EJERCICIOS CON LA ECUACION DE CAUCHY RIEMANN DEL 1 AL 15 (1).pdf
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EJERCICIOS CON LA ECUACION DE CAUCHY RIEMAN
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Slide Content
EJERCICIOS CON LA ECUACION DE CAUCHY
RIEMANN
PROFESORA: Ing. JANSEY MENDOZA GASTELO
CURSO: MECANICA DE FLUIDOS
SECCION: B
INTEGRANTES:
❖ CALAMPA MAS DAYLI
❖ MAMANI LEON GIANELLA
❖ FERNÁNDEZ GARCIA SEBASTIÁN
❖ ROJAS VERA NILTON
❖ LAVADO CABALLERO CHRISTOPHER
LIMA – PERU
2021
EJERCICIO N°1
Siendo la función:
f(z) = �
�
Determinar si es Analítica.
SOLUCION:
Siendo z = x +iy
f(z) = e
(x +iy )
f(z) = �
�
* �
??????�
EJERCICIO N°2
Determinar la función f(z) , sabiendo que es analítica y conociéndose la parte real
u= �
2
- �
2
- x
SOLUCION:
??????�
??????�
= 2x-1 =
??????�
??????�
- 2y = -
??????(2xy – y + Ø(x))
??????�
2y = 2y + Ø’(x)
∫Ø’(x) = 0
Ø(x) = 0… (II)
REEMPLAZANDO II EN I
� = 2xy – y + 0
� = 2xy – y
f(z) = �
2
- �
2
- x + i( 2xy – y )
EJERCICIO N°3
Siendo la función:
f(z) = iz + �̅ …(I)
Determinar si es Analítica.
SOLUCION:
z = x + iy… (II)
REEMPLAZANDO II EN I
f(z) = i*( x + iy ) + x +iy̅̅̅̅̅̅̅̅
f(z) = ix + �
2
� + x - iy
f(z) = x-y + i(x-y)
DE DONDE SE TIENE:
f(z) = u + iv
u = x-y v= x-y
??????�
??????�
= 1
??????�
??????�
= -1 (No Cumple)
??????�
??????�
= -1 -
??????�
??????�
= -1
La función no es Analítica y no es derivable en ningún punto.
EJERCICIO N°4
Verifique que la función exponencial �(�)=�
??????�
, en donde ?????? es una
constante, que satisface las ecuaciones de Cauchy Riemann y, luego
demuestre que la derivada es �´(�)=??????�
??????�
EJERCICIO N°5
Verifique que la función exponencial �(�)=��
�
, satisface las ecuaciones de
Cauchy Riemann y, luego demuestre que la derivada es �´(�)=�
�
(1+�)
SOLUCIÓN
�(�)=��
�
EJERCICIO N°6
Dada u(x,y) = x
2
– y
2
+ 2x encuentre la función conjugada v(x,y) tal que
f(z) = f(x,y) = u(x,y) + iv(x,y) sea una función analítica en todo el plano z.
SOLUCIÓN
Tenemos ??????(�,�)=�
2
−�
2
+2� y
�(�)=�(�,�)=??????(�,�)+��(�,�) la cual es analitica
SOLUCIÓN
??????(�,�)=�
2
−�
2
+2�
??????�
??????�
=2??????+2 por cauchy
??????�
??????�
=2??????+2
Integramos parcialmente respecto a y
∫
??????�
??????�
=∫(2�+2)��
�=∫2���+∫2��
�=2�∫��+2∫��
�=2��+2�+??????(�)
Derivamos parcialmente respecto a x
??????�
??????�
=2�+??????´(�) → −
??????�
??????�
=−2�−??????´(�)
Entonces por cauchy
??????�
??????�
=−2�−??????´(�)
Se hace ahora ??????´(�)=0 (�����??????���)
??????
2
�
??????�
2
=−2
??????
2
�
??????�
2
+
??????
2
�
??????�
2
=2−2=0
Si son conjugadas armonicas en variable compleja
EJERCICIO N°7
Determinar si la función �(�)=4�
2
−3�
3
+�(−�
4
+�) es analítica.
SOLUCIÓN
Para que una función �(�)=�(�,�)+��(�,�) sea analítica, se deben
cumplir las ecuaciones de Cauchy Riemann:
??????�
??????�
=
??????�
??????�
;
??????�
??????�
=−
??????�
??????�
8�≠1 (NO CUMPLE)
Por lo tanto, no es una función analítica.
EJERCICIO N°8
Determinar si la función �(�)=�
2
es analítica.
SOLUCIÓN
Para que una función �(�+��)=(�+��)
2
sea analítica, se deben cumplir
las ecuaciones de Cauchy Riemann:
??????�
??????�
=
??????�
??????�
;
??????�
??????�
=−
??????�
??????�
EJERCICIO N°9
Determinar si la función �(�)=���{�} es analítica.
SOLUCIÓN
Para que una función �(�+��)=(�+��)��{�+��} sea analítica, se
deben cumplir las ecuaciones de Cauchy Riemann:
??????�
??????�
=
??????�
??????�
;
??????�
??????�
=−
??????�
??????�
2�≠� (NO CUMPLE)
Por lo tanto, no es una función analítica.
EJERCICIO N°10
Vea si la siguiente función satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann:
f (z) = f (x + y i) = (x + y + 4 x y) + (−2 x
2
+ y +2y
2
) i
Solución
u(x, y) = x + y + 4 x y ; v(x, y) = −2 x
2
+ y +2y
2
??????�
??????�
=−4�
??????�
??????�
=1+4�
Así las ecuaciones de Cauchy- Riemann quedan:
??????�
??????�
−
??????�
??????�
=(1+4�)+(−4�)=1 ≠ 0
Por lo tanto, la primera de las ecuaciones se satisface siempre y la segunda
no se satisface para ningún valor de X y de Y
La función no es derivable en ningún punto
EJERCICIO N°11
Sabiendo que f (x + y i) = u( x, y ) + iv( x, y ) es una función analítica, tal que
u( x, y ) – v( x, y ) = -6x + y ; f( 1, -2 ) = -1 + 7i
Calcula f( 2, -4 )
Solución
u(x, y) = -6x + y + v( x, y )
Al ser analítica se satisface las ecuaciones de Riemann
EJERCICIO N°12
Determine donde la función satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann:
f (z) = f (x + y i) = (3y – 2xy + 2y
2
) + (−3x + x
2
-4xy – y
2
) i
Solución
??????�
??????�
=4�−2�+3
??????�
??????�
=−2�−4�
Así las ecuaciones de Cauchy–Riemann quedan:
??????�
??????�
−
??????�
??????�
=(4�−2�+3)+(4�−2�+3)= 0
Por tanto, para ambas ecuaciones se cumplan se requiere solo que 4 x = 0 es
decir que x = 0: la función solo es derivable en el eje imaginario.
EJERCICIO N°13
Determinar la función f(z), sabiendo que es analítica
Sabemos:
�(�)=�
3
+5�+�(−�
3
−9�−5�
2
)
Para que una función �(�)=�
3
+5�+�(−�
3
−9�−5�
2
) sea analítica, se
deben cumplir las ecuaciones de Cauchy Riemann:
Para que una función �(�)=�
2
sea analítica, se deben cumplir las ecuaciones
de Cauchy Riemann:
??????�
??????�
=
??????�
??????�
;
??????�
??????�
=−
??????�
??????�
2�
1
=2�
−2�=−(2�)
Se satisfacen las ecuaciones. Por lo tanto
�´(�)=
??????�
??????�
+
??????�
??????�
�
�´(�)=2�+2��
�´(�)=2(�+��)
�´(�)=2�
EJERCICIO N°15
Verifique que la parte real e imaginaria de las siguientes funciones satisfacen
las condiciones de Cauchy Riemann y concluya si son analíticas.
f(z) = ��
−�
SOLUCION:
Siendo z = x +iy
f(z) = (x +iy) �
−(x +iy)
Para que una función �(�) sea analítica, se deben cumplir las ecuaciones de
Cauchy Riemann:
??????�
??????�
=
??????�
??????�
;
??????�
??????�
=−
??????�
??????�
−�
−�
(y.cos�+sin�)−�
−�
�sen�=−�
−�
(y.cos�+�sin�)−�
−�
sen�
Entonces la funcion es analítica