Ecuación de bernoulli

Obtencion de la ecuación de Bernoulli a partir del balance de energía

1. Ecuación de Bernoulli
I.Q. RAMÓN MONREAL VERA ROMERO
COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES
PLANTEL ”ORIENTE”
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

2. ����??????í??????����??????����??????=�
??????+ �
??????+ �
??????�
Donde:
Ec=EnergíaCinética
Ep=EnergíaPotencial
E
PV=Energíadebidoalproductode
Presión-Volumen

3. LaEnergíamecánicaestá
establecidaporEnergíaCinéticay
Potencial,cuandoexisteunproceso
dondenohayapérdidadeenergía,
porlotantolaenergíainicialserá
igualalaenergíafinal(Principiode
laconservacióndelaenergía.

4. Conservación de la energía en
un fluido:
�
??????=�
�
�
??????
??????
+�
??????
??????
=�
??????
??????
+�
??????
??????

5. La energía cinética es calculada:
�
??????=
��
2
2
La energía cinética es calculada:
�
??????=�??????ℎ

6. Conservación de la energía en
un fluido, entonces queda:
�
??????=�
�
�
??????
??????
+�
??????
??????
=�
??????
??????
+�
??????
??????
��
1
2
2
+�??????ℎ
1=
��
2
2
2
+�??????ℎ
2

7. Pero el cambio de energía de un
sistema se debe a las variables de
proceso:
∆�=�+�
En el caso del estudio de fluidos
newtonianos no se toma en cuenta el
calor y solo se toma en cuenta el trabajo

8. Trabajo se define como:
�=�∙�
Pero en termodinámica los
sistemas cuantifica el cambio de
desplazamiento por el cambio de
volumen, veamos:

9. Trabajo Termodinámico:

10. ����??????ó�=
����????????????
Á��??????
Por lo tanto:
����??????ó�∙Á��??????=����????????????
����????????????=����??????ó�∙Á��??????

11. Por otro lado el volumen es igual a:
�������=Á��??????∙??????����??????
�=??????∙ℎ
Donde la altura es el desplazamiento
de la tapa:
�=??????∙�∴D=
�
??????

12. Calculando el trabajo:
�=�∙�
Susituyendo:
�=�∙??????∙
�
??????
Se elimina el área (A)
�=�∙�

13. Pero realmente se refiere al cambio
de volumen, no al volumen del gas:

14. Calculando el trabajo:
�=�∙�
Por lo tanto, realmente se
representa por:
�=�∙∆�
Donde ∆�=�
2−�
1

15. Pero la ecuación:
�=�∙∆�
Es siempre y cuando, la presión es
constante, pero en los fluidos la presión
varia en función de las áreas de las
tuberías, en cambio los líquidos no
cambian los volúmenes, entonces:
�=∆??????�=??????
��−??????
��=(??????
�−??????
�)V

16. Quedando finalmente la
conservación de la energía:
�
1=�
2+�
La energía inicial es igual a la
energía final + el trabajo que
pudiera presentarse.

17. �
1=�
2+�
��
1
2
2
+�??????ℎ
1=
��
2
2
2
+�??????ℎ
2+W
��
1
2
2
+�??????ℎ
1=
��
2
2
2
+�??????ℎ
2+(�
2�−�
1�)
��
1
2
2
+�??????ℎ
1=
��
2
2
2
+�??????ℎ
2+�
2�−�
1�
��
1
2
2
+�??????ℎ
1+�
1�=
��
2
2
2
+�??????ℎ
2+�
2�

18. Versión 1 de la ecuación
��
1
2
2
+�??????ℎ
1+�
1�=
��
2
2
2
+�??????ℎ
2+�
2�
El peso (W) es igual a masa por gravedad W=mg
��
1
2
2
+�ℎ
1+�
1�=
��
2
2
2
+�ℎ
2+�
2�
Pero para quitar la masa de la energía cinética se
sustituye por:
�=
�
??????

19. ��
1
2
2
+�ℎ
1+�
1�=
��
2
2
2
+�ℎ
2+�
2�
Sustituyendo la masas: �=
�
�
�
??????
�
1
2
2
+�ℎ
1+�
1�=
�
??????
�
2
2
2
+�ℎ
2+�
2�
Simplificando:
��
1
2
2??????
+�ℎ
1+�
1�=
��
2
2
2??????
+�ℎ
2+�
2�

20. ��
1
2
2??????
+�ℎ
1+�
1�=
��
2
2
2??????
+�ℎ
2+�
2�
Se divide entre el volumen:
��
1
2
�2??????
+
�
�
ℎ
1+�
1
�
�
=
��
2
2
�2??????
+
�
�
ℎ
2+�
2
�
�
Se elimina
�
�
=1 quedando:
��
1
2
�2??????
+
�
�
ℎ
1+�
1=
��
2
2
�2??????
+
�
�
ℎ
2+�
2

21. ��
1
2
�2??????
+
�
�
ℎ
1+�
1=
��
2
2
�2??????
+
�
�
ℎ
2+�
2
Se sustituye
�
�
es el peso específico que se representa
por ϒ (gama)
ϒ�
1
2
2??????
+ϒℎ
1+�
1=
ϒ�
2
2
2??????
+ϒℎ
2+�
2

22. ϒ�
1
2
2??????
+ϒℎ
1+�
1=
ϒ�
2
2
2??????
+ϒℎ
2+�
2
Para simplificar se divide entre el peso específico:
ϒ�
1
2
ϒ2??????
+
ϒ
ϒ
ℎ
1+
�
1
ϒ
=
ϒ�
2
2
ϒ2??????
+
ϒ
ϒ
ℎ
2+
�
2
ϒ
Se simplifica
ϒ
ϒ
:
�
1
2
2??????
+ℎ
1+
�
1
ϒ
=
�
2
2
2??????
+ℎ
2+
�
2
ϒ

23. Quedando finalmente la ecuación de Bernoulli:
??????
�
�
��
+�
�+
??????
�
ϒ
=
??????
�
�
��
+�
�+
??????
�
ϒ

24. Versión 2 de la ecuación
��
1
2
2
+�??????ℎ
1+�
1�=
��
2
2
2
+�??????ℎ
2+�
2�
Para buscar simplificar se divide entre la masa:
��
1
2
�2
+
�
�
??????ℎ
1+
�
1�
�
=
��
2
2
�2
+
�
�
??????ℎ
2+
�
2�
�
Simplificando obtenemos:
�
1
2
2
+??????ℎ
1+
�
1�
�
=
�
2
2
2
+??????ℎ
2+
�
2�
�

25. �
1
2
2
+??????ℎ
1+
�
1�
�
=
�
2
2
2
+??????ℎ
2+
�
2�
�
Recordando la densidad es igual:ρ=
??????
�
su inverso es
1
ρ
=
�
??????
Buscando simplificar en la ecuación queda:
�
1
2
2
+??????ℎ
1+�
1
�
�
=
�
2
2
2
+??????ℎ
2+�
2
�
�

26. Sustituyendo
1
ρ
=
�
??????
:
�
1
2
2
+??????ℎ
1+�
1
1
ρ
=
�
2
2
2
+??????ℎ
2+�
2
1
ρ
Finalmente queda:
�
1
2
2
+??????ℎ
1+
�
1
ρ
=
�
2
2
2
+??????ℎ
2+
�
2
ρ

27. Finalmente queda:
??????
�
�
�
+��
�+
??????
�
ρ
=
??????
�
�
�
+��
�+
??????
�
ρ

28. Reflexionfinal:
Las dos ecuaciones son
equivalentes y e obtendrán los
mismos resultados, la diferencia
reside en que una se simplifica
con el peso específico y en la otra
se utiliza la densidad.

29. Unaultimaobservaciónesquesepodría
pensarenunadensidad1yunadensidad2,
perolamasanovariaenelflujodelfluido,y
setomaqueloslíquidosnosoncomprensibles
porlotantoelvolumennovaría,porlotanto
ladensidadinicialesigualalafinalalser
constantelamasayelvolumenenlíquidos.
Encasodelosgasessisondosdensidades