Eje radical

Eje radical de dos circunferencias. Centro radical.

1. CP: EJE RADICAL
CP_5
Prof. José Juan Aliaga Maraver

2. Lugar Geométrico de la
Suma/Diferencia de cuadrados de
distancias a dos puntos fijos
aa
BB
a/2a/2
AA
mm hh
MM HH
cccc
22
= h = h
22
+ ( a/2 + MH ) + ( a/2 + MH )
22
bb
22
= h = h
22
+ ( a/2 – MH ) + ( a/2 – MH )
22
bb
22
+ c + c
22
= 2h = 2h
22
+ a + a
22
/2 + 2MH/2 + 2MH
2 = 2 =
aa
22
/2/2 +2m+2m
22
mm
22
= h = h
22
+ MH + MH
22
bb
22
- c - c
22
= - 2aMH = - 2aMH
bb
CC

3. ”El lugar geométrico de los puntos cuya
diferencia de los cuadrados de las distancias a
dos puntos fijos B y C es una cantidad constante
k es una recta ortogonal a BC cuya distancia al
punto medio de BC es d=K/2BC.”
Aplicación-.Ejes radical ,diametral y
ortodiametral.
aa
BB
d=k/2ad=k/2a
AA
mm hh
MM HH
d
Bd
B
22 =
k
+
d
c
=
k
+
d
c
22
dcdc
Lugar Geométrico de la Diferencia de cuadrados de
distancias a dos puntos fijos.
CC

4. aa
BB
a/2a/2
AA
mm hh
MM HH
cc bb
CC
bb
22
- c - c
22
= - 2aMH = cte = - 2aMH = cte
•Para que la igualdad sea constante Para que la igualdad sea constante
la distancia “MH” tiene que serlo la distancia “MH” tiene que serlo
tambiéntambién
•Al ser fija la distancia entre los Al ser fija la distancia entre los
puntos, “a” es constantepuntos, “a” es constante
•““MH” es la proyección de la MH” es la proyección de la
mediana sobre “BC”mediana sobre “BC”
•para que la proyección de la mediana sobre “BC” permanezca para que la proyección de la mediana sobre “BC” permanezca
constante, el punto “A” tiene que moverse sobre constante, el punto “A” tiene que moverse sobre la recta “h”la recta “h”
Lugar Geométrico de la Diferencia de cuadrados de
distancias a dos puntos fijos.

5. Eje radical
•El eje radical de dos circunferencias es el
lugar geométrico de los puntos del plano
–que son centros de circunferencias
ortogonales a dichas circunferencias
–que tienen igual potencia respecto a dichas
circunferencias
–desde los cuales se pueden trazar segmentos
tangentes de igual longitud a las
circunferencias

6. RR
RR
rr
11
dd
11
dd
22
rr
22
dd
11
22
= = rr
11
22
+R+R
22
dd
22
22
= = rr
22
22
+R+R
22
dd
11
22
- d - d
11
22
= = rr
11
22
- - rr
22
22
= = ctecte
Eje radicalEje radical
“El lugar geométrico de los centros C
o
de todas las
circunferencias c
o
ortogonales a c
1
y c
2
son los puntos
del eje radical e exterior a c
1
y c
2
.”
Circunferencias ortogonales a dos dadas

7. Centro radical de tres circunferencias
•El Centro radical CR de tres circunferencias
coplanarias es un punto de su plano:
–es intersección de los tres ejes radicales de las
circunferencias
–tiene igual potencia respecto a dichas circunferencias
–es centro de la circunferencia ortogonal a dichas
circunferencias
–desde el cual se pueden trazar segmentos tangentes
de igual longitud a las tres circunferencias

8. Determinación del eje radical
•Dirección perpendicular a la recta base de
los centros
Potencia nulaPotencia nula

9. Determinación del eje radical
•Dirección perpendicular a la recta base de
los centros
Circunferencia Circunferencia
auxiliarauxiliar
CRCR

10. Circunferencias ortogonales a tres
dadas: Centro radical
rr
11
rr
22
CC
RR

11. Casos singulares
•Eje radical de dos puntos
•Eje radical de punto y circunferencia
•Eje radical de punto y recta ?
•Eje radical de circunferencia y recta ?
•Eje radical de dos rectas ?

13. CP_5P_01
Potencia de un punto respecto de una
circunferencia
Trazar la circunferencia ortogonal a c
1
, c
2
y c
3
.
Analizar diferentes modelos de solución y de datos

14. CP_5P_02
Potencia de un punto respecto de una
circunferencia
Trazar las circunferencias de centros A, B y C y la
condición de que sean tangentes dos a dos
exteriormente.
A
B C

15. CP_5P_03
Potencia de un punto respecto de una
circunferencia
Dados los puntos A, B y C, trazar tres circunferencia
tangentes dos a dos con puntos de tangencia en dichos
puntos
A
B C

16. CP_5P_04
Potencia de un punto respecto de una
circunferencia
Dadas tres circunferencias c
1
, c
2
y c
3
y tres puntos A
1
,
A
2
y A
3
, hallar una circunferencia c de forma que los
ejes radicales de la circunferencia c con las c
1
, c
2
y c
3

pasen, respectivamente por los A
1
, A
2
y A
3
.
A
1
A
2
A
3
c
1
c
2
c
3

17. CP_5P_05
Circunferencias ortogonales a dos dadas
Determinar la parte circular del eje de la pista de rodadura
que por condiciones de terreno ha de ser tangente a la recta
a, pasar por el punto P y ser ortogonal a la circunferencia c
1
.
a
c
1
c
1
a
P
P

18. CP_5P_06
Circunferencias ortogonales a dos dadas
Determinar la circunferencia ortogonal a c y que pase
por los puntos A
1
y A
2
.
A
1
A
2
c