ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales de primer orden

ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales de primer orden

1. INSTITUTO TECNOLÓGICO
DE LÁZARO CÁRDENAS

ECUACIONES DIFERENCIALES
SERIE I:
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

NOMBRE DEL ALUMNO:
APELLIDO PATERNO APELLIDO MATERNO NOMBRE(S)
BELLO SANCHEZ

ERICK

SEMESTRE: ENERO-JUNIO DE 2014
GRUPO: 42S
SALON: M2
FECHA DE ENTREGA: 28 DE FEBRERO DE 2014

2. E C U A C I O N E S D I F E R E N C I A L E S P Á G I N A | 2

INGENIERIA ELECTRÓNICA TERCER SEMESTRE
En los problemas 1 a 5, establezca si la ecuación diferencial es lineal o no
lineal. Indique el orden de cada ecuación.
1.- (1 ) '' 4 ' 5 cosx y xy y x   
Respuesta: es lineal debido a que la variable dependiente, así como todas sus
derivadas son de primer. Segundo orden ya que este es el orden de la mayor
derivada de la E.D.
2.- 4
3
3
20
d y dy
xy
dx dx

  


Respuesta: no es lineal ya que existe una derivada de cuarto grado y una de
tercero. Es de tercer orden ya que es el orden de la mayor derivada de la E.D.
3.- 2
' 2 1yy y x  
Respuesta: no lineal ya que los coeficientes no dependen todos de de x.
primer orden ya que es el de la derivada de mayor orden en la E.D.
4.- 2
( ) 0
x
x dy y xy xe dx   
Respuesta: lineal ya que los coeficientes dependen todos de de x. primer
orden ya que es el de la derivada de mayor orden en la E.D.
5.- 3 (4) 2
'' 4 ' 3 0x y x y xy y   
Respuesta: lineal ya que los coeficientes dependen todos de de x. Cuarto
orden ya que es el de la derivada de mayor orden en la E.D.

3. E C U A C I O N E S D I F E R E N C I A L E S P Á G I N A | 3

INGENIERIA ELECTRÓNICA TERCER SEMESTRE
En los problemas 1 a 15 resuelva la ecuación diferencial respectiva por
separación de variables.
1. sin5
dy
x
dx
 sin5dy xdx
1
y = - cos5x +c
5

2. 2
( 1)
dy
x
dx
 

2
1dy x dx
3
x + 1
y = + c
3

3. 3
0
x
dx e dy 3
3
3
31
3
x
x
x
x
dx e dy
dx
dy
e
e dx y
e c y





   


-3x1
y = e + c
3

4. 2
0dx x dy 2
2
2
dx x dy
dx
dy
x
x dx dy




1
y = c -
x

5. ( 1) 6
dy
xx
dx
   


 

16
6
1
655
1
( 1) 5
( 1) ( 1)
5
( 1)
x dy x dx
x dx
dy
x
x dx
y
x
x
y dx
xx
dx
y dx
x
  



  











y = x + 5ln x + 1 + c

6. 2
xdy
ex
dx
 2
2
2
por partes
=


x
x
x
x
x
xx
xx
xx
e dy xdx
xdx
dy
e
dy xe dx
u x dv e dx
du dx v e
y xe e dx
y xe e dx
y xe e c










  
   
  
   



-x
y = -e (x + 1)+ c

4. E C U A C I O N E S D I F E R E N C I A L E S P Á G I N A | 4

INGENIERIA ELECTRÓNICA TERCER SEMESTRE
7. '4xy y 1
4
4
1
ln ln
4
1
ln ln ln
4
1
ln ln
4
4ln ln
dx
xdy y
dx dy
xy
x c y
x c y
cx y
cx y







4
y = cx

8. 20
dy
xy
dx
 2
2
2
ln
dy
xy
dx
dy
xdx
y
yx




2
-x
y = e

9. 3
2
dy y
dx x
 23
32
21
21
21
2
x dy y dx
dy dx
yx
yx
yx






  

-2 -1
y = 2x + c


10. 1dy y
dx x

 1
1
ln ln ln 1
ln ln 1
1
xy
dx dy
dx dy
xy
x c y
cx y
cx y




  



y = cx - 1

11. 22
1
dx x y
dy x

 
 
2
2
3
21
3
1
1
3
ln 3
33
x dx
x y dy
x
y
x x dx c
yc
x x x




  

   



3
-3+ 3xlnx = xy + cx

12. 2
12
sin
dx y
dy y x

  
 
2
2
2
sin 1 2
12
sin
cos ln
y xdx y dy
y dy
xdx
y
x y y c



   

2
c - cosx = lny + y

5. E C U A C I O N E S D I F E R E N C I A L E S P Á G I N A | 5

INGENIERIA ELECTRÓNICA TERCER SEMESTRE
13. 32xydy
e
dx

 32
23
2311
23
xy
yx
yx
dy
ee
dx
e dy e dx
ee






-2y 3x
-3e = 2e

14. 2x y x ydy
e y e e
dx
  
  
2
3
3
1
1
3
x
xy
x x y
x x y y
e dx ydy
ee
e e dx ye dy
e e c ye e







    

yy
x 3x
11
+ - c = -ye + e
e 3e









15.   
22
4 2 0y yx dy x xy dx       
  
22
22
22
22
22
42
24
cambios de variable
24
22
22
11
22
11
ln ln
22
11
ln 2 ln 4 ln
22
ln 2 ln (4 )
y x dy x y dx
ydy xdx
yx
u y z x
du ydy dz xdx
du dz
ydy xdx
du dz
uz
u z c
y x c
y c x
  


   




   
  


22
2 + y = c(4 + x )




En los problemas 1 a 10 determine si la ecuación respectiva es exacta. Si lo es,
resuélvala.

6. E C U A C I O N E S D I F E R E N C I A L E S P Á G I N A | 6

INGENIERIA ELECTRÓNICA TERCER SEMESTRE
1.  2 1 (3 7) 0x dx y dy     2 1 (3 7) 0
NM
x dx y dy   
2
2
00
( , ) (2 1) ( )
( , ) ( )
'( )
'( ) (3 7)
3
( ) 7
2
MN
yx
F x y x x z y
F x y x x z y
F
zy
y
z y y dy
z y y y



   
  







22 3
x - x + y +7y = c
2

2.   2 6 0x y dx x y dy      
 
2
2
2 6 0
11
( , ) 2 ( )
( , ) ( )
'( )
'( ) 6
'( ) 6
( ) 3
MN
x y dx x y dy
MN
yx
F x y x y x z y
F x y x xy z y
F
x z y
y
x z y x y
z y ydy
z y y
   



   
  



  




22
x + xy + 3y = c

3.   
3
5 4 4 8 0x y dx x y dx      
 
3
2
3
3
4
5 4 4 8 0
44
( , ) 5 4 ( )
5
( , ) 4 ( )
2
4 '( )
4 '( ) 4 8
'( ) 8
( ) 2
M N
x y dx x y dx
MN
yx
F x y x y x z y
F x y x xy z y
F
x z y
y
x z y x y
z y y dy
z y y
   



   
  



  




245
x + 4xy - 2y = c
2

7. E C U A C I O N E S D I F E R E N C I A L E S P Á G I N A | 7

INGENIERIA ELECTRÓNICA TERCER SEMESTRE
4.   sin sin cos cos 0y y x dx x x y y dy       
 
sin sin cos cos 0
cos sin sin cos
( , ) sin sin ( )
( , ) sin cos ( )
cos cos '( )
cos
MN
y y x dx x x y y dy
MN
y x x y
yx
F x y y y x x z y
F x y x y y x z y
F
x y x z y
y
xy
    

    

   
  

  


cosx '( ) cosz y x cosxy
2
'( )
()
2
y
z y ydy
y
zy




2
y
xsiny + ycosx - = c
2

5.   
22
2 3 2 4 0y x dx yx dy      
 
22
2
22
2
2
2 3 2 4 0
44
( , ) 2 3 ( )
( , ) 3 ( )
2 '( )
2
MN
y x dx yx dy
MN
xy xy
yx
F x y y x x z y
F x y x y x z y
F
x y z y
y
xy
   



   
  




2
'( ) 2z y yx 4
'( ) 4
( ) 4
z y dy
z y y




22
x y - 3x + 4y = c

8. E C U A C I O N E S D I F E R E N C I A L E S P Á G I N A | 8

INGENIERIA ELECTRÓNICA TERCER SEMESTRE
6. 3
2
1
2 cos3 4 3 sin3 0
dy y
y x x y x
x dx x

     

 3
2
3
2
22
1
2 cos3 4 3 sin3 0
1
4 3 sin3 2 cos3 0
11
3sin 3sin
no es exacta debido a que las derivadas parciales
son dife
MN
dy y
y x x y x dx
x dx x
y
x y x dx y x dy
xx
MN
xx
y x x x

     


   
     
   
   

   

rentes, contrario a lo que exige el criterio
de exactitud

7. ( )( ) ( 2 ) 0x y x y dx x x y dy       
2 2 2
20
2 2 2
no es exacta debido a que las derivadas parciales
son diferentes, contario a lo que exige el criterio

de exactitud
MN
x y dx x xy dy
MN
y x y
yx
   

   


9. E C U A C I O N E S D I F E R E N C I A L E S P Á G I N A | 9

INGENIERIA ELECTRÓNICA TERCER SEMESTRE
8. 1 ln (1 ln )
y
x dx x dy
x

   

 1 ln (ln 1) 0
11
( , ) 1 ln ( )
( , )
N
M
y
x dx x dy
x
MN
y x x x
y
F x y x x z y
x
F x y x

    






    




lnx x x ln ( )
( , ) ln ln ( )
ln '( )
ln
y x z y
F x y x x y x z y
F
x z y
y
x

  



'( ) lnz y x 1
'( ) 1
()
z y dy
z y y




xlnx + ylnx - y = c


10.  
3 3 2
30x y dx xy dy  
9.   
3 2 2
sin 3 2 cos 0y y x x dx xy y x dy    
  
 
3 2 2
22
32
2
32
2
2
sin 3 2 cos 0
3 2 sin 3 2 sin
( , ) sin ( )
( , ) cos ( )
2
3 2 cos '( )
3
MN
y y x x dx xy y x dy
MN
y y x y y x
yx
F x y y y x x x z y
x
F x y xy y x z y
F
xy y x z y
y
xy
    

   

    
   

  


2 cosyx
2
'( ) 3z y xy 2 cosyx
'( ) 0
( ) 0
zy
zy


2
32 x
xy + y cosx - = c
2

 
 
3 3 2
22
33
4
3
2
2
30
33
( , ) ( )
( , ) ( )
4
3 '( )
3
N
M
x y dx xy dy
MN
yy
yx
F x y x y x z y
x
F x y xy z y
F
xy z y
y
xy
  



   
  




2
'( ) 3z y xy
( ) 0zy
4
3x
+ xy = c
4