Distribuição Log Normal - Valor Esperado

Valor Esperado da log normal - Como calcular a média de uma Distribuição log normal. Resolução de questão de concurso da Anatel(Cespe/Cebraspe-2009) - Como calcular o valor esperado da distribuição lognormal

1. Concurseiro Estatístico
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3. ENUNCIADO

4. Preliminares
IX= lnVN(;
2
))V=e
X
log normal(;
2
);
IE(X) =eVar(X) =
2
;
IE(V) =?eVar(V) =?)Podemos dizerE(V)6=eVar(V)6=
2
;
If(x) =
1

p
2
exp


(x)
2
2
2

;1< x <1;
ISe temos uma função da v.aX, digamosg(x), então
E[g(X)] =
Z
1
1
g(x)f(x) dx

5. Preliminares
Suponha queXNormal(0;
2
)
IFunção densidade de probabilidade (fdp) é dada por:
f(x) =
1

p
2
exp


x
2
2
2

;1< x <1
IPropriedade da densidade;
Z
1
1
f(x) dx= 1)
Z
1
1
1

p
2
exp


x
2
2
2

dx= 1

6. Preliminares
Suponha queXNormal(
2
;
2
)
IFunção densidade de probabilidade (fdp) é dada por:
f(x) =
1

p
2
exp


(x
2
)
2
2
2

;1< x <1
IPropriedade da densidade;
Z
1
1
f(x) dx= 1)
Z
1
1
1

p
2
exp


(x
2
)
2
2
2

dx= 1

7. PreliminaresE(e
X
); XN(0;
2
)
Suponha inicialmente queXNormal(0;
2
). Notação:e
X
= exp(X);
E(e
X
) =
Z
1
1
exp(x)
1

p
2
exp


x
2
2
2

dx=
Z
1
1
1

p
2
exp

x
x
2
2
2

dx
E(e
X
) =
Z
1
1
1

p
2
exp
"


x
2
2x
2

2
2
#
dx
E(e
X
) =
Z
1
1
1

p
2
exp
"


x
2
2x
2
+
2
)
2

(
2
)
2
2
2
#
dx
E(e
X
) =
Z
1
1
1

p
2
exp
"


x
2

2

4
2
2
#
dx

8. PreliminaresE(e
X
); XN(0;
2
)
E(e
X
) =
Z
1
1
1

p
2
exp
"


x
2

2
2
2
+

4
2
2
#
dx
E(e
X
) =
Z
1
1
1

p
2
exp
"


x
2

2
2
2
#
exp


2
2

dx
E(e
X
) =


2
2
Z
1
1
1

p
2
exp
"


x
2

2
2
2
#
dx
| {z }
N(
2
;
2
)
E(e
X
) = exp


2
2


Z
1
1
f(x) dx
|{z}
=1
E(e
X
) = exp


2
2

;comXN(0;
2
)

9. Esperança da Log Normal(;
2
)
Voltamos na densidade da normalN(;
2
):
E(e
X
) =
Z
1
1
exp(x)
1

p
2
exp


(x)
2
2
2

dx
SejaY=e
X
e façamos a transformaçãoy=x)dy= dx.
E(Y) =
Z
1
1
exp(y+)
1

p
2
exp
"

(y+)
2
2
2
#
dy
E(Y) = exp()
Z
1
1
exp(y)
1

p
2
exp


y
2
2
2

dy
| {z }
=E(e
Y
)comYN(0;
2
)
E(Y) = exp()exp


2
2

= exp

+

2
2

10. Esperança da Log Normal
Considerando a densidade da normalN(;
2
):
E(e
X
) =
Z
1
1
exp(x)
1

p
2
exp


(x)
2
2
2

dx= exp

+

2
2

Inicialmente temosX= ln(V),V=e
X
:
E(e
X
) =E(V) = exp

+

2
2

11. GABARITO
Vlog normal)E(V) = exp

+

2
2

12. [email protected]