EJERCICIOS CON LA ECUACION DE CAUCHY RIEMANN DEL 1 AL 15 (1).pdf

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About This Presentation

EJERCICIOS CON LA ECUACION DE CAUCHY RIEMAN


Slide Content

EJERCICIOS CON LA ECUACION DE CAUCHY
RIEMANN



PROFESORA: Ing. JANSEY MENDOZA GASTELO
CURSO: MECANICA DE FLUIDOS
SECCION: B
INTEGRANTES:
❖ CALAMPA MAS DAYLI
❖ MAMANI LEON GIANELLA
❖ FERNÁNDEZ GARCIA SEBASTIÁN
❖ ROJAS VERA NILTON
❖ LAVADO CABALLERO CHRISTOPHER

LIMA – PERU
2021

EJERCICIO N°1
Siendo la función:
f(z) = �
�

Determinar si es Analítica.
SOLUCION:
Siendo z = x +iy
f(z) = e
(x +iy )
f(z) = �
�
* �
??????�

De donde:
e
iꝊ
= cosꝊ + isenꝊ


Reemplazando en la función f(z) se tiene:
f(z) = �
�
* (cosy + iseny)
f(z) = �
�
cosy + i �
�
seny
u = �
�
cosy v= �
�
seny
??????�
??????�
= �
�
cosy
??????�
??????�
= �
�
cosy (si cumple)
??????�
??????�
= - �
�
seny -
??????�
??????�
= - �
�
seny (si cumple)

La función si es Analítica.

EJERCICIO N°2
Determinar la función f(z) , sabiendo que es analítica y conociéndose la parte real
u= �
2
- �
2
- x
SOLUCION:
??????�
??????�
= 2x-1 =
??????�
??????�

??????�
??????�
= -2y = -
??????�
??????�


2x-1 =
??????�
??????�

??????� = (2x-1) ??????�
∫??????� = ∫(2x−1) ??????�
� = 2xy – y + Ø(x)… (I)

- 2y = -
??????(2xy – y + Ø(x))
??????�

2y = 2y + Ø’(x)
∫Ø’(x) = 0
Ø(x) = 0… (II)

REEMPLAZANDO II EN I
� = 2xy – y + 0
� = 2xy – y
f(z) = �
2
- �
2
- x + i( 2xy – y )

EJERCICIO N°3

Siendo la función:
f(z) = iz + �̅ …(I)
Determinar si es Analítica.
SOLUCION:
z = x + iy… (II)
REEMPLAZANDO II EN I
f(z) = i*( x + iy ) + x +iy̅̅̅̅̅̅̅̅
f(z) = ix + �
2
� + x - iy
f(z) = x-y + i(x-y)
DE DONDE SE TIENE:
f(z) = u + iv
u = x-y v= x-y
??????�
??????�
= 1
??????�
??????�
= -1 (No Cumple)
??????�
??????�
= -1 -
??????�
??????�
= -1

La función no es Analítica y no es derivable en ningún punto.

EJERCICIO N°4
Verifique que la función exponencial �(�)=�
??????�
, en donde ?????? es una
constante, que satisface las ecuaciones de Cauchy Riemann y, luego
demuestre que la derivada es �´(�)=??????�
??????�

SOLUCIÓN
�(�)=�
??????�

�=�+��
�(�+��)=�
??????(�+??????�)

=�
??????�
�
????????????�

=�
??????�
(??????��(??????�)+����(??????�)
=�
??????�
.??????��(??????�)+�
??????�
.����(??????�)
??????=�
??????�
.??????��(??????�) ; �=�
??????�
.���(??????�)


??????�
??????�
=??????�
??????�
.??????��(??????�)
??????�
??????�
=�
??????�
(−���(??????�)??????)

??????�
??????�
=−??????�
??????�
(���(??????�))

??????�
??????�
=??????�
??????�
���(??????�)
??????�
??????�
=�
??????�
.(??????��(??????�)??????)

??????�
??????�
=−??????�
??????�
���(??????�)
??????�
??????�
=??????�
??????�
.(??????��(??????�))

�´(�)=
??????�
??????�
+
??????�
??????�
�
�´(�)=??????�
??????�
.??????��(??????�)+�.??????�
??????�
���(??????�)
�´(�)=??????�
??????�
.(??????��(??????�)+�.���(??????�))
�´(�)=??????�
??????�
.(??????��(??????�)+�.���(??????�))
�´(�)=??????�
??????�
.�
????????????�
= ??????�
??????(�+??????�)

�´(�)=??????�
??????�

EJERCICIO N°5
Verifique que la función exponencial �(�)=��
�
, satisface las ecuaciones de
Cauchy Riemann y, luego demuestre que la derivada es �´(�)=�
�
(1+�)
SOLUCIÓN
�(�)=��
�

�=�+��
�(�+��)=(�+��)�
(�+??????�)

�(�+��)=(�+��)�
�
.�
??????�

�(�+��)=�
�
(�+��)(??????��(�)+����(�))
�(�+��)=(�
�
�+�
�
��)(??????��(�)+����(�))
�(�+��)=(�
�
�??????��(�)+��
�
����(�))+(�
�
��??????��(�)+�
�
�
2
����(�))
=(�
�
�??????��(�)+��
�
����(�))+(�
�
��??????��(�)−�
�
����(�))
=(�
�
�??????��(�)−�
�
����(�))+(��
�
����(�))+(�
�
��??????��(�))
=(�
�
�??????��(�)−�
�
����(�))+�(�
�
�??????��(�)+�
�
����(�))
=�
�
(�??????��(�)−����(�))+��
�
(�??????��(�)+����(�))

??????=�
�
(�??????��(�)−����(�))

??????�
??????�
=�
�
(�??????��(�)−����(�))+�
�
??????��(�)

??????�
??????�
=�
�
�??????��(�)−�
�
����(�))+�
�
??????��(�)
�=�
�
(�??????��(�)+����(�))
�=�
�
�??????��(�)+�
�
����(�))

??????�
??????�
=�
�
((1)??????��(�)+�(+���(�))+�
�
�??????��(�))

??????�
??????�
=�
�
�??????��(�)−�
�
����(�)+�
�
�??????��(�)

??????=�
�
(�??????��(�)−����(�))

??????�
??????�
=−�
�
�??????��(�)−�
�
����(�)−�
�
���(�)
�=�
�
(�??????��(�)+����(�))

??????�
??????�
=�
�
�??????��(�)+�
�
����(�)+�
�
���(�)

??????�
??????�
=−�
�
�??????��(�)−�
�
����(�)−�
�
���(�)

�´(�)=
??????�
??????�
+
??????�
??????�
�
�´(�)=(�
�
�??????��(�)−�
�
����(�))+�
�
??????��(�))+(�
�
�??????��(�)+�
�
����(�)+�
�
���(�))�
�´(�)=(�
�
�??????��(�)−�
�
����(�))+�
�
??????��(�))+(�
�
�??????��(�)�+�
�
����(�)�+�
�
���(�)�)





=−�
�
����(�)+�
�
�??????��(�)�
=�
�
�(−���(�)+??????��(�)�)
=�
�
�((−1)���(�)+??????��(�)�)=�
�
�(�
2
���(�)+??????��(�)�)
=�
�
��(����(�)+??????��(�))=�
�
��(??????��(�)+����(�))=�
�
��.�
??????�

=�
�+??????�
.��
=�
�
.��
�´(�)=�
�
�+�
�
.��+�
�

�´(�)=�
�
(�+��)+�
�
=�
�
(�)+�
�

�´(�)=�
�
(�+1)
=�
�
�??????��(�)+�
�
����(�)�
=�
�
�(??????��(�)+����(�))
=�
�
��
??????�
=�
�+??????�
�
=�
�
�

=�
�
??????��(�)+�
�
���(�)�
=�
�
(??????��(�)+���(�)�)
=�
�
�
??????�
=�
�+??????�

=�
�

EJERCICIO N°6
Dada u(x,y) = x
2
– y
2
+ 2x encuentre la función conjugada v(x,y) tal que
f(z) = f(x,y) = u(x,y) + iv(x,y) sea una función analítica en todo el plano z.
SOLUCIÓN
Tenemos ??????(�,�)=�
2
−�
2
+2� y
�(�)=�(�,�)=??????(�,�)+��(�,�) la cual es analitica
SOLUCIÓN
??????(�,�)=�
2
−�
2
+2�

??????�
??????�
=2??????+2 por cauchy
??????�
??????�
=2??????+2
Integramos parcialmente respecto a y

??????�
??????�
=∫(2�+2)��
�=∫2���+∫2��
�=2�∫��+2∫��
�=2��+2�+??????(�)
Derivamos parcialmente respecto a x

??????�
??????�
=2�+0+??????´(�)

??????�
??????�
=2�+??????´(�) → −
??????�
??????�
=−2�−??????´(�)
Entonces por cauchy

??????�
??????�
=−2�−??????´(�)
Se hace ahora ??????´(�)=0 (�����??????���)

??????�
??????�
=−2�
Asi: ??????(�,�)+��(�,�)
??????(�,�)=�
2
−�
2
+2�

�(�,�)=2��+2� (������??????�??????)
�(�,�)=�
2
−�
2
+2�+�(2��+2�)

Para confirmar que es una funcion de z:
�(�,��)=�(�) ; �=0
�(�,�(0))=�(�)
�(�,0)=�(�,0)+��(�,0))
�(�,�)=�
2
−�
2
+2�+�(2��+2�)
�(�,0)=�
2
−0
2
+2�+�(2�0+2(0))
�(0)=�
2
+2�
�(�)=�
2
+2�
Verificar si son conjugadas armonicas
??????
2
�
??????�
2
+
??????
2
�
??????�
2
=0
??????(�,�)=�
2
−�
2
+2�
??????�
??????�
=2??????+2

??????
2
�
??????�
2
=2
??????�
??????�
=−2�

??????
2
�
??????�
2
=−2
??????
2
�
??????�
2
+
??????
2
�
??????�
2
=2−2=0
Si son conjugadas armonicas en variable compleja

EJERCICIO N°7
Determinar si la función �(�)=4�
2
−3�
3
+�(−�
4
+�) es analítica.
SOLUCIÓN
Para que una función �(�)=�(�,�)+��(�,�) sea analítica, se deben
cumplir las ecuaciones de Cauchy Riemann:
??????�
??????�
=
??????�
??????�
;
??????�
??????�
=−
??????�
??????�


�(�,�)=4�
2
−3�
3
�(�,�)=−�
4
+�

??????�
??????�
=8�
??????�
??????�
=1

8�≠1 (NO CUMPLE)
Por lo tanto, no es una función analítica.

EJERCICIO N°8
Determinar si la función �(�)=�
2
es analítica.
SOLUCIÓN
Para que una función �(�+��)=(�+��)
2
sea analítica, se deben cumplir
las ecuaciones de Cauchy Riemann:
??????�
??????�
=
??????�
??????�
;
??????�
??????�
=−
??????�
??????�


�(�+��)=(�
2
−�
2
)+2���

�=(�
2
−�
2
) �=2��

??????�
??????�
=2�
??????�
??????�
=2� (�� ������)

??????�
??????�
=−2� −
??????�
??????�
=−2� (�� ������)


Por lo tanto, si es una función analítica.

EJERCICIO N°9
Determinar si la función �(�)=���{�} es analítica.
SOLUCIÓN
Para que una función �(�+��)=(�+��)��{�+��} sea analítica, se
deben cumplir las ecuaciones de Cauchy Riemann:
??????�
??????�
=
??????�
??????�
;
??????�
??????�
=−
??????�
??????�


�(�+��)=(�+��)�=�
2
+���

�=�
2
�=��

??????�
??????�
=2�
??????�
??????�
=�

2�≠� (NO CUMPLE)
Por lo tanto, no es una función analítica.

EJERCICIO N°10
Vea si la siguiente función satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann:
f (z) = f (x + y i) = (x + y + 4 x y) + (−2 x
2
+ y +2y
2
) i
Solución
u(x, y) = x + y + 4 x y ; v(x, y) = −2 x
2
+ y +2y
2

por tanto

??????�
??????�
=1+4�
??????�
??????�
=1+4�

??????�
??????�
=−4�
??????�
??????�
=1+4�
Así las ecuaciones de Cauchy- Riemann quedan:

??????�
??????�

??????�
??????�
=(1+4�)−(1+4�)=0

??????�
??????�

??????�
??????�
=(1+4�)+(−4�)=1 ≠ 0
Por lo tanto, la primera de las ecuaciones se satisface siempre y la segunda
no se satisface para ningún valor de X y de Y
La función no es derivable en ningún punto

EJERCICIO N°11
Sabiendo que f (x + y i) = u( x, y ) + iv( x, y ) es una función analítica, tal que
u( x, y ) – v( x, y ) = -6x + y ; f( 1, -2 ) = -1 + 7i
Calcula f( 2, -4 )
Solución
u(x, y) = -6x + y + v( x, y )
Al ser analítica se satisface las ecuaciones de Riemann

??????�
??????�
=−6+
??????�
??????�

??????�
??????�
=1+
??????�
??????�


??????�
??????�

??????�
??????�

Usando la relación en cruz
−6+
??????�
??????�
=
??????�
??????�

??????�
??????�

??????�
??????�
= 6

??????�
??????�
= −1−
??????�
??????�

??????�
??????�
+
??????�
??????�
= −1 … (1)

2
??????�
??????�
= 5 →
??????�
??????�
=
5
2

Usando (1)
??????�
??????�
+
??????�
??????�
= −1 →
5
2
+
??????�
??????�
= −1→
??????�
??????�
= −
7
2

Analizando
??????�
??????�


??????�
??????�
=
5
2
→ �=∫
5
2
��=
5
2
�+??????(�)

Calculamos la expresión
??????�
??????�
= −
7
2
teniendo v
0+??????(�)= −
7
2
→??????(�)= ∫
−7
2
��= −
7
2
�+??????
v( x, y ) =
5
2
� −
7
2
�+??????
u( x, y ) = −6�+�+
5
2
� −
7
2
�+?????? → u( x, y ) = −
7
2
� −
5
2
�+??????
Teniendo f( 1-2i ) = -1 + 7i
x = 1, y = -2
u( 1, -2) + iv( 1, -2 ) = -1 + 7i
u( 1, -2) = -1
v( 1, -2 ) = 7
Sustituimos en las ecuaciones que ya teníamos
u( 1, -2) = −
7
2
(1)−
5
2
(−2)+??????=−1→ ??????= −1+
7
2
−5=−
5
2

u( x, y ) = −
7
2
� −
5
2
�−
5
2

v( x, y ) =
5
2
� −
7
2
�−
5
2

Me piden f( 2 -4i )
f( 2 -4i ) x = 2 , y = -4
f( 2 -4i ) = u( 2, -4) + iv( 2, -4 )
u( x, y ) = −
7
2
(2)−
5
2
(−4)−
5
2
= −7+10−
5
2
=
1
2

v( x, y ) =
5
2
(2)−
7
2
(−4)−
5
2
=5+14−
5
2
=
33
2

f( 2 -4i ) =
1
2
+
33
2
i

EJERCICIO N°12
Determine donde la función satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann:
f (z) = f (x + y i) = (3y – 2xy + 2y
2
) + (−3x + x
2
-4xy – y
2
) i
Solución

??????�
??????�
=−2�
??????�
??????�
=4�−2�+3

??????�
??????�
=4�−2�+3
??????�
??????�
=−2�−4�
Así las ecuaciones de Cauchy–Riemann quedan:

??????�
??????�

??????�
??????�
=(−2�)−(−2�−4�)=4�

??????�
??????�

??????�
??????�
=(4�−2�+3)+(4�−2�+3)= 0
Por tanto, para ambas ecuaciones se cumplan se requiere solo que 4 x = 0 es
decir que x = 0: la función solo es derivable en el eje imaginario.

EJERCICIO N°13
Determinar la función f(z), sabiendo que es analítica
Sabemos:
�(�)=�
3
+5�+�(−�
3
−9�−5�
2
)

SOLUCIÓN:

�(�,�)=�
3
+5� �(�,�)=(−�
3
−9�−5�
2
)
�
�=3�
2
�
�=−10�
�
�=5 �
�=−3�
2
−9


Para que una función �(�)=�
3
+5�+�(−�
3
−9�−5�
2
) sea analítica, se
deben cumplir las ecuaciones de Cauchy Riemann:





3�
2
=−10�
5=−3�
2
−9

“x” y ”y”son numeros reales, entonces la funcion no es analítica

EJERCICIO N°14
Determinar si la función f(z) = �
2
, satisface las ecuaciones de Cauchy Riemann y
determinar la derivada.

SOLUCIÓN:

Z = x + iy
�(�)=(�+��)
2

�(�)=�
2
+2���+�
2
�
2

�(�)=�
2
+2���+(−1)�
2

�(�)=�
2
−�
2
+2���

Entonces:
�(�,�)=�
2
−�
2
�(�,�)=2��
�
�=2�
1
�
�=2�
�
�=−2� �
�=2�

Para que una función �(�)=�
2
sea analítica, se deben cumplir las ecuaciones
de Cauchy Riemann:
??????�
??????�
=
??????�
??????�
;
??????�
??????�
=−
??????�
??????�

2�
1
=2�
−2�=−(2�)
Se satisfacen las ecuaciones. Por lo tanto
�´(�)=
??????�
??????�
+
??????�
??????�
�
�´(�)=2�+2��
�´(�)=2(�+��)
�´(�)=2�

EJERCICIO N°15
Verifique que la parte real e imaginaria de las siguientes funciones satisfacen
las condiciones de Cauchy Riemann y concluya si son analíticas.
f(z) = ��
−�

SOLUCION:
Siendo z = x +iy
f(z) = (x +iy) �
−(x +iy)


f(z)=(�+��)�
−�
�
−??????�

f(z) =(�+��)�
−�
(cos�−�sin�)
f(z) =�
−�
(cos�−�sin�)(�+��)
f(z)=�
−�
(x.cos�−�.�sin�+i.y.cos�+�sin�)
f(z)=�
−�
(x.cos�+�sin�)+i�
−�
(−�sin�−y.cos�)
Entonces:
�(�,�)=�
−�
(x.cos�+�sin�) �(�,�)=�
−�
(−�sin�−y.cos�)
�
�=−�
−�
(x.cos�+�sin�)+�
−�
cos�
�
�=−�
−�
(y.cos�+sin�)−�
−�
�sen�
�
�=�
−�
(y.cos�+�sin�)−�
−�
sen�
�
�=−�
−�
�cos�−�
−�
(cos�−�sin�)

Para que una función �(�) sea analítica, se deben cumplir las ecuaciones de
Cauchy Riemann:
??????�
??????�
=
??????�
??????�
;
??????�
??????�
=−
??????�
??????�

−�
−�
(x.cos�+�sin�)+�
−�
cos�=−�
−�
�cos�−�
−�
(cos�−�sin�)

−�
−�
(y.cos�+sin�)−�
−�
�sen�=−�
−�
(y.cos�+�sin�)−�
−�
sen�
Entonces la funcion es analítica