Distribución normal y variable tipificada

presentación dedicada a la distribución normal y a la tipificación de una variable aleatoria

1. Distribución normal

2. Distribución normal La distribución normal , una de las más importantes, recibe su nombre debido a que en cierto momento se pensó que la mayoría de los fenómenos estaban distribuidos de dicha manera. Esta distribución nos permite representar fenómenos estadísticos de manera probabilística.

3. Variable aleatoria de la distribución normal Una variable aleatoria continua , X , sigue una distribución normal de media μ y desviación típica σ , y se designa por N(μ, σ) , si se cumplen las siguientes condiciones: 1. La variable puede tomar cualquier valor: (-∞, +∞) 2. La función de densidad , es la expresión en términos de ecuación matemática de la curva de Gauss :

4. Propiedades de la distribución normal El campo de existencia es cualquier valor real, es decir, (-∞, +∞). Es simétrica respecto a la media µ . Tiene un máximo en la media µ . Crece hasta la media µ y decrece a partir de ella. En los puntos µ − σ y µ + σ presenta puntos de inflexión. El eje de abscisas es una asíntota de la curva.

5. El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad . Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ , deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha . La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.

6. Curva de la distribución normal p(μ - σ < X ≤ μ + σ) = 0.68 3 = 68. 3 %

7. p(μ - 2σ < X ≤ μ + 2σ) = 0.95 5 = 95. 5 %

8. p(μ - 3σ < X ≤ μ + 3σ) = 0.997 = 99.7 %

9. Ejercicios Determina en cuáles de los siguientes casos se trata de una población con distribución normal. a. Sueldos que se pagan en una empresa. b. Edad a la que una persona muere.

10. Variable tipificada Se puede demostrar que si X es una variable que se distribuye N( μ , ) utilizando la variable z = , distribuirá N(0, 1) . A este procedimiento se le conoce como tipificación . La ventaja de la variable Z es que existen valores tabulados para ella, de modo que se pueden hacer cálculos de probabilidades y tamaños de grupos de población con solo usar correctamente la tabla, y luego hacer los cálculos correspondientes.  

11. Función densidad La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene por media el valor cero , μ = 0 , y por desviación típica la unidad, σ =1 . Su función de densidad es:

12. Ejercicio resuelto El resultado de una prueba de cuarto medio, tiene una distribución N(5,3 ; 0,6) . El total de estudiantes que rindió la prueba es de 150 . ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un estudiante al azar este haya obtenido al menos un 6,0 ?

13. Calcularemos la probabilidad de que un alumno tenga menos de un 6,0 ; para facilitar el uso de la tabla , el complemento será lo buscado. Ver tabla

14. Si una población tiene distribución normal con media μ y desviación típica , anotamos que ella distribuye N( μ ,  ) . En la tabla, 1,2 corresponde a 0,8849 ; por lo tanto, 1 – 0,8849 = 0,1151 (probabilidad de obtener un alumno con nota igual o superior a 6,0 , o bien el 11,51% de los alumnos obtuvo una nota perteneciente a ese intervalo ). ¿Cuántos estudiantes obtuvieron una nota igual o superior a 6? ¿Cuántos estudiantes obtuvieron una nota inferior a 6?