Ejercicios resueltos rdi ss

Ejercicios resueltos rdi ss

1. UNIVERSIDAD JOSÉ ANTONIO PÁEZ. FACULTAD DE INGENIER ÍA. 
INGENIERÍA EN COMPUTACIÓN. LÓGICA SIMBÓLICA 
EJERCICIOS RESUELTOS 
Reglas Derivadas de Inferencia Ss 
Lcda. Irma Chin, 2012 
1.
Simbolizar en Ss las premisas y la conclusión en cada uno de los siguientes argumentos, y 
hallar las derivaciones correspondientes. 
 
1.1.
Si los bancos aumentan la tasa de interés, subirá el índice de ahorristas. Si sube el índice 
de ahorristas entonces no habrá fuga de divisas. Pero, habrá fuga de divisas. Por lo tanto, 
los bancos no aumentarán la tasa de interés. 
 
p:  Los bancos aumentan la tasa de interés. 
q:  Subirá el índice de ahorristas. 
r:  Habrá fuga de divisas. 
 
p
→q 
q
→¬r 
r 
¬p 
 
1 p→q H 
2 q→¬r H 
3 r  H 
4 ¬q  MTT 3, 2 
5 ¬p  MTT 4, 1 
 
 
1.2.
Si  hoy  no  es  domingo,  entonces  si  soy  flojo,  no  trabajo.  Yo  soy  flojo.  Luego,  si  yo 
trabajo, hoy es domingo. 
 
p:  Hoy es domingo. 
q:  Soy flojo. 
r:  Trabajo. 
 
¬p→(q→¬r) 
q 
r
→p 
 
1 ¬p→(q→¬r) H 
2 q  H 
3 ¬¬p∨(q→¬r) CD 1 
4 p∨(q→¬r)  EN 3 
5 p∨(¬q∨¬r) CD 4 
6 p∨(¬r ∨¬q) Conm 5 
7 (p∨¬r) ∨¬q Asoc 6 
8 p∨¬r  MTP 2, 7 
9 ¬r ∨ p   Conm 8 
10 r→p  CD 9 
 
 
1.3.
Resuelvo este ejercicio o paso al siguiente. Si paso al siguiente, he dejado una laguna. Si 
resuelvo este ejercicio, entonces paso al siguiente. Luego, he dejado una laguna. 
 
p:  Resuelvo este ejercicio. 
q:  Paso al siguiente ejercicio. 
r:  He dejado una laguna. 

2. UNIVERSIDAD JOSÉ ANTONIO PÁEZ. FACULTAD DE INGENIER ÍA. 
INGENIERÍA EN COMPUTACIÓN. LÓGICA SIMBÓLICA 
EJERCICIOS RESUELTOS 
Reglas Derivadas de Inferencia Ss 
Lcda. Irma Chin, 2012 
 
p
∨q 
q
→r 
p
→q 
r 
 
1 p∨q  H 
2 q→r  H 
3 p→q  H 
4   p  H 
5  p→q C 3 
6  q→r C 2 
7  p→r SH 5, 6 
8   r  MPP 4, 7 
       
9   q  H 
10  q→r C 2 
11   r  MPP 9, 10| 
12 r  ED 1, 4, 8, 9, 11 
 
 
 
Otra forma de resolverlo: 
 
1
 p∨q  H 
2  q→r  H 
3  p→q  H 
4  ¬p∨q  CD 3 
5  (p∨q)∧(¬p∨q) IC 1, 4 
6  (p∧¬p)∨q  Dist 5 (una suerte de factor común) 
7   q  TE 6  (también puede verse como MTP 6) 
8   r  MPP 2, 7 
 
1.4.
Compramos  materiales  de  óptima  calidad  o  no  podremos  comenzar  a  construir  la 
urbanización. Y, si la municipalidad nos da el permiso de construcción la empresa nos 
exigirá que cumplamos el contrato antes de finalizar el año. Si la empresa nos exige que 
cumplamos el contrato antes de fin de año, podríamos estar en graves problemas. Pero, 
no compramos materiales de calidad y la municipalidad nos dará el permiso. Entonces no 
podremos construir la urbanización y podríamos estar en graves problemas. 
 
 
p:  Compramos materiales de óptima calidad. 
q:  Podremos comenzar a construir la urbanización. 
r:  La municipalidad nos da el permiso de construcción. 
s:  La empresa nos exige que cumplamos el contrato antes de finalizar el año. 
t:  Podríamos estar en graves problemas. 
 
 
 

3. UNIVERSIDAD JOSÉ ANTONIO PÁEZ. FACULTAD DE INGENIER ÍA. 
INGENIERÍA EN COMPUTACIÓN. LÓGICA SIMBÓLICA 
EJERCICIOS RESUELTOS 
Reglas Derivadas de Inferencia Ss 
Lcda. Irma Chin, 2012 
p
∨¬q 
r
→s 
s
→t 
¬p∧r 
¬q∧ t 
 
1
 p∨¬q H 
2  r→s H 
3  s→t H 
4  ¬p∧r H 
5  ¬p  EC 4 
6   r  EC 4 
7  ¬q  MTP 1, 5 
8  r→t SH 2, 3 
9   t  MPP 6, 8 
10  ¬q∧t IC 7, 9 
 
 
1.5.
6 es impar si no es divisible por 2. 6 es divisible por 2. Luego, 6 no es impar. 
 
p:  6 es impar.  p
→¬q 
q:  6 es divisible por 2.  q 
   
¬p 
 
1 p→¬q  H 
2 q  H 
3 ¬p  MTT 1, 2 
 
1.6.
Si  acudimos  a  la  oficina  de  reclamos  y  llenamos  la planilla  explicando  la  situación, 
resolveremos  legalmente  el  problema.  Si  resolvemos legalmente  el  problema,  no 
tendremos que utilizar la fuerza. Pero, tendremos que utilizar la fuerza. Por consiguiente, 
no es cierto que: acudiremos a la oficina de reclamos y llenamos la planilla explicando 
nuestro problema. 
 
p:  Acudimos a la oficina de reclamos. 
q:  Llenamos la planilla explicando la situación. 
r:  Resolveremos legalmente el problema. 
s:  Tendremos que utilizar la fuerza. 
 
p
∧q→r 
r
→¬s 
s 
¬(p∧r) 
 
1
 p∧q→r H 
2  r→¬s H 
3   s  H 
4  ¬r  MTT 2, 3 
5  ¬(p∧r) MTT 1, 4 
 
 
 
 
 

4. UNIVERSIDAD JOSÉ ANTONIO PÁEZ. FACULTAD DE INGENIER ÍA. 
INGENIERÍA EN COMPUTACIÓN. LÓGICA SIMBÓLICA 
EJERCICIOS RESUELTOS 
Reglas Derivadas de Inferencia Ss 
Lcda. Irma Chin, 2012 
2.
En cada uno de los siguientes casos, derivar explícitamente la última fmla a partir de las fmlas 
anteriores. 
2.1.

() ()qrprqp ∨∧∧∨ 
 
 
1
 (p∨q)∧r  H 
2  (p∧r)∨(q∧r) Dist 1 
3  (p∧r)  EC 2 
4  (p∧r)∨q  ID 3 
 
Otra forma de resolverlo: 
 
1
 (p∨q)∧r  H 
2  (p∧r)∨(q∧r) Dist 1 
3    p ∧r  H 
4    p ∧r  C 3 
       
5    q ∧r  H 
6     q  EC 5 
7  (p∧r)∨q  PPC 2, 3, 4, 5, 6  
 
2.2.

( ) ()rqprqp →∧→→ 
 
1 p→ (q→r) H 
2 ¬p∨(q→r) CD 1 
3 ¬p∨(¬q∨r) CD 2 
4 (¬p∨¬q)∨r Asoc 3 
5 ¬(p∧q)∨r DM 4 
6 (p∧q)→r CD 5 
 
2.3.

()rqpp ∨→¬ 
 
 
1
 ¬p  H 
2  p→(q∨r) NA 1 
 
Otra forma de resolverlo: 
 
1
 ¬p  H 
2  ¬p∨(q∨r)  ID 1 
3  p→(q∨r)  CD 2  
 
2.4.

()( )qpqpp ¬∨∧∨ 
 
1
  p  H 
2  p∨(q∧¬q)  TE 1 
3  (p∨q)∧ (p∨¬q) Dist 2 
 

5. UNIVERSIDAD JOSÉ ANTONIO PÁEZ. FACULTAD DE INGENIER ÍA. 
INGENIERÍA EN COMPUTACIÓN. LÓGICA SIMBÓLICA 
EJERCICIOS RESUELTOS 
Reglas Derivadas de Inferencia Ss 
Lcda. Irma Chin, 2012 
2.5.

() ( )rqprqp →¬¬∧→∧ 
 
1
 (p∧q)→r  H 
2  ¬(p∧q) ∨r  CD 1 
3  (¬p∨¬q) ∨r DM 2 
4  ¬ (¬p∨¬q) → r CD 3 
5  ¬¬p∧¬¬q → r DM 4 
6  p∧¬¬q → r EN 5 
 
2.6.

( ) qpqp ¬↔¬↔ 
 
1
 p↔q  H 
2  (p→q)∧(q→p)  Bic 1 
3  (¬q→¬p)∧(¬p→¬q) CR 2 
4  (¬p→¬q)∧(¬q→¬p) Conm 3 
5  ¬p↔¬q  Bic 4 
 
 
2.7.

() ( )qqpqp →→∨ 
 
1
 p∨q  H 
2  (p∨q)∧(¬q∨q)  TE 1 
3  (p∧(¬q∨q)) ∨ (q∧(¬q∨q)) Dist 2 
4  (p∧(¬q∨q)) ∨ q  Abs 3 
5  ((p∧¬q)∨(p∧q)) ∨ q  Dist 4 
6  (p∧¬q)∨((p∧q) ∨ q)  Asoc 5 
7  (p∧¬q)∨q  Abs 6 
8  ¬(p∧¬q)→q  CD7 
9  ¬p∨¬¬q→q  DM 8 
10 ¬p∨q→q  EN 9 
11 (p→q)→q  CD 10 
 
Otra forma de resolverlo: 
 
1
 p∨q  H 
2  (p∨q)∧(¬q∨q)  TE 1 
3  (p∧(¬q∨q)) ∨ (q∧(¬q∨q)) Dist 2 
4  (p∧(¬q∨q)) ∨ q  Abs 3 
5  ((p∧¬q)∨(p∧q)) ∨ q  Dist 4 
6  (p∧¬q)∨((p∧q) ∨ q)  Asoc 5 
7  (p∧¬q)∨q  Abs 6 
8  ¬(p∧¬q)→q  CD7 
9  (p→q)→q  CC 8 
 
 
Nota: obsérvese que hasta el ítem 8 ambas derivaciones son iguales. Los últimos 
ítemes difieren en función de las leyes de inferencia aplicadas, aunque al final se 
obtiene el mismo resultado. 
 
 
 

6. UNIVERSIDAD JOSÉ ANTONIO PÁEZ. FACULTAD DE INGENIER ÍA. 
INGENIERÍA EN COMPUTACIÓN. LÓGICA SIMBÓLICA 
EJERCICIOS RESUELTOS 
Reglas Derivadas de Inferencia Ss 
Lcda. Irma Chin, 2012 
2.8.

() ( ) rprqpqp ∨↔∨∨, 
 
1
 p∨q  H 
2  p∨(q↔r) H   
3     p  H  (para eliminar disyunción 1) 
4    p ∨r  ID 3 
       
5     q  H  (para eliminar disyunción 1) 
6    p ∨(q↔r) C 2 
7       p  H  (para prueba por casos ítem 6) 
8       p  C7 
         
9      q ↔r H (para prueba por casos ítem 6) 
10     q  C 5 
11     r  EE 9, 10 
12  p∨r  PPC 6, 7, 8, 9, 11 
13 p∨r  ED 1, 3, 4, 5, 12 
 
Otra forma de resolverlo: 
 
1
 p∨q  H 
2  p∨(q↔r)  H   
3  (p∨q) ∧ (p∨(q↔r)) IC 1, 2 
4  p∨( q∧ (p∨(q↔r)) ) Dist 3 
5     p  H  (para eliminar disyunción ítem 4) 
6    p ∨r  ID 5 
       
7    q ∧ (p∨(q↔r)) H (para eliminar disyunción ítem 4) 
8     q  EC 7 
9    p ∨(q↔r)  EC 7 
10     p  H  (para prueba por casos ítem 9) 
11     p  C 10 
         
12    q ↔r  H (para prueba por casos ítem 9) 
13     q  C 8 
14     r  EE 12, 13 
15  p∨r  PPC 9, 10, 11, 12, 14 
16 p∨r  ED 4, 5, 6, 7, 15 
 
 
 

7. UNIVERSIDAD JOSÉ ANTONIO PÁEZ. FACULTAD DE INGENIER ÍA. 
INGENIERÍA EN COMPUTACIÓN. LÓGICA SIMBÓLICA 
EJERCICIOS RESUELTOS 
Reglas Derivadas de Inferencia Ss 
Lcda. Irma Chin, 2012 
3.
Derivar explícitamente las siguientes tesis a partir de sus hipótesis: 
3.1.

( )rqp →→         | ( )rpq →→ 
 
1
 p→(q→r)  H 
2  ¬p∨(q→r) CD 1 
3  ¬p∨(¬q∨r) CD 2 
4  ¬q∨(¬p∨r) Conm 3 
5  ¬q∨(p→r) CD 4 
6  q→(p→r)  CD 5 
 
3.2.

()( )( )sqrpqp →¬→∨ ,,     | ( )rs¬→¬ 
 
1
 p∨q  H 
2  p→¬r  H 
3  q→s  H 
4     p  H  (para prueba por casos ítem 1) 
5    p →¬r C 2 
6    ¬r  MPP 4, 5 
       
7     q  H  (para prueba por casos ítem 1) 
8    q →s C 3 
9     s  MPP 7, 8 
10 s∨¬r  PPC 1, 4, 6, 7, 9  
11 ¬s→¬r CD 19 
 
3.3.

()( )( )srrqrqp →→∨→ ,,    | ( )sp→ 
 
 
1
 p→(q∨r)  H 
2  q→r  H 
3  r→s  H 
4  ¬p∨(q∨r)  CD 1 
5  (¬p∨¬p)∨(q∨r) Idemp 4 
6  (¬p∨q)∨(¬p∨r) Conm 5 
7  (p→q) ∨ (p→r) CD 6 
 
8
   p →q H
 (para ED ítem 7) 
9    q →r C 2 
10    r →s C 3 
11    q →s SH 9, 10 
12    p →s SH 8, 11 
       
13    p →r H (para ED ítem 7) 
14    r →s C 3 
15    p →s SH 13, 14 
16  p→s  ED 7, 8, 12, 13, 15  
 
 
 

8. UNIVERSIDAD JOSÉ ANTONIO PÁEZ. FACULTAD DE INGENIER ÍA. 
INGENIERÍA EN COMPUTACIÓN. LÓGICA SIMBÓLICA 
EJERCICIOS RESUELTOS 
Reglas Derivadas de Inferencia Ss 
Lcda. Irma Chin, 2012 
3.4.

( )( )prqp ¬→→¬ ,       | ( )qrp →¬→¬ 
 
1
 ¬p→q  H 
2  r→¬p  H 
3  r→q  SH 1, 2 
4  ¬r∨q  CD 3 
5    ¬r  H 
6    ¬r ∨ (p ∨ r) ID 5 
7    p  ∨ (¬r∨r) Conm 6 
8     p  TE 7  (o bien, MTP 6) 
9    ¬p→(¬r→q) NA 8 
       
10   q  H 
11  ¬r→q  AC 5 
12  ¬p→(¬r→q) AC 6 
13 ¬p→(¬r→q)  ED 4, 5, 9, 10, 12