Ecuaciones lineales y cuadraticas

Las ecuaciones lineales y cuadráticas pueden resolverse mediante diferentes métodos y formulas.

1. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA Calidad, Pertinencia y Calidez VICERRECTORADO ACADÉMICO CURSO DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN PROYECTO DE MATEMATICAS VIDEO TUTORIAL INTEGRANTES: Castro Freire Armando Roberto Espinoza Enríquez Leonardo Adali Gia Zhigui Joselyn Samanta Guamán Marín Luis Fernando Quintero Correa Annie Katrin Simbaña montesinos Ginne Alejandra DIRECTORA: Ing. Mariuxi Marquez TUTOR: Biólogo. Jaime Daniel Martínez Martínez

2. Las MATEMÁTICAS SON EL ALFABETO CON EL CUAL DIOS HA ESCRITO EL UNIVERSO. Galileo Galilei

3. TEMA: ECUACIONES LINEALES Y ECUACIONES CUADRATICAS OBJETIVO GENERAL: Conocer y estudiar las formas de resolución de una ecuación lineal y una ecuación cuadrática, a través de ejercicios propuestos. OBJETIVOS ESPECIFICOS : Identificar ecuaciones lineales y cuadráticas. Resolver ecuaciones lineales, por medio de los siguientes métodos: Método de Sustitución. Método de Igualación. Método de Reducción. Método Grafico. Resolver ecuaciones cuadráticas, por medio de la formula general o formula cuadrática.

4. ECUACIÓN  Es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que solo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incógnitas.

5. Lo primero que hay que saber es que toda ecuación algebraica de grado n con coeficientes reales o complejos tiene al menos una raíz real o compleja. Este enunciado es el teorema fundamental del  álgebra . ¿Cómo se resuelven las ecuaciones?

6. TIPOS DE ECUACIONES ECUACION LINEAL.- Las ecuaciones de la forma ax + b = 0 son muy sencillas de resolver, basta con despejar la x. Despejar la x significa dejar la x sola a un lado del signo igual. Para pasar un número, o una variable, al otro lado del signo igual tenemos que seguir estas reglas: -Si está sumando pasa restando y si esta restando pasa sumando. En nuestro caso quedaría ax = -b Si está multiplicando pasa dividiendo y si está dividiendo pasa multiplicando. En nuestro caso x = -b/a .

7. Las ecuaciones de la forma ax2 + bx - c = 0, también son muy sencillas de resolver. Basta aplicar la siguiente fórmula: Obtendremos dos soluciones, una cuando sumamos a -b la raíz y lo dividimos por 2a, y otra solución cuando restamos a -b la raíz y lo dividimos por 2a. ECUACION CUADRATICA.-

8. SISTEMA DE RESOLUCION DE ECUACIONES LINEALES Hay varios sistemas para resolverlos, los más habituales: Reducción Igualación Sustitución Grafico Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar todas sus soluciones.

9. Reducción Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número de incógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita. Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número que no existe esto lo hizo (molotov ).   Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho ( izquierdo ) es la suma de los miembros derechos ( izquierdos ) de las ecuaciones que se suman por algo que sabe.

10. Ejemplo Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones 15x - 9y = 1 -15x + 20y = 5

11. IGUALACIÓN El método de igualación consiste en lo siguiente : Supongamos que tenemos dos ecuaciones: donde  a ,b   , y  c  representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones algebraicas ). Ejemplo El sistema de ecuaciones es equivalente a este otro

12. SUSTITUCIÓN Se debe despejar   en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener la ecuación: Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que las de partida .   Aquí   a, b, c, d   y e son expresiones algebraicas de las incógnitas del sistema. Ejemplo Intentemos resolver

13. METODO GRAFICO El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el  método gráfico  se resume en las siguientes fases: Se despeja la incógnita  y  en ambas ecuaciones. Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados. En este último paso hay tres posibilidades: Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas  x  e  y .  Sistema compatible determinado . Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas.  Sistema compatible indeterminado . Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución.  Sistema incompatible .

14. y = -x + 600 y = 2x X y x y 200 400 100 200 600 200 400 Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo las escalas apropiadas en los ejes  OX  y  OY , podemos ya representar gráficamente:

15. SISTEMA DE RESOLUCION DE ECUACIONES CUADRATICAS Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:    1. Factorización Simple  2. Completando el Cuadrado  3. Fórmula Cuadrática 

16. ( x +   )   (x  -   ) = 0 Factorizaci ó n Simple:   La factorizaci ó n simple consiste en convertir la ecuaci ó n cuadr á tica en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.                       Ejemplo: Realizar la factorizaci ó n simple de la ecuaci ó n   x2 + 2x – 8   = 0           a = 1     b = 2     c = - 8     (x        )    (x        ) = 0                  [x · x = x 2 ]          (x + 4 ) (x – 2) = 0                                         4   y   – 2      4 + -2 = 2                                                                     4 · -2 = -8              x + 4 = 0        x – 2 = 0           x + 4 = 0      x – 2 = 0   x = 0 – 4      x = 0 + 2   x = -4           x = 2                   Estas son las dos soluciones.  

17. Completando el Cuadrado:   En este m é todo, la ecuaci ó n   tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.     Por ejemplo, para factorizar la ecuaci ó n 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:          x 2   + 3x – 2 = 0    Ahora,   a= 1.     Ejemplo: x 2   + 2x – 8 = 0            [Ya est á en su forma donde a = 1.]   x 2   + 2x = 8                  [ Pasar a c al lado opuesto.] x 2   + 2x + ___ = 8 + ___    [Colocar los blancos]           x 2   + 2x + 1 = 9 (        )   (       )   = 9       Hay que factorizar.                                    Nota: Siempre ser á un cuadrado perfecto.             x + 1 =   ± 3 x = -1 ± 3        [Separar las dos soluciones.] x = -1 + 3       x = -1 – 3   x = 2               x = -4   4x 2  +  12 x –  8   =     4        4      4      4

18. F ó rmula Cuadr á tica:   Este m é todo es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuaci ó n cuadr á tica a la siguiente f ó rmula:         Ejemplo: X 2   + 2x – 8 = 0       a = 1, b = 2, c = -8                       x =   -2 ± 6             2 X =    -2 + 6      x =   -2 - 6              2                   2        x =   4           x =   -8           2                   2 x = 2       x = - 4  

19. EJEMPLO APLICADO EN UN PROBLEMA DE GESTION AMBIENTAL Si tenemos cuatro fabricas de contaminantes X y Y , dos en 2 ciudades distintas y cada fabrica produce el 3% del contaminante X, y el 5% del contaminante Y. Si los ambientales han disminuido el 9% de la contaminación actual, cual es el porcentaje que falta por reducir la contaminación ambiental.