnaturalesdeltiempo(';1)ylatemperatura(.;z),estosmodelosson
Yz=-9030.74+13.393';1+97.70s.;z
-2.75xlO-
2
.;i-0.26757.;;-5xlO-
z
';l';Z
y

463. 11-3ANÁLISISDEUNASUPERFICIEDERESPUESTADESEGUNDOORDEN 449
Enlasfiguras11-14y11-15sepresentanlasgráficasdecontornoysuperficiederespuesta paraestosmodelos.
Unenfoquerelativamentedirecto paraoptimizarvariasrespuestas quefuncionabiencuandosólo
haypocasvariables
enelprocesoes lasuperposición delasgráficasdecontornodecadarespuesta.Enla
figura11-16 semuestraunagráficadesuperposiciónparalastresrespuestasdelejemplo11-2,conlos
contornos
paralosqueYI(rendimiento)
;:o:78.5,62:5Yz(viscosidad):568,YY3(pesomolecular Mn):53400.
Siestoslímites representancondicionesimportantesqueelprocesodebesatisfacer,entonces,comose
muestraenlaporciónnosombreadadelafigura11-16,existenvariascombinacionesdeltiempoy latem­
peraturaqueresultaránenunprocesosatisfactorio. Elexperimentadorpuedehacerelexamenvisualde
182.1
58.00
60.00
62.00
179.7
65.00
177.4 68.00
E
~
Ql175.0
<::::::::>c.
E 70.00
~
172.6
170.3
82.6485.0087.3689.7192.07
Tiempo
a}Lagráficadecontorno
70.03
63.75
o
E
Ql
'E57.47
'ti
<::
Ql
tI:
51.19
182.1
179.2
/:176.4
&0
:0&173.6
>'"<i't,
Vl'<i'170.8
167.9
92.07
89.24
86.41
83.59~Qo
80.76 ~\e
77.93
b)Lagráficade lasuperficiederespuesta
Figura11-14Gráficadecontorno ygráficadelasuperficiede
respuestadelaviscosidad,ejemplo11-2.

464. 182.1r-~-'----r--...-----'----r~--'---'
CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFICIESDERESPUESTA
167.9L--__L--_"'>O"''--_---'_---3o...-J.__--L_-''--'
77.9380.2982.6485.00
Tiempo
a)Lagráficadecontorno
172.6
E
2
~175.0
c.
E
~
170.3
179.7
177.4
450
3566
~3266
....
....
....
....
....
....
2845
182.1
179.2
h176.4
&O.0173.6
I!'I'
Qtl¡"170.8
Q
167.9
92.07
89.24
86.41
83.59o
80.76 -<.\e~~
77.93
b)Lagráficadelasuperficiederespuesta
Figura11-15Gráficadecontorno ygráficadelasuperficiede
respuestadelpesomolecular,ejemplo11-2.
lagráficadecontorno paradeterminarlascondicionesdeoperaciónapropiadas. Porejemplo,esposible
queelexperimentadorestémásinteresado
enlaregiónmásgrandedelasdosregionesfactiblesque se
muestranenlafigura11-16.
Cuandohaymásdetresvariablesdeldiseño,sehacemuycomplicadalasuperposicióndelasgráficas
decontorno,yaquelagráficadecontornoesbidimensional,yk
-2delasvariables deldiseñodebenman­
tenerseconstantes
paraconstruirlagráfica.Confrecuenciasenecesita unagrancantidaddeensayoy
error
paradeterminarcuálessonlosfactoresquedebenmantenerseconstantesyquénivelesseleccionar
paraobtenerlamejorvistadelasuperficie.Porlotanto,existeinteréspráctico enmétodosdeoptimiza­
ciónmásformales
paralasrespuestasmúltiples.

465. 11-3ANÁLISISDEUNASUPERFICIEDERESPUESTADESEGUNDOORDEN 451
182.1"""""~"""""
179.7
177.4
e
~
~175.0
E
t!
80.29 82.64 85.00 87.3689.7192.07
Tiempo
Figura11-16Regióndelóptimoencontradasuperponiendolassu­
perficiesderespuestadelrendimiento,laviscosidad
yelpesomolecular,
ejemplo11-2.
Unenfoquepopularconsiste enformularyresolverelproblemacomo unproblemadeoptimización
restringida.
Parailustraresteenfoqueutilizandoelejemplo11-2,elproblemapodríaformularsecomo
MáxYl
sujetoa
62:5Y2:568
Y3:53400
Secuentaconvariastécnicasnuméricasque puedenusarsepararesolveresteproblema. Enocasionesse
hacereferenciaaestastécnicascomométodosdeprogramaciónnolineal.
Elpaquetedesoftware
Design-Expertresuelveestaversióndelproblemautilizando unprocedimientodebúsquedadirecta.Las
dossolucionesencontradasson
y
tiempo=83.5temperatura =177.1
5'1=79.5
tiempo
=86.6temperatura =172.25
5'1=79.5
Observequelaprimerasoluciónes
laregiónfactiblesuperior(lamáspequeña)delespaciodeldiseño
(referirsealafigura11-16),mientrasquelasegundasolucióneslaregiónmásgrande.Ambassoluciones
estánmuycercadeloslímitesdelasrestricciones.
Otroenfoqueútil
paralaoptimizaciónderespuestasmúltiplesesusarlatécnicadeoptimizaciónsi­
multáneapopularizada
porDerringerySuich[37].Suprocedimientohaceusodelasfuncionesconcondi­
cióndedeseable.
Elenfoquegeneralconsiste enconvertirprimerocadarespuesta Yienunafuncióncon
condicióndedeseableindividual
diquevaríaenelrango
0:5d
i
:51
dondesilarespuestaYiestáensumetauobjetivo;entonces di=1,Ysilarespuestaestáfuerade unaregión
aceptable,
di=O.Despuéslasvariablesdeldiseñoseeligen paramaximizarlacondicióndedeseableglobal
D=(d.d .....d)l/
m
.
12m
dondehay mrespuestas.

466. (11-12)
452 CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFICIES DERESPUESTA
Lasfuncionesconcondicióndedeseableindividualestánestructuradascomoseindica enlafigura
11-17.
SielobjetivoTparalarespuestayesunvalormáximo,
d=¡(;~~r ~::~T (11-11)
1, y>T
cuandolaponderación t=1,lafunciónconcondicióndedeseableeslineal.Alelegir t>1seponemás
interésenestarcercadelvalorobjetivo,
ycuandoseelige O<t<1estotienemenosimportancia. Sielob­
jetivo
paralarespuestaesunvalormínimo,
¡
1 y<T
d=
(~-o-:r T75y75U
y>U
Lafunciónconcondicióndedeseablededoscolasquesemuestra enlafigura11-17csuponequeelobje­
tivoselocalizaentreloslímitesinferior
(L)Ysuperior(U),ysedefinecomo
O y<L
(y-Lr
L75y75T
T-L
d=
(11-13)
(U-Y)"T75y75U
U-T
O y>U
Seusóelpaquetedesoftware Design-Expel1pararesolverelejemplo11-2utilizandoelenfoquedela
funciónconcondicióndedeseable.Seeligió
T=80comoelobjetivo paralarespuestarendimiento, U=
70,Ysefijólaponderacióndeestacondicióndedeseableindividualigualalaunidad.Sehizo T=65para
larespuestaviscosidadcon
L=62YU=68(paraserconsistenteconlasespecificaciones),conambas
ponderaciones
t
1
=tz=1.Porúltimo,seindicóquecualquierpesomolecularabajode3400 eraacepta­
ble.Seencontrarondossoluciones.
Solución1:
Solución2:
Tiempo=86.5
j\=78.8
Tiempo
=82
Y1=78.5
Temperatura
=170.5
yz=65
Temperatura=178.8
Yz=65
D=0.822
Y3=3287
D=0.792
Y3=3400
Lasolución1tienelacondicióndedeseableglobalmásalta.Observequeresultaen unaviscosidadacor­
deconelobjetivo
yenunpesomolecularaceptable. Estasoluciónestácontenida enlamásgrandedelas
dosregionesdeoperacióndelafigura11-16,mientrasquelasegundasoluciónestácontenida
enlaregión
máspequeña.
Enlafigura11-18semuestranlasgráficasdelasuperficiederespuesta ydecontornodela
funciónconcondicióndedeseableglobal
D.

467. 11-3ANÁLISISDEUNASUPERFICIEDERESPUESTADESEGUNDOORDEN 453
,r..--I--r=1
OL----&<~-------..l---
a)Elobjetivo(blanco) esmaximizary
L T y
r>1
O<r<1
OL-----L.--------=ilI---
T u y
b)Elobjetivo(blanco)esminimizar y
r,>1-+--~'----->-/
OL-----:::::..----------'--------~'-------
L T u y
e)Elobjetivo(blanco) esqueyestétancercacomo seaposiblede laespecificación
Figura11·17 Funcionesconcondicióndedeseablesindividuales paralaoptimiza­
ciónsimultánea.

468. 454 CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFICIESDERESPUESTA
0.820
Q)
:¡;
ro
Q)
"'
Q)
-o
Q)
-o
e
·0
.C:;
'O
e
O
U
175.00
Temperatura
172.50
170.00
a)Superficiederespuesta
Tiempo
180.00----..----------------------1l
177.50~========~
E
::J
~
Q)175.00
c.
E
~
5
•
90.0087.5085.00
Tiempo
blGráficadecontorno
82.50
170.00~----..L--------' ~========::I===~~
80.00
172.50
Figura11-18 Gráficadelasuperficiederespuesta ydecontornodelafunciónconcon­
dicióndedeseabledelejemplo11-2.

469. 11-4DISEÑOSEXPERIMENTALESPARAAJUSTAR SUPERFICIESDERESPUESTA 455
11-4DISEÑOSEXPERIMENTALES PARAAJUSTAR
SUPERFICIESDERESPUESTA
Elajusteyanálisisdesuperficiesderespuestasefacilitaengranmedidaconlaelecciónapropiadadeldi­
señoexperimental.
Enestasecciónserevisanalgunosaspectosdelaseleccióndeldiseñoapropiadopara
ajustarsuperficiesderespuesta.
Cuandoseseleccionaundiseñodesuperficiederespuesta,algunasdelascaracterísticasdeseablesen
eldiseñosonlassiguientes:
1.Proporcionaunadistribuciónrazonabledelospuntosdelosdatos (yenconsecuenciainforma-
ción)entodalaregióndeinterés.
2.Permitequeseinvestiguelaadecuacióndelmodelo,incluyendolafaltadeajuste.
3.Permitequelosexperimentosserealicenenbloques.
4.Permitequelosdiseñosdeordensuperiorseconstruyansecuencialmente.
5.Proporcionaunaestimacióninternadelerror.
6.Proporcionaestimacionesprecisasdeloscoeficientesdelmodelo.
7.Proporcionaunbuenperfildelavarianzadepredicciónentodalaregiónexperimental.
8.Proporcionaunarobustezrazonablecontralospuntosatípicosolosvaloresfaltantes.
9.Norequiereungrannúmerodecorridas.
10.Norequieredemasiadosnivelesdelasvariablesindependientes.
11.Aseguralasimplicidaddelcálculodelosparámetrosdelmodelo.
Estascaracterísticasentranenconflictoenocasiones,
porloqueconfrecuencia debeaplicarseladiscre­
cionalidadalseleccionarundiseño.Paramayorinformaciónsobrelaeleccióndeundiseñodesuperficie
derespuesta,referirseaMyersyMontgomery[85a],BoxyDraper
[16b]yKhuriyCornell [67].
11-4.1Diseñosparaajustarelmodelodeprimerorden
Supongaquequiereajustarseelmodelodeprimerordenen kvariables
·'1
k
y=f30+2:f3iX¡+8
i=l
(11-14)
Hayunaclaseúnicadediseñosqueminimizanlavarianzadeloscoeficientesderegresión{~i}'Setrata
delosdiseñosdeprimerordenortogonales.
Undiseñodeprimerordenesortogonal sitodosloselemen­
tosqueestánfueradeladiagonaldelamatriz(X'X)soncero.Estoimplicaquelasumadelosproductos
cruzadosdelascolumnasdelamatrizXseacero,
Laclasedelosdiseñosdeprimerordenortogonalesincluyelosfactoriales 2
k
ylasfraccionesdelase­
rie
2
k
enlasquelosefectosprincipalesnosonaliasentre sí.Alusarestosdiseñossesuponequelosniveles
bajoyaltodelos
kfactoresestáncodificadosenlosnivelesusuales ±1.
Eldiseño2
k
nopermitelaestimacióndelerrorexperimentalamenosquesehaganréplicasdealgu­
nascorridas.
Unmétodocomúndeincluirlasréplicaseneldiseño 2
k
esaumentareldiseñoconvariasob­
servacionesenelcentro(elpunto
Xi=0,i=1,2,'oo,k).Laadicióndepuntoscentrales aldiseño2
k
no
influyeenlas
{~¡}parai;:::1,perolaestimaciónde f30seconvierteenelgranpromediodetodaslasobser-
vaciones.Además,laadicióndepuntoscentralesnoalteralapropiedaddeortogonalidaddeldiseño.
En

470. 456 CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFICIESDERESPUESTA
x,
0.)
X
3
b)
Figura11-19El.diseñosímplexpara
a)le=2variablesyb)le=3variables.
elejemplo11-1seilustraelusode undiseño2
2
aumentadoconcincopuntoscentralesparaajustar unmo­
delodeprimerorden.
Otrodiseñodeprimer
ordenortogonaleseldiseñosímplex. Eldiseñosímplex esunafiguradelados
regularesconk
+1vérticesenkdimensiones.Por 10tanto,eldiseñosímplex parak=2esuntriángulo
equilátero,y
parak=3esuntetraedroregular. Enlafigura11-19semuestrandiseñossímplexdedosy
tresdimensiones.
11~4.2 Diseñosparaajustarelmodelodesegundoorden
Enelejemplo11-2sehizolaintroduccióninformal(einclusoantes enelejemplo6-6)deldiseñocentral
compuestooDCC
paraajustarunmodelodesegundoorden.Se tratadelaclasemáspopulardediseños
usados
paraajustarestosmodelos. Engeneral,el DCCconstade unfactoria12
k
(odeunfactorialfraccio­
nadoderesoluciónV)con
11
Fcorridas,2kcorridasaxialesoestrellay 11ccorridascentrales. Enlafigura
11-20semuestrael
DCCparak=2 Yk=3factores.
Eldespliegueprácticode unDCCsurgeconfrecuenciaatravésdelaexperimentaciónsecuencial,
comoenlosejemplos11-1y11-2.Esdecir,se
hausadoundiseño2
k
paraajustarunmodelodeprimeror­
den,estemodelo
hapresentadofaltadeajuste,ydespuésseagregaronlascorridasaxiales parapermitirla
incorporacióndelostérminoscuadráticos
enelmodelo.El DCCesundiseñomuyeficiente paraajustar
elmodelodesegundoorden.Haydosparámetros
eneldiseñoquedebenespecificarse:ladistancia ade
lascorridasaxialesalcentrodeldiseñoyelnúmerodepuntoscentrales
11
c
.Acontinuaciónseanalizala
eleccióndeestosdosparámetros.

471. 11-4DISEÑOSEXPERIMENTALESPARAAJUSTAR SUPERFICIESDERESPUESTA 457
Figura11-20Diseñoscentralescompuestospara k=2 Yk=3.
--_'I---b~-I---¡"""--X1
(O,a)
(-1,+1) (+1,+1)
(-a,O) (0,0)(a,O)
(-1,-1) (+1,-1)
(O,-a)
Rotabilidad
Es
importantequeelmodelodesegundo ordenproporcionebuenasprediccionesentodalaregióndein­
terés.
Unamaneradedefinir"buenas"esrequerirqueelmodelotengaunavarianzarazonablemente
consistenteyestabledelarespuesta
predichaenlospuntosdeinterésx.Recuerde,porlaecuación10-40,
que
lavarianzadelarespuesta predichaenalgúnpuntoxes
V[Y(x)]=a
2
x'(X'Xr
1
x
BoxyHunter[17a]propusieronque undiseñodesuperficie derespuestadesegundoordendebeserrota­
ble.
Estosignificaquela
V[Y(x)]eslamisma entodoslos puntosxqueestánalamismadistanciadelcen­
trodeldiseño.
Esdecir,lavarianzade larespuestapredichaesconstanteenesferas.
Enlafigura11-21se muestranloscontornosde
v'V[Y(x)]constanteparaelajustedelmodelo dese­
gundo
ordenutilizandoel DCCenelejemplo·11-2.Observequeloscontornosdedesviación estándar
constantedelarespuestapredichasoncírculosconcéntricos. Undiseñocon estapropiedaddejarálava­
rianzade
ysincambiocuandoeldiseñose rotaalrededordelcentro(O,0,...,O),deahíel nombrededise­
ño
rotable.
Larotabilidades unabaserazonableparalaselecciónde undiseñodesuperficiederespuesta.Puesto
quelafinalidad de
laMSReslaoptimización,y lalocalizacióndelóptimosedesconoceantes decorrerel
experimento,tienesentidoelusode
undiseñoque proporcioneunaprecisióndeestimaciónigual ento­
daslasdirecciones
(puededemostrarsequecualquierdiseñode primerordenortogonalesrotable).
Undiseñocentralcompuestosehacerotable mediantelaeleccióndea.Elvalorde aparalarotabili­
dad
dependedelnúmerodepuntosenlaporciónfactorialdeldiseño; dehecho,a=(fI
F
)1/4produceundi­
señocentralcompuestorotable,
donde
n
Feselnúmerodepuntosusadosenlaporciónfactorialdel
diseño.
El
DCCesférico
Larotabilidades unapropiedadesférica;esdecir,tienemayorsentidocomocriterio dediseñocuandola
regióndeinteréses
unaesfera.Sinembargo, noesimportantetenerunarotabilidadexacta paratenerun
buendiseño.Dehecho,paraunaregiónesférica deinterés,lamejorelecciónde adesdeel puntodevista
de
lavarianzadepredicciónparaelDCCeshacera=
Vk.Estediseño,llamadoDCCesférico,colocato­
doslospuntosfactorialesyaxialesdeldiseñosobrelasuperficie deunaesferaderadioVk.Paraunaexpo­
siciónmásampliadeltema,verMyersyMontgomery[85a].

472. 458 CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFICIESDERESPUESTA
0.3019 0.3484
b)Lagráficadelasuperficiederespuesta
Figura11-21Contornosdedesviaciónestándarcons­
tantedelarespuestapredicha
paraelDCCrotable,ejem­
plo11-2.
0.3019
87.36
92.07
89.24
86.41
83.59o
80.76
-<;\0~9
77.93
a)Contornosde~V[y(x)1
182.1
179.2
176.4
)'$
0.0173.6
19¡-"t...,,,170.8
" 167.9
0.3020
0.1161
0.3949
179.7
172.6
170.3
~
;;;¡
ro
O;175.0
Q.
E
~
~0.2091
CorridascentralesenelDCC
Laelecciónde aenelDCCestádictadaprincipalmente porlaregióndeinterés.Cuandoestaregión es
unaesfera,eldiseñodebeincluircorridascentrales paraproporcionarunavarianzarazonablementees­
tabledelarespuestapredicha.
Engeneral,serecomiendandetresacincocorridascentrales.
Eldiseño
deBox-Behnken
Box
yBehnken[13]hanpropuestoalgunosdiseñosdetresniveles paraajustarsuperficiesderespuesta.
Estosdiseñosseformancombinandofactoriales
2
k
condiseñosdebloquesincompletos.Losdiseñosre-

473. 11-4DISEÑOSEXPERIMENTALESPARAAJUSTAR SUPERFICIESDERESPUESTA 459
Tabla11-8DiseñodeBox- Behnken
paratresvariables
Corrida Xl X
2
X
3
1 -1 -1 O
2 -1 1 O
3 1 -1 O
4 1 1 O
5 -1 O -1
6 -1 O 1
7 1 O -1
8 1 O 1
9 O -1 -1
10 O -1 1
11 O 1 -1
12 O 1 1
13 O O O
14 O O O
15 O O O
sultantessuelensermuyeficientes entérminosdel númerorequeridodecorridas,ysonrotablesocasiro­
tables.
Enlatabla11-8semuestra eldiseñodeBox-Behnken paratresvariables.Eldiseñotambiénseilustra
geométricamente
enlafigura11-22.ObservequeeldiseñodeBox-Behnkenes undiseñoesférico,conto­
doslospuntoslocalizados
enunaesferade
radio...n.Asimismo,eldiseñodeBox-Behnkennocontiene
ningún
puntoenlosvérticesdelaregióncúbicacreada porloslímitessuperior.einferiordecadavariable.
Esto
podríaserunaventaja cuandolospuntosdelosvérticesdelcuborepresentancombinacionesdelos
nivelesdelosfactorescuya
pruebaesprohibitivamentecostosaoimposibledebidoarestriccionesfísicas
delproceso.
Regióncuboidaldeinterés
Existenmuchassituaciones
enlasquelaregióndeinterésescuboidal enlugardeesférica. Enestoscasos,
unavarianteútildeldiseñocentralcompuestoeseldiseño
centralcompuestoconcentrosen lascarasoel
cuboconcentrosenlascaras,
enelquea=1.Enestediseñolospuntosaxialesoestrellaselocalizan en
loscentrosdelascarasdelcubo,comosemuestra enlafigura11-23 parak=3.Estavariantedeldiseño
centralcompuestoseusa
enocasionesd.ebidoaquesólo requieretresnívelesdecadafactor,y enlaprác-
+1
.-1
Figura11·22DiseñodeBox-Behnkenparatres
factores.
Figura11-23Diseñocentralcompuestoconcentros
enlascaraspara
k
==3.
.<:.

474. fl
460 CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFICIESDERESPUESTA
-1.00 -1.00
(a)Superficiederespuesta
Xl
lb)Gráficadecontorno
Figura11-24 Desviaciónestándardelarespuestapredicha~V[y(x)] paraelcubocon
centrosenlascarascon
k=3,/le=3 YX
3=O.

475. 11-4DISEÑOSEXPERIMENTALESPARAAJUSTAR SUPERFICIESDERESPUESTA 461
---t+--..--\-t---x,--'---"---¡~--Xl
al b)
Figura11·25Diseñosequirradialesparadosvariables. a)Hexágono.b)Pen­
tagono.
ticaconfrecuencia esdifícilcambiarlosnivelesdelosfactores.Sinembargo,observequelosdiseñoscen­
tralescompuestosnosonrotables.
Elcuboconcentrosenlascarasnorequieretantospuntoscentralescomoel DCCesférico.Enla
práctica,
nc=2 o 3essuficiente paraproporcionarunabuenavarianzadepredicciónentodalaregión ex­
perimental.Cabeseñalarque enocasionesseemplearánmáscorridascentrales paradarunaestimación
razonabledel
errorexperimental.Enlafigura11-24semuestralaraízcuadradadelavarianzadepredic­
ción
v'V[5'(x)]delcuboconcentros enlascarasparak=3connc=3puntoscentrales (x
3=O).Observe
queladesviaciónestándardelarespuestapredichaesrazonablementeuniformeen
unaporciónrelativa­
mentelargadelespaciodeldiseño.
Otrosdiseños
Existenmuchosotrosdiseñosdesuperficiederespuestaque enocasionessonútilesenlapráctica.Para
dosvariables,podríanusarsediseñoscompuestosdepuntoscuyaseparación
enuncírculoesigualyque
formanpolígonosregulares.Puestoquelospuntosdeldiseñosonequidistantesdelorigen,aestosarre­
glosconfrecuenciaselesllamadiseñosequirradiales.
Parak
=2,undiseñoequirradialrotableseobtienecombinandon z
;:::5puntoscon unaseparación
igual
enuncírculocon nI
;:::1puntoenelcentrodelcírculo.Diseñosdeparticularutilidad parak=2son
elpentágonoyelhexágono.Estosdiseñossemuestran
enlafigura11-25.Otrosdiseñosútilesincluyenel
diseñocompuestopequeño,elcualconsiste
enunfactorialfraccionado enelcuboderesoluciónIII*(los
efectosprincipalessonaliasdelasinteraccionesdedosfactoresyningunadelasinteraccionesdedosfac­
toresesaliasentresí)ylascorridasaxialesycentralesusuales,ylaclasedelosdiseñoshíbridos.Estosdi­
seños
puedenserdevalorconsiderablecuandoesimportantereducirelnúmerodecorridastantocomo
seaposible.
Enlatabla11-9semuestra undiseñocompuestopequeño parak=3factores.Estediseñousalafrac­
ción
unmedioestándardeldiseño2
3
enelcubo,yaquesatisfaceloscriteriosdelaresoluciónIII*.Eldise­
ñotienecuatrocorridasenelcuboyseiscorridasaxiales,ydebeincluiralmenos
unpuntocentral.Porlo
tanto,eldiseñotiene
unmínimodeN =11ensayos,yelmodelodesegundoorden enk=3variablestiene
p=10parámetrosporestimar,porloquese tratadeundiseñomuyeficienteconrespectoalnúmerode
conidas.
Eldiseñodelatabla11-9tienenc =4corridascentrales.Seseleccionóa =1.73paraobtenerun
diseñoesféricodebidoaqueeldiseñocompuestopequeñonopuedehacerserotable.
Enlatabla11-10semuestra undiseñohíbrido parak=3.Algunosdeestosdiseñostienenniveles
irregulares,yestopuedeser
unfactorlimitante parasuaplicación.Sinembargo,se tratadediseñosmuy

476. ~'l
, I
l'
462 CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFICIESDERESPUESTA
Tabla11-9Diseñocompuestopequeño
parak=3factores
Orden
estándar
Xl
X
2 X3
1 1.001.00 -1.00
2 1.00 -1.00 1.00
3 -1.001.00 1.00
4 -1.00-1.00 -1.00
5 -1.730.00 0.00
6 1.730.00 0.00
7 0.00
-1.73 0.00
8 0.001.73 0.00
9 0.000.00 -1.73
10 0.000.00 1.73
11 0.000.00 0.00
12 0.000.00 0.00
13 0.000.00 0.00
14 0.000.00 0.00
pequeños,y poseenexcelentespropiedadesdelavarianzadepredicción. Paramayoresdetallesacercade
losdiseñoscompuestospequeñosylosdiseños1uoridos,referirseaMyersyMontgomery[85a].
11~4.3 Formacióndebloquesenlosdiseñosdesuperficiederespuesta
Cuandose usandiseñosdesuperficiederespuesta, confrecuenciaesnecesarioconsiderarlaformación
debloques
paraeliminarlasvariablesperturbadoras. Porejemplo,esteproblema puedeocurrircuando
undiseñodesegundo ordenseensamblasecuencialmentea partirdeundiseñodeprimerorden,comose
ilustró
enlosejemplos11-1y11-2.Puedetranscurrirtiempoconsiderable entrequesecorre elmodelode
primer
ordenysecorrenlosexperimentoscomplementariosrequeridos paraconstruirundiseñodese-
Tabla
11-10Diseñohíbridoparak=3
factores
Orden
estándar
Xl X
2 x
3
1 0.00 0.00 1.41
2 0.00 0.00 -1.41
3 -1.00
-1.00 0.71
4 1.00
-1.00 0.71
5 -1.00 1.00 0.71
6 1.00 1.00 0.71
7 1.410.00 -0.71
8 -1.41 0.00 -0.71
9 0.00 1.41 -0.71
10 0.00-1.41 -0.71
11 0.00 0.00 0.00

477. ,i
11-4DISEÑOSEXPERIMENTALESPARAAJUSTAR SUPERFICIESDERESPUESTA 463
gundoorden,yduranteestetiempolascondicionesdepruebapuedencambiar,haciendonecesarialafor­
macióndebloques.
Sediceque
undiseñodesuperficiederespuestaseformadebloquesortogouales sisedivideenblo­
questalesquesusefectosnoafectenlasestimacionesdelosparámetrosdelmodelodesuperficiederes­
puesta.
Siseusaundiseño 2/co2/c-Pcomoundiseñodesuperficiederespuestadeprimerorden,pueden
usarselosmétodosdelcapítulo7
paradisponerlascorridas en2'bloques.Lospuntoscentralesdeestos
diseñosdeberánasignarseporigualentrelosbloques.
Parahacerlaformacióndebloquesortogonalesdeundiseñodesegundoorden,debensatisfacerse
doscondiciones.Sihay
n
bobservacionesenelbloqueb-ésimo,entoncesestascondicionesson
1.Cadabloquedebeserundiseñoortogonaldeprimerorden;esdecir,
nb
LXillX
jll=Oi=;t:.j=0,1,..., k
u=l
paratodab
dondeX
illYx
jusonlosnivelesdelasvariablesi-ésimayj-ésima enlacorridau-ésimadelexperi­
mentocon
X
Oll
=1paratoda u.
2.Lafraccióndelasumadecuadradostotal paracadavariableconquecontribuyecadabloque,
debe
serigualalafraccióndelasobservacionestotales queestáncontenidasenelbloque;
esdecir,
nb
Lx~
ll=l
N
LX~t
ll=l
i=1,2,...,k paratodab
dondeNeselnúmerodecorridasdeldiseño.
Como
unejemplodelaaplicacióndeestascondiciones,considere undiseñocentralcompuestorota­
ble
enk
=2variablescon N=12corridas.Losniveles XlyX
2deestediseñopuedenescribirseenlamatriz
deldiseño
Xl X
2
1Bloqoe1
-1 -1
1 -1
-1
1
1 1
O O
D=
O O
1.414O
-1.414O
O 1.414
Bloque2
O -1.414
O O
O O
Observequeeldiseñose hadispuestoendosbloques,conelprimerbloqueconsistiendoenlaporción
factorialdeldiseñomásdospuntoscentralesyelsegundobloqueconsistiendoenlospuntosaxialesmás

478. ,
i
464 CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFICIESDERESPUESTA
dospuntoscentralesadicionales.Esclaroquelacondición1sesatisface;esdecir,ambosbloquesson di­
señosdeprimerordenortogonales. Parainvestigarlacondicióndos,considereprimeroelbloque1 yob­
serveque
~X¡"=~xi"=4
u=l 1l=1
Porlotanto,
N N
Lx¡"=Lxi"=8
u=l 1l=1
",
L Xi~l
u=l nI
N
N
L
X~l
1l=1
46
--
812
y
ASÍ,lacondición2sesatisface enelbloque1.Paraelbloque2setiene
Porlotanto,
u=!
2 _
~
Xl"-,LJ
u=l
2 -4
X
211
-
",
L
2
X
iu
n
2u=l
N
N
L
o
X'~l
u=l
4 6
-=
-
812
y
Puestoquelacondición2tambiénsesatisfaceenelbloque 2,estediseñoestáformadodebloquesortogonales.
Engeneral,eldiseñocentralcompuesto siempre puedeconstruirseparahacerlaformacióndeblo­
quesortogonales
endosbloquesconelprimerbloqueconsistiendo ennFpuntosfactorialesmás nCFpun­
toscentrales
yelsegundobloqueconsistiendo ennA=2kpuntosaxialesmás nCApuntoscentrales. La
primeracondicióndelaformacióndebloquesortogonalessecumplirásiempreindependientementedel
valorqueseuse
paraaeneldiseño.Paraque lasegundacondiciónsecumpla,
Ix~,
"
",
LXi:'
"
(11-15)
(11-16)
Elmiembroizquierdode laecuación11-15es
2a
2
/np,ydespuésdesustituirestacantidad,laecuaciónpara
elvalorde
aqueresultaráenlaformacióndebloquesortogonales puederesolversecomo
[ ]
112
a=nF(nA+nCA)
2(n
F
+n
CF
)

479. 11-4DISEÑOSEXPERIMENTALESPARAAJUSTAR SUPERFICIESDERESPUESTA 465
Estevalordeanodarácomoresultado, engeneral,undiseñorotableoesférico.Siserequierequeel
diseño
tambiénsearotable,entonces a=(n
F
)I/4Y
1/?nF(nA+nCA)
(n
F
)
-= (11-17)
2(nF+nCF)
Nosiempreesposible encontrarundiseñoquesatisfagaexactamente laecuación11-17.Porejemplo,si
k=3,nF=8 YnA=6,laecuación11-17sereducea
1/
?8(6+n
CA
)
(8)-=---.:..-----=:"--'--
2(8+nCF)
2.83=48+8n
CA
16+2nCF
Esimposibleencontrarvaloresde nCAYnCFquesatisfaganexactamente estaúltimaecuación.Sin
embar­
go,observequesinCF=3 Yn
CA=2,entonceselsegundo miembroes
48+8(2)
2.91
16+2(3)
porloqueeldiseñose separaenbloquescasiortogonales. Enlaprácticapodríarelajarseuntantoelre­
querimientodelarotabilidado bieneldelaformacióndebloquesortogonalessinninguna pérdidaim­
portantedeinformación.
Eldiseñocentralcompuestoesmuyversátil encuantoa sucapacidadparaincorporarlaformación
debloques.Si
keslosuficientementegrande, laporciónfactorialdeldiseño puededividirseendosomás
bloques.
(Elnúmerodebloquesfactorialesdebeser unapotenciade2,conlaporciónaxialformando un
solobloque.)Enlatabla
11-11sepresentanvariasdisposicionesútilesde laformacióndebloques parael
diseño
centralcompuesto.
Tabla
11-11Algunosdiseñoscentralescompuestosrotables ycasirotablesque seseparanenbloquesortogonales
5 6 7
k 2 3 4 5tRepo6 tRepo 7tRepo
Bloque(s)factorial(es)
nF 4 8 16 32 16 64 32 128 64
Númerodebloques 1 2 2 4 1 8 2 16 8
Númerodepuntosencada
bloque
4 4 8 8 16 8 16 8 8
Númerodepuntoscentrales
encada bloque
3 2 2 2 6 1 4 1 1
Númerototaldepuntosen
cada bloque
7 6 10 10 22 9 20 9 9
Bloqueaxial
nA 4 6 8 10 10 12 12 14 14
nCA 3 2 2 4 1 6 2 11 4
Númerototaldepuntosenel
bloqueaxial
7 8 10 14 11 18 14 25 18
Númerototaldepuntos Ndel
diseño
14 20 30 54 33 90 54 169 80
Valoresdea
Separaciónenbloquesortogonales 1.41421.63302.00002.36642.0000 2.82842.36643.36362.8284
Rotabilidad 1.41421.68182.00002.37842.00002.8284 2.37843.33332.8284

480. 466 CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFICIESDERESPUESTA
Cabedestacardospuntosimportantesacercadelanálisisdevarianzacuandoeldiseñodesuperficie
derespuestasehacorrido
enbloques.Elprimeroserefierealuso delospuntoscentrales paracalcular
unaestimacióndelerrorpuro.Sólolospuntoscentralesquesecorrenenelmismobloque puedenconsi­
derarsecomoréplicas,
porloqueeltérminodelerror purosólopuedecalcularsedentrodecadabloque.
Silavariabilidad
esconsistenteentodoslosbloques,entoncesestasestimacionesdelerror puropodrían
agruparse.
Elsegundopuntoserefierealefectodebloque.Sieldiseñoseformadebloquesortogonales
en
mbloques,lasumadecuadradosdelosbloqueses
ni
SSBloques=L
b=!nb
N
(11-18)
dondeE
beseltotaldelasn
bobservacionesenelbloqueb-ésimoy Geselgrantotaldelas Nobservaciones
enlos
mbloques.Cuandolosbloquesnosonexactamenteortogonales,puedeusarselapruebageneralde
significacióndelaregresión(elmétododela"sumadecuadradosextra")quesedescribióenelcapítulo
10.
11~4.4 Diseños(óptimos)generadosporcomputadora
Losdiseñosestándaresdesuperficiederespuestaestudiados enlasseccionesanteriores,comoeldiseño
centralcompuestoyeldiseñodeBox-Behnkenysusvariantes(comoelcuboconcentrosenlascaras),son
deusogeneralizadoporquesondiseñosbastantegeneralesyflexibles.Silaregiónexperimentalesun
cuboo
unaesfera,de maneratípicaexiste undiseñodesuperficiederespuestaqueseráaplicablealpro­
blema.Sinembargo,ocasionalmente
unexperimentadorseencuentracon unasituaciónenlaqueeldise­
ñoestándardesuperficiederespuesta
puedenoserunaelecciónobvia.Los diseñosgeneradospor
computadora
sonunaalternativaporconsiderarenestoscasos.
Haytressituacionesenlasquepuedeserapropiadoalgúntipodediseñogenerado
porcomputadora.
1.Unaregiónexperimentalirregular. Silaregióndeinterésdelexperimento noesuncuboo unaesfera,
losdiseñosestándaresquizánoseanlamejorelección.Lasregiones
deinterésirregularesocurrencon
bastantefrecuencia.Porejemplo,
unexperimentadorestáinvestigandolaspropiedadesde unadhesivo
particular.
Eladhesivoseaplicaadospiezasydespuéssecuraa unatemperaturaelevada.Losdosfacto­
resdeinteréssonlacantidad
deadhesivoaplicadayla temperaturadecurado.Enlosrangosdeestosdos
factores,tomadoscomo
-1a+1enlaescaladelavariablecodificadausual,elexperimentadorsabequesi
seaplicamuypocoadhesivoylatemperaturadecuradoesmuybaja,laspiezas
nosepegaránsatisfacto­
riamente.
Entérminosdelasvariablescodificadas,estollevaa unarestricciónsobrelasvariablesdeldise­
ño,
porejemplo
dondex
lrepresentalacantidadaplicadadeadhesivo YXzlatemperatura.Además,sila temperaturaesde­
masiadoelevadayseaplicamuchoadhesivo,laspiezasresultarándañadas
porlafatigatérmicaobien
ocurrirá
unpegadoinadecuado.Porlotanto,hay otrarestricciónsobrelosnivelesdelosfactores
Xl+Xz
:51
Enlafigura11-26semuestralaregiónexperimentalqueresultadeaplicarestasrestricciones.Observe
quelasrestriccioneseliminandehechodosdelosvérticesdelcuadrado,produciendo
unaregiónexperi-

481. 11-4DISEÑOSEXPERIMENTALESPARAAJUSTAR SUPERFICIESDERESPUESTA 467
0.5
-1.0 -0.5 b
x,
0.5 1.0
Figura11-26Regiónrestringidadeldiseñoendosvariables.
mentalirregular(enocasionesaestasregionesirregularesselesllama"latasabolladas").Noexistenin­
gúndiseñodesuperficiederespuestaestándarqueseajusteexactamenteaestaregión.
2.Unmodelonoestándar. Porlogeneral,
~~experimentadorelige unmodelodesuperficiederespues­
tadeprimerodesegundoorden,conscientedequeestemodeloempíricoes unaaproximacióndelverda­
deromecanismosubyacente.Sinembargo,enocasioneselexperimentadorpuede
tenerunconocimiento
oideaespecialacercadelprocesobajoestudioque
puedesugerirunmodelonoestándar.Porejemplo,el
modelo
y=f30+f31xl+f32x2+f312xIX2+
f3llx~+f322xi
+f31l2X~X2 +f31112X;X2+E
puedeserdeinterés.Elexperimentadorestaríainteresado enobtenerundiseñoeficiente paraajustar
estemodeloreducidodecuartograqo.Comootrailustración,enocasionesseencuentranproblemasde
superficiederespuesta
enlosquealgunosdelosfactoresdeldiseñosonvariablescategóricas.Nohaydi­
señosdesuperficiederespuestaestándares
paraestasituación(referirseaMyersyMontgomery[85a]
para
unestudiodelasvariablescategóricas enproblemasdesuperficiederespuesta).
3.Requerimientosinusualesparaeltamaño delamuestra.Ocasionalmente,unexperimentadorquizá
necesitereducirelnúmerodecorridasrequeridas
enundiseñoestándardesuperficiederespuesta.Por
ejemplo,supongaquesepretendeajustar
unmodelodesegundoorden encuatrovariables.Eldiseño
centralcompuesto
paraestasituaciónrequiereentre 28y30corridas,dependiendodelnúmerodepuntos
centralesseleccionados.Sinembargo,elmodelosólotiene
15términos.Silascorridastienen uncosto
muyelevadoosellevanmuchotiempo,elexperimentadorquerrá
undiseñoconmenosensayos.Aun
cuandolosdiseñosgenerados
porcomputadorapuedenusarseparaestefin,porlogeneralsecuentacon
enfoquesmejores.Porejemplo,puedeconstruirse
undiseñocompuestopequeño paracuatrofactores

482. 468 CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFICIESDERESPUESTA
con20corridas,incluyendocuatropuntoscentrales,y tambiénsecuentaconundiseñohíbrido conape­
nas16corridas.Éstasson
engeneraleleccionessuperioresaluso deundiseñogeneradoporcomputado­
raparareducirel númerodeensayos.
Granpartedeldesarrollodelosdiseñosgenerados porcomputadorasederivadeltrabajo deKiefer
[65a,b]yKieferyWo1fowitz[66]
enlateoríadelosdiseñosoptimales. Pordiseñooptimalseentiendeun
diseño
quees"mejor"conrespectoaalgúncriterio. Serequierenprogramasdecomputadoraparacons­
truirestosdiseños. Elenfoqueusualesespecificar unmodelo,determinarlaregióndeinterés,seleccio­
narelnúmerodecorridasquedeberánhacerse,especificarelcriterio deoptimalidadydespuéselegirlos
puntosdeldiseñode unconjuntode puntoscandidatosqueelexperimentadorconsideraríausar. Dema­
neratípica,lospuntoscandidatosson unamatrizdepuntosdistribuidosenlaregiónfactibledeldiseño.
Hayvarioscriteriosdeoptimalidadpopulares. Quizáeldeusomásgeneralizadoeselcriterio deopti­
malidad
D.Sediceque undiseñoesoptimalDsi
seminimiza.
Ocurrequeundiseñooptimal Dminimizael volumendelaregióndeconfianzaconjunta
paraelvectordeloscoeficientesderegresión. Unamedidadelaeficienciarelativadeldiseño1respecto
deldiseño2deacuerdo
conelcriterioDestádadapor
(11-19)
dondeXlY X
2sonlasmatricesXdelosdosdiseñosy peselnúmerodeparámetrosdelmodelo.
ElcriteriodeoptimalidadAsólose ocupadelasvarianzasdeloscoeficientesderegresión.Undiseño
es
optimalAsiminimizala sumadeloselementos dela
dÜj.gonalprincipalde(X'xt
l
[aéstaselellamala
trazade(X'xt\denotadageneralmentecomotr(X'Xt
l
].Porlotanto,undiseñooptimalAminimizala
sumadelasvarianzasdeloscoeficientesderegresión.
Puestoquemuchosexperimentosdesuperficie derespuestaserefierenalaprediccióndelarespues­
ta,loscriteriosdelavarianzadepredicciónsonde
graninteréspráctico.Quizáselmás populardeestos
criterios
seaelcriteriodeoptimalidad G.Sediceque undiseñoesoptimalGsiminimiza lavarianzade
predicciónescaladamáxima
enlaregióndeldiseño. Esdecir,sielvalormáximo de
enlaregióndeldiseñoes unmínimo,dondeNeselnúmerodepuntosdeldiseño.Sielmodelotiene ppa­
rámetros,laeficienciaGde
undiseñoesprecisamente
p
G
e=
,NV[5'(x)]
max ?
a-
(11-20)
ElcriterioVconsideralavarianzadepredicción enunconjuntodepuntosdeinterésenlaregióndeldise­
ño,
porejemploXl'X
2
,•••, XIII.Elconjuntodepuntospodríaserelconjuntodecandidatosdelqueseselec­
cionóeldiseño,o
podríaseralgunaotracolecciónde puntosquetienenunsignificadoespecífico parael
experimentador.
Undiseñoqueminimizalavarianza depredicciónpromedioenesteconjuntodempun­
toses
undiseñooptimal V.
Enconjunto,aloscriteriosdediseño quesehanvenidoestudiandosuelellamárselescriteriosdeop­
timalidadalfabética.Existenalgunassituaciones
enlasqueeldiseñooptimalalfabéticoseconoceo bien

483. 11-4DISEÑOSEXPERIMENTALESPARAAJUSTAR SUPERFICIESDERESPUESTA 469
puedeconstruirseanalíticamente. Unbuenejemploeseldiseño2\queesoptimal D,A,G YVparaajus­
tarelmodelodeprimerordenenkvariableso
paraajustarelmodelodeprimerordenconinteracción.
Sinembargo,
enlamayoríadeloscasoseldiseñooptimalnoseconoceydebeemplearse unalgoritmoba­
sado
encomputadoraparaencontrarundiseño.Muchospaquetesdesoftwaredeestadísticaquesopor­
tanexperimentosdiseñadoscuentanconestacapacidad.
Lamayoríadelosprocedimientosparaconstruir
diseñossebasan
enelalgoritmodeintercambio. Enesencia,elexperimentadorseleccionaunamatrizde
puntoscandidatosy
undiseñoinicial(quizáalazar)apartir deesteconjuntodepuntos.Entonceselalgo­
ritmointercambialospuntosqueestánenlamatriz,perono
eneldiseño,conlospuntosqueestánactual­
mente
eneldiseño,en unesfuerzopormejorarelcriteriodeoptimalidadseleccionado.Debidoaqueno
seevalúanexplícitamentetodoslosdiseñosposibles,nohaygarantíadequese
haencontradoundiseño
optimal,peroelprocedimientodeintercambiosueleasegurarqueseobtiene
undiseñoqueestá"cerca"
deloptimal.Algunasimplementacionesrepitenvariasveceselprocesodeconstruccióndeldiseño,empe­
zandocondiseñosinicialesdiferentes,
paraincrementarlaposibilidaddequeseobtendrá undiseñofinal
queestémuycercadeloptimal.
Parailustraralgunasdeestasideas,considereelexperimentodeladhesivoexpuestoanteriormentey
quellevóalaregiónexperimentalirregulardelafigura11-26.Supongaquelarespuestadeinterésesla
fuerzadedesprendimientoyquequiereajustarse
unmodelodesegundoorden paraestarespuesta.Enla
figura
11-27asemuestraundiseñocentralcompuestoconcuatropuntoscentrales(12corridasentotal)
inscritodentrodeestaregión.Se
tratadeundiseñoquenoesrotable,peroesel DCCmásgrandeque
puedeajustarsedentrodelespaciodeldiseño.Paraestediseño
I
(X'xt11=1.852E-2,Ylatrazade(X'xt
1
es6.375.Enlafigura11-27atambiénsemuestranloscontornosdedesviaciónestándarconstantedela
respuestapredicha,calculadasuponiendoque
a=1.Enlafigura11-27bsemuestralagráficadesuperfi­
ciederespuestacorrespondiente.
Enlafigura11-28ayenlatabla11-12semuestraundiseñooptimalDde12corridasparaesteproble­
ma,generadoconelpaquetedesoftware
Design-Expert.Paraestediseño, I
(X'xt11=2.153E-4.Observe
queelcriterio
Desconsiderablementemejor paraestediseñoqueel DCCinscrito.Laeficienciarelativa
del
DCCinscritoconrespectoaldiseñooptimal Des
Esdecir,el
DCCinscritotiene unaeficienciadesólo47.6%queladeldiseñooptimalD.Estoimplicaque
tendríanquehacerse1/0.476
=2.1réplicasdel DCC(oaproximadamenteeldoble)paratenerlamisma
precisióndelaestimacióndeloscoeficientesderegresiónquelaqueseconsigueconeldiseñooptimalD.
Latrazade
(X'xt
1
es2.516paraeldiseñooptimal D,locualindicaquelasumadelasvarianzasdelos
coeficientesderegresiónesconsiderablementemás
pequeñaparaestediseñoque paraelDCC.Enlasfi­
guras
11-28aybsemuestrantambiénloscontornosdedesviaciónestándarconstantedelarespuestapre­
dichaylagráficadelasuperficiederespuestaasociada(suponiendoque
a=1).Engeneral,loscontornos
deladesviaciónestándardelapredicciónsonmásbajos
paraeldiseñooptimalDqueparaelDCCinscri­
to,particularmentecercadeloslímitesdelaregióndeinterés,dondeel
DCCinscritonoincluyeninguno
delospuntosdeldiseño.
Enlafigura11-29asemuestrauntercerdiseño,creadoaltomarlasdosréplicasdelosvérticesdela
.regióneneldiseñooptimalDypasarlasalcentrodeldiseño.Estopodríaser unaideaútil,yaquelafigura
11-28bmuestraqueladesviaciónestándardelarespuestapredichaseincrementaligeramentecercadel
centrodelaregióndeldiseño
paraeldiseñooptimalD. Enlafigura11-29asemuestrantambiénloscon­
tornosdedesviaciónestándarconstantedelapredicción
paraestediseñooptimalD modificado,yenlafi-

484. 470 CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFICIESDERESPUESTA
1.000.500.00
1.00
0.50
-1.001------
-1.00 -0.50
-0.50
>iN0.00
%,
(a)Eldiseñoyloscontornosde"'¡V(9(xll/oZconstante
-0.50
-0.50
(1))Lagráficadesuperficiederespuesta
Figura11·27 Undiseñocentralcompuestoinscritoparalaregiónrestringidadeldiseño
delafigura11-26.

485. 2
1.000.500.00
11-4DISEÑOSEXPERIMENTALESPARAAJUSTAR SUPERFICIESDERESPUESTA 471
2
-0.50
x,
-1.00 L ~~..:::::::~ __--.J~-__......=::t:::i..
-1.00
l-{N0.00
(a)EldiseñoyloscontornosdeN[ji(x)1/0'constante
-1.00 -1.00
IblLagráficadesuperficiederespuesta
Figura11-28 UndiseñooptimaI Dparalaregiónrestringidadeldiseñodelafigura
11-26.

486. 472 CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFICIESDERESPUESTA
TablaU-12DiseñooptimalDparala
regiónrestringidadela
figura
11-26
Orden
estándar
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Xl
-0.50
1.00
-0.08
-1.00
1.00
0.00
-1.00
0.25
-1.00
1.00
0.00
-0.08
X
2
-1.00
0.00
-0.08
1.00
-1.00
1.00
0.25
-1.00
-0.50
0.00
1.00
-0.08
gura11-29bsemuestralagráficadelasuperficiederespuesta.ElcriterioDparaestediseñoes I
(X'xyll
=3.71E-4,Ylaeficienciarelativaes
D=(I(X;X2fll)lIP=(0.0002153)1/6=0.91
eI(X~Xlfll 0.000371
Esdecir,estediseñoescasitaneficientecomoeldiseñooptimalD.
Latrazade
(X'xt
l
es2.448paraeste
diseño,unvalorligeramentemayorqueelqueseobtuvo
paraeldiseñooptimalD.Loscontornosdedes­
viaciónestándarconstantedelapredicciónparaestediseñodanlaimpresiónvisualdeser
almenostan
buenoscomolosdeldiseñooptimal
D,particularmenteenelcentrodelaregión.
Losdiseñosgeneradosporcomputadoraconbaseenloscriteriosdeoptimalidadalfabéticapueden
serciertamenteútilesensituacionesenlasquelaregiónexperimentalnoesniesféricanicuboidal.Sin
embargo,nosonsustitutosdelosdiseñosestándaresenlamayoríadelosproblemas.Losdiseñosoptima­
lesalfabéticossegeneranapegándoseestrictamenteaunsolocriterio
y,comoseseñalóalprincipiodela
sección11-4,dondeseenlistaronvarioscriteriosparadiferentesdiseños, incluyenvariosquesondeca­
rácteruntantocualitativoosubjetivo.
Enproblemasexperimentalesreales, porlogeneralhaymuchos
criteriosqueesnecesarioevaluarparaseleccionar
undiseño.Para unestudiomásampliodeestetema,
referirseaMyersyMontgomery[85a,capítulo
8].
11~5EXPERIMENTOSCONMEZCLAS
Enlasseccionesanterioressepresentarondiseñosdesuperficiederespuestaparaaquellassituacionesen
lasquelosnivelesdecadafactorsonindependientesdelosnivelesdeotrosfactores.
Enlosexperimentos
conmezclas,
losfactoressonloscomponentesoingredientesdeunamezcla y,porconsiguiente,susnive­
lesnosonindependientes.Porejemplo,six
l,x
2
,
...,x
pdenotalasproporcionesde pcomponentesdeuna
mezcla,entonces
y
x+x+oo·+X =1
l.2 P
i=1,2,oo.,p
(esdecir,100%)

487. 11-5EXPERIMENTOSCONMEZCLAS 473
1'11'
1
11
1.000.500.00-0.50
-1.00L__ ~~;;::::::::::::=~--JC=~_
-1.00
-0.50
X,
la)Eldiseñoyloscontornosde~V[jilxll/a
2
constante
lb)Lagráficadesuperficiederespuesta
Figura11.29 UndiseñooptimalDmodificadoparalaregiónrestringidadeldiseñodela fi­
gura11-26.

488. r1.,
474 CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFICIESDERESPUESTA
o X,
X,+x
2
=1
a)
b)
X,
Figura11-30 Espaciodelosfactores
restringidosparamezclascona)p
=2
componentesy
b)p=3componentes.
Figura11-31 Sistemacoordenadotrilineal.
Estasrestriccionesseilustrangráficamenteenlafigura11-30para p=2 YP=3componentes.Parados
componentes,elespaciodelosfactoresdeldiseñoincluyetodoslosvaloresdelosdoscomponentesque
estánsobreelsegmentoderecta
Xl+X
2=1,concadacomponentesiendoacotado porOy1.Contres
componentes,elespaciodelamezclaes
untriánguloconvérticesquecorrespondenalasformulaciones
queson
mezclaspuras (mezclasqueson100%deunsolocomponente).
Cuandohaytrescomponentesenlamezcla,laregiónexperimentalrestringidapuederepresentarse
convenientementeen
papelmilimétricotrilineal, comosemuestraenlafigura11-31.Cadaunodelos
tresladosdelagráficadelafigura11-31representa
unamezclaquenocontienenadadealgunodelos
trescomponentes(elcomponenteindicadoenelvérticeopuesto).Lasnuevelíneasdegraduaciónen
cadadirecciónmarcanincrementosde10%enelcomponenterespectivo.
Los
diseñossímplex seusanparaestudiarlosefectosdeloscomponentesdeunamezclasobrelava­
riablederespuesta.
Undiseñosímplexreticular {p,m}parapcomponentesconstadelospuntosdefini­
dosporlossiguientesarreglosdelascoordenadas:lasproporcionesasumidasporcadacomponente
tomanlos
In+1valoresqueestánseparadosporunadistanciaigualdeO a 1,
1 2
Xi=0,-,-,"',1i=1,2,.oo,p (11-21)
m m
yseusantodaslascombinacionesposibles(mezclas)delasproporcionesdelaecuación11-21.Comoun
ejemplo,sean
p=3 Ym=2.Entonces
i=1,2,3

489. Xl=1
Retfcula[3, 2]
X,=1
X
3=1
Retfcula[4, 2]
X,=1
Retícula[3, 31
11-5EXPERIMENTOS CONMEZCLAS 475
Xl=1
X
3=1
Retícula[4, 31
Figura11-32Algunosdiseñossímplexreticularespara p=3 YP=4componentes.
yeldiseñosímplexreticularconstadelas seiscorridassiguientes:
(xl'x
2
,
x
3
)=(1,O,O),(O,1,O),(O,O,1),(t,t,O),(t,O,t),(O,t,t)
Enlafigura11-32seilustraestediseño.Lostresvértices(1, O,O),(O,1,O)Y(O,O,1)sonlasmezclaspuras,
mientras
quelospuntos
(t,t,O),(t,O,t)y(O,t,t)sonmezclasbinariasomezclasdedoscomponenteslo­
calizadas
enlospuntosmediosdelostresladosdeltriángulo. Enlafigura11-32semuestrantambiénlos
diseñossímplexreticulares{3,3},{4,
2}Y{4,3}. Engeneral,el númerodepuntosenundiseñosímplex
reticular
{P,m}es
N=
..:..;:(p,-+_n_l_-_1,--)!
m!(p-1)!
Unaalternativadeldiseñosímplexreticulareseldiseñosímplexdecentroide. Enundiseñosímplex
decentroidecon
pcomponentes,hay 2
P-1puntos,quecorrespondenalas ppermutacionesde (1,O, O,oo.,
O),las
(~)permutacionesde(t,t,O,oo.,O),las(f)permutacionesde(t,t,t,O,oo.,O),.oo,Yelcentroideglo­
bal(;,;,.oo,;).Enlafigura11-33semuestranalgunosdiseñossímplexdecentroide.
a) b)
Figura11-33Diseñossímplexdecentroidecona) p=3componentesyb)p=4componentes.

490. 476 CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFICIES DERESPUESTA
Unacríticaalosdiseñossímplexdescritosantesesque lamayoríadelascorridasocurren enlafron­
teradelaregión y,porconsiguiente,incluyensólop -1delospcomponentes.Sueleserdeseableaumen­
tareldiseñosímplexreticularodecentroideconpuntosadicionales enelinteriordelaregióndondelas
mezclasestaránformadas
porlatotalidaddelos pcomponentes.Paraunestudiomásamplio,verComell
[33]yMyersyMontgomery[85a].
Losmodelos
paramezclasdifierendelospolinomiosusualesempleados enlosdiseñosdesuperficie
derespuestadebidoalarestricción
Lx¡=1.Lasformasestándaresdelosmodelos paramezclasquese
usanampliamenteson
Lineal:
Cuadrático:
Cúbicocompleto:
Cúbicoespecial:
p
E(y)=
Lf3¡x¡
¡=1
p p
E(y)=Lf3¡x¡+LLf3ijx¡X
j
;=1
i<j
p p
E(y)=
Lf3¡x¡+LLf3ijx¡X
j
;=1 i<j
i<j
p p
E(y)=Lf3¡x¡+LLf3ijx¡X
j
;=1 i<j
(11-22)
(11-23)
(11-24)
(11-25)
Lostérminosdeestosmodelostieneninterpretacionesrelativamentesimples.
Enlasecuaciones
11-22a11-25,elparámetro
f3¡representalarespuestaesperada paralamezclapurax¡ =1Yx
j=Ocuando
j
;:éi.AlaporciónL;=lf3¡X¡selellama porcióndemezclalineal. Cuandohaycurvaturaderivadade una
mezclanolinealentreparesdecomponentes,losparámetros f3ijrepresentanunamezclasinérgica obien
antagónica.Lostérminosdeórdenessuperioressuelensernecesarios enlosmodelosparamezclaspor­
que1)losfenómenosestudiadospuedensercomplejosy
2)laregiónexperimentalconfrecuenciaeslare­
gióndeoperabilidadcompleta
y,enconsecuencia,esgrandeyrequiere unmodeloelaborado.
EJEMPLO11..3 .
Unamezcladetrescomponentes
Comell[33]describeelexperimentocon unamezclaenelquesecombinarontrescomponentes -polie­
tileno(Xl),poliestireno(xz)ypolipropileno(x3)-parahilarunafibraqueseusaráencortinas. Lavariable
derespuestadeinterés
eslaelongacióndelhiloenkilogramosdefuerzaaplicada.Seusa undiseñosímplex

491. 11-5EXPERIMENTOS CONMEZCLAS 477
Tabla11-13Eldiseñosímplexreticular{3, 2}paraelproblema delaelongacióndelhilo
Puntodel
Proporcionesdeloscomponentes
Valoresobservados Valorpromedio_
diseño
Xl X
2
X
3 delaelongación de laelongación(y)
1 1 O O 11.0,12.4 11.7
2
l l
O 15.0, 14.8,16.1 15.3
"2 "2
3 O 1 O 8.8,10.0 9.4
4 O
l l
10.0,9.7,11.8 10.5
"2 "2
5 O O 1 16.8,16.0 16.4
6
l
O
l
17.7,16.4,16.6 16.9
"2 "2
reticularparaestudiarelproducto.Eldiseñoylasrespuestasobservadassemuestran enlatabla11-13.
Observequetodoslospuntosdeldiseñoincluyenmezclas
purasobinarias;esdecir,únicamenteseusan
alosumodosdelostrescomponentes
encualquierformulacióndelproducto.Tambiénsecorrenréplicas
delasobservaciones,condosréplicasdecada
unadelasmezclaspurasytresréplicasdecada unadelas
mezclasbinarias.
Ladesviaciónestándardelerrorpuedeestimarseapartirdeestasréplicasdelasobserva­
cionescomo
fj=0.85.Comel1ajustaelpolinomiodesegundogradode lamezclaalosdatos,obteniendo
y=11.7x
I+9.4x
2+16.4x
3+19.0X
I
X
2+11.4x
lx
3
-9.6x
2x
3
Puededemostrársequeestemodeloes unarepresentaciónadecuadade larespuesta.Observequecomo
{J3>{JI>{J2'seconcluiríaqueelcomponente3(polipropileno)produceelhilocon laelongaciónmáxi-
ma.Además,puestoque{J12y{J13sonpositivos,lamezcladeloscomponentes1 y 2 odeloscomponentes
1 y 3producevaloresmásaltosde
laelongacióndelosqueseesperaríansinoslimitáramosapromediar
laselongacionesdelasmezclaspuras.Se
tratadeunejemplodelosefectosdemezclado"sinérgicos".Los
componentes2 y 3tienenefectosdemezcladoantagónicos,yaque
{J23esnegativa.
Enlafigura11-34segraficanloscontornosde laelongación,locual puedeserdeutilidad parainter­
pretarlosresultados.Alexaminarlafigura,seobservaquesisedesea laelongaciónmáxima,deberáele­
girse
lamezcladeloscomponentes1y 3,lacualestáformada poraproximadamente80%delcomponente
3 y20%delcomponente
1.
x,
Figura11·34Contornos delaelongaciónestimadadel
hiloconstanteenelmodelo
desegundoordenparala mez­
cladelejemplo11-3.

492. 478 CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFICIESDERESPUESTA
Seseñalóyaquelosdiseñossímplexreticularysímplexdecentroideson diseñosdepuntosfronte.
ra.
Sielexperimentadorquierehacerprediccionesacercadelaspropiedadesdemezclascompletas, se­
ríamuydeseablecontarconmáscorridasenelinteriordelsímplex.Serecomiendaaumentar los
diseñossímplexordinarioscon corridasaxiales yelcentroideglobal(sielcentroideno esyaunpunto
deldiseño).
El
ejedelcomponente ieslarectaorayoqueseextiendedelpuntobasex¡ =O,x
j=1/(p-1),paratoda
j
;éi,alvérticeopuestodondex¡ =1,x
j=Oparatodaj;éi.Elpuntobasesiempreselocalizaráenelcen­
troidedelafronterade
(p-2)dimensionesdeldiseñosímplexqueestáopuesto alvérticeXi=1,x
j=O
paratodaj
;éi.[Alafronteraselellamaenocasionesel (p-2)-llano.]Lalongituddelejedelcomponente
esunaunidad.Los
puntosaxiales sesitúansobrelosejesdeloscomponentesaunadistancia
!1delcen­
troide.Elvalormáximode!1es(p-1)/p.Serecomiendaquelascorridasaxialessecoloquenalamitaden­
treelcentroidedeldiseñosímplexycadavérticeparaque!1=(p-1)/2p.Enocasionesaestospuntos se
lesllamamezclasdeverificaciónaxial, porqueesunaprácticacomúnexcluirlascuando seajustaelmode­
lopreliminardelamezclayusardespuéslasrespuestasenestospuntosaxialesparaverificarlaadecua­
cióndelajustedelmodelopreliminar.
Enlafigura11-35semuestraeldiseñosímplexreticular {3,2}aumentadoconlospuntosaxiales.
Estediseñotiene
10puntos,concuatrodeellosenelinteriordeldiseñosímplex. Laretículasímplex {3,
3}soportaráelajustedelmodelocúbicocompleto,mientrasquelaretículasímplexaumentadano lo
hará;sinembargo,laretículasímplexaumentadapermitirá alexperimentadorajustarelmodelocúbico
especialoagregar
almodelocuadráticotérminosespecialesdecuartoorden,como
¡31233XIX2X~, La
retículasímplexaumentada
essuperiorparaestudiarlarespuestademezclascompletasenelsentidode
quepuededetectarymodelarlacurvaturaenelinteriordeltriánguloquenopuedetomarseenconside­
raciónporlostérminosdelmodelocúbicocompleto.Laretículasímplexaumentadatienemáspotencia
paradetectarlafaltadeajustequelaretícula
{3,3}.Estoesdeparticularutilidadcuandoelexperimenta­
dornoestáseguroacercadelmodeloapropiadoquedebeusarytambiénplaneaconstruirunmodelo
se­
cuencialmenteempezandoconunpolinomiosimple(quizádeprimerorden),probarelmodeloparala
Figura11-35 Undiseñosímplexreticularaumentado.

493. (11-26)
i=1,2,...,P
sonmuycomunes.Cuandosóloestánpresentesrestriccionessobrelafronterainferior,laregiónfactible
deldiseñosiguesiendo
undiseñosímplex,peroseinscribedentrodelaregióndelsímplex original. Esta
situaciónpuedesimplificarsemediantelaintroducciónde pseudocomponentes,definidoscomo
x>(1:'~\1
11-5EXPERIMENTOS CONMEZCLAS 479
faltadeajuste,despuésaumentarelmodelocontérminosdeórdenessuperiores,probarelnuevomodelo
paralafaltadeajusteyasísucesivameme.
Enalgunosproblemasdemezclassurgen restriccionessobreloscomponentesindividuales.Lasres­
triccionessobrelafronterainferiorde
laforma
x'+x'+···+x'=1
l 2 P
porloqueelusodepseudocomponentespermiteutilizardiseñostiposímplexcuandolasfronterasinfe­
rioresforman
partedelasituaciónexperimental.Lasformulacionesespecificadas poreldiseñosímplex
paralospseudocomponentessetransformanenformulaciones
paraloscomponentesoriginalesinvirtien­
dolatransformacióndelaecuación11-26.Esdecir,
six~eselvalorasignadoalpseudocomponentei-ési­
mo
enunadelascorridasdelexperimento,elcomponentei-ésimodelamezclaoriginal es
x,
~1,+(1-~1¡)x; (11-27)
Cuandoloscomponentestienenrestriccionestantosobrelafronterasuperiorcomolainferior,lare­
giónfactibledeja
deserundiseñosímplex;será, encambio,unpolitopoirregular.Puestoquelaregión
experimentalnotiene
unaforma"estándar",los diseñosgeneradosporcomputadora sonmuyútilespara
estetipodeproblemasdemezclas.
EJEMPLO11..4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Formulación deunapintura
Unexperimentadorestáintentandooptimizarlaformulación deunapinturaautomotrizderecubrimien­
tototal.Se
tratadeproductoscomplejosquetienenrequerimientosdedesempeñomuyespecíficos. El
clientequiere, enparticular,queladurezaKnoopexcedade 25yqueelporcentajedesólidosestéabajo
de30.
Elrecubrimientototales unamezcladetrescomponentes,queconsisteen unmonómero(Xl),un
entrelazador(x
2
)yunaresina(x
3
).Existenrestriccionessobrelasproporcionesdeloscomponentes:
Xl+x
2+x
3=100
5.:::;Xl.:::;25
25':::;x
2
.:::;40
50,:::;x
3
.:::;70
Elresultadoeslaregióndeexperimentaciónrestringidailustrada enlafigura11-36.Puestoquelaregión
deinterésnoessímplex,seusará
undiseñooptimal Dparaesteproblema.Suponiendoqueposiblementeambasrespuestasseránmodeladasconunmodelocuadráticode unamezcla,eldiseñooptimalDilustra-

494. 480 CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFICIESDERESPUESTA
Monómero
25.00
45
Entrelazador
5.00
Resina
Figura11-36 Laregiónexperimentalrestringidapara
elproblemadelaformulacióndelapinturadelejem­
plo11-4(mostradaenlaescalarealdelcomponente).
Tabla11-14DiseñooptimalDparaelproblemadelaformulacióndela
pinturadelejemplo
11-4
Orden MonómeroEntrelazadorResinaDurezaSólidos
estándarCorrida X¡ X
2
X
3 Y¡
Y2
1 2 17.50 32.50 50.0029 9.539
2 1 10.00 40.00 50.0026 27.33
3 4 15.00 25.00 60.0017 29.21
4
13 25.00 25.00 50.0028 30.46
5 7 5.00 25.00 70.0035 74.98
6 3 5.00 32.50 62.5031 31.5
7 6 11.25 32.50 56.2521 15.59
8
11 5.00 40.00 55.0020 19.2
9 10 18.13 28.75 53.3329 23.44
10 14 8.13 28.75 63.1325 32.49
11 12 25.00 25.00 50.0019 23.01
12 9 15.00 25.00 60.0014 41.46
13 5 10.00 40.00 50.0030 32.98
14 8 5.00 25.00 70.00
23 70.95

495. 11-5EXPERIMENTOS CONMEZCLAS 481
Tabla11-15Ajustedelmodeloparalarespuestadureza
Response:hardness
ANOVAforMixtureQuadraticModel
Analysisofvariancetable[Partialsumofsquares]
Sumof Mean F
Source Squares DF Square Value Prob>F
Model 279.73 5 55.95 2.37 0.1329
LinearMixture 29.13 2 14.56 0.62 0.5630
AB 72.61 1 72.61 3.08 0.1174
AC 179.67 1 179.67 7.62 0.0247
BC 8.26 1 8.26 0.35 0.5703
Residual 188.63 8 23.58
LackofFit 63.63 4 15.91 0.51 0.7354
PureError 125.00 4 31.25
CorTotal 468.36 13
Std.Dev. 4.86 R-Squared
Mean
24.79 AdjR-Squared
C.V. 19.59 PredR-Squared
PRESS 638.60 AdeqPrecision
Coefficient Standard
Component Estimate
DF Error
A-Monomer 23.81 1 3.36
B-Crosslinker 16.40 1 7.68
C-Resin 29.45 1 '3.36
AS 44.42 1 25.31
AC -44.01 1 15.94
SC 13.80 1 23.32
FinalEquation inTermsofPseudoComponents:
hardness=
+23.81*A
+16.40
*B
+29.45
*C
+44.42
*A*S
-44.01*A*C
+13.80
*S*C
0.5973
0.3455
-0.3635
4.975
95%CI
Low
16.07
-1.32
21.71
-13.95
-80.78
-39.97
95%CI
High
31.55
34.12
37.19
102.80
-7.25
67.57
doenlafigura11-36 puedegenerarseutilizando Design-Expelt.Sesupusoque,ademásdelasseiscorridas
requeridas
paraajustarelmodelocuadráticode unamezcla,se haríancuatrocorridasdiferentesadicio­
nales
paraverificarlafaltadeajustey queseharíanréplicasdecuatrodeestascorridasafindeproporcio­
narunaestimacióndel errorpuro.Design-Expenutilizólosvértices,loscentros enlosbordes,elcentroide
globalylascorridasdeverificación(los
puntoslocalizadosa lamitadentreelcentroideylosvértices)
comolos
puntoscandidatos.
Eldiseñocon14corridas se muestraenlatabla11-14 juntoconlasrespuestasdurezaysólidos.Losre­
sultadosdelajustedemodeloscuadráticos
paraambasrespuestasse resumenenlastablas11-15y11-16.
Observe
quelosmodeloscuadráticosseajustanmuy bientantoalarespuestadurezacomoa larespuesta
sólidos.
Enestastablasse muestranlasecuacionesajustadas paraambasrespuestas(entérminosdelos
pseudocomponentes).
Enlasfiguras11-37y11-38se muestranlasgráficasdecontornodelasrespuestas.
Lafigura11-39es unagráficadesuperposicióndelasdossuperficies derespuesta,dondesemuestra
elcontornodeladurezaKnoopde25%yel contornode30%paralossólidos.Laregiónfactible paraeste
productoeseláreasinsombrearcercadelcentrode lagráfica.Evidentemente,existenvariaselecciones

496. Residual
LackofFit
PureError
Cor Total
Tabla
11-16Ajustedelmodeloparalarespuestasólidos
Source
Model
Linear
Mixture
AB
AC
BC
0.4633
Prob>F
<0.0001
<0.0001
0.0360
0.0191
0.0005
F
Value
25.78
43.95
6.33
8.57
31.09
1.10
Response:solids
ANOVAforMixtureQuadraticModel
Analysisofvariancetable[Partialsumofsquares]
Sumof Mean
Squares
DF Square
4297.94 5 859.59
2931.09 2 1465.66
211.20 1 211.20
285.67 1 285.67
1036.72 1 1036.72
266.79 8 33.35
139.92 4 34.98
126.86 4 31.72
4564.73 13
r'
Std.Dev. 5.77 R-Squared 0.9416
Mean 33.01 AdjR-Squared 0.9050
C.V. 17.49 PredR-Squared 0.7827
PRESS 991.86 AdeqPrecision 15.075
Coefficient Standard 95%CI 95%CI
Component Estimate DF Error Low High
A-Monomer 26.53 1 3.99 17.32 35.74
B-Crosslinker 46.60 1 9.14 25.53 67.68
C-Resin 73.23 1 3.99 64.02 82.43
AB -75.76 1 30.11 -145.19 -6.34
AC -55.50 1 18.96 -99.22 -11.77
BC -154.61 1 27.73 -218.56 -90.67
FinalEquation inTermsofPseudoComponents:
solids=
+26.53*A
+46.60
*B
+73.23
*C
-75.76*A*B
-55.50*A*C
-154.61*B*C
Monómero
25.00
2
45.00
Entrelazador
5.00
2
70.00
Resina
Figura11-37Gráficadecontornodelarespuestadureza
Knoop,ejemplo
11-4.

497. 45.00
Entrelazador
Figura11-38
ejemplo11-4.
Monómero
25.00
2
2
'+- L+o_~....L.. __
5.00 70.00
Resina
Gráficadecontornodelarespuestasólidos,
Monómero
25.00
2
11-5EXPERIMENTOSCONMEZCLAS 483
45.00 5.00 70.00
Entrelazador Resina
Figura11-39 Gráficadecontornodelasrespuestasdureza
Knoop
yporcentajedesólidos,donde seindicalaregiónfactible
paralaformulacióndelapintura.

498. 484 CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFICIESDERESPUESTA
paralasproporcionesdelmonómero,elentrelazadorylaresina paraelrecubrimientototalqueredunda_
ráenunproductoquesatisfagalosrequerimientosdedesempeño.
.........................................................................
11.6OPERACIÓNEVOLUTIVA
Personaldeinvestigaciónydesarrolloaplicaconfrecuencialametodologíadesuperficiesderespuestaen
operacionesdeplantaspiloto.Cuandoseapli~aaunprocesodeproducciónagranescala,suelehacerse
unasolavez(oconpocafrecuencia),yaqueelprocedimientoexperimentalesrelativamenteminucioso.
Sinembargo,lascondicionesquefueronóptimasparalaplantapilotoquizánoloseanparaelprocesoa
granescala.Laplantapilotopuedeproducir2librasdeproducto
pordía,mientrasqueelprocesoagran
escalapuedegenerar
2000librasdiarias.Esta"escalación"delaplantapiloto alprocesodeproduccióna
granescaladaporlogeneralcomoresultadoladistorsióndelascondicionesóptimas.Incluso
silaplanta
agranescalaempiezaaoperarenelóptimo,coneltiempose"desvía"deesepuntodebidoalasvariacio­
nesenlasmateriasprimas,loscambiosambientalesyelpersonaldeoperación.
Serequiereunmétodoparaelmonitoreoyelmejoramientocontinuode
unprocesoagranescala
cuyoobjetivoseamoverlascondicionesdeoperaciónhaciaelóptimoodespuésdeuna"desviación".El
métodonodeberárequerircambiosgrandesorepentinosdelascondicionesdeoperaciónquepudieran
interrumpirlaproducción.
Laoperaciónevolutiva(EVOP,porsussiglaseninglés)fuepropuesta porBox
[12c]comounprocedimientodeoperaciónconestascaracterísticas.Estádiseñadocomo unmétodode
operaciónrutinariaenlaplantaquellevaacaboelpersonaldemanufacturaconunmínimodeasistencia
delequipodeinvestigaciónydesarrollo.
LaEVOPconsisteenintroducirde manerasistemáticapequeñoscambiosenlosnivelesdelasva­
riablesdeoperaciónbajoconsideración.
Generalmenteseempleaundiseño2
k
parahaceresto.Sesu­
ponequeloscambiosdelasvariablessonlosuficientementepequeños paraquenoocurran
perturbacionesseriasenelrendimiento,lacalidadolacantidad,
perolosuficientementegrandes
paradescubrirenúltimainstanciamejoraspotenciales eneldesempeñodelproceso.Secolectanda­
tosdelasvariablesderespuestadeinterés
encadapuntodeldiseño2
k
•
Cuandose hahechounaob­
servaciónencadapuntodeldiseño,sedicequese
hacompletadounciclo.Entonces pueden
calcularselosefectosylasinteraccionesdelasvariablesdelproceso.Finalmente,despuésdevarios
ciclos,elefectode
unaomásvariablesdelprocesoosusinteraccionessobre larespuestapuedepare­
cersignificativo.
Enestepuntosedebetomarunadecisiónparamodificarlascondicionesdeopera­
ciónbásicasafindemejorarlarespuesta.Cuandose
handetectadolascondicionesmejoradas,se
dicequese
haterminadounafase.
Paraprobarlasignificacióndelasvariableseinteraccionesdelproceso,senecesitaunaestimación
delerrorexperimental.Éstasecalculaapartirdelosdatosdelciclo.Además,eldiseño
2
k
secentraporlo
generalentornoalasmejorescondicionesdeoperaciónactuales.Mediantelacomparacióndelares­
puestaenestepuntoconlos
2
k
puntosdelaporciónfactorial,esposibleverificarlacurvaturaocambioen
lamedia(CIM,porsussiglaseninglés); esdecir,sielprocesoenrealidadsecentraenelmáximo,por
ejemplo,entonceslarespuesta enelcentrodeberásersignificativamentemayorquelasrespuestasenlos
puntosperiféricosdeldiseño
2
k
•
Enteoría,laEVOPpuedeaplicarseakvariablesdelproceso. Enlaprácticaescomúnconsiderarsólo
dosotresvariables.Sepresentaráunejemplodelprocedimiento
paradosvariables.BoxyDraper[16a]
ofrecenunestudiodetalladodelcasodetresvariables,incluyendolasformasyhojasdetrabajonecesa­
rias.MyersyMontgomery[85a]revisanlaimplementaciónencomputadoradelaEVOP.

499. 11-6OPERACIÓNEVOLUTIVA 485
84.3
150
(5)
]..145
(1)
•
N 84.5
H
(2)
140
84.2
245 250
x,(OF)
84.9
(3)
(4)
84.5
Figura11·40Undiseño2
2
parala EVOP.
EJEMPLO
11~5 .
Considereunprocesoquímicocuyorendimientoes unafuncióndelatemperatura (Xl)ylapresión(x
2
).Las
condicionesdeoperaciónactuales
sonx
I
=250°FY X
2=145psi.ElprocedimientoEVOPutilizaeldiseño2
2
máselpuntocentralmostradoenlafigura11-40. Elciclosecompletacorriendocadapuntodeldiseño en
ordennumérico (1,2,3,4,5).Losrendimientosdelprimerciclosemuestrantambién enlafigura11-40.
Losrendimientosdel
primerciclose anotanenlahojadecálculoEVOP,lacualse muestraenlata­
bla11-17.
Altérminodelprimerciclonopuedehacerseningunaestimaciónde ladesviaciónestándar.
Tabla11.17HojadecálculoEVOPpara elejemplo11-5,n =1
5
í]l3 Ciclo:n=1
2W4 Respuesta:Rendimiento
Cálculo
delospromedios
Fase:1
Fecha:
1/11/00
Cálculodela
desviación
estándar
Condiciones
deoperación (1) (2) (3) (4) (5)
(i)Sumadelcicloanterior
(ii)Promediodelcicloanterior
(iü)Nuevasobservaciones
(iv)Diferencias[(ii)- (iü)]
(v)Nuevassumas [(i)+(iii)]
(vi)NuevospromedioslYi=(v)/n]
84.5
84.5
84.5
84.2
84.2
84.2
84.9
84.9
84.9
SumaanteriorS =
Promedioanterior
S=
84.5 84.3 NuevaS =rangox
/5",=
Rangode (iv)=
84.5 84.3 NuevasumaS =
84.5 84.3 NuevopromedioS =
NuevasumaS
n-l
Cálculodelosefectos
Efectode
latemperatura=
t(5'3+5'4-5'2-5'5)=0.45
Efectodelapresión=!(5'3+5'5-5'2-5'4)=0.25
EfectodelainteracciónTxP=!(5'2+5'3-5'4-5'5)=0.15
Efectodelcambio enlamedia=t(5'2+5'3+5'4+5'5-45'1)=0.02
Cálculodeloslímitesdeerror
. 2
ParaelnuevopromedIo =
JiiS=
2
ParalosnuevosefectosJiiS=
1 b
· 1 d'
1.78
SParaecam 10ename
13Jii=

500. 486 CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFICIESDERESPUESTA
Tabla11-18HojadecálculoEVOPpara elejemplo11-5,n =2
5rjl3 Ciclo:n=2
2W4 Respuesta:Rendimiento
Cálculo
delospromedios
Condiciones
deoperación (1) (2) (3) (4) (5)
(i)Sumadelcicloanterior 84.5 84.2 84.9 84.5 84.3
(ii)Promediodelcicloanterior 84.5 84.2 84.9 84.5 84.3
(iii)Nuevasobservaciones 84.9 84.6 85.9 83.5 84.0
(iv)Diferencias[(ii)
-(iii)] -0.4 -0.4 -1.0 +1.0 0.3
(v)Nuevassumas [(i)+(iii)] 169.4 168.8 170.8 168.0 168.3
(vi)NuevospromedioslYi=(v)/n]84.70 84.40 85.40 84.00 84.15
Fase:1
Fecha:1/11/00
Cálculo
dela
desviación
estándar
SumaanteriorS
=
PromedioanteriorS =
NuevaS =rangox
fs,n=0.60
Rangode
(iv)=2.0
NuevasumaS =0.60
NuevopromedioS
=
NuevasumaS .
-----=0.60
n-1
Cálculodelosefectos
Efecto
delatemperatura=
t(y3+Y4 -Y2 -Ys)=0.43
Efectodelapresión=hY3+Ys-Y2-Y4)=0.58
Efectodelainteracción TxP=t(Y2+Y3-Y4-Ys)=0.83
Efectodelcambio enlamedia=t(Y2+Y3+Y4+Ys-4Yl)=
-0.17
Cálculodeloslímitesde error
. 2
ParaelnuevopromedlO=..¡nS =0.85
2
Paralosnuevosefectos
eS =0.85
..,¡n
. 1 d' 1.78
SParaelcamblOenamela..¡n=0.76
Losefectosylainteraccióndelatemperaturaylapresiónsecalculandelamanerausualparaundi­
seño2
2
•
Despuéssecorreunsegundociclo ylosdatosdel rendimientoseregistranenotrahojadecálculo
EVOp,
lacualsemuestraenlatabla11-18.Alfinaldelsegundociclo, elerrorexperimentalpuedeesti­
marseylasestimacionesdelosefectospuedencompararseconlímitesaproximados de95%(dosdesvia­
cionesestándar).Observe
queelrangoserefierealrango delasdiferenciasdelrenglón (iv);porlotanto,
elrangoes
+1.0-(-1.0)=2.0.Puestoqueningunodelosefectosdelatabla11-18excedesuslímitesde
error,probablementeelverdaderoefectoseacero,ynosecontemplanmodificacionesenlascondiciones
deoperación.
Enlatabla11-19se muestranlosresultadosdeuntercerciclo.Ahora,elefectodelapresiónexcede
sulímitede erroryelefectodelatemperaturaesigualallímite deerror.Probablementeahorasejustifi­
queuncambioenlascondicionesdeoperación.
A
laluzdelosresultados, parecerazonableempezarunanuevafaseEVOPalrededordelpunto(3).
Porlotanto,Xl=225°FY X
2=150psiseríanel centrodeldiseño2
2
enlasegundafase.
UnaspectoimportantedelaEVOPeslaretroalimentacióp.deinformación generadaporelproceso
paraoperadoresysupervisores.EstoseconsiguemedianteuntableroconinformaciónEVOPalavista
detodos.Enlatabla11-20se muestraeltablerodeinformaciónparaesteejemploalfinaldelciclo3.

501. "
11-6OPERACIÓNEVOLUTIVA 487
Tabla11-19HojadecálculoEVOPparaelejemplo11-5,n =3
5i]13 Ciclo:11=3
2W4 Respuesta: Rendimiento
Cálculodelospromedios
Fase:1
Fecha:1/11/00
Cálculo
dela
desviación
estándar
-1.05
253.5
84.50
Condiciones
deoperación (1) (2) (3)
(i)Sumadelcicloanterior 169.4 168.8 170.8
(ii)Promediodelcicloanterior 84.70 84.40 85.40
(iii)Nuevasobservaciones 85.0 84.0 86.6
(iv)Diferencias[(ii)
-(iii)] -0.30 +0.40 -1.20
(v)Nuevassumas[(i)+(iii)] 254.4 252.8 257.4
(vi)Nuevospromedios¡Ji=(V)/I1]84.80 84.27 85.80
(4)
168.0
84.00
84.9
-0.90
252.9
84.30
(5)
168.3
SumaanteriorS =0.60
84.15
PromedioanteriorS =
0.60
85.2
NuevaS=rangox
f5,n=0.56
Rangode(iv)=1.60
NuevasumaS=1.16
Nuevo
promedioS=
NuevasumaS
1
=0.5811-
Cálculodelosefectos Cálculo deloslímitesdeerror
Efectodelatemperatura=
t(Y3+Y4-Y2-Y5)=0.67
Efectodelapresión=teY3+Y5-Y2-Y4)=0.87
EfectodelainteracciónTxP=t(Y2+Y3-Y4-Y5)=
0.64
Efectodelcambioenlamedia=!(Y2+Y3+Y4+Y5-4Yl)=
-0.07
Tabla11-20Tablerodeinformación EVOp,ciclo3
Respuesta: Rendimientoporcentual
Requerimiento:Maximizar
Paraelnuevopromedio=
inS=0.67
2
Paralosnuevosefectos..;nS=0.67
P 1 b
· 1 d'
1.78
araecamlaenamela
eS=0.60
...11
84.50
150 •
c:::
~145
~
"-
•
84.80
85.80
•
140•
84.27
Temperatura
•
84.30
255
Límitesdeerrorparalospromedios:±0.67
Efectoscon
limitesdeerror
de95%:
Desviación
estándar
Thmperatura 0.67
Presión 0.87
TxP 0.64
Cambioenlamedia 0.07
0.58
±0.67
±0.67
±0.67
±0.60

502. !1
I
488 CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFICIESDERESPUESTA
Tabla11-21ValoresdeA,n
n= 2 3 4 5 6 7 8 9 10
k=5 0.30 0.35 0.37 0.38 0.39 0.40 0.40 0.40 0.41
9 0.24 0.27 0.29 0.30 0.31 0.31 0.310.32 0.32
10 0.23 0.26 0.28 0.29 0.30 0.30 0.30 0.31 0.31
Lamayoríadelascantidadesdelahojadecálculo EVOPseobtienendirectamentedelanálisisdel di­
señofactorial2
k
.
Porejemplo,lavarianzadecualquierefecto,como
tcY3+)lS-)l2-)14)'essimplementecrin,
dondecreslavarianzadelasobservaciones (y).Porlotanto,loslímitesdeerror dedosdesviacioneses­
tándar(quecorrespondena 95%)paracualquierefectoserían ±2a1"¡¡:¡'.Lavarianzadelcambioenlame­
diaes
V(CIM)=
V[~(Y2+Y3+Y4+Ys-4Y1)]
=~(5a1.+16a1.)= (20)~
25 y y 25n
Porlotanto,loslímitesde errordedosdesviacionesestándar paraelCIMson ±(2V20/25)al"¡¡:¡'=
±1.78al"¡¡:¡'.
Ladesviaciónestándar aseestimaporelmétododelrango.Seaque y¡(n)denotelaobservación enel
puntodeldiseñoi-ésimoenelciclo n,Yquey¡(n)denoteelpromediocorrespondiente dey¡(n)despuésde
nciclos.Lascantidadesdelrenglón (iv)delahojadecálculo EVOPsonlasdiferenciasy;(n)-)l;(n-l).La
varianzadeestasdiferenciases
V[y¡(n)-y¡(n-l)]=a~ =a
2
[1+-I_J=a
2
(
nI)
(n-l)n-
Elrangodelasdiferencias, porejemploRn,serelacionaconlaestimacióndeladesviaciónestándardelas
diferencias
por
an=RJd
2
•Elfactord
2dependedelnúmero deobservacionesutilizadas paracalcularRn·
EntoncesRnld
2=tNnl(n-1),porloquepuedeusarse
A/n-l)Rn _
a=-n-d;=(fk,n)Rn=S
paraestimarladesviaciónestándardelasobservaciones,dondekdenotaelnúmerodepuntosqueseuti­
lizaroneneldiseño.Para
undiseño2
2
conunpuntocentralsetienek =5,yparaundiseño2
3
conunpun­
tocentralsetienek
=9.Losvaloresde
knsedanenlatabla11-21.
11~7 DISEÑOROBUSTO
11~7.1 Antecedentes
Alolargodeestelibrose hahechohincapiéenlaimportanciadelusodeexperimentosdiseñadosestadís­
ticamenteenelproyecto,desarrolloymejoramientodeproductosyprocesos.Apartirdeladécadade
1980,losingenierosycientíficos
hanadquiridolaconcienciacreciente delosbeneficiosdelusodeexperi-

503. 11-7DISEÑOROBUSTO 489
mentasdiseñados
y,enconsecuencia,hahabidomuchasáreasdeaplicacionesnuevas. Unadelasmásim­
portantesdeéstas
eseldiseñorobusto,dondelaatenciónse centraenunoomásdelossiguientespuntos:
1.Eldiseñodesistemas(productosoprocesos)quenoseansensiblesafactoresambientalesque
puedanafectareldesempeño unavezqueelsistemase hadesplegadoenelcampo.Unejemplo
eslaformulaciónde
unapinturaparaexterioresquedebetenergranduracióncuandoseexpo­
ngaa
unavariedaddecondicionesclimáticas.Puestoquelascondicionesclimáticasnosondel
todopredecibles,yciertamentenosonconstantes,elresponsabledelaformulacióndelproducto
quierequeéstesearobustocontra
unampliorangodefactoresdetemperatura,humedadypre­
cipitaciónpluvialqueafectaneldesgasteyacabadodelapintura.
2.Eldiseñodeproductos
paraquenoseansensiblesalavariabilidadtransmitida porloscompo­
nentesdelsistema.
Unejemploeseldiseñode unamplificadorelectrónico paraqueelvoltajede
salidaestétancercacomoseaposibledelvalornominaldeseado,independientementedelava­
riabilidaddelosparámetroseléctricosdelosresistores,transistoresyfuentesde
poderqueson
loscomponentesdelaparato.
3.
Eldiseñodeprocesos paraqueelproductomanufacturadoesté tancercacomoseaposibledelas
especificacionesnominales,auncuandoseaimposiblecontrolarcontodaprecisiónalgunasva­
riablesdelproceso(comolatemperatura)olascaracterísticasdelasmateriasprimas.
4.Determinarlascondicionesdeoperaciónde unprocesoparaquelascaracterísticascríticasdel
productoestén
tancercacomoseaposibledelvalorobjetivodeseadoylavariabilidadentornoa
esteobjetivoseminimice.Ejemplosdeestetipo
deproblemaocurrenconfrecuencia.Unode
ellossucedeenlamanufacturadesemiconductores,dondeseríadeseablequeelespesordelóxi­
dode
unaobleaestuvieralomáscercaposibledelespesorobjetivopromedio,asícomoquela
va~
riabilidaddelespesoralolargodelaoblea(unamedidadeuniformidad)fueselomás pequeña
posible.
Aprincipiosdeladécadade1980,elingenierojaponésGenichiTaguchiintrodujo
unenfoquepara
resolverproblemasdeestetipo,alosquesehacereferencia demaneraconjuntacomoelproblemadeldi­
señoparamétricorobusto(RPD,
porsussiglaseninglés)(verTaguchiyWu[109]yTaguchi[108a,b D.SU
enfoquesebasó enlaclasificacióndelasvariablesde unprocesooproductocomovariablesdecontrol(o
controlables)yvariablesderuido(onocontrolables)
paradespuésencontrarlosajustesdelasvariables
controlablesqueminimizanlavariabilidadtransmitidaalarespuesta
porlasvariablesnocontrolables.Se
estableceelsupuestodequeauncuandolosfactoresderuido
nosoncontrolablesenelsistemaagranes­
cala,
puedencontrolarseparalosfinesde unexperimento.Referirsealafigura1-1 paraunailustración
gráficadelasvariablescontrolablesynocontrolables
enelcontextogeneralde unexperimentodiseñado.
Taguchiintrodujoalgunosmétodosestadísticosnovedososyciertasvariantesdelastécnicasestable­
cidascomo
partedeesteprocedimientoRPD.Hizousodediseñosfactorialesaltamentefraccionadosy
otrostiposdediseñosfraccionadosobtenidosapartirdearreglosortogonales.Sumetodologíageneró
múltiplesdebatesycontroversias.PartedelapolémicasurgióporquelametodologíadeTaguchifuede­
fendida
enOccidenteinicialmente (yprincipalmente)porempresarios,ylacienciaestadísticasubyacente
nohabíasidorevisadaadecuadamente
porlosespecialistas.Parafinalesdeladécadade1980,losresulta­
dosde
unarevisiónmuycompletaindicaronqueauncuandolosconceptosdeingenieríadeTaguchiyel
objetivoglobaldel
RPDteníanbasessólidas,habíaproblemasdefondoconestaestrategiaexperimental
yconlosmétodos
paraelanálisisdedatos.Paradetallesespecíficosdeestostemas,verBox[12d],Box,
BisgaardyFung[14],
Hunter[59a,b],Montgomery[80b],MyersyMontgomery
~85a]yPignatielloy
Ramberg[94].Muchasdeestaspreocupacionesseencuentranresumidastambién
enelampliopanelde

504. .¡:..
\O
o
Tabla11-22 Diseñoparamétricoconarreglostantointeriorcomoexterior
b)Arregloexterior
E
1 1 1 1 2 2 2 2
F 1 1 2 2 1 1 2 2
G 1 2 1 2 1 2 1 2
a)Arreglointerior
Corrida A B e D
1 1 1 1 1 15.6 9.5 16.9 19.9 19.6 19.6 20.0 19.1
2 1 2 2 2 15.0 16.2 19.4 19.2 19.7 19.8 24.2 21.9
3 1 3 3 3 16.3 16.7 19.1 15.6 22.6 18.2 23.3 20.4
4 2 1 2
3 18.3 17.4 18.9 18.6 21.0 18.9 23.2 24.7
5 2 2 3 1 19.7 18.6 19.4 25.1 25.6 21.4 27.5 25.3
6 2 3 1 2 16.2 16.3 20.0 19.8 14.7 19.6 22.5 24.7
7 3 1 3 2 16.4 19.1 18.4 23.6 16.8 18.6 24.3 21.6
8 3 2 1 3 14.2 15.6 15.1 16.8 17.8 19.6 23.2 24.2
9 3 3 2 1 16.1 19.9 19.3 17.3 23.1 22.7 22.6 28.6

505. 11-7DISEÑOROBUSTO 491
discusiónpublicado enTechnometrics(verNair,etal.[86]).Enelmaterialsuplementariodeltextodeeste
capítulotambiénsecomentaneilustranmuchosdelosproblemasimplícitos
enlosmétodostécnicosde
Taguchi.
LametodologíadeTaguchi paraelproblemaRPDgiraentornoalusode undiseñoortogonal para
losfactorescontrolables,elcualse"cruza"con undiseñoortogonalseparado paralosfactoresderuido.
Enlatabla11-22sepresenta unejemplodeByrneyTaguchi[23]que tratadeldesarrollode unmétodo
paraensamblarunconectorelastométricoen untubodenylonqueproduciríalafuerzadeseparaciónre­
querida.Haycuatrofactorescontrolables,cadaunocontresniveles
(A=interferencia,B=espesordela
pareddelconector,e=profundidaddeinsercióny D=porcentajedeadhesivo),ytresfactoresderuido
onocontrolables
(E=tiempodeacondicionamiento,F =temperaturadeacondicionamientoy G =hu­
medadrelativadelacondicionamiento).Elpanel
adelatabla11-22contieneeldiseño paralosfactores
controlables.Observequesetratade
undiseñofactorialfraccionadodetresniveles;específicamente, es
undiseño34-2.Taguchilollamaeldiseñodearreglointerior. Elpanelbdelatabla11-22contiene undise­
ño2
3
paralosfactoresderuido,alqueTaguchillamaeldiseñodearregloexterior.Entoncesserealiza
cadacorridadelarreglointeriorparatodaslascombinacionesdetratamientosdelarregloexterior,pro­
duciéndoselas72observacionesdelafuerzadeseparaciónquesemuestranenlatabla.Aestetipodedi­
señoselellamadiseñodearreglocruzado.
Taguchisugirióquelosdatosde
unexperimentodearreglocruzadoseresumierancondosestadís­
ticos:elpromediodecadaobservaciónenelarreglointerior
paratodaslascorridasdelarregloexterior
y
unresumendeestadísticasqueintentabacombinarinformaciónacercadelamediaylavarianza,lla­
madorelaciónseñalaruido.Lasrelacionesseñalaruidosedefinenapropósito
paraqueunvalormáxi­
modelarelaciónminimicelavariabilidadtransmitida
porlasvariablesderuido.Entoncessellevaa
cabo
unanálisisparadeterminarcuálessonlosajustesdelosfactorescontrolablesquedancomoresul­
tado1)
unamediatanpróximacomoseaposiblealobjetivodeseadoy 2)unvalormáximodelarelación
señalaruido.
Elexamendelatabla11-22revela unproblemaimportanteconlaestrategiadediseñodeTaguchi;a
saber,elenfoquedelarreglocruzadollevaráa
unexperimentomuygrande. Enelejemplotratadoaquí
sólohaysietefactores,peroeldiseñotiene72corridas.Además,eldiseñodearreglointerno
esundiseño
34-2deresoluciónIII(verelcapítulo 9paraunestudiodeestediseño), porloqueapesardelgrannúmero
decorridas,noesposibleobtener
ningunainformaciónacercadelasinteraccionesentrelasvariablescon­
trolables.
Dehecho,inclusolainformaciónacercadelosefectosprincipalesestápotencialmentecorrom­
pida,yaquelosefectosprincipalestienenestrechasrelacionesdealiasconlasinteraccionesdedos
factores.OcurretambiénquelasrelacionesseñalaruidodeTaguchisonproblemáticas;almaximizarsela
relaciónnoseminimizanecesariamentelavariabilidad.Referirsealmaterialcomplementariodeltexto
paramayoresdetalles.
Unpuntoimportanteacercadeldiseñodearreglocruzadoesque síproporcionainformaciónacerca
delasinteraccionesfactorcontrolablexfactorderuido.Estasinteraccionessoncruciales
paralasolu­
ciónde
unproblemaRPD.Porejemplo,considerelasgráficasdelasinteraccionesdedosfactoresdela fi­
gura11-41,donde xeselfactorcontrolabley zelfactorderuido. Enlafigura11-41anohayninguna
interacción
xxz;porlotanto,nohayningúnvalordelavariablecontrolable xqueafectelavariabilidad
transmitidaalarespuesta
porlavariabilidadenz.Sinembargo, enlafigura11-41bhayunafuerteinterac­
ciónxxz.Observequecuando
xseponeenelnivelbajo,haymuchomenosvariabilidadenlavariablede
respuestaquecuando
xestáenelnivelalto.Porlotanto,amenosquehayacomomínimounainteracción
factorcontrolablexfactorderuido,nohayningúnproblemadediseñorobusto.Comoseverá
enlasi­
guientesección,enfocarseenlaidentificaciónyelmodeladodeestasinteraccioneses
unadelasclavesde
unenfoquemáseficienteyeficazdelRPD.

506. 492 CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFICIESDERESPUESTA
y
x
=+Lavariabilidad
eny
sereduce
cuando
x=-
z
a)Ningunainteraccióncontrolxruido
z
b)Interaccióncontrolxruidosignificativa
Figura11-41 Elpapeldelainteraccióncontrolxruido enundiseñorobusto.
11~7.2 Elenfoquedelasuperficiederespuestaparaeldiseñorobusto
Comoseseñaló enlasecciónanterior,lasinteracciones entrelosfactorescontrolablesylosderuidoson
laclaveenunproblemadediseñorobusto. Porlotanto,eslógico usarunmodeloderespuestaqueincluya
tantoalosfactorescontrolablescomoalosfactoresderuidoysusinteracciones. Parailustrar,suponga
quesetienendosfactorescontrolables XlYX
2yunsolofactorde ruidoz
1
.Sesuponeque tantolosfactores
controlablescomoelderuidoseexpresancomolasvariablescodificadasusuales(esdecir,
tienensucen­
troen
ceroytienenlímitesinferiorysuperior ±a).Siquiereconsiderarse unmodelode primerordenque
incluyalasvariablescontrolables,
unmodelológicoes
(11-28)
Observequeestemodeloincluyelosefectosprincipalesdeambosfactorescontrolables,suinteracción,el
efectoprincipalde
lavariablederuidoylasdosinteracciones entrelasvariablescontrolablesy laderui­
do.Aestetipodemodelo,elcualincorporaalasvariablescontrolablesylasderuido,suelel1amársele
modelode
respuestaodereacción.Exceptocuandoalmenos unodeloscoeficientesderegresión
0
11y021
seadiferentedecero,no habráningúnproblemadediseñorobusto.
Unaventajaimportantedelenfoquedelmodeloderespuestaes quetantolosfactorescontrolables
comolosfactoresderuido
puedencolocarseenunsolodiseñoexperimental;esdecir, puedeevitarsela
estructuradelosarreglosinterioryexteriordelenfoquedeTaguchi.
Aldiseñoquecontienetantolosfac­
torescontrolablescomolosderuidosuelel1amárselediseñodearreglocombinado.
Comoseseñalóanteriormente,sesuponequelasvariablesderuidosonaleatorias,
auncuandoson
controlables
paralosfinesde unexperimento.Específicamente,sesupone quelasvariablesderuidoes­
tánexpresadasenunidadescodificadas,que tienenvaloresperadocero,varianza
a;,yquesihayvarias
variablesderuido,tienencovarianzascero.Bajoestossupuestosessencilloencontrar
unmodeloparala
respuesta
mediatomandoelvaloresperadode yenlaecuación11-28.Seobtieneasí
dondeelsubíndicezdel
operadorexpectativaes unrecordatorioparatomarelvaloresperadoconrespec­
toaambasvariablesaleatoriasdelaecuación11-28,
ZlY
c.Paraencontrarunmodelodelavarianzadela

507. 11
11-7DISEÑOROBUSTO 493
(11-29)y(x,z)=f(x)+h(x,z)+s
Esmuysencillogeneralizarestosresultados.Supongaquehay kvariablescontrolablesyrvariables de
ruido.Elmodeloderespuestageneralqueincluyeestasvariablesseescribirácomo
dondef(x)eslaporcióndelmodeloqueincluyesólolasvariablescontrolablesy
h(x,z)sonlostérminos
queincluyenlosefectosprincipalesdelosfactoresderuidoylasinteraccionesentrelosfactorescontrola­
blesylosderuido.
Demaneratípica,laestructurade h(x,z)es
1.Realizar
unexperimentoyajustar unmodeloderespuestaapropiado,talcomolaecuación
11-28.
2.Sustituirloscoeficientesderegresióndesconocidosenlosmodelosdelamediaylavarianzacon
susestimacionesdemínimoscuadradosdelmodelodelarespuestaodereacción,ysustituirla
if
delmodelodelavarianzaconelcuadradomediodelosresidualesqueseencontrócuandose
ajustóelmodeloderespuesta.
3.Optimizarlosmodelosdelamediay
lavarianzautilizandolosmétodosestándaresdeoptimiza­
ciónderespuestasmúltiplesrevisadasenlasección11-3.4.
1.Losmodelosdelamediaylavarianzaincluyenúnicamentelasvariablescontrolables.Estosigni­
ficaqueespotencialmenteposiblefijarlasvariablescontrolables
paraalcanzarunvalorobjetivo
delamediayminimizarlavariabilidadtransmitida
porlavariablederuido.
2.Auncuandoenelmodelodelavarianzaintervienensólolasvariablescontrolables,incluyeasi­
mismolos
coeficientesderegresiónde lainteracciónentrelasvariablescontrolablesyladeruido.
Esasícomolavariablederuidoinfluye
enlarespuesta.
3.Elmodelodelavarianzaesunafuncióncuadráticadelasvariablescontrolables.
4~Elmodelodelavarianza(dejandodeladoif)essóloelcuadradode lapendientedelmodelode
respuestaajustadoenladireccióndelavariablederuido.
Paradarunusooperacionalaestosmodelosseríanecesario:
donde
ReseltérminodelresiduodelaseriedeTaylor.Comoescomúnenlapráctica,seignoraráeltér­
minodelresiduo.Ahorapuedeobtenerselavarianzade
yaplicandoeloperadorvarianzaenestaúltima
expresión(sin
R).Elmodeloparalavarianzaresultantees
Vz(Y)=
a~(Yl+OllXl+021X2)2+a
2
Denuevacuentase hausadoelsubíndicezeneloperadorvarianzacomorecordatoriodeque tantoZl
comossonvariablesaleatorias.
Sehanderivado modelossimplesparalamediaylavarianzadelavariablederespuestadeinterés.
Observelosiguiente:
respuesta
yseusaelenfoquedelatransmisióndelerror.Primero,elmodeloderespuestadelaecuación
11-28seexpandeenunaseriedeTaylordeprimerordenalrededorde
Zl=O.Seobtieneasí
dy
Y==Yz=o+-d(zl-0)+R+s
Zl
==f30+f31xl+f32x2+f312xlx2
+(Yl
+OllXl+021X2)Zl
+R+s

508. (11-30)
(11-31)
"1
494 CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFICIESDERESPUESTA
r kr
h(x,z)=:¿-riZi+:¿:¿OijX¡Zj
i=l i=l j=l
Laestructurade¡(x)dependerádecuálseaeltipodemodeloqueelexperimentadorconsidereapropiado
paralasvariablescontrolables.Laseleccioneslógicassonelmodelodeprimerordenconinteraccióny el
modelodesegundoorden. Sisesuponequelasvariablesderuidotienenmediacero,varianzaa;ycova­
rianzascero,yquelasvariablesderuidoyloserroresaleatoriosstienencovarianzascero,entonceselmo­
delodelamediaparalarespuestaes
Ez[Y(x,z)]=¡(x)
yelmodelodelavarianzaparalarespuestaes
Vz[y(x,
z)]=a;~ [a~~¡Z)r+a
2
MyersyMontgomery[85a]presentanunaformauntantomásgeneraldelaecuación11-31basadaenla
aplicacióndirectadeunoperadordevarianzacondicionalalmodeloderespuesta.
EJEMPLO 11~6 ; .
Parailustrarelprocedimientoanterior,considerenuevamenteelejemplo6-2enelqueseestudiaroncua­
trofactoresenundiseñofactorial2
4
parainvestigarsuefectosobrelarapidezdefiltracióndeunproducto
químico.Sesupondráqueelfactor
A,latemperatura,esdifícildecontrolarenelprocesoagranescala,
peroquepuedecontrolarseduranteelexperimento(elcualsellevóacaboen
unaplantapiloto).Los
otrostresfactores,lapresión(B),laconcentración
(C)ylavelocidaddeagitación(D),sonfácilesdecon­
trolar.Porlotanto,elfactorderuidoz
1eslatemperatura,ylasvariablescontrolablesxl,x2y X
3sonlapre­
sión,laconcentraciónylavelocidaddeagitación,respectivamente.Puestoquetantolosfactores
controlablescomoelfactorderuidoestánenelmismodiseño,eldiseñofactorial2
4
utilizadoeneste ex­
perimentoesunejemplodeun diseñodearreglocombinado.
Utilizandolosresultadosdelejemplo 6-2,elmodeloderespuesta es
fI )=7006(21.625)(9.875)(14.625)
.!'\x,Zl . + 2 Zl+ 2 x2+ 2 x3
(
18.125) (16.625)
--2-X
2
Z
1+-2-X
3
Z
1
=70.06+10.81z
1+4.94x
2
+7.31x
3
-9.06x
2
Z
1
+8.31x
3
z
1
Utilizandolasecuaciones11-30y11-31,seencuentraquelosmodelosdelamediaylavarianzason
Ez[y(x,Zl)]=70.06+4.94x
2+7.31x
3
y
Vz[y(x,Zl)]=
a;(10.81-9.06x
2
+8.31x
3
)2+a
2
=a;(116.91+82.08x;+69.06xi-195.88x
2
+179.66x
3
-150.58x
2
x
3
)+a
2
respectivamente.Supongaahoraquelosnivelesbajoyaltodelavariablederuido,temperatura,secorrie­
rona
unadesviaciónestándaraambosladosdesuvalortípicoopromedio,detalmodoque
a;=1,Yque
seusaa
2
=19.51(ésteeselcuadradomediodelosresidualesobtenidoalajustarelmodeloderespuesta).
Porlotanto,elmodelodelavarianzaquedacomo
Vz[y(x,Zl)]=136.42-195.88x
2+179.66x
3
-150.58x
2x
3+
82.08x;+69.06xi

509. 1.0000.5000.000-0.500
-1.000L-__i-_-L. ~ ...l____ll~____J
-1.000
1.000,-----r---------,r--------~--_,
Figura11·42Contornosdelíndicedefiltraciónmedioconstante,ejemplo11-6,
con
Xl=temperatura=o.
e
-o
·ü
l'.:
e
1]0.000
e
o
U
11
>t'"'
0.500-
-0.500
11-7DISEÑOROBUSTO 495
X
4=Velocidaddeagitación
Enlafigura11-42sepresentalagráficadecontornodelpaquetedesoftware Design-Expertdelos
contornosderespuestadelmodelodelamedia.Paraconstruirestagráficasefijóelfactorderuido(tem­
peratura)
enceroyelfactorcontrolablenosignificativo(presión)también encero.Observequelarapi­
dezdefiltraciónpromedioseincrementacuandotantolaconcentracióncomolavelocidaddeagitación
seincrementan.
Design-Expel1constituirátambiénde maneraautomáticagráficasdelaraíz cuadradade
loscontornosdelavarianza,quedenominapropagación
delerror(oPOE,porsussiglaseninglés).Evi­
dentemente,la
POEnoessinoladesviaciónestándardelavariabilidadquesetransmitealarespuesta
como
unafuncióndelasvariablescontrolables. Enlafigura11-43semuestra lagráficadecontornoyla
gráficadesuperficiederespuestatridimensionaldela
POE,obtenidacon Design-Expert(enestagráfica
lavariablederuidosemantieneconstanteencero,comoseexplicóanteriormente).
Supongaqueelexperimentadorquieremantener
unarapidezdefiltraciónpromediodecercade 75y
minimizarlavariabilidadalrededordeestevalor.
Enlafigura11-44se muestraunagráficadesuperposi­
cióndeloscontornosdelarapidezdefiltraciónmediayla
POEcomounafuncióndelaconcentraciónyla
velocidaddeagitación,lasvariablescontrolablessignificativas.Paraconseguirlosobjetivosdeseadosserá
necesariomantenerlaconcentraciónenelnivelaltoylavelocidaddeagitaciónmuycercadelnivelinter­
medio.
Elejemplo11-6ilustraelusode unmodelodeprimer ordenconinteraccióncomoelmodelo paralos
factorescontrolables,f(x).Sepresentaahora
unejemploadaptadodeMontgomery [8Üb]queinduyeun
modelodesegundoorden.

510. 496 CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFICIESDERESPUESTA
1.000.500.00-0.50
-1.00 '---__--"''---JL...- .L...l --J.-L --'
-1.00
c:
'0
'13
¡g
c:
QJ
"
c:
o
U
11
>{'"
X
4=Velocidaddeagitación
alGráficadecontorno
28.5315
22.5032
16.4748
~
10.4465
w
O
4.41816Q.
1.00
1.00
b)Gráficadesuperficie derespuesta
Figura11·43 Gráficadecontorno ysuperficiederespuestadelapropagacióndelerror
(POE)enelejemplo11-6,con
Xl=temperatura=O.

511. 1.000.00 0.50
x.=Velocidaddeagitación
-1.00 L.;...C~~=--=-..L..""';";"';
-1.00 -0.50
Concentración
0.50
c:
·0
'<;
ni
,l:l
c:
el>
"
0.00c:
o
<.J
11
M
>l
-0.50
1.001--'==::::::::=::::::z=:::::;---:-~-:--~,7----:--:-----:-1
11-7DISEÑOROBUSTO 497
Figura11-44Gráficadesuperposicióndeloscontornosdelamedia ylaPOEdel
índicedefiltración,ejemplo11-6,con
Xl=temperatura=O.
EJEMPLO
11~7...•........................................................
Enunafábricadesemiconductoresserealizó unexperimentoqueincluyódosvariablescontrolablesytres
variablesderuido.
Enlatabla11-23semuestraeldiseñodearreglocombinadoutilizado porlosexperimen­
tadores.
Eldiseñoes unavariantede 23corridasde undiseñocentralcompuestoquesecreóempezando
con
unDCCestándarparacincofactores(laporcióndelcuboes undiseño2
5
-1)Yeliminandolascorridas
axialesasociadasconlastresvariablesderuido.Estediseñosoportará
unmodeloderespuestaquetiene un
modelodesegundoorden enlasvariablescontrolables,losefectosprincipalesdelastresvariablesderuido
ylasinteraccionesentrelosfactorescontrolablesylosderuido.
Elmodeloderespuestaajustadoes
Y(x,z)=30.37-2.92x
1
-4.l3x
2+2.60x;+2.18x~+2.87x
1
X
2
+2.73z
1
-
2.33z
2
+2.33z
3
-
0.27x
1
Z
1
+0.89x
1
Z
2
+2.58x
1
z
3
+2.01x
2
Z1-1.43x
2
Z2+1.56x
2
Z3
Losmodelosde lamediaylavarianzason
Ez[y(x,z)]=30.37-2.92x
1
-
4.13x
2
+2.60x;+2.18x~+2.87x
1
X
2
y
Vz[y(X,z)]=19.26+3.20x
1+12.45x
2+7.52x;+8.52x~ +2.21x
1
x
2
dondese hansustituidolasestimaciones delosparámetrosdelmodeloderespuestaajustado enlasecua­
cionesdelosmodelosdelamediaylavarianza
y,comoenelejemploanterior,sesuponeque
a;=1.En
lasfiguras11-45y11-46se presentanlasgráficas(de Design-Expel1)decontornode lamediayla POEdel
proceso(recuerdeque
laPOEeslaraízcuadradadelavarianzade lasuperficiederespuesta)generadasa
partirdeestosmodelos.

512. r:'
498 CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFICIESDERESPUESTA
Tabla11-23Experimentodearreglocombinado condosvariablescontrolables ytresvariablesderuido,ejemplo11-7
Númerodecorrida X¡ X2 Z¡ Z2 Z3 y
1 -1.00 -1.00 -1.00 -1.00 1.00 44.2
2 1.00
-1.00 -1.00 -1.00 -1.00 30.0
3 -1.00 1.00
-1.00 -1.00 -1.00 30.0
4 1.00 1.00
-1.00 -1.00 1.00 35.4
5 -1.00 -1.00 1.00 -1.00
-1.00 49.8
6 1.00
-1.00 1.00 -1.00 1.00 36.3
7 -1.00 1.00 1.00
-1.00 1.00 41.3
8 1.00 1.00 1.00 -1.00 -1.00 31.4
9 -1.00 -1.00
-1.00 1.00 -1.00 43.5
10 1.00 -1.00 -1.00 1.00 1.00 36.1
11 -1.00 1.00 -1.00 1.00 1.00 22.7
12 1.00 1.00
-1.00 1.00 -1.00 16.0
13 -1.00 -1.00 1.00 1.00 1.00 43.2
14 1.00
-1.00 1.00 1.00 -1.00 30.3
15 -1.00 1.00 1.00 1.00 -1.00 30.1
16 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 39.2
17 -2.00 0.00 0.00 0.00 0.00
46.1
18 2.00 0.00 0.00 0.00 0.00 36.1
19 0.00 -2.00 0.00 0.00 0.00 47.4
20 0.00 2.00 0.00 0.00 0.00 31.5
21 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 30.8
22 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 30.7
23 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 31.0
1.00,...---,¡------------------.::::=o
1.00
30
0.500.00--0.50
0.50
--0.50
-1.00L-_...::.-__~ __....::I...._ __JL.__ ---J
-1.00
1-t
N
0.00
x,
Figura11·45 Gráficadecontornodelmodelodelamedia,ejemplo11-7.

513. 11-7DISEÑOROBUSTO 499
1.000.500.00-0.50
1.00r---------------O;;:::--------,
0.50
-1.00LL -L ---l ..L-~'______l
-1.00
-0.50
~N0.00
Xl
Figura11-46 GráficadecontornodelaPOE,ejemplo11-7.
Figura11-47 Superposicióndeloscontornosdelamedia ylaPOEparaelejem­
plo11-7,conlaregiónenblancoindicandocondicionesdeoperaciónsatisfactorias
paralamedia
ylavarianza.
1.00
0.50
}iN0.00
-0.50
-1.001.'-"'~~~=
-1.00 -0.50 0.00 á.50 1.00

514. 500 CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFICIESDERESPUESTA
Enesteproblemaesdeseablemantenerlamediadelprocesoabajode 30.Alinspeccionarlasfiguras
11-45y11-46,
esclaroquesenecesitaráhacer unajustesisequierehacer pequeñalavarianzadelproce­
so.Puestoquesólohaydosvariablescontrolables,
unaformalógicadellegaraestearregloessuperponer
loscontornosdelarespuestamediaconstanteylavarianzaconstante,comosemuestraenlafigura
11-47.
Estagráficamuestraloscontornosparalosquelamediadelprocesoesmenoroigualque30yladesvia­
ciónestándardelprocesoesmenoroigualque 5.Laregióndelimitada porestoscontornosrepresentaría
unazonadeoperacióntípicaderespuestamediabajayvarianzadelprocesobaja.
.........................................................................
11·8PROBLEMAS
11-1.Enunaplantaquímicaseproduceoxígenolicuandoaireyseparándolo pordestilaciónfraccionadaensus ga­
sescomponentes.Lapurezadeloxígenoesunafuncióndelatemperaturadelcondensadorprincipalydela
relacióndelapresiónentrelascolumnassuperioreinferior.Lascondicionesdeoperaciónactualessontem­
peratura
(s¡)==-220°Cylarelacióndelapresión(S2)==1.2.Utilizandolosdatossiguientes,encontrarlatra­
yectoriadelascensomáspronunciado:
Temperatura(s¡)Índicedelapresión(S2)Pureza
-225 1.1 82.8
-225 1.3 83.5
-215 1.1 84.7
-215 1.3 85.0
-220 1.2
84.1
-220 1.2 84.5
-220 1.2 83.9
-220 1.2 84.3
11-2.Uningenieroindustrial hadesarrolladounmodelo desimulación porcomputadoraparaunsistemadein­
ventariodedosartículos.Lasvariablesdedecisiónsonlacantidaddelpedidoyelpuntodereordendecada
artículo.
Larespuestaquedebeminimizarse eselcostototaldelinventario.Elmodelo desimulaciónseusa
paraproducirlosdatosquesemuestranenlatablasiguiente.Identificareldiseñoexperimental.Encontrar
latrayectoriadeldescensomáspronunciado.
Artículo1 Artículo2
Cantidaddel Puntode Cantidaddel Puntode Costo
pedido
(s¡) reorden(S2) pedido(S3) reorden(S4) total
100
25 250 40 625
140 45 250 40 670
140 25 300 40 663
140 25 250 80 654
100 45 300 40 648
100 45 250 80 634
100 25 300 80 692
140 45 300 80 686
120 35 275 60 680
120 35 275 60 674
120 35 275 60 681

515. 11-8PROBLEMAS 501
y=30+5x¡+2.5x
2
+3.5x
3
y
lS.5
19.5
17.4
22.5
-1
1
-1
1
J2
O
-J2
O
y=60+1.5x¡-0.Sx
2
+2.0x
3
X¡
o
-J2
O
J2
11-4.Paraelmodelodeprimerorden
encontrarlatrayectoriadelascensomáspronunciado.Lasvariablesestáncodificadascomo-1::5Xi::51.
11-5.Laregióndeexperimentacióndetresfactoressoneltiempo (40::5T¡::5SOmin),latemperatura (200::5Tz::5
300°C)ylapresión(20::5P::550psig).Se haajustadounmodelodeprimerordenenvariablescodificadasa
losdatosdelrendimientodeundiseño2
3
•
Elmodeloes
11-3.Verificarqueelsiguientediseñoessímplex.Ajustarelmodelodeprimerordenyencontrarlatrayectoriadel
ascensomáspronunciado.
¿Elpunto
T¡=S5,Tz=325,P=60estáenlatrayectoriadelascensomáspronunciado?
11-6.Laregióndeexperimentacióndedosfactoressonlatemperatura
(100::5T::5300°F)ylavelocidaddeali­
mentacióndelcatalizador
(10
::5e::530lb/pulg).Unmodelodeprimerordenconlasvariablescodificadas
usuales
±1sehaajustadoalarespuestapesomolecular,obteniéndose elmodelosiguiente:
y=2000+125x¡+40x
2
a)Encontrarlatrayectoriadelascensomáspronunciado.
b)Sedeseamoveraunaregióndondelospesosmolecularesrebasen 2500.Conbaseenlainformaciónque
setieneporlaexperimentaciónenestaregión,¿aproximadamentecuántospasosenlatrayectoriadelas­
censomáspronunciadosenecesitanparamoversealaregióndeinterés?
11-7.Latrayectoriadelascensomáspronunciadosuelecalcularsesuponiendoqueelmodeloesenrealidaddepri­
merorden;
esdecir,quenohayinteracción.Sinembargo,incluso sihayinteracción,elascensomáspronun­
ciadoquesedeterminaignorandolainteracciónseguiráproduciendopor
logeneralbuenosresultados.Para
ilustrar,supongaque
sehaajustadoelmodelo
utilizandovariablescodificadas
(-1
::5Xi::5+1).
a)Trazarlatrayectoriadelascensomáspronunciadoqueseobtendría siseignoraralainteracción.
b)Trazarlatrayectoriadelascensomáspronunciadoqueseobtendríaincluyendolainteracciónenelmo­
delo.Compararlaconlatrayectoriaque
seencontróenelinciso a.
l1-S.Losdatosquesemuestranenlasiguientetablaserecolectaronenunexperimento paraoptimizarelcreci­
mientodeuncristalcomounafuncióndetresvariablesx¡,xzY
X3•Sondeseableslosvaloresgrandesde y(ren­
dimientoengramos).Ajustarunmodelodesegundoordenyanalizar
lasuperficieajustada.¿Bajoqué
conjuntodecondicionessealcanza
elcrecimientomáximo?

516. 502 CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFICIESDERESPUESTA
X¡ y
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
-1.682
1.682
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
O
O
-1.682
1.682
O
O
O
O
O
O O
O
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
O
O
O
O
-1.682
1.682
O
O
O
O O
O
66
70
78
60
80
70
100
75
100
80
68
63
65
82
113
100
118
88
100
85
11-9.Uningenieroquímicorecolectólossiguientesdatos. Larespuestayeseltiempodefiltración,x¡eslatempe­
raturay
Xzeslapresión.Ajustarunmodelodesegundoorden.
x¡ Xz y
-1 -1 54
-1 1 45
1 -1 32
1 1
47
-1.414 O 50
1.414 O 53
O -1.414 47
O 1.414 51
O O 41
O O 39
O O
44
O O 42
O O 40
a)¿Quécondicionesdeoperación serecomendaríansielobjetivoesminimizareltiempodefiltración?
b)¿Quécondicionesdeoperaciónserecomendarían sielobjetivoesoperarelprocesoconunavelocidad
defiltraciónmediamuypróximaa
46?
11-10.Eldiseñohexagonalquesepresentaacontinuaciónseusaen unexperimentoquetienecomoobjetivoajus­
tarunmodelodesegundoorden:

517. Xl
1
0.5
-0.5
-1
-0.5
0.5
O
O
O
O
O
X
2
O
.Jo.75
.Jo.75
O
-.J0.75
-.JO.75
O
O
O
O
O
y
68
74
65
60
63
70
58
60
57
55
69
11-8PROBLEMAS 503
a)Ajustarelmodelodesegundoorden.
b)Efectuarelanálisiscanónico.¿Quétipodesuperficiese haencontrado?
e)¿Quécondicionesdeoperaciónpara
XlyX
2llevanalpuntoestacionario?
d)¿Dóndesecorreríaesteproceso sielobjetivo
eSobtenerunarespuestaqueestétancercade 65comosea
posible?
11-11.
Unexperimentadorcorrió undiseñodeBox-Behnken yobtuvolossiguientesresultados,dondelavariable
derespuestaeslaviscosidadde
unpolímero:
Velocidadde
Nivel Temperatura agitación Presión
Xl X
2
X
3
Alto 200 10.0 25 +1+1+1
Intermedio 175 7.5 20 O O O
Bajo 150 5.0 15 -1 -1 -1
Corrida Xl X
2
X
3
Yl
1 -1 -1 O535
2 +l-1 O580
3 -1+1 O596
4 +1+1 O563
5 -1 O-1645
6 +1 O-1458
7 -1 O+1350
8 +1 O+1600
9 O-1 -1 595
10 O+1-1 648
11 O-1+1 532
12 O+1 +1 656
13 O O O 653
14 O O O 599
15 O O O 620
a)Ajustarelmodelo desegundoorden.
b)Efectuarelanálisiscanónico.¿Quétipodesuperficiese haencontrado?

518. 504
11-12.
CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFiCiESDERESPUESTA
e)¿Quécondicionesdeoperaciónpara XI'X
2YX
3llevanalpuntoestacionario?
d)¿Quécondicionesdeoperaciónserecomendarían siesimportanteobtenerunaviscosidadqueestétan
cercade
600comoseaposible?
Considereeldiseñocentralcompuestodetresvariablesquesemuestraacontinuación.Analizarlosdatos
y
sacarconclusiones,suponiendoquesequieremaximizarlaconversión 0'1)conlaactividad 0'2)entre55y60.
,
,'~
Conversión
Tiempo Temperatura Catalizador
(%) Actividad
Corrida (min)
CC) (%) YI Y2
1 -1.000 -1.000 -1.000 74.00 53.20
2 1.000 -1.000 -1.000 51.00 62.90
3 -1.000 1.000 -1.000 88.00 53.40
4 1.000 1.000 -1.000 70.00 62.60
5 -1.000 -1.000 1.000 71.00 57.30
6 1.000 -1.000 1.000 90.00 67.90
7 -1.000 1.000 1.000 66.00 59.80
I
8 1.000 1.000 1.000 97.00 67.80
9 0.000 0.000 0.000 81.00 59.20
10 0.000 0.000 0.000 75.00 60.40
11 0.000 0.000 0.000 76.00 59.10
12 0.000 0.000 0.000 83.00 60.60
13 -1.682 0.000 0.000 76.00 59.10
14 1.682 0.000 0.000 79.00 65.90
15 0.000 -1.682 0.000 85.00 60.00
16 0.000 1.682 0.000 97.00 60.70
17 0.000 0.000 -1.682 55.00 57.40
18 0.000 0.000 1.682 81.00 63.20
19 0.000 0.000 0.000 80.00 60.80
20 0.000 0.000 0.000 91.00 58.90
11-13.Unfabricantedeherramientasdecortehadesarrolladodosecuacionesempíricasparalavidadela
herra~
mientaenhoras 0'1)yparaelcostodelaherramienta endólares0'2)'Ambosmodelossonfuncioneslineales
deladurezadelacero
(XI)ydelafechadefabricación (x
2
).Lasdosecuacionesson
j\=lü+5x¡+2x
2
Y2=23+3x¡+4x
2
yambasecuacionessonválidasenelrango -1.5:s;Xi:s;1.5.Elcostounitariodelaherramientadebeestaraba­
jode$27.50ylavidadebeexceder 12horasparaqueelproductoseacompetitivo.¿Existealgúnconjuntode
condicionesdeoperaciónfactibleparaesteproceso?¿Dóndeserecomendaríacorreresteproceso?
11-14.Secorreundiseñocentralcompuestoeh unprocesodedeposiciónquímicaporvapor yseobtienenlosdatos
experimentalesquesemuestranacontinuación.Seprocesaronsimultáneamentecuatrounidadesexperi­
mentalesencadacorridadeldiseño,
ylasrespuestassonlamedia ylavarianzadelespesor,calculadasenlas
cuatrounidades.

519. 11-8PROBLEMAS 505
Xl X2 Y
S2
-1 -1 360.6 6.689
1
-1 445.2 14.230
-1 1 412.1 7.088
1 1 601.7 8.586
1.414
O 518.0 13.130
-1.414
O 411.4 6.644
O 1.414 497.6 7.649
O -1.414 397.6 11.740
O O 530.6 7.836
O O 495.4 9.306
O O 510.2 7.956
O O 487.3 9.127
a)Ajustarunmodeloalarespuestamedia.Analizarlosresiduales.
b)Ajustarunmodeloalarespuestavarianza.Analizarlosresiduales.
e)Ajustar
unmodeloa ln(S2).¿Este modeloessuperioralqueseencontró enelincisob?
d)Supongaquesequierequeelespesormedioesté enelintervalo450±25.Encontrarunconjuntodecon­
dicionesdeoperaciónqueconsigaesteobjetivo
yquealmismotiempominimicelavarianza.
e)Comentarlosaspectosdelaminimizacióndelavarianzadelinciso
d.¿Sehaminimizadotambiénlava­
rianza
totaldelproceso?
11-15.Verificarqueeldiseñodeprimerordenortogonalestambién
undiseñodeprimerordenrotable.
11-16.Demostrarqueaumentar
undiseño2
k
conn
epuntoscentralesnoafectalasestimaciones de/3¡(i=1,2,.oo,k),
peroquelaestimacióndelaordenadaalorigen /30eselpromediodelas 2
k+n
eobservaciones.
11-17.Eldiseñocentralcompuestorotable. Puededemostrarseque undiseñodesegundoordenesrotable si
L7t=IX:XJ"=Osiaob(oambas)sonimpares ysiL::=IX~,=3L::=IX~XJ.,. Demostrarqueparaeldiseñocentral
compuestoestascondicionesllevana
a=(/lF)1/4paralarotabilidad,donde /lFeselnúmerodepuntosenla
porciónfactoriaL
11-18.Verificarqueeldiseñocentralcompuestoquesemuestraabajoestáseparadoenbloquesortogonales:
Bloque1 Bloque2 Bloque3
X
X2 X
3 Xl X2 X
3 Xl X2 X
3l
O O O O O O -1.633O O
O O O O O O
1.633O O
1 1 1 1 1
-1 O -1.633O
1 -1 -1 1 -1 1 O 1.633O
-1 -1 1 -1 1 1 O O -1.633
-1 1 -1-1 -1 -1 O O 1.633
O O O
O O O
11-19.Formacióndebloquesdeldiseñocentralcompuesto. Considereundiseñocentralcompuestopara k=4varia­
blesendosbloques.¿Puedeencontrarsesiempre
undiseñorotableformadodebloquesortogonales?
11-20.¿Cómopuedecorrerseundiseñohexagonalendosbloquesortogonales?

520. 506 CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFICIESDERESPUESTA
11-21.Enlatablasiguientesemuestraelrendimientoduranteloscuatroprimerosciclosde unprocesoquímico.
Lasvariablessonelporcentajedeconcentración
(x¡)enlosniveles30,31Y32Ylatemperatura(x
2
)en140,
142Y144°F.HacerelanálisisutilizandométodosEVOP.
Condiciones
Ciclo
(1) (2) (3) (4) (5)
1 60.7 59.8 60.264.257.5
2 59.1 62.8 62.564.658.3
3 56.6 59.1 59.0
62.361.1
4 60.5 59.8 64.561.060.1
11-22.
Supongaqueseaproximaunasuperficiederespuestacon unmodelodeorden di,talcomoy =
XJJ¡+8,
cuandolaverdaderasuperficieestádescrita porunmodelode ordend2>di;esdecir,E(y)=XJJ¡+XJJ2'
a)Demostrarqueloscoeficientesderegresiónsonsesgados,esdecir,queE(JJ¡)=p¡+AfJ2'dondeA =
(X'¡X¡)-¡X'¡X
2
•Escomúnllamara Alamatrizalias.
b)Sid¡=1 Yd
2=2,Yseutilizaundiseño2
k
completoparaajustarelmodelo,usarelresultadodelincisoa
paradeterminarlaestructuradelosalias.
e)
Sid¡=1,d
2=2 Yk=3,encontrarlaestructuradelosalias,suponiendoqueseusaundiseño2
3
-¡para
ajustarelmodelo.
d)Sid¡=1,d
2=2Yk=3,Yseutilizaeldiseñosímplexdelproblema 11-3paraajustarelmodelo,determi­
narlaestructuradelosalias ycompararlosresultadosconelincisoe.
11-23.Enunartículo("Conozcamostodoselcuadradolatino", enQuality
Engineeling,vol.1,pp.453-465),J.S.
Hunterilustraalgunosdelosproblemasasociadosconlosdiseñosfactorialesfraccionados 3
k
-p.ElfactorA
eslacantidaddeetanolagregadaa uncombustibleestándaryelfactorB representala:relaciónaire/com­
bustible.
Lavariablederespuestaes laemisióndemonóxidodecarbono(CO) eng/m
3
•
Eldiseñosemues­
traabajo:
Diseño Observaciones
A B X¡ X
2
y
O O
-1 -1 66 62
1 O O -1 78 81
2 O +1 -1 90 94
O 1 -1 O 72 67
1 1 O O 80 81
2 1 +1 O 75 78
O 2 -1 +1 68 66
1 2 O +1 66 69
2 2 +1 +1 60 58
Observequese hausadoelsistemadenotaciónde O,1Y2pararepresentarlosnivelesbajo,intermedio yalto
delosfactores.Se
hausadotambién una"notacióngeométrica"de -1,OY+1.Sehacendosréplicasdecada
corridadeldiseño.
a)Verificarqueelmodelodesegundoorden
y=78.5+4.5x¡-7.0x
2
-4.5x¡-4.0xi-9.0x¡x
2
esunmodelorazonable paraesteexperimento.TrazarloscontornosdelaconcentracióndeCOeneles­
pacio
Xl'X2.

521. 11-8PROBLEMAS 507
b)Supongaahoraqueenlugardesólodosfactores,seusaron cuatrofactoresenundiseñofactorialfrac­
cionado
34-2Yqueseobtuvieron exactamentelosmismosdatosqueenelinciso a.Eldiseñoseríaelsi­
guiente:
Diseño Observaciones
A B e D Xl X
2 X3 X
4
y
o o o o -1 -1 -1 -1 66 62
1 o 1 1 o -1 o o 78 81
2 o 2 2 +1 -1 +1 +1 90 94
o 1 2 1 -1 o +1 o 72 67
1 1 o 2 o o -1 +1 80 81
2 1 1 o +1 o o -1 75 78
o 2 1 2 -1 +1 o +1 68 66
1 2 2 o o +1 +1 -1 66 69
2 2 o 1 +1 +1 -1 o 60 58
Confirmarqueestediseño esunarregloortogonal L
9
•
c)CalcularlospromediosmarginalesdelarespuestaCOencadaniveldeloscuatrofactoresA, B,eyD.
Construirgráficasdeestospromediosmarginaleseinterpretarlosresultados.¿Losfactores eyDpare­
centenerefectosgrandes?¿Estosfactorestienen
enrealidadalgúnefectosobrelaemisióndeCO?¿Por
quésuefectoaparente
esgrande? .
d)Eldiseñodelinciso bpermiteelajustedelmodelo
4 4
y=/30+
L/3¡x¡+L/3¡¡x;+e
i=1 i=1
Supongaqueel verdaderomodeloes
4 4
y=/30+L/3¡x¡+L/3¡¡X¡2+LL/3ijx¡x
j=e
i=1 i=1 i<j
Demostrarque silas13
jrepresentanlasestimacionesdemínimoscuadradosdeloscoeficientesdelmode­
loajustado,entonces
E(/3o)=/30-/313-/314-/334
E(~l)=/31-(/323+(324)/2
E(~2)= /32-(/313+/314+(334)/2
E(~3)= /33-(/312+(324)/2
E(~4)=/34-(/312+(323)/2
E(~11)=/311-(/323-(324)/2
E(~22)=/322+(/313+/314+(334)/2
E(~33)=/333-(/324-(312)/2+/314
E(~44)= /344-(/312-(323)/2+/313
¿Ayudaestoaexplicarlosefectosgrandesdelosfactores eyDqueseobservarongráficamenteenelin­
ciso
c?
lil
1I
1
lil
1
'1,
i
i
l
1
I

522. 508 CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFICIESDERESPUESTA
11-24.Supongaqueesnecesariodiseñar unexperimentoparaajustarunmodelocuadrático enlaregión-1::;Xi::;
+1,i=1,2sujetoalarestricción Xl+X
2
::;1.Siseviolalarestricción,elproceso nofuncionaráadecuada_
mente.
Noesposiblehacermásde
n=12corridas.Establecerlossiguientesdiseños:
a)UnmodeloDCC"inscrito"con puntocentralenXl=X
2=O.
b)Undiseñofactorial3
2"inscrito"con puntocentralenXl=X
2=-0.25.
e)
Undiseñooptimal D.
d)UndiseñooptimalDmodificadoqueseaidénticoaldelincisoe, perocontodaslasréplicas delascorri-
das
enelcentrodeldiseño.
e)Evaluarelcriterio I(X'X)-l¡paracadadiseño.
f)Evaluarlaeficiencia Dparacadadiseño encomparaciónconeldiseñooptimal Ddelincisoc.
g)
¿Quédiseñopreferiríaellector?¿Porqué?
11-25.Considere
undiseño2
3
paraajustarunmodelodeprimerorden.
a)Evaluarelcriterio DI(X'X)-l¡paraestediseño.
b)EvaluarelcriterioAtr(X'X)-1 paraestediseño.
e)
Encontrarlavarianzadepredicciónescaladamáxima paraestediseño.¿Estediseñoesoptimal G?
11-26.Repetirelproblema11-25utilizando unmodelodeprimerordenconlasinteraccionesdedosfactores.
11-27.
Uningenieroquímicodeseaajustar unacurvadecalibraciónparaunnuevoprocedimientoutilizadopara
medirlaconcentración
deuningredienteparticular deunproductofabricadoensusinstalaciones.Pueden
prepararse12muestras,cuyaconcentraciónesconocida. Elingenieroquiereconstruir unmodeloparalas
concentracionesmedidas.Piensaque
unacurvadecalibraciónlineal seráadecuadaparamodelarlaconcen­
tración
medidacomounafuncióndelasconcentracionesconocidas;esdecir,y =/30+/31X+
s,dondeXesla
concentraciónreal.
Estánbajoconsideracióncuatrodiseñosexperimentales. Eldiseño1constadeseiscorri­
dasconlaconcentraciónconocida1 yseiscorridas
conlaconcentraciónconocida10. Eldiseño2constade
cuatrocorridasconlasconcentraciones
1,5.5y10.Eldiseño3consta detrescorridasconlasconcentraciones
1,4,7y10.Porúltimo,eldiseño4consta detrescorridasconlasconcentraciones1 y 10Yseiscorridasconla
concentración5.5.
a)Graficarlavarianza depredicciónescalada paraloscuatrodiseños enlamismagráfica enelrangodela
concentración1
::;X::;10.¿Quédiseñoseríapreferible?
b)Calculareldeterminantede(X'X)-l paracadadiseño. ¿Quédiseñoseríapreferibledeacuerdoconel
criterioD?
e)CalcularlaeficienciaD
decadadiseño encomparaciónconel "mejor"diseñoquesehayaencontradoen
elinciso
b.
d)Paracadadiseño,calcularlavarianzadepredicción promedioenelconjuntodepuntosdado porX=1,
1.5,2,2.5,oo.,10.¿Quédiseñoseríapreferible deacuerdoconelcriterio V?
e)Calcularlaeficiencia Vdecadadiseño encomparaciónconel mejordiseñoquesehaya encontradoenel
inciso
d.
f)¿Cuáles laeficienciaGdecadadiseño?
11-28.Resolverdenuevoel
problema11-27,suponiendo queelmodeloqueelingenieroquiereajustarescuadráti­
co.Evidentemente,
ahorasólopuedenconsiderarselosdiseños 2,3 y4.
11-29.Unexperimentadorquierecorrer unexperimentodeunamezcladetrescomponentes.Lasrestriccionesso­
brelasproporcionesdeloscomponentessonlassiguientes:
0.2:<:;Xl:<:;0.4
O.l:<:;x
z
:<:;0.3
O.4:<:;x
z
:<:;0.7
a)Establecerunexperimentoparaajustarunmodelocuadrático paramezclas.Usarn=14corridas,con
cuatroréplicas.
UsarelcriterioD.
b)Trazarlaregiónexperimental.

523. 11-8PROBLEMAS 509
e)Establecerunexperimentoparaajustarunmodelocuadráticoparamezclascon Il==12corridas,supo­
niendoquetresdeestascorridassonréplicas.Usarelcriterio
D.
d)Comentarlosdosdiseñosqueseencontraron.
11-30.MyersyMontgomery
[85a]describenunexperimentoconunamezcladegasolinaen elqueintervienentres
componentesdelamezcla.Nohayrestriccionessobrelasproporcionesdelamezcla,y
seusóelsiguientedi­
señocon
10corridas:
Puntodeldiseño
Xl X
2
X
3 y,mi/gal
1 1
O O 24.5,25.1
2
O 1 O 24.8,23.9
3
O O 1 22.7,23.6
4
1 1
O 25.1
"2 "2
5
1
O
1
24.3
"2 "2
6 O
1 1
23.5
"2 "2
7
1 1 1
24.8,24.1
3" 3" 3"
8
2
1 1
24.2
3" "6 "6
9
1 2 1
23.9
"6 3" "6
10
1 1 2
23.7
"6 "6 3"
a)¿Quétipodediseñoutilizaronlosexperimentadores?
b)Ajustarunmodelocuadráticoparamezclasalosdatos.¿Esadecuadoestemodelo?
e)Graficarloscontornosdelasuperficiederespuesta.¿Quémezclaserecomendaríaparamaximizarlas
millasporgalón?
11-31.Considereelexperimentodelllenadodelasbotellasdelejemplo6-1.Supongaqueelporcentajedecarbona­
tación
(A)esunavariablederuido(enunidadescodificadas
a;==1).
a)Ajustarelmodeloderespuestaaestosdatos.¿Setratadeunproblemadediseñorobusto?
b)EncontrarelmodelodelamediayelmodelodelavarianzaobienlaPOE.
e)Encontrarunconjuntodecondicionesqueresultenenunadesviacióndelllenadopromediotanpróxima
acerocomoseaposibleconvarianzatransmitidamínima.
11-32.Considereelexperimentodelproblema11-12.Supongaquelatemperaturaesunavariablederuido(a;==1
enunidadescodificadas).Ajustarmodelos
derespuestaparalasdosrespuestas.¿Setratadeunproblemade
diseñorobustoconrespectoaambasrespuestas?Encontrar
unconjuntodecondicionesquemaximicenla
conversiónconlaactividadentre
55y60yqueminimicelavariabilidadtransmitida porlatemperatura.
11-33.Sehacorridounexperimentoenunprocesoqueaplicaunmaterialderecubrimientoaunaoblea.
Encada
corridadelexperimentosefabricóunaobleaysemidióvariasveceselespesordelrecubrimientoenvarios
si­
tiosdelamisma.Después seobtuvolamediaYl yladesviaciónestándarY2delamedicióndelespesor.Losda­
tos(adaptadosdeBoxyDraper[16b])
semuestranenlatablasiguiente:
Media Desviaciónestándar
CorridaVelocidad Presión Distancia
Yl Y2
1 -1.000 -1.000 -1.000 24.0 12.5
2 0.000 -1.000 -1.000 120.3 8.4
3 1.000
~1.000 -1.000 213.7 42.8
4~1.000 0.000 ~1.000 86.0 3.5
5 0.000 0.000 -1.000 136.6 80.4
6 1.000 0.000 -1.000 340.7 16.2
7 -1.000 1.000 -1.000
112.3 27.6

524. 510 CAPÍTULO11MÉTODOSDESUPERFICIESDERESPUESTA
Media Desviaciónestánd;;
Corrida Velocidad Presión Distancia Yi Y2
8 0.000 1.000 -1.000 256.3 4.6
9 1.000 1.000 -1.000 271.7 23.6
10 -1.000 -1.000 0.000 81.0 0.0
11 0.000 -1.000 0.000 101.7 17.7
12 1.000 -1.000 0.000 357.0 32.9
13 -1.000 0.000 0.000 171.3 15.0
14 0.000 0.000 0.000 372.0 0.0
15 1.000 0.000 0.000 501.7 92.5
16 -1.000 1.000 0.000 264.0 63.5
17 0.000 1.000 0.000 427.0 88.6
18 1.000 1.000 0.000 730.7 21.1
19 -1.000 -1.000 1.000 220.7 133.8
20 0.000 -1.000 1.000 239.7 23.5
21 1.000 -1.000 1.000 422.0 18.5
22 -1.000 0.000 1.000 199.0 29.4
23 0.000 0.000 1.000 485.3 44.7
24 1.000 0.000 1.000 673.7 158.2
25 -1.000 1.000 1.000 176.7 55.5
26 0.000 1.000 1.000 501.0 138.9
27 1.000 1.000 1.000 1010.0 142.4
a)¿Quétipodediseñóutilizaronlosexperimentadores?¿Esésta unabuenaeleccióndeldiseñoparaajus­
tarunmodelocuadrático?
b)Construirlosmodelos paraambasrespuestas.
e)Encontrarunconjuntodecondicionesóptimasqueresultenenunamediatangrandecomoseaposible
conladesviaciónestándarmenorque
60.
11-34.Unavariacióndelejemplo 6-2.Enelejemplo6-2seencontróqueunadelasvariablesdelproceso (B=pre­
sión)noeraimportante.Aleliminarestavariableseproducendosréplicasdeundiseño
23.Losdatosse
muestranenseguida:
e D A (+) A(-) Y
S2
- - 45,48 71,65 57.75 121.19
+ - 68,80 60,65 68.25 72.25
- + 43,45 100,104 73.00 1124.67
+ + 75,70 86,96 81.75 134.92
Suponerque e yDsonfactorescontrolables yqueAesunavariablederuido.
a)Ajustarunmodeloparalarespuestamedia.
b)Ajustarunmodeloparalarespuesta In(S2).
e)Encontrarlascondicionesdeoperaciónqueresultenenlarespuestaderapidezdefiltraciónmediaque
exceda
75convarianzamínima.
d)Compararlosresultadosobtenidosconlosdelejemplo 11-6,enelque seaplicóelenfoquedelatransmi­
sióndelerror.¿Hastaquépuntosonsimilareslasdosrespuestas?

525. Experimentos
confactores
aleatorios
Alolargodegranpartedeestelibrose hasupuestoquelosfactoresde unexperimentosonfactoresfijos,
esdecir,losnivelesdelosfactoresusados porelexperimentadorsonlosnivelesdeinterésespecífico. La
implicacióndeestoes,desdeluego,quelasinferenciasestadísticasquesehacenacercadeestosfactores
serestringenalosnivelesespecíficosestudiados.Esdecir,siseinvestigantrestiposdemateriales,como
enelexperimentodelavidade
labateríadelejemplo 5-1,lasconclusionessólosonválidas paraesosti­
posespecíficosdemateriales.
Unavariantedeestoocurrecuandoelfactorofactoressoncuantitativos.
Enestassituaciones,confrecuenciaseusaunmodeloderegresiónquerelacionalarespuestaconlosfac­
tores
parapredecirlarespuesta enlaregiónqueabarcanlosnivelesdelosfactoresusados eneldiseñoex­
perimental.Variosejemplosdeestosepresentaronenloscapítulos5al 9.Engeneral,cuandosetrabaja
con
unefectofijo,sedicequeelespacioinferencialdelexperimentoeselconjuntoespecíficodelosnive­
lesdelosfactoresinvestigados.
Enalgunassituacionesexperimentales,losnivelesdelosfactoresseeligenalazardeunapoblación
másgrandedenivelesposibles,
yelexperimentadorquieresacarconclusionesacercadelapoblación
completadelosniveles,nosólodelosqueseusaron
eneldiseñoexperimental. Enestasituaciónsedice
quese
tratadeunfactoraleatorio.Seempiezacon unasituaciónsimple,unexperimentoconunsolofac­
tor
enelqueelfactoresaleatorio yseusaesto paraintroducirelmodelode efectosaleatorios paraelaná­
lisisdevarianza
yloscomponentesde lavarianza.Losfactoresaleatoriosocurrentambiénnormalmente
enexperimentosfactoriales,asícomo
enotrostiposdeexperimentos.Estecapítuloseenfoca enlosméto­
dos
paraeldiseñoyanálisisdeexperimentosfactorialesconfactoresaleatorios. Enelcapítulo13sepre­
sentaránlosdiseñosanidados
ydeparcelassubdivididas,dossituacionesenlasqueesfrecuente
encontrarfactoresaleatorios
enlapráctica.
12~1MODELOCONEFECTOSALEATORIOS
Escomúnqueunexperimentadorestéinteresado enunfactorquetieneungrannúmerodeposiblesnive­
les.Cuandoelexperimentadorseleccionaaleatoriamente adeestosnivelesdelapoblacióndelosniveles
delfactor,entoncessedicequeelfactor
esaleatorio.Puestoquelosnivelesdelfactorutilizadosrealmente
enelexperimentoseeligieronalazar,
sehaceninferenciasacercadelapoblacióncompletadelosniveles
delfactor.Sesuponequelapoblacióndelosnivelesdelfactoresdetamañoinfinitoobienlosuficientemen-
511

526. 512 CAPÍTULO12EXPERIMENTOSCONFACTORESALEATORIOS
dondetantor¡comoeijsonvariablesaleatorias. Sir¡tienevarianzao;yesindependientedeeij'lavarianza
decualquierobservación
es
tegrandeparaconsiderarlainfinita.No esfrecuenteencontrarsituaciones enlasquelapoblacióndelos ni­
velesdelfactorsealosuficientementepequeñaparaemplearelenfoquede unapoblaciónfinita.Referirse
aBennettyFranklin
[9]ySearleyFawcett [101]paraunarevisióndelcasodeunapoblaciónfinita.
Elmodeloestadísticolineal es
(12-1){
i
=1,2,oo.,a
Y¡j=
f-l+r¡+eijJ.=1 2 11, ,...,
'''1
V(Yij)=o;+0
2
Alasvarianzaso;y02selesllamaloscomponentesde lavarianza,yalmodelo(ecuación12-1)selellama
modelodeefectosaleatoriosodeloscomponentesde
lavarianza.Paraprobarhipótesis enestemodelo se
requierequelas
{e¡j.}seanNlD(O,02),quelas{r¡}seanNlD(O,o;),yquer¡yeijseanindependientes.
1
Lasumadecuadradosidentidad
SST=SSTratamientos+SSE (12-2)
(12-3)
siguesiendoválida.Esdecir,sehacelaparticióndelavariabilidadtotal
enlasobservacionesenuncom­
ponentequemidelavariaciónentrelostratamientos
(SS'Itat~mientos) yuncomponentequemidelavariación
dentrodelostratamientos
(SSE)'Probarhipótesisacercadelosefectosdetratamientosindividualesno
tienesentido,
porloqueensulugarsepruebanhipótesisacercadelcomponentedelavarianza
o;:
Ho:o;=°
H
1:0;>0
Sio;=0,todoslostratamientossonidénticos;pero sio;>0,existevariabilidadentrelostratamientos.
Comoanteriormente,
SS
E/a2sedistribuyecomoji-cuadradacon N-agradosdelibertad y,bajolahipóte­
sisnula,SSTratamientoJa2sedistribuyecomoji-cuadradacon a-1gradosdelibertad.Ambasvariablesalea­
toriassonindependientes.Porlotanto,bajolahipótesisnulao;=0,elcociente
SSTratamientos
F.-_--'a::.,.--,-=l'-----_=MSTratamieatos
0-SSE MS
E
N-a
(12-4)
sedistribuyecomo
Fcona
-1YN-agradosdelibertad.Sinembargo,esnecesario examinarloscuadra­
dosmediosesperados
paratenerladescripcióncompletadelprocedimientodeprueba.
Considere
1 1 [a
y;l]
E(MSTratamientos) =a-1E(SSTratamientos) =a-1EL--;;-N
1=1
[( )
2 (
)2]
1la n 1 a 11
=---::-E-LL f-l+r¡+eij--LLf-l+ri+e¡j
a1ni=lj=l N¡=1j=l
Cuandoseelevaalcuadradoysetomalafunciónesperanzadelascantidadesentrecorchetes,seobserva
quelostérminosqueincluyenar:sonreemplazadosporo;comoE(r¡)=O.Además,lostérminosquein-
1Elsupuestodequelas{rJsonvariablesaleatoriasindependientesimplicaqueelsupuestousualdeque~~=1ri=Odelmodelode
efectosfijos
noseaplicaalmodelo deefectosaleatorios.

527. 12-1MODELOCONEFECTOSALEATORIOS 513
(12-6)
(12-5)
E(MS Tratamientos)=a2+
na;
o
Demanerasimilar,puededemostrarseque
Porloscuadradosmediosesperados,seobservaquebajo
Hotantoelnumeradorcomoeldenomina­
dordelestadísticodeprueba(ecuación12-4)sonestimadoresinsesgadosde
if,mientrasquebajo H
1el
valoresperadodelnumerador
esmayorqueelvaloresperadodeldenominador.Porlotanto, Hodeberá
rechazarse
paralosvaloresde Foqueseanmuygrandes.Estoimplica unaregióncríticadeunacolasupe­
rior,
porloqueHoserechazasiFo>Fa," _1,N
_"'
Elprocedimientodecálculoyelanálisisdelatabladevarianzadelmodelodeefectosaleatoriosson
idénticosa
lasqueseutilizaronenelcasodeefectosfijos.Sinembargo,lasconclusionessonmuydiferen­
tes,yaqueseaplicanalapoblacióncompletadelostratamientos.
Porlogeneralhabráinterésenestimarloscomponentesdelavarianza
(ifya;)delmodelo.Alpro­
cedimientoqueseusaparaestimarifya;selellama métododelanálisis devarianza,yaquehaceusode
laslíneasdelatabladelanálisisdevarianza.Elprocedimientoconsisteenigualarloscuadradosmedios
esperadosconsusvaloresobservadosenlatabladelanálisisdevarianzaydespejarloscomponentesdela
varianza.Aligualarloscuadradosmediosobservadosconlosesperadosenelmodelodeefectosaleato­
rioscon
unsolofactor,seobtiene
2 2
,'a"n 2 1 d???2 t' tP
duyenaSi.'S..y..:..i=l":"j=lTisonreempaza osporneT,aneTyan-aT,respec¡vamen e.orotraparte,to-
doslosproductoscruzadosqueincluyenaTiysijtienenvaloresperadocero.Estollevaa
E(MSTratamientos)=_1-[N,u2+Na;+aa
2
-N,u2-na;-a
2
]
a-1
MSTratnmientos=a
2
+na;
y
MS=a
2
E
Porlotanto,losestimadoresdeloscomponentesdelavarianzason
a
2
=MS
E
y
A? MSTratamientos-MSE
a-=_~==""-_----,:e...
T n
Paratamañosdelasmuestrasdesiguales,sereemplaza nenlaecuación12-8con
"]
Ln
2
1"i=l'
n=--"n·----
oa-1LJ' a
i=l "
LJni
i=l
(12-7)
(12-8)
(12-9)
Enelmétododelanálisisdevarianzaparaestimarloscomponentesdelavarianzanoserequiereel
supuestodenormalidad.Produceestimadoresde
ifya;quesonlosmejoresestimadorescuadráticosin­
sesgados(esdecir,detodaslasfuncionescuadráticasinsesgadasdelasobservaciones,estosestimadores
tienenmínimavarianza).

528. l!l!i
11
514 CAPÍTULO12EXPERIMENTOSCONFACTORESALEATORIOS
Ocasionalmente,elmétododelanálisisdevarianzaproduce unaestimaciónnegativadeunodelos
componentesdelavarianza.Evidentemente,loscomponentesdelavarianzason
pordefiniciónnonega­
tivos,
porloquelaestimaciónnegativade uncomponentedelavarianzaseconsideraconciertapreocu­
pación.
Uncursodeacciónesaceptarlaestimaciónyusarlacomoevidenciadequeelverdaderovalordel
componentedelavarianzaescero,suponiendoquelavariaciónmuestralllevóalaestimaciónnegativa.
Estotiene
unatractivointuitivo,peroadolecedealgunasdificultadesteóricas.Porejemplo,usarceroen
lugardelaestimaciónnegativapuedealterarlaspropiedadesestadísticasdeotrasestimaciones.
Otraal­
ternativaesvolveraestimarelcomponentedelavarianzanegativautilizando unmétodoqueproduzca
siempreestimacionesnonegativas.
Unaalternativamásesconsiderarlaestimaciónnegativacomo evi­
denciadequeelmodelolinealsupuestoesincorrectoyexaminardenuevoelproblema. Eltratamiento
completodelaestimacióndeloscomponentesdelavarianzaseofrece
enSearle[99a,b],Searle,Casellay
McCullogh[100]yBurdickyGraybill[22].
EJEMPLO
12~1 .
Unacompañíatextilfabrica untejidoenungrannúmerodetelares. Legustaríaquelostelaresfueranho­
mogéneosafindeobtener
untejidoderesistenciauniforme. Elingenierodelprocesosospechaque,ade­
másdelavariaciónusualdelaresistenciadentrodelasmuestrasdeltejidodelmismotelar,puedehaber
tambiénvariacionessignificativasenlaresistenciaentre
untelaryotro.Parainvestigarestaposibilidad,
er
ingenieroseleccionacuatrotelaresalazaryhacecuatrodeterminacionesdelaresistenciadeltejidofabri­
cado
encadatelar.Esteexperimentosecorrede maneraaleatoria,ylosdatosobtenidossemuestranenla
tabla12-1.Serealizaelanálisisdevarianza,elcualsemuestra
enlatabla12-2.Porelanálisisdevarianza
seconcluyequelostelaresde
laplantadifierensignificativamente.
Loscomponentesdelavarianzaseestimancon
a
2
=1.90Y
a;=29.73-1.90=6.96
4
Porlotanto,lavarianzadecualquierobservación delaresistenciaseestimacon
a,=a
2
+a;=1.90+6.96=8.86.
Lamayorpartedeestavariabilidadesatribuiblealasdiferencias entrelostelares.
Esteejemploilustra
unusoimportantedeloscomponentesdelavarianza:laseparacióndelasdife­
rentesfuentesdevariabilidadqueafectan
unproductoosistema. Elproblemadelavariabilidaddeun
productosepresentaconfrecuencia
enelcontroldecalidad,y enmuchasocasionesesdifícilaislarlas
Tabla
12-1Datosdelaresistenciadelejemplo12-1
Observaciones
Thlares
1 2 3 4 Yi.
1 98 97 99 96 390
2 91 90 93 92 366
3 96 95 97 95 383
4 95 96 99 98 388
1527=Y..

529. Tabla12.2Análisisdevarianzadelosdatosdelaresistencia
12-1MODELO CONEFECTOSALEATORIOS 515
Sumade Gradosde Cuadrado
cuadrados libertad medio
Fo ValorP
89.19 3 29.73 15.68 <0.001
22.75 12 1.90
111.94
15
Telares
Error
Total
Fuentede
variación
fuentesdelavariabilidad. Porejemplo,esteestudiopuede habersidomotivado porunagranvariabilidad
enlaresistenciadeltejido,comoseilustraenlafigura
12-1a.Enestagráficasepresentalasalidadelpro­
ceso(resistenciadeltejido)modeladocomo
unadistribuciónnormalconvarianza
f¡~=8.86.(Éstaesla
estimacióndelavarianzadecualquierobservacióndelaresistenciadelejemplo12-1.)Lasespecificacio­
nessuperioreinferiordelaresistenciasemuestrantambién
enlafigura12-1a,yesrelativamenteinme­
diatoverque
unaproporciónbastantegrandedelasalidadelprocesosesaledelasespecificaciones(las
áreassombreadasdelascolasdelafigura
12-1a).Elingenierodelprocesose hapreguntadoporquées
tangrandelacantidaddetejidodefectuosoquedebedesecharse,reelaborarseodegradarsea unproduc­
tode
menorcalidad.Larespuestaesquelamayor partedelavariabilidaddelaresistenciadelproducto es
elresultadodelasdiferenciasentrelostelares. Eldesempeñoirregulardelostelarespodríaserelresulta­
dode
unainstalaciónincorrecta, unmantenimientodeficiente, unasupervisiónineficaz,operadoressin
lacapacitaciónsuficiente,fibradeentradadefectuosa,etcétera.
Elingenierodelprocesodebeintentarahoraaislarlascausasespecíficasdeladiferenciaeneldesem­
peñodelostelares.
Sipudieraidentificaryeliminarestasfuentesdevariabilidadentrelostelares,sería
posiblereducirconsiderablementelavarianzadelasalidadelproceso,quizáhasta
f¡~=1.90,laestima­
cióndelcomponentede
lavarianzadentrodeltelar(error) enelejemplo12-1. Enlafigura12-1bsemues­
traladistribuciónnormaldelaresistenciadelafibracon
f¡~=1.90.Observeque laproporcióndel
productodefectuoso
enlasalidase hareducidoradicalmente. Auncuandoesimprobableque puedaeli­
minarse
todalavariabilidadentrelostelares,esclaroque unareducciónsignificativa enestecomponente
de
lavarianzaincrementaríasensiblemente lacalidaddelafibraproducida.
LS(especificacióninferior) US(especificaciónsuperior)
alVariabilidadde lasalidadelproceso.
LS(especificacióninferior) US(especificaciónsuperior)
blVariabilidadde lasalidadelproceso si
C1:=0.
Figura12-1Salidadelprocesoen elproblemadela
resistenciadelafibra.

530. 516 CAPÍTULO12EXPERIMENTOSCONFACTORESALEATORIOS
Essencilloencontrarunintervalodeconfianzaparaelcomponentedelavarianza02.Silasobserva_
cionessiguenunadistribuciónnormaleindependiente,entonces
(N
-a)MS
E/o2sedistribuyecomoX~-a'
Porlotanto,
[
2
(N-a)MSE 2 ]
PX1-(a/2),N-a
:5 a2 :5Xa/2,N-a=1-a
yunintervalodeconfianzade100(1-a)porciento para02es
(N-a)MS
E< 2<(N-a)MS
E
? _a- 2
X~/2,N-a XI-(a/2),N-a
Considereahoraelcomponentedelavarianzaa;.Elestimadorpuntualdea;es
A? MSTratamienlns- MSE
a-=---'-'==::::""'--"-
,- n
(12-10)
Lavariablealeatoria (a-l)MSnatamientn'/(o2+na;)sedistribuyecomoX;-l'y(N-a)MS
E/a
2
sedistribuye
como
X
~-a'Porlotanto,ladistribucióndeprobabilidadde(j;esunacombinaciónlinealdedosvariables
aleatoriasji-cuadrada,porejemplo
donde
a
2
+na
2
u= ,-
1n(a-1)
y
a
2
u=----
2n(N-a)
Desafortunadamente,nopuedeobtenerseunaexpresiónpredeterminadaparaladistribucióndeesta
combinaciónlinealdevariablesaleatoriasji-cuadrada.Porlotanto,noesposibleconstruirunintervalo
deconfianzaexactoparaa;.EnGraybill[50]ySearle[99a]sepresentanprocedimientosaproximados.
Vertambiénlasección
12-7.
Essencilloencontrarunaexpresiónexactapara unintervalodeconfianzadelcociente
a;/(a;+02).
Setratadeuncocienteconsignificado, yaquereflejalaproporcióndelavarianzadeunaobservación[re­
cuerdeque
V(Yij)=
a;+02]queeselresultadodelasdiferenciasentrelostratamientos.Paradesarrollar
esteintervalodeconfianzaenelcasodeundiseñobalanceado,observeque MSnatamientosyMSEsonvaria­
blesaleatoriasindependientes
y,además,quepuededemostrarseque
MSTratamienlos/
(na;+a
2
)_F
MSJi/a
2
a-l,N-a
Porlotanto,
(
F
<MSTralamientosa
2
)
l-a/2,a-I,N-a-~"'S??-:5Fa/2a-IN-a=1-a
lY1,Ena;+a- "
Alreordenarlaecuación12-11,puedeobtenerselasiguienteexpresión:
P(L:5:~:5U)=1-a
donde
L=l.(MSTratamienlOS11)
n MSE Fa/2,a-I,N-a
(12-11)
(12-12)
(12-13a)

531. 12-2OlSEÑOFACTORIALDEDOSFACTORESALEATORIOS 517
Observeque LyUsonloslímitesdeconfianzainferiorysuperiordelintervalo 100(1-a)porciento,res­
pectivamente,delcocientea;/if.Porlotanto, unintervalodeconfianzade100(1-a)porcientopara
a;/(a;+if)es
(12-14)
(12-13b)
U=
1.(MSTralamicnlos1 1)
lZ MSE F1-a/2,a-l,N-a
L a
2
U
--<'<--
l+L-a;+a
2
-l+U
Parailustraresteprocedimiento,seencontrará unintervalodeconfianzade95%dea;/(a;+a
2
)
paralosdatosde laresistenciadelejemplo12-1.Recuerdeque MSTratamientos=29.73,MS
E=1.90,a=4,lZ
=4,Foo025,3,12=4.47Y FOo975,3,12=1/Foo025,12,3=1/14.34=0.070.Porlotanto, porlasecuaciones12-13ayb,
L=1.[(29.73)(_1)-1]=0.625
41.904.47
U
=1.[(29.73)(_1_)_1]=54.883
41.900.070
y
porlaecuación12-12,elintervalodeconfianzade95% para
a;/(a;+if)es
0.625a; 54.883
--<<--
1.625-a;+a
2
-55.883
y
o
a
2
0.39:52'?:50.98
a,+a-
Seconcluyeque lavariabilidadentrelostelaresexplica entre39y98%delavarianza enlaresistenciaob­
servadadeltejidoproducido.Esteintervalodeconfianzaesrelativamenteanchodebidoaltamañope­
queñode
lamuestraqueseusó enelexperimento.Sinembargo,esevidentequelavariabilidadentrelos
telares
(a;)noesinsignificante.
12~2 DISEÑOFACTORIAL DE DOSFACTORESALEATORIOS
dondetodoslosparámetrosdelmodelo, t¡,f3j,(tf3)¡jYSijk'sonvariablesaleatoriasindependientes.También
se
supondráquelasvariablesaleatorias Ti'f3j,(tf3)¡jY
s¡posiguenunadistribuciónnormalconmediaceroy
Supongaquesetienendosfactores,Ay
B,Yqueambostienen ungrannúmerodenivelesdeinterés
(como
enlasecciónanterior,sesupondráqueelnúmerodenivelesesinfinito).Seescogeránalazar ani­
velesdelfactor
Aybnivelesdelfactor B,yestosnivelesdelosfactoresseincluirán enundiseñoexperi­
mentalfactorial.
Sielexperimentosehacecon lZréplicas,lasobservaciones puedenrepresentarseconel
modelolineal
(12-15)
{
i
=1,2,.oo,a
j=1,2,OO"b
k=1,2,.oo,lZ

532. 518 CAPÍTULO12EXPERIMENTOSCONFACTORESALEATORIOS
varianzasdadas porV(r¡)=a;,V(f3j)=a~,V[(r,B)ij]=a;pyV(C¡jk)=er.Porlotanto,lavarianzadecual­
quierobservaciónes
V()
? ? ? ? (12
Yijk=a;+a¡¡+a;¡¡+a- -16)
ya;,a~,a;¡¡ya
2
sonloscomponentesdelavarianza.LashipótesisquequierenprobarsesonHo:a;=0,
Ho:a~=°yHo:a;p=O.Observelasimilitudconelmodelodeefectosaleatoriosde unsolofactor.
Loscálculosnuméricosdelanálisisdevarianzasemantienensincambios;esdecir,SS
A,SSB'SSAB'SSr
ySSEsecalculancomoenelcasodeefectosfijos.Sinembargo, paraformarlosestadísticosdeprueba,de­
benexaminarseloscuadradosmediosesperados.Puededemostrarseque? ?b ?
E(MSA)=a-+na;¡¡+na;
E(MSB)=a
2
+na;p+ana~ (12-17)
E(MSJB)=a
2
+na
2
r .p
y
E(MS
E
)=a
2
Porloscuadradosmediosesperadosseobservaqueelestadísticoapropiado paraprobarlahipótesis
dequenohayinteracción,
Ho:a;p=O,es
MS
AB
F.=--
oMS
E
(12-18)
yaquebajoHotantoelnumeradorcomoeldenominador deFotienenvaloresperadoer,ysólosiHoesfal­
saE(MSAB)esmayorque E(MSE).ElcocienteFosedistribuyecomo F(a-l),ab(n-1)'Demanerasimilar,para
probarHo:a;=Oseusaría
MS
A
F.=-­
oMS
AB
quesedistribuyecomo Fa_1,(a_l)(b_ 1)'YparaprobarHo:a~=Oelestadísticoes
MS
B
F.=--
oMS
AB
(12-19)
(12-20)
quesedistribuyecomo F
b
-
1
, (a-1)(b-1)'Todasestaspruebassonde unasolacolasuperior.Observequeestos
estadísticosde
pruebanosonlosmismosqueseusaríansiambosfactoresAy Bfuesenfijos.Loscuadra­
dosmediosesperadosseusansiemprecomoguía
paraconstruirlosestadísticosdeprueba.
Enmuchosexperimentosqueincluyenfactoresaleatoriosexistealmenosinteréstanto enestimarlos
componentesdelavarianzacomo
enlapruebadelashipótesis.Loscomponentesdelavarianzapueden
estimarseconelmétododelanálisisdevarianza,esdecir,igualandoloscuadradosmediosobservadosde
laslíneasdelatabladelanálisisdevarianzaconsusvaloresesperadosyresolviendo
paraloscomponentes
delavarianza.Seobtieneasí
(12-21)

533. 12-2DISEÑOFACTORIALDEDOSFACTORESALEATORIOS 519
comolasestimacionespuntualesdeloscomponentesdelavarianzaenelmodelodeefectosaleatoriosde
dosfactores.
Enlasección12-7serevisaránotrosmétodos paraobtenerestimacionespuntualesdelos
componentesdelavarianzaylosprocedimientosparaconstruirintervalosdeconfianza.
EJEMPLO
12,2 .
Estudiodecapacidadoaptitud desistemasdemedición
Confrecuenciaseusanexperimentos diseñadosestadísticamente parainvestigarlasfuentesdevariabili­
dadqueafectana
unsistema.Unaaplicaciónindustrialcomúnesusar unexperimentodiseñadoparaes­
tudiarloscomponentesdelavariabilidaden
unsistemademedición.Estosestudiosseconocen
comúnmentecomo
estudiosdecapacidadoaptituddeinstrumentosdemedición(calibradores)oestu­
diosderepetibilidad
yreproductibilidad(R&R)deinstrumentosdemedición(calibradores), yaqueés­
tos
sonloscomponentesdelavariabilidaddeinterés.
Enlatabla12-3semuestra unexperimentoR&Rdeinstrumentosdemedicióntípico(deMontgo­
mery[80a
D.Seusauninstrumentoocalibrador paramedirunadimensióncríticade unapieza.Sehanse­
leccionado
20piezasdelprocesodeproducción,ytresoperadoresescogidosalazarmidendosvecescada
piezaconestecalibrador.Elordenenquesehacenlasmedicionesestácompletamentealeatorizado,
por
loquese tratadeunexperimentofactorialdedosfactores enelquelosfactoresdeldiseñosonlaspiezasy
losoperadores,condosréplicas.Laspiezasylosoperadoressonfactoresaleatorios.Esválidalaidenti­
daddelcomponentedelavarianzadelaecuación12-15;esdecir,
a
2
=a
2
+a
2
+a
2
+a
2
y , f3 'f3
dondea~eslavariabilidadtotal(queincluyelavariabilidaddebidaalasdiferentespiezas,lavariabilidad
debidaalosdiferentesoperadoresylavariabilidaddebidaalcalibrador),a;eselcomponentedelava­
rianzadelaspiezas,a~eselcomponentedelavarianzadelosoperadores,a;f3eselcomponentedelava-
Tabla12-3Elexperimentodelacapacidadoaptituddelsistemade
medicióndelejemplo12-2
Númerode
lapieza Operador1 Operador2 Operador3
1
21 20 20 20 19 21
2 24 23 24 24 23 24
3 20 21 19 21 20 22
4 27 27 28 26 27 28
5 19 18 19 18 18 21
6 23 21 24 21 23 22
7 22 21 22 24 22 20
8 19 17 18 20 19 18
9 24 23 25 23 24 24
10 25 23 26 25 24 25
11 21 20 20 20 21 20
12 18 19 17 19 18 19
13 23 25 25 25 25 25
14 24 24 23 25 24 25
15 29 30 30 28 31 30
16 26 26 25 26 25 27
17 20 20 19 20 20 20
18 19 21 19 19 21 23
19 25 26 25 24 25 25
20 19 19 18 17 19 17

534. 1
520 CAPÍTULO12EXPERIMENTOSCONFACTORESALEATORIOS
rianzaquerepresentalainteracciónentrelaspiezasylosoperadores,y 0
2eselerrorexperimental
aleatorio.
Demaneratípica,alcomponentedelavarianza
a2selellamalarepetibilidaddelinstrumento
demedición(calibrador),yaquepuedeconsiderarseque
0
2
reflejalavariaciónobtenidacuandolamisma
piezaesmedidaporelmismooperador,yescomúnllamara
lareproductibilidaddelinstrumentodemedición(calibrador),yaquereflejalavariabilidadadicionalen
elsistemademediciónqueresultadelusodelinstrumento
porpartedeloperador.Estosexperimentos
.
suelenrealizarseconelobjetivodeestimarloscomponentesdelavarianza.
Enlatabla12-4 semuestraelanálisisdevarianzadeesteexperimento.Loscálculosserealizaronuti­
lizandolarutinaBalancedANOVA(análisisdevarianzabalanceado)deMinitab.Conbase
enlosvalores
P,seconcluyequeelefectodelaspiezasesgrande,quelosoperadoresquizátenganunefectopequeñoy
quenohayningunainteracciónsignificativapieza-operador.
Laecuación12-21puedeusarseparaesti­
marloscomponentesdelavarianzadelasiguientemanera:
f¡2=62.39-0.71=10.28
r (3)(2)
f¡2=1.31-0.71=0.015
fJ(20)(2)
f¡2=0.71-0.99=-0.14
rfJ 2
y
f¡2=0.99
LaparteinferiordelasalidadeMinitabdelatabla12-4contieneloscuadradosmediosesperadosdel
modeloaleatorio,conlosnúmerosentreparéntesisrepresentandoloscomponentesdelavarianza
[(4)
representa
a2,(3)representao;fJ'etc.].Sepresentantambiénlasestimacionesdeloscomponentesdela
varianza,juntoconeltérminodelerrorqueseutilizó
paraprobaresecomponentedelavarianzaen el
análisisdevarianza.Másadelante seestudiarálaterminología modelonorestringido; éstanotienerele­
vanciaenlosmodelosaleatorios.
Observeque laestimacióndeunodeloscomponentesdelavarianza,
f¡;fJ'esnegativa.Desdeluego,
estonotienesentido,yaque
pordefiniciónlasvarianzassonnonegativas.Desafortunadamente,pueden
obtenerseestimacionesnegativasdeloscomponentesdelavarianzacuandoseusaelmétododeestima­
cióndelanálisisdevarianza(locualseconsideraunadesusdesventajas).Existenvariasmanerasdeabor­
darestasituación.
Unaposibilidadessuponerquelaestimaciónnegativasignificaqueelcomponentede
lavarianzaenrealidad
esceroysimplementesehace
cero,dejandosincambioslasdemásestimaciones.
nonegativas.Otroenfoque
esestimarloscomponentesdelavarianzacon unmétodoqueasegureestima­
cionesnonegativas(esteenfoque
serevisarábrevemente enlasección12-7).Porúltimo,podríaobservar­
sequeelvalor
Pdeltérminodeinteraccióndelatabla12-4esmuygrande,tomarestocomoevidenciade
que
o
~fJesenrealidadcero(esdecir,quenohayefectodeinteracción)yajustarun modeloreducido dela
forma
Yijk=
/l+r:¡+(3j+8ijk
quenoincluyeeltérminodeinteracción.Éste esunenfoquerelativamentesencilloyqueconfrecuencia
funcionacasitanbiencomolosmétodosmáselaborados.

535. Tabla12-4Análisisdevarianzabalanceado(Balanced ANOYAdeMinitab)delejemplo12-2
Análisisdevarianza(diseñosbalanceados)
Factor TypeLevels
part random 20
operatorrandom 3
Values
1
8
15
1
2
9
16
2
3
10
17
3
4
11
18
5
12
19
6
13
20
7
14
'l!I
Analys;sofVar;ancefory
Source
part
operator
part*operator
Error
Total
DF
19
2
38
60
119
SS
1185.425
2.617
27.050
59.500
1274.592
MS
62.391
1.308
0.712
0.992
F
87.65
1.84
0.72
p
0.000
0.173
0.861
U1
N
......
Source
1part
2operator
3part*operator
4Error
Var;ance
component
10.2798
0.0149
-0.1399
0.9917
Error
term
3
3
4
ExpectedMeanSquareforEachTerm
(us;ngunrestr;ctedmodel)
(4)+2(3)+6(1)
(4)+2(3)+40(2)
(4)+2(3)
(4)

536. (12-22)
522 CAPÍTULO12EXPERIMENTOSCONFACTORESALEATORIOS
Tabla12-5Análisisdevarianzadelmodeloreducido,ejemplo12-2
Análisis
devarianza(diseñosbalanceados)
Factor TypeLevelsValues
part random 20 1 2 3 4 5 6 7
8 9
10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20
operatorrandom 3 1 2 3
AnalysisofVariancefory
Source DF SS
MS F P
part 191185.42562.39170.640.000
operator 2 2.617 1.3081.480.232
Error 98 86.550 0.883
TotaL 1191274.592
Source VarianceErrorExpectedMeanSquareforEachTerm
component term(usingunrestrictedmodeL)
1part 10.2513 3 (3)+6(1)
2operator 0.0106 3 (3)+40(2)
3Error 0.8832 (3)
Enlatabla12-5semuestraelanálisisdevarianzadelmodeloreducido.Puestoquenohaytérminode
interacción,losdosefectosprincipalessepruebancontraeltérminodelerror,ylasestimacionesde
los
componentesdelavarianzason{j2=62.39-0.88=10.25
, (3)(2)
{j2=1.31-0.880.0108
{3(20)(2)
{j2=0.88
Porúltimo,lavarianzadelcalibradorpodríaestimarsecomolasumadelasestimacionesdeloscompo­
nentesdelavarianza{j2y{j~como
{j2 _{j2+{j2
,calibrador- {3
=0.88+0.0108
=0.8908
Lavariabilidaddelcalibradorpareceserpequeñaencomparaciónconlavariabilidaddelproducto. Se
tratageneralmentedeunasituacióndeseable,lacualimplicaqueelcalibradortienelacapacidadde dis-
tinguirentrelasdiferentesgradacionesdelproducto..
12,3MODELOMIXTO CONDOSFACTORES
Seconsideraahoralasituaciónenqueunodelosfactores,A,estáfijoyelotro, B,esaleatorio.Selellama
análisisdevarianzadelmodelomixto.Elmodeloestadísticolineales
{
i
=1,2,,a
Yijk=
fl+T¡+f3
j+(Tf3)ij+t:ijkj=1,2,,b
k=1,2,,11

537. 12-3MODELOMIXTOCONDOSFACTORES 523
AquíT¡esunefectofijo,(Jjesunefectoaleatorio,sesuponequelainteracción(T(J)¡jesunefectoaleatorio y
&ijkesunerroraleatorio.Sesuponetambiénquelas{T)sonefectosfijostalesqueL~=1Ti=OYque(Jjes
unavariablealeatoriaNID(O,a~).Elefectodelainteracción,(T(J)¡j'esunavariablealeatorianormalcon
mediaO
yvarianza[(a-1)/a
]a;p;sinembargo,laoperaciónsumadelcomponentedelainteracción enel
rangodelfactorfijo
esigualacero.Esdecir,
j=1,2,...,b
!(T(J)ij=(T(J).j=O
¡=1
Estarestricciónimplicaquealgunoselementosdelainteracción endiferentesnivelesdelfactorfijono
sonindependientes.
Dehecho,puededemostrarse(verelproblema 12-25)que
e((3)(3)
1? l';f;iI
ov[T¡j,(T¡}]=-~a;p
'Lacovarianzaentre(T(J)ijy(T(J)ij'paraj;f;j'escero,yelerroraleatorio&;jkesNID(O,02).Puestoquela
sumadelosefectosdelainteracción
enlosnivelesdelfactorfijoesigualacero,aestaversióndelmodelo
mixtoconfrecuenciaselellama
modelorestringido.
Enestemodelolavarianzade
(T(J);jsedefinecomo [(a-l)/a]a;penvezdecomoa;pparasimplificar
loscuadradosmediosesperados.Elsupuesto(T(J)j=Otambiéntiene unefectosobreloscuadradosme­
diosesperados,loscualespuededemostrarsequeson
abnLT;
E(MS)=a
2
+na
2
+ ;=1
A TPa-1
E(MS
B)=a
2
+ana~
E(MSAB)=a
2
+na;p (12-23)
y
E(MS
E
)=a
2
Porlotanto,elestadísticodepruebaapropiado paraprobarquelasmediasdelosefectosdelfactorfijo
soniguales,o
Ha:r:;=O,es
MS
A
F=-­
aMS
AB
quetieneladistribucióndereferenciaF
a
_
1
,
(a-1)(b-1)'Paraprobar Ha:a~,elestadísticodeprueba es
MS
B
F=--
aMS
E
conladistribucióndereferencia F
b
_ 1,aben_1)'Porúltimo,paraprobarlahipótesisdelainteracción
Ha:a;p=O,seusaría
MS
AB
F=-­
aMS
E
quetieneladistribucióndereferencia F(a_l)(b_ 1),aben_1)'
Enelmodelomixtoesposibleestimarlosefectosdelfactorfijocomo
p,=Y...
i¡=y;..-Y...i=1,2,...,a
(12-24)

538. ~
',;,:I¡;
'1".
, I
'1'
I
524 CAPÍTULO12EXPERIMENTOSCONFACTORESALEATORIOS
--,
'
"j--
~:v
:;-:1\
'.
Loscomponentesdelavarianzaa~,a;pya
2
puedenestimarseaplicandoelmétododelanálisisdevarian­
za.Aleliminarlaprimeraecuacióndelasecuaciones12-23quedantresecuacionescontresincógnitas,
cuyassolucionesson
(12-25)
y
{}2=MS
E
Esteenfoquegeneralpuedeemplearseparaestimarloscomponentesdelavarianzaen cualquiermodelo
mixto.Despuésdeeliminarloscuadradosmediosquecontienenfactoresfijos,siemprequedaráunsiste­
madeecuacionesquepuederesolverseparaloscomponentesdelavarianza.
Enlosmodelosmixtos,elexperimentadorpuedetenerinterésenprobarhipótesisoenconstruir in­
tervalosdeconfianzaparalasmediasdetratamientosindividualesdelfactorfijo.Alutilizarestosproce­
dimientos,deberátenersecuidadodeusarelerrorestándarapropiadodelamediadelostratamientos.El
errorestándardelamediadelostratamientosdelefectofijoes
[
Cuadradomedioparaprobarelefectofijo
]1/2
~MSAB
Númerodeobservacionesenlamediadecadatratamiento=---,;;;-
Observequeesto essimplementeelerrorestándarqueseusaría siéstefueraunmodeloconefectosfijos,
salvoporqueMS
Esehareemplazadoconelcuadradomedioqueseusóenlapruebadelahipótesis.
EJEMPLO
12~3...................•.................•......................
Retomandoelexperimentodelacapacidadoaptituddelsistemademedición
Consideredenuevoelexperimento R&Rdelcalibradordescritoenelejemplo 12-2.Supongaahoraque
sólotresoperadoresusanestecalibrador,detalmodoquelosoperadoressonunfactorfijo.Sinembargo,
puestoquelaspiezasseeligen
alazar,setrataahoradeunexperimentoconunmodelomixto.
Elanálisisdevarianzadelmodelomixtosemuestraenlatabla12-6.
Loscálculosserealizaronutili­
zandolarutinaBalancedANOVA(análisisdevarianzabalanceado)deMinitab.
Seespecificóelusodel
modelorestringidoenelanálisisdeMinitab,elcualgenerótambiénloscuadradosmediosesperadospara
estemodelo.
EnlasalidadeMinitab,la
ca)ltidadQ[2]indicaunaexpresióncuadráticaqueincluyealope­
radordelefectodefactorfijo.Esdecir,Q[2]
=
L~=1f3~/(b-1).Lasconclusionessonsimilares alejemplo
12-2.Loscomponentesdelavarianzapuedenestimarseconlaecuación12-25como
{}2=MSPiezas-MSE=62.39-0.99=10.23
PIezas an (3)(2)
A? MSPieznsxoperadores- MSE=0.71-0.99=-0.14
aPiezasXoperadores= n 2
{}2=MS
E=0.99
Estosresultadostambién semuestranenlasalidadeMinitab. Denuevacuenta,resultaunaestimación
negativadelcomponentedelavarianzadelainteracción.Uncursodeacciónapropiadoseríaajustarun

539. lJ1
N
lJ1
y ii±- SiR"-"i:Wit5"r"é"íY&t¡e'-'",~$"=\;~:'~;¡~~IA~
Tabla12.6Análisisdevarianza(Minitab)delmodelomixtodelejemplo12).Sesuponeelmodelorestringido
Análisisdevarianza(diseñosbalanceados)
Factor TypeLevelsValues "1
part random 20 1 2 3 4 5 6 7
8 9
10 11 12 13 14
151617 18 19 20
operatorf;xed 3 1 2 3
Analys;sofVar;ancefory
Source DF SS MS F P
part 191185.42562.39162.920.000
operator 2 2.617 1.3081.840.173
part*operator38 27.050 0.7120.720.861
Error 60 59.500 0.992
Total 1191274.592
Source Var;anceErrorExpectedMeanSquareforEachTerm
componentterm(us;ngrestr;ctedmodel)
1part 10.2332 4 (4)+6(1)
2
operator 3 (4)+2(3)+4oQ[2J
3part*operator -0.1399 4 (4)+
2(3)
4Error 0.9917 (4)

540. 526 CAPÍTULO12EXPERIMENTOSCONFACTORESALEATORIOS
modeloreducido,comosehizoenelejemplo12-2. Enelcasodeunmodelomixtocondosfactores,esto
llevaalosmismosresultadosdelejemplo12-2.
..........................................................................
Modelosmixtosalternativos
Sehanpropuestovariasversionesdiferentesdelmodelomixto.Estosmodelosdifierendelaversiónres­
tringidadelmodelomixtoestudiadoanteriormenteenlossupuestosestablecidosacercadeloscompo­
nentesaleatorios.Acontinuaciónserevisabrevementeunodeestosmodelosalternativos.
Considereelmodelo
Yijk=
¡;.+a¡+yj+(aY)ij+cijk
dondea¡(i=1,2,...,a)sonefectosfijostalesqueL~=la¡=0YYj'(aY)¡jyCijksonvariablesaleatoriasno co­
rrelacionadasquetienenmediaceroyvarianzas V(Yj)=o~,V[(aY)ij]=o~,yV(Cijk)=er.Observeque
aquínoseusalarestricciónimpuestaanteriormentesobreelefectodelainteracción;porconsiguiente,a
estaversióndelmodelomixto
selellamaconfrecuencia modelomixtonorestringido.
Esposibledemostrarqueloscuadradosmediosesperados paraestemodeloson(referirse almaterial
suplementariodeltextodeestecapítulo)
y
a
bnLa¡
E(MSA)=0
2+noa¡2,+ ¡=1
a-1
E(MS B)=0
2
+no
~+ano~
E(MS
AB)=0
2
+no~ (12-26)
Alcompararestoscuadradosmediosesperadosconlosdelaecuación12-23,seobservaquelaúnica dife­
renciaevidenteeslapresenciadelcomponentedelavarianzao~enelcuadradomedioesperado del
efectoaleatorio.(Enrealidad,hayotrasdiferenciasdebidoalasdefinicionesdiferentesdelavarianza del
efectodelainteracciónenlosdosmodelos.)Porconsiguiente,seprobaríalahipótesisdequeelcompo­
nentedelavarianzadelefectoaleatorioesigualacero(Ho:o~=O)usandoelestadístico
MS
B
F=-­
oMS
AB
encontrasteconprobar H
o
:o~conFo=MSB/MS
Eenelmodelorestringido. Lapruebadeberáser más
conservadoracuandoseempleeestemodeloporque porlogeneralMS
ABserámayorque MS
E
•
Losparámetrosdelosdosmodelosguardanunarelacióncercana. Dehecho,puededemostrarseque
f3j=yj+(aY).j
(rf3)ij=(aY)ij+(aY).j
2 2 12
0
1
,
=Op+-Oay
a
y
2
_ 2
O,p-0a¡,

541. .........................................................................
y
(12-27)
j=1,2,...,b
dMS
B-MS
AB
a-=--=-----'=--
y an
C.=O
.)
Lasvarianzasycovarianzasde b
jycijseexpresanatravésdelascovarianzasdelas mijoAdemás,lospará­
metrosdelosefectosaleatorios
enotrasformulacionesdelmodelomixtopuedenrelacionarsecon b
jycijo
Elanálisisestadísticodelmodelo deSchefféesidénticoaldelmodelorestringidotratadoaquí,salvopor­
que,
engeneral,elestadístico MSA/MS ABnosiempresedistribuyecomo FcuandoHa:
7:
i=Oesverdadera.
A
laluzdeestamultiplicidaddemodelosmixtos,unapreguntalógicaes:¿quémodelodeberáusarse?
Lamayoríadelosespecialistas
enestadísticaprefierenelmodelorestringido,mismoqueseencuentra
conmayorfrecuencia
enlaliteraturadeltema. Elmodelorestringidoes enrealidadunpocomásgeneral
queelnorestringido,yaque
enelprimerolacovarianzaentredosobservacionesdelmismoniveldelfac­
toraleatoriopuedeserpositivaonegativa,mientrasque
enelsegundoestacovarianzasólopuedeserpo­
sitiva.Si
laestructuracorrelativadeloscomponentesaleatorios noesgrande,entoncescualquieradelos
dosmodelosmixtosesapropiado, ysólohaydiferenciasmenoresentreellos.Cuandosehagareferencia
másadelantealosmodelosmixtos,sesupondrálaestructuradelmodelo
r~stringido. Sinembargo,sihay
correlacionesgrandes
enlosdatos,entoncesquizádebaemplearseelmodelodeScheffé. Laeleccióndel
modelodeberásersiempredictada
porlosdatos.ElartículodeHocking [56]esunresumenclarodedife­
rentesmodelosmixtos.
12-3MODELOMIXTOCONDOSFACTORES 527
Puedeusarseelmétododelanálisisdevarianza paraestimarloscomponentesdelavarianza.Conre­
ferenciaaloscuadradosmediosesperados,seencuentraqueelúnicocambiodelasecuaciones12-25
es
que
Estosdosmodelossoncasosespecialesdelmodelomixtopropuesto
porScheffé[98b, d].Enestemo­
delosesuponequelasobservacionespuedenrepresentarsecon
{
i
=1,2,,a
Yijk=mij+cijk j=1,2,,b
k=1,2,,lZ
dondem;jy
cijksonvariablesaleatoriasindependientes. Laestructurade m;jes
mij=fl+7:;+bj+cij
E(mij)=fl+7:;
!7:;=0
;=1
EJEMPLO12 ..4 .
Elmodelonorestringido
Algunospaquetesdesoftwaredecomputadoratienensoporte paraunsolomodelomixto.Minitabsopor­
tatantoelmodelorestringidocomoelnorestringido,auncuandolaselección
poromisióneselmodelo
norestringido.Enlatabla12-7semuestralasalidadeMinitab paraelexperimentodelejemplo12-3utili­
zandoelmodelonorestringido.Observequeloscuadradosmediosesperadosconcuerdanconlosdela
ecuación12-26.Lasconclusionessonidénticasalasdelanálisisdelmodelorestringido,ylasestimaciones
deloscomponentesdelavarianzasonmuysimilares.

542. \Jl
N
00
Tabla12-7Análisisdelexperimentodelejemplo12-3utilizandoelmodelorestringido
Análisisdevarianza(diseñosbalanceados)
Factor TypeLevelsValues
part random 20 1 2 3
8 9
10
15 1617
operatorfixed 3 1 2 3
AnalysisofVariancefory
4
11
18
5
12
19
6
13
20
7
14
Source
part
operator
part*operator
Error'
Total
DF
19
2
38
60
119
SS
1185.425
2.617
27.050
59.500
1274.592
MS
62.391
1.308
0.712
0.992
F
87.65
1.84
0.72
p
0.000
0.173
0.861
Source
1part
2operator
3part*ope
rator
4
Error
Variance
component
10.2798
-0.1399
0.9917
Error
term
3
3
4
ExpectedMeanSquareforEachTerm
(usingunrestrictedmodel)
(4)+2(3)+6(1)
(4)+2(3)+Q[2J
(4)+2(3)
(4)

543. '1'}
12-4DETERMINACIÓN DELTAMAÑODELAMUESTRA CONEFECTOSALEATORIOS 529
12~4DETERMINACIÓN DELTAMAÑODELAMUESTRA
CONEFECTOSALEATORIOS
Puedenusarselascurvasdeoperacióncaracterísticadelapéndiceparadeterminareltamañodelamues­
traenexperimentosconfactoresaleatorios.Seempiezaconelmodelodeefectosaleatoriosconunsolo
factordelasección
12-1.LaprobabilidaddelerrortipoII paraelmodelodeefectosaleatorioses
{3=1-P{RechazarHaIHaesfalsa}
=
1-P{F
a>Faa-1N-a
la;>O} (12-28)
Denuevacuentaserequiereladistribucióndelestadísticodeprueba
Fa=MSTratamientoJMSEbajolahipó­
tesisalternativa.Puededemostrarseque
siH
1esverdadera
(a;>O),ladistribuciónde FaesFcentralcon
a- 1 Y
N
-agradosdelibertad.
PuestoquelaprobabilidaddelerrortipoIIdelmodelodeefectosaleatoriossebasaenladistribución
Fcentralusual,podríanusarselastablasdeladistribución Fdelapéndiceparaevaluarlaecuación12-28.
Sinembargo,
esmássimpledeterminarlasensibilidaddela pruebamedianteelusodelascurvasdeope­
racióncaracterística.
EnlaparteIVdelapéndicesepresenta unaseriedeestascurvasparavariosvalores
.delosgradosdelibertaddelnumerador,delosgradosdelibertaddeldenominadory ade0.05y0.01.En
estascurvassegraficalaprobabilidaddelerrortipoIIcontraelparámetro.íl,donde
lla
2
.íl= 1+-' (12-29)
a
2
Observeque.ílincluyedosparámetrosdesconocidos, a
2
ya;.Quizápuedaestimarsea;sisetieneuna
ideaacercadecuántavariabilidaddelapoblacióndetratamientosesimportantedetectar.Puedeesco-
gerse
unaestimaciónde
02recurriendoalaexperienciapreviaodiscrecionalmente. EnocasionesesúttJ',~.
definirelvalordea;quequieredetectarseentérminosdelcocientea;/a2. .~t!}:;
tl.:PrT1
;r¡
Q..Cr' j
l7''''-J
I~~' __
EJEMPLO 5
--'"r-,I~~12,. tG': ":·'~¡:"'~~J~.~1
°'2I~ }~-,'-,~.~~!
Supongaquesehanseleccionadocincotratamientos alazarconseisobservacionesportratamiento y'W~r;).1:::-;",'·8
a=o.o~,yquieredeterminarselapotenciadelapruebacuandoa;esiguala a
2
•
Puestoque a=S'Gll(~i.f \Q4.J.;t,-,~~
a;=0-,puedecalcularse ..-'\0~C: '0"i
¡g:!ii
.íl=.J1+6(1)=2.646 -~d
Porlacurvadeoperacióncaracterísticacon a-1=4,N-a=25gradosdelibertady a=0.05,seencuen­
traque
{3=0.20
Y
porlotantolapotencia esdeaproximadamente0.80.
Tambiénpuedeusarseelincrementoporcentualenladesviaciónestándardeunmétododeobserva­
ción
paradeterminareltamañodelamuestra. Silostratamientossonhomogéneos,entoncesladesvia­
ciónestándarde
unaobservaciónseleccionada alazares a.Sinembargo, silostratamientosson
diferentes,ladesviaciónestándardeunaobservaciónelegida
alazares
Ja
2
+a;

544. 530 CAPÍTULO12EXPERIMENTOSCONFACTORESALEATORIOS
SiPeselincrementoporcentualfijoenladesviaciónestándarde unaobservaciónmásalládelcualsede­
searechazarlahipótesisnula,entonces
1+0.ü1P
o
o
a-
-+=(1+0.01P)2-1
a-
Porlotanto,utilizandolaecuación12-29, seencuentraque
(12-30)
ParaunaPdadapuedenusarselascurvasdeoperacióncaracterísticadelaparte VIdelapéndiceparaen­
contrareltamañodelamuestradeseado.
Tambiénpuedenusarselascurvasdeoperacióncaracterística
paradeterminareltamañodelamues­
tradelmodelodeefectosaleatorioscondosfactores y
delmodelomixto.SeutilizalaparteVIdelapéndi­
ce
paraelmodelodeefectosaleatorios.Elparámetro
íl,losgradosdelibertaddelnumerador ylosgrados
delibertaddeldenominadorsemuestran
enlamitadsuperiordelatabla12-8.Paraelmodelomixtode­
benusarselaspartesV yVIdelapéndice.Losvaloresapropiadosde
ep2yílsemuestranenlamitadinfe-
riordelatabla12-8. .
Tabla12-8ParámetrosdelascurvasdeoperacióncaracterísticadelastablasV yVIdelapéndiceparalosmodelos condos
factoresdeefectosaleatotios
ymixto
Elmodelodeefectosaleatorios
(a-1)(b-1)a-1
Gradosde Gradosde
libertaddel libertaddel
Factor
Ji numerador denominador
1
bna;
+o o
(r+na;p
A
B
AB
b-1
(a-1)(b-1)
(a-1)(b-1)
ab(n-1)
Elmodelomixto
Factor Parámetro
Gradosdelibertad
delnumerador
Gradosdelibertad
deldenominador
Partedel
apéndice
A(fijo)
B(aleatorio)
a-1
b-1
(a-1)(b-1)
ab(n-1)
v
VI
AB
o
,__ na;p
11.1+-
0
­
a-
(a-1)(b-1) ab(n-1) VI

545. 12-5REGLASPARALOSCUADRADOS MEDIOSESPERADOS 531
12~5 REGLASPARALOSCUADRADOS MEDIOSESPERADOS
Unaparteimportantedecualquierproblemadediseñoexperimentaleslarealizacióndelanálisisdeva­
rianza.Estoimplicadeterminarlasumadecuadradosdecadacomponentedelmodeloyelnúmerode
gradosdelibertadasociadosconcadasumadecuadrados.Después,paraconstruirlosestadísticosdeprueba
apropiados,debendeterminarseloscuadradosmediosesperados.
Ensituacionesdediseño complejas,
particularmentelasqueincluyenmodelosaleatoriosomixtos,confrecuenciaesútilcontarconunproce­
dimientoformalparaesteproceso.
Sepresentaráunconjuntodereglasparaanotarloscuadradosmediosesperadosencualquierexperi­
mentofactorialbalanceado,
anidado:ofactorialanidado.(Observequelosarreglosparcialmentebalan­
ceados,comoloscuadradoslatinosylosdiseñosdebloquesincompletos,seexcluyenexplícitamente.)
Estasreglassonestudiadasporvariosautores,incluyendoScheffé[98d],BennettyFranklin
[9],Cornfield
yTukey
[34]YSearle[99a,b].Medianteelexamendeloscuadradosmediosesperadospuededesarrollar­
seelestadísticoapropiadoparaprobarhipótesisacercadecualquierparámetrodelmodelo.Elestadísti­
codepruebaeselcocientedeloscuadradosmediosqueseelige,detalmodoqueel
valoresperadodel
cuadradomediodel
numeradordifieredelvaloresperadodelcuadradomediodel denominadorúnica­
mente
porelcomponentedelavarianzaoelfactorfijoenelquesetieneinterés.
Siempreesposibledeterminarloscuadradosmediosesperadosdecualquiermodelocomosehizoen
elcapítulo
3,esdecir,mediantelaaplicacióndirectadeloperadorvaloresperado.Estemétodode fuerza
bruta,
comosuelellamársele,puedesermuylaborioso.Lasreglasquesepresentanacontinuaciónpro­
ducensiempreloscuadradosmediosesperadossinrecurriralenfoquedefuerzabruta
y,conlapráctica,
suusosevuelverelativamentesimple.Cuandoseaplicana
unmodelomixto,estasreglasproducencua­
dradosmedios
esperadosquesonconsistentesconlossupuestosdel modelomixtorestringido delasec­
ción12-3.Lasreglasseilustranutilizandoelmodelofactorialdeefectosfijoscondosfactores.
Regla1.Eltérminodelerrordelmodelo,
8
ij
...
m
,seescribecomo
8(ij...)m,dondeelsubíndice mdenotael
subíndicedelaréplica.Paraelmodelocondosfactores,estareglaimplicaque8ijkseconvierteen8(ij)k'
Regla2.Ademásdeunamediaglobal(P)yuntérminodelerror[8(ij...)n,],elmodelocontienetodoslos
efectosprincipalesylasinteraccionescuyaexistenciasuponeelexperimentador.
Siexistentodaslasin­
teraccionesposiblesentrelos
kfactores,entonceshay
(;)interaccionesdedosfactores,(;)interacciones
detresfactores,.
oo,1interacciónde kfactores.Siunodelosfactoresdeuntérminoapareceentreparénte­
sis,entoncesnohayinteracciónentreesefactorylosdemásfactoresdeesetérmino.
Regla3.Paracadatérminodelmodelo,lossubíndicessedividenentresclases: a)vivos:aquellosquees­
tánpresenteseneltérminoynoestánentreparéntesis;
b)muertos:aquellosque
estánpresenteseneltér­
minoyestánentreparéntesis;ye)ausentes:aquellossubíndicesqueestánpresentesenelmodeloperono
enesetérminoparticular.
Porlotanto,en('r:(3)ij,iyjsonsubíndicesvivosy kesunsubíndiceausente,yen8(ij)bkesunsubíndice
vivo,mientrasque
iyjsonsubíndicesmuertos.
2Losdiseñosanidadosseestudianenelcapítulo 13.

546. 532 CAPÍTULO12EXPERIMENTOSCONFACTORESALEATORIOS
Regla4.Gradosdelibertad.Elnúmerodegradosdelibertaddecualquiertérminodelmodelo eselpro­
ductodelnúmerodenivelesasociadosconcadasubíndicemuertoyelnúmerodenivelesasociadoscon
cadasubíndicevivomenos
lo
Porejemplo,elnúmerodegradosdelibertadasociadoscon (rf3)ijes(a-1)(b-1),Yelnúmerodegra­
dosdelibertadasociadoscon
8(ij)kesab(n-1).
Regla5.Cadatérminodelmodelotieneasociadoconél uncomponentedelavarianza(efectoaleato­
rio)obien
unfactorfijo(efectofijo). Siunainteraccióncontienealmenos unefectoaleatorio,lainterac­
cióncompletaseconsideraaleatoria.
Uncomponentedelavarianzatieneletrasgriegascomosubíndices
paraidentificarelefectoaleatorioparticular.Por 10tanto,enunmodelomixtodedosfactoresconelfac­
torAfijoyelfactor Baleatorio,elcomponentedelavarianzade Bes
a~,yelcomponentedelavarianza
deABesa;fJ'Unefectofijoserepresentasiempre porlasumadecuadradosdeloscomponentesdelmo­
deloasociadosconesefactordividida
porsusgradosdelibertad. Enelejemplotratadoaquí,elefectode
Aes
i=1
a-1
Regla6.Cuadradosmediosesperados. Paraobtenerloscuadradosmediosesperados,seelaboralatabla
siguiente.Hay
unrenglónparacadacomponente(cuadradomedio)delmodeloy unacolumnaparacada
subíndice.Arribadecadasubíndiceseescribeelnúmerodenivelesdelfactorasociadosconesesubíndice
ysielfactoresfijo
(F)oaleatorio(R).Lasréplicassiempreseconsideranaleatorias.
a)Encadarenglónseescribe1siunodelossubíndicesmuertos enelcomponentedelrenglóncoin­
cideconelsubíndicedelacolumna:
Factor
F
a
i
1
F
b
j
1
R
n
k
b)Encadarenglón,sicualquieradelossubíndicesdelcomponentedelmismocoincideconelsub­
índicedelacolumna,seescribeO
sielencabezadodelacolumna esunfactorfijoy 1sies unfac­
toraleatorio:
F F R
a b n
Factor i j k
Ti O
f3j O
(Tf3)¡j O O
c(ij)k 1 1 1

547. 12-5REGLASPARALOSCUADRADOS MEDIOSESPERADOS 533
e)Enlasposicionesdelrenglónquequedanvacíasseescribeelnúmerodenivelesqueaparecenin­
dicadosarribadelencabezadodelacolumna:
F F R
a b 11
Factor i j ler:
i O b 11
f3j a O 11
(r:f3)ij O O 11
c(ij)k 1 1 1
d)Paraobtenerloscuadradosmediosesperadosdecualquiercomponentedelmodelo,primerose
cubrentodaslascolumnascuyosencabezadosseansubíndicesvivosdeesecomponente.Des­
pués,
encadarenglónquecontiene almenoslosmismossubíndicesquelosdelcomponentebajo
consideración,setomaelproductodelosnúmerosvisiblesysemultiplica
porelfactorfijooalea­
torioapropiadodelaregla
1.Lasumadeestascantidadeseselcuadradomedioesperadodel
componentedelmodelobajoconsideración.Porejemplo,
paraencontrarE(MSA ),secubrelaco­
lumna
i.Elproductodelosnúmerosvisiblesenlosrenglonesquecontienenalmenoselsubíndi­
ce
isonbn(renglón1),O(renglón3)y1(renglón4).Observeque inoestápresente enelrenglón
2.Porlotanto,elcuadradomedioesperadoes
a
bn
2:7:;
E(MSA)=a2+ i=l
a-1
Enlatabla12-9sepresentalatablacompletadeloscuadradosmediosesperados paraestediseño.En
lastablas12-10y12-11semuestranlasderivacionesdeloscuadradosmediosesperados paralosmodelos
condosfactores,aleatorioymixto,respectivamente.Observequese
hasupuestolaversiónrestringida
delmodelomixto
paraproducirloscuadradosmediosesperados. Enelejemplosiguienteseconsidera un
diseñofactorialcontresfactores.
EJEMPLO
12~6 .
Considereunexperimentofactorialdetresfactorescon anivelesdelfactor A,bnivelesdelfactor B,eni­
velesdelfactor
eynréplicas.Elanálisisdeestediseño,suponiendoquetodoslosfactoressondeefectos
Tabla
12-9Derivacióndeloscuadradosmediosesperados,modelode
efectosfijos
condosfactores
F F R
a b 11 Cuadrado
Factor i
j le medioesperado
O b
?bl1"Lr:;
r:¡ 11a-+--
a-1
f3j O
? al1"Lf3~
a 11
a-+b-1
(r:f3)¡j
? 11"L"L(r:f3)¡'
O O 11 a-+ ~
(a-1)(b-1)
1 1 1
?
C(ij)k a-

548. 534 CAPÍTULO12EXPERIMENTOSCONFACTORESALEATORIOS
Tabla12-10Derivacióndeloscuadradosmediosesperados,modelo de
efectosaleatorioscon dosfactores
R R R
a b n Cuadrado
Factori j k medioesperado
T¡ 1 b n u
2
+nu;p+bnu;
f3i
a
1 n
u
2
+nu
2
+anu
2
rp p
(Tf3)ij 1 1 n u
2
+IW
2
rp
1 1 1
?
C(¡j)k
u-
Tabla12-11Derivacióndeloscuadradosmediosesperados,modelo
mixtocon
dosfactores
F R R
a b
n Cuadrado
Factor i j k medioesperado
O b
? ? bn"LT
2
T¡ n u-+nu-+--'
rpa-l
f3i
a
1 n
u
2
+anu~
(Tf3)y O 1 n u
2
+nu;p
1 1 1
?
C(ij)k
u-
Tabla12-12Derivaciónde loscuadradosmediosesperados,modelode
efectosaleatorioscontresfactores
¡i
R R R R
i
I a b e n Cuadrado
Factor
i j k 1 medioesperado
T¡ 1 b e n u
2
+enu;p+bnu~,+nu;py+benu;
f3i
a
1 e n
u
2
+enu;p+anu~l'+nu;Pl'+aenu~
b 1
?b? ? ? b?
Yk a n u-+IW~,+anu
P1
'+nu;py+anu;
(Tf3)¡i 1 1 e nu
2
+nu;py+enu;p
(ry)¡k 1 b 1
? ?b ?
n u-+nu;py+IW~,
(f3Y)ik a 1 1 nu
2
+nU;Pl'+alW~y
(Tf3Y)¡ik 1 1 1 nu
2
+nu;py
1 1 1 1
?
cijkl
u-

549. 12-6PRUEBASFAPROXIMADAS 535
fijos,se presentaenlasección5-4. Ahorasedeterminanloscuadradosmediosesperadossuponiendoque
todoslosfactoresson
aleatorios.Elmodeloestadístico apropiadoes
Yijkl=
p,+7:¡+f3j+Yk+(7:f3)ij+(7:Y)ik+(f3Y)jk+(7:f3Y)ijk+Eijkl
Utilizandolasreglasdescritasantes, enlatabla12-12sederivanloscuadradosmediosesperados.
Seobserva,alexaminarloscuadradosmediosesperados
delatabla12-12,que siA,B yesonfactores
aleatorios,entoncesnoexisteninguna
pruebaexactaparalosefectosprincipales. Esdecir,sisequiere
probarlahipótesis
a;=0,noesposibleformar uncocientededoscuadradosmediosesperadostal queel
único
términodelnumeradorquenoestáeneldenominadorsea
bcna;.Elmismofenómenoocurre para
losefectosprincipales deByC.Observequeefectivamenteexistenlaspruebasapropiadas paralas in­
teracciones
dedosytresfactores.Sinembargo,esposible quelaspruebasdelosefectosprincipales sean
deimportanciabásicaparaelexperimentador.Porlotanto,¿cómo deberánprobarselosefectosprincipa­
les?
Esteproblemaseconsideraenlasiguientesección.
.........................................................................
12,6PRUEBASFAPROXIMADAS
Esfrecuenteque enexperimentosfactorialescontresomásfactoresincluidos enunmodeloaleatorioo
mixto,asícomo
enotrosdiseñosmáscomplejos, noexistaunestadísticodepruebaexacto
paraciertos
efectos
delosmodelos.Unaposiblesoluciónaestedilemaes suponerqueciertasinteraccionessoninsig­
nificantes.
Parailustrar,sifuerarazonable suponerquetodaslasinteraccionesdedosfactoresdelejem­
plo12-6soninsignificantes,entonces
podríahacerse
a;/3=a~=a~y=0,yseríaposibleconducir
pruebasdelosefectosprincipales.
Auncuandoparecetratarsede unaposibilidadatractiva,esnecesario señalarquedebe haberalgoen
lanaturalezadelproceso-oalgúnconocimientoprevio sólido-quepermitasuponerqueunaomásde
lasinteraccionessoninsignificantes.
Engeneral,noessencilloestablecerestesupuesto,ytampocodebe­
ráhacersea laligera.Nodeberáneliminarseciertasinteraccionesdel modelosinevidenciaconcluyente
de
queesapropiadohacerlo.Unprocedimientodefendido poralgunosexperimentadoreses probarpri­
merolasinteracciones,despuésfijar enceroaquellasinteracciones quesehayanencontradonosignifica­
tivas,
paradespuéssuponerqueestasinteraccionessoncero cuandosepruebenotrosefectos enelmismo
experimento.
Auncuandoenocasionesseaplica enlapráctica,esteprocedimiento puedeserriesgoso,ya
quecualquierdecisiónrespectoa
unainteracciónestásujetatantoalerrortipo1comoal errortipoH.
Unavariantedeestaideaesagruparciertoscuadradosmedios enelanálisisdevarianzaparaobtener
unaestimacióndel errorconmásgradosdelibertad. Porejemplo,supongaque enelejemplo12-6nofue
significativoelestadísticode
pruebaFo=MSABc/MS
E
•Porlotanto,
Ho:a;/3Y=°noserechaza,y tanto
MS
ABC
comoMS
Eestimanlavarianzadel error
cJl.Elexperimentadorpodríaconsiderarlaagrupacióno
combinación
deMSABCYMSEdeacuerdocon
MS,=abc(n-1)MS
E+(a-1)(b-1)(c-1)MSABC
E abc(n-1)+(a-1)(b-1)(c-1)
detalmodoqueE(MS
E
,)=
cJl.ObservequeMSE'tieneabc(n-1)+(a-l)(b-l)(c-1)gradosdelibertad,
encomparaciónconlos abc(n- 1)gradosdelibertaddel MS
Eoriginal.
Elriesgodeagruparesque puedeincurrirseenunerrortipoH ycombinarconel errorelcuadrado
medio
deunfactorque enrealidadessignificativo,obteniéndoseasíunnuevocuadradomedioresidual

550. 536 CAPÍTULO12EXPERIMENTOSCONFACTORESALEATORIOS
(MS
E
,)queesmuygrande.Estoharáqueseamásdifícildetectarotrosefectossignificativos. Porotrapar­
te,
sielcuadradomediodelerrororiginaltieneunnúmeromuypequeñodegradosdelibertad(porejem­
plo,menosdeseis),elexperimentadorquizátengamuchoqueganaralhacerlaagrupación,
yaquepodría
conseguirseasí
unincrementopotencialmenteconsiderabledelaprecisióndepruebasposteriores.Un
procedimientorazonablementeprácticoeselsiguiente.
Sielcuadradomediodelerrororiginaltiene seis
omásgradosdelibertad,nohacerlaagrupación. Sielcuadradomediodelerrororiginaltienemenos de
seisgradosdelibertad,hacerla agrupaciónsólo sielestadísticoFdelcuadradomedioqueseagruparáno
essignificativo
paraunvalorgrandede a,talcomoa=0.25.
Cuandonoesposiblesuponerqueciertasinteraccionessoninsignificantesysiguesiendonecesario
hacerinferenciasacercadelosefectosparalosquenoexistenpruebasexactas,puedeemplearseunpro­
cedimientoatribuidoaSatterthwaite
[97].ElmétododeSatterthwaiteutiliza combinacioneslinealesde
cuadradosmedios,
porejemplo,
y
MS'=MS
r+...+MS
s (12-31)
MS"=MS+...+MS (12-32)
11 V
dondeloscuadradosmediosdelasecuaciones12-31y12-32seseleccionandetalmodoque E(MS')­
E(MS")
seaiguala unmúltiplodelefecto(elparámetrodelmodelooelcomponentedelavarianza)con­
sideradoenlahipótesisnula.Entonceselestadísticodepruebasería
I
.I
,
MS'
F=-­
MS"
quesedistribuyeaproximadamentecomo F
p
,
q'donde
p=MS
2
/!,+...+MS
2
/f
r r S S
y
q=MS
2
/!,+.00+MS
2
/!,
u u v v
(12-33)
(12-34)
(12-35)
Enpyq
,/;eselnúmerodegradosdelibertadasociadosconelcuadradomedio MS¡oNoexistelaseguridad
deque
pyqseanenteros,porloquepuedesernecesariohacer unainterpolaciónenlastablasdeladistri­
buciónFoPorejemplo,enelmodelodeefectosaleatorioscontresfactores(tabla12-12),esrelativamente
sencilloverqueunestadísticodepruebaapropiado
para
Ho:a;=OseríaF=MS'/MS",con
MS'=MS
A
+MS
ABC
y
MS"=MS
AB+MS
AC
Losgradosdelibertadde Fsecalcularíanconlasecuaciones12-34y12-35.
Lateoríasubyacentedeestapruebaesquetantoelnumeradorcomoeldenominadordelestadístico
deprueba(ecuación12-33)sedistribuyenaproximadamentecomomúltiplosdevariablesaleatorias

551. 12-6PRUEBASFAPROXIMADAS 537
ji-cuadrada,ypuestoquenoapareceningúncuadradomedio enelnumeradoroeldenominadordela
ecuación12-33,elnumeradoryeldenominadorsonindependientes.
Porlotanto,enlaecuación12-33, F
sedistribuyeaproximadamentecomo F
p
,
q'Satterthwaitehacehincapié enquedeberáprestarseatención
alaplicarelprocedimientocuandoalgunosdeloscuadradosmediosde
MS'yMS"aparezcanconsignos
negativos.Gaylory
Hopper[48]reportanque siMS'=MS
1-MS
2
,entonceslaaproximacióndeSattert­
hwaitetiene
unavalidezrazonable si
MS
__1>F xF
MS
O.025.!2.!j O.SO.!2.!2
2
Ysi11:5100Y122::N2.
EJEMPLO 12~7 .
Seestudialacaídadelapresiónmedida enunaválvuladeexpansiónde unaturbina.Elingenierodedise­
ñoconsideraquelasvariablesimportantesqueinfluyen
enlaslecturasdelacaídadelapresiónsonla
temperaturadelgasenlaadmisión(A),eloperador(B)yelmanómetroespecíficoqueutilizaeloperador
(C).Estostresfactoresseincluyen enundiseñofactorial,conlatemperaturadelgasfijayeloperadoryel
manómetroaleatorios.
Enlatabla12-13semuestranlosdatoscodificadosdedosréplicas.Elmodeloli­
neal
deestediseñoes
donde
7:;eselefectodelatemperaturadelgas (A),f3
jeselefectodel operador(B)yYkeselefectodelma­
nómetro
(C).
Elanálisisdevarianzasemuestra enlatabla12-14.Se haagregadolacolumnatitulada"Cuadrados
mediosesperados"aestatabla,ylasentradasdeestacolumnasederivan
porlosmétodosestudiadosenla
sección12-5.PorlacolumnaCuadradosmediosesperados,seobservaqueexistenpruebasexactaspara
todoslosefectosesperadossalvoelefectoprincipalA.
Enlatabla12-14semuestranlosresultadosdees­
taspruebas.Paraprobarelefecto
delatemperaturadelgas,o
Ho
:7:;=O,podríausarseelestadístico
MS'
F=MS"
'labIa12-13Datoscodificadosdelacaídadelapresiónparaelexperimentodelaturbina
Temperaturadelgas
(A)
60
0
P 7SoP 90
0
P
Manómetro Operador(B) Operador(B) .Operador(B)
(C) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
1
-2 O-14 14 6 1
-7 -8-2 -1-2
-3-9-84 14 O 2 6 -8 20-21
2
-6 -S-8
-3 22 8 6 -S -8 1-9-8
4 -1-2-7 24 6 2 2 3-7-83
3
-1 -4 O-2 20 2 3 -S -2-1-41
-2 -8-74 16 O O
-1 -1-2-73

552. \J1
l.J,.l
00
~-' .:~--:~=~:-=~-
Tabla12-14Análisisdevarianzade losdatosdelacaídadelapresión
Fuentede Sumade Gradosde Cuadrado
variación cuadrados libertad Cuadradosmediosesperados medio Fo ValorP
Temperatura,
A 1023.36 2
2 2 2 2
bcn2:.7:¡
511.68 2.22 0.17(J+bn(J'1'+cn(Jrp+n(Jrpy+---
a-1
Operador,B 423.82 3 (J2+an(J~y+acn(J~ 141.27 4.05 0.07
Manómetro,C 7.19 2 (J2+an(J~y+abn(J~ 3.60 0.10 0.90
AB 1211.97 6 (J2+n(J;py+cn(J;p 202.00 14.59 <0.01
AC 137.89 4 (J2+n(J;p)'+bn~'1' 34.47 2.49 0.10
BC 209.47 6 (J2+an(J~y 34.91 1.63 0.17
ABC 166.11 12 (J2+n(J;py 13.84 0.65 0.79
Error 770.50 36
,
.21.40(J-
Total 3950.32 71
,jJ
illilJ

553. 12-6PRUEBASFAPROXIMADAS 539
donde
MS'=MS
A+MS
ABC
y
MS"=MS
AB+MS
AC
yaque
bcn2::¡;2
E(MS')-E(MS")= ¡
a-1
Paradeterminarelestadísticode pruebaparaHa:'í¡=O,secalculan
MS'=MS
A
+MS
ABC
=511.68+13.84=525.52
MS"=MS
AB+MS
AC
=202.00+34.47=236.47
y
F=MS'=525.52=2.22
MS"236.47
Losgradosdelibertaddeesteestadísticose encuentranconlasecuaciones12-34y12-35de lasiguiente
manera:
(MS
A+MS
ABC
)2
p=MS
2
/2+MS
2
/12
A ABC
(525.52)2 = 2.11=2
(511.68)2/2+(13.84)2/12
y
(MSAB+MSAC)2
q=MS2 /6+MS2 /4
AB AC
= (236.47)2 = 7.88=8
(202.00)2/6+(34.47)2/4
AlcompararF=2.22con Fa.a5,2,8=4.46,nopuederechazarseHa.ElvalorPaproximadoesP=0.17.
LainteracciónAB,otemperatura-operador,esgrande,yhayciertosindiciosde unainteracciónACo
temperatura-manómetro.
ElanálisisgráficodelasinteraccionesAB yAC,ilustradoenlafigura12-2,indi­
caqueelefectodela
temperaturapuedesergrandecuandoseusanel operador1yelmanómetro 3.Porlo
tanto,pareceposiblequelosefectosprincipalesde
latemperaturayeloperadoresténenmascarados por
lainteracciónABgrande.
Enlatabla12-15se presentalasalidade larutinaBalancedANOVA(análisisdevarianzabalancea­
do)deMinitab
paraelexperimentodelejemplo12-7.Se haespecificadoel modelorestringido. Q[l]re­
presentaelefectofijodela presióndelgas.Observequelasentradasde latabladelanálisisdevarianza

554. ~.'i·l' I
¡ji
1I
ji
11
540 CAPÍTULO12EXPERIMENTOSCONFACTORESALEATORIOS
125
100 100
I:Q
75 75
x
~
CJ
'"
x
ro
50
~50
"ID
'"u ro
"'"
ID
.!!!
25
u
25
QJ
'"
"
.!!!
'"
B~2
QJ
QJ
ro
"
~
O B~4 '"
O
QJ
ro
o
1-
-25
B~1 -25
B~3
-50 -50
60 75 90 60
A
Figura12-2Interaccionesenelexperimentodelacaídadelapresión.
concuerdanengeneralconlasdelatabla12-14,salvo porlapruebaFdelatemperaturadelgas(factorA).
Minitabindicaquelapruebanoesexacta(loqueseve
porloscuadradosmediosesperados).LaPrueba
Sintetizadaconstruida
porMinitabesenrealidadelprocedimientodeSatterthwaite,perousa,unestadís­
ticodepruebadiferentedelqueseutilizóaquí.Observeque,
porlasalidadeMinitab,elcuadradomedio
delerrorparaprobarelfactor
Aes
(4)+(5)-7=MS
AB+MS
AC
-MS
ABC
1
, I
I
cuyovaloresperadoes
E[(4)+(5)-(7)]=a
2
+na;py+cna;p+a
2
+na;py
+bna
2
-(a
2
+na
2
)
'l' ,py
= a
2
+na
2
+cna
2
+bna
2
,py ,p 'l'
queesuncuadradomediodelerrorapropiado paraprobarelefectopromedio deA.Estoes unamuybue­
nailustracióndequepuedehabermásde unamaneradeconstruirloscuadradosmediossintéticosusa­
dosenelprocedimientodeSatterthwaite.Sinembargo,sepreferiría
engenerallacombinaciónlinealde
loscuadradosmediosqueseseleccionaron,
enlugardelaqueeligióMinitab,yaquenoincluyeningún
cuadradomedioconsignonegativoenlascombinacioneslineales.
Elanálisisdelejemplo12-7,suponiendoelmodelonorestringido,se presentaenlatabla12-16.
Ladiferenciaprincipalconelmodelorestringidoesqueahoralosvaloresesperadosdeloscuadradosme­
diosdelostresefectosprincipalessontalesquenoexisteningunapruebaexacta.
Enelmodelorestringido,
losdosefectosaleatoriospromediopodrían probarsecontrasuinteracción,peroahoraelcuadradome­
dioesperado
deBincluye
aa;pyyaa;p,yelcuadradomedioesperadodeCincluyeaa;pyyaa~.Denueva
cuenta,Minitabconstruyecuadradosmediossintéticosypruebaestosefectosconelprocedimientode
Satterthwaite.Lasconclusionesgeneralesnosonradicalmentediferentesdelanálisisdelmodelorestrin­
gido,ademásdelcambiograndeenlaestimacióndelcomponentede
lavarianzadeloperador.Elmodelo
norestringidoproduceunaestimaciónnegativade
a
~.Puestoqueelfactormanómetronoessignificativo
enningunodelosdosanálisis,
esposiblequeseapertinentealgunareduccióndelmodelo.

555. - t roo&'"rmét¿tt"t,·,:Zl';.
Tabla12-15AnálissdevarianzabalanceadodeMinitab(Balanced ANavA)delejemplo12-7,modelorestringido
Análisisdevarianza(diseñosbalanceados)
Factor TypeLevelsValues
GasT fixed 3 60 75 90
Operatorrandom 4 1 2 3 4
Gauge random 3 1 2 3
AnalysisofVarianceforDrop
Source DF SS MS F P
GasT 2 1023.36 511.68 2.300.171x
Operator 3 423.82 141.27 4.050.069
"1l
Gauge 2 7.19 3.60 0.100.904
GasT*Operator 6 1211.97 202.00 14.590.000
GasT*Gauge 4 137.89 34.47 2.490.099
Operator*Gauge 6 209.47 34.91 1.630.167
GasT*Operator*Gauge 12 166.11 13.84 0.650.788
Error 36 770.50 21.40
Total 71 3950.32
xNotan exactF-test.
Source
1GasT
2
Operator
3Gauge
4
GasT*Operator
5GasT*Gauge
6
Operator*Gauge
7GasT*Operator*Gauge
8Error
*SynthesizedTest.
Variance
component
5.909
-1.305
31.359
2.579
2.252
-3.780
21.403
ErrorExpectedMeanSquarefor
term(usingrestrictedmodel)
*(8)+2(7)+8(5)+6(4)
6(8)+6(6)+18(2)
6(8)+6(6)+24(3)
7(8)+2(7)+6(4)
7(8)+2(7)+8(5)
8(8)+6(6)
8(8)+
2(7)
(8)
EachTerm
+24Q[1J
ErrorTermsforSynthesizedTests
lJ1
~
....
Source
1GasT
ErrorDFErrorMSSynthesisofErrorMS
6.97 222.63(4)+(5)-(7)
~

556. U1
~
N
Tabla12-16AnálisisdevarianzabalanceadodeMinjtab(BalancedANOVA)delejemplo12-7,modelonorestringido
Análisisdevarianza(diseñosbalanceados)
Factor TypeLevelsValues
GasT fixed 3 60 75 90
Operatorrandom 4 1 2 3 4
Gauge random 3 1 2 3
AnalysisofVarianceforDrop
Source DF SS MS F P
GasT 2 1023.36 511.68 2.300.171x
Operator 3 423.82 141.27 0.630.616x
Gauge 2 7.19 3.60 0.060.938x
GasT*Operator 6 1211.97 202.00 14.590.000
GasT*Gauge 4 137.89 34.47 2.490.099
Operator*Gauge 6 209.47 34.91 2.520.081
GasT*Operator*Gauge 12 166.11 13.84 0.650.788
Error 36 770.50 21.40
Total 71 3950.32
xNotanexactF-test.
____,__=---~ =--=~:'~--C::S3I
Source
1GasT
2Operator
3Gauge
4GasT*Operator
5GasT*Gauge
6Operator*Gauge
7GasT*Operator*Gauge
8Error
*SynthesizedTest.
Variance
component
-4.544
-2.164
31.359
2.579
3.512
-3.780
21.403
ErrorExpectedMeanSquareforEachTerm
term(usingunrestrictedmodel)
*(8)+2(7)+8(5)+6(4)+Q[1J
*(8)+2(7)+6(6)+6(4)+18(2)
*(8)+2(7)+6(6)+8(5)+24(3)
7(8)+2(7)+6(4)
7(8)+2(7)+8(5)
7(8)+2(7)+6(6)
8(8)+2(7)
(8)
ErrorTermsforSynthesizedTests
Source'
1GasT
2Operator
3Gauge
ErrorDF
6.97
7.09
5.98
ErrorMS
222.63
223.06
55.54
SynthesisofErrorMS
(4)+(5)-(7)
(4)+(6)-(7)
(S)+(6)-(7)

557. 12-7ALGUNOSTEMASADICIONALESSOBRELAESTIMACIÓNDELOSCOMPONENTES DELAVARIANZA 543
12..7ALGUNOSTEMASADICIONALESSOBRELAESTIMACIÓNDE LOS
COMPONENTES DELAVARIANZA
Comoseseñalóanteriormente,laestimacióndeloscomponentesdelavarianzaenunmodeloaleatorioo
mixtorevisteconfrecuenciaconsiderableimportancia
paraelexperimentador.Enestasecciónsepresen­
tanalgunosresultadosytécnicasadicionalesquesonútiles
paraestimarloscomponentesdelavarianza.
Laatenciónsecentraenlosprocedimientos
paraencontrarintervalosdeconfianzaparaloscomponentes
delavarianza,yseilustraasimismocómoencontrarestimacionesdemáximaverosimilituddeloscompo­
nentesdelavarianza.Elmétododemáximaverosimilitudpuedeserunaalternativaútilcuandoelméto­
dodelanálisisdevarianzaproduceestimacionesnegativas.
12..7.1Intervalosdeconfianzaaproximados paraloscomponentesdelavarianza
Cuandoseintrodujoelmodelodeefectosaleatoriosenlasección12-1,sepresentaronintervalosdecon­
fianzaexactosde
100(1-a)porciento
paraeryparaotrasfuncionesdeloscomponentesdelavarianzaen
esediseñoexperimentalsimple.Siempre
esposibleencontrar unintervalodeconfianzaexactoparacual­
quierfuncióndeloscomponentesdelavarianzaque
eselvaloresperadodeunodeloscuadradosmedios
delanálisisdevarianza.Porejemplo,considere
elcuadradomediodelerror.Puestoque E(MS
E
)=
er,
siempreesposibleencontrar unintervalodeconfianzaexactoparaer,yaquelacantidad
tEMSE/a
2 =tEo2/a
2
tieneunadistribuciónji-cuadrada cantEgradosdelibertad.Elintervalodeconfianzaexactode 100(1-a)
porcientoes
(12-36)
Desafortunadamente,enexperimentosmáscomplejosenlosqueintervienenvariosfactoresdeldise­
ñonoesposiblepor
logeneralencontrarintervalosdeconfianzaexactosparaloscomponentesdelava­
rianzadeinterés,yaqueestasvarianzasnosonelvaloresperadodeunsolocuadradomediodelanálisis
devarianza.Sinembargo,losconceptosfundamentalesdelas"pseudo"pruebas
FaproximadasdeSat­
terthwaite,introducidosenlasección12-6,puedenemplearseparaconstruirintervalosdeconfianza
aproximadosdeloscomponentesdelavarianzaparalosquenosecuentaconningúnintervalodecon­
fianzaexacto.
RecuerdequeelmétododeSatterthwaiteutilizadoscombinacioneslinealesdecuadradosmedios
MS'=MSr+...+MSs
y
MS"
=MS
u+...+MS
v
conelestadísticodeprueba
MS'
F=­
MS"
quetieneunadistribuciónFaproximada.AlutilizarlosgradosdelibertadapropiadosparaMS'y MS",de­
finidosenlasecuaciones12-34y12-35,esteestadístico
Fpuedeusarseenunapruebadesignificación
aproximadadelparámetroodelcomponentedelavarianzadeinterés.

558. milI
PI'
111,
I,i
'i1l
i
i
544 CAPÍTULO12EXPERIMENTOSCONFACTORESALEATORIOS
Paraprobarlasignificaciónde uncomponentedelavarianza, porejemploa~,lasdoscombinaciones
lineales,
MS'yMS",seeligendetalmodoqueladiferencia ensusvaloresesperadosseaiguala unmúlti­
plodelcomponente,
porejemplo
o
E(MS')-E(MS")=
ka~
2 _E(MS')-E(MS")
ao- k . (12-37)
Laecuación12-37proporcionaunabase paraunaestimaciónpuntualdea~:
MS'-MS"
f¡2-----
o - k
=..!..MS+...+..!..MS_..!..MS-.....!..MS
k r k
sk 11 k u
(12-38)
(12-39)MS; MS; MS,~ MS;
--+...+--+--+...+--
fr fs f., fu
Loscuadradosmedios (MS¡)delaecuación12-38sonindependientes,dondelasf;MS/a¡=SS/a¡tienen
distribucionesji-cuadradacon/;gradosdelibertad. Laestimacióndelcomponentedelavarianza,f¡~,es
unacombinaciónlinealdemúltiplosdeloscuadradosmedios,yrf¡~la~sigueunadistribuciónji-cuadrada
aproximadacon
rgradosdelibertad,donde
(
f¡2)2
r= o
ni1MS~
2:-2-'
¡=1kh
(MS+···+MS-MS-...-MS)2
r s Il v
,I
'!
Esteresultadosólopuedeusarsesif¡~>O.Comornoseráunenteroenlamayoríadeloscasos, porloge­
neral seránecesariohacer
unainterpolacióndelastablasji-cuadrada.Graybill [50]estableceunresulta­
dogeneral
parar.
Ahorabien,puestoque
rf¡~laZtieneunadistribuciónji-cuadradaaproximadacon rgradosdelibertad,
{
1~2 }2 -<_o<2__
pX1-a/2,r-a~-Xa/2,r.-1a
y
{
rf¡2 rf¡2}
P
__0_<a2< o=l-a
2 -0-?
Xa/2,r Xl-a/2,r
Porlotanto,unintervalodeconfianzaaproximadode100(1- a)porcientoparaa~es
rf¡2 rf¡2
__0_<a2< o
2 - o -2
Xa/2,r X1-a/2,r
(12-40)
EJEMPLO 12~8 .
Parailustraresteprocedimiento,considerenuevamenteelexperimentodelejemplo12-7,dondeseusó
unmodelomixtocontresfactoresenunestudiodelacaídadelapresión enunaválvuladeexpansiónde
unaturbina.Elmodeloes
Yijkl=fl+r¡+f3j+Yk+("íf3)ij+(rY)¡k+(f3Y)jk+(rf3Y)¡jk+cijkl

559. 12-7ALGUNOSTEMASADICIONALESSOBRELAESTIMACIÓNDELOSCOMPONENTES DELAVARIANZA 545
19.28
_ 2
-cna,,8
Porlotanto,laestimaciónpuntualdea;,8es
A2 _MSAB-MS ABC134.91-19.26
a,,8- cn =(3)(2)
donde7:¡esunefectofijoytodoslosdemásefectossonaleatorios.Seencontrará unintervalodeconfianza
aproximadoparaa;,8.Alutilizarloscuadradosmediosesperadosdelatabla 12-14,seobservaqueladife­
renciaenlosvaloresesperadosdeloscuadradosmedios
paraelefectodelainteraccióndedosfactores
AByelefectodeinteraccióndetresfactores
ABeesunmúltiplodelcomponentedelavarianzade
interés,
a;,8'
y
(MSAB-MSABC)2
r=----'---------'-=--------'=-'-------
MS~ MS~c
------'-"''------+--_----=..:=-=----
(a-1)(b-1)(a-1)(b-1)(c-1)
(134.91-19.26)2
(134.91)2
+(19.26)2
(2)(3)(2)(3)(2)
4.36
Elintervalodeconfianzaaproximadode 95%
paraa;,8seencuentraentoncesconlaecuación 12-40dela
siguientemanera:
.....? "'?
ra;,8 2 ra;,8
-2--:5a,,8:5-2--
XO.025,r X0.975,r
(4.36)(19.28)2(,4_.3----'6)'-'-(1_9_.28~)
-'---------'---'-------'-<a< -
11.58-,,8- 0.61
7.26:5a;,8:5137.81
Esteresultadoesconsistenteconlosresultadosdelaprueba Fexactaparaa;,8'enquehayevidenciasóli­
da dequeestecomponentedelavarianza
esdiferentedecero.
12~7.2 Métododegrandesmuestrasmodificado
ElmétododeSatterthwaitedelasecciónanteriores
unaformarelativamentesimpledeencontrar unin­
tervalodeconfianzaaproximadoparauncomponentedelavarianzaquepuedeexpresarsecomouna
combinaciónlinealdecuadradosmedios,porejemplo
Q
a~=2:c¡MS¡ (12-41)
¡=1
ElmétododeSatterthwaitefuncionabiencuandolosgradosdelibertaddecadacuadradomedio MS¡son
relativamentegrandes,ycuandotodaslasconstantes
c¡delaecuación 12-41sonpositivas.Sinembargo,
enocasionesalgunasdelas
c¡sonnegativas.GraybillyWang [51]propusieronunprocedimientollamado
métododegrandesmuestrasmodificado,quepuedeser
unaalternativamuyútildelmétododeSattert­
hwaite.
Sitodaslasconstantes c¡delaecuación 12-41sonpositivas,entonceselintervalodeconfianzamo­
dificadode
100(1- a)porcientodeunamuestragrande para
a~es
A2
a ­
o
Q
2:G¡2C¡MS¡2:5a~:5a~+
¡=1
Q
2:
i=l
(12-42)

560. 546 CAPÍTULO12EXPERIMENTOSCONFACTORESALEATORIOS
donde
1
G.=1---
1 F
a,Ji,ee
y
1
H---­
¡-F
l-a,J¡,lXl
1
Observeque unavariablealeatoria Fconunnúmeroinfinitodegradosdelibertadeneldenominador es
equivalentea unavariablealeatoriaji-cuadradadivididaporsusgradosdelibertad.
Considereahoraelcasomásgeneraldelaecuación
12-41,dondelasconstantes C¡notienenrestric­
cionessobreelsigno.Estopuedeescribirsecomo
P Q
o~=2:c¡MS¡-2:CjMSj,
¡=1 j=P+l
(12-43)
Ting,etal[110],danunintervalodeconfianzainferioraproximadode 100(1-a)porcientoparaa~como
L=o~-.jf7; (12-44)
donde
P Q P Q
V
L=2:0¡2C;MS¡2+2:HfcfMSf+2:2: 0Jc¡cjMS¡MS
j
¡=1 j=P+1 ¡=1j=P+l
P-1P
+2:2:G¿c¡c¡MS¡MS¡
i=lt>i
1
G.=1---
1 F
a,f¡,lXl
02.f'0
2
.f']
_¡J_i¡__1J_II(P-1),
hh
1H.=1
JF
l-a,f¡,CCJ
(F _1)2- 0
2
F
2
_
H
2
O..=a,f;,fj 1a,f¡,fj J
IJ F
a,f¡,fj
[( )
2 2
a=1-1 (h+h)
II Fa,f;+f"oo j¡h
siP>1 y O~=osiP=1
Estosresultadostambiénpuedenextenderseparaincluirintervalosdeconfianzaaproximadospara
cocientesdecomponentesdelavarianza.Para
unarelacióncompletadeestosmétodos,referirse alexce­
lentelibrodeBurdickyGraybill
[22].
EJEMPLO
12~9 .
Parailustrarelmétododegrandesmuestrasmodificado,considerenuevamenteelmodelomixtocontres
factoresdelejemplo
12-7.Seencontraráunintervalodeconfianzainferioraproximadode95%para
0;13.
Recuerdequelaestimaciónpuntualde0;13es
02=MSAB-MSABe=134.91-19.26=19.28
,13 cn (3)(2)

561. fI
12-7ALGUNOSTEMASADICIONALESSOBRELAESTIMACIÓNDELOSCOMPONENTES DELAVARlANZA 547
Porlotanto, enlanotacióndelaecuación12-43, C
1=C2=
1/
6
,Y
G =
1-1 =
1-~= 0.524
1 FO.05,6,~ 2.1
1 1
H?= 1=---1=1.30
- FO.95,12,~ 0.435
(F 1)2(G)2p2 (H)2
G= 0.05,6,12- - 1 0.05,6,12- 2
12 F
0.05,6,12
Porlaecuación12-44
(3.00-1)2-(0.524)2(3.00)2-(1.3)2
3.00
-0.054
VL=G1
2
c;MS~+H~c~MS~e+G
12c
1c
2MSAHMSABe
=(0.524)2(1/6)2(134.91)2+(1.3)2 (1/6)2(19.26)2
+(-0.054)(1/6)(1/6)(134.91)(19.26)
=152.36
Así,
unlímitedeconfianzainferioraproximadode95% para
a;pes
L=a;p-JV:=19.28-.J152.36=6.94
Esteresultadoesconsistenteconlosresultadosdela
pruebaFexactaparaesteefecto.
12~7.3 Estimacióndemáximaverosimilituddecomponentesdelavarianza
Enestecapítulose hasubrayadoelmétododelanálisisdevarianza paraestimarloscomponentesdela
varianzadebidoaque
esrelativamentedirectoyhaceusodecantidadesfamiliares:loscuadradosmedios
delatabladelanálisisdevarianza.Sinembargo,elmétodotieneciertasdesventajas,incluyendolamoles­
tatendenciaaproducir enocasionesestimacionesnegativas.Además,elmétododelanálisisdevarianza
es
enrealidadunmétododeestimadordemomentos, unatécnicaquelosespecialistas enestadísticama­
temáticaprefierenengeneralnousar
paraestimarparámetros,debidoaqueresultaconfrecuenciaenes­
timacionesdeparámetrosquenotienenbuenaspropiedadesestadísticas.Alatécnicadeestimaciónde
parámetrospreferidaselellamamétododemáximaverosimilitud.
Laimplementacióndeestemétodo
puedeseruntantocomplicada, enparticularparaelmodelode undiseñoexperimental,pero encierto
sentidoelmétododemáximaverosimilitudseleccionaestimacionesdelosparámetrosque,
paraunmo­
deloy
unadistribucióndelerrorespecificados,maximizalaprobabilidaddeocurrencia delosresultados
muestrales.
Unadescripcióngeneralmuyadecuadadel métododemáximaverosimilitudaplicadoamo­
delosdediseñosexperimentalesseofrece
enMillikenyJohnson[79].
Larevisióncompletadelmétododemáximaverosimilitudsaledelalcancedeestelibro,perolaidea
general
puedeilustrarseconsumafacilidad.Soponga quexesunavariablealeatoriacon unadistribución

562. ~.
11
548 CAPÍTULO12EXPERIMENTOSCONFACTORESALEATORIOS
i;!
1
,1
I
I
deprobabilidad/ex;8),donde8esunparámetrodesconocido. SeaXl'X
2
,...,X
nunamuestraaleatoriade n
observaciones.Entonceslafuncióndeverosimilitudde lamuestraes
Observeque
ahoralafuncióndeverosimilitudes unafunciónúnicamentedel parámetrodesconocido8.
Elestimadordemáximaverosimilitudde
8eselvalorde8quemaximizalafuncióndeverosimilitudL(8).
Parailustrarcómoseaplicaesto enelmodelode undiseñoexperimentalconefectosaleatorios,con­
sidere
unmodelodedosfactorescon a=b=n=2.Elmodeloes
Yijk=
fl+7:¡+{3j+(7:{3)ij+cijk
coni =1,2,j=1,2 Yk=1,2.Lavarianzadecualquierobservaciónes
V()
2 2 2 2 2
Yijk=ay=a
r+a(3+a
r(3+a
y
lascovarianzasson
e(
2 2 2
ovYijk'Y¡'j'k')=ar+a
(3+ar(3
=a;
- a
2
- (3
=0
i=i',j=j',k-:1=k'
i=i',j-:1=j'
i-:1=i',j=j'
i-:1=i',j-:1=j'
(12-45)
Esconvenienteconsiderarlasobservacionescomo unvector8 X1,esdecir,
y=
Ym
Yll2
Y211
Y212
Yl21
Y122
Y221
Y222
ylasvarianzasycovarianzaspuedenexpresarsecomo unamatrizdecovarianza8 x 8
1:=[1:111:12]
1:211:22
donde1:
11
,1:
22
,1:
12Y1:
21=1:'12sonmatrices4 x 4definidasdelasiguientemanera:
a
2
2 2 2
a
2
a
2
y a
r+a
(3+a
r
(3 r r
2 2 2 ?
a
2
a
2a
r+a
(3+a
r
(3 a-
1:
11=1:22=
y- r r
a
2
a
2
a
2
? ? 2
r r y
a;+af¡+a
r
(3
a
2
a
2
2 2 ?
a
2
r r a
r+a
(3+a;(3
y
a
2
a
2 O O
(3 (3
?
a
2 OOa-
1:
12
=
(3 (3
OO a
2
a
2
(3 (3
O O a
2
a
2
(3 (3

563. ú'
12-7ALGUNOSTEMASADICIONALESSOBRELAESTIMACIÓNDELOSCOMPONENTES DELAVARlANZA 549
Y};21essólolatranspuestade};12'Entoncescadaobservaciónsigue unadistribuciónnormalconvarianza
a~,ysisesuponequetodaslas N=abnobservacionestienen unadistribuciónnormalconjunta,entonces
lafuncióndeverosimilituddelmodeloaleatorioquedacomo
donde
jNesunvectorNx 1compuestodeunos.Lasestimacionesdemáximaverosimilitudde
/-l,a;,a~,
a;/lyaZsonlosvaloresdeestosparámetrosquemaximizanlafuncióndeverosimilitud.Tambiénseríade­
seablerestringirlasestimacionesdeloscomponentesdelavarianzaavaloresnonegativos.Porlotanto,
enlaprácticalafuncióndeverosimilitudsemaximizaríasujetaaestarestricción.
Laestimacióndeloscomponentesdelavarianza porelmétododemáximaverosimilitudrequiere
softwaredecomputadoraespecializado.Algunospaquetesdesoftwaredeestadísticageneralcuentan
conestacapacidad.Elsistema
SAScalculaestimacionesdemáximaverosimilituddeloscomponentesde
lavarianzademodelosaleatoriosomixtosconlarutina
SASPROCMIXED.Seilustraráelusodelaruti­
naPROCMIXEDaplicándola almodelofactorialdedosfactoresintroducidoenlosejemplos12-2 y
12-3.
Considereprimeroelejemplo12-2.
Setratadelmodelode undiseñofactorialdeefectosaleatorios
condosfactores.Elmétododelanálisisdevarianza
haproducidounaestimaciónnegativadelcomponen­
tedelavarianzadelainteracción.Lasestimacionesnegativasdeloscomponentesdelavarianzapueden
evitarseenlarutina
PROCMIXEDespecificandoelusodelmétodo demáximaverosimilitudrestringi­
da
(oresidual)(REML, porsussiglaseninglés). Enesencia,la REMLrestringelasestimacionesdelos
componentesdelavarianzaavaloresnonegativos.
LarutinaPROCMIXEDdelsistema SASrequierecomoentradalamatrizdecovarianzadelospará­
metrosdelmodelo.Laestructuradeunmodeloaleatorioenelquetodaslasvariablesaleatoriassonmu­
tuamenteindependienteses
(12-46)
dondelas1sonmatricesidentidad.(Laestructuradelacovarianzade
unmodelopuedeespecificarseen
larutina
PROCMIXEDconlaopción TYPE=stnlctureenelenunciadoRANDOM.)Laestructurade
lacovarianzadelmodelodelejemplo12-2seespecificacomoTYPE=SIM(elvalorporomisiónde
PROCMIXED),queespecificalaestructurasimpledelacovarianzaparalosparámetrosdelmodeloda­
dosenlaecuación12-46.
Enlatabla12-17sepresentalasalidadelarutina PROCMIXEDde SASparaelexperimentodel
ejemplo12-2.Seespecificóelmétododeestimación
REMLdeloscomponentesdelavarianza. Lasalida
se
haanotadoconnúmerosparafacilitarladescripciónquesepresentaacontinuación:
1.Estimacionesdeloscomponentesdelavarianza ylasalidarelacionada.
2.Parámetrocovarianza.Identificalosparámetrosdelmodelo:
a;,a~, a~/lyaZ.
3.Cocientedelavarianzaestimadadelefecto ylavarianzaestimadadelerrorresidual:
0
2
/0
2
1
4.Estimacionesdelosparámetros.Sonlasestimaciones REMLdeloscomponentesdelavarianza
o;,o~, o~/ly0
2
•Observequelaestimación REMLdeo;/lescero.

564. lJ1
lJ1
o
Tabla12-17SalidadePROCMIXEDdelsistemaSASdelanálisisdelestudioderepetibilidad yreproductibilidaddeinstrumentcisdemedición(calibradores)
ddJ:;i~IDPJo_l)-2 !ltili~ªndo laestimaciónREMLde loscomponentesdevarianza
TheMIXEDProcedure
ClassLevelInformation
Class LevelsValues
PART 201 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 13
141516 17 181920
OPERATOR 3 1 2 3
REPLICAT 2 1 2
W
CovarianceParameterEstimates(REML)
[I] [I] GJ rn []][I]W @]
CovParm Ratio EstimateStdErrors ZPr>IzIAlpha Lower Upper
OPERATOR 0.012035390.01062922 0.03286000 0.320.74630.05-0.05380.0750
PART 11.6074382010.251264463.373768783.040.00240.053.638816.8637
PART*OPERATOR -0.00000000-0.00000000
Residual 1.000000000.88316339 0.12616620 7.000.00000.050.63591.1304
[Q]
AsymptoticCovarianceMatrixofEstimates
_~~,__~ ~,,~O"'=~
,,""ª'
CovParm
OPERATOR
PART
PART*OPERATOR
Residual
OPERATOR
0.00107978
0.00006632
0.00000000
-0.00039795
PART
0.00006632
11.38231579
0.00000000
-0.00265287
PART*OPERATOR
0.00000000
0.00000000
0.00000000
-0.00000000
Residual
-0.00039795
-0.00265287
-0.00000000
0.01591791
forVALUE
Value
120.0000
0.8832
0.9398
-204.696
-208.696
-214.254
409.3913
[j]
ModelFittingInformation
Description
Observations
VarianceEstimate
StandardDeviationEstimate
REMLLogLikelihood
Akaike'sInformationCriterion
Schwarz'sBayesianCriterion
-2REMLLogLikelihood
~
".
,ici ".'~

565. q---= n----____"7 =e"'"5'O''"'M':cr,¡:;d~".
Tabla12-18SalidadePROCMlXEDdelsistemaSASdelanálisisdelestudioderepetibilidad yreproductibilidaddeinstrumentosdemedición(calibradores)con el
operadorcomoefecto fijoutilizandolaestimaciónREMLde loscomponentesdelavatianza
0.63591.1304
3.638816.8637
TheMIXEDProcedure
CovarianceParameterEstimates(REMU
CovParm Ratio EstimateStdError ZPr>IzIAlpha
PART 11.6074387610.251264723.373768953.040.00240.05
PART*OPERATOR 0.000000000.00000000
Residual 1.000000000.88316337 0.12616620 7.000.00000.05
AsymptoticCovarianceMatrixofEstimates
Lower Upper
;:::~
CovParm
PART
PART*OPERATOR
Residual
PART
11.38231693
0.00000000
-0.00265287
PART*OPERATOR
0.00000000
0.00000000
0.00000000
Residual
-0.00265287
-0.00000000
-0.01591791
ModelFittinglnformationforVALUE
Description
Observations
VarianceEstimate
StandardDev;at;onEst;mate
REMLLogLikelihood
Akaike'slnformat;onCriterion
Schwarz'sBayesianCr;ter;on
-2REMLLogLikelihood
Value
120.0000
0.8832
0.9398
-204.729
-207.729
-211.872
409.4572
TestsofF;xedEffects
U1
U1
t-'
Source
OPERATOR
NDF
2
DDFType111FPr>F
38 1.480.2401

566. (12-47)
552 CAPÍTULO12EXPERIMENTOSCONFACTORESALEATORIOS
5.Errorestándardelaestimación.Eselerrorestándar (se)paramuestrasgrandesdelaestimación
delparámetro:
se(
a¡)=~V(a¡).
6.ElestadísticoZasociadoconlavarianzaestimada:
Z=a¡/se(a¡).
7.ValorPdelestadísticoZcalculado.
S.Nivelalfausadoparacalcularelintervalodeconfianza.
9.Límitesinferiorysuperiordeunintervalodeconfianzadelateoríanormalparamuestrasgran­
desde100(1-
a)porcientoparaloscomponentesdelavarianza:
L=
a¡-Za/2se(a¡)U=a¡+Za/2se(a¡)
10.Matrizasintóticadelacovarianzadelasestimaciones.Eslamatrizdelacovarianzaparamues­
trasgrandesdelasestimacionesdeloscomponentesdelavarianza.
11.Medidasdelajustedelmodeloparacompararelajustedemodelosalternativos.
ObservequelosresultadosdelarutinaPROCMIXEDde
SAScoincidenmuydecercaconlosvalorespre­
sentadosenelejemplo
12-2cuandoelmodeloreducido(sineltérminodelainteracción)seajustóa losdatos.
Enelejemplo12-3seconsideróelmismoexperimento,perosesupusoquelosoperadoreseranun
factorfijo,locualllevóaunmodelomixto.Larutina
PROCMIXEDde SASpuedeemplearse paraesti­
marloscomponentesdelavarianzaparaestasituación. Laestructuradelacovarianzadelasobservacio­
nes,suponiendoquetodaslasvariablesaleatoriassonmutuamenteindependientes(esdecir,elmodelo
mixtonorestringido),es
COV(Yijk'
Yi)'k')=a~+a;p+a
2
i=i',j=j',k=k'
=a~+a;p i=i',j=j',k;t:k'
=a~ i;éi',j=j'
=0 j;t:j'
Lamatrizdelacovarianzadelosparámetrosdelmodeloes
G=[a~I a~I] (12-48)
(EstoseespecificaenelenunciadoTYPE
=SIMenlaentradadelarutina PROCMIXED.)Enlatabla
12-18semuestralasalidadelarutina
PROCMIXEDde SASparalaformanorestringidadelmodelo
mixtodelejemplo12-3.
DenuevacuentaseseleccionóelmétodoREML. Laestimacióndelcomponente
delavarianzaparaelfactor"pieza"esmuysimilaralaestimaciónqueseobtuvoutilizandoelmodelo
aleatorio.
Laestimaciónde lavarianzadelerrorresidualtambiénessimilar.Además,lasalidaincluye
unapruebaFparaelefectofijo.
12~8PROBLEMAS
12-1.Unafábricatextiltiene ungrannúmerodetelares.Sesuponequecadatelarproduce lamismacantidadde
tela
porminuto.Parainvestigarestesupuesto,seeligencincotelaresalazar yseregistrasuproducciónen
tiemposdiferentes.Seobtienenlossiguientesdatos:
Telar Producción(lb/min)
1 14.0
14.1 14.2 14.0 14.1
2
13.9 13.8 13.9 14.0 14.0
3
14.1 14.2 14.1 14.0 13.9
4 13.6 13.8 14.0 13.9 13.7
5 13.8 13.6 13.9 13.8 14.0

567. 12-8PROBLEMAS 553
a)Explicarporquéesteexperimentoesdeefectosaleatorios.¿Todoslostelarestienenlamismaproduc-
ción?Utilizar
a=0.05.
b)Estimarlavariabilidadentrelostelares.
e)Estimar,lavarianzadelerrorexperimental.
d)Encontrarunintervalodeconfianzade95% para
a;/(a;+a
2
}
e)Analizarlosresidualesdeesteexperimento.¿Consideraellectorquesesatisfacenlossupuestosdelaná­
lisisdevarianza?
12-2.
Unfabricantesospechaqueloslotesdemateriaprimasuministrados porsuproveedordifierendemanera
significativaenelcontenidodecalcio.Hay
ungrannúmerodelotesactualmente enelalmacén.Seseleccio­
nancincodeellos parahacerunestudio.Unquímicohacecincodeterminaciones encadaloteyobtienelos
siguientesdatos:
Lote1 Lote2 Lote3 Lote4 Lote5
23.46 23.59 23.51 23.28 23.29
23.48 23.46 23.64 23.40 23.46
23.56 23.42 23.46 23.37 23.37
23.39 23.49 23.52 23.46 23.32
23.40 23.50 23.49 23.39 23.38
a)¿Existeunavariaciónsignificativaenelcontenidodecalciode unloteaotro?Utilizar a=0.05.
b)Estimarloscomponentesdelavarianza.
e)Encontrar
unintervalodeconfianzade 95%para
a;/(a;+a
2
}
d)Analizarlosresidualesdeesteexperimento.¿Sesatisfacenlossupuestosdelanálisisdevarianza?
12-3.
Enunafábricametalúrgicaseusanvarioshornos paracalentarejemplaresdemetal.Sesuponequetodoslos
hornosoperanalamismatemperatura,aunquesesospechaquequizánoseaésteelcaso.
Seseleccionanal
azartreshornosyseregistransustemperaturas
encargassucesivas.Losdatos recabadossonlossiguientes:
Horno
1
2
3
491.50
488.50
490.10
498.30
484.65
484.80
Thmperatura
498.10 493.50
479.90 477.35
488.25 473.00
493.60
471.85 478.65
a)¿Existeunavariaciónsignificativadelatemperaturaentreloshornos?Utilizar a=0.05.
b)Estimarloscomponentesdelavarianzadeestemodelo.
e)Analizarlosresidualesdeesteexperimentoysacarconclusionesacercadelaadecuacióndelmodelo.
12-4.
Enunartículode JoumaloftheElectrochemicalSociety (vol.139,no. 2,pp.524-532)sedescribe unexperi­
mento
parainvestigarladeposicióndevaporabajapresióndelpolisilicio. Elexperimentosellevóacabo en
elreactordealtacapacidaddeSematech enAustin,Texas. Elreactortienevariasposiciones paralasobleas,
yseseleccionanalazarcuatrodeestasposiciones.
Lavariablederespuestaeslauniformidaddelespesorde
lapelícula.Sehicierontresréplicasdelexperimentoyseobtuvieronlossiguientesdatos:
Posicióndelaoblea Uniformidad
1 2.76 5.67 4.49
2 1.43 1.70
2.19
3 2.34 1.97 1.47
4 0.94 1.36 1.65

568. 554 CAPÍTULO12EXPERIMENTOSCONFACTORESALEATORIOS
a)¿Hayalgunadiferenciaenlasposicionesdelasobleas?Utilizar a=0.05.
b)Estimarlavariabilidaddebidaalasposicionesdelasobleas.
e)Estimarelcomponentedelerroraleatorio.
d)Analizarlosresidualesdeesteexperimentoycomentarlaadecuacióndelmodelo.
12-5.Considereelexperimentodeladeposicióndevapordelproblema12-4.
a)Estimarlavariabilidadtotaldelarespuestauniformidad.
b)¿Quépartedelavariabilidadtotaldelarespuestauniformidadsedebealadiferenciaentrelasposicio­
nes
enelreactor?
e)¿Hastaquénivelpodríareducirselavariabilidaddelarespuestauniformidadsipudieraeliminarselava­
riabilidadentreunaposiciónyotraenelreactor?¿Consideraellectorqueésta
esunareducciónsignifi­
cativa?
12-6.
Enunartículode JoumalofQualityTechnology (vol.13,no.2,pp.111-114)sedescribeunexperimentopara
investigarlosefectosdecuatrosustanciasquímicasblanqueadorassobrelabrillantezdelapulpa.Estascua­
trosustanciasquímicasseseleccionaron
alazarde unapoblacióngrandedeagentesblanqueadorespoten­
ciales.Losdatossonlossiguientes:
Sustanciaquímica
1
2
3
4
77.199
80.522
79.417
78.001
Brillantezdelapulpa
74.466 92.746 76.208
79.306 81.914 80.346
78.017 91.596 80.802
78.358 77.544 77.364
82.876
73.385
80.626
77.386
a)¿Existealgunadiferencia enlostiposdesustanciasquímicas?Utilizar a=0.05.
b)Estimarlavariabilidaddebida altipodesustanciasquímicas.
e)Estimarlavariabilidaddebida
alerroraleatorio.
d)Analizarlosresidualesdeesteexperimentoycomentarlaadecuacióndelmodelo.
12-7.Considereelmodelodeefectos aleatorios,balanceado,
enunavariable.Desarrollarunprocedimientopara
encontrarunintervalodeconfianzade100(1-
a)porcientopara
a
2
/(a;+a
2
).
12-8.Referirse alproblema12-1.
a)¿Cuáleslaprobabilidaddeaceptar Hasia;es4veceslavarianzadelerror a
2?
b)Siladiferenciaentrelostelareses losuficientementegrande paraincrementarladesviaciónestándarde
unaobservaciónen20%,quieredetectarseestocon
unaprobabilidadde almenos0.80.¿Quétamañode
lamuestradeberáusarse?
12-9.
Sellevóacabounexperimentoparainvestigarlacapacidadoaptitudde unsistemademedición.Seseleccio­
narondiezpiezas
alazar,ydosoperadoresescogidosaleatoriamentemidierontresvecescadapieza.Las
pruebassehicieronenordenaleatorioyseobtuvieronlossiguientesdatos:
Medicionesdel Medicionesdel
Número
operador1 operador2
depieza 1 2 3 1 2 3
1
50 49 50 50 48 51
2 52 52 51 51 51 51
3 53 50 50 54 52 51
4 49 51 50 48 50 51
5 48 49 48 48 49 48
6 52 50 50 52 50 50
7 51 51 51 51 50 50
8 52 50 49 53 48 50
9 50 51 50 51 48 49
10 47 46 49 46 47 48

569. fI
12-8PROBLEMAS 555
a)Analizarlosdatosdeesteexperimento.
b)Encontrarestimacionespuntualesdeloscomponentesdelavarianzautilizandoelmétododelanálisisde
varianza.
12-10.Considerenuevamentelosdatosdelproblema5-6.Supongaqueambosfactores,lasmáquinasylosoperado­
res,seeligenalazar.
a)Analizarlosdatosdeesteexperimento.
b)Encontrarestimacionespuntualesdeloscomponentesdelavarianzautilizandoelmétododelanálisisde
varianza.
12-11.Considerenuevamentelosdatosdelproblema5-13.Supongaqueambosfactoressonaleatorios.
a)Analizarlosdatosdeesteexperimento.
b)Estimarloscomponentesdelavarianza.
12-12.Supongaqueenelproblema
5-11lasposicionesenelhornoseseleccionaronaleatoriamente,dandocomo
resultado
unexperimentoconunmodelomixto.Analizardenuevolosdatosdeesteexperimentobajoeste
nuevosupuesto.Estimarloscomponentesapropiadosdelmodelo.
12-13.Analizardenuevoelexperimentodelossistemasdemedicióndelproblema12-9,suponiendoquelosopera­
doressonunfactorfijo.Estimarloscomponentesapropiadosdelmodelo.
12-14.
Enelproblema5-6,supongaquesólohaycuatromáquinasdeinterés,perolosoperadoresseseleccionaron
aleatoriamente.
a)¿Quétipodemodeloesapropiado?
b)Efectuarelanálisisyestimarloscomponentesdelmodelo.
12-15.Mediantelaaplicacióndeloperadorvaloresperado,desarrollarloscuadradosmediosesperadosdelmodelo
factorialmixtocondosfactores.Usarlossupuestosdelmodelorestringido.Verificarlosresultadosconlos
cuadradosmediosesperadosdelatabla
12-11paraconstatarqueconcuerdan.
12-16.Considereeldiseñofactorialdetresfactoresdelejemplo12-6.Proponerlosestadísticosdepruebaapropia­
dos
paratodoslosefectosprincipalesylasinteracciones.Repetir paraelcasoen:queAyBsonfijosy ees
aleatorio.
12-17.Considereelexperimentodelejemplo12-7.Analizarlosdatos
paraelcasoen queA,B yesonaleatorios.
12-18.Deducirloscuadradosmediosesperadosdelatabla12-14.
12-19;Considereunexperimentofactorialdecuatrofactoresdondeelfactor
Atieneaniveles,elfactor Btienebni­
veles,elfactor etieneeniveles,elfactorD
tienednivelesyhay nréplicas.Anotarlassumasdecuadrados,los
gradosdelibertadyloscuadradosmediosesperados
paralossiguientescasos.Suponerelmodelorestringido
paratodoslosmodelosmixtos.PuedeusarseunpaquetedecomputadoracomoMinitab.
a)A,B,eyDsonfactoresfijos.
b)A,B,eyDsonfactoresaleatorios.
e)
Aesfijoy B,eyDsonaleatorios.
d)A yBsonfijosy eyDsonaleatorios.
e)A,BYesonfijosy Desaleatorio.
¿Existenpruebasexactasparatodoslosefectos?
Sinoesasí,proponerestadísticosdepruebaparalosefectos
quenopuedanprobarsedirectamente.
12-20.Considerenuevamentelosincisose,
dyedelproblema12-19.Obtenerloscuadradosmediosesperadossu­
poniendounmodelonorestringido.PuedeusarseunpaquetedecomputadoracomoMinitab.Compararlos
resultadosobtenidosconlosdelmodelorestringido.
12-21.
Enelproblema5-17,supongaquelostresoperadoresseseleccionaron alazar.Analizarlosdatosbajoestas
condicionesysacarconclusiones.Estimarloscomponentesdelavarianza.
12-22.Considereelmodelofactorialdetresfactores
{
i.
:.1,2,,a
J-1,2,,b
k=1,2,,e
Suponiendoquelostresfactoressonaleatorios,desarrollarlatabladelanálisisdevarianza,incluyendolos
cuadradosmediosesperados.Proponerlosestadísticosdepruebaapropiadosparatodoslosefectos
..

570. 12-23.Elmodelofactorialdetresfactoresparaunasolaréplica es
Yijk=¡,t+r:i+f3¡+Yk+(r:f3)ij+(f3Y)¡k+(r:Y)ik+(r:f3Y)ijk+8ijk
Sitodoslosfactoressonaleatorios,¿puedeprobarsealgunodelosefectos? Silasinteraccionesdetresfacto-
res
y
(r:f3hnoexisten,¿esposibleprobartodoslosdemásefectos? .
12-24.Enelproblema5-6,supongaquetantolasmáquinascomolosoperadores seescogieronalazar.Determinar
lapotenciadelapruebaparadetectarunefectodelamáquinatalquea~=aZ,dondea~eselcomponente de
lavarianzadelfactormáquina.¿Sonsuficientesdosréplicas?
12-25.
Enelanálisisdevarianzadelmodelomixtodedosfactores,demostrarque
Cov[(r:f3)jj,(r"f3)j]l=-(l/a)a;ppara
i;.:i'.
12-26.Demostrarqueelmétododelanálisisdevarianzasiempreproduceestimacionespuntualesinsesgadasde los
componentesdelavarianzaencualquiermodeloaleatorioomixto.
12-27.Invocandolossupuestosdenormalidadusuales,encontrarunaexpresión
paralaprobabilidaddeobtener
unaestimaciónnegativadeuncomponentedelavarianza
porelmétododelanálisisdevarianza.Utilizando
esteresultado,escribirunenunciadoparalaprobabilidaddeque
&;<Oenunanálisisdevarianzadeun fac­
tor.Comentarlautilidaddeesteenunciadodeprobabilidad.
12-28.Analizarlosdatosdelproblema12-9,suponiendoquelosoperadoressonfijos
yutilizandotantolaformano
restringidacomolarestringidadelosmodelosmixtos.Compararlosresultadosqueseobtienenconlos
dos
modelos.
12-29.Considereelmodelomixtodedosfactores.Demostrarqueelerrorestándardelamediadelfactorfijo(por
ejemplo,
A)es
[MS
AB/bn]1/2.
12-30.Considereloscomponentesdelavarianzadelmodeloaleatoriodelproblema12-9.
a)Encontrarunintervalodeconfianzaexactodel95% paraaZ.
b)Encontrarintervalosdeconfianzaaproximadosdel 95%paralosotroscomponentesdelavarianzautili­
zandoelmétododeSatterthwaite.
12-31.Usarelexperimentodescritoenelproblema5-6
ysuponerqueambosfactoressonaleatorios.Encontrarun
intervalodeconfianzaexactodel95%
paraaZ.Construirintervalosdeconfianzaaproximadosdel95%para
losotroscomponentesdelavarianzautilizandoelmétododeSatterlhwaite.
12-32.Considereelexperimentodetresfactoresdelproblema5-17
ysupongaquelosoperadoresseseleccionaron
alazar.Encontrarunintervalodeconfianzaaproximadodel
95%paraelcomponentedelavarianzadelope­
rador.
12-33.Resolverdenuevoelproblema12-30utilizandoelmétododegrandesmuestrasmodificadoquesedescribe
enlasección12-7.2.Compararlasdosseriesdeintervalosdeconfianzaobtenidas
ycomentarlas.
12-34.Resolverdenuevoelproblema12-32utilizandoelmétododegrandesmuestrasmodificadoquesedescribe
enlasección12-7.2.Compararesteintervalodeconfianzaconelqueseobtuvoanteriormente
ycomentarlo.
556 CAPÍTULO12EXPERIMENTOSCONFACTORESALEATORIOS

571. Diseñosanidados
ydeparcelas
subdivididas
Enestecapítuloseintroducendosimportantestiposdediseñosexperimentales:eldiseñoanidadoyeldi­
señodeparcelassubdivididas.Estosdosdiseñosencuentran
unaaplicaciónrazonablementegeneraliza­
daenelusoindustrialdelosexperimentosdiseñados.Confrecuenciaincluyentambiénunoomás
factoresaleatorios,porloquealgunosdelosconceptosintroducidosenelcapítulo
12tendráncabida
aquí.
13..1DISEÑOANIDADODEDOSETAPAS
Enalgunosexperimentosconfactoresmúltiples,losnivelesdeunodelosfactores(porejemploelfactor
B)sonsimilaresperonoidénticosalosdiferentesnivelesdeotrofactor(porejemploA).A
unarreglo
comoésteselellamadiseñoanidadoojerárquico,conlosnivelesdelfactor
Banidadosbajolosniveles
delfactorA.Porejemplo,considere
unacompañíaquecomprasumateriaprimaatresproveedoresdife­
rentes.
Lacompañíaquieredeterminarsilapurezadelamateriaprimadecadaproveedoreslamisma.
Haycuatrolotesdemateriaprimadisponiblesdecadaproveedor,yseharántresdeterminacionesdela
pureza
encadalote.Lasituaciónsedescribe enlafigura13-1.
Se
tratadeundiseñoanidadodedosetapas,conloslotesanidadosbajolosproveedores.Aprimera
vistasepodríapreguntar
porquénoes unexperimentofactorial.Sifuera unexperimentofactorial,en­
toncesellote1sereferiríasiemprealmismolote,ellote2sereferiríasiemprealmismolote,etcétera.
Evidentemente,noesésteelcaso,yaqueloslotesdecadaproveedorsonúnicos
paraeseproveedor
particular.Esdecir,ellote1delproveedor1notienerelaciónconellote1decualquierotroproveedor,
ellote2delproveedor1notienerelaciónconellote2decualquierotroproveedor,etcétera.Parasub­
rayarelhechodequeloslotesdecadaproveedorsondiferentes,sepuedennumerarcomo1,
2,3 y 4
paraelproveedor1;5,6,7Y8paraelproveedor 2;y9,10,11Y12 paraelproveedor3,comosemuestraen
lafigura13-2.
Enocasionesquizánosesepa siunfactorestácruzado enunarreglofactorialoanidado. Silosniveles
delfactorpuedennumerarsearbitrariamentecomoenlafigura13-2,entonceselfactorestáanidado.
557

572. 558 CAPÍTULO13DISEÑOSANIDADOSY DEPARCELASSUBDIVIDIDAS
Proveedores
~~
Lotes
{Y'"
Y121Yl3lY141 Y 211 Y221 Y231 Y241 Y311 Y321 Y331 Y341
Observaciones y112
Y122 Y132 Y142 Y
212 Y222 Y232 Y242 Y312 Y322 Y332 Y342
Y113 Y123 Y133 Y143 Y213 Y223 Y233 Y243 Y313 Y323 Y333 Y343
Figura13·1Diseñoanidadodedosetapas.
13~1.1Análisisestadístico
Elmodeloestadísticolineal paraeldiseñoanidadodedosetapases
{
i
=1,2,,a
Yijk=¡t+'i;+{3j(i)+S(ij)kj=l,2,,b
. k=1,2,,n
(13-1)
Esdecir,hayanivelesdelfactor A,bnivelesdelfactor Banidadosbajocadanivel deA,ynréplicas.El
subíndicej(i)indicaqueelnivelj-ésimodelfactor
Bestáanidadobajoelniveli-ésimodelfactorA.Resul­
taconvenienteconsiderarquelasréplicasestánanidadasdentrodelacombinacióndelos nivelesdeAy
B;porlotanto,seusaelsubíndice (ij)kparaeltérminodelerror.Se tratadeundiseñoanidadobalancea­
do,yaquehayelmismonúmerodenivelesde
Bconcadanivel deAyelmismonúmeroderéplicas.Puesto
quenotodoslosnivelesdelfactor
Baparecendentrodetodoslosnivelesdelfactor A,nopuedehaberin­
teracciónentre
AyB.
Lasumadecuadradostotalcorregidapuedeescribirsecomo
abn a bn
2:2:2:(Yijk-y...)2=2:2:2:[(Yi..-Y...)+(Yij,-y;..)+(Yijk-Yij,)]2
i=1j=1k=1 ;=1j=1k=1
(13-2)
Aldesarrollarelmiembroderechodelaecuación 13-2,seobtiene
abn a ah abn
2:2:2:(Yijk-y'..)2=bn2:(Yi..-Y...)2+n2:2:(Yij,-Yi..)2+2:2:2:(Yijk-Yij,)2(13-3)
i=1j=1k=1 ;=1 i=1j=1 i=1j=1k=1
yaquelostrestérminosconproductoscruzadossoncero. Laecuación13-3indicaquepuedehacersela
particióndelasumadecuadradostotalen
unasumadecuadradosdebidaalfactor A,unasumadecua­
dradosdebidaalfactor
BbajolosnivelesdeA,y unasumadecuadradosdebidaalerror.Simbólicamente,
laecuación
13-3puedeescribirsecomo
SST=SSA+SSB(A)+SSE (13-4)
Hayabn-1gradosdelibertad para
SSr.a-1gradosdelibertad paraSSA'a(b-1)gradosdelibertadpara
SSB(A)yaben-1)gradosdelibertad paraelerror.Observeque abn-1=(a-1)+a(b-1)+aben-1).Si
loserroresson NID(O,ci),cadaunadelassumasdecuadradosdelmiembroderechodelaecuación13-4
Proveedores
Lotes
Figura13·2Disposiciónalternativadeldiseñoanidadodedosetapas.

573. ¡J
13-1DISEÑOANIDADODEDOSETAPAS 559
Tabla13-1
E(MS)
Cuadradosmediosesperados eneldiseñoanidadode dosetapas
Afijo Afijo
Bfijo Baleatorio
Aaleatorio
Baleatorio
(13-7)
(13-6)
(13-5)
puededividirseporsusgradosdelibertad paraobtenercuadradosmedioscon unadistribuciónindepen­
dientetalesqueelcocientededoscuadradosmedioscualesquierasedistribuyecomo
F.
Losestadísticosapropiados paraprobarlosefectosdelosfactores AyBdependendesiAy Bsonfijos
oaleatorios.Silos
factoresAyBsonfijos,sesuponeque
~;=1Ti=Oy~~=1f3j(1)=O(i=1,2,...,a).Esdecir,
lasumadelosefectosdeltratamiento
Aescero,ylasumadelosefectosdeltratamiento Bescerodentro
decadanivel
deA.Demaneraalternativa,siAy Bsonaleatorios,sesuponeque
T¡esNID(O,a;)yquef3j(i)
esNID(O,a~).Tambiénesfrecuenteencontrarmodelosmixtos conAfijoyBaleatorio.Loscuadrados
mediosesperados
puedendeterminarseaplicandodirectamentelasreglasdelcapítulo 12.Paraelmodelo
mixto,estoscuadradosmediosesperadossuponenlaforma
restringidadelmodelodelcapítulo 12.Enla
tabla13-1semuestranloscuadradosmediosesperados paraestassituaciones.
Latabla13-1indicaque silosnivelesdeAyBsonfijos,
Ho:T;=OsepruebaconMSA/MS
EyH
o:f3j(;)=O
se
pruebaconMSB(A/MS
E
•SiAesunfactorfijoy Besaleatorio,entonces
Ho:T¡=Osepruebacon
MSA/MSB(A)yHo:a~=OsepruebaconMSB(A/MS
E
•Porúltimo,si tantoAcomoBsonfactoresaleatorios,
·Ho:a;=OsepruebaconMSA/MSB(A)yHo:a~=OconMSB(A/MS
E
•Elprocedimientode pruebaseresume
enlatabladelanálisisdevarianza,comosemuestra enlatabla13-2.Lasfórmulas paracalcularlassumas
decuadradosseobtienendesarrollandolascantidadesdelaecuación13-3ysimplificando.Éstasson
1a 2
SS
=_"2_~
Abn~Yi..abn
1=1
l
ab 1a
'SS= _""y
2
__" 2
B(A)nLJ~ ij.bnLJy¡..
1=1J=l 1=1
ab /l 1ab
SSE=2:2:2:Y;~k--2:2:Y~.
;=1j=lk=l n;=1j=l
a b 11
SST=2:2:2:
;=1j=lk=l
2
2 Y...
Yijk-abn
(13-8)
Tabla13-2Tabladelanálisisdevarianzapara eldiseñoanidadode dosetapas
Fuentede Sumade Gradosde
variación cuadrados libertad
A
bn¿e--f a-lY;"Y...
BdentrodeA n¿2:(Yij.-Yi..f a(b-1)
Error 2:2:2:(Yijk-YijY ab(n-l)
Total 2:2:2:(Yijk-y.f abn-l
Cuadrado
medio

574. 2
2
Y..
Yijk-abn
560 CAPÍTULO13DISEÑOSANIDADOSY DEPARCELASSUBDMDIDAS
Seobservaquelaecuación 13-6paraSSB(A)puedeescribirsecomo
a[1bl]
SSB(A)=2:-;;2:Y~.-;~
1=1 J=l
EstoexpresalaideadequeSS B(A)eslasumadecuadradosentrelosnivelesdeB paracadaniveldeA,su­
mados
entodoslosnivelesde A.
EJEMPLO
13~1 .
Considereunacompañíaquecompramateriaprima enlotesdetresproveedoresdiferentes. Lapurezade
estamateriaprimavaríaconsiderablemente,locualocasionaproblemasenlamanufacturadelproducto
terminado.Quieredeterminarsesilavariabilidadde
lapurezaesatribuiblealasdiferenciasentrelospro­
veedores.Seseleccionanalazarcuatrolotesdemateriaprimadecadaproveedor,
ysehacentresdetermi­
nacionesdelapurezaencadalote.Setrata,desdeluego,de
undiseñoanidadodedosetapas.Losdatos,
despuésdecodificarlosrestando
93,semuestranenlatabla13-3.Lassumasdecuadradossecalculande
lasiguientemanera:
abn
SST=
2:2:2:
i=lj=lk=l
=153.00-(13)2=148.31
36
1a 2
SS=_~y2_~
Abn~ ,..abn
1=1
=_1_[(_5)2+(4)2+(14)2]-(13)2
(4)(3) 36
=19.75-4.69=15.06
1
a b 1a
SS=_~~ 2__~ 2
B(A)nLJLJYij.bnLJYi..
1=1J=l 1=1
=~[(0)2+(_9)2+(_1)2+...+(2)2+(6)2]-19.75
3
=89.67-19.75=69.92
y
abn?1ab
SSE=2:2:2:Yijk--2:2:Y~.
i=lj=lk=l ni=lj=l
=153.00-89.67=63.33
Tabla13-3Datoscodificadosdelapurezadelejemplo 13-1(Codificación:Y;jk=pureza- 93)
Proveedor1 Proveedor2 Proveedor3
Lotes 12 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
1
-2 -2 1 1 O-1O 2
-213
-1-3O 4 -24 O 3 4 O-1 2
O --41 O -32-22 O 2 2 1
Totalesdeloslotes Yij. O-9-15--46-35 6 O 2 6
Totales
delosproveedores
Yi.. -5 4 14
,
,i

575. Tabla13-4Análisisdevarianzadelosdatosdelejemplo13-1
13-1DISEÑOANlDADO DEDOSETAPAS 561
Fuentede SumadeGradosde
variación cuadradoslibertad
Cuadrado Cuadradomedio
medio esperado
FoValorP
7.53 a
2
+
3a~+6¿.-¡0.97 0.42
7.77
a
2
+
3a~ 2.94 0.02
2.64
,
a-
2
9
24
35
15.06
69.92
63.33
148.31
Proveedores
Lotes(dentrodelosproveedores)
Error
Total
Enlatabla13-4seresumeelanálisisdevarianza.Losproveedoressonfijosyloslotesaleatorios, porlo
queloscuadradosmediosesperadosseobtienendelacolumnade
enmediodelatabla13-1yserepiten
porconvenienciaenlatabla13-4.Porelexamendelosvalores P,seconcluiríaquenohayningúnefecto
significativosobrela purezadebidoalosproveedores,perola purezadeloslotesdemateriaprimadel
mismoproveedordifierensignificativamente.
Lasimplicacionesprácticasdeesteexperimentoydelanálisissonmuyimportantes.Elobjetivodel
experimentador
esencontrarlafuentedelavariabilidad enla purezadelamateriaprima. Siéstaesresul­
tadodelasdiferenciasentrelosproveedores,elproblema
puederesolverseseleccionandoal"mejor"
proveedor.Sinembargo,esasoluciónnoesaplicableaquí
porquelaprincipalfuentedevariabilidadesla
variacióndelapurezade
unloteaotro dentrodelosproveedores. Porlotanto,elproblemadebeatacarse
trabajandoconlosproveedores
parareducirsuvariabilidadde unloteaotro.Estopuedeimplicarmodifi­
caciones
enlosprocesosdeproduccióndelosproveedoreso ensusistemainternodecontroldecalidad.
Observeloquehabríapasado
sisehubierahecho unanálisisincorrectodeestediseño como unexpe­
rimentofactorialdedosfactores.
Siseconsideraqueloslotesestáncruzadosconlosproveedores,seob­
tienenlostotalesdeloslotesde
2,-3,-2y16,dondecadaceldalote xproveedorescontienetresréplicas.
Porlotanto,puedecalcularseunasumadecuadradosdebidaaloslotesy
unasumadecuadradosdein­
teracción.Elanálisisdevarianzafactorialcompletosemuestraenlatabla
13-5,suponiendounmodelomixto.
Esteanálisisindicaqueloslotesdifierensignificativamenteyquehay unainteracciónsignificativa
entreloslotesylosproveedores.Sinembargo,esdifícilofrecer
unainterpretaciónprácticadelainterac­
ciónlotesxproveedores.Porejemplo,¿estainteracciónsignificativaquieredecirqueelefectodelpro­
veedornoesconstantede
unloteaotro?Además,lainteracciónsignificativaaunadaalefectono
significativodelproveedorpodríallevaralanalistaaconcluirquelosproveedores
enrealidaddifieren,
perosuefectoestáenmascarado
porlainteracciónsignificativa.
Tabla
13-5Análisisdevarianzaincorrectodeldiseñoanidadodedosetapasdelejemplo13-1comoundiseñofactorial
(proveedores
fijos,lotesaleatorios)
Fuentede Sumade
variación cuadrados
Gradosde
libertad
Cuadrado
medio Valor
P
Proveedores(S) 15.06 2 7.53 1.02 0.42
Lotes(B) 25.64 3 8.55 3.24 0.04
InteracciónS x B 44.28 6 7.38 2.80 0.03
Error 63.33 24 2.64
Total 148.31 35

576. 562 CAPÍTULO13DISEÑOSANIDADOSY DEPARCELASSUBDMDIDAS
Cálculos
Algunospaquetesdesoftwaredeestadísticarealizarán elanálisisdeundiseñoanidado. Enlatabla13-6
se
presentalasalidadelprocedimientoBalanced ANOVA(análisisdevarianzabalanceado)deMinitab
(utilizandoelmodelorestringido).Losresultadosnuméricos
concuerdanconloscálculosmanualesre­
portadosenlatabla13-4.Minitab tambiénreportaloscuadradosmediosesperados enlaparteinferiorde
latabla13-6.RecuerdequeelsímboloQ[1]esuntérminocuadráticoquerepresentaelefectofijodelos
proveedores,
porloqueenlanotaciónqueseusaaquí,
!~;
Q[1]=~
a-1
Porlotanto,eltérminodelefectofijo enelcuadradomedioesperadodeMinitabparalosproveedores
12Q[1]=12L;=lT;/(3-1)=6L;=1T;,resultadoqueconcuerdaconelquesepresentaenelalgoritmota­
bulardelatabla13-4.
Enocasionesnosecuentaconunprogramadecomputadoraespecializadoparaanalizardiseñosani­
dados.Sinembargo,observe,al
compararlastablas13-4 y13-5,que
SSB+SSSXB=25.64+44.28=
69.92=SSB(S)
Esdecir,la sumadecuadradosdeloslotesdentro delosproveedoressecomponedelasumadecuadra­
dos
deloslotesmás la
sumadecuadradosde lainteracciónlofesxproveedores.Losgradosdelibertad
poseenunapropiedadsimilar;esdecir,
LotesLotesxProveedoresLotes
dentrodelosproveedores
--+--------
3 6 9
Porlotanto,unprogramadecomputadoraparaanalizardiseñosfactoriales podríausarsetambiénpara
analizardiseñosanidadosagrupandoel"efectoprincipal"delfactoranidado ylasinteraccionesdeese
factor
conelfactorbajoelque estáanidado.
Tabla
13-6SalidadeMinitab(BalancedANOVA)[análisis devarianzabalanceado]para elejemplo13-1
Análisisdevarianza(diseñosbalanceados)
Factor TypeLevelsValues
Supplier fixed 3 1
Batch(Supplier)random 4 1
AnalysisofVarianceforPurity
2
2
3
3 4
Source
Supplier
Batch(Supplier)
Error
Total
DF
2
9
24
35
SS
15.056
69.917
63.333
148.306
MS
7.528
7.769
2.639
F
0.97
2.94
P
0.416
0.017
1Supplier
2Batch(Supplier)
3Error
Source' VarianceError
componentterm
2
1.71O 3
2.639
ExpectedMeanSquarefor
(usingrestrictedmodel)
(3)+3(2)+12Q[1J
(3)+3(2)
(3)
EachTerm

577. 13·1DISEÑOANIDADODEDOSETAPAS 563
13~1.2 Verificacióndeldiagnóstico
Laherramientaprincipalparaverificareldiagnósticoeselanálisisresidual.Paraeldiseñoanidadode
dosetapas,losresidualesson
Elvalorajustado
es
Yijk=¡l+fi+13j(i)
ysiseestablecenlasrestriccionesusualessobrelosparámetrosdelmodelo(2:ifi=Oy2:j13j(i)=O,i=1,
2,oo.,a),entoncesjl=Y...,f
i=Yi..-Y...'y13j(i)=Yij.-Yi..·Porconsiguiente,elvalorajustadoes
A__+(__)+(__)
Yijk-Y..Yi..-Y.. Yij.-Yi..
=Yij.
Porlotanto,losresidualesdeldiseñoanidadodedosetapasson
(13-9)
dondeYij.sonlospromediosdeloslotesindividuales.
Lasobservaciones,losvaloresajustados
ylosresidualesparalosdatosdelapurezadelejemplo
13-1son:
Valorobservado Yijk
1
-1
O
-2
-3
-4
-2
O
1
1
4
O
1
-2
-3
O
4
2-1
O
-2
O
3
2
2
Valorajustado
Yijk=Yij.
0.00
0.00
0.00
-3.00
-3.00
-3.00
-0.33
-0.33
-0.33
1.67
1.67
1.67
-1.33
-1.33
-1.33
2.00
2.00
2.00
-1.00
-1.00
-1.00
1.67
1.67
1.67
2.00
1.00
-1.00
0.00
1.00
0.00
-1.00
-1.67
0.33
1.33
-0.67
2.33
-1.67
2.33
-0.67
-1.67
-2.00
2.00
0.00
0.00
1.00
-1.00
-1.67
1.33
0.33
0.00

578. 564 CAPÍTULO13DISEÑOSANIDADOSY DEPARCELASSUBDIVIDIDAS
Valorobservado Yijk ValorajustadoYijk=Yij.
4
O
-2
O
2
1
-1
2
3
2
1
2.00
2.00
0.00
0.00
0.00
0.67
0.67
0.67
2.00
2.00
2.00
2.00
-2.00
-2.00
0.00
2.00
0.33
-1.67
1.33
1.00
0.00
-1.00
Puedenrealizarseahoralasverificacionesdediagnósticousuales;incluyendolasgráficasdeprobabilidad
normal,laverificacióndepuntosatípicosylagraficacióndelosresidualescontralosvaloresajustados.
Como
unailustración,enlafigura13-3segraficanlosresidualescontralosvaloresajustadosycontralos
nivelesdelfactorproveedor.
3
o o
2 o o
o o o
'"..!!!1o •
o o
ro
:::l
"O o o o.¡¡;
~oo
o o
-1o o o o
o o•
o
-2
-3 -2 -1 o
Valorespredichos
alGráficadelosresidualescontralosvalorespredichos
3- ,
I ,
-
o o
2- o •-
•
o o
¡¡j1- o o -
ro
:::l
o o o"O
.~O
c::
o
-11- o o o -
o o
-21- I,
•
-
1 2 3
Proveedor
blGráficadelosresidualescontra elproveedor
Figura13-3 Gráficasdelosresidualesdelejemplo13-1.

579. Enlasituaciónde unproblemacomoelquesedescribeenelejemplo13-1,lasgráficasdelosresidua­
les
sonparticularmenteútilesdebidoa lainformacióndediagnósticoadicional quecontienen.Porejem­
plo,elanálisis
devarianzahaindicadoque lapurezamediadelostresproveedoresnodifiereperoque
hayunavariabilidadestadísticamentesignificativade unloteaotro(esdecir,
a~>O).Pero,llavariabili­
daddentrodelosloteses lamismaparatodoslos proveedores?Sehasupuestodehecho queésteesel
caso,ysi
noesciertodesdeluego quenosgustaríasaberlo,ya quetieneunimpactoprácticoconsiderable
sobrelainterpretacióndelosresultadosdelexperimento. Lagráficadelosresidualescontralosprovee­
dores
delafigura13-3besunamanerasimpleperoeficazdeverificarestesupuesto. Puestoqueladisper­
sión
delosresidualesesaproximadamente lamismaparalostresproveedores,seconcluiría quela
variabilidadenlapurezadeunloteaotroesaproximadamentelamismaparalostresproveedores.
i]
13-1DISEÑOANIDADODEDOSETAPAS 565
13~1.3Componentesdelavarianza
Paraelcasodeefectosaleatorios,el métododelanálisisdevarianzapuedeusarseparaestimarloscom­
ponentesdelavarianzacr,a~ya;.Porloscuadradosmediosesperadosdelaúltimacolumnadelatabla
13-1,se obtiene
y
~2MSB(A)-MSE
a=--'---'----
f3 11
~?MSA-MSB(A)
a-=----------'------'
" bl1
(13-10)
(13-11)
(13-12)
Enmuchasaplicacionesdediseñosanidadosinterviene unmodelomixto,conelefectoprincipal(A)
fijoyelfactor
anidado(B)aleatorio.Ésteeselcaso paraelproblemadescritoenelejemplo13-1;los pro­
veedores(factorA)sonfijos,yloslotes demateriaprima(factorB)sonaleatorios.Losefectosdelospro­
veedorespuedenestimarsecon
-513-28i1=Yi.-Y...=12-36=36
~__413-1
í2=h.-Y...=12-36=36
~ _ _ 14 1329
í3=h.-Y..=12-36=36
Paraestimarloscomponentesdelavarianzacrya~,seeliminalalíneadelatabladelanálisisdevarianza
relativoalos
proveedoresyseaplicael métododeestimacióndelanálisisdevarianzaalasdoslíneassi­
guientes.Se
obtieneasí
y
f¡2=MSB(A)-MSE=7.77-2.64=1.71
f3 11 3

580. 566 CAPÍTULO13DISEÑOSANIDADOSY DEPARCELASSUBDIVIDIDAS
Etapa1 Lote1...
Etapa2
Etapa3
Figura13·4Diseñoanidadoescalonadodedosetapas.
Estosresultadossemuestrantambién enlaparteinferiorde lasalidadeMinitabdelatabla13-6. Porel
análisisdelejemplo
13-1,sesabeque
T:¡nodifieresignificativamente decero,mientrasqueelcomponl(nte
delavarianzaa~esmayorquecero.
13~1.4 Diseñosanidadosporetapas
Unproblemapotencialenlaaplicacióndelosdiseñosanidadoses queenocasionesparaobtenerunnú­
merorazonabledegradosdelibertad enelnivelmásalto, puedeterminarseconmuchosgradosdeliber­
tad(quizádemasiados) enlasetapasinferiores. Parailustrar,suponga queseestáninvestigandolas
diferenciaspotenciales
enelanálisisquímico entrediferenteslotesdematerial.Se planeatomarcinco
muestras
porlote,ycadamuestrase medirádosveces.Siquiereestimarse uncomponentede lavarianza
paraloslotes,entonces 10lotesnoseríaunaelecciónirrazonable. Estoresultaen9gradosdelibertad
paraloslotes,40gradosdelibertad paralasmuestrasy 50gradosdelibertadparalasmediciones.
Unamaneradeevitarestasituaciónes usaruntipoparticulardediseñoanidadonobalanceadolla­
madodiseñoanidadoporetapas. Enlafigura13-4se muestraunejemplode undiseñoanidadoescalona­
do.Observe
quesólose tomandosmuestrasde cadalote;unadeellassemidedosveces,mientras quela
otraunasolavez.Si hayalotes,entonces habráa-1gradosdelibertad paraloslotes(o, engeneral,laeta­
pasuperior),ytodaslasetapasinferiores tendránexactamenteagradosdelibertad. Paramásinforma­
ciónsobreelusoyelanálisisdeestosdiseños,verBainbridge[5],SmithyBeverly
[104]yNelson[88a,b,
c],asícomoelmaterialsuplementariodeltexto
deestecapítulo.
13~2DISEÑOANIDADOGENERALDEmETAPAS
Losresultadosde lasección13-1 puedenextendersefácilmentealcasode mfactorescompletamente ani­
dados.Aestediseñoselellamaría diseñoanidadode metapas.Comounejemplo,supongaque unafun­
diciónquiereinvestigarladurezadedosformulacionesdiferentesde unaaleacióndemetal.Se preparan
treshornadasdecadaformulaciónde laaleación,seseleccionandoslingotesalazardecada hornada
paraprobarlos,ysehacendosmedicionesde ladurezaencadalingote.Lasituaciónseilustra enlafigura
13-5.
Enesteexperimento,lashornadasestánanidadasbajolosnivelesdelfactorformulacióndelaalea­
ción,yloslingotesestánanidadosbajolosnivelesdelfactorhornada.Porlotanto,se
tratadeundiseño
anidadodetresetapascondosréplicas.

581. 13-2DISEÑO ANIDADOGENERALDE mETAPAS 567
Hornadas
Formulación
de
laaleación
Lingotes
e""
Y1121 Y1211 Y'221Y1311Y1321
Observaciones
Y1112 Y1122 Y1212 Y'222
Y1312Y'322
Figura13·5Diseñoanidadodetresetapas.
Elmodeloparaeldiseñoanidadogeneraldetresetapases
{
i=1'2,000'a
j=1,2,000'b
k=1,2,o..,e
1=1,2,000'11
(13-13)
Paraelejemplotratadoaquí,T:
i
eselefectodelaformulacióndelaaleacióni-ésima, f3j(i)eselefectodela
hornadaj-ésimadentrodelaaleacióni-ésima,
Yk(ij)eselefectodellingote k-ésimodentrodelahornada
Variabilidaddela
formulaciónde
laaleación
Variabilidaddeuna
hornadaaotra
Variabilidadde
la
pruebaanalftica
Dureza
media
Dureza
observada
Figura13-6Fuentesdevariaciónenelejemplodeldiseñoanidadode
tresetapas.

582. TI
II
I
I
568 CAPÍTULO13DISEÑOSANIDADOSYDEPARCELASSUBDIVIDIDAS
Tabla13-7Análisis devarianzadeldiseñoanidadodetresetapas
Fuente
de GradosdeCuadrado
variación Sumadecuadrados libertadmedio
A
ben2:(511...-y..j
a-1 MS
A
I
B(dentrodeA)
en2:2:(h.-y..j
a(b-1) MSB(A)
Ij
e(dentrode B)
n2:2:2:(Yijk.-y..j
ab(e-1)MSC(B)
¡
jk
Error 2:2:2:2:(Yijk/-Yijk.f
abe(n-1)MS
E
ijkI
Total 2:2:2:2:
(Yljkl-y..j
aben-1
¡jkI
j-ésimaylaaleacióni-ésima, yE(ijk)/eseltérminodelerror NID(O,02)usual.Laextensióndeestemodeloa
Infactoresesdirecta.
Observequeenelejemploanteriorlavariabilidadglobaldeladurezaconstódetrescomponentes:
unoqueresultódelasformulacionesdelasaleaciones,otroquesegeneródelashornadas
yunomásque
saliódelerrordelapruebaanalítica.Estoscomponentesdelavariabilidadenladurezaglobalseilustran
enlafigura13-6.
Esteejemplodemuestralamaneraenqueseusafrecuentementeeldiseñoanidado
enelanálisisde
procesos
paraidentificarlasprincipalesfuentesdevariabilidad enlasalida.Porejemplo, sielcomponen­
tedelavarianzadelaformulacióndelaaleaciónesgrande,entoncesestoimplicaquelavariabilidadglo­
baldeladurezapodríareducirseutilizandoúnicamente
unadelasformulacionesdelaaleación.
Elcálculodelassumasdecuadrados
yelanálisisdevarianzadeldiseñoanidadode Inetapasson si­
milaresalanálisispresentadoenlasección13-1.Porejemplo,elanálisisdevarianzadeldiseñoanidado
detresetapasseresumeenlatabla13-7.
Enestatablasemuestrantambiénlasdefinicionesdelassumas
decuadrados.Observequesonunaextensiónsimpledelasfórmulas
paraeldiseñoanidadodedoseta­
pas.Muchospaquetesdesoftwaredeestadísticarealizaránloscálculos.
Paradeterminarlosestadísticosdepruebaapropiadosdebenencontrarseloscuadradosmedioses­
peradosempleandolosmétodosdelcapítulo
12.Porejemplo,silosfactoresAyBsonfijosyelfactorees
aleatorio,entoncesloscuadradosmediosesperadospuedenderivarsecomoseindica enlatabla13-8. En
estatablaseindicanlosestadísticosdepruebaapropiados paraestasituación.
TablaU-SDerivacióndeloscuadradosmediosesperadosparaundiseñoanidado
detresetapasconA yBfijosyealeatorio
F F R R
a b
e n
Factor i j k l Cuadradomedioesperado
T¡ O b n
? ?ben2:Ti
e a-+na-+
ya-1
f3j(l) 1 O e n
2+ 2+en2:2:f3~(i)
anay a(b-1)
Yk(ij)
1 1 1 n a
2
+na
2
1
? Y
c/U;k) 1 1 1 a-

583. (13-14)
13-3DISEÑOS CONFACTORESANIDADOSYFACTORIALES 569
13~3 DISEÑOSCONFACTORESANIDADOS YFACTORIALES
Enexperimentosconfactoresmúltiples,algunosfactorespuedenestarincluidosenunarreglofactorialy
otrosestaranidados.
Enocasionesaestosdiseños selesllamadiseñosfactoriales-anidados. Elanálisis
estadísticodeundiseñoasícontresfactoresseilustra
enelejemplosiguiente.
EJEMPLO
13~2 .
Uningenieroindustrialestudialainserciónmanualdecomponenteselectrónicosentarjetasdecircuitos
impresosafindemejorarlarapidezdelaoperacióndeensamblaje.
Hadiseñadotresdispositivosdeen­
samblajeydosarreglosdelsitiodetrabajoqueparecenprometedores.Senecesitanoperadorespararea­
lizarelensamblaje,ysedecideseleccionaraleatoriamentecuatrooperadores
paracadacombinación
dispositivo-arreglodelsitiodetrabajo.Sinembargo,debidoaquelossitiosdetrabajo
seencuentranen
diferentespuntosdentrodelaplanta,
esdifícilusarlos mismoscuatrooperadores paracadaarreglodel
sitiodetrabajo.Porlotanto,loscuatrooperadoresescogidos
paraelarreglo1sondiferentesdeloscuatro
paraelarreglo2.Puestoquesólohaytresdispositivosydosarreglosdelsitiodetrabajo,ylosoperadores
seescogenalazar,setratadeun
modelomixto. Lascombinacionesdetratamientosdeestediseñoseco­
rrenenordenaleatorioyseobtienendosréplicas.Lostiemposdeensamblajesemidenensegundosyse
muestranenlatabla13-9.
Enesteexperimento,losoperadoresestánanidadosdentrodelosnivelesdelosarreglosdelsitiode
trabajo,mientrasquelosdispositivosylosarreglosdelsitiodetrabajoestánincluidosenunfactorial.Por
lotanto,estediseñotienefactoresanidadosyfactoriales.
Elmodelolineal paraestediseño es
j
i=1,2,3
j=1,2
k=1,2,3,4
1=1,2
donde
r¡eselefectodeldispositivo i-ésimo, f3jeselefectodelarreglodelsitiodetrabajoj-ésimo, YkU)esel
efectodeloperadork-ésimodentrodelnivelj-ésimodelarreglodelsitiodetrabajo,
(rf3)ijeslainteracción
dispositivoxarreglodelsitiodetrabajo,
(rY)¡kU)eslainteraccióndispositivoxoperadoresdentrodel
arreglodelsitiodetrabajo,y
é(ijk)[eseltérminodelerrorusual.Observequenopuedeexistirningunain­
teracciónarreglodelsitiodetrabajoxoperadorporquenotodoslosoperadoresusantodoslosarreglos
delsitiodetrabajo.Asimismo,tampocopuedehaberningunainteraccióndispositivoxarreglodelsitio
detrabajoxoperador.
Enlatabla13-10sederivanloscuadradosmediosesperadosutilizandoelalgo­
ritmotabulardelcapítulo
12.Estoproduceelanálisisde unmodelomixtorestringido.Elestadísticode
pruebaapropiadoparacualquierefectoointeracciónpuedeencontrarseinspeccionandoestatabla.
Tabla
13-9Datosdeltiempo deensamblajedelejemplo13-2
Arreglo1 Arreglo2
Operador 1 2 3 4 1 2 3 4
Dispositivos1 22
23 28 25 26 2728 24
24 24 29
23 28 25 25 23
Dispositivos2 30 29 30 27 29 3024 28
2728
32 25 28 27 23 30
Dispositivos3
2524 27 26 27 2624 28
2122 25 23 25 2427 27
Totalesdelosoperadores, Y.jk. 149 150 171149 163159151160
Totales
delosarreglos,Y.j.. 619 633
Yi...
404
447
401
1252
==y....

584. 570 CAPÍTULO13DISEÑOSANIDADOSY DEPARCELASSUBDIVIDIDAS
Tabla13-10Derivacióndelcuadradomedioesperadodelejemplo13-2
F F R R
3 2 4 2
Factor
j k 1 Cuadradomedioesperado
7:¡ O 2 4 2 a
2
+2a
2
+8¿7:
2
'1' 1
f3j 3 O 4 2 a
2
+6a~+24¿f3~
YkU)
3 1 1 2 a
2
+6a~
(7:f3)ij O O 4 2 a
2
+2a~+4¿¿ (7:f3)~
(ry)ikU) O 1 1 2 a
2
+2a~
1 1 1 1
?
c(ijk)¡
a-
Enlatabla13-11semuestraelanálisisdevarianzacompleto.Seobservaquelosdispositivosdeen­
samblajesonsignificativosyquelosoperadoresdentrodelosarreglosdelsitiodetrabajotambiéndifie­
rensignificativamente.Estápresentetambién unainteracciónsignificativa entrelosdispositivosylos
operadoresdentrodelosarreglosdelsitiodetrabajo,indicandoquelosefectosdelosdiferentesdisposi­
tivosnosonlosmismos
paratodoslosoperadores.Losarreglosdelsitiodetrabajoparecen tenerunefec­
toreducidosobreeltiempodeensamblaje.Porlotanto, paraminimizareltiempodeensamblaje,la
atencióndeberíacentrarse
enlosdispositivostipo1 y 3.(Observequelostotalesdelosdispositivosdela
tabla13-9sonmenores
paralostipos1 y 3que paraeltipo2.Estadiferenciaenlasmediasdeltipodedis­
positivo
podríaprobarseformalmenteutilizandocomparacionesmúltiples.)Además,lainteracciónentre
losoperadoresylosdispositivosimplicaquealgunosoperadoressonmáseficientesqueotrosalutilizar
losmismosdispositivos.Quizásestosefectosoperador-dispositivopodríanaislarseylosoperadorescuyo
desempeñoesmenoseficientepodríanmejorarimpartiéndolescapacitaciónadicional.
Cálculos
Hayvariospaquetesdesoftwaredeestadísticaqueanalizanconfacilidaddiseñosfactoriales-anidados,
incluyendoMinitabySAS.
Enlatabla13-12sepresenta lasalidadeMinitab(BalancedANOVA,análisis
devarianzabalanceado),suponiendo laformarestringidadelmodelomixto,
paraelejemplo13-2.Los
cuadradosmediosesperadosde
laparteinferiorde latabla13-12concuerdanconlosquesederivaron
conelmétodotabularde
latabla13-10. Q[l],Q[3]YQ[4]sonlosefectosdelfactorfijo paralosarreglos
delsitiodetrabajo,losdispositivos,y
lainteracciónarreglodelsitiodetrabajoxdispositivo,respectiva­
mente.Lasestimacionesdeloscomponentesde
lavarianzason:
Operador(arreglo):
a~=1.609
Dispositivoxoperador (arreglo):a~=1.576
Error: a
2
=2.333
Tabla13-11Análisisdevarianzadelejemplo 13-2
Sumade Gradosde Cuadrado
Fuente
devariación cuadrados libertad medio Fa ValorP
Dispositivos(F) 82.80 2 41.40 7.54 0.01
Arreglos
(L) 4.08 1 4.09 0.34 0.58
Operadores(dentrodelosarreglos),O (L) 71.91 6 11.99 5.15 <0.01
FL 19.04 2 9.52 1.73 0.22
FO(L) 65.84 12 5.49 2.36 0.04
Error 56.00 24 2.33
Total 299.67 47

585. _Y_HU 'P'"-m"~'~ -""',.Mmf'E"'--'----''""7''0 t "'!I-$n-~'WMW!r:='te"'i'F\;¡;:r;;gg81;~,g±r2;"j'i,,¡'~t~liiiiI
Tabla13-12AnálisisBalanced ANOVAdeMinitabdelejemplo13-2utiliz_andoelmodelorestringido
Análisis
devarianza(diseñosbalanceados)
Factor TypeLevelsValues
Layout fixed 2 1 2
Operator(Layout)random 4 1 2 3 4
Fixture fixed 3 1 2 3
"'"
AnalysisofVarianceforTime
Source
Layout
Operator(Layout)
Fixture
Layout*Fixture
Fixture*Operator(Layout)
Error
Total
DF SS MS F P
1 4.083 4.083 0.340.581
6 71.917 11.9865.140.002
2 82.792 41.3967.550.008
2 19.042 9.5211.740.218
12 65.833 5.4862.350.036
24 56.000 2.333
47299.667
Variance
component
lJl
--.,J
1-'
Source
1Layout
2Operator(Layout)
3Fixture
4Layout*Fixture
5Fixture*Operator(Layout)
6Error
1.609
1.576
2.333
ErrorExpectedMeanSquarefor
term(usingrestrictedmodel)
2(6)+6(2)+24Q[1J
6(6)+6(2)
5(6)+2(5)+16Q[3J
5(6)+2(5)+8Q[4J
6(6)+2(5)
(6)
EachTerm
U=;;

586. Ul
-...l
N
ThWaU-13AnálisisBalancedANOVAdeMinitabdelejemplo 13-2utilizandoelmodelonorestringido
Análisis
devarianza(diseñosbalanceados)
Factor TypeLevelsValues
Layout fixed 2 1 2
Operator(Layout)random 4 1 2 3 4
Fixture fixed 3 1 2 3
AnalysisofVarianceforTime
Source
Layout
Operator(Layout)
Fixture
Layout*Fixture
Fixture*Operator(Layout)
Error
Total
DF SS MS F P
1 4.083 4.083 0.340.S81
6 71.917 11.9862.180.117
2 82.792 41.3967.S50.008
2 19.042 9.S211.740.218
12 65.833 5.4862.3S0.036
24 56.000 2.333
47299.667
Variance
component
Source
1Layout
2Operator(Layout)
3Fixture
4Layout*Fixture
SFixture*Operator(Layout)
6Error
1.083
1.S76
2.333
ErrorExpectedMeanSquareforEach
term(usingunrestrictedmodel)
2(6)+2(5)+6(2)+Q[1,4J
S(6)+2(S)+6(2)
S(6)+2(5)+Q[3,4J
5(6)+2(S)+Q[4J
6(6)+2(S)
(6)
Term

587. 13-4DISEÑODEPARCELASSUBDIVIDIDAS 573
Enlatabla13-13sepresentaelanálisisdeMinitabdelejemplo13-2utilizandolaforma norestringida
delmodelomixto.Loscuadradosmediosesperadosdela parteinferiordeestatablasonligeramentedi­
ferentesdelosquesereportaronparaelmodelorestringido
y,porlotanto,laconstruccióndelosestadís­
ticosde
pruebaseráligeramentediferenteparaelfactoroperadores(arreglo).Específicamente,el
denominadordelcociente
Fdelosoperadores(arreglo)es lainteraccióndispositivosxoperadores
(arreglo)delmodelorestringido(12gradosdelibertad
paraelerror),yeslainteracciónarregloxdispo­
sitivos
enelmodelonorestringido(2gradosdelibertad paraelerror).Puestoque MSarregloxdispositivos>
MSdispositivosxoperador(arreglo)' Ytienemenosgradosdelibertad,seencuentraahoraqueeloperadordentrodel
efectodelarreglosólo
essignificativoenelnivelaproximadode12%(elvalor Ptue0.002enelanálisisdel
modelorestringido).Además,laestimacióndelcomponentedelavarianza
a~=1.083esmenor.Sinem­
bargo,puestoqueestápresente
unefectograndedelosdispositivos yunainteraccióndispositivosxope­
rador(arreglo)significativa,seguiríasospechándosequeexiste
unefectodeloperador y,porlotanto,las
conclusionesprácticasdeesteexperimentonosonafectadasmucho
porelegirlaformarestringidaolano
restringidadelmodelomixto.Lascantidades
Q[l,4]yQ[3,4]sontérminoscuadráticosdeltipofijoque
contienenelefectodeinteracciónarreglosxdispositivos.
Sinosecuentacon
unpaquetedesoftwareespecializadocomo SASoMinitab,entoncespuedeusar­
se
unprogramaparaanalizarexperimentosfactorialesconfactoresanidados yfactoriales.Así,elexperi­
mentodelejemplo13-2podríaconsiderarsecomo
unfactorialdetresfactores,conlosdispositivos(F),
losoperadores(O)
ylosarreglos(L)comolosfactores.Entoncesseagruparíanciertassumasdecuadra­
dos
yciertosgradosdelibertadparaformarlascantidadesapropiadasrequeridas paraeldiseñoconlos
factoresanidados
yfactorialesdelasiguientemanera:
Análisisfactorial Análisisfactorial-anidado
Gradosde Gradosde
Sumadecuadrados libertad Sumadecuadrados libertad
SSF 2 SSF 2
SSL 1 SSL 1
SSFL 2 SSFL 2
SSo 3
SSO(L)=SSo+SSw
SSw
3
6
SSFO 6
SSFO(L)=SSFO+SSFOL 12
SSFOL 6
SSE 24 SSE 24
SST 47 SST 47
13..4DISEÑODEPARCELASSUBDIVIDIDAS
Enalgunosexperimentosfactorialesconfactoresmúltiplesquizánoseaposiblelaaleatorizacióncomple­
tadelordendelascorridas.Estosueleresultaren unageneralizacióndeldiseñofactorialllamada diseño
deparcelassubdivididas.
Comounejemplo,considere unfabricantedepapelqueestáinteresadoentresmétodosdiferentes
paraprepararlapulpaycuatrotemperaturasdecoccióndiferentesdelapulpa yquedeseaestudiarel
efectodeestosdosfactoressobrelaresistenciaalatensióndelpapel.Cadaréplicade
unexperimentofac­
torialrequiere12observaciones,
yelexperimentadorhadecididocorrertresréplicas.Sinembargo,laca-

588. ~1
I
;
574 CAPÍTULO13DISEÑOSANIDADOSY DEPARCELASSUBDIVIDIDAS
pacidaddelaplantapilotosólopermiterealizar12corridas pordía,porloqueelexperimentadordecide
correr
unaréplicaencadaunodetresdíasyconsiderarlosdíasolasréplicascomobloques. Enundíalle­
vaacaboelexperimentodelasiguientemanera.Seproduce
unlotedepulpaconunodelostresmétodos
bajoestudio.Despuésestelotesedivide
encuatromuestras,ylacoccióndecadamuestrasehaceconuna
delascuatro temperaturas.Entoncesseproduce
unsegundolotedepulpautilizandootrodelostresmé­
todos.Estesegundolotetambiénsedivideencuatromuestrasquesepruebanconlascuatrotemperatu­
ras.Despuésserepiteelproceso,utilizando
unlotedepulpaproducido poreltercermétodo.Losdatos Se
muestranenlatabla13-14.
Inicialmente,estopodríaconsiderarse
unexperimentofactorialcontresnivelesdelmétododepre­
paración(factorA)ycuatronivelesdelatemperatura(factor
B)enunbloquealeatorizado. Siéstefuera
elcaso,entonceselordendeexperimentacióndentrodecadaréplicaobloquedeberíasercompletamen­
tealeatorizado.Esdecir,dentrode unbloquedeberíaseleccionarsealeatoriamente unacombinaciónde
tratamientos(unmétododepreparacióny unatemperatura)yobtener unaobservación,despuésdebería
seleccionarsealeatoriamenteotracombinacióndetratamientosyobtener
unasegundaobservación,yasí
sucesivamentehastaquesehayantomadolas12observaciones
enelbloque.Sinembargo,elexperimen­
tadornorecabólosdatosdeestamanera. Élhizounlotedepulpayobtuvoobservaciones paralascuatro
temperaturasdeeselote.Debidoalaeconomía
paraprepararloslotesyaltamañodeloslotes,ésta esla
únicamanerafactibledecorreresteexperimento.
Unexperimentofactorialcompletamentealeatorizado
requeriría36lotesdepulpa,locualestotalmenteirrealista.
Eldiseñodeparcelas.subdivididasrequiere
sólotreslotesdepulpa
porbloque(réplica), enestecaso9lotes entotal.Evidentemente,eldiseñodepar­
celassubdivididas
hadadocomoresultado unaeficienciaexperimentalconsiderable.
Eldiseñoutilizadoenelejemplodelapulpaesdeparcelassubdivididas.Cadaréplicaobloquedel di­
señodeparcelassubdivididassedivide entrespartesllamadas parcelascompletas, y alosmétodos de
preparaciónselesllama tratamientosprincipalesodeparcelascompletas. Cadaparcelacompletase di­
videencuatropartesllamadas subparcelas(oparcelassubdivididas), yseasignaunatemperaturaacada
unadeellas.Alatemperaturaselellamael tratamientodelasubparcela. Observeque siestánpresentes
otrosfactoresnocontroladosofueradeldiseño,y
siestosfactoresnocontroladosvaríancuandolosmé­
todos
paraprepararlapulpasemodifican,entoncescualquierefectodelosfactoresfueradeldiseñoso­
brelarespuestaestarácompletamenteconfundido(omezclado)conelefectodelosmétodospara
prepararlapulpa.Puestoquelostratamientosdelasparcelascompletasde undiseñodeparcelassubdivi­
didasestánconfundidosconlasparcelascompletasylostratamientosdelassubparcelasnoestánconfun­
didos,esmejorasignarelfactorenelquehayamayorinterésalassubparcelas,deserposible.
Esteejemploesbastantetípicodelaforma
enqueseusanlosdiseñosdeparcelassubdivididas enun
ambienteindustrial.Observeque,
enesencia,losdosfactores"seaplicaron" entiemposdiferentes.Por
consiguiente,
undiseñodeparcelassubdivididaspuedeconsiderarsecomodosexperimentos"combina-
Tabla
13-14Elexperimentodelaresistenciaalatensióndelpapel
Réplica(o Réplica(o Réplica(o
Métododepreparación
bloque)1 bloque)2
bloque)3
delapulpa 1 2 3 1 2 3 1 2 3
Temperatura
(OP)
200 30 34 29 28 31 31 31 35 32
225
35 41 26 32 36 30 37 40 34
250 37 38 33 40 42 32 41 39 39
275 36 42 36 41 40 40 40 44 45

589. 13-4DISEÑO DEPARCELASSUBDMDIDAS 575
dos"osuperpuestosentre sí.Un"experimento"tieneelfactorparcelacompletaaplicadoalasunidades
experimentalesgrandes(oesunfactorcuyosnivelessondifícilesdecambiar)yelotro"experimento"tie­
neelfactorsubparcelaaplicadoalasunidadesexperimentalesmáspequeñas(oes
unfactorcuyosniveles
sonfácilesdecambiar).
El
modelolineal paraeldiseñodeparcelassubdivididases
Yijk=
p,+r¡+f3j+(rf3)ij+n+(rY)ik
{
i.::1,2,oo.,r
+(f3Y)jk+(rf3Y)ijk+8ijk ]-1,2,oo.,a
k=1,2,oo.,b
(13-15)
donde
r¡,f3jy(rf3)ijrepresentanlaparcelacompletaycorrespondenrespectivamentealosbloques(orépli­
cas),
alastratamientosprincipales (factorA)yalerrorde laparcelacompleta [réplicas(obloques)x A);
y
Yk>(rY)¡k'(f3Y)jky(rf3Y)ijkrepresentanlasubparcelaycorrespondenrespectivamentealtratamientodela
subparcela(factor
B),lasréplicas(obloques)x BylasinteraccionesAB,yal errordelasubparcela (blo­
quesx
AB).Observequeelerrordelaparcelacompletaes lainteracciónréplicas(obloques)x Ayque
elerrordelasubparcelaeslainteraccióndetresfactoresbloquesx
AB.Lassumasdecuadradosparaes­
tosfactoressecalculancomoenelanálisisdevarianzadetresfactoressinréplicas.
Loscuadradosmediosesperadosdeldiseñodeparcelassubdivididas,conlasréplicasobloquesalea­
toriosylostratamientosprincipalesylostratamientosdesubparcelasfijas,sederivanenlatabla13-15.
Observequeelfactorprincipal(A)de
laparcelacompletasepruebacontraelerrordelaparcelacomple­
ta,mientrasqueelsubtratamiento(B)sepruebacontralainteracciónréplicas(obloques)xsubtrata­
mientas.
LainteracciónABsepruebacontraelerrordelasubparcela.Observequenohaypruebas para
elefectode laréplica(obloque)(A)o lainteracciónréplica(obloque)xsubtratamiento(Ae).
Elanálisisdevarianzadelosdatosdelaresistenciaalatensiónde
latabla13-14seresume enlatabla
13-16.Puestoquetantolosmétodosdepreparacióncomolastemperaturassonfijosylasréplicasson
aleatorias,sonaplicablesloscuadradosmediosesperadosde
latabla13-15.Elcuadradomediodelos
métodosdepreparaciónsecomparaconelcuadradomediodelerrordelaparcelacompleta,yelcuadra-
Tabla
13-15Derivacióndelcuadradomedioesperadodeldiseño deparcelassubdivididas
r a b 1
R F F R
Factor j k h Cuadradomedioesperado
T¡ 1 a b 1 u
2
+abu
2
,rb:¿f3~
Parcelacompleta f3j r O b 1 u
2
+bu
2
+ }
,pa-1
(Tf3)ij 1 O b 1 u
2
+bu
2
,p
O 1
2 2 ra:¿Y~
Yk r a
u+autJ'+(b-1)
(TY)ik 1 a O 1 u
2
+au
2
Subparcela
(j3Y)jk O O 1
2?tJ'r:¿:¿(f3Y)~k
r u+u;py+(a-1)(b-1)
(Tf3Y)ijk 1 O O 1 u
2
+U;py
C(ijk)h 1 1 1 1 u
2
(noestimable)

590. 576 CAPÍTULO13DISEÑOSANIDADOSY DEPARCELASSUBDIVIDIDAS
Tabla13-16Análisisdevarianzadeldiseñodeparcelassubdivididasutilizando losdatosdelaresistenciaalatensión
delatabla13-14
Fuentede SumadeGradosdeCuadrado
variación cuadradoslibertadmedio
Fa ValorP
Réplicas(obloques) 77.55 2 38.78
Métododepreparación(A) 128.39 2 64.20 7.08 0.05
Errordelaparcelacompleta[réplicas(obloques) xA] 36.28 4 9.07
Temperatura(B) 434.08 3 144.6941.94<0.01
Réplicas(o bloques)xB 20.67 6 3.45
AB 75.17 6 12.53 2.96 0.05
Errordelasubparcela[réplicas(obloques) xAB] 50.83 12 4.24
Total 822.97 35
domediodelastemperaturassecomparaconelcuadradomedioderéplica(obloque)xtemperatura
(Ae).Porúltimo,elcuadradomediodelmétododepreparaciónxtemperaturasepruebacontraelerror
delasubparcela.Tantolosmétodosdepreparacióncomolatemperaturatienenunefectosignificativo
sobrelaresistencia.
Observe,porlatabla13-16,queelerrordelasubparcela(4.24)esmenorqueelerrordelaparcela
completa(9.07).Éste
escomúnmenteelcasoenlosdiseñosdeparcelassubdivididasporquelassubparce­
las
porlogeneralsonmáshomogéneasquelasparcelascompletas.Estodacomoresultado dosestlUcturas
diferentesdelen'ordelexperimento.Puestoquelacomparacióndelostratamientosdelassubparcelas se
haceconmayorprecisión, espreferible,deserposible,asignareltratamientoenelquehayamayorinte­
résalassubparcelas.
Algunosautoresproponenunmodeloestadísticountantodiferenteparaeldiseñodeparcelassubdi­
vididas,
{
i.:1,2,,r
J-1,2,,a
le=1,2,,b
(13-16)
Enestemodelo(rf3)ijsiguesiendoelerrordelaparcelacompleta,perolasinteraccionesbloquesx By
bloquesx ABenesenciasehanagrupadoconSijkparaformarelerrordelasubparcela. Silavarianzadel
términodelerrorSijkdelasubparcelasedenotapora;yseestablecenlosmismossupuestosqueparael
modelo(ecuación13-15),loscuadradosmediosesperadosquedancomo
Factor
Ti(réplicasobloques)
f3
i
(A)
(j3Yh(AB)
E(MS)
a;+aba;
rbL f3~
a2+ba2+ J
, rpa-1
a;+ba;p(errordelaparcelacompleta)
2raLy~
a,+ab-1
?I'LL (f3Y)~k
a;+(a-1)(b-1)
a;(errordelasubparcela)

591. ;1
13-4DISEÑODEPARCELASSUBDIVIDIDAS 577
Observeque ahoratantoel tratamientodelasubparcela(B)como lainteracciónABse pruebancontra
elcuadradomediodelerrordelasubparcela.Siel experimentadorseencuentrarazonablementecómo­
doconelsupuestodequelasinteraccionesréplicas(obloques)
XBYréplicas(obloques) xABsoninsig­
nificantes,entoncesestemodeloalternativoesdel
todosatisfactorio.
Eldiseñodeparcelassubdivididastiene unaherenciaagrícola: lasparcelascompletassonáreasex­
tensasdetierraylassubparcelassonáreasmáspequeñasdentrodelasextensas.Porejemplo,diversasva­
riedadesde
uncultivopodíansembrarse endiferentescampos(parcelascompletas), unavariedadpor
campo.Despuéscadacampopodíadividirseen, porejemplo,cuatrosubparcelas,ycadasubparcelapodía
tratarsecon
untipodiferentedefertilizante.Aquílasvariedadesdelcultivosonlostratamientosprinci­
palesylosdiferentesfertilizantessonlossubtratamientos.
Noobstantesubaseagrícola,eldiseñodeparcelassubdivididasesútil
enmuchosexperimentoscien­
tíficoseindustriales.
Enestosambientesexperimentales,esusual encontrarquealgunosfactoresrequie­
renunidadesexperimentalesgrandesmientrasqueotrosnecesitanpequeñas,como enelproblemade la
resistenciaa latensióndescritoantes. Demaneraalternativa, enocasionesseencuentraque laaleatoriza­
cióncompletanoesfactibledebidoaqueesmásdifícilcambiarlosnivelesdealgunosfactoresqueotros.
Losfactoresquesondifícilesdevariarformanlasparcelascompletasmientrasquelosfactoresqueson
fácilesdevariarsecorren
enlassubparcelas.
Enprincipioesnecesarioconsiderarconmuchaatención laformaenquedebellevarseacaboelex­
perimentoeincorporartodaslasrestriccionessobrelaaleatorización
enelanálisis.Este puntoseilustra
utilizando
unamodificacióndelexperimentodeltiempodelenfoquedelojodelcapítulo 6.Supongaque
sólohaydosfactores,
laagudezavisual(A)yelniveldeiluminación(B). Unexperimentofactorialcon a
nivelesdeagudeza, bnivelesdeiluminacióny nréplicasrequeriríaquelas abnobservacionessehicieran
de
maneraaleatoria.Sinembargo, enelaparatode pruebaesbastantedifícilajustarestosdosfactores en
diferentesniveles, porloqueelexperimentadordecide obtenerlasnréplicasajustandoeldispositivo
paraunadelasaagudezasvisualesyunodelos bnivelesdeiluminaciónycorrerlas nobservacionesde
unasolavez.Eneldiseñofactorial,elerrorrepresenta enrealidadladispersiónoruido enelsistemamás
lahabilidaddelsujeto parareproducirelmismotiempodeenfoque. Elmodeloparaeldiseñofactorial
podríaescribirsecomo
{
i
=1,2,,a
j=1,2,,b
k=1,2,,n
(13-17)
donde
r/Jijkrepresentaladispersiónoruido enelsistemaqueresultadel "errorexperimental"(esdecir,el
fracaso
paraduplicarexactamentelosmismosnivelesdeagudezaeiluminación endiferentescorridas,la
variabilidad
enlascondicionesambientales,yaspectosparecidos),y ()ijkrepresentael "errordereproduc­
tibilidad"delsujeto.Generalmenteestoscomponentessecombinan
enuntérminodelerrorglobal, por
ejemplo
E
ijk=r/Jijk+()ijk'SupongaqueV(Eijk)=el-=a~+a~.Ahorabien,eneldiseñofactorial,elcuadra­
domediodel
errortieneunvaloresperado
el-=a~+a~,conaben- 1)gradosdelibertad.
Silaaleatorizaciónserestringecomo enelsegundodiseñoanterior,entonceselcuadradomedio"del
error"delanálisisdevarianzaproporciona
unaestimacióndel "errordereproductibilidad"
a~con
aben-1)gradosdelibertad,peronoproduceinformaciónacercadel "errorexperimental"a~.Porlotan­
to,elcuadradomediodelerror
enestesegundodiseñoesmuypequeño; porconsiguiente,conmuchafre­
cuenciaserechazaráincorrectamentelahipótesisnula.Comoloseñaló
John[61d],estediseñoessimilar
aunodeparcelassubdivididascon
abparcelascompletas,cadaunodividido ennsubparcelas,yningún

592. 578 CAPÍTULO13DISEÑOSANIDADOSYDEPARCELASSUBDMDIDAS
(13-19)
subtratamiento.
Estasituacióntambiénessimilara unsubmuestreo,comolodescribeOstle[92].Supo­
niendoque
AyBsonfijos,loscuadradosmediosesperados enestecasoson
bnL'i;
E(MSA)=a~+na:+----'=--
'1'a-1
2 2 anL f3~
E(MSB)=aB+na",+b_1
2 2 nLL ('if3)~
E(MSAB)=aB+na",+ (b1)
(a-1)-
E(MSE)=a~ (13-18)
Porlotanto,nohaypruebas paralosefectosprincipalesamenosque lainteracciónseainsignificante. La
situaciónesexactamentelade unanálisisdevarianzadedosfactorescon unaobservaciónporcelda.Si
losdosfactoressonaleatorios,entonceslosefectosprincipales
puedenprobarsecontralainteracciónAB.
Sisólo
unodelosfactoresesaleatorio,entonceselfactorfijo puedeprobarsecontralainteracciónAB.
Engeneral,siseanaliza undiseñofactorialytodoslosefectosprincipalesylasinteraccionessonsig­
nificativos,entoncesdeberáexaminarseconatencióncómoserealizórealmenteelexperimento.Puede
haberrestriccionessobrelaaleatorización enelmodeloque nosetomaronencuenta enelanálisisy,por.
consiguiente,losdatosnodeberánanalizarsecomo unfactorial.
13..5OTRASVARIANTESDELDISEÑODEPARCELASSUBDIVIDIDAS
13..5.1Diseñodeparcelassubdivididas conmásdedosfactores
Enocasionesseencuentraquelaparcelacompletaolasubparcelacontendrándosomásfactores,dis­
puestos
enunaestructurafactorial.Como unejemplo,considere unexperimentoconducido
en-unhorno
parahacercrecer unóxidoenunaobleadesilicio.Lasvariables derespuestadeinteréssonelespesorde
lacapadeóxidoylauniformidaddelacapa.Haycuatrofactoresdeldiseño:latemperatura(A),elflujo
degas(B),el tiempo(C)ylaposicióndelaobleaenelhorno(D).
Elexperimentadorplaneacorrer undi­
señofactorial2
4
condosréplicas(32ensayos). Ahorabien,losfactores AyB(latemperaturayelflujode
gas)sondifícilesdecambiar,mientrasque
CyD(eltiempoylaposiciónde laoblea)sonfácilesdemodifi­
car.Estollevaaldiseñodeparcelassubdivididasquesemuestra
enlafigura13-7.Observequelasdosré­
plicasdelexperimentoestánsubdivididas
encuatroparcelascompletas,cada unadelascualescontiene
unacombinacióndelosajustesdelatemperaturayelflujodegas. Unavezqueseeligenestosniveles,
cadaparcelacompletasesubdivide
encuatrosubparcelas,yserealiza undiseñofactorial2
2
enlosfacto­
restiempoyposicióndelaoblea,dondelascombinacionesdetratamientosdelasubparcelaseprueban
enordenaleatorio.Únicamentesehacencuatrocambiosdela temperaturaydelflujodegas encadaré­
plica,mientrasquelosnivelesdeltiempoylaposiciónde
laobleaestáncompletamentealeatorizados.
Unmodeloparaesteexperimento,consistenteconlaecuación13-16,es
Yijklm=
p.+'i¡+f3j+Yk+(f3Y)jk+(}ijk+01+Am+(OA)lm
+(f3o)jl+(f3A)jm+(YO)kl+(OA)lm+(f3YO)jkl+(f3YA)jkm
1
i=l,2
j=1,2
k=1,2
1=1,2
m=1,2

593. Bloque1
13-5OTRASVARIANTESDELDISEÑODEPARCELAS SUBDMDIDAS 579
Bloque2
Parcela
completa
Subparcela
~u CJCJUCJUU CJ
!!!!!!!!
C:O:O:O:O:O:O"O:O
+- +- +- +...,+-+-+- +
D D D D D D D D
Figura13-7Diseñodeparcelassubdivididasconcuatrofactoresdeldiseño,dosenlaparcelacompleta ydos
enlasubparcela.
donde
7:¡representaelefectodelaréplica,{JjyYklosefectosprincipalesdelaparcelacompleta, eijkesel
errordelaparcelacompleta,0
1yA
mrepresentanlosefectosprincipalesde lasubparcelaysijklmeselerror
delasubparcela.Se
hanincluidotodaslasinteracciones entreloscuatrofactoresdeldiseño. Enlatabla
13-17se
presentaelanálisisdevarianzadeestediseño,suponiendoquelasréplicassonaleatorias yque
todoslosfactoresdeldiseñosonefectosfijos.
Enestatabla,
a;ya;representanlasvarianzasdeloserro­
res
delaparcelacompleta ydelasubparcela,respectivamente,
a;eslavarianzadelosefectos delosblo-
Tabla13-17Análisisabreviadode undiseñodeparcelassubdivididas conlosfactoresA yBenlasparcelascompletas
ylosfactoreseyDenlassubparcelas(referirsea lafigura13-7)
Fuentede Sumade Gradosde
variación cuadrados libertad Cuadradomedioesperado
Réplicas(1:;)
A(f3j)
B(Yk)
AB
Errordelaparcelacompleta (eijk)
C(o[)
D(..1.
m
)
CD
AC
BC
AD
BD
ABC
ABD
ACD
BCD
ABCD
Errordelasubparcela
(C¡jk/m)
Total
SSRépliCll5
SSA
SSB
SSAB
SSwp
SSc
SSD
SSCD
SSAC
SSBC
SSAD
SSBD
SSABC
SSABD
SSACD
SSBCD
SSABCD
SSsP
SST
1
1
1
1
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
12
31
a;+I&r,
a;+8a~+A
a;+8a~+B
a;+8a~+AB
a;+8a~
a;+C
a;+D
a;+CD
a;+AC
a;+BC
a;+AD
a;+BD
a;+ABC
a;+ABD
a;+ACD
a;+BCD
a;+ABCD
a
2
E

594. 580 CAPÍTULO13DISEÑOSANIDADOSY DEPARCELASSUBDIVIDIDAS
ques,y(parasimplificar)sehanusadoletrasmayúsculaslatinasparadenotarlosefectosdetipofijo. Los
efectosprincipalesylainteraccióndelaparcelacompletasepruebancontraelerrordelaparcelacom­
pleta,mientrasquelosfactoresdelasubparcelaytodaslasdemásinteracciones
sepruebancontrael
errordelasubparcela.
Sialgunosdelosfactoresdeldiseñosonaleatorios,losestadísticosdeprueba se­
rándiferentes.Enalgunoscasosnohabráningunaprueba Fexactaydeberáusarseelprocedimientode
Satterthwaite(descritoenelcapítulo12).
Losexperimentosfactorialescontresomásfactores
enunaestructuradeparcelassubdivididastien­
denaserexperimentosbastantegrandes.Porotraparte,laestructuradeparcelassubdivididasconfre­
cuenciafacilitalarealizacióndeunexperimentogrande.Porejemplo,enelcasodelhornodeoxidación,
losexperimentadoressólotienenquecambiarochoveceslosfactoresquesondifícilesdemodificar
(Ay
B),porloquequizáunexperimentode 32corridasnoseademasiadoilógico.Esposiblereducirelnúme­
rodecorridasutilizando
unfactorialfraccionado paralosfactoresdeldiseñodeinterés.
13,5.2Diseñodeparcelascondoblesubdivisión
Elconceptodediseñosdeparcelassubdivididaspuedeextenderseasituacionesenlasquepuedenocurrir
restriccionessobrelaaleatorizaciónencualquiernúmerodenivelesdentrodelexperimento.
Sihaydos
nivelesderestriccionessobrelaaleatorización,
alarregloselellama diseñodeparcelascondoblesubdi­
visión.
Enelejemplosiguienteseilustraestediseño.
EJEMPLO
13,3 .
Uninvestigadorestudialostiemposdeabsorcióndeuntipoparticulardecápsuladeantibiótico.Haytres
técnicos,tresconcentracionesdeladosisycuatro espesoresdelapareddelacápsula.Cadaréplicadeun
experimentofactorialrequeriría
36observaciones.Elexperimentadorsehadecididoporcuatroréplicas,
yesnecesariocorrercadaréplicaenundíadiferente.Observequelosdíaspuedenconsiderarsecomo
bloques.Dentrode
unaréplica(ounbloque)(día),elexperimentoserealizaasignandounaunidad·de
antibióticoauntécnicoquellevaacaboelexperimentoconlastresconcentracionesdeladosisyloscua­
troespesoresdelapared.
Unavezquesehaformuladounaconcentraciónparticulardeladosis,seprue­
banloscuatroespesoresdelaparedconesaconcentración.Despuésseseleccionaotraconcentraciónde
ladosisysepruebanloscuatroespesoresdelapared.Porúltimosepruebalaterceraconcentracióndela
dosisyloscuatroespesoresdelapared.Mientrastanto,otrosdostécnicosdellaboratoriotambiénsiguen
elmismoplan,empezandocadaunoconunaunidaddeantibiótico.
Observequehay
dosrestriccionessobrelaaleatorizacióndentrodecadaréplica(obloque):eltécni­
coylaconcentracióndeladosis.Las parcelascompletascorresponden
altécnico.Elordenenqueseasig­
nanlostécnicosalasunidadesdeantibióticosedeterminaaleatoriamente.Lasconcentracionesdela
dosisformantressubparcelas.Laconcentracióndeladosispuedeasignarsealeatoriamenteaunasubpar­
cela.Porúltimo,dentrodeunaconcentraciónparticulardeladosissepruebanloscuatroespesoresdela
pareddelacápsulademaneraaleatoria,formandocuatrosub-subparcelas.Alosespesoresdelapared
suelellamárselessub-subtratamientos.Puestoquehay
dosrestriccionessobrelaaleatorizaciónenel ex­
perimento(algunosautoresdicenquehaydos"divisiones"eneldiseño),aldiseñoselellamadiseñode
parcelascondoblesubdivisión.
Enlafigura13-8seilustranlasrestriccionessobrelaaleatorizaciónyel
arregloexperimentaldeestediseño.

595. 13-5OTRASVARIANTESDELDISEÑODEPARCELASSUBDIVIDIDAS 581
2
3
4
Espesordelapared
1
Orden
aleatorio
Segunda
restricción
sobre
la
aleatorización
Antibiótico
asignadoa
untécnico
Primera
restricción
sobrela
aleatorización
Técnico
2 3
Concentración
2 3 2 3 2 3
Bloques de ladosis
1 1 1 1 1 1 1 1 1
Espesorde
2 2 2 2 2 2 2 2 2
lapared
3 3 3 3 3 3 3 3 3
4 4 4 4 4 4 4 4 4
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2
Espesorde 2 2 2 2 2 2 2 2 2
lapared
3 3 3 3 3 3 3 3 3
4 4 4 4 4 4 4 4 4
1 1 1 1 1 1 1 1 1
3
Espesorde 2 2 2 2 2 2 2 2 2
lapared
3 3 3 3 3 3 3 3 3
4 4 4 4 4 4 4 4 4
1 1 1 1 1 1 1 1 1
4
Espesorde
2 2 2 2 2 2 2 2 2
lapared
3 3 3 3 3 3 3 3 3
4 4 4 4 4 4 4 4 4
Figura13-8Diseñodeparcelascondoblesubdivisión.
Unmodeloestadísticolineal paraeldiseñode parcelascondoblesubdivisiónes
Y¡jldl=
f-t+7:¡+{3j+(7:{3)ij+Yk+(7:Y)¡k+({3?/)jk+(7:{3?/)¡jk
+Olz+(7:0)¡1z+({30)]11
+(7:{30)ijlz+(YO)kll+(7:YO)¡kll+({3YO)jklz
{
i
=1,2,,r
(f3
o) j=1,2,,a
+7:yijkJ¡+cijklzle:l,2,,b
h-l,2,,e
(13-20)
donde
7:¡,{3jY(7:{3hrepresentanlaparcelacompletaycorrespondenalasréplicasobloques,alos trata­
mientosprincipales(factorA)yalerrordelaparcelacompleta[réplicas(o bloques)xA)],respectiva-

596. 582 CAPÍTULO13DISEÑOSANIDADOSYDEPARCELASSUBDNIDIDAS
mente;yYb('¡;Y)ib(j3Y)jky(rf3Y)¡jkrepresentanlasubparcela ycorrespondenaltratamientodela
subparcela(factor
B),lasinteraccionesderéplicas(obloques)x ByAB,Yalerrordelasubparcela,res­
pectivamente;
y
o"ylosparámetrosrestantescorrespondenalasub-subparcela yrepresentan,respectiva­
mente,
altratamientodelasub-subparcela(factorC) yalasinteraccionesrestantes.Alainteracciónde
cuatrofactores
(rf3yO)¡jk"selellamaelerrordelasub-subparcela.
Suponiendoquelasréplicas(bloques)sonaleatorias
yquelosdemásfactoresdeldiseñoson fijos,
puedenderivarseloscuadradosmediosesperadoscomosemuestraenlatabla13-18.Laspruebasdelos
tratamientosprincipales,lossubtratamientos,lossub-subtratamientos
ysusinteraccionessonobvias al
inspeccionarestatabla.Observequenoexistenpruebas paralasréplicasobloquesniparalasinteraccio­
nesenlasqueintervienenréplicasobloques.
Elanálisisestadísticode
undiseñodeparcelascondoblesubdivisiónescomoel
deunasolaréplicade
unfactorialdecuatrofactores.Elnúmerodegradosdelibertaddecadapruebasedeterminadelamane­
rausual.Parailustrar,enelejemplo13-3,dondesemanejaroncuatroréplicas,trestécnicos,tresconcen­
tracionesdeladosis
ycuatroespesoresdelapared,setendríansólo (r-l)(a-1)=(4-1)(3-1)=6
gradosdelibertaddelerrordelaparcelacompletaparaprobaralostécnicos.Setratadeunnúmerorela­
tivamentepequeñodegradosdelibertad,
yelexperimentadorpodríaconsiderarelusoderéplicasadicio-
Tabla
13-18Derivacióndelcuadradomedioesperadoparaeldiseñodeparcelascondoblesubdivisión
r a b c 1
R F F F R
Factor j k h lCuadradomedioesperado
Ti 1 a b c 1 a
2
+abcda
2
;bcL{J2
Parcelacompleta {Jj r O b c 1 a
2
+a
2
+ }
TP(a-1)
(T{J)ij 1 O b c 1 a
2
+bca
2
TP
racL Y~
Yk r a O c 1 a
2
+aca
2
+
'1'(b-1)
(ry)ik 1 a O c 1 a
2
+aca
2
Subparcela
22'1'rCLL ({JY)~h
(j3Y)jk r O O c 1
a+ca
Tpy+(a-1)(b-1)
(T{JY)ijk 1 O O
c
1 a
2
+
ca;py
rabL o~
o"
r a b O 1a
2
+aba
2
+
Td(c-1)
(TO)i1. 1 a b O 1a
2
+aba;d
(j30)jh O b O 1
2 ?rbLL ({JO)~h
r
a+ba;Pd+(a-1)(c-1)
(T{JO)ijh 1 O b O 1a
2
+ba;Pd
Sub-subparcela
(yo)k1' O O 1
? ?raLL(1'0)1.
r a
a-+aa;;'d+(b-1)(c-1)
(r'l'o)¡k1.1 a O O 1a
2
+aa~d
(j3yo)jkl. O O O 1
? ? rLLL (j3YO)~k
r
a-+a;pyd+(b-1)(c-1)
(T{JyO)ijkl.1 O O O 1a
2
+a;pYd
é/(ijkh) 1 1 1 1 1 a
2
(noestimable)

597. rJ
13-5OTRASVARIANTESDELDISEÑO DEPARCELASSUBDNIDIDAS 583
Parcelascompletasf
A
3
A, Az
B,A~, A,B, A~,
A~3 A,B3 A~3
A~z A,Bz A~z
Parcelas
enfranjas
~
Figura13-9 Unaréplica(bloque)deun di­
señodeparcelassubdivididasenfranjas.
nalesparaincrementarlaprecisióndelaprueba. Sihayaréplicas,setendrán 2(r-1)gradosdelibertad
paraelerrordelaparcelacompleta.Porlotanto,cincoréplicasproducirán2(5
-1)=8gradosdeliber­
tad,seisréplicasproducü:án
2(6
-1)=10gradosdelibertad,sieteréplicasproducirán 2(7-1)=12gra­
dosdelibertad,etcétera.
Porconsiguiente,esprobablequeelexperimentadornoquieracorrermenosde
cuatroréplicas,yaqueseproduciríanasísólocuatrogradosdelibertad.Cadaréplicaadicionalpermite
ganardosgradosdelibertadparaelerror.
Sisecuentacon recursos paracorrercincoréplicas,lapreci­
sióndelapruebapodríaincrementarseenuntercio(deseisaochogradosdelibertad).Además,
alpasar
decincoaseisréplicas,hay25%degananciaadicionalenlaprecisión.
Silosrecursoslopermiten,elexpe­
rimentadordeberácorrercincooseisréplicas.
13~5.3 Diseñodeparcelassubdivididas enfranjas
Eldiseñodeparcelassubdivididasenfranjas
hatenidounaampliaaplicaciónenlascienciasagrícolas,
perosóloocasionalmenteencuentraunusoenlaexperimentaciónindustrial.
Enelcasomássimple,se
tienendosfactores
AyB.ElfactorAseaplicaalasparcelascompletascomoeneldiseñodeparcelassub­
divididasestándar.Despuéselfactor
Bseaplicaafranjas(quesonenrealidadsólootroconjuntodepar-
Tabla
13-19Análisisdevarianzaabreviadode undiseñodeparcelassubdivididas enfranjas
Fuentede Sumade Gradosde
variación cuadrados libertad
Réplicas(obloques)
SSRéplicas r-1
A SSA
a-1
ErrarAdelaparcelacompleta SSwP
A
(r-1)(a-1)
B SSBb-1
Errar
Bdelaparcelacompleta SSwP
B
(r-1)(b-1)
AB SSAB (a-1)(b-1)
Errardelasubparcela SSsP (r-1)(a-l)(b-1)
Total SST rab-1
Cuadradomedioesperado
a;+aba;
?rLL (rf3)~k
a;+(a-1)(b-1)

598. 584 CAPÍTULO13DISEÑOSANIDADOSYDEPARCELASSUBDIVIDIDAS
celascompletas)quesonortogonalesalasparcelascompletasoriginales utilizadas paraelfactorA.Enla
figura13-9seilustraunasituaciónenlaquelosdosfactores
AyBtienentresniveles.Observequelos ni­
velesdelfactor Aestánconfundidos(omezclados)conlasparcelascompletas,yquelosnivelesdelfactor
Bestánconfundidosconlasfranjas(lascualespuedenconsiderarsecomoun segundoconjuntodeparce­
lascompletas).
Unmodeloparaeldiseñodeparcelassubdivididas enfranjasdelafigura13-9,suponiendo yréplicas,
anivelesdelfactor Aybnivelesdelfactor B,es
{
i.::1,2,.oo,r
J-1,2,,a
k=1,2,,b
donde(rf3)ijy('íY)iksonloserroresdelaparcelacompletadelosfactores AyB,respectivamente,yBijkesel
error
"delasubparcela"usado paraprobarlainteracciónAB. Enlatabla13-19semuestraunanálisisde
varianzaabreviado,suponiendo
queAyBsonfactoresfijosyquelasréplicassonaleatorias. Enocasiones
lasréplicasse
~onsideran comobloques.
13,6PROBLEMAS
13-1.Elfabricantede lacargapropulsorade unaturbinaestá estudiandolarapidezdecombustióndelpropulsor
obtenidodetresprocesosdeproducción.Seseleccionanalazarcuatrolotesdelpropulsordelasalidade
cadaproceso
ysehacentresdeterminacionesdelarapidezdecombustióndecadalote.Losresultadosse
presentanacontinuación.Analizarlosdatos
ysacarconclusiones
..
Proceso1 Proceso2 Proceso3
Lote 1 2 3 4 1 2 3 4 1
2 3 4
25 19 15 15 19 23 18 35 14 35 38 25
30 28 17 16 17 24 21 27 15 21 54 29
26 20 14 13 14 21 17 25 20 24 50 33
13-2.Seestudiaelacabadosuperficialdepiezasmetálicasfabricadasencuatromáquinas.Seconduce unexperi­
mento
enelquecadamáquinaesoperada portresoperadoresdiferentes ysecolectanypruebandosejem­
plaresdecadaoperador.Debidoalaubicacióndelasmáquinas,seusanoperadoresdiferentesencada
máquina,
ylosoperadoresseeligenalazar.Losdatossemuestranen latablasiguiente.Analizarlosdatos y
sacarconclusiones.
Operador
Máquina1
1 2 3
79 94 46
62 74 57
Máquina2
123
92 85 76
99 79 68
Máquina3
123
88 53 46
75 56 57
Máquina4
123
36 40 62
53 56 47
13-3.Uningenierodemanufacturaestá estudiandolavariabilidaddimensionalde uncomponenteparticularque
seproduceentresmáquinas.Cadamáquinatienedosmandriles,
yseseleccionanalazarcuatrocomponen­
tesdecadamandril.Losresultadossepresentanacontinuación.Analizarlosdatos,suponiendoquelasmá­
quinas
ylosmandrilessonfactoresfijos.

599. Mandril
Máquina1 1 2
12 8
9 9
11 10
12 8
Máquina2
1 2
14 12
15 10
13 11
14 13
13-6PROBLEMAS 585
Máquina3
1 2
14 16
10 15
12 15
11
14
13-4.Parasimplificarlaprogramacióndelaproducción,uningenieroindustrialestáestudiandolaposibilidadde
asignaruntiempoestándaraunaclaseparticulardetareas,conlacreenciadequelasdiferenciasentrelasta­
reassoninsignificantes.Paraver
siestasimplificaciónesposible,seseleccionanseistareasalazar.Cada
ta­
reaseencargaaungrupodiferentedetresoperadores.Cada operadorcompletadosveces latareaen
momentosdiferentesdurantelasemana, yseobtienenlosresultadossiguientes.¿Quéconclusiones pueden
sacarseacercadelusodeltiempoestándarcomún paratodaslastareasdeestaclase? ¿Quévalorseusaría
paraelestándar?
Threa
1
2
3
4
5
6
Operador1
158.3 159.4
154.6 154.9
162.5 162.6
160.0 158.7
156.3 158.1
163.7 161.0
Operador2
159.2 159.6
157.7 156.8
161.0 158.9
157.5 158.9
158.3 156.9
162.3 160.3
Operador3
158.9 157.8
154.8 156.3
160.5 159.5
161.1 158.5
157.7 156.9
162.6 161.8
13-5.Considereeldiseñoanidadodetresetapasquesemuestraenlafigura13-5
parainvestigarladurezade una
aleación.Utilizandolosdatosque sepresentanacontinuación,analizareldiseño,suponiendo quelaquími­
cade
laaleaciónylashornadassonfactoresfijos yqueloslingotessonaleatorios. Usarlaformarestringida
delmodelomixto.
Químicadelaaleación
Hornadas 1 2
1 2 3 1 2 3
Lingotes 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
40 27 95 69 65 78 22 23 83 75 61 35
63 30 67 47 54 45 10 39 62 64 77 42
13-6.Analizarnuevamenteelexperimentodelproblema
13-5utilizandolaformanorestringidadel modelomixto.
Comentarlasdiferenciasqueseobservanentrelosresultadosdelmodelorestringido
yelnorestringido.
Puedeusarseunpaquetedesoftwaredecomputadora.
13-7.Derivarloscuadradosmediosesperadosparaeldiseñoanidadobalanceadodetresetapas,
suponiendoque
AesfijoyqueBy esonaleatorios.Obtenerlasfórmulasparaestimarloscomponentesde lavarianza.Supo­
nerlaformarestringidadelmodelomixto.
13-8.Repetirelproblema13-7suponiendolaformanorestringidadelmodelomixto.
Puedeusarseunpaquetede
softwaredecomputadora parahacerlo.Comentarlasdiferencias entreelanálisisylasconclusionesdelmo­
delorestringido
yelnorestringido.
13-9.Derivarloscuadradosmediosesperadosparaeldiseñoanidadobalanceadodetresetapas
silostresfactores
sonaleatorios.Obtenerlasfórmulasparaestimarloscomponentesde
lavarianza.

600. 586 CAPÍTULO13DISEÑOSANIDADOSY DEPARCELASSUBDMDIDAS
13-10.Verificarloscuadradosmediosesperadosquesedan enlatabla13-lo
13-11.Diseñosanidadosnobalanceados. Considereundiseñoanidadodedosetapasnobalanceadocon b¡nivelesde
Bbajoelniveli-ésimode Aynijréplicasenlaceldaij-ésima.
a)Anotarlasecuacionesnormalesdemínimoscuadrados paraestasituación.Resolverlasecuacionesnor­
males.
b)Construirlatabladelanálisisdevarianza paraeldiseñoanidadonobalanceadodedosetapas.
e)Analizarlosdatossiguientes,utilizandolosresultadosdelincisob.
Factor
A 1 2
Factor
B 1 2 1 2 3
6 -3 5 2 1
4 1 7 4 O
8 9 3 -3
6
13-12.Componentes
delavarianzaeneldiseñoanidadonobalanceado dedosetapas.Considereelmodelo
{
i
=1,2,,a
j=1,2,,b
.k=1,2,,l1ij
dondeAYBsonfactoresaleatorios. Demostrarque
donde
N-
t(~niIn,1
e=----'-------------'--
o b-a
t(~n,;tn,)- t~niIN
e=---'--------'-------
1 a-1
a
N-2: 11~
l.
;=1
e=
N
2
a-1
13-13.Uningenierodeprocesosestáprobandoelrendilnientode unproductomanufacturado entresmáquinas.
Cadamáquinapuedeoperarsecondosajustesdelapotencia.Además, unamáquinatienetresestaciones en
lasquesefabricaelproducto.Seconduce unexperimentoenelquecadamáquinase pruebaconambosajus­
tesde
lapotencia,ysetomantresobservacionesdelrendimientodecadaestación.Lascorridassehacen en
ordenaleatorio,ylosresultadossepresentanacontinuación.Analizaresteexperimento,suponiendoquelos
tresfactoressonfijos.

601. rl
13-6PROBLEMAS 587
Máquina1 Máquina2 Máquina3
Estación 1 2 3 1 2 3 1 2 3
34.133.736.2 31.133.1 32.8 32.933.833.6
Ajustedelapotencia1
30.334.9 36.8 33.534.735.1 33.033.432.8
31.6
35.037.1 34.033.9 34.3 33.1 32.831.7
24.328.1 25.7 24.1 24.1 26.0 24.223.2 24.7
Ajustedelapotencia2 26.3 29.3 26.1 25.025.127.1 26.1 27.422.0
27.128.624.9 26.3 27.9 23.9 25.328.024.8
13-14.Supongaqueenelproblema13-13podríanemplearse
ungrannúmerodeajustesdelapotencia yquelosdos
queseseleccionaronparaelexperimentoseescogieron
alazar.Obtenerloscuadradosmediosesperadospara
estasituaciónsuponiendolaformarestringidadelmodelomixto
yhacerlasmodificacionesapropiadas al
análisisanterior.
13-15.Analizarnuevamenteelexperimentodelproblema13-14suponiendolaformanorestringidadelmodelo
mixto.Puedeusarse
unpaquetedesoftwaredecomputadora parahacerlo.Comentarlasdiferenciasentreel
análisis
ylasconclusionesdelmodelorestringido yelnorestringido.
13-16.
Uningenierodeestructurasestáestudiandolaresistenciade unaaleacióndealuminioadquiridadetresfa­
bricantes.Cadafabricanteentregalaaleación
enbarrasdetamañoestándarde1.0, 1.5o2.0pulgadas.El
procesamientodelosdiferentestamañosdelasbarrasapartirde
unlingotecomúnimplicatécnicasdiferen­
tesdeforjado,porloqueestefactorpuedeserimportante.Además,lasbarrasseforjandelingotesfabrica­
dosenhornadasdiferentes.Cadafabricanteentregadosejemplaresdepruebadecadatamañodelasbarras
detreshornadas.Losdatosdelaresistenciaresultantessepresentanacontinuación.Analizarlosdatos,su­
poniendoquelosfabricantes
yeltamañodelasbarrassonfijos ylashornadassonaleatorias.Usarlaforma
restringidadelmodelomixto.
Fabricante1 Fabricante2 Fabricante3
Hornada 1 2 3 1 2 3 1 2 3
Tamañodelabarra:1pulgada 1.2301.3461.2351.3011.3461.3151.2471.2751.324
1.2591.4001.2061.2631.3921.3201.2961.2681.315
1
tpulgadas1.316 1.3291.2501.274 1.3841.3461.2731.2601.392
1.3001.3621.239 1.2681.375 1.3571.2641.2651.364
2pulgadas1.2871.3461.2731.2471.3621.3361.3011.280 1.319
1.2921.3821.215 1.2151.3281.3421.2621.2711.323
13-17.Resolverdenuevoelproblema13-16utilizandolaformanorestringidadelmodelomixto.Puedeusarse
un
paquetedesoftwaredecomputadoraparahacerlo.Comentarcualquierdiferenciaentreelanálisis ylascon­
clusionesdelmodelorestringido
yelnorestringido.
13-18.Supongaqueenelproblema13-16lasbarraspuedenadquirirse
enmuchostamaños yquelostrestamaños
querealmenteseutilizaronenelexperimentofueronseleccionados
alazar.Obtenerloscuadradosmedios
esperados
paraestasituaciónyhacerlasmodificacionesapropiadas alanálisisanterior.Usarlaformares­
tringidadelmodelomixto.
13-19.
Lanormalizacióndelacerosehacecalentándoloarribadelatemperaturacrítica,recalentándolo ydespués
enfriándolo conaire.Esteprocesoincrementalaresistenciadelacero,refinaelgrano
yhomogeneizalaes­
tructura.Sellevaacabo
unexperimentoparadeterminarelefectodelatemperatura ydeladuracióndel
tratamientotérmicosobrelaresistenciadelaceronormalizado.Seseleccionandostemperaturas
ytresdura-

602. 588 CAPÍTULO13DISEÑOSANIDADOSY DEPARCELASSUBDNIDIDAS
ciones.Elexperimentoserealizacalentandoelhornoa unatemperaturaseleccionadaaleatoriamenteein­
sertandotresejemplaresdeprueba.Despuésde
10minutosseretiraunodeellos,despuésde 20minutosse
retiraunsegundoejemplar ydespuésde 30minutosseretiraelúltimo.Entoncessecorrelatemperatura al
otronivelyserepiteelproceso. Serequierencuatrocorrimientos pararecabarlosdatos,loscualessemues­
tranabajo.Analizarlosdatos
ysacarconclusiones,suponiendoqueambosfactoressonfijos.
Temperatura,°F
CorrimientoTiempo,minutos1500
1600
10 63 89
1 20 54 91
30 61 62
10 50 80
2 20 52 72
30 59 69
10 48 73
3 20 74 81
30 71 69
10 54 88
4 20 48 92
30 59 64
13-20.Sediseñaunexperimentoparaestudiarladispersióndelospigmentosdeunapintura.Seestudiancuatro
mezclasdiferentesdeunpigmentoparticular.Elprocedimientoconsisteenprepararunamezclaparticular
y
enaplicarladespuésaunpanelutilizandotresmétodos(conbrocha,porrocío yconrodillo).Larespuesta
medidaeselporcentajedereflectancia(coeficientedereflexión)delpigmento.Senecesitantresdíaspara
correrelexperimento,
ylosdatosobtenidossepresentanacontinuación.Analizarlosdatos ysacarconclu­
siones,suponiendoquelasmezclas
ylosmétodosdeaplicaciónsonfijos.
Métodode
Mezcla
Día aplicación 1 2 3 4
1
64.5 66.3 74.1 66.5
1 2 68.3 69.5 73.8 70.0
3
70.3 73.1 78.0 72.3
1 65.2 65.0 73.8 64.8
2 2 69.2 70.3 74.5 68.3
3 71.2 72.8 79.1 71.5
1 66.2 66.5 72.3 67.7
3 2 69.0 69.0 75.4 68.6
3 70.8 74.2 80.1 72.4
13-21.Repetirelproblema13-20,suponiendoquelasmezclassonaleatorias
yquelosmétodosdeaplicaciónson fi­
jos.
13-22.Considereeldiseñodeparcelascondoblesubdivisióndelejemplo13-3.Supongaqueesteexperimento
se
conducecomosedescribe yqueseobtienenlosdatosquesemuestranenlasiguientetabla.Analizarlosda­
tos
ysacarconclusiones.

603. ¡}
13-6PROBLEMAS 589
Técnico
Réplicas Concentración
1 2 3
(obloques) delasdosis 1 2 3 1 2 3 1 2 3
Espesordelapared
1
9571 108 9670108 95 70 100
1 2 104
82 115 9984100 102 81 106
3
10185 117 9583105 105 84 113
4 10885 116 9785109 107 87 115
1 9578110 100 72104 92 69 101
2 2 10684109 10179102 100 76 104
3
10386116 9980108 101 80 109
4
10984110 112 86109 108 86 113
1 9670107 9466100 90 73 98
3 2 10581106 100 84101 97 75 100
3
10688112 104 87109 100 82 104
4
11390117 12190117 110 91 112
1
9068109 9868106 98 72 101
4 2 10084112 102 81103 102 78 105
3 102 85115 10085110 105 80 110
4 114
88118 118 85116 110 95 120
13-23.Resolvernuevamenteelproblema13-22,suponiendoquelostécnicosseeligenalazar.Usarlaformarestrin-
gidadelmodelomixto.
13-24.Supongaque
enelproblema13-22seusaroncuatrotécnicos.Suponiendoquetodoslosfactoressonfijos,
¿cuántosbloquesdeberáncorrerseparaobtener
unnúmeroadecuadodegradosdelibertadparaprobarlas
diferenciasentrelostécnicos?
13-25.Considereelexperimentoquesedescribeenelejemplo13-3.Demostrarcómosedeterminaríaelordenen
quesecorrenlacombinacionesdetratamientos
siesteexperimentoserealizaracomoa) unaparcelacondo-
blesubdivisión,b)unaparcelasubdividida,c)
undiseñofactorialen unbloquealeatorizado yd)undiseño
factorialcompletamentealeatorizado.

604. Otrostópicos
dediseño
y
análisis
Eltemadelosexperimentosdiseñadosestadísticamenteesmuyamplio. Enloscapítulospreviosseha
ofrecido
unapresentaciónintroductoriademuchosdelosconceptosymétodosbásicos,aunqueenalgu­
noscasossólose
hapodidopresentar unpanoramageneral. Porejemplo,hayexposicionesqueocupanun
librosobretópicos,comolametodologíadesuperficiesderespuesta,losexperimentosconmezclas,laes­
timacióndeloscomponentesdelavarianzaylosdiseñosóptimos.
Enestecapítulosepresenta unpanora­
mageneraldevariostópicosmásqueelexperimentadorpuedeencontrarpotencialmenteútiles.
14,1RESPUESTASYTRANSFORMACIONES NONORMALES
14,1.1Seleccióndeunatransformación:elmétododeBox,Cox
Enlasección3-4.3seestudióelproblemade unavarianzanoconstantedelavariablederespuestayen
unexperimentodiseñado,yseseñalóquese tratadeunadesviacióndelossupuestosdelanálisisdeva­
rianzaestándar.
Esteproblemadeladesigualdaddelavarianzaocurreconrelativafrecuencia enla
práctica,muchasveces
enconjuncióncon unavariablederespuesta nonormal.Algunosejemplosin­
cluiríanelconteodedefectosopartículas,losdatosdeproporciones,comoelrendimientoolapropor­
cióndeproductosdefectuosos,o
unavariablede respuestaquesiguealgunadistribuciónsesgada(una
"cola"deladistribucióndelarespuestaesmáslargaquelaotra).Seintrodujolatransformacióndela
variablede
respuestacomounmétodoapropiado paraestabilizarlavarianzadelarespuesta.Serevisa­
rondosmétodos paraseleccionarlaformadelatransformación, unatécnicagráficaempíricay unpro­
cedimientoesencialmentedeensayoy
errorenelqueelexperimentadorsimplemente intentaunao
mástransformaciones,yseleccionalaqueproducelagráficamásagradableosatisfactoriadelosresidua­
lescontralarespuestaajustada.
Engeneral,lastransformacionesseusan paratrespropósitos:estabilizarlavarianzadelarespuesta,
hacerqueladistribucióndelavariablederespuestaestémáscercadeladistribuciónnormalymejorarel
ajustedelmodeloalosdatos.Esteúltimoobjetivopodríaincluirlasimplificacióndelmodelo,
porejem-
590

605. 14-1RESPUESTAS yTRANSFORMACIONES NONORMALES 591
plo,eliminandotérminosdeinteracción. Enocasiones,unatransformaciónserárazonablementeeficaz
paraconseguirdemanerasimultáneamásdeunodeestosobjetivos.
Se
haseñaladoyaquelafamiliadepotenciasdelastransformacionesy* =
¡esmuyútil,dondeAesel
parámetrodelatransformaciónquehabrádedeterminarse(porejemploA=tsignificausarlaraízcua­
dradadelarespuestaoriginal).BoxyCox [15]hanindicadocómopuedeestimarseelparámetrodela
transformaciónAalmismotiempoquelosdemásparámetrosdelmodelo(lamediaglobalylosefectosde
lostratamientos).
Lateoríafundamentalensuprocedimientoutilizaelmétododemáximaverosimilitud.
Elprocedimientodecálculorealconsiste enefectuar,paravariosvaloresde
A,elanálisisdevarianzaes­
tándarde
j
l-1AO
y(A)=A)/-1 :¡t:.
jiInyA=O
(14-1)
dondey=ln-
1
[(1/n)Llny]eslamediageométricadelasobservaciones. Laestimacióndemáximaverosi­
militudddeselvalorparaelquelasumadecuadradosdelerror, porejemploSSE(A),esunmínimo.Este
valordeAseencuentrageneralmenteconstruyendo unagráficade SSE(A)contraAyleyendodespués enla
gráficaelvalor
de
AqueminimizaSSE(A).Engeneral,sonsuficientesentre10y 20valoresdeAparaesti­
marelvaloróptimo. SisenecesitaunaestimaciónmásprecisadeA,podríarealizarse unasegundaitera­
ciónutilizando
unnúmeromayordevalores.
Observeque
noesposibleseleccionarelvalor de
Acomparandodirectamentelassumasdecuadrados
del
errorobtenidasenlosanálisisdevarianzade
yA,yaqueparacadavalordeAlasumadecuadradosdel
errorsemideenunaescaladiferente.Además,surge unproblemacon ycuandoA=O;asaber,cuandoA
tiendeacero,¡tiendealaunidad.Esdecir,cuandoA=O,todoslosvalores delarespuestason unacons­
tante.
Elcomponente
(i-1)/Adelaecuación14-1aliviaesteproblema porquecuandoAtiendeacero,(y"
- 1)/Atiendea unlímitedeIny.Elcomponentedeldivisor)/- 1delaecuación14-1reescalalasrespues­
tas
paraquelassumas decuadradosdelerrorseancomparablesdirectamente.
AlutilizarelmétododeBox-Cox,serecomiendaqueelexperimentadoruseeleccionessimplesde
A,
yaqueesprobablequeladiferenciaprácticaentreA=0.5yA=0.58seapequeña,perolatransformación
delaraízcuadrada(A=0.5)esmuchomásfácildeinterpretar.Obviamente,losvaloresdeApróximosala
unidadsugeriríanquenoesnecesarianingunatransformación.
Unavezquese haseleccionadounvalorde
AporelmétododeBox-Cox,elexperimentadorpuede
analizarlosdatosutilizando¡comolarespuesta,amenosdesdeluegoqueA=O,encuyocasoseusa Iny.
Esperfectamenteaceptableutilizary(A)comolarespuestareal,auncuandolasestimacionesdelospará­
metrosdelmodelo
tendránunadiferenciadeescalay uncorrimientodelorigen encomparaciónconlos
resultadosobtenidoscuandoseusa
¡(oIny).
Esposibleencontrarunintervalodeconfianzaaproximadode100(1- a)porcientoparaAcalcu­
lando
(14-2)
donde11eselnúmerodegradosdelibertad,ygraficando unarectaparalelaalejeAalaalturaSS*sobrela
gráficadeSSE(A)contraA.Entonces,allocalizarlospuntossobreelejeAdondeSS*cortalacurvaSSE(A),
puedenleersedirectamente enlagráficaloslímitesdeconfianzaparaA.Siesteintervalodeconfianzain­
cluyeelvalorA=1,estoimplica (comoseseñalóantes)quelosdatos nosoportanlanecesidadde una
transformación.

606. in
,1,
592 CAPÍTULO14OTROSTÓPICOS DEDISEÑOYANÁLISIS
EJEMPLO14~1 .
ElprocedimientodeBox-Coxseilustraráutilizandolosdatos deladescargapicopresentadosoriginal­
menteenelejemplo3-5.Recuerdequese tratadeunexperimento conunsolofactor(verlatabla3-7
paralosdatosoriginales).Utilizandolaecuación14-1secalcularonlosvaloresdeSSE(A)paravariosvalo­
resdeA:
A
-1.00
-0.50
-0.25
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
SSE(A)
7922.11
687.10
232.52
91.96
46.99
35.42
40.61
62.08
109.82
208.12
Enlafigura14-1semuestra una
gr~ficadelosvalorespróximosalmínimo, enlaqueseobservaque
A=0.52produceunvalormínimodeaproximadamenteSSE(A)=35.00.Unintervalodeconfianzaaproxi­
madode95%paraAseencuentracalculandolacantidad SS*delaecuación14-2delasiguientemanera:
SS·=SSE(A)(1+t~.;~20)
=35.00[1+(2.~~6)2]
=42.61
Alrepresentar
SS*enlagráficadelafigura14-1yalleerlospuntosdelaescala
Adondeestarectainterse­
calacurva,seobtienenloslímitesdeconfianzainferiorysuperiordeAdeA-=0.27yA+=0.77.Puestoque
estoslímitesdeconfianzanoincluyenelvalor
1,escorrectoelusode unatransformación,ylatransforma­
cióndelaraízcuadrada
(A=0.50)queseusó enrealidadsejustificaconfacilidad.
AlgunosprogramasdecomputadoraincluyenelprocedimientodeBox-Cox
paraseleccionaruna
transformacióndelafamiliadepotencias. Enlafigura14-2sepresentalasalidadeesteprocedimiento
comoseimplementa
enDesign-Expel1paralosdatosdeladescargapico.Losresultadosconcuerdanen
granmedidaconloscálculosmanualesresumidos
enelejemplo14-1.Observequelaescalaverticaldela
gráficadelafigura14-2es
ln[SSe(A)].

607. 14-1RESPUESTASYTRANSFORMACIONES NONORMALES 593
110
100
90
80
70
~60
50
40
30
20
10
O
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25
/.,
/.,-;0.27 /.,+;0.77
Figura14-1 GráficadeSSE(A)contraAparaelejemplo
14-1.
GráficadeBox-Coxtransformacionesdepotencias
Gráficade
DESIGN-EXPERT
Descargapico 20.32
Lambda
Corriente=1
Mejor=0.541377
Intervalodeconfianza
bajo=0.291092
Intervalodeconfianza
alto=0.791662
Transformación
recomendada
Raízcuadrada
(Lambda=
0.5)
16.14
ro
::J
'O
'iij
11.95
~
~
c:
--'
7.76
3.58
-3 -2 -1 o
Lambda
2 3
Figura14·2 SalidadeDesign-Expel'tparaelprocedimientodeBox-Cox.

608. 594 CAPÍTULO14OTROSTÓPICOSDEDISEÑOYANÁLISIS
14.1.2Modelolinealgeneralizado
Confrecuencialastransformacionesdedatosson
unaformamuyeficazdeabordarelproblemadelas
respuestasnonormalesydela desigualdadasociadadelavarianza.Comose
havistoenlasecciónante­
rior,elmétododeBox-Cox
esunaformasencillayeficazdeseleccionarlaformadelatransformación.
Sinembargo,puedehaberproblemasasociadosconelusode
unatransformacióndedatos.
Unproblemaesqueelexperimentadorpuedesentirseincómodoaltrabajarconlarespuesta enlaes­
calatransformada.Esdecir,elexperimentadorseinteresaenelnúmerodedefectos,noenla
raízcuadra­
dadelnúmerodedefectos,oenlaresistividadenlugardel logaritmodelaresistividad.Porotraparte, si
unatransformaciónenrealidadtieneéxitoymejoraelanálisisyelmodeloasociadodelarespuesta,los
experimentadoresadoptarán
porlogeneralconrapidezlanuevamétrica.
Unproblemamásserio esqueunatransformaciónpuederesultaren unvalorsinsentidoparala va­
riablederespuestaenalgunaporcióndelespaciodelosfactoresdeldiseñoqueesdeinterésparaelexpe­
rimentador.Porejemplo,supongaquese
hausadolatransformacióndelaraízcuadradaenun
experimentoqueincluyeelnúmerodedefectosobservadosenobleasdesemiconductores,yparaalguna
porcióndelaregióndeinteréslaraízcuadradapredichadelconteodedefectosesnegativa.Esprobable
queestosucedaensituacionesenlasqueelnúmerorealdedefectosobservadosespequeño.Porconsi­
guiente,elmodelodelexperimentohaproducidounapredicciónevidentementenoconfiablejustoenla
regióndondeseríadeseablequeestemodelotuviera
unbuendesempeñopredictivo.
Porúltimo,comoseseñalóenlasección14-1.1,esfrecuenteelusodetransformacionesa
findeesta­
bilizarlavarianza,inducirlanormalidadysimplificarelmodelo.Noexistelaseguridaddeque
unatrans­
formaciónconseguirá eficazmentetodosestosobjetivosalmismotiempo.
Unaalternativadelenfoquetípicodelatransformacióndedatosseguidadelanálisisestándarde mí­
nimoscuadradosdelarespuestatransformadaesusarel modelolinealgeneralizado. Setratade unenfo­
quedesarrolladoporNelderyWedderburn
[87]queenesenciaunificamodeloslinealesynolinealescon
respuestasnormalesynonormales.McCullaghyNelder
[76]ofrecenuncompletoestudiodelosmodelos
linealesgeneralizadosyMyersyMontgomery[85b]proporcionan
untutorial.Tambiénsepresentandeta­
llesadicionalesenelmaterialsuplementariodeltextodeestecapítulo.Seofreceráunpanoramageneral
delosconceptosyseilustraráncondosejemplosbreves.
Unmodelolinealgeneralizadoesbásicamente unmodeloderegresión(elmodelode undiseñoexpe­
rimentaltambiénesunmodeloderegresión).Comotodoslosmodelosderegresión,estáconstituido
por
uncomponentealeatorio(loquese hallamadogeneralmenteeltérminodelerror)yunafuncióndelos
factoresdeldiseño(las
x)yalgunosparámetrosdesconocidos(las
f3).Enunmodeloderegresiónlinealde
lateoríanormalestándarseescribe
(14-3)
dondesesuponequeeltérminodelerroretieneunadistribuciónnormalconmediaceroyvarianzacons­
tante,ylamediadelavariablederespuesta
yes
(14-4)
Alaparte
x'pdelaecuación14-4selellama predictorlineal. Elmodelolinealgeneralizadocontienela
ecuación14-3como
uncasoespecial.
Enunmodelolinealgeneralizado,lavariablederespuestapuedetenercualquierdistribuciónque
sea
unmiembrodela familiaexponencial. Estafamiliaincluyelasdistribuciones normal,dePoisson,bi·

609. 14-1RESPUESTASYTRANSFORMACIONES NONORMALES 595
nomial,exponencialygamma, porloquelafamiliaexponenciales unacolecciónricayflexiblededistri­
bucionesaplicables
enmuchassituacionesexperimentales.Además, larelaciónentrelamediadela
respuesta
f-lyelpredictorlinealx'Psedeterminaporunafuncióndeenlace.
g(f-l)=x'fJ
Elmodeloderegresiónque representalarespuestamediaestádadoentonces por
E(y)=f-l=g-l(x'fJ)
(14-5)
(14-6)
Porejemplo,a lafuncióndeenlacequellevaalmodeloderegresiónlinealordinario enlaecuación14-3
se
lellamaenlaceidentidad,ya
que¡l=g-\x'P)=x'p.Comootroejemplo,elenlacelog(logarítmico)
produceelmodelo
1o(f-l)=x'fJ
f-l=ex'P
(14-7)
(14-8)
Elenlacelogarítmicose usaconfrecuenciacondatosdeconteos(respuestadePoisson)yconrespuestas
continuas
quepresentanunadistribuciónquetieneunacolalargaa laderecha(ladistribuciónexponen­
cialogamma).
Otrafuncióndeenlaceimportante queseusacondatosbinomialeseselenlacelogit
lo(1
~f-l)=x'fJ (14-9)
Estaelecciónde lafuncióndeenlacellevaalmodelo
1
f-l=1+ex'P
(14-10)
Haymuchaseleccionesposiblesde lafuncióndeenlace,perodebesersiempremonótonaydiferenciable.
Observeasimismoque
enunmodelolinealgeneralizado, lavarianzade lavariablederespuesta notiene
queserunaconstante;puedeserunafunciónde lamedia(ydelasvariablespredictorasatravésde lafun­
cióndeenlace).
Porejemplo,si larespuestaesdePoisson, lavarianzade larespuestaesexactamente
iguala
lamedia.
Parausarunmodelolinealgeneralizado enlapráctica,elexperimentadordebeespecificar unadistri­
buciónde
larespuestay unafuncióndeenlace.Despuéssehaceelajustedelmodeloo laestimaciónde
los
parámetrosporelmétododemáximaverosimilitud,elcual paralafamiliaexponencialresultaser una
versióniterativadelosmínimoscuadradosponderados. Paralosmodelosderegresiónlinealodediseños
experimentalesordinarioscon
una
varia1?lederespuestanormal,estosereducealosmínimoscuadrados
estándares.Utilizando
unenfoquequeesanálogoalanálisisdevarianzadedatosde lateoríanormal,
puedenhacerseinferenciasy laverificacióndediagnósticos paraunmodelolinealgeneralizado.Referir­
seaMyersyMontgomery[85b]
paralosdetallesyejemplos. Dospaquetesdesoftwarequesoportanel
modelolinealgeneralizado
sonSAS(PROCGENMOD)YS-PLUS.
EJEMPLO
14~2 . . . . . . • . . . . . . . . . • . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elexperimentodelosdefectosenlasrejillas
Enelproblema8-29seintrodujo unexperimentoparaestudiarlosefectosdenuevefactoressobrelosde­
fectos
enrejillasdeplanchasmoldeadasderecuadrosabiertos.BisgaardyFullerrealizaron uninteresan­
teyútilanálisisdeestosdatos parailustrarelvalorde latransformacióndedatos enunexperimento

610. \JI
\O
01
Tabla14-1Análisisdemínimoscuadrados ydelmodelolinealgeneralizadoparaelexperimentorejilladerecuadrosabiertos
Utilizando
métodosdemínimoscuadradosconla
transformación
Modelolinealgeneralizado
delosdatosdelaraízcuadradamodificadadeFreemanyTukey
[respuesta
dePoisson,enlace Longituddel
Transformados
Notransformados log(logarítmico)] intervalo deconfianza
Intervalo
de Intervalode Intervalode
del95%
Valor confianza
de Valor confianza de Valor confianza Mínimos GLM(modelo
Observación predicho 95% predicho 95% predicho de95% cuadrados linealgeneralizado)
1 5.50 (4.14,6.85) 29.70 (16.65,46.41) 51.26 (42.45,61.90) 29.76 19.45
2 3.95 (2.60,5.31) 15.12 (6.25,27.65) 11.74 (8.14,16.94) 21.39 8.80
3 1.52 (0.17,2.88) 1.84 (1.69,7.78) 1.12 (0.60,2.08) 6.09 1.47
4 3.07 (1.71,4.42) 8.91 (2.45,19.04) 4.88 (2.87,8.32) 16.59 5.45
5 1.52 (0.17,2.88) 1.84 (1.69,7.78) 1.12 (0.60,2.08) 6.09 1.47
6 3.07 (1.71,4.42) 8.91 (2.45,19.04) 4.88 (2.87,8.32) 16.59 5.45
7 5.50 (4.14,6.85) 29.70 (16.65,46.41) 51.26 (42.45,61.90) 29.76 19.45
8 3.95 (2.60,5.31) 15.12 (6.25,27.65) 11.74 (8.14,16.94) 21.39 8.80
9 1.08
(-0.28,2.43) 0.71 (*,5.41) 0.81 (0.42,1.56) * 1.13
10
-0.47 (-1.82,0.89) * (*,0.36) 0.19 (0.09,0.38) * 0.29
11 1.96 (0.61,3.31) 3.36 (0.04,10.49) 1.96 (1.16,3.30) 10.45 2.14
12 3.50 (2.15,4.86) 11.78 (4.13,23.10) 8.54 (5.62,12.98) 18.96 7.35
13 1.96 (0.61,3.31) 3.36 (0.04,10.49) 1.96 (1.16,3.30) 10.45 2.14
14 3.50 (2.15,4.86) 11.78 (4.13,23.10) 8.54 (5.62,12.98) 18.97 7.35
15 1.08
(-0.28,2.43) 0.71 (*,5.41) 0.81 (0.42,1.56) * 1.13
16
-0.47 (-1.82,0.89) * (*,0.36) 0.19 (0.09,0.38) * 0.29
"i~
...,¡J

611. diseñado.Comoseseñaló enelincisofdelproblema8-29,losautoresutilizaronunamodificacióndela
transformacióndelaraízcuadradaquellevóalmodelo
~
(.JY+.Jy+1)/2=2.513-O.996x
4
-1.21x
6
-
O.772x
2x
7
14-1RESPUESTASYTRANSFORMACIONES NONORMALES 597
donde,comodecostumbre,las xrepresentanlosfactoresdeldiseñocodificados.Estatransformación
haceunexcelentetrabajoparaestabilizarlavarianzadelnúmerodedefectos.
Enlasdosprimerasseccio­
nesdelatabla
14-1sepresentapartedelainformaciónacercadeestemodelo.Bajoelencabezado
"Transformados",laprimeracolumnacontienelarespuestapredicha.Observequehaydosvalorespredi­
chosnegativos.Elencabezado"Notransformados"presentalosvalorespredichosnotransformados,jun­
toconlosintervalosdeconfianzade95%paralarespuestamedia
encadaunodelos 16puntosdeldiseño.
Puestoquehuboalgunosvalorespredichosnegativos,asícomolímitesdeconfianzainferioresnegativos,
nofueposiblecalcularlosvaloresdetodaslasentradasdeestaseccióndelatabla.
Larespuestaesenesenciaunaraízcuadradadelconteodelosdefectos. Unvalorpredichonegativo
esclaramenteilógico.Observequeestoocurredondelosconteosobservadosfueronpequeños.
Siesim­
portanteusarelmodeloparapredecireldesempeño
enestaregión,elmodelopuedesernoconfiable.
Esto
nodeberátomarsecomounacríticadelexperimentooriginalnidelanálisisdeBisgaardyFuller.Fue
unexperimentodeexploraciónenextremoexitosoquedefiniócontodaclaridadlasvariablesimportan­
tesdelproceso.
Lapredicciónnofueunadelasmetasoriginales,ytampocofueelobjetivodelanálisis
realizado
porBisgaardyFuller.
Sinembargo,si
hubierasidoimportanteobtenerunmodelodepredicción,probablementeunmodelo
linealgeneralizadohabríasidounabuenaalternativa
paraelenfoquedelatransformación.Myersy
Montgomeryusanunenlacelag(logarítmico)(ecuación14-7)yunarespuestadePoisson
paraajustar
exactamenteelmismopredictorlinealdado
porBisgaardyFuller.Estoproduceelmodelo
y=e(L128-0.896x,-L176x6-o.737x,x,)
Laterceraseccióndelatabla 14-1contienelosvalorespredichosdeestemodeloylosintervalosde
confianzade95%paralarespuestamediaencadapuntodeldiseño(obtenidaconelprocedimiento
PROCGENMODdeSAS).Nohayvalorespredichosnegativos(locualseaseguraconlaeleccióndela
funcióndeenlace)nilímitesdeconfianzainferioresnegativos.
Enlaúltimaseccióndelatablasecompa­
ranlaslongitudesdelosintervalosdeconfianzade95%
paralarespuestanotransformadayelmodelo li­
nealgeneralizado(GLM).Observequelosintervalosdeconfianzadelmodelolinealgeneralizadoson
uniformemente
másC01toSquesuscontrapartesdemínimoscuadrados.Estoesunsólidoindiciodeque
elenfoquedelmodelolinealgeneralizadohaexplicadolavariabilidadyhaproducidounmodelosuperior
encomparaciónconelenfoquedelatransformación.
••••••••••••
-•••••••11•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
EJEMPLO 14~3 .
Elexperimentodelhiladodeestambre
Enlatabla14-2sepresentaundiseñofactorial3
3
queserealizó parainvestigareldesempeñodeunhilado
deestambrebajociclosdecargarepetida.ElexperimentosedescribecompletoenBoxyDraper[16b].
La
respuestaeselnúmerodecicloshastaunafalla. Demaneratípica,losdatosdeconfiabilidadcomoéstos
sonnonegativosycontinuos,yconfrecuenciatienenunadistribuciónconunacoladerechaalargada.
Losdatosseanalizaroninicialmenteutilizandoelenfoqueestándar(mínimoscuadrados),ylatrans­
formacióndedatosfuenecesaria
paraestabilizarlavarianza.Seencuentraqueellogaritmodelosdatos

612. 598 CAPÍTULO14OTROSTÓPICOSDEDISEÑOYANÁLISIS
Tabla14-2Elexperimentodelhiladodeestambre
Logaritmo
Cicloshasta delosciclos
Corrida
Xl X
2
X
3 unafallahastaunafalla
1
-1-1-1 674 2.83
2 -1-1 O 370 2.57
3
-1-1 1 292 2.47
4
-1 O-1 338 253
5 -1 O O 266 2.42
6
-1 O 1 210 2.32
7
-1 1-1 170 2.23
8 -1 1 O 118 2.07
9
-1 1 1 90 1.95
10 O-1-1 1414 3.15
11 O-1 O 1198 3.08
12
O-1 1 634 2.8
13 O O -1 1022 3.01
14
O O O 620 2.79
15 O O 1 438 2.64
16 O 1-1 442 2.65
17 O 1 O 332 2.52
18 O 1 1 220 2.34
19 1
-1-1 3636 3.56
20 1-1 O 3184 3.5
21 1-1 1 2000 3.3
22 1 O-1 1568 3.19
23 1 O O 1070 3.03
24 1
O 1 566 2.75
25 1 1 -1 1140 3.06
26 1 1 O 884 2.95
27 1 1 1 360 2.56
deloscicloshastaunafallaproduce unmodeloadecuado entérminosdelajusteglobaldelmodelo,así
comográficassatisfactoriasdelosresiduales.Elmodeloes
logy=2751+0.3617x
1
-
O.2739x
z
-
O.1711x
3
oentérminosdelarespuestaoriginal,cicloshasta unafalla,
y=10Z'751+0.3617.<,-0.Z739x2-0.1711x3•
Esteexperimentoseanalizótambiénutilizandoelmodelolinealgeneralizado,seleccionandola dis­
tribucióngammaparalarespuesta yelenlacelag(logarítmico).Seusóexactamentelamismaformadel
modeloencontrada
porelanálisisdemínimoscuadradosdelarespuestaconlatransformaciónlogarítmi­
ca.Elmodeloqueresultóes
y=e6.3489+0.8425x¡-O.6313x2-0.3851x3•
Enlatabla14-3sepresentanlosvalorespredichosdelmodelodemínimoscuadrados ydelmodelolineal
generalizado,juntoconlosintervalosdeconfianzade9i%paralarespuestamediadecadaunodelos 27

613. !;FSHi=Et7F....~M..."r·~·~···-,."""'"1.'-j •
~'-..... '",4
Tabla14-3Análisisdelmodelo demínimoscuadrados ydelmodelolinealgeneralizadoparaelexperimentodelhiladodeestambre
Métodosdemínimoscuadradoscon latransformación
logarítmica
delosdatos
Longituddel
Transformados Notransformados Modelolinealgeneralizado intervalodeconfianza
del95%
Intervalode Intervalo
de Intervalode GLM
confianza confianza confianza (modelo
Valor de Valor
de Valor de Mínimos lineal
Observación predicho 95% predicho 95% predicho 95% cuadradosgeneralizado)
1 2.83 (2.76,2.91) 682.50 (573.80,811.52) 680.52 (583.83,793.22) 237.67 209.39
0;;:;"
2 2.66 (2.60,2.73) 460.26 (397.01,533.46) 463.00 (407.05,526.64) 136.45 119.59
3 2.49 (2.42,2.57) 310.38 (260.98,369.06) 315.01 (271.49,365.49) 108.09 94.00
4 2.56 (2.50,2.62) 363.25 (313.33,421.11) 361.96 (317.75,412.33) 107.79 94.58
5 2.39 (2.34,2.44) 244.96 (217.92,275.30) 246.26 (222.55,272.51) 57.37 49.96
6 2.22 (2.15,2.28) 165.20 (142.50,191.47) 167.55 (147.67,190.10) 48.97 42.42
7 2.29 (2.21,2.36) 193.33 (162.55,229.93) 192.52 (165.69,223.70) 67.38 58.01
8 2.12 (2.05,2.18) 130.38 (112.46,151.15) 130.98 (115.43,148.64) 38.69 33.22
9 1.94 (1.87,2.02) 87.92 (73.93,104.54) 89.12 (76.87,103.32) 30.62 26.45
10 3.20 (3.13,3.26) 1569.28(1353.94,1819.28) 1580.00(1390.00,1797.00) 465.34 407.00
11 3.02 (2.97,3.08) 1058.28(941.67,1189.60) 1075.00(972.52,1189.00) 247.92 216.48
12 2.85 (2.79,2.92) 713.67 (615.60,827.37) 731.50 (644.35,830.44) 211.77 186.09
13 2.92 (2.87,2.97) 835.41 (743.19,938.86) 840.54 (759.65,930.04) 195.67 170.39
14 2.75 (2.72,2.78) 563.25 (523.24,606.46) 571.87 (536.67,609.38) 83.22 72.70
15 2.58 (2.53,2.63) 379.84 (337.99,426.97) 389.08 (351.64,430.51) 88.99 78.87
16 2.65 (2.58,2.71) 444.63 (383.53,515.35) 447.07 (393.81,507.54) 131.82 113.74
17 2.48 (2.43,2.53) 299.85 (266.75,336.98) 304.17 (275.13,336.28) 70.23 61.15
18 2.31 (2.24,2.37) 202.16 (174.42,234.37) 206.95 (182.03,235.27) 59.95 53.23
19 3.56 (3.48,3.63) 3609.11(3034.59,4292.40) 3670.00(3165.00,4254.00) 1257.81 1089.00
20 3.39 (3.32,3.45) 2433.88(2099.42,2821.63) 2497.00(2200.00,2833.00) 722.21 633.00
21 3.22 (3.14,3.29) 1641.35(1380.07,1951.64) 1699.00(1462.00,1974.00) 571.57 512.00
22 3.28 (3.22,3.35) 1920.88(1656.91,2226.90) 1952.00(1720.00,2215.00) 569.98 495.00
23 3.11 (3.06,3.16) 1295.39(1152.66,1455.79) 1328.00(1200.00,1470.00) 303.14 270.00
24 2.94 (2.88,3.01) 873.57(753.53,1012.74) 903.51(793.15,1029.00) 259.22 235.85
25 3.01 (2.93,3.08) 1022.35(859.81,1215.91) 1038.00(894.79,1205.00) 356.10 310.21
26 2.84 (2.77,2.90) 689.45 (594.70,799.28) 706.34 (620.99,803.43) 204.58 182.44
27 2.67 (2.59,2.74) 464.94 (390.93,552.97) 480.57 (412.29,560.15) 162.04 147.86
\.1l
\
\O \
\O

614. 600 CAPÍTULO14OTROSTÓPICOS DEDISEÑOYANÁLISIS
puntosdeldiseño.Lacomparacióndelaslongitudesdelosintervalosdeconfianzarevelaque esposible
queelmodeÍolinealgeneralizadoseaunmejorpredictorqueelmodelodemínimoscuadrados.
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••o•••••••••••••••••
Losmodeloslinealesgeneralizadoshanencontradoampliaaplicaciónenlainvestigaciónyeldesa­
rrollobiomédicoyfarmacéutico.Conformemáspaquetesdesoftwareincluyanestacapacidad,encontra­
ráunaaplicaciónmásampliaenelámbitodelainvestigaciónyeldesarrolloindustrialgeneral.
14~2 DATOSNOBALANCEADOS EN UNDISEÑOFACTORIAL
Elcentrodeatenciónprincipaldeestelibro hasidoelanálisisde diseñosfactorialesbalanceados, esde­
cir,loscasosenque
encadaceldahay elmismonúmero
IIdeobservaciones.Sinembargo,escomúnen­
comrarsituacionesenlasqueelnúmerodeobservaciones
enlasceldassondesiguales.Estos diseños
factorialesnobalanceados
ocurrenporvariasrazones. Porejemplo,elexperimentadorpuedehaberdise­
ñadoinicialmenteunexperimentobalanceado,perodebidoaproblemasimprevistoscuandosecorreel
experimento,loscualesresultanenlapérdidadealgunasobservaciones,terminatrabajandocondatosno
balanceados.Porotraparte,algunosexperimentosnobalanceadossediseñanexpresamentedeeste
modo.Porejemplo,ciertascombinacionesdetratamientos
puedensermáscostosasomásdifícilesdeco­
rrerqueotras,porloquepuedenhacersemenosobservacionesenesasceldas. Demaneraalternativa,al­
gunascombinacionesdetratamientospuedenserdemayorinterés
paraelexperimentadordebidoaque
representancondicionesnuevasonoexploradas,
porloquepuedeoptarporobtenerréplicasadicionales
dedichasceldas.
Lapropiedaddeortogonalidaddelosefectosprincipalesylasinteracciones,presenteenlosdatosba­
lanceados,noesválidaenelcasonobalanceado.Estosignificaquelastécnicasdelanálisisdevarianza
usualnosonaplicables.Porconsiguiente,elanálisisdefactorialesnobalanceados
esmuchomásdifícil
queeldelosdiseñosbalanceados.
Enestasecciónseofreceunbrevepanoramageneraldelosmétodosparaabordarlosfactorialesno
balanceados,centrandolaatención
enelcasodelmodelodeefectosfijoscondosfactores.Supongaque
elnúmerodeobservacionesenlaceldaij-ésimaes
nij'Además,sea
lli.=L~=lllijelnúmerodeobservacio­
nesenelrenglóni-ésimo(elniveli-ésimodelfactor
A),sea
IIJ=L~=1llijelnúmerodeobservacionesdela
columnaj-ésima(elnivelj-ésimodelfactor
B)y
seall..=L~=l L~=lnijelnúmerototaldeobservaciones.
14~2.1 .Datosproporcionales:uncasosencillo
Unadelassituacionesqueincluye datosnobalanceadospresentaescasadificultad paraelanálisis;setra­
tadelcasodelos datosproporcionales.Esdecir,elnúmerodeobservacionesenlaceldaij-ésimaes
ll.II.
l..)
ll..=--
IJ II
(14-11)
Estacondiciónimplicaqueelnúmerodeobservacionesendosrenglonesocolumnascualesquiera espro­
porcional.Cuandoocurrendatosproporcionales,puedeemplearseelanálisisdevarianzaestándar.Sólo

615. 14-2DATOS NOBALANCEADOS ENUNDISEÑOFACTORIAL 601
esnecesariohacermodificacionesmenoresenlasfórmulasdelcálculomanualdelassumasdecuadrados,
lascuales
quedancomo
abnij
SST
=2:2:2:
i=1j=1k=1
a
2 2
SS
~Yi..Y...
A=L.J--­
ll
i
.
11
Y.~. Y.~
---
i=l
b
SSB=2:
j=1nj 11
SS=~~ Y~.-Y.~-SS-SS
~L.JL.J A B
i=1j=1llij11..
SSE=SST- SSA-SSB-SS~
=~±~ Y~k-~± ~~.
i=1j=1k=1 i=1j=1 ij
Comounejemplodedatosproporcionales,considere elexperimentodeldiseñode labateríadel
ejemplo5-1.Enlatabla14-4se muestraunaversiónmodificadadelosdatosoriginales.Desdeluego,los
datossonproporcionales;porejemplo,enlacelda1,1 setienen
_111n
1
_10(8)_ 4
1111- 11-20-
observaciones.Losresultadosqueseobtienenalaplicarelanálisis devarianzausualaestosdatos sepre­
sentanenlatabla14-5.Tantoeltipo dematerialcomolatemperaturasonsignificativos,locual concuerda
conelanálisisdelconjunto completo dedatosdelejemplo5-1.Sinembargo, lainteracciónqueseobservó
enelejemplo5-1 noestápresente.
14~2.2 Métodosaproximados
Cuandolosdatosnobalanceadosnoseapartandemasiadodelcasobalanceado,enocasionesesposible
usarprocedimientosaproximados queconviertenel problemanobalanceadoenunobalanceado.Esto
Tabla14-4Experimentodeldiseñodelabateríacondatosproporcionales
Tipo
de
material
Temperatura,°F
15 70 125
/1
11=4 /1
12= 4 /1
13= 2 /11.=10
130 155 34 40
1 74 180 80
75 70 58
Y1..=896
/1
21= 2 /1
22= 2 /1']3= 1 /12.=5
2 159 126 136 115
45 Y2..=581
/1
31= 2 /132= 2 /1
33= 1 /13.= 5
3 138 160 150 139 96
Y3..=683
/1.
1=8
Y.1.=1122
/1.2=8
Y.2.=769
n
3
=4
Y.3.=269
/1=20
Y.::=2160

616. CAPÍTULO14OTROSTÓPICOS DEDISEÑOYANÁLISIS
Tabla14-5Análisisdevarianzade losdatosdeldiseño delabatería
delatabla14-4
Tiposdematerial 8,170.400 2 4,085.20
Temperatura 16,090.875 2 8,045.44
Interacción 5,907.725 4 1,476.93
Error 8,981.000 11 816.45
Total 39,150.000 19
,1
:,[
'¡I
ji
11
11
¡¡
)1
:11
1'1
'[
;
602
Fuentede SumadeGradosdeCuadrado
variación cuadradoslibertad medio Fo
5.00
9.85
1.18
hace,desdeluego,queelanálisisseatansóloaproximado,peroelanálisisdedatosbalanceados estan
sencilloqueconfrecuenciaelexperimentadorsevetentadoausarlo.
Enlapráctica,esnecesariodecidir
cuándolosdatosnosonlosuficientementediferentesdelcasobalanceado
parahacerqueelgradode
aproximaciónintroducidosearelativamentedeescasaimportancia.Acontinuaciónsedescribenbreve­
mentealgunosdeestosmétodosaproximados.Sesuponequetodaslasceldascontienenalmenos
unaob­
servación(esdecir,
11ij
2':1).
Estimacióndeobservacionesfaltantes
Sisólounascuantas 11ijsondiferentes,unprocedimientorazonableesestimarlosvaloresfaltantes.Por
ejemplo,considereeldiseñonobalanceadodelatabla14-6.Evidentemente,estimarelúnicovalorfaltan­
tedelacelda2,2
esunenfoquerazonable.Para unmodeloconinteracción,laestimacióndelvalorfaltan­
te
enlaceldaij-ésimaqueminimizalasumadecuadradosdel errores
Yij'Esdecir,elvalorfaltantese
estimatomandoelpromediodelasobservacionesqueestándisponibles
enesacelda.
Elvalorestimadose tratacomoundatoreal.Laúnicamodificacióndelanálisisdevarianzaesreducir
losgradosdelibertaddelerrorenelnúmerodeobservacionesfaltantesquesehanestimado.Porejemplo,
siseestimaelvalorfaltanteenlacelda2,2delatabla14-6,seusarían 26gradosdelibertadenlugarde 27.
Apartadodedatos
Considerelosdatosdelatabla14-7.Observequelacelda2,2sólotiene unaobservaciónmásquelasotras.
Estimarlosvaloresfaltantesdelasochoceldasrestantesquizánosea
unabuenaideaenestecaso,yaque
estoresultaría
enestimacionesequivalentesacercade18%delosdatosfinales. Unaalternativaesapar­
tarunadelasobservacionesdelacelda2,2, paraobtenerasí undiseñobalanceadocon
11=4réplicas.
Laobservaciónqueseapartedeberáelegirsealazar.Además,enlugardedescartarcompletamente
laobservación,podríareintegrarsealdiseño,despuéselegiralazar
otraobservaciónparaapartarlayre-
Tabla
14-6Losvaloresnijparaun
diseñonobalanceado
Columnas
Renglones 1 2 3
1 4 4 4
2 4 3 4
3 4 4 4

617. 14-2DATOSNOBALANCEADOS ENUNDISEÑOFACTORIAL 603
Tabla14-7Losvaloresn,jparaun
diseñonobalanceado
Columnas
Renglones
1
2
3
1
4
4
4 2
4
5
4
3
4
4
4
petirelanálisis.Y,seesperaría,estosdosanálisisnollevaránainterpretacionesantagónicasdelosdatos.
Silohacen,sesospechaquelaobservaciónqueseapartóes unvaloratípicoodisparatadoydeberámane­
jarseenconsecuencia.
Enlaprácticaesimprobablequeocurraestaconfusióncuandosóloseapartaun
númeroreducidodeobservacionesylavariabilidaddentrodelasceldas
espequeña.
Métododelasmediasnoponderadas
Enesteenfoque,introducidoporYates [IBa],lospromediosdelasceldassetratancomo sifuerandatos
ysonobjetode
unanálisisdedatosbalanceadosestándar paraobtenerlassumasdecuadradosdelosren­
glones,lascolumnasylainteracción.Elcuadradomediodelerrorseencuentracomo
abnij
LLL(Yijk-Yij.)2
MS=_i=_l....:j_=l_k_·=_l _
E 11-ah
(14-12)
Entonces,
MSEestima
er,lavarianzade Yijk,unaobservaciónindividual.Sinembargo,se harealizadoun
análisisdevarianzadelos
promediosdelasceldas,ycomolavarianzadelpromediodelaceldaij-ésima eser/11ij'elcuadradomediodelerrorqueseusaenrealidadenelanálisisdevarianzadeberáser unaestima­
ciónde
lavarianzapromediodelas
Yij,porejemplo
1
ab
""a
2
/11..LJLJ IJ 2ab
V(Yij,)=i=lj=l =~LL
ah ahi=lj=l11ij
UtilizandoMS
Edelaecuación14-12paraestimarerenlaecuación14-13,seobtiene
MS~=MSE!± ~
ahi=lj=l11ij
(14-13)
(14-14)
comoelcuadradomediodelerror(con11..-ahgradosdelibertad)queseusaráenelanálisisdevarianza.
Elmétododelasmediasnoponderadasesunprocedimientoaproximadoporquelassumasdecua­
dradosdelosrenglones,lascolumnasylainteracciónnosedistribuyencomo
unavariablealeatoria
ji-cuadrada.
Laventajaprincipaldelmétodopareceserlasimplicidaddeloscálculos.Cuandolas 11ijnodi­
fierendemaneraradical,elmétododelasmediasnoponderadasfuncionaconfrecuenciarazonablemen­
tebien.
Unatécnicarelacionadaeselmétododeloscuadradosponderadosdelasmedias,propuestotam­
biénporYates[113a].Estatécnicasebasatambiénenlassumasdecuadradosdelasmediasdelasceldas,
perolostérminosdelassumasdecuadradosseponderan
enproporcióninversaasusvarianzas.Parama­
yoresdetallesdeesteprocedimiento,verSearle[99a]ySpeed,asícomoHockingyHackney[106].

618. 604 CAPÍTULO14OTROSTÓPICOSDEDISEÑOYANÁLISIS
14~2.3 Métodoexacto
Ensituacionesenquelosmétodosaproximadosnosonapropiados,comocuandoocurrenceldasvacías
(algunas
ll
ij=O)ocuandolas llijpresentandiferenciasradicales,elexperimentadordebeusarunanálisis
exacto.Elenfoqueutilizado
paradesarrollarlassumasdecuadrados paraprobarlosefectosprincipalesy
lasinteraccionesconsisteenrepresentarelmodelodelanálisisdevarianzacomounmodeloderegresión,
ajustaresemodeloalosdatosyusarelenfoquedelapruebageneraldesignificacióndelaregresión.Sin
embargo,existenvariasformasenquepuedehacerseesto,yestosmétodospuedenproducirvaloresdife­
rentes
paralassumasdecuadrados.Además,lashipótesisqueseestánprobandonosiempresonanálo­
gosdirectosdelasdelcasobalanceado,ysuinterpretacióntampocoessiempresencilla.Paramayor
informaciónalrespecto,verelmaterialsuplementariodeltextodeestecapítulo.Otrasbuenasreferen­
ciasson
Searle[99a];SpeedyHocking[105];HockingySpeed[58];Hocking,HackneyySpeed [57];
Speed,HockingyHackney[106];Searle,SpeedyHenderson[102];Searle[99c];yMillikenyJohnson
[79].Elsoftwaredeestadística
SASproporcionaunexcelenteenfoquedelanálisisdedatosnobalancea­
dosatravésdelprocedimiento
PROCGLM.
.14~3ANÁLISISDECOYARIANZA
Enloscapítulos2 y 4seintrodujoelusodelprincipiodelaformacióndebloques paramejorarlapreci­
siónconla quesehacencomparacionesentretratamientos.
Lapruebatpareadafueelprocedimiento
ilustrado
enelcapítulo2,mientrasque enelcapítulo4sepresentóeldiseñodebloquesaleatorizados. En
general,elprincipiode laformacióndebloquespuedeusarse paraeliminarelefectodelosfactoresper­
turbadorescontrolables.Elanálisisdecovarianza
esotratécnicaque enocasionesesútil paramejorarla
precisióndeunexperimento.Supongaque
enunexperimentocon unavariablederespuestayexisteotra
variable,porejemplox,yque
yserelaCionalinealmenteconx.Además,suponga quexnopuedesercon­
troladaporelexperimentador,peropuedeobservarsejuntocon
y.Alavariablexselellamavariablecon·
comitanteocovariable.Elanálisisdecovarianzaimplicaajustarlavariablederespuestaobservadapara
elefectodelavariableconcomitante.
Sinosehaceesteajuste,lavariableconcomitantepodríainflarel
cuadradomediodelerroryhacerqueseanmásdifícilesdedetectarlasverdaderasdiferenciasenlares­
puestadebidasalostratamientos.Porlotanto,elanálisisdecovarianza
esunmétododeajuste paralos
efectosdeunavariableperturbadoranocontrolable.Comoseverá,elprocedimiento
esunacombinación
delanálisisdevarianzaydelanálisisderegresión.
Comounejemplodeunexperimentoen
efquepuedeemplearseelanálisisdecovarianza,considere
elestudiorealizadoparadeterminar
siexisteunadiferenciaenlaresistenciadeunafibrademonofila-
Tabla
14-8Datosdelaresistenciaala ruptura(y=resistenciaenlibras
yx=diámetroen10-
3
pulgadas)
Máquina1 Máquina2 Máquina3
y x y x y x
36 20 40 22 35 21
41 25 48 28 37 23
39 24 39 22 42 26
42 25 45 30 34 21
49 32 44 28 32 15
207 126 216 130 180 106

619. 50
45
'"
~
::l
15.40
2
.!!l
ro
ro
'"
35
c:
ID
tí
'¡¡;
ID
c:
30
O
14-3ANÁLISISDECOVARIANZA 605
~
r:!
10 20 30 40
Diámetro,x
Figura14-3Resistenciaalaruptura (y)contraeldiámetro
delafibra~"l:),
mentoproducida portresmáquinasdiferentes.Losdatosdeesteexperimentosemuestranenlatabla
14-8.
Enlafigura14-3sepresentaundiagramadedispersióndelaresistencia (y)contraeldiámetro(o
grosor)delamuestra.Evidentemente,laresistenciadelafibratambiénseafectaporsugrosor;porconsi­
guiente,
unafibramásgruesaseráporlogeneralmásresistentequeunadelgada.Elanálisis decovarianza
podríausarse
paraeliminarelefectodelgrosor (x)sobrelaresistencia (y)cuandosepruebanlasdiferen­
ciasenlaresistenciaentrelasmáquinas.
14~3.1 Descripcióndelprocedimiento
Acontinuaciónsedescribeelprocedimientobásicoparaelanálisisdecovarianza,ilustrándoloparaun
experimentode
unsolofactorcon unacovariable.Suponiendoqueexisteunarelaciónlinealentrelares­
puesta
ylacovariable,unmodeloestadísticoapropiadoes
y..=
fl+'t·+[3(x..-x)+s..
EJ tij..1) {
i
=1,2,,a
j=1,2,,n
(14-15)
donde
Yijeslaobservaciónj-ésimade lavariablederespuesta tomadabajoeltratamientooniveli-ési­
modelúnicofactor,x¡¡
eslamediciónhechadelacovariableovariableconcomitantecorrespondientea Y¡¡
(esdecir,lacorridaij-ésima), x..eslamediadelosvaloresx¡¡,
fleslamediaglobal,'tieselefectodeltrata­
mientoi-ésimo,[3eselcoeficientederegresiónlinealqueindicaladependenciade Y¡¡dex
ijySijesuncom­
ponentedelerroraleatorio.
Sesuponequeloserrores
SijsonNID(O,if),quelapendiente[3:;éOYquela
verdaderarelaciónentreYijyxiieslineal,queloscoeficientesderegresióndecadatratamientosonidénti­
cos,quelasumadelosefectosdelostratamientosescero(L~=l'ti=O)Yquelavariableconcomitantex¡¡
noseafectaporlostratamientos.
Observe,
porlaecuación14-15,queelmodelodelanálisisdecovarianzaes unacombinacióndelos
modeloslinealesempleadosenelanálisisdevarianza
yregresión.Esdecir,setienenefectosdelostra­
tamientos
{'tJ,comoenunanálisisdevarianzade unsolofactor,yuncoeficientederegresión[3,como
en
unaecuaciónderegresión. Lavariableconcomitantedelaecuación14-15seexpresacomo (x
ij
-x.,)

620. 606 CAPÍTULO14OTROSTÓPICOS DEDISEÑOYANÁLISIS
enlugardexij,paraqueelparámetrof-isepreservecomo lamediaglobal. Elmodelopudohaberseescri­
tocomo
{
i.:1,2,, a
]-1,2,, n
(14-16)
dondef-iIesunaconstantediferentedelamediaglobal,que paraestemodeloesf-iI+(Ji.,.Esmáscomún
encontrarlaecuación14-15
enlaliteraturasobreeltema.
Paradescribirelanálisis,seintroducelasiguientenotación:
an a n y2
S¡y=LL(yij-y..)2=LL Y~-a;z (14-17)
i=lj=l i=lj=l
a n a n x2
S,u:=""'"'"(x"-X)2=""'"'"X~--"
LJLJ IJ .. ~LJ ljan
i=lj=l 1=1J=l
a 11 _ _ a 11(X,)(y..)
S~y=LL(Xij-x..)(Yij-Y..)=LLXijYij-an
i=lj=l i=lj=l
a 1a 2
T=n"'"(y-Y)2=-"'"y
2
-L
¡yLJ i, .. nLJ i.an
1=1 1=1
a 1a X
2
Trx;=n"'"(X-x)2=-"'"X
2__'o
LJ i, .. nLJ i.an
i=1 1=1
T.TJ'=n~(Xi.-X..)(Yi.-Y..)=1:.~(Xi.)(Yi.)-(X,~~ ..)
i=l ni";l
E¡y=~! (Yij-Yi.)2=S¡y-T¡y
i=lj=l
Eu:=~! (Xij-xif=S,,-'I:-Trx;
i=lj=l
E.t),=~! (Xij-Xi.)(Yij-Yi,)=S~y-T.TJ'
i=lj=l
(14-18)
(14-19)
(14-20)
(14-21)
(14-22)
(14-23)
(14-24)
(14-25)
Observeque,engeneral,S
=T+E,dondelossímbolos S,TyEseusanparadenotarlassumasdecuadra­
dos
ylosproductoscruzadosdeltotal,lostratamientos yelerror,respectivamente.Lassumasdecuadrados
dexyydebensernonegativas;sinembargo,lassumasdelosproductoscruzados (xy)puedensernegativas.
Acontinuaciónseindicalaforma
enqueelanálisisdecovarianzaajustalavariablederespuesta para
elefectodelacovariable.Considereelmodelocompleto(ecuación14-15).Losestimadoresdemínimos
cuadradosde
f-i,"íiYf3soníl=Ji..,ri=Yi.-Y..-~(Xi.-x..),y
~Exy
f3=- (14-26)
E,,-'I:
Lasumadecuadradosdelerrorenestemodeloes
SSE=E¡y_(ETJ')2/Erx;
cona(n- 1)- 1gradosdelibertad. Lavarianzadel errorexperimentalseestimacon
MS_ SSE
E-a(n-1)-1
(14-27)

621. 14-3ANÁLISISDECOVARIANZA 607
Supongaahoraquenohayningúnefectodelostratamientos. Elmodelo(ecuación14-15)seríaentonces
Y..=Jl+(3(x..-x)+8..
1) lJ.. lJ (14-28)
y
puededemostrarsequelosestimadoresdemínimoscuadradosde
Jly(3sonfl=y..yjJ=Sxy/Sxx.Lasuma
decuadradosdel
errorenestemodeloreducidoes
(14-29)
con
an-2gradosdelibertad. Enlaecuación14-29, lacantidad(Sxy)2/Sxxeslareduccióndelasumadecua­
dradosde
yobtenidaatravésdelaregresiónlinealde ysobrex.Además,observequeSS Eesmenorque
SS
~[yaqueelmodelo(ecuación14-15)contienelos parámetrosadicionales{r¡}] yquelacantidadSS~­
SSEesunareducciónenlasumadecuadradosdebida alas{r¡}.Parlotanto,ladiferenciaentreSS~ySSe.
esdecir,SS~-SSE,proporcionaunasumadecuadradoscon a-1gradosdelibertad paraprobarlahipó­
tesisde
quenohayningúnefectodelostratamientos. Porconsiguiente,paraprobar
Ho:r¡=O,secalcula
F.=..:....(S_S..:::.~_-_S_SE"-.:)c-/--'..(a_-_1-'...)
oSSE/[a(n-1)-1]
(14-30)
que,si
lahipótesisnulaesverdadera,sedistribuyecomo Fa-1,a(n-1)-1'Porlotanto,
Ho:r¡=Oserechazasi
Fo>Fa,a_1,a(n_1)_l'Tambiénpodríausarseelenfoquedelvalor P.
Esinstructivoexaminar lapresentaciónde latabla14-9.Enellaelanálisisdecovarianzase hapresen­
tadocomounanálisisdevarianza"ajustado". Enlacolumnadelafuentedevariación, lavariabilidadto­
talsemideporSYY'conan-1gradosdelibertad. Lafuentedevariación"regresión"tiene lasumade
cuadrados(Sxy?/Sxxconungradodelibertad.Si nohubieraningunavariableconcomitante,se tendríaSxy
=Srx;=Exy=Exx=O.Entonceslasumadecuadradosdel errorseríasimplementeEyyylasumadecuadra­
dosdelostratamientossería
Syy-Eyy=Tyy.Sinembargo,debidoa lapresenciade lavariableconcomitan­
te,
SyyyEyydeben"ajustarse"paralaregresiónde ysobrex,comose muestraenla
trbla14-9.Lasumade
cuadradosdel
errorajustadatiene a(n-1)
-1gradosdelibertad enlugarde a(nT1)gradosdelibertad
debidoa
queseajustaunparámetroadicional(la pendiente(3)alosdatos.
Loscálculossuelenpresentarse
enunatabladelanálisisdecovarianzacomolatabla14-10.Seem­
pleaestapresentaciónporqueresumede maneraconvenientetodaslassumasdecuadradosylosproduc­
toscruzadosrequeridos,asícomolassumasdecuadrados
paraprobarlashipótesisacercadelosefectos
delostratamientos.Ademásdeutilizarla
paraprobarlahipótesisde quenohaydiferenciasenlosefectos
delostratamientos,confrecuenciaestatablase
encuentraútilenlainterpretacióndelosdatos parapre­
sentarlasmediasdelostratamientosajustadas.Estasmediasajustadassecalculandeacuerdocon
i=1,2,...,a (14-31)
donde
jJ=Exy/Exx.Estamediadelostratamientosajustadaeselestimadordemínimoscuadradosde
Jl+r¡,i=1,2,.oo,a,enelmodelo(ecuación14-15). Elerrorestándardecualquiermediaajustadadelos
tratamientoses
(14-32)

622. 0\
o
00
Tabla14-9Elanálisisdecovarianzacomo unanálisisdevarianza"ajustado"
Fuentede
variación
Regresión
Tratamientos
Error
Total
Sumadecuadrados
(Sxy?/S;cr
SS~-SSE=Syy_(Sx¡,)2/S;cr-[Eyy-(Exy?/E;cr]
SSE=Eyy_(Exy)2/E;cr
Syy
Gradosde
libertad
1
a-1
a(n-1)-1
an-1
Cuadradomedio
SS~-SSE
a-1
SSE
MS
E
=a(n-1)-1
Fa
(SS~-SSE)/(a-1)
MS
E
Tabla14-10Análisisdecovarianzade unexperimentodeunsolofactorconunacovariable
Fuente
devariación
Tratamientos
Error
Total
Tratamientosajustados
Sumasdecuadrados
yproductos
Gradosdelibertad
x
xy y y
a-1
T;cr Txy Tyy
a(n-1) E;cr Exy E
YJ
, SSE=Eyy-(Exy?/E;cr
an-1 S;cr Sxy SYJ' SS~=Syy-(S')j/S;cr
SS~-SSE
Ajustadosparalaregresión
Gradosdelibertad
a(n
-1)-1
an-2
a-1
Cuadradomedio
SSE
MS
E
=a(n-1)-1
SS~-SSE
a-1
:/J

623. (14-33)
14-3ANÁLISISDECOVARIANZA 609
Porúltimo,caberecordarquese hasupuestoque elcoeficientederegresión{3delmodelo(ecuación
14-15)esdiferentedecero.
LahipótesisHo:{3=Opuedeprobarseutilizandoelestadísticodeprueba
F=
(E,-oY/Exx
a MS
E
quebajolahipótesisnulasedistribuyecomoF
1
,
a(n-1)_l'Porlotanto,Ho :{3=Oserechaza siFa>F
a
,l,
a(n- 1)-1'
EJEMPLO14~4 .
Considereelexperimentodescritoalprincipiodelasección14-3.Tresmáquinasproducen unafibrade
monofilamento
enunafábricatextil.Elingenierodelprocesotieneinterésendeterminar siexistealguna
diferencia
enlaresistenciaalarupturadelafibraproducida porlastresmáquinas.Sinembargo,laresis­
tenciade
unafibraserelacionaconsudiámetro,conlasfibrasmásgruesas,siendoéstas,engeneral,más
resistentesquelasmás delgadas.Seselecciona
unamuestraaleatoriadecincoejemplaresdepruebadefi­
bradecadamáquina. Enlatabla14-8semuestralaresistenciadelafibra (y)yeldiámetrocorrespondien­
te(x)decadaejemplar.
Eldiagramadedispersióndelaresistenciaalarupturacontraeldiámetrodelafibra(figura14-3)in­
dica
unaclaratendenciaa unarelaciónlinealentrelaresistenciaala rupturayeldiámetro,ypareceapro­
piadoeliminarelefectodeldiámetrosobrelaresistenciamediante
unanálisisdecovarianza.Suponiendo
quelarelaciónlinealentrelaresistenciaalarupturayeldiámetroesapropiada,elmodeloes
~
11
Y"=j1.+r:.+{3(x..-x)+8..
l) 1l).. lJ {
i
=1,2,3
j=1,2'00.,5.
Utilizandolasecuaciones14-17a14-25,puedencalcularse
3 5 2 (603)2
SJY=2:2:Y~-~=(36)2+(41)2+ oo'+(32)2---=346.40
~~1 an (~(~
3 5 x
2
(362)2
Su=2:2:X~--"=(20)2+(25)2+..,+(15)2 ---=261.73
i=lj=l an (3)(5)
Sxy=±±xijYij-(x.,~~ ..)=(20)(36)+(25)(41)+oo.+(15)(32)
1=1)=1
(362)(603)282.60
(3)(5)
T
YJ
,=
1:.±l_l=![(207)2+(216)2+(180)2]-(603)2=140.40
n
i=ll.an5 (3)( 5)
13 x
2
1 (362)2Tu= -2:x
2
--"= -[(126)2+(130)2 +(106)2]---=66.13
ni=ll.an5 (3)( 5)
T<y=~±X¡.Yi.-(x.~~..)~[(126)(207)+(130)(216)+(106)(184)]
1=1
_(362)(603)=96.00
(3)(5)

624. 610 CAPÍTULO14OTROSTÓPICOS DEDISEÑOYANÁLISIS
Eyy= Syy-Tyy=346.40-140.40=206.00
Exx=S.TX-T
xx
=261.73-66.13=195.60
EX).= SX)'-TX)'=282.60-96.00=186.60
Porlaecuación 14-29seencuentra
SS~=Syy-(SX)')2/Sxx
=346.40-(186.60)2/261. 73
=41.27
conan-2 =(3)(5)-2 =13gradosdelibertad;y porlaecuación14-27seencuentra
SSE=Eyy-(EX)')2/Exx
=206.00-(186.60)2/195.60
=27.99
cona(n- 1)- 1 =3(5
-1)- 1 =11gradosdelibertad.
LasumadecuadradosparaprobarH
O
:7:
l=7:
2=7:
3=Oes
SS~-SSE =41.27-27.99
=13.28
cona-1=3 - 1=2gradosdelibertad.Estoscálculosseresumenenlatabla 14-11.
Paraprobarlahipótesisdequelasmáquinasdifieren enlaresistenciaalarupturadelafibraproduci­
da,esdecir,Ho
:7:¡=O,porlaecuación14-30elestadísticode lapruebasecalculacomo
F=(SS~-SSE)/(a-1)
oSSE/[a(n-1)-1]
=13.28/2=6.64=2.61
27.99/112.54
Alcompararestevalorcon F
O
.lO
,2,11=2.86,seencuentra quenopuederechazarse lahipótesisnula.Elva­
lor
Pdeesteestadísticodelapruebaes P=0.1181.Porlotanto,nohayevidenciasólidadequelasfibras
producidas
porlastresmáquinasdifieranenlaresistenciaa laruptura.
Laestimacióndelcoeficientederegresiónsecalculacon
laecuación14-26como
l3=EX)'=186.60=0.9540
E
xx
195.60
LahipótesisHo:f3=Opuedeprobarseusandolaecuación 14-33.Elestadísticodepruebaes
F=(EX)')2/Exx=(186.60)21195.60
o MS
E
2.54
70.08
ypuestoque F
O
.Ol
,1,11=9.65,serechazalahipótesisdequef3=O.Porlotanto,existeunarelaciónlineal
entrelaresistenciaalarupturayeldiámetro,yelajusteproporcionado
porelanálisisdecovarianzafue
necesario.

625. 0\
t-'
t-'
Tabla14-11Análisisdecovarianzade losdatosdelaresistenciaalaruptura
Ajustadosparalaregión
Fuentede Gradosde
Sumasdecuadrados
yproductos
GradosdeCuadrado
variación libertad
x xy y y libertadmedio FaValorP
Máquinas 2 66.13 96.00 140.40
Error 12 195.60 186.60 206.0027.99 11 2.54
Total 14 261.73 282.60 346.4041.27 13
Máquinasajustadas 13.28 2 6.64 2.610.1181
""id,,.
,--~

626. 612 CAPÍTULO14OTROSTÓPICOS DEDISEÑOYANÁLISIS
Lasmediasdelostratamientosajustadas puedencalcularseconlaecuación14-31.Estasmediasajus­
tadasson
Ylajustada=Yl-~(Xl-x..)
=41.40-(0.9540)(25.20-24.13) =40.38
Y2.ajustada=Y2.-~(X2.-x..)
=43.20-(0.9540)(26.00-24.13) =41.42
y
Y3.ajustada=Y3.-~(X3.-x..)
=36.00-(0.9540)(21.20-24.13) =38.80
Alcompararlasmediasajustadasconlasmediasnoajustadasdelostratamientos(las)!;.),seobservaque
lasmediasajustadasseencuentranmuchomáspróximas
entresí,unaindicaciónmásdequeelanálisisde
covarianzafuenecesario.
Unsupuestobásico enelanálisisdecovarianzaesquelostratamientosnoinfluyen enlacovariablex,
yaquelatécnicaeliminaelefectodelasvariaciones
enlas
Xi.'Sinembargo,silavariabilidad enlasXi.se
debe
enpartealostratamientos,entonceselanálisisdecovarianzaelimina partedelefectodelostrata­
mientos.Porlotanto,deberátenerse
unaseguridadrazonabledequelostratamientosnoafectanlos va­
loresx
ij
•Enalgunosexperimentosestopuedeserobvioapartirdelanaturalezadelacovariable,mientras
que
enotrospuedesermásdudoso. Enelejemplotratadoaquí puedehaberunadiferenciaeneldiámetro
delafibra
(x
ij
)entrelastresmáquinas. Entalescasos,CochranyCox [26]sugierenlaposibleutilidadde
unanálisisdevarianzadelosvaloresxij paradeterminarlavalidezdeestesupuesto.Paraelproblematra­
tadoaquí,conesteprocedimientoseobtiene
,
F.=66.13/233.07 =2.03
o195.60/1216.30
queesmenorqueF
O
.10
,2,12=2.81,porloquenohayrazón paracreerquelasmáquinasproducenfibrascon
diámetrosdiferentes.
Laverificacióndeldiagnósticodelmodelodecovarianzasebasa enelanálisisresidual.Paraelmode­
lodecovarianza,losresidualesson
dondelosvaloresajustadosson
Y
A..=íl+f.+(3A(x..-x)=y-+[y-.-y-_(3A(X.-x)]
tjt,.,11].. _.l... l...
+(3A(X..-X)=y-o+(3A(X..-x.)
lJ ••. l. lJ l.
Porlotanto,
(14-34)
Parailustrarelusodelaecuación14-34,elresidualdelaprimeraobservacióndelaprimeramáquina
delejemplo14-4
es
en=Yn-
Yi.-~(Xn-Xl)=36-41.4-(0.9540)(20-25.2)
=36-36.4392=-0.4392

627. 14-3ANÁLISISDECOVARIANZA 613
Enlatablasiguientesepresenta unalistacompletadelasobservaciones,losvaloresajustadosylos
residuales:
Valorobservado Yi¡ Valorajustado
Yi; Residualei¡=Yi¡-Yi¡
36
41
39
42
49
40
48
39
45
44
35
37
42
34
32
36.4392
41.2092
40.2552
41.2092
47.8871
39.3840
45.1079
39.3840
47.0159
45.1079
35.8092
37.7171
40.5791
35.8092
30.0852
-0.4392
-0.2092
-1.2552
0.7908
1.1129
0.6160
2.8921
-0.3840
-2.0159
-1.1079
-0.8092
-0.7171
1.4209
-1.8092
1.9148
Losresidualessegraficancontralosvaloresajustados5\¡enlafigura14-4,contralacovariablexijenlafi­
gura14-5ycontralasmáquinasenlafigura14-6.
Enlafigura14-7semuestralagráficadeprobabilidad
normaldelosresiduales.Estasgráficasnorevelanningunadesviaciónimportantedelossupuestos,
porlo
queseconcluyequeelmodelodecovarianza(ecuación14-15)esapropiado paralosdatosdelaresisten­
ciaalaruptura.
Esinteresanteobservar
10quehabríaocurrido enesteexperimentosi nosehubierarealizadoelaná­
lisisdecovarianza,esdecir,silosdatosdelaresistenciaala
ruptura(y)sehubierananalizadocomo unex­
perimentode unsolofactorenelqueseignoraralacovariablex. Enlatabla14-12semuestraelanálisisde
varianzadelosdatosdelaresistenciaalaruptura.Seconcluiría,conbase
enesteanálisis,quelasmáqui­
nasdifierensignificativamente
enlaresistenciadelafibraproducida.Esexactamente laconclusión
+4
+2
-2
•
•
•
•
•
•
•••
••••
• •
5045403530
-4L.-__....L__--l. .l..-__-'-__-'
25
Figura14·4Gráficadelosresidualescontralosvaloresajus­
tadosdelejemplo14-4.

628. 614 CAPÍTULO14OTROSTÓPICOSDEDISEÑOYANÁLISIS
4
•
2
•
•
•
••:;:.
O..
••...
•
•
-2 •
•
5040302010
-4l-__--l-__-.l.. .L-__--l-__---l
O
Figura14-5Gráficadelosresidualescontraeldiámetro xde
lafibraenelejemplo
14-4.
opuestadelanálisisdecovarianza. Sisesospecharaquelasmáquinasdifierensignificativamenteensu
efectosobrelaresistenciadelafibra,entoncesseintentaríaigualarlaresistenciaproducidaporlastres
máquinas.Sinembargo,enesteproblemalasmáquinasnodifieren
enlaresistenciadelafibraproducida
despuésdequeseeliminaelefectolinealdeldiámetro.Seríaconvenientereducirlavariabilidaddeldiá­
metrodelafibradentrodelasmáquinas,yaqueconestoprobablementesereduciríalavariabilidaddela
resistenciadelafibra.
14~3.2 Soluciónporcomputadora
Secuentaconvariospaquetesdesoftwarequepuedenrealizarelanálisisdecovarianza. Enlatabla14-13
semuestralasalidadelprocedimientoGeneralLinearModels(modeloslinealesgenerales)deMinitab
4
2
-2
•
•
•
e
•
•
•
11 •
••
•
•
•
•
32
Máquina
-4
1-__-1-__-..1. .1-.__
O
Figura14-6Gráficadelosresidualescontralas
máquinas.

629. 99
95
90
a
80
~
x
70
ro
E60
O
50c:
"O
ro
40
;g
:c30
ro
.c
20e
c..
10
5
14-3ANÁLI515DECOVARIANZA 615
-4 -2 o
Residuales,eij
2 4
Figura14-7Gráficadeprobabilidadnormaldelosresidualesdelejemplo14-4.
paralosdatosdelejemplo14-4. Estasalidaesmuysimilaralasquesepresentaronanteriormente. Enla
seccióndelasalidabajoelencabezado"Análisisdevarianza"("Analysisofvariance"),"SSSeq"corres­
pondealapartición"secuencial"delasumadecuadradosdelmodeloglobal,esdecir,
SS(Modelo)
=SS(Diámetro)+SS(MáquinaIDiámetro)
=305.13+13.28
=318.41
mientrasque"SSajustada"correspondealasumadecuadrados"extra"
paracadafactor,esdecir,
SS(Máquina
IDiámetro)=13.28
y
SS(DiámetroIMáquina)=178.01
ObservequeSS(Máquina
IDiámetro)eslasumadecuadradosquedeberáusarse paraprobarquenohay
ningúnefectodelamáquina,yqueSS(Diámetro
IMáquina)eslasumadecuadradoscorregidaquedebe­
ráusarseparaprobarlahipótesisdeque f3=O.Losestadísticosdela pruebadelatabla14-13difierenli­
geramentedelosquesecalcularonmanualmentedebidoalredondeo.
Tabla
14-12Análisisincorrectodelosdatosdelaresistenciaala rupturacomounexperimentode unsolofactor
Fuentede Gradosde
variación Sumadecuadrados libertad Cuadradomedio
Fo ValorP
Máquinas 140.40 2 70.20 4.09 0.0442
Error 206.00
12 17.17
Total 346.40 14

630. 616 CAPÍTULO14OTROSTÓPICOS DEDISEÑOYANÁLISIS
Tabla14·13SalidadeMinitab(análisis decovarianza)delejemplo14-4
Modelolinealgeneral
Factor TypeLevelsValues
Machinefixed 3 1 2 3
AnalysisofVarianceforStrength,usingAdjustedSSforTests
Source DF SeqSS AdjSS AdjMS F P
Diameter 1 305.13 178.01 178.0169.970.000
Machine 2 13.28 13.28 6.64 2.610.118
Error 11 27.99 27.99 2.54
Total 14 346.40
Term Coef StDev T P
Constant 17.177 2.783 6.170.000
Diameter 0.9540 0.1140 8.360.000
Machine
1 0.1824 0.5950 0.310.765
2 1.2192 0.6201 1.970.075
MeansforCovariates
Covariate
Diameter
Mean
24.13
StDev
4.324
LeastSquaresMeansforStrength
Machine
1
2
3
Mean
40.38
41.42
38.80
StDev
0.7236
0.7444
0.7879
Elprogramacalculatambiénlasmediasdelostratamientosajustadasconlaecuación14-31(Minitab
hacereferenciaaéstascomolasmediasdemínimoscuadradosenlasalidamuestral)
yloserroresestán­
dar.Elprogramacompararáasimismotodoslosparesdemediasdetratamientosutilizandolosprocedi­
mientasdecomparaciónmúltiple
porparesestudiadosenelcapítulo 3.
14..3.3Desarrollomediantelapruebageneraldesignificacióndelaregresión
Esposibledesarrollarformalmenteelprocedimiento
paraprobar
Ho:7:;=Oenelmodelodecovarianza
y..=fl.+7:.+f3(x..-X)+8..{i.:1
1
,22,···,a (14-35)
9 ¡IJ.. IJ J- , ,..., n
utilizandolapruebageneraldesignificaciónde laregresión.Considerelaestimacióndelosparámetros
delmodelo(ecuación14-15)
pormínimoscuadrados. Lafuncióndemínimoscuadradoses
L=
!![Yij-fl.-7:;-f3(xij-X.Jf
;=1j=l
(14-36)

631. 14-3ANÁLlS1SDECOVARIANZA 617
y apartirdeaL/a¡t=aL/ar:
i=aL/af3=O,seobtienenlasecuacionesnormales
¡t:an.u+n!f
i=Y.
i=l
(14-37a)
r:.:níi+nf.+f3h~(x..-x)=y.
1t''' 1 .L.J lJ .. l.
j=l
f3:!f
i!(Xi)'-X..)+~Sx:<=Sxy
i=lj=l
i=1,2,...,a (14-37b)
(14-37c)
Alsumarlas
aecuacionesdelaecuación14-37b,seobtienelaecuación14-37aporque
L:=lL;=l(xij­
x..)=O,porloqueexiste unadependencialinealenlasecuacionesnormales.Porlotanto,esnecesarioau­
mentarlasecuaciones14-37conunaecuaciónlinealmenteindependiente
paraobtenerunasolución.
Unacondiciónlógicaes
L:=lf
i=O.
Alutilizarestacondición,de laecuación14-37aseobtiene
.u=Y..
ydelaecuación14-37b
f=Y--Y--f3(x-x)
ii...i...
Laecuación14-37cpuedereescribirsecomo
a n a n
~(Y--Y-)~(x-x)_f3h~(x-x)~(x-x)+f3hS=S
L".,1. .•LJ ij ..¿,i. ..L.Jij.. .xx xy
i=l j=l i=l j=l
despuésdesustituir parafi'Peroseobservaque
a n
~(y-.-y-)~(x..-x)=T
L.J l. ••L"., I} •• xy
i=l j=l
y
a n
~(X.-X)~ (X..-X)=T
L..J l. ••L"., lJ •• .xx
i=l j=l
(14-38a)
(14-38b)
Porlotanto,lasolucióndelaecuación14-37ces
h •Sxy-TxyExy
f3==-
Sx:<-Tx:<Ex:<
quefueelresultadodadoanteriormenteenlasección14-3.1enlaecuación14-26.
Lareducciónenlasumadecuadradostotaldebidaalajustedelmodelo(ecuación14-15)puede ex­
presarsecomo
R(¡t,r:,f3)=.uY.+!fiYi.+~Sxy
;=1
a
=(Y..)Y.+L[Yi.-Y..-(Exy/Ex:<)(xi.-X..)]Yi.+(Exy/Ex:<)Sxy
;=1
=Y~/an+!(Yi.-:Y..)Yi.-(Exy/Ex:<)!(Xi.-X..)Yi.+(Exy/Ex:<)Sxy
i=l i=1
=Y~/an+Tyy-(Exy/E;r;,)(Txy-Sxy)
=Y~/an+Tyy+(Exy?/Ex:<

632. 618 CAPÍTULO14OTROSTÓPICOSDEDISEÑOYANÁLISIS
Estasumadecuadradostiene a+1gradosdelibertadporqueelrangodelasecuacionesnormales es
a+1.Lasumadecuadradosdelerrordeestemodeloes
SSE=í!y~-R(/-l,T,[3)
i=lj=l
=í!y~-y
2
lan-Tyy_(E"y)2lE,.,.
i=lj=l
=Syy-Tyy-(Exy)2lEn
= Eyy_(E.')')2lE,.,.
(14-39)
con
an-(a+1)=a(n-1)-1gradosdelibertad.Estacantidadseobtuvoanteriormentecomolaecua­
ción14-27.
Considereahoraelmodelorestringidoalahipótesisnula,esdecir,a
Ho:T
1=T
2=...=T
a=O.Este
modeloreducido
es
y..=
/-l+[3(x..-x)+s..
lJ 1].. l} {
i
=1,2,,a
j=1,2,,n
(14-40)
Setratadeunmodeloderegresiónlinealsimple,ylasecuacionesnormalesdemínimoscuadradospara
estemodeloson
anp,=Y. (14-41a)
(14-41b)
(14-42)
(14-43)
Lassolucionesdeestasecuacionessonp,=Y..yjJ=SxyIS,.,.;ylareducciónenlasumadecuadradostotal
debida
alajustedelmodeloreducido es
R(/-l,[3)=p,y.+jJSxy
=(Y..)Y.+(S.')'IS.n)S.')'
=y~Ian+(S')')2IS,.,.
Estasumadecuadradostienedosgradosdelibertad.
LasumadecuadradosapropiadaparaprobarHo:T
1=T2=...=T
a=Opuedeencontrarsecomo
R(TI¡l,[3)=R(¡l,T,[3)-R(/-l,[3)
=y~Ian+Tyy+(E')')2lE.\.,- y~Ian- (S')')2ISn
=Syy-(S.\y)2ISn-[Eyy-(E.\y)2lEn]
utilizandoTyy=Syy-Eyy.ObservequeR(Tl/-l,[3)tienea+1-2=a-1gradosdelibertad yqueesidéntica
alasumadecuadradosdadaporSSl,-SSEenlasección14-3.1.Porlotanto,elestadísticodepruebapara
Ho:T
i=Oes
F.=R(TI/-l,[3)I(a-1)=..:....(S_S",-~-_SS--=E...:....)I---,(_a------'-1)
oSSEl[a(n-1)-1]SSEl[a(n-1)-1]
(14-44)
expresiónquesedioanteriormentecomolaecuación14-30.Porlotanto,utilizandolapruebageneralde
significacióndelaregresión,se
hajustificadoeldesarrolloheurísticodelanálisisdecovarianzadelasec­
ción14-3.1.

633. 14-3ANÁLISISDECOVARIANZA 619
14~3.4 Experimentosfactoriales concovariables
Elanálisisdecovarianzapuedeaplicarseaestructurasdetratamientosmáscomplejas,comolosdiseños
factoriales.Siemprequeexistandatossuficientes
paracadacombinacióndetratamientos,prácticamente
cualquierestructuradetratamientoscomplejapuedeanalizarsemedianteelenfoquedelanálisisdecova­
rianza.Acontinuaciónseindicacómopodríausarseelanálisisdecovarianzaenlafamiliamáscomúnde
diseñosfactorialesutilizadosenlaexperimentaciónindustrial,losfactoriales2
k
•
Alestablecerelsupuestodequelacovariableafectaa lavariablederespuestademaneraidéntica
paratodaslascombinacionesdetratamientos,podríaconstruirseunatabladelanálisisdecovarianza si­
milaralprocedimientodadoenlasección 14-3.1.Laúnica diferenciaseríalasumadecuadradosdelos
tratamientos.Paraunfactorial2
2
connréplicas,lasumadecuadradosdelostratamientos (Ty'y)sería(1/n)
L;=lL~=ly:.-y'~/(2)(2)n. Estacantidadeslasumadelassumasdecuadradosdelosfactores A,Bylain­
teracciónAB.Entoncespodríahacerselaparticióndelasumadecuadradosajustadadelostratamientos
encomponentesdelosefectosindividuales,esdecir,lasumadecuadradosdelosefectosprincipalesajus­
tados
SSAySSB'yunasumadecuadradosde lainteracción,SSAB'
Elnúmeroderéplicasesunaspectoclavecuandoseamplíalaestructuradelostratamientosdeldise­
ño.Considereunarreglofactorial2
3
•
Senecesitaunmínimodedosréplicasparaevaluartodaslascombi­
nacionesdetratamientosconunacovariableseparada
paracadacombinacióndetratamientos(una
covariable
porinteraccióndetratamientos).Estoesequivalenteaajustarunmodeloderegresiónsimple
acadacombinacióndetratamientosoceldadeldiseño.Condosobservacionesporcelda,
ungradodeli­
bertadseusa
paraestimarlaordenada alorigen(elefectodeltratamiento),yelotroseusaparaestimarla
pendiente(elefectodelacovariable).Conestemodelosaturado,nosecuentaconningúngradodeliber­
tadparaestimarelerror.Porlotanto,senecesitan
almenostresréplicasparaunanálisisdecovarianza
completo,suponiendoelcasomásgeneral.Esteproblemaseagudizacuandoseincrementaelnúmerode
celdasdistintasdeldiseño(combinacionesdetratamientos)ylascovariables.
Sielnúmeroderéplicasestálimitado,puedenhacersevariossupuestosparapermitirunanálisisútil.
Elsupuestomássimple
(ytípicamenteelpeor)quepuedehacerseesquelacovariablenotieneningún
efecto.
Silacovariable,incorrectamente,dejadetomarseenconsideración,elanálisiscompletoylascon­
clusionessubsecuentespodríantenergraveserrores.
Otraelecciónessuponerquenohayningúntrata­
miento
porinteraccióndelacovariable.Auncuandoestesupuestoseaincorrecto,elefectopromediode
lacovariableentodoslostratamientosseguiráincrementandolaprecisióndelaestimaciónylapruebade
losefectosdelostratamientos.
Unadesventajadeestesupuestoesque sivariosnivelesdelostratamien­
tosinteractúanconlacovariable,losdiferentestérminospuedencancelarseentre
síyeltérminode laco­
variable,
siseestimasolosinningunainteracción,puederesultarnosignificativo. Unaterceraelección
seríasuponerquealgunosdelosfactores(comoalgunasinteraccionesdedosfactoresydeórdenessupe­
riores)nosonsignificativos.Estopermiteusarpartedelosgradosdelibertadparaestimarelerror.Sin
embargo,estecursodeaccióndeberáemprenderseconcuidado,ylosmodelossubsecuentesdeberán
evaluarseaprofundidad,yaque
laestimacióndelerrorserárelativamenteimprecisaamenosquesele
asignensuficientesgradosdelibertad.Condosréplicas,cadaunodeestossupuestosliberaráalgunosgra­
dosdelibertad
paraestimarelerrorypermitirárealizarpruebasdehipótesisútiles.Elsupuestoquesees­
tablecerádeberáserdictadoporlasituaciónexperimentaly
porelriesgoqueelexperimentadoresté
dispuestoacorrer.Cabehacernotarqueenlaestrategiadeconstruccióndelmodelodelosefectos,
sise
eliminaelfactordeunodelostratamientos,entonceslasdos"réplicas"resultantesdecadafactorial2
3
originalnosonenrealidadréplicas.Estas"réplicasocultas"liberangradosdelibertadparalaestimación
deparámetros,peronodeberánusarsecomoréplicas
paraestimarelerrorpuroporquelaejecucióndel
diseñooriginalquizánosehayaaleatorizado
paraello.

634. 620 CAPÍTULO14OTROSTÓPICOSDEDISEÑOYANÁLISIS
Tabla14-14Datosdelarespuestaylacovariablepara un:diseño2
3
con:
2réplicas
A B e x y
-1 -1 -1 4.05 -30.73
1
-1 -1 0.36 9.07
-1 1 -1 5.03 39.72
1 1
-1 1.96 16.30
-1 -1 1 5.38 -26.39
1
-1 1 8.63 54.58
-1 1 1 4.10 44.54
1 1 1 11.44 66.20
-1 -1 -1 3.58 -26.46
1
-1 -1 1.06 10.94
-1 1 -1 15.53 103.01
1 1
-1 2.92 20.44
-1 -1 1 2.48 -8.94
1
-1 1 13.64 73.72
-1 1 1 -0.67 15.89
1 1 1 5.13 38.57
Parailustraralgunasdeestasideas,considereeldiseñofactorial2
3
condosréplicasy unacovariable
quesemuestra
enlatabla14-14.Silavariablederespuesta yseanalizasin tomarencuentalacovariable,
resultaelsiguientemodelo:
y=25.03+11.20A+18.05B+7.24C-18.91AB+14.80AC
Elmodeloglobalessignificativo enelnivelde a=0.01con R
2
=0.786y MSE=470.82.Elanálisisresidual
noindicaproblemasconestemodelo,exceptoporque laobservacióncon y=103.01esinusual.
Siseeligeelsegundosupuesto,quelaspendientessoncomunesconningúntratamiento
porinterac­
cióndelacovariable,
puedenestimarseelmodelodelosefectoscompletoyelefectodelacovariable. La
salidadeMinitab(delarutinaGeneralLinearModels)se muestraenlatabla14-15.Observeque MSEse
hareducidoconsiderablementealtomar enconsideraciónlacovariable.Elanálisisfinalresultantedes­
puésdeeliminardemanerasecuencialcadainteracción
nosignificativayelefectoprincipalCsemuestra
enlatabla14-16.Estemodeloreducidoproporciona unMSEtodavíamenorqueelmodelocompletocon
lacovariabledelatabla14-15.
Porúltimo,podriaconsiderarse
untercercursodeacción,suponiendoqueciertostérminosdein­
teracciónsoninsignificantes.Seconsideraelmodelocompletoquepermitependientesdiferentesentre
lostratamientosylainteraccióntratamiento
porcovariable.Sesuponeque nosonsignificativaslasin­
teraccionesdetresfactores
(tantoABCcomoABCx) yseusanlosgradosdelibertadasociadosconellas
paraestimarelerror enelmodelodelosefectosmásgeneralque puedaajustarse.Ésteesconfrecuencia
unsupuestopráctico. Lasinteraccionesdetresfactoresson porlogeneralinsignificantesenlamayoríade
losambientesexperimentales.
LaversiónactualdeMinitab nopuedemodelarcovariables queinterac­
túanconlostratamientos, porloqueseusa PROCGLMdeSAS.Lassumas decuadradostipo IIIsonlas
sumasdecuadradosajustadasquesenecesitan.
Enlatabla14-17sepresentanlosresultadosde SASpara
estemodelo.
Con
unmodelocasisaturado,laestimacióndel errorserábastanteimprecisa.Inclusocuandounos
cuantostérminossonindividualmentesignificativos
enelnivela=0.05,elsentidogeneralesqueeste
modeloesmejorque
losdosescenariosprevios(basados enR
2
yelcuadradomediodelerror).Debidoa
queelaspectodelosefectosdelostratamientosdelmodeloesdemayorinterés,seeliminandemanera
secuencialtérminosdelaporcióndelacovariabledelmodeloafindeagregargradosdelibertad
paraesti-

635. 14-3ANÁLISISDECOVARIANZA 621
Tabla14-15AnálisisdecovarianzadeMinitabpara elexperimentodelatabla14-14,suponiendouna
pendientecom!Ín
Modelolinealgeneral
Factor TypeLevelsValues
14.-- f;xed 2-11
B f;xed 2-11
C fixed 2-11
Analys;sofVar;ancefory,us;ngAdjustedSSforTests
Source DF SeqSS AdjSS AdjMS F P
x 1 12155.9 2521.6 2521.628.100.001
A 1 1320.7 1403.8 1403.815.640.005
B 1 3997.6 4066.2 4066.245.310.000
C 1 52.7 82.3 82.3 0.920.370
A*B 1 3788.3 3641.0 3641.040.580.000
A*C 1 10.2 1.1 1.1 0.010.913
B*C 1 5.2 8.4 8.4 0.090.769
A*B*C 1 33.2 33.2 33.2 0.370.562
Error 7 628.1 628.1 89.7
Total 15 21992.0
Term Coef StDev T P
Constant-1.016 5.454 -O.190.858
x 4.9245 0.9290 5.300.001
marelerror.Siseeliminasecuencialmenteeltérmino ACxseguidode BCx,elMSEdecrecea0.7336 yva­
riostérminosnosonsignificativos.
Enlatabla14-18semuestraelmodelofinaldespuésdeeliminar
secuencialmente
ex,ACyBe.
Esteejemplodestacalanecesidaddecontarcongradosdelibertad paraestimarelerrorexperimen­
talafindeincrementarlaprecisióndelaspruebasdehipótesisasociadasconlostérminosindividuales
delmodelo.Esteprocesodeberáhacersedemanerasecuencial
paraevitarlaeliminacióndetérminossig­
nificativosenmascarados
porunaestimaciónpobredelerror.
Tabla
14-16AnálisisdecovarianzadeMinitab,modeloreducido paradexperimentode latabla14-14
Modelolinealgeneral
Factor TypeLevelsValues
A f;xed 2-11
B f;xed 2-11
Analys;sofVar;ancefory,us;ngAdjustedSSforTests
Source DF SeqSS AdjSS AdjMS F P
x 1 12155.9 8287.9 8287.9119.430.000
A 1 1320.7 1404.7 1404.720.240.001
B 1 3997.6 4097.7 4097.759.050.000
A*B 1 3754.5 3754.5 3754.554.100.000
Error 11 763.3 763.3 69.4
Total 15 21992.0
Term Coef StDev T P
Constant -1.878 3.225-0.580.572
x 5.0876 0.4655 10.930.000

636. 0\
N
N
libIa14-17
Salidade PROCGLM(análisisd,:covarianza)deSASparaelexperimentodelatabla14-14
DependentVariable:Y
Sumof Mean
Source DF Squares Square FValuePr>F
Model 13 21989.20828 1691.477561206.45 0.0008
Error 2 2.80406 1.40203
CorrectedTotal 15 21992.01234
R-Square C.V. RootMSE yMean
0.999872 4.730820 1.184074 25.02895
Source DF TypeIIISS MeanSquare FValue Pr>F
A
1 4.6599694 4.6599694 3.32 0.2099
B 1 13.0525319 13.0525319 9.31 0.0927
C 1 35.0087994 35.0087994 24.97 0.0378
AB 1 17.1013635 17.1013635 12.20 0.0731
AC 1 0.0277472 0.0277472 0.02 0.9010
BC 1 0.4437474 0.4437474 0.32 0.6304
X 1 49.2741287 49.2741287 35.14 0.0273
AX 1 33.9024288 33.9024288 24.18 0.0390
BX 1 95.7747490 95.7747490 68.31 0.0143
CX 1 0.1283784 0.1283784 0.09 0.7908
ABX 1 336.9732676 336.9732676 240.35 0.0041
ACX 1 0.0020997 0.0020997 0.00 0.9726
BCX 1 0.0672386 0.0672386 0.05 0.8470
J

637. '>7._._..... ··H', ..".'MI!!!
Tabla14-18Salidade PROCGLMdeSASparaelexperimentodelatabla14-14,modeloreducido
DependentVari~ble: y
Source
Model
Error
CorrectedTotal
[H
8
7
15
Sumof
Squares
21986.33674
5.67560
21992.01234
Mean
Square
2748.29209
0.81080
FValue
3389.61
Pr>F
0.0001
Ol\
Source
A
8
C
AB
X
AX
BX
ABX
R-Square
0.999742
DF
1
1
1
1
1
1
1
1
C.V.
3.597611
Type111SS
19.1597158
38.0317496
232.2435668
31.7635098
240.8726525
233.3934567
550.1530561
542.3268940
RootMSE
0.900444
MeanSquare
19.1597158
38.0317496
232.2435668
31.7635098
240.8726525
233.3934567
550.1530561
542.3268940
FValue
23.63
46.91
286.44
39.18
297.08
287.86
678.53
668.88
yMean
25.02895
Pr>F
0.0018
0.0002
0.0001
0.0004
0.0001
0.0001
0.0001
0.0001
0'1
N
W
Parameter
1ntercept
A
S
C
AS
X
AX
BX
ABX
Estimate
10.2438830
2.7850330
3.6596279
5.4560862
-3.3636850
2.0471937
2.0632049
3.0340997
-3.D342229
TforHO:
Parameter=O
18.74
4.86
6.85
16.92
-6.26
17.24
16.97
26.05
-25.86
Pr>ITI
0.0001
0.0018
0.0002
0.0001
0.0004
0.0001
0.0001
0.0001
0.0001
StdErrorof
Estimate
0.54659908
0.57291820
0.53434356
0.32237858
0.53741264
0.11877417
0.12160595
0.11647826
0.11732045

638. 624 CAPÍTULO14OTROSTÓPICOS DEDISEÑOYANÁLISIS
Alrevisarlosresultadosobtenidosdelostresenfoques,seobservaquecadamétodomejorademane­
rasucesivaelajustedelmodelo enesteejemplo.Sihayunarazónfundada paracreerquelacovariableno
interactúaconlosfactores,quizáseamejorestableceresesupuestodesdeelprincipiodelanálisis.Esta
opcióntambiénpuedeserdictadaporelsoftware.Auncuandolospaquetesdesoftware
paradiseñosex­
perimentalesquizásólotengancapacidad paramodelarcovariablesquenointeractúanconlostrata­
mientos,elanalistapuedetener
unaoportunidadrazonabledeidentificarlosfactoresprincipalesque
influyen
enelproceso,incluso
sihayalgunacovariable porinteraccióndetratamientos.Seobservaasi­
mismoquelaspruebasusualesdelaadecuacióndelmodelosiguensiendoapropiadasyserecomiendan
enérgicamentecomopartedelprocesodeconstruccióndelmodelodelanálisisdecovarianzaANCOVA.
14~4MEDICIONESREPETIDAS
Eneltrabajoexperimentaldelascienciassocialesyelcomportamiento,asícomoenalgunosaspectosde
laingenieríaylascienciasfísicas,lasunidadesexperimentalessonconfrecuenciapersonas.Debidoalas
discrepanciasenexperiencia,capacitaciónoformación,
enalgunassituacionesexperimentaleslasdife­
rencias
enlasrespuestasdedistintaspersonasalmismotratamiento puedensermuygrandes.Amenos
queestécontrolada,estavariabilidadentrelaspersonasseconvertirá
enpartedelerrorexperimental,y
enalgunoscasosinflarásignificativamenteelcuadradomediodelerror,haciendomásdifícildetectarlas
diferenciasrealesentrelostratamientos.
Esposiblecontrolarestavariabilidadentrelaspersonasutilizando
undiseñoenelquecadaunode
los
atratamientosseusa encadapersona(o"sujeto").Aésteselellama diseñodemedicionesrepetidas.
Enestasecciónseofrece unabreveintroducciónalosexperimentosdemedicionesrepetidascon unsolo
factor.
Supongaque
unexperimentoincluye atratamientosyquecadatratamientosevaausarexactamente
unasolavezencadaunode nsujetos.Losdatosapareceríancomo enlatabla14-19.Veaquelaobserva­
ción
Yijrepresentalarespuestadelsujeto jaltratamientoiyquesóloseusan nsujetos.Elmodeloquese
utiliza
paraestediseñoes
(14-45)
donde
'í¡eselefectodeltratamientoi-ésimoy f3jesunparámetroasociadoconelsujetoj-ésimo.Sesupone
quelostratamientossonfijos(dedondeL~=l'í¡=O)Yquelossujetosempleadosson unamuestraaleato­
riadealgunapoblaciónmásgrandedeindividuospotenciales.Porlotanto,colectivamentelossujetosre­
presentan
unefectoaleatorio,porloquesesuponequelamediade f3jesceroyquelavarianzade f3jesa
~.
Puestoqueeltérmino f3jescomúnatodaslas amedicionesdelmismosujeto,lacovarianzaentre YijYY¡'jno
Tabla14-19Datosdeundiseñodemedicionesrepetidascon unsolofactor
Tratamiento 1 2
1 Yn Yl2
2
Y?l Y?2
a Yal Ya2
Totalesdelossujetos Y.l Y.2
Sujeto
n
y~
Y211
Yan
Y.lI
Totalesde
lostratamientos
YL
Y2'
Ya.
Y..

639. 14-4MEDICIONESREPETIDAS 625
es,engeneral,cero. Seacostumbrasuponerquelacovarianzaentre YijYYi'jesconstantealolargodetodos
lostratamientosylossujetos.
Considereunaparticiónenelanálisisdevarianzadelasumadecuadradostotal,porejemplo
!~(Yij_y..)2=a~(Y.j_Y..)2+!~(Yij_y.j)2
i=1j=1 j=1 i=1j=1
(14-46)
Elprimertérminodelmiembroderechodelaecuación14-46puedeconsiderarsecomounasumadecua­
dradosqueresultadelasdiferencias
entrelossujetos, yelsegundotérmino esunasumadecuadradosde
lasdiferencias
dentrodelossujetos.Esdecir,
SST=SSEntrelossujetos+SSDentrode lossujetos
Lassumasdecuadrados SSEntrelossujetosYSSDentrodelossujetossonestadísticamenteindependientes,congrados
delibertad
an-1=(n-1)+n(a-1)
Lasdiferenciasdentrodelossujetosdepende;ntantodelasdiferenciasenlosefectosdelostrata­
mientoscomodelavariabilidadnocontrolada(ruidooerror). Porlotanto,lasumadecuadradosresul­
tantedelasdiferenciasdentrodelossujetospuededescomponersedelasiguientemanera:
!~(Yij-Y.j)2=n!(Yi.-Y..)2+!~(Yij-Yi._Y.j+Y..)2
i=1j=1 i=1 i=1j=1
(14-47)
Elprimertérminodelmiembroderechodelaecuación14-47midelacontribucióndeladiferenciaentre
lasmediasdelostratamientosa
SSDentrodelos
sujetoS'Yelsegundotérminoeslavariaciónresidualdebidaal
error.Amboscomponentesde
SSDentrodelossujetossonindependientes.Porlotanto,
SSDentrodelossujetos=SSTratamientos+SSE
conlosgradosdelibertaddadospor
n(a-1)=(a-1)+(a-1)(n-1)
respectivamente.
Paraprobarlahipótesisdequenohayningúnefectodelostratamientos,esdecir,
H
o
:
í1=í2=...=ía=O
H
1
:
Almenosuna
íi:;t:O
seusaríaelcociente
F.=SSTratamientos/ (a-1)=MSTratamientos
oSSE/(a-1)(n""""1) MSE
(14-48)
Siloserroresdelmodelosiguenunadistribuciónnormal,entoncesbajolahipótesisnula, Ho:í
i=O,eles­
tadísticoFosigueunadistribuciónF
a
_
1
,
(a-1)(n-1)'LahipótesisnulaserechazaríasiFo >Fa,a-l,(a-1)(n-l)'
Enlatabla14-20seresumeelprocedimientodelanálisisdevarianza,dondesepresentantambién
fórmulasconvenientesdecálculoparalassumasdecuadrados.Ellectordeberáidentificarelanálisisde
varianzade
undiseñodeunsolofactorconmedicionesrepetidascomoelequivalentedelanálisisdeun
diseñodebloquescompletosaleatorizados,dondelossujetosseconsiderancomolosbloques.

640. _~,;·o"c-z::~~~= __
0'1
N
0'1
Tabla14-20Análisisdevarianzadeldiseñodemedicionesrepetidascon unsolofactor
Fuentedevariación
1.Entrelossujetos
Sumadecuadrados
}:Y;_~~
j=l
Gradosde
libertad
n-1
Cuadradomedio
Fa
n(a-1)
2
Y.j
a n
11
2:2:y~-2: a
i=lj~l j~l
2.Dentrodelossujetos
3.(Tratamientos)
~y2 2
LJ----'-'-_L
j~lnan
a-1
SSTrntamientos
MSTrntamienlos=a-1
MSTratamientos
MS
E
4.(Error) Sustracción:línea(2) -línea(3)(a-1)(n-1)
SSE
MS
E
=(a-1)(n-1)
5.Total
a n ?y.2
2:2:Yíj-an
i=lj=l
an-1

641. ,f
14-5PROBLEMAS 627
14~5PROBLEMAS
14-1.Considerenuevamenteelproblema5-22. UsarelprocedimientodeBox-Cox paradeterminarsiesapropiada
(oútil)
unatransformaciónde larespuestaparaanalizarlosdatosdeesteexperimento.
14-2.
Enelejemplo6-3seseleccionóunatransformaciónlogarítmica paralarespuestavelocidaddeavancedeuna
perforadora.
UsarelprocedimientodeBox-Cox parademostrarquese tratadeunatransformacióndedatos
apropiada.
14-3.Consideredenuevoelexperimentodelprocesodefundicióndelproblema8-23,dondeseusó
undiseñofac­
torialfraccionado2
6
- 3
paraestudiarelpesodelmaterial deempaquequeseadhiereaánodosdecarbono
despuésde
lacocción.Sehicierontresréplicasdelasochocorridasdeldiseño, yelpesopromedio yelrango
delospesosdecadacombinaciónde
pruebasetrataroncomolasvariablesderespuesta.¿Existealgúnindi­
ciodequesenecesite
unatransformaciónparacualquieradelasdosrespuestas?
14-4.
Enelproblema8-24seusó undiseñofactorialfraccionadoconréplicas paraestudiarelabombamientoo
combaduradelsustratoenlafabricacióndesemiconductores.Seusaroncomovariablesderespuestatantola
mediacomo
ladesviaciónestándardelasmediciones delacombadura.¿Existealgúnindiciodequesenece­
site
unatransformaciónparacualquieradelasdosrespuestas?
14-5.Considerenuevamenteelexperimentodelrecubrimientofotoprotectordelproblema8-25.
Usarlavarianza
delespesordelrecubrimiento
encadacombinaciónde pruebacomolavariablederespuesta.¿Existealgún
indicio
dequesenecesite unatransformación?
14-6.
Enelexperimentodefectosenlarejilladelproblema8-29seempleó unavariantedelatransformacióndela
raízcuadradaenelanálisisdelosdatos.
UsarelmétododeBox-Coxparadeterminarsiéstaeslatransforma­
ciónapropiada.
14-7.
Eneldiseñocentralcompuestodelproblema11-14seobtuvierondosrespuestas,lamedia ylavarianzadel
espesordelóxido.
UsarelmétododeBox-Cox parainvestigarlautilidadpotencialdeunatransformación
paraestasdosrespuestas.¿Esapropiadalatransformaciónlogarítmicasugerida enelincisoedeeseproble­
ma?
1.4-8.Eneldiseñofactorial3
3
delproblema11-33, unadelasrespuestasesladesviaciónestándar.Usarelmétodo
deBox-Cox
parainvestigarlautilidaddelastransformaciones paraestarespuesta.¿Cambiaríasucontesta­
ciónsiseusara
lavarianzacomolarespuesta?
14-9.
Enelproblema11-34sesugiereusar ln(S2)comolarespuesta(referirsealinciso b).¿ElmétododeBox-Cox
indicaque.esapropiada
unatransformación?
14-10.
Undistribuidordebebidasgaseosasestáestudiandolaefectividaddelosmétodosdedescarga.Se handesa­
rrolladotrestiposdiferentesdecarretillas,
ysellevaacabo unexperimentoenellaboratoriodeingenieríade
métodosdelacompañía.
Lavariabledeinteréseseltiempodedescargaenminutos (y);sinembargo,eltiem­
podedescargatambiénguardaunaestrecharelaciónconelvolumendelascajasdescargadas (x).Cadaca­
rretillaseusócuatroveces
yseobtuvieronlosdatossiguientes.Analizarestosdatos ysacarlasconclusiones
apropiadas.Utilizar
a=0.05.
Tipodecarretilla
1 2 3
Y x Y x Y x
27 24 25 26 40 38
44 40 35 32 22 26
33 35 46 42 53 50
41 40 26 25 18 20
14-11.Calcularlasmediasajustadasdelostratamientos yloserroresestándardeéstas paralosdatosdelproblema
14-10.
14-12.Acontinuaciónsepresentanlassumasdecuadrados
ylosproductosde unanálisisdecovarianzade unsolo
factor.Terminarelanálisis
ysacarlasconclusionesapropiadas.Utilizar a=0.05.

642. 628 CAPÍTULO14OTROSTÓPICOS DEDISEÑOYANÁLISIS
Fuentede Gradosde
Sumasdecuadrados
yproductos
variación libertad
x xy y
Tratamiento 3 1500 1000 650
Error 12 6000 1200 550
Total 15 7500 2200 1200
14-13.Encontrarloserroresestándardelasmediasajustadasdelostratamientosdelejemplo14-4.
14-14.Seestánprobandocuatroformulacionesdiferentesde
unadhesivoindustrial. Laresistenciaalatensióndel
adhesivocuandoseaplicaparaunirpiezasserelacionatambiénconelespesordelaaplicación.Seobtienen
cincoobservacionesdelaresistencia
(y)enlibrasydelespesor(x)en0.01pulgadasparacadaformulación.
Losdatossemuestran
enlasiguientetabla.Analizarestosdatos ysacarlasconclusionesapropiadas.
Formulacióndeladhesivo
1 2 3 4
Y x Y x Y x Y x
46.5 13 48.7 12 46.3 15 44.7 16
45.9 14 49.0 10 47.1 14 43.0 15
49.8 12 50.1 11 48.9 11 51.0 10
46.1 12 48.5 12 48.2 11 48.1 12
44.3 14 45.2 14 50.3 10 48.6 11
14-15.Calcularlasmediasajustadasdelostratamientos ysuserroresestándarutilizandolosdatosdelproblema
14-14.
14-16.
Uningenieroestudiaelefectodelarapidezdecortesobreelíndicedemetaleliminado enunaoperaciónde
maquinado.Sinembargo,elíndicedemetaleliminadoserelacionatambiénconladurezadelejemplarde
prueba.Sehacencincoobservacionesdecadarapidezdecorte.
Lacantidaddemetaleliminado (y)yladure­
zadelejemplar
(x)semuestranenlatablasiguiente.Analizarlosdatosusando unanálisisdecovarianza.Uti­
lizar
a=0.05.
Rapidezdecorte(rpm)
1000 1200 1400
Y x Y x Y x
68 120 112 165 118 175
90 140 94 140 82 132
98 150 65 120 73 124
77 125 74 125 92 141
88 136 85 133 80 130
14-17.Demostrarqueen unanálisisdecovarianzade unsolofactorcon unasolacovariable,unintervalodecon­
fianzade100(1-
a)porcientoparalamediaajustadadeltratamientoi-ésimoes
Yi.-~(Xi.-x,.)±ta/z,a(Il-1
l
-1[MSE(~+(xi.~.:.y)fZ

643. 14-5PROBLEMAS 629
Usandoestafórmula,calcularunintervalodeconfianzade95% paralamediaajustadadelamáquina1del
ejemplo14-4.
14-18.Demostrarqueen
unanálisisdecovarianzade unsolofactorcon unasolacovariable,elerrorestándardela
diferenciaentredosmediasajustadasdelostratamientoscualesquieraes
S",j
__,;,j~,~ ~[MSE(~+ ex,;~¡)'JI"
14-19.Comentarlaformaenquepuedenusarselascurvasdeoperacióncaracterística paraelanálisisdevarianza
enelanálisisdecovarianza.

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651. Apéndice
IDistribuciónnormalestándaracumulada
IIPuntosporcentualesdeladistribución t
IIIPuntosporcentualesdeladistribuciónX
2
IVPuntosporcentualesdeladistribución F
VCurvasdeoperacióncaracterísticaparaelanálisisdevarianzadelmodeloconefectosfijos
VICurvasdeoperacióncaracterísticaparaelanálisisdevarianzadelmodeloconefectosaleatorios
VIIRangossignificativosparalapruebadelrangomúltipledeDuncan
VIIIPuntosporcentualesdelestadísticodelrangostudentizado
IXValorescríticos
paralapruebadeDunnett paracomparartratamientoscon uncontrol
XCoeficientesdepolinomiosortogonales
XINúmerosaleatorios
XIIRelacionesdealiasparadiseñosfactorialesfraccionados
2
k
-P
conk
S15YnS64
XIIIGlosarioparaelusode DesignExpert
637

652. 638 APÉNDICE
l.Distribuciónnormalestándaracumulada"
f1 "/
7
cI>(z)=--e-U'-du
-00Vfir
z .00 .01 .02 .03 .04 ,:,
.0 .50000 .50399 .50798 .51197 .51595 O
.1 .53983 .54379 .54776 .55172 .55567 .1
.2 .57926 .58317 .58706 .59095 .59483 .2
.3 .61791 .62172 .62551 .62930 .63307 .3
.4 .65542 .65910 .66276 .66640 .67003 .4
.5
.69146 .69497 .69847 .70194 .70540 .5
.6 .72575 .72907 .73237 .73565 .73891 .6
.7 .75803 .76115 .76424 .76730 .77035 .7
.8 .78814 .79103 .79389 .79673 .79954 .8
.9 .81594 .81859 .82121 .82381 .82639 .9
1.0 .84134 .84375 .84613 .84849 .85083 1.0
1.1 .86433 .86650 .86864 .87076 .87285 1.1
1.2 .88493 .88686 .88877 .89065 .89251 1.2
1.3 .90320 .90490 .90658 .90824 .90988 1.3
1.4 .91924 .92073 .92219 .92364 .92506 1.4
1.5 .93319 .93448 .93574 .93699 .93822 1.5
1.6 .94520 .94630 .94738 .94845 .94950 1.6
1.7 .95543 .95637 .95728 .95818 .95907 1.7
1.8 .96407 .96485 .96562 .96637 .96711 1.8
1.9 .97128 .97193 .97257 .97320 .97381 1.9
2.0 .97725 .97778 .97831 .97882 .97932 2.0
2.1 .98214 .98257 .98300 .98341 .93882 2.1
2.2 .98610 .98645 .98679 .98713 .98745 2.2
2.3 .98928 .98956 .98983 .99010 .99036 2.3
2.4 .99180 .99202 .99224 .99245 .99266 2.4
2.5 .99379 .99396 .99413 .99430 .99446 2.5
2.6 .99534 .99547 .99560 .99573 .99585 2.6
2.7 .99653 .99664 .99674 .99683 .99693 2.7
2.8 .99744 .99752 .99760 .99767 .99774 2.8
2.9 .99813 .99819 .99825 .99831 .99836 2.9
3.0 .99865 .99869 .99874 .99878 .99882 3.0
3.1 .99903 .99906 .99910 .99913 .99916 3.1
3.2 .99931 .99934 .99936 .99938 .99940 3.2
3.3 .99952 .99953 .99955 .99957 .99958 3.3
3.4 .99966 .99968 .99969 .99970 .99971 3.4
3.5 .99977 .99978 .99978 .99979 .99980 3.5
3.6 .99984 .99985 .99985 .99986 .99986 3.6
3.7 .99989 .99990 .99990 .99990 .99991 3.7
3.8 .99993 .99993 .99993 .99994 .99994 3.8
3.9 .99995 .99995 .99996 .99996 .99996 3.9
"Reproducidaconpermiso deProbabilityalldStatistics illEllgilleerillgalldMallagemellt Sciellce,3a.ed.,w,w,
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653. Ii'l
d
APÉNDICE 639
l.Distribuciónnormalestándaracumulada (continuación)
cI>(z)=r_1_e-u'/ldu
-~yr:¡;.
z .05 .06 .07 .08 .09 z
.0 .51994 .52392 .52790 .53188 .53586 .0
.1 .55962 .56356 .56749 .57142 .57534 .1
.2 .59871 .60257 .60642 .61026 .61409 .2
.3 .63683 .64058 .64431 .64803 .65173 .3
,4 .67364 .67724 .68082 .68438 .68793 ,4
.5 .70884 .71226 .71566 .71904 .72240 .5
.6 .74215 .74537 .74857 .75175 .75490 .6
.7 .77337 .77637 .77935 _.78230 .78523
.7
.8
.80234 .80510 .80785 .81057 .81327 .8
.9 .82894 .83147 .83397 .83646 .83891 .9
1.0 .85314 .85543 .85769 .85993 .86214 1.0
1.1 .87493 .87697 .87900 .88100 .88297 1.1
1.2 .89435 .89616 .89796 .89973 .90147 1.2
1.3 .91149 .91308 .91465 .91621 .91773 1.3
1,4 .92647 .92785 .92922 .93056 .93189 1,4
1.5 .93943 .90462 .94179 .94295 .94408 1.5
1.6 .95053 .95154 .95254 .95352 .95448 1.6
1.7 .95994 .96080 .96164 .96246 .96327 1.7
1.8 .96784 .96856 .96926 .96995 .97062 1.8
1.9 .97441 .97500 .97558 .97615 .97670 1.9
2.0 .97982 .98030 .98077 .98124 .98169 2.0
2.1 .98422 .98461 .98500 .98537 .98574 2.1
2.2 .98778 .98809 .98840 .98870 .98899 2.2
2.3 .99061 .99086 .99111 .99134 .99158 2.3
2,4 .99286 .99305 .99324 .99343 .99361 2,4
2.5 .99461 .99477 .99492 .99506 .99520 2.5
2.6 .99598 .99609 .99621 .99632 .99643 2.6
2.7 .99702 .99711 .99720 .99728 .99736 2.7
2.8 .99781 .99788 .99795 .99801 .99807 2.8
2.9 .99841 .99846 .99851 .99856 .99861 2.9
3.0 .99886 .99889 .99893 .99897 .99900 3.0
3.1 .99918 .99921 .99924 .99926 .99929 3.1
3.2 .99942 .99944 .99946 .99948 .99950 3.2
3.3 .99960 .99961 .99962 .99964 .99965 3.3
3,4 .99972 .99973 .99974 .99975 .99976 3,4
3.5 .99981 .99981 .99982 .99983 .99983 3.5
3.6 .99987 .99987 .99988 .99988 .99989 3.6
3.7 .99991 .99992 .99992 .99992 .99992 3.7
3.8 .99994 .99994 .99995 .99995 .99995 3.8
3.9 .99996 .99996 .99996 .99997 .99997 3.9

654. 640 APÉNDICE
n.Puntosporcentualesdeladistribución t
a
Sa
.40.25 .10 .05 .025 .01 .005 .0025 .001 .0005
1 .3251.0003.0786.31412.70631.82163.657127.32318.31636.62
2 .289.8161.8862.9204.3036.965 9.925 14.08923.32631.598
3 .277.7651.6382.3533.1824.5415.841 7.45310.21312.924
4
.271.7411.5332.132 2.776 3.7474.604 5.598 7.173 8.610
5 .267.7271.4762.0152.5713.3654.032 4.773 5.893 6.869
6 .265 .7271.4401.9432.4473.1433.707 4.317 5.208 5.959
7 .263
.7111.4151.8952.3652.9983.499 4.019 4.785 5.408
8 .262 .7061.397 1.860 2.3062.8963.355 3.833 4.501 5.041
9
.261.7031.3831.8332.2622.8213.250 3.690 4.297 4.781
1"0.260.7001.3721.8122.2282.7643.169 3.581 4.144 4.587
11 .260.6971.3631.7962.2012.7183.106 3.497 4.025 4.437
12 .259.6951.356 1.782 2.1792.6813.055 3.428 3.930 4.318
13 .259.6941.3501.7712.1602.6503.012 3.372 3.852 4.221
14 .258.6921.3451.7612.1452.6242.977 3.326 3.787 4.140
15 .258.6911.3411.7532.1312.6022.947 3.286 3.733 4.073
16 .258.6901.3371.7462.120 2.583 2.921 3.252 3.686 4.015
17 .257 .689 1.333 1.7402.110 2.567 2.898 3.222 3.646 3.965
18 .257 .6881.3301.7342.1012.5522.878 3.197 3.610 3.922
19 .257.6881.328 1.729
2,0932.5392.861 3.174 3.579 3.883
20 .257.6871.325 1.7252.0862.5282.845 3.153 3.552 3.850
21 .257.6861.3231.7212.0802.5182.831 3.135 3.527 3.819
22 .256.6861.3211.7172.0742.5082.819 3.119 3.505 3.792
23 .256.6851.319 1.7142.0692.500 2.807 3.104 3.485 3.767
24 .256.6851.3181.7112.0642.4922.797 3.091 3.467 3.745
25 .256.6841.3161.7082.060 2.485 2.787 3.078 3.450 3.725
26 .256 .684 1.3151.7062.0562.4792.779 3.067 3.435 3.707
27 .256.6841.3141.7032.0522.4732.771 3.057 3.421 3.690
28 .256.6831.3131.7012.0482.4672.763 3.047 3.408 3.674
29 .256.6831.3111.6992.0452.462 2.756 3.038 3.396 3.659
30 .256.6831.3101.6972.0422.457 2.750 3.030 3.385 3.646
40 .255 .681 1.3031.6842.0212.4232.704 2.971 3.307 3.551
60 .254.6791.2961.6712.0002.3902.660 2.915 3.232 3.460
120 .254.6771.2891.6581.9802.358 2.617 2.860 3.160 3.373
00 .253.6741.2821.6451.9602.3262.576 2.807 3.090 3.291
11=gradosdelibertad.
aAdaptadaconpermisode BiometrikaTablesfol'Statisticians,vol.1,3a.ed.,E.S.PearsonyH.O.Hartley,
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655. ~
APÉNDICE 641
ID.PuntosporcentualesdeladistribuciónX
Z
a
a
11 .995 .990 .975 .950 .500 .050 .025 .010 .005
10.00
+ 0.00+ 0.00+ 0.00+ 0.45 3.84 5.02 6.63 7.88
2 0.01 0.02 0.05 0.10 1.39 5.99 7.38 9.2110.60
3 0.07 0.11 0.22 0.35 2.37 7.81 9.3511.3412.84
4 0.21 0.30 0.48 0.71 3.36 9.4911.1413.2814.86
5 0.41 0.55 0.83 1.15 4.3511.0712.3815.0916.75
6 0.68 0.87 1.24 1.64 5.3512.5914.4516.8118.55
7 0.99 1.24 1.69 2.17 6.3514.0716.0118.4820.28
8 1.34
1.65 2.18 2.73 7.3415.5117.5320.0921.96
9 1.73 2.09 2.70 3.33 8.3416.9219.0221.6723.59
102.16 2.56 3.25 3.94 9.3418.3120.4823.2125.19
11 2.60 3.05 3.82 4.57 10.3419.6821.92 24.72 26.76
123.07 3.57 4.40 5.23 11.3421.0323.3426.2228.30
13 3.57 4.11 5.01 5.89 12.3422.36 24.74 27.69 29.82
144.07 4.66 5.63 6.57 13.3423.6826.1229.1431.32
154.60 5.23 6.27 7.26 14.3425.0027.4930.5832.80
165.14 5.81 6.91 7.96 15.3426.3028.8532.0034.27
175.70 6.41 7.56 8.67 16.3427.5930.1933.4135.72
186.26 7.01 8.23 9.39 17.3428.8731.5334.8137.16
196.84 7.63 8.91 10.12 18.3430.1432.8536.1938.58
20 7.43 8.26 9.59 10.85 19.3431.4134.17 37.57 40.00
2510.52 11.52 13.12 14.61 24.3437.6540.6544.3146.93
3013.79 14.95 16.79 18.49 29.3443.7746.9850.89 53.67
4020.71 22.16 24.43 26.51 39.3455.7659.3463.6966.77
5027.99 29.71 32.36 34.76 49.3367.50 71.42 76.1579.49
6035.53 37.48 40.48 43.19 59.3379.0883.3088.3891.95
7043.28 45.44 48.76 51.74 69.33 90.53 95.02
1OQ.42104.22
8051.17 53.54 57.15 60.39 79.33101.88106.63
/112.33116.32
9059.20 61.75 65.65 69.13 89.33113.14118.14124.12 128.30
10067.33 70.06 74.22 77.93 99.33124.34 129.56 135.81140.17
v=gradosdelibertad
aAdaptadaconpermisode BiometlikaTablesforStatisticians, vol.1,3a.ed.,E.S.PearsonyH.O.Hartley,
CambridgeUniversityPress,Cambridge

656. 0\ Iv.Puntosporcentualesdeladistribución Fa
-\:>.
FO.25'VI.V¡N
VI Gradosdelibertaddelnumerador (Vl)
V!'"
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120
5.83 7.50 8.20 8.58 8.82 8.98 9.10 9.19 9.26 9.32 9.41 9.49 9.58 9.63 9.67 9.71 9.76 9.80 9.85
2 2.57 3.00 3.15 3.23 3.28 3.31 3.34 3.35 3.37 3.38 3.39 3.41 3.43 3.43 3.44 3.45 3.46 3.47 3.48
3 2.02 2.28 2.36 2.39 2.41 2.42 2.43 2.44 2.44 2.44. 2.45 2.46 2.46 2.46 2.47 2.47 2.47 2.47 2.47
4
1.81 2.00 2.05 2.06 2.07 2.08 2.08 2.08 2.08 2.08 2.08 2.08 2.08 2.08 2.08 2.08 2.08 2.08 2.08
5 1.69 1.85 1.88 1.89 1.89 1.89 1.89 1.89 1.89 1.89 1.89 1.89 1.88 1.88 1.88 1.88 1.87 1.87 1.87
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1.71 1.71 1.70 1.70 1.70 1.69 1.68 1.68 1.67 1.67 1.66 1.66 1.65 1.65 1.65
8 1.54 1.66 1.67 1.66 1.66 1.65 1.64 1.64 1.63 1.63 1.62 1.62 1.61 1.60 1.60 1.59 1.59 1.58 1.58
9
1.51 1.62 1.63 1.63 1.62 1.61 1.60 1.60 1.59 1.59 1.58 1.57 1.56 1.56 1.55 1.54 1.54 1.53 1.53
10 1.49 1.60 1.60 1.59 1.59 1.58 1.57 1.56 1.56 1.55 1.54 1.53 1.52 1.52
1.51 1.5[ 1.50 1.49 1.48
11 1.47 1.58 1.58 1.57 1.56 1.55 1.54 1.53 1.53 1.52 1.51 1.50 1.49 1.49 1.48 1.47 1.47 1.46 1.45
12 1.46 1.56 1.56 1.55 1.54 1.53 1.52 1.51 1.51 1.50 1.49 [.48 1.47 1.46 1.45 1.45 1.44 1.43 1.42
13 1.45 1.55 1.55 1.53 1.52 1.51 1.50 1.49 1.49 1.48 1.47 1.46 1.45 1.44 1.43 1.42 1.42 1.41 1.40
14 1.44 1.53 1.53 1.52 1.51 1.50 1.49 1.48 1.47 1.46 1.45 1.44 1.43 1.42 1.41
1.41 1.40 1.39 1.38
N
¿
15 1.43 1.52 1.52 1.51 1.49 1.48 1.47 1.46 1.46 [.45 1.44 1.43 1.41 1.41 1.40 1.39 1.38 1.37 1.36
....
o
16 1.42 1.51 1.51 1.50 1.48 1.47 1.46 1.45 1.44 1.44 1.43 1.41 1.40 1.39 1.38 1.37 1.36 1.35 1.34'O
'"
'"
17 1.42 1.5[ 1.50 1.49 1.47 1.46 1.45 1.44 1.43 1.43 [.41 1.40 1.39 1.38 1.37 1.36 1.35 1.34 1.33
·s
o18 1.41 1.50 1.49 1.48 1.46 1.45 1.44 1.43 1.42 1.42 1.40 1.39 1.38 1.37 1.36 1.35 1.34 1.33 1.32
'"
"
19 1.41 1.49 1.49 1.47 1.46 1.44 1.43 1.42 1.41 1.41 1.40 1.38 1.37 1.36 1.35 1.34 1.33 1.32 1.30'O
"
'O
20 1.40 1.49 1.48 1.47 1.45 1.44 1.43 1.42 1.41 1.40 1.39 1.37 1.36 1.35 1.34 1.33 1.32 1.31 1.29
'O
'"21 1.40 1.48 1.48 1.46 1.44 1.43 1.42 1.41 1.40 1.39 1.38 1.37 1.35 1.34 1.33 1.32 1.31 1.30 1.28
t:
" 1.40 1.48 1.44 1.42 1.41 1.40 1.39 1.39 1.37 1.36 1.34 1.33 1.32 1.31 1.30 1.29 1.28
ª
22 1.47 1.45
"
23 1.39 1.47 1.47 1.45 1.43 1.42 1.41 1.40 1.39 1.38 1.37 1.35 1.34 1.33 1.32 1.31 1.30 1.28 1.27
'O
"'24 1.39 1.47 1.46 1.44 1.43 1.41 1.40 1.39 1.38 1.38 1.36 1.35 1.33 1.32 1.31 1.30 1.29 1.28 1.26o
'O
'"
c'525 1.39 1.47 1.46 1.44 1.42 1.41 1.40 1.39 1.38 1.37 1.36 1.34 1.33 1.32 1.31 1.29 1.28 1.27 1.25
26 1.38 1.46 1.45 1.44 1.42 1.41 1.39 1.38 1.37 1.37 1.35 1.34 1.32
1.31 1.30 1.29 1.28 1.26 1.25
27 1.38 1.46 1.45 1.43 1.42 1.40 1.39 1.38 1.37 1.36 1.35 1.33 1.32
1.31 1.30 1.28 1.27 1.26 1.24
28 1.38 1.46 1.45 1.43 1.41 1.40 1.39 1.38 1.37 1.36 1.34 1.33
1.31 1.30 1.29 1.28 1.27 1.25 1.24
29 1.38 1.45 1.45 1.43 1.41 1.40 1.38 1.37 1.36 1.35 1.34 1.32 1.31 1.30 1.29 1.27 1.26 1.25 1.23
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1.21 1.19
60 1.35 1.42 1.41 1.38 1.37 1.35 1.33 1.32 1.31 1.30 1.29 1.27 1.25 1.24 1.22
1.21 1.19 1.17 1.15
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1.31 1.30 1.29 1.28 1.26 1.24 1.22 1.21 1.19 1.18 1.16 1.13 1.10
1.32 1.39 1.37
1:35 1.33 1.31 1.29 1.28 1.27 1.25 1.24 1.22 1.19 1.18 1.16 1.14 1.12 1.08 1.00
v=gradosdelibertad
aAdaptadaconpermisode BiametrikaTablesfarStatisticians, vol.1,3a.ed.,E.S.PearsonyR.O.Rartley,CambridgeUniversityPress,Cambridge

657. .•....._.--,---~-~_.-_._,~ ..~.._,~.--,,-~._-~,~~
Iv.PuntosporcentualesdeladistribuciónF (continuación)
Fo.lo,v,,v,
'"
Gradosdelibertaddelnumerador (VI)
v,'\.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120
1 39.86 49.50 53,59 55.83 57.24 58.20 58.91 59.44 59.86 60.19 60.71 61.22 61.74 62.00 62.26 62.53 62.79 63.06 63.33
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3.10
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9 3.36 3.01 2.81 2.69 2.61 2.55 2.51 2.47 2.44 2.42 2.38 2.34 2.30 2.28 2.25 2.23 2.21 2.18 2.16
o:::..
10 3.29 2.92 2.73 2.61 2.52 2.46 2,41 2.38 2.35 2.32 2.28 2.24 2.20 2.18 2.16 2.13 2.11 2.08 2:06
11 3.23 2.86 2.66 2.54 2.45 2.39 2.34. 2.30 2.27 2.25 2.21 2.17 2.12 2.10 2.08 2.05 2.03 2.00 1.97
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~14 3.10 2.73 2.52 2.39 2.31 2.24 2.19 2.15 2.12 2.10 2.05 2.01 1.96 1.94 1.91 1.89 1.86 1.83 1.80
.:S
...15 3.07 2.70 2.49 236 2.27 2.21 2.16 2.12 2.09 2.06 2.02 1.97 1.92 1.90 1.87 1.85 1.82 1.79 1.76
o
'O
16 3.05 2.67 2.46 233 2.24 2.18 2.13 2.09 2.06 2.03 1.99 1.94 1.89 1.87 1.84 1.81 1.78 1.75 1.72
'".§
17 3.03 2.64 2.44 2.31 2.22 2.15 2.10 2.06 2.03 2.00 1.96 1.91 1.86 1.84 1.81 1.78 1.75 1.72 1.69
o
18 3.01 2.62 2.42 2.29 2.20 2.13 2.08 2.04 2.00 1.98 1.93 1.89 1.84 1.81 1.78 1.75 1.72 1.69 1.66
'""
'O
19 2.99 2.61 2.40 2.27 2.18 2.11 2.06 2.02 1.98 1.96 1.91 1.86 1.81 1.79 1.76 1.73 1.70 1.67 1.63
03
'O
'O20 2.97 2.59 2.38 2.25 2.16 2.09 2.04 2.00 1.96 1.94 1.89 1.84 1.79 1.77 1.74 1.71 1.68 1.64 1.61
'"1::
21 2.96 2.57 2.36 2.23 2.14 2.08 2.02 1.98 1.95 1.92 1.87 1.83 1.78 1.75 1.72 1.69 1.66 1.62 1.59Q)
ª
22 2.95 2.56 2.35 2.22 2.13 2.06 2.01 1.97 1.93 1.90 1.86 1.81 1.76 1.73 1.70 1.67 1.64 1.60 1.57
"
'O
23 2.94 2.55 2.34 2.21 2.11 2.05 1.99 1.96 1.92 1.89 1.84 1.80 1.74 1.72 1.69 1.66 1.62 1.59 1.55
¡s
24 2.93 2.54 2.33 2.19 2.10 2.04 1.98 1.94 1.91 1.88 1.83 1.78 1.73 1.70 1.67 1.64 1.61 1.57 1.53'O
'"
d
25 2.92 2.53 2.32 2.18 2.09 2.02 1.97 1.93 1.89 1.87 1.82 1.77 1.72 1.69 1.66 1.63 1.59 1.56 1.52
26 2.91 2.52 2.31 2.17 2.08 2.01 1.96 1.92 1.88 1.86 1.81 1.76
1.71 1.68 1.65 1.61 1.58 1.54 1.50
27 2.90 2.51 2.30 2.17 2.07 2.00 1.95
1.91 1.87· 1.85 1.80 1.75 1.70 1.67 1.64 1.60 1.57 1.53 1.49
28 2.89 2.50 2.29 2.16 2.06 2.00 1.94 1.90 1.87 1.84 1.79 1.74 1.69 1.66 1.63 1.59 1.56 1.52 1.48
29 2.89 2.50 2.28 2.15 2.06 1.99 1.93 1.89 1.86 1.83 1.78 1.73 1.68 1.65 1.62 1.58 1.55
1.51 1.47
30 2.88 2.49 2.28 2.14 2.03 1.98 1.93 1.88 1.85 1.82 1.77 1.72 1.67 1.64
1.61 1.57 1.54 1.50 1.46
40 2.84 2.44 2.23 2.09 2.00 1.93 1.87 1.83 1.79 1.76
1.71 1.66 1.61 1.57 1.54 1.51
1.47 1.42 1.38
60 2.79 2.39 2.18 2.04 1.95 1.87 1.82 1.77 1.74 1.71 1.66 1.60 1.54
1.51 1.48 1.44 1.40 1.35 1.29
120 2.75 2.35 2.13 1.99 1.90 1.82 1.77 1.72 1.68 1.65 1.60 1.55 1.48 1.45
1.41 1.37 1.32 1.26 1.19
C10 2.71 2.30 2.08 1.94 1.85 1.77 1.72 1.67 1.63 1.60 1.55 1.49 1.42 1.38 1.34 1.30 1.24 1.17 1.00
0\
~
W

658. 0\
Iv.PuntosporcentualesdeladistribuciónF (continuación)
~
~
Fo.os.1,!,Vz
VI Gradosdelibertaddelnumerador (1'1)
1','\.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120
161.4 199.5 215.7 224.6 230.2 234.0 236.8 238.9 240.5 241.9 243.9 245.9 248.0 249.1 250.1
251.l 252.2 253.3 254.3
2 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.35 19.37 19.38 19.40 19.41 19.43 19.45 19.45 19.46 19.47 19.48 19.49 19.50
3 10.13 9.55
9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79 8.74 8.70 8.66 8.64 8.62 8.59 8.57 8.55 8.53
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3.44 3.39 3.35 3.28
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9 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14 3.07 3.01 2.94 2.90 2.86 2.83 2.79 2.75 2.71
10 4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98 2.91 2.85 2.77
2.74 2.70 2.66 2.62 2.58 2.54
11 4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.85 2.79
2.72 2.65 2.61 2.57 2.53 2.49 2.45 2.40
12 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.75 2.69 2.62 2.54 2.51 2.47 2.43 2.38 2.34 2.30
13 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67 2.60 2.53 2.46 2.42 2.38 2.34 2.30 2.25 2.21
N
14 4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70 2.65 2.60 2.53 2.46 2.39 2.35 2.31 2.27 2.22 2.18 2.13
¿
....
15 4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54 2.48 2.40 2.332.29 2.25 2.20 2.16 2.11 2.07
o
-o
16 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49 2.42 2.35 2.28 2.24 2.19 2.15 2.11 2.06 2.01
01
"·s17 4.45 3.59 3.20 2.96 2.81 2.70 2.61 2.55 2.49 2.45 2.38 2.31 2.23 2.19 2.15 2.10 2.06 2.01 1.96
o
18
"
4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2_11 2.46 2.41 2.34 2.27 2.19 2.15 2.11 2.06 2.02 1.97 1.92
OJ
-o
19 4.38 3.52 3.13 2.90 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38 2.31 2.23 2.16 2.11 2.07 2.03 1.98 1.93 1.88
"i:i
-o
-o20 4.35 3.49 3.10 2.87 2.71 2.60 2.51 2.45 2.39 2.35 2.28 2.20 2.12 2.08 2.04 1.99 1.95 1.90 1.84
01
t::
21 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32 2.25 2.18 2.10 2.05 2.01 1.96 1.92 1.87 1.81OJ
.D
:=
22 4.30 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.40 2.34 2.30 2.23 2.15 2.07 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 1.78
OJ
-o
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:B
-o24 4.26 3.40 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.30 2.25 2.18 2.11 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 1.79 1.73
01
d
25 4.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 2.40 2.34 2.28 2.24 2.16 2.09 2.01 1.96 1.92 1.87 1.82 1.77 1.71
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27 4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25 2.20 2.13 2.06 .1.97 1.93 1.88 1.84 1.79 1.73 1.67
28 4.20 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 2.19 2.12 2.04 1.96 1.91 1.87 1.82 1.77 1.71 1.65
29 4.18 3.33 2.93 2.70 2 ..55 2.43 2.35 2.28 2.22 2.18 2.10 2.03 1.94 1.90 1.85 1.81 1.75 1.70 1.64
30 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16
2M 2.01 1.93 1.89 1.84 1.79 1.74 1.68 1.62
40 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08 2.00 1.92 1.84 1.79 1.74 1.69 1.64 1.58
1.51
60 4.00 3.15 2.76 2.53 2.37 2.25 2.17 2.10 2.04 1.99 1.92 1.84 1.75 1.70 1.65 1.59 1.53 1.47 1.39
120 3.92 3.07 2.68 2.45 2.29 2.17 2.09 2.02 1.96 1.91 1.83 1.75 1.66
1.61 1.55 1.55 1.43 1.35 1.25
3.84 3.00 2.60 2.37 2.21 2.10 2.01 1.94 1.88 1.83 1.75 1.67 1.57 1.52 1.46 1.39 1.32 1.22 1.00

659. ....•=-"._.~~~-~._ ••~
IV.Puntos porcentualesdeladistribuciónF (continuación)
FO.OZ5,v¡,1'Z
VI
Gradosdelibertaddelnumerador (1'1)
,,,
\,
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120
647.8 799.5 864.2 899.6 921.8 937.1 948.2 956.7 963.3 968.6 976.7 984.9 993.1 997.2
1001 1006 1010 1014 1018
2 38.51 39.00 39.17 39.25 39.30 39.33 39.36 39.37 39.39 39.40 39.41 39.43 39.45 39.46 39.46 39.47 39.48 39.49 39.50
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6
8.81 7.26 6.60 6.23 5.99 5.82 5.70 5.60 5.52 5.46 5.37 5.27 5.17 5.12 5.07 5.01 4.96 4.90 4.85
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4.31 4.25 4.20 4.14
8 7.57 6.06 5.42 5.05 4.82 4.65 4.53 4.43 4.36 4.30 4.20 4.10 4.00 3.95 3.89 3.84 3.78 3.73 3.67
9 7.21 5.71 5.08 4.32 4.20 4.10 3.96 3.87 3.77
-":0
4.72 4.48 4.03 3.67 3.61 3.56 3.51 3.45 3.39 3.33
10 6.94 5.46 4.83 4.47 4.24 4.07 3.95 3.85 3.78 3.72 3.62 3.52 3.42 3.37 3.31 3.26 3.20 3.14 3.08
11 6.72 5.26 4.63 4.28 4.04 3.88 3.76 3.66 3.59 3.53 3.43 3.33 3.23 3.17 3.12 3.06 3.00 2.94 2.88
12 6.55 5.10 4.47 4.12 3.89 3.73 3.61 3.51 3.44 3.37 3.28 3.18 3.07 3.02 2.96 2.91 2.85 2.79 2.72
13 6.41 4.97 4.35 4.00 3.77 3.60 3.48 3.39 3.31 3.25 3.15 3.05 2.95 2.89 2.84 2.78 2.72 2.66 2.60
N
14 6.30 4.86 4.24 3.89 3.66 3.50 3.38 3.29 3.21 3.15 3.05 2.95 2.84 2.79 2.73 2.67 2.61 2.55 2.49
¿
...15 6.20 4.77 4.15 3.80 3.58 3.41 3.29 3.20 3.12 3.06 2.96 2.86 2.76 2.70 2.64 2.59 2.52 2.46 2.40
o
"C
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'"
¡::
·s17 6.04 4.62 4.01 3.66 3.44 3.28 3.16 3.06 2.98 2.92 2.82 2.72 2.62 2.56 2.50 2.44 2.38 2.32 2.25
o
18 3.95
¡::
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'""C
19 5.92 4.51 3.90 3.56 3.33 3.17 3.05 2.96 2.88 2.82 2.72 2.62 2.51 2.45 2.39 2.33 2.27 2.20 2.13
"
"C
"C 20 5.87 4,46 3.86 3.51 3.29 3.13 3.01 2.91 2.84 2.77 2.68 2.57 2.46 2.41 2.35 2.29 2.22 2.16 2.09
~
21 5.83 4.42 3.82 3.48 3.25 3.09 2.97 2.87 2.80 2.73 2.64 2.53 2.42 2.37 2.31 2.25 2.18 2.11 2.04
'"
ª
22 5.79 4.38 3.78 3.44 3.22 3.05 2.93 2.84 2.76 2.70 2.60 2.50 2.39 2.33 2.27 2.21 2.14 2.08 2.00
'"
"C
23 5.75 4.35 3.75 3.41 3.18 3.02 2.90 2.81 2.73 2.67 2.57 2.47 2.36 2.30 2.24 2.18 2.11 2.04 1.97
:g
"C 24 5.72 4.32 3.72 3.38 3.15 2.99 2.87 2.78 2.70 2.64 2.54 2.44 2.33 2.27 2.21 2.15 2.08 2.01 1.94
'"
O
25 5.69 4.29 3.69 3.35 3.13 2.97 2.85 2.75 2.68 2.61 2.51 2.41 2.30 2.24 2.18 2.12 2.05 1.98 1.91
26 5.66 4.27 3.67 3.33 3.10 2.94 2.82 2.73 2.65 2.59 2.49 2.39 2.28 2.22 2.16 2.09 2.03 1.95 1.88
27 5.63 4.24 3.65 3.31 3.08 2.92 2.80 2.71 2.63 2.57 2.47 2.36 2.25 2.19 2.13 2.07 2.00 1.93
1.85
28 5.61 4.22 3.63 3.29 3.06 2.90 2.78 2.69 2.61 2.55 2.45 2.34 2.23 2.17 2.11 2.05 1.98 1.91 1.83
29 5.59 4.20 1.61 3.27 3.04 2.88 2.76 2.67 2.59 2.53 2.43 2.32 2.21 2.15 2.09 2.03 1.96 1.89 1.81
30 5.57 4.18 3.59 3.25 3.03 2.87 2.75 2.65 2.57 2.51 2,41 2.31 2.20 2.14 2.07 2.01 1.94 1.87 1.79
40 5.42 4.05 3.46 3.13 2.90 2.74 2.62 2.53 2,45 2.39 2.29 2.18 2.07 2.01 1.94 1.88 1.80 1.72 1.64
60 5.29 3.93 3.34 3.01 2.79 2.63 2.51 2.41 2.33 2.27 2.17 2.06 1.94 1.88 1.82 1.74 1.67 1.58 1.48
120 5.15 3.80 3.23 2.89 2.67 2.52 2.39 2.30 2.22 2.16 2.05 1.94 1.82 1.76 1.69 1.61 1.53 1.43 1.31
5.02 3.69 3.12 2.79 2.57 2.41 2.29 2.19 2.11 2.05 1.94 1.83 1.71 1.64 1.57 1,48 1.39 1.27 1.00
0'1
...¡::..
\JI

660. 0'1 Iv.PuntosporcentualesdeladistribuciónF (continuación)
...¡::..
FO.01•v¡,Vz0'1
Jll
Gradosdelibertaddelnumerador (Jl
1
)
JI:!'\.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120
4052 4999.55403 5625 5764 5859 5928 5982 6022 6056 6106 6157 6209 6235 6261 6287 6313 6339 6366
2 98.50 99.00 99.17 99.25 99.30 99.33 99.36 99.37 99.39 99.40 99.42 99.43 99.45 99.46 99.47 99.47 99.48 99.49 99.50
3 34.12 30.82 29.46 28.71 28.24 27.91 27.67 27.49 27.35 27.23 27.05 26.87 26.69 26.00 26.50 26.41 26.32 26.22 26.13
4 21.20 18.00 16.69 15.98 15.52 15.21 14.98 14.80 14.66 14.55 14.37 14.20 14.02 13.93 13.84 13.75 13.65 13.56 13.46
5 16.26 13.27 12.06 11.39 10.97 10.67 10.46 10.29 10.16 10.05 9.89 9.72 9.55 9.47 9.38 9.29 9.20 9.11 9.02
6 13.75 10.92 9.78 9.15 8.75 8.47 8.26 8.10 7.98 7.87 7.72 7.56 7.40
7.31 7.23 7.14 7.06 6.97 6.88
7 12.25 9.55 8.45 7.85 7.46 7.19 6.99 6.84 6.72 6.62 6.47 6.31 6.16 6.07 5.99 5.91 5.82 5.74 5.65
8 11.26 8.65 7.59 7.01 6.63 6.37 6.18 6.03 5.91 5.81 5.67 5.52 5.36 5.28 5.20 5.12 5.03 4.95 4.86
9 10.56 8.02 6.99 6.42 6.06 5.80 5.61 5.47 5.35 5.26 5.11 4.96 4.81 4.73 4.65 4.57 4.48 4.40 4.31
~------
10 10.04 7.56 6.55 5.99 5.64 5.39 5.20 5.06 4.94 4.85 4.71 4.56 4.41 4.33 4.25 4.17 4.08 4.00 3.91
11 9.65 7.21 6.22 5.67 5.32 5.07 4.89 4.74 4.63 4.54.4.40 4.25 4.10 4.02 3.94 3.86 3.78 3.69 3.60
12 9.33 6.93 5.95 5.41 5.06 4.82 4.64 4.50 4.39 4.30 4.16 4.01 3.86 3.78 3.70 3.62 3.54 3.45 3.36
13 9.07 6.70 5.74 5.21 4.86 4.62 4.44 4.30 4.19 4.10 3.96 3.82 3.66 3.59 3.51 3.43 3.34 3.25 3.17
01
14 8.86 6.51 5.56 5.04 4.69 4.46 4.28 4.14 4.03 3.94 3.80 3.66 3.51 3.43 3.35 3.27 3.18 3.09 3.00
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18 8.29 6.01 5.09 4.58 4.25 4.01 3.84 3.71 3.60 3.51 3.37 3.23 3.08 3.00 2.92 2.84 2.75 2.66 2.57
"
"'Cl
19 8.18 5.93 5.01 4.50 4.17 3.94 3.77 3.63 3.52 3.43 3.30 3.15 3.00 2.92 2.84 2.76 2.67 2.58 2.49
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"
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23 7.88 5.66 4.76 4.26 3.94 3.71 3.54 3.41 3.30 3.21 3.07 2.93 2.78 2.70 2.62 2.54 2.45 2.35 2.26
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24 7.82 5.61 4.72 4.22
"'Cl 3.90 3.67 3.50 3.36 3.26 3.17 3.03 2.89 2.74 2.66 2.58 2.49 2.40 2.31 2.21
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25 7.77 5.57 4.68 4.18 3.85 3.63 3.46 3.32 3.22 3.13 2.99 2.85 2.70 2.62 2.54 2.45 2.36 2.27 2.17
26 7.72 5.53 4.64 4.14 3.82 3.59 3.42 3.29 3.18 3.09 2.96
2.81 2.66 2.58 2.50 2.42 2.33 2.23 2.13
27 7.68 5.49 4.60 4.11 3.78 3.56 3.39 3.26 3.15 3.06 2.93 2.78 2.63 2.55 2.47 2.38 2.29 2.20 2.10
28 7.64 5.45 4.57 4.07 3.75 3.53 3.36 3.23 3.12 3.03 2.90 2.75 2.60 2.52 2.44 2.34 2.26 2.17 2.06
29 7.60 5.42 4.54 4.04 3.73 3.50 3.33 3.20 3.09 3.00 2.87 2.73 2.57 2.49 2.41 2.33 2.23 2.14 2.03
30 7.56 5.39 4.51 4.02 3.70 3.47 3.30 3.17 3.07 2.98 2.84 2.70 2.55 2.47 2.39 2.30
2.21 2.11 2.01
40 7.31 5.18 4.31 3.83 3.51 3.29 3.12 2.99 2.89 2.80 2.66 2.52 2.37 2.29 2.20 2.11 2.02 1.92 1.80
60 7.08 4.98 4.13 3.65 3.34 3.12 2.95 2.82 2.72 2.63 2.50 2.35 2.20 2.12 2.03 1.94 1.84 1.73 1.60
120 6.85 4.79 3.95 3.48 3.17 2.96 2.79 2.66 2.56 2.47 2.34 2.19 2.03 1.95 1.86 1.76 1.66 1.53 1.38
00 6.63 4.61 3.78 3.32 3.02 2.80 2.64 2.51 2.41 2.32 2.18 2.04 1.88 1.79 1.70 1.59 1.47 1.32 1.00J

661. APÉNDICE 647
V.Curvasdeoperacióncaracterísticaparaelanálisisdevarianzadelmodelo conefectosfijosa
54
3.5~ <1>(paraa=.05)
345
3~ <1>(paraa=.05)
2 3
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aAdaptadaconpermisode Biometl'ikaTablesfol'Statisticial1s,vol.2,E.S.PearsonyR.O.Hartley,Cambridge
UniversityPress,Cambridge

662. 648 APÉNDICE
V.Curvasdeoperacióncaracterísticaparaelanálisisdevarianza
delmodeloconefectos
fijos(continuación)
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663. APÉNDICE649
V.Curvasdeoperacióncaracterísticaparaelanálisisdevarianza
delmodelo
conefectosfijos (continuación)
54
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2 3
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2 3~ <I>(paraa=.OS)
<I>(paraa=.01)__1 2 3 4

664. 650 APÉNDICE
V.Curvasdeoperacióncaracterísticaparaelanálisisdevarianza
delmodeloconefectos
fijos(continuación)
en
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4
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665. VI.Curvasdeoperacióncaracterísticapara elanálisisdevarianza
delmodeloconefectosaleatorios"
APÉNDICE 651
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130
21
17
170
150
190~ A(paraa=.05)
170190
"Reproducidaconpermisode Enginee/'ingStatistics,2a.ed.,A.H.Bowker yG.J.Lieberrnan,Prentiee-Hall,
Ine.,EnglewoodCliffs,NJ.

666. 652 APÉNDICE
VI.Curvasdeoperacióncaracterísticapara elanálisisdevarianzadel
modelo
conefectosaleatorios (continuación)
10 11
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667. APÉNDICE 653
VI.Curvasdeoperacióncaracterísticaparaelanálisisdevarianzadel
modeloconefectosaleatorios
(continuación)
1.00
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.80
.70
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.40
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I--+--+---
2 3 4 5
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6
2
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3 4 5 S 7 8 9 10
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.40
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.031--1--
987
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12345 S7'-"-(parau=.01)
"-(pafau=.05)~ 1 2 3 4 5 6

668. 654 APÉNDICE
VI.Curvasdeoperacióncaracterísticaparaelanálisisdevarianzadel
modeloconefectosaleatorios
(continuación)
87
6
__,,(parau=.05)
2 3 4 5 6
2 3 4 5
,,(parau=.01)__1
.20
.10
.08
.07
.06
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.60
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.02
234 5
,,(parau=.05)__1
6__,,(parau=.01)
2 3 4 5 6 7 8

669. ,
i
APÉNDICE 655
Vil.Rangossignificativosparalapruebadelrangomúltiplede Duncana
lO.OI(P,f)
p
f 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 50 100
90.0 90.0 90.0 90.0 90.0 90.0 90.0 90.0 90.0 90.0 90.0 90.0
2 14.0 14.0 14.0 14.0 14.0 14.0 14.0 14.0 14.0 14.0 14.0 14.0
3 8.26 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.9 9.0 9.0 9.3
9.3 9.3
4 6.51 6.8 6.9 7.0
7.1 7.1 7.2 7.2 7.3 7.5 7.5 7.5
5 5.70 5.96
6.11 6.18 6.26 6.33 6.40 6.44 6.5 6.8 6.8 6.8
6 5.24
5.51 5.65 5.73 5.81 5.88 5.95 6.00 6.0 6.3 6.3 6.3
7 4.95 5.22 5.37 5.45 5.53 5.61 5.69 5.73 5.8 6.0 6.0 6.0
8 4.74 5.00 5.14 5.23 5.32 5.40 5.47 5.51 5.5 5.8 5.8 5.8
9 4.60 4.86 4.99 5.08 5.17 5.25 5.32 5.36 5.4 5.7 5.7 5.7
10 4.48 4.73 4.88 4.96 5.06 5.13 5.20 5.24 5.28 5.55 5.55 5.55
11 4.39 4.63 4.77 4.86 4.94 5.01 5.06 5.12 5.15 5.39 5.39 5.39
12 4.32 4.55 4.68 4.76 4.84 4.92 4.96 5.02 5.07 5.26 5.26 5.26
13 4.26 4.48 4.62 4.69 4.74 4.84 4.88 4.94 4.98 5.15 5.15 5.15
14 4.21 4.42 4.55 4.63 4.70 4.78 4.83 4.87 4.91 5.07 5.07 5.07
15 4.17 4.37 4.50 4.58 4.64 4.72 4.77 4.81 4.84 5.00 5.00 5.00
16 4.13 4.34 4.45 4.54 4.60 4.67 4.72 4.76 4.79 4.94 4.94 4.94
17 4.10 4.30 4.41 4.50 4.56 4.63 4.68 4.73 4.75 4.89 4.89 4.89
18 4.07 4.27 4.38 4.46 4.53 4.59 4.64 4.68 4.71 4.85 4.85 4.85
19 4.05 4.24 4.35 4.43 4.50 4.56 4.61 4.64 4.67 4.82 4.82 4.82
20 4.02 4.22 4.33 4.40 4.47 4.53 4.58 4.61 4.65 4.79 4.79 4.79
30 3.89 4.06 4.16 4.22 4.32 4.36 4.41 4.45 4.48 4.65 4.71 4.71
40 3.82 3.99 4.10 4.17 4.24 4.30 4.34 4.37 4.41 4.59 4.69 4.69
60 3.76 3.92 4.03 4.12 4.17 4.23 4.27 4.31 4.34 4.53 4.66 4.66
100 3.71 3.86 3.98 4.06 4.11 4.17 4.21 4.25 4.29 4.48 4.64 4.65
00 3.64 3.80 3.90 3.98 4.04 '4.09 4.14 4.17 4.20 4.41 4.60 4.68
f=gradosdelibertad
Reproducidaconpermisode"MultipleRange andMultiple
FTests",D.B.Duncan, Biometrics,
vol.1,no.1,pp.1-42
r
O
•
0
5(p,f)
p
f 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 50 100
1 18.0 18.0 18.0 18.0 18.0 18.0 18.0 18.0 18.0 18.0 18.0 18.0
2 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09 6.09
3 4.50 4.50 4.50 4.50 4.50 4.50 4.50 4.50 4.50 4.50 4.50 4.50
4 3.93 4.01 4.02 4.02 4.02 4.02 4.02 4.02 4.02 4.02 4.02 4.02
5 3.64 3.74 3.79 3.83 3.83 3.83 3.83 3.83 3.83 3.83 3.83 3.83
6 3.46 3.58 3.64 3.68 3.68 3.68 3.68 3.68 3.68 3.68 3.68 3.68
7 3.35 3.47 3.54 3.58 3.60 3.61 3.61 3.61 3.61 3.61 3.61 3.61
8 3.26 3.39 3.47 3.52 3.55 3.56 3.56 3.56 3.56 3.56 3.56 3.56
9 3.20 3.34 3.41 3.47 3.50 3.52 3.52 3.52 3.52 3.52 3.52 3.52
10 3.15 3.30 3.37 3.43 3.46 3.47 3.47 3.47 3.47 3.48 3.48 3.48
11 3.11 3.27 3.35 3.39 3.43 3.44 3.45 3.46 3.46 3.48 3.48 3.48
12 3.08 3.23 3.33 3.36 3.40 3.42 3.44 3.44 3.46 3.48 3.48 3.48
13 3.06 3.21 3.30 3.35 3.38 3.41 3.42 3.44 3.45 3.47 3.47 3.47
14 3.03 3.18 3.27 3.33 3.37 3.39 3.41 3.42 3.44 3.47 3.47 3.47
15 3.01 3.16 3.25 3.31 3.36 3.38 3.40 3.42 3.43 3.47 3.47 3.47
16 3.00 3.15 3.23 3.30 3.34 3.37 3.39 3.41 3.43 3.47 3.47 3.47
17 2.98 3.13 3.22 3.28 3.33 3.36 3.38 3.40 3.42 3.47 3.47 3.47
18 2.97 3.12 3.21 3.27 3.32 3.35 3.37 3.39 3.41 3.47 3.47 3.47
19 2.96 3.11 3.19 3.26 3.31 3.35 3.37 3.39 3.41 3.47 3.47 3.47
20 2.95 3.10 3.18 3.25 3.30 3.34 3.36 3.38 3.40 3.47 3.47 3.47
30 2.89 3.04 3.12 3.20 3.25 3.29 3.32 3.35 3.37 3.47 3.47 3.47
40 2.86
3.01 3.10 3.17 3.22 3.27 3.30 3.33 3.35 3.47 3.47 3.47
60 2.83 2.98 3.08 3.14 3.20 3.24 3.28 3.31 3.33 3.47 3.48 3.48
100 2.80 2.95 3.05 3.12 3.18 3.22 3.26 3.29 3.32 3.47 3.53 3.53
00 2.77 2.92 3.02 3.09 3.15 3.19 3.23 3.26 3.29 3.47 3.61 3.67

670. 0\ VIll.Puntosporcentualesdelestadísticodelrangostudentizado"
iJl
0\ qO.Ol(p,f)
---
p
f 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
190.0
135 164 186 202 216 227 237 246 253 260 266 272 272 282 286 290 294 298
214.019.022.324.726.628.229.530.7 31.7 32.633.431.434.835.436.036.537.037.537.9
38.2610.612.213.314.215.0 15.6 16.216.717.117.517.918.218.518.8
19.119.319.519.8
46.518.129.17 9.96 10.611.111.511.912.312.612.8
13.113.313.513.713.9 14.114.214.4
55.706.977.808.428.919.329.679.9710.2410.4810.7010.8911.0811.2411.4011.5511.6811.81 11.93
65.246.337.037.567.978.328.618.879.109.309.499.659.819.9510.0810.2110.3210.4310.54
74.955.926.547.017.377.687.948.178.378.558.718.869.009.12 9.24 9.359.469.55 9.65
84.745.636.206.636.967.247.477.68 7.87 8.038.188.318.448.558.668.768.858.949.03
94.605.435.966.356.666.917.137.327.497.657.787.918.038.138.238.328.418.498.57
104.485.275.776.14 6.43 6.67 6.87 7.057.217.367.48 7.60 7.717.817.917.998.078.158.22
114.395.145.625.976.25 6.48 6.676.846.997.137.257.367.467.567.657.737.817.887.95
124.325.04 5.50 5.846.10 6.32 6.516.676.816.947.067.17 7.26 7.36 7.44 7.527.597.667.73
134.264.965.405.735.986.196.376.536.67 6.79 6.907.017.10 7.19 7.277.34 7.42 7.487.55
144.214.895.325.635.886.08 6.26 6.416.546.666.776.87 6.96 7.057.127.207.277.337.39
154.17 4.83 5.255.565.805.996.166.316.446.556.666.76 6.84 6.937.007.077.147.207.26
164.134.785.195.495.72 5.92 6.086.22 6.35 6.466.566.66 6.74 6.82 6.906.97 7.03 7.097.15
174.104.745.145.435.665.856.016.156.276.386.486.57 6.66 6.73 6.806.876.947.007.05
184.074.705.095.385.605.795.946.086.206.316.416.506.586.656.726.796.856.916.96
194.054.675.055.335.555.735.896.026.146.256.346.436.516.586.656.72 6.78 6.846.89
204.024.645.025.295.515.695.845.976.09 6.19 6.29 6.376.456.526.596.65 6.71 6.76 6.82
243.964.544.915.175.375.545.695.815.926.026.116.196.266.336.396.456.516.566.61
303.894.454.805.055.245.405.545.655.765.855.936.016.086.146.206.266.316.366.41
403.824.374.704.935.115.27 5.39 5.505.60 5.69 5.775.845.905.966.026.076.126.176.21
603.764.284.604.824.995.135.255.365.455.535.605.675.735.79 5.84 5.895.935.986.02
1203.704.204.504.714.875.015.125.215.305.385.445.515.565.615.665.715.755.795.83
003.644.124.404.604.764.88 4.99 5.085.165.235.295.355.405.455.495.545.575.615.65
f=gradosdelibertad
"DeJ.M.
May,"ExtendedandCorrected Thb1esoftbeUpperPercentagePointsoftheStudentizedRange", Biometrika,vol.39,pp.192-193.Reproducidaconpermisodelosfideicomisa-
rios
de
Biometlika

671. 0'\
U1
-..]
VIII.Puntosporcentualesdelestadísticodelrangostudentizado (continuación)
QO.05(P,f)
p
f 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1
18.126.732.837.240.543.145.447.349.150.651.9 53.2 54.355.456.357.2 58.0 58.859.6
26.098.289.8010.8911.73 12.4313.0313.5413.99 14.3914.7515.08 15.38 15.65 15.9116.14 16.36 16.57 16.77
34.505.886.837.518.048.478.859.18 9.46 9.72 9.95 10.1610.3510.5210.69 10.84 10.98 11.1211.24
43.935.005.766.316.737.067.357.607.838.038.218.378.528.678.808.929.039.149.24
53.644.605.225.676.03 6.33 6.586.806.99 7.17 7.327.47 7.60 7.727.83 7.93 8.038.12
8.21
63.464.344.905.315.635.896.126.326.496.656.796.92 7.04 7.147.24 7.34 7.43 7.517.59
~::
73.344.164.685.06 5.35 5.595.805.996.15 6.29 6.426.546.656.756.846.937.017.087.16
~L-
83.264.044.534.895.175.405.60 5.77 5.92 6.056.186.29 6.39 6.48 6.576.656.736.80 6.87
93.203.954.424.765.025.245.435.605.745.87 5.98 6.09 6.19 6.28 6.366.446.516.586.65
103.153.884.334.664.915.125.30 5.46 5.60 5.72 5.835.936.036.126.206.276.34
6.416.47
113.113.824.264.584.825.035.205.355.495.61 5.71 5.815.90 5.98 6.06 6.14 6.20 6.27 6.33
123.083.774.204.514.754.955.125.275.405.515.615.715.80 5.88 5.95 6.026.096.15 6.21
133.063.734.154.464.694.885.055.195.325.435.535.635.715.795.865.936.006.06 6.11
143.033.704.114.414.644.834.995.13 5.25 5.36 5.46 5.56 5.645.725.79 5.86 5.925.98 6.03
153.013.674.084.374.594.78 4.94 5.085.205.315.405.495.575.65 5.72 5.795.855.915.96
163.003.654.054.344.56 4.74 4.905.03 5.15 5.26 5.35 5.445.525.59 5.66 5.735.795.845.90
172.983.624.024.314.52 4.70 4.86 4.99 5.11 5.21 5.315.395.475.555.615.685.745.795.84
182.973.614.004.284.49 4.67 4.834.965.07 5.17 5.275.355.435.505.575.635.695.745.79
192.963.59 3.98 4.264.474.64 4.79 4.925.045.145.235.325.395.465.535.595.655.705.75
202.953.583.964.24 4.45 4.62 4.774.905.015.115.205.28 5.36 5.43 5.50 5.56 5.615.66
5.71
242.923.533.904.174.374.544.684.814.925.015.105.185.255.325.38 5.44 5.50 5.55 5.59
302.893.483.844.114.304.46 4.60 4.724.834.925.005.085.15 5.21 5.275.335.385.435.48
402.863.443.794.044.234.39 4.52 4.634.744.824.904.985.055.115.175.22 5.27 5.32 5.36
602.833.40 3.74 3.984.164.314.44 4.55 4.65 4.73 4.81 4.884.945.005.065.115.155.205.24
1202.803.36 3.69 3.92 4.104.244.364.474.56 4.64 4.714.784.844.904.955.005.045.095.13
002.773.323.63 3.86 4.034.174.29 4.39 4.474.554.624.68 4.74 4.804.844.984.934.97 5.01

672. 658 APÉNDICE
IX.Valorescríticosparalaprueba deDunnettparacomparartratamientoscon uncontrola
do.os(a-1,f)
Comparacionesdedoscolas
a-1=númerodemediasdetratamientos(sinincluirelcontrol)
f 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5 2.57 3.03 3.29 3.48 3.62 3.73 3.82 3.90 3.97
6 2.45 2.86 3.10 3.26 3.39 3.49 3.57 3.64 3.71
7 2.36 2.75 2.97 3.12 3.24 3.33 3.41 3.47 3.53
8 2.31 2.67 2.88 3.02 3.13 3.22 3.29 3.35 3.41
9 2.26 2.61 2.81 2.95 3.05 3.14 3.20 3.26 3.32
10 2.23 2.57 2.76 2.89 2.99 3.07 3.14 3.19 3.24
11 2.20 2.53 2.72 2.84 2.94 3.02 3.08 3.14 3.19
12 2.18 2.50 2.68 2.81 2.90 2.98 3.04 3.09 3.14
13 2.16 2.48 2.65 2.78 2.87 2.94 3.00 3.06 3.10
14 2.14 2.46 2.63 2.75 2.84 2.91 2.97 3.02 3.07
15 2.13 2.44 2.61 2.73 2.82 2.89 2.95 3.00 3.04
16 2.12 2.42 2.59 2.71 2.80 2.87 2.92 2.97 3.02
17 2.11 2.41 2.58 2.69 2.78 2.85 2.90 2.95 3.00
18 2.10 2.40 2.56 2.68 2.76 2.83 2.89 2.94 2.98
19 2.09 2.39 2.55 2.66 2.75 2.81 2.87 2.92 2.96
20 2.09 2.38 2.54 2.65 2.73 2.80 2.86 2.90 2.95
24 2.06 2.35 2.51 2.61 2.70 2.76 2.81 2.86 2.90
30 2.04 2.32 2.47 2.58 2.66 2.72 2.77 2.82 2.86
40 2.02 2.29 2.44 2.54 2.62 2.68 2.73 2.77 2.81
60 2.00 2.27 2.41 2.51 2.58 2.64 2.69 2.73 2.77
120 1.98 2.24 2.38 2.47 2.55 2.60 2.65 2.69 2.73
00 1.96 2.21 2.35 2.44 2.51 2.57 2.61 2.65 2.69
f=gradosdelibertad
aReproducida
co~permiso dec.w.Dunnett,"NewThblesforMultip1eComparisonwithaControl",
Biometrics,vol.20,no.3,ydeC.w.Dunnett,'1\Multip1eComparisonProcedureforComparingSevera!
1TeatmentswithaControl",JoumaloftheAmericanStatisticalAssociation, vol.SO

673. ti
APÉNDICE 659
IX.Valorescríticosparalapruebade Dunnettparacomparartratamientos conuncontrola
do.01(a-1,f)
Comparacionesdedoscolas (continuación)
a-1=númerodemediasdetratamientos(sinincluirelcontrol)
f
2 3 4 5 6 7 8 9
5 4.03 4.63 4.98 5.22 5.41 5.56 5.69 5.80 5.89
6 3.71 4.21 4.51 4.71 4.87 5.00 5.10 5.20 5.28
7 3.50 3.95 4.21 4.39 4.53 4.64 4.74 4.82 4.89
8 3.36 3.77 4.00 4.17 4.29 4.40 4.48 4.56 4.62
9 3.25 3.63 3.85 4.01 4.12 4.22 4.30 4.37 4.43
10 3.17 3.53 3.74 3.88 3.99 4.08 4.16 4.22 4.28
11 3.11 3.45 3.65 3.79 3.89 3.98 4.05 4.11 4.16
12 3.05 3.39 3.58 3.71 3.81 3.89 3.96 4.02 4.07
13 3.01 3.33 3.52 3.65 3.74 3.82 3.89 3.94 3.99
14 2.98 3.29 3.47 3.59 3.69 3.76 3.83 3.88 3.93
15 2.95 3.25 3.43 3.55 3.64 3.71 3.78 3.83 3.88
16 2.92 3.22 3.39 3.51 3.60 3.67 3.73 3.78 3.83
17 2.90 3.19 3.36 3.47 3.56 3.63 3.69 3.74 3.79
18 2.88 3.17 3.33 3.44 3.53 3.60 3.66 3.71 3.75
19 2.86 3.15 3.31 3.42 3.50 3.57 3.63 3.68 3.72
20 2.85 3.13 3.29 3.40 3.48 3.55 3.60 3.65 3.69
24 2.80 3.07 3.22 3.32 3.40 3.47 3.52 3.57
3.61
30 2.75 3.01 3.15 3.25 3.33 3.39 3.44 3.49 3.52
40 2.70 2.95 3.09 3.19 3.26 3.32 3.37
3.41 3.44
60 2.66 2.90 3.03 3.12 3.19 3.25 3.29 3.33 3.37
120 2.62 2.85 2.97 3.06. 3.12 3.18 3.22 3.26 3.29
00 2.58 2.79 2.92 3.00 3.06 3.11 3.15 3.19 3.22
do.os(a-1,f)
Comparacionesdeunacola
a-1=númerodemediasdetratamientos(sinincluirelcontrol)
f 2 3 4 5 6 7 8 9
5 2.02 2.44 2.68 2.85 2.98 3.08 3.16 3.24 3.30
6 1.94 2.34 2.56 2.71 2.83 2.92 3.00 3.07 3.12
7 1.89 2.27 2.48 2.62 2.73 2.82 2.89 2.95 3.01
8 1.86 2.22 2.42 2.55 2.66 2.74 2.81 2.87 2.92
9 1.83 2.18 2.37 2.50 2.60 2.68 2.75 2.81 2.86
10
1.81 2.15 2.34 2.47 2.56 2.64 2.70 2.76 2.81
11 1.80 2.13 2.31 2.44 2.53 2.60 2.67 2.72 2.77
12 1.78 2.11 2.29 2.41 2.50 2.58 2.64 2.69 2.74
13 1.77 2.09 2.27 2.39 2.48 2.55 2.61 2.66 2.71
14 1.76 2.08 2.25 2.37 2.46 2.53 2.59 2.64 2.69
15 1.75 2.07 2.24 2.36 2.44 2.51 2.57 2.62 2.67
16 1.75 2.06 2.23 2.34 2.43 2.50 2.56 2.61 2.65
17 1.74 2.05 2.22 2.33 2.42 2.49 2.54 2.59 2.64
18 1.73 2.04 2.21 2.32 2.41 2.48 2.53 2.58 2.62
19 1.73 2.03 2.20 2.31 2.40 2.47 2.52 2.57 2.61
20 1.72 2.03 2.19 2.30 2.39 2.46 2.51 2.56 2.60
24
1.71 2.01 2.17 2.28 2.36 2.43 2.48 2.53 2.57
30 1.70 1.99 2.15 2.25 2.33 2.40 2.45 2.50 2.54
40 1.68 1.97 2.13 2.23 2.31 2.37 2.42 2.47 2.51
60 1.67 1.95 2.10 2.21 2.28 2.35 2.39 2.44 2.48
120 1.66 1.93 2.08 2.18 2.26 2.32 2.37
2.41 2.45
00 1.64 1.92 2.06 2.16 2.23 2.29 2.34 2.38 2.42

674. 660 APÉNDICE
IX.Valorescríticosparalapruebade Dunnettparacomparartratamientos conuncontrol
do.ol(a-1,f)
Comparacionesde unacola(continuación)
a-1=númerodemediasdetratamientos(sinincluirelcontrol)
f 2 3 4 5 6 7 8 9
5 3.37 3.90 4.21 4.43 4.60 4.73 4.85 4.94 5.03
6 3.14 3.61 3.88 4.07 4.21 4.33 4.43 4.51 4.59
7
~.OO 3.42 3.66 3.83 3.96 4.07 4.15 4.23 4.30
8 2.90 3.29 3.51 3.67 3.79 3.88 3.96 4.03 4.09
9 2.82 3.19 3.40 3.55 3.66 3.75 3.82 3.89 3.94
10 2.76 3.11 3.31 3.45 3.56 3.64 3.71 3.78 3.83
11 2.72 3.06 3.25 3.38 3.48 3.56 3.63 3.69 3.74
12 2.68 3.01 3.19 3.32 3.42 3.50 3.56 3.62 3.67
13 2.65 2.97 3.15 3.27 3.37 3.44 3.51 3.56 3.61
14 2.62 2.94 3.11 3.23 3.32 3.40 3.46 3.51 3.56
15 2.60 2.91 3.08 3.20 3.29 3.36 3.42 3.47 3.52
16 2.58 2.88 3.05 3.17 3.26 3.33 3.39 3.44 3.48
17 2.57 2.86 3.03 3.14 3.23 3.30 3.36 3.41 3.45
18 2.55 2.84 3.01 3.12 3.21 3.27 3.33 3.38 3.42
19 2.54 2.83 2.99 3.10 3.18 3.25 3.31 3.36 3.40
20 2.53 2.81 2.97 3.08 3.17 3.23 3.29 3.34 3.38
24 2.49 2.77 2.92 3.03 3.11 3.17 3.22 3.27 3.31
30 2.46 2.72 2.87 2.97 3.05 3.11 3.16 3.21 3.24
40 2.42 2.68 2.82 2.92 2.99 3.05 3.10 3.14 3.18
.60 2.39 2.64 2.78 2.87 2.94 3.00 3.04 3.08 3.12
120 2.36 2.60 2.73 2.82 2.89 2.94 2.99 3.03 3.06
00 2.33 2.56 2.68 2.77 2.84 2.89 2.93 2.97 3.00

675. X.Coeficientesdepolinomiosortogonales"
n=3 n=4 n=5 n=6 n=7
Xj PIP2 PIP2P
3 PIP2P
3P
4 PIP2P
3P
4 Ps PIP2P
3P
4
PsP6
1-1 1-3 1-1-2 2-1 1-5 5-5 1-1-3 5-1 3-1 1
2
O-2-1-1 3 1 -1 2-4-3-1 7-3 5-2 O 1-7 4-6
3 1 1 1 -1-3 O-2 O 6-1-4 4 2 -10-1-3 1 1 -5 15
4 3 1 1 1 -1-2-4
.1-4-4 2 10 O -4 O 6 O-20
5 2 2 1 1 3 -1-7-3 -5 1-3-1 1 5 15'"
6 5 5 5 1 1 2 O-1-7-4-:;:6
7 3 5 1 3 1 1
"
2:{p¡(XjW 2 6 20 420 10 14 1070 70 84180 28252 28 84 615484924
j~1
A 1 3 2 1
10
1 1
S 35
2
3 S 7 21
1 1
1 7 7 77
"3 (; i2 2 3 12 Tü (; T2 20 60
n=8 n=9 n=10
Xj PIP
2P
3P
4 PsP6 PIP2P
3 P
4PsP6 PIP2P
3 P'IPsP
6
1-7 7-7 7-7 1-4 28-14 14-4 4-9 6-42 18-6 3
2
-5 1 5 -13 23-5-3 7 7 -21 11-17-7 2 14-22 14-11
3-3-3 7-3-17 9-2-8 13-11-4 22-5-1 35-17-1 10
4-1-5 3 9 -15-5-1-17 9 9 -9 1-3-3 31 3-11 6
5 1
-5-3 9 15-5 O-20 O 18 O-20-1-4 12 18 -6-8
6 3 -3 -7-3 17 9 1 -17-9 9 9 1 1 -4-12 18 6-8
7 5 1 -5-13-23-52-8-13-11 4 22 3-3-31 3 11 6
8 7 7 7 7 7 1 3 7 -7-21-11-17 5-1-35-17 1 10
9 4 28 14 14 4 4 7 2 -14-22-14-11
10 9 6 42 18 6 3
"
2:{P¡(X)}2 168 168 26461621842646027729902002468198033013285802860·780660
j~1
A 2 1
1
7 7 11
1 3
s 7 3 11
2
I S S I 11
3 12 Tü 60
(; 12 W 60 2 3 12 TO í40
"Adaptadaconpennisode BiometrikaTablesforStatisticians, vol.1,3a.ed.,E.S.PearsonyH.O.Hartley,CambridgeUniversityPress,Cambridge
0\
0\
~

676. 662 APÉNDICE
XI.Númerosaleatorios
a
10480 15011 01536 02011 87647 91646 69179 14194 62590
22368 46573 25595 85393 30995 89198 27982 53402 93965
24130 48360 22527 97265 76393 64809 15179 24830 49340
42167 93093 06243 61680 07856 16376 39440 53537 71341
37570 39975 81837 16656 06121 91782 60468 81305 49684
77921 06907 11008 42751 27756 53498 18602 70659 90655
99562
72905 56420 69994 98872 31016 71194 18738 44013
96301 91977 05463 07972 18876 20922 94595 56869 69014
89579 14342 63661 10281 17453 18103 57740 84378 25331
85475 36857 53342 53988 53060 59533 38867 62300 08158
28918 69578 88231 33276 70997 79936 56865 05859 90106
63553 40961 48235 03427 49626 69445 18663 72695 52180
09429 93969 52636 92737 88974 33488 36320 17617 30015
10365 61129 87529 85689 48237 52267 67689 93394 01511
07119 97336 71048 08178 77233 13976 47564 81056 97735
51085 12765 51821 51259 77452 16308 60756 92144 49442
02368 21382 52404 60268 89368 19885 55322 44819 01188
01011 54092 33362 94904 31273 04146 18594 29852 71585
52162 53916 46369 58586 23216 14513 83149 98736 23495
07056 97628 33787 09998 42698 06691 76988 13602 51851
48663 91245 85828 14346 09172 30168 90229 04734 59193
54164 58492 22421 74103 47070 25306 76468 26384 58151
32639 32363 05597 24200 13363 38005 94342 28728 35806
29334 27001 87637 87308 58731 00256 45834 15398 46557
02488 33062 28834 07351 19731 92420 60952 61280 50001
81525 72295 04839 96423 24878 82651 66566 14778 76797
29676 20591 68086 26432 46901 20849 89768 81536 86645
00742 57392 39064 66432 84673 40027 32832 61362 98947
05366 04213 25669 26422 44407 44048 37937 63904 45766
91921 26418 64117 94305 26766 25940 39972 22209 71500
00582 04711 87917 77341 42206 35126 74087 99547 81817
00725 69884 62797 56170 86324 88072 76222 36086 84637
69011 65795 95876 55293 18988 27354 26575 08625 40801
25976 57948 29888 88604 67917 48708 18912 82271 65424
09763 83473 73577 12908 30883 18317 28290 35797 05998
91567 42595 27958 30134 04024 86385 29880 99730 55536
17955 56349 90999 49127 20044 59931 06115 20542 18059
46503 18584 18845 49618 02304 51038 20655 58727 28168
92157 89634 94824 78171 84610 82834 09922 25417 44137
14577 62765 35605 81263 39667 47358 56873 56307 67607
aReproducidaconpermisode ProbabilityandStatisticsinEngineering andManagementScience, 3a.ed.,w.w.
HinesyD.C.Montgomery,Wiley,NuevaYork

677. 1
APÉNDICE663
XlI.Relaciones dealiasparadiseñosfactorialesfraccionados 2
k
-pconk:515Yn:564
Diseñoscon3factores
a)2
3
-
1
;
fracción1/2de
3factores
en4corridas
b)24-1;fracción1/2de
4factoresen8corridas
e)
2
5
-
2
;fracción1/4de
5factoresen8corridas
d)2
5
-1
;
fracción1/2de
5factores
en16corridas
Generadoresdeldiseño
C=AB
Relacióndedefinición: 1=ABC
Alias
A=BC
B=AC
C=AB
Diseñoscon 4factores
Generadoresdeldiseño
D=ABC
Relacióndedefinición:1=ABCD
Alias
A=BCD
B=ACD
C=ABD
D=ABC
AB=CD
AC=BD
AD=BC
Diseñoscon 5factores
Generadoresdeldiseño
D=ABE=AC
Relacióndedefinición: 1=ABD=ACE=BCDE
Alias
A=BD=CE
B=AD=CDE
C=AE=BDE
D=AB=BCE
E=AC=BCD
BC=DE=ACD=ABE
CD=BE=ABC=ADE
Generadoresdeldiseño
E=ABCD
Relacióndedefinición: 1=ABCDE
Alias
Cadaefectoprincipalesalias deunasolainteracciónde4factores
AB=CDE BD=ACE
AC=BDE BE=ACD
AD=BCE CD=ABE
AE=BCD CE=ABD
BC=ADE DE=ABC
2bloquesde8:
Resolución
ID
ResoluciónIV
Resolución111
ResoluciónV

678. 0\
0\
...¡::,..
Xll.Relaciones dealiasparadiseñosfactorialesfraccionados 2'<-Pconk:515Yn:564(continuación)
Diseñoscon6factores
e)26-3;fracción1/8de6factores
en8corridas
ResoluciónID
A=BD=CE=CDF=BEF
B=AD=CF=CDE=AEF
C=AE=BF=BDE=ADF
D=AB=EF=BCE=ACF
f)26-2;fracción1/4de6factores
en16corridas
Relacióndedefinición:
Generadoresdeldiseño
D=ABE=ACF=BC
1=ABD=ACE=BCDE=BCF=ACDF=ABEF=DEF
Alias
E=AC=DF=BCD=ABF
F=BC=DE=ACD=ABE
CD=BE=AF=ABC=ADE=BDF=CEF
ResoluciónIV
AB=CE
AC=BE
AD=EF
AE=BC=DF
AF=DE
BD=CF
BF=CD
Generadoresdeldiseño
E=ABCF=BCD
Relacióndedefinición: 1=ABCE=BCDF=ADEF
Alias
A=BCE=DEF
B=ACE=CDF
C=ABE=BDF
D=BCF=AEF
E=ABC=ADF
F=BCD=ADE
ABD=CDE=ACF=BEF
ACD=BDE=ABF=CEF
2bloquesde 8:ABD=CDE=ACF=BEF

679. g)26-1;fracción1/2de6factores
en32corridas
h)2
7-4;fracción1/16de7factores
en
16corridas
Generadoresdeldiseño
F=ABCDE
Relacióndedefinición: 1=ABCDEF
Alias
Cadaefectoprincipalesaliasde
unasolainteracciónde5factores.
Cadainteracciónde2factoresesaliasdeunasolainteracciónde4factores
ABC=DEFACE=BDF
ABD=CEFACF=BDE
ABE=CDFADE=BCF
ABF=CDEADF=BCE
ACD=BEFAEF=BCD
2bloquesde 16:ABC=DEF4bloquesde 8:AB=CDEF
ACD=BEF
AEF=BCD
Diseñoscon7factores
ResoluciónVI
Resolución
ID
<l\
0\
0\
\JI
Generadoresdeldiseño
D=ABE=ACF=BCG=ABC
Relacióndedefinición: 1=ABD=ACE=BCDE=BCF=ACDF=ABEF=DEF=ABCG
=CDG=BEG=ADEG=AFG=BDFG=CEFG=ABCDEFG
Alias
A=BD=CE=FG E=AC=DF=BG
B=AD=CF=EG F=BC=DE=AG
C=AE=BF=DG G=CD=BE=AF
D=AB=EF=CG

680. 0\
0\
0\
xn.Relacionesdealiasparadiseñosfactorialesfraccionados 2
k
-pconk:515Yn:564(continuación)
i)2
7
-
3
;
fracción1/8de7factores
en
16corridas
ResoluciónIV
Generadoresdeldiseño
AF=DE=BG
AG=CD=BF
BD=CF=EG
E.=ABCF=BCDG=ACD
Relacióndedefinición: 1=ABCE=BCDF=ADEF=ACDG=BDEG=ABFG=CEFG
Alias
A=BCE=DEF=CDG=BFG AB=CE=FGE=ABC=ADF=BDG=CFG
B
=ACE=CDF=DEG=AFGAC=BE=DGF=BCD=ADE=ABG=CEG
C=ABE=BDF=ADG=EFG AD=EF=CG G=ACD=BDE=ABF=CEF
D=BCF=AEF=ACG=BEGAE=BC=DF
ABD=CDE=ACF=BEF=BCG=AEG=DFG
2bloquesde 8:ABD=CDE=ACF=BEF=BCG=AEG=DFG
.
j)2
7
-
2
;
fracción1/4de7factores
en32corridas ResoluciónIV
ACE=AFG
ACG=AEF
BCE=BFG
BCG=BEF
CDE=DFG
CDG=DEF
CE=FG
CF=ABD=EG
CG=EF
DE=ABG
DF=ABC
DG=ABE
Generadoresdeldiseño
F=ABCD G=ABDE
Relacióndedefinición: 1=ABCDF=ABDEG=CEFG
Alias
BC=ADF
BD=ACF=AEG
BE=ADG
BF=ACD
BG=ADE
CD=ABF
AB=CDF=DEG
AC=BDF
AD=BCF=BEG
AE=BDG
AF=BCD
AG=BDE
A=
B=
C=EFG
D=
E=CFG
F=CEG
G=CEF
2bloquesde 16:ACE=AFG4bloquesde 8:ACE=AFG
BCE=BFG
AB=CDF=DEG

681. AB=EF=CG=DH
AC=DF=BG=EH
AD=CF=EG=BH
AE=BF=DG=CH
AF=CD=BE=GH
AG=BC=DE=FH
AH=BD=CE=FG
0\
0\
---:t
k)2
7
-
1
;
fracción1/2 de7factores
en64corridas
Generadoresdeldiseño
G=ABCDEF
Relacióndedefinición: 1=ABCDEFG
Alias
Cadaefectoprincipalesaliasdeunasolainteracciónde6factores
Cadainteracciónde2factoresesaliasde
unasolainteracciónde5factores
Cadainteracciónde3factoresesaliasdeunasolainteracción
de4factores
2bloquesde32:
ABC 4bloquesde 16:ABC
CEF
CDG
Diseñoscon8factores
1)
28-4;fracción1/16de8factores
en
16corridas
Generadoresdeldiseño
E=BCDF=ACDG=ABCH=ABD
Relacióndedefinición: 1=BCDE=ACDF=ABEF=ABCG=ADEG=BDFG=CEFG=ABDH
=ACEH=BCFH=DEFH=CDGH=BEGH=AFGH=ABCDEFGH
Alias
A=CDF=BEF=BCG=DEG=BDH=CEH=FGH
B
=CDE=AEF=ACG=DFG=ADH=CFH=EGH
C=BDE=ADF=ABG=EFG=AEH=BFH=DGH
D=BCE=ACF=AEG=BFG=ABH=EFH=CGH
E
=BCD=ABF=ADG=CFG=ACH=DFH=BGH
F=ACD=ABE=BDG=CEG=BCH=DEH=AGH
G=ABC=ADE=~F=crF=rnH=~H=AFH
H=ABD=ACE=BCF=DEF=CDG=BEG=AFG
2bloquesde 8:AB=EF=CG=DH
ResoluciónVD
ResoluciónIV
~

682. 0\
0\
00
XII.Relacionesdealiasparadiseñosfactorialesfraccionados2"-Pconk:515Yn:564(continuación)
In)28-3;fracción1/8de8factores
en32corridas
Generadoresdeldiseño
F=ABCG=ABDH=BCDE
Relacióndedefinición: 1=ABCF=ABDG=CDFG=BCDEH=ADEFH=ACEGH=BEFGH
ResoluciónIV
4bloquesde 8:ABE=CEF=DEG
ABH=CFH=DGH
EH=BCD=ADF=ACG=BFG
Alias
AE=DFH=CGH
AF=BC=DEH
AG=BD=CEH
AH=DEF=CEG
BE=CDH=FGH
BH=CDE=EFG
CD=FG=BEH
CE=BDH=AGH
CG=DF=AEH
CH=BDE=AEG
A=BCF=BDG
B=ACF=ADG
C=ABF=DFG
D=ABG=CFG
E=
F=ABC=CDG
G=ABD=CDF
H=
AB=CF=DG
AC=BF=EGH
AD=BG=EFH
2bloquesde 16:ABE=CEF=DEG
DE=BCH=AFH
DH=BCE=AEF
EF=ADH=BGH
EG=ACH=BFH
EH=BCD=ADF=ACG=BFG
FH=ADE=BEG
GH=ACE=BEF
ABE=CEF=DEG
ABH=CFH=DGH
ACD=BDF=BCG=AFG

683. 0\
0\
\O
n)28-2;fracción1/4de8factores
en
64corridas
Generadoresdeldiseño
G=ABCD H=ABEF
Relacióndedefinición: 1=ABCDG=ABEFH=CDEFGH
Alias
AB=CDG=EFH BG=ACD EF=ABH ADH= BFG=
AC=BDG BH=AEF EG= AEG=BGH=
AD=BCG CD=ABG EH=ABF AFG=CDE=FGH
AE=BFH CE= FG= AGH= CDF=EGH
AF=BEH CF= FH=ABE BCE=CDH=EFG
AG=BCD CG=ABD GH= BCF= CEF=DGH
AH=BEF CH= ACE= BCH= CEG=DFH
BC=ADG DE= ACF= BDE=CEH=DFG
BD=ACG DF= ACH= BDF= CFG=DEH
BE=AFH DG=ABCADE= BDH=CFH=DEG
BF=AEH DH= ADF= BEG=CGH=DEF
2bloquesde 32:CDE=FGH 4bloquesde 16:CDE=FGH
ACF
BDH
ResoluciónV
'Il\
~

684. 0'1
-...l
o
xn.Relacionesdealiasparadiseñosfactorialesfraccionados2
k
..¡,conk:515Yn:564(continuación)
Diseñoscon9factores
o)29-5;fracción1/32de9factores ResoluciónID
en16corridas
Generadoresdeldiseño
E=ABCF=BCDG=ACDH=ABDJ=ABCD
Relacióndedefinición: 1=ABCE=BCDF=ADEF=ACDG=BDEG=ABFG=CEFG=ABDH
=CDEH=ACFH=BEFH=BCGH=AEGH=DFGH=ABCDEFGH=ABCDJ
=
DEl=AFJ=BCEFJ=BGJ=ACEGJ=CDFGJ=ABDEFGJ=CHJ
=ABEHJ
=BDFHJ=ABCDEFHJ=ADGHJ=BCDEFGHJ=ABCFGHJ=EFGHJ
Alias
A=FJ
B=GJ
C=HJ
D=El
E=DJ
F=AJ
G=BJ
H=CJ
J=DE=AF=BG=CH
AB=CE=FG=DH
AC=BE=DG=FH
AD=EF=CG=BH
AE=BC=DF=GH
AG=CD=BF=EH
AH=BD=CF=EG
2bloquesde8:AB=CE=FG=DH

685. p)2
9-4;fracción1/16de9factores
en
32corridas
Generadores
deldiseño
F=BCDE G=ACDE H=ABDE J=ABCE
Relacióndedefinición: 1=BCDEF=ACDEG=ABFG=ABDEH=ACFH=BCGH=DEFGH=ABCEl
=ADFJ=BDGJ=CEFGJ=CDHJ=BEFHJ=AEGHJ=ABCDFGHJ
ResoluciónIV
-J
4bloquesde 8:AEF=BEG=CEH=DEl
AB=FG=DEH=CEl
CD=BEF=AEG=HJ
Alias
AD=CEG=BEH=FJ
AE=CDG=BDH=BCJ=GHJ
AF=BG=CH=DJ
AG=CDE=BF=EHJ
AH=BDE=CF=EGJ
AJ=BCE=DF=EGH
BC=DEF=GH=AEJ
BD=CEF=AEH=GJ
BE=CDF=ADH=ACJ=FHJ
BH=ADE=CG=EFJ
0'1
-J
1-'
A=BFG=CFH=DFJ
B=AFG=CGH =DGJ
C=AFH=BGH=DHJ
D=AFJ=BGJ=CHJ
E=
F=ABG=ACH=ADJ
G=ABF=BCH=BDJ
H
=ACF=BCG=CDJ
J=ADF=BDG=CDH
AB=FG=DEH=CEl
AC=DEG=FH=BEl
2bloquesde 16:AEF=BEG=CEH=DEJ
BJ=ACE=DG=EFH
CD=BEF=AEG=HJ
CE=BDF=ADG=ABJ=FGJ
CJ=ABE=EFG=DH
DE=BCF=ACG=ABH=FGH
EF=BCD=DGH=CGJ=BHJ
EG=ACD=DFH=CFJ=AHJ
EH=ABD=DFG=BFJ=AGJ
El=ABC=CFG=BFH=AGH
AEF=BEG=CEH=DEl
'ilt

686. 0\
--..)
N
xn.Relacionesdealiasparadiseñosfactorialesfraccionados2
k
-l'conk~15yn~64(continuación)
q)2
9
-
3
;
fracción1/8de9factores
en
64corridas
ResoluciónIV
Generadoresdeldiseño
BF=
BG=ACD=CHJ
BH=CGJ
BJ=CGH
CD=ABG=EFJ
CE=AFH=DFJ
CF=AEH=DEJ
CG=ABD=BHJ
CH=AEF=BGJ
CJ=DEF=BGH
AFJ=BEG=DFH
AGH=DGJ
AGJ=BEF=DGH
BCE=
BCF=
BDE=FGH
BDF=EGH
BEH=DFG
BFG=DEG
CEG=
CFG=
4bloquesde 16:CFG
AGJ=BEF=DGH
ADE=EHJ
2bloquesde 32:CFG
G=ABCD H=ACEF J=CDEF
I=ABCDG=ACEFH=BDEFGH=CDEFJ=ABEFGJ=ADHJ=BCGHJ
Alias
AC=BDG=EFH
AD=BCG=HJ
AE=CFH
AF=CEH
AG=BCD
AH=CEF=DJ
AJ=DH
BC=ADG=GHJ
BD=ACG
BE=
GJ=BCH
ABE=FGJ
ABF=EGJ
ABH=BDJ
ABJ=EFG=BDH
ACJ=CDH
ADE=EHJ
ADF=FHJ
AEG=BFJ
AEJ=BFG=DEH
AFG=BEJ
A=DHJ
B=
C=
D=AHJ
E=
F=
G=
H=ADJ
J=ADH
AB=CDG
DE=CFJ
DF=CEJ
DG=ABC
EF=ACH=CDJ
EG=
EH=ACF
EJ=CDF
FG=
FH=ACE
FJ=CDE
GH=BCJ
Relacióndedefinición:

687. r)2
10-6;fracción1/64de 10factores
en
16corridas
Diseñoscon
10factores
ResoluciónID
j
Alias
J=DE=AF=BG=CH
K=AB=CE=FG=DH
AC=BE=DG=FH
AD=EF=CG=BH
AE=BC=DF=GH
AG=CD=BF=EH=JK
AH=BD=CF=EG
0'\
--.J
(,,¡J
Generadoresdeldiseño
E=ABCF=BCDG=ACDH=ABDJ=ABCDK=AB
Relacióndedefinición: 1=ABCE=BCDF=ADEF=ACDG=BDEG=ABFG=CEFG=ABDH
=CDEH=ACFH=BEFH=BCGH=AEGH=DFGH=ABCDEFGH=ABCDJ
=
DEl=AFJ=BCEFJ=BGJ=ACEGJ=CDFGI=ABDEFGJ=CHJ
=
ABEHJ=BDFHJ=ACDEFHJ=ADGHJ=BCDEGHJ=ABCFGHJ=EFGHJ=ABK
=CEK=ACDFK=BDEFK=BCDGK=ADEGK=FGK=ABCEFGK=DHK
=ABCDEHK=BCFHK=AEFHK=ACGKH=BEGHK=ABDFGHK=CDEFGHK=CDJK
=
ABDElK=BFJK=ACEFJK=AGJK=BCEGJK=ABCDFGJK=DEFGJK=ABCHJK
=EHJK
=ADFHJK=BCDEFHJK=BDGHJK=ACDEGHJK=CFGHJK=ABEFGHJK
A=FJ=BK
B=GJ=AK
C=HJ=EK
D=El=HK
E=DJ=CK
F=AJ=GK
G=BJ=FK
H=CJ=DK
2bloquesde 8:AG=CD=BF=EH=JK
..

688. 0\
--.]
...¡::..
XII.Relacionesdealias paradiseñosfactorialesfraccionados 2
k
-pconk:515Yn:564(continuación)
s)2
1
0-5;fracción1132de10factores
en32corridas
ResoluciónIV
Generadoresdeldiseño
F=ABCD G=ABCE H=ABDE J=ACDEK=BCDE
Relacióndedefinición: 1=ABCDF=ABCEG=DEFG=ABDEH=CEFH=CDGH=ABFGH=ACDE!
=BEFJ=BDGJ=ACFGJ=BCHJ=ADFHJ=AEGHJ=BCDEFGHJ=BCDEK
=AEFK=ADGK=BCFGK=ACHK=BDFHK=BEGHK=ACDEFGHK=ABJK
=CDFJK=CEGJK=ABDEFGJK=DEHJK=ABCEFHJK=ABCDGHJK=FGHJK
Alia's
AH=BDE=BFG=DFJ=EGJ=CK
Al=CDE=CFG=DFH=EGH=BK
AK=EF=DG=CH=BJ
BC=ADF=AEG=HJ=DEK=FGK
BD=ACF=AEH=GJ=CEK=FHK
BE=ACG=ADH=FJ=CDK=GHK
BF=ACD=AGH=E!=CGK=DHK
BG=ACE=AFH=DJ=CFK=EHK
BH=ADE=AFG=CJ=DFK=EGK
CD=ABF=GH=AET=BEK=FJK
CE
=ABG=FH=ADJ=BDK=GJK
CF
=ABD=EH=AGJ=BGK=DJK
CG=ABE=DH =AFJ=BFK=ElK
DE=FG=ABH=ACJ=BCK=HlK
DF=ABC=EG=AHl=BHK=CJK
A
=EFK=DGK=CHK=BJK
B
=EFJ=DGJ=CHJ=AlK
C=EFH=DGH=BHJ=AHK
D=EFG=CGH=BGJ=AGK
E=DFG=CFH =BFJ=AFK
F=DEG=CEH=BE!=AEK
G=DEF=CDH=BDJ=ADK
H=CEF=CDG=BCJ=ACK
J=BEF=BDG=BCH=ABK
K=AEF=ADG=ACH=ABJ
AB=CDF=CEG=DEH=FGH=JK
AC=BDF=BEG=DE!=FGJ=HK
AD=BCF=BEH=CE!=FHJ=GK
AE=BCG=BDH=CDJ=GHJ=FK
AF=BCD=BGH=CGJ=DHJ=EK
AG=BCE=BFH=CFJ=EHJ=DK
2bloquesde 16:AK=EF=DG=CH=Bl
4bloquesde 8:AK=EF=DG=CH=Bl
Al=CDE=CFG=DFH=EGH=BK
AB=CDF=CEG=DEH=FGH=lK

689. 0\
--..)
U1
t)2
10-4;fracción1/16 de10factores
en64corridas
Generadoresdeldiseño
G=BCDF H=ACDF J=ABDEK=ABCE
Relacióndedefinición: 1=BCDFG=ACDFH=ABGH=ABDEl=ACEFGJ=BCEFHJ=DEGHJ=ABCEK
=ADEFGK=BDEFHK=CEGHK=CDJK=BFGJK=AFHJK=ABCDGHJK
Alias
A=BGH AD=CFH=BEl BK=ACE=FGJ
B=AGH AE=BDJ=BCK CD=BFG=AFH=JK
C=DJK AF=CDH=HJK CE=ABK=GHK
D=CJK AG=BH CF=BDG=ADH
E= AH=CDF=BG=FJK CG=BDF=EHK
F= AJ=BDE=FHK CH=ADF=EGK
G=ABH AK=BCE=FHJ CJ=DK
H=ABG BC=DFG=AEK CK=ABE=EGH=DJ
J=CDK BD=CFG=AEJ DE=ABJ=GHJ
K=CDJ BE=ADJ=ACK DF=BCG=ACH
AB=GH=DEJ=CEK BF=CDG=GJK DG=BCF=EHJ
AC=DFH=BEK BJ=ADE=FGK DH=ACF=EGJ
EF= GJ=DEH=BFK AEG=BEH=CFJ=DFK
EG=DHJ=CHK GK=CEH=BFJ AEH=BEG
EH=DGJ=CGK HJ=DEG=AFK AFG=BFH=CEl=DEK
El=ABD=DGH HK=CEG=AFJ AGJ=CEF=BHJ
EK=ABC=CGH ABF=FGH AGK=DEF=BHK
FG=BCD=BJK ACG=BCH=EFJ BCJ =EFH=BDK
FH=ACD=AJK ACJ=EFG=ADK BEF=CHJ=DHK
FJ=BGK=AHK ADG=BDH=EFK CDE=ElK
FK=BGJ=AHJ AEF=CGJ=DGK CFK=DFJ
2bloquesde32:AGJ=CEF=BHJ 4bloquesde16:AGJ=CEF=BHJ
AGK=DEF=BHK
CD=BFG=AFH=JK
ResoluciónIV
...

690. 0'1
-...J
0'1
XII.Relacionesdealias paradiseñosfactorialesfraccionados2t(pconk:515Yn:564(continuación)
Diseñoscon
11factores
u)2
11
-
7
;fracción
1/128de11factores
en16corridas
ResoluciónID
Alias
J=DE=AF=BG=CH
K=AB=CE=FG=DH
L=AC=BE=DG=FH
AD=EF=CG=BH
AE=BC=DF=GH=KL
AG=CD=BF=EH=JK
AH=BD=CF=EG=JL
Generadoresdeldiseño
E=ABCF=BCDG=ACDH=ABDJ=ABCDK=ABL=AC
Relacióndedefinición:
1=ABCE=BCDF=ADEF=ACDG=BDEG=ABFG=CEFG=ABDH
=CDEH=ACFH=BEFH=BCGH=AEGH=DFGH=ABCDEFGH=ABCDJ
=DEl=AFJ=BCEFJ=BGJ=ACEGJ=CDFGJ=ABDEFGJ=CHJ
=
ABEHJ=BDFHJ=ACDEFHJ=ADGHJ=BCDEGHJ=ABCFGHJ=EFGHJ=ABK
=CEK=ACDFK=BDEFK=BCDGK=ADEGK=FGK=ABCEFGK=DHK
=ABCDEHK=BCFHK=AEFHK=ACGHK=BEGHK=ABDFGHK=CDEFGHK=CDJK
=
ABDElK=BFJK=ACEFJK=AGJK=BCEGJK=ABCDFGJK=DEFGJK=ABCHJK
=EHJK=ADFHJK=BCDEFHJK=BDGHJK=ACDEGHJK=CFGHJK=ABEFGHJK=ACL
=BEL=ABDFL=CDEFL=DGL=
ABCDEGL=BCFGL=AEFGL=BCDHL
-=ADEHL=FHL=ABCEFHL=ABGHL=CEGHL=ACDFGHL=BDEFGHL=BDJL
=
ACDElL=CFJL=ABEFJL=ABCGJL=EGJL=ADFGJL=BCDEFGJL=AHJL
=BCEHJL=ABCDFHJL=DEFHJL=CDGHJL=ABDEGHJL=BFGHJL=ACEFGHJL=BCKL
=
AEKL=DFKL=ABCDEFKL=ABDGKL=CDEGKL=ACFGKL=BEFGKL=ACDHKL
=BDEHKL =ABFHKL=CEFHKL=GHKL=ABCEGHKL=BCDFGHKL=ADEFGHKL =ADJKL
=BCDElKL
=ABCFJKL=EFJKL=CGJKL=ABEGJKL=BDFGJKL=ACDEFGJKL=BHJKL
=ACEHJKL
=CDFHJKL=ABDEFHJKL=ABCDGHJKL=DEGHJKL=AFGHJKL=BCEFGHJKL
A=FJ=BK=CL
B=GJ=AK=EL
C=HJ=EK=AL
D=El=HK=GL
E=DJ=CK=BL
F=AJ=GK=HL
G=BJ=FK=DL
H=CJ=DK=FL
2bloquesde 8:AE=BC=DF=GH=KL

691. v)2
11
--{j;fracción1/64de 11factores
en32corridas
ResoluciónIV
j
0'1
-..].
-..]
Generadoresdeldiseño
F=ABCG=BCDH=CDEJ=ACDK=ADEL=BDE
Relacióndedefinición: 1=ABCF=BCDG=ADFG=CDEH=ABDEFH=BEGH=ACEFGH=ACDJ=BDFJ==ABGJ=CFGJ
=AEHJ=BCEFHJ=ABCDEGHJ=DEFGHJ=ADEK=BCDEFK=ABCiGK=EFGK=ACHK=BFHK
=
ABDGHK=CDFGHK=CElK=ABEFJK=BDEGJK=ACDEFG.JK=DHJK
==ABCDFHJK=BCGHJK
=AFGHJK
=BDEL=ACDEFL=CEGL
==ABEFGL=BCHL=AFHL=DGHL=ABCDFGHL
=ABCEJL
=EFJL=ADEGJL=BCDEFGJL=ABDHJL=CDFHJL=ACGHJL=BFGHJL=ABKL
=CFKL=ACDGKL=BDFGKL=ABCDEHKL=DEFHKL=AEGHKL=BCEFGHKL=BCDJKL
=ADFJKL
=GJKL=ABCFGJKL=BEHJKL=ACEFHJKL=CDEGHJKL=ABDEFGHJKL
...
Alias
A=BCF=DFG=CDJ=BGJ=EHJ=DEK=CHK=FHL=BKL
B
=ACF=CDG=EGH=DFJ
==AGJ=FHK=DEL=CHL=AKL
C =ABF=BDG==DEH=ADJ=FGJ=AHK=ElK=EGL=BHL=FKL
D
=BCG=AFG=CEH=ACJ=BFJ=AEK=HJK=BEL=GHL
E
=CDH=BGH=AHJ=ADK=FGK=CJK=BDL=CGL=FJL
F=ABC=ADG=BDJ
==CGJ=EGK=BHK=AHL=ElL=CKL
G =BCD=ADF=BEH=ABJ=CFJ=EFK=CEL=DHL=JKL
H=CDE=BEG=AEJ=ACK=BFK=DJK=BCL=AFL=DGL
J=ACD=BDF=ABG=CFG=AEH=CEK=DHK=EFL=GKL
K
=ADE=EFG=ACH=BFH=CEl=DHJ=ABL=CFL=GJL
L
=BDE=CEG=BCH=AFH=DGH=EPJ=ABK=CFK=GJK
AB=cr=W=KL AE=m=~ AH=El=IT=R ~=m=H ~=m=a=H
~=M=lli=~ AF=OC=OO=& N=m=OO=ffl ~=oo=FJ=a cr=~=~==~
AD=FG=CJ=EK AG=DF=BJ AK=DE=CH=BL BE=GH=DL EF=GK=JL
ABD=CDF=ACG=BFG==EFH=BCJ=AFJ=DGJ=BEK=G~=AEL=HJL=DKL
ABE=CEF=DFH=AGH=EGJ=BH!=BDK=CGK=F~=ADL=FGL=CJL=EKL
ABH=DEF=AEG=CFH=BEJ=GHJ=BCK=AFK=DGK=ACL=BFL=DJL=HKL
ACE=BEF=ADH=FGH=DEl=CHJ=CDK=BGK=EHK=~=DFL=AGL=BJL
AEF=BCE=DEG=BDH=CGn=FHJ=DFK=AGK=BJK=CDL=BGL=EHL=NL
2bloquesde16: AB=CF=GJ=KL 4bloquesde 8:AB=CF=GJ=KL
AD=FG=CJ=EK
BD=CG=FJ=EL

692. 678 APÉNDICE
XII.Relacionesdealiasparadiseñosfactorialesfraccionados2"-Pconk:s;15Yn:s;64(continuación)
Diseñoscon 12factores
w)2
12-8;fracción1/256de12factores
en
16corridas
Generadoresdeldiseño
E=ABCF=ABDG=ACDH=BCD
l=ABCDK=ABL=ACM=AD
Alias
A=Hl=BK=CL=DM
B=Gl=AK=EL=FM
C=Fl=EK=AL=GM
D=El=FK=GL=AM
E=Dl=CK=BL=HM
F=CJ=DK=HL=BM
G=Bl=HK=DL=CM
H=Al=GK=FL=EM
l=DE=CF=BG=AH
K=AB=CE=DF=GH
L=AC=BE=DG=FH
M=AD=BF=CG=EH
AE=BC=FG=DH=KL=1M
AF=BD=EG=CH=lL=KM
AG=EF=CD=BH=lK=LM
2bloquesde 8:AE=BC=FG=DH=KL=1M
Diseñoscon 13factores
x)2
13
-
9
;fracción1/512de13factores
en16corridas
Generadoresdeldiseño
E=ABCF=ABDG=ACDH=BCD
l=ABCDK=ABL=ACM=ADN=BC
Alias
A=Hl=BK=CL=DM=EN
B=Gl=AK=EL=FM=CN
C=FJ=EK=AL=GM=BN
D=El=FK=GL=AM=HN
E=Dl=CK=BL=HM=AN
F=CJ=DK=HL=BM=GN
G=Bl=HK=DL=CM=FN
H=Al=GK=FL=EM=DN
1=DE=CF=BG=AH=MN
K=AB=CE=DF=GH=LN
L=AC=BE=DG=FH =KN
M=AD=BF=CG=EH=JN
N=BC=AE=FG=DH=KL=1M
AF=BD=EG=CH=lL=KM
AG=EF=CD=BH=lK=LM
2bloquesde 8:AF=BD=EG=CH=lL=KM
ResoluciónID
ResoluciónID

693. APÉNDICE 679
Xli.Relacionesdealiasparadiseñosfactorialesfraccionados 2
k
-p
conk
:515Yn<64(continuación)
Diseñoscon14factores
y)2
14
-
10
;fracción1/1024de 14
factoresen 16corridas
Generadoresdeldiseño
E=ABCF=ABDG=ACDH=BCDl=ABCD
K=ABL=ACM=ADN=BCO=BD
Alias
A
=Hl=BK=CL=DM=EN=FO
B=Gl=AK=EL=FM=CN=DO
C=Fl=EK=AL=GM=BN=HO
D=El=FK=GL=AM=HN=BO
E=Dl=CK=BL==HM=AN=GO
F=CJ=DK=HL=BM=GN=AO
G=Bl=HK=DL=CM=FN=EO
H=Al=GK=FL=EM=DN=CO
1=DE=CF=BG=AH=MN=LO
K=AB=CE=DF=GH=LN=MO
L=AC=BE=DG=FH=KN=JO
M=AD=BF=CG=EH=lN=KO
N
=BC
=AE=FG=DH=KL=1M
0=BD=AF=EG=CH=lL=KM
AG=EF=CD=BH=JK=LM=NO
2bloquesde8:AG=EF=CD=BH=lK=LM=NO
Diseñoscon 15factores
z)2
15
-
11
;fracción1/2048de 15
factoresen16corridas
Generadoresdeldiseño
E=ABCF=ABDG=ACDH=BCDl=ABCD
K=ABL=ACM=ADN=BCO=BDP=CD
Alias
A
=Hl=BK=CL=DM=EN=FO=GP
B=Gl,,;AK=EL=FM=CN=DO=HP
C=Fl=EK=AL=GM=BN=HO=DP
D=El=FK=GL=AM=HN=BO=CP
E=Dl=CK=BL=HM=AN=GO=FP
F=CJ=DK=HL=BM=GN=AO=EP
G=Bl=HK=DL=CM=FN=EO=AP
H=Al=GK=FL=EM=DN=CO=BP
1=DE=CF=BG=AH=MN=LO=KP
K
=AB
=CE=DF=GH=LN=MO=JP
L=AC=BE=DG=FH=KN=JO=MP
M=AD=BF=CG=EH=JN=KO=LP
N=BC=AE=FG=DH=KL=1M=OP
0=BD=AF=EG=CH=lL=KM=NP
P=CD=EF=AG=BH=lK=LM=NO
ResoluciónID
ResoluciónID

694. TablaXTIl.Glosario.para elusod.eDesignExpert
ActuaIvalue
Adi3qprecision
AdjMS(adjustedmeansquare)
Adj13."squared
AdjSS(adjustedSUI1.1'ofsquares)
Analysis
ofvanance
Coefficientestimatec.y(coefficientofvqriation)
Cl(confidenceinterval)
Cook'sdistance
COl'total(cOlTectedfotal),
DF(degrees,offreedom)DDF(denominatordegrees offreedom)
Diagnosticcasestatistics
E/Tor
teml
Estimatedmean
Expectedmean.square
Lackoffit
Leastsquaresmeans,forstrength
Leverage
Mean
Meandifference
Meansquare
Meansforcovl1liates
NDF(numeratordegrees offreedom)
Operatorfixed'
Operator'random,
Outliert
Pred
13.-squared
Predictedvalue
PRESS(Prediction
enwsumofsquares)
Pureen"Dr
13.-squared
13.ootMSE(rootmeansquareenw)
Seq,SS(sequentialSlP11,ofsquares)
Std:
Dev.(standarddeviation)
Standard
enw(SE)
SE,ofdifference(standm:de/rorofdifference)
Std.e/ror
ofestimation
SEmean,(standarde/ror ofthemean)
Standardorder
StudentresidualSumofsquares
Villiancecomponent
Valorreal
Precisiónadecuada
Cuadradomedioajustado
E.cuadradaajustada
Sumadecuadradosajustada
(SSajustada)
Análisisdevarianza
Estimacióndelcoeficiente
Coeficientedevariación
Intervalodeconfianza
DistanciadeCook
Totalcorregido.Sumade
losvaloresde
respuesta,corregidos.
porlamedia..Se.llama
com:únInente!¡umadecuadI'adostotales
Gradosdelibertad'
Gradosdelibertadde.!denominador
Estadí!¡ticosdediagnósticodelcaso
Término
delerror
Mediaestimada
Cuadradomedioesperado
Faltadeajuste
Mediasdemínimoscuadradosdela
resistencia
Accióndepalanca.Potencialde
llnpuntodel
diseñoparainfluirenloscoeficientesdel:
ajustedelmodelo.,Debenevitarsevalores
cercanosa,uno
Media
Diferenciamedia
Cuadradomedio
Mediasdelascovariables
Grados,delibertad,del'numerador
Operadorfijo,
Operadoraleatorio
Puntoatípico.
t
13.cuadradapredicha·
Valorpredicho
Sumadecuadrados
delerrordepredicción
Brrorpuro
Rcuadrada
Raízcuadradadelcuadradomedio
del:errar
Sumadecuadradossecuencial'
Desviaciónestándar
Errorestándar,
Errorestándarddeladiferencia
Error·estándardelaestimación
Errorestándardelamedia
Ordenestándar
Residual.deStudent
Sumadecuadrados
Componentedelavarianza

695. "
Indice
Aberración,326
Aditividaddelmodelo,debloquesaleatorizados,136. Ver
tambiénPruebadeinteracciones(noaditividad)
Aleatorización,12;13,61,126,148
AlgoriJmodeanálisis,paraeldiseño2~,242
Algoritmodeintercambio;
469
Alias;304
Aliasparciales,344,
380,383
Análisiscanónico,
delmodelodesuperficiederespuestade
sewndoorden,440
AnáliSisdecovarianza,15, 126,604
Análisisderesiduales,76, 79,185,224,400; 416,563
Análisisdevarianza,60,63,66
Análisisdevarianza,de
dos.factores,177
Análisis:devarianzade
unsolofactor,64
Análisisdevarianzasimple
Q;de,unavariable,64
Análisis,interbloques,161
Análisisintrabloq»es,161
Arregloexterior;491
ArreglointeriOl:,.49:1;
Ascensomás.prOlmnciad(),227,430,435
Aumentodeldiseño, 409,VertambiénS.eparacióndealias
enlasinteracciones yContl'accióndediseñosfacto"
rialesfraccionados.
Bloqueprincipal;291, 297,
373.
Bloq)les.completos,127
Bloquesincompletos,154
Cálc)llos.
en,
d·análisisde;varianza,70;72'
Cambio,en'.el:efecto·delamediaen.unaoperación.evoluti~
va;(EVOP),484',488
Carácteriterativo de.laexperimentación,11,20,Ventmn-
biéll\Experimentaciónsecuencial]
Ciclo.
en,laoperaciónevolutiva,
(EV0P),484.
Codificación.delosdatosen·un.análisis:de·varian:;:a,72
CoeficieJlte·dec.onfianza, 42:
(i;oeficiente'devariación;104
Coeficientes.deregresión,parcial.393
Combinacióndefra¡::cione<sparaestimarefectos,303,.306,
315, 339,
347;348
Combinacióndeinformacióninterbloqueseintrabloques,
162
Combinacióndeloscuadradosmediosparaestimarel
error,535
Comparacióndemedias
porpares,96-104
Comparacióndetodosloscontrastes,
95
Comparacióndetratamientoscon uncontrol,103
Comparacióngráficademedias, 89
Comparacionesmúltiples, 88,133,182
Componente
1deunainteracción,366
Componente
Jdeunainteracción,366
Componente
Wdeunainteracción,372
Componente
Xdeunainteracción,372
ComponenteYde
unainteracción,372
ComponenteZde
unainteracción,372
Componentes
delavarianza,65,511, 512,518,565
Componentesde
unainteracción,204,366
Condicionesóptimas,427,
429,430,436
Conexiónentreanálisisdevarianza
yregresión,112
Confusióncompleta,
299
Confusióneneldiseño 2
k
,
288
cuatrobloques,296
dosbloques,
289
más.decuatrobloques, 297
Confusióneneldiseño3
k
,
373
másdenuevebloques,378
nuevebloques,377
tresbloques,.373
Confusiónparcial,
299
Construccióndediseñosfactorialesfraccionados,307,318,
337!,
379
c381
Contraccióncompleta:,340
ContracciónparciaI,349
Contrasteestandarizado,92
Contrasteortogonal"93,221,231
Contl'astes,90;93,221, 231,290
Cordilleracreciente, 448'
Cordilleraestacionaria, 448
Corridasaxiales"274,365, 478
Covariable;604
Covarianza:,26·
Crite<rio.depredicciónadecuada,104
Criterio
parasele.ccionarundiseño,455
681

696. 682 ÍNDICE
Criteriosdediseño,455
Cuadradolatinoestándar,148
Cuadradoslatinosortogonales,151,
365
Cuadradosmedios, 68,179
Cuboconcentros
enlascaras,459
Curioseoosondeo
d~datos,94
Curvadeoperacióncaracterística, 40,107, 139,189,529
Curva
Oc.VerCurvadeoperacióncaracterística
Curvatura,
174,272,432
DdeCook,420
Datosnobalanceadosen
elanálisisdevarianza, 75,600
Datosproporcionalesenundiseñofactoríalnobalanceado,
600
Definicióndecontrastes,290, 296,
373
Desviaciónestándarmuestral,27
Determinaciónanalíticade
unatransformación,590
Determinacióndeltamañodelamuestra,
40,107-110,139,
189,529
Diagramadecaja, 23,62
Diagrama.dedispersión,662
Diagramadepuntos,
21,22
Direccióndelascensomáspronunciado.
VerAscensomás
pronunciado
Diseñoanidadodedosetapas,557
Diseñoanidadode
metapas,566
Diseñoanidadodetresetapas,566
Diseño balanceado,154,558,600
Diseñobásico,307,317,
381
Diseñocentralcompuesto,11,274, 275,365,441,456
Diseñodeaberraciónmínima,326
Diseñodearreglocombinado,492,494
Diseñodearreglocruzado,
491
Diseñodebloquesaleatorizados,50,126,207
bloquescompletos,127
bloquesincompletos,154
DiseñodeBox-Behnken,458
Diseñodecomparacionespareadas,47,50
Diseñodelcuadradolatino,144, 148,209,
365
Diseñoenparcelassubdivididas,557, 573,578
Diseño
enparcelassubdivididas enfranjas,583
Diseñoexperimentalcompletamentealeatorizado,33, 64,
176,207
Diseñoexperimental ydiseñodeproductos, 8,11
Diseñofactorial 22,5,219
Diseñofactorial2
3
,
6,228
Diseñofactorial2
4
,
7,246
Diseñofactorial 2
k
,
7,218,242
Diseñofactorialanidado,569
Diseñofactorialnobalanceado,600
Diseñohexagonal,461
Diseñojerárquico.
VerDiseñosanidados
Diseñonobalanceado,75,144,600
Diseñonoreplicado.
VerRéplicaúnica
Diseñooptimal
A,468
Diseñooptimal D,468
DiseñooptimalG,468
Diseñooptimal
V,468
Diseñopentagonal, 461
Diseñorobusto,488. VertambiénEstudiosderobustezde
procesos
Diseñorotable,457
Diseñosímplex
paraelmodelodeprimerorden,456
Diseños
2k-1,304-317
Diseños
2
k
-
Z
,
317
Diseños
2
k
-
p
,326
Diseños
3k,363,372
Diseño3
k
-1,379
Diseños3
k
-p,382
Diseñosalternadosoentrecruzados,150
Diseñosanidados,557-568
Diseñosanidados
poretapas.escalonados,566
Diseñoscentralescompuestospequeños,
461
Diseñoscuboidales,450
Diseñosdebloquesincompletosbalanceados,154
Diseñosdecuadradosgrecolatinos,151,
383
Diseñosdepuntosfrontera,478
Diseños
deresoluciónID,306,337
Diseñosderesolución
Iv,306,347
Diseñosderesolución
V,307,347
Diseñosdesegundoorden,456
Diseñosdesuperficiederespuesta,11,364,429
Diseños
enparcelascondoblesubdivisión,580
Diseñosequirradiales,461
Diseñosesféricos,457
Diseñosgenerados
porcomputadora,409, 466,479
Diseñoshíbridos,461
Diseñosmínimosderesolución
Iv,347
Diseñosnogeométricos,343
Diseñosoptimales,468
Diseñosoptimalesalfabéticos,468-469
Diseñosortogonales,231,404,455
Diseños
paramodelosdeprimerorden,455
DiseñosPlackett-Burman,343-347
'Diseñossaturados,337
Diseñossimétricos,155
Diseñossímplexdecentroide
paramezclas,475
Diseñossímplexderetícula
paramezclas,474
Distribucióndemuestreo,
29
Distribucióndeprobabilidad, 23
Distribucióndeprobabilidadcontinua,24
Distribucióndeprobabilidaddiscreta,
24
Distribucióndereferencia, 35
DistribuciónF,32
Distribuciónji-cuadrada,
30
Distribuciónnormal, 29
Distribuciónnormalestándar, 29
Distribuciónsesgada,30
Distribución
t,31
Doblezdediseñosfactorialesfraccionados,339,340, 347,
348.VertambiénSeparacióndealiasenlasinterac­
ciones

697. Ecuacionesnormalesdemínimoscuadrados,112, 151,159,
186-187,
395
Ecuacionesnormales.
~rEcuacionesnormalesdemínimos
cuadrados
Efectodeltratamíento,
64
Efectoprincipal,5, 170,220
Efectototalde unfactor,221
Efectoscuadráticos, 88,204,432
Efectoscúbicos,
88
Efectosdedispersión, 110,241,260, 264,323
Efectosdelocalización, 111,260,323
Efectosdelosfactores,5, 6,220
Efectosdelostratamíentosajustados,157, 161
Efectosortogonales,221, 231
Efectosresidualesdetratamíentos, 150
Eficienciarelativadelosdiseñosfactoriales,174
Eigenvalores(valorespropios),
440
Eigenvectores(vectorespropios), 446
Elementoidentidad, 231
Enfoquedegrupoeneldiseñodeexperimentos, 14
Enfoquedelamejorconjeturaparalaexperimentación,3
Enfoquenoparamétricodelanálisisdevarianza,
116
Error,22
Errordelaparcelacompleta,575, 579,584
Errordelasubparcela,575, 579,584
Errorestadístico,22,64,412
Errorestándardelosefectosenundiseño 2
k
,241
Errorestándarde uncoeficientederegresión,239,412
Errorexperimental,11, 12,34,64
Errorintrabloques,163
Errorpuro,239
Escalacodificada,172
Espacioinferencialde
unexperimento,511
Estadísticodelrangostudentizado, 97,102
Estadístico
R2ajustada,104, 411.
~rtambiénR2
Estimación,27
Estimación·deloscomponentesdelavarianza, 513
máximaverosimílitud,547
métodode máxima verosimilitudconrestricciones,549
métododelanálisisdevarianza,513, 518,524
Estimacióndelosparámetrosdelmodeloenelanálisisde
varianza,
74,112,185
Estimaciónde máximaverosimílitud,547,549, 595
Estimacióndemínimoscuadradosdeparámetros, 88,112,
141, 159, 186,394
Estimacióndevaloresfaltantes,139, 148,
602
Estimacionesdeefectos, 220
magnitudydirección, 221
Estimador,27
Estimadordelavarianzamínima, 27
Estimadordemomentos,547
Estimadorinsesgado,
27
Estrategiadeexperimentación, 1,3
Estudiosdecapacidadoaptituddelosinstrumentosde
medición,519,524
Estudiosderobustezdeprocesos,
1,127,176,488
ÍNDICE683
Experimentaciónsecuencial,10, 17,18,20, 303, 315,365,
429,456
Experimentador,
2
Experimentoaleatorizado.
VerDiseñoexperimentalcomple-
tamentealeatorizado
Experimentocomparativo,
21
Experimentoconmedicionesrepetidas, 624
Experimentodecaracterización, 8.
~rtambiénExperimen­
todetamízado
Experimentodetamízado,
9,15,218,303
Experimentofactorial, 4,170,218
enbloques,207, 287
enparcelassubdivididas,578
Experimentofactorialfraccionado,
7,303,379
Experimentoscon unfactoralavez, 4
Experimentosdemezclas,472
Experimentosdeseguimíento.
~rPruebasdeconfirmación
Experimentosindustriales
yexperimentosagrícolas, 18
Experimentosnoplaneados,392
Factorcruzado,170.
~rtambién'Experimentofactorial
Factores,
1,2,3,5,14,21, 60
Factorescontrolables, 2,14,15,489,493
Factorescualitativos, 86,201, 275,368
Factorescuantitativos, 86,171,201, 272,363, 368,511
Factoresderuido.
liérFactoresnocontrolables
Factoresnocontrolables,
2,15,489
Factoresquesemantienenconstantes, 14
Faltadeajuste,239,272, 431
Familiadepotenciasdetransformaciones, 84,591
Famíliaexponencialdedistribuciones,594
Familiafactorialfraccionada,306
Faseen
unaoperaciónevolutiva(EVOP),484
Formanorestringidadelmodelomixto,526,540,
573
Formarestringidadelmodelomixto,523, 531, 539,559,
569
Formacióndebloques,12, 13, 15,50,126, 127, 130,207,
209, 287, 289,296,298,315, 331,
373,462,574, 576,
579, 580,
604
Formacióndebloquesdediseñosdesuperficiederespues-
ta,462-466
Fracciónalterna,305,319
Fraccióncomplementaria.
~rFracciónalterna
Fracciónirregular,346
Fracciónprincipal,305
Fracción
unmedio,7,304
Fuerzade
unatransformación,84
Funcióndeenlace,595
Funcionesconcondicióndedeseables,451-454
Funcionesestimables,113, 114, 188,
189
Generadordediseños.
liérGeneradordediseñosfactoria-
lesfraccionados
Generadordediseñosfactorialesfraccionados,304,318
Gradosdelibertad,
29,30,31
Gráficadecontorno,10,204

698. 684 ÍNDICE
Gráficadecubo,242,262
Gráficadeinferenciacondicionalparadiseñosfactoriales
noreplicados,
253
Gráficadeprobabilidadnormaldelosefectos,246, 264
Graficaciónderesiduales,76-86
Gráficasdeprobabilidadnormal,
38,72
Herenciadelaagricultura,17, 18
Hipercuadrados,154
Hipótesisalternativa,34
Hipótesisalternativadedoscolas,
34
Hipótesisalternativadeunacola, 35
Hipótesisnula,34
Histograma,
23
Importanciadelosconocimientosnoestadísticos, 19
Índicedeerrorenelmododelexperimento, 75
Influenciayaccióndepalanca, 419,420
Informaciónrelativaparaefectosconfundidos,300
Interacción,
4,137,171,174
Interacciónentretratamientos ybloques,137
Interaccióngeneralizada,296,
299,377
Intervalodeconfianza,
42
Intervalodeconfianzaparalamediadeuntratamiento, 74,
75,100
Intervalodeconfianzaparalarespuestapromedioenel
modeloderegresión,
416
Intervalodeconfianzasimultáneo, 75
Intervalodepredicción, 416
Intervalosdeconfianzaaproximadosparaloscomponentes
delavarianza,
543
Intervalosdeconfianzaparaloscomponentesdelavarian-
za,516,
491
intervalosaproximadostipoSatterthwaite, 543
intervalosexactos,516, 543
métododegrandesmuestrasmodificado,545
procedimientosdemáximaverosimilitud,552
Intervalosdeconfianzasimultáneos,75,
95
Intervalosdeconfianzaunoalavez, 75
Jerarquíadelmodelo,203, 286
Límitesdeconfianza, 42
Localización,comoenlatendenciacentral, 22
Matrizdecovarianza,397
Matrizdeldiseño,
228
Matrizgorro, 417
Media,12, 25
Mediaglobal, 64
Mediamuestral, 12,26,27
Mediasajustadasdelostratamientosenanálisisdecova­
rianza,
607
Medicionesduplicadasenlarespuesta, 265
MétododeBonferronideintervalosdeconfianzasimultá­
neos,
75
MétododeBox-Cox,590
Métododegrandesmuestrasmodificado,
545
Métododeladiferenciasignificativamínima(LSD)para
compararmedias,
99
MétododeLenth paradiseñossinréplicas,254
Métododeloscuadradosdelasmediasponderados,
603
Métododemediasnoponderadas, 603
Métododemínimoscuadrados.
~rEstimacióndemínimos
cuadradosdeparámetros
Métododemomentos,547
MétododeSatterthwaite.~rPruebasFaproximadas
Métododelascensomáspronunciado.~rAscensomás
pronunciado
Metodologíadesuperficiesderespuesta(MSR),
11,427
Métodosdemediasnoponderadasen
elanálisisdevarian-
za,
603
Mezcladolineal, 476
Mezcladosinérgicoenmezclas, 476
Mezclasantagónicasenmezclas, 476
Mezclasbinarias,472
Mezclasdeverificación,
478
Mezclaspuras,474
Mínimoscuadradosesperados,
68,179
reglaspara,531
Mínimoscuadradosponderados,595
Mitaddegráficanormaldelosefectos,
253
Modelocompleto,115,116, 142, 413
Modeloconefectosaleatorios, 65,511, 512,557
Modeloconefectosfijos,
65,511
Modelodelarespuestaodereacciónde
undiseñorobus-
to,492
Modelodelasmedias, 64,128,177
Modelodelosefectos,
64,128, 145,177
Modelodeprimerorden,226,427, 455
Modeloderegresión, 87,172, 177,201, 204, 223,235,364,
392,604
Modeloderegresiónlinealmúltiple, 393
Modelodesuperficiederespuestadesegundoorden,429
Modeloempírico,17,
87,392
Modeloestadístico,
34,48,64,87,128, 155, 177, 190, 191,
194,207, 210,393,427, 429, 436, 476, 492, 493,512,
517,522, 526,558,567,569,575,576,578,581,584,
594,605,
624
Modelofactorialsininteracciones, 190
Modelojerárquico,203, 286
Modelolineal, 64.
~rtambiénModeloestadístico
Modelolinealgeneralizado,594
Modelomixto,522, 559,569
errorestándardelamediaconefectosfijos,524
estimacióndeloscomponentesdelavarianza,524
formasalternativas,526
modeloconrestricciones,523
modelosinrestricciones,5
1
26
Modeloreducido,116, 143,413,520
Modelosaditivos,135, 145,432
Modelosconmezclas,
476

699. Muestreoaleatorio, 26
NavajadeOckham,310
Niveldesignificación,
34,37
Nivelesdelosfactores,14, 21,60,245
Nivelesdelosfactoresnaturales,224, 226, 431
Nivelesimprecisosdelosfactoresdeldiseño, 405
Nivelesmixtosdelosfactoresen undiseñofactorial,·383
Notacióngeométricaparaexperimentosfactoriales,
228
Observacionesfaltantesenundiseñodebloquesaleatoriza­
dos,139
Observacionesfaltantesenundiseñodecuadradolatino,
148
Observacionesfaltantesenundiseñofactorial 2
k
,404
Operaciónevolutiva(EVOP),484-488
Operadordelavarianza,
25
Operadordelvaloresperado, 25
Optimizacióndeunproceso, 9,427
OrdendeYates. VerOrdenestándar
Ordenestándar,223, 228,
242
Ortogonalidad,93,221,231
Palabrasenlarelacióndedefinición, 318
Parcelascompletas,574,579, 583
Pautasgeneralesparaeldiseñodeexperimentos, 13
Pendientedelasuperficiederespuesta, 493
Planeaciónpreviaalexperimento, 14,16
Potencia,34
Predictorlineal,594
PRESS(PredictionErrorSumofSquares,Predicciónde
sumadecuadradosdeerror),104
Principiodeefectosesparcidos,245,
303
Principiojerárquicoenla
constlllccióndemodelos,203,
286
Procesosrobustos, 1.VertambiénEstudiosderobustezde
procesos
Programaciónnolineal,
451
Propagacióndelerror, 495
..~
Propiedaddereducciónderuidoconlaformacióndéblo-
ques,51,132-133
Propiedadesdelosestimadoresdemínimoscuadrados,397
Proyeccióndediseñosfactoriales,246,
303,307,331
Proyeccióndeldiseño,247, 303,310
Proyectividad,345
PruebadeBartlettparalaigualdaddevarianzas,
81
PruebadeDunnett, 103
Pruebadehipótesis, 21,33,409
Pruebadeinteracciones(noaditividad), 192
PruebadeKruskal-Wallis, 116
PruebadeLevenemodificada. VerPruebade Levene
PruebadeLeveneparalaigualdaddelavarianza,
82
PruebadeNewman-Keuls,102
PruebadeScheffé,
95
Pruebadesignificación. VerPruebadehipótesis
Pruebadesignificacióndeunaregresión,
409
ÍNDICE685
PruebadeTukey, 96
PruebadelrangomúltipledeDuncan,100
Prueba
Fparcial,413
Pruebageneraldelasignificacióndelaregresión,114, 141,
626
Pruebatcombinada.VerPruebatdedosmuestras
Prueba
tdedosmuestras, 35
varianzasdiferentes, 44
Pruebatpareada,49
Pruebasdealeatorización, 40,73
Pruebasdeconfirmación,17,317
Pruebas
Faproximadas,535,539,540
Pseudocomponentes,
479
PseudopruebasF.VerPruebasFaproximadas
Puntoderespuestamáxima,436,
437
Puntoderespuestamínima,436, 438
Puntoestacionario,436,440
Puntosilla,436,439
Puntosatípicos,
78,417
Puntoscentrales,271,365,431,
458,461
Puntosdeaccióndepalanca, 420.VertambiénInfluenciay
accióndepalanca
R2,104,411. VertambiénEstadísticoR2ajustada
R2parapredicción,104, 419
Realizaciónderéplicas, 5,12,16,60,247
Regióncrítica, 34
Regiónderechazo. VerRegióncrítica
Reglasparaexpectativas,
26
Reglasparaloscuadradosmediosesperados,531
Relacióndedefiniciónpara
undiseñofactorialfraccionado,
304,318,379
Relacióngeneradora,
318
Relaciónseñalaruido, 491
Repetibilidad,519
Réplicaoculta,247,
619
Réplicaúnica,191,244. VertambiénUnaobservaciónpor
celda
Réplicasdecuadradoslatinos,
148
Reproducibilidad,519
Residualesescalados,417
Residualesestandarizados,
78,417
ResidualesPRESS,418
Residualesstudentizados,
418
Resolucióndeldiseño,308
Resolucióndeundiseñofactorialfraccionado.
VerResolu-
cióndeldiseño
Respuestasmúltiples,
448
Restricciónsobrelaaleatorización, 130,145,207, 209
Restricciónsobrelaaleátorización. VerRestricciónsobrela
aleatorización;
vertambiénFormacióndebloqiles
R-Student,
419
Selecciónempíricadeunatransformación, 81,84

700. J9'NOV.2005
oHOJADEDEVOLUCION
(
7
... ..L -J.~~~~18, 44,79,80
VUELTODENTRODEUNTÉRMINOs,38,76-86,135, 185,224, 242,
ESTELIBRODEBERÁFSEEC~~~ARCADA PORELÚLTIMOSELLO,,
QUEEXPIRAENLA ~AGAR$
DENOSERASI,ELLECTORSEOBLIGAAr" .
PORCADAOlADEDEMORA.
SeparacióndealiasenlasinteJ
407.VertambiénDoblez
cionados
Significaciónpráctica
vssignifi(
Sistemasdecordilleras,447
Submuestreo,
578
Subparcelas,574,579
Sumadecuadradoscorregida,;
Sumadecuadradosdelosresid
Sumasdecuadradosextras,
412
Sumasdecuadradostipo nI,
6;
Superficiederespuesta, 10,173
393,427
Supuestodedesigualdaddela,
Supuestodeindependenciaen1
varianza,38-40,
79
Supuestodenormalidadenlas J
varianza,38,77
alesalosbloques, 139
,omáspronunciado.f.i!rAscensomás
untratamiento,66
tratamientos,66
celda,191
13,64,126
Incomocriteriodediseño,455,
inua,22
'eta,22
,central,107
604
392
l,2,14,15,392192
392
13,126
ependientes,
26
72,223,431
D3
:
J2AGO2ea
9SEP 20l~
ÍNDICE686
Tendenciacentral, 22
TeoremadeCochran, 69
Teoremadellímitecentral, 30
Totalesdelostratamientosajust;
Transformacióndedatos,40,
81,
Transformaciónderangos, 117,J
Transformaciónparacorregirla'
40,
81,84-86,257,590
Transformacionesparaestabilizal
257
'fransmisióndelerror,493, 495
Tratamientodecontrol, 103
'fratamientos,21,60.."
W
.1·fI~{'s\y~lG EDICiÓN,COMPOSICiÓN, DI~EÑO EIMPRESiÓNDEESTAOBRAFUERONRE"1LIZAOOS
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