Dynamics and Analytic Number Theory 1st Edition Dzmitry Badziahin

Visit https://ebookultra.com to download the full version and
explore more ebooks
Dynamics and Analytic Number Theory 1st Edition
Dzmitry Badziahin
_____ Click the link below to download _____
https://ebookultra.com/download/dynamics-and-analytic-
number-theory-1st-edition-dzmitry-badziahin/
Explore and download more ebooks at ebookultra.com

Here are some suggested products you might be interested in.
Click the link to download
Duality in Analytic Number Theory 1st Edition Peter D. T.
A. Elliott
https://ebookultra.com/download/duality-in-analytic-number-theory-1st-
edition-peter-d-t-a-elliott/
Algorithmic number theory lattices number fields curves
and cryptography 1st Edition J.P. Buhler
https://ebookultra.com/download/algorithmic-number-theory-lattices-
number-fields-curves-and-cryptography-1st-edition-j-p-buhler/
Fluid Transport Theory Dynamics and Applications Theory
Dynamics and Applications 1st Edition Emma T. Berg
https://ebookultra.com/download/fluid-transport-theory-dynamics-and-
applications-theory-dynamics-and-applications-1st-edition-emma-t-berg/
Recurrence in Ergodic Theory and Combinatorial Number
Theory Harry Furstenberg
https://ebookultra.com/download/recurrence-in-ergodic-theory-and-
combinatorial-number-theory-harry-furstenberg/

Elliptic Tales Curves Counting and Number Theory Avner Ash
https://ebookultra.com/download/elliptic-tales-curves-counting-and-
number-theory-avner-ash/
Number Theory Fourier Analysis and Geometric Discrepancy
London Mathematical Society Student Texts Series Number 81
1st Edition Giancarlo Travaglini
https://ebookultra.com/download/number-theory-fourier-analysis-and-
geometric-discrepancy-london-mathematical-society-student-texts-
series-number-81-1st-edition-giancarlo-travaglini/
Elementary Number Theory with Applications 2nd Edition
Koshy
https://ebookultra.com/download/elementary-number-theory-with-
applications-2nd-edition-koshy/
Combinatorics and Number Theory of Counting Sequences 1st
Edition Istvan Mezo (Author)
https://ebookultra.com/download/combinatorics-and-number-theory-of-
counting-sequences-1st-edition-istvan-mezo-author/
Current Trends in Number Theory 1st Edition Sukumar Das
Adhikari
https://ebookultra.com/download/current-trends-in-number-theory-1st-
edition-sukumar-das-adhikari/

Dynamics and Analytic Number Theory 1st Edition
Dzmitry Badziahin Digital Instant Download
Author(s): Dzmitry Badziahin, Alexander Gorodnik, Norbert Peyerimhoff
(eds.)
ISBN(s): 9781107552371, 1107552370
Edition: 1
File Details: PDF, 1.88 MB
Year: 2017
Language: english

LONDON MATHEMATICAL SOCIETY LECTURE NOTE SERIES
Managing Editor: Professor M. Reid, Mathematics Institute,
University of Warwick, Coventry CV4 7AL, United Kingdom
The titles below are available from booksellers, or from Cambridge University Press at
http://www.cambridge.org/mathematics
314 Spectral generalizations of line graphs, D. CVETKOVI´C, P. ROWLINSON & S. SIMI´C
315 Structured ring spectra, A. BAKER & B. RICHTER (eds)
316 Linear logic in computer science, T. EHRHARD, P. RUET, J.-Y. GIRARD & P. SCOTT (eds)
317 Advances in elliptic curve cryptography, I.F. BLAKE, G. SEROUSSI & N.P. SMART (eds)
318 Perturbation of the boundary in boundary-value problems of partial differential equations, D. HENRY
319 Double afﬁne Hecke algebras, I. CHEREDNIK
320 L-functions and Galois representations, D. BURNS, K. BUZZARD & J. NEKOVÁˇR(eds)
321 Surveys in modern mathematics, V. PRASOLOV & Y. ILYASHENKO (eds)
322 Recent perspectives in random matrix theory and number theory, F. MEZZADRI & N.C. SNAITH (eds)
323 Poisson geometry, deformation quantisation and group representations, S. GUTTet al(eds)
324 Singularities and computer algebra, C. LOSSEN & G. PFISTER (eds)
325 Lectures on the Ricci ﬂow, P. TOPPING
326 Modular representations of ﬁnite groups of Lie type, J.E. HUMPHREYS
327 Surveys in combinatorics 2005, B.S. WEBB (ed)
328 Fundamentals of hyperbolic manifolds, R. CANARY, D. EPSTEIN & A. MARDEN (eds)
329 Spaces of Kleinian groups, Y. MINSKY, M. SAKUMA & C. SERIES (eds)
330 Noncommutative localization in algebra and topology, A. RANICKI (ed)
331 Foundations of computational mathematics, Santander 2005, L.M PARDO, A. PINKUS, E. SÜLI & M.J. TODD
(eds)
332 Handbook of tilting theory, L. ANGELERI HÜGEL, D. HAPPEL & H. KRAUSE (eds)
333 Synthetic differential geometry (2nd Edition), A. KOCK
334 The Navier–Stokes equations, N. RILEY & P. DRAZIN
335 Lectures on the combinatorics of free probability, A. NICA & R. SPEICHER
336 Integral closure of ideals, rings, and modules, I. SWANSON & C. HUNEKE
337 Methods in Banach space theory, J.M.F. CASTILLO & W.B. JOHNSON (eds)
338 Surveys in geometry and number theory, N. YOUNG (ed)
339 Groups St Andrews 2005 I, C.M. CAMPBELL, M.R. QUICK, E.F. ROBERTSON & G.C. SMITH (eds)
340 Groups St Andrews 2005 II, C.M. CAMPBELL, M.R. QUICK, E.F. ROBERTSON & G.C. SMITH (eds)
341 Ranks of elliptic curves and random matrix theory, J.B. CONREY, D.W. FARMER, F. MEZZADRI & N.C.
SNAITH (eds)
342 Elliptic cohomology, H.R. MILLER & D.C. RAVENEL (eds)
343 Algebraic cycles and motives I, J. NAGEL & C. PETERS (eds)
344 Algebraic cycles and motives II, J. NAGEL & C. PETERS (eds)
345 Algebraic and analytic geometry, A. NEEMAN
346 Surveys in combinatorics 2007, A. HILTON & J. TALBOT (eds)
347 Surveys in contemporary mathematics, N. YOUNG & Y. CHOI (eds)
348 Transcendental dynamics and complex analysis, P.J. RIPPON & G.M. STALLARD (eds)
349 Model theory with applications to algebra and analysis I, Z. CHATZIDAKIS, D. MACPHERSON, A. PILLAY &
A. WILKIE (eds)
350 Model theory with applications to algebra and analysis II, Z. CHATZIDAKIS, D. MACPHERSON, A. PILLAY &
A. WILKIE (eds)
351 Finite von Neumann algebras and masas, A.M. SINCLAIR & R.R. SMITH
352 Number theory and polynomials, J. MCKEE & C. SMYTH (eds)
353 Trends in stochastic analysis, J. BLATH, P. MÖRTERS & M. SCHEUTZOW (eds)
354 Groups and analysis, K. TENT (ed)
355 Non-equilibrium statistical mechanics and turbulence, J. CARDY, G. FALKOVICH & K. GAWEDZKI
356 Elliptic curves and big Galois representations, D. DELBOURGO
357 Algebraic theory of differential equations, M.A.H. MACCALLUM & A.V. MIKHAILOV (eds)
358 Geometric and cohomological methods in group theory, M.R. BRIDSON, P.H. KROPHOLLER & I.J. LEARY (eds)
359 Moduli spaces and vector bundles, L. BRAMBILA-PAZ, S.B. BRADLOW, O. GARCÍA-PRADA & S.
RAMANAN (eds)
360 Zariski geometries, B. ZILBER
361 Words: Notes on verbal width in groups, D. SEGAL
362 Differential tensor algebras and their module categories, R. BAUTISTA, L. SALMERÓN & R. ZUAZUA
363 Foundations of computational mathematics, Hong Kong 2008, F. CUCKER, A. PINKUS & M.J. TODD (eds)
364 Partial differential equations and ﬂuid mechanics, J.C. ROBINSON & J.L. RODRIGO (eds)
365 Surveys in combinatorics 2009, S. HUCZYNSKA, J.D. MITCHELL & C.M. RONEY-DOUGAL (eds)
366 Highly oscillatory problems, B. ENGQUIST, A. FOKAS, E. HAIRER & A. ISERLES (eds)
367 Random matrices: High dimensional phenomena, G. BLOWER
368 Geometry of Riemann surfaces, F.P. GARDINER, G. GONZÁLEZ-DIEZ & C. KOUROUNIOTIS (eds)
369 Epidemics and rumours in complex networks, M. DRAIEF & L. MASSOULIÉ
370 Theory ofp-adic distributions, S. ALBEVERIO, A.YU. KHRENNIKOV & V.M. SHELKOVICH
371 Conformal fractals, F. PRZYTYCKI & M. URBA´NSKI
372 Moonshine: The ﬁrst quarter century and beyond, J. LEPOWSKY, J. MCKAY & M.P. TUITE (eds)
373 Smoothness, regularity and complete intersection, J. MAJADAS & A. G. RODICIO
374 Geometric analysis of hyperbolic differential equations: An introduction, S. ALINHAC
375 Triangulated categories, T. HOLM, P. JØRGENSEN & R. ROUQUIER (eds)

376 Permutation patterns, S. LINTON, N. RUŠKUC & V. VATTER (eds)
377 An introduction to Galois cohomology and its applications, G. BERHUY
378 Probability and mathematical genetics, N. H. BINGHAM & C. M. GOLDIE (eds)
379 Finite and algorithmic model theory, J. ESPARZA, C. MICHAUX & C. STEINHORN (eds)
380 Real and complex singularities, M. MANOEL, M.C. ROMERO FUSTER & C.T.C WALL (eds)
381 Symmetries and integrability of difference equations, D. LEVI, P. OLVER, Z. THOMOVA & P. WINTERNITZ
(eds)
382 Forcing with random variables and proof complexity, J. KRAJÍˇCEK
383 Motivic integration and its interactions with model theory and non-Archimedean geometry I, R. CLUCKERS, J.
NICAISE & J. SEBAG (eds)
384 Motivic integration and its interactions with model theory and non-Archimedean geometry II, R. CLUCKERS,
J. NICAISE & J. SEBAG (eds)
385 Entropy of hidden Markov processes and connections to dynamical systems, B. MARCUS, K. PETERSEN &
T. WEISSMAN (eds)
386 Independence-friendly logic, A.L. MANN, G. SANDU & M. SEVENSTER
387 Groups St Andrews 2009 in Bath I, C.M. CAMPBELLet al(eds)
388 Groups St Andrews 2009 in Bath II, C.M. CAMPBELLet al(eds)
389 Random ﬁelds on the sphere, D. MARINUCCI & G. PECCATI
390 Localization in periodic potentials, D.E. PELINOVSKY
391 Fusion systems in algebra and topology, M. ASCHBACHER, R. KESSAR & B. OLIVER
392 Surveys in combinatorics 2011, R. CHAPMAN (ed)
393 Non-abelian fundamental groups and Iwasawa theory, J. COATESet al(eds)
394 Variational problems in differential geometry, R. BIELAWSKI, K. HOUSTON & M. SPEIGHT (eds)
395 How groups grow, A. MANN
396 Arithmetic differential operators over thep-adic integers, C.C. RALPH & S.R. SIMANCA
397 Hyperbolic geometry and applications in quantum chaos and cosmology, J. BOLTE & F. STEINER (eds)
398 Mathematical models in contact mechanics, M. SOFONEA & A. MATEI
399 Circuit double cover of graphs, C.-Q. ZHANG
400 Dense sphere packings: a blueprint for formal proofs, T. HALES
401 A double Hall algebra approach to afﬁne quantum Schur–Weyl theory, B. DENG, J. DU & Q. FU
402 Mathematical aspects of ﬂuid mechanics, J.C. ROBINSON, J.L. RODRIGO & W. SADOWSKI (eds)
403 Foundations of computational mathematics, Budapest 2011, F. CUCKER, T. KRICK, A. PINKUS &
A. SZANTO (eds)
404 Operator methods for boundary value problems, S. HASSI, H.S.V. DE SNOO & F.H. SZAFRANIEC (eds)
405 Torsors, étale homotopy and applications to rational points, A.N. SKOROBOGATOV (ed)
406 Appalachian set theory, J. CUMMINGS & E. SCHIMMERLING (eds)
407 The maximal subgroups of the low-dimensional ﬁnite classical groups, J.N. BRAY, D.F. HOLT &
C.M. RONEY-DOUGAL
408 Complexity science: the Warwick master’s course, R. BALL, V. KOLOKOLTSOV & R.S. MACKAY (eds)
409 Surveys in combinatorics 2013, S.R. BLACKBURN, S. GERKE & M. WILDON (eds)
410 Representation theory and harmonic analysis of wreath products of ﬁnite groups,
T. CECCHERINI-SILBERSTEIN, F. SCARABOTTI & F. TOLLI
411 Moduli spaces, L. BRAMBILA-PAZ, O. GARCÍA-PRADA, P. NEWSTEAD & R.P. THOMAS (eds)
412 Automorphisms and equivalence relations in topological dynamics, D.B. ELLIS & R. ELLIS
413 Optimal transportation, Y. OLLIVIER, H. PAJOT & C. VILLANI (eds)
414 Automorphic forms and Galois representations I, F. DIAMOND, P.L. KASSAEI & M. KIM (eds)
415 Automorphic forms and Galois representations II, F. DIAMOND, P.L. KASSAEI & M. KIM (eds)
416 Reversibility in dynamics and group theory, A.G. O’FARRELL & I. SHORT
417 Recent advances in algebraic geometry, C.D. HACON, M. MUSTA¸T˘A & M. POPA (eds)
418 The Bloch–Kato conjecture for the Riemann zeta function, J. COATES, A. RAGHURAM, A. SAIKIA &
R. SUJATHA (eds)
419 The Cauchy problem for non-Lipschitz semi-linear parabolic partial differential equations, J.C. MEYER &
D.J. NEEDHAM
420 Arithmetic and geometry, L. DIEULEFAITet al(eds)
421 O-minimality and Diophantine geometry, G.O. JONES & A.J. WILKIE (eds)
422 Groups St Andrews 2013, C.M. CAMPBELLet al(eds)
423 Inequalities for graph eigenvalues, Z. STANI´C
424 Surveys in combinatorics 2015, A. CZUMAJet al(eds)
425 Geometry, topology and dynamics in negative curvature, C.S. ARAVINDA, F.T. FARRELL & J.-F. LAFONT
(eds)
426 Lectures on the theory of water waves, T. BRIDGES, M. GROVES & D. NICHOLLS (eds)
427 Recent advances in Hodge theory, M. KERR & G. PEARLSTEIN (eds)
428 Geometry in a Fréchet context, C. T. J. DODSON, G. GALANIS & E. VASSILIOU
429 Sheaves and functions modulop, L. TAELMAN
430 Recent progress in the theory of the Euler and Navier-Stokes equations, J.C. ROBINSON, J.L. RODRIGO,
W. SADOWSKI & A. VIDAL-LÓPEZ (eds)
431 Harmonic and subharmonic function theory on the real hyperbolic ball, M. STOLL
432 Topics in graph automorphisms and reconstruction (2nd Edition), J. LAURI & R. SCAPELLATO
433 Regular and irregular holonomic D-modules, M. KASHIWARA & P. SCHAPIRA
434 Analytic semigroups and semilinear initial boundary value problems (2nd Edition), K. TAIRA
435 Graded rings and graded Grothendieck groups, R. HAZRAT
436 Groups, graphs and random walks, T. CECCHERINI-SILBERSTEIN, M. SALVATORI & E. SAVA-HUSS (eds)
437 Dynamics and analytic number theory, D. BADZIAHIN, A. GORODNIK & N. PEYERIMHOFF (eds)

London Mathematical Society Lecture Note Series: 437
Dynamics and Analytic Number Theory
Proceedings of the Durham Easter School 2014
Edited by
DZMITRY BADZIAHIN
University of Durham
ALEXANDER GORODNIK
University of Bristol
NORBERT PEYERIMHOFF
University of Durham

University Printing House, Cambridge CB2 8BS, United Kingdom
Cambridge University Press is part of the University of Cambridge.
It furthers the University’s mission by disseminating knowledge in the pursuit of
education, learning, and research at the highest international levels of excellence.
www.cambridge.org
Information on this title:www.cambridge.org/9781107552371
cCambridge University Press 2016
This publication is in copyright. Subject to statutory exception
and to the provisions of relevant collective licensing agreements,
no reproduction of any part may take place without the written
permission of Cambridge University Press.
First published 2016
Printed in the United Kingdom by Clays, St Ives plc
A catalogue record for this publication is available from the British Library.
Library of Congress Cataloging-in-Publication Data
Names: Durham Easter School (2014 : University of Durham) | Badziahin,
Dmitry (Dmitry A.), editor. | Gorodnik, Alexander,
1975– editor. | Peyerimhoff, Norbert, 1964– editor.
Title: Dynamics and analytic number theory : proceedings of the Durham Easter
School 2014 / edited by Dzmitry Badziahin, University of Durham, Alexander
Gorodnik, University of Bristol, Norbert Peyerimhoff, University of Durham.
Description: Cambridge : Cambridge University Press, [2016] |
Series: London Mathematical Society lecture note series ; 437 |
Includes bibliographical references and index.
Identiﬁers: LCCN 2016044609 | ISBN 9781107552371 (alk. paper)
Subjects: LCSH: Number theory – Congresses. | Dynamics – Congresses.
Classiﬁcation: LCC QA241 .D87 2014 | DDC 512.7/3–dc23
LC record available athttps://lccn.loc.gov/2016044609
ISBN 978-1-107-55237-1 Paperback
Cambridge University Press has no responsibility for the persistence or accuracy of
URLs for external or third-party Internet Web sites referred to in this publication
and does not guarantee that any content on such Web sites is, or will remain,
accurate or appropriate.

Contents
List of contributors page vii
Preface ix
1 Metric Diophantine Approximation: Aspects of Recent Work1
Victor Beresnevich, Felipe Ramírez and Sanju Velani
1.1 Background: Dirichlet andBad 1
1.2 Metric Diophantine Approximation: The Classical Lebesgue
Theory 9
1.3 Metric Diophantine Approximation: The Classical
Hausdorff Theory 18
1.4 The Higher-Dimensional Theory 27
1.5 Ubiquitous Systems of Points 46
1.6 Diophantine Approximation on Manifolds 53
1.7 The Badly Approximable Theory 74
2 Exponents of Diophantine Approximation 96
Yann Bugeaud
2.1 Introduction and Generalities 96
2.2 Further Deﬁnitions and First Results 99
2.3 Overview of Known Relations Between Exponents 106
2.4 Bounds for the Exponents of Approximation 109
2.5 Spectra 114
2.6 Intermediate Exponents 121
2.7 Parametric Geometry of Numbers 124
2.8 Real Numbers Which Are Badly Approximable by
Algebraic Numbers 126
2.9 Open Problems 127
v

vi Contents
3 Effective Equidistribution of Nilﬂows and Bounds on Weyl Sums136
Giovanni Forni
3.1 Introduction 137
3.2 Nilﬂows and Weyl Sums 142
3.3 The Cohomological Equation 152
3.4 The Heisenberg Case 159
3.5 Higher-Step Filiform Nilﬂows 174
4 Multiple Recurrence and Finding Patterns in Dense Sets189
Tim Austin
4.1 Szemerédi’s Theorem and Its Relatives 189
4.2 Multiple Recurrence 192
4.3 Background from Ergodic Theory 197
4.4 Multiple Recurrence in Terms of Self-Joinings 212
4.5 Weak Mixing 222
4.6 Roth’s Theorem 230
4.7 Towards Convergence in General 238
4.8 Sated Systems and Pleasant Extensions 242
4.9 Further Reading 248
5 Diophantine Problems and Homogeneous Dynamics 258
Manfred Einsiedler and Tom Ward
5.1 Equidistribution and the Gauss Circle Problem 258
5.2 Counting Points in SL2(Z)·i⊆H 267
5.3 Dirichlet’s Theorem and Dani’s Correspondence 278
6 Applications of Thin Orbits 289
Alex Kontorovich
6.1 Lecture 1: Closed Geodesics, Binary Quadratic Forms, and
Duke’s Theorem 289
6.2 Lecture 2: Three Problems in Continued Fractions: ELMV,
McMullen, and Zaremba 306
6.3 Lecture 3: The Thin Orbits Perspective 310
Index 318

Contributors
Tim Austin
Courant Institute, NYU
New York, NY 10012, USA
Email:[email protected]
Victor Beresnevich
Department of Mathematics, University of York
Heslington, York, Y010 5DD, United Kingdom
Email:[email protected]
Yann Bugeaud
Département de mathématiques, Université de Strasbourg
F-67084 Strasbourg, France
Email:[email protected]
Manfred Einsiedler
Departement Mathematik, ETH Zürich
8092 Zürich, Switzerland
Email:[email protected]
Giovanni Forni
Department of Mathematics, University of Maryland
College Park, MD 20742-4015, USA
Email:[email protected]
Alex Kontorovich
Department of Mathematics, Rutgers University
Piscataway, NJ 08854, USA
Email:[email protected]
vii

viii List of contributors
Felipe Ramírez
Department of Mathematics and Computer Science
Wesleyan University, Middletown, CT 06459, USA
Email:[email protected]
Sanju Velani
Department of Mathematics, University of York
Heslington, York, Y010 5DD, United Kingdom
Email:[email protected]
Tom Ward
Executive Ofﬁce, Palatine Centre, Durham University
Durham DH1 3LE, United Kingdom
Email:[email protected]

Preface
This book is devoted to some of the interesting recently discovered interac-
tions between Analytic Number Theory and the Theory of Dynamical Systems.
Analytical Number Theory has a very long history. Many people associate
its starting point with the work of Dirichet onL-functions in 1837, where he
proved his famous result about inﬁnitely many primes in arithmetic progres-
sions. Since then, analytical methods have played a crucial role in proving
many important results in Number Theory. For example, the study of the
Riemann zeta function allowed to uncover deep information about the distri-
bution of prime numbers. Hardy and Littlewood developed their circle method
to establish ﬁrst explicit general estimates for the Waring problem. Later,
Vinogradov used the idea of the circle method to create his own method of
exponential sums which allowed him to solve, unconditionally of the Rie-
mann hypothesis, the ternary Goldbach conjecture for all but ﬁnitely many
natural numbers. Roth also used exponential sums to prove the existence of
three-term arithmetic progressions in subsets of positive density. One of the
fundamental questions which arise in the investigation of exponential sums, as
well as many other problems in Number Theory, is how rational numbers/vec-
tors are distributed and how well real numbers/vectors can be approximated
by rationals. Understanding various properties of sets of numbers/vectors that
have prescribed approximational properties, such as their size, is the subject
of the metric theory of Diophantine approximation, which involves an inter-
esting interplay between Arithmetic and Measure Theory. While these topics
are now considered as classical, the behaviour of exponential sums is still not
well understood today, and there are still many challenging open problems
in Diophantine approximation. On the other hand, in the last decades there
have been several important breakthroughs in these areas of Number Theory
where progress on long-standing open problems has been achieved by utilising
techniques which originated from the Theory of Dynamical Systems. These
ix

x Preface
developments have uncovered many profound and very promising connections
between number-theoretic and dynamical objects that are at the forefront of
current research. For instance, it turned out that properties of exponential sums
are intimately related to the behaviour of orbits of ﬂows on nilmanifolds; the
existence of given combinatorial conﬁgurations (e.g. arithmetic progressions)
in subsets of integers can be established through the study of multiple recur-
rence properties for dynamical systems; and Diophantine properties of vectors
in the Euclidean spaces can be characterised in terms of excursions of orbits of
suitable ﬂows in the space of lattices.
The material of this book is based on the Durham Easter School, ‘Dynam-
ics and Analytic Number Theory’, that was held at the University of Durham
in Spring 2014. The intention of this school was to communicate some of
these remarkable developments at the interface between Number Theory and
Dynamical Systems to young researchers. The Easter School consisted of a
series of mini-courses (with two to three lectures each) given by Tim Austin,
Manfred Einsiedler, Giovanni Forni, Alex Kontorovich, Sanju Velani and
Trevor Wooley, and a talk by Yann Bugeaud presenting a collection of recent
results and open problems in Diophantine approximation. The event was very
well received by more than 60 participants, many of them PhD students from
all around the world. Because of the great interest of young researchers in
this topic, we decided to encourage the speakers to write contributions to this
Proceedings volume.
One of the typical examples where both classical and dynamical approaches
are now actively developing and producing deep results is the theory of Dio-
phantine approximation. One of the classical problems in this area asks how
well a givenn-dimensional vectorx∈R
n
can be approximated by vectors with
rational coefﬁcients. More speciﬁcally, one can ask: what is the supremumλ(x)
of the valuesλsuch that the inequality
||qx−p||∞<Q
−λ
(1)
has inﬁnitely many integer solutionsQ∈N,q∈N,p∈Z
n
satisfyingq≤Q?
This type of problem is referred to as a simultaneous Diophantine approxima-
tion. There is also a dual Diophantine approximation problem which asks for
the supremumω(x)of the valuesωsuch that the inequality
|(x,q)−p|<Q
−ω
(2)
has inﬁnitely many solutionsQ∈N,q∈Z
n
,p∈Zwithqφ=0and||q||∞≤
Q. It turns out that there are various relations between the exponentsλ(x)and
ω(x). Chapter2provides an overview of known relations between these and
some other similar exponents. It mostly concentrates on the case wherexlies

Preface xi
on the so-called Veronese curve which is deﬁned byx(t):=(t,t
2
,...,t
n
)
with realt. This case is of particular importance for number theorists since it
has implications for the question about the distribution of algebraic numbers of
bounded degree. For example, condition (2) in this case transforms to|P(t)|<
Q
−ω
whereP(t)is a polynomial with integer coefﬁcients. For largeQthis
implies thatxis very close to the root ofP, which is an algebraic number.
Metric theory of Diophantine approximation does not work with particular
vectorsx. Instead it deals with the sets of all vectorsxsatisfying inequali-
ties like (1)or(2) for inﬁnitely manyQ∈N,q∈N,p∈Z
n
(respectively,
Q∈N,q∈Z
n
,p∈Z,qφ=0). The central problem is to estimate the mea-
sure and the Hausdorff dimension of such sets. This area of Number Theory
was founded at the beginning of the twentieth century with Khintchine’s work
which was later generalised by Groshev. In the most general way they showed
that, given a functionψ:R≥0→R≥0,thesetofm×nmatricesAwhich
satisfy the inequality
||Aq−p||∞<ψ(||q||∞)
withp∈Z
n
andq∈Z
m
, has either zero or full Lebesgue measure. The
matricesAsatisfying this property are usually calledψ-well approximable.
Furthermore, with some mild conditions onψ, the Lebesgue measure of the
set ofψ-well approximable matrices is determined by the convergence of a
certain series which involvesψ. Later, many other results of this type were
established, some of them with help of the classical methods and others by
using the ideas from homogeneous dynamics.
Chapter1describes several powerful ‘classical’ techniques used in metric
theory of Diophantine approximation, such as the Mass Transference Prin-
ciple, ubiquitous systems, Cantor sets constructions and winning sets. The
Mass Transference Principle allows us to get results about the more sensi-
tive Hausdorff measure and Hausdorff dimension of sets of well approximable
matrices or similar objects as soon as results about their Lebesgue measure
are known. Ubiquitous systems provide another powerful method originat-
ing from works of A. Baker and W. Schmidt. It enables us to obtain the
‘full Lebesgue measure’-type results in various analogues of the Khintchine–
Groshev theorem. Finally, Chapter1introduces the generalised Cantor set
construction technique, which helps in investigating badly approximable num-
bers or vectors. It also relates such sets with so-called winning sets developed
by W. Schmidt. The winning sets have several surprising properties. For
example, they have the maximal possible Hausdorff dimension and, even
though such sets may be null in terms of Lebesgue measure, their countable
intersection must also be winning.

xii Preface
Chapter3is devoted to the study of exponential sums. Given a real
polynomialP(x)=akx
k
+···+a1x+a0, the Weyl sums are deﬁned as
WN:=
N−1
λ
n=0
e
2πiP(n)
.
The study of Weyl sums has a long history that goes back to foundational
works of Hardy, Littlewood, and Weyl. When the coefﬁcients of the polyno-
mialP(X)satisfy a suitable irrationality condition, then it is known that for
somew∈(0,1),
WN=O(N
1−w
)asN→∞,
and improving the value of the exponent in this estimate is a topic of current
research. This problem has been approached recently by several very different
methods. The method of Wooley is based on reﬁnements of the Vinogradov
mean value theorem and a new idea of efﬁcient congruencing, and the method
of Flaminio and Forni involves the investigation of asymptotic properties of
ﬂows on nilmanifolds using renormalisation techniques. It is quite remarkable
that the exponentswobtained by the Flaminio–Forni approach, which is deter-
mined by optimal scaling of invariant distributions, essentially coincide with
the exponents derived by Wooley using his method of efﬁcient congruencing.
As discussed in Chapter3, ﬂows on nilmanifolds provide a very convenient
tool for investigating the distribution of polynomial sequences modulo one and
modelling Weyl sums. We illustrate this by a simple example. Let
N:=
⎧
⎨
⎩
[p,q,r]:=
⎛
⎝
1pr
01 q
001
⎞
⎠:p,q,r∈R
⎫
⎬
⎭
denote the three-dimensional Heisenberg group, and≤be the subgroup con-
sisting of matrices with integral entries. Then the factor spaceM:=≤\N
provides the simplest example of a nilmanifold. Given an upper triangular
nilpotent matrixX=(xij), the ﬂow generated byXis deﬁned by
φ
X
t
(m)=mexp(tX)withm∈M.
More explicitly, exp(tX)=[x12t,x23t,x13t+x12x23t
2
/2]. The spaceMcon-
tains a two-dimensional subtorusTdeﬁned by the conditionq=0. If we
takex23=1, then the intersection of the orbitφ
X
t
∧≤e)with this torus gives
the sequence of points[x12n,0,x13n+x12n
2
/2]withn∈N. Hence, choos-
ing suitable matricesX, the ﬂowsφ
X
t
can be used to model values of general
quadratic polynomialsPmodulo one. Moreover, this relation can be made

Preface xiii
much more precise. In particular, with a suitable choice of a test functionFon
Mandm∈M,
N−1
λ
n=0
e
2πiP(n)
=

N
0
F(φ
X
t
(m))dt+O(1).
This demonstrates that quadratic Weyl sums are intimately related to averages
of one-parameter ﬂows on the Heisenberg manifold. A more elaborate con-
struction discussed in detail in Chapter3shows that general Weyl sums can
be approximated by integrals along orbits on higher-dimensional nilmanifolds.
Chapter3discusses asymptotic behaviour of orbits averages on nilmanifolds
and related estimates for Weyl sums.
Dynamical systems techniques also provide powerful tools to analyse com-
binatorial structures of large subsets of integers and of more general groups.
This active research ﬁeld fusing ideas from Ramsey Theory, Additive Combi-
natorics, and Ergodic Theory is surveyed in Chapter4. We say that a subset
E⊂Zhas positive upper density if
¯d(E):=lim sup
N−M→∞
|E∩[M,N]|
N−M
>0.
Surprisingly, this soft analytic condition on the setEhas profound combina-
torial consequences, one of the most remarkable of which is the Szemerédi
theorem. It states that every subset of positive density contains arbitrarily long
arithmetic progressions: namely, conﬁgurations of the forma,a+n,...,a+
(k−1)nwith arbitrary largek. It should be noted that the existence of three-
term arithmetic progressions had previously been established by Roth using
a variant of the circle method, but the case of general progressions required
substantial new ideas. Shortly after Szemerédi’s work appeared, Furstenberg
discovered a very different ingenious approach to this problem that used
ergodic-theoretic techniques. He realised that the Szemerédi theorem is equiv-
alent to a new ergodic-theoretic phenomenon calledmultiple recurrence.This
unexpected connection is summarised by the Furstenberg correspondence prin-
ciple which shows that, given a subsetE⊂Z, one can construct a probability
space(X,μ), a measure-preserving transformationT:X→X, and a
measurable subsetA⊂Xsuch thatμ(A)=¯d(E)and
¯d(E∩(E−n)∩···∩(E−(k−1)n))≥μ(A∩T
−n
(A)∩···∩T
−(k−1)n
(A)).
This allows the proof of Szemerédi’s theorem to be reduced to establishing the
multiple recurrence property, which shows that ifμ(A)>0 andk≥1, then
there existsn≥1 such that
μ(A∩T
−n
A∩···∩T
−(k−1)n
A)>0.

xiv Preface
This result is the crux of Furstenberg’s approach, and in order to prove it, a
deep structure theorem for general dynamical systems is needed. Furstenberg’s
work has opened a number of promising vistas for future research and started
a new ﬁeld of Ergodic Theory – ergodic Ramsey theory, which explores the
existence of combinatorial structures in large subsets of groups. This is the
subject of Chapter4. In view of the above connection it is of fundamental
importance to explore asymptotics of the averages
1
N
N−1
λ
n=0
μ(A∩T
−n
(A)∩···∩T
−(k−1)n
(A)),
and more generally, the averages
1
N
N−1
λ
n=0
(f1◦T
n
)···(fk−1◦T
(k−1)n
) (3)
for test functionsf1,...,fk−1∈L
∞
(μ). The existence of limits for these
averages was established in the groundbreaking works of Host, Kra, and
Ziegler. Chapter4explains an elegant argument of Austin which permits the
proof of the existence of limits for these multiple averages as well as multiple
averages for actions of the groupZ
d
.
A number of important applications of the Theory of Dynamical Systems
to Number Theory involve analysing the distribution of orbits on the space
of unimodular lattices inR
d+1
. This space, which will be denoted byXd+1,
consists of discrete cocompact subgroups ofR
d+1
with covolume one. It can
be realised as a homogeneous space
Xd+1SLd+1(R)/SLd+1(Z).
which allows us to equipXd+1with coordinate charts and an invariant ﬁnite
measure. Some of the striking applications of dynamics on the spaceXd+1
to problems of Diophantine approximation are explored in Chapter5.Itwas
realised by Dani that information about the distribution of suitable orbits on
Xd+1can be used to investigate the existence of solutions of Diophantine
inequalities. In particular, this allows a convenient dynamical characterisation
of many Diophantine classes of vectors inR
d
discussed in Chapters1and2
to be obtained, such as, for instance, badly approximable vectors, very well
approximable vectors, singular vectors. This connection is explained by the
following construction. Given a vectorv∈R
d
, we consider the lattice
≥v:= {(q,qv+p):(q,p)∈Z×Z
d
},

Preface xv
and a subset of the spaceXd+1deﬁned as
Xd+1(ε):= {≥:≥∩[−ε, ε]
d+1
φ={0}}.
LetgQ:=diag(Q
−d
,Q,...,Q). If we establish that the orbitgQ≥visits the
subsetXd+1(ε), then this will imply that the systems of inequalities
|q|≤εQ
d
andqv−p∞≤
ε
Q
have a non-trivial integral solution(q,p)∈Z×Z
d
. Whenε≥1, the existence
of solutions is a consequence of the classical Dirichlet theorem, but forε<1,
this is a delicate property which was studied by Davenport and Schmidt. Vec-
tors for which the above system of inequalities has a non-trivial solution for
someε∈(0,1)and all sufﬁciently largeQare calledDirichlet-improvable.
Chapter5explains how to study this property using dynamical systems tools
such as the theory of unipotent ﬂow. This approach proved to be very success-
ful. In particular, it was used by Shah to solve the problem posed by Davenport
and Schmidt in the 60s. He proved that ifφ:(0,1)→R
d
is an analytic curve
whose image is not contained in a proper afﬁne subspace, then the vectorφ(t)
is not Dirichlet-improvable for almost allt. Chapter5explains Shah’s proof of
this result.
Chapter5also discusses how dynamical systems techniques can be used
to derive asymptotic counting results. Although this approach is applicable in
great generality, its essence can be illustrated by a simple example: counting
points in lattice orbits on the hyperbolic upper half-planeH. We recall that the
groupG=PSL2(R)acts onHby isometries. Given≤=PSL2(Z)(or, more
generally, a discrete subgroup≤ofGwith ﬁnite covolume), we consider the
orbit≤·iinH. We will be interested in asymptotics of the counting function
N(R):= |{γ·i:dH(γ·i,i)<R,γ∈≤}|,
wheredHdenotes the hyperbolic distance inH. SinceHG/KwithK=
PSO(2), the following diagram:
suggests that the counting functionN(R)can be expressed in terms of the
space
X:=≤\G.

xvi Preface
This idea, which goes back to the work of Duke, Rudnick, and Sarnak, is
explained in detail in Chapter5. Ultimately, one shows thatN(R)can be
approximated by combinations of averages along orbits≤Kgasgvaries over
some subset ofG. This argument reduces the original problem to analysing the
distribution of the sets≤Kginside the spaceXwhich can be carried out using
dynamical systems techniques.
The spaceXintroduced above is of fundamental importance in the The-
ory of Dynamical Systems and Geometry because it can be identiﬁed with
the unit tangent bundle of the modular surface≤\H. Of particular inter-
est is the geodesic ﬂow deﬁned on this space, which plays a central role
in Chapter6. This chapter discusses recent striking applications of the
sieving theory for thin groups, developed by Bourgain and Kontorovich,
to the arithmetics of continued fractions and the distribution of periodic
geodesic orbits. It is well known in the theory of hyperbolic dynamical
systems that one can construct periodic geodesic orbits with prescribed
properties. In particular, a single periodic geodesic orbit may exhibit a
very peculiar behaviour. Surprisingly, it turns out that the ﬁnite packets
of periodic geodesic orbits corresponding to a given fundamental discrim-
inantDbecome equidistributed asD→∞. This remarkable result was
proved in full generality by Duke, generalising previous works of Linnik
and Skubenko. While Duke’s proof uses elaborate tools from analytic num-
ber theory (in particular, the theory of half-integral modular forms), now
there is also a dynamical approach developed by Einsiedler, Lindenstrauss,
Michel, and Venkatesh. They raised a question whether there exist inﬁnitely
many periodic geodesic orbits corresponding to fundamental discriminants
which are contained in a ﬁxed bounded subset ofX. Chapter6outlines an
approach to this problem, which uses that the geodesic ﬂow dynamics is
closely related to the symbolic dynamics of the continued fractions expan-
sions. In particular, a quadratic irrational with a periodic continued fraction
expansion
α=[
a0,a1,...,a]
corresponds to a periodic geodesic orbit. Moreover, the property of having
a fundamental discriminant can be characterised in terms of the trace of the
matrix
Mα:=

a01
10

a11
10
ϑ
···

a1
10
ϑ
,

Preface xvii
and the corresponding geodesic orbit lies in a ﬁxed bounded set ofXifai≤
Afor allifor a ﬁxedA>0. Hence, the original question reduces to the
investigation of the semigroup
≤A:=

a1
10
ϑ
:a≤A
√+
∩SL2(R),
and the trace map tr:≤A→N. The semigroup≤Aarises naturally in con-
nection with several other deep problems involving periodic geodesic orbits
and continued fractions. Chapter6outlines a promising approach to the Arith-
metic Chaos Conjecture formulated by McMullen, which predicts that there
exists a ﬁxed bounded subset of the spaceXsuch that, for all real quadratic
ﬁeldsK, the closure of the set of periodic geodesic orbits deﬁned overK
and contained in this set has positive entropy. Equivalently, in the language of
continued fractions, McMullen’s conjecture predicts that for someA<∞,
the set
{α=[
a0,a1,...,a]∈K:allaj≤A}
has exponential growth as→∞. Since
α∈Q(
⇒
tr(Mα)
2
−4),
this problem also reduces to the analysis of the map tr:≤A→N. Chap-
ter6also discusses progress on the Zaremba conjecture regarding continued
fraction expansions of rational fractions. As is explained in Chapter6, all these
problems can be uniﬁed by the far-reaching Local-Global Conjectures describ-
ing the distribution of solutions ofF(γ )=n,γ∈≤A, whereFis a suitable
polynomial map.
We hope that this book will help to communicate the exciting material
written by experts in the ﬁeld and covering a wide range of different top-
ics which are, nevertheless, in many ways connected to a broad circle of
young researchers as well as to other experts working in Number Theory or
Dynamical Systems.
Dmitry Badziahin
Department of Mathematical Sciences, Durham University
Durham, DH1 3LE, UK.
email:[email protected]
www.maths.dur.ac.uk/users/dzmitry.badziahin/
DB_webpage.htm

xviii Preface
Alex Gorodnik
School of Mathematics, University of Bristol
Bristol BS8 1SD, UK.
email:[email protected]
www.maths.bris.ac.uk/~mazag/
Norbert Peyerimhoff
Department of Mathematical Sciences, Durham University
Durham, DH1 3LE, UK.
email:[email protected]
www.maths.dur.ac.uk/~dma0np/
Acknowledgements
We, as part of the organising committee of the Durham Easter School 2014,
which followed a one-day LMS Northern Regional Meeting dedicated to the
same topic, would like to thank all the people who helped to make this event
highly enjoyable and successful. We are also grateful to everybody who made
this Proceedings volume possible. Speciﬁcally, we would like to acknowledge
the help of:
●our Easter School co-organisers, T. Ward, A. Ghosh, and B. Weiss, for their
support in this event and the selection of a very impressive list of speakers;
●Sam Harrison and his colleagues from Cambridge University Press for all
their encouragement and support in producing this book;
●our distinguished speakers for their interesting talks;
●all participants of the Easter School for their interest and help to create a
positive and inspiring atmosphere;
●all contributors to this volume, for their work in producing their chapters
within the given timeframe.
Particular thanks are due to Durham University for its great hospitality in
hosting the Easter School.
Last, but not least, we would like to stress the fact that the Easter School
would not have been possible without the generous funding received, via the
University of Bristol, from the ERC grant 239606 and the ﬁnancial support of
the London Mathematical Society.

1
Metric Diophantine Approximation: Aspects of
Recent Work
Victor Beresnevich
1
, Felipe Ramírez
2
and Sanju Velani
1
Abstract
In these notes, we begin by recalling aspects of the classical theory of metric
Diophantine approximation, such as theorems of Khintchine, Jarník, Dufﬁn–
Schaeffer and Gallagher. We then describe recent strengthening of various
classical statements as well as recent developments in the area of Diophan-
tine approximation on manifolds. The latter includes the well approximable,
the badly approximable and the inhomogeneous aspects.
1.1 Background: Dirichlet and Bad
1.1.1 Dirichlet’s Theorem and Two Important Consequences
Diophantine approximation is a branch of number theory that can loosely be
described as a quantitative analysis of the density of the rationalsQin the reals
R. Recall that to say thatQis dense inRis to say that:
for any real numberxand>0 there exists a rational numberp/q(q>0) such
that|x−p/q|<.
In other words, any real number can be approximated by a rational number
with any assigned degree of accuracy. But how ‘rapidly’ can we approximate
agivenx∈R?
Givenx∈Randq∈N, how small can we make? Trivially, we can take any
>1/2q. Can we do better than 1/2q?
1
VB and SV are supported in part by EPSRC Programme Grant: EP/J018260/1.
2
FR is supported by EPSRC Programme Grant: EP/J018260/1.
1

2 V. Beresnevich, F. Ramírez and S. Velani
The following rational numbers all lie within 1/(denominator)
2
of the circle
constantπ=3.141...:
3
1
,
22
7
,
333
106
,
355
113
,
103993
33102
. (1.1)
This shows that, at least sometimes, the answer to the last question is ‘yes’. A
more complete answer is given byDirichlet’s theorem, which is itself a simple
consequence of the following powerful fact.
Pigeonhole PrincipleIf n objects are placed in m boxes and n>m, then
some box will contain at least two objects.
Theorem 1.1.1(Dirichlet, 1842)For any x∈Rand N∈N, there exist
p,q∈Zsuch that
Ł
Ł
Ł
Ł
x−
p
q
Ł
Ł
Ł
Ł
<
1
qN
and 1≤q≤N. (1.2)
The proof can be found in most elementary number theory books. However,
given the important consequences of the theorem and its various hybrids, we
have decided to include the proof.
ProofAs usual, let[x]:=max{n∈Z:n≤x}denote the integer part of the
real numberxand let{x}=x−[x]denote the fractional part ofx. Note that
for anyx∈Rwe have that 0≤{x}<1.
Consider theN+1 numbers
{0x},{x},{2x},...,{Nx} (1.3)
in the unit interval[0,1).Divide[0,1)intoNequal semi-open subintervals as
follows:
[0,1)=
N−1
ł
u=0
IuwhereIu:=
−
u
N
,
u+1
N
ϑ
,u=0,1,...,N−1.(1.4)
Since theN+1 points (1.3) are situated in theNsubintervals (1.4), the
Pigeonhole principle guarantees that some subinterval contains at least two
points, say{q2x},{q1x}∈Iu, where 0≤u≤N−1 andq1,q2∈Zwith
0≤q1<q2≤N. Since the length ofIuisN
−1
andIuis semi-open we have
that
|{q2x}−{q1x}|<
1
N
. (1.5)

Metric Diophantine Approximation: Aspects of Recent Work 3
We have thatqix=pi+{qix}wherepi=[qix]∈Zfori=1,2. Returning
to (1.5) we get
|{q2x}−{q1x}| = |q2x−p2−(q1x−p1)|=|(q2−q1)x−(p2−p1)|.(1.6)
Now deﬁneq=q2−q1∈Zandp=p2−p1∈Z. Since 0≤q1,q2≤N
andq1<q2we have that 1≤q≤N.By(1.5) and (1.6), we get
|qx−p|<
1
N
whence (1.2) readily follows.
The following statement is an important consequence of Dirichlet’s theorem.
Theorem 1.1.2(Dirichlet, 1842)Let x∈RλQ. Then there exist inﬁnitely
many integers q,p such thatgcd(p,q)=1,q>0and
Ł
Ł
Ł
Ł
x−
p
q
Ł
Ł
Ł
Ł
<
1
q
2
. (1.7)
Remark1.1.3 Theorem1.1.2is true for allx∈Rif we remove the condition
thatpandqare coprime; that is, if we allow approximations by non-reduced
rational fractions.
ProofObserve that Theorem1.1.1is valid with gcd(p,q)=1. Otherwise
p/q=p
ϑ
/q
ϑ
with gcd(p
ϑ
,q
ϑ
)=1 and 0<q
ϑ
<q≤Nand|x−p/q|=
|x−p
ϑ
/q
ϑ
|<1/(qN)<1/(q
ϑ
N).
Supposexis irrational and that there are only ﬁnitely many rationals
p1
q1
,
p2
q2
,...,
pn
qn
,
where gcd(pi,qi)=1,qi>0 and
Ł
Ł
Ł
Ł
x−
pi
qi
Ł
Ł
Ł
Ł
<
1
q
2
i
for alli=1,2,...,n. Sincexis irrational,x−
pi
qi
φ=0fori=1,...,n. Then
there existsN∈Nsuch that
Ł
Ł
Ł
Ł
x−
pi
qi
Ł
Ł
Ł
Ł
>
1
N
for all 1≤i≤n.
By Theorem1.1.1, there exists a reduced fraction
p
q
such that
Ł
Ł
Ł
Ł
x−
p
q
Ł
Ł
Ł
Ł
<
1
qN
≤
1
N
(1≤q≤N).
Therefore,
p
q
φ=
pi
qi
for anyibut satisﬁes (1.7). A contradiction.

4 V. Beresnevich, F. Ramírez and S. Velani
Theorem1.1.2tells us in particular that the list (1.1) of good rational approx-
imations toπis not just a ﬂuke. This list can be extended to an inﬁnite
sequence, and furthermore, such a sequence of good approximations exists
foreveryirrational number. (See §1.1.2.)
Another important consequence of Theorem1.1.1is Theorem1.1.4. Unlike
Theorem1.1.2, its signiﬁcance is not so immediately clear. However, it will
become apparent during the course of these notes that it is the key to the two
fundamental theorems of classical metric Diophantine approximation: namely,
the theorems of Khintchine and Jarník.
First, some notational matters. Unless stated otherwise, given a setX⊂R,
we will denote bym(X)the one-dimensional Lebesgue measure ofX.Andwe
will useB(x,r)to denote(x−r,x+r)⊂R, the ball aroundx∈Rof radius
r>0.
Theorem 1.1.4Let[a,b]⊂Rbe an interval and k≥6be an integer. Then
m
⎛
⎝[a,b]∩
ł
k
n−1
<q≤k
n
ł
p∈Z
B
∕
p
q
,
k
k
2n
˘
⎞
⎠≥
1
2
(b−a)
for all sufﬁciently large n∈N.
ProofBy Dirichlet’s theorem, for anyx∈I:= [a,b]there are coprime
integersp,qwith 1≤q≤k
n
satisfying|x−p/q|<(qk
n
)
−1
. We therefore
have that
m(I)=m
⎛
⎝I∩
ł
q≤k
n
ł
p∈Z
B
∕
p
q
,
1
qk
n
˘
⎞
⎠
≤m
⎛
⎝I∩
ł
q≤k
n−1
ł
p∈Z
B
∕
p
q
,
1
qk
n
˘
⎞
⎠+m
⎛
⎝I∩
ł
k
n−1
<q≤k
n
ł
p∈Z
B
∕
p
q
,
k
k
2n
˘
⎞
⎠.
Also, notice that
m
⎛
⎝I∩
ł
q≤k
n−1
ł
p∈Z
B
∕
p
q
,
1
qk
n
˘
⎞
⎠=m
⎛
⎝I∩
ł
q≤k
n−1
bq+1
ł
p=aq−1
B
∕
p
q
,
1
qk
n
˘
⎞
⎠
≤2
λ
q≤k
n−1
1
qk
n
∕
m(I)q+3
˘
≤
3
k
m(I)

Metric Diophantine Approximation: Aspects of Recent Work 5
for largen. It follows that fork≥6,
m
⎛
⎝I∩
ł
k
n−1
<q≤k
n
ł
p∈Z
B
∕
p
q
,
k
k
2n
˘
⎞
⎠≥m(I)−
3
k
m(I)≥
1
2
m(I)
for largen.1.1.2 Basics of Continued Fractions
From Dirichlet’s theorem we know that for any real numberxthere are
inﬁnitely many ‘good’ rational approximatesp/q; but how can we ﬁnd them?
The theory of continued fractions provides a simple mechanism for generating
them. We collect some basic facts about continued fractions in this section. For
proofs and a more comprehensive account, see, for example, [57,66,80].
Letxbe an irrational number and let[a0;a1,a2,a3,...]denote its continued
fraction expansion. Denote itsnth convergent by
pn
qn
:= [a0;a1,a2,a3,...,an].
Recall that the convergents can be obtained by the following recursion
p0=a0, q0=1,
p1=a1a0+1, q1=a1,
pk=akpk−1+pk−2, qk=akqk−1+qk−2 fork≥2,
and that they satisfy the inequalities
1
qn(qn+1+qn)
≤
Ł
Ł
Łx−
pn
qn
Ł
Ł
Ł<
1
qnqn+1
. (1.8)
From this it is clear that the convergents provide explicit solutions to the
inequality in Theorem1.1.2(Dirichlet); that is,
Ł
Ł
Ł
Ł
x−
pn
qn
Ł
Ł
Ł
Ł
≤
1
q
2
n
∀n∈N.
In fact, it turns out that for irrationalxthe convergents arebest approximates
in the sense that if 1≤q<qn, then any rational
p
q
satisﬁes
Ł
Ł
Ł
Ł
x−
pn
qn
Ł
Ł
Ł
Ł
<
Ł
Ł
Ł
Ł
x−
p
q
Ł
Ł
Ł
Ł
.
Regardingπ=3.141..., the rationals (1.1) are the ﬁrst ﬁve convergents.

6 V. Beresnevich, F. Ramírez and S. Velani
1.1.3 Competing with Dirichlet and Losing Badly
We have presented Dirichlet’s theorem as an answer to whether the trivial
inequality|x−p/q|≤1/2qcan be beaten. Naturally, one may also ask if
we can do any better than Dirichlet’s theorem. Let us formulate this a little
more precisely. Forx∈R,let
x:=min{|x−m|:m∈Z}
denote the distance fromxto the nearest integer. Dirichlet’s theorem (Theorem
1.1.2) can be restated as follows:for any x∈R, there exist inﬁnitely many
integers q>0such that
qqx≤1. (1.9)
Can we replace right-hand side of (1.9) by arbitrary>0? In other words,
is it true that lim infq→∞qqx=0 for everyx? One might notice that (1.8)
implies that there certainly do existxfor which this is true. (One can write
down a continued fraction whose partial quotients grow as fast as one pleases.)
Still, the answer to the question is ‘no’. It was proved by Hurwitz (1891) that,
for everyx∈R,wehaveqqx<=1/
√
5 for inﬁnitely manyq>0, and
that this is the best possible answer in the sense that the statement becomes
false if<1/
√
5.
The fact that 1/
√
5 is the best possible answer is relatively easy to see.
Assume that it can be replaced by
1
√
5+
( >0,arbitrary).
Consider the Golden Ratiox1=
√
5+12
, root of the polynomial
f(t)=t
2
−t−1=(t−x1)(t−x2),
wherex2=
1−
√
52
. Assume there exists a sequence of rationals
pi
qi
satisfying
Ł
Ł
Ł
Ł
x1−
pi
qi
Ł
Ł
Ł
Ł
<
1
(
√
5+)q
2
i
.
Then, for sufﬁciently large values ofi, the right-hand side of the above
inequality is less thanand so
Ł
Ł
Ł
Ł
x2−
pi
qi
Ł
Ł
Ł
Ł
≤|x2−x1|+
Ł
Ł
Ł
Ł
x1−
pi
qi
Ł
Ł
Ł
Ł
<
√
5+.
It follows that
0φ=
Ł
Ł
Ł
Ł
f

pi
qi
ϑŁ
Ł
Ł
Ł
<
1
(
√
5+)q
2
i
·(
√
5+)
=⇒
Ł
Ł
Ł
Ł
q
2
i
f

pi
qi
ϑŁ
Ł
Ł
Ł
<1.

Metric Diophantine Approximation: Aspects of Recent Work 7
However, the left-hand side is a strictly positive integer. This is a contradiction,
for there are no integers in(0,1)– an extremely useful fact.
The above argument shows that ifx=
√
5+12
then there are at most ﬁnitely
many rationalsp/qsuch that
Ł
Ł
Ł
Ł
x−
p
q
Ł
Ł
Ł
Ł
<
1
(
√
5+)q
2
.
Therefore, there exists a constantc(x)>0 such that
Ł
Ł
Ł
Ł
x−
p
q
Ł
Ł
Ł
Ł
>
c(x)
q
2
∀p/q∈Q.
All of this shows that there exist numbers for which we cannot improve Dirich-
let’s theorem arbitrarily. These are calledbadly approximable numbersand are
deﬁned by
Bad:= {x∈R:inf
q∈N
qqx>0}
={x∈R:c(x):=lim inf
q→∞
qqx>0}.
Note that ifxis badly approximable then for the associated badly approx-
imable constantc(x)we have that
0<c(x)≤
1
√
5
.
Clearly,Badφ=∅since the Golden Ratio is badly approximable. Indeed, if
x∈Badthentx∈Badfor anyt∈Zλ{0}and soBadis at least countable.
Badhas a beautiful characterisation via continued fractions.
Theorem 1.1.5Let x=[a0;a1,a2,a3,...]be irrational. Then
x∈Bad⇐⇒ ∃M=M(x)≥1such that ai≤M∀i.
That is,Badconsists exactly of the real numbers whose continued fractions
have bounded partial quotients.
ProofIt follows from (1.8) that
1
q
2
n
(an+1+2)
≤
Ł
Ł
Łx−
pn
qn
Ł
Ł
Ł<
1
an+1q
2
n
, (1.10)
and from this it immediately follows that ifx∈Bad, then
an≤max{|ao|,1/c(x)}.

8 V. Beresnevich, F. Ramírez and S. Velani
Conversely, suppose the partial quotients ofxare bounded, and take any
q∈N. Then there isn≥1 such thatqn−1≤q<qn. On using the fact that
convergents are best approximates, it follows that
Ł
Ł
Ł
Ł
x−
p
q
Ł
Ł
Ł
Ł
≥
Ł
Ł
Ł
Ł
x−
pn
qn
Ł
Ł
Ł
Ł
≥
1
q
2
n
(M+2)
=
1
q
2
(M+2)
q
2
q
2
n
.
It is easily seen that
q
qn
≥
qn−1
qn
≥
1
M+1
,
which proves that
c(x)≥
1
(M+2)(M+1)
2
>0,
hencex∈Bad.
Recall that a continued fraction is said to beperiodicif it is of the form
x=[a0;...,an,
an+1,...,an+m]. Also, recall that an irrational numberαis
called aquadratic irrationalifαis a solution to a quadratic equation with
integer coefﬁcients:
ax
2
+bx+c=0(a,b,c∈Z,aφ=0).
It is a well-known fact that an irrational numberxhas periodic continued frac-
tion expansion if and only ifxis a quadratic irrational. This and Theorem1.1.5
imply the following corollary.
Corollary 1.1.6Every quadratic irrational is badly approximable.
The simplest instance of this is the Golden Ratio, a root ofx
2
−x−1, whose
continued fraction is
√
5+12
=[1;1,1,1,...]:=[
1],
with partial quotients clearly bounded.
Indeed, much is known about the badly approximable numbers, yet several
simple questions remain unanswered. For example:
Folklore ConjectureThe only algebraic irrationals that are inBadare the
quadratic irrationals.
Remark1.1.7 Though this conjecture is widely believed to be true, there is no
direct evidence for it. That is, there is no single algebraic irrational of degree

Metric Diophantine Approximation: Aspects of Recent Work 9
greater than two whose membership (or non-membership) inBadhas been
veriﬁed.
A particular goal of these notes is to investigate the ‘size’ ofBad. We will
show:
(a)m(Bad)=0,
(b) dimBad=1,
where dim refers to the Hausdorff dimension (see §1.3.1). In other words, we
will see thatBadis a small set in that it has measure zero inR, but it is a large
set in that it has the same (Hausdorff) dimension asR.
Let us now return to Dirichlet’s theorem (Theorem1.1.2). Everyx∈R
can be approximated by rationalsp/qwith ‘rate of approximation’ given by
q
−2
– the right-hand side of inequality (1.7) determines the ‘rate’ or ‘error’
of approximation by rationals. The above discussion shows that this rate of
approximation cannot be improved by an arbitrary constant for every real num-
ber –Badis non-empty. On the other hand, we have stated above thatBadis
a zero-measure set, meaning that the set of points for which wecanimprove
Dirichlet’s theorem by an arbitrary constant is full. In fact, we will see that if
we exclude a set of real numbers of measure zero, then from a measure theo-
retic point of view the rate of approximation can be improved not just by an
arbitrary constant but by a logarithm (see Remark1.2.8).
1.2 Metric Diophantine Approximation: The Classical
Lebesgue Theory
In the previous section, we have been dealing with variations of Dirichlet’s
theorem in which the right-hand side or rate of approximation is of the form
q
−2
. It is natural to broaden the discussion to general approximating func-
tions. More precisely, for a functionψ:N→R
+
=[0,∞), a real numberx
is said to beψ-approximableif there are inﬁnitely manyq∈Nsuch that
qx<ψ(q). (1.11)
The functionψgoverns the ‘rate’ at which the rationals approximate the reals
and will be referred to as anapproximating function.
One can readily verify that the set ofψ-approximable numbers is invariant
under translations by integer vectors. Therefore, without any loss of general-
ity, and to ease the ‘metrical’ discussion which follows, we shall restrict our
attention toψ-approximable numbers in the unit interval I:= [0,1).Theset
of such numbers is clearly a subset of I and will be denoted byW(ψ); i.e.

10 V. Beresnevich, F. Ramírez and S. Velani
W(ψ):= {x∈I:qx<ψ(q)for inﬁnitely manyq∈N}.
Notice that in this notation we have that
Dirichlet’s theorem (Theorem1.1.2)=⇒W(ψ)=Iifψ(q)=q
−1
.
Yet, the existence of badly approximable numbers implies that there exist
approximating functionsψfor whichW(ψ)φ=I. Furthermore, the fact that
m(Bad)=0 implies that we can haveW(ψ)φ=Iwhilem(W(ψ))=1.
A key aspect of the classical theory of Diophantine approximation is to
determine the ‘size’ ofW(ψ)in terms of:
(a) Lebesgue measure;
(b) Hausdorff dimension; and
(c) Hausdorff measure.
From a measure theoretic point of view, as we move from (a) to (c) in the above
list, the notion of size becomes subtler. In this section we investigate the ‘size’
ofW(ψ)in terms of one-dimensional Lebesgue measurem.
We start with the important observation thatW(ψ)is a lim sup set of balls.
For a ﬁxedq∈N,let
Aq(ψ):= {x∈I:qx<ψ(q)}
:=
q
ł
p=0
B
∕
p
q
,
ψ(q)
q
˘
∩I. (1.12)
Note that
m
ˇ
Aq(ψ)
ı
λ2ψ(q) (1.13)
with equality whenψ(q)<1/2 since then the intervals in (1.12) are disjoint.
The setW(ψ)is simply the set of real numbers in I which lie in inﬁnitely
many setsAq(ψ)withq=1,2,...i.e.
W(ψ)=lim sup
q→∞
Aq(ψ):=
∞
˙
t=1
∞
ł
q=t
Aq(ψ)
is a lim sup set. Now notice that for eacht∈N
W(ψ)⊂
∞
ł
q=t
Aq(ψ),
i.e. for eacht, the collection of ballsB(p/q,ψ(q)/q)associated with the sets
Aq(ψ):q=t,t+1,...form a cover forW(ψ). Thus, it follows via (1.13)
that

Metric Diophantine Approximation: Aspects of Recent Work 11
m
ˇ
W(ψ)
ı
≤m
˝
∞
ł
q=t
Aq(ψ)
˛
≤
∞
λ
q=t
m
ˇ
Aq(ψ)
ı
≤2
∞
λ
q=t
ψ(q). (1.14)
Now suppose
∞
λ
q=1
ψ(q)<∞.
Then given any>0, there existst0such that for allt≥t0
∞
λ
q=t
ψ(q)<

2
.
It follows from (1.14), that
m
ˇ
W(ψ)
ı
<.
But>0 is arbitrary, whence
m
ˇ
W(ψ)
ı
=0
and we have established the following statement.
Theorem 1.2.1Letψ:N→R
+
be a function such that
∞
λ
q=1
ψ(q)<∞.
Then
m(W(ψ))=0.
This theorem is in fact a simple consequence of a general result in
probability theory.
1.2.1 The Borel–Cantelli Lemma
Let(,A,μ)be a measure space with?∧⊕ <∞and letEq(q∈N)bea
family of measurable sets in. Also, let
E∞:=lim sup
q→∞
Eq:=
∞
˙
t=1
∞
ł
q=t
Eq;

12 V. Beresnevich, F. Ramírez and S. Velani
i.e.E∞is the set ofx∈such thatx∈Eifor inﬁnitely manyi∈N.
The proof of the Theorem1.2.1mimics the proof of the following funda-
mental statement from probability theory.
Lemma 1.2.2(Convergence Borel–Cantelli)Suppose that
∞˚
q=1
μ(Eq)<∞.
Then
μ(E∞)=0.
ProofThe proof is left as an exercise for the reader.
To see that Theorem1.2.1is a trivial consequence of the above lemma,
simply put=I=[0,1],μ=mandEq=Aq(ψ)and use (1.13).
Now suppose we are in a situation where the sum of the measures diverges.
Unfortunately, as the following example demonstrates, it is not the case that if
˚
μ(Eq)=∞thenμ(E∞)=?∧⊕or indeed thatμ(E∞)>0.
ExampleLetEq=(0,
1
q
). Then
˚
∞
q=1
m(Eq)=
˚
∞
q=1
1
q
=∞. However,
for anyt∈Nwe have that
∞
ł
q=t
Eq=Et,
and thus
E∞=
∞
˙
t=1
Et=
∞
˙
t=1
(0,
1
t
)=∅,
implying thatm(E∞)=0.
The problem in the above example is that the setsEqoverlap ‘too much’ –
in fact, they are nested. The upshot is that in order to haveμ(E∞)>0, we not
only need the sum of the measures to diverge but also that the setsEq(q∈N)
are in some sense independent. Indeed, it is well known that if we had pairwise
independence in the standard sense;i.e.if
μ(Es∩Et)=μ(Es)μ(Et)∀sφ=t,
then we would haveμ(E∞)=?∧⊕. However, we very rarely have this strong
form of independence in our applications. What is much more useful to us is
the following statement, whose proof can be found in [58,90].
Lemma 1.2.3(Divergence Borel–Cantelli)Suppose that
˚
∞
q=1
μ(Eq)=∞
and that there exists a constant C>0such that

Metric Diophantine Approximation: Aspects of Recent Work 13
Q
λ
s,t=1
μ(Es∩Et)≤C
⎛
⎝
Q
λ
s=1
μ(Es)
⎞
⎠
2
(1.15)
holds for inﬁnitely many Q∈N. Then
μ(E∞)≥1/C.
The independence condition (1.15) is often referred to asquasi-indepen-
dence on average, and, together with the divergent sum condition, it guarantees
that the associated lim sup set has positive measure. It does not guaranteefull
measure (i.e. thatμ(E∞)=?∧⊕), which is what we are trying to prove, for
example, in Khintchine’s theorem. But this is not an issue if we already know
(by some other means) thatE∞satisﬁes a zero-full law (which is also often
called a zero-one law) with respect to the measureμ, meaning a statement
guaranteeing that
μ(E∞)=0or?∧⊕.
Happily, this is the case with the lim sup setW(ψ)ofψ-well approximable
numbers [38,37,58].
Alternatively, assumingis equipped with a metric such thatμbecomes
a doubling Borel measure, we can guarantee thatμ(E∞)=?∧⊕if we can
establishlocal quasi-independence on average[14, §8];i.e.we replace (1.15)
in the above lemma by the condition that
Q
λ
s,t=1
μ
ˇ
(B∩Es)∩(B∩Et)
ı
≤
C
μ(B)
⎛
⎝
Q
λ
s=1
μ(B∩Es)
⎞
⎠
2
(1.16)
for any sufﬁciently small ballBwith centre inandμ(B)>0. The constant
Cis independent of the ballB. Recall thatμis doubling ifμ(2B)−μ(B)for
ballsBcentred in. In some literature such measures are also referred to as
Federer measures.
The Divergence Borel–Cantelli Lemma is key to determiningm(W(ψ))in
the case where
˚
∞
q=1
ψ(q)diverges – the subject of the next section and the
main substance of Khintchine’s theorem. Before turning to this, let us ask our-
selves one ﬁnal question regarding quasi-independence on average and positive
measure of lim sup sets.
Question.Is the converse to Divergence Borel–Cantelli true? More pre-
cisely, ifμ(E∞)>0 then is it true that the setsEtare quasi-independent
on average?

14 V. Beresnevich, F. Ramírez and S. Velani
The following theorem is a consequence of a more general result established
in [29].
Theorem 1.2.4Let(,d)be a compact metric space equipped with a Borel
probability measureμ. Let Eq(q∈N)be a sequence of balls insuch
thatμ(E∞)>0. Then, there exists a strictly increasing sequence of integers
(qk)k∈Nsuch that
˚
∞
k=1
μ(Eqk
)=∞and the balls Eqk
(k∈N)are quasi-
independent on average.
1.2.2 Khintchine’s Theorem
The following fundamental statement in metric Diophantine approximation (of
which Theorem1.2.1is the ‘easy case’) provides an elegant criterion for the
‘size’ of the setW(ψ)expressed in terms of Lebesgue measure.
Theorem 1.2.5(Khintchine, 1924)Letψ:N→R
+
be a monotonic
function. Then
m(W(ψ))=
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
0if
˚
∞
q=1
ψ(q)<∞,
1if
˚
∞
q=1
ψ(q)=∞.
Remark1.2.6 It is worth mentioning that Khintchine’s original statement
[64] made the stronger assumption thatqψ(q)is monotonic.
Remark1.2.7 The assumption thatψis monotonic is only required in the
divergent case. It cannot in general be removed – see §1.2.2.1.
Remark1.2.8 Khintchine’s theorem implies that
m(W(ψ))=1ifψ(q)=
1
qlogq
.
Thus, from a measure theoretic point of view the ‘rate’ of approximation given
by Dirichlet’s theorem can be improved by a logarithm.
Remark1.2.9 As mentioned in the previous section, in view of Cassels’ zero-
full law [38] (also known as zero-one) we know thatm(W(ψ))=0or1
regardless of whether or notψis monotonic.

Metric Diophantine Approximation: Aspects of Recent Work 15
Remark1.2.10 A key ingredient to directly establishing the divergent part is
to show that the sets
A
∗
s
=A
∗
s
(ψ):=
ł
2
s−1
≤q<2
s
q
ł
p=0
B
∕
p
q
,
ψ(2
s
)
2
s
˘
∩I
are quasi-independent on average. Notice that:
●forψmonotonic,W(ψ)⊃W
∗
(ψ):=lim sup
s→∞
A
∗
s
(ψ);
●ifψ(q)<q
−1
, the balls inA
∗
s
(ψ)are disjoint and so
m(A
∗
s
(ψ))ˇ2
s
ψ(2
s
);
●forψmonotonic,
˚
ψ(q)ˇ
˚
2
s
ψ(2
s
).
Notation.Throughout, the Vinogradov symbols−andıwill be used to
indicate an inequality with an unspeciﬁed positive multiplicative constant. If
a−bandaıb, we writeaˇband say that the two quantitiesaandbare
comparable.
The following is a simple consequence of Khintchine’s theorem.
Corollary 1.2.11LetBadbe the set of badly approximable numbers. Then
m(Bad)=0.
ProofConsider the functionψ(q)=1/(qlogq)and observe that
Bad∩I⊂Bad(ψ):=I●W(ψ).
By Khintchine’s theorem,m(W(ψ))=1. Thusm(Bad(ψ))=0 and so
m(Bad∩I)=0.
1.2.2.1 The Dufﬁn–Schaeffer Conjecture
The main substance of Khintchine’s theorem is the divergent case and it is
where the assumption thatψis monotonic is necessary. In 1941, Dufﬁn and
Schaeffer [48] constructed a non-monotonic approximating functionϑfor
which the sum
˚
q
ϑ(q)diverges butm(W(ϑ))=0. We now discuss the
construction. We start by recalling two well-known facts: for anyN∈N,p
prime, ands>0,
Fact 1.
˚
q|N
q=
ﬂ
p|N
(1+p);
Fact 2.
ﬂ
p
(1+p
−s
)=ζ(s)/ζ(2s).

16 V. Beresnevich, F. Ramírez and S. Velani
In view of Fact 2, we have that

p
(1+p
−1
)=∞.
Thus, we can ﬁnd a sequence of square-free positive integersNi(i=1,2,...)
such that(Ni,Nj)=1(iφ=j) and

p|Ni
(1+p
−1
)>2
i
+1. (1.17)
Now let
ϑ(q)=
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
2
−i−1
q/Niifq>1 andq|Nifor somei,
0 otherwise .
(1.18)
As usual, let
Aq:=Aq(ϑ)=
q
ł
p=0
B
∕
p
q
,
ϑ(q)
q
˘
∩I
and observe that ifq|Ni(q>1) thenAq⊆ANi
and so
ł
q|Ni
Aq=ANi
.
In particular,
m
ˇł
q|Ni
Aq
ı
=m(ANi
)=2ϑ(Ni)=2
−i
.
By deﬁnition,
W(ϑ)=lim sup
q→∞
Aq=lim sup
i→∞
ANi
.
Now
∞
λ
i=1
m(ANi
)=1
and so the convergence Borel–Cantelli lemma implies that
m(W(ϑ))=0.
However, it can be veriﬁed (exercise) by using Fact 1 together with (1.17) that
∞
λ
q=1
ϑ(q)=
∞
λ
i=1
2
−i−1
1
Ni
λ
q>1:q|Ni
q=∞.

Metric Diophantine Approximation: Aspects of Recent Work 17
In the same paper [48], Dufﬁn and Schaeffer provided an appropriate
statement for arbitraryψthat we now discuss. The now famous Dufﬁn–
Schaeffer conjecture represents a key open problem in number theory. The
integerpimplicit in the inequality (1.11) satisﬁes
Ł
Ł
Ł
Ł
x−
p
q
Ł
Ł
Ł
Ł
<
ψ(q)
q
. (1.19)
To relate the rationalp/qwith the error of approximationψ(q)/quniquely,
we impose the coprimeness condition(p,q)=1. In this case, letW
ϑ
(ψ)
denote the set ofxin I for which the inequality (1.19) holds for inﬁnitely
many(p,q)∈Z×Nwith(p,q)=1. Clearly,W
ϑ
(ψ)⊂W(ψ). For any
approximating functionψ:N→R
+
one easily deduces that
m(W
ϑ
(ψ))=0if
∞
λ
q=1
ϕ(q)
ψ(q)
q
<∞.
Here, and throughout,ϕis the Euler function.
Conjecture 1.2.12(Dufﬁn–Schaeffer, 1941)For any functionψ:N→R
+
m(W
ϑ
(ψ))=1if
∞
λ
q=1
ϕ(q)
ψ(q)
q
=∞.
Remark1.2.13 Letϑbe given by (1.18). On using the fact that
˚
d|n
ϕ(d)=
n, it is relatively easy to show (exercise) that
∞
λ
q=1
ϕ(q)
ϑ(q)
q
<∞.
Thus, althoughϑprovides a counterexample to Khintchine’s theorem without
monotonicity, it is not a counterexample to the Dufﬁn–Schaeffer conjecture.
Remark1.2.14 It is known thatm(W
ϑ
(ψ))=0 or 1. This is Gallagher’s
zero-full law [52] and is the natural analogue of Cassels’ zero-full law for
W(ψ).
Although various partial results have been established (see [58,90]), the
full conjecture is one of the most difﬁcult and profound unsolved problems
in metric number theory. In the case whereψis monotonic it is relatively
straightforward to show that Khintchine’s theorem and the Dufﬁn–Schaeffer
conjecture are equivalent statements (exercise).

18 V. Beresnevich, F. Ramírez and S. Velani
1.2.3 A Limitation of the Lebesgue Theory
Letτ>0 and writeW(τ)forW(ψ:q→q
−τ
).ThesetW(τ)is usually
referred to as the set ofτ-well approximable numbers. Note that in view of
Dirichlet (Theorem1.1.2) we have thatW(τ)=Iifτ≤1 and so trivially
m(W(τ))=1ifτ≤1. On the other hand, ifτ>1
˚
∞
q=1
q
−τ
<∞
and Khintchine’s theorem implies thatm(W(τ))=0. So for anyτ>1, the
set ofτ-well approximable numbers is of measure zero. We cannot obtain any
further information regarding the ‘size’ ofW(τ)in terms of Lebesgue mea-
sure – it is always zero. Intuitively, the ‘size’ ofW(τ)should decrease as rate
of approximation governed byτincreases. For example, we would expect that
W(2015)is ‘smaller’ thanW(2)– clearlyW(2015)⊂W(2), but Lebesgue
measure is unable to distinguish between them. In short, we require a more del-
icate notion of ‘size’ than simply Lebesgue measure. The appropriate notion of
‘size’ best suited for describing the ﬁner measure theoretic structures ofW(τ)
and indeedW(ψ)is that of Hausdorff measures.
1.3 Metric Diophantine Approximation: The Classical
Hausdorff Theory
1.3.1 Hausdorff Measure and Dimension
In what follows, adimension function f:R
+
→R
+
is a left continuous,
monotonic function such thatf(0)=0. SupposeFis a subset ofR
n
.Givena
ballBinR
n
,letr(B)denote the radius ofB.Forρ>0, a countable collection
{Bi}of balls inR
n
withr(Bi)≤ρfor eachisuch thatF⊂
!
i
Biis called a
ρ-cover for F. Deﬁne
H
f
ρ
(F):=inf
λ
i
f(r(Bi)),
where the inﬁmum is taken over allρ-covers ofF. Observe that asρdecreases
the class of allowedρ-covers ofFis reduced and soH
f
ρ(F)increases.
Therefore, the following (ﬁnite or inﬁnite) limit exists
H
f
(F):=lim
ρ→0+
H
f
ρ
(F)=sup
ρ>0
H
f
ρ
(F),
and is referred to as theHausdorff f-measure of F. In the case that
f(r)=r
s
(s≥0),

Metric Diophantine Approximation: Aspects of Recent Work 19
the measureH
f
is the more commons-dimensional Hausdorff measureH
s
,
the measureH
0
being the cardinality ofF. Note that whensis a positive
integer,H
s
is a constant multiple of Lebesgue measure inR
s
. (The constant
is explicitly known!) Thus if thes-dimensional Hausdorff measure of a set is
known for eachs>0, then so is itsn-dimensional Lebesgue measure for each
n≥1. The following easy property
H
s
(F)<∞=⇒ H
s
ϑ
(F)=0ifs
ϑ
>s
implies that there is a unique real pointsat which the Hausdorffs-measure
drops from inﬁnity to zero (unless the setFis ﬁnite so thatH
s
(F)is never
inﬁnite). This point is called theHausdorff dimensionofFand is formally
deﬁned as
dimF:=inf
"
s>0:H
s
(F)=0
#
.
●By the deﬁnition of dimFwe have that
H
s
(F)=
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
0ifs>dimF
∞ifs<dimF.
●Ifs=dimF, thenH
s
(F)may be zero or inﬁnite or may satisfy
0<H
s
(F)<∞;
in this caseFis said to be ans-set.
●Let I=[0,1]. Then dim I=1 and
2H
s
(I)=
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
0ifs>1
1ifs=1
∞ifs<1.
Thus, 2H
1
(I)=m(I)and I is an example of ans-set withs=1. Note
that the presence of the factor ‘2’ here is because, in the deﬁnition of
the Hausdorff measure, we have used the radii of balls rather than their
diameters.
The Hausdorff dimension has been established for many number theoretic
sets, e.g.W(τ)(this is the Jarník–Besicovitch theorem discussed below), and
is easier than determining the Hausdorff measure. Further details regarding
Hausdorff measure and dimension can be found in [50,72].
To calculate dimF(say dimF=α), it is usually the case that we establish
the upper bound dimF≤αand lower bound dimF≥αseparately. If we can
exploit a ‘natural’ cover ofF, then upper bounds are usually easier.

20 V. Beresnevich, F. Ramírez and S. Velani
Example 1.3.1Consider the middle third Cantor setKdeﬁned as follows:
starting withI0=[0,1]remove the open middle thirds part of the interval.
This gives the union of two intervals[0,
1
3
]and[
2
3
,1]. Then repeat the pro-
cedure of removing the middle third part from each of the intervals in your
given collection. Thus, at ‘level’nof the construction we will have the union
Enof 2
n
closed intervals, each of length 3
−n
. The middle third Cantor set is
deﬁned by
K=
∞
˙
n=0
En.
This set consists exactly of all real numbers such that their expansion to the
base 3 does not contain the ‘digit’ 1.
Let{In,j}be the collection of intervals inEn. This is a collection of 2
n
intervals, each of length 3
−n
. Naturally,{In,j}is a cover ofK. Furthermore,
for anyρ>0 there is a sufﬁciently largensuch that{In,j}is aρ-cover ofK.
It follows that
H
s
ρ
(K)≤
λ
j
r(In,j)
s
ˇ2
n
2
−s
3
−ns
−

2
3
s
ϑ
n
→0
asn→∞(i.e.ρ→0) if
2
3
s
<1⇒s>
log 2
log 3
.
In other words,
H
s
(K)=0ifs>
log 2
log 3
.
It follows from the deﬁnition of the Hausdorff dimension
dimK=inf{s:H
s
(K)=0}
that dimKλ
log 2
log 3
.
In fact, dimK=
log 2
log 3
. To prove that
dimK⊆
log 2
log 3
we need to work with arbitrary covers ofKand this is much harder. Let{Bi}
be an arbitraryρ-cover withρ<1.Kis bounded and closed (intersection
of closed intervals), i.e.Kis compact. Hence, without loss of generality, we

Metric Diophantine Approximation: Aspects of Recent Work 21
can assume that{Bi}is ﬁnite. For eachBi,letrianddidenote its radius and
diameter, respectively, and letkbe the unique integer such that
3
−(k+1)
λdi<3
−k
. (1.20)
ThenBiintersects at most one interval ofEkas the intervals inEkare
separated by at least 3
−k
.
Ifj⊆k, thenBiintersects at most
2
j−k
=2
j
3
−sk
λ2
j
3
s
d
s
i
(1.21)
intervals ofEj, wheres:=
log 2
log 3
and the ﬁnal inequality makes use of (1.20).
These are the intervals that are contained in the unique interval ofEkthat
intersectsBi.
Now choosejlarge enough so that
3
−(j+1)
λdi∀Bi∈{Bi}.
This is possible because the collection{Bi}is ﬁnite. Thenj⊆kfor eachBi
and (1.21) is valid. Furthermore, since{Bi}is a cover ofK, it must intersect
every interval ofEj. There are 2
j
intervals inEj. Thus
2
j
=#{I∈Ej:∪Bi∩Iφ=∅}
≤
λ
i
#{I∈Ej:Bi∩Iφ=∅}
≤
λ
i
2
j
3
s
d
s
i
.
The upshot is that for any arbitrary cover{Bi}, we have that
2
s
λ
r
s
i
ˇ
λ
d
s
i
≥3
−s
=
1
2
.
By deﬁnition, this implies thatH
s
(K)≥2
−(1+s)
and so dimK≥
log 2
log 3
.
Even for this simple Cantor set example, the lower bound for dimKis much
more involved than the upper bound. This is usually the case and the number
theoretic setsW(ψ)andW(τ)are no exception.
1.3.2 The Jarník–Besicovitch Theorem
Recall, the lim sup nature ofW(ψ); namely that
W(ψ)=lim sup
q→∞
Aq(ψ):=
∞
˙
t=1
∞
ł
q=t
Aq(ψ)

22 V. Beresnevich, F. Ramírez and S. Velani
where
Aq(ψ)=
q
ł
p=0
B
∕
p
q
,
ψ(q)
q
˘
∩I.
By deﬁnition, for eacht, the collection of ballsB(p/q,ψ(q)/q)associated
with the setsAq(ψ):q=t,t+1,...form a cover forW(ψ). Suppose for
the moment thatψis monotonicandψ(q)<1forqlarge. Now, for anyρ>0,
choosetlarge enough so thatρ>ψ(t)/t. Then the balls in{Aq(ψ)}qλtform
aρcover ofW(ψ). Thus,
H
s
ρ
ˇ
W(ψ)
ı
≤
∞
λ
q=t
q
ˇ
ψ(q)/q
ı
s
→0
ast→∞(i.e.ρ→0) if
∞
λ
q=1
q
1−s
ψ
s
(q)<∞;
i.e.H
s
ˇ
W(ψ)
ı
=0 if the aboves-volume sum converges. Actually, mono-
tonicity onψcan be removed (exercise) and we have proved the following
Hausdorff measure analogue of Theorem1.2.1. Recall, thatH
1
and one-
dimensional Lebesgue measuremare comparable.
Theorem 1.3.1Letψ:N→R
+
be a function and s≥0such that
∞
λ
q=1
q
1−s
ψ
s
(q)<∞.
Then
H
s
ˇ
W(ψ)
ı
=0.
Now putψ(q)=q
−τ
(τ≥1)and notice that fors>
2
τ+1
,
∞
λ
q=1
q
1−s
ψ
s
(q)=
∞
λ
q=1
q
−(τs+s−1)
<∞.
Then the following statement is a simple consequence of the above theorem
and the deﬁnition of Hausdorff dimension.
Corollary 1.3.2Forτ≥2, we have thatdimW(τ)≤
2
τ+1
.
Note that the above convergence result and thus the upper bound dimension
result simply exploit the natural cover associated with the lim sup set under

Metric Diophantine Approximation: Aspects of Recent Work 23
consideration. The corollary constitutes the easy part of the famous Jarník–
Besicovitch theorem.
Theorem 1.3.3(The Jarník–Besicovitch Theorem)Letτ>1. Then
dim
ˇ
W(τ)
ı
=2/(τ+1).
Jarník proved the result in 1928. Besicovitch proved the same result in 1932
by completely different methods. The Jarník–Besicovitch theorem implies that
dimW(2)=2/3 and dimW(2015)=2/2016
and soW(2015)is ‘smaller’ thanW(2)as expected. In view of Corol-
lary1.3.2, we need to establish the lower bound result dim
ˇ
W(τ)
ı
≥
2/(τ+1)in order to complete the proof of Theorem1.3.3. We will see
that this is a consequence of Jarník’s measure result discussed in the next
section.
The dimension theorem is clearly an excellent result, but it gives no
information regardingH
s
at the critical exponentd:=2/(τ+1). By deﬁnition,
H
s
(W(τ))=
⎧
⎨
⎩
0ifs>d
∞ifs<d,
but
H
s
(W(τ))=?ifs=d.
In short, it would be highly desirable to have a Hausdorff measure analogue of
Khintchine’s theorem.
1.3.3 Jarník’s Theorem
Theorem1.3.1is the easy case of the following fundamental statement in met-
ric Diophantine approximation. It provides an elegant criterion for the ‘size’ of
the setW(ψ)expressed in terms of Hausdorff measure.
Theorem 1.3.4(Jarník’s Theorem, 1931)Letψ:N→R
+
be a monotonic
function and s∈(0,1). Then
H
s
ˇ
W(ψ)
ı
=
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
0if
˚
∞
q=1
q
1−s
ψ
s
(q)<∞
∞if
˚
∞
q=1
q
1−s
ψ
s
(q)=∞
.

24 V. Beresnevich, F. Ramírez and S. Velani
Remark1.3.5 Withψ(q)=q
−τ
(τ >1), not only does the above theorem
imply that dimW(τ)=2/(1+τ)but it tells us that the Hausdorff measure at
the critical exponent is inﬁnite; i.e.
H
s
ˇ
W(τ)
ı
=∞ ats=2/(1+τ).
Remark1.3.6 As in Khintchine’s theorem, the assumption thatψis mono-
tonic is only required in the divergent case. In Jarník’s original statement, apart
from assuming stronger monotonicity conditions, various technical conditions
onψand indirectlyswere imposed, which preventeds=1. Note that, even
as stated, it is natural to exclude the cases=1 since
H
1
ˇ
W(ψ)
ı
ˇm
ˇ
W(ψ)
ı
=1.
The clear-cut statement without the technical conditions was established in
[14] and it allows us to combine the theorems of Khintchine and Jarník into a
unifying statement.
Theorem 1.3.7(Khintchine–Jarník 2006)Letψ:N→R
+
be a monotonic
function and s∈(0,1]. Then
H
s
ˇ
W(ψ)
ı
=
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
0 if
˚
∞
q=1
q
1−s
ψ
s
(q)<∞,
H
s
(I)if
˚
∞
q=1
q
1−s
ψ
s
(q)=∞.
Obviously, the Khintchine–Jarník theorem implies Khintchine’s theorem.
In view of the Mass Transference Principle established in [21], one actually
has that
Khintchine’s theorem=⇒Jarník’s theorem.
Thus, the Lebesgue theory ofW(ψ)underpins the general Hausdorff the-
ory. At ﬁrst glance this is rather surprising because the Hausdorff theory had
previously been thought to be a subtle reﬁnement of the Lebesgue theory.
Nevertheless, the Mass Transference Principle allows us to transfer Lebesgue
measure theoretic statements for lim sup sets to Hausdorff statements and
naturally obtain a complete metric theory.
1.3.4 The Mass Transference Principle
Let(,d)be a locally compact metric space and suppose there exist constants
δ>0, 0<c1<1<c2<∞andr0>0 such that
c1r
δ
≤H
δ
(B)≤c2r
δ
, (1.22)

Metric Diophantine Approximation: Aspects of Recent Work 25
for any ballB=B(x,r)withx∈and radiusr≤r0. For the sake of
simplicity, the deﬁnition of Hausdorff measure and dimension given in §1.3.1
is restricted toR
n
. Clearly, it can easily be adapted to the setting of arbitrary
metric spaces – see [50,72]. A consequence of (1.22) is that
0<H
δ
()≤∞ and dim=δ.
Next, given a dimension functionfand a ballB=B(x,r)we deﬁne the
scaled ball
B
f
:=B
ˇ
x,f(r)
1
δ
ı
.
Whenf(r)=r
s
for somes>0, we adopt the notationB
s
, i.e.
B
s
:=B
ˇ
x,r
s
δ
ı
and so by deﬁnitionB
δ
=B.
The Mass Transference Principle [21] allows us to transferH
δ
-measure the-
oretic statements for lim sup subsets ofto generalH
f
-measure theoretic
statements. Note that in the case whereδ=k∈N, the measureH
δ
coincides
withk-dimensional Lebesgue measure and the Mass Transference Principle
allows us to transfer Lebesgue measure theoretic statements for lim sup subsets
ofR
k
to Hausdorff measure theoretic statements.
Theorem 1.3.8Let{Bi}i∈Nbe a sequence of balls inwith r(Bi)→0as
i→∞. Let f be a dimension function such that x
−δ
f(x)is monotonic. For
any ball B∈withH
δ
(B)>0,if
H
δ
ˇ
B∩lim sup
i→∞
B
f
i
ı
=H
δ
(B)
then
H
f
ˇ
B∩lim sup
i→∞
B
δ
i
ı
=H
f
(B).
Remark1.3.9 There is one point that is well worth making. The Mass Trans-
ference Principle is purely a statement concerning lim sup sets arising from
a sequence of balls. There is absolutely no monotonicity assumption on the
radii of the balls. Even the imposed condition thatr(Bi)→0asi→∞is
redundant, but is included to avoid unnecessary tedious discussion.
1.3.4.1 Khintchine’s Theorem Implies Jarník’s Theorem
First of all, let us dispose of the case thatψ(r)/r∈0asr→∞. Then triv-
ially,W(ψ)=I and the result is obvious. Without loss of generality, assume
thatψ(r)/r→0asr→∞. With respect to the Mass Transference Principle,

Another Random Scribd Document
with Unrelated Content

XIII.
YÖLLINEN KOHTAUS.
Sillävälin don Fernando Carril kiiti, hevosensa kaulalle
kumartuneena, eteenpäin pimeässä kuin haamu. Niiden
varovaisuuskeinojen johdosta, joihin hän oli ryhtynyt käärimällä
lampaannahkaa hevosensa kavioihin, hän ratsasti ääneti ja nopeasti
kuin hurja ajojahti saksalaisissa ballaadeissa, ja ajoi tiehensä
kauheat hyeenalaumat lähetessään.
Hän lähestyi huomaamatta joen rantaa, jota pitkin hän pian
ratsasti hiljentämättä hevosensa vauhtia, kehoittaen sitä yhä
liikkeillään ja äänellään, samalla tähyillen oikealle ja vasemmalle,
eteen ja taakse päin. Tätä ratsastusta kenttien poikki kesti kolme
tuntia, jona aikana meksikolainen ei suonut puolivillille hevoselleen
sekuntiakaan aikaa hengähtää ja lepuuttaa vapisevia jalkojaan.
Päästyään viimein sille paikalle, missä jotenkin kapea joki vieritteli
mutaisia laineitaan puuvillapensaiden reunustamien rantojen välissä,
meksikolainen pysähtyi, astui selästä keskellä tiheätä metsikköä, ja
tultuaan vakuutetuksi olevansa aivan yksin hän tempasi maasta
kourallisen ruohoa ja kuivasi sillä hevosensa niin huolellisesti ja

innokkaasti, kuin tämän luotettavan ja uskollisen toverin hoidossa
voivat tehdä vain miehet, joiden henki joka hetki voi riippua hevosen
nopeudesta. Sitten hän otti suitset hevosen päästä, jotta tämä sitä
helpommin voisi syödä ympärillään olevaa pitkää ruohoa, minkä
jälkeen hän levitti zarapéen maahan, kävi pitkäkseen sille ja sulki
silmänsä.
Noin kahden tunnin aikana ei kukaan häirinnyt erämaan
hiljaisuutta, ei ainoatakaan ääntä kuulunut yössä. Don Fernando
makasi liikkumatta, aivankuin kuollut, pää taaksepäin vasemman
käden nojassa ja silmät kiinni.
Nukkuiko hän? Oliko hän valveilla? Ei kukaan voinut vastata näihin
kysymyksiin.
Äkkiä pöllön kirkaisu kiiti läpi avaruuden. Don Fernando nousi
aivankuin jousen ponnahuttamana, kumartui ja kuunteli silmät
taivaaseen päin suunnattuina.
Yö oli pimeä, tähdet levittivät yhä himmeätä ja salaperäistä
valoaan maan yli; mikään ei osoittanut päivän lähestymistä.
Kello oli tuskin kaksi aamulla, pöllö on ensimmäinen lintu, joka
äänellään tervehtii auringon nousua mutta pöllö ei ilmoita päivän
tuloa kolme tuntia aikaisemmin. Huolimatta kuulemansa äänen
täydellisestä yhtäläisyydestä meksikolainen epäili. Pian kuului toinen
ääni, ja sitä seurasi milt'ei heti kolmas, joka kokonaan haihdutti don
Fernandon epäilyn. Hän nousi ja matki kolmasti kalalokin ääntä.
Sama ääni kuului muutamien minuuttien kuluttu joen
vastakkaiselta rannalta.

Don Fernando pani taas suitset hevosensa päähän; kääriytyi
zarapéehensa, ja tarkastettuaan että aseensa olivat hyvässä
kunnossa, hän hyppäsi satulaan jalustimiin koskematta sekä ratsasti
jokeen.
Vähän matkan päässä hänen edessään oli poppelien ja
puuvillapensasten peittämä saari. Tätä saarta kohti hän suuntasi
matkansa, joka ei ollut pitkä, se kesti vain muutamia minuutteja.
Pääsy saarelle oli helppo. Hevonen, täysin levänneenä herransa sille
suoman kahden tunnin pysähdyksen jälkeen, ui voimakkaasti ja
kiipesi ylös loivaa rantaa melkein suoraan vastapäätä lähtöpaikkaa.
Tuskin ratsastaja oli noussut maihin saarelle, kura toinen
ratsastaja tuli pensaikosta ja pysähtyi hänestä noin
kahdenkymmenen askeleen päähän, huutaen kovalla ja hyvin
tyytymättömällä äänellä.
"Sinä viivyttelit kauan, ennenkuin vastasit merkinantooni! Minä
aijoin jo ratsastaa tieheni."
"Se olisi ehkä ollut yhtä hyvä", don Fernando vastasi happamesti.
"Vai niin!" toinen sanoi pilkallisella äänellä, "sieltäkö tuuli
puhaltaa?"
"Minua liikuttaa varsin vähän mistä se puhaltaa, jollen seuraa sen
minulle antamaa vaikutinta. Mutta nyt olen täällä. Mitä tahdotte
minusta? Puhukaa ennen kaikkea lyhyesti, sillä minulla on vain hyvin
vähän aikaa käytettävissä."
"Herra varjele! Sangen tärkeät edut kutsuvat siis varmaankin sinua
sinne, mistä tulet, koska sinulla on niin kiire palata."

"Kuulkaahan, Tiikerikissa", meksikolainen vastasi kuivasti ja
suoraan, "jos olette niin itsepintaisesti pyytäneet minua tänne
lausuaksenne minulle vain pistopuheita ja ivasanoja, niin minun on
tarpeetonta jäädä tänne kauemmaksi aikaa. Hyvästi siis!"
Näin sanoen don Fernando teki liikkeen, aivankuin olisi aikonut
kääntyä ja lähteä saarelta.
Tiikerikissa, sillä hänen puhuttelemansa oli juuri tuo omituinen
henkilö, tarttui äkkiä pistooliinsa ja viritti hanan.
"Tuli ja leimaus!" hän sanoi, "jos liikahdat, niin ajan luodin kallosi
läpi!"
"Kylläpä te lörpöttelette!" toinen vastasi ilkkuen; "ja mitä minä
tekisin sillä aikaa? Lakatkaa uhkailemasta, muutoin tapan teidät kuin
koiran."
Yhtä nopealla liikkeellä kuin Tiikerikissakin hän oli virittänyt
pistoolinsa hanan ja suunnannut piipun vastustajaansa kohti.
Tiikerikissa pisti nauraen aseensa vyöhön takaisin.
"Uskaltaisitko sinä tehdä niin?" hän sanoi.
"Ettekö tiedä, että minä uskallan mitä tahansa?" meksikolainen
vastasi.
"Olemme hukanneet kylliksi aikaa; jutelkaamme", ukko sanoi
hypäten hevosen selästä.
"Niin, tehkäämme niin. Mitä tahdotte minusta?" don Fernando
vastasi, hypäten hänkin hevosen selästä.

"Miksi olet pettänyt minut, ja miksi olet kääntynyt minua vastaan
sen sijaan, että olisit auttanut minua, kuten velvollisuutesi olisi ollut."
"Minä en ole velvoittanut itseäni mihinkään teidän suhteenne,
päinvastoin olen jyrkästi kieltäytynyt tuosta tehtävästä, jonka te
välttämättä tahdoitte uskoa minulle."
"Etkö olisi voinut jäädä puolueettomaksi ja antaa noiden ihmisten
joutua valtaani?"
"En, kunniani velvoitti minut puolustamaan heitä."
"Kunniasi?" Tiikerikissa sanoi pilkallisesti hymyillen.
Meksikolainen punehtui ja hän rypisti kulmakarvojaan, mutta hän
hillitsi itsensä ja vastasi kylmästi:
"Vieraanvaraisuus on pyhä aavikolla, sen oikeudet eittämättömät;
henkilöt, joiden oppaana olin, olivat itse asettuneet suojelukseeni;
hylätä heidät tai jättää puolustamatta heitä olisi ollut heidän
pettämistään; te olisitte itsekin menetellyt niin."
"Ei maksa ollenkaan vaivaa palata tähän kysymykseen;
päättyneestä asiasta ei keskustella, siihen mukaannutaan. Miksi et
palannut luokseni?"
"Siksi että pidin parempana jäädä San-Lucariin."
"Niin, sivistyselämä viehättää sinua vastustamattomasti, se
kaksinaisosa, jota sinä näyttelet omalla uhallasi ja vastuullasi,
hurmaa sinua, käsitän sen. Don Fernando Carril otetaan avoimin
sylin vastaan Meksikon korkeammissa seurapiireissä. Mutta, usko
minua, lapseni, varo, ettei seikkailunhaluinen henkesi johda sinua

johonkin tyhmyyteen, josta Kivisydämen koko uskaliaisuus ei voisi
sinua pelastaa."
"Minä en ole tullut tänne saamaan neuvoja."
"Se on totta, mutta minun velvollisuuteni on antaa sinulle neuvoja,
joita et ole tullut hakemaan. Vaikka pysynkin erämaassa, en kadota
hetkeksikään sinua näkyvistäni; tunnen kaikki liikkeesi, tiedän kaiken
mikä sinua koskee."
"Mitä tuo vakoilu hyödyttää?" don Fernando huomautti ylpeästi.
"Jotta saisin tietää, voinko yhä edelleenkin luottaa sinuun."
"No, mitä olette nyt saanut tietää minusta?"
"En mitään muuta kuin hyvää; toivoisin vain, että sanoisit minulle
suoraan millä kannalla olemme tänään."
"Teidän vakoojannehan ilmoittavat teille minun pienimmätkin
tekoni."
"Niinpä kyllä, nimittäin ne, mitkä koskevat sinua henkilökohtaisesti.
Siten tiedän esimerkiksi, ettet ole vielä uskaltanut esitellä itseäsi don
Pedro de Lunalle", Tiikerikissa sanoi ivallisella äänellä.
"Se on totta, mutta huomenna käyn hänen luonaan."
Tiikerikissa kohautti halveksivasti olkapäitään.
"Puhukaamme vakavista asioista", hän taas sanoi, "millä kannalla
olemme?"

"Olen täsmälleen noudattanut ohjeitanne. Kaksi vuotta sitten
esiinnyttyäni ensi kerran San-Lucarissa, en ole koko tänä aikana
lyönyt laimin mitään tilaisuutta solmia tuttavuuksia, jotka vast'edes
tulevat olemaan teille hyödyllisiä. Vaikka hyvin harvoin näyttäydynkin
kylässä ja viivyn vain vähän aikaa, luulen kuitenkin saavuttaneeni
päämäärän, jota tarkoititte antaessanne minulle ohjeenne. Minua
ympäröivä salaperäinen verho on hyödyttänyt minua enemmän kuin
olen uskaltanut toivoakaan: minä olen voittanut puolelleni
suurimman osan varuspaikan vaqueroja ja leperoja, melkein kaikki
oikeita maantierosvoja, mutta voin luottaa heihin jok'ainoaan, he
ovat minulle uskollisia ja nuo ihmiset tuntevat minut vain nimellä don
Fernando Carril."
"Tiesin sen", Tiikerikissa sanoi.
"Vai niin!" meksikolainen vastasi, katsahtaen raivoisasti ukkoon.
"Olenhan sanonut sinulle, etten ole kadottanut sinua näkyvistäni."
"Niin, mitä minun yksityisiin asioihini tulee."
"Lyhyesti, aika on tullut niittää mitä olemme kylväneet noiden
rosvojen joukossa, jotka paremmin kuin punanahat, joihin en uskalla
täysin luottaa, palvelevat meitä maamiehiään vastaan, tuntemalla
espanjalaiset menettelytavat ja osaamalla kätevästi käyttää
ampuma-asetta. Nyt sinun osasi noiden lurjusten kanssa on
loppumassa ja minun alkaa; minun täytyy asettua suoranaiseen
yhteyteen heidän kanssaan."
"Kuten haluatte. Kiitän teitä, että vapautatte minut olemasta
vastuussa toimesta, jonka tarkoitusta ette milloinkaan ole pitänyt
soveliaana uskoa minulle. Suurimmalla ilolla saatan teidät

tilaisuuteen neuvotella suoraan niiden heittiöidea kanssa, jotka olen
ottanut palvelukseenne."
"Käsitän syyt, jotka vaikuttavat, että haluat saada takaisin
vapautesi; ja minä hyväksyn ne sitäkin mieluummin, kun itse juuri
olen ensiksi herättänyt sinussa toivon tehdä lähempää tuttavuutta
don Pedro de Lunan ihastuttavan tyttären kanssa."
"Ei sanaakaan enää tästä!" don Fernando huudahti kiivaasti.
"Vaikka tähän asti olenkin antanut teidän johdattaa minua ja
sokeasti totellut käskyjänne, niin on nyt tullut hetki, jolloin meidän
on selvästi ja tarkasti määrättävä suhteemme, jotta kaikki
väärinkäsitykset vast'edes olisivat mahdottomia. Yksin tämä asia on
minulle ollut kyllin ratkaiseva noudattaakseni tänä yönä kutsuanne."
Tiikerikissa silmäili nuorta miestä hyvin tutkivasti ja vastasi hetken
kuluttua:
"Puhu sitten, mieletön, joka et näe jalkojesi edessä aukenevaa
kuilua, puhu, minä kuuntelen."
Don Fernando seisoi pää painuksissa ja silmät maahan luotuina
muutamia silmänräpäyksiä, hiljaa nojaten erään poppelin oksaiseen
runkoon.
"Tiikerikissa", hän viimein sanoi, "minä en tiedä kuka te olette tai
mistä syystä olette luopunut sivistyneestä elämästä vetäytyäksenne
erämaahan ja omaksuaksenne intiaanien tavat, enkä tahdo sitä
tietääkään. Kukin ihminen on itse vastuunalainen teoistansa ja on
velvollinen tekemään siitä tiliä vain omalletunnolleen. Mitä minuun
itseeni tulee, ette milloinkaan sanallakaan ole minulle ilmoittanut
syntymäseutuani tai perhettä, johon kuulun. Vaikka te olette

kasvattanut minut ja minä, niin pitkälle kuin muistini ulottuu, en voi
muistaa nähneeni ketään muuta miestä luonani kuin teidät, niin
epäilen kuitenkin, että välillämme on mitään sukulaisuutta; jos olisin
teidän poikanne tai vaikkapa vain kaukainen sukulaisenne, niin on
minusta selvää, että minulle antamanne kasvatus olisi ollut aivan
toisenlainen kuin se, jonka teidän nimenomaisen määräyksenne
mukaan nyt olen saanut."
"Mitä tarkoitat, onneton? Mitä nuhteita aijot antaa minulle?" ukko
keskeytti vihaisin elein.
"Älkää keskeyttäkö minua, Tiikerikissa, antakaa minun sanoa
ajatukseni kokonaan", meksikolainen vastasi surullisesti. "Minä en
nuhtele teitä ollenkaan, mutta aina siitä saakka kun te pakotitte
minut don Fernando Carrilin nimellisenä sekaantumaan sivistyksen
pyörteisiin, olen vastoin tahtoani ja luultavasti vastoin teidänkin
tahtoanne saanut tietää koko joukon asioita, silmäni ovat
avautuneet; olen käsittänyt kahden sanan merkityksen, joiden
sisällöstä en tähän asti ole tiennyt mitään. Nämä eivät ole
muuttaneet luonnonlaatuani, vaan kyllä sitä valoa, missä tähän asti
olen katsellut asioita ja oloja, sillä jossakin tarkoituksessa, jota en voi
enkä tahdo aavistaa, te olette aina varhaisimmasta lapsuudestani
asti koettanut minussa kehittää kaikkia pahoja, sydämessäni itäviä
intohimoja ja huolellisesti tukahduttaa kaikki hyvät ominaisuudet,
joita minulla, ellei tuota järjestelmää olisi käytetty, olisi kerran ollut.
Sanalla sanoen, minä tunnen nyt hyvän ja pahan, tiedän, että kaikki
teidän tähänastiset harrastuksenne ovat tarkoittaneet tehdä minusta
villipedon. Oletteko onnistuneet? Sen tulevaisuus näyttää. Niistä
tunteista päättäen, jotka kiehuvat sydämessäni, puhuessani
kanssanne, pelkään, ettette ole saavuttaneet tavoittamaanne
tarkoitusta. Joka tapauksessa en enää tahdo olla orjananne, olen

liian kauan ollut aseena kädessänne niiden tehtävien suorittamiseksi,
joiden merkitystä en ole käsittänyt. Itse olette yhä uudelleen
vakuuttanut minulle, ettei mitään perhesiteitä ollut olemassa
yhteiskuntien luonnollisessa tilassa, että ne olivat sivistyksen
keksimiä mielettömiä ennakkoluuloja, ettei kellään ihmisellä ollut
oikeutta pakottaa toista noudattamaan hänen tahtoaan, että
voimakas mies oli se, joka kulki läpi elämänsä vapaana, ilman ystäviä
ja sukulaisia ja tunnustamatta mitään muuta mahtia kuin oman
tahtonsa. No niin, näitä oppeja, joita te niin kauan olette minuun
istuttanut, minä alan tästä päivästä lähtien käytännössä toteuttaa,
huolimatta siitä olenko minä nyt don Fernando Carril, meksikolainen
maanviljelijä, tai Kivisydän, mehiläismetsästäjä. Koroittaen, teidän
oman ohjeenne mukaan, kiittämättömyyden hyveeksi, minä otan
vapauteni ja itsenäisyyteni takaisin teihin nähden enkä tunnusta
enää teille oikeutta vaikuttaa ollenkaan elämääni hyvässä tai
pahassa. Minä vaadin tästä lähtien saada seurata omia
mielijohteitani, viskatkoon ne minut mihin olosuhteisiin tahansa."
"Mene, lapsi", Tiikerikissa vastasi ivallisesti hymyillen, "tee kuten
tahdot. Mutta kuinka tahansa menetteletkin, niin sinä kuulut
kuitenkin minulle, tahdot tai et. Sen saat nähdä varsin pian. Mutta
minä en ole vihainen sinulle siitä, että olet siten lausunut
mielipiteesi. Et sinä ole puhunut, vaan intohimosi. Minä olen vanha,
Fernando, mutta en niin vanha, että olisin unohtanut nuoruuteni.
Rakkaus on valloittanut sydämesi. Kun se on kokonaan sinut
kärventänyt, niin sinä palaat taas erämaahan, sillä silloin sinä vasta
oikein käsität minkälaista todellisuudessa on se elämä, johon olet
astunut, sinä taitamaton lapsi parka! Ettei mies ole siinä maailmassa
muuta kuin höyhen, jota intohimojen tuuli heittelee joka taholle, ja
että se, joka luulee olevansa väkevin, tulee rakkauden heikontavan
tuulen puhaltaessa yhtä heikoksi kuin luomisen heikoin ja kurjin

olento. Mutta riittää jo siitä. Sinä tahdot olla vapaa, ole sitten; mutta
ensiksi sinun on tehtävä minulle tarkka tili siitä tehtävästä, jonka
olen sinulle antanut."
"Olen valmis tekemään sen. Menkää minun puolestani noiden
vaquerojen luo. Tämä timantti", hän lisäsi, vetäen sormuksen
sormestaan, "on oleva passina. He ovat varuillaan, kun näytätte
tämän sormuksen, niin he tottelevat teitä kuin minua itseäni."
"Missä nuo miehet tavallisesti oleskelevat?"
"Te tapaatte heidät parhaiten pienessä kapakassa uudessa San-
Lucarin kylässä. Mutta aijotteko todellakin uskaltaa lähteä
presidioon?"
"Epäilemättä. Nyt vain sananen: voinko minä, huolimatta siitä mitä
äsken sanoit minulle, luottaa sinuun, kun toiminnan hetki on tullut?"
"Kyllä, jos se, mitä aijotte tehdä, on oikein."
"Ahaa! Sinä alat jo asetella ehtojasi."
"Olenhan sanonut sen teille! Tahdotte kenties mieluummin, että
pysyn puolueettomana?"
"En, minä tarvitsen sinua. Sinä asut luultavasti siinä talossa, jonka
olet ostanut itsellesi. Luotettava mies ilmoittaa sinulle joka päivä,
mitä tapahtuu, ja kun hetki on tullut, olen vakuutettu siitä, että sinä
olet luonani."
"Kenties. Joka tapauksessa teette, uskokaa minua, viisaimmin
ettette luota siihen."

"Minä päinvastoin luotan siihen, ja teen niin seuraavista syistä: nyt
sinä olet keskellä intohimojen tulta ja luonnollisesti tuntuu
harkinnassasi niiden tunteiden vaikutus, jotka hallitsevat sinua,
mutta kuukauden kuluessa tapahtuu välttämättä, että sinä joko
onnistut, jossa tapauksessa kyllästyminen seuraa tyydytettyä
rakkautta ja silloin tulet iloiseksi saadessasi palata erämaahan, tai
sinä et onnistu, ja silloin mustasukkaisuus ja loukattu ylpeys
kehoittavat kostamaan, jossa tapauksessa sinä ilolla tartut
tarjoamaani tilaisuuteen saada tehdä niin."
"Minä huomaan valitettavasti, ettemme me enää tule
ymmärtämään toinen toisiamme", meksikolainen vastasi surullisesti
hymyillen. "Te puhelette yhä huonojen intohimojen kannalta, ihmisiä
kohtaan tuntemanne sammumattoman vihan johdosta ja sen
halveksumisen takia, jota tunnette koko ihmiskuntaan nähden,
jotavastoin minä vain tahdon kuunnella hyviä tunteitani ja antaa
niiden johdattaa minua."
"Hyvä, hyvä, lapsi kulta; minä annan sinulle kuukauden,
saattaaksesi pienen rakkausjuonesi loppuun. Tämän ajan kuluttua
palaamme taas tähän keskusteluun. Hyvästi!"
"Hyvästi! Menettekö nyt presidioon?"
"En, minä palaan kylääni. Siellä on minulla myös pieni asia
selvitettävänä, sillä, ellen varsin paljon erehdy, on siellä tapahtunut
paljon minun poissa ollessani."
"Pelkäättekö jotakin kapinaa valtaanne vastaan?"
"Minä en sitä pelkää, minä toivon sitä", ukko vastasi salaperäisesti
hymyillen.

Sanottuaan vielä kerran jäähyväiset nuorelle miehelle, ukko nousi
taas hevosen selkään ja katosi metsään. Don Fernando viipyi jonkun
hetken syviin mietteisiin vaipuneena, kuunnellen koneellisesti
kavioiden kapsetta, joka etääntyi ja tuli joka hetki yhä heikommaksi
ja heikommaksi.
Kun kaikki vihdoin taas oli aivan hiljaa, niin nuori mies käänsi
päänsä siihen suuntaan saarta, jonne Tiikerikissa oli mennyt.
"Mene", hän mutisi kolkolla äänellä, "mene, villipeto, joka luulet,
etten ole arvannut suunnitelmiasi. Minä kaivan jalkaisi alle miinan,
joka räjähtäissään nielee sinut! Minä petän sinun odotuksesi.
Tehdäkseni tyhjäksi sinun häpeälliset suunnitelmasi minä teen
enemmän kuin ihminen voi tehdä!"
Hän palasi hitaasti hevosensa luokse ja nousi jälleen satulaan.
"Kello on kolme", hän sanoi tarkastaen taivasta, jossa tähdet
alkoivat sammua. "Minulla on hyvin aikaa."
Mentyään taas joen poikki hän suuntasi matkansa don Estevanin
ranchoa kohti ja alkoi taas huimaavan matkansa erämaan halki.
Kyllikseen levännyt hevonen lensi eteenpäin. Päivä alkoi valjeta,
kun hän taas oli ranchossa. Kaikki oli hiljaa talossa, jonka asukkaat
näyttivät olevan syvään uneen vaipuneet. Don Fernando henkäisi
tyytyväisenä. Hänen yöllinen matkansa oli pysynyt salassa.
Hän otti satulan hevosensa selästä, pyyhki sen huolellisesti,
poistaakseen kaikki matkan jäljet ja talutti hevosen vajaan.
Ennenkuin hän päästi sen valloilleen hän poisti lampaannahat

kavioista, jonka jälkeen hän vei sen sisään, sulki huolellisesti portin
ja meni parvekkeelle.
Juuri kun hän valmistautui jälleen kapuamaan riippumattoonsa,
hän huomasi miehen, joka olkapäätään ovipieleen nojaten ja jalat
ristissä huolettomasti poltteli maissiolkisavukettaan.
Don Fernando hätkähti ja peräytyi askeleen, tuntiessaan
isäntänsä.
Mies oli todellakin don Estevan Diaz. Vähääkään kummastelematta
tämä otti savukkeen suustaan, puhalsi ilmaan valtavan savupilven ja
virkkoi metsästäjälle mitä kohteliaimmalla äänellä:
"Olette varmaankin väsynyt tänä yönä tekemänne pitkän matkan
jälkeen.
Tahdotteko jotakin virvoketta?"
Don Fernando, hämmentyneenä siitä kylmäverisyydestä, millä
tämä kysymys esitettiin, epäröi hetkisen.
"Minä en ymmärrä, caballero", hän änkytti.
"Mitä sitten?" toinen vastasi. "Pyh, on turhaa näytellä
tietämätöntä. Ei maksa vaivaa koettaa johtaa minua harhaan,
vakuutan teille; tiedän kaikki."
"Kuinka? Te tiedätte kaikki? Mitä tiedätte sitten?" kysyi nuori mies,
joka tahtoi tietää kuinka pitkälle don Estevanin tiedot ulottuivat.
"Tiedän", majordomo vastasi, "että nousitte makuultanne,
satuloitte hevosenne ja lähditte erään ystävänne luo, joka vartoi teitä
los Pavos-saarella."

"Vai niin", don Fernando vastasi kiukkuaan pidätellen, "te olette
siis seurannut minua?"
"Herran tähden, totta kai! Minulla on tapana arvella, ettei henkilö,
joka koko päivän on istunut hevosen selässä, huvikseen lähde
matkalle, johon kuluu koko yö, etenkään sellaisessa seudussa kuin
se, missä olemme, joka yleensä on jotenkin vaarallinen päivälläkin ja
erittäin vaarallinen yön tullen. Siis, koska olen luonteeltani hyvin
utelias…"
"Niin olette ruvennut vakoojaksi!" meksikolainen keskeytti
kiivaasti.
"Hyi, caballero, millaisia sanontatapoja te käytättekään! Minäkö
vakoojaksi? ah, niin en luule, mutta koska ainoa keino saada tietää
mitä haluaa tietää, on kuunteleminen, minä kuuntelen niin usein
kuin voin; siinä kaikki."
"Niinmuodoin olette ollut läsnä keskustelussa, joka minulla oli los
Pavos-saarella?"
"En tahdo salata sitä, caballero; vieläpä olin varsin lähelläkin
teitä."
"Ja olette kaiketi kuullut joka sanan, kuin vaihdoimme
keskenämme?"
"Oh, niin, melkein", don Estevan vastasi hymyillen yhä.
Don Fernando liikahti, aivankuin heittäytyäkseen majordomon
kimppuun, mutta tämä hillitsi häntä niin voimakkaalla otteella, ettei
don Fernando ollut sellaista kuvitellutkaan, ja lausui hänelle, yhä
samalla rauhallisella tavalla, kuin tähänkin asti:

"Oh hoh! Kies'avita! Tehän olette minun vieraani. Hetkinen vain,
tuhat tulimmaista! Tuohon ehdimme sitten kyllä, jos tarvitaan."
Talttuen tahtomattaankin siitä äänestä, jolla nämä sanat lausuttiin,
meksikolainen peräytyi askeleen, pani käsivartensa rinnan yli ja
katsoi don Estevania suoraan silmiin.
"Minä odotan", hän sanoi.

XIV.
DON ESTEVAN DIAZ.
Jonkun silmänräpäyksen molemmat miehet seisoivat siten
vastakkain, tarkastaen toisiaan luihun sitkeästi, kuten
kaksintaistelijat, jotka vaanivat sopivaa tilaisuutta hyökätäkseen
toistensa kimppuun.
Vaikka don Estevanin kasvot olivatkin liikkumattomat, niin hänen
katseessaan oli kuitenkin surumielisyyden leima, jota hän turhaan
koetti salata.
Käsivarret ristissä, pää pystyssä, kulmakarvat rypyssä, huulet
vääntyneinä vihasta, joka kihisi hänen sisässään ja jota hän koetti
pidätellä, don Fernando odotti nuoren miehen ensimmäisiä sanoja,
saadakseen selville, alkaisiko hän heti hyökkäyksensä vai olisiko
tyytyvinään niihin anteeksipyyntöihin, joita toinen luultavasti
valmistautui hänelle tekemään.
Vähitellen oli tullut yhä valoisampi, taivas säteili komeana,
sateenkaaren kaikissa väreissä, taivaanranta liekehti ja aurinko,
vaikkei se vielä ollutkaan noussut, ilmoitti, että se pian kohoaisi ja

välkkyvillä valovirroillaan korvaisi sen himmeän valonhohteen, joka
kaihomielisesti tuikki muutamista tähdistä, joita vielä näkyi
tummansinisellä taivaalla.
Tuhansia väkeviä lemuja nousi maasta ja aamutuuli, joka kohisten
kulki tuuheita puidenlatvoja pitkin, kokosi suunnattomiin pyörteisiin
sumun, joka lepäsi joella.
Viimein don Estevan päätti katkaista äänettömyyden, joka alkoi
tuntua yhtä tukalalta hänelle kuin toisellekin.
"Tahdon olla suora teitä kohtaan, caballero", hän sanoi. "Olen
kuullut joka sanan keskustelustanne Tiikerikissan kanssa; huomaatte
siis että minulla on nyt varsin hyvät tiedot ja että tiedän, että don
Fernando Carril ja Kivisydän, mehiläismetsästäjä, on sama henkilö."
"Niin", meksikolainen vastasi katkerana, "huomaan, että te olette
kokenut vakoilutaidossa, jonka ikävän toimen olette itsellenne
valinnut, caballero."
"Kuka tietää? Kenties olette, ennenkuin keskustelumme on
lopussa, muuttanut mielipidettänne, caballero."
"Epäilen sitä. Mutta sallikaa minun huomauttaa, että teillä on
eriskummallinen tapa osoittaa vieraanvaraisuutta niitä vieraitanne
kohtaan, joita Jumala teille lähettää."
"Sallikaa minun selittää ensin, ja sittenkuin olette kuullut, mitä
minulla on sanottavaa, minä olen valmis, caballero, antamaan teille
kaiken hyvityksen, minkä voitte vaatia minulta, jos silloin luulette
voivanne pysyä vaatimuksessanne."

"Puhukaa sitten, ja tehkäämme tavalla tai toisella loppu asiasta",
don Fernando vastasi kärsimättömästi. "Aurinko on ollut nousseena
vähän aikaa ja minä kuulen jo väen puhuvan ja liikkuvan
ranchossanne, eikä viipyne kauan, ennenkuin he näyttäytyvät ja
läsnäolollaan tekevät kaiken selvittelyn välillänne mahdottomaksi."
"Olette oikeassa, meidän täytyy päästä loppuun. Mutta koska
minä, yhtähyvin kuin tekin, pidän tärkeänä, ettei meitä häiritä, niin
tulkaa mukaani. Minulla on teille niin paljon puhuttavaa, ettei sitä voi
kertoa täällä."
Don Fernando seurasi mukana vähääkään vastaan väittämättä. He
menivät vajaan ja satuloivat hevosensa.
"Nouskaamme nyt selkään ja ratsastakaamme ruohoaavikolle,
jossa parhaiten voimme rauhassa keskustella", don Estevan sanoi
hypäten satulaan.
Tämä nuoren miehen ehdotus miellytti meksikolaista sitäkin
enemmän, kun se soi hänelle jälleen toimintavapauden ja antoi
hänelle varman keinon kostaa loistavasti majordomolle, jos tällä,
kuten hän arveli, oli aikomus tehdä pilkkaa hänestä.
Vastaamatta hän nousi vuorostaan satulaan, ja molemmat
poistuivat rinnakkain ranchosta, virkkamatta enää sanaakaan.
Aamu oli herttainen. Häikäisevä aurinko valoi lämpimän sädetulvan
maiseman yli ja pani piikivet tiellä välkkymään kuin timantit. Linnut
livertelivät iloisesti puiden latvoissa. Vaquerot ja peonit hajaantuivat
joka taholle, vieden hevosia ja karjaa haciendasta laidunmaille.
Maisema elostui joka hetki ja tuli aivan toisen, iloisemman näköiseksi
kuin se oli ollut yöllä.

Jatkettuaan ratsastustaan noin tunnin ajan, molemmat miehet
saapuivat puoleksi hävinneeseen ja asumattomaan ranchoon, joka
sentään köynnöskasvien ympäröimänä ja melkein kokonaan kukkien
ja ruohon peittämänä tarjosi miellyttävän suojapaikan kuumuutta
vastaan, joka, vaikk'ei päivä ollutkaan vielä varsin pitkälle ehtinyt,
kuitenkin jo oli hyvin painostava.
"Pysähtykäämme tähän", don Estevan sanoi, ensi kerran
katkaisten äänettömyyden heidän lähdettyään hänen asunnostaan,
"meidän olisi vaikea löytää miellyttävämpää levähdyspaikkaa."
"Niin, pysähtykäämme", don Fernando vastasi välinpitämättömästi.
"Minusta on yhdentekevää missä paikassa viimeinkin aijotte antaa
minulle pyytämäni selityksen, edellyttäen, että tuo selitys on lyhyt ja
vilpitön."
"Vilpitön se tulee olemaan, sen vannon kunniani kautta; lyhyt, sitä
en voi taata, sillä minulla on teille kerrottavana pitkä ja surullinen
kertomus."
"Minulle? Ja missä tarkoituksessa, jos sallitte kysyä? Mitä minun
tarvitsee sitä tietää? Sanokaa minulle vain…"
"Anteeksi", don Estevan keskeytti, hypäten hevosen selästä, "se,
mitä minulla on teille kerrottavana, koskee teitä enemmän kuin
luulettekaan. Saatte siitä heti todisteen."
Don Fernando kohautti olkapäitään ja hyppäsi maahan.
"Te olette hölmö, Jumala paratkoon!" hän sanoi. "Koska niin hyvin
kuulitte keskustelumme viime yönä, niin pitäisi teidän ainakin tietää,

että minä olen vieras täällä ja että kaiken mitä tällä seudulla
tapahtuu, täytyy hyvin vähän liikuttaa minua."
"Kuka tietää?" don Estevan vastasi miellyttävästi heittäytyen
maahan ja tyytyväisesti huoahtaen.
Samoin teki myös don Fernando, jonka uteliaisuus
tahtomattaankin alkoi herätä.
Heti kun molemmat miehet loikoivat pitkänään maassa don
Estevan loi läpitunkevan katseen seuralaiseensa.
"Minä rupean puhumaan doña Hermosasta", hän sanoi äkkiä.
Ällistyneenä näistä odottamattomista sanoista meksikolainen tunsi
punastuvansa, vaikka hän koettikin kaikin keinoin hillitä itseään.
"Vai niin", hän sanoi murtuneella äänellä, "doña Hermosasta, don
Pedro de Lunan tyttärestä, eikö niin?"
"Samasta; sanalla sanoen siitä nuoresta tytöstä, jonka hengen
vain muutamia päiviä sitten pelastitte."
"Mitä hyödyttää muistuttaa minua siitä tapahtumasta? Jokainen
olisi minun sijassani menetellyt aivan samalla tavalla."
"Mahdollisesti; mutta minä luulen, tarvitsematta joutua epäilijän
asemaan, että te erehdytte. Mutta teihin nähden ei olekaan kysymys
siitä. Te olette, sanon, muutamia päiviä sitten pelastanut doña
Hermosan hirvittävästä kuolemasta! Ensi hetkessä te, tahtomattanne
noudattaen salaista ylpeydentunnettanne, äkkiä erositte hänestä,
päättäen palata takaisin erämaahan ja olla enää tapaamatta häntä,
joka oli niin paljon velkaa teille."

Ihmetellen ja samalla äkeissään siitä, että huomasi ajatuksensa
niin hyvin paljastetuksi, don Fernando keskeytti äkkiä don Estevanin
puheen.
"Olisi todellakin parempi, caballero", hän sanoi lyhyesti, "jos
tahtoisitte olla hyvä ja päästä pyytämääni selitykseen, kuin antautua
arveluihin, tosin varsin nerokkaisiin, mutta joilla on se vika, että ne
ovat aivan perusteettomia."
Don Estevan hymyili hienosti ja teki lopullisen päätöksensä.
"Oh, paras don Fernando", hän sanoi, "ei teidän maksa vaivaa
koettaa pettää minua, kaikki kieltäminen on sen vuoksi hyödytöntä.
Te olette nuori ja te olette kaunis. Viettäen elämäänne erämaalla te
ette vielä tunne inhimillisten tunteiden alkeitakaan. Te ette ole voinut
nähdä doña Hermosaa rankaisematta. Hänet nähdessänne on
sydämenne värähtänyt rinnassanne, uusia ajatuksia on herännyt
mielessänne ja valloittaneet aivonne, ja jättäen kaiken, välittämättä
mistään muusta teillä on ollut vain yksi päämäärä, halu nähdä jälleen
tuo nuori tyttö, joka ilmestyi teille kuin unessa ja teki tähänastisen
rauhallisen elämänne levottomaksi. Te olette tahtonut nähdä hänet
taas, vaikkapa vain minuutin, sekunnin ajan."
"Se on totta", don Fernando mumisi tahtomattaankin totuuden
voiman valtaamana. "Niin, kaiken, mitä te nyt niin laajasti kuvailitte,
minä myönnän. Saadakseni vain vilaukseltakaan nähdä edes tuon
nuoren tytön vaatteiden liepeet, antaisin ilolla henkeni. Mutta miksi
minä olen sellainen? Sitä yritän turhaan käsittää."
"Ja ette luultavasti tule milloinkaan käsittämään, ellen minä auta
teitä. Teidän kaltaisessanne miehessä, joka on kasvatettu
yhteiskuntaolojen ulkopuolella, jonka elämä tähän asti on ollut vain

alituista taistelua joka päivän välttämättömimmistä tarpeista ja joka
tähän asti on käyttänyt ainoastaan ruumiillisia voimiaan, saamatta
milloinkaan aikaa ajatella muuta kuin metsästystä ja sotaa, koska
teidän henkiset ominaisuutenne uinailivat teissä, niin ettette tietänyt
niiden voimasta, sellaisessa miehessä rakkaus välttämättä aiheuttaa
muutoksen, jonka seuraukset tällä hetkellä ilmenevät teissä, toisin
sanoen te rakastatte tai olette alkamaisillanne rakastaa doña
Hermosaa."
"Luuletteko niin?" hän vastasi teeskentelemättä. "Sitäkö siis
sanotaan rakkaudeksi? Oh, siinä tapauksessa", hän sanoi enemmän
itsekseen kuin majordomolle, "aiheuttaa se sangen suurta tuskaa."
Don Estevan katsoi hetkisen häneen surun sekaisella säälillä ja
jatkoi:
"Seurasin teitä viime yönä, koska käytöksenne tuntui minusta
epäilyttävältä ja salainen pelko aiheutti minut olemaan varuillaan
teidän suhteenne. Piiloutuneena pensastoon vain kahden askeleen
päässä siitä paikasta, jossa keskustelitte Tiikerikissan kanssa, olen
kuullut jokaisen sananne. Ajatukseni teistä on muuttunut, olen
huomannut, sallikaa minun sanoa se suoraan, että te olette
mainettanne parempi ja että olisi väärin pitää teitä rosvona, kuten
tuota toista, jonka seurassa olitte. Se jyrkkä ratkaiseva tapa, jolla
hylkäsitte hänen ehdotuksensa, on osoittanut minulle, että teillä on
sydän paikallaan. Silloin päätin asettua puolellenne ja auttaa teitä
siinä taistelussa, johon valmistauduitte ryhtymään tuota miestä
vastaan, joka aina tähän päivään asti on ollut pahana henkenänne ja
jonka turmeleva vaikutus niin surullisen raskaasti on painanut
nuoruuttanne. Siinä syy miksi olen puhunut teille tällä tavoin, sen
vuoksi juuri olen kuljettanut teidät tänne voidakseni selittää teille

kaiken. Kas tässä", hän lisäsi, "tässä on käteni, tahdotteko tarttua
siihen? Se on ystävän, veljen käsi."
Don Fernando nousi ja tarttui vilkkaasti niin rehellisesti hänelle
ojennettuun käteen, pudistaen sitä monta kertaa.
"Kiitos!" hän sanoi. "Kiitos ja suokaa anteeksi! Mutta minä olen,
kuten sanotte, villi ja epäilen kaikkea. Olen arvostellut väärin teidän
jaloa luonnettanne."
"Älkäämme enää puhuko siitä asiasta. Kuulkaahan, en tiedä mistä
tämä ajatus on johtunut mieleeni, mutta minä epäilen, että
Tiikerikissa on don Pedro de Lunan leppymätön vihollinen. Hän aikoi,
siitä olen vakuutettu, tehdä teistä aseen johonkin julmaan
suunnitelmaan hacienderon perhettä vastaan."
"Tuo ajatus on johtunut minunkin mieleeni", huomautti
metsästäjä. "Tiikerikissan omituinen käytös sillä aikaa kuin don Pedro
ja hänen tyttärensä olivat hänen luonaan, se ansa, jonka hän heille
asetti ja johon he ilman minua olisivat joutuneet, on herättänyt
epäluuloani. Te olette itse kuullut moitteen, jonka sain viime yönä.
Ah, onpa parasta hänen olla varuillaan."
"Älkäämme hätiköikö!" don Estevan huudahti. "Olkaamme
päinvastoin varovaisia; antakaa Tiikerikissan suunnitelmien, olkoon
ne minkälaisia tahansa ensin selvitä, jotta tietäisimme millä tavalla
niitä olisi vastustettava."
"Niin, olette oikeassa, niin on parempi. Pian hän tulee presidio de
San-Lucariin, silloin minun on helppo valvoa kaikkia hänen liikkeitään
ja asettaa hänen ehdotuksilleen vastamiinoja. Vaikka tuo mies onkin

hyvin tarkka ja erinomaisen viekas, niin vannon kautta Jumalan
näyttäväni hänelle, että minä olen häntä viekkaampi."
"Sitäkin paremmin kuin minä olen teitä turvaamassa ja tulen
avuksenne, jos tarvitaan."
"Ennen kaikkea täytyy suojella doña Hermosaa. Ah, minua
onnellisempana te, don Estevan, voitte alituisesti vartioida häntä
vuorokauden joka hetki."
"Erehdytte, ystäväni, minä aijon muutaman tunnin kuluttua esitellä
hänet teille."
"Teettekö niin todellakin?" hän huudahti iloissaan.
"Kyllä, teen varmaan niin, sitäkin suuremmalla syyllä, koska
johtaaksemme helpommin Tiikerikissan harhaan teidän täytyy olla
tuttavallisissa väleissä haciendassa. Ettekö muista kaikkia hänen
pistopuheitaan ja salaviittauksiaan sen rakkauden johdosta, jota hän
luulee teidän tuntevan hacienderon ihanaa tytärtä kohtaan, jonka
rakkauden hän kehuu aiheuttaneensa teissä, asettamalla tytön
teidän tiellenne tahtomattanne ja aavistamattanne."
"Se on totta. Tuo mies varmaankin hautoo jotakin iljettävää
suunnitelmaa."
"Epäilemättä, mutta Jumalan avulla panemme sen myttyyn. Nyt
pari sanaa."
"Puhukaa, ystäväni, mitä tahdotte tietää?"
"Luuletteko, että tuo rosvo on isänne? Suokaa anteeksi, että teen
teille tämän kysymyksen, jonka merkityksen ymmärtänette."

Don Fernando alkoi miettiä ja hänen otsansa kävi syviin ryppyihin
hänen hartaasti tuumiessaan. Syntyi muutaman minuutin kestävä
hiljaisuus. Hän ajatteli vakavasti, kohottaen viimein päänsä.
"Sen kysymyksen, jonka nyt teette minulle", hän sanoi, "olen
monesti tehnyt itselleni, mutta en ole milloinkaan onnistunut
saamaan täyttä selvyyttä asiasta. Kuitenkin luulen olevani varma
siitä, ettei hän ole isäni, ja kaikki viittaa siihen olettamukseen, etten
minä voi olla hänen poikansa. Hänen käytöksensä minua kohtaan, se
julma huolenpito, millä hän aina on koettanut istuttaa minuun
huonoja ajatuksia ja kehittää minussa vahingollisia vaistoja, joiden
oraan luonto on sydämeeni pannut, osoittavat minulle, että jos
välillämme on joitakin sukulaisuussiteitä, niiden täytyy olla hyvin
kaukaisia. Ei ole kernaasti otaksuttavissa, että isä, olkoonpa hän
miten villiintynyt tahansa, tuntee iloa siitä, että niin ilman muuta
tärvelee poikansa; tämä olisi siinä määrin kauhistavaa ja
luonnonvastaista, ettei sitä voida otaksua. Toisaalta olen aina tuota
miestä kohtaan tuntenut salaista ja voittamatonta vastenmielisyyttä,
melkeinpä vihaa. Iän lisääntyessä tuo vastenmielisyys ei suinkaan ole
vähentynyt, vaan kasvanut. Väliemme rikkoontuminen kävi päivä
päivältä yhä uhkaavammaksi ja tarvittiin vain tekosyy sen ilmi
puhkeamiseen. Tuon tekosyyn on Tiikerikissa itse aavistamattaan
aiheuttanut, ja minun on tunnustaminen teille, että nyt tunnen
jonkunlaista sydämellistä iloa ajatellessani, että vihdoinkin olen
vapaa, oma herrani ja irti siitä raskaasta ikeestä, joka niin kauan on
painanut minua."
"Olen täydelleen samaa mieltä, tuo mies ei voi olla isänne.
Tulevaisuus näyttää epäilemättä meidän olevan oikeassa. Meidän
molempien siveellinen vakaumuksemme antaa meille vapauden

toimia miten parhaaksi näemme, vastustaaksemme häntä ja
tehdäksemme tyhjäksi hänen suunnitelmansa."
"Millä tavoin aijotte esitellä minut doña Hermosalle?"
"Sanon sen teille heti, mutta ensiksi minun täytyy kertoa teille
surullinen ja pitkä kertomus, jonka teidän välttämättä täytyy tuntea
yksityiskohdittain, jottette seurustellessanne don Pedro de Lunan
kanssa tietämättänne pane sormeanne yhä vuotavalle haavalle
hänen sydämessään. Tuo synkkä ja salaperäinen tapahtuma on
sattunut monta Herran vuotta sitten. Olin tuskin vielä syntynyt
silloin, mutta äitini on niin monesti kertonut sen minulle, että sen
yksityiskohdat ovat niin hyvin juurtuneet mieleeni, kuin olisin itse
ollut mukana näyttelemässä tuossa kauheassa murhenäytelmässä.
Kuunnelkaa minua tarkkaavasti, ystäväni. Ehkäpä Jumala, joka on
antanut minulle ajatuksen kertoa teille tämän kertomuksen, on
suonut teidän selvittää sen salaperäisyydet!"
"Onko tällä kertomuksella siis jotakin yhteyttä doña Hermosan
kanssa?"
"Välillisesti. Doña Hermosa ei vielä ollut syntynyt siihen aikaan eikä
hänen isänsä asunut tässä haciendassa, jonka hän osti vasta
myöhemmin. Koko perhe asui silloin vaatimattomasti eräässä
kaupungissa itäisellä rannikolla, sillä minun on ennen kaikkea
mainittava teille, ettei don Pedro de Luna ole meksikolainen ja ettei
tuo nimi, jolla te hänet tunnette, ole hänen, tai se kuuluu hänelle
ainakin vain sijaisnimenä, koska tuo nimi kuului sille suvun haaralle,
joka oli kotoisin Meksikosta. Hän otti sen vasta kun hän, niiden
tapausten johdosta, joita käyn kertomaan, asettui tänne ostettuaan
las Norias de San Pedron sukulaisiltaan, jotka asuen jo pitkät ajat
Meksikossa, ainoastaan silloin tällöin ja pitkin väliajoin matkustivat

muutamaksi päiväksi tälle etäiselle maatilalle. Presidio de San
Lucarin ja muut asukkaat valtiossa, jotka tunsivat don Pedro de
Lunan vain nimeltään, eivät epäilleet että se oli hän, joka nyt
vetäytyi maatilalleen. Isäntäni ei taas tänne tullessaan ajatellut
oikaista heidän erehdystään, etenkin kun hän syistä, jotka kohta
saatte tietää, oli ostaessaan haciendan asettanut tinkimättömäksi
ehdoksi saada käyttää heidän nimeään omansa asemasta. Nämä
eivät pitäneet tätä luonnollisesti minään haittana, ja siitä on nyt jo
kulunut kolmattakymmentä vuotta ja kun don Pedro sukulaistensa,
toinen toisensa jälkeen, kuoltua on tullut perheen päämieheksi, on
tuo aikoinaan lainattu nimi täysin oikeutetusti siirtynyt hänelle, eikä
kukaan ajattelekaan kieltää häneltä oikeutta kantaa sitä."
"Te ärsytätte suuresti uteliaisuuttani; odotan kärsimättömästi, että
suvaitsette jatkaa."
Molemmat miehet asettuivat nyt niin mukavasti kuin mahdollista
ranchoon, ja don Estevan Diaz alkoi keskeyttämättä tuon niin kauan
odotetun kertomuksensa. Nuori mies puhui koko päivän, ja auringon
laskiessakin hän puhui vielä.
Silmät ahneesti häneen kiinnitettyinä, rinta läähättäen ja
kulmakarvat rypyssä don Fernando seurasi hartaimmalla
mielenkiinnolla tätä kertomusta, jonka synkät vaiheet, vähitellen
kehittyen, saivat hänen jäsenensä värisemään vihasta ja kauhusta.
Toistamme lukijalle tämän don Estevanin surullisen kertomuksen.

XV.
DON GUSMAN DE RIBEYRA.
Vuonna 1515 Juan Diaz de Solis löysi Rio de la Platan, ja tämä
löytö maksoi hänelle hengen.
Herreran mukaan tämä joki, jolle Solis antoi nimensä, sai
sittemmin nimen Rio de la Plata [Hopeajoki], koska ensimmäinen
Amerikasta viety hopea lastattiin täällä Espanjaan lähetettäväksi.
Vuonna 1535 don Pedro de Mendoza, jonka keisari Kaarle V nimitti
kaikkien Rio de la Platan ja Magallanes'in salmen välisten maiden
kenraalikuvernööriksi, perusti joen oikealle rannalle vastapäätä
Uruguayn suuta, kaupungin, jonka nimenä ensin oli Nuestra Señora
de Buenos Ayres, sitten Trinidad de Buenos Ayres ja viimein vain
Buenos Ayres, jonka nimen se sitten on saanut pitää. Tämän
kaupungin historia olisi omituinen ja erittäin opettavainen kertomus,
kaupungin, joka aina olemassaolonsa ensi päivistä saakka näytti
olevan leimattu vastoinkäymisten sinetillä.
Tarvitsee vain lukea erään Buenos Ayresin perustajan saksalaisen
seikkailijan Ulrik Schmidelin kaunistelematon kertomus,

käsittääkseen miten kurjassa tilassa nuo seikkailijaparat olivat, kun
nälkä pakotti heidät syömään onnettomien toveriensa ruumiita, jotka
carendi-intiaanit olivat surmanneet, jouduttuaan epätoivoon heidän
kiskomisiensa ja julmuuksiensa vuoksi ja vakuutettuina siitä, että
nuo valkoiset miehet, jotka niin ihmeellisellä tavalla olivat nousseet
maihin heidän rannoilleen, olivat pahoja henkiä, jotka olivat
vannoneet hävittävänsä heidät.
Huolimatta omituisesta kohtalostaan, johon tämä kaupunki oli
tuomittu, saaden alituisesti taistella joko ulkonaisia vihollisia tai vielä
vaarallisempia vastaan omien muuriensa sisällä, se on kuitenkin
nykyään espanjalaisen Amerikan kauniimpia, rikkaimpia ja
kukoistavimpia kaupungeita.
Kuten kaikki kastilialaisten seikkailijain Uuteen maailmaan
perustamat kaupungit, Buenos Ayres on rakennettu ihanalle paikalle.
Sen kadut ovat leveät ja viivasuorat, sen talot hyvin rakennettuja ja
useimmiten puutarhan ympäröimät, joka näyttää kuvan kauniilta.
Siellä on lukuisasti suuremmoisia rakennuksia, joista mainittakoon
Recoba-myymälä. Siellä täällä on suuria avonaisia paikkoja, joiden
varsilla on runsaasti puoteja, mitkä tekevät kaupungin eloisan ja
hyvinvoivan näköiseksi, seikka, jollaista, paha kyllä, vain hyvin
harvoin tapaa noissa onnettomissa sisällissotien mullistamissa
maissa.
Teemme nyt äärettömän harppauksen ajassa taaksepäin ja
viemme lukijamme Buenos Ayresiin noin kaksikymmentä vuotta
ennen kertomuksemme alkua. Kello on noin kymmenen aamulla
syyskuun viimeisinä 1 päivinä 1839, toisin sanoen siihen aikaan,
jolloin sen omituisen miehen hirmuvalta, joka kaksikymmentä vuotta

saattoi argentinilaiset maakunnat huokaamaan ikeensä alla, oli
saavuttanut huippunsa.
Ei kukaan meidän päivinämme voisi kuvata sitä tyranniutta, jolla
Rosas'in hallitus rasitti näitä ihania maita, ja sitä hirveätä
hirmuvaltaa, joka oli pantu voimaan kautta maan.
Vaikka, kuten sanottu, kello oli tuskin kymmentäkään illalla, vallitsi
kuolon hiljaisuus kaupungissa. Kaikki puodit olivat suljetut, kaikki
kadut pimeät ja tyhjät ja niillä liikkui vain silloin tällöin vahvoja
kulkuvartiostoja, joiden raskaat askeleet kaikuivat kumeasti katukiviä
vasten, tai joitakuita yksinäisiä yövartioita, jotka vavisten rohkenivat
olla toimessaan.
Asukkaat, jotka olivat vetäytyneet asuntoihinsa, olivat
huolestuneina sammuttaneet tulet, jotteivät herättäisi turhanaran
poliisin epäluuloa, ja hakivat unesta tilapäistä unhotusta päivän
kauhuille.
Kyseenalaisena iltana Buenos Ayres näytti vielä tavallistakin
synkemmältä. Tuuli on koko päivän nostattanut ukkospilviä
ruohoaavikolta ja tehnyt ilmakehän jääkylmäksi. Suuria,
lyijynharmaita, sähköisiä pilviä vyöryi raskaina ilmassa, ja kaukaisen
ukkosen kumea jyrinä, joka kuitenkin yhä läheni, ennusti, että
kauhea rajuilma pianmiten puhkeaisi kaupungin kohdalla.
Melkein keskellä Santa Trinidadia, kaupungin komeinta katua, joka
kulkee koko kaupungin halki, näkyi erään rikkaan näköisen talon
edustalla olevien tuuheiden puiden lomitse heikko valo, aivankuin
tähti tummalla taivaalla, loistavan valkoisten ikkunaverhojen takaa
alakerrasta.

Welcome to our website – the ideal destination for book lovers and
knowledge seekers. With a mission to inspire endlessly, we offer a
vast collection of books, ranging from classic literary works to
specialized publications, self-development books, and children's
literature. Each book is a new journey of discovery, expanding
knowledge and enriching the soul of the reade
Our website is not just a platform for buying books, but a bridge
connecting readers to the timeless values of culture and wisdom. With
an elegant, user-friendly interface and an intelligent search system,
we are committed to providing a quick and convenient shopping
experience. Additionally, our special promotions and home delivery
services ensure that you save time and fully enjoy the joy of reading.
Let us accompany you on the journey of exploring knowledge and
personal growth!
ebookultra.com

Dynamics and Analytic Number Theory 1st Edition Dzmitry Badziahin

About This Presentation

Slide Content

Tags

Categories

Download

Quick Actions

Statistics

Related Slideshows

Dynamics and Analytic Number Theory 1st Edition Dzmitry Badziahin

About This Presentation

Slide Content

Slide 1

Slide 2

Slide 3

Slide 5

Slide 8

Slide 9

Slide 10

Slide 11

Slide 12

Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18

Slide 19

Slide 20

Slide 21

Slide 22

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28

Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35

Slide 36

Slide 37

Slide 38

Slide 39

Slide 40

Slide 41

Slide 42

Slide 43

Slide 44

Slide 45

Slide 46

Slide 47

Slide 48

Slide 49

Slide 50

Slide 51

Slide 52

Slide 53

Slide 54

Slide 55

Slide 56

Slide 57

Slide 58

Slide 59

Slide 60

Slide 61

Slide 62

Slide 63

Slide 64

Slide 65

Slide 66

Slide 67

Slide 68

Slide 69

Slide 70

Slide 71

Slide 72

Slide 73

Slide 74

Slide 75

Slide 76

Slide 77

Slide 78

Slide 79

Slide 80