Ecuacion de clairaut

1. MatematicasAvanzadas
CURSO2009-10
Clase Practica No. 9
ECUACIONES DIFERENCIALES
Metodos de solucion
de ecuaciones de 1ro y 2do orden
{ Typeset by FoilTEX{ 1

2. ECUACION DE CLAIRAUT (metodo)
Recordemos que la ecuacion de Clairaut es de la forma
y=xy
0
+f(y
0
) (1)
El metodo de resolucion es hacery
0
=py derivar respecto ax, teniendo
en cuenta quep=p(x).
Nos queda entonces
dp
dx
(x+f
0
(p)) = 0:
Si0 =
dp
dx
entoncesy
0
=Cy por tanto teniendo en cuenta (1) se obtiene
que
y=Cx+f(C); (2)
La familia (2) es un haz de rectas, todas ellas solucion de (1).
Si0 =x+f
0
(p), usando (1) se obtiene la solucion singular en forma
parametrica:
x=f
0
(p); y=f
0
(p)p+f(p):
En general no es obligatorio eliminar p para obtener una ecuacion de la
formaG(x;y) = 0:
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3. Ejemplo 1
Resolver la ecuacion de Clairaut
y=xy
0
1=4(y
0
)
2
:
Representar la solucion general obtenida, as como la solucion singular.
>>sol=dsolve('y=x*Dy-1/4*Dy^2','x')
sol =[ x*C1-1/4*C1^2]
[ x^2]
La segunda funcion es una parabola que es la envolvente de la familia
integral de la ecuacion.
{ Typeset by FoilTEX{ 3

4. Ejemplo 1 (obtencion de la graca)
Los siguientes comandos producen la gura de la siguiente diapositiva, en
la que aparecen algunas de las rectas solucion y la solucion singular del
ejemplo 1.
>> x=(-4:0.1:4);
>> y=x.^2; z=0; %envolvente y recta para C1=0
>> w=x.*2-1; %recta para C1=2
>> u=x.*8-16; %recta para C1=8
>> v=x.*4- 4; %recta para C1=4
>> t=x.*3-9/4; %recta para C1=3
>> j=x.*(-2)-1; %recta para C1=-2
>> plot(x,y,x,z,x,w,x,u,x,v,x,t,x,j)
>> legend('Envolvente','C1=0','C1=2','C1=8','C1=4','C1=3','C1=-2')
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5. Ejemplo 1 (graca)
Figura : Algunas soluciones de la ecuaciony=xy
0
1=4(y
0
)
2
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6. Ejercicios
Con la ayuda de MATLAB y tomando como referencia al ejemplo 1,
resolver las siguientes ecuaciones de Clairaut utilizando el procedimiento
anterior. Intentar el estudio graco trazando la solucion singular y algunas
rectas de la solucion general.
a)y=xy
0
+ln(y
0
)
b)y=xy
0
+
1
y
0
c)y=xy
0
+sin(y
0
)
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7. E.D.LINEALESDEORDENSUPERIOR
Las EEDD lineales de orden superior pueden ser tratadas con el comando
DSOLVE aunque no siempre se obtiene solucion, o la solucion se presenta
de una forma poco satisfactoria para el consumo.
Se presentan a continuacion dos ejemplos y dos ejercicios de problemas
relativos a EEDD lineales con y sin condiciones iniciales. El alumno debera
identicar completamente cada problema reconociendo linealidad, orden,
coecientes constantes o variables, homogenea o completa, etc, y decidir
consecuentemente que metodo artesanal le aplicara para su resolucion en
el caso de no contar con recursos informaticos.
En todos los ejemplos las respuestas son exactas, con formulas cerradas. El
procedimiento que se indica en cada ejemplo debe ser reproducido y
ejecutado en la ventana de comandos del Matlab.
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8. Ejemplos
Ejemplo 1) Resolver la E.D.
y
00
+4y
0
+4y= 0:
>>S=dsolve('D2y+4*Dy+4*y=0')
S =C1*exp(-2*t)+C2*exp(-2*t)*t %(sol. gral.)
(Observese que2es una raz doble del polinomio caracterstico)
Ejemplo 2) Resolver el P.C.I.
y
00
+10y
0
+16y= 0; y(0) = 1; y
0
(0) = 4:
>>S=dsolve('D2y+10*Dy+16*y=0','y(0)=1,Dy(0)=4')
S =
-exp(-8*t)+2*exp(-2*t)
Notar que se ha obtenidoC1=1yC2= 2.
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9. Ejercicios
Tomando los anteriores ejemplos como referencia, resolver los siguientes
problemas.
Ejercicio 1) Resolver la E.D.
y
00
+100y
0
+196y= 1:
Ejercicio 2) Resolver el siguiente problema de valores iniciales
y
000
= log(x)=x
2
; y(1) = 0; y
0
(1) = 1; y
00
(1) = 2:
>Corresponde el ejercicio 2 con una Euler?
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