Do Quinto Postulado De Euclides Ao Nascimento Das

1. Do Quinto Postulado de
Euclides ao Nascimento das
Geometrias Não Euclidianas.

2. As noções elementares de geometria nasceram da
necessidade de se medirem as distâncias entre pontos ou
localidades, e mesmo as formas e dimensões dos objetos. As
civilizações egípcias e assíria, surgidas aproximadamente cinco mil
anos antes da era cristã, conheciam as principais figuras
geométricas e as noções de ângulo, que utilizavam para medir
terras e determinar a posição dos astros no céu. Porém a nossa
história começa por volta de 300 anos antes de Cristo na Grécia
antiga, com Euclides de Alexandria que sistematizou e ampliou os
conhecimentos geométrico da época.
Partindo de noções primitivas de ponto, reta, plano e espaço,
desenvolveu um dos primeiros exemplos de uma teoria dedutiva,
estabelecendo sob a forma de axioma (proposições aceita sem
demonstração), as relações entre essas noções primitivas e suas
principais propriedades. Os axiomas e suas conseqüências, os
teoremas, demonstráveis a partir dos próprios axiomas, forma
reunidos por ele em 13 livro que ficou conhecido como os
elementos que sem dúvida constituíram uma das obras de maior
influência para o desenvolvimento da matemática e da ciência
dedutiva.

3. No entanto é fácil sentir que Euclides não foi o
descobridor, propriamente dito desse material em geral,
essencialmente todo o conhecimento acumulado durante
século até essa época estava ali, isto sim organizado por
Euclides fazendo com que a grande maioria de seus
antecessores acabassem no esquecimento. Estava
escrita dessa forma, portanto, a primeira fundamentação (
teoria axiomática) da geometria. Tal teoria desenvolvia-se
a partir de 23 definições, 5 postulados e 9 axiomas.

4. Entretanto o grande estimulador de nossa história deve-
se ao Quinto Postulado ou Postulado V, tão inigualável se
comparado aos outros que este acabou provocando de
controvérsias e enorme dedicação de inúmeros
matemáticos ao longo de mais de 20 séculos. Este é sem
dúvida o nosso limitador de águas, aquele que divide a
geometria Euclidiana da Não Euclidiana.
O postulado V ( de Euclides):Se uma reta, ao interceptar duas
outras, forma de um mesmo lado ângulos internos cuja soma é
menor que dois ângulos retos , então estas duas retas se
prolongadas indefinidamente , interceptam-se, fazendo-o
exatamente no lado no qual tal soma é menor do que dois
retos.

5. Desta forma a origem das chamadas geometrias Não
Euclidianas esta ligada ao questionamento do Quinto
Postulado estabelecido por Euclides. Por ter elaboração
mais completa que as dos demais, e sobretudo por dar a
impressão de redundância, o Quinto Postulado gerou
controvérsias praticamente desde que foi divulgado. Mais
de dois mil anos depois, a constatação de era possível
construir uma nova geometria, contendo os postulados
anteriores e a negação do quinto, provou sua
independência. Antes mesmo dessa descoberta, o
axioma ganhou novas formulações, atribuindo-se a mais
conhecida - “por um ponto fora de uma reta passa uma
única reta paralela a reta dada”.

7. Na geometria euclidiana a, distância que separa duas semi-reta
disposta como na figura2 permanece a mesma nos movemos para direita.
No inicio do século passado, porem, foram propostas duas geometrias
alternativas nas quais essa distância aumenta, (a geometria hiperbólica )
ou diminui,(a geometria elíptica ) quando nos afastamos das origens das
semi-retas, embora no caso hiperbólico elas continuem a ser paralelas. O
surgimento das geometria não euclidianas representou
uma revolução devido a uma profunda repercussão nos conceitos de
verdade e realidade. Um exemplo disso seria que na geometria
euclidiana, por um ponto fora de reta passa uma única reta paralela a
reta dada, enquanto que não euclidiana pode passar ate infinitas
delas.
A necessidade do quinto postulado esteve envolvida por dúvidas
desde que ele foi enunciado, pois acreditava-se que podia ser deduzido dos
anteriores. Surgiu então a grande questão,
tão antiga quanto o próprio “os elementos” de Euclides, que só seria
definitivamente resolvida no século XIX. O principal objetivo da maioria das
obras dos matemáticos relativas à axiomática apresentada no “Os
Elementos” de Euclides era provar o postulado V, isto é, mostra que ele
seria dependente das outras proposições básicas devendo portanto passar
a ser tido como um teorema
(palavra introduzida por Euclides que significa “afirmação que pode ser
provada”).

8. Houve varias tentativas para demonstrar o Quinto Postulado mas o
definitivo mérito público quanto a solução final, da questão do Quinto
Postulado de Euclides coube ao russo Lobachesvevsky (1793 a 1856)
Lobachevsky conservou as proposições básicas de Euclides
(corresponderiam à hoje Geometria Absoluta ), à exceção do Postulado V,
que supôs ser falso. Com isso, acabou construindo
um certo sistema lógico, com proposições sempre demonstradas a partir
das básicas de Euclides e das anteriores.
Lobachevsky desenvolveu tal sistema lógico-geométrico até leva-lo ao
mesmo nível em que se encontrava a geometria euclidiana. E não
encontrou contradição alguma, chamou-o de geometria imaginária. Ele
sabia, no entanto, que isto não seria suficiente para provar a consistência
de sua geometria. Alguma contradição poderia ser obtida em estágio mais
avançado. Realizou, então, análise algébrica profunda de sua geometria
provando, assim,em medida satisfatória para a sua época, sua
consistência.

9. Estava criada ou descoberta a primeira geometria não
euclidiana. Podemos dizer, então a solução final (no
século XIX) da questão do Postulado V de Euclides
caracteriza-se basicamente por:
- O Postulado V de Euclides não pode ser demonstrado a
partir das suas outras proposições básicas.
-Descoberta de geometria não euclidianas
(posteriormente, outras foram sendo desenvolvidas).
-Nova postura frente ao que é Geometria (conceituação
mais ampla).

10. Exemplos de geometrias Euclidianas e Não-Euclidianas