Distribuciones muestrales.pptx

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1. Distribuciones de muestreo fundamentales y descripciones de datos Muestreo aleatorio En ocasiones en que no es posible o conveniente realizar un censo (analizar a todos los elementos de una población), se selecciona una muestra, entendiendo por tal una parte representativa de la población. El muestreo es por lo tanto una herramienta de la investigación científica, cuya función básica es determinar que parte de una población debe examinarse, con la finalidad de hacer inferencias sobre dicha población. Poblaciones y muestras Una población consta de la totalidad de las observaciones en las que estamos interesados. Una muestra es un subconjunto de una población.

2. Algunos estadísticos importantes Cualquier función de las variables aleatorias que forman una muestra aleatoria se llama estadístico . Medidas de localización de una muestra: la media, la mediana y la moda muestrales Media muestral: Medidas de localización de una muestra: la media, la mediana y la moda muestrales b) Mediana muestral:

3. c ) La moda muestral es el valor que ocurre con mayor frecuencia en la muestra. Ejercicio Conjunto ficticio de datos que representan el gasto en miles de pesos de una familia colombiana . 12,15,18,20,22,25,28,30,35 Calcule: a) la media; b ) la mediana y c) la moda

4. Las medidas de variabilidad de una muestra: la varianza, la desviación estándar y el rango de la muestra La varianza muestral:

5. Puntajes máximos por etnias: https://www.datos.gov.co/Educaci-n/RESULTADOS-ICFES-POR-ETNIAS-PUNTAJE-MAXIMO-/k6cf-r49y Calcule: a ) la media; b ) la varianza y c) la desviación estándar

6. Distribuciones muestrales El campo de la inferencia estadística trata básicamente con generalizaciones y predicciones. Definición: La distribución de probabilidad de un estadístico se denomina distribución muestral . La distribución muestral de un estadístico depende de la distribución de la población, del tamaño de las muestras y del método de selección de las muestras. Distribución muestral de medias Teorema: Supongamos que la población en donde se hace el muestreo es finita de tamaño . Cuando el muestreo se hace con reemplazo, entonces, La media de la distribución muestral de X es igual a la media de la población en que se toma la muestra, es decir, . La varianza de la distribución muestral es igual a la varianza de la población dividida por el tamaño de la muestra, es decir, .  

7. Cuando el muestreo se hace sin reemplazo, entonces, La media de la distribución muestral de X es igual a la media de la población en que se toma la muestra, es decir, . La varianza de la distribución muestral es igual a .   Ejemplo Supongamos que se eligen muestras de tamaño 2 de una población de tamaño 3 con valores 0, 2 y 4. (a) Si el muestreo se hace con reemplazo, entonces, verifique el teorema inciso a. (b) Si el muestreo se hace sin reemplazo, entonces, verifique el teorema inciso b. Muestra ( 0 , 0) 4 ( 0 , 2) 1 1 ( 0 , 4) 2 ( 2 , 0) 1 1 ( 2 , 2) 2 ( 2 , 4) 3 1 ( 4 , 0) 2 ( 4 , 2) 3 1 ( 4 , 4) 4 4 Muestra ( 0 , 0) 4 ( 0 , 2) 1 1 ( 0 , 4) 2 ( 2 , 0) 1 1 ( 2 , 2) 2 ( 2 , 4) 3 1 ( 4 , 0) 2 ( 4 , 2) 3 1 ( 4 , 4) 4 4     y .      

8. Ejemplo Supongamos que se eligen muestras de tamaño 2 de una población de tamaño 3 con valores 0, 2 y 4. (a) Si el muestreo se hace con reemplazo, entonces, verifique el teorema 1.3.1a. (b) Si el muestreo se hace sin reemplazo, entonces, verifique el teorema 1.3.1b. Muestra ( 0 , 2) 1 1 ( 0 , 4) 2 ( 2 , 0) 1 1 ( 2 , 4) 3 1 ( 4 , 0) 2 ( 4 , 2) 3 1 Muestra ( 0 , 2) 1 1 ( 0 , 4) 2 ( 2 , 0) 1 1 ( 2 , 4) 3 1 ( 4 , 0) 2 ( 4 , 2) 3 1     y .      

9. Teorema: Cuando el muestreo se hace en una población infinita , entonces, sin importar si el muestreo es con o sin reemplazo , se tiene que La media de la distribución muestral de X es igual a la media de la población en que se toma la muestra, es decir, . La varianza de la distribución muestral es igual a la varianza de la población dividida por el tamaño de la muestra, es decir, . (con la condición de que la población en que se toma la muestra tenga una varianza conocida)   Población finita Población infinita Muestreo con reemplazo Muestreo sin reemplazo Población finita Población infinita Muestreo con reemplazo Muestreo sin reemplazo Resumen

10. Resumen de la distribución muestral de la media

11. Ejercicios Cinco mil personas se presentaron a un control de peso. El peso promedio fue 75 kilogramos y la desviación estándar 10. Si de esta población de pesos se toman 300 muestras aleatorias de tamaño 40, encuentre: y . el número aproximado de medias muestrales que caen entre 73 y 77 kilogramos. la cantidad aproximada de medias muestrales superiores a 72 kilogramos.   Solución: (a) y   (b) 𝑃(73< <77)=𝑃(𝑍<1,26)−𝑃(𝑍<−1,26)=0,8962−0,1038=0,7924 Por lo tanto el número aproximado de medias muestrales que caen entre 73 y 77 kilogramos será 300×0,7924≈238   (c) Por lo tanto la cantidad aproximada de medias muestrales superiores a 72 kilogramos será  

12. Ejercicio La duración de ciertos componentes eléctricos producidos por una determinada empresa tiene una media de 1.200 horas y una desviación estándar de 400 horas. La población sigue una distribución normal. Suponga que usted ha comprado 9 bombillas, que pueden ser consideradas como una muestra aleatoria de la producción de la empresa. (a) ¿Cuál es la media de la media muestral de la duración de estos componentes eléctricos? (b) ¿Cuál es la varianza de la media muestral? (c) ¿Cuál es el error estándar de la media muestral? (d) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de duración de tres componentes eléctricos sea de menos de 1.050 horas? Solución: Para este caso tenemos que n = 9 < 30, población normal con desviación estándar poblacional conocida (a)   (b) 7   (c)   (d)  

13. Distribución muestral de la media muestral para muestras pequeñas Si el muestreo se hace en una población normal con varianza desconocida y si las muestras seleccionadas son de tamaño n < 30, entonces, la distribución muestral de la media muestral X es la t de Student con n − 1 grados de libertad. Este teorema implica que la variable aleatoria tiene distribución t con n − 1 grados de libertad. Donde es la media de la población y   Suponga que de una población normal con media 20 se toma una muestra de tamaño 16. Si la desviación estándar muestral es 4, encuentre la probabilidad de que la media muestral sea estrictamente mayor que 21,753. Una muestra aleatoria de seis autos de un determinado modelo consumen las siguientes cantidades en kilómetros por litro: 18, 6 18, 4 19, 2 20, 8 19, 4 20, 5. Determine la probabilidad de que el consumo de gasolina medio muestral de los automóviles de este modelo sea menor que 17,6 kilómetros por litro, suponiendo que la distribución de la población es normal con media 17. Ejemplos

14. Ejemplo: Una muestra aleatoria de seis autos de un determinado modelo consumen las siguientes cantidades en kilómetros por litro: 18 , 6 18 , 4 19 , 2 20 , 8 19 , 4 20 , 5 . Determine la probabilidad de que el consumo de gasolina medio muestral de los automóviles de este modelo sea menor que 17,6 kilómetros por litro, suponiendo que la distribución de la población es normal con media 17. Solución: Media poblacional Poblacional normal con varianza desconocida Media muestral Desviación estándar muestral Grados de libertad Media de la media muestral Error estándar de la media muestral    

15. Distribución muestral de una proporción muestral Sea X el número de éxitos en una muestra binomial de n observaciones, donde la probabilidad de éxito es p. Entonces, la proporción de éxitos en la muestra recibe el nombre de PROPORCIÓN MUESTRAL . En la mayoría de las aplicaciones, el parámetro p será la proporción de individuos de una gran población que posean la característica de interés.   Teorema Sea p la proporción de éxitos en una muestra aleatoria de n observaciones. Sea p la proporción de éxitos en la población. Entonces, la distribución muestral de la proporción muestral tiene media y varianza dada por  

16. (Teorema de De Moivre -Laplace) Sea la proporción de éxitos en una muestra aleatoria de n observaciones. Si se cumple alguna de las dos condiciones siguientes: • n ≥ 30 o • np ≥ 5 y n (1 − p ) ≥ 5 , entonces, la distribución muestral de la proporción muestral p se puede aproximar con una distribución normal. Este teorema implica que la variable aleatoria tiene distribución normal. Aquí, y varianza se calculan de acuerdo al teorema anterior.   Se toma una muestra de 250 casas de una población de edificios antiguos para estimar la proporción de casas de este tipo cuya instalación eléctrica resulta insegura. Supongamos que, de hecho, el 30% de todos los edificios de esta población tienen una instalación insegura. Hallar la probabilidad de que la proporción de edificios de la muestra con instalación insegura esté entre 0,25 y 0,35. Hallar la probabilidad de que en 200 lanzamientos de una moneda no falsa, el número de caras esté comprendido en el 40% y el 60%. Ejemplos

17. Distribución muestral de diferencia de dos proporciones muestrales

18. Los hombres y mujeres adultos radicados en una ciudad grande del norte de cierto país difieren en sus opiniones sobre la promulgación de la pena de muerte para personas culpables de asesinato. Se cree que el 12% de los hombres adultos están a favor de la pena de muerte, mientras que sólo el 10% de las mujeres adultas lo están. Si se pregunta a dos muestras aleatorias, una de 150 hombres y otra de 100 mujeres, su opinión sobre la promulgación de la pena de muerte para personas culpables de asesinato, determine la probabilidad de que el porcentaje de hombres a favor sea al menos 3% mayor que el de mujeres. Ejemplos

19. Se cree que 0,16 de las industrias de un área metropolitana I son textiles. Se cree además que en un área metropolitana II esta proporción es de 0,11. Si estas cifras son exactas, ¿cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria simple de 200 industrias del ´área I y una muestra aleatoria simple independiente de 225 industrias del área II arrojen una diferencia entre las proporciones muestrales mayor o igual que 0,10? Ejemplos

20. Distribución muestral de diferencia de medias Primer caso: varianzas poblacionales conocidas o desconocidas y muestras grandes 1

21. Segundo caso: varianzas poblacionales desconocidas, iguales y muestras pequeñas. 2 Varianza muestral combinada

22. Tercer caso: varianzas poblacionales desconocidas, diferentes y muestras pequeñas. 3