Dominio de una funcion vectorial - UNSCH

Funcion vectorial.
Dominio de una funcion vectorial.
Ejemplos

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE
HUAMANGA
FACULTAD DE CIENCIAS AGRARIAS
ESCUELA DE FORMACION PROFESIONAL DE INGENIERIA AGRICOLA
TRABAJO 1
DOMINIO DE UNA FUNCION VECTORIAL
DOCENTE :
PULACHE JUAREZ, JOSE C.
ALUMNOS:
HUAMAN CABEZAS, WILLIAN
GUTIERREZ GARCIA, POPI
Ayacucho - Peru
Mayo 2015
1

2. FUNCIONES VECTORIALES
DOMINIO DE UNA FUNCION VECTORIAL
CONTENIDO
1.
2.
3.
4.
5.
2

3. 1.
Se ha estudiado la rectaLenR
3
que pasa por el puntop0(x0; y0; z0) y es paralela al vector
!
a= (a1; a2; a3) como el conjuntoL=fp0+t
!
a =t2Rg. Luego a cada numero realtle
corresponde el puntop0+t
!
ade la recta, a tal correspondencia le llamaremos funcion vectorial
de variable real y que denotaremos por
!
fde donde su regla es:
!
f(t) =p0+t
!
a= (x0+a1t ; y0+a2t ; z0+a3t)
El dominio de la funcion
~
f(t) es el conjunto de los numeros reales y el ranfgo de
~
f(t) es la
recta que pasa por el puntop0y es paralela al vector
!
a, cualquier funcion que tiene como do-
minio el conjunto de los numeros reales y como rango un conjunto de vectores se llama funcion
vectorial de variable real.
2.
Denicion
Seanf,gyhfunciones reales de la variable realt. Entonces se dene funcion vectorialR
por medio de
R(t) =f(t)i+g(t)j+h(t)k
Dondetes cualquier numero real del dominio comun def,gyh. En el plano, se dene una
funcion vectorialRmediante
R(t) =f(t)i+g(t)j
Dondetpertenece al dominio comun defyg.
Ejemplo ilustrativo
SeaRla funcion vectorial denida por
R(t) =
p
t2i+ (t3)
1
j+ln(t)k
Sif(t) =
p
t2,g(t) = (t3)
1
yh(t) =ln(t), entonces el dominio deRes el conunto
de valores detpara los cualesf(t),g(t)yh(t)estan denidas.
Comof(t)esta denida parat2,g(t)esta denida para todo numero real diferente de 3 y
h(t)esta denida para todos los numeros positivos, el dominio deResftjt2; t6= 3g.
La ecuacion
R(t) =f(t)i+g(t)j+h(t)k
Se denomina ecuacion vectorial la cual describe la curvaCdenida por las correspondientes
ecuaciones parametricas; esto es, una curva puede denirse por medio de una ecuacion vectorial
o un conjunto de ecuaciones parametricas.
3

4. 3.
En general el dominio de una funcion vectorialFenR
n
se dene como el dominio comun
de todas las funciones escalares componentes de la funcion vectorial, la imagen como el conjunto
de todos los vectoresF(t)para algunten el dominio deFy la graca se dene como su
imagen. Es decir.
DF=ft2R:F(t)esta definidog
IF=fF(t) :t2DFg
GF=imagen(F)
En otras palabras: Una funcionf:IR!R
n
cuya regla de correspondecia es
f(t) = (f1(t) ;f2(t) ;f3(t) ;:::;fn(t)); t2I
Entonces el dominio de la funcion vectorialfes el conjunto
Df=Df1\Df2\Df3\::: Dfn
DondeDfi
es el dominio de la funcion componentefi;(i= 1;2;3; :::n)
Ejemplo 1. Halle el dominio de la siguiente funcion vectorial:
f(t) =

t
2
; ln (t2) ;
p
4t

Solucion
a) Sif1(t) =t
2
;f2(t) = ln(t2)y f3(t) =
p
t4, entonces
Df1=RDf2=h2 ; +1iy Df3=h1; 4i
Luego.
Df=Df1\Df2\Df3=h2 ; 4i
Ejemplo 2. Halle el dominio de la siguiente funcion vectorial:
g(t) =

1
t+2
;
e
t
p
9t
2; ln(1t)

Solucion
b) Sig1(t) =
1
t+2
; g2(t) =
e
t
p
9t
2; g3(t) = ln(1t)
Hallando el dominio deg1(t)
Dg1:t2Dnum\Ddenom fdenom= 0g
Dg1:t2R\R f2g
Dg1=R f2g
4

5. Hallando el dominio deg2(t)
9Dg2$9t
2
>0
t
2
9<0
(t+ 3)(t3)<0
)Dg2=h3 ; 3i
Hallando el dominio deg3(t)
9Dg3$1t >0
t <1
)Dg3=h1; 1i
Luego
Dg=Dg1\Dg2\Dg3=h3 ;2i [ h2 ; 1i
Ejemplo 3. Determine el dominio de la siguiente funcion vectorial:
f(t) =

p
1t
2
;
1cos
2
(t
1
4)
(t
1
4)
2;
p
t
1e
p
2t

Solucion
Si:f1(t) =
p
1t
2
; f2(t) =
1cos
2
(t
1
4)
(t
1
4)
2; f3(t) =
p
t
1e
p
2t
Hallando el dominio def1(t)
Df1(t)9 $ 1t
2
0
t
2
10
(t+ 1) (t1)0
)Df1(t)= [1 ; 1]
Hallando el dominio def2(t)
Df2(t):t2[Dnum\Ddenom] fdenom= 0g
Dnum=R^Ddenom=R

t
1
4

2
= 0!t=
1
4
)Df2(t)=R

1
4

Hallando el dominio def3(t)
Df3(t):t2[Dnum\Ddenom] fdenom= 0g
Dnum= [0 ; +1[^Ddenom=R
1e
p
2t
= 0
ln

e
p
2t

= ln 1
p
2t= 0!t= 0
)Df3(t)= [0 ; +1[ f0g=h0 ; +1i
Luego:Df(t)=Df1\Df2\Df3= ]0;
1
=4[[]
1
=4; 1]
5

6. 4.
Mitacc Meza, M. (2011)Calculo III. Lima: Thales.
Leithold L. (2000)El calculo. Mexico, D.F: Universidad Iberoamericana.
Jerrold E. Marsden (1998)Calculo vectorial. Nueva York: Addison-wesley iberoamericana.
Espinoza Ramos E. (2000)Analisis Matematico III. Lima: Eduardo Espinoza Ramos.
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