Ejercicios de-estructura-cristalina resueltos

Ciencia e ingenieria

1. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos
Tomados de los libros de Askeland y Smith
Primero de 2012
1

EJERCICIOS PROPUESTOS
1. El radio atómico del níquel CCC es 1.243 Å. Calcular: a) el
parámetro de red y b) la densidad del níquel, si se sabe que la masa atómica
del níquel es de 58.71 g/mol.
Datos: mol/átomos6.02x10 Avogadrode N.
teoría) (por átomos 4 daÁtomos/cel
g/mol 58.71 M
Å243.1a
23
0

Solución:
a) Parámetro de red. En la celda CCC los átomos se contactan entre
si a través de la diagonal de las caras del cubo, de forma que la relación
entre la longitud del lado de cubo a0 y el radio atómico r es: )1(
2
r4
a bien o r4a2
00

Entonces, sustituyendo los datos en la relación anterior cm3.5157x10a
2
)cm10x243.1(4
a
8-
0
8
0

b) Densidad. Para determinar la densidad del níquel, basta con
calcular el volumen de celda y sustituir su valor con los datos en la relación: Avogadro)de erocelda)(núm de volumen(
atómica) da)(masaátomos/cel de número(
)2(

2. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos
Tomados de los libros de Askeland y Smith
Primero de 2012
2

Cálculo del volumen de celda: Por ser una celda cúbica los valores de lados
son iguales, de manera que el volumen viene dado por: 3
0acelda de Volumen
323-
38
cm4.3455x10 celda de Volumen
)10x5157.3(celda de Volumen

Ahora bien, sustituyendo en (2) 3
23323
cm/g977.8
)mol/átomos10x02.6)(cm10x3455.4(
.71g/mol)átomos)(58 4(

2. La densidad del potasio, que tiene una estructura CC y un átomo
por punto de red es 0.855 g/cm
3
. La masa atómica del potasio es 39.09
g/mol. Calcule:
a) el parámetro de red y
b) el radio atómico del potasio
Solución:
Datos: mol/átomos10 x 6.02 Avogadrode N.
teoría) (por átomos 2 daÁtomos/cel
g/mol 39.09 atómica Masa
g/cm 855.0
23
3

a) Parámetro de red. Como el potasio tiene una estructura cúbica, su 3
0acelda de volumen
, el cual puede obtenerse a través de la relación:

3. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos
Tomados de los libros de Askeland y Smith
Primero de 2012
3
Avogadro)de erocelda)(núm de (volumen
atómica) lda)(masa(átomos/ce

donde: Avogadro)de (número
atómica) lda)(masa(átomos/ce
celda de olumenv

Entonces, sustituyendo los valores: 322-
233
cm 10 x 1.5189 celda de volumen
)átomos/mol10 x )(6.02g/cm 855.0(
g/mol) .09átomos)(39 (2
celda de olumenv

y como 3
0acelda de volumen , despejando se obtiene el parámetro de red Å3355.5a
cm10 x 3355.5acm10 x 1.5189a
celda de volumena
0
8-
0
3 322-
0
3
0

b) Radio atómico. Como en la celda CC los átomos se contactan
entre si a través de la diagonal del cubo, la relación entre la longitud de la
diagonal de cubo a0 y el radio atómico r es: r4a3
0 , por lo que el radio
atómico puede calcularse despejando dicha relación Å2.3103 ó cm10 x 3103.2r
4
)cm10 x 3355.5(3
r
4
a3
r
8-
8-
0

3. Un metal con una estructura cúbica tiene una densidad de 1.892
g/cm
3
, un peso atómico de 132.91 g/mol y un parámetro de red de 6.13 Å. Un

4. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos
Tomados de los libros de Askeland y Smith
Primero de 2012
4

átomo asociado a cada punto de la red. Determinar la estructura cristalina del
metal.
Solución:
Datos:
mol/átomos6.02x10 Avogadrode N.
Å13.6a
g/mol 132.91 atómica Masa
g/cm 1.892
23
0
3
Para determinar la estructura cristalina y en base a los datos obtenidos,
basta con calcular el número de átomos por celda.
De la formula de densidad, se tiene (1)
atómica masa
Avogadro)de erocelda)(núm de (volumen
daátomos/cel
Avogadro)de erocelda)(núm de (volumen
atómica) lda)(masa(átomos/ce

Cálculo de volumen de celda. Como el metal tienen una estructura
cúbica, el 3
0acelda de volumen , entonces: 322-
3-8
cm10 x 2.3035 celda de volumen
)cm10 x (6.13celda de volumen

Una vez determinado el volumen de celda y con los datos obtenidos,
determinamos el tipo de estructura sustituyendo en la relación (1)

5. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos
Tomados de los libros de Askeland y Smith
Primero de 2012
5
átomos 2 átomos 1.974celda/átomos
)g/mol (132.91
)mol/átomos10 x (6.02)cm10 x (2.3035)g/cm (1.892
daátomos/cel

atómica masa
Avogadro)de erocelda)(núm de (volumen
daátomos/cel
233·22-3

Finalmente, en base al resultado, se puede decir que el metal tiene una
estructura CC
4. El galio tiene una estructura ortorrómbica, con a0=0.45258 nm,
b0=0.45186 nm y c0=0.76570 nm. El radio atómico es 0.1218 nm. La
densidad es de 5.904 g/cm
3
y la masa atómica es de 69.72 g/mol. Determine
a) el número de átomos en cada celda unitaria y
b) el factor de empaquetamiento de la celda unitaria
Solución:
Datos: átomos/mol 10 x 6.02 Avogadrode N.
g/mol 69.72 atómica Masa
g/cm 5.904
nm 0.76570 c
nm 0.45186 b
nm 45258.0a
23
3
0
0
0

a) Número de átomos por celda. Se determinan despejándolos de la
relación de densidad (1)
atómica masa
Avogadro)de erocelda)(núm de (volumen
daátomos/cel
Avogadro)de erocelda)(núm de (volumen
atómica) lda)(masa(átomos/ce

6. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos
Tomados de los libros de Askeland y Smith
Primero de 2012
6

Cálculo del volumen de celda. Para determinar el volumen se
multiplican cada uno de los parámetros de red, es decir 322-
7-7-7-
000
cm10 x 1.5659 celda de volumen
)cm10 x 76570.0)(cm10 x 45186.0)(cm10 x (0.45258 celda de volumen
c x bx a celda de volumen

ahora, sustituyendo los valores en (1) átomos 8 átomos 7.98celda/átomos
g/mol 69.72
)átomos/mol 10 x (6.02)cm 10 x (1.5659)g/cm (5.904
daátomos/cel

atómica masa
Avogadro)de erocelda)(núm de (volumen
daátomos/cel
23322-3

b) Factor de empaquetamiento. Se calcula por medio de la relación (2)
celda) de (volumen
átomo) de volumen)(celda/átomos(
FE

Cálculo del volumen de átomo. Considerando a los átomos
como esferas rígidas, se obtiene a través de la expresión 324-
37-
3
cm 10 x 7.5875 átomo de volumen
)cm10 x 1219.0(
3
4
átomo de volumen
r
3
4
átomo de volumen

Ahora bien, sustituyendo los datos en la ecuación (2) 0.3876 FE

)cm 10 x (1.5659
)cm10 x 7.5875)(8(
FE
322-
3 -24

7. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos
Tomados de los libros de Askeland y Smith
Primero de 2012
7

5. Una de las formas del manganeso tiene un radio atómico de 1.12
Å, un parámetro de red de 8.931 Å, y un factor de empaquetamiento de
0.479. ¿Cuántos átomos hay en la celda unitaria?
Datos: 0.479 FE
cm10 x 8.931 Å8.931a
cm10 x 1.12 Å1.12r
8-
0
-8

Solución: En base a los datos suministrados, el número de átomos por celda
unitaria se puede obtener mediante un simple despeje de la expresión: (1)
átomo de volumen
celda) de en(FE)(volum
aátomo/celd
celda de volumen
átomo) de volumen)(celda/átomos(
FE

Para ello, se determinan el volumen de átomos y el volumen de celda
Cálculo del volumen de átomo: Considerando a los átomos como
esferas sólidas 324-
38-
3
cm10 x 5.8849 átomo de volumen
)cm10 x 1.12(
3
4
átomo de volumen
r
3
4
átomo de volumen

Cálculo del volumen de celda: 322-
38-
3
0
cm10 x 7.1236 celda de volumen
)cm10 x (8.931 celda de volumen
acelda de volumen

8. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos
Tomados de los libros de Askeland y Smith
Primero de 2012
8

Sustituyendo en (1) átomos 58 daátomos/cel
57.98 aátomo/celd

cm10 x 5.8849
)cm10 x 1236(0.479)(7.
aátomo/celd
324-
3-22

Determine los índices de Miller correspondientes a las direcciones de la
celda cúbica que aparece en la figura

Solución:
Dirección A
1) Se determinan coordenadas iniciales (1,0,0) y coordenadas finales
(0,0,1)
2) Se restan las coordenadas finales menos las iniciales: 1 0, 1,- )0,0,1()1,0,0(

3) No hay fracciones por simplificar o enteros por reducir
4) ]1 0 1[
z
y
x
z
y
x
1/2
3/4
A
B
C

9. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos
Tomados de los libros de Askeland y Smith
Primero de 2012
9

Dirección B
1) Se determinan coordenadas iniciales (1/2,1,0) y coordenadas
finales (1,0,1)
2) Se restan las coordenadas finales menos las iniciales: 1 1,- 1/2,- )0,1,2/1()1,0,1(

3) Se simplifican fracciones: 2 2,- ,1)1 ,1,21(2
4) ]2 2 1[
Dirección C
1) Se determinan coordenadas iniciales (0,3/4,1) y coordenadas
finales (1,0,0)
2) Se restan las coordenadas finales menos las iniciales: 4,-13- 1, )1,43,0()0,0,1(

3) Se simplifican fracciones: 4- 3,- 4,)1- ,43 ,1(4
4) ]4 3 4[
6. Determine los índices para los planos de la celda unitaria cúbica
que aparece en la figura



z
y
x
z
y
x
1/3
B
A

10. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos
Tomados de los libros de Askeland y Smith
Primero de 2012
10

Solución:
Plano A
1) Se deberá mover el origen, ya que el plano pasa a través de 0,
0,0. Se mueve también el origen un parámetro de red en la dirección “y” (ver
figura). Entonces 1z -1, y,1x

2) Se determinan los recíprocos de las intersecciones: 1
z
1
;1
y
1
1;
x
1

3) No hay fracciones que simplificar
4) 1) 1 1(
Plano B
1) Se determinan las intersecciones: z 3,1 y,x
2) Se determinan los recíprocos de las intersecciones: 0
z
1
; 3
y
1
0;
x
1

3) No hay fracciones que simplificar
4) 0) 3 0(
y
Z
Y
X

11. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos
Tomados de los libros de Askeland y Smith
Primero de 2012
11

7. Un vector dirección pasa a través de cubo unidad (o celda unitaria)
desde la posición )
4
1
0, ,
4
1
( a la )1 ,
4
3
,
4
1( . ¿Cuáles son los índices de
dirección?
Solución: Se sigue el mismo procedimiento que el presentado en el ejercicio
5
1) Se restan las coordenadas finales menos las iniciales: 4
3
,
4
3
0,
4
1 0, ,
4
11 ,
4
3
,
4
1

2) Se simplifican fracciones: 3 3, 0,
4
3
,
4
3
,04
3) [0 3 3]
8. Dibuje los vectores dirección en celdas unitarias para las
siguientes direcciones cúbicas: a) ]1 1 1[ ; b) ]121[ y c)]011[
Solución:
Para ]1 1 1[ : Las coordenadas de posición para la dirección son (1,-
1,-1). Para su representación tendrá que llevarse el origen del vector
dirección al vértice inferior izquierdo de la parte trasera del cubo.
z
y
x
z
y
x
Nuevo origen
O

12. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos
Tomados de los libros de Askeland y Smith
Primero de 2012
12
z
y
x
z
y
x
1/2
1/2
Para la dirección ]121[ : Las coordenadas posición para la
dirección, se obtienen dividiendo los índices de dirección por 2 de modo que
puedan estar dentro de la celda unitaria. Son,
por tanto 2
1
- 1, ,
2
1





Para la dirección ]011[ : La coordenadas posición para la dirección,
son (1,-1,0). El origen del vector dirección tiene que llevarse al vértice inferior
izquierda de la parte trasera del cubo.

9. Determine los índices de Miller del plano cristalino cúbico que
cortan las siguientes coordenadas de posición: (0,0,2
1 ); (1,0,0); (2
1 ,4
1 ,0)
Solución: Primero, se localiza como A, B y C las tres coordenadas de
posición tal como se indica en la figura z
y
x
z
y
x
Nuevo origen
O

13. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos
Tomados de los libros de Askeland y Smith
Primero de 2012
13


A continuación, se unen B y C y se prolonga BC hasta D, y se unen A y
B. Por último, se unen A y D hasta completar el plano ABD. El origen para
este plano en el cubo puede ser elegido en E, que da las intersecciones
axiales con el plano ABD en 21z ,21 y,1x . Los recíprocos de estas
intersecciones axiales son: 1, 2, 2. No hay fracciones que eliminar y
finalmente, los índices de Miller para el plano dado: (12 2)
10. El hierro puro experimenta un cambio polimórfico de CC a CCC
calentándolo al pasar los 912 ºC. Calcular el cambio de volumen asociado
con el cambio de estructura de CC a CCC si a 912 ºC la celda unitaria CC
tiene un parámetro de red de 0.293 nm y la celda unitaria CCC 0.363 nm.
Datos: (teoría) átomos 2 daÁtomos/cel
nm 0.293 a
CC Para
0
(teoría) átomos 4 /celdaÁtomos
nm 0.363 a
CCC Para
0

X X
Z
Y
Z
Y
A
D
C
B

14. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos
Tomados de los libros de Askeland y Smith
Primero de 2012
14

Solución: El cambio volumétrico durante la transformación puede calcularse a
partir de datos cristalográficos. El volumen por átomo para la red cristalina
del hierro CC antes de transformarse es: 3
CC
3
3
0
CC
nm 0251.0V
2
)nm 0.293(
Vcc
2
a
V

El volumen por átomo para la red cristalina CCC que tiene cuatro átomos por
celda unitaria es 3
CC
3
3
0
CCC
nm 01196.0V
4
)nm 0.363(
Vccc
4
a
V

El cambio porcentual en volumen durante la transformación CC a CCC,
viene dado por: 4.9% -
V
V
100% x
nm 0.01258
nm 0.01258 nm 0.01196
V
V
100% x
cióntransforma la de antes V.
cióntransforma la de antes V.- cióntransforma la de después .V
V
CC
3
33
CC

Esto indica que el hierro se contrae al calentarse 4.9%
11. Un cristal único de un metal CCC está orientado de tal forma que
la dirección [001] es paralela a un esfuerzo aplicado de 5000 psi. Calcular el

15. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos
Tomados de los libros de Askeland y Smith
Primero de 2012
15
z
y
x
z
y
x
[110]
[111]




esfuerzo cortante resultante que actúa sobre el plano de deslizamiento (111)
en las direcciones de deslizamiento [110] y [011].
Solución:
Para (111)/ [110]: Se aplica un esfuerzo normal en la dirección
[001] de la celda unitaria. Esto produce un ángulo de 90º (por inspección)
con la dirección de deslizamiento [110] y un ángulo con la normal al plano
(111) (dirección [111] por ser celda cúbica). En la gráfica se muestra lo
planteado anteriormente





Cálculo de : Aplicando identidades geométricas
º76.54
3
1
cosAr
a3
a
Cos
0
0

02a
0a
03a


[111]

[110]

16. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos
Tomados de los libros de Askeland y Smith
Primero de 2012
16

Cálculo del esfuerzo cortante: Aplicando la relación cos.cos y
sustituyendo los valores obtenidos 0
)º76.54)(cosº90(cospsi5000

Para (111)/ [011]: Se aplica un esfuerzo normal en la dirección
[001] de la celda unitaria. Esto produce un ángulo con la dirección de
deslizamiento [011] y un ángulo con la normal al plano (111) (dirección
[111] por ser celda cúbica). En la gráfica se muestra lo planteado
anteriormente

Cálculo de: Aplicando identidades geométricas
º45
)1cos(Ar
a
a
Cos
0
0
z
y
x
z
y
x
[011]
[111]




0a
0a
02a


[011]

17. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos
Tomados de los libros de Askeland y Smith
Primero de 2012
17

Cálculo del esfuerzo cortante: Aplicando la relación cos.cos y
sustituyendo los valores obtenidos psi2040
)º76.54)(cosº45(cospsi5000

12. Determinar la distancia entre los planos adyacentes (121) en el
cobre, el cual tiene un parámetro de red de 3.615Å.
Solución: Sustituyendo los valores dados en la ecuación general Å476.1d
121
Å615.3
d
lkh
a
d
)121(
222
121
222
0
)l,k,h(

13. El litio CC tiene un parámetro de red de 3.5089 x 10
-8
cm y
contiene una vacancia por cada 200 celdas unitarias. Calcule:
a) el número de vacancias por centímetro cúbico
b) la densidad del litio
Datos: mol/átomos10 x 6.02 Avogadrode .
tabla) (Por g/mol 6.94 atómica Masa
200
1
Vacancias
cm10 x 5089.3a
23
-8
0

Solución:

18. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos
Tomados de los libros de Askeland y Smith
Primero de 2012
18

a) Vacancias por centímetro cúbico: Para determinarlas, se emplea la
siguiente relación: (1)
celda de Volumen
vacancias de Número
cm
Vacancias
3

Cálculo del volumen de celda 323-
38-
3
0
cm10 x 4.32029 celda de volumen
cm)10 x (3.5089 celda de volumen
a celda de volumen

Sustituyendo 320
3
3 23-3
cm/Vacancias10 x 157.1
cm
Vacancias

cm10 x 4.32029
200
1
cm
Vacancias

b) Densidad del litio. Se obtiene aplicando la relación de densidad.
Cálculo del número de átomos por celda. Considerando que la
celda presenta defectos, es necesario obtener el número de átomos (átomos
calculados), mediante la definición de vacancias y asumiendo que la celda en
condiciones normales presenta 2 átomos
átomos 1.995 calculados Átomos
200
1
- 2 calculados Átomos
Vacancias- normales scondicione en Átomoscalculados Átomos
calculados Átomos- normales scondicione en ÁtomosVacancias

Ahora sustituyendo en la relación de densidad

19. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos
Tomados de los libros de Askeland y Smith
Primero de 2012
19
3
23323-
g/cm 5323.0
)mol/átomos10 x 02.6)(cm10 x (4.32029
94g/mol)átomos)(6. (1.995

Avogadro)de erocelda)(núm de (volumen
atómica) lda)(masa(átomos/ce

14. Una aleación de niobio se produce al introducir átomos
sustitucionales de tungsteno en la estructura CC; finalmente se produce una
aleación con un parámetro de red de 0.32554 nm y una densidad de 11.95
g/mol. Calcular la fracción de átomos de tungsteno dentro de la aleación.
Datos: g/mol 92.91 niobio del atómica Masa
g/mol 11.95
cm10 x 0.32554 nm 0.32554 a
-7
0

Solución: Para determinar la fracción de átomos de tungsteno dentro de la
aleación, se debe obtener primeramente el número de átomos por celda
unitaria de la aleación, el cual se calcula a partir de la relación de densidad. (1)
niobio del atómica masa
Avogadro)de erocelda)(núm de (volumen
celda/átomos
Avogadro)de erocelda)(núm de (volumen
atómica) lda)(masa(átomos/ce

Cálculo del volumen de celda: Por ser una celda cúbica los valores
de lados son iguales, de manera que el volumen viene dado por: 323-
37-
3
0
cm10 x 3.44995 celda de volumen
cm)10 x (0.32554 celda de volumen
a celda de volumen

Una vez determinado el volumen de celda, se sustituye en (1)

20. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos
Tomados de los libros de Askeland y Smith
Primero de 2012
20
átomos 2.671 daátomos/cel

g/mol 92.91
)átomos/mol10 x )(6.02cm10 x (3.44995)g/mol 95.11(
celda/átomos
233-23

Una vez conseguidos el número de átomos por celda unitaria de la aleación,
se emplea la definición de átomos sustitucionales para determinar así, el
número de átomos de tungsteno introducido en la aleación (2) tungsteno de átomosnormales scondicione en átomos nalessustitucio átomos
Es importante destacar, que los átomos sustitucionales representa el
número de átomos por celda en la aleación y los átomos en condiciones
normales son el número de átomos por red cristalina en una celda CC (2
átomos). De ahí que el número de átomos por celda de tungsteno se calcula
a través de un simple despeje de la expresión (2) átomos 0.671 tungsteno de átomos
átomos 2 - átomos 2.671 tungsteno de átomos
normales scondicione en átomos - nalessustitucio átomos tungsteno de átomos

Cálculo de la fracción de átomos de tungsteno: Se miden por
medio de la relación siguiente 0.335 átomos de Fracción

átomos 2
átomos 0.671
átomos de Fracción
normales scondicione en átomos
tungsteno de átomos
átomos de Fracción

21. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos
Tomados de los libros de Askeland y Smith
Primero de 2012
21

15. El platino CCC tiene una densidad de 21.45 g/cm
3
y un parámetro
de red de 3.9231 Å. En promedio ¿qué porcentaje de los puntos de red
contiene vacantes? (asúmase un átomo por punto de red)
Datos: (teoría) 4 red de Puntos
mol/átomos10 x 6.02 Avogadrode N.
(tabla) g/mol 195.09 atómica Masa
cm10 x 3.9232 Å 3.9232 a
g/cm 21.45
23
8-
0
3

Solución: Para saber el número de vacancias, es necesario determinar el
número de átomos por celda, el cual se determina despejándolo de la
expresión de densidad (1)
atómica masa
Avogadro)de erocelda)(núm de (volumen
celda/átomos
Avogadro)de erocelda)(núm de (volumen
atómica) lda)(masa(átomos/ce

Cálculo del volumen de celda: Por ser una celda cúbica los valores
de lados son iguales, de manera que el volumen viene dado por: 323-
38-
3
0
cm10 x 6.0379 celda de volumen
cm)10 x (3.9231 celda de volumen
acelda de volumen

Sustituyendo en (1)
átomos 3.9964529 daátomos/cel
g/mol 195.09
)átomos/mol10 x )(6.02cm10 x )(6.0379g/cm 45.21(
celda/átomos
233-233

22. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos
Tomados de los libros de Askeland y Smith
Primero de 2012
22

Como puede observarse, de haber 4 átomos/celda sería un cristal
perfecto de platino; de aquí la diferencia se debe a la presencia de vacantes.
Para obtener el número de vacantes se aplica la definición 0.0035471 Vacancias
3.9964529 - 4 Vacancias
calculados Átomos- normales scondicione en ÁtomosVacancias

Cálculo del porcentaje de vacantes por puntos de red: Se obtienen
a través de: 0.000886
red de Ptos
Vacantes
4
0035471.0
red de Ptos
Vacantes

16. Determinar el ángulo de un borde de grano de ángulo pequeño
en el cobre CCC cuando las dislocaciones están separadas 1000 Å. El
parámetro de red del cobre es de 3.615 Å.
Datos: (Teoría) [110] compacta Dirección
Å1000 D
Å615.3a
0

Solución: Los granos se encuentran inclinados un vector de Burgers en cada
dirección cada 1000 Å. El vector de Burgers en el cobre CCC es [110], de
manera que la longitud del vector de Burgers es de d110 (distancia
interplanar)

23. Elaborado por: Ing. Roger J. Chirinos
Tomados de los libros de Askeland y Smith
Primero de 2012
23
b
D
b
D
Cálculo de la longitud del vector de Burgers: Se determina
mediante la relación Å2.557 d
011
Å615.3
d
lkh
a
d
110
222
110
222
0
)l,k,h(



Cálculo del ángulo : Aplicando identidades trigonométricas 0.293º
002557.0
2
Sen
Å1000
Å557.2
2
Sen
D
b
2
Sen